C u r s o : Matemática Material N° 26
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 26
UNIDAD: ÁLGEBRA VECTORES Y ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA VECTORES
B
L Extremo
A Origen
fig. 1
Un vector es un segmento de recta dirigido AB caracterizado por tener:
Módulo: Módulo: Es la longitud del segmento AB y se anota como AB . Dirección: Dirección: Está dada por la posición de la recta que contiene contiene al vector (recta L). Sentido: Sentido: Existen dos sentidos sentidos posibles, de A hacia B o de B hacia A, indicados por la flecha AB o BA respectivamente.
OBSERVACIONES
Dos vectores son iguales o equipolentes si tienen igual módulo, dirección y sentido. sentido.
Los vectores también se expresan con una letra l etra minúscula y una flecha sobre dicha letra: l etra: u
Si A coincide con B, tendremos el vector cero o nulo nulo AB = AA = 0
OPERACIONES CON VECTORES Adición Para sumar dos vectores u y v (fig.2), copiamos v a continuación de u, haciendo coincidir el origen de v con el extremo de u. Luego, u + v es el vector que resulta de unir el origen de u con el el extremo de v (fig. 3). v
u+v
fig. 2 u
u
v fig. 3
Sustracción El vector diferencia entre u y v, en ese orden, es u + (-v), donde –v (inverso aditivo de v) tiene igual módulo y dirección dirección pero sentido pero sentido contrario a contrario a v. Ponderación por un escalar Dado a lR y un vector v y se define el vector a · a · v como: I. La magnitud de a · a · v es a · v II. Si a > 0, la dirección y sentido de a · a · v corresponden a las del vector v. III. Si a < 0, la dirección es la misma de v y su sentido contrario a v.
EJEMPLOS
1.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
2.
Dos vectores son iguales si tienen igual longitud o módulo. Restar dos vectores v1 y v2 (en ese orden) equivale a sumar el primero con el inverso aditivo del segundo vector. Dos vectores en un plano son paralelos si forman el mismo ángulo con respecto a una recta de referencia común. Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III
En la figura 4, el vector resultante de u + w – v tendrá la dirección y sentido indicado en A) B) v
u
C)
fig. 4
w
D) E) 3.
El vector 3x se muestra en la figura 5, entonces el vector -x es el que se muestra en A) B) 3x
C)
fig. 5
D) E) 4.
Todos los vectores mostrados en la figura 6 tienen igual dirección y son de módulo 2 unidades. El vector x + w y el vector y – z, dan como resultado, respectivamente vectores de módulo A) B) C) D) E)
0 y 0 0 y 4 4 y 0 -4 y 4 0 y -4
x
w
y fig. 6
2
z
Y
VECTORES EN lR2
Se
puede
establecer
una
relación
entre
6 5 4 B A 3 2 1 O -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 C -4 -5 -6
las
coordenadas del extremo de un vector asociándolo a un vector anclado en el origen, así OA = (4, 4), OB = (-4, 3), OC = (-5, -3)
DEFINICIONES
Dados los vectores a = (a1, a2), b = (b1, b2), se definen: MÓDULO O MAGNITUD DE UN VECTOR
a
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
a
PONDERACIÓN POR UN ESCALAR (REAL) K
(a1)2 + (a2)2
b = (a1
b1, a2
b2)
k · a = k · (a1, a2) = (k · a1, k · a2)
OBSERVACIONES
Se definen los vectores unitarios (módulo igual a 1): i = (1, 0) y j = (0, 1), de modo que cualquier vector en el plano se puede expresar en términos de ellos (forma canónica). a = a1 · i + a2 · j = (a1 , a2)
Dado el vector AB no anclado en el origen, con A(x 1, y1) y B(x2, y2), entonces: AB = (x2 x1, y2 y1) –
–
Para dos vectores u y v en el plano o en el espacio, se cumple la desigualdad u v u v , llamada desigualdad triangular.
u+v
v
u 3
X
EJEMPLOS 1.
Sean a = (2, 3) y b = (-7, 2) entonces 2a + b = A) B) C) D) E)
2.
El módulo o magnitud del vector w = (-1, -3) es igual a A) B) C) D) E)
3.
(-3, 8) (5, 9) (-3, -8) (-10, 10) (-5, 5)
-10 10 4
7 16
En la figura 1, OABC es un cuadrado de lado 3 cm, OB y de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)
4.
AC y OB tienen igual módulo. OA + AB + BC = OC OB se puede representar por 3 i + 3 j .
Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III
AC son
diagonales. ¿Cuál(es)
y C
O
B fig. 1
A
x
Un vector anclado en el origen tiene módulo igual a 7 unidades, y la abscisa de su extremo es 2. ¿Cuál es la coordenada de la segunda componente, sabiendo que está ubicado en el cuarto cuadrante? A) B) C) D) E)
5 3 -5 -3 -9
5 5
4
VECTORES EN lR3
Se puede establecer una relación entre las coordenadas del extremo de un vector asociándolo a un vector anclado en el origen, así OA = (2, 3, 5) Z 5
2
A
3
O
Y
X DEFINICIONES
Dados los vectores a = (a1, a2 , a3), b = (b1, b2 , b3), se definen: MÓDULO O MAGNITUD DE UN VECTOR
a =
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
a
PONDERACIÓN POR UN ESCALAR (REAL) k
(a1)2 + (a2)2+(a3)2
b = (a1
b1, a2
b2, a3
b3,)
k · a = k · (a1, a2 ,a3 ) = (k · a1, k · a2 , k · a3)
OBSERVACIONES
Se definen los vectores unitarios (módulo igual a 1):
i
= (1, 0, 0) ,
j =
(0, 1, 0) y
= (0, 0, 1), de modo que cualquier vector en el plano se puede expresar en términos de ellos en forma canónica k
a = a1 · i + a2 · j + a3 ·
k =
(a1, a2, a3)
Dado el vector AB no anclado en el origen, con A(x 1, y1 ,z1) y B(x2, y2 ,z2), entonces: AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1) –
–
5
–
EJEMPLOS 1.
Sean a = (1, 3,-5) y b = (-6, 2, 3) entonces 3a – b = A) B) C) D) E)
2.
El módulo o magnitud del vector w = (-2, -1, 3) es igual a A) B) C) D) E)
3.
14 4
36 14 ˆ
3i
4j
2k
3i
2j
2k
3i
4j
6k
3i
4j
6k
3i
4j
6k
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2i
ˆ
j
ˆ
4k , ˆ
entonces el vector c – e =
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Dados los vectores r =(-3,2,1) y q =(4,-2,-5), el módulo de r – q es A) B) C) D) E)
5.
-14
Dados los vectores c 5i 3j 2k y e A) B) C) D) E)
4.
(9, -7, -18) (-3, 11, -12) (-3, 7, -18) ( 9, 7, -18) ( 9, 7, 12)
17 53 65 85 101
¿Para qué valor(es) de Z el módulo del vector (4, 3, Z) es A) 5 B) -5 C) 5 ó -5 D) 43 E) 43 6
50 ?
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN lR 2
P
y
L
d p
P0
x
Dado un vector posición p 0 = (x0, y0) y un vector director d = (d1, d2), para representar la recta que pasa por un punto P(x, y) de ella, existe un lR tal que: p = p0 + d (x, y) = p0 + d Considerando que cada punto de la recta está en función del parámetro también es posible expresar la ecuación vectorial de la recta de la forma: r() = p0 + d OBSERVACIÓN:
Un vector director se puede determinar a través de la diferencia de dos vectores posición.
EJEMPLOS
1.
La ecuación vectorial de una recta que tiene vector posición (1, 4) y vector director (-2, 4), es A) B) C) D) E)
2.
r() = (1 + 4, -2 + 4) r() = (1 – 2, 4 – 4) r() = (-2 + , 4 + 4) r() = (1 – 2, 4 + 4 ) r() = (-2 + 4, 1 + 4)
Un vector de posición de la recta cuya ecuación vectorial es r(t)=(-5 + t, 1 + 3t) es A) (5, -1) B) (1, -5) C) (-5, 1) D) (1, 3) E) (-1, 3) 7
3.
Dada la recta de ecuación vectorial r() = (4, 6 – 3), ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta? A) B) C) D) E)
4.
(-4, 16) (4 , 3) (12, -2) (0, 5) (4, -3)
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a una recta que pasa por los puntos (6, 2) y (-2, 3)? I) II) III) A) B) C) D) E)
5.
Solo I Solo III Solo II y III I, II y III Ninguna de ellas.
¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa(n) a la recta L de la figura 1? L y I) m() = (7 + , 0 - 2) II) r() = (0 + 3, 14 + 6) 14 III) v() = (3 - , 8 + 2) A) B) C) D) E)
6.
m(t) = (6 – 2t, 2 +3t) s() = (6 + 8, 2 - ) v(f) = (14–8f, 1 + f)
Solo I Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III
fig.1 7
x
Para que la recta de ecuación vectorial g(k)= (-a, b) + k(2, 3) corte al eje de las abscisas con A) B) C) D) E)
a
≠
-
2b , 3
el parámetro k debe ser equivalente a
b 3 b 3 a 2 a 2 3 2
8
ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA RECTA A PARTIR DE LA ECUACIÓN VECTORIAL EN lR2
Sea r()= (p1 + d1, p2+d2), con vector posición p = (p 1, p2) y vector director d = (d 1, d2), entonces: Ecuaciones paramétricas:
x = p1 + d1
Ecuación continua o cartesiana:
x
p1 d1
=
y
p2 d2
OBSERVACIONES:
y = p2 + d2 la cual se obtiene despejando de cada una de las ecuaciones paramétricas.
De la ecuación continua se puede obtener la ecuación principal de la recta, de la forma y = mx + n Donde m = d2 d1
Ordenando los términos de la ecuación principal, es posible obtener la ecuación general de la recta: ax + by + c = 0. En lR3 , dados los vectores posición p =(p 1,p2,p3 ) y vector director d =(d1,d2,d3), se tiene: Ecuaciones paramétricas: x = p1 + d1 Ecuación continua:
x
p1 d1
=
y
p2 d2
y = p2 + d2 =
z
z = p3+ d3
p3 d3
EJEMPLOS
1.
Las ecuaciones paramétricas de la recta de vector posición (5, 3) y vector director (2, -1) son A) B) C) D) E)
2.
x = 5 + 3t x=5–t x = 5 + 2t x=3–t x = 5 + 2t
, , , , ,
y = 2 – t y = 3 + 2t y= 3+t y = 5 + 2t y = 3 – t
Las ecuaciones paramétricas de una línea recta son x = 6 + 2; y = 3 – . Entonces, su ecuación continua es A)
x
B)
x
C)
x
D)
x
E)
6
2
2
6
6
2
6
= =
=
= 2 x+6 = 2
y+3 -1 y 3 -1 y 3 -1 y 3 1 y+3 1
9
3.
x
Si la ecuación continua de una recta es
5
2
=
y+2 , 3
entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E) 4.
16 5
Solo I Solo II Solo I y II Solo II y III I, II y III
y = -4x + 11 y = -4x + 5 y = 4x + 5 y=x+1 y = 4x +1
¿Cuál(es) puede(n) ser una ecuación continua de la recta y = 2x – 6? I) II) III) A) B) C) D) E)
6.
5
La ecuación principal de la recta que corresponde a la ecuación vectorial r(t) = (2 – t, 3 + 4t) es A) B) C) D) E)
5.
El vector dirección es (5, 3). El vector posición es (2, -2). La ecuación principal es y = 3 x
x
y 1 2 x 1 y+4 = 1 2 x 3 y 3 = 2 2
3
=
Solo I Solo II Solo III Solo I y II I, II y III
Dada la ecuación vectorial s(t) = (5 – t, -2 + 4t, 1 + 6t), su ecuación continua es A) B) C) D) E)
x+5 -1 x 5 -1 x 5 -1 x 5 -1 x 5 -1
= = = = =
y+2 = 4 y+2 = 4 y 2 = 4 y 2 = -4 y 2 = 4
z
z
z
1
6 1
6 1
6 z+1 6 z+1 -6
10
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA EN lR3
z L
P d p P0 Eje X: Eje de las abscisas Eje Y: Eje de las ordenadas Eje Z: Eje de las cotas
y x
Dado un vector posición p 0 = (x0, y 0, z0) y un vector director d = (d1, d2, d3), para representar la recta que pasa por un punto P(x, y, z) de ella, existe un
lR talque:
p = p0 + d (x, y, z)= p 0 + d Considerando que cada punto de la recta está en función del parámetro también es posible expresar la ecuación vectorial de la recta de la forma: r() = p0 + d
OBSERVACIÓN:
Un vector director se puede determinar a través de la diferencia de dos vectores posición.
Ejemplos 1.
La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 1, -3) con vector director (2, 4, 1), corresponde a A) B) C) D) E)
r(t) = (2+ 3t, 4 + t, 1 – 3t) r(t) = (5t, 5t, -2t) r(t) = (3 + 2t, 1 + 4t, -3 + t) r(t) = (3 + t, 1 + 3t, -1 – 2t) r(t) = (2 + 4t, 1 + 3t, -3 + t)
11
2.
