M11 U1 Extenso

Módulo 11. Representaciones simbólicas y algoritmos Unidad I. NÚMEROS REALES

Contenido Presentación PROPÓSITO FORMATIVO UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad I. Números reales Propósito: Indicadores de desempeño: 1. Subconjuntos de los números reales 1.1 Enteros 1.2 Racionales 1.3 Reales 2. Divisibilidad 2.1 Máximo Común Divisor 2.2 Mínimo común múltiplo 3. Operaciones básicas con números enteros, racionales, reales 3.1 Suma 3.2 Resta 3.3 Multiplicación 3.4 División 3.5 Resolución de problemas 4. Propiedades de los exponentes 4.1 Producto de potencias 4.2 División de potencias 4.3 Exponentes cero y fraccionario 4.4 Notación exponencial 5. Propiedades de la igualdad 5.1 Propiedad idéntica o refexiva

5.2 Propiedad simétrica o recíproca 5.3 Propiedad transitiva 5.4 Propiedad uniforme 5.5 Propiedad cancelativa

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Contenido Presentación PROPÓSITO FORMATIVO UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad I. Números reales Propósito: Indicadores de desempeño: 1. Subconjuntos de los números reales 1.1 Enteros 1.2 Racionales 1.3 Reales 2. Divisibilidad 2.1 Máximo Común Divisor 2.2 Mínimo común múltiplo 3. Operaciones básicas con números enteros, racionales, reales 3.1 Suma 3.2 Resta 3.3 Multiplicación 3.4 División 3.5 Resolución de problemas 4. Propiedades de los exponentes 4.1 Producto de potencias 4.2 División de potencias 4.3 Exponentes cero y fraccionario 4.4 Notación exponencial 5. Propiedades de la igualdad 5.1 Propiedad idéntica o refexiva

5.2 Propiedad simétrica o recíproca 5.3 Propiedad transitiva 5.4 Propiedad uniforme 5.5 Propiedad cancelativa

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6. Razones y proporciones 6.1 Razones y proporciones 6.2 Proporcionalidad directa 6.3 Proporcionalidad inversa Cierre Fuentes

Presentación PROPÓSITO FORMATIVO Plantear problemas contextualizados, contextualizados, aplicables al entorno del estudiante y proponer soluciones a través del uso de modelos matemáticos lineales y cuadráticos, cuya solución esté en el conjunto de los números reales. UNIDADES DE APRENDIZAJE Unidad I. Números reales Semana 1

Propósito: Utilizar los números reales en la resolución de problemas relacionados con diversas áreas del conocimiento y con su entorno. Indicadores de desempeño: • • •

Resuelve de manera creativa situaciones problemáticas, mediante las operaciones básicas con los l os números naturales, enteros, racionales y reales. Resuelve de manera autónoma problemas que impliquen impliquen la aplicación de las propiedades de los exponentes y de la igualdad. Resuelve problemas diversos aplicando razones y proporciones.

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1. Subconjuntos de los números reales

Las matemáticas están presentes en nuestra vida y el concepto más utilizado es el de número , del cual muy probablemente uno de sus primeros usos fue para el conteo de objetos. Piensa en todas las situaciones en las que hayas utilizado números, son bastantes ¿cierto?

1.1 Enteros Los números naturales son naturales son aquellos que nos no s permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Para consultar más sobre ellos puedes revisar la siguiente liga: l iga: https://www.youtube.com/watch?v=uqCO15pKGKo

Antes de iniciar las actividades conviene que recuerdes lo siguiente: De la denición anterior, los números naturales son:

N= {0,1,2,3,4,5,…, + } ∞

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Denición

Los números enteros se denen como el conjunto formado por los números naturales positivos, los números naturales negativos y el cero. Y se denotan con el símbolo Z (del alemán Zahl; número).

Z = {- ,…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…, + } ∞

∞

Son aquellos números que no tiene parte decimal.

Representación en la recta numérica Los números enteros enteros se representan grácamente en la recta numérica, eligiendo

un origen al que se le asigna el cero, hacia la derecha del cero cero se colocan los enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos.

ORIGEN NEGATIVOS

POSITIVOS

Los Enteros en tu entorno Los números enteros los utilizamos para referenciar posiciones por ejemplo en el futbol americano cuando se retrocede o se avanza yardas, yardas, al hablar de la altitud de las ciudades de la República Mexicana; están tantos tantos metros sobre el nivel del mar o bajo el nivel del mar, para hablar de temperaturas en grados Celsius (-3°, 0°, 24°), etc.

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Para practicar: Línea de tiempo Construye la línea de tiempo de los años de tu vida marcando los acontecimientos más relevantes, para realizar la línea del tiempo utiliza los números enteros el origen (cero) será tu nacimiento y ubica también el nacimiento de tu madre, de tus hermanos en caso de tenerlos.

Ligas de interés http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/01/1_006/ index.html https://www.youtube.com/watch?v=RtHXC_PLTZo

1.2 Racionales

Denición

Los números racionales son aquellos que pueden representarse como una razón (cociente) de números enteros, donde el denominador debe ser diferente de cero. Se representan con el símbolo .

Los números racionales también suelen conocerse como las fracciones. Los números enteros pueden expresarse como fracciones por lo que los números enteros son parte del conjunto de los números racionales. Los decimales nitos o

los decimales periódicos, los cuales pueden ser representados por la notación de fracción, también son parte de los números racionales. Por ejemplo: ⎧

= ⎨−∞,…, ⎩

− 3, −

18 7

− 2, − 1.8, −

7 5

1

5

3

6

− 1, − , − 0.5 0, 0.4,

1,

4 3

, 1.8,…,

+

⎫ ∞⎬ ⎭

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Las fracciones (números racionales) pueden clasicarse como:

Fracciones propias Fracciones en las que el numerador es menor que el denominador. Ejemplos: 1 2

3

,

11

7

1

,

3

,

15

Fracciones impropias Fracciones en las que el numerador es mayor o igual que el denominador Ejemplos: 14

25 12

,

5

19

,

3

5

30

,

7

,

5

Fracciones mixtas Fracciones que se escriben usando una parte entera y una parte fraccionaria. Ejemplos: 4

1 2

,

8

6

13

,

1

4 9

,

3

11 12

Fracciones equivalentes Fracciones que tienen el mismo valor pero se representan con distintos números. Ejemplos: 2 3

4 =

6

8 =

12

14 =

21

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Números decimales periódicos Son aquellos en los que la parte decimal se repite. Ejemplos: 1.21212121...

4.333333...

=

=

1. 21

4. 3

40 =

7.3827382738...

33

7. 3827

73820 =

9999

263

13 =

=

0.8766666666...

3

=

0. 876

=

300

La línea arriba de los decimales (llamada “testa”) indica que eso decimales se repiten una y otra y otra vez; innitas veces. Se usa la testa para escribir el número

de forma abreviada, corta.

Números decimales fnitos

Son aquellos que tienen una parte decimal nita, es decir que termina.

