Libro Secundaria 1 2013 Bloque 1

BLOQUE 1

26

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Competencias que se favorecen: • Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa

EJES Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

Números y sistemas de numeración

Figuras y cuerpos

Proporcionalidad y funciones

• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

• Resolución de problemas de reparto proporcional.

• Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

• Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Nociones de probabilidad

Problemas aditivos

• Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

• Resolución y planteamiento de problemas que i m p l i q u e n más de una operación de suma y resta de fracciones.

Patrones y ecuaciones • Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. • Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.


27

•

Sistema Decimal


Las fracciones y los decimales CONTENIDO: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

V

amos a iniciar con nuestro primer contenido de este ciclo escolar…en él trabajaremos con las fracciones y los decimales. Seguramente este tema no es nuevo para ti, pues lo estudiaste en primaria, pero ¿qué te parece si le damos un repaso? Toma una regleta negra. ¿Cuánto vale? Ahora busca una regleta con la que puedas dividir la regleta negra en 7 partes iguales. ¿De qué color es esa regleta? Para representar fracciones con tus regletas, las colocarás de la siguiente manera: b b b n

TEMA

Las fracciones tienen muchos usos. Uno de

La regleta que colocamos abajo, representa tu entero, y el color de la regleta te indica en cuántas partes está dividido ese entero (denominador), y la cantidad de regletas blancas que colocas sobre ella te indica cuántas partes del entero estás considerando (numerador).

ellos es para representar una división a través de la siguiente notación:

a b

numerador

En una fracción el denominador me indica en cuántas partes iguales tengo dividida la unidad y el numerador me indica cuántas de ellas estoy tomando.

28

ACTIVIDAD 1

denominador

Donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción y b es el divisor, llamado denominador en la fracción.

=

b b b n

1

1 5

3 7

numerador denominador

Representa con regletas las siguientes fracciones:

2

3 7

3

9 10

4

4 9

5

1 2

Números fraccionarios Como ya sabes, las fracciones están formadas por dos partes: el denominador, que es el que nos dice en cuántas partes está dividido el entero; y el numerador, que me indica cuántas de esas partes estamos considerando. La fracción 5 me indica que mi entero lo estoy dividiendo en 6 partes 6 iguales y de esas 6 partes estoy tomando 5.



•

Las fracciones además de un número, también representan un cociente, así que 3 se puede escribir como la división: 5

0.6 5 3.0 0

El resultado de dividir 3 entre 5 es 0.6, lo que quiere decir que 0.6 es la representación en números decimales de 3/5. Los números decimales los podemos representar dividiendo en potencias de 10. Escribe la fracción correspondiente a cada una de las representaciones con regletas que te damos a continuación, escribe también la división y encuentra el valor en decimales de dicha fracción. Fracción

División

ACTIVIDAD 2

Resultado

A

R

a

c

V

r

V

Las fracciones decimales Se conoce como fracciones decimales a todas aquellas fracciones cuyo denominador es 10, 100, 1000, 10000, etc. Es decir son todas aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo la fracción:

N

= 3

10


•


Es una fracción decimal porque su denominador es 10. Si construyeras un tren del 100 con tus regletas naranjas y tomaras de esas 100 partes sólo, 3 tendrías: N

N

N

N

N

N

=

N

N

N

N

3 100

Y de igual forma si pudieras construir un tren del 1000 y así consecutivamente. ACTIVIDAD 3

Convierte a decimales las siguientes fracciones. 1

4 10

=

3

25 100

2

6 100

=

4

37 1000

=

5

45 100

=

=

Muy bien….esto ya lo habías trabajado en la primaria, ¿cierto? Vamos ahora a hacer un análisis de lo que sucede cuando trabajamos con fracciones decimales. Vamos a representar con regletas 7/10 y vamos a encontrar su representación en decimal:

= 7

N

0.7 10 70 0

10

= 7

10

Fracción decimal

= 0.7

• ¿Puedes encontrar alguna relación entre la representación en fracción y la representación en decimal? Observa bien los datos que están involucrados en ambas representaciones. Regresa ahora a la actividad 3 y analiza si encuentras relación entre las fracciones y su representación en decimales. • ¿Qué pasa con las cantidades? • ¿Qué pasa con el punto decimal? • ¿Hacia dónde se mueve el punto? • ¿Cuántos espacios? Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Números y sistemas de numeración a) b)

43 = 043 100

•

Movimos el punto decimal tantos espacios como ceros tenemos en el denominador

25 = 025 100

Como podrás ver y analizar, cuando tenemos fracciones decimales, no hace falta que hagas la división, basta con ubicar el punto decimal en el numerador de tu fracción y moverlo hacia la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador. Recuerda que si al mover el punto tienes espacios vacíos, los debes de llenar con ceros.

6 = 006 100

Llenamos los espacios vacíos con ceros Movimos el punto decimal

ACTIVIDAD 4

Ahora es tu turno, convierte a notación decimal las siguientes fracciones: 1

2

23 100

=

3

87 = 1000

4

34 10

=

12 10000

=

5

45 100

=

6

27 100

=

7

57 10000

=

¡A jugar con punto el decimal! Así como ya vimos que las fracciones se pueden expresar también como un número decimal, todos los decimales tienen una expresión en fracción. El siguiente cuadro muestra cómo quedan construídos los números cuando tienen una parte entera y una parte fraccionaria.

Unidades

Décimos

1 109

Milmillonésimos

Decenas

1 108

Cienmillonésimos

Centenas

1 107

Diezmillonésimos

100

1 106

Millonésimos

101

Milmillonésimos

1 105

Cienmilésimos

102

1 104

Diezmilésimos

103

1 103

Milésimos

104

Millonésimos

1 102

Centésimos

105

Unidades

Milésimos 1 10

Decenas

Unidades

Centenas

Millares

9 4 7.5 6 0 4 La cifra 947. 5604 está formada con novecientos cuarenta y siete enteros, cinco mil seiscientos cuatro diezmilésimos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

•


Si lo queremos expresar en notación desarrollada lo escribimos así: 6 4 6 4 5 947.5604 = 9 x 102 + 4 x 10 + 7 + 5 + 10 2 + 104 = 900 + 40 + 7 + 10 + 100 + 10000 10

Ahora que ya sabes cómo convertir fracciones decimales y no decimales a números decimales, ¿podremos convertir decimales a fracciones? Vamos a tomar el último ejemplo que te dimos:

25 100

= 0.25 es decir: 0.25 =

25 100

• ¿Qué puedes hacer con el punto decimal para poder regresar esta representación a una fracción? • ¿Cómo puedes reconstruir tu denominador? Analiza ahora los siguientes ejemplos:

Ej. A

04 = 4 10

Construimos el denominador con 1 cero

Ej. B

Recorremos el punto 1 espacio

Ej. C

4 2 5 = 425 = 100

4

0035 =

Construímos el denominador con 3 ceros

35 1000

Recorremos el punto 3 espacios

25 100

Construímos el denominador con 2 ceros

Recorremos el punto 2 espacios

Es decir que para reconstruir un decimal a su representación en fracción, sólo tienes que regresar el punto a donde estaba y armar tu denominador. ¡¡¡Importante!!! Cuando trabajes con fracciones y fracciones decimales, te recomendamos que antes de convertirlas a decimal simplifiques la fracción lo más que puedas, así trabajarás con números más pequeños. De igual forma, cuando conviertas un decimal a fracción, simplifica tu resultado para trabajar con fracciones más sencillas. Por ejemplo: Ej. A

2 8

=

1 4

= 0.25

Ej. B

Ej. C

5 25

=

1 5

= 0.2

Ej. D 0.45 =


0.5 = 5 = 1

10

45 100

2

=

9 20


•

Para ejercitar lo que hemos aprendido hasta ahora, completa la siguiente tabla: Fracción

¿Se puede simplificar?

Número decimal

ACTIVIDAD 5

Fracción decimal

6 9

0.028 3 4

3.45 3 7 9 12 67 1000 5 7 48 10

0.21 5 60 16 10

0.352 8 16

0.012



¿Qué sabes de fracciones? CONTENIDO: Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

D

urante la primaria trabajaste con fracciones muchas veces. Aprendiste a sumarlas, a restarlas, a compararlas para saber cuál era mayor que otra, sabes encontrar equivalencias para representar una misma fracción de diferentes formas, también aprendiste a simplificarlas para trabajar con números más sencillos. En el tema anterior de este manual recordaste cómo pasar de fracción a decimal y viceversa.

Fracciones en la recta numérica ACTIVIDAD 1

TEMA

Para la actividad que vamos a desarrollar, necesitamos que cortes tiras de papel de aproximadamente 1cm de ancho por 50 cm de largo. Esta actividad se puede hacer también con listones o con serpentinas de papel y se puede realizar en parejas.

