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La propiedad 2 se conoce con el nombre de fórmula de los complementos. En particular, como p(1 2:1 ) = 2 •ro·/2 dt = n resulta 2:'

( r (� n=p �)J DJ [r(�)J2 2' 2

y

como

r rp) > °

2

r(l)

para todo p > 0,

por inducción, resulta que para todo p se verifica (P + 2:1 ) (2p 2-Pl )!! n (Con el símbol o (2p - l )!! se designa el semifactorial de 2p - l que, por definición, es el producto (2p - 1) (2p - 3) ... 5.J. 1 . Análogamente, el semifactorial de 2p es (2p)!! = E N

y,

r

(2p) (2p-2) ... 6.4.2.)

32

r:;; v

Ejercicios de autocomprobación

Calcular las siguientes integrales: r x log x dx. 3 3. r2 sen " x dx rn/2 dx 4. 1

2.

•

0+

• o

n E N.

-

• 0+

5. 6

.

�

rh dx 1+x6 r1- �(l+X)d� (l-x)

• o

• -1+

33

Soluciones de los ejercicios de autocomprobación 1. Sea a > O.

y

2.

pasando al limite cuando a-- + se obtiene 00

Sea y

Haciendo el cambio de variable X2 = t resulta

a

E

(O, 1).

Con el cambio log x = -t/4 se deduce I x3 logx dx= - /6 f:410g, te -/ dt

pasando al limite cuando a--O + resulta 1r x3 logx dx= 1 (2 = 16 --

.0+

3. Se tiene

)

X

2,8

1 16

-­

n! n+2 -'1 21 ) f 2 sen n dx = 1 (o

34

f

11/9

ANALlSIS MATEMATICO 1

Ahora bien, si

y SI

n=2k-1, �2f3(n+2 1 ' _2I)=�2f3(k' �2)=�2

r

G) (k+1) -

(k) í

í

2

(k-1)! 2k-1 (2k-2)!! (2k-1)!! (2k-1)!! ( - )!! n!!

=n 1

n=2k,

=2"1 (2k2k.-I)!!kl n

(2k -1)!! n (2k)!! 2

(n-1)!! n

n"

luego

r

n!2

.0

4.

sen"

"2'

f (n_-I)!!_

xdx= )

.:...

--,-,--:

n!!

si

(n-1)!!n SI. n t n!! 2

es par

f - dx =f - x xdx=-1 f3(1-, �)= 2 4 -jtgX (�) (�) n 1-= r(1) 2 n 2 4 =fin n!2

n!2

0+

0+

í

scn -I!2

COSI!2

í

sen-

35

11;10

5.

ANALlSIS MATEMATICO

Sea (X> o. Haciendo el cambio

x

3

= tg t se obtiene

y pasando al límite cuando (X-> + OC! resulta

n 6 6.

sen

n n 3 (j

Sean ¿; y r¡ dos números reales tales que 0< ¿; < r¡ < 1. Haciendo el cambio de variable x = 2t-1 resulta

y pasando al límite cuando ¿;-> -1 + Y r¡-> 1- se obtiene

n sen

36

�

=

2n

J3

1

Tema IH Límites superior e inferior de una sucesión de números reales.

Esquema/Resumen 3.1. 3.2.

3.3.

Subsucesiones. Puntos de aglomeración. Limites superior e inferior.

En este tema se estudian algunas cuestiones complementarias sobre sucesio­ nes de números reales que se utilizarán en los temas posteriores. Cuatro son los nuevos conceptos introducidos en el tema: el de subsucesión o sucesión extraída de otra, el de punto de aglomeración de una sucesión y los de límite superior e inferior de una sucesión de números reales. Se dice que una sucesión (bn) es una subsucesión o una sucesión extraída de cuando existe una aplicación f de N en N estrictamente creciente tal que para cada n E

(an) bn = af'nl

otra

N.

Se dice que un a E [J;\ es un punto de aglomeración de una sucesión cuando existe una subsucesión (bn) de (an) que tiene por límite a.

(an)

El límite superior de una sucesión (an) de números reales es el límite de la suceSlOn (bn) definida por bn=sup {ak:k;;,n} para cada n E N en el caso de que la sucesión (an) esté acotada superiormente, y CIJ en otro caso.

+

El límite inferior de una sucesión (an) de números reales es el límite de la suceSlOn (bn) definida por bn = inf{ ak : k ;;' n } para cada n E N en el caso de que la CIJ en otro caso. sucesión (an) esté acotada inferiormente, y -

37

3.1.

SUBSUCESIONES Definición: Sean (a n) y (b n) dos sucesiones de números

reales. Se dice que (bn) es una subsucesión o una sucesión extraída de la (an) cuando existe una aplicación f: N--> N estrictamente creciente tal que b n = a¡, n) para todo n E N.

Ejemplo: Sea (an ) la sucesión de números reales definida por a n = ( -1)" para n cada E N. Las sucesiones (b n ) y (c n ) definidas, respectivamente, por bn = -1 Y cn = 1 para cada n E N son dos sub sucesiones de (an), pues para J(n) = 2n - 1 Y g(n) = 2n se tiene b n = a¡ln) Y c n = a g1 n )· Si (a n ) es una sucesión de números reales tal que (bn) es una subsucesión de la (a n ) entonces lim bn = a. n Proposición:

n

lim

an = a E

IR

Y

Demostración: Sea f: N--> N una aplicación estrictamente creciente tal que b n = a¡, n) para cada n E N. Se tieneJ(1)�1 y, siJ(n-l)�n-l, entoncesJ(n» n-l, ya que J es estrictamente creciente. Por consiguiente, J(n) �n para todo n E N. todo

Además, para cada entorno N(a) existe un no E N tal que a n E N(a) para Pero para todo n�no esJ(n)�n�no y, por tanto, b n = a¡l n) E N(a), luego,

n � no'

efectivamente, lím

n

b n = a.

Proposición: Sean (a n ) una sucesión de números reales,J y 9 dos aplicaciones de N en N estrictamente crecientes y tales que J(N) \) g(N) = N Y (bn) y (cn ) las subsuce­ siones de (an) definidas, respectivamente, por bn = a¡, n) y c n = ag( n) para cada n E N. Si lim

n

b n = lim c n = a E IR, n 39

ANALlSIS MATEMATlCO

111;4

entonces

I

li,m a, = a Para cada entorno N(a) existen dos números naturales n, n 2 talg(nes) }queDemostración: b, E N(a) para todo n;,n, y c, N(a) para todo n ;' n 2 . Sea no =max{f(n }, consideremos un n;,no. Como J(N) g(N) = N existe un m E N tal que 2 n =J(m) o n = g(m). Si n =J(m) entonces J(m);,J(nt l y, por tanto, m ;' n" l u ego a,= b m E N(a). Análogamente, si n = g(m), entonces m;,n 2 y, por tanto, a,=c m E N(a). Por para cada entorno N(a) existe un no N tal que a, N(a) para n;,no, luego, li,m a, = a. todo consiguiente, Ejemplo: Sea (a,) la sucesión de números reales definida por r ljn SI n es Impar a,= ) ljn2 SI n es par y sean (b,) y (c,) las subsucesiones de (a,) definidas, respectivamente, por y SiJ(n) = 2n - l y g(n) = 2n se tiene J(N) ug(N)= N, y como Iím b , =lÍm c, =O, tam, , bién Iím, a, = O. Y

y

E

U

E

Proposición:

sión monótona.

¡

E

De toda sucesión de números reales se puede extraer una subsuce­

Seaes (a,) una suceSlOn de números reales y sea A el conjunto desea lovací s Demostración: números natural n tales que a. > am para todo m > n. Puede ocurrir que A o, finito o infinito. Sin,rtA,A esexiste vacíouno nfinito7 existe un n, E N mayor que todos los elementos de Como 2 > n, tal que a";,a,, Como n 2 rtA , existe un n3 > n 2 tal que a";,a,, Continuando este proceso, se construye una sucesión (bk) = (a,J que es una subsucesión creciente de (a.). Si A es n, < n 2 < n3 < . . . son los infinitos elementos de A, según la infinito y definición de A se tiene a" > a,, > a,,, > . ., y (bk) = (a,,) es una subsucesión creciente de (a,). A.

Proposición: De toda sucesión acotada de números reales se puede extraer una subsucesión convergente.

Demostración: Sea (a,) una suceSlOn acotada de números reales. Por la pro­ anterior, de (a,) se puede extraer una subsucesión (b,) monótona y como posición (a,) es acotada, también l o es (b,), luego (b,) es convergente. 40

111/5

ANALlSIS MATE MATICO I

3.2.

PUNTOS D E AGLOMERACION

3.2. 1. Definición: Se dice que un a E IR es punto de aglomeración de una sucesión (a,) de números reales cuando existe una subsucesión (b,) de (a,) tal que

lim, b, = a.

Ejemplos:

La suceSlOn (a,) definida por a, = ( - 1) " para cada n E N tiene como puntos de aglomeración - 1 1 , puesto que 1.

y

,

,

,

n

a , = ( - 1)"n para cada n E N tiene como puntos 2.de Laaglosucesión meración(a,)- defini+da porpuesto que Iim, az, = Iim, 2n + li,m a Z,_¡=li,m - (2n - l) = - ro Si (a,) es una sucesión de números reales tal que lim a, = a E IR, , ro y

ro,

=

y

ro.

Proposición:

entonces a es el único punto de aglomeración de (a,). Demostración: Proposición:

ag lomeración.

Para toda subsucesión (b,) de (a,) se verifica li,m b, = a.

Toda sucesión de números reales tiene al menos un punto de

Demostración: De toda suceSlOn de números reales se puede extraer una subsucesión monótona que tendrá límite finito o infinito según esté acotada o no. siguientedeproposición una caracterización puntos3.2.2. de agloLameración una sucesiónnos deda números reales. importante de los Proposición: Un a E IR es punto de aglomeración si y sólo si para cada entorno N(a) y cada número

reales natural n m tal que a,

E

de una suceSlOn de números natural m existe otro número

� N(a). Demostración: Supongamos, en primer lugar, que a es punto de aglomeración desucesión (a,). Entonces existe una aplicación f : N N estrictamente creciente tal que la (bk) definida por bk= af (k) para cada k E N tiene por límite a, por tanto, para cada entornonatural N(a) existe un ko E N tal que bk E N(a) para todo k� ko, si m escondición un número { ko, m} el número n = f(k) verifica la del enunciado,arbitrario puesto que k=max af (k) = bk E N(a) f(k)�k�m. Recípkrocamente, supongamos que se verifica la condición del enunciado para cada E N, pongamos y,

--->

y

y

y

y,

41

ANA LISIS MATEMATICO I

1 II¡6

(a) = { (a -(k,l/k,+a00+k)]l/k) aaa == -oo + oo Sea n I un número natural tal que a n ¡ I(a). Por hipótesis, existe un número n 2 n I tal que a n (a) por inducción, se obtiene una sucesión crecien­ natural 2 tesubsucesi de números natural e s (n,) tal que a n ,(a) para todo k N. Es evidente que la ón (b,)de=(a(anJn). de (an) así obtenida tiene por límite a, luego a es punto de aglomeración N,

>

3.3.

[

,

E N

SI SI SI

00,

E N

y,

,

E Ihl

E N

E

LIMITES SUPERIOR E INFERIOR

E

Sea (an ) una sucesión de números reales para cada n N, conside­ remos 3.3.1. el conjunto An = {a, k ;¡, n) n N acotada superiormente, para todoes decre­ exila stesucesisupónA n(supAn) comoSiAlan +sucesión A n se(an)tieestá , l u ego . L ,;; s upA ne supA n n ciente por tanto, tiene límite en + limn (supAn)=inf{supA n :n N). Este límite es ounno.número real o - 00 según que la. sucesión (sup A n) esté acotada inferiormente Análogamente, si la sucesión (an ) está acotada inferiormente, existe infA n para todo n N la sucesión (infA n ) es creciente por tanto, tiene límite en limn (inf An ) sup {infAn : n N }. Este l í m ite es un número real o + según que la sucesión (inf A n ) esté acotada superiormente o no. :

y

l

e

.

E

Ihl:

y,

E

y,

E

y

Ihl:

y, E

=

00

Definición: Sea (a n ) una sucesión de números reales deremos el conjunto n = {a, : k ;¡, n} .

A

de

Ihl

Se llama límite superior de la sucesión (an)

se designa por

Ihl definido por

E

N, consi­

limn an al elemento

si (a n) está acotada superiormente en otro caso

Se llama límite inferior de la sucesión (a n )

42

para cada n

definido por

(sup An) de

y

y,

y

se designa por

linm an al elemento

ANALlSIS MATEMATlCO

11117

1

(a.) está acotada inferiormente lim a. = { Iim -(inf A.) ensi otro caso. Si (a.)reales una de ser 3.3.2. un número o -sucesión acotada superiormente, su límite superior pue­ •

_

•

00

oo.

y

Sea (a.) una sucesión de números reales sea a sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:

Proposición:

Iím a. = a si •

1.

y

Para cada x > a existe un m

E Ihl. Entonces

E N tal que a. < x para todo n;;.m.

y < a cada número natural m existe otro número natural n;;.m Demostración: Para cada n E N sea A. = {a k : k;;.n}. Por definición de límite superior es Iim a n = a E Ihl si sólo si inf { sup A n : n E N } = a E Ihl, esto ocurre cuando sól o cuando se verifican las dos condiciones siguientes: a) Para cada x > a existe un m E N tal que sup Am < x. b) Para cada y < a para cada número natural m es y <sup>y.

y

Y

y

y

•

y

Proposición:

- oo.

y

•

(

y

•

-":fJ SI Y

y y

y

•

Proposición:

•

1 . Para cada x > a tal que a. < x.

y

cada número natural m existe otro número natural n ;;' m 43

111/8

ANA LISIS MATEMATlCO I

2. Para cada y < a existe un m E N tal que a. > y para todo n � m. Proposición:

y sólo si

Iím• a.

=

Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces + OO

•

lí•m a.

=

+ 00 si

lím• a. a. Demostración: Si a + 00, entonces (a.) no está acotada superiormente, luego c E IR para cada número natural m existe otro número natural n � m tal para cada que a. (c, + 00) y por la proposición 3.2.2, + 00 es un punto de aglomeración de la sucesión (a.) y, evidentemente, es el mayor. Si a - 00 entonces lím• a. - 00 y, por tanto, - 00 es el único punto ae aglomeración de (a.). mente, natural suponganomostalquequeaa.E todo O y m E N. Como a + B > a, exiexisteste ununFinalnúmero número n � no y como a - B < a, natural n � máx {m, no} tal que a. > a - B. Por consiguiente, existe unun número natural n � m tal que a. E (a - B, a + e) y, por la proposición 3.2.2, a es puntode agldeoaglmeración omeraciónX > a,deel(a.). Además, es el mayor, pues si (a.) tuviese otro punto i giendo un y E IR tal que X > y> a, por ser punto denatural aglomeración y ser X > y, para cada número natural m existiría otro número n tal que a. > y, y por ser a punto de aglomeración y ser y> a, existiría un m E N tal que a. < y para todo n � m, y estas dos propiedades son incompatibles. De manera análoga se demuestra la siguiente Sea (a.) una sucesión de números reales tal que I í m a. a. Enton• 3.3.4. Proposición: Sea (a.) una sucesión de números reales tal que Entonces a es el mayor de los puntos de aglomeración de (a.). Y

E

=

=

=

=

x

Proposición:

-

ces a es el menor de los puntos de aglol eración de (a.). 3.3.5.

Proposición:

=

Sea (a.) una sucesión de números reales. Entonces

•

•

-

y

Iím• a. lím• a. a si y sólo si Iím• a. a. límitedeinferilos opuntos r y el límite respecti mente, Demostración: el menor y el Elmayor de aglosuperior meracióndede(a.)(a.)son,y, por tanto,va­ lím• a. lím• a•. =

=

=

�

44

ANALlSIS MATEMATICO

111/9

I

y

Si límn an límn an = a, de las proposIcIOnes de 3.3.2 3.3.3 se deduce que si entonces Iímn an + (resp. Iímn an = que a + (respectivamente, a = si a E IR entonces para cada e > O se tiene a -e < a < a + e por tanto, existe un m E N tal que a - e < an < a +e para todo n:;;,m, luego Iíma n n = a. Finalmente, si Iímn an = a entonces a es el único punto de aglomeración de (a n) como el límite inferior el límite superior de (a n) son puntos de aglomeración de (an), será Iímn an Iímn an a. =

00

=

-

y

00)

=

00

y,

- 00) y

y

=

=

45

Ejercicios de autocomprobación 1. 2.

3.

Sea (a.y )(auna.) sonsuceSlOn de números realquees, talla sucesión que las (a.subsucesiones (az._¡), convergentes. Probar es convergente. ) 3 Probar que la sucesión (a.) definida por

(az.)

es convergente y calcular su límite. Sea (a.) una sucesión de Cauchy de números reales y sea un punto de aglomeración de (a.). Probar que (a.) es convergente y que Iím a. = a. Sea (a.) una sucesión de números reales. Probar que Iím ( - a.) = _Iím Sean y (b.) dos sucesiones de números reales. Probar que se verifican las desigual(a.d) ades a

•

4.

•

5.

a •.

a) Iím +Iím b. ,¡;;lím (a. + b.) ,¡;;Iím a. + lím b. b) Iím a. + Iím b.,¡;; Iím (a. + b ) ,¡;;lím a. lím bn siempre que las sumas estén definidas. Sea (a.) una sucesión de números reales positivos. Probar que n

n

6.

•

a.

n

n

n

n

n

n

n

n

+

n

47

ANALlSIS MATE MATICO 1

111, 1 2

límn an lím a n límn an >O + CO límn a n =O Sean bn) dos dsucesiones verific(aann) las (desigual ades de números reales positivos. Probar que se a) (lí� an) (lí:n bn)�lí� (a" bn) � (lí� an) (lí�bn) b) (lí:n a n) (lí:n bn) �lí:n (anbn) � (lí� an) (lí:n b") siempre que los productos estén definidos. Sea (an) una sucesión de números reales positivos. Demostrar las desigualdades SI

p -

7.

8.

SI

y

y

9.

n lím" aan+!,;: lím n n �aUn' Hallar los límites superior e inferior de la sucesión (an) definida por _ I)n n a) a n =( ( + �) b) an 2n+(3n+2 n :rc " c) an =n sen-n3:rc d) an =( - I)n +sen T Sea (an) una sucesión de números reales positivos tal que límn (an + ¡jan) < . Probar que línm an =O. _

-

10.

48

1) "

"' _ y

1

1

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación 1.

subsucesión Toda por límdeite unaa. sucesión converge con límite a es también convergen­ te tiene Las sucesiones ) (a3de nellas, La sucesión (a6n- 3) es una convergentes. ) son luego 2n-tuna es convergente ón de (acada subsucesi y

y

y

Iímn a2n- t = límn a6n- 3 = límn a3 n La sucesión (a6 n) es una subsuce­ es convergente de cada una(a2n)de el(a3lans,) sonluegoconvergentes. siLasón sucesiones Iímn a2n = límn a6n = Iímn a3n Por consiguiente, Iíma n 2n n 2n_ t = líma (a de común mite í l el es a si g (n) = 2n, (a t) f (n) = 2n-l ) 2n2n como f ( N) u g ( N) = N, Iíman =a Como a2 = 4 a4 = 1 3/4 se tiene a4 -a2
y

y

n

2.

y

y

1

y

Y

1

49

111 ( 1 5

ANALlSIS MATE MATICO 1

= 43 a2n + 2 - 41 (a2n+a 2n + I)- 41 a 2n = 43 a2n + z - '21 Q2n + 2 - ¡ aZ n < o.

Por inferiormente acotada está (a sucesión a l tanto, Además nte. e decreci es ) , 2n convergente. es ego u l N), n todo para O > (an E que la essubsucesión análoga se prueba De manera convergente.(a2n- 1) es creciente está luego también . superiormente, acotada y

Y

Sean a =límn a2n b=línm a2n- l. Como y

lím a2n_1 =b=línma 2n_ 3, se tiene a -b = lím(a2n n -a2n_l) =0 f(n)=2n g(n)=2n-l es f(N) u g(N)=N por a=b. Pero(an)para es decilra, sucesión tanto, es convergente límn an =a Además, sumando miembro a miembro las igualdades y

y

50

simplificando resulta

y

y,

1 11 1 6

ANALlSIS ).1ATEMATICO I

y pasando al límite se obtiene

es decir,

2a + a = 9, a=3

3.

Observemos en tanto, primercuallugar quesubsucesi por serón extraíunada desuceslOn de Cauchy está acotada y, por q uier el l a también está aco­ tada, luego E Por ser unaparasucesión de Cauchy, para cada O existe un EóNn talde que es un punto de agl o meraci y como existe un número senatural Por consiguiente, verifica tal que E para todo (an)

IR.

a

(Un) IU", - unl < 6/2

m,

n ? no

U

n ? no, m ? no

6>

am

no

(an)

(a - [;/2, u + [;/2).

6 6 l a n - a l -"": ":::: l a n - a m 1 + la m - a l < - + - = 6 2 2

luego

-

n

4.

Si está acotada inferiormente entonces y, por tanto,y se tiene supestá acotada -inf superiormente (an)

SI A n = {a k : k ? n}

Y

( - an)

Bn = { - ak : k ? n},

n

n

n

n

Si no está acotada inferiormente, entonces lím y ( no está acotada superiormente, luego lím y también se verifica la igualdad del enunciado. Si y están acotadas superiormente y (un)

n

(an)

an =

-

00

- an)

( - an) = + 00

n

5.

An

Bn =

(hn)

entonces y, por tanto, n

Si

(an)

o

(bn)

n

n

=lím (sup n

A n) + lím n

n

n

(sup

Bn)

no están acotadas superiormente, entonces Iím + lím n

an

n

bn = + 00

i1

111;17

ANALlSIS MATEMATICO 1

y también en este caso se verifica la segunda desigualdad de a). La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del ejercicio anterior: Iím a. = lím (a. + b. - b.) ,;; lím (a. + b.l + Iím ( - b.) n n n n = lím (a. + b.) - Iím b. •

•

De manera análoga se demuestran las desigualdades de b).

6. Si Iím a. > O entonces la sucesión (a.) está acotada inferiormente y, por tanto, la sucesión ( l /a.) está acotada superiormente, y si •

se tiene sup B. = I/(inf A.) y, por consiguiente, 1 1m -= l'1m (sup

'

n

l

a"

n

(:---) --

1 f = B .) = ]'1m n In A n

l

.

l'1m a" •

Si Iím a . = O, para cada k > O existe un

n E

N tal que a. < I/k, es decir, I/a. > k

y, por tanto, la sucesión ( l /a.) no está acotada superiormente, luego •

1 Iím - = + 00 a. •

7,

Si (a.) y (b.) están acotadas superiormente y

entonces sup C. ';; (sup A.) (sup C.) y, por tanto, Iím (a.b n) = lím (sup C.) ,;; lím (sup A.)(sup Bn) n • n = [lím (sup A n)] [lím (sup B.)] n •

= (lím a n) n 52

(lím bb)' n

ANALlSIS MATEMATICO 1

1II/ 1 �

Si (an) o (b n) no están acotadas superiormente entonces (límn an)(límn bn) + 00 y también, en este caso, se verifica la segunda desigualdad de a). La primera desigualdad de a) se deduce ahora aplicando el resultado del eJerCICIO anterior: Si Iím bn > O, =

n

-

=[Ií� (an b,JJ lí� bn n y si límn bn=O, la desigualdad es evidente. De manera análoga se demuestran las desigualdades de b). Probaremos oga. sólo la primera desigualdad. La segunda se demuestra de manera anál Sea a = límn (an+ I/an). Si a = + 00, no hay nada que demostrar. Supongamos pues que a E sea b > a. Entonces existe un m E tal que an dan < b para n � m y, por tanto, todo -

8.

lJ\Ii Y

lJ\Ii

+

y por inducción resulta que para todo E N, o lo que es igual, k

para todo n > m. Por consiguiente, para todo n > m, y como

Iímn y!a m b m = 1, 53

1 1 1/ 1 9

ANALlSIS MATEMATICO

se tiene Como esto es cierto para todo b > a, resulta 9.

lO.

Y

a) 1 - 1 ; b) 1 1/3; 00 Sea a > un número real tal que y

°

e)

E

+

y

Entonces existe un m N tal que an

-

+

00;

d)

l /a n
2

por inducción resulta que

para todo E N, es decir, k

para todo n > m, como y

54

lím a n - m = O, n lím an = O n

- ( 1 + I/fi).

para todo n � m por tanto,

a rn + 1
y

Y

y,

1

TEMA IV Series de números reales

Esquema/resumen Series de nlÍmeros reales. 4.2. Series alternadas. 4.3. Series de términos no negativos.

4. 1 .

Combinando ladeadiciunaónsucesión con el paso al límiterealse epuede dar sentido a la suma de l o s términos de números s. Si A n es la suma de lloasman priserimeerosde térmi términos de la sucesiy seón designa (an), el par de sucesiones ((a n), (A n)) se n o general por L a . El número real A n se límóiten, filanisuma to A, suma de la seriye.elSinúmero la sucesiAónes,(Aporn) tiene sedel amadilaceserie. definici que Enlparcial a seriotroe n-sima escaso, convergente se dice que la serie es divergente. mentalvosde esconvergenci vamenteUnposicriterio tivos ely enegati el criterioa deparaLeiseribnietsz.de términos alternati­ Como la sucesi ótendrá n de laslímsumas parcioaliensfinidetounasegúnseriequede esté térmiacotada nos no negati v os es creci e nte, ite f i nito superiormente o ono.si laPorsucesiconsiguiente, una seriparcie dealestérminos no negati voosr­ converge si y sól ó n de sus sumas está acotada superi mente.a oDedivergenci este hechoa deresulunatanseridose decriteritérminos os general enegativos, s para decidir la conver­ genci no l o s criteri os de comparación. Pory decomparación concriterilaso serimuyes útigeométricas se deducen los critposi eriostivdelos coci e nte l a raí z . Un l para l a s seri e s de términos decrecientes el criterio integral. an

.

e3

55

4. 1.

SERIES DE N U MEROS REALES

Sea (an) una sucesión de números reales sea (An) la sucesión definida por y

)

para secadadesigna n E N. El par de sucesiones ((an), (A n ) se l a ma serie de término general por L a.. El número real A n se l ama suma parcial n-sima de la serie

a" y L a n•

Se dice que la sene L a n es convergente cuando existe es finito el límite =lím(a¡ + a2 + ···a n) límA n n n este límite es igual a A ( E IR), se escribe y

y SI

se dice que A es la suma de la serie L a.. Cuando el limite anterior no existe o es infinito, se dice que la serie L an es divergente. Una su término condición necesari a para la convergenci a de una seri e es que general tienda a cero. y

límn an = O. Demostración: Sea A la suma de la serie sea (A n) la sucesión de sus sumas Proposición:

Si la serie L a n es convergente, entonces y

57

lV¡4

ANALlSlS MATE MATlCO

parciales. Entonces

Iím A. = A •

1

y como a. = A. - A. _ l ' lim a . = A - A = O. •

Una serie L a . es convergente si para cada E > O existe un número natural no tal que Proposición. (Criterio de Cauchy):

y

sólo si

siempre que n > m ;;' no.

tener en cuenta n (A.) dede laCauchy s sumasy par­ la serie L a.Basta es convergente si y sólqueo si laessuceSl una Osucesión que ciales deDemostración: Ejemplos:

La serie armónica L ( l/n) diverge, pues para todo m

1.

a m + l + a m + 2 + ··· + a m + m =

E

N

es

¡ 1 1 m ¡ =+ · ·· + -- > + m 2 m + m 2 2 ¡ m+ m+ --

--

y la condición del criterio de Cauchy no se verifica para 1/2. Este ejemplo prueba que la condición lima. = O, necesana para la convergencia de la serie L a., no es suficiente. 2. Sea r un número real. La serie geométrica I r· converge Irl < 1 diverge si Irl ;;' 1 . En efecto: Su suma parcial n-sima es E ';;;

•

oc

n=O

SI

Y

y como lím r· + l = O si Irl < l, la sene converge y tiene por suma 1/( l - r) cuando cambio, deIrl
Sean L a. y L b. dos series convergentes. Entonces, para todo par de números reales a, {J, la serie L (aa. + {Jb.) es convergente y Proposición:

00

oc

00

n=l

n :::o l

n= l

I (a a. + {J b.) = a I a. + {J I b

Demostración: 58

Basta tener en cuenta que

•.

IV¡5

ANALlSIS M A TEMATICO 1

y

m

m

n= 1

n= 1

pasar al límite cuando m tiende a +

n= 1

CIJ.

Si en una serie I, a n se intercalan (respectivamente, se suprimen) un número finito de términos cuya suma es S, la serie obtenida tiene el mismo carácter, convergente o divergente, que la primera y si A es la suma de I, a., la nueva serie tiene por suma A + S (respectivamente, A - S). Proposición:

Demostración: Supongamos que se han intercalado k términos. Designemos por I, b n la serie obtenida sea am el primer término de la serie dada posterior a todos intercalseados.tieneSi A n Bn son las sumas parciales n-simas de I, an I, bn respectilosvamente, y

Y

y

SI y

SI

para todo n ;¡, m - l , de donde se deduce que I, bn es convergente sólo lo es I, a n que si ¿ a n = A, entonces ¿ b n = A + S. n= 1 n= 1 La demostración para el caso de supresión de términos es análoga. y

4.2.

