1) Uma indústria indústria de calçados fabrica fabrica um certo tipo de sandálias sandálias de couro. couro. Após observação, observação, por parte do departamento de vendas, conclui-se que o lucro de produção de unidades deste produto ! descrito pela função f")# -$" % &)" $'). (ara que a fábrica obtena lucro máimo nas vendas das sandálias, podemos a*rmar a*rmar que o total unidades a ser vendido deve ser i+ual a 1& unidades 1 unidades 1$/ unidades 10 1$ ) Ace Ace a área área da re+ião re+ião compre compreendid endida a pelas pelas curvas curvas # e # - 23& /3 1/3$ 0 &) (odemos (odemos a*rmar a*rmar que taa de variação variação do volume 4 de um cubo em relação ao ao comprimento de sua aresta ! i+ual a5 A área da superf6cie do cubo A metade da área da superf6cie do cubo A área do quadrado de lado A área do tri7nculo equilátero de lado A área da circunfer8ncia de raio 2) 9ual a interpretaçã interpretação o +eom!trica +eom!trica para para derivada em um um ponto onde # 0: ! a reta reta tan+ente no ponto onde # 0 ! a inclinação da reta tan+ente tan+ente no ponto onde onde # 0 ! a tan+ente tan+ente no ponto ponto onde # 0 ! um ponto que tem reta reta tan+ente tan+ente i+ual a 0 ! o próprio ponto onde # 0 que calculamos a derivada atrav!s de uma re+ra
) ;e f" f")) # e +") # " % 1).
& 2 0 $) Ace Ace a derivada derivada em em relação relação a da função função f") f") # 13 , com = 0
x / 2 x √ x
3 13 3 ') ;upona que as equaç>es equaç>es do movimento movimento de um avião de papel durante os 10 cos t ( 0 ≤ t ≤ 10 ) . primeiros se+undos de v?o são5 x =t −3 sent e y = 4 −3 cos 9uais são os pontos mais alto e mais baio de sua tra@etória e quando o avião atin+e essas posiç>es:
aimo # ' nos instantes t # (i e t # &(i inimo # 1 nos instantes t # 0 e t # (i aimo # 1 nos instantes t # (i e t # &(i inimo # ' nos instantes t # 0 e t # (i aimo # '0 nos instantes t # (i e t # &(i inimo # 10 nos instantes t # 0 e t # (i aimo # ' nos instantes t # 0 e t # &(i inimo # 1 nos instantes t # 0 e t # (i
) ;e f" f")) # e +") # " % 1).
& 2 0 $) Ace Ace a derivada derivada em em relação relação a da função função f") f") # 13 , com = 0
x / 2 x √ x
3 13 3 ') ;upona que as equaç>es equaç>es do movimento movimento de um avião de papel durante os 10 cos t ( 0 ≤ t ≤ 10 ) . primeiros se+undos de v?o são5 x =t −3 sent e y = 4 −3 cos 9uais são os pontos mais alto e mais baio de sua tra@etória e quando o avião atin+e essas posiç>es:
aimo # ' nos instantes t # (i e t # &(i inimo # 1 nos instantes t # 0 e t # (i aimo # 1 nos instantes t # (i e t # &(i inimo # ' nos instantes t # 0 e t # (i aimo # '0 nos instantes t # (i e t # &(i inimo # 10 nos instantes t # 0 e t # (i aimo # ' nos instantes t # 0 e t # &(i inimo # 1 nos instantes t # 0 e t # (i
aimo # ' nos instantes t # (i e t # (i inimo # 0 nos instantes t # 0 e t # (i
) es de um ret7n+ulo ret7n+ulo com per6metro per6metro de 100m, cu@a área área ! a maior maior poss6vel. ret7n+ulo de lados # 10 e # 1 ret7n+ulo de lados # 10 e # 0 # e # ret7n+ulo de lados # 1 e # 1 ret7n+ulo de lados # 1 e # 1&
