Libro de Logica

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Lógica Matemática Guía Didáctica

4 CICLO

27401

LÓGICA MATEMÁTICA Guía Didáctica

Pablo Ancelmo Ramón Contento

© 2006, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593-7-2588730, Fax: 593-7-2585977 C.P: 11-01-608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Primera edición Segunda reimpresión Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Agosto, 2007

LÓGICA MATEMÁTICA Guía Didáctica

Pablo Ancelmo Ramón Contento

© 2006, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593-7-2588730, Fax: 593-7-2585977 C.P: 11-01-608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Primera edición Segunda reimpresión Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Agosto, 2007

Í ndice INTRODUCCIÓN ................................ .................................................................... ......................................................................... ............................................. ........ OBJETIVOS GENERALES ................................ .................................................................... ..................................................................... ................................. BIBLIOGRAFÍA ............................... ................................................................... ......................................................................... ................................................... .............. ORIENTACIONES GENERALES.........................................................................................

5 7 7 9

PRIMER BIMESTRE............................... ................................................................... ......................................................................... ............................................. ........ 11

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................... ................................................................... ..................................................................... ................................. CONTENIDOS ................................. ..................................................................... ......................................................................... ................................................... .............. DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .................................................................................. CAPÍTULO 1. Aritmética Binaria ......................................................................................... CAPÍTULO 2: Proposiciones .................................. ...................................................................... ............................................................... ........................... CAPÍTULO 3: Inferencia lógica ............................................................................................ AUTOEVALUACIÓN................................. ..................................................................... ......................................................................... .........................................

11 12 13 13 19 26 34

SEGUNDO BIMESTRE ............................... ................................................................... ......................................................................... ......................................... 37

OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................... ........................................................................ ............................................................... ........................... CONTENIDOS ................................. ..................................................................... ......................................................................... ................................................... .............. DESARROLLO DEL APRENDIZAJE .................................................................................. CAPÍTULO 1: Lógica de Predicados ................................................................................... CAPITULO 2: Teorías matemáticas ..................................................................................... AUTOEVALUACIÓN ................................ .................................................................... ......................................................................... .........................................

37 38 39 39 51 54

SOLUCIONARIO DE LAS AUTOEVALUACIONES ....................................................... 56 GLOSARIO DE SINÓNIMOS ................................ .................................................................... ............................................................... ........................... 58 ANEXOS .................................... ........................................................................ ......................................................................... ......................................................... .................... 59

EVALUACIONES A DISTANCIA

Guía Didáctica: Lógica Matemática

I ntroducción No puedes encontrar la verdad con la Lógica, si no la has encontrado ya sin ella. G. K. CHESTERTON

La lógica y su historia La lógica es una disciplina tan antigua como el hombre, pues su desarrollo está ligado al desarrollo intelectual del ser humano, por ello se la conoce como ciencia del razonamiento. El objetivo de la lógica matemática es cuestionar y sustentar los conceptos y reglas empleados en matemáticas, por ello se la considera una “Metamatemática”, donde la construcción de sistemas formales es su eje fundamental. El período clásico de la lógica está considerado entre los años 600 aC hasta 300 aC, en esta etapa de su desarrollo, Aristóteles presenta el razonamiento deductivo y sistematizado, además trata las reglas del razonamiento silogístico, y Euclides es quien tuvo mayor influencia en los matemáticos, al establecer el método axiomático, en su obra “Elementos”. Los lógicos de la edad moderna (Leibniz, Euler y otros) procuraron simplificarla al máximo y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX (Boole, De Morgan, Fregué, Russell), donde surgen la lógica simbólica, la lógica booleana, el cálculo proposicional, la teoría de cuantificación; pero también aparecen los estudios de Russell y Godel que ponen en evidencia algunas limitantes de la lógica y de la ciencia en general. Posteriormente, Turing une la lógica y la computación demostrando que es posible construir una máquina universal simple capaz de realizar operaciones matemáticas e incluso imitar cosas realizables por el cerebro humano; estas contribuciones importantes para la computación dieron origen a la revolución digital con la invención de la computadora y el acceso universal a redes de alta velocidad. Se espera que la siguiente revolución lógica sea la asimilación práctica de la matemática y la computación dentro de la lógica, es decir que las máquinas exploten la información de forma inteligente pasando de bases de datos a bases de conocimientos.1

Importancia de la lógica Sin duda alguna, la lógica tiene impacto fundamental como ciencia de las ciencias en el pensamiento contemporáneo y en el surgimiento de la tecnología computacional. En este dominio, la inteligencia artificial, la programación lógica y la demostración automática de teoremas han producido desarrollos que desafían la creencia tradicional de que el razonamiento deductivo es patrimonio exclusivo del ser humano, al lograr su imitación  http://w3.mor.itesm.mx/~logica/

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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en el ámbito computacional. Las investigaciones lógicas en el ámbito de la matemática se han desarrollado en los últimos 70 años básicamente en cuatro direcciones: la teoría de la demostración, la aritmética recursiva, la teoría de modelos (o estudio de la relación de los lenguajes formales y sus interpretaciones) y la teoría de conjuntos. Por todo lo mencionado, es importante el estudio de la lógica en la formación de los profesionales de la educación, porque esta proporciona técnicas sencillas que permitirán determinar la validez de un argumento, realizar deducciones y plantear demostraciones. Empezamos el estudio de esta asignatura, en el primer bimestre, haciendo una breve revisión del sistema de numeración binario, las operaciones básicas de interconversión con otros sistemas, y además porque es un lenguaje que ha empleado la lógica para el desarrollo de la computación; luego revisaremos la teoría básica de las proposiciones y la inferencia como unidad fundamental dentro de la lógica ya que en ésta se definen las propiedades, operaciones y reglas que permiten realizar pruebas formales de validez de razonamientos. Tomando como base lo aprendido en las unidades mencionadas, en el segundo bimestre estudiamos la teoría de cuantificadores, el silogismo y métodos de demostración con la ayuda de la teoría axiomática. Con estos temas básicos, se busca desarrollar en el alumno un criterio de alto nivel en lo referente al razonamiento lógico y que éste a su vez le permita hacer uso adecuando de las técnicas de comprobación y demostración. No se exigen conocimientos previos para esta disciplina aparte de nociones básicas de aritmética y conjuntos. Para abordar adecuadamente la temática descrita, se ha seleccionado un texto actualizado que emplea un lenguaje sencillo y en el cual consta un alto porcentaje de los contenidos previstos; sin embargo es fundamental la revisión de la bibliografía complementaria a fin de ampliar y reforzar los conocimientos. Al respecto de la bibliografía hablaremos en forma más detallada luego de los objetivos generales que se han planteado para este curso.

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jetivos G enerales O •

Potenciar en el alumno la capacidad de razonar y formalizar correctamente.

•

Dar a conocer conceptos básicos y herramientas de la lógica matemática y sus aplicaciones.

B ibliografía Texto Básico PASCUAL JULIAN IRANZO, Lógica Simbólica para Informáticos, Editorial Alfaomega Ra-Ma, Colombia 2006. Este texto pone de relieve la relación entre la Lógica y la Informática, así como se relacionan la Física y la Matemática; su estudio se centra principalmente en los sistemas lógicos tradicionales (lógica de proposiciones y predicados) dando gran importancia a la formalización y procesos deductivos. Se lo considera como fuente primaria de información para el estudiante de modalidad abierta porque el desarrollo de sus contenidos busca equilibrar sin caer en el estudio meramente descriptivo de la lógica, además cuenta con suficientes ejercicios propuestos para la práctica de los estudiantes.

Textos Complementarios ASTUDILLO Dolores, ENCISO Liliana, Lógica Matemática, Universidad Técnica Particular de Loja, Loja, Ecuador 1998. Se trata de un texto guía diseñado para estudiantes de Modalidad Abierta, ofrece un curso completo de Lógica Matemática, tratando en forma muy didáctica los contenidos y con una gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos. BARCO GÓMEZ Carlos, BARCO GÓMEZ Germán y ARISTIZABAL BOTTERO William, Matemática Digital, Editorial MacGraw-Hill Colombia 1998. Propone un estudio de la lógica matemática orientado para informáticos, ingenieros y tecnólogos, desarrolla los contenidos orientados a la tecnología por ello el uso puntual de la sintaxis y los problemas de aplicación. Sin embargo, se lo considera importante para el estudio de la lógica en el campo de la educación, puesto que no podemos desvincular a la lógica y sus aplicaciones tecnológicas. MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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PROAÑO Ramiro, Lógica, Conjuntos y Estructuras, Editorial Escuela Politécnica Nacional, Quito-Ecuador 1992. Es un texto que presenta en forma puntual el desarrollo de los temas referentes a la lógica, utilizando conceptos muy resumidos y una gran cantidad de ejemplos, lo que permite que el estudio sea más interesante, y al final de cada unidad propone un test como un indicador de la asimilación del conocimiento que se ha logrado. Además podemos añadir que cumple las expectativas del estudiante de lógica y temas afines, porque ha sido desarrollado en un ambiente propicio considerando la experiencia y fortalezas de personas que se dedican a la educación universitaria. SUPPES Patrick, HILL Shirley, Lógica Matemática, Editorial Revete SA, España 1982. Aunque hayan pasado más de veinte años de su publicación, podemos decir que no ha perdido vigencia debido a que los contenidos que desarrolla son relevantes dentro de la lógica, además, propone una gran variedad de ejemplos prácticos al finalizar cada unidad, y su lenguaje es muy sencillo de entender, sin perder el rigor de estudio.

