BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
autores do srcinal
ANA LUCIA DE SOUSA ANTÔNIO CARLOS CASTAÑON VIEIRA GLÓRIA DIAS JÚLIO CÉSAR JOSÉ RODRIGUES JUNIOR LUIZ GIL SOLON GUIMARÃES MARCELO COUTO BRAGA MARCOS JOSÉ MACHADO DA COSTA MÁRIO LUIZ ALVES DE LIMA
UBIRATAN OLIVEIRA
1ª edição SESES rio de janeiro
2015
Conselho editorial regiane burger, roberto paes e gladis linhares Organizador luiz gil solon guimarães Autores do srcinal
ana lucia de sousa, antônio carlos castañon vieira, glória dias,
júlio césar josé rodrigues junior, luiz gil solon guimarães, marcelo couto braga, marcos josé machado da costa, mário luiz alves de lima, ubiratan oliveira
Projeto editorial roberto paes Coordenação de produção gladis linhares Projeto gráfico paulo vitor bastos Diagramação paulo vitor bastos Revisão linguística aderbal torres bezerra
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em seses, 2015. qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) b299 Bases matemáticas para Engenharia
Regiane Burger [organizadora] — Rio de Janeiro: Editora Universidade Estácio de Sá, 2015. 366 p isbn: 978-85-5548-141-3
1. Cálculo. 2. Função. 3. Logaritmo. 4. Trigonometria. 5. Limite. I. Título. cdd 510
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário 1. A importância da Matemática para a Engenharia
7
2. Conceitos fundamentais de Álgebra e Aritmética 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Radiciação e potenciação Potência de expoente natural Potência de expoente inteiro negativo Raíz enésima e expoentes racionais Potência de expoente racional Exercícios resolvidos Estudos de casos aplicados Expressões algébricas Produtos notáveis
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Fatoração de expressões algébricas Razão e proporção Razão Proporção Grandezas direta e inversamente proporcionais Regra de três simples Regra de três composta Porcentagem Operações com porcentagem
26 27 28 29 31 32 33 37 41 42 44 45 46 51 52 56 59 62
3. Vetores
67
1 2 3 4 5
69 70 70 73 78
Definição Módulo de um vetor Tipos de vetores Operações com vetores Ângulo entre vetores
6 Vetor unitário 7 Decomposição de vetores 8 Representação de um vetor conhecidos seus pontos srcem e extremidade 9 Igualdade de vetores 10 Paralelismo de dois vetores 11 Módulo de um vetor
79 81 83 86 86 87
12 Vetor unitário de uma direção 13 Obtenção de um vetor dados o módulo e a direção
90 93
4. Matrizes
97
1 2 3 4
99 100 106 108
Definição de matrizes Matriz quadrada Tipos de matrizes Operações com matrizes
5. Tipologias textuais 1 Plano cartesiano 2 Relações 3 Função
6. Função afim ou polinomial do primeiro grau 1 2 3 4
Aplicações matemáticas Origem da Matemática Função afim ou função polinomial do primeiro grau O gráfico de toda função afim é uma reta
121 122 128 131
149 150 151 151 155
7. Função quadrática ou polinomial do segundo grau 1 2 3 4
A função quadrática Determinação algébrica das raízes da equação do segundo grau Máximo e mínimo Vértice
5 Imagem 6 Soma e produto das raízes 7 Fatoração do trinômio do segundo grau 8 Estudo dos sinais da função quadrática 9 Função modular 10 Equações modulares 11 Inequações modulares
8. Função exponencial 1 2 3 4 5 6
Importância das funções exponenciais e suas aplicações Gráfico de uma função exponencial Esboços gráficos de função exponencial Propriedades Equação exponencial Inequação exponencial
9. Logaritmos e funções logarítmicas 1 2 3 4 5 6 7 8
Logaritmo Propriedades imediatas dos logaritmos Propriedades com operações de logaritmos Sistemas de logaritmos na base a Função logarítmica Gráfico de uma função logarítmica Equação logarítmica Inequação logarítmica
179 180 184 187 191 194 196 198 201 204 210 212
225 226 227 228 229 231 235
247 248 249 252 256 258 258 263 265
10. Trigonometria
275
1 Ângulo e Trigonometria 2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 3 Relação fundamental e relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente 4 Ângulos notáveis
276 276
5 Razões trigonométricas na circunferência 6 As razões trigonométricas 7 Corolário 8 Arcos Côngruos 9 Redução ao 1º quadrante 10 Outras relações entre arcos e quadrantes 13 Transformações 14 Resolução de equações e inequações trigonométricas 15 Funções trigonométricas
282 283 286 288 289 292 296 298 307
11. Limites 1 A evolução do estudo do conceito de limites 2 Noção intuitiva de limite 3 Formalizando a aproximação 4 Definição formal de limite 5 Teoremas da unicidade do limite e da conservação do sinal 7 Propriedades de limites 8 Limites laterais e continuidade 9 Limites infinitos 10 Propriedades dos limites infinitos 11 Teorema 12 Limites no infinito 13 Propriedades dos limites no infinito 14 Limites especiais 15 Complementos sobre o estudo de limites
277 280
317 318 318 320 321 324 326 330 333 335 339 340 344 349 352
1 A importância da Matemática para a Engenharia
É fundamental que desde o início do curso o aluno de Engenharia vá se conscientizando das responsabilidades e atribuições da profissão. Como pode-se dizer que o engenheiro é um agente transformador da natureza, que cria novos materiais, dispositivos e equipamentos ou implanta empreendimentos que impactam o meio ambiente, cada vez mais suas ações devem ser coerentes, seguras e responsáveis tanto no âmbito social como no ambiental. É por meio da união do conhecimento científico e da lógica de raciocínio que um indivíduo se torna um agente transformador da natureza com responsabilidade socioambiental, ou seja, um engenheiro. Não é possível o desenvolvimento tecnológico sem o conhecimento das leis do universo. Através dos séculos, cientistas investigam e idealizam as leis que regem a natureza, aperfeiçoando e modelando matematicamente essas ideias, construindo o conhecimento científico da humanidade. Vamos refletir um pouco sobre a Matemática antes de abordar sua importância para a Engenharia. Para nos ajudar, são apresentadas algumas citações referentes à Matemática de alguns pensadores que influenciaram fortemente a Ciência:
1 2 3 4 5
Pitágoras: “O número domina o Universo”.
Sócrates: "O estudo da Matemática é o mais indicado para desenvolver as
faculdades, fortalecer o raciocínio e iluminar o espírito". Galileu Galilei: “O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e
símbolos matemáticos”. Leonardo da Vinci: “Nenhuma investigação humana pode ser chamada real-
mente Ciência, se não puder ser demonstrada matematicamente”. Albert Einstein:“A Matemática pura é, à sua maneira,a poesia das ideias lógicas”.
Agora, em sequência, para nos ajudar a pensar em uma definição para a Engenharia apresenta-se o pensamento de uma série de pessoas influentes e até um conceito da Wikipedia, que hoje pode ser considerada como uma fonte “popular”:
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S. E . Lindsay (19 20): Engenharia é a prática da aplicação segura e econômica
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das leis científicas que governam as forças e materiais da Natureza, através da organização, design e construção, para o benefício da humanidade. Vanevar Bush (1939): Engenharia, em um sentido amplo, é a aplicação da
ciência de maneira econômica para as necessidades da humanidade. T. J. Hoover e J. C. L. Fish (1941): Engenharia é a aplicação profissional e
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sistemática da ciência para a utilização eficiente dos recursos naturais a fim de produzir riqueza. John C. Calhoun, Jr. (1963): É responsabilidade do engenheiro estar atento
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às necessidades sociais e decidir como as leis da ciência podem ser mais bem adaptadas através da Engenharia a fim de cumprir essas necessidades. Wikipedia (http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia em 09/03/2015): a Enge-
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nharia é definida como a ciência, a arte e a profissão de adquirir e de aplicar os conhecimentos matemáticos, técnicos e científicos na criação, aperfeiçoamento e implementação de utilidades, tais como materiais, estruturas, máquinas, aparelhos, sistemas ou processos, que realizem uma determinada função ou objetivo. Comitê de Certificação de Engenharia e Tecnologia dos Estados Unidos (1982): Engenharia é a profissão na qual o conhecimento das ciências mate-
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máticas e naturais, obtido através do estudo, experiência e prática, é aplicado com julgamento no desenvolvimento de novos meios de utilizar, economicamente, os materiais e as forças da natureza para o benefício da humanidade.
A análise dos pensamentos apresentados nos mostra que, quando a Matemática não aparece explicitamente na definição do que seria a Engenharia, são mencionados termos como ciência, leis científicas ou leis da ciência, que podem ser interpretados como as leis da Física modeladas matematicamente, além de nos remeterem aos pensamentos acerca da Matemática apresentados no início. Fica claro que existe uma relação muito forte entre a Matemática e a Engenharia.
capítulo 1
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Se avançarmos para a Mecânica, a Hidráulica, a Termodinâmica, a Eletricidade, a Química etc. são todas áreas do saber regidas por leis demonstradas matematicamente. Cabe ao engenheiro estudá-las, entendê-las e aplicá-las de maneira correta e responsável, transformando a natureza e a sociedade. Portanto, espera-se que o engenheiro seja um profissional dotado de raciocínio lógico, capaz de aliar conhecimentos matemáticos e científicos para produzir avanços tecnológicos em prol da sociedade. Como a Matemática é reconhecidamente a melhor forma de se desenvolver o raciocínio lógico e também é imprescindível para que os conceitos científicos sejam comprovados, pode-se concluir que a Matemática é essencial para que o engenheiro possa contribuir com a inovação tecnológica. Uma vez reconhecida a importância direta e indireta da Matemática, na formação do engenheiro, vamos fazer uma viagem motivadora até a sua aplicação na pesquisa e no exercício da profissão de engenheiro. O desenvolvimento da Informática em geral e da Computação Gráfica em especial, faz com que seja cada vez mais comum a utilização da modelagem matemática em sistemas de simulação de fenômenos físicos baseados em computação gráfica em todas as áreas da Engenharia. Segundo Bassanezi, a Modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real... o modelo matemático “é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representa de alguma forma o objeto estudado”.
Dessa forma, a simulação computacional de problemas de Engenharia tornou-se uma grande área de pesquisa, impulsionando o desenvolvimento de sistemas muito sofisticados que já são largamente utilizados, tanto em situações de pesquisa quanto em projetos de Engenharia. A seguir são apresentadas algumas situações práticas da Engenharia, altamente motivadoras para quem gosta do tema, e que somente são possíveis pelo uso pesado da Matemática. São exemplos divididos por especialidades, todos envolvendo modelagem matemática e simulação de problemas de engenharia. Na Engenharia Ambiental a modelagem matemática vem sendo cada vez mais empregada em simulações diversas como escoamento e dispersão de poluentes, fluxo de águas subterrâneas em aquíferos, transporte de sedimentos, hidrodinâmica e qualidade da água.
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capítulo 1
A figura 1 é parte de um estudo sobre os emissários submarinos, na costa dos municípios do Rio de Janeiro e Niterói, realizada com o sistema SisBaHia mostrando as plumas dos emissários submarinos da Barra, Ipanema e Icaraí em uma determinada condição do dia e das correntes. O SisBaHia (Sistema Base de Hidrodinâmica Ambiental) é um sistema de modelagem computacional registrado pelaFundação Coppetec, órgãogestor de convênios e contratos de pesquisa do COPPE/UFRJ - Instituto Aberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) (http://www.sisbahia.coppe.ufrj.br/, em 16/03/2015). Na Engenharia Civil, é comum o emprego de métodos matemáticos aplicados à Mecânica Computacional no desenvolvimento de sistemas computacionais aplicados à Teoria das Estruturas, à Mecânica dos Sólidos, à Mecânica dos Solos e à Mecânica das Rochas. Tais sistemas são importantes ferramentas para a simulação do comportamento de estruturas ou de solo/maciço rochoso submetidos a condições específicas de tensão. Recentemente temos visto o desenvolvimento da implantação do BIM (Building Information Modeling) ou Modelagem da Informação da Construção, em
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todo o mundo, inclusive no Brasil. A ideia é que equipes multidisciplinares compartilhem um único modelo 3D que é capaz de armazenar e processar o edifício, todos os seus sistemas, planejamento, orçamento e tudo o mais que se deseje. A implantação do BIM impacta na forma de trabalhar de todos os elos da cadeia da indústria da construção civil. A figura 2 mostra modelos capazes de realizar a simulação do comportamento estrutural em situações específicas para o Estádio Ninho de Pássaro, das Olimpíadas de Pequim e de uma laje de ponte. Também é apresentada uma análise de vento, na cobertura de um estádio, bem como um modelo BIM exibindo estrutura e instalações. A modelagem matemática aplicada à Engenharia de Petróleo também é bastante desenvolvida e contempla temas como a modelagem de reservatórios, de fluxo em meios porosos, de elevação e escoamento de petróleo, modelagem geológica e geofísica, por exemplo. O CENPES — Centro de Pesquisa da Petrobras — desenvolve, em parceria com a COPPE e com o TecGraf-PUC-Rio, sistemas baseados em modelagem matemática para a área de petróleo como os contemplados na figura 3, de modelagem geofísica e geológica e, na figura 4, de modelagem de reservatórios e de risers.
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Na Engenharia de Produção, a modelagem matemática permite a simulação e a otimização de processos como, por exemplo, testar diversos procedimentos, com alterações de rotinas, equipamentos e layouts em uma indústria sem a necessidade de interrupção do sistema real que prossegue em funcionamento. A figura 5 mostra estudos de caso da 2014 Winter Simulation Conference (WSC).
Na Engenharia Elétrica, a modelagem matemática também é utilizada para realização de simulações de sistemas elétricos de potência, de fontes alternativas de energia e tecnologias emergentes de controle e operação de sistemas elétricos, por exemplo. As técnicas de modelagem e simulação também são largamente utilizadas para automação e controle. A figura 6 ilustra uma simulação de automação, um painel em 3D e a distribuição do campo magnético em uma subestação.
capítulo 1
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Por fim, a Engenharia Mecânica, que também utiliza largamente a modelagem e a simulação para situações de projeto. Na figura 7, estão apresentados modelos de componentes de motores para análise estrutural e térmica, ensaio virtual de uma cadeira plástica e o modelo de uma mola helicoidal para simulação dinâmica. Para dar esse salto realmente motivador, precisa-se começar lançando as bases matemáticas para Engenharia, que prepararão o ingressante do curso de Engenharia para a sua formação. Classicamente, nos cursos de Engenharia, o ensino da Matemática, normalmente, se dá de forma abstrata, baseado em símbolos e fórmulas, e, na maioria das vezes, desconectado das práticas de Engenharia. Enquanto isso, o ensino da Física é mais concreto, com a realização de práticas complementares em laboratórios, que formalizam o comportamento dos fenômenos naturais muitas vezes já observados pelos alunos. No entanto, como a Física quase sempre depende de recursos matemáticos, é mais comum a ocorrência de altas taxas de insucesso, tanto nas disciplinas de Matemática quanto nas de Física, desmotivando muitos alunos. A falta de motivação é uma das grandes causas de insucesso e evasão nos cursos de Engenharia, estruturados de forma que os dois primeiros anos sejam compostos por disciplinas básicas, tornando o ciclo extremamente árido tanto pelas dificuldades enfrentadas quanto pela falta de contato com as especificidades da profissão escolhida. Uma pergunta recorrente dos alunos do ciclo básico dos cursos de Engenharia é “Por que eu tenho que estudar isto?”. São tantas as ferramentas básicas estudadas até entrar em contato com as disciplinas profissionalizantes que muitas vezes é difícil acreditar que elas sejam realmente necessárias. Além disso, não é comum a contextualização da disciplina a ponto de tornar clara a sua importância no curso, motivando minimamente os alunos. Por que falar sobre isso? Por acreditar que uma abordagem mais concreta da Matemática, conectada a problemas reais, por mais simples que sejam, ameniza, em muito, a angústia do aluno ingressante de Engenharia, podendo
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até chegar ao ponto de se tornar elemento motivador. Arriscamos a dizer que, no contexto da Engenharia, é um equívoco tratar a Matemática de forma desconectada de situações da vida real, apenas manipulando fórmulas e observando regras, com o único interesse de achar a resposta correta, pouco importando o seu significado. Isso não potencializa plenamente o raciocínio lógico do futuro engenheiro em situações aplicadas, além de não elevar a Matemática ao patamar onde ela deve estar na Engenharia. Basta observar sua história para perceber que a Matemática possui um processo de construção conectado a certas demandas da sociedade e à necessidade de recursos específicos para modelagem de fenômenos do mundo real. A descrição de um fenômeno físico por um modelo matemático tem um significado muito grande, pois permite a simulação da sua ocorrência, possibilitando o seu pleno entendimento e a previsão de comportamentos futuros em situações hipotéticas. O uso do computador para a realização das simulações matemáticas viabiliza o estudo de uma infindável quantidade de modelos associados aos mais diversos fenômenos. Apesar do computador não pensar, ele pode ajudar a pensar. O uso sistemático de simulações aumenta bastante a percepção do comportamento do fenômeno estudado, justificando plenamente a necessidade de se aprender a manipular esse artefato matemático que pode ajudar a explicar, a organizar e, finalmente, a pensar. O estudo de programação de computadores, no curso, permite ao engenheiro produzir modelos matemáticos computacionais que representem sistemas de engenharia. Daí a sua obrigatoriedade na formação plena do engenheiro. Nesse contexto, percebe-se que o uso adequado da Matemática pode contribuir de forma substancial, na formação do engenheiro, para abordar os problemas da profissão. Um método capaz de fazê-lo conhecer, explicar e analisar os processos envolvidos nos sistemas de engenharia. Para que isto ocorra é preciso que a Matemática esteja naturalmente presente em todos os momentos, tornando o engenheiro um profissional diferenciado e capaz de tomar decisões adequadas.
capítulo 1
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O livro Bases Matemáticas para Engenharia Após a introdução e a contextualização desenvolvida no capítulo 1, o conteúdo deste livro prossegue, no capítulo 2, com a apresentação de recursos da Álgebra e da Aritmética, objetivando resgatar e equalizar os conhecimentos matemáticos que vão dar sustentação, principalmente, ao estudo das funções. Serão abordados os tópicos Potenciação e Radiciação, Expressões algébricas, Produtos notáveis, Fatoração, Razão e proporção, Regras de 3 simples e compostas e, por fim, Porcentagem. O capítulo 3 apresenta os vetores, base para o estudo da Mecânica, área da Física onde os vetores representam forças, por exemplo. No estudo da Física, lidamos com grandezas escalares e grandezas vetoriais. As escalares são representadas apenas por um valor numérico que representa a intensidade da grandeza em uma determinada unidade. Como exemplo, podemos citar a temperatura: “Hoje a temperatura está 25 graus”. Essa informação está completa. Já as grandezas ditas vetoriais precisam de mais informações além da intensidade. Vamos imaginar uma força aplicada em um ponto, em qualquer direção e, para cada direção possível, ainda temos possibilidade de dois sentidos distintos, “empurrando” ou “puxando” o ponto, como mostrado na figura 8.
Forças o ponto.em várias direções “empurrando”
Forças ponto. em várias direções “puxando” o
Portanto, uma grandeza vetorial, como a força, é perfeitamente representada por um vetor, na medida em que todas as informações necessárias ao seu entendimento estão contidas tanto na representação gráfica quanto na representação numérica. A intensidade da força é proporcional ao tamanho do vetor,
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capítulo 1
a direção é definida pelo seu segmento de reta e o sentido pela seta posicionada em uma de suas extremidades. Além de dar suporte à Física, a manipulação de vetores também é fundamental para o estudo do cálculo vetorial, quando eles são utilizados para modelar matematicamente as retas e os planos, de grande importância em diversas situações de Engenharia. O Capítulo 4, do livro, aborda as operações matriciais básicas que darão suporte ao ensino da Álgebra Linear. Por exemplo, muitas das simulações apresentadas, para as várias engenharias, recaem em problemas de resolução degrandes sistemas de equações, resolvidos computacionalmente pela Álgebra Matricial, tornando-se um recurso extremamente valioso para todas as engenharias. No capítulo 5, tem início o estudo das funções, talvez o ponto mais importante da Matemática para Engenharia, que será aprofundado nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral na sequência do curso. Os capítulos seguintes apresentam vários tipos de funções: afins, quadráticas, modulares, exponenciais, logarítmicas e as funções trigonométricas. A importância do estudo das funções, na Engenharia, decorre do fato de que podemos representar (modelar) fenômenos físicos através delas, ou seja, permitem a simulação do comportamento de determinada situação específica de forma antecipada, sem ter que necessariamente recorrer a modelos físicos em laboratórios, por exemplo. A importância do estudo das funções é tamanha, na Engenharia, que podemos transformá-lo em elemento motivador. Para isso, é preciso que seu estudo seja contextualizado em problemas de Engenharia, por mais simples que sejam ou mesmo em situações comuns do cotidiano. Somente isso já deve ser suficiente para que a percepção do ingressante qualifique aqueles temas estudados como relevantes para a profissão. A consequência esperada é que os ingressantes comecem a se sentir estudantes de Engenharia o mais cedo possível. Como exemplo, se nos mantivermos estritamente na Matemática, podemos dizer que a definição formal de função pode ser muito abstrata para os alunos de Engenharia. Uma função pode ser apresentada como uma relação específica entre dois conjuntos A e B, de tal forma que: • para cada elemento x do conjunto A corresponda um único elemento y pertencente ao conjunto B; • o conjunto A seja denominado domínio da função; • o conjunto B seja denominado contradomínio da função;
capítulo 1
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• o subconjunto de B, utilizado na relação entre os conjuntos, seja chamado de Imagem da função. Olhando apenas pela ótica matemática, pode-se até entender e aceitar, mas é muito difícil visualizar alguma utilidade sob a visão de um estudante de Engenharia. No entanto, ao utilizar alguma situação específica, como por exemplo, calcular a área de um círculo (figura 9), pode-se ter o trabalho facilitado, ao se permitir o raciocínio com o auxílio de uma situação concreta. Qual é a fórmula da
área do círculo? r A(r) =
π
. r²
Como π é uma constante, pode-se dizer que a expressão apresentada mostra que a área do círculo dependeapenas do seu raio, ou seja, a área é função do raio. O que quer dizer isso? Que para cada valor diferente de raio, corresponde um valor diferente da área. Com um pouco mais de formalismo, pode-se dizer que: A(r) = π . r²
Essa notação tem o objetivo de explicitar que A (área) depende de r (raio) com a regra apresentada na expressão, ou seja, para um dado valor de entrada (r), obtém-se um valor de saída (A). Podemos investir na construção de um gráfico para mostrar como varia essa relação entre o raio e área de um círculo. Inicialmente, elegeu-se uma série de valores distintos para o raio conforme pode ser visto na figura 10. r
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A (r )
0
0
0 ,5
0,785398163
1 1 ,5
3,141592654 7,068583471
2
12,56637061
2 ,5
19,63495408
3
28,27433388
3 ,5
38,48451001
4
50,26548246
4 ,5
63,61725124
5
78,53981634
capítulo 1
O gráfico foi construído a partir da tabela apresentada ao seu lado, onde, para cada valor de raio, no intervalo de 0 a 5 — de 0,5 em 0,5 —, obteve-se um valor de área, aplicando-se a expressão da relação. No gráfico, cada ponto destacado representa um valor da tabela. O eixo horizontal (r) representa os valores dos raios, ou seja, os dados de entrada da relação. O eixo vertical (A) representa os valores das áreas calculadas a partir dos diferentes raios. Como na relação estabelecida o valor do raio aparece elevado ao quadrado, estamos diante de uma equação quadrática (de segundo grau), gerando um gráfico parabólico, portanto representada por uma parábola. Embora uma parábola aceite valores negativos, no nosso caso real, raios negativos não fazem sentido. Portanto pode-se afirmar que valores de raio superiores a zero produzem um círculo. Não há limite superior, pois sempre é possível se construir um círculo um pouco maior, aumentando o valor do raio, qualquer que seja ele. A relação estudada entre o raio e a área de um círculo pode ser classificada como uma função quadrática, pois, para cada valor do conjunto de entrada (raio r), corresponde a um único valor de saída (área A). Assim, a relação que analisamos para a área do círculo pode ser chamada de função. O estudo das funções pode ser desenvolvido de forma dissociada de qualquer tipo de representação, com foco apenas matemático, ou pode se tornar mais concreto ao se buscar apoio em situações reais. As situações listadas a seguir são exemplos onde o estudo das funções quadráticas foi muito importante: • Queda livre: Na Física, o espaço (s) percorrido por um corpo submetido a uma aceleração é dado pela e xpressão: s = s 0 + v0 t + ½ a t² , onde s0 é a posição inicial, v0 é a velocidade inicial, t é o tempo transcorrido e a representa a aceleração. Ao aplicarmos esta equação a uma situação de queda livre, a partir do repouso, com s0=0, v0=0 e a = 9,81 m/s² (gravidade), nossa equação se reduz a s = ½ a t² . Substituindo pelo valor da aceleração da gravidade, temos s(t)=4,905 t² . Se compararmos com a expressão que calcula a área do círculo, já analisada, a única diferença é o valor da constante. Aproveitando o tema, cabe aqui uma referência histórica a uma das mais importantes personalidades da Ciência, Galileu Galilei (1564-1642), na figura 11. Galileu estudou, dentre muitos outros temas, a queda livre de um corpo e o movimento de um projétil, seja ele uma pedra ou uma bala de canhão.
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O estudo da queda livre foi dificultado pela falta de tecnologia para medição precisa do tempo, mas foi viabilizado pela utilização de um plano inclinado, conforme a figura 12. Na dificuldade de marcar o tempo, Galileu instalou dispositivos sonoros ao longo do percurso, de forma que, conforme o corpo passasse, o sinal sonoro soava. Contando o tempo mentalmente, Galileu reposicionou os dispositivos sonoros de tal forma que emitissem som em intervalos de tempo constante. Feito isso, foi só medir a distância percorrida entre os dispositivos sonoros. Galileu percebeu que a velocidade aumentava conforme o tempo passava e que a distância percorrida a tempo constante, variava no quadrado do tempo, conforme a equação da queda livre mencionada. Com isso temos um exemplo de uso de função matemática representando o comportamento do movimento. Outro estudo de Galileu mostrou que o movimento descrito por um projétil é uma parábola (equação quadrática), figura 12. Além de formular as leis do movimento parabólico, teve a percepção de que o movimento parabólico podia ser representado por uma parcela horizontal e outra vertical. Isso explica, por exemplo, a razão de um skatista em movimento, ao dar um salto para cima, conseguir cair exatamente no skate e prosseguir seu movimento. O salto vertical sobre o skate não altera a componente horizontal do movimento, nem do skate e nem do skatista, fazendo com ele caia exatamente na mesma posição do skate, um pouco à frente. • Antenas Parabólicas: As antenas parabólicas são construídas com essa forma (parabólica) com o objetivo de aproveitar a característica geométrica da figura, regida por uma função quadrática. As parábolas possuem um foco, que tem como característica geométrica concentrar a reflexão de raios incidentes paralelos sobre a sua superfície, conforme mostrado no esquema da figura 13. Dessa forma, os sinais emitidos por um satélite são refletidos pela superfície parabólica de maneira que o captador de sinal da antena, posicionado estrategicamente no foco da figura geométrica receba todas as reflexões, melhorando a qualidade do sinal recebido. É um exemplo simples da Matemática a serviço da Engenharia.
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capítulo 1
• Faróis de automóveis: de forma inversa às antenas parabólicas, os faróis de automóveis, para tornar a área da fonte de luz maior em relação à lâmpada, posiciona a fonte de luz no foco de uma superfície parabólica espelhada, que será responsável pela reflexão da luzem raios paralelos, conforme mostra o esquema a seguir (figura 14), de umfarol selado (sealed beam), com dois filamentos para o farol alto e o baixo, onde o escudo defletor tem opapel de direcionar os raios de luz.
Seguindo esse raciocínio, pode-se enumerar uma grande quantidade de exemplos onde o estudo das funções é absolutamente fundamental para modelar e possibilitar a estimativa de valores associados às grandezas envolvidas nos diversos sistemas de Engenharia, em sua grande maioria baseados em fenômenos físicos. A perda de carga em uma linha de transmissão de energia elétrica, a variação de tensões internas em um elemento estrutural pela presença de cargas externas ou pela variação de temperatura, o impacto de ondas do mar ou o efeito das correntes marinhas em uma plataforma de petróleo, o efeito de poluentes em um corpo hídrico, a otimização de processos de engenharia, o posicionamento de antenas de telefonia celular, são exemplos de situações que envolvem fenômenos modelados matematicamente de modo a permitir a criação de procedimentos de projeto, sempre suportados por Normas Técnicas.
capítulo 1
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No Brasil, temos a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), responsável por gerar documentos que estabelecem as regras, normalmente focadas em segurança e conforto de utilização, para as mais diversas situações de Engenharia. Os procedimentos de projeto são criados com base no comportamento dos sistemas de Engenharia, quase sempre baseados em modelos matemáticos capazes de representar os referidos sistemas e fornecer os dados necessários ao projeto (http://www.abnt.org.br/). Por fim, o livro apresenta o tema Limites de funções. Estudar o comportamento das funções torna-se muito importante na medida em que esteja representando um determinado fenômeno real. Assim, reconhecer o comportamento de uma função, nessas condições, significa reconhecer o comportamento do fenômeno por ela representado. O conceito de limite é utilizado para expor o comportamento de uma função em situação específica, analisando como a função se comporta ao se aproximar do ponto de interesse. Obviamente existem funções bem comportadas com todos os seus valores muito bem definidos e funções com comportamentos mais complexos como, por exemplo, a função f(x)=1/x, como mostra a figura 15. Do lado esquerdo, está exibida a função com valores de x entre -2 e 2 aproximadamente e do lado direito, entre -15 e 15. Como a função se comporta quando o valor de x se aproxima de 0? Não conseguimos calcular 1/0, mas pelo gráfico da direita consegue-se perceber que, conforme o valor de x vai tendendo a zero, o valor da função tem um comportamento especial. Se acompanharmos pelo lado negativo a função responde com um valor também negativo, muito pequeno, e se acompanharmos pelo lado direito, positivo, a função responde com um valor muito grande.
22 •
capítulo 1
O conhecimento dos limites é importante para a sequência do estudo do comportamento das funções com os temas continuidade, derivadas e integrais que serão vistos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, que são muito importantes para a formação do engenheiro, pois são ferramentas para a análise dos fenômenos físicos associados aos problemas de Engenharia. Antes de encerrar a apresentação das funções, que formam a base para o estudo do Cálculo diferencial e integral, cabe o registro de um fato que talvez seja o mais marcante da história da Ciência. O protagonista é Isaac Newton, que viveu na Inglaterra entre 1642, ano da morte de Galileu Galilei, e 1727. Logo após obter o grau de bacharel, em Cambridge, Newton foi forçado a retornar à sua cidade no interior, pois Londres foi abatida por uma epidemia da peste negra (bubônica). Somente pôde retornar a Cambridge após 18 meses quando obteve o título de Doutor e se tornou catedrático com apenas 26 anos. Ocorre que, no período em que passou afastado, dedicou-se exclusivamente aos estudos, com uma intensidade que nunca mais conseguiu imprimir. Desenvolveu o Teorema Binomial, o Cálculo Diferencial e Integral, a Lei da Gravitação Universal e desvendou a natureza das cores. Mais tarde publicou, em latim, o que talvez seja o livro mais importante da história do conhecimento humano, o Philosophiae naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural). Resumindo, Newton desenvolveu recursos matemáticos para modelar os f enômenos naturais, fato que marcou o início da Ciência Moderna. Para finalizar, deve-se ter em mente que essa deve ser a inspiração do uso da Matemática pela Engenharia. Que ela é fundamental para o engenheiro, pois fornece os recursos necessários para a análise dos problemas envolvidos nos sistemas de engenharia. Pouco adianta, para o engenheiro, o domínio de recursos matemáticos desconectados do contexto da engenharia. Recomendação
Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da Matemática é torná-la um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do com-
capítulo 1
• 23
portamento das funções, pois permitem a visualização imediata dos efeitos causados pela alteração de qualquer parâmetro envolvido na sua definição. Recomenda-se, portanto, que os alunos comecem a utilizar o quanto antes um software gráfico específico. Para facilitar a disseminação do uso, recomendamos a adoção do softwareGeoGebra (www.geogebra.org), que, livre, pode ser instalado sem custo. O nome vem damistura de Geometria e ÁlGebra. Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software de Matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem nos vários níveis. Ele reúne recursos de Geometria, Álgebra, tabelas, gráficos, Probabilidade, Estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Disponível em português, o software é multiplataforma e, portanto, pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. Como exemplo, é reapresentada a plotagem da função y=πx² no GeoGebra. Para isso, bastou digitar y=pi*x^2 como comando de entrada. O GeoGebra também possui recursos para trabalhar com vetores e matrizes, e pode dar suporte para todo o conteúdo da disciplina. Considerando que os fenômenos físicos podem ser modelados por funções, não resta dúvida de que a utilização desse tipo de software é o primeiro passo para a modelagem de sistemas de engenharia.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2002. http://www.carroantigo.com/portugues/conteudo/curio_lampada.htm (em 9/7/2015) Website da Profa. Dra. Rita de Cássia Carvalho Silva http://www.ritaccs.pro.br/ (em 9/7/2015)
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capítulo 1
2 Conceitos fundamentais de Álgebra e Aritmética
OBJETIVOS • Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais; • Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um
qualquer, e o expoente inteiro; • Resolver expressões numéricas com potências; • Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples; • Calcular a raiz de um número racional de índice ímpar; • Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios; • Simplificar radicais; • Simplificar expressões com radicais; • Compreender o significado dos produtos notáveis; • Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração; • Compreender o conceito de razão entre duas grandezas; • Reconhecer os termos de uma razão; • Reconhecer razões inversas; • Identificar proporções como igualdade de duas razões; • Identificar meios e extremos de uma proporção; • Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade fundamen-
tal das proporções; • Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações; • Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais; • Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais; • Compreender a ideia de taxa de porcentagem; • Identificar e representar porcentagens; • Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa; • Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
1 Radiciação e potenciação A operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas em diversos campos. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o cálculo de potências.
26 •
capítulo 2
O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na potenciação das taxas de juros. A função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências, além da notação científica, que representa números muito grandes ou pequenos. Cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar mais elementares e compreensíveis através da aplicação de certas propriedades de potenciação e radiciação. São propriedades relativamente simples de serem usadas. O estudo de potências e raízes serve como base para entender outros conceitos dentro da própria Matemática e em outras ciências.
2 Potência de expoente natural 2.1 Conceito Dados um número real a e um número natural n, diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número que é igual ao produto de n fatores iguais a a, ou seja:
an = a×a×a×...×a O número natural n é chamado de expoente, o número a é chamado de base. Lemos an como “a elevado à enésima potência”. Para qualquer número real não nulo a, definimos, para n = 0, a0 = 1. No caso de n = 1, temos que a1 = a
EXEMPLO a) 3²
Pela definição, temos que a = 3 e n = 2. Portanto, o número 32 é igual ao produto de 2 fatores iguais a 3, ou seja, 32 = 3 · 3 = 9 b) 40
Pela definição, temos que, para qualquer valor de a ≠ 0, o valor a0 = 1. Então, com a = 4 : 40 = 1
capítulo 2
• 27
c) 51
Temos, por definição, que a1 = 0. Neste caso, a = 5. Portanto: 51 = 5. d) 04
Aqui, temos que a = 0 e n = 4. Portanto, o número 04 é igual ao produto de 4 fatores iguais a 0, ou seja, 04 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0
2.2 Propriedades Sendo a e b números reais e m e n números naturais, valem as seguintes propriedades:
1
am · an = a m+n
2
am / an = a m-n, a ≠ 0
3
(a ) = a
4
am / bm = (a/b)m, b ≠ 0
5
(a · b)n = an · bn
m n
m·n
As restrições impostas para a e b, nas propriedades 2 e 4, respectivamente, devem-se ao fato de não podermos efetuar a divisão quando o denominador é zero. Na propriedade 2, devemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente um número natural (0, 1, 2...).
3 Potência de expoente inteiro negativo Dados um número real a, não nulo, e um número natural n, chama-se potência de base a e expoente –n o número a–n , que é o inverso de an, ou seja:
a-n = 1 / an
28 •
capítulo 2
As propriedades enunciadas para potências de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes e inteiros (positivos ou negativos).
EXEMPLO Vamos calcular as potências a seguir: a) 3–2 Pela definição, temos que o número 3–2 é o inverso de 32, ou seja, 3-2 = 1 / 3 2 = 1 / 9 b) (–4)–2
O número (–4)–2 é o inverso de (–4)2. Então (-4)-2 = 1 / (-4) 2 = 1/16 pois, (-4)2 = (-4)(-4) = 16.
4 Raíz enésima e expoentes racionais 4.1 Conceito Um processo relacionado ao de calcular potências é o de extrair raízes. Por exemplo, quando buscamos a raiz cúbica do número 27, ou seja, 27 , estamos procurando um número cujo cubo seja igual a 27. Esse número é o 3, pois 3³ = 27 e, então, 27 = 3. A expressão a é chamada radical, em que ◌ é o símbolo da raiz, a é o radicando e n é o índice. Quando nenhum índice for indicado, o valor de n será 2 e a expressão será chamada raiz quadrada. 3
3
n
4.2 Índice n é um número natural ímpar, n ≥ 1 n
Quando estamos resolvendo uma expressão a , com a ∈ ℝ , e n sendo um número natural ímpar,n ≥ 1, estamos procurando um valorb de forma que bn = a, com b ∈ ℝ. Simbolicamente, a = b ⇔ bn = a Exemplo: -8 = -2 Pois (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8 n
3
capítulo 2
• 29
4.3 4.3. Índice n é um número natural par, n ≥ 2 Quando estamos resolvendo uma expressão √(n&a), com a R, a não negativo, e n sendo um número natural par, n 2, estamos procurando um valor b de forma que b^n=a, com b R. Simbolicamente, a = b ⇔ bn = a n
EXEMPLO 100 = 10 Pois, 10² = 10 ∙ 10 = 100 Se a for negativo, não existe nenhum número real igual a a . Por exemplo, não conseguimos calcular a -9 porque não existe nenhum número real b tal que b² = –9. Nesse caso, temos que a não é um número real. n
n
ATENÇÃO Muito cuidado com a raiz de índice par. Por exemplo, temos que 4 = 2 e não 4 = ±2 Na verdade, temos como resposta ±2 , quando estamos lidando com equações. Se desejamos resolver a equação x² = 4, estamos procurando para que valores de x teremos o quadrado destes valores iguais a 4. Agora sim, podemos pensar nos dois valores: ±2. 2 ∙ 2 = 4 e (-2)(-2) = 4
4.4 Propriedades Sendo a e b números reais não negativos, m inteiro e n e p números naturais não nulos, valem as seguintes propriedades:
1 2 30 •
n
am
n p =
n
ab a
capítulo 2
n
b
a mp
n
3 4 p n
5
pn
a
=
a
EXEMPLO Calcular as raízes: a) Usando a definição, temos que
b) c)
é 13, pois 132 = 169.
, pois 07= 0 , pois 25 = 32
d) não é um número real, pois n = 2 e a = –64. Então, não existe nenhum número real b tal que b2 = – 64.
5 POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Dados um número real positivo a, um número inteirop e um número naturalq, com q ≥ 1, chama-se potência de base a e expoentep / q a raizq-ésima deap, ou seja,
As propriedades enunciadas para potências de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes racionais.
capítulo 2
• 31
EXEMPLO Vamos calcular o valor de
.
Resolução
Podemos efetuar este cálculo de duas maneiras: escrevendo as potências em forma de raiz ou usando as propriedades das potências. 1ª maneira: escrevendo as potências em forma de raiz (utilizando a definição de potência
de expoente racional).
4
Os cálculos de 64 e de 4096 podem ser feitos fatorando-se os números 64 e 4096, mas também poderíamos utilizar propriedades de potência e radiciação para simplificar as raízes. 4³ = 4²4 = 4² ∙ 4 = 4 ∙ 2 = 8 2ª maneira: Usando as propriedades de potência. 3 2 ( 2)
y
=
(2)2
y
=
8 8
−
−
=
3 4 24
=
−
2
=
6 22 −
2
12 4
3
3
0
6 Exercícios resolvidos 1. Escreva os itens a seguir como potência de base 2: a) 16
b) 1/4 c) d)
5
32 2 /2
e) 8 2/3 f) 64 –3/2 g) ( 2 )5
32 •
capítulo 2
Resolução a) 16=24
b) 1/4 = 1/22 = 2-2 c) d)
5
5
32 = 25 = 2 2 /2 = 21/2/2 = 21/2-1 = 2-1/2
e) 8 2/3 = (23)2/3 = 22 f) 64-3/2 = (26)-3/2 = 2-9 g) ( 2 )5 = (21/2)5 = 25/2
2. Simplifique as expressões: a)
b)
Resolução: a)
b)
102∙(102 )3 ∙ 10 104 ( 24 ) 2 25 2 ∙
( 25 ) 5
∙
=
3
102 106 10 104 8
2 2
−
=
5
∙
2
225
=
109 104
3
= 105
10
2
−
=
225
=2
15
−
7 Estudos de casos aplicados 1. Se um capital inicial C for investido por t anos a uma taxa de juros compos-
tos i (em decimal) ao ano, o valor futuro resultante, ou seja, o montante resultante será dado por M=C(1+i)t , e o rendimento ganho é J = M – C. Determine o valor futuro (montante) quando se aplica R$1.200,00, por 5 anos, com taxa de 12% ao ano, a juros compostos.
capítulo 2
• 33
Resolução:
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os valores dados no problema. Portanto:
M = C(1+i)t M = 1200(1+0,12)5 M = 1200(1,12)5 M = 1200 ∙ 1,76 M = 1200 ∙ 1,762342 M = 2114,78 O rendimento ganho é calculado através da fórmula J = M – C. Então, J = 2.114,81 – 1.200,00 = 914,81. Portanto, um capital inicial de R$1.200,00, quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano, por um período de 5 anos, resulta em um valor futuro de R$2.114,81, e em um rendimento ganho de R$ 914,81. 2. Determine o montante resultante quando se aplica R$2.500,00, por 12 anos,
com taxa de 11,5% ao ano, a juros compostos. Resolução:
Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante), basta substituir na fórmula os valores dados no problema. Portanto:
M = C(1+i)t M = 2500(1+0,115)12 M = 2500(1,115)12 M = 1200 ∙ 3,692312 M = 9230,78 J = 9.230,78 – 2.500,00 = 6.730,78 Então, um capital inicial de R$2.500,00, aplicado a uma taxa de 11,5% ao ano, por um período de 12 anos, resulta em um valor futuro de R$9.230,78, e em um rendimento de R$6.730,78.
34 •
capítulo 2
COMENTÁRIO É muito comum, no cálculo de potências e raízes, o resultado final apresentar uma dízima infinita não periódica. Nesse caso, devemos trabalhar fixando uma quantidade de casas decimais. Quanto maior essa quantidade, mais preciso será o resultado obtido. 3. De acordo com MORETTIN et al. (2004, p. 93), “denomina-se função de pro-
dução a relação entre a quantidade física dos fatores de produção, tais como capital, trabalho e outros, e a quantidade física do produto na unidade de tempo. Se considerarmos fixos todos os fatores menos um, a quantidade produzida será função desse fator. Chamando de a a quantidade produzida na unidade de tempo e x a quantidade do fator variável utilizada na unidade de tempo, teremos a função de produção P = f(x). Chamamos de produtividade média do fator variável o valor indicado por Pm dado por Pm = P/x”. Vamos considerar a seguinte função de produção P = 12 ∙ x3/5, em que P é o número de cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo número fixo de empregados) e x, o número de serras elétricas utilizadas. a) Quantas cadeirasserão produzidaspor semanase forem utilizadas7 serras? E se o número de serras for igual a zero? b) O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes maior? Resolução: a) Nesse caso, temos x = 7 cadeiras. Substituindo na fórmula, obtemos:
P = 12 ∙ x3/5 P = 12 ∙ 73/5
Podemos reescrever esta fórmula escrevendo a potência em forma de raiz (utilizando a definição de potência de expoente racional): 5
P = 12 ∙ 7³ P = 12 ∙ 343 P = 12 ∙ 3,2141 P = 38,5692 5
capítulo 2
• 35
Portanto, quando forem utilizadas 7 serras elétricas, serão produzidas aproximadamente 38,57 cadeiras. No caso de x = 0, temos: P = 12 ∙ x3/5 P = 12 ∙ 03/5 P=0
Portanto, quando não forem utilizadas serras elétricas, a marcenaria logicamente não produzirá nenhuma cadeira. b) Se o número de serras ficar 32 vezes maior, teremos uma nova fórmula para
a produção, que é dada por: P = 12 ∙ (32x)3/5
Podemos reescrever esta fórmula decompondo o número 32 e utilizar propriedades de potencias. Com isso, obtemos: P = 12 ∙ (25x)3/5 P = 12 ∙ (25)3/5 ∙ (x)3/5 P = 12 ∙ (2)3 ∙ (x)3/5 P = 12 ∙ 8 ∙ (x)3/5 P = 96 ∙ (x)3/5
Valor srcinal: P = 12 ∙ (25x)3/5. Valor com o número de serras ficar 32 vezes maior: P = 12 ∙ 8 ∙ (x)3/5 Então, se o número de serras ficar 32 vezes maior, a quantidade produzida ficará 8 vezes maior.
