15 Reducción de los grados de libertad
AVANCE Aunque el objetivo de este libro es el análisis de las estructuras sometidas a excitación dinámica, se sabe que en la práctica un análisis dinámico suele estar precedido de un aná lisis estático para las cargas vivas y muertas. La idealización de la estructura para el análisis estático está dictada por la complejidad de la estructura; en una estructura compleja pueden requerirse entre varios cientos y pocos miles de grados de libertad para la evaluación precisa de los elementos mecánicos y los esfuerzos. La misma idealización mejorada puede utilizarse para el análisis dinámico de la es tructura, pero esta mejora podría ser innecesaria y podría bastar con una cantidad de grados de libertad mucho menor. Esto es así porque la respuesta dinámica de muchas estructuras puede representarse de buena manera mediante los primeros modos naturales de vibración, y estos modos pueden determinarse con precisión a partir de una idealización de la estruc tura con un número mucho menor de grados de libertad que los requeridos para el análisis estático. Por lo tanto, se tiene interés en reducir el número de grados de libertad lo más razo nablemente posible antes de proceder con el cálculo de las frecuencias y los modos natura les, que quizás es la fase más exigente del análisis dinámico. En este capítulo se presentan dos enfoques para reducir el número de grados de li bertad: la concentración de masa en los grados de libertad seleccionados y el método de Rayleigh-Ritz. Antes de presentar estos procedimientos es posible mencionar cómo pueden utilizarse las restricciones cinemáticas basadas en las propiedades estructurales para reducir el número de grados de libertad en la idealización de la estructura para el análisis estático; esta idealización es el punto de partida para el análisis dinámico. 657
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Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
15.1 RESTRICCIONES CINEMÁTICAS La configuración y las propiedades de una estructura pueden sugerir restricciones cinemáti cas que expresan los desplazamientos de muchos grados de libertad en términos de un con junto más pequeño de desplazamientos. Por ejemplo, los diafragmas de piso (o losas) de un edificio de varios niveles, aunque flexibles en la dirección vertical, suelen ser muy rígidos en su propio plano y puede asumirse como rígido sin introducir un error significativo. Con este supuesto, los desplazamientos horizontales de todos los nudos en un nivel están relacio nados con los tres grados de libertad de cuerpo rígido del diafragma en su propio plano: los dos componentes horizontales del desplazamiento y la rotación alrededor de un eje vertical. Como resultado de esta restricción cinemática, el número de grados de libertad que serían considerados en un análisis estático puede reducirse casi a la mitad. Por ejemplo, considere el edificio de 20 niveles mostrado en la figura 15.1.1, que consta de ocho marcos en la dirección y y cuatro en la dirección x. Con 640 nudos y seis grados de libertad (tres traslaciones y tres rotaciones) por nudo, el sistema tiene 3840 grados de libertad. Suponien do que los diafragmas de piso son rígidos en sus propios planos, el sistema tendrá sólo 1980 grados de libertad. Éstos incluyen el desplazamiento vertical y dos rotaciones (en los planos xz y yz) de cada nudo y tres grados de libertad de cuerpo rígido por piso. z
y x
Figura 15.1.1 Edificio de veinte niveles.
Otra restricción cinemática que se asume en ocasiones en el análisis de edificios es la de que las columnas son axialmente rígidas. Este supuesto debe utilizarse con discreción porque puede ser razonable sólo en circunstancias especiales: por ejemplo, los edificios que no son esbeltos. Si es justificable, este supuesto conduce a una reducción adicional en el número de grados de libertad; para el análisis estático del edificio de varios niveles de la figura 15.1.1, este número se reduce a 1340. Una vez que se ha establecido la idealización de la estructura para el análisis estático, después de considerar las restricciones cinemáticas adecuadas para la estructura, el número de grados de libertad puede reducirse para el análisis dinámico mediante los procedimientos que se presentan a continuación.