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rientaciones G enerales enerales O rientaciones El curso de esta materia tiene una duración aproximada de 70 horas, esto implica que usted debe distribuir su tiempo de forma adecuada, dedicar aproximadamente 4 horas por semana para revisar los contenidos de la materia; tomando en cuenta que se trata de una disciplina donde la teoría y la práctica deben ir de la mano. Los materiales básicos para un estudio efectivo, son la guía didáctica y el texto básico, además por tratarse de una materia que basa sus técnicas en la aplicación de leyes o reglas, y manipula un conjunto de enunciados simbolizados, es conveniente que al momento de realizar los ejercicios prácticos, tenga a su alcance un formulario con todas las equivalencias y reglas. Sin embargo, tampoco es recomendable que sea dependiente de su formulario, sino que sepa aplicar correctamente y con buen criterio todas las fórmulas y axiomas que se requieren para realizar una prueba formal o demostración. Por otra parte, como ya se indicó en la introducción de la guía, no se requieren conocimientos avanzados de matemática o de otro tipo para iniciarse i niciarse en el estudio de la lógica matemática; solamente deberá escoger una metodología adecuada que le permita revisar el sustento teórico, los ejemplos resueltos, las aplicaciones y emprender en el desarrollo de su trabajo a distancia. No olvide que siempre hay una persona en la universidad que le puede asesorar ante cualquier dificultad que se le presente en el transcurso de la materia, para ello debe hacer uso efectivo de los medios que están a su alcance como son el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) y el teléfono o fax. Con respecto al EVA debo manifestar que la universidad, a través de sus docentes investigadores, preocupada porque el estudiante de la Modalidad Abierta y a Distancia acceda a una educación de calidad, ha desarrollado una forma innovadora de asesoría vía Internet, a la que podríamos llamar “aula virtual” donde usted encontrará los anuncios o explicaciones que cada profesor escribe para sus alumnos semanalmente, y esta asignatura no es la excepción; además de leer los anuncios puede encontrar material complementario en digital con respecto a los temas de la materia, y participar interactivamente con los demás compañeros a través del foro, el mismo que será calificado según lo estime el profesor. Complementariamente, en la guía didáctica usted dispone de una autoevaluación por cada bimestre, la misma que sirve como indicador para “medir” el grado de comprensión de la materia, por ello es recomendable que la desarrolle luego de culminado el estudio de cada bimestre, y compare su resultado con la solución que se encuentra al final de la guía.



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P

rimer Bimestre

O bjetivos E specíficos -

Definir y caracterizar los principales sistemas de numeración utilizados en computación.

-

Comprender las técnicas de conversión de un número en diferentes bases.

-

Realizar algunas operaciones básicas con números binarios.

-

Introducir la terminología básica que se emplea en códigos de computador.

-

Definir y distinguir una proposición lógica de cualquier enunciado, y sus clases.

-

Utilizar tablas de verdad para demostrar que una proposición o esquema molecular es una tautología, contradicción o contingencia.

-

Introducir las nociones de argumento, lenguaje formal, estructura de un enunciado, consecuencia lógica, en base a la exposición del sistema formal.

-

Caracterizar un argumento desde el punto de vista de la lógica formal y simbólica.

-

Utilizar adecuadamente la simbología de proposiciones, conectores, signos de puntuación o agrupación, en el planteamiento de un argumento.

-

Utilizar correctamente las reglas de inferencia para realizar la prueba formal de validez de un argumento.

-

Determinar si un conjunto de premisas es consistente o no, mediante el uso de reglas de inferencia.

-

Representar circuitos lógicos a partir de esquemas moleculares.



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C ontenidos 1.

ARITMÉTICA BINARIA Y CÓDIGOS DE COMPUTADOR

1.1 1.2 1.3 1.4 2.

PROPOSICIONES

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.

Proposiciones.- Definiciones básicas Conectivos lógicos Tablas de verdad Equivalencias lógicas Tautologías, contradicciones

INFERENCIA LÓGICA

3.1 3.2 3.3 3.4

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Sistema binario Conversiones Operaciones con binarios Códigos de computador

Reglas de inferencia Prueba formal de validez Consistencia e inconsistencia Circuitos lógicos

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D esarrollo del Aprendizaje ARITMÉTICA

CAPÍTULO 1:

BINARIA

El sistema de numeración utilizado universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital es el decimal (base 10), el mismo que consta de 10 dígitos (0-9) que podemos colocar en grupos, ordenados de izquierda a derecha y de mayor a menor; nos valemos de este sistema para representar cualquier cantidad en el conjunto de los reales. Cada posición tiene un valor o peso de 10n donde n representa el lugar contado por la derecha, por ejemplo: 2135 = 2 x 103 + 1 x 102 + 3 x 101 + 5 x 100 Explícitamente, se indica la base de numeración como 123510. Sin embargo habrá situaciones en las que los valores decimales tengan que convertirse en valores binarios antes de ser introducidos en un sistema digital, esto implica que los valores binarios de la salida tengan nuevamente que convertirse en decimales para ser presentados al mundo exterior. Situación Real DECIMAL

Sistema Digital BINARIO

Mundo Exterior DECIMAL

Sistema Binario En un ordenador el sistema de numeración es binario (en base 2), utilizando el 0 y el 1, debido precisamente al número de estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora. Adoptando la notación de la lógica positiva tenemos: 1 (verdadero, activo), 0 (falso, inactivo). Análogamente a la base 10, cada posición tiene un valor de 2n donde n es la posición contando desde la derecha y empezando por 0: 1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 Además, por su importancia y utilidad, es necesario conocer otros sistemas de numeración como son el octal (base 8) y el hexadecimal (base 16), utilizados para representar números binarios grandes, además de su amplia aplicación en los sistemas digitales. En la tabla siguiente se muestra las equivalencias de los cuatro sistemas mencionados. MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Octal* 0 1 2 3 4 5 6 7 -

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

* Para el octal se agrupan en cifras de 3.

Con el uso de esta tabla, es muy sencillo convertir un binario ya sea a octal o hexadecimal, si agrupamos las cifras binarias de 3 en 3 (octal) o de 4 en 4 (hexadecimal): Base 2 a base 8: 111 0102 = 728 Base 2 a base 16: 0100 11002 = 4C16 A la inversa, basta convertir cada dígito octal o hexadecimal en binario: Base 8 a base 2: 328 = 011 0102 Base 16 a base 2: 3216 = 0011 00102 Estructura elemental de la memoria de la computadora

Toda la memoria del ordenador se compone de dispositivos electrónicos que pueden adoptar únicamente dos estados, que representamos matemáticamente por 0 y 1. Cualquiera de estas unidades de información se denomina BIT , contracción de «binary digit» en inglés. Cada grupo de 8 bits se conoce como byte u octeto. Es la unidad de almacenamiento en memoria, la cual está constituida por un elevado número de posiciones que almacenan bytes. La cantidad de memoria de que dispone un sistema se mide en kilobytes (1 Kb = 1024 bytes), en megabytes (1 Mb = 1024 Kb), gigabytes (1 Gb = 1024 Mb), terabytes (1 Tb = 1024 Gb) o petabytes (1 Pb = 1024 Tb). Los bits en un byte se numeran de derecha a izquierda y de 0 a 7, correspondiendo con los exponentes de las potencias de 2 que reflejan el valor de cada posición. Un byte nos permite, por tanto, representar 256 estados (de 0 a 255) según la combinación de bits que tomemos. Cada grupo de cuatro bits de un byte constituye un nibble, de forma que los dos nibbles de un byte se llaman nibble superior (el compuesto por los bits 4 a 7) e inferior (el compuesto por los bits 0 a 3). El nibble tiene gran utilidad debido a que cada uno almacena un dígito hexadecimal.

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CONVERSIONES 2 Conversión de binario a decimal.- El sistema de numeración binario es un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición, donde el número binario puede convenirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1. Por ejemplo:

1 1 1 0 1 12 de binario a decimal 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910 Conversión de decimal a binario.- Existen dos maneras de convertir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits. Por ejemplo:

45 = 32 + 8 + 4 + l = 2 5 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20 entonces es igual a 1 0 1 1 0 12 Pasar a decimal el binario 1

0

1

101011102 0 1

1 1

0

0 1 1 1 0 1 0 1

* * * * * * * *

20 21 22 23 24 25 26 27

=0 =2 =4 =8 =0 = 32 =0 = 128 174 101011102 = 17410

El segundo método consiste en dividir repetidas veces el número entre 2 hasta que su cociente sea menor que él. Por ejemplo: 174 2 0 87 1

2 43 1

2 21 1

2 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1

 www.monografías.com



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Observemos que el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. El número quedaría como sigue: 1 0 1 0 1 1 1 02

OPERACIONES CON BINARIOS Hay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta, multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud de los operandos. La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando, y las otras cuatro sobre dos operandos. -

La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son 1

-

La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos es 1

-

La operación XOR (O EXCLUSIVO) tiene resultado 1 si los operandos son distintos (uno en 0 y el otro en 1)

-

La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y viceversa

-

La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números decimales. AND

OR

XOR

NOT

ADD

0*0=0

0+0=0

0X0=0

NOT 1 = 0

0+0=0

0*1=0

0+1=1

0X1=1

NOT 0 = 1

0+1=1

1*0=0

1+0=1

1X0=1

1*1=1

1+1=1

1X1=0

-----

1+0=1 1 + 1 = 10

Observación: Estas operaciones tienen relación directa con las tablas de verdad de los operadores lógicos que se desarrollan en el siguiente capítulo, y que las puede revisar en las páginas 25-27del texto básico.

Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10, es decir, la operación se desarrolla en forma tradicional, salvo el caso de 1+1=10 como se indica en la tabla anterior. Ejemplos de suma +

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0

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Acarreo 25 + 43 68



1 1 +

Acarreo 6.50 + 13.25 19.75

1 1 0. 1 0 1 1 0 1. 0 1 1 0 0 1 1. 1 1

Ejemplo de producto 1 * 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1

1 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1

25 * 19

1 1

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Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos “1” para la operación del dígito siguiente). Este llevarse “1” es bastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como “acarreo” (que suena muy mal, asi que le seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman “booleanas” ya que se basan en el álgebra de Boole. Complemento a dos.- Se define como el valor negativo de un número el que necesitamos sumarlo para obtener 0. En general, para hallar el complemento a dos de un número cualquiera basta con calcular primero su complemento a uno, que consiste en cambiar los unos por ceros y los ceros por unos en su notación binaria, luego se le suma una unidad para calcular el complemento a dos. Con una calculadora, la operación es más sencilla: el complemento a dos de un número A de n bits es 2n-A.

