Líneas de influencia para estructuras hiperestáticas
Teorema de Muller – Breslau: Se considera una estructura elástica lineal cualquiera sobre la que actúa una fuerza unitaria móvil como se muestra en la figura. Sea I un punto cualquiera de aplicación de dicha fuerza móvil dentro su trayectoria. Se quiere calcular la línea de influencia de la reacción en uno de los apoyos y en una determinada dirección, que se denomina RB.
Se aplica el método de flexibilidad, de la forma siguiente: Se considera la reacción RB como incógnita hiperestática. hiperestática. Se elimina la restricción originada por la reacción RB . Se obtiene así una estructura que es hiperestática de grado h-1, sobre la que actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura se denomina caso I (figura 10.4). Se calcula la deformación que aparece en este caso en la dirección de la reacción: D B
Se aplica sobre la estructura una fuerza unitaria en la dirección de la reacción RB , con lo que se genera un caso denominado B (figura 10.5), en el que se calculan las siguientes deformaciones: Deformación en el punto B en la dirección de la reacción, debida al valor unitario de la propia reacción RB : D B . Deformación en el punto I en la dirección de la carga móvil, debida al valor unitario de RB: D I
Se aplica la ecuación de compatibilidad de deformaciones: deformaciones:
que permite calcular la reacción:
Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple le que que el valor de la reacción buscada es:
por lo
El numerador de esta expresión representa la deformación del punto I, donde está la carga móvil, en la dirección de dicha carga, al aplicarse una fuerza unitaria RB = 1, y el denominador es la deformación del propio punto B al aplicar la RB = 1. Esta expresión es válida para cualquier punto I, por lo tanto, pensando que I es un punto cualquiera de la trayectoria, representa la línea de influencia del esfuerzo buscado RB el teorema de muller se puede enunciar como sigue: La línea de influencia de la reacción en un apoyo de una estructura elástica lineal es igual al cociente, cambiado de signo, de la deformación en la dirección de la fuerza móvil, dividida por la deformación en el punto de aplicación de la reacción, ambas obtenidas para un valor unitario de la reacción.
Es importante recordar que el numerador no es la deformación absoluta del punto I, sino su deformación medida (es decir proyectada) según la dirección de la carga móvil. Normalmente ambas direcciones no coincidirán. Si la trayectoria de la carga móvil pasa por B, es decir que en alguna posición el punto I coincide con el B, y la dirección de la carga móvil coincide con la de RB , ocurre que:
Esto quiere decir que en esta caso toda la fuerza móvil es absorbida por la reacción, y el resto de la estructura está descargada.
Si en la ecuación
se sustituye
se obtiene:
Lo cual permite enunciar el teorema de Muller-Breslau de otra forma distinta: La línea de influencia de una reacción es igual a la deformación, cambiada de signo, de los puntos de aplicación de la carga móvil en la dirección de dicha carga móvil, cuando se impone una deformación unidad en la dirección de la reacción.
El teorema de Muller-Breslau es una manera muy elegante de plantear el cálculo de líneas de influencia, pues transforma el cálculo de un esfuerzo en un cálculo de deformaciones. Resulta por lo tanto de gran interés cuando se dispone de un método que facilita el cálculo de deformaciones, como por ejemplo el método de rigidez.
Aplicación a momentos flectores:
El teorema de Muller-Breslau está enunciado para reacciones, pero puede aplicarse a cualquier otro tipo de esfuerzo. Para el caso de un momento flector el proceso es el siguiente: Se considera el momento flector M B como incógnita hiperestática. Se elimina de la estructura introduciendo una articulación en su lugar, y se obtiene así una estructurahiperestática de grado h-1, sobre la que sólo actúa la fuerza unitaria móvil. Esta estructura se denomina caso I Se calculan los giros que aparecen en el caso I, en el punto B por la izquierda y por la derecha, en la dirección de las dos componentes del momento flector:
Se aplica sobre la estructura un momento flector unitario en el punto B con lo que se genera un caso denominado B, en el que se calculan las deformaciones siguientes: Giros en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentes del momento flector: Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:
Se aplica la ecuación de compatibilidad de deformaciones en el punto B, que permite calcular el momento flector:
Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell generalizado se cumple que El valor del momento flector buscado es:
El numerador de esta expresión representa la deformación del punto I donde está la carga móvil, y el denominador es la suma de los dos giros en la dirección de las dos componentes del momento, todos ellos obtenidos al aplicarse un momento unitario M B 1. Se obtiene de esta manera una expresión muy similar a la obtenida para las reacciones, con la única diferencia de que en el denominador aparece la suma de los dos giros en la dirección de las dos componentes del momento.
