SECRETARIA DE EDUCACION EDUCACION PÚBLICA TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA
INFORME FINAL DE AÑO SABÁTICO
Elaboración del libro de texto: ANÁLISIS ESTRUCTURAL
Elaborado por: Raúl Mauricio Estrada Sosa
Mérida, Yucatán, México Julio de 2015
ÍNDICE
1. Deflexiones por flexión
1
1.1 Ecuación diferencial de la curva elástica
3
1.2 Método de doble integración
6
1.3 Método de Área Momento
15
1.4 Método de la viga conjugada
27
2. Análisis de cables y arcos
38
2.1 Ecuación general de cables
40
2.2 Análisis de arcos de tres articulaciones, cálculo de reacciones, diagramas de elementos mecánicos
59
3. Métodos energéticos
68
3.1 Introducción
69
3.2 Trabajo real
85
3.3 Trabajo virtual
92
3.4 Primer teorema de Castigliano
134
3.5 Segundo teorema de Castigliano
136
3.6 Teoremas de Maxwell y Betti
146
4. Líneas de influencia
151
4.1 Introducción
152
4.2 Definición y propiedades de la línea de influencia
153
4.3 Método de Muller-Breslau aplicado a vigas simples
154
4.4 Serie de sobrecargas aisladas
162
Bibliografía
171
1. DEFLEXIONES POR FLEXION
COMPETENCIA
Comprender como se generan las deflexiones por flexión.
Comprender la ecuación diferencial de la curva elástica.
Determinar deflexiones elásticas por el método de doble integración y dos importantes métodos geométricos: Los teoremas del momento de área y la viga conjugada.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Construir un mapa de conceptos de la ecuación diferencial de una barra sujeta a flexión y los métodos de solución, indicando las diferencias entre éstos.
Construir un mapa mental de los diferentes tipos tipos de apoyos en arcos, vigas, marcos y armaduras.
A través través de un esquema gráfico indicar las hipótesis fundamentales de los métodos geométricos así como su interpretación para aplicarlos en la solución de problemas.
Resolver problemas propuestos en el aula en grupos pequeños.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de entender cómo se comportan las diferentes estructuras y las deflexiones que se generan en ella.
El alumno alumno será capaz de entender cómo se relaciona la curva elástica con las deformaciones de una viga y tendrá la habilidad de identificar las relaciones entre la ecuación diferencial de la elástica y la primera y segunda derivada de una función.
1
El alumno desarrollara la habilidad para resolver problema de cálculo de deflexiones por los métodos de Doble Integración, Área Momento y Viga Conjugada.
A través de la asimilación de todos los conocimientos de este capítulo el alumno desarrollará en su persona la capacidad de solucionar problemas de cálculo de deflexiones en estructuras que se emplean en obras de Ingeniería Civil.
2
1. Deflexiones por Flexión. Las deflexiones en estructuras pueden ser provocadas por varios factores, como las cargas, la temperatura, los errores de fabricación o los asentamientos de los apoyos. Durante el diseño deben limitarse la magnitud de las deflexiones para garantizar la estabilidad e integridad de las cubiertas o techos, evitar el agrietamiento o daño a elementos del tipo no estructural adjuntos a la estructura, como falsos plafones, cancelería de aluminio y vidrio entre otros. Además una estructura no debe presentar vibraciones excesivas. Las deformaciones que se considerarán en este texto solo se aplican a estructuras que se comportan en el rango elástico del material, es decir tienen una respuesta linealmente elástica. En estas condiciones una estructura que se deforma volverá a su posición original no deformada al retirar las cargas aplicadas a la misma. La deflexión en una estructura la causan sus cargas internas, como la fuerza axial, la fuerza cortante, el momento flexionante y el momento torsionante. Las deflexiones pueden ser lineales o angulares, a las primeras se les conocen como las deformaciones verticales y horizontales en una estructura y a las segundas como giros o pendientes en puntos específicos de la estructura.