CÓDIGOS DEL COMPUTADOR Agrupaciones de bytes Tipo Palabra Doble palabra Cuádruple palabra Párrafo Página Segmento

Definición 2 bytes contiguos 2 palabras contiguas (4 bytes) 4 palabras contiguas (8 bytes) 16 bytes 256 bytes, 16 Kb, etc. 64 Kbytes

Números binarios codificados en decimal (BCD)

Consiste en emplear cuatro bits para codificar los dígitos del 0 al 9 (desperdiciando las seis combinaciones que van de la 1010 a la 1111). La ventaja es la simplicidad de conversión a/de base 10, que resulta inmediata. Los números BCD pueden almacenarse desempaquetados, en cuyo caso cada byte contiene un dígito BCD (Binary-Coded MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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Decimal); o empaquetados, almacenando dos dígitos por byte (para construir los números que van del 00 al 99). La notación BCD ocupa cuatro bits -un nibble- por cifra, de forma que en el formato desempaquetado el nibble superior siempre es 0. Números en punto flotante

Son grupos de bytes en los que una parte se emplea para guardar las cifras del número (mantisa) y otra para indicar la posición del punto flotante (exponente), de modo equivalente a la notación científica. Esto permite trabajar con números de muy elevado tamaño -según el exponente- y con una mayor o menor precisión en función de los bits empleados para codificar la mantisa. Código ASCII

El código A.S.C.I.I. (American Standard Code for Information Interchange) es un convenio adoptado para asignar a cada carácter un valor numérico; su origen está en los comienzos de la Informática tomando como muestra algunos códigos de la transmisión de información de radioteletipo. Se trata de un código de 7 bits con capacidad para 128 símbolos que incluyen todos los caracteres alfanuméricos del inglés, con símbolos de puntuación y algunos caracteres de control de la transmisión. Por ejemplo si usted pulsa en el teclado de una computadora, la combinación de teclas: Alt-94 (en una portátil: alt gr 2), observa que se genera el símbolo @; estos símbolos son generados por el código ASCII. Espero que con estas cortas definiciones y ejemplos que se han desarrollado, usted haya asimilado la teoría fundamental de los números binarios. No es el objetivo de esta guía desarrollar a detalle toda la teoría de la Aritmética Binaria, pero con lo expuesto seguro que usted estará en capacidad de entender cualquier texto que se escriba en este lenguaje. Ahora continuamos con la revisión de un tema básico para el desarrollo de la Lógica Simbólica, como es la teoría proposicional.

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PROPOSICIONES

CAPÍTULO 1I:

(Capítulo 2 del texto básico)

La palabra lógica proviene del término griego “logos” que significa razonamiento o discurso, y se trata de una disciplina que estudia las formas y leyes del pensamiento basada en un lenguaje exacto y un conjunto de reglas que permite obtener una conclusión. También se concibe a la Lógica como ciencia que enseña a razonar con exactitud ya sea de forma verbal o matemática mediante un lenguaje simbólico. Como ya se lo manifiesta en la introducción de esta guía, es una disciplina tan antigua que formalmente empezó a ser estudiada por Aristóteles (siglo IV aC), y siglos más tarde, toda esta teoría fue utilizada por George Boole (1847) para desarrollar la lógica Matemática o Simbólica, que ahora es motivo de nuestro estudio. Proposición.- Sentencia declarativa que puede ser verdadera o falsa pero no ambas. Las proposiciones serán expresadas a través de letras del alfabeto español denominadas variables: P, Q, R, … (a veces se emplean letras minúsculas: p, q, r, …).

Cabe destacarse que no toda oración gramatical representa una proposición, es así que, tratando de resumir podemos decir que representan proposiciones las oraciones declarativas (informativas, descriptivas, explicativas), las leyes científicas, las fórmulas matemáticas (teoremas), enunciados cerrados o definidos, entre otros. Clases de proposiciones

Se definen dos clases: proposiciones simples (atómicas) y compuestas (moleculares). Las primeras representan la unidad mínima de un razonamiento y no constan de conectores lógicos, y las segundas están conformadas por la unión de dos o más proposiciones simples, salvo el caso de proposiciones negativas donde el operador negación afecta sólo a una proposición. Esto lo veremos un poco más adelante. Ejemplos de proposiciones P. simples:

-

Einstein fue un prestigioso físico alemán. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo rectángulo.

P. compuestas:

-

Newton realizó contribuciones a la Física y a la Matemática. No es cierto que, si Juan estudia Matemática no pueda estudiar derecho.

-

3 http://www.itq.edu.mx/vidatec/espacio/Discretas/Mates.html(revisadoenJuniode006)



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También es importante hablar de un alfabeto proposicional , el mismo que está conformado por: -

Un conjunto de variables denominadas átomos: P, Q, R, … Un conjunto de conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, implicación y equivalencia) Los símbolos de agrupación (paréntesis, corchetes)

-

Conectivos Lógicos (operadores o conectores) .- son términos de enlace que sirven para formar nuevas proposiciones mediante las operaciones lógicas, dando lugar a representaciones simbólicas de fórmulas o esquemas moleculares complejos donde es necesario el uso de signos de agrupación para definir la jerarquía de cada conectivo. Son básicamente cinco: negación, conjunción, disyunción, condicional, bicondicional. En la tabla siguiente se muestra cada uno con la respectiva simbología y representación. OPERADOR

Negación

Conjunción Disyunción Inclusiva Disyunción Exclusiva

SIMBOLO LÓGICA BINARIA REPRESENTACIÓN no, es falso que, no ¬, ~ NOT es verdad que, es imposible que, etc. ∧, &, •

AND

∨, +

OR

∨, ∆

XOR

Condicional

→, ⇒

-

Bicondicional

↔, ⇔

-

Y, pero, incluso, sin embargo, aunque, también, etc. O, a menos que, salvo que, excepto que, etc. O bien A o bien B Entonces, por consiguiente, en conclusión, por tanto, etc. Si y sólo si, es idéntico, etc.

Complementariamente, cada operador tiene su propia tabla de verdad, las mismas que sirven para determinar el valor de verdad de proposiciones complejas (fórmulas), la limitante es que a medida que aumenta el número de proposiciones simples que componen la fórmula, el número de filas de la tabla crece geométricamente. La relación es la siguiente: “Para una fórmula que consta de n proposiciones simples, la tabla tendrá 2n filas”; por ello si n es igual a 2, 3 o 4 es manejable, para valores mayores, el uso de la tabla se vuelve complicado, y en este caso es preferible aplicar leyes de las proposiciones o reglas de inferencia que veremos más adelante.

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La combinación de las variables (P, Q, …) y los conectores lógicos por medio de signos de agrupación se denomina esquema molecular. Nota:

Fórmula Bien Formada (fbf).- Se define como:

-

Una fórmula atómica es una fórmula P es una fórmula, también lo es ¬P. Si P y Q son fórmulas, entonces la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia de P y Q también lo serán. Una expresión es una fórmula sí y sólo si se puede demostrar por las condiciones anteriores.

La jerarquía de los conectivos se aplica de la siguiente forma: Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Valor de Verdad.- Es una condición de verdad (V o F) asignada a una fórmula. Tabla de Verdad.- Es el resultado de aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada P se le denomina interpretación de P. Tautología (V).- Una fórmula P es una tautología si su valor es V para toda interpretación de P. El ejemplo más sencillo es: P ∨ ¬P. En general, es una fórmula que siempre es verdadera, independientemente del valor lógico de las proposiciones simples que la componen.

Un esquema molecular (proposición compuesta) es una tautología cuando en la tabla de verdad, los valores del operador principal, son todos verdaderos. Ejemplo: Demostrar que el esquema molecular: [(P∨Q) ∧ ¬P] → Q, es tautológico. P V V F F

¬Q V F V F

¬P F F V V

PvQ V V V F

(P∨Q) ∧ ¬P F F V F

[(P∨Q) ∧ ¬P] → Q V V V V

Se puede concluir que la proposición: [(P∨Q) ∧ ¬P] → Q representa una tautología; nótese que bajo el operador principal (→) todos los valores son V. Si observa en el texto básico, pág. 95, este esquema se refiere a la regla de inferencia básica denominada silogismo disyuntivo (o también Tollendo Ponens). La tabla anterior, escrita en binario sería: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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P 1 1 0 0

Q 1 0 1 0

¬P 0 0 1 1

PvQ 1 1 1 0

(P∨Q) ∧ ¬P 0 0 1 0

[(P∨Q) ∧ ¬P] → Q 1 1 1 1

Contradicción (F).- Una fórmula P es una contradicción o inconsistencia si su valor es F bajo cualquier posible interpretación de P. Ejemplo: P ∧ ¬P. Al contrario que tautología, todos los valores de la columna principal son falsos; es decir, la negación de una tautología será una contradicción.

Ejemplo: Demostrar que el esquema siguiente es una contradicción: [ [P → (Q ∨ R)] ∧ (Q→R) ] → (P → R)

(Queda como ejercicio)

Contingencia.- Un esquema molecular es contingente o representa una contingencia cuando en la columna principal de su tabla de verdad, existe por lo menos un valor verdadero y un falso. Equivalencia Proposicional.- Dos fórmulas P y Q se dice que son equivalentes si y sólo si P ≡ Q es una tautología.

