UFFS/Chapecó Introdução à Pesquisa Operacional Lista de Exercícios 1 – Formulação de Modelos
Éverton Loreto
2012/1
1) F P (Silva (Silva)) Um sapateiro sapateiro faz 6 sapatos sapatos por por hora, hora, se fizer fizer somente somente sapatos, sapatos, e 5 cintos cintos por por hora, hora, se fizer fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $ 5 e o do cinto é $ 2, pede-se o modelo modelo do sistema de produção do sapateiro, sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 2) F P (Silva (Silva)) Certa empresa empresa fabrica fabrica dois dois produtos produtos P1 e P2. P2. O lucro lucro por unidade unidade de de P1 é de $100 $100 e o lucro lucro unitário de P2 é de $ 150. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma u ma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa e mpresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 3) F P (Silva (Silva)) Uma empresa empresa fabrica fabrica 2 modelos modelos de cintos cintos de de couro. couro. O modelo modelo M1, de de melhor melhor qualidade, qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades por dia. A disponibilidade disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam e mpregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? 4) F P (Silva (Silva)) Uma empresa empresa,, após um processo processo de de racionaliza racionalização ção de produç produção, ão, ficou ficou com dispon disponibilida ibilidade de de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120 por unidade e P2, 150 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade P1
2
3
5
P2
4
2
3
Disponibilidade por mês 100 90 Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa?
1 20
5) F P (Caixe (Caixeta) ta) Uma Uma empresa empresa produz produz álcool álcool anidro anidro e álcool álcool hidratado, hidratado, a partir partir de de uma usina usina que está está organizada em três setores de produção. O processo de produção pode ser resumido da seguinte forma: o álcool anidro passa pelos setores I e III, sendo que cada tonelada desse produto consome 0,5 hora do setor I e 1/3 h do setor III, diariamente. Por outro lado, a produção de uma tonelada do álcool hidratado demanda 1 hora do setor II e 2/3 h do setor III, também diariamente. Admitindo que cada setor esteja em operação 8 horas por dia, e que as receitas líquidas a serem obtidas para o álcool anidro e álcool hidratado sejam $ 40 e $ 30 por tonelada, respectivamente, qual deve ser a combinação ótima de níveis de produção a ser perseguida pela empresa? 6) F P (Lacht (Lachtermac ermacher) her) Um pizzaiolo pizzaiolo trabalha trabalha 8 horas horas por por dia e faz 16 pizzas pizzas por hora, hora, caso caso faça somente somente pizzas e 9 calzones por hora, hora, se fizer somente calzones. Ela Ela gasta 40g de queijo para preparar preparar uma pizza e 60g de queijo para preparar um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5kg por dia, e que a pizza é vendida a $18,00 e o calzone a $22, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma u ma pizzaria deve vendar diariamente para maximizar a sua receita, considerando que ela tem três pizzaiolos? 7) F P (Lachterm (Lachtermacher) acher) A empresa empresa de de logística logística Deixa Deixa Comigo Comigo SA tem uma frota frota de caminhões caminhões para para realizar transportes de cargas para terceiros. A frota é composta por caminhões médios com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para o consumo, consumo, como arroz e feijão. feijão. A frota tem uma capacidade de peso de 70.000kg e um limite de volume de 30.000 m³. O próximo contrato de transporte transporte refere-se a uma entrega de 100.000 kg de sementes e 85.000 de grãos, sendo que a empresa pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga, deixando o restante para outra transportadora. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4 m³ por quilo e o volume de grãos é de 0,2m³ por quilo. Sabendo-se que o lucro para transportar as sementes é de $0,12 por quilo e o lucro para transportar grãos é de $0,35 por quilo, descubra quantos quilogramas de sementes
e de grãos a empresa deve transportar para maximizar o seu lucro. 8) F P (Lachtermacher) As indústrias Sara Cura Produtos Farmacêuticos desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias-primas A e B, disponíveis em quantidades de 8 e 5 ton, respectivamente. Na fabricação de 1 ton de analgésico são empregadas 1 ton da matéria A e 1 ton da matéria B, e na fabricação de 1 ton de antibiótico são empregadas 4 ton de A e 1 ton de B. Sabendo que cada tonelada de antibiótico é vendida a $8,00 e de analgésico a $5,00, encontre a quantidade de toneladas a ser produzida pela empresa, de maneira a maximizar sua receita. 9) F P (Lachtermacher) Um jovem está saindo com duas namoradas: Sheila Peres e Ana Paula Ambrósio. Ele sabe, por experiência que: Ana Paula: elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo que uma saída de três horas custará R$ 240,00. Sheila: mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que uma saída de três horas lhe custará R$ 160,00. Seu orçamento permite-lhe dispor de R$ 960,00 mensais para diversão. Seus afazeres escolares lhe dão liberdade de, no máximo, 18 horas e 40.000 calorias de sua energia para atividades sociais. Cada saída com Ana Paula consome 5000 calorias, mas com Sheila, mais alegre e extrovertida, ele gasta o dobro. Ele gosta das duas com a mesma intensidade. Como o jovem deve planejar a sua vida social para obter o máximo número de saídas? 