Livro de Matemática Básica - Prof. Anderson Dias

Material didático elaborado por: Professor Mestre Anderson Dias Gonçalves

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Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

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Matemática

Sumário CONJUNTOS ..................................................................................................................................... 6 1. Introdução ...................................................................................................................................... 6 2. Noções de conjuntos .................................................................................................................... 6 3. Principais Conjuntos Numéricos ................................................................................................ 7 4. O Conjunto dos números reais ................................................................................................... 9 6. Subconjuntos ............................................................................................................................... 10 7. Operações entre conjuntos ....................................................................................................... 10 8. Número de elementos de um conjunto ................................................................................... 11 9. Intervalos ...................................................................................................................................... 12 EXPRESSÕES NUMÉRICAS ....................................................................................................... 13 1. Introdução .................................................................................................................................... 13 2. Expressões numéricas ............................................................................................................... 13 4. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) ............................................................................................. 14 5. Máximo Divisor Comum (m.d.c) ............................................................................................... 14 6. Frações ordinárias ...................................................................................................................... 15 7. Propriedades de Frações .......................................................................................................... 16 8. Potências...................................................................................................................................... 19 9. Propriedades de Potências ....................................................................................................... 19 10. Radicais...................................................................................................................................... 22 11. Operações algébricas .............................................................................................................. 25 NÚMEROS E GRANDEZAS PORPORCIONAIS....................................................................... 29 1. Introdução .................................................................................................................................... 29 2. Números e Grandezas Proporcionais ..................................................................................... 29 3. Grandeza Diretamente Proporcional ....................................................................................... 29 4. Grandeza Inversamente Proporcional ..................................................................................... 29 5. Razão e proporção ..................................................................................................................... 30 6. Propriedades das proporções ................................................................................................... 31 7. Regra de três simples ................................................................................................................ 34 8. Regra de três composta............................................................................................................. 35 9. Porcentagem ............................................................................................................................... 39 10. Fator de multiplicação .............................................................................................................. 40 11. Ponto percentual ....................................................................................................................... 41

4 Matemática Básica | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

EQUAÇÕES E SISTEMAS ............................................................................................................ 42 1. Introdução .................................................................................................................................... 42 2. Equações de 1º grau .................................................................................................................. 42 3. Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas .......................................................... 43 4. Método de solução para um sistema ....................................................................................... 44 5. Equações do 2º grau .................................................................................................................. 46 6. Equações irracionais .................................................................................................................. 48 7. Inequações do 1º grau ............................................................................................................... 49 FUNÇÕES ........................................................................................................................................ 51 1. Introdução .................................................................................................................................... 51 2. Conceito de função ..................................................................................................................... 51 3. Determinando o domínio de uma função ................................................................................ 52 4. Representação gráfica de uma função ................................................................................... 53 5. Marcando os pontos no plano cartesiano ............................................................................... 54 6. Gráficos de uma função ............................................................................................................. 54 FUNÇÃO LINEAR ........................................................................................................................... 59 1. Introdução .................................................................................................................................... 59 2. Modelos lineares ......................................................................................................................... 59 3. Inclinação e taxa de variação ................................................................................................... 62 4.Função linear geral ...................................................................................................................... 63 5. Obtenção de uma função linear ............................................................................................... 63 FUNÇÃO QUADRÁTICA ............................................................................................................... 70 1. Introdução .................................................................................................................................... 70 2. Um modelo de função quadrática ............................................................................................ 70 3. Caracterização de uma função quadrática ............................................................................. 72 4. Vértice da parábola de uma função quadrática. .................................................................... 74 5. Principais pontos de uma parábola. ........................................................................................ 75 6. Imagem de uma função quadrática – valor máximo e valo mínimo ................................... 75 7. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática ................................................... 76 Referência Bibliográfica ................................................................................................................. 79


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Matemática Capítulo 1

CONJUNTOS A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Renné Descartes

1. Introdução Introduziremos nesse capítulo a linguagem de Conjuntos que será utilizada sistematicamente nos capítulos posteriores. Todo o estudo sobre funções está solidificado sobre a teoria dos conjuntos. Por esta razão vamos dar uma atenção especial na linguagem utilizada para representação e operações de Conjuntos.

2. Noções de conjuntos A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela podemos expressar todos os conceitos matemáticos. Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A , dizemos que x pertence a A e escrevemos: 1

x∈ A Se, porém x não é um dos elementos do conjunto A , dizemos que x não pertence a A e escrevemos:

x∉ A

Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A . Podemos definir Conjuntos de diversas maneiras, entre elas: •

Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

A = {1,3,5} •

Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos.

•

Através de Diagramas (diagrama de Venn).

B = {x / x é um número ímpar menor que sete}

•1 •3 •5

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3. Principais Conjuntos Numéricos O conjunto dos números naturais 1,2,3,... será representado pelo símbolo N . Portanto temos:

N = {1,2,3,...}

O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será representado pelo símbolo Z . Assim temos:

Z = {..., −3,−2,− 1,0,1,2,3,...} O conjunto Q , dos números racionais, é formado pelas frações

p , onde p e q pertencem q

a Z , sendo q ≠ 0 . Em símbolos temos:

p  Q =  / p ∈ Z , q ∈ Z , q ≠ 0 q  Os números racionais podem ser representados dos seguintes modos: 1 - Decimal finito:

7 = 1,75 4 2 - Decimal infinito

1 = 0,3333.... 3 No segundo modo temos as chamadas dízimas periódicas. Números racionais que expressos na forma de decimal resultam em números com casas decimais infinitas. Efetuar a divisão e encontrar dízimas periódicas não há dificuldades; porém fazer a operação inversa requer um pouco mais de trabalho. A fração que dá origem a uma dízima periódica recebe o nome de fração geratriz. Veja os exemplos abaixo: Exemplo1. Encontre a fração geratriz da dízima 0,555 ... . Seja x = 0,555... então x é uma fração geratriz na forma

p . Algebricamente podemos realizar q

sem perda de generalidade algumas operações com x . Vejamos:

x = 0,555... (multiplicando os dois termos por 10) 10 x = 5,555 ... (podemos separar a parte inteira, da parte decimal) 10 x = 5 + 0,555... (sabemos que x = 0,555... ) 10 x = 5 + x

10 x − x = 5 9x = 5 → x =

5 9


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Matemática A fração geratriz da dízima periódica 0,555 ... é

5 . 9

Uma dízima periódica possui períodos, podendo ser simples ou composto. Veja o exemplo abaixo com os principais elementos de uma dízima. Exemplo 2. Seja o número 3,4565656 ... . Temos o seguinte: 3 : representa a parte inteira da dízima (I); 4 : representa o anti-período da dízima, ou seja, a parte que não se repete aos a vírgula (A); 56 : representa a parte periódica composta da dízima, nesse caso, período dois (2). No exemplo 1 o período da dízima é simples (1). Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 3,4565656 ... . De forma análoga ao exemplo 1, temos: x = 3,4565656 ... (multiplicando por 10 os dois termos) 10 x = 34,565656 ... (I) (multiplicando por 100 os dois termos) 1000 x = 3456,5656 ... (II) (vamos agora resolver o sistema linear formado por (I) e (II))

1000 x = 3456,5656...( II ) (subtraindo II de I)   10 x = 34,5656...( I ) 990x = 3422 3422 1711 que é a fração geratriz da dízima 3,4565656 ... x= = 990 495 Regra prática para encontrar a fração geratriz

IAP − IA 999...00..

(1)

onde: I : parte inteira da dízima periódica; A :anti-período da dízima periódica; P :parte periódica da dízima; 999... : um(1) nove para cada período; 00... : um(1) zero para cada ante-período. Exemplo 3. Encontre a fração geratriz da dízima dada por 3,4565656 ...

I =3 A= 4 P = 56 Aplicando a fórmula (1) temos:

IAP − IA 3456 − 56 3422 1711 = = = 999...00.. 990 990 495 Assim como existem números decimais que podem ser transformados em fração, com numerador e denominador inteiros, há os que não admitem tal representação. O número cuja representação não pode ser transformada em uma fração é um número irracional, e seu conjunto é representado por Ι . Veja alguns exemplos:


• •

O número 0,21211211 1.... não é uma dízima periódica, pois os algarismos depois da vírgula não se repetem. Os números 2 = 1,4142136... , 3 = 1,7320508... e π = 3,141592 ... , por não apresentarem representação infinita periódica, também são números irracionais.

Os conjuntos numéricos N , Z e Q cumprem as relações de inclusão N ⊂ Z e Z ⊂ Q . Abreviadamente, temos N ⊂ Z ⊂ Q .

4. O Conjunto dos números reais O conjunto formado pelos números racionais (Q ) e irracionais (Ι ) é chamado de conjunto dos números reais, e é representado por R . Em outras palavras podemos dizer que:

R = Q∪Ι Podemos representar o conjunto dos Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a figura abaixo. Nela podemos representar todo e qualquer número real.

5. Exercícios propostos 1) Complete com ∈ ou ∉ a) − 7 ___ N c)

1 ___ Ι 2

b) 2 ___ Q

9 ___ Q 4 − 64 ___ R

d)

e) 0,16666 .... ___ Q

f)

g) 3,232 ___ Q

h)

3

− 27 ___ Z

2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos: a) {x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 4}

b) {x ∈ Z / − 3 < x ≤ 3} c) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 5}

d) {x ∈ N / x ≤ −3}

e) {x ∈ Z / 0 ≤ x < 4}

3) Encontre as frações geratrizes para cada uma das dízimas abaixo. a) b) c) d) e)

2,4333 ... 0,144 ... 31,5343434 ... 0,2919191. .. 3,4676767 ...


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Matemática 4) Seja

a b a fração geratriz da dízima 1,363636 ... . Qual a dízima periódica equivalente à fração b a

?

6. Subconjuntos Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B . Para indicar este fato, usa-se a notação2

A⊂ B Quando A ⊂ B , diz-se também que A é parte de B , que A está incluído em B , ou contido em B . A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. A relação de inclusão A ⊂ B é Reflexiva - A ⊂ B , seja qual for o conjunto A; Anti-simétrica – se A ⊂ B e B ⊂ A , então A = B ; Transitiva – se A ⊂ B e B ⊂ C , então A ⊂ C .

