2003-2004 DEA Mécanique-Matériaux-Structures-Procédés
CONCEPTS FONDAMENTAUX DE LA MECANIQUE DE LA RUPTURE A. ZEGHLOUL
Chapitre I
INTRODUCTION La rupture est un problème auquel l’homme aura à faire face aussi longtemps qu’il construira des édifices ou fabriquera des structures. Ce problème est actuellement plus crucial avec le développement de structures complexes lié au progrès technologique. Les avancées dans la connaissance de la mécanique de la rupture permettent aujourd’hui et plus précisément depuis le milieu du 20e siècle, de mieux prévenir le risque de rupture. Cependant, beaucoup de mécanismes de rupture sont encore mal connus notamment lorsqu’on utilise de nouveaux matériaux ou de nouveaux procédés. Le coût des ruptures catastrophiques représente, d’après une étude économique du début des années 80, près de 4% du PNB dans les pays industriels développés. On pourrait réduire ce coût d’environ 30% si on appliquait correctement les concepts connus de la mécanique de la rupture et de 25% supplémentaires par le développement des recherches dans le domaine de la rupture. On distingue deux catégories de rupture des structures : - soit une négligence dans la conception, dans la construction ou dans l’utilisation de la structure - soit l’utilisation d’un nouveau matériau ou d’un nouveau procédé, qui peut provoquer une rupture inattendue. Dans le premier cas, le risque de rupture peut être évité dès lors que la structure est bien dimensionnée avec un choix de matériaux adaptés et que les chargements sont correctement évalués. Dans le deuxième cas, la prévention de la rupture est plus délicate. Lorsqu’on utilise un nouveau matériau ou un nouveau procédé, il y a souvent un certain nombre de facteurs que le concepteur ne maîtrise pas toujours car la mise en œuvre de nouvelles techniques, bien qu’elle procure des avantages, conduit inévitablement à des problèmes potentiels. Un exemple bien connu du deuxième cas est la rupture de ce qu’on appelait les bateaux de la liberté pendant la deuxième guerre mondiale. Ces bateaux, dont la coque était assemblée par soudage et non par rivetage, coûtaient moins chers et étaient fabriqués plus rapidement. Ce changement de procédé de fabrication qui constituait un progrès indéniable, conduisait cependant à des ruptures catastrophiques qui se développaient dans les joints de soudure. Aujourd’hui, la plupart des bateaux sont assemblés par soudage mais le progrès des connaissances et l’utilisation des doubles coques en aciers plus adaptés permettent de mieux maîtriser ce risque de rupture. L’utilisation des matériaux polymères constitue dans certaines applications, un avantage par rapport à d’autres matériaux, mais peut conduire aussi au deuxième cas de rupture. Ainsi par exemple, les conduites en polyéthylène utilisées pour le transport du gaz naturel, facilitent les opérations de maintenance car l’intervention sur ces conduites se fait sur une faible longueur ; on pince le tuyau de part et d’autre de la zone d’intervention ce qui provoque localement l’arrêt de l’écoulement du gaz, sans qu’il soit nécessaire d’arrêter tout le système. Cependant ce nouveau procédé qui réduit incontestablement le coût de la maintenance, provoqua une rupture du type 2 indiqué précédemment. Des fuites de gaz qui ont conduit parfois à des endommagements importants apparaissaient régulièrement sur ces conduites. L’examen des zones de fuite a montré que des fissures se développaient dans la partie pincée de la conduite ; ces fissures initialement à l’intérieur de la paroi se propageaient sous l’effet de la pression du
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gaz pour ensuite traverser la paroi et conduire à des fuites de gaz. Ces accidents ne remettaient pas en cause le nouveau procédé de pinçage des conduites de polyéthylène mais l’utilisation de nouvelles nuances de polyéthylène avec notamment une plus faible densité réduisît ce risque de rupture qui était par ailleurs maîtrisé. Certaines ruptures catastrophiques récentes sont à la fois de type 1 et 2. Ainsi par exemple l’accident survenu sur la navette spatiale Challenger qui explosa en 1986 avec des passagers à bord parce qu'un joint de bague dans un des propulseurs n'a pas bien répondu à la baisse de température avec l’altitude. La navette utilise des technologies nouvelles ce qui peut conduire à des défaillances de type 2 ; cependant avant la catastrophe, certains ingénieurs voulaient retarder le lancement de la navette car ils suspectaient un problème potentiel dans les joints de bague avec risque de rupture (type 1 donc dans ce cas). Durant les dernières décennies, le développement de la mécanique de la rupture a incontestablement conduit à une meilleure fiabilité des structures ; il est difficile d’estimer ce que celà représente en termes de coût et surtout de vies humaines sauvées. Lorsque les concepts de la mécanique de la rupture sont correctement appliqués, le type 1 de rupture peut être évité et la fréquence des ruptures de type 2 peut aussi être réduite.
I.1 APERÇU HISTORIQUE SUR LA RUPTURE Eviter la rupture n’est pas en soi une idée nouvelle. Les concepteurs des structures de l’Egypte des pharaons (pyramides) ou ceux de l’empire romain nous ont laissé des édifices que l’on peut encore contempler ce qui prouve bien qu’ils avaient le souci d’éviter la ruine des structures. Les matériaux utilisés avant la révolution industrielle étaient cependant limités pour l’essentiel au bois de construction, à la pierre ou à la brique et au mortier. La brique et le mortier sont relativement fragiles lorsqu’on les utilise en traction ; les structures anciennes qui ont résisté au temps, étaient chargées en compression (pyramides, ponts romains…) et de façon générale toutes les structures de l’époque qui précède la révolution industrielle étaient conçues pour des chargements en compression. Il a fallu attendre la révolution industrielle au début du 19e siècle, avec l’utilisation de l’acier dont les propriétés mécaniques permettaient de concevoir des structures pouvant résister à des charges de traction. La comparaison des anciens ponts romains avec les ponts modernes de structure métallique montre bien que les premiers étaient chargés en compression alors que les seconds le sont plutôt en traction. L’utilisation de nouveaux matériaux ductiles (acier et autres alliages métalliques) pour des chargements en traction conduisit cependant à quelques problèmes ; des ruptures se produisaient parfois pour des niveaux de charges bien inférieurs à la limite d’élasticité ; on a dans un premier temps essayé d’éviter ces risques de ruptures en surdimensionnant les structures, mais la nécessité d’alléger de plus en plus les structures et de réduire les coûts conduisit au développement des recherches sur la mécanique de la rupture. Les premiers essais de rupture ont été menés par Léonard de Vinci bien avant la révolution industrielle, qui a montré que la résistance à la traction de fils de fer variaient inversement avec leur longueur. Ces résultats suggéraient que les défauts contenus dans le matériau contrôlaient sa résistance ; plus le volume est important (fil de fer long) plus la probabilité de présence de fissure par exemple est importante. Cette interprétation qualitative fût précisée plus tard en 1920 par Griffith qui établit une relation directe entre la taille du défaut et la contrainte de rupture. S’appuyant sur les travaux de Inglis, Griffith appliqua l’analyse des contraintes autour d’un trou elliptique à la propagation instable d’une fissure ; il formule ainsi à partir du premier principe de la thermodynamique, une théorie de la rupture. Selon cette théorie, un défaut devient instable et conduit à la rupture lorsque la variation d’énergie liée à une propagation du défaut atteint
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l’énergie spécifique du matériau. Cette théorie prédit correctement la relation entre la contrainte de rupture et la taille du défaut dans les matériaux fragiles. Dans les matériaux ductiles et notamment les alliages métalliques, l’avancée d’un défaut s’accompagne d’une importante dissipation d’énergie due à la plastification qui se développe à l’extrémité d’une fissure et la théorie de Griffith qui ne considère que l’énergie de création de surface ne peut en rendre compte. Il a fallu attendre les travaux d’Irwin en 1948 qui proposa une modification de la théorie de Griffith en incluant justement dans le bilan énergétique, l’énergie due à la plastification, pour que l’approche de Griffith soit applicable aux matériaux ductiles. La mécanique de la rupture passa du stade de curiosité scientifique à celui d’une discipline scientifique largement utilisée dans l’ingénierie de la construction, après ce qui arriva aux bateaux de la liberté lors de la deuxième guerre mondiale. Le principe de conception de ces bateaux avec une coque entièrement soudée constituait un grand succès jusqu’au jour où un de ces navires se fissura en deux parties entre la Sibérie et l’Alaska dans une mer très froide. Une dizaine d’autres navires sur les 2700 en service, subira ensuite le même sort. Les analyses des causes de rupture montraient que celles-ci étaient dues à la combinaison de trois paramètres : -
les joints de soudures contenaient des fissures, la plupart de ces fissures qui conduisaient à la rupture, se développaient à partir de zones de forte concentration de contrainte, l’acier de construction utilisé pour ces bateaux, qui convenait pour les assemblages par rivetage où il n’y avait pas de risque qu’une fissure traverse toute la coque, avait une faible ténacité.
Dès l’instant où la cause des ruptures étaient clairement identifiée, des plaques en acier de meilleure ténacité furent rivetées près des zones de forte concentration des contraintes pour arrêter la propagation des fissures. On développa ensuite des aciers de forte ténacité et on améliora le procédé de soudage ; c’est dans ces années après guerre qu’un groupe de chercheurs dirigé par Irwin étudia en détail le problème de la rupture au laboratoire national de recherche de la marine américaine. Irwin considéra que les outils fondamentaux pour étudier la rupture existaient et proposa en 1948, une extension de l’approche de Griffith aux matériaux ductiles en y incluant le terme de dissipation d’énergie due à l’écoulement plastique près des extrémités d’une fissure. Il développa ensuite en 1956 le concept de taux de restitution d’énergie à partir toujours de la théorie de Griffith mais sous une forme facilement exploitable par les concepteurs de structures. En 1957, s’appuyant sur les travaux de Westergaard qui analysa les champs de déplacements et de contraintes élastiques près de l’extrémité d’une fissure sous chargement donné, Irwin montra que les déplacements et les contraintes au voisinage de l’extrémité d’une fissure peuvent être décrits à l’aide d’un paramètre unique qui était relié au taux de restitution d’énergie ; ce paramètre issu de la mécanique linéaire de la rupture, est le facteur d’intensité des contraintes (FIC). Les nouveaux concepts de la mécanique de la rupture furent ensuite utilisés pour montrer que la plupart des ruptures dans les fuselages d’avions étaient dues à des fissures de fatigue qui atteignaient une taille critique. Ces fissures prenaient naissance près des hublots dans les coins qui constituent des zones de forte concentration des contraintes. Les ruptures qui se produisaient dans les essieux d’engins roulants ou encore dans les rotors des turbines à vapeur furent aussi expliquées grâce à l’application de ces nouveaux concepts. Le concept de FIC fut également utilisé par Paris pour décrire la propagation des fissures de fatigue et progressivement les courbes de propagation des fissures de fatigue proposées par ces auteurs
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remplacèrent les courbes d’endurance pour une meilleure prédiction des durées de vie des structures. La période entre 1960 et 1980 vit une intensification des recherches sur la rupture avec deux écoles qui s’affrontaient. D’une part les tenants de l’approche utilisant la mécanique linéaire de la rupture et ceux qui s’intéressaient essentiellement à la plastification qui se développe à l’extrémité d’une fissure. La mécanique linéaire de la rupture cesse d’être valable lorsqu’une plastification importante précède la rupture . Pour tenir compte de l’effet de cette plastification sur les champs de contraintes et de déplacements à l’extrémité d’une fissure, plusieurs auteurs (Irwin, Dugdale et Barenblatt …) proposèrent ce qu’on appelle une correction de zone plastique ; la taille de la fissure est alors augmentée de cette zone plastique pour retrouver les champs de contraintes élastiques décrits par le FIC. Wells, un des représentants de la deuxième école, proposa en 1961 le déplacement à fond de fissure - ou CTOD « Crack Tip Opening Displacement » - comme paramètre alternatif à la mécanique linéaire de la rupture ou plus précisément au concept de FIC, lorsque la plastification devient importante comme c’est le cas dans les matériaux très ductiles. Plus tard, Hutchinson, Rice et Rosengren (HRR) développèrent un nouveau paramètre appelé intégrale J pour mieux décrire la répartition des contraintes dans les zones plastifiées (champ HRR). Begley et Landes caractérisèrent la ténacité à l’aide du paramètre J et développèrent une procédure standard pour l’utilisation de cette intégrale dans des cas pratiques. Shih et Hutchinson proposèrent également une méthodologie pour utiliser l’intégrale J non seulement pour décrire la ténacité mais aussi pour la relier à la taille du défaut et au champ des contraintes appliquées. Shih établit par la suite la relation existant entre l’intégrale J et le CTOD. Les récents développements de la mécanique de la rupture montrent que si les recherches se sont cristallisées sur l’effet de la plastification dans la période entre 1960 et 1980, on s’intéresse actuellement plus aux comportements viscoplastique et/ou viscoélastique. Les premiers se rencontrent à température élevée lorsque les phénomènes de fluage deviennent importants alors que les seconds caractérisent les matériaux polymères de plus en plus utilisés dans l’industrie. L’apparition des nouveaux matériaux composites nécessita également l’utilisation des concepts de la mécanique linéaire de la rupture pour décrire leur comportement. Plus récemment encore, de nouvelles approches tentent de relier le comportement local à l’échelle microscopique au comportement global lors de la rupture d’un matériau. Ces approches micro-macro deviennent parfois nécessaires lorsqu’on atteint les limites d’utilisation des autres approches plus classiques.
I.2 UTILISATION DE LA MECANIQUE DE LA RUPTURE EN CONCEPTION Le schéma figure I.1a compare l’approche classique pour le dimensionnement des structures basée sur la limite d’élasticité du matériau σE à l’approche utilisant le concept de ténacité KC issu de la mécanique linéaire de la rupture (MLR). Dans le premier cas, on dimensionne les structures pour que les contraintes appliquées σ restent inférieures à la limité d’élasticité (σ< σE). On utilise en général un coefficient de sécurité pour prévenir tout risque de rupture fragile (σ< ασE avec α<1). Cette approche est à deux variables σ et σE ; elle fait abstraction de l’existence d’éventuels défauts sous forme de microfissures par exemple. L’approche basée sur la mécanique linéaire de la rupture est à trois variables : la contrainte appliquée, la ténacité KC qui remplace la limité d’élasticité et une variable additionnelle qui est la taille du défaut. Il y a cependant deux approches alternatives de la mécanique de la
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rupture : l’une utilisant le concept d’intensité des contraintes critique (ténacité du matériau) et l’autre un critère d’énergie. Ces deux approches sont équivalentes dans certaines conditions. On va les présenter brièvement avant de préciser les hypothèses qui les sous tendent et de rentrer dans les détails des calculs qu’elles mettent en œuvre.
Limite d’élasticité
Contrainte appliquée
a) Contrainte appliquée
Ténacité
Taille du défaut
b) Figure I.1 : Comparaison de l’approche classique (a) et de l’approche utilisant la MLR (b)
I.2.1 Critère d’Energie L’approche énergétique est basée sur le postulat suivant : l’extension d’une fissure qui conduit à la rupture se produit lorsque l’énergie fournie est suffisante pour vaincre la résistance du matériau : cette résistance se compose de l’énergie de création de surface, de l’énergie de plastification de l’extrémité de la fissure, et éventuellement d’autres types d’énergies dissipatives associées à la propagation d’une fissure. Griffith fut le premier à proposer un critère d’énergie pour la rupture des matériaux fragiles, qui fut ensuite étendu aux matériaux ductiles par d’autres auteurs : Irwin et Orowan. L’énergie de Griffith notée G (qu’on appelle aussi taux de restitution d’énergie) est définie par la variation d’énergie par unité de surface fissurée, associée à la propagation d’une fissure dans un matériau linéaire élastique. La rupture se produit lorsque G atteint une valeur critique GC ; GC est une mesure de la ténacité du matériau. Pour une fissure de longueur 2a (figure I.2) dans une plaque de dimensions infinies (ce qui équivaut à dire que la longueur de fissure est très petite par rapport aux dimensions de la plaque dans la plan de chargement), constituée d’un matériau de module d’Young E et soumise à une contrainte de traction σ ∞ , l’énergie de Griffith G par unité de surface fissurée est donnée par : G=
c h
2
π σ∞ a E
5
Ι.1
Si on continue à augmenter la contrainte appliquée σ ∞ , la rupture se produira lorsque l’énergie G atteint sa valeur critique pour une contrainte appliquée σ R . On a alors d’après la relation précédente : GC =
πσ 2R a
Ι.2
E
On peut noter qu’à valeur de GC fixée, la contrainte à rupture σ R varie avec a −1/ 2 ; de même à GC et σ ∞ fixées, la longueur critique de défaut aC est donnée par :
aC =
EGC
c h
π σ∞
Ι.3
2
σ∞
2a
Figure I.2 : Fissure traversante de longueur 2a dans une plaque infinie La figure I.3 illustre bien la différence entre l’approche classique qui fait abstraction de l’existence d’une fissure (le critère de rupture est σ ∞ = σ E ) et l’approche par la MLR qui prend en compte la présence de la fissure ( σ ∞ proportionnelle à 1 a ). La zone de non rupture située sous les deux courbes représentant les approches précédentes, montre que de part et d’autre de la longueur de défaut a0, on utilisera l’une ou l’autre des approches.
L’énergie de Griffith G est la force motrice dans un matériau dont la résistance à la rupture est donnée par GC. Par analogie avec l’approche basée sur la limite d’élasticité où c’est la contrainte qui joue le rôle de force motrice dans un matériau dont la résistance à la déformation plastique est donnée par la limite d’élasticité σE. Cette analogie est utilisée aussi pour illustrer le concept de similitude. La limite d’élasticité d’un matériau mesurée à partir d’essais sur des éprouvettes de laboratoire est indépendante de la taille des éprouvettes et peut donc être utilisée pour des structures de tailles différentes dès lors que le matériau est raisonnablement homogène. Ce principe de similitude est une des hypothèses fondamentales de la mécanique de la rupture : la ténacité d’un matériau (mesurée 6
par GC) est indépendante de la taille et de la géométrie de la structure fissurée. Cette hypothèse de similitude reste valable tant que le comportement du matériau demeure linéaire élastique.
Contrainte à rupture
σ ∞α
1 a
σ∞ =σE
Zone de non rupture a0
Longueur de fissure
Figure I.3 : Comparaison entre l’approche classique et celle de la MLR.
I.2.2 Concept d’intensité des contraintes
La figure I.4 représente schématiquement les contraintes sur un élément centré sur un point M repéré par les coordonnées polaires r,θ par rapport à une extrémité d’une fissure sollicitée en mode d’ouverture ou mode I.
σ yy τ xy
y
r
θ
σ xx x
Figure I.4 : Contraintes près de l’extrémité d’une fissure Ces contraintes s’expriment à partir d’un paramètre noté KI et appelé facteur d’intensité des contraintes (FIC) en mode I, par les relations I.4 (annexe A) :
7
FG 1 − sin θ sin 3θ IJ 2H 2 2K 2πr K 3θ I θF θ cos G 1 + sin sin J 2H 2 2K 2πr
KI
σ xx = σ yy = τ xy =
cos
θ
I
Ι.4
3θ θ θ cos sin cos 2 2 2 2πr
KI
Ces relations peuvent s’écrire sous la forme condensée suivante :
σ ij =
KI
f ij (θ )
2πr
Ι.5
Des formules donnant le FIC KI pour différentes configurations de chargement existent dans les manuels spécialisés. L’expression du FIC KI dans le cas de la figure I.2 est : K I = σ ∞ πa
Ι.6
En comparant les formules (I.1) et (I.6), il apparaît que : G=
K I2 E
GC =
et
2 K IC E
Ι.7
Dans l’approche basée sur le concept de FIC de la MLR, la rupture se produit lorsque le FIC KI atteint la valeur critique KIC qui correspond à la ténacité du matériau. Dans cette approche, le KI est la force motrice dans un matériau dont la résistance à la rupture est caractérisée par la ténacité KIC. Le principe de similitude est supposé vérifié comme dans le cas de l’approche énergétique. Les deux approches sont équivalentes (relations I.7) pour un matériau dont le comportement est linéaire élastique. I.2.3 Propagation des fissures et concept de tolérance au dommage
La MLR permet le calcul de la durée de vie d’une structure soumise à des sollicitations cycliques (phénomène de fatigue) ou sujettes à des effets de corrosion sous tension. La vitesse de propagation des fissures est alors caractérisée par un paramètre tel que le FIC, et la taille critique de défaut à ne pas dépasser est directement liée à la ténacité du matériau. Dans le cas par exemple de la fissuration par fatigue des alliages métalliques, la propagation de fissure da/dN est généralement représentée par la relation empirique de Paris :
b g
da = C ∆K dN
m
Ι.8
où ∆K est l’amplitude du facteur d’intensité des contraintes et C et m sont des constantes du matériau.
8
Les structures contiennent la plupart du temps des défauts de type fissure ; ces défauts, souvent inhérents aux procédés même de fabrication des composants, étant inévitables, on dimensionne les structures en tenant compte de leur présence et en veillant à ce qu’ils n’atteignent pas la taille critique qui conduit à la rupture brutale : c’est le concept de tolérance au dommage. La MLR fournit les outils nécessaires pour déterminer la taille critique du défaut (relation I.3) et suivre sa propagation (relation I.8). Considérons un défaut (une fissure de fatigue ou de corrosion sous tension) qui se développe dans une structure et dont l’évolution de la taille en fonction du temps est représentée schématiquement sur la figure I.5. Cette figure illustre bien le concept de tolérance au dommage. La longueur de fissure initiale a0 correspond généralement à la limite de détection des moyens de contrôle non destructif, et la longueur critique est déterminée à partir du chargement appliqué et de la ténacité du matériau. On prend un coefficient de sécurité de telle sorte que la longueur admissible du défaut reste inférieure à la longueur critique ; la durée de vie de la structure est alors déterminée en calculant le temps nécessaire pour que la longueur de défaut passe de a0 à la longueur admissible.
Taille du défaut
Rupture brutale
Durée de vie en service
Longueur admissible
a0
Temps
Figure I.5 Concept de tolérance au dommage
I.3 INFLUENCE DES PROPRIETES DES MATERIAUX SUR LA RUPTURE Selon le comportement physique d’un matériau, on utilise les concepts adaptés de la mécanique de la rupture. La classification habituellement utilisée pour ces concepts est la suivante : - La mécanique linéaire de la rupture (MLR) pour les matériaux dont le comportement est essentiellement linéaire élastique. Les alliages d’aluminium à précipitation durcissante, les aciers à haute limite élastique, les céramiques… font partie de cette catégorie. - La mécanique non linéaire de la rupture (MNLR) ou mécanique élastoplastique de la rupture (MEPR) , pour les matériaux ductiles tels que les aciers à faible ou moyenne résistance, les inox ou aciers austénitiques, les alliages de cuivre… .
9
-
La mécanique dynamique de la rupture (MDR), linéaire ou non linéaire, pour les métaux sollicités à grandes vitesses de déformation ; le comportement peut être aussi viscoplastique dans ces conditions. La mécanique viscoélastique de la rupture (MVER) pour essentiellement les polymères sollicités à des températures au dessous de la température de transition vitreuse. La mécanique viscoplastique de la rupture (MVPR) pour les polymères au dessus de la température de transition, pour les métaux et les céramiques sollicités à haute température.
La MLR et la MEPR sont indépendantes du temps. Le temps intervient en revanche explicitement dans le comportement pour la MDR, la MVER et la MVPR. La MEPR, la MDR, la MVER et la MVPR sont souvent regroupées dans le domaine élargi de la mécanique non linéaire de la rupture (MLNR) Considérons une plaque fissurée qui est chargée jusqu’à rupture. La figure I.6 est une représentation schématique de la variation de la contrainte à rupture en fonction de la ténacité des matériaux. Pour les matériaux à faible ténacité où la contrainte à rupture varie linéairement avec le KIC (relation I.6), la rupture fragile est le principal mécanisme qui gouverne la ruine de la structure ; la MLR décrit raisonnablement bien ce genre de comportement. Pour des matériaux à très haute ténacité, la MLR n’est plus valable et ce sont les propriétés d’écoulement du matériau qui gouvernent le mécanisme de rupture ; on utilise alors une simple analyse de chargement limite pour dimensionner les structures. Les matériaux à ténacité intermédiaire constituent une transition entre les deux domaines précédents ; la MNLR est généralement appliquée pour décrire le comportement dans ce domaine.
σ∞
Contrainte à rupture
MLR
Analyse de chargement limite
MNLR
2a
Ténacité KIC Figure I.6 : Comportement en fonction de la ténacité
I.4 ANALYSE DIMENSIONNELLE EN MECANIQUE DE LA RUPTURE L’analyse dimensionnelle constitue un outil important pour étudier la mécanique de la rupture. Considérons les configurations de chargement représentées sur la figure I.7 : les
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différentes géométries de structures fissurées sont soumises à la même contrainte σ ∞ loin de la fissure ; il s’agit de problèmes plans et l’épaisseur n’intervient donc pas. La figure I.7a représente une fissure de bord de très petite dimension par rapport à celles de la plaque qui peut être alors considérée comme un milieu infini si on se place à l’échelle de la fissure ; la plaque est constituée d’un matériau dont le comportement est linéaire élastique. La taille de la fissure de la figure I.7b n’est plus négligeable et donc la largeur L de l’éprouvette est une variable additionnelle par rapport au cas précédent. Le cas de la figure I.7c constitue la même configuration de chargement que le cas I.6b mais le matériau est élastoplastique (élastique plastique parfait) et donc deux autres variables vont s’ajouter : la limite d’élasticité du matériau et la taille de la zone plastifiée qui se forme à l’extrémité de la fissure.
σ∞ L>>a
L
L
a
a)
σ∞
σ∞
a
a
b)
Zone plastique de taille rp
c)
Figure I.7 : Différents cas d’éprouvettes avec fissure de bord Dans le cas de la figure 1.7a, les contraintes σ ij en un point repéré par ses coordonnées polaires r,θ par rapport à l’extrémité de la fissure, seront représentées par une fonction de type :
σ ij = f 1 (σ ∞ , E , υ , a , r ,θ )
Ι.9
L’analyse dimensionnelle (théorème de Buckingham) permet alors d’écrire :
σ ij E r = F1 ( ∞ , , υ ,θ ) ∞ σ σ a
Ι.10
L’analyse dimensionnelle pour le cas de la figure I.7b où L est la variable additionnelle, conduit à :
σ ij E r L = F2 ( ∞ , , , υ ,θ ) ∞ σ σ a a
11
Ι.11
Dans le cas de la figure I.7c où deux autres variables - la limite d’élasticité du matériau σ E et la taille de la zone plastifiée rp - vont s’ajouter, la même analyse donne :
σ ij E σ E r L rp = F ( , , , , , υ ,θ ) 3 σ∞ σ∞ σ∞ a a a
Ι.12
La relation I.11 correspond à un comportement élastique linéaire du matériau pour lequel la MLR s’applique ; si L>>a, autrement dit lorsque la largeur de l’éprouvette est grande par rapport à la longueur de la fissure, il n’y a plus d’effet de bord et la largeur L n’est plus considérée comme une dimension caractéristique : on retrouve alors la relation I.10 où L n’apparaît plus. La relation I.12 correspond à un comportement élastique plastique parfait décrit par la MLNR ; lorsque la taille de la zone plastifiée est faible par rapport à la longueur de la fissure (rp<
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Chapitre II
MECANIQUE LINEAIRE DE LA RUPTURE La mécanique linéaire de la rupture s’applique aux matériaux ayant un comportement élastique obéissant à la loi de Hooke. Même si des corrections liées à la présence d’une zone plastifiée près d’une zone de concentration de contraintes (entaille, fissure) ont été proposées par la suite, ces analyses reposant sur l’hypothèse que la plasticité reste confinée ne sont valables que pour des structures dont le comportement est globalement élastique. Depuis les années 60, les concepts de mécanique de la rupture se sont développés pour rendre compte des différents types de comportement non linéaire des matériaux (plasticité étendue, viscoplasticité et viscoélasticité) ainsi que des effets dynamiques. La plupart de ces développements sont des extensions de la mécanique linéaire de la rupture (MLR). Aussi il est important de bien présenter les équations fondamentales de la MLR pour mieux comprendre les concepts plus avancés de la mécanique de la rupture. Ce chapitre décrit à la fois l’approche énergétique et l’approche par les contraintes de la rupture fragile. L’annexe A présente l’essentiel des développements mathématiques de la MLR. II.1 APPROCHE ATOMIQUE DE LA RUPTURE FRAGILE • La rupture fragile s’accompagne de très peu de déformation plastique. Dans les alliages métalliques, ce type de rupture est soit : - transgranulaire : rupture par clivage ou par glissement dans un grain ; - intergranulaire : rupture par glissement le long des joints de grains.
Figure II.1 : rupture par clivage
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L’approche atomique consiste à étudier une rupture par clivage en considérant les forces des liaisons atomiques Le clivage opère par rupture des liaisons inter atomiques dans une direction perpendiculaire au plan de rupture. La figure II.1 présente schématiquement ce type de rupture fragile (mode I de rupture). Les ruptures par clivage se produisent préférentiellement le long de plans atomiques bien définis selon les matériaux. Les cubiques centrés clivent selon les plans (100) alors que les cubiques faces centrés clivent difficilement. Le calcul de la contrainte de liaison atomique nécessite de connaître la relation entre la force appliquée et le déplacement des atomes autour de leur position d’équilibre. Cette force est la somme d’une composante d’attraction (en 1 r 2 ) et d’une composante de répulsion (en − 1 r 9 ) où r est la distance inter atomique. La contrainte de liaison est donc de la forme :
LF r I F r I O σ = AMG J − G J P MNH r K H r K PQ 2
9
0
0
II.1
où r0 est la distance d’équilibre ; l’évolution de cette contrainte est montrée sur la figure II.2 où la contrainte théorique de clivage σ C est indiquée.
σ Force attractive en 1/r2
σC r0
r
Force répulsive en -1/r9
Figure II.2 : Définition de la contrainte théorique de clivage σ C .
La déformation étant donnée par ε = log
E=
dσ dε
IJ K
r , le module d’Young E s’écrit donc : rO = r0
r = r0
dσ dr
14
IJ K
II.2 r = r0
Soit en utilisant la relation II.1 :
E = 7A
II.3
La contrainte théorique de clivage σ C est définie par la condition
r dσ = 0 soit 0 = 0,81 dr r
d’où :
σC ≈
E 14
II.4
On assimile parfois pour faire les calculs, la portion de courbe au delà de la distance d’équilibre r0 à une sinusoïde (figure II.3).
σ
σC r0
r
α r0 (2α − 1)r0
Figure II.3 : approximation sinusoïdale de la contrainte de liaison σ . Dans cette hypothèse, la contrainte de liaison pour r > r0 s’écrit :
σ = σ C sin
LM π F r − 1I OP N 2bα − 1g GH r JK Q
II.5
0
Dans ces conditions le module d’Young s’exprime par : E = r0
dσ dr
IJ K
= σC r = r0
π 2(α − 1)
L’énergie de cohésion par unité de surface que l’on note W est définie par : W = soit
W=4
α −1 rσ π 0 C 15
II.6
z
( 2α − 1) r0
r0
σdr , II.7
Comme W = 2γ S où γ S est l’énergie de création de surface (le terme 2 vient du fait que l’on crée deux surfaces lors de la rupture), on a donc :
γS =2
α −1 rσ π 0 C
En éliminant α entre II.6 et II.8, on obtient γ
σC =
S
II.8
=
σC E
r0σ C , soit :
Eγ S r0
II.9
Eb où b=r0 est le vecteur de Burgers k et k est une constante comprise entre 16 et 100, ce qui donne :
Or l’énergie de création de surface est de la forme γ
S
=
E E ≤σC ≤ 10 4
II.10
La contrainte théorique de clivage donnée par II.4 ou II.10 est de 10 à 1000 fois plus grande que les contraintes de rupture par clivage mesurées expérimentalement. La différence entre la valeurs théorique et les mesures expérimentales s’explique par des mécanismes d’amplification de la contrainte liés à la présence dans les matériaux de défauts sous forme de fissure ou d’entaille aiguë qui concentrent les contraintes dans leur voisinage : la contrainte locale σ L au voisinage d’un défaut est bien plus grande que la contrainte appliquée σ a ( σ L >> σ a ). II.2 CONCENTRATION DES CONTRAINTES PRES D’UN DEFAUT
Si on considère un défaut de forme elliptique de longueur 2a et de rayon à fond d’entaille ρ (figure II.4), la contrainte locale à l’extrémité A est d’après les calculs de l’annexe A :
FG H
σ L ( A) = σ a 1 +
IJ K
F GH
a 2a = σ a 1+ 2 b ρ
I JK
II.11
Dans le cas d’une entaille très aiguë, ρ<
σ L ( A) ≈ 2σ a
a
II.12
ρ
La facteur amplifiant la contrainte est le rapport K T = 2
a
ρ
appelé facteur de concentration
de contrainte. Le facteur de concentration de contrainte KT peut devenir très grand pour des entailles aiguës telles que des fissures.
16
σa
2b 2a
ρ
A
2a
Figure II.4 : défaut elliptique dans une plaque infinie. Si on prend par exemple le rayon à fond d’entaille ρ de l’ordre d’une distance inter atomique, la contrainte locale devient :
σ L ( A) ≈ 2σ a
a r0
II.13
En comparant les relations II.9 et II.13 ( σ L ( A) = σ C ), il apparaît que la contrainte de rupture par clivage σ a (macroscopique) mesurée expérimentalement est donnée par : Eγ S 4a
σa =
II.14
En considérant l’expression de l’énergie de création de surface γ
σa =
Si le rapport
E ρ 20 a
S
≈
Er0 , on a : 100 II.15
ρ
est suffisamment petit, on obtient des valeurs de la contrainte de rupture par a clivage σ a comparables aux résultats expérimentaux. La relation II.14 est une estimation de la contrainte de rupture expérimentale par clivage car l’hypothèse de milieu continu n’est plus valable lorsqu’on se place à l’échelle atomique. Des simulations numériques où les liaisons entre atomes sont modélisées par des ressorts non linéaires, montrent que cette contrainte de rupture par clivage est de la forme :
σa =α
Eγ S a
II.16
17
où α est une constante, proche de 1, qui dépend de la rigidité des ressorts simulant les liaisons atomiques (α =1/2 dans la relation II.14). II.3 ENERGIE DE GRIFFITH
Soit un matériau contenant une fissure de longueur a. (figure II.5) Une extension ∆a de cette fissure s'accompagnera des variations d'énergie suivantes : ∆Wext = ∆Welast . + ∆U
II.17
avec ∆Wext
la variation d'énergie appliquée (due aux forces extérieures),
∆Welast . la variation d'énergie élastique (emmagasinée),
∆U
l'énergie dépensée lors de la propagation de la fissure sur la longueur ∆a.