10) F N (Silva) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a $10 de lucro por caixa e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 11) F N (Silva) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A, com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30000 telespectadores, enquanto que o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? 12) F N (Lachtermacher) A indústria Alumilâminas SA iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diário de $100.000 para uma capacidade produtiva de 8 lâminas finas, 1 de lâminas médias e 2 de lâminas grossas. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de $ 200.000 para uma produção de 2 lâminas finas, 1 de lâminas médias e 7 de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? 13) F N (Lachtermacher) A empresa Have Fun SA produz uma bebida energética muito consumida pelo frequentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solução Blue – que proveem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas dose de 10ml de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer as exigências mínimas padronizadas de 48g de extrato de guaraná e 12g de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20g por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8g de extrato de guaraná e 1g de cafeína, enquanto que uma dose da solução Blue contribui com 6g de extrato de guaraná e 2g de cafeína. Uma dose de solução Red custa $0,06 e uma dose da solução Blue custa $0,08. 14) M P (Silva) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas: A (Arrendamento): Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma
usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por ano. P (Pecuária): Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/alq) e irrigação (100.000 l de água/alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano. S (Plantio de soja): Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água/alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00 por alqueire por ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de água, 14.000 kg de adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? 15) M P (Caixeta) Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade a um ou mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderia limitar a produção é de 500 horas para a máquina A, 350 h para a B e 150 para a C. O número de hora de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado a seguir: Tipo de máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 A 9 3 5 B C
5 4 0 3 0 2 O lucro unitário estimado é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos, 1, 2 e 3. Determine a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar seu lucro. 16) M P (Lachtermacher) A Esportes Radicais SA produz paraquedas e asas-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o paraquedas requer 3 horas e a asa-delta, 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro unitário do paraquedas é de $60 e o da asa-delta é de $40, encontre a programação de produção que maximize o lucro da empresa. 17) M P (Lachtermacher) A Capitão Caverna SA, localizada em Pedra Lascada, aluga três tipos de barcos para passeios marítimos: jangadas, supercanoas e arcas com cabines. A companhia fornece com o barco um capitão para navegá-lo e uma tripulação, que varia de acordo com a embarcação: 1 funcionário para jangadas, 2 para supercanoas e 3 para arcas. A companhia tem 4 jangadas, 8 supercanoas e 3 arcas, e em seu corpo de funcionários, 10 capitães e 18 tripulantes. O aluguel é por diárias e a empresa lucra $50 por jangada, $70 por supercanoa e $100 por arca. Quantos barcos de cada tipo devem ser alugados para que a empresa tenha o maior lucro possível? 18) M P (Lachtermacher) A empresa de artigos de couro Pele Mimosa Ltda. fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro de $ 50 por unidade e o lucro unitário da mochila é igual a $ 40. A quantidade de horas necessária para confeccionar cada produto assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados na tabela a seguir: Departamento Capacidade (h/dia) Mala (h/un) Mochila (h/un) Corte Tingimento
300 540
2 0
0 3
Costura 440 2 2 Embalagem 300 6/5 3/2 Sabendo-se que há demanda excedente tanto de mala como de mochilas, determine quantas unidades de cada produto a empresa deve fabricar diariamente para maximizar o seu lucro. 19) M P (Lachtermacher) Uma pequena malharia produz dois tipos de camisas: de manga curta e de manga comprida. Toda a produção é feita e vendida para um distribuidor, que compra tudo que é produzido. A confecção de cada camisa passa por três seções de trabalho: corte, costura e acabamento. A tabela a seguir
mostra os tempos necessários em cada seção. Produto Corte (h) Costura (h) Acabamento (h) Manga curta
3
1,5
5
Manga longa 3 3 3 Os limites de capacidade de produção são de 210 homens/hora por semana para a seção de corte, 180 para a de costura e 330 para a de acabamento. Determinar a quantidade de cada tipo de camisa que deve ser fabricada de maneira a maximizar o lucro da empresa, sabendo que o lucro unitário proporcionado pela camisa de manga curta é $2,00 e pela de manga longa é de $3,00. 20) M P (Lachtermacher) A Picolé Lelé é a marca local preferida pelos habitantes das ilhas Calorândicas, que consomem todos os picolés cremosos que a empresa consegue fabricar. No entanto, por se localizar no meio do oceano, a empresa tem algumas restrições de fabricação, devido a escassez de matéria-prima fresca. Preocupados em maximizar o lucro da firma, seus dirigentes elaboraram a seguinte tabela, para que possamos ajudá-los, a descobrir quantos picolés de cada sabor devem produzir diariamente. Lucro/un Quantidade de leite ( l /un) Quantidade de açúcar / 100g Polpa de fruta ( l /un) Sabor Morango
