Livro de Cálculo 3 - Prof. Sinvaldo Gama.docx

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA QUÍMICA

Cálculo Diferencial e Ine!ral III

Professor: Sinvaldo Gama

Maceió-AL Outubro/2007

Su"ário !α : ℜ → ℜ n 

CA#ÍTULO $ % FUN&'ES VETORIAIS DE UMA VARI(VEL REAL """""# Se$%o &"&: 'urvas Parametri(adas""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Parametri(adas"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""# "# Se$%o &"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") """"""""""""""""""") Se$%o &"#: *erivada""""""""""""""""""""""""""""" *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""&0 &0 Se$%o &"+: ,nterreta$%o Geom.trica da *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""" *erivada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""&# """""""&# Se$%o &": ,nterreta$%o 1sica da *erivada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""& """"""""""""""""""""""""& Se$%o &": 'urvas em 34""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 34"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""&5 """"""""""""""""&5 Se$%o &"7: 'omrimento de uma 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""22 22 Se$%o &"5: Parametri(a$%o elo 'omrimento de Arco""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Arco""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2 """""""""""""""2 Se$%o &"): 'urvatura de uma 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""25 25 Se$%o &"&0: 6or$%o de uma 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""#2 "#2

( f : ℜn → ℜ) CA#ÍTULO ) % FUN&'ES REAIS DE V(RIAS VARI(VEIS REAIS ""+0 Se$%o 2"&: un$es e Gr8ficos"""""""""""""""""""""""""""""""""" Gr8ficos""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+0 """""""""""""""""""""""""""""""""""""+0 Se$%o 2"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""+2 """""""""""""""""+2 Se$%o 2"#: *erivadas Parciais"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Parciais""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""+5 +5 Se$%o 2"+: 3e9ra da 'adeia !& ;ers%o""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" rs%o"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""" Se$%o 2": *erivada *irecional""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *irecional"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""  Se$%o 2": un$es *iferenci8veis""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *iferenci8veis"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""5 """"5 Se$%o 2"7: 3e9ra da 'adeia !2 ;ers%o""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" rs%o"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""" Se$%o 2"5: Gradiente e *erivada *irecional""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *irecional"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""7& """"""""""""""""""""""""""""7& Se$%o 2"): un$es ,ml1citas"""""""""""""""""""""""""""""""""" ,ml1citas""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""7+ """""""""""""""7+ Se$%o 2"&0: M8
CA#ÍTULO * % FUN&'ES VETORIAIS VETORIAIS """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&0# Se$%o #"&: un$es ;etoriais"""""""""""""""" ;etoriais""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""&0# &0# Se$%o #"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""&0) &0) Se$%o #"+: A 3e9ra da 'adeia""""""""""""""""""""""""""""""" 'adeia"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&+ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&+ Se$%o #": O 6eorema da un$%o ,nversa""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ,nversa"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&) """"""""""""""""""""""""""&&)

Su"ário !α : ℜ → ℜ n 

CA#ÍTULO $ % FUN&'ES VETORIAIS DE UMA VARI(VEL REAL """""# Se$%o &"&: 'urvas Parametri(adas""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Parametri(adas"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""# "# Se$%o &"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""") """"""""""""""""""") Se$%o &"#: *erivada""""""""""""""""""""""""""""" *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""&0 &0 Se$%o &"+: ,nterreta$%o Geom.trica da *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""" *erivada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""&# """""""&# Se$%o &": ,nterreta$%o 1sica da *erivada""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *erivada"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""& """"""""""""""""""""""""& Se$%o &": 'urvas em 34""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 34"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""&5 """"""""""""""""&5 Se$%o &"7: 'omrimento de uma 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""22 22 Se$%o &"5: Parametri(a$%o elo 'omrimento de Arco""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Arco""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""2 """""""""""""""2 Se$%o &"): 'urvatura de uma 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""25 25 Se$%o &"&0: 6or$%o de uma 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 'urva""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""#2 "#2