00

'"

SERIES ALTERNADAS

n (an) es una sucesión de números reales positivos, la sene I, ( _ 1 ) a n se Si llama serie alternada. Si (an) es una suceSlOn" de números reales decreciente y con límite cero, entonces la serie alternada I, ( - 1 ) a n es convergente. Proposición. (Criterio de Leibnitz):

L( _

Sea (An) (alan) essucesión s sumas Como la sucesión decreciedente,lapara cada parcial n E N esse deverifliacanserie

Demostración:

1)n a n 0

y

ltiene uego límite por tanto, la suceslOn (A 2n) es decreciente está acotada inferiormente finito. De maneraluegoanáltambién oga se vetienequelílamitesucesión superiormente, finito. (A 2n - l) es creciente está acotada Además, como la sucesión (an) tiene por límite cero, línm A 2n - A 2 n _ 1) = límn a 2n O y

y,

y

(

=

59

ANALISIS MATE MATICO 1

IVj6

y,

y

por tanto, l a s dos sucesiones (A 2 ") (A 2 " _ I ) tienen el mIsmo límite A, luego la sucesión (A ") tiene también por límite A.

4.3.

SERIES D E TERMINOS NO N EGATIVOS

Proposición: Sea (a,,) una sucesión de números reales no negativos. Entonces la serie L a " converge si y sólo si la sucesión (A ") de sus sumas parciales está acotada superiormente.

� O para todo n N, la suceSlOn (A ") es creciente tendrá Demostración: límite finito oComo infinitoa" según que esté acotada superiormente o no. E

y

Proposición. ( Primer criterio de comparación): Sean (a ") y (b ") dos sucesiones de números reales tales que O � a " � b " para todo n � m. Si la serie L b " es convergente, entonces la serie L a " es también convergente. Si la serie L a " es divergente, entonces la serie L b " es también divergente.

y

L b"

Y

respectivamente,Si (seA ")veri(Bfic"a) son las sucesiones de las sumas parciales de L a"

Demostración:

para todolonestá � m. De aquí resulta que si la sucesión (B") está acotada superiormente, también mente, tampoco lalo sucesión está la (B(A",,).) que si la sucesión (A") no está acotada superior­ y

Y

Sean (a ") y (b ") dos sucesiones Y supongamos que b " > O para todo n

Proposición. (Segundo criterio de comparación):

de números reales tales que a " � O

EN

lím" ab"" =1 E IR.

Si i' O, entonces las dos series L a" y L b " tienen el mismo carácter. Si L b " es convergente, entonces la serie L a " es también convergente.

I

Y

1=0 la serie Demostración: Si I i' O, existe un m N tal que para todo n � m se verifica E

y,

y

por tanto,

para criterioLde(3/2)comparación. (Obsérve­ secarácter). que concl por userir, basta 1i'0 laplas icartres dosseriesvecesL bel", primer L ( 1/2) l b " l b " ¡¡enen el mismo 60

y

ANALlSIS M ATEMATlCO I

IV/7

por m E 1\1 tal que para todo n ;;' m se verifica anlbn ,,;; 1 se sigue también del primer criterio de comparación. el resuluntado tanto, aSin <1 =bn0, existe Observación: En el segundo criterio de comparación, si 1 = 0 la serie L. b n es no se puede afirmar nada sobre el carácter de la serie L. ano Si son a n O divergente, b,, = 1 para todo n E 1\1, es 1 = 0 la serie L. an converge. Si son a n = l ln bn = 1 para todo n E 1\1, es 1 = O la serie L. a" diverge. una función posltwa de­ Sea f: [ 1 , la integral creciente + para cada n E 1\1, sea a " f(n). Entonces, la serie L a n r impropia f tienen el mismo carácter. Demostración: Sea (A n) la sucesión de las sumas parciales de la serie L a no Por ser f decreciente, para cada k E 1\1 se verifica f(k+l) ,,;; rk+k f,,;;j(k) es decir, y,

y

=

y

y

y

y

y

Proposición. (Criterio integral): y, =

+ w) -> IR

y

y

oc.

•

1

1

•

y

sumando desde k = 1 hasta k = n estas desigualdades se obtiene

de aquí resulta rue+ � la sucesión ( An) está acotada superiormente integral impropia f es con vergente. y

•

SI

y

sólo la SI

1

Ejemplos:

Sea p un número real. La serie L (rl +lnP)� es convergente si p > 1 divergen­ te p ,,;; 1 puesto que la integral impropia ( 1 /xP) dx es convergente si p > 1 divergente si 1 . 2. Del primer criterio de comparación se deduce que la serie L(sen 2 n)/n3 es convergente, puesto que sen 2 n 1 0 ";; --- :::; 3 n n3 para todo n E 1\1 la sene L (lln3) es convergente. 1.

SI

y

p ,,;;

•

1

y

y

61

ANALlSIS MATE MATICO I

IVjH

3.

Por el segundo criterio de comparación la sene L

n (n + l ) ( n + 2) (n + 3)

---:---= __=_

es convergente, ya que

hm.n n2 . (n + l ) (n +n 2) (n + 3) y la sene L ( ljn2) es convergente. Proposición. (Criterio del cociente): positivos y sean 1,

+1

a ll éI. = -lm -­ an

1

Sea (a n) una sucesión de números reales

y

"

f3 < 1 entonces la serie L an converge. Si 1 entonces la serie L an diverge. Supongamos lugar que f3 < 1 sea x un número real f3 < x < l . Entonces tal queDemostración: m E N tal que existe enun primer él. >

Si

Y

para todo n � m. En particular, y para todo E N, luego para todo n � m se verifica k

donde c = a ", x - m, y la convergencia de L a n se siguen del primer criterio de compara­ ción, pues al ser O < x < 1 , la serie geométrica L x converge. Supongamos ahora que 1 . Entonces existe un m E N tal que a n a n para todo n � m y no se cumple, por tanto, la condición límn a n =O, necesaria para la convergencia de L a n" Observación: En el criterio del cociente, si 1 f3 no se puede afirmar nada sobre el carácter de l a serie L a n• Para las dos series L n - y L n - 2 son f3 1 , pero la primera diverge mientras que la segunda converge. él. >

+

éI. ";

62

,,;

[

él. =

[>

=

ANALlSIS MATEM ATICO 1

IV/9

Proposición. (Criterio de Raabe):

tivos y sean

el= lím, n ( 1 � aa" +" l )

Sea (a ,,) una sucesión de números reales posi­

p=lím" n (1 � a "a+" I ).

y

el> 1 , entonces la serie L a" converge. Si P < 1 , entonces la serie L a" diverge. lugar, que el> 1 sea x un número real talDemostración: que el> > 1 . Supongamos, Entonces existeen unprimer m N tal que para todo n � m se verifica a n (l � " + I » x a" es decir, Si

X

y,

E

Y

por tanto,

luego y

de aquí resulta am + l + ... + a ,, <

(m � x) a m � n a ,, + [ (m � x) a m < '---';--'" x� 1 x� 1

con lo que + la seri e L a " es convergente, porque la sucesión de sus sumas parciales está acotada. Supongamos ahora que P < 1 . Entonces, existe un m E N tal que para todo n m se verifica (m � x) am a l ... + a,, « a l + ... + am) + x� 1

y

>

es decir, (n � l ) a ,, < n a" + 1 y,

por tanto, 63

ANALlSIS MATEMATlCO I

IVIIO

luego a ,, > 2:

mam+ 1 mam + 1 > n n-1

como l a seri e n - 1 es divergente, por el primer criterio de comparación resulta que la serie an es divergente. 2:

y

Proposición. (Criterio de la raíz): y sea

negativos

2: a n

Si ex < 1 , entonces la serie

Sea (a ,,) una sucesión de números reales no

rJ.=lím" :ya:. converge. Si ex > 1, entonces la serie 2: a " diverge.

Demostración: Supongamos, en primer lugar, que ex < 1n sea x un número real tal que de< xla< 1serie . Entonces, existe un m E N tal que a n < x para todo n ?o m la convergencia a n se siguen del primer criterio de comparación, pues al ser O < x < 1 , la serie geométrica 2: x converge. Supongamos ahoralaquecondición ex > 1 . Entonces, a,, > 1 para infinitos valores de n e, por tanto, lím" a n O, necesaria para la convergencia de no se cumpl la serie a.,. ex

Y

2:

y

y

=

2:

Observaciones:

1 . En el criterio de la raíz, si ex = 1 no se puede afirmar nada sobre el carácter de la seri e a., . Para las dos series n - 1 primera diverge mientras que la segunda converge. - 2 se verifica ex = 1 , pero la no ódiln.ucida serie en cambio2., conA veces, el de ella criterí raíz seo deldecicociente de la cuesti Así, elparacarácter la seriede 2:unaa n donde n es Impar n es par se tiene lím ana+n = � criterio de la raíz nos díce que la serie converge mientras que el del cociente no dilelucida. Deahecho, eldecriterio del cocienentecuenta es menos potente que el de la raíz puede (a,,) es una sucesión de números probarse partir éste teniendo que si reales positivos, se verifica 2:

2:

Y 2: I!

y,

SI SI

I

-

8

"

y

y

64

IV/ I I

ANALlSIS MATEMATICO I

Ejemplos:

1. Por el criterio del cociente la sene Ln2/n! converge, puesto que n+-1 =0< 1. hm,n aQdn 1 = l1'mn �2 n Por el criterio de Raabe, la sene . 10 5· ·(5n) I 6 . 11 . (5n+l) diverge, puesto que n ) = límn 1 (1 aQHn 1 ) límn 11 (1 511+5 5n+6 ¡� 5n+6 Por el criterio de la raíz la sene I (2n+ 1 ) converge, puesto que límn � =1ím n+ 1 �-

2.

.

_

.

r

=

3.

"

Il

n

2

Il

b5

Ejercicios de autocomprobación

l. Determinar el carácter de las series siguientes: a) ¿ -n ! 2"

1

11=

c) d) e) f) g)

1

t

2+cos n 1 ¿

,, ;;;:: 1 .�

n� 1

11

n+ Jn

1 " ( I) tg TI = 1 �n 2 n(lo1gn)2 2· 3 · · (n + l ) ¿ n= 1 4·5 · · (n+3) �n 2 (lag1 Il)n 2. Sea un número real no negativo. Estudiar la convergencIa de la serIe X" · 1 � X 2 +X I/ + 1 1

¿

11

"

1

Y.

h)

x

L

"

1

67

IVjl4

A N A L l S I S MATEMA Tleo I

3. Calcular las sumas de las senes ¿ uc

y

F l

4.

Probar que

2 ). log (1 + n(n+3)

+ 1) O. Jím" 23 ·· 5S ." .' (2n (3n- l) 5. Sea (a ,,) una sucesión de números reales positivos. Si la serie L. a " es convergen­ te, ¿qué puede decirse de las series 2

¿� + a"

,, ¿

1 -? . + a"

1 1 ¿Y si la sene L. a" es divergente? 6. Sea L. a " una serie de términos positivos convergente. Demostrar que existe una sucesión (b ,,) de números positivos con limite + para la que la serie L. a " b" también converge. Sea sucesión decreciente de números reales positivos. Probar que si la serie(a,L.,)auna " converge, entonces Jím n a,, =O. Se (bl a,,)masonseriedosaritmético-geométrica a toda serirealeedes talla eforma L. a " b " donde (a ,,) sucesiones de números s a" que a" + p b " q, siendo p "" O q "" 1 . Probar que si b O, la serie aritmético-geométrica b" converge si sólo si Iql < 1 que, en este caso, su suma es y

-

00

7.

"

8.

y

+ 1

=

Y

y

9.

+ 1

=

y

donde , f3 si yrx son y,números es rx> O se converge l ama sene suhipergeométrica. Probar rxque la serierealhipergeométrica suma es y-rx-f3 Calcular las sumas de las senes 1 ¿ (3n-2)(3n+ 1 ) . + fJ <

y

y

�

y

68

""

Una sene L. a " de términos positivos, tal que y

10.

1

Y

,,� l

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1. a) Como b) c)

por el criterio del cociente, la serie converge. Como lim = 1 # O, la serie diverge. Como 2+cos n � -2-1 =-1 --n n n para todo n E N la serie 2:(lln) diverge, por el primer criterio de compa­ ración la serie dada diverge. Como 1 1 l1.m n ' n+yn e 2:( lln) diverge, por el segundo criterio de comparación, la serIe dadala seridiverge. LaLeibnitz sucesión (tg(lln)) es decreciente tiende a O por el criterio de la serie dada converge. Como f ' dt 1 ) I ( 1 dx -= ---l i m m i l lim f" x(Jog x) log2 logGt log2 t2 n

Qn

Y

d)

r.:.

n

y

e) f)

y

y

"- + �

2

2

'Og

"_+ �

log 2

"_ + �

69

IV 1 7

ANALlSIS \1ATE\1ATICO I

la integral impropia f + � [I/x(log dx converge, por el criterio in tegral, la serie dada converge. g) Como 2n 1, a, + 1) = l1m· --=2> limn n( 1 --an n n + por el criterio de Raabe, la serie converge. h) Como 1 _=0< 1, lim" � =Iim" _ log n por el criterio de la raíz, la serie converge. 2. Si x = O, entonces a" = O para todo n E N la serie converge. Si O 1, entonces X) 2]

2

y

4

Y

y

L X"

Y

y

3.

" como l a serie L(l/x converge (serie geométrica de razón menor que 1), por ) el segundo criterio de comparación, la serie dada converge. Como n+2-1 (n+2)! (n+ 1)! (n+2)! ' la suma parcial n-sima de la pnmera sene es 1 A , = �2! (n+2)! por tanto, su suma A es A=li"m A " = 2� .

y,

70

IV/ I B

ANALlSIS MATEMATlCO I

Por otra parte, como 2 ) = log n2 +3n+2 log'-(n+-- :-,l)-'-(n+2) log (1 + n(n+3) n(n+3)�-'n(n+3) = log (n + 1 ) + log (n + 2) - Iog n - Iog (n 3), la suma parcial n-sima de la segunda serie es A " =Iog 3 +Iog(n+ 1)-log(n+3)= log 3 +Iogn+l n+ 3 por tanto, su suma A es A=lim A n =log3 Pongamos 3'5"'(2n+ l) an 2'5"'(3nl) Como 2n+3 -2 < 1 l1m·n aan +1n = l1'nm --= 3n +2 3 por La e seri a l nte, e coci del criterio el a necesari condición la por converge n de con vergencia, limn an =O. 5. Supongamos, en prImer lugar, que la serie Lan converge. Como +

-­

y,

"

4.

--

y,

Por otra parte, como límn an O se tiene límn 1 +a1 n = 1 ", 0 lCIa.a serie 1/( 1 +an) diverge (no cumple la condición necesaria de convergen­ Supongamos ahora que la serIe Lan diverge. Tomando an = I/n resulta =

--

y

L

71

IVi l 9

y

y

y

ANALlSIS MATEMATICO I

esta sene es convergente. En cambio, SI se toma

a,, = l/Jn

resulta

esta serie diverge. Análogamente, si se toma a" = l/n queda 1 =L n Ll + a " n+l esta serie diverge. Pero se toma a" = n2 queda SI

esta sede converge. Por consiguiente, cuando la sene L a" diverge no se puede afirmar nada sobre el carácter de las senes y

y

6.

de laporsene La", (A,,) la sucesión de sus sumas parciales laSeansucesiónla suma definida para n> l. Entonces lim" =lim =0 por tanto, 1 hm. " A +JR.:: + la sene A

R I = A, R,, = A - A " _ I Rn

"

( A - A ,, _ I )

y,

ro

y

converge, puesto que por ser a ,,(A - JR.::J a" R,, - R" + I A+�

su suma parcial n-Sima es 72

y (R"J

ANALlSIS MATEMATICO 1

IVi20

que tiende a fl. Basta tomar, pues, para cada n E N. 7. Por el criterio de Cauchy, para cada o > O existe un no tal que E a m + 1 + Q m + z + .. · + Q n < 2"

E N

sIempre que n > m � no y como la sucesión (an ) es decreciente, y, por tanto,

o (n - m)an < :z

para n > m > no' Fijemos m � no' Como Iímn an = O, existe un n¡ E N tal que ma n < E/2 para todo n � n¡. Entonces, para n > máx { m, n I } se verifica y, por consiguiente, 8.

8 o na n < - + - = 0 2 2

limn nan = 0. Pongamos A n = a¡ b ¡ + a2 b2 + ··· + anb n . Entonces y, por tanto,

n- ¡ n = [a¡ + pq 1 _ q l - q (a¡ + pn _p)q ]b¡ = pn)q n ] b ¡ . a¡ = [a¡ + � + ( l -q 73

ANALISIS MATEMATICO I

IV 21

y

SI Iql < 1 se tiene

lim" (al + pn) q" =O por consiguiente, la sene converge tiene por suma pq A=hm." A" = [-1a¡+ -q (1 - q)2 ] b En cambio, puesto que SI Iq l? 1 no se cumple la condición necesaria de convergencia, lim" la" b " l = lim" l a ¡+(n -l)pl lb ¡l lql" - ¡ = + OCJ, luego la serie diverge. Si (J.+ {3 < y, se tiene a" + ¡ ) lIm' -("y_-:...{3)_.' n y--{3(J. - > 1 l·1nm n (1 - -an n rJ.n + y por el criterio de Raabe, la serie La" converge Pongamos A" =a¡+a2 + . ·+a" . Como para todo n E N es y

y,

l'

9.

=

y

se verifican

y

sumando miembro a miembro simplificando resulta y

es decir, y

74

de aqUl resulta

A"ALlSIS MATEMATICO I

Ahora bien, como rx + {3 < y

y

rx < O,

es {3 < y por tanto y,

an + 1 cxn + f3 an = rxn + y < 1 --

luego an + 1
10.

y

y

su suma es

La segunda es una sene hipergeométrica, siendo y

su suma es

75

TEMA V Series de números reales (continuación)

Esquema/resumen 5.1. 5.2.

5.3.

5.4.

Convergencia absoluta y condicional. Criterios de Dirichlet y de Abel. Reordenación de series. Producto de Cauchy de dos series.

Seabsol diceutosquedeunasusserietérminos es absolconverge. utamenteLaconvergente cuando la seriimple deica losla val o res convergencia absoluta con vergencima,enteperoconvergente el recíprococuando no es cierto enseriegeneral . Se dice quela serie una seridee loess condicional dicha converge pero valores absolutos de sus términos diverge. Para estudiar la convergencia absol u ta de una serie puede apl i carse cual q uie­ ra deel tema los criterios deLosconvergencia paraDirichl serieets ydedetérminos noparticul negativos estudiados enpara anterior. criterios de Abel son a rmente útiles determinar la con vergenci a condicional . Ambos se deducen de l a l a mada fórmula de sumación parcial. La sumaSindeembargo, una seriereordenando absolutamenteconvenientemente convergente se una conserva alcondicional reordenar­ sus términos. serie mentejadoconvergente obtenerse una serie que converj a a cualquier número real prefi (teorema depuedeRiemann). UnoEl teorema de los distintos tiposestabldeeceproductos de serie dos converge series es absol el producto dey Cauchy. de Mertens que si una u tamente tiene pordesumalas dos A y otra serie converge y tiene por suma B, entonces el producto de Cauchy series converge y tiene por suma AB. 77

5. 1 .

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL Proposición:

convergente.

Si la serie L la ,, 1 es convergente, entonces la serie L a " es también

Demostración:

Para n > m se verifica

y para concluir basta aplicar el criterio de Cauchy. Observación: La recí proca de la proposición anterior no es cierta en general. l ) "/n converge en virtud del criterio de Leibnitz, pero la serie LaL{1serie al t ernada L( /n) diverge. �

Definición: Se dice que una serie L a " es absolutamente convergente cuando la serie L la ,,1 es convergente. Se dice que una serie L a " es condicionalmente convergente o semiconvergente cuando la serie La " es convergente pero la serie L la,, 1 es divergente.

anterior podría enunciarse diciendo que la conver­ gencia Según absolutaesto,implla iproposición ca la convergencia. Proposición:

Sea La " una serie de números reales y

ín

y,

q ,, = m {a ", Ol

para cada n E N, sean a , � la ,,1

2

Si la serie L a " es absolutamente convergente, entonces las series L P" y L q " son convergentes. Si la serie La" es condicionalmente convergente, entonces las series LP" y Lq " son divergentes . 79

ANALlSIS MATEMATICO I

V¡4

Si l a seri e I, a n es absolutamente convergente, entonces I, an I, l a nl son convergentes por tanto, las senes a a a I, an + l nl I, n - I nl 2 2 son también convergentes. Si lit serie I, an es condicionalmente convergente, entonces I, an es convergente pero I, la nl es divergente, si I, Pn fuese convergente, como q n = a n - p., también sería convergente I, n : análogamente, si n fuese convergente, como Pn an - tam­ sería convergente Lp,.. Por consiguiente, si una de las series Lp., L n fuese bién convergente, ambas serí a n convergentes como la nl = Pn - qn, también sería conver­ gente I, lanl. Pero esto está en contra de la hipótesis. Demostración:

y,

y

y

y

q

Lq

=

y

5.2.

qn ' q

CRITERIOS DE DIRICHLET y DE ABEL

estudiardelaconvergencia convergenciapara absolseries uta dedeunatérminos serie puede aplicarseestudiados cualquie­ raen deel tema lPara os criterios no negativos de Abelse deducen son particul útiles anterior.la convergencia Los criterios condicional de Dirichle.t Ambos para determinar de alarmente siguiente: Sean (a n) y (b n) dos sucesiones de números reales, y para cada n 1'\1 , sea A n = a, + a 2 + ··· + a,.. Se verifica y

Proposición. ( Fórmnla de sumación parcial): E

n

n a b b = A n n + l - I A db k + l - b k) k=Il k k k= l

Poniendo por tanto,

Demostración: = A k - A k _ 1 y,

Ao =

kE

O, para todo 1'\1 podemos escribir ak =

n

n

n

n

n A k b k - I A k b k + l + A n bn + l k= 1 k= 1 n = A n b n + l - I A k (b k + l - b k) k= 1 = I

Proposición. (Criterio de Dirichlet): Sea I, a n una serie de números reales cuya sucesión de sumas parciales está acotada y sea (b n) una sucesión decreciente con límite cero. Entonces la serie I, an b n es convergente.

Pongamos A n a 1 + a 2 + . + a ,.. Por hipótesis, existe un M > O para todotiene n también límitecomo O. la sucesión (bn) tiene por límite O, la

Demostración: I A nl ';;; M (A n bn + l )

tal que sucesión 80

E 1'\1

=

y

.

V 5

ANALlSIS MATE MATICO 1

Por otra parte, de la igualdad "

¿

k= 1

(b k - b k + l ) = b 1 - b" + 1

se deduce decreci ente, queparalatodoserien se verificesa convergente como la sucesión E N

L (b,, - b " + l )

y

(b,,)

es

luego,utamente). por el primer criterio de comparación, la serie converge (absol parcial.La convergencia de la sene resulta ahora de la fórmula de sumación I. A n (b" + l - b,,)

I. a n b"

Ejemplos: l.

"2.

n

todo x cos # 2 k con k E las sucesiones de l a s sumas parciales de ltamente as seriesdePara sen nx nx están acotadas por ljl s en (xj2)1 . Esto resul t a i n medi a ­ las identidades l)x(nxj2) sen (n+ ---;:sen x + sen 2x + . . + sen nx = sen 2 sen (xj2) L

y

L

-'--'ce-'­

y

(nxj2) cos (n+ l)x cos x+cos 2x+·· +cos nx= sensen(xj 2) 2 válProbaremos idas para latodoprimera x # 2 kde elAmbas identidades se demuestran de manera análoga. las: Como x cos (2_k-::;:;_1,-)_x senkx sen 2x = :2 [cos (2 k-l) 2 J sumando desde k = 1 hasta k = resulta (n+ l)x sen 2 =sen (sen x+sen 2x+·· +sen nx) sen x2 :2l [cos x2 -cos (2n+l)xl 2 2 luego efectivamente (n+ l)x sen x+sen 2x+ · · +sen nx sensen(nxj2) sen (xj2) 2 2. La susseritérminos e L(sen nx)sonjn convergente para todo x E IR, pues si x = 2 k con nulos si x # 2 k su convergencia se sigue del kcriteriotodos de Dirichl e t, puesto que la sucesi ó n de l a s sumas parcial e s de la sene sen nx está acotada (ljn) es una sucesión decreciente con límite cero. n.

1

'--

n

nx

=

I.

E "2.

y

n,

n

y

81

ANALlS1S MATEMATICO 1

v/6

et, la sene 2: (cos nx)/Jn es convergente para todo x3.,to 2 Por kn conel criterio k E deParaDirichl x = 2 k n, 1 ¿: cos nx I I /2 n Jn y la serIe diverge. Sea 2: a n una serie de números reales convergen­ te y sea (bn) una sucesión monótona convergente. Entonces la serie 2:a n b n es conver­ gente. Pongamosconverge A n = a +ala 2sucesión +" '+an"(AComo la serie 2: an y la suce­ también Slacotada. On (bDemostración: b ¡) l a sucesión (Aforma , n n) es n) Laconvergen, + b ) se prueba de la misma convergencia de la serie 2:An(b n n 1 + se sigue también de la fórmula de que en el criterio de Dirichl e t y l a concl u sión sumación parcial. 2:.

Proposición. (Criterio de Abel):

Y

¡

5.3.

REORDENACION D E SERIES

Definición: Se dice que una serie 2: b " es una reordenación de otra 2: a n cuando existe una aplicación biyectiva I N -> N tal que bn = a¡l n) para todo n E N.

Si 2:b es una reordenación de 2: an y f: N -> N es la aplicación biyectiva tal n que b n = a¡l n) para cada n E N, entonces a n = br.".) y como f 1 es también biyectiva, 2: an es también una reordenación de 2: b .. Si la serie 2: a " es absolutamente convergente y la serie 2: b n es una reordenación de 2: a n, entonces 2: b n también converge absolutamente y b n = ¿: a n n¿: n =1 =l Sea O. Como 2: a n y 2: lanl convergen, existe un número naturalDemostración: N tal que I n¿:=1� a n n¿:=1 a"I < -2 Además, existe una apl i cación biyectiva f: N -> N tal que b n = a¡( n) para cada 1 n E N. Sea g =f y elij amos M de manera que { l , 2, ... , N} {f( l), f(2), . ., f(M)}. Entonces -

Proposición:

""

�

8>

N

-

8

-

e

{g e l ), g (2), ..., g eN)} 82

e

{ l, 2, ..., M}

ANA LISIS MATE MATICO 1

y,

V/7

por tanto,

es decir, si m > N, la diferencia I b" figuran a l ' a2, ..., a N, luego

y,

N

m

Y

n =: l

I a"

�

n=l

es una suma de ciertos ai en la que no

por consiguiente,

1 lo que prueba que la sene L b" converge que

1

m

I

E

e

I a " + I b,, � I a " < - + - = 8 2 2 n 1 n=l n=l N

=:o

N

y

I b ,, = I a ". n =l

n=l

ElEnhecho deSiquem >la conentoncesf(m) vergencia deel I,{J(b1"),esf(2),absol. uta se sigue del criteri o> de Cauchy. efecto: por tanto, f (m) luego M,

m+p

n= m+ l

I

.

Ib "l =

m+p

11 =" 111 + 1

I

�

,f(M)}

y,

N,

e

laf( ,,) I � I la" I < 2 II = N + 1

para todo m > N. Reordenando ntementeaunacualserie de obtenerse una sericonveni e que econverja quiercondicional número realmentepreficonvergente, j ado. pue­ Si L a " es una serie condicionalmente convergente de números reales, entonces para cualquier número real x existe una reordenación L b " de L a ", tal que Proposición. (Teorema de Riemann):

1

�.

=1

I b ,, = x.

Suprimiendo l o s términos nulos de una serie no se al t era su L a carácter distintos deporcero.tanto, podemos suponer que todos los términos de la serie " son Como la serie L a" es condicionalmente convergente, las dos senes Demostración: y,

83

v, �

ANALlSIS MATEM ATICO I

¿

a ,, + l anl

a , - I anl ¿ ,

2 2 sonas series suprimiendo los términos nulos de cada una de ellas se obtienen divergentes, I, Pn I, q " de los términos positivos de los términos negativos de I, a n lrespecti vamente, que son también divergentes. I, es una sene de términos positivos divergente, existe un número Como natural N, tal que y

y

y

y

p"

N

P,, > X. n¿ =l

Sea N ¡ el menor de los con esta propiedad. Entonces P,, > X Pn � X para m < N¡, 11=¿1 11=¿1 Como I, qn es una serie de términos negativos divergente, existe un número natural . M tal que ¿ n¿1 q,, < X Sea M ¡ el menor de los M con esta propiedad. Entonces p qn < X ¿ P,, + ¿ qn ); X para m < M¡. n¿= 1 ,, + ¿ 11= 1 Sea N el menor de los números naturales N que verifican N

N,

m

y

,'Y' ,

I! ;;;;; 1

p,, +

Al

=

N,

/1.1,

IV,

m

11 = 1

y

11 = 1

2

N,

M,

N

q,, + ¿ P ,, > X n¿= 1 P ,, + 11¿= 1 y

sea M el menor de los M para los que 2

lV,

Nl

.'vi ,

/\,1

¿ P,, + ¿ q ,, + ¿ Pn + ¿ q,, < X. 11 = 1 Il = M , +l 11 = 1

Continuando este proceso, obtenemos la serie a Concluiremos la demostra­ serie I,parcial delaslasumas reordenación unasucesión evidentemente, que es,probando ción es de esta reordenación de ) (A a l que tiene por límite Por construcción, se verifican las desigualdades 84 x.

...

,,

Y 9

ANALiSIS MATEMATICO I

A /V , > A N ¡ + I > ... > A /V , + M , _ I ): X > A s, + M " A N , + .,",I,

<

A N , + ,'11 ] + N , > A

A N , + M, + 1

N,

<. . <

+ ,'v! , + ,'V , + I >

••.