36 •
capítulo 2
8 Expressões algébricas 8.1 Conceito Uma expressão algébrica é umaexpressão matemática que contém números e letras ou somente letras. As letras da expressão algébrica são chamadas de variáveis.
8.2 Valor numérico de uma expressão algébrica O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos todas as variáveis da expressão pelos valores dados e efetuamos as operações indicadas na expressão.
EXEMPLO Determine o valor numérico da expressão 5 x + 8 + 4 z, para x = 5. x−
x
( )
5 5 4 +8 33 4
5x 8 +4 x−5
5
+ = x
+ =
5 5 5−
+
0 5 Denominador nulo. A expressão não representa um número real.
8.3 Monômio ou termo algébrico Monômio é produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas. Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos explicitamente.
a) 2
EXEMPLO
b) x c) 2x d) -3xy4
capítulo 2
• 37
8.3.1 Partes de um monômio Consideramos um monômio dividido em duas partes: • um número — coeficiente do monômio e • uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências, caso existam - parte literal
EXEMPLO a) 5x : 5 é o coeficiente do monômio e x é sua parte literal; b) -3xy4 : -3 é o coeficiente do monômio e xy4 é sua parte literal; c) xz : 1 é o coeficiente desse monômio e xz é sua parte literal.
8.3.2 Grau de um monômio O grau de um monômio é definido quando todos os expoentes são números inteiros, é dado pela soma dos expoentes.
EXEMPLO 2x2y5z grau: 2+5+1=8
8.3.3 Monômios semelhantes Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal.
EXEMPLO a) 2xy e 3/2 xy são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal xy. b) 7a3b2 e 0,32a3b2 são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal a3b2.
38 •
capítulo 2
8.3.4 Operações com monômios Adiçã o e Subtra ção (monômi os semelha ntes): repete-se a parte literal e so-
mam-se ou subtraem-se os coeficientes.
EXEMPLO 2x2y + 14x2y + 5x2y = 21x2y Multiplicação e Divisão: multiplicam-se ou dividem-se as partes literais e os
coeficientes.
EXEMPLO 16:2
a ) 16 (x
=
8
:x)2 ( x 8) =
5
x
5
4
: x = x4
5 10 510 b)x : x5 2 : x= x: 7 3 73 c) 6x²y
1
25
3 353 3 ⋅ x( =x ⋅ ) ⋅ = ⋅ 14 710
2
∙ 2x4 ∙ 3y = (6 ∙ 2 ∙ 3)(x2 ∙ x4 ∙ y ∙ y) = 36x6y2
8.4 Polinômios Polinômio é toda expressão racional inteira composta de um ou mais termos, consistindo na adição ou subtração algébrica de monômios
EXEMPLO a) 4x b) 3x + 5 c) 3/4 x4 – 1/5 x3 + 3x2 – x + 6
capítulo 2
• 39
8.4.1 Operações com polinômios Adiçã o e su btraç ão de polinômi os
Calcule a soma dos polinômios: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 = eliminando os parênteses = 4x2 + 3x2 – 7x + 2x + 2 + 3 = agrupando os termos semelhantes
= (4 + 3)x2 + (–7 + 2)x + 5 = =7x2 – 5x + 5
reduzindo os termos semelhantes
Multiplicação de polinômios
Multiplicamos os coeficientes numéricos e multiplicamos as partes literais aplicando, sempre que possível, a propriedade do produto de potências de mesma base (am · an = am+n).
EXEMPLO x 2 ⋅ x3 = x5 a )5x(
)x(6⋅ ) x30=
2
3
5
5 ⋅6 =30
3 8 b) − yx 3 ⋅2 yx −=2 y3x 2 9
2
( 2
c )2 x x ⋅x 3
(
d )x4
40 •
24
−= yx
5
5
18
4
5
5
3
4 3 2 4 +3 = x 6 x− ) 8 x+ 6
−
3+)(x⋅ 3
2 + − 9x= )4=x 12x−x 16
−
capítulo 2
x 12 −12−
7
12 2
Divisão de polinômios
A primeira providência para dividirmos polinômios é reduzir os termos semelhantes e ordená-los. A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais.
EXEMPLO 4
3
2
2x − 7x + 3x −2x4 + 4x3 0
x - 2 2x3 − 3x2 − 3x − 6
− 3x3 + 3x2 0
− 3x2 3x2 − 6x 0
− 6x
6x − 12 0 − 12
9 Produtos notáveis Algumas expressões envolvendo dois números reais distintos a e b são tão importantes, observadas, notadas com tal frequência que são denominadas produtos notáveis. Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrado da diferença: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Diferença entre dois quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a – b) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 Cubo da diferença: (a - b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3 Soma entre dois cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – a.b + b2) Diferença entre dois cubos: a3 - b3 = (a - b)(a2 + a.b + b 2)
capítulo 2
• 41
EXEMPLO 2
( 3 x +4) (= 2
( 3x −4) (=
2 = +x 9 + x 24 12 +x12 16 16 x 2
3 +() x4⋅ +3 ) =4 x+9
+
⋅ −3 ) =4 x−9 3−() x4
2
( 8 − x)⋅(8+ =) 8x( )− ( ) = 64− x
−
+ x 24 12+1x 2=2 − 16 x 9 16 x 2
2
x
x
x
2
10 Fatoração de expressões algébricas 10.1 Conceito O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou parcelas, de modo que o produto dessas parcelas resulte na expressão ou número srcinal. A fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um produto de números inteiros primos, sendo os números que aparecem repetidas vezes agrupados na forma de potência.
10.2 Fator comum em evidência Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um fator comum a todos os termos.
EXEMPLO Fatorar a expressão 2x + 4y - 6z. • O fator comum entre os termos é 2; • Dividimos cada termo da expressão pelo fator comum 2. 2x + 4y - 6z = 2 . (x +2y -3z)
42 •
capítulo 2
10.3 Agrupamento A expressão x2 + ax + bx + ab não possui um fator comum a todos os seus termos. No entanto, agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos, percebemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos, ou seja: 2
x
+
ax
+
fator comum x
+ = ⋅+ bx ab
fator comum b
x
+⋅+
= + ⋅ +
a )( ( x )a (b fator )x (comum fator comum
)x
a
x b
EXEMPLO 6 x 2 − 9ax 3 x ( 2 x− 3)=a (− 2b )2(x+ 3a)( + −4bx= 6ab− +
2 x) 3a 3 x 2b
10.4 Trinômio quadrado perfeito (a + b)² é a forma fatorada de a² + 2ab + b². (a – b)² é a forma fatorada de a² – 2ab + b².
EXEMPLO Fatorar 4x² + 12x + 9. 4 x 2 12 + + =x9+
2
4 x =2 x
2 3( x
)
2
9 =3
capítulo 2
• 43
10.5 Diferença de dois quadrados a² – b² = (a – b)(a + b)
EXEMPLO Fatorar
x
2
x
2
=x
9
−=
3 ( x +)(
−
x
)
3
9 =3
11 Razão e proporção Utilizamos as noções de razão e proporção muitas vezes em situações cotidianas, seja em ocasiões científicas, seja em casos envolvendo negócios. Na culinária, há um exemplo de utilização de razão e proporção. Se temos 3 ovos para cada 2 colheres de farinha de trigo, e precisamos aumentar ou diminuir a receita, estamos usando a noção básica de proporção. Quando são ministrados medicamentos, temos também um exemplo do uso de proporção de quantidades. Temos outras tantas utilizações de razões e proporções, tais como, quando construímos a planta de uma casa, utilizamos escalas; para encontrar a velocidade média de um automóvel; no cálculo da densidade demográfica etc. Numa sociedade, a divisão dos lucros deve ser proporcional ao tempo em que cada sócio pertence a ela e ao capital empregado por cada um. Quem aplica mais tem direito a uma fatia maior do lucro. Não é justo? Em nosso dia a dia, comumente nos deparamos com informações do tipo “1 a cada 5 consumidores dessa região prefere o produto A”. Essa frase tem o mesmo significado que “20% dos consumidores dessa região preferem o produto A”? Lembre-se de que a razão 1 para 5 é igual à razão 20 para 100 e que essa igualdade determina uma proporção. A utilização do conceito de razão é a maneira mais comum de se proceder a comparação relativa entre duas grandezas. Quando dividimos uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira grandeza com a segunda, que passa a ser a base da comparação.
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12 Razão Razão significa o quociente ou a divisão entre dois números X e Y, com Y ≠ 0. Indica-se: X/Y ou e lê-se: X para Y. O numerador X é denominado antecedente e o denominador Y é denominado con-sequente. Também podemos expressar a razão na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 1. Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina, havia 80.000 torcedores, sendo 50.000
brasileiros e 30.000 argentinos. Podemos dizer que a razão entre o número de argentinos e o número de brasileiros é 30.000/50.000=3/5, o que significa que para cada 3 argentinos há 5 brasileiros assistindo à partida. 2. Em uma empresa de seguros de automóveis, 150 novos contratos são feitos por mês e 30
sinistros são registrados no mesmo período. Deseja-se saber qual a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período. Resolução:
Para descobrirmos a razão de sinistros dessa empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período, fazemos: 30/150=1/5, o que significa que a empresa registra 1 sinistro para cada 5 automóveis segurados no período estudado. 3. Uma montadora de automóveis testou um novo motor para seus carros populares. Esse
motor foi testado em um carro popular, o qual percorreu 270 km em 3 horas. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso? Resolução:
270km/3h=90km/h Isso significa que a velocidade média do automóvel com o novo motor foi de 90 km/h; ou podemos dizer que o automóvel percorreu 90 km a cada hora, em média. 4. Numa determinada cidade do interior de São Paulo, foi realizada uma pesquisa sobre o
número de leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000
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habitantes, sendo que 2.000 pessoas leem o jornal X, 8.000 leem o jornal Y e 190.000 não leem nenhum jornal. Pergunta-se: a) qual a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X? b) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal? Resolução:
a) Para se descobrir a razão entre o número de leitores do jornal Y com relação ao do jornal X, basta fazer o quociente entre os dois valores, ou seja: 8.000/2.000 = 4. Isso significa que o jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o jornal X. b) A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal é dada por 10.000/200.000=1/20, ou seja, apenas 1 em cada 20 habitantes dessa cidade tem o hábito de ler jornal.
13 Proporção 13.1 Conceito A igualdade entre duas razões X/Y e Z/W (com X, Y, Z e W ≠ 0) é chamada de proporção. Na proporção X/Y=Z/W (lê-se: X está para Y assim como Z está para W), os valores X e W são chamados de extremos, enquanto os números Y e Z são chamados meios.
13.2 Algumas propriedades das proporções a) Propriedade Fundamental das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. Se X/Y = Z/W então, X • W = Y • Z
Por exemplo: De fato, temos que 2/3 = 6/9, pois 2 • 9 = 3 • 6 ⇒ 18 = 18
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b) Soma dos termos de uma proporção
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Se X/Y = Z/W então, (X+Y)/X = (Z+W)/Z ou (X+Y)/Y = (Z+W)/W Exemplo: Se 2/3 = 6/9, então (2+3)/2 = (6+9)/6 ou ainda, 5/2 = 15/6. c) Soma dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Se X/Y = Z/W então (X+Z)/(Y+W) = X/Y ou (X+Z)/(Y+W) = Z/W Exemplo: Se 2/3 = 6/9, então (2+6)/(3+9) = 2/3 ou ainda, 8/12 = 2/3 d) Produto dos antecedentes e dos consequentes
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
Se X/Y = Z/W então XZ/YW = X²/Y² ou XZ/YW = Z²/W² Exemplo: Se 2/3 = 6/9, então (2·6)/(3·9) = 2²/3² ou ainda, 12/27 = 4/9
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o valor de X para que a razão X/5 esteja em proporção com 6/10. Resolução:
Temos que X/5 = 6/10 Como sabemos que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, temos 10X = 30 ⇒ X=3
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Portanto, para que a razão X/5 esteja em proporção com 6/10, o valor de X deve ser igual a 3.
13.3 Estudos de casos aplicados 1. Na escolha de um profissional para ocupar o cargo de gerente de marketing
de uma grande empresa, o setor de Recursos Humanos contou com um processo seletivo composto de 3 fases. Na primeira fase desse processo, sabe-se que a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 4/6. Se o total de inscritos era 2.400 pessoas, determine: a) o número de mulheres que participaram da seleção;
b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos, sabendo que
3/12 dos homens foram aprovados e 12/20 das mulheres não foram aprovadas. Resolução: a) Como o número total de inscritos era de 2.400 pessoas e a razão entre o nú-
mero de homens e o número de mulheres era de 4/6, ou seja, quatro partes do todo eram compostas por homens e 6 partes do todo eram compostas por mulheres, desta forma, basta dividirmos o total de pessoas (2.400) por 10 (4 + 6) para sabermos quanto corresponde a uma parte 2.400/10=240. Se uma parte corresponde a 240 pessoas, então o número de mulheres que participaram da seleção é 240 • 6 = 1.440 mulheres. b) Como queremos encontrar a razão entre o número de aprovados e o número
total de inscritos, precisamos encontrar cada uma destas quantidades. O número total de inscritos já foi fornecido pelo problema e corresponde a 2.400 pessoas. Agora, precisamos determinar qual o número de aprovados. Por meio do item (a), sabemos que o número de mulheres que participaram da seleção é de 1.440, de um total de 2.400 inscritos; portanto, o número de homens é 2.400 – 1.440 = 960. Agora, precisamos determinar a quantidade de homens e de mulheres que foram aprovados. Se 3/12 dos homens foram aprovados (o que significa que 3 em cada 12 homens foram aprovados), podemos obter a quantidade de homens aprovados dividindo o total de homens por 12 e pegando 3 partes deste valor, ou seja: (960/12)*3=240 homens aprovados.
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O mesmo raciocínio deve ser usado para encontrar o número de mulheres aprovadas, porém, devemos notar que o problema forneceu a proporção de mulheres que não foram aprovadas. Para encontrarmos a proporção de mulheres que foram aprovadas, devemos ver o que “falta” para termos um inteiro nesta proporção, ou seja, 1-(12/20) = 8/20 das mulheres foram aprovadas. Isso significa que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas. O valor 1 utilizado nesse cálculo representa o inteiro da proporção (corresponde a 100%). Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor, teremos o número de mulheres aprovadas, ou seja: (1440/20)*8 = 576. Somando 240 com 576, teremos o número total de aprovados, que é igual a 816. Então, a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos é dada por: (816/2400) = (51/150). Isto significa que 51 pessoas, a cada 150 que prestaram o concurso, passaram na primeira fase do processo seletivo. 2. Uma empresa quer dividir uma parte de seus lucros, mais precisamente
R$12.000,00, com 3 gerentes. O critério utilizado para fazer a divisão será proporcional ao tempo de serviço de cada um na empresa. O gerente X trabalha na empresa há 12 anos, o gerente Y trabalha há 5 anos e o gerente Z há 3 anos. Quanto cada um deve receber? Resolução:
Está muito claro que se trata de um problema que envolve proporção, pois cada gerente deve receber uma quantidade proporcional ao seu tempo de serviço (justo!). Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema:
GE RENT ES
X
Tempo de serviço (anos) Valor receber a (R$)
Y
12 x
Z
5 y
3 z
Para resolver este problema, devemos encontrar três valores, x, y, e z, que são diretamente proporcionais a 12, 5 e 3 anos, respectivamente. Então, dizemos que x está para 12, assim como y está para 5 e assim como z está para 3. Utilizando a linguagem matemática, podemos escrever da seguinte forma:
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x/12 = y/5 = z/3 Utilizando a propriedade da soma dos termos de uma proporção, obtemos:
(x+y+z)/(12+5+3)=x/12 12.000/20=x/12 600=x/12 x=7200 Usa-se o mesmo raciocínio para determinar y e z.
(x+y+z)/(12+5+3)=y/5 600=y/5 y=3.000 (x+y+z)/(12+5+3)=z/3 600=z/3 z=1.800 Concluímos, então, que, para dividir o lucro de R$12.000,00, de forma proporcional ao tempo de serviço de cada um, o gerente X deverá receber R$7.200,00, o gerente Y, R$3.000,00 e o gerente Z, R$1.800,00.
13.4 Estudos de casos aplicados propostos 1. Em uma empresa de telemarketing, a razão do número de homens para o
número de mulheres é 2/3. Se nessa empresa existem 60 mulheres, qual é o número de homens? Quantos funcionários tem a empresa? Gabarito: 40 e 100 2. Numa propaganda de supermercado, um anúncio dizia: “Leve 3 cremes den-
tais e pague 2”. Se um freguês resolve levar 15 cremes dentais, por quantos ele, efetivamente, pagou? Gabarito: 10
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3. Determine dois números positivos, x e y, sabendo que a razão entre eles é 5/4
e a diferença dos seus quadrados é 81. Gabarito: x = 15 e y = 12 4. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua
soma é 35 anos. Gabarito: 14 e 21 anos 5. Três pessoas (A, B e C) formaram uma sociedade. O sócio A investiu
R$60.000,00, o B investiu R$90.000,00 e o sócio C investiu R$30.000,00. No final de 1 ano, registraram um lucro líquido de R$360.000,00 e querem reparti-lo de forma proporcional ao investimento inicial de cada um. Quanto deve receber cada sócio? O que esse valor representa em relação ao investimento inicial de cada sócio? Gabarito: Sócio A = R$120.000,00; sócio B = R$180.000,00; sócio C = R$60.000,00. Cada um recebeu o dobro do que investiu inicialmente.
14 Grandezas direta e inversamente proporcionais 14.1 Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão. Quando uma delas aumenta, a outra aumenta na mesma razão. Ainda, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número positivo. Considere que um produto custa 40 reais a unidade. Se quisermos comprar duas unidades, pagaremos 80. Se quisermos comprar três unidades, pagaremos 120, e assim por diante. Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará o valor a ser pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo.
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14.2 Grandezas Inversamente Proporcionais Grandezas inversamente proporcionais variam segundo razões inversas. Quando aumentamos uma delas, a outra diminui na mesma razão. Ainda, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo. Se estamos percorrendo um trecho em uma rodovia que consiste em 240 km, com velocidade média de 24 km/h, com os conceitos de velocidade, espaço e tempo conhecidos, levaremos 10 horas para percorrê-lo. Se percorrermos esse mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, levaremos 5 horas para percorrer.
15 Regra de três simples 15.1 Conceito Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção emque são conhecidos 3 valores (por isso o nome Regra de Três) e o quarto valor éo procurado.
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Envolve duas grandezas diretamente proporcionais.
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Envolve duas grandezas inversamente proporcionais.
15.2 Procedimento Para montarmos a Regra de Três Simples, podemos seguir o roteiro: 1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os valores de mesma grandeza.
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2. Verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Se
as grandezas forem diretamente proporcionais, colocamos ao lado de cada coluna flechas com o mesmo sentido (↓↓ ou ↑↑) e, se as grandezas forem inversamente proporcionais, indicare-mos com flechas no sentido contrário ( ↓↑ ou ↑↓). a
c
b
x
As letras indicam os valores conhecidos e x é o valor procurado. 3. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, escrevemos uma proporção
tomando os elementos da mesma maneira que estão escritos nas colunas, ou seja: a c = b x 4. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, escrevemos uma propor-
ção invertendo os termos de uma só das razões: a = x b c 5. Aplicamos a propriedade fundamental da proporção e encontramos o valor
da incógnita (valor procurado).
EXEMPLO Exemplo 1 A produção de uma tecelagem era de 10.000 m de tecido/dia. A indústria admitiu 500 novos funcionários e a produção passou para 15.000 m de tecido/dia. Qual era o número de funcionários antes da contratação dos novos? Resolução
Vamos seguir o roteiro proposto no texto: 1. Estamos trabalhando com duas grandezas: número de operários e produção (metros/dia). Colocando as informações de mesma grandeza nas colunas, obtemos:
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Númerodeoperários
Produção(metros/dia)
x
10.000
x + 500
15.000
2. As grandezas são diretamente proporcionais, pois, aumentando o número de funcionários,
aumenta também a produção (metros/dia). Então, as flechas são colocadas no mesmo sentido. 3. A proporção obtida é:
4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incógnita, temos:
Portanto, a indústria tinha 1.000 funcionários antes das novas contratações.
Exemplo 2: Um automóvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distância em 4 horas. Quanto tempo este automóvel gastará para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h? Resolução
Seguindo o mesmo procedimento do Exemplo 1, temos: 1. As grandezas são: velocidade (km/h) e tempo (horas). 2. Estas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a velocidade, o tempo para percorrer a mesma distância é menor. Então, as flechas são colocadas em sentido contrário:
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Velocidade(km/h)
Tempo (horas) 90
4
110
x
3. Para escrevermos a proporção, devemos inverter os termos de uma das razões, ou seja:
4. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incógnita, temos:
O automóvel levará aproximadamente 3 horas, 16 minutos e 12 segundos para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h.
ATENÇÃO Para convertermos um valor decimal referente em horas, minutos e segundos, devemos, em primeiro lugar, separar a parte inteira que se refere às horas. Nesse caso, 3,27 correspondem a 3 horas mais a porção referente a 0,27 da hora. Como uma hora tem 60 minutos, então podemos escrever que 0,27 da hora é igual a 0,27 × 60 minutos = 16,2 minutos. Da mesma forma, se quisermos estabelecer a quantidade de segundos, fazemos 0,2 × 60 segundos = 12 segundos. Portanto, 3,27 horas correspondem a 3 horas, 16 minutos e 12 segundos.
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16 Regra de três composta 16.1 Conceito Os problemas de Regra de Três Composta envolvem mais de duas grandezas. Segundo TEIXEIRA E NETTO (1998, p. 17), “em problemas deste tipo devemos considerar que quando a variação de duas ou mais grandezas é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita, então o produto das razões destas grandezas também é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita”.
16.2 Procedimento O procedimento para análise de problemas de Regra de Três Composta é o mesmo que o utilizado para resolução de Regra de Três Simples, ou seja: 1. Organizamos os dados em colunas e linhas. Nas colunas, colocamos os valores de mesma grandeza. 2. Verificamos, separadamente, se as grandezas que não contêm a incógnita
são direta ou inversamente proporcionais à grandeza da incógnita. Nessa análise, supomos constan-tes as demais grandezas. Indicamos o tipo de proporcionalidade por meio de flechas de mesmo sentido ou sentido contrário.
3. Se as grandezas analisadas forem proporcionais à grandeza da incógnita, o
produto das razões dessas grandezas será proporcional à razão que contém a incógnita. 4. Se alguma das grandezas analisadas não for diretamente proporcional à
grandeza da incógnita, invertemos os valores dessa grandeza na coluna correspondente. Desta forma, todas as grandezas passam a ser diretamente proporcionais à grandeza da incógnita. Após este procedimento, fazemos o cálculo descrito no item 3.
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capítulo 2
EXEMPLO Exemplo 1 Cinco operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 600 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 8 dias? Resolução
Este exemplo é um caso de regra de 3 composta, pois envolve 3 grandezas. Vamos seguir o procedimento sugerido para a resolução de problemas deste tipo: 1. Colocando os valores das grandezas nas colunas, obtemos:
Número de operários
Número de dias
Número de peças
5
6
600
7
8
x
2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza “número de pe-
ças” (que contém a incógnita), concluímos que, se aumentarmos o número de operários, aumentaremos também o número de peças produzidas. Portanto, essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Se aumentarmos o número de dias trabalhados, também aumentaremos o número de peças produzidas. Neste caso, as duas grandezas também são diretamente proporcionais. Então, todas as flechas têm o mesmo sentido. 3.O produto das razões
é proporcional à razão
, ou seja:
4. Fazendo a multiplicação, aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a
incógnita, obtemos:
Portanto, sete operários, trabalhando 8 dias, produzirão 1.120 peças. capítulo 2
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Exemplo 2 Quinze operários, trabalhando 9 horas por dia, fazem 72 metros de muro em 32 dias. Quantos dias serão necessários para 18 operários fazerem 180 metros do mesmo muro, trabalhando 8 horas por dia? Resolução 1.
Número de operários
Horas/dia
Metros (muro)
Número de dias
15
9
72
32
18
8
180
x
Não importa o sentido que você escolhe para a seta da grandeza que contém a incógnita (x). Você pode colocá-la para cima ou para baixo. O importante é estabelecer o sentido correto das demais setas, tomando como base o sentido da seta dessa grandeza. 2. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza “número de dias”, concluímos que, se aumentarmos o número de operários, diminuiremos o número de dias necessários para a construção do muro. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais. Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia, precisaremos de mais dias para a construção do muro. Então, essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Se aumentarmos o tamanho do muro, precisaremos de mais dias para a sua construção. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais. 3. Deveremos inverter os valores das grandezas “número de operários” e “horas” nas suas respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser diretamente proporcionais à grandeza “número de dias”. 4. O produto das razões é proporcional à razão 32 . Então: x
Serão necessários 75 dias para que 18 operários, trabalhando 8 horas por dia, façam 180 metros de muro.
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capítulo 2
17 Porcentagem Em várias situações do dia a dia nos deparamos com cálculos percentuais: desconto no preço de determinado produto, aumento salarial, queda no nível de desemprego, intenção de voto na próxima eleição presidencial etc. Nas questões de matemática financeira, que tratam fundamentalmente do cálculo do dinheiro ao longo do tempo, as operações envolvendo porcentagens também são bastante comuns. A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. Esta razão também é chamada de razão centesimal. Podemos substituir, nas razões centesimais, o denominador 100 pe lo símbolo % (“por cento”). Quando fazemos isso, obtemos a taxa de porcentagem. Por exemplo, a razão centesimal 5 pode ser expressa como 5%, que é de100 nominada taxa de porcentagem. Esta razão também pode ser expressa na forma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador). Nos exemplos que se seguem, estudaremos métodos para a resolução de problemas envolvendo porcentagem.
EXEMPLO Exemplo 1 Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por R$ 350.000,00. Sua corretagem é de 4%. Quanto ele ganhou? Resolução
Podemos resolver este problema de duas maneiras: 1ª maneira: usando a regra de três simples:
Valor (R$) 350.000 x
Taxa de porcentagem (%) 100 4
Escrevendo a proporção, obtemos:
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O vendedor ganhou R$ 14.000,00 com a venda do apartamento. 2ª maneira: podemos calcular diretamente 4% de 350.000:
4% de 350.000 =
= 0,04 · 350.000 = 14.000
Exemplo 2 Uma calça é vendida por R$ 110,00. Se o seu preço fosse aumentado em 15%, quanto passaria a custar? Resolução
O aumento seria 15% de 110 = 0,15 · 110 = R$ 16,50 . Portanto, o novo preço seria 110,00 + 16,50 = R$ 126,50. Ou poderíamos fazer simplesmente:
Isso quer dizer que o preço final fica multiplicado por 1,15. Portanto, se tivéssemos um aumento de: 20%, multiplicaríamos o preço srcinal por 1,2; 35%, multiplicaríamos o preço srcinal por 1,35; 7%, multiplicaríamos o preço srcinal por 1,07, e assim por diante. Se, num outro momento, a loja estivesse liquidando suas peças e a calça estivesse com um desconto de 15% sobre o preço srcinal, o cálculo seria:
Ou seja, o preço final fica multiplicado por 0,85. Portanto, se tivéssemos um desconto de:
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capítulo 2
20%, multiplicaríamos o preço srcinal por 0,8; 35%, multiplicaríamos o preço srcinal por 0,65; 7%, multiplicaríamos o preço srcinal por 0,93, e assim por diante.
Exemplo 3 Uma bolsa que custava R$ 45,00 passou a custar R$ 54,00. Qual a taxa percentual de aumento? Resolução
Este problema também pode ser resolvido de duas maneiras: 1ª maneira: devemos primeiramente encontrar o valor do aumento:
54 – 45 = 9 (valor do aumento) Agora, devemos dividir 9 por 45: (taxa percentual do aumento) 2o maneira: podemos simplesmente dividir o preço novo da bolsa (R$ 54,00) pelo preço antigo (R$ 45,00), obtendo:
Exemplo 8 Coloque na forma de razão centesimal, número decimal e porcentagem as seguintes razões: 3/100; 8/100; 12/100; 45/100; 23,143/100. Solução:
As razões sugeridas já se encontram em sua forma de razão centesimal. Logo, calculando, temos: 3/100 = 0,03 = 3 % 8/100 = 0,08 = 8 % 19/100 = 0,19 = 19 % 259/100 = 2,59 = 259 % 23,143/100 = 0,23143 = 23,143%
capítulo 2
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Assim,
R A Z Ã O CE N T E S I M A L
N Ú M E R O D E CI M A L
PORCENTAGEM
3/100
0,03
3%
8/100
0,08
8%
19/100 259/100
0,19 2,59
19% 259%
23,143/100
0,23143
23,143%
18 Operações com porcentagem O conceito de porcentagem é bastante utilizado nas mais diversas atividades produtivas. Sua aplicação tem por objetivo básico comparar grandezas e por isso seu uso ocorre com frequência no comércio, no mercado financeiro, no cálculo de lucros, prejuízos, empréstimos, prestações, juros ou ao se fazer algum tipo de negócio, ao se exprimir quanto de um trabalho já foi realizado ou já evoluiu, no processo inflacionário, na estatística, dentre outras aplicações.
EXEMPLO Exemplo 1 Em uma eleição para prefeito de uma cidade com 300 mil eleitores, os candidatos A, B e C receberam respectivamente 110 mil, 95 mil e 80 mil dos votos válidos. Os demais votos foram brancos ou nulos. Calcule o porcentual de votos brancos ou nulos nesta eleição. Solução 1:
Cálculo de todos os votos válidos: votos válidos = 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000 Cálculo de porcentual dos votos válidos:
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Votos
Percentual(%)
300.000
100
285.000
x
→ x = 95% de votos válidos
Cálculo de todos os votos brancos ou nulos: 100% - 95% = 5% Logo, o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%. Solução 2:
Cálculo de todos os votos válidos: votos válidos = 110.000 + 95.000 + 80.000 = 285.000 Cálculo de votos brancos ou nulos: votos brancos ou nulos = 300.000 – 285.000 = 15.000 Cálculo do percentual de votos brancos ou nulos: Votos
Percentual(%)
300.000
100
15.000
y
→ y = 5% de votos brancos ou nulos
Logo, o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%.
Exemplo 2 Um cliente em uma determinada loja, deseja adquirir dois produtos, sendo um no valor de R$100,00 (produto A) e outro no valor de R$ 250,00 (produto B). No caso do pagamento à vista, a loja oferece descontos de 15% e de 10%, respectivamente, para cada produto. Calcule o valor que o cliente economizará na compra à vista. Solução:
Cálculo do valor total da compra sem desconto: valor total sem desconto=R$ 100,00+R$ 250,00= R$ 350,00 Cálculo do valor de cada produto com desconto (à vista): Valor do desconto do produto A (15%) = 15% de R$ 100,00 = R$ 15,00 Valor do produto A com desconto (à vista) = R$ 100,00 – R$ 15,00 = R$ 85,00 Valor do desconto do produto B (10%) = 10% de R$ 250,00 = R$ 25,00 Valor do produto B com desconto (à vista) = R$ 250,00 – R$ 25,00 = R$ 225,00 Cálculo do valor total com desconto (à vista):
capítulo 2
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Valor total com desconto = R$ 85,00 + R$ 225,00 = R$ 310,00 Cálculo da economia no pagamento à vista: Valor sem desconto – valor com desconto = R$ 350,00 – R$ 310,00 = R$ 40,00 Economia de R$ 40,00 no pagamento à vista.
ESTUDO DE CASO Aplicado em Logística O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados de um galpão. A empresa possui dois galpões para armazenamento deste produto, sendo um de 2.000 metros quadrados e outro de 1.250 metros quadrados. Quantas caixas destes produtos poderão ser armazenadas nesse galpão? Solução: Neste caso a área total para armazenamento é de 3250 metros quadrados. Como
cada metro quadrado armazena 100 / 5 = 20 caixas, poderão ser armazenadas 3250 * 20 = 65000 caixas.
ATIVIDADE 01. Uma costureira pagou R$ 70,00 por 2 metros de tecido. Quanto ela pagaria se tivesse
comprado 5 metros do mesmo tecido? 02. Sabe-se que 4 máquinas de uma pequena confecção, todas de igual eficiência, são
capazes de produzir 400 peças em 4 dias, se operarem 4 horas por dia. Se 8 máquinas iguais às primeiras operassem 8 horas por dia durante 8 dias, qual seria o número de peças produzidas? 03. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre a distância entre duas
cidades em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade média ele deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 3 horas e 30 minutos? 04. Maria aplicou R$ 1.500,00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.000,00.
Considerando que a renda é proporcional ao valor investido e ao tempo de investimento, quanto obteria de renda no mesmo negócio se aplicasse R$ 5.000,00 durante 4 meses?
64 •
capítulo 2
05. Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.500,00.
Quanto ele pagou pelo produto? 06. Atualmente, 30% do salário de Cláudio são destinados ao pagamento do aluguel da
casa onde mora que é de R$ 360,00. Qual é o valor do salário de Cláudio? 07. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total
investido e, no segundo mês, ela recuperou 15% do que havia perdido. a) Com quanto ela ficou após os dois meses? b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial? 08. O preço de venda de um bem de consumo é de R$ 150,00. O comerciante tem um ga-
nho de 20% sobre o preço de custo deste bem. Qual o preço de custo deste bem? 09. Um determinado setor de serviços é taxado em impostos a 22,5% do seu faturamento.
Determine o valor a ser pago em impostos ao se prestar um serviço por R$ 15.000,00 neste setor.
GABARITO 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09.
R$ 175,00 3.200 109,29 km/h, aproximadamente R$ 4.444,44 R$ 2.375,00 R$ 1.200,00 a) R$ 2.235,00 b) 25,5% R$ 125,00 R$ 3.375,00
capítulo 2
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º grau: volume único. 4. ed. São Paulo: Scipione, 1996. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa. São Paulo: FTD, 2002. IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R. Matemática: volume único. 4. ed. São Paulo: Atual, 2007. PARENTE, E.; CARIBÉ, R. Matemática Comercial & Financeira. São Paulo: FTD, 1996. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – v. Único. São Paulo: Ática, 2002. TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. Matemática Financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
66 •
capítulo 2
3 Vetores
O estudo de vetores é uma das mais importantes atividades no estudo da engenharia. Por meio dele, podemos calcular esforços presentes no sistema, possibilitando com isso antever problemas ou mesmo simular situações que envolvam otimizações de recursos.
© “Dome”, Lisa Wilding Figura 1.1 Imagem de estrutura metálica de telhado
Para tal, faz-se necessário o estudo desde o primeiro período, de modo que o aluno possa evoluir em seus conhecimentos no estudo da engenharia sem maiores dificuldades. O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas engenharias e sua aplicação é voltada para os cálculos, as físicas, a mecânica geral, a resistência dos materiais etc. Embora saibamos que as ferramentas tecnólogicas disponibilizadas no mundo atual propiciam ao o engenheiro grande facilidade e rapidez em seus projetos, há que se ressaltar que sempre será o homem que introduzirá os dados iniciais no programa. Por mais perfeito que seja o software, ele sempre dependerá do ser humano para que possa funcionar da melhor forma possível. Os cálculos na engenharia nunca serão abandonados, eles serão utilizados nem que seja na validação dos dados obtidos pelas ferramentas computacionais e, em toda situação de análise de engenharia, os vetores sempre serão fer-
68 •
capítulo 3
ramentas fundamentais na obtenção dos objetivos do projeto.
EXEMPLO Exemplo de aplicação de vetores
© Chernova123 Dnipro em Kiev, Ucrânia Construção de ponte através do rio
1 Definição Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado. Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo. Um vetor é representado geometricamente por uma seta, que apresenta origem e extremidade.
capítulo 3
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A
B
Figura 1.2 Representação geométrica de um vetor
Na figura acima, o ponto A é a srcem e o ponto B é a extremidade. Um vetor pode ser designado por uma letra, normalmente minúscula, com uma seta na sua parte superior ou por duas letras, normalmente indicativas da srcem e extremidade, também com uma seta na sua parte superior. → u A
B
Figura 1.3 Representação e designação de um vetor
Na figura acima, vemos o vetor u ou AB.
2 Módulo de um vetor O módulo de um vetor, que indica seu tamanho, é representado pela mesma designação do vetor, porém sem a seta em sua parte superior ou com a seta na parte superior e entre duas barras verticais. →
→
Vetor u a módulo u ou | u | →
→
Vetor AB a módulo AB ou |AB|
3 Tipos de vetores 3.1 Vetores iguais Dois vetores u e v são iguais se apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentido.
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capítulo 3
u
v
Figura 1.4 Vetores iguais
3.2 Vetores opostos Dois vetores u e v são opostos se apresentam mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários. Neste caso o vetor v também é representado por u . u
v
Figura 1.5 Vetores opostos
3.3 Vetor unitário Um vetor é definido como unitário quando apresenta módulo igual a um. →
→
Se λ é unitário, então λ = 1 ou |λ | = 1.
capítulo 3
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3.4 Versor Um versor de um determinado vetor u não nulo é um vetor unitário de mesma direção e sentido do vetor u .
3.5 Vetores colineares Dois vetores u e v são colineares se apresentam a mesma direção. Para tal, podem estar sobre a mesma reta suporte, ou em retas paralelas. v
v u
u Figura 1.6 Vetores colineares
3.6 Vetores coplanares No R2, dois vetores são coplanares, ou seja, estão no mesmo plano porque definem esse plano (desde que esses vetores não sejam colineares), tendo em vista que são montados sobre duas retas suporte e duas retas não colineares sempre definem um plano no R2. α u
w v Figura 1.7 Vetores coplanares
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capítulo 3
Três vetores podem ser coplanares ou não. Não serão coplanares se a reta suporte de um dos vetores fizer um ângulo com o plano definido pelos outros dois.
π
u
α
w
v
Figura 1.8 Vetores não coplanares
4 Operações com vetores
4.1 Adição de dois vetores com mesma srcem Quando somamos dois vetores com mesma srcem, devemos completar um paralelogramo com os vetores, traçando pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor. O vetor soma ou resultante é aquele que sai da srcem comum até o encontro das paralelas, no vértice oposto ao da srcem. Tal método é conhecido como método do paralelogramo.
S
u
v Figura 1.9 Método do paralelogramo
capítulo 3
• 73
S =u +v
O módulo do vetor soma pode ser calculado por: S2 = u2 + v2 + 2.u.cos φ
Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos dos vetores S , u e v respectivamente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dados os vetores abaixo, de módulos u = 2 e v = 5 , determine geometricamente o vetor
soma, bem como calcule seu módulo. a)
u
60º
v b)
u
150º
v Solução
a)
u
S
60º
v
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capítulo 3
1 S2 = 22 + 52 + 2.2.5.cos 60º = 4 + 25 + 20. = 39 2 S = 39 b)
S u
150º
v S2 = 22 +52 + 2.2.5.cos 150º = 4 + 25 + 20. – 3 = 29 – 10 3 2
4.2 Adição de dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo com a srcem do outro Quando somamos dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo com a srcem do outro vetor, basta que completemos o triângulo tendo os dois vetores como dois lados do triângulo. O vetor soma ou resultante é o que sai da srcem do primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. Tal método é conhecido como método do triângulo. v φ u S
Figura 1.10 Método do triângulo
S =u +v
capítulo 3
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O módulo do vetor soma pode ser calculado por: S2 = u2 + v2 – 2.u.v.cos φ
Onde φ é o ângulo entre os vetores, e S, u e v são os módulos dos vetores S , u e v respectivamente.
4.3 Adição de vários vetores Quando desejamos somar vários vetores, devemos colocá-los inicialmente com a extremidade de um vetor coincidindo com a srcem do outro vetor, formando um só vetor. O vetor soma ou resultante é aquele que sai da srcem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor. Tal método é conhecido como método do polígono. b
c a
d S Figura 1.11 Método do polígono: S→ é o vetor resultante
4.4 Diferença de vetores Quando desejamos achar a diferença de dois vetores u e v , devemos primeiro achar o oposto do vetor v , isto é, o vetor –v , para poder somá-lo ao vetor u . D=u –v
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capítulo 3
D = u + (–v )
D u
–v
v
Figura 1.12 Diferença de vetores
4.5 Multiplicação de um vetor por um escalar Ao multiplicarmos um vetor u por um escalar k qualquer, obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo multiplicado por esse escalar. O sentido do novo vetor dependerá do sinal do escalark, ou seja, se o sinal for positivo, o sentido permanecerá o mesmo, se o sinal for negativo, haverá a inversão do sentido.
u
2u
3u
–3 u
Figura 1.13 Múltiplos de um vetor
capítulo 3
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5 Ângulo entre vetores Sejam dois vetores não nulosu e v . O ângulo φ que eles fazem entre si é o ângulo que as semirretas suporte dos vetores, isto é, as semirretas que contêm os vetores, fazem entre si. Para verificarmos o ângulo, os vetores devem estar dispostos com suas srcens coincidentes; caso não estejam, devem ser colocados dessa forma.
u
φ v Figura 1.14 Ângulo entre vetores
COMENTÁRIO → →
1. Se o ângulo entre eles for 0º, os vetores u e v possuem a mesma direção e sentido. Neste caso, são chamados de colineares e são múltiplos entre si.
u
v φ=0º
Figura 1.15a Ângulo entre vetores
→ →
2. Se o ângulo entre eles for 90º, os vetores u e v são ditos ortogonais.
S u v Figura 1.15b Ângulo entre vetores
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capítulo 3
S=u+v
Neste caso, o módulo do vetor resultante pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras, onde:
S² = u² + v² É importante observar que o módulo do vetor resultante obtido acima é um caso particular da fórmula de soma de vetores, onde o ângulo vale 90º.
S² = u² + v² + 2.u.v.cos φ S² = u² + v² + 2.u.v.cos 90º S² = u² + v² + 2.u.v.0 S2 = u2 + v2 → →
3. Se o ângulo entre eles for 180º, os vetores u e v possuem a mesma direção e sentidos contrários.
φ = 180º
→ u
→ v
Figura 1.15c Ângulo entre vetores
→ →
→
4. Se os vetores u e v forem ortogonais, o vetor u é ortogonal a qualquer vetor colinear ao → vetor v .
6É o vetor Vetor unitário de módulo um. Ele define uma direção porque qualquer vetor de uma determinada direção pode ser obtido como um múltiplo do vetor unitário daquela direção. Isto é, quando for conhecido um vetor unitário de uma direção, qualquer vetor daquela direção pode ser obtido – basta multiplicar este vetor pelo módulo do vetor que se deseja obter.
capítulo 3
• 79
Se λ→ é unitário e se os vetores u e v têm a mesma direção de λ, com módulos u e v, respectivamente, então u = u . λ e v = v . λ .
EXEMPLO → → → → Se u é módulo do vetor u e u = 3, se u tem a mesma direção de λ , com λ unitário, então → → u = 3λ .
