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Cuando se diseña un mecanismo para que realice una determinada tarea, se suelen elegir los siguientes pasos: Primero se realiza un diseño conceptual, en el que se escoge el tipo de maquina o mecanismo que se va a utilizar (barras articuladas, sistema de levas, tren de engranajes, transmisión por correa, o cualquier combinación de los anteriores). Decidida la forma general de la maquina se realiza un análisis cinemático, cinemático, con el fin de determinar si los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son los adecuados para la tarea que ha de realizar. La síntesis o diseño cinemático cinemático esta relacionada con el análisis cinemático recién visto, y consiste en determinar las dimensiones del mecanismo que realiza de forma optima la tarea para la que se ha diseñado. Finalmente, antes de dibujar los planos y mandar a construir el mecanismo, es necesario realizar un análisis resistente de las piezas que lo componen. Si el mecanismo funciona a velocidades bajas, las fuerzas de inercia son despreciables frente al resto de las fuerzas actuantes, entonces suele ser suficiente con un análisis estático, estático, que determina las reacciones en los apoyos mediante las ecuaciones de la estática. A partir de estas reacciones, la Resistencia de Materiales permite dimensionar adecuadamen adecuadamente te la sección de los elementos y las dimensiones de los apoyos. Si la maquina funciona a altas velocidades, el análisis estático no es suficiente puesto que las fuerzas de inercia modifican significativamente las reacciones en los apoyos, entonces es necesario llevar a cabo un análisis dinámico dinámico que, teniendo en cuenta las fuerzas de inercia, realiza el equilibrio dinámico del sistema y calcula las reacciones en los apoyos de forma exacta. 2
Terminología de los Mecanismos Una maquina maquina es es una combinación de cuerpos dispuestos de tal forma que producen un trabajo. El concepto de maquina connota la capacidad para transmitir niveles de fuerza considerables como ocurren por ejemplo, con el motor de un aut omóvil. Cuando la fuerza que se transmite es pequeña, la principal función del dispositivo es transmitir o modificar el movimiento; entonces en lugar de hablar de maquinas se suele hablar de mecanismos mecanismos,, como ocurre en un reloj.
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Los mecanismos están compuestos por elementos elementos.. Todos Todos los elementos de un mecanismo tienen la posibilidad de movimiento excepto uno, denominado elemento fijo. fijo. Los elementos están compuestos por partículas part ículas materiales que se desplazan relativamente unas respecto de otras cuando el elemento se encuentra bajo la acción de fuerzas exteriores. Sin embargo, estos desplazamientos son, en general, tan pequeños, que no se comete un error apreciable por despreciarlos, por lo que se considera que los elementos son sólidos rígidos. rígidos.
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Los elementos se clasifican en función del numero de conexiones que tengan con otros elementos: Binarios Ternarios Cuaternarios, etc.
Las uniones entre elementos se denominan pares cinemáticos. Los pares cinemáticos permiten algunos movimientos relativos entre elementos e impiden otros. Por ejemplo, la bisagra de una puerta es un par cinemático que permite la rotación de la puerta respecto al eje vertical e impide los demás movimientos. Los pares cinemáticos también se clasifican en binarios, ternarios, cuaternarios, etc, en función del numero de elementos que confluyan en el par. En un par binario confluyen dos elementos en el mismo par.
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Se denomina cadena cinemática a un conjunto de varios elementos móviles unidos mediante pares cinemáticos. Por definición, en una cadena cinemática no existe elemento fijo. La cadena cinemática es una generalización del concepto de mecanismo, de manera que un mecanismo se puede definir como una cadena cinemática en la que uno cualquiera de sus elementos se ha hecho fijo. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas.(figuras 1 y2)
Fig.1 Cadena Cinemática abierta
Fig.2 Cadena Cinemática cerrada
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Algunas representaciones cinemáticas de los mecanismos
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Se denomina movilidad (M) de una cadena cinemática al número de parámetros que es necesario utilizar para definir completamente su posición. Un concepto análogo a este, pero referido a los mecanismos, es el número de grados de libertad (G). Por ejemplo, la movilidad de la cadena cinemática de cuatro barras articuladas, mostrada en la figura 3, es M=4. Fijando uno de sus elementos, se obtiene el cuadrilátero articulado (figura 4) que tiene G=1.
Fig.3 Cadena Cinemática de cuatro barras
Fig.4 Cuadrilátero articulado
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La acción de fijar un elemento equivale a restarle 3 grados de libertad a la movilidad de la cadena (recuérdese que un elemento tiene tres grados de libertad en el plano y seis en el espacio). Esta relación: G=M-3 Entre el numero de grados de libertad de un mecanismo y movilidad de su cadena cinemática, es general pues el mecanismo siempre se obtiene fijando uno de los elementos de la cadena. En el caso espacial: G=M-6
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De una misma cadena cinemática pueden obtenerse distintos mecanismos, fijando cada elemento que la compone. Se denominan inversiones a cada uno de los mecanismos que se obtienen de una misma cadena cinemática. Se llama número de inversiones de una cadena al numero de mecanismos estructuralmente distintos que se pueden obtener de un mismo mecanismo.
