Seoane Logica y Argumento

José Seoane

Lógica y Argumento

La publicación de este libro fue realizada con el apoyo de la Comisión Sectorial de Enseñanza (CSE) de la Universidad de la República.

© José Seoane © Departamento de Publicaciones, Unidad de Comunicación de la Universidad de la República (UCUR) José Enrique Rodó 1827 − Montevideo CP: 11200 Tels.: (+598) 2408 5714 − (+598) 2408 2906 Telefax: (+598) 2409 77 20 www.universidadur.edu.uy/bibliotecas/dpto_publicaciones.htm [email protected] ISBN:

A la memoria de mis padres A Marianella

«and what is the use of a book» thought Alice «without pictures or conversations» Lewis Carroll Alice’s Adventures in Wonderland

Contenido

Prólogo..............................................................................................................................................................................................9 Capítulo 1. El objeto de la lógica.........................................................................................................................11 Enunciados y argumentos....................................................................................................................................11 La reflexión meta-argumental...........................................................................................................................14 La noción intuitiva de consecuencia lógica.............................................................................................19 El valor del recurso a la forma..........................................................................................................................21 El objeto de la lógica...............................................................................................................................................23 Capítulo 2. Conceptos elementales de teoría intuitiva de conjuntos................................27 Introducción..................................................................................................................................................................27 Conjuntos........................................................................................................................................................................27 Subconjunto, conjunto vacío y conjunto potencia.............................................................................29 Operaciones conjuntísticas.................................................................................................................................30 Producto cartesiano. Relaciones ....................................................................................................................34 Relaciones de equivalencia. Particiones.....................................................................................................37 Relaciones de orden.................................................................................................................................................40 Funciones........................................................................................................................................................................42 Cardinalidad..................................................................................................................................................................45 Teoría intuitiva y teoría formal........................................................................................................................51 Capítulo 3. Lenguaje lógico proposicional: sintaxis............................................................................53 Introducción..................................................................................................................................................................53 Lenguaje formal: motivación e ideas intuitivas ...................................................................................55 El lenguaje formal proposicional....................................................................................................................58 Decidibilidad del conjunto de las fórmulas.............................................................................................64 Inducción y propiedades de fórmulas ........................................................................................................65 Síntesis..............................................................................................................................................................................69 Capítulo 4. Lenguaje lógico proposicional: semántica.......................................................................73 Introducción..................................................................................................................................................................73 Interpretar el lenguaje formal (desde el punto de vista intuitivo)............................................73 Interpretación de L (desde un punto de vista formal).....................................................................78 El problema de la corrección argumental.................................................................................................82 La evaluación de las fórmulas: método tabular ....................................................................................84 Un método más elegante para evaluar fórmulas: tablas analíticas............................................88 Conjuntos adecuados de conectivos.............................................................................................................93 Tautologías famosas..................................................................................................................................................95 Síntesis..............................................................................................................................................................................97

Capítulo 5. Lenguaje lógico proposicional: sistemas deductivos..............................................101 Introducción..................................................................................................................................................................101 La noción de argumento idealmente justificado..................................................................................102 Sistemas deductivos: nociones generales...................................................................................................103 Un sistema axiomático formal para el lenguaje proposicional....................................................106 Teoría axiomática formal: el sistema M......................................................................................................108 Sistema de deducción natural: reglas de inferencia ...........................................................................110 Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas ........................................................................113 Estrategias demostrativas y reglas derivadas: ideas generales ....................................................114 Estrategias demostrativas, conectores, reglas derivadas y teoremas .....................................116 Síntesis .............................................................................................................................................................................124 Capítulo 6. Lenguajes de orden uno: sintaxis ...........................................................................................127 Introducción..................................................................................................................................................................127 La «ampliación» del lenguaje ...........................................................................................................................128 Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista informal) .......................................................131 Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal) ............................................................132 Traducciones y expresividad de L..................................................................................................................140 Síntesis..............................................................................................................................................................................142 Capítulo 7. Lenguajes de orden uno: semántica........................................................................................145 Introducción..................................................................................................................................................................145 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde un punto de vista intuitivo)................................................................................................................145 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal).......................................................................................................................152 Expresividad «teórico-modélica»....................................................................................................................156 Consecuencia semántica y validez..................................................................................................................157 Síntesis..............................................................................................................................................................................161 Capítulo 8. Lenguajes de orden uno: sistemas deductivos...............................................................163 Introducción..................................................................................................................................................................163 Tablas analíticas cuantificacionales................................................................................................................164 Sistemas deductivos para lenguajes de orden uno...............................................................................167 Axiomas y reglas para la igualdad..................................................................................................................174 Ejemplos de teorías axiomáticas en orden uno.....................................................................................176 Síntesis..............................................................................................................................................................................179 Capítulo 9. Teoría lógica y modelos argumentales ............................................................................181 Introducción..................................................................................................................................................................181 La estrategia traducción–cálculo....................................................................................................................181 La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación: usando los modelos tradicionales....................................................................................................................183 La riqueza de las relaciones lógica y argumentación: ensayando otros modelos............187 La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación: la crítica argumental........189 Síntesis..............................................................................................................................................................................192 Bibliografía.....................................................................................................................................................................................195 Índice analítico............................................................................................................................................................................197

Este libro es obra esencialmente colectiva. Su origen reside en los cursos de lógica de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación. Estos se orientan a estudiantes de las licenciaturas de Filosofía y Lingüística; para ayudarlos, comencé redactando unas notas introductorias a los distintos tópicos del curso y, con el paso del tiempo, amplié y profundicé las mismas. En tal trabajo me beneficié de los conocimientos y el compañerismo de diversos equipos; integraron los mismos, en diferentes momentos, Soledad Caño, Ignacio Cervieri, Aníbal Corti, Matías Gariazzo, Gonzalo Hernández, Claudia Márquez, María Fernanda Pallares, Facundo Ponce de León, Luciano Silva, Ignacio Vilaró y un conjunto amplísimo de muchachas y muchachos, la totalidad de cuyos nombres me es imposible recordar así como su entusiasmo, inteligencia y calidez me es imposible olvidar. Pero, muy especialmente, estas páginas mantienen una deuda enorme con todos los estudiantes que participaron de mil formas cooperativas en aquellos cursos. Asimismo, este libro abreva en un conjunto rico de manuales de lógica. Seguramente las obras de las que más me he servido son la formidable introducción a la lógica escrita por Cori y Lascar (muy principalmente, su primer tomo) y el excelente libro de Manzano sobre la teoría de modelos. He pretendido en prolijas notas al pie dar cuenta de las diversas deudas intelectuales pero, seguramente, no he logrado hacer justicia a una gama tan variada de autores y textos. En particular, aunque no me he apoyado en este libro específicamente en ningún texto suyo, quisiera dejar constancia de mi gratitud intelectual y personal a mi antiguo profesor de lógica Enrique Caorsi. Asimismo expresar mi reconocimiento al grupo de lógicos y filósofos de los Coloquios Cono Sur de Filosofía de las Ciencias Formales, en especial, a mi amigo Abel Lassalle Casanave, creador y organizador entusiasta de estos eventos. Finalmente, debo agradecer el trabajo inteligente, cuidadoso y sacrificado de María Fernanda Pallares así como de Alejandro Chmiel y Matías Osta, en la edición y corrección de los originales; sin sus esfuerzos, no existiría este libro. Dicho trabajo fue apoyado por la Comisión Sectorial de Enseñanza de la Universidad de la República en el marco de su llamado a la elaboración de manuales didácticos para la enseñanza de grado (2010). Recuerdo cuánto me conmovió, en la lejana década del 80, el descubrimiento de la belleza y la profundidad de la lógica matemática; espero poder transmitir en las páginas que siguen algo de aquella fascinación. José Seoane

Comisión Sectorial de Enseñanza

Prólogo

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Capítulo 1

El objeto de la lógica Enunciados y argumentos Usamos el lenguaje en formas muy variadas; expresamos emociones, formulamos interrogaciones o aseveramos opiniones. Dependiendo de las motivaciones que nos animan, escogemos una u otra de esas variadas formas. Cuando nuestro interés fundamental es la transmisión de información, solemos construir oraciones de un cierto tipo característico, a saber, oraciones susceptibles de ser evaluadas en términos de verdad o falsedad. Es decir, oraciones de las cuales puede decirse —sensatamente— que son verdaderas o que son falsas. Llamaremos enunciados a las oraciones de esta clase.1 Es obvio que no todas las oraciones son enunciados; respecto de la oración «¿Qué hora es?» carece de sentido decir tanto que es verdadera como que es falsa, en consecuencia, ella es un ejemplo de oración que no es enunciado. Un ejemplo de enunciado es el siguiente: «Hoy llueve en la ciudad de Tacuarembó». Otro ejemplo es, naturalmente, «Hoy no llueve en la ciudad de Tacuarembó». Si se piensa la colección de todas las (posibles) oraciones en un idioma determinado —por ejemplo, el español— puede dividírsela en dos subcolecciones: la de los enunciados y la de los no-enunciados: Oraciones enunciados

A veces estamos interesados en afirmar enunciados aislados pero, frecuentemente, deseamos establecer ciertas relaciones entre enunciados. Por ejemplo, aspiramos a convencer a determinado interlocutor de que, si admite la necesidad de aumentar 1 Dada la naturaleza introductoria de este libro, no se enfrentan algunas cuestiones filosóficas acerca de la lógica, en beneficio de la claridad en la exposición de los rudimentos de la disciplina; se intentará, no obstante, advertir al lector. En este caso, el problema en cuestión es el de los «portadores de verdad». Se asume aquí pues que pueden tomarse como tales lo que hemos denominado ‘enunciados’ pero existe una amplia discusión. El lector interesado puede consultar, por ejemplo, Haack (1991), o un tratamiento más minucioso del punto en Orayen (1989).


no-enunciados

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Universidad de la República

la productividad, entonces debe admitir los beneficios de ciertas formas de renovación tecnológica. Ese esfuerzo por mostrar que la admisión de ciertos enunciados —que suelen denominarse premisas— obliga o, por lo menos, induce a admitir otro —que suele denominarse conclusión— es lo que podríamos entender —como primera aproximación— por argumentar. Es decir, ofrecer razones que evidencien que determinada conclusión se sigue (con mayor o menor «necesidad» o «fuerza») de ciertas premisas. O, algo más abstractamente, el argumento revela que la información codificada en las premisas permite, en algún sentido que habrá que especificar después, obtener la información expresada en la conclusión.2 Debe reconocerse que la palabra «argumento» es ampliamente usada. Se exige a un legislador que argumente, por ejemplo, las bondades de un proyecto de ley o se pide a un crítico del mismo que argumente sus inconvenientes. Esta exigencia no es un reclamo que se considere intrascendente o banal: muchas veces tal petición se hace para poder tomar posición respecto del proyecto de ley en cuestión. Cuando, por ejemplo, en un debate televisivo entre dos personas el conductor otorga el mismo tiempo a cada una para que exponga sus razones, lo que intenta es ser ecuánime en la distribución del tiempo a los efectos de dar la misma oportunidad de argumentar a ambas partes (para que tengan la misma oportunidad de convencer al espectador) y, a su vez, a los efectos de ofrecer la posibilidad al espectador de, a partir de esas argumentaciones, encontrarse en una situación adecuada para extraer sus conclusiones, es decir, habiendo podido apreciar igualmente ambos puntos de vista. Los participantes del debate ciertamente pueden adoptar actitudes muy variadas, pero dicha variación no es ilimitada: si, por ejemplo, uno de ellos comenzara a apedrear al otro contendiente ciertamente el debate se suspendería y se consideraría tal comportamiento como inadmisible (para el debate). Es decir, difícilmente alguien sostendría que tal actitud «forma parte» del debate. El ejemplo es grosero y seguramente convendrían precisiones y matices; sin embargo, básicamente, puede hacerse acuerdo en que un debate consiste —fundamentalmente— en cierta interacción lingüística entre los participantes. Esto limita la interacción pero todavía no permite excluir casos en los cuales, en principio, no parecería sensato sostener que se asiste a una confrontación polémica (por ejemplo, si uno o ambos, la única actividad que realizan es insultar). Se espera que estas modestas observaciones contribuyan a convencer al lector acerca de que, a pesar de parecer muy intuitivo lo que se quiere decir con «argumentar», es una tarea sofisticada precisar el alcance del vocablo «argumento».3

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2 Esta concepción basada en la noción de información encuentra una poderosa justificación filosófica en Barwise y Etchemendy (1999). Una consecuencia importante de este énfasis informacional es que podría ampliarse, por así decir, la noción de argumento arriba ofrecida, permitiendo formas o modalidades no lingüísticas de codificar la información. 3 La discusión en torno a la noción de argumento ha cobrado un énfasis especial en los últimos tiempos. El lector interesado en internarse en la selva de literatura relativamente reciente sobre tal noción puede consultar, por ejemplo, Van Eemeren, Grootendorst y Kruiger (1987). Un ejemplo de tratamiento filosófico de la cuestión puede apreciarse, por ejemplo, en Parsons (1996).

Como en otras ciencias, un buen punto de partida es empezar con una noción esquemática, pero valiosa a la luz de ciertos fines o de ciertos supuestos asumidos. La forma de entender «argumento» en este contexto exhibe esas cualidades.4 En las líneas que siguen se caracteriza este concepto de un modo habitual en la literatura lógica. En primer término, un argumento es una cierta estructura lingüística conformada por enunciados. La peculiaridad de la misma reside en que se afirma una relación entre determinados enunciados —denominados «premisas»— y un enunciado — denominado «conclusión»— que puede parafrasearse así: la conclusión se sigue o se desprende o se extrae de las premisas. Un ejemplo nos ayudará a comprender mejor tal relación: Ejemplo 1 Si Juana es sirena, entonces es cantautora. Juana es sirena.

Premisas

Juana es cantautora.

Conclusión

Resulta relativamente obvio (a la luz de los comentarios anteriores sobre las funciones de, respectivamente, premisas y conclusión en un argumento) que los dos enunciados sobre la barra son las premisas en este argumento y el enunciado debajo de la barra oficia de conclusión. Las premisas aparecen así expresando cierta información inicial que permite obtener la información expresada en la conclusión. La propiedad de ser premisa o ser conclusión es, naturalmente, relativa al argumento. Esto es, un mismo enunciado puede ser premisa en un argumento y ser conclusión en otro. El papel de la barra es expresar la relación entre premisas y conclusión; podríamos «leer» la barra como «luego» o «por lo tanto». Esta relación, si pensamos en general, podría denominarse relación de justificación —la idea es clara: se trata de la relación que vincula a los enunciados justificadores (las premisas) con el enunciado justificado (la conclusión). Así pues, entendido en estos términos de generalidad, un argumento parecería que queda bien caracterizado por estos tres componentes: premisas, conclusión, relación de justificación. Un diagrama puede tornar visible esta afirmación: Pre1, Pre2, … , Pren / Con

donde las «Prei» (1≤i≤n, siendo i un entero positivo) representan premisas, «Con» representa la conclusión y «/» la relación de justificación. Es interesante advertir que identificar un argumento, desde esta perspectiva, querrá decir precisamente ser capaz de reconocer estos tres componentes. Pero adviértase que tal tarea 4 Una discusión acerca de ciertos fines o supuestos que guían la construcción de este concepto de argumento correcto desde el punto de vista de la lógica (y que resultan relevantes para el propio modelo de argumento expuesto) puede leerse en Seoane (2004).


Modelo 1:

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identificatoria en muchos casos dista de ser trivial; en general, en contextos como los de una asamblea gremial, la Cámara de Senadores o un congreso científico (por citar algunos ejemplos), las personas exponen sus argumentos de una forma compleja y expresivamente rica, alejada de la pacífica transparencia del esquema premisas/conclusión arriba expuesto. Esto obliga al que se propone ponderar tales argumentos a un cuidadoso esfuerzo analítico previo, a saber, identificarlos. Como una aproximación inicial, podríamos decir que la lógica se interesa por la argumentación. Pero esto, como es obvio, no basta para caracterizar la lógica; en las próximas secciones iremos, paulatinamente, acercándonos a una primera caracterización de la disciplina.

Problemas y tareas 1. Construya un argumento, guiándose por el ejemplo I. Use la conclusión de su argumento, para construir un segundo argumento en que la misma oficie de premisa. 2. Los siguientes textos periodísticos poseen evidentes pretensiones argumentales. Identifique premisas y conclusión en cada caso: si la mutua competencia [entre marcas de cigarrillos] fuera la única causa de los gastos multimillonarios en el rubro publicitario, la lógica diría que las grandes compañías deberían unirse para apoyar a los gobiernos que promueven la supresión de la publicidad de cigarrillos, favoreciendo así un «statu quo» que protegería a las poderosas marcas líderes de las amenazas de los pequeños competidores. Por cierto que en todo el mundo, y también en Uruguay, sucede exactamente lo contrario. (Daniel Kliman, Cortinas de humo, Relaciones, marzo 1998). Si el atentado al que el dictador [Pinochet] sobrevivió en septiembre de 1986 hubiese tenido éxito la transición chilena hubiese sido completamente distinta. Para algunos simplemente no hubiese existido transición sino un baño de sangre. Para otros, el propio régimen militar, presionado por la oposición interna y por las fuerzas democráticas externas, dentro y fuera de América Latina, sin el factor de unidad que ha sido el dictador, habría ido cediendo espacios y la Concertación habría asumido en condiciones más favorables, menos «atadas» (J. Cayuela, Chile: apuntes para el fin del siglo, Brecha, año 13, n.° 640).


La reflexión meta-argumental

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Antes del surgimiento de la lógica como disciplina —que se sitúa en Grecia, aproximadamente en el siglo IV antes de Cristo— obviamente se formularon y discutieron argumentos. Y, naturalmente, los argumentos eran evaluados. Es decir, se aceptaban algunos como correctos, se rechazaban otros por incorrectos, se calibraban respecto de su fuerza probatoria, se comparaban en relación con su capacidad persuasiva, etc. Una rica práctica argumental pues precedió a la emergencia de una reflexión meta−argumental lógica. Quizá convenga detenerse brevemente a analizar las dos características que hemos adjudicado a esta reflexión original. Por una parte,

se trata de una reflexión meta−argumental, es decir, se sitúa en un plano conceptual que tiene por objeto el plano argumental. Por otra parte, hemos dicho que estamos frente a una reflexión lógica, por ahora todo lo que queremos expresar con tal calificativo es que la misma se encuentra orientada al esclarecimiento del problema de la corrección argumental.5 En especial, contribuyeron a transformar la cuestión de la evaluación argumental en un problema digno de análisis, el desarrollo de disciplinas y actividades socialmente valiosas en las cuales la argumentación ocupaba un papel relevante. La matemática, la filosofía y la práctica político−jurídica suelen ser los ejemplos más conspicuos de tales actividades.6 Para introducir el especial punto de vista desde el cual el lógico analiza los argumentos puede resultar esclarecedor partir, precisamente, de argumentaciones particulares pertenecientes a algunos de los campos referidos. Tomemos un caso especialmente interesante de las matemáticas griegas. Como se sabe, la escuela pitagórica —iniciada por Pitágoras en el siglo VI a.C.— obtuvo importantes resultados en esta disciplina. Seguramente el lector recuerda el célebre Teorema de Pitágoras; éste afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. La ilustración permite formularlo de un modo intuitivo y sintético: a

h

b Teorema de Pitágoras: h2 =a2 + b2

El problema que nos interesa surge a partir de la consideración de la diagonal de un cuadrado cuyo lado tiene por longitud la unidad. Nuevamente, recurramos a la ilustración:

Obsérvese que esta diagonal es la hipotenusa de los respectivos triángulos rectángulos cuyos ángulos rectos están indicados en el diagrama. Dado que el valor de los lados es 1, podemos inferir, aplicando el Teorema de Pitágoras, que h2 =12+12 =2 o sea h= 5 La emergencia de estas preocupaciones intelectuales en la filosofía pre−aristotélica es un interesante problema histórico que hasta donde sé no se ha explorado suficientemente. 6 Véase al respecto Kneale y Kneale (1984).


1

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Para los pitagóricos los números se reducían a los racionales, esto es, los enteros y las razones de enteros. Además tal restricción era esencial a su cosmovisión, lo que hacía de esta convicción un postulado indiscutible. El punto es: ¿ es racional? La respuesta negativa debida, según la tradición, a Hipaso de Metaponto, significó un auténtico escándalo para la secta pitagórica. He aquí una argumentación a favor (una prueba o demostración) de que no es racional: Supongamos que es racional. Entonces es susceptible de escribirse como a/b, donde a y b son enteros (b≠0). Dado que siempre podemos simplificar una fracción hasta que numerador y denominador no tengan factores comunes (excepto el 1), asumamos que a y b satisfacen esta condición —lo que suele expresarse diciendo que a y b son primos entre sí. Se tiene entonces =a/b. Luego a= .b y así a2 =2b2. Así tenemos que a2 es par. Como sabemos que un entero z es par si y solo si z2 es par, a es par. Pero entonces a puede escribirse como 2c para algún entero c. Así pues, ya que sabemos que a2 =2b2, 4c2=2b2. Entonces b2=2c2 y así b2 es par y, por idéntica razón que arriba respecto de a, b es par. Pero entonces 2 es un factor común de a y b, lo cual contradice la suposición de que son primos entre sí. Esto es absurdo, por lo tanto no es racional.

Hemos visto pues una argumentación matemática que, aunque no desarrollada de forma absolutamente fidedigna desde el punto de vista histórico, comparte la estructura con la prueba geométrica que se supone fue la original.7 Discutamos ahora una argumentación filosófica. Zenón de Elea fue un filósofo que vivió en el siglo V antes de Cristo y que, simplificando extremadamente la historia, se dedicó, fundamentalmente, a mostrar que, si se admite que el ser es múltiple, esto implica consecuencias inaceptables. Esta estrategia era la usada por él para mostrar la necesidad de aceptar la unicidad del ser.8 El siguiente es un pasaje de Zenón9 representativo de su modo de argumentar: Si las cosas son múltiples es necesario que sean todas las que son, y no más ni menos que éstas. Pero si son todas las que son, son en número limitado. Si las cosas son múltiples, son también infinitas: ya que siempre hay otras intermedias entre los entes, y nuevamente otras en el intervalo entre éstas, y así los entes son de número infinito.


La conclusión que —en la intención de Zenón— debe extraerse es: las cosas no son múltiples. Reconstruyamos el argumento para poder discutirlo mejor: Supongamos que las cosas son múltiples. Entonces ellas son una cantidad, por así decir, «definida» y, consecuentemente, su número es finito. Pero, por otro lado,

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7 Véase al respecto, por ejemplo, Eves (1964). 8 Es obvio que debería aclararse qué es lo que debe entenderse por «ser». Como tal concepto, a los fines presentes, no juega ningún papel esencial, aquellos que no se encuentren interesados en esta temática pueden apreciar el argumento que sigue como limitado a intentar demostrar ciertas consecuencias indeseables de asumir que «las cosas son múltiples». Esa es la estrategia, por otra parte, que sigue el texto. 9 Está tomado de Mondolfo (1974) p. 84.

dado que entre dos entes cualesquiera debe haber algo intermedio, y, respecto de estas dos, puede repetirse el argumento y así sucesivamente, entonces su número no es finito –tal argumento parece apoyarse esencialmente en la suposición pitagórica de que el espacio vacío es también un ente. Pero esto es absurdo pues su número debiera ser finito y no finito. En conclusión, las cosas no son múltiples. No es difícil advertir cierta semejanza entre el argumento matemático y el argumento filosófico. En ambos casos se parte de una suposición ( es racional, el ser es múltiple), a partir de la cual se pretende extraer una consecuencia contradictoria o absurda (a y b son primos entre sí y no son primos entre sí, el número de las cosas es finito y no es finito) y, finalmente, se concluye afirmando la negación de la suposición ( no es racional, las cosas no son múltiples). El siguiente esquema puede reflejar lo anterior: Argumento por absurdo (descripción general) Se supone A, a partir de esta suposición se muestra B y no es cierto B, luego no es cierto A.

O quizá así resulte más nítido: A

Argumento por absurdo (esquema) supuesto pasos intermedios contradicción conclusión

Este esquema puede representar, en general, los llamados «argumentos por el absurdo». Debe distinguirse pues entre «argumento por absurdo» y «demostración por absurdo»: la primera noción, como se desprende de la discusión de arriba, se pretende más general que la segunda. Conviene efectuar algunas aclaraciones. En primer término, en el esquema de arriba podrían existir como premisas (además del supuesto) otra serie de enunciados —por ejemplo, algunas «verdades matemáticas» en el caso del argumento acerca de . En segundo lugar, los puntos (en el segundo esquema) representan los pasos que permiten llegar desde el supuesto a la contradicción, es decir, la «serie» de razones que se exponen para mostrar cómo se deduce de las premisas la contradicción. En tercer lugar, nótese que la conclusión es, precisamente, la negación del supuesto. Una pregunta general que surge es la siguiente: ¿es este último esquema una forma de representar argumentos idéntica a la sintetizada en el modelo 1? Pareciera que la respuesta debiera ser negativa. La diferencia fundamental radicaría —si se observa el problema desde ese punto de vista— en la emergencia de los pasos que muestran


B y no B No es cierto A

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como «se sigue» a partir de ciertos enunciados otros enunciados. O, puesto de otro modo, a diferencia del modelo 1, se representa de esta forma cómo ciertos enunciados justifican a su vez otros enunciados y éstos a su vez otros y así, a través de una especie de cadena justificadora, se llega al «último eslabón» que es, precisamente, la conclusión. Podría objetarse, no obstante, que quizá fuera conveniente representar (fiel al modelo 1) a todo lo que se ubica «por encima» o «antes» de la conclusión en nuestro esquema como «premisas». Sin embargo, si adoptamos tal política —puede replicarse— estamos perdiendo algo fundamental: no se encuentra en la misma relación la segunda premisa con la primera premisa del ejemplo I que la contradicción con el supuesto de nuestro último diagrama. En el primer caso podríamos decir que son «independientes»; en el último caso queremos evidenciar que es, precisamente, la asunción del supuesto lo que lleva a la contradicción. Construyamos pues una segunda forma de representar o entender argumentos: Modelo 2:

Pre1, Pre2, … , Pren Pas1, Pas2, … ,Pask / Con

—donde Pasi (1≤i≤k, siendo i un entero positivo) son los pasos aludidos. Se tienen entonces dos modos o formas de representar o entender argumentos.10 ¿Se encuentran estos modos relacionados? La respuesta es: sí. Adviértase que, en un sentido muy preciso, las premisas justifican los pasos.11 Luego, para que la cadena justificacional funcione, tenemos que tener trabajando la relación de justificación entre premisas y pasos. Es en este sentido que podríamos sostener que el modelo 1 es más básico que el modelo 2. Asumamos pues el modelo 1 como punto de partida; más adelante tendremos oportunidad de encontrar una motivación específica para el uso del modelo 2. Es conveniente advertir que hemos introducido estos nuevos ejemplos de textos argumentales a los efectos de motivar fundamentalmente la introducción del modelo 2 de representar argumentos; todo lo que hemos hecho hasta ahora es explorar formas o modalidades de representar argumentaciones.


Problemas y tareas

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1. Revise la demostración por el absurdo expuesta antes. Identifique un enunciado que juegue en la misma el papel de premisa y un enunciado que juegue el papel de paso en dicha prueba. 2. Procure en algún texto de matemática una demostración por el absurdo. Identifique, en ese caso, un enunciado que cumpla el papel de premisa, un enunciado que oficie de paso en la prueba y, finalmente, la conclusión del argumento. 10 La distinción fue introducida exactamente en estos términos en Seoane (1999). Como a veces ocurre, posteriormente uno descubre que algunas de las ideas que sostuvo como propias ya habían sido defendidas por autores distantes en el espacio y/o en el tiempo. Esto me sucedió con Parsons (1996) y, de una forma sorprendente, con Corcoran (1972). Hay matices pero ciertas ideas básicas son compartidas. 11 Esta afirmación podrá ser mejor entendida más adelante.

En síntesis, hemos visto que la lógica es una reflexión meta−argumental. Los argumentos pueden representarse o entenderse, en este contexto, ya apelando al modelo 1, ya apelando al modelo 2. Dado el carácter básico del primero, asumiremos el mismo como punto de partida. Pero la reflexión lógica no queda caracterizada, como hemos dicho, por su status meta−argumental; le interesa la evaluación de los argumentos en términos de su corrección. Este es el aspecto que abordaremos en la próxima sección.

Seguramente el lector ha advertido una diferencia importante, a pesar de las similitudes señaladas, entre los dos ejemplos argumentales expuestos. El primero es una prueba o demostración matemática y su conclusión expresa una propiedad de un cierto número. Adviértase que aceptamos las premisas, los pasos y la conclusión de dicho argumento. En cambio, en el segundo caso la formulación misma de las premisas y de la conclusión resulta ambigua y los pasos se presentan como problemáticos. Es evidente que no hay allí prueba o demostración. Podríamos quizá decir que un argumento parece correcto y el otro es, por lo menos, dudoso o difícil de evaluar en términos de corrección. Pensemos un poco más la situación. Un contraste notable entre los dos argumentos consiste en que mientras aceptamos las premisas del primero como de hecho verdaderas no ocurre lo mismo respecto de las del segundo. Una segunda conspicua diferencia es que mientras nos resulta claro cómo se justifican los pasos del primero lo mismo no ocurre con el segundo. Y, finalmente, mientras aceptamos como verdadera la conclusión del primero difícilmente diríamos lo mismo del segundo. Como puede apreciarse pues el problema de la corrección es extremadamente complejo. Conviene entonces comenzar simplificando razonablemente nuestra cuestión. En primer lugar, haremos abstracción del problema de la justificación de los pasos. Esto resulta muy natural si se tiene en cuenta que representaremos un argumento explotando el modelo 1. Un argumento, entonces, es una estructura lingüística conformada por premisas y conclusión. La idea más general de corrección argumental exige que las premisas justifiquen la conclusión. Luego, el lógico podría tentativamente decir que un argumento es correcto cuando las premisas, por decirlo metafóricamente, cumplen adecuadamente su papel, esto es, logran justificar la conclusión. Y así un argumento es incorrecto cuando las premisas no logran justificar la conclusión. Ahora parece que lo que le deberíamos preguntar es qué se quiere decir con la metáfora de que las premisas «cumplan adecuadamente su papel». La respuesta del lógico podríamos decir que se concentra (utilizando el modelo inicial) en caracterizar una cierta relación de justificación. Esta puede entenderse como el criterio o el patrón que aplicará el lógico a la hora de evaluar la corrección argumental. Dicho sintéticamente, desde el punto de vista lógico, un argumento será correcto si y solo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas.


La noción intuitiva de consecuencia lógica

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En este capítulo daremos la noción intuitiva de tal relación; el resto del libro puede entenderse como un esfuerzo por elucidar, es decir, esclarecer, rigorizar esta noción básica. El concepto intuitivo de consecuencia lógica puede caracterizarse como sigue: Noción intuitiva de consecuencia lógica Sea Г una colección de enunciados y sea φ un enunciado. Diremos que φ es consecuencia lógica de Г si y solamente si necesariamente si todos los enunciados pertenecientes a Г son verdaderos, φ es verdadero. O, dicho de otra forma, si no es posible que todos los enunciados pertenecientes a Г sean verdaderos y φ sea falso.


Dada la importancia de este concepto es conveniente reflexionar algo más sobre el mismo. Debe advertirse que hemos caracterizado una relación; los elementos relacionados son, obviamente, premisas y conclusión. Aunque hacemos abstracción del hecho de que las primeras y la última sean de hecho verdaderas o falsas, a la hora de caracterizar la relación hemos usado esencialmente la posibilidad de ser verdaderos o falsos de los enunciados en juego. Pues exigimos que, por así decirlo, la verdad de las premisas sea «heredada» por la conclusión; a veces se ha hablado aquí de «transmisión de la verdad».12 Pero nótese que, en realidad, la noción intuitiva de consecuencia lógica pide algo más fuerte que la mera transmisión de la verdad de premisas a conclusión: exige el carácter necesario de tal transmisión. Dediquemos a este aspecto un momento de análisis. Considérese estos argumentos:

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a.

Si una ciudad está al norte del Río Negro, se ubica al norte de Montevideo. La ciudad de Florida está al norte de Montevideo La ciudad de Florida está al norte del Río Negro.

b.

Los tacuaremboenses son uruguayos. Los montevideanos no son tacuaremboenses. Los montevideanos son uruguayos

c.

Los tacuaremboenses son uruguayos. Los uruguayos son sudamericanos. Los tacuaremboenses son sudamericanos

En el caso de (a) obviamente no se produce transmisión de la verdad: las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Este ejemplo tiene el interés de evidenciar la falla en la transmisión de la verdad. Es evidente luego que en (a) no hay relación de consecuencia lógica entre las premisas y la conclusión —i.e. el argumento es incorrecto, desde el punto de vista lógico. El caso (b) es más interesante: ¿puede decirse allí que no hay transmisión de la verdad? Tanto las premisas como la conclusión son verdaderas —es decir, no se está en el caso (a). Lo que falla es el requisito de necesariedad. Lo exigido —desde el punto de vista lógico— no es meramente que 12 Véase, por ejemplo, Popper (1991) pp. 248-263.

de hecho la conclusión sea verdadera o que al menos una de las premisas sea falsa; se exige que si las premisas son verdaderas necesariamente la conclusión lo sea. O, dicho de otro modo, que sea imposible la verdad de todas las premisas y la falsedad de la conclusión. Luego tampoco en este caso estamos frente a un argumento lógicamente correcto ya que la conclusión no es consecuencia lógica de sus premisas. Ejemplos de tal transmisión necesaria de la verdad (es decir, de corrección lógica) son el argumento (c) y el argumento del Ejemplo I. En síntesis, un argumento es correcto —desde el punto de vista lógico— si, siempre que las premisas son verdaderas, su conclusión lo es. O, dicho de otro modo, si es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. En este caso se dice que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas o que éstas implican la conclusión. La argumentación que exhibe tal relación entre premisas y conclusión se denomina deductivamente correcta.13

Un problema importante es cómo identificar la presencia de la relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión. Es decir, cómo, dado un argumento específico, determinar si su conclusión es consecuencia lógica de sus premisas. Precisamente para resolver este problema es que recurrimos al análisis formal o estructural de los argumentos. Volvamos brevemente a nuestras dos argumentaciones de la sección «La reflexión meta-argumental». Basta un poco de reflexión sobre ellas para advertir que en un caso el tema o el contenido del argumento se ubica en la teoría de números y en el otro pertenece a la metafísica —una rama tradicional de la filosofía. Pero, independientemente de la diversa naturaleza temática, ambos argumentos poseen una cierta semejanza: pueden entenderse como instancias de los esquemas de argumentación por el absurdo arriba establecidos. Esta similitud podríamos denominarla estructural o formal. Pero, ¿cómo podría ayudarnos tal consideración formal o estructural a la hora de evaluar la relación de consecuencia lógica? O ¿por qué analizar los argumentos en términos de su forma? Esta es una pregunta clave. La respuesta podría formularse así: porque se advierte la existencia de ciertas estructuras argumentales que garantizan la información contenida en la conclusión, dada la información codificada en las premisas —independientemente del tipo o naturaleza de la información en cuestión. Para expresarlo con una terminología más habitual: se nota que tal estructura o forma asegura la verdad de la conclusión, asumida la verdad de las premisas. Para retornar a nuestros ejemplos, se aprecia que si un supuesto (a partir de premisas verdaderas y por mecanismos argumentales legítimos) conduce a una 13 El adjetivo «deductivo» puede usarse como sinónimo de «lógicamente correcto» (en tal caso, carece de sentido la expresión «argumento deductivo incorrecto») o puede usarse como sinónimo de «argumento que se pretende lógicamente correcto». Este último uso será el que frecuentemente adoptaremos en el presente libro.


El valor del recurso a la forma

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contradicción, ese supuesto no puede ser verdad, es decir, su negación es verdad. La garantía que proveen ciertas estructuras es que, dada la verdad de las premisas, se tiene necesariamente la verdad de la conclusión —tal es el caso de la argumentación por el absurdo, aunque aún es muy pronto para comprobarlo. Brevemente expresado, el recurso a la forma o estructura lógica aparece entonces como una vía notable para resolver el problema de la identificación o del reconocimiento de la relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión.14 Como se ha subrayado, no basta a los efectos de la corrección lógica el carácter preservador de la verdad, debe adicionarse el carácter necesario de tal preservación. Esta dimensión o cualificación modal es (como hemos visto) esencial a la caracterización de nuestro concepto intuitivo. Es decir, hay relación de implicación entre premisas y conclusión si siempre (este vocablo expresa la necesidad) que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. No necesariamente debe resultar evidente cómo tal transmisión necesaria de la verdad puede quedar garantizada por propiedades formales o estructurales de la argumentación. A los efectos de aclarar esta idea, introduzcamos un nuevo argumento: Ejemplo II:

Si José es lógico, José es aburrido. José es lógico. José es aburrido.

Adviértase que tanto la conclusión del ejemplo I (p. 11) como la del ejemplo II parecen desprenderse con igual necesidad de las respectivas premisas, no importando que, en el primer caso, se hable de sirenas y, en el segundo, se hable de lógicos. Luego ese «desprenderse con necesidad» de la conclusión a partir de las premisas no puede deberse a los respectivos contenidos de los argumentos sino a la forma o estructura compartida por ambos. Pues bien, ¿cuál es dicha estructura? La pregunta no es fácil pero una estrategia intuitiva destinada a responderla podría consistir en determinar cuáles son las porciones lingüísticas que tanto el ejemplo I como el II poseen en común. Éstas serán precisamente las responsables de la corrección lógica. Al igual que en el caso del esquema de argumentación por el absurdo podemos colocar letras para representar aquellas expresiones lingüísticas en que se producen las variaciones que —atendiendo a estos casos— no son relevantes para los actuales propósitos. El resultado de tal operación podría quizá esquematizarse así:


Esquema (Modus Ponens)

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Si A entonces B A B

14 Existen aquí diversas cuestiones conceptuales sutiles y profundas. Pero, en beneficio de la claridad expositiva, prescindiremos en este momento de la exposición de discutirlas; más adelante nos referiremos a algunas de ellas. El enfoque presentado sigue las ideas expuestas en Etchemendy (1983).

Se podría intentar demostrar —y lo haremos más tarde— que, efectivamente, esta estructura garantiza la verdad de la conclusión, dada la verdad de las premisas. Ahora, a los efectos de ayudar a la intuición, puede ser útil notar cómo al efectuar sustituciones arbitrarias —respetando solo ciertas restricciones relativamente obvias— obtenemos argumentos en los cuales la verdad de la conclusión parece seguirse con necesidad de la verdad de las premisas. Más adelante nos detendremos con más detalle en las antedichas restricciones que gobiernan la sustitución, por el momento baste advertir que solo deberían sustituirse las letras mayúsculas por enunciados y, una vez que sustituimos una cierta letra por un enunciado, debemos hacerlo en todas las oportunidades que aparece la letra, es decir, siempre que aparece la letra en nuestro esquema aparecerá el mismo enunciado en nuestro argumento que resulta de la sustitución en el esquema. Los ejemplos I y II de arriba pueden entenderse así como resultados de sustituciones específicas en el esquema de arriba —tradicionalmente denominado «Modus Ponens». Estas observaciones son una primera aproximación al papel del recurso al análisis estructural o formal de los argumentos que desarrolla el lógico.

Si se atiende a los desarrollos anteriores pueden ofrecerse una primera caracterización del objeto de la lógica. La misma podría expresarse así: la lógica se ocupa del estudio de la argumentación deductiva. Se puede encontrar en la literatura —como hemos señalado— dos usos de la palabra «deductivo». En algunos casos, se habla de «argumento deductivo» solo cuando la conclusión es consecuencia lógica de las premisas y luego las nociones de «argumento deductivo», «argumento lógicamente correcto» y «argumento válido» coinciden. En otros casos se entiende por «argumento deductivo» aquellos argumentos en que se pretende o se aspira a que las premisas impliquen la conclusión. Luego, si la relación de implicación se da, se dice que son correctos (válidos) y si la relación de implicación no se da, se dice que son incorrectos (inválidos). En este libro, como dijimos, este último uso será el predilecto. La caracterización preliminar del objeto de la lógica dada arriba adquiere un significado quizá algo diferente dependiendo del uso escogido. Si entiendo bien, es más hospitalaria si coincide con nuestra elección terminológica pero aún así la misma parece excesivamente restrictiva. Veamos brevemente este aspecto. Existe cierto tipo de argumentos que exhiben estas dos inquietantes cualidades: no son correctos pero lo parecen. Se les han denominado, tradicionalmente, falacias. La lógica tradicional les prestó atención e intentó ofrecer una teoría de los mismos, identificando diversos tipos de argumentos falaces. Los lógicos abandonaron el interés por las falacias —por razones que no viene al caso analizar— y desarrollaron una teoría matemática poderosa y refinada de la argumentación válida o lógicamente correcta descuidando tal tipo de estudios. Recientemente el interés


El objeto de la lógica

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Universidad de la República 24

por los mismos parece haberse reavivado.15 Aún tomado el vocablo «deductivo» en el sentido en que lo hemos tomado aquí parece incapaz de cubrir la totalidad de estrategias argumentales pertenecientes a dicha categoría. Es esta una primera razón por la que resultaría conveniente matizar nuestra caracterización general. Pero existe aún una segunda y quizá más poderosa razón para hacerlo. La matematización de la lógica la torna, en el sentido habitual de la palabra, una disciplina matemática. Y este hecho (conjuntamente con otros factores) supuso la aparición de ricas motivaciones intelectuales provenientes de las matemáticas que cautivaron la atención de los lógicos. Existen conexiones profundas e imposibles de exponer aquí entre los diversos campos de estudio que surgen en el seno de la lógica pero parecería forzado sostener que todos ellos se encuentran conectados de igual forma con el problema de la evaluación argumental. Uno de esos campos es la teoría de conjuntos —cuyos rudimentos estudiaremos pronto— pero no es el único. Además se suelen distinguir (tradicionalmente) teoría de modelos, teoría de la prueba y teoría de la computabilidad. Esta proliferación de intereses lógicos ha llevado a algunos autores a caracterizar la lógica como el estudio de los lenguajes formales. Estas observaciones nos aconsejan también temperar algo nuestra caracterización inicial del objeto de la lógica. Aunque hemos visto razones para matizar nuestra caracterización inicial del objeto de la lógica, debe reconocerse que la misma captura un aspecto esencial del trabajo de la disciplina. Luego, en este libro, nos ocuparemos de la lógica como teoría de la corrección deductiva argumental, esto es, hemos escogido, a los efectos de exponer las nociones básicas de la teoría lógica, como motivación fundamental el estudio de la corrección argumental. Dado que para desarrollar tal teoría el lógico apelará a la consideración estructural o formal de la argumentación, veremos que el lenguaje natural no le resultará satisfactorio. Luego se embarcará en la tarea de construir lenguajes artificiales, lenguajes hechos a la medida de los propósitos del análisis formal i.e. lenguajes formales. De este modo el estudio que desarrollaremos aquí cae cómodamente también en la caracterización de la lógica como teoría de los lenguajes formales. Una observación final destinada a evitar equívocos. Debiera ser evidente que no todo argumento es un argumento deductivo. Los argumentos deductivos son solo parte de la colección más amplia de los argumentos; existen argumentos que pretenden que las premisas justifiquen la conclusión pero no que lo hagan vía la relación de consecuencia lógica. Existen pues otras formas de evaluar la corrección de un argumento que no son los patrones de la corrección deductiva. En un sentido amplio, ese tipo de argumentos pueden denominarse «inductivos». La idea más general asociada a esta colección de argumentos es que, si bien en ellos las premisas no implican la conclusión, le otorgan a la misma «mayor probabilidad» o «verosimilitud».16 15 Un tratamiento especialmente influyente de las mismas es el propuesto por Hamblin (1970). 16 En algunos manuales tradicionales de lógica, por ejemplo Copi (1994), puede encontrarse una caracterización detallada de las argumentaciones inductivas así como una clasificación de las mismas. Una caracterización rápida pero conceptualmente certera puede leerse en Pereda (1995).

Como el lector quizá ya ha concluido, en realidad puede evaluarse un argumento usando criterios diferentes; más que situar la diferencia entre colecciones de argumentos entonces la misma podría situarse en modos o patrones de evaluación.17 Es obvio que debemos evaluar argumentos, digamos así, en forma pertinente. Un argumento deductivo, en el sentido que hemos dado aquí a este término, deberá ser evaluado en términos de si su conclusión es consecuencia lógica de sus premisas pero un argumento inductivo debiera ser evaluado en términos de si su conclusión es, por así decirlo, consecuencia «inductiva» de sus premisas.

Problemas y tareas 1. Si tuviera que evaluar la comprensión de este capítulo, ¿cuáles serían las preguntas que propondría? Formule seis interrogantes. 2. Responda las siguientes cuestiones: a. ¿Qué se entiende aquí por «enunciado»? b. ¿Qué se entiende por «argumento»? c. ¿Cuáles son los dos modelos argumentales estudiados? d. ¿Cómo se caracteriza la relación de «consecuencia lógica»? e. ¿Cuál es el objeto de la lógica?

17 Como respecto de otros tópicos básicos discutidos en este capítulo, puede resultar muy útil la lectura del capítulo 2 del libro de Haack (1991).


3. Compare el cuestionario elaborado por usted en el ejercicio 1 con respecto al presentado en el ejercicio 2. A la luz de esta comparación, proponga un cuestionario que le parezca óptimo.

25

Capítulo 2

Conceptos elementales de teoría intuitiva de conjuntos Introducción En el capítulo anterior describimos (en forma amplia) el objeto de la teoría lógica. Esta se ocupa de una forma de corrección argumental caracterizada por la exigencia de la relación de consecuencia lógica entre conclusión y premisas.18 El lógico apela al análisis formal o estructural de los argumentos como recurso metodológico para llevar adelante su estudio de tal relación. Esta estrategia da origen a la emergencia de lenguajes artificiales —como hemos dicho antes— construidos a la medida de su propósito. Tales lenguajes se denominan lenguajes formales —estudiaremos los mismos a partir del próximo capítulo. Pero para definir y explorar estos lenguajes la teoría lógica apela al poder expresivo y analítico de la teoría de conjuntos. Esta es la razón por la cual ofreceremos ahora una presentación rudimentaria de esta última en su parte más básica. Nuestra preocupación fundamental se reducirá a especificar su lenguaje y definir sus conceptos elementales en términos intuitivos o informales. Una comprensión más profunda de la teoría de conjuntos y, en particular, de sus presentaciones formales19 presupone el conocimiento que aspira a ofrecer este libro.20

Se entenderá por conjunto una colección de objetos. Los objetos que pertenecen al conjunto se denominan elementos del conjunto. Aunque las aproximaciones de arriba exhiban un grado considerable de ambigüedad, se ha optado por mantenerlas pues son útiles desde el punto de vista intuitivo; debiera consignarse, no obstante, que los conceptos de conjunto y elemento, en esta teoría, son conceptos primitivos, es decir, conceptos que carecen de definición explícita en la teoría. Los objetos deben ser absolutamente identificables y, dado un objeto y un conjunto, este pertenece o no al conjunto pero no ambos casos. Se notará que un objeto 18 En general, cuando hablemos de «consecuencia» entenderemos que nos estamos refiriendo a «consecuencia lógica». 19 Las nociones de formal e informal poseen, en este contexto, un sentido preciso; el lector podrá entender cabalmente los mismos en los próximos capítulos. 20 Orayen ha creído ver una paradoja en esta suerte de circularidad. El lector interesado puede informarse sobre este tópico en Moretti y Hurtado (2003).


Conjuntos

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a pertenece a un conjunto A del modo siguiente: a∈A. Se notará que el objeto a no pertenece al conjunto A como: a∉A. Se suelen identificar dos modalidades de definir conjuntos: por extensión y por comprensión. Se define un conjunto por extensión nombrando a todos los elementos que lo integran y encerrando sus nombres entre llaves. Por ejemplo: A={11,12,13,14}. Se define un conjunto por comprensión escribiendo la propiedad que poseen todos y solo los objetos que pertenecen a ese conjunto. El esquema de definiciones de este tipo es el siguiente: A={x: P(x)}, donde «P» está en lugar de la descripción de la propiedad en cuestión. El esquema anterior puede leerse así: el conjunto de los x tales que x posee la propiedad P. Un ejemplo de esto podría ser: B={x: x es un número natural y 10
Problemas y tareas 1. Sea el conjunto de los números naturales. Ofrezca una caracterización por extensión de estos conjuntos: a. {x:x∈

y 5
b. {x:x∈

y 17 ≤ x ≤ 20}

c. {x:x es un color del arco iris} d. {x:x∈

y x>4 y x<6 y x no es par}

Ofrezca una caracterización por comprensión de conjuntos que contengan exclusivamente los elementos que se sugieren en cada uno de los casos siguientes:

e. 2, 4, 6, 8, 10,…


f. 2, 4, 8, 16, 32,… g. lunes, martes, miércoles, jueves, viernes

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h. a, b, c, d

Subconjunto, conjunto vacío y conjunto potencia Se afirmó arriba que se ha definido de dos maneras diferentes «el mismo» conjunto, es decir, que A y B —como han sido definidos arriba— son iguales, i.e. A=B. Pero ¿qué significa que A y B son iguales? La respuesta es simple: que poseen los mismos elementos. Es decir, que si algo es elemento de A, entonces lo es de B —y la recíproca. La relación enunciada entre A y B que hemos usado para caracterizar cuando dos conjuntos son iguales, se denomina inclusión. En forma general puede definirse así: un conjunto X se encuentra incluido en un conjunto Y si y solamente si todo elemento de X es también elemento de Y. Se notará tal relación entre X e Y de la forma siguiente: X⊆Y —se lee «X está incluido en Y». Cuando X⊆Y también se dice que X es subconjunto de Y. A veces se distingue entre inclusión e inclusión estricta. Esta última exige que los conjuntos sean distintos, algo que, como es obvio, no exige la primera —trivialmente, para todo conjunto X, X⊆X. La inclusión estricta se nota —elocuentemente— de esta forma: X⊂Y. En este caso, suele decirse que X es un subconjunto propio de Y. Por ejemplo, los números naturales pares se encuentran incluidos estrictamente en el conjunto de los números naturales. La inclusión estricta de X en Y, es decir, X⊂Y puede representarse gráficamente así: Y X

Ejemplos: Usemos «⊄» para denotar que la relación de inclusión no se da.