λ
3λ
Os vetores unitários das direções dos eixos cartesianos têm sua representação definida por i , j e k , unitários dos eixos x, y e z, respectivamente.
z
k
i
j
x Figura 1.16 Vetores unitários dos eixos cartesianos
80 •
capítulo 3
y
7 1.7 Decomposição de vetores Decompor um vetor significa obter seus componentes em outras direções, de tal sorte que se somarmos essas componentes obteremos o vetor principal. Quando as direções são os eixos cartesianos, teremos: No R2
u uy φ ux Figura 1.17 Decomposição de um vetor no R²
→ → → Os vetores ux e uy são as componentes do vetor u nas direções dos eixos x e y, respectivamente. → → → u = ux + uy
Cada componente do vetor u→ pode ser expressa através dos unitários das direções dos eixos, portanto: → →→ ux = ux i → →→ u =u j y
y
sendo → ux = u.cos φ → uy = u.sen φ
capítulo 3
• 81
logo → → → u = u.cos φ i + u.sen φ j
No R3
z
uz θ
u uy
ux
y
φ
x Figura 1.18 Decomposição de um vetor no R3
Os vetores ux , uy e uz são as componentes do vetor u nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente. u = ux + uy + uz
Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos unitários das direções dos eixos, portanto: ux = ux i uy = uy j uz = uz k
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capítulo 3
sendo ux = u.cos φ uy = u.sen φ uz = u.cos θ
logo u = u.cos φ i + u.sen φ j + u.cos θ k
8 Representação de um vetor conhecidos seus pontos srcem e extremidade Se forem conhecidos os pontos srcem e extremidade de um vetor, as coordenadas deste serão definidas pela diferença entre as coordenadas dos pontos extremidade e srcem, nesta ordem. Esta forma é chamada de analítica.
B
A Figura 1.19 Representação de um vetor por pontos
Sejam os pontos A (xA, yA, zA) e B (xB, yB, zB), então o vetor AB é: AB = B – A → AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)
capítulo 3
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EXEMPLO Sejam os pontos A (–2, 1, 5), B (1, 0, 2) e C (1, –2, 3) → AB = (1 – (–2), 0 – 1, 2 – 5) = (3, –1, –3) → AC = (1 – (–2), – 2 – 1, 3 – 5) = (3, –3, –2) → BC = (1 – 1, –2 – 0, 3 – 2) = (0, –2, 1)
Os vetores representados por suas coordenadas têm esses valores como os módulos das suas componentes nas direções x, y e z. Logo, esta representação também pode ser feita pelos unitários dessas direções.
AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA) = (xB – xA) i + (yB – yA) j→ + (zB – zA) k No exemplo anterior:
→ AB = (3, –1, –3) = 3i – j – 3k → AC = (3, –3, –2) = 3i – 3j – 2k →
→
→
→
→
→
→ BC = (0, –2, 1) = –2j + k →
→
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dados os pontos A (1, 1, 2), B (–1, 0, 3) e C (2, –3, 2), determine os vetores: → a) AB → b) AC → c) BC
Solução →
a) AB = (–1 – 1, 0 – 1, 3 – 2) = (–2, – 1, 1) → b) AC = (2 – 1, –3 – 1, 2 – 2) = (1, – 4, 0) → c) BC = (2 – (–1), –3 – 0, 2 – 3) = (3, –3, –1)
84 •
capítulo 3
→
2) Dados os vetores abaixo, determine o vetor w . →
→
→
u = 3i + 2j – k v = (1, 0, –2) → +→ → = 3(v → – 2w →) + → a) 2 (u v ) – 2w u → – 4 (→ →) = 4(2w → –→ → b) 3w v – 2u v ) + 3u
Solução a) Podemos inicialmente representar o vetor → u na forma analítica u = (3, 2, –1) Desenvolvendo a expressão, buscando isolar o vetor → w , vem:
2u + 2v = 3v – w + u –2w + 6w = 3v + u – 2u – 2v 4w = v – u 4w = (1, 0, –2) – (3, 2, –1) = (–2, –2, –1) –2 –2 –1 –1 → w= , , = –1, –1 , 4 4 4 2 2 4 → – 4v → + 8u → = 8w → – 4v → + 3u → b) 3w w – 8→ w = –4→ v + 3→ u + 4→ v – 8→ u 3→ → → –5w = –5u → w=→ u → w = (3, 2, –1)
capítulo 3
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9 Igualdade de vetores Dois vetores u (ux, uy, uz) e v (vx, vy, vz) são iguais se, e somente se: ux = vx uy = vy uz = vz
EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os vetores → u = (2, –1, 4) e → v (2 + m, –1, 3 + 2n), determinar os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
Solução Para que os vetores sejam iguais, suas coordenadas deverão ser iguais. Então: 2=m+2
–1 = –1 4 = 3 + 2n Das igualdades acima, vê-se:
m = 0 e 2n = 1, logo, n = 1/2
10 1.10 Paralelismo de dois vetores Dois vetores u (ux, uy, uz) e v (vx, vy, vz) são paralelos ou colineares se existir um escalar k tal que u = k.v . (ux, uy, uz) = k.(v x, vy, vz)
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capítulo 3
ou (ux, uy, uz) = (kvx, kvy, kvz)
EXERCÍCIO RESOLVIDO u (2, –1, 4) e (2 + m, 3, 3 + 2n) , determinar os valores de m e n para que Dados os vetores → os vetores sejam paralelos.
Solução Para que os vetores sejam paralelos, suas coordenadas devem ser proporcionais, com mesmo coeficiente de proporcionalidade. Logo
2 = –1 = 4 2+m 3 3+2n Da equação acima temos:
2 –1 = → 6 = –2 – m → m = –8 2+m 3 –1 4 –15 = → 12 = – 3 – 2n → 2n = –15 → n = 3 3+2n 2
11 Módulo de um vetor O módulo ou intensidade de um vetor é o seu tamanho. É a parte escalar do vetor. Sua determinação pode ser feita por: No R2 ux
uy ux Figura 1.20 Módulo de um vetor no R2
capítulo 3
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Na figura acima, vemos que o módulo do vetor u→ é a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como catetos, os módulos das suas componentes u→x e u→y. Portanto, para sua determinação, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Logo:
u2 = ux2 + uv2 u = √ux2 + uy2 Por exemplo, nos vetores:
→ → → u = (3, –3) = 3i – 3j →| = 32 + (–3)2 = 18 = 3 2 u ou |u √ √ √ → → → v = (1, –2) = i – 2j →| = 2 v ou |v √1 + (–2)2 = √5 → → w = (0, –2) = –2k →| = 2 w ou |w √0 + (–2)2 = √4 = 2 Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores u→, v→ e w→, respectivamente. z No R3
uz u ux
x Figura 1.21 Decomposição de um vetor no R3
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capítulo 3
uy
y
Na figura acima, vemos que o módulo do vetor u é a diagonal de um paralelepípedo, cujas arestas são os módulos das suas componentes ux , ux e uz . z
→ u z → u → ux
→ uy y
x Figura 1.22 Módulo de um vetor no R3
Como o módulo do vetor u é a diagonal do paralelepípedo, então: 2
2
2
2
u = ux + uy + uz u = √u 2 + u 2 + u 2 x
y
z
Por exemplo: → → → → AB = (3, –1, –3) = 3i – j – 3k → AB ou |AB | = √32 + (–1)2 + (–3)2
= √19
→ → → → AC = (3, –3, –2) = 3 i – 3 j – 2k →| = 2 AC ou |AC √3 + (–3)2 + (–2)2
= √22
→ → → BC = (0, –2, 1) = – 2j + k → BC ou |BC | = √02 + (–2)2 + 12
= √5
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Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores AB, AC e BC , respectivamente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os pontos A (–1, 2, 0), B (2, 0, –2) e C (–2, 1, –1), determinar os módulos dos vetores → → → AB, AC e BC .
Solução Dados os pontos, os vetores são obtidos pela diferença das coordenadas entre os pontos extremidade e srcem. → AB = (2 – (–1), 0 – 2, –2 – 0) = (3, –2, –2) → AC = (–2 – (–1), 1 – 2, –1 – 0) = (–1, –1, –1) → BC = (–2 – 2, 1 – 0, –1 – (–2)) = (–4, 1, 1) Agora que determinamos os vetores, iremos determinar os módulos: AB = √32 + (–2)2 + (–2)2 = √9 + 4 + 4 = √17 AC = √(–1)2 + (–1)2 + (–1)2 = √1 + 1 + 1= √3
BC = √(–4)2 + 12 + 12 = √16 + 1 + 1 = √18 = 3√2
12 Vetor unitário de uma direção Dados pontos determinantes de uma direção, podemos estabelecer o unitário dela. A importância disso é que a partir deste unitário qualquer vetor desta direção poderá ser determinado, desde que se conheça seu módulo. Seja a direção mostrada na figura abaixo, determinada por pontos A e B:
B (X , Y , Z ) B
A (X , Y , Z ) A
Figura 1.23 Direção definida por dois pontos
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capítulo 3
A
A
B
B
Desde que conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, podemos deter→ minar o vetor AB. → AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)
Seja λ o vetor unitário desta direção:
B (X , Y , Z ) B
B
B
A (X , Y , Z ) A
A
A
→ λ
Figura 1.24 Direção e seu unitário
→
O vetor AB é um múltiplo do vetor unitário λ , já que eles possuem a mesma → direção e, como o vetor unitário tem módulo um, o vetor AB é exatamente o produto do seu módulo pelo vetor unitário. Assim: → → AB = AB.λ
→
→ AB = λ =
AB
(x – x , y – y , z – z ) B
A
B
A
B
A
√(x – x ) + (y – y ) + (z – z )2 B
A
2
B
A
2
B
A
EXEMPLO Sejam os pontos A (–2, 1, 5), B (1, 0, 2) e C (1, –2, 3), determinar os vetores unitários das → → → direções dos vetores AB , AC e BC.
→ →→ → AB = (3, –1, – 3) = 3i –j –3k
capítulo 3
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→ → → → AC = (3, –3, –2) = 3i –3j –2k → → → BC = (0, –2, 1) = –2j + k
→ AB ou |AB| = √32 + (–1)2 + (–3)2 = √19 → AC ou |AC| = √32 + (–3)2 + (–2)2 = √22 → BC ou |BC| = √02 + (–2)2 + 12 = √5 Portanto,
→
λ AB =
→
λ AC =
=
–1 → –3 → 3 , –1 , –3 = 3 → i + j + k 19 19 19 19 19 19 √ √ √ √ √ √
=
3 , –3 , –2 = 3 → –3 → –2 → i + j + k
(3, –1, –3)
√19 (3, –3, –2)
√22
(0, –2, 1) λ BC = →
√5
√22 √22 √22
√22
√22
√22
–2 –1 –2 –1 →j + → k = 0 , , = √5 √5 √5 √5 √5
EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os pontos A (2, –2, 0), B (–1, 1, 0) e C (0, 0, 1), determinar os vetores unitários das → → → direções dos vetores AB, AC e BC .
Solução
→ → →
Primeiro precisamos determinar os vetores AB, AC e BC .
→ = (–1 –2, 1 – (–2), 0 – 0) = (–3, 3, 0) AB → AC = (0 – 2, 0 – (–2), 1 – 0) = (–2, 2, 1) → BC = (0 – (–1), 0 – 1, 1 – 0) = (1, –1, 1)
92 •
capítulo 3
Feito isto, determinaremos seus módulos. → AB ou |AB| = √(–3)2 + 32 + 02 = √18 = 3√2 → AC ou |AC| = √(–2)2 + 22 + 12 = √9 = 3 → BC ou |BC| = √12 + (–1)2 + 12 = √3 → → →
Agora podemos determinar os vetores unitários das direções dos vetores AB, AC e BC .
→ λ AB = (–3, 3, 0) =
3 √2
–1 1 –3 , 3 , 0 = –1 , 1 , 0 = → i + →j 3 √2 3 √2 √2 √2 √2 √2
→
λ AC =
→ → (–2, 2, 1) = –2 , 2 , 1 = –2→ i + 2 j+ 1 k 3 3 3 3 3 3 3
→
(1, –1, 1)
λ BC =
√3
=
→ → → , –1 , 1 = 1 i + –1 j + 1 k √3 √3 √ 3 3 √3 √ 3 1
13 Obtenção e a direçãode um vetor dados o módulo Em determinadas situações, temos o módulo de um vetor e sua direção. Por exemplo, na engenharia, em um determinado sistema em equilíbrio, através de um dinamômetro, definimos o módulo de uma força, temos sua direção e precisamos determinar o vetor força que apresenta aquele módulo, seja para levantar outras forças atuantes em outras partes do sistema, seja para calcular o momento desta força em relação a um ponto ou eixo etc. Quando temos o módulo de um vetor u e a sua direção, podemos determinar um vetor daquela direção. Logo podemos definir o unitário daquela direção. Se temos o unitário e conhecemos o módulo do vetor u , basta multiplicarmos o módulo do vetor pelo unitário daquela direção.
capítulo 3
• 93
B (x , y , z ) B
B
B
→ u
A (x , y , z ) A
A
A
→ λ Figura 1.25 Direção de um vetor dado seu unitário
Seja a figura anterior, na qual conhecemos os pontos A e B por onde passa uma determinada direção, seja um vetor u qual conhecemos apenas seu módulo e desejamos descobrir o vetor. Primeiramente, devemos definir um vetor → desta direção, o vetor AB . Logo: → AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)
→ Em seguida, devemos determinar o unitário desta direção, isto é, o vetor λ . Portanto:
→
λ =
→ (x – x , y – y , z – z ) AB = AB √(x – x )2 + (y – y )2 + (z – z )2 B
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
A
→ O vetor u será obtido pelo produto do seu módulo u pelo unitário λ . →
→
u = u. λ
94 •
capítulo 3
EXEMPLO Sejam os pontos A (–1, 1, 3), B (1, –1, 1) e C (1, 0, 2). Sejam u = 20, v = 30 e w = 50, módulos → → → dos vetores → u,→ v e→ w , que se encontram nas direções dos vetores AB, AC e BC , respectivamente. Determinar os vetores → u,→ v e→ w.
→ AB = 1 – (–1), –1 – 1, 1 – 3) = (2, –2, –2) AC → = (1 – (–1), 0 – 1, 2 – 3) = (2, –1, –1) → BC = (1 – 1, 0 – (–1), 2 – 1) = (0, 1, 1) → AB ou |AB| = √22 + (–2)2 + (–2)2 = √12 = 2√3 → AC ou |AC| = √22 + (–1)2 + (–1)2 = √6 → BC ou |BC | = √02 + (–1)2 + 12 = √2 →
λ AB =
→
λ AC =
→
λ BC =
(2, –2, –2) 2 √3
=
(2, –1, –1)
√6 (0, 1, 1)
√2
2
,
2 √3
=
–2
,
2√3
–2 2 √3
=
1 (
,
–1
,
–1
√3 √3 √3
)
1 → –1 → –1 → i + j + k √3 √3 √3
=
–1 –1 2 → –1 → –1 → , = i + j+ k √ 6 √6 √6 √6 √6 √6
= 0,
2
1
,
,
1
=
1→ 1 → j+ k
√2 √2 √2
√2
→ 1 –1 –1 20 –20 –20 20 → –20 → –20 → → , , = , , = u = u.λ AB = 20. i + j+ k √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3
2 –1 –1 60 –30 –30 60 → –30 → –30 → → → v = v.λ AC = 30. , , = , , = i + j+ k √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6
capítulo 3
• 95
ATIVIDADE 1) Dados os vetores → u = (1, –5, 2) e → v = (0, 3, 3) , determinar o vetor → w , tal que: → → → → → → a) 2(u + 3 v ) + 2w = u – 2 ( v + 3 w ) → + 5(→ → + 2v → b) 2w v –→ u ) = 2u 2) Dados os pontos M (1, 2, 3), N (0, 1, –2) e P (–1, –1, 0), determinar o ponto Q, tal que PQ → = 2MN →.
3) Verificar se os pontos M (1, 2, –2), N (0, 1, 2) e P (–1, 3, 1) são colineares. 4) Determinar o valor de x de modo que sejam colineares os pontos M (–1, 2, 3), N (1, –1, 2) e P (x, 2, 1). 5) Determinar x e y de modo que os vetores → u = (2, 1, –2) e → v = (8, x, y) sejam paralelos. → + yv →, sendo → 6) Determinar os valores de x e y, tal que → w = xu u = (1, 2, 5), → v = (–1, 2, 2) e → w = (–1, 2, 1) .
7) Dados os pontos M (–1, 2, 3), N (1, 3, 0) e P (2, –2, 4), determinar os unitários das direções ⟶ ⟶ ⟶ dos vetores MN, MP e NP.
96 •
capítulo 3
4 Matrizes
OBJETIVOS O leitor deverá ser capaz de: • Representar situações do cotidiano por meio de matrizes.
• Reconhecer os diferentes tipos de matrizes, bem como extrair informações relevan-
tes de uma determinada matriz que traduz uma situação-problema. • Efetuar as diversas operações com matrizes e reconhecer as suas principais pro -
priedades. • Ser capaz de associar matrizes aos diversos campos do conhecimento.
CURIOSIDADE Você sabia? A álgebra das matrizes foi descoberta pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) em 1857, em conexão com as transformações lineares do tipo x’ = ax + by y’ = cx + dy
onde a, b, c, d são números reais; estas transformações lineares podem ser concebidas como aplicações que levam o ponto (x, y) no ponto (x’, y’), como veremos mais adiante.
Consideremos a seguinte situação: Nos três primeiros meses do ano (janeiro, fevereiro e março) as unidades vendidas de um certo produto Pa foram respectivamente iguais a 100, 120 e 130, enquanto as de um outro produto Pb, foram respectivamente iguais a 110, 80 e 40.
98 •
capítulo 4
Podemos transmitir essas informações de uma outra maneira, facilitando o entendimento dessas informações. Podemos estabelecer um quadro com esses dados, vejamos: janeiro fevereiro março 100 120 130 110 80 40
A vantagem de escrevermos dessa forma é que as informações são assimiladas mais rapidamente e atingimos nossos objetivos de uma maneira mais fácil. Uma outra possível disposição seria: Pa
100 120 130
Pb
110 80 40
Nas duas representações fica evidente que as vendas do produto Pa estão aumentando, enquanto as vendas do produto Pb estão diminuindo. Essa forma de formatar esse conjunto de números podemos chamar de matrizes.
1 Definição de matrizes
Denominamos de matriz real do tipo m x n (leia: m por n) um conjunto de mxn números reais dispostos em m linhas e n colunas. Utilizaremos as letras maiúsculas do nosso alfabeto para representar as matrizes. capítulo 4
• 99
EXEMPLO 1) A =
100
120
130
110
80
40
2
; tipo: 2 x 3
3
2) B = 4 5 ; tipo: 2 x 2 3) C = [2 4 6]; tipo: 1 x 3 Podemos substituir os colchetes pelos parênteses. Assim, temos: A=
1 3
3 4
5 ; tipo: 2 x 3 5
2 Matriz quadrada Quando a matriz apresentar número de linhas igual ao número de colunas diremos que a matriz é quadrada. Nesse caso, chamaremos de ordem o número de linhas (ou número de colunas) da matriz.
EXEMPLO 1) A =
1 3 1
3 ; O (A) = 2 9
2 2 √ 3 0
2) B = 3
4 1 ; O (B) = 3 √5
2.1 Representação Em uma matriz qualquer A, cada elemento é indicado por aij. O índice i indica a linha e o índice j a coluna às quais o elemento pertence. Podemos tomar como
100 •
capítulo 4
base os exemplos abaixo.
A = 3 2 ; a11 = 3, a12 = 2, a21 = 4 e a22 = 0 4 0 B= 2 3
1 5
4 ; b = 2, b = 1, b = 4, b = 3, b = 4 e b = 2 12 13 21 22 23 2 11
Diagonal principal – É formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j). Diagonal secundária – É formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha adicionado ao índice da coluna é igual a n adicionado a 1, onde n é a ordem da matriz (i + j = n + 1).
EXEMPLO Considerando a matriz A =
3 2 , temos: 1 0
Elementos que formam a diagonal principal: a11 = 3 e a22 = 0 (i = j). Elementos que formam a diagonal secundária: a12 = 2 e a21 = 1 (i + j = n + 1).
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Construa uma matriz A = (aij) 2 x 3 definida por aij = resto da divisão do produto ij por 3.
Solução Cada elemento da matriz dada é o resto da divisão do produto do índice i que indica a linha pelo índice j que indica a coluna, por 3. Assim teremos: a11 = 1, a12 = 2 e a13 = 0 a21 = 2, a22 = 1 e a23 = 0 A=
1 2
2 1
0 0
2) Na matriz A = (aij)3 x 3, cada elemento da matriz representa o número de passes
capítulo 4
• 101
que o jogador i fez ao jogador j, ambos do mesmo time, durante uma partida de futebol realizada pelo campeonato estadual. Nessa matriz, os jogadores escolhidos para serem avaliados foram representados pelos números 1, 2 e 3; assim sendo, o elemento da matriz a23 = 5, por exemplo, significa 0 3que2o jogador 2 realizou 5 passes para o jogador 3. Considerando a matrizA = 4 0 5 pergunta-se: 2 3 0 a) Qual o jogador que realizou o maior número de passes? b) Qual o jogador que recebeu o maior número de passes?
Solução Devemos notar que os passes dados serão obtidos pela soma dos elementos que formam cada uma das linhas da matriz, enquanto os passes recebidos serão contabilizados nas colunas. Logo, teremos: Passes realizados pelo jogador 1: 5 Passes realizados pelo jogador 2: 9 Passes realizados pelo jogador 3: 5 Passes recebidos pelo jogador 1: 6 Passes recebidos pelo jogador 2: 6 Passes recebidos pelo jogador 3: 7 Mediante o que foi exposto acima é fácil concluir que: a) O jogador que mais realizou passes foi o de número 2, com um número de passes igual a 9. b) O jogador que mais recebeu passes foi o de número 3, com um número de passes igual a 7. 3) Na matriz A = (aij)3 x 3, cada elemento aij da matriz significa o número de vezes que uma aero-nave decolou do aeroporto i tendo aterrissado no aeroporto j. Sabe-se que uma aeronave0 nunca no mesmo aeroporto do qual tenha decolado. Com base na matriz A x aterrissa 5 = 2x 0 20 e sabendo que esses aeroportos foram designados pelos números 1, 2 e 3, determine y 7 x0e y sabendo que o triplo do número de decolagens do aeroporto 1 é igual ao número de decolagens do aeroporto 2 e que o número de decolagens e aterrissagens no aeroporto 3 é o mesmo.
Solução Tendo a matriz A como referência e prestando atenção nas informações dadas no
102 •
capítulo 4
problema, podemos escrever as seguintes equações: 3(0 + x + 5) = 2x + 20 (as linhas nos indicam o número de decolagens, enquanto as colunas nos fornecem o número de pousos) y + 7 + 0 = 5 + 20 + 0
Resolvendo o sistema de equações, encontramos x = 5 e y = 18 4) (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A= (aij) a seguir, em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i: 5 A= 0 4
0 1 2
2 3 1
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Solução a) A pergunta feita no item a é equivalente a: “Qual é o elemento que se situa na segunda linha com a terceira coluna, ou seja, o elemento a23?”. Portanto, a resposta é imediata: 3. b) A pergunta do item b é equivalente a: “Qual é o valor de: 5a11 + 4a21 + 2a31?”. Basta que observemos o fato de que a pergunta é referente ao material 1, o que nos remete para a primeira coluna. O que varia, na verdade, é o número da linha, pois o mesmo representa o tipo da roupa. Logo teremos: 5 x (5) + 4 x (0) + 2 x (4) = 33
CURIOSIDADE
Uma estranha relação entre números naturais e consecutivos: 33 + 43 + 53 = 63 27 + 64 + 125 = 216 216 = 216 (verdadeira)
Outra relação muito interessante:
capítulo 4
• 103
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Devemos observar que os dois membros da igualdade apresentam soma 365, que corresponde ao número de dias de um ano.
ATIVIDADE 1) (FGV) Três ônibus levaram alunos de uma escola para uma excursão. Em uma parada, todos os alunos saíram dos ônibus. Todos prosseguiram a viagem, mas não necessariamente no ônibus de onde tinham saído. Na matriz abaixo, aij representa o número de pessoas que saiu do ônibus i e subiu no ônibus j após a parada. 30 2 3
5 25 6
7 8 20
Então, podemos concluir que: a) Participaram da excursão 75 alunos. b) Um dos ônibus permaneceu com o mesmo número de passageiros. c) O ônibus 1 perdeu 6 passageiros. d) O ônibus 2 ganhou 4 passageiros. e) O ônibus 3 ganhou 6 passageiros. 2) Três pessoas, que chamaremos de 1, 2 e 3, se comunicam invariavelmente por e-mail. Na matriz abaixo, cada elemento aij significa o número de e-mails que i enviou para j no mês passado. 0 16 12
14 0 24
18 22 0
Podemos concluir que: a) Quem mais enviou e-mails foi 1. b) Duas pessoas enviaram o mesmo número de e-mails. c) Quem mais recebeu e-mails foi 2. d) Quem mais recebeu e-mails foi 3. e) Duas pessoas receberam o mesmo número de e-mails.
104 •
capítulo 4
3) (FGV) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. 0 1,2 3,1 , então o país que mais exportou e o que mais importou no 2,1 0 2,5 0,9 3,2 0
Se A =
Merco foi, respectivamente: a) 1 e 2 b) 2 e 2 c) 2 e 3
d) 3 e 1
e) 3 e 2
4) (UNESP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1,2,3. L1 L2 L3 P130 19 20 P215 10 8 P3 12 16 11
Analisando a matriz, podemos afirmar que: a) A quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. b) A quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30. c) A soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. d) A soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52. e) A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45.
CURIOSIDADE Uma maneira rápida e eficiente de efetuar a multiplicação pelo número 11: 1) Números de 1 algarismo – Basta escrever esse número duas vezes, uma ao lado da outra.
capítulo 4
• 105
Exemplos: a) 2 x 11 = 22 b) 5 x 11 = 55 c) 9 x 11 = 99 2) Números de 2 algarismos – É suficiente escrever cada um dos dois algarismos nas extremidades, deixando um espaço entre eles, que deverá ser ocupado pela soma dos mesmos.
Exemplos: a) 23 x 11 = 2 (2+3) 3 = 253 b) 34 x 11 = 3 (3+4) 4 = 374 c) 45 x 11 = 4 (4+5) 5 = 495 d) 89 x 11 = 8 (8+9) 9 = 8 (17)9 = (8+1)7 9 = 979
3 Tipos de matrizes Matriz nula – é a matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero.
EXEMPLO 0
0
0
0
A= 0 0 ;B= 0 0
0 0
Matriz linha – é aquela que apresenta uma única linha.
EXEMPLO A = (1 –2 4); tipo: 1 x 3 B = [3 4]; tipo: 1 x 2
COMENTÁRIO Podemos chamar essa matriz de vetor linha.
106 •
capítulo 4
Matriz coluna – é aquela que apresenta uma única coluna.
EXEMPLO A=
3 ; tipo: 2 x 1 1
1
B = 0 ; tipo: 3 x 1 0
COMENTÁRIO Podemos chamar essa matriz de vetor coluna.
Matriz diagonal – é aquela matriz quadrada onde os elementos que não perten-
cem à diagonal principal são iguais a zero.
EXEMPLO A=
3 0
0 5
1 0 0 B= 0 5 0 0 0 4
Matriz unidade (matriz identidade) – é toda matriz diagonal onde os elemen-
tos que formam a diagonal principal são todos iguais a unidade.
I2 =
1 0
0 1
EXEMPLO
1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1
capítulo 4
• 107
4 Operações com matrizes Vamos iniciar o estudo das operações com matrizes. Da mesma forma que efetuamos operações com os números, é possível fazer o mesmo com as matrizes, desde que, para isso, obedeçamos algumas condições.
4.1 Adição de matrizes Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B. Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será definida.
EXEMPLO A=
1 2 3 4
3 1 4 eB= 4 3 2
2 4 3 , temos: A + B = 0 7 7
6 2
ATENÇÃO Note que cada elemento da matriz soma é a soma dos elementos correspondentes nas matrizes A e B.
4.2 Propriedades da adição de matrizes Sejam A, B, C e O matrizes do mesmo tipo, temos:
1
A + B = B + A (comutatividade)
2
A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
108 •
capítulo 4
3
A + O = O + A = A (elemento neutro)
4
A + (–A) = (–A) + A = O (elemento oposto)
COMENTÁRIO A matriz O é a matriz nula já definida anteriormente.
4.3 Subtração de matrizes Desde que as matrizes A e B sejam do mesmo tipo, podemos definir a diferença A – B = A + (–B), ou seja, a matriz A adicionada com a matriz oposta da matriz B (–B), lembrando que –B é obtida a partir da troca do sinal de cada um dos elementos da matriz B.
A=
1 5
EXEMPLO
–2 3 3 ,B= 5 –1 2
A – B = A + (–B ) =
1 5
2 –3 3 3 + = 5 1 0 – 2
0 3
4.4 Multiplicação de um número real por uma matriz Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n , encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n , que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
EXEMPLO A=
2 –1
1 3
0 ;K=3 4
capítulo 4
• 109
6 3 0 –3 9 12
3A=
4.5 Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e a e b números reais quaisquer, temos:
1
a (bA) = (ab) A
2
a (A + B) = aA + aB
3
(a + b) A = aA + bA
4
1.A = A
4.6 Multiplicação de matrizes Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. A matriz produto será obtida multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz, conforme exemplos abaixo:
EXEMPLO 2 4 1 2 2 1) A = 3 1 4 e B = 1 3 2 1 C = AB C =1x2+2x1+2x2=8 11 C12 = 1 x 4 + 2 x 3 + 2 x 1 = 12 C21 = 3 x 2 + 1 x 1 + 4 x 2 = 15 C22 = 3 x 4 + 1 x 3 + 4 x 1 = 19 8 C = 15
12 19
110 •
capítulo 4
2) A =
1
2
2
3
eB=
3
1
1
3
C = AB C11 = 1 x 3 + 2 x 1 = 5 C12 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 C21 = 2 x 3 + 3 x 1 = 9 C22 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 C=
5
7
9
11
4.7 Propriedades da multiplicação de matrizes Sejam A, B e C matrizes e K um número real. Admitindo as operações indicadas abaixo possíveis, temos:
1
A.(B.C) = (A.B).C
2
A.(B + C) = A.B + A.C
3
(A + B).C = A.C + B.C
4
Amxn.In = Amxn
5
Im.Amxn = Amxn
6
(KA)B = A(KB) =K(AB)
4.8 Matriz transposta Denominamos de matriz transposta de A, representada por At, a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas ordenadamente. Portanto, se a matriz A é do tipo m x n, então a sua transposta At será do tipo n x m.
A=
1 3 2 0 2 5
1 0 At = 3 2 2 5 capítulo 4
• 111
Nós devemos observar que a primeira linha da matriz A se transformou na primeira coluna da matriz transposta e que a segunda linha da matriz A se transformou na segunda coluna da matriz transposta. Assim, a transposta da matriz transposta da A volta a ser a matriz A.
4.9 Propriedades da matriz transposta
1
(A + B)t = At + Bt
2
(KA)t = K.At
3
(At)t = A
4
(AB)t = BtAt
4.10 Matriz simétrica Denominamos de matriz simétrica de uma matriz quadrada A a matriz com a mesma ordem de A, tal que:
At = A
EXEMPLO 1) A =
1 3
3 t 1 ;A = 4 3
3 4
At = A ↔ A é simétrica 2 1 4 2 1 4 t 1 0 5 2) B = ;B = 1 0 5 4 5 3 4 5 3 Bt = B ↔ B é simétrica
112 •
capítulo 4
4.11 Matriz antissimétrica Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria matriz A, ou seja:
At = –A
EXEMPLO A=
0 2 t 0 2 ;A = –2 0 –2 0
At = –A ↔ A é antissimétrica
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5) (CESGRANRIO) Na área de informática, as operações com matrizes aparecem com grande frequência. Um programador, fazendo levantamento dos dados de uma pesquisa, utilizou as matrizes:
A=
5 3
2 1
1 1 ;B= 2 4 1
3 1 1
2 2 ; C = AB 1
O elemento C23 da matriz C é igual a: a) 18 b) 15 c) 14 d) 12
e) 9
Solução Devemos observar que para responder a questão não é necessário efetuar o produto das matrizes A e B. Devemos lembrar que o elemento pedido é formado pela multiplicação da segunda linha da matriz A pela terceira coluna da matriz B, logo: C23 = 3 x 2 + 1 x 2 + 4 x 1 = 6 + 2+ 4 = 12
Resposta: d)
capítulo 4
• 113
6) (VUNESP) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que condição pode-se afirmar que (A + B) 2 = A2 + 2 A B + B2? a) Sempre, pois é uma expansão binomial. b) Se e somente se uma delas for a matriz da identidade. c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. e) Se e somente se A = B.
Solução Devemos lembrar que: (A + B)2 = (A + B).(A + B) = A.A + A.B + B.A + B.B = A2 + A.B + B.A + B 2
Sabemos que o produto de matrizes não é comutativo e, portanto, para a igualdade ser verdadeira é necessário que AB = BA. Claro que se estivermos tratando de números reais a afirmação será sempre verdadeira. Resposta: d) 7) (FGV) A matriz A é do tipo 5 x 7 e a matriz B, do tipo 7 x 5. Assinale a alternativa correta. 49 elementos. a) A matriz AB tem b) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. c) A matriz AB admite inversa. d) A matriz BA tem 25 elementos. e) A matriz (BA)2 tem 49 elementos.
Solução A matriz AB será do tipo 5 x 5 e portanto terá 25 elementos e (AB)2 também terá 25 elementos. Observe que a matriz BA é do tipo 7 x 7, tendo 49 elementos. Esse número de elementos é o mesmo da matriz (BA)2. Resposta: e) 3
5 1 , B = 4 e C = [2 1 3]. 3 0 –1
8) (UNIRIO) Considere as matrizes A = 2
A adição da transposta de A com o produto de B por C é: a) Impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C. b) Impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes.
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capítulo 4
c) Impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C. d) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x 3. e) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2.
Solução Podemos observar que a matriz transposta de A é do tipo 2 x 3 e que a matriz produto de B por C também é do tipo 2 x 3, logo a soma será do tipo 2 x 3. Resposta: d) 9) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 4 1 4 5 5 3 S= 0 2 0 eD= 0 3 0 3 1 5 2 1 3 S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i e coluna j de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
Solução a) Somando as duas matrizes encontraremos quantos chopes cada um dos três pagou para o outro no fim de semana. 9 6 9 S+D= 0 5 0 5 2 3
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A soma dos elementos de cada coluna nos informa quanto cada um dos três bebeu no final de semana, ou seja: Antônio – 14 chopes Bernardo – 13 chopes Cláudio – 12 chopes Portanto, quem bebeu mais foi Antônio, 14 chopes. b) Antônio paga para Cláudio 9 chopes (a13 = 9) e Cláudio paga para Antônio 4 chopes (a31 = 5). Assim, Cláudio fica devendo para Antônio 4 chopes. 10) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual à sua transposta, possui: a) Pelo menos dois elementos iguais b) Os elementos da diagonal principal iguais a zero. c) Determinante nulo. d) Linhas proporcionais. e) Todos os elementos iguais a zero.
Solução a c b a = d b
Seja A = a c
b a c a matriz procurada. Sabemos que At = , logo: d b d c o que implica que b = c. d
Resposta: a) 11) (IBMEC) Considere as matrizes: A3 x 3, tal que: aij = i – 2j B3x4, tal que: bij = 3i -2j Se C = A.B , então, C 23 é igual a: a) –4 b) –6 c) –8 d) –10
e) –12
Solução Sabemos que o elemento pedido é formado utilizando a segunda linha da matriz A com a terceira coluna da matriz B, portanto formaremos esses elementos: a21 = 2 – 2 x 1 = 0 a22 = 2 – 2 x 2 = –2
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capítulo 4
a23 = 2 – 2 x 3 = –4 b13 = 3 x 1 – 2 x 3 = –3 b23 = 3 x 2 – 2 x 3 = 0 b33 = 3 x 3 – 2 x 3 = 3 c23 = 0 x (–4) + (–2) x 0 + (–4) x 3 = –12 Resposta: e)
ATIVIDADE 5) (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = –A. Nessa x y z condições, se a matriz A = 2 0 –3 é uma matriz antissimétrica, então –1 3 0 é igual a: x+y+z a) 3 b) 1 c) 0 d) –1 e) –3
6) (ITA) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não nulas, tais que AV = αV e AW = βW. Se a, b ∈ R são tais que V + bW é igual à matriz nula 2 x 1, então a + b vale: a) 0 b) 1 c) –1 d) ½ e) –½ 7) (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz diariamente p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, 1 x 2, e N, 2 x 1, r M = [2p.q] e N = 2s . A matriz produto M x N representa o custo da produção de:
a) 1 dia
b) 2 dias
c) 3 dias
d) 4 dias
e) 5 dias
8) (FATEC-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se An = A.A.A ... A. No caso de A ser a matriz
0 1
1 , é correto afirmar que a soma A + A2 + A3 + 0
+ A4 + ... + A39 + A40 é igual à matriz:
capítulo 4
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a)
20 20 20 20
c)
40 40 40 40
b)
20 0 0 20
d)
0 40 40 0
e)
0 20 20 0
4.12 Matriz inversa Uma matriz quadradaA de ordemn possui matriz inversaA-1, seA.A-1 = A-1.A = In, onde A-1 é a matriz inversa deA e In é uma matriz identidade de ordem n.
EXEMPLO A=
–2 1 1 2 e B = 3 –1 são matrizes inversas, pois A.B = B.A = I2, vejamos: 3 4 2 2
A.B =
1 2 –2 1 1 0 . 3 –1 = = I2 3 4 0 1 2 2
–2 1 1 2 1 0 B.A = 3 –1 . = = I2 3 4 0 1 2 2 A.B = B.A = I2 , logo A e B são inversas.
COMENTÁRIO 1) Se uma matriz quadrada de ordem n é inversível (ou seja, possui inversa), então a matriz A-1 tal que A.A–1 = A–1.A = In é única. 2) Toda matriz identidade de ordem n tem como inversa ela mesma.
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capítulo 4
CURIOSIDADE Determinando quadrados de números terminados pelo algarismo . Devemos lembrar que o quadrado de um número é o resultado da multiplicação desse número por ele mesmo. Nunca é demais frisar que a regra só se aplica a números terminados pelo algarismo 5.
Exemplos:
a) 15 x 15 = (1 x 2) 25 = 225 b) 25 x 25 = (2 x 3) 25 = 625 c) 35 x 35 = (3 x 4) 25 = 1225 d) 45 x 45 = (4 x 5) 25 = 2025
GABARITO 1.2 Matriz quadrada 1) e) O ônibus 3 ganhou 6 passageiros. 2) d) Quem mais recebeu e-mails foi 3. 3) c) 2 e 3 4) A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P 2 vendidos pela loja L1 é 45. 1.4 Tipos de matrizes 5) d) –1 6) a) 0 7) b) 2 dias 8) a)
20 20 20 20
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ANOTAÇÕES
5 Funções e análise de gráficos
OBJETIVOS • Representar pontos no plano cartesiano; • Formalizar o conceito de função; • Reconhecer uma função em relações do cotidiano; • Reconhecer o domínio, o conjunto imagem e o contradomínio de uma função; • Identificar funções crescentes, decrescentes e constantes; • Analisar e interpretar gráficos.
1 Plano cartesiano 1.1 Conceito Um plano cartesiano é um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coordenadas formado por dois eixos perpendiculares entre si, sendo um horizontal e outro vertical. Esses eixos possuem direção e sentido a partir da srcem que se estabelece no ponto de cruzamento dos eixos. Essa srcem torna-se o referencial que permite uma localização organizada e gráfica das coordenadas nos quatro planos ou regiões que surgem a partir do cruzamento dos eixos. Essas quatro regiões, chamadas de quadrantes, são numeradas no sentido anti-horário. O primeiro quadrante possui abscissas e ordenadas com valores positivos.
O eixo vertical, y (ordenadas), possui sentido crescente de baixo para cima e o eixo horizontal, x (abscissas), possui sentido crescente da esquerda para a direita.
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capítulo 5
A srcem do nome Plano Cartesiano é uma homenagem ao matemático francês nascido na Idade Média, René Descartes.
1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano Considere um ponto P do plano cartesiano. Chamamos de projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox à intersecção do eixo Ox com a perpendicular a ele, traçada por P. Chamamos de projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy à intersecção do eixo Oy com a perpendicular a ele, traçada por P. (Ordenadas)
P
P’’
O P’
X (Abscissa
Na figura, P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox e P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy; As coordenadas do ponto P serão a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto P’’.
1.3 Par Ordenado As coordenadas desse sistema são chamadas de pares ordenados e têm uma representação própria, sendo organizadas de forma que o primeiro número seja sempre a abscissa e o segundo sempre a ordenada, estando os dois entre parênteses e separados por uma vírgula.
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y (Ordenadas) 3
(2,3) (par ordenado x=2 e y=3)
O
-2
2
-1
(-2,-1) (par ordenado x=-2 e y=-1)
X (Abscissas)
EXEMPLO Assinale no gráfico os pares ordenados e coordenadas A(4,2); B(1,-1); C(-3,4); D(-1,-4); E(2,0).
Resolução: C 4 3 A 2 1 E
O -4
-3
-2
-1
1234 -1 -2 -3
D
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-4
B
EXERCÍCIO RESOLVIDO Identifique o par ordenado cujos pontos estão representados no plano cartesiano abaixo.
4 3 2 1 -3 -2 -1 -1
12345
-2 -3
Resolução: A(-3,4); B(-2,3); C(-2,-3); D(-1,0); E(1,4); F(2,2); G(5,4); H(5,2); I(4,0), J(2,1); K(4,-2).
COMENTÁRIO Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se, e somente se, sua ordenada for zero. Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se, e somente se, sua abscissa for zero. Identificando os sinais dos elementos do par ordenado e relacionando-os aos quadrantes, temos: • P(a, b) ∈ 1º Quadrante ⇔ a > 0 e b > 0; • P(a, b) ∈ 2º Quadrante ⇔ a < 0 e b > 0; • P(a, b) ∈ 3º Quadrante ⇔ a < 0 e b < 0; • P(a, b) ∈ 4º Quadrante ⇔ a > 0 e b < 0.
EXEMPLO • O ponto A(5, 0) pertence ao eixo das abscissas; • O ponto B(0, 4) pertence ao eixo das ordenadas; • O ponto C(3, 4) pertence ao I Q;
capítulo 5
• 125
• O ponto D(-2, 5) pertence ao II Q; • O ponto E(-4, -6) pertence ao III Q; • O ponto F(5, -2) pertence ao IV Q.
1.3.1 Propriedade fundamental dos pares ordenados Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas coordenadas correspondentes são iguais, isto é, (a,b) = (c,d) ⇔ ( a=c e b=d ) Assim, para que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) de números reais sejam iguais, devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano.