A N , + M , + N 1 - l =S; X

<

A N , +AI' + '\ '2'

> A N, + .\1, + N , + M, - I ): X > A N + M , + ,V , + M " I

Las dos pnmeras cadenas de desigualdades prueban que para puesto que la .lo.,ngitud del interval o [ de la) segunda este intervalo están y es y eny tercera A, v ,+M,_,; anál o gamente, cadena de desi­ gualdades, se deduce que AN,+ "

AN,_"

A N, + 2 ,

AN

x

P N,

de la tercera y la cuarta, se obtiene (p NJ (q MJ tienden a cero, ya que son dos subsucesiones de (a n) y esta etc. Pero ón tiene por límite cero, porque la serie L an es convergente. Por consiguiente, lsucesi a sucesión n) tiene por límite Y

x.

(A

5.4.

2,

PRODUCTO D E CAUCHY DE DOS SERIES Definición:

. .. ,

sea

�

00

n=O

n=O

Sean ¿ a n y ¿ bn dos series de números reales y, para n =

O, 1 ,

n

cn = Lo a k b n _ ko k= oc

La serie ¿ e n se llama producto de Cauchy de las series 11 = 0

Proposición. (Teorema de Mertens):

oc

Si la serie ¿ a n converge absolutamente y 11 = 0

tiene por suma

A

y la serie ¿ b n converge y tiene por suma B, entonces el producto 11 = 0

de Cauchy de las dos series converge y tiene por suma

A

B.

85

ANALISIS MATEM ATICO 1

VdO

Demostración:

Pongamos

donde y

" B,, = I h k k= o

Y

k Ck = ; ¿ Q¡ b k - i =0

sean

d ll = B - Bn

Y

" e ll = I a k d n _ k• k=O

Entonces

+ " .

y

sumando por columnas resulta "

"

k=O

k=O

C ,, = I a k B ,, - k = I a k (B - d" _ k) = A " B - e ,,

luego, para concluir, bastará probar que 2:

Ahora bien, la sene la,,1 es convergente la sucesión (d,,) tiende a cero (luego está acotada). Sea a = I la,,1 sea fJ > O un número real tal que Id,,1 � fJ para todo n E N . Para cada e > O existe un m E N tal que I Id,,1 < ea para n > para > se tiene 86 y

�

y

11 = 0

y

11

2

k=

m

oc.

m+ 1

y

2

In

,

ANALlSIS MATEMATICO I

V, I I

n m L la , dn _ k l le nl � L l a k d n - k l k= m + 1 k=O

+

8

� 2 ex

,e -

luego, efectivamente,

n m L l a kl f3 L la ,l k=m+ 1 k=O

+

=8

87

Ejercicios de autocomprobación

1.

2.

Probar que si la seri e I. a" es absolutamente convergente y a" "" - I para todo 11 E N, entonces la serie I. a"/( I + a") es también absol u tamente convergente. Secuando dice que unaunaseriaple I.icacihn óesn una subseri eN-->N o unatalseriquee extraí da de otra I. a" existe inyecti v a f: b,, a L para todo 11 E N. Demostrar que si I. a" es absolutamente convergente y 2.. b" es una subserie de I. a no entonces I. es también absolutamente convergente. Estudiar la convergencia de la serie " ( 1 ... 1 ) sen "" 1 + - + + 2 11 11 Sabiendo que la serie I. a" es convergente, determinar el carácter de las senes , a n y , n a" ¿n ¿ 1l + 1 Demostrar divergente. que si la serie I. a" es divergente, entonces la serie I. 1l a" es también Sea (a ,,) una sucesión de números reales positivos y sea (A n) la sucesión defini­ daI.a"por n = a ¡ + a 2 + " ' + a" para cada n E N. Demostrar que las dos series y I.AajA n tienen el mismo carácter. SeadenaciI. a"ón unaI. b"seridee I.condicional mente convergente. Probar que existe una reor­ a n cuya sucesión de sumas parciales tiende a + Demostrar que el producto de Cauchy de la serie n¿"" O ( 1)" + ¡/Jn+T por sí misma es una serie divergente. =

¡

"'

h"

3.

IlX

4.

5. 6. 7.

oo.

x.

8.

-

89

V,14

9.

ANALlSIS MATEMATICO I

Probar que para Ixl 1 se verifica <

lO. Demostrar que cualesquiera que sean los números reales x e se verifica y

90

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación 1.

Como L. a" converge es lím" a" = O y, por tanto, I -c- 1, I " , , ¡mc Ií"m ,I-I_:_�--, c-" I I + a "1 l a "1 luego la serie L. la.J( 1 + an)1 converge en virtud del segundo criterio de compa­ ración. Por existe una aplicación inyectiva f: tal que b" = af (") para n E Sea n E y pongamos N =máx ([(I), f(2), ..., f(n)}. Entonces todohipótesis ([(I), f(2), ..., f(n)} e {I, 2, ..., N} y, por tanto, 1,

2.

N.

N -> N

N

es decir, y, por consiguiente,

"

N

00

I Ib .r � I la kl � I l a kl k= 1 k= 1 k=:;;; 1

3.

92

de donde se sigue la convergencia absoluta de L. b". Para x = 2 k con k E todos los términos de la serie son nulos, luego la serie converge. Para x 0;6 2 k la sucesión de las sumas parciales de la serie L. sen nx n

7l.

n

ANALlSIS MATEMATICO I

Vil7

está acotada y como la sucesión (� (1 + � + ... + �)) es decreciente y tiene límite cerola(criterio de Stolconverge tz), porpara el criterio et la serie converge. En ' resumen, serie dada todo xdeE Dirichl IR. 4. Las sucesiones (1/n) y (nln + 1) son monótonas convergentes, luego las dos series dadas son convergentes en virtud del criterio de Abe!. 5. Sitienela serie L n an fuera convergente, como la sucesión ( 1/n) es decreciente y límite cero, por el criterio de Abel la serie L an sería convergente. la sene dey titérminos positivos L an es convergente, la sucesión (1IAn) es 6. Sidecreci e nte e ne l í mite y, por el criterio de Abe!, la serie L anlAn es convergente. Si la serie L an es divergente entonces límn An = + luego para todo m E N existe un no E N tal que An > 2 A m para todo n � no y, por tanto, 00,

A 1 I 1 - -m > 1 - -= An 2 2 7.

se verifica pues la condición del criterio de Cauchy, luego la serie L anlA n esy nodivergente. Podemos suponer que todos los términos de la serie L an son distintos de cero. Sean L P n y L qn las series de los términos positivos y de los términos negati­ de L anexirespecti Como L Pn es una serie de términos positivos divosvergente, ste unvamente. n I E N tal que y un n2 > nI tal que y, en general, un n k > nk - I tal que y la sene

8.

dentemente eses evimayor que k. una reordenación de L an cuya suma parcial de orden k + nk Pongamos an= ( - 1 )" + I/Jn+l. Entonces 93

Vfl8

ANALlSIS M A T E M A TIeo 1

( _ I) k + l . ( _ 1 )n - k + l ( - 1 )" Jk + 1 Jn - k + l J(k + l ) (n - k + 1 ) oc

oc

luego el producto de Cauchy de la serie nI� O an por sí misma es la serie nI= O cn donde Pero la media aritmética y, porgeométrica tanto, de dos números es menor o igual que la media 1 2 ? k l ) + (n - k + l) J(k + l ) (n - k+ l) ( +

luego

2 (n + 1) IC nl ? n + 2 = 2

n+2

y la serie nI= O cn diverge (no cumple la condición límc n =O, necesaria para la n convergencia). Procederemos por inducción sobre m. Para m O resulta '" n 1 I x =_ , l -x n=O igualdad válida para Ixl < 1 puesto que para Ixl < 1 la serie geométrica nI= O xn converge absolutamente y tiene por suma 1/( I - x). que Supongamos que la igualdad es cierta para m, es decir, supongamos �

9.

(1 --1 ) =

oc

( l _ x) m+ l

Por el teorema de Mertens, 1 ( l _ x) m + 2

Pero el producto de Cauchy que ap �rece en el primer miembro de esta igual­ dad es 94

ANALlSIS MATE MATICO I

y

V, 1 9

teniendo en cuenta que

resulta

(m+n+l) x " = 1 " + 2 ( 1 _x) ' n luego la igualdad también es cierta para m+ l. 10. Como para todo x E IR es Ixl n + I I ) ! hm, Ixl =O< l, lm'-" (n+ -- c�" " n+ I Ixl n! la serie n¿= O (xn/n !) converge absolutamente para todo x de Mertens, ( ¿ X") ( ¿ yn ) = ¿ [ ¿" xk yn - k ] , �o ,n . n � o ,n . n n � O k� o k . (n - k) . oc [ 1 (n) xk yn - k] ¿ _ ¿ n = O n! k = O k ,,�o �

1,

--

x

x.

�

�

"

E IR, Y

por el teorema

I

95

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA

ANALISIS MATEMATICO I UNIDAD DIDACTICA/5

Ternario: 1.

1 1. III. I V. V.

Sucesi odenesfunci de funci ones. Seri e s o nes. Seri es odegíapotencias. Topol de IR". Límites continuidad. y

Jesús Fernández

Novna

Doctor en Ciencias M atemáticas

Profesor de la U. N. E. D.

Tema 1 Sucesiones de funciones

Esquema/Resumen 1.1.

1 .2.

U.

1 .4.

e011 L'crqenc ia

uniforme.

Convergencia uniforrne y continuidad. Con vergencia uniforme e integrabilidad. Convergencia un ifo rme y derivabilidad.

Se dienceunqueconjunto una suceSl On de funciones U�) deconverge puntualmente a una funci ó n A cuando para cada A el límite de l a sucesión numéri c a es Esto si g ni f i c a que para cada cada de A existe un número natural depende tal queno sólo de sino tambi paraéntododel punto General mente, este número natural de A considerado. Cuando depende solU;a, mente de uniformemente se dice que la aconvergencia es enuniunforme: Una sucesión de funciones ) converge una función conjunto para A cuando para cada O existe un número natural tal que todo todo de A. Este concepto se puede expresar también en una forma más manejabl e: Una sucesión de funciones converge uniformemente a una fun­ en un conjunto A si sól o si l a sucesión (sup { f., E A }) tiene por ción límite cero. El l í m i t e uni f orme de una sucesi ó n de funci o nes continuas es también una funci continua.continua Si una sucesión U�) de funciones continuas converge puntualmente amériunacóanfunción en un conjunto compacto A para cada E A l a sucesión (respectidevamente, uniformemente esa fcreci en Aente(teorema Dini). decreciente), entonces U;,) converge Si es el límite uni f orme de una sucesión de funci o nes integrabl e s en un las integraleses también de las ¡;integrabl , . e en dicho intervalo la integral de f es el linterval ímite deo, entonces 99 f

(f)x))

If,,(x) -f(x)1 < E

f(x). no

f:

no

t:,

[>

n ? no

y

(f,,)

y

f

(f;,(x)) f

f

<: > 0 y n ? no.

x

x

f If,,(x) -f(x)1 < 8

no

x

f

x

I ( x ) -f(x)1 : x

x

y

(f,,)

y

1/2

A N A LlSIS M A T E M A

neo

Asípara pues,transmitir la convergencia uniformeo ladeintegrabil una sucesión delasfunciones U�) óesn suficiente la continuidad i dad de j� a l a funci límite. noSinserembargo, ele límite unies,forme J deocurrir una sucesión de funciones derivabl es U;(Jn, )) puede derivabl si l o puede que l a sucesión de l a s derivadas noderivabl converesjaenniunsiquiera puntualmente a p. Pero ) es una sucesión de funci o nes si ( J n intervalode lab)s derivadas para un(J�)deconverge b) la uniformemente sucesión numérienca Un(c)b), converge l a sucesión la sucesión dee funciones U�) converge uniformemente en b), su límite J esentonces una [unción derivabl en (a, b) P(x) es el límite de la sucesión U;, (x) para cada de b). y,

(a,

y

y

x

100

e

(a,

(a,

y

(a,

(a,

1

1.1.

CONVERGENCIA UNIFORME

Sea

IR

On (fpara n) de funciones de A en a unaSe dice funcióquen fAuna IRsucesl cuando cada x E A se verifica Iimn fn(x) f(x). Esto signifi c a que para cada O cada x E A existe un número natural /lo tal que noIfn(x)sól-f(x)1 paratambitodoén deln ;' no.puntoGeneral mente, este número natural /lo depende o de sino x E A considerado. Cuando no depen­ de solamente de se dice que la converge'1cia es uniforme: Sea A Se dice que una sucesión (fn) de funciones de A en converge uniformemente a una función f: A cuando para cada O existe un E N tal que no 1.1.1. A eR converge puntualmente

-->

=

<8

f

s>

8,

e

Definición:

y

--> IR

IR.

IR

e>

Ifn(x) -f(x)1 < s

para todo n ;, no

y

todo x E A.

Este concepto se puede expresar también en una forma más manejable: Proposición: Sea A e IR. U na sucesión (fn) de funciones de A en uniformemente a una función f: A IR si y sólo si -->

limn sup {Ifn (n) -f(x)1 : x E A } O. Demostración: Si (fn) converge uniformemente a f en A, para cada

IR

converge

=

8>0

existe 101

1/4

ANALlSIS MATEMATICO 1

1\1

tal que IfH (x) -f(x)1 < para todo todo x A por tanto, sup{ lf�(x)-f(x)l:x A }:;:; � <¡; para todo luego limH sup (¡fH (x) -f(x)l: x A} O. tal queRecíprocamente, si se verifica esta condición, para cada ° existe un sup { If�(x) -f(x)1 : X A} < para todo como para todo x A es If�(x) -f(x)l:;:; sup { If;' (x) -f(x)1 : x A}, se tiene IfH(x) -f(x)1 < para todo todo x A, luego (fH ) converge uniformemente a f en A. un

no

E

0/2

E

n ;, no y

y,

E

n ;, no,

=

E

E

E

n ;, no y

E>

no

E 1\1

e

E

8

E

n ;, no y

Ejemplos:

Sea UH ) la sucesión' de funciones de [O, en IR definida por J:H(x)= 1 +xnx para cada cada x [O, Como limf. H , (O) = liHm ° = ° para cada x 1], IimfH (x)=lim 1 x x la sucesicadaón xUH ) [O,convergeVeamos puntualsimlente a la funciónes uniforme [O, 1] odefinida para a convergencia no: por f(x) = ° Para todo todo x E [O, es If�(x) -f(x)1 IfH(x)1 =fH(X) f� esmcontinua tiene máxi o comoen el compacto [O, luego, por el teorema de Weiers­ trass,la función f;,(x) = l x > 1.

1]

--

n

E 1\1

Y

E

1].

E (0,

y,

n

E

1].

n

E

=0 +

n

1\1 Y

n

f:

1]

=

1]

y

y

(1

102

+

n

)2

0,

--> IR

ANALlSIS MATEMATICO I

1;5

fn es creciente y su máximo en [O, IJ es f.( I ) = 1/( 1 + n). Por consiguiente: linm sup {If.,(x) -f(x)l: x [O, IJ}=linm -1+1-=0 n y (fn) converge uniformemente en [O, IJ a la función nula. 2. Sea (fn) la sucesión de funciones de [O, 1 J en definida por l/n fn(x) = { n2 x( l°- nx) O,,;x"; x )! l/n para cada n cada x [O, 1 ]. Como f.(O) =0 y para cada x (O, lJ es j�(x) =O para todo n )! l/x, (Jn ) converge puntualmente a la función f: [O, lJ--+ 1R definida por f(x) = ° para cada x [O, 1 ] . Pero como sup {lfn(x)-f(x)l: x [O, IJ}=sup {n2X( 1 - nX) :x [0, �J}=¡, se tiene Iimn suP{lfn(x)-f(x)l: x [O, IJ} = + y la convergenc\a no es uniforme. 1.1. 2 . Sea Una sucesión (fn) de fun­ ciones de A en IR converge uniformemente en A si y sólo si para cada ° existe un E

IR

SI

SI

EN Y

E

E

E

E

E

'Á)

E

A e IR.

Proposición (Criterio de Cauchy):

E>

no E N tal que

E

x A. ° existe un Sino (Jn) converge tal que uniformemente en hacia una función f, para cada Demostración: Ifn(x) -f(x)1 < 2 para mayorestodoquen >nono yy todo se veriparafica todo par de números naturales m, n para xtodo xEntonces,

para todo par de números naturales m y n mayores que no y para todo A

EN

E>

E

E A.

EA

l/m

(x) -j,' (x)l"; l/m (x) -f(x)1 + If� (x) -f(x)1 < � + � =

f;

103

116

ANALlSIS MATEMATICO 1

Recírealprocamente, si se cumple la condición del enunciado, la y,sucesión de números e s ( f " (x)) es una sucesión de Cauchy para todo x por tanto, con verge. Sea f IR la [unción definida por f(x) límfn (x) n para también cada x converge Por definición (f.,) converge puntualmente a f en Probaremos que uniformemente. Para cada O existe un no tal quese veri parafictodo par de números natural e s m y n mayores que no y para todo x a EA

A --->

=

E A.

A.

t: >

EN

EA

fon (x) - t:
y pasando al límite en resulta m

f(x) - ¡; �fn(x) �f(x) + t:

es decir,

[f., (x) -f(x)k f.

para todo n no y todo x A, luego (j�) converge uniformemente a f en A. E

>

1.2.

CONVERGENCIA UNIFORME Y CONTINUIDAD

Proposición: Sean A e IR y (fn) una sucesión de funciones de A en IR que converge uniformemente a una función A ---> IR. Si cada una de las funciones fn es continua en un punto a E A entonces la función f es también continua en a.

f Demostración: Si a es un punto aislado de entonces f es evidentemente continua en a. Supongamos, pues, que aparaes uncadapunto Odeexiste acumulunación de tal Como (j�) con verge uniformemente a f en no que A

A.

F. >

A,

EN

t

para todoN (a)n?talno que y todo x entorno para todo x

E N (a) n A.

E A.

Ifn (x) -f(x) 1 <3

Sea n? no. Como fn es continua en a, existe un

Por tanto, para todo x

E

N (a)

n

A

se verifica

If(x) -f(a)1 � If(x) -fn (x) 1 + Ifn (x) -fn (a)1 + If� (a) -f(a)1 < } + � + } = F.

luego f es continua en a. 104

1/ 7

ANALISIS MATEMATICO 1

Ejemplos:

En 1 . 1 hemos visto que la sucesión de funciones continuas en [O, 1] { n2 I nX) si O � x � l/n ( x) = X ( si x � I ln O converge puntual pero no uniformemente en [O, 1] a la función continua J(x) = 0. Este ejempl o prueba que la convergencia (f.,), sufi­ ciente para transmitir la continuidad de las J. a uniforme la funcióndelímlaite,sucesión no es necesaria. Sea (j�) la sucesión de funciones de [O, 1 ] en definida por 1.

r.

. •

2.

para cada n

IR

E IR

Y

cada x

E [O,

Como limJ. (O) = lim 1 = 1 1]. •

y,

para cada x

E (O,

•

1],

limJ. (x) = Iím 1 +1n x O la suceslOn if.) converge puntualmente a la función J: [O, 1 ] -> 1R definida por { x=O J(X) = � x#O pero como cada una de las J. es continua en [O, 1 ] la función J no es continua en O, la convergencia no es uniforme. n

n

SI

SI

y

Proposición (Teorema de Dini): Sea A e IR un conjunto compacto y sea (J.) una sucesión de funciones continuas de A en IR que converge puntualmente a una función continua f A IR. Si para cada x E A la sucesión numérica (J. (x)) es creciente (respectivamente, decreciente), entonces if.) converge uniformemente a J en A. ->

Demostración: Supongamos que para cada x A la sucesión (J.(x)) es crecien­ te.un Como convergenx talpuntual númeroif.)natural que mente a J en A, para cada 8 > O cada x existe E

y

EA

O Q(x) -J. (x) <8

para todo n � nx' En particular, 0 �f(x) -Jn (X) <8 l OS

ANA LISIS MATEMATICO 1

1/8

la función f-fa, es continua en x, existe un conjunto abierto A(x) que contiene a como x tal que �f(y) -f;,,(y) < t: para todo y A A(x). La famil x E A , es un recubrimiento abierto de A como A es , .. " Xm tales que compacto, existenia deX llos' x2A(x), A e A(x¡j u A(x 2 ) u · . A(xm)· Sea no má {n , n ,., ... , n ,J. Cada y A pertenece al menos a un A(x.J, i = 2, , m, por tanto, y

o

E

n

y

. ..

y

=

x

U

"

1,

E

o �f(y) -f�(y) �f(y) -f,, (y) < E

para todo n�no todo y A. Esto prueba que converge uniformemente a f en La demostración, decreciente, es análoga. en el caso de que para cada x la sucesión U�(x)) sea Ejemplo: La sucesión (fa) de funciones continuas en (O, 1 ) definida por y

E

(fa )

A.

EA

Y

fn(x) =

1 1 + nx

para(O, 1cada nEN cada x E (O, 1) converge puntualmente a la función continua ) --> [1;\ defin ida por f(x) O para cada x E (O, 1 ). Además, para cada x (O, la sucesión (fn(x)) es decreciente. Sin embargo, como 1" es decreciente en (O, 1), se tiene suP { lfn (x) -f(x)l : x E (O, 1 ) } = sup {fn(x) : x E (O, 1 )} = 1 por tanto, limn sup { lf;(x) -f(x)l : x (O, 1)} 1 "" O la convergencia no es uniforme. ejemplo deprueba dad enEsteel teorema Dini. que no se puede prescindir de la hipótesis de compaci­

f:

=

E

y,

E

1)

=

y

1.3.

CON VERGENCIA U NIFORME E INTEGRABILIDAD

Proposición: Sea (fn) una sucesión de funciones de [a, b] en [1;\ que converge uniformemente a una función f: [a, b] --> R Si cada una de las fimciones fn es integrable en [a, b] entonces la función f es también integrable en [a, b] y se verifica

fb f linm fb fn a

1 06

=

a

ANALlSIS MATE MATICO 1

1/9

Sea para todo Comon ?(In)no converge a I en [a, b], tal que todo x uniformemente [a, b] se verifica existe unDemostración: no t: > Ü.

E N

E

y

t

IIn(x) -¡(xli < 3(b a) _

y,

por tanto

FiX j,emos n ? no. Como In es integrable en [a, b], existe una partición P ... , xk} de [a, b] tal que 2

= {xo,

X I'

8

UU;" P) - L(f,,, P) < "3 .

Y

Pero si mide InMien son[Xi _el, Íx,], nfimseo tieneel supremo de I supremo l y

y

m;

y

M; son el Ínfimo el y

y

Y

resulmultantiplicando estas desigualdades por (Xi -Xi _ 1 ) sumando desde i 1 hasta i y

L (f" , y,

t:

P) - «,L(f, P) "

=

=k

E U(j, P) � U(I", P) + "3

y

por tanto,

luego I es integrable en [a, b]. Además, para todo n ? no se verifica I f: f�(x)dx J:I(X)dxl � J: IIn(x) -fN dx � b 3(b _ a) dx f " -

a

1 07

1/10 y,

A N A L l S I S M A T E MATlCO I

por consiguiente,

Jb f(x)dx = lim Jb üx) dx. Ejemplo: Sea (f, ) la sucesión de funciones de [O, 1 J en definida por nx f.,(x) = 1 +nx para cada n N cada x [O, 1]. Como liam f., (O) = li.m, = para cada x (O, lJ, nx -= 1, . ,(x)= l1m' -1hmf. +nx la sucesión (f.,) converge puntualmente a la función f: [O, 1 J .... definida por f(X)= {� x=o x,l'O 1 J pero f no es continua una de las funciones f. , es continua en [O, en luCada uniforme. ego la convergencia no es Sin embargo, tanto las fa como f son integrables en [O, 1 J se tiene 1 ) dx=x--1 Iog (I +llx) l ' = 1 --1 log(l +n) 'J f., (x)dx= J ' ( 1 --1 +nx a

.,

a

IR

E

E

y

°

°

E

y

11

11

IR

SI SI

0,

y

o

Il

o

11

o

y

por tanto,

'J f(x) dx = lím., J' f., (x) dx. Este ejempl o pruebaparaqueasegurar la hipótesis de convergenci ción anterior, suficiente la integrabil idad dea funiforme la igualendlada proposi­ y,

o

o

y

no es necesana. 108

ANALiSIS MATE MATICO I

1.4.

CONVERGENCIA UN IFORME Y DERIVABILIDAD

Endelosfunciones apartados(i, anteriores hemosparavistotransmitir que la convergencia uniforme de una sucesión o la integrabi­ ) es sufi c i e nte la continuidad una sucesi a la función límite.noSinserembargo, el límite uniforme i deocurrir ólna idadfunciones de las i"derivabl delsucesi e s puede derivabl e si l o es, puede que ón de las derivadas (i�) no converja ni siquiera puntualmente a 1'. y,

Ejemplos:

l. Sea (P,,) la sucesión de funciones polinómicas definida como sigue: 1 p¡ (x) = -x 2 y 2 Entonces, para cada n E N cada x E [ - 1 , 1 ] se verifica Y

Para ver esto procederemos por inducción: Sea x

E[

-

1, 1 ].

Como

4 - l x1 2 1 2 - lxl xl ' I xl - p¡ (x) = lxl - 2 IxI 2 = I xl ' � I 2 -= 2 (2 + lxlJ '

se verifica 2x O :( lxl - p¡ (x) :( 1 l 2 + lxl

�-

y

n = l. Supongamos que se cumplen para es las desigual d ades se cumpl e n para decir, supongamos que n,

O :( lxl - P,,(x) :( 2 1 xl . 2 + n lx l

Se tiene =2

1

[Ixl - P,,(x)] . [2 - lxl - P,,(x)].

Pero, por hipótesis es Ixl - P,,(x) ;;. O, luego P,,(x) :( lxl :( l

y

2 - lxl - P,,(x) =(l - lxlJ +( 1 - P,,(x)) ;;' O 109

1; 1 2

y,

ANALlSIS MATEMATICO I

por tanto,

Ix l - P,, + I (X) ? O.

También se verifica por hipótesis y

de aquí resulta

1

2 1xl 1 2 Ixl Ixl + [2 ,(X)] � xl P, I :2 :2 2 + n l xl

[

=

1 - lxl + I xln 2 + lxl

]

2 + n lxl - 2 1 xl - n lxl 2 + I x l 2 + n lx l

y,

por tanto. 2 1xl 2 + (n - 1 ) lx l I x l - P,, + 1(x) � 2 + n l x l 2 + n l xl [2 +(n + 1) Ixl] · [2 +(n - 1 ) Ix l ] 2 1x l (2 + n IX ! ) 2 2 + (n + 1) Ixl = :;---c-'-7:-:-;

(2 + n I xlf - lxl 2 2 1x l (2 + n I X ! )2 2 + (n + 1 ) I xl

2 1 xl -c-' � ::2 + ( n +--;-:1)-,lxl -c

luego las desigualdades son también válidas para n + 1 . Por consiguiente, para cada n N cada x [ - 1, 1 ] se verifica E

y

Y

E

21xl O � I xl - P,,(x) ��--:--, 2 + n lxl

como para x # O es 2 1 x l �� 2 2 �n n 2 + n l xl (2/lxl) + � -

1 10

ANALlSIS MATEMATICO 1

y

I IJ

para x = O también se cumple 21xl -2 , � � -c2 + nlxl n

se tiene 2 O ,,; Ixl - P,, (x) ,,; - . Il

Esto prueba que la sucesión (P,,) converge uniformemente en [-1, 1J a la función es derivAhora able enbieO.n, cada una de las P" es derivable en todo punto, mientras que f no

f(x) = 14

La sucesión de funciones U;,) definida por f,, (x) = Sfix para puestocadaquen E N cada x E Gll converge uniformemente en Gll a la función f( x) = O, 1 ¡f., (x)l ,,; Jn para todo n E N todo x E R Pero como f'(x) = O para todo x Gll f�(x) = Jn cos nx todo nporE Nejempltodoo, x E Gll, la sucesión (f�) no converge ni siquiera puntualmente aparaf' pues, lim" f;, (O) = limn Jn = + mientras que f'(0) = 0 2.

Y

Y

E

Y

Y

00

.

Proposición: Sea Un ) una sucesión de funciones derivables JI COIl derivada finita en (a, b) y supongamos que para un c E (a, b) la sucesión numérica (fic)) converge y que la sucesión de las derivadas (f�) converge uniformemente en (a, b). Entonces la sucesión de funciones Un) converge uniformemente en (a, b), su límite f es una función derivable en (a, b) y para cada x E (a, b) se verifica

f'(x) = lim f; (x). n 111

L I4

ANALlSIS MATE MATICO 1

Demostración: Sea x E (a, b) y sean m y n dos números naturales arbitrarios. Aply icando el teorema delir valor medio a la función fm -f� en el intervalo de extremos x podemos escri b e fm(x) -f,, (x) -Um(e) -f�(c)) = (x - e) U:,, (y) -f�(y))

donde y es un número comprendido entre e y x y, por tanto, If;,,( x) -J;,( x)1 � ¡[,"(e) -f,,(e)1 + Ix - el If:" (y) -f� (y)1 <

f�(y)l· Sea-f� (c)1 < 0/2Comoparala todo sucesiónpar numéri ca (j�(e))natural converge, existe un n, E N tal que If�(e) de números e s m, n myores que n I ' Además, como l a sucesi ó n (f� ) converge uniformemente en a, b), existe un n 2 E N tal que If: ,(x) -f�( x)1 < 8/2(b - a) para todo par de números naturales m, n mayores que n 2 para todo x E (a, (en particular, esto se verifica para el punto y). Sea no=max{n l' /12 l. Entonces < Ifm(e) -f� (c)1 + (b - a) If:" (y) =

t: > O.