1.1 Ecuación Diferencial de la Curva Elástica. Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en Mecánica de Materiales, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a flexión pura:
(1-1)
3
Donde: = es el radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica. (1/ se
conoce como la curvatura). E = el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga. I = el momento de inercia de la sección transversal de la viga. M(x) = el momento flector al que está sometida la misma en el punto donde debe
determinarse Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un extremo de la viga (‘ x’ ).
Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto ‘ P(x, y)’ puede
determinarse mediante la expresión:
/ +/
(1-2)
Donde, dada la relación ‘ y = f(x)’ :
Corresponde a la primera derivada de la función
4
Corresponde a la segunda derivada de la función
Como las deflexiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que:
(1-3)
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las deflexiones que experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.
5
1.2 Método de Doble integración. Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pen diente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la p endiente y la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. Recordando la ecuación diferencial de la elástica:
(1-4)
El producto ‘ E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo
de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘ x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo,
para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘ x’ . Planteamos:
∫
(1-5)
6
Donde ‘C 1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de
frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:
≅
( 1-6)
De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘ x’ de la viga.
Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:
∫∫
(1-7)
Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.
7
El término ‘ C 2 ’ es una constante de integración que, al igual que ‘ C 1’ , depende de
las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:
Del apoyo en ‘ A’ puede establecerse: x = L A → y = 0 Y, debido al apoyo en ‘ B’ : x = LB → y = 0
Debido al empotramiento ‘ A’: x = L A → y = 0 x = L A → = 0
8
Ejemplo. 1.1 Calcular las expresiones para la pendiente y la deflexión a lo largo de la viga y el valor de la deflexión máxima de la viga mostrada en la figura 1._ 4T/m
+ 10m
Curva elástica
202
1
Integrando obtenemos la ecuación la ecuación de la pendiente a lo largo de la viga.
202 10 23 1 Integrando nuevamente obtenemos la ecuación de la deflexión a lo largo de la viga.
1 10 3 6 12
9
Condiciones de frontera y=0
Cuando: x=0
2 100 0 3 120 102 Entonces: C2=0 Por simetría en la carga la deflexión máxima se encuentra en el centro del claro de la viga, por lo tanto: Cuando: x=5m
0
;
Sustituyendo en la ecuación de la pendiente:
0 105 235 1 1166.67 La ecuación de la pendiente queda.
103 23 166.67 Y la Ecuación de la deflexión:
1 10 3 6 166.67 La deflexión máxima cuando x=5.
á 521
10
Para Facilitar la solución de problemas de cálculo de deflexiones en vigas, cuando se aplican varias cargas a la misma, es conveniente trabajar con las funciones de singularidad estudiadas en mecánica de materiales. En los siguientes ejemplos se ilustra el manejo de método de doble integración trabajando con las funciones de singularidad.
Ejemplo 1.2
Usando el método de doble integración determinar la pendiente en A y el desplazamiento en C.
es constante.
4T
4T
A
B
C 2
2
2
2
+
Curva elástica
1 44〈2〉 4〈6〉
11
Integrando, obtenemos la ecuación de la pendiente
44〈2〉 4〈6〉 4〈 6〉 4〈2〉 2 2 2 1 Integrando nuevamente obtenemos la ecuación de la deflexión a lo largo de la viga.
2〈 2〉 2〈6〉 2 3 3 3 12 Condiciones de frontera y=0
Cuando x=0
2〈02〉 2〈06〉 20 0 3 3 3 102 Entonces: C2=0 La deflexión máxima se encuentra en el centro del claro de la viga: Cuando x=4
;
0
Sustituyendo en la ecuación de la pendiente.
0 24 2〈42〉 2〈46〉 1 132824
12
La ecuación de la pendiente queda:
2 2〈 2〉 2〈6〉 24 La pendiente en A es:
Cuando x=0
24 EI desplazamiento en C es:
2〈42〉 2〈46〉 24 3 3 3 244 42.665.3396 58.67 Ejemplo 1.3
Usando el método de doble integración determina la deflexión en el extremo del volado y en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura. EI es constante a todo lo largo de la misma.
