POTENCIAL ELÉCTRICO (1) PROBLEMAS 1. Para la configuración de carga de la figura, demostrar q u e V ( r ) para puntos colocados en el eje vertical está dado po p o r l a s i g u i e n t e e x p r e s i ó n , s u p o n i e n d o q u e r > > a r
+q a
+q
¿Es de esperarse este resultado? (Sugerencia: La configuración de carga se puede considerar como la suma de una carga aislada y un dipolo).
a
-q 2. En la figura, sea R 1 = 1 c m y R 2 = 2 c m . Antes de conectar las esferas con el alambre delgado, se comunicó a la esfera pequeña una carga 2.10 - 7 coul , estando la esfera grande descargada. Calcule (a) la carga, (b) la densidad de carga, (c) el potencial que adquiere cada esfera después de conectarla. q1 R1 σ 1
Alambre
q2 R2 σ 2
3. Un electrón que se mueve paralelo al eje X tiene una velocidad inicial de 3,7.10 6 m / s en el origen. Su velocidad velocidad se reduce a 1,4.10 5 m / s en el punto x = 2 c m . Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto. ¿Cuál punto está a mayor potencial? 4. Un electrón en el haz de un tubo de imagen de televisión televisión ordinario se acelera a través de una diferencia de potencial de 20 k V antes de incidir en la cara del tubo. (a) ¿Cuál es la energía de este electrón, en electrón voltios, y cuál es su velocidad cuando incide sobre la pantalla? (b) ¿Cuánto de momento imparte el electrón a la pantalla? 5. (a) Un cascar cas carón ón cilíndri cilíndrico co uniforme uniformemen mente te cargado cargado tiene una carga total Q , radio R y altura h . Determine el po p o t e n c i a l e l é c t r i c o e n e l p u n t o q u e s e e n c u e n t r a a u n a distancia d del extremo derecho del cilindro, como se muestra en la figura. ( Sugerencia: utilice el resultado del po p o t e n c i a l e l é c t r i c o d e u n a n i l l o d e c a r g a y c o n s i d e r e e l cascarón cascarón cilíndrico como si fuera un conjunto de anillos cargados) (b) Utilice el resultado del potencial de un disco cargado y resuelva el mismo problema en el caso de un cilindro sólido.
POTENCIAL ELÉCTRICO (2) 6. Una varilla de longitud L yace a lo largo del eje de las x , c on s u e xt re mo i zq ui er do e n e l o ri ge n. T ie ne u na d en si da d d e c ar ga n o u ni fo rm e λ = αx , s ie nd o α una constante positiva. (a) ¿Cuáles son las unidades de α ? (b) Calcule el potencial eléctrico en A . 7 . P ar a e l a rr eg lo d es cr it o e n e l p ro bl em a a nt er io r, calcule el potencial eléctrico en el punto B , que está en el bisector perpendicular de la varilla, a una distancia b por encima de las x . 8 . L a b ar ra d el ga da c ar ga da u ni fo rm em en te q ue s e muestra en la figura a la izquierda tiene una densidad de carga lineal λ . Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en P .
9. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo que se muestra en la figura a la izquierda, el cual ti ene una densidad de carga σ .
10. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme σ = Cr , donde C e s u n a constante y r se mide a partir del centro del disco. Determine (por integración directa) el potencial en P . 11.
Una esf er a sóli da de radi o R tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q . Deduzca una expresión para su energía potencial eléctrica total. ( Sugerencia: imagine que la esfera está construida por capas sucesivas de cascarones concéntricos de carga dq = ρ (4 πr 2 dr ), y utilice dU = V.dq ).
1 2.
C ua nd o un a es fe ra c on du ct or a si n ca rg a de r ad io a se coloca en el origen de coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = E 0 k , el potencial eléctrico resultante es V ( x , y , z ) = V 0 , para puntos en el interior de la esfera, y V ( x, y, z ) = V 0
− E 0 z +
E 0 ⋅ a 3 ⋅ z
( x + y + z ) 2
2
2 3/ 2
para puntos en el exterior de la esfera, siendo V 0 el potencial eléctrico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x , y y z del campo eléctrico resultante.