7. Operações entre conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto, designado por A ∪ B , formado por todos os elementos que pertencem a A ou B . Em outras palavras:

A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B} Exemplo 4. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5} e B = {3,4,5,7} , então A ∪ B = {1,2,3,4,5 ,7} . A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto designado por A ∩ B , formado pelos elementos comuns a A e B . Assim, afirmar que x ∈ A ∩ B significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, x ∈ A e x ∈ B . Em outras palavras:

A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B} Exemplo 5. Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {2,3,4,5,6 } então A ∩ B = {2,3} . Quando a interseção entre os conjuntos A e B é um conjunto vazio, ou seja, A ∩ B = { A e B é chamado de conjuntos disjuntos.

},

Exemplo 6. Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6} então A ∩ B = {} . A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto A − B , formado pelos elementos de A que não pertencem a B . Em outras palavras:

A − B = {x / x ∈ A e x ∉ B}

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Exemplo 7. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,6,7 } e B = {2,3,4,5,6 } então A − B = {1,7} . Quando se tem B ⊂ A , a diferença A − B chama-se complementar de B em relação à A , e escreve-se:

A − B = CAB Exemplo 8. Sejam os conjuntos A = {1,2,3,5,7 ,9} e B = {3,5,9} então A − B = C A B = {1,2,9} .

8. Número de elementos de um conjunto Se A é um conjunto finito, designamos por n ( A) o número de elementos de A . Por

exemplo, se A = {0,1,5} , então n ( A) = 3 . Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos o problema em dois casos: 1º caso: Os conjuntos A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que:

n( AUB ) = n( A) + n( B ) 2º caso: Os conjuntos A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n ( A) com n (B ) contamos os elementos de A ∩ B duas vezes. Portanto:

n( AUB ) = n( A) + n( B ) − n( A ∩ B ) 3º caso: Os conjuntos A , B e C não são disjuntos. Neste caso, quando somamos n ( A) , n (B ) e n(C ) temos:

n( AUB ∪ C ) = n( A) + n( B ) + n(C ) − n( A ∩ B ) − n( A ∩ C ) − n( B ∩ C ) + ( A ∩ B ∩ C )

Exercícios propostos 5) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {2,3,5,7} . Determine: a) b) c) d)

A∪ B A∩ B A− B B− A

6) Sejam A = {0,1,2,3,5} e B = {1,2,3,4} . Determine: a) b) c) d)

n( A ∪ B ) n( A ∩ B ) n( A − B ) n( B − A)

7) Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa população consomem tanto o produto A quanto o produto B?


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Matemática 8) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas Telespectadores

E 400

N 1220

H 1080

EeN 220

EeH 180

NeH 800

E, N e H 100

Nenhum x

9. Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b , com a < b , temos: 1 - Intervalo aberto: (a, b ) = {x ∈ R / a < x < b} 2 - Intervalo fechado: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} 3 - Intervalo semi-aberto à direita: (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} 4 - Intervalo semi-aberto à esquerda: [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b} 5 - Intervalos infinitos

(a,+∞ ) = {x ∈ R / x > a} [ a,+∞ ) = {x ∈ R / x ≥ a} ( −∞ , a ) = {x ∈ R / x < a} ( −∞ , a ] = { x ∈ R / x ≤ a} Observação: ( −∞ ,+∞ ) = R

Exercícios propostos 9) Se A = {x ∈ R / 2 ≤ x < 5} e B = {x ∈ R / 3 ≤ x < 8}, determine A ∩ B A ∪ B e A − B .

10) Se A = {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 0} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x < 3} , determine A ∩ B A ∪ B e A − B . 11) Determine A ∩ B A ∪ B e A − B quando: a) A = {x ∈ R / 0 < x < 3} e B = {x ∈ R / 1 < x < 5}

b) A = {x ∈ R / − 4 < x ≤ 1} e B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3}

c) A = {x ∈ R / − 2 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R / x ≤ 0}

12) Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos: a) ]− 10,5[

b) [3,6] c) [0,9]

d) [− 4,8[

e) ]− 5,+∞[


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Capítulo 2

EXPRESSÕES NUMÉRICAS "No que diz respeito ao desempenho, ao compromisso, ao esforço, à dedicação, não existe meio termo. Ou você faz uma coisa bem-feita ou não faz." Ayrton Senna

1. Introdução Nesse capítulo, você estudará as expressões numéricas, conceitos básicos para resolver equações, sistemas e funções.

2. Expressões numéricas Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuamse as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplo: a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 3. Decomposição de um número em um produto de fatores primos A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos:

30 2 15 3 55

21 3 30 = 2 * 3 * 5

1 30

7 7

21 = 3 * 7

1 21

Observação: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.


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Matemática

4. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) Um número inteiro é mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre dois ou mais números inteiros se, e somente se, ele for o menor número positivo obtido na interseção dos conjuntos do múltiplos desses números. Assim por exemplo para obter o m.m.c entre os números 36 e 24, podemos determinar os múltiplos deles.

m(36) = {0, ±36, ±72, ±108,...}

m(24) = {0, ±24, ±48, ±72, ±96,...} Assim, temos que: m.m.c (36,24)=72. Outro método de obter o m.m.c é através da multiplicação de fatores primos com maiores expoentes. Veja o exemplo abaixo: Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45

12 \ 12 \ 45 2 06 \ 08 \ 45 2 03 \ 04 \ 45 2 03 \ 02 \ 45 2 03 \ 01 \ 45 3 01 \ 01 \ 15 3

24.32.5 = 720

01 \ 01 \ 05 5 01 \ 01 \ 01 720 O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 a) m.m.c. (4; 3) = 12 b) m.m.c. (3; 5; 8) = 120 c) m.m.c. (8; 4) = 8 d) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60

5. Máximo Divisor Comum (m.d.c) Um número inteiro é um máximo divisor comum dentre dois ou mais números inteiros se, e somente se, ele for o maior número obtido da interseção dos conjuntos dos divisores desses números. Assim, por exemplo, para obter a máximo divisor comum entre 36 e 24, podemos determinar os divisores deles.

d (36) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36} d (24) = ( ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24 )

Assim, temos que: m.d.c(24,36)=máximo {d (36) ∩ d (24)} =12 m.d.c(24,36)=12


Um segundo modo de se obter o m.d.c é multiplicando-se os fatores primos comum com os menores expoentes.

36 = 22.32 24 = 23.31 mdc(36, 24) = 22.31 = 12

6. Frações ordinárias Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. “As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as frações”

3 4

1 2 =0,5

=0,75

1 4

1 8 =0,125

=0,25

A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador:

7 8 = 0,875

1 3 120 , , , etc. 2 5 210

A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente. Exemplos:

10 3 10 =1 pois possui resto 3 7 7 7 28 3 28 b) =5 pois possui resto 3 5 5 5 11 2 c) =3 3 3 1 7 d) 2 = 3 3 1 5 e) -1 = 4 4 a)


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Matemática

7. Propriedades de Frações P1: Multiplicação por um número real Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à inicial. Exemplos:

1 1* 2 2 = = 2 2*2 4 3 3 * 5 15 b) = = 4 4 * 5 20 20 20 :10 2 c) = = 30 30 :10 3 4 4:4 1 d) - = =8 8: 4 2

a)

P2: Soma algébrica de frações Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores. Observação: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores. Exemplos:

1 1 3 2 3+ 2 5 + = + = = 2 3 6 6 6 6 1 5 2 3 5 4 3+5-4 4 2 b) + - = + - = = = 2 6 3 6 6 6 6 6 3 1 3 4 1 9 16 24 1- 9 +16- 24 16 4 1 - + -2= - + - = = - = - = -1 c) 12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3 1 1 7 5 28 15 48 28 + 15 - 48 5 =+ - = d) 2 + 1 - 4 = + - 4 = 3 4 3 4 12 12 12 12 12 a)

P3: Multiplicação de frações Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores. Exemplos:

1 3 3 * = 2 5 10 1  1 1 b)  −  * = 8  4 2  1  2 2 c)  −  *  −  =  3   5  15 3  1  2 d) (− 3) *  −  *  −  =  4   7  14 a)

P4: Divisão de frações Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora. Exemplos:

1 a)

2 = 1 * 3 = 3 =1 1 1 2 1 2 2 3


( − 2 )  2 2 3 = - * = - 4 = -1 1 b) 1

2

   3 1

3

3

1

2 = 1*1 = 1 3 2 3 6 5 5 3 15 1 d) = * = =7 2 1 2 2 2 3 13 41 3 = 3 = 13 *  − 4  = - 52 = - 1 25 e)   9 3  9 27 27 −21 − 4 4 c)

) (

(

)

Exercícios de fixação 1) Transforme em número misto:

3 = 2 12 = b) 5 100 c) = 3 a)

2) Transforme em fração ordinária:

1 = 5 3 b) 2 = 4 1 c) − 10 = 10 a) 1

3) Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os numeradores). OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b” a > b lê-se “a é maior do que b”

1 , 2 2 b) , 3 4 c) , 7 a)

2 3 5 6 3 8

4) Resolva as operações com frações

1 1 + = 5 10 2 4 b) - = 3 3 a)


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Matemática

1 1 1 - + = 2 3 6 2 1 d) 2 + 3 - 5 = 3 2 1 2 e) * = 3 5 3 1 2 f) * * = 7 3 5  1  2 g)  -  *  -  =  6  5 1  1 h) 2 *  - 1  = 5  3 1 3= i) 1 2 2  1 j) :-  = 3  5 1 2 1 k) : * = 2 3 4 2 1 l) 2 :1 = 5 5 1 2 1 m)  +  : = 3 4 2 1+ 1 3= n) 3 1+ 1 2 1+ 2 = o) 1 2 3 1 + 1 1 1 5 *1 2 8 4- 7 5= p) 2 1 :3 1 2 5 -1 3 4 3 8 4 c)


8. Potências Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. A é a baseda potência; n A A *A * A * A* ... = *A n é o expoenteda potência,que determinao seu grau. n vezes

Assim: 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 ∴ 2³ = 8 (- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 ∴ (- 1)4 = 1 CASOS PARTICULARES: a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: A1 = A; 21 = 2 b) Toda potência de 1 é igual a 1: 1² = 1; 1³ = 1 c) Toda potência de 0 é igual a 0: 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de expoente par é positiva: (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32

9. Propriedades de Potências P1: Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.

b m .b n = b m + n Exemplo: 5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 P2: Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.

bm = bm−n bn Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 P3: Potência de uma potência Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(b n ) m = b n.m Exemplo: (53 ) 2 = 56 Observação:

(53 ) 2 ≠ 53

2

De modo geral temos que: (b n )m ≠ b n

m


19

Matemática P4: Potência de um produto Elevam-se cada fator desse produto ao mesmo expoente.

