Problema 01
Una lámina no conductora infinita tiene una densidad de carga 25nC / m2 sobre un lado. ¿Qué distancia se encuentran separadas dos superficies superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren difieren en 25 V. Solución.
En la figura se muestra la lámina y las dos superficies equipotenciales
Despreciando el efecto de los bordes y considerando que la intensidad del campo campo eléctrico para un plano infinito es uniforme y está dado por E ( / 2 0 )i . Entonces la diferencia de potencial potencial será ˆ
r
r
dV E.ds
r
r
i .(dxi )
2 0
B
A
dV
V V B VA
2 0
2 0
x B
x A
dx
( xB xA )
V A VB
2 0
2 0
x
x
Entonces la separación entre las equipotenciales es
x
2 0 (V A V B )
12
2(8, 85.10
2
2
C / Nm )(25V )
25.10 C / m 9
2
x 17,7.103 m
Problema 02
Una partícula tiene una masa de m1 = 3.10-3 kg y y una carga q1 =8,0 μC. Una segunda partícula tiene una masa de m2 = 6.10-3 kg y y la misma carga. Las dos partículas están inicialmente en reposo separadas cierta distancia y entonces soltadas. Debido a la repulsión electrostática las partículas se separan, y cuando dicha separación entre ellas es de 10 cm, la velocidad de la partícula es 125 m/s. Encuentre la separación inicial entre las partículas. 1
Solución
La fuerza que actúa sobre las dos partículas es la fuerza eléctrica y ésta es conservativa. Por lo tanto, la energía total (cinética más potencial eléctrica) se conserva cuando las partículas se separan. En suma, la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema de dos partículas es nula (las fuerzas eléctricas que se ejercen las partículas entre sí son fuerzas internas). Así el momento lineal del sistema también se conserva. Entonces podemos utilizar la conservación de la energía y la conservación del momento lineal para encontrar la separación inicial. Aplicando la conservación de energía se tiene Ei E f 1
1 kq q 1 1 kq q m1v12,i m2v22,i 1 2 m1v12, f m2v22, f 1 2 2 2 ri 2 2 r 2
Resolviendo esta ecuación para determinar 1 ri
1 rf
y teniendo en cuenta que v1,i = v2,i = 0, se tiene
1 1 2 2 m v m v 1 1 , f 2 2 , f (a) kq1q2 2 2 1
Aplicando la conservación del momento lineal para encontrar la relación entre las velocidades finales se tiene
pi sistema p f sistema m1v1,i m2v2, i m1v1, f m2 v2, f
0 m1v1, f m2v2, f m1
v2, f
v1, f
m2
3.10 3 kg 6.10 3 kg
v2, f 62, 5m / s
(125m / s) (b)
Remplazando (b) en (a) y simplificando se tiene 1 r i
1 0,1
1
9
6 2
9.10 9.10 8.10 8.10
1 2 2 1 3 3 . 1 0 1 2 5 3.103 62, 5 2 2 2
r1 1, 1, 41.10 m Problema 03
El potencial eléctrico en la superficie de una esfera uniformemente cargada es 450 V. En un punto fuera de la esfera a una distancia radial de 20 cm desde su superficie, el potencial eléctrico es 150 V . Asumiendo que el potencial para puntos muy alejados de la esfera es cero. ¿Cuál es el radio de la esfera, y cuál es la carga de la esfera?. Solución
Sea R el radio de la esfera y Q su carga. Podemos expresar el potencial de las dos ubicaciones dadas y resolver las ecuaciones simultáneamente simultáneamente para determinar determinar R y Q El potencial en la superficie de la esfera es 2
V R
kQ R
450V
(a)
El potencial a una distancia de 20 cm de la superficie será Vr
kQ R
kQ
R 0,20m
150V
(b)
Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se tiene
kQ R kQ
450V 150V
R 0,20 m R 10cm Al remplazar este valor en (a) se tiene Q
450V (0,1 (0,10 0m) 9.109 N .m 2 / C 2
5nC
Problema 04
Encuentre el cambio en la energía potencial eléctrica cuando dos protones inicialmente inicialmente separados 0,100 nm se apartan hasta estar completamente separados. Solución
Asumimos que un protón esta fijo y el otro se va a mover en el campo del primer protón
El cambio en la energía potencial eléctrica está dado por
3
r r r kq r U q P E.ds qP 2 P i .(dri ) R R r
U kq
2 P
2
U
R
9.10 N .m / C (1, 6. 6.10 C ) 9
q P
4 0 R
1 kqP 2 r r R
dr
2
2
0,1.10
19
2
9
U 2,3.1018 J Note que que U U () U (r ) . Es habitual considerar U () 0 de tal manera que podemos decir que la energía potencial de los protones fue U ( R) 2, 3. 3.1018 J . Estos protones originalmente tienen una alta energía potencial por ello ellos tienden a separarse separarse cuando se les les da la oportunidad. oportunidad.
