Libro Problemas 06-07 de Dinamica

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Eskola Bilbao

CONTROL E INSTRUMENTACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS Problemas de la asignatura PT

F FT

FY

PC

TT LT

R

LC

Q/F TC

Q Face∆T

QC

FT

FC

ce

TC

FC

D

FT

TT

V

LT

CONTROL ANTICIPATIVO

TDT LC

B

Profesores:

d (t) Variables de 1 perturbación d2(t)

Variable de Control, m(t)

Variable controlada y(t)

PROCESO

Marga Marcos Muñoz Itziar Cabanes Axpe Curso 2006-07

Prólogo

El principal objetivo de esta documentación es facilitar las tareas de estudio y aprendizaje a los alumnos matriculados en la asignatura de Control e Instrumentación de Procesos Químicos de la titulación de Ingeniería Química.

En este documento se recogen los enunciados de una colección de problemas que ayudarán al alumno a asimilar y poner en práctica los conceptos y metodologías recibidas durante las clases teóricas. Así mismo, se incluyen algunos de los enunciados de exámenes de convocatorias anteriores, por lo que esta colección es actualizada anualmente.

El contenido se estructura en los siguientes temas: Tema I: Identificación de variables significativas, Diagrama de Bloques y Notación ISA En este tema se aborda el estudio del proceso a controlar para identificar cuáles son las variables significativas desde el punto de vista de control: controladas, manipuladas y entradas de perturbación. A partir de ellas, es posible obtener el diagrama de bloques del proceso en el que se reflejan los modelos que es necesario encontrar en la siguiente fase del diseño. Tema III: Modelado de Conocimiento, TemaVIII: Modelo Empírico El objetivo de estos problemas es afianzar al alumno en la obtención de modelos de proceso tanto a partir de aplicación de principios generales como experimentales. El objetivo es encontrar modelos lineales o linealizados alrededor de un punto nominal de operación. Tema IV: Herramienta matemática: Transformada de Laplace, Tema V: Descripción externa de un sistema dinámico A partir del modelo matemático y utilizando la herramienta de la Transformada de Laplace, se obtiene las funciones de transferencia de interés Los temas VI y VII se dedican a analizar el proceso a través de su modelo, tanto en el dominio temporal como frecuencial. Por último, los temas IX y X se dedican al estudio de la estabilidad del sistema realimentado y al diseño del sistema de control.

Marga Marcos e Itziar Cabanes

INTRODUCCIÓN: PROBLEMAS DE IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES SIGNIFICATIVAS, DIAGRAMAS DE BLOQUES Y NOTACIÓN ISA

Problemas Tema I. Identificación de variables significativas, Diagrama de bloques y Notación ISA

1) Examen Septiembre 03-04. Sea el tanque con agitador representado en la figura:

FT

TT

Fluido frío

LC

LT

hr vapor

Fluido caliente

PT TT

Temperatura a controlar

El objetivo es controlar la temperatura del fluido manipulando el caudal de vapor al serpentín. La presión de suministro del vapor puede variar debido a cambios en la demanda de otros consumidores de vapor. Se dispone de un sensor para medir la presión de vapor a la entrada del serpentín, así como los medidores del caudal de entrada de fluido frío y de su temperatura. El nivel de líquido en el tanque está regulado por un controlador de nivel de función de transferencia Gc(s). Mediante una serie de experiencias llevadas a cabo en el entorno de las condiciones nominales de operación, se han obtenido las funciones de transferencia que se presentan a continuación (constantes de tiempo y tiempos muertos en segundos). Temperatura del tanque (ºC) / Presión del vapor (atm): G1 ( s ) = Temperatura del tanque (ºC) / Caudal fluido frío (l/s): G 2 ( s ) =

9 e −20 s 1 + 40 s

20 e −3s 1 + 30s

Temperatura del tanque (ºC) /Temperatura fluido frío (ºC): G3 ( s ) =

e −20 s 1 + 60s

Datos relativos a la instrumentación: válvula isoporcentual cerrada a fallo (FC) de función de transferencia: 0,1e − s atm Gv ( s) = 1 + 3s mA rango del transmisor de temperatura: 60-100 ºC • • •

Identificar las variables significativas Dibujar el diagrama de bloques en bucle abierto Dibujar el bucle de control de temperatura en notación ISA simplificada

Control e Instrumentación de Procesos Químicos. Curso 2006-07

2


2) Sea el proceso de la figura, en el que se introduce un caudal de líquido q a una temperatura Ti en un tanque perfectamente agitado. Dicho líquido se mezcla con otro cuyo caudal es manipulable mediante una válvula automática que recibe una señal u. Este líquido entra a una temperatura Tu sensiblemente mas elevada y se emplea para calentar la mezcla. La mezcla de líquido sale del tanque por rebose a una temperatura T. La temperatura Ti sufre variaciones impuestas aguas arriba. Sin embargo, el caudal q y la temperatura Tu se mantienen sensiblemente constantes. Tu≅ cte u

T

q, Ti

Se pide: a) Identificar las variables significativas (manipuladas, controladas y de perturbación) b) Dibujar el diagrama de bloques en bucle abierto c) Dibujar el plano de control en notación ISA simplificada 3) Para regular la presión de un sistema de almacenamiento de un cierto gas se manipula la línea de salida, como refleja la Figura 1. gas

presión

El punto de operación del sistema corresponde a una presión de 3 bar en el depósito de almacenamiento, con una señal a la válvula del 30 %. La Figura 2 representa la desviación respecto al punto de operación que presenta la respuesta del sistema en bucle abierto, ante un cambio en la señal a la válvula del 30% al 35%, donde el tiempo aparece en segundos y la presión en bar. Además, la presión en el interior del tanque es muy sensible a cambios en la temperatura del producto de entrada. La medida de la presión se obtiene mediante un sensor-transmisor calibrado en el rango 1-5 bar. Nota: Toda la instrumentación es electrónica en el rango 4-20 mA.


3


• • •

Identificar las variables de proceso significativas Dibujar el diagrama de bloques del sistema en bucle abierto Dibujar el plano de control en notación ISA

•

Hallar la ganancia estática del proceso Kp en K p

% alcance sensor P % señal válvula

4) Examen Febrero 2005. Sea un proceso al que entra una corriente manipulable A y otra no manipulable B. La corriente A se regula por medio de un sistema de control de caudal tal como se aprecia en la Figura 1. Suponiendo el sistema trabajando en el punto de operación, se incrementa en 2 l/min la consigna al regulador de caudal de A, FAref, y como consecuencia la densidad del producto de salida varía según la gráfica representada en la Figura 2. La densidad se mide con un transmisor calibrado en el rango 0.5 – 3 Kg/l para dar una señal de 4 – 20 mA y el transmisor de caudal de A está calibrado en el rango 0-20 l/min.

FAref FT

A

FC

Proceso

ρ

B figura 1


4


figura 2 •

• • •

Proponer una sistema de control realimentado basado en modificar la referencia de caudal de la corriente A y dibuja el plano de control en notación ISA simplificada Identificar las variables de proceso significativas Dibujar el diagrama de bloques del sistema en bucle abierto Hallar la ganancia estática del proceso Kp en K p

% alcance sensor D % alcancesensor F

5) Para estudiar las ventajas de la utilización de un control en cascada se analiza el sistema compuesto por una caldera para producir agua caliente que utiliza gas como combustible. La temperatura de salida del agua se controla manipulando el caudal de combustible que se alimenta al quemador (o la presión del mismo justo antes del quemador), lo que se consigue abriendo o cerrando de forma apropiada la válvula V1, tal y como se muestra en la figura.

T

agua

gas P1

V1

P2

Caldera de agua caliente a gas

La presión del suministro del combustible puede variar por varias razones, como por ejemplo, cambios en la demanda de gas de otros consumidores que se alimentan del mismo colector. Esta variación de la presión hace que cambie el caudal de gas sin que lo haya hecho la posición de la válvula. Es decir, para una determinada posición de la válvula V1, una variación en la presión de suministro del combustible (antes de la válvula) produce un aporte distinto de


5


combustible al quemador y, al cabo del tiempo, una variación en la temperatura del agua de salida. La función de transferencia entre la señal de control a la válvula V1 y la presión P2 es la correspondiente a un sistema de primer orden con una constante de tiempo de 2 segundos, una ganancia estática de 0,5 y un tiempo muerto de 1 segundo. La función de transferencia de la caldera (desde P2 a T) puede ser aproximada por la de un sistema de primer orden con un tiempo muerto de 10 segundos, una constante de tiempo de 15 segundos y una ganancia estática unidad. Se pide: a) Identificar las variables significativas b) Dibujar el diagrama de bloques del sistema en bucle abierto, siendo las entradas la entrada de control a la válvula y la perturbación D a la salida de la válvula. c) Dibujar el plano de control en notación ISA simplificada correspondiente a l bucle simple de regulación de temperatura

6) Examen Junio 2005. La figura muestra como se controla la conversión en un reactor actuando sobre el caudal de fluido caliente que precalienta la alimentación:

CA

TT

AC

F E,CAe,Te

CA r

T1

La temperatura con la que entra la alimentación en el reactor tiene un efecto considerable sobre la conversión. Se sabe que la línea de suministro de fluido calefactor sufre perturbaciones que producen bruscas variaciones en el caudal de suministro (Fc). Así mismo, la temperatura y el caudal de alimentación pueden variar respecto al punto de operación. a) Identificar las variables significativas y dibujar el diagrama de bloques en bucle abierto. b) Dibujar el plano de control en notación ISA simplificada del bucle de realimentación simple.


6


7) Examen Febrero 2006. Sea el proceso de la figura que se utiliza para disolver un cierto caudal volumétrico F (litros/minuto) de una corriente de entrada, cuya densidad se puede suponer constante y de valor ρi=2 Kg/litro, hasta una densidad ρ. Para ello, se utiliza un caudal volumétrico de agua q. El caudal F puede experimentar variaciones impuestas por otro proceso. El producto sale del depósito, que tiene forma cónica y un volumen V=50 litros, por rebose. El caudal q puede manipularse por medio de una válvula de regulación automática a la que llega una señal estándar eléctrica en el rango 4-20 mA.

ρ

u F, ρi q

Se pide: •

Identifique las variables significativas, dibujando el diagrama de bloques del sistema bucle abierto.

•

Dibujar el plano de control en notación ISA simplificada del bucle de realimentación simple.

