MAKALAH TEORI DAN KONSEP FUNGSI Disusun untuk memenuhi mata kuliah matematika
Nadya Robiatul Addawiyyah 200110140295
FAKULTAS PETERNAKAN UNIVERSITAS PADJADJARAN JATINANGOR 2014
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan ke hadirat ALLAH SWT. karena berkat ridho-Nya sehingga saya bisa menyelesaikan tugas makalah ini tepat pada waktunya. Makalah matematika ini membahas tentang “ TEORI dan KONSEP FUNGSI ”. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, yang telah mengantarkan umatnya dari zaman kegelapan menuju ke zaman yang terang-benderang dengan kekayaan ilmu dan pengetahuan. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas dari ibu Dr. Nena Himia,S.Pt, M.Si selaku dosen mata kuliah Matematika. Semoga Allah SWT, melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada kita semua. Saya berharap semoga pembahasan yang ada di dalam makalah ini dapat bermanfaat bagi diri saya sendiri, teman-teman, dan siapapun yang membacanya. Saya menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang ada dalam makalah ini. Oleh karena itu saya mengharapkan adanya kritik dan saran untuk memperbaiki pembuatan makalah selanjutnya. Atas segala kekurangan dan kesalahan yang ada dalam penulisan makalah ini saya mohon maaf yang sebesar-besarnya.
Sumedang, 30 Agustus 2014
Nadya Robiatul Addawiyyah 200110140295
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR.........................................................................................................ii DAFTAR ISI.......................................................................................................................iii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang........................................................................................................1 B. Tujuan.....................................................................................................................1 C. Ruang Lingkup........................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Fungsi....................................................................................................2 B. Konsep Fungsi.........................................................................................................3 C. Jenis-jenis Fungsi....................................................................................................3 D. Invers Fungsi...........................................................................................................7 E. Penerapan Konsep Fungsi dalam Bidang Peternakan............................................7 BAB III PENUTUPAN A. Kesimpulan.............................................................................................................9 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................................10
iii
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Peternakan adalah kegiatan mengembangbiakkan dan membudidayakan hewan ternak untuk mendapatkan manfaat dan hasil dari kegiatan tersebut. Namun peternakan tidak hanya sebatas ruang lingkup pemeliharaan saja. Ada tujuan yang harus dicapai dalam kegiatan beternak itu. Salah satu tujuannya adalah mencari keuntungan dengan penerapan prinsip-prinsip manajemen pada faktor-faktor produksi yang telah dikombinasikan secara optimal. Tujuan mencari keuntungan tersebut tidak lepas dari penerapan konsep matematika ekonomi. Hubungan antara satu elemen himpunan tepat dengan satu elemen pada himpunan yang lain disebut fungsi. Dalam fungsi ada yang dikenal dengan grafik, grafik fungsi ini menggambarkan hubungan matematik antara dua variabel atau lebih. Penerapan konsep fungsi sering diaplikasikan dalam bidang ekonomi untuk menentukan fungsi permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar. Adanya konsep fungsi matematika berperan penting membantu agar tujuan mencari keuntungan dalam bisnis peternakan bisa tercapai. Pengenalan matematika dalam ilmu peternakan adalah hal baru bagi mahasiswa yang baru masuk di jurusan peternakan. Dengan adanya Metode pembelajaran yang dikembangkan diarahkan pada student centered learning, mahasiswa didorong untuk belajar secara aktif, berinisiatif, dan proaktif dalam proses belajar. Maka dari itu dalam pembelajaran tentang konsep-konsep pengertian fungsi dan jenis-jenisnya, ibu Dr. Nena Himia,S.Pt, M.Si memberikan tugas untuk membuat makalah tentang “TEORI DAN KONSEP FUNGSI”.
B. TUJUAN 1. Meningkatkan ilmu dan kemampuan mahasiswa dalam pembelajaran mata kuliah matematika tentang teori dan konsep fungsi. 2. Mendapatkan nilai tugas mata kuliah matematika.
