Libro Logica y Conjuntos.pdf

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

TUTORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS

“Matem´ atica s´ olo se aprende practicando”

Ricardo M. Monge Rogel

Algebra (FMM009) - Semestre 1 de 2010 CONCEPCION-CHILE

Índice general 1. L´ ogica prop osicional 1.1.. Pro 1.1 Proposi posicio cione ness l´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.. Con 1.2 Conec ectiv tivos os l´ ogicos y sus tablas de verdad . . . . . . 1.2.1. 1.2 .1. Con Conec ectiv tivos os l´ ogicos básicos . . . . . . . . . . ogicos 1.2.2. Tipo poss de proposiciones . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Tablas de verdad verdad para para los conectiv conectivos os básicos 1.3. 1. 3. Tau auto tolo logg´ıa ıas, s, co cont ntra radi dicc ccio ione ness y co con nti tinge ngenc ncias ias . . . . 1.4. Impli Implicaci caciones ones y equiv equivalenc alencias ias lógicas . . . . . . . . 1.4.1. 1.4 .1. Imp Implic licaci ación oń lógica . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Equi Equiv valenc alencia ia lógica . . . . . . . . . . . . . . 1.4. 1. 4.3. 3. Al Algu guna nass ta taut utol olog og´´ıa ıass im impo port rtan ante tess . . . . . . . 1.5. Funciones propo possicionales . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Cuan Cuantific tificadore adoress l´ ogicos . . . . . . . . . . . . 1.5. 1. 5.2. 2. Mas a´s sobre cuantificadores lógicos . . . . . . 1.6. Teoremas y métodos etodos de demostración . . . . . . . . 1.7.. Pro 1.7 Proble blemas mas de l´ lo´gica propo possicional . . . . . . . . . . 2. Teor´ıa de conjuntos 2.1.. Not 2.1 Notaci acióń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Maneras de definir un conjunto . . . . . . . 2.3. Diagramas de Venn Euler . . . . . . . . . . 2.4.. Inc 2.4 Inclus lusi´ i´ on de Conjuntos . . . . . . . . . . . . 2.5. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . 2.6. 2. 6. Con onjjun unto to de la lass par parttes de de un con onju jun nto da dad do 2.7. Ope perracion onees entre conjuntos . . . . . . . . . 2.7.1. Algunas propiedades . . . . . . . . . 2.7. 2. 7.2. 2. Ot Otra rass op opeera raccio ione ness en entre con onju jun ntos . . 2.7. 2. 7.3. 3. Pr Prop opie ieda dade dess de y . . . . . . . . 2.8. 2. 8. M´ as definiciones . . . . . . . . . . . . . . . .

∩ ∪ 2

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 2 2 3 6 7 7 7 7 8 9 9 10 11

. . . . . . . . . . .

16 16 17 17 18 19 19 19 22 22 25 26

´ INDICE GENERAL

2.9. Pa 2.9. Parti rtici´ ci´ on de un conjunto . . . . . . . . . . . . 2.10. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 2. 10.1 .1.. Pro Propi pieedad adees de de la la car card din inal alid idad ad . . . . . 2.11. Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1. Conjunto de los números naturales IN. 2.11.2. Conjunto de los números umeros enteros ZZ. . 2.11.3. Conjunto de los núneros racionales Q . 2.11.4. Conjunto de los números umeros irracionales Q 2.12 2. 12.. Pr Prob oble lema mass de te teor or´´ıa de co conj njun unto toss . . . . . . .

3 . . . . . . . ∗

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

26 27 27 27 28 28 28 29 29

Cap´ıtulo 1 L´ ogica proposicional 1.1.

Proposiciones l´ ogicas

Los valores de verdad VERDADERO (V) y FALSO (F) son los conceptos primitivos de la lógica. Una proposición es una sentencia (expresión) sujeta a un valor de verdad. Usualmente se denotan por letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Ejemplo 1.1 Son proposiciones: p: “ Las sillas est´ an en el techo”. q: “ La luna gira alrededor de la tierra” r: “ El planeta Marte es cuadrado”

Observaci´ on 1.1 Como puede observar, las proposiciones pueden ser verdaderas (V) o falsas (F), no aceptan ambig¨ uedades. Ejemplo 1.2 No son proposiciones: “ La calculadora ”. “ x + y = 2 ” “ ¿ Qué d´ıa es hoy? ”

1

1.2 Conectivos l´ ogicos y sus tablas de verdad

1.2.

2

Conectivos l´ ogicos y sus tablas de verdad

Un conectivo lógico es una operación que nos permite obtener nuevas proposiciones a partir de otras dadas.

1.2.1.