8) Examen Septiembre 2006. Sea un proceso como el representado en la figura 1. Representa un proceso de mezclado de dos productos líquidos A y B cuyos caudales son manipulables mediante dos sistemas de dosificación distintos (dosificador A y dosificador B). La mezcla sale por rebose.

UA Señal a dosificador A DOSIFICADOR A DOSIFICADOR B

FA FB (l/min)

MEZCLA

ρ (gr/cm3)

UB Señal a dosificador B Se pide: a)

Identifique las variables significativas del proceso y calcule las funciones de transferencia correspondientes, dibujando el diagrama de bloques del sistema.

b)

Dibuje el sistema de control más apropiado en notación ISA simplificada, teniendo en cuenta que sólo se dispone de los sensores y controladores comentados.


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PROBLEMAS DE MODELADO DE CONOCIMENTO

Control e Instrumentación de Procesos Químicos

Problemas Tema III. Modelado de Conocimiento

1) Sea el sistema de la figura, consistente en dos tanques de acumulación de líquido. El primero descarga por gravedad sobre el segundo, situado a un nivel inferior. Supóngase que los caudales de descarga de ambos tanques son proporcionales a los niveles de líquido respectivos. Se pide: Fe

h1 A1

F1

h2 A2

F2

a)

obtener el modelo matemático que representa el comportamiento dinámico del proceso

b)

obtener la respuesta de h2 ante un cambio escalón en el caudal de entrada Fe

2) Sea el sistema de la figura, constituido por dos tanques conectados en serie para acumular masa. En este caso las dos capacidades interaccionan. Hallar para este caso las ganancias y las constantes de tiempo y comparar los resultados con el ejercicio anterior. Fe

h1 A1

F1 =K1( h1- h2)

A2

Control e Instrumentación de Procesos Químicos. Curso 2006-07.

F2 =K2 K2

9


3) Sea el sistema de la figura que consiste en un proceso continuo de mezclado.

Hallar un modelo linealizado alrededor de un punto de operación conocido que relaciones el nivel en los 4 tanques con las variables de entrada conocidas, Fent y Fp. Supóngase que en el punto de equilibrio la relación entre el caudal de descarga en los tanques y el nivel en los mismos es F = k h . Los tanques son idénticos, de área A y resistencia al flujo K. 4) Encontrar la aproximación lineal de las siguientes funciones en términos de las variables de desviación: a) f ( x, y ) = y 2 x + 2 x + ln y

3 x + 2 sen xy y

b)

f ( x, y ) =

c)

f ( x, y ) = y x

5) Sea el sistema de la figura. Hallar el modelo dinámico linealizado para este sistema alrededor del punto de operación ( Fe , F , h ) . Nota: Considerar la relación entre el caudal y la altura no lineal (régimen turbulento) F = B h . El otro término no lineal lo introduce la geometría cónica V = K ⋅ h 3

Fe

h F


10


6) Para el sistema de la figura, hallar un modelo lineal en variables de desviación que represente el comportamiento de la concentración de la corriente de salida, C1 ante cambios en la concentración de la corriente de entrada, Ce. (suponer que en el punto de operación Fe = Fe : c e = ce ).

Fe, ce F

V1, c1 7) Sea un sistema formado por dos tanques idénticos conectados en serie, tal y como muestra la figura. Fe, ce F1, c1

F2, c2 ETAPA 1

ETAPA 2

Hallar un modelo lineal en variables de desviación que represente el comportamiento de la concentración de la corriente a la salida de cada tanque, C1 y C2, ante cambios en la concentración de la corriente de entrada, Ce (suponer que en el punto de operación Fe = Fe : c e = ce ). 8) Para regular la presión de un sistema de almacenamiento de un cierto gas se manipula la línea de salida, tal y como ilustra refleja la Figura 1. gas

presión

El punto de operación del sistema corresponde a una presión de 3 bar en el depósito de almacenamiento, cuando la señal a la válvula es del 30 %. La presión en el interior del tanque es muy sensible a cambios en la temperatura del producto de entrada. Se sabe que la relación entre la temperatura (en ºC) del gas que llega al dispositivo de almacenamiento y la presión en bar en el mismo, viene dada por:

1800

dp = (−3 p 2 + 30)T (t − 0.4) − 30 dt

Hallar un modelo linealizado que relacione la presión con la temperatura alrededor del punto de operación


11


9) Examen Septiembre 2005. El sistema de la Figura representa un intercambiador de calor. Este contiene un sistema de calefacción interno no manipulable que calienta un caudal de agua q desde una temperatura Ti a una temperatura T. U q, Ti

cambiador

T

Figura 3

La relación de la temperatura de salida T (en ºC) con la señal de entrada a la válvula U (en % de apertura) y con la temperatura del líquido de entrada Ti (en ºC) viene dada por la siguiente expresión : 3

dT = −6T + 8,8U 2 + 2Ti dt

( tiempo en minutos)

En el punto nominal de operación, la temperatura de entrada es de 10 ºC y la temperatura de salida es de 40 ºC. Se pide: Obtener, para el punto de operación dado, un modelo lineal que relacione la temperatura de salida con la apertura de válvula y con la temperatura de la corriente de entrada. 10) La medida de la fracción molar de etanol de una columna de destilación binaria

etanol-agua se obtiene mediante un sensor-transmisor que responde a la FM m (t ) = 3 FM (t ) . Hallar un modelo linealizado siguiente ecuación: alrededor de un punto de operación conocido ( F M , F M m ) para el sensortransmisor. 11) Examen Enero 2005. Se conoce la relación matemática que existe entre la

salida de un proceso dinámico Y(s) y su entrada, D(S), en las proximidades del punto de operación, siendo esta relación: Asimismo, se conoce el valor de D en el punto de operación unidades. Halle la función de transferencia entre la salida y la entrada, válida en las proximidades del punto de operación. 12) Examen Junio 2005. Sea un horno de calentamiento de un material que entra

a temperatura Te y sale a temperatura T. Para que el material alcance la temperatura final deseada se manipula el caudal F de fluido calefactor. El sistema está diseñado para trabajar en un punto de operación en el que el material entra a 10ºC y sale a 40ºC. Ahora bien, se sabe que la temperatura del material a la entrada puede variar de forma significativa. Se conoce la relación matemática que existe entre la temperatura de entrada del material Te (ºC), la temperatura de salida del material T (ºC,) y el caudal de combustible F (kg/min):

(5 + 3F )

dT + 2T 2 = 3FT + Te dt

Obtenga un modelo linealizado del proceso para el punto de operación dado.


12


13) Examen Febrero 2006. Sea el proceso de la figura que se utiliza para disolver

un cierto caudal volumétrico F (litros/minuto) de una corriente de entrada, cuya densidad se puede suponer constante y de valor i=2 Kg/litro, hasta una densidad . Para ello, se utiliza un caudal volumétrico de agua q. El caudal F puede experimentar variaciones impuestas por otro proceso. El producto sale del depósito, que tiene forma cónica y un volumen V=50 litros, por rebose. El caudal q puede manipularse por medio de una válvula de regulación automática a la que llega una señal estándar eléctrica en el rango 4-20 mA.

ρ

u F, ρi q

En el punto de operación la señal a la válvula es de 10 mA, la densidad de la corriente de salida ρ = 1,4 Kg / l y el caudal de agua q = 6 l / m . Se pide: •

Obtenga un modelo matemático alrededor del punto de operación indicado

•

Si se incrementara al doble el volumen del depósito, razone la diferencia esperable en la evolución de la densidad a un cambio escalón en la señal de apertura de válvula.

14) Examen Septiembre 2006. Sea un proceso como el representado en la figura 1. Representa un proceso de mezclado de dos productos líquidos A y B cuyos caudales son manipulables mediante dos sistemas de dosificación distintos (dosificador A y dosificador B). La mezcla sale por rebose. UA Señal a dosificador A FA

DOSIFICADOR A

FB (l/min)

DOSIFICADOR B

MEZCLA

ρ (gr/cm3)

UB Señal a dosificador B

Se conoce la relación existente entre la densidad de la mezcla (gr/cm3) y los caudales de los productos, FA y FB. 15

dρ = 0,1F A + 0,4 FB − ( F A + FB ) ρ dt

En el punto de operación, las señales a los dosificadores son del 60% y del 50%, respectivamente, siendo los caudales, = 10 l/min y = 5 l/min. Calcule las funciones de transferencia correspondientes al proceso.


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PROBLEMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE


Problemas Tema IV. Herramienta Matemática: la Transformada de Laplace

1) Hallar la expresión temporal para la variable x si su transformada de Laplace toma las siguientes expresiones:

X ( s) =

1 5( s + 2) 2 ; X (s) = 2 ; X ( s) = 2 s ( s + 1)( s + 3) s ( s + 2 s + 2) s( s + ω 2 ) 2

2) Resolver, mediante la aplicación de la Transformada de Laplace, la siguiente ecuación diferencial: &x&(t ) + 3 x& (t ) + 6 x = 6 , siendo las condiciones iniciales:

x(0) = 0; x& (0) = 3 .

3) Encontrar la expresión de la transformada de Laplace de las siguientes funciones temporales:

f(t)

f(t) 3

5

1

t 6

2

t 6

2

4) Aplicando el teorema de diferenciación compleja y el teorema de traslación compleja de la transformada de Laplace, obtener F(s) siendo la función temporal, f(t) = te − at 5) Encontrar la expresión de la transformada de Laplace Y(s) de la siguiente función temporal: a)

c(t ) = u (t )e

−

t

τ

; u(t) se utiliza únicamente como notación (indica que

la función c(t) es 0 para t ≤ 0) b)

y(t) = u(t − 3)e −(t − 3) cos w(t − 3) , siendo:

⎧0 u(t − 3) = ⎨ ⎩1

t<3 t≥3

de

nuevo, u(t-3) indica que la función y(t) es 0 para t ≤ 0

6) Considerando la siguiente ecuación diferencial: dc(t) + 2c(t) = f(t) dt

siendo :

c(0) = 0 , encontrar la evolución temporal del

sistema, c(t), para:

a) b)

f(t) = u(t − 1) f(t) = u(t − 1) + u(t − 2) + u(t − 3) + L


15


7) Calcular la evolución de la salida en un sistema representado por la ecuación diferencial:

dy (t ) + 3 y (t ) = 2u (t ) a la entrada dada por la siguiente gráfica: dt

u(t)

2

0

1

2

3

4

8) Sea un tanque con descarga por rebosadero al que entra una corriente volumétrica Fe con una concentración de componente A, c e : a) Se desea conocer la respuesta dinámica de la concentración de componente A a la salida del tanque ( ∆c A ) a un cambio en la b) c)

concentración del componente A a la entrada ( ∆ce ). Así mismo, interesa conocer cómo dependen la forma y velocidad de la respuesta con el caudal de entrada ( Fe ) y con el volumen (V). Por último, supongamos que la corriente de salida no es útil hasta que el incremento en la concentración de la corriente de salida alcanza un 90% del cambio en la concentración de entrada. Por tanto, es necesario calcular el tiempo que transcurre desde que se produce un cambio a la entrada hasta que el sistema alcanza dicha composición.