$ 1,00
0,45
0,50
0,10
Uva
$ 0,90
0,50
0,40
0,15
Limão
$0,95
0,40
0,40
0,20
-
200
150
60
Máximo disponível
21) M P (Lachtermacher) A empresa Serra Serra Serrador fabrica três tipos de madeiras compensadas (placas de aglomerados). Os dados a seguir resumem a produção em horas por unidade em cada uma das três operações de produção, o tempo máximo disponível em cada operação e o lucro unitário de cada placa. Aglomerado Operação I Operação II Operação III Lucro ($/un) Placa A
2
2
4
40,00
Placa B
5
5
2
30,00
Placa C 10 3 2 20,00 Máximo disponível 900 400 600 Quantas unidades de cada placa de aglomerado devem ser produzidas, de maneira a otimizar o lucro da serraria? 22) M P (Passos) Uma padaria fabrica pães, bolos e pizzas. Na fabricação de um quilo de pães, são utilizados 500g de farinha, 4 ovos, 80g de fermento, 0,4 litro de leite e 0,3 homem-hora; na fabricação de um quilo de bolo, gastam-se 500g de farinha, 3 ovos, 60g de fermento, 0,4 litro de leite e 0,4 homem-hora; e na fabricação de pizzas são gastos 400g de farinha, 4 ovos, 50g de fermento, 0,5 litro de leite, 450g de queijo mussarela e 0,3 homem-hora. A empresa dispõe, diariamente, de 40 quilos de farinha, 23 dúzias de ovos, 6 quilos de fermento, 34 litros de leite, 4,5 quilos de queijo mussarela e 40 homens-horas. A contribuição para o lucro dos pães é de $3,40, dos bolos é de $3,00 e das pizzas é de $2,50. Deseja-se saber qual o modelo que deverá ser utilizado para que as quantidades produzidas de pães, bolos e pizzas, diariamente, maximizem o lucro da padaria. 23) M P (Passos) Uma empresa de informática tem em seu quadro de pessoal 25 engenheiros e 40 técnicos. Ela venceu uma concorrência para instalar todo o sistema de computação de um “edifício inteligente” e está preparando as equipes para trabalharem nessa obra. Dos estudos realizados para o emprego da mão de obra chegou-se à conclusão de que haveria viabilidade para a empresa trabalhar com três tipos de equipes com as seguintes composições: tipo I: 2 engenheiros e 6 técnicos; tipo II: 4 engenheiros e 8 técnicos; tipo III: 3 engenheiros e 9 técnicos. O emprego de cada equipe do tipo I, diariamente, dá uma receita de para a empresa no valor de $ 2000, da equipe do tipo II, $ 3000; e da equipe III, $ 2800. Qual deve ser a quantidade a ser empregada de cada tipo de equipe na obra para que a receita da empresa de informática seja máxima? 23) M P (Passos) Uma fábrica de móveis para escritórios produz estantes e mesas para computadores. Cada
estante gasta 2,5 m² de madeira, 14 parafusos, 0,40 kg de cola, 8 puxadores e 6 dobradiças e cada mesa para computador gasta 2,0 m² de madeira, 18 parafusos, 0,22 kg de cola, 2 puxadores e 4 dobradiças. A empresa tem 18 empregados que trabalham oito hora por dia e sabe-se que uma estante gasta entre o corte da madeira e o seu término quatro horas e meia e a mesa para computador, três horas. A loja dispõe, diariamente, de 90 m² de madeira, 7 caixas de parafusos contendo, cada uma, 100 parafusos, 12 quilos de cola, 15 caixas de puxadores, cada uma contendo 12 peças, e 17 caixas de dobradiças, cada uma contendo 12 peças. No mercado a empresa obtém um lucro de $45,00 por cada estante vendida e $36,00 por cada mesa para computadores. O mercado impõe uma demanda máxima de 16 estantes e 25 mesas para computadores. Determinar o modelo matemático para esse problema que maximiza o lucro da empresa. 24) M N (Silva) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros, além de 2 tipos de materiais recuperados: Material recuperado 1 (MR1): Composição: ferro 60%, carvão 20% e silício 20%; e custo $0,20 por kg. Material recuperado 2 (MR2): Composição: ferro 70%, carvão 20%, silício 5% e níquel 5%; e custo $0,25 por kg. A liga deve ter a seguinte composição final: Matéria-prima % mínima % máxima ferro
60
65
carvão
15
20
silício níquel
15 20 5 8 Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; níquel: $0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? 25) M N (Silva) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m³ (loja 1), 80 m³ (loja 2), 40 m³ (loja 3) e 100 m³ (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão na tabela (em km): L1 L2 L3 L4 P1
30 20 24 18
P2
12 36 30 24
P3
8 15 25 20 O caminhão pode transportar 10 m³ por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. 26) M N (Silva) A empresa MR Móveis fabrica móveis para escritório e oferece a uma cadeia de lojas três produtos: mesa para computador, estante e cadeira com regulagem de altura e rodas. O vendedor da MR fecha um pedido de 1000 mesas, 800 estantes e 1200 cadeiras, com prazo de entrega de 45 dias. Um estudo do departamento de produção já tem estimado a necessidade de mão de obra, madeira e componentes metálicos para a fabricação dos três itens e a disponibilidade desses recursos no período de produção: Mesa Estante Cadeira Disponibilidade de recursos Mão de obra (h/un) Madeira (m²/un)
3 3
4 5
2 0,5
7600 h 7000 m2
Componentes metálicos (kg/un) 0,5 1 2 4000 kg A MR pode repassar seus projetos a outro fabricante e contratar uma quantidade conveniente desses produtos com a finalidade de suprir o pedido. Após consulta, chegou-se a: Custo (R$) Mesa Estante Cadeira Fabricação própria
100
130
90
Fabricação por terceiros 120 150 115 O problema consiste, agora, em determinar as quantias que a MR deve produzir e comprar de cada item, para minimizar o custo total desse pedido.