Resulta evidente que X=Y si y solamente si X⊆Y e Y⊆X. De modo que si deseamos probar que dos conjuntos X e Y cualesquiera son iguales la estrategia inducida por la definición es demostrar que X⊆Y y que Y⊆X. Se admitirá como conjunto una colección muy especial: aquella que no posee ningún elemento. Se le denominará conjunto vacío y se le nota así: ∅. Puede mostrarse que solamente hay «un» conjunto vacío y podemos caracterizarlo así: {x: x≠x}, esto es el conjunto de los x que son distintos de sí mismos. Es obvio que, para cualquier conjunto X, se tiene que ∅⊆X. Un conjunto que posee un único elemento se le denominará singleton o conjunto unitario. Un conjunto que contiene dos elementos se le denominará par. Se han presentado diversos ejemplos de conjuntos. Podría quizá surgir la siguiente pregunta: ¿existen conjuntos cuyos elementos sean a su vez conjuntos? La


{a,b} ⊆ {b,c,a} {0,1,2} ⊄ {0,1,a} {a,b} ⊆ {a,b}

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respuesta es: sí. Un muy conocido ejemplo de esto es el denominado conjunto potencia (de un cierto conjunto dado). El conjunto potencia de un conjunto A es, precisamente, la colección de todos los subconjuntos de A. Es decir, sea A un conjunto, el conjunto potencia de A es el conjunto cuyos elementos son los X (y solo ellos) tales que X⊆A. Se le nota ℘(a) y puede leerse «potencia de A» o «partes de A». Ejemplos: A={1,2},

℘(A)={∅,{1,2},{1},{2}}

B={1},

℘(B)={∅,{1}}

Nótese que ℘(∅)={∅}

Operaciones conjuntísticas Si se piensa en términos gráficos parece fácil construir conjuntos a partir de conjuntos previamente dados. Por ejemplo, dados A y B, podríamos pensar en construir un conjunto que contenga tanto a los elementos de A como a los de B o uno que solo contenga a los elementos comunes a ambos. A continuación se verán algunas operaciones entre conjuntos que recogen (entre otras) estos modos intuitivamente descriptos de construir conjuntos. En primer lugar, dados dos conjuntos A y B, la operación denominada intersección —se nota A∩B— consiste, intuitivamente hablando, en «agrupar» los elementos comunes a A y B. Es decir: A∩B={x: x∈A y x∈B}. Por ejemplo: sean A={1,2} y B={1,3,4}, tenemos que A∩B={1}. Esta operación puede representarse así: (el sombreado indica donde se encuentran los elementos del conjunto referido) A∩B

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B

La operación intersección, tal como la hemos estudiado hasta aquí, «genera» un conjunto a partir de dos conjuntos dados. Puede generalizarse esta operación de modo que permita generar un conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) de conjuntos cualesquiera. Es decir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacer la intersección de todos los elementos de C, es decir,

⊃


A

X= {z: para todo X∈C, z∈X}.

X∈C

Como es evidente, este conjunto está integrado exclusivamente por aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos que pertenecen a C. Ejemplos: A={∅}

B={6,5,2} A∩B={2} A∩∅=∅

⊃

A={1,2,3}

C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}}

X={1}

X∈C

Sean A y B conjuntos, la operación denominada unión —se nota A∪B— consiste, intuitivamente hablando, en «agrupar» todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos en cuestión. Es decir, A∪B={x:x∈A o x∈B}. Ejemplo: Sean A={1,2} y B={1,3,4}, A∪B={1,2,3,4}. Representada gráficamente la operación unión luciría así: A∪B

A

B

⊃

Esta operación, tal como la hemos estudiado hasta aquí, genera un conjunto a partir de dos conjuntos. Puede generalizarse la misma de modo que permita generar un conjunto a partir de un conjunto (finito o infinito) de conjuntos cualesquiera. Es decir, dado un conjunto C de conjuntos podemos hacer la unión de todos los eleX= {z: para algún X∈C, z∈X}. Como es obvio, los mentos de C, esto es, X∈C

elementos que integran este conjunto son exclusivamente aquellos que pertenecen a algún conjunto perteneciente a C. Ejemplos: A={∅} A∪∅={∅}

⊃

C={{1,2},{3,1},{2,3,1,4},{5,4,1}}

X= {1,2,3,4,5}

X∈C

Sean A y B conjuntos, la operación denominada diferencia —se denota A-B— consiste, intuitivamente hablando, en «agrupar» los elementos que pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B. Es decir,


A={1,2,3} B={6,5,2} A∪B={1,2,3,5,6}

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A-B={x:x∈A y x∉B}. Ejemplo: Sean A={1, 2, 3} y B= {1,3} , A - B={2}. Gráficamente representada la operación diferencia luciría así: A−B

A

B

Sean A, B conjuntos tales que A⊆B. Se denomina complemento de A respecto a B al conjunto B - A. Cuando se asume que todos los conjuntos de que se está hablando son subconjuntos de un cierto conjunto «universo» (se le suele notar U) se habla del complemento de un conjunto A —se denota A o también A’— para referirse a la diferencia entre ese conjunto universo U y A. Es decir, para referirse al conjunto conformado por todos los elementos de U que no están en A. Este complemento relativo a U puede representarse gráficamente así –donde el sector sombreado representa los elementos que están «fuera» de A y pertenecen a U: A A

Aunque el interés —como se dijo— no es estudiar la teoría de conjuntos por sí misma sino más bien como lenguaje, eventualmente será necesario apelar a algunos resultados muy básicos de ella. Por esta razón (y para familiarizar al lector con los conceptos hasta aquí introducidos) puede resultar útil probar algunas proposiciones sobre estas operaciones estudiadas.


Proposiciones

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Sean A, B, C conjuntos. Entonces, a. A⊆A; b. ∅⊆A; c. A∩B=B∩A, A∪B=B∪A; d. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

Prueba. Las partes (a) y (b) se dejan al lector. c. Si x∈A∩B, entonces, por definición de intersección, x∈A y x∈B, es decir, x∈B y x∈A i.e. x∈B∩A. Luego A∩B⊆B∩A. Un argumento análogo permite probar B∩A⊆A∩B. Luego, A∩B=B∩A. Si x∈A∪B, entonces, por definición de unión, x∈A o x∈B, es decir, x∈B o x∈A i.e. x∈B∪A. Por lo tanto, A∪B⊆B∪A. Un argumento análogo permite probar que B∪A⊆A∪B. Luego A∪B=B∪A. d. Si x∈A∪(B∩C), entonces, por definición, x∈A o x∈B∩C. Supongamos que x∈A, entonces x∈A o x∈B i.e. x∈A∪B. Por argumento análogo x∈A∪C. Luego x∈(A∪B)∩(A∪C). Supongamos que x∈B∩C, entonces, por definición, x∈B y x∈C. Luego, como x∈B, x∈A∪B y como x∈C, x∈A∪C. De aquí se deduce que x∈(A∪B)∩(A∪C). Por lo tanto, si x∈A∪(B∩C) entonces x∈(A∪B)∩(A∪C) i.e. A∪(B∩C)⊆(A∪B)∩(A∪C). Si x∈(A∪B)∩(A∪C), entonces x∈A∪B y x∈A∪C. Si x∈A, entonces obviamente x∈A∪(B∩C). Si x∉A, como x∈A∪B y x∈A∪C, entonces x∈B y x∈C i.e. x∈B∩C y luego x∈A∪(B∩C). Por lo tanto, si x∈(A∪B)∩(A∪C), entonces x∈A∪(B∩C), es decir, (A∪B)∩(A∪C)⊆A∪(B∩C). Luego A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). La otra igualdad es dejada al lector.

Problemas y tareas 1. Caracterice por extensión el conjunto ℘(a) cuando a. A={2} b. A={2,3} c. A={∅,{2}} 2. Sea A={1,2}, B={3,1} y C es un conjunto cualquiera. Indique si los enunciados que se listan a continuación son V (verdaderos), F (falsos) o I (indeterminados, en el sentido que, en base a la información de la que disponemos, no podemos afirmar si son verdaderos o falsos): Enunciados

V/F/I

A∩B={1,2,3} A∩B⊆{5,6,1,7,9} {1,2,3}⊂A∪B

A∪∅=A C⊆A o A⊆C A∩∅=A A∩C⊆ B∩C

3. Elabore un ejercicio similar al 2.


A∪B⊂C Si A⊂C y B⊂C entonces A∩B⊂C

33

4. Demuestre (al modo de las pruebas dadas en las proposiciones p. 30) los enunciados siguientes: a. X∪∅=X b. X∩X =∅ c. Si X⊆Y entonces X∪Y=Y d. Si X∪Y=Y entonces X⊆Y 5. Si observa los enunciados demostrados en 4, se advierte que si sustituimos unión (intersección) por intersección (unión) los enunciados resultantes son falsos. Proponga modificaciones a estos últimos a fin de obtener enunciados verdaderos. Demuéstrelos. 6. Demuestre: a. X∩∅=∅ b. X∪X =U c. Si X⊆Y entonces X∩Y=X d. Si X∩Y=X entonces X⊆Y

Producto cartesiano. Relaciones Como se estudió antes, A=B significa que A⊆B y B⊆A, es decir, para que dos conjuntos sean iguales es condición necesaria y suficiente que posean los mismos elementos. Luego si A={1,2,3,4} y B={2,1,4,3}, se tiene que A=B. Pero es fácil advertir que, en el caso de A, la enumeración de sus elementos respeta el orden habitual mientras esto no ocurre en B. Dada la importancia matemática que le corresponde a la noción de orden, parece razonable aspirar a que la teoría de conjuntos nos permita discriminar diferencias en el orden de los elementos. Es decir, ¿cómo hacer para, asumiendo la caracterización de igualdad de arriba, capturar el orden de los elementos? Se enfrentará el problema en el caso más simple: el par. La respuesta es luego fácilmente generalizable. La solución —como cabría esperar— es construir un «conjunto especial» que nos permita reconstruir el orden. En el caso del par tal conjunto se denomina (en forma no demasiado original): par ordenado. Si tomamos la noción de par ya definida es obvio que el orden no es recogido i.e. {a,b}={b,a}. Se definirá par ordenado a, b —se nota y se leerá «el par ordenado a,b»— del modo siguiente:


={{a},{a,b}}.

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Al elemento «a» se le denomina «primera proyección del par» y el elemento «b» se le denomina «segunda proyección del par». La idea intuitiva es que la intersección de los dos componentes arroja la primera proyección, la segunda es el elemento restante. Esta no prueba, naturalmente, la corrección de la definición. ¿Qué exigiríamos para afirmar que tal definición captura lo que pretendíamos capturar con la misma? Básicamente la siguiente:

Proposición = si y solamente si a=a’ y b=b’. Prueba: (⇒) Supongamos que =, probaremos que a=a’ y b=b’. Por la suposición se tiene que {{a},{a,b}}={{a’},{a’,b’}}. Supongamos que a=b. Entonces {{a},{a,b}}={{a},{a}}={{a}}. Por suposición inicial, {{a}}={{a’},{a’,b’}}, es decir, a’=b’ y luego la igualdad puede escribirse así {{a}}={{a’}}. Y así {a}={a’} i.e. a=a’ y, como b=a’, b=b’. Supongamos ahora que a≠b. De aquí se deduce que a’≠b’ pues si no fuera el caso resultaría que dos conjuntos iguales poseen número distinto de elementos lo cual es absurdo. Luego, dado que {a} ≠ {a’,b’} —por argumento análogo al anterior— se tiene que {a}={a’} i.e. a=a’. Y, por argumento análogo al de arriba, {a,b}≠{a’} se tiene que {a,b}={a’,b’}. Como a=a’ y b’≠a’, b=b’. La parte (⇐) es dejada al lector. A partir de la noción de par ordenado puede obtenerse fácilmente —como se dijo— la de tríada ordenada, cuádrupla ordenada,…, n–tupla ordenada —donde n es un entero positivo. Por ejemplo, la noción de tríada ordenada puede ser definida así: =<,c>. Estas nociones permiten definir así un concepto que jugará un papel esencial en nuestro estudio: el concepto de relación (binaria, ternaria, …, n–aria). Concentrémonos en un caso básico: la relación binaria; la generalización es directa. A los efectos de caracterizar el concepto de relación binaria, se definirá previamente el concepto de producto cartesiano. La idea intuitiva del producto cartesiano de A por B —se nota AxB— es simple: tomar el conjunto de todos los pares ordenados tales que la primera proyección pertenece al conjunto A y la segunda proyección pertenece al conjunto B. Más formalmente: AxB={:x∈A e y∈B}. Ejemplo: Sea A={1,2} y B={3,4}, AxB={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>}.

1

3

2

4

Ahora estamos en condiciones de definir relaciones binarias. Simplemente se define una relación de A en B como un subconjunto de AxB. Es decir, R es relación


Un diagrama sagital de este último ejemplo puede ayudar a intuir la peculiaridad de esta estructura —donde las flechas «salen» de las primeras proyecciones y «llegan» a las segundas respectivas—:

35

de A en B si y solo si R⊆AxB. El dominio de R —se nota DomR— es el conjunto de las primeras proyecciones de los pares que pertenecen a R y el rango de R —se nota RanR— es el conjunto de las segundas proyecciones de los pares que pertenecen a R. Más formalmente, DomR={x: existe al menos un y∈B tal que ∈R} y RanR={y: existe al menos un x∈A tal que ∈R}. Se denomina campo de R —se nota CamR— al conjunto de los elementos que pertenecen al dominio o al rango de R, es decir, CamR=DomR∪RanR. Ejemplo: A, B son los conjuntos del ejemplo anterior y R={<1,4>,<2,4>}, DomR={1,2}, RanR={4}, CamR={1,2,4}. Así como se puede generalizar la noción de par ordenado, puede hacerse lo propio con las nociones de producto cartesiano (para dos conjuntos) y relación binaria. En particular, dado un conjunto A, podemos hacer el «producto» de n veces A, es decir, AxAx…xA n veces o, en una notación más cómoda e igualmente intuitiva, An. Así, en general, hablaremos de una relación R sobre A de aridad n cuando R⊆An. Es decir, una relación de aridad n está conformada por n–tuplas ordenadas de elementos de A. Luego, por ejemplo, una relación ternaria (i.e. de aridad 3) en A se puede definir simplemente como un subconjunto de A3. El lector seguramente advierte cómo es posible definir relaciones específicas de aridad ternaria, cuaternaria,…, n-aria. Es importante notar que, de acuerdo a la caracterización de arriba, ∅ y AxB son relaciones. Es usual definir la relación inversa a una relación R dada —se nota R–1 — del modo siguiente: ∈R–1 si ∈R. Ejemplos de relaciones: Sea A={a,b,c}, relaciones binarias en A son: 1. {,,,} 2. {, , , } Relaciones binarias en 3. {: x,y∈ 4. {: x,y∈ 5. {: x,y∈

son:

y x

Problemas y tareas

36

1. Sea A={a,b,c} y B={d,e}. Describa en términos extensionales los conjuntos siguientes a. AxB, BxA, AxA, BxB; b. Caracterice cuatro relaciones de A en B (distintas de ∅ y AxB); c. Represente tales relaciones a través de diagramas sagitales; d. Determine dominio, rango y campo de dichas relaciones; e. Elabore problemas análogos a los planteados en las partes b) y c).

Relaciones de equivalencia. Particiones Las relaciones pueden exhibir diversas propiedades de interés. Por ejemplo, definamos una relación de en —donde denota los números naturales— del modo siguiente: Igu={:m,n∈

y m=n}.

Como es obvio solo pertenecen a Igu los pares de naturales tales que la primera y segunda proyección son iguales. Obsérvese que para todo x∈ , ∈Igu. Por esto podemos decir que Igu es una relación reflexiva. Expresado en forma general, una relación R en A se dice que es reflexiva si y solamente si para todo x∈A, ∈R. La idea básica de esta propiedad podría representarse así:

a

b c

1

3

2

4

Finalmente obsérvese que Igu goza de la siguiente propiedad: si ∈Igu y ∈Igu, entonces ∈Igu. Por ello diremos que Igu es transitiva. Expresado de modo general, una relación R en A se dice que es transitiva si y solamente si, para elementos x,y,z de A, si ∈R y ∈R, entonces ∈R. El rasgo fundamental de una relación transitiva puede representarse así: a c b


Adviértase asimismo que Igu posee otra interesante propiedad: si ∈Igu entonces (trivialmente) ∈Igu. Por ello podemos decir que Igu es simétrica. Expresado en términos generales, una relación R en A se dice que es simétrica si y solamente si, para elementos x e y de A, si ∈R entonces ∈R. El diagrama de una relación simétrica lucirá más o menos así:

37

Las relaciones que —como Igu— gozan de las tres propiedades antedichas, es decir, son reflexivas, simétricas y transitivas se dice que son relaciones de equivalencia. Cada elemento x del DomR —cuando R es de equivalencia— permite definir el conjunto denominado clase de equivalencia de x módulo R: el conjunto de todos los objetos que se encuentran relacionados con x por R. Este conjunto puede notarse así: [x]R. Escrito en términos de esta notación, la caracterización de arriba puede lucir así: [x]R={y: ∈R}. Pueden ofrecerse obviamente otros casos de relación de equivalencia. Por ejemplo, sea T un conjunto de personas, sea E⊆TxT la relación definida así: {: x,y∈T y x tiene la misma edad que y}. Es claro que E es una relación reflexiva, simétrica y transitiva i.e. E es de equivalencia. Sea Es el conjunto formado por todas las palabras del idioma español admitidas por la Real Academia. Sea PI⊆EsxEs la relación definida así: {: x,y∈Es y x tiene el mismo número de letras que y}. Es fácil ver que PI es una relación de equivalencia. Un concepto que es útil introducir ahora, por su estrecha conexión con estas ideas, es el de partición. Se dice que el conjunto P es una partición del conjunto A si P es un conjunto de subconjuntos de A tal que: a) cada conjunto es no vacío, b) para dos elementos cualesquiera de A su intersección es vacía y c) la unión de todos los elementos de P es A. Más formalmente expresado, P es una partición de A si P⊆℘(a) y cumple las condiciones siguientes:

⊃

a. Para todo X∈P, X≠∅; b. Dados dos elementos cualesquiera (distintos) X,Y∈P , X∩Y=∅; X=A. c.


X∈P

38

¿Cuál es la relación entre este concepto nuevo y el estudio de las relaciones de equivalencia? Se puede enunciar la misma así: toda relación de equivalencia R en A permite definir una partición de A y toda partición de A determina una relación de equivalencia en A. Estudiemos en detalle la situación. En primer término ¿qué significa la afirmación «toda R de equivalencia en A permite definir una partición de A»? La idea es que puede definirse así: P={[x]R: x∈A}, es decir, el conjunto de todas las clases de equivalencia módulo R. Pero ¿es P una partición de A? Obviamente P⊆℘(a). Debe probarse que P satisface las condiciones a, b y c de la definición de partición anteriormente expuesta. En cada clase módulo R hay por lo menos un elemento, el representante de la clase, por lo tanto el punto a es trivial. Dados elementos cualesquiera (distintos) de P, tomemos [x]R e [y]R, supongamos que comparten al menos un elemento z’. Luego, supongamos, ya que son distintos,

⊃⊃

que existe z∈[x]R pero z ∉ [y]R. Por suposición existe z’ que pertenece a ambos. Por lo tanto ∈R e ∈R, pero como R es simétrica, , y, luego, como R es transitiva, ∈R . Como ∈R y R es transitiva ∈R i.e. z∈[y]R, lo cual es absurdo. El mismo argumento puede hacerse suponiendo que el elemento que permite distinguir los conjuntos pertenece a [y]R. Luego [x]R∩[y]R=∅. Esto prueba el punto b. X⊆A y, dado que para todo a∈A, a∈[a]R y esta última pertenece Es claro que X∈P

⊃

X i.e. A⊆

a P, luego a∈

X∈P

X. Esto prueba el punto c.

X∈P

Por lo tanto P así definido es una partición de A. La pregunta que deberíamos responder ahora es qué significa la afirmación «toda partición de A determina una relación de equivalencia en A». La idea consiste en tomar como clases de equivalencia a los miembros de P, es decir, ∈R si y solamente si x,y∈X, para algún X∈P. Es obvio que R es reflexiva y simétrica. Si ∈R y ∈R, esto quiere decir que x y z están en el mismo elemento de P i.e. ∈R —dado que los elementos de P no pueden compartir elementos pues son dos a dos disjuntos, es decir, dados dos cualesquiera su intersección es vacía. Esto responde la interrogante. Quizá este vínculo general entre relación de equivalencia y partición pueda ser mejor comprendido si se piensa en ejemplos particulares. Tómese entonces el caso de la relación E y adviértase que la partición generada sería, precisamente, el conjunto de los conjuntos de personas pertenecientes a T que comparten la misma edad. Es evidente que tal conjunto es una partición ya que dos elementos cualesquiera del mismo deben ser disjuntos y la unión de ellos da E. Tomemos ahora el conjunto de todos los conjuntos unitarios en E (es decir, formados por una sola persona). Es evidente que es una partición. Igu, definida en ese conjunto, podría ser la relación de equivalencia inducida. El conocimiento de las propiedades de relaciones antes discutidas y el concepto de relación de equivalencia sería importante para nuestros estudios lógicos. De igual modo, resultará importante identificar otra clase de relaciones: las relaciones de orden. Esta noción es el objeto de la próxima sección. 1. Sea A={1,2,3,4,5}. a. Caracterice extensionalmente una relación en A que sea reflexiva; b. Caracterice extensionalmente una relación en A que sea simétrica; c. Caracterice extensionalmente una relación en A que sea transitiva; d. Caracterice extensionalmente una relación en A que sea de equivalencia; e. Represente mediante diagramas sagitales las relaciones propuestas en (a–d). Represente también la partición inducida por la relación de equivalencia.


Problemas y tareas

39

f. Caracterice una relación en A y su inversa. Represente ambas mediante diagramas sagitales. 2. Proponga dos ejemplos de relación de equivalencia. 3. Elabore un ejercicio consistente en describir relaciones para evaluar la comprensión de propiedades de las mismas —i.e. preguntar si la relación descripta posee una propiedad dada. 4. Elabore algún ejercicio que permita evaluar la comprensión del concepto clase de equivalencia a partir de la relación pedida en 1, parte d).


Relaciones de orden

40

En la sección anterior hemos visto ciertas propiedades de las relaciones: reflexividad, simetría y transitividad. La posesión por parte de una relación de estas tres propiedades la caracteriza como una relación de equivalencia. Un procedimiento análogo seguiremos aquí. Identificaremos primero algunas propiedades de relaciones y luego caracterizaremos las relaciones de orden. Sea R una relación en A. Denominaremos a una relación R como irreflexiva si para todo x∈A, ∉R. Denominaremos a una relación R como asimétrica si para todo x,y∈A, si ∈R entonces ∉R. Denominaremos a una relación R como antisimétrica si para todo x,y∈A, si ∈R e ∈R, entonces x=y. Es fácil encontrar ejemplos de relaciones que ilustren estas propiedades. Sea T un conjunto de personas, sea D={: x,y∈T y x es progenitor masculino de y}. La relación D es obviamente irreflexiva y asimétrica. Sea A un conjunto. La relación ⊆ definida en ℘(a) es claramente antisimétrica. Diremos que una relación R en A es una relación de orden débil en A si R es transitiva, reflexiva y antisimétrica. Diremos que una relación R en A es una relación de orden estricto o fuerte en A si y solamente si R es transitiva e irreflexiva. También es posible exigir aquí transitividad y asimetría. ¿Por qué es posible definir de las dos formas arriba descriptas la relación de orden estricto? La respuesta es fácil: si tenemos una relación R transitiva e irreflexiva, ésta es asimétrica. Supongamos que R es transitiva e irreflexiva y sea ∈R, supongamos (para demostrar por absurdo) que ∈R, entonces, como R es transitiva, ∈R, pero esto es absurdo, pues R es irreflexiva. Luego ∉R i.e. R es asimétrica. Supongamos ahora que R es transitiva y asimétrica. La antisimetría excluye la posibilidad de que, para algún x, ∈R i.e. R es irreflexiva. Veamos algunos ejemplos de relaciones de orden. Las relaciones ≤ (menor o igual) definidas en los reales, racionales, naturales son ejemplos de orden débil y las respectivas relaciones < (menor) son ejemplos de orden fuerte. Sea A un conjunto, la relación de inclusión en ℘(a) es un orden débil y la relación de inclusión estricta en ℘(a) es un orden estricto o fuerte. Frecuentemente hablamos de órdenes para referirnos a los primeros (relaciones de orden débil) y de órdenes estrictos para

referirnos a los segundos (relaciones de orden estricto o fuerte). A veces resulta útil hablar de conjuntos ordenados y los definimos mediante el par , donde R es el orden y A el conjunto en el que la relación R esta definida. Un modo de pensar la relación entre órdenes y órdenes estrictos lo condensa el siguiente teorema21

Teorema a. Sea R un orden en A. Sea S la relación definida en A del modo siguiente: para todo x,y∈A ∈S si y solamente si ∈R y x≠y. Luego, S es un orden estricto en A. b. Sea S un orden estricto en A. Sea R la relación definida en A del modo siguiente: para todo x,y∈A ∈R si y solamente si ∈S o x=y. Luego, R es un orden en A. Sea R una relación de orden en A. Sean a, b∈A. Decimos que a y b son comparables si ∈R o ∈R; en otro caso, decimos que a y b son incomparables. El mismo concepto se aplica al caso de órdenes estrictos. Esta noción de comparabilidad nos permite definir el concepto de orden total. Un orden R en A es denominado total o lineal si para todo a, b∈A, a y b son comparables. A los efectos de que la exposición de algunas importantes nociones relacionadas con órdenes se torne más intuitiva establezcamos algunas convenciones notacionales. Si R es una relación de orden y ∈R, entonces asumiremos que a es menor que b y, por ello, escribiremos a ≤b (si R es un orden estricto, escribiremos: a
e d

b

f

En el caso del ejemplo 1, no hay mínimo y hay dos minimales (a y b). En el caso del ejemplo 2 hay mínimo (f) y éste también es minimal —en el caso de órdenes totales no hay diferencia entre ambos conceptos. En el caso del ejemplo 1, no hay máximo y hay dos maximales (f y e). En el caso del ejemplo 2, el máximo y el maximal coinciden. 21 Este teorema aparece, por ejemplo, en Hrbacek y Jech (1978) p. 37.


f

Ejemplo 2

41

Existe una rica variedad de conceptos que permiten comprender más finamente las relaciones de orden pero a los modestos fines de este curso de lógica se consideran suficientes las arriba estudiadas.

Funciones Las estructuras denominadas funciones —cuya importancia difícilmente puede sobrestimarse— son, precisamente, un tipo particular de relaciones. Su particularidad consiste en que para cada elemento del dominio de la relación existe un y solamente un elemento en su rango. Es decir, si f es una función de A en B —se nota f: A→B— se tiene que si ∈f y ∈f, entonces y=z. Ejemplo: Sea Suc:

→ , definida así Suc(x)=x+1. La misma puede representarse así:

0 1

1 2

n

n+1

Este diagrama permite apreciar la originalidad de las funciones respecto de las otras relaciones. Dicho de una forma intuitiva, en una relación funcional de cada elemento del dominio no puede salir más de una flecha. Es evidente la riqueza de ejemplos de relaciones funcionales. Solamente agregaremos uno más ahora a los efectos de subrayar un tipo o clase de funciones que serán de especial utilidad en nuestro curso, a saber, las operaciones aritméticas. Tomemos pues la suma en los naturales como un ejemplo de relación funcional. Se trataría de una función que asocia a pares ordenados de números naturales un número natural, es decir, f+: x → . Una representación gráfica parcial de la misma es la siguiente:


x

42

<5,1> <3,4> <9,8>

6 7 17

Se suele distinguir diversos tipos de funciones. Una función f: A→B se denomina total si Domf=A, se dice sobreyectiva si Ranf=B, se dice que es inyectiva si ∈f y ∈f, entonces x=x’. Una función se dice biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva. He aquí algunos diagramas que pueden contribuir a clarificar los anteriores conceptos. Siempre que se hable simplemente de «función» se sobreentiende aquí que se trata de una función total. Función sobreyectiva pero no inyectiva: A a

B c

b d

e

Función inyectiva pero no sobreyectiva A

B

a

c

b

d e

A

B

a

a’

b

b’

c

c’

En general, hablaremos de la imagen de una función para el elemento a de su dominio, como el valor que la función toma para ese elemento. Generalizando la idea, si f: A→B, la imagen de A1⊆A por la función f —lo notamos f [A1]— al conjunto de todos las imágenes de los elementos de A1 i.e. f [A]={y: existe x∈A tal que f(x)=y}.


Función biyectiva

43

Ejemplos de funciones: f1 :

→ , f1(x)=2.x ;

f2:

→{0,1}, f2(x)=

{

1, si x no es par 0, si x es par

f3: Es→{a,b,c,…,z}, donde el conjunto nombrado «Es» es aquel cuyos elementos son las palabras del idioma español, y el rango es el conjunto formado por las letras del abecedario, f3={: y es la letra con la que comienza la palabra x} f4:

→ , f4(x,y)=x.y

2

Dadas dos funciones f y g tales que f: A→B y g: B→C podemos formar la composición de f y g. Notaremos tal objeto «g ○ f» y queda definido así: g ○ f={: ∈f y ∈g}. Obviamente, se trata de una función que va de A en C. A veces también se le caracteriza así: g ○ f : A→C, (g ○ f) (x)=g(f(x)). Una interesante aplicación de la noción de biyección es la siguiente definición.

Isomorfismo Definición Decimos que f es un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados y si y solamente si f es tal que f: A→B, f es biyectiva y para todo x,y∈A, ∈R si y solamente si ∈S. La noción de isomorfismo puede presentarse en una forma más general pero hemos optado por esta forma más restringida para que pueda ser fácilmente comprendida y pueda así advertirse el tipo de similaridad que la relación de isomorfismo asegura. Como se suele decir, implica una suerte de «identidad estructural». Cuando la formulamos en toda su generalidad, lo que garantiza es que funciones y relaciones son preservadas (de una estructura a otra) por la función de isomorfismo.22

Problemas y tareas


1. Para cada una de las funciones definidas abajo, proponga una función caracterizada en forma análoga (es decir, identifique la idea que subyace a cada una de las definiciones propuestas)

44

a. f1: → tal que f1(x)= 3.x b. f2: – {0}→ tal que f2(x)=x−1 c. f3: → tal que f3(x)= −x, donde ros enteros.

representa el conjunto de los núme-

22 Puede verse tal formulación, por ejemplo, en el excelente Manzano (1989).

2. Sean f1, f2 y f3 definidas como en los ejemplos dados anteriormente en esta sección. Decida si son verdaderos o falsos (V/F) los enunciados siguientes: V/F f1 es inyectiva f2 es inyectiva f3 es inyectiva f1 es sobreyectiva f2 es sobreyectiva f2−1 es una función f1−1 es una función

3. Sea f: A→B y g: B→C. Demuestre: a. Si f y g son inyectivas, g ○ f es inyectiva. b. Si f y g son sobreyectivas, g ○ f es sobreyectiva. 4. Sea una función cualquiera g: A→B, ¿g−1 es una función?

Cardinalidad23

A

B

a

a’

b

b’

c

c’

Esta idea parece capturar muy bien la igualdad de tamaño: si se puede producir el «apareamiento» descripto los conjuntos poseen el mismo tamaño, si no se puede producir el mismo, difieren en tamaño. Esta noción intuitiva de «apareamiento» queda prolijamente elucidada por el concepto preciso de biyección. Luego dos conjuntos poseen el mismo tamaño o, más técnicamente, poseen la misma cardinalidad 23 Este capítulo es algo más exigente que los anteriores pero alcanza con capturar las ideas básicas para la comprensión del resto de este libro.


A pesar del carácter elemental y básico de los desarrollos anteriores, éstos nos permiten esbozar una respuesta a la fascinante pregunta: ¿cómo medir el «tamaño» de un conjunto? Una contestación a tal interrogante, expuesta en términos intuitivos, es la siguiente: dos conjuntos tienen el mismo «tamaño» si con cada elemento de uno podemos «aparear» uno del otro y cubrimos los dos conjuntos —es decir, no nos queda en ninguno de los dos conjuntos algún elemento sin «pareja». El siguiente diagrama permite ilustrar la idea

45

si es posible definir una biyección entre ellos. Podemos resumir tal situación del modo siguiente. Sean A y B conjuntos cualesquiera, card(A)=card(B) (leemos: cardinal de A es igual a cardinal de B) si existe una f: A→B y f es biyección. A veces se dice que A y B son biyectables o equipotentes y se nota «A≈B». Diremos que card (A) ≤ card(B) si existe una inyección f: A→B. Es importante observar que nuestra notación «≤» se encuentra plenamente justificada ya que tal como hemos definido esta relación es un orden. La reflexividad y transitividad de tal relación son fácilmente demostrables. La antisimetría es más difícil de demostrar: es conocida como Teorema de Cantor-Bernstein. Estudiemos una demostración básica del mismo. Previamente, demostramos el siguiente24

Teorema Si C⊆B⊆A y card(A)=card(C) entonces card(A)=card(B). Prueba. Dado que card(A)=card(C), existe f: A→C, f siendo una biyección. Construimos una serie de conjuntos, siendo A0=A−B, A1= f [A0], A2= f [A1], … Veamos gráficamente la situación: A A0 =A-B

f

B

C .

f

…

A3 f

.

A2

f

A1

⊃

Sea D= Universidad de la República

i∈N

46

Ai.

Sea f*: A→B, definida así: f*(a)=f(a) f*(a)=a

si a∈D si a∉D.

24 En la exposición presente hemos usado varias fuentes; en particular, en la demostración de este teorema hemos seguido a Malitz (1987), Algunas obras ofrecen pruebas más rigurosas pero requieren conceptos cuyo estudio excede esta breve introducción. El lector interesado puede consultar textos de teoría de conjuntos como, por ejemplo, Hrbacek y Jech (1978) o Roitman (1990).

Es importante notar que f* efectivamente tome sus valores en B. Si a∈D, f*(a)=f(a) luego f(a)∈C y como C⊆B, f*(a)∈B. Si a∉D, f*(a)=a, luego a∉A−B, luego a∈B, es decir, f*(a)∈B. Veremos ahora que f* es una biyección de A en B i.e. card(A)=card(B). Primero, probaremos que f* es inyectiva. El argumento será por casos. Sean a1,a2∈A y a1≠a2, pueden darse los siguientes casos: Caso 1 Sean a1,a2∈D. Luego f*(a1)=f(a1) y f*(a2)=f(a2) y dado que, por hipótesis, f es inyectiva, f*(a1)≠f*(a2). Caso 2 Sean a1,a2∉D. Luego f*(a1)=a1 y f*(a2)=a2 y dado que, por hipótesis a1≠a2, f*(a1)≠f*(a2). Caso 3 Sean a1∈D y a2∉D. Luego f*(a1)∈D —ya que a1∈D— y a2∉D , por hipótesis. Así f*(a1)≠f*(a2). Caso 4.

Sean a1∉D y a2∈D. Idem al caso 3.

Dado que los casos son exhaustivos, hemos probado la inyectividad de f*. Ahora probaremos que f es sobreyectiva. Sea b∈B. Si b∉D, entonces, dado que b∈A pues B⊆A, f*(b)=b, es decir, b∈Ran f*. Si b∈D, entonces b∈Ai con i≥1, pues b∈A y b∈B, luego b∉A−B, es decir, b∉A0. Ya que b∈Ai, b∈f [Ai–1], luego existe a1∈Ai–1 tal que f(a1)=b. Como a1∈D, f*(a1)=f(a1)=b, es decir, b∈Ranf*. Esto demuestra que f* es sobreyectiva. Dado que hemos demostrado que f* es inyectiva y sobreyectiva, tenemos que es una biyección, es decir, card (A)=card(B). Podemos demostrar el teorema de Schröder- Bernstein o Cantor-Bernstein (al parecer no es sencillo establecer en forma precisa la autoría del mismo) fácilmente a partir de este resultado..

Si card(A)≤card(B) y card(B)≤card(A) entonces card(A) =card (B) Prueba. Por hipótesis card(A)≤card(B), luego existe f: A→B que es inyectiva. Un argumento análogo permite afirmar que existe g: B→A y g es inyectiva. Como ya sabemos (ver Problemas y tareas p. 43, ejercicio 3) g ○ f es una función inyectiva de A en A. Llamemos C a la imagen de g ○ f por A i.e. (g ○ f) [A]. Obviamente g ○ f es una biyección de A en C pues es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, card(A)=card(C). Obviamente, C⊆A. Sea B1=g [B], luego B1⊆A. Es fácil ver que C⊆B1 ya que si x∈C


Teorema Cantor–Schröder-Bernstein

47


hay un y∈A tal que g(f(y))=x, obviamente f(y)∈B y así x∈g[B], es decir, x∈B1. Luego tenemos que C∈B1∈A y, como habíamos probado que card(A)=card(C), aplicando el teorema anterior, obtenemos card(A)=card(B1). Pero g es una función biyectiva de B a B1, es decir, card(B1)=card(B) y luego card(A)=card(B). En realidad, en el caso de los conjuntos finitos, la caracterización de la igualdad de cardinalidad —o «tamaño»— como la equipotencia o biyectabilidad de los conjuntos no parece exhibir problema alguno. Si comparáramos respecto de su tamaño los conjuntos A y B del primer diagrama de esta sección, es decir, comparáramos el número de elementos de A con el número de elementos de B, la respuesta es unívoca: poseen el mismo número de elementos y esto parece quedar asegurado por la existencia de una biyección. Pero, ¿qué ocurre cuando nos enfrentamos con conjuntos infinitos? Galileo ya había notado en 1638 una peculiaridad desconcertante (a veces denominada paradoja de Galileo): el conjunto de los cuadrados de los enteros positivos puede «aparearse» con el conjunto de los enteros positivos. Es decir, de acuerdo con la caracterización anterior de igualdad de tamaño, el conjunto de los enteros positivos y el conjunto de los cuadrados de enteros positivos poseerían… igual tamaño. Pero, a su vez, el conjunto de los cuadrados de enteros positivos es un subconjunto propio de los enteros positivos. ¿Cómo es posible que la parte tenga el mismo tamaño que el todo? La respuesta positiva a tal interrogante contradice un axioma de la geometría euclídea que afirma que el todo es mayor que las partes. El creador de la teoría de conjuntos Georg Cantor se preocupó por estudiar — entre 1874 y 1897— las posibilidades de establecer biyecciones entre conjuntos infinitos.25 La paradoja de Galileo —como se observó— se basa en la existencia de una biyección entre los conjuntos involucrados. La idea de su construcción es simple: a cada n2 le asocia n —con n entero positivo. Pero, además, estos conjuntos son biyectables —es decir, puede construirse una biyección— con . Cuando un conjunto dado puede biyectarse con se dice que es numerable. A veces se denomina, en general, contable si puede biyectarse con A⊆ . Dado que se sabe que, por ejemplo, los enteros y los racionales son numerables, una pregunta interesante es la siguiente: ¿son también numerables los números reales? La respuesta es negativa y fue obtenida por Cantor a través de un legendario teorema. La idea —el uso del denominado «método de la diagonal»— es esta: tómese el intervalo real 0
48

25 Expuesta de una forma grosera, podríamos decir que los defensores del «infinito potencial» conciben el mismo como ilimitación, como la posibilidad de adicionar o sustraer ilimitadamente. Desde este punto de vista, por ejemplo, los números naturales son infinitos en el sentido en que, para cualquier número natural n, puede calcularse un número natural mayor (digamos n+1). Podríamos decir que, en esta perspectiva, la infinitud nunca se da plenariamente sino solo en tanto posibilidad. Por oposición, el partidario del concepto de «infinito actual» entiende el mismo no como una posibilidad que nunca se actualiza cabalmente sino como algo totalmente dado. Desde este punto de vista, los números naturales son actualmente una totalidad infinita, plenamente dada. Fraenkel entiende que la construcción de la teoría de conjuntos supone «la conquista del infinito actual» y tal hazaña implica una «ampliación del horizonte científico» tan extraordinaria como, por ejemplo, la revolución copernicana —véase Fraenkel (1966).

fracciones decimales tales que su primer dígito significativo se encuentra después del punto y es seguido por infinitos dígitos que no son 0 —si la fracción poseyera una lista infinita de 0’s ponemos 9’s en su lugar. Supongamos que se pudiera construir una lista exhaustiva de los reales de este intervalo: x0, x1, …. Luego enumeramos también los dígitos después del punto de cada uno de ellos y los ordenamos en una tabla. x03 … x13 … x23 … x33 … …

x02 x12 x22 x32 …

x01 x11 x21 x31 …

…

.x00 .x10 .x20 .x30

Se puede, siguiendo la flecha, construir la siguiente fracción decimal: .x’00 x’11 x’22 x’33 … donde x’ii difiere de xii de modo de obtener una fracción decimal que esté escrita del modo prescrito. Obviamente la misma pertenece al intervalo. Pero x’00 difiere de la primera fracción pues difiere en las décimas, de la segunda difiera en las centésimas y así sucesivamente. De ese modo se ha construido una fracción que, perteneciendo al intervalo, «escapa» a la numeración. En consecuencia no existe una enumeración completa del intervalo: siempre es posible construir una fracción que no cae dentro de la enumeración. Para obtener la prueba sobre R directamente alcanza con escribir cada real como característica más mantisa y aplicar el anterior procedimiento a las mantisas. Los conjuntos que, al igual que R, no son biyectables con se dice que son no-numerables. El resultado obtenido es sorprendente: se tiene (hablando intuitivamente) por lo menos dos infinitos de distinto «tamaño». O, expresado más técnicamente, todos los conjuntos infinitos no poseen la misma cardinalidad. Como se acaba de demostrar, R no posee la misma cardinalidad que . Pero quizá aún más intrigante resulte el resultado siguiente, también debido a Cantor.26

Teorema

Prueba. Sea f: A→℘(A) tal que para x∈A, f(x)={x}. Esta función es obviamente inyectiva por definición, entonces card(A) ≤ card(℘(A)). Mostraremos ahora que no puede haber función sobreyectiva de A en ℘(A). Argumentaremos por absurdo. Supongamos que existe una f: A→℘(A) tal que f es sobreyectiva. Sea B={x∈A: x∉f(x)}. Es evidente que B∈℘(A) y, dado que por hipótesis f es sobreyectiva, existe y∈A tal que f(y)=B. Sabemos que y∈B o y∉B. Supongamos que y∈B, entonces y∉f(y), es decir, y∉B. Supongamos ahora que y∉B. Esto quiere decir que y∉f(y), es decir, y∈B. En cualquier caso, llegamos a una contradicción. Por absurdo, no existe 26 El teorema y la prueba se encuentran expuestos en diversos textos de teoría de conjuntos. Hemos seguido aquí básicamente la obra antes citada de Hrbacek y Jech (1978). Consultamos también la exposición de Partee, et al. (1993).


Sea A un conjunto cualesquiera. Entonces card(A)< card(℘(A)).

49

⊃

f: A→℘(A) sobreyectiva. Como ya teníamos que card(A)≤card(℘(A)) y hemos ahora descartado la igualdad, tenemos que card(A)
Problemas y tareas


1. Demuestre que la relación ≈ es una relación de equivalencia. Es decir, para conjuntos arbitrarios X, Y, Z

50

a. X≈X (reflexividad) b. Si X≈Y, entonces Y≈X (simetría) c. Si X≈Y y Y≈Z, entonces X≈Z (transitividad). 27 Este resultado figura como ejercicio más abajo. 28 Nuevamente, esta respuesta puede encontrarse en los libros de texto sobre teoría de conjuntos citados. Por ejemplo, puede leerse el capítulo 4 de Machover (1996). Las breves observaciones históricas de este último párrafo han seguido también los comentarios de este autor.

2. Sea A={1,2,3,4,5} y B={6,7,8,9,10}. ¿Cómo podría mostrar que card(A)=card(B)? 3. Sea A={1,2,3} y B={5}. ¿Cómo podría mostrar que card(A)≠card(B)? 4. Demuestre que los conjuntos siguientes son numerables: a. {1,2,3,…} , es decir, -{0} b. {6,7,8,…}, es decir, -{0,1,2,3,4,5} c. {0,2,4,…}, es decir, números naturales pares; d. , es decir, los enteros.

«Teoría intuitiva de conjuntos» se refiere a la teoría tal cual la hemos presentado ahora, es decir, a la teoría no formalizada. La pregunta que surge es si hay alguna necesidad de formalizar tal teoría, es decir, si la teoría intuitiva es en algún sentido insatisfactoria. La respuesta es: sí. Veamos la situación con algún detalle. En nuestra teoría intuitiva podemos decir que, básicamente, hemos asumido que cualquier propiedad bien definida genera un conjunto. Esta es la esencia de nuestro procedimiento de definir conjuntos por comprensión. En 1903 Russell llamó la atención sobre la siguiente clase de conjuntos definida a través de una propiedad a primera vista irreprochable: R={x: x∉x} Es decir, tomemos la clase de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. La clase de las nociones abstractas tal vez deba considerarse que es ella misma una noción abstracta pero el conjunto de los tenistas no es un tenista (salvo mejor opinión, tal clase no juega tenis). Luego parece razonable en principio distinguir entre clases que se pertenecen y clases que no se pertenecen a sí mismas. De acuerdo al uso que hemos hecho de la estrategia definicional por comprensión, R debiera ser un conjunto. Pero, si admitimos que R es un conjunto, desembocamos en una contradicción. El argumento es simple. Si R es un conjunto, como hemos dicho en general antes, solo existen dos posibilidades: R∈R o R∉R. Supongamos que R∈R, entonces, por definición de R, él no pertenece a sí. Es decir, R∉R. Ahora supongamos que R∉R, luego R no pertenece a sí y, por tanto, por la definición de R, R∈R. Por tanto tenemos que R∈R y R∉R. Esta es la llamada paradoja de Russell.29 Luego nuestra teoría intuitiva padece un problema de la mayor gravedad: es inconsistente. Se procura entonces la sustitución de la teoría intuitiva por otra teoría que preste análogos servicios teóricos pero que sea consistente. En 1908 emergen dos respuestas al desafío planteado: la teoría de tipos (debida al propio Russell) y la axiomatización de la teoría de conjuntos (iniciada por Zermelo). Ambas estrategias atacan el uso irrestricto (propio de la teoría intuitiva) de lo que se ha denominado Principio de Comprensión, es decir, la idea de que la extensión de una propiedad es siempre un conjunto. Ambos enfoques pueden considerarse exitosos. En particular, el enfoque axiomático de la teoría de conjuntos ha sido ampliamente desarrollado. 29 No es ésta la única paradoja que afecta la teoría intuitiva pero resultó la más explosiva, quizá por presuponer solamente asunciones muy básicas de lógica y teoría de conjuntos.


Teoría intuitiva y teoría formal

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La formalización de tal axiomatización encuentra su motivación en la eliminación de un tipo distinto de paradojas —denominadas paradojas semánticas o lingüísticas. La estrategia aquí consiste en caracterizar de un modo matemáticamente riguroso el lenguaje de la teoría y, consecuentemente, la noción de propiedad que permite definir un conjunto. Llegamos así a un enfoque axiomático formal de esta teoría. La descripción de estos esfuerzos y el posterior desarrollo de la teoría de conjuntos (como es obvio) escapan a los limitados objetivos presentes. Usaremos en este curso la teoría intuitiva de conjuntos en sus partes seguras y aproblemáticas; aplicaremos la misma, como se dijo, a la caracterización y estudio de algunos lenguajes formales lógicos. Una comprensión clara de qué debe entenderse por una teoría axiomática formal podrá obtenerse hacia el final del curso.

Capítulo 3

Lenguaje lógico proposicional: sintaxis Introducción Uno de los objetivos principales de la lógica es el estudio de las estructuras de los argumentos deductivos —como se discutió en el primer capítulo. Como cabría esperar, no toda estructura deductiva posee la misma complejidad. Un modo razonable de comenzar este estudio consiste entonces en principiar por aquellas estructuras deductiva o lógicamente correctas —esto es, estructuras que aseguren la relación de implicación entre premisas y conclusión— que, a su vez, sean las más simples. Comencemos tomando el argumento siguiente: a)

Si Juan es vampiro, entonces posee un castillo. Juan es vampiro Juan posee un castillo.

Su estructura parece muy sencilla y, además, intuitivamente correcta: si se aceptan las premisas, resulta indiscutible la peculiar situación inmobiliaria de Juan. Es decir, el problema de aislar la estructura de a) y mostrar su corrección lógica parece un conveniente punto de partida. Más adelante confirmaremos la pertinencia de esta elección.

Estructuras proposicionales

Si Juan es vampiro, entonces posee un castillo. Juan es vampiro Juan posee un castillo.

30 En honor a la verdad debiera agregarse, «por las mismas razones estructurales» o algo equivalente. Para el lector principiante que pretende capturar la idea intuitiva, esta nota quizá es prescindible; la misma se escribió entonces pensando en el lector ya avisado (y más bien obsesivo).


El primer problema —como fue sugerido arriba— reside en aislar la estructura de a). Un modo sensato de plantearse el mismo consiste en preguntarse qué puede modificarse y qué no puede modificarse en a) a los efectos de que la argumentación resultante siga siendo, desde el punto de vista intuitivo, lógicamente correcta.30 Un poco de reflexión es necesaria para clasificar las expresiones de a) en una u otra de estas categorías —y, seguramente, surgen varias posibilidades. Las que pueden modificarse —de acuerdo al análisis que nos interesa— aparecen subrayadas:

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Coloquemos pues puntos suspensivos en estos lugares: Si …, entonces … … … Sin embargo, existe algo que este esquema no capta, a saber, que lo colocado en los «primeros» puntos suspensivos —después del «Si»— debe ser idéntico a lo colocado en los «terceros» puntos suspensivos —los correspondientes a la segunda premisa— y que lo colocado en los últimos puntos suspensivos —correspondiente a la conclusión— debe ser idéntico a lo colocado en los «segundos» puntos suspensivos. Un modo de expresar esta situación consiste en escribir letras en lugar de los puntos suspensivos —con la exigencia obvia de que cuando se sustituye «A» por una cierta expresión «E», esto se haga para todas las ocurrencias de A: cada vez que aparece «A» debe escribirse «E». El esquema podría quedar así: b)

Si A, entonces B A B

Es fácil convertir b) en un enunciado si se recuerda que la barra es una abreviatura de «por lo tanto» o «en consecuencia». Así se tiene:


c) Si A entonces B y A, por lo tanto B.

