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ANÁLISIS MATEMÁ
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Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
ANÁLISIS MATEMÀTICO I 2011- I FUNCIONES I.
PROD PRODU UCTO CTO CART CARTES ESIA IANO NO Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como: A × B
=
{ (
x ,y ) /x ∈ A
∧
x∈ B
}
Ejemplo 1 Dado los conjuntos: A = {0; 1; 2} y B = {2; 4} , hallar: A × B
Solución: A × B
= {(0,2); (0,4); ((1,2); (1,4); (2,2); (2,4)}
Ejemplo 2 Dado el conjunto: A = {
4; 3; − 1 }
hallar: A × A
Solución: A × A = {
( 4, 4, 4 ); ); ( 4, 4, 3) 3); ( 4, 4, −1); ( 3, 4 ); ); ( 3, 3, 3) 3); (3 ( 3, −1); ( −1, 4 ); ); ( − 1, 3) 3); (− 1, − 1) }
Propiedad A × B ≠ B × A
II. RELACIONES
Sean los conjuntos A y B entonces entonces se define define la RELACIÓN como un subc del producto cartesiano:
Simbólicamente “ R es una relación de A en B si y sólo si Observación Si A × B tiene
R ⊂ A × B
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n elementos entonces existen 2 n relaciones de A en B
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Ejercicios 1 Sheet Music
1. Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, el cuadrante al que pertenece cada punto. a) (− 2,6) b)
( 0, −3)
(1,− 1)
(5,7)
( 2, −1)
(6,− 3)
(3,5)
( −4,6 )
2. Si A = {−1; 0;1; 2} y B = {− 2; 0; −1;1} . Hallar las relaciones siguientes: a) R1
={
( x , y ) ∈ A × B / x . y es un número par }
b) R 2 = { ( x , y ) ∈ A × B / x + y = 0 } c) R 3
={
( x, y) ∈ A × B / x − y ≥ 2 }
3. Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cu Fundamenta tus respuestas. a) A cada número real se le asocia su doble. b) La nota 16 y los alumnos de un salón. c) Un libro de Matemática y su número de páginas. You're Reading a Preview
Unlock full access with a free trial. d) El número de latidos del corazón de una persona y las personas a las que tomo las medidas. Download With Free Trial 4. Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenado función.
a) {( 2;−3), (3;4), ( −3;1), ( 4;5)} b) {(1;2), (5;2), (3; a ), ( a;−2), ( a ,5)}
c) ( −2;1), ( 6;−2); (3; 16 ), ( 4;
1 , (2;1), 4 ;2 , (a 1;3 d)Sign up3to+vote on this title 3
5
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Si f es una función determinar a b dominio y rango
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6. ¿Cuál de los siguientes diagramas representan una función? Sheet Music
a)
B
A
b)
B
A
•
•
•
•
•
•
•
•
•
7. De los siguientes gráficos: determinar cuales son funciones.
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Sign up to representada vote on this title en los 8. Hallar el dominio y el rango de cada función Siguientes: Useful Not useful
a)
b)
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c)
d)
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Ejercicios 2 1. Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, el cuadrante al que pertenece cada punto. a) (1,− 8) b)
( − 2,0)
( 0,0 )
(0,− 11)
(3, −3 )
( − 2,9)
( 4,−5 )
( −1,−6 )
2. Si A = {−1; 0;1; 2} y B = {− 2; 0; −1;1} . Hallar las relaciones siguientes: You're Reading a Preview
{ ( x, y) ∈ A × B / xy = −1} Unlock full access with a free trial. b) R2 = { ( x, y ) ∈ A × B / xy es un número impar } = 0} c) R3 = { ( x, y) ∈ A × B / x − yDownload With Free Trial d) R4 = { ( x, y ) ∈ A × B / x + y ≤ 1} a) R1
=
3. Si A = {
−
2; 0; 1; 3 } , hallar las relaciones siguientes:
a)
R1 = { ( x, y ) ∈ A × A / x = y}
b)
R2 = { ( x, y ) ∈ A × A / 2 x ≥ y}
c)
R3
x = ( x, y ) ∈ A × A / = 1 y
d)
R4 = { ( x, y ) ∈ A × A / x ≤ y}
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5. Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenado función. a) {(1;2), ( 2;2), (3;3)}
d)
b) {(1;1), ( 2;7), (1;4), ( −2;7 )} c) 6 (0;2), ( −1;3), (0; ), ( −1;2), (1,−6) 3
( −3;0), (0;0), ( 2; 3
−8 ), (5;3
e) (3;2), ( −3 2 ;7), ( −1;2 2 ), ( 0;2
6. Si f es una función determinar a, b dominio y rango e) f
= {(3;4), (7;8), (3; b), (7; a )}
f)
f
= {(a; a + b), (a;14), (b; b − a), (b;4)}
g) f
= {(1; a + b), (−3;2), (1;5 − a ), (1,6)}
h) f = (1;27), (7;2), ( 2;4 2 a +b ), (1,3 a −b ), ( 2;16)} You're Reading a Preview 6. ¿Cuál de los siguientes diagramas representan una función? Unlock full access with a free trial.