(

,

Y

h)

B

If;,,(x) -f"(x)1 < Z + (b - a)

8 _

2(b a) (

para números es uniformemente n mayores que enno ya,para todo x E a, b). Por consigtodo uiente,parladesucesi ón (f,natural ) converge b) hacia una función f Sea ahora (g ,, ) la sucesión de funciones de a, b) en definida por m,

g,,( t) =

{

(

SI

f"( 1) -f"( x) t-x

(

IR

t#x

t=x para cada 11 E N y cada t E a, b). Esf�(evix) dente quesi cada g" es continua en x. Sean y n dos números natural e s arbi t rari o s. Si t # x, aplicando el teorema delescrivalbiror medio a la función fm -f" en el intervalo de extremos x y t podemos (

m

gm( t) - g"( t)

fm( t) -f,, ( t) - Um(x) -f"(x)) � z f ( ) -f�( z) t-x y

donde z es un número comprendido entre x t. Por otra parte, g m(x) - g "(x) =f;"(x) -f�(x) De estas igualla dsucesi ades óynteniendo en cuenta la convergencia uniforme de (f�) en a, b) resul t a que (g") converge uniformemente en a, b) hacia una función g. Además, como cada g" es continua en x, también g es continua en x, es decir, (

lim g(t) = g(x) 1 12

(

ANALISIS MATE MATICO 1

1/ 1 5

como (Jn) converge a j; para t # x se tiene ) -Jn(x) J(t)-f(x g(t)= lím gn(t) =linm ¡;, (t)t-x t-x por tanto, 1m J(t)-j(x) t-x g(x) luego J es derivable en x f' (x)=g(x)=limn gn(x)=linmj�(x)" y

TI

y,

1"

y

t-x

113

Ejercicios de autocomprobación 1.

Determi caso,siellalímconvergenci ite puntuala enes eluniconjunto funci onesnar,U;,en) cada estudiar forme o Ano:de la sucesión de a) A = [O, 1], j.n(X) = x +x n ' y

-

b)

2 11 A = IR, j,n (X) = X 2 n ' 1 +X

c) A = [O, JI], fn(x) = sen nx . d) Demostrar que l a sucesi ó n de funci o nes U�) definida por fn (x) = x n para cada n converge uniformemente verge uniformemente en [O, I len todo intervalo [O, a], O < a < 1 , pero no con­ Sea f una función continua en [O, 1] tal que f( I ) = O. Probar que la sucesión de funci ones (9 n ) de [0, 1 ] en definida por 9n(X) = x�r(x) para cada n E N cada x E [O, 1] converge uniformemente en [O, Il Sea U�) la sucesión de funciones de IR en definida por --

Il

2.

3.

4.

E N

Y

IR

IR

fn (x)

2nx + sen6 nx n 1 15

A N A LlSIS MATEMATlCO 1

Ijl8

E

para cada a es unifcada convergenci orme xo noR Hallar calcullaar función límite puntual, estudiar SI la lim fn f,,(x) dx. 5. [O,Determi n ar l a funci ó n f l i mite puntual de l a suceSl O n de funci o nes ( i , ) de " 1[/2J ensi la convergenci definida pora f,es,(x)uni=cos estudiar formex para o no cadasi es cierta cada o nox la [O,rela1[/2J ción fni2 I=lim fnl2 fn " 6. Probar la sucesiaónuna(i, )función de funciinotegrabl nes dee [O,que,1 J ensin embargo, definida por f.,(x) = =112 xe-,quen' converge IJ E N Y

y

"

o

¡¡:;¡

11 E N Y

"

o

O

y

7.

E

Y

y

¡¡:;¡

lim fl ¡;, = Determi1) nenar la definida función por f limite puntual de la sucesión de funciones (I, ) de (-1, f,, (x) x para no cada si es cierta ocada no lax rel( a-ci1,ón1 ) estudiar SI la convergencia es uniforme o "

o

+ 00 .

¡¡:;¡

11 E N Y

y

E

Y

f' =li mf; · mIEncasel ejemplo 1 de 1.4 hemos demostrado que la sucesión de funciones polinó­ "

8.

converge en [ -el1, teorema lJ a la funci ón f(x)=14 Dar otra demostra­ ción de esteuniformemente hecho utilizando de Dini.

1 16

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1. a) Para cada x [O, 1] es E

x_ = O Iim fn(x) = limn _ x+n luego= OU;para ,) converge cada x puntual [O, 1}mente a la [unción f: [O, 1]-->1Ri definida por j(x) Ahora bien, para todo todo x [O, 1] es / ; , ( x) -j(x)1 = j;(x) la I [unción .1;, es continua en cl compacto [O, 1], luego sup{lf. (x)-f(x)l : x [O, I]}=max{j;, (x): x [O, 1] } como 11

E

n E f::j Y

y

E

E

E

y

y

+ 11 ).

.1;, es creciente su máximo en [O, 1] es /�(l)= 1 /(1 Por consiguiente, 1 limn sup{lf. (x)-j(x)l:x [O, 1]}=linm -1-=0 U;, ) converge uniformemente en [O, 1] a la [unción nula. b) Si Ixl 1, entonces Iim x2 . = O por tanto, lim f. (x) = O. Si Ixl = 1, entonces .I;. (x) = 1/2 para todo por tanto, li.m f., (x)= 1/2. Si Ixl> 1, entonces +n

E

y

1 18

<

1I

11 E f::j y,

y,

1I

1;21

ANALlSIS MATEMATICO I

+ OC;

y,

lím" x2 " = por tanto, lí"m f" (x) = 1 . Por consiguiente, la sucesión U,, ) converge puntualmente a la función definida por f: IR! -> IR!

Ixx l < 1 I l=1 Ixl> 1 pero las f., es acontinua en f no es continua en x = comoni encadax = unala deconvergenci no es uniforme. c) Como para todo n E N todo x E [O, n] es If, (x)1 1 la sucesión U;, ) converge uniformemente en [O, a la función .I(x)=O. d) Como f,,(O) = 1 para x E (O, 2] es lím" .I;,(x) = lím" e X" = O, la sucesión U�) converge puntualmente a la función f: [O, definida por f(x) = { O x=O -

1

IR! y

1,

Y

�n'

n]

Y

-

2] --> IR!

SI

SI

pero comoen cada de las fa" esno continua en [O, 2] la función f no es continua O, la unaconvergenci es uniforme. Si O
2.

Y

n

y

E

y

11

n

1)

1 19

ANALlSIS MATE MATICO 1

1/22

cada una adenolasesf;, uniforme. es continua en [O, 1 ] la función f no es continua enpero como la convergenci 3. Como f es continua en [O, 1 J existe un M> O tal que l1(x)1 M para todo x E [O, I J, como para cada x E [O, es l í m x " = O, para cada 0 > 0 existe un " todo x E [O, Por consiguiente, E N tal que O x " < o/M para todo 19,,(x)1 = Ix "f(x)1 Mx " < para todopara cadatodo x [O, 1 ), como 9,,(1) =f( 1 ) = O, también 19 n( l )1 < En resumen, 8 > 0 existe un E N tal que 19n(x)1 < para todo todo x E [O, l u ego l a sucesi ó n (9n ) converge uniformemente en [O, lJ a l a función nula. 4. Para todo E N todo x IR se verifica sen6 nx ,," -1 1 f,, (x) - 2xl = de aquí resulta que U�) converge uniformemente en IR a la función f(x) = 2x. Como la convergencia es uniforme, lím fn f,,(X)dx = fn 1(X)dx = fn 2xdx = 1[2 5. Como ) = 1 para cada x E (0, 1[/2] es O
1,

Y

1)

""

no

""

1 ).

n � /lo Y ""

E

n � no y

t;

Y /lo

E

1],

n

E.

n � /lo y

E

Y

n

n

y

/1

,,

o

o

o

y

pero como cada de las f;, es continua en [O, 1[/2J f no es continua en O, la convergencI a no una es uniforme. Por otra parte, ni 2 f 1(x)dx = 0 para cada F. E (O, 1[/2) existe un m E N tal que n -8 <-8 -cos 2 2 2 Y

o

y

J[

1 20

AN ALiSIS MA TEMATICO I

para todo

1,23

11 � m,

luego '/2 '/2 '/2 f f f O,,; /,, (x)dx = 2 cos" x dxl2 + c¡ 2 cos" x dx,,; ,,; f'/ dx fn 2 cos " � dx f:) < -+-cos "- < o

o

¡; 2

para todo

11 � m y,

o

n 2

+

<

¡; 2

por tanto,

'/2 f lím j;,(x) 1R definidaeporen que óevin U�) x [O,de lalJ,sucesi /(x)=O dentemente ón integrabl [O, lJ L /=0. Por otra parte, haciendo el cambio de variable X 2 = resulta "

o

=°

y

E

1

-J1\ ' = O,

"

E

Y

11

y,

t

por tanto,

l f lím j�(x) dx = + CIJ nos dicene que[O, 1la] . convergenci a deamosla haber sucesiócomprobado n (f, ) a la funci ódin rj(x)=O no esEnEstouniforme Tambi é n podí esto ectamente. efecto, como sup{lf;,(x)-f(x)l:x [O, lJ}=máx{!,,(x):x [O, J} "

E

o

E

1

=

121

ANALlSIS MATEMATICO I

1;24

se tiene 7.

lím sup{lf, (x)-f(x)l : x E [O, IJ}= + x, El límite (f, ) es la función f:( I)---+ IR definida por f(x) = O parapuntual cada dex la( sucesiónAdemás, "

- 1,

E - 1 , 1 ).

y

luego

sup {lj�(x)-f(x)l:x E ( - I , 1)}=f" G) = 2In '

lím sup {If, (x) -f(x)l: x E ( - I, I)}=O la convergencia es uniforme. Sin embargo, para cada x E ( - 1 , 1) es f'(x)=O x=O 2 2 n X lím "(x) lím ( 1 +n2 x2)2 no se verifica la relación =lím f;, . (Obsérvese que la sucesión de l a s derivadas ( f ; , ) no converge uniformemente en sí lo 1es.): )Su límite puntual no es una función continua en O, mientras que cada f� Por inducción se prueba que O",; P, (x)"'; Ixl para todo n E N todo x E [ - 1, IJ por tanto, "

y

y

11

.J"

=

1-

/1

y

f'

( - 1,

8.

Y

y,

E

1,

luegoacotada para cadapor xIxl, [tiene - l1íJmlaite.sucesión numérica ( P, (x)) es creciente, como está Sea j(x) dicho límite. Pasando al límite en la igllaldad 122

y

1/25

ANALISIS MATEMATICO I

se obtiene y

n E

como es P,,(x) � O para todo N, también será f(x) � O, luego f(x) = Ixl

lla afuncisucesión ócontinua n de funcifoennes vicontinuas (p ) converge uni f ormemente en [ 1, 1J a " rtud del teorema de Dini.

y

1 23

TEMA II Series de funciones

Esquema/resumen

2.1. 2.2. 2.3.

Series de fúnciones. Criterio de Weierstrass. Criterios de Dirich/et

y

de Ahe/.

Unacuando serieladesucesión funcionesde converge puntual mesente a unapuntual funciómn ente F en un con­ junto sus sumas parcial converge El conjunto A suele llamarse campo de convergencia de la serie. a F en utamente enen un conjunto cuando la sene deUnalos serivaleoresde funci absolounestos converge converge absol puntualmente Una cuando serie delafunci onesón deconverge uniformemente a unauniformemente función F en aunF conjunto sucesi sus sumas parci a l e s converge en Laslímiteproposi cionesdesobre la continuidad, integrabil idad y derivabil idad de enla funci ó n uni f orme una sucesi ó n de funci o nes se traducen inmedi a tamente proposI nes seri sobree dela funci continuidad, suma decIouna ones (2.1. 2integrabil .). idad y derivabilidad de la función Unafuncicondición sufidicha ciente seriparae estéla convergenci a absol useri ta ye numéri uniformeca conver­ de una seri e de o nes es que mayorada por una gente (criterio de Weierstrass). nmguno.En 2.2.2 se construye una función continua en todo punto y no derivable en Los acriuniterios dedeDirichl et ey dedefunci para laa Abelones.danAmbos condicseionesdeducen suficiedentesla fórmul convergenci f orme una seri de sumación parcial de Abe!. A

A.

A

A.

A

A.

1 25

2.1.

SERIES D E FUNCIONES

2. 1 . 1 .

Sea (f.,) una sucesión de funciones sea ( F,,) la sucesión definida por y

para cada n El par de sucesi o nes funcional e s( (fn), (F , )) se llama serie funcional de término general f" se designa por ¿j;,. La función F n se llama suma parcial n-sima de la serie ¿fn' Se Adicee IRquecuando la serilae sucesi ¿fn converge puntualmente a una función F en un conjunto ó n ( Fn) converge puntualmente a F en A. Esto significlaa funci que ópara x A la serie numérica ¿j� x) converge a F (x). En este caso, n F cada se llama suma de la serie ¿f" se escribe E N.

y

E

y

(

11= 1

I J,, = F

Se di c e que l a seri e ¿fn converge absolutamente en un conjunto A e IR cuan­ do la serie ¿ 1f, 1 converge puntualmente en A. la serilae sucesi ¿f" converge uniformemente a una función F en un conjuntoSe Adicee IRquecuando ón (F,,) converge uniformemente a F en A. Está claro que si la seri e ¿f" converge absol u tamente en un conjunto A e IR, entonces ¿f" converge puntual mente en A. Asimismo, si la serie ¿fn converge uni f ormemente a una función F en A, entonces ¿J" converge puntualmente a F en A. Proposición (Criterio de Cauchy para la convergencia puntual):

Una serie fun127

A N A LISIS MATE MATICO 1

11/4

cional 'Lf� converge puntualmente en un conjunto para cada x E A existe un no E N tal que

A e IR

si

y

sólo si para cada e > O

Y

siempre que n > m � no .

Demostración: Por el criterio de Cauchy para series de números reales, la sene numérica ""i:.f.( x) converge si y sólo si se verifica la condición del enunciado. y

Una sene sólo si para cada

Proposición. (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme):

funcional ¿fn converge uniformemente en un conjunto E > O existe un no E N tal que

para n > m � no

y

para todo x E

A e IR

si

A.

n E N sea F n =fl + f2 + . .. +f�. Por el criterio de Para cada Cauchy para laenconvergenci formecadade suceS1Ones, la sucesión tal( Fn)queconverge uni formemente si y sólao uni si para 8 > existe un Demostración:

O

A

"0

E N

iFn (x) - Fm (x)1 < E

para n > m � no y para todo x

E A,

es decir, si y sólo SI

para n > m � no y para todo x 2. 1 .2. Las tres proposiciones siguientes se demuestran inmediatamente a par­ proposiciones continuidad, tir deónlaslímite funci uniforme desobreunalasucesi ón de funciintegrabil ones. idad y derivabilidad de la E A.

Proposición: Sea 'Lfn una serie de funciones que converge uniformemente a una función F en un conjunto A e IR. Si cada una de las funciones f� es continua en un punto a E A , entonces la función F también es continua en a. Proposición: Sea 'Lfn una serie de funciones que converg e uniformemente a una unción F en un intervalo [a, b]. Si cada una de las funciones fn es integ rable en f [a, b], entonces la función F también es integrable en [a, b] y

128

11/5

A N A LISIS MATEMATlCO 1

Proposición: Sea 2-f, una serie de funciones derivables y con derivada finita en (a, b) y supongamos que para un c E (a, b) la serie numérica 2-fn (c) converge y que la serie de las derivadas 2-f, converge uniformemente en (a, b). Entonces la serie de funciones 2-f, converge uniformemente en (a, b) a una función derivable F y se verifica

F' (x) = ¿ f, (x) n= 1

para cada x E (a, b). 2.2.

CRITERIO D E WEIERSTRASS

de

2.2. 1 . Proposición (Criterio de Weierstrass): en IR y supongamos que existe una sucesión

A

Sea (ln) una sucesión de funciones de números reales (Mn) tal que

para todo n E N Y todo x E A. Si la serie numérica 2- M, converge, entonces la serie de funciones 2-!" converge absoluta y uniformemente en A .

Como la serie numérica 2- M, converge, para cada c > O existe un no Demostración: N tal que E

n ¿ M, < E k= m+ 1

sIempre que n > m � no por tanto, y,

E A,

luego la serie de funciones 2-j� converge absoluta paraunifnormemente > m � no para todo x en Como aplicacipunto ón delnocrideriterivoabldee enWeininguno. erstrass, Elvamos aoconstruir unaa funci ó n conti n ua en todo ejempl que vamos se debe a B. L. vanco»der(págiWaerden dedar Anál isis Matemáti na lo recoge Rudin en su libro «Principios y

A.

y

2.2.2.

y

W.

y 1 53).

Proposición:

Existe una junción continua f: IR-+ IR no derivable en ningún punto.

Demostración:

Sea g :

IR -+ IR

la función periódica de período 2 definida por SI O x SI

� �1 1 �x�2

129

ANALlSIS MATEMATICO I

1I¡6

Para cada

>1 E N

la función

f�(x)= (3) " g(4" x) para todo es<:: (3continua en todo punto. Por ser O<:: g (x)<:: se ti e ne O<:: f x x) n( 3 para todo x como l a seri e geométri c a L /4)" converge, por el cri t eri o /4)" ( de Weierstrass, la serie de funciones Lf� converge uniformemente a la función f(x) = n�o (43) " 9 (4" x) que es continua en todo punto. Sea x un número real arbi t rari o y sea m Existe un número entero k tal ' = , , = que k<::4"fl4"'x, 1 > m, su diferencia es un número entero par; si >1=m, dichos y 4" IX números son" enteros y su diferencia es si < m, no hay ningún entero entre ellos. Por tanto, 4

E G;l Y

E G;l,

1

�.

E N.

Y

>1

1;

>1 > m

n�m

y

lf(flm) IXm)! = ! t (�)" [g (4" fl",) 9 (4n IXm)] ! � (�) " [g (4" flm) 9 (4" IX",)] ! :t: -! Gr 3m m 3" � (4) - Jo (4) !g (4" flm)-g(4"IX m)! (_43) m mn¿�O- (43) n 4, - m -I(

-

-

-

=

_

1

1

_

luego y como IX",<:: x <:: flm y Iímm (flm -IX",) =O, resulta que f no es derivable en x. 130

11.7

ANALlSIS MATEMATlCO I

2.3.

CRITERIOS D E D lRICHLET y D E ABEL

Seaen A cuando 1Kl. Se existe dice queun una sucesión de funciones (fn) está uniformemente M > O tal que Ifn (x)l ",:; M para todo x E A todo Cada número M > O para el que se cumpla la condición anterior se l ama cota uniforme de la sucesión (fn)' Sean A 1Kl, 'LJ" una serie de funciones de A en para cada n E N cada x E A, sea Fn (x) la suma parcial n-sima de la serie e

acotada n E N.

A

Y

lKl y,

Y

Proposición (Criterio de Dirichlet):

e

Lfn (x). Si la sucesión (Fn) está uniformemente acotada en A Y (gn) es una sucesión de funciones de A en lKl tales que gn + 1 (x) ",:;gn (x) para todo n E N y todo x E A que converge uniformemente a O en A, entonces la serie 'Lfng n converge uniformemente en A . Demostración: Sea M una cota uniforme de la sucesión (Fn) en A. Como (gn) converge uniformemente a O en A, para cada 8 > 0 existe un no E N tal que O ",:; gn (x) 8/2 M para todo n ;" no y todo x E Para cada n N cada x E A, sea s n (x) la suma parcial n-sima de la sene Lfn (x) gn(x). Probaremos que la sucesión (s n) converge uniformemente en A. Por la fórmula de nsumación parcial de Abel, <

A.

E

s n (x) = ¿ Fk (X)(g k (X) - g k + ¡ ( x)) + Fn (x) gn + ¡ ( x) k= l

y n > m, se tiene SI

Y

s n (x) - sm ( x) =

n ¿ F k (X)(g k (X) - 9 k + ¡ (xl) + Fn (x) g m + 1 (x) - F m (X) g m + 1 (X) k= m + 1

y como para cada x E A la sucesión (gn (x)) es decreciente, ISn (x) - s rn (x) I ",:; M [ t (g k (X) - g k+ ¡ {x) ) +gn + ¡ (Xj + g rn + 1 (X) ] k� 1 = M [g rn + 1 (X) - gn + 1 (X) + gn + ¡ (x) + g m + 1 (X)J

= 2 M g m + 1 (x)

para n > m ;" no y todo x E A por la condición de Cauchy, la sucesión ( s n) converge uniformemente en A. Ejemplo: Si O las sucesi o nes de l a s sumas parcial e s de las seri e s Ll/sen sen (nx0/2)y. Esto Leos resul nx están uniformemente acotadas en el intervalo [o, 2 -b] por ta inmediatamente de las desigualdades Y

< o < n,

Isen x + sen 2x + ... +

n

"':; c-----c-:::.,,­

1 sen nxl Isen (x/2) 1

131

11/8

ANALlSIS MATEM ATlCO I

y +cOS 2x + . . +cos nxl ';; Isen (x/2)1 kE sucesiinterval ón deo válidasonesparaquetodoverixfi#ca2krrlasconhipótesis Pordel consiguiente, si (g") eest una funci en el criterio de Dirichl [i5, 2rr - i5], l a s series Lg "(x) sen nx y L g" (x) cos nx convergen uniformemente en [i5, 2rr 1

leos x

7l..

-

i5].

Proposición (Criterio de Abel): Sean A e IR!, Lf" una serie de funciones de A en que converge uniformemente en A y (g ") una sucesión de funciones de A en IR!, tales que g,, + 1 (x) .;; g,,(x) para todo n E N Y todo x E A uniformemente acotada en A. Entonces, la serie f" g " converge uniformemente en A. IR!

L de la sucesión (g,,), ( F") la sucesión as Demostración: sumas parciala Sean esF deenMlaunaserilucota eegoLf"uniparayforme dege luniformemente F su suma. Por hipótesis (F") conver­ cada 8 > O existe un no E N tal que e/ M para todo n ?; no y todo x E A. I F (x) F x)l < Para cada n E N cada x E A, sea s" (x) la suma parcial n-sima de la sene Lj� (X)g ,, (x). Probaremos que la sucesión (s ") converge uniformemente en Por la fórmula de sumación parcial de Abel, ,,

-

4

(

A,

Y

A.

" s " (x) = I F k (X) (g k (X) -g k + l (x)) + F,, (x) g " + ¡ (x) k=l

y SI n > m,

se tiene

s ,, (x) - s ", (x) =

" F (X) (g k (X) - g . . ¡ (x)) + F,, (x) g ,, + 1 (x) - F ", (x) g ", + 1 (x) = m+ 1 k k= I "

I

k = In + 1

(F k(X) - F (X)) (g k (X) - 9 k + ¡ (x)) +(F" (x) - F (x)) g,.. ¡ (X) -

y como para cada x E la sucesión (g" (x)) es decreciente, A

Is " (x) - s ", (x) 1 < 4

e

M

[g ", + ¡ (x) - 9,. . ¡ (x) + Ig " + ¡ (x)1 + 19m + 1 (x)l]

)

para n > m ?; no y todo x E por la condición de Cauchy, la sucesión (s" converge uniformemente en A

A.

132

Y

Ejercicios de autocomprobación 1.

Determinar los campos de convergencIa de las siguientes senes funcionales: a) I b) c) I Estudiar funci onalels:a convergencIa la convergenCIa uniforme de las siguientes senes 11=

1

n =: 1

2.

n. x ,

n

( - 1 ) " e - ' ''" ,

y

a) b) I cl I Determinar el campo de convergencIa la suma de la sene 11=

1

n

x

e-

nx

" = 1 /12 + 1 ex,

3.

�

y

y

estudiar SI la convergenCIa es uniforme o no. 133

11/10

4.

ANALlSIS MATEMA Tieo I

Dada la sene I x" x"), se pide: la y su suma F y estudiar a convergenci de campo su ar n Determi a) con vergencia en es uniforme o no. b) tenido Probar enque la1 serie con verge uniformemente en todo intervalo cerrado con­ Demostrar que la serie if

n= l

(1-

A

SI

A

( - , 1 ).

5.

,converge uniformemente en [O, 6. Sean a y b dos números reales tal e s que O
IR

oc

n= l

F (x) = I

n e - "X

para cada x [a, bJ es integrable en [a, bJ y calcular f: F (x) dx. Probar que la función F : definida por sen F (x) = I para cada x es derivable en todo punto. Demostrar que la serie E

7.

IR - IR

n=l

nx 3 n

E IR

8.

valconverge or de x.uniformemente en pero no converge absolutamente para ningún IR

1 34

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1 . a) Para = la serie diverge. Para x"" se tiene lím" (n+ l)!x1 " + ! = l'� (-:-n-+--:1l-) :-'-x:I 0 < 1 por el criterio del cociente, la sene converge absolutamente en {O}. b) Para x = 2 la serie diverge. Para x"" 2 se tiene lím" " (x-2)" I Ií" lxy;;-21 = _Ix -1_2 1 divpor erge elsi criterio Ix -21 1 " 1 Sininguna x-2=1de estas quedadosla seri seriees 2:ncumplesi lax-2= 1, queda la seri e 2:(1) condición necesaria de convergencia. Endiverge resumen, en [1,la 3].serie dada converge absolutamente en ( - 00, 1) (3, + 00) c) Cuando si sen x <0,sen x,,;O no se cumple la condición necesaria de convergencia, pues, lírn" sen x=O, queda la sene 2:( - 1)". x

°

°

I

I

[R -

y,

11

=

m

SI

y,

y

y

U

e -nscnx =

Y

136

SI

y

+

CIJ

y

11;1 J

ANALlSIS MATEMATlCO 1

Cuando sen xpues > O, lea-""'seri O, para Ixl > a 1 l O n x n a como l a seri e numenca L l/n2 a 2 converge, por el criterio de Weierstrass, la serie dada converge uniformemente en 00, - a) (a, + 00). La serie real b) número converge si x> 1 diverge si x� 1 . Además,se veri cualfiqcuiera a > 1 , para todo x:;' a todo n a que sea el « 2k

2.

y

l )n

k EZ y

2kn

E N

:S; ----zz =S; --y-z

(

y

U

-

y

E N

y

como l a serie numenca L l/n" converge, por el criterio de Weierstrass, la serie dada converge uniformemente en [a, + 00). c) Si x < O, se verifica hm -ne2-+-1 = + 00 por tanto, la sene diverge en - O). Si x:;, O, se tiene y

- "X

,

n

y,

(

00,

como la serie numenca L 1/(n 2 + 1 ) converge, por el criterio de Weiers­ trass, la serie dada converge uniformemente en [O, + Si x O es la serie nula. Si x '" O es una serie geométrica de razón 1/( 1 + X2) < 1 y

00).

3.

=

y

1 1 + x2 X 1 11

2.

_ _

-,--

+x2

1.

--

137

ANALlSIS MATE MATICO I

11/14

Por consiguiente, definida por la serie dada converge en su suma es la función F : SI x=O F(X) = {� SI x""O Como l a s funciones (x) = x 2/( I + x 2) " son continuas F no es continua en O, la convergencia en IR no es uniforme. a) La suma parcial n-sIma de la sene es IR y

IR ---> IR

f�

4.

y

n n 2 F n(X) = X + X 2 + + X - (x + X 4 + ... + X 2 ) ...

y

para Ixl "" 1 se tiene

(x) x"x+-l _I X luego SI IXI 1 la sene converge su suma es F(x)=hm,n Fn (x) = I -X x - I -X 2x2 = I -xx2 ' Por otra parte, si x= 1 se tiene x " (I - x")=O para todo n l u ego l a seri e converge F ( I ) = 0. Para x - 1 es O si es par X " ( I - X ") = { si es Impar la sene diverge. Para Ixl> I es " (I - x")= límx " la serie también diverge. Por=( -consiguiente, de l a seri e es el conjunto el campo de convergencia en IR 1, 1 ] su suma es la función F de definida por Fn

<

y

--

--

--

=

y

E N,

n

-2

n

y

w

y

A

A

Y

{ �O

SI x ( - I I) SI x= I Lason convergencia en no es uni f orme porque l a s funciones f" (x) = x " ( I - x ") .continuas en F no es continua en 1. F(x)

A

A

138

y

=

1 X2

E

,

ANALlSIS MATEMATlCO 1

I1¡ 15

Y

b) cada Sea [a,x b][a,unb]interval contenido ense( -tiene 1 , 1 ) sea e=máx {Ial, Ibl}. Para n y parao todo E

E N,

" " " " " Ix ( 1 - x )I ,,; Ixl + IxI 2 " ,,; e + e 2 ¿ e" y ¿ e2 "

como 0 <¿ e(e<" +1 ,el2a"s) converge series geométricas convergen, lluaegoserilea dada serie numérica y por el criterio de Weierstrass, converge uniformemente en [a, b]. Para cada n cada x [O, 1 ] sea f., (x) = n1 (x2" - x2 " Entonces y

5.

E N

Y

-

E

+ 1 ).

1 f',, (x) = - X 2 ,, - 1 [2n - (2n + l ) x] n < 2n/(2n + 1 ) es J�(x) > y para tanto,°el< xmáximo de J" en [0, 1] es Por Para 2 n ) ( 2 n )2" ( J" = 2 n + l · n (2 n1 + l) 2 n+ l y para cada n todo x [O, 1 ] se tiene ( 2 n ) 2" . 1 s: 1 O0 s: ,, ( x) s: � 2n+l n (2 n + l ) � n (2 n + l) e numéricauniformemente ¿ l/n (2 n + 1 ) converge, por el criterio de Weierstrass, la como serie ¿Jla "sericonverge en [O, 1].

para es

J�(x) = ° x = 2n/(2n + 1 ). J�(x) < O. 2n/(2n + l ) < x < 1

y

E N

Y

°

E

y

6. Para cada n

E N

Y

todo x

E [a, b]

se verifica

o
- /IX

< n e - na

yconverge como launiformemente serie numencaen¿[a,n e -b]' " (criterio convergede(criterio de l a raí z ), l a seri e ¿ n e - "x Weierstrass). Además, cada una de " enlas [a,funcib]ones y J,,(x) = ne - x es integrable en [a, b], luego F es integrable e-a l -e a 7.

e-b l -e b

Cada una de las funciones J,, (x) = (sen nx)/n3 es derivable y J� (x) = (cos nx)/n 2

.