Un vector posición de la recta de ecuación vectorial r(t) = (2 + 5t, 1 + 3t, -1 – 2t), es A) B) C) D) E)
3.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales contiene al punto (2, -1, 3)? A) B) C) D) E)
4.
m() = (2, 3, -1)+ (-1, 0, -3) r(t) = (2, 3, 1)+ t(2, 0, -2) q() = (2, -3, -4)+ (1, 0, -1) n() = (1, 3, 2)+ (4, 0, 12) f(k) = (3, 3, -4)+ k(1, 0, -3)
¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el origen? A) B) C) D) E)
6.
m() = (5 - , -7 + 2, 12 – 3) p(t) = (6 – t, 5 + 2t, 8 – 2t) r() = (2 + , 2 + 2, 6 - ) v() = (8 - , 1 + 3 , 3 - ) s() = (5 - , 3 + 2 , 1 + )
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(2, 3, -1) y B(1, 3, 2), es A) B) C) D) E)
5.
(2, 1, 1) (2, 1, -1) (2, 1, 2) (5, 3, -2) (-5, -3, 2)
m() = (2, 3, 1) + (-1, -4, -1) r(t) = (7, 5, 1) + t(1, 6, -2) q() = (2, -3, -4) + (10, -15, -20) n() = (8, 3, -2) + (-12, -17, -15) f(k) = (6, 3, 1) + k(1, 1, 1)
¿Cuál de los siguientes puntos (x, y, z) = (2, 0, -1) + (9,-3, -6)? I) II) III) A) B) C) D) E)
(9, -3, -6) (2, 0, -1) (-25, 9, 17)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III Ninguno de ellos. 12
pertenecen
la
recta
de
ecuación
RECTAS PARALELAS EN FORMA VECTORIAL EN lR2
y
lR3
Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r1() = p + d y r2() = q + s, entonces r1() es paralela a r2(), si: d = k · s, con k perteneciente a los reales.
RECTAS PERPENDICULARES EN FORMA VECTORIAL EN lR2
Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r 1() = p + d y r2() = q + s con d = (d1, d2) y s = (s1, s2), entonces r 1() es perpendicular a r2(), si: d1 · s1 + d2 · s2 = 0. Observación: Lo anterior se puede extender a rectas secantes en el espacio.
EJEMPLOS 1.
¿Cuál de las siguientes r() = (3 – 3, 2 – 4)? A) B) C) D) E)
2.
representa
una
recta
paralela
a
la
recta
m() = (1 + , 2 + ) m() = (1 + 6, 3 + 4) m() = (2 + 3, 3 – 4) m() = (2 + 6, 3 + 8) m() = (5 – 3, 6 + 4)
¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r() = (1 – 1, 4 + 2 )? I) II) III) A) B) C) D) E)
3.
rectas
m() = (4 + 2, 3 + ) v() = (2 + 6, 3 + 3 ) p() = (5 – 4, 2 – 2)
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III I, II y III
Si r1() = (2 + 3, 3 – 2) y r2(t) = (1 + 2t, 4 – at), entonces ¿cuál debe ser el valor de a para que r1() sea perpendicular a r2(t)? A) B) C) D) E)
-3 1 2 3 4 13
4.
¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a la recta de ecuación vectorial t() = (5 – 3, 9 – 4, -2 + 2) 4 3
A) m() =(3,3,3)+ 1, ,
2 3
3 ,2, 1 2 q() =(2,-3,4)+ (6,8,-4)
B) r(t) =(1,7,9)+ t
C) D) n() =(5,3,1)+ (-6,-8,4) E) f(k) =(2,3,5)+ k(5,9,-2)
5.
Si r1(t) = (5 – 4t, 3 + 3t, 1 + 7t) y r2() = (5 – , 3 + 8 , 1 + b) , entonces ¿cuál debe ser el valor de b para que r1(t) sea perpendicular a r2()? A) -4 B) C) D) E)
20 7
4
20 7
7
6. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r() = (2 – 2, 1 + 4, 5 + )? I) II) III) A) B) C) D) E)
m() = (2 + 6, 1 + 2 , 5 + 4 ) p() = (3 – 2, 4 +3, 6 – 4) v() = (-2 + 3, 9 + , 7 + 2 )
Solo I Solo II Solo III Solo I y III I, II y III
14
RESPUESTAS Ejemplos
1
2
3
4
2
D
E
E
A
4
A
B
E
D
6
D
B
E
E
C
7y8
D
C
B
C
D
B
9 y 10
E
C
E
A
D
B
11 y 12
C
B
A
E
C
D
13 y 14
D
E
A
E
A
D
Págs.
5
6
DMQMA26
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