Sección 15.3 Método de Rayleigh-Ritz
659
15.2 CONCENTRACIÓN DE MASAS EN LOS GRADOS DE LIBERTAD SELECCIONADOS Como se mencionó en la sección 9.2.4, en las estructuras reales la masa se distribuye en toda su extensión, pero ésta puede idealizarse como concentrada en los nodos de la estruc tura discretizada, por lo general con la masa en los grados de libertad de rotación igualada a cero. A continuación se describen los procedimientos para determinar las masas concen tradas. Los grados de libertad en la idealización de la estructura establecida para el análisis estático se subdividen en dos partes: los ut, que tienen masa, y los u0 restantes, que tienen masa cero y ninguna fuerza dinámica externa, pero que son necesarios para una representa ción precisa de las propiedades de rigidez de la estructura. El grado de libertad u0 se relacio na con ut mediante la ecuación (9.3.3) y, como lo indica la ecuación (9.3.4), las ecuaciones de movimiento pueden formularse en términos solamente de ut, los grados de libertad diná micos. Éste es el método de condensación estática desarrollado en la sección 9.3, mediante el cual el número de grados de libertad se reduce sólo a los grados de libertad dinámicos. El método de condensación estática es muy eficaz en el análisis sísmico de edificios con varios niveles sometidos a un movimiento horizontal del terreno debido a tres características especiales de esta clase de estructuras y excitaciones. En primer lugar, los diafragmas de piso (o losas de piso) suelen suponerse rígidos en su propio plano. En segundo lugar, las fuerzas sísmicas efectivas (ecuación 9.4.9) asociadas con las rotaciones y los desplazamientos verti cales de los nudos son iguales a cero. En tercer lugar, por lo general los efectos de la inercia asociados con estos mismos grados de libertad no son significativos en los modos de vibración más bajos que contribuyen predominantemente a la respuesta estructural. La asignación de una masa cero a estos grados de libertad deja sólo los tres grados de libertad de cuerpo rígido de cada diafragma de piso para el análisis dinámico. En el caso del edificio de 20 niveles de la figura 15.1.1, este método reduce el número de grados de libertad de 1980 a 60. Sin embargo, la reducción del esfuerzo de cálculo real puede ser mucho menos importante que la reducción en el número de grados de lbertad. Esto se debe a que la eficacia de cálculo permitida por las bandas estrechas de la matriz de rigidez k en la ecuación (9.2.12) se pierde par cialmente al utilizar la matriz de rigidez condensada y totalmente llena kˆ tt en la ecuación (9.3.4). Aunque la relación entre u0 y ut, ecuación (9.3.3), es exacta sólo si los grados de libertad u0 tienen masa cero, también puede utilizarse si esta condición no se cumple. En tales casos la ecuación (9.3.3) proporciona una base para seleccionar los perfiles de des plazamiento que se usarán en el método de Rayleigh-Ritz descrito en la siguiente sección. 15.3 MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ Una técnica más general para reducir el número de grados de libertad y encontrar aproxi maciones a las frecuencias y modos naturales más bajos, es el método de Rayleigh-Ritz. Es una extensión del método de Rayleigh sugerido por W. Ritz en 1909. Desarrollado en un principio para los sistemas con masa y elasticidad distribuidas (vea el capítulo 17), el método siguiente se presenta para los sistemas discretizados. 15.3.1 Ecuaciones de movimiento reducidas Las ecuaciones de movimiento para un sistema con N grados de libertad sometido a las fuerzas p(t) = sp(t) son
mu¨ + cu˙ + ku = s p(t)
(15.3.1)
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Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
En el método de Rayleigh los desplazamientos estructurales se expresaron como u(t) = z(t)ψ, donde ψ era un vector de forma supuesto; esto redujo el sistema original a un sistema con un solo grado de libertad y condujo a un valor aproximado para la frecuencia natural fundamental. En el método de Rayleigh-Ritz, los desplazamientos se expresan como una combinación lineal de varios vectores de forma ψj: J
u(t) =
j=1
z j (t)ψ j = Ψ z(t)
(15.3.2)
donde las zj(t) se denominan las coordenadas generalizadas y los vectores de Ritz ψj—j = 1, 2, ..., J—deben ser vectores lineales independientes que cumplan con las condiciones de frontera geométricas. Éstos se seleccionan de manera apropiada para el sistema que va a anali zarse, como se indica en la sección 15.4. Los vectores ψj conforman las columnas de la matriz Ψ de N × J en la ecuación (15.3.2) y z es el vector de las J coordenadas generalizadas. Al sustituir la transformación de la ecuación de Ritz (15.3.2) en la ecuación (15.3.1), se obtiene mΨ z¨ + cΨ z˙ + kΨ z = s p(t) Cada término se premultiplica por ΨT para obtener
˜ = L˜ p(t) ˜ z + c˜ z˙ + kz m¨
(15.3.3)
donde
˜ = Ψ T mΨ m
c˜ = Ψ T cΨ
k˜ = Ψ T kΨ
L˜ = Ψ T s
(15.3.4)
La ecuación (15.3.3) es un sistema de J ecuaciones diferenciales en las J coordenadas ge neralizadas z(t). Ahora se hacen dos observaciones: (1) la ecuación (15.3.3) en las coordenadas genera lizadas es similar a la ecuación (12.4.4) en las coordenadas modales. (2) La ecuación (15.3.4) ˜ tiene la misma forma que las ecuaciones (12.3.4) y (12.4.3) para M, C ˜ c˜ , y k que define a m, y K. Sin embargo, ambos conjuntos de ecuaciones obtenidos mediante la transformación de la ecuación (15.3.1), difieren en un sentido importante: que en un caso se utilizan los vectores de Ritz para la transformación, mientras que en el otro se usan los modos naturales de vibración. ˜ y k˜ no son Debido a que los vectores de Ritz suelen ser diferentes de los modos naturales, m matrices diagonales, mientras que M y K sí lo son; vea la ecuación (12.3.6). En resumen, la transformación de la ecuación de Ritz (15.3.2) ha hecho posible reducir el conjunto original de las N ecuaciones (15.3.1) en los desplazamientos nodales u a un conjun to más pequeño de las J ecuaciones (15.3.3) en las coordenadas generalizadas z.
