2016
Facultad de Ingeniería Mecánica
CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS LABORATORIO 4 Tema: Armadura Tridimensional
ALUMNO: Solis Quispe Williams Kevin PROFESOR: Ing. Edin Asen!i"n A#$eg% Leand$o SE&&ION: '
ARMADURA TRIDIMENSIONAL PROBLEMA &onside$e la a$madu$a ($idimensional )ue se mues($a en la *igu$a ad+un(a. Las !oo$denadas !a$(esianas de las +un(as !on $espe!(o al sis(ema de !oo$denadas mos($ado en la *igu$a se dan en los pies. ,odos los miem#$os es(-n e!os de 6 lb aluminio !on un m"dulo de elas(i!idad de E=10.6 x 10 2 / un -$ea de se!!i"n ($ansve$sal de a0 #0 !0 d0
2
1.56 ¿
¿
.
1e(e$mina$ 1e(e$mina$ la ma($i2 de $igide2 $igide2 pa$a !ada !ada elemen(o. elemen(o. Mon(a$ la ma($i2 ma($i2 es($u!(u$al es($u!(u$al de de $igide2 $igide2 K pa$a pa$a (oda (oda la a$madu$a. a$madu$a. &al!ula &al!ula$$ los es*ue$ es*ue$2os 2os en en !ada !ada elemen( elemen(o. o. &al!ula &al!ula$$ las *ue$2as *ue$2as de $ea! $ea!!i"n !i"n..
GRÁFICO:
SOLUCION: 1) MODELADO DEL CUERPO
2) COORDENADAS DE LOS NODOS EN LA ARMADURA 3D NO1O
3
4
5
6
7
7
89
;
7
7
8
7
7
<89
=
7
;
7
3) CUADRO DE CONECTIVIDAD
Nodos
'$ados de li#e$(ad
Elemen( o
6>
>
6
6
8
=
9
;
?
8
6
8
6
8
;
=
8
=
;
?
@
=
=
9
6
=
6
Nodo 6 Q1
Q2
longitud le ( plg )
Nodo
&osenos 1i$e!(o$es l
m
n
?7.=@?
7.?@=
7
<7.==;
@
?7.=@?
<7.?@=
7
<7.==;
?
@
;
7
7
<6
67
66
6
?7.=@?
7
9
67
66
6
676.?8
<7.;7;6
7.;7;6
7
8
67
66
6
?7.=@?
7
7.?@=
<7.==;
Q3
Q4
Q5
Q5
7.?@=
7.==;
1) GRADOS DE LIBERTAD NODALES EN COORDENADAS GLOBALES
[ ][ ]
[ Q ]=
Q 1 Q2 Q3
Q2
Q4 Q5 Q6
Q4 Q5 Q6
Q7
0
0
=
… … … … … … … … … … … … … .( 1)
0
Q8 Q9
Q8 Q9
Q10
0
Q11 Q12
0
Q12
1onde Q1 , Q3 ,Q 7 , Q10 ,Q11 son iguales a del p$o#lema.
0
B po$ las !ondi!iones ini!iales
2) MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
[
l 2 lm −l2 −lm ln mn −lm −m2 lm m2 ln mn n2 −ln −mn e Ee x A e K = le lm −l 2 −lm −ln l 2 m2 −lm −m2 −mn lm −ln −mn −n2 ln mn
]
−ln −mn −n ……………………. ( 2) 2
ln
mn n2
Ma($i2 de $igide2 de !ada elemen(o a sido o#(enida $eempla2ando los !osenos di$e!(o$es del !uad$o de !one!(ividad en la e!ua!i"n . 1onde:
K e = Matriz de rigidez global del elementoe .
A e = Áreatransversal del elemento e .
le = Longitud del elemento e .