( f : ℜn → ℜ) CA#ÍTULO ) % FUN&'ES REAIS DE V(RIAS VARI(VEIS REAIS ""+0 Se$%o 2"&: un$es e Gr8ficos"""""""""""""""""""""""""""""""""" Gr8ficos""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""+0 """""""""""""""""""""""""""""""""""""+0 Se$%o 2"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""+2 """""""""""""""""+2 Se$%o 2"#: *erivadas Parciais"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" Parciais""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""+5 +5 Se$%o 2"+: 3e9ra da 'adeia !& ;ers%o""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" rs%o"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""" Se$%o 2": *erivada *irecional""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *irecional"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""  Se$%o 2": un$es *iferenci8veis""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *iferenci8veis"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""5 """"5 Se$%o 2"7: 3e9ra da 'adeia !2 ;ers%o""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" rs%o"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""" Se$%o 2"5: Gradiente e *erivada *irecional""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" *irecional"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""7& """"""""""""""""""""""""""""7& Se$%o 2"): un$es ,ml1citas"""""""""""""""""""""""""""""""""" ,ml1citas""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""7+ """""""""""""""7+ Se$%o 2"&0: M8
CA#ÍTULO * % FUN&'ES VETORIAIS VETORIAIS """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&0# Se$%o #"&: un$es ;etoriais"""""""""""""""" ;etoriais""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""&0# &0# Se$%o #"2: Limite e 'ontinuidade"""""""""""""""""""""""""" 'ontinuidade""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""""""""""""""""""""""""" """""""""""""""&0) &0) Se$%o #"+: A 3e9ra da 'adeia""""""""""""""""""""""""""""""" 'adeia"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&+ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&+ Se$%o #": O 6eorema da un$%o ,nversa""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ,nversa"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""&&) """"""""""""""""""""""""""&&)

'a" 0&: Funções vetoriais de uma variável real

Prof. Sinvaldo Gama

'AP=6>LO & FUN&'ES VETORIAIS DE UMA VA VARI(VEL REAL

!α : ℜ → ℜ n 

SE&+O $,$- CURVAS #ARAMETRI.ADAS ?uando ol@amos curvas no lano como 9r8ficos de fun$es reais encontramos certos inconvenientes" >m deles . Bue curvas como c1rculos elises etc" n%o s%o 9r8ficos de fun$es !note Bue estas curvas n%o obedecem C restri$%o de uma fun$%o Cs retas verticais" y

y

b

−&

x

&

x

2

x

a

x 2 a2

+ y = & 2

y 2 + 2 b

=&

Para estudarmos estas curvas teremos Bue utili(ar 9r8ficos de mais de uma fun$%o" x 2

+ y2 = &

Por e
fun$es

 teremos Bue considerar as

f 2 ( x) = − & − x 2 , 0 ≤ x ≤ &

e

−&

"

−&

&

2 f & ( x) = & − x

&

f 2 ( x) = − & − x 2

x = ±&

Só Bue estas estas fun$es fun$es tDm a desvanta desvanta9em 9em de n%o serem diferenci8ve diferenci8veis is em e or conse9uinte n%o odemos utili(8-las ara estudar as tan9entes verticais ao c1rculo nestes ontos" Estes e outros inconvenientes odem ser evitados se mudarmos nosso onto de vista '8lculo ,,,

#


Prof. Sinvaldo Gama

com reseito Cs curvas" Em lu9ar de ensarmos numa curva como o 9r8fico de uma fun$%o uma curva a9ora ser8 vista como imagem de uma fun$%o F uma fun$%o vetorial" 'om este roósito a traetória de uma art1cula no lano ou no esa$o . um modelo muito Htil ara tDlo em mente Buando se estudam curvas" Em

ℜ#

t

 or e
a

(α & (t ),α 2 (t ),α # (t ))

art1cula est8 locali(ada no onto α

descrita or uma fun$%o

" Em verdade a traetória da art1cula . α (t ) = (α & (t ),α 2 (t ),α # (t ))

definida or

"

z α (t i ) = (α & (t i ),α 2 (t i ),α # (t i ))

•

• α (t i +& )

α (t i −& )

α (t 0 ) = (α & (t 0 ),α 2 (t 0 ),α # (t 0 )) •

α (t & )

α (t 2 )

•

•

• α (t n −& )

•

• α (t n ) = (α & (t n ),α 2 (t n ),α # (t n ))

y x

*escreveremos de modo 9eral este fato a se9uir salientando Bue o termo IcurvaJ ser8 usado tanto ara Buando nos referirmos a uma fi9ura como ara Buando nos referirmos a uma fun$%o" I

Defini/0o $,$,$- Sea um intervalo da reta" >ma fun$%o α : I → ℜn α n (t )) t  α (t ) = (α & (t ),α 2 (t ),...,

. dita uma função vetorial de uma vari8vel real ou uma curva arametrizada" α i : I → ℜ

As n fun$es ar!metro se refere C

 s%o c@amadas funções coordenadas de

vari8vel indeendente t da fun$%o

'8lculo ,,,

α

α

" A alavra

"

+


Para cada osição da

t ∈ I

Prof. Sinvaldo Gama

α (t ) = α & (t ),α 2 (t ),...,α n (t )

 o vetor

c@ama-se raio vetor ou vetor

t

curva no instante " 3eresentaremos este vetor como o segmento orientado Bue (α & (t ),α 2 (t ),..., α n (t ))

vai da ori9em do sistema coordenado ao onto de coordenadas

"

z

" ⊂ ℜ

(t 2 )

α

α

•

(t & )

α

t &

t 2

•

y

x

f : [ a,b] → ℜ

*e um modo 9eral se uma curva . 9r8fico da fun$%o



f (t ) (t , f (t ))

•

a

b

t

observe Bue a mesma . ima9em da curva α : [ a,b] → ℜ2 t  α (t ) = (t , f (t )) .