Las inversiones del mecanismo pistón-biela-manivela
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La cadena cinemática de cuatro barras mostrad en la figura 3 tiene una única inversión, ya que cualquiera que sea la barra que se fije, el mecanismo resultante es un cuadrilátero articulado.
Fig.3 Cadena Cinemática de cuatro barras
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Son especialmente importantes, por la cantidad de mecanismos prácticos a los que dan lugar, las cadenas cinemáticas de Stephenson y Watt, mostradas en la figura 5 y 6, respectivamente. Ambas cadenas cinemáticas tienen movilidad M=4.
Fig.5 Cadena de Stephenson
Fig.6 Cadena de Watt
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La cadena de Stephenson da origen a tres inversiones distintas: la primera de ellas se obtiene fijando los elementos 1 ó 2 (figura 7a), la segunda fijando los elementos 4 ó 6 (figura b), y la tercera fijando los elementos 3 ó 5 (figura c).
Fig.7a Inversiones de la cadena de Stephenson
Fig.7b
Fig.7c 14
Por su parte la cadena de Watt da origen a dos inversiones distintas: la primera, mostrada en la figura 8a, se obtiene fijando los elementos 1,2,5 ó 6; la segunda, mostrada en la figura 8b, resulta de fijar los elementos 3 ó 4.
Fig.8a Inversiones de la Cadena de Watt
Fig.8b 15
Clasificación de los Elementos y Pares Con respecto a su movimiento, un elemento se denomina manivela si da vueltas completas respecto a un eje fijo. Balancín si oscila respecto de un eje fijo, y biela si tiene un movimiento general.
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Corredera: Eslabón que posee un movimiento de traslación a lo largo de un elemento fijo
Collarín:Eslabón que se desliza a lo largo de un elemento móvil.
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Los pares cinemáticos se denominan de clase I, II, III, etc., en función del numero de grados de libertad que permitan en el movimiento relativo entre los dos elementos que une. Un par de clase I permite un solo grado de libertad, un par de clase II permite dos grados de libertad, etc.
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La figura 9 muestra algunos de los pares mas comunes:
Fig.9 Clasificación de Pares
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Ley de Grashoff La ley de Grashof afirma que, para un mecanismo de cuatro barras, la suma de las longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea que exista una rotación relativa continua entre dos elementos. El cuadrilátero articulado es uno de los mecanismos mas utilizados, este tiene tres comportamientos cinemáticas posibles: doble manivela, manivela-balancín y doble balancín.
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En un cuadrilátero articulado de doble manivela, las dos barras articuladas al elemento fijo se comportan como manivelas, es decir dan revoluciones completas.
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En uno de manivela-balancín, uno de los elementos da revoluciones completas mientras el otro oscila entre dos posiciones extremas.
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En un cuadrilátero de doble balancín, los dos elementos oscilan entre posiciones extremas.
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Sean a, b, c, d las cuatro longitudes de los elementos de una cadena cinemática de cuatro barras, ordenadas de tal manera que a
Fig.10a Configuración I
Fig.10b Configuración II
Fig.10c Configuración III
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Con objeto de estudiar las condiciones geométricas que se deben dar para que una barra sea manivela o balancín, es necesario determinar cuando una barra puede dar vueltas completas con respecto a la otra. Primero se probara que si una barra es capaz de dar vueltas completas con respecto a otra en una de las tres configuraciones, también puede dar vueltas completas en las otras dos. Supongamos que la barra a puede dar vueltas completas con respecto a la b en la configuración en la figura 11a . A partir de este cuadrilátero se construye el de la figura 11b, cambiando el orden de las barras a y b. Se puede ver que las barras a y b de los cuadriláteros de las figuras 11a y 11b son paralelas siempre que las barras c y d también lo sean. Por tanto, si las barra c gira con respecto a la d la misma cantidad en los dos cuadriláteros, ambos mantendrán sus barras a y b paralelas.
Fig.11a Configuración I
Fig.11b Configuración III 25
La conclusión que de aquí se deduce es que si en el movimiento del cuadrilátero de la figura 11a las barras a y b dan vueltas completas una con respecto a la otra, también darán vueltas completas en el cuadrilátero de la figura 11b, puesto que ambas se mantienen paralelas a las anteriores en todo momento. Esto prueba que si la barra a da vueltas completas con respecto a la b en la configuración I, también lo hace en la configuración III. Este razonamiento puede extenderse para demostrar la misma propiedad con la configuración II, es decir, basta con estudiar una cualquiera de las tres configuraciones, pues los resultados son automáticamente validos también para las otras dos.