Problema 05
Una gota esférica de agua lleva una carga de 30 tiene un potencial de 500 V en en su superficie (con V = 0 en el infinito). (a) ¿Cuál es el radio de la gota?. Si dos gotas con la misma carga y radios iguales se combinan para formar una sola gota, ¿Cuál el potencial de la superficie de la nueva gota?. Solución
(a) Consideremos a la gota como un conductor, de tal manera que el potencial está dado por V
kQ R
R
kQ
9.10 9.109 (30. (30.10 10 12 )
V R 54mm
500 500
(b) Cuando se combinan dos gotas, la gota nueva tiene otro radio, el mismo que se determina a partir de la conservación de la masa M 2m0
4 3 4 3 R1 2 R 3 3 R1 R 2 54 2 76, 37 37mm
El potencial de la nueva gota será M 2m0
4 3 4 3 R1 2 R 3 3 R1 R (21/ 3 )
4
V1
kQ1
k (2q)
R1
1/ 3
R (2 ) 2
V1
1/ 3
(2 )
2 1/ 3
(2 )
V 0
(500 (500V )
V1 793,7V
Problema 06
Encuentre la diferencia de potencial entre la parte superior (P) y el centro de la base (O) de un cono de radio a y altura a, el cual lleva una densidad de carga σ sobre el área lateral.
Solución
Debido a la geometría el ángulo del cono e s 45°. Para encontrar el potencial primero dividamos a la superficie lateral en rebanadas de radio x a una profundidad z (desde (desde el vértice del cono). Por ser el ángulo de 45° el radio el area pendiente es dS 2dz y del pequeño elemento diferencial es dA 2 z( 2dz) . Por lo tanto la contribución del elemento diferencial al potencial es x es igual a la altura z . La longitud del elemento diferencial a lo largo de la
dV
k (2 2 zdz ) z 2 ( a z ) 2
La diferencia de potencial entre los puntos P y O se determina integrando la ecuación anterior, es decir
Vo
V P
dV
2 2 4 0
VO V P
z a
zdz
z 0
z (a z )
a 2 0
2
2
a 2 a a 2 a
ln
Problema 07
El potencial eléctrico (V) como una función de la distancia es graficado en la figura. Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones (a) A a B; (b) B a C y (c) C a D.
5
Solución
El campo eléctrico entre puntos en el espacio es proporcional a la diferencia de potencial entre puntos dividida por la distancia distancia entre ellos. ellos. Esto es E
V x
Parte (a). Campo entre A y B
E1
5, 0V 5V V 0V / m 0, 2m 0, 0m x
E2
3, 0V 5, 0V V 10V / m 0, 4m 0, 2m x
Parte (b). Campo entre B y C
Parte (b). Campo entre B y C E3
1, 0V 3, 0V V 5V / m 0, 8m 0, 4m x
Problema 08
Un campo eléctrico uniforme de magnitud 325 V/m está dirigido en dirección negativa de las y como se muestra (- 0,2 m; -0,3 m) y las coordenadas del punto B es (en la figura. Las coordenadas del punto A son 0,4 m; -0,5 m). Determine la diferencia de potencial: (a) utilizando la trayectoria ACB, (b) utilizando la trayectoria recta AB y (c) ¿Cuál punto está a mayor potencial?.
6
Solución
Parte (a) Diferencia de potencial para el trayecto ACB
B
A
V B VA
C r
r
B r
r
E.ds ( Ej ).(dsj ) ( Ej ).( dsi ) dV
E.ds
A
r
C
r
C
r
B
A
r
C
V B VA E (sC s A ) 0 V B VA (325N / C )(0, 8m) 260V
Parte (b) Diferencia de potencial para el trayecto AB
B
A
dV
V B VA
B
E
V B VA
A
B r A
r
E.ds
r
r
r
( Ej ).(dxi dyj )
B
A
dy d y E ( yB y A )
V B VA (325 N / C )(0, 8m ) 260V
Problema 09
Con una barra plástico se ha formado un aro de radio R. Éste tiene una carga +Q distribuida uniformemente a lo largo de un cuarto de circunferencia y una carga negativa -6Q ha sido distribuida distribuid a a lo largo del resto del anillo. Considerando a V = 0 en el infinito, determine determine el potencial eléctrico: (a) en el centro del anillo y (b) en un punto O, el cual está sobre el eje del anillo a una distancia z del del centro. Solución Parte (b). Debido a que la parte (a) es un caso particular de (b) entonces comenzamos con la última para ello dividimos a la distribución en elementos de carga dq de longitud ds, entonces el potencial será
( )ds
dV k
dq
dV k
( R )d
r
r
k
r
r
R 2 z 2
7
( )ds
k r
r
( R )d
k
R 2 z 2
El campo total se obtiene integrando la ecuación anterior, esto es V
V
R
4 0 R z 2
2
R( ) 2
0
d
R
4 0 R z 2
R 2
4 0 R z 2
/2
2
2
2
/ 2
d
2
4 0 R 2 z 2
R 3 ( ) 4 0 R 2 z 2 2 R 2 z 2 2
R
V 4 0
Q 2 R / 4 R V 4 0 R 2 z 2 Q V 4 0 R 2 z 2
6Q 6 R / 4 R 3 ( ) 2 4 0 R 2 z 2 2
V
6Q 4 0 R 2 z 2
5Q 4 0 R z 2
2
Parte (a) . El potencial en el centro del anillo será
V
5Q 4 0 R z 2
2
V o
5Q 4 0 R 0 2
2
5Q 4 0 R
Problema 10
Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial dada por = ⁄. Donde es una constante y r es es la distancia desde el centro del disco. Encuentre: (a) la carga total sobre el disco. (b) una expresión para el potencial eléctrico eléctrico a una distancia distancia x desde el centro del disco sobre el eje que pase a través del centro del disco y es perpendicular a su plano. Solución
8
Podemos encontrar Q mediante integración de la carga sobre un anillo de radio r y y espesor dr desde desde r = 0 hasta mediante integración integración de la expresión del potencial en el eje de un anillo de carga entre los mismos límites.