139

11/16

ANALlSIS MATEMATICO 1

y

Además, como Ifn ( x)1 � l/n3 Iln (x) 1 � l/n 2, las dos senes I.fn I.f� convergen uniformemente en [I;¡ (criterio de Weierstrass). Por tanto, F es derivable � cosnx F' (x) = n2 n= para cada x Para cada n cada sean x fn (x) = ( - 1) " g n (x) = I/( n + x 2 ) sea Fn (x) lsucesión a suma parcial n-sima de la serie I.fn (x). ComoAdemás, F2 n ¡ (x) = - 1 F 2 n ( x) O, la es evidente que (Fn) está uniformemente acotada en gn ¡ (x) ) converge uniformemen­ para todo n [I;¡ , l a sucesión N todo x gn (x) (gn � teconsiguiente, a O en [I;¡,lapuesto que O �gn(x) � lln para todo n E N todo x [I;¡. Por serie I.fn gn converge uniformemente en (criterio de Dirichlet). Por otra parte, la serie de los valores absolutos I. l(n + X 2) diverge para todo x y

Y

¿

1

E IR.

8.

E

E [I;¡

N Y

Y

Y

_

y

=

IR .

E

E IR.

1 40

Y

E

Y

+

[I;¡

Y

E

Tema III Series de potencias

Esquema/resumen 3.1. Series de potencias. 3.2. Convergencia uniforme, derivación e integración de una serie de potencias. 3.3. El teorema del límite de Abel. 3.4. Desarrollos en serie de potencias.

Una serie funcional de l a forma L a n (x - al " se llama serie de potencias centrada en a. En este tema y con el fin de simplificar la escritura, nos limitaremos aL. aestudiar las series de potencias centradas en O, es decir, las series de la forma n nx . Dada una serie de potencias, existe un r ;¡, O tal que la serie converge absolu­ tamente r y diverge si Ixl > r. El elemento r E IR con estas propiedades se lconvergencia ama radiosi Ixldedeconvergencia de l a seri e y el interval o ( - r, r) se llama intervalo de la serie. Delde criterio se deduce una fórmula para calcular el radio de convergencia una seriede dela raíz potencias. Lacontenido convergencia de interval una serieo dede convergencia. potencias es uniDeforme enhecho cualqseuierdeducen intervallao cerrado en su este derivabilidad y la integrabilidad de la función suma de la serie. El teorema del límitededesuAbelinterval establo edece convergencia, que si una serieentonces de potencias conver­ geseneen esuno de l o s extremos la suma de la una función continua en ese punto. Se dice que l a seri e L a n x n es un desarrol l o en serie de potencias de una funci un interval su radio de convergencia es mayor o igual que ónyfsuen suma es igualo ( -ar,f(x)r) cuando para cada x ( - r, r). <

r

E

141

1 1 1/2

ANALlSIS MATEMATICO I

enfunciones serie deparapotencias de seriunae converge función yj,que,si sinexiste, es ". Perololhay las que esta embar­ L[.go,fno"I(OEl)son /n!]desarrol xdesarrol ableslablene serie de depotencias. Unaes que condición suficiedentesusparaderiva­ que una función sea desarrol en serie potencias l a sucesión das esté uniformemente acotada.

1 42

3.1.

SERIES D E POTENCIAS

L an (x - a) " se l a ma serie de potencias cen­ Una serie funcional de la forma trada Para simpl las series de n potenciasen a.centradas en iO,ficares ladeciescritura, r, las serinoses delimitaremos la forma La aestudiar nx .

Si una serie de potencias L a n x n converge para un Xo '" O, entonces la serie converge absolutamente si Ixl < IXol· Proposición:

la lsucesi uego ón

n,

=

Si la serie L an x3 converge, entonces, Iímn an x3 O por tanto, está acotada, es decir, existe un c > O tal que lan x31 < e para todo

Demostración: (an x3)

y,

Llx/xol n converge si Ixl < IXol, la serie geométrica n comparación, la serie L a n x converge absolutamente. por el pnmer criterio de y,

y

Dada una serie de potencias L an x n, existe un r � O tal que la serie converge absolutamente si Ixl < r y diverge si Ixl > r. Proposición:

Sea el conjunto de los números real e s x � O para los que la converge absol u tamente, A es no vací o porque O A. Sea r el supremo sene de A en �. Entonces r � O. Sireal0 < rXo:O:; tal queIxlIxl<
A

E

+ co y

E

y

y,

143

ANALlSIS MATEMATICO 1

0,,;1 ' +00 Ixl > r, la serie 2. a " x " diverge, pues, de lo contrario, para Si < cual quierennúmero realde la()( proposición tal que Ixl >anterior ()( > la serie 2. a " ()(" sería absolutamente con­ vergente virtud por tanto, siendo > sup lo cual es absurdo, Y

1',

()(

y,

()(

E A,

A,

Dada una serie de potencias 2. a " x ", el elemento l' E IR con las propiedades de la proposición anterior se llama radio de convergencia de la serie y el intervalo ( se llama intervalo de convergencia de la serie, Definición:

1', 1')

Si .y¡a,;¡ = entonces el radio de convergencia " potencias La" x " viene dado por

lím

Proposición:

1

SI SI SI

l'

de la serie de

1=0 1 (O, + 00) 1= + oc, E

Corno lím" 11(1" x"l = Ixl 1, por z, si 1 = Oabsol la seriutamente e convergesi absol utamente para todo x IR, si I1 = (O,+el00criterio +la00)serilaedediverge serila eraíconverge Ixl < 1/1 diverge si Ixl > 1/1, si para todo x O. La conclusión se deduce ahora de la proposi­ ción anterior. Demostración:

E

*

E

Y

*

y

Si a " O para todo n "lím la" l /a,,1 = 1 entonces el radio de convergencia de la serie de potencias 2. a" x viene dado por 1=0 1 (O, + 00) 1 = + 00 puesto que por ser a" +I I";lím � "; lím � "; líml a " I I , l lím se tiene lím" 1� =I. Observación: l'

y

+

"

SI

SI SI

E

+

n

Qn

n

n

n

Qn

Ejemplos:

La serie 2. x"/n" converge para todo x IR, puesto que por ser lím" � =lím" �n =O, su radio de convergencIa es + oo. 144 1.

E

AN ALlSIS M ATE MATICO I

I I l¡5

La sene 2: n" x" converge sólamente para x = 0, puesto que, por ser lím � =Iím" n = su radio de convergencIa es O. Para cual q uier ct. E �, el radio de convergencIa de la sene 2: n" x " es 1 , puesto que 2.

+ CIJ ,

"

3.

Por ocurre tanto, enla serie convergedeabsol uinterval tamenteo: enSi ct.el>interval o ( - 1 , Estudiemos lo que l o s extremos este 0, la serie diverge para x = - 1 para x = 1 (el término general no tiende a cero). Si - 1 "; ct. < 0, la serie converge para x = - 1 (criterio de Leibnitz) diverge para x = 1 (criterio integral). Si < - 1, la serie converge absolutamente para x = - 1 para x = 1 (criterio integral). 1).

Y

rt.

y

y

3.2.

CONVERGENCIA U NIFORME, DERIVACION E INTEGRACION D E U N A SERIE DE POTENCIAS 3.2. 1 .

cias La " x " [ - xo, xo].

y

Si r > ° es el radio de convergencia de una serie de poten­ Xo E (0, r), entonces la serie converge absoluta y uniformemente en

Proposición:

Es una consecuenci a inmediata del criterio de Weierstrass, " puesto que para todo n todo x [ - xo, xoJ se verifica la" x l ,,; la" x31 por ser es el radio de" convergencia de una serie de poten­ " tiene también radio de convergencias a "x entonces la serie de potencias 2: n a " x da r, la jimción f: ( - r, r) --> � definida por Demostración:

°

E

y

2:

Proposición:

3.2.2.

y,

°

-1

�

es derivable

f(x) = I a " x" n=O

y

n= 1

.f' (x) = I para cada x E ( - r, r). Demostración:

Como

y

lím" � = 1 , 145

111(6

ANALlSIS MATE MATICO I

se tiene L a " x n son por tanto, l o s radios convergenci a de l a s series L n an xn - 1 de iguales. Para todo ( - r, r) la serie numérica L a " nx3 converge según la proposi­ CIOn anterior, para todo a (O, r) la serie 'I.na n xn - l converge uniformemente en [ - a, al Además, na n x,, - 1 es la derivada de a " x resulta que para cada x [ a, a] se verifica de la tercera proposición de y,

y

Xo E

y,

E

y

2. 1 . 2

-

E

oc.

f' (x) = ¿ n a " xn - l n :::o 1

Como esto es cierto para todo a (O, r), queda probada la proposición. Ejemplo: Sea un número real arbitrario. La serie de potencias L a " x " donde para n se l ama serie binómica. Como an 1 'n n ni = llm'n n = l l1m'n I -= Im Qn I elporradi. o de convergencia de esta serie es si f:( es la función definida E

a

a (a - l ) . " (a - n + 1 ) � ---'--�---'n! -

+

n-a +1

la +1

--

--

1, y

para cada x

E ( - 1, 1)

1'

- 1, 1 ) --> 1R

se tiene f'(x) =

a ( a - 1 ) " . (a - n + 1 ) n l Í x (n - l ) ! n

=1

por tanto,

y,

(1

� 1,

-

+ x) f'(x)

=

a(a - 1 ) " ' (a - n + 1 ) (n - l )! /1 = 1 �

¿

/1 = 1 if.

¿

cx(a - l ) ,,· (a - n + 1 ) (n - l ) !

� ¿ n= l 146

xn

a(a - l ) '' ' (a - n + 1 )

�-�-�----'-

(n - 1)!

x"

ANALlSIS MATEMATICO I

�

=a+ I n= l x,

=a+ I n= 1 =

{I +

= af(x)

y

SI

g : ( - 1 , 1 ) -> IR

111;7

a(a - l ) ··· (a - n) n cx(a - l ) " ' (a - n + l) n I x + x (n - I)! ni n= 1 �

[

]

a(a - I ) ··· (a - n) 1 1 - + -- x n n a-n (n - l)!

I

;

a(a - l ) .� a - n + 1 ) n x

J

es la función definida por

9 (x) = ( 1 + x)

-

f(x),

a

se tiene

1 f(x) + ( 1 + x) - af' (x) g' (x) = - a ( 1 + x) = ( 1 + x) - a - ¡ [ - af(x) + ( 1 + x)f' (x)] =0 -

a

-

ltodo uego xg E(x)( =- cI, para todo x ( - 1 , 1 ) como f(O) 1 , resulta c = 1 con lo que para 1 ) se verifica f(x) = ( 1 + x)", es decir, E

1+

=

Y

� a (a - l ) ... ( a - n + l) ( 1 + x)" n I. nL.. =1

I. n a nx n - ¡ tiene el mismo radio de convergen­ Como l a seri e deri v ada n ciaderivada, r que la serie I. a nx , se puede aplicar la proposición anterior a dicha serie obteniendo la serie derivada segunda, cuyo radio de convergenci a es tamn bién r y cuya suma es la derivada segunda de la función f(x) = I an x . Repitiendo el proceso se obtiene la siguiente 3.2.3.

oc,

Proposición: Si r > O es el radio de convergencia de una serie de potencias n I. a n x entonces para todo k E N la serie de potencias I. n (n - I ) ... (n - k + l ) an x n - k tiene también radio de convergencia r, la función f: ( - r, r)-> IR definida por �

f(x) = I an xn n=O tiene derivada k-ésima

y �

P) (x) = I n (n - l ) " . (n - k + l ) an x n - k n= k para cada x E ( - r, r).

147

1 11/8

ANALlSIS MATEMATICO 1

O

Proposición: Si r> es el radio de convergencia de una serie de poten­ n cias L a n x entonces la serie de potencias L [a n/(n + l )]x n + 1 tiene también radio de convergencia r y si f: ( - r, r)-> IR es la función definida por 3.2.4.

f(x) = 2:: a n x n, n=O oc,

para cada x E ( - r, r) se verifica

Demostración:

Como

y

Iímn .::/n1+ l

1,

se tiene L [a n/(n + 1 )] xn + l Lan x n son por tanto, l o s radios de convergenci a de l a s series iguales. n Además, para cada x ( - r, r) la serie L a n t converge uniformemente en el intervalo cerrado de extremos O x por la segunda proposición de y

y,

E

y

2 . 1 .2,

y

radio defdeinidaconvergenci por a de la sene la Elfunción

Ejemplo: ( 1, 1 ) -> IR f:

�

n f(x) = 2:: n x - 1 n= l 148

L xn

es igual a 1 . Sea

ANALlSIS MATEMATICO 1

1 1 1/9

Según la proposición anterior, para cada x ( - 1, 1 ) se verifica fx f(t) dt = I x" = x E

�

y

-

l -x

11 = 1

o

derivando resulta 1 ( l - x)

f(x) =

es decir,

2' 1

3,3,

EL TEOREMA DEL LIMITE D E ABEL

Proposición: Si r> O es el radio de convergencia de una serie de potencias L a " x " y la serie numérica L a " r" converge, entonces la serie L a " x" converge unifor­ memente en [O, r].

Para porn O, 1, 2, " sean f" definidas respectivamente =

Demostración:

..

f" (x) = a,, r"

y

g"

las funciones de [O, rJ en IR

y

para cada x [O, r]. Como las f" son constantes la serie La " r " converge, la serie Lf" converge uniformemente en [O, rJ como g,, + ¡ (x) .;; g ,,(x) Ig,,(x)I .;; l para n = O, x [O, rJ , por el criterio de Abel para la convergencia uniforme, todo la1 , 2,seri. e Lfpara g converge uniformemente en [O, r]. " " .

" Y

E

y

y

y

E

y

Sea L a" x" una serie de potencias de sea f: ( - r, r)-> IR la función definida por

Proposición (Teorema del límite de Abel):

radio de convergencia r > O

f(x) = I a " x " n=O

Si la serie numérica L a " r" converge, entonces existe

lim f(x)

x ..... r -

=

lím f(x)

x ..... r -

y

se verifica

I a " r"

n=O

149

ANALlSIS MATEMATICO 1

111/10

Por l a proposición anterior, l a seri e ¿ a n x n converge uniforme­ una función g que coincide con J en [O, r) como las funciones mente en sonJ acontinuas en todo punto, g es continua en r, luego Iím J(x) = lím g (x) = g (r) = nI= O a n rn. Observación: De manera análoga nse prueba que si r > es el radio conver­ n a rndeconverge, gencia de una serie de potencias ¿ a la serie numérica x ¿ ( I) n n entonces l a seri e ¿ a n x n converge uniformemente en [ - r, 0J que, en estas condi­ ciones, si J: ( - r, r) es la función definida por

Demostración: [O, r f;, (x) = a n x n

y

oc

x-r�

x ---> r -

°

-+

y

Ifl¡

y

J(x) = I a n x n, n= O

entonces existe Iím J(x) se verifica X "" - r +

y

Iím J(x) = nI= O ( - I¡n a n rn

x ..... - r +

3.4.

DESARROLLOS EN SERIE D E POTENCIAS

3.4. 1 . Definición: Sea r > O. Se dice que la serie ¿ a n x n es un desarrollo en serie de potencias de una Junción J en el intervalo ( - r, r) cuando su radio de conver­ gencia es mayor o igual que r y J(x) = I a n x n n= O ex,

para cada x E ( - r, r). Proposición:

Dados dos desarrollos en serie de potencias f(x) = I a n x n n= O

y n g (x) = I bn x , x E ( - r 2 , r2 ), n= O la suma J+ g viene dada por la serie de potencias

150

111; 1 1

ANALISIS MATEM ATICO 1

f(x) + g (x) = ¿ (an + bn ) x ", x E ( - l', n=O

in

1')

donde r = m { r ¡ , r 2 l. Demostración:

x E ( - 1', 1').

Proposición:

La serie L (a ,, + bn) xn converge a f(x) + g (x) para cada

Dados un desarrollo en sene de potencias f(x) = ¿ a n x n, x E ( - r, 1') n=O x,

y

un número real c #

0, la función cf viene dada por la serie de potencias x

cf(x) = ¿ c a " x n, x n=O Demostración: Proposición:

E

( - 1', 1')

La sene L C a" xn converge a cf(x) para cada x

E ( - ", 1').

Dados dos desarrollos en serie de potencias ex,

11 = 0

f(x) = ¿ a n x n, x y

�

g (x) = ¿ b n x ", x n=O

E

( - r¡ , r¡)

E ( - r 2, 1'2)'

el producto fq viene dado por la serie de potencias w

f(x) g (x) = ¿ c " x n n=O n donde c n = ¿ a k bn _ k k= o

Y

X

E

( - r, r)

r = min { r ¡ , r zl.

Demostración: Por el teorema de Mertens, el producto de Cauchy de l a s dos senes dadas

converge a f(x) g (x) para cada x

E

( - 1', r). 151

ANALlSIS M A T E M ATICO I

1lI¡12

Sea r > O. Si L a " x " es un desarrollo en serie de potencias de una función f en el intervalo ( - r, r) entonces 3.4.2.

Proposición:

Por hipótesis, para cada x

Demostración:

E

( - r, r)

se verifica

J.

f(x) = Io a " x " n =:::

y por la proposición

3.2.3,

para todo

k E N

se tiene

�

f1 kl (X) = I n (n - l) ... (n - k + 1 ) a " X,, - k n=k

y haciendo x = O en estas igualdades resultan Según esta proposición, el único desarrollo en serie de potencias deparaunalasObservación: función f: ( - r, r)-> si existe, es L[jI ") (O)/n!] x ". Pero hay funciones f que l a seri e U1 ")(0)/n!] x " converge en todo punto y que, sin embargo, no son desarrollables en serie de potencias en ningún intervalo. Ejemplo: Sea f: la función definida por [I;l,

2:

[I;l .... [I;l

x#O x=O

Probaremos por inducción que para cada x # O para todo n se verifica r' (x) = P " (�) e- I /x2 donde es un polinomio l/x de grado 3n. Evidentemente, esto se cumple para n P="O.( l/x)Supongamos que se encumpl e para n. Entonces Y

y poniendo P" + 1

(y) =

el polinomio P" + 1 tiene grado 3n + f10 + 1 ) (X) = P + 1 (�) e x

- y 2 P� (y) + 2

y 3 P " (y), n

152

- 1, , '

3 Y

JIIi 1 3

ANALlSIS MATEMATICO 1

p" I (O) = O para todo n. Desde luego, esto se cumple es fácil probar e para n. Entonces, para cada x # O, se verifica se cumpl que que O. Supongamos para n =Ahora (�)e-I!" �p x x " x

y, por tanto, Iím

x ---> o +

I'�I (X) _p nl ( O) x

Iím y Pn (y) e - " = O

y "'" + (fj

y 2:

igualdad la sene embargo,Porlaconsiguiente,

[f"1 (O) n !] x"

/

f(x) =

solamente se verifica para x

=

n

converge a O para todo x

E IR.

Sin

p l (O) n f x n=O n 1

O.

da condiciones suficientes para que una fun­ proposición La lsiguiente de potencias. able en serie clon sea3.4.3.desarrol Proposición: Sean r > O Y f: ( - r, r) IR una función indefinidamente derivable supongamos que la sucesión de las derivadas (P"I) está uniformemente acotada en ( - r, r).

y

-->

Entonces

p n l (O) " x , x E ( - r, r) f(x) = I n o= O n l �

--

Demostración: Si x = O no hay nada que demostrar. Supongamos, pues, que de Taylor,O para el teorema Por y x talcadaquem existe un punto perteneciente al de extremos intervalo abierto x # O.

E N

e

"' - lp nl (O) p "'l (c) x " + --x'" f(x) = I m! n o= Q n ! --

153

ANALISlS MATEMATICO 1

IIl¡14

por hipótesis, todo xPero E luego existe un ( - r, r),

tal que If"l(x)I�M para todo m E 1 m::I:, -n,.- X I x"m! es lím m/m resulta li,� [ � -n-! ] f(x) -

como para todo

y

x E IR

..

M>O

1 r1 (0)

Y

n �M

n=O (x

N

!) = O,

f(x) -

..

- lfl n l (O) _ xn = 0 n o

es decir, oc, p" 1 (0) f(x) = I _, _ n n. n=O

x

Ejemplos:

1. Sea l a función definida por eX. Para 1, 2, para es x E cual número1, 2,real. ., segúnsela tiene Iposición f n1(x)1todo�e'3.4.3,xparaE todo Comoquiera que 1 seaparael n=O, pro­ f: IR - IR IR fn) (x) = e" y

f(x) =

fl n1(0) =

( - r, r).

n = O, r>O

... , Y

X E ( - r, r)

y

por la arbitrariedad de

r, if,

xl!

X E ( - OO, + 00).

ex = I -" =on . n

1, 2, para definida por sen x. Para n todo x2.E Sea-es1)f",n1(x)segúnlasenlafunción por tanto, (x)1 � 1 . Como (xproposición + n n/2) 3.4. 3, IR

p2n + l ) (0) = (

f: IR-+ IR =

= O,

f(x) =

!fIn)

y,

x2n + l

... Y

f2n) (O) = O Y

sen I ( - 1) " (2n + l ) ! x E ( - 00, + 00) rrollo, Procediendo se obtiene de manera análoga o bien por derivación de este último desa­ x=

cos 1 54

c.fj

,

n�O

x= I ( FO CXJ

-

1)

"

2

X l I! ( n) !

-

'

x E ( - OO, + 00)

ANALlSIS M A T E MATICO 1

III¡ 1 5

" " " LX Las dos seri e s geométricas y L( 1) x convergen en (-1, 1) a I/(I - x) y 1/(1 +x), respectivamente, luego 1 2.: x" , X E (-1, 1) 1 -x y 1 2.: ( -1)" x", X E ( - 1, 1) De estos desarrollos se deducen por integración log(l -x)= - , 2.:= o n + 1 , x E (- l, 1) y log(l +x)= 2.: (-1)" xn + 1 , x E (- 1, 1) y restando, x E ( - l, l) 4. La sene geométrica L( - 1) " x 2 " converge en ( - 1, 1) a 1/(1 +X 2 ), luego 1 - 2.:"' ( - 1)" X2", x E ( - 1, 1) 1 +x 2 y por integración se obtiene ' x E ( - l, 1) arc tg x= 2.: ( - 1)" -2n+1 Cualquiera que sea el número real a, la serie binómica 1 � a(a-1) .n. !(a-n+ 1) x " converge en (-1, 1) (1 + x)", luego 3.

lf.

n=O

if.

n=O

CJJ

oc,

,, = 0

=

n+ 1 x -

n+ l

--

,, = 0

rx�

n ::o O

x2n+ l

5.

+ L.,

n =1

a

1 55

ANALlSIS MATEMATICO 1

I II f l 6

(l +x)" = 1 + f: a(a- I) . n.. �a-n+ 1) x", x E ( - 1, 1). En particular, para a - 1/2, resulta 1 1 + JI ( - 1)" (2n-I) .." x ", x E (- 1, 1) (2n)!! Si en este último desarrol se obtienen los desarrol los lo cambiamos x primero por - y después por x2, 1 1 + I (2n - 1) "· · x ", x E ( - I, 1) (2n) . y 1 1 + I (-1)" (2n-l),, "·· x2", x E (-l, 1) (2n) . por integración resultan " , x E (- I, 1) arc sen x= x+ I (2n-l) ( n) ! 2n+ l y argshx=x+ "�I (-1 )" (211(2n)- !!1)".. 211+ 1 ' x E ( - I, 1). n=

1

=

oc,

X

,,

�,

,, � I

2

ex,

FI

y

if

,, � I

0,

1 56

2

..

X

X

2n+ 1

2n+ 1

2

Ejercicios de autocomprobación

Determinary elestudiar intervallao deconvergencia convergenciaen deloscada una dedelasdicho siguientes potencias extremos intervalserioe: s de x "'1 a) Ln2 b) Ln !x" " x n L c) n+ 1 (2 ) d) LX e) L 3 x cal c ul a r l a s sumas de l a s siguientes seri e s de poteny 2. Estudiar la convergenci a Clas: x2 n a) ¿(0 2n b) ¿ (n+ 1)(n+2) x" 3. Determinar el radío de convergenCia de la sene L n 2 x " y calcular su suma. 4. Sean L a" y L b dos series convergentes y sea LC" su producto de Cauchy. Probar que sí L" converge, entonces 1.

,,'

,,'

,,-

n= 1 x,

n= o

c"

1 57

11I ¡ 18

ANALlSIS MATEMATlCO 1

5. Probar que la sene L ( - 1)"/(3n+2) es semiconvergente calcular su suma. 6. Deducir los siguientes desarrollos en serie de potencias: n 1 1 2 22 X 1 + " 2 a) sen x= F1¿ ( _ 1) (2n)! X E {- OO, +00). 1 + " 1 ) ( x " 2 1 + b) log{x +3x+2)=log 2+ ¿ (-I) 2 " + 1 n+ 1 ' X E ( -1, 1). log(1 +x) ¿� (_ 1)" - 1 ( 1 +-1 +· · +-1) x", X E { - I, 1). 2 n "� 1 Util i zar desarrol l o s en seri e de potencias convenientes para cal c ul a r l a s sumas de las series siguientes: y

oc

____ ,

�

--

11 = 0

e)

7.

a) b) "¿� 1 (2n(2n)!! '! 2n+ r Calcular la suma de la sene w

8.

- 1)

'-----'--c-

'le

1

" � 1 n{2n+ 1) Determinar tres números reales B tales que ¿ --;-;o----;-c

9.

A,

y

Y e

calcular la suma de la serie

� n3 n== 3 n1 1¡2 de (l-X)- l para i zar los desarrol l o s en seri e de potencias de {¡ _X)10. Util demostrar la igualdad f (2 k)! (2n-2 k)! 4" k�O [k ! (n-k)!f ¿ -

y

158

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

1. a) Como

hm,n Vn � la, 1 = l'n 2 v"1r:n = -21 ' elalternada radio de2: ( con1 vergencia de l a seri e es 2. Para x = 2 queda la serie In que, por el criterio de Leibnitz, converge. Para x = 2 queda l a seri e armónica que esendivergente. converge para 2 x 22: I/ndiverge otro caso,Por tanto, la serie dada b) Como límn lanan+ 1 1=límn (n + I) = + 00, elx=Oradio, de convergencia de la serie es la serie converge sólamente para c) Como an + l l = l'� 2(nn (n+ +I )22) 1 � la. elcondición radio denecesaria con vergencia de la serie Pores 2.tanto, Paralaxseri= +e 2converge no se cumpl e la2 de convergencia. para x 2 diverge en otro caso. d) Como si n = m! en otro caso 1m

-

)"

-

-

,;;

<

y

°y

1, 1

<

160

<

Y

1

:2 '

-

ANALlSIS MATEMATICO I

se tiene lím

1 1 1/21

vTaJ = 1

y,

por tanto, el radio de convergencia de la sene

es l . Para x = ± 1 no se cumple la condición necesaria de convergencia. Por consiguiente, la serie converge para - 1 < x < 1 y diverge en otro caso,

"

También podíamos haber procedido aplicando el criterio del cociente: Para Ixl ? 1 la serie diverge, puesto que su término general no tiende a cero. Para Ixl < 1 la serie converge, puesto que

e)

XIH I j'1

lím '-'. = lím Ixl"' " = O. " " X"

I

Como

'

3m a _ ,, - {O

se tiene

si

en otro caso

n = m2

lím vTaJ = lím i"Y = 3

y, por tanto, el radio de convergencia de la serie es 1/3. Para x = ± 1/3 no se cumple la condición necesaria de convergencia. Por consiguiente, la serie converge para - 1/3 < x < I/3 y diverge en otro caso. "

m

También podíamos haber procedido aplicando el criterio de la raíz: Como lím .:!f3 "'X " 'I = lím (3 Ixlr = "

2.

a)

"

+ 00

la sene converge si Ixl < 1/3 y diverge

Como

lím n

X2

� ' 1 2 n"1

{�

= lím

SI

SI

SI SI

Ixl < 1/3

Ixl = 1/3 Ixl > 1/3

IXI ? 1/3.