Conectivos l´ ogicos b´ asicos

Los conectivos básicos son: Negación ( ) (“no”)

∼

Conjunci´ on ( ) (“y”)

∧ Disyunci´ on (∨) (“o”) Condicional (→) (“Si ..., entonces”) Bicondicional (↔) (“Si y sólo si”) 1.2.2.

Tipos de proposiciones

Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, las que no incluyen conectivos lógicos, y las que s´ı los incluyen.

Ejemplo 1.3 Las proposiciones del Ejemplo 1.1, son ejemplos de proposiciones simples. Ejemplos de proposiciones compuestas son: p: “ Michelle Bachelet es chilena y presidente ” q: “ La luna es un satélite natural o el sol es una estrella” r: “ No es verdad que 2+2=4”

Valores posibles de dos proposiciones dadas p q V V V F F V F F En general, los valores posibles para n proposiciones dadas son 2n.

3


Ejemplo 1.4 Para 3 proposiciones dadas, los valores posibles son 23 = 8, a saber: p V V F F V V F F

1.2.3.

q V F V F V F V F

r V V V V F F F F

Tablas de verdad para los conectivos b´ asicos

Negaci´ on ( )

∼

Dada una proposición p, se llama negación de p, y se escribe p, a la proposición “no p”. Esto significa que p es V si p es F, y p es F si p es V.

∼

∼

Tabla de verdad para p V F

∼

∼p

∼p F V

Observaci´ on.: Otra notación que también se usa para denotar la negación de p es p. on, Ejemplo 1.5 El siguiente es un ejemplo de negaci´ on es blanco ” p: “ El pizarr´

∼ p: “ El pizarr´ on no es blanco” Conjunci´ on ( )

∧

Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción de ellas es la proposició n “p y q”, la cual se escribe p q. As´ı p q, es V si ambas lo son, y p q es F si al menos una de ellas lo es.

∧

∧

∧

4


Tabla de verdad para p q

∧

p q V V V F F V F F

p q V F F F

∧

Ejemplo 1.6 Considere las dos proposiciones: p: “ EL pizarr´ on es rojo” q: “ El pl´ atano es amarillo” Entonces, p q se escribe en lenguaje com´ un: “ El pizarr´ on es rojo y el pl´ atano es amarillo.

∧

Disyunci´ on ( )

∨

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de ellas es la proposició n “p o q”, la cual se escribe p q. As, p q es V si al menos una de ellas lo es, y p q es F si ambas lo son.

∨

∨

∨

Tabla de verdad p q

∨

p q V V V F F V F F

p q V V V F

∨

Ejemplo 1.7 Considere las dos proposiciones: p: “ El computador funciona con gas” q: “ El libro es de piedra” Entonces, p q se escribe en lenguaje com´ un: “El computador funciona con gas o el libro es de piedra”

∨

5


Condicional ( )

→

Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposición “si p entonces q”, la cual se escribe p q. Aqu´ı, p se llama antecedente y q consecuente. También, p q se lee “p es condición suficiente para q”, o bien “q es condición necesaria para p”. As´ı, p q es F só lo si p es V y q es F.

→

→

→


→

p q V V V F F V F F

p q V F V V

→

Ejemplo 1.8 Considere las dos proposiciones: p: “ Son las 9:10 de la noche” q: “ la clase es de Algebra” As´ı, p q, se escribe en lenguaje com´ un: “ Si son las 9 de la noche, entonces la clase es de Algebra”

→

Bicondicional ( )

↔

Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposición “p si y sólo si q”, la cual se escribe p q. También, p q se lee “p es condición necesaria y suficiente para q”. As´ı, p q es V sólo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

↔

↔

↔


↔

p q V V V F F V F F

p q V F F V

↔

Ejemplo 1.9 Considere las dos proposiciones: p: “ Estoy en el cine”

6

1.3 Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias

q: “ Estudio Auditor´ıa” As´ı, p q, se escribe en lenguaje com´ un: “ Estoy en el cine, si y s´ olo si , estudio Auditor´ıa”

↔

1.3.

Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias

Una proposición se dice una:

TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V , cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad sólo contiene valores V . CONTRADICCION, si ella es siempre F. CONTINGENCIA, si no es tautolog´ıa ni contradicción. Ejemplo 1.10 La proposici´ on: a) p

∨ ∼ p es una tautolog´ıa. En efecto: p ∼p p ∨ ∼ p V F

b) p

V V

∧ ∼ p es una contradicci´ on. En efecto: p ∼p p ∧ ∼ p V F

c) p

F V

F V

F F

∧ ∼ q es una contingencia. En efecto: p q ∼ q p ∧ ∼ q V V V F F V F F

F V F V

F V F F

7

1.4 Implicaciones y equivalencias l´ ogicas

1.4. 1.4.1.

