Lógica proposicional 9. Metateoría
Juan Carlos León Universidad de Murcia
Esquema del tema 9.1. Lógica y metalógica 9.2. Las nociones de consistencia, corrección
y completitud 9.3. La corrección del método de árboles 9.4. La completitud del método de árboles 9.5. La noción de decidibilidad. Los árboles como procedimiento decisorio 9.6. Potencia expresiva de conjuntos de conectivas
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Lógica proposicional 9. Metateoría
9.1. Lógica y metalógica
Dos sentidos de “lógica” La lógica en sentido estricto se ocupa de
determinar qué argumentos son válidos y qué proposiciones son lógicamente verdaderas En un sentido amplio, la lógica incluye lo anterior (la lógica en sentido estricto), y el discurso acerca de ella La metateoría de la lógica (o metalógica) se considera por supuesto como parte de la ciencia de la lógica; y quizá como la parte más importante
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Lógica y metalógica En la práctica, decimos que nos ocupamos de
cuestiones lógicas cuando nos interesamos por un sistema deductivo con el fin de investigar cuáles son sus teoremas, cómo se desarrollan en él determinadas inferencias, etc. En cambio, cuando nos preguntamos por el sistema deductivo en sí mismo, y nos planteamos si no conduce a ninguna contradicción, o si incluye entre sus teoremas todos aquellos que serían deseables, entonces podemos convenir en decir que estamos tratando cuestiones metalógicas
Teoremas y metateoremas Los teoremas son leyes lógicas: son verdaderos con
independencia de los hechos, y no cabe, por tanto, la posibilidad de que sean falsos Un metateorema no es una ley lógica, sino una proposición verdadera de hecho acerca de un sistema de lógica (pero que, como cualquier verdad de hecho, podría haber sido falsa) Un metateorema no es formalmente demostrable sin partir de ningún supuesto previo Podemos probar que es verdadero, pero partiendo de los hechos acerca de un sistema formal
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Metalógica y filosofía de la lógica La filosofía de la lógica tiene relación con la
metateoría de la lógica, pero es bien distinta de ella La metalógica estudia las propiedades de los sistemas lógico-formales La filosofía de la lógica también puede tratar de tales sistemas lógicos, pero se ocupa de cuestiones filosóficas más que de cuestiones puramente formales
Ejemplo La filosofía de la lógica puede ocuparse de las
relaciones entre la lógica proposicional bivalente y la multivalente, y preguntarse si realmente unas son alternativas a las otras, o qué consecuencias tendría para el concepto de verdad la adopción de un sistema multivalente, etc. La metateoría de la lógica puede ayudar mucho a resolver cuestiones de este tipo, pero no puede liquidarlas Por ejemplo, parece relevante para una valoración filosófica de las lógicas multivalentes el hecho de que la mayoría de ellas están contenidas en la lógica bivalente (es decir, que todos sus teoremas también lo son de la lógica bivalente, pero no a la inversa)
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9.2. Las nociones de consistencia, corrección y completitud
Consistencia simple y absoluta Un sistema formal es simplemente
consistente sii para ninguna fbf A sucede que A y ¬A. Tendríamos
una inconsistencia simple si hubiera un par de teoremas contradictorios
Un sistema es absolutamente consistente sii
no para toda fbf A sucede que A. Tendríamos
una inconsistencia absoluta cuando todas las fbfs (o sea, cada fbf y su contradictoria) fueran teoremas
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La consistencia del método de árboles Si en un sistema se cumple
A ¬A B entonces la inconsistencia simple implica la inconsistencia absoluta, y viceversa En el método de árboles se cumple el principio ex contradictione quodlibet Además, no sucede que p, por ejemplo Luego, es absoluta y simplemente consistente
Corrección Un sistema es correcto cuando todo
argumento derivable es válido (e incorrecto cuando permite derivar algún argumento inválido). Es decir, cuando Si A, entonces A Para el caso particular en que fuera un conjunto vacío, tendríamos que Si A, entonces A o sea, que todo teorema es válido
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Corrección y consistencia La corrección implica la consistencia, pues en un
sistema inconsistente para alguna fbf A sucedería que A y ¬A y entonces, si fuera correcto, tendríamos que A y ¬A lo cual es imposible: dos fbfs válidas no pueden ser contradictorias Luego, basta demostrar la corrección para tener también probada la consistencia (pero no a la inversa)
Completitud La completitud es la inversa de la corrección Un sistema es completo cuando todo
argumento válido es derivable (e incompleto cuando algún argumento válido no es derivable). Es decir, cuando Si A, entonces A Para el caso particular en que fuera un conjunto vacío, tendríamos que Si A, entonces A o sea, que toda fbf válida es un teorema
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Adecuación Decimos que un sistema es adecuado con