1 0

Con una liga divide tu geoplano circular en medios. Coloca la punta de tu tira de papel en uno de los pivotes que tiene liga y rodea todos los pivotes por fuera. A ese primer pivote que tiene la liga márcalo con cero en el papel, al segundo que tiene liga márcalo con 12 y al punto en el que vuelves a llegar al primer pivote márcalo con 22 =1 (fig. A) Fig. A

Tu tira de papel debe quedar así:

1 2

0

1

Quita la liga que dividió a tu geoplano en medios y divídelo ahora en tercios. Repite con otra tira 1 de papel lo que hiciste antes. Ahora marca el inicio con cero, el primer contacto con la liga con 3 , 3 2 el segundo con 3 y al final de la tira con 3 = 1. Tu tira queda así:

0

1 3


2 3

1

•


Repite el proceso con tiras que vas a dividir en cuartos, sextos y octavos respectivamente. Una vez que tengas todas las tiras marcadas, pégalas en las hojas blancas de “Mi cuaderno de registro CIME” y haz que todos los ceros queden alineados de la siguiente forma:

1 2

0

1 3

0

0

2 3

1 4

1 6

0

0

1

1 8

2 4

2 6

2 8

1

3 4

3 6

3 8

1

4 6

4 8

5 8

5 6

6 8

1

7 8

1

Ahora responde a las siguientes preguntas: 2

1

• ¿Qué fracción tiene más valor: 3 ó 2 ? 1

2

• ¿Qué fracción tiene menor valor: 3 ó 6 ? Argumenta tu respuesta.


• ACTIVIDAD 2


Utiliza los signos <, > ó = , para resolver los siguientes ejercicios:

1

1 2

2 3

2

5 6

7 8

3

4

3 4

3 6

5

6 8

4 6

3 6

2 4

1 8

1 6

7

ACTIVIDAD 3

8

2 4

4 8

6

2 6

3 8

9

1 4

2 8

Imagina ahora que nuestras tiras de papel son segmentos de rectas numéricas y que dan más de una vuelta al geoplano circular de tal manera que quedan así:

0

1

2

Ahora fracciona los siguientes segmentos de recta numérica en las fracciones que se te indican: 1 En medios

0

1

2

1

2

1

2

2 En tercios

0 3 En cuartos

0 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico


•

4 En sextos

0

1

2

• ¿Qué estrategia utilizaste para fraccionarlas?, ¿cómo deben ser las fracciones entre sí? Comparte tus estrategias con tus compañeros y observa si alguna de esas estrategias te parece más sencilla que otra. ACTIVIDAD 4 En las siguientes semi rectas numéricas determina la ubicación de las fracciones que se indican, pero... se perdió la ubicación del cero, ¿nos ayudas a encontrarlo? Encuentra primero el cero y después ubica las fracciones que pide cada ejercicio. 1 Ubicar 1 , 2 1 2 4

1

1

1 2

2 Ubicar 1 y 3 4 4

1 2

1

3 Ubicar 5 y 4 6 3

3 2

1 4 Ubicar 3 y 3 2 4

1

2

3

Comenta con tus compañeros las estrategias que utilizaron para ubicar el cero en las semi rectas que propusimos. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

• ACTIVIDAD 5


En la siguiente recta numérica hay dos fracciones. ¿Consideras que entre esas dos fracciones sea posible ubicar alguna otra fracción? Ubica varias fracciones. ¿Cuántas ubicaste?

1 3

2 3

Compara tus fracciones con las de tus compañeros y observa si todos ubicaron las mismas, si son todas las que pueden ubicar y las estrategias que utilizaron para buscar más fracciones. ACTIVIDAD 6

En las siguientes semi rectas numéricas ubica al menos tres fracciones entre las que se te dan.

1

2 5

3 5

2

1 6

2 6

3

4 9

5 9

4

3 4

1

Compara las fracciones que ubicaste con las de tus compañeros.



•

Como verás, siempre es posible encontrar una fracción entre dos fracciones, ésta es una propiedad muy importante de los números fraccionarios y decimales. Se llama “densidad de las fracciones” y establece que el conjunto de números fraccionarios es muy denso, por lo que siempre existe la posibilidad de intercalar una fracción entre otras dos.

La propiedad de la densidad de fracciones establece que siempre es posible encontrar una fracción adicional entre dos fracciones.

La estructura de construcción del sistema decimal que trabajamos nos permite ubicar también los números en la recta numérica apoyándonos en la composición decimal. La unidad se divide en diez partes iguales llamadas décimos:

0

Los números decimales son la representación en potencias de 10 de la parte no entera de un número.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10 10

El punto decimal es el signo matemático que sirve para separar la parte entera de un número de su parte decimal.

Si tomamos cada uno de éstos décimos y los dividimos en 10 partes más, significa que nos caben 10 veces 10, = 10 x 10 = 102 = 100 partes de la unidad. Estas pequeñas partes se llaman centésimos.

0

Por ejemplo, en el número 3.1416, la parte entera es 3, y la parte decimal es 0.1416.

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

.1

1 100

2 100

3 100

4 100

5 100

6 100

7 100

8 100

9 100

10 100

Sucesivamente podremos seguir dividiendo cada una de las partes que tengamos diez veces más para obtener milésimos, diezmilésimos...

=

1 10

En algunos países se acostumbra escribir una coma decimal en lugar del punto.


• ACTIVIDAD 7


Vamos a trabajar ahora con los decimales en la recta numérica. Localiza en las siguientes rectas: * Los dos decimales que se te piden. * Dos números más, los que tú quieras entre los puntos A y B.

1.30 y 0.6

1

A 1

B 1.5

1.25 y 2.43

2

A 0

3

4

5

2

B

1

3

4

1.40 y 2.6

A

B

1.10

2.50

3.75 y 3.79

A

B

3.7

3.8

5.45 y 6.20

A

B

5

6.5


Números y sistemas de numeración 6

0.85 y 1.02

0

•

A

B

1

2

¿Qué dificultades tuviste para resolver estos ejercicios? Intercambia tus comentarios con tus compañeros.

Hagamos ejercicios 1

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. Una vez que las hayas ordenado, ubícalas en la recta numérica e indica el valor de cada una en decimales: 4 , 3 , 1 y 5 (de menor a mayor). 7

8

0 2

2

9

.1

.9

1.00

1 10

9 10

1

Ubica tres números decimales entre 0.8 y 0.952.

3

En el entrenamiento del equipo de atletismo de la escuela de Luis hay 6 corredores. El día de hoy se va a hacer una prueba para ver quién recorre más distancia en un minuto. Todos salen del mismo punto y al mismo tiempo; al completar el primer minuto se les tomará la distancia recorrida por cada uno. El siguiente cuadro muestra la distancia recorrida por cada uno en el primer minuto.

Corredor

Distancia recorrida 3 4 2 4 3 5 2 5 4 6 1 3

Rodrigo Santiago Mariano Bernardo

En la recta numérica ubica la posición de cada uno de los corredores y después contesta lo que se te pide:

0

Daniel Carlos

de vuelta de vuelta de vuelta de vuelta de vuelta de vuelta

1 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

• • • • •


¿Quién recorrió más distancia? ¿Quién recorrió menos distancia? Si conservaran esas posiciones, ¿quiénes ocuparán los primeros tres lugares de la carrera? ¿Hay corredores que van empatados?

Si sabemos que una vuelta a la pista mide 1 kilómetro, expresa en decimales la distancia que ha recorrido cada uno de los corredores. 4

En las tlapalerías los tornillos se venden de diferentes medidas expresadas en fracciones. Las más comunes son las de 1 pulgada, 5 de 2 8 pulgada y de 7 de pulgada. 16

Traza en tu cuaderno una recta numérica; representa en ella una pulgada y ubica la medida de los tres tornillos. • ¿Cuál de los tres tornillos es el más largo? • ¿Cuál es el más corto? • ¿Cuál de los dos tornillos, el de 5 o el de 7 se aproxima más en tamaño al de 12 pulgada? 8

16 1 • ¿A cuántos dieciseisavos equivalen 5 y 2 ? 8 9 • Un tornillo de 16 de pulgada, ¿entre qué medidas de tornillos quedaría? 5

Forma con tus compañeros equipos de 4 ó 5 integrantes y consigan 2 dados.

Tiren los dados por turnos, primero un dado y después el otro. El número que caiga en el primer dado va a ser el numerador de la fracción y el número que caiga en el segundo dado va a ser el denominador. En un cuadro como el del ejemplo van a ir poniendo sus resultados. Al terminar la ronda, tracen una recta numérica calculando que todas las fracciones que obtuvieron quepan en ella y ubiquen la fracción de cada uno del equipo. Comparen las fracciones y determinen quién obtuvo la mayor, quién quedó en último lugar y en qué lugares quedaron los demás. Una vez que determinen el lugar en que quedó cada quien, conviertan las fracciones que obtuvieron a números decimales. Te ponemos un ejemplo: María tiró con sus dados primero un 2 y después un 4, o sea que la fracción que obtuvo es 24 . Luis tiró con el primero un 3 y con el segundo un 5, la fracción de Luis es 35 y Manuel tiró primero un 6 y después un 5, por lo que su fracción es 65 .


•

Números y sistemas de numeración Con esta información llenaron la siguiente tabla: Nombre

Fracción

Decimal

2 4 3 5 6 5

0.5

Lugar en que quedó 3o

0.6

2o

1.2

1o

María Luis Manuel

La recta numérica que construyeron quedó así: María

Luis

Manuel

0.5 0.6 2 4

0

1.2

3 5

6 5

1

2

Ahora hagan sus equipos, construyan sus tablas y comiencen su juego. Pueden hacer varias rondas de juego. Al terminar comenten con sus compañeros los resultados e intercambien su información. • ¿Cuál fue la fracción de menor valor que obtuvo el grupo en general? • ¿Y la mayor? Con esa información completa el siguiente cuadro de las posibles fracciones y decimales que pueden obtener con este juego para ver cuál es la fracción más pequeña, la más grande, y cuántas fracciones equivalentes hay. numerador denominador

1

1 1 1

=1

2 2 1

=2

3 3 1

=3

3 3

=1

4

5

6

2 3 4

4 6

= 0.66

5 6


Recordando...