EXEMPLO x = 7 (x, 4) = (7, y) ⇔ . y = 4
1.4 Divisão dos Eixos A divisão dos eixos deve ser igual entre os eixos não sendo rigorosamente necessário que, entre os eixos, as divisões sejam as mesmas, isto é, podemos ter um eixo x com divisões diferentes das divisões no eixo y. Assim, considerando um segmento de reta como padrão de unidade em um eixo, os números consecutivos do eixo devem ser separados por esse padrão de unidade estabelecido, que pode ser diferente para cada eixo. O eixo x pode ter um padrão de unidade u1 e o eixo do Y pode ter um padrão u2 sendo u1≠u2 ou u1=u2 (mais utilizado). u2
u2 u1
Eixo x e eixo Y com divisões iguais u1=u2
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u1
Eixo x e eixo Y com divisões iguais u1=u2
1.5 Aplicações do Plano Cartesiano A aplicação do Plano Cartesiano, na vida cotidiana, cresceu em importância ao longo do tempo. Com o aumento dos deslocamentos da população mundial, tornou-se ainda mais necessária a segurança nas rotas aéreas, marítimas, ferroviárias, rodovias e metroviárias tornando evidente a necessidade da utilização de um sistema de coordenadas confiável no mundo atual. Sem informações confiáveis e seguras de posicionamentos aéreos, marítimos e terrestres, qualquer deslocamento acarretaria em um grande risco. Os principais meios de transportes necessitam de um sistema de localização no tempo e no espaço. Não haveria a possibilidade da existência simultânea de diversos voos e navegações pelo mundo sem um sistema de coordenadas utilizado internacionalmente que permitisse o controle de todas as rotas. Em vias urbanas, a circulação de trens e metrô no mundo seria arriscada e inviável se os controladores que organizam os trajetos e os horários não tivessem informações precisas da localização exata dos vagões. Seria impossível também chegar a algum lugar sem uma correta coordenada longitudinal e latitudinal. Levantamentos cartográficos e a própria construção organizada de cidades e prédios seria tarefa muito difícil sem as devidas coordenadas geográficas. Todas estas atividades baseiam-se em um sistema de coordenadas cartesianas. No passado, usava-se a bússola como principal instrumento que permitia a localização, por exemplo, em alto mar. Hoje, modernamente, fazemos uso de alguns sistemas de localização na qual o mais difundido no momento é o GPS, Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System), que, através de um sistema de satélites, permite saber, dentre muitas outras informações, a localização de qualquer coisa ou pessoa no planeta. Para que isso possa acontecer, há a necessidade de um processo que tem sua srcem no sistema de coordenadas cartesianas (Plano Cartesiano). Os automóveis mais modernos já possuem GPS permitindo que qualquer pessoa possa se deslocar pelo mundo com extrema facilidade. Outra aplicação bem cotidiana está na aviação que faz também um grande uso do GPS. Neste capítulo, será apresentado o conceito matemático de função, permitindo analisar, de forma gráfica, comportamentos entre variáveis relacionadas por uma expressão matemática.
capítulo 5
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1.6 Produto cartesiano Considerando A e B conjuntos, o conjunto {(x,y) / x ∈ A e x∈B} é o produto cartesiano de A por B e escrevemos AxB (lê-se A cartesiano B). Geometricamente, o produto cartesiano pode ser encarado como a região:
AxB
EXEMPLO Considerando A = {1, 2, 3} e B = {5, 8}, o produto cartesiano AxB será: AxB = {(1, 5), (1, 8) , (2, 5), (2, 8), (3, 5), (3, 8)}
2 Relações 2.1 Introdução Suponha que se deseje, durante 7 dias, analisar a variação de temperatura em uma determinada região. Após a medição, registrou-se a temperatura média diária, em cada um dos dias, obtendo a seguinte tabela:
DIA DA SEMANA
1234567
TEMPERATURA
18
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19
16
16
16
13
15
Em termos matemáticos, podemos dizer que estabelecemos uma relação do conjunto de dias da semana A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} no conjunto das medidas das temperaturas B = {18, 19, 16, 13, 15}. Associamos a cada dia da semana, a temperatura média correspondente. Podemos representar essa relação de algumas maneiras: Através do diagrama de flechas, Através do gráfico cartesiano, Através do conjunto de pares ordenados.
Diagrama de flechas A
B 1 2
10
3
15
4
20
5
Gráfico cartesiano
Temperatura (ºC) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
00
00
00
Tempo (Dias)
Conjunto de pares ordenados
R = {(1, 18), (2, 19), (3, 16), (4, 16), (5, 16), (6, 13), (7, 15)}
capítulo 5
• 129
Observe que o primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjunto A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de temperatura). Note que R é um subconjunto do produto cartesiano A X B.
2.2 Conceito Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos então que R é uma relação. Se (x, y) ∈ R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R. Exemplo: Relação R de A em B, dada por R = {(x, y) ∈ A X B | y < x}; R é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim, temos:
2.3 Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada Considere A e B conjuntos e suponha que a relação R seja um subconjunto do produto cartesiano de A por B: R⊂AxB. Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.
2.4 2.4. Domínio Considere uma relação R e considere o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R).
130 •
capítulo 5
2.5 Imagem Considere a relação R e consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R). Exemplo: Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir.
O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B, através de R: D(R) = {1, 2, 3}. O conjunto imagem da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de B que estão relacionados com elementos de A, através de R: Im(R) = {9, 10, 12, 15}.
3 Função 3.1 Introdução Uma função é um tipo particular de relação, que possui uma propriedade especial. Uma função é uma regra que associa a um valor de entrada um único resultado, denominado valor da função associado ao valor de entrada. A cada valor de entrada estará associado, portanto, um único resultado.
capítulo 5
• 131
EXEMPLO
Todo elemento de M está associado, através de h, a um único elemento de N.
t não é função, pois o elemento 4 está associado ravés at de t a mais de um elemento de O (1 e 6).
Na Matemática, essa regra pode ser definida por uma expressão em que o valor de entrada é representado por uma variável ou incógnita. A função também pode ser simbolizada por outra variável, oupor outro tipo de designação especial. Como exemplo, considere a regra que associe a um número real o dobro do seu valor. Essa regra pode ser representada, matematicamente, como: f (x) = 2x
O símbolo f (x) indica que estamos tratando com uma função na variável (ou incógnita) representada pela letra x. Pode-se ainda representar a função usando outra incógnita ou variável, diferente daquela usada na expressão que define a regra pela qual se calcula o valor da função. No exemploanterior, pode-se, alternativa mente, usary = 2x ao invés def(x) = 2x. Desta maneira, pode-se estabelecer, a cada valor de x, um valor para a função f(x), como a seguir: f(1) = 2(1) = 2, f(2) = 2(2) = 4, f(3,5) = 2(3,5) =7.
132 •
capítulo 5
A notação f : A → B indica que f é função de A em B.
3.2 Variável Independente A incógnita ou variável usada na expressão que define a representação matemática da função é conhecida como variável independente, pois a ela pode-se atribuir um valor qualquer, sem que ele dependa de qualquer resultado calculado anteriormente. Na expressão y = 2x, x é a variável independente.
3.3 Variável Dependente A variável dependente é aquela que simboliza o valor da função para cada dado de entrada. É chamada de variável dependente, pois seu valor depende do atribuído à variável independente. Na expressão y = 2x, y é a variável dependente.
3.4 Função Real de Variável Real Uma função real de variável real é justamente aquela que associa, a um valor real da variável independente, um valor real para a variável dependente.
3.5 Domínio e Imagem Como uma funçãof de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD), conjunto departida (CP) econjunto imagem (Im) continuam válidos. O Domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável dependente para os quais a função é definida. Para as funções F(x) = 2x e F(x) = x² o domínio corresponde a todo o conjunto de números reais, pois para qualquer valor real x estas funções são definidas. Já para a função f(x)= x o domínio corresponde a todo o conjunto de números reais não negativos, pois no conjunto de números reais a raiz quadrada de um número negativo não é definida. A figura a seguir apresenta o gráfico de f(x)= x :
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A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores que a função pode assumir, considerando-se todos os valores possíveis da variável independente (denomina-se domínio da função). Considere, por exemplo, a função y = x², em que a variável independente pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais (ou seja, o seu domínio é todo o conjunto dos números reais). A variável dependente y, obtida pela regra que define o seu valor como sendo igual ao quadrado do valor da variável independente, só terá valores reais não negativos. Consequentemente, a imagem dessa função será o conjunto dos números reais não negativos.
3.6 Valor de uma Função num Ponto O valor de uma função num ponto da reta real representa justamente o valor calculado para a função quando a variável independente assume o valor correspondente a tal ponto.
134 •
capítulo 5
3.7 Gráfico de uma Função O gráfico de uma função consiste em representar, no plano cartesiano, todos os pontos cujas coordenadas (x,y) correspondem a valores das coordenadas independente e dependente da função representada. As figuras a seguir representam os gráficos das funções y = 2x e y = x² respectivamente. y
y
8
8
6
6
4
4
2 -4 -3 -2 -1
-2
x 1234
2
-5 -4 -3 -2 -1 -2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
x
-1 -2 -3 -4
-5
3.8 Imagem de um elemento através do diagrama de flechas Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir.
Observe que cada elemento y do conjunto B está associado a um elemento x do conjunto A, através de f. Dizemos então que y é a imagem de x, através de f. Simbolicamente: y = f (x). Lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”.
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• 135
6 = f (1) 7 = f (2) 8 = f (3) 8 = f (4) 11 = f (5)
3.9 Imagem de um elemento através da regra y = f(x) Sejam os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f:A→B f (x) = 2x + 1. Por exemplo, a imagem do elemento 4, através de f, é f (4) = 2 → 4 + 1 f (4) = 9 Assim, (4, 9) ∈ f O símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. Assim, em vez de escrevermos f(x) = 2x + 1 = 2x + 1, podemos escrever y = 2x + 1, ou seja, o símbolo f(x) pode ser substituído por y e vice-versa.
3.10 Imagem de um elemento através do gráfico de uma função Consideremos o gráfico de uma função y = f(x) abaixo.
Interpretamos cada ponto (x,y) do gráfico de f como (x, f(x)): a ordenada é a imagem da abscissa através de f.
136 •
capítulo 5
EXEMPLO (-5/2,3) é ponto do gráfico; logo f(-5/2) = 3; (0,0) é ponto do gráfico; logo f(0) = 0; (2, 2) é ponto do gráfico; logo f(2) = 2; (4, 3) é ponto do gráfico; logo f(4) =3; (5, 0) é ponto do gráfico; logo f(5) =0.
3.11 Reconhecimento de uma função através de seu gráfico Eventualmente, precisamos verificar se uma relação é ou não uma função, através de seu gráfico. Se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R não é função. Se isto acontecer, ou seja, se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em dois pontos, por exemplo, R não será uma função, já que isto significa que para um único valor de x teremos dois valores de y associados. Os gráficos a seguir não representam gráficos de funções.
3.12 Função Crescente Dizemos que uma função f(x) é crescente, em um intervalo numérico, no qual é definida, se, para dois valores quaisquer x1 e x2 desse intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≥ f(x1). Quando se tem, em um intervalo, f(x2) > f(x1) a função é dita estritamente crescente.
capítulo 5
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EXEMPLO
3.13 Função Decrescente Dizemos que uma função f(x) é decrescente, em um intervalo numérico, no qual é definida, se, para dois valores quaisquer x1 e x2 desse intervalo, com x2 > x1, têm-se f(x2) ≤ f(x1). Quando se tem, em um intervalo, f(x2) < f(x1) a função é dita estritamente decrescente.
3.14 Função Constante Uma função F(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se, para dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo, com x2 ≠ x1, têm-se F(x2) = F(x1). Isto só ocorre se F(x) = c, onde c é um número real constante, ou seja, não se verifica, na definição da função, a variável independente x.
138 •
capítulo 5
EXEMPLO Exemplo: f(x)=2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Observe o gráfico de f a seguir. Determine f(0); f(1); f(3); f(5); f(-1); f(-3); f(-5).
Resolução:
f(0)=5 f(1)=0 f(3)=-4 f(5)=0 f(-1)= 2 f(-3)=2 f(-5)=0
capítulo 5
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2. Considere o gráfico a seguir que representa uma função f do intervalo [1,3] em IR. Quanto
à imagem é somente correto afirmar:
a) Im(f) = [1,4]; b) Im(f) = [2,3]; c) Im(f) = ]1,4]; d) Im(f) = ]2,3]; e) Im(f) = [1,3].
Resolução:
O menor valor para imagem é y = 1 e o maior é y = 4. Assim, o conjunto Imagem será Im(f) = [1,4].
3. (UFRJ) No gráfico mostrado a imagem do intervalo [-1, 2) é:
140 •
capítulo 5
a) [1/2, 1[ ∪ ]-2, 1]. b) ]1/2, 1] ∪ [-2,1[. c) [-1/2, 1] ∪ ]1, 2[. d) [-1, 1/2] ∪ ]1, 2[. e) [-1, 1/2] ∪ [1, 2]. Resolução:
Observe que o domínio considerado é [-1, 2[, a abscissa x = 2 não faz parte do domínio. Assim, na imagem, o elemento f(2) também não estará. O valor y = 1 é imagem para um valor x > 2, fora do domínio [– 1, 2[. Assim, f(1) não será elemento da imagem nesse domínio. Observe a função com a imagem e o domínio sinalizados.
4. Identifique, no gráfico a seguir, quando a função é crescente, decrescente e constante.
Resolução:
Crescente: [-2. 1] e [2,3] Decrescente: [3,4] Constante: [1,2]
capítulo 5
• 141
5. (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico está representado na figura. Assinale a afir-
mação correta.
a) f(0) = 0 b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0 c) a função é crescente no intervalo [x3 ;x5] d) a função é decrescente no intervalo [x3 ;x5] e) f(x2) = f(x4) = 0
Resolução:
Analisaremos cada uma das opções. a) Falsa. Para que f(0) = 0, o gráfico precisaria passar na srcem (0,0), o que não acontece. b) Verdadeiro. f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0, ou seja, x1, x3 e x 5 são zeros da função. Graficamente, são os pontos onde o gráfico corta o eixo x. c) Falsa. A função é decrescente no intervalo [x4, x5] . d) Falsa. A função é crescente no intervalo [x3, x4]. e) Falsa. O gráfico não corta o eixo x nas abscissas x2 e x4 . Além disso, f(x2) ≠ f(x4). 6. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura.
142 •
capítulo 5
a) Determine o domínio de f. b) Determine a imagem de f. c) Analise o crescimento e decaimento da função. d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0. e) Calcule f(0) – 2f( 26 ) + f(8). Resolução:
a) Determine o domínio de f. D(f) = [0, 8] b) Determine a imagem de f. Im(f) = [0, 4] c) Analise o crescimento e o decaimento da função. Crescente: [0, 4]; Decrescente: [6, 8] d) Determine os intervalos onde f > 0, f = 0 e f < 0. A função não assume valores negativos. A função é positiva (f > 0) no intervalo ]0, 8[. A função se anula nos valores onde o gráfico intersecta o eixo X. f = 0 nos pontos {0, 8}. e) Calcule f(0) – 2f( 26 ) + f(8) . A raiz de 26 é maior que a raiz de 5 e menor que a raiz de 6. f(0) – 2f( 26 ) + f(8) = 0 – 4 + 0 = –4 7. (UFF) Considere a função real de variável real
f e a função g tal que D(g) = [–1,4] e
g(x) = f(2x) – 1 . O gráfico de g é representado na figura a seguir.
a) Determine a Im(g). b) Calcule os valores de g(0), g(1/5), g(π). c) Determine o elemento negativo do domínio de g(x) cuja imagem vale 1. d) Determine f(0) e f(4). e) Analise os intervalos de crescimento e decaimento da função g(x). Resolução:
O cálculo de g(x) depende de f(x). a) Im(g) = [0, 2]. b) g(0) = 0 g(1/5) = g(0,5) = 0 g(π) = 2
c) O ponto (– 1, 1) significa que f(– 1) = 1. Assim, x = – 1 é o elemento do domínio que atende a essa condição. d) Para calcularmos f(0), precisamos calcular f[2.(0)].
capítulo 5
• 143
Para x = 0, substituindo esse valor, na expressão que associa g(x) e f(x), buscamos a imagem de g(0) no gráfico. x = 0 ⇒ g (0) = f (2.(0)) − 1 g ( 0) = 0 0 = f ( 0) − 1
f ( 0) = 1
Analogamente, faremos o cálculo de f(4) = f[2.(2)]. Assim, para x = 2. x = 2 ⇒ g ( 2) = f ( 2.(2 )) − 1 g ( 2) = 2 2 = f ( 4) − 1
f ( 4) = 2 + 1 = 3
8. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exer-
cita, em condições aeróbicas, numa bicicleta ergométrica. Considere que o organismo libera, em média, 4,8kcal para cada litro de oxigênio absorvido. A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos, em kcal, é:
(A) 48,0
(B) 52,4
(C) 67,2
(D) 93,6
Resolução:
Entre 5 e 15 minutos, passaram-se 10 minutos. Com o consumo constante de 1,4L/min, temos que foram consumidos (10)(1,4) = 14 litros de oxigênio. Se o organismo libera 4,8kcal por litro, liberará (14).(4,8) = 67,2kcal.
144 •
capítulo 5
9. (UFPE) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem, ao
longo de 3 anos. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resolução:
Determinando a interseção da reta y = 40 com o gráfico, obtemos dois valores.
10. (Enem 2011). O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois
as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Fonte: Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque Abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) capítulo 5
• 145
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de a) 1998 e 2001 d) 2003 e 2007 b) 2001 e 2003 e) 2003 e 2008 c) 2003 e 2006 Resolução:
O período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é obtida através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. Resposta: c) 11. (ENEM). Após a ingestão de bebidas alcoólicas, o metabolismo do álcool e sua presença
no sangue dependem de fatores como peso corporal, condições e tempo após a ingestão. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool, no sangue de indivíduos de mesmo peso, que beberam três latas de cerveja cada um, em diferentes condições: em jejum e após o jantar. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool, no sangue, permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0,6g/L, o indivíduo que bebeu após o jantar, e o que bebeu em jejum, só poderão dirigir após, aproximadamente:
146 •
capítulo 5
a) uma hora e uma hora e meia, respectivamente. b) três horas e meia hora, respectivamente. c) três horas e quatro horas e meia, respectivamente. d) seis horas e três horas, respectivamente. e) seis horas, igualmente. Resolução:
Observando o gráfico e identificando os pontos, temos as abscissas (horas) correspondentes.
Resposta: c)
capítulo 5
• 147
ANOTAÇÕES
148 •
capítulo 5
6 Função afim ou polinomial do primeiro grau
OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5.
Definir uma função afim e estudar suas particularidades; Esboçar o gráfico de uma função afim; Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim; Identificar o domínio e a imagem de uma função afim; Resolver equações e inequações envolvendo funções afins.
1 Aplicações matemáticas Assim como outros conteúdos da Matemática, inúmeras são as aplicações interessantes e úteis das funções de maneira geral. É por meio dessas aplicações que conseguimos empregar as noções e teorias da Matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações comuns do nosso dia a dia, e também em questões científicas, tecnológicas e até sociais.
APLICAÇÕES DAS NOÇÕES E TEORIAS DA M ATEMÁTICA
RESULTADOS
CONCLUSÕES
PREVISÕES
REFLEXÃO “Como as entendemos, as aplicações do conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que, por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a autoestima, estimula a imaginação e recompensa aprender.”
150 •
(LIMA, 1999)
capítulo 6
o esforço de
Para Elon Lages Lima, as aplicações representam a parte mais atraente da Matemática, e, se forem ligadas aos fatos e questões da vida, justificam seu estudo e descaracterizam o aspecto de complicação que muitas vezes a disciplina apresenta.
2 Origem da Matemática Acredita-se que a Matemática é anterior à escrita e, por isso, não há provas históricas precisas. Porém, alguns registros arqueológicos, como o Plimpt on 322, indicam que a Matemática sempre esteve presente na atividade humana. Esses registros apontam justamente a aplicabilidade, como, por exemplo, a contagem do tempo. Isso mostra que a Matemática vem nos auxiliando na resolução de problemas desde os primórdios da civilização, mantendo sua importância válida e útil até hoje. E, devido ao seu desenvolvimento contínuo, tudo indica que será indispensável no futuro.
3 Função afim ou função polinomial do primeiro grau Para compreendermos bem as aplicações, devemos, a princípio, dominar a teoria que embasa o estudo das funções e seus gráficos. Vamos começar com a função afim ou função polinomial do primeiro grau.
CONCEITO No estudo das funções matemáticas, toda função do tipo f(x)=ax+b, com a,b ∈ ℝ e a ≠ 0, é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. Podemos, ainda, expressar f por: f:ℝ→ℝ x ↦ f(x)=ax+b
Note que a,b são parâmetros e x é variável, enquanto que f(x) é o valor da função afim na variável x.
capítulo 6
• 151
Não esqueça que podemos usar qualquer letra para representar parâmetros, variáveis e valores da função.
EXEMPLO a) y=6x+9 é uma função afim, em que a=6 e b=9. b) y=5x é uma função afim, em que a=5 e b=0. c) y=2x-4 é uma função afim, em que a=2 e b=-4. d) y=-0,8x-0,7 é uma função afim, em a=-0,8 e b=-0,7.
ATIVIDADE Agora vamos fazer a primeira atividade deste capítulo. Veja se você consegue resolver este problema: Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$900,00 mais uma comissão de R$4,00 por cada produto vendido. Como você pode representar esta situação através de uma função afim?
Resolução Podemos representar a situação apresentada da seguinte forma: y=4x+900
Neste caso, podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da variação de x (quantidade de produto vendida).
152 •
capítulo 6
3.1 Casos particulares de uma função afim 3.1.1 Função constante y 2
Função constante é a função f: ℝ→ℝ, definida
por f(x)=b, onde a=0. Observe o gráfico da função constante
1 x
0 -4
-3
-2
-1
0
1 23 5 4
-1
f(x)=-3:
-2 -3 -4
y 6
3.1.2 Função linear
4
Função linear é a função f: ℝ→ℝ, definida por f(x)=ax, onde b=0. Observe o gráfico da função f(x)=4x:
2 0 -6
-4
-2
x 0
2
4
6
-2
-4
-6
3.1.3 Função Identidade
y 6
4
Função Identidade é a função f:ℝ→ℝ, definida por f(x)=x, onde a=1 e b=0. Observe o gráfico da função f(x)=x:
2 0 -6
-4
-2
x 0
2
4
6
-2
-4
-6
capítulo 6
• 153
3.2 Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas Uma função afim f(x)=ax+b pode ser determinada através de duas coordenadas (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) quaisquer, com x1 ≠ x2 . Lembre-se que uma função afim é determinada pelos valores de seus parâmetros.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a função afim sabendo que f(2)=5 e f(3)=7:
Resolução Sabe-se que as coordenadas são (2,5) e (3,7). Então, substituindo esses valores diretamente na função f(x)=ax+b, obtemos o seguinte sistema:
(2,5) →
2a+b=5
(3,7) → { 3a+b=7
Nele os parâmetros precisam ser determinados. Da primeira equação do sistema, temos que b=5-2a. Inserindo este resultado na segunda equação, temos que: 3a+b=3a+(5-2a)=1a+5=7 ⇒ a=7-5=2 Lembre-se que o símbolo “⇒” significa “implica em”. Substituindo agora a=2 na primeira equação, verifica-se que: 2a+b=2(2)+b=5 ⇒ b=5-4=1
Assim, a função afim é dada por f(x)=2x+1.
3.3 Gráfico de uma função afim De acordo com a tabela a seguir, vamos construir um gráfico correspondente aos valores registrados. Observe que para cada valor na coluna de tempo em x existe um valor correspondente na coluna de temperatura em y.
154 •
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TEMPO(MIN)
TEMPERATURA(ºC)
x 0 1 2 3
y 15 30 45 60
4
75
Agora, podemos construir o gráfico interligando os pontos no eixo das abscissas (0x) aos pontos correspondentes nas ordenadas (0y).
y(ºC)
Percebemos, deste modo, que para esta tabela o gráfico correspondente é de uma semirreta, pois somente os valores não negativos são considerados para o tempo e a temperatura.
75 60 45 30 15 x(min) 0
1
2
3
4
4 O gráfico de toda função afim é uma reta Note que a variação dos valores de y, que indicaremos por Δy, é diretamente proporcional à variação dos valores correspondentes de x, indicada por Δx. Portanto, quando x varia de 0 a 4, a variação correspondente para y é de 15 a 75, isto é, Δy = 75 – 15 = 60 e Δx = 4 – 0 = 4, sendo Δy/Δx = 60/4 = 15. Assim, a cada variação de 1 minuto em x corresponderá a uma variação de 15 graus Celsius em y. Se, em uma funçãoy=f(x), as variações dex e y são diretamente proporcionais, então podemos concluir que o gráfico da função sempre será uma reta e postular o seguinte resultado: o gráfico de toda função afim é uma reta.
capítulo 6
• 155
Observações • Como consequência do resultado anterior, para construir o gráfico de uma função afim,
precisamos representar dois pontos distintos da função, no plano cartesiano, e traçar a reta que passa por eles. • Devemos observar que, se b=0, a função será definida por y=ax, e, portanto, o gráfi-
co será uma reta que passará sempre pelo ponto (0,0) dos eixos das abscissas (0x) e ordenadas (0y), pois quando x=0, temos que y=0.
4.1 Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo 0x Seja a função afim y=ax+b com a,b ∈ ℝ , a≠0 e sendo o gráfico de toda função afim uma reta, teremos sempre a reta cruzando o eixo 0x em um único ponto. Para determinar a abscissa desse ponto, substituiremos y=0 na expressão da reta, obtendo: 0=ax+b ⇒ ax=-b ⇒ x=- ba Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0x é b (- a , 0). Este ponto também é conhecido por raiz ou zero da função afim.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y=2x-6 com o eixo 0x: y
Resolução Se a reta cruza o eixo 0x, significa que o ponto de interseção tem y=0. Substituindo esse resultado, na expressão da reta, obtemos: 0 = 2x − 6 ⇒ x = 6 = 3. Veja o gráfico da função 2afim y=2x-6: Portanto, a abscissa do ponto de interseção é 3.
156 •
capítulo 6
x 3
-6
4.2 Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo 0y Seja a função afim y=ax+b com a,b ∈ ℝ,a≠0 e sendo o gráfico da função uma reta, esta cruzará o eixo 0y em um único ponto. Para determinar a ordenada deste ponto, substituiremos x=0, na expressão da reta, obtendo: y=a0+b ⇒ y=b. Logo, o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0y é (0,b).
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y=-5x+15 com o eixo 0y:
Resolução
y
Se a reta cruza o eixo 0y, significa que o ponto de interseção tem x=0. Substituindo esse resultado, na expressão da reta, obtemos: y=-5(0)+15 ⇒ y=15.
15
Portanto, a reta corta o eixo 0y no ponto (0,15). Veja, a seguir, o gráfico da função y=-5x+15: x 3
Logo, a ordenada do ponto de interseção é 15.
4.3 Coeficientes angular e linear de uma função afim Sabendo que a função afim y=ax+b com a,b ∈ ℝ, a≠0, vamos voltar ao tópico já mencionado sobre taxa de variação de uma função afim. Começaremos observando o gráfico a seguir: Considere 2 pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) quaisquer, nesta reta, sabendo que y1=ax1+b e y1 = ax1+b.
y3
y2 y1
x x1
x2
x3
capítulo 6
• 157
Observe que, isolando b, nas duas igualdades, temos:
b = y1-ax1 = y2-ax2 ⇒ ax2-ax1 = y2-y1 ⇒ a =
y2-y1 x2-x1
Isso significa que, em uma função afim, a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro a, ou seja: 3 2 a= ∆y -y = yx2-x -y1 = yx3-x -y1 ∆x = yx3-x 2 2 1 3 1
Em uma função afim, a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro a.
ATENÇÃO Geometricamente, o parâmetro a é chamado de coeficiente angular, enquanto q ue o parâmetro b é chamado de coeficiente linear. ∆y Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação: a= ∆x
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (-2,4)?
Resolução Temos que calcular a taxa de variação dada por estes dois pontos. Assim:
a=
∆y 4-3 = = -1 ∆x -2-(-1)
Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos:
a=
∆y 3-4 = = -1 ∆x -1-(-2)
2) Considere a função y=4x+12. Indique a raiz e a taxa de variação:
158 •
capítulo 6
Resolução Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y=0, fazemos:
0 = 4x+12 ⇒ 4x=-12 ⇒ x=-3 Para calcularmos a taxa de variação devemos ter, pelos menos, dois pontos da reta. Vamos calculá-los: 1) Se escolhemos x1=1, teremos o respectivo valor de y1=4(1)+12=16. Portanto, (x1 , y1)=(1,16). 2) Se escolhemos x2=3, teremos o respectivo valor de y2=4(3)+12=24. Portanto, (x2 , y2 )=(3,24). Então, fazemos:
∆y y2-y1 24-16 8 = = = =4 ∆x x2-x1 3-1 2 Isso era esperado, pois já sabíamos que a taxa de variação era a=4. Esse valor nos é informado na própria expressão da função afim.
4.4 Propriedade importante Se duas ou mais funções afins têm a mesma taxa de variação a, então suas retas correspondentes são paralelas. Na figura, a seguir, encontramos as retas paralelas y=x+3, y=x-1 e y=x-4, com a=1. y 3
-3
-1
1
4
x
-4
capítulo 6
• 159
4.5 Função afim crescente e decrescente Seja a função afim y=ax+b com a,b ∈ ℝ, a≠0. Dizemos que uma função afim é: Crescente se, e somente se, o valor de a for positivo (a>0).
Decrescente se, e somente se, o valor de a for negativo (a<0).
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes: a) y=7x-12 b) y=-6x+9
Resolução a) Como o valor de a é igual a 7, esta função é denominada crescente. b) Como o valor de a é igual a -6, esta função é denominada decrescente.
4.6 Estudo do sinal de uma função afim Para estudarmos o sinal de uma função afim f(x)=ax+b, teremos que determinar os valores de x para os quais f(x) se anula, é positiva ou é negativa. Este estudo pode ser realizado através do gráfico ou da raiz da função.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Estude o sinal da função f(x)=4x-8
Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anule:
160 •
capítulo 6
8
f(x)=4x-8=0 ⇒ x= 4 =2
Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos, ou seja: f(x)=4x-8<0 ⇒ 4x<8 ⇒ x<2 Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja: f(x)=4x-8>0 ⇒ 4x>8 ⇒ x>2
Observe:
y
–
+
x
2
-8
Graficamente, temos a semirreta que se srcina em x=2 e vai a -∞ , indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores negativos e a semirreta que se srcina em x=2 e vai a +∞, indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz, x=2, temos que a função se anula.
2) Estude o sinal da função f(x)=-5x+15:
Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função, ou seja, queremos determinar x tal que o valor da função se anule: f(x)=-5x+15=0 ⇒ 5x=15 ⇒ x=3 Agora, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos, ou seja: f(x)=-5x+15<0 ⇒ -5x<-15 ⇒ x>3 Finalmente, vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores positivos, ou seja: f(x)=-5x+15>0 ⇒ -5x>-15 ⇒ x<3
capítulo 6
• 161
Observe: y
Graficamente, temos a semirreta que tem srcem em x=3 e se prolonga a -∞, indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores negativos e a semirreta que possui srcem em x=3 e se prolonga a +∞, indicando o inter-
-15
++
––
x
valo de x em que a função apresenta valores positivos. Já na raiz, x=3, temos que a função se anula.
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Construa o gráfico da função f(x)=2x-4:
Resolução Como podemos observar f(x)=2x-4 é uma função afim, cujo gráfico é uma reta. Para traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. Neste caso, vamos atribuir dois valores arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y, da seguinte forma: Escolha x=0 ⇒ f(0)=2(0)-4=0 ⇒ (0,-4) é um ponto da reta x=2 ⇒ f(2)=2(2)-4=0 ⇒ (2,0) é outro ponto da reta
y 2
Passamos, então, para a construção do gráfico, marcando os pontos obtidos no plano cartesiano e traçando a reta que une esses dois pontos. Veja a figura ao lado: -4
162 •
capítulo 6
x
2) Determine a raiz da função f(x)=-3x+9 e construa seu gráfico:
Resolução Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x)=0 na expressão da função, ou seja, fazemos: 0=-3x+9 ⇒ 3x=9 ⇒ x=3
Agora, precisamos de dois pontos para traçar o gráfico da função afim que é uma reta. Já sabemos que (3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher o outro ponto. Por exemplo, para x=0, temos: f(0)=-3(0)+9 ⇒ f(0)=9. Isso significa que (0,9) é o outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico:
y 9
x 3
3) Determine a raiz da função f(x)=5x+7 e construa seu gráfico:
Resolução Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x)=0, ou seja: 0=5x+7 ⇒ 5x=-7 ⇒ x=-1,4
Já sabemos que (-1,4 , 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos, por exemplo: f(0)=5(0)+7 ⇒ f(0)=7
capítulo 6
• 163
Isso significa que (0 , 7) é o outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico:
y 7
x 1,4
y 6
M=(0,6)
4) Sabendo que o gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1° grau (afim) do tipo y=ax+b , representada pela reta que passa pelos pontos M e N, determine os valore s de a e b:
x 4 -2
N=(4,-2)
Resolução Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim, queremos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. Para isso, montamos o seguinte sistema com as variáveis a e b: (0,6) → 6=a(0)+b
(4,-2) →{ -2=a(4)+b
⇒
b=6 4a+b=-2
⇒ a=-2,b=6
Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é: y=-2x+6.
164 •
capítulo 6
ATIVIDADE 1) (UERJ 2014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, en-
quanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixoy, os volumes, em litros, da águacontida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. y 720
B
A 60
x x0
Determine o tempo x0 em horas, indicado no gráfico. 2) (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o
país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos, a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) 35 42
Comprimento do calçado (x) cm 23,8 cm 27,3
Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros, em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos, nos Estados Unidos, pode ser estabelecida de ma5(x–20) neira aproximada pela função real f definida por f(x) = , em que x é o comprimento 3 capítulo 6
• 165
do calçado em centímetros. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck ), com k natural, calcule o comprimento c5. 3) (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60%
das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos (considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras, na fabricação desse produto, será superior a 95% a partir de: a) 2027 b) 2026 c) 2028 d) 2025 4) (UFMG 2013) A fábula da lebre e da tartaruga do, escritor grego Esopo, foi recontada
com uso do gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais.
Distância (m)
Tempo 5
166 •
240 245
capítulo 6
Suponha que, na fábula, a lebre e a tartaruga apostam uma corrida, em uma pista de 200 metros de comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. Considerando essas informações, a) Determine a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora. b) Determine após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre. c) Determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo. 5) (UEL 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela com-
panhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de água consumida (em m³) Valor a ser pago pelo consumo de água (em R$) Até 10 R$18,00 Mais do que 10 R$18,00 + R$2,00 por m³ que excede 10m³
Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por:
B(x) =
17
{ 2,1x-4
se x ≤ 10
se x > 10
Aqui x representa a quantidade de água consumida (em m³) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago
pelo consumo de água na cidade A. b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a serpago será maior na cidade Bdo que na cidade A? 6) (UFSM 2013 - Adaptado) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos
dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira.
capítulo 6
• 167
Passageiros (em milhões)
O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano, em 2010, e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo
C
8,0 7,2 6,7
D
dados da lnfraero — Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. Ano De acordo com os dados for2010 2014 necidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a: 4,0
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil 7) (Unicamp 2013) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de
velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. 01234 0
Tempo (segundos) Velocidade (km/h)
35
70
105
Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30 segundo. º
168 •
capítulo 6
140
8) (ESPCEX AMAN 2013) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real
do 1º grau f(x). y
1
x
2
A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: x a) y= +1 2 1 b) y=x+ 2 c) y=2x-2 d) y=-2x+2 e) y=2x+2 9) (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus
clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$27,00 e mais R$0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$35,00 e mais R$0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente: a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 10) (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro, nos setores 1, 2 e 3, seguem
uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$120,00 e no setor 3 é de R$400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa: a) 140 b) 180 c) 220 d) 260
capítulo 6
• 169
11) (G1 - CFTMG 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura
mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa, na superfície, em g/m2, conforme registrado na tabela seguinte. x (g/m²) t(x) (°C)
10 7,24
20 7,30
30 7,36
40 7,42
50 7,48
60 7,54
70 7,60
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função: a) y = 0,006x + 7,18 b) y = 0,06x + 7,18 c) y = 10x + 0,06 d) y = 10x + 7,14 12) (UPE 2013) Um dos reservatórios d’água de um condomínio empresarial apresentou
um vazamento a uma taxa constante, às 12h do dia 1º de outubro. Às 12h dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes d´água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguintes, qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente? a) 16 de dezembro b) 17 de dezembro c) 18 de dezembro d) 19 de dezembro e) 20 de dezembro 13) (G1 - IFSP 2013) Andando de bicicleta a 10,8 km/h, Aldo desloca-se da livraria até
a padaria, enquanto Beto faz esse mesmo trajeto, a pé, a 3,6 km/h. Se ambos partiram no mesmo instante, andando em velocidades constantes, e Beto chegou 10 minutos mais tarde que Aldo, a distância, em metros, do percurso é: a) 720 b) 780 c) 840 d) 900 e) 960
170 •
capítulo 6
14) (Insper 2013) Num restaurante, localizado numa cidade do nordeste brasileiro, são servi-
dos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou, numa tabela, as temperaturas médias mensais, na cidade, para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. Mês
JAN
FEV
MAR ABR
29
30
28
980
1000
960
MAI
JUN
JUL
AGO
SET
OUT NOV DEZ
27
25
24
23
24
24
28
30
29
940
900
880
860
880
880
960
1000
980
Temperatura média mensal (graus Celsius) Bolas de sorvete
Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias, no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta: “É possível, com base nessa equação, saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são
vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
capítulo 6
• 171
GABARITO 1) De acordo com as informações do problema, temos:
yA=720-10x yB=60+12x Lembre-se que a representa a taxa de variação.
O valor x0 indicado, no gráfico, é o valor de x quando yA = yB , ou seja: 720-10x=60+12x -22x=-660 x=30 Logo, x0 = 30 horas 2) a) t(x) = ax + b
27,3a + b = 42 + b = 35 {23,8a
Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = –12,6. Logo t(x) = 2x – 12,6. Agora escrevendo x em função de t, temos: x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3. b) f(x)=
5(x–20) 3
n1 = 5, n2 = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7
Fazendo 7=
172 •
5(c5-20) , temos: 3
capítulo 6
5c5 – 100 = 21 5 c5 = 121 c5= 24,2 cm
3) Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é
linear, considere a função definida porp(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças fabricadas, no Brasil, daqui a t anos. A taxa de variação da função p é dada por: a=
85-60 5 = 10-0 2
Logo, p(t) = 5/2 t+60 Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras, na fabricação do produto, é superior a 95% são tais que: 5 t + 60 > 95 ⇔ t > 14 2
Portanto, o percentual de peças produzidas, no Brasil, superará 95% a partir do ano de 2012+15=2027 Logo, a resposta é alternativa A. 4) a) Velocidade média da tartaruga é o coeficiente angular da reta que representa seu
deslocamento. Como essa velocidade deve ser dada em metros por hora, temos que 240min = 4h, então fazemos: a = 200 – 04 – 0 = 2004 = 50 b) A posição y da tartaruga (m) em função do tempo x (minutos) é:
T(t)=50t
A tartaruga se encontra com a lebre quando ambas estão na posição a 50m da srcem: T(t)=50
Isso significa que: 50=50t ⇒ t=1h Portanto, a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 hora após o início da corrida.
capítulo 6
• 173
c) As velocidades, nos trechos em que a lebre corre, são iguais, portanto os coeficientes
angulares das duas retas são iguais: 200-50 50-0 150 = ⇒ = 10 ⇒ t = 230min 245-t 5-0 245-t
(Instante em que a lebre voltou a correr depois que acordou.) Portanto, a lebre ficou dormindo 230 – 5 = 225 min = 3 horas e 45 min. 5) a) De acordo com a descrição do enunciado:
A(x)=
18,
{18+2(x-10),
x ≤ 10
x > 10
Já o gráfico é dado por: A(x) 22 18
x 1012
b)
2,1x - 4 > 18 + (2x-10) 2,1x - 4 > 2x - 2 0,1x > 2 x > 20 O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidades superiores a 20m³.
174 •
capítulo 6
6) A função da demanda é dada por:
D(x)=
7,2 - 6,7 1 x + bD = x + bD 2014 - 2010 8
Temos quebD ficará determinado quando a retaD(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 7,2). Neste caso, temos: 7,2=
1 (2014) + bD ⇒ bD = -244,55 8
Portanto: D(x)=
1 x - 244,55 8
Função da capacidade é dada por: C(x) = 8 – 42014 – 2010 x + bC = x + bC
Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido, por exemplo, (2014, 8). Neste caso, temos: 8 = x + bC ⇒ bC= -2006
Portanto: C(x) = x - 2006
Queremos que C(x) = D(x). Para isso, temos que calcular primeiramente x, como: 1 x - 244,55 = x - 2006 ⇒ x = 2013,085 8
Agora, substituindo x em C(x) ou em D(x) , obtemos: C(2013,085) = 2013,085 - 2006 = 7,085
Isso significa que o número de passageiros é igual a 7,085 milhões. Cuidado para não tomar bD=6,7 em D(x), nem bC=4 em C(x).
capítulo 6
• 175
Lembre-se que coeficientes lineares têm sempre abscissa igual a zero! A resposta é a alternativa B. 7) A partir dos pontos que estão sobre a reta,(0,1) e (-2,0), montamos a expressão da função afim y = x/2 + 1, e sua inversa é tal que:
x = 2y + 1 ⇔ y = 2(x-1) ⇔ f -1(x) = 2x - 2 A resposta é a alternativa C. 8) Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0,5t
Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0,4t em que t é o tempo da ligação em minutos. Fazendo PA = PB , temos: 27+0,5t=35+0,4t ⇒ 0,1t=8 ⇒ t=80min Graficamente temos: y
PA
PB
67
35 27 x 80
Analisando o gráfico, concluímos que a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. Logo, a resposta é alternativa B. 9) Taxa de variação do preço:
400-120 =140 3-1
Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140 x + b. Para obter o valor de b, substituímos na expressão da função um ponto, por exemplo, (1, 120),
176 •
capítulo 6
e obtemos 120 =140(1) + b, o que implica que b=-20. Portanto, a expressão seráy = 140x - 20. Nesse caso, o preço de um ingresso, no setor 2, tem valor y = 260. Logo, a resposta é alternativa D. 10) Considere t(x) = ax + b. Calculando taxa de variação, temos:
a=
7,30-7,24 = 0,006 e t(0) = 7,24 - 10(0,006) = 7,18 20-10
Logo, t(x)=0,006x+7,18 Logo, a resposta é alternativa A. 11) Seja o volume de água (em milhares de litros), no reservatório, dado pelafunção definida
por V(t)=at+b após t dias. Sabendo que o gráfico de V passa pelos pontos (11 , 315) e (19 , 279) segue que : a=
279-315 9 =19-11 2
Logo, V(11)=315 ⇔ -
9 729 ∙ 11 + b = 315 ⇔ b = 2 2
Queremos calcular t de modo que V(t) = 0. Portanto: -9 729 t+ = 0 ⇔ t = 81 2 2
Como 81=31+30+20 o reservatório esvaziou totalmente no dia 20 de dezembro. Logo, a resposta é alternativa E.
capítulo 6
• 177
12) De acordo com os dados do problema, temos:
Distância percorrida por Aldo: dA = 10,8t 9 1 Distância percorrida por Beto: dB = 3,6(t + ), pois 10min equivale a da hora. 2 6 Fazendo dA= dB, obtemos 10,8t = 3,6t + 0,6 ⇒ t = Portanto: dA = dB = 10,8
1 . 12
1 = 0,9 km = 900 m 12
Logo, a resposta é alternativa D. 13) Da tabela, temos que:
a=
JAN 29
FEV 30
980
1000
∆y 1000-980 = = 20 bolas por °C. ∆x 30-29
Logo, a resposta é alternativa B.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. LIMA, Elon Lages. Conceituação, Manipulação e Aplicações: Os três componentes do ensino da Matemática. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/20082/ pdf/rpm41.pdf. Acesso em: 04 de abr. 2014. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna, 2013.
178 •
capítulo 6
7 Função quadrática ou polinomial do segundo grau
OBJETIVOS 1. 2. 3. 4. 5.
Identificar uma função de segundo grau ou quadrática; Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis; Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática; Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática; Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas;
6. Resolver inequações quadráticas.
1 A função quadrática Estudamos função quadrática desde o Ensino Fundamental, mas, geralmente, neste segmento, o conteúdo é apresentado como simples aplicação de fórmulas. Por isso, chegou o momento de compreender quais as características de uma relação entre duas grandezas de uma situação faz com que ela possa ser modelada por uma função quadrática.
1.1 Importância da função quadrática A função quadrática modela problemas em muitas áreas, por isso ela ganha tanto destaque. É muito comum, por exemplo, o seu estudo na Geometria, na Física e no Esporte. Dentre as suas aplicações encontramos o lançamento de projéteis, antenas parabólicas e radares, o formato de um farolde automóvel e até de um forno solar.