Ejemplos: 0.5

1 =

4.25

2

17 =

4

1.147

1147 =

1000

5.08

127 =

25

Representación en la recta numérica Para representar números racionales en la recta numérica se deben dividir las unidades de la recta en tantas partes como indique el denominador del número a localizar, localicemos algunos racionales en la recta: Ejemplo: Localizar en la recta el número Paso 1. Representar la recta numérica y ubicar los números enteros Paso 2. Dividir en partes iguales las unidades según lo indica el denominador de la fracción a localizar, en este caso en 5 partes iguales Paso 3. Localizar la posición según lo indique el numerador de la fracción, en este caso 4

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El número en la recta numérica se muestra en la siguiente imagen:

Localizar en la recta el número − 3 y 4

7 4

Ahora dividimos los enteros en 4 partes y localizamos la posición -3 y 7 que corresponde a los numeradores de las fracciones

Ejemplo: 5 1 3 7 Localizar en la recta los números − , − , y 2

2 2

2

Para proceder debemos dividir los enteros de la recta en 2 partes y localizar las posiciones de los numeradores, como se muestra en la siguiente imagen.

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Los racionales en tu entorno Los números racionales están presentes en las compras y mediciones entre muchas otras aplicaciones por ejemplo kg de nueces, 1.71m de estatura, 64.3 kg de peso, etc. 1

2

Para practicar: Los racionales en tu entorno Recordemos qué parte de la fracción corresponde al numerador y cual al denominador, para ello escribe la fracción que representa la parte sombreada en cada gura.

Los números racionales se representan con el símbolo de “Quotient” (cociente).

que es la inicial

Ligas de interés http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/01/1_016/ index.html https://www.youtube.com/watch?v=NLJ9zlO4M4E

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1.3 Reales Los números reales se conforman por la unión de los números racionales e irracionales. Los números irracionales son los números que no se pueden representar mediante la razón (cociente o división) de dos números enteros, por ejemplo los números , e, 3. Los números reales se denotan con el símbolo

.

Para practicar: Los reales Resuelve el crucigrama para repasar los conceptos estudiados. Horizontales 1. Conjunto de números que se representan como el cociente de dos enteros. 2. Fracciones cuyo numerador es menor que el denominador Verticales 1. Conjunto de números que representan la recta numérica. 3. Se clasican en propias, impropias y

mixtas (plural). 4. Conjunto de números que se presenta con el símbolo (plural).

Ligas de interés http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/01/1_030/ index.html http://objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/01/1_032/ index.html https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs

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2. Divisibilidad Es una relación matemática entre cantidades, la cual establece que una cantidad cabe un número exacto de veces en otra.

La divisibilidad se puede expresar con la división que todos conocemos. Un número b es divisor de otro número a

Nos tocan 3 manzanas a cada niña.

! u j u ¡ , o ñ i n r o p 5 n a c o t s o n s o r t o s o n A

si al dividir a entre b el residuo o resultado es 0.

Siempre que exista divisibilidad entre dos números, el número menor (b) debe dividir al mayor (a).

Otra forma de representar esta divisibilidad es

a = n b

Usemos números para que se entienda mejor

Para comprobar esta divisibilidad resolvemos la expresión

La expresión

a=b(n)

representa que a es múltiplo de los números b y n

a=b(n)

Para practicar: Misma cantidad de esferas Considera las siguientes esferas y responde lo que se te solicita.

Escribe en el recuadro el total de grupos que se pueden formar con las esferas de manera que cada grupo tenga la misma cantidad de ellas.

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En la siguiente tabla se especican ciertas cantidades de esferas, así como la

cantidad de esferas con las que se pretende formar grupos. Completa los datos faltantes en la tabla, es decir, indica cuántas esferas sobran por grupo y si podría o no formar una cantidad exacta de grupos.

Considerando lo anterior responde, ¿qué tipo de relación se debe cumplir para que se puedan formar una cantidad exacta de grupos de esferas?

A manera de cierre En la tabla anterior se puede observar que al querer formar ciertos grupos de esferas, sobran esferas y en otros casos no, es decir, no siempre se forman grupos con la misma cantidad exacta de esferas sin que sobren algunas. Por ejemplo, al querer formar grupos de 5 esferas teniendo 16 de ellas, cada grupo contendrá tres y sobrará una; esto es porque: 16= 5(3) + 1

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Esta relación numérica signica que al dividir 16

entre cinco, se tiene que cabe tres veces en y sobra una unidad, a este sobrante se le conoce como residuo de la división .

Cuando el residuo de una división de una cantidad entre otra es cero , se dirá que la primera cantidad es divisible por la segunda.

6

Por ejemplo, con 30 esferas se pueden formar cinco grupos exactos con seis esferas en cada uno, pues es divisible por : 30= 6(5) + 0 5

Lo anterior es equivalente a decir que es un divisor de , dicho de otra forma, seis divide a treinta .

La divisibilidad es una relación matemática entre cantidades que establece cuándo una cantidad cabe un número exacto de veces en otra. Matemáticamente se expresa del siguiente modo: Un número es divisor de otro número si se cumple que al dividir por el resultado da exacto. Es decir, el residuo es cero: a b

=

n,

o bien ,

a

=

b(n)

donde n puede ser cualquier número natural . a

=

( )

a n

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Siempre que exista divisibilidad entre dos números, el número menor debe dividir al mayor . Asimismo, la expresión a =b (n ) representa que el número es múltiplo de los números b y n . Así, 30=6(5) representa que 30 es múltiplo de 6 de 5. Equivalentemente, 6 y 5 son divisores de 30. Existen ciertas propiedades en los números que permiten determinar cuándo un número es divisible por otro. A estas propiedades se les conoce como los criterios de divisibilidad. En las siguientes ligas puedes conocerlos: Criterios de divisibilidad https://www.youtube.com/watch?v=BglltQZFab0

http://www.vitutor.com/di/di/a_3.html

2.1 Máximo Común Divisor La divisibilidad entre números es útil para saber cuántas veces una cantidad cabe de manera exacta en otra. En esta actividad se usará la divisibilidad para resolver algunos problemas, para ello conviene recordar que: Los divisores de un número son los que lo dividen de forma exacta, es decir, el residuo de la división es cero.

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Para practicar: Moños para adornar Una persona desea hacer moños para adornar unos regalos y planea usar material que le ha sobrado de otra ocasión. Su intención es fabricar moños lo más grande posibles de la misma medida. A continuación se muestran tres listones de diferentes medidas con los que hará los moños.

¿Cuánto medirán los listones resultantes para formas los moños más grandes posibles?

Completa la siguiente tabla obteniendo todos los divisores de cada uno de los números que se indican.