(a.b) m = a m .b m Exemplo: (5.3) 2 = 52.32 P5: Potência de um quociente Elevam-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. Para n inteiro e b ≠ 0 , tem-se: n

an a =   bn b 5 3

2

Exemplo:   =

52 32

Observação: Expoente nulo Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.

a 4 : a 4 = a 4 - 4 = a 0 Realmente:  a 4 : a 4 = 1

a0 =1

Exemplo: (- 5)0 = 1 P6: Expoente negativo Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.

b− n =

1 bn

Exemplo: 5 − 2 =

1 5

2

=

1 1 = 5 * 5 25

P7: Potências de 10 Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Exemplos: a) 10² = 100 b) 107 = 10 000 000 c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10² d) 4000 = 4 * 10³ e) 300 000 = 3 * 105 f) 3 * 108 = 300 000 000 P8: Números decimais Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas são as ordens decimais. Realmente: 0,0025 =

25 25 = = 25 * 10 - 4 4 10 000 10


Exemplos: a) 0,001 = 10-3 b) 0,002 = 2 * 10-3 c) 0,00008 = 8 * 10-5 d) 1,255 = 1255 * 10-3 e) 2 * 10-3 = 0,002

Exercícios de fixação 1) Resolva as potências abaixo a) (- 4)³ = b) (- 2)4 = c) (- 4)4 = d) 2³ * 25 = e) 3² * 3 * 35 = f) 35 : 34 = g) 34 : 3² * 35 = h) 24 * 54 = i) (- 35) * (- 55) = j) 153 : 33 = k) (- 46) : 26 = l) (3³)2 = m) (2³)5 = n) 3³2 = o) [ (3³)² ]² = p) (2 * 3)³ = q) (3² * 5 * 2)4 =

5 3

5

r)   = 3

 2   = 4 3  

s) 

2

 2 2 * 33   = t)   53    u) 2 * 3-1 =

2

v)

3

−4

=

w) (2-3 * 5-2)-4 = x) 2x + 1 * 4x = y) 32x * 24x = z) 54x : 252x = 2) Exprimir, utilizando potências de 10: a) b) c) d)

20 000 = 4 800 000 = 0,01 = 0,000045 =

3) Efetuar, utilizando potência de 10:


21

Matemática

2 000 * 48 000 = 80 28 * 0,000032 b) = 0,00002

a)

10. Radicais Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de a , ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz a . Observação: Representa-se a raiz pelo símbolo n

n - índice da raiz  a a - radicando  - radical  Assim:

a)

16 = 4 porque 4² = 16

b) 3 8 = 2 porque 2³ = 8 c) 4 81 = 3 porque 34 = 81 P1: Extrair do radical É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical. Exemplos: a)

12 = 2 2 * 3 = 2 3

b)

180 = 2 2 * 3 2 5 = 2 * 3 5 = 6 5

c)

4 8

d)

4 8

3 * 54 * 2 = 32 * 5 4 2

3 = 38 : 4 = 3 2

Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim: 3

3 3 2 = 33 * 2 P2: Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Exemplos: a) 3 2 + 5 2 - 10 2 = 8 2 - 10 2 = - 2 2 b) 3 3 2 + 6 3 2 - 5 3 2 - 3 2 = 9 3 2 - 6 3 2 = 3 3 2


P3: Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum. Exemplo: a) 2 * 3 = 2*3 = 6

6

b)

6 = 3 2

2 3 * 5 * 2 = 3 * 5 * 2 = 30

c) d)

=

4 5 *4 3 4

2

4 15

=

4

2

15 2

=4

P4: Potenciação de radicais Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. Exemplo: a)

(4 3 )3 = 4 33 = 4 27 2

(

)

2 5 5 5 b)  2 2 * 3  = 2 2 * 3 = 2 4 * 3 2





P5: Radiciação de radicais Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. Exemplos:

3 = 2*2 3 = 4 3

a) b)

3

4 3 = 24 3

P6: Expoente fracionário Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. m

n

am = a n

Exemplos: p

q a) a q = a p 1

b) a 2 = a 2 3 c) 2 3 = 2 2 = 3 4

d)

3

4 3

6 =6 4

P7: Racionalização de denominadores 1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Exemplo: a)

1 2

b)

=

1 2 3

=

1* 2 2* 2

2

=

1* 3 2 3* 3

4 =

=

2 2

3

=

2 9

3 3 = 2*3 6


23

Matemática

2

c)

2* 3

=

3

6

=

6 3

=

3* 3 9 2 2 2 2 * 6 2 12 2 12 2 12 12 = = = = = d) 30 15 5 6 5 6 * 6 5 36 5 * 6 2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Observação: A expressão conjugada de a + b é a – b. Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a – b) = a² - b² Assim: (5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16 Exemplos: 1 1* 5 - 2 5- 2 5- 2 5- 2 a) = = = = 2 2 5 2 3 5+ 2 5+ 2 * 5- 2 5 - 2

(

(

b)

5 2+ 3

=

(

)

)(

)

5* 2 - 3

(2 + 3)*(2- 3)

=

(

) ( ) ( )

) = 5*(2- 3) = 5*(2- 3) =5*(2- 3) 4- 3 1

5* 2 - 3

( )

22 - 3

2

Exercícios de fixação 1) Efetue as operações abaixo: a) 5 - 2 5 + 10 5 =

32 + 3 2 - 8 =

b)

c) 3 3 + 3 - 4 729 = d) e) f) g)

3* 6 =

(- 3 2 )* (- 3 4 )= 48 4

=

2

(3 2 )6 = 2

3 h)  2 * 3 2  =





i)

33

3=

j)

3

2=

k) 3 2 2 = l)

3 3 3 2 2

2 =

2) Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes: 3

a) 2 4 = b) 2

−1

2 =


1

 1  2 c)  2 2  =   d)

(

)1

2* 3 6 =

3) Racionalizar o denominador das frações seguintes: a) b) c) d) e)

1 5 3 7 3

= = =

2 2 2 5-2 5

= =

4 - 11 4) Simplifique: a)

50 - 8

=

2 b) 2352 = 1 1 c) = 1- 2 2 +1

11. Operações algébricas Expressões algébricas São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. Exemplos: a) 5ax – 4b b) ax² + bx + c c) 7a²b Observação: No exemplo “c”, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal. Operações com expressões algébricas 1) Soma algébrica Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exemplo: 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²


25

Matemática 2) Multiplicação Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-sos termos semelhantes. Exemplo: (3a²y) * (2ay) = 6a³y² 3) Divisão 1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de potências de mesma base. 2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. Exemplo: (42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx² 4) Produtos notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: a) Quadrado da soma de dois termos:

(a + b)² = a² + 2ab + b² “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” Exemplo: (2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x² b) Quadrado da diferença de dois termos:

(a - b)² = a² - 2ab + b² “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” Exemplo: (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9 c) Produto da soma de dois termos por sua diferença:

(a + b) * (a – b) = a - b “O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.” Exemplo: (1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2 5) Fatoração Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes. Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.


Exemplos: a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:

 4ax² 8a²x³ 2a³x  4ax² + 8a²x³ + 2a³x = 2ax + +  = 2ax(2x + 4ax²+ a²)  2ax 2ax 2ax  b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x². Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)

Exercícios de fixação 1) Efetuar: a) 3a 2 - 7ab + 4b 2 - 5a 2 + 3ab - 4b 2 =

( )( (7xy 2 )* (- 8x 2 y)* (xy) =

)

b) 3xy 2 - 7x 2 y + 3y 3 - 2y 3 - 8x 2 y + 3xy 2 = c) d)

(a + b + c) * (a - b ) =

( )( ) f) (6 x 2 - 4x 5 + 2x 4 - 2x 2 ): 2x = g) (2a 2 bc + 3a 3 b 3 c 2 − abc ): abc =

e) x 3 - 3x 2 y + x * x 2 - y =

h)

(x + 2)2 + (3x - 3)2

(

i) 3xy + 8a

)

2 2

=

=

j) (5ab + 3c) * (5ab − 3c) =

2) Fatores as expressões seguintes usando a fatoração por agrupamento a) 2 x 2 − 4 x + 3 xy − 6 y b) a 2 − a − ab + b c) x 2 + xy + x + y d) ab + 3b − 7a − 21 3) Simplifique as expressões algébricas

6 x2 − 9x 15 x x 2 − 25 b) 2 x + 10 x + 25 20 x3 yz 2 c) 35 xy 2 z 2

a)

x 2 + 2 xy + y 2 x 2 + xy − 3x − 3 y x+6 e) 3 x − 36 x d)

4) Simplifique as expressões a seguir. a)

x 2 − 16 x−4


27

Matemática

x 2 + 10 x + 25 b) x+5 5) Efetue as operações com expressões algébricas, reduzindo os resultados à forma mais simples: a) (3 x 2 − 2 x + 9) − (3 x − 1)( x + 4)

4a − 6b + 2 2 2 2 c) ( x − 4) + 2( x + 3) − ( x − 5) 2 d) ( x + 6)( x − 2) + ( x + 4)( x − 4) 6( x − 1)( x + 2) e) (2 x − 5) − 2( x − 1)

b) a ( a − b + 1) +

6) Desenvolva: a) ( a + 5) 2

1  b)  y −  3 

2

1  c)  5 y +  2  d) (4 x − 7) 2

2


__________ ______________

Capítulo 3

NÚMEROS E GRANDEZAS PORPORCIONAIS A imaginação é mais importante que a ciência, porque a ciência é limitada, ao passo que a imaginação abrange o mundo inteiro. Albert Einstein

1. Introdução Neste capítulo, você analisará as questões relacionadas com Números e Grandezas Proporcionais, bem como razão e proporção. Serão mostradas as definições técnicas deste tema, e realizados exemplos e aplicação de propriedades sobre Números e Grandezas Proporcionais.