3T/m a
d b 2m
c 6m
+
2m
13
Curva Elástica
1 Ecuación de momento
3 2 15〈 2〉15〈 8〉
0≤≤10
Integrando dos veces obtenemos la ecuación de la deflexión.
15〈 2〉 15〈8〉 3 6 2 2 1 15〈 2〉 15〈8〉 3 24 6 6 12 Condiciones de frontera y=0
Cuando: x=2m
3 2 0 24 0012 2 22121 1 Por simetría en la carga, tenemos:
0
Cuando x=5m
Sustituyendo en la primera integración
15〈52〉 35 0 6 2 01 15 2 Sustituir en (1)
222〈5〉 12 14
La ecuación de la deflexión queda:
5〈 2〉 5〈 8〉 8 2 6 512 La deflexión en los volados es cuando x=0
000012 12 La deflexión al centro del claro de la viga es cuando x=5m.
5〈5 2〉 5 8 2 05512 23. 6 1.3 Método del Área Momento
El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. La aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la deflexión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.
15
La figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera (‘ A’ A’ y ‘B’ ) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.
Puede observarse que ‘ B/A’ es es
el ángulo que forma la tangente ‘ B’ que pasa por e l punto ‘B’ especto a la que pasa por ‘ A’ A’ . r especto De forma análoga se define el ángulo ‘ A/B’ . Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario.
Recordando que las deflexiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma:
(1-8)
Si integramos la expresión anterior, obtenemos:
∫ ∫
(1-9)
/
(1-10)
Planteando que:
16
Podemos finalmente rescribir la expresión anterior de la forma:
/ ∫ / ∫
(1-11)
(1-12)
Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento:
“El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquier sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama ‘M/(E·I)’ entre esos dos puntos”
Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproximación:
≅
(1-13)
17
Donde ‘d ’’ es el ángulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia ‘dx’ y ‘x’ es la distancia medida desde el punto ‘A’ hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir ‘d ’ queda:
(1-14)
Finalmente, al integrar la expresión anterior queda:
/ ∫
(1-15)
Lo cual puede rescribirse de la forma:
/ ∫
(1-16)
18
Donde x ‘ A’ es la distancia (medida sobre la dirección ‘x’ ) que existe entre el punto ‘A’ y el centroide del área bajo la curva ‘M ·E/I’.
La ecuación 1.3.9 supone la base del segundo teorema de área momento: “La desviación vertical de la tangente en un punto ‘A’ s obre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto ‘B’ es igual al momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ entre los puntos ‘A’ y ‘B’. Este momento se calcula respecto al punto ‘A’ donde va a determinarse la desviación vertical ‘t A/B’ ”.
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De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto ‘B’ respecto a la tangente que pasa por ‘A’ . Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ‘ME/I’ respecto al punto ‘B’ , es decir:
/ ∫
(1-17)
Donde ‘x B’ es la distancia que existe desde el punto ‘B’ hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto ‘B’ (en el que se calcula la deflexión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el ‘A’ (y viceversa).
Para comprender la aplicación de los dos teoremas de área de momento, iniciaremos con ejemplos con bajo grado de dificultad y posteriormente aumentaremos este.
20
Ejemplo: 1.4 Aplicando los teoremas de área de momento, calcular la pendiente de la elástica en los apoyos y en el centro del claro de la siguiente viga. P
a
+
b L 2
L 2
EI=Constante Ecuación de Momento Flexionante
2
0≤≤ 2
Diagrama de Momento Flexionante
4 +
Aplicando el primer teorema entre A y B y considerando C=0 en B Calculando el área bajo la curva
1 4 ∗ 2 ∗ 2 16
21
Comprobando por medio de área de integración.
2 ∅ 0
∗
1 2 ∗ 2 2 . 16 Aplicando el segundo teorema obtenemos la deflexión. Tomando momentos del área bajo la curva entre 0 y L/2 con respecto al punto a.
∗ ∗
/ Comprobando por medio de área de integración x.
