MAKALAH FUNGSI KOMPOSISI
DISUSUN
O
L
E
H
INFITHAR HI. RUSDI NASERUDIN BAMBANG SITI CHUSNUL CHATIMAH NURRAHMAH
PROGRAM STUDI TEKNIK GEOLOGI JURUSAN ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO TAHUN 2016
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................................................... 1 1.1
Latar belakang ............................................................................................................................. 1
1.2
Rumusan masalah ....................................................................................................................... 1
1.3
Tujuan ......................................................................................................................................... 1
1.4
Manfaat ....................................................................................................................................... 1
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................................................ 2 2.1
Fungsi. ......................................................................................................................................... 2
2.2
Menentukan daerah asal dan daerah hasil ................................................................................... 4
BAB III PEMBAHASAN ....................................................................................................................... 7 3.1 Fungsi komposisi .............................................................................................................................. 7 3.2 Contoh soal beserta pembahasan ...................................................................................................... 8 BAB IV PENUTUP .............................................................................................................................. 10 4.1
Kesimpulan ............................................................................................................................... 10
4.2
Saran ......................................................................................................................................... 10
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................................... 11
.........................................................................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang Kalkulus merupakan bagian dari matematika yang kebanyakan dinilai orang sebagai pelajaran yang rumit dan membosankan. Selalu yang dikerjakan hanya menghitung, menghitung, dan menghitung. Sehingga banyak komentar orang yang merasa jemu dengan pelajaran yang satu ini. Hingga terbesit di benak banyak orang bahwa “apa sih gunanya kita belajar kalkulus?” Mereka yang mengemukakan komentar seperti itu adalah mereka yang tidak megetahui penerapan ilmu ini dalam kehidupan sehari-hari. Jika kita kaji, ternyata banyak manfaat dari kalkulus itu sendiri yang tak hanya dalam bidang matematika saja. Sebagai contoh salah satu materi kalkulus adalah fungsi komposisi yang memiliki banyak penerapan di berbagai bidang kehidupan seperti penyusunan pemain dan formasi pemain dalam tim sepak bola, pada bidang kimia digunakan menentukan waktu peluruhan unsur, pada bidang fisika digunakan dalam fungsi kuadrad untuk menjelaskan fenomena gerak, pada bidang ekonomi digunakan untuk menghitung sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran, dan masih banyak lagi penerapan fungsi komposisi dalam aspek kehidupan. Namun, masih banyak orang yang belum mengetahui apa fungsi komposisi itu. Dalam makalah ini, kami akan menyajikan mengenai fungsi komposisi.
1.2
Rumusan masalah
1.3
1.4
Apa yang dimaksud dengan fungsi komposisi?
Bagaimanakah menyelesaian contoh soal dari fungsi komposisi?
Tujuan
Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi komposisi.
Untuk mengetahui cara penyelesaian contoh soal dari fungsi komposisi.
Manfaat
Agar mengetahui apa itu fungsi komposisi.
Agar dapat mengetahui cara penyelesaian contoh soal dari fungsi komposisi. 1
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi
A. Pengertian fungsi Istilah “fungsi” ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya ber fungsi dengan baik”. Fungsi disini memiliki makna anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil.
Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu dis ebut fungsi atau pemetaan. Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih dari satuanggota B. Maka bisa dikatakan bahwa Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika dan hanya jikasetiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu unsur dalam himpunan B. Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : 2
f : A → B artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B. A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f . Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Suatu fungi f dapat disajikan dengan lambing pemetaan sebagai berikut: f : x → y = f(x) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel) bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas. Himpunan A disebut daerah asal atau domain. Daerah Asal (daerah definisi/wilayah/domain) dari suatu fungsi f(x), dinotasikan D f adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi.
Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain. Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range). Daerah Hasil (daerah nilai/jelajah/range) dari suatu fungsi f(x), dinotasikan Rf = {y | y = f(x), x ∈ D f } (berisi semua pasangan dari x).