Defini/0o $,$,)- O traço ou a imagem de

α

. o conunto

α ( I ) = {α (t ) ∈ ℜ n ;t ∈ I }

"

'8lculo ,,,




Em alavras a imagem de

Prof. Sinvaldo Gama

α

corresonde ao conunto de todos os ontos no esa$o

ℜn

t ∈ I

α

9erados ela varia$%o oss1vel de cada " Kesta situa$%o di(-se Bue a fun$%o arametri(a seu tra$o ou Bue . uma arametri(a$%o do mesmo" α : [ 0,2π ] → ℜ 2

E1e"2lo $,$,$- Sea t  α (t ) = (cost ,sint ) = ( x, y)

.

x 2

α (t )

Observe Bue

+ y 2 = cos2 t + sin2 t = &

. um onto do c1rculo unit8rio 8 Bue

"E

(cost ,sint )

vice-versa todo onto do c1rculo unit8rio . da forma tra$o de

α

x 2

ara al9um t " Portanto o

+ y 2 = &

. o c1rculo

" y α (π 2) = (0,&)

α

2π

t

0

α (π ) = (−&,0)

Kote Bue o c1rculo

•α (t ) = (cost ,sint ) t

•

•

α (0) = (&,0)

α (#π 2) = (0,−&)

x 2 + y 2

•

x

•

=& reresenta a traetória de um onto móvel no lano" 

[ 0,2π ] medida Bue t cresce no intervalo

E1e"2lo $,$,)- Sea

a traetória vai se formando no sentido anti-@or8rio"

α : ℜ → ℜ2 t  α (t ) = P + t u = ( x, y)

 P = ( x0 , y0 )

onde

u

e O tra$o de

α

= (a ,b) s%o ontos de

. a reta Bue assa or

ℜ2 P

" u

e . aralela ao vetor

'8lculo ,,,

"




t

Prof. Sinvaldo Gama

α (t ) = P + t u

Para cada valor de  reresenta um onto sobre tal reta e vice-versa # = ( x, y) P + t u = # t ∈ ℜ dado um onto desta reta e
α

ℜ

P

•

x0

u = (a,b)

t

0

x

y0

P = α (0)

Observe Bue

α (t ) = P + t u = ( x0 , y 0 ) + t ⋅ (a ,b) = ( x0

+ ta , y0 + tb)

e como

fun$es coordenadas de

α

 as

s%o α 2 (t ) = y0 + tb

α &(t ) = x0 + ta

e

" α : [ 0,2π ] → ℜ2

E1e"2lo $,$,*- O tra$o da curva arametri(ada x 2

α (t ) = (a cost ,b sint )

. a elise x a

a2

=&

b2

" *e fato se y

= cost e x 2

e assim

+

y 2

a

2

+

y 2 b

2

b

definida or

x = a cost

y = b sint

e

 ent%o

= sint 

= cos2 t + sin2 t = & "

'8lculo ,,,

7


Prof. Sinvaldo Gama

y

α

0

b t

−a

2π

t

•α (t ) = (a cost ,b sint ) x

a

−b α : ℜ → ℜ#

E1e"2lo $,$,3- ?ual o tra$o da curva arametri(ada α (t ) = (a cost ,a sint ,bt ) = ( x, y , z ) a > 0 b > 0





definida or

N P = ( x, y , z )

Solu/0o- ,nicialmente note Bue a roe$%o orto9onal de cada onto da curva no P ′ = ( x, y ,0) x 2 + y 2 = a 2 z = 0 lano xy . o onto ertencente C circunferDncia  " ,sto si9nifica Bue a curva

α

x 2 + y 2

= a2

est8 contida no cilindro

"

z cilin5ro x 2

+ y 2 = a 2

circunfer eˆncia

x

2

+ y 2 = a 2 , z = 0

• P = ( x, y, z )∈ cur4a y

•

P ′ = ( x, y ,0)

x

;ale destacar ainda Bue as coordenadas

x

e

α (t + 2π )