∗ ∗ /
´
1 ∗ 2 1 2 3 . 48 22
Ejemplo: 1.5 Tomando la viga del ejemplo 1.1, aplicando los teoremas del área de momento, determina la pendiente en a y la deflexión máxima. 4T/m
a
b
EI=Constante
10m
Ecuación de Momento Flexionante.
202
0≤≤10
El momento al centro del claro lo obtenemos susustituyendo x=L/2
410 8 8 50 Aplicando el primer teorema, 0 El área bajo la curva en el tramo de 0 a 5m es igual a la pendiente en (a). 23 ∗5∗ 50 166.67 Este valor corresponde al obtenido por el método de doble integración. Aplicando integrales:
2 1 20 202 2 . 3 .
23
166.67 25083.33 Aplicando el segundo teorema, encontramos la deflexión máxima que por simetría se encuentra en el centro del claro. Tomando momentos del área bajo la curva entre 0 y 5m, con respecto al punto (a).
á 166.67 ∗ 58 ∗5 521 Aplicando integrales
1 1 á 202 20 2 2 521 20 á 3 4 Como se mencionó al inicio de este tema el método de área-momento es un procedimiento Semigráfico y se utiliza para resolver problemas en los cuales la carga esta aplicada en forma asimétrica. En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento.
Ejemplo: 1.6 Utilizando el método de área –momento, Calcula la pendiente de la elástica en los puntos a y m, así como la deflexión en m. El punto m se ubica a 3m del punto (a). b 30T a
+ c EI=Constante
4m
2m
24
30T
20T
10T 40 EI 30 EI
M EI
3m a
∆
c
´ ∆
Considerando que las pendientes son pequeñas:
Así:
Aplicando el segundo teorema de área de momentos.
[40 ∗ 42 ∗2 43][40 ∗ 22 ∗ 23 ∗2]
25
320 Por lo tanto:
6 320 6 Del dibujo de la elástica, tenemos:
∆ Aplicando el primer teorema del área de momento
∆ 30 ∗ 32 45 Así:
45 8.33 320 6 Del dibujo de la elástica deducimos que.
3 ´ Aplicando el segundo teorema del área de momentos.
´ 30 ∗ 32 1 45 Finalmente tenemos
45 115 3320 6
26
1.4 Método de la Viga Conjugada.
Fundamento teórico: Derivando cuatro veces la ecuación de la elástica: EI y=Deformación (ordenada de la elástica)
= pendiente EI = Momento = M EI = Fuerza Cortante = V EI = Carga = q EI
La relación entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarse el método de área de momentos para determinar el momento flector, partiendo del diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las ordenadas a partir del diagrama de momentos. La analogía entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que éstas últimas se puedan establecer con los métodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hay que suponer que la viga está cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama de M/EI correspondiente a dichas cargas .
27
Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se corresponden con la pendiente y la ordenada de la elástica en los mismos puntos de la viga inicial. A este método se le denomina Método de la Viga Conjugada. Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:
Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia. Ordenada real = Momento Flector Ficticio.
Por lo anterior podemos concluir: 1. El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección. 2. El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección. 3. Planteamiento del método de la viga conjugada. Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas de momentos de las cargas reales dadas. La figura muestra un ejemplo de este tipo de viga
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P
a
b
VIGA REAL
M/EI
a
b
VIGA CONJUGADA
Relaciones entre la viga real y la viga conjugada: a. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. b. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real entre EI. c. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo punto de la viga real. d. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. e. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. f. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada. g. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado. h. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación en la viga conjugada.
Relaciones entre los apoyos de la viga real y de la viga conjugada 29
VIGA REAL 1.-
VIGA CONJUGADA
Apoyo
Simple 1.-
Apoyo
NOTAS
Simple Un apoyo simple real no tiene flecha pero si tiene pendiente y por tanto el conjugado
no
tiene
momento pero si tiene cortante; equivale a un apoyo simple. 2.-
Apoyo
Empotrado 2.-
Sin
Apoyo
Libre Un apoyo empotrado no tiene flecha ni pendiente y por tanto, el conjugado no tiene momento ni cortante; equivale a un voladizo.