Implicaciones y equivalencias l´ ogicas Implicaci´ on l´ ogica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica lógicamente q, si la proposición p q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p q y se lee “p implica q”.

→

⇒

Ejemplo 1.11 ( p

⇒ ( p ∨ q )), porque ( p → ( p ∨ q )) es una tautolog´ıa.

1.4.2.

Equivalencia l´ ogica

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son lógicamente equivalentes, si la proposición p q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p q y se lee “p es equivalente a q”.

↔

Ejemplo 1.12 ( p (Compruébelo!).

1.4.3.

⇔

∧ q ) ⇔ (q ∧ p), porque ( p ∧ q ) ↔ (q ∧ p) es una tautolog´ıa

Algunas tautolog´ıas importantes

∼ (∼ p) ⇔ p (doble negaci´ on) (conmutatividad de ∧) p ∧ q ⇔ q ∧ p (conmutatividad de ∨) p ∨ q ⇔ q ∨ p (conmutatividad de ↔) p ↔ q ⇔ q ↔ p (asociatividad de ∨) p ∨ (q ∨ r) ⇔ ( p ∨ q ) ∨ r (asociatividad de ∧) p ∧ (q ∧ r) ⇔ ( p ∧ q ) ∧ r (asociatividad de ↔) p ↔ (q ↔ r) ⇔ ( p ↔ q ) ∧ r p ∧ (q ∨ r) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r) (distributividad de ∧ con respecto a ∨) p ∨ (q ∧ r) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r) (distributividad de ∨ con respecto a ∧) ∼ ( p ∧ q ) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q ) (Ley de De Morgan para ∧) ∼ ( p ∨ q ) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q ) (Ley de De Morgan para ∨) (contrarec´ıproca) p → q ⇔ (∼ q ) → ( ∼ p)

8

1.5 Funciones proposicionales

→ q ⇔ (∼ p) ∨ q ∼ ( p → q ) ⇔ p∧ ∼ q p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ (q → p) p ↔ q ⇔ (∼ p ∧ ∼ q ) ∨ ( p ∧ q ) ( p → q ) ∧ (q → r) =⇒ ( p → r) p

(Reducción al absurdo)

(Bicondicional dividida en dos partes)

(Transitividad)

Ejercicio 1.1 Demuestre (usando tablas de verdad) que cada una de las tautolog´ıas anteriores efectivamente los son.

1.5.

Funciones proposicionales

Se llama función proposicional (o enunciado abierto) a una expresión p que contiene una o más variables, y tal que ella se convierte en una proposición lógica cuando se le asignan valores espec´ıficos a dichas variables.

Ejemplo 1.13 Sea A = 1, 2, 3 , entonces

{

}

p(x) : x + 1

≤ 3, x ∈ A.

es una funci´ on proposicional. En efecto, pues: Si x = 1, p(1) : 1 + 1

≤ 3 es una proposici´ on l´ ogica (V). Si x = 2, p(2) : 1 + 2 ≤ 3 es una proposici´ on l´ ogica (V). Si x = 3, p(3) : 1 + 3 ≤ 3 es una proposici´ on l´ ogica (F). Conjunto de validez Se llama Conjunto de validez de una función proposicional p, y se denota por V p , al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para los cuales dicha función es verdadera.

Ejemplo 1.14 Sea B = 2, 3, 4 , y

{

} s(x) : x − 1 > 2, x ∈ B.

Entonces:

9

1.5 Funciones proposicionales

Si x = 2, s(2) : 2

− 1 > 2 es F. Si x = 3, s(3) : 3 − 1 > 2 es F. Si x = 4, s(4) : 4 − 1 > 2 es V. Por lo tanto, el conjunto validez es V s = 4 , ya que s´ olo el n´ umero x = 4 hace que la funci´ on s(x) sea verdadera.

{ }

1.5.1.

Cuantificadores l´ ogicos

Para indicar que una función proposicional es verdadera para cualquier elemento de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo , el cual se llama cuantificador universal.

∀

∀ se lee: “para todo”, “cualquiera sea”, “para cada”. Para indicar que una función proposicional es verdadera para algunos elementos de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo , el cual se llama cuantificador existencial.

∃

∃ se lee: “existe (un)”, “existe al menos un”, “existe algún”. Para indicar que una función proposicional es verdadera para un único elemento de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo !.

∃

∃! se lee: “existe un u´ nico”. 1.5.2.

M´ as sobre cuantificadores l´ ogicos

Sean A un conjunto y p una función proposicional que depende de una variable x (en tal caso se escribe p(x)).