27) M N (Loesch) Três fábricas de automóveis, F1, F2 e F3, devem suprir a demanda de quatro centros de distribuição, denominados C1, C2, C3 e C4. Os automóveis são transportados em números inteiros de caminhões (comumente chamados de “cegonhas”). Assim, o custo de transporte entre uma fábrica e o centro de distribuição dependerá da distância rodoviária entre cada fábrica e o centro de distribuição. Para simplificar, as rotas mais curtas foram determinadas, os custos de transporte foram calculados e esses dados encontram-se resumidos na tabela a seguir, que apresenta também as ofertas e demandas das fábricas e centros de consumo. Determinar a condição que atenda a demanda dos centros, a partir das fábricas, com o menor custo de transporte. C1 C2 C3 C4 Oferta ai F1
5,5 4,5 9,9 2,7
10
F2
6,4 2,5 3,3 4,2
9
F3
2,5 4,9 4,6 4,7
8
Demanda b j
4
7
5
12
28
28) M N (Caixeta) Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 metro cúbico de produtos beneficiados requer 1 metro cúbico de pinho e 4 metros cúbicos de canela. Produzir 100 metros quadrados de madeira compensada requer 2 metros cúbicos de pinho e 4 metros cúbicos de canela. A região em questão dispõe de 32 metros cúbicos de pinho e 72 metros cúbicos de canela. Compromissos de vendas exigem que sejam produzidos, durante o período em planejamento, pelo menos 5 metros cúbicos de madeira beneficiada e 1200 metros quadrados de madeira compensada. As contribuições ao lucro são de $45 por metro cúbico de produtos beneficiados e $60 por 100 metros de madeira compensada. Determine as quantidades (em metros cúbicos) de madeira beneficiada e de madeira compensada (em 100 metros quadrados) a serem produzidas. 29) M N (Caixeta) Uma fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que proporcionam lucros unitários da ordem de $16, $30 e $50, respectivamente. As exigências de produção mínimas mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o B e 60 para o C. Cada tipo de implemento requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. Especificamente, uma dúzia de unidades do modelo A requer três horas para fabricar, quatro horas para montar e uma para testar. Os números correspondentes para uma dúzia de unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma dúzia do modelo C são, 5, 8 e 3. Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Encontre o melhor mix de produção. 30) M N (Caixeta) Uma companhia petroquímica deseja encontrar a combinação ótima de dois possíveis processos de mistura. Para o processo 1, uma entrada unitária de um barril de óleo cru A e três barris de óleo cru B produz uma saída de 50 galões de gasolina X e 20 galões de gasolina Y. Para o processo 2, uma entrada unitária de quatro barris de óleo cru A e dois barris de óleo cru B produz uma saída de 30 galões de gasolina X e 80 galões de gasolina Y. A quantidade máxima de óleo cru A disponível é de 120 barris, e de óleo cru B, 180 barris. Compromissos de vendas exigem que pelo menos 2800 galões de gasolina X e 2200 galões de gasolina Y sejam produzidos. Os lucros unitários do processo 1 e do processo 2 são p1 e p2, respectivamente. Sabendo que x1 é o número de unidades de entrada que a companhia decide usar no processo 1 e x2 no processo 2, formule como um modelo de programação linear. 31) M N (Caixeta) Uma companhia de aviação agrícola, que opera a partir de um determinado terminal, tem 8 aviões do tipo 1, 15 aviões do tipo 2 e 11 aviões do tipo 3, disponíveis para voos. As capacidades de pesticidas para pulverização, em toneladas, são 45 para o tipo 1, 7 para o tipo 2 e 5 para o tipo 3. A companhia deve expedir aviões para as propriedades A e B. As necessidades de tonelagem são 20 na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o excesso de pulverização em uma propriedade deve ser evitado; e que um avião pode voar somente uma vez durante o dia. O custo de enviar um avião do terminal a cada propriedade, em $, é dado pela tabela a seguir. Propriedade Avião tipo 1 Avião tipo 2 Avião tipo 3 A
23
15
1,4
B
58
20
3,8