P

Problemas aditivos

CONTENIDO:

ara poder trabajar en este tema es muy importante que tengas claros varios conceptos de fracciones como son: la equivalencia entre fracciones, la suma y resta de fracciones, cómo simplificarlas y cómo llegar a un denominador común.

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Las fracciones unitarias

TEMA

Se dice que dos fracciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo valor. Por ejemplo, las fracciones: 23 y 69 son equivalentes.

Las fracciones unitarias son todas aquellas fracciones cuyo nume1 rador es uno: 12 , 18 , 1 , etc.

Se conoce como fracciones unitarias a las fracciones cuyo numerador es 1 1 1 1, por ejemplo: 2 , 5 , 8 son fracciones unitarias. Los egipcios utilizaban las fracciones de una manera muy especial, pues todas las fracciones que usaban tenían numerador 1. Algunas de ellas tenían una representación especial pero en general las representaban usando el mismo símbolo del número con un punto arriba. 1

Por ejemplo 10 se escribía

.

Cuando querían representar fracciones cuyo denominador fuera diferente de uno, buscaban la manera de representarla como la suma de fracciones unitarias. Esto aparentemente suena fácil, ¿no?... ¿quieres intentarlo? Puedes trabajar con un compañero o en equipos. Utiliza tu geoplano para encontrar un entero que te ayude a calcular la suma de las fracciones que se te piden. Registra tus respuesta en las hojas de registro para geoplano “Mi cuaderno de registro CIME”. Debes de recurrir a todos los conocimientos que tienes de fracciones.

10

ACTIVIDAD 1

Expresa las siguientes fracciones como la suma de dos fracciones unitarias 1 1 1 diferentes (no se vale representar 2 = 4 + 4 ) :

El denominador común es un número natural que es múltiplo común de los denominadores de varias fracciones dadas.

1

1 = 2

2

1 = 3

3

1 = 5

¿Que tal?, ¿fácil?... Comparte con tus compañeros tus soluciones y vean si sólo existe una solución o encontraron varias propuestas.


Problemas aditivos

•

Sumando y restando otras fracciones Como habíamos visto en la etapa propedéutica, también puedes resolver las fracciones encontrando un denominador común. Si quieres sumar o restar dos fracciones cuyos denominadores no son equivalentes, debemos encontrar un denominador que sea común a todos y además para ahorrarte trabajo, debes seleccionar el menor de ellos. 1

1

Por ejemplo, si se suman: 5 + 7 , se determina un número que sea múltiplo del 5 y del 7. Si tomas regletas amarillas y negras y haces un tren amarillo y uno negro, cuando los comparas verás que coinciden varias veces, pero la primera vez que coinciden es en el 35, por eso el múltiplo más pequeño que es común a ambos, o mínimo común múltiplo para 7 y 5, es 35. Toma las regletas que usaste para llegar hasta el 35, esto es 7 regletas amarillas y 5 regletas negras. Con ellas vas a construir 2 rectángulos: uno negro y uno amarillo que nos da el tamaño de nuestro entero. Este entero se puede partir en 35 y sacamos la equivalencia de cada fracción a sumar.

1 = 5 7 35 5n = 5 veces 7 = 35 1 = 7 5 35

7a = 7 veces 5 = 35 1 = 5 7 35

1 = 7 5 35 1 + 1 = 5 7 7 + 5 = 12 35 35 35

Para restar fracciones, tendríamos que buscar un denominador común igual que en la suma y restaríamos los numeradores. Por ejemplo: 1 - 1 = 7 - 5 = 2 5 7 35 35 35 Como verás, ya sea con geoplano o con regletas, debemos encontrar un entero que puedas dividir al mismo tiempo en ambos denominadores. Cuando tengas que sumar más de dos fracciones, puedes encontrar el mínimo común múltiplo entre los tres. En los primeros temas de este bloque vimos cómo se calculan los números decimales, los analizamos también como resultado de una fracción al realizar una división, y como representación de una fracción decimal:

3 = 3 entre 4 = 0.75 = 75 4 100 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

• Recuerda siempre, antes de empezar a trabajar cualquier operación con fracciones, analizar las fracciones para ver si puedes simplificarlas o encontrar equivalencias entre ellas.

Problemas aditivos

Conocer todas estas opciones para trabajar los decimales nos ayudan a comparar números y a ubicarlos en la recta numérica. Vamos ahora a resolver algunos problemas de fracciones, recuerda identificar bien tus datos, las operaciones que necesitas efectuar y simplifica siempre lo más que puedas. En algunos de estos problemas deberás trabajar también con números decimales.

Hagamos ejercicios De toda el agua dulce que hay en nuestro planeta, 34 partes están en las capas de hielo de la 1 Antártida y Groenlandia, 15 en ríos y lagos y 25 en la atmósfera. ¿Qué fracción constituye el resto de los depósitos? 1

La tienda de abarrotes de don Manuel compró10 kg de café sin tostar a $70.50 el kilo. Si al tostarse el café pierde 15 de su peso, ¿en cuánto se debe de vender el kilo de café tostado si don Manuel quiere ganarle $10.00 a cada kilo? 2

La maestra le pidió a Mónica que pasara a resolver una suma de fracciones: 12 + 45 . Mónica dijo que el resultado era 57 . ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? Justifica tu respuesta. 3

Una costurera necesita 78 de metro de cinta para decorar una falda. Si compró una pieza de cinta de 8 metros y quiere hacer 4 faldas, ¿cuánta cinta va a utilizar? ¿Cuánta cinta le va a sobrar? 4

Luis enterró una estaca en el suelo para de ahí amarrar unos cables. Si enterró 14 del largo total de la estaca y la parte que se ve mide 1.5m, ¿cuánto mide la estaca completa? 5

En la Ciudad de México se ha establecido una ruta turística que recorre los sitios más atractivos de la ciudad en un autobús panorámico y se explica a los turistas lo más relevante de dichos sitios. Como tú sabes la Ciudad de México tiene problemas de tráfico por lo que, en las horas más difíciles de transitar el autobús hace su recorrido en 2.5 horas. En las horas en que no hay tráfico, el recorrido se hace en 1 hora y 45 . ¿Cuál es la diferencia de tiempos que genera el tráfico pesado en el recorrido? 6

José Antonio va a salir de viaje. Del dinero que lleva para su viaje piensa gastar 18 en hospe3 dajes, 16 en alimentación y 14 para gasolina y gastos de carretera. ¿Qué parte de su dinero le va a quedar para diversiones? 7

Ahora en equipos o parejas, inventen una situación que implique suma o resta de fracciones, otra en la que trabajes decimales y fracciones juntas y por último, una en la que trabajen sólo con decimales. 8


L

a búsqueda de patrones consiste en encontrar alguna regla o diseño que se repite en un orden bien determinado. Los patrones pueden ser entre otros, geométricos o numéricos, que son los que nos interesa estudiar. ACTIVIDAD 1 Con tus regletas rojas construye las siguientes figuras y busca los patrones que se siguieron para su construcción.

Fig. 1

Fig. 2

Construye cuáles son las 3 siguientes figuras de la sucesión.

Fig. 3

Observa las figuras y contesta las siguientes preguntas:

CONTENIDO:

Patrones y ecuaciones

Búsqueda de patrones Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progre- TEMA sión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

• ¿La cantidad de regletas que necesitas para cada figura va creciendo o decreciendo? • ¿Cómo varía la cantidad de regletas de cada figura respecto a la figura anterior? • ¿Y respecto a las dos figuras anteriores? • ¿Qué diferencia existe en cuanto a la cantidad de regletas que usaste entre dos figuras consecutivas? Con la información que obtuviste y analizando las figuras que tienes, completa el siguiente cuadro: Número de la figura

Cantidad de regletas necesarias

1

1

2

3

1+2

3

5

1 + 2 + 2 = 1 + 2(2)

4 5 6 7

¿Cómo se formó la figura?

Un patrón es una repetición de elementos que siguen todos una misma regla.

8 9 10 15 20

Si analizas lo realizado, cada figura está formada por la figura anterior más dos regletas rojas.

30 100


• ACTIVIDAD 2


Observa ahora la siguiente sucesión y con tus regletas rojas construye las tres figuras que siguen:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Contesta ahora: • • • • •

¿Con cuántas regletas rojas se formó la figura 4? ¿Cuántas necesitaste para la figura 5? ¿Podrías calcular cuántas necesitas para la figura 10? ¿De qué manera obtuviste los resultados de las preguntas anteriores? ¿Podrías encontrar un patrón para construir las figuras?

Con los datos que has obtenido, completa el siguiente cuadro: Número de la figura

Cantidad de regletas necesarias

¿Cómo se formó la figura?