respecto a su interpretación semántica cuando es correcto y completo: A sii A Hay entonces una plena correspondencia entre sintaxis y semántica: “” y “” pueden intercambiarse libremente
Lógica proposicional 9. Metateoría
9.3. La corrección del método de árboles
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El metateorema de corrección La corrección (si A, entonces A), para el
caso concreto de los árboles significa que
Si {,¬A} tiene un árbol cerrado, entonces {,¬A} es insatisfacible
Por contraposición, eso equivale a Si {,¬A} es satisfacible, entonces {,¬A} tiene un árbol terminado y abierto Más generalmente, lo que probaremos como
metateorema de corrección es que
Si la lista inicial es satisfacible, el árbol terminado estará abierto
Adecuación de las reglas La prueba de corrección (y también después la de
completitud) se basa en el siguiente
Lema de adecuación de las reglas: la premisa de una regla es verdadera en las mismas interpretaciones en que lo son todas las líneas de alguna de sus listas de conclusiones
Las reglas que bifurcan la rama tienen dos listas de
conclusiones; las que no, sólo tienen una. Cada una de esas listas puede tener una o dos líneas La prueba del lema, para cada una de las reglas, es obvia (A B, por ejemplo, es verdadera cuando A y B son veraderas o cuando lo son ¬A y ¬B)
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Adecuación descendente y ascendente El lema de adecuación tiene, en realidad dos partes: Adecuación descendente: si la premisa de una regla es verdadera para una interpretación, entonces también lo son todas las líneas de alguna de sus listas de conclusiones Adecuación ascendente: Si todas las líneas de una de las listas de conclusiones de una regla son verdaderas para una interpretación, entonces también lo es la premisa Usaremos la primera parte para demostrar la
corrección, y la segunda en la prueba de completitud
Hipótesis Supongamos que la lista inicial de un árbol es
simultáneamente satisfacible Eso significa que hay una interpretación I que hace verdaderas a todas sus líneas De ahí se sigue que en el momento inicial el árbol está abierto Si
estuviera cerrado la lista inicial contendría como líneas una letra proposicional y la negación de esa misma línea. Y esas dos líneas no serían ambas verdaderas para I
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Estrategia Para probar la corrección bastará demostrar que
cuando un árbol crece por la aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama satisfacible, y por tanto abierta
Si la lista inicial está abierta y cada vez que aplicamos una regla volvemos a tener una rama abierta, el árbol completo tendrá una rama abierta
Suponemos entonces a) que en una rama R de un árbol sin terminar, todas las líneas son verdaderas para una interpretación I b) que hacemos crecer el árbol aplicando una regla a una de sus líneas L (la cual puede pertenecer o no a R: lo que nos obliga a considerar dos casos)
Caso 1 Si L está en R, entonces, según (a), L es verdadera
para I Apelando al lema (la adecuación descendente de la regla aplicada a L), serán verdaderas para I todas las líneas de al menos una de las listas de conclusiones añadidas a R Luego, R junto con esa lista de conclusiones forma una rama del árbol extendido en la cual todas sus líneas son verdaderas para I Luego, si L está en R, cuando el árbol se extiende por aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama en la que todas sus líneas son verdaderas para I
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Caso 2 Si L no está en R, entonces al aplicar una regla a L,
no añadimos nada a R En este caso, la propia R es una rama del árbol extendido en la cual todas las líneas son verdaderas para I Luego también si L no está en R, cuando el árbol se extiende por aplicación de una regla, se conserva la propiedad de contener una rama en la que todas sus líneas son verdaderas para I Por tanto, sea cual sea el caso, ha de haber una rama tal (y por tanto abierta) en el árbol terminado, con lo que se completa la prueba de la corrección
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9.4. La completitud del método de árboles
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El metateorema de completitud La completitud (si A, entonces A), para el
caso concreto de los árboles significa que
Si {,¬A} es insatisfacible, entonces {,¬A} tiene un árbol cerrado
Por contraposición, eso equivale a Si {,¬A} tiene un árbol terminado y abierto, entonces {,¬A} es satisfacible Más generalmente, lo que probaremos como
metateorema de completitud es que
Si hay una rama abierta en un árbol terminado, la lista inicial es satisfacible
Hipótesis Supongamos que un árbol terminado
contiene una rama abierta R Puesto que está terminado, habrán sido marcadas todas las líneas de R que no sean letras proposicionales o letras proposicionales negadas. O sea, todas las líneas con una longitud de 3 símbolos o más, si es que las hay
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Estrategia Consideremos una interpretación I que asigna V a