POTENCIAL ELÉCTRICO (3) 13. Imagine dos cascarones esféricos delgados y conductores, como se muestra en la figura. El cascarón interno tiene un radio de r 1 = 15 cm y una carga de 10 nC. El cascarón exterior tiene un radio r 2 = 30 cm y un carga de –15 nC . D et er mi ne ( a) e l c am po e lé ct ri co E y ( b ) e l potencial eléctrico V en las regiones A , B y C , siendo V = 0 en r = ∞. 14. El potencial eléctrico en un punto P a una distancia d por encima de una varilla uniformemente cargada de longitud L que está a lo largo del eje x es L + L2 K e ⋅ Q V = ⋅ Ln L d
+ d 2
Utilice este resultado para deducir una expresión para la componente en y del campo eléctrico en P . ( Sugerencia: reemplace d por y ). 15. La distribución de carga que se muestra en la fi gura a la izquierda se conoce como un cuadrupolo lineal. (a) Demuestre que el potencial en un punto sobre el eje x donde x > a es V =
2 ⋅ K e ⋅ Q ⋅ a
2
x 3 − x ⋅ a 2
(b) Muestre que la expresión obt enida en (a) cuando x >> a se reduce a V =
2 ⋅ K e ⋅ Q ⋅ a
x 3
2
E ( b ) =
6 ⋅ k e ⋅ Q ⋅ a
2
x 4
(c) Con el resultado en (a) evalúe el potencial del cuadrupolo lineal en x = 3 a si a = 2 mm y q = 3 μC . Compare esta respuesta con la que usted obtenga cuando use el resultado aproximado en (b) válido cuando x >> a . ( d ) E m p l e e l o s resultados obtenidos en (a) y (b) para determinar E en cualquier punto a lo largo del eje del cuadrupolo lineal. (e) Evalúe los E en x = 3 a si a = 2 mm y q = 3 μC . 16. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga volumétrica positiva uniforme y carga total Q . (A) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, esto es, para r > R . (B) Determine el potencial en un punto en el interior de la esfera, esto es, para r < R .
POTENCIAL ELÉCTRICO (4) 17. Potencial eléctrico debido a un anillo cargado uniformemente. A) Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en un punto P localizado en la perpendicular al eje central de un anillo cargado uniformemente, de radio a y carga total Q. B) Encuentre una expresión para la magnitud del campo eléctrico en el punto P .
18. Potencial eléctrico debido a un disco cargado uniformemente. Un disco uniformemente cargado tiene un radio a y una densidad de carga superficial σ . Determine: A) el potencial eléctrico y B) la magnitud del campo eléctrico a lo largo del eje central perpendicular al disco.
19. Una varilla de longitud L localizada a lo largo del eje de las x tiene una carga total Q y una densidad de carga lineal uniforme λ. Determine el potencial eléctrico en un punto P localizado en el eje de las y, a una distancia a del origen.
20. Un alambre con una densidad de carga uniforme λ se dobla como se muestra en la figura. Determine el potencial eléctrico en el punto O.
21. Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 μC. calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico para a) r = 10 cm, b) r = 20 cm, y c) 14 cm.
POTENCIAL ELÉCTRICO (5) 22. Dos conductores esféricos de radios r 1 y r 2 están separados una distancia mucho mayor que cualesquiera de sus radios. Las esferas están conectadas por un alambre conductor, como se muestra en la figura. Las cargas en loas esferas en equilibrio son q1 y q2, respectivamente, y están uniformemente distribuidas. Determine la relación de las magnitudes de los campos eléctricos en las superficies de las esferas.
23. Las tres cargas puntuales de la figura están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, si q = 7 μC.
24. Calcule la energía requerida que se requiere para formar el arreglo de cargas que se muestra en la figura, donde a = 0,20 m, b = 0,40 m y q = 6 μC.
POTENCIAL ELÉCTRICO Respuestas 2.
a)
= 6,67 ×10 −8 C
−5 = 2,65 × 10 C
σ 2
3.
q1
∆V = −38,9
m
V.