2 ,,� = X2, 2n

" y

la serie converge absolutamente si X2 < 1 y diverge si x2 > Para X2 = 1 queda la serie 2: 1 /(2 n) que es divergente. Por tanto, la serie converge absolutamente para - 1 < x < 1 y diverge en otro caso. Para cada x

E ( - 1,

1 ) sea

f(x) =

CXJ

¿

,, � I

1.

x2 n . 2n 161

1 lI¡22

ANALlSIS MATEMATICO I

Entonces

X X 2n - l = __l

'"

f' (X) = n=¿l l -x e integrando y teniendo en cuenta que f(O) O, resulta f(x) - 21 log(l -x2). b) Corno n x 2)( n + ( n 3) + límn l (n + l) (n +2) x+1n 1 = l.xl, la seri 1 no converge absolutamente sideIxl con1 vergenci divergea. siPorIxl tanto, > 1. Parala seriIxl =e con­ severge cumpleabsol e lautamente condición necesari a para - 1 x 1 diverge en otro caso. Para cada x E ( - 1, 1 ) sean f(x) = nt (n+ l)(n +2) xn, F(x) = f>(t)dt G(x) = f: F(t)dt. Entonces, F(x) = n=O¿ (n+2) x n + l y G (x) = n=O¿ l -x por consiguiente, F(x)=G'(x)= 2x(l-x)- x' y f(x) F' (x) (1 2 3. Corno 1mn laQnn + 1 1 = 1mn (n+n ) 1, el radio de convergencia de la serie es 1. =

=

<

<

<

Y

Y

y

x,

�

2 xn + 2 = X

__

y,

2

=

r

\ 62

--

- X)3

r

I

2

2

ANALlSIS MATE MATICO 1

1 1 1/23

<

Además, para Ixl 1 se tiene

1

I xn = _ l -x 11 = 0 �

y,

por tanto,

y

n I n (n _ l ) x - 2 n= 2 x,

luego

2

n n I n 2 X = I [n ( n - l ) + nJ x = n= 1 n= 1 a,

�

= X2 I n (n _ l ) x n - 2 + X n =:: 2 �

=

11

""

1

X 2 X2 + 3 ( l - X) ( I _ X) 2

Las serieproposición s de potenciasde 3.L4a.1,n xnpara , L b n x n L c n x n convergen para x = 1 4. tercera por la cada x E ( - 1, 1) se verifica y

y,

Abelpasando ), resulalta límite cuando x tiende a 1 por la izquierda (teorema del límite de y

5.

Por el criterio de Leibnitz la seri e dada converge por el segundo criterio de comparación la serie de los valores absolutos diverge. Consideremos la serie de potencias nI= O x3 n + 2/(3 n + 2). Según hemos visto, esta y

�

1 63

1 1 1/24

ANALlSIS MATEMATICO 1

para x - 1 diverge para x = 1, luego su radio de convergen­ ciaserieesconverge l. Pongamos =

Y

La función f es derivable en (-1, 1) su derivada es x , - 1
X 3 n + I = _-3

�

=

y

fi

fi

y,

�

_

n

x-

n=O

fi '

-1+

y

n

a'j

n=O

oc,

n= 1

164

X E ( - oo ,

X E ( - oo,

a'j

y

l '

X E ( - oo ,

111/25

ANALlSIS MATEM ATlCO I

b) lDescomponiendo en fracciones simples la derivada de la [unción og (X l + 3x + 2) se obtiene 1 1 1 l 1 2x+3 -+ -= -+ x2 + 3 x + 2 x + 1 x + 2 I + x 2 1 + (xj2) teniendo en cuenta los desarrollos -;---;-;:;0;­

y

1 -- = ¿ ( - I) " x " , x E ( - I , 1 ) 1 +x FO ex,

y

1 + (xj2)

resulta

�� ( - 1)" ("2X)"

"O

' x E ( - 2, 2)

e integrando se obtiene X e)

E

( - 1 , 1 ).

Para x E ( - 1, 1 ) son log ( 1 + x) = ¿ a " x' donde ao = O a, = ( _ I )" - ljn para n E N 1 - = ¿ b x" 1 +x donde b multiplicando estos desarrollos = ( - 1 ) " para n O, 1 , 2, . . " resulta log(l+x) I +x donde co = ao bo = O para n E ex,

n=O

y

oc

FO

=

y,

y

"

, Y

N,

=(- 1)

'-l

( 1 + "21 + " ' + /11 ). 165

1 1 1/26

ANALlSIS MATEMA TICO I

Así, pues, log(1 +x) � (-1)" - 1 ( 1 + 21 + n1) x" , x E (-I, 1). l +x , �1 7. a) Para x ( 00, + 00) es 00 x " I ni haciendo x = 1/2 resulta E

-+

¿

-

n= o

_

.

···

-

= ex

y

luego b) La serIe dada converge (criterio de Raabe) como para x E (- 1, 1) es I: (2n_ l)!! x 2 " + 1 are sen x -x, , � 1 (2n)!! 2n+l por el teorema de Abel, 1 lím (arcsenx-x)= � - 1. I (2n-l)!I 2 (2n)!! 2n+ 1 Consideremos la serie de potencias x2n + l . I , � l n(2n+ l) Sumosradio de convergencia es 1. Además, la serie converge para x 1. Ponga­ x l - 1 :(x:( 1. f(x)= "I� 1 n(2n+l) Como 1 1 2 n(2n+l) n 2n+ l ' y

"�

8.

1

x- l -

ct:,

=

eL

2n+

'

1 66

±

ANALlSIS MATE MATICO I

I1L27

se tiene Pero para x E ( - 1 , 1 ) son x· -log(l-x) 1 1 +x L I o g 2 l -x n=1 n por tanto, l +x f(x) = -x lag (l -x 2)-log l -x - ( 1 + x) lag ( 1 +x)+(I -x) lag ( l - x) por el teorema del límite de Abel, 1 L ( 1 ) Iím f(x) - lag n n+ 1) f Por el método de los coeficientes indeterminados se obtiene �

y

-=

y,

=

y

00

n = l

9.

y,

--

(

=

2

x- d -

=

2

2.

n 3 = n + 3 n (n - 1) + n (n - 1) (n - 2)

por tanto,

1 1 1 +3, + (n - l)! ( n - 2)! (n - 3)! ---

-­

Pero para todo x E IR es y

haciendo x = 1 resulta

00 1 L -= e n = O n!

con lo que

1 1 1 L = e - 2, L =e = e - l, L , , (n l) . = 3 (n - 2) . F3 . . = 3 (n - 3) ,. 00

y,

por consiguiente,

ex.

�

n3 " = 5 e - 5. n� = Q n.I ro

1 67

l l li2S

10.

ANALlSIS MATEMA Tleo I

Para x

E

( - 1, 1)

se tiene x

y

( l _ X) - 1/2 = 1 + ¿ ,, = 1

(2 n - 1 )".. " " (2 n)1. " x = ¿ " x (2 n)!! ,, = 0 2 2 (n!) 2

multiplicando este desarrollo por sí mismo resulta "

( l _ X) - 1 = ¿ e " x " n=O

donde y

C ,, =

"

" (2k)! (2n - 2k)! ( 2 k)! (2n - 2k)1 k k k O 2 2 (k!) 2 2 2 " 2 [(n _ k)! J 2 4 " k O [k! (n - k)! J 2

�

�

como también es x

( l _ X) - l = ¿ x " n=O

ha de ser y,

por tanto,

para todo n.

168

f

� (2 k)! (2 n - 2 k)! 4" k = O [k! (n - k)! r " (2 k)! (2 n - 2 k)! 4" k O [k! (n- k)! J 2

�

1

TEMA IV Topología de

[R n

Esquema/resumen 4. 1 . El espacio vectorial G;\n. Norma de un vector. Conjulltos abiertos y conjuntos cerrados. Puntos interiores, exteriores y puntos frontera. 4.4. Puntos adherentes y puntos de acumulación. 4.5. Conjuntos compactos.

4.2. 4.3.

En este tema se estudia l a topol o gí a usual del conjunto de l a s n-pl a s de números reales.enLosel tema conceptosde quela unidad en él sedidáctica definen son extensiones inmediatas de ltopol os expuestos 2, en el que estudiábamos la ogíl í ajugaba de IR, yel lavals técnicas utilutoizadas en uno y otro temas son análelogas. El papelde que al o r absol lo desempeña aquí l a norma, concepto entorno de un punto allí definido se extiende de manera natural al concepto de bol a abierta. Aladopesarel tema de estascon anal ogías detal y aúnle. Unicamente a nesgo de hemos caer enomitido repeticilaones,demostra­ hemos desarrol bastante ción delsinoteorema de volTychonoff, no objeto porque desu dificul tadensobrepase lopróxi s límmiteso. Damos de este curso, porque v erá a ser estudio el curso además una referencia precisa donde puede verse, si se desea, esta demostración. W

1

y

1 69

4.1.

EL ESPACIO VECTORIAL IR". NORMA D E U N VECTOR

Se desi g na por [R n el producto cartesiano de [R consigo Illis mo n veces, es decir, el conjunto de todas las l1-plas de números reales: IR" = {(X ¡ , ..., Xn) : X¡ E [R, i = 1, ... , n}

Sean x = (x ¡ , ... , xn) e y=(y¡, ..., Yn) dos elementos de [Rn y sea A un número real. Se definen Con estas operaci o nes el conjunto [Rn es un espacio vectorial de dimensión n sobre el cuerpo de los números real e s. Los vectores e l ' ..., en donde e = (O, ... , 1 , . ., O) con el en el l u gar i constituyen una base que se llama base canónica de [Rn. I Si x = e(x ¡+, ......+, X/lxn)en- es un vector de [Rn, su expresión en la base canónica es ¡

X=Xt

l

Definición:

Sea x = (x ¡ , . . , Xn) .

E IR".

El número real Ilxl l dado por

Ilxll = Jx i + "· + x� se llama norma de x.

Obsérvese que número real x.

SI

n = 1,

la norma de x coincide con el valor absoluto del 171

IV/4

ANALlSIS MATEMA neo 1

Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwarz):

x = (x¡, " " xn) e y = (y¡, " " Y n) de

W se tiene

Para todo par de vectores

y se verifica la igualdad si y sólo si x e y son linealmente dependientes, y=Ax

un A tal que por tanto, Si x e y son linealmente dependientes, existe n

Demostración: y,

E IR

Ilxll ' lly ll = Jxi + " ' + x� ' JA 2 xi + " ' + A2 x� = I AI ¿ x; =

[ ,± Xi AX¡[ = [ .± X¡ y¡[ x e y son linealmente independientes, para todo A se verifica y - h # O por Sitanto, Il y - hll > O como i= 1

=

1= 1

1= 1

y,

y

E IR

n n 2 Ily - hI1 = ¿ (y, - hY = ¿ y; - 2J. ¿ X, y, + A 2 ¿ x;, 11

;=1

J.

i= 1

11

;=1

i=1

trinomio de segundo grado en no tiene raíces reales, luego su discriminante es este negativo: Por consiguiente, Sean X = (X¡, " " X n) e y = (y¡, " " Yn) dos vectores de IR n y sea A un número real. Se verifican las siguientes propiedades: Proposición:

a) b)

e)

IIxll � O y IIxll = O si y sólo si x = O,

�

IIx + YII Il xll + IIYII , Ilhll = I A I ' ll xll ,

y e)

dad b),Demostración: Como Las propiedades a) son inmediatas, Probaremos la propie­ n n n n 2 y¡2 = = = x + + 2 x x y (x + ¿ Il YI1 ¿ ¡ + yy ¿ i ¿ ¡ ¡ n = llxI l 2 + 2 ¿ x¡y¡ + llyI1 2 i= 1

i= 1

i= 1

172

i= 1

i= 1

ANALlSIS M A TEMA

neo

IVIS

1

y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene

Ilx + Y l1 2 "" II xl1 2 + 211xll ' llyll + IIYI1 2 = ( llxll + IIYI!) 2

y, por tanto, IIx + YII "" Ilxll + Ilyll· 4.2.

CONJUNTOS A B IERTOS Y CONJUNTOS CERRADOS

Sean a E n;ln y r un número real positivo. Los conjuntos

Definición:

{ x E W : Ilx - a ll < r}

y

{ x E n;ln : Ilx - a ll ,," r}

se llaman bola abierta y bola cerrada de centro a y radio r y se designan respectiva­ mente por B(a, r) y B (a, r). n;l

Obsérvese que las bolas de son intervalos, en n;l2 círculos y en esferas. Definición: Se dice que un conjunto existe una bola B(a, r) contenida en A.

n;l3

A e n;ln

es abierto cuando para cada a E A

Ejemplo: Una bola abierta B(a, r) es un conjunto abierto, pues si b es un punto arbitrario de B(a, r) entonces II b - all = ó < r y la bola abierta de centro b y radio r está contenida en B(a, r), puesto que para todo x B(b, r - ó) se tiene -

Ó

E

IIx - all = IIx - b + b - a ll "" IIx - b ll + Ilb - a ll < r - ó + ó = r. Proposición:

Se verifican las siguientes propiedades:

a) q, y son abiertos. b) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. W

e) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. e).

La propiedad a) es evidente. Probaremos b) y SeaExistela ununióin detalunaquecolección arbitraria conjuntos abiertos y sea de r) a es abierto, una bola B(a, está contenida en Entonces B(a,a r) y ycomoes abierto. Demostración: A

E A.

E1

A¡.

E A¡ eA

{A¡}" A¡

I

A

1 73

ANALlSIS MA TEMA Tleo 1

IV¡6

B

Bl,

B,

abiertos una coli =e1,cción., nfinyitacomo ,los de sonconjuntos la intersección de para para abiertos, B. Entonces b yi =sea1, . .bSea b, r,) es una bola de ( s a l de intersección La , n existen bolas (b, ri) e centro b contenida en y es, pues, un conjunto abierto. Se dice que un conjunto A e IR' es cerrado cuando su complementa­ rlO IR' -A es abierto. la unión y de lalas deinmediatamente complementarios losabiertos, Morgan sobre De lasy ledeyes lasde Depropiedades an t resul los de intersección propiedades de los cerrados. E

B B

E Bi

B

Bi'

.

.

••.

Bi B

Definición:

Proposición: y

Se verifican las siguientes propiedades:

a)
PUNTOS INTERIORES, EXTERIORES Y P UNTOS FRONTERA

s puntosdedeA.IR' en tres clases: puntos interio­ asifica lofrontera A e IR'yclpuntos conjuntoexteriores res a A,Unpuntos Se dice que un punto x IR' es interior a un conjunto A e IR' cuando existe una bola de centro x contenida en A. El conjunto de los puntos interiores a A se llama interior de A se designa por int( A). Se dice que un punto x IR' es exterior a un conjunto A e IR' cuando existe una bola de centro x contenida en el complementario de A. El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A se designa por ext(A). Se dice que un x IR' es punto frontera de un conjunto A e IR' cuando toda bola de centro x contiene puntos de A de IR' - A. El conjunto de los puntos Fontera de A se llama frontera de A se designa por [reAl. Para cada A e IR' los conjuntos int(A), ext(A) fr(A) son disjuntos se verifica lR"=int(A) ext(A) fr(A). =
E

y

Definición:

E

Definición:

y

E

y

y

Proposición:

Demostración: E

n

U

y

U

=

E

U

174

y

n

U

E

SI

Y

E IR" Y

n

E

U

IV¡7

ANALlSIS MATEMATlCO I

toda bola de centro x contiene puntos de A y del complementario deextrA), A, luegoentonces x E fr(A). Para cada A e IR" los conjuntos int(A) y extrA) son abiertos y el conjunto frIA) es cerrado. Demostración: Desde luego, int (A) es abierto si int(A) = <1>. En otro caso, por definición de interior, para cada x E int(A) existe una bola B(x, r) contenida en A, r Como es B(x, ) abierto, para cada y E B(x, r) existe una bola B(y, s) contenida en B(x, r) y, por tanto, en A. Esto prueba que todos los puntos de B(x, r) son interiores que B(x,enr) inti(A), nt(A).luegoEn intresumen, cada x abierto. E int(A) existe una abolA,a esB(x,decir,r) contenida (A) es unparaconjunto Como ext(A)=int(IR" �A), también extrA) es un conjunto abierto. " Final m ente, t(A) es extrA)) y el conjunto como fr(A) = 1R un conjunto cerrado. int(A) extrA) es abierto por ser unión de abiertos,�(infrIA) u

Proposición:

e

U

4.4.

U

P UNTOS ADHERENTES Y PUNTOS D E ACUMULACION

A A. A adh(A). A Para cada conjunto A e IR" el conjunto adh(A) es el mínimo cerra­ do que contiene a A. Demostración: Desde luego, adh (A) es un conjunto cerrado, pues, adh(A)=int(A) frIA) = lR" �ext(A). Sea B un cerrado que contenga a A. Tenemos que probar que adh(A) B o IR" � B IR" � adh(A). Sea x E IR" � B. Como B es cerra­ ldo,o queIR" �esB equival e nte, es abierto y existirá una bola B(x, r) contenida en IR" B, como " B querí IRcomo e IR" �A, será A B(x, r) = luego x E �adh(A), es decir, x lR" �adh(A) amos demostrar. resul t a inmediatamente que un conjunto A e IR" es cerra­ do yDesólestao siproposición A=adh(A). Se dice que un x E IR" es punto de acumulación de un conjunto Ade elosIR"puntos cuando toda bola de centro x contiene puntos de A distintos de x. El conjunto de acumulación de A se llama conjunto derivado de A y se designa por acIAl. Obsérvese queuntodos losx puntos dea acumul aciónnecesariamente de un conjunto A sonde adherentes a A pero punto adherente A no es un punto r) cuyo único punto acumulaconciónAdeseaA.x. Puede ocurrirde puntos que exista una adherentes bola B(x, pero común Este tipo que son no de acumul a ­ ción se l aman puntos aislados.

e IR" Definición: Se dice que un punto x E IR" es adherente a un conjunto cuando toda bola de centro x contiene puntos de El conjunto de los puntos adheren­ tes a se llama adherencia de y se designa por Proposición:

U

e

e

�

n

�

Y

E

SI

Definición:

1 75

ANA LISIS MATEMATICO 1

IV/8

A e [I;l" se verifica adh(A)=A actA). Demostración: Está claro que A actA) adh(A), pues tanto A como actA) están contenidos en adh(A). Veamos que también se verifica adh(A) e A actA). Sea x adh(A). Entonces para toda bola B(x, r) se cumple A B(x, r) i' cjJ. Puede suceder quetodaexistaboluna bola B(x, r) tal que A B(x, r) {x} en cuyo caso x A, o bitodoen para a B(x, r) sea (A {x}) B(x, r) i' cjJ, en cuyo caso x actA). En caso, A ac(A). es cerrado si sólo si contiene todos sus Un conjunto A puntos de acumulación,. Demostración: Basta tener en cuenta que A es cerrado si y sólo si A = adh(A) = = actA). U

Para cada

Proposición:

U

e

E

x E

U

Proposición:

A

4.5.

e

=

n

n

-

IRn

U

n

E

E

y

U

CONJUNTOS COMPACTOS d

Se dice que una colección de conjuntos cubre a un conjunto o que es A un recubrimiento de A cuando la unión de todos los conjuntos de contiene a A. de A es una subcolección de de un recubrimiento queUncubresubrecubrimiento también al conjunto A. abiertos.Un recubrimiento abierto de A es un recubrimiento formado por conjuntos Se dice que un conjunto A e IRn es compacto cuando de todo recu­ brimiento abierto de A se puede extraer un sub recubrimiento finito. En el tema de la unidad didáctica 2 demostrábamos la siguiente d

d

d

f1Ij

Definición:

1

Proposición:

Todo intervalo cerrado [a, bJ es compacto.

En el ldeibrola desiguiente. Spivak, «Cálculo en variedades», página 9, puede verse la demostración Si A Be son compactos, es compacto. entonces A B De estas dos últimas proposiciones se deduce que los conjuntos de la forma R = [a" b,J [a z, b zJ . . [a., b nJ son compactos. Un conjunto de esta forma se[a"llama rectángulo cerrado en En el caso particular de que todos los intervalos b,] tengan la misma longitud 1, se dice que R es un cubo cerrado de arista l. Se dice que un conjunto A es acotado cuando está contenido en una bola de centro el origen. e IRn es acotado si y sólo si está contenido en Es fácil ver que un conjunto A un cubo cerrado. Proposición (Teorema de Tychonofl): x e IRn + m x

Definición:

176

x

x

e

IRn•

e

IRn

IRn

y

IRm

ANALlSIS MATEMATICO 1

IV/9

Proposición (Teorema de Heine-Borel): y acotado.

sólo si es cerrado

Un conjunto

A e IR"

es compacto si y

y

Demostración: Supongamos, en primer lugar, que es compacto sea a ra = Para cada b existen dos bolas ra) b, disjuntas (bastaes untomarrecubri­ = rb = lla - bll/2). La colección de todas las bol a s b rb) para b mientorb),abierto bdel, compacto de él podrá extraerse un subrecubrimiento fi n i t o r Sean k k) las bol a s de centro a correspondien­ tes. La intersecci ó n de estas úl t imas es una bol a de centro contenida en luego de centro Así, paraes cada contenida en existe una bol a a abierto es cerrado. Para ver que es acotado, consideremos el recubrimiento abierto de formado porfinitotodas lans¡ j,bolas nj)n) consi n n= má Den él...,podrá extraerse un subrecu­ brimiento nj } tendremos no) es, pues, acotado. Recí p rocamente, si es cerrado acotado, entonces estará contenido en (por ser obtendremos acotado), siun recubrimiento es un recubrimiento abierto de aladjuntándol gún cubo ecerrado el abierto abierto del compacto del queporse podrá extraerfinito un subrecubrimiento finito. Estedesubrecubrimiento estará un número de conjuntos tal vez formado los conjuntos cubren Asífinito, pues,ludeegotodoesrecubrimiento deEntoncesse puede extraer un subrecubrimiento compacto. abierto - A.

E A

B(b "

.•• ,

A y B(a, r , ), , .. , B(a,

'b, ).

B(

y B(

B(a,

B( ,

A

y A

B(O, ... , B(O,

B(O,

R

R

o

y

IR" - A

a

E N.

y

x

{

¡

,

A e B(O,

.si

A

A,

.si y

A ¡ , ... , A¡

A " ... , A,

A.

A

do

IR" - A. IR" - A,

A

y

A

E IR" ­

E A

a

E IR" - A y A

IR" - A

A rb)

IR" - A.

A

Proposición (Teorema de Bolzano-Weierstrassl: A e IR" tiene al menos un punto de acumulación.

Todo conjunto infinito

y

acota­

Probaremos que todo conjunto acotado sin puntos de acumulación es finito. Si ación, es acotado estará contenido endeunacumulación cubo cerradode Silo cual no tiene puntos deparaacumul ningún punto de será impl i ca que ry) que no contiene puntos de distintos del cada existe una bol a punto La colección de setodaspodrálas extraerryl unparasubrecubrimiento es un recubrimiento abierto ry ¡l, del compacto del que f i nito ry ¡l ­ r,J. Estas k bolas cubren también a ninguno de l o s conjuntos r,) tiene puntos de A, luego consta a lo sumo de los k puntos YI , . Demostración:

A e IR"

A

R B(y, B(y,

y E IR

y.

R

B(Y k' - { y , }, ... , li(Yb . . , Yk '

- {y.}

R. A,

A

A

A y

y ER

B(y¡, B(y¡,

" ',

A

1 77

Ejercicios de autocomprobación 1.

Demostrar que el conjunto

A={(x, y) E [R2 x>O}

es abierto. Probar que una bola cerrada es un conjunto cerrado. 3. Sea r> O. Demostrar que el conjunto A={x I lxll=r} es cerrado. 4. Hal l a r el interior, el exterior, la frontera, la adherencia el derivado del con­ junto A={(x¡, . ., x") ; X¡ E Q, . ., n}. 5. Sean A B dos subconjuntos de Probar que ac(A B)=ac(A) ac(B). A B dos subconjuntos compactos de Demostrar que el conjunto A B 6. esSeancompacto. Probar que todo subconjunto cerrado B de un conjunto compacto A es com­ pacto. 2.

E [R";

y

y

y

E IR"

i ";' l ,

IR".

u

u

[R".

u

7.

179

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación 1.

y

I x - a l � [(x _ a) 2 + (y - wr/2 < a

y,

2.

y

b) E A. Entonces a > O la bola de centro (a, b) radio a está contenida enSeaA(a,pues si (x, y) es un punto de dicha bola, se verifica y

porpara tanto,cada-apunto < x - a O. Así pues, A, luego A es abierto. (a, b) de A existe una bola de centro (a, b) contenida en Consideremos la bola cerrada B(a, r) sea b E IR" - B(a.:....r). Entonces Ilb - all = =todor + x con > O la bola B(b, está contenida en [R " - B(a, r), puesto que para E B(b, se verifica O

O

O)

y

y

O)

r + o = Ilb - a ll � llb - xl l + Ilx - a ll < o + ll x - a ll

y,

por tanto, Ilx - all > r. Por consiguiente, para cada punto b E [R" - B (a, r) exiabierto ste unaBbola de centro b contenida en [R " - B(a, r), luego [R " - B(a, r) es (a, r) es cerrado. 3. A es la intersección de la bola cerrada B (O, r con el complementario de la bola abierta B(O, r) luego es cerrado como intersección de dos cerrados. 4. Como toda bola contiene puntos de coordenadas racionales e irracionales se tiene int(A)=
y

)

y

U

d

1 80

-

U

U

y

y

y

d

I V; I )

ANALISIS MATEMATICO I

A y

B,

7,

A y B A y { A l ' " " A¡, B 1 , " " BJ A UB

to de dede cubre como otrosonnúmero compactos, unB" númerodefinitoconjuntos de de conjuntos finito Así pues, de todo recubrImi e nto cubre l u ego cubre abierto de se puede extraer un subrecubrimiento finito, luego es com­ pacto, Sea seunobtirecubrimiento abierto de Adjuntándol e , si es preci s o, el abierto ene un recubri mifienntoito, abiEsteertosubrecubri del compacto del queformado se podrá extraer un subrecubri m i e nto m i e nto estará porlos unconjuntos número finito cubren de Así conjuntos de tal vez, Entonces, miento abierto de se puede extraer un subrecubrimiento pues, finito,delutodo ego recubri es compacto, -B

d

B y

d

A

u

B,

A

B,

A l ' " " An Al' " " An B,

A l ' " " A¡

" " Bj

U

d

B

IR" ­

d y,

B

A

u;¡ n - B,

B

181

Tema V Límites y continuidad

Esquema/Resumen

5.1 . 5.2. 5.3.

Límites de fimciones. Funciones continuas. Continuidad uniforme. IR" y

Laoresdefeniniciónesdeanál límiteogapara unadel función definida en óunn subconjunto devariable con val a l a límite de una funci real de una real si se cambian los valores absolutos por las normas. límesiteundesubconjunto una funcióndef cuando tiende haciade fsobre un conjunto es igualsobreaSi elel Bconjunto A, entonces el límite cuando tiende hacia B es también igual a l. Esta propiedad permite probar en algunos casos la no existencia del límite. ón f es igual . El límelitelímdeite una de lafuncicomponente ¡; deaf es igual a li'si sólo para cada Una funci ó n f def i nida en se di c e con val o res en un conjunto A continuaa f(en un punto A si el límite de f cuando tiende hacia sobre A es igual Una funci ó n f es continua en un punto sól o todas sus funci o nes componentes son continuas en Sees dice que enunatodofuncipunto ón f:deA A. La continuidades glcontinua en elfunciconjunto una ón f:quier A--> cuandoqueda continua o bal de caracterizada por el hecho de que la imagen in versa por f de cual abierto abierto (respectivamente, cerrado) deconjunto un conjunto (resp. cerrado) de de es igual a la intersección con 1I\l'"

x

I y

a

i= 1,

.,

a

e II\ln

a E

a).

a

a.

-->

1I\l'"

y

1 = (11' ... , 1 m)

m

-->

II\l m, A e II\ln,

IR".

1I\l'"

y

x

Si y

A

x

Si

a

1I\l'"

Si

A

A

1 83

ANALlSIS MATE MATICO 1

Vi2

La imagen de unpropiedad conjuntosecompacto portoda una [unción función continua continua enes unun conjun­ conjun­ toto compacto. De esta deduce que trass).compacto tiene un mínimo un máximo en dicho conjunto (teorema de Weiers­ El conceptocondevalcontinuidad uniesforme dego unaal defunción definida enrealunes subcon­ junto de o res en anál o l a s funciones de una variable real, cambiando los valores absolutos por las normas. Todaen[unción uniformemente continua en un conjunto es continua en enél. unEl recí p roco, general , no es ci e rto. Sin embargo, toda función continua conjunto compacto es uniformemente continua en dicho conjunto. y

IR n y

1 84

IR"

5.1.

LIMITES D E FUNCIONES

5.1.1 . Definición: Sea A un subconjunto de W y sea f una función de A en a;¡'". Si a es un punto de acumulación de A, se dice que f tiene por límite I cuando x tiende hacia a sobre A y se escribe

lím f(x) = l

X I"

cuando para cada bola B(/, x E (A - {a)) n B(a, o).

e)

.4,.\ ---0 11

existe una bola B(a,

o)

tal que f(x) E B(l, 8) para todo

Estoxequivaltale aquedecir0 O existe un 0 > 0 tal que Ilj(x)-11 1
< o.

A

=

Proposición:

El límite t

si existe, es único. Demostración:

Si fuesen lím f(x) xEA, '( ---> {j

=

I

lím f(x)

E A, \' --->1/

y

lím f(x) = m

xEA,x --->ll

1 85

ANALlSIS MATEM ATICO I

V¡4

con f(x) 1 # m, por la definición de límite, para e = 11 1 - m ll/2 existiría una bola B(a, 15) tal que todo x E (A - {a}) B(a, 15), lo cual es absurdo, puesto queE B(l,las bolaB(m, s B(l, 8)8) para Y B(m, e) son disjuntas. Sean 5. 1 .2. B A , a un punto de acumulación de B, 1 f: una función tal que lím f(x) = l. Entonces, lím ¡(x) l. Demostración: Por hipótesis, para cada e > O existe un 15 > 0 tal que Ilf(x) - tll también I lf(x) - 111 < 8 < 8 para todo x E A tal que O < llx - a ll < b como B para todo x B tal que 0 < Ilx - all < b. Este subconjuntos resultado permiB te probar gunosficacasos la no existencia del límObservación: ite: Si para dos de Aensealveri lím f(x) # lím f(x) o bien no existe alguno de estos límites, entonces puede asegurarse que no existe lím f(x). la función definida por Ejemplo: Sea f: 1R2 - {(O, O)} n

e) n

E IR" Y

A

Proposición:

e

Il<",

e

=

A ---. IR"

y

E

e

A,

y e

X E B,x ---, ,¡

X E l,x--+a

x E A . x ---> u

---. IR

para cada (x, y) # (O, O). Entonces no existe lím f(x, y) puesto que A,,= {(x, y) 1R2 : y = Ax} se tiene E

SI

(x, y) ....(Q, .. O)

(�, r)--+(O,OJ (x.y)EA�

y,

por tanto, los límites sobre cada son distintos. Una función f: determina m funciones fl ' ..., ¡;n de 5. 1 .3 . Sea A en IR, l a s funciones A¡

A

n,

e

IR".