Ejemplo: Probar que la proposición ¬P ∨ Q es equivalente a P → Q Para esto utilizamos la siguiente tabla: 1 P V V F F

2 ¬P F F V V

 Q V F V F

4 ¬P v Q V F V V

5

6

P →Q V F V V

(¬P v Q)↔ (P→Q) V V V V

Se observa en la columna 6 que todos los valores son verdaderos, lo que implica que se trata de una tautología; quizá sea suficiente desarrollar solamente hasta las columnas 4 y 5, y de su resultado se observa que son columnas iguales, luego la columna 7 sería la comprobación de esto. Los ejemplos más sencillos de equivalencias lógicas se resumen en la tabla de las Leyes del Álgebra Proposicional (Leyes de las proposiciones) que se puede apreciar en el Anexo No. 1de la Guía o en el Apéndice C literal C1 del texto básico.

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La diferencia básica entre bicondicional y equivalencia, es que el primero representa una operación entre proposiciones, mientras que la equivalencia es una relación entre fórmulas proposicionales. Nota:

Como se habrá dado cuenta, para construir una tabla de verdad, se requiere que el esquema molecular, fórmula o argumento esté simbolizado. A continuación se presenta un ejemplo de proposiciones textuales, de las cuales se busca probar su equivalencia. Ejemplo: Pruebe mediante tablas si las proposiciones A y B son equivalentes o no. A = No es el caso que, Juan apruebe el examen de admisión y no ingrese a la Universidad. B = Juan no aprobó los exámenes de admisión si él no ingresó a la Universidad. Paso 1: simbolizar cada proposición

Sean: P : Juan aprueba el examen de admisión Q : Juan ingresa a la Universidad Proposición A: ¬ (P∧¬Q) Proposición B: ¬Q → ¬P Las letras A y B representan a las proposiciones compuestas, mientras que las variables P y Q representan a las proposiciones simples. Paso 2: Plantear la tabla para cada proposición, esto se puede hacer de dos formas: escribir una tabla para la proposición A y otra para la B por separado, o utilizar la misma tabla para ambas proposiciones; probablemente la segunda opción es más adecuada, pero usted es libre de elegir cualquier alternativa. Utilizaré la segunda opción en este ejemplo. 1 P V V F F

2 Q V F V F

 4 5 6 7 ¬P ¬Q P ∧ ¬Q ¬ (P ∧ ¬Q) ¬Q → ¬P F F F V V F V V F F V F F V V V V F V V

Por la igualdad de las columnas (6) y (7) se concluye que las proposiciones A y B son equivalentes.



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Observaciones:

-

La forma del verbo (ser) que constituye la proposición, no cambia la forma lógica de la proposición. Ejm: Juan aprueba … o Juan aprobó. Tener presente que la forma de un condicional es: Si P entonces Q (P →Q), sin embargo hay argumentos que expresan lo mismo pero en forma inversa: Q si P, como ocurre en la proposición B del ejemplo anterior; esto no cambia la simbología.

Algunas Propiedades Básicas de los operadores Conmutativa

Tanto la conjunción como la disyunción tienen la propiedad conmutativa, es decir el orden de los enunciados de las conjunciones o de las disyunciones no altera su valor de verdad: es lo mismo P ∧ Q que Q ∧ P, y también es lo mismo P ∨ Q que Q ∨ P. Lo mismo podemos decir del operador bicondicional: P↔Q es lo mismo que Q↔P. Pero, ¿Ocurre lo mismo con el condicional? ¿Es lo mismo P → Q que Q → P? La respuesta es que no. Veámoslo con cierto detenimiento. Se dice que Q → P es el recíproco de P → Q. El implicador no tiene la propiedad conmutativa, como se aprecia en la comparación de las tablas de verdad de P → Q y de su recíproco Q → P: P V V F F

Q P→Q Q→ P V V V F F V V V F F V V

El enunciado Q → P es el recíproco de P→Q. De la tabla concluimos que un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes lógicamente. Veámoslo con un ejemplo: Sea P el enunciado “Llueve”, y Q: “El suelo está mojado”, siendo, por consiguiente P→ Q “Si llueve, entonces el suelo está mojado”. Veamos el recíproco de este enunciado: Q →P: “Si el suelo está mojado, entonces llueve”. Vemos que los dos enunciados no son lógicamente equivalentes, pues si P es verdadero, y Q falso: P→Q ("Si llueve, entonces el suelo está mojado") es necesariamente falso Q→P ("Si el suelo está mojado, entonces llueve") es verdadero, pues una falsedad implica cualquier cosa manteniendo la verdad del condicional.

• •

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Una variante del condicional es el contrarrecíproco, aunque un enunciado condicional y su recíproco no son equivalentes, sí lo son un enunciado condicional y su contrarrecíproco. El contrarrecíproco del enunciado P→Q es ¬Q →¬P (es decir, la negación de cada uno de los enunciados del recíproco). Observemos la tabla: P V V F F

Q V F V F

P →Q V F V V

¬Q ¬P ¬Q → ¬P F F V V F F F V V V V V

Observando la tercera y la sexta columna (ordenándolas desde el extremo izquierdo) se tienen iguales valores lo que permite concluir que un enunciado condicional y su contrarrecíproco son equivalentes lógicamente.



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2


INFERENCIA LÓGICA

CAPÍTULO III:

CONSISTENCIA E INCONSISTENCIA Para que una deducción sea correcta, es decir, la conclusión sea efectivamente una consecuencia lógica de un conjunto de premisas, se requiere que dicho conjunto sea consistente; de lo contrario, cuando no existe consistencia en las premisas, no se podrá obtener conclusión alguna, solamente contradicciones. En otras palabras, las premisas son inconsistentes siempre que la proposición que está formada por la conjunción de dichas premisas es equivalente a una contradicción. De lo manifestado podemos destacar las siguientes observaciones: Observaciones4

-

Un razonamiento es válido si y sólo si la conclusión es consecuencia lógica de premisas consistentes. Un razonamiento es válido si y sólo si de premisas consistentes ciertas, solo se puede obtener conclusiones ciertas.

Ejemplo: Determinar si el argumento simbolizado es válido. Premisa 1: P→Q Premisa 2: ¬Q Premisa 3: P∧R Conclusión: ¬P Primera Forma:: Utilizando tablas de verdad P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R P →Q V V F V V F F F V V F V V V F V

¬Q P∧R (P→Q)∧¬Q [(P→Q)∧¬Q] ∧ (P∧R) F V F F F F F F V V F F V F F F F F F F F F F F V F V F V F V F

La última columna de la tabla muestra la conjunción de todas las premisas del argumento, y sus valores son todos falsos; de esto se concluye que las premisas son inconsistentes y no es posible deducir ¬P. Como ya mencionó en páginas anteriores, la conjunción posee la propiedad conmutativa, lo que permite cambiar el orden de las premisas en la última columna, sin variar el resultado. 4 PROAÑORamiro,LógicaConjuntosyEstructuras,pág.45 2

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Segunda Forma: (Se desarrolla en el ejemplo 1 de la siguiente unidad)

PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Para iniciar con este importante tema dentro de la lógica proposicional, es importante que paralelamente vayan revisando el Capítulo 4 del texto básico. La prueba formal de validez, también llamada en el texto básico deducción natural (pág. 85), permite verificar si la conclusión en un razonamiento es consecuencia lógica de las premisas o proposiciones de partida. Para efectuar esta prueba, se requiere que el argumento esté correctamente simbolizado, con los conectivos y signos de agrupación en el lugar adecuado. Se puede proceder de dos formas, la primera sería utilizando tablas de verdad (como se indica en la pág. 43 del texto básico) y la segunda mediante la aplicación de reglas de inferencia. Reglas de Inferencia.- Son razonamientos válidos simbolizados, que permiten realizar una deducción lógica y probar que un conjunto de premisas es consistente o no. Es importante distinguir entre reglas de inferencia y leyes de las proposiciones, las primeras son implicaciones lógicas y las segundas, equivalencias lógicas; aunque pueden ser usadas ambas en una prueba formal de validez. Un resumen de las reglas de inferencia más utilizadas, usted puede observar en el Anexo 2 de esta Guía.

El hecho de emplear tablas de verdad para probar la validez de un argumento conlleva la manipulación de un número demasiado alto de variables, lo que aumenta el tamaño de la tabla; como lo manifesté anteriormente, las tablas son adecuadas cuando el número de proposiciones simples no es mayor que tres; para superar esta situación es conveniente utilizar leyes de inferencia. Usted puede consultar acerca de estas leyes, en el texto básico, págs. 89-97. Un argumento se dice válido (no necesariamente verdadero) si la conjunción de las premisas que lo conforman, implican lógicamente la conclusión. Simbólicamente: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ⇒ C es tautología

Donde,

P1, P2, …, Pn: premisas C: conclusión

En el texto básico, a un argumento el autor hace referencia como forma argumentativa (pág. 43). Para realizar la prueba formal de validez de un argumento se sugiere seguir los siguientes pasos:



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Paso 1: Simbolizar cada premisa, empleando variables para cada proposición atómica. Las premisas son las proposiciones (simples o compuestas) que anteceden a la conclusión, y en un argumento están separadas por un punto (en algunos casos ;). Paso 2: Frente a cada premisa se justifica con una P (o Pr. Para evitar ambigüedad) Paso : Enumerar cada renglón empezando desde las premisas. Paso 4: Justificar cada paso de acuerdo a la regla de inferencia empleada, con la abreviatura respectiva, indicando el número de las líneas de las cuales se ha hecho la inferencia. Observaciones

-

Cuando se realiza una demostración directa, el objetivo es obtener la conclusión del argumento, como consecuencia de aplicar las leyes de inferencia sobre las premisas. En el caso de la demostración indirecta , la meta es obtener una contradicción (Ejm: P ∧ ¬P) luego de haber agregado como premisa adicional, la negación de la conclusión. La demostración indirecta también es conocida como demostración por contradicción o reducción al absurdo.

