Resumen
En este laboratorio se realizo el análisis por elementos finitos de las vigas sometidas a esfuerzos de flexión, se ha realizado el procedimiento estudiado en clase y con él se ha podido calcular las fuerzas que hay en cada uno de los elementos en los que ha sido dividida la viga, y los momentos que actúan sobre ella, los desplazamientos y con este los esfuerzos en cada uno de los elementos con los que se modelo el cuerpo. Las cargas actuantes son una fuerza distribuida y el peso del cuerpo que será modelado como una fuerza distribuida adicional. El objetivo del laboratorio será hallar los esfuerzos a los que queda sometida la viga, así como los desplazamientos de cada extremo de los elementos finitos usados para modelar la viga.
DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
CALCULAR LAS REACCIONES, DEFORMACIONES Y ESFUERZOS CAUSADOS POR FLEXION PARA UNA VIGA DE SECCION VARIABLE
INGRESAR LONGITUD DE LOS ELEMENTOS, CARACTERISTICAS DEL MATERIAL, SECCION DE LOS ELEMENTOS, MOMENTOS DE INERCIA Y CARGAS DISTRIBUIDAS SOBRE LA VIGA
SE CALCULAN LAS COMPONENTES DE LAMATRIC DE RIGIDEZ, DEL VECTOR CARGA PARA CADA ELEMENTO, LOS DESPLAZAMIENTOS LINEALES Y ANGULARES Y RESUELVEN LAS ECUACIONES.
SE OBTIENE LAS DESPLAZAMIENTOS, REACCIONES, MOMENTOS Y ESFUERZOS EN CADA ELEMENTO
FIN
DESARROLLO DEL PROBLEMA CON MATLAB
El cuerpo a analizar será el siguiente.
Se trata de una viga constituida por un perfil I de altura variable, con una fuerza distribuida y empotrado en sus extremos, se realizara el análisis por elementos finitos para 4 elementos de igual longitud, la viga esta sometida a una fuerza distribuida y a la acción de su propio peso. El análisis será el siguiente. Se usaran 4 elementos finitos con una altura promedio entre el inicio y final de la altura de la viga de altura variable. El material es acero estructural A – 36 y sus propiedades son:
Modulo de elasticidad (MPa)
Densidad del material (
)
Las demás características y propiedades de cada elemento de la viga son:
() () ]
Con estos datos y ayudándonos del grafico podemos analizar la conectividad del modelo
() ()
( )
()
) (
Para el cálculo de la matriz de rigidez tenemos que la matriz de rigidez local para cada elemento finito será
[
]
Y la matriz de rigidez global será:
| ∑
Ahora continuamos con el vector carga, para el calculo de este vector en cada elemento sometido a una fuerza distribuida las cargas se modelaran de la siguiente forma: IMAGEN DE EQUIVALENCIA
Adicionalmente a la carga distribuida aplicada en los elementos 2 y 3, estamos considerando la accion del peso sobre la viga, este sera modelado como una fuerza distribuida adicional. Para hallaver el vector carga g lobal sera:
| ∑ Operando este vector nos resulta y escribiendolo como columna
[] Por la simetria de las cargas, la viga y el modelo podemos ver que las fuerzas son simetricas, con los momentos teniendo mismo modulo pero diferente sentido. Luego tendremos que el vector de las reacciones global que sera
[] Por lo tanto el vector carga sera
[ ] [] [] [ ]
Resolvemos para
Por lo tanto el vector desplazamientos sera
Para hallar las reaccion podemos hallar
Operando
resulta
de la ecuacion de rigidez y luego hacer
[ ] Y las reacciones