r = R y el potencial en el eje del disco
Parte (a). La expresión para la carga de un anillo de radio r y y espesor dr está está dada por dq dA (2 rdr )
0 R
r dq 2 0 Rdr
(2 rdr )
La carga total del anillo se obtiene o btiene integrando la expresión anterior, esto es
Q dq dq 2 0 R Q 2 0 R
R
0
dr
2
El potencial producido por dq en el punto P es dV k
dq r
r
2 0 Rdr
k
r 2 x2
El potencial neto en P se obtiene integrando la ecuación anterior R R 2 x2 V ln 2 0 x 0 R
Problema 11
Las tres placas conductoras conductoras mostradas en la figura figura está, cada una separadas por una distancia distancia b. Si las cargas sobre las dos placas extremas son ± como se muestra en la figura. Determine la diferencia de potencial entre las placas extremas
9
Solución
Debido a que las placas son conductoras en la placa CD se inducen cargas – en el lado B y + en el lado C.
Además usando la ley de Gauss se determina el campo ⃗ entre las láminas AB y CD, esto es r r
Ò E.ndA
Qenc 0
SG
A
E A
0
E
0
La diferencia de potencial entre A y B es
B
A
dV
B r
A
V B VA
r
E.ds
B
A
r
( xB xA )
0
r
( Ei ).(dxi ) 0
(1)
d
La diferencia de potencial entre C y D es
D
C
dV
D r
C
V D VC
r
E.ds
0
D
C
r
r
( Ei ).( dxi )
( xD xC )
0
d
Debido a que la placa central es conductora, el campo en su interior es cero y como tal todos los puntos están al mismo potencial por tanto = . Entonces se tiene
10
V D VB
0
d
(2)
Sumando las las ecuaciones ecuaciones se tiene V D VA
0
V D VA
d 2 0
0
d
d
Problema 12
Una pequeña esfera de 3,2 g de de masa cuelga de un hilo de seda entre dos placas conductoras paralelas verticales separadas 5 cm . La carga en la esfera es 5,8 μ C C. ¿Qué diferencia de potencial entre las placas hará que el hilo forme un ángulo de θ = = 30° con la vertical.
Solución
Debido a que la carga +q se desvía hacia la derecha, entonces entonces el campo electico entre las placas debe estar dirigido hacia la derecha, por ello la placa izquierda es positiva y la derecha negativa. Entonces la diferencia de potencial será será B
A
dV
B r
A
r
E.ds
B
A
r
r
( Ei ).(dxi )
V B VA Ed
V A VB Ed
(a)
En la figura Se muestra el DCL de la carga, sobre ella actúan el Peso (mg); la tensión en el hilo (T) y la fuerza eléctrica debido al campo ( Fe qE ).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio según los ejes mostrados se tiene 11
F
x
0 T cos 300 mg T
F
mg
(b)
cos300
Tsen300 (c) 0 qE Tsen
x
Remplazando (b) en (c) se tiene
qE mgtg 300
(d)
Remplazando la ecuación (a) en (d), resulta V 0 mgtg 30 d
q 0
V
mgdtg 30 q
3,2,1 ,2,10 (9,8 (9,8))(5.10 ) tg 30 3
2
0
5,8.10
6
V 156V Problema 13
Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y – q. Determine la diferencia de potencial entre sus centros, siendo la distancia entre ellos igual a d . Solución
En la figura se muestra a ambos anillos
En el ejemplo se demostró que el potencial para un anillo en puntos sobre su eje es V
kq R z 2
2
El potencial en el punto O’ es es la suma de los potenciales del anillo +q y del anillo – q. es decir VO ' V q,O' V q, O' V O '
kq 2 2 R z
12
kq R
El potencial en el punto O es la suma de los potenciales del anillo +q y del anillo – q. es decir VO V q ,O V q ,O
V O
kq R
kq
R 2 z 2
La diferencia de potencial entre sus centros será.