C. RUANG LINGKUP Ruang lingkup materi yang dibahas pada makalah ini adalah pengertian fungsi, konsep fungsi, jenis-jenis fungi, dan contoh penerapan fungsi di bidang peternakan
1
BAB II PEMBAHASAN A. PENGERTIAN FUNGSI Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain) secara tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak akan pernah memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama. Penulisan fungsi dilambangkan dengan
dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f disebut bayangan x dan ditulis
dibaca “ f dari x”. 1. Istilah – istilah dalam fungsi Domain Kodomain Range
= daerah asal fungsi f (dilambangkan dengan Df) = daerah kawan fungsi f (dilambangkan dengan Kf) = daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f (dilambangkan dengan Rf) Variabel = simbol yang melambangkan faktor tertentu Variabel bebas =tidak tergantung pada variabel lain Variabel terikat=tergantung pada variabel lain Koefisien = angka pembentuk fungsi yang terkait pada variabel dalam sebuah fungsi Konstanta = angka yang kadang-kadang menjadi pembentuk fungsi, tidak terikat pada variabel
contoh 1 : persamaan fungsi y = f(x)=ax+b dengan : y = variabel bebas x = variabel terikat a = koefisien b = konstanta
fungsi f : x y dengan : Df = {1,3,5} Kf = {1,3,7,11,15} Rf = {3,7,11}
2. Grafik Fungsi Grafik fungsi adalah gambar yang menyatakan hubungan matematik antar dua variabel atau lebih. Dalam ruang dimensi dua terlebih dahulu menentukan acuannya, misalnya sistem koordinat cartesius xy, yang terdiri dari : - Satu titik asal 0 - Satu sumbu horizontal/mendatar x (ordinat) - Satu sumbu vertikal/tegak y (absis)
2
Pernyataan {(x,y)\x,y R} dilambangkan oleh setiap titik di bidang yang berkoordinat cartesius. Apabila ada banyak titik yang terdapat dalam bidang tersebut dan jika setiap titik dihubungkan membentuk kurva baik itu lurus atau melengkung maka kurva tersebut adalah grafik. Grafik hubungan antara x dan y menyatakan bahwa jika harga x dimasukan ke persamaannya maka akan diketahui harga y dan begitu pula sebaliknya.
B. KONSEP FUNGSI Konsep fungsi dalam matematikan umumnya diartikan sebagai pemetaan yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yaitu daerah asal (domain) dan daerah hasil (range). Persamaan atau kesamaan akan terjadi apabila jumlah anggota himpunan yang berhubungan adalah sama, sehingga satu anggota daerah asal berhubungan hanya dengan satu anggota daerah hasil, Edward (Dahlan,2004). Sifat-sifat fungsi 1.
Fungsi Injektif Suatu fungsi f dari himpunan ke himpunan dikatakan sebagai fungsi injektif apabila setiap anggota di akan dipetakan pada anggota yang berbeda di B. Dapat disimpulkan bahwa adalah fungsi injektif apabila maka berakibat , jika berakibat atau ekuivalen. Contoh :
____
*3
___
*5
1*
*6
2*
*8
3*
*9
4*
* 11
___
* 12
2. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f dari himpunan ke himpunan dikatakan sebagai fungsi surjektif apabila yang berarti setiap anggota di pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu anggota di . Contoh :
3
De Ranch *
* Lembang
Pantai Parangtritis *
* Medan
Danau Toba *
* Yogyakarta
Keraton Yogya *
3. Fungsi Bijektif Suatu fungsi f dari himpunan ke himpunan dikatakan sebagai fungsi surjektif apabila pemetaan sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus.
C. JENIS – JENIS FUNGSI Fungsi digolongkan menjadi beberapa jenis :
FUNGSI
FUNGSI ALJABAR
FUNGSI NON ALJABAR
- Fungsi Eksponen - Fungsi Logaritma - Fungsi Trigonometri
FUNGSI RASIONAL
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI POLINOM - Fungsi Linear - Fungsi Kuadrat - Fungsi Kubik - Fungsi Bikuadrat - Fungsi Pangkat
1.
Fungsi Non Aljabar 1.1. Fungsi Eksponen adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa pangkat dari suatu konstanta dalam persamaan fungsi tersebut. x
Bentuk umum : y=a Grafik fungsi eksponen tidak memiliki titik potong pada sumbu x dan tidak memiliki nilai ekstrim.
4
y a x ; a 1; x R
a2
a -3
-2 -1 0
1
y a x ;0 x 1; x R 2
3
1.2. Fungsi Logaritma adalah invers fungsi dari fungsi eksponen. Karena adanya a x hubungan kesetaraan sifat eksponen dan logaritma y = log x = a . a
Bentuk umum : y = log x Grafik fungsi logaritma tidak memiliki titik potong pada sumbu y dan tidak y memiliki nilai ekstrim. Kurva y = alogx
a2
a
a>1 x=1 ---> y=0 x=10 --> y=1 x=100 -> y=2
0
x -3
-2 -1 0
1
2
3
1.3. Fungsi Trigonometri adalah fungsi yang variabel bebasnya berupa bilangan geometris, variabel x biasanya dinyatakan dalam radian ( radian = 1800). diantaranya :
y = sin x ; y = cos x ; y tan x; y = ctg x ; y = sec x ; dan y = cosec x y y
1
y = Cosx
1
0
y = Sinx 0
y = tgx
x 900
180 0
270 0
360 0
x 900
180 0
270 0
360 0
-1
-1
y = ctgx
1 Periode
2.
Fungsi Aljabar 2.1. Fungsi Rasional adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabel bebasnya menjadi penentu identitasnya. 2.1.1. Fungsi Polinom,variabel bebasnya mengandung banyak suku (polinom). Bentuk umum :
y = anx~ + ... + a2x2 + a1x + a0 5
2.1.2. Fungsi Linear, fungsi dengan pangkat tertingginya adalah satu. Bentuk umum : y Grafiknya :
= a1x + a0
2.1.3. Fungsi Kuadrat, fungsi dengan pangkat tertingginya adalah dua. Bentuk umum : y - Parabola Grafiknya : y
= a2x2 + a1x + a0
Titik Ekstrim
y
Titik Ekstrim
x (a)
x
(b)
y
y
Titik Ekstrim
Titik Ekstrim
x
x (d)
(c)
Setiap parabola memiliki satu titik puncak dengan 4 kemungkinan. 2 Adapun rumus mencari titik puncak adalah b , b 4ac
2a
2
4a
2
- Lingkaran, bentuk umum : ax + by + cx + dy + e = 0 Dari persamaan diatas dapat dicari titik pusat lingkaran dan jarijarinya dengan rumus p = c , d 2
2
dan
grafiknya :
6
r=
c2 d 2 e 4 4
2.1.4. Fungsi Kubik, fungsi dengan pangkat tertingginya adalah tiga. Bentuk persamaan : Grafiknya :
y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
y
d
a0
x
0
Fungsi kubik memiliki titik maksimum, titik minimum dan titik belok. Ada fungsi kubik yang tidak memiliki titik maksimum dan minimum, melainkan hanya titik belok.
2.1.5. Fungsi Pecah ( berderajat n ) n n 1 ... aa x a0 Bentuk umum : y g ( x) an x an 1 x m m 1
h( x)
bm x bm 1 x
... b1 x b0
Fungsi pecah istimewa yang sering diterapkan dalam ilmu ekonomi adalah
dimana a > 0
Grafiknya : y
y = -q/p
y
y = a/x x = a/p
0
x
x
0 x=a/p, asimtot datar y=-q/p, asimtot tegak
2.1.6. Fungsi Pangkat, fungsi dengan variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil dalam persamaannya.
7
n
Bentuk umum : y = x 2.2. Fungsi Irasional adalah fungsi yang pada variabel bebasnya terdapat penarikan akar. Bentuk umum : y m a n x a n1 x n
n 1
... ....