∀x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A, p(x) es verdadera”. ∃x ∈ A : p(x) se lee “existe x en A tal que p(x) es verdadera”. Ejemplo 1.15 Ejemplos de lecturas de cuantificadores, a)

2

2

∀x ∈ IN : x ≥ 1, se lee: “ para todo x en IN, x

1”.

es mayor o igual que

10

1.6 Teoremas y métodos de demostraci´ on 2

b)

2

∃x ∈ ZZ : x = 1, se lee: “existe x en ZZ, tal que, x es igual a 1”. c) ∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0, se lee: “existe un ´ unico x en ZZ, de modo que, x + 5 sea igual a 0”.

Negaciones importantes

∼ (∀x ∈ A : p(x)) ⇔ (∃x ∈ A : ∼ p(x)) ∼ (∃x ∈ A : p(x)) ⇔ (∀x ∈ A : ∼ p(x)) ∼ (∃!x ∈ A : p(x)) ⇔ [∀x ∈ A : ∼ p(x)] ∨ [∃x ∈ A, ∃y ∈ A, x = y : p(x) ∧ p(y)] Ejemplo 1.16 Negaciones de los enunciados del ejemplo 1.15, 2

a)

2

∼ (∀x ∈ IN : x ≥ 1) ⇔ (∃x ∈ IN : x < 1). b) ∼ ( ∃x ∈ ZZ : x = 1) ⇔ ( ∀x ∈ ZZ : x  = 1). c) ∼ (∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0) ⇔ ([∀x ∈ ZZ : x + 5  = 0] ∨ [ ∃x ∈ ZZ, ∃y ∈ = y : x + 5 = 0 ∧ y + 5 = 0]). Z Z, x  2

1.6.

2

Teoremas y m´ etodos de demostraci´ on

Un teorema es una proposición verdadera de cierta relevancia para una teor´ıa y cuya verdad debe ser demostrada.

Algunas estructuras de teoremas Implicaci´ on: Si (hipótesis), entonces (tesis) (H Métodos de demostración:

→ T )

• Método directo. • Métodos indirectos: contra-rec´ıproca (∼ H → ∼ T ), reducción al absurdo (H ∧ ∼ T ) → ( p ∧ ∼ p) (contradicción). Equivalencia: (Hipótesis) si y sólo si (tesis) (H ↔ T ) Método de demostración: (H → T ) ∧ (T ← H ). Equivalencia de n proposiciones: P 1 P 2 P n , n > 2 Métodos de demostración:

↔ ↔ ··· ↔

11

1.7 Problemas de l´ ogica proposicional

• Directo: P ↔ P y P ↔ P , etc. • Usando transitividad: [(P → P ) ∧ (P → P )] → (P → P ). (en general, demostrar que P → P , i = 1, . . . , n− 1 y P → P ). Discreto: ∀n ∈ IN : p(n) 1

2

2

3

i

j

j

i

k

i

i+1

k

n

1

Método de demostración: Inducción matemática.

La falsedad de una proposición se puede demostrar usando un contraejemplo.

Ejemplo 1.17 Ejemplos de demostraci´ on: 2

Proposici´ on 1.6.1 Sea a

∈ IN. Si a es par , entonces a

par .

Demostraci´ on. (directa) Hip´ otesis: a es par,

entonces a = 2n para alg´ un n IN,

∈

entonces a2 = (2n)2 = 4n2 = 2(2n2 ), entonces a2 es par (pues 2n2 Proposici´ on 1.6.2 Sea a

∈ IN). 2

∈ IN. Si a

es par , entonces a es par .

Demostraci´ on. (contradicci´ on) Se supone H

∧ ∼ T : a

impar,

2

es par y a es

entonces a = 2n + 1 para alg´ un n IN,

∈

entonces a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1, entonces a2 es impar (por Proposici´ on 1.6.1 y “suma de n´ umeros pares es par”), entonces a2 es par y a2 es impar ( p ( )

→←

1.7.

∧ ∼

p), CONTRADICCION,

Problemas de l´ ogica proposicional

Problema 1 Si p(x) denota el enunciado “x + 2 > 5”, establecer si p(x) es o no una función proposicional sobre cada uno de los siguentes conjuntos: a) IN, el conjunto de los números naturales;

12


b) M =

{−1, −2, −3, . . .},

c) C, el conjunto de los números comlejos.