Denotando por x1, x2 e x3, os números de aviões de cada tipo enviados à propriedade A e do mesmo modo, y1, y2 e y3 os aviões enviados à propriedade B, formule o modelo de programação linear pertinente ao problema. 32) M N (Passos) Uma empresa de segurança tem vários contratos com casas de espetáculos e necessita de efetivos diferentes, por dias da semana, para o cumprimento desses contratos. Segundo o levantamento da empresa, o número mínimo de empregados necessários diariamente é: Dia Domingo Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Necessidade 780 386 450 680 790 980 1100 Vamos considerar que o funcionário trabalhará 5 dias por semana e folgará outros dois (consecutivos). Qual o número mínimo de empregados que deverá ser contratado para que possa atender aos seus contratos. 33) D P (Lachtermacher) A Óleo Unidos SA é um empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base na mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizada para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir. Combustível A Combustível B Combustível C Extrato mineral
8 litros
5 litros
4 litros
Solvente 5 litros 4 litros 2 litros Suponha que a empresa tenha disponíveis diariamente 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Por uma característica técnica, o solvente evapora com muita facilidade e, para viabilizar os custos da empresa, pelo menos 70% do seu estoque deve ser utilizado no mesmo dia. Os lucros líquidos esperados para os três combustíveis são de $ 20,00, $22,00 e $18,00, respectivamente. Maximizar o lucro da empresa. 34) D P (Loesch) É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades para três tipos de regiões. As características por região segue na tabela a seguir. Região Área total em alqueires Disponibilidade de água (m³) A
400
600
B
600
800
C
300 375 Por sua vez, os produtos podem ser trigo, algodão e soja. As características dos produtos são: Produto Área máxima (alq.) Consumo de água por área (m3/alq.) Lucro por unidade de área ($/alq.) Trigo 600 3 400 Algodão Soja
500
2
300
325 1 100 Formule um problema de programação linear para a alocação de atividades.
35) D P (Loesch) Em um processo industrial pode-se produzir três tipos de produtos, cada um dos quais necessariamente precisa ser trabalhado em uma fresa, um torno mecânico e uma retífica. Os tempos consumidos por cada unidade de produto em cada máquina, assim como as receitas de venda por unidade de cada produto, seguem na tabela a seguir. Produto Tempo de trabalho (min.) Consumo (kg) Receita unitária (R$) A
Fresa 15
Torno 10
Retífica 5
Matéria-prima 1,5
50
B
10
12
8
0,8
65
C
5 4 3 0,6 20 A fresa tem disponibilidade semanal máxima de 4800 minutos, o torno de 4000 minutos e a retífica de 3600 minutos. A matéria-prima disponível para a próxima semana é de 480kg. O custo da matéria-prima é de R$ 10,00 por quilo. O custo de produção da fresa com mão de obra
incluída é de R$ 0,10 por minuto de trabalho, o do torno é de R$ 0,15 e o da retífica é de R$ 0,20. Deseja-se assim planejar a produção da semana vindoura de forma a maximizar o lucro. 36) D N (Loesch) Programar a produção agrícola de três tipos de cereais, designados por 1, 2 e 3, de forma que se saiba quanto plantar ou produzir de cada um dos cereais. Dispõe-se de uma área de 100 hectares para o plantio. A produção em sacas por are, as horas de trabalho por are, os custos produtivos de equipamentos e insumos para a produção, assim como a receita de venda dos produtos, são conhecidos e seguem a tabela a seguir. Descrição Produto 1 Produto 2 Produto 3 Produção em sacas/are Homens-hora de trabalho/are
4
5
7,5
0,45
0,6
0,5
17
19,5
25,6
Custo produtivo de equipamento e insumos/are
Receita por saca 22 24 16 O custo da mão de obra é de 20 $ por homem-hora e será pago com recursos disponíveis do produtor, o qual dispõe de até 5400 homem-hora de trabalho, que podem ser usados durante o período produtivo. A remuneração é proporcional às horas de trabalho consumidas. Para cobrir os custos de produção devido ao uso de equipamentos e de insumos, será necessário captar recursos por meio de empréstimo bancário de valor limite de 180.000$, que deverá ser saldado após o produtor comercializar sua produção, mediante o pagamento do principal, mais os juros capitalizados, à taxa de 4% ao mês. O tempo entre contrair o empréstimo no início do plantio até saldar a dívida é de quatro meses. Para conseguir o empréstimo, o produtor ainda necessita assumir o compromisso de produzir um mínimo de 10% do produto tipo 1, em sacas, sobre toda a produção. A terra que não utilizará pode ser arrendada por $ 50 o are. Porém, o agricultor só receberá o dinheiro do arrendamento após a colheita, de forma que não poderá utilizar esse recurso para financiar sua produção. Os produtos 2 e 3 tem demanda máxima garantida de 25000 e 30000 sacas, respectivamente. Pelo fato de serem produtos perecíveis, deseja-se limitar sua produção a esses valores. Pretende-se, com a programação, obter o maior lucro possível após pagar o empréstimo. 37) D N (Silva) Uma fábrica de ração para animais possui em estoque três misturas e pretende, a partir delas, compor uma nova ração que apresente as quantidades mínimas de dois nutrientes presentes nas misturas. A tabela a seguir apresenta as misturas com a porcentagem dos ingredientes presentes em cada uma e seu custo, além das quantidades mínimas exigidas na nova ração, por saco. Ingrediente Mistura 1 Mistura 2 Mistura 3 Exigência mínima (kg/saco) 1 2