CONCEITO Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função do segundo grau ou quadrática quando associa a cada número real x o número real ax²+bx+c, em que a, b e c são números reais dados, com a≠0. Ainda podemos expressar f por: f:ℝ→ℝ x ↦f(x)=ax²+bx+c.
180 •
capítulo 7
EXEMPLO Analise estes exemplos: 1. f(x)= – 1 x² + 4 x + 5 , em que a= – 1 , b= 4 e c= 5 ;
3
3
3
3
3
3
2. f(x)= –2x²+x, em que a= –2, b=1 e c=0; 3. f(x)=x²– 4, em que a=1, b=0 e c= –4; 4. f(x)=x²-4x+3, em que a=1 b=-4 e c=3.
1.2 Parábola Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma retar e de um pontoF, não pertencente à reta, no plano dado. Por exemplo, na figura, podemos observar que qualquer ponto P da parábola dista igualmente da reta r e do ponto F.
P L
F
r
1.3 Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função de segundo grau ou quadrática é uma parábola. Podemos visualizar de forma concreta uma parábola, por exemplo, dirigindo um jato de água de forma oblíqua para cima.
capítulo 7
• 181
1.4 Concavidade A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Na prática, para determinarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo grau. Para isso, basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2, ou seja, o valor de a na expressão f(x)=ax2+bx+c.
a>0
a<0
Se a>0, a parábola possui concavidade para cima.
Se a<0, a parábola possui concavidade para cima.
EXEMPLO Veja estes exemplos:
2.5
-6
2.0
-4
1.5 -2 1.0 0.5
–1.5 0.5
1.0
1.5
2.0
f(x)=x²-3x+2
182 •
capítulo 7
2.5
3.0
–1.0
–0.5
0.5 1.0 1.5 -2
f(x)=-3x²+6
1.5 Forma canônica Podemos escrever a função quadrática de uma forma diferente, chamada forma canônica, que nos será muito útil para a determinação das raízes da função do segundo grau. Partindo da expressão de f, obtemos: 2
2
b 2 – 4a b 2 + ac ) f(x) = ax² + bx + c = a(x² + ba x + ac ) = a(x² + ba x + 4a
[
] [
]
2 2 a (x² + b x + b 2 ) – ( b 2 – c ) = a (x + b )² – ( b² – 4ac )
a
4a
4a
a
2a
4a²
Fazendo ∆ = b² – 4ac, dito discriminante do trinômio do segundo grau, obtemos então a forma canônica:
[
]
f(x) = a (x + b )² – ( ∆ 2 ) 2a
4a
1.6 Raízes ou zeros As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a função f ou, ainda, são os valores reais de x tais que: f(x)=ax²+bx+c=0 Graficamente, as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
EXEMPLO Seja a função quadrática f(x) = x² – 4x + 3. Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x=1 e x=3. 8
6
4
2
-1
1
2
3
4
5
capítulo 7
• 183
2 Determinação algébrica das raízes da equação do segundo grau Algebricamente, para determinarmos as raízes da equação do segundo grau, utilizamos a forma canônica e o fato de que a≠0: ax²+bx+c=0
[
]
a (x + b )² – ( ∆ ) = 0 2a
4a²
(x + b )² – ( ∆ ) = 0 2a
4a²
(x + b )² = ( ∆ ) 2a
4a²
x+ b =±
∆ 4a²
x+ b =±
∆ 2a
2a
2a
b
∆
x= – 2a ± 2a b± ∆ x= 2a Esta fórmula é conhecida por Fórmula de Bhaskara.
2.1 Os três casos de discriminante A existência de raízes reais da função quadrática depende da existência da raiz quadrada do discriminante. Dessa forma, podemos identificar três casos: ∆>0, ∆=0 ou ∆<0
2.1.1 Caso1: ∆>0 Nesse caso, a raiz do discriminante existe, e assim a função quadrática tem duas raízes reais e distintas, a saber:
184 •
capítulo 7
a>0 e Δ>0
x
b+ ∆ x1= 2a
x a<0 e Δ>0
x2=
–b – ∆ 2a
Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos.
2.1.2 Caso 2: ∆=0 Como a raiz quadrada de zero é zero, neste caso, a função quadrática tem duas raízes reais e iguais, a saber: a>0 e Δ=0
x
a<0 e Δ=0
x=
–b ± ∆ 2a
–b
x1 = x2 = 2a
Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.
2.1.3 Caso 3: ∆<0 Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, neste caso, dizemos que a função quadrática não tem raízes reais, já que ∆ ∉ ℝ. a>0 e Δ<0
x
a<0 e Δ<0
capítulo 7
• 185
Observamos que, a parábola não corta o eixo dos x.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 4:
Resolução Primeiramente, calculamos: ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(4) = 9 – 16 = –7 Como ∆<0, f não tem raízes reais. 2. Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 2:
Resolução Temos ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1. Usando a Fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes: x=
–b ± ∆ = 2a
3±1 2
{
= 2 1
3. Determine os valores de m para que a função de segundo grau f(x) = (m–1) x² + (2m + 3)x + m possua dois zeros reais e distintos:
Resolução Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos, é necessário que ∆>0. Partindo desta condição, temos: ∆ = b² – 4ac = (2m+3)² – 4(m – 1)(m) > 0
4m² + 6m + 9 – 4m² + 4m > 0 10m + 9 > 0 10m > –9 9 m>– 10 Precisamos, além disso, nos assegurar que a função realmente seja de segundo grau. Para isso, o coeficiente do termo x² precisa ser diferente de zero (a≠0). Logo, é preciso verificar que m–1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1. Não se esqueça de que o símbolo matemático “⇒” significa “implica em”.
Assim, os valores de m procurados são: m > –
186 •
capítulo 7
9 e m≠1. 10
2.2 Interseção com o eixo dos y Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual a zero, para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos y precisamos fazer x=0 na função quadrática f(x) = ax² + bx + c , ou seja: f(0) = a0² + b0 + c = c
Assim, a parábola interceptará o eixo y em c.
EXEMPLO Seja f(x) = x² – 4x + 3. Como c=3, verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y=3, conforme o gráfico a seguir. 8 7 6 5 4 3 2 1
-1
1
2
3
4
5
-1
3 Máximo e mínimo Teorema
∆
Se a<0, a função quadrática y=ax²+bx+c admite valor máximo yM= – , para 2a b xM= – . 2a
capítulo 7
• 187
Prova Considere a forma canônica da função quadrática:
[
y = a (x + b )² – ( ∆ ) 2a
4a²
]
Queremos determinar o valor de x para que y tenha valor máximo. Como a<0, temos que quanto menor for o valor de (x + b )² – ( ∆ ), maior será 2a
4a²
o valor dey. Observamos que – ( ∆ ) é constante em relação aos valores de x, uma vez que 4a² depende somente dos valores dos coeficientesa, b e c, e não da variável x. Além disso, (x + b )² ≥0,∀x∈ℝ. 2a Assim, precisamos determinar o menor valor que (x + b )² – ( ∆ ) pode 2a 4a² assumir. Isso acontecerá quando (x + b )² = 0, ou ainda, quando: 2a
x + b = 0 ⇒ x=– b 2a
2a
Este valor é, portanto, o valor de x para o qual o valor da função y é o maior possível, o máximo. Vamos denotar esse valor de x por xM. Para determinar qual o valor máximo da função, yM , basta substituirmos xM=– b na forma canônica da função quadrática: 2a
[ 2a 4a² ] b y = f(x ) = a[(– + b )² – ( ∆ )] 2a 2a 4a² ∆ y = a[ 0 – ( ) 4a² ] ∆ y = a[– 4a² ] y = a (x + b )² – ( ∆ )
M
M
M
M
y =– M
O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo correspondente YM.
188 •
capítulo 7
∆
4a
■ máximo da parábola, XM , e o valor
y Valor Máximo
V
YM
XM
x
Ponto de Máximo
Teorema
Se a>0, a função quadráticay=ax²+bx+c admite valor mínimoyM=–
∆ b , para xM=– . 4a 2a
Prova Considere a forma canônica da função quadrática: b
∆
y = a (x + 2a )² – (4a² )
[
]
Como a>0, temos que quanto menor for o valor de(x + b )² – ( ∆ ), menor 2a 4a² será o valor dey. Observamos que – ( ∆ ) é constante, uma vez que depende somente dos 4a² valores dos coeficientes a, b e c, e não da variável x. Além disso, (x + b )² ≥ 0, 2a ∀ x ∈ ℝ. Assim, precisamos determinar o menor valor que (x + b )² – ( ∆ ) pode 2a 4a² assumir. Isso acontecerá quando (x + b )²=0, ou ainda, quando: 2a
x + b = 0 ⇒ x=– b 2a
2a
Este valor é, portanto, o valor de x para o qual o valor da função y é o menor possível, o mínimo. Vamos denotar esse valor por xM. Para determinar qual o valor mínimo da função, basta substituirmos xM=– b na forma canônica da função quadrática: 2a
capítulo 7
• 189
[ 2a 4a² ] b y = f(x ) = a[(– + b )² – ( ∆ )] 2a 2a 4a² ∆ y = a[ 0 – ( ) 4a² ] ∆ y = a[– 4a² ] y = a (x + b )² – ( ∆ )
M
M
M
M
yM = –
∆ 4a
O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola X mínimo correspondente Y M.
■ M e o valor
y Ponto de Mínimo XM
x
YM Valor Mínimo
V
EXERCÍCIO RESOLVIDO (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P–x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: (a) 11000 (b) 22000 (c) 33000 (d) 38000 (e) 44000
190 •
capítulo 7
Resolução Como o público-alvo é de 44000 pessoas, temos P=44000. Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P–x), temos R(x) = kx(44000–x) = –kx² + 44000kx. Como k é uma constante positiva, o coeficiente de x² em R é negativo. Portanto, o valor máximo de propagação R será alcançado quando o número de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. Assim, sabemos que o ponto de máximo é: xM = –
b 44000k =– = 22000 2a 2(–k)
Logo, a resposta é a letra b.
4 Vértice Você deve ter notado no exercício resolvido que o O ponto de máximo ponto de máximo tem a mesma fórmula do ponto tem a mesma de mínimo, assim como a fórmula do valor máxi- fórmula do ponto mo é igual à fórmula do valor mínimo. Vamos ver de mínimo, assim a explicação para isso a seguir. Chamamos por vértice da parábola o ponto como a fórmula do b ∆ V=(– ,– ) associado à função quadrática valor máximo é igual 2a 2a y=ax²+bx+c. à fórmula do valor O gráfico da função quadrática possui um mínimo. eixo de simetria que passa pelo vértice da parábola e é perpendicular ao eixo dos x. O eixo de simetria funciona como um espelho, dividindo a parábola em duas partes.
capítulo 7
• 191
Analise os gráficos:
y
y
Eixo de Simetria
V
∆
Eixo de
4a
Simetria
x 0
0
b 2a
x V(
b , 2a
∆
4a
)
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. Determine os intervalos onde a função f(x)=–x²+x+2 é crescente e decrescente:
Resolução Como a = –1, sabemos que a concavidade de f é para baixo, sendo o vértice o ponto que delimitará a mudança da inclinação da parábola: xV = –
b 1 =– = 0,5 2a 2(–1)
Esboçando o gráfico da função, percebemos que a função é crescente para os valores de x menores que 0,5 e será decrescente para os valores de x maiores de 0,5.
192 •
capítulo 7
3
y
3
V (0,5 , 2,25)
–3
–2
V (0,5 , 2,25)
2
2
1
1
Intervalo de crescimento
y
Intervalo de crescimento x
x
–1
1
2
–1
1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
2
3
4
2. (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um
sistema a partir do instante de seu desligamento(t = 0) e varia de acordo com a expressão t2 T(t)= – + 400, com t em minutos. 4 Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? (a) 19,0 (b) 19,8 (c) 20,0 (d) 38,0 (e) 39,0
Resolução Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando oforno atinge a temperatura de 39°C. Assim, o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C. Substituindo T = 39 na expressão da temperatura do forno, temos:
capítulo 7
• 193
T(t) = –
t2 + 400 4
39 = –
t2 + 400 4
t2 = – 39 + 400 = 361 4 t² = 361 . 4 = 1444 t = 38 Portanto, a resposta é a letra d.
5 Imagem Seja a função quadrática f(x) = ax²+bx+c. Se a concavidade da parábola é para cima, ou seja, a>0, o menor valor de y corresponde à ordenada do vértice da parábola.
[
A imagem da função, quando a>0, será Im(f)= – ∆ , + ∞ 4a²
[
Analogamente, no caso em que a<0, o maior valor de y corresponde à ordenada do vértice da parábola, e, portanto, a imagem da função será:
]
Im(f)= – ∞ , –
∆ 4a²
]
EXEMPLO Seja f(x) = x² – 4x + 3. Como a=1>0, o menor valor de y é dado por: y V= –
194 •
capítulo 7
∆ b² - 4ac (-4)² - 4(1)(3) =– = = –1 4a² 4a 4(1)
Nesse caso, Im(f) = [–1,+∞[, como vemos no gráfico:
3
2
1
1 ∆
2
3
4
= –1
4a
Seja f(x)=– 1 x²+ 4 x + 5 . Temos quea=– 1 <0, então o menor valor dey é dado por: 3 3 3 3 ( 4 )² – 4(– 1 )( 5 ) ∆ 3 3 3 1 yV=– 4a² = – =3 4(– ) 3
Portanto, Im(f)= ]– ∞ , 3], como pode ser visto no gráfico:
∆
4a
= 3
2
1
–2
2
4
6
–1
–2
capítulo 7
• 195
6 Soma e produto das raízes Como vimos, as raízes da função de segundo grau f(x)=ax²+bx+c são:
x1=
–b + ∆ 2a
e x2=
–b – ∆ 2a
A soma das raízes desta função de segundo grau é dada por: –b + ∆ –b – ∆ –b + ∆ –b – ∆ –2b b + = = =– 2a 2a 2a 2a a
S = x1 + x2 =
ou S=–
b a
Já o produto das raízes desta função de segundo grau é dado por:
P = x1.x2 =(
–b + ∆ –b – ∆ (–b + ∆).(–b – ∆) (–b)² – ∆ ).( )= = = 4a² 2a 2a b²–b²+4ac 4ac 4a² c = = 4a² 4a² a
ou P=
c a
EXEMPLO (ENEM 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
196 •
capítulo 7
7 t + 20 T(t)= 5 2 16 t²– t + 320 125 5
{
para 0≤t<100 para t≥100
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: (a) 100 (b) 108 (c) 128 (d) 130 (e) 150
Resolução Temos duas situações: 7 (I) Para 0≤t<100, a função a ser considerada é T(t)= + 20 5 Determinamos a temperatura T para t=0 e T=100, fazendo: 7 T(0) = 5 0 + 20 = 20 T(100) =
7 100 + 20 = 140 + 20 = 160 5
Dessa forma, quando 0≤t<100 , teremos 20≤T<160. 2 16 t²– t + 320. 125 5 Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada do forno, de modo que consigamos precisar o tempo de permanência dessa peça dentro dele. Quando a temperatura for 48°C , a peça entra no forno. Neste caso, determinamos o valor de t correspondente, fazendo: 7 T(t) = t + 20 5 7 48 = t + 20 5 (II) Para t≥100, a função a ser considerada é T(t)=
7 t = 48 – 20 = 28 5 7t=28∙5
capítulo 7
• 197
t=4∙5=20 min
Quando a temperatura for 200°C, determinamos o valor de t, fazendo: T(t)=
2 16 t²– t + 320 125 5
200=
2 16 t²– t + 320 125 5
0 = 125 2 t²– 16 5 t + 320 – 200 2 16 t²– t + 120 = 0 125 5 2t²-(16∙25)t+(120∙125)=0
2t²-400t+15000=0 t²-200t+7500=0 Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a Fórmula de Bhaskara. Temos que ∆ = (200)² – 4(1)(7500) = 40000 – 30000 = 10000. Então, as raízes são: –(–200) – 10000 200 – 100 = = 50min 2(1) 2 –(–200)+ 10000 200 + 100 = = 150min 2(1) 2
Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 200°, sabemos que t≥100. Assim, a peça é retirada do forno no tempo t=150 min. Logo, o tempo de permanência da peça no forno será: 150 – 20 = 130 minutos. A resposta, portanto, é a letra d.
7 Fatoração do trinômio do segundo grau Considerando a função quadrática f(x)=ax²+bx+c, esta pode ser fatorada com o auxílio de suas raízes: f(x)=a(x–x1 )(x–x2 ). De fato, dada f(x)=ax²+bx+c, colocando o coeficiente a em evidência, obtemos:
f(x)=a(x²+
198 •
capítulo 7
b c x+ ) (I) a a
Se x1 e x2 são as raízes desta função quadrática, sabemos que:
S=x1+x2=– P=x1∙x2=
b a
c a
Então, podemos fatorar f como f(x)=a(x²–Sx+P). Agora, vamos ver outro modo de fatorar f :
f(x)=a(x²–(x1+x2)x+(x1∙x2)) f(x)=a(x²–x1 x–x2 x+x1 x2) Colocando x e depois x2 em evidência, obtemos f(x)=a(x(x–x1 )+x2 (x–x1 )). Agora, colocando (x-x1) em evidência, decompomos o trinômio do segundo grau em fatores de primeiro grau, utilizando as raízes da equação:
f(x)=a(x-x1 )(x-x2 )
ATENÇÃO Podemos ainda escrever a função f(x)=a(x²+ f(x)=a(x²+
b c x+ ) (I) como: a a
b c x+ ) (I) a a
f(x)=a(x²–(x1+x2 )x+(x1∙x2 )) f(x)=a(x²–Sx+P)
Aqui S é a soma das raízes e P o produto.
capítulo 7
• 199
EXEMPLO Determine a forma fatorada da função quadrática f(x)=2x²–6x+4:
Resolução Precisamos encontrar primeiramente as raízes de f: ∆=b²-4ac=(-6)²-4(2)(4)=36-32=4
x=
–b ± ∆ = 2a
6±2 4
{
= 2 1
A forma fatorada será, então, f(x)=2(x-2)(x-1).
RESUMO Construção do gráfico de uma função de segundo grau 1. Concavidade da parábola: coeficiente a; 2. Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c; 3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes; 4. Ponto de mínimo (a > 0), ou máximo (a < 0): vértice V; 5. Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y.
EXEMPLO Esboce o gráfico da função f(x)=-x²-4x-3:
Resolução 1. Concavidade da parábola - coeficiente a:
Como a=-1<0, a concavidade da parábola é voltada para baixo. 2. Onde a parábola corta o eixo dos y - coeficiente c:
Como c=-3, a parábola corta o eixo dos y em (0,-3). 3. Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x – raízes:
200 •
capítulo 7
∆=b²-4ac=(-4)²-4(-1)(-3)=16-12=4
x=
–b ± ∆ = 2a
4±2 -2
{
= -3 -1
4. Como a=-1<0, teremos um ponto de máximo, sendo o vértice:
V=−b2a, −∆4a=−(−4)2(−1), −44(−1)=−2, 1 Desse modo, o gráfico de f é dado por:
–5
–4
–3
–2
–1
1 –2
–2
–6
–8
8 Estudo dos sinais da função quadrática Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos quais esta função possui imagem positiva (f(x)>0), imagem negativa (f(x)<0) e imagem nula (f(x)=0). O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às raízes desta função.
RESUMO Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos seguintes gráficos:
capítulo 7
• 201
∆>0
∆ <0
∆ =0
y
y
y
a>0 y>0
y>0
0 x1
x2
y<0
x
0
y
0
0 y<0
y>0
x1
x2
0
y<0
x
y>0
x1=x2
0
y
y
a<0
y>0
y>0
x
x
x1=x2
y<0
y<0
x
x y<0
EXEMPLO Estude o sinal da função quadrática f(x)=x²-4x+3:
Resolução Ao montar o gráfico de f, apresentado abaixo, determinamos suas raízes x1=1 e x2=3. Então, verificamos de imediato que f(x)=0, quando x=x1 e x=x2. A imagem de f é positiva, ou seja, f(x)>0, no intervalo x<1 ou x>3. Já a imagem de f é negativa, ou seja, f(x)<0, no intervalo 1
8 7 6 5 4 3 2 1
-1
1
2
-1
202 •
capítulo 7
3
4
5
Repare que, entre as raízes x1=1 e x2=3, o valor da função é negativo (está abaixo do eixo dos x), enquanto para valores de x menores e maiores do que as raízes, o valor da função é positivo.
EXERCÍCIO RESOLVIDO Resolva a inequação (x²-11x-24) ≥0: (x²-11x-24)
Resolução Para resolver esta inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das funções envolvidas. São elas: (I) f(x)=x²-6x+5 Temos que a=1>0 e suas raízes são x=1 e x=5. Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir, que tem como orientação o eixo dos x. raízes x2 - 6x + 5
1
5
+–––++
(II) g(x)=(x-4)
Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x=4. raízes x-4
4 –
–
–+
++
(III) h(x)=x²-11x-24
Temos que a=1>0 e suas raízes são x=3 e x=8. raízes x2 - 11x + 24
3
8
++–––+
Como a função h está no denominador, ela não pode assumir valor zero. Assim, as raízes desta equação não podem pertencer à solução. Para analisar a inequação, montamos um quadro com os sinais da imagem das funções f, g e h, e estudamos o sinal do produto do numerador junto com o sinal do denominador, lembrando-se de excluir as raízes de h, já que o denominador não pode ser nulo.
capítulo 7
• 203
ra íz e s x2 - 6x + 5 x -4
1
3
4
5
8
+–––++ –
–
x2 - 11x + 24
++–––+
inequação
–+–+–+
–
+
+
+
Representamos a solução da inequação por: S={x∈ℝ| 1≤x<3}∪{x∈ℝ| 4≤x≤5}∪{x∈ℝ| x>8}
9 Função modular CONCEITO Módulo de um número real Definimos módulo ou valor absoluto de um número real x como:
{
x<0 |x| = x,-x, x≥0
EXEMPLO 1. |-5|=5 5 5 2. | |= 2 2
9.1 Interpretação geométrica do módulo Na reta numérica, |a| representa a distância do ponto a ou do número a até a srcem 0.
204 •
capítulo 7
EXEMPLO -4
0 4
|4| é a distância do número 4 até a srcem e |-4| é a distância do número -4 até a srcem. Note que as distâncias coincidem.
+4 4
9.2 Propriedades de módulo Para todo x,y ∈ ℝ, são válidas as seguintes propriedades de módulo: I. |x| ≥ 0
Prova Como x ∈ ℝ, podemos ter x>0, x=0 ou x<0. Vamos examinar cada um dos casos: • Para x>0, pela definição de módulo, temos que |x|=x>0. • Para x=0, pela definição de módulo, temos que |x|=x=0. • Para x<0, pela definição de módulo, temos que |x|=-x>0. Assim, |x|≥0, para todo x ∈ R. ■ II. |x|=0⇔x=0
Prova Para provarmos um “se e somente se” ( ⇔), precisaremos provar a “ida” (⇒) e a “volta” (⇐). • (⇒) Provando que |x|=0 ⇒ x=0. Se |x|=0, temos que o ponto x tem distância zero da srcem, ou seja, x=0. • (⇐) Provando que x=0 ⇒|x|=0. Se x=0, pela definição de módulo, temos que |x|=x=0. ■
capítulo 7
• 205
III. |x||y|=|xy|
Prova Vamos considerar todos os casos possíveis de sinais de x e y. • Se x≥0 e y≥0, temos que xy≥0. Portanto, da definição de módulo, temos que |x|=x, |y|=y e |xy|=xy. Assim, |x||y|=xy=|xy|. • Se x>0 e y<0, temos que xy<0. Portanto, da definição de módulo, temos que |x|=x, |y|=-y e |xy|=-xy. Assim, |x||y|=-xy=|xy|. • Se x<0 e y<0, temos que xy>0. Portanto, da definição de módulo,|xy|=xy>0,|x|=-x>0 e |y|=-y>0. Assim, |x||y|=( -x)(-y)=xy=|xy|. • Se x<0 e y>0, temos que xy<0. Portanto, da definição de módulo,|xy|=-(xy)>0,|x|=-x>0e |y|=y>0. Assim,|x||y|=(-x) y=-(xy)=|xy|. • Se x≠0 e y=0, temos que |y|=0 e xy=0. Portanto, |x||y|=0∙|x|=0=|xy|. ■ IV. |x|² = x²
Prova Da propriedade (III), temos que |x||x|=|x.x|⇒|x|²=|x² |=x², pois x² ≥ 0. ■ V. -|x| ≤ x ≤ |x|
Prova • Se x≥0, temos que |x| = x ≥ 0 e -|x| ≤ 0. Assim, -|x| ≤ x = |x| ≤ |x|. • Se x<0, temos que |x| = -x ≥ 0 e -|x| ≤ 0.
206 •
capítulo 7
Assim, -|x| ≤ x ≤ -x = |x| ≤ |x| . ■ VI. |x+y|≤|x|+|y|
Prova Da propriedade (IV), temos que |x|²=x². Assim, |x+y|²=(x+y)². Desenvolvendo o produto notável quadrado da soma, obtemos: |x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y² Da mesma propriedade (IV), sabemos que |x|²=x²e |y|²=y². Logo: |x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y²=|x|²+2x∙y+|y|² No entanto, da propriedade (V), sabemos que x≤|x|, y≤|y|. Ficamos, então, com: |x+y|²=(x+y)²=x²+2xy+y²=|x|²+2x∙y+|y|²≤|x|²+2|x|∙|y|+|y|²=(|x|+|y|)² Assim, |x+y|²≤(|x|+|y|)² ⇒ |x+y|≤|x|+|y|. ■ VII. |x-y| ≥ |x|-|y|
Prova Da propriedade (IV), temos que |x|²=x². Assim, |x-y|²=(x-y)². Desenvolvendo o produto notável quadrado da diferença, obtemos: |x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y² Da mesma propriedade (IV), |x|²=x² e |y|²=y². Logo: |x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y²=|x|²-2x∙y+|y|² No entanto, da propriedade (V), sabemos que -|x|≤x e -|y|≤y. Ficamos então com: |x-y|²=(x-y)²=x²-2xy+y²=|x|²-2x∙y+|y|²≥|x|²-2|x|∙|y|+|y|²=(|x|-|y|)² Assim, |x-y|²≥(|x|-|y|)² ⇒|x-y|≥|x|-|y|. ■
capítulo 7
• 207
CONCEITO Definição de função modular Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função modular quando associa, a cada número real x, o elemento |x|∈ℝ. Ou ainda: f:R→R
f(x)=|x|
O gráfico da função modular f(x)=|x|, mostrado a seguir, é traçado com o auxílio da definição de módulo de um número real: y = |x| = -x, x<0
{x,
2
x≥0
y
1.5
1
0.5
x -2
-2
1
2
EXEMPLO 1. Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x+2|:
Processo 1 Utilizando a definição de módulo de um número real:
{ x+2,
|x+2| = -(x+2), x+2 < 0
208 •
capítulo 7
x+2 ≥ 0
{ x+2,
|x+2| = -x-2, x < -2 x ≥ -2
5
y
4
Trata-se de uma função definida por duas sentenças de acordo com o domínio: I. y=-x-2 para x<-2
3 2
II. y=x+2 para x≥-2
1
x -6
-4
-2
2
Processo 2 Utilizando rebatimento. Podemos esboçar o gráfico sem o módulo e depois rebater a parte negativa, utilizando o eixo x como um “espelho”. 5
y
5
y
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
x -6
-4
-2
2
y
x -6
-4
-2
2
x -6
-4
-2
2
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
2. Esboce o gráfico da função real definida por f(x)=x+|x+1|:
Da definição de módulo, temos:
{
x+1 se x+1 ≥ 0 |x+1| = -(x+1) se x+1 < 0
{
se x ≥ -1 |x+1| = x+1 -x-1 se x < -1
A função ficará, então:
{x-x-1, se x < -1 y = x + |x+1| = {2x+1 se x ≥ -1 -1, se x < -1
y = x + |x+1| = x+x+1 se x ≥ -1
capítulo 7
• 209
Agora, podemos montar o gráfico da função observando as expressões em cada intervalo. y 3
2
1
x -3
-2
-1
1 -1
10 Equações modulares Vamos apresentar dois resultados importantes com relação a equações com funções modulares.
10.1 Resultado 1 Para b≥0, temos que |x|=b se, e somente se, x=b ou x=-b.
Prova • (⇒) Provando que, para b≥0 , |x|=b ⇒ x=b ou x=-b. Para b≥0, suponha que |x|=b. Se x≥0, temos b=|x|=x⇒x= b. Se x<0, temos b=|x|=-x ⇒x= -b. Assim, x=b ou x=-b. • (⇐) Provando que: para b≥0, x=b ou x=-b ⇒|x|=b. Para b≥0, suponha que x=b ou x=-b. Se x=b≥0, então |x|=|b|=b. Se x=-b≤0, então |x|=|-b|=b. Ou seja, |x|=b. ■
210 •
capítulo 7
EXEMPLO Resolva, em ℝ, a equação modular |2x-1|=7: Do resultado 1 acima, temos que: 2x-1=7 ou 2x-1=-7 2x=7+1 ou 2x=-7+1 2x=8 ou 2x=-6 x=4 ou x=-3 S={-3,4}
10.2 Resultado 2 Para a,b∈ℝ, |a|=|b| ⇔ a=b ou a=-b.
Prova • (⇒) Provando que, para a,b∈ℝ,|a|=|b| ⇒ a=b ou a=-b. Para a,b∈ℝ, suponha que |a|=|b|. Consideremos os casos possíveis para a e b. I. a=0⇒ |a|=|b|=0 ⇒ b=0 e a=0 ⇒ a=b II. b=0 ⇒ |a|=|b|=0 ⇒ a=0 e b=0 ⇒ a=b III. a>0,b>0 e |a|=|b| ⇒ a=b IV. a>0 e b<0 ⇒ |a|=|b| ⇒ a=-b V. a<0 e b>0 ⇒ |a|=|b| ⇒ - a=b ⇒ a=-b VI. a<0 e b<0 e |a|=|b| ⇒ - a=-b ⇒ a=b Pudemos verificar que: |a|=|b| ⇒ a=b ou a=-b • (⇐) Provando que, para a,b∈ℝ, a=b ou a=-b ⇒ |a|=|b|. Para a,b∈ℝ, suponha que a=b ou a=-b. Se a=b, então temos que |a|=|b|. Se a=-b , então temos que |a|=|-b|=|(-1)b|=|-1|.|b|=1.|b|=|b|. Note que usamos acima a propriedade (III) do módulo. ■
capítulo 7
• 211
EXEMPLO Resolva, em R, a equação modular |3x-1|=|2x+3|: Do resultado 2 acima, temos que: 3x-1=2x+3 ou 3x-1=-(2x+3) 3x-1=2x+3 ou 3x-1=-2x-3 3x-2x=3+1 ou 3x+2x=-3+1 x=4 ou 5x=-2 x=4 ou x=-2/5 2 S={- ,4} 5
11 Inequações modulares Vamos agora ver dois resultados importantes sobre inequações que envolvem funções modulares.
11.1 Resultado 1 |x|
0 ⇔ -a
Prova Considere a>0. Da definição de módulo, temos que |x|=x e |x|=-x, pois depende do sinal de x. Então, segue que:
|x|-a ⇔ -a
212 •
capítulo 7
0
-a
EXEMPLO Resolva em ℝ a inequação modular |3x-2|<: Do resultado 1 de inequações modulares, temos que: -4<3x-2<4 -4+2<3x-2+2<4+2 -2<3x<6 2 6 -
11.2 Resultado 2 |x|>a e a>0 ⇔ x<-a ou x>a
Prova Considere a>0 Segue que: |x|>a>0 ⇔ x>a ou -x>a ⇔ x>a ou x<-a ⇔ x<-a ou x>a ■ Geometricamente, note que|x|>a significa que estamos procurando os valores reais x cuja distância até a srcem é maior que a, que estão localizados nos intervalos indicados em preto. -a
0
-a
EXEMPLO Resolva em ℝ a inequação modular |2x-1|>3: Do resultado 2 de inequações modulares, temos que:
capítulo 7
• 213
2x-1<-3 ou 2x-1>3 2x<-3+1 ou 2x>3+1 2x<-2 ou 2x>4 x<-1 ou x>2 S={x∈ℝ | x<-1,x>2 }
ATIVIDADE 1. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo
nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: y(m) C
D
0
A
35
B
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é y=
-x² 2x + . 75 5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: (a) 38 (b) 40 (c) 45 (d) 50
214 •
capítulo 7
x(m)
2. (UERJ 2008) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do
tempo t. )s o tr e m ( S
h
)s o tr e m ( S
V1
0
V2
h t1 t (segundos)
0
2t1
t (segundos)
No gráfico I, a função horária é definida pela equação S=a1t² + b1t e, no gráfico II, por S=a2t² + b2t. Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II. a Assim, a razão 1 é igual a: a2 (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 3. (UERJ 2001) A figura mostra um anteparo parabólico que é representado pela função
f(x)=-
3 x² + 2 3x. 3
Uma bolinha de aço é lançada da srcem e segue uma trajetória retilínea. Ao incidir no vértice de anteparo é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em relação ao eixo da parábola.
f(x)
α
0
x capítulo 7
• 215
O valor do ângulo de incidência corresponde a: (a) 30º (b) 45º (c) 60º (d) 75º 4. (PUC–SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura
h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h=-25t²+625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 5. (PUC–Campinas) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por y=
-x² x + , com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que 64 16 o projétil atingiu. 6. (UERJ 2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com
base AB = 8m e altura central OC = 5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. y
P
C d
A
0
2,45
x1
B
x
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.
m 5 ,4 2
A
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical 0y: 7. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendi-
cularmente sobre o gramado, o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol.
216 •
capítulo 7
y
2,3 9m x 16m
Após o chute de “Chorão”, nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo S=-
x² +c. 36
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: (a) na baliza (b) atrás do gol (c) dentro do gol (d) antes da linha do gol 8. (ENADE 2011) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o
gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. y Q
Gol Barreira
Parábola
PosiçãodaFalta
3 P
x
0 8
12
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
capítulo 7
• 217
9. (UFRJ 2005) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela
função L(x)=50(|x-100|+|x-200|), em que x=1,2,…,365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais. Determine em que dias (x) do ano o lucro foi R$10.000,00.
GABARITO 1. As raízes de y= -x² 75 + 2x 5 são x=0 e x=30.
Podemos resolver utilizando a Fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão: y=0 ⇒
-x² 2x -x x + =0⇒ ( -2) = 0 75 5 5 15
Assim, temos que: -x x x = 0 ⇒ x = 0 ou -2 = 0 ⇒ = 2 ⇒ x = 30 5 15 15
Isso implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A, sendo a abscissa do ponto A igual a 30. Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D. Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m, então a abscissa do ponto B será igual a 40m. Logo, a resposta é a letra b. 2. Podemos escrever as funções S1(t) = a1t² + b1t e S2(t) = a2t² + b2t em suas formas fa-
toradas. Sabemos que as raízes de S1 são 0 e t1, enquanto que as raízes de S2 são 0 e 2t1: S1(t) = a1t² + b1t = a1t(t-t1) S2(t) = a2t² + b2t = a2t(t-2t1)
Lembrando que a abscissa do vértice de uma quadrática está sobre o eixo de simetria da pat rábola, segue que as abscissas deV1 e V2 são, respectivamente, 1 e t1, e ambos os vértices 2 possuem a mesma ordenada h. Dessa forma, podemos dizer que: S1 (
218 •
capítulo 7
t1 ) = S2 (t1) = h 2
a1
t1 t1 ( -t ) = a2t1 (t1-2t1) 2 2 1 t1 t )(- 1 ) = a2(t1)(-t1) 2 2
a1 (
a1 (
t1 )² = a2 (t1)² 2
a41 = a2 ⇒ aa1 = 4 2 Logo, a resposta é a letra c. 3. Repare que o coeficiente c na função f é nulo. Precisamos determinar as coordenadas do
vértice da parábola (xV, yV): xV =
-b =75
2 3 3 2() 3
= (- 3)(-
3
)=3
3
3 ) (0) (2 3)² 3 (2 3)² – 4 (12 -∆ V y = 4 =3 = – =– = 3(– 3 3 3 3 )= 3) 4(4() 4() 3 3 3
9 3 3 3
=3
Da figura: tgα =
3 1 3 cateto oposto x = V = = = ⇒ α = 30º 3 cateto adjacente yV 3 3 3
Assim, a resposta é a letra a. 4. Quando a bola atingir o solo, sua altura será zero. Substituindo na expressão de h, temos:
h=-25t²+625 0=-25t²+625 25t² = 625 t²= 25 ⇒ t=±5 Considerando que a bola foi largada no instante t=0, temos que a solução t=-5 deve ser descartada, restando t=5. Veja o gráfico da função para visualizar a trajetória da bola:
capítulo 7
• 219
600
400
200
1
23456
-200
Portanto, a bola levará 5 segundos para atingir o solo. 5. Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da pa-
rábola: 1 1 1 ( )² – 4(- ) (0) ( )² -∆ 16 64 16 y V= ==– = 4 1 1 4(– 64 ) 4(– 64 km)
1 256 1 16
=
1 16 1 = = 0,0625 256 1 16
Portanto, o projétil atingiu a altura máxima de 0,0625 km=62,5 m. 6. Como se observa na figura, o eixo de simetria passa por x = 0. Assim, como AB = 8, então A = (-4,0) e B = (4,0). Isto implica que as raízes da parábola são x1 = -4 e x2 = 4, cuja soma é S=0, e o produto é P = -16. Temos na figura que o ponto C é a interseção da parábola com o eixo dos y e coincide com o máximo. Neste caso, o valor do coeficiente é c = 5,6. Para montar a expressão da parábola precisamos determinar o coeficiente a. Para isso, substituímos P e c em:
P= -16 =
Lembre que b=0, pois S=0.
220 •
capítulo 7
c a
5,6 5,6 ⇒ a -16
Assim, a expressão é f(x)=
5,6 x²+5,6. -16
Precisamos agora determinar o valor dex para que y (a altura do caminhão) seja igual a2,45m: f(x)=-
5,6 x²+5,6 16
2,45=- 5,6 16 x²+5,6 5,6 x² = 5,6 - 2,45 = 3,15 16 5,6x² = 3,15 ∙ 16 = 50,4
x² = 9 ⇒ x = ±3
Como estamos considerando distância, a solução x=-3 é descartada. A distância do ponto P ao eixo vertical Oy será 3m.
7. A altura máxima da bola é 9m. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é 9.
Da figura, temos que a abscissa do vértice é 0. Então, o vértice da parábola é V=(0,9). x² Substituímos este ponto na equação S=- +c, temos: 36 9 =-
Ficamos, então, com a equação S=-
0² +c ⇒ c = 9 36
x² +9. 36
Embaixo da linha do gol, a abscissa é x=16. Para determinar a altura da bola na linha do gol, devemos calcular a ordenada para x=16: S=-
x²
+9 36 16² 256 -256 + 324 68 S=+9 = - +9 = = ≅ 1,9 36 36 36 36
Assim, temos que a altura da bola na linha do gol é de 1,9m, sendo menor que a altura da baliza do gol que é 2,3m, significando que a bola consegue entrar no gol. Portanto, a resposta é a letra c.
capítulo 7
• 221
8. Sabemos que uma parábola tem como expressão f(x)=ax²+bx+c, com a≠0.
Para saber a altura da bola ao atingir o gol, precisamos determinar primeiramente os valores dos coeficientes a, b e c através do gráfico dado. Sabemos que a altura máxima da bola é 3m em x=0. Portanto, o vértice da parábola é V = (0,3) = (
-b -∆ , ), onde -b = 0 e -∆ = 3. 2a 4a 2a 4a
Como a≠0, dessas equações, temos: -b = 0 ⇒ b=0 2a
e
-∆ b² - 4ac =– =3 4a 4a
Como b=0, ficamos com: –
- 4ac = 3 ⇒ c=3 4a
Substituindo b=0 e c=3 na expressão f(x)=ax²+bx+c, obtemos f(x)=ax²+3. Sabemos que uma das raízes da função é x=12. Substituindo na função, temos: 0 = a(12)² + 3 = 144a + 3 ⇒ a =
-3 -1 = 144 48
Lembre-se que, na raiz, o valor da função é sempre nulo.
Finalmente, chegamos à expressão da função f(x)=
-1 x²+3. 48
Para que possamos determinar a altura do gol, precisamos do valor de f(x) em x=-8, ou seja: f(-8) =
-1
(64) + 3 =
-64
48
+3=
-4
48 3 5 Logo, a altura da bola ao atingir o gol é metros. 3
+3 =
5 3
9. Queremos determinar quais dias correspondem ao lucro de 10.000 reais. Para isso, subs-
tituímos L(x)=10000 na função do lucro diário:
222 •
capítulo 7
10000=50(|x-100|+|x-200|) 200=|x-100|+|x-200|
Isso resulta em uma equação modular. Utilizando a definição de módulo na equação, temos:
{-(x-100)
|x-100| = x-100
se x-100 ≥ 0 se x-100 < 0
ou
{
se x ≥ 100 |x-100| = x-100 -x+100 se x < 100
e
{-(x-200)
|x-200| = x-200
se x-200 ≥ 0 se x-200 < 0
ou
{
se x ≥ 200 |x-200| = x-200 -x+200 se x < 200
Vamos, agora, montar a seguinte tabela com as expressões dos módulos em cada intervalo de x. Note que, os valores de x crescem para a direita.
100
|x-100| |x-200| |x-100|+|x-200|
200
-x+100 -x+200 -2x+300
100
x-100 -x+200 100
x-100 x-200 2x-300
200
Da tabela, temos que analisar a soma dos módulos da primeira e da segunda linha, considerando três intervalos de x:
|x-100|+|x-200| =
-2x+300 se x < 100 100 se 100 ≤ x <200 2x-300 se x ≥ 200
{
Sabendo a expressão da soma dos módulos em cada intervalo, podemos agora resolver a equação 200=|x-100|+|x-200|.
capítulo 7
• 223
I. Para x<100, temos que |x-100|+|x-200|=-2x+300.
Assim, resulta que: |x-100|+|x-200|=200 -2x+300=200 -2x=200-300 -2x=-100 x=50 II. Para 100≤x<200, temos que |x-100|+|x-200|=100.
Assim, resulta que: |x-100|+|x-200|=200 100=200
O que é um absurdo. III. Para x≥200, temos que |x-100|+|x-200|=2x-300.
Assim, resulta que: |x-100|+|x-200|=200 2x-300=200 2x=200+300 2x=500 x=250 Portanto, a solução é S={50,250}. O 50º dia e o 250º dia apresentam lucro diário igual a 10.000 reais.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 1. São Paulo: Moderna, 2013. ______. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna, 2013.
224 •
capítulo 7
8 Função exponencial
OBJETIVOS 1. 2. 3. 4.
Identificar uma função exponencial; Analisar o gráfico de uma função exponencial; Resolver equações e inequações exponenciais; Resolver problemas que envolvam função exponencial.
1 Importância das funções exponenciais e suas aplicações As funções exponenciais têm grande importância para diversas áreas das Engenharias e Ciências de modo geral, com inúmeras aplicações. Elas expressam um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos, como o funcionamento dos juros compostos, importantes na Matemática Financeira, e o crescimento de determinados seres vivos microscópicos . Além disso, a decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. Neste capítulo, vamos ver que, para estudarmos essas aplicações, precisamos primeiro compreender as noções da função de exponencial e seus resultados.
CONCEITO A função f:ℝ→ℝ+* definida porf(x)=ax, com a>0, a≠1 é chamada de função exponencial. O número real a é chamado de base da função exponencial.
EXEMPLO 1. f(x) = 3x 2. y = (0,4)x 3. f(x) = (√5)x
226 •
capítulo 8
ATENÇÃO Por que a base a tem que ser maior do que zero e diferente de 1? I. Se a base fosse igual a1, teríamos uma funçãoconstante, poisf(x)=1x=1 para todo x. II. Se a base fosse igual a zero, teríamos uma indeterminação quando x=0, pois 00∉ℝ, e
também quando x<0, pois, por exemplo, 0-5=
1 1 = . 05 0
III. Se a base fosse um número negativo teríamos valores da imagem de ax não
1 pertencentes ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para a=-3 e x= , 2 f(x)=(-3)½= -3 não pertence ao conjunto dos números reais.