Determina cuál es el divisor más grande que comparten los números de la tabla anterior:

Para resolver las situaciones anteriores, también puede calcularse el máximo común divisor (MCD) de cada conjunto de números. Éste se obtiene al realizar la descomposición factorial de dichos números, la cual consiste en encontrar todos los divisores primos de cada uno de los números involucrados. A continuación se muestra un ejemplo para determinar la descomposición factorial de un número. Sin embargo, antes de ver la descomposición factorial conviene que recuerdes que:

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Los números primos son aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (el número 1) y en sí mismos. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, … Para mayor información sobre los números primos puedes consultar las siguientes ligas: La música de los números primos

Parte 1 https://www.youtube.com/watch?v=KyORBGrvlyM Parte 2 https://www.youtube.com/watch?v=B8M_xlUPeok Parte 3 https://www.youtube.com/watch?v=QvrYYvAuJJo

Método de descomposición factorial Proceso 210

2

105

210

2

105

3

35

5

7

7

1

Descripción Dividir 210 entre el número primo divisor más pequeño posible. (2 en este caso.) Escribir 105 debajo como resultado de la división.

Dividir 105 entre el número primo divisor más pequeño posible. (3 en este caso.) Repetir el procedimiento hasta que el resultado de la división sea 1. La multiplicación de los números primos divisores da como resultado 210.

Como se ha mencionado, la resolución de este tipo situaciones consiste en determinar el Máximo Común Divisor (MCD) de cantidades o valores. De este modo:

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El Máximo Común Divisor (MCD) de uno o varios números, es el divisor más grande que tienen en común.

Entonces, el MCD de un conjunto de valores o cantidades es el producto de los divisores primos obtenidos de la descomposición factorial de tales valores. Por ejemplo, el MCD de 12, 24 y 30 es 6 puesto que:

conjunto de números

12

6 3 3 1 1

24

30

2 12 15 2 61 5 2 2 x 3 = 6 31 5 3 1 5 5 1 1 Divisores primos

2.2 Mínimo común múltiplo Ahora bien, Por ejemplo, los múltiplos de son: y los demás que resulten de multiplicar el por los números naturales, ya que: 2= 2 x 1

4= 2 x 2

6= 2 x 3

8= 2 x 4

En las siguientes actividades trabajarás situaciones en las que se requiere medir.

Para practicar: La menor longitud Lee con detenimiento la siguiente situación y realiza lo que se pide. Supón que tienes tres tiras con las medidas que se muestran a continuación.

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1. Indica los valores de las longitudes que pueden medirse de forma exacta con cada una de estas tiras.

10 cm 20 cm 50 cm

2. De acuerdo a lo que has escrito en la tabla, indica la menor longitud común que puede ser medida de forma exacta con esas mimas varillas de 10, 20 y 50 cm.

3. Si ahora contaras con cuatro tiras con las medidas: 10, 15, 30 y 40 cm de largo. Obtén la menor longitud común que puede medirse de forma exacta con cada una de esas tiras.

Fíjate que en las actividades anteriores has calculado los múltiplos de las longitudes de las tiras dadas para conocer las longitudes comunes que pueden medirse con ellas y así saber cuál era la menor longitud .

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De este modo, el resultado de ambas actividades consistió en determinar el Mínimo Común Múltiplo (mcm) de cantidades o valores de medidas. Por lo tanto, El Mínimo Común Múltiplo (mcm) es el menor valor de todos los múltiplos comunes que pueden obtenerse de un conjunto de números naturales o cantidades. Las situaciones en las que sea necesario conocer el menor de los valores en que coinciden los múltiplos de cantidades o números, pueden resolverse mediante el cálculo del mcm .

Por ejemplo, al enlistar los múltiplos para 3 y 5 se obtiene lo siguiente: El Mínimo Común Múltiplo (mcm) es el menor valor de todos los múltiplos comunes que pueden obtenerse de un conjunto de números naturales. múltiplos comunes

mínimo común múltiplo

Múltiplos

Número

3 5

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45… 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75… 3 y 5 comparten más de un múltiplo, pero el menor de ellos es 15.

Observa que 3 y 5 comparten más de un múltiplo, pero el menor de ellos es el 15. Esto quiere decir que el mcm de 3 y 5 es 15. Para calcular el mcm de un conjunto de números, comúnmente se emplea la descomposición factorial, así como para calcular el MCD. La diferencia es que para el mcm se multiplican todos los divisores comunes y no comunes de dichos números. Por ejemplo, el mcm de 10, 20 y 50 es:

10 5

20 10

50 25

2 2

5

5

25

5

1

1

5

5

1

1

1

Divisores primos

mcm

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3. Operaciones básicas con números enteros, racionales, reales Las operaciones básicas que revisaremos en este tema son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación o producto, división o cociente.

3.1 Suma Ésta es la operación con la que cualquier curso de Matemáticas inicia, quizá porque sea la primera que necesitó el ser humano.

Términos de la suma Sumar es reunir dos o más cantidades llamadas sumandos en una sola llamada suma o total.

125 + 64 189

Sumando Sumando Suma o total

http://www.escuelaenlanube.com/recursos-para-el-aula-terminos-matematicos/ terminos-de-la-suma/

Cuando sumamos, reunimos o agregamos cantidades representadas por un número Real. Cada tipo de número tiene un procedimiento especíco para ésta

operación, lo primero que hay que hacer es observar la clase de números con los que estamos trabajando. En el caso de los números Enteros, se deben tener en cuenta lo siguiente:

Leyes de los signos +++=

Los términos se suman y se mantiene el signo +

-+- =

Los términos se suman y se mantiene el signo –

++- =

Los términos se restan y se mantiene el signo del término mayor

-++=

Los términos se restan y se mantiene el signo del término mayor

http://es.slideshare.net/1112858/oam-2-jossy-marlen-gomez-ley-de-signos

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Lo anterior se deriva del hecho de que en la recta numérica se avanza a la derecha del cero si el número es positivo o a la izquierda si el número es negativo, entonces: si sumamos dos números positivos primero avanzamos a la derecha los lugares que indique el primer sumando y luego avanzamos también a la derecha los lugares que indique el segundo sumando, como los dos movimientos fueron a la derecha, entonces la suma también se encuentra a la derecha, es decir, la suma es positiva. De igual forma si sumamos dos números negativos, primero avanzamos a la izquierda los lugares que indica el primer sumando y luego avanzamos también a la izquierda los lugares que indique el segundo sumando, la suma se encontrará del lado izquierdo, es decir, la suma es negativa. Si los sumandos tienen signos contrarios, primero avanzamos en dirección del signo del primer sumando y luego en dirección contraria, por eso los términos se restan. El signo de la suma será el del movimiento más largo, que es el signo del término de más valor absoluto. (+3) + (+1) = +4

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

(-4) + (+1) = -3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

(+5) + (-2) = +3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

(-4) + (-2) = -6

-5

-6

-5

-4

-3

-2

-4

-3

-2

-1

0

-1

0

+1

+2

+1

+3

+2

+4

+3

+4

+5

+5

http://profeedgarduarte.blogspot.mx/2013/05/suma-y-resta-de-numeros-enteros.html

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Para los números Racionales, el punto clave es el denominador. Dependiendo de su valor, se pueden presentar dos casos y formas diferentes de resolver esta operación. •

Igual denominador. Como se estudió en la sección 1.2, una fracción implica que un todo fue divido en tantas partes como indica el denominador y que solo se toman tantas partes como indica el numerador. Entonces sumar dos fracciones que tienen el mismo denominador, signica que se están sumando

piezas del mismo tamaño, por lo tanto sólo se sumarán los numeradores.