Fe, cAe F1

V, cA Hipótesis: mezcla perfecta (cA uniforme en el tanque), densidad de A y solvente idénticas, caudal de entrada constante. m Datos: Fe = 0.085 min ; V = 2,1 m 3 ; c Ae = 0,925 3

mol mol ; ∆c Ae = 0,925 3 3 m m

Nota: Utilícese el modelo lineal en variables de desviación obtenido en el problema 6 del tema Modelado de Conocimiento. 9) Sea ahora un sistema formado por dos tanques, tal y como se indica en la figura de la izquierda. La corriente de entrada ce varía en forma de pulso en los tiempos indicados en la figura de la derecha.


16


Fe, ce

c e(t)( mol/m 3) F1, c1

6 F2, c2 ETAPA 1

1

1 t ( min)

15

25

ETAPA 2

Suponer que los datos de proceso son los siguientes: Datos de proceso a condiciones de operación: Volumen de la ETAPA 1: 4 m3 Volumen de la ETAPA 2: 3 m3 Flujo nominal: 2 m3/min Concentración nominal de reactante a la entrada: 1 mol / m3 Se desea conocer la respuesta de las concentraciones de reactante a la salida de las dos etapas (c1(t) y c2(t)) a dicha entrada. Nota: Utilícese el modelo linealizado en variables de desviación obtenido en el problema 7 del tema Modelado de Conocimiento.


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PROBLEMAS DE DESCRIPCIÓN EXTERNA DE UN SISTEMA DINÁMICO


Problemas Tema V. Descripción Externa de un Sistema Dinámico

1) Sea el sistema de la figura, consistente en dos tanques de acumulación de líquido. El primero descarga por gravedad sobre el segundo, situado a un nivel inferior. Supóngase que los caudales de descarga de ambos tanques son proporcionales a los niveles de líquido respectivos. Se pide: Fe

h1 A1

F1

h2 A2

a)

F2

Hallar las funciones de transferencia, G1(s) y G2(s), que relacionan los niveles en los dos tanques, H1(s) y H2(s), con el caudal de entrada, Fe(s).

Nota: partir del modelo lineal aproximado en variables de desviación obtenido en el tema de modelado de conocimiento (problema 1).

2) Sea el sistema de la figura, constituido por dos tanques conectados en serie para acumular masa. En este caso las dos capacidades interaccionan. Hallar para este caso las funciones de transferencia para los niveles en los tanques y compararlas con las del ejercicio anterior. Fe

h1 A1

F1 =K1( h1- h2)

A2

F2 =K2 K2

Nota: partir del modelo en variables de desviación obtenido en el tema de modelado de conocimiento (problema 2).


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3) Sea el sistema de la figura que consiste en un proceso continuo de mezclado.

Hallar las funciones de transferencia que relacionan el caudal a la salida del tanque 4 con los caudales de entrada Fent y Fp. Nota: partir del modelo lineal aproximado en variables de desviación obtenido en el tema de modelado de conocimiento (problema 3).

4) Para el sistema de la figura, hallar la función de transferencia que relaciona los cambios en la concentración de la corriente de salida, C1, con los cambios en la concentración de la corriente de entrada, Ce. ¿Qué relación existe entre los parámetros de la función de transferencia y el comportamiento dinámico de esta magnitud de proceso cuando la concentración de entrada sufre un incremento ∆ce . Si se conocen los siguientes valores:

mol mol ∆c Ae = 0,925 3 3 c Ae = 0,925 m3 3 Fe = 0.085 min V = 2,1 m m m hallar los valores de los coeficientes de la función de transferencia para dicho punto de operación y dibujar de forma aproximada la forma de la respuesta c1(t). Nota: partir del modelo lineal aproximado en variables de desviación obtenido en el tema de modelado de conocimiento (problema 6).

Fe, ce F

V1, c1


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5) Sea un sistema formado por dos tanques idénticos conectados en serie, tal y como muestra la figura. Fe, ce F1, c1

F2, c2 ETAPA 1

ETAPA 2

Encontrar las funciones de transferencia que relacionan el cambio en las concentraciones a la salida del tanque 1, C1, y del tanque 2, C2, y el cambio en el caudal de entrada, Fe. Hallar de forma aproximada la respuesta de la concentración de salida del tanque 1, C1, a un cambio escalón de amplitud 2 mol/ m3 en la concentración de entrada. Hallar así mismo, la respuesta para la concentración de salida del tanque 2. Datos: Volumen de la ETAPA 1: 4 m3, Volumen de la ETAPA 2: 3 m3, Flujo nominal: 2 m3/min, Concentración nominal de reactante a la entrada: 1 mol / m3

6) Para regular la presión de un sistema de almacenamiento de un cierto gas se manipula la línea de salida, tal y como ilustra refleja la Figura 1. gas

presión

El punto de operación del sistema corresponde a una presión de 3 bar en el depósito de almacenamiento, cuando la señal a la válvula es del 30 %. La presión en el interior del tanque es muy sensible a cambios en la temperatura del producto de entrada. Se sabe que la relación entre la temperatura (en ºC) del gas que llega al dispositivo de almacenamiento y la presión en bar en el mismo, viene dada por:

1800

dp = (−3 p 2 + 30)T (t − 0.4) − 30 dt

Hallar la función de transferencia que relaciona el cambio en la presión en el tanque y el cambio en la temperatura del gas que llega al dispositivo en el entorno del punto de operación.


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7) El sistema de la Figura representa un intercambiador de calor. Este contiene un sistema de calefacción interno no manipulable que calienta un caudal de agua q desde una temperatura Ti a una temperatura T. U q, Ti

T

cambiador

Figura 3

La relación de la temperatura de salida T (en ºC) con la señal de entrada a la válvula U (en % de apertura) y con la temperatura del líquido de entrada Ti (en ºC) viene dada por la siguiente expresión : 3

dT = −6T + 8,8U 2 + 2Ti dt

( tiempo en minutos)

En el punto nominal de operación, la temperatura de entrada es de 10 ºC y la temperatura de salida es de 40 ºC. Se pide: Obtener, para el punto de operación dado, las funciones de transferencia que relacionan el cambio en la temperatura de salida y el cambio en el caudal y en la temperatura de entrada, respectivamente. 8) Encontrar la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura: F

D

A

B

-+

+

C + +

--

E

9) Encontrar la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura:

G2 R(s) +-

GC

GV

G1

++

Y(s)

H


22


10) Encontrar la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura: D(s)

G3 R(s) +-

GC

+

G1

-

++

G2

Y(s)

G4 H

11) Encontrar la función de transferencia del diagrama de bloques de la figura:

H2(s) R(s)

Y(s) +-

+-

+-

G1(s)

G3(s)

G2(s)

H1(s)

12) Simplificar el diagrama de bloques de la figura y encontrar la función de transferencia entre R(s) e Y(s):

R(s) G1(s)

Y(s)

G2(s)

+-

+-

13) Simplificar el diagrama de bloques de la figura y encontrar la función de transferencia entre R(s) e Y(s):

R(s)

Y(s)

G1(s) + +

+-

G2(s) -+

G1(s) G2(s)


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PROBLEMAS DE ANÁLISIS TEMPORAL


Problemas Tema VI. Análisis Temporal

1) La figura 2 representa la respuesta del sistema de la figura 1 a entrada escalón unitario. Determinar los valores de K respuesta.

τ

y

a partir de la curva de

1.4

0,254

1.2

K s(τs +1)

R(s) + -

1

C(s)

0.8

0.6

0.4

Figura1

0.2

0

0

3

5

10

15

Figura2

2) Calcular analíticamente los valores significativos y dibujar la respuesta escalón unitario del sistema de la figura: S+1

+

10

C(s)

s2

-

3) Dibujar la respuesta escalón unitario de los siguientes sistemas: −s s+2 1,25 c) G3 ( s ) = 2 s + s + 2,5 a ) G1 ( s ) =

s−2 s+4 1 d ) G4 ( s ) = 2 s + 2s − 1 b ) G2 ( s ) =

4) Obtener el sistema de orden reducido, equivalente al dado en la figura, razonando la simplificación. ¿Qué diferencia cabría esperar entre la respuesta de ambos a entrada escalón unitario?. R(s)

0 ,05 s + 0,4

+

1

C(s)

s +3

-

1 s +2


25


5) El sistema de primer orden de la figura 6 a) tiene como respuesta a entrada escalón unitario la gráfica de la figura 6 b). Obtener a partir de dicha respuesta los parámetros del sistema. Se realimenta el sistema tal y como se indica en la figura 6 c). Calcular analíticamente los parámetros que definen la respuesta escalón unitario del sistema en bucle cerrado y dibujar la forma de respuesta.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

R(s)

Y(s)

k (τs + 1)

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Figura 6b

Figura 6a R(s) +

k (τs + 1)

K

-

Y(s)

Figura 6c

6) Dibujar la respuesta escalón unitario del sistema de la figura 7a) y 7b), calculando los valores más significativos de ambas. R(s)

R(s)

C(s)

5

6

C(s)

s2 + s + 8

s + 2 ,5

Figura 7 (b)

Figura 7 (a)

7) La gráfica de la figura representa la salida de un sistema en respuesta a rampa unitaria, u(t)=t. A partir de ella, determinar la función de transferencia del sistema, G(s), razonando la respuesta. 0.6 0.55 0.5 salida rampa unitaria

0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

0.9

1.8

2.7 tiempo (seg)

3.6


4.5

26


8) Obtener las funciones de transferencia de los sistemas cuya respuesta escalón unitario es la que aparece en la figura. 9 1 8