Berdasarkan letak ruas variabel fungsi maka jenis fungsi dibedakan menjadi 3, yaitu : 1.
2.
3.
Fungsi Eksplisit Fungsi dimana letak variabel bebas dan variabel terikatnya berada di ruas yang berbeda. Dengan kata lain variabel bebas dan terikat dipisahkan oleh tanda sama dengan. ditulis y = f(x), contoh y = 2x + 1 Fungai Implisit Fungsi dimana letak variabel bebas dan variabel terikat berada dalam satu ruas yang sama. Ditulis f(x,y) = 0, contoh 3x + 2y – 8 = 0 Fungsi parameter Fungsi dimana variabel bebas dan variabel terikat tidak berhubungan langsung tetapi menggunakan parameter / variabel bantu. Ditulis x = f(t) , y = f(t) Contoh x = 6t , t = x
y = 4t2+ 3t – 10 y = 4( x2) + 3( x) - 10 y = x2+ x – 10 D. INVERS FUNGSI Suatu fungsi memiliki fungsi invers, tetapi tidak semua fungsi memilikinya. Ada syarat suatu fungsi bisa diinvers, yaitu fungsi tersebut bersifat bijektif atau berkorespondensi satu-satu. Fungsi f:x y memiliki fungsi di invers g:y x. Huruf g tersebut menyatakan fungsi invers,biasanya dituliskan dengan simbol f -1. Invers fungsi berlaku jika y = f(x) maka f -1(y) = x
E. PENERAPAN KONSEP FUNGSI DALAM BIDANG PETERNAKAN Dalam agribisnis peternakan fungsi linier ini berupa fungsi permintaan dan fungsi penawaran. Jumlah produk peternakan yang diminta merupakan fungsi dari harganya; secara matematika dapat dituliskan: Q = f (P) Dimana : P = Harga per unit Q = Jumlah produk yang diminta
8
Contoh : Seorang pengusaha ternak unggas petelur asal Purwakarta mendapat daftar pesanan telur. Pesanan yang diminta adalah 20 kg telur bebek seharga Rp. 24.000/kg dan 50 kg telur ayam negeri seharga Rp.18.000/kg. Tentukan fungsi permintaan dan gambarkan grafiknya Diketahui : P1 = 24.000 P2 = 18.000 Q1 = 20 Q2 = 50 Penyelesaian :
-5P + 120 = Q - 20 Q = -5P +140 Jadi, fungsi permintaan dari pesanan tersebut adalah Q = -5P +140 Grafik fungsinya :
Jika P = 0 dan Q = 0
Q = 140 P = 28
P (dalam ribuan rupiah/kg)
28
Q (dalam kilogram)
0
140
9
BAB III KESIMPULAN Relasi khusus dua himpunan yang menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal dengan tepat satu anggota himpunan kawan disebut fungsi. Dalam fungsi terdapat grafik fungsi yang dapat menggambarkan hubungan variabel dalam persamaan fungsi. Dengan mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa konsep fungsi biasa digunakan dalam bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan untuk memberikan gambaran konkrit dari sebuah analisis dilihat dari segi perhitungan matematika
10
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, Frank, JR.,Ph.D. and Schmidt, Philip A.,Ph.D. College Mathematics, Terj. Drs. A.Bondan, M.Kom. Penerbit Erlangga. 2004 Suwarno, Nono. Peningkatan Efektivitas dan Efisiensi Proses Belajar Mengajar Matematika melalui Sistem PendekatanVisual dengan Mempergunakan Software Multimedia Interaktif di Fakultas Peternakan Universitas Padjadjaran. Universitas Padjadjaran, Bandung. 2013 Kelompok 7. Makalah Pengertian Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi. from http://tupixupixipix.files.wordpress.com/2011/12/kel-7-pengertian-fungsi.docx
11