2. Números e Grandezas Proporcionais Grandeza é todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também. Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado. Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.

3. Grandeza Diretamente Proporcional É definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”. Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.

4. Grandeza Inversamente Proporcional Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários. Exemplo: Velocidade e tempo. Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

29

Matemática Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

5. Razão e proporção A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo. Exemplo: a razão de 9 para 12 =

9 12

a razão de 5 para 10 =

5 10

a razão de 6 para 18 =

6 18

Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente. Então: cinco está para dez, sendo 5 o antecedente e 10 o conseqüente. seis está para dezoito, sendo 6 o antecedente e 18 o conseqüente. PROPORÇÃO é a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.

a c = , Lê-se: ‘a” está para “b”, assim como “c” está para “d”. b d Exemplo:

2 4 = 5 3

Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos.


6. Propriedades das proporções P1: Propriedade Fundamental Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.

2 4 = ∴ 2.10 = 4.5 5 10 P2: Composição Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.

a c a+b c+d a+b c+d = → = → = b d a c b d

Aplicação: A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números. a = menor

b = maior

Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48. P3: Decomposição Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.

a c a −b c −d a −b c−d = → = → = b d a c b d Aplicação: Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48. a = maior b = menor


31

Matemática

a – b = 48 Portanto, Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36 P4: Soma dos termos Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.

a c a+c a c = → = = b d b+d b d

Aplicação: Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4

Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.

P5: Diferença dos termos Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.

a c a−c a c = → = = b d b−d b d

P6: Multiplicação dos termos Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.

a c a.c a 2 c 2 = = = = b d b.d b 2 d 2 Aplicação: A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas. a = largura b = comprimento

a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10


a = largura = 10m, b= comprimento = 15m

Exercícios de fixação 1) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda:

Número de acertadores

Prêmio

3

R$ 200.000,00

4

R$ 150.000,00

a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de R$150.000,00? b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? 2) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir. b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. c) Número de erros em uma prova e a nota obtida. d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 3) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. 4) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c.


33

Matemática

7. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2) 1,2 1,5

Energia (Wh) 400 x

Identificação do tipo de relação: Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, temos:

1, 2 400 = → 1, 2 x = 400.1,5 1,5 x 400.1,5 x= = 500 1, 2 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) 400 480

Tempo (h) 3 x

Identificação do tipo de relação:


Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Quando temos grandezas inversamente proporcionais, para sua resolução invertemos uma das duas frações e resolvemos como se fosse diretamente proporcional. Veja abaixo:

480 3 = 400 x

x=

3.400 = 2,5 480

Invertermos os termos.

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

8. Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas 8 5

Caminhões 20 x

Volume 160 125

Identificação dos tipos de relação: Devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o “x”. Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo “x” com o produto das outras razões “TODAS” relacionadas de forma diretamente proporcional. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20 160 5 = . x 125 8 Invertermos os termos. Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

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Matemática

x=

20.125.8 = 25 160.5

Logo, serão necessários 25 caminhões.

Exercícios de fixação 1) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 3) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 4) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 5) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 6) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 7) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 8) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 9) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.


Exercícios Complementares 1 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ? 2 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ? 3 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ? 4 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ? 5 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ? 6 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ? 7 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ? 8 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume? 9 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 10 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ? 11 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade? 12 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ? 13 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ? 14 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 15 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

16 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?


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Matemática 17 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro? 18 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário? 19 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ? 20– Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ? 21 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso? 22 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ? 23 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia? 24 – Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

25 – Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

26 – Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ? 27 – Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

28 – Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ? 29 – Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ? 30– Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?


9. Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal: Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: • Calcular 10% de 300.

•

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.


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Matemática

Exercícios Resolvidos 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

10. Fator de multiplicação Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro 10% 15% 20% 47% 67%

Fator de Multiplicação 1,10 1,15 1,20 1,47 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto 10% 25% 34% 60% 90%

Fator de Multiplicação 0,90 0,75 0,66 0,40 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00


11. Ponto percentual Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens. Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%. O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.

Exercícios de fixação 1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais? 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? 3. Uma impressora a laser custou R$ 18800,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 120,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de compra? 4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)? 5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados. 6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar? 7. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do aumento. 8. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$50,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e 20%, respectivamente? 9. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%. 10. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o valor do preço original P.


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Matemática _______

Capítulo 4

EQUAÇÕES E SISTEMAS O maior desafio para qualquer pensador é enunciar o problema de tal modo que possa permitir uma solução. Bertrand Russell

1. Introdução Nesse capítulo, você analisará as equações de 1º e 2º grau suas soluções. Estudará também os sistemas lineares de duas variáveis, entendendo os métodos e resolução e suas aplicações.

2. Equações de 1º grau Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério. Exemplo: a)

x - 2 = 1º membro

5

só é verdade para x = 7

2º membro

b) 3 x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes da equação. Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do 1º grau a uma incógnita. 1) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita

Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação). Exemplos: a) x + 2 = 7 ⇒ x + 2 – 2 = 7 – 2 ⇒ x = 5 b) x – 3 = 0 ⇒ x – 3 + 3 = 0 + 3 ⇒ x = 3

2x 8 = ⇒ x=4 2 2 x 3* x d) =5 ⇒ = 3 * 5 ⇒ x = 15 3 3 c) 2 x = 8 ⇒


Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:

Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores. Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:

3x - 2 3x + 1 4x - 6 = 2 3 5

1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: m.m.c. (2; 3; 5) = 30 Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6) 2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas: 45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36 3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os independentes (os que não contém a incógnita) para o 2º, efetuando as operações necessárias: 45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10 4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro: -9x = 4 5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:

− 9x 4 = −9 -9

6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também:

x=-

4 9

VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais

3. Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas A forma genérica de um sistema é:

ax + by = c onde a, b, c, m, n, p ∈ ℜ (Reais)  mx + ny = p 1) Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas admite infinitas soluções. Por exemplo, a equação 2x – y = 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares estariam: (x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. 2) Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas incógnitas é determinar os valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações. Por exemplo o sistema:

5x + y = 16  2 x − 3 y = 3

tem solução para

x = 3  y = 1

Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às duas igualdades. (Verifique!) Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

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Matemática

4. Método de solução para um sistema M1. Substituição

2 x + 3 y = 8 5x − 2 y = 1

1º) Seja o sistema: 

equação 1 equação 2

2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1:

2 x + 3y = 8 2 x = 8 − 3y 8 − 3y x= 2

equação 3

3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):

 8 - 3y  5*  − 2y = 1  2 

equação 4

4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:

5 * (8 − 3y ) − 4 y = 2 40 − 15 y − 4 y = 2 19 y = 38

∴y=2 5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x:

8 − 3 * (2 ) 2 8−6 x= 2 ∴ x =1 x=

6º) A solução do sistema é:

S = {1, 2}

M1. Comparação

7 x + 3y = 33 5x − 2 y = 7

1º) Seja o sistema: 

2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:

x=

33 − 3y 7

e

x=

7 + 2y 5

3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x):

33 - 3y 7 + 2 y = 7 5

4º) Resolve-se a equação e determina-se y:

5 * (33 − 3y ) = 7 * (7 + 2 y )

165 − 15 y = 49 + 14 y 29 y = 16 ∴ y=4


5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o valor de x:

33 - 3y 33 − 3 * (4 ) 33 − 12 21 = = = 7 7 7 7 ∴ x=3 x=

6º) A solução do sistema é:

S = {3, 4}

M1. Adição Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incógnitas serem simétricos. Exemplos:

x + y = 4 x − y = 0

a) 

equação 1 equação 2

Somando, membro a membro, vem:

2x = 4 ∴ x = 2

Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem:

2+ y = 4 ∴ y = 2

3x + 2 y = 7 5x − y = 3 → * (2)

b) 

⇒

3x + 2y = 7  10x - 2y = 6

Somando, membro a membro, vem:

13x = 13 ∴ x = 1

Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem:

3 * 1 + 2y = 7 ∴ 3 + 2y = 7 ∴ 2y = 4 ∴ y = 2

Exercícios de fixação 1) Resolver as seguintes equações:

4x = 8 − 5x = 10 7+x =8 3 − 2x = −7 16 + 4x − 4 = x + 12 8 + 7 x − 13 = x − 27 − 5x 2x 3 g) = 3 4 1 3x h) = 4 10 i) 9x + 2 − (4x + 5) = 4x + 3 j) 3 * (2 − x ) − 5 * (7 − 2x ) = 10 − 4x + 5 x − 2 12 − x 5x − 36 k) − = −1 3 2 4 5x + 3 3 − 4 x x 31 9 − 5x l) − + = − 8 3 2 2 6

a) b) c) d) e) f)


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Matemática 2) Resolver os seguintes sistemas de equações:

x + y = 12 3x + y = 24

a) 

5x + 6 y = 19 7 x + 2 y = 1 x + 5 y = 12 c)  3x − 4 y = −2 b) 

x y  4 + 5 = 2 d)   2x + 1 − y − 3 = 2  3 2

5. Equações do 2º grau Uma equação do 2º grau na incógnita x , é toda igualdade do tipo:

ax 2 + bx + c = 0 Onde a , b, c são números reais e a ≠ 0 . A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2. Se tivermos b ≠ 0 e c ≠ 0 teremos uma equação completa. Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta. Resolvendo Equações de 2º Grau Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja: 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: ax 2 = 0 Exemplo: 3 x² = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0 ⇒ S = {0}