kq
VO ' V O
2 2 R z
VO ' V O
kq kq
kq 2 2 R R R z
2kq
R 2 z 2
VO ' V O
2q 4 0 R 2 z 2 q
2 0 R 2 z 2
Problema 14
Se tiene un hilo recto y muy largo, cargado con una densidad lineal de carga 0, 40 40 C / m . Determine la diferencia de potencial en los puntos A y B si el punto B dista 2,0 veces más del hilo, que el A. Solución
En la figura se muestra el hilo recto y muy largo conjuntamente con una superficie gaussiana cilíndrica que permite evaluar evaluar el campo producido producido por el hilo hilo
r r
Ò E.ndA S ,G
Qenc 0 E
E 2 rL
L 0
2 0 r
Como el campo solo depende de la distancia r al al alambre, la diferencia de potencial entre los puntos A y B será
dV Edr
B
A
dV
2 0 r
2 0 13
dr
r B
dr
r A
r
V B V A
2 0
r B r ln A 2 0 r A r A
ln
V A V B
2 0
ln
Remplazando valores se tiene
V A V B
0,40.106 C 2 (8, 85.1012 C 2 / N.m2 )
ln 2
V A VB 5,0 kV
Problema 15
Halle el potencial eléctrico en el centro de una semiesfera de radio R, cargada con una densidad superficial de carga σ Solución
Para determinar el potencial de la distribución de carga en O, se divide a ésta en anillos de radio y con un espesor = como se muestra en la figura
El potencial del elemento elemento diferencial será dV
dq 4 0 R
(2 yds)
4 0 R
dV
R
2 0
( R cos )( Rd )
2 0 R
cos d
El potencial neto en el punto O se obtiene integrando la expresión anterior
14
V
R 2 0
/ 2
0
cos d V
R 2 0
/ 2
sen 0
R 2 0
Problema 16
Dos hilos finos y paralelos que distan l se se cargan uniformemente hasta la densidad lineal λ y y – λ . Determine el potencial eléctrico eléctrico a la distancia distancia r >> l bajo bajo un ángulo θ al vector p como se muestra muestra en la figura.
Solución.
En la figura se muestra muestra el punto P donde se halla V
En el problema N° 10 se ha demostrado que el potencial para un alambre infinito está dado por
r a
V 2k ln
Donde el potencial cero se considera en un punto de referencia = . El potencial debido al alambre que transporta una densidad + λ , será
a r
V 2k ln
El potencial debido al alambre que transporta una densidad - λ , será
15
a r
V 2k ln
El potencial total en el punto P será
a a 2 k l n r r r V 2k ln r ln r 2k ln r V V V 2k ln
Haciendo uso de la ley de cosenos se tiene 2
l l r r 2r cos 2 2 2
2
2
l l r r 2r cos 2 2 2
2
El potencial se escribe ahora en la forma 2 l l 2 r 2r cos 2 2 V 2k ln 2 r 2 l 2r l cos 2 2 1/ 2 2 l l 1 2 cos 4r r V 2k ln 1/ 2 2 l l 1 cos 4r 2 r
Teniendo en cuenta que para r >> l ,
≈ 0, se tiene
1/ 2 1/ 2 l l V 2k ln 1 cos ln 1 cos r r
l l V k ln 1 cos ln 1 cos r r Usando la relación ln(1 z) z
z 2 2
z 3 3
..........
16
2
l l l ln 1 cos cos cos ..... r r r l l ln 1 cos cos r r Remplazando este desarrollo en la ecuación para el potencial total se tiene. l l 2 k l V k cos cos cos r r r V
l
2 0 r
cos
Problema 17
Dos anillos coaxiales finos de alambre de radios R cada uno se encuentran encuentran a una pequeña distancia l uno uno de q. Determine el potencial eléctrico en el eje del sistema como función de otro (l << R) y tienen cargas +q y – q la coordenada x (véase la figura).