Problema 2 Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguentes enunciados. ( Aqu´ı, IR es el conjunto de los números reales.) a)

∀x ∈ IR, |x| = x b) ∀x ∈ IR, x + 1 > x c) ∃x ∈ IR, |x| = 0 d) ∃x ∈ IR, x = x e) ∃x ∈ IR, x + 2 = x 2

Problema 3 Negar los enunciados del Problema 2. Problema 4 Considere las siguientes fórmulas proposicionales a) ( p

↔ q ) ↔ [( p ∧ q ) ∨ (∼ p∧ ∼ q )] b) ( p → q ) ↔ (q → p) c) [( p → q )∧ ∼ q ] → p d) [( p →∼ q ) ∧ ((∼ r ∨ q ) ∧ r)] →∼ p Se solicita: i) usar una tabla de verdad para determinar si corresponden a equivalencias lógicas, o implicacions lógicas. ii) usar la equivalencia lógica de a) para obtener una equivalencia para ( p q ) que sólo tenga concectivos , o .

∼ ↔

∼ ∧ ∨

iii) dar un contra-ejemplo para hecer ver que (c) no es una implicación lógica.

Problema 5 Probar las siguientes implicaciones lógicas (usando tablas de verdad), que son algunas de las llamadas reglas de inferencia a) p

⇒ ( p ∨ q ) b) ( p ∧ q ) ⇒ p

(Adición)

(Simplificación)

13


c) [( p

∧ ( p → q )] ⇒ q (Modus ponens) d) [( p → q )∧ ∼ q ] ⇒∼ p (Modus tollens) e) [( p ∨ q )∧ ∼ p] ⇒ q (Silogismo disyuntivo) f) [( p → q ) ∧ (q → r)] ⇒ ( p → r) (Silogismo hipotético) Problema 6 Se define el conectivo ↓, conjunci´ on negativa ; p ↓ q (se lee “ Ni

p ni q ”), por la siguiente tabla de verdad

↓

p V V F F Demostrar que los tres conectivos tivo como sigue:

↓ a) ∼ p ↔ [ p ↓ p] b) p ∧ q ↔ [( p ↓ p) ↓ (q ↓ q )] c) p ∨ q ↔ [( p ↓ q ) ↓ ( p ↓ q )].

q p q V F F F V F F V

∨, ∧ y ∼ se pueden expresar con el conec-

on exclusiva ; p q (se lee “ p o Problema 7 Se define el conectivo , disyunci´ q , pero no ambos”), por la siguiente tabla de verdad:

∨

p V V F F

∨

q p q V F F V V V F F

Demostrar que ( p q ) [( p q ) empleando los tres conectivos ,

∨

∨ ↔ ∨ ∧ ∼ ( p ∧ q )]. Por lo tanto, ∨ se puede escribir ∨ ∧ y ∼ .

Problema 8 Sean las proposiciones: p: Tengo dinero. q : Hoy dejaré de fumar.

14


Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simbólica usando p y q . a) No tengo dinero . b) Si tengo dinero entonces hoy no dejar´ e de fumar. c) Tengo dinero, s´ı y sólo si, hoy dejo de fumar. d) No es verdad que, hoy no dejaré de fumar. e) No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejar´ e de fumar. f) Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejaré de fumar.

Problema 9 Escriba la negación de las siguientes proposiciones. a) Estoy en clase de m ´ atematica I si y sólo si hoy es miercoles. b) Una condici´ on necesaria y suficiente para que esté en clase de matemática I es que hoy sea d´ıa lunes. c) Todos los pol´ıticos son mentirosos. d) Existe un sol en nuestra galaxia. e) Existe un único sol en nuestra galaxia.

Problema 10 Considere el conjunto A = 1, 2, . . . , 100 y las proposiciones

{

a)

∀n ∈ A: b) ∃n ∈ A: c) ∃!n ∈ A:

n2

}

≤ 100.

n2 = 50. 2n = n2 .

Se solicita: i) Determine el valor de verdad de cada una. ii) Escriba la negación de cada una.

Problema 11 Niegue cada una de las siguientes proposiciones a) ( x IR)( y

∃ ∈ ∀ ∈ IR) : b) (∀x ∈ IR)(∀y ∈ IR) :

x
≥ y.


c) ( !n IN) tal que x IR :

∃ ∈ ∀ ∈ x ≤ n d) ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR : x + y < 0. e) ∃ǫ > 0, ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : |x − y | > ǫ. f) ∀x ∈ IR, ∃!y ∈ IR : xy ≤ 0 ∧ |x − y | = 2x 2

2

15

Cap´ıtulo 2 Teor´ıa de conjuntos Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos determinados y distintos. Los objetos los llamaremos elementos del conjunto. Dos conjuntos importantes son el conjunto vac´ıo, que no contiene elementos, y el conjunto universo, que contiene todos los elementos.

2.1.

Notaci´ on

Los conjuntos se escribirán:

A, B , C , . . .