10)
Dalcule a inte+ral in inde*nida5
∫
4
t ² −2 t dt 4 t
t- -t %D t- %t % D t-1 %t t-1 %t % D t-1 -t % D 11) 11) Uma Uma pop popul ulaç ação ão de t7mi t7mias as se tra transfe nsferre par para a uma uma nova nova re+iã e+ião o no no tem tempo po t # 0. Eo instante t a população população ! dada por ("t) # 100 "1 % 0,&t % 0,02 t ). (odemos então a*rmar que a taa de crescimento da população quando ( # 00 ! dada por5 &0 t7mias por m8s
20 t7mias por m8s 0 t7mias por m8s $0 t7mias por m8s '0 t7mias por m8s 1) Um teatro cobra na apresentação de uma peça, p reais por in+resso. F preço do in+resso relaciona-se com o número de frequentadores por apresentação pela fórmula, p") # 100 - 0, podemos então a*rmar que a receita máima poss6vel em Geais, por apresentação, ! dada por5
00 00 000 200 $00 1&) Ea medida em que uma bola de neve de 1 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taa constante. A bola começa a derreter quando t# 0 ora e leva 1 oras para desaparecer. A taa de variação do volume da bola quando t # $ oras ! dada por5 - 10 H cm&3s -1&0 H cm&3s - 122 H cm&3s -1$ H cm&3s -1$0 H cm&3s
12)
−2 9
Dalcule a inte+ral inde*nida5
√ ( e− x− 2 ) + C 3
3
−√ e− x −2 +C 3
∫
√ e− x −2 dx 3
e 3 x
−√ e− x −2 3
−2 3
−2 3
√ e− x −2 + C 3
√ ( e− x− 2 )−1 + C 3
ln 3
1)
Dalcule a inte+ral5
∫ 5e
x
dx
0
0 1$ 10 -10 1$)
Ace a derivada em relação a da função f") # 13 2 −1 / 2
1 /¿ x
¿
0 1 13 1')
Donsidere a função f(x) = x 4 - 4x 3 e marque a alternativa correta
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de máimo e
m6nimo da função, respectivamente.
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de m6nimo e
máimo da função, respectivamente.
f'(3) = 0 e quando x = 3 ocorre o ponto de máimo da função. f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem pontos de inIeão e de
m6nimo da função, respectivamente
f'(0) = 0 e quando x = 0 ocorre o ponto de m6nimo da função.
1)
A derivada da função f ( J ) = tg-1"JK) ! a função 2θ
'
f ( θ ) =
2
sec ² ( θ ) 1
'
f ( θ )=
'
f ( θ ) =
2 θsec ²
2
(θ )
2θ 1 +θ
θ
4
2
'
f ( θ )=2 θsec ² ¿ f ( θ ) = sec ² ( 2 θ ) 2
'
1
1/)
F cálculo da inte+ral de*nida
∫ 2 x ² √ 1+ x ³ dx −1
tem como resultado
/ 1$/ & &
0)
F traçado de uma estrada tem um treco em curva que une dois pontos
de coordenadas A( 0 , 0 ) e B( 2 , 1 ). A curva ! determinada por
y =
() x
2
2 3
.
,&2 u.c. ,' u.c. &,1$ u.c. &,12 u.c.
,2 u.c. 1)
) F proprietário de um estacionamento de ve6culos veri*cou que o preço por dia de estacionamento está relacionado com o número de carros que estacionam por dia pela epressão 10 p % & # &00. ;abendo que p ! o preço por dia de estacionamento e ! o número de ve6culos que estacionam por dia podemos a*rmar que a receita máima obtida no dia ! de GN 20,00 GN $&0,00
GN '0,00 GN '0,00 GN 10,00 &)
es # e # -
1 10 13& 32 &3
2) A Oiferenciação Po+ar6tmica ! uma t!cnica útil para diferenciar funç>es compostas de produtos, de quocientes e de pot8ncias, cu@a resolução pela Ge+ra da Dadeia poderia ser eaustiva.