Solución
El potencial para un anillo está dado por la ecuación kq
V
R x 2
2
(a)
El potencial en un punto P sobre el eje x producido por los anillos cargados es V
kq
y V
2
l 2 x R 2
kq 2
l 2 x R 2
El potencial neto en cualquier punto sobre el eje x es V V V
kq
2
l 2 x R 2
17
kq 2
l 2 x R 2
1/ 2 1/ 2 2 2 l2 l 2 2 2 x R xl x R xl 4 4 V kq 1/ 2 1/ 2 2 2 l l 2 2 2 2 x R xl x R xl 4 4 1/ 2 1/ 2 lx l2 lx l2 1 2 1 x2 R2 4( x2 R2 2 4( x2 R2 ) kQ x 2 R 2 x R V 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 x R l x l l x l 1 2 1 x R2 4( x2 R2 ) x2 R2 4( x2 R2 )
Si R >>l, entonces
l 2 4( x 2 R 2 )
entonces se tiene
1/ 2 1/ 2 lx lx 1 2 2 2 1 2 2 2 kQ( x R ) x R x R V 2 1/ 2 2 3/ 2 ( x R ) lx 2 ) 1 ( 2 2 x R
Usando el binomio de newton newton tenemos 1 lx lx 1 ) ... 1 ( 2 ) ... 1 ( 2 2 2 kQ( x R ) 2 x R 2 x R V 2 1/2 2 3/ 2 ( x R ) lx )2 1 ( 2 2 x R 2
2
Simplificando resulta 1 lx 1 lx ( ) ( ) 2 2 kQ ( x 2 R 2 ) 2 x 2 R 2 2 x R V 1/ 2 ( x 2 R 2 )3 / 2 lx 2 1 ( x 2 R 2 ) V
ql
x
4 0 ( x R 2 )3 / 2 2
Problema 18
/ está arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra Una carga lineal uniforme = 1 / (0, 0,5 ) (b) en el centro del cuadrado; (c) el trabajo en la figura. Determine: (a) El potencial en el punto (0, necesario para trasladar una carga de 600 desde el punto P hasta el centro del cuadrado.
18
Solución Parte (a) El El potencial en el punto P debido al elemento diferencial de carga dq = λdx es
dV
kdq x 2 34
k dx
x 2 34
El potencial debido a este lado del cuadrado será la suma (integración) del potencial diferencial
V P k
3
3
dx x2 34
V p 8,89V El potencial debido al cuadrado completo en P será Vtot ,P 4VP 4(8, 89 89V ) 35, 56 56V Parte (b) El El potencial en el punto O debido a un lado
es
VO k
3
3
dx x 9 2
VO 15,84V
El potencial debido al cuadrado completo en O será
Vtot ,O 4VP 4(15, 84 84V ) 63, 36 36V
Parte (c) El El trabajo es
W P O qmovil (Vtot ,O Vtot , P ) W PO 600. 600.10 10 6 (63 (63,36 35,56) 35,56) W PO 16,68.10 3 J Problema 19
Un anillo cargado uniformemente con una carga total de 100 μC y un radio de 10 cm yace en el plano xy con su centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga puntual de 10 μC en el extremo marcado con el O y 19
una carga puntual de 20 μC en el extremo marcado con 100 cm. ¿Qué trabajo hay que realizara para transportar la regla de metro desde una distancia distancia muy grande hasta una posición a lo largo del eje eje z con con el extremo marcado con O en z = 0,2 m y el otro extremo en z = 1,2 m. Solución
En la figura se muestra al anillo y a la regla con las cargas puntuales en su posición final.
El trabajo realizado para traer la regla con las cargas desde un punto muy alejado y colocarlo en dicha configuración es
kq anillo 0,12 0, 22
W P qmovVP q1 W P
9.10 9.1 09 (10.10 10.106 )(10 )(100.1 0.10 06 ) 2 2 0,1 0, 2
kq anillo q2 0,12 1, 22
9.10 9.1 09 (20.10 (20.106 )(10 )(100.1 0.10 0 6 ) 2 2 0,1 1, 2
W P 55,19 J Problema 20
Una carga lineal de longitud L (m) y densidad de carga uniforme λ C/m, C/m, está situada paralelamente a una lámina 2 infinita la que lleva una densidad superficial σ C/m , tal como se indica en la figura. Determine el trabajo necesario para girar la carga lineal un ángulo de 90° hasta situarla sobre el eje z
Solución
Se ha demostrado que el ca campo mpo eléctrico para una distribución plana infinita es
20
r
E
r
2 0
en
El potencial eléctrico será r
r
dV E.ds (
V f
V1
r
2 0
dV
V f Vi
r
k ).(dzk ) 2 0
2 0
V cte
z
z i
2 0
dz
dz
( z zi )
2 0
z
El trabajo del campo eléctrico para traslada el elemento de carga = desde el punto inicial al final, está dado por la ecuación
dWi f dq (Vi V f )
Al girar la carga lineal, el elemento de carga = situado a una distancia y del origen, pasa del potencial = ( (ℎ) ℎ) al potencial = () = (ℎ + )
dWi f (Vi V f )d y Wi f
2 0
W i f
a
0
2 0
ydy
ydy
2 a
4 0
Problema 21