Dans la théorie initiale de Griffith qui s’applique à une rupture fragile, l’énergie ∆U correspond à l’énergie nécessaire pour créer de nouvelles surfaces dans le matériau ( ∆U = ∆Wsép avec ∆Wsép l’énergie de séparation des surfaces). L’énergie de Griffith G est rapportée à l’unité de surface ; elle est définie à partir de ∆U par :
∆U ∂U = ∆A→ 0 ∆A ∂A
G = lim
II.18
où ∆A= e∆a est la surface fissurée lors de la propagation de la fissure sur la longueur ∆a dans une éprouvette d’épaisseur e. Généralement, on considère une épaisseur unité ( e = 1) et G rapportée à l’unité d’épaisseur est alors donnée par :
∆U ∂U = ∆a → 0 ∆a ∂a
G = lim Si on considère γ
S
II.19
l’énergie spécifique de création de surface, on a :
G=
∂U = 2γ ∂A
Comme d’après la relation I.1 G =
b g
II.20
S
2
π σR a E
, la contrainte à rupture σ R d’après II.20 est
alors donnée par :
σR =
2Eγ S πa
II.20b
On retrouve une expression du type II.16 avec α = 2 π .
18
e
∆a
∆A a
a
Figure II.5 : Propagation de la fissure sur une longueur ∆a. Pour bien comprendre la signification de l’énergie de Griffith G ou taux de restitution d’énergie, on va envisager la propagation (dans une éprouvette d’épaisseur unité) dans les 2 cas classiques suivants : • Propagation à force F imposée (figure II.6b) • Propagation à déplacement x imposé (figure II.6c) a - Propagation à déplacement imposé
∆x = 0 ⇒
∆Wext = 0 ; Wélast =
l’inverse de la rigidité) C =
1 Fx , soit en introduisant la complaisance (c’est à dire 2
x : F
FG IJ H K
1 x2 x2 ∂ C CF 2 = ⇒ ∆Wélast = − 2 2C 2C 2 ∂ a l'énergie élastique emmagasinée décroît.
Wélast =
Comme ∆Wext = 0 = ∆U + ∆Wélast
G=
⇒
∆U = − ∆Wélast et G = lim
∆a → 0
FG IJ H K
x2 ∂ C 2C 2 ∂ a
= x
b - Propagation à force imposée
FG x IJ = 0 , soit ∆ x = ∆ C H CK x C F ∂ C IJ ∆a Fx = F . ∆x = . ∆C ≈ F G C H ∂aK
∆F = 0 ⇒
∆ Wext
∆
2
F
19
F2 2
FG ∂ C IJ H ∂ aK
∆a x
FG ∆ U IJ , soit : H ∆a K II.21
x
Wélast
FG IJ H K
1 F2 F2 ∂ C = Fx = C d’où ∆Wélast = 2 2 2 ∂a
∆U = ∆Wext − ∆Wélast
FG IJ H K
F2 ∂ C = 2 ∂a
∆a F
∆a , et l’énergie de Griffith s’écrit alors : F
FG IJ H K
F2 ∂ C G= 2 ∂a
II.22 F
∆a
∆a a
a
a
x
F a) avant chargement
x
b) Force imposée
c) Déplacement imposé
Figure II.6 : Propagation stable à Force imposée ou à Déplacement imposé
F
F
Propagation
F
Propagation
∆U
∆U a
a
a+∆a
a+∆a
∆x x
x
x
a) Propagation à x imposé
b) propagation à F imposée
Figure II.7 : Variation de la force lors d’une propagation de fissure à force imposée ou à déplacement imposé
20
x
Remarque : Dans les relations II.21 et II.22, l'énergie de Griffith G a la même expression mais elle provient de deux sources différentes : dans la relation II.21, c'est la diminution d'énergie élastique qui a servi à propager la fissure (aire hachurée de la figure II.7a) dans la relation II.22, l'énergie élastique augmente mais le travail des forces extérieures augmente de façon plus importante et c'est la différence entre ces deux variations qui sert à propager la fissure (aire hachurée de la figure II.7b).
Si on compare les deux aires hachurées de la figure II.7, il apparaît qu’elles diffèrent de la 1 quantité ∆F∆x qui est négligeable (infiniment petit d’ordre 2). 2 Les relations II.21 et II.22 sont rapportées à l’unité d’épaisseur. Dans le cas où l’épaisseur « e » n’est pas égale à l’unité, il convient de modifier ces relations comme suit : G=
FG IJ H K
F2 ∂ C 2e ∂ a
II.23 x ou F
II.4 DESCRIPTION DU CHAMP DES CONTRAINTES DU FACTEUR D’INTENSITE DES CONTRAINTES
A L’EXTREMITE D’UNE FISSURE A L’AIDE
La forme générale du champ des contraintes au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans un matériau dont le comportement est élastique et linéaire est de la forme :
σ ij =
m
∞ K f ij (θ ) + ∑ α m r 2 gij( m) (θ ) 2πr m= 0
II.24
Les coordonnées (r,θ) sont repérées par rapport à l’extrémité de la fissure (figure II.8). Les fonctions addimensionnelles f ij et gij dépendent du mode de sollicitation, et gij de l’état de contrainte et de la géométrie du corps fissuré aussi.
σ yy τ xy
y
r
fissure
θ
σ xx x
Figure II.8 : Définition des axes (x,y) et des coordonnées (r,θ) au voisinage de l’extrémité d’une fissure Au voisinage immédiat de l’extrémité de la fissure, les contraintes présentent une singularité en 1 r , c’est à dire lorsque r → 0 elles tendent vers l’infini comme 1 r . Les autres termes d’ordre plus élevé de la relation II.24 sont alors négligeables. La zone la plus critique est donc le voisinage immédiat de l’extrémité de la fissure et on ne considère alors que les 21
termes en 1 la forme :
r , autrement dit que les champs de contraintes asymptotiques qui sont donc de
K f ij (θ ) 2πr
σ ij =
II.25
Ces champs asymptotiques peuvent être décrits à l’aide de l’approche de Westergaard (annexe A). Selon le mode de sollicitation considéré - mode I, II ou III : figure II.9 - ils s’expriment à l’aide des facteurs d’intensité des contraintes KI, KII ou KIII : Mode III
Mode I
y
x 2a
Mode II Figure II.9 : Définition des modes de sollicitation En mode I
En mode II
R|σ || S|σ || T
xx
=
yy
=
FG 1 − sin θ sin 3θ IJ 2H 2 2K 2πr K 3θ I θF θ cos G 1 + sin sin J 2H 2 2K 2πr
KI
cos
θ
I
τ xy =
II.26
3θ θ θ cos sin cos 2 2 2 2πr
KI
R|σ = − K sin θ FG 2 + cos θ cos 3θ IJ 2H 2 2K 2πr || S| σ = K2πr sin θ2 cos θ2 cos 32θ || τ = K cos θ FG 1 − sin θ sin 3θ IJ 2H 2 2K 2πr T
II.27
R|σ S| |T σ
II.28
II
xx
II
yy
II
xy
En mode III
13
23
=−
K III
sin
θ
2 2πr K III θ = cos 2 2πr
22
Remarque : Lorsque la structure fissurée est sollicitée dans les 3 modes simultanément, on a en appliquant le principe de superposition en élasticité linéaire :
σ ij( total ) = σ ij( I ) + σ ij( II ) + σ ij( III )
II.29
Considérons maintenant le mode I seul par exemple. Lorsque θ=0, c’est à dire lorsqu’on se place dans le plan de la fissure, au voisinage immédiat et en aval de l’extrémité de celle-ci, on a d’après les relations II.26 :
σ xx (θ = 0) = σ yy (θ = 0) =
KI
II.30
2πr
Le plan (x,y) de la fissure est donc principal pour le mode I. La figure II.10 est une représentation schématique de la variation de σ yy (θ = 0) .
σ yy
Champ asymptotique
KI
2πr
Champ réel
σ∞
r
Zone où la singularité domine Figure II.10 : Contrainte σ yy (θ = 0) perpendiculaire au plan de fissuration
Cette figure illustre la zone où la singularité domine c’est à dire lorsque la contrainte varie 1 comme (relation II.30). Au delà de cette zone, on retrouve les conditions limites loin de r la zone fissurée et la contrainte σ yy tend alors progressivement vers la contrainte appliquée
σ∞. Le facteur d’intensité des contraintes (FIC) K I définit l’amplitude de la zone de singularité. Les contraintes dans cette zone augmentent proportionnellement à K I qui caractérise alors complètement les conditions à l’extrémité de la fissure ; si le K I est connu, on peut déterminer les champs des contraintes, des déformations et des déplacements en fonction des coordonnées (r,θ). Le FIC est un des concepts les plus importants de la mécanique de la rupture.
23
II.5 RELATION ENTRE LE FIC ET L’ENERGIE DE GRIFFITH Pour les calculs, on considère une fissure élastique sollicitée en mode I (figure II.11).
σ (ya + ∆a )
σ (ya ) x
r
A
A'
a
x
r' a + ∆a
Figure II.11 : Fissure sollicitée en mode I La fissure a pour longueur initiale a et se propage de ∆a. L'extrémité de la fissure se déplace donc de la position A( x = a ) à la position A'( x = a + ∆a ) .
* Le champ de contrainte en aval de l'extrémité de la fissure (θ = 0) est donnée par :
b
g
σ y r ,θ = 0 =
KI 2πr
Le champ des déplacements des lèvres en amont de l'extrémité de la fissure (θ = π) s'écrit :
b
g
ou
b
g
u y r ,θ = π =
R| λ = λ en déformations planes 2λµ avec S λ = |T λ + 2µ en contraintes planes R| υ = υ en déformations planes 2r 1 avec − υ c h Sυ = υ en contraintes planes π |T 1 + υ FG H
2r λ* + 2 µ π λ* + µ
K u y r ,θ = π = I 2µ
KI
µ
IJ K
*
*
*
*
*
Pour déterminer l'énergie de propagation de la fissure ou taux de restitution d'énergie G, il est plus commode de calculer le travail de régression de la fissure de la position A' à la position A. Autrement dit on calcule le travail qu'il faut appliquer aux lèvres de la fissure pour qu'elles se referment.
bg
bg
La force appliquée aux lèvres est σ y r edx avec r = x − a (figure II.11), ou σ y r dx si on considère une épaisseur unité.
24
Le déplacement du point d'abscisse x considéré est uy (r') avec r ' = a + ∆a − x (fig. II.11). Le travail de régression s'écrit donc :
∆W ' = − ∆U = 2
z
σ y (r )u y (r ')
a
2
a + ∆a
KI
dx =
2
.
µ
1 − v*
π
z
a + ∆a − x dx x 444 −a 3 14442 a
a + ∆a
(I)
Pour calculer l’intégrale (I), on effectue le changement de variables suivant : ⇒ X =∞ RS x = a T x = a + ∆a ⇒ X = 1 F dX IJ que l’on intègre par parties en posant : X − 1G − L'intégrale devient alors Ι = ∆a z H XK R|α = X − 1 ⇒ dα = dX R| L X − 1 OP − dX UV 2 X −1 ⇒ Ι = ∆a S M S| z dX 1 ||N14X24Q3 2 X X − 1 W |Tdβ = − X ⇒ β = X T K c1 − υ h π Soit Ι = ∆a − Arctg X − 1 = − ∆a et ∆U = − ∆W ' = ∆a ∆a dX = X ⇒ dx = − 2 ∆a et x−a X ∞
(I)
2
1
∞
∞
1
1
2
=0
I
1
2
∆U ∆a
⇒
µ
d'où finalement : GΙ = Lim ∆a →0
*
2
∞
GΙ =
FG H
K I2 1 − υ * 2 µ 2
c
En déformations planes :
υ * = υ et G I =
KI 1− υ2 E
En contraintes planes :
υ* =
υ
KI E
1+ υ
et G I =
h
2
IJ K II.31
2
II.32
Remarques : Des calculs similaires peuvent être effectués pour les modes II et III, en considérant toujours une fissure de longueur a qui se propage de ∆a.
1- mode II : Les champs des contraintes en aval et des déplacements en amont de l'extrémité de la fissure, s’écrivent :
25
R| σ br ,θ = 0g = K 2π r |S ||u br ,θ = π g = K 2r c1 − υ h µ π T II
xy
*
II
x
Les expressions étant les mêmes que pour le mode I, les mêmes calculs conduisent à :
G II
R|G = K (1 − υ ) en déformations planes K E = (1 − υ ) ⇒ S 2µ || G = KE en contraintes planes T 2 II
2 II
2
II
*
2 II
II.33
II
2- Mode III : Les champs des contraintes en aval et des déplacements en amont de l'extrémité de la fissure s’écrivent :
R| σ br ,θ = 0g = K 2π r |S ||u br ,θ = π g = K 2r µ π T III
yz
III
3
Après calcul, l’énergie de Griffith en mode III s’exprime : G III =
2 K III 2µ
II.34
3- Cas général : Dans le cas général, lorsqu'on a coexistence des trois modes de changement, l'énergie de Griffith s'écrit : G = G I + G II + G III soit G =
c
hc
c
hc
h
1 2 1 − υ * K I2 + K II2 + K III 2µ
h b g
En déformations planes :
G=
1 2 1 − v 2 K I2 + K II2 + 1 + v K III E
En contraintes planes :
G=
1 2 2 K I + K II2 + 1 + v K III E
b g
II.35a
II.35b
II.35c
II.6 PRINCIPE DE SUPERPOSITION EN MLR
Dans les matériaux élastiques linéaires, les composantes des contraintes, des déformations et des déplacements sont additives : c’est l’application du principe de superposition. Cependant, 26
il faut respecter certaines règles : ainsi par exemple deux contraintes normales selon la direction x peuvent s’ajouter entre elles, mais une contrainte normale ne peut en aucun cas s’additionner avec une contrainte de cisaillement. Il en est de même pour les facteurs d’intensité des contraintes (FIC) : on ne peut additionner des FIC que s’ils concernent le même mode de sollicitation (mode I, II ou III). On a ainsi :
mais
K I( total ) = K I( A) + K I( B ) + K I( C ) +K K ( total ) ≠ K I + K II + K III
Dans beaucoup de cas, le principe de superposition, convenablement appliqué, permet de déterminer la solution pour le FIC dans des configurations de chargement relativement complexes en les décomposant en somme de chargements simples dont les solutions sont connues. L’exemple de la figure ci-dessous illustre l’application du principe de superposition.
L
a
L
a
Figure II.12 : Fissure sollicitée en mode I dû à une traction et à une flexion Les FIC K I sont connus pour les deux chargements de traction et flexion (manuels spécialisés). Comme ils conduisent tous les deux à des sollicitations de la fissure en mode I, la solution est : K I( total ) = K I( traction ) + K I( flexion ) On applique parfois le principe de superposition en imaginant des chargements dont les solutions sont connues, puis par combinaison on obtient la solution d’un problème donné. La figure II.13 illustre ce type d’utilisation du principe de superposition. On cherche à déterminer la solution de K I pour le chargement de la figure II.13a, on connaît celle du chargement II.13b, et celle du chargement II.13c est nulle puisque la fissure reste fermée et l’intensité des contraintes ne peut être alors transmise. On a ainsi : K I( a ) = K I( b ) − K I( c ) avec K I( c ) = 0 ⇒
K I( a ) = K I( b )
Cet exemple illustre un résultat plus général : les contraintes de traction appliquées sur la frontière d’un solide fissuré (cas de la figure II.13b) peuvent être déplacées sur les lèvres de la fissure (figure II.13c) sans que cela change le FIC.
27
σ0 σ0
σ0
_
=
(a)
(b)
−σ 0
(c)
Figure II.13 : Détermination du FIC K I pour une fissure dont les lèvres sont soumises à une traction σ 0 .
σ ∞ ( x) y
σ ( x) A
x
B
Figure II.14 : Solide non fissuré soumis au chargement σ ∞ ( x ) conduisant à une répartition σ ( x ) sur le plan A-B.
La figure II.14 représente un solide non fissuré soumis à un chargement de traction σ ∞ ( x ) . Ce chargement se traduit par une répartition des contraintes σ ( x ) sur le plan A-B. Supposons maintenant que le corps se fissure le long du plan A-B, et qu’il reste soumis à σ ∞ ( x ) comme le montre la figure II.15a. Si on élimine le chargement σ ∞ ( x ) et qu’on applique aux lèvres de la fissure le chargement σ ( x ) , le principe de superposition montre que le FIC K I demeure inchangé. On a ainsi : K I( a ) = K I( b ) + K I( c ) = K I( b ) puisque K I( c ) = 0
28
Il faut bien noter que le chargement σ ( x ) qui apparaît sur la figure II.15 est celui qui s’appliquait sur le plan AB lorsque la structure n’était pas fissurée (voir figure II.14).
σ ∞ ( x)
σ ∞ ( x)
−σ ( x )
σ ( x)
=
+
(a)
(b)
(c)
Figure II.15 : Application du principe de superposition II.7 FONCTIONS POIDS
Lorsqu’on cherche à connaître le FIC K pour une structure fissurée, la valeur de K déterminée ne s’applique que pour des conditions limites données : différentes conditions limites conduisent à différentes valeurs de K pour une même géométrie de la structure. Cependant, la géométrie étant fixée, la solution pour des conditions limites données contient suffisamment d’informations pour déterminer le FIC K lorsqu’on change ces conditions limites. Considérons deux conditions de chargement arbitraires pour une structure fissurée. Nous supposons que la fissure est sollicitée en mode I, dans les deux chargements et que la solution K I(1) pour le chargement (1) est connue. Rice a montré, en considérant des intégrales indépendantes des contours d’intégration, que la solution pour le chargement (2) s’exprimait en fonction de la solution (1) par : K
(2) I
E = 2 K I(1)
LM T ∂u N z ∂a
(1) i
i
Γ
z
∂ui(1) dΓ + Fi dA ∂a A
OP Q
II.36
où Γ et A sont respectivement le périmètre et l’aire de la surface fissurée, ui , Ti et Fi les composantes, selon x et y, du vecteur déplacement, du vecteur contrainte sur le contour Γ et des forces de volume. Le chargement (1) étant choisi de façon arbitraire, il s’ensuit que la fonction : E ∂ui(1) h( xi ) = 2 K I(1) ∂a
29
II.37
où xi sont les coordonnées x et y, est indépendante des conditions de chargement. La fonction h, de dimension Longueur , est appelée fonction de poids. Les fonctions poids sont des torseurs d’ordre 1, qui dépendent uniquement de la géométrie de la structure fissurée. Dès lors qu’on connaît la fonction poids pour une géométrie donnée, on peut calculer le FIC K I pour n’importe quelles conditions limites. Le principe de superposition (§ II.6) montre que toute configuration de chargement en mode I, peut être représentée par un chargement de traction p(x) appliqué directement sur les lèvres de la fissure. Le K I pour une structure 2D, peut ainsi être déterminée , en l’absence de forces de volume, à partir de l’expression : KI =
z
p( x )h( x )dx
II.38
Γ
où Γ est le périmètre de la fissure et p(x) la traction qui s’appliquerait sur les lèvres de la fissure (p(x) est égale à la contrainte de traction normale au plan de la fissure –c’est à dire à la composante normale du vecteur contrainte- lorsque la structure n’est pas fissurée). Le concept de fonction poids n’est pas restreint qu’aux seules structures 2D chargées en mode I ou qu’aux matériaux isotropes. Il a été étendu au cas 3D par Rice, et à des chargements mixtes (modes II/III) avec anisotropie des propriétés élastiques par Bueckner. Des études plus récentes ont montré que ce concept pouvait s’appliquer à tous les matériaux linéaires élastiques contenant un nombre arbitraire de fissures. Pour les chargements mixtes, on définit des fonctions de poids pour chaque mode : hI , hII et hIII . Comme le FIC peut varier le long d’un front de fissure 3D, il en est de même des fonctions poids. La fonction poids est alors de la forme : h J = h J ( xi , β )
II.39
où J=I,II ou III indique le mode de sollicitation et β est un paramètre définissant la position le long du front de fissure. Etant donné que toute configuration de chargement peut être représentée par un chargement de traction équivalent s’appliquant sur les lèvres de la fissure, le FIC en mode mixte 3D est exprimé par une relation de la forme :
z
K J ( β ) = Ti h J ( xi , β )dS
II.40
S
où Ti sont les composantes du vecteur traction normales à la surface fissurée S. II.8 RELATION ENTRE LE FIC ET LE COMPORTEMENT GLOBAL
La fonction de Westergaard Z(z) est connue pour un certain nombre de configurations de chargement. Dans le cas d’une petite fissure de longueur 2a, traversant une plaque chargée dans son plan (figure II.16), Z(z) vaut : Z ( z) =
σ ∞z z2 − a2
30
II.41
σ∞
r
θ
a
2a
Figure II.16 : Fissure de longueur 2a dans une plaque de grandes dimensions On se place pour les calculs dans le plan de la fissure, c’est à dire pour y=0. le FIC K I à l’extrémité x=a, est défini par (voir annexe A) : K I = Lim 2π ( x − a ) Z ( x )
II.42
x→ a
soit K I = σ ∞ πa
Cette relation exprime le K I qui caractérise la répartition des contraintes au voisinage immédiat de l’extrémité de la fissure x − a << a , en fonction de données globales ( σ ∞ et a ). Dans le cas où les dimensions de la plaque sont finies par rapport à la longueur de la fissure, les effets de bord interviennent. La figure II.17 illustre ces effets. Les lignes de forces ont une composante selon x dans le cas de l’éprouvette infinie. Lorsque l’éprouvette est de dimensions finies, les conditions limites sur les bords de l’éprouvette imposent une composante nulle selon x des lignes de forces, et conduisent donc à une intensification des contraintes plus importante aux extrémités de la fissure. Pour traiter ce problème des dimensions finies, Westergaard considéra une plaque infinie avec une infinité de fissures, qui se répète de façon périodique sur une longueur 2L (figure II.18). Westergaard rend compte de cette périodicité en introduisant des termes en sinus dans la fonction Z(z). Cette fonction s’exprime : Z ( z) =
σ∞ πa
F I 1 − sin G J H 2 LK 2
31
F πz I sin G J H 2 LK 2
II.43
σ ∞z
Lorsque a<
σ
z2 − a2
σ
∞
2L
.
∞
2L Fy Fx
(a) éprouvette infinie
(b) éprouvette de dimensions finies
Figure II.17 : Lignes de forces dans une éprouvette fissurée de grandes dimensions et de dimensions finies
σ∞
σ∞
2L
σ∞
σ∞
2L
2L
2L
σ∞
2L
2a
Figure II.18 : Fissures de longueur 2a, distantes de 2L dans une éprouvette infinie. En se plaçant dans le plan de la fissure c’est à dire à y=0 et donc à z=x, le FIC à l’extrémité x=a est défini par : K I = Lim 2π ( x − a ) Z ( x ) x→ a
32
En posant a * =
πa 2L
et x * =
πx 2L
, on a Z ( x ) =
σ∞ 1 − sin 2 a * sin 2 x *
σ ∞ sin x *
=
sin 2 x * − sin 2 a *
Soit Z ( x)
≈
σ ∞ sin a *
sin x * − sin a * que l’on met sous la forme : x→a
1 1 ≈ 2 2
KI = σ
∞
σ ∞ sin a *
et K I = σ ∞ 2 L tg
( x * − a * ) cos a *
F 2 L tg πa IJ πa G H πa 2 L K
πa 2L
1/ 2
(1*)
Une solution pour le K I du chargement précédent, plus précise, a ensuite été déterminée par des calculs par éléments finis. Cette solution est de la forme :
LM N
K I = σ ∞ πa cos
OP 2LQ πa
−1/ 2
LM1 − 0,025FG a IJ H LK MN
FG a IJ H LK
2
+ 0,06
4
OP PQ
(2*)
Le polynôme en a/L est un terme d’ajustement numérique pour représenter de façon analytique et la plus précise possible, les résultats issus de calculs par éléments finis. Les deux solutions précédentes donnant le FIC KI peuvent se mettre sous la forme : K I = σ ∞ πa f
où f
FG a IJ H LK
FG a IJ H LK
est une fonction addimensionnelle qui dépend de la géométrie de la structure
fissurée et du chargement. La figure II.19 montre les variations du FIC K I données par les a deux relations (1*) et (2*). Les différences restent inférieures à 7% pour < 0,6 . L
KI
σ ∞ πa
6
6
5
5
4
4
2*
3
3
1*
2
2
1
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
a L
1
Figure II.19 : Comparaison des résultats des formules (1*) et (2*)
33
II.9 PROPAGATION BRUTALE DES FISSURES – TENACITE DES MATERIAUX Etant donnés une fissure et un mode de sollicitation, l’expérience montre que la propagation brutale de la fissure interviendra lorsque l’énergie de Griffith G atteindra une valeur critique notée GC . Cette valeur critique GC correspond à une valeur d’intensité des contraintes notée KC. KC est relié à l’énergie critique GC par les formules établies précédemment (II.31 à II.33). Dans le cas général, on a :
GC =
K Ι2C + K ΙΙ2 C E'
+
K ΙΙΙ2 C 2µ
avec
RS E ' = E T E ' = E c1 − υ h 2
en contraintes planes en déformations planes
La valeur critique KC, appelée ténacité, est caractéristique du matériau et du mode de changement ; GC est aussi une mesure de la ténacité. Le mode I étant le plus endommageant, c’est la valeur critique K I C qui est généralement utilisée pour caractériser les matériaux. La ténacité K I C joue le même rôle en MLR que la limite d’élasticité en mécanique classique. Elle dépend elle aussi d’un certain nombre de paramètres (températures d’essai, vitesse de déformation, épaisseur du matériau...). Les évolutions caractéristiques de K I C obtenues à partir d’essais normalisés sont représentées schématiquement sur la figure II.20.
K IC
Contraintes planes
K IC
Déformations planes
Fragile
ε&
K IC
Epaisseur
A
Ductile
Température
Figure II.20 : Variations caractéristiques de la ténacité K I C . L’épaisseur influe sur l’état de contrainte. Dans les éprouvettes d’essais de faible épaisseur (plaques), chargées en mode I dans leur plan, l’état de contraintes planes est prédominant et la valeur critique du FIC en mode I est élevée, notamment dans les matériaux ductiles. Lorsque l’épaisseur augmente, on observe une transition vers un état de déformations planes, le FIC critique diminue et n’évolue plus au-delà d’une certaine épaisseur : c’est cette valeur minimale stabilisée du K I C qui définit la ténacité du matériau. Les mesures de ténacité sont faites sur des éprouvettes normalisées pré fissurées en fatigue. Les normes ASTM d’essais imposent, pour une bonne mesure de la valeur stabilisée du K I C :
34
F K IJ a , e, ( L − a ) ≥ 2,5G Hσ K
2
IC E
où a, e, L, σE sont respectivement la longueur de fissure, l’épaisseur et la largeur de l’éprouvette, et la limité d’élasticité du matériau. L’influence de la température se caractérise aussi, dans les alliages métalliques tels que les aciers, par une transition entre un domaine fragile à faible température où la ténacité est faible, et un domaine ductile de forte ténacité aux températures élevées. La zone de transition ductile fragile se déplace vers les températures plus grandes lorsque la vitesse d’essai ε& augmente. Ce comportement rend très délicat le dimensionnement des structures lorsqu’il y a des risques d’explosion, qui peut conduire à une augmentation brutale de la vitesse de déformation de la structure (cas notamment des centrales nucléaires). Le vieillissement des matériaux influe sur la ténacité de la même manière que la vitesse de déformation. A mesure que les matériaux vieillissent, le domaine fragile s’étend au dépens du domaine ductile avec translation de la zone de transition vers les températures plus grandes. C’est pour cette raison que certaines vieux ponts de structure métallique sont fermées l’hiver quand il gèle ; ils deviennent très fragiles (un peu comme le verre) et peuvent rompre à tout moment.
II.10 PROPAGATION INSTABLE - COURBE R DE RESISTANCE A LA RUPTURE La théorie de Griffith prévoit une extension ∆a d’une fissure de longueur a traversant l’épaisseur e de la structure, lorsque :
∆U = 2γ S avec ∆a → 0 e∆a
G = Lim
RS∆U T2γ
S
l'énergie dépensée lors de l'extension ∆a l'énergie spécifique de création de surface
Ce critère de rupture s’applique aux matériaux fragiles. L’expression du champ de contraintes à l’extrémité d’une fissure présente une singularité c’est à dire que la MLR prévoit des contraintes infinies. Cette répartition des contraintes est irréaliste dans la mesure où les matériaux ont une limite d’élasticité et qu’au delà on observe une plastification. C’est précisément ce qui se produit à l’extrémité d’une fissure. Dans les matériaux ductiles, l’énergie dépensée pour plastifier l’extrémité de la fissure peut devenir très importante par rapport à l’énergie de création de surface. Il convient dans ces conditions, de réécrire le bilan des variations d’énergie qui accompagnent une extension ∆a d’une fissure :
∆Wext = ∆Welast . + ∆U avec ∆U la variation d’énergie dépensée lors de l’extension, qui se décompose alors en : ∆U = ∆Wsép + ∆Wplast avec
RS∆W T ∆W sép
l'énergie de séparation des surfaces fissurées l' énergie dissipée dans la plastification plast
∆Wsép peut devenir négligeable devant ∆Wplast dans les matériaux très ductiles.
35
L’extension ∆a de la fissure se produira donc lorsque l’énergie de Griffith atteint la valeur :
b
G = 2 γ S +γ
P
g avec 2γ
P
l'énergie spécifique de plastification
Cette extension de fissure peut être stable ou instable. Pour étudier la stabilité de la fissuration, on pose pour une épaisseur unité de la structure : ∆U = R∆a
II.44
R est la force de résistance à l’accroissement de la fissure ; on l’appelle tout simplement la force de résistance à la rupture. R, comme l’énergie de Griffith G, est homogène à une énergie par unité de surface ou à une force par unité d’épaisseur. Le tracé des variations de R avec la longueur de fissure correspond à ce qu’on appelle la courbe R. Considérons une fissure de longueur initiale 2a 0 dans une plaque de grandes dimensions soumise à une contrainte σ ∞ (figure I.2). A σ ∞ fixée, l’énergie de Griffith varie linéairement avec la longueur de fissure (relations I1 et I2) : G=
c h
2
π σ∞ a E
, et GC =
πσ 2R a E
à la rupture
La figure II.21 présente schématiquement l’allure de la courbe R dans 2 types de matériaux :
G, R
σR
G
G, R
R GC
GC
σR
G
σ 2∞
R
σ 1∞
σ∞ <σR a
a
a0
a0
(a) matériau fragile
(b) matériau ductile
Figure II.21 : Types de courbes R La figure II.21a, est typique de la résistance à la fissuration dans un matériau fragile. A σ ∞ < σ R la fissure reste stable ; à σ ∞ = σ R , elle se propage brutalement. L’instabilité se produit car l’énergie G croît avec la longueur de fissure alors que la résistance à la fissuration du matériau demeure constante. La valeur critique GC est alors mesurée sans ambiguïté. La figure II.21b représente la courbe R dans un matériau ductile. Lorsqu’on charge jusqu’à σ 1∞ , la longueur de fissure reste constante. Entre σ 2∞ et σ R , la fissure se propage de façon stable mais lorsque la charge σ R est atteinte, l’énergie G vient tangenter la courbe R et la propagation est alors brutale. La détermination de GC est plus délicate dans ces conditions, car la propagation instable est précédée d’une propagation stable qui correspond à une
36
déchirure ductile à fond de fissure. Au delà de σ 2∞ , la résistance à la rupture augmente ; ce comportement s’explique par l’existence d’une zone plastique à l’extrémité de la fissure qui concentre une énergie de résistance devant laquelle l’énergie nécessaire à provoquer les micro ruptures à fond de fissure est bien plus faible. L’examen de l’allure des courbes R permet d’énoncer la condition de stabilité. La fissuration est stable tant que : G = R et
dG dR ≤ da da
II.45a
La propagation instable intervient lorsque : dG dR > . da da
II.45b
La ténacité K I C d’un matériau et l’énergie critique de Griffith sont deux grandeurs qui caractérisent la capacité d’un matériau à résister à la propagation d’une fissure. Le lien entre ces deux grandeurs est bien établi en MLR. Le critère de K I C est également utilisé pour définir une dimension critique de défaut dans les opérations de contrôle. Les essais expérimentaux montrent que la ténacité dépend de l’épaisseur de la structure (figure II.20) et augmente lorsque celle-ci diminue. Les calculs et les mesures montrent par ailleurs que l’état de contraintes planes, prédominant dans les plaques minces, conduit à une plastification bien plus importante que l’état de déformations planes qui prévaut dans les structures épaisses ; la courbe R présente alors une allure du type de la figure II.21b très marquée. Pour prévoir la rupture des plaques minces, on est donc amené à déterminer à la fois la déchirure stable et le critère d’instabilité. Le concept de courbe R qui est aussi utilisé pour relier l’accroissement ∆a de la fissure au FIC, permet de prévoir cette déchirure ductile qui précède l’instabilité. II.10.1 Procédure de détermination des courbes R
Les courbes R exprimées en termes de FIC, qu’on appellent K R , sont généralement déterminées expérimentalement, par deux méthodes : mise en charge par déplacement imposé ou bien par force contrôlée. La figure II.6 illustre ces deux méthodes expérimentales. a - Déplacement imposé
Supposons que l’ensemble éprouvette-machine de traction soit en équilibre au point A ( K I = K R - figure II.22a). Lorsqu’on augmente légèrement le déplacement, il s’ensuit une augmentation de charge suivant le trajet AB. L’écartement est alors maintenu constant selon un palier, l’éprouvette se fissurant par déchirure ductile suivant BC. Au point C, l’ensemble est à nouveau stable. La courbe K R est constituée par l’ensemble des points obtenu à stabilité de la fissure ( K I = K R ), pour une succession de paliers à déplacement donné dont la durée est fixée par l’arrêt de la déchirure ductile. Cette méthode permet de déterminer notamment la partie supérieure de la courbe K R . 37
b - Force imposée
Le principe de cette seconde méthode (figure II.22b) est similaire, mais au point K I C l’instabilité de l’ensemble provoque la rupture brutale de l’éprouvette ; la détermination de la partie supérieure de la courbe R est impossible lorsqu’on opère à force imposée.