1 2 3 4 5 6

1 4 9

1+3 1+3+5

Analiza y compara las respuestas con tus compañeros para ver qué hicieron, si hay diferencias en los resultados busquen por qué y lleguen a un acuerdo. ¿Alguna vez has visto los esquemas que se utilizan para bordar punto de cruz? están hechos en cuadrículas muy pequeñas y cada cuadrito que está dibujado indica el cuadrito que se va bordar en tela. Vamos ahora a observar bien los siguientes diseños, son dos secuencias diferentes. Construye la secuencia con tus regletas blancas para poderla analizar. Secuencia A

48

Fig. 1


Fig. 2

Fig. 3


•

Secuencia B

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Completa el siguiente cuadro para la SECUENCIA A: Número de la figura

Cuadros bordados

1

4

2

8

¿Cómo se formó?

4+4

3 4 10 25 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

•


Completa el siguiente cuadro para la SECUENCIA B: Número de la figura

Cuadros bordados

1

1

2

5

1+4

3

9

1 + 4 + 4 = 1 + 2 (4)

¿Cómo se formó?

4 10 25

Después de completar los cuadros, responde a las siguientes preguntas tanto para la secuencia A como para la secuencia B: • Si conoces el número de figura, ¿puedes encontrar la cantidad de cuadros bordados que tiene? • Si a una figura le corresponde el número 100, ¿podrías encontrar una operación para saber el número de cuadros bordados que tiene? • ¿Y para la figura 200? • Llamemos n al número que ocupa una figura en la secuencia. ¿Puedes encontrar una forma de expresar el número de cuadros bordados que tiene? • Si sabemos que en la secuencia A la figura tiene 320 cuadros bordados, ¿puedes saber qué número de figura le corresponde dentro de la secuencia? Llamamos sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término. Por ejemplo, la sucesión:

3, 8, 18, 38, 78, _ _ sigue la siguiente regla: «suma 1 al último término de la sucesión y al resultado multiplícalo por dos».

50

• ¿Habrá en la secuencia B una figura que también tenga 320 cuadros bordados?, ¿por qué?

A continuación vamos a mostrarte colecciones de números que están ordenados y que cumplen con una regla. A estas colecciones les llamaremos sucesiones. En todas estas colecciones cada número ocupa un lugar al que llamaremos término y lo representaremos con la letra n, y a la regla que utilizamos para ir construyendo la sucesión le llamaremos patrón. Los puntos suspensivos al final de una sucesión, indican que la sucesión



•

puede continuar construyéndose. Bien, con esta información observa la siguiente sucesión 2,4,6,8,10,12,..... y responde: • ¿Cuántos términos de la sucesión te estamos mostrando? • ¿Cuál es el primer término de la sucesión?, ¿y el tercero? • ¿Qué características tienen sus términos? • ¿De qué manera puedes construir un término a partir del anterior? Observa la siguente tabla, vamos a definir cuál es la regla para encontrar cualquier término de la sucesión Término

Valor

Búsqueda de la regla

1

2

2

4

2 + 2 = 2 (2)

3

6

2 + 2 + 2 = 3 (2)

4

8

2 + 2 + 2 + 2 = 4 (2)

5

10

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5 (2)

6

12

15 25 n

En este caso el patrón fue multiplicar el término de la sucesíon por dos, por lo que seguramente llegaste a la conclusión de que para el término n de la sucesión el patrón es 2n • ¿Cuál es la sucesión que se formaría con el patrón 3n ? • ¿Y si el patrón es 5n ? No todas las sucesiones empiezan a partir del 2, o del 1, a veces empiezan a partir de otro número.


51

•


Por ejemplo: 6, 8, 10.... El patrón es sumar dos, pero el primer término es 6 , el segundo es 6 + 2, el tercero es 6 + 2(2), el cuarto sería 6 + 3(2), y asi sucesivamente. Encuentra una relación entre el número de veces que sumas 2 y el término de la sucesión: Para el término 2 aumentaste 1 vez dos, para el término 3 aumentaste 2 veces 2, para el término 4 aumentaste 3 veces 2, ¿cierto? • Para el término 15, ¿cuántas veces aumentarás 2? • Y para el término n , ¿cuántas veces aumentarás 2? Generalizando este patrón tendremos que para cualquier término de la sucesión el patrón es 6 + 2 (n-1) ya que el primer término es seis y sólo aumentaremos (n-1) veces 2.

Hagamos ejercicios Completa el siguiente cuadro en los casos en que se te da el patrón a seguir.Construye la sucesión hasta el término, que es en los casos en que no se da el patrón. Encuéntralo y completa la sucesión. Patrón a seguir

Término Término Término Término Término Término 1 2 3 4 5 6 2

4

6

2n - 1

14 7

12

23

34

45

3

8

13

18

Término 10 20

11 89 43

4n + 2 3n - 1

Término Término Término 7 8 9

30 2

5

11

21

17 31

61

91

Al terminar de completar tu cuadro compáralo con los de tus compañeros y comenta los resultados. Si a alguien le quedó un patrón diferente al tuyo, analicen y verifiquen si ambas opciones los llevan a la misma construcción. Al terminar el análisis de los cuadros haz equipo con un compañero, diseñen un patrón a seguir y formen la sucesión correspondiente.

52


E

n el tema anterior estuvimos trabajando con patrones de comportamiento de sucesiones numéricas. En estos patrones representamos con letras los datos que no conocemos y los utilizamos mucho más de lo que te imaginas... Vamos a trabajar en nuestros geoplanos. Construye en tu geoplano un cuadrado como el siguiente:

CONTENIDO: Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.


Representando con letras

TEMA

Si queremos saber la medida del perímetro de esta figura sin utilizar las fórmulas que aprendiste en la primaria, ¿qué harías? ¿Podrías encontrar también el área? Ahora construye la siguiente figura:

El perímetro de una fi• ¿Puedes calcular la medida del perímetro y el área de la figura? Describe cómo calcular el perímetro y el área de las dos figuras anteriores. Bien, ahora observa detenidamente la figura del siguiente geoplano.

A x F

x B

C D

E

gura geométrica es igual a la suma de las longitudes de sus lados. Y se mide en unidades lineales como u, cm, m, etc. El perímetro de una figura geométrica cerrada (como la circunferencia) es igual a la longitud de la línea que la delimita.


• Área es la superficie que cubre un cuerpo o figura geométrica. Sus unidades se miden en unidades cuadradas como u², cm², m², etc.


Alonso tiene que hacer un trabajo en equipo en casa de su compañero Francisco. Para llegar allá tiene que pasar a buscar a sus compañeros Bernardo, Carlos, Daniel y Eduardo, así llegarán todos juntos a casa de Francisco para hacer el trabajo. Hemos marcado la ubicación de cada casa con la inicial del nombre del compañero que vive ahí. Si cada unidad lineal de tu geoplano corresponde a una cuadra, responde las siguientes preguntas: • ¿Cuántas cuadras tuvo que caminar Alonso para llegar a casa de Francisco? • ¿Cuántas cuadras caminó acompañado de Bernardo? • ¿Y acompañado de Bernardo, Daniel y Eduardo? • ¿Cuántas cuadras caminaron juntos Carlos y Eduardo para llegar a casa de Francisco? Al terminar el trabajo, Alonso debe regresar directo a su casa. construye en tu geoplano la ruta más directa de casa de Francisco a casa de Alonso ( recuerda que son cuadras y no puedes cruzar en forma diagonal). Representa lo que hiciste en una hoja de registro rectilíneo de “Mi cuaderno de registro CIME”. • ¿Habrá otras opciones de ruta para Alonso? Trázalas en las hojas de registro rectilíneo de “Mi cuaderno de registro CIME”. Lo que hiciste al trazar la ruta de regreso de Alonso a su casa directamente de la casa de Francisco fué cerrar la figura y formar un polígono irregular. El perímetro de la figura ya lo tienes contando la cantidad de cuadras que caminó Alonso. ¿Puedes encontrar el número de cuadras que quedan encerradas en la ruta de Alonso? Considera cada unidad cuadrada como una cuadra.

ACTIVIDAD 1

Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. Explica con tus palabras cómo los calculaste sin aplicar una fórmula:

El cuadrado es un paralelogramo con todos sus lados y sus ángulos iguales. Sus ángulos son rectos y sus diagonales se cortan perpendicularmente. El rectángulo es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos.


1

2

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área:

Patrones y ecuaciones 3

•

4

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área:

• ¿Podrías generalizar una fórmula que te ayude a encontrar el perímetro de un cuadrado o de un rectángulo? ¿Y una fórmula para encontrar el área del cuadrado y del rectángulo? Compara tus fórmulas con las de tus compañeros y comenten lo que obtuvieron. ACTIVIDAD 2

Vamos a trabajar ahora con triángulos. Observa los triángulos que te presentamos en los siguientes geoplanos. Recuerda que en el geoplano, todavía no hemos aprendido a sacar la medida de las diagonales, por lo que no podemos, por el momento, calcular perímetros. • ¿Puedes encontrar una forma de calcular las áreas de los triángulos?

1

2

Área:

3

Área:

Área:

Un triángulo es un polígono de tres lados.


•


Con las fórmulas que has generalizado hasta ahora, ¿puedes calcular el área y perímetro de las siguientes figuras? Si en alguna figura puedes encontrar sólo el área o sólo el perímetro por que te faltan datos, indícalo en el ejercicio.