K 1=
K 2=
[ [
0.8
0
0
0
−0.4 −0.8
0
−0.4
0
0
0
0
0
0.2
−0.4
0
0
−0.4
0.8
0
−0.2 −0.4
0
0
0
0
−0.4
0
E1 x A 1 −0.4 l1 −0.8
−0.2 −0.4
0
0
0
0.2
0.8
0
0.4
−0.8
0
−0.4
0
0
0
0
0
0
E2 x A 2 0.4 l2 −0.8
0
0.2
−0.4
0
−0.2
0
−0.4
0.8
0
0.4
0
0
0
0
0
0
−0.4
0
−0.2
0.4
0
0.2
] ]
K 3=
E3 x A3 l3
E 4 x A 4 K 4 = l4
K 5=
K 6=
[ [ [ [
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
0
0
0.8
0.4
0
0
0.4
0.2
0
0
0
0
0
−0.8 −0.4 −0.4 −0.2
0 0
0
0
] ] ]
−0.8 −0.4 −0.4 −0.2 0
0
0
0.8
0.4
0
0.4
0.2
0.5
−0.5
0
−0.5
0.5
0
−0.5
0.5
0
0.5
−0.5
0
E5 x A5 0 l5 −0.5
E6 x A 6 l6
]
0
0
0
0
0
0.5
0
0.5
−0.5
0
0.5
−0.5
0
−0.5
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.8
−0.4
0
−0.8
0.4
0
−0.4
0.2
0
0.4
−0.2
0
0
0
0
0
0
0
−0.8
0.4
0
0.8
−0.4
0
0.4
−0.2
0
−0.4
0.2
3) MATRIZ DE RIGIDEZ ESTRUCTURAL O ENSAMBLADA La ma($i2 de $igide2 es($u!(u$al K se ensam#la ao$a a pa$(i$ de las ma($i!es de $igide2 de los elemen(os. Sumando las !on($i#u!iones de !ada elemen(o / (omando en !uen(a su !one!(ividad
k = K 1+ K 2+ K 3+ K 4 + K 5 + K 6
k =
[
10.6 x 10
6
x 1.56
80.498
x
−0.4 −0.8 0 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0 −0.4 −0.8 0.4 −0.4 −0.4 1.518 −0.4 0 −0.2 0 0 −1.118 0 0.4 −0.2 0 0 −0.8 −0.4 2.1 −0.5 0 −0.8 0 −0.4 −0.5 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 −0.5 −0.5 0 0.4 0 0.2 0 0 0.4 −0.4 0 0 0 −0.2 0 0 0 0 −0.8 0 −0.4 0.8 0 0.4 0 0 0 −0.8 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0.4 0 −1.118 −0.4 −0.2 0.4 0.4 1.518 0 −0.4 −0.2 0 0 0 −0.5 −0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0 0 −0.8 0.4 0.5 −0.5 0 0 −0.8 −0.4 −0.5 2.1 0 −0.2 0 −0.2 0 0 0.4 0 0 0 −0.4 0 0.4 0.8
0
]
4) ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO &al!ulo de los despla2amien(os nodales.
Pa$a lo !ual se emplea la e!ua!i"n de $igide2B mos($ada en la siguien(e eCp$esi"n: Que es(- de(e$minada po$ la siguien(e e!ua!i"n: F i = K G x Qi ……………………. (3)
Reempla2ando los valo$es de K G / siguien(e ma($i2:
Q i en la e!ua!i"n se o#(iene la
[] 1 0
3 0
−200 0
7
6
=
10.6 x 10
x 1.56
80.498
x
0 0
10 11 0
[
][ ]
0 −0.4 0 0 0 0 0 0 −0.4 −0.8 −0.4 −0.8 0.4 0 0.8 0 0 0 0 0 0 0 0.4 −0.2 −0.4 −0.4 1.518 −0.4 0 −0.2 0 0 −1.118 0 0 0 −0.8 −0.4 2.1 −0.5 0 −0.8 0 −0.4 −0.5 0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 −0.5 −0.5 0 −0.2 0 0.4 0 0.2 0 0 0.4 −0.4 0 0 0 x 0 0 0 −0.8 0 −0.4 0.8 0 0.4 0 0 0 −0.8 −0.4 0 0 0 0 0 0 0 0.8 0.4 0 0 0 0 −1.118 −0.4 −0.2 0.4 0.4 1.518 0 −0.4 −0.2 −0.5 −0.5 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0 0 −0.8 0.4 0.5 −0.5 0 0 −0.8 −0.4 −0.5 2.1 0 −0.2 0 −0.2 0 0 0.4 0 0 0 −0.4 0 0.4 0.8
0
D
Pa$a o#(ene$ los despla2amien(os (omamos la siguien(e su#ma($i2:
0
Q2 0
Q4 Q5 Q6 0
Q8 Q9 0 0
Q 12
[] [ 0
0
−200
6
=
0
10.6 x 10
0
x 1.56
80.498
0
0
0
0
0
0
2.1
−0.5
0
0
−0.4
−0.5
0.5
0
0
0
0
0.4
0
−0.2
0
0.8
0.4
0
0
0
−0.4
0 0
−0.2
0.4
][ ] Q2
0
0
0 0
0.8
Q4
0
x
1.518
Q5 Q6 Q8 Q9
Mul(ipli!ando po$ la ma($i2 inve$sa de la ma($i2 de $igide2 es($u!(u$al en am#os ladosB o#(enemos:
80.498 6
10.6 x 10
x 1.56
[
1.25
0
0
0
0
0
0
0.68
0.68
0.111
−0.111 −0.111 −0.223
0.223
0
0.68
2.68
0.111
0
0.111
0.111
2.72
0 0
−0.111 −0.111 −0.223 0.223
0.223
0.447
0.223 0.447
1.473
−0.447
−0.447
0.894
][ ][ ] 0
Q2
0
Q4
−200
x
0 0 0 0
=
Q5 Q6 Q8 Q9
Resolviendo:
[ ][ ] Q2 Q4
0
−0.00066294 Q = −0.03126 −0.0001088 Q 5 6
Q8 Q9
0.0001088
−0.0002172
4 pa$a o#(ene$ la $ea!!i"n en los empo($amien(osB ("manos la siguien(e e!ua!i"n ma($i!ial:
{ }= [ K ] { Q } … … … … … … … … … … .. (4 )
Reempla2ando los valo$es de despla2amien(os nodales de la e!ua!i"n =.