a)
A
b) B A Download With Free Trial
B
.
•
9. De los siguientes gráficos: determinar cuales corresponden a la gráfica de una fu Sign up to vote on this title
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10. Hallar el dominio y el rango de cada función representada en los Siguientes: c)
d)
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e)
f) 8
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FUNCIONES ESPECIALES Sheet Music
Funciones especiales 1.
Función constante. f ( x) = c , donde c es una constante, Dom( f ) = ℜ, Ran( f ) = { c }
2.
Función identidad f ( x) = x, Dom( f ) = ℜ, Ran( f ) = R
3.
Función lineal f ( x)
4.
= ax + b, con
a ≠ 0 , Dom( f )
= ℜ, Ran( f ) = R
Función cuadrática f ( x) = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0 , Dom( f )
5.
Función polinomial f ( x )
6.
= ℜ.
= p( x),
donde p ( x ) es un polinomio, Dom( f ) = ℜ
Función Racional f ( x)
=
p( x) q ( x)
, donde p( x) y q( x) son funciones polinomiales.
Dom( f ) = ℜ − { x / q ( x) = 0}
7.
Función radical f ( x)
=
n
p( x) , si
You're Reading a Preview full access with a free trial. n esUnlock par, Dom( f ) : p ( x) ≥ 0
8.
Función máximo entero Download With Free Trial f ( x ) =[ x ] , donde [ x ] = n ⇔ n ≤ x ≤ n +1, n ∈ Z
9.
Función signo
x , x ≠ 0 f ( x) = sig ( x ) , donde sig ( x) = , x 0 , x = 0 10.
Función por partes o tramos
( )
Dom( f )
= ℜ,
Ran( f )
= { −1,0,1}
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f ( x )
=
x , si x ≥ 0 , donde x = , Dom( f ) = ℜ − x, si x < 0
x
Criterio para determinar el dominio y rango de una función
Para determinar el dominio de una función, se consideran todos los valores de tal manera que la función exista en los reales. Para determinar el rango se despeja x , y se analiza los valores qu considerarse para y de tal manera que la expresión exista.
Ejemplo Hallar el dominio de las siguientes funciones: 6 − 3 x − 3 4 − x 2. f ( x) = 1. f ( x) = 2 3 + 4 x x − x
4 − x
≥0
2
x
−
x≠0
x( x −1)
6 − 3x ≥ 0
≠0 You're a Preview2 ≥ x ≠1 x ≠ 0 xReading
4 ≥ x
∧
3 + 4x x > −
Unlock full access with a free trial.
3 4
−
4
2
Download With Free Trial
∴ Dom( f ) = ]− ∞,4] −{0,1}
∴ Dom( f ) = − 3 ,2 4
Operaciones con funciones 1.
Suma de funciones ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ,
2.
Sign up to vote on this title Dom( f + g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) Useful Not useful
Diferencia de funciones (
)( )
( )
( )
( )
( )
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( g
f ) ( x) = g ( f ( x) ) ,
Dom( g f ) = { x ∈ Dom( f ) ∧ f ( x ) ∈ Dom( g )}
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Observación Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de nuevas funciones sea distinto de vacío.