Una distribución de carga con simetría esférica cuya densidad está dada por () = C/m3 para ≤ , y () = 0 para ≥ , siendo k una una constante. La carga total contenida en la esfera de radio R es Q. Determine: (a) el valor d la constante k en función de Q y R; (b) la intensidad de campo eléctrico en puntos interiores y exteriores de la esfera, y (c) el potencial en la superficie V(R) y el potencial en el origen V(0). Solución
21
Parte (a). Se divide a la distribución volumétrica en elementos de carga en forma de cascaras esféricas de radio y espesor dr, entonces la carga de este elemento diferencial será r y
dq (r )dV Ar ( 4 r 2dr ) 4 Ar 3dr
Q 4 A
R
0
r3 dr
Q AR4 Despejando el valor de la constante A se tiene A
Q R3
Parte (b). Campo para puntos exteriores
La ley de Gauss nos da
r r
Ò E.ndA S ,G
Qenc 0
E
E (4 r 2 ) Q
4 0 r 2
Campo para puntos interiores
La ley de Gauss nos da
22
Q 0
Ò E.ndA
E (4 r 2 )
0
S ,G
Q 4 R
4
Qenc
r r
0
r
0
r 3dr
Qr 2
E
4 0 R4
Parte (c). Potencial para puntos exteriores dV Edr
V
V
dV
Q 4 0
Q 4 0 r 2
r
dr
r 2 dr V
Q 4 0 r
El potencial en la superficie es
V ( R)
Q 4 0 R
Potencial para puntos interiores 2
dV Edr
V
V R
dV
Qr
4 0 R
Q 4 0 R
4
r
R
4
dr
2
r dr r
r 3 V V R 4 4 0 R 3 R Q
1 r 3 V 3 4 0 R 4 0 R 3 3R 3 Q r V 4 3 12 0 R R Q
Q
El potencial en el centro de la esfera es ( r = 0) V (0)
Q 3 0 R
Problema 22
Una corteza conductora esférica de radio interno b y radio externo c rodea concéntricamente una pequeña esfera metálica de radio a < b. La esfera metálica tiene una carga positiva +Q mientras que la carga total de la esfera conductora es -3Q. (a) ¿Cuál es el potencial de la corteza esférica?. (b) ¿Cuál es el potencial de la esfera metálica?. Solución 23
En la figura se muestra al sistema
Primero se halla el campo eléctrico usando la ley de Gauss
Campo para < <
r r
Ò E.ndA S ,G
Qenc
E (4 r 2 )
0
Q 0
Q
E
4 0
Campo para < <
r r
Ò E.ndA S ,G
Qenc
E (4 r 2 )
0 E
0 4 0
Q Q 0
0
Campo para >
r r
Ò E.ndA S ,G
Qenc 0
E (4 r 2 ) E
Q Q Q 3Q 0
2Q 4 0
24
Potencial eléctrico para puntos exteriores
2Q
dV Edr
V
V
dV
4 0 r 2
2Q
r
4 0
dr
r 2 dr
r
2Q 1 2Q V 0 V 4 0 r 4 0 r El potencial en la superficie del cascaron es V C
2Q 4 0c
Debido a que el campo en el interior del cascarón es nulo, el potencial permanece constante, entonces
V b
2Q 4 0c
Potencial eléctrico para < < dV Edr
Va
Vb
dV
Q 4 0 r 2
Q 4 0
a
b
dr
r 2 dr
a
Q 1 Q 1 1 Va Vb Va Vb 4 0 r b 4 0 a b V a
2Q 4 0c
Q 1 1 Q 1 1 2 4 0 a b 4 0 a b c
Problema 23
A la distancia r de de un filamento largo, cargado con la densidad lineal de carga λ , se encuentra un dipolo, cuyo momento dipolar eléctrico es . Determine la fuerza que actúa sobre el dipolo, si el vector se orienta: (a) a lo largo del filamento; (b) a lo largo del radio vector . Solución Parte (a) En En la figura se muestra al alambre y el dipolo
25
El campo eléctrico para una línea cargada uniformemente a una distancia r es es E
2 0 r
Fuerza sobre la carga positiva r
r
F qE q
r
2 0 r
i
La fuerza sobre la carga negativa es r
r
F qE q
r
2 0 r
i
La fuerza resultante sobre el dipolo es r
r
r
F R F F
q
r
2 0 r
i
q 2 0 r
r
F R 0 Parte (b) En En la figura se muestra al alambre y el dipolo
La fuerza sobre – q es r
r
F qE
q 2 0 (r a)
La fuerza sobre +q es 26
r
i
r
i
r
r
F qE
q
r
2 0 (r a)
i
La fuerza resultante sobre el dipolo es r
r
r
F R F F r
F R
q
r
2 0 (r a)
i
q
r
2 0 ( r a )
i
r 2a 1 r q i i 2 0 r a r a 2 0 ( r a )(r a ) q 1
Debido a r >> a, entonces se tiene r
2qa
F R
2 0 r 2 1
a 1 r r
a
r
i
r
r
F R
p
2 0 r 2
Problema 24
Sobre un plano conductor ilimitado cuelga, de un hilo elástico aislante de rigidez K, una pequeña bola. Una vez que la bola se cargó ésta descendió x cm, y su distancia hasta el plano conductor llegó a ser igual a l . Determine la carga de la bola. Solución
En la figura se muestra la disposición de los elementos según el enunciado.