Suma y resta de fracciones de igual denominador Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se deben sumar o restar los números y dejar el mismo denominador.

3 + 7

2 3+2 == 7 7

5 7

+

=

3 7

2 3 2 == 7 7

1 7

-

=

-

-

                 •

Diferentes denominadores. En este caso estamos tomando piezas de diferentes tamaños, por lo que tenemos que dividirlas de tal forma que tengan el mismo tamaño para poderlas sumar, entonces calculamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Ese mcm, me indica en cuántas partes tengo que dividir el entero y jarme a cuánto equivale la parte que

originalmente tenía.

Diferentes denominadores 2 6 1 = ++ 5 15 3

=

5 15 M.C.M (3,5)=15

2 + 5

1 6 5 == + 3 15 15

6+5 15

=

11 15

+

=

http://cldv3cicloprimaria.com/2014/02/25/suma-y-resta-de-fracciones-teoria/

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En la sección 1.2 vimos que existen 3 tipos de fracciones: propias, mixtas e impropias. Muchas veces es necesario convertir una fracción mixta a impropia o viceversa, este procedimiento lo haremos de la siguiente manera:

http://numerracionales.wikispaces.com/N%C3%9AMEROS%20 MIXTOS?responseToken=0476a22ee116e65172de08970e8db46

http://www.conevyt.org.mx/cursos/cursos/ncpv/contenido/libro/nycu1/nycu1t2.htm

Si tenemos como sumandos diferentes tipos de fracciones, es decir, propias, impropias, mixtas y enteros (recordemos que estos también son parte de los racionales), el procedimiento a seguir es: convertir las fracciones mixtas a impropias y a los números convertirlos a fracción (ponerle un 1 como denominador) y nalmente realizar la suma.

1 http://www.dailymotion.com/video/xq96t8_suma-y-resta-de-fracciones-con-diferentedenominador-convertir-fracciones-hd_school

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Para practicar: Sumas de números enteros, racionales y reales Resuelve las siguientes sumas. Sumas 3 7 8 9

+4

Resultados

5 8

+5+

=

4 3

=

−5 + 7 = −8 + 9 − 10 = 10 − 5 + 8 − 7 =

3.2 Resta Si en la suma se agrega, en la resta se quita, por eso la operación inversa de la suma es la resta. Términos de la resta

Restar es quitar a una cantidad mayor llamada minuendo, una cantidad menor llamada sustraendo.

185 - 40

Minuendo

140

Diferencia

Sustraendo

http://www.escuelaenlanube.com/recursos-para-el-aula-terminos-matematicos/ terminos-de-la-resta/

Leyes de los signos (+8)-(+4)=(+8)+(-4)=+4

En los números enteros no existe la resta. Para resolver debemos cambiar a la operación inversa que es la suma y aplicar sus leyes de los signos.

(+8)-(-4)=(+8)+(+4)=+12 (-8)-(+4)=(-8)+(-4)=-12 (-8)-(-4)=(-8)+(+4)=-4

http://elmundodelasmatematicas2.blogspot. mx/2013/04/resolucion-de-problemas-queimpliquen.html

En el caso de las fracciones, el procedimiento es muy similar al de la suma.

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•

Igual denominador.

Igual denominador

•

8 5 8 5

2 5 2 5

8 5

2 5

8-2 5 6 = 5 =

http://www.e-matematicas.net/aritmetica/fracciones/ resta/ejemplos/igual-denominador

= 1 1 5

Diferentes tipos de números racionales:

Diferentes tipos de números racionales Resta de números mixtos

15

2 3

3 1 = 7 6 6

8

https://matematicasparaticharito. wordpress.com/tag/resta-defracciones-de-igual-denominador/

Se restan los enteros y las fracciones por separado

15-8=7

2 3

3 6

==

4 6

3 6

1 6

Para practicar: Restas de números enteros, racionales y reales Resuelve las siguientes restas. Restas 4

2 5

−2

5 13

Resultados

3 8

=

6

−

7

=

−6 − ( −7) 9−3 8−

=

=

( −12)

=

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3.3 Multiplicación Cuando se tienen sumas con todos sus sumandos iguales, se puede abreviar con una multiplicación.

Términos de la multipicación Multiplicar es repetir un número llamado multiplicando, tantas veces como lo indique otro número llamado multiplicador.

3 x8 24

Factor Factor Producto

http://infantil20.com/terminos-suma-resta-y-multiplicacion

En general el multiplicando y el multiplicador son llamados factores y el resultado de la multiplicación es llamado producto.

Propiedades de la multiplicación Propiedad Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Descripción El orden de los factores no altera el producto Para resolver el producto de tres o más factores se elige el orden en el que se realizan las multiplicaciones. El producto no varía. El producto de un número por una suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos y viceversa.

Ejemplo 3x5=5x3

4x(5x7)=(4x5)x7

12x(3+5)=(12x3)+(12x5) (7x5)+(7x4)=7x(5+4)

http://blumetercero.blogspot.mx/2015/01/multiplicacion.html

Al igual que la suma, la manera en la que se multiplica depende del tipo de número que se esté usando. En los números Enteros, lo primero que se debe hacer es multiplicar los números sin importar el signo que tenga. Una vez hallado el producto, se le coloca el signo que corresponda de acuerdo con la siguiente Ley de los signos:

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Ley de los signos +x+=+ Signos iguales da + -x-=+ + x - = Signos distintos da -x+=-

4

11 2

3 x 1 4 x 2

3 8

5 7

22 3

5 x 2 7 x 3

10 21

3

http://profagustinretta.blogspot.mx/2015/01/ numeros-enteros.html

Para multiplicar dos o más fracciones, simplemente se debe multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. http://www.unprofesor.com/matematicas/ multiplicacion-de-fracciones-374.html

Cuando se tienen números enteros, fracciones mixtas, propias e impropias, se deben convertir los números enteros en fracción colocándole un uno como denominador y las fracciones mixtas se deben convertir a fracciones impropias. http://www.e-matematicas.net/aritmetica/fracciones/ multiplicacion/ejemplos/numeros-mixtos

Para practicar: Multiplicaciones de números enteros, racionales y reales. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Restas 9 −

7

11 2 5

×5

×8

Resultados

2 7

=

3 13

=

28/59


( −5) 3( −7)

2

+

=

( −5)4 − 8(10) ( −9) +

=

⎛ 7 ⎞ 3 5 ⎛ 4 ⎞ +3 = ⎜⎝ − 9 ⎟ ⎠ 5 9 ⎜⎝ 3 ⎟ ⎠ 3.4 División La división es la operación inversa de la multiplicación, por eso, ahora buscamos cuántas veces sumamos un número para obtener cierto resultado.

Dividir es indagar cuántas veces un número (divisor) está “contenido” en otro número (dividendo).