KI, KR
KI, KR
KR
KR
B C
K IC
A
a/L
a/L
a0/L
a0/L
(b) Courbes KI(a) à force imposée
(a) Courbes KI(a) à déplacement imposé
Figure II.22 : Méthodes de détermination de la courbe KR La courbe R (ou KR) étant constante pour un matériau donné, à une épaisseur donnée, il est intéressant de tracer cette courbe sur un graphique ayant pour ordonnée la contrainte à l’infini σ ∞ . C’est la représentation la plus pratique pour les bureaux d’études. La figure II.23 illustre le type de courbes obtenues.
σ∞ Matériau fragile II I
σ∞
Matériau ductile II
σ∞ =
K IC
πa
III
I
a
a
(a)
(b) Figure II.23 : Courbe R avec la contrainte appliquée en ordonnée (a) comparaison des comportements fragile et ductile (b) courbes pour différents longueurs de fissures
38
Le domaine I de la figure II.23a représente la montée en charge sans fissuration et le domaine II correspond à la fissuration sous charge croissante. Le domaine III, observé lors d’essais sur matériau ductile uniquement, illustre la fissuration en accélération sous charge constante. La figure II.23b est une représentation schématique des courbes obtenues pour différentes longueurs de fissures initiales. On détermine ainsi le lieu des points σ ∞ en fonction de la K IC longueur initiale de fissure, tel que σ ∞ = . πa II.10.2 Structure à complaisance finie
Les structures en service sont généralement chargées avec des conditions limites qui se situent entre le déplacement et la force imposés. Cette situation intermédiaire peut être représentée schématiquement par un ressort monté en série avec la structure fissurée (figure II.24). La structure est soumise à un déplacement ∆ X ; le ressort représente quant à lui la complaisance du système (c’est à dire l’inverse de la rigidité). Un déplacement pur correspond à une complaisance C nulle (ou rigidité infinie). Le chargement en contrôle de force implique un ressort de très faible rigidité autrement dit C → ∞ .
∆X
F
a
Figure II.24 : Structure fissurée de complaisance finie représentée par un ressort monté en série avec l’éprouvette Lorsque la complaisance de la structure est finie, la détermination du point de rupture, qui se situe entre les limites correspondant au contrôle de force ou au déplacement imposé, nécessite une analyse un peu plus complexe. A l’instabilité, les conditions suivantes sont satisfaites :
39
G=R
et
FG dG IJ H da K ∆
= X
dR da
Il s’agit ensuite de calculer le terme de gauche de l’égalité précédente. La structure étant soumise au déplacement ∆ X donné par :
∆ X = ∆ + C. F
II.46
avec ∆ = ∆ (a , F ) le déplacement au point d’application de la charge F et C la complaisance.
∆ X étant fixé, on a :
FG ∂∆ IJ da + FG ∂∆ IJ dF + C. dF = 0 H ∂a K H ∂F K FG dF IJ LMC + FG ∂∆ IJ OP = −FG ∂∆ IJ H da K N H ∂F K Q H ∂a K d∆ X =
F
ou
a
∆X
a
II.47
F
L’énergie de Griffith dépendant aussi de a et F, on a : dG =
FG ∂G IJ H ∂a K
da + F
FG ∂G IJ H ∂F K
dF a
Et en divisant le tout par da à ∆X fixé, on obtient :
FG dG IJ H da K
= ∆X
FG ∂G IJ + FG ∂G IJ FG dF IJ H ∂a K H ∂F K H da K F
a
∆X
Soit compte tenu de l’Equation II47 :
FG dG IJ H da K -
F
a
F
−1
II.48
a
A force imposée, on a C → ∞ , et l’équation précédente devient :
FG dG IJ H da K -
∆X
F ∂G IJ − FG ∂G IJ FG ∂∆ IJ LMC + FG ∂∆ IJ OP =G H ∂a K H ∂F K H ∂a K N H ∂F K Q =
∆X
FG ∂G IJ H ∂a K
F
A l’inverse (à déplacement imposé), lorsque C → 0 , le système est infiniment rigide et ∆ X = ∆ (relation II46)
40
II.10.3 Modélisation des courbes R
Assimilant la courbe R à une loi de comportement, un certain nombre de modèles plus ou moins empiriques ont été proposés pour décrire la courbe expérimentale. On peut citer le modèle de Broek qui, ayant observé que la longueur critique à rupture aC est proportionnelle à la longueur initiale a0 (aC =α a0) proposa pour décrire la courbe R :
b
R = β a − a0
g
α −1/α
Wang et McCabe proposèrent un polynôme du second ordre : R = R0 + C1 (a − a 0 ) + C2 (a − a 0 ) 2
La représentation de Broek est plus simple, mais elle donne R=0 pour ∆a=0. Or il est prouvé expérimentalement que pour ∆a=0, une valeur finie de R=R0 existe, à cause de la formation d’une zone plastifiée avant le début de la fissuration. Partant de cette remarque, Mai a proposé un modèle à trois paramètres : R = R0 + Q(a − a 0 ) p
Ce modèle permet d’analyser les résultats en déterminant R0, Q et p à l’aide d’une représentation bilogarithmique LogR = fct Log∆a . La valeur de p=0 correspond à une configuration de chargement en déformations planes donc plutôt de type fragile, alors que p=1 correspond à une configuration de contraintes planes pure où les effets de plastification sont généralement beaucoup plus marqués. La figure II.25 illustre les résultats obtenus lorsqu’on fait varier le paramètre p.
R
p
B
∆a
Figure II.25 : Modèle de Mai pour les courbes R
41
II.11 ZONE PLASTIQUE A FOND DE FISSURE La MLR prédit des contraintes infinies à l’extrémité d’une fissure aiguë (singularité en 1 / r ). Mais dans les matériaux réels, les contraintes à l’extrémité d’une fissure restent finies car le rayon à fond de fissure n’est pas nul. Ces contraintes dépassent la limite d’élasticité du matériau et la déformation plastique qui en résulte, conduit à une relaxation des contraintes à l’extrémité de la fissure. La MLR devient progressivement imprécise à mesure que la taille de la zone plastifiée qui se forme à l’extrémité de la fissure, devient importante. Des corrections simples à la MLR sont proposées lorsque cette taille reste raisonnable. Au delà d’une certaine plastification, le FIC K n’est plus adapté à la description des champs des contraintes et des déplacements à l’extrémité de la fissure. On utilise alors d’autres paramètres dont l’étude fera l’objet du chapitre III. Il est important de connaître la taille de la zone plastique à fond de fissure, compte tenu des limites d’application de la MLR. Cette taille peut être estimée par deux méthodes : l’approche d’Irwin et celle de Dugdale-Barenblatt. Les deux approches conduisent à des corrections simples du FIC. Le terme de zone plastique est usuellement utilisé pour les métaux. On l’utilisera par la suite, dans un sens plus général, pour caractériser une zone de déformations inélastiques (métaux, polymères…). II.11.1 Approche d’Irwin Dans le plan d’une fissure et en aval de l’extrémité de celle-ci, la contrainte normale σ y lorsque la sollicitation est en mode I par exemple (relation I4 avec θ=0) , est donnée par :
σy =
KI 2πr
Irwin considère, en première approximation, que la frontière entre zones élastique et plastique correspond au lieu des points où les contraintes atteignent la limite d’élasticité du matériau. Pour déterminer le rayon rE où cette frontière coupe le plan d’une fissure en contraintes planes, on écrit alors σ y = σ E où σ E est la limite d’élasticité en traction simple, ce qui conduit à :
FG IJ H K
1 KI rE = 2π σ E
2
La longueur rE est indiquée sur la figure II.26. On tronque tout simplement le champ des contraintes à σ y = σ E , en faisant l’hypothèse que le comportement du matériau est élastique plastique parfait. Cette analyse fait cependant abstraction des forces non transmises représentées par l’aire hachurée de la figure II.26. Pour tenir compte de ces forces, il convient d’assurer l’équilibre entre les deux répartitions (élastique et élastoplastique) des contraintes. La taille rP de la zone plastique doit être donc plus grande que rE . L’équilibre des forces entre les deux configurations conduit à :
42
σy
Répartition élastique
σE
Répartition élasto plastique
rE
r rP
Figure II.26 : Répartition des contraintes élastiques et élasto plastiques dans le plan de la fissure et en aval de son extrémité
z
∞
0
σ y dr = σ E . rP +
z
∞
rE
σ y dr ⇒ σ E . rP =
z
rE
0
σ y dr
Soit, compte tenu de l’expression de σ y : rP
F IJ = G π Hσ K 1 KI
2
= 2rE
II.49
E
La distribution des contraintes dans la répartition élasto plastique pour r > rP (figure II.26) est obtenue par une translation sur la distance rE de la répartition élastique. Irwin rend compte de cette translation en définissant un FIC effectif obtenu en augmentant la longueur de fissure de rE . Ce qui revient à considérer non pas la longueur réelle a de la fissure mais une longueur effective a eff = a + rE . Ainsi dans le cas d’une fissure traversant une plaque infinie chargée en mode I, le FIC sans correction K I = σ ∞ πa , devient après correction : K eff = σ
∞
π (a + rE ) = σ
∞
L 1Fσ πa M1 + G MN 2 H σ
∞
E
IJ K
2
OP PQ
12
II.50
II.11.2 Modèle de Dugdale-Barenblatt
La figure II.27 illustre le modèle du Dugdale-Barenblatt, qui considère une fissure de longueur a + ρ avec des contraintes de compression d’intensité la limite d’élasticité σ E , qui s’exercent sur la longueur ρ près de chacune des extrémités. La longueur ρ représente la taille de la zone plastique. Lorsqu’on charge une structure fissurée, une zone plastique se forme à l’extrémité de la fissure. Lors de la décharge, le reste de la structure qui est resté
43
élastique, exerce alors sur la zone plastique des contraintes de compression −σ E si on suppose que le comportement du matériau est élastique plastique parfait. −σ E
2a + 2 ρ
ρ
Figure II.27 : Modèle de Dugdale-Barenblatt La taille ρ de la zone plastique est ensuite calculée dans le cas d’une fissure traversant une plaque infinie ( K I = σ ∞ π (a + ρ ) ). Pour effectuer ce calcul, Dugdale et Barenblatt utilisent la fonction de Westergaard préalablement déterminée par Irwin dans le cas du chargement indiqué sur la figure II.28a.
F
F
F X
X
X
2a
2a
a)
b)
Figure II.28 : Fissure chargée en mode I par une paire de forces F appliquée sur les lèvres A la distance X du centre de la fissure Cette fonction a pour expression dans le cas du chargement de la figure II.28a où F est une force par unité d’épaisseur :
F Z ( z) = π z− X
b
g
a2 − X 2 z2 − a2
On en déduit aisément la fonction de Westergaard pour le chargement de la figure II.28b, en remplaçant X par –X et en additionnant les deux contributions, ce qui donne : Z ( z) =
c
2 Fz
π z2 − X 2
h
a2 − X 2 z2 − a2
On calcule ensuite le FIC à l’extrémité +a, identique au FIC à l’extrémité -a, soit : K I ( + a ) = lim 2π ( z − a ) Z ( z ) = 2 F z→ a
44
c
a
π a − X2 2
h
Dans le modèle de Dugdale-Barenblatt, on est en présence d’un chargement réparti sur la longueur ρ (figure II.27). Le calcul pour ce modèle du FIC (que l’on notera K I( DB ) ), à partir des résultats obtenus précédemment se fait en remplaçant F par − σ E dx et a par a+ρ, et en sommant ensuite sur x variant de a à a+ρ, ce qui donne :
K I( DB ) = −2σ E
a+ρ
π
z
dx
a+ρ
a
(a + ρ ) 2 − x 2
soit après intégration : K I( DB ) = −2σ E
a+ρ
π
FG a IJ H a + ρK
Arc cos
Le calcul de la taille ρ de la zone plastique se fait ensuite par une application classique du principe de superposition (figure II.29), ce qui conduit à :
σ∞
σ∞
−σE
−σE
=
-
Figure II.29 : Principe de superposition pour le modèle de Dugdale-Barenblatt K I( DB ) + σ ∞ π (a + ρ ) = 0
Soit :
FG H
a πσ ∞ = cos a+ρ 2σ E
IJ K
La taille ρ de la zone plastique devient très grande lorsque la contrainte appliquée σ ∞ tend vers la limite d’élasticité σ E du matériau. A l’inverse quand cette contrainte est faible par rapport à σ E , un développement limité simple de la relation précédente conduit à :
FG IJ H K
π KI ρ= 8 σE
2
45
Remarque : Si on compare le coefficient π 8 = 0,393 de la relation précédente au coefficient 1 π = 0,312 qui apparaît dans la relation II49, on constante que les approches d’Irwin et de Dugdale-Barenblatt conduisent à des valeurs de la taille de zone plastique assez proches en définitive. Le modèle de Dugdale-Barenblatt conduit, après correction de zone plastique, à un FIC effectif donné par :
K eff =
σ ∞ πa
II.51
F πσ IJ cosG H 2σ K ∞
E
La relation précédente tend toutefois à surestimer la valeur du FIC. Burdekin et Stone ont obtenu une estimation plus raisonnable pour le même type de modèle. L’expression du K eff que proposent ces auteurs est : K eff = σ E πa −
8
π2
F F πσ Log G cosG H H 2σ
∞
E
IJ I K JK
II.52
II.11.3 Comparaison des corrections de zone plastique
La figure II.30 compare l’analyse de MLR, en contraintes planes et sans correction de zone plastique, avec les approches d’Irwin, de Dugdale-Barenblatt et de Burdekin et Stone qui proposent un FIC K eff pour rendre compte de la modification du champ des contraintes engendrée par la plastification à fond de fissure.
2
K eff
σ E πa
II52
1.5
II51 1
II50
0.5
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
σ∞ σE
Figure II.30 : Comparaison des corrections de zone plastique
46
Le FIC K eff normalisé par σ E πa est reporté en fonction de la contrainte normalisée
σ ∞ σ E . Les corrections proposées deviennent significatives lorsque la contrainte appliquée σ ∞ > 0,5σ E . Elles restent d’ailleurs assez proches entre elles tant que σ ∞ < 0,5σ E . Au delà, la correction de Dugdale-Barenblatt devient excessive alors que celles d’Irwin et de BurdekinStone restent équivalentes jusqu’à σ ∞ = 0,7σ E . II.11.4 Formes de la zone plastique
Les modèles précédents donnent des estimations de taille de zone plastique rP à θ = 0 , c’est à dire rP (θ = 0) . Pour avoir rP (θ ) lorsqu’on fait varier l’angle θ , il faut appliquer un critère de plasticité. Les deux critères les plus utilisés pour le calcul sont ceux de Von Mises et de Tresca. Ces deux critères s’écrivent dans l’espace des contraintes principales : Von Mises Tresca
bσ
g + bσ − σ g + bσ Max dσ − σ i = σ 1
−σ2
2
2
2
i
3
j
3
−σ1
g
2
= 2σ 2E
E
Le calcul de la forme de la zone plastique rP (θ ) par ces deux critères donne, en mode I : i) en contraintes planes
Von Mises
Tresca
rP (θ ) =
rP (θ ) =
K I2
2πσ
2 E
K I2
cos 2
FG θ IJ FG 1 + 3 sin FG θ IJ IJ H 2K H H 2KK 2
FθIF θI cos G J G 1 + sin J H 2K H 2K 2
2πσ 2E
II.53
2
pour 0 < θ < π
II.54
FG θ IJ IJ H 2KK
II.55
ii) en déformations planes K I2
Von Mises
rP (θ ) =
Tresca
R|r (θ ) = K |S 2πσ || r (θ ) = K 2πσ T
2πσ
2 E
cos2
2 I
P
P
2 E 2 I 2 E
FG θ IJ FG b1 − 2υ g H 2K H
2
+ 3 sin 2
θI FθIF cos G J G 1 − 2υ + sin J H 2K H 2K 2
sin (θ )
2
si 0 ≤ θ ≤ 2 Arc sin(1 − 2υ ) II.56
pour 2 Arc sin(1 − 2υ ) < θ ≤ π
2
Les formes des zones plastiques qui se forment à l’extrémité d’une fissure sollicitée en mode I sont représentées sur la figure II.31. L’étendue de la zone plastifiée est plus importante en contraintes planes qu’en déformations planes (avec υ = 0,3 ) , et ce pour les deux critères. Le critère de Tresca conduit, en contraintes planes comme en déformations planes, à des zones plastifiées légèrement plus étendues que celles prévues par le critère de Von Mises. Les
47
observations expérimentales des zones plastiques semblent cependant qualitativement plus proches du critère de Tresca, notamment en contraintes planes.
2
rp
LM OP N Q
1 KI 2π σ E
CP
2
DP 0
-2
Figure II.31 : Contours des zones plastiques en mode I, prévus par les critères de Mises (trait continu) et de Tresca (trait pointillé), en contraintes planes (CP) et en déformations planes (DP). En mode II et III, on peut également déterminer les contours des zones plastiques en considérant par exemple le critère de Von Mises qui s’écrit dans l’espace des contraintes non principales :
dσ
xx
+ σ yy + σ zz
i − 3dσ 2
xx
i
σ yy + σ yy σ zz + σ zz σ xx − τ 2xy − τ 2yz − τ 2xz = σ 2E
Le calcul des zones plastiques pour ces deux modes donne : i) Mode II en contraintes planes
LM4 sin FG θ IJ + 3sin FG θ IJ FG cos θ cos 3θ IJ FG 2 + cos θ cos 3θ IJ OP H 2K H 2 2 K H 2 2K PP MM H 2θK 3 θ θ PQ MN +3cos FGH 2 IJK FGH 1 − sin 2 sin 2 IJK 2
rP (θ ) =
K
2 II
2πσ 2E
2
II.57
2
ii) Mode II en déformations planes
LM4(1 + υ ) sin FG θ IJ + 3 sin FG θ IJ FG cos θ cos 3θ IJ FG 2 + cos θ cos 3θ IJ OP H 2K H 2K H 2 2 K H 2 2K PP MM θI θIF θ 3θ I F F PQ MN−12υ sin GH 2 JK + 3cos GH 2 JK GH 1 − sin 2 sin 2 JK 2
rP (θ ) =
K
2 II
2πσ 2E
2
2
2
2
48
II.58
iii) Mode III rP (θ ) =
2 3K III 2πσ 2E
II.59
Les figures II.32 et II.33 représentent les contours de ces zones plastiques.
4
rp
LM OP N Q
1 K II 2π σ E
2
DP
0
CP
-4 0
Figure II.32 : Contours des zones plastiques en mode II
4
rp
LM OP N Q
1 K III 2π σ E
2
Figure II.33 : Contour de zone plastique en mode III Les différents contours de zones plastiques déterminés auparavant correspondent aux frontières où la limite d’élasticité du matériau est atteinte. En fait, les choses sont un peu plus compliquées ; il y a en particulier comme on l’a vu précédemment, une translation du champ des contraintes élastiques avec une nouvelle répartition des contraintes. Par ailleurs, le comportement des matériaux présente en général une consolidation qui a une grande influence sur les tailles de zones plastiques. 49
II.12 ETATS DE CONTRAINTES OU DE DEFORMATIONS PLANES La plupart des solutions classiques en MLR réduisent les configurations de chargement étudiées à des problèmes bidimensionnels. Autrement dit, on considère qu’une contrainte ou une déformation principale est nulle. En général les conditions en aval de l’extrémité d’une fissure ne correspondent ni à l’état de contraintes planes pur ni à celui de déformations planes pur. Il y a cependant certains cas où l’approximation 2D donne des résultats tout à fait acceptables. Considérons une plaque d’épaisseur e, fissurée et soumise à un chargement plan comme indiqué sur la figure II.34. On suppose que la taille de la zone plastique est suffisamment faible pour que l’analyse en MLR soit valable.
e σx
σy r
σz
e
Fissure
Figure II.34 : Etat des contraintes près de l’extrémité d’une fissure En l’absence de fissure, la plaque est en état de contraintes planes. Aussi les régions suffisamment éloignées de l’extrémité de la fissure restent dans cet état de sollicitation. L’extrémité de la fissure est chargée à des contraintes bien plus élevées que le reste du matériau. Dans le plan de la fissure et en aval de son extrémité, les contraintes normales étant élevées, le matériau aura tendance à se contracter dans les directions x et z ; cette déformation est cependant restreinte par le matériau tout autour. La conséquence de cette restriction de la déformation est le développement d’une triaxialité des contraintes près de l’extrémité de la fissure. Pour r<
50
σz
−ε z σ z
r<
σz
x z
y
Déformations planes
x = 0,250 e
−ε z z e
0
x = 0,005 e x = 0,025 e x = 0,125 e
0,5
z e
0
a)
0,5
b)
Figure II.35 : Variations schématiques de l’état de sollicitation lorsqu’on se déplace du cœur de l’éprouvette vers sa surface a) Evolutions de la contrainte σ z et de la déformation ε z , b) Evolution de la contrainte lorsqu’on s’éloigne de l’extrémité de la fissure La figure II.35b montre l’évolution de la contrainte σ z lorsque x/e augmente, autrement dit lorsqu’on s’éloigne de l’extrémité de la fissure. L’état de contraintes planes devient progressivement prédominant. L’état de contraintes à la frontière de la zone plastique dépend de la taille de cette zone comparée à l’épaisseur de l’éprouvette. Pour les faibles tailles de zone plastique, l’état de déformation plane existe à la frontière, mais lorsque la taille de zone plastique est proche de l’épaisseur de l’éprouvette, l’état de contraintes planes devient prédominant.
II.13 MODE DE RUPTURE MIXTE La figure II.36a représente une fissure inclinée traversant une plaque soumise à une traction simple. Si la fissure n’était pas inclinée ( β = 0° ), le chargement appliqué conduirait à du mode I pur. Pour montrer comment l’inclinaison de la fissure entraîne du mode II, on calcule le vecteur contrainte dans le plan de la fissure. Ce vecteur s’écrit :
r r r r T ( M , n ) = σ • n = σ ∞ cos β y
c
h
Il se décompose en une contrainte normale σ n et une contrainte tangentielle τ :
σ n = σ ∞ cos2 β et τ = σ ∞ sin β cos β La fissure étant de très petite dimension par rapport à celles de la plaque, les FIC en mode I et II sont donnés respectivement par :
K I = σ ∞ cos 2 β πa et K II = σ ∞ sin β cos β πa
51
σ∞
σ∞
r y β
r n
β
r x
r n
2a
2a
a)
b) Figure II.36 : Fissure inclinée dans une plaque en traction
Lorsque deux, voire trois modes de sollicitation sont présents, l’énergie de propagation G est additive :
G = G I + G II +K Cette équation suppose cependant que la fissure se propage en restant dans son plan. Ainsi dans le cas de la figure II.36a, le taux de restitution d’énergie G s’écrit :
cσ h πa β ∞
G = G I + G II = cos 2
2
E'
L’égalité précédente reste vraie tant que la fissure ne dévie pas de son plan. La figure II.36b est une illustration d’un autre scénario plus proche de la réalité. La fissure initialement inclinée, aura tendance à se propager dans le plan où elle est beaucoup plus sollicitée, c’est à dire à revenir en mode I. En d’autres termes, la fissure suit le chemin de propagation de moindre résistance (ou le chemin de propagation de plus forte intensité des contraintes) et ne reste pas nécessairement dans son plan initial. Si le matériau est isotrope et homogène, la fissure se propagera de sorte que son énergie G soit maximum. Nous allons exprimer l’énergie G en fonction de la direction de propagation dans le cas d’une fissure sollicitée en mode mixte. Seuls les modes I et II seront considérés, mais le raisonnement peut être étendu au cas plus général où les 3 modes sont présents. II.13.1 Propagation d’une fissure inclinée
Les relations précédentes donnant les FIC peuvent s’écrire :
K I = K I( 0) cos 2 β et K II = K I( 0) sin β cos β où K I( 0) = σ ∞ πa est le FIC en mode I pur lorsque l’inclinaison est nulle ( β = 0° ) 52
II.60
Les champs de contraintes asymptotiques, à l’extrémité de la fissure, en modes I et II purs, s’expriment (en coordonnées polaires – voir annexe A) respectivement par :
R|σ || S|σ || τ T R|σ || S|σ || τ T
rr
=
θθ
=
rθ
=
rr
=
θθ
=
rθ
=
LM 5 cos θ − 1 cos 3θ OP 2 4 2Q 2πr N 4 K L3 3θ O θ 1 cos + cos P M 2 4 2Q 2πr N 4 K L1 θ 1 3θ O sin + sin P 2 4 2Q 2πr MN 4 K L 5 θ 3 3θ O − sin + sin P M 2 4 2Q 2πr N 4 K L 3 θ 3 3θ O − sin − sin P M 2 4 2Q 2πr N 4 K L1 3θ O θ 3 cos + cos P 2 4 2Q 2πr MN 4 KI
I
II.61
I
II
II
II.62
II
Supposons une propagation infinitésimale d’une fissure initialement inclinée d’un angle β par rapport à la direction de chargement, selon le chemin indiqué sur la figure II.37a. En se plaçant dans le plan de la fissure, on a en début de propagation, la situation représentée sur la figure II.37b.
y
x
α
a)
b) Figure II.37 : Fissure inclinée Propagation selon un angle α par rapport au plan de la fissure
Les FIC locaux à l’extrémité de la déviation d’angle α, diffère des FIC K I et K II de la fissure initiale. Si on définit un repère local (x,y), et qu’on somme les contraintes normales et tangentielles, les FIC en mode I et II à l’extrémité de la déviation, sont donnés par :
k I (α ) = σ yy 2πr = C11 K I + C12 K II
II.63
k II (α ) = τ xy 2πr = C21 K I + C22 K II
II.64
53
où K I et K II sont donnés par les relations II60 et les coefficients Cij s’expriment, en se reportant aux relations II61 et II62, par :
R| C = 3 cos α + 1 cos 3α ||C = −43 sin2α −43 sin 32α |S 4 2 4 2 1 α 1 3α || C = 4 sin 2 + 4 sin 2 || C = 1 cos α + 3 cos 3α T 4 2 4 2 11
12
II.65
21
22
L’énergie de Griffith G (α ) à l’extrémité de la déviation, s’exprime par :
G (α ) =
k I2 (α ) + k II2 (α ) E
II.66
Les valeurs de G (α ) lorsque α et β varient, sont représentées sur la figure II.38.
2
G (α ) / G (0)
β = 60
β = 45
1.5
β = 30 1
β = 15 0.5
0 -180
β=0
-120
-60
0
α
60
120
180
Figure II.38 : Variations de l’énergie de Griffith avec α, à différentes valeurs de β .
54
Les maximums de G (α ) à β fixé, correspondent aux points où k I est maximum et k II = 0 . Ainsi, le maximum de l’énergie de Griffith est donné par :
Gmax
k I2 (α *) = E
II.67
où α* est l’angle pour lequel les valeurs de l’énergie G et de k I sont maximales et k II = 0 . Dans un matériau homogène, une fissure initialement inclinée d’un angle β se propagera en suivant une direction faisant l’angle α* avec le plan initial de la fissure. II.13.2 Mode I équivalent
Le cas de la fissure de longueur 2a traité dans le paragraphe précédent (inclinaison initiale d’un angle β et propagation dans la direction α*) équivaut à une fissure de longueur a eq sollicitée en mode I pur à la même intensité des contraintes, autrement dit on a :
K I (a eq ) = k I (α *, β , a )
II.68
Si on considère une fissure de petite dimension traversant une plaque, on a alors :
σ ∞ πa eq = σ ∞ πa cos2 β ⋅ C11 (α *) + sin β cos β . C12 (α *) soit :
a eq a
= cos2 β ⋅ C11 (α *) + sin β cos β . C12 (α *)
55
2
II.69
Chapitre III
MECANIQUE NON LINEAIRE DE LA RUPTURE La mécanique linéaire de la rupture (MLR) demeure une approche valable tant que le comportement du matériau est élastique et linéaire, mais aussi lorsque la plastification à fond de fissure reste confinée dans une zone de faible taille par rapport aux dimensions des fissures et de celles de la structure fissurée. Il est quasiment impossible dans beaucoup de matériaux de respecter les deux conditions précédentes et de décrire le comportement avec la MLR. Une approche alternative s’avère nécessaire pour ces matériaux. La mécanique élasto-plastique de la rupture (MEPR) ou mécanique non linéaire de la rupture (MNLR) s’applique au matériaux ductiles lorsque le comportement reste toutefois indépendant du temps (pas d’effets dynamiques ou de viscosité, absence de fluage…). Comme pour la MLR, où deux paramètres équivalents (K et G) peuvent être utilisés comme critère de rupture, deux paramètres caractéristiques de la MEPR sont présentés dans ce chapitre. Nous verrons que ces deux paramètres - le déplacement à fond de fissure ou CTOD (Crack Tip Opening Displacement) et l’intégrale de contour notée J - sont aussi équivalents entre eux. Ils décrivent tous les deux, les conditions à l’extrémité d’une fissure (champs de contraintes et de déplacements) et peuvent être utilisés comme critère de rupture. Les valeurs critiques de J et du CTOD conduisent à des valeurs de la ténacité des matériaux à peu près indépendantes de la géométrie des structures, même lorsque la plastification à l’extrémité des fissures est importante. On verra également dans quelles conditions on atteint les limites de ces approches à paramètre descriptif unique (J ou CTOD). III.1 ECARTEMENT A FOND DE FISSURE (CTOD) On s’est rendu compte dès le début des années 60, qu’il était difficile de caractériser avec la seule MLR, la ténacité de certains matériaux tels que les aciers de structure. Les matériaux étaient élaborés en recherchant une plus forte ténacité mais les concepts existants de la MLR (K ou G) n’étaient pas applicables à cette classe de matériaux comme l’ont montré les essais expérimentaux de Wells. L’émoussement de l’extrémité des fissures fut la principale observation expérimentale de Wells. La figure III.1 illustre la différence de comportement entre une fissure élastique et une fissure dont l’extrémité s’émousse du fait de l’écoulement plastique. Wells observa que l’émoussement de l’extrémité des fissures augmentait avec la ténacité des matériaux. Cela l’a conduit à proposer l’écartement à fond de fissure comme mesure de la ténacité. Ce paramètre est connu aujourd’hui sous le nom de CTOD. L’analyse proposée par Wells tente de relier le CTOD au FIC K lorsqu’on est en régime de plasticité confinée. Pour examiner cette approche on va considérer une fissure avec une faible zone plastifiée comme indiqué sur la figure III.2. Irwin montra qu’une telle fissure se comporte comme si elle était effectivement plus longue du fait de l’écoulement plastique à fond de fissure. On peut alors estimer le CTOD en augmentant la longueur de fissure de ry, la correction de zone plastifiée. Le CTOD est pris égal à l’ouverture de la fissure à la distance ry en amont de l’extrémité ; le déplacement à cette distance est estimé à partir de la MLR qui prévoit en mode I : ry κ = 3 − 4υ en DP κ +1 avec uy = KI III.1 κ = (3 − υ ) / (1 + υ ) en CP 2µ 2π
RS T
56
a) Fissure élastique
b) Emoussement de l’extrémité
Figure III.1 : Comparaison de l’ouverture d’une fissure élastique (a) et d’une fissure dont l’extrémité s’émousse (b).
CTOD=2uy
ry
Figure III.2 : Estimation du CTOD à partir du déplacement à la distance ry en amont de l’extrémité d’une fissure de longueur a + ry. La longueur effective de fissure est a+ ry avec ry le rayon de zone plastifiée calculé d’après l’approche d’Irwin :
FG IJ H K
1 KI ry = 2π σ E
2
III.2
En combinant les 2 relations précédentes, on trouve :
57
δ = 2u y =
4 K I2 π σEE
III.3
δ est le CTOD ou écartement à fond de fissure. Le CTOD peut être relié au taux de restitution d’énergie G en utilisant la relation liant G au FIC K. En contraintes planes, on a : G=
K I2 E
⇒ δ=
4 G
III.4
π σE
Ainsi, lorsqu’on est en régime de plasticité confinée où la MLR s’applique, le CTOD est relié à G et au FIC KI. Wells postula alors que le CTOD est un paramètre approprié pour caractériser le comportement à l’extrémité d’une fissure lorsqu’on atteint les limites d’application de la MLR. Cette hypothèse s’est avérée correcte quelques années plus tard lorsqu’on établit une relation unique entre le CTOD et l’intégrale de contour J introduite par Rice (§ III.2). Le modèle de Dugdale-Barenblatt peut aussi être utilisé pour estimer le CTOD (figure III.3).
−σ E CTOD
Figure III.3 : Estimation du CTOD à partir du modèle de Dugdale-Barenblatt L’ouverture de la fissure au début de la zone où les contraintes de compression σE s’exercent, correspond au CTOD δ dans ce modèle qui s’exprime par (annexe B) :
F F GH GH
8σ E a π σ∞ δ=− Log cos 2 σE πE
IJ I K JK
III.5
Le développement limité au voisinage de 0 de l’équation précédente donne :
F π σ IJ = 1 − 1 FG π σ IJ + 1 FG π σ IJ +K cosG H 2 σ K 2H 2 σ K 4H 2 σ K OP = K LM1 + 1 F π σ I +KOP 8σ a L 1 F π σ I 1 Fπ σ I M K δ= + + G J 12 GH 2 σ JK P σ E M 6 GH 2 σ JK P πE M 2 H 2 σ K N Q Q N ∞
2
∞
∞
E
E
∞
2
4
E
En considérant uniquement le premier terme, on a :
58
4
E
2 I
E
E
∞
E
∞
E
2
δ=
K I2 σEE
III.6
La relation III.6 diffère peu de la relation III.3 (le terme 4/π est remplacé par 1). Le modèle de Dugdale-Barenblatt suppose un état de contraintes planes et un matériau élastique-plastique parfait c’est à dire sans consolidation. La relation plus générale entre le CTOD δ et le FIC KI est de la forme :
δ=
K I2 mσ E E
=
G mσ E
III.7
Où m est un coefficient sans dimension qui vaut à peu près 1 en contraintes planes et 2 en déformations planes. Plusieurs définitions ont été proposées pour le CTOD. Les deux définitions les plus communément utilisées sont représentées sur la figure III.4. La première utilise le déplacement à l’extrémité de la fissure initiale c’est à dire de longueur non corrigée (figure III.4a). La seconde définition, illustrée sur la figure III.4b, considère le déplacement à l’intersection des deux cotés d’un angle droit issu du fond de la fissure émoussée. Cette dernière définition, couramment utilisée dans les calculs par la MEF, a été suggérée par Rice. On peut noter que les deux définitions sont équivalentes lorsque l’émoussement de l’extrémité de la fissure est de forme semi-circulaire.
a) Déplacement à l’extrémité initiale
b) Déplacement à l’intersection d’angle droit
Figure III.4 : Définitions du CTOD L’écartement à fond de fissure (ou CTOD) est une grandeur locale difficilement accessible directement. La plupart des mesures en laboratoire utilisent des éprouvettes de flexion 3 points. Lorsqu’elles sont fissurées, ces éprouvettes tournent autour d’un point (centre de rotation) qui demeure à peu près fixe tout au long du chargement.