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Cabría, no obstante, una pregunta: ¿puede colocarse en lugar de «A» y «B» cualquier expresión del idioma español y se obtendrá siempre, mediante este expediente, un argumento deductivo? No es necesario intentarlo para advertir que no: por lo menos debo poner oraciones en lugar de «A» y «B» y no, por ejemplo, sustantivos o combinaciones de palabras que violenten las reglas gramaticales. Pero más aún: ¿puede ponerse en lugar de «A» y «B» cualquier oración, por ejemplo, interrogaciones u órdenes? La respuesta es: no. La razón es simple: si en lugar de premisas y conclusión se insertan expresiones que no son enunciados, la sustitución no dará como resultado un argumento —tal cual fue definido este último concepto. De modo que una restricción esencial debe imponerse a los segmentos lingüísticos que pueden aspirar a sustituir a «A» y «B» en el esquema b) —y, obviamente, lo mismo vale para c)—, a saber: las letras «A» y «B» solo pueden ser sustituidas por enunciados. El esquema b) parece expresar entonces la siguiente idea: coloque los enunciados que desee en lugar de «A» y «B», obtendrá un argumento lógicamente correcto. Véase que, en último término, la corrección —por ahora intuitivamente considerada —depende, en forma exclusiva, del modo cómo están «conectados» los enunciados. Es decir, la garantía de la corrección del argumento descansa en las «conexiones» entre enunciados. Podría decirse entonces que, a los efectos de identificar la corrección argumental en estos casos, es especialmente útil atender, en forma exclusiva, a tales conexiones; es decir, aislar su estructura proposicional o enunciativa. El estudio de estas estructuras es el objeto del lenguaje lógico proposicional.

Lenguaje formal: motivación e ideas intuitivas Nótese que la estructura explicitada en c) ya supone un alejamiento del uso del lenguaje natural. Dadas las especificaciones que, por otra parte, se han establecido para las letras mayúsculas usadas arriba como nombres de enunciados, este tipo de análisis estructural o formal parece conducir, naturalmente, a la construcción de un lenguaje artificial, esto es, un lenguaje intencionadamente construido para cumplir cierta finalidad determinada.31 ¿Cuál finalidad? Precisamente aquélla que hemos discutido en el primer capítulo, a saber, la evaluación argumental. Si éste es el objetivo resulta muy natural que la equivocidad del lenguaje natural (estimable en otros contextos) devenga aquí una característica indeseable. Una de las propiedades que se aspira posea el lenguaje artificial será, en consecuencia, la univocidad —más adelante se discuten algunas otras propiedades. En esta sección se ofrecerá una aproximación intuitiva al lenguaje (artificial) que construiremos para el análisis lógico proposicional. En primer lugar, puede resultar útil atender a la similitud existente entre b) y, por ejemplo, esta ecuación del álgebra elemental:

Es decir, d) podría parafrasearse más o menos así: coloque los números reales que desee en lugar de las letras, siempre obtendrá una igualdad. Respecto de b) podría decirse: coloque enunciados cualesquiera en lugar de las letras, siempre obtendrá una argumentación correcta. Esta similitud puede permitir una mejor comprensión del uso y de la denominación que de ciertas letras mayúsculas se hacen a veces en lógica. Como se sabe, a las letras minúsculas que aparecen en d) se les denomina, habitualmente, «variables». La razón de tal nominación se vincula al hecho de que se refieren a números reales, pero cuál sea el número específico al que refieran puede «variar»; esto es, en principio, cualquier número real puede ser referido por ellas. De un modo análogo, puede pensarse que se usan las letras A y B de arriba, pero no para referir indeterminadamente a números reales sino a enunciados. Por ello algunos autores las denominan «variables de enunciados». Sin embargo, preferiremos aquí entenderlas como simplemente nombrando enunciados —de hecho ese fue el papel que atribuimos a A y B en b) y c). Reservaremos el nombre de «variables» para aquellas expresiones del lenguaje formal que trataremos como tales permitiendo la cuantificación en el lenguaje sobre ellas —esto podrá apreciarse claramente cuando estudiemos los lenguajes de orden uno. Por ello denominaremos «letras de enunciados» o «letras proposicionales» a las letras que cumplen la función antedicha —i.e permitirnos «nombrar» enunciados— y formarán parte pues de nuestro lenguaje artificial. En 31 La evaluación del lenguaje natural y su aptitud como instrumento cognoscitivo escapa al propósito de este libro. Un panorama histórico acerca de las motivaciones y avatares de la construcción de lenguajes artificiales destinados a potenciar nuestras posibilidades cognitivas puede leerse en Rossi (2000).


d) a(b+c)=ab+ac.

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honor a la verdad, la situación es algo más compleja; tendremos oportunidad de afinar estas ideas cuando estudiemos, en el capítulo siguiente, los aspectos semánticos del lenguaje proposicional pero por ahora esta aproximación intuitiva es suficiente. Si este lenguaje debe ser capaz de expresar estructuras como la representada en b, entonces debiera contar al menos con símbolos para expresar aquellas porciones lingüísticas que —como en b)— juegan un papel lógicamente esencial en la estructura argumental. En el caso de nuestro ejemplo, la relación entre enunciados expresada a través del giro lingüístico «si…entonces…» cumple un papel de este tipo. En nuestro lenguaje artificial, se representarán tales expresiones a través de símbolos que se denominarán «conectivos» o «conectores». Así, en el ejemplo de arriba, el conectivo en cuestión se llama «condicional» y se nota así: «→». La primera premisa de b) luego podría escribirse en nuestro lenguaje artificial de la siguiente forma –en lugar de «A» y «B» usaremos, por razones de comodidad, la letra A con subíndice, pues mediante este expediente obtengo un stock infinito numerable de letras de enunciados:32 (A1→A2). El lector habrá advertido que hemos encerrado entre paréntesis la expresión del lenguaje artificial correspondiente a la premisa en cuestión. El motivo de tal operación es asegurar uno de los objetivos pretendidos con la construcción de un lenguaje artificial, a saber, la univocidad. Es verdad que, en el caso de esta expresión condicional, si elimináramos sus paréntesis la univocidad no parece peligrar: si careciera de paréntesis es obvio que admite una sola lectura —eso hace que, en la práctica, se acuerde no escribir los paréntesis en estos casos. Sin embargo, es fácil imaginar situaciones en las cuales los paréntesis se convierten en útiles recursos desambiguadores. Así, por ejemplo, considérese la expresión siguiente: e) Si la lluvia cae suavemente, entonces Juana gusta de pasear por la playa y no le gusta bañarse en el mar. La fórmula (sin paréntesis) podría lucir así —donde «∧» está en lugar de «y» y «¬» está en lugar de «no»: f) A1→A2∧¬A3.


Un poco de reflexión basta para advertir que la oración e) es ambigua. Es decir, no se sabe si:

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1) Si la lluvia cae suavemente, entonces Juana gusta de pasear por la playa. Y, además, no le gusta bañarse en el mar. o 2) Si la lluvia cae suavemente, entonces Juana gusta de pasear por la playa y (cuando llueve así) no le gusta bañarse en el mar. 32 Cuando formalicemos el lenguaje en la próxima sección resultará evidente —si no lo es ya— la utilidad de esta estrategia.

Esa ambigüedad —como se verá más adelante— afecta las condiciones en que se consideraría verdadero el enunciado; dicho muy groseramente, si a Juana le gusta bañarse en el mar 1) es falso —porque afirma incondicionalmente que no le gusta— mientras que 2) no necesariamente lo es. Dado que se construye un lenguaje artificial a los efectos de rigorizar y clarificar el análisis argumental, eliminar la ambigüedad es, como se ha dicho, un objetivo importante. Si la paráfrasis de e) en nuestro lenguaje formal fuera del tipo de f) la ambigüedad no se habría eliminado: la fórmula es tan ambigua como el enunciado. Para evitar situaciones de este tipo y asegurar que las expresiones del lenguaje proposicional que estamos construyendo posean una única lectura, es decir, no sean ambiguas, se introducen en el vocabulario de dicho lenguaje los paréntesis. Es esta la única motivación por la cual expandimos tal vocabulario e incluimos: (,). Luego si lo que se quiere afirmar es 1) —y mantenemos la idea de flanquear siempre toda fórmula por paréntesis— entonces se tiene: g) ((A1→A2) ∧¬A3). Y si lo que se quiere afirmar es 2) entonces se tiene:

En consecuencia, los paréntesis son los que nos permiten asegurar que las expresiones de este lenguaje posean una lectura única. Así pues sumaremos a los símbolos básicos del mismo, además de las letras de enunciados y los conectivos, los paréntesis. Parece existir una cierta diferencia de status —desde el punto de vista intuitivo— entre estas tres categorías de símbolos que se pretende conformen el lenguaje artificial proposicional: conectivos y letras de enunciados parecen imprescindibles, los paréntesis puede dudarse si son necesarios. La justificación que se desarrolló en las líneas anteriores muestra que la exclusiva finalidad de su introducción radica en la necesidad de asegurar la univocidad de las expresiones del lenguaje formal. Una pregunta razonable podría ser la siguiente: ¿es mediante la introducción de paréntesis el único modo de asegurar la univocidad? La respuesta es: no. Una forma de conseguir univocidad prescindiendo del uso de paréntesis es conocida: la denominada «notación polaca». La idea de esta notación consiste en colocar los conectivos precediendo a las letras de enunciados, dispensándonos así del uso de los paréntesis sin por ello perder univocidad. Simplemente a los efectos de ofrecer una idea rápida del funcionamiento de tal notación digamos que la expresión g) se escribiría: ∧→A1A2 ¬A3 y la expresión (h) →A1 ∧A2 ¬A3.


h) (A1→(A2∧¬A3)).

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En realidad, en tal notación se escriben los conectivos con ciertas letras latinas mayúsculas pero la idea esencial es la que ha sido expuesta.33 En síntesis, hemos visto que los paréntesis son prescindibles. Sin embargo, la notación con paréntesis es ampliamente usada. El lenguaje que se construirá aquí seguirá tal tradición. Como el lector seguramente sospecha, existen ciertas cadenas o secuencias de símbolos del vocabulario del lenguaje artificial que admitiremos y otras no. Dada la discusión anterior, seguramente no debiera admitirse una expresión como f). En cambio, g) o h) parecen plenamente aceptables. En la próxima sección formalizaremos nuestro lenguaje, entre otras razones para poder definir —rigurosamente— las cadenas o secuencias de signos admisibles o legítimas.

El lenguaje formal proposicional La tarea de caracterizar un lenguaje formal adecuado para desarrollar el análisis lógico proposicional nos coloca en un, por así decir, «plano lingüístico» diverso del correspondiente a tal lenguaje. En realidad, debemos referir o hablar «sobre» dicho lenguaje. En términos generales, cuando usamos un lenguaje L1 para referirnos a un lenguaje L0, decimos que L1 funciona como meta−lenguaje para referirnos al lenguaje objeto L0.34 Tendremos oportunidad de ofrecer variados y relevantes ejemplos de esta distinción a lo largo de este libro. En primer término, denominaremos A al alfabeto de nuestro lenguaje proposicional.35 A constará de los siguientes símbolos: 1. Símbolos lógicos (conectores o conectivos): ¬ (negación), → (condicional), ∧ (conjunción), ∨ (disyunción inclusiva), w (disyunción exclusiva), ↔ (bicondicional). 2. Letras de enunciados o proposicionales: A0, A1, A2, A3, … 3. Símbolos auxiliares: (,). Aunque pretendemos describir, desde un punto de vista puramente sintáctico nuestro lenguaje, quizá convenga ejemplificar brevemente como se relacionan los conectores con el lenguaje natural para que se advierta la motivación de la elección de los mismos. Cuando estudiemos la semántica de L podremos comprender más finamente la situación.


33 Una exposición breve, estimulante y adecuado a este nivel de estudio, puede encontrarse en Naishtat (1986).

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34 Un mismo lenguaje puede ser, en un contexto, lenguaje objeto y en otro contexto, meta−lenguaje. Eventualmente aún en el mismo lenguaje podemos referirnos a él mismo y usarlo así como meta−lenguaje; el lenguaje natural cuenta con ese poder expresivo y la confusión de niveles que propicia puede considerarse una buena motivación para la construcción de lenguajes formales. 35 La mayoría de los detalles técnicos del enfoque que se desarrolla aquí se inspiran en la exposición del excelente Logique Mathématique de Cori y Lascar (1993). Asimismo se ha consultado la ya mencionada obra de Naishtat (1986). Estos libros son, por así decir, matemáticamente más «duros»; se ha pretendido en las páginas que siguen ofrecer una versión más didáctica de algunos de los conceptos fundamentales.

Símbolo formal

Nombre

Se lee

Ejemplos en lenguaje natural

¬

negación

no

Juan no ama la lógica

∧

conjunción

y

Llueve y hace frío

Traducción al lenguaje formal ¬A1 (A1∧A2)

Llueve o hace frío

(A1∨A2)

Juan va al cine o al teatro

(A1wA2)

si … entonces … Si llueve entonces truena

(A1→A2)

∨

disyunción inclusiva

o

w

disyunción exclusiva

o…o…

→

condicional

↔

bicondicional

…si y solo si…

Llueve si y solo si truena

(A1↔A2)

Podemos expresar en términos conjuntísticos la definición del alfabeto A dada arriba, del modo siguiente: K = conjunto de los conectivos LP = conjunto de las letras de enunciados (o letras proposicionales) Par = { ( , ) } (conjunto conformado por el paréntesis curvo izquierdo y el paréntesis curvo derecho) Luego A=K ∪ LP ∪ Par. Denominaremos palabra a cualquier cadena de signos de A; el conjunto de todas las palabras será denotado por Pal(A). Por ejemplo, i) →→→ o j) (A1→A1) pertenecen al conjunto Pal(A). Es claro que deseamos separar las palabras «significativas» (desde el punto de vista intuitivo, las palabras que puedan representar enunciados inambiguos) de las que no lo son, esto es, las del tipo del j) de las del tipo i). Es más, deseamos que nuestro lenguaje se componga exclusivamente de las palabras «significativas» —a las que denominaremos fórmulas. ¿Cómo lograrlo? Dando una definición precisa del concepto de fórmula (a veces se habla en este caso de fórmula bien formada). Es obvio que el conjunto de las fórmulas —en adelante lo denotaremos por For— es un subconjunto de Pal(A). Lo definiremos a través de la siguiente definición.

Llamamos For ⊂ Pal(A) al conjunto más pequeño tal que cumple con las condiciones siguientes: a. LP ⊂ For; b. si ϕ∈For entonces ¬ϕ∈For; c. si ϕ, ψ∈For entonces (ϕ * ψ)∈For —donde * ∈K−{¬}. La definición 1 podría también formularse así:


Definición 1 Conjunto de fórmulas (For)

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Definición 2 Sea For ⊂ Pal(A) tal que: a) LP ⊂ For;

b) si ϕ∈For entonces ¬ϕ∈For; c) si ϕ, ψ∈For entonces (ϕ * ψ)∈For —donde * ∈K–{¬}; d) si ϕ∈For, entonces esto es el resultado de aplicar a)−c). Hemos puesto estas dos variantes para estudiar mejor cómo se define el conjunto de las fórmulas. Empecemos por lo que tienen las definiciones 1 y 2 en común. La cláusula a) afirma que el conjunto de las letras proposicionales está incluido en el conjunto For. Es decir, las letras proposicionales son fórmulas. La cláusula b) asegura que si algo es una fórmula, tal fórmula precedida por la negación también es una fórmula. La cláusula c) garantiza que, dadas dos fórmulas ϕ y ψ, la cadena que comienza con un paréntesis curvo izquierdo, luego ϕ, luego un conector cualesquiera (menos la negación), luego ψ y, finalmente, un paréntesis curvo derecho es también una fórmula. Estudiemos ahora el aspecto en que difieren. La definición 1 exige que For sea el conjunto más pequeño que cumple estas condiciones y la definición 2 pide que nada «entre» a For si no lo hace por aplicación de las cláusulas a)−c). Ambas exigencias cumplen la misma función: evitar que, además de las expresiones que «ingresan» a For por dichas cláusulas, se introduzcan otros elementos. Esta definición del conjunto For es un ejemplo de una estrategia definicional especialmente útil en lógica. Se denominan a tales definiciones definiciones inductivas. Aunque la teoría de tales definiciones no será estudiada en este libro, podemos no obstante ofrecer una idea general acerca de las mismas.

Conjunto inductivo Definición


Sea A un conjunto, sea B un subconjunto no vacío de A y sea O un conjunto de operaciones definidas en A (esto es, funciones en A), entonces un subconjunto C de A se dice que es inductivo si se cumple que a) B⊆C b) C es cerrado bajo las operaciones pertenecientes a O —es decir, si o es una operación n−aria perteneciente a O, el resultado de aplicar o a n elementos de C, está también en C.

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Un conjunto D es caracterizado o definido o generado inductivamente si es el menor conjunto inductivo contenido en A. O, si se prefiere, si D es la intersección de todos los conjuntos inductivos de A —asumiendo naturalmente la base B y las operaciones O.36 Es fácil ver cómo la definición 1 del conjunto For es una instancia de esta estrategia general.

36 He seguido aquí algunas observaciones que aparecen en Franco Oliveira (2004).

En cierta forma podemos decir que la definición 1 de For no muestra el proceso por el cual se construyen las fórmulas. El conjunto For, hablando metafóricamente, parece «estar dado» y lo que hacemos más bien es describirlo. En ese sentido tal definición puede resultar escasamente intuitiva. Veremos ahora una segunda forma de caracterizar este conjunto que es notablemente constructiva pero, antes, discutiremos una aproximación intuitiva a tal enfoque. Supongamos que nos preguntaran cuáles son nuestras fórmulas más simples. La respuesta —salvo mejor opinión— debería indicar a las letras proposicionales: son las de menor longitud. Y si nos interrogasen acerca de cuáles son aquellas que le siguen inmediatamente en complejidad, es razonable indicar a las que se obtienen de aplicar conectivos a las letras de enunciados. Es obvio que este proceso puede repetirse cuanto se quiera. Por este camino, en consecuencia, parece razonable pensar que se puede construir cualquier fórmula. Formalizaremos ahora esta idea construyendo una serie de conjuntos, el primero de ellos compuesto por las letras proposicionales, el segundo por las letras proposicionales y las fórmulas resultantes de aplicar a las letras los conectivos, y así sucesivamente. Sea el conjunto de los números naturales. Sea con i∈ una serie de conjuntos construida del modo siguiente: a) F0=LP; b) Sea Fn+1=Fn∪{¬ϕ:ϕ∈Fn}∪{(ϕ*ψ): ϕ, ψ∈Fn} con *∈K−{¬}.

⊃

Construyamos ahora el conjunto de todos los Fi, esto es,

Fi.

i∈

37 El lector interesado puede leer la prueba en Cori y Lascar (1993).


⊃

Podríamos pues preguntarnos si For es igual a Fi. La respuesta es positiva 37 i ∈ y puede demostrarse. Podemos pensar este modo alternativo de definir el conjunto de las fórmulas de L como una caracterización más constructiva. En ella se puede apreciar la «génesis» de cada fórmula: se parte desde las letras de enunciados y se va «armando», en cada nivel, sus partes más complejas hasta componerla definitivamente. Solo como ejemplo, ¿cómo se puede visualizar la construcción de la fórmula ((A1→A2)↔(¬A1 ∨A2))? Primero A1,A2 ∈ F0. Luego ¬A1 ∈ F1, (A1→A2) ∈ F1. Es obvio que (¬A1∨A2) ∈ F2. Pero, como (A1→A2) ∈ F1 —y la serie es creciente— (A1→A2) ∈ F2. Así ((A1→A2)↔(¬A1vA2))∈F3. La constructividad de la tarea resulta evidente por el hecho de que, en cada paso, para definir el Fi en cuestión, usamos un cierto conjunto Fi−1 del cual ya tenemos una «receta» de cómo construirlo. La idea más importante a la que hemos arribado es que podemos dar una caracterización matemáticamente precisa de nuestro lenguaje; a partir de este momento, tal lenguaje se identifica con For —más allá de cuál de las alternativas que hemos expuesto sea la escogida para definirlo. Es decisivo advertir que esta caracterización es puramente sintáctica, es decir, en la delimitación del conjunto de las fórmulas no hemos apelado sino a la «forma» de los símbolos. Esta explicitación rigurosa de las

61

reglas sintácticas que caracterizan nuestro lenguaje es lo que lo convierten en un lenguaje formal. Para visualizar la situación el siguiente diagrama puede resultar útil, siendo el conjunto representado el de todas las palabras formadas a partir del alfabeto del lenguaje del cálculo proposicional:

Fórmulas

(Lenguaje L)

no-fórmulas

Un poco de reflexión nos lleva a considerar que, independientemente de los rasgos intuitivos, las caracterizaciones ofrecidas de For parecen cumplir con aquello que, desde el punto de vista informal, demandamos de las mismas. Es decir, hacen el trabajo para el cual las diseñamos, a saber, nos permiten delimitar de un modo riguroso el conjunto de palabras (desde un punto de vista intuitivo) «significativas». Un modesto test lo constituyen los ejemplos i) y j). Es relativamente inmediato advertir cómo podríamos mostrar que, por ejemplo, nuestra definición 1 de Conjunto de las fórmulas aprueba el ejemplo j) Para hacerlo podríamos construir una prueba de ello del modo siguiente: 1. A1∈For, por definición 1 de For (a). 2. A2∈For, por definición 1 de For (a). 3. (A1→A2 )∈For, por 1, 2 y por definición 1 de For (c). En los pasos 1 y 2 justifico que las letras proposicionales en cuestión son fórmulas y en 3, a partir de expresiones que ya probé son fórmulas, construyo una nueva fórmula. Otro ejemplo puede permitir entender mejor la estrategia. Tomemos la palabra ((¬A1→A2)∧¬(A5∨A6)). He aquí una prueba de que se trata de una fórmula: 1. A1∈For, por definición 1 de For (a). 2. A2 ∈For, por definición 1 de For (a). Universidad de la República

3. A5∈For, por definición 1 de For (a).

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4. A6∈For, por definición 1 de For (a). 5. ¬A1∈For, por 1, y definición 1 de For (b). 6. (¬A1→A2)∈For, por 2, 5 y definición 1 de For (c). 7. (A5∨A6)∈For, por 3, 4 y definición 1 de For (c). 8. ¬(A5∨A6)∈For, por 7 y definición 1 de For (b).

9. ((¬A1→A2)∧ ¬(A5∨A6))∈For, por 6, 8 y definición 1 de For c). La definición 1 de For no legitima la expresión i), que requiere de una estrategia distinta. En realidad, una pregunta razonable es si, ante una palabra del alfabeto A, es posible determinar si se trata o no de una fórmula, es decir, si es posible decidir si pertenece o no al conjunto de las fórmulas. El objeto de la próxima sección es aclarar la naturaleza de esta interrogante y brindar su respuesta.

Problemas y Tareas 1. Para definir L hemos caracterizado, básicamente, tres conjuntos: A, Pal y For —este último, como el lector recuerda, ha sido definido inductivamente. Teniendo el caso de la definición de L en mente: a. Proponga un alfabeto B (modesto) y caracterice Pal y For para tal alfabeto. b. Sea un alfabeto C={a,b}. Caracterice Pal y For para tal alfabeto pero guiada la definición de For por la idea intuitiva siguiente: son fórmulas «a» y «b» y secuencias de símbolos de C que empiezan y terminan con «a». Ejemplos: aaa, aba, aabaa. (Hay varias posibilidades). c. Sea un alfabeto D={1,2,3}. Caracterice Pal y For para tal alfabeto pero guiada la definición de For por la idea intuitiva siguiente: son fórmulas «1», «2» y «3» y secuencias de símbolos de D que empiezan con «1» y terminan con «2» o «3». Ejemplos: 112, 123, 1212323. (Hay varias posibilidades). 2. Demuestre que las siguientes palabras de A son fórmulas i.e. pertenecen a For: a. ((A1→A22)→¬A5) b. (((A2∨A5)∧(A2→A3))→(A5∨A3)) c. (¬¬A1→(A3→(A6∨A1))) 3. Como recuerda del capítulo anterior, dos conjuntos son distintos si hay al menos un elemento que pertenece a uno y no al otro. Luego, para demostrar que dos conjuntos son distintos alcanza con encontrar ese elemento «diferenciador» • Sea For como lo hemos presentado en la definición 1 de Conjunto de fórmulas. Sea N el conjunto de los números naturales. Sea con i∈ una serie de conjuntos construida del modo siguiente: b. Sea Gn + 1=Gn ∪{¬a : a∈G 0}∪{(a* b):a, b∈Gn } con *∈K−{¬}.

⊃

Sea For1 definido así: For1= Demuestre que For1 ≠ For.

Gi.

i∈

• Sea For como lo hemos presentado en la definición 1 de Conjunto de fórmulas. Sea el conjunto de los números naturales. Sea con i∈ una serie de conjuntos construida del modo siguiente:


a. G0=LP;

63

a. G0=LP; b. Sea Gn + 1=Gn ∪{¬ϕ:ϕ∈Gn}∪{ (ϕ * ψ): ϕ, ψ∈G0} con *∈K−{¬}.

⊃

Sea For1 definido así: For1= Demuestre que For1≠For.

Gi.

i∈

• Sea For como lo hemos presentado en la definición 1 de Conjunto de fórmulas. Sea el conjunto de los números naturales. Sea con i∈ una serie de conjuntos construida del modo siguiente: a. G0=LP; b. Sea Gn + 1=G0∪{¬ϕ:ϕ∈Gn }∪{(ϕ * ψ): ϕ, ψ∈Gn} con *∈K −{¬}.

⊃

Sea For1 definido así: For1= Verifique si For1=For.

Gi.

i∈

4. Construya problemas análogos a los propuestos en los ejercicios 1 y 2 anteriores.


Decidibilidad del conjunto de las fórmulas

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El problema arriba planteado acerca de la posibilidad de decidir, ante una palabra cualquiera del alfabeto A, si se trata o no de una fórmula requiere —para ser adecuadamente enfrentado— una cierta clarificación del concepto «decidir». Es decir, ¿cuándo se puede decidir si un cierto objeto pertenece o no a un conjunto determinado? Cuando se cuenta con un procedimiento mecánico u algorítmico que ofrece la respuesta buscada. Un procedimiento de esta naturaleza se caracteriza po r —informalmente hablando— proveer un «método» que puede ser llevado adelante sin necesidad de apelar a la intuición, a la inteligencia o al ingenio —esto es, que puede ser seguido por una máquina— y, en un número finito de pasos, permite arribar a la solución deseada. Usualmente se ejemplifica este concepto recurriendo a operaciones aritméticas elementales como la suma o el producto. En este caso específico, el algoritmo adecuado sería un procedimiento mecánico que permitiera, aplicado a una palabra dada, en un número finito de pasos, determinar si tal palabra pertenece o no al conjunto de las fórmulas. En términos generales, si se cuenta con tal procedimiento decimos que la cuestión es decidible —también decimos, si se trata de la pertenencia o no a un cierto conjunto, como en el caso presente, que el conjunto es decidible. Si no puede obtener un procedimiento de tal naturaleza, se habla de indecidibilidad. La rigorización de estas nociones escapa a los límites de este libro de lógica pero, naturalmente, no escapa a las preocupaciones intelectuales lógicas. Más aún, la elucidación matemática de la noción intuitiva de algoritmo se cuenta entre los resultados fundamentales de nuestra disciplina.

Como seguramente el lector advierte, demostrar la decidibilidad puede hacerse a través de la exhibición de un algoritmo adecuado. Demostrar la indecidibilidad, en cambio, exige mostrar que es imposible la construcción de un algoritmo adecuado.38 Para persuadirse de su efectividad el lector pude «hacer de máquina» ejecutando ese algoritmo y aprehender así (intuitivamente) el funcionamiento del mismo.39 Se digita la palabra que se desee del lenguaje en cuestión y el computador se encarga de testar si la misma es una fórmula. Hasta este momento, hemos especificado nuestro lenguaje formal. En particular, hemos caracterizado el conjunto decidible de las fórmulas de varios modos alternativos. El expresado en la definición 1 de Conjunto de las fórmulas, dicho algo metafóricamente, va «desde arriba hacia abajo», es decir, partimos del «subconjunto de Pal(A)». En cambio, la caracterización lograda a través de la construcción de las Fi podríamos decir que va «desde abajo hacia arriba», es decir, empezamos con F0, i.e., las letras proposicionales.40 Una mirada superficial a las fórmulas como objetos nos lleva a la convicción de que poseen ciertas propiedades sintácticas. Por ejemplo, si una expresión es una fórmula debe ocurrir en ella al menos una letra proposicional. ¿Cómo es posible probar, respecto de la totalidad de las fórmulas, la posesión de propiedades como ésta?

Inducción y propiedades de fórmulas

38 A los efectos de poseer una idea de cómo funciona un procedimiento tal puede consultarse la descripción de un algoritmo destinado a resolver este problema en Naishtat (1986). 39 Una posibilidad de apreciar un algoritmo que hace este trabajo admitidas ciertas restricciones en el lenguaje (en realidad se trata de un lenguaje más sofisticado, ya que trabaja para lógica de orden uno) resulta de ejecutar el programa Tarski’s World que acompaña el ya mencionado libro de Barwise y Etchemendy (1999). Existe ahora una cuidadosa versión española de dicho libro y del software que le acompaña. Recomendamos enfáticamente tanto la lectura del libro como el uso del software respectivo. Algunas ideas de este texto se inspiran en esa fantástica obra. 40 Este contraste es frecuentemente resaltado en los textos —aparece, por ejemplo, en Enderton (1972).


Antes de exponer una forma sumamente natural de argumentación que nos permitirá responder la interrogante de arriba, es conveniente presentar la siguiente definición que, intuitivamente, captura la idea de complejidad de una fórmula asignándole el valor del primer Fi en la cual dicha fórmula aparece. Se denota tal número por alt(F). Supongamos pues que se desea demostrar que una cierta propiedad dada —digamos P— es poseída por todas las fórmulas, esto es, para toda F∈For, P(F) —es decir, F posee la propiedad P. Es claro que nuestra estrategia no puede consistir en probar, para cada fórmula, que ésta posee la propiedad P, pues el conjunto For es infinito. El modo de hacerlo consistirá en probarlo por inducción sobre la altura de las fórmulas: esto es, probamos para toda fórmula F de altura 0 —i. e. F∈F0— que P(F) y, suponiendo que P(G) vale para toda G∈Fn, mostramos que P(F) para F∈Fn+1. Quizá pueda surgir una duda respecto al alcance de la hipótesis en la última aserción de arriba: ¿qué asumo en la hipótesis? Debe advertirse que no se asume que

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vale la propiedad exclusivamente para aquellas fórmulas cuya altura es exactamente n, pues la hipótesis lo que afirma es que F∈Fn. Esto equivale a sostener que la propiedad vale para toda fórmula cuya complejidad es menor o igual que n. Ahora creo que resulta muy claro que una estrategia tal permite probar para toda fórmula. En realidad, esta certeza se basa en que se trata de una aplicación —en un contexto específico— del a veces denominado principio de inducción ampliado y que (en el campo de los números naturales) puede exponerse así: si la propiedad P vale para 0 y si la propiedad P vale para todo m, m
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Estrategia de pruebas por inducción Sea P una propiedad cualquiera, para demostrar que toda F posee la propiedad P, deben recorrerse los pasos siguientes: a) Sea F∈LP. Debe demostrarse que F posee la propiedad P; b) Sea F≡¬G. Debe demostrarse, asumiendo la hipótesis inductiva de que G posee la propiedad P, que F la posee; c) Sea F≡(G*H). Debe demostrarse, asumiendo la hipótesis inductiva de que G y H poseen la propiedad P, que F la posee —donde *∈K-{¬}.

Usemos pues el mecanismo demostrativo que acabamos de presentar en dos casos muy sencillos, para apreciar mejor la forma en que se aplica. Sea F∈For. Sean lar[F], op[F], opi[F] y opd[F] funciones que van de For en los número naturales.41 Dicho rápidamente, lar[F] da, para cada F, el número de ocurrencias de símbolos en ella, op[F] da, para cada F, el número de ocurrencias de paréntesis en ella, opi[F] da, para cada F, el número de ocurrencia de paréntesis izquierdos, es decir, «(», en F y opd[F] da, para cada F, el número de ocurrencias de paréntesis derechos, es decir, «)», en F. Por ejemplo, lar[((A1→A3)∨A1)] = 9 op[((A1→A3)∨A1)] = 4 opi[((A1→A3)∨A1)] = 2 opd[((A1→A3)∨A1)] = 2 Demostraremos —usando inducción— las siguientes proposiciones:

Proposición Para toda F∈For, opi[F]=opd[F]. Prueba. Demostraremos siguiendo el esquema de prueba expuesto en arriba. Usamos aquí las mismas letras que señalan cada paso en el esquema para facilitar la identificación de los mismos. a. Sea F∈LP. Luego opi[F]=0=opd[F] y así opi[F]=opd[F]. b. Sea F≡¬G. Probaremos que la propiedad vale para ¬G, esto es, F. Por hipótesis inductiva opi[G]=opd[G], entonces trivialmente opi[¬G]=opd[¬G] i.e. opi[F]=opd[F]. c. Sea F≡(G*H). Probaremos que la propiedad vale para (G*H), es decir, F Por hipótesis inductiva, opi[G]=opd[G] y opi[H]=opd[H]. Entonces tenemos que opi[(H*G)]=opi[H]+opi[G]+1= opd[H]+opd[G]+1=opd[(H*G)]. Es decir, opi[F]=opd[F]. Como es obvio, esto completa la prueba y demuestra la propiedad en cuestión para toda fórmula

Proposición Prueba. Nuevamente, demostraremos siguiendo el esquema de prueba de arriba. a. Sea F∈LP. Entonces op[F]=0 y lar[F]=1 i.e. op[F]+1≤lar[F]. b. Sea F≡¬G. Probaremos que la propiedad vale para ¬G, esto es, F. Sabemos que op[F]=op[G] ya que F no tiene más paréntesis que G. Y sabemos también que lar[F]=lar[G]+1, por la presencia del conectivo negación. Por hi41 He usado paréntesis rectos a los efectos de que sean gráficamente diferentes los paréntesis correspondientes a la fórmula F de los paréntesis pertenecientes a la función en cuestión.


Para toda F∈For, op[F]+1 ≤ lar[F].

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pótesis inductiva, op[G]+1≤lar[G]. Luego, op[F]+1≤lar[G]
Es decir op[F]+1≤lar[F]).

Como es obvio, esto completa la prueba y demuestra la propiedad en cuestión para toda fórmula. Las proposiciones de arriba carecen de interés y su función es permitir mostrar, en casos extremadamente simples, el modo cómo se prueba por inducción. Pero este mecanismo de prueba nos permite mostrar una propiedad de gran interés, a saber, que el lenguaje proposicional construido satisface uno de los objetivos que guían la construcción de lenguajes formales, a saber, la univocidad. Esto es lo que afirma el Teorema de Lectura Única. De hecho, la proposición «para toda F∈For, opi[F]=opd[F]» puede usarse como lema en la prueba del mismo. Tal teorema puede formularse así.42

Teorema de lectura única


Para toda F∈For, se da solo uno de los tres casos siguientes: Caso 1: F∈LP; Caso 2: existe G∈For tal que F≡¬G; Caso 3: existe un único conectivo binario * y un único ∈For2 tal que F≡(G*H). Este teorema permite asegurar que, dada una fórmula F, ésta puede leerse de una única forma, en el sentido en que hay solo una descomposición o análisis posible de la misma. Para decirlo a través de un ejemplo, la palabra f) admite las lecturas expresadas por g) y h); f), naturalmente, no es una fórmula, g) y h) sí lo son y por ello, como dice el teorema, no son susceptibles de un «doble» análisis como la palabra f). Podríamos decir que el teorema nos garantiza que hemos construido el conjunto For(A) del modo adecuado: no permitimos que sea considerada como fórmula ninguna cadena o palabra que admita más de una lectura.

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Problemas y tareas 1. Sea f∈For, sea npi(f) la función que da el número de ocurrencias de paréntesis izquierdos de f, sea npd(f) la función que da el número de paréntesis derechos de f, sea op(f) la función que da el número de ocurrencias de paréntesis de f 42 Una demostración de este teorema puede encontrarse en, por ejemplo, Naishtat (ob. cit.) y Cori y Lascar (ob. cit.).

,sea olp(f) la función que da el número de ocurrencias de letras proposicionales en f, sea oc(f) es número de ocurrencias de conectivos en f, sea ocb(f) da el número de ocurrencias de conectivos binarios (K–{¬}) en f. a. b. c. d. e. f. g. h. i.

Demuestre que npi(f)olp(f)-1? Justifique su respuesta. Demuestre que olp(f)>0. ¿Es cierto que, para todo f∈For, oc(f)>0? Justifique su respuesta. Demuestre que ocb(f)
2. Sea For1 definida igual que For solo que la introducción de la negación supone parentizar la fórmula negada, es decir, el caso 2 es f ≡¬(G). Sea f∈For1, oc(f) el número de ocurrencias de conectivos en f, np(f) el número de paréntesis en f. Demostrar que 2oc(f)=np(f). 3. En el ítem 1 del apartado de Problemas y tareas de la sección «El lenguaje formal proposicional», se pide que se definan sendos lenguajes. Proponga una propiedad que valga para cada uno de ellos e intente demostrarlas inductivamente. 4. Justifique que las siguientes palabras no son fórmulas: (Sugerencia: use en algunos casos resultados ya probados por inducción) a. [(A1→A2)∧A3] b. (¬A1∨¬(A23→A5) c. (A2→A3)→(A1∨A88)

El objetivo de esta primera parte de nuestro estudio residía, en términos generales, en comenzar el estudio de las estructuras argumentales más simples, a saber, las estructuras proposicionales. La lógica que estudia tales estructuras se denomina lógica proposicional o enunciativa. Desde el punto de vista histórico curiosamente no fue el estudio de ésta el que se desarrolló primeramente en forma más profunda. La lógica aristotélica —la lógica desde Aristóteles hasta mediados del siglo XIX— no privilegia el estudio de las estructuras proposicionales. Como señalan Kneale y Kneale,43 la peripatética —continuadora de Aristóteles— y la estoica —continuadora de la tradición megárica— fueron las dos grandes escuelas lógicas de la antigüedad. El origen de la lógica proposicional se remonta, precisamente, a la escuela estoica. Este hecho, no obstante, escapó a la percepción de los historiadores hasta que en la década del 30 del siglo pasado Jan Lukasiewicz, un lógico y filósofo polaco, lo puso de manifiesto.44 Lukasiewicz muestra la forma correcta de entender textos 43 Véase Kneale y Kneale (1984) p. 107. 44 Puede consultarse especialmente Lukasiewicz (1975) donde el autor señala que defendía tal posición desde la década del 20. El trabajo clásico sobre la lógica megárico-estoica es La lógica


Síntesis

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producidos por los estoicos como el siguiente —que eran conocidos pero interpretados en otra «clave»: Si lo primero, entonces lo segundo, es así que lo primero; luego lo segundo. Escribe Lukasiewicz:45 En esta fórmula, las palabras «lo primero» y «lo segundo» son variables porque los estoicos no representaban las variables con letras sino con números ordinales. Es claro que tampoco estas variables pueden ser sustituidas con sentido por otra cosa que no sean proposiciones; por ejemplo, «es de día», «hay luz». Al realizar esta sustitución obtenemos la inferencia que aparece una y otra vez como ejemplo escolar en los textos estoicos: «Si es de día, entonces hay luz; es así que es de día; luego hay luz».

Así, aunque comienza en forma prácticamente contemporánea a la obra de Aristóteles, el desarrollo de tal lógica solo tiene lugar muy posteriormente. El propio Lukasiewicz señala que el «fundador» de la lógica proposicional moderna es Gottlob Frege; este último desarrolla un sistema lógico más poderoso —pero que captura rigurosamente las inferencias proposicionales— en la segunda mitad del siglo XIX. Tal sistema es presentado en una obra titulada Conceptografía —aparecida en 1879— y que es una piedra fundacional de la lógica matemática moderna. El objetivo general de la empresa es allí descripto de esta forma:46


para que no pudiera introducirse inadvertidamente algo intuitivo, se debió llegar a suprimir toda laguna en la cadena de inferencias. Al procurar cumplir lo más rigurosamente posible con este requerimiento me encontré, junto con las dificultades que surgen de la expresión, un obstáculo en la inadecuación del lenguaje: cuanto más complicadas eran las relaciones tanto menos podía alcanzar la exactitud requerida por mi propósito. De estas necesidades nació la idea de la presente conceptografía. Por lo pronto, ésta debe servir para probar de la manera más segura la precisión de una cadena de inferencias y para denunciar toda proposición que quisiera colarse inadvertidamente y poder investigarla en su origen.

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Aquí aparece nítidamente establecida la necesidad de un lenguaje especial particularmente preciso. La historia de la construcción de lenguajes formales es, como se dijo antes, muy rica y no ha sido el resultado del esfuerzo de un único pensador. Sin embargo, Frege juega en tal empresa —junto a otros autores como Hilbert o Tarski— un papel muy destacado. Estas líneas suyas permiten ejemplificar las motivaciones para construir lenguajes lógicos formales. En particular, para construir un lenguaje artificial adecuado para capturar las estructuras argumentales deductivas proposicionales, como el que acabamos de estudiar en su aspecto sintáctico. de los estoicos, Mates (1985). 45 Lukasiewicz (1975) p. 89. 46 Véase Frege (1972).

47 Es más ajustado decir que cumple con el teorema de lectura única y que la unicidad de lectura es un prerrequisito de la univocidad pretendida.


Un aspecto fundamental de tal lenguaje es (como hemos visto) su carácter formal. Ello quiere decir —como resumen— que basta para caracterizarlo con recurrir a la pura sintaxis, sin necesidad de apelar al plano de los significados o las denotaciones de sus símbolos. ¿Cómo lo hemos construido? El primer paso consistió en definir un alfabeto A integrado por un conjunto (infinito numerable) de letras proposicionales, un conjunto de símbolos lógicos denominados «conectores» y dos símbolos auxiliares: los paréntesis curvos. Cualquier cadena de símbolos del alfabeto A se denomina palabra y al conjunto de todas las palabras del alfabeto se lo nota Pal(A). Entre las palabras de A se privilegia algunas que resultan interesantes pues pueden representar (desde el punto de vista intuitivo) «estructuras argumentales» o, si se prefiere, «enunciados» —a partir del capítulo siguiente estas razones intuitivas se refinarán. ¿Cuáles son esas palabras? Las hemos denominado fórmulas y hemos estudiado dos definiciones precisas del conjunto de las fórmulas. En realidad, sabemos que tal conjunto es decidible, pues se ha ofrecido un algoritmo que permite, dada una palabra, determinar si se trata de una fórmula. Hemos visto asimismo que es posible «justificar», mediante las definiciones de Conjunto de las fórmulas, que una cadena determinada es una fórmula. Una pregunta razonable es cómo podemos estudiar, desde el punto de vista sintáctico, ese tipo de palabras especiales que denominamos fórmulas. O, quizá puesto de forma más intuitiva, si es posible identificar ciertas propiedades sintácticas que comparten todas las fórmulas. Si For fuera finito entonces la pregunta resultaría ociosa pero como se trata de un conjunto infinito —más precisamente, infinito numerable— es en extremo pertinente: no puedo analizar las fórmulas, por así decir, «una a una». La estrategia es usar las denominadas «pruebas por inducción». Este método nos permite probar que el lenguaje construido posee una de las propiedades que motivan la construcción del lenguaje artificial, a saber, la univocidad.47 Este es el significado conceptual del denominado Teorema de Lectura Única. Este teorema nos asegura que, tal cual lo pretendíamos, el lenguaje construido es sintácticamente unívoco.

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Capítulo 4

Lenguaje lógico proposicional: semántica Introducción En el capítulo anterior se ha construido un lenguaje sin ambigüedad —eso es lo que afirma el Teorema de Lectura Única. Pero tal construcción estaba motivada por el objetivo de realizar un análisis más ajustado de las estructuras argumentales. La especificación de la corrección lógica —como se recordará— se hizo en términos de la relación de consecuencia entre premisas y conclusión. ¿Qué es lo que exige esta relación? La verdad de la conclusión, bajo el supuesto de la verdad de las premisas. O, dicho de otro modo, que necesariamente si las premisas son verdaderas, también debe serlo la conclusión. Pero entonces, para poder evaluar si se cumple tal relación, debemos poder atribuir valores de verdad —es decir, verdadero o falso— a premisas y conclusión. En síntesis, debemos interpretar nuestro lenguaje o, dicho de otro modo, debemos construir una semántica para el mismo.

Interpretar el lenguaje formal (desde el punto de vista intuitivo) Empecemos analizando una argumentación que, desde el punto de vista intuitivo, nos parece lógicamente correcta —en el sentido ya discutido de que la verdad de las premisas asegura la verdad de la conclusión—: a)

Si Juana es sirena, entonces es cantautora. Juana es sirena. Juana es cantautora.

b)

(A1→A2) A1 A2

Un modo razonable de comenzar a interpretar nuestro lenguaje consiste en atribuir «significado» a las letras proposicionales. Estas se caracterizan, precisamente, por «nombrar» enunciados. Estos, a su vez, son oraciones que o bien son verdaderas o bien son falsas. Dado que no nos interesa el «contenido» del enunciado que la letra proposicional representa sino solo el valor de verdad del mismo, un modo natural de interpretar aquélla parece ser atribuirle exclusivamente el valor de verdad del enunciado.


Si retratamos la estructura de la argumentación anterior recurriendo a los recursos del lenguaje formal construido en el capítulo anterior obtenemos:

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Una letra de enunciado puede entonces interpretarse ya como verdadera, ya como falsa —denominaremos, como ya se dijo, a estos valores, «valores de verdad». Intuitivamente hablando, podría pensarse la situación del modo siguiente: interpretar una letra proposicional querría decir atribuirle un enunciado pero, dado que solo nos interesa el valor de verdad de los enunciados para evaluar la corrección lógica de los argumentos, entonces no nos preocuparemos por guardar más información del enunciado en cuestión que su valor de verdad. Luego podremos decir que interpretar las letras proposicionales significa atribuir valores de verdad a las mismas. Esta identificación del significado del enunciado con el valor de verdad caracteriza el punto de vista extensional o denotacional de la semántica lógica, ya que entenderemos que un enunciado denota un valor de verdad. Así dos enunciados verdaderos como «La ciudad de Tacuarembó se encuentra al norte del Río Negro» y «Los gatos son mamíferos» poseen la misma extensión o tienen la misma denotación. Naturalmente difieren desde el punto de vista intensional (poseen sentidos diferentes) pero, respecto de esta diferencia, nuestra semántica será ciega. Es obvio que la tarea interpretativa no estará completa si no interpretamos también los símbolos lógicos que hemos denominado conectores o conectivos48 —la primera premisa del argumento anterior, por ejemplo, no adquiere significado si no ejecutamos esta operación. En el lenguaje natural, los conectivos permiten construir a partir de un enunciado —si se trata de la negación— o de dos —si se trata de los restantes conectivos— un enunciado nuevo. Por ejemplo, a través de los enunciados


a) El gato duerme la siesta. b) La mariposa revolotea por el jardín. puede construirse —a través de la conjunción— c) El gato duerme la siesta y la mariposa revolotea por el jardín.

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Luego, c) es un enunciado y consecuentemente, debe poseer un valor de verdad. Una suposición que se hace en el contexto de la lógica es que el valor de verdad de c) depende, exclusivamente, del valor de verdad de los dos enunciados que lo componen. Es decir, para saber qué valor de verdad posee c) basta con conocer el valor de a) y el valor de b). Esta es una muy clarificadora ejemplificación de la importante tesis de que el significado de una expresión compleja es función de los significados de sus expresiones componentes. Este principio se atribuye a Frege y se denomina Principio de Composicionalidad. Más adelante encontraremos ejemplificaciones del mismo. Adoptado tal principio podemos sospechar cómo vamos a entender los conectivos en términos semánticos. La idea consistirá en pensarlos como funciones que toman como argumentos valores de verdad y dan como resultado un cierto valor de verdad. Más intuitivamente, como operaciones que exigen, para calcularse, los 48 El término «conector» o «conectivo» puede usarse tanto para referirnos a las porciones del lenguaje natural —es decir, «y», «o», etc.— como para referirse a los símbolos que las representan en nuestro lenguaje formal. Este descuido en el lenguaje no causará problemas cuidando que el contexto elimine tal equivocidad.

valores de verdad de los enunciados que conforman el enunciado en cuestión. Así, por ejemplo, para saber qué valor posee «(A1∧A2)» debo saber qué valor tiene «A1» y qué valor tiene «A2». Un modo intuitivo de presentar la definición de cada uno de los conectivos (excepto el negador) consiste en una tabla de doble entrada —donde «V» denota el valor de verdad «verdadero» y «F» el valor de verdad «falso». Esta tabla presenta todas las posibles interpretaciones de las fórmulas que el conectivo en cuestión «relaciona». La definición es dada por la tabla de valores que la fórmula (cuyo conector se está definiendo) cobra para cada una de las interpretaciones. Por ejemplo, en el caso de la conjunción anterior la situación podría lucir así: A1

A2

(A1∧A2)

V F V F

V V F F

V F F F

La idea intuitiva es obvia: la conjunción será verdadera si sus dos componentes son verdaderos. Si usamos el ejemplo de arriba, solo en el caso que el gato duerma la siesta y la mariposa revolotee en el jardín diremos que es verdad la conjunción c). Debe advertirse que el conectivo «conjunción» puede —al igual que cualesquiera de los restantes— aplicarse a fórmulas de cualquier complejidad, esto es, no necesariamente a letras proposicionales. Por ello, preferiremos ofrecer la definición de los mismos usando, por así decir, «meta–variables»: letras que representarán una fórmula cualquiera del lenguaje. Repetimos ahora la definición de la «conjunción» usando tales letras —para expresar claramente que nuestra definición se aplica no meramente a la conjunción de dos letras de enunciados sino a la conjunción de dos fórmulas cualesquiera —: Conjunción (se asocia a expresiones como «y», «pero» y «además») ψ V V F F

(ϕ∧ψ) V F F F

Este conectivo puede leerse (en el lenguaje formal) como «y» o «conjunción». Recuerde: una conjunción solo es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderos. Argumentos similares al referido a la conjunción, apoyados en las intuiciones semánticas que gobiernan el uso de las partículas lingüísticas respectivas en el lenguaje ordinario, permiten justificar (informalmente) las definiciones siguientes:


ϕ V F V F

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Disyunción inclusiva (asociada a las expresiones: «o» e «y/o») ϕ V F V F

ψ V V F F

(ϕ∨ψ) V V V F

La interpretación de este conectivo supone entenderlo como afirmando que se verifican uno o ambos enunciados componentes. Este conector puede leerse (en el lenguaje formal) como «disyunción inclusiva» u «o». Ejemplo del uso del conector en el lenguaje ordinario: «Juan viajará con cédula de identidad y/o con pasaporte». Recuerde: una disyunción inclusiva solo es falsa cuando ambos componentes son falsos. Disyunción exclusiva (asociada a las expresión: «o bien…o bien») ϕ V F V F

ψ V V F F

(ϕwψ) F V V F

La interpretación de este conectivo supone entenderlo como afirmando que se cumple uno pero no ambos enunciados componentes. Este conector puede leerse como «disyunción exclusiva» en el lenguaje formal. Ejemplo del uso del conector en el lenguaje ordinario: «O bien entrega su tesis antes de fin de año o bien es eliminado del programa de doctorado». Recuerde: una disyunción exclusiva es verdadera (falsa) si y solo si sus componentes no coinciden (coinciden) en el valor de verdad. Bicondicional (asociado a la expresión «si y solamente si»)


ϕ V F V F

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ψ V V F F

(ϕ↔ψ) V F F V

La interpretación de este conector supone entenderlo como afirmando que se cumple o no se cumplen ambos enunciados componentes. Este conector puede leerse (en el lenguaje formal) «si y solo si» o «bicondicional». Ejemplo del uso del conector en el lenguaje ordinario: «Un triángulo es rectángulo si y solamente si tiene un ángulo recto». Recuerde: un bicondicional es verdadero (falso) si y solo si sus componentes coinciden (no coincidan) en el valor de verdad.