Ahora revisemos una segunda forma para verificar la incosistencia de las premisas del argumento planteado en la unidad anterior; y además algunos ejemplos con cada tipo de demostración. Ejemplo 1: Utilizando el razonamiento anterior verifiquemos que las premisas son inconsistentes, mediante reglas de Inferencia. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

P→Q ¬Q P∧R P Q ¬Q ∧ Q

Pr Pr Pr S3 PP 1,4 AD 2,5

En el paso (6) se ha llegado a una contradicción, lo que implica una inconsistencia en el conjunto de premisas. Ejemplo 2: Verificar mediante demostración directa, si el argumento siguiente es valido. Estudiaré Informática ormática si y sólo si no repruebo el Nivel Com�n. No realizaré el viaje si y sólo si, estudio Informática y no repruebo el Nivel Com�n. Estudiaré Informática. En consecuencia, no realizaré el viaje.

Simbolizando las proposiciones simples tenemos:

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A: B: C:

Estudiaré Informática Repruebo el Nivel Común Realizaré el viaje

Identificación y simbolización de las premisas: Premisa 1:

Estudiaré Informática si y sólo si no repruebo el Nivel Común. A ↔ ¬B Premisa 2: No realizaré el viaje si y sólo si, estudio Informática y no repruebo el Nivel Común ¬C ↔ (A ∧ ¬B) Premisa 3: Estudiaré Informática. A Conclusión: No realizaré el viaje ¬C Planteamiento del argumento: Demostrar: ¬C Conociendo: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

A ↔ ¬B ¬C C ↔ (A ∧ ¬B) B) A (A→¬B ) ∧ (¬B ¬B B →A) [¬C ¬C C → (A ∧ ¬B)] B)] ∧ [(A ∧ ¬B) B)→¬C] C] (A→¬B ) ¬B (A ∧ ¬B) → ¬C A ∧ ¬B ¬C

P P P LB 1 LB 2 S1 PP 3,5 S5 AD 3,7 PP 8,9

En la fila (10) hemos llegado a la conclusión buscada. Las abreviaturas de las reglas de inferencia se muestran en el Anexo 2. Ejemplo 3: Determinar la validez del argumento, aplicando demostración indirecta. Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto no necesita branquias. Proposiciones simples: P Q R S

= = = =

La ballena es un mamífero La ballena toma oxígeno del aire La ballena necesita branquias La ballena vive en el océano



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Representación del argumento simbolizado Demostrar: ¬R A Partir de: 1) P→Q 2) Q→ ¬R 3) P ∧ S 4) R

Pr. Pr. Pr. PA (premisa adicional la negación de la conclusión) TT 2,4 TT 1,5 S3 AD 6,7 Puesto que 4 implica 8, queda demostrada la conclusión.

5) ¬Q 6) ¬P 7) P 8) ¬P ∧ P 9) ¬R

CIRCUITOS LÓGICOS Este tema no consta en el texto básico, sin embargo en el texto complementario de Lógica Matemática (Astudillo y Enciso) usted puede revisar algunas explicaciones adicionales y ejemplos prácticos. En la presente guía trataré de referirme a los circuitos lógicos de forma muy resumida y haciendo énfasis a la relación directa con la Lógica de proposiciones; además para esta unidad se requiere tener a la mano la tabla de las leyes proposicionales, porque estas servirán para simplificar circuitos. Analizar circuitos lógicos es de mucha importancia en esta materia porque permite observar la materialización del cálculo proposicional, considerando que aquellas proposiciones que involucran la presencia de los operadores conjunción o disyunción pueden ser traducidas en dos circuitos lógicos elementales: en serie y en paralelo, respectivamente; los mismos que han sido a su vez el origen para que por composición sucesiva se construyan circuitos cada vez mas complejos hasta llegar a los modernos microprocesadores y otros dispositivos electrónicos componentes de los actuales ordenadores materializados en los microchips que contienen o integran millones de componentes biestables (conectores). Haciendo un poco de historia, fue el matemático inglés George Boole el iniciador de la lógica, o cálculo de proposiciones, pero fue el matemático americano Claude Shannon, quien aplicó el álgebra de Boole al diseño de circuitos de conmutacion utilizados en las centrales telefónicas automáticas. Al matemático húngaro John von Neumann, se debe la actual estructura de los ordenadores.5 Un circuito es un sistema físico compuesto de cables conductores conectados entre sí por conectores de diferentes formas. Los circuitos lógicos elementales son de dos tipos: circuitos en serie y circuitos en paralelo. 5 http://biblioweb.sindominio.net/telematica/conf-ernesto/node9.html(revisadoenjuniodel006)

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Circuito en serie.- Está representado por el conector conjunción (∧); es decir, una proposición de la forma P ∧ Q, se representa de la forma:

Circuito en paralelo.- Está representado por el operador disyunción incluyente; así, una proposición de la forma P v Q es representada en la forma:

De manera análoga a como se forman proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones, se pueden construir los circuitos lógicos compuestos correspondientes a proposiciones compuestas, a partir de los circuitos lógicos elementales. Por ejemplo:

Que representa a la proposición: (¬P ∧ ¬Q) ∨ (P ∨ Q). Simplificación de circuitos

La simplificación de circuitos radica en aplicar las leyes proposicionales a la proposición que representa el circuito y deducir una proposición equivalente más sencilla. Ejemplo 1: Graficar el circuito que corresponde a la proposición: { [ P∧ ( Q v P ) ] v ¬P } ∧ Q El circuito es el siguiente:



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Simplificación: { [ P∧ ( Q v P ) ] v ¬P } ∧ Q

≡ { P v ¬P } ∧ Q ≡ V∧Q ≡ Q

Ley de Absorción Ley de Complemento Ley de Identidad

El circuito equivalente es:

Ejemplo 2: Dado el circuito, escribir la proposición y simplificarla mediante leyes de las proposiciones.

La proposición es: [(¬P∧ ¬Q) v (P v Q)] ∧ {(P∧ Q) v [(¬P v ¬Q) v P]} ∧ ¬P Aplicando leyes para simplificar el esquema se tiene: [(¬P∧ ¬Q) v (P v Q)] ∧ {(P∧ Q) v [(¬P v ¬Q) v P]} ∧ ¬P ≡ [¬(P v Q) v (P v Q)] ∧ {(P∧ Q) v (¬P v P v ¬Q)} ∧ ¬P

Leyes de Morgan y Asociat.

≡ V ∧ {(P∧ Q) v ( V v ¬Q)} ∧ ¬P

Ley de Complemento

≡ {(P∧ Q) v ( V )} ∧ ¬P

Ley de Identidad

≡ V ∧ ¬P

Ley de Identidad

≡ ¬P

Ley de Identidad

Se observa que el proceso de representación de circuitos lógicos a partir de proposiciones y viceversa es muy fácil, y para la reducción de circuitos, es decir, para obtener un circuito equivalente más sencillo, basta con aplicar algunas leyes de las proposiciones. A continuación propongo algunos ejercicios referentes a circuitos para que usted los resuelva y adquiera mayor comprensión y destreza en el tema.

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Ejercicios propuestos de circuitos lógicos 6

1.

Para cada proposición, escriba el circuito que corresponda, y luego simplifique lo máximo posible para obtener otro circuito equivalente. a) b) c)

2.

( Q v R ) v { [ ( P ∧ Q ) v R ] ∧ ( R v ¬Q ) } [ ( P v Q ) v ( ¬Q ∧ ¬P ) ] ∧ ( ¬P v ¬Q ) ∧ P { [ ( R v S ) v ( ¬R v ¬S ) ] ∧ ¬S } v [ R ∧ ( P v ¬R ) ]

A partir de los circuitos siguientes, escribir la proposición que representa cada uno y determinar un circuito equivalente simplificado en cada caso. a)

b)

c)

6 Ejerciciostomadosdeltextocomplementario:ASTUDILLOD.,ENCISOL.,LógicaMatemática



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AUTOEVALUACIÓN Es importante que luego de concluido el estudio de los temas que conforman el primer bimestre, resuelva esta autoevaluación con la finalidad de tener un indicador del grado de comprensión de los contenidos, esto le permitirá evaluarse a sí mismo(a) y corregir los errores, si estos existieren. Hágalo con toda libertad y responsabilidad; y luego de concluida compare sus respuestas con las del solucionario que está al final de la guía. ¡Éxitos!

Parte objetiva 1.

Escriba V si es verdadero o F si es falso, en cada uno de los siguientes enunciados.

a)

La operación binaria AND tiene como resultado 1 si sus dos operandos son 1.

(

)

Un conjunto de conectivos lógicos forma parte de un alfabeto proposicional.

(

)

De acuerdo a la agrupación de bytes, un párrafo es igual a 16 bytes.

(

)

d)

El bicondicional es una relación entre fórmulas proposicionales.

(

)

e)

En el caso de realizar una demostración directa, el objetivo es obtener una contradicción.

(

)

Para que un argumento sea válido, las premisas deben ser consistentes.

(

)

Las leyes de inferencia también se conocen como leyes de las proposiciones.

(

)

Un circuito en serie se representa por el operador disyunción.

(

)

b) c)

f) g) h)

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Parte de ensayo 2.

Convertir en binario cada uno de los decimales siguientes.

a) 3.

135.05

b) 0.175

Simbolice el argumento

“Si acepto el trabajo o dejo de pintar, no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de pintar. Por tanto, no realizaré mis sueños”. 4.

Realizar una deducción completa para el argumento del ejercicio anterior.

5.

Represente el circuito que corresponde a la proposición dada, y luego aplique leyes para obtener otro circuito equivalente.

P ∧ { ¬P ∨ [ ¬Q ∨ (P ∧ Q) ] } ∧ ¬Q



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S

egundo Bimestre

O bjetivos E specíficos -

Establecer correctamente la diferencia entre Lógica Proposicional y Lógica de Predicados.

-

Identificar y simbolizar los elementos de una proposición: términos y predicados.

-

Identificar y caracterizar los cuantificadores (universal y existencial) a través del uso correcto en la conformación de argumentos lógicos.

-

Convertir funciones proposicionales en proposiciones cerradas.

-

Realizar deducción proposicional en argumentos que contienen cuantificadores.

-

Reconocer los elementos del silogismo.