0.9 0.8

7

0.7

6

0.6

5

K

0.5 4 0.4 3

0.3

2

0.2 0.1 0

1 0

1

2

1,5

3

4

5

6

7

0

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T

0.6

2

0,581

1.8 0.5 1.6 0.4

1.4 1.2

0.3 1 0.2

0.8 0.6

0.1 0.4 0 0

0.2 0.5

1

1.5

2

1,5 13

2.5

3

3.5

4

4.5

5 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9) La respuesta de la figura corresponde a un sistema de segundo orden cuando se le excita con un escalón de amplitud 2. Encontrar la función de transferencia de dicho sistema. Respuesta escalón amplitud 2 0.6 0.5 0.4 0.3

area1=2.32 6

0.2

area2=0.32 6

0.1 0 -0.1 0

5

10

15

20

3.6sg


27


10) El balance de momento - fuerza en un manómetro de mercurio da lugar a la siguiente ecuación:

4

d 2x dt

2

+ 0,8

dx + x = p(t ) dt

donde x es el desplazamiento de la columna de mercurio respecto a su posición de equilibrio y p(t) es la presión variante en el tiempo que actúa sobre el manómetro. Se pide: a)

encontrar la función de transferencia, suponiendo que el sistema parte de su punto de equilibrio

b)

¿qué se puede decir de la respuesta temporal del sistema?. Y de su amortiguamiento?

c)

Calcular la respuesta del manómetro a un cambio en la presión, p (t ) = 2e −4t :

11) Sea un sistema dinámico cuyo comportamiento viene dado por la siguiente ecuación: d2y dt

2

+K

dy + 4y = x dt

a)

encontrar la función de transferencia y expresarla en la forma ganancia-ctes de tiempo

b)

Discutir de forma cualitativa cómo será la respuesta del sistema (independientemente de la entrada de excitación) en el rango − 10 ≤ K ≤ 10 . Especificar las regiones donde la respuesta convergerá y donde no.

12) El comportamiento dinámico de un proceso físico puede ser representado por la siguiente función de transferencia:

G (s) =

Y ( s) 18 = 2 X ( s ) s + 3s + 9

a)

después de un cambio escalón en x(t)=3 u(t), ¿cuál será el nuevo valor en estado estacionario de y?

b)

Por razones físicas, se requiere que y ≤ 10 . ¿Cuál es el mayor cambio escalón en x que el proceso puede tolerar sin exceder sus límites?

13) Se ha encontrado la siguiente expresión para la respuesta temporal de un sistema de segundo orden: 3 d2y KV 2 dy 2 = − W − y + Qx dt W dt 2 a)

¿cuál es el efecto en la constante de tiempo efectiva del sistema y en el coeficiente de amortiguamiento un valor doble de V si se mantiene W constante?

b)

¿y si W vale el doble y V se mantiene constante?


28


c)

Encontrar la función de transferencia G ( s) =

Y ( s) X ( s)

14) El comportamiento dinámico de un reactor tipo tanque agitado puede ser C ' ( s) 0,3 representado por la función de transferencia: G ( s ) = ' donde C'(s) = C F ( s) 4s + 1 representa el incremento en la concentración de salida (mol/l) y cF el de alimentación (mol/l). Obtener c'(t) para una perturbación en cF como la representada en la figura.

cF(mol/l)

12 10

4

15) La función de transferencia G ( s) =

Y ( s ) 10 = representa el modelo de un R ( s) s + 1

proceso descrito en función de variables de desviación. Calcular la respuesta y(t) a la entrada x(t ) = 1 + t siendo y (0) = 2, x(0) = 1 . 16) La concentración caústica de una corriente de proceso se mide mediante una célula de conductividad. Para determinar las características del proceso se provoca en t=6 un cambio escalón de valor 3 Kg/m3 en la concentración caústica que pasa a través de la célula, c(t). La concentración medida cm(t) es la de la figura. Determinar la función de transferencia entre cm y c. 4 3.5

cm(t)

3 2.5 2 1.5 1 0.5 5

6

7

8 t (min)

9


10

11

29


17) Sea la entrada de excitación de la figura, conocida como doble pulso. r(t)

h

t1

t

2t1

-h

a)

Calcular R(s)

k ¿Cuál será la respuesta de un sistema de primer orden τs + 1 k a esta entrada? y la de un proceso integrador G ( s ) = ? s G (s) =

b)

c)

De los resultados obtenidos, ¿qué propiedad especial se puede deducir que tiene esta señal si se utiliza como entrada a un proceso?

18) Sea un sistema de control como el de la figura:

E(s)

R(s) +

-

U(s)

K

1 s ( s + 1)( s 2 + s + 1)

Y(s)

¿Para qué rango de valores de K para los que el sistema es estable. Encontrar el valor de k para el que el sistema es críticamente estable y la frecuencia a la que oscilará. 19) Examen septiembre 2004. Sea un sistema realimentado cuya función de transferencia en bucle cerrado es G BC ( s ) = 220( s + 4) , ¿cuál es la respuesta s + 8s + 15 de dicho sistema a entrada impulso unitario? (No hace falta resolver analíticamente)

a) b) c) d)

y( t) = e −8t + 10 e − t y( t) = 1 − 20 e −8t + 5e −15 t

y( t) = 10 e −5 t + 10 e −3t y( t) = 1 − 10 e −3t − 10 e −5 t


30


20) Examen septiembre 2004. La siguiente ecuación diferencial representa el comportamiento dinámico de un sistema cuya entrada es u(t) y cuya salida es y(t). Calcule la expresión de la función de transferencia G(s). ¿Es estable (justifiquelo)?

5·

d 2 y (t ) dy (t ) du (t ) − 2· + 3· y (t ) − 5· + u (t ) = 0 2 dt dt dt

21) Examen septiembre 2004. Un termómetro que se encuentra a temperatura ambiente (20 ºC) y se introduce en un recipiente cuya temperatura interior es 10º C. Se recoge la siguiente tabla de medidas las de temperatura marcadas por el termómetro y tomadas cada segundo: Tiempo(seg) 0 1 2 3 4 5 6 ... 20 21 Tª (º C) 20 17.8 16.1 14.7 13.7 12.9 12.3 ... 10 10

Calcular la función de transferencia del termómetro. ¿Cuál sería la variable de entrada?, ¿cuál la de salida?.

22) Dados

los

sistemas

con

función

de

5 , s (1 + 10s ) (1 − s ) , G4 ( s) = (1 + 10s )(1 + s )

transferencia

G1 ( s ) =

0,5 , 10 , G3 ( s ) = (0,1 + s ) (1 + 10s )(1 + 0,1s )(1 + 0,01s ) 1 . Dibuje de forma aproximada (sin calcular la respuesta G5 ( s ) = 2 ( s + 1)( s + 0,1) temporal pero justificando la forma de las gráficas y las escalas) la respuesta a escalón unitario de cada uno de esos sistemas. (Por ejemplo para el sistema G2 (s) =

con función de transferencia G ( s ) =

7 , la gráfica pedida es la que se 1 + 5s

adjunta)

23) Examen septiembre 2004. Sea un sistema realimentado cuya función de 20( s + 4) transferencia en bucle cerrado es G BC ( s ) = 2 , ¿cuál es la respuesta s + 8s + 15 de dicho sistema a entrada impulso unitario? (No hace falta resolver analíticamente)

a) y(t) = e −8t + 10 e − t b) y(t) = 1 − 20 e −8t + 5e −15 t c) y(t) = 10 e −5 t + 10 e −3t d) y( t) = 1 − 10 e −3t − 10 e −5t


31


24) Examen Febrero 2005. Dibuje de forma aproximada (sin calcular la respuesta temporal pero justificando la forma de las gráficas y señalando los parámetros característicos de cada sistema) la respuesta a entrada escalón unitario para cada uno de los siguientes sistemas.

G1 ( s ) =

5 s (1+10 s )

G2 (s) =

G3 ( s) =

10 (1+10 s )(1+ 0.1s )(1+ 0.01s )

G4 ( s ) =

G5 ( s ) =

0 .5 ( 0.1+ s )

(1− s ) (1+10 s )(1+ s )

1 ( s 2 +1)( s + 0.1)


32

PROBLEMAS DE ANÁLISIS FRECUENCIAL


Problemas Tema VII. Análisis Frecuencial

1) Dibujar el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia: a) G1 ( s ) =

4 ( s + 2)

c) G3 ( s ) =

8 s (1,25s + 1)( s + 2)

b) G 2 ( s ) =

4 (1 + 0,4s )(1 + s )

2) Dibujar el Bode asintótico de las siguientes funciones de transferencia. Para el caso de polos complejos conjugados con amortiguamiento bajo, hallar la curva real calculando el valor de máxima amplitud.

G1 ( s ) =

5( s + 0,6) s (2,5s + 1)( s + 2)(0,25s + 1)

G3 ( s ) =

1,6 ( s + 0,4)( s + 0,8)( s + 1)

G2 (s) =

3,12s s ( s + 0,625s + 1,5625) 2

3) Obtener la respuesta frecuencial de los sistemas cuya función de transferencia son las siguientes:

G1 ( s ) =

5 ( s + 2)

G 4 ( s) =

3

s+2 s ( s + 3)

G 2 ( s) =

1 2

s ( s + 2)

G5 ( s) =

G3 ( s) =

2 2

s + 2s + 3

2 (0,1s + 1)( s + 1)(10 s + 1)

G 6 ( s) =

s ( s + 1)( s + 3)

4) Sea el sistema de control de realimentación unitaria cuya función de as + 1 transferencia en lazo abierto es: G(s ) = . Determinar el valor de a tal que s2 el Margen de Fase sea de 45º.

5) Suponiendo que la función de transferencia en bucle abierto de un sistema es: Ke −2 s . ¿ Cuál es el máximo valor de K para el cual el sistema en s bucle cerrado es estable? G (s )H (s ) =

6) El sistema de control de la Fig.1 incluye dos lazos. La curva de módulo de la Fig.2 corresponde a la función de transferencia de fase mínima del lazo interno, G1(s). Determinar, utilizando el criterio de Routh-Hurwitz, para qué rango de ganancia K el sistema es estable.


34


R (s)

+

+ -

Y (s )

K ( s + 0,1)

G1 ( s )

-

Fig.1 G1 dB -40dB/ dec

0,1

0 dB

0,5

1

ω

0

logω

-60dB/ dec

7) Sea el sistema realimentado de la figura. La curva de módulo de la figura es la del controlador , supuesto de fase mínima. Hallar el error en estado estacionario del sistema a entrada escalón. Dibujar el diagrama de polos y ceros del sistema en bucle cerrado y la respuesta a escalón de forma aproximada.