Aplicación a esfuerzos cortantes:
Siguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresión de la línea de influencia para un esfuerzo cortante
siendo: Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentes del esfuerzo cortante: Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil:
Aplicación a esfuerzos axiales
Siguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresión de la línea de influencia para un esfuerzo axial :
siendo: Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la dirección de las dos componentes del esfuerzo erzo axial: Deformación en I en la dirección de la carga unitaria móvil: Generalización:
En ninguna de las deducciones anteriores se ha empleado la suposición inicial de que la trayectoria es recta, ni que la carga móvil tiene dirección y sentido fijos, como se habíansupuesto inicialmente. Por lo tanto todo lo deducido hasta ahora es válido sea cual sea lantrayectoria en la que se mueve la carga, y sea cual sea su dirección y sentido. Las expresiones de las líneas de influencia obtenidas son por lo tanto válidas para cualquier trayectoria, incluso curva, así como para fuerzas de orientación cambiante. Las expresiones anteriores son también válidas cuando la carga móvil no es una fuerza sino un momento unitario. En este caso la deformación se debe considerar como el giro según la dirección del momento móvil Las expresiones del denominador son las mismas. Todas las deducciones anteriores pueden englobarse en una descripción más general del teorema de MullerBreslau: si se aplica en la dirección del esfuerzo cuya línea de influencia se busca, una fuerza tal que la deformación en dicha dirección valga la unidad , ocurre que:
La deformada de la estructura que se obtiene, cambiada de signo, representa todas las líneas de influencia de dicho esfuerzo para cargas aplicadas en cualquier punto y dirección. Si se toma un punto cualquiera (el punto I), y se determina su posición deformada, la proyección de esta deformación sobre una dirección cualquiera es el valor de la línea de influencia para una carga unitaria que actúa según dicha dirección. Ejemplo 1:
Calcular la línea de influencia de la reacción en el apoyo B en una viga empotrada apoyada, recorrida por una carga unitaria
Empleando el principio de Muller-Breslau, se elimina el apoyo B y se aplica una fuerza de valor unidad en la dirección de la reacción buscada, que se ha supuesto hacia arriba. Con esto la viga se transforma en un voladizo cargado con una fuerza unitaria en su extremo. El valor de la reacción viene dado por la ecuación
El numerador de esta expresión corresponde a la curva deformada elástica del voladizo cargado con la fuerza unidad en su extremo, en dirección hacia arriba, y el denominador es la deformación de dicho voladizo en su extremo .Se debe por lo tanto resolver un problema isostático de cálculo de deformaciones. Lo más sencillo en este caso es integrar directamente la ecuación de la elástica.
El valor del momento flector en el voladizo es: M L x Por lo tanto la ecuación diferencial de la curva deformada elástica es: M EIv L x EIv
que integrada es:
Las condiciones de contorno son: v( x0)0 B0 v( x0)0 A0 Por lo tanto la deformada de la viga, que es directamente la expresión del numerador de la línea de influencia, es:
La deformación en el extremo de la viga es:
Por lo tanto la línea de influencia buscada es:
Nótese que es toda ella negativa, debido a que se ha supuesto que la reacción es hacia arriba, cuando en realidad es hacia abajo para cualquier posición de la carga
Ejemplo2:
Calcular la línea de influencia del momento flector en el apoyo B en una viga de dos vanos, apoyada en sus dos extremos y recorrida por una carga unitaria, como se indica en la figura
Empleando el principio de Müller-Breslau, se articula el punto B y se aplica un momento flector de valor unidad en él. Con esto la viga se transforma en dos vigas independientes, cada una apoyada en sus dos extremos, que comparten el apoyo B y están cargadas cada una con un momento unitario en su extremo
El valor de la línea de influencia buscada es:
El numerador de esta expresión corresponde a la deformada elástica de las dos vigas biapoyadas cargadas con el momento unidad, en la dirección de la carga, es decir hacia abajo. El denominador es el giro relativo entre las dos vigas en el punto B. El comportamiento de las dos vigas es simétrico por lo que basta con calcular una de ellas. Se debe por lo tanto resolver un problema de cálculo de deformaciones en una viga biapoyada con un momento en uno de los apoyos .Lo más ventajoso en este caso es integrar directamente la ecuación de la elástica.