-

Identificar y aplicar correctamente las reglas del silogismo.

-

Utilizar los diagramas de Venn para comprobar la validez de los silogismos categóricos.

-

Realizar demostraciones de Teoremas, en el contexto de la Teoría de Axiomas.



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C ontenidos 1.

LÓGICA DE PREDICADOS

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 2.

Términos y predicados Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Especificación y Generalización Universal El Silogismo

TEORIAS MATEMÁTICAS

2.1. Generalidades 2.2. Axiomas y Definiciones 2.3. La Demostración.- Teoremas

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D esarrollo del Aprendizaje LÓGICA DE

CAPÍTULO I:

PREDICADOS

TÉRMINOS Y PREDICADOS Para iniciar con el estudio de este tema, nos ubicamos en la Parte III del Texto Básico. Una limitante de la lógica proposicional es la habilidad para expresar conocimiento. Un argumento o razonamiento complejo podría perder su significado cuando se lo representa en lógica proposicional. Para superar esto se ha desarrollado una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en los razonamientos, esta es la lógica de predicados . La lógica de predicados está basada en que los argumentos expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como sujetos o términos del predicado; también a los términos se les denomina variables que pueden ser sustituidas por un objeto. Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de verdad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de verdad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro. Por ejemplo, el siguiente predicado es verdadero: Los n�meros enteros positivos son naturales

El mismo predicado, pero con diferentes argumentos, puede no ser verdadero: Los n�meros enteros negativos son naturales. Los n�meros fraccionarios son naturales.

Las expresiones anteriores son ejemplos de Predicado Simple, puesto que solo requieren de un término. Pero también se pueden formar predicados dobles y múltiples, cuando el mismo predicado une dos o más términos. Los predicados también pueden ser utilizados para asignar una cualidad abstracta a sus términos, o para representar acciones o relaciones de acción entre dos objetos. Por ejemplo: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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Los n�meros enteros y los fraccionarios son reales. La integración de funciones cumple con la propiedad de multiplicación.

Obviamente, esto no es verdadero, pero la lógica de predicados no tiene razón de saber cálculo y si el predicado es dado como verdadero, entonces es considerado como lógicamente verdadero. Tales predicados, establecidos y asumidos como lógicamente verdaderos se denominan axiomas, y no requieren de justificación para establecer su verdad. Mas adelante, revisaremos con más detalle la teoría axiomática. Cuando la expresión involucra solo un predicado con un conjunto apropiado de términos unidos al mismo, dicha expresión se denomina Fórmula Atómica. Simbología de términos y predicados

La simbología de expresiones que contienen términos y predicados, varía en relación a las proposiciones simples. De manera específica, los predicados se simbolizan con letras mayúsculas y los términos con letras minúsculas. Ejemplo 1: Simbolizar la expresión: Una equivalencia lógica es una tautología Término: Predicado:

equivalencia lógica = e tautología = T

Luego, la expresión “Una equivalencia lógica es una tautología” sería: Te Para simbolizar, expresiones que contienen más de un término, hacemos uso de los operadores lógicos. Por ejemplo: Ejemplo 2: simbolizar: Los n�meros enteros y los fraccionarios son reales Términos:

números enteros = e números fraccionarios = f

Predicado:

reales = R

Luego, la expresión simbolizada sería: Re ∧ Rf Función proposicional.- Llamada también función lógica o enunciado formal sobre un conjunto A, es una expresión que se denota por: Fx. Esta función como tal no tiene valor de verdad, pero si x se reemplaza por cualquier a ∈ A, entonces Fa será verdadera o falsa, y de esta forma se convierte en proposición.

Ejemplo: Sea Fx: “x +1 > 5”, así, Fx es función lógica sobre los reales, pero no lo es sobre los complejos.

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Sustituyendo x por cualquier real, obtenemos una proposición. Si x=1: Si x = 7:

1 +1 > 5 7+1>5

Falsa Verdadera.

Como se observa, la verdad o falsedad de la proposición, dependerá del valor que asuma x. Es así que, el conjunto de elementos x que hacen a la proposición verdadera, se denomina conjunto de validez (V) de Fx. En símbolos: V = { x : x∈A, Fx es verdadera } En el ejemplo anterior Fx: x +1 > 5, el conjunto de validez será: V = {x: x > 6}

CUANTIFICADORES Cuantificador Universal.- Se simboliza por “∀” y se expresa mediante términos como: para todo, para cualquier, cada.

Dada una función Fx definida sobre un conjunto A, entonces: ∀x ∈ A: (Fx) o simplemente ∀x: (Fx), es un enunciado que representa “para todo x

elemento de A, Fx es una proposición verdadera”. Es decir, el conjunto de validez de Fx será todo el conjunto A. Ejemplo: Identificar si los enunciados son verdaderos o falsos. ∀n ∈N: (n+4>3)

Es verdadero, porque la desigualdad se cumple para todo

natural. ∀x ∈R: (x+2 ≠ 2)

Es falso, puesto que para x=0 no se cumple la desigualdad.

Cuantificador Existencial.- Se simboliza por ∃ y se lee: existe por lo menos uno, para algún.

Dada una función Fx definida sobre un conjunto A, entonces: ∃x ∈ A: (Fx) o simplemente ∀x: (Fx), es un enunciado que representa “para todo x

elemento de A, Fx es una proposición verdadera”. Ejemplo: ∃n∈N (n+4 < 7) El conjunto de validez está formado por los valores de n < 3, es decir n = 1 y 2.



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Proposiciones que contienen cuantificadores

Antes de empezar con la simbolización de proposiciones conformadas por cuantificadores, es importante conocer algunas claves al respecto. -

Las proposiciones compuestas por un cuantificador universal, emplean el condicional.

-

Las proposiciones conformadas por el cuantificador existencial, utilizan el operador conjunción para la simbología.

Negación de proposiciones que contienen cuantificadores

Simbólicamente se denota como: ¬∀x∈R: Fx ≡ ∃x∈R: ¬Fx, se lee: “No es cierto que, para todo x elemento de los reales se cumple Fx, es equivalente a; existe algún x elemento de los reales que no cumple Fx”. Observaciones

-

La negación del cuantificador universal es equivalente a la afirmación de cuantificador existencial, respecto de la proposición negada; y viceversa. Tanto las proposiciones universales como las existenciales posee su negativa respectiva, y se simboliza negando la segunda proposición (el consecuente en el caso del condicional).

El resumen de la simbolización de proposiciones se expone en la tabla siguiente: Afirmativas Todo P es Q: ∀x (Px→ Qx) Algún P es Q: ∃x (Px ∧ Qx)

Negativas Ningún P es Q: ∀x (Px→ ¬Qx) Algún P no es Q: ∃x (Px ∧ ¬Qx)

Los ejemplos que se proponen a continuación, permitirán entender con mayor facilidad lo expuesto hasta el momento. Ejemplo 1: Simbolizar las proposiciones afirmativas y su negación respectiva. 1)

Todo número primo es número real. Recuerde que las expresiones con cuantificadores involucran funciones proposicionales; así, en este caso podríamos simbolizarlas como: Px ⇔ x es número primo Ox ⇔ x es número real Finalmente incluimos el cuantificador y el operador: ∀x (Rx→ Ox)

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La proposición negativa será: Ningún número primo es número real. Utilizamos las mismas funciones que la afirmativa, solo agregamos la negación al consecuente: (x (Rx ( (Ox) 2)

Algunas ecuaciones son representaciones de la realidad. Ex ⇔ x es ecuación Rx ⇔ x es representación de la realidad La expresión completa: ∃x (Ex ∧ Rx). La proposición negativa será: Algunas ecuaciones no son representaciones de la realidad. Simbólicamente: ∃x (Ex ∧ ¬Rx)

También podemos aplicar la deducción natural (prueba formal de validez) en argumentos que contienen cuantificadores, es así que, todos los conceptos, reglas y técnicas de demostración estudiadas en Inferencia Lógica (Primer Bimestre) se utilizarán en este capítulo. Sin embargo existen algunas reglas propias de la lógica de predicados como Generalización Universal y Especificación Universal. Hagamos una descripción breve de cada una de ellas. Regla de Generalización Universal.- Se aplica cuando se pretende generalizar alguna propiedad; partiendo de que cualquier elemento (arbitrario) del conjunto cumple cierta propiedad, ésta se generaliza para todo el conjunto. Esta regla permite incluir cuantificadores universales. Cuando no se tiene la certeza de que ∀x (Fx) sea verdadera, podemos buscar un contraejemplo, es decir un elemento b del conjunto para el que se pueda demostrar que Fb es falso. Regla de Especificación Universal.- Esta regla se emplea en la demostración de argumentos lógicos que contienen cuantificadores universales, precisamente para eliminar los cuantificadores universales, y se basa en el principio de que si algo se cumple para todos los elementos de un conjunto, lo es con mayor razón para uno en particular. Podemos adoptar la abreviatura (EU). En el texto básico esta regla se define como Instanciación Universal (ver pág. 178)

Por ejemplo si tenemos la expresión: Todo n�mero par es divisible por dos. Simbólicamente: ∀x (Px→ Dx), donde Px = x es numero par, y Dx = x es divisible por dos. En esta proposición podemos hacer que x tome cualquier valor de tal forma que la proposición siga siendo verdadera, así por ejemplo, si x = 8, entonces la proposición ∀x (Px→ Dx) se convierte en P8 → D8, de esta forma se ha eliminado el cuantificador manteniéndose el valor de verdad. Es importante que al hacer la especificación universal, la proposición permanezca como verdadera porque en la deducción proposicional es MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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43


requisito imprescindible que las premisas sean verdaderas, para poder deducir una conclusión verdadera. Ahora propongamos un ejemplo más estructurado. Ejemplo 2: Simbolizar el argumento completamente y realizar la deducción mediante el uso de reglas de inferencia. Cada n�mero entero es n�mero real 5 es n�mero entero Por tanto, 5 es n�mero real.