Términos de la división Dividendo Divisor Cantidad a repartir

Resto

Partes a repartir

12 6 0 2 Cociente

Cantidad que sobra

Cantidad que toca a cada parte

http://quintonortheldnd.blogspot.mx/2013/06/propiedades-de-las-operaciones.html

Propiedades de la división Operación no interna

Elemento neutro

El resultado de dividir dos números naturales (su cociente) no implica obtener otro número natural. Por eso se dice que el cociente de un número natural no es una propiedad interna, el resultado puede pertenecer a otro conjunto numérico. Esto ocurre cuando el segundo término es mayor que el primero. ¿Qué pasaría si dividimos 2/4 en lugar de 4/2? 2/4=0.5

Un elemento neutro es un número que al dividir “no ocurre nada”. Cuando tenemos un número y lo dividimos entre su elemento neutro, sigue apareciendo el mismo número. El 1 es el elemento neutro de la división porque cuando a un número cualquiera lo dividimos entre 1 queda el mismo número: 1/1=1 3/1=3

El cero y la división Cero dividido entre cualquier número da cero. “Si no tenemos una sola pelota que repartir, nada nos toca”. ¡El cero no puede dividirse!

http://es.slideshare.net/Ediithgb/operaciones-basicas-y-propiedades

29/59


Para la división de números enteros consideraremos las siguientes Leyes de los signos:

Ley de los signos + / + =+ - / - =+

+ / - =- / + =-

Signos iguales da +

Signos iguales da -

http://virtual.uaeh.edu.mx/ repositoriooa/paginas/ objetosAprendizaje/nal/division_

monomios_polinomios/ley_de_los_ signos.html

Si te jas, estas leyes son las mismas que las de la multiplicación por que la división también puede denirse como la multiplicación del dividendo por el inverso

multiplicativo del divisor. En los números enteros, se hace la división de las cantidades y se aplica la ley de los signos, por ejemplo:

15÷5=3 31÷(-2)=-15.5

3 5

3 3

1 8

(-39)÷3=-13 (-24)÷(-5)=4.8

3 x 82 == 5 x 15

4

3 5 ÷4 7 8 3 5 24 37 ÷÷4 = 7 8 7 8 24 37 24 8 ÷ = x 7 8 7 37 24 8 24 x 8 = x 7 37 7 x 37

https://www.youtube.com/ watch?v=aJSsakgz6u8

Cuando se tenga que dividir fracciones, en realidad se debe realizar una multiplicación cruzada, se simplica el resultado. http://www.rena.edu.ve/SegundaEtapa/ matematica/multiydivide.html

Si tenemos fracciones mixtas, debemos convertir a una fracción impropia y luego hacer el producto cruzado. http://www.e-matematicas.net/aritmetica/ fracciones/division/ejemplos/numeros-mixtos

3 5 192 ÷4 = 7 8 259

30/59


Otra forma de expresar la división es quitando el operador (÷)

3 4 5 7

=

21 20

http://cursosdealgebra.net/2012/10/27/2-6-operaciones-con-fracciones-comunesparte-2/

Para practicar: Restas de números enteros, racionales y reales Resuelve las siguientes restas. Restas 5

7 10

÷

1

Resultados

2 3

=

⎛ 4 2⎞ 3 ÷ = ⎜⎝ 7 + 35 ⎟ ⎠ 8

{16 (−2)} +

{27 ( 3)} ÷

−

( −12)5

÷

÷7

×5 =

4=

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3.5 Resolución de problemas Ahora veamos cómo resolver problemas usando las operaciones básicas que acabamos de estudiar.

1. Tenía $90. Perdí

3 5

y presté 56 del resto.

¿Cuánto me queda? Solución. 1 5

de $90 es $90 ÷ 5 = $18 y 53 son $18 × 3 = $54.

Entonces me quedan, $90-$54=$36. Luego, 1 de $36 es $36÷6=$6 y 56 son $6×5=$30. 6 Así que perdí $54 y presté $30, Me quedan $90 - ( $54 + $30 ) = $90 - $84 = $6.

2. Se pierden $150 en la venta de 50 botellas de aceite a $60 cada una. Hallar el precio de compra inicial de cada botella. Solución. Por la venta de las 50 botellas fueron $60×50=$3,000, como se perdieron $150 signica que la venta total debió ser de

$3,000+$150=$3,150, esto es, se pagaron $3,150 por las 50 botellas. Entonces, el precio inicial de cada botella entonces fue de $3,150÷50=$63

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Para practicar: Operaciones con números enteros y fracciones. Resuelve los siguientes dos problemas.

•

Problema que involucra operaciones con números enteros Un comerciante que ha comprado 80 sacos de frijoles a $2,400 y además pagó $10 por el transporte de cada saco, quiere saber cuánto tendrá que sacar de la venta de esa mercancía para ganar $15 por cada saco.

•

Problema que involucra operaciones con fracciones Un padre deja al morir $450,000 para repartir entre sus tres hijos. El mayor debe recibir 29 de la herencia; el segundo 15 de la parte del anterior, y el tercero lo restante. ¿Cuánto recibirá cada uno?

Ligas de interés: http://www.ingenieriaycalculos.com/matematicas/aritmetica/fracciones http://cursosdealgebra.net/2012/10/27/2-6-operaciones-con-fraccionescomunes-parte-2/

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4. Propiedades de los exponentes Para iniciar este tema, pongámonos de acuerdo en los nombres que utilizaremos. El siguiente ejemplo está en notación exponencial y se lee “tres elevado a la quinta potencia” o “tres elevando a la cinco”.

base

Recordemos también que un número elevado a una potencia indica cuántas veces se multiplica a sí mismo:

El resultado de elevar un número a una potencia se puede llamar también “potencia”:

3

5 exponente o potencia

Potencia

35 = (3) (3) (3) (3) (3) 5 veces = cinco factores

35 = (3) (3) (3) (3) (3) = 243

Para practicar: Operaciones con potencias Llena la siguiente tabla con las potencias de 2.

Potencia

Notación exponencial

1

21

Valor de la potencia 4

2 3 4 5 6 7 8 9

Factores que se multiplican

(2) (2) (2)

256

29

10

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4.1 Producto de potencias Vamos ahora a realizar operaciones con las potencias anteriores. Empezaremos por el producto. Para ello, de la tabla anterior, retomemos tres renglones para realizar el producto (la multiplicación) de las potencias de dos: (22 )(23).

Notación exponencial 22 23 25

Valor de la potencia 4

4x8

8

=32

32

Observa la echa vertical en donde están multiplicadas las potencias de 2 2 y 23.

Esto es, (4)(8). Observa ahora la columna de la notación exponencial. ¿Qué le ocurrió a los exponentes?

Notación exponencial 22 23 25

Valor de la potencia 4 8

2+3

=5

32

Así, podemos ver que la multiplicación de las potencias (22 )(23) puede hacerse de dos maneras:

(22)(23) =

{

*(4)(8) = 32 *(4)(8) = 32

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Para practicar: Multiplicación de potencias De acuerdo a la tabla que realizaste en la actividad 1, resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando las dos maneras.