Los elementos se escribirán:

a, b, c, . . .

a pertenece a A se escribirá:

a A

∈

a no pertenece a A se escribirá: Conjunto vac´ıo se escribirá:

∈

a / A φ

Conjunto universo se escribirá:

U

Ejemplo 2.1 Sea el conjunto A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , tenemos que 1 A, 13 / A.

∈

{

∈

}

Observaci´ on 2.1 Dado x U y un conjunto A: ¿ x A x / A? Si esta pregunta puede responderse siempre, entonces se dice que el conjunto A esta bien definido.

∈

∈ ∨ ∈

16

17

2.2 Maneras de definir un conjunto

2.2.

Maneras de definir un conjunto

Por extensión, vale decir mostrando los elementos del conjunto. umeros naturales) Ejemplo 2.2 IN = 1, 2, 3, 4, 5, . . . . (n´

{

}

Por compresión, esto es dando una propiedad (o proposición) que caracterice a los elementos del conjunto.

Ejemplo 2.3 Q =

2.3.

a b

: a, b



∈ ZZ, b = 0

. (n´ umeros racionales)

Diagramas de Venn Euler

Los diagramas de Venn nos permiten visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y sus relaciones, y en estos diagramas se usan las siguientes formas:

Figura 2.1: Formas usadas para hacer diagramas de Venn Euler.

Ejemplo 2.4 Ejemplo de representaci´ on en un diagrama de Venn del con junto A formado por dos cubos y un cilindro.

18

2.4 Inclusi´ on de Conjuntos

Figura 2.2: El conjunto A formado por dos cubos y un cilindro.

2.4.

Inclusi´ on de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y se escribe A B, si todos los elementos de A están también en B, esto es:

⊆

A

⊆ B ⇔ (∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Figura 2.3: Diagrama de Venn para representar que A

⊆ B.

Ejemplo 2.5 Si A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y B = 2, 4, 6, 8 , entonces B A.

{

⊆

}

{

}

Propiedades de la inclusi´ on Dados A, B , C conjuntos, se tiene que φ A U (el conjunto vac´ıo es subconjunto de cualquier conjunto y todo conjunto es subconjunto del conjunto universo)

⊆ ⊆

19

2.5 Igualdad de conjuntos

⊆ A (Todo conjunto es subconjunto de s´ı mismo) (A ⊆ B ∧ B ⊆ C ) ⇒ A ⊆ C ( Transitividad de la inclusión). A

2.5.

Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales, y se escribe A = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es: A = B

2.6.

⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

Conjunto de las partes de un conjunto dado

Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denota (A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es:

P

P (A) = {X : X ⊆ A} Observaci´ on 2.2 Notar que: i) los elementos de (A) son conjuntos;

P

ii)

P (A) = φ ya que φ ∈ P (A) ∧ A ∈ P (A).

Observaci´ on 2.3 Notar que si A tiene n elementos, entonces el conjunto (A) tiene 2n elementos

P

Ejemplo 2.6 Dado el conjunto A = a, b , entonces

{ } P (A) = {φ, {a}, {b}, A}. En este caso A tiene 2 elementos y P (A) tiene 2 = 4 elementos. 2

2.7.

Operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U .

20

2.7 Operaciones entre conjuntos

La diferencia de A y B es el conjunto A

− B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈/ B }

(otra notación: A B).

\

Figura 2.4: Diagrama de Venn para A


− B.

− B = φ, cuando A ⊆ B.

21



− B, cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.7 Si A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y B = 2, 4, 6, 8 , entonces A B = 1, 3, 5, 7, 9 .

−

{

{ }

}

{

}

El complemento de A con respecto a U , el cual se denota Ac (o bien A , A), es el conjunto U A, vale decir: ′

−

Ac

− = U − A = {x ∈ U : x ∈ / A }.

Figura 2.7: Diagrama de Venn para A c .

22


Figura 2.8: Diagrama de Venn para A c , cuando A

⊆ B.

Figura 2.9: Diagrama de Venn para A c , cuando A y B son disjuntos.

Ejemplo 2.8 Si U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y A = 1, 2, 3, 7 , entonces Ac = 0, 4, 5, 6, 8, 9 .

{

2.7.1.

{

}

}

{

Algunas propiedades c

Para todo x

∈ U se tiene: (x ∈ A) ∨ (x ∈ A ).

φc = U

= φ

c

∧ U

(Ac )c = A

2.7.2.

Otras operaciones entre conjuntos

Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U .

}

23


La intersección de A y B, la cual se denota A todos los elementos comunes a A y B , esto es A

∩ B, es el conjunto de

∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B }



∩ B.

∩ B = A, cuando A ⊆ B.