α (t )

y

dos ontos

e

s%o i9uais

t

ara cada " *e fato

cos(t + 2π ) = cos(t )  sin(t + 2π ) = sin(t ) 

'8lculo ,,,

"

5


α (t + 2π )

α (t )

Portanto

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e

est%o sobre uma mesma reta vertical" inalmente α (t ) α (t + 2π ) 2π b observemos Bue . constante e i9ual a  a distncia entre e " *e fato d [ α (t + 2π ),α (t )]

=

02

+ 0 2 + (b(t + 2π ) − bt )2 = (b2π )2 = 2π b "

2π b

A constante . denominada asso da curva" O tra$o . ois a $%lice circular abai
α (t 0 + 2π )

•

α

t 0

−a

t 0 + 2π

a

y

x

α (t 0 )

•

K%o devemos confundir o tra$o de uma curva !a ima9em da fun$%o vetorial como seu 9r8fico" Este Hltimo . o conunto {(t ,α (t ))∈ ℜ 2 ;t ∈ I } " α

Observe Bue só teremos uma ima9em 9eom.trica do 9r8fico de uma fun$%o vetorial

ℜ#

Buando seu contradom1nio estiver contido em " Em nosso estudo entretanto raras ve(es teremos necessidade de considerar o 9r8fico de tal fun$%o"

E1e"2lo $,$,6- !Cicloi5e" A cicloide . uma curva descrita or um onto de uma circunferDncia Buando esta 9ira ao lon9o de uma reta sem escorre9ar" 'onsideremos um (0,a) P = (0,0) a c1rculo de raio e centro e um onto da mesma nesta osi$%o" *a Geometria Euclidiana sabemos Bue um arco Bue mede comrimento

at

t

radianos num c1rculo de raio

" A fi9ura abai
P

a

tem

numa osi$%o corresondente a )


um arco

&P

cua medida .

θ

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θ

radianos" O n9ulo central corresondente tamb.m mede

radianos" Observe Bue o se9mento

'&

&P

e o arco

tDm o mesmo comrimento

aθ

"

y

y

     → roacionan5o

• (0,a)

a P •

• &

•

x

P

θ

. #

•

x

'

•(

x

&

;emos tamb.m Bue (# = a cosθ

P# = a sinθ

e

"

P = ( x, y)

Se

 ent%o x = '& − P# = aθ − a sinθ = a(θ − sinθ )

y = #& − (# = a − a cosθ = a(& − cosθ )

e

"

Portanto a curva α (θ ) = (a(θ − sinθ ),a(& − cosθ ))



θ ∈ ℜ

arametri(a a cicloide" y

− 2π a

0

2π a

+π a

x

E1e"2lo $,$,7- Obten@a uma eBua$%o arametri(ada da curva obtida ela interse$%o do x 2

cilindro

y + z = 2

+ y2 = & com o lano

" '8lculo ,,,

&0


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α

Solu/0o- A roe$%o da curva interse$%o

no lano xy . a circunferDncia

+ y2 = &

x 2



z = 0

"

*esta forma

 x = cost  y = sint 

Por outro lado como

α

0 ≤ t ≤ 2π

ara

"

y + z = 2

est8 sobre o lano

 ent%o todos os seus ontos satisfa(em a z = 2 − y = 2 − sint eBua$%o deste lano isto . teremos:  do Bue resulta α (t ) = (cost ,sint ,2 − sint )

t ∈ [ 0,2π ]



"

SE&+O $,)- LIMITE E CONTINUIDADE Defini/0o $,),$- Sea

α

t 0 ∈ ℜ

uma curva arametri(ada e

" *efinimos o

lim α (t ) =   lim α & (t ),lim α 2 (t ),...,lim α n (t ) 

 t →t

t →t 0

t →t 0

0

lim α i (t ) t →t 0

Buando e
Teore"a $,),$- Seam

α





t →t 0

i = &,...,n

" t = t 0

β

e

curvas arametri(adas Bue ossuem limite em

" Ent%o

lim (α (t ) + β (t )) = lim α (t ) + lim β (t ) t → t 0

i.

t → t 0

∀a ∈ ℜ

lim (α (t ) ⋅ β (t )) = lim α (t ) ⋅ lim β (t ) t → t 0



t → t 0



lim(α (t )× β(t )) = lim α (t ) × lim β(t ) t → t 0

iv.

 

t → t 0

iii.

t → t 0

lim (a ⋅ α (t )) = a ⋅ lim α (t ) t → t 0

ii.

t → t 0

t → t 0

t → t 0

 onde

'8lculo ,,,

α β

e tDm seus tra$os contidos em

ℜ#



&&

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