'
2
ln x
'
1
ln x
ln x
'
1
ln x
ln x
f ( x )= x x f ( x )= x x f ( x )= x 2
x
ln x
ln x
ln ¿ '
¿ f ( x )=¿ '
x
ln x
ln ¿ '
¿ f ( x )=¿ '
) Donecendo as derivadas das funç>es f e g , podemos usá-las para encontrar a derivada da composição f og , atrav!s de um teorema denominado
Ge+ra de PQR?pital Ge+ra da Dadeia Seorema Tundamental do Dálculo Oerivação mpl6cita Seorema do 4alor !dio
$) Dalcule as inclinaç>es da curva y - x + 1 = 0 nos pontos A " 2, -1 ) e B " 2 , 1 ), respectivamente.
m A = 2 e mB = -2 m A = mB = 12 m A = mB = -12 m A = 12 e mB = -12 m A = -12 e mB = 12
')
Dalcule a área compreendida pelas funç>es f") # 2 e +") # .
1310 10 &310 & ) Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. ;e a base da escada desliLa, afastando-se da parede a uma taa de 1m3se+. 9uão rápido o topo da escada está escorrendo para baio na parede quando a base da escada está a $ metros da parede: -&32 m3se+ m3se+ - & m3se+ 2 m3se+ - 2 m3se+ /) Uma lata cil6ndrica ! feita para receber 1 litro de óleo. es da lata que minimiLarão o custo do metal para produLir a lata.
raio # 00 cm e altura # di7metro da lata raio # "003(i)13& cm e altura # di7metro da lata raio # 00 (i cm e altura # di7metro da lata raio # 003(i cm e altura # raio da lata raio # 0 cm e altura # raio da lata &0) Dalcule a área da re+ião compreendida sob a curva f") # ln")3 e as retas # 1 e # e. 13 132 13 ln
&1) Uma cisterna "reservatório inferior de á+ua) tem a forma de um cone circular reto invertido com base de di7metro 4m e altura i+ual a 4m. ;e a cisterna está sendo abastecida de á+ua a uma vaLão "taa) de 2m& /min, encontre a taa na qual o n6vel de á+ua está elevando quando este está a 1m da borda da cisterna. Fbs.5 Oa +eometria espacial sabemos que V c # 1&Hr, sendo 4c # volume do cone, r # raio da base e # altura do cone
d h 32 π = 9 dt
d h 9 π = dt 4
dh 2 = dt 3 π
dh 8 = dt 9 π
dh 4 = dt 3 π
&) A Ge+ra da Dadeia para derivação de função composta nos permite que, conecendo as derivadas de duas funç>es f e g, podemos utiliLá-las para encontrar a derivada da função composta fog. ;e a função g for diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x), então a função composta fo+ ! diferenciável no ponto . Al!m disso, se f e g forem diferenciáveis e f og for a função composta de*nida por f (g(x)) então esta composta ! diferenciável e ! dada pelo produto f´(g(x))g´(x). A partir deste conceito de re+ra da cadeia, determine a derivada da função composta y=2x+1
1%1 %1 1 1%1 %1 &&)
;e % # , encontre d3d
3 -3 3 3 &3 &2)
sen cos t+ sec cossec &)
cos t+ - 1 % .cos sen
t+
&$) #& e 1-e e& - e e
&') As funç>es # - e # formam uma re+ião no primeiro quadrante. 9uais os limites de inte+ração compreendidos no eio para o cálculo da área #1a# #1a# #0a#2 #0a#$ #1a#2 &) Oeterminar o raio da base de uma lata de refri+erante cil6ndrica de volume &0 ml de modo que o material +asto na confecção da lata se@a m6nimo. Oado 1 ml # 1 cm&.