2 Gráfico de uma função exponencial Através de alguns exemplos, vamos mostrar como construir o gráfico de uma função exponencial.
EXEMPLO 1) f(x)=2x
Inicialmente, vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores de x, e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano: x
-3 -2 -1 0 1 2 3
2x
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 -4
-3
-2
-1
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1234
-4
-3
-2
-1
0
1234
Neste exemplo, note queDomf=ℝ, Imf=ℝ+∗ e a função é crescente em todo seu domínio.
capítulo 8
• 227
2) y= (1/2)x
Vamos primeiramente construir uma tabela para alguns valores de x e, em seguida, marcar os pontos no plano cartesiano: x
-3 -2 -1 0 1 2 3
(1/2)x
8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 -4
-3
-2
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-1
0
1234
-4
-3
-2
-1
0
1234
Já neste exemplo, note que Domf=ℝ, Imf=ℝ+∗ e a função é decrescente em todo seu domínio.
3 Esboços gráficos de função exponencial 1º caso: a > 1
2º caso: 0 < a < 1
y
y
1 0
1 x
0
x
Em ambos os casos, o gráfico da funçãof(x)=ax não toca o eixo-x (eixo das abscissas) e, além disso, a função exponencial sempre toca o eixoy (eixo das ordenadas) no ponto em quey=1. Isso ocorre porque a0=1, para todo a>0,a≠1.
228 •
capítulo 8
ATENÇÃO 1) Uma função real f é crescente em um intervalo contido no domínio da função se, e somen-
te se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece x1< x 2 ⇒ f(x1 )
somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece x1< x2 ⇒ f(x1 )>f(x2 ). Ou seja, quando o valor de x aumenta, f(x) diminui.
4 Propriedades P1) Sendo a>0, a≠1, tem-se que: ax = ay ⇔ x = y. P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a>1. Assim:ax>
ay ⇔ x>y. P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0
y
a > a ⇔ x
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Faça um esboço gráfico da função y= (1/2)x - 4:
Resolução 1º) Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente. 2º) Quando x=0, y=-3. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0,-3). 3º) Quando y=0, temos que (
1
)x = 4 ⇔ (2-1)x = 22 ⇔ 2-x = 22 ⇔ x =-2.
2
Note que desenvolvemos a equação de modo a usar a propriedade P1 descrita acima. Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (-2,0).
capítulo 8
• 229
4º) Esboço gráfico: y -2
-1
1
2
-0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0 -3,5
2) Faça um esboço gráfico da função f(x)= 2x+ 2:
Resolução 1º) Como a base é maior do que 1, a função é crescente. 2º) Quando x=0, f(0)=3. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0,3). 3º) Repare que a imagem de f(x) é positiva em todo o domínio. 4º) Esboço gráfico: y 6
5
4
3
2 x -2,0
230 •
capítulo 8
-1,5
-1,0
-0,5
0,5
0,5
1,0
1,5
2,0
x
5 Equação exponencial Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial. Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial.
É muito comum usar prop ried ade s de pot ênci as de mesma base quando resolvemos uma equação exponencial.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a equação exponencial 2x+1=16:
Resolução Para fazer uso da propriedade P1 descrita anteriormente, temos que colocar, em primeiro lugar, as potências com a mesma base: 2x+1 = 24 ⇔ x+1=4 ⇒ x=3
2) Resolva a equação exponencial 4x+2=32
Resolução Usando a propriedade P1, obtemos:
4x+2 = 25 ⇔ (22 )x+2 = 25 ⇔ 22x+4 = 25 ⇔ 2x+4 = 5 ⇒ x= 1 2
3) Resolva a equação exponencial (1/3)x = 243
capítulo 8
• 231
Resolução 1 x ) = (3-1)x, resolvemos facilmente a equação: 3
Sabendo que (
(3-1)x = 35 ⇔ 3-x = 35 ⇒ x = -5
3
4) Resolva a equação exponencial
625=125x
Resolução 3
3
Como 625= 54 =54/3, resolvemos a equação usando a propriedade 1: 3
54=(53)x ⇔ 54/3 = 53x ⇔
4 4 = 3x ⇒ x = 3 9
REFLEXÃO E se a equação fosse 3x=5, ou seja, se as bases fossem diferentes? Reflita sobre isso e confira a resposta, no próximo capítulo, sobre logaritmos.
5) Resolva a equação exponencial 9x- 10.3x+ 9=0:
Resolução Observe que este tipo de equação não pode ser resolvido como os anteriores, pois não conseguimos chegar à igualdade de duas potências. Neste caso, será necessário fazer uso de mudança de variável (parecido com o que é feito na resolução das equações biquadradas). Para isso, verifique que a equação pode ser escrita como:
(32 )x - 10.3x + 9 = 0 (3x )2 - 10.3x + 9 = 0 Fazendo a mudança de variável t=3x, segue que:
232 •
capítulo 8
t2 - 10t+9 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau , encontramos t = 9 ou t = 1. Temos que voltar para a variável srcinal x. Assim: 3x = 9 ou 3x = 1 3x = 32 ou 3x = 30 x = 2 ou x = 0
6) Seja f(x)=a.3(b.x), onde a e b são constantes reais. Dados f(0)= 900 e f(10)= 300, calcule k tal que f(k)= 100:
Resolução Temos que f(0) = 900 ⇔ a.3(b.0) = 900 ⇔ a.1 = 900 ⇒ a = 900. Substituindo o valor de a em f(x), obtemos f(x)= 900.3(b.x). Ainda, temos que b.10
f(10) = 300 ⇔ 900.3
10.b
= 300 ⇔ 3
1 1 (10.b) (-1) = 3 ⇔ 3 = 3 ⇒ b= - 10 .
Queremos determinar k tal que f(k) = 100, então fazemos: f(k) = 900.3-k/10 = 100 ⇔ 3-k/10 =
1 ⇔ 3-k/10 = 3-2 ⇒ k = 20 9
7) (UFSM) A figura mostra um esboço do gráfico da função
f(x)=ax + b, com a,b ∈ ℝ, a>0, a≠1, b≠0. Então, o valor de a² - b² é: y
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
5
2 0
2
x
capítulo 8
• 233
Resolução O gráfico passa pelo ponto (0,2). Logo, f(0)=2. Assim: a0 + b=2 ⇒ 1+b=2 ⇒ b=1
Substituindo o valor de b em f, obtemos: f(x)= ax+ 1
Note que o gráfico da função passa pelo ponto (2,5). Logo, f(2)=5. Assim: a2 + 1=5 ⇒ a2 =4 ⇒ a= ±2
Porém, sabemos que a>0, logo a=2. Portanto, a2 - b2 = 22 - 12 = 3. O que dá como resposta a alternativa e. 8) (UFF) A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou equi-
vocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico. Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: y= y0 .2-0,5.t, em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em horas. Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora b) meia hora c) 1 hora d) 2 horas e) 4 horas
Resolução Temos que a expressão da concentração é dada por y = y0 . 2-0,5.t. y Queremos saber quando essa concentração chega ao valor 0 , ou seja: 4
234 •
capítulo 8
y0 = y0 . 2-0,5.t ⇔ 2-2 = 2-0,5.t ⇔ 0,5.t = 2 ⇒ t=4 4 Logo, a alternativa correta é a letra e.
6 Inequação exponencial Toda inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial. Ao resolver uma inequação exponencial, a ideia é encontrar potências de mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações, através da propriedade P2 ou da propriedade P3 — ambas descritas anteriormente.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a inequação 322x-3 < 8x+4:
Resolução Como são reduzíveis a potências de base igual a dois, obtemos: 322x-3 < 8x+4 ⇔ (25)2x-3 < (23)x+4 ⇔ 210x-15 < 23x+12
Como a base é maior do que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela propriedade P2, temos que: 210x-15 < 23x+12 ⇒ 10x - 15 < 3x+12 ⇒ 7x <27 ⇒ x <
27 7
2) Resolva a inequação (1/8)3x-4 ≥ (1/4)2x+6:
Resolução Tendo as potências a base comum a= (
1 , fazemos: 2
1 3x-4 1 ) ≥ ( )2x+6 8 4
capítulo 8
• 235
1 3x-4 1 )³) ≥ (( )²)2x+6 2 2
(( (
1 9x-12 1 ) ≥ ( )4x+12 2 2
Como a base é um número real entre 0 e 1, as funções exponenciais são decrescentes. Então, pela propriedade P3, temos que: 9x -12 ≤ 4x+12 ⇒ 5x ≤24 ⇒ x ≤
24 5
3) Resolva a inequação 5x² - 4 < 1/125:
Resolução Nesta inequação, notamos que a base comum das potências será a=5, então: 5x² - 4 <
1 1 ⇔ 5x² - 4 < ⇔ 5x² - 4 < 5-3 125 5³
Como a base é maior do que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela propriedade P2, obtemos: x² - 4 < -3 ⇒ x² - 1<0
Resolvendo a equação do 2º grau e estudando o sinal da sua imagem, encontramos: -1
ATIVIDADE 1) Em uma população de bactérias, há P(t) = 109 .43t bactérias no instante t, medido em horas
(ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 2) (PUC–RIO) Determine uma das soluções da equação abaixo:
10x²-4 =
236 •
capítulo 8
1 1000
3) (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno
pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x)=abx, conforme o gráfico abaixo: y=f(x) 960%
7,5% 0
4
7 x(anos)
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 4) (UERJ) Na tabela de Classificação Periódica, as fileiras horizontais correspondem aos
períodos e as colunas verticais aos grupos ou famílias. Nos períodos, os elementos são dispostos em ordem crescente de seus números atômicos. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos, represenx
y
z
4
tados por x,y e z. Na equação 2 + 2 + 2 = 7.16 , y é o número atômico de um elemento químico da família denominada: a) alcalinos b) halogênios c) calcogênios d) gases nobres 5) (UFMG) Observe a figura: y 12
3 2 -3
x
capítulo 8
• 237
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x)=k.αx, sendo k e α constantes positivas. O valor de f(2) é: a) 3/8 b) 1/2 c) 3/4 d) 1 6) (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja
dado pela função: f(t)=a.2-b.t , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024
indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 7) Resolva as equações abaixo: a) 8.2x=128 x+1
2x+3
b) 2 . 2 = 64 c) 92x + 81x-1 = 82 . 27-1 d) 4x - 6 . 2 x + 8 = 0 e)
5
81 = 27x/5
8) Faça um esboço gráfico das funções abaixo:
1 x ) +3 3 b) y = 5x - 5 a) f(x) = (
9) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui, em função do tempo, devido à
desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m = m0 . 2-k.t . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), m0 é a massa inicial e k é uma constante real.
238 •
capítulo 8
1 Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas da massa inicial, o valor k é: 8 a) - 3 b)
1 3
c) - 22
1 d) 22 e)
1 8
10) (UERJ) Considere a equação abaixo:
6.12.18.24 ... .300 = 216n 50!
O valor de n, real, que verifica essa igualdade é: 1 a) 3 3 b) 2 c)
15 2
d)
25 3
e)
50 3
11) Resolva a inequação 93x-4 ≥ 274x+5. 12) (FGV-SP) O conjunto solução da inequação (0,3)x²- 2x – 1 ≥ 0 é: a) { x∈ℝ | 0 ≤ x ≤ 2 } b) { x∈ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 2 } c) { x∈ℝ | x ≤ 2 } d) { x∈ℝ | 0 ≤ x } e) { x∈ℝ | 0 ≤ x ≤ 1/2 }
capítulo 8
• 239
13) Resolva a inequação abaixo: 32x-1 - 3x <0 9x 14) (FATEC-SP) Se x é um número real tal que2-x . 4x < 8x+1 , então: a) -2 < x < 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x < 3/2 e) x > -3/2
15) (UFRS) A soma de todos os números inteiros n que satisfazem a desigualdade 81-1 < 32n+1 < 27 é: a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) -4
GABARITO 1) Temos P(t)= 109 . 43t e queremos P(t)= 2 . 109 , então fazemos:
2 . 109 = 109 . 43t ⇔ 2 = 26t ⇔ 6t = 1 ⇒ t = Resposta:
1 6
1 h ou 10 min 6
2) Podemos verificar que a base comum das potências será a = 10, então:
10(x²-4) =
1
⇔ 10(x²-4) = 10-3 ⇔ x² - 4 = -3 ⇔ x² = 1 ⇒ x = ±1
1000 Resposta: x=1 ou x=-1 3) Antes de determinar f(4), temos que determinar os valores de a e b da expressão f(x)= abx.
Do gráfico de f, sabemos que f(0)=960, ou seja:
240 •
capítulo 8
f(0) = a.b0 = 960 ⇒ a.1 = 960 ⇒ a = 960
Substituindo o valor de a na expressão de f, obtemos f(x) = 960.bx. Agora, para calcular b fazemos: f(7) = 960.b7 = 7,5 ⇒
7,5 1 1 1 = b7 ⇔ = b7 ⇔ ( )7 = b7 ⇒ b = 960 128 2 2
Substituindo, então, o valor de b, na expressão da função, temos: f(x) = 960.(
Assim, calculamos: f(4) = 960.(
1 x ) 2
1 4 ) = 60 2
Resposta: 60% 4) Sabemos que x, y e z são consecutivos, então:
y = x+1 e z = y+1 = x+2
Substituindo y e z na equação 2x+ 2y+ 2z = 7 .164, obtemos: 2x + 2x+1+ 2x+2 = 7.(24)4 2x + 2x.21 + 2x.22 = 7.216 7.2x = 7.216 ⇒ x = 16, y = 17 e z = 18 Resposta: alternativa b. O seu professor de Química diria que se trata dos halogênios. 5) Sabemos que f(x)= k.αx e f(0)=
3 . Então, para determinar o valor de k, fazemos: 2 3 3 =k.α0 ⇒ k= 2 2
Sabendo que f(x) =
3 x α e ainda f(-3) = 12, podemos calcular o valor de α: 2
capítulo 8
• 241
12 =
3 -3 1 1 α ⇔ 8 = α-3 ⇔ ( )-3 = α-3 ⇒ α = 2 2 2
Com a expressão da função conhecida, podemos avaliar f(2): f(x) =
3 1 x 3 1 2 3 .( ) ⇒ f(2) = .( ) = 2 2 2 2 8
Resposta: alternativa a 6) a) Sabendo que f(t)= a.2-b.t e f(0) = 1024, determinamos, então, o valor de a, assim:
1024 = a.20 ⇒ a=1024
Para determinar o valor de b, fazemos f(10) = 512 em f(t) = 1024.2-b.t, ou seja: 512 = 1024.2-b.10 1 -10.b -1 -10.b 2 =2 ⇔2 =2 -1 = -10.b ⇒ b= b) Queremos t tal que f(t) =
1 10
1 .1024. Para isso, fazemos: 8 f(t) = 1024.2–t/10
1 t .1024 = 1024.2–t/10 ⇔ 2-3 = 2–t/10 ⇔ = 3 ⇒ t = 30 8 10
Resposta: a) a = 1024 e b = t 10 b) t = 30 anos 7) a) 8.2x = 128 ⇔ 23.2x = 27 ⇔ 23+x = 27 ⇔ 3+x = 7 ⇒ x = 4
242 •
capítulo 8
b) 2x+1 .22x+3 = 64 ⇔ 23x+4 = 26 ⇔ 3x+4 = 6 ⇒ x = c) 92x+ 81x-1 = 82.27-1 ⇔ 92x+ (9²)x-1 = 82.
2 3
1 82 ⇔ 92x + 92x-2 = 27 27
⇔ 81.92x + 92x = 82.3 ⇔ 82.92x = 82.3 ⇔ 92x = 3 ⇔ 34x = 3 ⇒ x=
1 4
d) 4x - 6.2x + 8 = 0 ⇔ 22x - 6.2x + 8 = 0 ⇔ (2x)2 - 6.2x + 8 = 0
Fazendo t=2x, a equação fica: t2 - 6.t + 8 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos t=2 ou t=4. Voltando agora à variável srcinal x, temos: 2x= 2 ou 2 x = 4 2x = 21 ou 2x = 22 x = 1 ou x = 2 e)
5
81 = 27x/5 ⇔
5
34 = (33)x/5 ⇔ 34/5 = 33x/5 ⇔
4 3x 4 = ⇔ 3x = 4 ⇒ x= 5 5 3
8) a)
1º) Como a base está entre 0 e 1, a função é decrescente. 2º) Quando x = 0, f(0) = 4. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0,4). 3º) O gráfico não corta o eixo x. 4º) Esboço gráfico: y 12 10 8 6 4 2 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
capítulo 8
• 243
b)
1º) Como a base é maior do que 1, a função é crescente. 2º) Quando x=0, f(0)=-4. Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0,-4). 3º) Quando y=0, x=1. Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (1,0). 4º) Esboço gráfico: y 10 5
-2
-1
1
2
x
-5
9) Sabendo que m = m0 . 2-k.t , queremos determinar k tal que m=
m0 e t=66, ou seja: 8
m0 1 -k.66 -3 -66k 8 = m0 . 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ 66k = 3 ⇒ k = 22 Resposta: alternativa d
10) Repare que os fatores no numerador são múltiplos de 6: 6.12.18.24 ... .300 = 216n 50! 6.1.6.2.6.3.6.4 ... .6.50 = (63)n 50! (6.6.6 ... 6)(1.2.3.4 ... 50) = (63)n 50! 650 . 50! = (63)n 50! 50=3n ⇒ n= Resposta: alternativa e
244 •
capítulo 8
50 3
11) Vamos reduzir as potências à base igual a 3 na inequação:
93x-4 ≥ 274x+5 (3²)3x-4 ≥ (3³)4x+5 36x-8 ≥ 312x+15
Como a base é maior do que 1, a função exponencial é crescente. Então: 6x-8 ≥ 12x+15 -6x ≥ 23 ⇔ 6x ≤ -23 ⇔ x ≤
-23 6
12) Temos que:
(0,3)x² - 2x - 1 ≥ 0 (0,3)x² - 2x ≥ 1 (0,3)x² - 2x ≥ (0,3)0
Como a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente. Então, x² - 2x ≤ 0.
Resolvendo a inequação do 2º grau, segue que 0 ≤ x ≤ 2. Resposta: alternativa a 13) Queremos resolver:
32x-1 – 3x < 0 9x
Como o valor de 9x é sempre positivo, para que a razão seja negativa, temos que ter o numerador negativo, isto é, 32x-1 – 3x < 0 ⇔ 32x-1 < 3x Como a base é maior do que 1, a função exponencial é crescente. Resposta: 2x-1
2-x . 4x < 8x+1 ⇔ 2-x . 22x < 23x+3 ⇔ 2-x < 23x+3
capítulo 8
• 245
Como a base é maior do que 1, a função exponencial é crescente. Então: x < 3x+3 ⇔ -2x < 3 ⇔ 2x > -3 ⇒ x >
-3 . 2
Resposta: alternativa e 15) Reduzindo as potencias à base 3, temos que:
81-1 < 32n+1 < 27 ⇔ 3-4 < 32n+1 < 33
Como a base é maior do que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então: -4 < 2n+1 <3 -5 < 2n <2 -2,5 < n <1
Note que os possíveis valores inteiros de n são: -2, -1 e 0. Logo, a soma é -3.
Resposta: alternativa d
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2: Logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna, 2013. SOUZA, Joamir. Novo olhar. Volume 1.São Paulo: FTD, 2010.
246 •
capítulo 8
9 Logaritmos e funções logarítmicas
OBJETIVOS 1. Definir logaritmo; 2. Utilizar as propriedades de logaritmo; 3. Identificar uma função logarítmica; 4. Analisar o gráfico de uma função logarítmica; 5. Resolver equações e inequações logarítmicas; 6. Resolver problemas que envolvam função logarítmica.
1 Logaritmo Para entender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de 1. Por exemplo, 34 = 81. Ao expoente dessa potência damos o nome de Observe que logaritmo . para o estudo Considerando o exemplo analisado, dizemos que 4 é o logaritmo de 81 na base 3. Em notação: 34 = 81 ↔ log 3 81 = 4. Observe que para o estudo de logaritmo é comum o uso de propriedades de potências.
de logaritmo é comum o uso de propriedades de potências.
CURIOSIDADE Ajudando a resolver os problemas As propriedades envolvendo logaritmos são ferramentas poderosas na resolução de problemas de crescimento e decrescimento exponencial. As funções exponencial e logarítmica caminham juntas e muitas situações reais podem ser modeladas com uma destas funções, necessitando da outra função para suas resoluções. A utilidade dos logaritmos para realizar cálculos complexos é bem extensa, ajudando a prever resultados, como no caso do resfriamento dos corpos, por exemplo. Os peritos que investigam um crime devem ser hábeis com os números, gráficos e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
248 •
capítulo 9
Além disso, na Economia, elas auxiliam na representação de várias funções de custos (lucros e prejuízos) e produção, sendo também utilizadas para modelar o crescimento populacional, processos de desintegração radiativa e curvas de aprendizagem, nas quais educadores e psicólogos avaliam o grau de aprendizado dos alunos.
CONCEITO Sejam a e b números reais positivos e b≠1. Chama-se logaritmo de a na base b ao expoente x tal que bx=a. Em notação: bx=a ↔ logba = x, em que a é chamado de logaritmando .
EXEMPLO 1) O valor log216 é o expoente x tal que 2x = 16.
Logo, x = 4. Assim, log216 = 4. 1
x
2) O valor log5 25 é o expoente x tal que 5 = 1/25.
Logo, x= -2. Assim log5
1 = -2. 25
2 Propriedades imediatas dos logaritmos Considerando a e b números reais positivos com a≠1, temos a seguir as propriedades que surgem da aplicação imediata da definição de logaritmo.
P1) logaa = 1
Prova De fato, fazendo logaa = x, por definição de logaritmo, temos que ax = a = a1. Logo, x=1 e logaa=1.
capítulo 9
• 249
P2) loga1 = 0
Prova De fato, fazendo loga1 = x, por definição de logaritmo, temos que ax = 1 = a0. Logo, x=0 e loga1 = 0.
P3) logaam = m
Prova De fato, fazendo logaam = x, por definição de logaritmo, temos que ax = ax. Logo, x = m e logaam = m.
P4) alogab = b
Prova De fato, fazendo logab = x, por definição de logaritmo, temos que ax = b. Logo, x = logab. Assim, alogab = b.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Calcule log1664:
Resolução Faça log1664 = x, por definição de logaritmo, temos que 16x = 64. Assim, (4²)x = 4³→ 2x = 3 → x = 3 . 2 Portanto, log1664 =
250 •
3 . 2
capítulo 9
2) Calcule log2433:
Resolução Faça log2433 = x, por definição de logaritmo, temos que 243x = 3. Assim, (35)x = 3 → 5x = 1 → x =
1 . 5
Portanto, log2433 = 15 .
3) Calcule o valor da expressão E = 4log45 + log77 + log0,81 - log334
Resolução Vamos encontrar o valor de cada termo da expressão: 1º) 4log45 . Pela propriedade P4, temos 4log45 =5. 2º) log77 . Pela propriedade P1, temos log77 =1. 3º) log0,81 . Pela propriedade P2, temos log0,81 = 0. 4
4
4º) log33 . Pela propriedade P3, temos log33 = 4. Portanto, E = 5+1+0-4 =2.
4) Para que valores de x existe log22x-8?
Resolução Por definição, o logaritmando tem que ser maior do que zero e a base tem que ser maior do que zero e diferente de um. Assim, 2x-8 > 0 ⇒ x>4. A base é 2, que é maior do que zero e diferente de um. Portanto, para que exista log 2x-8, 2 devemos ter x>4.
capítulo 9
• 251
3 Propriedadescom operações de logaritmos Considere a, b e c números reais positivos e a≠1, temos mais algumas propriedades que envolvem as relações entre os valores dos logaritmos de dois ou mais números. P5) Logaritmo do produto
Em uma mesma base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Em notação: logabc = logab + logac
Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: x = logab; y = logac e z = logabc x
y
z
a = b, a = c e a = bc. Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az = b.c = ax . ay = ax+y ⇒ z = x+y
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:
logabc = logab + logac
P6) Logaritmo do quociente
Em uma mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses números. Em notação: loga
252 •
capítulo 9
b = logab - logac c
Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: x = logab; y = logac e z = loga
b c
Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b, ay = c e az =
b . c
Então, substituindo os valores de b e c na terceira expressão, temos: az =
b ax = y = ax-y ⇒ z = x-y c a
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:
loga
b = logab - logac c
P7) Logaritmo da potência
O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Em notação: logabm = m . logab
Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = logab e y = logabm. Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b e ay = bm. Então, substituindo o valor de b, temos:
ay = bm = (ax)m = am.x ⇒ y = mx Assim, substituindo as expressões de x e y na última equação, temos:
logabm = m . logab
capítulo 9
• 253
P8) Mudança de base
Em alguns casos, precisamos realizar cálculos com logaritmos de bases erentes. dif Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de base. Então, podemos transformar um logaritmo em uma base a (a>0,a≠1) em um logaritmo em uma base c (c>0,c≠1). Em notação: logab =
logcb logca
Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por:
x = logab , y = logcb e z = logca Fazendo uso da definição de logaritmo, temos que ax = b, cy = b e cz = a. Então, ax = b = cy, e, substituindo o valor de a, temos:
ax = cy ⇒ (cz)x = cy ⇔ zx = y ⇒ x =
y z
Assim, substituindo as expressões de x, y e z na última equação, temos:
logab =
logcb logca
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Considere que log102 = 0,30 e log103 = 0,48 e calcule: a) log106 b) log101,5 c) log10108
254 •
capítulo 9
Resolução a) Como sabemos, no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 6 como
sendo o produto de 2 por 3. Assim, log106 = log102 ∙ 3. Pela propriedade P5, log106 = log102 + log103 = 0,30+0,48 = 0,78. b) Como sabemos, no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 1,5 como sendo a razão de 3 por 2. Assim, log101,5 = log10
3 . 2
Pela propriedade P6, log101,5 = log103 - log102 = 0,48-0,30 = 0,18. c) Como sabemos, no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10, podemos escrever 108 = 2² . 3³.
Assim, log10108 = log10 2² . 3³. Pelas propriedades P5 e P7, temos: log10108 = log102² + log103³, log10108 = 2 . log102 + 3. log103 Logo, log10108 = 2 . 0,30 + 3 . 0,48 = 2,04.
2) Determine o valor da expressão log8625 ∙ log564:
Resolução Inicialmente, vamos colocar todos os logaritmos envolvidos na base 5. Utilizando a propriedade P8, temos que: log8625 ∙ log564 =
log5625 log554 . log564 = . log58² log58 log58
Pela propriedade P7, segue que:
capítulo 9
• 255
log554 4log55 . log58² = . 2 . log 28 = 4 . log55 . 2 = 8 . log 55 log58 log58
E da propriedade P1, temos que log55 = 1. Assim, log8625 ∙ log564 = 8.1 = 8.
4 Sistemas de logaritmos na base a Chamamos o conjunto de todos os logaritmos na base a de sistema de logaritmos na base a (em que a>0, a≠1). Os dois principais sistemas são o logaritmo decimal e o logaritmo natural . Vamos analisá-los:
4.1 I - Sistema de logaritmo decimal É um sistema de logaritmo na base 10. A preferência pelos logaritmos decimais se deve ao fato de usarmos um sistema de numeração de base 10. Em notação: log10b = log b.
4.2 II - Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano É um sistema de logaritmo na base e = 2,718283..., que é um número irracional, chamado número de Euler. Em notação: logeb = ln b.
EXERCÍCIO lne RESOLVIDO + ln1
1) Resolva a expressão E =
lne²
Resolução Colocando as bases de forma explícita, temos:
256 •
capítulo 9
E=
lne + ln1 logee + loge1 = lne² logee²
Pelas propriedades P1, P2 e P3, sabemos respectivamente que logee = 1, loge1 = 0 e logee² = 2 logee = 2.
Substituindo esses valores em E, temos: E=
2) Encontre o valor de log
5
logee + loge1 1 + 0 1 = = logee² 2 2
10³:
Resolução 5
Sabemos que log 10³ = log103/5 = log10103/5. Então, pela propriedade P3: 5 3 log 10³ = 5
3) Dada a expressão S = log 0,001 + log 100, o valor de S é:
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1
Resolução Usando a propriedade P3, temos que: log0,001 = log10-3 = log1010-3- 3 e log100 = log10² = log1010² = 2
Logo, S=-3+2=-1. Resposta: alternativa c.
capítulo 9
• 257
5 Função logarítmica Considere a>0 e a ≠1. Estudamos, no capítulo anterior, a função exponencial f:ℝ→ ℝ+* definida por f(x)=ax. Esta função é bijetora e, portanto, admite função inversa. A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f: ℝ+*→ ℝ, definida por f(x)= logax.
A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f: ℝ+*→ℝ, definida por f(x)= loga x.
EXEMPLO 1) f(x)= log8 x é a função inversa de f(x) = 8x 1 2) y = log1/5 x é a função inversa de f(x) = 5
x
6 Gráfico de uma função logarítmica O gráfico da função f(x)= loga x é uma curva posicionada no primeiro e no quarto quadrante (pois x>0), ou seja, o gráfico da função f(x)= loga x não toca o eixo-y (eixo das ordenadas). Além disso, ela passa pelo ponto (1,0), pois, se x=1, temos que: f(1) = loga 1 = 0
EXERCÍCIO RESOLVIDO
1) Faça o gráfico da função f(x) = log2 x:
Resolução Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x), vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos:
258 •
capítulo 9
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
f(x) = log2 x -3 -2 -1 0 1 2
4
4
3
3
2
2
1
1
0
2
4
6
8
0
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
2
4
6
8
3
2) Faça o gráfico da função y = log1/2 x
Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x), vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos: x 1/8 1/4 1/2
f(x) = log1/2 x 3 2 1
4
4
3
3
2
2
1 0
1 2 4 8
0 -1 -2 -3
1 2
4
6
8
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
2
4
6
8
COMENTÁRIO 1) No primeiro exemplo, temos a>1.
Note que Dom(f)= ℝ *, Im(f) = ℝ e a função é crescente em todo seu domínio. +
É fácil verificar que, ao utilizarmos valores de x cada vez maiores (x=100, 1000, 100000,...), os valores de f(x) também serão cada vez maiores. Ou seja, quando x “tende” a infinito, f(x) também “tende” a infinito: x→+∞ ⇒ f(x)→+∞
capítulo 9
• 259
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x=0,1; 0, 001; 0,00001;...) , os valores de f(x) serão cada vez menores, e mais negativos. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a menos infinito: x→0 ⇒ f(x)→-∞
Veja o esboço do gráfico: f(x) = logax
y
0
(1,0)
x
2) No segundo exemplo, temos 0
Note que Dom(f)= ℝ+*, Im(f) = ℝ e a função é decrescente em todo seu domínio. É fácil verificar que, ao utilizamos valores de x cada vez maiores (x=100, 1000, 100000,...), os x tende a infinito,f(x) valores def(x) serão cada vez menores e mais negativos. Ou seja, quando também tende a menos infinito: x→+∞ ⇒ f(x)→-∞
Por outro lado, quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x=0,1; 0,001; 0,00001;...), os valores de f(x) serão cada vez maiores. Ou seja, quando x tende a 0, f(x) também tende a infinito: x→0 ⇒ f(x)→+∞
Veja o esboço do gráfico: f(x) = logax
y
0
260 •
capítulo 9
(1,0)
x
3) Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre si, seus gráficos
são simétricos em relação a função identidade (bissetriz dos quadrantes ímpares), conforme esboços abaixo. Se a > 1: y
y=x
8 7 6 5 4 3 2 1
y = ax
-4 -3 -2 -1 0
y = logax
x
1 2 3 4
Se 0 < a < 1: y
y = ax
y=x
8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4
x
y = logax
ATENÇÃO
1) Uma função f:A→B é sobrejetora se, e somente se, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que f(x) = y . Em outras palavras, podemos dizer que uma função é sobrejetora quando seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem. 2) Uma função f:A→B é injetora se, e somente se,x1 ≠ x2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x2 ) para quaisquer x1 e
capítulo 9
• 261
x2 pertencentes ao domínioA. Em outras palavras, podemos dizer queuma função é injetora quando elementos quaisquer do domínio def, distintos entre si, tiverem imagens também distintas entre si, através def. 3) Uma função f:A→B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.
Lembre-se que apenas as funções bijetoras admitem função inversa.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dada a função f(x)=log3 x, calcule f(81):
Resolução Temos f(81) = log3 81 = log3 34 ⇒ f(81) = 4, pela propriedade P4. 2) Determine o domínio da função f(x)=log7 (4x-12):
Resolução Existe log b se, e somente se, b>0 e a>0, a≠1, conforme vimos na definição de logaritmo. a
Assim, a base 7 é maior do que zero e diferente de um. Basta, então, analisarmos o logaritmando, que deve ser maior do que zero. Portanto, devemos ter: 4x-12 > 0 ⇒ x>3. Logo, o domínio da função é {x ∈ ℝ | x>3}. 3) Nesta figura, está representado o gráfico de f(x) = log4 x: y
2
0
O valor de f(128) é:
262 •
capítulo 9
16
x
a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7
Resolução Do gráfico, temos que f(16)= 2. Assim, logn16 =2 ⇒ n² =16 ⇒ n = 4 , pois a base do logaritmo não pode ser negativa. Portanto, f(x)=log4x. Queremos calcular f(128) = log4128 = y, então, por definição de logaritmo, temos: 4y = 128 ⇒ (2²)y = 27 ⇒ 2y = 7 ⇒ y =
Logo, f(128) =
7 2
7 . 2
Resposta: alternativa c.
7 Equação logarítmica Toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo é chamada equação logarítmica.
REFLEXÃO No capítulo anterior, deixamos a equaçãox 3= 5 como exercício de reflexão, lembra-se? Agora chegou a hora de ver a resolução. A solução é obtida diretamente da definição de logaritmo, ou seja, x = log35.
capítulo 9
• 263
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva log2(4x+24) = 5:
Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero.
Logo, 4x+24>0 ⇒ x>-6. Cabe observar que, sendo a base maior do que zero e diferente de um, não precisamos impor nenhuma condição de existência para a base. 2º) Solução da equação. Da definição de logaritmo, temos que:
25 = 4x+24 ⇒ 4x+24 = 32 ⇒ x = 2 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução
da equação: x>-6 e x=2. Portanto, S={2}. 2) Resolva a equação log3(x+1) + log3(x-7) = 2:
Resolução 1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero.
Logo: > 0 → x > -1 {x+1 x-7 > 0 → x > 7
Portanto, a condição de existência é x > 7. 2º) Solução da equação. Pela propriedade P5, temos:
log3(x+1) + log3(x-7) = 2 ⇔ log3(x+1)(x-7) = 2
Por definição de logaritmo: 3² = (x+1).(x-7) ⇒ x² - 6x - 7 = 9 ⇒ x² - 6x - 16 = 0
264 •
capítulo 9
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x1 = 8 ou x2 = -2. 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução
da equação: x > 7 e (x1 = 8 ou x2 = -2). Portanto, S={8}.
8 Inequação logarítmica Toda inequação que apresentar a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo é chamada de inequação logarítmica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a inequação log2(3x-1) > 3:
Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero.
Logo, 3x-1 > 0 ⇒ x >
1 . 3
2º) Solução da inequação. Para comparar dois logaritmos, vamos escrever o número 3 como
um logaritmo na base 2: log2(3x-1) > 3 ⇔ log2(3x-1) > log2 2³
Como a base é maior do que 1, a função logarítmica é crescente. Portanto, 3x-1 > 2³ ⇒ x>3. 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução
da equação: x >
1 e x > 3. Portanto, S={x ∈ ℝ | x>3}. 3
2) Resolva a inequação log½(x-4) ≥ 2:
capítulo 9
• 265
Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero.
Logo, x-4 > 0 ⇒ x > 4. 2º) Solução da inequação. Para comparar dois logaritmos, vamos escrever o número 2 como
um logaritmo na base ½, através da propriedade P3: log½(x-4) ≥ 2 ⇔ log½(x-4) ≥ log½(
1 )² 2
Como a base está entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente. Portanto: x-4 ≤ (
1 1 17 )² ⇒ x ≤ 4 + ⇒x≤ 2 4 4
3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução
da inequação: x > 4 e x ≤
17 . 4
Portanto, S={x ∈ ℝ | 4 < x ≤
17 }. 4
ATIVIDADE 1) Se log123 = 2,09, o valor de log1,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1,209 2) Se log2=a e log3=b, escrevendo log(
27
a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab d) 2a/b e) 5a-3b
266 •
32
capítulo 9
) em função de a e b obtemos:
3) (UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção
de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático: h(t)= 1,5+ log3(t+1)
Com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 4) (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determina-
da cidade, com idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula: 0,7
h = log10 . i
Onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos). Pela fórmula, uma criança de 10 anos desta cidade terá altura de: a) 120 cm b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm
capítulo 9
• 267
5) (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. y
0,25 1
x
-1
O valor de b é: a) 1/4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 6) (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x.
Então, a soma das raízes de log2x - log x3 = 0 é igual a: a) 1 b) 101 c) 1000 d) 1001 7) (FUVEST) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y= log x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é: y
0
268 •
capítulo 9
12
34
x
a) log 2 b) log 3 c) log 4 d) log 5 e) log 6 8) (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensida-
de de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação: I= I0 . (0,8)h/40 Na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é a intensidade na superfície.
Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log 2 = 0,3, equivale a:
a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2 9) Resolva a equação: log5(3x+7) - log5(x-1) = 1. 10) Resolva a inequação: log3 (3x+6) < log3 x.
capítulo 9
• 269
GABARITO 1) Pela propriedade P6:
log1,23 = log
123 = log123 - log100 = 2,09 - 2 = 0,09 100
Resposta: alternativa b 2) Da propriedade P6, temos que:
log
32 = log32 - log27 = log25 - log33 = 5.log2 - 3.log3 27
Substituindo log2 e log3, obtemos: log
32 = 5a - 3b 27
Resposta: alternativa e
3) Queremos determinar t tal que h(t)=3,5, isto é, se:
h(t)= 1,5+ log3(t+1) 3,5 = 1,5 + log3(t+1) ⇒ log3(t+1) = 2 ⇒ t+1 = 9 ⇒ t=8 Resposta: alternativa b 4) Queremos determinar h(10), ou seja, se:
h(i) = log(100,7. i ) h(10) = log(10 . 10 )= lo g (10 0,7 .100,5) = log101,2 = 1,2m ou 120cm 0,7
Resposta: alternativa a 5) Sendo a função uma função logarítmica f(x) = logbx, queremos determinar o valor de b.
Pelo gráfico, temos que f(0,25) = -1. Assim:
270 •
capítulo 9
-1 = logb0,25 ⇒ b-1 = 0,25 ⇒
1 1 = ⇒ b=4 b 4
Resposta: alternativa d 6) Da propriedade P5:
log²x - logx³ = 0 ⇒ log²x - 3.logx = 0 ⇒ logx.(logx- 3) = 0 ⇒ logx = 0 ou logx =3
Por definição de logaritmo, x= 100 ou x= 10³, isto é, x=1 ou x=1000. Logo, S=1+1000=1001. Resposta: alternativa d 7) Vamos marcar no gráfico as ordenadas dos pontos x=2, x=3, e x=4, que são respectiva-
mente log2, log3 e log4: y
log4 log3 log2
0
1234
x
Considere os dois retângulos hachurados na figura. Temos que a base dos dois retângulos é igual a 1 e a altura de um retângulo é log3 - log2, enquanto que a altura do outro retângulo é log4 - log3. Então, a soma das áreas dos retângulos hachurados é dada por: A = 1(log3 - log2) + 1(log4 - log3) = log4 - log2 = log
4 = log2 2
Resposta: alternativa a
capítulo 9
• 271
8) Queremos determinar h tal que I(h) =
32 . I , isto é: 100 0
32 . I = I . (0,8)h/40 100 0 0
Dividindo por I0 e aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação, temos: log
32 h 8 = log(0,8)h/40 ⇒ log32 - log100 = .log 100 40 10 ⇒ log25 - log102 = ⇒ 5.log2 - 2 =
⇒ 5(0,3)-2 =
h .(log8 - log10) 40 h .(log2³ - 1) 40
h h .(3 log2- 1) ⇒ -0,5 = .(-0,1) 40 40
1 h 1 = . ⇒ h = 200 ou 2,0m 2 40 10 Resposta: alternativa c
9) Temos a seguinte equação:
log5(3x+7) - log5(x-1) = 1
1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero. Logo: 7 3x+7 > 0 ⇒ x > 3 x-1>0 ⇒ x>1
Portanto, a condição de existência é x>1. 2º) Solução da equação. Pela propriedade P6, temos que: 1 = log5(3x+7) - log5(x-1) = log5
3x+7 x-1
Por definição de logaritmo: 3x+7 = 5 ⇒ 3x+7 = 5x-5 ⇒ x=6 x-1
272 •
capítulo 9
3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x>1 e x=6. Portanto, S={6}. 10) Temos a seguinte inequação:
log3(3x+6) < log3x
1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero. Ou seja, 3x+6>0 e x>0 ⇒ x>-2 e x>0.
Logo, a condição de existência é x>0. 2º) Solução da inequação. Como a base é maior do que 1, a função é crescente. Assim, log3(3x+6) < log3x ⇒ 3x+6 < x ⇒ x< -3. 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da inequação: x>0 e x< -3. Portanto, S = ⌀.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GALVÃO, Lauro CésarMatemática Aplicada. UTFPR. Disponível em: http://www.lce.esalq.usp.br/ arquivos/aulas/2013/LCE0176/mat_aplicada_a.pdf. Acesso em: 04 mar. 2014. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 2: Logaritmos. 10. ed. São Paulo: Atual, 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 2. São Paulo: Moderna, 2013. SOUZA, Joamir. Novo olhar. Volume 1. São Paulo: FTD, 2010.
capítulo 9
• 273
ANOTAÇÕES
10 Trigonometria
OBJETIVOS 1. Identificar as razões trigonométricas no triângulo retângulo; 2. Relacionar as razões trigonométricas com o círculo trigonométrico; 3. Estudar as relações e fórmulas trigonométricas; 4. Reconhecer e utilizar as fórmulas de adição subtração e de arcos, as fórmulas de arcos duplos,
as de arcos triplos, as de arco-metade e as de transformação em produto; 5. Estudar as funções trigonométricas básicas.
1 Ângulo e Trigonometria O conceito de ângulo surgiu, possivelmente, com os gregos que, em contato com a civilização babilônica, adotaram as medidas sexagesimais. A sua srcem veio com a necessidade de se aprimorar as técnicas de Astronomia e aperfeiçoar instrumentos para a navegação por volta dos séculos IV e V a.C. com os egípcios e os babilônios. O astrônomo Hiparco de Nicéia é considerado o pai da Trigonometria por ter feito, no século II a.C., um tratado de doze livros, srcinando o que se chamou de "a primeira tábua de cordas" e "a primeira tabela trigonométrica". Além disso, elaborou constantes melhoramentos e aperfeiçoamentos de instrumentos astronômicos e consolidou considerações importantes sobre a duração de meses e ano, além da precessão dos equinócios. Para se ter ideia, a noção de cosseno surgiu apenas no século XVII, como sendo o seno do complemento de um dado ângulo. Acredita-se que os conceitos de cosseno e seno de um ângulo surgiram em decorrência de problemas relativos à Astronomia, enquanto o conceitode tangente de um ângulo é srcinário da necessidade de se calcular alturas e distâncias.
2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Considerando um triângulo retângulo e fixando um de seus ângulos agudos (por exemplo, o ânguloα), obtemos importantes relações trigonométricas:
276 •
capítulo 10
SENO DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo, ou seja, sen α = ac .
COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo, ou seja, cos α = bc .
TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente, ou seja, tg α== ab .
COTANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e o cateto oposto, ou seja, cotg α= ba .
SECANTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre a hipotenusa do triângulo retângulo e o cateto adjacente a este ângulo, ou seja, sec α= bc .
COSSECANTE DE ÂNGULO AGUDO É a razão entre a hipotenusa do triângulo retângulo e o cateto oposto a este ângulo, ou seja, cossec α= ac .
3 Relação fundamental e relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente 3.1 Relação Fundamental Do triângulo que analisamos anteriormente, temos que: sen α = ac e cos α = bc .