Pendiente=20 dB/década 20 dB 0 dB

ω ω=4

R(s)

+

Controlador

1 s + 0 .5 ⋅ s

Y(s)

2

Examen Junio 2002

8) La figura 1 corresponde al diagrama de Bode de un sistema de fase mínima, donde la curva de módulo corresponde a la asintótica.


35


Diagrama asintótico de Amplitud en dB 80 60 40 20 0 -20 -40 -60

-2

10 -90 -100 -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180

-2

10

-1

0

1

10 10 10 Diagrama de Fase en grados

-1

10

0

10

1

10

2

10

2

10

Se pide: a)

Y (s) . Comprobar que U (s) la función de transferencia obtenida corresponde a la curva de fase rad . de la figura calculando Arg(G(jω)) para ω → 0 ; ω → ∞ y ω = 7 s Determinar la función de transferencia G ( s) =

b)

Se realimenta el sistema con un controlador puramente proporcional. ¿Para qué rango de valores de la ganancia Kc el sistema es estable?

c)

Hallar analíticamente el MG y el MF del sistema (para el cálculo de se puede hacer uso de los diagramas de Bode de módulo y fase. No es necesario resolver la ecuación).

Examen Septiembre 2002

9) La figura corresponde a la curva de módulo de Bode asintótica de un sistema de fase mínima. Justificar a cuál de las funciones de transferencia siguientes corresponde.


36


20 db/década

- 20 db/década

- 40 db/década

- 20 db - 40 db Figura 1

0.1

G ( s) =

a)

c)

G ( s) =

0.5

10

s (2s + 1)

(10s + 1) (s 2

2

+ 14 s + 100

b)

)

s(2 s + 1)

G ( s) =

( s + 0.5)

(s + 0.1)(s + 10)2

d) Las respuestas a) y c) son ciertas

(10s + 1)2 (0.1s + 1)2

Examen Febrero 2004

10) Sea el sistema realimentado de la figura. La curva de módulo corresponde a la del bloque controlador (Gc(s)), supuesto de fase mínima. Se pide: a)

Hallar la función de transferencia a partir de la información del Bode de módulo asintótico Dibujar de forma aproximada la respuesta a escalón unitario del sistema realimentado, dando los valores significativos de la curva

b)

Bode Diagram

70

60

50

Magnitude (dB)

40

30

20

10

0 -3 10

10

-2

10

-1

Frequency (rad/sec)


10

0

10

1

37


11) Examen Febrero 2004. La figura representa el diagrama de Bode asintótico correspondiente a la función de transferencia en bucle abierto, GBA(s), de un sistema realimentado:

a)

b) c)

Estudiar la estabilidad de dicho sistema (obtener el valor del margen de ganancia, MG, y margen de fase, MF, así como las frecuencias a las que se miden). Indicar estos valores de forma gráfica sobre dicho diagrama. ¿Existe algún valor de K (ganancia añadida a GBA(s)) a partir de la cual el sistema se hace inestable? Si existe, ¿cuál es su valor? Identificar la función de transferencia de dicho diagrama de Bode, supuesto el sistema de fase mínima, razonando su obtención.

12) Examen Febrero 2005. Dado el diagrama de Bode en bucle abierto de un sistema realimentado con un controlador proporcional de ganancia Kc = 10


38


Realizar el estudio de estabilidad del sistema realimentado, indicando los valores significativos sobre la gráfica. ¿Es estable el sistema para ese valor de Kc? En caso de que no lo fuera, ¿sería posible estabilizarlo? ¿cómo? 13) Examen Septiembre 2005. Sean dos plantas de proceso, de funciones de transferencia, G1(s) y G2(s), cuyo diagrama de Bode es el representado en la figura.

R(s)

Gi(s)

Y(s)

i = 1, 2 Magnitudea (db)

5 0 -5

G1=G2

-10 -15 -20 -25 -30 -35 -2 10

-1

0

10

10

Fasea (º) 0 -50 -100

G1

-150 G2

-180 -200 -250 -300 -2 10

-1

0

10

10

(NOTA: No hace falta identificar las funciones de transferencia.)

a) Similitudes y diferencias entre ambos sistemas en lazo abierto (en cuanto a módulo y fase). b) Suponiendo ahora que el diagrama de Bode representa la función de transferencia en bucle abierto de dos sistemas realimentados, realizar el estudio de estabilidad de ambos sistemas, indicando sobre la gráfica los valores más representativos.

R(s)

+

Gi(s)

Y(s)

i=1,2 c) ¿Existe algún valor límite de la ganancia que se puede añadir a G2(s) a partir de la cual el sistema se hace inestable? Si existe, ¿cuál es su valor?


39

MODELOS EMPÍRICOS

Problemas Tema VIII. Modelos Empíricos

1) Examen Febrero 02-03. Hallar la función de transferencia de un sistema cuya respuesta a rampa unitaria es la de la figura: 0.7 0.65 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

2.38

10

15

20

2) Examen Septiembre 03-04. Un termómetro que se encuentra a temperatura ambiente (20 ºC) se introduce en un recipiente cuya temperatura interior es 10º C. Se recoge la siguiente tabla de medidas de temperatura marcadas por el termómetro y tomadas cada segundo: Tiempo(seg) 0 1 2 3 4 5 6 ... 20 21 Tª (º C) 20 17.8 16.1 14.7 13.7 12.9 12.3 ... 10 10

Calcular la función de transferencia del termómetro. ¿Cual sería la variable de entrada?, ¿cual la de salida?. 3) Examen Septiembre 04-05. En un sistema de calentamiento de un fluido, se conoce la variación de la temperatura (ºC) sobre el punto de operación a cambios en el caudal de combustible (% señal a la válvula), cuando la válvula se abre del 50% al 65%. Obtener un modelo aproximado de POMTM a partir de la gráfica. VARIACION DE TEMPERATURA ANTE UN INCREMENTO DE UN 15% EN LA APERTURA DE LA VALVULA DE COMBUSTIBLE 10 9.5 9 8.5 8 TE MP ER AT UR A (ºC )

7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

TIEMPO (segundos)


41


4) Examen Junio 04-05. Los valores indicados en la tabla corresponden a la evolución de un sistema, a entrada escalón unitario, tomados en intervalos de 1 segundo. El primer cero corresponde a t = 0. 0

1,473

0

1,484

0

1,490

0,087

0,416

0,759

1,020

1,197

1,312

1,494

1,496

1,500

1,500

1,500

1,500

1,384

1,429

1,457

Obtener un modelo aproximado de primer orden más tiempo muerto (POMTM).(Si los valores no coinciden exactamente, realizar una interpolación lineal). 5) Para regular la presión de un sistema de almacenamiento de un cierto gas se manipula la línea de salida, como refleja la Figura 1.

gas

presión

El punto de operación del sistema corresponde a una presión de 3 bar en el depósito de almacenamiento, con una señal a la válvula del 30 %. La Figura 2 representa la desviación respecto al punto de operación que presenta la respuesta del sistema en bucle abierto, ante un cambio en la señal a la válvula del 30% al 35%, donde el tiempo aparece en segundos y la presión en bar. La medida de la presión se obtiene mediante un sensor-transmisor calibrado en el rango 1-5 bar. Nota: Toda la instrumentación es electrónica en el rango 4-20 mA. Válvula abierta a fallo.

Identificar un modelo de primer orden más tiempo muerto (POMTM) que represente el comportamiento dinámico de la presión en el depósito de almacenamiento (medida en bar) respecto a variaciones en la apertura de la válvula.


42


6) Sea un proceso al que entra una corriente manipulable A y otra no manipulable B. La corriente A se regula por medio de un sistema de control de caudal tal como se aprecia en la Figura 1. Suponiendo el sistema trabajando en el punto de operación, se incrementa en 2 l/min la consigna al regulador de caudal de A, FAref, y como consecuencia la densidad del producto de salida varía según la gráfica representada en la Figura 2. La densidad se mide con un transmisor calibrado en el rango 0.5 – 3 Kg/l para dar una señal de 4 – 20 mA y el transmisor de caudal de A está calibrado en el rango 0-20 l/min.

FAref F

A

F

Proceso

ρ

B

Obtener un modelo matemático que relacione los cambios de consigna de caudal de producto A (en % del rango del sensor) con los cambios en la densidad del producto de salida (en % del rango del sensor). 7) Examen Septiembre 2006. Sea un proceso como el representado en la figura 1. Representa un proceso de mezclado de dos productos líquidos A y B cuyos caudales son manipulables mediante dos sistemas de dosificación distintos (dosificador A y dosificador B). La mezcla sale por rebose.


43


UA Señal a dosificador A FA

DOSIFICADOR A DOSIFICADOR B

ρ (gr/cm3)

MEZCLA

FB (l/min)

UB Señal a dosificador B En el punto de operación, las señales a los dosificadores son del 60% y del 50%, respectivamente, siendo los caudales, = 10 l/min y = 5 l/min. Encontrándose el sistema en el punto de operación, se han realizado dos experimentos: la figura 2 representa la evolución del caudal FA cuando se provoca un cambio de un 10% en la señal al dosificador A. La figura 3 ilustra la evolución del caudal FB cuando el cambio provocado en la señal al dosificador B es del 10%. 10.6 10.55 10.5 10.45

FA (l/min)

10.4 10.35 10.3 10.25 10.2 10.15 10.1 10.05 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110 t (min)

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Figura 2. Respuesta a un cambio del 10% en la señal al dosificador A 6 5.9 5.8 5.7

FB (l/min)

5.6 5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5

0

10

20

30

40

50 t (min)

60

70

80

90

100

Figura 3. Respuesta a un cambio del 10% en la señal al dosificador B

Se pide: a)

Obtenga la función de transferencia de ambos dosificadores


44

PROBLEMAS DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS REALIMENTADOS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL PIDs


Problemas Tema IX. Estabilidad de Sistemas Realimentados y Diseño de Sistemas de Control PID’s

1) Sea el sistema reactor agitado en el que se produce una reacción isotérmica. Se desea diseñar un bucle de control realimentado. El controlador actúa sobre la válvula que regula el caudal de agua que pasa por la camisa de refrigeración. Las condiciones nominales de operación son:

•

temperatura del reactor caudal de agua

•

Datos relativos a la instrumentación: •

m3 / h válvula isoporcentual de “aire para cerrar” de ganancia K v = 352 mA

•

rango del transmisor de temperatura: 80-110 ºC

En una prueba realizada en bucle abierto se observó que ante un incremento de 2,4 m3/h en el caudal de agua, la temperatura del tanque disminuyó 1,5 ºC una vez alcanzado el estacionario. En una prueba realizada en bucle cerrado con la ganancia de un controlador proporcional ajustada a 5, la temperatura osciló con amplitud constante y un periodo de 12 minutos. Se desea calcular: a) la ganancia estática del proceso b) el tipo de actuación del controlador (directa/inversa) c) sintonización del PID por el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado

2) Sea la ecuación característica de un sistema realimentado con control K proporcional: 1 + Gc ( s )G p ( s ) = s 3 + 3s 2 + 3s + 1 + c . Encontrar la ganancia 8 crítica (última), Ku que hace al sistema críticamente estable, así como el periodo de la oscilación. K c e −0, 2 s la función de transferencia en bucle abierto de un 1 + 2s sistema con realimentación unitaria. Calcular la ganancia última Ku y la frecuencia última ωu.