Para resolver el problema usamos el método de imágenes, es decir al colocar la carga +q cerca del plano los electrones libres de éste se redistribuyen quedando el plano cargado con carga de signo contrario a la carga inductora +q. La líneas de fuerza salen de la carga positiva y terminan e el plano conductor. El plano conductor se comporta como una superficie equipotencial, debido a la simetría de las líneas de fuerza podemos “IMAGINAR” que las líneas convergen en donde se encuentra la carga i magen q’, tal que ′ = − .
27
Ahora el sistema inicial se reduce a la interacción entre dos cargas puntuales para ello se traza el DCL de la ) y la fuerza eléctrica bola con carga +q en donde se observa que sobre ella actúan la fuerza elástica ( = ) ) ( = ⁄4 (2) ) 2 , observe que el peso se desprecia
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F
v
0 Fe F s q2
4 0 (2l )2
Kx
q 4l 0 Kx Problema 25
A la distancia l de de un plano conductor ilimitado se encuentra una carga puntual q. ¿Qué trabajo se necesita realizar contra las fuerzas eléctricas para separar lentamente esta carga a una gran distancia del plano?. Solución
En la figura se muestra el plano infinito infinito conjuntamente con la carga +q. Además se usa el método de imágenes para evaluar evaluar el problema, problema, es decir decir a una distancia x está q y a la izquierda la carga imagen q’ = - q a una distancia idéntica – x. x.
28
La fuerza eléctrica entre la carga +q y la carga imagen será q2
r
Fe
q2
r
i
4 0 (2 x)2
16 0 x 2
r
i
El trabajo necesario será Wi
l
Wi
r
1 x dx 16 0 x l
Fe .ds q
2
16 0
2 r r q i . d x i 2 16 0 x
r
l
l
q
2
W i
q
2
2
16 0l
El trabajo hecho por un agente externo es Wagen W i ,campo
q
2
16 0l
Problema 26
– q se sitúan a la distancia l una Las carga puntuales +q y – q una de la otra otra y a unas distancias distancias idénticas idénticas l/2 de un mismo lado de un plano conductor ilimitado. Determine el módulo del vector fuerza sobre la carga positiva +q.
Solución En la figura se muestra la ubicación de las cargas y el plano infinito
Las cargas imagen se muestra en la figura
29
La fuerzas eléctricas sobre +q serán q2
r
F1
4 0l 2
r
F2
q
r
F3 r
F3
q
2 2
q
2 2
2
j
q
r
cos i
j
r
4 0l
2
4 0 (l 2 )
r
4 0l
r
F2
r
i
2
r
4 0 (l 2 )
2
sen j
2 q l r l r i j 2 2 4 0 (l 2 ) l 2 4 0 (l 2 ) l 2
q
2
r
F3
q
2
2
q
r
2
4 0 (2l ) 2
i
2
2
r
2
4 0 ( 2l ) 2
j
La fuerza eléctrica resultante es r
F R
2 r r 1 (i j ) 4 0l 2 4 q2
El módulo de la resultante será r
F R
q
2 2
8 0l
(2 2 1)
Problema 27
Entre dos semiplanos conductores mutuamente perpendiculares se encuentra una carga puntual +q, distante una distancia l de de ambos. Determine la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga Solución
En la figura se muestra la ubicación de la carga y los planos
30
La carga +q induce cargas en los planos de tal manera que estos se comportan como superficies equipotenciales, entonces se traza las cargas imágenes como se muestra en la figura.
La fuerzas eléctricas sobre +q serán r
F1
q
4 0 (2l )
q2
r
F3
2
4 0 (2l ) 2 r
4 0 (2l )2
r
q2
r
F1
2
cos cos i
i
r
j
q2
r
4 0 (l 2 )2
sen sen j
q2 2l r 2l r F3 i j 4 0 (l 8 ) 2 l 8 4 0 (l 8 ) 2 l 8 q2
r
2q
r
F3
2
r
4 0 2 (8l 2 ) 8
i
2q
2
r
4 0 2 ( 8l 2 ) 8
j
La fuerza eléctrica resultante es r
F R
q2
r
r
1 8 (i j ) 2 16 0l 8
El módulo de la resultante será
31
r
F R
q
2
2 32 0l
(2 2 1)
Problema 28
Una carga puntual +q se encuentra a la distancia l de de un plano conductor ilimitado. Determine la densidad superficial de cargas, inducidas en el plano, en función de la distancia r desde desde la base de la perpendicular bajada de la carga al plano. Solución
En la figura se muestra al plano, la carga +q y la carga imagen correspondiente, y un punto arbitrario del espacio en donde se halla el potencial.