El valor del momento flector en la viga AB es: : M x/ L Por lo tanto la ecuación diferencial de la curva deformada elástica es:
que integrada es:
Las condiciones de contorno son: v( x0)0 B0 v( x L)0 A L/6 Por lo tanto la deformada de la viga, que coincide con la expresión del numerador de la línea de influencia, cambiada de signo, es:
El giro en el extremo B de la viga es:
El giro por la derecha del apoyo B es igual al giro por la izquierda, por simetría:
Por lo tanto la línea de influencia buscada
Esta expresión es válida solamente cuando la carga está situada en el vano AB, es decir para 0< x< L. Cuando la carga está en el vano BC, la línea de influencia es la simétrica de la anterior .Nótese que el momento flector en B es siempre negativo para cualquier posición de la carga en la viga.
La posición de la carga que produce el máximo del momento flector en B se obtiene derivando la expresión anterior e igualando a cero:
El valor del momento máximo es:
Ejemplo 3
Calcular la línea de influencia del esfuerzo cortante en el punto D, centro del vano AB, en una viga de dos vanos iguales, apoyada en sus dos extremos y recorrida por una carga unitaria en dirección vertical hacia arriba, como se indica en la figura
Empleando el principio de Müller-Breslau, se coloca una deslizadera vertical en el punto D y se aplica un esfuerzo cortante de valor unidad en ella. Con esto se obtiene la viga de la figura
El valor de la línea de influencia buscada es:
El numerador de esta expresión corresponde a la deformación de la viga cargada con el cortante unidad en D, medida en la dirección de la carga móvil, es decir hacia arriba. El denominador es la flecha relativa entre las dos caras de la deslizadera, en el punto D. La viga resultante es isostática, por lo que su diagrama de momentos flectores se puede calcular con sencillez aislando los distintos vanos de la viga, y se muestra en la figura
La viga conjugada de la viga original se muestra en la figura 10.32. Se trata de una viga apoyada en sus extremos A y C y articulada en B, y sometida a una carga distribuida triangular orientada hacia arriba, como corresponde al diagrama de momentos flectores de la viga original, que es todo él negativo.
Al conjugar la deslizadera en D se obtiene un punto en el que hay un momento exterior aplicado, de valor en principio desconocido M D. Por otra parte se observa que la viga conjugada es inestable al ser una viga apoyada en sus extremos, con una articulación situada en su centro. En realidad el momento situado en D debe tener un valor tal que la viga conjugada esté en equilibrio de fuerzas bajo la acción de la fuerza distribuida (originada porel momento flector de la viga original) y el propio momento aplicado en D.
El valor del momento aplicado en D y de las dos reacciones en A y C se pueden calcular empleando las ecuaciones de equilibrio de la viga conjugada. Tomando momentos respecto de B del tramo BC se obtiene la reacción en C:
Tomando momentos respecto de A en toda la viga ABC se obtiene el valor del momento en D:
Finalmente , el equilibrio vertical de toda la viga permite hallar la reacción en A:
Conociendo las reacciones es sencillo calcular el diagrama de flectores de la viga conjugada, que tiene expresiones distintas en cada tramo de la misma. Tramo AD
El valor de la carga distribuida en este tramo es: El momento flector conjugado en un punto situado a una distancia x del nudo A vale:
Tramo DB
La carga distribuida tiene la misma expresión que en el tramo AD, y el valor del momento flector conjugado en este tramo es:
donde se sigue empleando la coordenada x con origen en el punto A
. Tramo BC
El valor de la carga distribuida en este tramo es: Donde se ha empleado una coordenada x medida desde el punto B. El momento flector conjugado vale:
Los momentos conjugados por la izquierda y por la derecha de D son:
La expresión de la línea de influencia buscada se puede poner en función de las magnitudes de la viga conjugada como:
En esta expresión se han ajustado los signos en función de los distintos criterios de signos. Sustituyendo los valores del denominador se obtiene:
Dado que M* tiene expresiones distintas para cada tramo de la viga, la línea de influencia también tiene expresiones distintas para cada tramo en el que se mueve la carga. Éstas son:
Las funciones que definen la línea de influencia en AD y DB no tienen ningún máximo en sus respectivos campos de validez, como puede comprobarse igualando a cero su derivada. El valor máximo del cortante se corresponde con los valores en los extremos y se produce cuando la carga móvil está en el mismo punto D. En esta posición se produce una discontinuidad del cortante, que pasa de valer -0.594 cuando la fuerza está a la izquierda de D a valer +0.406 cuando está a la derecha de D.