25 20
20 30
32 18
5 6
Custo ($/kg) 0,30 0,25 0,28 O problema consiste em determinar a composição do saco de 30kg da nova ração a partir das três misturas que apresente o menor custo. 38) D N (Silva) Uma metalúrgica produz componentes para a indústria automobilística e recebeu um pedido para o fornecimento de 7240 peças de um determinado modelo a ser entregue em 10 dias úteis. A fábrica pode processar a peça em três máquinas que apresentam tanto capacidade como precisão diferentes, e que produzirão durante 8 horas por dia, conforme a tabela a seguir: Máquina Capacidade (pçs/h) Descarte (%) Custo descarte ($/pç) Custo operação ($/h) Número de máq. 1
20
5
2
85
4
2
15
3
2
75
3
3
12 1 2 70 1 Quantas máquinas de cada tipo deverão ser alocadas para essa tarefa com o menor custo possível?
39) D N (Caixeta) Uma certa corporação tem três fábricas filiais com capacidade de produção excedente. As três unidades tem capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência decidido utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode ser feito em três tamanhos: grande, médio e pequeno,
os quais geram um lucro unitário líquido de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 tem capacidade excedente de mão de obra e de equipamentos para produzirem 750, 900 e 450 unidades do produto por dias, respectivamente, independentemente do tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque de produtos em processo também impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 tem 1170, 1080 e 450 metros quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em processo, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, produzida por dia, requer 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1200 e 750 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter uma carga de trabalho uniforme entre as fábricas, e para reter algum tipo de flexibilidade, a gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve utilizar a mesma porcentagem da capacidade excedente de mão de obra e de equipamento. A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro. 40) D N (Lachtermacher) Um trem tem dois compartimentos de carga: um dianteiro e um traseiro. O compartimento de carga dianteiro tem uma capacidade de peso de 75.000 kg e uma capacidade de 40.000m³. O compartimento traseiro tem uma capacidade de peso de 80.000 kg e uma capacidade de 30.000m³. A empresa dona do trem foi contratada para levar cargas de arroz e feijão empacotados. O peso total da carga de arroz disponível é de 85.000 kg; o peso total da carga de feijão disponível é de 100.000 kg. O volume por massa de arroz é 0,2m³ por quilo, e o volume por massa de feijão é 0,4m³ por quilo. Por uma questão técnica, o compartimento traseiro deve ter uma carga (em peso) no mínimo 20% superior ao dianteiro. O lucro para transportar arroz é de $0,35 por quilo e de $0,12 por quilo de feijão. A empresa é livre para aceitar toda ou parte da carga disponível. Ela quer saber quantos quilos de arroz e de feijão deve transportar para maximizar o lucro. 41) D N (Loesch) Deseja-se encontrar a mistura ideal para compor uma ração de engorda de porcos a partir de componentes alimentares disponíveis (a matéria-prima para a produção de ração), que podem ser milho, sorgo, farelo de soja, farinha de sangue e farinha de ossos, de forma a atender requisitos básicos de nutrientes e que a ração saia ao menor custo possível. A composição de nutrientes, em grama por quilo de componente alimentar, bem como os preços dos componentes alimentares, estão estabelecidos na tabela a seguir. Componentes alimentares para a produção de ração Nutriente (g/Kg)
Milho
Sorgo
Farelo de soja
Farinha sangue Farinha ossos
Proteína
100
90
260
930
-
Metionina
10
13
20
10,6
-
Cistina
1,5
1,6
6,5
11,5
-
Cálcio
1,0
0,3
2,9
0,7
308,5
Fósforo
2,5
3,0
10,5
11,2
141,3