1

2

6 cm

2 cm

6 cm a

6 cm

3

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área:

4

6 cm

5

b c

3 cm

5 cm

c

a Perímetro:

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área:

Área:

Área y perímetro del triángulo:

c

d a b

P=b+c+d A= bxa 2

Como podrás darte cuenta, en algunos casos puedes calcular tanto el área como el perímetro y en otros casos no tienes suficientes datos numéricos para calcularlos y tienes que dejar el valor representado por una letra que llamamos literal. De esta forma has aprendido a buscar por tí mismo la forma de encontrar áreas y perímetros de figuras sin tener necesariamente una fórmula memorizada. Las matemáticas se expresan mediante un lenguaje simbólico especial, que se usa de común acuerdo. En este lenguaje usamos signos, letras (llamadas literales) y números para representar fórmulas.

Se llama literal a una magnitud o medida desconocida que se representa con una letra Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tú ya conoces algunas fórmulas, otras, las has construido a base de generalizar ejercicios.


•

Hagamos ejercicios Vamos a resolver algunos problemas. Podrás trabajarlos junto con un compañero y después en grupo revisar sus resultados. Recuerda que los datos que desconoces los puedes representar con literales. 1

Un agricultor desea comprar malla de alambre para cercar un terreno donde va a sembrar hortalizas. Calcula el área del terreno y cuántos metros de malla de alambre necesita comprar si: a) Su terreno es rectangular y mide 28m de largo y 20m de ancho. b) Su terreno es un rectángulo de 35m por 24m. c) El terreno es un cuadrado de 40m por lado. (Completa la tabla de la derecha)

Área del terreno a)

Metros de alambre

b) c)

Plantea ahora una fórmula que te ayude a calcular la cantidad de alambre en metros que necesita para cualquiera de los terrenos de los incisos a, b y c. 2

Ramón salió de vacaciones con su familia este verano y recorrieron varias ciudades por carretera. Salieron de su casa en Toluca y visitaron primero Morelia en un recorrido de 290 km; de Morelia a Guanajuato recorrieron 240 km; de allí a Zacatecas hicieron un recorrido de 320 km; de Zacatecas fueron hacia Querétaro en un recorrido de 380 km y de ahí partieron a casa ubicada a 220 km de distancia. a) ¿Cómo puedes calcular la distancia que recorrieron? b) Supongamos que no conoces la distancia que recorrieron de Morelia a Guanajuato, ¿cómo representarías la distancia total del viaje? c) Calcula la distancia recorrida, exprésala primero mediante una fórmula, representando cada ciudad con una literal. d) Encuentra una expresión que te permita representar el recorrido de la familia de Ramón, si desconocieras cuál es la distacia entre Zacatecas y Querétaro, y la de Querétaro a Toluca. e) Conociendo el total de km recorridos y todas las distancias, menos la distancia de Guanajuato a Zacatecas, ¿podrías encontrar una expresión que represente el recorrido? ¿Y podrías además encontrar la distancia que te falta? Argumenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor (a).


Figuras y cuerpos

Construyendo triángulos... de todos tamaños y formas CONTENIDO: Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Primero, nuestro juego de geometría

I

mportantísimo... probablemente ni te imagines cuán importante es. Debe de estar completo y es muy importante que conozcas para qué te va a servir cada una de las herramientas que lo componen: las escuadras, el compás, la regla y el transportador. Vamos viendo...

TEMA

• La regla. Seguramente la has usado siempre desde la primaria: para hacer márgenes, para subrayar y que las líneas te queden derechas, para medir en centímetros por un lado y en pulgadas por el otro. • La escuadra y el cartabón. ¿Te has puesto a analizar por qué tienen esa forma? ¿sólo por que sí, o tienen alguna razón de ser así? Obsérvalas. Escribe las características que ves en cada una de ellas de acuerdo a: * Su forma: abó Cart

* Sus ángulos:

n

* Sus medidas: • ¿Qué más podrías decir de ellas?

Escuadra

Las escuadras son importantísimas y nos serán de gran utilidad.

Eje: Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos

•

• El compás. Seguramente lo has usado varias veces, incluso hasta en varias cosas para las que no fue diseñado. El compás no sólo nos sirve para trazar circunferencias, también nos sirve para marcar distancias iguales, para trazar arcos, segmentos de circunferencia, trasladar distancias, dividir segmentos en dos partes iguales, entre otras cosas. Pero algo sumamente importante con tu compás es que tenga una buena punta de apoyo, la que es como de alfiler. Que tenga una buena puntilla de lápiz, bien afilada para que tu trazo sea fino y preciso y por último es importantísimo que esté bien calibrado. ¿Que significa eso? significa que cuando tú cierres tu compás las dos puntas queden al mismo nivel y no una más larga que otra, pues eso hace que tus trazos ya no tengan la precisión que requieres. • El transportador. Para medir y calcular ángulos los hay de dos tipos. El transportador de medio círculo nos permite medir ángulos que van de 0o a 180o y el de círculo completo nos permite medir ángulos desde 0o hasta 360o. En ambos casos es importante, como ya sabes, ubicar el cero en la línea de donde vas a empezar a medir el ángulo y la marca del transportador que te indica donde nace la linea justo en el vértice del ángulo. En su momento le daremos un buen uso también.

Construye triángulos Vamos a trabajar con regletas en la construcción de triángulos y cuadriláteros. Con tus regletas podemos construir figuras geométricas considerando que el valor del lado de la figura queda constituido por los lados de las regletas que se tocan, te ponemos un ejemplo:

a

a

a

Bien, ahora que ya sabes cómo construir tus triángulos con regletas toma una regleta rosa, una verde oscuro y una amarilla y construye con ellas un triángulo. Eje: Forma, espacio y medida

•

Figuras y cuerpos

• Compara tu triángulo con los de tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se formaron? • Haz lo mismo con las regletas azul, café y verde claro, ¿cuántos triángulos diferentes pudieron formar? • Y si tomas una regleta rosa, una naranja y una negra, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden formar? Compartan sus opiniones y justifiquen con su profesor (a) sus respuestas. • ¿Por qué crees que sólo se puede formar un triángulo con cada combinación de regletas? Conserva tus tres triángulos armados y regístralos en las hojas de “Mi cuaderno de registro CIME” Observa bien tus registros y responde: • De acuerdo a la clasificación que conoces de los triángulos por sus ángulos y por sus lados, ¿qué tipo de triángulos formaste? • Toma ahora 3 regletas del mismo color, el que tú quieras. ¿Qué tipo de triángulo formaste?, ¿se puede formar un triángulo diferente a ése con la mismas tres regletas?, ¿por qué? • Y si tomas dos de un color y una de otro color, ¿qué tipo de triángulo se forma? Registra al menos un triángulo de cada uno en las hojas de centímetro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME”. Ahora toma una regleta rosa, una café y una regleta de cualquier color, pero más grande que la rosa (de la amarilla a la naranja), elígelo tú. Compara tu triángulo con el de tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden formar? Haz lo mismo con una regleta verde claro, una amarilla y una que sea igual o más grande que la azul, compara los triángulos que formaron tus compañeros, ¿cuántos triángulos diferentes se formaron? • ¿Por qué se formaron triángulos diferentes? Registra también los triángulos que tú formaste en las hojas de centímetro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME” y obsérvalos muy bien….


Figuras y cuerpos

•

• ¿De qué depende la medida del tercer lado? • ¿Qué parte del triángulo te indica de qué medida debes colocar la tercera regleta? Vamos a construir ahora 6 trenes que valgan 12 (diferentes al del ejemplo), pero cada tren puede llevar sólo tres regletas. Constrúyelos y regístralos en el siguiente espacio.

Ahora toma cada uno de los trenes y con las tres regletas que tiene el tren construye un triángulo.

• ¿Pudiste construir un triángulo con cada uno de los trenes? • Si con alguno no pudiste hacer un triángulo, ¿puedes decir por qué? Comenta con tus compañeros las razones por las que crees que no pudieron construirse todos los triángulos. Toma una regleta café y haz una descomposición en la que cada tren tenga tres regletas y vuelve a construir triángulos con las regletas de cada tren. • ¿Pudiste formar algún triángulo?


•

Figuras y cuerpos

Comenten entre ustedes y con su profesor (a) y concluyan qué característica deben cumplir las 3 regletas que elijas para que puedas construir un triángulo.

Y con los cuadriláteros, ¿qué podemos hacer? Toma ahora 4 regletas, dos amarillas y dos negras y forma un cuadrilátero con ellas. Comparte con tus compañeros y analiza, ¿cuántos cuadriláteros diferentes se pudieron construir? Registra los diferentes cuadriláteros que formaron analícenlos de acuerdo a la clasificación que ya conoces y escribe de qué cuadriláteros se trata. Elige 4 regletas de un solo color, y construye un cuadrilátero. ¿Cuántos y cuáles pudiste construir? Regístralos en tu cuaderno de centímetro cuadrado y escribe sus nombres. Haz lo mismo una vez más con cuatro regletas, todas de diferente tamaño. • ¿Y si tomas dos regletas verde claro, una rosa y una verde oscuro? Registra todas las figuras que vas formando y de acuerdo a sus características, dales nombre.