59
V
V
a
δ
L
a
r(L-a)
.
Figure III.5 : Modèle à centre de rotation ( ) fixe pour la mesure du CTOD. En considérant les relations entre triangles semblables, on obtient :
δ r( L − a)
=
V r ( L − a) + a
⇒ δ=
r ( L − a )V r ( L − a) + a
Où V est l’ouverture de la fissure et r est le facteur de rotation compris entre 0 et 1. Le modèle à centre de rotation fixe a été ensuite amélioré pour tenir compte du déplacement élastique qui précède l’émoussement de l’extrémité de la fissure. Les méthodes standards de détermination du CTOD séparent les déplacements élastique et plastique. La figure III.6 montre un exemple type d’enregistrement de la charge en fonction de l’ouverture V de la fissure. Charge
VP
Ouverture V de la fissure
Figure III.6 : Enregistrement type de la charge en fonction de l’ouverture de la fissure Le CTOD δ est ainsi séparé en deux composantes :
δ = δ el + δ P =
K I2 mσ E E
+
rP ( L − a )V P rP ( L − a ) + a
Le facteur de rotation plastique rP dans les procédures standards est pris égal à 0,44.
60
III.8
III.2 INTEGRALE J
L’intégrale de contour J utilisée comme paramètre caractéristique de l’état de contrainte au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans les matériaux dont le comportement est non linéaire, a connu un grand succès. Rice qui proposa ce paramètre, assimile le comportement élasto-plastique à un comportement élastique non linéaire. L’approche de Rice qui repose sur une telle hypothèse doit être utilisée avec précaution lorsqu’on a des décharges élastiques par exemple. La figure III.7 illustre la différence de comportement entre un matériau élastoplastique et un matériau élastique non linéaire. Lors de la décharge, le chemin suivi par le matériau élastique non linéaire est différent du chemin réel que l’on observe dans les matériaux élasto-plastiques. Une relation unique lie la contrainte et la déformation dans un matériau élastique, linéaire ou non, mais une déformation donnée dans un matériau élastoplastique peut correspondre à plusieurs contraintes si le matériau est déchargé ou soumis à des sollicitations cycliques. Il est donc plus aisé de considérer un matériau élastique qu’un matériau où les déformations sont irréversibles.
Matériau élastique non linéaire Contrainte
Décharge dans un Matériau élasto-plastique
Déformation
Figure III.7 : Comportement élastique non linéaire et comportement réel On voit bien sur la figure III.7 que les deux matériaux donnent la même réponse tant que les contraintes augmentent de façon monotone. Cette réponse peut cependant ne pas être la même lorsqu’on traite des problèmes 3D, mais dans beaucoup de cas l’assimilation des deux réponses constitue une hypothèse acceptable. Ainsi donc l’analyse qui suppose un comportement élastique non linéaire, peut être valable pour un matériau élasto-plastique en l’absence de décharges. La théorie de la déformation de la plasticité qui propose une relation unique entre les déformations totales et les contraintes dans un matériau, est équivalente à l’élasticité non linéaire. Rice a appliqué la théorie de la déformation pour analyser un solide fissuré. Il a démontré que le taux de restitution d’énergie non linéaire noté J, peut être déterminé à partir d’une intégrale de contour indépendante du contour d’intégration. Hutchinson, Rice et Rosengreen ont ensuite montré que ce paramètre J caractérise de façon unique les champs de contraintes et de déformations au voisinage de l’extrémité d’une fissure dans un matériau non linéaire.
61
L’intégrale J peut donc être considérée à la fois comme un paramètre d’énergie et un paramètre d’intensité des contraintes, comme en MLR où le FIC K et l’énergie de Griffith G sont deux paramètres qui décrivent de manière équivalente la répartition des contraintes. III.2.1 Taux de restitution d’énergie non linéaire
Rice, en proposant l’intégrale J pour analyser les solides fissurés, montra que la valeur de cette intégrale est égale au taux de restitution d’énergie dans un matériau non linéaire. Pour bien comprendre la signification de ce paramètre, on va considérer comme au chapitre II, les variations d'énergie qui accompagnent une extension ∆a d’une fissure dans un solide :
∆Wext = ∆Welast . + ∆U
III.9
où l'énergie ∆U dépensée lors de la propagation de la fissure sur la longueur ∆a, se compose de l’énergie de séparation des surfaces ∆Wsép et de l’énergie de plastification ∆Wplas :
∆U = ∆Wsép + ∆Wplas La figure III.8 représente la variation de la force lors de la propagation à déplacement imposé par exemple. Le cas du chargement à force imposée se traite tout aussi simplement.
F a
Propagation a+∆a
x
x
Figure III.8 : Variation de la force lors de la propagation, à déplacement imposé, d’une fissure dans un matériau non linéaire. L’aire hachurée de la figure III.8 correspond à l’énergie de propagation ∆U, c’est à dire la différence entre l’énergie fournie et l’énergie élastique restituée après propagation de la fissure sur une longueur ∆a. Le paramètre J est défini pour une structure d’épaisseur e=1, par : J=
FG ∂U IJ H ∂a K
=− x
FG ∂ z FdxIJ H ∂a K x
0
=− x
62
z FGH x
0
∂F ∂a
IJ dx K x
III.10
Le signe moins provient du fait que l’énergie U correspond à l’aire sous la courbe (F, x) comptée négativement de sorte que lorsque la longueur de fissure augmente on a une variation positive de cette énergie. K I2 Dans le cas d’un matériau linéaire, J = G = , où G est l’énergie de Griffith et E’=E en E' E contraintes planes ou E ' = en déformations planes. 1− υ2 III.2.2 L’intégrale J, paramètre indépendant du contour d’intégration
Le paramètre J est défini (annexe B) à partir de l’intégrale de contour suivante : J=
z FGH
wdy − Ti
Γ
IJ K
∂ui ds ∂x
III.11
où Γ est un contour d’intégration entourant l’extrémité de la fissure (figure III.9), ds l’élément de longueur sur Γ, Ti et ui les composantes du vecteur contrainte et du vecteur déplacement en un point de Γ. La densité d’énergie de déformation w est définie quant à elle par : w=
z
ε ij
0
σ ij dε ij
III.12
où σij et εij sont les composantes des tenseurs de contraintes et de déformations au point courant sur le contour Γ.
y x
Γ
Figure III.9 : Contour arbitraire autour de l’extrémité d’une fissure III.2.3 L’intégrale J, paramètre d’intensité des contraintes
Hutchinson, Rice et Rosengren (HRR) ont montré que le paramètre J caractérise les champs de contraintes et de déformations (champs HRR) à l’extrémité d’une fissure dans un matériau non linéaire. Pour décrire la loi de comportement, ils utilisent la relation de RambergOsgood : 63
ε = εe + ε p =
σ E
+α
FG σ IJ E Hσ K
σE
n
III.13
E
où σE est la limite d’élasticité et n un exposant d’écrouissage supérieur à 1. Hutchinson, Rice et Rosengren montrent que le produit contrainte.déformation varie comme 1/r près de l’extrémité d’une fissure. Par ailleurs pour n=1, c’est à dire dans le cas d’un matériau linéaire élastique, on doit retrouver une singularité en 1 / r prévue par la MLR. Dans la zone très proche de l’extrémité de la fissure, les déformations élastiques étant faibles comparées aux déformations plastiques, les deux conditions précédentes entraînent :
R| |Sσ ||ε T
ij
ij
F JI =k G J H rK F JI =k G J H rK
1 n +1
1
III.14
n n +1
2
où k1 et k2 sont des constantes. Les calculs plus précis montrent que le champ HRR donné par la relation précédente, s’écrit :
R| F EJ IJ σ =σ G | H ασ I r K S| ||ε = ασE FGH ασEJI r IJK T
1 n +1
ij
E
2 E
n
E
ij
σ~ ij (n,θ )
2 E
n n +1
III.15
ε~ij (n,θ )
n
où In est une constante d’intégration qui dépend de n, σ~ ij et ~ ε ij
des fonctions
addimensionnelles de n et θ. L’intégrale J définit donc l’amplitude de la singularité HRR, comme le FIC K définit la singularité 1 / r en MLR. On a ainsi en régime de plasticité confinée deux zones au voisinage de l’extrémité d’une fissure dominées par des singularités : une singularité en 1
1 / r pour la zone élastique et une singularité en 1 / r n+1 dans la zone plastifiée.
III.2.4 Zone de grandes déformations à l’extrémité d’une fissure
La singularité HRR présente la même anomalie que la singularité de la MLR : toutes les deux prédisent des contraintes infinies lorsque r → 0 . Le champ singulier dominant dans une zone près de l’extrémité d’une fissure, ne persiste pas en fait à l’extrémité même de la fissure où les grandes déformations qui se développent causent un émoussement de la fissure, ce qui réduit la triaxialité des contraintes. Les lèvres de la fissure étant libres, on a σ x = 0 quand r → 0 .
L’analyse qui conduit à la singularité du champ HRR ne considère pas l’effet de l’émoussement de l’extrémité de la fissure sur le champ de contraintes, et ne prend pas en
64
compte non plus les grandes déformations qui se développent près de l’extrémité de la fissure. Cette analyse s’appuie sur la théorie des petites déformations, qui reste valable lorsque les déformations plastiques n’excèdent pas 10%. Les premiers calculs par éléments finis effectués par McMecking et Parks utilisant une théorie des grandes déformations montrent que le champ HRR des contraintes ne peut plus décrire la répartition des contraintes à l’extrémité d’une fissure lorsqu’on s’approche à une distance r inférieure à 2.CTOD de l’extrémité. La figure III.10 compare schématiquement le champ HRR aux résultats des calculs par éléments finis.
σy σE
Champ HRR
4 Calculs par la MEF
x 2.CTOD
Figure III.10 : Champ HRR et résultats de calculs par la MEF Cette défaillance du champ HRR à décrire la répartition des contraintes lorsqu’on est trop près de l’extrémité d’une fissure conduit à se poser la même question sur cette approche que sur les limites de la MLR lors du chapitre précédent. Peut-on utiliser l’intégrale J comme critère de rupture compte tenu de l’émoussement de l’extrémité d’une fissure ? La réponse est similaire à celle du chapitre précédent. Tant qu’il existe une région entourant l’extrémité de la fissure où le champ des contraintes est correctement décrit par les équations III.15, l’intégrale J caractérise de façon unique ce champ et peut alors être utilisée pour quantifier la ténacité. III.2.5 Méthodologie de mesure de l’intégrale J
Tant que le comportement du matériau est linéaire, l’intégrale J correspond à l’énergie de Griffith qui est directement reliée au FIC K lui même proportionnel à la charge appliquée et pouvant être calculé à partir des conditions de chargement et de la taille de la fissure. Les choses se compliquent lorsque le comportement est non linéaire. Le principe de superposition n’est plus vérifié et l’intégrale J n’est plus proportionnelle à la charge appliquée. Aussi il n’existe pas de relation simple entre J, la charge appliquée et la taille de la fissure. Une manière de déterminer J consiste à appliquer la définition de cette intégrale, donnée par la relation III.11, à la configuration de chargement. Les premières mesures de l’intégrale J sur
65
des plaques fissurées, utilisaient un ensemble de jauges de déformations collées sur un contour entourant la fissure. Comme l’intégrale J est indépendante du contour d’intégration, on choisissait un contour de collage des jauges de telle sorte que les mesures soient le plus simples possible. Cette méthode était également utilisée pour les calculs par éléments finis où l’on détermine les contraintes, les déformations et les déplacement le long d’un contour généralement circulaire pour ensuite calculer l’intégrale J à partir de la relation III.11. Les approches numériques modernes utilisent toutefois une extension virtuelle de la fissure qui donne des résultats plus précis. Cependant cette méthode de contour est impraticable dans beaucoup de cas. L’instrumentation requise est coûteuse et elle devient acrobatique lorsque les structures sont complexes. La méthode beaucoup plus appliquée actuellement utilise la définition du paramètre J donnée par la relation III.10. La figure III.11 décrit le principe de cette approche. ∆
F F
a1 a2 a3
a1
a4
a
-U
∆1
J
-U
a1
∆2
∆3
∆4
∆
∆1
a2
∆2
a3
∆3
a4
∆4
−
dU da
∆
a
Figure III.11 : Détermination expérimentale du paramètre J A partir d’une série d’éprouvettes de même géométrie et de même taille, on introduit des fissures de différentes longueurs, obtenues généralement par essais de fatigue. Les variations de la force appliquée F avec le déplacement ∆ sont ensuite enregistrées pour les différentes longueurs de fissure. On trace à partir de ces enregistrements à ∆ fixé, l’énergie U, c’est à dire
66
l’aire sous la courbe (F,∆) comptée négativement, en fonction de la longueur de fissure a. De ces tracés on déduit la pente des courbes qui correspond à la valeur de l’intégrale J donnée, pour des éprouvettes d’épaisseur e, par : J=
FG IJ H K
1 ∂U e ∂a
III.16 ∆
La dernière courbe obtenue sur la figure III.11 est une courbe de calibration qui s’applique au matériau, à la géométrie et à la taille des éprouvettes pour lesquels elle a était déterminée. Cette méthodologie expérimentale nécessite donc un grand nombre d’éprouvettes pour déterminer le paramètre J dans différentes configurations de chargement. Rice a montré qu’il était possible de déterminer l’intégrale J dans certains cas, à partir d’un seul enregistrement de la variation de la force F avec le déplacement ∆. Il utilise pour cela l’analyse dimensionnelle en mécanique de la rupture, introduite dans le chapitre I.
Exemple Considérons une plaque, doublement fissurée et sollicitée en traction (figure III.12).
F
a
2b
Figure III.12 : Plaque doublement fissurée
L’intégrale J est définie par J =
FG ∂U IJ H ∂A K
avec dA = 2eda = −2edb et pour une épaisseur F
unité on a alors : J=
1 2
z FGH F
0
∂∆ ∂a
IJ K
dF = − F
67
1 2
z FGH F
0
∂∆ ∂b
IJ K
dF F
III.17
Pour calculer J, il est nécessaire de connaître la relation entre la charge F, le déplacement ∆ et les dimensions de la plaque. Si le comportement du matériau est décrit par la loi de RambergOsgood, l’analyse dimensionnelle permet d’écrire : ∆ = bf
FG F , a , σ ,υ ,α , nIJ K Hσ b b E E
E
Où f est une fonction sans dimension. Pour des propriétés données du matériau, on ne considère alors que la charge et les dimensions de la plaque comme variables. Le déplacement peut être séparé en composante élastique et composante plastique, soit : ∆ = ∆e + ∆ p
III.18
Des relations III.17 et III.18, on déduit : J=−
1 2
z
F
0
LMFG ∂∆ IJ + F ∂∆ I OPdF = K − 1 F ∂∆ I MNH ∂b K GH ∂b JK PQ E ' 2 z GH ∂b JK 2 I
p
e
F
F
0
F
p
dF
III.19
F
E en déformations planes et E’=E en contraintes planes. 1− υ2 Si la déformation plastique reste confinée dans le ligament non fissuré de longueur 2b - entre les deux extrémités des fissures - on peut considérer que cette longueur est la seule dimension qui influencera la composante plastique ∆p du déplacement. C’est une hypothèse raisonnable à condition toutefois que la fissuration de la plaque soit suffisamment profonde de sorte que les contraintes moyennes dans le ligament non fissuré soient bien plus élevées que la contrainte appliquée. On peut alors utiliser l’analyse dimensionnelle et écrire :
Où E ' =
∆ p = bH
FG F IJ H bK
Une dérivation partielle de cette relation par rapport à la longueur du ligament non fissuré et par rapport à la force F respectivement, donne :
FG ∂∆ IJ H ∂b K p
=H F
FG F IJ − H ' FG F IJ F et FG ∂∆ IJ H b K H b K b H ∂F K p
= H' b
FG F IJ H bK
Ce qui conduit à :
FG ∂∆ IJ H ∂b K p
= F
LM MN
FG H
∂∆ p 1 ∆p − F b ∂F
IJ K
b
OP PQ
III.20
En substituant III.20 dans III.19 et en intégrant par parties, on obtient : J=
LM z N
K I2 1 2 + 2b E
∆p
0
Fd∆ p − F∆ p
68
OP Q
III.3 RELATIONS ENTRE L’INTEGRALE J ET LE CTOD En mécanique linéaire de la rupture, la relation entre le CTOD δ et l’énergie de Griffith G, est donnée par l’équation III.7. Lorsque le comportement du matériau est linéaire élastique, J=G, et le même type de relation existe donc entre J et δ :
J = mσ E δ
III.21
où m est une constante sans dimension qui dépend de l’état des contraintes et des propriétés du matériau. La relation précédente est en fait vérifiée bien au delà des limites de validité de la MLR. Considérons par exemple le modèle de Dugdale-Barenblatt - figure III.13 - dont le chargement sur la zone plastifiée est représenté sur la figuré III.13b. On peut choisir pour le calcul de l’intégrale J le contour Γ indiqué sur cette figure.
X
x
−σ E
δ
CTOD
2uy
ρ
Γ
Figure III.13 : Modèle de Dugdale-Barenblatt Si la longueur ρ de la zone endommagée est grande devant le CTOD δ, le premier terme de r l’intégrale J (relation III.11) est nul puisque dy ≈ 0 . La normale au contour Γ étant y , l’intégrale J est alors donnée par :
J =σE
z
∂u y ( x ) ∂x
Γ
ds
Si on prend l’origine du repère à l’extrémité de la zone endommagée, ce qui revient à faire le changement de variable X=x-ρ, le déplacement uy ne dépend que de X à δ fixé et l’intégrale J s’écrit : J = 2σ E
z
ρ
0
z
δ
du y ( X ) = σ E dδ = σ E δ 0
III.22
Cette relation est similaire à la relation III.6 établie précédemment en ne considérant que le 1er terme du développement limité de Log(cos). Une telle hypothèse n’a pas été nécessaire pour
69
obtenir la relation III22. Ainsi le modèle de Dugdale-Barenblatt, appliqué à un matériau fissuré, dont le comportement est élastique plastique parfait, sollicité en mode I et en contraintes planes, prévoit m=1 à la fois dans des conditions élastiques et élastoplastiques. On peut également montrer à partir du champ de déplacement HRR, qu’il existe une relation du type J = mσ E δ entre le CTOD et l’intégrale J. Le champ de déplacement prévu par l’approche HRR, est de la forme :
ui =
ασ E E
FG EJ IJ H ασ I r K 2 E
n n +1
ru~i (θ , n)
III.23
n
En utilisant la procédure, proposée par Rice, de détermination du CTOD indiquée sur la figure III.14 il apparaît que :
δ 2
= r * − u x (r *, π ) ≈ u y (r *, π )
III.24
r*
uy
ux
Figure III.14 : Procédure de détermination du CTOD La relation III.23 peut aussi s’écrire :
F ασ IJ FG J IJ u =G H E K Hσ I K E
1 n +1
n n +1
i
E
r
1 n +1
u~i (θ , n)
n
En utilisant cette relation dans III.24 on obtient :
FG ασ H E
E
IJ FG J IJ K Hσ I K 1 n +1
E
n n +1
1
r n +1 u~x (θ , n) + u~y (θ , n) = r *
n
La résolution de cette équation permet de déterminer r* :
70
δ
F ασ IJ r* = G H EK E
1 n
u~x (θ , n) + u~y (θ , n)
n +1 n
J
σ E In
Connaissant r* on détermine le CTOD δ = 2u y (r *, π ) , soit :
δ=
dn J
III.25
σE
avec
L ασ nu~ (θ , n) + u~ (θ , n)sOP 2u~ bπ , n g M NE Q = E
y
dn
x
1 n
y
III.26
In
Les figures III.15a et III.5b montrent l’allure des courbes dn en fonction de 1/n pour α=1. On peut observer la forte influence de l’exposant d’écrouissage en contraintes planes comme en déformations planes et l’augmentation de dn lorsque le rapport σE/E augmente.
1
1
dn
dn
σσEE/E /E
σE/E
0
0 0
1/n
0,6
0
a- Contraintes planes
1/n
0,6
b- déformations planes
Figure III.15 : Allure des courbes d n = d n (n) En comparant les relations III.20 et III.25, il apparaît que dn = 1/m .Par ailleurs, comme le prévoit le modèle de Dugdale-Barenblatt, dn = 1 pour un matériau non écrouissable ( n → ∞ ) en contraintes planes. On voit bien qu’il existe une relation unique entre le CTOD et l’intégrale J. Ces deux quantités équivalentes, sont des paramètres caractéristiques des conditions qui existent à l’extrémité d’une fissure dans un matériau élastoplastique. La ténacité d’un matériau peut donc être quantifiée à partir d’une valeur critique de l’intégrale J ou du CTOD.
71
L’analyse précédente qui s’appuie sur le champ de déplacement HRR pour démontrer la relation qui existe entre le CTOD et l’intégrale J contient néanmoins une incohérence. En effet, comme le montre la figure III.10, le champ des contraintes HRR dévie du champ réel déterminé de façon plus précise par la MEF lorsqu’on s’approche de l’extrémité de la fissure à une distance inférieure à 2 fois le CTOD. Or dans le calcul du CTOD précédemment effectué, on se place à une distance moitié du CTOD donc dans une région où l’approche HRR ne prévoit plus correctement la répartition des contraintes et notamment la relaxation des contraintes. Cependant la solution CTOD obtenue par la MEF, plus précise, est similaire à celle donnée par la relation III25. Ce résultat montre par conséquent que le champ de déplacement HRR est raisonnablement précis même lorsqu’on se place dans une zone tout près de l’extrémité de la fissure. III.4 COURBE JR DE RESISTANCE A LA FISSURATION
La courbe R de résistance à la rupture dans un matériau ductile croît de façon monotone en fonction de la longueur de fissure (figure II.21). Cette évolution est liée au développement d’une fissuration stable par déchirure ductile à fond de fissure avant la rupture. Dans les alliages métalliques, cette déchirure est due à une croissance suivie d’une coalescence des cavités qui se forment par écoulement plastique autour des micro hétérogénéités. Dans la suite du cours, on étudiera de façon plus approfondie ce mécanisme d’endommagement des matériaux. La figure III.16 montre l’allure de la courbe de résistance à la fissuration exprimée en termes d’intégrale J ; la courbe R correspondante est appelée courbe JR.
JR
JIC
dJ R da Initiation
Propagation
Emoussement
a
Figure III.16 : Courbe JR de résistance à la fissuration dans un matériau ductile Dans les premiers stades de la déformation, l’émoussement de l’extrémité de la fissure est équivalent à une propagation apparente. Lorsque J augmente et dépasse JIC (figure III.16) une micro fissuration se développe au fond de la fissure émoussée. Cette micro fissure se propage ensuite de façon stable jusqu’à rupture. La mesure précise de JIC est souvent délicate. Par convention, on détermine la valeur de JIC en diminuant la pente initiale de la courbe JR=JR(a) de 0,2% et en prenant ensuite l’intersection
72
de cette courbe avec la droite obtenue. La valeur du CTOD correspondant au JIC c’est à dire au stade d’initiation de la micro fissuration, est généralement notée δi. La description entière de la courbe JR, c’est à dire la correspondance entre l’évolution de la pente de cette courbe et la fissuration, est indiquée sur la figure III.16. La pente de la courbe JR est ainsi utilisée pour évaluer la stabilité de la fissuration. On utilise plutôt une valeur addimensionnelle de cette pente définie par : TR =
E dJ R σ 2E da
III.27
TR est appelé module de déchirement. III.4.1 Fissuration stable et instable
La condition de stabilité dans le cas de matériaux élastoplastiques est virtuellement identique à celle établie pour les matériaux élastiques dans le chapitre II. L’instabilité se produit lorsque la valeur du paramètre J, qui joue le rôle de force motrice, vient tangenter la courbe JR. Le chargement à déplacement imposé (complaisance C nulle) est là aussi plus stable qu’une mise en charge à force imposée (complaisance C infinie) comme le montre la figure III.17. Les conditions de chargement des structures en service, dont la complaisance est finie et non nulle, se situent entre ces deux situations extrêmes. Elles sont modélisées par un ressort monté en série avec la structure fissurée (figure II.24). La pente de la courbe R utilisée pour évaluer la stabilité de la fissuration étant représentée par le module de déchirement TR, il est commode pour étudier cette stabilité d’exprimer les variations de la force motrice J en termes de module de cisaillement appliqué Tapp : Tapp =
E
σ
2 E
FG dJ IJ H da K
III.28 ∆X
où ∆ X est le déplacement total de l’ensemble structure-ressort de complaisance C, défini par : ∆ X = ∆ + CF
La pente de J à déplacement ∆ X fixé, est alors définie comme au chapitre II par :
FG dJ IJ H da K
∆X
F ∂J I F ∂J I F ∂∆ I L F ∂∆ I O = G J − G J G J MC + G J P H ∂a K H ∂F K H ∂a K N H ∂F K Q F
a
F
−1
a
Pour un chargement à force imposée, C → ∞ et l’équation précédente devient :
FG dJ IJ H da K
= ∆X
FG ∂J IJ H ∂a K
F
Dans le cas d’un chargement à déplacement imposé, on a C=0 et donc ∆ X = ∆ . La fissuration est stable lorsque : 73
III.29
J = J R et Tapp ≤ TR Elle devient instable dès lors que
III.30a
Tapp > TR
III.30b
JR
J, JR F imposée
∆ imposé a0/L
a/L
Figure III.17 : Courbes JR et J à force F ou déplacement ∆ imposés Le point d’instabilité sur la courbe JR dépend à la fois de la taille et de la géométrie de la structure fissurée en général : une valeur critique de J à l’instabilité ne peut alors être considérée comme une propriété intrinsèque du matériau si J croît avec la longueur de fissure. On admet cependant que la courbe JR est une propriété du matériau indépendante de la configuration. Cette hypothèse est raisonnable moyennant certaines limitations. III.4.2 Détermination de J lorsque la fissure se propage
La dépendance de la courbe de résistance JR vis à vis de la géométrie est influencée par la manière dont le calcul de J est effectué. L’application des équations établies dans le paragraphe III.2 est valable uniquement lorsque la fissure est stationnaire. Il est donc nécessaire de réexaminer les variations de la force en fonction du déplacement pour le calcul du taux de restitution d’énergie J lorsque la fissure se propage. La figure III.18 illustre les variations de la force en fonction du déplacement lorsque la longueur de fissure croît lors de l’enregistrement de ces variations. Il faut se rappeler que la définition de l’intégrale J repose sur l’hypothèse que le comportement du matériau est élastique non linéaire autrement dit on applique la théorie de la déformation. Considérons le point A sur la figure III.18. La fissure, de longueur initiale a0, s’est propagée jusqu’à une longueur a1. L’aire hachurée représente l’énergie dépensée si le comportement était élastique non linéaire. Dans un matériau élastoplastique, le retour élastique ne suit pas le même chemin et le surplus d’énergie est dissipé dans la déformation plastique qui accompagne la fissuration : la fissure s’étant propagée, il se forme alors un sillage plastique en amont de son extrémité.
74
Propagation
F
Chemin de chargement A
a=a0 Retour élastique a=a1
UD
∆ Figure III.18 : Courbe force-déplacement lorsque la fissure se propage de a0 à a1. UD représente l’énergie de déformation dans un matériau élastique non linéaire. Dans un matériau élastique, toutes les grandeurs y compris l’énergie de déformation, sont indépendantes de l’histoire du chargement. L’énergie absorbée durant la propagation dépend de cette histoire dans un matériau élastoplastique. La courbe de retour élastique sur la figure III.18 représente, à a=a1, le comportement de la force en fonction du déplacement dans un matériau élastique non linéaire. L’aire en dessous de cette courbe est l’énergie de déformation UD. Cette énergie dépend uniquement de la force courante et de la longueur de fissure sans aucun effet de l’histoire du chargement ; elle est donnée par :
U D = U D ( F , a) =
FH z Fd∆IK ∆
0
a = a1
III.31
l’indice D se réfère à la théorie de la déformation. Aussi l’intégrale J pour un matériau élastique non linéaire et comportant une fissure qui se propage, s’écrit : JD = −
FG H
IJ K
ηU D 1 ∂U D = e ∂a ∆ eb
III.32
où b est la longueur du ligament non fissuré. La relation précédente peut être décomposée en :
JD =
K I2 η PU D ( P ) + E' eb
III.33
L’intégrale JD est généralement déterminée à partir de cette dernière relation parce qu’il n’est pas nécessaire de procéder à une correction sur le terme élastique linéaire en termes de FIC
75
KI, dès lors que le FIC est calculable à partir de la charge et de la longueur de fissure courantes. La courbe force-déplacement dépendant de la longueur de fissure, Le terme UD(P) est calculé par une méthode incrémentale. On peut aussi calculer le taux de restitution d’énergie loin de l’extrémité en utilisant la définition d’intégrale de contour proposée par Rice. Ce taux noté Jf (l’indice f pour « farfield » i.e. champ lointain) diffère de JD. Rice a montré que le terme Jf, dans une éprouvette de flexion avec une fissure profonde dans un matériau rigide et parfaitement plastique, s’écrit : J f = 0,73σ E
z
Ω
0
bdΩ
III.34
La variation de la longueur b du ligament non fissuré, est prise en compte au cours du chargement de flexion. La théorie de la déformation conduit à la relation suivante
J D = 0,73σ E bΩ
III.35
Les deux expressions sont identiques lorsque la fissure demeure stationnaire c’est à dire lorsque la longueur b du ligament reste constante. Les résultats de calculs par la MEF dans une éprouvette de flexion 3 points constituée d’un matériau écrouissable, indiquent que Jf et JD ont des valeurs quasiment égales lorsque la progression de la fissure reste modérée. Les valeurs de J dépendent cependant du contour d’intégration dans les matériaux élastoplastiques mais leur différence tend à s’estomper lorsqu’on s’approche d’assez près de l’extrémité de la fissure. Aucune des deux intégrales, Jf ou JD, ne peut prétendre décrire de façon précise les conditions existantes à l’extrémité d’une fissure se propageant dans un matériau élastoplastique. En l’absence d’un paramètre caractéristique unique, les courbes JR dépendront de la géométrie de la structure. Les conditions de validité de l’intégrale J et la dépendance vis à vis de la géométrie sont examinées dans ce qui suit. III.5 RUPTURE CONTROLEE PAR L’INTEGRALE J
L’expression « rupture contrôlée par l’intégrale J » correspond aux situations où l’intégrale J décrit de façon raisonnablement précise les conditions à l’extrémité d’une fissure. Dans ces cas, une relation unique existe entre l’intégrale J et le CTOD et on peut alors tout aussi dire « rupture contrôlée par le CTOD ». Mais de la même manière que la MLR atteint ses limites lorsqu’on n’est plus dans des conditions assez proches de l’élasticité linéaire, les analyses de mécanique de la rupture s’appuyant sur l’intégrale J ou le CTOD deviennent suspectes lorsqu’on est en présence d’une plasticité excessive ou lorsque la propagation de fissure est significative. Dans ces derniers cas la ténacité et la relation entre l’intégrale J et le CTOD, dépendent de la géométrie et de la taille des structures. Les conditions d’application de l’intégrale J comme paramètre caractérisant la rupture sont discutées dans ce qui suit. L’initiation d’une micro fissure à partir d’une fissure émoussée stationnaire et la propagation stable d’une fissure seront considérées.
76
III.5.1 Fissure stationnaire
La figure III.19 illustre l’effet de la plasticité sur la distribution des contraintes à l’extrémité d’une fissure : pour la commodité de la présentation, on utilise une échelle Log-Log et on norme la distance à l’extrémité de la fissure par une dimension caractéristique L. L correspond à une dimension de la structure comme par exemple la longueur du ligament non fissuré. La figure III.19a montre le cas de la plasticité confinée, où à la fois le FIC K et l’intégrale J caractérisent les conditions à l’extrémité de la fissure. Au voisinage de la fissure on rencontre successivement 3 zones à mesure que l’on s’approche de son extrémité. Dans la première zone dominée par le FIC K issu de la MLR, la singularité est en 1 r et la pente de la courbe de variation des contraintes est alors –1/2 en échelle Log-Log. La seconde zone qui correspond à la zone plastifiée qui se développe à l’extrémité d’une fissure, est dominée par l’intégrale J, en admettant toutefois que le chargement reste monotone et quasi statique. A l’intérieur de cette zone, la solution HRR est raisonnablement valable pour beaucoup de matériaux et la pente de la courbe est alors − 1 (n + 1) . Enfin la troisième zone correspond à la région des grandes déformations au voisinage immédiat de l’extrémité de la fissure. La taille de cette zone est d’environ deux fois le CTOD ce qui correspond à la limite de validité de la solution HRR (figure III.10). En régime de plasticité confinée, le FIC K caractérise de façon unique les conditions au voisinage de l’extrémité d’une fissure, même si la singularité en 1 r n’existe plus en deçà d’une certaine distance. De la même manière, J caractérise la distribution des contraintes dans la zone plastifiée tant que les déformation restent modérées, mais au delà d’environ 10% de déformation on entre dans la zone des grandes déformations et l’approche HRR atteint aussi ses limites.