2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: ax 2 + bx = 0 Exemplo: 3 x² - 12 x = 0 ⇒ x . (3 x – 12) = 0 ⇒ x = 0 ou 3 x – 12 = 0 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 ⇒ S = {0; 4} 3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então: ax 2 + c = 0 Exemplo: x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x’ = 2 e x’’ = -2 ⇒

⇒ S = {-2; 2}

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula resolutiva do 2º grau:

−b ± ∆ 2a Onde: ∆ = b 2 − 4ac ∆ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes ∆ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais ∆ < 0 têm-se duas raízes imaginárias x=

Exercícios de fixação 1) Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas: a) x 2 − 7 x + 6 = 0 b) x 2 + 3x − 28 = 0 c) 3x 2 − 5x + 2 = 0 d) 16 x 2 + 16 x + 3 = 0 e) 4 x 2 − 16 = 0 f)

2 x 2 − 18 = 0

g) 3x 2 = 5 x h) 2 x 2 + 8 x = 0 i)

(2 x − 3)2 = (4x − 3)2

2) Prever a natureza das raízes das equações: a) 2 x 2 − 3x + 1 = 0 b) x 2 + x + 3 = 0 c) 2 x 2 − 4 x + 2 = 0


47

Matemática

6. Equações irracionais Definição: Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical ou incógnita com expoente fracionário. Resolução de uma equação irracional Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical igual a 2 (ou outro qualquer) é necessário elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2, elevase ao que se fizer necessário) ambos os membros da equação e esta operação pode provocar o aparecimento de raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a equação original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser verificada na equação original e verificando a igualdade. Exemplos: a) Determinar as raízes da equação: x − 5 − 4 = 0 Isola-se o radical em um dos membros:

x −5 = 4 Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz:

(

)2

x − 5 = 42 x − 5 = 16

Determina-se x e verifica-se na equação original.

x = 21

b) Determinar as raízes da equação: Isolando o radical no 1º membro:

x+4 −2= x

x+4 =x+2 Elevando-se ambos os membros ao quadrado:

(

x+4

)2 = (x + 2)2

x + 4 = x 2 + 4x + 4 x 2 + 3x = 0 As raízes da equação do 2º grau são:

x ( x + 3) = 0 x1 = 0

e

x +3= 0 x 2 = -3

Verificando as raízes na equação irracional:

x+4 −2= x Para x1=0

0+4 −2 = 0 2−2 = 0 0=0 − 3 + 4 − 2 = −3

Para x2=-3

1 − 2 = −3 − 1 ≠ −3

Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é 0.


Exercícios de fixação Resolva as equações abaixo a) b) c) d) e) f) g)

x −4=0 x +2=0 x +1 − 2 = 0 x − 2 x = 15 2x + 7 = 4 − 2 − x x + 1 + x − 4 = 2x + 9 x + 2 − x −2 =1

h) x − 9 − x 2 = 3

7. Inequações do 1º grau Símbolos de desigualdades São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas.

a > b (a é maior do que b) a < b (a é menor do que b) a ≥ b (a é maior ou igual a b) a ≤ b (a é menor ou igual a b)

Exemplos: a) b) c) d) e)

7>5 3<6 x ≤1 y≥4 1
(7 é maior do que 5). (3 é menor do que 6). (x é menor ou igual a 1). (y é maior ou igual a 4). ≤ 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a 4).

Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau. Exemplo: 2x > 4 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é: x>2 x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade. Exemplos:

4−x ≤ 2 a)

−x ≤ 2−4 − x ≤ −2 x≥2


49

Matemática

2x + 1 ≥ 1 b)

2x ≥ 1 − 1 2x ≥ 0 x≥0

Exercícios de fixação 1) Resolver as seguintes inequações:

2 x + 1 ≤ −1 − 3x ≤ x + 2 x > 5x − 16 2(x + 1) + 3x > 5 − 7 x 2 1 4x e) x− ≥ −1 5 2 5 7x 2 f) −7≤ x+ 3 3 3x 2x g) −9 < +4 4 7 a) b) c) d)


Capítulo 5

FUNÇÕES Para Tales...a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos. Aristóteles

1. Introdução Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração, economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como conceito de função, valor de uma função, domínio de uma função, operações com funções e representação gráfica, sempre associada a aplicações nas áreas administrativas, econômica e contábil. O conceito de função é verdadeiramente fundamental em matemática. No linguajar do dia-a-dia dizemos “o comportamento do mercado de ações é uma função da confiança do consumidor” ou “a pressão arterial do paciente é uma função dos medicamentos que lhe foram prescritos”. Em cada caso, a palavra função expressa a idéia de que o conhecimento de um fato nos informa de outro fato. Em matemática, as funções mais importantes são tais que, conhecendo um número, obtemos outro número. A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função, limite, cálculo diferencial e integral, e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em outras áreas de conhecimento.

2. Conceito de função Referência Histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f (x ) para representar uma função de x . Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática. Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua empresa está relacionado com o nível de produção; um biólogo gostaria de saber como o tamanho da uma população de certa cultura de bactérias mudará ao longo do tempo; um psicólogo gostaria de conhecer a relação entre o tempo de aprendizado de um indivíduo e o tamanho do seu vocabulário; e u químico gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reação química está relacionada à quantidade de substrato utilizada. Em cada uma dessas situações estamos preocupados com a mesma questão; como uma quantidade depende da outra? A relação entre duas quantidades é convenientemente descrita em matemática pelo uso do conceito de função. Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de um conjunto B. Definição: Uma função f : A → B consta de três partes: um conjunto A , chamado de domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B , chamado de contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento x ∈ A , um único elemento y = f ( x ) ∈ B , chamado o valor que a função assume em x . Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

51

Matemática

Exemplo 1 - Um exemplo de função é dado pela conhecida relação entre a área de um círculo e seu raio. Denotando por x e y o raio e a área de um círculo, respectivamente, sabemos da geometria elementar que:

y = πx 2 Essa equação define y como uma função de x , já que a cada valor admissível de x (isto é, a cada número não-negativo representando o raio de certo círculo) corresponde precisamente a um número y = πx 2 que fornece a área do círculo. A regra definindo está “função área” pode ser escrita como:

f ( x) = πx 2 Para calcular a área de um círculo de raio 5 cm , simplesmente substituímos x na função acima pelo número 5. Assim, a área do círculo é dada por:

f (5) = π 5 2 = 25π cm 2 De modo geral, para calcularmos uma função num valor específico de x , substituímos x por tal valor. Exemplo 2 - Considere a função f definida pela regra f ( x) = 2 x 2 − x + 1 . Calcule: a) f (1)

f (1) = 2(1) 2 − (1) + 1 = 2 − 1 + 1 = 2 b) f ( a + h) f (a + h) = 2(a + h) 2 − (a + h) + 1 = 2(a 2 + 2ah + h 2 ) − a − h + 1 = 2a 2 + 4ah + 2h 2 − a − h + 1

3. Determinando o domínio de uma função Suponhamos que nos é dada a função y = f (x) . Então a variável x é chamada de variável independente. A variável y , cujo valor depende de x , é chamada de variável dependente. Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos encontrar quais restrições devem ser colocadas sobre a variável independente x , caso existam. Em geral, se uma função é definida por uma regra relacionando x a f (x) sem menção explícita de seu domínio, entende-se que o domínio consistirá em todos os valores de x para os quais f (x) é um número real. Como relação a isso, você deve ter em mente que (1) divisão por zero não é permitida e (2) a raiz quadrada (ou de ordem par) de um número negativo não está definida. Exemplo 3 – Determine o domínio de cada uma das funções abaixo. a) f ( x) = x − 1 Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais, temos a restrição de que x − 1 ≥ 0 , resolvendo a desigualdade encontramos x ≥ 1 . Logo, o domínio de f é o intervalo [1, ∞ ) , ou ainda, D = {x ∈ R / x ≥ 1} .


b) f ( x) =

1 x −4 2

A única restrição em x é que x 2 − 4 seja diferente iferente de zero, uma vez que a divisão por zero não é permitida. Dessa forma temos que:

x2 − 4 ≠ 0 x≠ 4

x2 ≠ 4 x ≠ ±2

Logo, domínio de f , nesse caso, consiste em todos os números reais diferentes de 2 e − 2 , ou

seja, D = {x ∈ R / x ≠ ±2} .

c) f ( x) = x 2 − 3 Nesse exemplo, qualquer número real satisfaz a equação, e, portanto o domínio de f é o conjunto dos números reais, ou seja, D = R

4. Representação gráfica de uma função Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII, René Descartes revolucionou a maneira de encarar encarar a matemática. Anteriormente a Descartes, a álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos a possibilidade de resolver problemas algebricamente algebricamente e graficamente. Nos anos de 1980, a introdução de instrumentos gráficos de fácil manejo, acarretou outra revolução na forma de estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos estabelecer a analisar modelos matemáticos de forma muito mais mai simples do que anteriormente.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares (ângulo reto) entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox ) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy ). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém--se se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto P = ( a, b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O plano cartesiano


53

Matemática

5. Marcando os pontos no plano cartesiano A beleza do sistema cartesiano reside no fato de permitir visualizar relações entre duas variáveis. Para marcar os pontos no plano, procedemos da seguinte maneira: Seja o ponto P = (3,4) , o número 3 é a coordenada da abscissa, ou o seja deve ser marcada no eixo x , já o número 4 é a coordenada da ordenada e deve ser marcado no eixo y ; imagine se você pudesse traçar uma reta perpendicular a cada um dos eixos nos pontos marcados, teríamos a seguinte figura.

Marcação de pontos.

6. Gráficos de uma função Se f é uma função com domínio A , então cada número real x de A está associado precisamente um número real f (x ) . Podemos também expressar este fato utilizando pares ordenados de número reais. Desta forma obtemos um par ordenado ( x, f ( x )) para cada x em A . Como pares ordenados de números reais correspondem a pontos no plano, encontramos assim uma maneira de exibir uma função graficamente. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL

O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ( x, y ) n plano cartesiano xy tal que x está no domínio de f e y = f (x)

A figura abaixo nos mostra o gráfico de uma função. Observe que o domínio de f é o conjunto dos números reais do eixo x , enquanto a imagem f se encontra sobre o eixo y .