Y ahora…¡construyamos con papel y lápiz! Como verás, tus regletas trabajaron como líneas rectas y nos ayudaron a construir de manera rápida muchísimas figuras. Ahora vamos a construirlas en papel blanco con ayuda de tus herramientas de construcción. Es muy importante que recuerdes cómo trazábamos líneas paralelas, perpendiculares y cómo trazábamos mediatrices y bisectrices. Si no lo recuerdas, seguramente tu profesor (a) te irá indicando cómo. Materiales: tu escuadra, tu cartabón, tu compás, tu transportador y tu cuaderno de centímetro cuadrado. De acuerdo a lo que trabajamos con las regletas vimos que para construir un triángulo debemos tener datos suficientes, una opción es que nos den


Figuras y cuerpos

•

las medidas de los tres lados y otra es que nos den la medida de dos lados y del ángulo que forman entre ellos. Vamos a mostrarte los trazos para construir un triángulo con ambas opciones. En las líneas que te ponemos a un lado de los trazos, describe con tus palabras lo que vas haciendo. Dados los siguientes datos, construye el triángulo correspondiente:

3 cm A

C 5 cm

B

C 6 cm

A

B

Paso 1

A

A

C

6 cm

B

Paso 2


•

Figuras y cuerpos 3

A

6 cm

B

Paso 3

Paso 4

B

Paso 5

A

6 cm


B

5 cm

C

Figuras y cuerpos

•

Paso 6

3 cm

A

B

Paso 7

3 cm

5 cm

6 cm

A

B

¡Ya está!

Intercambia con tus compañeros la descripción de pasos que realizó cada quién. Junto con tu maestro, formalicen los pasos para la construcción de un triángulo dadas las medidas de sus lados. Ahora describe los siguientes pasos para construir un triángulo dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos. Dados los siguientes datos: 5 cm A

B 4 cm

A

C CAB = 30o Eje: Forma, espacio y medida

• Paso 1 A

5 cm

B

Paso 2 30o

A

5 cm

B

A

5 cm

B

Paso 3

B

Paso 4

A

4 cm


C

Figuras y cuerpos

Figuras y cuerpos

•

Paso 5

C

30o A

5 cm

B

Paso 6 C

30o A

5 cm

B

Intercambia con tus compañeros los pasos a seguir para construir un triángulo dadas las medidas de dos de sus lados y el ángulo que se forma entre ellos. Justifiquen sus respuestas y formalicen.


•

Figuras y cuerpos

Hagamos ejercicios Después de haber analizado y descrito los pasos a seguir, construye en tu cuaderno de centímetro cuadrado los siguiente triángulos. 1

Lados 9 cm, 5 cm, 7 cm

2


3


4

Lados 6 cm, 7 cm, ángulo 50o

5

Lados 3 cm, 6 cm, ángulo 100o

Y después los cuadriláteros Para que podamos construir cuadriláteros debemos de conocer su forma (cuadrado, rectángulo, rombo, romboide) y de acuerdo a ella, varían los datos que requerimos: ¿Qué datos requieres para construir: a

Un cuadrado?

b

Un rectángulo?

c

Un rombo?

d

Un romboide?

e

Un trapecio?

f

Un trapezoide?

Construye al menos uno de cada uno en “Mi cuaderno de registro CIME”. Ya sabes cómo trazar una línea, cómo medir un ángulo, cómo trasladar medidas con tu compás, cómo encontrar la mediatriz y el punto medio de una línea, cómo encontrar la bisectriz de un ángulo, y cómo encontrar el punto de intersección de dos líneas……..aprovecha todos estos conocimientos y con tus compañeros y tu maestro (a) vayan descubriendo y describiendo los pasos que se requieren para construir muchos triángulos más. Registra tus figuras en las hojas de centímetro cuadrado de “Mi cuaderno de registro CIME”.


Más propiedades de los triángulos CONTENIDO: Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo

En el tema anterior trabajamos en la construcción de triángulos-y analizamos cómo trazarlos según los datos que nos dan. En primaria aprendiste a construirlos y a clasificarlos de acuerdo a la medida de sus lados y a sus ángulos.

Figuras y cuerpos

A

lo largo del estudio de la geometría has visto que los triángulos juegan un papel muy importante. Su estudio es muy interesante, pues tienen muchas propiedades y características que nos ayudan a resolver problemas diversos. Mientras más avances en tus estudios, verás más temas interesantes acerca de los triángulos.

TEMA

Pues bien, ahora vamos a conocer más características de los triángulos.

Recordando lo importante: Las alturas… Para calcular el área de un triángulo, requieres encontrar su altura, ¿cierto? Como recordarás, la altura es la línea que va perpendicularmente desde el punto más alto del triángulo a la base (o la extensión de la base). En los triángulos siguientes traza las tres alturas que puedes encontrar, girando tu triángulo para ubicar las tres posibles bases.

A

1

B

• ¿Puedes encontrar el punto donde se intersectan las tres alturas de los triángulos? Eje: Forma, espacio y medida

• En un triángulo, la altura es la distancia medida perpendicularmente desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto.

El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.

Figuras y cuerpos

• ¿Qué diferencia encuentras entre el punto de intersección del triángulo A y del triángulo B?

Las bisectrices... Otra de las líneas importantes dentro de un triángulo son las bisectrices. Ya sabes trazar bisectrices, ¿verdad? En cada triángulo hay tres bisectrices, una para cada ángulo que forma el triángulo. En los siguientes triángulos traza las bisectrices de sus ángulos.

La bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo.

A

B

Busca el punto en el que se intersectan las bisectrices y responde: El incentro es el punto donde se intersectan las tres bisectrices de un triángulo.

• ¿Hay alguna diferencia entre el punto donde se cortan las bisectrices del triangulo A y el triángulo B?

Las mediatrices… Como recordarás:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio

El circuncentro es el punto donde se intersectan las tres mediatrices de un triángulo.

En un triángulo podemos encontrar tres mediatrices. Tú ya sabes trazar las mediatrices, asi que ahora traza las mediatrices de los siguientes triángulos.

A

B

Busca el punto donde se intersectan las mediatrices y responde: • ¿Las mediatrices se cortan necesariamente dentro de la figura?


Figuras y cuerpos

•

Las medianas…

La mediana de un triángulo es la recta

Traza las medianas de los siguientes triángulos.

A

que pasa por el punto medio de un lado y por el vértice opuesto.

B

* Encuentra el punto de intersección de las medianas. El baricentro es el centro de equilibrio de un triángulo. Si recortas el triángulo y con una aguja pasas un hilo por el baricentro, el triángulo queda en equilibrio.

El baricentro de un triángulo es el punto donde se intersectan sus tres medianas.

En resumen… Ya tenemos las medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de los dos triángulos que te propusimos. Analiza con tus compañeros y tu maestro (a) las líneas que trazaron en los triángulos y la información que puedan obtener de ellas. A estas rectas se les llama rectas notables y a los puntos de intersección que encontraste se les denomina puntos notables. A continuación te damos varios triángulos para que repases lo que trabajamos. Traza las líneas que corresponden a cada triángulo y encuentra el punto notable que les corresponde.


•

Figuras y cuerpos

Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado circuncentro. El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los vértices del triángulo.

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo, se cortan en un punto llamado incentro. El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita, que toca sólo en un punto cada lado del triángulo.

Las medianas de un triángulo, se cortan en un punto llamado baricentro. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo.

Las alturas de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ortocentro.


Figuras y cuerpos

•

Pongámoslo en práctica Julián, Alejandro y Gustavo son tres amigos. Quieren reunirse en las tardes para ir a las canchas de futbol y jugar un rato. Están buscando cuál sería el punto de reunión que quede a la misma distancia de la casa de los tres. ¿Cuál de las líneas notables que hemos trabajado te sirve para encontrar dicho punto de reunión? 1

Gustavo

Alejandro Julián

En el espacio se encuentran tres astros. Si los 3 pesan lo mismo, ¿cuál sería el centro de gravedad entre ellos? 2

Con tus compañeros y tu maestro redacten situaciones en las que se puedan aplicar estos conocimientos en tu vida cotidiana. 3



Empecemos con un reto... CONTENIDO: Resolución de problemas de reparto proporcional

TEMA

Personas a patinar Costo por hora

E

n el cumpleaños de Mauricio, su mamá lo llevó a patinar en la pista de hielo con sus 9 mejores amigos. La mamá pagó en total $ 550.00 por una hora de patinaje para Mauricio y sus amigos. Una jovencita que venía detrás de ellos en la fila pagó $ 220.00 para que pudieran patinar por una hora ella y tres amigas. Después de la joven, en la fila seguía un señor que preguntó cuánto costaba la hora de patinaje. ¿Con los datos que tienes, podrías tú decir cuánto cuesta la hora de patinaje en la pista? Cuando Mauricio se dio cuenta de que cada persona pedía diferentes precios a la cajera, le sugirió que construyera una tabla con el precio por hora de patinaje de la siguiente forma:

1

2

3

4 220

5

6

7

8

9

10 550

Con los datos que tienes, ¿puedes completar la tabla para ayudar a la cajera? • ¿Cómo organizas la información para conocer los datos faltantes en la tabla? • ¿Qué operaciones utilizaste para encontrar los datos faltantes?, comenta con tus compañeros qué hicieron ellos y cuáles son las operaciones que usaron. Ahora observa las siguientes tablas, analiza lo que pregunta cada una y completa los espacios faltantes.