A ---. IR"

IR"

donde esmlaa componente función de y,.enLasIR funci que aonescadaf. sevector y = (y l ' ... , y,,) hace correspon­ der su i-ési llaman funciones componentes de la funci ó n f Suel e escri b i r se f=(fl , ... , f." ) para indicar que fl ' ..., f" son las funciones componentes de f 1 86

ANALlSIS MATEMA TIeo 1

Ejemplo:

V/5

Las funciones componentes de la función f: �2 -> �3 definida por y

son las funciones f" j� f3 de �2 en � definidas respectivamente por _ l fI (X, y)=x 2 +y 2, f2 (X, y)=sen xy, j3 (X, y) = -�2 x +l para cada (x, y) �2_ Seanm a un punto de acumulación de A y f= (J" - - , j;n) una función de en � _ U na condición necesaria y sujiciente para que sea lím f(x) = l= {l" ___, 1m ) es que para i = 1 , __ , m se verifique lím {,(x) = li Demostración: Supongamos, en primer lugar, que lím f(x) = l_ Entonces, para cada 8 > 0 existe un 6 > 0 tal que I If(x) - 11 1 < 8 para todo x tal m a < 6, como para i = l, ___ que 0 < llx - ll , se verifica E

Proposición: A

A e W,

X E A,x --->iI

o

XEA,x--->iI

X E A.x--+u

E

y

A

If, (x) - li l ,;; Ilf(x) - 111,

también es Ij,(x) - li l < 8 para todo x tal que O < llx - all < J, luego lím j,(x) = liSupongamos ahora que para i = 1 , _ . , m es lím j,(x) = licada 8 > 0 existe un 6i > 0 tal que Ij,(x) - li l < 81fo para todo x talEntonces, que O < m� =8 J i EA

x E A. � --->a

y

EA

187

ANALlSIS MATE MATICO 1

Vj6

para todo x tal que 0 < llx - all < 6, luego Iím f(x) = l. EA

xeA,x --->/./

5. 1 .4.

funciones de

Sean A tales que

Proposición:

A

en

IRm

a un punto de acumulación de A y f y

e W,

lím f(x) = / 1

y

xEA,x ..... u

Iím

xEA.x --->/./

9

dos

g(x) = /2 .

Se verifican las siguientes propiedades:

a) Iím (rt.f+ f3g) (x) = a/1 +f312 , (rt., f3 b) Si m = l, entonces lím (fg) (x) = / 1 /2 . Si m = 1 1 2 # O, entonces Iím (flg) (x) = 1 1 //, . Demostración: Es análoga a la de la proposición correspondiente para funcio­ nes de una variable. E IR).

xEA,x ....u

e)

Y

x e A,x ....a

x E A, x--->G

5. 1 .5. Definición: Sea A un subconjunto de W y sea f una función de A en IRm. Si a es un punto de acumulación de A, se dice que f tiene por límite 00 cuando x tiende hacia a sobre A y se escribe X

Iím f(x) = 00

E A,x .....a

cuando para cada h > O existe un 6 > 0 tal que Ilf(x)l l > h para todo x E A tal que 0 < llx - a ll < 6. IRm•

Definición: Sea A un subconjunto no acotado de IRn y sea f una función de A en Se dice que f tiene por límite I cuando x tiende a 00 sobre A y se escribe

lím f(x) = I cuando para cada 0 > 0 existe k > O ral que Ilf(x) - 1 11 < o para todo x E A tal que Ilxll > k. IRm.

Definición: Sea A un subconjunto no acotado de IRn y sea f una función de A en Se dice que f tiene por límite 00 cuando x tiende a 00 sobre A y se escribe

lím f(x)

xeA,'( ..... 'X

= 00

cuando para cada h > O existe k > O tal que Ilf(x)11 > h para todo x E A tal que Ilxl l > k. 1 88

Vj7

ANALlSIS MATEMATICO I

5.2.

FUNCIONES CONTINUAS

5.2.1. a cuando

Definición:

Sean

A e IR", f: A

-->

IR m

y a E A. Se dice que f es continua en

lim f(x) =f(a). Esto significa que para cada bol a B(f(a), existe una bola B(a, el) tal que el), es decir, que para B(a, O existe un f(x) B(f(a), para todo x el tal . que I[[(x) -f(a)11 para todo x tal que IIx - al l cada el. 5.2.2. De las proposiciones de 5.1.3. 5. 1 .4 se deducen inmediatamente las dos proposiciones siguientes: x€ A,x--+a

E

>O

e)

E

A


e)

n

e>

EA

<

y

Sean A e 1R ", f= (j; , ..., f.n ) una función de A en IRm y a E A. Una condición necesaria y suficiente para qw f sea continua en a es que cada función componente ¡; sea continua en a. Proposición:

Sean A e IR", a E A Y f y g dos funciones de en a. Se verifican las siguientes propiedades: Proposición:

((l,

A

en

continuas

IR m

a) (lf+ f3g es continua en a, f3 b) Si m = 1, entonces fg es continua en a. c) Si m = 1 g(a) # O, entonces f/g es continua en a. 5.2.3. La siguiente proposición de condiciones suficientes para la continui­ dad de una función compuesta. E

IR).

Y

Proposición: Sean A e IR n y B e IRm. Si f: A --> B es g : B --> IRP es continua en b =f(a), entonces la función compuesta

continua en a E A Y g f es continua en a. o

c = g(b). Tenemos que probar que para cada bola Pongamos B(a, el). B(c, existe una bola B(a, tal que g(f(x)) B(c, para todo en b,parte, existecomo una bolf esa Consideremos pues una bola B(c, Por ser g contínua Por otra B(b, el,) tal que g(y) B(c, para todo y B B(b, en a, para la bola B(b, anterior existe una bola B(a, el) tal que continua para todocomo f(x) B(b, el¡) para todo x x sedemostrar. queríB(a,amosel) verifica f(x) B B(b, el¡), B(a,porel). Portanto,consiguiente, g(J(x)) B(c, e)

Demostración:

o)

E

E

E

n

s).

e)

E

A

n

y,

o ¡)

E

xEA

E

e)

n

o ¡).

n

EA

E

e)

n

5.2.4. Definición: Sean A e IR" y f: A -> IRm• Se dice que f es continua en cuando f es continua en todo punto de A.

A

Sean A e IRn y f: A -> lRm• Una condición necesaria y suficiente para que f sea continua en A es que para todo abierto (respectivamente, cerrado) U e IRm exista un abierto (resp. cerrado) V e IR" tal que f- ¡ ( U) = A n V. Proposición:

Demostración:

Supongamos en primer lugar que f es continua en

A

y

sea 189

V/8

ANALlSIS MATE MATICO I

f - l( U) =
r1

r b)

¡(A

V

ra )

Y

B(a, ra))

n

e

B(b,

ra)

rb )

e

U

Sea unión la uniónde deabiertos todas lay,s por bolasconstrucción, B(a, asi obtenidas. Entonces V es abierto como se veri f i c a f(A U, luego A V cr '( U). Además, si a Ef - l ( U) entonces a E A B(a, A V, luego n

f - '(U)

e

A

n

n

V.

V) e

ra) e

n

n

Recí procamente, supongamos que se verifica la condición del enunciado y sea Tenemos que probar que f es continua en a, es decir, que para cada bola B(f(a), Por hipótesis, existe una bola B(a, tal que f(A B(a, para el abierto U = B(f(a), existe uncomo abiertoV es talabierto, que .runa' ( U)bol=aAB(a, Como f(a) E U, es E f - I ( U) luego a está contenida en En consecuenCia, a E A. B(f(a),

E)

a

E)

V.

O)

E V Y

n

V

O))

8).

e

n

V.

o)

o)) e

y, por tanto, f(A B(a, U como queríamos demostrar. demostración para el caso de cerrados resulta de la anterior tomando compleLamentarios. En el casola proposición de que el dominio denosdefinición A de la función f sea abierto (resp. cerrado), anterior dice que f es continua en A si y sólo si f - l ( U) es abierto (resp. cerrado) para todo conjunto Esto se cumple, en particular, cuando A = IR". abierto (resp. cerrado) U de n

IR'".

5.2.5. Proposición: Sean A e IR" un conjunto compacto ción continua. Entonces el conjunto f(A) es compacto.

y

f: A

->

IR'"

una fun­

Demostración: Hay que probar que de todo recubrimiento abierto de f(A) se puede extraer un subrecubrimiento finito. pues i{ EU¡}", un recubrimiento la proposición ante­ - l ( U,) = A v,. 1 existe un abierto V, abierto de talde f(A). rior, paraSea cada que fPor Si x E A entonces f(x) Ef(A) y existirá un i E tal que f(x) E U,. Entonces l x E f- ( U,) y, por tanto, x E v,. Por consiguiente, A está contenido en la unión de los v" esundecisubrecubrimiento r, { V,j;" es un recubrimiento extraer finito V, abierto del compacto A del que se podrá Cada E A pertenece al menos a uno de estos v,j' luego cada f(x) pertenece a uno de los conjuntos f( V,) y como f(V,) cf(A v,) =f(r '( U 'j )) U 'j ' cada f(x) pertenece al menos a uno de los conjuntos U;" ...,U;, y, por tanto, {U" , . ., U,J es un recubrimiento abierto finito de f(A) extraído del { UJ' E I ' n

IR"

1

,

x

n

190

,

... , V,,.

e

V, 9

ANALlSIS MATE MATICO I

Sean A un subconjunto compacto de IR " y f: A IR una función continua. Entonces f tiene un mínimo y un máximo en A, es decir, existen xo, E A tales que f(xo) e(f(x) e(j(x ¡) para todo x E A . Proposición (Teorema de Weierstrass):

-->

Xl

y,

acotado. Por la proposición anterior, j(A) es compacto por tanto, cerradoDemostración: Por serf(A) acotado existen m = inff(A) M = sup f(A) se verifica m Q(x) e( e( M para todo x A. Además, m M pertenecen a la adherencia de j(A) pues, por puntosdedej(A).f(A)Pero por contienepuntos centro Mmcontiene qquieruier bolbolaa dede centro ínfimo, cual de supremo, definición cual de definición por serxo, f(A) cerrado f(A) =f(A), luego m M pertenecen a f(A), es decir, existen adh es A tales que f(xo) = m f(x ) = M. y

y

E

XI

5.3.

y

y

E

y

y,

y

l

CONTINUIDAD UNIFORME

Sean A e IR " y .f: A [Rl"'. Se dice que f es uniformemente continua en A cuando para cada F. > O existe un r5 > 0 tal que Ilj(x) -f(Y) 11 < 8 para todo par de puntos x e y de A tales que Il x - YII < r5. Definición:

-->

continua en seentonces f es uniformemente ro queensigeneral verificaf laes siguiente Sin embargo, , no es cierto.continua en A. ElEstárecíclparoco, A,

Sean A e [Rl" un conjunto compacto y .f: A nua. Entonces f es uniformemente continua en A. Proposición:

-->

[Rl'"

una función conti­

Demostración: Sea F. > O. Como f es continua en A, para cada x A existe un f(y) -f(x)1 1 < 8/2 para todo y A tal que 11 y - < r5x ' La colección de que IlB(x, tal <>x/2), x A es un recubrimiento abierto del compacto A del que abiertas s a bol Sean finito. subrecubrimiento un extraer sede podrá . , x" los centros de las bolas <> /2, subrecubrimiento, ,, /2 sus radios sea r5 = min {r5 ¡/2, ..., r5,,/2}. Si x de puntos son ebolyeste A tales que Ilx - yll < r5, como A está contenido en la unión de las as B(x¡, 2), 1 e( i e( n, existirá un i tal que x B(x¡, bJ2) como <>x> O

E

XI '

y

... , b

1

bJ

x

E

..

E

e y pertenecen a B(x¡,

b,)

y,

E

xii

y

por tanto, ¡;

Ilf(x) -f(x, )ll < "2

y

8 Ilf(y) -f(x,) I I < "2

luego Ilf(x) -f(Y)11 e( Ilf(x) -f(x' )ll + Ilf(x,) -f(y)11 < F..

Por consiguiente, f es uniformemente continua en A. 19!

Ejercicios de autocomprobación

1. Demostrar que Iím

(x. y)�(O.O)

2.

xy O. .JX 2 + y2

Probar que el límite lím

(x. y ) � ( O . O )

3.

no existe. Estudiar la continuidad en (O, O) de las funciones de 1R2 en siguientes: a) f(x, y) si (x, y) '" (O, O), f(O, O) O. IR

=

b) g(x, y)

X2 JX 2 + y2

SI

(x, y) '" (O, O), g(O, O) = O.

senx2 + y2 si (x, y) ",(O, O), h(O, O) = O. Estudiar la continuidad de la función f: 1R2 -> 1R definida por { Ixl ,s; Iyl f(x, y) = e)

4.

X2 X 2 + Y4

h(x, y) =(x + y)

1

1

°

SI

SI

Ix l > IYI

193

V¡ 1 2

A N A LISIS MATE MATICO I

Sean j; g: IRn ---. dos funciones continuas. Demostrar que el conjunto A={x W:f(x)
IR

E

y

y

E

E

es compacto. Demostrar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de l a función 2 f: 1R ---. definida por f(x, y) = es un conjunto compacto. Demostrar de los puntos de discontinuidad de la función 2 ---. 1Rel2 deconjunto componentes f=U;, j�): 1Rque f1 (x, y) = X2x3y2 si (x, y)# (O, O), j;(O, 0) = 0, f2 (x, y) 1 es un conjunto cerrado. 9. Sean A IR " f=(f1, . . , J,n ) una función de A en IR"'. Probar que f es uniformemente continuas en A.continua en A si sólo si todas las J, son uniformemente 1 0. Demostrar que la función f:(O, + 00)---. 1R 2 definida por f(x)=(Iogx, senx) es uniformemente continua en el intervalo ( 1 , + 00). 7.

IR

8.

+

e

194

y

y

Soluciones a los ejercicios de autocomprobación

l. Las desigualdades se pueden escribir y

de estas últimas se deduce

con lo que y

I

como lím

(x,y) ---> (D,O)

X 2 + y2 xy � JX 2 + y 2 JX 2 + y 2

JX 2 + y 2 = O,

I

O. 2.

Sea A,= {(x, y)

E

[R2 : X = }.y2 }.

Iím

(.\",)')---> (0,0) (X,y) E A. ¡

1 96

Entonces

X2 X 2 + Y4 .

ANALISIS MATEMA TIeo 1

Vjl5

y,

lluímite ego los límites sobre cada A, son distintos por la proposición 5. 1 .2, el lím x2X+2 y4 no existe. (x, y)-(O,O)

lím f(x, y) lím x2 +AXA24X4 hm •

(x,y)---+(O.O) (x..r) E A ¡

=

x ..... o

x- o

1

A

+ A4 X

2

y,

luegolím losj(x,límites sobre cada A, son distintos por tanto, no existe y) f no es continua en (O, O),

(X,y) ---> ( O , O )

y

b) Como O ,,; g(x, y

lím

(x, y ) -+ ( O , O )

JX 2 + y2 =

°

se tiene lím g(x, y) = O =g(O, O) por tanto, g es continua en (O, O), Como lím (x + y) = O se tiene lím h(x, y) ° h(O, O) por tanto, h es continua en (O, O), (x, y)-+(O, O)

y,

e)

y

(x,y)-(O,O)

=

y,

=

(X, y)-(O,O)

197

Vjl 6

4.

ANA LISIS MATEMATICO 1

Laabiertos función J es constante y, por tanto, continua en cada uno de los conjuntos y B {(x, y) E [R2 : Ixl > IYI }. Veamos lo que ocurre en el conjunto e

Los puntos deite desonJ cuando los de la(x,forma (a, a) y los de la forma ( � a, a) donde El l í m y) tiende hacia (a, a) sobre la recta y = x es igual a (x,1 , puesto que sobre esta recta es J(x, y) = 1 . Si a � O, el límite de J cuando y) tiende hacia (a, a) sobre la semirrecta y = a, x � a es igual a O, puesto esta semirrecta es J(x, y) = O. Si a < O, el límite de J cuando (x, y) tiende que haciasobre (a, a) sobre la semirrecta y = a, x ,;; a es igual a O, puesto que sobre esta semirrecta es J(x, y) = O. Por consiguiente, no existe lím J(x, y). De manera análoga, se prueba que tampoco existe lím J(x, y), y la función J es, pues, discontinua en cada punto del conjunto C. Como a E [R.

(x,}') ---+ (a,a)

(X, y) ---+ ( - a,a )

5.

A = {x E [R n : (J�g) (x) < O} = {x E W : (J�g) (x) E ( � OO, O)},

A es imagen inversa por J�g de ( � oo, O) como J�g es continua enel conjunto y el interval o ( � oo, O) es un conjunto abierto, A es abierto. Análogamente, como Y

W

e

y los conjuntos ( � oo, O] {O} son cerrados, B y son cerrados. 6. A es la intersección de los conjuntos A l = {(x, y) E [R 2 : x 2 + y2 ,;; 4} y Estoslasconjuntos soncontinuas cerradosJ(x,pory) =serX2 imágenes inversas del cerrado ( � OO, O] + y2 � 4 y g(x, y) = 9X 2 + y 2 9, respecti­ por funciones vamente, luego A es cerrado por ser intersección de dos cerrados. Además,el Aorigen es acotado, centro y radiopues2. está contenido en A l ' que es la bola cerrada de Así pues, A es cerrado y acotado, luego es compacto. Está cl a ro que J es continua en todo punto (a, b) E [R2 tal que a2 + b 2 # 1 , puesto enque(a,esb).un cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula Y

�

7.

1 98

ANALlSIS MATEMA neo I

V¡17

Por otra parte, si a 2 b2 = 1 , no existe lím f(x, y), puesto que el límite. de fa cuando (x, y) tiende hacIa (a, b) sobre la cIrcunferencIa X 2 + y 2 = 1 es Igual 1 , ya que sobre esta circunferencia es f(x, y) = 1 , y el límite de f cuando (x, y) tiende (a, b) sobreen l(a,a recta x = a es si a = e si a", O. Por consiguien­ te, f nohacia es continua b). Así pues, el conjunto de los puntos de discontinuidad de f es +

�,y)_(a .�)

.

°

.

°

00

Este conjunto es cerrado (es imagen inversa de {O} por la funci ó n continua 2 2 acotado (está contenido en la bola de centro el origen y g(x, radioy)2),=xlu+egoy -es1)compacto. La funci óncontinuas fl es continua de en todo puntodistinto (x, y)de'" (O,cero.O) Tambi por serén cociente funci o nes con el denominador es continua en (O, O), puesto que por ser Ifl (x, y)1 XI2X+lxy2 2 ,s; Ix lX(X2 +2 +y2y2 ) y lím Ixl=O, se tiene Iím fl (x, y) =fl (O, O). La= Xfunci escociente continuade enfuncitodoonespunto (x, y) que no pertenezca a la parábola 2Enporólnosersf2puntos ycero. continuas conlos elpuntos denominador distinto de2 ), la forma (a, a de la parábol a , es decir, en de la(a, función cuando(x,'(x,X2 )=0 y) tiende hacia En2 esefecto, elalímite de f2quef 2 ) sobrelfím2 esitela discontinua. parábol a y=x para todo igual 0, puesto a 2 2 x el de f2 cuando (x, y) tiende hacia (a, a ) sobre la recta y=a 2 es por tanto, no existe Iím f(x, y). Por consiguiente, la función f es discontinua en todos los puntos del conjunto y

8.

(x, y)_(O,O)

=°

(x, y)-+ro,O)

E IR;

(x, y)-Ia, a 2)

00;

9.

Este conjunto continua g(x, esy) =cerrado y - X2. por ser imagen inversa del cerrado {O} por la función Supongamos, en primer lugar, quetalf esqueuniI lfformemente continua enquierA. Enton­ ces, para cada existe un ( x ) para cual f(y)1 1 puntos x, y A tales que Ilx -yll como para i = 1, . . se verifpar ica de I¡N -j,(y)1 ,s; I lf(x) -f(Y)I , s>°

E

D>°

< D, Y

< ¡;

,

m

199

Vjl8

ANALlSIS MATE MATICO

e

también es I.t;(x) -.t;(Y)1 < para cualquier par de puntos x, y A tales que I l x - yll < , luego .t; es uniformemente continua en A. Supongamos ahora que para i= 1, lafunción .t; es uniformemente continua en A.cualEntonces, parade puntos cada x, y existe un tal que 1.t;(x)si -.t;(y)ImÍn<{618/fo para A tales que Ilx - yll < q uier par , ..., 6 } se verifica [ 1/ 2 ( 2 ) / 2 IIJ(x) -1MI I (.t;(x) -.t;(y)) 2 < � = J para cualqcontinua uier par ende A.puntos x, y A tales que Ilx - yll < 6, luego J es unifor­ memente Las componentes de J son las funciones J, +J2c.o).de en IR definidas por J, (x) logx J2 (x) sen x para cada x Sean x e y dos puntos del intervalo ( 1 , + c.o). Por el teorema del valor medio existen dos puntos t del intervalo abierto de extremos x e y tales que D

E

... , m

e>O

Di > O

D=

Di' Y

E

m

=

m

m

e

'

e

E

1 0.

=

y

=

z

E (O,

y

(O, c.o)

y

IJ, (x) -JI (y) 1 = If,(z)I ' lx -y l

y

Por ser z > 1 se tiene

IJ2 (x) -J2 (Y)1 = If2(t)I ' lx- YI· If,(z)1 = l/z < 1 . IJ�(t) 1 = le t i � 1 .

Además,

y

os

IJ2 (X) -J2 (y)1 � I x - YI· y

Por tanto,

De estas desigual inmediatamente que JI J2 son uniformemente continuas en ( 1 , +dades resulportatanto, J es uniformemente continua en ( 1 , + c.o). ro)

200

1

y,

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA

A NA LISIS M A TE M A TI CO I Unidad didácticaj6

Temario : 1.

11.

1 1 1. IV.

Diferencial de una función. Fórmula d e Taylor. Máximos y mínimos. Funciones inversas e implícitas. Integrales múl tiples.

JESUS FERNANDEZ NOVOA Doctor en Ciencias Jl,1atemáticas

TEM A 1 Diferencial de una función

Esquema/Resumen

1 . 1.

Derivada según un vector de una función real de variahle ,·ectorial. Deriradas 1 .2. D iferencial de una función vectorial de variable vectorial. 1 .3.

parciales.

Matriz jacobiana.

Sea f una función real de una variable real derivable en un punto a. Entonces h�O

Iím

y si í. : � poner

�

f(a

+ h) (¡

-

.

I(a)

= ./ '(a)

� es la aplicación lineal definida por í.(h) = / ' ( a )h para cada h

. na + h) - na) - í.( h ) l , m �� - -- -------- h

h�O

=

E �.

podemos

o

Así pues, si l a función f es derivable en a, existe una apl icación lineal i. : Il � i! q u e verifica la igualdad anterior. Recíprocamente, s i l a aplicación lineal i.({¡) = eh \ ('rifica dicha igualdad, si tiene

.

h---> O

It m

y, por tanto. f es derivable en

1 (0

+

' -- --

a y I"(a)

h) - na) h

--- .-- -- = e

= e.

Por consiguiente, la derivabilidad de una función puede definirse también en los siguientes términos: 205

1/4

ANALlSIS MATEMATICO 1

Una función real de una variable real una aplicación lineal A : � � � tal que lim

J(a + h)

J es

J(a) h

-

h�O

derivable en un punto

-

i.(h)

a

cuando existe

� O.

Formulada así, l a definición de derivabilidad puede extenderse fácilmente a funciones vectoriales de variable vectorial :

Sean A u n abierto de W, I una función de A en � m y a E A . Se dice que diferenciable en a cuando existe una aplicación lineal ; : �" � �m tal que l h

.

�n¿

lI f(a

+

h)

f(a) Il h ll

-

-

X(h)11

_ -

es

O.

La aplicación lineal )., que como veremos es única, se llama diferencial de designa por Df(a).

206

J

.

J

en

(/

y se

1.1.

DERIVADA SEGUN U N VECTOR DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE VECTORIAL. DERIVADAS PARCIALES

En todo este párrafo, f es una función definida en un abierto valores en n;¡ y a = (a" '" , a,) es un punto de A ,

Definición: 1,

1m

'-0

Sea v fea

+

=

(v" " " v,) un vector no nulo de

h v) - f ea) h

= l1m

'

.-0

f(a,

+

IR",

h v " " ', a,

+

h

A

de IR" y que toma

El límite hv,) - f(a" " ', a,) ,

si existe, se l/ama derivada según el vector v de la función f en el punto a y se desigllo por DJ(a), Si I lvll 1, entonces DJ(a) se l/ama derivada direccional según el veclOr v de la función f en el punto a, =

La derivada según el vector v de la función f en el punto a es la derivada en el punto O de una cierta función real de variable real . En efecto, consideremos el conjunto de nú meros reales V = { h E n;¡ : a + h V E A ) y la funció n g : n;¡' definida por g( h) = a + h v para cada h E V ; entonces la función F = f o g : V ...., n;¡ es derivable en O y

V ....,

F(O) = lim h -t O

F(h) - F(O)

h

= li m

h ...... O

fea

+

h v) - fea) h

=

Dl(a),

Las derivadas de f según los vectores de la base canónica de IR" se llaman derivadas parciales de la función f

Definición: Sea ei = " " 1 , " " O) el i-ésimo vector de la base canOn/ca de n;¡ ", La derivada D,/(a), si existe, se l/ama derivada parcial respecto de la variahle Xi de la jimción l en el punto a y se designa por DJ(a) ,

(O,

Así, pues,

DiI (a)

=

1,

1m

.-0

fea"� " " ai + h, " " a,) - fea"� " " ai, " " a,) h 207

ANALISIS MATEMATICO 1

1/6

y

es la derivada en el punto a¡ de la función real de variable real definida por ' , a¡ - l , a¡ + 10 . . . , a,) y, por tanto, para calcular derivadas parciales se puede aplicar el formalismo conocido del cálculo de derivadas para funciones reales de una . . . , Xi, se calcula derivando la función de x¡ obtenida al variable real. Así, considerar en todas las Xj para j ¡ constantes. . . . , Xi,

F(x)DJ(a) =f

(a l , "

x, . . , x,) DJ(x¡, . f(Xl , ... , x,) Ejemplo : f Sea

:

H;l 2 ->

H;l

"'"

la función definida por

f(x, y) =

{ X3; X2

SI

)' 2

(x, y) "'" (O, O) = (O, O)

(x, )')

SI

(x, y) "'" (O, O),

f

Está claro que las derivadas parciales de existen en todo punto puesto que en el abierto H;l 2 es un cociente de funciones derivables respecto de y de (polinomios) con el denominador distinto de cero. Aplicando la regla de de­ rivación de un cociente y considerando constante en el primer caso y constante en el segundo, se obtienen

x

y

- {(O, O») f

Dd(x, y) =

y

3x 2 (X 2 +

2 _ x3 . 2 2

+

y) (x2 y2)

=

para cada

y

Dzf(x, y) O . (x, y) "'" (O, O).

(x 2

+

(x 2

k "'" O,

y, por tanto,

y

f(0, k) -f(0, O)

k

y) (x2 y )

_

+

2

f (O, O), f(h, O) -f(O, O) h = h = ¡; en

=

k O

lim

=

= lim

f(O, k) ; f(0, O) =

h-O

k-O

y 2) 2

pues para

Q=

D d(O, O) = f(h, O) h-f(O, O) D zf(O, O)

208

X 2 (X 2 + 3 2 + 2 2

y2) 2) 2x3y (x22x3y y

+

También existen las derivadas parciales de

y para

x

1

o.

h "'" O,

x

ANALISIS MATEMATICO 1

1.2.

1/7

DIFERENCIAL DE UNA FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Definición: Sean A un abierto de W, f una función de A en rr;¡m y a E A . Se dice que f es di{erenciable en a cuando existe una aplicación lineal }, : W rr;¡m tal que --+

lim

h-O

Il na

+

h) - f(a) - ).(h)11 Il h ll

=

O.

Obsérvese que h es un punto de rr;¡ n. La aplicación lineal A, necesariamente única, como veremos en la siguiente proposición, se llama diferencial de f en a y se designa por Df(a).

Proposición: Sean A un abierto de R", f una función de A en diferenciable en a, existe una aplicación lineal única ) : R" rr;¡m tal que .

li m

h-O

Demostración :

Sea

J1 : rr;¡n li m

Sea

h

l'

h-O

O u n punto

III(a

--+

Rm

y a E A . Si f es

h) - f(a) - A(h)11 - . Ilh ll

+

_

O

Rm una aplicación lineal tal que

Ilf(a

de R n tal que

--+

a

+

+

h) - f(a) - J1(h) I I O. Ilh ll _

h E A.