Preço (R$/Kg) 12,00 9,60 23,00 43,00 18,30 Os requerimentos mínimos de nutrientes básicos, em g/Kg de ração são: Proteína: 140; Cálcio: 5; Fósforo: 4; Metionina: 4,4 e Cistina: 1,0. Além do mais, a proporção de cálcio para fósforo deve estar compreendida entre 1,5 e 2, ou seja, 1,5 a 2 de peso de cálcio para o peso de fósforo. 42) D N (Loesch) Existem três matadouros pertencentes ao mesmo grupo, cada um situado em uma localidade, designados por A, B e C. Esses matadouros fornecem peças de bois para três supermercados, D, E e F. Porém, a carne precisa antes passar por dois entrepostos: 1 e 2. As ofertas dos matadouros, os custos unitários por peça transportada, bem como a capacidade de estocagem dos entrepostos, seguem na tabela a seguir. Entreposto Oferta (peças) Matadouro
1
2
A B
35 27
30 23
C Capacidade estocagem
33 26 1500 1000
750 980 670
Dos entrepostos aos supermercados, os preços unitários de transporte e a procura de peças bovinas por parte dos supermercados seguem na tabela a seguir. Supermercado Entreposto
D
E
F
1
23
17
21
2
12
26
15
Procura 650 900 650 Quanto transportar de cada matadouro a cada entreposto e de cada entreposto a cada supermercado, de forma a minimizar o custo total de transporte? 43) D N (Loesch) Na ilha de Pamonhas pode-se produzir cana-de-açúcar, soja e milho, sendo este último produto a base alimentar da população local. No momento, o governo de Pamonhas está empenhado em ordenar a produção agrícola de modo a maximizar o saldo da balança comercial do setor. A ilha dispõe de 12000 ha de terras cultiváveis. Para o ano vindouro preveem-se necessidades mínimas de disponibilidades para consumo interno de 8000 t de milho, 1.500.000 l de combustível líquido (além do necessário para a produção agrícola), 1000 t de açúcar e 2800 t de soja. O crédito rural é o instrumento básico de controle de plantio. Para o próximo ano, o conselho monetário da ilha decidiu destinar $ 100.000.000 para o financiamento das atividades agrícolas. Os perfis médios das atividades agrícolas na ilha são os seguintes: para obter uma tonelada de cana-deaçúcar são necessários 14 l de combustível, 6 kg de fertilizantes, 0,2 ha de terra e $ 1300 de crédito. A partir de uma tonelada de cana-de-açúcar pode-se obter 0,125 t de açúcar ou 100 l de combustível líquido. Para obter uma tonelada de soja são necessários 23 l de combustível, 52 kg de fertilizantes, 0,6 ha de terra e 6000 de crédito. Para obter uma tonelada de milho são necessários 18 l de combustível, 65 kg de fertilizantes, 0,5 ha de terra e 4000 de crédito. O açúcar, o combustível líquido, a soja e o milho podem ser exportados ou importados pelos preços da tabela a seguir. Item Exportação Importação Açúcar ($/t)
600,00
700,00
Combustível líquido ($/l ) Soja ($/t)
0,50 480,00
0,60 552,00
Milho ($/t) 370,00 420,00 O fertilizante, por sua vez, é importado ao custo de $ 0,7/kg. Formule o problema enfrentado pelo governo local: que quantidades de cada produto devem ser produzidas, exportadas e importadas de modo a maximizar o balanço comercial, satisfazendo os requerimentos mínimos de disponibilidades para consumo interno.
44) Conglomerado DDP – Uma empresa quase fazendo algo. (Fazer ou Comprar) A DDP Motors, uma fábrica de motores especiais, recebeu recentemente R$ 900.000,00 em pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A empresa pode terceirizar parte da sua produção. A fábrica deseja determinar quantos motores ela deve produzir e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para atender à demanda de pedidos. Modelo
Demanda Montagem Acabamento Custo de produção Terceirizado
1
3000 unid. 1 h/unid 2,5 h/unid R$ 50,00 R$ 65,00
2
2500 unid. 2 h/unid 1 h/unid R$ 90,00 R$ 92,00
3
500 unid. 0,5 h/unid 4 h/unid R$ 120,00 R$ 140,00
Total
6000 unid. 6.000 h 10.000 h
45) (Escolha de Carteira de investimentos) A DDP Investimentos gerencia recursos de terceiros por meio da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes, com base em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes exige que: Não mais de 25% do total aplicado deve ser investido em um único investimento. Um valor superior a 50% do total aplicado deve ser investido em títulos de maturidade maiores que dez anos. O total aplicado em títulos de alto risco deve ser, no máximo, de 50% do total investido. Determine qual percentual do total deve ser aplicado em cada tipo de título. Título
Retorno anual
Anos para vencimento
Título 1 Título 2 Título 3 Título 4 Título 5 Título 6
8,7% 9,5% 12,0% 9,0% 13,0% 20,0%
15 12 8 7 11 5
Risco
1- muito baixo 3 - regular 4 - alto 2 - baixo 4 - alto 5 – muito alto