Eje: Manejo de la información

Proporcionalidad y funciones 1

2

•

Un taxi cobra $6.00 por el servicio más $5.00 por kilómetro recorrido: Kilómetros recorridos

0

1

Precio del recorrido

$6

$11

2

3

En la nevería venden los helados sencillos a: Número de helados

3

Cantidad a pagar

$18

6

12

9

En una panadería hornean 10 pasteles al mismo tiempo a 175o C durante una hora, ¿Qué pasa si meto al horno: 1, 2, 3, 4 ? 3

Pasteles hornéandose simultáneamente

1

Tiempo de horneado

1

4

2

3

4

Las cajas de litros de leche tienen 12 litros cada una:

Cajas de leche

5

3

8

10

Litros Luisa tiene que recortar 100 muñecas de papel para una fiesta. Recorta 12 muñecas en una hora. 5

Tiempo

1

Muñecas que quedan por recortar

88

6

2

3

4

En una fiesta, la duración de cada una de las canciones que pone el DJ. Número de canción

Minutos que dura

1

2

3

4

4 min 3 min 5 min Eje: Manejo de la información

• 7


Un coche avanza a una velocidad constante de 95 km/h. Tiempo del recorrido

2h

1h

4h

3h

Distancia avanzada 8

Cuando Ana Luisa nació, su mamá tenía 24 años. Edad de Ana Luisa

1 año 2 años 3 años 4 años

Edad de su mamá

25 años

Analiza con tus compañeros cómo completaron las tablas, y los resultados que obtuvieron. Observen si los datos de todos coinciden y si puede haber diferentes resultados en algunas tablas. Después, marca con una palomita en qué tablas se cumple que:

1

2

3

4

5

6

7

8

Una de las cantidades en la tabla cambia (aumenta o disminuye) y la otra cantidad no varía. Una de las cantidades de la tabla aumenta, su correspondiente también aumenta. Una de las cantidades de la tabla disminuye, su correspondiente disminuye. En cada una de las tablas, la diferencia o resta entre las cantidades de una misma columna es igual a la diferencia entre las cantidades de otra columna. Cuando una cantidad se multiplica por dos, o por 3 o por n, su correspondiente se multiplica por el mismo número.

Son muchas las formas en las que las cantidades de nuestras tablas pueden variar una respecto a otra.

• ¿Cómo varía el precio del recorrido en taxi, respecto al kilometraje que se recorre? Eje: Manejo de la información


•

• ¿Cómo varía el precio de los helados con respecto a la cantidad de helados que se compran? • ¿Cómo varía la cantidad de pasteles que puedo hornear simultáneamen- te respecto a las horas de horneado? • ¿Cómo varía la cantidad de cajas de leche respecto a los litros que hay en todas ellas? • ¿Cómo varía la cantidad de horas que Luisa ha estado recortando muñe- quitas, respecto a las que le quedan por recortar? • ¿Cómo varía el tiempo que dura una canción respecto al número de canción en la lista?

Se dice que dos cantidades son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número dado, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Cuando dos cantidades están en proporción directa significa que al crecer una de las cantidades, la otra crece la misma cantidad de veces.

• ¿Cómo varía el tiempo que un coche avanza a una velocidad constante respecto a los kilómetros que avanza? • ¿Cómo varía la edad que tiene Ana Luisa respecto a la edad de su mamá? Vamos a analizar qué es lo que hacemos en cada tabla para encontrar la relación de cambio: +1

+1

+1

+1

0

1

2

3

6

11

16

21

+5

+5

+5

4

+5

De todas estas tablas, ¿cuáles crees que son directamente proporcionales? Coméntalo con tus compañeros. De las ocho tablas anteriores, ¿puedes encontrar tres que sean directamente proporcionales? Explica tus razones. En la tabla 2, que habla de los helados se establece una relación entre los helados que se compran y el costo de ellos. Si compro tres helados y pago $18 pesos por ellos, es fácil deducir que cada helado me costó $6 pesos. El precio que voy a ir aumentando por cada helado que compre es de $6.


• Al número que nos indica la cantidad de veces que crece o decrece un número se le llama

factor de proporcionalidad


Al precio por helado, que es el que siempre va a ser igual y que multiplicamos por la cantidad de helados que compramos lo llamaremos factor de proporcionalidad. Imagina ahora que tomamos 2 columnas de la tabla 2. 3

6

$18

$36

Esta relación de proporcionalidad se puede también expresar en forma de fracción y así no tendremos que estar trazando la tabla cada vez que queramos escribirla:

3 18

Se conoce como razón a la relación que hay entre dos cantidades. La razón de dos números a y b es el resultado que se obtiene al dividirlos y se puede expresar en forma de fracción:

a = b

razon entre a y b

6 = 36

En matemáticas llamamos a este tipo de igualdades razones, y decimos que 3 es a 18 como 6 es a 36. Es decir que 3 helados son a $18 como 6 helados son a $36.

Buscando razones y sus proporciones Otra de las tablas que cumple con las condiciones de proporcionalidad es la tabla 4, en la que se establece una relación entre las cajas de leche y los litros que hay en ellas. Tomemos unos datos de la tabla:

1 12

2 = 24

• ¿Puedes encontrar el factor de proporcionalidad? ACTIVIDAD 1

1

3 = 5 36


¿Puedes completar las siguientes razones?

2

4 = 6 48

3

= 6 24 72


•

Analiza las operaciones que utilizaste y trata de establecer una regla para resolver estas razones.

Hagamos ejercicios Con las reglas que ya generalizaron en tu grupo, resuelve los siguientes ejercicios: José trabaja en una fábrica de mermeladas y está encargado del almacén. Es muy importante que esté pendiente de que no falten ingredientes cuando se va a elaborar mermelada de cualquier fruta para que la producción sea óptima y todo salga bien. Él sabe que para preparar mermelada de frutas se utilizan 3 kg de azúcar por cada 6 kg de fruta. ¿Cuánta fruta tiene que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? 1

Puedes elaborar una tabla o buscar la forma que más fácil te parezca para encontrar las respuestas y después, contesta: a) ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de azúcar se obtengan los kilogramos de fruta correspondientes? b) ¿Cuál es? c) ¿Cuántos kilogramos de fruta se necesitan por cada kilogramo de azúcar? d) ¿Qué relación encuentras entre el factor constante que identificaste en el inciso (a) y el número de kilogramos de fruta por cada kilogramo de azúcar? e) Utiliza el factor constante para calcular los kilogramos de fruta necesarios para 7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar. 7=

kg

35 =

kg

18 =

kg

42 =

kg

64 =

kg

En esa misma fábrica, se prepara también otra clase de mermelada que es más ligera y baja en azúcar y para eso hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 9 kg de fruta. ¿Cuántos kilogramos de azúcar debe comprar José para 6, 15 y 27 kg de fruta? 6= kg 27 = kg 2

15 =

kg Eje: Manejo de la información

•


a) ¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de fruta se obtengan los kilogramos de azúcar correspondientes? b) ¿Cuál es? c) ¿Cuántos kilogramos de azúcar se necesitan por cada kilogramo de fruta? d) ¿Qué relación encuentras entre el factor constante que identificaste en el inciso (a) y la cantidad de kilogramos de azúcar por cada kilogramo de fruta? e) Utiliza el factor constante para calcular los kilogramos de azúcar necesarios para 30, 48, 57 y 75 kg de fruta. 30 = 48 =

kg kg

57 =

kg

75 =

kg

La pipa que surte de agua la fábrica, se tarda 10 segundos en llenar un garrafón de 20 litros. ¿Cuánto tardará en llenar la cisterna si le caben 500 litros? 3

Para hacer las etiquetas para los frascos de mermelada, se requiere de una máquina especial que hace las impresiones de color en papel adherible. El tamaño del papel es también especial y en cada pliego se imprimen cuatro etiquetas. ¿cuántos pliegos de papel, le van a pedir a José que saque del almacén si se tienen que imprimir 200 etiquetas para mermelada de fresa?; y ¿cuántos pliegos se necesitan para imprimir 160 etiquetas de mermelada de durazno?, para las etiquetas de mermelada de uva, le pidieron a José 130 pliegos de papel, ¿cuántas etiquetas van a imprimir? 4

Ahora, en equipos de 3 compañeros busquen 4 situaciones de su entorno en las que haya crecimiento proporcional y planteen un problema para cada una de ellas. Anota tus problemas en tu cuaderno y resuélvelos. 5


¡ A jugar ! SUBTEMA: Nociones de probabilidad Conocimientos y habilidades:

Nociones de proporcionalidad

O

rganícense en equipos de 4 compañeros y vamos a jugar el siguiente juego. Vamos a usar 2 monedas a las que les pegaremos un número 6 de un lado y del otro lado el número 0. Usaremos el tablero que a continuación te presentamos para poder jugar:

identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados TEMA posibles.