La caracterización semántica del condicional posee algunos aspectos menos intuitivos. Como cualquiera de los conectores arriba estudiados, este operador «conecta» dos fórmulas: llamaremos a la fórmula que se ubica a la izquierda del mismo antecedente y a la que se ubica a la derecha consecuente. Empecemos por su núcleo intuitivo: un condicional en que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, no puede admitirse como verdadero. Si afirmo «si gano la lotería, entonces pagaré mis deudas» y gano la lotería pero no pago mis deudas ciertamente no dije la verdad cuando afirmé el condicional anterior. Igualmente indiscutible es que si tanto antecedente como consecuente son verdaderos, entonces el condicional es verdadero. Expresando estos casos en la tabla se tiene: ϕ V F V F

ψ V V F F

(ϕ→ψ) V — F —

El punto es qué valor asignar al condicional en las líneas 2 y 4 de la tabla. La convención clásica es asignarles el valor «V». Una razón intuitiva para ello podría formularse así: si asevero un condicional y no se cumple el antecedente, entonces nadie podría acusarme de mentir, se dé o no el consecuente. Para continuar con el ejemplo anterior, si no gano la lotería, pague o no mis deudas no se podrá decir que mentí al afirmar el condicional en estudio. Una razón teórica podría apelar al interés en asumir, exclusivamente, enunciados que supongo verdaderos y que es en ese caso donde espero que el condicional trabaje adecuadamente. Es inevitable pensar aquí en su relación con la caracterización intuitiva de consecuencia lógica. El lector puede advertir que se ingresa así en una zona problemática. Por ejemplo: ¿no resulta, en ciertos contextos teóricos, el recurso al condicional con antecedente reconocidamente falso un expediente útil para evaluar causas?49 En cualquier caso, la definición clásica del condicional, a veces denominado, «condicional material» luce así:

ϕ V F V F

ψ V V F F

(ϕ →ψ) V V F V

La interpretación de este conector supone entenderlo como afirmando que, si es verdad el antecedente, es verdad el consecuente. O, si se prefiere, establece una condición suficiente para la verdad del consecuente y una condición necesaria para 49 La discusión acerca de los «condicionales contrafácticos» es un problema que ha merecido una muy amplia atención lógica y filosófica.


Condicional (asociada a las expresiones: «si… entonces…», «luego, por lo tanto»)

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la verdad del antecedente. Este conector puede leerse (en el lenguaje formal) «si … entonces…» o «condicional». Ejemplo del uso del conector en el lenguaje ordinario: «Si Juan gana la lotería, entonces paga su deuda». Recuerde: Un condicional es falso si y solo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso. Como el lector habrá advertido los conectores ya analizados poseen la peculiaridad de conectar dos fórmulas (de cualquier complejidad). A tales conectores se les denomina binarios. En el caso del conector «¬» —denominado «negación»— se aplica a una fórmula (de cualquier complejidad) y por ello se le denomina unario. En consonancia con la última observación, la tabla solo debe contemplar los dos valores posibles que puede tener la fórmula a la cual se aplica el operador; la definición es la esperada: Negación (asociada con las expresiones «no», «no es cierto que») ϕ V F

¬ϕ F V

Se lee «no» o «negación» en el lenguaje formal. Ejemplo del uso del conector en el lenguaje ordinario: «No es cierto que 5 sea mayor que 6». Dado que los paréntesis cumplen simplemente el papel de signos de puntuación, queda así delineado —desde el punto de vista intuitivo— cuál será el concepto de interpretar o cómo se construye la semántica de los lenguajes proposicionales. En la próxima sección formalizaremos estas ideas.

Problemas y tareas


1. Los enunciados «Juan es sano» y «Juan es rico» pueden permitirnos generar nuevos enunciados aplicando los conectivos ya estudiados. Ofrezca diez ejemplos de enunciados que surgen de tales aplicaciones. Escriba las fórmulas correspondientes a cada uno de ellos. 2. Las «tablas de verdad» exhiben el significado de los conectores respectivos. Construya tablas de verdad que capturen el significado: a. de algún conector binario que no ha sido caracterizado arriba; b. de un conector unario distinto de la negación; c. del conector binario siguiente —cuya expresión en el lenguaje natural aparece subrayada—: Juan ni es sano, ni es rico.

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Interpretación de L (desde un punto de vista formal) La idea consiste, brevemente expresada, en definir una interpretación I del lenguaje proposicional como una función que otorga valores a todas las fórmulas del lenguaje y que, además, satisface ciertas restricciones, esto es, «respeta» las operaciones. Para formalizar estas ideas, debemos establecer algunas definiciones.

Asignación de valores de verdad Definición Sea Val el conjunto de los valores veritativos, i.e., Val={V, F} Una asignación de valores de verdad (a.v.v.) es una función f j del conjunto LP en el conjunto Val —siendo j un entero positivo que funciona como índice que permite identificar la asignación. Esto es, f j: LP → Val. Nótese que f j está definida para todo elemento de LP. Veamos un ejemplo de a.v.v.; definamos f j como una función que va de LP en Val i.e. f j:LP→Val del modo siguiente:

{

f j(An)=

V, si n>23 F, en otro caso

Así f j (A1)=F, …, f j (A23)=F, f j (A24)=V,…

Interpretación Definición Sea f j una asignación de valores de verdad. Notaremos con f j(A1), f j (A2),…, f j (An), … los valores que, respectivamente, f j da a A1, A2, …, An, … . Sea j, y∈For. Definimos la función If j: For→Val del modo siguiente: 1. If j (j)=f j (j) si ϕ∈LP;


Como quizá pueda sospecharse, aunque capture parcialmente la idea intuitiva que se usó antes, la idea de interpretación que se definirá no coincide plenamente con ella. ¿Por qué? Porque ahora una asignación de valores de verdad a las letras proposicionales no se limita a las letras proposicionales que ocurren en la fórmula —como en el enfoque intuitivo— sino que alcanza a todas las letras proposicionales: repárese en el carácter de total de f j, pues hemos asumido que las funciones que usamos lo son (salvo mención en contrario). Interpretadas las letras proposicionales, para continuar nuestra tarea debemos interpretar los conectivos. Parece razonable, dada la caracterización intuitiva, entender la semántica de cada conectivo binario como una función binaria particular y la del conector unario como una función unaria específica. En general, la semántica de un conector binario es una f: Val2 →Val y la de un conector unario f: Val →Val. Veamos ahora los casos específicos de nuestro lenguaje. Notaremos la función que corporiza la semántica de cada conector con una letra efe minúscula (por su carácter de función) que tendrá como sub–índice el conector respectivo. Por ejemplo, la caracterización semántica de «¬» se notará como «f¬». La noción de interpretación que definiremos ahora caracteriza tales funciones permitiendo así, dada una a.v.v., interpretar todas las fórmulas de nuestro lenguaje proposicional.

79

2. If j (¬j)=f¬ (If j (j))=F si If j (j)=V f¬ (If j (j))=V si If j (j)=F; 3. If j (j∧y)=f∧ (If j (j), If j (y))=V si If j (j)=If j (y)=V f∧ (If j (j), If j (y))=F en otro caso; 4. If j (j∨y)=f∨ (If j (j), If j (y))=F si If j (j)=If j (y)=F f∨ (If j (j), If j (y))=V en otro caso; 5. If j (ϕ→y)=f→ (If j (j), If j (y))=F si If j (j)=V y If j (y)=F f→ (If j (j), If j (y))=V en otro caso; 6. If j (j↔y)=f↔ (If j (j), If j (y))=V si If j (j)=If j (y) f↔ (If j (j), If j (y))=F en otro caso; 7. If j (ϕwy)=fw (If j (j), If j (y))=V si If j (j)≠If j (y) fw (If j (j), If j (y))=F en otro caso Diremos que If j es una interpretación del lenguaje L. Una descripción informal del trabajo de la interpretación puede expresarse así: en primer lugar, tenemos una función (a.v.v.) que otorga valores de verdad a las letras de enunciados. En segundo lugar, poseemos funciones que, tomando como argumentos valores de verdad, dan como resultado valores de verdad (las f que tienen un conector como subíndice). Una interpretación consiste precisamente en una función que, a partir del trabajo de las funciones descriptas, asocia, con cada fórmula j del lenguaje, un valor de verdad. Cabe notar que la interpretación de las letras proposicionales varía mientras la interpretación de los conectores permanece fija; por ello, cada interpretación depende de la a.v.v. (f j), esto es reflejado en la notación (If j).

Modelo


Definición

80

Una interpretación If j es un modelo de una fórmula j de L si la hace verdadera. Sea G un conjunto de fórmulas de L. Sea If j una interpretación que hace verdaderas todas las fórmulas de G. Decimos que If j es un modelo de G. Cuando una fórmula j tiene por lo menos un modelo, decimos que j es satisfacible. La rama de la lógica que se ocupa, expresado de una forma grosera, de las relaciones entre los lenguajes formales y sus interpretaciones se denomina teoría de modelos. A partir de la rigorización de nuestra semántica, puede ofrecerse ahora una caracterización precisa de conceptos que se habían discutido antes en términos intuitivos. En especial, el concepto de consecuencia lógica.50 50 A partir de los 90´, fundamentalmente debido a la importante obra de J. Etchemendy, publicada en 1990, The concept of logical consequence, el éxito elucidatorio del enfoque teórico-modélico ha sido puesto en duda. En este momento asumiremos dicho enfoque como aproblemático desde el punto de vista de su capacidad de capturar el concepto intuitivo de consecuencia lógica. Hacia el final del libro, volveremos sobre éste así como sobre otros problemas filosóficos cuya introducción ahora sólo entorpecería la adquisición de los rudimentos de la disciplina.

Consecuencia teórico-modélica Definición Sea G un conjunto de fórmulas de L. Sea j ∈ For. Se dirá que j es consecuencia teórico–modélica de G —se nota G j - si y solamente si, todo modelo de G, es modelo de j. Recuérdese que un «modelo» es una interpretación —es decir, una If j. Para que exista la relación de consecuencia teórico–modélica lo que estamos exigiendo entonces es que, toda interpretación que verifica las fórmulas de G, verifique también j. Otro importante concepto intuitivo es el de «verdad lógica». A veces se caracteriza informalmente al mismo como «verdad en todo mundo posible». En este libro no nos ocuparemos especialmente de tal concepto. Su contrapartida formal es la noción de validez: una fórmula es válida si es verdadera en toda interpretación.

Validez proposicional Definición Sea j∈For. Se dice que j es válida si y solamente si j es verdad en toda interpretación. Otras importantes nociones de las cuales tenemos cierta comprensión intuitiva adquieren también aquí un significado matemático preciso. Las nociones de consistencia e inconsistencia pueden pensarse que, en este contexto, corresponde entenderlas como satisfacibilidad e insatisfacibilidad.

Conjunto de fórmulas satisfacible Definición Sea G un conjunto de fórmulas. Diremos que G es satisfacible si y solamente si existe al menos una interpretación que es modelo de G. En otro caso diremos que G es insatisfacible. 1. Una a.v.v. es una función que otorga valores a todas las letras proposicionales de nuestro lenguaje. Defina cinco funciones de este tipo —por simplicidad denomínalas f1, f2, f3, f4, f5. Como recuerda, dos asignaciones de valores de verdad son distintas si para al menos una letra proposicional difieren en el valor que le otorgan. 2. Cada una de las a.v.v. anteriormente definidas caracteriza una interpretación: If1, If2,… Construya, para cada una de estas cinco interpretaciones, tres fórmulas (moleculares) que sean verdaderas y una fórmula (molecular) que sea falsa. 3. Construya tres modelos diferentes para las fórmulas siguientes (es decir, cada modelo debe verificar simultáneamente estas cuatro fórmulas): ((A1 → ¬A2) ∧ A5)


Problemas y tareas

81

((A1 ∧ A2) →¬ A7) ((A5 ∨ ¬A3) → A1) ((A6→A2) ∧ (A4→ ¬A5)) Observe que al mostrar que un conjunto de fórmulas tiene un modelo está mostrando que el conjunto de fórmulas es satisfacible. 4. Muestre que el siguiente conjunto de fórmulas es insatisfacible: ((A1→ ¬A2) ∧ A5) ((A1∨ A5) →A2) (A1∧ A5) 5. Proponga dos ejercicios de la clase de los puntos 3 y 4 de arriba.


El problema de la corrección argumental

82

Hasta este momento hemos descrito el lenguaje lógico proposicional tanto en su aspecto sintáctico (en el capítulo anterior) como en su aspecto semántico (en las dos secciones anteriores de este capítulo). Si un objetivo de la lógica es el estudio de la corrección argumental, parece razonable preguntarse cómo este estudio colabora en tal tarea. Es conveniente distinguir dos cuestiones. La primera de ellas es el problema teórico de la caracterización del concepto de argumento lógicamente correcto. En la medida que tenemos una rigurosa especificación del lenguaje proposicional éste nos permite describir eficientemente estructuras argumentales; la noción de consecuencia teórico–modélica (en tanto rigorización de la noción intuitiva de consecuencia lógica) nos posibilita caracterizar en qué consiste que una estructura argumental sea lógicamente correcta. Así pues es evidente cómo el esfuerzo realizado a través de la construcción del lenguaje proposicional (sintaxis y semántica) aporta una respuesta al problema teórico. Pero es cierto, sin embargo, que no hemos ofrecido un procedimiento para determinar, ante una estructura argumental específica, si en ese caso la conclusión es consecuencia lógica (es decir, consecuencia teórico–modélica)51 de sus premisas. Esta observación nos conduce a una segunda cuestión: el problema, por así decir, práctico de la evaluación de argumentos del lenguaje natural explotando los recursos de la teoría lógica. En cierto sentido, es éste el problema de la aplicación de la teoría lógica a la argumentación expresada en lenguajes no formalizados. La respuesta tradicional a este tópico es la siguiente.52 En primer lugar, traducimos el argumento

51 El lector no debe olvidar que hemos asumido el éxito elucidatorio. 52 Existen buenas razones (en mi modesta opinión) para desconfiar de la exclusividad de esta respuesta tradicional; en el capítulo final discutiremos este punto.

del lenguaje natural al lenguaje formal L.53 Es decir, tenemos un cierto argumento en el lenguaje natural, digamos: 1.

Si Juan es vampiro, entonces posee un castillo. Juan es vampiro. Juan posee un castillo.

Como el lector seguramente recuerda, este argumento posee la misma estructura que el argumento a) del capítulo anterior. Luego lo traducimos a L, por ejemplo: 2.

(A1→A2) A1 A2

Esta «traducción» puede entenderse simplemente como una especie de escritura en L del esquema b) del capítulo anterior. Y, teniendo en cuenta el significado de la barra que separa premisas de conclusión, tal esquema puede reducirse a una expresión —como c) del capítulo anterior. La escritura de la misma en L puede lucir así: 3. (((A1→A2) ∧ A1) → A2) Si analizamos el trabajo que hemos hecho —al que hemos denominado traducción— quizá sea conveniente distinguir dos momentos de la misma. En primer término, el pasaje del argumento en el lenguaje natural 1) al esquema argumental escrito en el lenguaje formal 2). Este pasaje no ha ocupado la atención de la lógica matemática. No poseemos aquí ningún procedimiento estándar más allá del sugerido por la asociación lingüística ya señalada entre ciertas partículas del lenguaje ordinario y nuestros conectivos de L. En segundo término, tenemos la transformación de nuestro esquema argumental 2) en la fórmula 3): esta es absolutamente mecánica. Podemos generalizarla así. Si nuestro esquema argumental es

Pren Con —donde Prei (1≤i≤n) representa fórmulas de L que funcionan como premisas de la fórmula de L tomada como conclusión Con— entonces: 53 Este tipo de problemas no se atienden en este curso; el lector interesado puede consultar, por ejemplo, Quine (1967) o Deaño (1974).


Pre1 Pre2 : :

83

((Pre1∧Pre2…∧Pren)→Con) es la fórmula correspondiente. Pero ahora nos debemos preguntar si el argumento inicial es lógicamente correcto y para ello deberíamos ser capaces de evaluar, en este caso específico, si la conclusión es consecuencia lógica (consecuencia teórico-modélica) de las premisas. Este problema naturalmente se reduce aquí a evaluar la fórmula que expresa la relación entre premisas y conclusión. Adviértase que hemos llegado así a la necesidad de encontrar procedimientos que nos permitan resolver el problema específico de la evaluación de las fórmulas que expresan la relación entre premisas y conclusión.54 Esta tarea es la que ocupará las dos secciones siguientes.

La evaluación de las fórmulas: método tabular Empecemos con el ejemplo de la sección anterior. Tomemos pues la fórmula (3) del lenguaje L: (((A1→A2) ∧ A1) → A2) Para calcular el valor de verdad de esta fórmula el primer paso consiste en interpretar las letras proposicionales, es decir, en atribuir valores de verdad a las mismas. Una interpretación consistirá, por ejemplo, en asumir que A1 y A2 son ambas verdaderas. El objetivo será pues, para esta interpretación, calcular el valor de toda la fórmula (marcaré solamente a los fines didácticos de esta exposición con signos de interrogación ese valor «incógnita») A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) ¿?

Pero, para resolver el valor de la fórmula total, previamente debo resolver el valor de la conjunción, es decir A1

A2

(((A1→A2)∧A1)→ A2)

V

V

¿?

¿?


Pero, nuevamente, para resolver el valor de la conjunción necesito especificar el valor del condicional, es decir

84

A1

A2

V

V

(((A1→A2) ∧ A1) → A2) ¿?

¿?

¿?

54 Hemos reducido el problema de la evaluación de la relación de consecuencia a la evaluación de la fórmula que expresa la estructura argumental. Este paso no está exento de problemas pero, como en otros casos, posponemos la discusión para un momento posterior más oportuno.

Podemos sustituir las interrogaciones por números que indiquen el orden en que tengo que calcular los valores de verdad de las fórmulas involucradas: A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) 1

2

3

Un modo más «sintáctico» de comprender el orden es, simplemente, atendiendo a los paréntesis: debo resolver desde los paréntesis más «internos» hasta culminar en los paréntesis más «externos». Ahora vayamos resolviendo cada paso. En primer lugar, para resolver el condicional basta con aplicar la tabla dada en la sección Interpretar el lenguaje formal (desde el punto de vista intuitivo)(cuando antecedente y consecuente son verdaderos, el condicional es verdadero): A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) V

2

3

Luego, aplicamos la tabla de la conjunción dada en la sección Interpretar el lenguaje formal (desde el punto de vista intuitivo) (solamente es verdad cuando sus componentes son verdaderos): A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) V

V

3

Y, finalmente, el valor de la fórmula (condicional con antecedente verdadero y consecuente verdadero es verdadero): A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) V

V

V

A1

A2

V

V

(((A1→A2)∧A1)→ A2) V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V


Adviértase que se trata de una interpretación, a saber, cuando ambas letras proposicionales son verdaderas. Pero ¿hay otras interpretaciones? Obviamente sí. Es más, en este caso resulta claro que hay tres y solo tres interpretaciones más —ya que en las definiciones de los conectivos se encuentran expresadas todas las interpretaciones posibles de las letras ocurrentes en la fórmula. Para calcular pues el valor de la fórmula para todas las interpretaciones posibles de A1 y A2 basta pues con construir una tabla como la que sigue:

85


Este método puede denominarse «tabular». Quizá convenga explicitar el procedimiento de forma tal que se evidencie algo más claramente su carácter algorítmico o mecánico: Sea F∈For, 1. Se determina el número de letras proposicionales que ocurren en la fórmula (digamos, n) y se calcula el número de renglones (2n) que deberá poseer la tabla; 2. Se escriben ordenadas por subíndice las letras proposicionales que ocurren en F a la izquierda de la misma y debajo de cada una se completan los 2n renglones así: se toma la más a la izquierda y se escribe una columna donde en el primer renglón aparece V, en el segundo F, en el tercero V y así hasta el último; se toma la próxima letra a la derecha y se conforma la columna respectiva escribiendo V en los dos primeros renglones y F en los renglones tercero y cuarto y así hasta el final; se toma la próxima letra de la derecha y se conforma la columna ahora con cuatro renglones V y cuatro F y así hasta el final, etc. Como se ve la idea es duplicar en cada columna (después de la primera) el número de V (F) que aparecen «seguidas» en la columna inmediata anterior: en la primera letra se escribe una vez cada valor, en la segunda dos, en la tercera cuatro y así sucesivamente. Esto permite confeccionar todas las interpretaciones de las letras proposicionales que ocurren en la fórmula. 3. En cada renglón se comienza calculando el valor de las variables negadas (si las hay). Luego se calcula el valor de las fórmulas más «internas», es decir, se va de «adentro hacia fuera». Primero se calcula las fórmulas en que los conectivos binarios afectan solo a letras proposicionales (si las hay), luego las que se componen de por lo menos una fórmula de este tipo y así sucesivamente. Se va de las fórmulas más «simples» a las más «complejas» en virtud de que es necesario, para calcular el valor de las últimas, contar con —es decir, ya haber calculado— el valor de las primeras. 4. El procedimiento finaliza cuando se ha calculado el valor de la fórmula para las 2n interpretaciones.

86

Luego, si se piensa en la aplicación de la teoría lógica a la evaluación de argumentaciones en lenguaje natural, dada una argumentación, podemos traducirla, como dijimos antes, al lenguaje formal, construyendo la fórmula asociada a la misma y luego aplicar el algoritmo antes descripto. El aspecto esencial es entonces que puede decidirse, mediante esta estrategia, si la argumentación en cuestión es lógicamente correcta. Basta con aplicar el método tabular a la fórmula que expresa el argumento e inspeccionar si, para toda interpretación, la misma toma el valor V —en este caso se dice que la fórmula es tautológica o que es una tautología. Si la fórmula entonces es tautológica, nos encontramos frente a un argumento deductivo correcto. En otro caso, no se tratará de un argumento lógicamente correcto —en términos del lenguaje o cálculo proposicional. Repárese en que hemos logrado una forma de evaluación argumental que nos permite decidir, en un número finito de pasos, si una fórmula es o no tautológica y,

a través de esta investigación, determinar si un argumento dado es o no lógicamente correcto —en términos del lenguaje o cálculo proposicional. Coincidiendo con nuestra intuición, a) es un argumento lógicamente correcto ya que c) es una tautología. La noción de validez (proposicional) y la de tautología coinciden. Cuando, para toda interpretación, la evaluación de una fórmula arroja F, decimos que se trata de una contradicción —nótese que esta es otra denominación para el caso en que una fórmula es insatisfacible (proposicionalmente). Cuando para algunas interpretaciones la fórmula es verdadera y para otras es falsa se habla de contingencia. Si una fórmula posee al menos una interpretación para la cual es verdadera se dice que la fórmula es consistente —nótese nuevamente que esta es otra denominación para el caso en que una fórmula es satisfacible (proposicionalmente). Este tipo de análisis que se lleva adelante mediante el método tabular puede, naturalmente, realizarse a través de procedimientos más económicos. Un ejemplo de esto es el denominado análisis veritativo–funcional.55 Otro ejemplo, cuyo estudio se desarrolla en la sección siguiente, es el denominado «tablas analíticas» o «tablas semánticas».

Problemas y tareas 1. Aplique el método tabular a las siguientes fórmulas y determine si se trata de tautologías, contingencias o contradicciones: a. (((A1→A2)∧A1)→A2) b. (((A1→A2)∧A2)→A1) c. (((A1→A2)∧¬A2)→¬A1) d. (¬(A1∧A2)↔(¬A1∧¬A2)) e. (¬(A1∨A2)↔(¬A1∨¬A2)) f. (¬(A1∧A2)↔(¬A1∨¬A2)) g. (¬(A1∨A2)↔(¬A1 ∧¬A2)) h. ((A0∧A1)↔(A1∧A0)) i. ((A0∧ A1)↔¬(A1∧A0)) j. ((A1→A1)→¬(A1∨¬A1)) l. (((A0∨A1)∧((A1→A2)∧(A0→A2)))→A2) m. (((A0∧A1)∧(A0→A2))→(A1∧A2)) 2. Pueden construirse fórmulas más complejas a partir de fórmulas más simples «conectándolas» con los conectores apropiados. Describa cómo construir una fórmula tautológica a partir de: a. una fórmula contradictoria y una fórmula contingente; 55 Véase Quine (ob.cit.).


k. (((A0→A1)∧(A1→A2))→(A0→A2))

87

b. dos fórmulas tautológicas; c. dos fórmulas contradictorias; d. una fórmula tautológica y una fórmula contradictoria; Justifique en cada caso por qué la fórmula resultante es tautológica. 3. Proponga un ejercicio análogo al ejercicio 1 cuidando que el número de fórmulas tautológicas sea igual al número de fórmulas contingentes y contradictorias.

Un método más elegante para evaluar fórmulas: tablas analíticas Conviene comenzar recordando que aquellas fórmulas que poseen un interés especial, desde el punto de vista lógico proposicional, son las tautologías, en virtud de que ellas expresan estructuras argumentales correctas. Por ello podría pensarse en estos procedimientos de decisión como métodos aptos para identificarlas. Como se ha dicho, una tautología es una fórmula que «siempre» es verdad: no importa qué valor se le asigne a las letras proposicionales o letras de enunciados, su valor es V. Dicho de otro modo, si existe una atribución de valores de verdad a las letras proposicionales que ocurren en la fórmula j tal que hace falsa la fórmula, ciertamente j no se trata de una tautología. Luego resulta obvio que, si intento construir una atribución de valores tal y llego a la conclusión que la misma no existe, habré probado que j es tautología. Se desarrollan estas observaciones de un modo más preciso inmediatamente. Supóngase que se tiene la fórmula siguiente: 1)

(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))

Si existiera una asignación de valores de verdad o veritativos para las letras proposicionales que ocurren en (1) que la hiciera falsa, debiera ser tal que el valor del antecedente —para esa asignación— fuera verdadero y el valor del consecuente — para esa asignación— fuera falso. Para que resulte más intuitivo, podemos describir la situación así: 2)

(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))


V

88

F

luego solo puede ser tal que otorgue V a A1 y F a A3 , pues en otro caso no haría falso el consecuente: 3)

(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))

V

F V FF

así

Ahora bien, como ya he atribuido valores a A1 y A3 la situación debe describirse 4)

(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3)) V

V

F

V F F

Pero entonces, para que el antecedente sea verdadero, deben hacerse verdaderos los dos componentes de la conjunción. El único modo de hacer verdadero (A1→A2) es: (((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3)) V V V ? V ? F

V F F

Pero, como es obvio, asignar V a A2 hace falso el segundo componente de la conjunción (A2→A3). Luego, para que el antecedente fuese verdadero, se necesitaría una atribución de valores que hiciera a A2 … ¡verdadera y falsa a la vez! Hemos llegado así a un absurdo, a partir de la idea de que existe una asignación de valores veritativos a las letras proposicionales ocurrentes en 1) que puede hacer falsa 1). La conclusión es pues que no existe tal asignación, es decir, que 1) es una tautología. Repárese que el argumento ha consistido, básicamente, en suponer que hay una atribución de valores a las letras proposicionales de 1) que la hace falsa y, a partir de tal suposición, llegar a una contradicción consistente en tener que asumir que tal asignación debiera otorgar a una letra proposicional los valores V y F. Luego concluimos que tal atribución no existe, es decir, no hay atribución que haga falsa 1) i.e. 1) es tautología. Como el lector seguramente ya advirtió, la idea que subyace al procedimiento es la de la argumentación por absurdo. El próximo paso consistirá en formalizar el mecanismo descrito. Tal método —como se dijo— puede denominarse método de tablas analíticas. Seguiremos la presentación que hace R. Smullyan56 y agregaremos al sistema propuesto por este autor reglas para el bicondicional y la disyunción exclusiva. En realidad tal operación no acrecienta el poder expresivo del cálculo (esto resultará claro a partir de la sección Conjuntos adecuados de conectivos). La razón de tal «ampliación» es simplemente que luzca adecuado para trabajar con un lenguaje como el definido. Se parte de ciertos «hechos» semánticos, en relación con el comportamiento de los conectivos: 1. Si ¬A es verdadera, A es falsa Si ¬A es falsa, A es verdadera. 2. Si A∧B es verdadera, A es verdadera y B es verdadera Si A∧B es falsa, A es falsa o B es falsa 3. Si A∨B es verdadera, A es verdadera o B es verdadera Si A∨B es falsa, A es falsa y B es falsa 56 Smullyan (1968). En español puede consultarse Garrido (1974).


5)

89

4. Si A→B es verdadera, A es falsa o B es verdadera Si A→B es falsa, A es verdadera y B es falsa 5. Si A w B es verdadera, A es verdadera (falsa) y B es falsa (verdadera) Si A w B es falsa, A y B son verdaderas (falsas) 6. Si A↔B es verdadera, A y B son verdaderas (falsas) Si A↔B es falsa, A es verdadera (falsa) y B es falsa (verdadera). Estas observaciones sugieren las siguientes reglas: RN.

¬¬ j j

RCJ 1)

j∧ψ

RCJ 2)

¬j

j ψ RD 1)

j∨ψ j

RCD 1)

RDE 1)

RB 1)

RD 2)

¬j ¬ψ RCD 2)

¬(j→ψ)

ψ

jwψ

¬ψ

¬(j∨ψ)

ψ

j→ψ ¬j

¬(j∧ψ)

j ¬ψ RDE 2)

¬(jwψ)

j

¬j

j

¬j

¬ψ

ψ

ψ

¬ψ

j↔ψ

RB 2)

¬ (j↔ψ)

j

¬j

j

¬j

ψ

¬ψ

¬ψ

ψ

Como se advierte —salvo para la negación— tenemos reglas para la «verdad» — para la expresión afirmada— y la «falsedad» —para la expresión negada— de cada conectivo y se corresponden a las observaciones semánticas anteriores. Para exponer de forma sucinta e intuitiva cómo se aplican las reglas, se «parafrasea» la demostración de 1). Se empieza escribiendo 1) —cabe acotar que no hay correlación exacta de las líneas de esta aplicación con los números correspondientes a los «pasos» del procedimiento intuitivo—:


1) (((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))

90

Para decir que 1) es falsa podemos recurrir a la negación: 2) ¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))

Luego aplicamos la regla correspondiente a la falsedad del condicional (y marcamos con una «+» la fórmula que usamos como premisa de la aplicación de la regla): ¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))+

(A1→A2)∧(A2→A3) ¬(A1→A3)

Ahora aplicamos nuevamente la regla de la falsedad del condicional:57 ¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))+

(A1→A2)∧(A2→A3) ¬(A1→A3) + A1 ¬A3

Aplicamos ahora la regla de la verdad de la conjunción: ¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))+

(A1→A2)∧(A2→A3)+ ¬(A1→A3)+ A1 ¬A3 A1→A2 A2→A3

Aplicamos ahora la regla de la verdad del condicional al primer condicional que aparece en la lista de fórmulas no marcadas:

(A1→A2)∧(A2→A3)+ ¬(A1→A3)+ A1 ¬A3 A1→A2+ A2→A3 ¬A1 A2 x

57 Se copia todo lo ya construido para que se aprecie el desarrollo del procedimiento y la estructura del mismo.


¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))+

91

La «x» indica que hemos encontrado una contradicción (A1, ¬A1) en la «rama». Luego se corta esa «rama». La idea intuitiva de «rama» se asocia al signo «|»; cuando el mismo aparece se «abren» dos «caminos» o dos «ramas»; puede recorrérsele (a cada rama o camino) ascendiendo por cada uno de ellos sin necesidad de desplazamientos «horizontales». En el ejemplo anterior, A2, A2→A3, A1→A2 (entre otras) pertenecen a la misma rama pero no así ¬A1—intuitivamente, si partimos de A2 deberíamos «desplazarnos horizontalmente» para llegar a ¬A1. El análisis prosigue por la rama que permanece abierta. Aplicamos la regla de la verdad del condicional a la única fórmula que resta por analizar —adviértase que ninguna de las fórmulas no marcadas excepto el condicional es susceptible de ser usada como premisa de alguna de las reglas: ¬(((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3))+ (A1→A2)∧(A2→A3) + ¬(A1→A3) + A1 ¬A3 A1→A2 + A2→A3 + A2 ¬A1 x ¬A2 A3 x x Véase que cada una de las «ramas» ha cerrado con un «x»; cuando esta es la situación, quiere decir que no hay ninguna asignación de valores a las letras proposicionales que permita verificar la fórmula negada. Es decir, si la negación de (1) nunca puede ser verdad es porque (1) nunca puede ser falsa i.e. (1) es tautológica. Este mecanismo de evaluación permite identificar de forma elegante y eficiente, cuando una fórmula es una tautología.


Problemas y tareas

92

1. Evaluar los siguientes argumentos (por tablas analíticas): a. Si Juana estudia álgebra, el gato se sube a la mesa. Si Juana estudia literatura, el gato se extiende frente a la estufa. Juana estudia literatura o álgebra. Por lo tanto el gato se extiende frente a la estufa o se sube a la mesa. b. Si Alicia se casa, Juan se muda a París. Y si se muda a París, será vecino de María. Y si es vecino de María, Mario se mudará al apartamento contiguo al de María. Si Alicia no se casa, Juan seguirá viviendo en el altillo. Por lo tanto Juan seguirá viviendo en el altillo o Mario se mudará al apartamento contiguo al de María.

c. Si la venta de manzanas disminuyera sensiblemente, el precio de la manzana bajaría. Y si bajara, Juan comería dos manzanas en vez de una en el postre. Pero Juan solamente come una manzana en el postre. Por lo tanto, la venta de manzanas no ha disminuido sensiblemente. 2. Supóngase que se tiene los conectores siguientes: A

B

AxB

A x’ B

A x’’ B

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

a. Ofrezca para estos conectores reglas análogas a las establecidas para los de L a los efectos de desarrollar las tablas analíticas; b. ¿Encuentra alguna relación entre las reglas para «x» y «x’ » y las de algunos de los conectores de L?

Conjuntos adecuados de conectivos Hay un problema teórico que posee indudable interés, a saber, el problema de qué conectivos unarios y binarios debe poseer nuestro lenguaje proposicional para que se comporte en forma óptima (desde el punto de vista expresivo). Como se sabe, puede asociarse con cada conectivo la función correspondiente y, en general, una fórmula del lenguaje proposicional puede verse como una función que, para determinados valores de verdad, da como resultado un valor de verdad. Supongamos que se tiene la fórmula siguiente:

se tendría una cierta función f : Val3 →Val tal que, por ejemplo, para el caso en que A1 y A2 son F y A3 es V, da el valor V —es decir, f(F,F,V)=V— y para el caso en que A1 es V, A2 y A3 son F, da F —es decir, f(V,F,F)=F. Resulta obvio que, con cada ϕ∈For, puede asociarse una función f: Valn →Val, donde n es el número de letras proposicionales que ocurren en ϕ. Por otra parte, una función puede expresarse a través de diversas fórmulas. La condición que deben cumplir dos fórmulas para expresar la misma función es ser equivalentes, es decir, ϕ y ϕ’ expresan la misma fórmula si y solo si ϕ↔ϕ’ es tautología. Llamemos a estas funciones que asociamos a las fórmulas funciones veritativas —la denominación evoca el dominio y el rango de tales funciones. En particular, sea ϕ∈For tal que en ella solo ocurren las letras proposicionales A1, A2,…, An , si una función veritativa f (v1, v2,…,vn) —donde vj , con 1≤j≤n, son valores veritativos— da V (F) exactamente en los casos en que ϕ, al interpretar todas las letras proposicionales A1, A2,…, An que ocurren en ella por v1, v2,…, vn


((A1→A2)∧A3)

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respectivamente, toma como valor V (F), diremos que f es la función veritativa asociada a ϕ. Estas observaciones permiten demostrar la siguiente

Proposición Sea ϕ∈For. Existe ϕ’∈For tal que: a) en ϕ’ solo ocurren negación, conjunción y disyunción y b) ϕ↔ϕ’ es tautología. Prueba. Sea j una fórmula contradictoria, es decir, para toda atribución de valores veritativos a las letras enunciativa que en ella ocurren toma el valor falso. Luego tomemos ϕ’≡(A1∧¬A1). Es obvio se cumplen a) y b). Sea j una fórmula no contradictoria, i.e. existe al menos una atribución de valores a las n letras enunciativas que en ella ocurren tal que j toma el valor verdadero. Luego existen k n–tuplas (1≤k≤2n) v1, v2,…, vn tales que f(v1, v2,…, vn)=V —siendo f la función veritativa asociada a ϕ y cada vi (1≤i≤n), como es obvio, representa un valor de verdad. Luego para cada n–tupla k y para cada letra proposicional αi (1≤i≤n) que ocurre en ϕ, definimos αi,k del modo siguiente: si vi=V entonces αi,k≡αi ;


si vi=F entonces αi,k≡¬αi.

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Sea Ck ≡α1,k∧α2,k∧…∧αn,k. Adviértase que cada Ck es tal que es verdad en y solo para la n–tupla k v1, v2, …, vn tal que f(v1, v2,…, vn)=V. Sea ϕ’≡C1∨C2∨…∨Ck. Es obvio, dado que cada Ck solo es verdad para la n–tupla k, la disyunción solo será verdadera para, exactamente, las k n–tuplas referidas. Luego ϕ será la función asociada de ϕ’. Luego se cumple a) y b). La proposición anterior muestra que con un lenguaje en cuyo conjunto de conectores aparezcan solamente la negación, la disyunción y la conjunción, cualquier función veritativa puede ser expresada. De esto se sigue que cualquier lenguaje que cuente solamente con estos tres conectores podemos traducir, de manera eficiente, cualquier fórmula. Dicho de otro modo: todo lo que puede decirse en un lenguaje proposicional (sin importar el número de conectores que posea) puede ser dicho en un lenguaje con solo los tres conectores aludidos anteriormente. Cuando un conjunto de conectivos posee esta propiedad suele decirse que se trata de un conjunto adecuado de conectivos. En particular, véase que con estos tres conectivos cualquier fórmula constituida de cualquier conectivo puede ser expresada. Por ejemplo, tomemos el caso del siguiente condicional: (A1→A2). Si tomamos las duplas de valores que verifican el condicional y construimos las conjunciones C adecuadas obtenemos: C1≡(A1∧A2), C2≡(¬A1∧A2), C3≡(¬A1∧¬A2). Luego, la disyunción: (A1∧A2)∨(¬A1∧A2)∨(¬A1∧¬A2), permite expresar (A1→A2). Existen procedimientos más elegantes para obtener tales contrapartidas, pero lo único que interesa aquí es señalar la posibilidad teórica de efectuar las mismas.

Como se prometió en la sección Un método más elegante para evaluar fórmulas: tablas analíticas, resulta ahora claro por qué la introducción de las reglas para la disyunción exclusiva y el bicondicional no agregan nada en el sentido preciso de que fórmulas en las que interviniesen esos conectores pueden traducirse a fórmulas que en las cuales solo ocurren conectores para los cuales ya contamos con sus respectivas reglas y luego podemos tratarlas perfectamente prescindiendo de aquéllas reglas. Puede ocurrir, no obstante, que estemos interesados en lenguajes que poseen determinado elenco específico de reglas. En particular, véase que tal es el caso de L. La razón para ello radica en la ganancia en claridad de las relaciones entre L y el lenguaje natural. Es fácil intuir que el conjunto adecuado de conectivos formado por la negación, la conjunción y la disyunción no es el único conjunto adecuado posible. Para encontrar un tratamiento más detallado de la cuestión podemos recurrir a Mendelson (1984). Una lección importante que podemos extraer de este resultado para nuestro curso es la multiplicidad de posibilidades de caracterización de lenguajes proposicionales de igual poder expresivo. Esta observación permite apreciar que podemos entender nuestro estudio sobre L más que como un estudio sobre un lenguaje específico, un estudio sobre una clase de lenguajes lógicos, a saber, los lenguajes lógicos proposicionales.

Problemas y tareas 1. Sea ϕ∈For. Demostrar que existe j’∈For tal que: a) en j’ solo ocurren negación y conjunción y b) j ↔j’ es tautología. 2. Sea ϕ∈For. Demostrar que existe j’∈For tal que: a) en j’ solo ocurren negación y disyunción y b) j↔j’ es tautología.

Tautologías famosas Como el lector ya sabe el conjunto de las tautologías es infinito. Algunas de ellas son más usuales que otras o poseen un cierto valor conceptual; se han seleccionado aquí un número pequeño de las mismas que merecen especial atención. En la lógica tradicional han ocupado un lugar muy relevante los denominados «Principios Lógicos». Ellos son: el principio de identidad, el principio del tercero


3. Sea ϕ∈For. Demostrar que existe j’∈For tal que: a) en j’ solo ocurre el conector caracterizado en el ejercicio anterior como «x» (al que suele denominarse «negación conjunta» o «functor de Peirce» y se nota «») y b) j↔j’ es tautología.

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excluido y el principio de no–contradicción. Traducciones aceptables de los mismos pueden ser las tres fórmulas siguientes:58 PI. PTE. PNC.

(A1↔A1) (A1∨¬A1) ¬(A1∧¬A1)

La validez de estas fórmulas forma parte del corazón mismo de la lógica clásica. Algunas teorías lógicas divergentes o no–clásicas han cuestionado, precisamente, tal validez. Por ejemplo, la lógica intuicionista rechaza PTE y la lógica paraconsistente objeta PNC. Respecto de cada conectivo existen una serie de «verdades» sobre los mismos que resulta útil conocerlas. Comencemos estudiando algunas propiedades de la conjunción y la disyunción inclusiva. Si se inspecciona las definiciones de estos conectores puede fácilmente advertirse que ambos son operadores conmutativos, es decir CC. (A1∧A2)↔(A2∧A1)

(conmutativa de la conjunción).

CD. (A1∨A2)↔(A2∨A1)

(conmutativa de la disyunción).

Asimismo puede verse que valen las respectivas distributivas: DC. (A1∧(A2∨A3))↔((A1∧A2)∨(A1∧A3))

(distributiva de ∧ por ∨)

DD. (A1∨(A2∧A3))↔((A1∨A2)∧(A1∨A3))

(distributiva de ∨ por ∧).

El condicional es transitivo, es decir TC. ((A1→A2)∧(A2→A3))→(A1→A3)

(transitividad del condicional)


Dado que el condicional —como se ha dicho— permite expresar en el lenguaje la relación entre premisas y conclusión es especialmente útil para representar, por así decir, «esquemas argumentales». Estos esquemas expresan una especie de «permiso», dadas las premisas, para afirmar la conclusión. Algunos de ellos son muy populares:

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Modus Ponens: (A1→A2) A1 A2 Puede escribirse como fórmula así: 58 Por razones de comodidad y claridad de lectura, obviaremos los paréntesis externos cuando no pongamos con ello en peligro la univocidad.

MP. ((A1→A2)∧A1)→A2 Modus Tollens: (A1→A2) ¬A2 ¬A1 Puede escribirse como fórmula así: MT. ((A1→A2)∧¬A2)→¬A1 Resulta útil, a los efectos de evitar errores muy comunes, recordar dos leyes usuales, las denominadas leyes de De Morgan: DM1. ¬(A1∧A2)↔(¬A1∨¬A2) DM2. ¬(A1∨A2)↔(¬A1∧¬A2) Estas dos leyes, por otra parte, nos recuerdan la posibilidad de expresar el significado de un conectivo a través de otro, como vimos en la sección Conjuntos adecuados de conectivos. Por ejemplo, dadas las equivalencias anteriores parece obvio que (A1∧A2)↔¬(¬A1∨¬A2) (A1∨A2)↔¬(¬A1∧¬A2) Es decir, si, por ejemplo, contamos en un cierto lenguaje proposicional con los conectivos disyunción inclusiva y negación, podemos prescindir de la conjunción. Lo mismo respecto de la disyunción, si contamos con conjunción y negación. En realidad, como hemos demostrado, tal fenómeno es más general.

Una de las motivaciones centrales de la lógica, tal como fue discutido en el capítulo 1, consiste en la evaluación de argumentos. En este contexto, tal tarea se concentra en la evaluación de la relación entre premisas y conclusión. Más específicamente, determinar si un argumento es lógicamente correcto quiere decir establecer que su conclusión es consecuencia lógica de sus premisas. Dada la naturaleza semántica de tal relación, resulta de indudable interés construir la dimensión semántica del lenguaje formal caracterizado en el capítulo anterior.


Síntesis

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El punto de partida de tal construcción consistió en interpretar los componentes fundamentales del lenguaje L: letras de enunciados y conectores. Hemos hecho primero tal trabajo intuitivamente. Luego, explotando los recursos matemáticos estudiados en el capítulo 2, dimos una caracterización rigurosa de interpretación para el lenguaje proposicional L. Las ideas fundamentales son las siguientes. La interpretación de las letras de enunciados son valores de verdad, es decir, una función que asigna a cada letra proposicional, los valores V o F. La interpretación de los conectores consiste en funciones. Si el conector es la negación, es una función que asigna a V (F) el valor de verdad F (V). Si el conector es un conector binario, la función asigna a cada par de valores de verdad, el valor de verdad que la definición intuitiva tabular enseña. Una interpretación es una función que, a partir de una asignación de valores de verdad a las letras proposicionales y de las funciones que dan el significado de los conectores, otorga a cada fórmula del lenguaje un valor de verdad. Suele denominarse extensional o denotacional a una semántica de esta naturaleza. Según Frege cabe distinguir entre la denotación y el sentido de una expresión lingüística. La denotación es aquello a lo cual la expresión refiere; el sentido es una noción más difícil de caracterizar pero puede decirse que, en palabras de Frege, recoge el «modo de presentación» de la referencia o denotación. Un ejemplo ayudará a entender en forma básica la cuestión. «El manco de Lepanto» y «Cervantes» refieren al mismo individuo, es decir, ambas expresiones poseen la misma denotación, pero lo hacen de formas evidentemente diferentes, es decir, ambas expresiones poseen sentidos diferentes. Como se ha dicho antes, Frege considera que la denotación de un enunciado verdadero es un objeto, a saber, lo Verdadero y la denotación de un enunciado falso es otro objeto, a saber, la Falsedad. La rigorización de las ideas semánticas iniciales permite la obtención de contrapartidas matemáticas precisas de importantes ideas intuitivas. En particular, se obtienen los conceptos de «consecuencia teórico–modélica» (que puede pensarse como contrapartida rigurosa del concepto de consecuencia lógica), y «validez» (que puede pensarse como contrapartida rigurosa del concepto intuitivo de «verdad lógica»). El valor de conceptos como satisfacibilidad e insatisfacibilidad se conectarán más adelante con las ideas de consistencia e inconsistencia. Adviértase, no obstante, que podemos usar el concepto de insatisfacibilidad para caracterizar también consecuencia, en el sentido en que una fórmula j es consecuencia del conjunto de fórmulas Γ si y solamente si Γ∪{¬ϕ} es insatisfacible. En general, los desarrollos semánticos estudiados permiten enfrentar el problema de la evaluación de argumentaciones específicas, desde el punto de vista de su corrección lógica (proposicional). Esta última tarea puede esquematizarse así (donde «⇒» significa la relación de justificación deductiva pretendida entre premisas y conclusión):

Pre1, Pre2,…,Pren ⇒ Con ⇓ Pre1’, Pre2’,…,Pren’ ⇒ Con’ («traducción» a L) ⇓ ((Pre1’∧Pre2’∧…∧Pren’)→ Con’) ⇑ Evaluación vía un algoritmo (Ej.: tablas semánticas)

59 El último capítulo de este libro sugiere la posibilidad de defender un punto de vista alternativo.


Se parte de un argumento expresado en un lenguaje natural (por ejemplo, el español), luego se le «traduce» a L a los efectos de evidenciar la estructura proposicional de premisas y conclusión, a continuación se construye la fórmula que expresa en L la relación deductiva entre premisas y conclusión y, finalmente, se evalúa tal fórmula. Si dicha fórmula es válida o tautológica, se trata de una argumentación correcta: Con es consecuencia lógica de Pre1, Pre2,…, Pren.. Si este no es el caso, el argumento no es lógicamente correcto —en términos proposicionales. Este enfoque de la aplicación de la lógica al análisis argumental puede denominarse «estrategia traducción–algoritmo»; tal estrategia, conjuntamente con una variante que estudiaremos en el capítulo siguiente, han sido percibidas, tradicionalmente, como el modo exclusivo de aplicar la lógica al análisis argumental.59 Esta estrategia es claramente solidaria con la forma de representar argumentos corporizada en el que hemos denominado Modelo 1 en el capítulo 1. Una pregunta que surge naturalmente es si cuando pensamos la representación argumental en términos del Modelo 2 del capítulo 1 esta estrategia evaluatoria es igualmente satisfactoria. La reflexión sobre este punto es una buena motivación para el estudio que dasarrollaremos en el próximo capítulo.

