PROBLEMAS RESUELTOS
1) Cuatro partículas q1=q, q2=-3q,q3=4q y q4=-2q se encuentran ubicadas en los puntos indicados en la fig.. a) Determine el potencial total en el punto P. b) Determine el trabajo para llevar una u na partícula q0 desde A hasta B.
Solución a.- El potencial total en el punto P es:
Calculando el potencial para cada partícula tenemos:
Sumando tenemos:
Fig.5.9 Problema 1
b.-Para el cálculo del trabajo utilizamos la ecuación:
El potencial total en A y B es: El trabajo total es: ¿Qué significado tiene el signo negativo? 2) Determine la energía necesaria para colocar cuatro partículas en los vertices de un cuadrado de lado a, como se indica en la fig. .
Solución
De acuerdo a la ecuación (5.17), la energía necesaria para colocar las cuatro partículas en el cuadrado es:
Sea Con Sustituyendo todo esto en la expresión anterior, tenemos: Fig.5.10 Problema 2
3) Aplicando el concepto de potencial electrico determine el potencial electrico dentro de una esfera de radio a con densidad de carga uniforme( carga por unidad de volumen constante).
Solución El potencial se define como el trabajo para traer una partícula desde el infinito hasta una distancia r con velocidad contante, es decir: Así Donde W1 es la trabajo para traer la partícula desde el infinito hasta la superficie de la esfera, y W2 , es el trabajo para llevar a la partícula desde la superficie hasta el punto r en el interior de la esfera. Calculo del W1
Con
Fig.5.11 Problema 3
Desarrollando:
Calculo del W2
Con
Desarrollando:
Sumando los dos trabajos y dividiendo entre q0, tenemos:
Del resultado anterior encuentre el campo eléctrico en el interior de la esfera. Utilice la ecuación:
¿Qué opina usted al respecto?
4) Se tiene un anillo de radio a y densidad de carga por unidad de longitud constante. a) Determine el potencial en un punto a lo largo del eje x. b)Si se coloca una partícula q0 en el centro del anillo y se le da un pequeño desplazamiento para separarlo del equilibrio esta se va al infinito del eje x, determine la velocidad en el infinito.
Solución a.- Aplicamos la ecuación (), tenemos:
Integrando:
Fig.5.12 Problema 4 b.- Para hallar la velocidad en el infinito, aplicamos el principio de la conservación
de la energía. Como la partícula parte del reposo E0=0 y la energía potencial en el infinito es cero. Así.
Introduciendo en la ecuación de la energía tenemos:
5.-Una esferita de masa m y carga positiva q está suspendida por un hilo aislante de longitud L . Desde una gran distancia se la va acercando lentamente otra esferita con carga positiva Q hasta ocupar la posición original de la esferita suspendida. Como resultado la esferita q se ha elevado una distancia h. Calcule el trabajo realizado en el proceso.
Solución
Fig.5.13 Problema 5
La esferita de carga q estará en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas: el peso mg, la tensión T y la repulsión eléctrica Fe. La fuerza eléctrica es:
Por la similitud de los triángulos formados, se tiene respectivamente: y Combinando estas tres ecuaciones, tenemos:
A esta separación la energía potencial electrostática del sistema es:
Fig.5.14 Problema 5
El trabajo neto para elevar la esferita será la suma de la energía potencial electrostática y la energía potencial gravitacional: Nos queda:
6.- Una varilla delgada aislante de longitud L tiene una densidad de carga uniforme λ. Tómese V = 0 en el infinito. (a) Determine el potencial eléctrico en un punto P sobre la mediatriz de la varilla, a una distancia b del eje x. (b) Si la línea de carga fuera infinita. ¿ se podría obtener el potencial a partir de la expresión obtenida en la parte a?
Solución Tomemos un elemento infinitesimal de carga , como se indica en la figura. Para obtener el potencial en el punto P integramos sobre toda la varilla.
Integrando, obtenemos:
Fig.5.16 Problema 6 b.-Para la varilla infinita, no se puede usar esta expresión de V. ¿Por qué? Al usar la expresión anterior para hallar el potencial cuando la varilla es infinita, el potencial V resulta infinito y esto físicamente no tiene solución. Esto es un inconveniente que se presenta en el caso de distribuciones infinitas de cargas, y es consecuencia de haber usado la expresión para el potencial que es válida cuando se le asigna a priori el valor de referencia cero ( V = 0) en r infinito.
7.-Determine el potencial eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga con densidad de carga constante.
Solución Primero calculemos el campo eléctrico por medio d e la ley de Gauss:
A partir del campo eléctrico, calcularemos la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados a las distancia a y b de la línea de carga. Fig.5.17 Problema 7
Introduciendo el campo E e integrando obtenemos:
Fig.5.18 Problema 7
En esta expresión si tomamos VB = 0 cuando b tiende al infinito, entonces el potencial en el punto A es infinito, es decir:
Por esta razón conviene escoger como referencia V = 0 en un punto arbitrario situado a una distancia b = r 0. Así el potencial a cualquier otra distancia viene dada por:
8.-Un anillo circular tiene una carga Q distribuida uniformemente sobre su Superficie que está comp rendida dentro de los radios a y 2a. Un electrón se aproxima en el eje del anillo pasando por el centro A con una rapidez uA. Si el electrón alcanza una posición máxima B a distancia 3a del centro y se devuelve. ¿Con que rapidez había pasado por el centro del anillo?
Solución
Primero calculamos el potencial en el eje del disco, para ello utilizamos la ecuación 5.19
Integrando:
Evaluando los potenciales en los puntos z = 0 y z =3a, tenemos:
Fig.5.19 Problema 8 Aplicando el principio de la conservación de la energía y tomando en cuenta que la velocidad en B es nula se tiene: Desarrollando tenemos:
9.-Una esfera solida de radio interior a y radio exterior b tiene una carga Q distribuida uniformemente. Determine el potencial en función de la distancia r desde el centro. a.- a < r < b, b.- r < a
Solución
a.-Para resolver este problema aplicamos el concepto d e potencial eléctrico, es decir: Tenemos que traer una partícula q0 desde el infinito hasta un r menor que b y mayor que a.
Aplicando la ley de Gauss calculamos los campos E1 y E2
Fig.5.20 Problema 9
Estos resultados usted los obtuvo del capítulo anterior. Introduciendo en la expresión del trabajo total y posteriormente dividiendo entre q0, obtenemos para el potencial entre a < r < b :
b.- Para la región interior donde está el hueco, el campo eléctrico es cero, ¿Por qué?. Como el campo eléctrico es cero, entonces el potencial en el hueco es constante hasta la superficie. Si calculamos el potencial en la superficie automáticamente este es el mismo potencial en el interior, por lo tanto si evaluamos el resultados anterior en r = a, obt enemos el potencial en r < a:
10.- Dos conchas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 tiene cargas Q1 y Q2 respectivamente. a.- Determine el potencial eléctrico en todas las regiones. b.- ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos esferas?
Solución
El principio de superposición nos permite calcular los potenciales de cada esfera por separadas y posteriormente se suman. a.- Los potenciales debido a cada esfera para r > R2 son V1 Y V2, cuya suma nos da:
Fig.5.21 Problema 10 b.- Para la región R1 < r < R2, los potenciales por separados son: Así el potencial total en esa región es: Para la región interior (r < R1) ambos potenciales son constantes:
Así el potencial total en esta región es: c.-Para hallar la diferencia de potencial entre las dos esferas, usamos la expresión de V(r) para R1 < r < R2, la evaluamos en R1 y luego en R2, para obtener: