Examens de rupture-fatigue-fluage.docx

Examens / Corrosion & Rupture

Moulay Rachid Kabiri

Exercice n°1

L'acier inoxydable Z2 CND 17-12 ou 316 L(N) est utilisé dans certains composants qui constituent la cuve des centrales nucléaires en France. Cet acier est soumis à des efforts cycliques et à des maintiens de contraintes à haute température qui, en présence de défauts d'élaboration ou de transformation, peuvent conduire à des ruptures catastrophiques. Dans ce problème, on se propose d'étudier le comportement comportement de cet acier vis à vis de la fissuration par fatigue pure et par fluage pur. L'acier 316 L(N) travaille à une température de 650°C, à cette température, ses caractéristiques mécaniques sont les suivantes : E = 144 GPa ; e = 141 MPa ; m = 367 MPa Au cours du fonctionnement, un composant de la cuve est soumis à une contrainte cyclique initiale qui varie entre max = 80 MPa et min = 20 MPa. Lors du maintien, le composant subit l'effort maximal du cycle ( m = 80 MPa). Les contrôles effectués sur ce composant révèlent l'existence de fissures de taille 2a = 1mm, le facteur d'intensité de contraintes pour cette configuration est donnée par l'équation cidessous K I

 1,112.   . a

[1]

A la température de fonctionnement, fonctionnement, la ténacité du composant est égale à 55 MPa.m 1/2 , le seuil d'amorçage de la fissure en fatigue est K s = 20 MPa.m1/2 1. Calculer la taille de fissure susceptible de provoquer l'amorçage de la fatigue pure du composant. 2. Calculer la taille de fissure susceptible de provoquer la rupture brutale du composant. 3. Calculer la durée de vie du composant sachant qu’à la température d e fonctionnement, le composant se fissure en fatigue suivant suivant la loi de Paris Paris ci-dessous :

da (mm/cycle)  3,2.10-10 (K ) 2,67 dN

(Où K est en MPa.mm 1/2 )

4. Le composant subit la contrainte cyclique initiale pendant la moitié de sa durée de vie, combien de cycle pourra-t-il supporter sous une contrainte cyclique qui est égale à la moitié de la contrainte initiale. 5. Pendant le maintien de la contrainte à la valeur maximale de 80 MPa, le composant flue en secondaire suivant la relation suivante :

 (h-1 ) = 6,95.10-25  7,69 Où  désigne la déformation plastique de fluage. d  dt Calculer la déformation plastique due au fluage après 10 ans de fonctionnement. 6. En comparant les déformations élastique et plastique due au fluage après un fonctionnement pendant 20 ans, que peut-on dire de la résistance du 316 L (N) vis à vis du fluage. 7. Recalculer la déformation plastique plastique dû au fluage si le maintien se fait à la contrainte minimale de 20 MPa. 8. Commenter la dépendance fortement non linéaire du fluage à la contrainte appliquée.

1



Exercice n°2

Le but de l'exercice est de voir l'effet de deux techniques différentes de contrôle non destructif sur l'évaluation de la tenue en fatigue de deux aciers A et B. La première technique permet de détecter les fissures dont la longueur est supérieure ou égale à 0.5 mm. La deuxième technique est capable de déceler des fissures de taille supérieure ou égale à 0.25 mm. Les données matériaux sont regroupées dans le tableau suivant : acier A acier B m (MPa)

2068 1636 41 4 3.5.10-14

e (MPa)

K Ic (MPa m1/2 ) m C

1634 1462 62 4 6.3.10-14

On usine deux éprouvettes de chaque acier, l'une sera testée par la première technique et l'autre pas la deuxième technique. Les éprouvettes usinées sont de telle sorte que le facteur d'intensité de contrainte se met sous la forme : K I 1.12   .a On utilise la relation [1] pour calculer la durée de vie des éprouvettes soumises à un cycle de fatigue entre 0 et 0.75 e pour des fissures initiales variantes selon les deux techniques de détection de fissures par le CND.

da

(mm / cycle)  C ( K ) m

[1]

dN 1. En détaillant chaque calcul, remplir le tableau suivant :

acier A

Acier B

Taille critique de la fissure : ac (mm) Durée de vie en fatigue en utilisant la première technique : Nf (1) Durée de vie en fatigue en utilisant la deuxième technique : Nf (2) 2. Comparer la tenue en fatigue des deux aciers en fonction des deux techniques utilisées. Exercice n° 3 En régime nominal, la température du pied de l'aube d'une turbine en superalliage est T 0=923K . Dans ce domaine de température étudié, le matériau flue suivant une loi de fluage stationnaire de type :

  Q  n (Loi de Norton)  A. exp  . dt  RT  Q (J/mole) : est l'énergie d'activation apparente, d/dt(s-1 ) : vitesse de déformation et  (MPa) la contrainte appliquée, A et n sont les paramètres de la loi de Norton. La constante des gaz parfaits R=8.32 J/ (mole K), .

 

d 

2



En laboratoire, les essais de fluage déformation isotherme sur éprouvettes lisses ont donné les résultats suivants : Température T (K) 1023 1223 1223

Contrainte  (MPa) 750 240 300

d/dt (10-9 s-1 ) 2,7 14,4 38

1. Calculer les valeurs numériques des paramètres de la loi de Norton à identifier. 2. La littérature donne les énergies d'activation de diffusion suivantes: Diffusion en volume 290 kJ/mole ; diffusion intergranulaire 115 kJ/mole . Compte tenu de la valeur de Q trouvée, quel est le type de mécanisme qui contrôle la déformation de fluage de ce superalliage. Exercice n°4

On considère un tube cylindrique mince, de grande longueur et fermé, de rayon moyen R et d'épaisseur e << R. Ce tube est soumis à une pression interne uniforme P. On utilise des coordonnées cylindriques (r,  z) lié au cylindre. Les données du problème sont : R = 300mm, e = 30mm, R e = 600 MPa, R m = 1000 MPa, P=300 bar On étudie la propagation en fluage de petits défauts plans débouchants au niveau de la paroi latérale et dont la profondeur initiale a 0 = 0.1 mm. On admet pour cela que l’endommagement de fluage est contrôlé par la plus grande contrainte principale. I-1. Dans quel plan de la paroi ce type de défaut est-il le plus nocif ? Rappeler l'expression de la contrainte  qui est responsable de la propagation de ce défaut en fonction de la pression P , de R et de e. Calculer sa valeur. Soit a(t) la profondeur d’un défaut en cours de propagation au temps t. Le facteur d'intensité de contrainte K I pour ce type de défaut est donné par : K 1  1.12  a .Dans le matériau considéré, la vitesse de propagation en fluage suit une loi de la forme : da/dt = . K I m ( da/dt en m/s K 1 en MPa.m1/2 ) On donne : = 0.95.10-18 et m=10 La propagation est tolérée jusqu’à la mi -épaisseur de la paroi. I.3. Donner l’expression du temps de fluage nécessaire pour atteindre cette profondeur. Calculer ce temps. I-4. Peut-on justifier la validité de la mécanique linéaire de la rupture dans ce cas ? I-5. La ténacité du matériau K ic = 100 MPa.m1/2. Peut-on avoir u ne rupture catastrophique lorsqu’un

défaut atteint l'épaisseur de la paroi ? Commenter.

3



Le tube cylindrique est soumis à des vibrations de flexion qui viennent se superposer aux effets de la pression de fluage P. La flexion produit une contrainte alternative a = 40 MPa. La courbe de Wöhler obtenue pour le rapport R = - 1 est donnée par l’expression suivante : log 10 NR = C - Dmax (NR Nombre de cycles à rupture max contrainte maximale en MPa) Avec C= 12.48 D=6.25. 10-2 Pour déterminer la limite d’endurance D à contrainte moyenne moy non nulle, on dispose des paramètres de la règle de Goodman : D = D0. [1 - ( moy / R m )] D0 : limite d’endurance à contrainte moyenne moy nulle R m : Résistance maximale en traction II.1. Calculer la limite d’endurance conventionnelle D0 à NR =109 cycles. II.2. Calculer la limite d’endurance D qui correspond au chargement de fatigue-fluage proposé. II.3. Que peut-on dire de la tenue en fatigue du tube dans ces conditions. Exercice n°5

Le compresseur d'une turbomachine est constitué de plusieurs disques dont le moyeu central peut être assimilé à un cylindre creux (de rayon intérieur petit) pour permettre le passage d’un arbre et de rayon extérieur b. Une analyse élastique permet de montrer que la contrainte maximum est la contrainte circonférentielle  au bord du trou intérieur, quand le disque est mis en rotation à la vitesse , cette contrainte vaut approximativement :   

Où :

: :

3  4

  ² b²

coefficient de Poisson (= 0.3) ;  : masse volumique vitesse de rotation (en radian par seconde) ; b : rayon extérieur du moyeu.

Un cycle de fonctionnement est constitué par la mise en route du disque d'une vitesse nulle à la vitesse de rotation  maintenue constante pendant le fonctionnement puis l'arrêt. 1. Les disques sont en alliage de titane dont les caractéristiques sont les suivantes : R e = 600 MPa, 4510 kg/m3 Calculer la contrainte au bord du trou central pour une vitesse de rotation de 12000 tours/minutes avec un rayon extérieur du moyeu b = 0.16 m. 2. La présence de défauts d'usinage fait craindre la propagation de fissures traversantes radiales ( K 1  1.12  a ). On décide de dimensionner le disque vis à vis de la propagation en fatigue. Quelle est la taille du défaut critique vis à vis de la rupture brutale pour les conditions retenues si la ténacité du matériau est de 50 MPa.m1/2. 3. Donner l'expression de la durée de vie en fatigue en fonction de la taille initiale de défauts. On supposera que le matériau obéit à la loi de Paris avec C = 4.10 -12 (MPa-4m-1 ) et m = 4. (1 pt)

4



4. On fait un essai de survitesse, où la machine tourne à une vitesse de rotation  ( >1) avant la mise en service. Quelle est la valeur de la survitesse à imposer afin de garantir une durée de vie sure de 5000 cycles. Exercice n°6

L'arrêt brutal d'un réacteur à neutrons rapides (RNR) provoque la chute de température de surface d'un certain nombre de pièces de 600 à 400 °C en moins d'une seconde. Ces pièces en acier inoxydable ont une forte épaisseur de sorte que la température moyenne reste beaucoup plus élevée pendant quelques secondes (on négligera les pertes par conduction thermique) au moment du choc thermique. La durée de vie en fatigue oligocyclique de l'acier est décrite par la loi : 1/ 2

N f

. p  0.2

Où Nf est le nombre de cycle à rupture, p l'amplitude de la déformation plastique. Estimer le nombre d'arrêts brutaux que le réacteur peut supporter avant qu'une fissuration dangereuse ne se produise. On donne  = 1.2 10-5 K -1 coefficient de dilatation et la déformation à la limite élastique à 400°C est e = 0.4.10-3 (N.B. on rappelle qu'à température variable, la déformation totale t se décompose en une déformation mécanique m ( m = e + p ) et une déformation thermique th (avec th,ij = ij  T où ij = 1 pour i = j et 0 pour i  j ,  coefficient de dilatation thermique, T température absolue). Exercice n°7

On considère des essais sur plaque avec propagation d’une fissure en chargement cyclique. La fissure,

de longueur a est sollicitée en mode d’ouverture (mode I) sous l’effet d’une contrainte homogène  appliquée aux limites de la plaque. Le facteur d'intensité de contrainte K I pour ce type de défaut est : K 1    a

(  : contrainte, a : taille de défaut). Le s essais ont pour but d’évaluer la durée de vie d’un

alliage de nickel testé en fatigue pure. Le chargement cyclique est défini comme suit : max = 500 MPamin = 100 MPa. La loi de Paris a été identifiée : da/dN = C K m (da/dN en m/cycle) avec C = 4 10 -13 et m = 4. Le seuil de propagation des fissures en fatigue est K S = 10 MPa m et la ténacité du matériau est : K Ic =50 MPa m . 1. Donner l’expression et calculer la taille minimale de défaut aS susceptible de produire une propagation de fissure de fatigue. 2. Donner l’expression et calculer la taille maximale de défaut aR susceptible de produire la rupture de la plaque en fin d’essai. 3. Donner l’expression et calculer le nombre de cycles maximal d’une fissure susceptible de se propager en fatigue pure jusqu’à la rupture d’une plaque.