15.3.2 La “mejor” aproximación El sistema de ecuaciones reducido que acaba de obtenerse representa un procedimiento po deroso, puesto que se basa en el principio de Rayleigh (sección 10.12). Las aproximaciones a los modos naturales del sistema, determinadas mediante la resolución del problema de valores característicos asociado con la ecuación (15.3.3), representan la “mejor” solución entre todas las soluciones posibles que son combinaciones lineales de los vectores de Ritz seleccionados. En esta sección se utiliza el principio de Rayleigh para demostrar que esta solución es “mejor” ya que las frecuencias naturales asociadas del sistema son las más
661
Sección 15.3 Método de Rayleigh-Ritz
cercanas a las frecuencias verdaderas entre todos los valores aproximados posibles con los vectores de Ritz seleccionados. Para este propósito, primero se determina el cociente de Rayleigh, ecuación (10.12.1), Ψ χ como una combinación lineal de (15.3.5) definido los vectores de Ritz, consisten para un vector φ˜ = te con la ecuación (15.3.2): φ˜ = Ψ χ (15.3.5) Al sustituir la ecuación (15.3.5) en la ecuación (10.12.1), se obtiene ˜ χ) χT k˜ χ k( λ( χ) = T (15.3.6) ≡ χ mz m( ˜ χ) ˜
˜ χ) y m( ˜ son las matrices de J × J definidas donde k( ˜ χ) son cantidades escalares; y k˜ y m por la ecuación (15.3.4) con sus elementos típicos dados por
k˜i j = ψiT kψ j
m˜ i j = ψiT mψ j
(15.3.7)
y λ ha sido sustituido por λ(χ) para enfatizar su dependencia de χ. La ecuación (15.3.6) puede reescribirse como J J χχ ˜ i=1 j=1 i j ki j χ λ( ) = (15.3.8) J J χχ ˜ ij i=1 j=1 i j m El cociente de Rayleigh no puede determinarse a partir de la ecuación (15.3.8), puesto que las coordenadas generalizadas χn no se conocen. Sin embargo, a partir de la sección 10.12 se sabe que ω12 ≤ λ( χ) ≤ ω2N (15.3.9) donde ω1 y ωN son la menor y la mayor de las frecuencias naturales de vibración. Para seguir adelante se invoca la condición estacionaria de Rayleigh, la propiedad de que el cociente de Rayleigh se encuentra fijo en la vecindad de los modos verdaderos (o de los valores verdaderos de χ), vea mayores detalles en la sección 10.12. Como las χi son las únicas variables, la condición necesaria para que λ(χ) sea estacionario es
∂λ =0 ∂ χi
i = 1, 2, . . . , J
(15.3.10)
Para el λ dado por la ecuación (15.3.8),
J χ ˜ J χ ˜ j=1 ˜ ij 2m˜ j=1 ∂λ j ki j − 2k jm = 2 χ ∂ i m˜ ˜ m˜ a partir de la ecuación (15.3.8): Esta condición puede reescribirse sustituyendo λ = k/ J
( k˜i j − λm˜ i j ) χj = 0
i = 1, 2, . . . , J
j=1
Al escribir estas J ecuaciones en forma matricial, se obtiene el problema de valores carac terísticos reducido ˜χ k˜ χ = λm (15.3.11) ˜ son las matrices de J × J definidas por las ecuaciones (15.3.4) y (15.3.7), y χ donde k˜ y m es el vector de coordenadas generalizadas que se debe determinar. Observe que la ecuación (15.3.11), deducida usando la condición estacionaria de Rayleigh, también es el problema
662
Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
de valores característicos asociado con la ecuación (15.3.3). Esto demuestra la afirmación realizada al inicio de esta sección.
15.3.3 Frecuencias y modos aproximados
La resolución de la ecuación (15.3.11) mediante los métodos del capítulo 10 produce J valores característicos ρn—n = 1, 2, ..., J —y los vectores característicos correspondientes χn χ1n , χ2n , . . . , χ J n T (15.3.12) Los valores característicos proporcionan
ω˜ n = √ρn n = 1, 2, . . . , J (15.3.13) que son aproximaciones a las frecuencias naturales ωn. Al sustituir los vectores característi cos χn en la ecuación (15.3.5) se obtienen los vectores n = 1, 2, . . . , J (15.3.14) φ˜ n = Ψ χn que son aproximaciones a los modos naturales φn. La precisión de estos resultados aproxi mados suele ser mejor para los modos más bajos que para los modos más altos. Por lo tanto, deberían incluirse más vectores de Ritz que el número de modos deseados. En vista de las propiedades del cociente de Rayleigh (sección 10.12), las frecuencias aproximadas nunca son inferiores a la frecuencia fundamental y nunca más altas que la frecuencia superior; es decir, ω˜ i ≥ ωi ω˜ J ≤ ω N (15.3.15) Por otra parte, una frecuencia aproximada se acerca al valor exacto a medida que aumenta el número J de vectores de Ritz.
15.3.4 Ortogonalidad de los modos aproximados En esta sección se demuestra que los vectores φ˜ n satisfacen las condiciones de ortogonalidad
φ˜ nT kφ˜ r = 0
φ˜ nT mφ˜ r = 0
n =r (15.3.16) Este resultado no es en absoluto evidente porque los vectores φ˜ n son sólo aproximaciones de los modos naturales φn, que son conocidos por satisfacer la ecuación (10.4.1). Resulta obvio que los vectores característicos χn de la ecuación (15.3.11) satisfacen las condiciones de ortogonalidad: χnT m χnT k˜ χr = 0 ˜ χr = 0 n =r (15.3.17) Si se usa esta propiedad y la ecuación (15.3.14), la primera condición de ortogonalidad en la ecuación (15.3.16) puede comprobarse de la manera siguiente: φ˜ nT kφ˜ r = χnT Ψ T kΨ χr = χnT k˜ χr = 0 n =r La segunda condición de ortogonalidad en la ecuación (15.3.16) se puede demostrar de manera similar. Si los vectores característicos χn se hicieran ortonormales respecto a la masa (sección 10.6), entonces, χnT k˜ χn = ω˜ n2 χnT m ˜ χn = 1 (15.3.18) Esto implica, como puede demostrarse con facilidad, que los modos aproximados φ˜ n tam bién son ortonormales respecto a la masa: φ˜ nT mφ˜ n = 1
φ˜ nT kφ˜ n = ω˜ n2
(15.3.19)
663
Sección 15.4 Selección de los vectores de Ritz
Debido a que los modos aproximados φ˜ n satisfacen las condiciones de ortogonalidad de la ecuación (15.3.16), éstos pueden utilizarse en la solución clásica modal de la ecuación (15.3.1). Por lo tanto, en el resto de este capítulo no se distinguirá entre los valores aproxi mados ( ω˜ n , φ˜ n ) y los valores exactos (ωn, φn).
15.4 SELECCIÓN DE LOS VECTORES DE RITZ El éxito del método de Rayleigh-Ritz depende de qué tan bien puedan aproximarse las combinaciones lineales de los vectores de Ritz a los modos naturales de vibración. Por lo tanto, es importante que los vectores de Ritz se seleccionen con criterio. En esta sección se presentan dos enfoques muy diferentes; el primero se basa en el entendimiento físico de las formas de los modos naturales, y el segundo es un procedimiento de cálculo formal.
15.4.1 Entendimiento físico de las formas de los modos naturales Si es posible visualizar las formas de los primeros pocos modos naturales de vibración de una estructura, los vectores de Ritz pueden seleccionarse como aproximaciones a estos modos. En particular, el n-ésimo vector de Ritz ψn se selecciona para aproximar el n-ésimo modo natural φn de la estructura. Por ejemplo, con base en lo que se ha aprendido hasta ahora con la resolución de varios ejemplos de los capítulos 10 y 12, es posible visualizar los dos primeros modos naturales de vibración plana para un marco de varios niveles. Por lo tanto, los dos vectores de Ritz mostrados en la figura 15.4.1 podrían utilizarse en el método de Rayleigh-Ritz para determinar las aproximaciones a las dos primeras frecuencias y los dos primeros modos naturales de esta estructura. Quizá este enfoque no sea posible para sistemas más complejos, porque las formas de sus modos pueden ser difíciles de visualizar si nunca se han determinado los modos na turales de estructuras similares. Tal visualización puede ser muy difícil si el modo natural incluye movimientos en dos o tres dimensiones. Por lo anterior, en la siguiente sección se desarrolla un procedimiento general para seleccionar los vectores de Ritz que no depende de la visualización física de los modos naturales. Este procedimiento sistemático es adecuado para su aplicación en computadora. Rigidez de entrepiso m k k k k
m m m m
u5
1
u4
0.8
u3
0.6
u2
0.4
u1
0.2
1 0 −0.5 −1 −0.5
k 1
Figura 15.4.1 Vectores de Ritz para un marco de cinco niveles.
2
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Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
Ejemplo 15.1 Por el método de Rayleigh-Ritz determine las dos primeras frecuencias y los dos primeros mo dos naturales de un marco de cortante uniforme de cinco niveles, rigidez de entrepiso k y masas m concentradas en cada nivel. Utilice los dos vectores de Ritz mostrados en la figura 15.4.1. Solución 1. Formule las matrices de rigidez y masa. 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 k=k m=m 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 1
1 1 1 1 1
2. Calcule k˜ y m ˜.
Ψ = [ψ 1
0.2 −0.5 0.4 −1.0 0.6 −0.5 0.8 0 1.0 1.0
ψ2] =
0.2 0.2 k˜ = Ψ T kΨ = k 0.2 2.0
˜ = Ψ T mΨ = m m
2.2 0.2 0.2 2.5
3. Resuelva el problema de valores característicos reducido, ecuación (15.3.11). Al sus ˜ la ecuación (15.3.11) da ˜ y k, tituir m
0.2 0.2 0.2 2.0
χ1 χ2
= ρ
m k
χ1 χ2
2.2 0.2 0.2 2.5
El problema de valores característicos de la ecuación (a) se resuelve para obtener ρ1 = 0.08238(k/ m) ρ 2 = 0.8004(k/ m)
χ1 =
1.329 −0.1360
χ2 = 0.03170 1.240
4. Determine las frecuencias y los modos aproximados.
ω˜ n = √ρn
φ˜ n = Ψ χn
Los resultados se presentan en la tabla E15.1. TABLA E15.1 COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS EXACTOS Y APROXIMADOS
Aproximados
Exactos
ω˜ 1 = 0.2870√k/ m
ω1 = 0.2846√k/ m
ω˜ 2 = 0.8947√k/ m 0.3338 −0.6135 0.6676 −1.227 ˜ = 0.8654 −0.6008 Φ 1.063 0.02536 1.193 1.271
ω2 = 0.8308√k/ m 0.3338 −0.8954 0.6405 −1.173 Φ = 0.8954 −0.6411 1.078 0.3338 1.173 1.078
(a)
665
Sección 15.4 Selección de los vectores de Ritz
5. Compare con los resultados exactos. Los valores aproximados de las frecuencias y los modos naturales se comparan en la tabla E15.1 con los valores exactos obtenidos en la sección 12.8. Los errores en las frecuencias y los modos aproximados son menores al 1% en la primera frecuencia, al 8% en la segunda frecuencia, y al 4% en el primer modo. Sin embargo, el segun do modo tiene un error tan grande que podría resultar inútil.