Ejemplos 1. Si
f ( x ) = 1 − x
Solución Como Dom( f ) Dom( f + g )
y g ( x ) = x + 2,
= ]− ∞,1]
= ]− ∞,1] ,
hallar ( f + g )( x) y
f ( x) g
y Dom( g ) = ℜ, entonces:
f Dom g = ]− ∞,1] − {− 2}
Luego: ( f + g ) ( x) = f ( x) + g ( x) = 1 − x + x + 2
f f ( x) 1 − x ( x) = = g ( x) x + 2 g 2. Si f ( x) =2 − x , ( g f )( x) Solución
x ∈[3,7] y g ( x )
x
=
. Hallar ( f g )( x)
4 , x ∈ 0,3
+
You're Reading a Preview
∧ g ( xwith ) access ) ∈ Dom ( f )} a) Dom( f g ) = { x ∈ Dom Unlock( g full a free trial. x ∈ 0,3 ∧ ( x + 4 ) ∈[3,7]
3 ≤ x + 4 ≤ 7 − 1≤
Dom( f
g )
=
x
Download With Free Trial
≤ 3
0,3
Por lo tanto: ( f g ) ( x) = f ( g ( x) )
−1 0
(
3
) 2 − ( x + 4) = −2 − x
= f x + 4 =
b) Dom( g f ) = { x ∈ Dom( f ) ∧ f ( x ) ∈ Dom( g )} x ∈[3,7 ] ∧ ( 2 − x ) ∈ 0,3
0 < 2 − x < 3 − 2 < − x < 1 − 1<
Dom( g f )
x
= φ
< 2
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a)
f ( x)
=9
b)
f ( x)
=
8 x −1 + 5 x
c)
f ( x)
=
16 − x 2
d)
f ( x ) =
3 − x x − 2 x 2
e)
f ( x ) =
f)
f ( x) =
g)
f ( x )
2 + x − 2 x 2 − 16
7 x
( 4 x −1)
2
f ( x)
i)
f ( x) =
= 9 x + 4 + 5 x 2 x − 3 j)
x
=
h)
x
x + x
2 − x x; f x( ) = x 3 − 1 ; x
2. Determinar el rango de las siguientes funciones a) f ( x)
=6
d) f ( x) = x 2 + 2
b) f ( x)
= x − 5
e) f ( x ) = x 2 − 4 x + 7,
c)
=
f)
f ( x)
2 + x − x 2
f ( x )
x ∈ [ 2,3]
= x3
x 2 − 1, s xi < 0
3.
1 x− s xi ≤ 1 Dada las funciones f x )( = y g x)( = x Reading si 0 x≤ ≤ 2 a Preview You're x s xi ≥ 4 < 2 Free Trial x + 5 s xi With Download
Unlock full access with a free trial.
hallar las operaciones siguientes: a) ( f + g )( x)
b) ( f − g )( x )
c) ( f . g )( x )
d)
4. Sean las funciones: f
g = {( 2 , 4 ) , (3 , 2 ) , (5 ,1 ) , ( 0 , 6
Hallar:
= { ( 2 , 2 ), ( −1, 5 ), ( 0 , 4 ), ( 3 , 2) }
)}
( f . g ) ( 2) + 2( f + g ) (0) M = 4( g f ) (3)
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a) E =
2( f . g .)(5) − 4( f + g )(0)
b) E =
3( f − g )(−6)
3( f − g )(−15) + 2( f + g 5( f g )(−20)
6. En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de f g , g f y hallar su r correspondencia si existe. g ( x ) = 2 x −1, x ∈( 0 , 5] x ∈[ −1, 4 ] a) f ( x) = x + 4 , y
b)
f ( x)
= 1 − x,
x ∈[ − 5,2 ]
y
g ( x )
=
2 x,
x ∈ −8,−3
7. La tarifa residencial (uso doméstico) de agua potable está en función al consumo casos; Caso 1: si se consume de 0 a 20 m 3 , la tarifa es de 0,90 soles Caso 2: si se consume de 21m 3 a más, la tarifa es de 1,90 soles a) Determine los costos en función al consumo para ambos casos b) Calcular los costos para 19 m 3 y 22m 3 .