R=
√
R=
√
R=
√
R=
√
R=
3
3
3
√ 4
175
π 200
π 175
π 175 3 π
175
π
&/)
20)
Oiscursiva5 Dalcule a inte+ral5
Oiscursiva5
dy dx
∫
√ e− x −2 dx 3
e 3 x
x . y ² −ln ( √ xy )= sen 4
sabendo que
() x y
21) A *+ura abaio ! conecida como cardioide, devido a sua apar8ncia com um coração. ;abendo que sua epressão e seu +rá*co são dados abaio.
2&) A curva abaio ! conecida como brua de A+nesi. ;eu +rá*co e sua epressão estão representados abaio.
22) A t!cnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se dese@a, de imediato, saber as coordenadas do v!rtice de uma parábola. W, tamb!m, utiliLada como um dos m!todos de inte+ração. A forma can?nica conecida ! 5 f") # a" v )K - v , onde v e v são as coordenadas do v!rtice. (ortanto, aplicando a t!cnica de completar quadrados, determine as coordenadas da parábola5 f") # K - % 1 v # 1 e v # 1 v # - 1 e v # 1
v # - 1 e v # - 1 v # 1 e v # 0 v # 1 e v # - 2) Donsidere a funçãof")#&%2X-.
%%/#0 %%'#0 -%1#0 %-� -%/#0
∫ se n ( x ) . cos ( x ) dx 2
2$)
sen ³ ( x ) 3 cos³ ( x ) 3
tg ³ ( x ) 3
+C
+ C
sec ³ ( x ) 3
+ C
+C
cosec ³ ( x ) 3
+ C
2') Donsidere a função f")#K cu@o +rá*co está abaio. Oetermine a equação da reta tan+ente ao +rá*co de f , no ponto (", 2).
#2-2 #2 #-2 #-2%2 #2%2 2) Donsidere um tri7n+ulo S cu@os lados são o eio dos , a reta #1 e a reta r tan+ente ao +rá*co de # K no ponto de abscissa #a. Oetermine a de forma que o tri7n+ulo S tena a maior área poss6vel. a# a#2 a#1 a#1 a#1&
2/) A derivada do produto de duas funç>es pode ser calculada pela fórmula5 "U4)Q # U4Q % UQ4. ;e@am U # sec") e 4 # t+"&). Dalcule a derivada do produto dessas duas funç>es.
sec")t+"&) % t+")sec"&) sec")t+")t+"&) % &sec")secK"&)
sec"&)t+"&)t+") % &sec"&)t+K") &sec"&)t+K") % t+")sec"&) sec"&)t+"&)t+") % t+")sec"&) 0) Donsidere a função f ( x )=√ x . Oetermine a equação da reta tan+ente ao +rá*co de f , representado abaio, no ponto (" 2,).
#"12)%1
#%"12)
#"12)
#"12)%'
#2%"1)
1) A equação orária de um móvel ! # t & % t, onde a altura ! dada em metros e o tempo t ! dado em se+undos. A equação da velocidade deste móvel será5
v"t)#&t% v"t)#&t% v"t)#& v"t)#t % v"t)#t%& ) A t!cnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se dese@a, de imediato, saber as coordenadas do v!rtice de uma parábola. W, tamb!m, utiliLada como um dos m!todos de inte+ração. A forma can?nica conecida ! 5 f") # a" - v )K - v , onde v e v são as coordenadas do v!rtice. (ortanto, aplicando a t!cnica de completar quadrados, determine as coordenadas da parábola5 f") # - K. v # -1 e v # -1 v # e v # - v # 1 e v # 1 v # e v # - & v # - & e v # -
&)
;e@a f") # e.sen"). Dalcule a derivada de f") no ponto onde # 0.
0 -1 - 1 2) Ea indústria automobil6stica, observou-se que a procura de uma determinada marca ! de "10000%2Xp)unidades, desde que ela se@a vendida a um preço de p milares de reais por unidade. 9ue preço maimiLa o rendimento desse automóvel :
0.000 reais &0.000 reais 20.000 reais 0.000 reais 10.000 reais ) Um problema t6pico do Dálculo ! a determinação da equação da reta tan+ente a uma função dada. Assim, determine a equação da reta tan+ente Y função # % 1, no ponto onde # 1. # % #%1 # - & # #-&
$) ;upondo que uma função f tena derivada cont6nua para aZZb então o comprimento da parte do +rá*co #f") para aZZb ! [ab1%BfQ")Cd Dalcule o comprimento do +rá*co de #X"%1&)& de #1 at! #.