15.4.2 Vectores de Ritz dependientes de la fuerza Se desea determinar los vectores de Ritz adecuados para el análisis de una estructura some tida a fuerzas dinámicas externas:
p(t) = s p(t)
(15.4.1)
La distribución espacial de las fuerzas definidas por el vector s no varía con el tiempo, y la dependencia del tiempo de todas las fuerzas está dada por la misma función escalar p(t). A continuación se presenta un procedimiento para generar una secuencia de vectores ortonor males de Ritz, utilizando el vector s. El primer vector de Ritz ψ1 se define como los desplazamientos estáticos debidos a las fuerzas s aplicadas. Se determina al resolver
ky1 = s
(15.4.2)
El vector y1 se normaliza de modo que sea ortonormal respecto a la masa; por lo tanto,
ψ1 =
y1 1/ 2 T y1 my1
(15.4.3)
El segundo vector de Ritz ψ2 se determina a partir del vector y2 de los desplazamien tos estáticos debidos a las fuerzas aplicadas, los cuales están dados por la distribución de la fuerza de inercia asociada con el primer vector de Ritz ψ1. El vector y2 se obtiene al resolver
ky2 = mψ1
(15.4.4)
En general, el vector y2 contendrá un componente del vector anterior, ψ1. Por lo tanto, pue de expresarse como
y2 = ψˆ 2 + a12 ψ1
(15.4.5)
donde ψˆ 2 es un vector “puro”, que es ortogonal al vector anterior, y a12ψ1 es la componente del vector anterior presente en y2. El coeficiente a12 se determina al premultiplicar ambos lados de la ecuación (15.4.5) por ψ T1 m para obtener
ψ1T my2 = ψ1T mψˆ 2 + a12 ψ1T mψ1 Observe que ψ1T mψˆ 2 = 0 , por la definición de ψˆ 2 , y ψ1T mψ1 = 1 a partir de la ecuación (15.4.3). Así,
a12 = ψ1T my2
(15.4.6)
ψˆ 2 = y2 − a12 ψ1
(15.4.7)
El vector puro ψˆ 2 está dado por
666
Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
donde a12 se conoce a partir de la ecuación (15.4.6). Por último, el vector ψˆ 2 se normaliza de modo que sea ortonormal respecto a la masa para obtener el segundo vector de Ritz: ψˆ 2 ψ2 = (15.4.8) 1/ 2 T ˆ ˆ ψ2 mψ2 Al generalizar este procedimiento, el n-ésimo vector de Ritz ψn se determina a partir del vector yn de los desplazamientos estáticos debidos a las fuerzas aplicadas, los cuales están dados por la distribución de la fuerza de inercia asociada con el (n – 1)-ésimo vector de Ritz ψn–1. El vector yn se determina resolviendo
kyn = mψn−1
(15.4.9)
En general, el vector yn contendrá componentes del anterior vector de Ritz ψj y, por lo tanto, puede expresarse como n−1
yn = ψˆ n +
a jn ψ j
(15.4.10)
j=1
donde ψˆ n es un vector “puro”, que es ortogonal a los vectores anteriores, y los ajnψj son los componentes de los vectores anteriores presentes en yn. El coeficiente de ain se determina al premultiplicar ambos lados de la ecuación (15.4.10) por ψTim: n−1
ψiT myn = ψiT mψˆ n +
a jn ψiT mψ j j=1
= 0 , por la definición de ψˆ n , ψiT mψ j = 0 , para i ∙ j y ψTimψi = 1, porque todos los vectores anteriores son ortonormales respecto a la masa. Así, Observe que ψiT mψˆ n
ain = ψiT myn
i = 1, 2, . . . , n − 1
(15.4.11)
El vector puro ψˆ n está dado por n−1
ψˆ n = yn −
ain ψi
(15.4.12)
i=1
donde los ain se conocen a partir de la ecuación (15.4.11). Por último, el vector ψˆ n se nor maliza de manera que sea ortonormal respecto a la masa para obtener el n-ésimo vector de Ritz: ψˆ n ψn = (15.4.13) 1/ 2 ψˆ T mψˆ n n
La secuencia de vectores ψ1, ψ2, ..., ψJ son mutuamente ortonormales respecto a la masa y, por lo tanto, cumplen el requisito de independencia lineal del método de Rayleigh-Ritz. Aunque en teoría el procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt de las ecua ciones (15.4.11) y (15.4.12) debería ortogonalizar en cuanto a la masa al nuevo vector con respecto a todos los vectores anteriores, la implementación real en computadora puede estar plagada de problemas de pérdida de ortogonalidad debido a los errores de redondeo numé rico. Para superar estas dificultades, el procedimiento de Gram-Schmidt se modifica de la
667
Sección 15.4 Selección de los vectores de Ritz
siguiente manera. Después de calcular cada ain de la ecuación (15.4.11), se calcula un vector ψˆ n mejorado a partir de la ecuación (15.4.12), el cual se usa en vez de yn en la ecuación (15.4.11) para calcular el siguiente ain. Al incluir esta modificación, el procedimiento para generar los vectores de Ritz dependientes de la fuerza es como se resume en la tabla 15.4.1 para su implementación en computadora. TABLA 15.4.1 GENERACIÓN DE VECTORES DE RITZ DEPENDIENTES DE LA FUERZA
1. Determinar el primer vector, ψ 1 . a. Determinar y 1 resolviendo: ky1 = s. b. Normalizar y1 : ψ 1 = y1 ÷ (y1T my1 ) 1/ 2 . 2. Determinar los vectores adicionales, ψ n , n = 2, 3, . . . , J . a. Determinar yn resolviendo: kyn = mψ n−1 . b. Ortogonalizar yn con respecto al anterior ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n−1 repitiendo los pasos siguientes para i = 1, 2, . . . , n − 1: • ain = ψ iT myn . • ψˆ n = yn − ain ψ i . • yn = ψˆ n .