La figure III.19b illustre un exemple de conditions élastoplastiques où la zone dominée par le FIC K a disparu alors que le paramètre J est encore applicable. A mesure que la zone plastifiée se développe par rapport à la dimension caractéristique, la zone dominée par le FIC K est envahie par la plastification et disparaît ensuite complètement. J comme le CTOD sont des critères de rupture valables tant que la plastification demeure modérée. Lorsqu’on atteint le régime des grandes déformations (figure III.19c), il n’y plus de paramètre unique pour décrire les champs de contraintes, l’intégrale J dépend alors de la taille et de la géométrie de la structure ; la zone dominée par J disparaît à son tour. Dans certaines configurations notamment lorsqu’il s’agit de structures minces, on atteint très vite les limites de validité du K comme du paramètre J, sauf si les charges sont vraiment faibles. Il est difficile de caractériser par exemple le comportement d’une plaque mince r comportant une fissure traversante à l’aide d’un paramètre unique. Si y est l’axe de r chargement perpendiculaire au plan de la fissure, les contraintes dans la direction x dévient très fortement pour cette géométrie des prévisions de la MLR du fait de l’existence de contraintes de compression transverses T : la zone dominée par K est alors inexistante. Ces contraintes T ont aussi un effet très significatif sur la distribution des contraintes dans la zone plastifiée elle-même, et dès qu’elles sont suffisamment élevées, il n’est plus possible de décrire le champ des contraintes dans cette zone avec un paramètre unique comme J.
77
J
K
HRR
Logσ y −
1 n+1
−
1 2
MLR
GD Plasticité confinée
rS L
a)
Log
J
r L
HRR
Logσ y
MLR GD Conditions élastoplastiques
rJ L
b)
Log
GD
Logσ y
r L
HRR
MLR
Grandes déformations
c)
Log
r L
Figure III.19 : Effet de la plasticité sur les champs de contraintes à fond de fissure
78
L’analyse dimensionnelle appliquée à la zone décrite par le FIC K, conduit à :
FG H
σ ij K I2 = Fij ,θ σE σ 2E r
IJ K
pour 0 < r ≤ rS (θ )
III.36
où rS est le rayon de la zone dominée par le K, c’est à dire que sur le contour r=rS les contraintes présentent une singularité en 1 r . Par souci de simplification, le contour rS est présenté sous forme circulaire dans la figure III.19a mais en fait rS dépend de l’angle de paramétrage θ donnant la position du point courant et il n’est donc pas nécessairement constant. Il faut noter que la singularité en 1 r est un cas particulier de la fonction Fij. Lorsqu’on entre dans la zone plastifiée r=rJ dominée par le paramètre J - lié au paramètre KI en régime de plasticité confinée par K I2 = E ' J - le prolongement de l’analyse dimensionnelle permet d’écrire :
FG H
σ ij E' J = Fij ,θ σE σ 2E r
IJ K
pour 0 < r ≤ rJ (θ )
III.37
La singularité des contraintes en − 1 (n + 1) qui correspond au champ HRR, est une description particulière de la zone dominée par le paramètre J. L’existence de cette zone et non nécessairement celle du champ HRR, requiert seulement que la relation précédente soit valable dans ce qu’on appelle la « process zone », c’est à dire la zone où vont se développer les mécanismes microscopiques d’endommagement qui conduiront à la rupture. La singularité HRR est une solution possible du cas plus général où un paramètre unique, l’intégrale J, décrit la distribution des contraintes à l’extrémité de la fissure. Les propriétés d’écoulement de beaucoup de matériaux ne sont pas toujours représentables par la loi puissance du modèle empirique de Ramberg-Osgood duquel découle le champ HRR. Même dans les matériaux dont le comportement est raisonnablement décrit par ce modèle, le champ HRR est valable dans une zone qui reste limitée ; les effets des grandes déformations à l’extrémité de la fissure mettent souvent à défaut la singularité HRR, et les contraintes déterminées par des calculs aux éléments finis sont alors en dessous des prévisions du champ HRR. Ce dernier effet peut être compris en considérant l’approche analytique utilisée par Hutchinson, qui représente les contraintes sous forme de séries infinies dont le terme prépondérant est proportionnel à r −1 ( n +1) . Ce terme domine lorsque r → 0 , c’est a dire quand le champ HRR n’est en général plus valable, mais les autres termes peuvent avoir des effets significatifs pour des valeurs modérées de r. III.5.2 Fissure se propageant
Selon l’analyse dimensionnelle utilisée dans le paragraphe précédent, il existe à l’extrémité d’une fissure stationnaire chargée de façon monotone et quasi statique, une zone dominée par J lorsque le domaine des grandes déformations reste faible par rapport aux dimensions de la structure fissurée. La propagation stable d’une fissure introduit une autre dimension de longueur qui est l’accroissement de la taille de la fissure. Aussi J ne peut pas caractériser les conditions à l’extrémité d’une fissure quand cet accroissement devient significatif comparé aux dimensions de la structure. Lorsqu’une fissure se propage dans un matériau purement
79
élastique, elle ne modifie pas le comportement du matériau car les champs locaux ne dépendent que des conditions courantes. Lorsqu’en revanche elle se propage dans un matériau élastoplastique, les effets d’histoire ont une influence sur les champs locaux des contraintes et des déformations. On peut par conséquent dans ces conditions considérer qu’il est difficile d’utiliser le paramètre J quand la progression de la fissure s’accompagne d’une plasticité significative. La figure III.20 illustre une propagation de fissure contrôlée par J. Après la progression de la fissure, le matériau en amont de l’extrémité de la fissure se décharge élastiquement car son comportement n’obéit pas à la théorie de la déformation ; il se forme alors une zone de décharge élastique. Le comportement du matériau immédiatement en aval de l’extrémité de la fissure ne peut non plus être décrit à l’aide d’un paramètre unique, car les chargements sont fortement non proportionnels. Pour utiliser malgré tout J comme paramètre caractéristique, il faut nécessairement que les régions de décharge élastique et de chargement plastique non proportionnel soient confinées dans une zone plus étendue dominée par le paramètre J. Lorsque la fissure croît au delà de cette zone, la courbe R de résistance à la rupture ne peut être caractérisée par un paramètre unique.
Chargement Plastique Non proportionnel
Décharge élastique
Zone dominée par J
∆a
Figure III.20 : Propagation contrôlée par le paramètre J En régime de plasticité confinée, il existe toujours une zone dominée par le paramètre J parce que les conditions à l’extrémité de la fissure sont caractérisées par le FIC qui dépend uniquement des valeurs courantes de la charge et de la longueur de fissure. La fissure ne se propagera pas au delà de cette zone, aussi longtemps que son extrémité et sa zone plastifiée restent éloignées des bords de l’éprouvette d’essai. La figure III.21 illustre trois stades du comportement de résistance à la propagation en régime de plasticité confinée. Durant le premier stade, la fissure est stationnaire. La pente de la courbe R est constante et l’émoussement de l’extrémité de la fissure s’apparente à un accroissement fictif de sa longueur. Le champ local des contraintes dans ce premier stade est caractérisé par :
FG H
σ ij E' J ,θ = Fij(1) σE σ 2E r
80
IJ K
III.38
(1) Emoussement de l’extrémité
JSEE
JR
JIC
(2) Initiation de fissure
(1)
(2)
(3)
∆a (3) Propagation par succession d’états d’équilibre
Sillage plastique
Figure III.21 : Les trois stades de propagation dans un solide infini La fissure commence à se propager dans le stade 2. Les champs de contraintes et de déformations sont probablement influencés par l’émoussement initial au début de la fissuration. L’analyse dimensionnelle conduit à la relation suivante :
FG H
σ ij ∆a E' J ,θ , = Fij( 2 ) 2 σE δi σ Er
IJ K
III.39
où δi est le CTOD initial et ∆a la longueur de propagation de la fissure. Quand la fissure s’est propagée au delà de la zone d’influence de l’émoussement initial, un autre état d’équilibre est atteint où les contraintes et déformations locales ne dépendent plus de l’extension ∆a de la fissure ; on a alors :
FG H
σ ij E' J ,θ = Fij( 3) σE σ 2E r
IJ K
III.40
Les relations III38 et III40 peuvent prédire des conditions identiques dans la zone de singularité élastique, mais dans la zone plastifiée le matériau a subit une histoire de chargement différente de celle qui existait lors de l’émoussement de l’extrémité de la fissure ; autrement dit F (1) ≠ F ( 3) quand r → 0 .
81
Pendant la propagation par succession d’états d’équilibre (SEE) , la fissure progresse jusqu’à rupture en entraînant sa zone plastifiée ; il se forme alors comme le montre la figure III.21, un sillage plastique autour des lèvres de la fissure. La courbe R est quasi horizontale ; J n’augmente plus avec la propagation. Si l’équation III40 s’applique, J décrit de façon unique les conditions à l’extrémité de la fissure, indépendamment de l’extension de la fissure. Si le matériau rompt pour une distribution critique des contraintes et des déformations lors de la propagation SEE, on peut alors admettre que la rupture locale en pointe de fissure interviendra pour une valeur critique du paramètre J comme dans le cas de la fissure stationnaire. Compte tenu de l’allure de la courbe R dans le stade 3, cette valeur critique doit demeurer constante avec la propagation de la fissure. L’obtention du stade 3 est difficile lors d’essais en laboratoire dans des matériaux ductiles ; elle suppose des éprouvettes d’essai de grandes dimensions pour éviter la plastification de tout le ligament non fissuré. Le stade 2 de la figure III.21 correspond à la transition entre l’émoussement de la fissure stable et la propagation SEE. L’allure de la courbe R dans ce stade implique que les propriétés locales du matériau changent avec la position de l’extrémité de la fissure. Lorsque la plastification reste confinée prés de l’extrémité de la fissure, la courbe R ne dépend que de l’extension de la fissure : J R = J R ( ∆a )
III.41
autrement dit, la courbe JR est une propriété du matériau. III.6 TRIAXIALITE DES CONTRAINTES EN PLASTICITE ETENDUE
En régime de plasticité confinée, c’est à dire lorsque la plastification n’envahit pas tout le ligament non fissuré, un paramètre unique (K, J ou CTOD) caractéristique des conditions à l’extrémité d’une fissure peut être utilisé comme critère de rupture indépendant de la géométrie. Lorsque la plasticité est excessive, la caractérisation à l’aide d’un paramètre unique n’est plus possible et la ténacité dépend alors de la taille et de la géométrie des éprouvettes d’essais utilisées. McClintock a appliqué la théorie des lignes de glissement (annexe B) pour estimer les contraintes dans une variété de configurations où le ligament non fissuré est entièrement plastifié. La figure III.22 résume quelques résultats de McClintock. Pour comparaison, le cas du régime de plasticité confinée dans une structure infinie est également présenté sur la figure III.22a : la contrainte normale maximum est d’environ 3σ E dans un matériau non écrouissable dont le comportement est élastique plastique parfait. La figure III.22b illustre le cas d’une plastification de tout le ligament non fissuré dans une éprouvette doublement entaillée, sollicitée en traction (Double Edge Notched Tension – éprouvette DENT). Ce type d’éprouvette maintient un haut niveau de triaxialité des contraintes en régime de plasticité étendue, si bien que les conditions en pointe de fissure sont similaires au cas de la plasticité confinée (figure III.22a). Une éprouvette simplement entaillée, sollicitée en flexion (Single Edge Notched Bend – éprouvette SENB), conduira à une plastification du ligament non fissuré suivant un autre chemin (figure III.22c) et à des contraintes maximum moins élevées que dans le cas précédent : la contrainte maximum ne dépasse pas 2,5σ E . Enfin la figure III.22d montre ce qui se passe dans une éprouvette entaillée dans la partie centrale, sollicitée 82
en traction (Central Cracked Tension – éprouvette CCT) ; il est difficile en régime de plasticité étendue de maintenir une triaxialité significative dans ce type d’éprouvette.
σ (max) ≈ 3σ E y
σ (max) ≈ 3σ E y
a) Plasticité confinée éprouvette infinie
b) Plasticité étendue éprouvette DENT
σ (max) ≈ 2,5σ E y
σ (max) ≈ 115 , σE y
c) Plasticité étendue éprouvette SENB
d) Plasticité étendue éprouvette CCT
Figure III.22 : Comparaison du cas de la plasticité confinée (a) avec trois configurations de chargement dans des conditions de plasticité étendue (b,c et d) Les résultats de la figure III.22 relatifs à un matériau non écrouissable, sollicité en régime de plasticité étendue, indiquent que les contraintes à l’extrémité d’une fissure ne sont pas uniques mais dépendent de la géométrie. Les approches traditionnelles de la mécanique de la rupture admettent bien que les champs de contraintes et de déformations locales peuvent dépendre de la géométrie, mais elles supposent en même temps que les champs locaux au voisinage immédiat de l’extrémité d’une fissure ont des formes similaires dans toutes les configurations
83
de chargement dans un mode donné, de sorte qu’ils soient caractérisés par un paramètre unique. L’hypothèse de l’existence d’un paramètre unique n’est manifestement pas valable dans le cas du moins des matériaux non écrouissable, chargés dans des conditions de plasticité étendue, parce que précisément les champs locaux dépendent de la configuration de chargement. Aussi la ténacité, qu’elle soit quantifiée en termes de FIC K, de taux de restitution d’énergie J ou de CTOD, doit aussi dépendre de la géométrie. Cependant, les perspectives d’application des concepts de la mécanique de la rupture ne sont pas aussi sombres que semble l’indiquer l’analyse de McClintock. Cette analyse suppose, par souci de simplification, que le comportement du matériau est élastique plastique parfait. Or on observe de l’écrouissage dans le comportement de la plupart des matériaux métalliques. Les effets de configuration de chargement sur les champs locaux sont en fait moins sévères et conduisent à des différences moins marquées en présence d’écrouissage. De plus, les paramètres uniques issus des concepts de la mécanique de la rupture restent valables même en présence de plasticité significative, dès lors que les éprouvettes d’essais utilisées maintiennent un niveau de triaxialité des contraintes élevé. Les éprouvettes DENT et SENB satisfont raisonnablement cette exigence. La plupart des essais en laboratoire sont d’ailleurs effectués sur des éprouvettes travaillant beaucoup en flexion, comme les éprouvettes compactes (CT) ou les éprouvettes de flexion 3 points ou 4 points, parce qu’elles présentent moins de difficultés expérimentales. A géométrie fixée, la ténacité des matériaux peut également varier avec la longueur de fissure a et la largeur de l’éprouvette utilisée L. La figure III.23 illustre schématiquement ce type de variations sur une courbe JR. Lorsque le rapport a/L augmente, la courbe JR peut changer avec une ténacité en particulier qui a tendance à diminuer.
JR
a/L
∆a
Figure III.23 : Influence du rapport a/L sur les courbes JR de résistance à la rupture Tous les résultats examinés en début de ce paragraphe montrent bien qu’il est difficile de caractériser à l’aide d’un paramètre unique, la distribution des contraintes en pointe d’une fissure lorsque la plastification est importante. Certaines approches ont essayé d’étendre les limites de validité de la mécanique de la rupture au delà de celles imposées par la description
84
à paramètre unique. La plupart de ces approches, que l’on va examiner, introduisent un second paramètre pour mieux caractériser les conditions existantes à l’extrémité d’une fissure. III.6.1 La contrainte élastique T
Williams a montré que les champs de contrainte à l’extrémité d’une fissure dans un matériau isotrope et élastique, peuvent être exprimés à l’aide de séries infinies en puissance de r dont le 1er terme prépondérant correspond à la singularité en 1 r , le 2nd terme est constant, le 3e terme est proportionnel à r … La théorie classique de la mécanique de la rupture néglige habituellement tous les termes à l’exception du terme singulier. Cependant si les termes au delà du second terme, en r1/2, r3/2… s’annulent à l’extrémité de la fissure, le second terme qui lui est constant, garde sa valeur. Ce terme peut avoir une influence importante sur la forme de la zone plastifiée et sur les contraintes en profondeur à l’intérieur de cette zone. Pour une fissure dans un matériau élastique et isotrope, sollicité en mode d’ouverture sous déformations planes, les deux premiers termes intervenant dans l’expression des contraintes sont :
σ ij =
LMT f (θ ) + M 0 2πr NM 0
KI
ij
0 0 0 0 0 υT
OP PP Q
III.42
où T est une contrainte uniforme qui correspond aux contraintes de compression transverses évoquées lors de l’étude de la fissure stationnaire. Pour évaluer l’influence de cette contrainte T, on construit un modèle simple circulaire obtenu par découpage d’un disque entourant l’extrémité de la fissure. Les conditions limites sur les bords de ce disque sont indiquées sur la figure III.24. On appellera par la suite le modèle circulaire.
σ ij =
KI 2πr
f ij (θ ) + Tδ 1i δ 1 j
Figure III.24 : Conditions limites pour le modèle circulaire
85
Le champ des contraintes issu de la relation précédente est appliqué sur la frontière du disque découpé autour de l’extrémité de la fissure. Une zone plastifiée se développe en pointe de fissure, mais elle doit demeurer largement confinée dans le disque considéré pour s’assurer de la validité des conditions limites imposées et de la solution élastique. Le modèle circulaire permet en régime de plasticité confinée, la simulation des conditions existantes au voisinage de l’extrémité d’une fissure et ce, indépendamment de la géométrie de la structure fissurée. La figure III.25 est une illustration de résultats obtenus par la MEF dans un modèle circulaire. Ces résultats exprimés pour différentes valeurs de T/σE montrent l’influence de la contrainte T en profondeur dans la zone plastifiée. Le cas T=0 correspond à la limite du régime de plasticité confinée lorsque le terme de singularité décrit tout seul les champs près de l’extrémité. Les valeurs négatives de T (contraintes de compression) influent de façon beaucoup plus significative sur la distribution des contraintes, que les valeurs positives de T.
5
Solution HRR
T
σE σy σE
1 0 -0,4 -0,8 -1
1
rσ E J
0
6
Figure III.25 : Répartition des contraintes pour le modèle circulaire en aval de l’extrémité de la fissure (θ = 0) Il faut noter que la solution HRR n’est pas confondue avec T= 0. Le champ des contraintes en profondeur à l’intérieur de la zone plastifiée peut être représenté par une série en puissance de r dont le 1er terme correspond à la solution HRR. La figure III.25 montre que l’influence des autres termes n’est pas négligeable lorsque T=0. Cependant la description à l’aide d’un paramètre unique J reste valable dans les conditions examinées dans le paragraphe III.5.1. On peut définir un rapport de biaxialité du fait de la présence de la contrainte T. Dans une structure fissurée soumise à un chargement en mode I, ce rapport noté β est défini par :
β=
T πa KI
III.43
86
Dans une éprouvette infinie comportant une fissure traversante de longueur 2a et soumise à un chargement en mode I sous l’effet d’une contrainte σ ∞ , β =-1. Autrement dit la contrainte r de traction σ ∞ selon l’axe y , conduit à des contraintes de compression transversales r T = −σ ∞ dans la direction x ce qui se traduit par une relaxation des contraintes significative si l’on se réfère à la figure III.25. Dans les éprouvettes d’essais en laboratoire (CCT, DENT, SENT, BENT), les solutions du FIC KI peuvent se mettre sous forme polynomiale et la contrainte T est donnée par :
T=β
FG IJ H K
F a f L e πaL
III.44
où f est un polynôme dont l’expression dépend du type d’éprouvette, F, e et L sont la force appliquée, l’épaisseur et la largeur de l’éprouvette.
1
SENB 0
β=
SENT
T πa KI
DENT
CCT -1,5 0
a/L
0,8
Figure III.26 : Rapport de biaxialité pour différentes configurations d’éprouvettes Les variations du rapport de biaxialité β pour différents chargements d’éprouvettes d’essais standard, sont représentées sur la figure III.26. Il faut se rappeler les résultats indiqués sur la figure III.22 qui montrent que c’est dans l’éprouvette CCT que la relaxation des contraintes est la plus importante ; le rapport de biaxialité dans cette éprouvette vaut –1 c’est à dire, en se référant aux résultats de la figure III.25, la distribution des contraintes dévie fortement de la solution HHR. Le rapport de biaxialité devient positif lorsque la fissure est suffisamment profonde dans les éprouvettes SENT et SENB, où le ligament non fissuré est soumis essentiellement à de la flexion. Dans ces éprouvettes, la triaxialité des contraintes demeure forte en régime de plasticité étendue (figure III.22). Des valeurs positives de la contrainte transverse T contribuent à maintenir cette triaxialité élevée alors que celle-ci diminue fortement avec la déformation pour des valeurs négatives de T.
87
Le rapport de biaxialité apparaît donc comme une indication qualitative de la triaxialité des contraintes pour différentes configurations de chargement. La contrainte T peut aussi être utilisée comme second paramètre caractéristique des champs à l’extrémité d’une fissure . Pour une géométrie donnée, ce paramètre est déterminé à partir des relations III43 ou III44 en utilisant le rapport β donné par la figure III.26 ; on peut ensuite estimer la distribution des contraintes à partir des résultats de la figure III.25. Cette procédure a cependant ses limites parce que T est un paramètre issu de l’élasticité et le calculer à partir de la relation III44 a peu de sens en régime de plasticité étendue. L’évaluation des champs de contraintes en utilisant le paramètre supplémentaire T est entachée d’erreurs dès que la déformation devient importante ; cette procédure devient très approximative lorsque β<0,4. III.6.2 Théorie du J-Q Avec l’hypothèse de la théorie de la déformation, les champs de contraintes en pointe d’une fissure peuvent être représentés par une série en puissance de r dont le 1er terme correspond à la solution HRR. Les autres termes peuvent être regroupés dans un champ de différence qui vient s’ajouter au champ HRR. On peut alors écrire :
d i
σ ij = σ ij
d i
+ σ ij
HRR
III.45
Dif
On peut aussi définir ce champ de différence comme le complément au champ prévu pour T=0, et écrire alors :
d i
σ ij = σ ij
T =0
d i
+ σ ij
III.46
Dif
L’examen de la figure III.25 montre que des valeurs non nulles de la contrainte transversale T conduisent à une modification de la répartition des contraintes avec une relaxation de celles-ci lorsque T < 0. Ses résultats sont obtenus en aval de l’extrémité de la fissure c’est à dire pour l’angle de paramétrage de la position θ = 0. Le champ de différence est cependant relativement constant lorsque la position angulaire est comprise entre –π/2 et π/2. De plus les composantes du champ de différence sont telles que :
dσ i y
Diff
b g
≈ σx
Diff
d i
>> σ xy
Diff
pour θ ≤
π 2
III.47
Ainsi le champ de différence correspond approximativement à une contrainte hydrostatique uniforme qui provoque un décalage du champ des contraintes en pointe de fissure. On peut quantifier l’amplitude du champ de différence avec un paramètre Q, défini initialement par O’Dowd et Shih, et écrire :
d i
σ ij = σ ij
T =0
+ Qσ E δ ij pour θ ≤
π 2
III.48
Le paramètre Q peut être obtenu par soustraction de la solution obtenue à T = 0 du champ des contraintes ; il est souvent défini par :
88
Q=
d i
σy − σy σE
T =0
à θ = 0 et
rσ E =2 J
III.49
La figure III.25 montre que des valeurs négatives de Q correspondent à des valeurs négatives de T. Les variations de Q avec T sont indiquées sur la figure III.27 pour différentes valeurs de l’exposant d’écrouissage n. 0,5 0 n
3 5 10 20
Q
∞
-2 -1
0
1
T/σE
Figure III.27 : Variations de Q avec T pour différents exposants d’écrouissage n. Dans un matériau fissuré, Q = 0 correspond au régime de plasticité confinée. Le paramètre Q tend généralement à devenir négatif avec la déformation. La figure III.28 montre les variations de Q avec J aσ E dans des éprouvettes SENB et CCT. Dans l’éprouvette SENB, la valeur de Q reste à peu près nulle jusqu’à des valeurs du rapport J aσ E approchant 0,01 c’est à dire à des niveaux de déformation relativement élevés. Dans l’éprouvette CCT en revanche, la valeur de Q devient rapidement négative à des valeurs de J faibles. Ténacité J-Q
L’approche classique de la MLR suppose que la ténacité d’un matériau est constante. Avec la théorie J-Q on introduit un nouveau paramètre Q dont dépend la ténacité ; on a donc : J c = J c ( Q)
III.50
La figure III.29 présente l’évolution schématique de la ténacité JC avec Q dans des matériaux où la rupture se produit par clivage. La dispersion des résultats, obtenus dans des éprouvettes SENB avec des profondeurs de fissures différentes, est telle qu’il faut parler de lieu de points JC-Q plutôt que de courbe. 89
0
n=10 SENB, a/L=0,5
-0,5 Q -1
CCT, a/L=0,1
-1,5 10-4
10-3
10-2
10-1
J/aσE
Figure III.28 : Variations de Q avec la déformation pour 2 géométries d’éprouvette.
300
SENB Acier A515
200 JC, kPa m 100
0 -1,5
-1
-0,5
0
Q
Figure III.29 : Courbe de ténacité JC-Q pour une éprouvette SENB. Néanmoins, ces résultats montrent que la valeur critique de J augmente lorsque le paramètre Q diminue et devient négatif. Autrement dit, la ténacité tend à augmenter lorsque la triaxialité des contraintes à l’extrémité de la fissure, mesurée par Q, diminue. Comme la contrainte T donne également une indication sur le niveau de triaxialité des contraintes, on peut tout aussi bien tracer une courbe de ténacité JC-T. Lorsque l’écoulement plastique est modéré, les paramètres T et Q sont reliés entre eux (figure III.27), mais l’approche utilisant la contrainte transversale T perd sa signification lorsque la plasticité est très étendue.
90
La théorie de la mécanique de la rupture qui repose sur l’utilisation d’un paramètre caractéristique unique, suppose que les valeurs de ténacité des matériaux déterminées par essais en laboratoire peuvent être transposées aux structures industrielles. Les approches utilisant deux paramètres telle la théorie J-Q implique quant à elles, que les éprouvettes d’essais utilisées décrivent convenablement la triaxialité des contraintes près de l’extrémité des défauts existants dans les structures en service ; autrement dit le paramètre Q à rupture, est le même de sorte que les ténacités JC sont aussi égales. La figure III.30 illustre l’application de la théorie J-Q aux structures. La courbe JC en fonction de Q est obtenue par calculs utilisant la MEF ; on reporte ensuite sur le même graphe le lieu des points JC-Q obtenus sur différentes éprouvettes d’essais. La rupture intervient lorsque la courbe JC-Q coupe le lieu des points JC-Q. Il y a donc un ensemble de valeurs de ténacité possibles pour la structure étudiée.
JC
Q
Figure III.30 : Application de la ténacité JC-Q.
Effet du mécanisme de rupture sur la courbe JC-Q
Il apparaît au vu des résultats précédents que la théorie J-Q est une approche descriptive et non prédictive. Le paramètre Q quantifie la triaxialité des contraintes mais ne donne pas d’indication en ce qui concerne l’effet de cette triaxialité sur la ténacité. Pour mieux cerner l’influence de Q sur la ténacité, il faudrait un critère de rupture issu d’une approche micro mécanique. Ritchie-Knott-Rice (RKR) ont proposé un modèle pour décrire la rupture par clivage. Ce modèle considère que la rupture se produit lorsqu’une valeur critique de la contrainte, notée σ f , est atteinte à une distance caractéristique, notée rC . Quand on remplace le champ à T=0 par le champ HRR dans la relation III.48, on obtient :
d i
σ ij = σ ij
HRR
+ Qσ E δ ij
91
III.51
Si on se place dans le cas le plus endommageant c’est à dire lorsque la fissure est sollicitée en r mode I, la contrainte la plus élevée est selon l’axe de chargement y . Il y aura donc rupture lorsque la contrainte σ yy atteint la contrainte critique σ f à la distance rC en aval de l’extrémité de la fissure :
FG H
σf EJ C = σE ασ 2E I n rC
IJ K
1 n +1
σ~ ij
F EJ IJ (n,0) + Q = G H ασ I r K 0
2 E
1 n +1
σ~ ij (n,0)
III.52
n C
J 0 étant la valeur critique du paramètre J lorsque Q = 0. De la relation précédente, on déduit :
LM MN
F I OP GH JK PQ
JC σ = 1− Q E J0 σf
n +1
III.53
Cette relation montre bien que la ténacité dépend du paramètre Q. De plus elle prévoit la forte influence de Q sur la ténacité, vu que la quantité entre crochets dans la relation précédente est élevée à la puissance n+1. On comprend bien que la ténacité d’un matériau puisse dépendre du mécanisme de rupture. La forme de la courbe J-Q dépend alors aussi de ce mécanisme. L’équation III53 s’applique à la description d’une rupture contrôlée par la contrainte comme c’est le cas du clivage dans les métaux. Lorsque la rupture est contrôlée par la déformation, la triaxialité des contraintes a moins d’effet sur la ténacité et donc le paramètre Q joue un rôle moins important. On suppose alors pour décrire ce résultat que la rupture se produit quand l’endommagement atteint une valeur critique à la distance rC ; l’endommagement étant quantifié par un paramètre Φ défini par :
Fσ Φ=G Hσ
IJ bε g K γ
m
1− γ
III.54
P
E
où σ m est la contrainte hydrostatique définie par la trace du tenseur des contraintes, et ε P la déformation plastique équivalente au sens du critère de Von Mises. La contrainte hydrostatique est une mesure de la triaxialité des contraintes et la déformation plastique équivalente peut être utilisée pour caractériser une rupture contrôlée par la déformation. Si on fait γ = 1 dans l’équation précédente, la rupture est contrôlée par la contrainte. Si, en revanche, on prend γ = 0 , c’est la déformation qui contrôle la rupture. On passe ainsi, en faisant varier γ de 1 à 0, d’une rupture par clivage donc de nature fragile, à une rupture ductile où les déformations atteintes sont élevées ; la figure III.31 présente les variations de la courbe J C (Q) lorsque le paramètre γ change . On voit bien sur cette figure que la ténacité est très sensible à la triaxialité des contraintes lorsque la rupture est contrôlée par la contrainte ( γ = 1). La valeur γ = 0,5 conduit par contre à une ténacité très peu influencée par cette triaxialité ; elle correspond à un mécanisme de rupture ductile par croissance et coalescence de micro cavités : un tel mécanisme est contrôlé à la fois par la déformation plastique et la contrainte hydrostatique dont les effets sur la croissance des cavités sont bien établis. On peut admettre dans ces conditions que la ténacité dépend peu de la géométrie de la structure.
92
Lorsqu’on s’approche des conditions d’une rupture contrôlée par la déformation, la ténacité diminue notamment quand Q est négatif, c’est à dire lorsque l’extrémité de la fissure est le siège d’une relaxation des contraintes. L’écoulement plastique est alors plus important. On peut donc dire, lorsque la rupture est contrôlée par la déformation que la ténacité diminue à mesure que les contraintes en pointe de fissure se relaxent.
3 γ=1 2
Jc J0
γ=0,75 γ=0,5
1
γ=0,25 0 −1,5
γ=0 −1
−0,5
0
0,5
Q Figure III.31 : Influence du critère de rupture sur la ténacité JC-Q. III.6.2 Modèle probabiliste pour le clivage
Les approches utilisant le paramètre supplémentaire Q ou T pour décrire la ténacité, font l’hypothèse que le milieu est continu. Elles caractérisent les champs à l’extrémité d’une fissure mais ne peuvent prédire l’effet de ces champs sur la résistance d’un matériau à la rupture. Il est nécessaire d’introduire un critère de rupture basé sur une approche micro mécanique, pour relier ces champs locaux à la ténacité. Le modèle RKR fournit un moyen simple pour prédire cette ténacité lorsque la rupture se produit par clivage. Anderson et Dodds ont développé un modèle un peu plus sophistiqué pour la description de la rupture par clivage. Ce modèle est décrit dans ce qui suit. Critère de rupture
L’amorçage du clivage est décrit habituellement par une instabilité locale (au sens de Griffith) d’une micro fissure formée au droit d’une hétérogénéité microstructurale telle qu’une inclusion, une micro porosité... ; le bilan énergétique de Griffith est satisfait lorsqu’une contrainte critique est atteinte au voisinage de l’extrémité de la fissure. La ténacité d’un alliage qui rompt par clivage va alors dépendre de la taille et de la répartition de ces hétérogénéités dans le matériau ; on comprend aussi dans ces conditions que d’une part il existe un effet d’échelle et que d’autre part une forte dispersion des résultats puisse être observée.
93
Le critère d’instabilité de Griffith considère que la rupture se produit lorsque la contrainte normale atteint une valeur critique au voisinage de l’extrémité de la fissure ; la nature statistique de l’amorçage du clivage - ou en d’autres termes la probabilité de présence d’une hétérogénéité microstructurale de taille critique près de l’extrémité de la fissure – suggère de considérer le volume de la process zone ou zone d’endommagement c’est à dire la zone près de la pointe de fissure où les contraintes satisfont la condition de Griffith. La probabilité de l’apparition du clivage dans un matériau fissuré peut alors être exprimée par une relation du type : F = F V (σ I )
III.55
F est la probabilité de rupture par clivage, V (σ I ) est le volume de la zone d’endommagement où la contrainte principale en tout point est ≥ σ I . Lorsque l’échantillon considéré est en état de déformations planes, on a V (σ I ) = eA(σ I ) où e est l’épaisseur et A(σ I ) la section de la zone d’endommagement. Modèle bidimensionnel : paramètre J0
En régime de plasticité confinée, la contrainte principale σ I peut être écrite en utilisant l’analyse dimensionnelle sous la forme :
IJ K
FG H
σI J = f ,θ σE σ Er
III.56
Selon la relation précédente, le champ de contraintes au voisinage de l’extrémité de la fissure ne dépend que de J, (r,θ) étant les paramètres de position. Cependant, en présence de relaxation de la triaxialité des contraintes, on atteint les limites de caractérisation de ce champ par le paramètre J ; la contrainte principale, à (r,θ) fixés, est alors plus faible que celle obtenue en régime de plasticité confinée. La relation précédente peut être inversée et écrite sous la forme :
b
g
r σ I σ E ,θ =
J
σE
b
g σ I σ E ,θ
g
III.57
Dans une approche bidimensionnelle, on ne considère que la section de la zone d’endommagement qui est donnée par :
b
g
b
g
A σI σE =
J2
σ 2E
b
h σI σE
g
III.58
avec
h σI σE =
1 2
z
π
−π
94
b
g
g 2 σ I σ E ,θ dθ
III.59
Ainsi pour une contrainte σ I donnée, la section A(σ I ) est proportionnelle à J 2 en régime de plasticité confinée. Sous des conditions de plasticité étendue, il y a perte de la triaxialité avec relaxation des contraintes et on a alors une section A(σ I ) plus faible :
b
g
A σI σE =φ
J2
σ 2E
b
h σI σE
g
III.60
où φ est un facteur ≤ 1 quantifiant cette perte de triaxialité. On peut alors définir un paramètre J effectif en plasticité étendue et écrire :
b
g
A σI σE =
J 02
σ 2E
b
h σI σE
g
III.61
où J0 est la valeur de J en plasticité confinée, c’est à dire la valeur de J lorsque T=Q=0. Le rapport de J et de J0 est donné par :
J = J0
1
III.62
φ
La valeur de J en plasticité confinée, c’est à dire J0, peut être considérée comme la force effective qui gouverne le clivage, alors que J serait une force apparente. Le rapport de ces deux quantités quantifie l’influence de la taille des échantillons sur leur ténacité lorsque la rupture se produit par clivage. Considérons par exemple un échantillon qui rompt à J C = 200 kPa m ; si le rapport J J 0 = 2 , une structure beaucoup plus grande faite avec le même matériau rompra à J C = 100 kPa m car le volume sera plus important et compte tenu de l’effet d’échelle évoqué auparavant, la probabilité de rupture sera plus élevée. Effets tridimensionnels
Le modèle précédent qui repose sur une approche bidimensionnelle, ne considère que la section où la contrainte principale est ≥ σ I . L’insuffisance de ce modèle réside principalement dans le fait que c’est bel et bien le volume de la zone d’endommagement qui contrôle la rupture par clivage. Ce volume fait intervenir l’épaisseur ou plus généralement la longueur du front de fissure qui n’est pas nécessairement rectiligne. De plus, Il dépend de la triaxialité des contraintes qui varie tout le long du front de fissure : une forte triaxialité conduira à un volume plus important comme dans le cas bidimensionnel où la section est aussi plus élevée. Pour traiter le problème tridimensionnel on peut définir une épaisseur effective à partir d’un cas bidimensionnel équivalent, de sorte que le produit de cette épaisseur effective par la section du modèle 2D conduise au volume recherché. Considérons une éprouvette 3D, chargée à une valeur donnée de J. Si on choisit une valeur σ I de la contrainte principale et que l’on construit des contours 2D le long desquels σ = σ I , l’aire à l’intérieur de ces contraintes variera tout le long du front de fissure car la triaxialité à cœur est plus forte qu’à peau d’éprouvette (figure III.32). Le volume de la zone d’endommagement s’écrit :
95
σ yy
x z
y e eeff/2 0
e/2
z
Figure III.32 : Illustration schématique de l’épaisseur effective eff
z
e/2
V = 2 A(σ I , z )dz = eeff Ac (σ I )
III.63
0
où Ac est la surface au centre de l’éprouvette 3D de frontière le contour σ = σ I , et eeff l’épaisseur effective. L’épaisseur effective aura une influence sur la force contrôlant le clivage par un effet de volume témoin, autrement dit lorsque le front de fissure est plus long, le volume considéré sera plus important et donc la probabilité de rupture par clivage sera plus élevée. Cet effet peut être caractérisé par une distribution à 3 paramètres des probabilités de Weibull. Cette distribution conduit à une probabilité de rupture qui s’exprime par :
L eFK F = 1 − exp M − G MN e H Θ 0
C K
− K min − K min
IJ K
4
OP PQ
III.64
Où e est l’épaisseur ou la longueur du front de fissure, e0 est une épaisseur de référence, Kmin est la valeur seuil de la ténacité et Θ K correspond à 63% de la ténacité lorsque e=e0. Considérons par exemple 2 éprouvettes fissurées avec des longueurs de front de fissure e1 et e2, différentes. Si une valeur KC(1) de la ténacité est mesurée pour l’échantillon 1, la ténacité de l’échantillon 2 peut être obtenue en égalant les probabilités de rupture dans la relation précédente :
Fe I = G J cK He K 1/ 4
KC ( 2)
1
2
C (1)
h
− K min + K min
III.65
Cette relation est un ajustement statistique de l’épaisseur qui permet de relier des données obtenues pour des épaisseurs différentes.
96
Application du modèle
Comme dans l’approche J-Q, l’utilisation du modèle probabiliste nécessite une analyse par calculs aux éléments finis détaillée de la structure étudiée. Les contours de contraintes principales doivent être construits et les surfaces à l’intérieur de ces contours comparées à la solution de référence T=0 obtenue par utilisation du modèle circulaire. On trace ensuite la valeur de J0 en fonction de J : ce tracé est schématiquement représenté sur la figure III.33.
J0
a/L=0,5 J=J0
a/L=0,15
J0 critique
JC(2)
JC(1) J
Figure III.33 : Evolution de J0 en fonction de J dans le modèle probabiliste de clivage Aux faibles niveaux de déformation, la courbe J0-J suit la première bissectrice J=J0 mais elle s’en écarte dès que la déformation est importante. A J=J0 les champs de contraintes à l’extrémité de la fissure correspondent à la solution Q=0 et la ténacité est peu influencée par les conditions limites des échantillons testés. Lorsque les déformations sont plus élevées, J>J0 et la ténacité est artificiellement augmentée par la perte de la triaxialité des contraintes. Cette perte intervient plus rapidement lorsque la fissure est moins profonde c’est à dire pour les faibles valeurs de a/L. Ainsi l’éprouvette avec a/L=0,15 aura tendance à rompre à une valeur JC(2) plus élevée que celle avec a/L=0,5. La figure III.34 présente, dans des axes sans dimension, les variations de J0 dans le plan moyen en fonction de la valeur moyenne de J dans l’épaisseur d’éprouvettes SENB avec différentes valeurs du rapport L/e : longueur du ligament non fissuré sur épaisseur de l’éprouvette. Ce type de courbe est issu de calculs 3D ; la courbe obtenue par analyse 2D en déformations planes est également représentée sur cette figure. On s’aperçoit que les résultats obtenus pour L/e =1 ou 2 se situent au dessus de ceux de l’analyse 2D. Lorsque L/e =4, la valeur de J0 dans le plan moyen suit la solution 2D aux faibles déformations et passe en dessous après. La nature 3D de la déformation plastique conduit apparemment à des niveaux de triaxialité élevés dans le plan moyen lorsque la longueur du ligament non fissuré est inférieure à l’épaisseur de l’éprouvette. Les variations de l’épaisseur effective normalisée, en fonction de la déformation - quantifiée par la valeur moyenne de J dans l’épaisseur – sont représentées sur la figure III.35.
97
0,03
Jmoy=J0
SENB ; a/L=0,5
L/e=1 L/e=2
2D - DP
J0/bσE
L/e=4
0 0
Jmoy/bσE
0,05
Figure III.34 : Evolution de J0 en fonction de J dans le modèle probabiliste
1
SENB ; a/L=0,5
L/e=1 eeff/e
L/e=2 L/e=4
0 0
Jmoy/bσE
0,05
Figure III.35 : Evolution de l’épaisseur effective en fonction de la déformation. Comme dans la figure précédente, on s’aperçoit que la triaxialité augmente lorsque L/e diminue. Les 3 courbes atteignent un plateau à des déformations relativement faibles. Il faut se rappeler que l’épaisseur effective est définie comme une mesure de la relaxation de la triaxialité à travers l’épaisseur de l’éprouvette, comparée à la valeur de cette triaxialité dans le plan moyen. Aux faibles déformations J ≈ J 0 mais la triaxialité évolue dans l’épaisseur de l’éprouvette conduisant à une diminution du rapport eeff/e. Ce rapport est constant aux déformations plus élevées (observation d’un plateau) indiquant que la relaxation est proportionnelle pour les 3 rapports L/e .
98
Annexe A Equations fondamentales de la Mécanique Linéaire de la Rupture La mécanique linéaire de la rupture (MLR), utilisable dans le cas de rupture fragile, est basée sur la théorie de l’élasticité linéaire. Son développement est dû à Irwin qui, s'appuyant sur les fonctions de contraintes introduites par Westergaard en 1939, donna en 1957 la répartition des contraintes, en régime élastique, au voisinage immédiat de la pointe d'une fissure. Parallèlement, Muskhelishvili publia en 1953 son ouvrage intitulé "Some basic problems of the mathematical theory of Elasticity", dans lequel il donne le champ des contraintes élastiques au voisinage d'une entaille ou d'une fissure. Les équations fondamentales de la MLR sont introduites dans la présente annexe. I - RAPPELS D'ELASTICITE PLANE I.1 - LOI DE HOOKE Les équations de comportement (ou loi de Hooke) peuvent être exprimées soit en utilisant le couple des constantes élastiques (E, ν) (E = module d'Young, ν = coefficient de Poisson) soit ( µ , λ ) ( µ = module de cisaillement et λ = coefficient de Lamé). Ces constantes sont reliées entre elles par les formules :
R|µ = E |S 2b1 + v g ||λ = Ev T b1 + v gb1 − 2v g
R|v = λ |S 2 bλ + µ g || E = µ 3λ + 2µ λ+µ T
et
⇒
v λ = E 2 µ 3λ + 2 µ
b
g
Les deux expressions de la loi de Hooke utilisant ces deux couples de constantes sont :
ε=
1+ υ υ σ − (traceσ ) I E E
ou
σ = 2 µε + λ (traceε ) I
( σ xz = σ yz = σ z = 0 )
a) - Etat de contraintes planes
LM N 1 L = σ 2 µ MN
εx =
1+ υ υ σx − σx +σ y E E
i
εx =
εx =
1+ υ υ σx − σx +σ y E E
i
εy
d d
ε xy =
A.1
1+ υ σ xy E
λ 1 σx − σx +σ y 2µ 3λ + 2 µ
d
y
−
ε xy
A.2 A.1
λ 3λ + 2 µ 1 = σ xy 2µ
dσ
x
+σy
iOPQ iOPQ
b) - Etat de déformations planes ( ε xz = ε yz = ε z = 0 )
LM N 1 L = σ 2 µ MN
εx =
1+ υ σx −υ σx +σy E
i
εx =
εy =
1+ υ σ y −υ σx +σ y E
i
εy
d
d
ε xy =
1+ υ σ xy E
λ 1 σx − σx +σ y 2µ 2( λ + µ )
d
y
−
ε xy
λ 2( λ + µ ) 1 = σ xy 2µ
dσ
x
+σy
iOPQ iOPQ
A.3 Remarques
* On passe des relations A.2 à A.3, en remplaçant λ par λ * = en effet :
2λ µ et µ inchangé, λ + 2µ
λ* λ = * 3λ + 2 µ 2 λ +µ
c
h
On peut donc écrire la loi de Hooke pour les 2 états sous la forme :
R| ||ε || S|ε || ||ε T
LM MN 1 L Mσ = 2µ M N
=
x
y
xy
=
λ* 1 σx − 2µ 2 λ *+ µ
hd λ − dσ 2 cλ + µ h c
σx +σ y
*
y
*
x
+σy
OP iP Q O iPP Q
Α.4
1 σ xy 2µ
avec
λ *= λ λ *=
en déformations planes
2λ µ λ + 2µ
en contra int es planes
* Le passage de A.2 à A.3 peut aussi se faire, avec les variables E et v, en remplaçant : λ* λ = v par v = * 3λ + 2 µ 2 λ +µ *
c
h
A.2
soit v * =
v 1+ v
3λ * + 2 µ 2λ + µ = 4µ * 3λ + 2 µ λ +µ
E' par E * = µ soit E *=
b
E 1 + 2v
b1 + v g
g
2
1 + v* 1 + v = E E*
et
* Dans toute la suite, on ne traitera que l'état de déformations planes, sachant que pour
c
h
l'état de contraintes planes il suffira de remplacer λ par λ * [ou (v, E) par v * , E * .
I.2 - METHODES DE RESOLUTION UTILISANT LA FONCTION D'AIRY : →
En notant X,Y les composantes de la densité des forces de volume f pour un état plan, les équations d’équilibre s'écrivent en coordonnées cartésiennes :
RSσ |Tσ
avec
→
x,x
+ σ xy , y + X = 0
xy , x
+ σ y,y + Y = 0 →
f = − grad V
où
bσ
soit
x
g
− V , x + σ xy , y = 0
d
i
σ xy ,s + σ y − V , y = 0
A.5
b g
V = V x, y
Remarque
* En élasticité plane, les composantes σ xz et σ yz sont nécessairement nulles. La troisième équation d'équilibre donne donc :
σ z ,z + Z = 0
b
soit : σ z − V
g
,z
= 0 , comme σ z ,z = 0 puisque σ = σ ( x , y ) , on a alors :
V, z = 0 ⇒ V = V (x, y ) et Z = −V, z = 0 .
⇒ Les équations A.5 seront toujours vérifiées si on pose :
R|σ − V = A S|σ − V = A T σ = −A x
, yy
y
, xx
xy
A.6
, xy
A est une fonction de contraintes appelée fonction d'Airy.
A.3
Les équations de compatibilité pour un état plan s'écrivent :
ε x , yy + ε y , xx = 2ε xy , xy soit en utilisant les contraintes :
b1 − v gσ − vσ yy + b1 − v gσ − vσ , xx = 2σ b1 − v g∆dσ + σ i − σ − σ = 2σ avec ∆. =., b1 − v g∆b∆ Α + 2V g − d A + V i − cΑ + V h = −2Α R| ∆b∆ Αg + 1 − 2v ∆V = 0 1− v |S A.7 ou µ 2 ||∆b∆ Αg + ∆V = 0 λ + 2µ T x
y
x
y
y
x , xx
y , yy
, yy
d’où
x
xy , xy
xy , xy
, xx
, xx
, yy
xx
+ ., yy
, xxyy
⇒ En contraintes planes, les équations A.7 deviennent, en remplaçant v par ν * = et λ par λ = 2 λ µ *
(λ+ 2µ) :
R| ∆b∆ Αg + b1 − v g ∆V = 0 S|∆b∆ Αg + λ + 2µ ∆V = 0 2b λ + µ g T
ν 1+ ν
A.8
Remarques
* Les forces de volume, quand elles ne sont pas négligées, correspondent en général aux forces de la pesanteur. Dans ces conditions, si on désigne par y la verticale ascendante, on a : →
→
→
f = ρ g = −ρ g y
d'où
V ( x , y ) = V ( y ) = ρ gy + V0
∆V = 0 .
et
Autrement dit, les relations A.7 et A.8 se réduisent à une seule et unique équation : ∆ ( ∆ Α) = 0
A.9
Dans toute la suite, on ne considérera plus que l'équation A.9 et sauf indications contraires, on négligera les forces de volume. Les équations A.6 deviennent alors :
σ x = Α , xx
σ y = Α , xx
et
σ xy = − Α , xy
A.10
La recherche de la solution pour un problème d'élasticité plane revient donc à trouver une fonction biharmonique A qui vérifie les conditions aux limites.
A.4
II - EXPRESSIONS DE LA FONCTION D'AIRY A PARTIR DE VARIABLES COMPLEXES : II.1 - FONCTIONS HOLOMORPHES OU FONCTIONS ANALYTIQUES : A tout point M(x,y) du plan, on associe le complexe z = x+iy dont le conjugué est z = x − iy . De ces deux dernières relations, on tire :
x=
z+z 2
et
y=
z−z 2i
Toute fonction g ( x, y ) peut-être considérée comme fonction de z et z , que l'on notera par abus de notation g (z , z ) . g → ( x, y ) ∈ Plan g ( x, y ) g ( x, y ) →( z , z ) → g ( z, z )
Pour ce changement de variable on a : 1 g , z = 2 (g , x − ig , y ) 1 g , z = (g , x + ig , y ) 2
A.11a
g ,x = g ,z + g ,z g , y = i( g , z − g , z )
A.11b
Soient P(x,y) et Q(x,y), deux fonctions définies sur un domaine S du plan. La fonction g définie par g = P + iQ est holomorphe dans S si : g,z = 0 Autrement dit g est fonction de la seule variable complexe z ⇒ g = g (z ) D'après les règles de dérivation A.11a, on a alors: g , z = 0 ⇒ g , x + ig , y = 0 Soit en reportant dans la première formule de A.11a :
A.5
c d
h
1 g,x + g,x = g,x 2 1 g ' z = − ig , y − ig , y = − ig , y 2
g'z =
i
∂g ∂x ∂g ⇒ g '( z ) = − i ∂y ⇒ g '( z ) =
A.12
Les relations A.12 impliquent donc, compte tenu de l'expression de g :
∂P ∂Q ∂P ∂Q +i = −i + ∂x ∂y ∂y ∂y
∂ ∂ ⇒ ∂ ∂
P ∂Q = x ∂ y P ∂Q =− y ∂x
A.13
Les relations A.13 correspondent aux conditions de Cauchy-Riemann. Ces relations impliquent ∆ P = ∆ Q = 0 ⇒ Les parties réelle et imaginaire d'une fonction holomorphe sont harmoniques. Inversement, si P(x,y) et Q(x,y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann, alors la fonction f(y) = P + iQ est holomorphe. (Par la suite, on utilisera indistinctement le terme holomorphe ou analytique). II.2 - EXPRESSIONS DE LA FONCTION D'AIRY
Si on pose ∆ Α = P , l'équation A.9 conduit à ∆ P = 0 P = ∆ Α est donc harmonique ; on peut donc considérer P comme partie réelle d'une fonction analytique f telle que :
f ( z ) = P + iQ
avec
∂ ∂ ∂ ∂
P ∂Q = x ∂ y P ∂ Q =− y ∂x
Remarque : Connaissant P = ∆ Α , on peut facilement calculer Q à partir de l'équation : dQ =
∂Q ∂Q dx + dy ∂x ∂y
∂ P ∂P soit par intégration : Q = ∫ dQ = ∫ − dx + dy + cte ∂x ∂ y
La fonction f(z) étant analytique, son intégrale Posons ϕ ( z ) =
1 ∫ f ( z) dz = p + iq 4
⇒
z
f ( z )dz l'est aussi ;
P=4
A.6
∂ p ∂q =4 ∂x ∂y
Il est aisé ensuite de montrer que ∆( Α − px − qy ) = 0 autrement dit que Α − px − qy est harmonique. On lui associe une fonction analytique χ ( z ) définie par : χ ( z ) = p1 + iq1 où p1 = Α − px − qy soit Α = px + qy + p1 ou encore
[
]
Α = Re zϕ ( z ) + χ ( z )
A.14
L'équation A.14 exprimant la fonction d’Airy peut également s'écrire : Α=
[
1 zϕ ( z ) + χ ( z ) + zϕ ( z ) + χ (z ) 2
]
A.15
Remarque :
La fonction d'Airy dépend de z ; ce n'est donc pas une fonction holomorphe. ϕ ( z ) et χ ( z ) sont les conjugués de ϕ ( z ) et χ(z) ; on les notera ϕ ( z ) et χ z . A ne pas
()
()
confondre avec ϕ ( z ) ou ϕ ( z ) et χ ( z ) ou χ z .
⇒ Si on applique les règles de dérivation A.11 à la fonction Α( z , z ) donnée par A.15, on obtient :
()
()
∂Α ∂Α ∂Α +i =2 = ϕ ( z ) + zϕ ' z + χ ' z ….. ∂x ∂y ∂z Soit encore en notant f ( x , y ) = 2 f ( x, y ) =
∂Α : ∂z
∂Α ∂Α +i = ϕ ( z ) + zϕ '(z ) + ψ (z ) ……. A.16 ∂y ∂x
où
ψ (z ) = χ ' (z ) =
dχ ….. A.17 dz
Le Laplacien de A peut être calculé à partir de A.15 avec les règles de dérivation A.11 : ∆Α=
soit
∂ 2Α ∂ ∂ Α ∂ ∂ Α ∂ ∂ ∂ Α ∂ Α +i −i + = =4 ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z∂ z
[
( )]
∆Α = 2 ϕ ( z ) + ϕ ' z = 4 Re[ϕ '( z )] ………. A.18
L'équation A.18 déduite de A.15, montre que ∆A correspond à la partie réelle d'une fonction analytique, elle est donc harmonique i.e. ∆(∆Α) = 0.
A.7
Inversement toute fonction biharmonique est de la forme A.15 où ϕ ( z ) et χ ( z ) sont des fonctions holomorphes. Les fonction ϕ ( z ) , χ ( z ) et ψ ( z ) sont appelées fonctions de Kolosov et Muskhelishvili. III - REPRESENTATION CONTRAINTES :
COMPLEXE
DES
DEPLACEMENTS
ET
a - Expression des déplacements :
Considérons les relations A.3, qui s'écrivent : 2µ ε x = σ x − et 2µ ε y = σ y −
λ
2(λ + µ
λ
2(λ + µ
(σ ) (σ )
x
+σ y)=
λ + 2µ (σ x + σ y ) − σ y 2(λ + µ )
x
+σ y)=
λ + 2µ (σ x + σ y ) − σ x 2(λ + µ )
En utilisant la fonction d'Airy (équation A.10), les relations précédentes deviennent :
λ + 2µ 2µ ε x = 2(λ + µ )∆Α − Α, xx 2 µ ε = λ + 2 µ ∆ Α − Α y , yy 2(λ + µ ) Comme ∆Α = P = 4
A.19
∂p ∂q =4 , l'intégration de A.19 conduit à : ∂x ∂y
(λ + 2µ ) 2 µ U x = 2 λ + µ p − Α , x + α ( y ) 2µ U = 2 (λ + 2µ )q − Α + β ( x ) y ,y λ+ µ α ( y ) et β ( x ) sont des constantes d'intégration.
A.20
Remarque :Le calcul de ε xy à partir des relations A.20 donne : λ + 2 µ ∂ p ∂ q − 2Α, xy + α ' ( y ) + β ' ( x ) = −2Α, xy or 4 µ ε xy = 2 µ (U x , y + U y , x ) = 2 + λ + µ ∂ y ∂ x ∂ p ∂q + = 0 ⇒ α ' ( y) + β ' ( x) = 0 ∂y ∂x soit α ' ( y ) = − β '( x ) = cte = C⇒ α ( y ) = cy + d 1 et β ( x ) = − cx + d 2
A.8
DES
Les constantes d'intégration α ( y ) et β ( x ) qui n'interviennent pas dans le calcul des déformations, correspondent à un déplacement rigide d'ensemble. Par la suite, sauf indications contraires, on n'en tiendra pas compte. ⇒ A partir des relations A.20, on peut écrire : 2µ (U x + iU y ) = 2
(λ + 2µ )( p + iq ) − (Α λ+ µ
,x
+ iΑ , y ) = 2
(λ + 2µ )ϕ (z ) − 2 ∂ Α λ+ µ
∂z
soit en utilisant A.16 : 2 µ (U x + iU y ) = 2
λ + 2µ ϕ ( z ) − ϕ ( z ) − zϕ '(z ) − ψ (z ) λ+ µ
d'où finalement :
() ()
2 µ (U x + iU y ) = κ ϕ ( z ) − zϕ ' z − ψ z ………….. A.21 avec κ =
λ + 3µ = 3 − 4v …………………….A.22 λ+ µ
Remarque : Pour un état de contraintes planes, prédominant dans les plaques minces chargées dans leur plan, on obtient les mêmes relations que A.21 en changeant λ en 2λ µ v et v en v * = , ce qui donne : λ *= λ+ 2µ 1+ v
κ=
5λ + 6µ 3 − v = ………………… A.23 3λ + 2µ 1 + v
b - Expression des contraintes :
A partir de A.10 et de l'expression de la fonction d'Airy A donnée par A.15, on établit les relations suivantes :
σ x + iσ xy = Α, yy − iΑ, xy = −i (Α, x + iΑ, y )y = −i (2Α, z ), y = 2(Α, zz − Α, zz ) d'où
()
() ()
σ x + iσ xy = ϕ ' ( z ) + ϕ ' z − zϕ ' ' z − ψ ' z ………….. A.24 σ y − iσ xy = Α, xx + iΑ, xy = (Α, x + iΑ, y ), x = 2(Α, z ), x = 2(Α, zz + Α, zz )
d'où
()
() ()
σ y − iσ xy = ϕ ' ( z ) + ϕ ' z + zϕ ' ' z + ψ ' z ………………..A.25
Des relations A.24 et A.25, on déduit aisément les relations suivantes :
A.9
σ y + σ x = 2(ϕ ' ( z ) + ϕ '(z )) = 4 Re(ϕ ' ( z )) …………….. A.26 σ y − σ x + 2iσ xy = 2(zϕ ' ' ( z ) + ψ ' ( z )) …………………A.27 Remarque : Pour voir comment se transforment les relations A.21, A.26 et A.27 lorsqu’on utilise des cordonnées cylindriques par exemple, on effectue une rotation d’angle θ autour d’un axe perpendiculaire au plan (x,y).
r y
r eθ
r er
θ
θ
r x
Le champ des déplacements dans le nouveau système d’axes est donné par :
FG u IJ = PFG u IJ avec P :FG cosθ H − sinθ Hu K Hu K d’où
r
x
θ
y
sin θ cosθ
IJ , soit : RS u = u cosθ + u sinθ K Tu = − u sin θ + u cosθ r
θ
x
y
x
y
ur + iuθ = (u x + iu y )(cosθ − i sin θ ) = e − iθ (u x + iu y )
La formule A.21 donnant le champ des déplacements devient donc :
b
g
e bg
d i d ij
2 µ ur + iuθ = e − iθ κ ϕ z − z ϕ ' z − ψ z
Le tenseur des contraintes σ
h
r r er ,eθ
dans le nouveau repère est tel que σ
A.28
h
r r er ,eθ
= Pσ
en développant les calculs :
R| |Sσσ || T
r
θ
= σ x cos2 θ + σ y sin 2 θ + 2σ xy sin θ cosθ = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − 2σ xy sin θ cosθ σ y −σx sin 2θ σ rθ = σ xy cos 2θ + 2
d
⇒ σ θ − σ r + 2iσ rθ = e 2iθ σ y − σ x + 2iσ xy
i
La relation A.26 reste inchangée, alors que A.27 devient :
d
bg
b gi
σ θ − σ r + 2iσ rθ = 2e 2iθ z ϕ '' z + ψ ' z
A.10
A.29
h
r x,y
t
P soit
IV - EXPRESSION DU TORSEUR DES EFFORTS Considérons un arc BC orienté de B vers C dans une plaque (figure ci-dessus où (x,y) est le plan de la plaque)
y
r n
C
r n
α
dy
P
α
P
α
ds dx
B x
•
Le vecteur contrainte au point P, centré sur l'élément d'arc ds de normale → → n : ( cosα ,sin α ) sera noté T P, n . Ses composantes ( X n , Yn ) sont définies par :
→
→ → → T P, n = σ n = ( X n , Yn )
soit
r r X n = t x.σ .n = σ x cos α + σ y sin α = Α, yy cos α − Α, xy sin α r r Yn = t y.σ .n = σ xy cos α + σ y sin α = − Α, xy cos α + Α, xx sin α
Comme cosα =
dy dx et sin α = − , les expressions de X n et Yn deviennent : ds ds
Xn =
•
d ∂ Α ds ∂ y
et
Yn = −
d ∂ Α ds ∂ x
A.30
→
La résultante par unité d'épaisseur F : ( X , Y ) sur l'arc BC, est donnée par : → → C → F = ∫ T P, n ds B
soit C
X = ∫ X n ds B
et
C
Y = ∫ Yn ds B
d'où C
C
∂ Α ∂ Α ∂ Α ∂ Α ∂ Α = −i −i +i = −2i X + iY = ∫ ( X n + iYn )ds = ∫ d B B ∂x ∂ y B ∂y ∂ x ∂ z B C
C
A.11
soit finalement, compte tenu de l'expression de Α :
[
( ) ( )]
X + iY = −i ϕ ( z ) + zϕ ' z + ψ z
C
A.31
B
• Le moment résultant par unité d'épaisseur en un point O, des efforts s’exerçant sur l'arc BC, s'écrit : → → C → → M = ∫ OP ∧ T P, n ds = (0,0, M ) avec B C C ∂ Α ∂ Α − yd M = ∫ ( xYn − yX n )ds = ∫ − xd B B ∂ y ∂x
soit en intégrant par partie : C ∂Α ∂ Α C M = [ Α] B − x +y ∂ y B ∂x Le second terme de M peut aussi s'écrire : x
∂ Α ∂ Α ∂Α ∂Α +y = Re( x + iy ) −i ∂x ∂y ∂ y ∂x ∂ Α = Re2 z ∂z
{[
( )]}
= Re z zϕ ' ( z ) + ψ ( z ) + ϕ z
et l'expression de M devient alors, compte tenu de la relation A.14 :
[
]
M = Re χ (z ) − zψ ( z ) − z zϕ '( z ) B C
A.32
V - DEGRE D'ARBITRAIRE DES FONCTIONS ϕ ( z ) ET ψ ( z ) :
Considérons un état de contrainte d'un corps élastique, défini par σ x ,σ y et σ xy les
composantes de σ . Il existe donc des fonctions Φ et Ψ telles que :
σ y + σ x = 4 Re[Φ( z )]
[
]
A.33
σ y − σ x + 2σ xy = 2 zΦ '( z ) + Ψ ( z ) A.34 Les fonctions ϕ et ψ introduites précédemment sont reliées à Φ et Ψ respectivement par les relations :
ϕ ( z ) = ∫ Φ( z) dz
et
ψ ( z ) = ∫ Ψ (z )dz
A.12
A.35
La relation A.33 montre que si Φ(z) est solution, Φ1 ( z ) = Φ( z ) + Ci avec C réel, l'est aussi. Et donc si ϕ est solution, ϕ1 l’est aussi avec ϕ1 de la forme :
ϕ 1 ( z ) = ϕ ( z ) + Ciz + γ où
A.36
γ = α + iβ est une constante complexe et ϕ 1 ( z) une primitive de Φ1 ( z) .
De même la deuxième relation A.35 montre que deux primitives ψ ( z ) et ψ 1( z ) de Ψ seront telles que :
ψ 1( z ) = ψ ( z ) + γ ' où
A.37
γ ' = α '+iβ ' est une constante arbitraire du corps des complexes.
Ainsi pour un état de contrainte donné, la fonction Ψ ( z ) est complètement définie alors que les fonctions Φ( z ) , ϕ ( z ) et ψ ( z ) sont définies respectivement aux termes suivants près:
•
Ci , Ciz + γ et γ ' . L'ajout de ces termes ne modifient pas l'état de contrainte. Cela signifie que l'on peut choisir arbitrairement les valeurs de Ιm( ϕ ' ( z ) ) , ϕ ( z ) et ψ ( z ) en un point quelconque. Si le domaine D sur lequel sont définies les fonctions ϕ et ψ, contient l'origine, on peut alors choisir arbitrairement les valeurs ϕ (0 ), ψ (0 ) et Ιm(ϕ ' (0) ) . •
• Supposons maintenant que le champ des déplacements soit donné dans D. On a donc, d'après la relation A.21 :
() ()
2 µ (U x + iU y ) = κϕ ( z ) − zϕ ' z − ψ z
Appelons U 1x et U 1 y les composantes du déplacement associées au choix :
ϕ 1( z) = ϕ ( z) + Ciz + γ et ψ 1( z) = ψ ( z) + γ ' ⇒ 2 µ (U 1 x + iU 1 y ) = 2µ (U x + iU y ) + (κ + 1)Ciz + κγ − γ 'L
A.38
L'unicité du champ des déplacements entraîne : C = 0 et κγ −γ '= 0 Soit :
A.39
κα − α '= 0 et κβ − β ' = 0
On peut donc choisir arbitrairement γ ou γ', c'est-à-dire si D contient l'origine, ϕ(0) ou ψ(0) par exemple.
A.13
Remarque : Si on pose U 1 x = U x + U 0 x et U 1 y = U y + U 0 y , la relation A.38 conduit à :
(
)
2 µ U 0 x + iU 0 y = (K + 1)Ciz + Kγ −γ ' soit
2 µU 0 x = −(K + 1)Cy + Kα −α '
A.40
2 µU 0 y = (K + 1)Cx + Kβ + β '
Les composantes U 0 x et U 0 y définies par les relations A.40 correspondent à celles d'un déplacement rigide d'ensemble. Supposons que la résultante des efforts sur un contour donné soit connue, c'est-à-dire d'après la relation A.31 :
•
ϕ ( z ) + zϕ ' ( z) + ψ ( z) imposée. En considérant les solutions ϕ 1( z ) = ϕ ( z ) + Ciz + γ résultante entraîne :
γ +γ '=0
L
et ψ 1( z ) = ψ ( z ) + γ ', l'unicité de la
A.41
On peut alors choisir arbitrairement C et γ ou γ ' c'est-à-dire dans l'hypothèse où D contient l'origine : Im( ϕ ' ( 0) ) et ϕ ( 0) ou ψ ( 0) En résumé : (On suppose que D contient l'origine)
* Si le champ des contraintes est imposé, on peut choisir arbitrairement les constantes C, γ et γ ' et poser par exemple : Im( ϕ ' ( 0) ) = 0 et ϕ ( 0) = ψ ( 0) = 0
A.42
* Si le champ des déplacements est imposé, on peut choisir γ ou γ ' et poser arbitrairement : ϕ ( 0) ou ψ ( 0) = 0
A.43
* Si la résultante des efforts sur un contour est donnée, on peut choisir C, et γ ou
γ', et donc poser arbitrairement :
Im( ϕ ' ( 0) ) = 0 et ϕ ( 0) = 0 ou ψ ( 0) = 0 .
A.14
A.44
ϕ ET ψ DANS UN DOMAINE BORNE ET
VI - EXPRESSIONS DES FONCTIONS MULTIPLEMENT CONNEXE :
• Un domaine D borné du plan est simplement connexe, s'il est limité par un seul contour fermé et simple C. Exemples :
C
C D
D
• Un domaine D est multiplement connexe s'il est limité par plusieurs contours Cj fermés simples (qui ne se recoupent pas entre eux) Exemples :
Cm+1
C2
C1
C2
C1 Lj
r Cj n
Cm
D
Domaine doublement connexe
Domaine multiplement connexe
Remarque :
* Jusqu'à présent, on a toujours supposé que le milieu D, dans lequel on a établi les relations, était simplement connexe. •
Considérons la relation A.26 qui s'exprime :
σ y + σ x = 4 Re[Φ( z )]
avec
Φ( z ) = ϕ '( z )
Soit C une courbe fermée dans D, la condition d'uniformité impose :
[ReΦ(z )]C = 0
A.45
A.15
En prenant Φ(z ) de la forme : m
Φ( z ) = ∑ Α k log(z − z k ) + Φ * ( z )
A.46
k =1
avec Ak ∈ R , z k des complexes associés à des points situés à l’intérieur des
contours Ck , et Φ *( z ) une fonction uniforme dans D (donc holomorphe dans D), la condition A.45 est vérifiée. Vérification :
Prenons une courbe fermée Lj, autour du contour Cj, orientée dans le sens positif (voir figure précédente) et posons z − z j = re iθ ⇒
[Φ(z )]Lj = 2πiΑ j , donc on a bien [ReΦ(z )]Lj = 0 .