IIA(h) - J1(h) 11 IIA(h) - f(a IIhll _

+

h)

Entonces, + na) + f(a +

h) - f(a) - J1(h)11

Il hl l ,::: I lf(a + h) - I(a) - A(h)11 + III(a + h) - na) - J1(h)11 '" IIhll Ilhl l

y como, por hipótesis, cada uno de estos dos sumandos tiende a cero cuando

a cero,

h

tiende

II A(h) - J1(h) 11 - . Ilh ll h-O lim

Sea ahora x l' O un punto arbitrario de R n• Si t -> Y como A y J1 son aplicaciones lineales,

O

O

= l im

II A( tX) - J1(tx)11 Iltxll ,� o

= li m ,� O

h

=

O

tx

con

Ilt[A(x) - J1(x)]11 Iltxll

t E rr;¡, =

entonces

--+

O

cuando

II A(X) - J1(x)11 Ilx l l

luego I IA(X) - J1(x)1 1 = y, por tanto, A(X ) = J1(x). También, por ser A y lineales, A(O) = O = J1(0), luego A(X) = J1(x) para todo x E rr;¡", es decir, ,¡ = J1.

O

h

J1

aplicaciones

Proposición: Si A : R " rr;¡m es una aplicación lineal. existe una constante M > O tal que IIA(X)II .;; Mllxll para todo x E rr;¡n. --+

209

ANALISIS MATEMATICO I

l/S

Demostración :

Si

x

�

para

i

k

.

(Xl , .. , X") �

1,2,

...,

y basta tomar

m

Sea ( aij) la matriz de orden = max

: l a¡j l :

1

.:(

i

x

n

.:( m,

que define la aplicación lineal ) y sea "

1

es un elemento arbitrario de IR " e y

�

.:( j .:( n : .

(.1' 1 , . . . , Ym )

�

i(x)

entonces

m y, por tanto,

M

�

m 1/ 2 kn.

Sean A un ahierto de IR". f una función de A en diferenciable en a, entonces f es continua en a. Proposición:

Demostración :

Sea l

�

Df(a) y

para cada

xEA

a E A. Si f es

x # a sea

f(x) - f(a) ' 1Ix - al l

A(X - a)

R(x - a) Entonces, para todo

IR m y

se tiene

f(x)

�

f(a) +

A(X - a) + IIx - allR(x - a).

Ahora bien, por la proposición anterior, existe una constante � Mllx - all para todo x IR" y, por tanto,

E

lim X(x

x�a

Por otra parte, como f es diferenciable en

a,

-

a)

�

lim II x

O

tal que

l I i.(x - a )1 I

�

o.

lim R(x x --+ a

X """ U

M>

- a)

- al lR(x - a)

�

�

O

Y

O.

Por consiguiente, lim f(x)

�

f(a)

x --+ a

luego f es continua en

en

Sea A un ah ierro de !R n. Se dice que una júnción f : A clIando lo es en cada plinto de A .

Definición: A

a.

Ejemplos : I.

---+

[Rm

es d((erenci(/hle

Sea f : W � IR m la función constante definida por f(x) � C para todo x E IR " . Entonces f es diferenciable en IR" y la diferencial de f en cualquier punto es la

210

ANALISIS MATEMATICO 1

1/9

aplicación lineal A : fl1:" --+ fl1: m idénticamente nula, pues cualesquiera que sean los puntos y h de R" se verifica

of O 2.

Ilf(a

+

h) - f(a) - },(h)11 IIe - e - 011 - . Ilhll Ilhll _

fl1: "

_

O

m es diferenciable y la d iferencial de f en cualquier es J, pues cualesquiera que sean los puntos a y h de fl1:" se verifica

U na aplicación lineal f :

fl1:"

--+

of O Ilf(a h) - f(a) - f(h)11 � O - llhll - . Ilhll Proposición: Sean A un abierto de aEA f dos funciones de A en renciables en a. Entonces las funciones f fg son diferenciables en a

punto de

+

_

_

Y

fl1:",

+ 9y

y 9

y

D(j + g)(a) = Df(a) + Dg(a), D(jg)(a) = g(a)Df(a) + f(a)Dg(a).

Si además es g(a)

of O entonces la función flg es también diferenciable en a D

Demostración : li m

y como

a

h-O

If(a

(f)(a) 9

Pongamos

+

l(j + g)(a

A

=

=

_

+

dife­

y

g(a)Df(a) - f(a)Dg(a) ' [g(a)] 2 y 11 =

Df(a)

h) - f(a) - )'(h)1 Ilhll

fl1:

O Y

h) - (j + g)(a) - (A I I hll

Dg(a) .

lim H

Ig(a

Entonces,

+

h) - g(a) - ll(h)1 Ilhll

=

O

1l)(h)1 "'" If(a + h) - f(a) - X(h)1 + Ilhll Ig({I + h) - g(a) - ll(h)1 ' + Ilhl l

+

�

resulta lim

H

l(j + g)(a

luego f + 9 es diferenciable en

ay

+

D(j + g)(a)

h) - (j + g)(a) - p, I lh l l = }. +

Por otra parte, sumando y restando fracción

11

f(a

=

+

+

1l)(h)1

=

O

Df(a) + Dg(a).

h)g(a) + f(a + h)ll(h)

(jq)(a + h) - (jg)(a) - (g(a)), Ilhll

+

al numerador de la

j(a)Il)(h) 211

ANALISIS MATEMATICO I

1/10

resulta que el valor absoluto de esta fracción es menor o igual que

- 2(h)! + !J1(h)! !J(a h) -J(a)!. - J1(h)! !9(a)! U(a + h) -J(a) ! J(a + h)! !g(a + h) -! hg(a) ! h! ! h! ! O h , a J a J(a + h) f(a). J1 M 1J1(h)! Mllh! 1 hE !J1(h)! U(a + h) -f(a)! .;; M! f(a h) -f(a)1 lfhlr +

+

Ahora bien, cuando ser diferenciable en

.....

los dos primeros sumandos de esta suma tienden a cero (por = es continua en y lim Además, por ser u na >

aplicación lineal, existe una constante por tanto,

o-o

O tal que

<

para todo

� n y,

+

y como

J

a, !(fg)(a h) - (fg)(a) - (g(a)), + J(a)J1)(h)1 ! I hl a D(fg)(a) g(a)2 J(a)J1 g(a)Df(a) J(a)Dg(a). g(a) g(a) D[g(a)],

es continua en

el tercer sumando también tiende a cero. Por consiguiente, +

lim

H luego

Jg

e s diferenciable e n

=

y

=

=

+

Para terminar, bastará probar que si

O

+

# O entonces

puesto que aplicando después la regla de diferenciación de un producto resulta =

=

D(�)ra) D(¡. �}a) g(�) Df(a) + J(a)D(�)(a) . -f(a)Dg(a) g(a)DJ(a) D9 iJ.zL _ ) a) J(a Df( g(a) [g(a)], [g(aW =

Pero

1 I g(a + h) - g(a) + J1(h) _ I � _ (!) !) ( I ( ) h a ( ) a 9 [g(a)]' lJhJlI g(a h)g(a) [g(a)] I lh ! 1 9 J1(h) J1(h) Jlhll - g(a + h) - g(a) - J1(h) + [g(a)J' h)g(a) g(a g(a h)g(a) I I - g(a)a - J1(h) J1(h) . g(a + h) - g(a)1 _- Jlhll1 I g(ag(+a h) h)g( g(a) g(a h)g(a) ) 1

_

=

+

+

1

+

-

+

+

+

+

+

+

- J1(h)! 1J1(h)l l g(a h) - g(a11 ) :;:: !g(a +1h)g(a)!(!g(a h) -I !hg(a) l! !lh!1 g(a) , �

212

=

1

_ _

+

+

ANALlSIS M ATEMATICO I

y

como

g es

1/1 1

diferenciable y, por tanto, continua en

a

. 1 1 (g1 ) (a + h) - (1)g (a)

:�� I!hll luego efectivamente,

( 1)

D g (a)

=

J1 - [g(a)] 2

Y

+

J1

es una aplicación lineal,

J1(h) 2 [g(a)]

1 O =

Dg(a) - [g(a)] '

=

Proposición (Regla de la cadena) : Sean A un abierto de �", B un abierto de � m, f : A B una función diferenciable en a E A. Y 9 : B � p una función diferenciable en f(a). Entonces la función compuesta 9 o f es diferenciable en a y ->

->

D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a). o

Demostración : F(x)

y

Pongamos

= f(x)

b

=

- f(a) -

H(x)

=

o

f(a),

Á

= Df(a)

y

J1

=

Dg(f(a))

G(y) = g(y)

Á(X - a),

-

y

sean

lJ(h) - J1(Y - b)

(lJ o f)(x) - (lJ a n(a) - (J1 O J.)(x

-

a).

Entonces, por hipótesis,

IIF(x)lL = x -a I lx - 0 1 1 lim

y

O

y

lim rb

II G(y)11 Ily - hll

=

O

hemos de probar que

Pero como

H(x)

=

g(f(x)) - g(f(a)) - J1( X(x a)) = g( f(x)) - g(f(a)) - J1(f(x) f(a) - F(x)) = G( f(x)) + J1( F(x)) -

-

se tiene

IIH(x)11 s:: II G( f(x)) 11 Ilx - all � Ilx all

+

-

y,

1 1J1( F(x))11 I lx - 0 11

por tanto, bastará probar que

II G(f(x))11 = x - a Ilx - all lim

O

y

11J1( F(x))11 = x -a Il x - all lim

o.

213

1/12

ANALlSIS MATEMATlCO 1

Ahora bien, por ser 11 una aplicación lineal, existe un por tanto,

y,

M>

O tal que

IIJlI F(x))11 ,:; M IIF(x)11

1II1IF(x))11 M IIF(x)11 Ilx - all ':; Ilx - all y

como por hipótesis es lim j]F(x) 11 = O, x -a

Ilx - all

resulta lim x-a

1 1111 F(x j)11 Ilx - al l

= O.

IIG(f(x))11 Ilx - all

= O.

Probemos ahora que lim x-a

Sea 8

>

O . Como A es una aplicación lineal, existe un

MI >

O

tal que

IIX(x)11 ,:; M dlxll para todo

x E Hil a . Pongamos f. '

= f./( l

+ M ¡ J . Como y-o

lim

existe un

!J.

>

O tal que

I I G(v)11 = O, 110' - h ll

IIG())II

< ¡;

1 1) - h ll

para todo y E B tal que O < I Iv - h ll < !J., Y como f es continua en tal que para todo x A que verifique Ilx - a ll < óI se cumple Il f (x) -

E

IIG(f(x))11 Además, como lim

x -a

existe un ,) ,

- h ll·

IIF (x) 1 1 = O, Ilx - all

> O tal que IIF(x)11

214

< f. ' II{(x)

<

Ilx - all

(1,

h ll

existe un Ó I > O < !J. y, por lanto.

1/13

ANALISIS MATEMATlCO I

para todo x A tal que O < I l x - a 11 < D, . Sea D = min [ D I . D 2 : . Entonces, para todo tal que O < 11 x - a 1 1 < ó se verifica

E

11 G(f(x)) 11

<

8' ll f(x) - b ll = s' II F(x)

E

+ I.(X - a) 11 <

s' llx - a l l + 8' Md l x - all = 8' ( 1 + Mdll x - all = 8 11 x - a l l

",; s' IIF(x)11 + 8' IIÁ (x - a)11 y, por consiguiente,

x A

luego

( f(x)) 11 I lx - a l l

lim 11G

x- a

=

O

como queríamos demostrar.

�" y

({l, ,fm)

�m

Proposición: Sean A un abierto de . .. de A en a E A. Una función f es diferenciable en a si y sólo si sus funciones componentes f;, .. . ,fm son di(erenciables en a y, en este caso, Df(a) es la aplicación lineal de Hl1" en que tiene por componentes Dfl(a), . . . , Dfm(a). =

�"'

1, .

Demostración : Supongamos en primer lugar que fes diferenciable en a. Para i = . . , m, es la función compuesta Te, o j, donde Te, es la función de en que a cada vector Pero Te, es lineal y, por tanto, de m hace corresponder su i-ésima componente diferenciable en y su diferencial en cualquier punto de es '" y, por la regla de la cadena, f, es diferenciable en a y

(y " . . . , Ym) � �"

f,

luego

D[,(a) es

Df,(a) = D".{f(a)) o Df(a) =

la componente i-ésima de

I f,(a

+

H

para i = se tiene

1, . . . , m

IIf(a

+

es diferenciable en

h) - [,(a) - Df,(a)(h)1 = I l h ll

�m

__

+

h)

_

d e componentes

f:(, a )

o.

Entonces,

O

Dfl(a), . . . , Df�(a),

1 1 12 I I( m ¡¡¡;¡¡ '�, I f,(a + h) - fdo) - Df,(a )(h) l ) 1 11

h) - f(a) - Á(h)11 - I hl � ( f:(a Ilh ll l l '�l ' =

LIS

i = 1 , . . . , m, [,

y s i A e s la aplicación lineal d e W e n

",;

D((a)

Df(a).

Recíprocamente, supongamos que para lim

'" o

y,�". �m �

_

Df:(, a )(11 )) 2

. 2

'/2

_

f

,=

1

I [,(a

+ h) - f,(a) - D[,(a)(h)1 I lhl l

215

ANALISIS MATEMATICO 1

1/14

y, por tanto,

H a lim

luego

1.3.

f

es diferenciable en

y

II

/(a

+

h)

Il h ll

Df(a) = 2 = ( D/i ( ) " " Dfm (a) ),

a,

MATRIZ JACOBIANA ¡;; '

IR' y

E

Sean A un abierto existeProposición: D"f(a) para todo de de y a A, Sif v

Demostración .'

#O

Df'(a)

A --> IR

h

-

Ht , If(a tu) -f(a) - DJ(a)(tv) l l tv H Il f(a - I(a) . 1 HI t f(a tv) - f(a Di(a)(r) f

diferenciable en

lim

Il h ll

=

l J( + h)

a

es diferenciahle en a, entonces

- f(a)

a,

= O'

DJ(a)( h)1

v)

1

+

lim y como

:

DJ(a) = DJ(a)(v),

Por ser

En particular (haciendo

O

-J(a) - J.(h)11

=

O

es una aplicación lineal, _l_ lim

+ tu )

_

Ilvll

luego

lim ,-o

-.:t

1=

_

t

Df(a)( u ) = O

'

es decir, D,I(a) = Df(a)(v), E

.

UI , , ,fm)

Sean A un abierto de R', a una /úntió/ 1 de e/ 1 R '" y/ cuyas funciones componentes tienen deriL'adas parciales respecto de cada rariahle en el {Junto La matriz Definición:

A

=

(DdDd. . 21(a),(a),. . . . . . . .. "". D,f1(a) ). . D,. . fz(a) . " D,fm(a) se llama matriz jacobiana de f en el punto a se designa por F(a), D ' /I (a), D ' /2 (a),

D dm(a), D'/m(a), y

216

A

a.

ANA LISIS MATEMATICO 1

1(15

" Q;\ ,

IR'"

= (/1 ,

E

Sean A unlasabierto de componentes a A y /de f tienen" ',!derivadas de Arespecto en m) una función dideferenciable en a. Entonces funciones parciales variabledeen ely puntoes laa ymatriz la matriz de ladeaplicación basescadacanónicas jacohiana f en a. lineal Df(a) respecto de las Df(a)Demostración: ej m 1 , 1, (dI '" do) Proposición:

IR"

IR .'"

Supongamos en primer lugar que = Y sea la matriz de respecto de las bases canónicas de IR " y IR. Si = (O, . . . . . . , O) es el j-ésimo vector de la base canónica de IR", se tiene

y por la proposición anterior, existe D,j(a) y

luego Esto demuestra la proposIción en el caso particular de que sea = l . En el caso general, m arbitrario, según acabamos de demostrar, para = 1 , y todo = ( V I , . . , v") "'" O de IR" se verifica

i ... , m m v I

j= 1 y como por la última proposición de

Dj.fi(a) · Vj

1 .2,

Df (a) = ( Dfl (a),

se tiene

Dfl(a)(v) Df(a)(v) Df,{a)(v) =

.

Df,(a), . .. , Dfm(a»), "

I

Di/I(a) . Vj I Dj/,(a)'

j= 1 "

j= 1 "

Vj

Dfm(a)(v) I Di/",(a) · DI/I{a) D,fl(a) D,fi (a) DI/,(a) Dz.f,(a) DJ,(a) V2 D,fm{a) v Df(a) esf'(a). j

=

1

Vj

VI

"

luego, efectivamente, la matriz de

217

ANA LISIS MATEMATICO 1

1/16

La recíproca de la proposición anterior no es cierta en general (véase el ejercicio 21'). Sin embargo, sí se verifica la siguiente �",

�m.

Sean A un abierto de a E A f � (fl ' . . . ,¡;") una ¡unción de A en Si existen las derivadas parciales de lasfunciones componentes defen una bola de centro a son continuas en a, entonces f es diferenciable en a. a ¡; , Demostración: m � 1. A x � (XI, .. . , x") f a � (al, . . . , a") Proposición:

Y

y

Como l es diferenciable en si y sólo si lo son todas las podemos limitarnos a considerar el caso Así, pues, supondremos que es una función de en R y tendremos que probar que cuando tiende hacia el cociente

tiende a cero. Ahora bien,

I J(X) -na) - t Dj((a) · (Xj - aj)1 Ilxj -l a ll

f(x) -J(a) � /(XI, a" a 3, - f(al, a2, a 3, . .., a") + f(XI , X2, a 3 , ... , a") - /(XI, a2, a3 , ... , a") . . . , a" )

+

y como para J

1 , 2,

... , n,

la función real de una variable real

uAt) �J(x I, ... , Xj- l, t,aj+I, ... ,a,,) aj Xj aj Xj bj

y es continua en el intervalo cerrado de extremos y derivable en su interior, por tal que y comprendido entre el teorema del valor medio, existe un

es decir,

y si, para simpl ificar la escritu ra, ponemos

podemos escribir

I f(x) -na ) - tl Djf(a) (Xj - aj)i j -�---ílx-=-;;¡r [jtl (D;I(c) - Dj/(a))e'j aj)1 .

-

-

218

---IíX�-·

ANALISIS MATEMATICO 1

Ji! 7

,,-; L "

j= IDJ(C;J - DJ(a)l· I Cj - all ,,-; I lx - a l, Cj a x a, 1

Pero continuas en

luego

->

cuando

->

y

como las derivadas parciales de (son

a,

Por consiguiente,

k(X) -f(a) - JI DJ(a) · (Xj - aj)1 �l.� Ilx al _

=

O

conforme queríamos demostrar.

219

EJERCICIOS D E AUTOCOMPROBACION 1

.

Sea f : IR'

--+

IR la función definida por

y)

f(x, Probar que en (O, O).

2.

SI

xy '

.

(x, y)

O) existe para todo vector

v

#=

(O, 0),f(0, O) = O.

(a, b) #-

(O, O) Y que f no es continua

Estudiar, en cada caso, la continuidad, la existencia de derivadas parciales y la diferen­ ciabilidad en (O, O) de la función f : IR ' --+ IR definida por

a) b) e) 3.

Dof(O,

= 2 x + y4

f(x, y) = f(x,

y)

x'

:: y3

= .jX2

f(x , y) = Y

+

si

y', y'

x' , , x + y _

(x, y)

f(x, y) = xy sen , 1 , x + y

e)

f(x,

Sean f : IR '

(0, 0), / (0, O) = O,

(x, y) #- (O, O), /(0, O) = O,

SI

d)

y)

#-

si

(x, y) #- (O, O), / (0, O) = O,

= x ' + 3xy + y ' - y + 7. --+

IR ' Y g :

�3

--+

IR ' las funciones definidas, respectivamente, por

y) g y,

/ (x,

(x,

=

(x' +

y ',

cos xy, eX+Y),

z) = (x + y + z, xyz).

Probar que la función compuesta 9 o f es diferenciable en (O, O) Y calcular

4.

D(g /(a)

o f)(O, O).

Sean A un abierto de IR ", B un abierto de IRrn, f = (J" . . . , frn) : A --+ B una función diferenciable en u n punto E A , 9 : B --+ IR una función diferenciable en y sea : A --+ IR la función compuesta = 9 o f Demostrar que para i = 1, . . , n se verifica

h

a h D,h(a) j�lI Djg(f(a» · Ddj(a). =

.

m

221

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOCOMPROBACION 1.

Para (a, b) # (O, O ) Y h # O se tiene

y, por tanto,

f(ha, hb) - f(O, O) h

ab ' + h ' b4

2

h3

= h(h 'a ' ab = a2 + h4 b 4)

{ �'

{(ha, hb) - f(O, O) = lim h h-O a

SI

a

SI

a # O

=O

luego, efectivamente, para todo u = (a, b) # (O, O) existe D J(O, O) y

{

D J(O, O) =

O

si

-

SI

h'

.

a

a =O

a #O

Sin embargo, f no es continua en (O, O) porque no existe: lim

puesto que si A;. = : (x, y)

(\. 1'1

E

--->

1R 2 : x = ),y 2 : ,

(X, r) ---> (O,Üj (x. rl E A;

. hm

f(x, y)

=

f(x, -v)

(o. O)'

Ay 4 . hm -;-z:4--:;¡

y ---+ O

A

J

+J

= /.-"

+

i.

1

--

y, por tanto, los l í mites sobre cada A; son distintos.

223

ANALISIS MATE MATICO I

1¡20

2.

a)

Sea

A;

I(

(x, y ) E 1R 2 · l 1m

( \' . ,1 ) -+(0.01 (\'. \ I E -1,

y, por tanto , no existe

ix : .

: J' =

1 (x .

.

y)

.

Entonces

I.X 2

' = l1 m

_\ --0

1 \.

+ I. · X ·

- , -- -'0 , -, =

x-

lim

\I

-+

lO, Oj'

1 11 m ., ..... 0 1 + I, " X .

l.

- - - -

"

=

l.

/(X. I '} .

luego f no es continua en (0, O). Por otra parte,

y

D ,f(O, O)

=

li m '

,-o

f'(O k) - f'(O , ° ) . ' k

=

Iim

°

-: =

,_o k

O.

Finalmente, .f no es direrenciable en (0, O) porque no es continua en (0, O).

b)

Es evidente que f es continua en todo punto. Para " # O es {(h, O) - f(O, O)

----/¡----

y, por tanto,

Iim

y no existe

/¡

-->

0-

JP

1"1

- ,,- - h

_

f(h , O) - {(o. O) h

-1

li m h-O

_

-

_

SI

J -1 1

SI

" < °

" > °

fI", O) - no, O) -l i m - - - .----/¡

y

.

Ir -- O"

f(", O) - f(O, O) "

es decir, no existe D ¡f(O, O). Procediendo de manera anúloga se ve q u e D 2 / (O. 0) tampoco existe. En consecuencia, f no es direrenciable en (0, O).

e)

Como I f( x, y)1 =

< + <1

I II I · ¡ e .

se tiene (\.

224

Iim

1 ) -+ 10. o)

"

/(

x

-

y-

,,;

1 " 1,

, ·\') = ° = . flO, O)

1/21

ANALlSIS MATEMATICO 1

y. por tanto, f es continua en

(O, O).

Por otra parte,

D ¡/(O, O) = li m

f(h, O) - f(O, O) /¡

h-O

y

f(O , k) - /( 0, O) k o ,

=

Dzf(O, O)

lim

y si f fuese diferenciable en i. : �2 --. � definida por

li m

,-o

=O

h

_k k 3¡ = - 1 , k

- I)

C) = - k

(h, k) E �2 Para que así fuera, debería verificarse . l 1m

"", _ ,0 0,

pero si A"

li m �

h-O

(O, O), su diferencial en (O, O) sería la aplicación lineal i.(h, k) = (O

para cada

=

=

=

: (h, k) E �2 : k

=

I f(h, k)

- /(0, O)

1 1th, k) 11

- i,(h, k) 1

I'h : ,

I/(h, k) - f(O, O) - i.(h , k) 1 = lim lim (h, 'I - (O.OI h-O 11th, k)11 (h, 'l e A"

I_ 1 l'

-

y, por tanto, no existe :

O

1' I I'h h2h2 - 1'2h2 1' 2h 2 I'h +

+

.J h 2 + ¡1 2h2

¡1 2 +

1+1'2

- ---7 1

=

+ p2

I

l'

-

=

211' 1

(¡-:¡:¡;2j3T2

I f(h, k) - f(O, O) - ;.(h, k) 1 II (h, k) 11 �h.k) ---o ( O,O) lim

luego f no es diferenciable en

d) Como If(x, J) I

,,::;

(O, O).

I XJ I , se tiene lim

( \. 1 ) -+ (0,01

y, por tanto, f es continua en

f(x, J) = O = /(0, O)

(O, O). 225

ANALlSIS MATEMATICO 1

1/22

Por otra parte,

D ¡f(O, O) y

Dzf(O, O) y si

A:

-->

u;¡ 2f u;¡

fuese diferenciable en definida por

= lim

f(h, O) - f(O, O) h-O h

=

Iim f(

k-O

(O, O),

(h, k)

E

- f(O, O) k

=

=

o¡(�)

(O

=

lim Q =

O

Iim Q =

O

h_o h

k_ o k

(O, O)

su diferencial en

A(h, k) para cada

0, k)

=

sería la aplicación lineal

O

u;¡' , Y efectivamente así es, puesto que

If(h, k) - f(O, O) - A(h, k)1 11th, k)II y, por tanto,

. I f(h, k) l 1m.

(h,kl_(O,OI

=

I hk

sen

1 I

lJ2+72I

�

Ihkl

.Jh' + k' � .Jh' h ' + k' = .Jh' + k' .:; .Jh' + k'

+ k"

- f(O, O) - A(h, k)1 _ - O. 11 (h, k)11

e) Es evidente que f es continua en todo punto, Por otra parte, las derivadas par­ ciales de f D ¡f(x, y)

=

2x

+ 3y,

D,f(x, y)

=

3x

+ 2y - 1

son también continuas en todo punto, luego f es diferenciable en todo punto y es la aplicación lineal de U;¡, en u;¡ definida por

Df(x, y)(h, k) E n particular,

=

(2x

+ 3y 3x + 2y - l¡(�)

Df(O, O) e s l a aplicación

3,

(h, k)

=

-k

u;¡

+

3y)h

+

(3x

definida por

E u;¡2

Las funciones componentes de f,

./i (x, y) 226

(2x

lineal d e U;¡, en

Df(O, O)(h, k) para cada

=

=

x'

+

y ', 12(x, y)

�

cos xy, 13(.\, y) = e d y

+

2y -

Df'(x, y)

l )k .

1/23

ANALISIS MATEMATICO 1

tienen derivadas parciales continuas en todo punto :

D ¡/¡ (x, y) D¡/2 (X, y)

Por tanto,

(x, y) es

I es

=

=

-

2x, D,f;(x, y) y sen xy, Dz/2(x, y) D 2j· (X, Y) 3

= =

2y, - x sen xy,

= e

x +y

.

diferenciable en todo punto y la matriz jacobiana de

nx, y) Las funciones componentes de

g

g¡(x, y, z)

=

=

x

(I

+

2x y sen xy eX + Y

y

+

=

)

eX + y

z, {} 2 (X, y, z)

1,

D2g ¡ (x, y, z) = yz, D 2 g2(X, y, z)

=

=

en un punto

2y - x sen xy

=

xyz

tienen derivadas parciales continuas en todo punto :

D¡g¡(x, y, z) D¡g2(X , y , z )

I

1,

D,g¡(x, y, z)

xz, D,g2(X, y, z)

=

=

1,

xy.

Por consiguiente, 9 es diferenciable en todo punto y la matriz jacobiana de 9 en un punto (x, y) es =

g' (x, y, z) En particular,f es diferenciable en

(O, O)

Y

nO, O) 9 es direrenciable en I(O, O) = (O,

1, 1)

Y

g'(O, 1 , 1 )

1 ).

(1

yz xz xy

= (7 7). =

( : � �)

y, por la regla de la cadena, 9 'I es direrenciable en

D(g o n(O, O)

=

(O, O) Y

Dg(f(O, O)) o DI(O, O)

y como la matriz de la composición de dos aplicaciones lineales es igual al producto

de las matrices de éstas,

(g o n'(O, O)

=

g'( f(O, O)) nO, O)

=

g '(O,

1, 1) no, O)

=(: � �)(7 7) =(� �)

227

1/24

ANALlSIS MATEMATICO 1

y como

D(g af)(O, O) para cada

4.

,

es la aplicación lineal )

(h, E k)

IR 2

: 1R 2 --> 1R 2 k) =

definida por

}.(h, (h + O) k,

h a h'(a) g'( f(a») j' (a) ¡(a) • DJl (a» ) . ( D ¡ g(f(a» . .. Dmg(f(a))) . (DD¡1/fm(a) .. . D�f;'(a) h'(a) Dih(a) Im Djg(f(a») · DJAa),

Por la regla de la cadena =

es diferenciable en

y su matriz jacobiana es

=

Ahora bien,

1 X

n cuyos elementos i-ésimos son

para i = 1,

.

.

.

.

y el producto de las dos últimas matrices son dos matrices de orden

luego

228

. .

.

.

. . , n.

=

y

j "" l

m Dih(a) j"" 1 Djg( f(a») · DJAa) I

respectivamente;

TEMA I I Fórmula de Taylor Máximos y mínimos

Esq uema/Resumen

2. 1 .

2.2. 2.3. 2.4.

Derivadas de orden superior Fórmula de Taylor Máximos y mínimos relativos Máximos y mínimos condicionados

23 1

2.1.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

2.1.1. Sean A un abierto de R" y f una función de A en IR. Supongamos que la derivada parcial existe para todo A Y sea : A --+ R la función definida por = Si para un A existe esta derivada parcial se llama respecto de las variables de la función f en el punto y se designa por

x E (a), rp, rp,parcial (x) segunda Djrp, derivada DJ(x). DJ(x) a E " Xj a x Dijf(a). Dijf(x) D. , a), x E rpij rpi j (x) D4(x), derivada parcial tercera a D'j.f(a). x" xj, x. q . D, derivada parcial q-ésima x," ... , x" a q A fE q N, fE fE Si existe para todo AY : A --+ IR es la función definida por = la derivada parcial si existe, se llama respecto de las</sup>