B. Macam-macam fungsi
Fungsi aljabar adalah fungsi yang menggunakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar. Fungsi aljabar meliputi : a. Fungsi irasional b. Fungsi rasional c. Fungsi polinom d. Fungsi kubik e. Fungsi kuadrat f. Fungsi linear g. Fungsi pangkat h. Fungsi pecahan Fungsi Transender. Fungsi transender adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.yang termasuk fungsi transender yaitu: 3
a. b. c. d. e.
fungsi eksponen fungsi logaritma fungsi trigonometri fungsi siklometri fungsi hiperboloik
Fungsi Khusus a. fungsi konstan b. fungsi identitas c. fungsi modulus d. fungsi parameter Fungsi Genap Dan Fungsi Ganjil a. fungsi genap b. fungsi ganjil. c. bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil
C. Sifat-sifat Fungsi 1. Fungsi Surjektif Fungsi f: A → B disebut fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada), jika di B mempunyai pasangan di A. 2. Fungsi Into Fungsi f: A → B disebut fungsi into (fungsi kedalam), jika terdapat elemen B yang tidak mempunyai pasangan di A. 3. Fungsi Injektif Fungsi f: A → B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu), jika s etiap elemen dari B memiliki pasangan tepat satu elemen dari A. 4. Fungsi Bijektif Fungsi f: A → B disebut fungsi bijektif, jika f adalah fungsi injektif dan sekalipun fungsi surjektif.
2.2 Menentukan daerah asal dan daerah hasil
Misalkan P, Q ∈ R(himpunan bilangan Real), fungsi f : P → Q adalah suatu aturan yang mengaitkan ∀ ∈ dengan tepat satu unsur ∈ Q. Pengkaitannya ditentukan oleh suatu aturan, yang diberi lambang y = f (x). Pada definisi ini, daerah asal fungsi f adalah himpunan P , ditulis Df = P ; sedangkan daerah nilai fungsi f adalah himpunan Rf = {f (x) : x ∈ D }. Unsur f (x) ∈ Q dinamakan nilai fungsi f . Bila pada suatu fungsi hanya diketahui aturannya saja, katakanlah y = f (x), maka daerah asal fungsi f adalah himpunan
4
Df = {f (x) ∈ R : f (x) ∈ R} dan daerah nilainya adalah himpunan Rf = {f (x) ∈ R : f (x)
∈ Df}
Kita mempunyai fungsi y = f (x) dengan daerah asal Df dan daerah nilai Rf . Himpunan titik {(x,y) ∈ R2 : y = f (x), x
∈ Rf }
dinamakan grafik fungsi f.
I lustrasi Diketahui fungsi () tersebut.
= √ + 1
. entukan daerah asal Df dan daerah hasil Rf dari fungsi
Agar f (x)∈ R, syaratnya adalah + 1 ≥ 0, sehingga daerah asal fungsi f adalah
= {/ ≥ 1} Kemudian, karena
∀ ≥ 1, berlaku √ + 1 ≥ 0 sehingga
daerah nilai fungsi f adalah
= {/ ≥ 0}
Pada konsep fungsi real, daerah asal dan daerah nilai fungsi f merupakan himpunan bagian dari R Fungsi f seperti ini dinamakan fungsi dengan peubah real dan bernilai real , disingkat fungsi real . Fungsi real dengan aturan y = f (x) dapat digambarkan sebagai diagram panah di bawah ini.
Contoh soal Daerah asal dan daerah nilai fungsi pecahan linear. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi ()
5
=
−
Jawab
Agar ()
∈ , syaratnya x ≠ 0, jadi daerah asal fungsi f adalah = {0}.
Untuk menentukan daerah nilai fungsi f , misalkan nyatakan x dalam y dan perhatikan syaratnya, diperoleh yx = x – 1 (y – 1) x = -1
=
1 ,≠1 1
Jadi daerah nilai fungsi f adalah = {0}.
6
= () =
− kemudian
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Fungsi komposisi
Misalkan fungsi f dan g memenuhi R f ∩ D g ≠ ∅. Fungsi komposisi dari g dan f, ( f dilanjutkan g ), ditulis g o f , adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bagian dari D f dan aturannya ditentukan oleh (gof)(x) = g (f(x)). Daerah asal dan daerah nilai fungsi gof adalah : D gof = {x ∈ D f : f (x) ∈ D g } dan R gof = {y ∈ R g : y = g (t), t
∈ R f }
Perhatikan syarat agar fungsi komposisi gof terdefinisi, R f gambar di bawah ini.