9. Laura llena sobres para obtener un ingreso extra en su tiempo libre. El costo in obtener la información necesaria para el trabajo fue de S/. 200. Cada sobre cue 0.20 y obtiene S/. 0.04 por cada sobre que llena. Haga que “x represente de sobres que llena” a) Exprese el costo como una función de la cantidad x b) Exprese el ingreso como una función de la cantidad x
10. La demanda de un juguete en cierto almacén es una función f de p , el de dólares de un precio, You're el cualReading es a su vez una función g de t , el núm a Preview meses desde que el juguete llegó al almacén. Si Unlock full access with a free trial.1 500
f ( p)
=
p
2
, y g (t ) =
20 Download With Free Trial
t 2 +
7 t + 5 20
Determine: Un modelo matemático que exprese la demanda como una función del nú • meses desde que el juguete llegó al almacén. Determine la demanda cinco meses después que el juguete llegó al almac •
11. En un lago un pez grande se alimenta de un pez mediano y la población del pez una función f de x , el número de peces de tamaño mediano en el lago. A su pez mediano se alimenta de un pez pequeño, y la población de peces medianos e función g de w, el número de peces pequeños en el lago. Si Sign up to vote on this title f ( x) = 20 x +150, y g ( w) = w + 5000 Useful Not useful Determine: Un modelo matemático que exprese la población de peces grande • una función del número de peces pequeños en el lago.
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2. 3.
f ( x ) f ( x )
= x 2 − 2 x
=
5.
f ( x)
x
5 −2x
5 x 4 + x − 2
f ( x) =
2 x
2
− 3 x − 2
6.
f ( x) =
x − 4 x + 2 2
4.
f ( x ) =
x
7.
f ( x)
3 x
=
=
2
− 2 x + 1
6 x − 2 − 3 x 2 + 1
2 x
2
− x − 1
2
+ 3 x
x
x
=
8.
f ( x)
9.
f ( x ) =
x
x
f ( x) =
10.
x 2 x
2. Determinar el rango de las siguientes funciones g) f ( x) = 5 x − 4
3.
h) f ( x) = 4 − 2 x 2
x − 1 , si x − 1 ≤ 1 Dada las funciones f x ( )= 3 x si x − 1 > 1
g) f ( x) = x 2 + x,
x ∈ [0
x[ ] si − 3 ≤ x < 1 g x( ) = − 2 si 1 ≤ x ≤ 2 1 − 2 x si x > 2
y
You're Reading a Preview
hallar las operaciones siguientes Unlock full access with a free trial. a) ( f + g )( x)
4. Si f = { ( − 3 , 2 ), ( −1 , 5 ), ( 0 , 4 ), ( 5 , 9 ) } Hallar
d)
( f − g With )( x ) Free Trialc) ( f . g )( x ) b) Download
f + g ; f − g ; f . g ;
f g
g = {( 2 , 4 ) , (3 , 2 ) , (5
y ;
f
2
− 3 g
5. En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de f g , g f y hallar su r correspondencia si existe. to xvote on, this title g ( xup x∈ x ∈[1, 7 ] ( − 2, 4] )= +12 c) f ( x) = 3 x − 3, y Sign
= 4 − x,
x ∈[ − 3,1]
e) f ( x) = ( x 1) 2
x ∈ [ 3 8]
d)
f ( x)
y y
g Useful ( x ) g ( x)
useful 4Not , x
x
=
−
= 3 − x
9,1
∈ −
x ∈ ( − 5 2]
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i) Escriba una función que represente el gasto total mensual G como func cantidad “ n” de autos que produce mensualmente ii) Si los gastos totales en el mes fueron de 612000 ¿cuántos autos produce?
8. En un bosque un depredador se alimenta de su presa y para las pri semanas a partir del fin de la temporada de caza, la población de depredad una función f de x , el número de presas en el bosque, la cual a su vez, función g de t , el número de semanas que han pasado desde el fin temporada de caza. Si f ( x) =
x 2
− 2 x + 50
48
y g (t ) = 4t + 52 , donde 0 ≤ t ≤ 50
Determine: Un modelo matemático que exprese la población de depredadores como una • del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza. • Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada de caza.