' 10 1& 12 1
') Donsidere as funç>es f") # ln3e e +") # " ln )&. Dalcule a derivada da soma f") % +") no ponto # 1. 1 23e 13e e
0
) \uscar um sono ei+e muito trabalo5 mental, emocional e f6sico. (or veLes não ! o que se dese@a faLer, mas para alcançar sonos precisa-se faLer muitas coisas que não se tem vontade de faLer. Assim num pro+rama de televisão ]
10 10 &X10 X10
/) Oetermine a área, em função de a, de um tri7n+ulo S cu@os lados são o eio dos , a reta #1 e a reta r tan+ente ao +rá*co de y = x ² no ponto de abcissa #a. a&%a%a2 a&2 % a % a 2Xa - a& 2 -Xa -Xa%a& a&2-a- a $0) : 23& 13& 103& 3&
9ual a área da re+ião delimitada pelas funç>es f") # % 1 e +") # & -
$1) Aplicando os conceitos da primeira e se+unda derivadas. 9ual o +rá*co da função de*nida em G por f") # & - &:
$) Um corpo ! lançado verticalmente para cima, com velocidade de 20m3s, num local em que + # 10 m3s , tem posição s em função do tempo t dada pela função orária s"t) # 20t - t com t pertencente ao intervalo B0, C. 9ual o tempo +asto para atin+ir a altura máima em relação ao solo: se+ se+ se+ & se+ 2 se+ $&) Donsidere a função f")#%ln de*nida no dom6nio O # ^_G`=0. ;e@a + a função inversa de f. UtiliLando a Ge+ra da Dadeia, encontre +Q")
+Q")#+")3"+")-1) +Q")#"+")%1)3+") +Q")#13+") +Q")#+")3"+")%1) +Q")#.+")3"1%)
$2) ;abendo-se que a variável ! uma função da variável , considere a função impl6cita de descrita pela epressão a se+uir &%&#$XX (ode-se então a*rmar que o valor da derivada de em relação a ! dada por
Q")#-XX- Q")#-X-X %
Q")# % XX- Q")#-XX- Q")#-XX-
Donsidere f a função de*nida pelo +rá*co abaio.
1 & -& -
(ara resolver uma inte+ral pelo m!todo de inte+ração por partes deve-se aplicar a fórmula a se+uir [f.+Q#f.+-[+.fQ Donsiderando que [+.fQ deve ser mais simples que [f.+Q, pode-se a*rmar que a melor forma de aplicar o m!todo para calcular [.ln")d ! considerar
f # e +Q # ln") f # e + Q # . ln") f # . ln ") e + Q # 1 f # ln ") e + Q # f # 1 e +Q # . ln")
;e@a m um número positivo. Donsidere a inte+ral de*nida dada a se+uir [1md#&
(ode-se a*rmar que o valor da inte+ral está correto se m for i+ual a5
1 2 13 & ;abe-se que o custo mar+inal ! dado aproimadamente pela taa de variação da função custo total em um ponto apropriado. Oessa forma, de*ne-se a função custo mar+inal como sendo a derivada da função custo total correspondente.
D")# 10%10 D")# D")#%10 D")#10%& D")#10 Uma noção intuitiva para determinar o que ! comprimento de uma curva seria o de colocar um barbante sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. ;e f# for continua em Ba,bC, então o comprimento da curva #f"),aZZb ! P#[ab1%Bf")Cd. Dalcule o comprimento da curva #-&,-ZZ1
3 1 0
1 0
2 1 0
3 2 1 0
2 3 1 0
Dalcule a área da re+ião do plano limitada pelos +rá*cos das funç>es 5 # M # e #1.