99

Capítulo 5

Lenguaje lógico proposicional: sistemas deductivos Introducción La modalidad de representación argumental privilegiada hasta aquí auspicia formas correspondientes de identificar y evaluar argumentos. Recordemos brevemente el denominado Modelo 1: Pre1, Pre2,… , Pren/Con Este modelo conduce a identificar argumentos, precisamente, mediante la especificación de sus premisas, su relación de justificación y su conclusión. En nuestro caso, tal identificación consiste simplemente en identificar premisas y conclusión, ya que la única relación de justificación evaluada es la de consecuencia lógica. En contraste con el denominado Modelo 2, es decir, Pre1, Pre2,… , Pren, Pas1, Pas2,… ,Pask/Con

Problemas y tareas 1. Revise la siguiente demostración ofrecida en el capítulo 2. Hemos puesto en itálica algunas partes del texto en que la legitimidad del pasaje de una aseveración a otra se apoya en el significado de un conector. Explicite la justificación de tales pasos.


conduce a discriminar en las premisas (en sentido lato) entre aquellos enunciados asumidos y ciertas consecuencias de éstos. Pero adviértase que si evaluamos tal argumento desde el punto de vista de la relación de consecuencia lógica (semántica, intuitiva) parecería que los pasos devienen algo superfluos; si la pregunta fundamental es si la relación se da entre premisas (en sentido lato) y conclusión, en el caso que la misma se diera, el argumento debería catalogarse como correcto. Pero, ¿y la relación entre las premisas (en sentido estricto) y los pasos?, ¿y la relación entre los pasos y la conclusión? Y, fundamentalmente, dado que la función característica de los pasos es evidenciar o exhibir la conexión entre las premisas (en sentido estricto) y la conclusión, ¿cómo evaluar si la cumplen? Este capítulo intenta responder tales preguntas en el contexto del lenguaje lógico proposicional.

101

Si x∈A∩B, entonces, por definición, x∈A y x∈B, es decir, x∈B y x∈A i.e. x∈B∩A. Luego A∩B⊆B∩A. Un argumento análogo permite probar B∩A⊆A∩B. Luego, A∩B=B∩A. Si x∈A∪B, entonces, por definición, x∈A o x∈B, es decir, x∈B o x∈A i.e. x∈B∪A. Por lo tanto, A∪B⊆B∪A. Un argumento análogo permite probar que B∪A⊆A∪B. Luego A∪B=B∪A. 2. Revise la siguiente demostración ofrecida en el capítulo 2. Subraye fragmentos en los que la legitimidad del pasaje de una aseveración a otra se apoya en el significado de un conector. Explicite la justificación de tales pasos. Si x∈A∪(B∩C), entonces, por definición, x∈A o x∈B∩C. Supongamos que x∈A, entonces x∈A o x∈B i.e. x∈A∪B. Por argumento análogo x∈A∪C. Luego x∈(A∪B)∩(A∪C). Supongamos que x∈B∩C, entonces, por definición, x∈B y x∈C. Luego, como x∈B, x∈A∪B y como x∈C, x∈A∪C. De aquí se deduce que x∈(A∪B)∩(A∪C). Por lo tanto, si x∈A∪(B∩C) entonces x∈(A∪B)∩(A∪C) i.e. A∪(B∩C)⊆(A∪B)∩(A∪C). Si x∈(A∪B)∩(A∪C), entonces x∈A∪B y x∈A∪C. Si x∈A, entonces obviamente x∈A∪(B∩C). Si x∉A, como x∈A∪B y x∈A∪C, entonces x∈B y x∈C i.e. x∈B∩C y luego x∈A∪(B∩C). Por lo tanto, si x∈(A∪B)∩(A∪C), entonces x∈A∪(B∩C), es decir, (A∪B)∩(A∪C)⊆A∪(B∩C). Luego A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

La noción de argumento idealmente justificado Algunos autores60 han defendido la importancia de un cierto concepto intuitivo que, además del concepto de consecuencia lógica estudiado en el capítulo 1, habría resultado especialmente relevante en la historia de la disciplina. Este concepto poseería (al igual que el de consecuencia) una venerable tradición; así como la noción intuitiva de consecuencia lógica, esta noción se remontaría a Aristóteles y contaría entre sus propulsores a Descartes y a Frege. La misma podría formularse así: La noción de argumento idealmente justificado


Un argumento escrito en el lenguaje ordinario se encuentra idealmente justificado si y solamente si sus premisas permiten arribar a su conclusión mediante una cadena auto—evidente de razonamientos.

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En este curso no nos interesaremos por identificar la genealogía de esta noción. En este contexto, exclusivamente nos interesa resaltar dos aspectos de la misma. En primer lugar, el énfasis en la cadena de razonamiento. Adviértase que es una forma de referirse a la trama argumental que hemos denominado «pasos» en nuestro modelo. Esta noción pues (a diferencia de la noción de consecuencia) coloca en primer plano dicha trama a la hora de identificar un argumento y, especialmente, a la hora de evaluarlo. 60 La noción es introducida por Wagner (1987). Asimismo puede leerse en Shapiro (1991).

Pues es una propiedad de tal trama, a saber, el carácter auto–evidente, esencial para cualificarlo como correcto. Esta propiedad reclama naturalmente elucidación. Un modo de entender esta auto–evidencia consistiría en que el pasaje de un paso al otro sea el resultado indiscutible de la aplicación de una regla de legitimidad indudable. La indiscutibilidad de que se trata de la aplicación de una cierta regla podría resultar de la claridad propia de la regla, es decir, de la naturaleza de las condiciones que la misma impone. Veremos que, dado su carácter puramente sintáctico, ciertas reglas gozan de esa transparencia. La indubitabilidad, en cambio, de su legitimidad, podría derivar de la evidencia respecto a la transmisión necesaria de la verdad de las premisas a la conclusión obtenida por aplicación de la misma. Es decir, la satisfacción de la exigencia de consecuencia lógica. Esta explicación obviamente supone una cierta reducción de este segundo criterio de corrección al primero y, en ese sentido, la noción intuitiva de consecuencia lógica posee una especie de primacía respecto de esta noción de argumento idealmente justificado. Tal atribución a la noción intuitiva semántica de un carácter básico y fundamental seguramente no resultará unánimemente aceptada. Esta concepción debe entenderse que funciona como un presupuesto conceptual de la estructura y motivación generales de este libro pero no afecta el contenido técnico del mismo (que, naturalmente, es el estándar). Asumida esta articulación entre ambas concepciones intuitivas, cabe preguntarse cómo rigorizar o formalizar esta noción de argumento idealmente justificado. La respuesta será el concepto de sistema deductivo (también hablaremos de sistema deductivo formal o, brevemente expresado, sistema formal).

Antes de desarrollar un sistema deductivo en particular, ofreceremos una aproximación intuitiva a la tarea que aspiramos realicen tales sistemas. La idea más básica y general es que pretendemos que estos sistemas nos permitan deducir o probar ciertas relaciones entre fórmulas o, en algunos casos, ciertas fórmulas. Dicho de otra forma, procuramos que tales sistemas sean capaces de representar, en nuestro lenguaje formal proposicional, la trama argumentativa justificadora que, partiendo de las premisas, permite arribar a la conclusión. O, aún puesto de otro modo, esperamos, a través de estos sistemas, rigorizar o formalizar la tarea justificadora encarnada en los pasos del segundo modelo argumental. Si retomamos uno de nuestros ejemplos favoritos, un sistema adecuado debiera ser capaz de permitirnos probar la corrección (intuitivamente obvia) del argumento que tiene como premisas los enunciados: Si Juana es sirena, entonces es cantautora Juana es sirena y como conclusión el enunciado: Juana es cantautora


Sistemas deductivos: nociones generales

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Es decir, a partir de: (A1→A2) A1 debo poder demostrar: A2 O, variando un tanto de perspectiva, aspiraríamos a poder probar la fórmula: (((A1→A2)∧A1)→A2) Cuál de estas dos modalidades se privilegia (enfocar el esquema argumental, enfocar la fórmula) al estudiar la cuestión de su evaluación lógica quizá pueda sugerir distintos tipos de sistemas deductivos.61 La primera perspectiva demanda un conjunto de reglas —denominadas «reglas de inferencia»— que determinan qué puede concluirse a partir de determinadas premisas. Un sistema inspirado en este modo de enfocar el problema consistiría –rudamente hablando— en un tal elenco de reglas de inferencia. Una prueba o demostración en un sistema de este tipo luciría, básicamente, así: 1

(A1→A2)

premisa

2

premisa

3

A1 ...

... n

... A2

{

pasos justificados por reglas


Las reglas de inferencia se aplicarían a las premisas y se extraerían ciertas conclusiones que se podrían usar como premisas para nuevas aplicaciones de las reglas y así sucesivamente hasta llegar a la conclusión pretendida en un número finito de pasos. Tales sistemas se suelen llamar sistemas de deducción natural. Es evidente que tales sistemas parecen capturar de forma perspicua la idea de cadena de justificación de la conclusión a partir de las premisas, aludida en el concepto intuitivo de argumento idealmente justificado. En las características de las reglas de inferencia escogidas recaerá (por lo menos, en forma sustancial aunque quizá no exclusiva) la responsabilidad de asegurarnos la auto-evidencia requerida por dicho concepto.62

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61 La relación entre tales «tipos» y las variedades al interior de cada uno de ellos excede los propósitos de este libro. 62 Un sistema de deducción natural puede contar con axiomas, además de reglas de inferencia. Por otra parte en un cálculo de secuentes y aunque tal sistema es caracterizado por un conjunto de reglas de inferencia, las pruebas no lucen exactamente como la que aquí aparece. Se prefirió ofrecer un esquema general y, posteriormente, introducir los matices y las precisiones pertinentes, en virtud de consideraciones de índole didáctica.

Podría, atendiéndose al segundo modo de enfrentar la cuestión arriba planteada, construirse un sistema en el que se pudiera probar, directamente, la fórmula (((A1→A2)∧A1)→A2). En este caso el sistema contará con una serie de fórmulas iniciales (o esquemas de fórmulas) que serán aceptados como una suerte de «stock de verdades primitivas» –éstas no precisarán de demostración y podrán introducirse en cualquier «paso» de una prueba. En tal sistema se tendrá además algunas reglas de inferencia que operarán como en el caso anterior. Estas «verdades iniciales» se denominan axiomas y tales sistemas se denominan sistemas axiomáticos. Esta visión inicial de los sistemas axiomáticos ha sido abandonada por una concepción de los mismos donde el lenguaje en que se construyen es un lenguaje formal y, en consecuencia, los axiomas no son «verdades auto–evidentes» sino simplemente un cierto elenco de fórmulas ininterpretadas. Esta concepción subyace a los que denominaremos sistemas axiomáticos formales —un ejemplo de tal concepto se estudiará en este libro. Algunos autores han señalado el contraste entre la primera y la última concepción de los sistemas axiomáticos acentuando en la primera etapa la preocupación por la unificación y sistematización conceptual, y enfatizando en la segunda la búsqueda de una suerte de caracterización (vía definición implícita) de ciertos objetos matemáticos, en el talante de una concepción más general y abstracta de las matemáticas.63 Una prueba o demostración en un sistema axiomático formal luciría más o menos así:

k

(((A1→A2)∧A1)→A2)

{

pasos justificados por axiomas y reglas

Una idea importante a retener es que, en ambos casos, se trata de sistemas en los cuales la aplicación de las reglas es perfectamente decidible, es decir, alcanza con la inspección ocular para poder determinar si una fórmula es o no el resultado de la aplicación de una cierta regla a una o más fórmulas previas. También es perfectamente decidible si una cierta fórmula es o no un axioma (o una instancia de un axioma). Esto hace que las demostraciones sean decidibles, en el sentido siguiente: es posible recorrer las mismas y testear si han sido construidas respetando las exigencias del sistema. Esta es una característica especialmente importante de estos sistemas formales —como se ha dicho, basta la sola forma de las fórmulas involucradas para evaluar la corrección de los procedimientos. Por otra parte, el contraste que se ha sugerido entre «partir de premisas» (deducción natural) y no asumir tales supuestos (sistema axiomático) fue planteado en términos radicales para apreciar mejor la distinción entre los dos enfoques; como se verá luego, pueden demostrarse fórmulas sin partir de premisas en un sistema de

63 Una discusión de la evolución de las diversas concepciones de los sistemas axiomáticos puede leerse, por ejemplo, en Torretti (1993).


1 ...

105

deducción natural y pueden asumirse hipótesis en un sistema axiomático. No obstante, la diferencia de énfasis entre unos y otros sistemas es indudable.64 Una situación que no debe pasar inadvertida por el lector es que, intuitivamente, parecería que se tiene ahora —si el sistema deductivo se «comporta bien»— un modo alternativo de evaluar un argumento: si a partir de las premisas, mediante los recursos del sistema deductivo, puede inferirse o demostrarse la conclusión, entonces nos encontramos frente a un argumento correcto. Como se advierte la noción de sistema deductivo formal puede pensarse como la rigorización o formalización de las ideas involucradas en la noción pre–formal de argumento idealmente justificado. Así como se entendió la noción teórico–modélica de consecuencia como elucidación de la noción intuitiva de consecuencia lógica, veremos cómo, a partir de la construcción de sistemas deductivos formales, puede obtenerse la contrapartida elucidatoria de la noción pre–formal de argumento idealmente justificado. Esta última noción formal se explicitará más adelante. Se exponen a continuación un sistema axiomático y un sistema de deducción natural. El sistema axiomático es muy popular; es presentado en el clásico manual de E. Mendelson.65 No se le estudiará en detalle pues todo lo que se pretende es exponer brevemente la estructura de las teorías axiomáticas formales. Las razones para ello son, básicamente, de tipo histórico: es la forma axiomática la presentación clásica de los sistemas deductivos y la misma ha revelado un extraordinario potencial en el estudio de teorías deductivas. El sistema de deducción natural que se estudiará es también muy conocido; se trata de una ligera variante del presentado en el manual de B. Mates.66 Este último será el que usaremos en este curso para «probar» corrección lógica (en los lenguajes proposicionales primero y, agregándole algunas reglas, en los lenguajes de orden uno después).

Un sistema axiomático formal para el lenguaje proposicional


Antes de enfrentar brevemente el estudio de un sistema axiomático formal para el lenguaje proposicional, como se prometió, expondremos con cierto rigor qué se entiende, en general, por una teoría axiomática formal.67 En primer lugar, se exigirá que tal teoría se encuentre expresada en un lenguaje formal —en el sentido preciso del capítulo 3. Seguiremos denominando al conjunto de fórmulas, como en el capítulo 3, For.

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64 Quizá sea útil recordar que los sistemas de deducción natural aparecen mucho más naturalmente asociados a la concepción de la lógica como un conjunto de reglas de naturaleza meta–teórica (podríamos decir, lógica como «lógica subyacente» a diversas teorías) y los sistemas axiomáticos más próximos a una percepción de la lógica como teoría acerca de cierto tipo de «verdades», a saber, las «verdades lógicas». 65 Véase Mendelson (1987). 66 Véase Mates (1965). 67 En este punto así como en el sistema axiomático escogido —como se adelantó— se sigue Mendelson (ob. cit.).

En segundo lugar, se exigirá que se defina un subconjunto (no necesariamente finito) de fórmulas que constituirán los axiomas de la teoría y este conjunto debe ser decidible —denominemos «AXI» a este conjunto. Distinguiremos más adelante entre dos tipos de axiomas: los axiomas lógicos y los axiomas propios, específicos de cada teoría particular (por ejemplo, axiomas de grupos, cuerpos, orden, etc.). En el lenguaje proposicional solamente contaremos con axiomas lógicos. Más adelante, cuando sea enriquecido nuestro stock de axiomas lógicos, se ofrecerán también algunos ejemplos de teorías y allí el lector podrá apreciar nítidamente la diferencia entre los dos tipos de axiomas. En tercer lugar, existirá una serie —i∈I⊆Z+—68 de relaciones entre fórmulas denominadas reglas de inferencia. Lo que caracteriza estas relaciones es que, para cada Ri, existe uno y solo un j∈Z+ tal que, dada una fórmula j del lenguaje y un conjunto de j fórmulas del lenguaje, puede decidirse efectivamente si j es o no el resultado de aplicar Ri a las j fórmulas referidas. Luego se puede definir una función d: I→Z+ tal que para cada i∈I, da el j∈Z+ (que, intuitivamente, no es sino el número de «premisas» de la regla de inferencia). Cuando una fórmula j se obtiene por Ri de d(i) fórmulas particulares, diremos que j es consecuencia directa de las fórmulas referidas. Un concepto central que definiremos a continuación es el concepto de consecuencia teórico-demostrativa ( ‌‌‌). Este concepto puede pensarse, tal cual fue sugerido en la sección anterior, como contrapartida elucidatoria de la noción intuitiva de argumento idealmente justificado. Como se verá inmediatamente, tal concepto se apoya esencialmente en una cierta noción precisa de prueba o demostración. El estudio de las propiedades y características de estos objetos denominados «pruebas» será uno de los intereses fundamentales de la denominada teoría de la prueba o teoría de la demostración. Ahora ofrecemos meramente la definición del concepto prometido.

Consecuencia teórico-demostrativa Sea G un conjunto de fórmulas, sea j una fórmula. Se dirá que j es consecuencia teórico–demostrativa de G (se nota: G j) si y solo si hay una secuencia ϕ1, ϕ2,…,ϕn de fórmulas tales que ϕn≡j y, para cada k con 1≤k≤n, se tiene que a) ϕk∈AXI o b) ϕk∈G o c) ϕk es consecuencia directa por una regla Ri de δ(i) fórmulas que aparecen en la secuencia antes que ϕk. La secuencia ϕ1, ϕ2,…,ϕn se denomina una prueba o una demostración de j a partir de G; las fórmulas que pertenecen a G pueden denominarse premisas o hipótesis en esta demostración.

68 Como el lector recuerda, usamos «Z+» para referirnos a los números enteros positivos.


Definición

107

Teorema de la teoría axiomática Definición Si se tiene G j con G=∅, se dice que ϕ es un teorema de la teoría axiomática (se nota j ). Obsérvese que otro modo de caracterizar cuándo una fórmula j es un teorema es el siguiente: j es un teorema si existe una secuencia de fórmulas ϕ1, ϕ2,…, ϕk (k∈Z+) donde ϕk≡ϕ y para cada k (1≤k≤n) se tiene que se cumplen los casos a) o c) de la definición Consecuencia teórico–demostrativa. El caso b), es obvio, no puede darse ya que Γ es vacío. La relación de consecuencia teórico–demostrativa exhibe algunas propiedades del mayor interés conceptual. Estas son la monotonía, la compacidad y la transitividad. Podemos expresar las mismas de una forma muy clara —siendo Γ, Γ´y D subconjuntos de FOR(A) y ϕ, δ∈FOR(A): 1. (Monotonía) Si Γ⊆D y Γ ϕ entonces D ϕ. 2. (Compacidad) Si Γ ϕ, entonces existe Γ´⊆Γ siendo Γ´ finito tal que Γ´ ϕ. 3. (Transitividad) Si D ϕ y para todo δ∈D se tiene que Γ δ, entonces Γ ϕ.


Es fácil ver por qué se cumplen estas propiedades. La primera se sigue de la definición Consecuencia teórico–demostrativa ya que si existe una demostración de ϕ que usa exclusivamente aquellas fórmulas que se encuentran en D que pertenecen a Γ, se tiene una demostración de j a partir de D —obsérvese que no se exige en la definición Consecuencia teórico–demostrativa que se usen todas las fórmulas del conjunto de las premisas. La segunda propiedad se sigue también directamente de definición Consecuencia teórico–demostrativa: solo puede usarse un número finito de premisas ya que las pruebas son finitas y luego siempre puedo tomar como Γ´ el conjunto de las premisas efectivamente usadas en la prueba. La tercera propiedad se concluye —como en los casos anteriores— a partir de la definición Consecuencia teórico-demostrativa en forma muy simple: las fórmulas de D que se usan en la prueba de ϕ se siguen de Γ —ya que todas las fórmulas de D se siguen de Γ—luego puede usarse Γ como conjunto de premisas y derivar las fórmulas de D que se necesita para derivar ϕ y se obtiene así una prueba de ϕ a partir de Γ. Una vez definida en términos generales la noción de teoría axiomática formal la tarea será construir una teoría axiomática formal para el lenguaje o cálculo proposicional.

108

Teoría axiomática formal: el sistema M En esta sección se ofrece primero un enfoque intuitivo de los componentes de nuestra particular teoría axiomática formal y se estudia a continuación el sistema axiomático M para lenguajes proposicionales.

El primer aspecto a definir —en armonía con la definición de teoría axiomática formal expuesta en la sección anterior— es el lenguaje formal. Se ha dedicado un capítulo al estudio de la sintaxis de tal lenguaje formal de modo que no es necesario entrar en detalles aquí. Simplemente señalar que —como se sabe— no es necesario recoger todos los conectivos en el lenguaje para alcanzar el poder expresivo requerido. Basta definir, a partir de un conjunto adecuado de conectores todos los conectivos que se desee usar. Luego se asumirá un lenguaje formal que se construye igual que el antes estudiado, pero que solo cuenta con negación y condicional. El segundo paso consistirá en definir los axiomas. Los axiomas que se asumirán serán, en realidad, esquemas de axiomas. Es decir, se asumirán ciertos esquemas cuya sustitución por fórmulas de L serán propiamente axiomas. Estos esquemas (en adelante y por razones de comodidad expositiva se denominarán simplemente «axiomas») gobiernan o regulan, hablando intuitivamente, el comportamiento de los conectores negación y condicional. El tercer paso consistirá en definir las reglas de inferencia. La única regla de inferencia que asumiremos será el Modus Ponens. ¿Cuáles son las premisas sobre las que aplicamos tal regla? Pueden ser los propios axiomas o fórmulas que ya hemos previamente demostrado o fórmulas que asumimos como suposiciones o hipótesis. Las fórmulas (eventualmente) «nuevas» deducidas, si lo fueron a partir —exclusivamente— de los axiomas, se denominarán «teoremas». Ofrecida esta caracterización informal se presenta a continuación —en forma precisa— el sistema axiomático formal M prometido. En primer término presentaremos los axiomas de M. Sea A, B y C fórmulas de L,69 se tiene entonces los axiomas siguientes: A1. A→(B→A) A2. ((A→(B→C))→((A→B)→(A→C))) A3. (¬B→¬A)→((¬B→A)→B) En segundo término, la regla de inferencia: Modus Ponens. MP. Si se tiene A y A→B puede deducirse B.

Interdefinibilidad de conectores Definición Sean A, B∈For(A), entonces: a) (A∧B)≡def ¬(A→¬B) 69 Adviértase que si estamos pensando en esta teoría como «lógica subyacente» de un lenguaje de orden uno dado este «L» será, precisamente, tal lenguaje.


A los efectos de completar la exposición del sistema es conveniente explicitar cómo se introducen los conectivos conjunción, disyunción inclusiva y bicondicional:

109

b) (A∨B)≡def (¬A→B) c) (A↔B)≡def((A→B)∧(B→A)). Esto completa la presentación de axiomas y reglas de inferencia de M. Un tratamiento detallado de este sistema se encuentra en la obra ya citada de Mendelson.

Sistema de deducción natural: reglas de inferencia El sistema de deducción natural que presentaremos se debe básicamente, como se dijo, a Benson Mates. Es importante advertir que, al igual que en el caso del sistema axiomático arriba presentado, las pruebas son aquí secuencias de fórmulas del lenguaje proposicional. Es decir: 1. ϕ1 2. ϕ2 . . n ϕn —donde ϕ1, ϕ2,…,ϕn son fórmulas. El número que aparece a la izquierda seguido por un punto y luego por la fórmula lo denominaremos número de línea. Al igual que en el caso axiomático, escribimos la justificación de cada paso a la derecha: 1. ϕ1 2. ϕ2 . . n ϕn

justificación de 1 justificación de 2 justificación de n

Pero hay un aspecto importante a tener en cuenta: también aparecerá eventualmente a la izquierda del número de línea, flanqueado por llaves, ciertos números que denominaremos números de premisa. Cuáles serán tales números es algo que nos lo enseñarán nuestras reglas de inferencia. Por ello cuando estudiemos tales reglas podemos, a los efectos didácticos, «dividir» su contenido en a) cómo se comportan respecto de los números de premisa y b) cómo se comportan respecto de la o las fórmulas en cuestión. Describamos entonces dichas reglas de inferencia siguiendo esta observación.

Reglas de inferencia Universidad de la República

Introducción de premisas (P)

110

Intuitivamente, esta regla permite, en cualquier paso o «momento» de la prueba, introducir como premisa una fórmula. Es claro que las fórmulas que deduzca usando la fórmula introducida «dependerán» de este supuesto (si no logro eliminarlo por aplicación de alguna otra regla). Más formalmente, esta regla funciona así: a) Debo escribir como número de premisa el número de línea en que aplico la regla. Es decir,

Número de premisa .. .. .. . . . {n} n ϕj .. .. .. . . .

P

Número de línea

b) Puedo escribir en cualquier paso n, una fórmula ϕ cualesquiera.

Modus Ponens (MP) Intuitivamente, esta regla permite deducir el consecuente de un condicional, si poseo el condicional y su antecedente. Más formalmente, esta regla funciona así: a) Debo escribir como números de premisa en la línea en que aparece la aplicación de la regla, los números de premisas de las líneas correspondientes a las dos premisas de la regla (dado que ya indicamos con «flechas» número de línea y número de premisa en el caso de la regla anterior suponemos que el lector puede identificarlos fácilmente en esta y las próximas reglas): ..

..

..

{n}

n

ϕj

..

..

..

{a,j}

n+m

ϕj→ ϕk

..

..

..

{n,a,j} n+m+s

ϕk

MP n, n+m

b) Puedo introducir en una línea k, la fórmula ϕ si en líneas anteriores a k (es decir, líneas cuyo número de línea sea menor que k) tengo las fórmulas a y α→ϕ. Intuitivamente, si tengo un condicional puedo deducir otro condicional, que tenga como antecedente al consecuente negado del primero, y, como consecuente, el antecedente negado del primero. Formalmente: a) Debo escribir como números de premisas los números de premisas de la línea en que aparece la premisa a la cual aplico CP ..

..

..

{a,j}

n

ϕj→ ϕk

..

..

..

{a,j}

n+m

¬ϕk→¬ϕj

CP n


Contraposición (CP)

111

b) Puedo escribir en una línea k, α→ϕ si en una línea anterior a k tengo ¬ϕ→¬a.

Condicionalización (C) Intuitivamente, esta regla me permite, a los efectos de demostrar un condicional, introducir el antecedente del mismo como premisa o supuesto y cuando demuestro el consecuente, puedo escribir el condicional y «liberar» a tal condicional de la dependencia de la premisa o del supuesto antes introducido. Formalmente: a) Los números de premisa serán todos los números de premisa de la línea en que ocurre ϕ, excepto (si es conveniente a los efectos de la prueba) el número de línea de a (cuando el condicional que introduzco por la regla es α→ϕ). Un uso habitual de esta regla lo ejemplifica el caso siguiente .. {n} ..

.. n ..

.. ϕk ..

{a,j,n} n+m ϕj {a,j} n+m+1 ϕk→ ϕj

P

C n+m

b) Puedo introducir en un paso k, α→ϕ, si en una línea anterior a k aparece ϕ. Es importante notar que esta regla permite eliminar la dependencia de la conclusión de una premisa, a saber, la correspondiente al antecedente del condicional demostrado. Así entre los números de premisa de la línea n+m+1 no aparece n, tal como aparece en los números de premisa de la línea n+m. Podemos decir que en la justificación de la línea n+m+1, n ha sido eliminada.

Intercambio definicional (D)


Esta regla permite introducir los conectores disyunción inclusiva, conjunción y bicondicional. Su formulación reproduce la definición Interdefinibilidad de conectores. Respecto de los números de premisa, la línea en que aparece la fórmula introducida deberá poseer los números de línea de la fórmula que funciona como premisa.

112

La noción de demostración o prueba aquí es análoga a la definida en el caso del sistema axiomático arriba estudiado —como es obvio, tal noción se encuentra determinada por las reglas de inferencia propias del sistema de deducción natural descripto. Una prueba de ϕ a partir de Γ es una prueba en la que ϕ ocurre en la última línea de la misma y los números de premisas de esa línea son un subconjunto del conjunto de números de línea de los enunciados que pertenecen a Γ. Una fórmula ϕ es demostrable a partir de Γ si existe una prueba de ϕ a partir de Γ. Si ϕ es demostrable a partir del conjunto vacío de fórmulas, se dice que ϕ es un teorema (del lenguaje proposicional).

Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas Podemos demostrar, dado un esquema argumental del lenguaje proposicional, si es correcto o no de acuerdo a nuestro sistema de reglas. Pero al hacerlo podemos entender que estamos demostrando, por así decirlo, una nueva regla de inferencia. Veamos un ejemplo muy simple. Supongamos que nos proponemos afirmar que A1→A3 es demostrable a partir de A1→A2 A2→A3.70 Luego podríamos exhibir la siguiente prueba en nuestro sistema de deducción natural: {1} {2} {3} {1,3} {1,2,3} {1,2}

1 2 3 4 5 6

A1→A2 A2→A3 A1 A2 A3 A1→A3

P P P MP 1,3 MP 2,4 C5

Es evidente que podemos extraer de aquí una nueva regla (podríamos bautizarla: RTC, regla de la transitividad del condicional): A→B B→C A→C Veamos otro ejemplo. Pensémosle directamente como regla:

{1} {2} {1} {1,2}

1 2 3 4

¬A→¬B B B→A A

P P C P1 MP 3,2

70 Cuando no peligre la univocidad, nos ahorraremos los paréntesis.


¬A→¬B B A

113

El lector seguramente ya advirtió que esta nueva regla se trata de una forma de Modus Tollens. Como se ha dicho, este sistema es básicamente el que introduce Mates en «Lógica matemática elemental». Un tratamiento detallado se encuentra pues en dicha obra, aunque en las secciones siguientes ofreceremos una discusión didáctica a los efectos de elaborar demostraciones en el mismo.

Estrategias demostrativas y reglas derivadas: ideas generales La construcción de demostraciones en el sistema deductivo presentado en la última sección puede resultar algo dificultosa si solamente nos restringimos al uso de sus reglas primitivas o básicas, es decir, C, MP, CP, ID. Para facilitar dicha construcción resultan especialmente útiles reglas que podemos denominar derivadas; a diferencia de las básicas, éstas poseen una prueba o demostración de su corrección, en el sistema, esto es, podemos mostrar, usando las reglas básicas, su buen comportamiento. Las reglas que presentaremos pueden dividirse en dos categorías: reglas que permiten, por así decirlo, idear una estrategia demostrativa y reglas que permiten explotar la información que ya poseemos. Esta clasificación posee solo un interés didáctico. Dada una fórmula ϕ, decimos que ϕ’ es una instancia de sustitución de ϕ si se obtiene sustituyendo letras de enunciados de ϕ por fórmulas del lenguaje proposicional uniformemente, esto es, si sustituyo Ai de ϕ por la fórmula g, entonces todas las veces que aparece Ai en ϕ deberá aparecer g en ϕ’. Empecemos entonces presentando dos reglas generales muy útiles71 del segundo tipo:

Introducción de teoremas (TEO) Toda instancia de sustitución de un teorema puede introducirse en cualquier línea de una prueba; como conjunto de números de premisa de tal línea se tiene ∅. Ejemplo: Supongamos que he demostrado el siguiente teorema A1→(¬A1→A2)


En una línea o paso cualquiera de una prueba puedo introducir una instancia de sustitución de este teorema. Por ejemplo,

114

.. ∅ ..

.. n ..

(A1→A2)→(¬(A1→A2)→A5)

TEO

71 Seguimos en la formulación y exposición de estas dos reglas a Mates (1965).

Reemplazo de fórmulas equivalentes (RE) Supongamos que se tiene como teorema d↔d’. Supongamos que en una línea anterior de una prueba se tiene demostrada la fórmula ϕ. Esta regla le autoriza a escribir ϕ’, donde ϕ’ surge de reemplazar en ϕ una (o más) ocurrencia(s) de d por d’; el conjunto de números de premisa de ϕ’ es obviamente el de ϕ. Ejemplo: Sabemos que es un teorema (y cualquier instancia de sustitución del mismo): A2↔¬¬A2 Luego podemos remplazar A2 por ¬¬A2: .. {a,b} ..

.. k ..

{a,b} ..

n ..

(A1→A21)→¬ (A1→A2) (A1→A21)→¬ (A1→¬¬A2)

.. RE en k

Podemos ahora intentar sistematizar estrategias de prueba que le orienten en la elaboración de demostraciones; la discusión de tales estrategias es una excelente oportunidad para presentar algunas reglas derivadas del primer tipo. La situación planteada en sus términos más generales es la siguiente: ¿cómo demostrar ϕ a partir de G? —donde j es una fórmula y G un conjunto de fórmulas. O, puesto de un modo más gráfico, donde γ1, γ2, …, γk pertenecen a G, es decir, son las premisas de nuestro problema y ϕ es la conclusión pretendida de las mismas: 1 2

k

γ1 γ2

γk

P P .. .. P .. .. ..

k+n ϕ

{

G, premisas

¿? Conclusión


{1} {2}

115

Podríamos identificar básicamente dos estrategias muy generales para la búsqueda de las fórmulas llamadas a «llenar» los puntos suspensivos que constituyen el corazón de la prueba pretendida. Por una parte, una estrategia descendente que consiste en intentar explotar las posibilidades que brindan nuestras premisas y, sucesivamente, cada nuevo paso demostrativo, hasta llegar a la conclusión. Las reglas con subíndice 1 (RC1, RD1 y, por supuesto, MP) que discutiremos a continuación son especialmente útiles en tal alternativa. Por otra parte, una estrategia ascendente que procura indagar primero qué fórmulas me permitirían deducir la conclusión y luego, sucesivamente, cada una de las fórmulas a las que voy reduciendo el problema de la prueba, hasta desembocar en las premisas. Las reglas con subíndice 2 (RC2, RD2) y por supuesto P, son especialmente útiles aquí. Pero, como resultará evidente, puede convenir apelar a unas y a otras en forma variada y también combinar ambas estrategias. Estas orientaciones poseen exclusivamente una finalidad heurística. Gráficamente podemos imaginar la situación así: {1} {2}

1 2

γ1 γ2

descendente k

γk

P P .. ..

ascendente P

.. .. ..

{1,2,…,k} k+n ϕ Apoyándonos en este marco general, en la próxima sección discutiremos ideas específicas relacionadas con los diferentes tipos de premisas y conclusiones.

Estrategias demostrativas, conectores, reglas derivadas y teoremas Tanto premisas como conclusión son fórmulas del lenguaje proposicional y luego cada una de ellas posee un conector principal. Dividamos nuestro estudio atendiendo al mismo.


Condicional

116

Supongamos que se pretende demostrar una fórmula condicional como conclusión, es decir, la fórmula que esperamos demostrar (que no tenemos demostrada o asumida) posee, como conector principal, el condicional. La estrategia sugerida es la ínsita en la regla C: asuma el antecedente (introduciendo tal fórmula por P), demuestre el consecuente y aplique la regla C (que, como se recuerda, le permite cancelar la suposición del antecedente). Un ejemplo de esta estrategia lo constituye la primera

prueba de la sección Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas. Deseamos demostrar A1→A3, para hacerlo suponemos A1 (por P, en el paso 3) y llegamos a A3 (en el paso 5 y dependiendo de las premisas 1,2 y 3), luego, en el paso 6, aplicamos C y cancelamos la dependencia de la premisa 3, es decir, eliminamos la dependencia de la suposición del antecedente. Advierta el uso múltiple de la misma estrategia en la siguiente prueba —«tachamos», con fines didácticos, el número de premisa eliminado en el paso correspondiente: {1} {2} {3} {1,3} {1,2,3} {1,2,3} = {1,2} {1,2} = {1} {1} = ∅

1 2 3 4 5 6 7 8

A→ (B→C) B A B→C C A→C B→(A→C) (A→ (B→C))→(B→(A→C))

P P P MP 1,3 MP 4,2 C5 C6 C7

Supongamos ahora que se tiene una premisa cuyo conector principal es un condicional. Imaginar cómo explotar esta especificidad estructural de la misma querrá decir considerar las diversas consecuencias que ésta implica a la luz de las reglas que, partiendo de fórmulas condicionales, permiten arribar a nuevas fórmulas. El ejemplo paradigmático aquí es MP. Siempre que tenemos en juego negación y condicional la regla obvia es CP. Pero, en general, existen diversas reglas derivadas que pueden resultar muy útiles en la explotación de fórmulas condicionales:

Regla de transitividad del condicional (RTC) A→B B→C A→C

MT1 A→B ¬B ¬A

MT2 ¬ A→¬B B A

MT3 ¬ A→B ¬B A

MT4 A→¬B B ¬A

Como en casos anteriores, el conjunto de números de premisa de la conclusión es la unión de los conjuntos de números de premisa de las premisas usadas en la regla. Pueden obtenerse obviamente pruebas de estas reglas a partir de nuestras reglas básicas —por ejemplo, respecto de MT2 la prueba discurre como vimos en la


Modus Tollens (MT)

117

sección Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas. Asimismo resultan útiles teoremas como T1. A→A T2. ((A→(B→C))→(B→(A→C)))72

Negación Supongamos que se tiene una fórmula negada como conclusión, es decir, la fórmula que pretendemos demostrar (que no tenemos demostrada o asumida) posee, como conector principal, la negación. Una estrategia especialmente importante es la de las demostraciones por absurdo (sobre la cual discutimos, en términos informales, en el capítulo 1). Una forma de formalizar la misma que puede resultar útil es la siguiente: (Abs.) A→B A→¬B ¬A Como en los casos anteriores, el conjunto de números de premisa de la conclusión es la unión de los conjuntos de números de premisa de las premisas usadas en la regla. El objetivo es demostrar ¬A. El mismo puede dividirse en tres etapas. Primero, podemos suponer A (por P) demostrar B y luego, por C, obtener A→B (adviértase que eliminamos como número de premisa el número de línea de A i.e. cancelamos la suposición). Segundo, podemos suponer A (por P) demostrar ¬B y luego, por C, obtener A→¬B (adviértase que, nuevamente, eliminamos como número de premisa el número de línea de A i.e. cancelamos la suposición). Tercero, por Abs, tenemos ¬A. Ejemplificaremos su uso, probando


A1→A2 A2→¬(A3→¬A4) A1→(A4→¬A3) ¬A1

118

{1} {2} {3} {4} {1,4}

1 2 3 4 5

A1→A2 A2→¬(A3→¬A4) A1→(A4→¬A3) A1 A2

P P P P MP 1,4

72 Este teorema fue demostrado en la página anterior.

suposición

{1,2,4}

6 ¬(A3→¬A4)

{1,2,4} = {1,2}

7 A1→¬(A3→¬A4) C 6

{8} {3,8} {3,8} {3,8} {1,2,3}

= {3}

MP 2,5

8 A1 9 A4→¬A3 10 A3→¬A4

P MP 3,8 CP3* 9

11 A1→(A3→¬A4)

C 10

12 ¬A1

elimina supuesto, premisa 1 de Abs. supuesto

elimina supuesto, premisa 2 de Abs. Abs. 7,11 conclusión de Abs.

*La regla CP3 se presenta a continuación

Es evidente que esta no es la única manera de obtener demostraciones por absurdo. No obstante, la idea aquí es ofrecer una estrategia suficientemente general e intuitiva que facilite la elaboración de pruebas. La preocupación por la elegancia en las demostraciones en general es posterior a la comprensión y elaboración de las estrategias más «básicas» —por ello hemos preferido enfatizar la estrategia y no ofrecer una prueba más breve.73 Supongamos ahora que se tiene una premisa cuyo conector principal es una negación. Explotar esta especificidad estructural de la misma querrá decir considerar las reglas que, a partir de fórmulas en que ocurre la negación, nos permiten arribar a nuevas fórmulas. Cuando pensamos en las reglas básicas, hay una sola opción: CP. Las reglas MT1, MT2, MT3 y MT4 son también de amplísimo uso así como estas variantes de CP (que queda ahora incluida, en esta formulación, en CP1): CP1 A→B ¬B→¬A

CP2 ¬ A→B ¬B→A

CP3 A→¬B B→¬A

T3. A→(¬A→B) T4. ¬A→(A→B) T5. ¬¬A→A T6. A→¬¬A

73 Por ejemplo, podríamos haber usado RTC en 1 y 2 y así obtener directamente el condicional deseado.


Uso la doble barra para indicar que puede leerse la regla en las dos direcciones (descendente como es habitual y también ascendente). Como en casos anteriores, el conjunto de números de premisa de la conclusión es el conjunto de números de premisa de la premisa usada en la regla. Existen asimismo otros teoremas de gran utilidad:

119

Ejemplos de aplicación de estas alternativas se encuentran en el segundo ejemplo de prueba de la sección Sistema de deducción natural: ejemplos de pruebas.

Conjunción Supongamos que se espera probar como conclusión una fórmula cuyo conector principal es la conjunción. La regla estructuralmente paradigmática es RC1. Es decir, si debo probar una conjunción tengo que probar las fórmulas conectadas por ella. Esto es RC1 A B A∧B El conjunto de números de premisa de la conclusión (de la regla) es la unión de los conjuntos de números de premisa de ambas premisas de la regla. Supongamos que se tiene ahora una premisa cuyo conector principal es una conjunción. Explotar esta premisa (desde el punto de vista estructural) querrá decir, como en los casos anteriores, extraer nuevas fórmulas a partir de ella. La regla paradigmática aquí es RC2. RC2 A∧B A

A∧B B

El conjunto de números de premisa de la conclusión de la regla es el de la premisa de la misma. Ejemplo: Estas reglas son muy sencillas como lo permite apreciar el siguiente ejemplo. Supongamos que se desea demostrar: A1→(A4∧A5) A partir de las premisas:


A1→(A2∧A3) A2→A4 A3→A5

120

He aquí la prueba: {1} {2} {3} {4}

1 2 3 4

A1→(A2∧A3) A2→A4 A3→A5 A1

P P P P

{1,4} 5 A2∧A3 {1,4} 6 A2 {1,2,4} 7 A4 {1,4} 8 A3 {1,3,4} 9 A5 {1,2,3,4} 10 A4∧ A5 {1,2,3} 11 A1→(A4∧A5)

MP 1,4 conjunción como premisa RC2 5 MP 2,6 RC2 5 MP 3,8 RC1 7,9 conjunción como conclusión C 10

Disyunción inclusiva Supongamos que se espera probar como conclusión una fórmula cuyo conector principal es la disyunción inclusiva. La regla estructuralmente paradigmática es RD1. Es decir, si debo probar una disyunción inclusiva me alcanza con probar una de las fórmulas conectadas por ella. Esto es: RD1 A A∨B

B A∨B

RD2 A∨B A→C B→C C El conjunto de números de premisa de la conclusión de la regla es la unión de los conjuntos de premisa de las premisas de la regla.


El conjunto de números de premisa de la conclusión (de la regla) es la unión del conjunto de números de premisa de ambas premisas de la regla. Supongamos que se tiene ahora una premisa cuyo conector principal es una disyunción inclusiva. Explotar esta premisa (desde el punto de vista estructural) querrá decir, como en los casos anteriores, extraer nuevas fórmulas a partir de ella. La regla paradigmática aquí es RD2. Esta regla puede resultar quizá un poco menos intuitiva que la regla correspondiente de la conjunción. La razón es que cuando tenemos una disyunción inclusiva verdadera A∨B no podemos saber si es verdadera exclusivamente porque A es verdadera o exclusivamente porque B es verdadera o porque ambas son verdaderas. Todo lo que sabemos es que al menos una de las fórmulas componentes es verdadera. Luego no podemos aseverar A ni podemos aseverar B sin más. Así lo que esta regla explota es la idea de que, sea A o sea B verdadera, C tendrá que serlo si ella es implicada tanto por A como por B. La regla puede expresarse así

121

La idea más importante aquí es advertir que la estrategia inducida por RD2 consiste en, dada la disyunción A∨B (primera premisa de la regla), suponer A como premisa y demostrar una cierta fórmula C y luego condicionalizar (así obtener la segunda premisa de la regla). Entonces suponer B como premisa, demostrar C y luego condicionalizar (y así obtener la tercera premisa de la regla). Finalmente aplicar la regla y obtener C. Como será evidente en el ejemplo debemos escoger C de modo que nos proporcione la conclusión o nos acerque a la misma. Ejemplo: Supongamos que se quiere demostrar que: A1→(A4∨A5) es consecuencia lógica de las premisas: A1→(A2∨A3) A2→A4 A3→A5 He aquí la prueba:


{1} {2} {3} {4} {1,4} {6} {2,6} {2,6} {2} {10} {3,10} {3,10} {3} {1,2,3,4} {1,2,3}

122

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A1→(A2∨A3) A2→A4 A3→A5 A1 A2∨A3 A2 A4 A4∨A5 A2→(A4∨A5) A3 A5 A4∨ A5 A3→(A4∨ A5) A4∨ A5 A1→(A4∨ A5)

P P P P MP 1,4 P MP 2,6 RD1 7 C8 P MP 3,10 RD1 11 C 12 RD2 5,9,13 C 14

1.a premisa RD2

2.a premisa RD2

3.a premisa RD2 conclusión RD2

Hemos acentuado la aplicación de RD2 por resultar algo más compleja. Observaciones pedagógicas análogas a partir de reglas similares pueden desarrollarse para los conectivos restantes. Pero a partir de éstas que hemos ofrecido el trabajo de construcción de pruebas ya se torna mucho más accesible. El lector puede continuar estableciendo reglas derivadas y estrategias asociadas a las mismas. Asimismo dejamos como tarea para el lector la justificación de aquellas reglas derivadas que hemos dado y que no hemos demostrado.

Problemas y tareas 1. Leer las siguientes pruebas incompletas. Completar las mismas agregando fórmulas, justificaciones y conjuntos de números de premisa que faltan. a) {(A1→A2), (A1→A3), ((A2∧A3)→A4)} (A1→A4) {1} {2} {3} {4}

{1,2,3}

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A1→A2 P A1→A3 P (A2∧A3)→A4 A1 A2 MP A3 RC1 5,6 A4 → C8

b) {(A1→(A2∧A3)), (A2→A4), (A3→A5), ((A4∧A5)→A6)} (A1→(A6∨A7)) {1} {2} {3} {4}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

P P P A2∧A3

A5 A6 A1→

RC2 MP RD1 C


2. Demuestre las reglas derivadas ofrecidas en la sección Estrategias demostrativas, reglas derivadas y teoremas: conectores.

123

3. Demuestre: a. {(A1→(A2∧A3)), (¬A4 →¬A2), (A5→¬A3), ((A4∧¬A5)→A6)}

(A1→(A6∨A7))

b. {(A1→(A2∨A3)), (¬A4 →¬A2), (A5→¬A3), ((A4∨¬A5)→A6)}

(A1→(A6∨A7))

c. {(A1→(¬A2∧A3)), (¬A4 →A2), ((A4∨A5) →¬A6), (A3→(¬A6→A7))} d. {(A1∨A2), (A1→(A3→A4)), (A5→(A2→A4)), (A3∧A5), (¬A6→¬A4)} e. {(A1→(¬A2∧¬A3)), (A4→A2), (¬A3→¬A5)}

(A1→A7) A6

(A1→(¬A4∧¬A5))

f. {(A1→(¬A2∨¬A3)), (A4→A2), (¬A3→¬A4) , (¬A4→¬A5), (A1→A5)}

¬A1

g. {(A1→¬A2), (A1→A3), (¬(¬A3∨A2)→¬A4) , (¬A4→¬A5), (A1→A5)}

¬A1

4. Construya variantes de los ejercicios propuestos en 3. Por ejemplo, sustituyendo premisas por fórmulas equivalentes a las mismas o intentando preservar las relaciones lógicas modificando los símbolos de negación.

Síntesis


Los desarrollos de este capítulo encuentran una importante motivación en el denominado Modelo 2. Si evaluar un argumento quiere decir (cuando se piensa en el Modelo 1) determinar si la conclusión es consecuencia teórico-modélica (es decir, consecuencia lógica) de las premisas, aquí podría pensarse que evaluar quiere decir determinar si la conclusión se deduce de las premisas —es decir, si existe un argumento idealmente justificado que legitime la conclusión a partir de las premisas. Para formalizar esta última noción se construyeron dos sistemas deductivos: un sistema axiomático y un sistema de deducción natural. En cualquiera de los dos casos se ha pretendido capturar la noción intuitiva de argumento idealmente justificado mediante la noción técnica, formal, de prueba o demostración74—i.e. el concepto de consecuencia teórico-demostrativa. Podríamos preguntarnos cuál es la relación entre nuestra noción de consecuencia teórico-modélica ( ) y la noción de consecuencia teórico—demostrativa ( ). La respuesta es que, en el caso del lenguaje proposicional, son coextensionales. Este resultado suele dividirse en los dos teoremas siguientes:

124

Teorema de corrección: Si Γ ϕ entonces Γ ϕ

Teorema de completud: Si Γ ϕ entonces Γ ϕ

Luego, el teorema de corrección nos asegura que si ϕ puede deducirse de Γ entonces eso quiere decir que ϕ es consecuencia teórico-modélica de Γ. El teorema de

74 Por razones de claridad expositiva, se ha preferido incluir ambos tipos de sistema en un mismo esfuerzo elucidatorio; existen, no obstante, diferencias interesantes entre uno y otro en este punto.