(24) (23)= { (22) (26)= { (25) (24)= {

Podemos ahora establecer una propiedad de los exponentes: cuando se multiplican dos potencias de la misma base, sus exponentes se suman.

¡Cuidado! Es importante, como en el ejemplo, que las bases de las potencias que se están multiplicando son iguales. Entonces, en una multiplicación así (25)(72), NO se puede aplicar esta propiedad.

Para practicar: Productos Realiza los siguientes productos aplicando la propiedad de suma de los exponentes. Completa lo necesario.

Producto a realizar

Aplicando la propiedad: si la base es igual, al multiplicar los exponentes se suman

Resultado en notación exponencial

(75)(72)

75 + 2

77

41 + 6

98 106 + 9

(35)(32)(3)

35 + 3 + 1 44+6+7

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4.2 División de potencias Realizaremos la división

9

2

3

2

Retomemos los renglones correspondientes de la tabla de la actividad 1


Valor de la potencia

29 23

512 8

512

=64

8

64

Si dividimos las potencias de 29 y de 23, obtenemos

512 8

64

=

.

¿A qué potencia de 2 corresponde el 64? ¿Qué relación hay entre los exponentes? Podemos ver entonces que la división de las potencias puede realizarse de dos maneras:

29 23

512 = 64 8 = * 9-3 *4 = 26 = 64

{

Tenemos entonces una nueva propiedad para los exponentes: al realizar la división de potencias con la misma base, los exponentes se restan. Al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador: en ese orden.

Para practicar: Divisiones de potencias Realiza las siguientes divisiones de potencias aplicando la propiedad anterior. Completa la tabla según se requiera.

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División a Aplicando la propiedad: si la base es igual, al dividir realizar los exponentes se restan 211


Resultado

67

4

11−3

2

2

3

9

6

2

6

3

5

5

2

5 7

7

4

2

2

7

¡Cuidado! Un error que debes evitar es pensar que al dividir las mismas bases, éstas se hacen uno , 29 3

2

9

= 23 = 2

1

y luego se restan las potencias 6-3 = 3, quedando 1 3

4.3 Exponentes cero y fraccionario Dos propiedades más. Realizaremos las siguientes divisiones.

División propuesta

Aplicando propiedad de los exponentes

Resultado

29 29

29-9

20

23 26

23-6

2-3

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¿Cuánto vale entonces 20 y 2-3? Es decir, qué signica un número elevado a cero y qué signica un número elevando a una potencia negativa.

Retomemos renglones de la tabla realizada en la Actividad 1 y realicemos la división de las dos maneras. División propuesta

Dividiendo usando el valor de las potencias

Resultado aplicando la propiedad de los exponentes

Resultado igualando ambos métodos

29 29

512 =1 512

29-9 = 20

1=20

23-6 = 2-3

1 = 2-3 23

23 26

8 = 1 64 8

=

1 23

Para practicar: Valor de las potencias y propiedad de resta de los exponentes Realiza las siguientes divisiones utilizando las dos maneras: dividiendo el valor de las potencias y aplicando la propiedad de resta de los exponentes. Completa las celdas según corresponda.

Producto a realizar

Aplicando la propiedad: si la base es igual, al multiplicar los exponentes se suman

Resultado en notación exponencial

(75)(72)

75 + 2

77

41 + 6

98 106 + 9

(35)(32)(3)

35 + 3 + 1 44+6+7

Estas propiedades de los exponentes se pueden expresar de la siguiente manera. Al elevar cualquier número a cero, se obtiene uno. Ejemplo: Una potencia negativa equivale a una fracción. Ejemplo:

39/59


4.4 Notación exponencial Al pasar al álgebra es posible expresar tanto la base como el exponente con literales. El signicado de elevar a una potencia no cambia. Si las literales no tienen

valor numérico, no se podrá obtener un resultado numérico y la potencia sólo quedará expresada con notación algebraica.


Se lee como…


Para practicar: Diferentes valores numéricos De acuerdo al ejemplo anterior, vamos a darle diferentes valores numéricos a m y a x . Completa la tabla según corresponda.

m

3

Valor numérico para la literal


Notación exponencial Valor de la potencia

Si m = 5

35

243

Si m = 7 33 9

m

x

Valor numérico para la literal


Notación exponencial Valor de la potencia

Si x = 5

55

3125

Si x = 7 35 32

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Las propiedades para el producto y la división que vimos en la primera parte siguen siendo válidas. En un producto, si las bases son iguales, los exponentes se suman. En una división, si las bases se están dividiendo, los exponentes se restan.

Producto a realizar

División a realizar

Factores multiplicados

Resultado

Aplicando la propiedad de resta de los exponentes

Aplicando la propiedad de suma de los exponentes


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Para practicar: Aplicando las propiedades de los exponentes Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades de los exponentes.

Operación propuesta 4

z

2

z

Aplicando propiedades de los exponentes

Resultado

z4-2

z2

(a)(a5) (m8) (m3) (m2) 3

p

2

p

3

y

9

y

z 2

z

(a) (a8) (m5) 8

x

8

x

A manera de cierre En la siguiente liga puedes encontrar una síntesis de las propiedades de los exponentes y ejercicios para practicar. https://www.youtube.com/watch?v=SDxP8TZMFnw

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5. Propiedades de la igualdad

Las relaciones de igualdad son muy empleadas en matemáticas pues representan relaciones de equivalencia, con las cuales se pueden determinar condiciones especícas para que se cumplan cada

una de las relaciones intervinientes. En muchos casos la determinación de dichas condiciones permite resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, encontrar el punto de equilibrio entre la demanda y oferta de un producto para poder

Demanda o i c e r P

Oferta

Equilibrio

denir el precio más adecuado para el mismo de

modo que el mercado permanezca equilibrado. Es por ello que resulta importante el estudio de la igualdad y sus propiedades, las cuales pueden ser muy intuitivas si se analizan con detenimiento. Antes de profundizar en dichas propiedades realiza las siguientes actividades:

Para practicar: Expresiones Construye veinte expresiones más, de manera que siempre se obtenga 36 empleando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones.

36=36 22+14=40 4 9(4)=10+10+16 6(5)+6= 48 + 12 2

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En términos generales, la igualdad relaciona dos expresiones con el signo “=”, la igualdad tiene algunas propiedades que son verdades evidentes, no requieren ser demostradas, a partir de estas propiedades se pueden demostrar otras propiedades. Las primeras cuatro propiedades que se muestran a continuación son propiedades evidentes de la igualdad, las cuales pueden inferirse de las actividades anteriores:

5.1 Propiedad idéntica o refexiva Establece que toda expresión o número es igual a sí mismo.

x=x 2a = 2a

3b = 3b 7+8=7+8

5= 5 ab = ab

13 + 9 = 13 + 9 3xy + 1 = 3xy + 1

5.2 Propiedad simétrica o recíproca Establece que es posible cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Si a + b = c, entonces c = a + b

Si x = y, entonces y = x

Ejemplo: 34 + 15 = 49, entonces 49 = 34 + 15 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 a - b = c, entonces c = a – b

5.3 Propiedad transitiva Establece que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros son iguales.

Si x+ y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b Si a= b y b = c, entonces a = c

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Ejemplo: 14 + 8 = 22 y 11 + 11 = 22, entonces 14 + 8 = 11 + 11 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5 m = n y n = p, entonces m = p

5.4 Propiedad uniforme Establece que si se agrega la misma cantidad bajo la misma operación en ambos miembros la igualdad se conserva.