46) (Problema de mistura) A DDP Tintas produz dois tipos de tintas: Seca Rápido (SR) e Superseca (SS). Ambas são produzidas a partir de uma base de silicato e de óleo de linhaça, que são adquiridas pela empresa de vários fornecedores. Atualmente, apenas duas soluções preliminares estão disponíveis no mercado, além dos produtos isolados. A solução do tipo A contém 60% de silicato e 40% de óleo de linhaça, e a do tipo B contém 30% de silicato e 70% de óleo de linhaça. O preço da solução A é de R$ 0,50 o litro e do tipo B é de R$ 0,75 o litro, enquanto que o silicato e o óleo de linhaça isoladamente custam R$ 1,00 o litro e R$ 1,50 o litro. Cada litro de SR requer, no mínimo 25% de silicato e 50% de óleo de linhaça e cada litro de SS requer, no mínimo, 20% de silicato e, no máximo, 50% de óleo de linhaça. Determinar quantos litros de cada solução e de cada produto devem ser comprados para produzir exatamente 100 litros de SR e 250 litros de SS. 47) (Escala de Funcionários) A DDP Serviços, deseja determinar o número de funcionários de horário integral que deve contratar para iniciar suas atividades, como terceirizada em uma empresa da cidade. Para fazê-lo, recebeu uma tabela desta empresa, com o número mínimo de funcionários por dia da semana, que devem estar disponíveis. Dia da semana Número de funcionários Domingo 11 Segunda-feira 18 Terça-feira 12 Quarta-feira 15 Quinta-feira 19 Sexta-feira 14 Sábado 16 Inicialmente, a empresa pensa em fazer com que os empregados trabalhem cinco dias consecutivos e folguem em seguida dois dias. Determinar o número total de empregados que devem ser contratados pela DDP e o número de empregados que estarão disponíveis por dia. Uma alternativa, seria fazer com que os empregados trabalhem seis dias e folguem somente um. Determinar também o número total de empregados a serem contratados e a redução que esta alternativa poderia trazer.
48) (Produção e Estoque) A DDP Armazéns, possui um armazém com capacidade de armazenamento de 200.000 toneladas de grãos. No início do mês de janeiro, a empresa tinha 8.000 t de grãos de trigo em seu armazém. Considerando que em cada mês ela pode comprar ou vender trigo a preços prefixados pelo governo, em qualquer quantidade desejada, desde que sujeita às restrições de armazenagem e do estoque inicial do mês (vendas máximas no mês i, = saldo mês i-1 ), pede-se maximizar o lucro da operação nos próximos doze meses. Mês Preço de venda (R$/t) Preço de compra (R$/t) Janeiro 3 8 Fevereiro 6 8 Março 8 2 Abril 2 3 Maio 4 4 Junho 5 3 Julho 6 3 Agosto 1 2 Setembro 3 5 Outubro 2 5 Novembro 3 3 Dezembro 3 3 49) (Fluxo de caixa multiperíodo) A DDP Restaurantes está construindo um novo restaurante que integrará a sua cadeia no próximo ano. Para tal, necessita de um total de R$ 500.000,00 que serão pagos à construtora em duas parcelas de R$ 150.000,00 ao final do segundo e quinto meses, e uma parcela de R$ 200.000,00 ao término da construção, no fim do sétimo mês. A empresa dispõe de quatro tipos de investimentos, que podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de maneira a reduzir a necessidade total de caixa. Determinar quando e quais tipos de investimento devem ser realizados a fim de minimizar o total que deve ser alocado no início da construção. Investimento Aplicação disponível no Meses de duração da operação Retorno ao final do início dos meses investimento Tipo A 1,2,3,4,5,6,7 1 1,5% Tipo B 1,3,5 2 3,2% Tipo C 1,4 3 4,5% Tipo D 1 7 9,0% 50) (Programação de Férias) O Chefe da DDP Distribuição precisa definir as férias dos empregados para o ano que vem. A empresa não dá preferência a nenhum dos empregados e solicitou que cada um atribuísse uma preferência para cada um dos meses do ano. As preferências devem ser números de 1 a 12, e os números menores indicam preferências maiores. O quadro a seguir apresenta as preferências dos funcionários para o próximo ano. A última linha indica as permissões máximas de férias tiradas no mês, baseado no volume de serviço esperado. Por exemplo, os meses de novembro, dezembro e janeiro, não permitem que nenhum dos funcionários tire férias. Para os outros meses o raciocínio é análogo.
Func.
A B C D E F G H I J Máx
Jan
1 2 2 5 12 6 2 2 3 4 0
Fev
9 4 8 6 9 2 6 5 7 8 1
Mar
5 5 10 3 8 9 7 9 4 12 2
Abr
8 12 11 11 1 8 10 10 5 5 3
Mai
4 3 4 2 7 12 5 3 8 6 3
Jun
10 11 3 10 2 7 4 11 9 1 2
Jul
6 7 1 7 5 11 3 1 1 3 2
Ago
7 10 6 8 3 4 8 8 12 10 2
Set
3 6 12 1 11 3 9 12 10 7 1
Out
11 9 5 4 10 5 12 6 6 2 1
Nov
12 8 7 9 6 10 11 4 11 9 0
Dez
2 1 9 12 4 1 1 7 2 11 0
Cada funcionário pode tirar apenas um mês de férias. Determinar qual o programa de férias que otimiza as preferências agregadas dos 10 funcionários.