Ejemplo 4
Calcular la línea de influencia del esfuerzo cortante en el punto D, centro del vano AB, en una viga de dos vanos iguales, empotrada en sus dosnextremos y recorrida por una carga unitaria en dirección vertical hacia arriba, como se indica en la figura
Empleando el principio de Muller-Breslau, se coloca una deslizadera vertical en el punto D y se aplica un esfuerzo cortante de valor unidad en ella. Con esto se obtiene la viga de la figura
El valor de la línea de influencia buscada es:
El numerador de esta expresión corresponde a la deformación de la viga cargada con el cortante unitario en D, medida en la dirección de la carga móvil, es decir hacia arriba. El denominador es la flecha relativa entre las dos caras de la deslizadera, en el punto D. La viga resultante es hiperestática de grado h=2. Para calcular su deformada se emplea el método de flexibilidad, por lo que es necesario previamente calcular su diagrama de momentos flectores. Éste es lineal entre los tres valores en los apoyos, denominados M A, M B y M C
Para su determinación se imponen dos condiciones de compatibilidad geométrica: Giro relativo nulo entre los apoyos A y C. Según el primer teorema de Mohr el área del diagrama M/EI entre A y C debe ser nulo.
La flecha del punto B respecto a la tangente en C es nula. Según el segundo teorema de Mohr, el momento estático respecto de B del diagrama M/EI entre A y C es nulo.
Es necesario obtener una ecuación más, pero ésta no se puede obtener con facilidad de los teoremas de Mohr. Considerando que el tramo AB está sometido todo él a un esfuerzo cortante de valor unidad , se aísla dicho tramo AB y se toman momentos respecto de A, con lo que se obtiene:
Resolviendo las tres ecuaciones anteriores se obtiene:
El diagrama de momentos flectores se muestra en la figura
Su expresión analítica es:
El numerador de la línea de influencia coincide con la deformada de la viga, y se calcula por tramos. Para ello se considera un punto genérico I situado a lo largo de la viga y se calcula su deformación vertical. Tramo AD
Se define un caso isotático virtual, cargado con una fuerza virtual unitaria en dirección vertical y hacia arriba en el punto I donde se halla la carga móvil. Para este caso isostático virtual se adoptan como incógnitas hiperestáticas el momento en el punto D y la reacción en B, con lo que la estructura queda reducida a dos voladizos independientes AD y DC
El diagrama de momento flector en el caso isostático virtual es:
La deformación del punto I es:
Tramo DB
Se adoptan ahora como incógnitas hiperestáticas para el caso isostático virtual, los momentos en los puntos B y C, con lo que la estructura queda reducida a dos vigas independientes AB y BC
El diagrama de momento flector en el caso isostático virtual es:
La deformación del punto I es:
Tramo BC
Se adoptan ahora como incógnitas hiperestáticas para el caso isostático virtual, el momento flector y el cortante por la derecha en el punto B, con lo que la estructura queda reducida a una viga empotrada - apoyada AB y un voladizo BC.
El diagrama de momento flector en el caso isostático virtual es: La deformación del punto I es:
El denominador de la línea de influencia es la suma de las deformaciones en la dirección de las dos fuerzas unitarias aplicadas, y su expresión es:
donde M V es la distribución de momentos flectores debida a dos fuerzas virtuales unitarias en la dirección de las dos deformaciones buscadas. Estas fuerzas virtuales unitarias coinciden con la situación real de cargas, por lo tanto M V coincide con M .
La expresión analítica de la línea de influencia buscada es:
La figura muestra el aspecto de la línea de influencia. Las funciones que definen la línea de influencia en AD y DB no tienen ningún máximo en sus respectivos campos de validez, como puede comprobarse igualando a cero su derivada. El valor máximo del cortante se corresponde con los valores en los extremos y se produce cuando la carga móvil está en el mismo punto D. En este momento se produce una discontinuidad del cortante, que pasa de valer -0.406 cuando la fuerza está a la izquierda de D a valer +0.594 cuando la carga está a la derecha de D.
Cuando la carga recorre el vano BC se produce un máximo del cortante para una posición de la carga que se obtiene derivando la expresión de Q BC e igualando a cero. La posición de la carga que hace máximo el cortante y el valor del cortante asociado resultan ser: Este valor es inferior a los otros valores máximos.
UNIVERSIDAD CATOLICA BOLIVIANA SAN PABLO COCHABAMBA – BOLIVIA
Estructuras hiperestáticas II
Nombre: Diego Quiroga Moreno Ci: 6464480 Docente: Ing. Fernando Cabrerizo T I
Semestre 1- 2009