aquellas letras proposicionales que figuran como líneas independientes en R, y F a todas las demás Consecuentemente, todas las líneas sin marcar de R (las líneas de longitud 1 y 2) serán verdaderas para I Demostraremos entonces que todas las líneas de R son verdaderas para I, o sea que todas ellas son simultáneamente satisfacibles Con ello quedará probado que la lista inicial, que forma parte de R, es satisfacible
Prueba Si consideramos la adecuación ascendente de
las reglas, la verdad para I de las líneas más cortas implicará la de las premisas más largas a partir de las cuales se obtuvieron como conclusiones De este modo, en un número finito de pasos (uno para cada regla aplicada), partiendo de la verdad para I de las líneas de longitud 1 ó 2, llegaríamos hasta las fbfs iniciales de R Luego todas las fbf de R son verdaderas para I, y por tanto las fbfs iniciales son satisfacibles
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9.5. La noción de decidibilidad. Los árboles como procedimiento decisorio
Decidibilidad Decimos que un sistema formal es decidible
cuando existe un algoritmo, un procedimiento mecánico o computacional, para establecer, en un número finito de pasos, si una conclusión se sigue o no de ciertas premisas (y si una proposición es o no una ley lógica) Para el caso del método de árboles el metateorema a probar es éste:
Decidibilidad: si la lista inicial es finita, la prueba termina tras un número finito de pasos (Se da un paso cada vez que se aplica una regla)
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Decidibilidad del método de árboles Los hechos en que se apoya la prueba son los
siguientes:
El método comienza con número finito de fbfs, cada una de las cuales tiene una longitud finita: un número finito de símbolos, contando letras proposicionales, conectivas y paréntesis (sin omitir ninguno) Cada vez que aplicamos una regla, marcando una premisa, introducimos un número finito de nuevas líneas, cada una de las cuales es más corta (en número de símbolos) que la premisa
Por tanto, si el árbol no cierra (si cerrase terminaría),
llegará un momento en que todas las líneas sin marcar, en las ramas abiertas, serán de longitud 1 ó 2 (letras proposicionales o negaciones de letras proposicionales), con lo que el árbol también termina
Censos de árboles Definamos el censo de un árbol como una secuencia
infinita de números: el primero es el número de líneas sin marcar de longitud 1 que hay en el árbol, el segundo el número de líneas sin marcar de longitud 2, y así sucesivamente Puesto que un árbol sólo contiene un número finito de líneas, tarde o temprano en esa secuencia sólo aparecerán ceros hasta el infinito Cada vez que apliquemos una regla, el censo se hará más pequeño en el sentido siguiente: el nuevo censo contendrá un número menor que el censo anterior en la posición más a la derecha en la que ambos censos difieran
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Ejemplo 1 Árbol:
Censos:
1. ((p q) r) (prem.) 2. ¬r (prem.) 3. ¬(p q) (¬con.) 4. ¬(p q) 6. ¬p 7. ¬q 8. ¬p
5. r
9. ¬q
Inicio:
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0…
(de 1) (de 4)
Paso 1: 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0…
(de 3)
Paso 3: 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0…
Paso 2: 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0…
Ejemplo 2
Árbol: 1. (p (q r)) 2. p 3. ¬(¬p ¬q) 4. ¬p 5. ¬¬q
Censos: (prem.) (prem.) (¬con.) (de 3)
Inicio:
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0…
Paso 1: 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0…
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Censos y decidibilidad Cualquier secuencia de censos más y más pequeños (en
el sentido indicado) ha de terminar tras un número finito de pasos, ya que que las cadenas descendentes siempre son finitas
A partir de cualquier censo, es obvio que podemos hacerlo crecer (ascender, en el sentido indicado) de forma indefinida Pero si en cada paso hacemos descender el censo, obteniendo uno más pequeño, tarde o temprano llegaríamos al censo nulo (una cadena infinita de ceros) (Obviamente, en el caso de censos de árboles, el descenso terminaría antes, cuando sólo sean positivos los dos primeros números de la secuencia, o cuando el árbol se cierre; pero este hecho es irrelevante para la prueba)
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9.6. Potencia expresiva de conjuntos de conectivas
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Adecuación de conectivas Se dice que un conjunto de conectivas
resulta adecuado cuando un lenguaje formal que cuenta con ellas, y no con otras, tiene la potencia suficiente para expresar todas las funciones de verdad existentes Ello significa que, para cada función de verdad, existe en el lenguaje formal al menos una fbf cuya tabla de verdad coincide justamente con esa función
Tipos de funciones veritativas Las funciones de verdad pueden ser
funciones de un argumento, de dos, de tres, etc. Las conectivas monádicas (como “¬”) formalizan las funciones veritativas de un argumento Las diádicas (como “”, “”, “” y “”), las de dos argumentos Las triádicas (que podríamos inventar) formalizarían las de tres argumentos, etc.