'-X &2 1 ;e@a f")# ln. Oetermine as equaç>es5 •
•
da reta r tan+ente ao +rá*co de f em # e da reta s normal ao +rá*co de f em # 1
r5 #e s5 #1 -
r5 #1e s5 #1 % r5 #e s5 #1-
r5 #1e s5 #1 - r5 #e s5 #1
Donsidere duas funç>es f e + tais que +") # f"-&X%) ;abendo-se que a equação da reta tan+ente ao +rá*co de f em # ! #& - ,determine a equação da reta r, tan+ente ao +rá*co de + em # 0. #2 -/ #%1 #& -$
#2%& #$%2
Oado um con@unto de funç>es ^f1,f,...,fn , considere o determinante de ordem n5 "f1,f,...,fn) # Bf1f...fnf1f...fnf1f...fn............f1n-1fn-1...fnn-1C Oenomina-se ronsiano o determinante dessa matriL quadrada formada pelas funç>es na primeira lina,pelas primeiras derivadas dessas funç>es na se+unda lina, e assim por diante, at! a "n-1)-!sima derivadas das funç>es na n-!sima lina.F nome desse determinante deve-se ao matemático polon8s osef ronsi e ! especialmente aplicado no estudo de equaç>es diferenciais. ;e@am as funç>es5 f")# eX M +")#sen
e
")# %&X%1 Oetermine o ronsiano "f,+,) em # 0.
1
-1
-
'
9ual o valor da inte+ral inde*nida da função e : e%D "13).e % D %D e % D e % D
A função & % & # $ ! conecida como fólio de Oescartes.
0 m m & m
Donsidere as a*rmativas abaio sendo f uma função derivável e x=c um ponto interior ao dom6nio de f . "i) ;e f'(c) = 0 ou f'(c) no $xi%t$ então f possui um ponto cr6tico quando x=c "ii) ;e f'(c) = 0 e f''(c)&0 então f possui um m6nimo local quando x=c $ ;e f'(c) = 0 e f''(c)0 então f possui um máimo local quando x=c "iii) ;e f'(c) = 0 e f''(c)0 então f possui um m6nimo local quando x=c $ ;e f'(c) = 0 e f''(c)&0 então f possui um máimo local quando x=c "iv) ;e f'(c) = 0 e f''(c)= 0 nada se conclui a priori
"i), "iii) e "iv) são verdadeirasM "ii) ! falsa. "i), "ii) e "iv) são verdadeirasM "iii) ! falsa. "i) e "iv) são verdadeirasM "ii) e "iii) são falsas. "i) ! verdadeiraM "ii) , "iii) e "iv) são falsas. "i) e "iii) são verdadeirasM "ii) e "iv) são falsas.
Donsidere a inte+ral = 03*xx-1 e as a*rmativas abaio5 "i) ! uma inte+ral imprópria diver+ente "ii) ! uma inte+ral imprópria conver+ente para = ln2 (iii) ! uma inte+ral de*nida, sendo = ln2
"i) ! verdadeira, "ii) e "iii) são falsas "i) ! falsa, "ii) e "iii) são verdadeiras "iii) ! verdadeira, "i) e "ii) são falsas "i) e "iii) são verdadeiras, "ii) ! falsa. "ii) ! verdadeira, "i) e "iii) são falsas
Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peies em cativeiro de base retan+ular que está na mar+em de um rio reto, com 100m de lar+ura . A mar+em será um dos lados do criadouro, não sendo necessário colocar rede ao lon+o desta mar+em e pretende-se que o criadouro tena a maior área
poss6vel. arque a alternativa com as dimens>es da base retan+ular do criadouro que satisfaL a condição acima.
30mx0m, sendo utiliLados 30m da mar+em do rio como um lados do criadouro. 30mx0m, sendo utiliLados 0m da mar+em do rio como um lados do criadouro. 30mx0m, não importando a metra+em da mar+em do rio usada como um lados do
criadouro.