Gráfica de algunas funciones especiales 1) Función constante f ( x)
=c ,
2) Función lineal f ( x)
c constante y
Unlock full access with a free trial.
x
= ℜ,
Ran( f )
3) Función cuadrática f ( x)
= x2
y
y
You're Reading a Preview
c
Dom( f )
= x 1
1
Download With Free Trial
={ c }
Dom( f )
= ℜ,
x
Ran( f )
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4) Función raíz cuadrada Useful Not useful f ( x ) =
x,
=ℜ
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Operaciones de Conjuntos
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ANÁLISIS MATEMÁ
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4) Función valor absoluto Sheet Music
f ( x)
= x
y
≥0 x < 0
x, = − x,
5) Función racional
x
f ( x)
=
1 x
11
1
-1 -1 -1
x -1
Dom( f )
1
=ℜ
Ran( f )
= [ 0,+∞[
Dom( f )
1 1 -1
= ℜ − { 0}
Ran( f )
= ℜ −{0
Ejercicios
1) Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, dominio, rango y gráfic siguientes funciones:
1. f ( x) = −2
4 x − 3 ;
2.
f ( x)
= 2x + 3
3.
f ( x)
=1 − 4x
4.
f ( x )
=
x
5.
f ( x )
=
3x
6.
f ( x )
7.
f ( x )
=
2x
You're Reading a Preview 13. f ( x) = 1
<1 1 ≤ x < 6 x ≥ 6 x
;
Unlock full access with a free trial.1 − x − 6 ;
Download With Free Trial
− 20 ; 14. f ( x) = - 6 x-12 + 4 3 x-20 ;
5
−
< -2 - 2 < x < x ≥ 4 x
;
1
+
6
+
2
+
1 −4 x
=
− 4; 15. f ( x) = x + 6; 10;
8. f ( x ) = x −3
16. 9. f ( x) = 2 −3 x
<0 0 ≤ x < 2 x > 2 x
Sign up to vote on this title 4 − x 2 + 2 ; − 2 < x < 2 Useful Not useful [ x ] ; f ( x ) = x > 2
2 ;
x
< −2
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3 x − 2, si − 4 ≤ x ≤ 4 12. f x ( )= x , si 4 < x < 6
x − [ x ] si x es par 18. f ( x ) = x − [ x + 1 ] si x es impar
2) Determine las intersecciones con los ejes coordenados, también pruebe la sime con respecto al eje x, al eje y y al origen. a) y = −3x b) x 2 + y 2 = 1 c) y = x +1 d)
4 y 2 + x 2 = 4
e) x = −2 y 2 f)
y =
3 x − 5
g) x 2 + xy + y 2 = 0
=
h)
y
i)
y =
j)
y
x2
4 2
x + 6
= x3
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TRASLACIONES Y REFLEXIONES Trasformaciones: Ecuación
Trasformación
1) y
= f ( x) + c
Desplazar c unidades hacia arriba.
2) y
= f ( x) − c
Desplazar c unidades hacia abajo.
3) y
= f ( x + c)
Desplazar c unidades a la izquierda.
4) y
= f ( x − c)
Desplazar c unidades a la derecha.
= − f ( x) y = f ( −x) y = cf ( x) ,
5) y
Reflejar con respecto al eje x.
6)
Reflejar con respecto al eje y
7)
c >1
Alargar vert icalmente alejándose del eje x por un factor de c.
8)
y
= cf ( x) ,
0 < c <1
Contraer verticalmente hacia el eje x por un factor de c.
Ejemplos f ( x )Reading = x 1. Mediante la gráfica de You're agraficar Preview e indicar dominio y f ( x )
x
=−
3
−
f ( x )
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Solución: 1)
4
+
=
x
2)
f ( x )
=
x
3
−
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Dom( f )
2. Mediante la gráfica de f ( x ) = x f ( x)
=
4 −2x
= R ,
Ran( f ) = ]−
graficar e indicar dominio y
−3
Solución: 1) f ( x ) = x
2) f ( x) = − x
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3) f ( x) = − 2( x − 2)
4) f ( x ) = − 2( x − 2 ) − 3
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Mediante traslaciones, reflexiones y contracciones graficar las siguientes Sheet Music
indicando su dominio y rango.
= − x +2
a)
y
b)
y = − x −1
c)
y =
d)
y
x −1 − 2
=−
x −2
e)
f ( x )
=
f)
f ( x )
=
g) f ( x) =
f ( x )
=
f)
f ( x)
=
x
2
5
4
+
−
2x
−
5
+
3
j)
= ( 5) 3−x x +2
k) f ( x) = ( e)
l)
x + 3
f ( x)
−
f ( x) = Log 1 ( x 3
+1 h) f ( x)
e)
3x
4
−
1 + 2 −x
=−
2
m) f ( x) = Ln( x −
x −1 x +2
1 i) f ( x) = 2
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