Então, vale que: a=c.sen α e b=c.cosα
capítulo 10
• 277
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo, sabemos que:
c² = a² + b² Fazendo as substituições pertinentes, temos que: c² = c²sen²α + c²cos²α c² = c²(sen²α+cos²α ) ⇒ sen²α + cos²α = 1
CONCEITO Teorema de Pitágoras c²
c b
a
O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na imagem, podemos verificar que se trata da soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) que equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).
a²
b²
3.2 Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente Essas relações podem ser facilmente demonstradas através das relações métricas no triângulo retângulo:
B
β c
a
α A
278 •
capítulo 10
b
C
α tg α= sen cos α cos α cotg α= sen α α tg α= sen cos α α tg α= sen cos α α tg α= sen cos α α tg α= sen cos α α tg α= sen cos α
EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m de uma torre, avista o seu topo sob um ângulo de 60º com a horizontal. Determine a altura desta torre: (Dados: sen 60º = 0,86; cos60º = 0,50 e tg60º = 1,73) a) 174,5m b) 173,2m c) 86,6m d) 50,0m e) 173,0m
Resolução Vamos esboçar um desenho referente ao problema: Para resolver esse problema, devemos escolher a melhor relação trigonométrica que nos fornecerá aquilo que a questão pede. Sabemos que a tangente de um ângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Assim: tg60º =
cateto oposto = b = 1,73 cateto adjacente 100
capítulo 10
• 279
Portanto, temos que a altura H será: H = b+1,5 = 100 . 1,73 + 1,50 = 173 + 1,50 = 174,5m Não podemos nos esquecer de somar a altura do indivíduo que observa a torre. Por isso, somamos 1,50m a b. Logo, a alternativa correta é a letra a.
4 Ângulos notáveis 4.1 Ângulo de 45º
L
Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que: d
L
L²+L² = d² ⇒ d² = 2L² ∴ d=L 2 Lembre-se que o símbolo “ ∴” significa “portanto”.
Então, temos:
sen45° =
cos45° =
L L 2
= 1 =
L = L 2
tg 45° =
2
1 = 2
2 2 2 2
L =1 L
4.2 Ângulo de 30º e 60º No triângulo equilátero, a altura coincide com a mediana e com a bissetriz. Logo, o segmento AD divide o ângulo do vértice A em dois ângulos iguais a 30°e também o segmento CB ao meio.
A
l
l h
C
l 2
280 •
capítulo 10
D
l 2
B
Lembre-se que, em um triângulo equilátero, além dos lados serem iguais, os ângulos são iguais a 60°.
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ∆ACD (ou ∆ADB), temos:
l² = (
l l² 3l² )² + h² ⇒ h² = l² = ∴h= l 3 2 2 4 4
Então:
sen30° = cos30° = tg 30° =
l/2 1 = l 2
h = l 3/2 = 3 l 2 l
l/2 l/2 1 = = = l l 3/2 3
3 3
Sabemos que 60° é o complemento de 30°, então usaremos as relações de seno e cosseno de ângulos complementares, as quais serão estudadas mais adiante: sen θ=cos(90-θ) cos θ=sen(90-θ)
Portanto:
sen 60° = cos30° = cos60° = sen 30° = tg 60° =
sen60º cos60º
=
3 2 1 2
3/2 = 3 1/2
capítulo 10
• 281
RESUMO 30°
senα
45 °
60° 2
1
3
2
2
2
cosα
3 2
2 2
1 2
tgα
3 3
1
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO sen2x + cos4x Qual é o valor da expressão E =
cos²2x
, para x=15°?
Resolução Substituindo x=15°, temos: E=
sen2x + cos4x sen30º+cos60º = = cos²2x cos²30º
1/2 + 1/2 ( 3/2)²
=
1 4 = 3/4 3
Note que cos²2x = (cos2x )(cos2x).
Portanto, E =
4 . 3
5 Razões trigonométricas na circunferência Para o estudo da circunferência trigonométrica, representada na figura abaixo, vamos fazer as seguintes considerações:
282 •
capítulo 10
y B(0,1) P
α
D(-1,0) 0
A(1,0) x
D(0,-1)
A circunferência trigonométrica tem raio igual a 1, e centro em O=(0,0) nos eixos coordenados; O ângulo α é formado a partir do eixo Ox, no sentido anti-horário;
Os eixos coordenados dividem o círculo em 4 quadrantes, sendo o superior direito o 1º quadrante, o superior esquerdo o 2º, o inferior esquerdo o 3º e o inferior direito o 4º e último quadrante.
Assim, é possível obter as relações trigonométricas seno, cosseno, tangente, entre outras, tendo como base a circunferência trigonométrica.
6 As razões trigonométricas A partir da circunferência trigonométrica, vamos definir as razões trigonométricas já estudadas:
6.1 Seno e Cosseno Dado um arco trigonométrico qualquer de medida AP e ângulo α, sendo o raio da circunferência trigonométrica unitário, podemos observar que o seno e o cosseno do ângulo α são a ordenada e a abscissa do ponto P, respectivamente.
capítulo 10
• 283
senα = OS = OS = OS e cosα = OR = OR = OS OP
1
OP
1
Variação do Sinal y
S
O seno de um ângulo é a ordenada da extremidade P do seu arco. Assim, os pontos que têm ordenada positiva são os do 1º e 2º quadrantes. Portanto, o seno
P
senα
A
de um ângulo será positivo para os ângulos no 1º e 2º quadrantes, e será negativo para os ângulos no 3º e 4º quadrantes. O cosseno de um ângulo é a abscissa da extremidade P do seu arco. Assim, os pontos que têm abscissa positiva são os do 1º e 4º quadrantes. Portanto, o cosseno de um ângulo será positivo para os ângulos no 1º e 4º quadrantes, e será negativo para os ângulos no 2º e 3º quadrantes. α
0
cos α
R
x
6.2 Tangente e Cotangente Considere um ângulo α ∈ [0,2π] com α ≠ π/2 e α ≠ 3π/2. Seja T o ponto de intersecção da reta OS com o eixo das tangentes. Na figura a seguir, os triângulos ∆ROP e ∆AOT são semelhantes, logo: RP = AT ⇒ senα = AT ⇒ tgα= AT OR OA 1 cosα
Portanto, a tangente de α é a medida algébrica do segmento AT. y eixo das cotangentes
M
U
S eixo dos cossenos
senα
O
P α cosα
eixo dos senos
284 •
capítulo 10
T tgα
R
A
eixo das tangentes
x
Considere um ângulo α ∈ [0,2π] com α≠0, α≠πe α≠2π. Seja U o ponto de intersecção da reta OP com o eixo das cotangentes. Na figura a seguir, os triângulos ∆SOP e ∆MOU são semelhantes, logo: SP = MU ⇒ cosα = MU ⇒ cotgα= MU OS OM senα 1
A cotangente de α é a medida algébrica do segmento MU. y eixo das cotangentes
M
U
cotgα
S
P
senα eixo dos cossenos
O
T tgα
α cosα
R
A
eixo dos
eixo das
senos
tangentes
x
Variação do Sinal y cotgα
coeixo x
co
senα
cα se
cα se
tgα
α cosα
x
coeixo y
A variação do sinal da tangente e cotangente de um ângulo está relacionada com a variação do seno e do cosseno do mesmo ângulo, já que são razõesentre elas. Assim, é de fácil dedução que a tangente será positiva nos 1º e 3º quadrantes (seno e cosseno com mesmo sinal), e negativa nos 2º e 4º quadrantes (seno e cosseno com sinais opostos), assim como a cotangente.
capítulo 10
• 285
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é o sinal da expressão E = sec
9π 8
. (tg
7π 6
+ cotg
π 7
)?
Resolução Para solucionarmos este tipo de problema, devemos estudar o sinal dos dois fatores que compõem a expressão. Vamos a eles: 9π
π
) está 3º quadrante ⇒ sec
9π
<0 8 8 8 7π π 7π = (π+ ) está 3º quadrante ⇒ tg >0 6 6 6 π π está 3º quadrante ⇒ cotg >0 7 7 = (π+
Logo, temos a multiplicação de um fator menor do que zero por um fator maior do que zero. Portanto, a expressão E tem o sinal negativo.
7 Corolário Vamos, nesta parte do capítulo, aproveitar para demonstrar um corolário importante para o estudo da Trigonometria, utilizando as relações fundamentais já estudadas.
EXEMPLO π
3π
Para todo x ∈ [0,2π] e x {0, , π, , 2π} valem as seguintes relações trigonométricas: 1 2 2 I. cotg x = tgx II. tg²x+1 = sec² x III. 1+cotg²x = cossec²x
1 1+tg²x tg²x V. sen²x = 1+tg²x IV. cos²x =
286 •
capítulo 10
Demonstração Usando a definição das relações trigonométricas, provaremos cada item a seguir: I. cotg x =
cosx 1 1 = = senx senx / cosx tgx
II. tg²x+1 =
sen²x
+1 =
sen²x + cos²x
cos²x III. 1+cotg²x = 1+
IV. cos²x =
cos²x
1
=
= sec²x
cos²x
cos²x sen²x + cos²x 1 = = = cossec²x sen²x sen²x sen²x
1 1 = sec²x 1+tg²x
V. sen²x = cos²x.
sen²x 1 tg²x = cos²x . tg²x = . tg²x = cos²x 1+tg²x 1+tg²x
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é o valor numérico de K=(sen x+cos x)² +
sen x cos x
para x =
2π
?
3
a) 1 b)
2+3 3 2
c)
6+5 3 2
d)
2-3 3
2 6 5 3 e) 2
capítulo 10
• 287
Resolução 2π
O ângulo de em radianos equivale ao ângulo de 120º. Assim, vamos à expressão do 3 problema: sen x = sen²x + 2 . sen x . cos x + cos²x + tg x cos x 2π 2π 2π K = 1 + 2 . sen x . cos x + tg x = 1 + 2 . sen . cos + tg 3 3 3
K=(sen x+cos x)² +
K = 1 + 2 . ( 3 )( - 1 )- 3 = 1 - 3 - 3 = 2 - 3 - 2 3 = 2 - 3 3 2 2 2 2 2 Logo, a alternativa correta é a letra d.
8 Arcos Côngruos Dois arcos AB e AC são côngruos se, e somente se, as extremidades B e C são coincidentes. A congruência é representada por AB ≡ AC .
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual das alternativas abaixo representa a medida de um arco côngruo ao arco triπ gonométrico de rad? 7 a)
22π rad 7
b)
6π rad 7
c)
8π rad 7
d) 29π rad
7
e)
13π rad 7
Resolução Devemos ter em mente que o arco trigonométrico de
288 •
capítulo 10
π rad é do 1º quadrante. 7
Vamos estudar os arcos individualmente, até encontrarmos a alternativa correta: a)
22π π = 3π + → arco do 3º quadrante. 7 7
b)
6π π =π→ arco do 2º quadrante. 7 7
c)
8π
=π+
π
→ arco do 3º quadrante.
d)
7 7 29π π = 4π + → arco do 1º quadrante, côngruo ao arco procurado. 7 7
e)
13π π = 2π → arco do 4º quadrante. 7 7
Logo, a alternativa correta é a letra d.
ATENÇÃO Com relação a arcos côngruos, temos o seguinte resultado muito usado nos exercícios: sen(2kπ+x) = sen(x), para todo k ∈ Z. Pois, não importa o número de voltas que contamos para frente ou para trás a partir do ângulo x. Isso vale para cosseno, tangente etc.
9 Redução ao 1º quadrante Vamos considerar um arco de medida α com extremidade no 1º quadrante. Então, podemos reduzir arcos de medidasπ-α, π+α e 2π-α, os quais estão nos 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente, ao 1º quadrante de uma forma bastante simples e intuitiva. Então, vamos a elas.
capítulo 10
• 289
9.1 Redução do 2º ao 1º quadrante y
(π - α)
Observamos, através da imagem, que os arcos são simétricos em relação ao eixo dos senos e possuem ordenadas iguais. Com
(α)
isso, temos que: x
O
sen (π-α) = sen α cos (π-α) = -cos α
9.2 Redução do 3º ao 1º quadrante y
Observamos, através da imagem, que os arcos são simétricos em relação aos eixos dos senos e dos cossenos. Com isso, temos que:
(α)
O (π + α)
290 •
x
sen (π+α)=-sen α cos (π+α) = -cos α
capítulo 10
9.3 Redução do 4º ao 1º quadrante y
Observamos, através da imagem, que os arcos são simétricos em relação ao eixo dos cossenos e possuem abscissas iguais. Com
(α)
isso, temos que: x
O
sen (2π-α) = -sen α (2π - α)
cos (2π-α) = cos α
Reescrevendo as mesmas relações, utilizando arcos com medidaem graus, temos: sen (180° - α) = sen α cos(180° - α) = -cos α sen(180° + α) = -sen α cos(180° + α) = -cos α sen(360° - α) = -senα cos(360° - α) = cos α
capítulo 10
• 291
10 Outras relações entre arcos e quadrantes 10.1 Arcos de medidas opostas Passemos, então, ao estudo de arcos de medidas opostas. É bastante simples. Observe a figura a seguir:
y
y
+α (α)
x
O
(0,0)
A(1,0)
(-α)
x
-α
Conforme estudado, o eixo cartesiano Ox equivale ao eixo dos cossenos. Portanto, percebe-se que arcos de medidas opostas são simétricos em relação ao eixo dos cossenos e possuem abscissas iguais. Então, são válidas as seguintes igualdades: sen (α) = -sen(-α) cos(-α) = cos α
Caminhando um pouco mais neste estudo, vamos avançar para as relações existentes entre os arcos de medidas α, π +α, π -α, 3π +α e 3π -α. 2
292 •
capítulo 10
2
2
2
10.2 Relação entre
π 2
+αeα
y N(
π
2
Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes, ou seja, iguais. Isso implica:
+ α)
Q M(α)
O
• A ordenada do ponto N tem a mesma medida da abscissa do ponto M; e • A abscissa do ponto N é o oposto da medida da ordenada do ponto M.
x
P
Logo, são válidas as seguintes igualdades:
sen ( π +α) = cos α 2
π
cos ( 2 +α) = -sen α
10.3 Relação entre
π 2
–αeα
y N( Q
O
π
2
Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes, ou seja, iguais. Isso implica:
- α) M(α)
P
x
• A ordenada do ponto N tem a mesma medida da abscissa do ponto M; e • A abscissa do ponto N tem a mesma medida da ordenada do ponto M.
Logo, são válidas as seguintes igualdades:
capítulo 10
• 293
sen ( π -α) = cos α 2
cos ( π -α) = sen α 2
11 4) Relação entre 3π + α e α 2
y
Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes, ou seja, iguais. Isso implica:
M(α)
O
Q N(
3π
2
• A ordenada do ponto N é o oposto da medida da abscissa do ponto M; e • A abscissa do ponto N tem a mesma medida da ordenada do ponto M.
x
P
+ α)
Logo, são válidas as seguintes igualdades:
sen ( 3π +α) = -cos α 2
cos ( 3π +α) = sen α 2
12 5) Relação entre 3π – α e α 2
y
Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes, ou seja, iguais. Isso implica:
M(α)
O
N(
3π
2
294 •
Q - α)
capítulo 10
P
x
• A ordenada do ponto N é o oposto da medida da abscissa do ponto M; e • A abscissa do ponto N é o oposto da medida da ordenada do ponto M.
Logo, são válidas as seguintes igualdades:
sen ( 3π -α) = -cos α 2
cos ( 3π -α) = -sen α 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. Qual é o valor do sen (25π+β) - sen(88π-β), em que sen β= 1 ? 3 a) 0 b) - 1
3
c) 1
3
d) - 3
2
e) 2
3
Resolução Através das reduções a quadrantes aprendidas e da propriedade de arcos côngruos podemos inferir que: sen (25π+β) = sen (2.12.π+π+β) = sen (π+β) = -sen β (k=12) sen (88π-β) = sen(2.44.π- β) = sen (-β) = -sen β (k=44)
Logo, temos que: sen (25π+β) - sen(88π-β) = -sen β - (-sen β) = -sen β + sen β = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra a.
capítulo 10
• 295
2. Simplifique a expressão abaixo, respeitando as condições de existência:
K=
(a+b)²sen(π-x) - 2ab.cos(π/2 - x) a²cos(3π/2 + x) - b²sen(-x)
Resolução Conforme as reduções a quadrantes estudadas, verificamos em K o seguinte: sen (π-x) = sen x; cos(π/2-x) = sen x; cos(3π/2+x) = sen x e sen-x = -sen x
Portanto, substituindo essas relações simplificadas, temos: K=
(a+b)²sen(π-x) - 2ab.cos(π/2 - x) (a+b)²sen x - 2ab.sen x = a²cos(3π/2 + x) - b²sen(-x) a²sen x - b²(-sen x)
K=
(a² + 2ab + b² - 2ab)senx (a²+b²)sen x = =1 (a²+b²)sen x (a²+b²)sen x
Assim, a simplificação da expressão resulta em 1.
13 Transformações Eventualmente, precisamos determinar o seno ou o cosseno de ângulo que a princípio não sabemos. Para tornar seu cálculo possível, precisamos expressá -lo como soma ou diferença de dois ângulos notáveis.
13.1 Cosseno da soma e diferença de dois arcos cos(a+b) = cosa ∙ cosb - sena ∙ senb cos(a-b) = cosa ∙ cosb + sena ∙ senb
296 •
capítulo 10
EXEMPLO Determinar o cosseno de 15º: Basta que tenhamos em mente que 15º = 60º - 45º. Utilizamos, então, a fórmula da diferença: cos(a-b) = cosa ∙ cosb + sena ∙ senb cos(15º) = cos(60º-45º) = cos60º ∙ cos45º + sen60º ∙ sen45º cos(15º) =
1 ∙ 2 + 3 ∙ 2 2 2 2 2
cos(15º) =
2+ 6 4
13.2 Seno da soma e diferença de dois arcos sen(a+b) = sena ∙ cosb + senb ∙ cosa sen(a-b) = sena ∙ cosb - senb ∙ cosa
EXEMPLO Determinar o seno de 75º: Observe que 75º = 30º + 45º. Utilizamos, então, a fórmula da soma: sen(a+b) = sena ∙ cosb + senb ∙ cosa sen(75º) = sen(30º+45º)=sen30º ∙ cos45º + sen45º ∙ cos30º sen(75º) = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 2 2 2 2 sen(75º) =
2+ 6 4
capítulo 10
• 297
13.3 Tangente da soma e diferença de dois arcos tga+tgb
tg(a+b) = 1-tga∙tgb , a≠ π +kπ, b≠ π +kπ e a+b≠ π +kπ 2 2 2 tga-tgb
tg(a-b) = 1+tga∙tgb , e a-b≠ π +kπ 2
13.4 Funções circulares de 2a sen2a = 2sena ∙ cosa
cos2a = cos²a - sen²a 2tga
tg2a= 1-tg²a , a≠ π +k π 4 2
e a≠
π +kπ 2
13.5 Transformação em produto p+q
sen p + sen q = 2∙sen 2
p-q
∙ cos 2
sen p - sen q = 2∙sen
p-q p+q ∙ cos 2 2
cos p + cos q = 2∙cos
p+q p-q ∙ cos 2 2
cos p - cos q = -2∙cos
p+q p-q ∙ cos 2 2
14 Resolução de equações e inequações trigonométricas Nesta parte do capítulo, abordaremos algumas técnicas para que possamos solucionar equações e inequações que envolvam funções ou expressões trigonométricas.
298 •
capítulo 10
A seguir, passaremos, através dos exercícios resolvidos passo a passo, alguns métodos e técnicas para a resolução das inúmeras equações e inequações trigonométricas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO I) Equações envolvendo seno, cosseno e tangente 1) Qual é o menor valor positivo de α, para o qual 9-cosα = a)
π 6
b)
π 4
c)
π 3
d)
π 2
1 ? 3
2π e) 3
Resolução Para resolver essa equação exponencial trigonométrica, devemos colocar ambos os lados da igualdade na mesma base. Assim, perceba que: 9-cosα =
1 ⇒ (3²)-cosα = 3-1 ⇒ 3-2cosα = 3-1 3
Lembre que, em igualdade de potências de mesma base, os expoentes devem ser iguais. Logo: -2cosα = -1 ∴ cosα = 1 . 2
Como o problema pede o menor valor positivo, temos que o valor de α deverá ser
π . 3
Assim, a alternativa correta é a letra c.
capítulo 10
• 299
2) Qual é a soma das raízes da equação 1-4.cos²x = 0, pertencentes ao intervalo
[0,π] ?
Resolução Temos uma equação trigonométrica do 2º grau. A técnica de resolução é solucionar essa equação, fazendo uma mudança na variável trigonométrica por:cosx = t. Assim, temos que: 1-4.t² = 0 ⇒ 4t² = 1 ⇒ t² =
Retornando à variável srcinal, temos que cosx = ±
1 1 ∴t=± 4 2 1 . 2
Como as raízes devem estar no intervalo [0,π], temos que x poderá ser
π 2π e . 3 3
π 2π + = π. 3 3 3) Qual é o número de raízes da equação tg x=4, no intervalo [0,2π]?
Assim, a soma das raízes será:
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0
Resolução Trata-se de um problema bem interessante. Podemos facilmente chegar à resposta se pensarmos no sinal da tangente nos diversos quadrantes. Vamos explicar: para que a tangente de um arco seja positiva, é necessário que tal arco seja do 1º ou do 4º quadrante, pois os senos e os cossenos dos arcos nesses quadrantes possuem mesmo sinal. Logo, chegamos à conclusão de que, no intervalo [0,2π], a equação tem duas soluções: a do 1º e a do 4º quadrante. Portanto, a alternativa correta é a letra a.
300 •
capítulo 10
II) Equações de forma fatorada 1) A equação 2 . senx . cosx = sen x, no intervalo -
π 5π ≤x≤ , tem: 4 4
a) nenhuma raiz b) duas raízes c) três raízes d) quatro raízes e) cinco raízes
Resolução Aqui, é importante ter uma especial atenção ao intervalo que está sendo estudado. A presença de sen x, em ambos os lados da equação, nos tenta a simplificar a expressão encontrada. Porém, ao realizar a operação de divisão, estamos ignorando os valores de sen x=0. Então, devemos proceder da seguinte forma: 2 . senx . cosx = sen x ⇒ 2 . senx . cosx - senx = 0(2.cosx-1)senx = 0 1 ∴ ou senx = 0 ou 2.cosx-1 = 0 ⇒ cosx= 2
Então, dentro do intervalo dado, temos as seguintes raízes: x1 = 0 e x 2 = π são raízes de senx = 0 π 1 x3 = é raiz de cosx = 3 2
Portanto, percebemos que a equação possui no total 3 raízes. Logo, a alternativa correta é a letra c. 2) Resolva a equação sen³x . cosx + senx.cos³x = 0 , para x ∈ [0,2π]:
Resolução Devemos fatorar a expressão. Perceba que: sen³x . cosx + senx.cos³x = senx . cosx (sen²x + cos²x) = 0 1 ∴ senx . cosx = 0
capítulo 10
• 301
Logo, temos que: x1 = 0 e x 2 = π são raízes de sen x = 0 x3 =
π 3π são raízes de cosx = 0 e x4 = 2 2
Assim, o conjunto solução é S={0, π , 3π , π}.
2
2
III) Equações trigonométricas através de equações polinomiais 625cos²x π = 1, para 0 ≤ x ≤ ? 25cosx 2
1) Qual é a solução da equação
Resolução Como já realizamos anteriormente, vamos colocar toda a equação na mesma base: 625cos²x (54)cos²x 54cos²x = = =1 25cosx (52)cosx 52cosx 2cosx
Multiplicando toda a equação por 5
, temos:
54cos²x = 52cosx ⇒ 4cos²x = 2cosx ⇒ 2cos²x = cosx ⇒ 2cos²x-cosx = 0 ⇒ cosx(2.cosx-1) =0
Assim, temos que ou cosx = 0 ou 2cosx-1 = 0, ou seja: x1 =
π π 1 é raíz de cosx=0 e x2 = é raiz de cosx = 2 3 2
Então, temos como conjunto solução S={
π π , }. 2 3
2) Qual é o número de raízes da equação sen4 x + cos4x = 1, para 0≤x<2π ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
302 •
capítulo 10
Resolução Para resolver este exercício, vamos usar alguns recursos algébricos. O primeiro deles é reparar que: sen4 x + cos4x = 1 ⇔ (sen2x)2 + (cos2x)2 = 1.
Assim, da relação fundamental estudada sen²x + cos²x = 1 , temos que: sen²x = 1 - cos²x
Vamos deixar toda a equação em função de uma só variável trigonométrica, ou seja: (1-cos²x )² + (cos²x)² = 1.
Vamos ao segundo recurso: fazer uma mudança de variáveis na equação t = cos²x. Assim: (1-t)²+(t)²=1 ⇒ 1 - 2t + t² + t² = 1 ⇒ 2t² - 2t = 0 → 2t(t-1) = 0, cujas raízes são t=0 e t=1. Desfazendo a troca de variáveis, encontramos: cos²x = 0 ⇒ cosx = 0 {cos²x {cosx = ±1 =1
Como o intervalo a ser analisado é 0≤x<2π, temos: x1 =
π 3π ; x2 = ; x3= 0; e x 4 = π 2 2
Logo, temos, no total, 4 soluções possíveis. Portanto, a alternativa correta é a letra d.
IV) Inequações trigonométricas em seno, cosseno e tangente 1) Resolvendo o sistema
{
senx ≥ 0 1 , para x ∈ {0,2π), obtem-se: cosx < 2
capítulo 10
• 303
a)
π 5π
b)
π
c)
π 7π
d) e)
π
4 π
Resolução Para resolver um sistema de inequações, é necessário que estudemos a interseção entre as inequações. Assim, vamos estudar uma a uma: (i) sen x≥0:
Para que isto aconteça, o ângulo x deverá pertencer ao 1º ou 2º quadrante, isto é, x ∈ [0,π]. 1 (ii) cosx < 2 :
π 1 Sabemos que cos = . Isso implica que qualquer ângulo, no 1º quadrante maior do que 3 2 π , possui 3
cosseno menor do que
1 π π . Ou seja, temos que ter
Sabemos ainda que o cosseno de ângulos pertencentes ao 2º e 3º quadrantes são negativos, π 3π atendendo à inequação estudada. Ou seja, temos que ter . ≤x≤ 2 2 No 4º quadrante, temos a seguinte relação cosx = cos(-x). Como o valor do cosseno de um ângulo aumenta à medida que o valor do ângulo aumenta, temos que ter x<-
π π 5π 3π 5π 1 = 2π = , pois, para ≤x< , no 4º quadrante, vale cosx < . 3 3 3 2 3 2
304 •
capítulo 10
π
5π
Com essas informações, chegamos ao seguinte intervalo ( , ) dos valores possíveis 3 3 1 para x que satisfazem cosx < . 2 (iii) Interseção:
De posse dos intervalos definidos em (i) e em (ii), percebemos que a interseção dos intervaπ los, que é a solução do sistema, será ( , π). 3 Portanto, a alternativa correta é a letra e. 2) Se 0 ≤ θ ≤ π e, para todo x ∈ ℝ, tem-se que x² + x + tg θ > a) 0 < θ <
π 4
b)
π π ≤θ< 4 2
c)
π 3π <θ< 2 4
d) θ =
3 , então: 4
3π 4
e) não há θ nessas condições
Resolução O enunciado nos diz que x é um número real. Logo, a inequação de 2º grau dada possui solução no conjunto dos números reais. Para isso, devemos estudá-la: x² + x + tgθ >
3 3 ⇒ x² + x + (tgθ )>0 4 4
Vamos estudar as raízes da equação x² + x + (tgθ-
x=
-1± 1²-4.1.(tgθ-3/4) 2.1
∴x=
3 3 ) = 0, onde a = b = 1 e c = tgθ : 4 4
= -1± 1-4tgθ+3 = -1± 4-4tgθ = 2 2
-1± 1-4(1-tgθ) -1±2 1-tgθ = 2 2
capítulo 10
• 305
Para que haja solução real, é necessário que o valor de 1-tgθ seja maior do que ou igual a zero. Assim: 1-tgθ ≥ 0 → tgθ ≥ 1. Para que a tangente de um ângulo seja não negativa, ele deverá ser do 1º ou 3º quadrantes. Como o intervalo a ser estudado é 0 ≤ θ ≤ π, devemos nos concentrar apenas no 1º quadrante. Sabemos que tg π = 1. Então, fica fácil inferir que π ≤ θ < π . 4 4 2 Lembre-se que tg
π não está definida. 2
Assim, a alternativa correta é a letra b. 3) Resolva em ℝ a inequação sen 4x >
1 . 2
Resolução Para este exercício, devemos estar atentos ao conjunto a ser estudado: Reais. Assim, não temos um intervalo de estudo definido como nos exercícios anteriores. Podemos “dar” infinitas voltas na circunferência trigonométrica e, ainda assim, encontrar soluções. Pois bem, vamos realizar a transformação 4x = θ. Assim, temos que: senθ >
1 . 2
Ora, sabemos que o seno de um ângulo é positivo nos 1º e 2º quadrantes. E sabemos que osen π 1 = . Portanto, para o intervalo[0, π], a solução, em θ, será: 6 2 π 5π <θ< 6 6
Por consequência, no conjunto dos Reais, usando a noção de arcos côngruos, a solução será: π
6
+2kπ < θ <
5π
+ 2kπ, k∈ℤ
6
É como se estivéssemos realizando quantas voltas quiséssemos (k voltas) na circunferência trigonométrica e, ainda assim, teríamos uma solução da inequação. Porém, não podemos esquecer que 4x = θ. Então, a solução em x no mesmo intervalo será:
306 •
capítulo 10
π kπ 5π kπ +
15 Funções trigonométricas Estudaremos, neste tópico, as funções trigonométricas e perceberemos que elas possuem inúmeras aplicações no cotidiano de áreas afins.
15.1 Função seno Considere a funçãof:ℝ→ℝ, onde há a relação de cada número real x ao senx. Temos, então, como domínio e imagem os seguintes conjuntos:
Dom(f) = ℝ e Im(f) = {y ∈ℝ |-1 ≤ y ≤ 1} Veja, então, o gráfico da função seno:
y 1
π/2
π
3π/2
2π
-1
ATENÇÃO Uma consideração importante que devemos observar é o período da função. Repare que o ciclo da função reinicia quando a curva passa pelos pontos múltiplos de 2π. Assim, dizemos que a função seno é periódica e seu período é 2π.
capítulo 10
• 307
EXERCÍCIO RESOLVIDO Para que a sentença senθ = qual intervalo?
x-1 tenha sentido, os valores de x devem pertencer a 5
Resolução Aprendemos que o seno de um ângulo deverá estar entre -1 e 1. Assim, o que devemos resolver é: -1 ≤
x-1 ≤1 5
Portanto, resolvendo a inequação de ambos os lados, temos que: -4 ≤ x ≤ 6 Logo, o intervalo procurado é -4≤x≤6.
15.2 Função cosseno Considere agora a função f: ℝ→ℝ que relaciona cada número real x ao cosseno de x. O domínio e a imagem da função são:
Dom(f) = ℝ e Im(f) = {y ∈ℝ |-1 ≤ y ≤ 1} Observe o gráfico da função cosseno: y 1
π/2
-1
308 •
capítulo 10
π
3π/2
2π
ATENÇÃO A consideração a ser feita acerca do período da função cosseno é de que é o mesmo que o da função seno. Você deve observar que a imagem em 0 e 2π será 1, e não 0 como função seno. Portanto, o período da função cosseno também é 2π.
EXERCÍCIO RESOLVIDO π Sabendo que ≤ x ≤ π , quais são os valores reais de k, de modo que cosx = 2 3k-1 ? 2
Resolução Para resolver este problema devemos ver o intervalo dado para x: quando x assume o valor de π , o valor do cosseno de x será 0. Quando x assume o valor π, sua imagem será -1. 2 Então, ficamos com a seguinte inequação: -1 ≤ cosx ≤ 0 → -1 ≤
3k-1 ≤0 2
Portanto, temos: -
Portanto, a solução será: S = {x∈ℝ |-
1 1 ≤k≤ 3 3
1 1 ≤k≤ } 3 3
15.3 Função tangente Devemos ter uma especial atenção ao domínio desta função. Considere a funçãof:D→ℝ, onde associa cadax do domínio à tangente dex. O domínio e a imagem da função tangente são:
capítulo 10
• 309
Dom(f) = {x∈ℝ | x ≠ π + k.π, k∈ℤ} e Im(f) = ℝ 2
Observe o gráfico da função tangente: y 1
π/2
π
3π/2
2π
-1
Repare que o gráfico possui várias assíntotas verticais pelos pontos de abscissa da forma π(2k+1) , com k∈ℤ. 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual conjunto é o domínio da função dada por f(x)=tg2x ?
Resolução O arco que deve ser estudado é 2x. Então, pelo estudo do domínio da função de f, temos que: 2x ≠
π + kπ, k∈ℤ 2
Então: x ≠ π + kπ , k∈ℤ 4 2
Portanto, o conjunto que representa o domínio da função é: S={x∈ℝ | x ≠
310 •
π kπ + , k∈ℤ} 4 2
capítulo 10
ATIVIDADE 1) (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um
ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, qual a altura atingida pelo avião? 2) (CEFET–PR) A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-
se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4000m do citado cruzamento. Portanto, determine, em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros. 3) (CEFET) Assinale a alternativa falsa: a) sec x= 3 b) tg x = 50.000
3 4 d) sen x = 1 e) cos x = 50 c) cos x =
4
4
4) (UCSAL) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos x - sen x é equivalente a: a) sen2 x-1 b) 2senx cosx c) 2cos2x -1 d) 2-cos2x e) (senx + cosx) cosx 5) (UF VIÇOSA) Sabendo que sen x =
cossecx - secx x π e < x < π, o valor de é: 3 2 cotg x-1
a) 3 2 4 b) 2 2 3 c) - 3 2 4 d) - 2 2 3 e) 3
capítulo 10
• 311
GABARITO 1)
sen30º =
x 1000 x
π = 2 1000
2x = 1000 x = 500m Assim, a altura do avião será de 500m. 2)
tg30º =
nóri Te 30º
oQ
os dr a u
√3/3 =
x
4000
3x = 4.000 3 x = 4000 3 3
4000m
Teófilo Silva
x 4000 x
Posto
x = 4000.1,7 3 x ≅ 2266,7 m
A distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros é de aproximadamente 2,2667 km. 3) Vamos analisar cada uma das alternativas: a) Se secx = 3, então temos que cos x =
1 < 1. Sendo assim, verdadeira. 3
b) A tangente de x pode assumir valores elevados. Basta, para isso, que o arco se aproxime
do ponto (1,0). Sendo, então, verdadeira.
312 •
capítulo 10
3 , que pertence ao intervalo [-1, 1]. Portanto, é verdadeira. 4
c) O valor do cosseno é
d) O valor do seno é 1 que corresponde ao arco de
π rad. Logo, é verdadeira. 2
e) O valor do cosseno informado é maior do que 1. Portanto, trata-se na alternativa falsa. Logo, a resposta correta é a alternativa e. 4) Fatorando a expressão cos4x - sen4x utilizando a diferença de dois quadrados (a² - b²) =
(a + b).(a – b), obtemos: cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x - sen2x)
Substituindo, temos: sen²x = 1-cos²x cos x - sen x = (cos2x - sen2x)(cos2x - sen2x) = (cos²x - (1-cos²x))(cos²x+sen²x) = (cos²x-1 + cos²x)(cos²x +sen²x) 4
4
Porém: cos²x + sen²x = 1 cos4x - sen4x = (cos²x - 1 + cos²x) cos4x - sen4x = 2cos²x - 1 Logo, a resposta correta é a alternativa c. 5) Como
π < x < π, x pertence ao 2º quadrante. Assim, o seno e a cossecante são positi2
vos, e o cosseno, secante, tangente e cotangente são negativos. Calculando a cossecante de x, temos: cossec x =
π senx
cossec x = 3
capítulo 10
• 313
Para determinarmos a secante de x, precisamos do cosseno de x: sen²x + cos²x = 1 cos²x = 1 - sen²x cos²x = 1-(
1 )² 3
cos²x = 89 cosx = - 2 2 3 secx =
1 cosx
secx = -
3 2 2
secx = - 3 2 4
Para determinar a cotangente, precisamos achar a tangente: tgx = tgx =
senx cosx
1/3 1 = (-2 2 )/2 2 2 1 cotgx = tgx cotg x = -2 2
Resolvendo a expressão: cossecx - secx
=
cotg x-1
3+(3 2 )/4
=
-2 2 -1 =
(12+3 2)/4 -2 2 -1
-12+24 2 - 3 2 +12 4(1-8)
Logo, a resposta correta é a alternativa c.
314 •
capítulo 10
=
12+3 2
=
4(-2- 2 -1) +21 2 28
=
-3 2 4
=
12+3 2 4(-1-2 2)
=
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria. 9. ed. São Paulo: Atual, 2013. PAIVA, Manoel Rodrigues. Moderna Plus Matemática 1. Parte 3. São Paulo: Moderna, 2013.
capítulo 10
• 315
ANOTAÇÕES
11 Limites
OBJETIVOS 1. Definir o conceito de limite de uma função; 2. Aplicar as propriedades básicas de limite; 3. Resolver limitesenvolvendo funções polinomiais,exponenciais, logarítmicas etrigonométricas; 4. Resolver limitesde funçõesenvolvendo indeterminações; 5. Estudar limites especiais.
1 A evolução do estudo do conceito de limites O conceito de limites é o alicerce para o estudo de diversas partes da Matemática. Porém, nem sempre eles f oram claros e objetivos como nos dias atuais. Por inúmeros séculos, os conceitos que envolvem este assunto eram confusos e desprovidos de formalidade. Baseavam-se muito mais em convicções filosóficas e subjetivas do que em rigor formal e demonstrações matemáticas. A primeira ideia acerca de limites foi a famosa resolução dos quatro paradoxos de Zenão (450 a.C). Zenão pensou em um corpo se movimentando entre
dois pontos conhecidos, em uma distância finita, em incontáveis intervalos de tempo. A cada intervalo de tempo, o objeto deveria percorrer uma distância correspondente à metade da distância percorrida no intervalo de tempo anterior. Zenão concluiu que o movimento era impossível, pois nunca que o corpo atingiria o ponto final dado. A definição de limites que temos hoje foi motivada por estudos de cálculos das retas tangentes a curvas e das áreas de superfícies. Foram necessárias algumas centenas de anos para que houvesse o amadurecimento das ideias que estudaremos a partir de agora.
2 Noção intuitiva de limite Vamos pensar em uma função quociente, ou seja, aquela que possui um denominador na sua composição, tal como:
f(x) =
318 •
capítulo 11
(2x-1)(x-2) x-2
Definida para todo x pertencente ao conjunto dos reais e x≠2. Assim, como a função não está definida no ponto em que o denominador é igual a 0 (x=2), podemos simplificar a função, obtendo f(x)=2x-1. Observe os valores da função quando x assume valores próximos a 2, porém diferentes de 2, na tabela a seguir:
x
1
1,5
1,75
1,9
1,99
1,999
f(x)
1
2
2,5
2,8
2,98
2,998
x
3
2,5
2,25
2,1
2,01
2,001
f(x)
5
4
3,5
3,2
3,02
3,002
Percebeu que, à medida que x se aproxima de 2, o valor de f(x) se aproxima de 3, porém não atinge tal resultado? Isso significa que para tornar f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos, basta que façamos x suficientemente próximo de 2. Veja:
x = 1,9 ⇒ f(x) = 2,8 ou seja, x-2 = -0,1 ⇒ f(x)-3 = -0,2 x = 1,99 ⇒ f(x) = 2,98 ou seja, x-2 = -0,01 ⇒ f(x)-3 = -0,02 x = 1,999 ⇒ f(x) = 2,998 ou seja, x-2 = -0,001 ⇒ f(x)-3 = -0,002 e
x = 2,1 ⇒ f(x) = 3,2 ou seja, x-2 = 0,1 ⇒ f(x)-3 = 0,2 x = 2,01 ⇒ f(x) = 3,02 ou seja, x-2 = 0,01 ⇒ f(x)-3 = 0,02 x = 2,001 ⇒ f(x) = 3,002 ou seja, x-2 = 0,001 ⇒ f(x)-3 = 0,002 Podemos reescrever o que está acima da seguinte forma:
|x-2| = 0,1 ⇒ |f(x)-3| = 0,2 |x-2| = 0,01 ⇒ |f(x)-3| = 0,02 |x-2| = 0,001 ⇒ |f(x)-3| = 0,002
capítulo 11
• 319
Note que o módulo da diferença entref(x) e 3 é tão pequeno quanto quisermos, desde que tomemos o módulo dadiferença entrex e 2 suficientemente pequeno.
3 Formalizando a aproximação Agora, como já entendemos essa “aproximação”, vamos formalizar o que acabamos de concluir. Para isso, usaremos letras gregas que representam as diferenças que encontramos. Notadamente temos ϵ (épsilon) e δ (delta). Portanto, dado um número positivo ϵ, se queremos |f(x)-3| menor do que ϵ, devemos encontrar um número positivo δ tal que: 0 < |x-2| < δ ⇒ |f(x)-3| < ϵ
Não esqueça que o símbolo “⇒” é lido como “implica em”.
ATENÇÃO Estamos interessados em valores de x próximos de 2, porém com x≠2. Podemos falar, então, que o valor de f(x) tende a 3 quando x tende a 2, ou seja: lim f(x) = 3 x→2
(2x-1)(x-2) Observe agora o gráfico a seguir da função f(x)= e perceba que o limite da x-2 função, quando x tende a 2, tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito, é 3. y
4
2
x -1
1 -2
320 •
capítulo 11
2
3
4 Definição formal de limite Diante do que foi visto anteriormente, podemos elaborar a nossa definição de limite.
CONCEITO Considere um intervalo aberto I contendo o real a e f uma função definida para x ∈ I-{a}. Diz-se que a função f tende ao limite L quando x tende a a se, para qualquer número positivo ϵ, é possível achar um número positivo δ tal que se 0 < |x-a| < δ, então |f(x)-L|<ϵ. Podemos realizar a notação, ainda, da seguinte forma: lim f(x) = L ou f(x)→L quando x→a x→a
ATENÇÃO Atente para o fato de que não é necessário que a função esteja definida no ponto x=a. Não esqueça que o símbolo “→” é lido como “tende a”.
Observe o gráfico que ilustra a noção do limite: y
f L+ϵ f(a+δ) L f(a-δ) L-ϵ
a-δ
a
a-δ
x
capítulo 11
• 321
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Seja f: ℝ→ℝ, definida por f(x)=2x-5. Mostre por definição que lim (2x-5) = 3: x→4
Resolução Queremos provar que, para qualquer ϵ > 0 dado, podemos encontrar δ positivo tal que se 0 < |x-4| < δ, então |f(x)-3| < ϵ. a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para δ
Para cada ϵ > 0 dado, devemos encontrar umδ > 0 tal que se 0 < |x-(-4)| < δtemos |f(x)-3| < ϵ. Partindo da condição a ser alcançada: |f(x)-3| < ϵ, substituímos f(x) e obtemos: |(2x-5)-3| < ϵ⇒ |2x-8| < ϵ⇒ 2|x-4| < ϵ⇒ |x-4| <
Percebemos, então, que podemos escolher δ =
ϵ 2
ϵ . 2
b) Prova: mostrando que a escolha de δ funciona
ϵ
Dado ϵ > 0, escolhemos δ = 2 . Se 0 < |x-4| < δ, temos que: |f(x)-3| = |(2x-5)-3| = |2x-8| = 2|x-4| < 2δ = ϵ
Assim, temos que para qualquer ϵ>0 dado, podemos encontrar um δ positivo tal que se 0 < |x-4| < δ, então |f(x)-3| < ϵ. Ou, ainda, pela definição de limite, temos que: lim (2x-5) = 3 x→4
2) Demonstre utilizando a definição formal de limite que lim x2 = 1: x→1
Resolução Queremos provar que para qualquer ϵ > 0 dado, podemos encontrar δ positivo tal que se 0 < |x-1| < δ, então |f(x)-1| < ϵ. a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para δ
Para cada ϵ > 0 dado, devemos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x-1| < δtemos |f(x)-1| < ϵ.