3) Sea Gc ( s )G p ( s) =

4) La función de transferencia de un secadero de bandas que se utiliza para eliminar la humedad de un sólido es: G p (s) =

K p e −tm s 1+τ ps

con K p = −0,5 %humedad / mA ; T p = 2,93 min ; t mp = 2,43 min

Si la condición de fallo de la válvula que regula el caudal de combustible es FC (“aire para abrir”) y el rango del sensor de humedad utilizado es del 1-6%: a)

Determinar el tipo de actuación del controlador


46


b)

Sintonizar un controlador PI y un PID por el método de Ziegler-Nichols en bucle abierto

5) Sea la función de transferencia de un proceso G p ( s ) = 2,5

1 + 2s

y la del sensor-

transmisor: GT ( s) = K T . El controlador que se utiliza en el bucle de 1+τT s realimentación es proporcional de ganancia Kc=2. Suponiendo que la función de transferencia del elemento final de control es Kv=1, se pide: a) obtener la función de transferencia en bucle cerrado respecto a la referencia. b) Analizar el efecto de KT sobre la respuesta en bucle cerrado a un cambio en el punto de consigna (calculando δ yωn para varios valores de KT manteniendo τT=1). c) Analizar el efecto de τT sobre la respuesta en bucle cerrado (calculando δ yωn para varios valores de τT manteniendo KT =1). d) Basándose en los resultados obtenidos, examinar el efecto que puede tener el transmisor sobre el comportamiento de un bucle de realimentación.

6) Sea un proceso cuya función de transferencia es la siguiente: y un controlador proporcional de ganancia Kp. Se pide: a) obtener ωc y Kc para tmp=0,5 min. b) Obtener el MF y el MG para tmp=0,5 min y Kp=0,5 Ku. 7) Repetir el problema 6 para el proceso cuya función de transferencia es la −t s 2 e mp siguiente: G p = (1 + s )(1 + 2 s)

0,8 e −4 s . (1 + 3s)(1 + 10s )(1 + 30s ) Gracias a un cambio en el diseño se logra reducir el tiempo muerto de 4 a 2 minutos. Se pide:

8) La función de transferencia de un proceso es: G p =

a) Obtener la ganancia de un controlador proporcional que permite tener un MG de 1,7 para valores del tiempo muerto de tmp=4 min y tmp=2 min. b) Sintonizar un controlador PI por el método de Ziegler-Nichols en bucle abierto y por el método de López y colaboradores. 9) Sea el siguiente diagrama de bloques correspondiente a un sistema realimentado con control proporcional. Se pide: a) Obtener la ganancia de un controlador proporcional que permite tener un MG de 1,7 para valores del tiempo muerto de tmp=4 min y tmp=2 min. Dibujar como debe ser la respuesta en bucle cerrado en ambos casos a un cambio escalón en el punto de consigna. b) Calcular el menor valor de Kc que asegura un error estacionario de 0,4 unidades cuando se produce un cambio escalón de amplitud –2 en la variable de perturbación d(t).


47


D(s) YSP(s)

E(s)

Km

+

U(s)

Kc

-

G1

+

+

Y(s)

G2

+

+

G3 Km donde: K m = 0,6 ; G1 ( s ) =

0,3 1 0,9 − s ; G2 ( s) = ; G3 ( s ) = e s +1 10s + 1 12 s + 1

10) El sistema de la figura representa de forma simplificada el control de temperatura de un proceso. Dado que la temperatura no se mide en el propio tanque de reacción sino en un punto corriente abajo de la trayectoria del fluido, el sistema cuenta con un tiempo de retardo de 0.12 segundos. Se pide determinar la máxima ganancia K, para que el sistema sea estable. Referencia ACTUADOR

Sensor deTemperatura -

Actuador calentador +

K -

Retardo

100 s + 10

e −0.1s

Sensor de Tenperatura -

50 s + 50

11) Sea un sistema de control como el de la figura.

R(s)

+-

K

1

Y(s)

s ( s + 1)( s 2 + s + 1)


48


Se pide: a) ¿Para qué valor de K el sistema es críticamente estable y cuál será la frecuencia de oscilación?. b) Diseñar un controlador PID por diferentes métodos.


49

PROBLEMAS DE ESTRUCTURAS AVANZADAS DE CONTROL


Problemas Tema X. Estructuras Avanzadas de Control

1) Para estudiar las ventajas de la utilización de un control en cascada se analiza el sistema compuesto por una caldera para producir agua caliente que utiliza gas como combustible. La temperatura de salida del agua se controla manipulando el caudal de combustible que se alimenta al quemador (o la presión del mismo justo antes del quemador), lo que se consigue abriendo o cerrando de forma apropiada la válvula V1, tal y como se muestra en la figura.

T

agua

gas P1

V1

P2

Caldera de agua caliente a gas

La presión del suministro del combustible puede variar por varias razones, como por ejemplo, cambios en la demanda de gas de otros consumidores que se alimentan del mismo colector. Esta variación de la presión hace que cambie el caudal de gas sin que lo haya hecho la posición de la válvula. Es decir, para una determinada posición de la válvula V1, una variación en la presión de suministro del combustible (antes de la válvula) produce un aporte distinto de combustible al quemador y, al cabo del tiempo, una variación en la temperatura del agua de salida. La función de transferencia entre la señal de control a la válvula V1 y la presión P2 es la correspondiente a un sistema de primer orden con una constante de tiempo de 2 segundos, una ganancia estática de 0,5 y un tiempo muerto de 1 segundo. La función de transferencia de la caldera (desde P2 a T) puede ser aproximada por la de un sistema de primer orden con un tiempo muerto de 10 segundos, una constante de tiempo de 15 segundos y una ganancia estática unidad. Se pide: a) Dibujar el diagrama de bloques del sistema en bucle abierto, siendo las entradas la entrada de control a la válvula y la perturbación D a la salida de la válvula. b) Hallar la expresión de las funciones de transferencia en bucle cerrado respecto a la entrada de referencia y respecto a la entrada de perturbación para el sistema realimentado simple con controlador Gc.

rad y, para Gc ( s ) = K c calcular la ganancia a partir s de la cual el sistema se hace inestable (Kcrítica).

c) Comprobar que ω f ≈ 0,15

d) Sintonizar un controlador PID para un bucle de realimentación simple aplicando el método de Ziegler-Nichols en bucle abierto, dibujando el diagrama de bloques con entrada de referencia y entrada de perturbación. e) Dibujar el diagrama de bloques de un control en cascada, sintonizando los parámetros de los controladores PI de los bucles primario y secundario por el


51


método de Ziegler-Nichols en BA (PI para el controlador secundario y PID para el primario). 2) Sea el siguiente diagrama de bloques: L2(s)

L1(s)

GL2

R(s) +

-

G c1

+

-

Gc2

Gv

+

+

G L2

Gp

Y(s) + +

Gm2

G m1

que representa el diagrama de bloques de un control en cascada. Para dicho diagrama de bloques considérese: 4 1 5 Gv = Gp = G L 2 = 1 G m1 = 0,05 G m 2 = 0,2 G L1 = donde las s +1 (2 s + 1)(4 s + 1) 3s + 1 constantes de tiempo se expresan en minutos y las ganancias en unidades consistentes. Determinar los límites de estabilidad en el esquema de realimentación simple (Gm2=0 y Gc2=1) y en cascada, utilizando controladores P (tomar Kc2=4 para el bucle secundario). Calcular así mismo el error en estado estacionario a escalón unitario en L2. ¿disminuye con el esquema en cascada? 3) Sea el siguiente sistema de control realimentado con algoritmo de control PI: D(s)

P(s)

Gd M(s)

R(s) +-

PI

Gv

G1

++

G2

++

Y(s)

2 1 1 1 , G1 ( s ) = , G2 (s) = , G d ( s) = s+2 s +1 5s + 1 1 + 12s a) Sintonizar el bucle simple de realimentación por el método de Ciancone, sabiendo que en un ensayo en bucle abierto siendo nulas las perturbaciones, se introdujo un escalón unitario en la entrada M(S) y se midieron experimentalmente los tiempos en los que la salida alcanzó el 28% y el 63% del valor final, resultando: t 28 = 2,83 min ; t 63 = 6 min . b) Supongamos que D(s) es una perturbación frecuente que afecta significativamente a la salida con una dinámica dada por G d (s ) . La perturbación P(s) no es importante. Bajo estas circunstancias discutir la estructura de control mas adecuada para este sistema y diseñar el/los controlador/es adecuados. c) Suponer ahora que ambas perturbaciones, P (s ) y D(s ) son importantes. ¿Cómo modificarías la estructura de control anterior para minimizar el efecto de ambas perturbaciones? Diseñar el/los controlador/es adecuados. Sean: Gv ( s ) =


52


4) Sea el intercambiador de la figura. El objetivo que se persigue es calentar una corriente de proceso (a temperatura To) mediante vapor que condensa en el lado de la carcasa del equipo. La temperatura de salida, T, se controla actuando sobre la válvula que regula el caudal de vapor al intercambiador. La temperatura de la corriente de entrada puede variar, por lo que constituye la entrada de perturbación más importante. Supondremos que el resto de entradas se mantiene constante. vapor: F v control: m

TC 4-20 m A

m edida: T m 4-20 m A

TT Tem peratura de entrada: T o Tem peratura de salida: T

condensado

Se conocen las funciones de transferencia de los componentes individuales: Válvula de regulación:

F (s) 0,09 X (s) = (cm / mA) ; v = 51 ( Kg / min cm) M ( s ) 1 + 0,083s X ( s) Intercambiador: Función de transferencia respecto a la entrada de control (caudal de vapor):

T ( s) 2,45 = (º C min / Kg ) Fv ( s) (1 + 0,017 s )(1 + 0,432s ) Función de transferencia respecto a la perturbación (temperatura de la corriente de entrada):

T ( s) 0,2 (º C / º C ) = To ( s ) (1 + 0,8s )(1 + 0,4s ) Transmisor de temperatura:

Tm ( s ) 0,29 (mA / º C ) = T ( s ) 1 + 0,024s Se pide :


53


a) Obtener las funciones de transferencia del proceso, G P ( s ) =

G D ( s) =

Tm ( s ) y M ( s)

Tm ( s ) T O ( s)

b) Dibujar el diagrama de bloques completo con un bucle simple de realimentación. c) Supongamos que el control es puramente proporcional de ganancia K c = 3 . Comprobar si para ese valor de la ganancia el sistema en bucle cerrado es estable o no. Calcular K crítica y ω crítica . d) Sintonizar un PID por el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado. e) En un ensayo en bucle abierto y siendo nula la perturbación, se introduce un escalón unitario en la entrada M(S) y se han medido experimentalmente los tiempos en los que la temperatura alcanza el 28% y el 63% del valor final, resultando: t 28 = 0,26 min ; t 63 = 0,53 min . Hallar un modelo de POMTM y utilizarlo para sintonizar un PI por los siguientes métodos : Ziegler-Nichols en bucle abierto, López y colaboradores criterio ITAE, Ciancone. f) En un ensayo en bucle abierto y siendo nula la entrada de control, se introduce un escalón unitario en la entrada de perturbación y se miden experimentalmente los tiempos en que la temperatura alcanza el 28% y el 63% de su valor final, resultando t 28 = 0,62 min ; t 63 = 1,23 min : Hallar un modelo de POMTM y utilizar ambas aproximaciones para G p y

Gd para diseñar un controlador anticipativo para minimizar el efecto de la perturbación To . 5) Sea el tanque con agitador representado en la figura:

FT

TT

Fluido frío

LC

LT

hr vapor

Fluido caliente

PT TT

Temperatura a controlar

El objetivo es controlar la temperatura del fluido manipulando el caudal de vapor al serpentín. La presión de suministro del vapor puede variar debido a cambios en la demanda de otros consumidores de vapor. Se dispone de un sensor para medir la presión de vapor a la entrada del serpentín, así como los medidores del caudal de entrada de fluido frío y de su temperatura. El nivel de líquido en el tanque está regulado por un controlador de nivel de tipo PI de


54


ganancia Kc=1,2 y tiempo integral Ti=15s. Mediante una serie de experiencias llevadas a cabo en el entorno de las condiciones nominales de operación, se han obtenido las funciones de transferencia que se presentan a continuación (constantes de tiempo y tiempos muertos en segundos).

9 e −20 s 1 + 40 s 20 e −3s Temperatura del tanque (ºC) / Caudal fluido frío (l/s); G 2 ( s ) = 1 + 30s e −20 s Temperatura del tanque (ºC) /Temperatura fluido frío (ºC); G3 ( s ) = 1 + 60s Datos relativos a la instrumentación: Temperatura del tanque (ºC) / Presión del vapor (atm); G1 ( s ) =

•

•

válvula isoporcentual cerrada a fallo (FC) de función de transferencia: 0,1e − s atm Gv ( s) = 1 + 3s mA rango del transmisor de temperatura: 60-100 ºC

Se pide: a) Dibujar un diagrama de bloques del proceso completo identificando todas las variables significativas y sus unidades (manipuladas, controladas y perturbaciones a la entrada y a la salida). b) ¿Cómo afecta el bucle de control de nivel del tanque a la temperatura del producto de salida? c) Dibujar el diagrama de bloques del sistema de control de temperatura mediante realimentación simple. Hallar el error en estado estacionario a entrada escalón en el punto de consigna de temperatura y suponiendo que no existen perturbaciones, para el caso de un controlador proporcional con Kc = 15. d) Para el sistema realimentado del apartado c y suponiendo control proporcional, expresar, en función de Kc, la desviación de la temperatura del tanque respecto a su valor nominal, cuando no hay variaciones en la referencia pero sí cambios en escalón en todas las variables de perturbación. e) Utilizando el método de Ciancone, sintonizar un controlador para el lazo de realimentación simple de forma que la temperatura del producto de salida siga exactamente a la referencia. f) Diseñar una estrategia, utilizando o combinando técnicas de control complejas, que tenga en cuenta todas las características del proceso. Justificar la elección de dicha(s) estructura(s). ¿Qué diferencias en la respuesta pueden esperarse frente al bucle de realimentación simple?. g) Diseñar y sintonizar los controladores necesarios del esquema de control del apartado f, teniendo en cuenta que se desea que la temperatura del producto de salida siga exactamente a la referencia. 6) Sea el proceso de la figura, en el que se introduce un caudal de líquido q a una temperatura Ti en un tanque perfectamente agitado. Dicho líquido se mezcla con otro cuyo caudal es manipulable mediante una válvula automática que recibe una señal u. Este líquido entra a una temperatura Tu sensiblemente más elevada y se emplea para calentar la mezcla. La mezcla de líquido sale del tanque por rebose a una temperatura T.


55


La temperatura Ti sufre variaciones impuestas aguas arriba. Sin embargo, el caudal q y la temperatura Tu se mantienen sensiblemente constantes. Tu≅ cte u

T

q, Ti

a)

b)

Dibujar el diagrama de bloques con los elementos necesarios para regular adecuadamente la temperatura T, identificando las variables significativas (manipuladas, controladas y de perturbación). En una experiencia en bucle abierto se ha observado que estando el sistema en estado estacionario y siendo la temperatura T de 100 ºC, dicha temperatura evoluciona como indica la figura cuando la señal a la válvula que regula el caudal de fluido calefactor varía del 20% al 30%. 150 145

Modelo de Primer Orden Mas Tiempo Muerto

140 135

3 2 t m = t 63 − τ

131,5

τ = (t 63 − t 28 )

130 125 120 115

114

110 105 100

0

2

4

6

8

10 12 tiempo (minutos)

14

16

18

20

Figura respuesta de la temperatura en BA a un cambio en señal a la válvula

•

•

Calcular la función de transferencia del proceso en las proximidades del punto de operación que relaciona la temperatura T medida en ºC y la señal a la válvula, u, medida en % Suponiendo que la válvula es electrónica en el rango estándar de intensidad eléctrica y que su dinámica es despreciable, obtener la expresión de la función de transferencia como:

G p (s) = •

•

Tm ( s ) mA si se dispone de un sensor-transmisor de U ( s ) mA

temperatura que trabaja en el rango 20-200ºC Utilizando la notación ISA dibujar el esquema del plano control con un bucle de realimentación simple con objeto controlar la temperatura a pesar de posibles perturbaciones Ti Diseñar un regulador PI por el método de Ziegler-Nichols bucle cerrado


de de en en

56


•

c)

Supongamos que se elimina la parte integral del regulador diseñado en el apartado d). Si la referencia de temperatura (Tr) evolucionara en forma de rampa a razón de 1ºC/min ¿seguirá la temperatura T dicha referencia sin error en estado estacionario? ¿Cuál sería dicho error en caso de existir?

Se conoce la relación matemática que existe entre la temperatura del líquido a la entrada (Ti) y la temperatura de la mezcla (T) para valores alrededor del 20% de señal a la válvula, siendo esta relación:

dT = −20 log T + Te dt •

Obtener un modelo lineal aproximado alrededor del punto nominal de operación que relacione las desviaciones de la temperatura T a cambios en la temperatura Ti. d (log x ) = 1 1 Nota: dx ln 10 x • Proponer una estructura avanzada de control que permita mejorar la respuesta del bucle de realimentación simple a cambios en la temperatura del líquido de entrada y dibujar el diagrama de bloques. • Diseñar el controlador que implementa dicha estrategia suponiendo que se dispone de otro transmisor de temperatura como el anterior. nota: en caso de no haber resuelto el apartado 3a), utilícese la siguiente función de transferencia: Tm ( s ) mA 10 mA e −0,5 s = Ti ( s ) mA 10 s + 1 ºC 7) Sea el intercambiador de la figura en el que la variable manipulada es la posición de la válvula. La variable a controlar es la temperatura del agua de salida y la perturbación el caudal de agua demandado. vapor: Fv control: m 4-20 mA

medida: Tm 4-20 mA

TT Temperatura de entrada: To Temperatura de salida: T

condensado

La función de transferencia del proceso entre la temperatura del agua caliente 0,8 . La función de transferencia y la señal de control a la válvula es: G P ( s ) = 1 + 10 s entre la perturbación en el caudal de agua demandado y la temperatura de 0,2 . salida es: G D ( s ) = 1 + 20 s a) Seleccionar una estrategia de control adecuada para minimizar el efecto de la perturbación, razonando la respuesta y dibujar el diagrama de bloques.


57


b)

Diseñar los controladores necesarios. Suponer GTF=1

8) La figura muestra como se controla la conversión en un reactor actuando sobre el caudal de fluido caliente que precalienta la alimentación: CA

TT

AC

FE,CAe,Te

CA r

T1

La temperatura con la que entra la alimentación en el reactor tiene un efecto considerable sobre la conversión. Se desea mejorar la respuesta del bucle simple a perturbaciones tanto en la línea de suministro de fluido calefactor (Fc), como en la temperatura y el caudal de alimentación. Razonar las estrategias avanzadas más convenientes y dibujar el diagrama de bloques. 9) En el ejercicio anterior, la estrategia adecuada no responde satisfactoriamente a cambios en la concentración de alimentación. Se desea mejorar la respuesta a cambios en CAe, añadiendo otra estrategia de control avanzado. De experiencias realizadas alrededor de las condiciones nominales de operación, se han obtenido las siguientes funciones de transferencia: −10 s mol / m 3 c A ( s ) 0,2 e −8 s mol / m 3 c A ( s ) − 0,1 e = = ; c Ae ( s ) 30 s + 1 mol / m 3 T1r ( s ) 20 s + 1 ºC donde las constantes de tiempo y los tiempos muertos están expresados en minutos. Se puede asumir que los analizadores tienen una dinámica despreciable y un alcance de 16 mol/m3. Razonar la estrategia a implementar, diseñando el controlador necesario.