O gráfico de f

54 Matemática Básica | Prof. Ms. Anderson Ande Dias Gonçalves

Representação gráfica de uma função Vamos agora construir gráficos de funções determinadas por leis de formação y = f (x) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o gráfico de uma função dada por y = f (x) , com x ∈ D , no plano cartesiano, devemos: • • •

Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores correspondentes para y = f ( x) ;

A cada par ordenado ( x, y ) da tabela associar um ponto no plano cartesiano; Marcar um número suficiente de pontos, até que se tenha uma idéia do gráfico da função (esboço do gráfico).

Exemplo 4 – Construa o gráfico da função dada por f ( x ) = 2 x + 1 . Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função dada para colocarmos na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos números reais, podemos escolher qualquer um. Veja a tabela abaixo.

x -2 -1 0 1 2

y = f ( x) = 2 x + 1 f ( − 2) = 2( − 2) + 1 = − 3 f (−1) = 2(−1) + 1 = −1 f ( 0) = 2( 0) + 1 = 1 f (1) = 2(1) + 1 = 3 f ( 2) = 2( 2) + 1 = 5

Pontos

(−2,−3) (−1,−1) (0,1) (1,3) (2,5)

Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima. Desta forma, temos um esboço do gráfico da função dada por f ( x ) = 2 x + 1 .

Pontos no plano cartesiano Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a representação desses pontos? Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma reta. Veja a figura 2.5.


55

Matemática

O gráfico de f ( x) = 2 x + 1 Exemplo 5 – Construa o gráfico da função dada por f ( x) = x 2 − 2 x − 3 x Pontos y = f ( x) = x 2 − 2 x − 3 -2

f ( − 2) = ( − 2) 2 − 2( − 2) − 3 = 5

(−2,5)

-1

f (−1) = (−1) 2 − 2(−1) − 3 = 0

(−1,0)

0

f ( 0) = ( 0 ) − 2( 0) − 3 = − 3

(0,−3)

1

f (1) = (1) 2 − 2(1) − 3 = −4

(1,−4)

2

f ( 2) = ( 2) 2 − 2( 2) − 3 = − 3

(2,−3)

3

f (3) = (3) 2 − 2(3) − 3 = 0

(3,0)

4

f ( 4) = ( 4) 2 − 2( 4) − 3 = 5

(3,5)

2

Pontos no plano cartesiano Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a representação desses pontos? Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma parábola.


O gráfico de f ( x) = x 2 − 2 x − 3

Exercícios de fixação 1) Seja f definida por f ( x) =

x +1 . x

a) Determine o domínio de f b) Calcule f (3) c) Calcule f ( a + h) 2) Calcule o domínio de cada uma das funções abaixo

x +1 2x − 8 10 x + 3 c) f ( x) = 2 x −9 a) f ( x) =

b) f ( x) = d) f ( x) =

3 x−5 x+4

3) Seja f : R * → R uma função definida por f ( x) = x +

e) f ( x) = x 2 − 10 x + 4

2 . x

1  2

c) Calcule f ( K + 1)

b) Calcule f  

a) Calcule f (3)

4) Sejam as funções definidas por f ( x) = 2 x − 3 e g ( x) = 3 x + a . Determine o valor de a sabendo que f ( 2) + g (2) = 8 . 5) Marque no plano cartesiano os pontos abaixo a) (3,1)

b) (5,5)

c) (− −2,6)

d) (0,4)

e) (− −3,0)

6) O gráfico de uma função f é mostrado na figura abaixo. Com base nessa figura responda: a) Qual o valor aproximado de f (5) ? E o valor de f (− −1) ? b) Qual o domínio de f ? c) Qual a imagem de f ?


57

Matemática

7) Seja f a função definida por f ( x) = 5 x + 6 . Calcule f (3) , f ( −3) , f ( − a ) e f ( a + 3) .

− x2  + 3, se x > 1 8) Seja f a função definida por f ( x) =  2 , calcule f (− −1) , f (0) , f (1) e f (2) . 2  2 x + 1, se x ≤ 1

9) Considere o gráfico da função f mostrado na figura a seguir:

a) Determine o valor de f (0) . b) Determine os valores de x para os quais (i ) f ( x) = 4 e (ii ) f ( x) = 0 c) Determine o domínio de f . d) Determine a imagem de f . 10) Seja a função f definida pela regra f ( x) = x 2 − x − 6 . a) Determine o domínio de f

1 2

b) Calcule f ( x) para x = −3,−2,−1,0, ,1,2,3 c) Use os resultados obtidos em (a) e (b) para esboçar o gráfico de f .

58 Matemática Básica | Prof. Ms. Anderson Ande Dias Gonçalves

Capítulo 6

FUNÇÃO LINEAR Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. Lobachevsky

1. Introdução Nesse capítulo, você analisará as funções constantes, linear e suas aplicações estudando conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro, demanda, oferta e break-even point (ponto de equilíbrio). Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar graficamente a função linear e a obtenção de uma equação linear que passa por dois pontos.

2. Modelos lineares Analisaremos agora as funções lineares (1º grau); estas representam um dos tipos de funções mais simples e de grande utilização. Função Linear No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas. Quantidade (q) Custo (R$)

0 5 10 20 50 100 100 110 120 140 200 300

Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta R$10,00 ; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta em R$20,00 . Concluímos que uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É isso o que caracteriza uma função linear. Para um maior entendimento da função linear desse exemplo, podemos calcular a taxa de variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C , em relação à variável independente, q , pela razão:

m = inclinação =

Variação vertical variação em C 110 − 100 10 =2 = = = Variação horizontal variação em q 5−0 5

m=

120 − 110 10 =2 = 10 − 5 5

Nesse exemplo, a razão m = 2 dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de 1 unidade na quantidade. Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas, haverá um custo fixo de R$100,00 . Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com pessoal etc. De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo. Em outras palavras temos:

C = C F + CV Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

59

Matemática Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação:

C (q ) = 2q + 100

O gráfico da função linear é uma reta, onde m = 2 nos dá a inclinação da reta e termo independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical ( y ) .Observe o gráfico abaixo. C =2q+100 C 200 variação em C =60 140 va riação em q=3 0 100

20

50

q

Produção de camisetas Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função Receita obtida com a comercialização das unidades. Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p , pela quantidade, q , comercializada, ou seja, R = p.q . Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de R$7,00 , obtemos a função Receita, que é dada por:

R(q) = 7q O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Veja o gráfico abaixo. R=7q

R

280

variação em R=210

70

variação em q=30

10

40

q

Função Receita Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função Lucro. De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo "Receita menos Custo", ou seja:

Lucro = Receita - Custo


Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos:

L = R−C L(q ) = 7 q − (2q + 100) L(q ) = 5q − 100 Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função linear, cujo gráfico é uma reta de inclinação m = 5 e que corta o eixo da vertical em -100. Veja o gráfico abaixo. L =5 q -1 0 0 L 100

20

40

q

-1 0 0

Função Lucro Podemos observar pelo gráfico que a reta que corta o eixo horizontal em q = 20 . Na verdade, podemos obter facilmente esse valor fazendo L( q ) = 0 , ou seja:

L(q) = 0 5q − 100 = 0 5q = 100 q = 20 Podemos fazer a seguinte análise: • se q < 20 , temos lucro negativo • se q > 20 , temos lucro positivo Na verdade, podemos obter a quantidade que resulta em lucro zero fazendo Receita=Custo, ou seja,

L(q) = 0

R(q) − C (q) = 0 R(q) = C (q) Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even pointi (ponto de equilíbrio) e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. Em nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas R (q ) = 7 q e C (q ) = 2q + 100 . A interpretação do break-even point é mostrado nos gráficos abaixo.


61

Matemática R,C

R=7q

C=2q+100 140 b reak -even point

100

20

q

L

L=5q-100

0 20

q

-100

Ponto de Equilíbrio Como podemos observar, a função linear pode ser útil para representar o custo, a receita e o lucro na comercialização de um determinado produto.

3. Inclinação e taxa de variação Vamos utilizar o símbolo ∆ (a letra grega delta maiúscula) para indicar “variação em”, onde ∆x significa variação em x e ∆y variação em y . A inclinação de uma função linear y = f ( x) pode ser calculada a partir de valores da função em dois pontos, x1 e x 2 , por meio da seguinte fórmula:

m = inclinação =

Variação vertical ∆y f ( x 2 ) − f ( x1 ) = = Variação horizontal ∆x x 2 − x1

f ( x 2 ) − f ( x1 ) é chamada de quociente das diferenças, pois isto é exatamente o x 2 − x1 ∆y que ela é. Como a inclinação = , a inclinação representa a taxa de variação de y em relação a ∆x x . As unidades da inclinação são as unidades de y divididas pelas unidades de x .

A quantidade

Coeficiente de inclinação


4.Função linear geral Uma função linear é dada por:

y = f ( x) = mx + b Seu gráfico é uma reta tal que: • •

m é a inclinação ou taxa de variação, ou ainda coeficiente angular; b é chamado de coeficiente linear que é a interseção da reta com o eixo vertical, ou o valor de y quando x é zero; Graficamente m , dá a inclinação da reta que representa a função. Como já foi dito, m no dá a taxa de variação da função, que representa se a função está crescendo ou decrescendo e, graficamente, m representa a inclinação da reta, sendo mais ou menos inclinada positiva ou negativamente. Se m > 0 , temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada positivamente e, quanto maior for o valor de m , maior será o crescimento de y a cada aumento de x , tendo a reta maior inclinação positiva. Se m < 0 , temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta será inclinada negativamente.

