ARMADURAS PLANAS
1.
UNI-FIM
Enunciado del problema
En el siguiente problema determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es puesta a ciertas cargas en los nodos mostrados en la ilustración 1, sin tomar en cuenta los efectos de temperatura y el peso de cada viga de la armadura plana; y teniendo en cuenta que el modulo de elasticidad del material de todas las vigas es , así como el diámetro de la sección constante de cada viga es 50mm.
Ilustración 1
Datos del problema: Diámetro de la sección constante de cada viga: 50mm Carga Carga Carga Modulo de elasticidad de cada viga:
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
1
UNI-FIM
ARMADURAS PLANAS
2. Solución (cálculos previos) I.
El análisis por el método de los elementos finitos
Ilustración 2
Grados de libertad y coordenadas
3.
Como observamos en la ilustración 2, hacemos uso de las coordenadas X-Y en la posición mostrada, para así poder tener las posiciones de los 5 nodos de la armadura plana y así poder cuantificar dichos nodos. Para esto procedemos hacer el siguiente cuadro: Nodo 1 2 3 4 5
II.
X(mm) 0 1500 3000 1500 0
Y(mm) 0 0 0 1500 1500
Luego hacemos nuestra tabla de conectividad
Elemento
Nodos (1) (2)
1
1 2
2
2 3
3
3
GDL 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
Le en (mm)
Ae en ( )
1500.00
1963.5
1500.00
1963.5
2121.321
1963.5
Ee en (N/ )
2
UNI-FIM
ARMADURAS PLANAS
4 4
8 7 4 7 2 7 10 9 2
4 2
5
4 1
6
4 5
7
5 1
8
3
1500.00
1963.5
8
1
2121.32
1963.5
8
9
1500.00
1963.5
10
1
1500.00
1963.5
4. Matriz de rigidez de los elementos (local)
( ) * + ( ) ∑
Respecto a
Respecto a (X, Y):
(tracción simple)
donde
Resulta:
5. Matriz de rigidez estructural (global)
[ ] [ ] 6. Cargas nodales
En coordenadas X’ se sabe que:
En coordenadas X-Y se tiene: 7. Ecuación de rigidez
Remplazando los datos de las matrices k y F obtenemos Q.
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
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[ ]
Por tanto el vector carga total será:
8. Distribución de esfuerzos
()
En coordenadas X’ se sabe que el esfuerzo de cada eleme nto se halla asi:
(Tracción simple) Pero en coordenadas X-Y se puede escribir del siguiente modo: Resultando
(Es el esfuerzo para cada elemento finito)
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
4
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9. Diagrama de flujo
INICIO
Leer datos de Para i=1 hasta Nº Ingresar coordenadas de
Calcular área, Nº de filas de
Para i=1 hasta 2veces Nº de
Cont=0
Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC
1
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3
2
5
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ARMADURAS PLANAS
1
3
2
Si i=CC i Cont=1, C2=CC1(i,2) C1=CC1(i,1)
CC(i,1)=C1 ;
CC(i,1)=0 ;
Para i=1 hasta Nº
Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez
4
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
6
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ARMADURAS PLANAS
4
Para i=1 hasta 2veces Nº
Si i=CC(i Q(i,1)=CC(i,
Acumulamos fuerzas (FC=[FC;F(i)])
Para j=1;2*Nºnod
SI Si acuh=[acuh,Kij(i, j)]
acuv=[acuv;acuh ]; acumula
Calcula los desplazamientos generales 1=acuv FC
5
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
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5 Para i=1;
Si i==CC i
Calcula las reacciones r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i];
Para i=1 hasta Nº de
Calcula esfuerzos
Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos
CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS
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10. Digitación del programa en Matlab
%ARMADURAS PLANAS format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS='); D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(mm)='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]='); lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd
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if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1) Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short disp('============='); disp('RESULTADOS'); disp('============='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIÓN POSICIÓN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS'); disp(ESF'); 11. Ejecucion del programa
Ingrese numero de codos =5 Ingrese numero de elementos =7 Ingrese el diámetro de las secciones(mm) = 50 Ingrese el modulo de elasticidad(N/mm2) = 3.1e5 Ingrese tabla de conectividad (solo los nodos) =[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]
Ingrese las coordenadas del nodo (1)
N(X)=0 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (2)
N(X)=1500 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (3)
N(X)=3000 N(Y)=0 Ingrese las coordenadas del nodo (4)
N(X)=1500
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N(Y)=1500 Ingrese las coordenadas del nodo (5)
N(X)=0 N(Y)=1500 Ingrese el vector columna de fuerzas= [0 0 0 2000 5000 4000 0 0 0 0]’ Ingrese condición de contorno [posición valor]= [1 0;2 0;9 0;10 0]
Resultado: a) Los desplazamientos son:
0 0 0.0222 0.0714 0.0444 0.1633 -0.0246 0.0665 0 0 b) Las reacciones son:
REACCIÓN POSICIÓN 1.0e+004 * -1.5000 -0.6000 1.0000 0
0.0001 0.0002 0.0009 0.0010
c) Los esfuerzos (MPa)
4.5837 4.5837 -2.8810 -1.0186 4.3215 -5.0930 0
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12. Simulación en solidworks
Forma deformada de la armadura
Desplazamiento estático en mm.
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Comprobación de resultados resultados
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13. Conclusiones
El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el plano tiene una tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete error por las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analítica con la de elementos finitos el error del cálculo es cero. Este método de los elementos finitos es fundamento de los software de diseño estructural y mecánico. En esta ocasión utilizamos un software de diseño muy conocido SOLIDWORKS par hacer la comprobación en la determinación de los desplazamiento y los esfuerzos; En los resultados podemos obtener estos esfuerzos un error muy bajo comparado el método del elemento finito que podemos observar en la última tabla Para hacer el cálculo con todo lo concerniente a armaduras planas con el método de elementos finitos, solo pude notar el error de redondeo trabajando analíticamente comparado con el Matlab, pero es despreciable dicho error También es bueno aclarar que al hacer la tabla de conectividad; este aumenta si la estructura en el plano tiene muchos elementos, para dicho caso es mejor usar el software Matlab.
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