Par intégration de φ ( z ) , on obtient ϕ ( z ) , soit : m
ϕ (z ) = ∫ Φ(z )dz + cste = ∑ [Α k (z − z k )log(z − z k ) − (z − z k )] + ∫ Φ * (z )dz + cste k =1
or ∫ Φ * ( z )dz se met aussi sous la forme : m
* ∫ Φ (z )dz = ∑ Ck log(z − z k ) + fonction uniforme dans D. k =1
bg
b
m
b
g
g b
g
m
b
ϕ z = z ∑ Α k log z − zk + ∑ Ck − Ak z k log z − zk − ∑ z − zk k =1
+ fonction uniforme dans D
k =1
g
Finalement ϕ ( z ) s'écrit :
bg
b
g b
Ak ∈ R , γ
= Ck − Ak z k
m
g
bg
ϕ z = ∑ Α k z + γ k log z − z k + ϕ * z k =1
A.47
avec k
b
g
un nombre complexe et ϕ
bg
*
bzg = − ∑ bz − z g
fonction uniforme dans D ; ϕ * z est également uniforme dans D. •
De même, si on considère la relation A.27 :
bg bg
σ y − σ x + 2iσ xy = 2 z Φ ' z + Ψ z
A.16
m
k
k =1
+
La condition d'uniformité impose Ψ( z ) uniforme. Comme ψ ( z ) = ∫ Ψ( z )dz , on a comme précédemment : m
ψ ( z ) = ∑ γ 'k log( z − z k ) + ψ *( z )
A.48
k =1
avec
γ 'k∈ C et ψ *( z) uniforme dans D.
Examinons maintenant les conséquences de ces choix sur le champ des déplacements.
•
(
)
Le champ des déplacements U x , U y est donné par :
() ()
2 µ (U x + iU y ) = κϕ ( z ) − zϕ ' z − ψ z soit en utilisant les relations A.47 et A.48 : 2 µ U x + iU y
Lj
b g
= 2πi κ + 1 Α j z + κγ j + γ ' j
[
La condition d'uniformité U x + iU y
]
Lj
(κ + 1)Α j z + κγ j + γ ' j
A.49
= 0 sur toute courbe fermée L j conduit à :
= 0L A.50
soit Α j ≡ 0 κγ j + γ
' j
∀j ∈ [1, m]
=0
L A.51
• Considérons maintenant la résultante du torseur des efforts extérieurs (par unité d'épaisseur) sur L j et désignons par X j , Y j ses composantes. On a d'après A.31 :
(
)
[
X j + iY j = −i ϕ ( z ) + zϕ ' ( z ) + ψ ( z )
]
Lj
Remarque : →
→
* Compte tenu de l'orientation de n = next (orienté vers l’intérieur de L j - voir figure précédente), il faut changer de signe d'où :
[
X j + iY j = i 2πiγ j − 2πiγ 'j
soit
(
X j + iY j = −2π γ j − γ 'j
]
)
A.17
A.52
X j + iY j γ j = − 2π (1 + κ ) γ ' = κ X j − iY j J 2π (1 + κ )
A.51 et A.52 entraînent
A.53
Les expressions de ϕ et ψ vont donc s'écrire :
ϕ (z ) = −
bg
ψ z =
m 1 ( X k + iYk ) log(z − z k ) + ϕ * (z ) ∑ 2π (1 + κ ) k =1
κ
b g ∑b X m
2π 1 + κ
k
g b
bg
g
− iYk log z − z k + ψ * z
k =1
A.54
A.55
VII - EXPRESSIONS DES FONCTIONS ϕ ET ψ DANS DES DOMAINES INFINIS ET MULTIPLEMENT CONNEXES
Les formules établies précédemment restent valables dans toute portion bornée du domaine D. Que deviennent les expressions des fonctions ϕ(z) et ψ(z), si on se place par exemple à l'extérieur d'un cercle Ck de rayon R très grand, de sorte que tous les contours C j soient à l'intérieur du cercle i.e. z j < R < z . Dans ces conditions, on a : z 1F z I F zI logb z − z g = log z + logG 1 − J = log z − − G J H zK z 2H z K logb z − z g = log z + fonction uniforme dans (D-C ). k
k
k
k
2
+ .....
R
k
Les relations A.54 et A.55 deviennent donc :
R|ϕ b zg = − X + iY log z + ϕ b zg 2π b1 + κ g |S ||ψ b zg = κ b X − iY g log z + ψ bzg 2π b1 + κ g T **
**
A2.56 A2.57
où ϕ ** ( z ) et ψ ** ( z ) sont des fonctions uniformes dans ( D − C R ) et : m
X = ∑ Xk 1
m
Y = ∑ Yk 1
X et Y sont les composantes de la résultante des efforts s’exerçant sur tous les contours Ck .
A.18
ϕ ** ( z ) et ψ ** ( z) peuvent être développés en série de Laurent dans ( D − Ck ) sous la forme : ∞
∞
ϕ ** ( z) = ∑ a n z n
et
[
]
ψ ** ( z ) = ∑ a 'n z n
−∞
−∞
La relation σ y + σ x = 2 ϕ ' ( z ) + ϕ ' ( z ) s'écrit alors :
X + iY 1
X − iY 1
∞
(
σ y + σ x = 2 − − + ∑ n a n z n−1 + a n z 2π (1 + κ ) z 2π (1 + κ ) z −∞
n −1
)
Quand z grand, les contraintes σ y et σ x doivent rester finies d'où :
∑ n(a ∞
n=2
n
z n−1 + a n z
n −1
)= 0
⇒
[
a n = an = 0 pour n ≥ 2
]
La relation σ y − σ x + 2iσ xy = 2 zϕ ' ' ( z ) + ψ ' ( z ) doit aussi rester bornée lorsque z est grand. Comme zϕ ' ' ( z ) est bornée
⇒ ψ ' ( z ) bornée
⇒ a ' n = 0 pour n ≥ 2
Finalement, les relations A.56 et A.57 deviennent : X + iY ϕ (z ) = − 2π (1 + κ ) log z + Γz + ϕ 0 ( z ) ψ ( z ) = κ X − iY log z + Γ' z + ψ ( z ) 0 2π (1 + κ ) où Γ = B + iC , Γ ' = B '+iC ' et, ϕ 0 et ψ
ϕ 0 (z ) = d 0 +
0
A2.58 A2.59
de la forme :
d1 d 2 + +L z z2
ψ 0 ( z) = d ' 0 +
d '1 d ' 2 + 2 +L z z
L'état de contrainte n'est pas affecté si on choisit :
ϕ 0 (∞ ) = ψ 0 (∞ ) = 0⇒
d0 = d '0 = 0
Im(ϕ ' (∞ )) = 0⇒Im(Γ ) = 0
soit C = 0
Remarques : 1 - Les réels B, B' et C' peuvent s'exprimer en fonction des contraintes à l'infini σ x∞ , σ y∞ et
σ ∞xy . On a en effet :
A.19
σ +σ = 4 Lim[Reϕ ' ( z )] = 4Γ = 4 B
B=
σ y∞ −σ x∞ +2iσ xy∞ = 2Γ' = 2(B'+iC ')
B' =
∞ x
∞ y
z →∞
⇒
σ x∞ + σ y∞
A.60
4
σ y∞ − σ x∞ A.61
2
C'= σ
∞ xy
2 - Les réels B, B' et C' peuvent aussi s'exprimer en fonction des contraintes principales à l'infini σ ∞I et σ ∞II (voir figures ci-dessous).
σ + σ = 4B ∞ I
∞ II
⇒
B=
⇒
4 1 B '+iC ' = σ ∞II − σ ∞I e −2iα 2
(
σ ∞II − σ ∞I = 2e 2iα (B'+iC ') ⇒ r y
r II
σ ∞I + σ ∞II
σ ∞y
α
σ ∞xy
r I
α
)
σ ∞II σ ∞x
A.62 A.63
σ ∞I α
r x
VIII - APPLICATION : PLAQUE COMPORTANT UN TROU CIRCULAIRE :
Soit une plaque rectangulaire comportant un trou circulaire de rayon R (figure ci-dessous) ; R est supposé très petit par rapport aux dimensions de la plaque. Lorsqu'on se place à l'échelle du trou, la plaque peut être considérée comme un milieu infini.
Au voisinage immédiat du trou, on utilise les coordonnées polaires :
A.20
⇒
d'où :
σ θ + σ r = 2[ϕ ' ( z ) + ϕ ' ( z )] σ θ − σ r + 2iσ rθ = 2e 2iθ [z ϕ ' ' ( z ) + ψ ' ( z )]
()
σ r − iσ rθ = ϕ (z ) + ϕ ' z − e 2iθ [z ϕ ' ' ( z ) + ψ ' ( z )]
A.64
Remarque :
* Sur le trou r = R ; si on connaît la contrainte normale σ R (conditions limites (CL) de pression) et/ou la contrainte tangentielle σ Rθ (CL de cisaillement), le terme de gauche de A.64 est connu. Considérons maintenant les relations donnant ϕ ( z ) et ψ
ϕ
X + iY log z +Γz + ϕ 0 (z ) 2π (1 + κ )
avec ϕ 0 ( z ) =
d1 d 2 + +L z z2
X − iY log z +Γ' z + ψ 0 ( z ) 2π (1 + κ )
avec ψ 0 ( z ) =
d '1 d '2 + 2 +L z z
(z ) = −
ψ (z ) = κ
(z ) dans un milieu infini, soient :
Les fonctions Φ ( z ) et Ψ ( z ) sont données par : d 1 2d 2 X + iY Φ ( z ) = ϕ ' ( z ) = − 2π (1 + κ )z + Γ − z 2 − z 3 +L Ψ ( z ) = ψ ' ( z ) = κ X − iY + Γ '− d '1 − 2d ' 2 +L 2π (1 + κ )z z2 z3
A2.65 A2.66
Les relations précédentes vont donc pouvoir s'écrire : ∞ X + iY ( ) z ak z −k avec a0 = Γ, a1 = − , a2 = −d1L Φ = ∑ 2π (1 + κ ) 0 ∞ Ψ ( z ) = a' z −k avec a' = Γ' , a' = κ X − iY , a' = − d ' L ∑0 k 0 1 2 1 2π (1 + κ )
et compte tenu de ces expressions, la relation A.64 devient :
()
σ R − iσ Rθ = Φ( z ) + Φ z − e
2 iθ
[zΦ' (z ) + Ψ(z )]
A.21
z = Re i θ avec sur le trou −i θ z = Re
− e 2iθ z ∑ (− k )a k z − k −1 + ∑ a ' k z − k 0 0 ∞ ∞ k e − i kθ e i kθ e − i kθ = ∑ a k k + ∑ a k k + R ∑ ka k k +1 − e 2iθ ∑ a ' k z R R R 0 0 ∞ ∞ ∞ a a' a' 1+ k = ∑ k a k e −i kθ + ∑ kk e i kθ − a'0 e 2iθ − 1 e iθ − ∑ kk ++ 22 e −i kθ R R 0 0 R 0 R ∞
∞
= ∑ a k z −k + ∑ a k z
−k
A.67
Par ailleurs σ R − iσ R θ pourra se développer en série sous la forme : ∞
σ R − iσ Rθ = ∑ Α k e i kθ
A.68
−∞
Si le chargement sur le trou circulaire est connu, les termes Α k seront connus. En identifiant terme à terme, les deux expressions A.67 et A.68 de σ R − iσ R θ , on a :
♣k=0
⇒Α 0 = a0 + a0 −
a'2 R2
avec a0 = a0 = Γ = B ∈ R
soit Α 0 = 2a 0 −
♣ Termes en
ei θ
♣ Termes en e 2i θ
⇒
⇒
a'2 R2
Α1 =
a1 a '1 − R R
avec a '1 = −κa1
Α2 =
a2 − a'0 R2
avec a' 0 = Γ '
ak Rk
♣ Termes en e i kθ (pour k ≥ 3)
⇒
Αk =
Termes en e − i kθ (pour k ≥ 1)
⇒
a ' k +2 1+ k = Α−k k ak − R R k +2
⇒
ak = Ak R k
• A partir des relations précédentes, on va pouvoir déterminer les coefficients a k et a ' k :
(
)
a0 = Γ ; a'0 = Γ' ; a' 2 = (2Γ − Α 0 )R 2 ; a2 = A2 + Γ' R 2 ΑR A1 R ; a'1 = −κ 1 a1 = 1+κ 1+κ k a k = Ak R ( pour k ≥ 3); a ' k + 2 = R 2 (1 + k )a k − R k + 2 Α −k ( pour k ≥ 1)
A.22
A.69
IX METHODE UTILISANT L’INTEGRALE DE CAUCHY IX-1 Définition de l’intégrale de Cauchy Soit L un contour simple, fermé et d’orientation positive, séparant le plan en deux domaines disjoints D+ (intérieur à L et contenant l’origine) et D- (extérieur à L et contenant le point à l’infini).
L D-
D
+
f(t) étant une fonction de la variable complexe donnée sur le contour fermé L, l’intégrale de Cauchy notée F(z) est définie par :
1 f (t ) F ( z) = dt avec 2πi ∫L t − z
z ∈ D + ou D − mais z ∉ L
t∈L
et
Remarques : Si f(z) est holomorphe dans D+, elle peut se développer en série entière sous la forme : ∞
f ( z ) = ∑ a n z n et f
(n)
( z) =
0
n! 2πi
zb L
f (t ) t−z
g
n +1
dt
Si f(z) est holomorphe dans D-, elle peut se développer en série entière sous la forme : ∞
f ( z) = ∑ 0
an et f zn
(n)
( z) =
n! 2πi
zb L
f (t ) t−z
g
n +1
dt
IX-2 Formules de Cauchy 1- Si la fonction f est holomorphe dans D+ contenant l’origine et continue dans D+ + L, alors :
1 f (t ) dt = 0 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D −
A.23
A.70
1 f (t ) dt = f ( z ) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D +
A.71
2- Si la fonction f est holomorphe dans D+, continue dans D+ + L à l’exception de n points z i ∈ D + (avec f ( z ) → g i ( z ) ), alors : z → zi
n 1 f (t ) dt = − g i ( z) ∑ 2πi ∫L t − z 1
pour z ∈ D −
A.72
n 1 f (t ) dt = f ( z ) − ∑1 g i ( z ) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D +
A.73
3- Si la fonction f est holomorphe dans D- et continue dans D- + L, alors :
1 f (t ) dt = − f ( z ) + f (∞) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D −
A.74
1 f (t ) dt = f (∞) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D +
A.75
4- Si la fonction f est holomorphe dans D-, continue dans D- + L à l’exception de n points z i ∈ D − (avec f ( z ) → g i ( z ) ), alors : z → zi
n 1 f (t ) dt = − f ( z ) + ∑1 g i ( z ) + f ∞ ( z ) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D −
A.76
n 1 f (t ) dt = ∑1 g i ( z ) + f ∞ ( z ) 2πi ∫L t − z
pour z ∈ D +
A.77
IX-3 Intégration le long d’un cercle
Le contour L étant un cercle de rayon R, on peut poser :
z = ω (ζ ) = Rζ et désigner par γ le cercle unité ζ = 1 ; τ = e iθ sera le point courant sur le cercle γ . A étant la fonction d’Airy définie par :
A.24
[
] 12 [zϕ (z ) + χ (z ) + zϕ (z ) + χ (z )]
Α = Re zϕ ( z ) + χ ( z ) = On a vu que :
() ()
∂Α ∂Α ∂Α ∂Α ∂Α = ∫ d = 2 −i +i i ∫ ( X n + iYn )ds = i ∫ d = ϕ ( z ) + zϕ ' z + ψ z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x
r r où ψ ( z ) = χ '( z ) et ( X n , Yn ) sont les composantes du vecteur contrainte T ( P, n ) . En posant f = i ∫ ( X n + iYn )ds , on peut donc mettre la relation précédente sous la forme :
ϕ ( z ) + zϕ ' ( z ) + ψ ( z ) = f
A.78
Cette relation écrite sur le contour L ( f donnée sur L) correspondra à une condition limite. Remarques :
* Pour éviter toute confusion compte tenu du changement de variable z = ω (ζ ) , on notera par la suite les différents potentiels complexes intervenant dans les équations :
ϕ (ζ ), χ (ζ ),ψ (ζ ) K et
ϕ 1 ( z ), χ 1 ( z ),ψ 1 ( z ) K
avec
ϕ 1 ( z ) = ϕ 1 (ω (ζ )) = ϕ (ζ )
et
ψ 1 ( z ) = ψ 1 (ω (ζ )) = ψ (ζ )
et
zϕ1' ( z ) =
d’où
ϕ 1' ( z ) = ϕ ' (ζ )
dζ ϕ ' (ζ ) = dz ω ' (ζ )
ω (ζ ) ϕ ' (ζ ) ω ' (ζ )
* Dans le cas du changement de variable z = Rζ , on a alors : zϕ 1' ( z ) = ζϕ ' (ζ ) La condition limite A.78 et sa forme conjuguée, vont donc pouvoir s’écrire pour τ sur le cercle unité γ :
ϕ (τ ) + τϕ '(τ ) + ψ (τ ) = f
A.79
ϕ (τ ) + τϕ '(τ ) + ψ (τ ) = f
A.80
Pour résoudre le système des deux équations précédentes et déterminer donc les fonctions ϕ et ψ , on envisage deux cas : ζ ∈ D + ou ζ ∈ D−
A.25
IX-3.1 Calcul à l’intérieur du contour L ( ζ ∈ D + )
En prenant les intégrales de Cauchy de la relation A.79 sur le cercle unité γ , on obtient :
z
z
z
z
f 1 ϕ (τ ) 1 1 τϕ '(τ ) 1 ψ (τ ) dτ = dτ − dτ − dτ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 1442443 144244 3 (1)
(2)
ϕ étant holomorphe dans D+, le terme de gauche vaut ϕ (ζ ) d’après A.71. Les termes (1) et (2) se calculent comme suit : • ϕ (ζ ) =
n
∑a ζ
n
n
= a 0 + a1ζ + a 2ζ 2 + a 3ζ 3 + .....
ϕ '(ζ ) = a1 + 2a 2ζ + 3a 3ζ 2 + .....
0
soit
ϕ '(τ ) = a1 +
D’où (1) =
1 2πi
z FGH
2a 2
τ
+
3a 3
τ
2
a1τ + 2a 2 +
γ
car τ =
+ .....
3a 3
τ
1
τ
IJ dτ K τ −ζ
+ .....
Les termes a1τ et 2a 2 étant holomorphes dans D+ et les termes
D- , on a d’après les relations de Cauchy A.71 et A.75 : (1) =
3a 3
τ
étant holomorphes dans
z
1 τϕ ' (τ ) dτ = a1ζ + 2a 2 2πi γ τ − ζ
• Pour traiter le terme (2) on va poser u(ζ ) = ψ
F 1I GH ζ JK
⇒
u(τ ) = ψ (τ ) ; la fonction u
ainsi définie est holomorphe dans D- car ψ l’est dans D+. D’où (2) =
z
z
1 ψ (τ ) 1 u(τ ) dτ = dτ = u( ∞) = ψ (0) d’après A.75. 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ
Finalement, en remarquant que a1 = ϕ '(0) et 2a 2 = ϕ ' '(0) , l’expression donnant ϕ est :
ϕ (ζ ) =
avec
ϕ ' (0) =
z
z
1 f dτ − ϕ ' (0)ζ − ϕ ' '(0) − ψ (0) 2πi γ τ − ζ
f 1 dτ − ϕ '(0) 2πi γ τ 2
soit
A.26
ϕ '(0) + ϕ '(0) = 2 Re ϕ '0) =
A.81
z
f 1 dτ 2πi γ τ 2
ϕ ' ' (0) =
et
z
1 f dτ . πi γ τ 3
Pour le calcul de ψ, on procède de la même manière en prenant les intégrales de Cauchy sur le contour γ de la relation A.80, soit :
z
z
z
z
f 1 ψ (τ ) 1 1 ϕ (τ ) 1 τϕ '(τ ) dτ = dτ − dτ − dτ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 144244 3 1442443 (1)
(2)
ψ étant holomorphe dans D+, le terme de gauche vaut ψ (ζ ) d’après A.71. Les termes (1) et (2) se calculent comme suit :
Or
z z
(1) =
1 ϕ (τ ) dτ = ϕ (0) comme précédemment. 2πi γ τ − ζ
(2) =
1 τϕ ' (τ ) 1 ϕ '(τ ) dτ dτ = 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ τ − ζ
z
ϕ '(ζ ) a1 = + 2a 2 + 3a 3ζ + ..... ζ ζ (2)=
a1 ϕ '(ζ ) et donc d’après A.73 : ≈ ζ ζ →0 ζ
soit
z
ϕ '(ζ ) − a1 ϕ '(ζ ) − ϕ ' (0) 1 ϕ ' (τ ) dτ = = ζ ζ 2πi γ τ τ − ζ
L’expression donnant ψ est alors :
ψ (ζ ) =
z
1 f ϕ ' (ζ ) − ϕ ' (0) dτ − ϕ (0) − 2πi γ τ − ζ ζ
A.82
IX-3.1 Calcul à l’extérieur du contour L ( ζ ∈ D − )
En prenant les intégrales de Cauchy de la relation A.79 sur le cercle unité γ , on obtient :
z
z
z
z
f 1 ϕ (τ ) 1 1 τϕ '(τ ) 1 ψ (τ ) dτ = dτ − dτ − dτ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 1442443 144244 3 (1)
(2)
Le terme de gauche vaut d’après la relation de Cauchy A.74 : −ϕ (ζ ) + ϕ ( ∞ ) Pour le calcul de (1) on a la fonction ϕ holomorphe dans D-, elle se met donc sous la forme :
ϕ (ζ ) = a 0 +
a1
ζ
+
a2
ζ
2
+ .....
soit
ϕ '(ζ ) = −
a1
ζ
2
A.27
−
2a 2
ζ
3
+ ..... et ϕ '(τ ) = − a1τ 2 − 2a 2 τ 3 + ....
d’où
τϕ ' (τ ) = a1τ 3 − 2a 2τ 4 + .... qui est holomorphe dans D+ et donc :
Le terme (1) = 0 d’après la relation A.70. Le terme (2) =
z
z
u(τ ) 1 ψ (τ ) 1 dτ = dτ en introduisant la fonction u définie comme 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ
précédemment ( u(ζ ) = ψ
F 1I GH ζ JK
⇒
u(τ ) = ψ (τ ) ) et qui est holomorphe dans D+ ; ainsi
le terme (2) est nul aussi d’après toujours la même relation A.70. Finalement l’expression de ϕ est :
ϕ (ζ ) = −
z
1 f dτ + ϕ ( ∞ ) 2πi γ τ − ζ
A.83
Pour le calcul de ψ, l’application des intégrales de Cauchy sur le contour γ de la relation A.80, conduit à :
z
z
z
z
f 1 ψ (τ ) 1 1 ϕ (τ ) 1 τϕ '(τ ) dτ = dτ − dτ − dτ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 144244 3 1442443 (1)
(2)
Le terme de gauche vaut d’après la relation de Cauchy A.74 : −ψ (ζ ) + ψ ( ∞ )
z z
z
Le terme (1) =
u(τ ) 1 ϕ (τ ) 1 dτ = dτ = 0 car u holomorphe dans D+ . 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ
Le terme (2) =
1 ϕ ' (τ ) dτ 2πi γ τ τ − ζ
ϕ (ζ ) = a 0 +
a1
ζ
Donc (2) = −
+
a2
ζ
2
+ .....
avec : soit
2a a ϕ '(ζ ) = − 13 − 42 +..... holomorphe dans Dζ ζ ζ
ϕ '(ζ ) d’après A.74. ζ
Finalement l’expression de ψ est :
ψ (ζ ) = −
z
1 f ϕ ' (ζ ) dτ − + ψ (∞ ) 2πi γ τ − ζ ζ
A.28
A.84
X APPLICATION : PLAQUE INFINIE COMPORTANT UN TROU ELLIPTIQUE On utilise pour traiter le trou elliptique la transformation conforme suivante :
FG H
z = ω (ζ ) = R ζ +
γ
IJ ζK
m
avec
RS R > 0 T0 ≤ m < 1
le cercle unité dans le plan des ζ correspond - dans le plan des z - à l’ellipse L centrée sur l’origine et dont les demi-axes sont : 2a 2b Cercle unité γ dans le plan des ζ
RSa = R(1 + m) Tb = R(1 − m)
cas limites
Ellipse L dans le plan des z
RS m = 0 ⇒ a = b L est un cercle de rayon R Tm → 1 ⇒ b → 0 L → fissure de longueur 2a
compte tenu du changement de variables on a : zϕ '1 ( z ) = ω (ζ ) R(τ + m τ ) ω (τ ) 1 τ2 +m = = ω '(τ ) R(1 − m τ 2 ) τ 1 − mτ 2
et
ϕ '(ζ ) ω '(ζ )
m+1 τ2 ω (τ ) 1 + mτ 2 =τ = τ où τ = e iθ 2 2 ω '(τ ) 1− m τ τ −m
Les équations A.79 et A.80 vont donc s’écrire sur le cercle unité γ :
ϕ (τ ) +
1 τ2 +m ϕ '(τ ) + ψ (τ ) = f τ 1 − mτ 2
A.85
1 + mτ 2 ϕ '(τ ) + ψ (τ ) = f τ2 −m
A.86
ϕ (τ ) + τ
La plaque étant trouée, le calcul se fera dans D-.
RSD ( L) extérieur de l' ellipse L dans le plan des z T D (γ ) extérieur du cercle γ dans le plan des ζ −
−
En prenant les intégrales de Cauchy de l’équation A.85, on a :
A.29
z
z
z
z
τ2 +m dτ f 1 ϕ (τ ) 1 ψ (τ ) 1 1 dτ + dτ + ϕ '(τ ) = dτ 2 τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ (1 − mτ ) 144244 3 144244 3 144444244444 3 (1)
(2)
(3)
(1) = −ϕ (ζ ) + ϕ ( ∞ ) d’après A.74 (2) = 0 en procédant au changement . u(τ ) = ψ (τ ) avec u holomorphe dans D+.
Pour le calcul de (3), on a :
ϕ (ζ ) = a 0 +
a1
ζ
+
a2
ζ
2
+ .....
soit
ϕ '(ζ ) = −
a1
ζ
2
−
2a 2
ζ
3
+ ..... et ϕ '(τ ) = − a1τ 2 − 2a 2 τ 3 + ....
z
τ2 +m 1 dτ (a1τ 2 + 2a 2 τ 3 + ....) D’où = 0 d’après A.70 2 2πi γ 11−4444 mτ 4244444 3τ −ζ Holomorphe dans D +
On obtient finalement :
ϕ (ζ ) = −
z
1 f dτ + ϕ ( ∞ ) 123 2πi γ τ − ζ =0
A.87
Le calcul des intégrales de Cauchy de la relation A.86 donne :
z
1 ψ (τ ) 1 dτ = 2πi γ τ − ζ 2πi
z γ
f
z
z
1 ϕ (τ ) 1 1 + mτ 2 dτ dτ − τ 2 dτ − ϕ '(τ ) τ − ζ 2πi γ τ − ζ 2πi γ τ − m τ −ζ 14444 4244444 3 (1)
Le terme de gauche est égal à −ψ (ζ ) + ψ ( ∞ ) , le 2e terme de droite est nul Pour le calcul de (1), on a : a 2a 1 + mτ 2 ϕ '(τ ) = − 12 − 32 + ..... d’où τ 2 ϕ '(τ ) est holomorphe dans D- avec mζ .ϕ '(ζ ) ≈ 0 τ τ τ −m ζ →∞
Donc d’après A. (1) = −ζ
ψ (ζ ) = −
1 + mζ 2 ϕ ' (ζ ) et finalement la fonction ψ s’écrit : ζ2 −m
z
1 1 + mζ 2 f ϕ ' (ζ ) + ψ (∞ ) dτ − −ζ 2 123 2πi γ τ − ζ ζ −m =0
A.88
Remarque : ϕ et ψ étant définies à une constante près on peut choisir ϕ ( ∞ ) = ψ ( ∞ ) = 0 dans les équations A.87 et A.88.
A.30
Les fonctions ϕ1 et ψ1 s’expriment dans un domaine infini et multiplement connexe (relations A.58 et A.59) :
R|ϕ b zg = − X + iY log z + Γz + ϕ b zg 2π b1 + κ g |S ||ψ b zg = κ X − iY log z + Γ ' z + ψ b zg 2π b1 + κ g T 0 1
1
0 1
1
avec
Γ=Γ=
σ ∞x + σ ∞y 4
, Γ' =
σ ∞y − σ ∞x 2
+ iσ ∞xy
et ϕ 10 , ψ 10 holomorphes pour z suffisamment grand, donc pouvant se mettre sous la forme : ∞
a ϕ = ∑ nn 0 z 0 1
-
et
∞
ψ =∑ 0 1
0
a'n zn
Pour traiter le cas du trou elliptique, on a fait le changement de variables suivant :
FG H
z = ω (ζ ) = Rζ 1 +
m
ζ
2
IJ K
FG H
⇒ log z = log ζ + log R + log 1 +
FG H
avec log 1 +
m
ζ2
⇒ Γz = ΓRζ +
b
g
z = ω (ζ ) ⇒ ϕ 1 ω (ζ ) = ϕ (ζ )
et
IJ = m − 1 m K ζ 2ζ 2
2
4
m
ζ
2
IJ K
+ ....
ΓRm
ζ ψ 1 ω (ζ ) = ψ (ζ )
b
g
Les équations précédentes donnant ϕ1 et ψ1 se transforment donc en :
R|ϕ bζ g = − X + iY logζ + ΓRζ + ϕ bζ g 2π b1 + κ g |S ||ψ bζ g = κ X − iY logζ + Γ ' Rζ + ψ bζ g 2π b1 + κ g T 0
0
A.89 A.90
où ϕ 0 (ζ ) , ψ 0 (ζ ) sont des fonctions holomorphes pour ζ suffisamment grand. En dérivant ϕ (ζ ) on obtient :
R|ϕ ' bζ g = − X + iY 1 + ΓR + ϕ ' bζ g 2π b1 + κ g ζ |S ||ϕ ' bζ g = − X − iY 1 + ΓR + ϕ ' bζ g 2π b1 + κ g ζ T 0
0
A.31
En utilisant les relations A.89 et A.90 dans A.85 et A.86, il apparaît que ϕ 0 (ζ ) et ψ 0 (ζ ) satisfont aux mêmes conditions limites en remplaçant f par f0 dans A.85 et A.86 où :
FG H a f
IJ K
X + iY X − iY Γ' R X + iY 1 τ2 +m f0 = f + log τ − ΓRτ + +κ log τ τ − ΓR − 2 2π 1 + κ τ 1 − mτ 2π 1 + κ τ 2π 1 + κ
a f
a f
soit après simplification : f0 = f +
ϕ 0 (ζ )
et
IJ K
FG H
τ2 +m X + iY X − iY τ 2 + m Γ ' R − log τ − ΓR τ + + τ 2π 2π 1 + κ 1 − mτ 2 τ (1 − mτ 2 )
b
A.91
g
ψ 0 (ζ ) seront ensuite calculées à partir des relations A.87 et A.88 où f est remplacée
par f0 . Exemples : 1- Plaque chargée en traction simple avec trou elliptique
Les solutions sont :
ϕ (ζ ) =
σ∞R 4
FG ζ − m + 2 IJ H ζ K
ψ (ζ ) = −
et
σ∞R 2
LM−ζ − 1 + (1 + m )(1 + m) m ζ N mζ
OP − mQ
ζ
2
2
La contrainte maximum au bord du trou elliptique de longueurs des grand axe 2a et petit axe 2b est alors donnée par :
FG H
σ max = σ ∞ 1 + 2
a b
IJ K
A.92
Le coefficient de concentration est alors : KT = 1 + 2
a a = 1+ 2 b ρ
A.93
où ρ est le rayon à fond d’entaille. 2- Plaque en traction équibiaxiale avec trou elliptique
ϕ (ζ ) =
σ∞R 2
FG ζ − mIJ H ζK
et
ψ (ζ ) = −σ ∞ R(1 + m 2 )
A.32
ζ ζ −m 2
⇒ σ max = 2σ ∞
a b
XI CHAMPS DES CONTRAINTES ET DES DEPLACEMENTS PRES DE L’EXTREMITE D’UNE FISSURE - METHODE DE WESTERGAARD Hypothèses : On considère un corps solide fissuré, dont le comportement est élastique linéaire. La taille de la fissure est supposée petite par rapport aux dimensions du corps fissuré. En élasticité plane, les contraintes dérivent d’une fonction biharmonique : la fonction d’Airy, qui s’exprime en utilisant les potentiels complexes ϕ ( z ) et χ ( z ) par : A = Re z ϕ ( z ) + χ ( z )
et
RS Tσ
y
σ y + σ x = 4 Re ϕ ' ( z) − σ x + 2iσ xy = 2 z ϕ ' ' ( z) + χ ' ' ( z )
Il s’ensuit donc :
R|σ S|σ T
y x
= Re 2ϕ ' ( z ) + z ϕ ' ' ( z ) + χ '' ( z ) = Re 2ϕ ' ( z) − z ϕ ' ' ( z ) − χ '' ( z ) σ xy = Im z ϕ ' ' ( z) + χ ' ' ( z )
Le corps fissuré étant soumis à un chargement donné, on note 2a la longueur de la fissure.
y
x
x=-a
x=a
Les lèvres L de la fissure étant non chargées, le vecteur contrainte est nul : r r r T ( M ∈ L,± y ) = 0 ⇒ σ y = σ xy = 0
Autrement dit, sur la fissure c’est à dire pour z = z et z < a , on a :
RSRe 2ϕ ' (z) + z ϕ ' ' (z) + χ ' ' (z) = 0 T Im z ϕ ' ' (z) + χ ' ' ( z) = 0 d’où
RS2ϕ '(z) + zϕ ' '(z) + χ ''(z) imaginaire pur T zϕ ' ' (z) + χ '' (z) réel pur
sur la fissure.