5. Obtenção de uma função linear Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático por meio de uma função linear, é importante a obtenção correta da expressão que representa tal função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio de uma expressão do tipo y = mx + b , é importante obtermos de maneira correta os parâmetros m e b . Para a obtenção de m (coeficiente de inclinação), devemos estar atentos para as informações que dizem respeito às taxa de variação, ou seja, qual a variação da variável dependente em relação à variável dependente, assim podemos utilizar a equação:

m=

∆y ∆x

Para a obtenção do valor de b , utilizaremos um valor de x , seu correspondente y e o valor de m obtido anteriormente, substituindo tais valores em y = mx + b , desta forma obteremos o valor de b . Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de R$1000,00. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas extras. Solução: Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão y = mx + b , onde y representa o salário e x o número de horas extras, então teremos as correspondências:

x = 12 → y = 840

x = 20 → y = 1000


63

Matemática

Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:

m=

∆y 1000 − 840 160 = 20 = = ∆x 20 − 12 8

Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de m = 20 na equação y = mx + b e um dos pares de x e y dados, como por exemplo, ( x; y ) = (12;840) , desta forma temos o seguinte:

y = 20 x + b 840 = 20(12) + b b = 600

Assim, a função do salário é dada por y = f ( x) = 20 x + 600 . Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5,30) e (15,10). Solução: Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão y = mx + b . Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:

m=

∆y 10 − 30 − 20 = −2 = = ∆x 15 − 5 10

Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de m = −2 na equação y = mx + b e um dos pares de x e y dados, como por exemplo, ( x; y ) = (5;30) , desta forma temos o seguinte:

y = −2 x + b 30 = −2(5) + b b = 40

Assim, a função do salário é dada por y = f ( x) = −2 x + 40 . 6. Retas paralelas e retas perpendiculares O coeficiente de inclinação de uma reta constitui um recurso conveniente para determinar se duas retas são paralelas ou perpendiculares.

1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais, ou seja,

m1 = m2

2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1, ou seja,

m1 .m2 = −1

Exemplo 3: Determine a equação de reta que passa pelo ponto ( 2;−1) e é: a) Paralela à reta 2 x − 3 y = 5 ; b) Perpendicular à reta 2 x − 3 y = 5 ; Solução: Inicialmente, vamos colocar a equação linear da forma reduzida.

−3 y = −2 x + 5 (-1)


3y = 2x − 5 2 5 y = x− 3 3 Assim, temos que m =

2 . 3

a) A equação de reta tem de passar pelo ponto ( 2;−1) e ser paralela à equação y =

2 5 x − que 3 3

2 . Pela definição acima, vemos que duas retas são paralelas se e somente se, 3 apresentarem o mesmo coeficiente de inclinação. Desta forma a reta que passa pelo ponto ( 2;−1) 2 também deve ter o coeficiente de inclinação igual à . Assim, temos o seguinte: 3 y = mx + b apresenta m =

y=

2 x+b 3

Substituindo o ponto ( 2;−1) , na equação acima encontramos o valor de b .

2 x+b 3 2 − 1 = ( 2) + b 3 7 b=− 3 y=

2 7 x − é a equação de reta que passa pelo ponto (2;−1) e é paralela à 3 3 equação de 2 x − 3 y = 5 . Logo, temos que y =

b) Agora queremos encontrar uma reta que passe pelo ponto ( 2;−1) , porém que seja

2 , e ainda, duas retas 3 são perpendiculares se seus coeficientes quando multiplicados resulta em − 1 . 2 m1 . = −1 3 3 m1 = − 2 A equação da reta que passa pelo ponto (2;−1) e é perpendicular à reta de equação 2 x − 3 y = 5 3 apresenta m = − . Sendo assim temos: 2 perpendicular à equação de reta dada por 2 x − 3 y = 5 . Sabemos que m =

3 y = − x+b 2

Substituindo o ponto (2;−1) , na equação acima encontramos o valor de b .

3 y = − x+b 2 Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

65

Matemática

3 (−1) = − (2) + b 2 b=2 3 x + 2 é a equação de reta que passa pelo ponto (2;−1) e é 2 perpendicular à equação de 2 x − 3 y = 5 .

Logo, temos que y = −

7. Intersecções de retas Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais funções lineares, podemos investigar se tais funções têm valores em comum, ou seja, se há encontro das retas que representam as funções. Uma aplicação comum em administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de intersecção, é a análise do ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número suficiente de unidades, de modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge seu ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a receita total da venda de x unidades do produto é representada por R . Podemos então achar o ponto de equilíbrio igualando o custo C à receita R ,(como já foi mostrado anteriormente) e resolvendo a equação em função de x . Matematicamente, isso significa dizer que estamos resolvendo um sistema de equação linear. Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolvermos o sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema:

 y = m1 x + b1 S=  y = m2 x + b2 Observações:

Se S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único ponto comum, dizemos que tal sistema é possível e determinado; Se S não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas e dizemos que o sistema é impossível.

Interpretação gráfica da solução de um sistema.


Exemplo 4: Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções y = − x + 2 e y = 2 x − 1 Existem várias maneiras de se resolver um sistema linear de duas equações (comparação, substituição, soma, escalonamento e determinante), porém, utilizaremos aqui o método da comparação.

y = −x + 2   y = 2x − 1 Na primeira equação temos que y = − x + 2 e na segunda y = 2 x − 1 , como y = y , então:

− x + 2 = 2x − 1 − x − 2 x = −1 − 2 − 3 x = −3 (-1) 3x = 3 x =1 Se x = 1 , substituindo em qualquer uma das equações (na primeira, por exemplo) temos:

y = −1 + 2 = 1 , logo a solução para esse sistema é S = (1,1) .

Exercícios de fixação 1) Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de R$2,60 por litro. a) Determine uma expressão que relacione o valor pago (V ) em função da quantidade de litros (q ) abastecidos por consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros, esboce o gráfico da função obtida no item anterior. 2) Um vendedor de planos de saúde recebe de salário R$300,00 , mais uma comissão de R$5,00 por plano vendido. a) Determine uma expressão que relacione o salário total (S ) em função da quantidade de planos (x) vendidos. b) Sabendo que seu salário em um mês foi de R$1550,00 , qual foi a quantidade de planos vendidos? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 3) O valor inicial de um carro é R$20.000,00 , e a cada ano esse valor é depreciado em R$1.250,00 . a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos passados após a compra. b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial? c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a). 4) O custo de um produto é calculado pela fórmula C ( q ) = 10 + 20q , na qual indica o custo (em reais) e q , a quantidade produzida (em unidade). a) Construa o gráfico da função C (q ) . b) Observando no gráfico, qual seria o custo para a produção de 9 unidades do produto?


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Matemática 5) Um fabricante vende um produto por R$0,80 a unidade. O custo do produto consiste numa taxa fixa de R$40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade. a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo? b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto será o lucro ou prejuízo? 6) Observe o gráfico abaixo. Qual a função linear deu origem a este gráfico?

7) Um produto, quando comercializado, apresenta as funções Custo e Receita dada, respectivamente, por C ( q ) = 2q + 36 e R ( q ) = 5q , onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para o custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break - even point. b) Obtenha a função Lucro, L, esboce o seu gráfico e determine as quantidades necessárias para que o lucro seja negativo, nulo e positivo. 8) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto dado e é paralela à reta dada e perpendicular à reta dada. Faça o gráfico das três equações no mesmo sistema de eixos coordenados. a) (− −3,2) e x + y = 7 c) (2,1) e 4 x − 2 y = 3

b) (− −6,4) e 3 x + 4 y = 7 d) (1,1) e − 2 x + 3 y = −3

9) Encontre se possível, em cada caso, o ponto de encontro de cada uma das retas abaixo. a) 2 x + y = 10 e 3 x − 2 y = 1

b) 2 x + 3 y = 10 e 4 x − y = −1

10) Um industrial fabrica um produto ao custo de R$0,65 por unidade e vende-o a R$1,20 por unidade. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$10.000,00 . Quantas unidades o industrial deve vender para atingir o ponto de equilíbrio? 11) Encontre os pontos de intersecção (se houver) das funções. a) 2 x − 3 y = 13 e 5 x + 3 y = 1 b) x + y = 7 e 3 x − 2 y = 11


12) Uma empresa de telefonia cobra uma taxa de R$25,00 mais R$0,05 por minuto. Obtenha uma fórmula para o pagamento mensal P , em reais, como função do número de minutos, m , de uso do telefone.


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Matemática __ _

Capítulo 7

FUNÇÃO QUADRÁTICA As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. Kepler

1. Introdução Nesse capítulo, você estudará situações práticas envolvendo as funções quadráticas (do segundo grau) a partir da construção e análise de seu gráfico. No esboço gráfico da função quadrática, será dada atenção especial para a construção da parábola. Você notará que as coordenadas do vértice são úteis para determinação de valores máximos e mínimos e intervalos de crescimento (ou decrescimento) das funções associadas.

2. Um modelo de função quadrática Algumas situações práticas podem ser representadas pelas funções polinomiais do segundo grau, chamadas simplesmente de funções do segundo grau. Uma dessas situações é a obtenção da função receita quando consideramos o preço e a quantidade comercializada de um produto. Sabemos que a receita R é dada pela relação:

R = p.q em que p representa o preço unitário e q a quantidade comercializada do produto. Por exemplo, se o preço dos sapatos de uma determinada marca variar de acordo com a relação:

p = −2q + 200

podemos estabelecer a receita para a venda de sapatos pela expressão:

R = p.q R = (−2q + 200).q R(q ) = −2q 2 + 200q Para uma melhor visualização dessa situação, vamos traçar um gráfico a partir de uma tabela com algumas quantidades de sapatos vendidos e receitas correspondentes: Receita para a venda de pares de sapatos Quantidade(q) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Receita($) 0 1800 3200 4200 4800 5000 4800 4200 3200 1800 0


6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0

20

40

60

80

100

Receita para a venda de sapatos.

6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0

20

40

60

80

100

Parábola para as vendas de sapatos Nessa parábola, convém observar alguns aspectos interessantes associados à função:

R(q ) = −2q 2 + 200q • •

A concavidade está voltada para baixo, pois o coeficiente do termo − 2q 2 é negativo. O ponto em que a curva corta o eixo R é obtido fazendo q = 0 .