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Exercice n°8

La ténacité d’un acier à haute résistance (acier maraging) décroît lorsque la limite d’élasticité augmente

selon la loi : K IC = K M - R e. (K M et  sont deux constantes). Une plaque sécurisée fabriquée de cet acier est soumise à une contrainte de service S qui peut atteindre la valeur R e/S où S>1 est un coefficient de sécurité. Les techniques de contrôle du fournisseur permettent de détecter des défauts de taille a0 à ± a0. Sachant que pour ce type de, on a : K I 

2σ a

Déterminer littéralement puis numériquement les caractéristiques K IC et R e de l’acier à utiliser pour cette application ainsi que la contrainte de service S maximale applicable.

On donne : K M = 360 MPa.m½ ;  = 0,15 ; S = 0.75 ; a 0=5 mm et a0=2.5 mm Exercice n°9

Soit à concevoir un réservoir, à paroi mince sous pression, en acier à haute limite élastique capable de résister à des pressions internes atteignant 60 MPa. Le diamètre intérieur est de 750 mm et l’épaisseur de la paroi ne doit pas être inférieure à 1.25 cm . Le concepteur a le choix entre les aciers suivants : Acier

A B C D E F 1790 1520 1240 1240 960 750

e (MPa)

K Ic (MPa.m1/2 )

90

120

150

240 290 190

Par ailleurs, il s’avère que les moyens de contrôle non destructifs ont permis de détecter, dans la paroi interne du réservoir, une fissure débouchante semi-elliptique de longueur 1 cm et de profondeur 0.5

cm. Pour une telle configuration,

K I



1.12. σ

πa

2.18

1. Quelle est la valeur optimale de l’épaisseur du cylindre ? De quel acier vous allez le fabriquer ? Commenter votre résultat ? Exercice n°10

Un cylindre à parois minces, réalisé en alliage d’aluminium (K Ic = 24 MPa.m1/2 ), a les dimensions

suivantes : ext = 9 cm et int = 7 cm. Au cours de chaque cycle, un piston réalise dans le cylindre une pression variant de 0 à 55 MPa. Une fissure semi circulaire débouchante est à l’intérieur du cylindre, orientée parallèlement à l’axe de ce dernier, d e profondeur a = 0.15 cm. Sachant que la loi de Paris s’applique à la fatigue de cet alliage (C = 5.10 -15 , m = 4) . Combien de cycle le cylindre sera-t-il capable de supporter? On donne K I



2 *1.12. σ

a π

Exercice n°11

On étudie dans cet exercice la nocivité d’une fissure de longueur a, radiale, débouchante à l’extérieur d’une conduite en PVC, soumise à un cycle de charge -décharge (Pmin  0 et Pmax ). Soient R int et R ext les

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rayons intérieur et extérieur de cette conduite. Celle ci ne peut pas être considérée comme un tube à paroi mince. La contrainte circonférentielle externe est alors :

σ



2 2PR int 2 R ext

2  R int

.

On donne K I 1.122.σ πa Pour les applications numériques, on donne : R int = 147.5 mm

R ext = 167.5 mm

a = 0.1 mm

K M = 1.6 MPa.m½

1. Démontrer l’expression de la contrainte circonférentielle (cas paroi épaisse) (1 pt) 2. Montrer que l’expression de cette contrainte permet de retrouver le résultat classique d’une paroi cylindrique mince (1 pt).

La propag ation de la fissure en fonction du temps sous l’action de l’effort cyclique, se fait selon une loi de type da α.K m I . Cette propagation commence à partir d’une valeur seuil K s et se termine par la

dt

rupture brutale de la conduite. 3. Soit K s = 0.15 MPa.m½. La fissure est-elle susceptible de se propager si P = 14.5 bars (1 pt) 4. Lorsqu’on étudie la propagation au laboratoire, on enregistre les résultats suivants : K I = 0.4 MPa.m½.  da/dt = 10-9 m/s & K I = 1 MPa.m½.  da/dt = 4. 10-8 m/s Déterminer les valeurs de  et m du PVC étudié (2 pts) 5. La conduite est soumise à la pression interne P = 14.5 bars. Calculer le temps à rupture de la conduite dans ce cas. Commenter (2 pts)

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