[] 1 3
6
7 = 10 11
10.6 x 10
x 1.56
80.498
x
[] 0
0 0
[
0.8
0
−0.4 −0.4 0 0 0
0 0
−0.8
−0.4 −0.8 1.518 −0.4 −0.8 0 0 −0.5 0.4
05
−0.4 −0.2 −0.4
0 0 0
0
0
0
0
0
−1.118
0.8
0
0.4
0.5
0
0
−0.5
0
0
0
0
0
−0.8 −0.4
0
0
−0.2
0.4 0
0.5 0.5
0
0
−0.5 2.1
]
x
0 0 0
−0.00066294 −0.003126 −0.0001088 0
0.0001088
−0.0002172 0 0 0
Resolviendo:
[ ][ ] 1 3
117.8855 69.7596
7 = 64.12724 Lb −204.98 10 0204.9595 11
5) ESFUERZOS ! e =
Ee le
[ − l −m −n
l m n ] xQ … … … … … … … … … …( 4 )
1onde: ! e = es"uerzo delelemento e . (
Lb 2
¿
)
Ee =modulo de elasti#idad del elementoe . le =longitud delelementoe . ( pulg)
Lb
¿
2
0
l , m , n =#osenos dire#tores. Q= desplazamientonodales globales #orrespondiente
al #uadro de#one#tivdad rela#ionadoalos nodos. 1
! =
2
! =
3
! =
4
! =
5
! =
6
! =
10600000 80.498
10600000 80.498
10600000 72
10600000 80.498
10600000 101.823
10600000 80.498
x
x
x
x
x
x
−17008693 31250000000
−49516779 62500000000
543 2500000
=−71.67
31250000000
−17008693 125000000
−153672 625000000
¿
2
=−104.326
=31.97667
−559
Lb
Lb 2
¿
Lb 2
¿
=−235.55
Lb
=−141.6513
=−255.961
2
¿
Lb 2
¿
Lb
¿
2
1. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: simila$ al de a$madu$as planas0 INICIO
Leer datos de entrada.
Para i=1 hasta Nº de nodos
Ingresar coordenadas de los nodos.
Calcular área, Nº de flas de condcontorno!CC1"
Para i1 hasta #$ Nº de nodos
Cont0
Para %=1 hasta Nº de flas de condcontorno!CC1"
&I
&i iCC!i,1"
Cont=1, C2CC1!i,2" C1CC1!i,1"
&I
&i cont1
CC!i,1"=C1' CC!i,2"=C2
NO
CC!i,1"=0' CC!i,2"=0
Para i=1 hasta Nº ele(entos
Calcula Le, l, (, las )osiciones de la (atri* de rigide* glo+al su -alor.
Para i=1' #$Nº nodos &i i==CC!i,1"
Calcula las reacciones r=i%!i,1/2nd"3!i,1"' 4=54'r i'
Para i=1 hasta Nº de ele(entos
Calcula es7uer*os
I()ri(e 8es)la*a(ientos, reaciones es7uer*os
2. USO DEL MATLAB:
DIGITACION DEL PROGRAMA
*ini(os78.m !l! !lea$ da(os AGinpu(HIng$ese el ve!(o$ a$ea de !ada elemen(o *ini(o en mm H0 EGinpu(HIng$ese el ve!(o$ modulo de /oung de !ada elemen(o *ini(o en Nmm H0 CGinpu(HIng$ese el ve!(o$ a#s!isa de !ada nodo en mm H0 /Ginpu(HIng$ese el ve!(o$ o$denada de !ada nodo en mm H0 FGJ<77777<77777777<8777la posi!iones del al ? son in!ogni(as pe$o los e pues(o !omo !e$os pa$a )ue los pueda lee$ el ma(la#
!al!ulo de los elemen(os *al(an(es de la (a#la de !one!(ividad NO1OSGJ6BB88B=8B=BBB6 '1LGJ6BB8B=8B=BB9B9B;B?B9B@B67;B?B@B67@B67B8B=@B67B6B *o$ iG6:; Li0Gs)$(CNO1OSiB00
CCGJCBC60BC0BC0BC80 //GJ/B/60B/0B/0B/80
CCCGJCQ6::@0HBC60Q60BC0Q80BC0Q@0BC80Q0 ///GJ/Q::670HB/60Q0B/0Q=0B/0Q670B/80Q90 plo(CCB//BCCCB///BH$H0
3. EJECUCION DEL PROGRAMA: I!"#$#
#%
&#'("
*"#+
,#
'+,+
#%#-#(
//(
#
--2
J6@98.=@B6@98.=@B6@98.=@B6@98.=@B6@98.=@B6@98.=@B6@98.=@ A G 6.7e778 &olumns 6 ($oug 9 6.@98
6.@98
6.@98
6.@98
6.@98
6.@98