[] Ya que tenemos todos los desplazamientos cada elemento podemos hallar los esfuerzos en ellos utilizando
() () Con esto tenemos que el vector de esfuerzos es tomando para cada elemento
() ( ) ) ( ) ( ( )
CODIGO DE MATLAB UTILIZADO
clc clearall closeall %CARACTERISTICAS DEL MATERIAL E=210000; h=[200 400 400 200]; for i=1:4 A(i)=100*13*2+25*(h(i)-2*13); end sg=7.8*9.81*10^-6; for i=1:4 I(i)=2*((100*13^3)/2+100*13*(h(i)-2)/2)+25*(h(i)-26)^3/12; end L=[750 750 750 750]; for i=1:4 W(i)=sg*A(i)*L(i); end p=5*750; %CONECTIVIDAD x=[1 2 3 4]; y=[2 3 4 5]; %FUERZA DEBIDO AL PESO P(1)=W(1)/2; P(2)=W(1)/12; P(3)=W(1)/2+W(2)/2+p/2; P(4)=W(2)/12+p/12-W(1)/12; P(5)=W(2)/2+W(3)/2+p; P(6)=0; P(7)=P(3); P(8)=-P(4); P(9)=P(1); P(10)=-P(2); f=P; P=P'; f(1)=[]; f(1)=[]; f(7)=[]; f(7)=[]; %MATRIZ DE RIGIDEZ for i=1:4 b(i)=x(i)*2; a(i)=b(i)-1; d(i)=y(i)*2; c(i)=d(i)-1; end for i=1:4 z=zeros(10); z(a(i),a(i))=12; z(a(i),b(i))=6*L(i); z(a(i),c(i))=-12; z(a(i),d(i))=6*L(i); z(b(i),a(i))=6*L(i);
z(b(i),b(i))=4*L(i)^2; z(b(i),c(i))=-6*L(i); z(b(i),d(i))=2*L(i)^2; z(c(i),a(i))=-12; z(c(i),b(i))=-6*L(i); z(c(i),c(i))=12; z(c(i),d(i))=-6*L(i); z(d(i),a(i))=6*L(i); z(d(i),b(i))=2*L(i)^2; z(d(i),c(i))=-6*L(i); z(d(i),d(i))=4*L(i)^2; r(i)=E*I(i)/L(i)^3; J(1:10,1:10,i)=r(i)*z; end K=zeros(10); for i=1:4 K=K+J(:,:,i); end k=K; for i=1:2 k(:,1)=[]; k(1,:)=[]; end for i=1:2 k(:,7)=[]; k(7,:)=[]; end %CALCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONES f=f'; q=pinv(k)*f; Q=[0 0 q(1) q(2) q(3) q(4) q(5) q(6) 0 0]; Q=Q'; F=K*Q; R=F-P; %CALCULO DE ESFUERZOS a=[Q(1) Q(1) Q(1) Q(3) Q(3) Q(3) Q(5) Q(5) Q(5) Q(7) Q(7) Q(7)]; b=[Q(2) Q(2) Q(2) Q(4) Q(4) Q(4) Q(6) Q(6) Q(6) Q(8) Q(8) Q(8)]; c=[Q(3) Q(3) Q(3) Q(5) Q(5) Q(5) Q(7) Q(7) Q(7) Q(9) Q(9) Q(9)]; d=[Q(4) Q(4) Q(4) Q(6) Q(6) Q(6) Q(8) Q(8) Q(8) Q(10) Q(10) Q(10)]; h=[200 200 200 400 400 400 400 400 400 200 200 200]; for i=1:3:12 v(i)=0.25*((2-3*(-1)+(-1)^3)*a(i)+0.5*L(1)*(1-(-1)-(-1)^2+(1)^3)*b(i)+(2-3*(-1)+(-1)^3)*c(i)+0.5*L(1)*(1-(-1)-(-1)^2+(1)^3)*d(i)); rho(i)=-(E*h(i)/(2*L(1)^2))*(6*(-1)*a(i)+(3*(-1)-1)*L(1)*b(i)6*(-1)*c(i)+(3*(-1)-1)*L(1)*d(i)); end for i=2:3:12
v(i)=0.25*((2-3*(0)+(0)^3)*a(i)+0.5*L(1)*(1-(0)(0)^2+(0)^3)*b(i)+(2-3*(0)+(0)^3)*c(i)+0.5*L(1)*(1-(0)(0)^2+(0)^3)*d(i)); rho(i)=-(E*h(i)/(2*L(1)^2))*(6*(0)*a(i)+(3*(0)-1)*L(1)*b(i)6*(0)*c(i)+(3*(0)-1)*L(1)*d(i)); end for i=3:3:12 v(i)=0.25*((2-3*(1)+(1)^3)*a(i)+0.5*L(1)*(1-(1)(1)^2+(1)^3)*b(i)+(2-3*(1)+(1)^3)*c(i)+0.5*L(1)*(1-(1)(1)^2+(1)^3)*d(i)); rho(i)=-(E*h(i)/(2*L(1)^2))*(6*(1)*a(i)+(3*(1)-1)*L(1)*b(i)6*(1)*c(i)+(3*(1)-1)*L(1)*d(i)); end
CONCLUSIONES
Con el método de elementos finitos para las vigas bajo cargas de flexión tenemos un método útil y directo que además sirve para vigas de cualquier tipo de sección y nos permite hallar todas las cargas, esfuerzos y desplazamientos que hay en esta sin necesidad de realizar extensos cálculos sin importar a qué t ipo de cargas este sometida la viga.
En este caso de una viga de sección variable entre más elementos finitos utilicemos podemos tener una mucho mejor aproximación del modelo y obtener mejores resultados para los esfuerzos y desplazamientos que ocurren en la viga.
Los esfuerzos y desplazamientos han sido de bajo orden debido al gran modulo de elasticidad del material y al alto momento de iner cia de la viga.