c. Normalizar ψˆ n : ψ n = ψˆ n ÷ ( ψˆ nT mψˆ n ) 1/ 2 .
El procedimiento para generar estos vectores es alusivo a la secuencia vectorial x1, k–1mx1, (k–1m)2x1, ... generada en el procedimiento de iteración inversa (sección 10.13). Cuando esta secuencia vectorial se obtiene sin hacer que los vectores sean orto gonales, converge al modo natural más bajo. Con la ortogonalización de Gram-Schmidt, como en la tabla 15.4.1, esta secuencia proporciona los vectores de Ritz dependientes de la fuerza. Ejemplo 15.2 Considere el marco de cortante uniforme de cinco niveles del ejemplo 15.1 con m = 100 kips/g = 0.2591 kip-s2/pulg y k = 31.56 kips/pulg. Sus propiedades de vibración deben determinarse mediante el método de Rayleigh-Ritz, usando los vectores de Ritz determinados a partir de una distribución de fuerza s = 〈m m m m m〉T. Utilice dos vectores dependientes de la fuerza para determinar las dos primeras frecuencias y los dos primeros modos naturales de vibrar.
Solución 1. Las matrices de rigidez y masa, k y m, se dan en el ejemplo 15.1 con k = 31.56 kips/ pulg y m = 0.2591 kip-s2/pulg. 2. Determine el primer vector de Ritz, ψ1. • Resuelva ky1 = m1 para obtener y1 = 〈0.0410 0.0739 0.0985 0.1149 0.1231〉T. • Divida y1 entre (yT1my1)1/2 = 0.1082 para obtener el vector normalizado:
ψ1
0.3792
0.6826 0.9102
1.062 1.138
T
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Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
3. Determine el segundo vector de Ritz ψ2. • Resuelva ky2 = mψ1 para obtener y2 = 〈0.0342 0.0654 0.0909 0.1090 0.1183〉T. • Ortogonalice y2 con respecto a ψ1:
a12 = ψ1T my2 = 0.1012 ψˆ 2 = y2 − 0.1012ψ1 = 10−2
0.4134
− 0.3705
− 0.1204
0.1500
0.3164
T
• Divida ψˆ 2 entre ( ψˆ 2T mψˆ 2 ) 1/ 2 = 0.3396 × 10−2 para obtener el vector normalizado:
ψ2
1.217
− 1.091
− 0.3546
0.4418
0.9316
T
˜ 4. Calcule k˜ y m. Ψ = [ψ1 ψ2 ]
9.986 −3.086 1.0 ˜ = ΨT mΨ = m −3.086 91.95 1.0 5. Resuelva el problema de valores característicos reducido, ecuación (15.3.11). k˜ = ΨT kΨ =
ω˜ 1 = 3.142
χ1 = 0.9993 0.0376
ω˜ 2 = 9.595
χ2 = −0.0376 0.9993
6. Determine los modos naturales. Al sustituir Ψn y χn en la ecuación (15.3.14) se obtiene
φ˜ 1
0.3332
φ˜ 2
1.230
0.6412
0.8962
− 1.116
1.078 1.172
− 0.3886
0.4016
T
0.8882
T
7. Compare con los resultados exactos. La tabla E15.1 proporciona las frecuencias y los modos exactos; las primeras, después de sustituir para k y m, son ω1 = 3.142 ω2 = 9.170 rad/s Las frecuencias aproximadas ω˜ n y los modos de este ejemplo, utilizando vectores de Ritz dependientes de la fuerza, son mejores que los determinados en el ejemplo 15.1 a partir de vectores supuestos.