•


Cada integrante del equipo, por turnos lanza las monedas y avanza tantas casillas como indique la suma de las cantidades que salgan en sus monedas. Con una regleta de algún color irá marcando la casilla a la que llegan. Gana el primero que llega a la meta, aunque no caiga ahí exactamente. Antes de iniciar el juego: Comenta con tu equipo y responde a las siguientes preguntas antes de iniciar el juego. • ¿Crees que cualquiera de ustedes tiene la misma probabilidad de ganar? • ¿Por qué? • ¿Crees que alguno de ustedes tenga alguna ventaja sobre los demás? • ¿Cuál es la probabilidad de que ganes tú? • ¿Cuál es la probabilidad de que gane alguno de tus compañeros? Ahora inicien el juego y cuando alguno de los 4 del equipo llegue a la meta revisen si sus predicciones fueron correctas y si no fue así, argumenten por qué. • ¿Tienen los 4 jugadores la misma probabilidad de ganar? • ¿Hubo alguno de ustedes con mayor o menor probabilidad de ganar? • ¿Por qué? Vamos a realizar ahora otro juego en parejas. Necesitamos 2 dados (si no tienes, toma 2 regletas blancas y con un plumón marca puntos en sus caras del 1 al 6, como los dados) y 20 regletas rojas que pondrán al centro de una mesa. El juego consiste en tirar los dados por turnos y sumar los puntos de ambos dados. Si la suma de los puntos es 2, 3, 4, 10, 11 ó 12, el jugador toma 1 regleta del centro y si la suma es 5, 6, 7, 8, 9 el jugador toma 2 regletas del centro. El juego termina cuando no hay regletas en el centro. Repitan el juego 3 veces, anotando los resultados que les salieron en cada turno y quién ganó nada. • ¿Te parecen justas las reglas del juego? • ¿Por qué? • ¿Tendrán ambos jugadores la misma probabilidad de ganar? ¿Por qué?



•

• Si no te parecen justas, ¿cómo las cambiarías para que lo fueran? Probablemente te convenga completar la siguiente tabla para analizar si el juego es justo o no. DADO 1

DADO 2

1

1

Suma

(1,1)

2

2

Suma

2

3

Suma

(3,2)

5

3 (2,4)

4

4

Suma

(4,3)

7

5

Suma

6

Suma

(6,6)

12

6

5 6 Observa la tabla y responde: ¿cuántas formas diferentes hay para que la suma... a

... sea 2 ?

d

... sea 5 ?

g

... sea 8 ?

j

... sea 11 ?

b

... sea 3 ?

e

... sea 6 ?

h

... sea 9 ?

k

... sea 12 ?

c

... sea 4 ?

f

... sea 7 ?

i

... sea 10 ?

Modifiquen las reglas del juego para que sea justo y juéguenlo y hagan las tablas correspondientes a sus reglas para que comprueben que el juego que inventaron es justo. Como verás, si comparas los dos juegos que realizaste, algunas veces las reglas son justas y otras no. Se dice que en un juego de azar, si todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir son equiprobables, como lanzar una moneda al aire, lanzar los dados y que caiga cualquier cara. Si las probabilidades de que un evento ocurra no son iguales, se dice que el evento no es equiprobable; como lanzar un dardo a un disco que no está dividido en regiones iguales. Busca con tus compañeros y tu maestro eventos equiprobables y no equiprobables. Compárenlos y analícenlos. Eje: Manejo de la información

•

Síntesis

Síntesis:

E

n este bloque has aprendido cosas muy interesantes y además muy útiles que deberás tener presentes el resto del ciclo escolar pues son la base de muchos conceptos con los que trabajarás:

Los números fraccionarios: Las fracciones tienen muchos usos. Una de ellas es la representación de una división a través de la siguiente notación:

a b

numerador denominador

Donde a es el dividendo, llamado numerador en la fracción y b es el divisor, llamado denominador en la fracción. En una fracción el denominador me indica en cuántas partes iguales tengo dividida la unidad y el numerador me indica cuántas de ellas estoy tomando. Se conoce como fracciones decimales a todas aquellas fracciones cuyo denominador es 10, 100, 1000, etc. Es decir, cuyo denominador es una potencia de 10. Los números decimales son la representación en potencias de 10 de la parte no entera de un número. El punto decimal es el signo matemático que sirve para separar la parte entera de un número de su parte decimal. Una propiedad nueva de las fracciones que trabajaste en este bloque es la propiedad de la densidad de fracciones que establece que siempre es posible encontrar una fracción adicional entre dos fracciones.

Suma y resta de números fraccionarios y decimales: Cuando estamos trabajando fracciones, se dice que dos fracciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo valor. 2

6

Por ejemplo, las fracciones: 3 y 9 son equivalentes. Se llaman fracciones unitarias a todas aquellas fracciones cuyo numerador es uno: 1 1 1 2 , 18 , 10 , etc.

Se conoce como denominador común un número natural que es múltiplo común de los denominadores de varias fracciones dadas.

Sucesiones numéricas Se llama sucesión a la lista de números que siguen una determinada regla para calcular el siguiente término. Los términos de una sucesión siguen todos un mismo patrón, es decir que todos siguen una misma regla.

Síntesis • Bloque 1

Síntesis

•

Fórmulas para áreas y perímetros de figuras: En las fórmulas de área y perímetro de figuras geométricas que conoces, como el cuadrado, el rectángulo o el triángulo, se representan por medio de letras todas aquellas medidas o datos que desconoces, a estas letras se les conoce como literales (del latín litera = letra).

Construcción de triángulos y sus líneas importantes: Como viste en este bloque para que sea factible construir un triángulo se requiere que la suma de las medidas de sus lados más cortos, sea mayor que la medida del lado más largo. En los triángulos, podemos trazar varias líneas importantes que tienen características muy interesantes: La altura es la distancia medida perpendicularmente desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto. Se llama ortocentro al punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. Tenemos bisectriz que es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida. En otras palabras, la bisectriz es el eje de simetría de un ángulo. Como viste en este bloque, el incentro es el punto donde se intersectan las tres bisectrices de un triángulo. Otra línea importante es la mediatriz que es la línea que pasa por el punto medio de cada uno de los lados del triángulo. Construiste el circuncentro es el punto donde se intersectan las tres mediatrices de un triángulo. Por último analizamos la mediana de un triángulo que es la recta que pasa por el punto medio de un lado y por el vértice opuesto. Es el baricentro de un triángulo el punto donde se intersectan sus tres medianas.

Relaciones de proporcionalidad: Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número dado, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Al número que nos indica cuántas veces crecen o decrecen ambas cantidades se le conoce como factor de proporcionalidad. A la relación que hay entre dichas cantidades se le conoce como razón. Cuando dos razones son equivalentes, decimos que entre ellas existe una proporción. Por medio del producto cruzado o regla de tres podemos calcular un valor desconocido en una proporción directa, dados los otros tres valores.

Juegos de azar Se dice que un juego de azar es equiprobable si todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Si las probabilidades de que ocurra un evento no son iguales, entonces el evento es no equiprobable.

Síntesis • Bloque 1

•

Evaluación

Evaluación Escribe tu respuesta en esta hoja. Realiza tus trazos y operaciones en una hoja aparte. 1 Realiza las siguientes conversiones: I Convierte las siguientes fracciones a decimal:

a)

2 = 3

6 4

b)

=

7 = 12

c)

II Convierte ahora de decimal a fracción. Simplifica a su más mínima expresión.

a)

1.48

0.82

b)

=

c)

=

0.92

=

2 Ubica las siguientes fracciones y decimales en la recta numérica, pero primero ubica la posición del cero: 7 16

a.

b.

1 4

c.

7 8

d. 1.56

1

e. 1.81

2

3 Utilizando el concepto de “densidad de fracciones y números decimales”, encuentra una fracción o un decimal entre:

a)

7 16

y

7 8

b)

=

0

y

1 4

c)

=

1.56

y 1.81

=

4 De una pieza de listón se cortaron varios trozos. Uno de 1 1 m, otro de 2 3 m y 4 5 5 m. Si la pieza tenía 15 m de listón, ¿cuánto listón se cortó? ¿Cuánto uno más de 6 8 listón sobró? 5 Fíjate en la regla general que se te da y construye la serie que se te pide. (Da al menos 5 términos de la serie) I

2n + 5

II

3n - 1

6 Se tiene un terreno irregular cuyos lados miden 12m, 28m, 36m y 48m. Si se cobraron $ 31,000 por construir una barda alrededor de todo el terreno, ¿cuál fue el costo por metro de dicha barda?

Evaluación • Bloque 1

Evaluación

•

7 Construye un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 3 cm y 2 cm. a) ¿Se puede construir el triángulo? Justifica tu respuesta. 8 Con tus escuadras y tu compás construye los triángulos siguientes: a) Un triángulo cuyos lados midan, 3cm, 4 cm y 5 cm. b) ¿Se puede construir el triángulo? Justifica tu respuesta. 9 Relaciona ambas columnas: (a) Altura de un triángulo

( ) Es la línea que divide al ángulo en dos partes iguales

(b) Incentro ( ) Es la línea perpendicular a la recta que pasa por su punto medio

(c) Mediana de un triángulo (d) Ortocentro

( ) Es el punto en el que se intersectan las alturas de un triángulo

(e) Baricentro

( ) Es la recta que se traza desde el punto medio de un lado del triángulo hasta el vértice opuesto

(f) Mediatriz de una recta (g) Bisectriz de un ángulo

( ) Es el punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo

(h) Circuncentro

( ) Es el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. ( ) Línea que va perpendicularmente del punto más alto de un triángulo a la base, o la extensión de la base ( ) Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo 10 La abuelita de María compró dulces en el mercado. La bolsa tiene 180 dulces que quiere repartir proporcionalmente entre sus tres nietas de acuerdo a la edad de cada una. Si María tiene 9 años y sus primas Ana y Luisa tienen 6 y 9 años respectivamente, ¿cuántos dulces le tocarán a cada una? María

dulces.

Ana

dulces.

Luisa

dulces.

11 Ahora formen 9 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo de los 8 apartados de este bloque. Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

12 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de solución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase. Evaluación • Bloque 1

Libro Secundaria 1 2013 Bloque 1

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