75 Sobre algunos problemas conceptuales vinculados a estos teoremas volveremos más adelante en este libro cuando estudiemos el caso de los lenguajes de orden uno.


completud, por su parte, nos enseña que si ϕ es consecuencia teórico–modélica de Γ entonces habrá una deducción en el sistema deductivo de ϕ a partir de Γ.75 Una pregunta en extremo natural que surge es la siguiente: ¿hemos caracterizado plenariamente los argumentos lógicamente correctos? Sabemos que si podemos mostrar que un argumento es válido mediante la tautologicidad de la fórmula asociada al mismo o usando los recursos de alguno de los sistemas deductivos estudiados en este capítulo, tal argumento es, desde el punto de vista intuitivo, lógicamente correcto. Pero, todo argumento lógicamente correcto (desde el punto de vista intuitivo) ¿posee una prueba en estos sistemas deductivos o su fórmula asociada es tautológica? Otra forma de plantear esta cuestión podría ser la siguiente: ¿corrección lógica argumental (intuitiva) y tautologicidad de la fórmula proposicional asociada son dos conceptos extensionalmente idénticos? O ¿corrección lógica argumental (intuitiva) y demostrabilidad en uno de estos sistemas deductivos son dos conceptos extensionalmente idénticos? La respuesta a este problema se ofrece en el capítulo siguiente.

125

Capítulo 6

Lenguajes de orden uno: sintaxis Introducción La cuestión planteada al final del capítulo anterior —¿son suficientes los recursos del lenguaje proposicional para capturar la estructura de cualquier argumentación deductiva?— puede sospecharse que merece una respuesta negativa. Una razón intuitiva para tal sospecha consiste en la extrema pobreza de recursos que exhibe el lenguaje proposicional: argumentaciones paradigmáticamente deductivas —como las pruebas matemáticas— parecen exigir, a los efectos de desarrollar un análisis adecuado de las mismas, un lenguaje más rico desde el punto de vista expresivo. Si se deseara mostrar tal insuficiencia del lenguaje formal estudiado (es decir, el lenguaje proposicional), una estrategia razonable podría ser evidenciar el desacuerdo entre nuestro concepto pre–formal de consecuencia lógica y el concepto formal encarnado en dicho lenguaje. Podría así procurase una argumentación que, por una parte, se admita como deductiva (es decir, que, desde el punto de vista intuitivo, pre-formal, consideramos que su conclusión se sigue lógicamente de las premisas) pero, por otra, cuya corrección no sea posible capturar, usando —exclusivamente— el lenguaje proposicional (es decir, que, desde el punto de vista formal, es incorrecta). A veces se describe tal desacuerdo como una falla de subgeneración del concepto formal respecto del concepto pre-formal: el primero no logra «generar» todas las instancias que, desde el punto de vista informal, cabe esperar. Tómese como punto de partida, un ejemplo que, a pesar de su rampante originalidad, puede resultar convincente:

Parece difícilmente discutible el carácter deductivo de a), si se aceptan las premisas, no hay posibilidad de rechazar la conclusión. El carácter necesario de la transmisión de la verdad de premisas a conclusión parece evidente; desde el punto de vista informal, no parece caber duda alguna que no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Esta imposibilidad no depende de que se hable de Sócrates y de su condición de mortal: si sostuviéramos que todos los hombres son, por ejemplo, inmortales, y aceptáramos la humanidad de Sócrates, no nos cabría otra alternativa que aceptar la inmortalidad del filósofo.


a) Todos los hombres son mortales Sócrates es hombre Sócrates es mortal

127

Si se decide «traducir» la estructura de a) con los recursos del lenguaje proposicional, la fórmula que podemos obtener luciría —salvo variaciones que no son esenciales en la elección de letras proposicionales— del modo siguiente: b) (A1∧A2)→A3 Es obvio que b) no es una tautología: cuando el valor de A1 y A2 es V y el valor de A3 es F, b) es F. Luego, pareciera que se ha logrado mostrar que la respuesta correcta a la pregunta planteada al final del capítulo anterior es, como se sospechaba, negativa. Podríamos decir entonces que el concepto formal (en el lenguaje proposicional) subgenera. La otra alternativa sería abandonar la idea de que a) es una argumentación deductiva, lo cual por las razones ya señaladas (y por las que se verán luego) es una opción equivocada. Estas observaciones cierran una cuestión, pero abren, inmediatamente, otra: ¿cómo perfeccionar la teoría lógica, para que sea capaz de dar cuenta de argumentaciones deductivas del tipo de a)?

Problemas y tareas 1. El argumento a) revela límites particulares del lenguaje proposicional para captar nuestras intuiciones lógicas. Construya nuevos ejemplos argumentales que evidencien tales límites. 2. Considere el siguiente argumento: Todos los gatos son pardos. Algunos animales son gatos. Algunos animales son pardos. Desde el punto de vista intuitivo, ¿este argumento es lógicamente correcto? ¿Es la traducción proposicional del mismo una tautología? ¿Cómo justificaría la corrección lógica intuitiva de este argumento?


La «ampliación» del lenguaje

128

La respuesta a la pregunta de arriba acerca de cómo perfeccionar la teoría lógica es muy intuitiva: ampliando el lenguaje de tal modo que sea capaz de capturar las peculiaridades de esos tipos de estructuras deductivas. Para poder ampliar el lenguaje en ese sentido, primero deben analizarse, precisamente, esas peculiaridades. La primera constatación es que los rasgos estructurales que permiten identificar a a) como una argumentación deductiva no consisten, exclusivamente, en el modo como se conectan entre sí los enunciados atómicos —esto es, aquellos en los cuales no ocurren conectores. Tales rasgos estructurales deben ubicarse en el interior de esos

enunciados atómicos.76 Un primer intento de evidenciar la estructura de a) podría consistir en el esquema siguiente: c) Todo A es B Sócrates es A Sócrates es B Este esquema captura la idea de la irrelevancia de las propiedades atribuidas — ser hombre, ser mortal— a los efectos de la corrección lógica del argumento y esta observación auspicia el uso de A y B como, digamos, nombres de propiedades, los cuales pueden interpretarse arbitrariamente. El lector escéptico respecto de la independencia de la corrección argumental de la elección de propiedades particulares puede intentar algunas sustituciones para convencerse. En segundo término podría sugerirse que, en realidad, no importa si es Sócrates quién posee la propiedad A u otro individuo claramente identificado. Si en vez del nombre del célebre pensador colocáramos, por ejemplo, «Juanito», resulta evidente que nada importante, desde el punto de vista estructural, ha ocurrido. Ello sugiere que una mejor aproximación a la estructura de a) podría ser: d) Todo A es B a es A a es B —donde «a» indica que allí debe ir el nombre de un individuo. Es decir, si se sostiene que cualquier individuo que posee la propiedad A también posee la propiedad B y, además, se afirma que un cierto individuo a posee la propiedad A, entonces no se tiene otra alternativa sino admitir que ese individuo a, en particular, posee la propiedad B. Esta última aparece como una descripción satisfactoria de la estructura de a). Resulta obvio que, para poder transcribir tal formulación, no basta el lenguaje proposicional; en particular, no basta el reducido alfabeto del mismo. Puede pensarse aún en argumentos ligeramente más interesantes:

Al igual que el primer argumento, este último parece exhibir la doble condición de aquél: corrección lógica (desde el punto de vista intuitivo) e incorrección formal «proposicional».77 76 A veces se denomina al cálculo proposicional, «cálculo de las proposiciones inanalizadas» —véase, por ejemplo, Dopp (1969). Esta denominación pone de relieve el límite del lenguaje proposicional: la proposición o el enunciado atómico. 77 Quizá convenga advertir que funciona, como premisa implícita, que tanto 5 como 3 son enteros positivos.


e) Si un número entero positivo es mayor que otro entonces si se le resta el menor al mayor, el resultado es mayor que cero. Cinco es mayor que tres. Luego cinco menos tres es mayor que cero.

129


Alcanza un poco de reflexión para advertir que e) presenta también sus propios desafíos a un lenguaje formal que pretenda ser capaz de describir, desde un punto de vista lógico, su estructura: en tal lenguaje formal debería existir una «traducción» para, por ejemplo, «5 menos 3» y para «5 es mayor que 3». Resulta nuevamente evidente que, a los efectos de realizar tal tarea, el alfabeto del lenguaje proposicional es insuficiente. La alternativa consiste pues en la ampliación de dicho alfabeto y en la redefinición consiguiente del conjunto de cadenas de símbolos admisibles (i.e. del conjunto de las fórmulas); este nuevo lenguaje permitirá expresar propiedades lógicas más sofisticadas; a este estrato de la lógica se le suele denominar a veces cálculo de predicados o lógica de predicados. Podría construirse ahora un lenguaje para el cálculo predicativo como se hace en muchos manuales de lógica. Sin embargo —como se hace también en algunos otros— se optará por una alternativa algo diferente. La justificación de la misma es la siguiente. Como sabemos, uno de los objetivos de la lógica es la evaluación argumental. En particular, un contexto privilegiado del uso de la lógica es la evaluación de argumentos en el ámbito del conocimiento científico. Dicho conocimiento se suele expresar —aunque no exclusivamente— en un tipo especial de entidad, a saber, las teorías científicas. Las diversas teorías científicas —como es obvio— poseen lenguajes peculiares adecuados a sus respectivos objetos. Sin embargo, podría pensarse —o, si se prefiere, podría asumirse provisionalmente— que usan la misma lógica. En principio, se tiene de hecho un importante conjunto de teorías que toman, como lógica subyacente, precisamente la lógica de predicados —e) puede funcionar como un ejemplo intuitivo al respecto. Por ello, en lugar de estudiar el lenguaje del cálculo predicativo, por así decir, «aislado», nos ocuparemos de los lenguajes en que se formulan tales teorías y que poseen como «núcleo lógico» dicho cálculo. Estos lenguajes poseen un poder expresivo considerable. Por ello los mismos permiten formalizar importantes teorías deductivas. Cada teoría habla —eventualmente— de propiedades, relaciones, funciones e individuos específicos y, en consecuencia, exige una adaptación del lenguaje a sus necesidades expresivas particulares –si se piensa en e), por ejemplo, parecería que debiéramos contar en el lenguaje con «nombres» para objetos como 0, 3 y 5. Por ello, el lenguaje del cálculo de predicados tal cual se presentará aquí podría pensarse como el «lenguaje básico» al que, de acuerdo a las peculiaridades de la teoría en cuestión, se le agregarían los símbolos específicos correspondientes. Los lenguajes que formalizan dichas teorías y que cuentan con los recursos lógicos del cálculo de predicados se denominan lenguajes de orden uno.78 Esta situación sugiere el tratamiento del lenguaje de la lógica de predicados en el contexto de los lenguajes de orden uno; estudiaremos pues en lugar de un lenguaje específico, una clase de lenguajes que comparten el «núcleo lógico», a saber, los recursos del cálculo de predicados. Una aproximación informal a las categorías de símbolos de dicha clase de lenguajes se desarrolla en la sección siguiente. 78 Esta ordenación de los lenguajes depende —como se explicará más adelante— sobre qué tipo de variables es permitido cuantificar en los mismos: los de orden uno permiten cuantificar exclusivamente sobre variables de individuo.

El lenguaje79 que construiremos debe, en primer lugar, ser capaz de capturar las relaciones entre enunciados que se estudiaron en el capítulo anterior; en consecuencia, se debe poseer en el mismo un «stock» adecuado de conectores. Desde un punto de vista informal, el primer aspecto novedoso que se evidencia es la necesidad de contar en el nuevo lenguaje con recursos para representar propiedades (como «ser mortal») y relaciones (como «ser mayor que»). En tal lenguaje entonces es necesario que se pueda «referir» —en general— a propiedades y relaciones; las denominaremos, en este contexto, predicados. Una relación particularmente destacada será la igualdad y, por ello, se reserva un símbolo especial para la misma. Asimismo deberá poseer el alfabeto del lenguaje un modo de referirse a funciones (como, por ejemplo, la resta). Al igual que en el caso de las propiedades y relaciones, tendremos nombres para las mismas. A los efectos de referir a un individuo determinado «por su nombre» —como «Sócrates» o «5»— nuestro alfabeto deberá poseer nombres de individuo. Como el lector recuerda de la teoría de conjuntos, las relaciones y las funciones poseen aridad, es decir, pueden tratarse de relaciones (funciones) unarias, binarias, ternarias, etc. Lo mismo ocurrirá con nuestros predicados y funciones, por ello, sus nombres poseerán un subíndice que nos informará acerca de la aridad del predicado (función) en cuestión. Así, por ejemplo, podríamos contar en nuestro lenguaje con un símbolo, digamos, «H1» para denotar la propiedad de ser hombre; el subíndice indica que se trata de una propiedad o relación unaria. Podríamos también contar con un símbolo, digamos, «M2» para denotar la relación mayor; el subíndice nos informa que estamos ante una relación binaria. Si nuestro lenguaje contara con nombres para los objetos 5 y 3, por ejemplo, «c1» y «c2», podríamos escribir: M2c1c2 para expresar la premisa de e) que afirma que 5 es mayor que 3. Sin embargo, esta ampliación del alfabeto no es suficiente. A los efectos de captar las relaciones lógicas involucradas en los ejemplos d) y e), por ejemplo, resulta esencial que, en este lenguaje, pueda expresarse «todo» o «cualquier individuo». Para ello se utiliza un símbolo denominado cuantificador universal. Para expresar «existe al menos un individuo» se contará con un símbolo denominado cuantificador existencial. La importancia de estos operadores —llamados cuantificadores— puede ya sospecharse. La referencia a los individuos que se hace allí es a individuos que, podría decirse, permanecen indeterminados. Dicho de otro modo, tales individuos no son referidos «por sus nombres propios». Este efecto deseado se logra a través de variables de individuos. Antes de presentar formalmente el alfabeto y comenzar a estudiar estos nuevos lenguajes, mostramos cómo luce la estructura del argumento a)80 —donde «∀» es el 79 Para alivianar la exposición a veces se usará el singular. 80 No se trata —estrictamente— de una formalización con la notación que se estudiará a continuación pero su similitud es obvia y, además, más inmediatamente intuitiva.


Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista informal)

131

cuantificador universal, las «v» con subíndice son variables de individuo, las letras mayúsculas representan propiedades y la «c3» representa a Sócrates: ∀ν0(H1ν0→M1ν0) H1c3 M1c3 Se puede leer así: si se asume que para todo v0, si v0 tiene la propiedad H1 entonces tiene la propiedad M1 y el individuo c3 tiene la propiedad H1, entonces c3 tiene la propiedad M1. El lenguaje será caracterizado en detalle, desde un punto de vista sintáctico, en la próxima sección.

Lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal) El tratamiento que se desarrolla es general —tal como se anunció.81 Es decir, más que un alfabeto (de un lenguaje específico) se presentará un «esquema de alfabeto» y más que caracterizaciones del conjunto de fórmulas (de un lenguaje específico) se ofrecerá un «esquema de definición» de tal conjunto. En síntesis, se estudiará, en lugar de un lenguaje específico, una clase de lenguajes que comparten un «núcleo lógico»: el cálculo de predicados. Naturalmente, el objetivo final será, en buena medida, la comprensión de tal cálculo lógico.

Alfabeto Se describirá ahora —con generalidad— el alfabeto de un lenguaje de orden uno. Para hacerlo cabe distinguir entre dos subconjuntos de signos: los comunes a cualquier lenguaje de orden uno y los que varían de acuerdo a la teoría específica que se desea formalizar. Más rigurosamente: Sea ’= -{0}. El alfabeto de un lenguaje de orden uno es un conjunto de signos A que es la unión de dos subconjuntos: 1. el subconjunto de los signos comunes a todo lenguaje (de orden uno), constituido por:82 • un conjunto numerable de variables de individuo:

V={ν0,ν1,…,νn,…};

• los símbolos lógicos ya conocidos del cálculo proposicional (conectores):


132

¬,∨,∧,→,↔;

• los nuevos símbolos lógicos denominados cuantificadores:

∀, denominado cuantificador universal y

81 Seguimos aquí también la presentación de Cori y Lascar (1993). 82 Es obvio que, por ejemplo, dadas las observaciones respecto a la posibilidad de diversos conjuntos adecuados de conectivos, estrictamente esta no es la «parte común»; pero, desde el punto de vista de las categorías intervinientes, tal aseveración es correcta.

$, denominado cuantificador existencial;

• los símbolos de puntuación ya conocidos, a saber, los paréntesis: (,). 2. la parte del lenguaje que varía de acuerdo a la teoría que se pretende formalizar, compuesta por: • una secuencia de conjuntos con i∈N’, donde cada Ri es un conjunto de letras de predicado (o predicativas) de aridad i —es decir, símbolos de relación que «exigen» un número i de argumentos; usaremos superíndices para distinguir letras de predicado de la misma aridad, por ejemplo, R12, R22; • una secuencia de conjuntos con i∈N’, donde cada Fi es un conjunto de letras de función (o funcionales) de aridad i —es decir, símbolos de función que «exigen» un número i de argumentos; usaremos superíndices para distinguir letras de función de la misma aridad, por ejemplo, f13, f23; • un conjunto C de las constantes de individuo (o individuales) —usaremos subíndices eventualmente para distinguir los elementos de C, por ejemplo, c1,c2; • dada la importancia de la relación de igualdad, se usará un símbolo especial para designarla y es el siguiente: ≈. Se usará habitualmente las letras «R», «f» y «c» con subíndices y, eventualmente, superíndices, como, respectivamente, símbolos de relación, de función y constantes. El alfabeto de un lenguaje de primer orden en consecuencia queda definido una vez que se definen las secuencias de símbolos de relación y de función y puede caracterizarse así —con I⊆N’ y J⊆N’—:83

i∈I

Fi

⊃

Ri∪

⊃

A=V∪{(,),¬,∧,∨,→,↔,∀,∃}∪C∪

i∈J

Una cuestión obvia, que ya fue planteada respecto al lenguaje proposicional, consiste en si cualquier secuencia de símbolos se admitirá como legítima en este lenguaje formal. La previsible respuesta es: no. Luego deberá definirse —inductivamente, como se hizo en el caso anterior— qué cadenas son admisibles —i.e. son fórmulas. Pero, en este caso, tal tarea se realiza en dos etapas. La primer etapa consiste en resolver la cuestión de cómo pueden «nombrarse» los individuos en este lenguaje. La respuesta intuitiva es: mediante las constantes individuales y mediante las variables. Un lenguaje, por ejemplo, capaz de expresar la teoría aritmética sería útil que contara, entre sus constantes, con alguna que permitiese referir al cero. Pero parece muy obvio que, además de designar al cero «por su nombre», podemos designarle de otras maneras: por ejemplo, como el resultado de restar el sucesor de cero al sucesor de cero. Pareciera que las letras funcionales 83 En el caso de lenguajes con igualdad, se agrega «≈» a estos símbolos.


Términos

133

pueden pues contribuir también a generar «nombres» de individuos; es razonable esperar, por otra parte, que para que esa contribución sea exitosa, deban usarse las mismas respetando ciertas exigencias. En general, parece razonable esperar que, por ejemplo: f2c2c4 y ν25 — recuerde: f2 es símbolo funcional binario, c2 y c4 son constantes y ν25 es variable individual— sean aceptables, en principio, como posibles «nombres» en el lenguaje formal, en cambio no sean aceptables cadenas como c1ν2c4 o f2c21. Si se denominan términos al tipo de cadenas de signos que hemos considerado –intuitivamente— aceptables arriba, la tarea que se enfrentará ahora consistirá en ofrecer una caracterización rigurosa del conjunto de los términos. Tal caracterización formal pretende preservar las intuiciones anteriores. Usaremos la misma notación que en el caso del lenguaje proposicional: PAL(A) será el conjunto de las cadenas de signos del alfabeto A (donde A, ahora, es el nuevo alfabeto). Se convendrá, por razones técnicas, que la palabra vacía pertenece a PAL(A) —se nota ε. Se ofrece a continuación una definición rigurosa de TER(A): el conjunto de los términos —asumiremos que poseemos conjuntos infinitos de constantes y letras funcionales, para razonar con generalidad acerca de la sintaxis de los lenguajes de orden uno.

Conjunto de los términos Definición El conjunto TER(A) es el más pequeño subconjunto de PAL(A) que satisface las siguientes condiciones: a. V∪C⊆TER(A) —es decir, las variables y las constantes son términos; b. para cualquier n∈N’, fn∈Fn, t1∈TER(A),…,tn∈TER(A) se tiene que fnt1…tn∈TER(A) Esta definición corresponde al tipo de definición que se ha denominado «desde arriba hacia abajo». Una definición «desde la base hacia arriba» —usando estas ideas en el mismo sentido que en el caso proposicional— es la siguiente:

⊃

T0=V∪C y para n∈N’, Ti+1= Ti∪

{fnt1…tn:fn∈Fn, t1∈Ti,…, tn∈Ti}

n∈N’

134

Teorema TER(A)=

Ti

⊃


Luego podría probarse que:

i∈

Al igual que en el caso proposicional es posible usar las definiciones de arriba para «demostrar» que un elemento de PAL(A) es un término.

Puede resultar útil pensar las pruebas inductivas aquí también a través de un esquema análogo al ofrecido en el capítulo 3. Sea P una propiedad cualquiera, para demostrar que toda t∈TER(A) posee la propiedad P, deben recorrerse los pasos siguientes: a. Sea t∈V. Debemos demostrar que t posee la propiedad P; b. Sea t∈C. Debemos demostrar que t posee la propiedad P; c. Sea t≡ fnt1…tn —donde t1∈TER(A). Debe demostrarse, asumiendo la hipótesis inductiva, o sea, asumiendo que cada uno de los t1, t2…tn poseen la propiedad P, que t la posee. Como en el caso proposicional, ofreceremos un ejemplo de prueba inductiva sobre TER(A):

Proposición Sea t∈TER(A). Sea ovc(t) la función que da el número de ocurrencias de variables y constantes en t. Entonces ovc(t)≥1. Prueba: Por inducción. 1. Sea t∈V. Entonces ovc(t)=1, pues t es una variable de individuo. Luego obt(t)≥1. 2. Sea t∈C. Entonces ovc(t)=1, pues t es una constante de individuo. Luego ovc(t)≥1. 3. Sea t≡fnt1…tn —donde t1, t2…tn∈TER(A). Por hipótesis inductiva ovc(t1)≥1, ovc(t2)≥1,….ovc(tn)≥1. Como n es un entero positivo, es inmediato que ovc(t)≥1. Al igual que en el caso proposicional, puede demostrarse aquí un teroema de lectura única; es decir, existe una y solo una lectura para cada término o, dicho de otro modo, los términos no exhiben ambigüedad sintáctica alguna. 1. Los términos de los lenguajes de orden uno, como acaba de estudiarse, permiten (intuitivamente hablando) nombrar individuos. Dé contrapartidas en el lenguaje formal de las siguientes formas de nombrar individuos: a. Pedro b. 0 c. 2–1 d. 3x4 2. Sea ot(t) una función que da el número de ocurrencias de términos que ocurren en t (sin contar el propio t) y olf(t) una función que da el número de ocurrencias de letras funcionales en t. Demuestre, por inducción, que para todo t∈TER(A), olf(t)≤ot(t). 3. Sea ovc(t) una función que da el número de ocurrencias de constantes y variables en t y olf(t) una función que da el número de ocurrencias de letras


Problemas y tareas

135

funcionales en t. ¿Es cierto que, para todo t∈TER(A), olf(t)≤ovc(t)? Justifique su respuesta. 4. Demuestre que las siguientes PAL(A) pertenecen a TER(A) a. f2c1ν1 b. f1f3ν1ν3ν2 c. f1f1f1c1

Fórmulas Desde el punto de vista intuitivo existen ciertas combinaciones de símbolos del alfabeto que parecen «tener sentido» qua aserciones y ciertas combinaciones que no parecen poseerlo. Por ejemplo, recordando el significado intuitivo que posee el cuantificador universal 1) ∀ν1R21 ν1 o 2) ∀ν1∀ν2(R12 ν1ν2∨R12 ν2ν1) parecen pertenecer al primer tipo. Si entendemos la letra predicativa «R21» como refiriendo a la propiedad ser par y pensamos la variable «ν1» como rangueando sobre los números naturales, 1) diría que todo número natural es par. Es obvio que es falso pero tiene sentido. Si entendemos ahora «R12» como ser menor o igual podríamos entender 2) como la expresión que afirma que, para dos números naturales cualesquiera, o el primero es menor o igual que el segundo o el segundo lo es respecto del primero. Tiene sentido y, además, es verdad. Comparemos ahora 1) y 2) con 3) ∀¬ν3¬∧∀¬R42. Parece intuitivamente claro que 3) —a diferencia de 1) y 2)— no posee sentido usando la interpretación habitual de los signos intervinientes. Al igual que en el caso del lenguaje proposicional, se pretenderá que aquellas palabras «con sentido», desde el punto de vista intuitivo, conformen el conjunto de las fórmulas. Es decir, tal como ocurrió en el caso de las fórmulas del lenguaje proposicional y también en la anterior definición de los términos del lenguaje, la definición rigurosa del nuevo conjunto de fórmulas deberá capturar las respectivas ideas intuitivas. La definición del conjunto de las fórmulas puede dividirse en dos etapas. Primero se definen ciertas fórmulas «básicas», que podríamos pensarlas como «elementos» o «átomos» con los cuales construiremos las fórmulas más complejas. Empecemos definiendo pues estas fórmulas atómicas —asumimos para razonar con generalidad sobre la sintaxis de lenguajes proposicionales que contamos con un stock infinito de letras de relación.

Fórmulas atómicas Universidad de la República

Definición

136

Sea ϕ∈PAL(A). Se dirá que ϕ es una fórmula atómica si y solo si para n∈N’, un símbolo de relación n–aria Rn y t1,t2,…,tn, t, s∈TER(A) se tiene que: a. ϕ≡Rnt1t2…tn o —si el lenguaje tiene el signo de igualdad— b. ϕ≡t≈s (donde se conviene notar así la igualdad en vez de ≈ts).

La definición anterior caracteriza un cierto conjunto de palabras: lo denominaremos Ato. Luego de definido Ato, se está en condiciones de definir el conjunto de las fórmulas, a saber, FOR(A). Al igual que en el caso proposicional, se empieza ofreciendo una definición «desde arriba».

Conjunto de Fórmulas Definición FOR(A) —es decir, el conjunto de las fórmulas de orden uno de nuestro lenguaje— es el subconjunto más pequeño de PAL(A) que satisface las condiciones

siguientes: a. Ato⊂FOR(A), es decir, toda fórmula atómica es fórmula; b. Si ϕ, ψ∈FOR(A), entonces • ¬ϕ∈FOR(A) • (ϕ∧ψ)∈FOR(A) • (ϕ∨ψ)∈FOR(A) • (ϕ→ψ)∈FOR(A) • (ϕ↔ψ)∈FOR(A) c. Si ϕ∈FOR(A) y n∈ , entonces: ∀νnϕ∈FOR(A), ∃νnϕ∈FOR(A). Ofreceremos ahora la definición «desde abajo» de este conjunto. Sea Kb=K–{¬}, es decir, el conjunto de los conectivos binarios. Tomamos: F0=Ato y, para cada m∈ ’, Fm+1=Fm∪{¬ϕ: ϕ∈Fm}∪{(ϕ*ψ): *∈Kb y ϕ, ψ∈Fm}∪{∀vk ϕ: ϕ∈Fm, k∈ }∪{∃vk: ϕ∈Fm, k∈ }. Fi.

⊃

Construyamos ahora el conjunto de todos los Fi, esto es,

i∈

Puede probarse el siguiente teorema:

Teorema Fi.

i∈

Nuevamente, también en este caso puede probarse el teorema de lectura única para las fórmulas de este lenguaje. Este teorema asegura —como se sabe— la existencia de un árbol único de descomposición de la fórmula, es decir, un modo único de descomponerla. Al igual que respecto a las fórmulas del lenguaje proposicional es fácil demostrar, dada una secuencia de símbolos, que se trata de una fórmula – además el conjunto de las fórmulas es decidible.


⊃

FOR(A)=

137

A los efectos —exclusivamente— de «mostrar» cómo puede justificarse que una cierta palabra es una fórmula de un lenguaje de orden uno y exhibir brevemente como funcionan, por así decir, «el cálculo de términos» y «el cálculo de fórmulas» se presenta una tal justificación (análoga a las estudiadas en el caso proposicional). Sea ϕ≡∀ν1∀ν2 (R2ν1ν2→R2ν2ν1). El problema es demostrar que ϕ∈FOR(A). 1. ν1∈TER(A) por a) de definición de Ter. 2. ν2∈TER(A) por a) de definición de Ter. 3. R2ν1ν2∈FOR(A) por definición de Ato a), 1, 2 y por definición de For a). 4. R2ν2ν1∈FOR(A) por definición de Ato a), 1, 2 y por definición de For a). 5. (R2ν1ν2→R2ν2ν1)∈FOR(A) por definición de For b), 3 y 4. 6. ∀ν2(R2ν1ν2→R2ν2ν1)∈FOR(A) por definición de For c) y 5. 7. ∀ν1∀ν2(R2ν1ν2→R2ν2ν1)∈FOR(A) por definición de For c) y 6. Aquí también es posible probar propiedades de fórmulas por inducción. Un esquema de cómo desarrollar tales pruebas puede resultar útil. 1. Sea ϕ∈Ato. Debe mostrarse que j posee la propiedad P. 2. Sea ϕ≡¬G, donde G∈FOR(A). Asumiendo por hipótesis inductiva que G posee la propiedad P, debe mostrarse que ¬G posee la propiedad P. 3. Sea ϕ≡(G*H), donde G, H∈FOR(A). Asumiendo por hipótesis inductiva que G y H poseen la propiedad P, debe mostrarse que (G*H) posee la propiedad P. 4. Sea ϕ≡CνiG, donde G∈FOR(A), νi∈V y C≡∀ o C≡$. Asumiendo por hipótesis inductiva que G posee la propiedad P, debe mostrarse que CνiG posee la propiedad P. Demos ahora un ejemplo de prueba por inducción:

Proposición Sea ϕ∈FOR(A), sea olp(j) una función que asocia con cada fórmula el número de ocurrencias de letras de predicado y símbolos de igualdad que aparecen en ella. Entonces olp(j)≥1. Prueba. Por inducción.


1. Sea ϕ∈Ato. Entonces ϕ≡Rnt1t2…tn o ϕ≡t1≈t2. En ambos casos, olp(j)=1, es decir, olp(j)≥1.

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2. Sea ϕ≡¬G. Por h.i. olp(G)≥1, pero olp(j)=olp(G) y así olp(j)≥1. 3. Sea ϕ≡(G*H). Por h.i. olp(G)≥1 y olp(H)≥1. Dado olp((G*H))=olp(G)+olp(H), olp((G*H))>1 y así olp((G*H))≥1.

que

4. Sea ϕ≡CνiG. Por h.i. olp(G)≥1 y ya que olp(j)=olp(G), se tiene que olp(j)≥1.

Quizá resulte conveniente, a los efectos de familiarizar al lector con el alfabeto introducido, reflexionar un poco sobre las posibilidades expresivas de este lenguaje en relación con el lenguaje natural. De esto se ocupa la próxima sección.

Problemas y tareas 1. Las fórmulas de los lenguajes de orden uno, como acaba de estudiarse, permiten (intuitivamente hablando) representar enunciados. Dé contrapartidas en el lenguaje formal de los siguientes enunciados: a. Pedro es bueno b. Pedro es sabio c. Pedro es bajo d. Pedro es mortal e. Pedro es bajo y sabio f. Pedro es sabio o bueno g. Pedro es más alto que Juan h. María es más joven que Alicia i. Si María es buena, entonces Juan es sabio j. Alicia es sabia si y solo si Pedro es bueno k. Algunos son sabios y buenos l. Algunos son sabios y no son buenos m. Todos son mortales n. Todos son bajos 2. Sea olp(ϕ) una función que da el número de ocurrencias de letras de predicado y del signo de igualdad en ϕ y ocb(ϕ) una función que da el número de ocurrencias de conectivos binarios en ϕ. Demuestre, por inducción, que para todo ϕ∈FOR(A), olp(ϕ) > ocb(ϕ). 3. Sea olp(ϕ) una función que da el número de ocurrencias de letras de predicado y del signo de igualdad en ϕ y oc(ϕ) una función que da el número de ocurrencias de conectivos en ϕ. ¿Es cierto, para todo ϕ∈FOR(A), olp(ϕ)≥ oc(ϕ)? Justifique su respuesta. 4. Demuestre que los siguientes elementos de PAL(A) pertenecen a FOR(A): a. ∀ν1(R11ν1→¬R21ν1) b. (∀ν1∃ν2R12ν1ν2→∃ν1∃ν2R22ν1ν2) d. ¬∀ν1∀ν2(R12ν1ν2→R22ν2ν1) 5. Piense cuál es la relación entre ocurrencias de paréntesis y ocurrencias de letras de predicado. Formule y resuelva un ejercicio análogo al 2 –es decir, una proposición que deba demostrarse por inducción.


c. ∀ν1(R11f11ν1→¬R21f11ν1)

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Traducciones y expresividad de L Una duda que le puede surgir al lector es cuán expresivo es el lenguaje formal que acaba de construirse. Para responder a tal inquietud podría sugerirse la estrategia de explorar hasta qué punto pueden obtenerse en L buenas «traducciones» de enunciados del lenguaje natural. Este «test» posee un sabor relativamente empírico. No obstante, se espera poder convencer al escéptico mediante algunos ejemplos selectos. Por otra parte, tales ejercicios permiten cierta ganancia en familiaridad con los recursos del lenguaje formal L. Más adelante —cuando ya se cuente con una semántica formal para este lenguaje— se entenderá «expresividad» en un sentido diverso al que se acaba de sugerir aquí. Como se recuerda, Aristóteles elaboró una lógica de los enunciados de la forma sujeto–predicado. Tales enunciados —tradicionalmente— se clasifican en cuatro tipos: universal afirmativo, universal negativo, particular afirmativo y particular negativo. He aquí ejemplificados cada uno de los tipos: 1. Todo gato es misterioso. 2. Ningún gato es misterioso. 3. Algún gato es misterioso. 4. Algún gato no es misterioso. Es fácil construir las respectivas traducciones: 1’. ∀ν1(R11ν1→R21ν1); 2’. ∀ν1(R11ν1→¬R21ν1); 3’. ∃ν1(R11ν1∧R21ν1); 4’. ∃ν1(R11ν1∧¬R21ν1). Todo lo expresable pues en ese marco es expresable en orden uno. Sobre la validez de las inferencias tradicionales y las inferencias clásicas deben hacerse algunas salvedades pero, desde el punto de vista expresivo (en el sentido convenido), nuestro lenguaje parece comportarse satisfactoriamente. Por lo tanto estructuras como las silogísticas pueden capturarse perfectamente84 en L. Así, por ejemplo, la siguiente: Ningún estudiante de lógica es perezoso. Todo estudiante de filosofía es estudiante de lógica. Luego ningún estudiante de filosofía es perezoso. Tiene como traducción: 1

2

3

1

3

2


(∀ν1(R1ν1→¬R1ν1)∧∀ν1(R1ν1→R1ν1))→∀ν1(R1ν1→¬R1ν1)

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Pero ciertamente este lenguaje permite «traducir» expresiones más complejas e interesantes. En el capítulo 2 de este libro se presentó (informalmente) una serie de 84 Todos los «modos» válidos tradicionales no son válidos en orden uno pero, adecuadamente explicitados los supuestos (tradicionales), puede ofrecerse una reconstrucción aceptable de aquéllos. Esta observación pueden considerarse problemática. En particular, las «traducciones» propuestas son objetadas por Lukasiewicz —véase Lukasiewicz (1977). Strawson defiende una posición distinta —véase Strawson (1952).

nociones de la teoría de conjuntos. ¿Pueden expresarse en L las aserciones de tal teoría? Se ofrecerán aquí algunas contrapartidas en orden uno de ciertas ideas centrales de la misma.85 Además de ilustrar el poder expresivo los siguientes ejemplos puede servir para apreciar «en acción» las dos categorías de símbolos de un lenguaje de orden uno, en un caso particular, a saber, el lenguaje de la teoría de conjuntos. En primer lugar una idea muy básica respecto de conjuntos es que dos conjuntos son iguales si poseen los mismos miembros. Esta idea se expresa (tradicionalmente) mediante el denominado Axioma de Extensionalidad: ∀ν1∀ν2(∀ν3( ν3∈ν1↔ν3∈ν2)→ν1≈ν2) La idea de «par» es también una idea fundamental, es decir, se puede formar un conjunto a partir de otros dos (tomándoles como elementos). Es decir: ∀ν1∀ν2∃ν3∀ν4(ν4∈ν3↔(ν4≈ν1∨ν4≈ν2)) Este enunciado se denomina Axioma de Par. Como seguramente el lector recuerda, dado un conjunto A se puede obtener un nuevo conjunto tomando como elementos de éste los subconjuntos del primero. Se denominó a tal conjunto el conjunto potencia de A. La siguiente fórmula de orden uno se le denomina Axioma del conjunto potencia: ∀ν1∃ν2∀ν3(ν3∈ν2↔∀ν4(ν4∈ν3→ν4∈ν1)) Parece claro, asimismo, que usando «∈» podemos definir otros conceptos habituales en la teoría de conjuntos. Por ejemplo, ¿cómo caracterizar al conjunto vacío? Esta es una forma de introducir el símbolo «∅»: ∀ν1(∅=ν1↔∀ν2¬ν2∈ν1) También pueden caracterizarse las habituales operaciones «unión» e «intersección»: ∀ν1∀ν2∀ν3(ν1∪ν2≈ν3↔∀ν4(ν4∈ν3↔ν4∈ν1∨ν4∈v2)) ∀ν1∀ν2∀ν3(ν1∩ν2≈ν3↔∀ν4(ν4∈ν3↔ν4∈ν1∧ν4∈ν2)).

∀ν1∀ν2(Tν1ν2↔∃ν3(Pν3ν2∧Hν1ν3)), donde «T» representa la relación ser tío/a de, «P» representa la relación ser progenitor de y «H» representa la relación ser hermano/a de. Y 85 La axiomatización «standard» de la teoría clásica de conjuntos es debida a Zermelo–Fraenkel. Un estudio didáctico excelente de esta teoría se encuentra en Suppes (1960).


Finalmente quizá posea interés advertir que este lenguaje permite expresar otros enunciados de interés conceptual (no exclusivamente matemático). Por ejemplo, supóngase que se quiere expresar las relaciones de parentesco «a es tío de b» y «a es abuelo de b». Una caracterización podría ser la siguiente:

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∀ν1∀ν2(Aν1ν2↔∃ν3(Pν1ν3∧Pν3ν2)), donde «A» representa la relación ser abuelo/a y «P» la relación ser progenitor/a de. Luego de nuestro estudio semántico retornaremos al problema de cómo expresar en orden uno enunciados del lenguaje ordinario.


Síntesis

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El punto de partida de este capítulo es la constatación de los límites del lenguaje proposicional para capturar ciertas estructuras argumentales cuya naturaleza deductiva puede difícilmente cuestionarse. ¿Por qué es insuficiente el lenguaje proposicional? Básicamente porque la representación de tales estructuras argumentales exige un análisis más fino: supone capturar no ya meramente relaciones entre enunciados inanalizados sino «introducirse» al interior de los mismos y describir nuevos rasgos estructurales. Para poder realizar tal tarea la estrategia consiste en ampliar el lenguaje formal de los capítulos anteriores. Esta ampliación consiste, en primer término, en incorporar al vocabulario del lenguaje proposicional símbolos que permitan describir los novedosos rasgos estructurales relevantes. Tal operación supone, naturalmente, la redefinición de aquellas cadenas que se consideran legítimas en el lenguaje i.e. la redefinición del conjunto de las fórmulas. Estas modificaciones conducen a los lenguajes de orden uno. Se ha optado por estudiar, en vez de un lenguaje de orden uno particular, una especie de esquema de estos lenguajes; así, en lugar de definir un alfabeto particular, se ofrece una caracterización general de las categorías de símbolos que intervienen en el alfabeto de un lenguaje de orden uno. Es decir, se ha preferido presentar, no un lenguaje del cálculo de predicados, por así decir, «a secas», sino una clase de lenguajes (los lenguajes de orden uno) que utilizan los recursos del cálculo de predicados: éste funciona como el «núcleo lógico» de tales lenguajes. La idea es acentuar el poder expresivo y la plasticidad de los mismos en la formalización de argumentos. En el estudio de la sintaxis y semántica de estos lenguajes formales se mantendrá esta especie de «inmersión» en el cálculo de predicados; en el estudio de los mecanismos de evaluación de fórmulas, el cálculo de predicados será estudiado en forma más aislada. ¿Cómo se ha enriquecido el stock de recursos expresivos del lenguaje proposicional para obtener lo que se deseaba? Se ha adicionado a los paréntesis y conectores del lenguaje proposicional, los cuantificadores, las variables de individuo, las constantes de individuo, las letras relacionales, el símbolo de igualdad y las letras funcionales. Este enriquecimiento ha tornado más compleja la tarea de definir fórmula que en el caso proposicional. Tal tarea se realiza, básicamente, en dos etapas: primero se ha definido término y, a partir de esta definición, se ha obtenido la definición de fórmula. Al igual que en el lenguaje proposicional, es conveniente recordar


que los lenguajes de orden uno son sintácticamente unívocos, es decir, puede demostrarse el teorema de lectura única respecto de los mismos. Dado que hemos construido dos lenguajes formales (el lenguaje proposicional, el lenguaje de orden uno) es quizá un buen momento para pensar, en términos generales, la estructura, por así decir, de las caracterizaciones sintácticas respectivas. Es decir, podemos apreciar, digamos, el método común a tales construcciones. Descrito en forma grosera, podríamos decir que en ambos casos partimos de un alfabeto (lo hemos llamado A, nuevamente, para evitar una proliferación excesiva de símbolos) y luego caracterizamos el conjunto de cadenas legítimas o admisibles de ocurrencias de elementos de ese alfabeto, es decir, definimos nuestras fórmulas (nuevamente, mantuvimos la misma notación, FOR(A), por razones de economía). Identificamos así un lenguaje con el conjunto infinito de las secuencias legítimas de símbolos de su alfabeto; tal conjunto (en la terminología de este curso, el de las fórmulas) se encuentra rigurosamente caracterizado y admite así su estudio matemático. He acentuado este aspecto metodológico porque es, obviamente, generalizable; además de aprender ciertos lenguajes formales específicos es interesante entender los mismos como instancias de una estrategia general extremadamente rica y sugestiva tanto desde el punto de vista técnico como desde el punto de vista conceptual.

143

Capítulo 7

Lenguajes de orden uno: semántica Introducción Como se recuerda, el objetivo es elucidar la noción de argumento formalmente correcto. Luego resulta singularmente valioso —como se discutió en el caso proposicional— capturar la noción de consecuencia lógica; pero esta noción, tal cual fue definida, es una noción semántica. Luego se hace necesario interpretar nuestro lenguaje, es decir, proveer de significado a sus fórmulas. La tarea, dada la mayor riqueza del lenguaje, es notablemente más sofisticada que en el caso proposicional. La estrategia expositiva, no obstante, será análoga: primero se ofrece una aproximación intuitiva y luego se precisan, en términos formales, dichas ideas.

Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde un punto de vista intuitivo) En esta sección se explica —fundamentalmente en «Interpretación»— en términos intuitivos y generales como se confecciona una semántica para un lenguaje de orden uno. Se espera que tales desarrollos permitan alcanzar una cierta familiaridad con las nociones básicas de tal construcción; a los efectos de contribuir al logro de ese objetivo se presentan —en «Ejemplo en detalle de interpretación»— algunos ejemplos de «construcciones» semánticas informales. En primer lugar, conviene recordar que los conectivos siguen manteniendo su interpretación habitual y los paréntesis continúan cumpliendo su papel de signos de puntuación. Así pues se debe atender al resto de las categorías de símbolos del alfabeto. Un razonable punto de partida puede ser la interrogación siguiente: ¿qué significan las variables de individuo?, ¿cómo interpretarlas? Estas variables «varían» sobre individuos. Pero ¿qué entidades son estos «individuos»? La respuesta a esta última interrogante debe ser provista por la interpretación, es decir, para interpretar el lenguaje en cuestión se debe decir cuál es el universo de individuos al que nos referiremos. Luego el primer paso en la tarea de proveer una interpretación para el lenguaje consiste en definir cuál es el dominio de la interpretación, es decir, el conjunto de individuos sobre el cual toman sus valores las variables. El dominio de la interpretación puede ser, por ejemplo, o . La única restricción que se asumirá es que no sea vacío.


Interpretación

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Los símbolos de constante, como se dijo, funcionan como nombres propios. Esto quiere decir que mientras una variable «νk» puede, en principio, denotar a cualquier individuo del dominio —si se ha elegido como dominio, a cualquier número natural— las constantes tendrán fija su denotación —por ejemplo, podemos usar la constante «c1» para denotar al número tres. Es decir, interpretar una constante quiere decir asignarle a dicho símbolo un individuo específico del dominio de la interpretación. Las letras de predicado —sean monádicas, sean poliádicas—86 deberán corresponder a relaciones de igual aridad entre individuos del dominio. Por ejemplo, si se desea interpretar la letra de predicado «R2» y se ha definido el dominio como , su interpretación podría ser la relación menor o igual entre naturales. La interpretación de R2 en tal caso luciría luego así


{: ∈ x

146

y n≤m}.

Es decir, interpretar una letra de predicado n–aria quiere decir asignarle una relación n–aria en el dominio de la interpretación. En el caso de lenguajes con el símbolo de igualdad, la interpretación del símbolo de igualdad «≈» es la previsible; siguiendo con el ejemplo anterior, se trataría del conjunto de pares ordenados de números naturales donde la primera y la segunda proyección del par son el mismo número. Las letras funcionales se interpretarán atribuyéndoles funciones de igual aridad en el dominio. Por ejemplo, siguiendo con el mismo dominio, podría interpretarse «f2» como el producto entre naturales. Es decir, la interpretación de «f2» sería una función que va de x en N y asocia, con cada par de naturales m y n, el resultado de multiplicar m por n. Como seguramente el lector ya habrá advertido, la interpretación debe tomar en cuenta exclusivamente los símbolos del lenguaje particular; por ejemplo, si el lenguaje posee dos símbolos de predicado (R1, R2), dos símbolos funcionales (f2, g2) y un símbolo de constante (c5), la interpretación del mismo deberá atribuir a R1 una relación unaria y a R2 una relación binaria, a f12 y a f22 funciones binarias y un individuo del dominio a c5. Esta «porción» del lenguaje —que varía de un lenguaje de primer orden a otro— se denomina a veces «descriptiva»; en contraposición, los símbolos lógicos están presentes en todo lenguaje de primer orden. En el caso de los conectivos —como se señaló antes— mantienen su interpretación habitual. El caso de los cuantificadores, desde el punto de vista intuitivo, es muy simple. El cuantificador universal (∀) refiere a todos los individuos del dominio, es decir, «∀ν1R1ν1» quiere decir que todos los individuos del dominio poseen la propiedad R1.

k

86 Se dice que una letra de predicado es «monádica» si es del tipo R1, es decir, «exige» un solo término para convertirse en una fórmula; se dice que es «poliádica» en otro caso, es decir, «exige» dos o más términos.

Siguiendo con el ejemplo de arriba, si se interpreta «R1» como la propiedad ser primo, la fórmula de arriba afirmaría que todos los números naturales son números primos. El cuantificador existencial (∃) refiere, indeterminadamente, a algún individuo del dominio, es decir, «∃ν1R1ν1» quiere decir que al menos un individuo del dominio posee la propiedad R1; siguiendo con el ejemplo, aseveraría que al menos un número natural es número primo. Entonces, desde el punto de vista intuitivo, a los efectos de interpretar un lenguaje de orden uno —dado que la interpretación de conectores y cuantificadores se mantiene invariable— basta con: fijar un dominio de interpretación —esto es, definir un conjunto no vacío—; b. atribuir a los símbolos de constantes de ese lenguaje —si los posee— individuos determinados del dominio; c. atribuir a las letras de relación de ese lenguaje —si las posee— relaciones de igual aridad en ese dominio y d. atribuir a las letras funcionales de ese lenguaje —si las posee— funciones de igual aridad en ese dominio.

a.

Como los símbolos en que puede diferenciarse un lenguaje de orden uno son los descriptivos, alcanzará (para individualizar un lenguaje) con indicar cuáles de tales símbolos son los que forman parte de su vocabulario. De modo que se podría, por ejemplo, individualizar un cierto lenguaje L1 describiendo su vocabulario del modo siguiente:

Solo a los efectos de fijar ideas, si se pidiese una interpretación para este lenguaje L1 se podría —intuitivamente— resolver el problema así: sea N el dominio de interpretación —es legítimo hacerlo pues, obviamente, N≠∅—, sea c1 el 0 y c2 el 1 —es legítimo, pues ambos son naturales, es decir, pertenecen al dominio—, sea R2 la relación menor estricto definida entre naturales —es decir, una relación en el dominio de la interpretación— y sea f1 la función unaria sucesor, es decir, la función que, para cada n∈N, da como resultado n+1 —es legítimo, pues para cada n∈N, da un cierto j∈N, donde j=n+1. La pregunta obvia es, dada la interpretación del lenguaje, ¿cómo se interpretan las fórmulas del mismo? Pues si el interés de la teoría lógica es capturar la relación de consecuencia (en ese lenguaje), deberíamos ser capaces de decidir, interpretado así el lenguaje, acerca de la verdad o falsedad de sus fórmulas. En primer lugar, parece bastante claro que, respecto de ciertas fórmulas, se puede decidir sobre su verdad o falsedad una vez que se realiza la operación semántica antes descripta para el lenguaje. Tómese el lenguaje L1 y asúmase la interpretación sugerida anteriormente, considérese las dos fórmulas siguientes de L1:


dos letras de constante: c1, c2; una letra de predicado binario: R2; una letra de función unaria: f1.