Si a = b, entonces a(x) = b(x)

Si a = b, entonces a + c = b + c

Ejemplo: x + 3 = 7, entonces x + 3 + (-3) = 7 + (-3) 6y = 42, entonces 6y(1/6)=42(1/6) 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3) m = n, entonces m + x = n + x 3y = 12, entonces 3y/2=12/2

5.5 Propiedad cancelativa Establece que en una igualdad se pueden suprimir o cancelar dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.

Si x(n) = x(m), entonces n = m

Si x + a = x + b, entonces a = b

Ejemplo: x + 3 + (-3) = 7 + (-3), entonces x = 4, que satisface a x + 3 = 7 6y(1/6)=42(1/6), entonces y = 7, que satisface a 6y = 42 (2)(6) - 4 = 12 - 4, entonces (2)(6) = 12 a + b = c + b, entonces a = c (8 ÷ 4) (5) = (2) (5), entonces 8 ÷ 4 = 2

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Para practicar: Encuentra el valor de las letras Encuentra el valor de las letras en cada caso, aplicando alguna de las propiedades mencionadas: Si x =4 y z = x, entonces z = Si p + q = q + 8, entonces p = Si q = m, entonces m = Si 8(a) = 8(b), entonces a =

6. Razones y proporciones Para practicar: Fábrica de discos Para empezar completa lo siguiente:

En una fábrica de discos compactos, se encontró que por cada 80 discos hay 5 con algún defecto, lo que obliga a desecharlo. Para hablar de la calidad de la producción de esta fábrica se dice que hay 1 disco con defecto por cada_____ discos producidos. Pero además, que por cada caja ya empaquetada que contiene 1000 discos hay_____ discos con un defecto.

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Para practicar: valor faltante Encuentra el valor faltante de cada proporción.

3 12 8

X =

=

x

7

x

X =

=

56 8 1.5

x

7.5

=

4 5

X =

45 x

=

X =

6

a

x

X =

=

2a 16a

−4 35 1

8 x

2 =

y 14 x

X =

=

=

x

X =

77

y =

33 =

67 201

55

X =

y

y =

=

y

X =

99 x 66

y =

66 1 =

=

47/59


Para practicar: constante de proporcionalidad Calcula la constante de proporcionalidad (k) de las proporciones de la tabla anterior. Además completa, escribiendo en ella, el valor faltante que calculaste anteriormente.

3 12 8

k = -o

=

x

7

x

k = -o

=

56 8 1.5

x

7.5

=

4 5

k = -o

45

x =

k = -o

6

a

x

k = -o

=

2a 16a

−4 35 1

8

k = -

=

x

2 =

y 14

x =

77

33

x =

67 201 66

55 =

1 =

y y

=

99 x 66

k = -

k = -

k = -

6.1 Razones y proporciones Piensa en el procedimiento que realizaste para completar el cuadro anterior. Lo que hiciste fue comparar dos cantidades. Esto es “qué es una cantidad de otra cantidad”.

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Es decir, relacionaste o comparaste qué es 5 de 80, y además qué es 1000 de 80 para saber cuántos discos con defecto hay en una caja. Esta comparación se expresó en una división. Así:

Razón es la comparación de dos cantidades, hallando cuántas veces contiene una a la otra, mediante una división. Se conoce también como razón geométrica o por cociente.

Ejemplos de razones de números son: −1 2

,

a b

5.6 ,

7

,...

Además, la relación que guardan la cantidad de discos defectuosos con la cantidad de discos producidos es la misma. Es decir, hablar de 5 discos defectuosos de 80 producidos representa, en términos de la calidad de la producción, lo mismo que decir 1 defectuoso por cada 16 producidos. Y a esta relación entre razones se conoce como proporción.

Proporción es la igualdad de dos razones. a

Y se lee:

b

c =

d

“a ” es a “b ” como “c ” es a “d ”

6.2 Proporcionalidad directa La proporción se compone por términos extremos y términos medios. Los extremos son el primero y último términos de la proporción. Y los medios, el segundo y el tercero. Esto es:

49/59


a b

a y d son los términos extremos b y c son los términos medios

c =

d

De esta manera, las razones

5 80

y

1 16

son iguales, así la igualdad

5 80

=

1 16

representa una proporción. Dado que 5 es a 80 como 1 es a 16. Efectúa las divisiones: 5 80

=

1 16

=

Como te puedes dar cuenta, en ambas divisiones resulta el mismo número. A este se le llama constante de proporcionalidad .

La constante de proporcionalidad es el cociente de las razones de una proporción. c a k , k es la constante de proporcionalidad k y b

=

d

=

Para saber si dos razones son proporcionales se puede comprobar de dos maneras: 1. En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. producto de los medios

=

donde

ad = cd

producto de los extrtemos

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2. Y sabiendo esto, si se desconoce uno de los términos se puede hacer lo siguiente:

X

X

=

=

donde

ad = xc

es el valor faltante

x

y así para cualquier valor de la proporción que se desconozca.

El procedimiento anterior es la común y muy famosa regla de tres : “El elemento que falta en una proporción es igual al producto de la diagonal conocida entre el que sobra”. a b

=

c

k

d

=

k

El cociente de las dos razones de una proporción siempre son iguales. Recuerda que a ese cociente se le llama k (la constante de proporcionalidad). Ejemplo: Calcula la constante de proporcionalidad (k) de las proporciones de la tabla anterior. Además completa escribiendo en ella el valor faltante que calculaste anteriormente. 5 20 7

=

(_)

De la denición de la constante de proporcionalidad:

k

5 =

7

Aplicando la regla de tres para calcular el elemento faltante:

X

7(20) =

5

=

28

Para practicar: Proporciones Llena la siguiente tabla con lo que se te pide.

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Proporciones 10 3

6

a

18b

=

17

3b

51 =

19 21

“el cociente de las dos razones de una proporción siempre son iguales”

20 =

6a

9

“el producto de los extremos es igual al producto de los medios”

27 76

=

84

Considera como se expresan las razones y las proporciones, pues esto te ayudará a entender cómo se relacionan las cantidades que ahí se comparan. Además:

Si dos cantidades son tales que a doble, triple,… cantidad de la primera corresponde el doble, triple,… cantidad de la segunda, entonces se dice que son directamente proporcionales .