&olumn ; 6.@98
I!"#$# #% &#'(" -,0% ,# Y0! ,# '+,+ #%#-#( //( # N--2 J8.6eB8.6eB8.6eB8.6eB8.6eB8.6eB8.6e EG &olumns 6 ($oug
867777
867777
867777
867777
867777
&olumns 9 ($oug ;
867777
867777
I!"#$# #% &#'(" +$'/$+ ,# '+,+ , # -- J7B677B677B677B677 CG
7
677
8777
8777
677
I!"#$# #% &#'(" ",#+,+ ,# '+,+ , # -- J677B677B677B7B7 /G
677
677
677
7
7
L$ #$0#"$ ,# '+,+ #%#-#( //( # N--2 $: es* G
.=9
.=9
7
8.9768 <.=9 <6.76?9
7
L+$ "#+''/#$ # %$ +$ # N $ ans G 6.7e77= 6.7777 EE 3 1EL NO1O 80 7.777 EE 4 1EL NO1O 80 <7.777 EE 3 1EL NO1O =0 7 EE 4 1EL NO1O =0 1600
1400
1200
1000
800 y
600
400
200
0
-200 -500
0
500
1000
1500 x
Figura 1
2000
2500
3000
Apli!ando 6777 ve!es las *ue$2as pa$a no(a$ las de*o$ma!iones: 1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-200 -500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Figura 2
Pa$a visuali2a$ las nuevas posi!iones de los nodos ampliamos la *igu$a en la pa$(e de los nodos. Lnea a2ul: posi!i"n ini!ial Lnea $o+a: posi!i"n *inal
Figura 3
Figura 4
Figura 5
4. CONCLUSIONES
El elemen(o *ini(o ; vea la *igu$a 0 su es*ue$2o es !e$o pe$o es mu/ impo$(an(e pa$a la es(a#ilidad de la es($u!(u$a /a )ue den($o de su !ue$po se !an!elan los despla2amien(os de los nodos 6 / . El es*ue$2o en la #a$$a ; es !e$o de#ido a )ue no a/ una *ue$2a ve$(i!al en el nodo 6. La o$ien(a!i"n del elemen(o *ini(o ; an(es e$a de <=> Luego de apli!a$ las *ue$2as eC(e$nas su o$ien(a!i"n !am#io / su longi(ud se man(uvo !ons(an(e. El elemen(o *ini(o 8 vea la *igu$a 0 su es*ue$2o es !e$o pe$o (am#iTn es impo$(an(e pa$a asegu$a$ )ue la es($u!(u$a es(e en un plano o$i2on(al. Los elemen(os *ini(os / 9 vea la *igu$a 0 es(-n en !omp$esi"n. El elemen(o *ini(o = vea la *igu$a 0 es el )ue sopo$(a el ma/o$ es*ue$2o 8.9768 Nmm es(o es de#ido a )ue uno de sus eC($emos es(-n empo($ados en la pa$ed / p$-!(i!amen(e (oda la *ue$2a $e!ae so#$e Tl. &on es(e elemen(o a#$a )ue a!e$ el diseo. Es(e p$o#lema es imposi#le pa$a la es(-(i!a ipe$es(-(i!o0 /a )ue (iene = in!"gni(as / solo ($es e!ua!iones de e)uili#$io. Es posi#le su solu!i"n median(e los mT(odos *ini(os. Las $ea!!iones en!on($adas 67777N e+e C del nodo 800 777N e+e / del nodo 80 <777N e+e C del nodo =00 / 7N e+e / del nodo =00 !umplen !on las ($es !ondi!iones de e)uili#$io po$ lo (an(o es(-n #ien. ,odos los p$o#lemas de a$madu$as planas (ienen !omo mnimo apo/os $gidos pe$o (am#iTn pueden (ene$ m-s de dos apo/os. En es(e (ipo de p$o#lemas podemos dis(ingui$ dos (ipos de in!"gni(as las de despla2amien(os / las de *ue$2asB si el n%me$o de apo/os $gidos aumen(an en(on!es las in!"gni(as de *ue$2as aumen(a / disminu/en las in!"gni(as de despla2amien(os / po$ lo (an(o se man(iene !ons(an(e el n%me$o de in!"gni(as (o(ales )ue pa$a nues($o p$o#lema es 67.