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a) ∀ν1∃ν2 R2ν2ν1 b) ∃ν1∃ν2 R2ν1ν2. A la luz de la interpretación anterior, resulta claro que a) es falsa, pues no es cierto que para todo natural exista un natural menor estricto que él, ya que no hay ningún natural menor estricto que 0. En cambio b) es verdad, debido a que es cierto que existe al menos un natural que es menor estricto que algún natural: digamos el 0 respecto del 1. Adviértase que tanto en el caso de a) como en el caso de b), dada la interpretación del lenguaje antes ofrecida, no ha existido ninguna dificultad para determinar su valor de verdad. Podríamos preguntarnos si esto es cierto para cualquier fórmula. Supóngase ahora que se debe responder, para la interpretación dada, cuál es el valor de verdad de la fórmula de L1 siguiente: c) R12ν1c2 Parece que la respuesta no puede darse, pues no se sabe qué valor denota la variable. Lo que expresa c) es que el individuo al cual refiere ν1 es estrictamente menor que 0. Mientras no se sepa cuál es el individuo denotado por esta variable la pregunta sobre el valor de verdad de c) no puede responderse. Obsérvese que aquí no basta la interpretación construida. Otro ejemplo puede ser: d) R12ν3c4 Tampoco es posible determinar el valor de verdad de d). El problema surge, en ambos casos, a partir de una limitación básica: los términos no quedan interpretados y, luego, las fórmulas no poseen significado. Quizá ayude a percibir más nítidamente esta situación notar que, por ejemplo, si asumimos como se dijo arriba que la letra funcional «f1» denota la función sucesor, respecto de: e) f1 v3 no puede determinarse qué número natural denota, hasta tanto no se sepa qué número denota la variable. En cambio


f) f1c1

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dada la interpretación de la constante ofrecida antes, es obvio que este término denota el número 1. Si se comparan a) y b) con c) y d) quizá el lector sospeche ya dónde radica la diferencia respecto de las fórmulas: en a) y b) no ocurren variables que no caigan bajo el alcance de algún cuantificador; en c) y d), en cambio, sí ocurren variables que no son alcanzadas o gobernadas por ningún cuantificador. Estas últimas ocurrencias se denominan libres; las que son alcanzadas o gobernadas por algún cuantificador se denominan ligadas. Este contraste resulta muy intuitivo si pensamos

en la información semántica que aporta la, por así decir, acción cooperativa del cuantificador y la variable respectiva en el caso en que el primero «liga», «alcanza» o «afecta» a la segunda. Por ejemplo, g) ∀ν1R1ν1 afirma que todos los individuos tienen la propiedad R1. Pero

ciertamente no dice lo mismo, ya que el trabajo cooperativo aludido no se produce. Una fórmula sin ocurrencias libres de variables (o, más directamente, sin variables libres) se denomina cerrada; en otro caso se denomina abierta. Más adelante ofreceremos una definición precisa de estos conceptos; por ahora estos desarrollos serán suficientes. La diferencia entonces entre fórmulas cerradas y fórmulas abiertas en este aspecto podría resumirse en el éxito (fracaso) de las primeras (segundas) en términos de significatividad. Podemos decir, grosso modo, que las primeras poseen significado y las segundas carecen del mismo, una vez especificado el significado de las diversas categorías sintácticas (exceptuando las variables). ¿Cómo enfrentar pues el problema del significado de las fórmulas abiertas? Rápidamente podría responderse así: «haciendo» denotar a todos los términos que ocurren en la fórmula. Para solucionar el problema de forma radical, esto es, para que toda fórmula adquiera un valor de verdad, es necesario dotar de significado a todo término del lenguaje. Lograr esto —una vez que se ha definido una interpretación como la de arriba— requiere una sola operación adicional: asignar valores a todas las variables de individuo del lenguaje. Por ejemplo, es claro que si asignamos a νi el número natural i-1, entonces c) y d) son satisfechas para esa asignación por la interpretación anteriormente ofrecida de los símbolos del lenguaje. ¿Por qué? Porque 0 es menor estricto que 1 y 2 es menor estricto que 3. Ahora si asignamos a νi el número natural i, entonces c) no es satisfecha mientras d) sí lo es. Se tiene entonces que c) y d) son satisfechas para algunas asignaciones de valores a las variables y para algunas no lo son. Esto es, que c) y d) queden interpretadas no depende solo de interpretaciones de los símbolos del lenguaje como la de arriba sino que, además, debe establecerse la asignación de valores a las variables. En síntesis, para que todas las fórmulas adquieran significado es necesario ofrecer una interpretación como la ejemplificada arriba y, además, interpretar las variables. La próxima sección está orientada —como se prometió— a familiarizar al lector con los conceptos antes expuestos.


h) ∀ν1R1ν2

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Ejemplo en detalle de interpretación Seguramente el lector recuerda que el alfabeto de todo lenguaje de orden uno posee un subconjunto de símbolos comunes y un subconjunto de símbolos específicos, que varía según el lenguaje particular de que se trate. Luego a los efectos de caracterizar un lenguaje de orden uno L alcanza con describir el segundo subconjunto de símbolos. Sea pues L2 un lenguaje de orden uno que cuenta con: Constantes: c1; Letras de predicado: R11, R21 , R12; Letras de función: f11, f12. La interpretación de este lenguaje atribuye (y por eso no lo especificaremos en los casos siguientes) los significados habituales a los símbolos lógicos. Si estamos interesados en que toda fórmula de L2 adquiera un significado se construye la interpretación siguiendo estos pasos. Primero fijamos un dominio de interpretación. Pongamos en este caso —como se recuerda la única condición que debe cumplir es que se trate de un conjunto no vacío. Para fijar ideas podríamos escribirlo así: Dom= . Establezcamos ahora el significado de la constante individual —como seguramente el lector advierte no hay necesidad de comenzar resolviendo el significado de ésta y no el de, por ejemplo, las letras de función. Dado el dominio, la constante que tenemos deberá denotar un objeto de ese dominio, a saber, un número natural. Solo para fijar ideas podemos expresarlo así (la «flecha ondulada» relaciona, en un sentido puramente intuitivo y provisional, el elemento lingüístico con su significado): c1≈>0 Luego definimos el significado de las letras de predicado. Como se trata de dos letras de predicado unarias y una binaria, debemos definir dos relaciones unarias en , es decir, dos subconjuntos de y asociarlos con las letras de predicado unarias y una relación binaria, es decir, un subconjunto de x , y asociarla con la letra respectiva. Podríamos plantear una posible atribución de significados así: R11≈>{x: x∈ 2 1 1 2


R ≈>{x: x∈

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y existe y∈

tal que 2y=x}

y no existe y,z∈ , y>1, z>1 tal que yz=x}

R ≈>{: x,y∈

y x
Luego caracterizamos el significado de las letras de función. En este caso existen dos letras de función. A la letra de función unaria debemos asociarle una función unaria de en y a la letra de función binaria una función de x en . Por ejemplo

f11≈>f11(x)=x2 f12≈>f12(x,y)=x+y Cualquier fórmula cerrada de L2 posee un significado bajo esta interpretación. Por ejemplo ∀ν1(R12c1ν1→R12ν1f11ν1) es falsa —bajo esta interpretación. Esta fórmula afirma que, si un número natural es mayor que cero, entonces su cuadrado es mayor que él. Esto no es cierto, pues 12=1. Otro ejemplo: ∀ν1∀ν2(f12ν1ν2≈f12ν2ν1) posee un significado preciso; es verdadera, bajo esta interpretación. ¿Por qué? Porque esta fórmula (bajo esta interpretación) afirma que la suma es conmutativa. Si se desea que toda fórmula posea significado —y no solo las fórmulas cerradas— entonces se le asigna a cada variable un elemento del dominio i.e. un número natural. Por ejemplo: νi≈>i+5. Luego una fórmula como R11ν3 posee un significado preciso. Las ideas intuitivas introducidas en «Interpretación» y ejemplificadas en esta sección se precisan y desarrollan a partir de la sección «Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal)».

Problemas y tareas 1. Construya una interpretación (en el sentido ejemplificado en «Ejemplo en detalle de interpretación») que haga verdaderas las siguientes fórmulas: ∀ν1∃ν2R12ν1ν2 ∃ν1∀ν2R22ν1ν2 2. Asumiendo la interpretación descrita en «Ejemplo en detalle de interpretación», escriba tres fórmulas que sean verdaderas en tal interpretación y tres fórmulas que sean falsas en dicha interpretación. 3. Formule un ejercicio análogo al descrito en 1. 4. Formule un ejercicio análogo al descrito en 2.


∀ν1f12c1ν1≈c1

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Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal) Esta sección se divide en tres partes. La primera está destinada a ofrecer la caracterización precisa de los conceptos de estructura–L y asignación, es decir, a definir rigurosamente lo que ha de entenderse por interpretación (de un lenguaje de orden uno). Las otras dos se dedican, respectivamente, a estudiar cómo se interpretan los términos y las fórmulas del lenguaje. Tornar más precisas las ideas intuitivas antes expuestas es una operación exigente. Para facilitar la comprensión de la misma puede resultar útil dividir tal tarea en diversas etapas. En primer lugar, el interés estará centrado en la interpretación de los símbolos que se convino arriba pertenecen a la «porción descriptiva» del lenguaje. Es decir, símbolos de constante, letras de relación y letras de función. Como se recordará, para efectuar tal tarea debía proveerse un conjunto no vacío, elementos de ese conjunto, relaciones y funciones definidas en el mismo, respectivamente. A veces se denomina estructuras a objetos como éstos, a saber: un conjunto con elementos «distinguidos», funciones y relaciones definidas sobre el mismo. En particular, dado un cierto lenguaje L se denominará realización de L o estructura– L a una construcción conjuntista como la descrita que «interpreta» el lenguaje L. Expresado formalmente:

Estructura-L Definición Sea L un lenguaje de orden uno. Se denomina una realización de L o una estructura–La87 a una estructura compuesta por: a. un conjunto no–vacío A denominado dominio de la realización o estructura–La; b. para cada símbolo de constante cj de L, la interpretación del mismo se denota cja y es un elemento de A;


c. para cada letra de función fn de L, la interpretación del mismo se denota fna y es una función de An en A;

152

87 Adviértase el uso de diferentes tipos de letra: «a» es utilizado como nombre de la estructura y «A» para representar el universo de la misma. De esta forma, «B» sería usado como nombre del universo de una estructura-LB, «C» designaría al universo de una estructura-LC, etc. Es importante también distinguir entre un símbolo del lenguaje y el componente de la estructura que cada símbolo representa. Para representar una función en una estructura-La a la cual un símbolo funcional f i del lenguaje está siendo asociado, escribiremos f ia, es decir, el símbolo con el nombre de la estructura como superíndice. De forma análoga, Ria se usará para representar la relación (en la misma estructura) denotada por el símbolo Ri, cia será usado para representar el individuo destacado asociado a la letra de constate ci. Obsérvese que lo que se asocia a cada símbolo del lenguaje es relativo a una determinada estructura. Por eso, un mismo símbolo del lenguaje, supongamos Ri, puede ser asociado a una relación Ria, pero también a una relación RiB, etc. según la estructura dada en la interpretación.

d. para cada letra de relación Rn de L, la interpretación del mismo se denota Rna y es una relación n–aria en A, es decir, Rna⊆An. e. En el caso de lenguajes con igualdad, la interpretación de la igualdad se denota ≈a y es el conjunto {∈A2: x=y}. Hablando en forma intuitiva, véase que lo que aporta la estructura a es: a. b. c. d.

el dominio A de objetos de los cuales «hablan» las fórmulas del lenguaje; a cada símbolo de constante le da un objeto de A; a cada letra de relación n–aria le da una relación n–aria en A; a cada letra de función n–aria, una función n–aria en A.

Como puede apreciar el lector, la estructura hace el trabajo de, digámoslo así, la primera parte de la labor interpretativa desarrollada en el enfoque intuitivo de la sección anterior. Dicho directamente, la estructura a otorga significado a una serie de símbolos del alfabeto y, consecuentemente, a una serie de términos del lenguaje. Por ejemplo, dada una cierta estructura-La, y si las expresiones: f1c1 y f2f1c2c3 son términos de L, entonces quedan perfectamente definidos los individuos de A denotados por los mismos. Pero, como se discutió en la sección anterior, no alcanza tal construcción para que quede asegurado el significado de todos los términos y, consecuentemente, de todas las fórmulas de L. Como es éste, precisamente, el objetivo, debe precisarse cómo dar significado a todos los elementos de TER(A). La solución, desde el punto de vista intuitivo, consiste (como se dijo) en atribuir significado a todas las variables del lenguaje. La idea es construir entonces una función que hace ese trabajo: a cada variable de individuo del lenguaje le asigna un objeto del dominio de la estructura —a estas funciones se les denominará asignaciones.

Asignación Sea a una estructura-L. Sea V el conjunto de las variables de individuo de L. Se denomina una asignación I a una función que asigna a cada variable de L un individuo de A, es decir, I:V→A. Luego, hablando rápidamente, puede entenderse por una interpretación de L el par formado por una estructura–La y una cierta asignación I. Esquemáticamente expresado: Interpretación=Estructura + Asignación Dada una interpretación aI —la motivación para la elección notacional es obvia— y dado un término t cualesquiera, intuitivamente parecería que se puede saber lo que ese término t denota. Estudiemos f1 v3 —que se señaló como un caso


Definición

153

de «insuficiencia» de la sola estructura para determinar su referencia. Supongamos que A= N, f11 es interpretada por la función sucesor i.e. f11a (x)=x+1 (con x∈N) y la asignación I se define así I(vj)=j. Luego tenemos que f11ν3 denota el sucesor de 3, es decir, 4 —porque f11a(I(ν3))=f11a(3)=3+1=4. Un raciocinio análogo se hace para las fórmulas. Tomemos el ejemplo d) de arriba, R12 ν3ν4, si R12 es la relación menor estricto, entonces si I(νj)=j, parece claro que lo que afirma la fórmula es cierto ya que ∈R12a, es decir, <3, 4>∈R12a, esto es, 3<4. Estas últimas apreciaciones son aún de naturaleza intuitiva pero sugieren el camino de la formalización. Corresponde ahora ofrecer definiciones más estrictas. Se enfoca primero el caso de los términos y luego el de las fórmulas.

Interpretación de términos No parece difícil definir cómo se comporta una interpretación términos. Esta definición puede lucir así:88

aI respecto de

Definición

Sea a una estructura–L, sea I una asignación sobre A, sea t un término cualesquiera de L, los ti (con 1≤i≤n) son términos de L y el símbolo a adicionado como superíndice a un símbolo del alfabeto denota el objeto que la estructura a otorga a dicho símbolo. Luego:

aI(t)=I(t)=I(ν ); b. si t≡c (j∈N), aI(t)=c a. c. si t≡f t …t , aI(f t …t )=f a aI(t )… aI(t ). a. si t≡νk(k∈N), j j n 1

k

j

n

j n 1

n

j n

1

n

Interpretación de fórmulas Como se discutió antes, desde el punto de vista intuitivo, para poder dar significado a la totalidad de las fórmulas de un lenguaje de orden uno es necesario atribuir valores a las variables libres que intervienen en ella. Usaremos para ello, como era de esperar, el concepto de asignación. Lo que corresponde es definir rigurosamente el resultado de aplicar una interpretación aI a una fórmula de L. Pero antes de hacerlo deberemos introducir un concepto técnico: el de asignación variante. El mismo se define así:


Asignación variante

154

Definición Sea I una asignación i.e. I: V→A. La asignación variante Ixa se define así: Ixa =(I–{} )∪{}.

88 Se sigue en la exposición de las nociones técnicas, básicamente, a Manzano (1989).

La idea es que la asignación variante se comporta igual que I en todos los casos, excepto (eventualmente) en que atribuye a la variable x el objeto a∈A. La definición prometida podría lucir luego así:

Satisfacción Definición

Sea a una estructura–L. Sea I una asignación i.e. I:V→A. Diremos que la interpretación satisface una fórmula j —se nota aI sat j— si: a. Sea ϕ∈Ato y j≡Rjk t1t2…tk–k∈N’, Rjk es una letra de relación de L , t1, t2,…, tk∈TER(A).

aI sat j si y solamente si ∈R a ; 1

I

k

I

j I k

b. Sea j∈Ato y —si el lenguaje es un lenguaje con igualdad— j≡t1≈t2 —donde t1,t2∈TER(A). Entonces:

aI sat t ≈t 1

2

si y solamente si t1aI=t2aI.

c. Sea j≡¬G, entonces aI sat j si y solamente si no aI sat G, (es decir, la interpretación aI no satisface la fórmula G);

d. Sea j≡(G∧H), entonces aI sat j si y solamente si aI sat G y aI sat H;

e. Sea j≡(G∨H), entonces aI sat j si y solamente si aI sat G o aI sat H;

f. Sea j≡(G→H), entonces aI sat j si y solamente si no aI sat G o aI sat H;

g. Sea j≡(G↔H), entonces aI sat j si y solamente si aI sat G y aI sat H o no aI sat G y no aI sat H;

h. Sea j≡∀νj G, entonces aI sat j si y solamente si, sea cual sea el elemento a∈A, se tiene que aIνja sat G;

Como es relativamente fácil observar esta definición recoge las ideas intuitivas antes expuestas. En particular, cuando la fórmula j es cerrada —adviértase los items h) e i) de la definición— la atribución particular de valores a las variables no juega ningún papel, tal cual fue discutido antes. Cuando se está en ese caso, es decir, si j es cerrada, puede escribirse consistentemente que en una estructura a, j se cumple. i.e. a sat j , esto puede leerse como «a satisface j » o «j es verdadera en a» o «a es un modelo de j». Es obvio que también puede «agregarse» cualquier asignación, es decir, si se da el caso de arriba, entonces para cualquier asignación I, aI sat j.


i. Sea j≡∃νjG , entonces aI sat j si y solamente si, para al menos un elemento a∈A, se tiene que aIνja sat G.

155

Expresividad «teórico-modélica» En el capítulo anterior se estudió la expresividad de los lenguajes de orden uno en el sentido de su capacidad de permitir «paráfrasis» o «traducciones» aceptables de enunciados (del lenguaje natural) o de conceptos (definidos en el lenguaje natural). El propósito de esta sección es sugerir un segundo modo de entender la «expresividad» de los lenguajes de orden uno. Un ejemplo puede ayudar a introducir este concepto. Se ha usado reiteradamente en este curso —como mecanismo de prueba— la inducción. La inspiración de tales usos ha sido la inducción aritmética. El Principio de Inducción en el campo de la aritmética de los naturales puede expresarse informalmente así (llamémosle Principio de Inducción Informal): (PII) Si 0 posee una propiedad y si un natural n cualesquiera la posee, entonces también la posee el sucesor de n, entonces todos los naturales poseen la propiedad en cuestión. Usando los recursos de orden uno podría expresarse así (llamémosle Principio de Inducción en Orden Uno):


(PIOU) (R1c1∧∀ν1(R1ν1→R1f11ν1))→∀ν1R1ν1;

156

Donde R está en lugar de cualquier letra de predicado unario, c1 debe interpretarse como 0 y f11 debe interpretarse como la función sucesor (i.e. f(x)= x+1) y el universo es . Si se piensa en términos de modelos, la situación puede verse bajo una nueva luz. Lo que afirma PIOU parece ser lo siguiente: para cualquier letra de predicado unario R, si 0 posee la propiedad denotada por R y para cualquier natural, si él posee la propiedad denotada por R, entonces su sucesor la posee, eso quiere decir que todo natural tiene la propiedad denotada por R. Adviértase en esta paráfrasis conceptual de PIOU una diferencia sustancial: se habla de toda letra de predicado unario R y de todo número natural. ¿Por qué? Planteado el problema de otro modo, ¿por qué no decir para toda propiedad R? La respuesta es simple: porque no se cuenta —en orden uno— con cuantificadores que cuantifiquen sobre variables de propiedades. Dicho de una forma grosera: no puede decirse en orden uno, para toda propiedad (de números naturales) pero sí puede decirse para todo número (natural); en orden uno —como se recuerda— existe un solo tipo de variables: las variables de individuo. La generalidad de PIOU luego consiste en ser un «esquema» que tiene tantas instancias como letras de predicado unario tenga el lenguaje. Es esencial observar que el número total de instancias puede ser a lo sumo numerable, ya que tal es la cardinalidad de los lenguajes que se han definido. Pero ¿cuál es el número total de propiedades de ? Ciertamente ℘( ) i.e. no–numerable. Luego parece existir un cierto déficit expresivo en PIOU: el número de propiedades que toma en cuenta (i.e. las letras de predicado) es numerable mientras que el número de propiedades de es no–numerable.

Debe notarse que estas observaciones sobre expresividad presuponen evaluar la misma a la luz de la semántica conjuntística construida; solo en esa medida cabe «medir» de esta forma la diferencia entre el conjunto de las sustituciones posibles y el conjunto de las propiedades posibles. Dicho de otra forma, al precisar la semántica de los lenguajes formales puede precisarse también el concepto de expresividad y distinguir en forma más rigurosa los propios límites expresivos de tales lenguajes. Tal vez pueda decirse que se poseen dos conceptos de expresividad de una fórmula j de L: uno más intuitivo, en el cual el poder expresivo de j es evaluable (intuitivamente) en relación a la semántica informal del lenguaje natural y uno más riguroso, en el cual la expresividad de j es evaluable a la luz de la semántica formal del lenguaje L. La conexión entre ambos sentidos se encuentra en el plano de la relación entre la semántica (informal) del lenguaje natural y la semántica (formal) de L. Los problemas conceptuales que emergen al enfrentar tal cuestión exceden los modestos límites de este libro.

Consecuencia semántica y validez La motivación inicial para la construcción de una semántica para el lenguaje formal —tal cual se presentó aquí— consistía en obtener una adecuada elucidación de «argumento lógicamente correcto». Tal interpretación ha sido confeccionada y se ha mostrado se comporta armónicamente con algunas importantes intuiciones semánticas previas. En particular, se está ahora en condiciones de ofrecer una definición rigurosa de los nuevos conceptos —más refinados que los construidos para el lenguaje proposicional— de consecuencia teórico-modélica y validez teórico-modélica. La idea es muy simple: sustituimos la noción de interpretación (modelo) antigua por la nueva. Solo para comodidad del lector escribimos nuevamente tales definiciones.

Consecuencia teórico-modélica Sea G un conjunto de fórmulas cerradas, sea j una fórmula, diremos que j es consecuencia teórico-modélica de G —se nota: G j— si para toda interpretación a que es modelo de G —es decir, que es modelo de todas las fórmulas que pertenecen a G— a es modelo de j. A veces se ofrece una definición más general, no restringida a fórmulas cerradas. En ese caso, en lugar de a debe escribirse aI en la definición de arriba. Se ha preferido la definición tradicional —es decir, se adopta el punto de vista menos general, restringiendo la definición a fórmulas cerradas— pues es más próximo al sentido intuitivo de corrección argumental que ha sido ofrecida como la motivación central


Definición

157

de la teoría lógica. Cabe advertir, no obstante, que no es ésta la motivación exclusiva de tal teoría.89 Lo mismo vale respecto de la definición de validez siguiente.90

Validez Definición Una fórmula cerrada j de L es válida si y solamente si para toda interpretación

a, a es modelo de j.

Un concepto que posee también interés es el de satisfacibilidad. Se trata de entender más finamente una partición tradicional en la clase de las fórmulas (i.e. de los enunciados): aquellas fórmulas que son, intuitivamente hablando, «contradictorias» o «absurdas» y aquéllas que no lo son. Estas últimas se denominan satisfacibles, las primeras se dicen insatisfacibles. Desde el punto de vista formal, las definiciones lucen así:

Satisfacibilidad Definición Una fórmula cerrada j de L es satisfacible si y solamente si existe alguna interpretación a, tal que a es modelo de j. Un conjunto G de fórmulas de L es satisfacible si y solamente si existe alguna interpretación a, tal que a es modelo de γ, para toda γ∈G.

Insatisfacibilidad Definición


Una fórmula cerrada j de L es insatisfacible si y solamente si no existe ninguna interpretación a, tal que a sea modelo de j. Un conjunto G de fórmulas de L es insatisfacible si y solamente si no existe ninguna interpretación a, tal que a sea modelo de γ, para toda γ∈Γ. Los conceptos arriba definidos de consecuencia teórico–modélica y validez teórico–modélica serán de extrema utilidad al enfocar el problema que —principalmente— motiva estas indagaciones, a saber, el problema de la evaluación argumental. Según se discutió en el caso proposicional, representamos (en el modelo básico) un argumento así:

158

89 Baste recordar que algunos autores definen la lógica matemática como el estudio de los lenguajes formales. 90 Se sigue en este caso a Manzano (1989).

(I)

Pre1 Pre2 . . . Pren Con

donde «Prei»(1≤i≤n) representan premisas y «Con» la conclusión. El primer paso en el análisis del mismo —en términos de corrección formal— consistía en efectuar una «traducción» de sus enunciados (pertenecientes al lenguaje natural) al lenguaje formal apropiado. Representamos tal proceso así: Pre’1 Pre’2 . (II) . . Pre’n Con’ El segundo paso consistía en la evaluación de la fórmula (III) (Pre’1∧Pre’2∧…∧Pre’n)→Con’

∀ν1(R11 ν1→R11 ν1) parece —indiscutiblemente— que se trata de una fórmula válida: para cualquier a interpretación aI se tiene que, para todo elemento a∈A, aIν (R11 ν1→R11 ν1), es a a 1 1 decir, para todo elemento a∈A, aIν R1 ν1 o aIν R1 ν1. Luego hemos mostrado la validez de la fórmula. En otros casos es igualmente evidente que se está frente a fórmulas no válidas. Por ejemplo: 1

1

1


Esta evaluación permitía responder —en términos proposicionales— a la cuestión de si se estaba frente a un argumento lógicamente correcto. Según se sabe, si (III) es una tautología, entonces (I) es un argumento lógicamente correcto. La motivación para la construcción del cálculo de predicados —como se recuerda— es que la conversa no vale: hay argumentos formalmente correctos cuya traducción no es una tautología. La pregunta entonces es ¿cuál es la propiedad semántica equivalente, en el cálculo de predicados, a la tautologicidad? La respuesta es la validez teórico-modélica (entendiendo «modelo» en el sentido actual). A partir de la definición expuesta resulta perfectamente claro qué debe entenderse por validez de una fórmula. En algunos casos es muy evidente que una cierta fórmula posee, precisamente, esta propiedad. Por ejemplo:

159

∃ν1∀ν2R12 ν1ν2 no es válida; para advertirlo alcanza con tomar la relación como mayor estricto y como dominio de la interpretación . Una cuestión que surge de forma muy natural es cómo puede determinarse, una vez que se dispone de una semántica para el lenguaje de orden uno, si una cierta fórmula del lenguaje es o no válida. Si se evoca el caso proposicional, la interrogación podría incluso reclamar más información: ¿existe algún procedimiento de decisión —es decir, un procedimiento mecánico— que permita determinar, dada una fórmula j de este lenguaje, si ella es o no válida? Entre otras, de estas cuestiones se ocupa, precisamente, el próximo capítulo.

Problemas y tareas 1. Si su dominio de interpretación es el conjunto de los números naturales. Defina interpretaciones posibles para las siguientes letras de predicado: a. R11 b. R21 c. R31 d. R12 e. R22 f. R32 2. Si su dominio de interpretación es el conjunto de números enteros. Defina interpretaciones posibles para las siguientes letras de función: a. f11 b. f21 c. f31 d. f12 e. f22


f. f32

160

3. Proponga un lenguaje de orden uno seleccionando letras de predicado y letras de función de las listas de arriba. Construya una interpretación para el mismo. 4. Sea L5 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R12, 2 R2 y dos constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje.91 5. Sea L6 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R12, 2 R2. Construya una interpretación para tal lenguaje. 6. Sea L7 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función:. Construya una interpretación para tal lenguaje. 91 Si encuentra dificultades en este ejercicio o en el anterior, consulte la sección «Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista formal)».

7. Sea L8 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función: f1, f12, f22 y dos constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje. 8. Sea L9 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función R1, R12, 2 R2 y una constante: c1. Construya una interpretación para tal lenguaje. 9. Sea L10 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función R1, 1 2 R2, R2 dos símbolos de función f1, f2 y una constante: c1. Construya una interpretación para tal lenguaje. 10. Para cada uno de los lenguajes referidos arriba, construya dos fórmulas verdaderas y dos fórmulas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha construido). Obviamente, tales fórmulas deben ser cerradas. 11. Para cada uno de los lenguajes referidos arriba, construya cuatro fórmulas abiertas. Dotando de interpretación a las variables logre, para cada caso, que dos de ellas sean verdaderas y dos de ellas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha construido). 12. Un conjunto de fórmulas se dice satisfacible o consistente si todas las fórmulas pertenecientes al mismo son satisfechas por una interpretación. Proponga tres ejemplos de conjuntos satisfacibles. 13. Un conjunto de fórmulas se dice insatisfacible o inconsistente si no existe una interpretación que verifique todas las fórmulas pertenecientes al mismo. Proponga tres ejemplos de conjuntos insatisfacibles.

En este capítulo se construyó una semántica o, más precisamente, se caracterizó una forma de proveer semánticas para los lenguajes formales estudiados en el capítulo anterior. Dado que los lenguajes de primer orden son sintácticamente más complejos, esta tarea se vuelve más dificultosa que en el caso del lenguaje proposicional. En primer lugar, cabe distinguir, en el vocabulario, dos «tipos» de símbolos: (a) aquellos que pertenecen a todo lenguaje (conectores, cuantificadores, igualdad, variables) y (b) la parte descriptiva del lenguaje (letras de predicado, letras de función, constantes) que varía de acuerdo a cada lenguaje particular. La interpretación (la atribución de significado al lenguaje) atiende a esta diferencia; la parte (a) es constante para toda interpretación —excepto las variables, como se verá enseguida; la parte (b), en cambio, varía, podríamos decir que es la responsable de la diversidad de interpretaciones. Los símbolos de la parte a) se interpretan de la forma siguiente: los conectores, como es habitual, son asociados a funciones veritativas, la igualdad posee la interpretación obvia y el cuantificador universal se interpreta como «todo (objeto del dominio)» y el cuantificador existencial como «algún (objeto del dominio)». La pregunta es: ¿cuál es el «dominio»? El conjunto en el cual toman valor las variables. Pero ¿cuál es ese conjunto? La respuesta a esta interrogante debe (también) ofrecerla la interpretación.


Síntesis

161

Un modo rápido de entender la noción de interpretación puede ser este:92 Interpretación = Estructura + Asignación


¿Qué trabajo realizan las estructuras-L? Las estructuras-L aportan —hablando intuitivamente— el dominio de la interpretación y adjudican significado a las constantes, a las letras de relación y a las letras de función. Esta operación semántica es suficiente para que las fórmulas cerradas adquieran significado. Pero ¿es también suficiente para que las fórmulas abiertas adquieran significado? La respuesta es: no. Es ese, precisamente, el papel de las asignaciones: adjudicar significado a todos los términos del lenguaje y así otorgar significado a todas las fórmulas (cerradas y abiertas) del lenguaje. Este efecto se logra dado que las asignaciones atribuyen valores a todas las variables de individuo del lenguaje i.e. son funciones totales de V en el dominio de la interpretación. Pueden formularse diversas interrogantes a propósito del comportamiento de esta noción de interpretación en relación con su capacidad de adecuarse a ciertas intuiciones básicas. En particular, surgen preguntas conceptualmente cruciales cuando los conceptos intuitivos previos en los que nos concentramos son los conceptos de «consecuencia lógica» y «verdad lógica». Según se ha visto, puede usarse la noción de «modelo» aquí construida para ofrecer una contrapartida rigurosa de aquellas venerables nociones intuitivas. La relación, no obstante, entre el concepto intuitivo de «consecuencia lógica» (o de «verdad lógica») y el concepto matemáticamente riguroso de «consecuencia teórico–modélica» (o de «validez teórico–modélica») dista de ser trivial.93

162

92 El carácter rápido reside en que dejamos afuera la atribución de significado a los símbolos lógicos. La justificación es que, dado que tal atribución se mantiene fija, nos concentramos en la parte dinámica. 93 Una creciente bibliografía revela la importancia filosófica del problema; puede consultarse al respecto una obra ya clásica de Etchemendy (1990).

Capítulo 8

Lenguajes de orden uno: sistemas deductivos Introducción La estructura de argumentos como los discutidos en la sección «La “ampliación” del lenguaje» del capítulo 6, que obligaron a ampliar el vocabulario del lenguaje proposicional, puede capturarse perfectamente a través de los recursos expresivos del lenguaje L. Es decir, las propiedades estructurales que evidencian la incompatibilidad de la verdad de las premisas y la falsedad de la conclusión en un argumento como: (a)

Todo vampiro padece insomnio Juan es vampiro Juan padece insomnio

Quedan perfectamente explicitadas por: (b) ∀ν1(R11 ν1→R21 ν1) R11c1 R21c1 O a través de la siguiente fórmula de L: ((∀ν1(R11 ν1→R21 ν1)∧ R11c1)→ R21c1)

Luego determinar si (a) es un argumento lógicamente correcto se reduce a determinar si (c) es válida. La definición precisa de cuándo (c) es válida fue ofrecida hacia el final del capítulo anterior. Pero podría preguntarse si —al igual que en el caso proposicional— se cuenta con algún algoritmo que, aplicado a una fórmula cualquiera j∈L, ofrezca la respuesta a la pregunta por su validez. Dicho de otro modo: ¿existe para la lógica de predicados,94 algún procedimiento mecánico —como en el caso proposicional, por ejemplo, el método tabular— que permita, para cualquier j∈L, determinar si j es válida? La respuesta en general es: no. Luego la evaluación de las fórmulas de L no puede esperarse que se resuelva (en forma general) a través de un algoritmo. Esta puede presentarse como una decisiva motivación para la introducción de sistemas 94 Como se ha dicho, esta es una denominación habitual para la lógica de los lenguajes de orden uno que estudiamos aquí.


(c)

163

deductivos en este contexto. El objetivo de los mismos consistirá, al igual que en el caso proposicional, en permitir «demostrar» todas y solo las fórmulas válidas de L. A partir de la sección «Sistemas deductivos para lenguajes de orden uno» presentaremos un sistema de deducción natural adecuado a tales fines. Sin embargo, respecto de un subconjunto de fórmulas de L, la respuesta a la pregunta acerca de la existencia de un algoritmo que permita identificar sus propiedades lógicas, la respuesta es positiva. ¿Cuál es ese subconjunto? El de las fórmulas cuantificacionales «monádicas» —i.e. aquellas en las cuales intervienen solo predicados unarios. Un procedimiento de decisión respecto de ellas es una extensión de las «tablas analíticas» que se estudiaron para el lenguaje proposicional. El mismo se desarrolla en la próxima sección.

Tablas analíticas cuantificacionales El elenco de reglas que nos permitirán analizar fórmulas en que ocurren exclusivamente predicados unarios constará de las reglas proposicionales ya conocidas más cuatro reglas adicionales. Las reglas que deben agregarse son las que «gobiernan» los cuantificadores. Como era de esperar no existe un único elenco de reglas posibles a adicionar. Las siguientes reglas son —básicamente— las expuestas en Naishtat (1986):

Verdad del Universal (VU) ∀xϕ (c/x)ϕ

donde c es una constante de individuo

La idea que subyace a esta regla es muy intuitiva: si todos los individuos cumplen j entonces uno en particular, digamos c, la cumple. Usamos «(c/x)» para denotar la operación de sustituir uniformemente la variable «x» por la constante «c».

Ejemplo de aplicación de VU .. ϕ


∀ν1 ∀ν2((R11 ν1∧R21 ν1)→R11 ν2)

164

∀ν2((R11 c1∧R21 c1)→R11 ν2) (c1/ν1)ϕ .. Hemos explicitado en el ejemplo el funcionamiento de la regla a los efectos de que el lector posea una representación clara de cómo opera la misma.

Verdad del existencial (VE) ∃xϕ (c/x)ϕ

donde c es una constante de individuo y no puede ocurrir en la rama que «llega» hasta ∃xϕ.

La idea que subyace a esta regla es la siguiente: se sabe que al menos un individuo cumple ϕ, podemos llamarle «c» pero con una restricción fundamental: no podemos llamarle así si ya antes hemos «usado» ese nombre en la prueba, es decir, el nombre del individuo debe ser, para decirlo intuitivamente, «nuevo» (en el contexto de la prueba hasta allí desarrollada). Tal restricción se expresa en la regla en forma más estricta. Escribimos «llega» en lugar de «ocurre» en la formulación de tal restricción solamente para evitar confusiones: la constante puede ocurrir debajo de la instanciación —i.e. más abajo que (c/x)ϕ—, lo que la restricción prohíbe es que ocurra antes de la misma —i.e. en ∃xϕ o en fórmulas que la preceden en su rama.

Ejemplo de aplicación de VE .. ∀ν1 ∃ν2((R11 ν1∧R21 ν1)→R11 ν2) ∃ν2((R11 c1∧R21 c1)→R11 ν2)

((R11 c1∧R21 c1)→R11 c2) (c2/ν2)ϕ ..

c2 es «nueva», es decir, la constante no podría ser «c1».

Falsedad del Universal (FU) ¬∀xϕ ∃x¬ϕ

Falsedad del Existencial (FE)

Estas dos reglas poseen una obvia justificación intuitiva: decir que no todos los individuos cumplen j es decir que hay al menos un individuo que no cumple j, y decir que no existe ningún individuo que cumple j es decir que, dado un individuo cualquiera, él no cumple j. Los siguientes son dos ejemplos del uso del método de «tablas analíticas».


¬∃xϕ ∀x¬ϕ

165

Ejemplo Se trata de evaluar si el argumento de abajo es correcto: ∀ν1(R11 ν1→R21 ν1) ∀ν1(R21 ν1→R31 ν1) ∀ν1(R11 ν1→R31 ν1) Como en el análisis proposicional se asume que valen las premisas y se niega la conclusión: ∀ν1 (R11 ν1→R21 ν1) ∀ν1(R21 ν1→R31 ν1) ¬∀ν1 (R11 ν1→R31 ν1) Luego aplicamos —como es habitual— las reglas correspondientes. El análisis concluido luciría así: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

∀ν1(R11 ν1→R21 ν1) ∀ν1(R21 ν1→R31 ν1) ¬∀ν1(R11 ν1→R31 ν1) ∃ν1¬(R11 ν1→R31 ν1) ¬(R11 c1→R31 c1) R11 c1 ¬R31 c1 (R11 c1→R21 c1) 10. R21 c1 ¬R11 c1 X 11. (R21 c1→R31 c1) 12. ¬R21 c1 R31 c1 X X

+ + + + +

+ +

El argumento es correcto, ya que todas las ramas «cierran».

Ejemplo Se trata de evaluar si la fórmula siguiente es válida:


(∃ν1R11 ν1∧∃ν1R21 ν1)→∃ν1(R11 ν1∧R21 ν1)

166

La idea —nuevamente— es partir de la negación de la fórmula: 1. 2. 3.

¬((∃ν1R11 ν1∧∃ν1R21 ν1)→∃ν1(R11 ν1∧R21 ν1)) ∃ν1R11 ν1∧∃ν1R21 ν1 ¬∃ν1(R11 ν1∧R21 ν1)

+ + +

4. 5. 6. 7. 8. 9.

∃ν1R11 ν1 ∃ν1R21 ν1 ∀ν1¬(R11 ν1∧R21 ν1) R11 c1 ¬(R11 c1∧ R21 c1) ¬R11 c1 X

+ + + + 10. ¬R c1 11. R21 c2 2 1

La fórmula no es válida, ya que queda una rama «abierta». Al igual que el caso proposicional, puede «leerse» una interpretación bajo la cual la fórmula inicial se convierte en falsa. Este procedimiento permite resolver (mecánicamente) el problema de la corrección argumental —es decir, determinar la existencia de la relación de consecuencia lógica entre premisas y conclusión— en aquellos casos en que las fórmulas en juego poseen a lo sumo letras de predicado unarias.95 Como se dijo, procedimientos de esta naturaleza solo pueden construirse para el análisis de las relaciones lógicas entre fórmulas monádicas; el estudio general de la lógica de predicados exige el recurso a estrategias diversas.

Problemas y tareas 1. Evaluar la corrección de los siguientes esquemas argumentales (vía tablas analíticas): a. ((∀ν1(R11 ν1∨R21 ν1)∧∃ν1¬R11 ν1)→∃ ν1 R11 ν1) b. (((∀ν1(R11 ν1∨R21 ν1)∧∃ν1¬R11 ν1)∧∀ ν1 (R21 ν1→R31 ν1))→∃ν1R31 ν1) 2. Evaluar la validez de las siguientes fórmulas (vía tablas analíticas): a. ¬((∀ν1R11 ν1∧∀ ν1 R21 ν1)∧¬∀ν1(R11 ν1∧ R21 ν1)) b. (¬∀ν1(R11 ν1→R21 ν1)∨(∃ν1R11 ν1→∃ ν1R21 ν1))

Sistemas deductivos para lenguajes de orden uno Se exponen a continuación un sistema axiomático y un sistema de deducción natural. El sistema axiomático es la extensión del presentado en el capítulo 5, debido a E. Mendelson.96 No se le estudiará en detalle pues todo lo que se pretende es exponer brevemente la estructura de las teorías axiomáticas formales. Las razones 95 En Naishtat (1986) pp. 222–225 puede encontrarse, como se dijo, este procedimiento. 96 Véase Mendelson (1987).


3. Si la regla VE careciera de la restricción relacionada con la constante introducida, no sería correcta. Denominémosle VEm (por mala) a la regla VE sin la restricción.¿Puede ofrecer un ejemplo de argumento que es intuitivamente incorrecto pero que, si aceptamos VEm en lugar de VE en nuestro procedimiento de tablas analíticas, salvaría el test de estas «tablas»?

167

para ello son, básicamente, de tipo histórico: es la axiomática la presentación clásica de los sistemas deductivos y la misma ha revelado un extraordinario potencial en el estudio de teorías deductivas. El sistema de deducción natural que se estudiará es también la extensión del presentado en el capítulo 5 y que es (básicamente) el presentado en el manual de B. Mates.97 Este último será el que se use para «probar» propiedades lógicas en orden uno.

Un sistema axiomático formal para lenguajes de orden uno Presentaremos todos los axiomas del sistema M, aunque el lector debe concentrarse en los axiomas «nuevos». Sea A, B y C fórmulas de L,98 se tiene entonces los axiomas siguientes: A1. A→(B→A) A2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) A3. (¬B→¬A)→((¬B→A)→B) A4. (∀νiA→(t/νi)A) A5. (∀νi(A→B)→(A→∀νiB)) siempre que A no posea ocurrencias libres de νi. Las reglas de inferencia son Modus Ponens y Generalización (con i∈N): MP.

Gen.

Si se tiene A y A→B puede deducirse B; Si se tiene A puede deducirse (∀νi)A.

Como en el caso proposicional remitimos al lector interesado en un estudio detallado de este sistema a la obra de Mendelson ya citada.

Sistema de deducción natural


El sistema que se estudia a continuación es una extensión del desarrollado en el capítulo 5. Las nuevas reglas que se adicionan son, al igual que en el caso de las tablas analíticas, destinadas a especificar el comportamiento de los cuantificadores. Dichas reglas son E (que permite introducir el cuantificador existencial), GU (que permite introducir el cuantificador universal) y la regla EU (que permite eliminar el cuantificador universal). Como en el caso proposicional, a partir de estas reglas básicas podemos demostrar un elenco de reglas (derivadas) que nos ayudan en la tarea de obtener pruebas al codificar estrategias demostrativas altamente intuitivas.

168

97 Véase Mates (1965). 98 Adviértase que si estamos pensando en esta teoría como «lógica subyacente» de un lenguaje de orden uno dado este «L» será, precisamente, tal lenguaje.

Reglas básicas

Cuantificación existencial (E) Intuitivamente, esta regla nos dice que afirmar que hay al menos un individuo que satisface una cierta propiedad es lo mismo que decir que no todos los individuos no la satisfacen. Más formalmente: a. El conjunto de números de premisa de la línea n+m es el conjunto de números de premisas de n .. {a,i} .. {a,i}

.. n .. n+m.

.. ¬∀νi¬ϕ .. ∃νiϕ

E en n

b. si tenemos como premisa (en la línea n) ¬∀νi¬ϕ, puede escribirse (en una línea n+m posterior a n) ∃νiϕ.

Especificación universal (EU) Intuitivamente, esta regla nos permite «ejemplificar» una fórmula cuantificada universalmente, predicando de un individuo específico (en la conclusión) lo que se afirma de todos los individuos (en la premisa). Más formalmente: a. El conjunto de números de premisa de la línea n+m es el conjunto de números de premisas de n .. {a,i} .. {a,i}

.. n .. n+m

.. ∀νiϕ .. (c/νi)ϕ

EU en n

b. si tenemos como premisa (en la línea n) ∀vi j, puede escribirse (en una línea n+m posterior a n) (c/vi)j. Intuitivamente, esta regla nos permite, en condiciones especiales, pasar de la afirmación que lo predicado de un individuo a la afirmación que se cumple para todos los individuos. Es evidente que del mero hecho de que un individuo satisfaga una propiedad no se sigue que todos la satisfagan. Luego resulta crucial especificar cuáles deben ser esas «condiciones especiales» arriba referidas que nos garanticen la legitimidad del pasaje. La idea intuitiva que subyace a las mismas es que si para demostrar que cierto individuo posee una propiedad no uso ningún rasgo peculiar, específico, propio de este individuo he demostrado en realidad la posesión de dicha propiedad, digámoslo así, para cualquier individuo. Luego, podríamos decir, lo he


Generalización universal (GU)

169

demostrado para todos —ya que cualquiera que tome, tiene la propiedad en cuestión. Veamos cómo podemos formalizar estas ideas. a. Como en las reglas anteriores, el conjunto de números de premisa de la línea n+m es el conjunto de números de premisas de n .. {a,i} .. {a,i}

.. n .. n+m

.. (c/νi)ϕ .. ∀νiϕ

GU en n

b. Si tenemos como premisa (en la línea n) (c/νi)ϕ, puede escribirse (en una línea n+m posterior a n) ∀νi ϕ, si se cumple que a) c no ocurre en ϕ y b) c no ocurre en ninguna de las fórmulas cuyos números de línea pertenecen al conjunto de números de premisas de n (es decir, a,i). Como esta última regla presenta restricciones a su uso y éstas quizá no resulten fácilmente comprensibles, estudiaremos las mismas en detalle. En primer término, enfoquemos el problema de la razón de ser de tales restricciones. Si se eliminase la restricción a), la regla permitiría inferencias incorrectas. Supongamos que nuestro dominio de interpretación es un conjunto formando por triángulos y rectángulos, entonces, interpretando «R12» cono la relación «ser la misma figura geométrica que», la siguiente fórmula es verdadera: ∀ν1R12ν1ν1 de aquí por EU se deduce: 1

R2c1c1

pero, si eliminamos la restricción a), sería posible inferir mediante GU ∀ν1R12ν1c1 (¿?)


pues no es cierto que todo sea triángulo y no es cierto que todo sea rectángulo (en el dominio). Es decir, la regla (sin la restricción) no asegura la preservación necesaria de la verdad.99 Si se eliminase la restricción b), nuevamente la regla permitiría inferencias incorrectas. Supongamos que se tiene estas premisas:

170

{1}

1. (R11c1→R21c2)

{2} 2. R11c1 de estas premisas se puede inferir, legítimamente, {1,2} 3. R21c2 99 El ejemplo estudiado es, básicamente, el ejemplo ofrecido por Mates (1965).

pero, en ausencia de la restricción b), podría inferirse usando la regla GU ∀ν1R21ν1 ¿? La falla de la regla (sin restricción) puede advertirse si pensamos, por ejemplo, en la interpretación antes usada: bastaría con que los predicados unarios se interpretasen respectivamente como ser triángulo y ser rectángulo, y las constantes, respectivamente, como un triángulo y un rectángulo específicos. Las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa —ya que no todo es rectángulo (en el dominio).

Reglas derivadas Dos reglas derivadas especialmente importantes son las siguientes:

Generalización existencial (GE) Intuitivamente, esta regla nos permite, a partir de la afirmación de que un cierto individuo específico, posee una propiedad, a la afirmación de que hay al menos un individuo que la posee. Más formalmente: a. El conjunto de números de premisa de la línea n+m es el conjunto de números de premisas de n {a,i} .. {a,i}

n .. n+m

(c/νi)ϕ .. ∃ νiϕ

GE en n

b. si tenemos como premisa (en la línea n) (c/νi)ϕ, puede escribirse (en una línea n+m posterior a n) ∃νij.

Especificación existencial (EE) Intuitivamente, esta regla nos permite, a partir de la afirmación de que hay al menos un individuo que posee una propiedad, afirmar que un cierto individuo particular la posee —como es obvio, este pasaje debe estar sometido a ciertas condiciones. Más formalmente

.. {a,i} .. {k} .. {a,b,i,k} .. {a,b,i}

.. j .. k .. m .. n

.. ∃νiϕ .. (c/νi)ϕ .. ψ .. ψ

P

EE en j,k,m


a. El conjunto de números de premisa de la línea n es el conjunto de números de premisas de j unión el conjunto de números de premisa de m (excepto k).

171

b. si tenemos (en la línea j) ∃νij, (en la línea k) (c/νi)j (como premisa) y (en la línea m) ψ, puede escribirse (en la línea n) ψ, siempre que se cumplan las condiciones siguientes: 1) c no ocurre en ϕ, 2) c no ocurre en ψ y 3) c no ocurre en ninguna de las líneas (excepto k) cuyos números figuran en el conjunto de números de premisa de m. Al igual que en el caso de la regla GU, existe aquí un conjunto de restricciones sin las cuales la regla fracasa. Dado que no es obvia la contribución de las mismas a corregir su uso, estudiaremos brevemente cada una de ellas. Si se abandona la restricción 1), la siguiente inferencia ilegítima debería aceptarse (adviértase que c1 ocurre en ϕ). Tómese como ejemplo: {1} {2} {2} {4} {2,4} {1,2}

1. 2. 3. 4. 5. 6.

∃ν1R12 ν1c1 ∀ν1(R12 ν1ν1→R11 c2) R12 c1 c1→R11 c2 R12 c1 c1 R11 c2 R11 c2

P P EU en 2

P MP 3,4 EE 1,4,5 ¿?

Si se abandona la restricción 2) —adviértase que c1 ocurre en ϕ—, podría obtenerse esta inferencia ilegítima: {1} {2} {2} {1}

1. 2. 3. 4.

∃ν1R11 ν1 R11 c1 R11 c1∨R21 c1 R11 c1 ∨R21 c1

P P RD en 2 EE 1,2,3 ¿?

Si se abandona 3) —adviértase que c1 ocurre en 2—, debería aceptarse:


{1} {2} {3} {1,2,3} {1,2}

172

1. 2. 3. 4. 5.

∃ν1R11 ν1 R11 c1→R21 c2 R11 c1 R21 c2 R21 c2

P P P MP EE 1,3,4 ¿?