El potencial electrostático en el punto P será V
V
q 4 0 r
q 4 0 r
q 1
1 4 0 r r
1 1 4 0 ( x l )2 y 2 z 2 ( x l )2 y 2 z 2 q
La densidad superficial es
V x x 0
yz 0 E x 0 0
yz 0 q
(( x l )2 y 2 z 2 )1/ 2 ((x l )2 y 2 z 2 ) 1/ 2 x
x l x l 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 ((x l ) y z ) x 0 (( x l ) y z )
yz 0 q Remplazando x = 0
32
yz
q
l
4 (l y z ) 2
2
2 3/ 2
yz
q
2 2 2 3/ 2 (l y z ) l
l
2 (l r ) 2
2 3/ 2
Problema 29
Un hilo fino de longitud ilimitada tiene una carga por unidad de longitud λ y se sitúa paralelamente a un plano conductor infinito. la distancia entre el hilo y el plano es igual a l . Determine: (a) el módulo del vector de la fuerza que actúa por unidad de longitud del hilo; (b) La distribución de la densidad superficial de carga () en el plano, donde x es la distancia hasta el plano perpendicular perpendicular a la superficie conductora y que pasa a través del hilo. Solución
En la figura se muestra las dos distribuciones de carga
Para determinar la fuerza se usa el método de imágenes, para esto el plano se considera como una superficie equipotencial. Entonces la fuerza que la carga ejerce sobre la placa es del mismo valor pero de sentido contrario a la fuerza que la placa (o la imagen q’ ) ejerce sobre la carga
Parte (a) Fuerza Fuerza entre la carga imagen – λ y la carga +λ. Para ello determinamos el campo eléctrico por la carga imagen en el punto de ubicación de la carga lineal positiva r
E
2 0 r
r
r
i
2 0 ( 2l )
F L
r
r
i
2 0 (2l )
r
F L
2 4 0l
33
r
i
i
Parte (b) Para determinar la densidad superficial de carga se determina primero el potencial en un punto arbitrario V V
ln( 2 0
2 0
(ln r ln r )
2 x l y 2 z 2 ) ln
2 x l y 2 z 2
La densidad de carga superficial es
V x x 0
yz 0 E x 0 0
2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2 ln[( x l ) y z ] ln[( x l ) y z ] 2 0 x ( x l ) ( x l ) yz 2 2 2 2 2 2 2 [( x l ) y z ] [( x l ) y z ] x 0
yz 0
yz
l l 2 2 2 2 2 2 2 (l y z ) (l y z ) yz
l
(l r 2 ) 2
Problema 30
Un anillo de alambre fino de radio R tiene una carga q. El anillo se sitúa paralelamente a un plano conductor ilimitado a la distancia l , determine el potencial y la intensidad de campo eléctrico en el centro del anillo. Solución
En la figura se muestra las distribuciones conjuntamente conjuntamente con la carga imagen que en este caso c aso es un anillo a nillo que q. lleva una carga – q
Primero determinamos el potencial en el centro del anillo positivo en este caso el plano es sustituido por la carga imagen. kq kq q 1 V O 1 2 2 2 R 4 0 R R 4l 2l 1 R 34
El campo eléctrico será 1/ 2 2 q V 2l E 1 1 4 0 R l R l
E
1
q
2 2l
3/ 2
1 R
4l
4 0 R 2
2l 2 E 1 2 0 R R
3/ 2
ql
Problema 31.
El eje de las x es el eje de simetría de un anillo estacionario uniformemente cargado de radio R y de carga Q, véase la figura. Inicialmente en el centro del anillo se ubica una carga puntual Q de masa M . Cuando ésta es desplazada ligeramente, ligeramente, la carga puntual se acelera a lo largo del eje x hacia el infinito. Demuestre que la rapidez final de la carga puntual es = (⁄)/ .
Solución
Primero se determina el potencial eléctrico en cualquier punto P sobre el eje x. Para esto se divide la distribución en elementos de carga dq, tal como se muestra en la figura y está dado por Q dq dS ds 2 R El potencial en P debido a la distribución es
Q dV
dq 4 0 r
dS
4 0 r
35
2 R
dS
4 0 R2 x 2
El potencial neto se obtiene integrando la ecuación anterior, es decir
Q V x
Q
2 R 4 0 R x 2
2
S
0
dS
2 R 4 0 R x 2
(2 R)
2
V x
Q 4 0 R x 2
2
El potencial en el centro del anillo será
V ( x 0)
Q 4 0 R
Debido a que la fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, entonces, se aplica la conservación de la energía para determinar la inquietud solicitada en el enunciado, esto es
Ti U e ,i T f U e, f 1
Mvi2 QVi
1
Mv 2f QV f
2 2 1 1 Mv02 QV0 Mv2 QV 2 2 Q2 1 Mv 2 Q(0) 0 4 0 R 2 v
Q2 2 0 MR
36