10) Examen Enero 2004. La figura 1 representa el diagrama de bloques en bucle abierto de un proceso que se desea controlar. La entrada M(s) es manipulable mientras que las entradas D1(s) y D2(s) no lo son.


58


D2(s) Gd(s)

D1(s) + M(s) (mA)

G1(s)

+

+ G2(s)

+

Y(s) (mA)

Se pide: 1) Se desea diseñar un sistema de control por realimentación. Dibuje el diagrama de bloques del sistema en bucle cerrado y calcule las funciones de transferencia en bucle cerrado respecto a la entrada de control y de perturbación en función de G1(s), G2(s) y Gd(s). 2) Suponiendo que las variables de perturbación son importantes y su efecto sobre la salida significativo, discuta la viabilidad de combinar el bucle de realimentación simple con otras estructuras con objeto de minimizar su efecto. Justifique la elección de las estructuras propuestas para los siguientes casos:

1,1.e −0,5 s a. G1 ( s ) = 5s + 1 1,1.e −3 s b. G1 ( s ) = 4s + 1

2,3.e −10 s G2 ( s ) = 30s + 1 2,3 e −10 s G2 ( s) = 20s + 1

0,8 e −8 s Gd ( s) = 16s + 1 0,8 e −15 s Gd ( s ) = 45s + 1

3) Suponiendo que la perturbación D1 es despreciable, se dispone de resultados experimentales que permiten realizar la identificación experimental de las funciones de transferencia involucradas en el proceso. Concretamente la figura 2 representa el diagrama de Bode de módulo asintótico correspondiente al efecto sobre la salida de la perturbación D2 (suponiendo que la dinámica es de fase mínima). La figura 3 corresponde a la respuesta temporal de la salida (desviación sobre el punto de operación) cuando se provoca un incremento de amplitud 2 en la entrada m(t).

Figura 2. Diagrama de Bode de módulo


Y ( jω ) D 2 ( jω )

59


y(t) (en unidades consistentes) 4

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

2 4 6 8 Figura 3. Respuesta escalón unitario en m(t)

10 t (min)

a. Obtenga las funciones de transferencia involucradas en el proceso b. Se desea diseñar un sistema de control más sencillo de forma que la salida y(t) siga sin error a cambios escalón en la señal de referencia y que penalice las desviaciones en el tiempo respecto a dicha referencia. Así mismo, interesa minimizar el efecto de la perturbación D2. Proponga la estructura de control mas adecuada, justificando su elección y dibujando el diagrama de bloques. c. Diseñe los controladores propuestos en el apartado anterior 11) Examen Febrero 2005. Sea un proceso al que entra una corriente manipulable A y otra no manipulable B. La corriente A se regula por medio de un sistema de control de caudal tal como se aprecia en la Figura 1. Suponiendo el sistema trabajando en el punto de operación, se incrementa en 2 l/min la consigna al regulador de caudal de A, FAref y, como consecuencia, la densidad del producto de salida varía según la gráfica representada en la Figura 2. La densidad se mide con un transmisor calibrado en el rango 0.5–3 Kg/l para dar una señal de 4–20 mA y el transmisor de caudal de A está calibrado en el rango 0-20 l/min.

FAref

F

A

F

Proceso

ρ

B Figura 1


60


Figura 2

Se pide: 1) Obtener un modelo matemático que relacione los cambios de consigna de caudal de producto A (en % del rango del sensor) con los cambios en la densidad del producto de salida (en % del rango del sensor). 2) Proponer un sistema de control de densidad y dibujar su esquema utilizando notación ISA. ¿Qué tipo de estructura resulta ser? 3) Diseñar el regulador de densidad más sencillo que no presente error estacionario frente a cambios escalón en el punto de consigna de densidad. 4) Si el controlador diseñado hace que la respuesta del sistema realimentado no responda de forma satisfactoria cuando se producen cambios significativos en el caudal de la corriente B, discuta la estructura de control que podría mejorar la respuesta del sistema así como las condiciones que se deberían cumplir. Nota: Métodos de sintonía: METODO ZIEGLER-NICHOLS EN BC

METODO ZIEGLER-NICHOLS EN BA


61


METODO LOPEZ y COLABORADORES Criterio de calidad de respuesta

Tipo de controlador ISE

IAE

ITAE

a 1,411 b -0,917

a 0,902 b -0,985

a 0,490 b -1,084

P

a b y K

Kc =

PI

a1 b1 y K T b2 Ti = y a2 Kc =

PID

a1 b1 y K T b2 Ti = y a2 Kc =

Td = a3Ty b3

Rango de utilización:

0,859 -0,977

a1 b1

a2 0,492 b2 0,739

a2 0,608 b2 0,707

a1 1,495 b1 -0,945

a1 b1

a2 1,101 b2 0,771

a2 0,878 b2 0,749

a2 0,842 b2 0,738

a3 0,560 b3 1,006

a3 0,482 b3 1,137

a3 0,381 b3 0,995

0,1 < Y =

0,984 -0,986

a1 b1

a1 1,305 b1 -0,959

1,435 -0,921

a2 0,674 b2 0,680 a1 b1

1,357 -0,947

tm <1 T

12) Examen Septiembre 2005. La figura muestra como se controla la conversión en un reactor actuando sobre el caudal de combustible (FC) que precalienta la alimentación. La temperatura con la que entra la alimentación en el reactor tiene un efecto considerable sobre la conversión. Se desea mejorar la respuesta del bucle simple a perturbaciones tanto en la línea de suministro de combustible (Fc), como en la temperatura, en el caudal y en la composición de la corriente de alimentación (Te, Fe, CAe).

Se pide: a) Dibujar el diagrama de bloques del proceso en bucle abierto, indicando todas


62


las variables significativas. b) Suponiendo que todas las perturbaciones son frecuentes e importantes, razonar las estrategias avanzadas más convenientes. c) Dibujar sobre la figura el plano de control en notación ISA simplificada que incluya todas las estrategias avanzadas comentadas en el apartado anterior. Suponer que todas ellas están justificadas. d) Diseñar la estructura de control más adecuada para el caso en que se producen variaciones frecuentes en la composición de la corriente de alimentación, CAe. De experiencias realizadas alrededor de las condiciones nominales de operación, se han obtenido las siguientes funciones de transferencia:

C A ( s ) 0,2 e −8 s mol / m 3 C A ( s ) − 0,1e −10 s mol / m 3 = y = C Ae ( s ) 50 s + 1 mol / m 3 M (s) 45s + 1 %ap (constantes de tiempo y tiempo muerto expresados en minutos). Se puede asumir que los analizadores tienen una dinámica despreciable y un alcance de 16 mol/m3. 13) Examen Febrero 2006. Sea el proceso de la figura que se utiliza para disolver un cierto caudal volumétrico F (litros/minuto) de una corriente de entrada, cuya densidad se puede suponer constante y de valor i=2 Kg/litro, hasta una densidad . Para ello, se utiliza un caudal volumétrico de agua q. El caudal F puede experimentar variaciones impuestas por otro proceso. El producto sale del depósito, que tiene forma cónica y un volumen V=50 litros, por rebose. El caudal q puede manipularse por medio de una válvula de regulación automática a la que llega una señal estándar eléctrica en el rango 4-20 mA.

ρ

u F, ρi q

En el punto de operación la señal a la válvula es de 10 mA, la densidad de la corriente de salida ρ = 1,4 Kg / l y el caudal de agua q = 6 l / m . Se pide: a)

Identifique las variables significativas, dibujando el diagrama de bloques del sistema bucle abierto.

b)

Obtenga un modelo matemático alrededor del punto de operación indicado


63


c)

Si se incrementara al doble el volumen del depósito, razone la diferencia esperable en la evolución de la densidad ρ a un cambio escalón en la señal de apertura de válvula.

d)

Proponga el esquema de control de densidad más simple y dibuje el plano de control en notación ISA simplificada.

e)

Supongamos que las variaciones de F son significativas. Proponga una estructura de control que pudiera mejorar la respuesta del sistema realimentado y analice si se justifica.

14) Examen Septiembre 2006. Sea un proceso como el representado en la figura 1. Representa un proceso de mezclado de dos productos líquidos A y B cuyos caudales son manipulables mediante dos sistemas de dosificación distintos (dosificador A y dosificador B). La mezcla sale por rebose.

UA Señal a dosificador A DOSIFICADOR A DOSIFICADOR B

FA FB (l/min)

MEZCLA

ρ (gr/cm3)

UB Señal a dosificador B Se conoce la relación existente entre la densidad de la mezcla (gr/cm3) y los caudales de los productos, FA y FB. 15

dρ = 0,1F A + 0,4 FB − ( F A + FB ) ρ dt

En el punto de operación, las señales a los dosificadores son del 60% y del 50%, respectivamente, siendo los caudales, = 10 l/min y = 5 l/min. Encontrándose el sistema en el punto de operación, se han realizado dos experimentos: la figura 2 representa la evolución del caudal FA cuando se provoca un cambio de un 10% en la señal al dosificador A. La figura 3 ilustra la evolución del caudal FB cuando el cambio provocado en la señal al dosificador B es del 10%. Se dispone de la siguiente instrumentación: •

un único controlador PID

•

un sensor-transmisor de densidad que opera en el rango 0-1 gr/cm3

Se desea diseñar un sistema de control de densidad de forma que su valor se mantenga en el valor de referencia a pesar de posibles cambios en los productos de entrada. Se pide:


64


a)

Identifique las variables significativas del proceso y calcule las funciones de transferencia correspondientes, dibujando el diagrama de bloques del sistema.

b)

Dibuje el sistema de control más apropiado en notación ISA simplificada, teniendo en cuenta las características del proceso, el objetivo de control y la instrumentación disponible (sólo se dispone de los sensores y controladores comentados). Razone y justifique su elección, identificando claramente las variables significativas elegidas. 10.6 10.55 10.5 10.45

FA (l/min)

10.4 10.35 10.3 10.25 10.2 10.15 10.1 10.05 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110 t (min)

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Figura 2. Respuesta a un cambio del 10% en la señal al dosificador A 6 5.9 5.8 5.7

FB (l/min)

5.6 5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5

0

10

20

30

40

50 t (min)

60

70

80

90

100

Figura 3. Respuesta a un cambio del 10% en la señal al dosificador B


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Libro Problemas 06-07 de Dinamica

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