Se deja al lector el trabajo de mostrar cómo en estos casos la verdad de las premisas no es preservada por la conclusión. La justificación de estas reglas puede leerse en Mates.100

100 Véase Mates (1965) pp. 152—160.

Estrategias y ejemplos Las ideas sobre cómo construir pruebas en orden uno se basan en consideraciones análogas a las que expresamos respecto al lenguaje proposicional. Podemos distinguir, como en tal contexto, cuando tenemos (digamos, como premisa) una fórmula cuantificada universal o existencialmente y cuando pretendemos demostrar (digamos, como conclusión) una tal fórmula. Supongamos pues que tenemos como premisa una cuantificación universal. ¿Cómo explicitar el contenido informativo de la misma? Mediante la regla EU. Ejemplo 1 {1} {2} {1} {1} {1,2}

1. 2. 3. 4. 5.

∀ν1∀ν2(R12 ν1ν2→R12 ν2ν1) R12 c1 c2 ∀ν2(R12 c1ν2→R12 ν2c1) R12 c1 c2→ R12 c2 c1 R12 c2 c1

P P EU en 1 EU en 3 MP 4,2

Supongamos ahora que pretendemos como conclusión una cuantificación universal. La regla que en principio resulta apropiada es la GU. Ejemplo 2 1. 2. 3. 4. 5.

∀ν1∀ν2R12 ν1ν2 ∀ν2R12 c1 ν2 R12 c1 c2 ∀ν1R12 ν1 c2 ∀ν2∀ν1R12 ν1ν2

P EU en 1 EU en 2 GU en 3 GU en 4

La regla crítica es GU pero puede aplicarse, en primer lugar, a la fórmula cuyo número de línea es 3 pues c1 no ocurre en j (fórmula encerrada en un círculo en el paso 4 ni c1 ocurre en ninguna de las fórmulas de las que depende 3 —es decir, 1, a saber, la premisa indicada por la flecha. En segundo lugar, GU puede aplicarse a la fórmula cuyo número de línea es 4 pues c2 no ocurre en j (fórmula encerrada en un círculo en el paso 5 ni c2 ocurre en ninguna de las fórmulas de las que depende 4 —es decir, 1, a saber, la premisa, tal cual lo indica la flecha. Supongamos que tenemos una fórmula existencialmente cuantificada como premisa. La regla sugerida es EE. Ejemplo 3 {1} {2} {1} {4}

1. 2. 3. 4.

∀ν1∃ν2R22 ν1ν2 ∀ν1∀ν2(R12 ν1 ν2→¬R22 ν1ν2) ∃ν2R22 c1ν2 R22 c1c2

P P EU en 1

P


{1} {1} {1} {1} {1}

173

{2} {2} {2,4} {2,4} {2,4} {1,2,4}= {1,2}

5. 6. 7. 8. 9. 10.

∀ν2(R12 c1ν2→¬ R22 c1ν2) R12 c1c2→¬ R22 c1c2 ¬R12 c1c2 ∃ν2¬R12 c1ν2 ∃ν1∃ν2¬R12 ν1ν2 ∃ν1∃ν2¬R12 ν1ν2

EU en 2 EU en 5 MT en 6,4 GE en 7 GE en 8 EE en 3,4,9

Veamos por qué puede aplicarse EE. En primer término, c2 no ocurre en j (fórmula encerrada en la elipse en el paso 3), c2 no ocurre en ψ (fórmula encerrada en la elipse en el paso 9) y, finalmente, c2 no ocurre en ninguna de las fórmulas cuyos números de línea pertenecen al conjunto de números de premisa de la línea 9 (excepto 4). El «4» se encuentra tachado (en el conjunto de premisas de la línea 10) para mostrar el número de premisa eliminado. Si tenemos ahora que obtener una fórmula existencial como conclusión, la estrategia es la inducida por la regla GE. Dado que es muy simple, ya que carece de restricción puede tomarse como ejemplo de aplicación de la misma la anterior prueba, concentrándonos en los pasos 8 y 9.


Axiomas y reglas para la igualdad

174

La igualdad fue introducida en el estudio sintáctico y en el estudio semántico de los lenguajes de orden uno que desarrollamos en los capítulos respectivos. Una pregunta razonable es, consecuentemente, cómo «gobiernan» los sistemas deductivos estudiados tal constante lógica. El sistema axiomático lo hará, como era de esperar, a través de nuevos axiomas. Antes de presentar dichos axiomas, revisaremos ciertas intuiciones básicas que pueden motivarlos. Una caracterización clásica —asociada con el nombre de Leibniz— respecto de la igualdad es la que afirma que dos objetos son iguales o idénticos si comparten todas las propiedades. Como se advierte, esta idea no puede «traducirse» a un lenguaje de orden uno: supone cuantificar sobre propiedades y esto excede los límites expresivos de estos lenguajes. Por ello debemos conformarnos con introducir como «primitivo» la igualdad aunque esto no obsta a que intentemos recoger la intuición especificando, vía axiomática, el comportamiento de la misma. Teniendo en mente esta caracterización informal parece razonable sostener que si dos términos denotan el mismo objeto entonces puedo sustituir libremente uno por otro –al fin y al cabo «los» objetos denotados por ambos comparten (obviamente) todas sus propiedades. Resulta inmediato, además, que, para cualquier objeto a, hay un cierto objeto que seguramente comparte todas las propiedades con a, a saber… a; es decir, la igualdad es reflexiva. También resulta obvio que si un cierto objeto a es igual a b, éste lo es a a; es decir, la igualdad es simétrica. Y si a es igual a b y b es igual a c entonces a es igual a c; es decir, la igualdad es transitiva. Como ya lo sabíamos la relación de igualdad es el ejemplo típico de una relación de equivalencia.

Los siguientes axiomas recogen las ideas informales anteriores. Algunas de ellas directamente: es aquello que, manifiestamente, «expresan» los axiomas; las restantes, por así decirlo, indirectamente: las fórmulas que las expresan pueden deducirse de los axiomas. He aquí los axiomas: A6. t≈t —donde t∈TER(A); A7. (t1≈t2→(A→A’)) —donde t1, t2∈TER(A) y A’ es el resultado de substituir en A, t1 por t2 en no necesariamente todas las ocurrencias de t1 en A. Dejamos al lector la prueba de la proposición que expresa que la igualdad es una relación de equivalencia.

Proposición Sean t, t1, t2, t3∈TER(A). En toda teoría de orden uno con igualdad se tiene que: a. (t≈t); b. (t1≈t2→t2≈t1); c. (t1≈t2)→(t2≈t3→t1≈t3). En el sistema de deducción natural es posible también agregar reglas que reglamentan el uso del operador de igualdad. Podemos agregar como reglas de nuestro sistema precisamente las que expresan los axiomas 6 y 7. Solamente para comodidad del lector expresamos las mismas (siguiendo, como antes, el sistema de Mates):

Regla de identidad uno (RI1) Intuitivamente, siempre podemos introducir un símbolo de identidad flanqueada por dos ocurrencias del mismo nombre. Más formalmente, a. El conjunto de premisas es ∅: .. ∅ ..

.. n ..

..

t≈t

RI1

..

Regla de identidad dos (RI2) Intuitivamente, si tenemos que t1≈t2 y tenemos j, entonces podemos afirmar la fórmula resultante de sustituir todas o algunas de las ocurrencias de t1 en j por t2. Más formalmente, a. El conjunto de números de premisa de la línea n es el conjunto de números de premisas de j unión el conjunto de números de premisa de m.


b. Sea t1,t2∈TER(A). Podemos introducir en cualquier línea la fórmula t≈t.

175

.. {a,b} .. {c,d} .. {a,b,c,d}

.. j .. m .. n

.. t1≈t2 .. ϕ .. (t1/t2 )ϕ

RI2 en j y m

b. Si tenemos (en la línea j) t1≈t2 y (en la línea m) j, puede escribirse (en la línea n) (t2/t1)j, recordándose que la sustitución no tiene por qué ser en todas las ocurrencias de t1. La aplicación de estas reglas (como el lector seguramente ya advierte) es sencilla. Una discusión detallada puede consultarse, obviamente, en la obra de Mates101

Ejemplos de teorías axiomáticas en orden uno Se han presentado los lenguajes de orden uno como una clase de lenguajes que permiten formalizar diversas teorías. En armonía con ello, cuando se introduce la noción de teoría axiomática para tales lenguajes se distinguen entre los axiomas lógicos —pertenecientes a toda teoría de orden uno— y los axiomas propios —responsables de la especificidad de las diversas teorías. Es este un momento adecuado para atender a algunos ejemplos de teorías axiomáticas de orden uno y apreciar — nítidamente— el tipo de información proporcionado por tales axiomas específicos. Una de esas teorías es la de las relaciones de orden. Los axiomas propios para formalizar la idea de orden parcial son los siguientes —donde «≤» es una relación binaria a la cual la escribimos así solo por razones de comodidad, perfectamente podría escribirse como «R2»—: O1. ∀ν1ν1≤ν1 O2. ∀ν1∀ν2((ν1≤ν2∧ν2≤ν1)→ν1≈ν2) O3. ∀ν1∀ν2∀ν3((ν1≤ν2∧ν2≤ν3)→ν1≤ν3) Otro ejemplo es la axiomatización de la teoría de grupos. Los axiomas propios de la misma son los siguientes —donde «+» es una función binaria y «c» una constante—:


G1. ∀ν1∀ν2∀ν3 ν1+(ν2+ν3)≈(ν1+ν2)+ν3

176

G2. ∀ν1 ( ν1+c≈ν1∧c+ν1≈v1) G3. ∀ν1∃ν2ν1+ν2≈c Estos dos son ejemplos relativamente simples. Otras axiomatizaciones más complejas son, por ejemplo, la de la aritmética o la perteneciente a Zermelo–Fraenkel 101 Véase el capítulo IX en Mates (1965).

de la teoría de conjuntos (algunos de cuyos axiomas se discutieron antes, cuando estudiamos la expresividad de los lenguajes de orden uno). Sin embargo, el propósito aquí se reduce a ofrecer una imagen intuitiva de una teoría formal en orden uno y para esto los ejemplos sencillos son satisfactorios.

Problemas y tareas 1. Pruebe para cada caso (en el sistema de Deducción Natural) que la conclusión es consecuencia sintáctica de las premisas a. {∀ν1R11 ν1∧∀ν1R21 ν1} ∀ν1(R11 ν1∧R21 ν1)

b. {∀ν1(R11 ν1→R21 ν1)} ∀ν1(¬R21 ν1→¬R11 ν1)

c. {∀ν1(R11 ν1→R21 ν1)} ∃ν1R11 ν1→∃ν1R21 ν1

d. {∃ν1(R11 ν1∨R21 ν1)} ∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1

e. {∀ν1R11 ν1} ¬∃ν1¬R11 ν1

f. {∀ν1(R11 ν1→¬R21 ν1),∀ν1R11 ν1} ¬∃ν1¬R11 ν1

g. {∀ν1(R11 ν1→R21 ν1),∃ν1R11 ν1} ∃ν1R21 (x)

h. {∃ν1¬R11 ν1} ¬∀ν1R11 ν1

2. Complete las siguientes deducciones con las reglas y los números de premisas faltantes: a. {1}

1.

{2}

2.

¬∃ν2R c1 ν2

3.

R11 c1→∀ν2R12 c1ν2

4.

R11 c1

P

1 2

P 1 2

∀ν2R c1ν2

6.

R12 c1c2

7.

∃ν2R12 c1ν2

8.

R11 c1→∃ν2R12 c1ν2

9.

R11 c1

10. R11 c1→¬∃ν2R12 c1ν2 11. ¬R11 c1

C9

1. 2. 3.

P

b. {1}

∃ν1(R11 ν1∨R21 ν1) R11 c1∨R21 c1 R11 c1


{3,4} 5.

∀ν1(R11 ν1→∀ν2R12 ν1 ν2)

177

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

∃ν1R11 ν1 ∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1 R11 c1→∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1 ∃ν1R21 ν1 ∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1 R21 c1→∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1 ∃ν1R11 ν1∨∃ν1R21 ν1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

∀ν1(R11 ν1→(R21 ν1∨R31 ν1)) ¬R21 c1 ¬R31 c1 ∀ν1R11 ν1 R11 c1 R11 c1→(R21 c1∨R31 c1) R21 c1∨R31 c1 R21 c1 ∀ν1R11 ν1 →R21 c1 ∀ν1R11 ν1 →¬R21 c1 ¬∀ν1R11 ν1 R21 c1→¬∀ν1R11 ν1 R31 c1 ∀ν1R11 ν1 ∀ν1R11 ν1→R31 c1 ∀ν1R11 ν1→¬R31 c1 ¬∀ν1R11 ν1 R31 c1→¬∀ν1R11 ν1 ¬∀ν1R11 ν1

C8

c.

{4}


3. Evalúe en cada caso, mediante el sistema de Deducción Natural, si la conclusión es consecuencia sintáctica de las premisas:

178

a.

{∀ν1(R11 ν1∨R21 ν1), ∃ν1¬R11 ν1} ∃ν1R21 ν1

b.

{∀ν1(R11 ν1∨R21 ν1), ∃ν1¬R11 ν1, ∀ν1(R21 ν1→R31 ν1)} ∃ν1R31 ν1

c.

{∀ν1(R11 ν1∨R21 ν1), ∃ν1¬R11 ν1, ∀ν1(R31 ν1→¬R21 ν1)} ∃ν1¬R31 ν1

d.

{¬∃ν1(R11 ν1∧¬R21 ν1)} ∀ν1¬(R11 ν1→R21 ν1)

e.

{∃ν1R11 ν1} ¬∀ν1¬R11 ν1

f. g.

{∀ν1R12 ν1 ν1, ∀ν1∀ν2∀ν3((¬R12 ν1ν2∧¬R12 ν2ν3)→¬R12 ν2ν3)} ∀ν1∀ν2 (R12 ν1ν2∨R12 ν2ν1) {∀ν1(R11 ν1→R21 ν1), ∀ν1(R21 ν1→R12 ν1c2)} ∀ν1 (R11 ν1→R12 ν1c2)

Síntesis Este capítulo encuentra una motivación fundamental en la siguiente cuestión: ¿cómo es posible evaluar argumentaciones, desde el punto de vista de la lógica predicativa o de orden uno? O aún una interrogante más específica: ¿es posible evaluar mecánica o algorítmicamente argumentaciones, desde el punto de vista de la lógica de orden uno? La respuesta a esta pregunta formulada generalmente es: no. Un espectacular resultado de la investigación lógica del siglo pasado (obtenido, independientemente, por A. Church y A. Turing) es que el conjunto de las fórmulas válidas de la lógica de orden uno es indecidible, es decir, no es posible construir un algoritmo que permita resolver, para una fórmula cualesquiera, si pertenece o no a este conjunto. Sin embargo, si se restringe la atención a aquellas fórmulas en las que intervienen —a lo sumo— letras de predicado unarias, la respuesta a la cuestión arriba planteada es positiva. De acuerdo a esta última respuesta existe una solución algorítmica para la cuestión de determinar la validez de las fórmulas pertenecientes a ese subconjunto de las fórmulas: el procedimiento mecánico estudiado ha sido el denominado «tablas analíticas» —que, como se recuerda, extiende el construido para el lenguaje proposicional. La respuesta negativa a la cuestión general (i.e. a la existencia de solución algorítmica para el problema de la validez de una fórmula en orden uno) es una extraordinaria motivación para construir alternativas de evaluación no–algorítmicas: los sistemas deductivos presentados. Dado el poder expresivo de orden uno, una empresa especialmente importante ha sido la formalización de teorías científicas en tales lenguajes. Este contexto hace especialmente valiosa la noción de «teoría axiomática formal». a. la formalización del lenguaje, b. la definición de un conjunto (decidible) de fórmulas denominadas «axiomas» y c. un elenco de reglas de inferencia (decidibles). Hemos presentado algunos ejemplos sencillos pero el interés matemático y conceptual de la empresa formalizadora es enorme. Una discusión pormenorizada de este punto excede los modestos límites de este curso. Como el lector recuerda del capítulo 5, la formalización nos permite obtener una caracterización precisa de prueba o demostración (en un sistema dado) y obtener


Como se recordará, una teoría axiomática formal supone,

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así el concepto de consecuencia teórico–demostrativa. Su definición, como se recuerda, puede expresarse así: Sea Γ un conjunto de fórmulas, sea ϕ una fórmula. Se dirá que ϕ es consecuencia teórico-demostrativa de Γ (se nota: Γ ϕ) si y solo si hay una secuencia ϕ1, ϕ2,…ϕn de fórmulas tales que ϕn≡ϕ y, para cada k con 1≤k≤n , se tiene que: a. ϕk∈AXI o b. ϕk∈Γ o c. ϕk es consecuencia directa por una regla Ri de δ (i) fórmulas que aparecen en la secuencia antes que ϕk.


La secuencia ϕ1, ϕ2,…,ϕn se denomina una prueba o una demostración de j a partir de Γ. En el capítulo anterior —como el lector recuerda— se estudió la noción matemáticamente precisa de consecuencia teórico–modélica ( ). Un problema del mayor interés lógico-matemático y conceptual es el de establecer cuál es la relación entre estas dos elucidaciones, es decir, cuál es la relación entre los conceptos de consecuencia teórico-demostrativa ( ) y consecuencia teórico-modélica ( ). La solución, en orden uno, es debida a Gödel: este matemático notable demostró en 1930 la completud de la lógica de orden uno, es decir, estos dos conceptos en orden uno son coextensionales.

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Capítulo 9

Teoría lógica y modelos argumentales Introducción Como ha sido señalado reiteradas veces a lo largo de este libro, la evaluación argumental puede entenderse como la ocupación central de la reflexión lógica. Es decir, el lógico trataría, principalmente, de desarrollar teorías capaces de proporcionarnos las herramientas necesarias para evaluar argumentos respecto de su corrección. Así entendidas, tales teorías poseen un evidente status de «segundo orden»:102 los objetos de primer orden al que éstas refieren (de forma compleja) son, precisamente, los argumentos. Un modesto diagrama ayuda a visualizar tal situación: Plano meta−argumental

teorías lógicas

Nivel 2

Plano argumental

argumentaciones

Nivel 1

Este status meta−argumental de la reflexión lógica ha sido ya señalado en este libro. Pero ¿cómo interpretar esta lacónica «flecha»? En términos generales, este capítulo se ocupa de tal tarea. Su objetivo es, expresado en forma más estricta, la defensa de la tesis que afirma que una comprensión refinada de la articulación entre los planos representados arriba conduce a una percepción enriquecida del papel de la lógica en la evaluación argumental.103

La estrategia traducción–cálculo

102 Usada esta expresión en su acepción filosófica común; no en la acepción lógica técnica que hemos usado páginas anteriores. 103 Este escrito usa libremente Seoane, J. (2004). Como ya comentamos, ideas similares se encuentran en Corcoran, J. (1972). Existe, no obstante, una diferencia importante entre este trabajo y el de Corcoran en lo que refiere a la explotación de ciertas distinciones en la aplicación de la teoría lógica a la evaluación argumental. Deseo expresar, finalmente, mi recomendación entusiasta de la lectura del escrito de Corcoran.


¿Cuáles son los modelos argumentales asumidos en la teoría lógica? Respuestas a esta cuestión han sido planteadas en las páginas anteriores; el siguiente puede ser un resumen de dichos desarrollos:

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Modelos argumentales Modelo diádico: Modelo triádico:

Concepciones de corrección argumental Concepción relacional binaria: TNV Concepción relacional ternaria: JAE


—donde «TNV» resume: transmisión necesaria de la verdad, y «JAE» resume: justificación auto–evidente. En general, puede pensarse el enfoque resumido en el primer modelo como un enfoque esencialmente semántico y el enfoque resumido en el segundo como un enfoque de naturaleza sintáctica.104 Se referirá, por razones de comodidad expresiva, al primer enfoque como enfoque semántico y al segundo enfoque como enfoque sintáctico. La tesis que se defenderá en las páginas que siguen es—expresada en una forma algo metafórica— la de la riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación.105 Conviene explicitar ahora el alcance de la misma. Una forma tradicional de entender tales relaciones tiende a reducir la aplicación de la lógica a la argumentación al esquema que podría llamarse «traducción–cálculo». Este esquema consiste, básicamente, en, dado un argumento en el lenguaje natural, transformarlo (vía modelo diádico) en un conjunto de fórmulas de un lenguaje formal lógico y aplicarle a tal conjunto, en la mejor hipótesis, algún algoritmo que permita decidir si cumple o no cierta bien definida propiedad matemática, a partir de tal resultado se falla acerca del argumento original en términos de corrección/incorrección lógica. Una versión debilitada de la estrategia traducción–cálculo consiste en la sustitución del algoritmo por la apelación a algún sistema deductivo (donde la noción de prueba es decidible) en los casos en que no puede contarse con un algoritmo.106 La idea central en una y otro caso es básicamente la misma: traducir y aplicar la ferretería lógica. Esta estrategia, cuando es posible aplicarla, resulta especialmente útil. Permite explotar la lógica, podría decirse, en todo su potencial. Para evitar malentendidos conviene reiterarlo: se trata de una estrategia no sólo legítima sino en extremo valiosa. La tesis que se pretende defender no intenta menoscabar en nada tal valía. Sólo se trata de advertir acerca de dos aspectos frecuentemente ignorados: a) que tal estrategia no se trata del único modo en que la teoría lógica colabora en la comprensión y evaluación argumentales y b) que, además de dicha estrategia, existen otras formas de interacción entre la teoría lógica y la práctica argumental irreductibles a dicho modo. Estas dos aserciones explicitan lo que se intenta afirmar con la expresión: «la riqueza de la interacción entre lógica y argumentación».

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104 Estrictamente, quizá debiera separarse el requisito de la autoevidencia y el requisito del carácter sintáctico pero, a los fines presentes, el vigor de una cierta tradición parece ser respaldo suficiente para no hacerlo. Desde el punto de vista histórico este aspecto merece tratarse con más parsimonia. 105 Aunque quizá confusamente expuesta esta es la tesis principal de Seoane, J. (1997). 106 Por razones que serán obvias después, en este momento no vale la pena distinguir entre estas dos estrategias. Adviértase, no obstante, que se asume que se ha usado exclusivamente el modelo diádico como forma de representar argumentos.

El desconocimiento de esta variedad en la interacción entre los campos aludidos conduce a identificar los límites de la estrategia traducción–cálculo con los límites de la contribución de la lógica al tratamiento de los argumentos formulados en los lenguajes históricos. La identificación de teoría lógica y formalismo se encuentra en la génesis de este error en influyentes críticos del valor de la lógica como herramienta para la evaluación de la argumentación, por así decirlo, «no matemática», en particular Perelman y Olbrechts-Tyteca. El propósito de este capítulo, sin embargo, no es crítico sino fundamentalmente propositivo. Se intentará usar las nociones presentadas para comenzar a ilustrar ciertas formas de interacción teoría lógica–argumentación que son extremadamente generales e indiscutiblemente fecundas, por una parte, y claramente irreductibles a la estrategia traducción–cálculo, por la otra.

Considérese, en primer término, el enfoque semántico. ¿Son el modelo diádico y la concepción TNV a él asociada ambos enriquecedores para la comprensión argumental? Adviértase que el modelo diádico, en primer lugar, induce una lectura especial de un texto que se sospeche posee naturaleza argumental. La razón es simple: dirige la atención hacia la identificación de qué sentencias juegan el papel de premisas y qué sentencias juegan el papel de conclusión. Esta operación, excepto en los casos de laboratorio de los textos de lógica, no suele ser trivial. Pero, además, cuando se asocia con el criterio de corrección argumental plasmado en la exigencia de la relación TNV, concentra la atención en la relación (binaria) entre premisas y conclusión en términos de transmisión de la verdad. La objeción inmediata es que esta contribución, en los casos argumentales interesantes, es esencialmente insuficiente: la teoría lógica —podría argüirse— nada nos dice acerca de cómo identificar premisas y conclusión en los contextos discursivos ordinarios y nada nos dice acerca de cómo tratar las relaciones entre premisas y conclusión que no sean estrictamente deductivas. Una réplica breve puede discurrir así: las herramientas conceptuales de la teoría lógica aparecen como una importante guía para resolver, flexiblemente, los problemas particulares de identificación y evaluación y una importante guía para la reflexión general respecto a la evaluación del «trabajo» justificador de las premisas. La discusión puede volverse más sofisticada pero antes que discutir en un más o menos brumoso terreno hipotético, conviene describir algunos de los mecanismos específicos de esta contribución de la lógica al análisis argumental, expresado metafóricamente, a nivel de campo. Pueden resumirse entonces estas dos formas de contribución que se atribuyen arriba al enfoque semántico pero que, en realidad, permiten organizar el aporte de la teoríalógica —es decir, de los dos enfoques— a la comprensión y evaluación argumentales: (a) guía en la identificación y evaluación argumentales Teoría lógica (b) guía en la reflexión general evaluatoria argumental


La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación: usando los modelos tradicionales

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Analícese más finamente lo sugerido en a). Cuando se intenta identificar un argumento (en la perspectiva antes denominada semántica) debe identificarse el par . A los efectos de identificar un enunciado como conclusión una importante pista aportada por este enfoque es que, en el texto en cuestión, se pretende que dicho enunciado se encuentre justificado o respaldado o fundamentado. Dicho de otra forma, se procura un enunciado que aparezca satisfaciendo una cierta relación binaria. Como se recuerda se trata de la relación de justificación. Luego identificar un enunciado como conclusión querrá decir entenderlo como (elemento de)107 la segunda proyección de un par perteneciente a una relación de justificación. Descríbase la situación en la forma más intuitiva posible: el lector se encuentra frente a un texto pretendidamente argumental, procura encontrar aquel enunciado que es justificado en tal texto, la estrategia que usa es si dicho enunciado es susceptible de ser pensado en una relación de justificación con otro(s) enunciados del texto. Estos enunciados que «trabajan» como justificadores o respaldadores o fundamentadores son, precisamente, los susceptibles de ser pensados como integrantes del conjunto que pertenece a la primera proyección del par. El carácter básico y familiar de la estrategia no debe llevar a desconocer su fundamento e importancia —es fácil advertir estos aspectos cuando nos enfrentamos a la tarea de enseñar a analizar argumentos. Una objeción podría ser que, aún admitiendo que la teoría lógica induce una lectura relacional, el problema consiste en que no dice nada acerca de cómo identificar los relacionados. Debe concederse que los lógicos no han desarrollado una refinada teoría de la identificación de argumentos108 pero un poco de reflexión sobre b) colabora en la elaboración de una respuesta equilibrada a esta objeción. Intentemos entender mejor entonces lo que expresa b). El criterio de corrección TNV ofrece un modelo de exigencia máxima de la relación de justificación pretendida. Tal vez podríamos pensarlo como un modelo de relación de justificación, por así decirlo, ideal. Así entendido induce una evidente estrategia identificatoria. Nuevamente, descríbase la situación en los términos más intuitivos: el lector duda acerca de si es posible pensar el enunciado B como siendo (en el texto) justificado por el enunciado A. El criterio de corrección lo conduce a la pregunta: ¿se pretende que la verdad de B asegura (la verdad de) A? Supóngase que el texto carece de pretensiones deductivas. La estrategia inducida es nuevamente evidente: se trata de flexibilizar o rebajar las exigencias de TNV.109 La naturaleza semántica de TNV ofrece la clave fundamental para esta última tarea: puede ocurrir que la información contenida en las premisas no provea la información contenida en la conclusión pero,

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107 Intentaré no provocar ideas erróneas acerca de cómo deberían representarse las distintas situaciones apelando a los recursos de la teoría de conjuntos pero sólo en los casos que no interfiera con la claridad del estilo sugeriré dicha representación pues pienso que la misma no es esencial. Así en los casos restantes dejaré ese trabajo al lector. 108 Entre otros autores, Piacenza ha advertido este problema —véase Piacenza, E. (1998). 109 La noción de implicatura puede entenderse como un esfuerzo de esta naturaleza.


asumida el monto informacional de las premisas, la información codificada en la conclusión puede, por ejemplo, tornarse más probable o plausible. Estas formas de interacción son las más básicas de todas y, como es evidente, no asumen la estrategia traducción-cálculo. En algunos casos pueden ni siquiera suponer traducción, en otros casos pueden suponer traducción parcial (por ejemplo, traducción de terminología lógica) y en algunos casos, naturalmente, pueden desembocar en una instancia de la estrategia traducción–cálculo. El aspecto importante que debe advertirse es que las modalidades que no suponen tal estrategia no se dejan capturar por ella y son, sin embargo, extremadamente generales y fecundas en relación con la práctica argumental. Es evidente que si nos interesa exclusivamente la potencialidad persuasiva de un argumento, entonces estos usos de la teoría lógica tal vez no sean un buen inicio para ponderar (en aquéllos términos) la capacidad de un argumento. Parece obvio que la conclusión que puede extraerse de esta observación no es que la colaboración lógica en la evaluación de la corrección argumental en contextos informales y no–deductivos sea nula. Nos hemos referido antes a la relación de justificación «pretendida» (en un texto) entre premisas y conclusión. Pero, por las razones arriba discutidas, cabría esperar de un texto argumental la explicitación de tal relación. A la hora de describir esa explicitación el modelo diádico resulta insuficiente. El modelo triádico efectúa un aporte sustancial en esta dirección: obliga a recoger la explicitación de la relación de justificación pretendida. Al igual que en el caso del primer enfoque, conviene reparar en los dos aspectos. Si se piensa en a), es decir, en la lógica como guía del trabajo con argumentos particulares, es evidente la colaboración que el modelo provee en la identificación de textos argumentales pues concentra la atención en un tipo especial de discurso que tiene que poner en obra recursos justificacionales cuyo objetivo es conectar en tales términos las premisas con la conclusión. Al hacerlo introduce una novedad sustancial: un argumento no puede ser identificado exclusivamente por sus premisas y su conclusión. Para identificar un argumento es necesario describir, por así decirlo, su trama justificacional; dos argumentos son diferentes aunque coincidan en premisas y conclusión cuando su trama justificacional diverge. Como es evidente, este enfoque llama así la atención sobre una diferencia entre argumentos que no era capturada por el enfoque inicial. Nuevamente esta ganancia en comprensión argumental no asume la posibilidad de aplicación exitosa de la estrategia traducción-cálculo. Quizá una de las consecuencias más importante de este último aspecto resida en permitir la apreciación de la diversidad de mecanismos justificacionales, por así decirlo, «locales». Esto es, no se trata meramente de la transmisión necesaria de la verdad, sino de la diversidad de formas en que puede evidenciarse o probarse la existencia de tal relación. Una segunda consecuencia importante de la atención hacia la justificación es que, advertida la pluralidad de mecanismos, se abre la posibilidad de clasificarlos y compararlos. Esta tarea conduce directamente al papel que el criterio de corrección correspondiente —el encarnado en JAE— juega en este plano.

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La clasificación fundamental, en materia evaluatoria, consistirá naturalmente en distinguir mecanismos legítimos de mecanismos ilegítimos. Evaluar un argumento adquiere así un significado preciso: consiste en testar la legitimidad de los «pasos» en términos de su carácter de resultado de la aplicación de mecanismos de justificación legítimos. Nuevamente la familiaridad con las distinciones conceptuales subyacentes no debe conducir a una subvaloración de las mismas. La lectura argumental se ve fuertemente enriquecida por el intento de comprender (en términos generales) los pasos argumentales como instancias de mecanismos justificatorios. Nuevamente, el caso paradigmático es el propuesto por la lógica: el mecanismo se trata aquí de una regla y el caso particular es una instancia (decidible) de la misma. Pero adviértase una vez más que el potencial de la estructura conceptual subyacente no tiene por qué reducirse a este tipo de mecanismo justificacional. Si se atiende ahora a la posibilidad de comparar aludida arriba, nótese que una reflexión de este tipo permite advertir, por ejemplo, una interesante distinción entre reglas. Piénsese, por ejemplo, en la regla que permite repetir, como «paso», una premisa. La justificación de la misma apela exclusivamente a la «condición funcional», por así decir, de la sentencia en cuestión: se trata de una premisa. Tal justificación no apela en absoluto a la «estructura» o «forma lógica» de dicha sentencia i.e. a las constantes lógicas que ocurren en ella. En oposición, la justificación de una regla como, por ejemplo, la instanciación universal hace un uso esencial de dicho aspecto. Un contraste de esta naturaleza resulta ciertamente sugerente en términos de análisis argumental. Ocupémonos sucintamente del item (b), es decir, de la capacidad de la lógica de contribuir en una reflexión general meta-argumental orientada a la evaluación argumental. Así como la flexibilización de TNV sugiere alternativas, la flexibilización de JAE promueve las propias. En su forma idealizada, JAE puede codificarse en reglas efectivas pero cuando se piensa en términos más liberales, se abre un campo de mecanismos de justificación cuya formulación no necesariamente debe adoptar aquel carácter. Dada la primacía semántica asumida, tal liberalidad podríamos decir que resulta relativamente previsible. Si se repara en las consideraciones que se dedican (en ambas concepciones) a la capacidad de la teoría lógica de operar como guía de una reflexión general evaluatoria argumental puede advertirse que, además de su relativa brevedad, las mismas poseen un carácter algo vago y programático. Quizá éstas puedan reducirse a la sugerencia de la condición ideal o modélica de la exigencia de transmisión necesaria de la verdad (en el caso semántico) y de la noción rigurosa de prueba y, consecuentemente, de regla de inferencia (en el caso sintáctico). No obstante, el impacto de estos dos aportes a la discusión teórica de la corrección argumental (entendida como se sugiere en estas páginas) difícilmente puede sobrestimarse.

Las reflexiones de la sección anterior pretenden sugerir más que la búsqueda de un modelo de análisis argumental, el interés por la identificación de métodos o estrategias de aplicación del conocimiento lógico a la tarea de la evaluación argumental. La descripción de algunos de estas estrategias es una ocupación fundamental de las páginas que siguen. Nótese que, hasta ahora, no se ha hecho intervenir en la discusión la teoría lógica como teoría matemática. Es decir, no se ha hecho referencia —intencionalmente— a la ferretería habitual de los lenguajes formales, tanto en su dimensión semántica como sintáctica. Sin embargo, quizá sea útil recordar que los conceptos pertenecientes a los dos enfoques estudiados encuentran, en la teoría lógica matematizada, «contrapartidas» matemáticas precisas. Las nociones ya estudiadas de consecuencia teórico–modélica —en símbolos, Γ ϕ— y consecuencia teórico–demostrativa —en símbolos, Γ ϕ— son precisamente tales contrapartidas. Los conceptos claves en una y otro caso son los conceptos de modelo y prueba respectivamente; el hecho de que se posea definiciones matemáticamente en regla en ambos casos constituye la clave del rigor de ambas definiciones. El estudio matemático de estos conceptos ha permitido una comprensión extraordinaria del funcionamiento de los sistemas deductivos y de su semántica. No se pretende mostrar en detalle cómo es posible aprovechar estas ideas a los efectos de fortalecer el análisis argumental; se dará apenas un ejemplo de ello. Al poseerse un conocimiento preciso de en qué consiste una «regla de inferencia» (definida sintácticamente) y de en qué consiste su carácter de «correcta» (en el sentido técnico de asegurar la transmisión de la verdad), la percepción de en qué consiste un paso argumental legítimo se ve notoriamente enriquecida. Pensemos la situación en los términos más intuitivos. Ante un paso argumental, al lector, por así decirlo, lógicamente cultivado, se le abren una serie de alternativas analíticas que difícilmente se le presentarían en ausencia del background lógico: ¿es tal paso una instancia de una regla?, ¿es esta regla formulable sintácticamente?, ¿es esta regla sólo formulable en términos semánticos?, ¿es radicalmente novedosa (en relación a las reglas lógicas)? ¿es correcta (en el sentido técnico aludido)? ¿es correcta, en un sentido análogo al sentido técnico?, etc. El lector escéptico podría objetar si no se tratan éstas de preguntas que suponen apelar a la estrategia traducción–cálculo. Seguramente en muchos casos existirá traducción parcial y sólo en algunos felices casos respuesta algorítmica, pero ¿es razonable entender la reflexión compleja —sugerida por esta interacción entre conocimiento lógico y comprensión argumental— como reductible a la estrategia referida? Quizá resulte útil reiterar una vez más, a los efectos de evitar equívocos, la valoración positiva de la estrategia traducción–cálculo; lo que se cuestiona aquí


La riqueza de las relaciones lógica y argumentación: ensayando otros modelos

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es considerar tal estrategia como la forma exclusiva de aplicación de la lógica a la evaluación argumental. El aspecto especialmente importante de la lista de interrogantes del ejemplo anterior es que evidencia la multiplicidad de alternativas conceptuales que el conocimiento lógico propone al análisis argumental. Este portentoso enriquecimiento estimula la eventual percepción o, si se prefiere, identificación de una diversidad de recursos justificatorios. Parece razonable intentar recoger tal posibilidad en nuestro modelo argumental. Quizá sea útil entonces para comenzar proponer una cuádrupla donde MJ es un conjunto cuyos elementos son, dicho metafóricamente, descripciones de los mecanismos o formas de justificación de los pasos del argumento. Adviértase que en algunos casos MJ podría contener exclusivamente un elenco de reglas lógicas pero en otros podría albergar principios heurísticos, descripciones de estrategias de investigación empírica, etc. ¿Puede este modelo ser enriquecido? La respuesta, obviamente, es: sí. Una alternativa consiste en la introducción de nuevas dimensiones. Por ejemplo, podríamos tener interés en conocer, para ponderar la fuerza del argumento, la fundamentación concreta de las premisas o, más modestamente, la naturaleza de tal fundamentación. Un interés de este tipo estimularía tal vez entender el modelo como una quíntupla donde JP consiste, por ejemplo, en una función que asocia con cada premisa, (el conjunto que tiene como elemento) una descripción del mecanismo o forma de justificación que la respalda. Otra alternativa es refinar algunas de las dimensiones contempladas. Por ejemplo, podría resultar interesante retratar el orden de los pasos y esto conduce a tratar el conjunto Pas como una n-tupla, dotando, por así decir, de mayor «estructura conjuntística» al modelo, i.e.:


, Con, MJ>.

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O se podría intentar, por ejemplo, clasificar en tipos o clases premisas o mecanismos o formas de justificación en virtud de su naturaleza o de sus relaciones entre sí. Cada una de estas alternativas modelizadoras permite aplicaciones diversas. Una exposición más en detalle de algunas de esas aplicaciones puede resultar útil a los efectos de sugerir la flexibilidad y potencialidad de la estrategia general. Ese es el objetivo de la próxima sección.

La riqueza de las relaciones entre lógica y argumentación: la crítica argumental El modelo escogido para ilustrar las aplicaciones aludidas es el modelo cuatridimensional arriba mencionado. Se atenderá al uso crítico del mismo, es decir, el uso de esta estratregia modelizadora como guía de la tarea de la crítica argumental. Dado que se desea acentuar su dimensión práctica, se mostrará la forma en que opera en diversas empresas críticas. Se clasifican las mismas en aquéllas que objetan la conclusión y aquellas (más especiales) que, rechazando el argumento, aceptan la conclusión. a. Objeción a la conclusión. Adoptemos la convención de poner «=» cuando se coincide y «?» cuando se disiente. Explotando el modelo, la representación general podría ser la siguiente ? Adviértase que se abren múltiples posibilidades, atendiendo al fundamento de la discrepancia:

Cada una de estas alternativas caracteriza un modo estructuralmente diverso de disentir. Se subraya así el «núcleo» del fundamento de la discrepancia pero es evidente que cada opción determina y/o acepta otras valoraciones de los restantes componentes. Por ejemplo, si se toma el primer caso, pueden aceptarse los «pasos» en el sentido de que, coincidiendo con la aceptabilidad de los mecanismos de justificación y el supuesto de las premisas, estos son correctos. Pero, dado que el fundamento del rechazo de la conclusión reside en el rechazo de las premisas, ellas operarán esencialmente en la justificación de los pasos.110 Luego, aplicar el modelo lleva a aislar las premisas objetadas e identificar su contribución a la justificación de la conclusión rechazada. Un caso particular podría adoptar esta forma —donde se representan las premisas y pasos objetados y la conexión entre unas y otros—

110 Es decir, también Pas es objetado.


1. ? ? 2. ? ? 3. ? ?

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,, Con, MJ>

?

?

?

?

=

?

En esta modesta clarificación de la estructura de la crítica colabora de modo obvio el modelo propuesto al estimular, por una parte, la identificación precisa de las premisas cuestionadas y, por otra, los pasos que usan esencialmente las mismas. En el segundo caso puede ocurrir que la objeción se concentre exclusivamente en algunos pasos, es decir, se consideren erróneos en razón de no encontrarse justificados (por ejemplo, aplicación equivocada de una regla de inferencia lógica, es decir, un mecanismo de justificación legítimo). Un ejemplo particular podría describirse así , Con, MJ> =

? ?

=

?

En el tercer caso la crítica posee una naturaleza radical. Una posibilidad es que se acepten las premisas y se acepte que los pasos no consisten en «errores de aplicación» de los mecanismos de justificación explotados (como en el caso anterior). Sin embargo, ciertos pasos son sí objetados porque se rechazan los mecanismos de justificación involucrados. La caída de ciertos mecanismos de justificación arrastra así los pasos por ellos fundamentados. Una situación particular podría representarse así

, Con, > =

?


?

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?

?

?

En términos generales, puede decirse que si se difiere exclusivamente en Pas —i.e. no se difiere en MJ— el problema reside en que se objeta la aplicación de algún mecanismo de justificación aceptado (pues no se difiere en MJ). Pero si se difiere en MJ puede no objetarse ninguna aplicación (por incorrecta) de un mecanismo justificatorio sino simplemente objetarse el o los mecanismos justificatorios usados. Una crítica del primer tipo es fuertemente interna; una

crítica del segundo tipo es de una naturaleza más bien externa. También cae en esta última categoría la crítica caracterizada como caso 1. Es evidente que estas ideas estructurales pueden funcionar como guía heurística tanto de la comprensión como del desarrollo crítico o constructivo de argumentos. b. Aceptación de la conclusión. Nuevamente, explotando el modelo, la representación general podría ser la siguiente

=

Dado que no se acepta el argumento pero no se rechaza la conclusión, las posibilidades consisten en el rechazo de al menos una de las otras proyecciones de la cuádrupla. Básicamente, al igual que en el caso a), conviene distinguir 1. ? = 2. ? = 3. = ?

Cada una de estas alternativas, como en el caso a), permite apreciar relevantes diferencias estructurales. Puede resultar útil reconstruir aquí el, por así decir, «equivalente» del primer ejemplo estudiado en el caso a). Es decir,

<,, Con, MJ>

?

?

?

=

=

?

Es importante advertir aquí la notable diferencia entre los dos casos. En ambos, el rechazo de las premisas conlleva al rechazo de aquellos pasos cuya justificación depende de las premisas objetadas. Pero, mientras en el caso anterior la objeción general tendía a mostrar la debilidad de la conclusión aquí el blanco es otro. Se trata de evidenciar la debilidad de la justificación de la conclusión. Este matiz es, desde el punto de vista de la economía argumental, de especial importancia. En el segundo y tercer caso, nuevamente puede usarse el caso respectivo de la discusión anterior. El matiz que debe acentuarse es exactamente éste: la concentración en el problema de la calidad de la justificación. En los casos menos graves, supone simplemente un ajuste reformista en la trama justificatoria. En los casos más graves supone una transformación más bien revolucionaria en


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la misma. La diferencia reside en si se aceptan o no los mismos mecanismos de justificación. Un ejemplo muy simple de la primera situación consiste en la reformulación de, por ejemplo, una prueba de un teorema de la lógica de orden uno clásica por corrección de una mala aplicación de una regla de inferencia. Un ejemplo de la segunda situación consiste en ofrecer una prueba aceptable desde un punto de vista «constructivo» de un resultado matemático respecto del cual se tiene una prueba clásica. Una objeción inmediata a estos desarrollos es sostener que cualquier persona lógicamente cultivada puede analizar los argumentos hasta este punto pero el problema consiste, precisamente, en qué hacer después, pues es entonces donde la lógica se muestra incapaz de proveer el auxilio imprescindible para la tarea evaluatoria. Sin embargo, deberá reconocerse que, en primer término, llegar hasta aquí en el análisis argumental es un razonable primer paso y, en segundo término, seguir explotando analógica o metafóricamente la teoría lógica disponible no es una respuesta conclusiva (no garantiza el éxito) pero es una respuesta prometedora. Debiera ser obvio, por otra parte, que no se pretende que la teoría lógica sea capaz de permitirnos evaluar cualquier argumento; la tesis que se ha pretendido defender es que las posibilidades que ofrece tal teoría para la evaluación argumental excede los estrechos límites de la estrategia traducción–cálculo.


Síntesis

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La perspectiva propuesta puede sintetizarse en la tesis de la riqueza esencial de las relaciones entre lógica y argumentación.111 Entendido en términos críticos, tal punto de vista se opone a la reducción de aquellas relaciones a un patrón exclusivo, a saber, la estrategia traducción–cálculo. Entendido en términos positivos, supone identificar y promover una variedad de formas de interacción entre el conocimiento lógico y la comprensión y evaluación argumentales. El blanco de la crítica son ciertas posiciones extremas de autores que suelen ubicarse en la denominada teoría de la argumentación. La idea que parece subyacer a la postura reduccionista de las relaciones en cuestión se vincula con una cierta concepción de la teoría lógica. Simplificando las cosas podríamos decir que tal concepción es, básicamente, sintactista. Por oposición, la concepción que subyace al enfoque propuesto aquí es, en esencia, de énfasis semántico. Esta oposición cruda no es totalmente justa pero captura, desde el punto de vista analítico, una tensión esencial y resulta, al menos en algunos casos, sugestiva, desde el punto de vista de la explicación histórica. Tal énfasis semántico puede verse auspiciado y, a la vez, fortalecido por la atención a las relaciones entre los planos pre–matematizado y matematizado en la teoría lógica como teoría matemática. Esta atención conduce, por una parte, a valorizar la exploración del concepto semántico pre–matematizado 111 No he encontrado esta tesis en la literatura pero creo que algunos esfuerzos reflexivos resultan afines a la misma —por ejemplo, este es el caso de Parsons, T. (1996).

o pre–teórico de consecuencia lógica112 y, por otra, a comprender la contribución técnica en clave conceptual. Esta operación estimula una gran flexibilización en las formas de explotar tal contribución, aprovechando la misma en su forma más estricta pero también en formas abiertamente analógicas o metafóricas. Esta actitud intelectual es la que gobierna el desarrollo constructivo o positivo de la tesis.

112 Y eventualmente también del concepto pre–teórico de inspiración demostrativa o justificacional. 113 Véase Pereda, C. (1999). 114 Dicho de una forma cruda, puede defenderse una suerte de tesis de la ubicuidad de la teoría lógica, es decir, vindicarse un papel para la misma aún en la comprensión y evaluación de la argumentación subdeterminada (lo cual no equivale a la reducción de estas últimas a casos de la primera). Como el lector seguramente advierte, la tesis de la riqueza relacional (defendida aquí) y esta tesis de la ubicuidad apenas sugerida resultan complementarias. Expresado en forma primitiva, este punto de vista es defendido en Seoane, J. (1997). Se espera desarrollarlo adecuadamente en trabajos futuros.


Pereda113 distingue entre argumentaciones determinadas y argumentaciones subdeterminadas. Las primeras son casos de argumentación deductiva; ejemplos de la segunda lo son las argumentaciones inductivas y las analógicas. Como se ha señalado antes, no se pretende la reducción de toda la tarea de evaluación argumental al ejercicio del análisis lógico. Las argumentaciones subdeterminadas pueden exigir, para su comprensión y evaluación, novedosos recursos analíticos. La sugerencia que surge de los desarrollos precedentes, no obstante, es que tal vez la revisión de las relaciones entre lógica y argumentación —la tesis propuesta en este capítulo— influya en la comprensión de la interacción entre teoría lógica y argumentación subdeterminada. Pero esa es otra historia.114

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Alfabeto • de la lógica proposicional • de la lógica de primer orden Algoritmo Altura de una fórmula Análisis veritativo–funcional Argumento/Argumentar/Argumentación • deductivo • idealmente justificado • lógicamente correcto • por absurdo • válido Asignación de valores de verdad • variante Axioma/s • de Extensionalidad • de Par • del conjunto potencia • esquemas de • lógicos Bicondicional Cardinalidad Clase propia Compacidad Complemento Composición de funciones Condicional • transitividad del Condicionalización Conectivos Conectores Conjunción • propiedades de la Conjunto/s • adecuado de conectivos • de las fórmulas • de los términos • definición por comprensión


Índice analítico

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• definición por extensión • equipotentes • inductivo • intersección de • numerable • par • potencia • unión de • unitario • vacío Consecuencia • lógica • teórico–demostrativa • teórico–modélica Consecuente Consistencia Constante de individuo Contingencia Contradicción Contraposición Corrección argumental Cuantificador • existencial • universal Decidibilidad Demostración • por absurdo Diferencia Disyunción • exclusiva • inclusiva • propiedades Dominio de interpretación Elemento maximal Elemento máximo Elemento minimal Elemento mínimo Estructura–L Falacia Formalización Fórmula/s • abierta


• atómica • cerrada • cuantificacional monádica • interpretación de Función • biyectiva • imagen (de una función) • inyectiva • sobreyectiva • total • veritativa asociada Igualdad Inclusión • estricta Inconsistencia Inducción • principio de • principio de inducción ampliada Intercambio definicional Interpretación • de L • de términos Isomorfismo Lenguaje • de orden uno • formal • lógico proposicional Letras • de enunciado • de función • de predicado Leyes de De Morgan Lógica de predicados Metalenguaje Modelo Modus Ponens Modus Tollens Monotonía Negación Palabra Par ordenado Paradoja de Russell

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Partición Principio de composicionalidad Principios lógicos • de identidad • de no contradicción • del tercero excluido Producto cartesiano Prueba • por absurdo • por inducción Realización de L Reglas • de igualdad • de inferencia Relación • antisimétrica • asimétrica • binaria • de equivalencia • de justificación • de orden • de orden débil • de orden estricto o fuerte • de orden total • inversa • irreflexiva • reflexiva • simétrica • transitiva Reemplazo de fórmulas equivalentes Satisfacción Semántica • denotacional • extensional Sentido Símbolos • auxiliares • de constante Sistema/s • axiomáticos • de deducción natural • deductivos


• formal Subconjunto • propio Tablas analíticas Tautología Teorema Teoría • axiomática formal • de conjuntos Zermelo–Fraenkel Términos Transmisión de la verdad Validez • teórico–modélica Variables • de enunciado • de individuos • libres

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Seoane Logica y Argumento

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