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Funciones de un argumento Hay exactamente 4 funciones de verdad de
un argumento, algunas de las cuales tienen nombre familiar y otras no. Son éstas: Sin nombre
Identidad
Negación
Sin nombre
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
Funciones de dos argumentos (1) Hay exactamente 16 funciones de verdad de
dos argumentos, algunas de las cuales tienen nombre y otras no: f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
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Funciones de dos argumentos (2) De éstas, las más conocidas son: f2: la disyunción (“”) f5: el condicional (“”) f7: el bicondicional (“”) f8: la conjunción (“”) Otras son menos conocidas, aunque también existen nombres
para ellas:
f3: el condicional converso f9: la barra de Sheffer (“”) o negación de la conjunción f10: la disyunción exclusiva o negación del bicondicional (“”) f12: la negación del condicional f14: la negación del condicional converso f15: la función de Peirce (“”) o negación de la disyunción
Finalmente, carecen de nombre: f1, f4, f6, f11, f13 y f16
Infinitas funciones de verdad Hay exactamente 256 funciones de verdad de tres
argumentos, ninguna de las cuales tiene nombre familiar En general, se cumple la regla de que existen 22n funciones de verdad de n argumentos Hay, desde luego, una infinita cantidad de diferentes funciones de verdad Pero formalizando sólo unas pocas, e incluso una sólo, pueden expresarse todas las demás El conjunto de conectivas que hemos introducido en nuestro lenguaje formal es excesivo: podríamos habérnoslas apañado con un menor número de conectivas, sin pérdida alguna de potencia expresiva
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El conjunto {¬, , } es adecuado Un lenguaje formal que tenga esas tres conectivas
contará entre sus fbfs con fbfs en forma normal disyuntiva (FND) Una fbf está en forma normal disyuntiva sii es una disyunción de n disyuntos (n 1), cada uno de los cuales es una conjunción de m conyuntos (m 1), cada uno de los cuales es una letra proposicional o una letra proposicional precedida de negación Demostraremos que, para cualquier función de verdad, podemos construir una fbf en FND cuya tabla de verdad coincida con esa función, con lo cual quedará probada la adecuación del conjunto {¬, , }
Peculiaridades de las fbfs en FND Podemos hablar de disyunciones y conjunciones de
un solo miembro (a las que llamamos “degeneradas”) ya que ambas conectivas son idempotentes: A A A A A A Además, en las FND hacemos uso del hecho de que ambas conectivas cumplen la propiedad asociativa De la definición de FND se sigue que
Una negación no puede tener mayor alcance que una conjunción ni que una disyunción Una conjunción no puede tener mayor alcance que una disyunción
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Ejemplos Fbfs en FND:
(p q) (¬p ¬r s) (¬q r) p (q ¬r) ¬p q ¬r p ¬q p Fbfs que no están en FND: (p ¬q) ¬r (¬p q) ¬(p r) p ¬(q r)
Estrategia de la prueba Tomemos una función de verdad cualquiera, con un
número cualquiera n de argumentos. La tabla correspondiente tendrá 2n filas. Consideremos la última columna de la tabla; podemos encontrarnos con tres posibilidades:
caso 1: que en la última columna sólo aparezca F caso 2: que haya únicamente una V y el resto sea F caso 3: que haya más de una V (posiblemente todas)
Mostraremos, para cada uno de estos tres casos,
cómo se construye una fbf en FND con n letras proposicionales, y cuya tabla de verdad coincide con la función en cuestión
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Caso 1 (todo F) Entonces
p1 ¬p1 p2 … pn es una fbf en FND cuya tabla de verdad coincide con la de la función en cuestión En efecto, “p1 ¬p1” siempre tiene el valor F,
y por tanto hace que en ninguna valoración la fbf resulte V
Ejemplo V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
La fbf
p ¬p q r está en FND y tiene justamente esa tabla de verdad
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Caso 2 (sólo una V) Sigamos la fila de la tabla que termina en V Si el primer término de esa fila es V, escribamos “p1”; si es F, escribamos “¬p1” Si el segundo término de la fila es V, escribamos “p2”; si es F, escribamos “¬p2” Así sucesivamente hasta llegar al n ésimo término: si es V, escribamos “pn”; si es F, escribamos “¬pn” Finalmente formemos la conjunción de todo lo que hemos escrito La fbf resultante estará en FND y tendrá la misma