2
, c) V 1
y
= 1,33 ×10 −7 C ,
q2
= V 2 =
b)
σ 1
−5 = 5,29 × 10 C
m
2
y
59,90 KV
El origen está a mayor potencial.
− 24 6 4. a) U = 20eV , b) v = 2,65 × 10 m s y a) p = 2,41× 10 ⋅ kg ⋅ m s
5. a) V =
k e ⋅ Q h
d + h + ( d + h ) 2 + R 2 y ⋅ ln 2 2 d + d + R
2 2 V = ⋅ b) ( d + h ) ⋅ ( d + h ) + R − d ⋅ 2 R ⋅ h k e ⋅ Q
6. a)
+ R − 2 ⋅ d ⋅ h − h + R
2
2
d
2
2
d + h + ( d + h ) 2 + R 2 ⋅ ln d + d 2 + R 2
C L α ⋅ L − d ⋅ ln 1 + = ⋅ V k y b) e d m2
k ⋅ α ⋅ L ⋅ ln 7. V = − 2
b
2
b
2
e
( )− +( )+ +
2
L
4
2
L
4
2 L 2
L
a + L + ( a + L ) 2 + b 2 8. V = k e ⋅ λ ⋅ ln 2 2 a+ a +b
9. V = 2 ⋅ π ⋅ k e ⋅ σ ⋅
x 2
10. V = C ⋅ π ⋅ k e ⋅ R ⋅ 3 k e ⋅ Q
11. U = ⋅ 5
12.
+ b2 −
R 2 + x 2
x 2
+ a2
+ x 2 ⋅ ln R +
x R 2 + x 2
2
R
E x = 3 ⋅ E 0 ⋅ a ⋅ x ⋅ z ⋅ ( x + y + z
E z = E 0 + E 0 ⋅ a
3
3
2
2
2
)
−5
⋅ ( 2 ⋅ z − x − y ) ⋅ ( x + y + z 2
2
2
2
2
2
2
E y = 3 ⋅ E 0 ⋅ a 3 ⋅ y ⋅ z ⋅ ( x 2 + y 2 + z 2 )
,
)−
5 2
−5
2
y
5× 10− C E −= k ⋅ ⋅ rˆ r 9*
13.
V B
a)
= 0 ⋅ r ˆ ,
E A
90 = − 450 + ⋅ m ⋅ V y V r
C
=
14. E y
15. c) E ( a )
k e ⋅ Q y ⋅ x
2
+a
2
=
k e
⋅
1 ×10
8
−
y
B
e
2
,
b)
V A
=
150 V ,
C
r
⋅ jˆ
1,125 MV y V ( b )
V ( a )
=
=
, d) E ( a )
1 MV
2 k e Q a ⋅
=
⋅
⋅
( x
3
−
( 3 x x a )
2
⋅
⋅
2
−
a2 )
2 2
⋅
y E ( b ) =
6 ⋅ k e ⋅ Q ⋅ a
x 4
2
, e)
= 609 ,375 M ⋅ V y E ( b ) = 500 M ⋅ V m
16. a) V = k e ⋅
17. a)
V = k e
⋅
Q
V
= k e ⋅
m
y b) V = k e ⋅
r
Q x 2
Q r
y b) E = k e ⋅
+ a2
18. a) V = 2 ⋅ π ⋅ k e ⋅ σ ⋅
19.
1 ×10 −8 C = k e ⋅ 2 ⋅ r ˆ r
E B
x 2
L + L2 Q ⋅ ln L a
Q ⋅ x
( x
2
+a
2
)
3
2
+ a 2 − x y b) E = 2 ⋅ π ⋅ k e ⋅ σ ⋅ 1 −
x x
+ a2
+ a 2
20. V = k e ⋅ λ ⋅ ( π + 2 ln 3) 21. a) E = 0 y V =1,67
22.
E 1 E 2
=
V =1,67
MV
r 2 r 1
23. U = −11 MV 24. U = −3,96 J
MV ,
b) E 5,84 M V m y =
V =1,17
MV ,
c) E = 11,9 M V m y