15.5 ANÁLISIS DINÁMICO MEDIANTE LOS VECTORES DE RITZ Ahora que se han desarrollado los procedimientos para generar vectores de Ritz, se retoma la solución de la ecuación (15.3.3), el sistema de ecuaciones reducido. Con J vectores de ˜ c˜ , y k˜ Ritz incluidos, estas J ecuaciones son acopladas porque, en general, las matrices m, en la ecuación (15.3.3) no son diagonales. Sin embargo, si se utilizan los vectores de Ritz ˜ = I, la matriz de identidad. El conjunto de dependientes de la fuerza de la sección 15.4.2, m J ecuaciones acopladas puede resolverse para las incógnitas χj(t) (j = 1, 2, ..., J) mediante métodos numéricos en el tiempo paso a paso (capítulo 16). Después, en cada instante de tiempo, el vector de desplazamiento nodal u se determina a partir de la ecuación (15.3.2) y los elementos mecánicos mediante los métodos de la sección 9.10. Este método es bastante
Sección 15.5 Análisis dinámico mediante los vectores de Ritz
669
general ya que se aplica a los sistemas con amortiguamiento clásico, así como a los sistemas con amortiguamiento no clásico. Para los sistemas con amortiguamiento de Rayleigh, se presenta un procedimiento alternativo al final de esta sección. El número de vectores de Ritz dependientes de la fuerza incluidos en el análisis diná mico debe ser suficiente para representar con precisión el vector s que define la distribución espacial de las fuerzas. Debido a que estos vectores de Ritz son ortonormales respecto a la masa, siguiendo las ecuaciones (12.8.2) a (12.8.4), el vector s puede expandirse de la siguiente manera: N
s= n=1
˜ n mψn
donde
˜ n = ψnT s
(15.5.1)
Los J vectores de Ritz incluidos en el análisis dinámico proporcionan una aproximación a s, y es posible definir un vector de error como J
eJ = s − n=1
˜ n mψn
(15.5.2)
Si se considera que una norma lógica para el vector s es su longitud (sTs)1/2, una norma eJ del error se define como sT e J eJ = T (15.5.3) s s Este error eJ será igual a cero cuando se incluyan los N vectores de Ritz (J = N), debido a la ecuación (15.5.1), y eJ será igual a la unidad cuando no se incluyan vectores de Ritz (J = 0). Por lo tanto, es necesario incluir suficientes vectores de Ritz para que eJ sea lo suficientemente pequeño. Para ilustrar estos conceptos se calcula el error para el marco de cortante uniforme de cinco niveles del ejemplo 15.1. Los resultados presentados en la figura 15.5.1 son para tres distribuciones diferentes de fuerza: sa = 〈0 0 0 0 1〉T, sb = 〈0 0 0 –2 1〉T y sc = 〈1 1 1 1 1〉T. Para una distribución de fuerza dada, el error disminuye a medida que se incluyen más vectores de Ritz, y es igual a cero cuando se incluyen los cinco vectores de Ritz. Para un número fijo de vectores de Ritz, el error es más pequeño para la distribución de fuerza sc, más grande para sb y tiene un valor intermedio para sa. La figura 15.5.1 también proporciona una comparación del error eJ si en el análisis se incluyen los J vectores de Ritz con el error eJ si se consideran los J modos naturales de vibración del sistema. El último se calculó con base en fórmulas similares a las ecuaciones (15.5.2) y (15.5.3), con los vectores de Ritz ψn reemplazados por los modos naturales ψn. El error es menor cuando se utilizan los vectores de Ritz, ya que se deducen de la distribución de la fuerza. A pesar de que este resultado indicaría que los vectores de Ritz son preferi bles a los modos naturales, estos últimos conducen a ecuaciones modales no acopladas, las cuales tienen ventajas: la resolución de ecuaciones modales no acopladas, cada una con la misma forma que la ecuación que controla un sistema de un grado de libertad, es más fácil que tratar con las ecuaciones acopladas en las coordenadas de Ritz. Además, las ecuaciones modales permiten la estimación del valor máximo de la respuesta a los sismos de una es tructura mediante el análisis del espectro de la respuesta (capítulo 13, parte B). ¿Se necesita un término de corrección estática (vea la sección 12.12) como comple mento a la respuesta obtenida mediante el análisis dinámico usando una serie truncada de
670
Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
1.0 Error eJ
0.8
1
Vectores de Ritz Modos naturales
0.6 0.4 0.2 0.0
0
1
2
3
4
5
1.0 1 2
Error eJ
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
0
1
2
3
4
5
1.0 Error eJ
0.8 0.6 0.4
1 1 1 1 1
0.2 0.0
0 1 2 3 4 5 J = número de vectores de Ritz o número de modos naturales
Figura 15.5.1 Variación del error eJ con el número J de vectores de Ritz y de modos naturales para tres distribuciones de fuerzas laterales.
vectores de Ritz? Esto no es necesario debido a que el efecto de la corrección estática está contenido en el primer vector de Ritz, puesto que se obtiene a partir de los desplazamientos estáticos debidos a las fuerzas aplicadas. Para el análisis dinámico de los sistemas con amortiguamiento de Rayleigh, el análisis modal clásico (sección 12.9) de la ecuación (15.3.1) puede ser preferible sobre la solución de las ecuaciones acopladas (15.3.3) en las coordenadas de Ritz, sobre todo si se desean obtener las frecuencias y los modos naturales del sistema. Sin embargo, el concepto de Rayleigh-Ritz sigue siendo útil, debido a que estas propiedades de vibración se obtienen al resolver la ecuación (15.3.11), un problema de valores característicos más pequeño de orden J, en vez del problema de valores característicos original, de tamaño N (ecuación 10.2.4). Como los modos aproximados resultantes φ˜ n son ortogonales con respecto a las matrices de masa y rigidez m y k (sección 15.3.4), éstos pueden usarse de la misma manera que los modos exactos en análisis modal clásico del sistema.