Simbólicamente, si Ex ↔ x es entero, y Rx ↔ x es real, tenemos: Demostrar: R5. 1) 2) 3) 4)

∀x (Ex → Rx)

E5 E5 → R5 R5

Pr Pr EU 1, x=5 PP 2,3

Como se observa, para aplicar leyes de inferencia, las proposiciones no deben contener cuantificadores. Pasos para la deducción en lógica de predicados 1. 2. 3.

Simbolización de premisas Especificación de objetos para eliminar cuantificadores Aplicar reglas de inferencia para deducir la conclusión.

Complementariamente a las reglas anteriores, las hay para el cuantificador existencial, como son: eliminación e introducción del particularizador. En la presente guía no hablaremos de aquellas porque su estudio es más detallado y pueden presentarse confusiones con facilidad; de hecho en los ejemplos sucesivos solo emplearemos la regla de especificación universal porque intuitivamente es más fácil de entender, en contraste a la de generalización universal que requiere de mayor análisis. No obstante sería importante que revisen la información al respecto, en el texto básico págs. 183 – 185. No siempre se utiliza las mismas variables en cada premisa. Esto lo vemos en el ejemplo siguiente. Nota:

Ejemplo 3: Verificar la validez del argumento 1) 2) 3) 4) 44

∀x (x > 0 → Ex v Fx) ∀y (Py → y > 0)

P4. ¬F4. UTPL

Pr Pr Pr Pr




Demostrar: E4. 5) 6) 7) 8) 9)

P4 → 4 > 0 4>0 4 > 0 → E4 v F4. E4 v F4. E4.

EU 2, y=4 PP 3,5 EU 1, x=4 PP 6,7 TP 4,8. Queda demostrada la conclusión.

También pueden existir argumentos donde una o más premisas estén conformadas por más de un cuantificador universal, y la demostración es análoga a los ejemplos anteriores. Antes de proponer un ejemplo, en necesario recordar la tradicional Regla de Identidad. Identidad (=).- Este símbolo se coloca sólo entre términos que son nombres de una misma cosa, es decir, no se coloca entre cosas sino entre dos símbolos de expresiones. En una deducción se abrevia por I. Por ejemplo:

1) 2) 3)

2>1 2 = 1+1 1+1 > 1

Pr Pr I 1,2

Ejemplo 4: Deducir: 2 > 0 1) 2) 3) 4) 5) 6)

∀x ∀y (x > y → x+1 > y)

1>0 2 = 1+1 1 > 0 → 1+1 > 0 1+1 > 0 2>0

Pr Pr Pr EU 1, x=1, y=0 PP 2,4 I 3,5

La Lógica de Predicados, se ocupa únicamente de métodos de argumentación sólidos. Tales argumentaciones se denominan Reglas de Inferencia, las mismas que revisamos el bimestre pasado. Si se da un conjunto de axiomas que son aceptados como verdaderos, las reglas de inferencia garantizan que a partir de éstos sólo se pueden extraer conclusiones verdaderas. De igual forma, los conectivos lógicos estudiados anteriormente en lógica proposicional, son igualmente válidos en lógica de predicados. De hecho, la lógica proposicional es un subconjunto de la lógica de predicados. El Silogismo

Se dice que la Lógica de Aristóteles es silogística puesto que el silogismo es el centro y eje fundamental de todo su sistema lógico. Según Aristóteles, el silogismo es un enunciado donde luego de haber definido ciertas proposiciones , se concluye necesariamente otra proposición diferente; convirtiéndose así en la forma más perfecta de razonamiento deductivo. Por ejemplo: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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4


Todos los números son entes abstractos (premisa mayor) Los Naturales son números (premisa menor) Por consiguiente, Los naturales son entes abstractos. (Conclusión) Al revisar la bibliografía encontramos tres clases de silogismos: categóricos, hipotéticos y disyuntivos. En la presente guía nos concentraremos al estudio del silogismo categórico, el mismo que está conformado por tres juicios categóricos (dos premisas y una conclusión), tres términos (mayor, medio y menor, simbolizados por P, M y S respectivamente) y cuatro figuras que dependen del lugar en que tome el término medio en cada premisa, puesto que puede ser sujeto o predicado en cada una de ellas. Complementariamente podemos afirmar que un silogismo sólo llega a la verdad si las premisas son correctas En el siguiente ejemplo identifiquemos los términos y la figura que representa. “Todos los científicos son investigadores Newton es científico Por tanto: Newton es investigador”

Término mayor: Investigadores Término medio: Científico Término menor: Newton

Luego, el silogismo propuesto tiene la siguiente figura: M S S

P M P

¿Cómo se puede distinguir los términos en un silogismo? Es sencillo, el término mayor se identifica porque representa al conjunto de mayor amplitud, el término medio se repite en las dos premisas y el menor comprende al conjunto de menor amplitud respecto del mayor. En general un silogismo puede presentarse como cualquiera de las siguientes cuatro figuras: Figura 1 M P S M S P

Figura 2 P M S M S P

Figura 3 M P M S S P

Figura 4 P M M S S P

Reglas del Silogismo

Para que un silogismo sea formalmente valido, es decir, que la conclusión se deduzca necesariamente de las premisas, debe seguir ciertas reglas que se enlistan a continuación. 4

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1)

El silogismo solo debe tener tres términos: mayor, medio y menor.

2)

El término medio no debe entrar en la conclusión.

3)

El término medio debe ser tomado, por lo menos una vez en toda su extensión.

4)

Los términos mayor y menor, en la conclusión no deben ser tomados con mayor extensión que en las premisas.

5)

De premisas afirmativas, la conclusión es afirmativa.

6)

A partir de premisas negativas no se puede concluir.

7)

De dos premisas particulares no se puede concluir.

8)

La conclusión sigue la parte más débil de las premisas.

Con respecto a la última regla, se refiere a que si una de las premisas es negativa, la conclusión será negativa; o si una de las premisas es particular, la conclusión también será particular. Prueba de validez de los silogismos mediante diagramas de Venn

Los juicios categóricos que forman parte de un silogismo pueden presentar cualquiera de las siguientes formas: Universal Afirmativo: Todo S es P Universal negativo: Ningún S es P Particular Afirmativo: Algún S es P Particular Negativo: Algún S no es P. Las representaciones en diagrama para cada forma son:



UTPL

4


A continuación ilustraremos la forma de probar la validez de un silogismo haciendo uso de los diagramas de Venn. Ejemplo 1:

Todos los metales son maleables Algunos minerales son metales

Por tanto, Algunos minerales son maleables. Puesto que existen tres términos, cada circunferencia en el diagrama representa un término, así: Término mayor (P): Maleables Término medio (M): Metales Término menor (S): Minerales Premisa

Representación

PREMISA 1 Todos los metales son maleables Todo M es P

PREMISA 2 Algunos minerales son metales Algún S es M

CONCLUSIÓN Algunos minerales son maleables Algún S es P

4

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La validez se observa cuando al unir los gráficos de las dos premisas iniciales, el gráfico de la conclusión es un subconjunto de esa unión. De esto se concluye que efectivamente el silogismo es válido. Ejemplo 2: Verificar la validez del silogismo, mediante diagramas de Venn. “Todo número par es entero Ningún número par es primo Por tanto, Todo número primo es entero”

Simbolizando los términos tenemos: M= número par, P= entero, S= primo. Ahora, dibujemos un diagrama para cada premisa: Premisa

Representación

PREMISA 1 Todos número par es entero Todo M es P

PREMISA 2 Ningún número par es primo Ningún M es S

CONCLUSIÓN Todo número primo es entero Todo S es P



UTPL

4


Se observa que la gráfica de la conclusión (el área rayada concretamente) no es subconjunto de la unión de las áreas señaladas en las premisas 1 y 2; por ello se concluye que el silogismo no es válido. Además, se puede ver que el silogismo no cumple la regla (8), puesto que la parte más débil de las premisas sería la negación (ningún). A continuación le propongo algunos ejemplos para que usted los desarrolle y a su vez le sirva para reforzar los conocimientos referentes al silogismo.

Ejercicios propuestos de silogismos: Indique la figura a la que pertenece cada silogismo y verifique validez mediante diagramas de Venn. a)

Algunos triángulos son equiláteros Todos los triángulos son polígonos Por tanto, Algunos polígonos son equiláteros

b)

Los mamíferos son de sangre caliente Ningún reptil es de sangre caliente Por tanto, Ningún reptil es mamífero.

c)

Ninguna figura con diagonales es triángulo Todos los triángulos son polígonos Por tanto, Algunos polígonos no tienen diagonales.

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CAPÍTULO 1I:

TEORÍAS MATEMÁTICAS

Preliminares La estructura, propiedades y operaciones con las cuales se edifica un sistema, aparecen con claridad en el ámbito de las ciencias formales, por ello esta noción ha sido desarrollada en primer lugar dentro del campo de la Lógica y la Matemática. Actualmente se admite como sistema formal, aquel que está constituido de proposiciones llamadas axiomas o postulados, de las cuales se derivan otros denominados teoremas. Filosóficamente, un axioma es una verdad evidente; mientras que matemáticamente un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos (simplemente axiomas) y axiomas no-lógicos (o postulados). Los postulados son fórmulas específicas de una teoría que han sido aceptadas solamente por acuerdo. Al contrario, los axiomas son fórmulas universalmente validas, satisfechas por cualquier estructura o función variable, por ello son verdaderos con cualquier asignación de valores. Por ello los postulados a diferencia de los axiomas no son tautologías. Un axioma es el elemento básico de un sistema lógico formal, que junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Kurt Gödel (Lógico y matemático austriaco 1906 – 1978) demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que “este enunciado no es demostrable” . Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, P es verdadero. Este teorema de Gödel, a menudo, ha sido interpretado en un sentido pesimista, erróneamente se ha tomado como una especie de limitación esencial del conocimiento humano7. En esta unidad revisaremos un aspecto importante como es la demostración de Teoremas. Recordemos que teorema es una proposición que para ser aceptada como verdadera requiere de una demostración previa, por ello, hablar de la teoría de la demostración es inherente a hablar de teoremas, pues se trata de proposiciones cuya validez se busca probar; donde los fundamentos empleados como base de la demostración son las definiciones y dentro de estos supuestos tenemos precisamente los axiomas y postulados. En sí, podemos decir que una demostración se compone de: Teorema, Fundamentos y Procedimiento. 7 http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma(Revisado007-07-5)



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En general un teorema tiene forma condicional o bicondicional, es decir: Si H entonces T (H ⇒ T) H si y sólo sí T (H ⇔ T) Donde H representa la hipótesis, es un enunciado conocido y siempre verdadero, mientras que T representa la tesis (conclusión del teorema) que se busca demostrar, es decir es la parte desconocida donde se asegura que algo es verdadero o falso. Ejemplo: Identificar en cada expresión, la hipótesis y la tesis. a)

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales Hipótesis: Dos ángulos opuestos por el vértice. Tesis: son iguales.

b)

Dos rectas son perpendiculares si y sólo sí forman dos ángulos rectos. Hipótesis: Dos rectas son perpendiculares. Tesis: forman dos ángulos rectos.