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Para que la barra a pueda dar vueltas completas con respecto a la d en el cuadrilátero de la figura 11a, es necesario que se puedan alcanzar las dos posiciones extremas mostradas en la figura 12, en las que las dos barras a y d se encuentran alineadas.
Fig.12a Posiciones limite
De la figura 12a se puede escribir la siguiente ecuación b+c>a+d
Fig.12b
ec (3)
Y de la figura 12b : d-a>c-b
ec (4)
La ecuación (3) representa la propiedad de un triangulo que establece que la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la del tercero. La ecuación (4), por su parte, expresa la propiedad que establece que la diferencia de las longitudes de dos lados es menor que la del tercero. La ecuación (4) se puede escribir también en forma de sumas como: b+d>a+c
ec (5)
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Tabla 1: Tabla de desigualdades de Grashoff
Las desigualdades (3) y (5) se han obtenido estudiando la condición de que la barra a de vueltas completas con respecto a la d . Un razonamiento análogo se puede seguir con el resto de las combinaciones entre barras, para obtener fácilmente la tabla de desigualdades 1.
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En la tabla aparecen cuatro tipos de desigualdades diferentes, catalogadas con las letras g, i, a, y ng. Las desigualdades tipo (a) son las que se cumplen automáticamente, por ejemplo, que la suma de las dos barras mas largas es mayor que la de las dos barras mas cortas. Las desigualdades tipo (i) son imposibles, como que la suma de las dos barras mas cortas es mayor que la de las dos barras mas largas. Las desigualdades tipo (g) y (ng), una opuesta de la otra, que pueden cumplirse o no. A la desigualdad (g) se le conoce con el nombre de desigualdad de Grashoff .
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De la tabla se pueden sacar las siguientes conclusiones: 1. La única barra que puede dar vueltas completas con respecto a las demás es la pequeña. Para comprobarlo, basta con ver que cuando la barra a no aparece en la primera columna siempre se da una conclusión imposible. 2. Si la barra pequeña puede dar vueltas completas con respecto de otra barra, t ambién da vueltas completas con respecto a todas las demás. En efecto, para que la barra a pueda dar vueltas completas es necesario que satisfaga la desigualdad de Grashoff y, entonces se satisfacen todas las condiciones para que a dé vueltas completas con respecto a, b, c y d. Si se satisface la desigualdad de Grashoff el movimiento del cuadrilátero es de Doble manivela (figura 13a) si el elemento a es el fijo (entonces las dos barras contiguas al fijo dan vueltas completas, por lo que son manivelas). Manivela –balancín (figura 13b) si el elemento a es contiguo al fijo. Doble balancín (figura 13c) si el elemento a es opuesto al fijo. 3. Si no se cumple la desigualdad de Grashoff el cuadrilátero es de doble balancín.
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Fig.13a Doble manivela
Fig.13b Manivela-balancín
Fig.13c Doble balancín
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En el caso limite, en que se satisface la igualdad b+c=a+d, corresponde a un cuadrilátero que pasa por posiciones singulares. La figura 14 muestra el cuadrilátero en una posición singular, cuando las cuatro barras se encuentran alineadas.
Fig.14 Posición singular con dos posibles caminos
En esta posición, el cuadrilátero no tiene un grado de libertad como seria normal, si no dos grados de libertad instantáneos. Por ello, los extremos de las barras a y c pueden ir hacia arriba o hacia abajo independientemente el uno del otro. En esta situación limite el comportamiento del mecanismo es, al menos teóricamente, el mismo que tendría el cuadrilátero si se satisficiera la le de Grashoff.
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Criterio de Gr ϋbler El criterio de Gr ϋbler sirve para determinar el numero de grados de libertad de un mecanismo a partir del numero de elementos y pares que lo componen. Aunque este criterio es de mucha utilidad, en su aplicación practica hay que tener presente que no esta exento de excepciones, por lo que es necesario tener precaución con sus resultados.
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Criterio de Gr ϋbler en el Plano Un conjunto de N elementos libres (sin pares) tiene 3N grados de libertad en el plano, pues cada elemento libre tiene 3 grados de libertad. Al fijar un elemento quedan 3(N-1) grados de libertad, correspondiente a los N-1 elementos móviles que quedan. Para formar un mecanismo, unimos los elementos mediante pares cinemáticos. Cada nuevo par cinemático con el que se une dos elementos restringe posibilidades de movimiento a los elementos, por ejemplo: Un par de clase I restringe dos grados de libertad, pues permite un único movimiento . Análogamente, un par de clase II restringe un grado de libertad, pues permite dos movimientos. Por lo tanto, el numero de grados de libertad G se obtiene restando los grados de libertad que restringen los pares a los 3(N-1) grados de libertad que tenían los elementos flotantes, es decir: (6) Donde pI y pII son los números de pares de clase I y II, respectivamente.