24


Figura 2.12: Diagrama de Venn para A B = φ, cuando A y B son disjuntos.

∩

Ejemplo 2.9 Si A = i,w,v,x,y,z y B = a,b,c,x,y , entonces A B = x, y .

∩

{ { }

}

{

}

La unión de A y B, la cual se denota A B, es el conjunto de todos los elementos que están en A o en B , esto es

∪

A

∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B }.


∪ B.

25




∪ B = B, cuando A ⊆ B.

∪ B, cuando A y B son disjuntos.

{ √ √ } {− }

Ejemplo 2.10 Si A = π, 2, e y B = 1, 0, 1, π, 2, e . entonces A B =

∪

2.7.3.

∩ y ∪

{−1, 0, 1},

Propiedades de

∪ A = A y A ∩ A = A (idempotencia) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad de ∪ y ∩). A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C (Asociatividad de ∪) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C (Asociatividad de ∩) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (distributividad de ∪ con respecto a ∩) A

26

2.8 M´ as definiciones

A (B C ) = (A B) (A C ) (distributividad de con respecto a

∩ ∪

(A

c

= A c

c

= A c

∪ B) (A ∩ B) 2.8.

∩ ∪ ∩ ∩

∩B ∪B

∪)

c

(Ley de De Morgan)

c

(Ley de De Morgan)

M´ as definiciones

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y sólo si A

∩ B = φ.

Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, se define el Producto Cartesiano de ellos, el cual se denota por A B, como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a pertenece a A y b pertenece a B, esto es A B = (a, b) : a A b B

×

×

{

∈ ∧ ∈ } Observaci´ on 2.4 Note que, en general: A × B  = B × A.

Observaci´ on 2.5 Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, entonces A B tiene m n elementos.

×

·

Ejemplo 2.11 Si A = 1, 2 y B = 3, 4, 5 , entonces A B = (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) y on B A = (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2) . Usando la observaci´ 2.5, que A tiene 2 elementos y B tiene 3 elementos tenemos que A B tiene 2 3 = 6 elementos.

×

{

×

{

{ }

{

}

}

}

×

·

2.9.

Partici´ on de un conjunto

Sean A1 , A2 , . . . , An subconjuntos de un conjunto B. Se dice que A1 , A2 , . . . , An es una PARTICION de B si estos conjuntos son no vac´ıos, disjuntos dos a dos y su unión es el conjunto B , vale decir si y sólo si:

{

Ai = φ, para cada i

 A ∩A i

j

∈ {1, 2, 3, . . . , n}. = φ, para i  = j.

n



i=1

Ai = B.

}

27

2.10 Cardinalidad

on de B es A1 , A2 , A3 Ejemplo 2.12 Si B = 1, 2, 1 , entonces una partici´ con A1 = 1 , A2 = 2 y A3 = 1 .

{ { }

{ }

2.10.

−} {− }

{

Cardinalidad

El n´ umero de elementos de un conjunto finito A se llama cardinalidad de A y se denota A .

| |

2.10.1.

Propiedades de la cardinalidad

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A

| ∪ B| = |A| + |B|. Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces |A∪B | = |A| +|B |−|A∩B |. Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces

|A ∪ B ∪ C | = |A| + |B| + |C | −|A ∩ B|−|A ∩ C | −|B ∩ C | + |A ∩ B ∩ C |. Ejemplo 2.13 Si A = 1, 2, 1 y B = 1, 3, 5, 7, 9 , entonces A B = 1 , A = 3, B = 5, A B = 1 y A B = A + B A B = 3 + 5 1 = 7.

| |

2.11.

| |

{ | ∩ |

−} { } | ∪ | | | | |−| ∩ |

∩

−

{}

Conjuntos num´ ericos

Son aquellos conjuntos formados por números y que tienen un número infinito de elementos.

Figura 2.16: Relaci´ on entre los conjuntos numéricos: IN

⊆ ZZ ⊆ Q ⊆ IR.

}

28

2.11 Conjuntos numéricos

2.11.1.

Conjunto de los n´ umeros naturales IN. IN = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

{

}

El conjunto de los Números Naturales surge de la necesidad de contar. Este conjunto se caracteriza porque: Tiene infinitos elementos. Cada elemento tiene un sucesor y cada elemento, excepto el 1, tiene un antecesor. El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); y el antecesor se obtiene restando uno (-1).

2.11.2.

Conjunto de los n´ umeros enteros Z Z =

Z Z.

{. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}

El Conjunto de los Números Enteros nace de la necesidad de dar solución al problema que surge cuando restamos dos números naturales y el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en el Conjunto de los números Naturales (por ejemplo: 1 2 =¿?). Debido a esto, la recta num´ erica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

−

Observaci´ on 2.6 Si definimos, el conjunto de los enteros negativos, como: Z Z = . . . , 6, 5, 4, 3, 2, 1 , −

entonces ZZ =

2.11.3.

−

Z Z

{ − − − − − − } ∪ {0} ∪ IN.

Conjunto de los n´ uneros racionales Q Q=

a

Ejemplo 2.14 Tenemos que:

b

1 2

: a, b

∈ Q,



∈ ZZ, b = 0 ∈ Q, 0,001 ∈ Q, etc.

3 2

−

Z Z

,

29

2.12 Problemas de teor´ıa de conjuntos

El conjunto de los Números Racionales surgió debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para arreglar esta dificultad, se creó este conjunto.

2.11.4.

Conjunto de los n´ umeros irracionales Q∗

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a los números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos tenemos a las ra´ıces inexactas, el número π, etc. A este conjunto pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son n´ umeros decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que s´ı pueden transformarse en una fracción. ∗

Ejemplo 2.15 Tenemos que: π Q ,

∈

2.12.

√ 2 ∈ Q , √ 5 ∈ Q , etc. ∗

∗

Problemas de teor´ıa de conjuntos

Problema 1 Sea M el conjunto de los números naturales menores que 5. a) Escriba el conjunto M por comprensión. b) Escriba el conjunto M por extensión.

Problema 2 Expresar por extensión los siguientes conjuntos: a) A = x : x es una vocal de la palabra “ Auditor” o “ Contador” .

{ b) B = {x : x es una vocal de la palabra “ IVA” }.

}

Problema 3 Sean los conjuntos A y B, tales que: A B = a,b,c,d A B = a, c A B = b . Hallar A y B .

∩

{ } ∧ −

∪

{} Problema 4 Sea U = {x ∈ ZZ : −1 < x ≤ 7 } y los conjuntos: A = {x ∈ U : x > 2 } B = {x ∈ U : 4 ≤ x < 7 } C = {x ∈ U : x ≥ 3 }

{

}∧

30


Encuentre: a) (A

c

∩ B) − C b) (A ∪ C ) − (A ∩ B) c) (C ∪ A) − B d) (A ∪ B) − (C − A) e) [A − (B − C )] c

c

c

c

Problema 5 Dado los conjuntos A = 1, 2, 3 y B = a,b, c ; encuentre los conjuntos (A) y (B).

P

{

P

}

{

{ }}

Problema 6 Sean los conjuntos A = 1, 2, 4, 5, 7 , B = 7, 8, 9 y C = 1, 2, 3, 4 . Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.

{

} a) (A − (A − B)) = A ∪ B b) (A ∪ B) − (B ∩ A ) = A c) (A ∩ C ) − (A − B) ⊆ A c

c

{

}

{

}

c

c

Problema 7 Determine si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Falsas. a)

−7 ∈ IN √ b) 7 ∈ Q c) ( 1)3

− ∈ ZZ √ / Q d) 3 ∈ ∗

Problema 8 Determine si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) Todos los números naturales tienen sucesor. b) Alg´ un n´ umero natural es impar y es divisible por 2. c) Todo n´ umero natural menor que 10 es menor que 9.

Problema 9 Sean A = 3, 0, 5 , B = 0, 5, 3 y C = 0, 5 . Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En el caso de que sean falsas indique por qué.

{−

}

{

−}

{ }


31

a) C A.

⊆

b) A = B. c) C A.

∈ d) C ⊆ B.  C . e) A = f) φ = {φ}. g) A ⊆ B. h) φ ⊆ B. Problema 10 En una investigación a mil estudiantes de un Instituto se determin´ o que 720 ten´ıan cassettes, 670 pose´ıan CD y 540 ten´ıan ambas cosas. Determinar: a) ¿ Cuántos estudiantes tienen cassettes o CD? b) ¿ Cuántos estudiantes no tienen cassettes ni CD? c) ¿ Cuántos estudiantes tienen sólo CD? d) ¿ Cuántos estudiantes tienen sólo cassettes?

Problema 11 Se investigó un grupo de 5500 personas en relació n con la estrategia de ahorrar combustible. De éstas, 2000 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado ser´ıa fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado ser´ıa la aplicación de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas. Determinar: a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior. b) ¿ Cuántas personas aceptar´ıan en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto? c) ¿ Cuántas personas aceptar´ıan en forma voluntaria el impuesto, pero no el racionamiento? d) ¿ Cuántas personas no aceptar´ıan en forma voluntaria ninguno de los dos cursos de acción?

Libro Logica y Conjuntos.pdf

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