Axiomas de la Adición Axioma de la propiedad Conmutativa.- Se refiere a que el orden en que se sumen los números no importa. Simbólicamente: ∀x ∀y: x + y = y + x

x,y ∈ R

Axioma de la propiedad Asociativa.- Puesto que la adición en operación binaria, lo que hace necesario agrupar números de dos en dos cuando se busca realizar la operación de adición. Simbólicamente: ∀x ∀y ∀z: ( x + y ) + z = x + ( y + z )

x,y,z ∈ R

Axioma del Cero.- Si se adiciona el cero a cualquier número, el resultado sigue siendo el mismo número. Simbólicamente: ∀x: x + 0 = x x ∈ R

Axioma de los números negativos.- Si a un número le adicionamos su opuesto, el resultado es cero. Simbólicamente: ∀x: x + (-x) = 0 x ∈ R

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Complementariamente es necesario plantear algunas definiciones que servirán para realizar demostraciones: Definición 1: Definición 2: Definición 3: Definición 4:

2= 1+1 3 = 2+1 4 = 3+1 5 = 4+1

A continuación se explican algunas demostraciones de teoremas, con la ayuda de los axiomas descritos. Ejemplo 1: Demostrar: 2 = 1 + ( 0 + 1 ) El procedimiento consiste en: partiendo de uno de los lados de la igualdad, llegar a obtener lo que se indica en el otro lado de la misma. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

2=1+(0+1) 1+0=0+1 1+(0+1)=1+(1+0) 1+0=1 1+(0+1)=1+(1) 2=1+1 1+(0+1)=2 2=1+(0+1)

EU Ax. Conmut., x=1, y=0 I 1,2 EU Ax. Del cero, x=1 I 3,4 Def. 1 I 6,7 Ax. Conmut., 7

Ejemplo 2: Demostrar: 4 = 1 + ( 1 + 2 ) En el ejemplo anterior se realizó la demostración ubicando todos los pasos y con la respectiva justificación. Sin embargo la demostración podría abreviarse con la aplicación directa de los axiomas, pero sí con la debida justificación. 1+(1+2)

= = = =

1+(2+1) 1+3 3+1 4

Ax. Conmutativo Def 2 Ax. Conmutativo Def. 3

Ejercicios propuestos

Utilizando axiomas y definiciones, demuestre los siguientes teoremas. No olvide justificar cada paso. a) b) c) d)

-2 + ( 1 + 2 ) = 1 5 = 1 + ( 1 + ( 1 +2 ) ) 2 + (1 + 3 ) = 4 + 2 4 = (1 + ( 1 +1 ) ) + 1



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AUTOEVALUACIÓN La presente auto evaluación tiene como finalidad sondear el grado de comprensión de los contenidos que hemos revisado en el segundo bimestre. Es por tanto imprescindible la realización de la misma, con toda la responsabilidad para que sea un efectivo indicador de su aprendizaje.

Parte objetiva 1.

4

Escriba V si es verdadero o F si es falso cada uno de los enunciados.

a)

Los predicados también sirven para asignar una cualidad abstracta a sus términos.

(

)

b)

La negación del cuantificador existencial e equivalente a la afirmación del universal.

(

)

c)

Las funciones proposicionales siempre son verdaderas.

(

)

d)

Se considera al silogismo como una forma de razonamiento inductivo.

(

)

e)

De dos premisas negativas, en el silogismo, la conclusión es afirmativa.

(

)

f)

No se puede concluir si ambas premisas del silogismo son particulares.

(

)

g)

Los postulados tienen concepto más amplio que los axiomas.

(

)

h)

Un teorema tiene forma de condicional o bicondicional.

(

)

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Parte de ensayo 2.

Simbolice completamente el siguiente argumento:

Ningún número impar es divisible por dos Seis es divisible por dos Ocho es divisible por dos Por tanto, Ni seis ni ocho son números impares 3.

Aplicando leyes de inferencia, realizar una deducción de la conclusión del argumento simbolizado en el ejercicio anterior.

4.

Complete la premisa o conclusión que falta en cada silogismo

5.

a)

Cada mentiroso tiene su historia ____________________________ Por tanto, Luis tiene su historia

b)

Ningún joven es pesimista Algunos pesimistas son estudiantes Por tanto, ___________________

Demuestre el siguiente teorema:

(2+1)+2 = [1+(1+(1+1) + 0) +1]



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S olucionario PRIMER BIMESTRE 1. a) b) c) d) e) f) g) h)

V V V V F V F F

a) b)

10000111.00001(2) 0.00101

2.

3. 1) (P v Q) → ¬R 2) P ∧ Q Conclusión: ¬R 4. 3) 4) 5)

P PvQ ¬R

S2 LA 3 PP 1,4

5. P ∧ { ¬P ∨ [ ¬Q ∨ (P ∧ Q) ] } ∧ ¬Q ≡ P ∧ [ (¬P ∨ ¬Q) ∨ (P ∧ Q)] ∧ ¬Q ≡ P ∧ [ ¬(P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q)] ∧ ¬Q ≡ P ∧ [ V ] ∧ ¬Q ≡ P ∧ ¬Q

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Asociativa De Morgan Complemento Identidad



SEGUNDO BIMESTRE 1. a) b) c) d) e) f) g) h)

V F F F F V F V

1) 2) 3)

∀x (Ix→¬Dx)

4) 5) 6) 7) 8)

I6 → ¬D6 I8 → ¬D8 ¬I6 ¬I8 ¬I6 ∧ ¬I8

2. D6 D8 Conclusión: ¬ I6 ∧ ¬I8

3. EU 1, x=6 EU 1, x=8 TT 2,4 TT 3,4 AD 6,7

4. a) b)

Luis es mentiroso Algunos estudiantes no son jóvenes.

5.

[1+(1+(1+1) + 0) +1]


= [(1+1) + (1+1) + 1] Ax. Cero y Asociativa = [2 + 2 + 1] def. 1 = [(2+1) +2] Ax. Asociativa y Conmutativa


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G losario de Sinónimos A continuación una pequeña lista de sinónimos que se emplean sobre todo en el texto básico. Argumento: Forma argumentativa Cuantificador Universal: Generalizador Cuantificador existencial: Particularizador Esquema molecular: Fórmula, proposición compuesta, forma enunciativa Operador lógico: Conector, partícula. Proposición simple: Atómica Proposición compuesta: Molecular Razonamiento correcto: Razonamiento válido. Razonamiento silogístico: razonamiento deductivo. Relator: predicado Término: Designador. Variable proposicional: Letra proposicional.

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El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.


LEYES DE LAS PROPOSICIONES NOMBRE

SIMBOLOGÍA

Equivalencia

P≡P

Idempotencia

P∧P≡P, P ∨ P ≡ P

Asociativa

P∧(Q ∧ R)) ≡ (P∧Q) ∧R P∨(Q ∨ R) ≡ (PP∨Q) ∨ R

Conmutativa

P∧Q≡Q∧P, P∨Q ≡ Q∨P

Distributiva

P∧ (Q ∨ R) ≡ (P∧Q) ∨ (P∧R) P∨ (Q ∧R) ≡ (PP∨Q) ∧ (PP∨R)

Identidad

P ∧ F ≡ F, P∨ F ≡ P P ∧ V ≡ P, P∨ V ≡ V

Complemento

P∧ ¬P P ≡ F, P∨ ¬PP ≡ V ¬ V ≡ F, ¬ F ≡ V ¬(¬P) ≡ P

De Morgan

¬ (P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q ¬ (P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q

Absorción

P∧ (P ∨ Q) ≡ P P∨ (P ∧ Q) ≡ P

Condicional

P→Q ≡ ¬P ∨ Q

Bicondicional

P↔Q ≡ (P→Q ) ∧ (Q →P)

Conjunción Negativa

P↓Q ≡ ¬P∧¬Q

Disyunción Exclusiva

P v Q ≡ (P ∨ Q) ∧ ¬ (P ∧ Q)



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RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA NOMBRE

SIMBOLOGÍA

Ponendo Ponens (PP)

P→Q P ∴Q

Tollendo Tollens (TT)

P→Q ~Q ∴~P

Tollendo Ponens (TP)

PvQ ~Q ∴P

Adjunción (AD)

PvQ ~P ∴Q

P Q ∴P∧Q

Simplificación (S) Ley de Adición (LA)

P∧Q ∴P

P∧Q ∴Q

P ∴PvQ

Silogismo Hipotético (SH)

P→Q Q→R ∴P→R

Silogismo Disyuntivo (SD)

PvQ P→R Q→S ∴RvS

OBSERVACIÓN: En cada paréntesis se muestra la abreviatura respectiva, y el

símbolo (∴)

representa que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.

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Libro de Logica

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