Des deux conditions précédentes, il s’ensuit sur la fissure : Re(2ϕ '( z )) = − zϕ ''( z ) − χ ' '( z ) On peut donc décomposer ϕ(z) en deux fonctions ϕ1(z) et ϕ2(z) telles que : A.33
R| ϕ = ϕ + ϕ |Sϕ ' = − zϕ2''− χ '' avec RSϕ (z) (et ses dérivées) imaginaires sur la fissure T ϕ ( z) (et ses dérivées) réelles sur la fissure ||χ '' = − zϕ ''−ϕ ' T 1
2
1
2
2
2
En intégrant la relation χ '' = − d ( zϕ ') + ϕ '−ϕ ' 2
Soit
⇒
χ ' = − zϕ '+ϕ − ϕ 2 = − d ( zϕ ) + 2ϕ − ϕ 2
z
χ ( z) = − zϕ + ϕ 1dz ; la fonction d’Airy et les contraintes sont alors données par :
z
R|σ = Re ϕ ' +2ϕ ' − z ϕ ''+ zϕ '' S| σ = Re ϕ ' + z ϕ ''− zϕ ' ' T σ = Im z ϕ ' '− zϕ ''−ϕ ' 1
x
A = Re z ϕ − zϕ + ϕ 1dz
et
2
1
y
2
xy
Soit en définitive avec z = x + iy et z = x − iy :
z
et
A = Re ϕ 1dz + y Im ϕ 1 + y Im ϕ 2
A.94
R|σ S| T
A.95
x
= Re ϕ '1 − y Im ϕ ' '1 +2 Re ϕ ' 2 − y Im ϕ '' 2
σ y = Re ϕ '1 + y Im ϕ ''1 + y Im ϕ ' ' 2 σ xy = − y Re ϕ ''1 − y Re ϕ ' ' 2 − Im ϕ ' 2
On peut donc considérer que le champ des contraintes σ
est la superposition de deux
champs σ 1 et σ 2 dérivant des deux fonctions d’Airy :
z
AI = Re ϕ 1dz + y Im ϕ 1 et
AII = y Im ϕ 2
Pour calculer le champ des déplacements, on intègre les relations suivantes :
εx =
LM N
1 λ (σ x + σ y ) σx − 2µ 2( λ + µ )
OP Q
et
εy =
LM N
1 λ (σ x + σ y ) σy − 2µ 2( λ + µ )
LM N Soit O 1 L µ λ + 2µ ε = Re ϕ ' − y Im ϕ '' + Re ϕ ' − y Im ϕ '' P M 2µ N λ + µ λ+µ Q R|Re g'(z) = ∂ Re g(z) ∂x Comme pour toute fonction analytique g(z) on a : S |T Im g' (z) = ∂∂x Im g(z) •
εx =
x
1 λ Re ϕ '1 − y Im ϕ ' '1 +2 Re ϕ ' 2 − y Im ϕ '' 2 − (2 Re ϕ '1 +2 Re ϕ ' 2 ) 2µ 2( λ + µ )
1
1
2
A.34
2
OP Q
OP Q
Par intégration de ε x = ux =
LM N
∂u x , on obtient : ∂x
µ λ + 2µ 1 Re ϕ 1 − y Im ϕ '1 + Re ϕ 2 − y Im ϕ ' 2 2µ λ + µ λ+µ
OP Q
A.96
LM OP N Q Soit O λ 1 L µ ε = Re ϕ ' + y Im ϕ ' ' − Re ϕ ' + y Im ϕ '' P M 2µ N λ + µ λ+µ Q R| Re g' (z) = ∂ Im g(z) ∂y Comme pour toute fonction analytique g(z) on a : S ||Im g'(z) = − ∂∂y Re g(z) T
•
εy =
λ 1 Re ϕ '1 + y Im ϕ ''1 + y Im ϕ '' 2 − (2 Re ϕ '1 +2 Re ϕ ' 2 ) 2µ 2( λ + µ )
1
y
D’où
y Im ϕ' ' 1 = − y
Et de même
y Im ϕ '' 2 =
Par intégration de ε y =
uy =
1
2
2
∂ ∂ ∂ Re ϕ' 1 = − ( y Re ϕ' 1 ) + Re ϕ' 1 = (Im ϕ 1 − y Re ϕ' 1 ) ∂y ∂y ∂y
∂ (Im ϕ 2 − y Re ϕ ' 2 ) ∂y
∂u y ∂y
, on obtient :
LM N
µ λ 1 Im ϕ 1 + Im ϕ 1 − y Re ϕ '1 − Im ϕ 2 + Im ϕ 2 − y Re ϕ ' 2 λ+µ 2µ λ + µ
Soit uy =
LM N
1 λ + 2µ µ Im ϕ 1 − y Re ϕ '1 + Im ϕ 2 − y Re ϕ ' 2 2µ λ + µ λ+µ
OP Q
OP Q
A.97
Remarque : Les calculs sont effectués pour l’état de déformations planes. Pour obtenir les expressions 2λµ correspondantes à l’état de contraintes planes, il suffira de remplacer λ par λ* = . λ + 2µ
IX-1 Décomposition en champs symétriques et champs anti symétriques
Dans une structure fissurée, la sollicitation (plane) que subit la fissure peut être décomposée en un chargement symétrique et un chargement antisymétrique par rapport au plan de la fissure.
A.35
y
y
x
x
2a
2a
Chargement symétrique
Chargement anti symétrique
• Le chargement symétrique correspond à une sollicitation qui conduit à l’ouverture de la fissure et donc à une discontinuité de la composante u y du déplacement des lèvres de la fissure. Ce chargement est appelé : mode d’ouverture ou mode I. • Le chargement anti symétrique provoque un cisaillement des lèvres de la fissure et conduit donc à une discontinuité de la composante u x du déplacement. Ce chargement est appelé : mode de cisaillement plan ou mode II. Pour le chargement symétrique, on a :
σ x ( z ) = σ x ( z ) , σ y ( z) = σ y ( z ) et σ xy ( z) = −σ xy ( z ) ce qui conduit à la symétrie des fonctions ϕ '1 et ϕ ' 2 . Cette symétrie s’exprime par :
ϕ '1 (z) = ϕ '1 (z) et ϕ ' 2 ( z ) = ϕ ' 2 ( z ) ϕ '1 étant imaginaire pur sur la fissure, sa contribution conduit à une discontinuité des déplacements selon l’axe des y, autrement dit au mode I. Pour le chargement anti symétrique, on a en revanche :
σ x ( z ) = −σ x ( z ) , σ y ( z) = −σ y ( z ) et σ xy ( z ) = σ xy ( z ) ϕ '1 et ϕ ' 2 sont alors anti symétriques c’est à dire telles que : ϕ '1 (z) = −ϕ '1 (z) et ϕ ' 2 ( z ) = −ϕ ' 2 ( z ) ϕ ' 2 étant réelle sur la fissure, sa contribution conduit à une discontinuité des déplacements selon l’axe des x, autrement dit au mode II.
A.36
IX-2 Méthode de Westergaard
Westergaard décompose le déplacement que subit la fissure en mode I et mode II de sollicitation. Il pose : Z I = ϕ '1 et Z II = ϕ ' 2 pour les modes I et II respectivement. Il considère donc que : Z = Z I + Z II = ϕ '1 +ϕ ' 2 = 2ϕ ' Notations de Westergaard : Z ( z ) étant une fonction analytique, ses dérivées successives, analytiques aussi, sont notées Z ', Z ''K et ses primitives successives sont notées Z , Z K . En reprenant la relation A.94, il apparaît que la fonction d’Airy A est la somme de deux fonctions AI et AII pour les modes I et II avec :
et
AI = Re Z I + y Im Z I
A.98
AII = y Im Z II
A.99
Les contraintes et les déplacements se déduisent directement des relations A.95 à A.97 soit : Pour le mode I
R|σ = Re Z − y Im Z ' S|σ = Re Z + y Im Z ' T σ = − y Re Z ' x
I
I
y
I
I
xy
I
R| u = 1 L µ Re Z − y Im Z O = 1 + υ (1 − 2υ ) Re Z − y Im Z PQ E |S 2µ MN λ + µ ||u = 1 LM λ + 2µ Im Z − y Re Z OP = 1 + υ 2(1 − υ ) Im Z − y Re Z Q E T 2µ N λ + µ x
I
y
I
I
I
I
I
I
I
Pour le mode II
R|σ S| Tσ
x
= 2 Re Z II − y Im Z' II
σ y = y Im Z' II xy
= − y Re Z' II − Im Z II
R|u = 1 L λ + 2µ Re Z − y Im Z O = 1 + υ 2(1 − υ ) Re Z − y Im Z PQ E |S 2µ MN λ + µ || u = 1 LM µ Im Z − y Re Z OP = 1 + υ (1 − 2υ ) Im Z − y Re Z Q E T 2µ N λ + µ x
II
y
II
II
II
A.37
II
II
II
II
IX-3 Facteur d’intensité des contraintes
• Pour donner la forme des fonctions de Westergaard, ZI par exemple (le raisonnement est applicable au mode II aussi), on examine les conditions limites au voisinage des extrémités d’une fissure.
y
x 2a
Sur le plan de la fissure, c’est à dire pour y=0, on a :
RSσ T
x
= σ y = Re Z I σ xy = 0
Les conditions limites sur les lèvres de la fissure non chargées, donnent :
RS σ = σ = 0 Tpour y = 0 et z < a y
⇒ σ x = 0 compte tenu de la condition précédente.
xy
Considérons la contrainte σ y . De part et d’autre des extrémités de la fissure, elle est soit nulle, soit tend vers l’infini (car K T = 1 + 2 On choisit :
g ( z)
Z I ( z) =
z2 − a2
a → ∞ dans le cas d’une fissure). b
avec la fonction g(z) réelle pour y=0 et finie pour z = ± a .
Les conditions limites sont alors vérifiées puisque sur le plan de la fissure, on a : 1 z − a2 2
1 z − a2 2
imaginaire pur pour z < a ⇒ Re Z I = 0
réel pour z > a ⇒ Re Z I z →∞ →+a+ z→ − a −
Les extrémités z = ± a jouent des rôles identiques. On ne considérera par la suite que l’extrémité z = + a , en effectuant une translation de repère pour se mettre sur cette extrémité,
A.38
ce qui revient à faire le changement de variable ζ = z − a . La fonction de contrainte de Westergaard s’écrit alors : Z I (ζ ) =
g1 (ζ )
ζ
avec g1 (ζ ) = α 0 + α 1ζ + α 2ζ 2 +K
Au voisinage de l’extrémité de la fissure, c’est à dire lorsque ζ → 0 , on a : Z I (ζ )
α0 →0 ζ
≈ ζ
En fait au lieu de considérer la constante α 0 , on définit une autre constante notée K I par : K I = lim 2π ( z − a ) Z I ( z ) = lim 2πζ Z I (ζ ) = 2πα 0 ζ →0
z→ a
D’où Z I (ζ )
KI
≈ ζ
2πζ
→0
K I est le facteur d’intensité des contraintes (FIC) pour le mode I de sollicitation. K I a la dimension d’une contrainte × longueur , l’unité usuelle pour le FIC K I est le MPa m .
• En posant ζ = re iθ , les contraintes et les déplacements s’expriment par :
σ yy τ xy
y
r
R|σ || S|σ || T
xx
=
yy
=
θ
FG 1 − sin θ sin 3θ IJ 2H 2 2K 2πr K 3θ I θF θ cos G 1 + sin sin J 2H 2 2K 2πr
KI
τ xy =
cos
σ xx x
θ
I
3θ θ θ cos sin cos 2 2 2 2πr
KI
A.39
A.100
R| u = K |S 2µ ||u = K T 2µ I
x
I
y
FG µ + sin θ IJ π 2Hλ+µ 2K 2r θ F λ + 2µ θI sin G − cos J 2H λ+µ 2K π 2r
cos
θ
2
A.101a
2
En contraintes planes les relations donnant les déplacements deviennent en remplaçant λ par 2λ µ λ *= : λ + 2µ
R| u = K |S 2µ ||u = K T 2µ I
x
I
y
FG λ + 2µ + sin θ IJ π 2 H 3λ + 2 µ 2K 2r θ F 4aλ + µ f θI sin G − cos J 2 H 3λ + 2 µ 2K π 2r
cos
θ
2
A.101b
2
Les relations A.101a et A.101b peuvent se regrouper en une seule relation :
R|u |S ||u T
x
y
KI 2µ K = I 2µ =
F + sin θ I π 2H 2 2K 2r θ κ +1 θ sin F − cos I 2H 2 2K π 2r
cos
θ κ −1
pour l’état de contraintes planes
κ=
λ + 3µ = 3 − 4υ λ+µ
A.102a
κ=
5λ + 6 µ 3 − υ = 3λ + 2 µ 1 + υ
A.102b
Dans le cas du mode II, le choix de la fonction sous la forme : ig ( z )
Z II ( z ) =
z2 − a2
Soit Z II (ζ )
≈ ζ
→0
A.101c
2
avec : pour l’état de déformations planes
•
2
− iK II 2πζ
est compatible avec les conditions limites.
avec
K II = lim 2πζ iZ II (ζ ) ζ →0
K II est le facteur d’intensité des contraintes en mode II. • En posant ζ = re iθ , le calcul des contraintes et des déplacements conduit à :
A.40
R|σ = − K sin θ FG 2 + cos θ cos 3θ IJ 2H 2 2K 2πr || K θ θ 3θ S| σ = 2πr sin 2 cos 2 cos 2 || τ = K cos θ FG 1 − sin θ sin 3θ IJ 2H 2 2K 2πr T R| u = K 2r sin θ FG λ + 2µ + cos θ IJ 2K |S 2µ π 2 H λ + µ ||u = K 2r cos θ FG − µ + sin θ IJ 2K T 2µ π 2 H λ + µ II
xx
II
A.103
yy
II
xy
II
2
II
2
x
A.104a
y
La relation A.104a établie pour l’état de déformations planes, s’écrit pour les deux chargements plans considérés :
R| u = K |S 2µ ||u = K2µ T
F + cos θ I π 2H 2 2K 2r θ κ −1 θ cos F − + sin I 2H 2 2K π 2r
II
x
θ κ +1
2
A.104b
2
II
y
sin
avec le paramètre κ donné par les relations A.102a et A.102b. Remarque : • Dans le cas d’un chargement plan combinant du mode I et du mode II, on écrit tout simplement : Z (ζ ) = Z I (ζ ) + Z II (ζ ) =
≈
ζ →0
K I − iK II 2πζ
=
K* 2πζ
avec K * = K I − iK II un facteur d’intensité des contraintes complexe défini par : K * = lim 2πζ Z (ζ ) ζ →0
• Les expressions des champs de contraintes en mode I et II en coordonnées polaires s’écrivent :
R|σ || S|σ || τ T
rr
=
θθ
=
rθ
=
LM 5 cos θ − 1 cos 3θ OP 2 4 2Q 2πr N 4 K L3 3θ O θ 1 cos + cos P 2 4 2Q 2πr MN 4 K L1 θ 1 3θ O sin + sin P 2 4 2Q 2πr MN 4
KI
I
I
A.41
A.105
R|σ || S|σ || τ T
rr
=
θθ
=
rθ
=
LM− 5 sin θ + 3 sin 3θ OP 2 4 2Q 2πr N 4 K L 3 θ 3 3θ O − sin − sin P M 2 4 2Q 2πr N 4 K L1 3θ O θ 3 cos + cos P M 2 4 2Q 2πr N 4
K II
II
A.106
II
IX-4 Mode de cisaillement anti plan (ou mode III)
y
x 2a
Le mode III est schématisé sur la figure ci-dessus ; les lèvres de la fissure se déplacent selon r une direction x 3 perpendiculaire au plan (x,y)
r r Le champ des déplacements anti-plan est de la forme : u = u3 x 3 avec u3 = u3 ( x , y )
R| ε S| Tε
Les déformations en HPP s’écrivent :
13
23
RS σ Tσ
La loi de Hooke conduit à :
c c
h h
1 1 u3,1 + u1,3 = u3,1 2 2 1 1 = u 3, 2 + u 2 , 3 = u 3, 2 2 2 =
13
= 2 µε 13 = µ u3,1
23
= 2 µε 23 = µ u3,2
Les équations d’équilibre donnent alors :
σ 13,1 + σ 23,2 = 0 ⇒
c
h
µ u3,11 + u3,22 = 0 ⇒ ∆u3 = 0
La composante u3 du déplacement est donc harmonique. Elle peut être alors considérée comme partie réelle ou imaginaire d’une fonction analytique. Deux choix sont possibles en adoptant les notations de Westergaard (avec la fonction Z III homogène à une contrainte, Z III homogène à une contrainte × longueur et donc il faut diviser par une contrainte pour avoir un déplacement) et avec les conditions limites suivantes sur la fissure : A.42
R|S σ |Tσ
23 23
ζ → 0 → 0−
ζ → ∞ → 0+
Choix 1
1
u3 =
RSσ Tσ
13 23
µ
Choix 2
u3 =
Im Z III
RS σ Tσ
= Im Z III = Re Z III
Z III =
13
23
K III
1
µ
= Re Z III = − Im Z III
Z III = −
2πζ
Re Z III
iK III 2πζ
Où K III est le facteur d’intensité des contraintes en mode de cisaillement anti plan ou mode III. Le calcul des contraintes et du déplacement donne avec les deux choix considérés :
R|σ = − K sin θ 2 2πr || S| σ = K2πr cos θ2 ||u = K 2r sin θ T µ π 2 III
13
III
A.107
23
III
3
A.43
Annexe B Equations fondamentales de la Mécanique ElastoPlastique de la Rupture La mécanique élasto-plastique de la rupture (MEPR) s’est développée à partir des connaissances sur la mécanique linéaire de la rupture. Les deux paramètres importants utilisés par la MEPR sont le déplacement à fond de fissure ou CTOD (Crack Tip Opening Displacement) et l’intégrale de contour notée J. Aussi la présente annexe commence par la description des fondements théoriques de ces deux paramètres. Lorsque la plastification à l’extrémité d’une fissure devient excessive et envahie toute la structure fissurée, la caractérisation à l’aide d’un seul paramètre tel que le CTOD ou J n’est plus possible. La théorie des lignes de glissement est parfois utilisée pour estimer les contraintes dans un matériau élastique plastique parfait. Cette théorie sera également présentée dans cette annexe. I – DETERMINATION DU CTOD L’approche décrite ci-dessous consiste à appliquer les fonctions complexes de contraintes introduites par Westergaard au modèle de Dugdale-Barenblatt. L’expression du CTOD est déterminée en superposant un chargement de compression (contraintes de fermeture s’appliquant à l’extrémité des lèvres d’une fissure) et en considérant que l’ouverture à fond de fissure est donnée par l’écartement des lèvres en amont de la zone de fermeture. Les contraintes en mode I (mode d’ouverture) s’expriment, en utilisant la fonction Z de Westergaard en élasticité plane (annexe A), par :
R|σ = Re Z − y Im Z ' S|σ = Re Z + y Im Z ' T τ = − y Re Z ' x
B.1
y
xy
Z est une fonction de la variable complexe z=x+iy et la fonction Z’ qui intervient dans l’équation ci-dessus est la dérivée de Z par rapport à z. Les relations donnant les déplacements dans la direction y pour des chargements plans s’écrivent : Pour un état de déformations planes
uy =
LM N
OP Q
1 λ + 2µ 1+ υ Im Z − y Re Z = 2(1 − υ ) Im Z − y Re Z 2µ λ + µ E
Pour un état de contraintes planes (on remplace λ par λ * =
B.1
B.2
2λ µ avec µ inchangé) λ + 2µ
uy =
LM N
OP Q
LM N
1 1+ υ 2 λ+µ Im Z − y Re Z = Im Z − y Re Z 4 E 1+ υ 2 µ 3λ + 2 µ
OP Q
B.3
où Z est l’intégrale de Z par rapport à la variable z (annexe A). La fonction de Westergaard s’écrit dans le cas d’une fissure de longueur 2a1 (figure II.16) dans une plaque de grandes dimensions soumise à un chargement de traction uniforme σ ∞ :
σ ∞z
Z ( z) =
B.4
z 2 − a12
Les fonctions de Westergaard pour les chargements représentés sur les figures cidessous (a1 = a+ρ ) sont données par :
F
F −σ E
X
X
2a + 2 ρ
2 a1
Z ( z) =
c
2 Fz
π z2 − X 2
a12 − X 2 z 2 − a12
h
et Z ( z ) = −
2σ E
π
z z 2 − a12
ρ
z
a1
a
a12 − x 2 z2 − x2
dx
La relation ci-dessus de droite s’obtient aisément en remplaçant F par –σEdx et en intégrant pour x variant de a à a1. En faisant successivement les deux changements de variables suivants :
x = a1 cosθ puis t = cot θ on obtient : Z ( z) = −
2σ E
π
LM MN
z z 2 − a12
cos
−1
FG a IJ − cot FG a Ha K Hz −1
1
z 2 − a12 a12 − a 2
I OP JK P Q
B.5
Le calcul de la zone plastifiée qui se développe à l’extrémité de la fissure en utilisant le modèle de Dugdale-Barenblatt donne (chapitre 2, § II.11.2) :
FG H
a a πσ ∞ = = cos a + ρ a1 2σ E
IJ K
Le premier terme de l’expression B.5 de Z(z) ci dessus devient : B.2
−
2σ E
z
π
z 2 − a12
cos
−1
FG a IJ = − 2σ Ha K π
E
1
πσ ∞ σ ∞z =− z 2 − a12 2σ E z 2 − a12 z
En superposant le chargement de traction σ ∞ au chargement de compression sur les lèvres de la fissure, la fonction de Westergaard s’écrit : Z ( z) =
σ ∞z
−
z 2 − a12
LM MN
2σ E
π
z
cos
z 2 − a12
−1
FG a IJ − cot FG a Ha K Hz −1
1
z 2 − a12 a12 − a 2
I OP JK P Q
soit après simplification : Z ( z) =
Et en posant k =
2σ E
π
cot −1
Fa GH z
z 2 − a12 a12 − a 2
I JK
B.6
a , l’expression de Z(z) devient : a1
Z ( z) =
2σ E
π
cot −1
Fk GH z
z 2 − a12 1− k 2
I JK
B.7
Le calcul de Z par intégration de Z donne :
Z ( z) =
avec ω 1 = cot −1
LM k MN z
2σ E
π
zω 1 − aω 2
z 2 − a12 1− k 2
OP et ω PQ
2
B.8
= cot −1
LM 1 MN a
1
z 2 − a12 1− k 2
OP PQ
Dans le plan de la fissure, y=0 (z réel) et le déplacement en contraintes planes est alors donné d’après B.3 par : 2 u y = Im Z E On se place le long des lèvres comprimées de la fissure ( z ≤ a1 ) et en considérant la partie imaginaire de Z on obtient :
uy =
F GH
LM MN
4σ E 1 a coth −1 a1 πE
OP PQ
LM MN
a12 − z 2 k − z coth −1 2 z 1− k
a12 − z 2 1− k 2
OPI PQJK
B.9
Pour déterminer l’écartement à fond de fissure, on fait tendre z vers a ce qui conduit à la relation III.5 du chapitre III :
B.3
δ = 2u y ( z = a ) =
F F GH GH
FG IJ H K
8σ E a 8σ E a 1 πσ ∞ Ln =− Ln cos πE k πE 2σ E
IJ I K JK
B.10
2a1
δ 2a
La relation liant le CTOD et l’intégrale J dans le modèle de Dugdale-Barenblatt s’écrit (Chapitre III, équation III.22) : J = σ Eδ En considérant le facteur d’intensité des contraintes effectif défini par : K eff =
JE
et en combinant les trois relations précédentes, on obtient l’expression II.52 du chapitre II, soit : K eff = σ E πa −
8
π2
F F πσ I I GH GH 2σ JK JK ∞
B.11
Log cos
E
II – INTEGRALE DE CONTOUR J
Rice a montré que l’intégrale J ne dépendait pas du contour d’intégration. Pour démontrer cette indépendance, il évalue l’intégrale J le long d’un contour fermé Γ* (figure ci-dessous)
A*
B.4
Γ*
J* =
z FGH
wdy − Ti
Γ*
IJ K
∂ui ds ∂x
B.12
les différents termes intervenant dans cette expression sont donnés au § III.2.2. Rice utilise ensuite le théorème de Stokes pour transformer l’intégrale de contour en intégrale de surface : J* =
z FGH
A*
FG H
∂u ∂w ∂ − σ ij i ∂x ∂x j ∂x
IJ IJ dxdy KK
B.13
où A* est la surface plane limitée par Γ*. w étant un potentiel élastique, le premier terme de l’intégrale précédente peut s’écrire :
LM F I MN GH JK
FG IJ OP H K PQ
∂ε ij 1 ∂ ∂u j ∂w ∂w ∂ε ij ∂ ∂ui + = = σ ij = σ ij ∂x ∂x i ∂x ∂ε ij ∂x ∂x 2 ∂x ∂x j
Le tenseur des contraintes étant symétrique σ ij = σ ji , l’expression précédente peut se transformer en :
FG IJ H K
∂w ∂ ∂ui = σ ij ∂x ∂x j ∂x
Et compte tenu de l’équation d’équilibre
FG H
∂u ∂ σ ij i ∂x j ∂x
IJ = σ K
ij
∂σ ij ∂x j
= 0 , on a également :
FG IJ = ∂w H K ∂x
∂ ∂ui ∂x j ∂x
L’intégrale J* est donc nulle. Considérons maintenant deux contours Γ1 et Γ2 autour de l’extrémité d’une fissure (figure ci-dessous). On obtient un contour ferme en reliant les deux contours Γ1 et Γ2 par des segments Γ3 et Γ4 le long des lèvres de la fissure. Dans ces conditions, on peut appliquer le résultat précédent au contour fermé Γ= Γ1+ Γ2+ Γ3+ Γ4. L’intégrale J sur le contour Γ est la somme des intégrales Ji sur les quatre contours Γi. On a alors : J = J1 + J 2 + J 3 + J 4 = 0
B.5
Comme le long de Γ3 et Γ4 les intégrales sont nulles (Ti=0 et dy=0), on a : J1 =- J2
B.14
Les deux intégrales sont opposées car les sens de parcours des contours sont inversés, et donc l’intégrale J est bien indépendante du contour d’intégration entourant l’extrémité de la fissure.
Γ2
Γ3
Γ1
Γ4
III –J TAUX DE RESTITUTION D’ENERGIE NON LINEAIRE
Considérons un solide fissuré bidimensionnel limité par un contour Γ’ ; on notera A’ la surface de ce solide (figure ci-dessous).
Ti
y a x
A’
Γ’
Dans des conditions quasi statiques et en l’absence des forces de volume, l’énergie potentielle est donnée par :
z
z
E P = wdA − Ti ui ds A'
B.15
Γ ''
B.6
où Γ’’ est la portion du pourtour Γ’ sur laquelle s’exerce le chargement de traction Ti. La variation d’énergie potentielle liée à une avancée virtuelle da de la fissure à Ti constant le long de l’axe x, s’écrit : dE P = da
z
z
du dw dA − Ti i ds da da A' Γ'
B.16
Les déplacements ne variant pas sur la portion de contour Γ’- Γ’’, l’intégrale de contour peut être prise sur tout le contour Γ’. Par ailleurs lorsque la fissure progresse de da, l’axe x est rétréci de la même quantité da. Aussi, la dérivée par rapport à a peut s’écrire : ∂ d ∂ ∂x ∂ ∂ + = − = da ∂a ∂a ∂x ∂a ∂x et la variation d’énergie potentielle devient : dE P = da
z FGH A'
IJ K
z
FG H
IJ K
∂ui ∂ui ∂w ∂w − − dA − Ti ds ∂a ∂x ∂ ∂ a x Γ'
B.17
avec
FG IJ H K
∂w ∂w ∂ε ij ∂ ∂ui = = σ ij ∂a ∂ε ij ∂a ∂x j ∂a
Le principe des travaux virtuels permet d’écrire :
z
A'
σ ij
FG IJ H K
z
∂u ∂ ∂ui dA = Ti i ds ∂a ∂x j ∂a Γ'
B.18
L’énergie potentielle pourra alors s’exprimer par :
z
z
∂u dE P ∂w dA = Ti i ds − a a ∂ da ∂ A' Γ'
B.19
En appliquant à nouveau le théorème de Stokes, on peut transformer le deuxième terme en intégrale de contour :
z FGH
IJ K
∂u dE P = Ti i − wn x ds ∂a da Γ'
B.20
Comme n x ds = dy , le taux de restitution d’énergie J aura finalement pour expression : J=−
z FGH
IJ K
dE P ∂u = wdy − Ti i ds da ∂x Γ'
B.7
B.21
IV –THEORIE DES LIGNES DE GLISSEMENT
La théorie des lignes de glissement découle de l’application de la théorie différentielle de la plasticité. Pour un état de déformations planes, on a :
ε zP = ε xzP = ε Pyz = 0 et en appliquant les équations de Levy-Misès (équations du comportement avec υP = 0.5) On a :
σ z= et
σm =
d
1 σ x +σ y 2
i
σ xz = σ yz = 0
σ x +σ y +σ z 3
B.22
=σz
B.23
(σz est donc égale à la contrainte moyenne). Le tracé du cercle de Mohr des contraintes dans le plan principal (x,y) donne (figure cidessous) :
r
α
τ σxy
Pα
r x
Px
σx
-2ϕ
σm
σy
σ
C -2ϕ
−σxy
Pβ
Py r y
r
β
Sur le cercle de Mohr, chaque point Pn(σ,τ) est représentatif de l’état de contrainte dans r une direction n . Pα et Pβ sont représentatifs de l’état de contrainte dans les directions r r α et β correspondantes aux directions de cisaillement maximum. Si sur le cercle de Mohr, autrement dit dans le plan des contraintes on a l’angle CPx , CPα = −2ϕ ,dans le r r plan physique on aura l’angle x, α = ϕ .
b
b g
B.8
g
Les lignes de glissement constituent un réseau de courbes α et β tangentes r orthogonales r en tout point aux directions de cisaillement maximum β et α . Comme on considère un solide rigide plastique parfait, le critère de Von Misès impose, losqu’on atteint le seuil d’écoulement plastique, que le cercle de Mohr ait un rayon constant égal à k =
σE 2
.
L’état des contraintes est donc donné par :
R|σ = σ − k sin 2ϕ S|σ = σ + k sin 2ϕ T σ = k cos 2ϕ x
m
y
m
B.24
xy
En appliquant ce résultat à une surface libre (telle que les lèvres d’une fissure) tangente r à une direction x ' , on a :
R|σ S| T
x'
= 2k = σ E
σ y' = 0 σ x'y' = 0
B.25
τ
r y'
Surface libre 45°
-45°
r
r x'
r
α
r y'
r x'
σ
r
β
α r
β r r Les deux directions α et β (figure ci-dessus) sont orientées de 45° par rapport à la surface libre.
Les équations d’équilibre conduisent pour l’état de contraintes considéré à :
RSσ Tσ
m ,1
− 2 kϕ ,1 cos 2ϕ − 2 kϕ ,2 sin 2ϕ = 0
m,2
+ 2 kϕ ,2 cos 2ϕ − 2 kϕ ,1 sin 2ϕ = 0
B.26
r r r r Quand ϕ → 0, x → α et y → β et les équations précédentes deviennent :
RSσ Tσ
m ,1
− 2 kϕ ,1 = 0
m,2
+ 2 kϕ , 2 = 0
B.27
B.9
En intégrant ces relations, on obtient les équations de Hencky :
RSσ Tσ
m m
− 2 kϕ = Cβ constante le long d' une ligne β + 2 kϕ = Cα constante le long d' une ligne α
B.28
Ainsi lorsque les lignes de glissement sont rectilignes, l’état de contraintes est constant le long d’une ligne. Au voisinage d’une fissure sollicitée en mode I, le réseau des lignes de glissement présente l’aspect suivant :
r y
σr
σθ = σr
θ
r x
FG H
σ y = 1+
B
π 2
IJ σ K
E
σx =
σx =σE
C
A α
β
r
β
π 2
σE
r
α
fissure
Les zones A et C, où les lignes de glissement sont rectilignes, sont appelées zone « diamant ». La zone B, située entre A et C, est appelée zone « éventail ». Dans la zone diamant A, située sur les lèvres de la fissure qui constituent une surface libre, les lignes de glissement sont inclinées de 45° par rapport aux lèvres de la fissure. Il s’ensuit que l’état de contrainte dans cette zone est constant et s’écrit :
RSσ Tσ
= 2k = σ E 3π dans la zone A où ≤θ ≤π 4 y = σ xy = 0
x
Ainsi le long d’une ligne α de la zone A, ϕ =
3π , σ m = k et d’après les relations 4
précédentes :
σ m (ϕ = 3π 4) + 2 k
FG H
IJ K
3π 3π = k 1+ = Cα dans la zone A 4 2
B.10
B.29
En appliquant ce résultat dans la 2e zone diamant C où ϕ =
π 4
, on a d’après les mêmes
relations :
FG H
Cα = k 1 +
IJ K
π 3π = σ m (ϕ = π 4) + 2 k 2 4
Soit
b g
σ m (ϕ = π 4) = k 1 + π dans la zone C L’état de contrainte est donc constant dans la zone C et s’exprime par :
R| || S|σ || T
σ x = k (1 + π ) − k = πk = y
π 2
FG H
σE
= k (1 + π ) + k = (2 + π ) k = 1 +
σ xy = 0
IJ σ 2K
π
E
dans la zone C où 0 ≤ θ ≤
π 4
B.30
Dans la zone éventail B, l’état des contraintes n’est pas constant. On a dans la zone B :
r
ϕ = θ et
β
RS T
r r α = er r r β = eθ
B
ϕ =θ
Soit en se reportant au cercle de Mohr :
σ r = σ θ = σ m (θ ) et σ rθ = k
FG H
σ m (ϕ = θ ) + 2 kθ = Cα = k 1 +
3π 2
IJ K
dans la zone B
soit
FG H
σ m (θ ) = k 1 +
3π − 2θ 2
r
α
IJ K
dans la zone B
Finalement l’état de contraintes dans la zone considérée est donné par :
B.11
R|σ S| |T
r
FG H
σ rθ
IJ K
σE 3π − 2θ 2 2 dans la zone B où π ≤ θ ≤ 3π σ 4 4 =k= E 2
= σ θ = 1+
B.31
Les relations B.29 à B.31 montrent que les contraintes au voisinage de l’extrémité d’une fissure sont non singulières et ne dépendent que de θ.
B.12