322 •
capítulo 11
Partindo da condição a ser alcançada: |f(x)-1| = |x2-1| < ϵ, percebemos que: |x2-1| < ϵ⇒ -ϵ
|x| < a ⇒ -a < x < a
Como x² ≥ 0, temos que 1-ϵ ≥ 0, ou seja, ϵ ≤ 1, então segue que: 0 ≤ 1-ϵ < x² < 1+ϵ⇒ 0 ≤ x² ≤ 1+1 = 2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2
Somando 1 em cada termo nas desigualdades, temos: 1 = 0+1 ≤ x+1 ≤ 2+1 < 3 ⇒ 1 ≤ x+1 < 3 ⇒ 1 ≤ |x+1| < 3
Voltando à condição inicial, como |x+1|<3, temos que:
Portanto, |x-1| <
ϵ . 3
|x²-1| = |x-1||x+1| < 3|x-1| < ϵ
Por outro lado, como 0 ≤ x ≤ 2, temos que: |x-1| < | 2-1| < 1
Assim, temos que |x-1| <
ϵ e |x-1| < 1. 3
Então, podemos escolher δ = min{1,
ϵ }. 3
b) Prova: mostrando que a escolha de δ funciona
Dado ϵ > 0, escolhemos δ = min{1, (i) δ = 1 ≤
ϵ }. Se 0 < |x-1| < δ, temos que: 3
ϵ 3
Então, 0 < |x-1| < 1 ⇒ -1 < x-1 < 1 ⇒ 0 < x < 2 ⇒ 1 < x+1 < 3, de onde |x+1| < 3.
capítulo 11
• 323
(ii) δ =
ϵ ≤1 3
Então, 0 < |x-1| <
ϵ . 3
Daí, segue que |x²-25| = |x-1||x+1| <
ϵ 3 = ϵ. 3
Assim, provamos pela definição de limite que: lim x² = 1 x→1
5 Teoremas da unicidade do limite e da conservação do sinal 5.1 Teorema 1: unicidade do limite Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2 , então L1 = L2. x→a
x→a
Prova
Vamos provar por absurdo, para isso vamos considerar que L2 ≠ L1. Da definição de limite, temos que dado ϵ>0: (i) existe δ₁ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ₁ ⇒ |f(x)-L₁ | < ϵ (ii) existe δ₂ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ₂ ⇒ |f(x)-L₂ | < ϵ
Assim, ambas as condições ficarão atendidas para δ = min{δ₁,δ₂}, ou seja, se 0<|x-a|<δ, então: |f(x)-L₁ | < ϵ
{|f(x)-L₂ | < ϵ Aqui, devemos ter em mente a desigualdade triangular: o módulo da diferença é menor ou igual à soma dos módulos.
324 •
capítulo 11
Logo, podemos inferir que: |L₂-L₁| = |(f(x)-L₁)-(f(x)-L₂)| ≤ |f(x)-L₁| + |f(x)-L₂| < 2ϵ⇒ |L₂-L₁| < 2ϵ
Vamos escolher, em particular, ϵ = |L₂-L₁| > 0. 2
Lembre que o valor de ϵ poderá ser qualquer valor, desde que seja positivo. Assim, temos: |L₂-L₁| < 2ϵ = 2.
|L₂-L₁| ⇒ |L₂-L₁| < |L₂-L₁| 2
O que é um absurdo.
Logo, mostrou-se que L₂=L₁. ■
5.2 Teorema 2: conservação do sinal Seja f:A→ℝ uma função para a qual há o limite quando x tende a a. Assim, suponhamos que: lim f(x) = L≠0 x→a
Então, para todo x pertencente a uma vizinhança reduzida de a, a imagem f(x) tem o mesmo sinal de L.
6 Prova Da definição de limite, para qualquer ϵ > 0, existe um real positivo δ tal que: 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)-L| < ϵ
Ou seja: 0 < |x-a| < δ ⇒ -ϵ < f(x)-L < ϵ
capítulo 11
• 325
Como não sabemos o sinal de L, devemos considerar duas situações: L > 0 e L < 0. Então, vamos ao primeiro caso: Caso 1: L>0
Vamos escolher ϵ = 2L > 0. Então, temos:
L - 2L < f(x) < L+ 2L ⇒ 2L < f(x) < 3L 2 Assim, f(x) tem o mesmo sinal que L. Caso 2: L<0
Vamos escolher ϵ = - 2L > 0. Então, temos:
L-(- 2L ) < f(x) < L+(- 2L ) ⇒ 3L < f(x) < 2L 2 Assim, f(x) tem o mesmo sinal que L. Portanto, provamos que, para os dois casos estudados, temos que se ϵ = |L| , 2 então existe δ tal que 0 < |x-a| < δ, onde f(x) tem o mesmo sinal que L. ■
7 Propriedades de limites Sejam k uma constante real e f e g funções de ℝ em ℝ, tais que lim f(x) = L e lim x→a x→a g(x) = M, seguem as propriedades de limites:
7.1 Função Identidade lim x = a x→a
326 •
capítulo 11
EXEMPLO lim x→-3
lim x→-3
x = -3 x = -3
7.2 Função Constante lim x→a
k=k
EXEMPLO lim x→1
3=3
7.3 Multiplicação por Escalar lim x→a
(k.f(x)) = k.( lim f(x)) = kL x→a
EXEMPLO lim x→1
3x = 3( lim ) = 3(1) = 3 x→1
7.4 Soma ou Subtração lim (f(x)±g(x)) = lim f(x) x→a
x→a
±
lim g(x) x→a
= L±M
capítulo 11
• 327
EXEMPLO lim x→1
(x+3x) =
lim x→1
x+
lim x→1
3x =
lim x→1
x + 3( lim x) = 1+3(1) = 1+3 = 4 x→1
7.5 Produto lim (f(x).g(x)) x→a
= ( lim f(x)) . ( lim g(x)) = LM x→a
x→a
EXEMPLO lim x² x→3
=
lim (x∙x) x→3
= ( lim x )( lim x ) = 3(3) = 9 x→3
x→3
7.6 Quociente Se
lim g(x)
(x→a)
= M ≠ 0, então: lim x→a
f(x) = g(x)
f(x)
lim x→a
lim x→a
g(x)
= L
M
EXEMPLO lim x→2
x+4 = x²+1
lim (x+4) x→2
lim (x²+1) x→2
( lim x)+4 =
x→2
( lim x²)+1 x→2
=
2+4 = 6 5 ( lim x)( lim x)+1 x→2
7.7 Potência lim (f(x))n x→a
328 •
capítulo 11
= ( lim f(x))n = Ln x→a
x→2
EXEMPLO lim x² x→3
= ( lim x )² = 3² = 9 x→3
7.8 Radiciação Se n ∈ N* e
lim f(x) x→a
= L ≥ 0 ou n ∈ N, n ímpar e
lim f(x) x→a
= L<0,
então, temos que: lim x→a
n
f(x) =
n
lim x→a
f(x)
EXEMPLO x→1 lim
x²+6x+9 =
x→1 (x²+6x+9) = lim x→1 x²+ lim x→1 6x lim
x→1 9) = 16 = 4 + lim
7.9 Função Polinomial Sejam P(x) = bnxn + bn-1xn-1 +⋯+ b₂x2 + b₁x + b0 uma função polinomial de ℝ em ℝ e a um número real. Então: lim P(x)=bnan x→a
+ bn-1an-1 +⋯+ b₂a2 + b₁a + b0 = P(a)
ATENÇÃO O limite de uma função polinomial pode ser determinado através da substituição da variável pelo valor do limite. Isso se deve ao fato de que a função polinomial é contínua, como veremos mais adiante.
capítulo 11
• 329
7.10 Função Composta Sejam f e g funções reais de variáveis reais, com a função composta f∘g definida; suponha que lim g(x) = w₀ e lim f(w) = f(w₀), ou seja, f é contínua em w₀. x→a
x→w₀
Assim: lim (f∘g)(x) x→a
= lim f(g(x)) = f( lim g(x)) = f(w₀) x→a
x→a
EXEMPLO lim x→a
(x²)³ = (
lim x→a
x²)³ = (a²)³ = a⁶, (g(x) = x², f(x) = x³
8 Limites laterais e continuidade No início do capítulo, estudamos o comportamento de uma função para valores próximos dea, ou seja, valores dex pertencentes a um intervalo aberto que contém a, porém diferentes dea. Todavia, para algumas funções, o comportamento de f(x) poderá variar para valores de x maiores e menores que a, mas próximos de a. Para entender isso, vamos primeiramente apresentar as seguintes notações de limites laterais: lim x→a⁺
f(x) e
lim x→a⁻
f(x)
A primeira notação significa que estudaremos o limite de f(x) para x tendendo a a pela esquerda. Isso significa que vamos estudar o comportamento de f(x) para valores de x menores do que a e que se aproximam de a. Já a segunda notação significa que estudaremos o limite de f(x) para x tendendo a a pela direita, ou seja, queremos estudar os valores de f(x) para valores de x maiores do que a e que se aproximam de a.
330 •
capítulo 11
Decorre que
lim f(x) x→a
existe se, e somente se, os limites laterais são iguais: lim x→a⁻
f(x) =
lim x→a⁺
f(x)
EXEMPLO x , vamos estudar Dada a função f:ℝ*→ℝ definida por f(x) = x+ |x|
lim x→0
f(x).
Sabemos que dom(f(x)) = ℝ-{0}. Utilizando a definição de módulo, a função f(x)=x+x/|x| fica, então, definida por:
f(x) = x+
{
x = |x|
x = x+1, se x > 0 |x| x x– = x-1, se x < 0 |x| x+
Graficamente, temos: Se x tende a 0 pela direita, f(x) tende a
y
1, ou seja:
2
lim
x→0⁺
-1
1 -1 -2
x→0⁺
Se x tende a 0 pela esquerda, a função tende a -1, ou seja: lim f(x) = lim x-1 = -1
1
-2
f(x) = lim x+1 = 1
2
x
x→0⁻
x→0⁻
Observamos que os limites laterais são diferentes, isto é: lim f(x) ≠ lim f(x) x→0⁻
x→0⁺
Neste caso, dizemos que não existe o limite da função para x=0. Como veremos a seguir, este exemplo mostra que f(x) não é contínua em x=0.
capítulo 11
• 331
Dada a função f: ℝ→ℝ definida por: f(x) =
-x-6, se x < 2
{-x+3, se x ≥ 2
Temos que f(2) = 1 e os limites laterais são diferentes: lim f(x) = lim -x-6 = -8 x→2⁻
lim
Neste caso,
lim x→2
f(x) não existe.
x→2⁺
x→2⁻
lim -x+3 = 1 f(x) = x→2⁺
A noção de continuidade de uma função em um ponto a está associada aos limites laterais. x Voltando ao exemplo da função f: ℝ*→ℝ definida por f(x) = x + , vimos que não existe |x| limite para x=0.
Pelo gráfico, notamos um “salto”. A função não é contínua .
Seja f(x) =
EXERCÍCIO RESOLVIDO x+3, se x ≥ 2
{2x+4, se x < 2
, identifique a alternativa correta:
a) f é contínua à esquerda em 2. b) f é contínua à direita em 2. c) f é contínua em 2. d) f é contínua em seu domínio. e) f é descontínua em 3.
Resolução Vamos analisar cada alternativa: a) O limite à esquerda para x=2 é lim f(x) = 8 ≠ f(2). Então, f não é contínua à esquerda x→2⁻
de 2.
b) Como f(x) = x+3, se x ≥ 2, então sabemos que f(2) = 5. Assim, o limite à direita para x = 2 é lim f(x) = 5 = f(2). Neste caso, temos que f é continua à direita de 2. x→2⁺
332 •
capítulo 11
f(x) = 5 ≠ lim f(x) = 8, temos que f não é contínua em 2, o que leva a x→2⁻ constatar que f não é contínua em seu domínio. c) Como temos
lim
x→2⁺
d) Lembre que para f ser contínua em seu domínio, f deve ser contínua em todos os pontos
do domínio. e) Podemos afirmar que f é contínua em 3, porque lim x→3⁻
f(x) =
lim x→3⁺
f(x) =
lim x→3
f(x) = f(3) = 6.
Logo, a única alternativa correta é a letra b.
9 Limites infinitos Nesta parte, vamos estender a noção aprendida de limites aos casos em que a variável x ou a função f(x) assumem valores absolutos arbitrariamente grandes. Analise o caso a seguir: Seja a função fdefinida por f(x) =
1 , para todo x real e x≠1. (x-1)²
Montando a tabela para valores dex próximos de 1, à sua esquerda, obtemos:
x
0
0,5
0,75
0,9
0,99
0,999
f(x)
1
4
16
100
10000
1000000
Para valores próximos de 1, à sua direita, temos:
x
2
1,5
1,25
1,1
1,01
1,001
f(x)
1
4
16
100
10000
1000000
Portanto, ao observamos as duas tabelas, constatamos que à medida que o valor de x se aproxima de 1, o valor de f(x) se torna cada vez maior. Isso significa que podemos tornar f(x) tão grande quanto quisermos, bastando para isso tomar valores cada vez mais próximos de 1. Isso nos dá a ideia intuitiva e correta de que:
capítulo 11
• 333
lim x→1
1 = +∞ (x-1)²
Observe o gráfico da função f(x) =
1 ∶ (x-1)²
y 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5
x -4
-2
2
4
6
Assim, vamos à definição formal.
CONCEITO Seja uma função f real de variável real e seja a ∈ ℝ , tal que existe uma vizinhança reduzida de a contida no domínio de f, afirmamos que lim f(x) = +∞ se, e somente se, para qualquer x→a real positivo M, existe algum real positivo δ tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ f(x) > M. Da mesma feita, afirmamos que lim f(x) = -∞ se, e somente se, para qualquer real positivo x→a M, existe algum real positivo δ tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ f(x) < -M. Como consequência direta, temos que: lim x→a
334 •
capítulo 11
f(x) = +∞ ⇔
lim x→a
[-f(x)] = -∞
10 Propriedades dos limites infinitos Vamos ver algumas propriedades que nos auxiliarão na manipulação dos limites infinitos:
10.1 Limite da Soma Propriedades
f(x) =
lim x→a
lim x→a
g(x) =
lim x→a
[f(x) + g(x)] =
S1
L
+∞
+∞
S2
L
-∞
-∞
S3
+∞
+∞
+∞
S4
-∞
-∞
-∞
S5
+∞
-∞
Nãoháregrageral
S6
-∞
+∞
Nãoháregrageral
10.2 Limite do Produto Propriedades
lim x→a
f(x) =
lim x→a
g(x) =
lim x→a
[f(x) . g(x)] =
P1
L>0
+∞
+∞
P2
L<0
+∞
-∞
P3
L>0
-∞
-∞
P4
L<0
-∞
+∞
P5
+∞
+∞
+∞
P6
+∞
-∞
-∞
P7
-∞
+∞
-∞
P8
-∞
-∞
+∞
P9
0
+∞
Nãoháregrageral
capítulo 11
• 335
P10
0
-∞
P11
+∞
0
Não há regra geral
P12
-∞
0
Não há regra geral
Nãoháregrageral
10.3 Limite do Quociente Antes de apresentar as propriedades do limite do quociente, vamos definir e denotar uma vizinhança do ponto a com tamanho de δ:
V(a) = {x ∈ ℝ | |x-a| < δ}
EXEMPLO Considere a seguinte vizinhança do ponto 5 de tamanho 2: V(5) = {x ∈ ℝ | |x-5| < 2}
Sabemos que o ponto x=4 está em V(5), porque todo x ∈ V(5) satisfaz: -2 < x-5 < 2 ⇒ 3 < x <7
Note também que em V(5) existem várias outras vizinhanças. Por exemplo, existe uma vizinhança V em que 5 < x < 7, que é: V = {x ∈ ℝ | |x-6| < 1} ⊂ V(5)
Propriedades
Q1
336 •
lim x→a
0 > L
capítulo 11
f(x) =
lim x→a
0
g(x) =
lim x→a
f(x) = g(x)
+∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0,∀x∈V -∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0,∀x∈V
Q2
0 < L
+∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0,∀x∈V -∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0,∀x∈V
0
Q3
L
+∞
0
Q4
L
-∞
0
Q5 Q6
+∞ +∞
L>0 L<0
+∞ -∞
Q7
+∞
0
+∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0,∀x∈V -∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0,∀x∈V
Q8
-∞
L>0
-∞
Q9
-∞
L<0
+∞
Q10
-∞
0
+∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0,∀x∈V -∞, se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0,∀x∈V
Q11
+∞
+∞
Nãoháregrageral
Q12
+∞
-∞
Nãoháregrageral
Q13
-∞
-∞
Nãoháregrageral
Q14
-∞
+∞
Nãoháregrageral
Q15
0
0
Não há regra geral
capítulo 11
• 337
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é o
x-2 ? (x-2)²
lim x→2
a) +∞ b) -∞ c) 0 d) 1 e) Não há limite
Resolução Devemos observar que os limites do quociente levam a uma indeterminação do tipo 0/0, pois: (i) lim (x-2) = 0 x→2
(ii) lim (x-2)² = 0 x→2
Para eliminar tal indeterminação, vamos observar que, para qualquer vizinhança reduzida de 2 em que x≠2, temos que: x-2 x-2 1 = = (x-2)² (x-2)(x-2) x-2 Lembre-se que “x→2” significa que x tende a 2, e não que x=2. Por isso, podemos considerar que o denominador não se anulará e fazer as simplificações.
Portanto: lim x→2
x-2 = (x-2)²
lim x→2
1 (x-2)
Devemos, novamente, observar que: (i)
lim =
1
x→2
(ii)
lim (x-2) x→2
Assim, por Q1, temos que
= 0 e existe V ⊂V(2) tal que x-2 > 0, ∀ x ∈ V
lim x→2
1 = +∞, o que implica que (x-2)
Logo, a alternativa correta é a letra a.
338 •
capítulo 11
lim x→2
x-2 = +∞. (x-2)²
11 Teorema Seja f(x) = p(x) . Se o denominador da fração tende a zero enquanto o numerador q(x) tende a um número qualquer diferente de zero, a fração tenderá a ter um enorme valor absoluto, isto é: Se
lim x→a
p(x) = L≠0 e
lim x→a
q(x) = 0 , então
lim | x→a
p(x) | = +∞ . q(x)
Ou ainda: Se lim p(x) = L≠0 e lim q(x) = 0 x→a
I) se
x→a
f(x) > 0, quando x→a, lim f(x) = +∞. x→a g(x) g(x)
II) se
f(x) < 0, quando x→a, lim f(x) = –∞. x→a g(x) g(x)
EXEMPLO 2x²+5x+1
1) Seja, f(x) =
x²-x-6
. Vamos calcular os limites laterais de f(x) quando x=3:
• lim f(x) =
p(x) → + = –∞ . q(x) → –
• lim f(x) =
p(x) → + = +∞ . q(x) → +
x→3⁻
x→3⁺
Portanto, f(x) não tem limite em x=3, pois os limites laterais são diferentes. 2) Calcule
lim x→1
3x+2 . (x-1)²
Vamos calcular o limite fazendo o estudo do sinal do numerador e do denominador. Para isso precisamos conhecer suas raízes. f(x) > 0 ⇒ lim f(x) = +∞ x→a g(x) g(x)
-2/3
1
3x+2
–
+
+
(x-1)²
+
+
+
f(x) g(x)
–
+
+
capítulo 11
• 339
12 Limites no infinito Vamos analisar a função f(x) = x+4 para todo x ∈ ℝ, x≠0. x
Para isso, vamos montar uma tabela, assim como foi realizado com os limites infinitos, porém atribuindo a x valores crescentes ilimitadamente.
x f(x)
1 5
5 1,8
10 1,4
100 1,04
1000 1,004
10000 1,0004
O que podemos inferir da tabela é que, à medida que os valores de x crescem, mais o valor de f(x) se aproxima do valor 1. Da mesma forma, para valores de x que decrescem ilimitadamente, montamos a tabela a seguir, onde podemos observar que os valores de f(x) também se aproximam do valor 1.
x
-1
-5
-10
-100
-1000
-10000
f(x)
-3
0,2
0,6
0,96
0,996
0,9996
Veja o gráfico da função: y
4
2
-10
-5
5 -2
340 •
capítulo 11
10
x
Assim, podemos escrever que: lim x→+∞
x+4 =1 e x
lim x→-∞
x+4 =1 x
Vamos, então, passar à definição.
CONCEITO Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]a,+∞[, contido no domínio de f. Diz-se, então, que lim f(x) = L se, e somente se, para qualquer ϵ > 0, existe algum real x→+∞ positivo M tal que: x > M ⇒ |f(x)-L| < ϵ
Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]-∞,a[, contido no domínio de f. Diz-se, então, que lim f(x) = L se, e somente se para qualquer ϵ > 0, existe algum real x→-∞ positivo M tal que: x < -M ⇒ |f(x)-L| < ϵ
Vamos agora analisar o gráfico a seguir da famosa parábola f(x) = x²: y 6
4
2
-4
-2
0
2
x
4
Percebemos que, quando x tende a+∞, f(x) tende a+∞. Logo,
lim x²
x→+∞
=+∞.
capítulo 11
• 341
Bem como, quando x tende a-∞, f(x) tende a+∞. Logo,
lim x²
x→-∞
=+∞.
Assim, vamos às definições.
CONCEITO Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo]a,+∞[, contido no domínio de lim f(x)=+∞ se, e somente se, para qualquer real positivoN, existe algum f. Diz-se, então, quex→+∞ real positivo M, tal que:
x > M ⇒ f(x) > N
Diz-se que lim f(x) = -∞ se, e somente se, para qualquer real positivoN, existe algum real x→+∞ positivo M, tal que: x > M ⇒ f(x)< -N
Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo]-∞,a[, contido no domínio de lim f(x) = +∞ se, e somente se, para qualquer real positivo f. Diz-se, então, quex→-∞ N, existe algum real positivo M, tal que:
x < -M ⇒ f(x) > N
Diz-se que lim f(x) = -∞ se, e somente se, para qualquer real positivoN, existe algum real x→-∞ positivo M, tal que: x < -M ⇒ f(x) < -N
342 •
capítulo 11
TEOREMAS Se n é um número inteiro e positivo, então: •
•
lim xⁿ
=+∞
lim xⁿ
=
x→+∞
x→+∞
+∞ se n for par
{-∞ se n for ímpar
Se n é um número inteiro positivo, então: •
lim (
x→±∞
1 1 )ⁿ = lim = 0 x→±∞ xⁿ x
Se f(x) = a₀ + a₁x + ... + a nxⁿ, an ≠ 0 é uma função polinomial, então: •
lim f(x)
x→±∞
= lim anxⁿ x→±∞
Se f(x) = a₀ + a₁x + ... + a nxⁿ, an ≠ 0 e g(x) = b₀ + b₁x + ... + b mxm, bm ≠ 0 são funções polinomiais, então: •
lim x→±∞
f(x) = g(x)
lim x→±∞
anxn bmxm
EXEMPLO lim x→-∞
3x+2 = 5x-1
lim x→-∞
3x 3 = 5x 5
capítulo 11
• 343
13 Propriedades dos limites no infinito Vamos a algumas propriedades dos limites no infinito que nos ajudarão nos cálculos.
13.1 Limite da soma Propriedades
lim x→+∞
f(x) =
lim x→+∞
g(x) =
lim x→+∞
[f(x) + g(x)] =
S1
L1
L2
L1 + L2
S2
L
+∞
+∞
S3
L
-∞
-∞
S4
+∞
+∞
+∞
S5
-∞
-∞
-∞
S6
+∞
-∞
Nãoháregrageral
S7
-∞
+∞
Nãoháregrageral
13.2 Limite do produto Propriedades
344 •
lim x→+∞
f(x) =
lim x→+∞
g(x) =
lim x→+∞
[f(x) . g(x)] =
P1
L1
L2
L1 L2
P2
L>0
+∞
+∞
P3
L<0
+∞
-∞
P4
L>0
-∞
-∞
P5
L<0
-∞
+∞
P6
+∞
+∞
+∞
P7
+∞
-∞
-∞
P8
-∞
+∞
-∞
capítulo 11
P9
-∞
-∞
P10
0
+∞
Nãoháregrageral
P11
0
-∞
Nãoháregrageral
P12
+∞
0
Não há regra geral
P13
-∞
0
Não há regra geral
+∞
13.3 Limite do quociente Propriedades
lim x→+∞
f(x) =
lim x→+∞
L1
Q1
g(x) =
L2 ≠ 0
Q2
0 > L
0
Q3
0 < L
0
f(x) = g(x)
lim x→+∞
L1 / L2 +∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)>0, ∀x∈]a,+∞[ -∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)<0, ∀x∈]a,+∞[ +∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)<0, ∀x∈]a,+∞[ -∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)>0, ∀x∈]a,+∞[
Q4
L
Q5
L
Q6
+∞
L>0
+∞
Q7
+∞
L<0
-∞
+∞
0 0
capítulo 11
• 345
Q8
+∞
0
+∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)>0, ∀x∈]a,+∞[ -∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)<0, ∀x∈]a,+∞[
Q9
-∞
L>0
-∞
Q10
-∞
L<0
+∞ +∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)<0, ∀x∈]a,+∞[ -∞, se existe ]a,+∞[ tal que g(x)>0, ∀x∈]a,+∞[
Q11
-∞
0
Q12
+∞
+∞
Nãoháregrageral
Q13
+∞
-∞
Nãoháregrageral
Q14
-∞
-∞
Nãoháregrageral
Q15
-∞
+∞
Nãoháregrageral
Q16
0
0
Não há regra geral
ATENÇÃO Para as tabelas estudadas, também é válido quando x tende a -∞, sendo que nas propriedades Q2, Q3, Q8 e Q11, o intervalo ]a,+∞[ deverá ser substituído por ]-∞,a[.
346 •
capítulo 11
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Determine o
lim x→+∞
2x⁶+3x⁴+2x-1 : x²+8x+5
Resolução Percebemos claramente que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞, pois: lim 2x⁶+3x⁴+2x-1
x→+∞
= +∞
e
lim x²+8x+5
= +∞
x→+∞
Assim, devemos efetuar uma transformação para evitar tal indeterminação, escrevendo o limite da seguinte forma: lim x→+∞
2x⁶+3x⁴+2x-1 = x²+8x+5
lim x→+∞
x⁶(2 + 3/x² + 2/x⁵ – 1/x⁶) = x²(1+8/x+5/x²)
lim x→+∞
x⁴(2 + 3/x² + 2/x⁵ – 1/x⁶) (1+8/x+5/x²)
Por Q4, temos que:
x→+∞ lim
Então,
lim (2
x→+∞
+
3 x² = 0,
2 x⁵ = 0, e
x→+∞ lim
x→+∞ lim
1 x⁶ = 0
3 2 1 + + ) = 2. x² x⁵ x⁶
Por outro lado, sabemos que
lim x→+∞
x⁴ = +∞.
De P2, temos que: lim (2
x→+∞
+
3 2 1 + + )= x² x⁵ x⁶
Da mesma forma, sabemos que: lim (1+ x→+∞
lim x⁴
x→+∞
8 x
+
(2+0+0-0) =
5
lim 2x⁴
x→+∞
= +∞
)=1
x²
Assim, pela propriedade Q6, temos que o limite procurado é lim
x→+∞
2x⁶+3x⁴+2x-1 = +∞. x²+8x+5
capítulo 11
• 347
2) O limite a) -1
lim x→+∞
6x²-5x é igual a: 2x²-5
b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
Resolução
Ao observar o limite, podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞, já que lim 6x²-5x = +∞ e que lim 2x²-5 = +∞. x→+∞
x→+∞
Assim, vamos realizar uma transformação. Perceba que:
6x²-5x x²(6-5/x) = lim = x→+∞ 2x²-5 x→+∞ x²(2-5/x²) lim
lim x→+∞
(6-5/x) = (2-5/x²)
lim 6
-
lim 2
-
x→+∞ x→+∞
Sabemos pela propriedade Q4 que Assim, temos que lim
x→+∞
lim 5/x
x→+∞
= 0 e também que
lim 5/x
x→+∞
lim 5/x²
x→+∞
lim 5/x²=0.
x→+∞
6x²-5x 6 = = 3. 2x²-5 2
Logo, a alternativa correta é a letra c. 3) Determine o limite
lim x→-∞
3x⁵+2x⁴+1 : 2x⁵+3
Resolução Ao observar o limite, podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo -∞/-∞, já que lim 3x⁵+2x⁴+1 = -∞ e que lim 2x⁵+3 = -∞. x→-∞
x→-∞
Assim, vamos realizar uma transformação. Perceba que:
lim x→-∞
3x⁵+2x⁴+1 = 2x⁵+3
x⁵(3+2/x+1/x⁵) = x→-∞ x⁵(2+3/x⁵) lim
(3+2/x+1/x⁵) = x→-∞ (2+3/x⁵) lim
lim 3
x→-∞
+
lim 2/x
x→-∞
lim 2
x→-∞
348 •
capítulo 11
-
+
lim 1/x⁵
x→-∞
lim 3/x⁵
x→-∞
Sabemos que
lim 2/x
x→-∞
Assim, temos que
lim x→-∞
= 0,
lim 1/x⁵
x→-∞
= 0 e também que
lim 3/x⁵=0 pela
x→-∞
propriedade Q4.
3x⁵+2x⁴+1 3 = . 2x⁵+3 2
14 Limites especiais: x→+∞ lim ⁿ f(x) e x→-∞ lim ⁿ f(x) , n ∈ N* Segue uma tabela para os limites especificados anteriormente. Depois, você verá uma demonstração da 3ª propriedade. Propriedades
lim x→+∞
R1
f(x) =
lim x→+∞
n
L≥0
n
f(x)
L ,∀n∈N*
n
R2 R3
L<0 +∞
L ,∀n∈N* com n ímpar +∞, ∀n∈N*
R4
-∞
-∞,∀n∈N* com n ímpar
ATENÇÃO Tais propriedades também são válidas para x→-∞.
14.1 Demonstração de R3 Vamos partir da hipótese de que, para qualquer positivo N, existe um número real M positivo tal que:
x > M ⇒ f(x) > Nⁿ, ∀ n ∈ N* É fácil verificar que a hipótese acima corresponde à definição de lim f(x) = +∞. x→+∞
capítulo 11
• 349
n
Todavia, N é positivo. Então, f(x) > Nⁿ ⇒ f(x) > N. Portanto, para qualquer real positivo N e para todo n não nulo, há um real positivo M tal que: n
x > M ⇒ f(x) > N ou n lim f(x) = +∞ x→+∞
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é o valor do limite
lim x→-∞
4x²+6x+3 ? x²-5
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolução Primeiramente, vamos calcular o limite do radicando, ou seja,
lim x→-∞
4x²+6x+3 ?. x²-5
Percebemos que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞, pois temos que lim 4x²+6x+3 =
x→-∞
+∞ e
lim x²-5
x→-∞
= +∞.
Portanto, devemos realizar uma transformação para que seja possível realizar este cálculo. Observe que: lim x→-∞
4x²+6x+3
=
x²-5
lim x→-∞
x²(4 + 6/x + 3/x²)
=
x²(1 - 5/x²)
lim x→-∞
(4 + 6/x + 3/x²) (1 - 5/x²)
Deste modo, pela propriedade R1 apresentada anteriormente, temos que: lim x→-∞
4x²+6x+3 = x²-5
Logo, a alternativa correta é a letra e.
350 •
capítulo 11
lim x→-∞
4x²+6x+3 = 4=2 x²-5
=
4 1
=4
ATENÇÃO Limites infinitos são úteis no traçado de gráficos de funções, pois auxiliam na localização de assíntotas, caso existam.
EXEMPLO Considere a função f(x) =
2x - 6 . x-5
Como f não está definida em x=5, vamos construir o seu gráfico calculando os limites: lim f(x) x→5⁺
= +∞ e
lim f(x)
x→+∞
e =2 e
lim f(x)
= +∞
lim f(x)
=2
x→5⁻
x→+∞
Dessa forma, teremos uma ideia do gráfico da função: y
4
y=2 2
-10
-5
5
x=5 -2
10
x
Observe que o gráfico se aproxima da reta vertical x=5, chamada de assíntota vertical do gráfico. Note também que o gráfico se aproxima da reta horizontal y=2, chamada de assíntota horizontal do gráfico.
CONCEITO A linha reta vertical x=a é chamada assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: (i)
lim f(x)
= +∞
(ii)
lim f(x)
= +∞
x→a⁺
x→a⁻
capítulo 11
• 351
(iii)
lim f(x)
= -∞
(iv)
lim f(x)
= -∞
x→a⁺
x→a⁻
A linha horizontal y=b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: (i)
lim f(x)
x→+∞
= b ou (ii)
lim f(x)
x→-∞
=b
15 Complementos sobre o estudo de limites 15.1 Função Limitada Um exemplo clássico de função limitada é a função f(x) = sen x. Veja seu gráfico: 2
y
1 x -4
-3
-2
-1
01 2 3 4
-1 -2
Diz-se que uma função f definida em A é limitada, em B⊂A, se houver um número M > 0 tal que, para todo x∈B, temos |f(x)| < M, ou seja, -M < f(x) < M. Assim, podemos inferir da definição que se a função f é limitada em B, então podemos afirmar que existem a e b reais, tais que a < f(x) < b, para todo x∈B. Pelo gráfico da função seno, percebemos que -1 < sen x < 1, através das retas horizontais y = 1 e y = -1. Este estudo motiva o seguinte teorema:
352 •
capítulo 11
15.1.1 Teorema Se lim f(x) = b, então há um intervalo aberto I contendo a, tal que f é limitada x→a em I-{a}.
15.1.2 Prova f(x) = b, então f é limitada emI-{a}, ou seja, devemos Queremos provar que, se lim x→a ter M > 0 e δ > 0, tais que 0 < |x-a| < δ⇒ |f(x)|
Considere, por hipótese, que
lim f(x) x→a
= b.
Da definição de limite, tomandoϵ = 1 > 0, temos que∃δ > 0, tal que0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)-b| <1. Porém, sabemos da propriedade da desigualdade triangular que: 1 > |f(x)-b| ≥ |f(x)| - |b| ⇒ |f(x)| ≤ |b| + 1
Portanto, escolhendo M=|b|+1>0, chegamos ao que queríamos: ∃M > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)| ≤ M ■
Teorema do Confronto O resultado do teorema anterior — juntamente com o do Teorema da Conservação do Sinal, mostrado no início do nosso capítulo, e com a noção de função limitada — motiva o estudo de um importantíssimo resultado, necessário a várias situações do estudo de Cálculo. Trata-se do Teorema do Confronto.
15.1.3 Teorema Se lim g(x) = lim h(x) = b e se f é tal que g(x) < f(x) < h(x) para todo x∈I-{a}, onde x→a x→a I é um intervalo aberto que contém a, então lim f(x) = b. x→a
capítulo 11
• 353
15.1.4 Prova Como lim g(x) = x→a tais que:
lim h(x) x→a
= b, então, para todo ϵ > 0, existem δ₁ > 0 e δ₂ > 0
0 < |x-a| < δ₁ ⇒ |g(x)-b| < ϵ⇒ b-ϵ < g(x) < b+ϵ 0 < |x-a| < δ₂ ⇒ |h(x)-b| < ϵ⇒ b-ϵ < h(x)
Adotando δ = min{δ₁,δ₂}, temos que, para todo ϵ > 0, há um δ > 0 tal que: 0 < |x-a| < δ ⇒ b-ϵ < g(x) < f(x) < h(x) < b+ϵ⇒ b-ϵ < f(x) < b+ϵ⇒ |f(x)-b| <ϵ
Isso nos leva a: lim h(x) = x→a
b ■
ATENÇÃO O teorema também é aplicado para x→+∞ e x→-∞, considerando I = ]a,+∞[ e I=]-∞,a[.
15.2 Limites Trigonométricos Passaremos à apresentação de alguns resultados sobre limites trigonométricos, que não esgotam o assunto tratado, porém tem como objetivo ajudá-lo no cálculo de limites. Vamos considerar ângulos medidos em radianos. Então: 1.
lim sen
x = sen a, ∀ a ∈ ℝ
2.
lim cos
x = cos a, ∀ a ∈ ℝ
3.
lim tg
4.
lim
x→a
x→a
x→a
x→a
354 •
x = tg a, ∀ a ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ
sen x = 1, conhecido como Limite Trigonométrico Fundamental x
capítulo 11
15.2.1 Prova – Item 4 Vamos considerar a vizinhança à direta e à esquerda de 0. Da trigonometria, temos que: (i) 0 < x <
π 1 ⇒ 0 < sen x < x < tg x ⇒ > 1 > 1 > 0. 2 sen x x tg x
E, ainda: (ii) -
π < x < 0 ⇒ 0 > sen x > x > tg x ⇒ 1 < 1 < 1 <0. 2 sen x x tg x
Agora, vamos multiplicar ambas as desigualdades pelo fator sen x: (i)
sen x sen x sen x sen x > > ⇒ 1> > cos x, pois sen x > 0 sen x x tg x x
(ii)
sen x sen x sen x sen x > > ⇒ 1> > cos x, pois sen x < 0 sen x x tg x x
Fazendo g(x) = cos x e h(x) = 1, temos que: lim g(x) x→0
=
lim cos x→0
lim h(x) x→0
x = cos 0 = 1 =1
Agora, definindo f(x)=(sen x)/x, temos que:
h(x) = 1 < f(x) = sen x < g(x) = cos x x
Passando o limite, obtemos: lim h(x) x→0
<
lim f(x)
= sen x < g(x) = cos x x
x→0
Logo, pelo Teorema do Confronto, concluímos que: lim f(x) x→0
=
lim x→0
sen x =1 x
■
capítulo 11
• 355
EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual é o valor para lim x→k
sen x - sen k ? x-k
Resolução Para resolver este tipo de limite, precisamos fazer uso da transformação trigonométrica a seguir: sen x - sen k = 2.sen (
x-k x+k ).cos( ) 2 2
Portanto, temos que:
sen x - sen k = lim x→k x-k
2.sen ( lim x→k
x-k x+k x-k x+k ).cos( ) sen ( ).cos( ) 2 2 2 2 = lim x→k x-k x-k 2 x-k ) 2 = 1. Então: x-k 2
sen (
Sabemos que, pelo limite trigonométrico(4),
sen x - sen k = lim lim x→k x→k x-k
lim x→k
x-k ) 2 x+k x+k . lim cos( ) = 1. lim cos( ) = cos k x→k x→k 2 2 x-k 2
sen (
Logo, o valor do limite procurado é cos k.
15.3 Limites de Funções Exponenciais Passaremos à apresentação de alguns resultados importantes de limites de funções exponenciais: 1.
lim ax x→0
356 •
= 1, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1
capítulo 11
2. 3. 4.
lim ax
= ab, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1
lim ax
= 0, a ∈ ℝ e 0 < a < 1
lim ax
= +∞, a ∈ ℝ e 0 < a < 1
x→b
x→+∞
x→-∞
5. Se lim f(x) = 0, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1, então
lim af(x)
=1
6. Se lim f(x) = c, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1, então
lim af(x)
= a lim f(x) = ac
x→b
x→b
x→b
x→b
x→b
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine o valor do seguinte limite: 5x⁴+2x
lim 4 3x³ +1
x→-∞
Resolução Para resolvermos este limite, vamos estudar primeiramente o seguinte limite do expoente da expressão: lim x→-∞
5x⁴+2x x³(5x+2/x²) = lim = 3x³+1 x→-∞ x³(3+1/x³)
lim x→-∞
5x = -∞ 3
Pelas propriedades estudadas, temos que: 5x⁴+2x
lim 4 3x³ +1
x→-∞
lim
=4
x→-∞
5x⁴+2x 3x³ +1
= 4-∞ = (
1 +∞ ) =0 4
Portanto, o limite procurado tem valor igual a 0.
15.4 Limites de Funções Logarítmicas Agora veja alguns resultados importantes sobre limites de funções logarítmicas que irão ajudá-lo no cálculo de limites:
capítulo 11
• 357
1.
lim
2.
lim
3. 4.
loga x = 0, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1
x→1
(loga x) = loga b, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1 e b > 1
x→b
lim (loga x)
= +∞, a ∈ ℝ e a > 1
lim (loga x)
= -∞, a ∈ ℝ e a > 1
x→+∞
x→0⁺
5. 6.
lim (loga x)
= -∞, a ∈ ℝ e 0 < a < 1
lim (loga x)
= +∞, a ∈ ℝ e 0 < a < 1
x→+∞
x→0⁺
7. Se lim f(x) = 1, a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1, então lim (loga f(x)) = 0 x→b
x→b
8. Se lim f(x) = c, a ∈ ℝ e 0 < a, então x→b
lim x→b
(loga f(x)) = loga ( lim f(x)) = loga c x→b
1 x ) =e, onde e é o número irracional, conhecido como número de Euler x ou neperiano (visto no capítulo 4). Esse limite é conhecido como Limite Exponencial Fundamental. 9.
lim (1+
x→+∞
EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine
lim x→π/2
log5 sen x:
Resolução Vamos calcular primeiramente: lim sen
x→π/2
x = sen
π =1 2
Observando a 8ª propriedade, temos que: lim x→π/2
Portanto,
358 •
lim x→π/2
log5 sen x = log5 ( lim sen x) = log51 = 0
log5 sen x = 0.
capítulo 11
x→π/2
ATIVIDADE 1) Calcule o limite 2) Calcule
lim x→-2⁺
lim x→2
x+2 |x+2|
x⁴-4 : x-2
e
lim x→-2⁻
x+2 : |x+2|
3) Considere o gráfico de f(x) abaixo e responda o que se pede: a)
lim f(x)
b)
lim f(x)
c)
lim f(x)
d)
lim f(x)
e)
f) g) h)
x→1⁻
y
x→1⁺
x→2⁻
1
0
x→2⁺
2
x
-1/2 -1
lim f(x) x→0⁻
x→0⁺ f(x) lim
lim f(x)
x→+∞
lim f(x)
x→-∞
1 e determine o valor do limite desta função quando x x tende a 0 e verifique se esta função é contínua: 4) Considere o gráfico da função f(x)=
y 3 2 y=1/x
1 -3
-2
-1
1
2
3
x
-1 -2 -3
capítulo 11
• 359
GABARITO 1) Uma vez que a substituição direta nos fornecerá uma indeterminação, precisamos fatorar
a diferença de dois quadrados do numerador e, assim, efetuar a simplificação. lim x→2
x⁴-4 (x+2)(x-2) = lim = x→2 x-2 x-2
lim x+2 x→2
=4
2) Utilizando a definição de módulo, temos que:
|x+2| =
x+2,
se x > -2
{-(x+2) = -x-2, se x < -2
Quando x tende a -2 pela direita, utilizamos a primeira definição do módulo, ou seja, |x+2| = x+2: lim x→-2⁺
x+2 = |x-2|
lim x→-2
x+2 =1 x+2
Quando x tende a -2 pela esquerda, utilizamos a segunda definição do módulo, ou seja, |x+2| = -x-2: lim x→-2⁻
3) a)
lim f(x)
= -∞
b)
lim f(x)
=-
c)
lim f(x)
= +∞
d)
lim f(x)
=0
e)
lim f(x)
= -1
f) g)
x→1⁻
x→1⁺
x→2⁻
x→2⁺
x→0⁻
lim f(x) x→0⁺
= -1
lim f(x)
x→+∞
360 •
1 2
=-
1 2
capítulo 11
x+2 = |x+2|
lim x→-2
x+2 = -1 -(x+2)
h)
lim f(x)
x→-∞
= -∞
4) lim f(x)
= -∞
lim f(x)
= +∞
x→0⁻
x→0⁺
Assim, não há limite quando x tende a 0. A função não é contínua.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Volume 1. 8. ed. São Paulo: Bookman, 2007. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de Matemática Elementar 8: Limites, Derivadas, Noções de Integral. 7. ed. São Paulo: Atual, 2013.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com geometria analítica. Volume 1. 3. ed. São Paulo: Harbra, 2002. MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Volume 1. Rio de Janeiro: LTC,1982. STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. THOMAS. Cálculo. Volume 1. 11. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
capítulo 11
• 361
ANOTAÇÕES
362 •
capítulo 11