671
Capítulo 15 Problemas
LE CTURAS ADI CI O NAL E S Clough, R. W. y Penzien, J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, Nueva York, 1993, pp. 314-323. Humar, J. L., Dynamics of Structures, 2da. ed., A. A. Balkema Publishers, Lisse, Países Bajos, 2002, pp. 702-747. Leger, P., Wilson, E. L. y Clough, R. W., “The Use of Load Dependent Vectors for Dynamic and Earthquake Analysis”, reporte No. UCB/EERC 86–04, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, California, 1986.
P RO BL E MAS 15.1 Utilice el método de Rayleigh-Ritz para determinar las dos primeras frecuencias y los dos primeros modos naturales de vibración del sistema de la figura 15.4.1, considerando los dos vec tores de Ritz siguientes:
ψ1
0.3
0.6 0.8
ψ2
−1
−1
0.9 1
T
0.5
1
−0.5
T
Compare estos resultados con los obtenidos en el ejemplo 15.1 y con los valores exactos pre sentados en la sección 12.8. Comente sobre cómo los vectores de Ritz seleccionados influyen en la precisión de los resultados. *15.2 Resuelva el ejemplo 15.2 utilizando los vectores de Ritz determinados a partir de la distribu ción de fuerza s = 〈0 0 0 0 1〉T. Comente sobre la exactitud de los resultados y la manera en que la distribución de fuerza utilizada para la generación de vectores de Ritz influye en la exactitud. 15.3 Utilice el método de Rayleigh-Ritz para determinar las dos primeras frecuencias y los dos pri meros modos naturales de vibración del marco de cortante de cinco niveles de la figura P15.3, considerando los dos vectores de Ritz siguientes:
50 kips
ψ1
0.2
ψ2
−0.5
0.4 0.6 −1
T
0.8 1
−0.5
0
1
T
kj, kips/pulg .
100
100
100
150
100
150
100
200 200 Figura P15.3
*Indica que la solución del problema requiere una computadora.
672
Reducción de los grados de libertad Capítulo 15
*15.4 Para el marco de cortante de cinco niveles de la figura P15.3 determine las dos primeras fre cuencias y los dos primeros modos naturales de vibración utilizando dos vectores de Ritz depen dientes de la fuerza, determinados a partir de la distribución de fuerza s = 〈1 1 1 1 0.5〉T. Comente sobre la exactitud relativa de los resultados de los problemas 15.3 y 15.4. *15.5 Resuelva el problema 15.4 usando la distribución de fuerza s = 〈0 0 0 0 1〉T. Comente sobre la exactitud relativa de las soluciones de los problemas 15.4 y 15.5. *15.6 Resuelva el problema 15.4 usando la distribución de fuerza s = 〈0 0 0 –2 1〉T. Comente sobre la exactitud relativa de las soluciones de los problemas 15.4, 15.5 y 15.6. *15.7 Calcule el error eJ, donde J es el número de vectores de Ritz incluidos en el análisis dinámico del marco de cortante de cinco niveles de la figura P15.3, el cual se somete a fuerzas dinámicas con tres distribuciones diferentes de fuerza:
sa = 0 0 0 0 1
T
sb = 0
0
0
−2 1
T
sc = 1
1
1
1
T
0.5
Grafique eJ contra J y comente sobre cómo, para una s dada, este error depende de J; y cómo, para una J dada, este error depende de s. *15.8 (a) Calcule el error eJ, donde J es el número de modos naturales de vibración del sistema inclui dos en el análisis dinámico del marco de cortante de cinco niveles de la figura P15.3, el cual se somete a fuerzas dinámicas con tres distribuciones diferentes de fuerza:
sa = 0 0 0 0 1
T
sb = 0
0
0
−2 1
T
sc = 1
1
1
1
T
0.5
(b) Grafique eJ contra J y comente sobre cómo, para una s dada, este error depende de J; y cómo, para una J dada, este error depende de s. (c) Compare el error eJ si en el análisis se incluyen los J vectores de Ritz (problema 15.7) con el error eJ si se incluyen los J modos naturales de vibración del sistema. Comente sobre las ventajas y las desventajas de utilizar los dos conjuntos de vectores en el análisis de la historia de la respuesta y en el análisis del espectro de respuesta de la respuesta al sismo. *15.9 (a) Determine la respuesta de estado estacionario del marco de cortante de cinco niveles de la figura P15.3 al movimiento del terreno üg(t) = 0.2g sen 15t, utilizando dos vectores de Ritz dependientes de la fuerza, determinados a partir de la distribución de fuerza s = 〈1 1 1 1 0.5〉T. Desprecie el amortiguamiento. (b) Compare estos resultados con los surgidos del análisis modal, incluyendo (i) los dos prime ros modos naturales de vibración y (ii) los cinco modos naturales de vibración.
*Indica que la solución del problema requiere una computadora.