tabla de verdad que la función en cuestión
Ejemplo V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
La fbf
¬p q ¬r está en FND y tiene justamente esa tabla de verdad
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Caso 3 (más de una V) Procedamos, igual que en el caso 2, a
construir del mismo modo una fbf para cada fila que adopte el valor V Formemos luego la disyunción de todas esas fbfs La fbf resultante estará en FND y tendrá la misma tabla de verdad que la función en cuestión Esto completa la prueba de la adecuación del conjunto {¬, , }
Ejemplo 1 V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
La fbf que buscamos es
(p q ¬r) (¬p q ¬r) (¬p ¬q ¬r)
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Ejemplo 2 V V F F
V F V F
V V V V
La fbf que buscamos es
(p q) (p ¬q) (¬p q) (¬p ¬q)
El conjunto {¬, } es adecuado Partimos de la adecuación de {¬, , } Tomemos una función de verdad cualquiera, y
construyamos una fbf en FND que tenga la misma tabla de verdad que esa función Eliminemos de esa fbf cada una de las apariciones de “” y “”, sustituyéndolas por “¬” y “”, de acuerdo con los siguientes esquemas tautológicos: 1) A B ¬(A ¬B) 2) A B (¬A B) El resultado será una fbf cuyas únicas conectivas
serán “¬” y “” y cuya tabla de verdad coincidirá con la de la función en cuestión. Luego, {¬, } es adecuado
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Ejemplo V V F F
V F V F
V F V F
La fbf en FND que buscamos es
(p q) (¬p q) Aplicando el esquema (1), obtenemos ¬(p ¬q) ¬(¬p ¬q) Y aplicando el esquema (2), resulta finalmente ¬¬(p ¬q) ¬(¬p ¬q)
Los conjuntos {¬, } y {¬, } son adecuados Nos apoyamos en ambos casos en la adecuación de
{¬, , } {¬, } es adecuado: basta usar el esquema tautológico
(A B) ¬(¬A ¬B)
para eliminar las conjunciones de las fbfs en FND {¬, } es adecuado: es suficiente usar el esquema
(A B) ¬(¬A ¬B)
para eliminar las disyunciones de las fbfs en FND (No todos los conjuntos adecuados incluyen la negación, como veremos a continuación)
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Los conjuntos {, }, {} y {} son adecuados {, } es adecuado: partimos ahora de la
adecuación de {¬, }, y usamos el esquema
¬A (A (A A))
{} es adecuado: nos apoyamos en la adecuación de
{¬, }, y usamos los esquemas
¬A (A A) A B ((A A) (B B))
{} es adecuado: se prueba a partir de la adecuación
de {¬, }, usando los esquemas
¬A (AA) A B ((AA)(BB))
Los dos últimos metateoremas muestran cómo una
sola conectiva puede ser adecuada
Conjuntos no adecuados Los siguientes resultados se basan en que los conjuntos de
conectivas que se citan son incapaces de expresar la función veritativa de la negación:
{, } no es adecuado {, } no es adecuado {,} no es adecuado {, } no es adecuado
El resultado siguiente se justifica considerando que el
condicional no puede expresarse mediante ninguna combinación de “¬” y “”: {¬, } no es adecuado Finalmente, como de las otras tres funciones de verdad de un
argumento, sólo la de la identidad puede expresarse en términos de la negación (mediante una doble negación), tenemos que
{¬} no es adecuado
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Las conectivas de Sheffer y Peirce Especial interés tiene este último metateorema: Las únicas conectivas diádicas que resultan adecuadas por sí solas son “” y “” La prueba procede por reducción al absurdo Supongamos que existiera otra conectiva diádica que
fuera adecuada por sí sola, y llamémosla “*” Si “*” ha de ser capaz de expresar la negación, entonces debe cumplirse
¬A (A * A)
Esto nos permite afirmar que su tabla de verdad ha
de arrojar F como resultado de la primera fila, y V como resultado de la cuarta
La (supuesta) conectiva “*” A V V F F
B V F V F
A*B F ? ? V
Con respecto a las filas segunda y tercera, tenemos cuatro
casos a considerar: Caso 1: que ambas den V Caso 2: que ambas den F Caso 3: que la segunda dé V y la tercera F Caso 4: que la segunda dé F y la tercera V
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