20mx0m, não importando a metra+em da mar+em do rio usada como um lados do
criadouro.
3mx0m, sendo utiliLados 0m da mar+em do rio como um lados do criadouro. Pergunta
-cossec") % D -cossec") cos") % D sen") % D -cot+") % D Pergunta
1 0 -13 "-&.213&-&)32
%1
A inte+ral inde*nida [ d/%2 tem sua solução atrav!s da utiliLação de uma sustituição para reduL6-la Y forma padrão. arque a opção correspondente Y forma padrão "fórmula) utiliLada na resolução desta inte+ral
[ un du # un%1n%1 % D [ dua%u # arc sen "ua) % D [ dua -u # arc sen "ua) % D [duu # un%1n%1 % D [ dua%u # 1aarc t+ "ua) % D
x ln ¿
A inte+ral inde*nida
¿ ¿ ¿
x cos ¿ dx
tem sua solução atrav!s da utiliLação de uma
¿ ∫¿ substituição para reduL6-la Y forma padrão. arque a opção correspondente Y forma padrão "fórmula) utiliLada na resolução
[secu du#ln`secu%t+ u`%D [cosu du#senu % D [duu #ln`u`%D
∫
n+ 1
u +C u du = n +1 n
[ cosec u du# -ln`cosec u%cot+ u`%D
A reta - % & # 0 ! paralela a reta "r) tan+ente ao +rá*co da curva # % &. (odemos, então, a*rmar que a equação da reta "r) ! dada por5
# # % 1 # - % 1 # - # % F coe*ciente an+ular da reta tan+ente Y curva y = x1-x no ponto " 0, 0) ! dado por m = y2-y1x2-x1 , sendo ( x 1 , y 1 ) = ( 0 , 0 ) e ( x , y ) = ( 2 , -2 ) f'(0)= 1 f'(0)= 0 m = -2 f'(0)= -1
es num!ricas são resumidas calculando-se al+um tipo de m!dia ou valor m!dio dos dados observados. A mais comum ! a !dia Aritm!tica de um número *nito de dados, por!m, este conceito pode ser ampliado para calcular a de todos os valores de f(x quando x varia em um intervalo B a , b C pelo $o"$m! *o V!lo" *io !"! nt$g"!i% $ f fo" contnu! $m 5 ! , 6 7 , $nto o 8!lo" m*io *$ f $m 5 ! , 6 7 *$9ni*o o" f m = 16-!!6f(x)*x
Oesse modo, se a distribuição da temperatura de um ob@eto, eposto a uma fonte calor durante o per6odo de tempo t, foi aproimada pela função f(x)=x sendo 1ZtZ2, então o instante t em que o ob@eto atin+e a temperatura m!dia no intervalo de tempo dado !5
t#12/ t#1/$1 t#1$/ t#/ t#,
# -& - 2 # -& % 2 # - 2
Oeterminando a derivada da função f")#sen&, obtemos5 sen&%&2cos& cos& $&cos& sen&cos& cos& A re+ião G, limitada pelas curvas # e # , ! +irada ao redor do eio .
d3d % sen") cos")-sen"3) d3d %sen"cos"))
Um fabricante de móveis em madeira produL p!s de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que serão torneados por uma serra de *ta que se+ue o traçado de uma curva determinada por y = x , de x=1 at! x=4 . Fs p!s de apoio são obtidos quando a re+ião sob a curva ! +irada em torno do eio x.
V = 1 :2 u.v. V = 1 u.v. V = 3 :2 u.v. V = 2: u.v. V = 12 u.v.