Ejemplo: Reparte 5499 unidades con una proporción directa a las partes 54 y 63. Calcula la cantidad que le corresponde a cada una de las partes. a) Una manera es considerar que 5499 se reparten entre 117 partes en total, así se pueden hacer las siguientes proporciones. 5499 117 5499 117

=

=

x

54

x

63

entonces x=

entonces x=

((5499)(54)) 117 ((5499)(63)) 117

=2538

=2961

b) Otra manera es calculando la constante de proporcionalidad. Esto es: 5499 117

=k

entonces

5499 117

= 47, k=47

52/59


De ahí que la constante de proporcionalidad es 47. Así, lo que le corresponde a cada parte es:

47×54 = 2538 47×63 = 2961

6.3 Proporcionalidad inversa Pero la relación entre dos cantidades no siempre ocurre de esta manera, también puede ocurrir que:

Si dos cantidades son tales que a doble, triple,… cantidad de la primera corresponde el doble, triple,… cantidad de la segunda, entonces se dice que son directamente proporcionales . Ejemplo: En una empresa se construyen placas de cemento, y se tiene un pedido de 120 placas. Si 10 trabajadores fabricaron 12 placas cada uno, ¿cuántas placas hubieran fabricado cada trabajador si lo hubieran hecho entre los 16 trabajadores habituales de la empresa? Resolvamos el problema. ⎯ 12 placas 10 trabajadores ⎯→ 16 trabajadores ⎯→ ⎯ x placas

Esto es: x=

(10)(12) 16

120 =

16

=7.5

O bien, si sabemos si se conoce la constante de proporcionalidad se realiza lo siguiente: xy=k entonces (10)(12)=120, k=120

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Entonces la constante de proporcionalidad es 120. De ahí que: xy=k 16 x

=

120

120 x =

16

=

7.5

Es decir, dos cantidades son directamente proporcional cuando la constante de proporcionalidad se expresa como k

y =

x

, y son inversamente

´

proporcional cuando la constante de proporcionalidad se expresa como k xy . =

Para practicar: Proporcionalidad directa Resuelve los siguientes ejercicios de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa.

Proporcionalidad Directa k

y =

k xy =

x

Llena la tabla con las cantidades que faltan. Se sabe que son directamente proporcionales y que la constante de proporción es 4.5.

Cantidad 1 (x) 3 15 18 21 36 78

Proporcionalidad Inversa

Cantidad 2 (y)

Llena la tabla con las cantidades que faltan. Se sabe que son inversamente proporcionales y que la constante de proporción es 270.

Cantidad 1 (x) 9 10 15 18 27 30

Cantidad 2 (y)

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Con base en la siguiente tabla, y sabiendo que las cantidades en ella son directamente proporcionales . Calcula la constante de proporcionalidad.

Con base en la siguiente tabla, y sabiendo que las cantidades en ella son inversamente proporcionales . Calcula la constante de proporcionalidad.

Cantidad 1

Cantidad 2

Cantidad 1

Cantidad 2

4

8

18

15

6.7

198.99

45

6

18

585

135

2

k =

k =

Para practicar: Relación de la altura con la base Con base en la siguiente gura construye una tabla

donde expreses la relación de la altura con la base de cada rectángulo. ¿La altura y base de cada rectángulo son directamente proporcional o inversamente proporcional? Justica tu respuesta.

¿Cómo son las bases de los rectángulos con respecto a su área? ¿Son directamente proporcional o inversamente proporcional?

Para practicar: El metro de la Ciudad de México El metro de la Ciudad de México es un medio de transporte indispensable en la capital del país. Determina la expresión que te permita relacionar el número diario de personas (x) que utilizan el metro y la cantidad de dinero (y) que percibe el sistema colectivo por día dados esos usuarios.

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¿Cuál es la expresión que te permite relacionar ambos datos? ¿Qué tipo de proporción guardan estas dos variables x , y ? Justica tu respuesta.

Para practicar: Proporcionalidad directa o inversa Resuelve los siguientes problemas e identica si corresponde a

proporcionalidad directa o inversa. Problema América ha cobrado $ 845 por repartir propaganda durante cinco días. ¿Cuántos días deberá trabajar para cobrar $2,197? ¿Puedes saber cuánto gana por un día? ¿Por qué? Respuesta

¿Proporcionalidad directa o inversa?

Problema Un grupo de estudiantes hará un paseo fuera de la ciudad, han contratado un servicio de autobús. Éste les cobra por viaje redondo $4,700 y tiene espacio para 36 pasajeros. En total son 35 estudiantes, cuando se cerró el trato se habían conrmado 29 estudiantes, pero acercándose el día del paseo varios

cancelaron su participación. Ahora sólo irán 17. a. ¿Cuánto pagará cada uno de ellos? b. ¿De qué manera cambio el pago de cada pasajero desde que se hizo el trato hasta que se realizó el viaje? c. ¿A qué se debe el cambio del pago de cada pasajero? Respuesta


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Problema Un orfebre diseñó un trofeo, para fabricarlo le piden que éste pese 8 kg y que sea con una aleación que contenga tres partes de oro, tres de plata y dos de cobre. ¿Qué cantidad se necesita de cada metal? Si realizara 9 trofeos iguales, ¿qué cantidades necesitará de cada metal? ¿Tiene alguna relación la cantidad de metal que requiere con la cantidad de trofeos a fabricar? Respuesta


Para practicar: Plan de servicio celular Andrés debe comprar un plan de servicio para su celular y debe decidir entre algunos planes. Su compañía celular le ofrece dos planes. El plan básico cobra $1.25 por llamada realizada. El plan avanzado le permite realizar llamadas, fotos y video, y sólo cobra $0.70 por llamada. Pero además este plan tiene un cargo mensual jo de $16.

Entonces ¿qué plan le conviene a Andrés? Considera que cada plan depende de la cantidad de llamadas que realice. a. ¿De qué manera te sirve saber el costo por llamada de cada plan?

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b. Llena la siguiente tabla con los datos que consideres necesarios para determinar qué plan le conviene a Andrés (Las cantidades de # de llamadas puede ser diverso, lo único que sí debe cumplirse que el costo corresponda a la multiplicación del número de llamada con el costo de la llamada, y en caso del Plan avanzado más $16 pesos de cobro jo).

Plan Básico # de llamadas

Plan Avanzado Costo

# de llamadas

Costo

c. ¿Cuál es la expresión que te ayudó a llenar cada una de las tablas? d. ¿En este ejemplo se representa una proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa, ambas o ninguna de las dos? Justica tu respuesta.

A manera de cierre Las razones y proporciones son una manera de comparar cantidades, la relación que guardan puede además verse como directamente proporcional o inversamente proporcional, esto dependerá de la constante de proporción. Ésta puede ser k

y =

x

c uando expresa una proporcionalidad directa, o bien, k xy =

cuando expresa una proporcionalidad inversa. Para determinar otras cualidades de la proporcionalidad directa o inversa, graca cada uno de los problemas de la Actividad 4 y pon atención a qué tipo de gráca se reere cada uno, cuál y de qué tipo es la constante de proporcionalidad, qué

relación tiene la constante de proporcionalidad con respecto a la forma de la gráca.

Ligas de interés https://www.youtube.com/watch?v=ZYecG0BUj_w

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M11 U1 Extenso

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