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A continuación se muestra algunos ejemplos que muestran el uso y las limitaciones del criterio de Gr ϋbler:
Ejemplo 1 El cuadrilátero articulado de la figura 15 tiene N=4 y pI=4, luego el numero de grados de libertad es:
Fig.15
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Ejemplo 2 Si al acoplador del ejemplo anterior se le da f orma triangular y se añade una barra adicional articulada al elemento fijo, como se muestra en la figura 16, se tiene N=5 y pI=6, luego:
Es decir, no se trata de un mecanismo, sino de una estructura sin capacidad de movimiento.
Fig.16
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Ejemplo 3 En el cuadrilátero de la figura 17 se tiene N=4, pI=3 y pII=1, luego:
Fig.17
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Ejemplo 4 En un mecanismo como el de la figura 18, proveniente de la cadena cinemática de Watt, se tiene N=6, pI=7, luego:
Fig.18
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Ejemplo 5 En el mecanismo de la figura 19 tenemos N=6 y pI=7, por lo que
En este mecanismo hay que tener en cuenta que un par ternario debe ser considerado como dos pares binarios, ya que una articulación en la que confluyen tr es barras es equivalente a dos articulaciones con dos barras cada una, según se indica en la figura 19
Fig.19 Un par ternario equivalente a dos binarios. 39
A continuación dos ejemplos que muestran limitaciones del criterio de Gr ϋbler
Ejemplo 6 En el mecanismo de la figura 20, se tiene N=5 y pI=6, por lo que
A pesar de que el resultado indica que el mecanismo no se debería mover, es evidente que se moverá, pues en realidad se trata de un sólo cuadrilátero con barras redundantes. El fallo del criterio de Gr ϋbler se debe a que este sólo tiene en cuenta las características estructurales (numero de elementos y de pares) del mecanismo, pero no contempla sus dimensiones y características geométricas.
Este mecanismo es estructuralmente idéntico al de la figura 16 que, es una estructura. Sin embargo, debido a su geometría particular, con tres barras paralelas y sus orígenes alineados, es mecanismo se mueve.
Fig.20 Fallo del criterio de Gr ϋbler por configuración especial de una estructura
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Ejemplo 7 Otra limitación del criterio de Gr ϋbler se ve en la figura 21. En ella el recuento, de elementos y pares da como resultado N=9 y pI=12, por lo que
Sin embargo, se aprecia que la parte derecha del mecanismo es un cuadrilátero articulado que tiene un grado de libertad. La causa del fallo del criterio de Gr ϋbler hay que buscarla aquí en que una parte del mecanismo constituye una estructura hiperestática de grado 1, sin posibilidad movimiento, mientras que la otra es un mecanismo. Como el criterio de Gr ϋbler aplica la formula a su conjunto en lugar de a cada parte, las conclusiones que se sacan son falsas. El lector puede deducir fácilmente que si se aplica el criterio de Grubler independientemente a la parte de la izquierda y de la derecha se obtiene G=-1 para la izquierda y G=1 para la derecha, lo que es correcto.
Fig.21 Fallo del criterio de Gr ϋbler por aplicación global a sistemas independientes.
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Criterio de Gr ϋbler en el Espacio En el caso tridimensional el criterio de Gr ϋbler adopta una forma similar a la del plano, que en este caso es:
Algunos ejemplos:
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Ejemplo 1 La figura 22 muestra un mecanismo RSCR, denominado así por los tipos de par que posee: revolución (Revolute), esférico (Spherical), cilíndrico (Cylindrical) y revolución. En este caso, el recuento da N=4, pI=2 (los dos pares de revolución), pII=1 (el par cilíndrico) y pIII=1 (el par esférico). Aplicando la formula se obtiene:
Fig.22 Mecanismo RSCR 43
En el caso tridimensional los errores del criterio de Gr ϋbler son mucho mas numerosos, pues se multiplican los casos de configuraciones especiales.
Ejemplo 2 En el cuadrilátero articulado plano cuando se considera como tridimensional es un error del criterio de Gr ϋbler. En efecto, tal como se ven en la figura 23, en el cuadrilátero se tiene N=4 y pI=4, por lo que:
El error se debe, en este caso, a que el cuadrilátero articulado plano es una configuración geométrica especial dentro de una familia de mecanismos que no se pueden mover. De echo, cuando los cuatro ejes dejan de estar alineados el mecanismo deja de tener movilidad y se convierte en una estructura.
Fig.23 Cuadrilátero articulado plano considerado como un mecanismo tridimensional: el criterio establece G=-2.
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