∩
D g
≠ ∅ pada
Diagrampemetaan fungsi komposis g o f
Sebut A = R f ∩ D g , maka: D g◦f =f −1(A) dan R g◦f =g(A) Fungsi komposisi fog juga menggunakan cara yang sama, f dan g saling bertukar peran. Misalkan fungsi f dan g memenuhi R g ∩ D f ≠ ∅. Fungsi komposisi dari f dan g , ( g dilanjutkan f ), ditulis fog , adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bagian dari D g dengan aturannya ditentukan oleh (fog)(x) = f (g(x)). Daerah asal dan daerah nilai fungsi fog adalah D fog = {x ∈ D g : f (x) ∈ D f } dan R gof = {y ∈ R f : y = g (t), t
7
∈ R f }
3.2 Contoh soal beserta pembahasan
1) Diketahui f (x) = √ dan g (x) = 1 – x2, maka tentukan (fog)(x) dan (gof) (x)
Jawab
1) Daerah asal dan daerah nilai fungsi f dan g adalah D f = {0,+∞ }, R f = {0, +∞ }, D g = R dan R g = { ∞ ,1}
Karena R f ∩ D g = {0,+∞ } ≠ ∅, maka fungsi gof terdefinisi dengan aturan
(gof)(x) = g (f(x)) = g( √ )= 1- x Daerah asal fungsi gof adalah D gof
= {x ∈ D f : f (x) ∈ D g } = {x ∈ [0,+∞ ) : √ { x ≥ 0 : √
∈ R}
∈ R.} = [0,+∞ )
Dan daerah hasil fungsi gof adalah R gof
= {y ∈ R g : y = g (t), t
∈ R f }
{y ∈ (-00,1] : y = 1-t 2 , t ≥ 0} = (- ∞ ,1] {y ≤ 1 : y = 1 – t 2 , t ≥ 0} = (- ∞ ,1]
Berdasarkan konsep fungsi komposisi, meskipun aturan fungsi komposisinya adalah (gof)(x) = 1 – x, derah asal fungsi ini bukan R, tetapi himpunan diperoleh y ≤ 1, sehingga daerah nilai fungsi gof adalah R gof = (-∞,1]. Menentukan fungsi fog dengan f (x) = √ dan g (x) = 1 – x2. Daerah asal dan daerah nilai fungsi f dan g adalah: D f = [0,+∞ ), R f = [0,+∞ ), Dg = R, dan R g = (-∞ ,1]
Karena R g ∩ D f = (-∞ ,1] ∩ [0,+∞ ) = [0,1] (fog)(x) = f (g(x)) = f (1 – x2 ) =√1
≠ ∅ , maka fungsi fog terdefinisi dengan aturan
2 8
Daerah asal fungsi fog adalah D fog
= {x ∈ D g : g (x) ∈ D f } = {x ∈ R : 1- x 2 ∈ [0,+∞ )} { x ∈ R : 1 – x2 ≥ 0} = {x ∈ R : -1 ≤ x ≤ 1} = [-1,1)
Dan daerah hasil fungsi fog adalah R fog = {y ∈ R f : y = f (t), t
∈ Rg}
{y ∈ [0,+∞ ) : y = t, t ∈ (-∞ ,1]} {y ∈ 0 : y = t, 0
≤ t ≤ 1} = [0,1]
9
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan Fungsi komposisi merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Penyelesaian dari contoh soal fungsi komposisi (fog) (x) yaitu dengan cara menentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi f dan g kemudian dengan mencari daerah asal dan daerah hasil dari fungsi (fog) (x).
4.2 Saran Makalah ini masih banyak memiliki kekurangan, sehingga masih dibutuhkan perbaikan dalam segi konsep dan teori. Kami harap makalah ini dapat menjadi bahan bacaan yang memberikan manfaat bagi pembacanya.
10
DAFTAR PUSTAKA
Djohan, Warsoma. Budhi, Wono S. 2007. Diktat Kalkulus 1. Diambil dari http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/my-courses/files/2009/08/kalkulus1.pdf pada 8 Oktober 2016. Hidayat, Asep Syarif. 2008. Fungsi. Diambil dari http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/19580401198503 1-ASEP_SYARIF_HIDAYAT/fungsi_.pdf pada 6 Oktober 2016. Fatchurrahman, Aziz. 2012. Penerapan Fungsi Komposis dan Invers dalam kehidupan sehari-hari. Diambil dari http://azizfatchurrachman.blogspot.co.id/2013/03/makalahmtk-tentang-penerapan-komposisi.html pada 9 Oktober 2016. Himmadika. 2012. Fungsi. Diambil dari http://himmadika.fkip.uns.ac.id/wpcontent/uploads/2012/09/fungsi.pdf pada 9 Oktober 2016.
11