Donsidere f uma função cont6nua em B! , 6C e diferenciável em "! , 6) . ;e f'' " x ) = 0 para todo x em "! , 6) então
f ! crescente em B! , 6C
f ! decrescente em B! , 6C
f ! constante em B! , 6C
f ! crescente em " ! , 6), nada podendo-se a*rmar sobre o comportamento da função nos etremos x=! e x=6
f ! decrescente em " ! , 6), nada podendo-se a*rmar sobre o comportamento da função nos etremos x=! e x=6
F Seorema Tundamental do Dálculo estabelece duas relaç>es básicas entre as inte+rais de*nida e inde*nida, atrav!s da diferenciação e inte+ração. Uma parte deste teorema tem como interpretação +eom!trica o cálculo de áreas, enquanto a outra parte fornece um m!todo para o cáculo de inte+rais de*nidas diretamente a partir de primitivas.
[ f")d#T")%D [ab f")d#T"a)-T"b) [ab f")d#T"b)-T"a) [abf")d#[acf")d % [cbf")d sendo c um ponto interior de B! , 6C
[abf")d# f"c)" 6 - !) sendo c um ponto interior de B! , 6C
Um tanque com tampa em forma de cilindro tem um volume de 0 m & . ;e o raio da base do cilindro ! r ,per+unta-se qual ! a altura desse tanque para que se@a m6nima sua área total . "Pembrete5 4olume do cilindro 4 # H.r. grea total # H.r%Hr.) # 10H
# H& # H& # 10H& #H
Um ponto de tan+ente oriLontal ao +rá*co de # f") ! tal que a derivada de f em relação a ! i+ual a Lero, isto !, f Q") # 0. Donsiderando a função #%1 ! poss6vel a*rmar que
F único ponto de tan+ente oriLontal ao +rá*co da função possui coordenadas i+uais a "1, ). F único ponto de tan+ente oriLontal ao +rá*co da função possui coordenadas i+uais a "-1, -). Fs pontos de tan+ente oriLontal ao +rá*co da função possuem coordenadas i+uais a "1, ) e "-1, -). <istem tr8s pontos de tan+ente oriLontal ao +rá*co da função. F +rá*co da função não possui pontos de tan+ente oriLontal
;abendo que f ! uma função de*nida pelo +rá*co abaio tal que fQ "-) # &3 e f "&) # 3 e r ! uma reta tan+ente ao +rá*co de f em # - e # &, determine fQ "&)3f "-)
'3& -&3' &3 -&3 1
;e@am u e v funç>es da variável . Donsidere as se+uintes re+ras de derivação5 BuvCQ#v.uQ-u.vQv ;e@a a função
e
Be u CQ # e u . uQ
#e 3 "1 % e ). UtiliLando as re+ras estabelecidas pode-se a*rmar que a derivada de em relação a variável no ponto # 0 ! i+ual a
Q"0) # 1 Q"0) # 13 Q"0) # 132 Q"0) # 0 Q"0) # 3& 4oc8 faL parte da equipe de plane@amento de vendas. ;upona que a receita de venda de uma mercadoria se@a dada por meio de uma função r"t) # -t 3100 % t % 00, na qual t ! o tempo medido em meses. 9uanto se arrecadou após anos: GN 0.',/ GN 20.',/ GN &0.',/ GN '0.',/ GN $0.',/ Dalcule a derivada da função f") # 10 - & % 2. f")#0-2' % 2& f")#0/ - 2' % 2& f")#0/ - 2' % 2 f")#0/ - 2$ % 2& f")#// - '' % 2& Um faLendeiro precisa construir um +alineiro de forma retan+ular utiliLando-se de uma tela de 1$ metros de comprimento. ;abendo que o faLendeiro vai usar um muro como fundo de +alineiro, determine as dimens>es do mesmo para que sua área se@a máima. # & m e # 10 m # m e # 1 m #me#$m #2me#m # 1 m e # 12 m Donsidere a função f cu@o +rá*co ! dado na *+ura abaio.
;abendo que as retas r e s são tan+entes ao +rá*co da função f nos pontos # -& e #1 respectivamente, e que fQ "-&) # - &3. Oetermine a equação da reta s
#2-2 # 2, % 2, # 1, - 2 # - 1, - 2 # 2, - 2
Q"1)# 1