•

R (0) = −2(0) 2 + 200(0) = 0 Os pontos em que a curva corta o eixo q , ou seja, as raízes da função são obtidos fazendo R ( q ) = 0 . R (q ) = −2q 2 + 200q = 0 q = 0 ou q = 100

•

O vértice V = (50,5000) da parábola em que q v = 50 é a média aritmética das raízes e

Rv = 5000 é a receita correspondente. •

Especificamente para essa função quadrática (do 2° grau), o vértice é importante, pois nos dá a quantidade q v = 50 que deve ser comercializada para que a receita seja máxima

Rv = 5000 .


71

Matemática

3. Caracterização de uma função quadrática Uma função quadrática é dada por:

y = f ( x) = ax 2 + bx + c , com a ≠ 0 Para a obtenção do gráfico, conhecido como parábola, devemos observar e seguir os passos abaixo: •

O coeficiente determina se a concavidade é voltada para cima (a > 0) ou para baixo ( a < 0) :

a>0

a<0 y

y

Parábola para cima

Parábola para cima

•

O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y e pode ser obtido fazendo x = 0 ; • Se existirem, os pontos em que a parábola corta o eixo x são dados pelas raízes da função y = f ( x ) = ax 2 + bx + c e podem ser obtidos fazendo y = 0 ; • Para tal resolução dessa equação, utilizaremos a fórmula resolutiva de uma equação do 2° grau, (também conhecida por muitos como fórmula de Báskara): Vamos mostrar como se origina essa fórmula: Sabemos que para encontrarmos as raízes temos que fazer y = 0 , ou seja, encontrar os valores de x tal que f ( x ) = 0 :

f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx = − c (vamos dividir todos os membros por a ) b c x 2 + x = − (vamos agora transformar o 1º membro em um quadrado perfeito) a a 2

2

2

b c  b   b   b  x +   = − +   (adicionando   nos dois termos não altera o valor da a a  2a   2a   2a  equação e ainda conseguimos um quadrado perfeito no 1º membro) x2 +

2

2

2

b  c  b  b  c b2   x+  = − +  → x+  =− + 2 2a  a  2a  2a  a 4a  


b  b 2 − 4ac  (extraindo a raiz quadrada de ambos os termos) x+  = 2a  4a 2  2

b b 2 − 4ac b  b 2 − 4ac b  b 2 − 4ac   → + = → x = − ± x + = x     2a  4a 2 2a  2a 2a 2a   2

x=

− b ± b 2 − 4ac , se chamarmos de ∆ = b 2 − 4ac podemos reescrever essa equação: 2a

x=

−b± ∆ −b+ ∆ −b− ∆ , onde temos as raízes: x1 = e x2 = . 2a 2a 2a

• •

O número de raízes, ou pontos em que a parábola corta o eixo x , depende do discriminante (∆ ) , em resumo temos: ∆ = 0 A função possui apenas uma raiz real (a parábola intercepta o eixo x em apenas um ponto): y

Função com apenas uma raiz real. •

∆ > 0 A função possui duas raízes reais (a parábola intercepta o eixo x em dois pontos): y

Função com duas raízes reais distintas •

∆ < 0 A função não possui nenhuma raiz real (a parábola não intercepta o eixo x ):


73

Matemática y

Função sem raiz real Observação: As três parábolas mostradas nas figuras acima estão indicadas como sendo a > 0 , caso, tivéssemos a < 0 , as parábolas estariam com a concavidade voltada para baixo.

4. Vértice da parábola de uma função quadrática. O vértice de uma parábola é o ponto onde ela muda de sentido. Veja a figura abaixo:

Vértice de uma parábola Coordenadas do vértice de uma parábola é dado por: xv =

−b −∆ e yv = , e assim temos que o 2a 4a

−b −∆ ; .  2a 4a 

vértice é o ponto V = 


5. Principais pontos de uma parábola.

Principais pontos de uma parábola Como já vimos anteriormente, para a construção e estudo de uma parábola é necessário encontrar os principais pontos de uma parábola. No gráfico acima, estão listados esses pontos.

6. Imagem de uma função quadrática – valor máximo e valo mínimo A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo e mínimo. Veja o exemplo: Encontre a imagem da função dada por f ( x) = 2 x 2 − 8 x . Inicialmente, vamos encontrar o vértice da função. O vértice determina se o ponto é mínimo ou máximo, em função do valor de “ a ”, e a partir daí podemos encontrar a imagem de f (x) .

xv =

− b − (−8) 8 − ∆ − (b 2 − 4ac) − [(−8) 2 − 4(2)(0)] = = = −8 = = = 2 e yv = 2a 2( 2) 4 4a 4a 4(2)

Daí segue que V = ( 2,−8) . Desta forma se fizermos o esboço do gráfico da função f (x) termos a seguinte figura:

Imagem de uma função Matemática | Prof. Ms. Anderson Dias Gonçalves

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Matemática Neste caso podemos observar facilmente que o mínimo da função é − 8 , e segue-se que a imagem é dada por:

Im( f ) = {y ∈ R / y ≥ −8}

De forma geral, seja f : R → R , onde f ( x) = ax 2 + bx + c com a ≠ 0 e vértice igual a

V = ( xv , y v ) , então a sua imagem é dada por: • •

a > 0 → yv é o valor mínimo da função, então Im( f ) = {y ∈ R / y ≥ yv }

a < 0 → yv é o valor máximo da função, então Im( f ) = {y ∈ R / y ≤ yv }

7. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática O crescimento de uma função quadrática depende do valor do coeficiente " a" da função f : R → R , definida por y = f ( x) = ax 2 + bx + c com a ≠ 0 . Para descobrirmos em qual intervalo a função é crescente e ou decrescente, devemos analisar os valores em x (domínio), para assim estabelecermos o intervalo de crescimento e ou decrescimento da função, observe as figuras abaixo.

1º Caso: a > 0

Crescimento e Decrescimento. 2º Caso: a < 0

Crescimento e Decrescimento


Observações: No 1° caso a função f é decrescente na intervalo (−∞, xv ) e crescente no intervalo ( xv ,+∞ ) . No 2° caso a função f é crescente no intervalo (−∞, xv ) e decrescente no intervalo ( xv ,+∞ ) .

Exercícios propostos 1) Faça o estudo completo de cada uma das funções abaixo. a) f ( x) = x 2 − 3 x − 4 b) f ( x) = −3 x 2 + 2 x + 1 c) f ( x) = x 2 + 4 x + 4 d) f ( x) = x 2 + 4 x + 4 2) Em certa plantação de feijão, a produção P, de feijão depende da quantidade q , de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P (q ) = −3q 2 + 90q + 525 . Considerando nessa lavoura a produção medida em Kg e a quantidade de fertilizante em g/m² , faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima. 3) Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 21 dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, dados por N , em um função do número de dias, dado por t , pode ser obtido por N (t ) = 0,25t 2 − 4t + 16 . Diante dessa situação, esboce o gráfico da função salientando os principais pontos e seus significados. 4) Em um ano, o valor v , de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, indicados por t , é dado pela expressão v(t ) = 2t 2 − 10t + 60 . Sabendo que o valor da ação é dado em reais (R$), faça um esboço do gráfico, comente o significado dos principais pontos e determine a variação percentual da ação após um ano. 5) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C ( x) = x 2 − 80 x + 3000 . Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo do custo; 6) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C , em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R ( x ) = 6000 x − x 2 e C ( x ) = x 2 − 2000 x . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 7) Para um determinado produto comercializado, a receita e o custo são dados, respectivamente, por R (q ) = −2q 2 + 1000q e C ( q ) = 200q + 35000 . Obtenha então: a) Os gráficos da receita e custo do produto comercializado. b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade para que a receita seja máxima e a receita máxima. c) Os break-even points e seu significado. d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. e) A função lucro e o seu gráfico. f) A quantidade pra que o lucro seja máximo e o lucro máximo correspondente.


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Matemática 8) O número N, de apólices vendidas por um vendedor de seguros pode ser modelado pela expressão N (t ) = − t 2 + 14t + 32 , onde representa o mês da venda. a) Esboce o gráfico dessa função a partir de uma tabela com o número de apólices vendidas para os dez primeiros meses de vendas. b) De acordo com os dados obtidos anteriormente, em que mês foi vendido o máximo número de apólices e qual o número máximo vendido? c) Qual a média de apólice vendidas por mês para os cinco primeiros meses? E para os dez primeiros meses? 9) Para cada item a seguir, esboce o gráfico a partir da concavidade, dos pontos em que a parábola cruza os eixos e o vértice. a) y = x 2 − 4 x − 5 b) y = x 2 − 8 x + 16 c) y = −3 x 2 + 6 x + 9 d) y = − x 2 + 4 x − 6 10) Para a comercialização de relógios,um lojista nota que a receita é dada por R(q ) = −3q 2 + 120q e o custo é dado por C (q ) = 2q 2 + 20q + 375 . a) Esboce o gráfico da receita e custo sobre o mesmo sistema de eixos coordenados. b) Determine os break-even points. c) Indique no gráfico do item anterior as quantidades para as quais o lucro é positivo. d) Obtenha a função lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. e) Qual a quantidade de relógios a ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? f) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo?


Referência Bibliográfica [1] ÁVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. 2003. [2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. 3. ed. São Paulo: Editora Ática. 2008. [3] DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; DEGENSZAJN, David, Matemática. v. único. São Paulo, Atlas, 2007. [4] HARIKI, Seiji; HARIKI, Oscar João Abdounur. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. SP: Saraiva, 1999. [5] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004. [6] LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P., EDWARDS, Bruce H., Cálculo com Aplicações,4.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998. [7] MUROLO, Afrânio; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. [8] SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2007. [9] TAN, S.T. Matemáica Aplicada à Administração e Economia. SP: Pioneira, 2001. BOLDRINI, José Luiz...[et. al.]. Álgebra Linear. SP: Harba, 1986.


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Livro de Matemática Básica - Prof. Anderson Dias

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