3.-Voladizo
3.-
Apoyo
Empotrado El extremo libre tiene pendiente y flecha y por tanto el conjugado tiene cortante
y
momento
equivalente
a
un
empotramiento. 4.- Apoyo Interior
4.-Apoyo Pasador
Articulado
o Un apoyo interior tiene pendiente pero no tiene flecha y por tanto tiene cortante pero no tiene momento; equivale a una articulación.
30
Concluyendo a continuación se muestra un cuadro en el que se muestra la equivalencia entre la viga real y la viga conjugada:
VIGA REAL
VIGA CONJUGADA
Momento M
Carga M/EI
Ángulo
Cortante Q’
Flecha y
Momento M’
El diagrama de momentos flexionante equivale a la carga aplicada en la viga conjugada. Si queremos obtener la pendiente o giro en cualquier punto de la viga real solo tenemos que calcular el cortante de la viga conjugada en dicho punto, en forma similar para obtener la flecha en cualquier punto de la viga real, basta con calcular el valor del momento flexionante en la viga conjugada.
Ejemplo 1.7 Utilizando el método de la viga conjugada, calcula la pendiente en a y la deflexión máxima. 6t b
a c 4m
4m
+
31
Solución:
3 Diagrama de momento flexionante
12 Viga conjugada
Por simetría:
1 24 12×8 ∙ 2 2 La pendiente en a en la viga real es igual a la constante en a de la viga conjugada, por lo tanto:
24 La flecha máxima en la viga real es igual al valor del momento flexionante en el centro del claro de la viga conjugada:
24 × 4 12 ∙ 42 ∙ 43 64
32
Entonces la deflexión máxima en la viga es:
á 64 Ejemplo 1.8 Mediante el método de la viga conjugada calcular la deflexión máxima y el sentido de la misma 20T-m a
+
20T-m
c
2m
b
d
4m
3m
0 20200 0 Diagrama de Momento Flexionante
33
Viga conjugada
0 20 ×4×4 × 9 0 35.56 0 20 ×4 35.56 44.44 0 el momento es máximo, por lo tanto 0 2〉 0 44.44 20〈2 2≤6 4.21
Sabemos que cuando
Ecuación de momento
44. 4 4 20〈2〉 2
34
Sustituyendo x=4.21
138.25 Debido a que el momento es positivo la carga en la viga co njugada es hacia arriba, por lo que el sentido de la deflexión es hacia abajo.
Ejemplo 1.9 Determinar la deflexión en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura, empleada el método de la viga conjugada.
+
2900 5800 2×10 / Solución:
686 2 10
35
Diagrama de Momentos Flexionantes
+
43 2
Viga conjugada
36 1 3.6
1.8
36 2 1.8
Cargas equivalente sobre la viga conjugada tenemos que
22
3.6
2
364.826.48 100.44
36
La deflexión al centro del claro en la viga real es igual al momento en dicho punto en la viga conjugada.
100.44 ∗5.4[64.8 3.36 1.8][64.8 1.8∗0.90]6.48 ∗ 1.28 ∗ 1.38 239. 5 Sustituyendo los valores de (I) y (E).
239. 5 10 á 2102900 4.13 Actividades complementarias para el alumno
Hacer una investigación de los diferente tipos de estructuras que se utilizan en edificación de obra civil, identificando las partes que las componen y materiales que se emplean para construirlas
Realizar un resumen de los métodos vistos en este capítulo.
Resolver ejercicios extraclase.
37
2. ANÁLISIS DE CABLES Y ARCOS
COMPETENCIA
Comprender el comportamiento y como se determinan las fuerzas que actúan en los cables.
Resolver problemas de estructuras que utilicen cables, determinando las fuerzas en los mismos.
Comprender el comportamiento de los arcos.
Resolver problemas construyendo diagramas de elementos mecánicos en arcos de tres articulaciones.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Resolver ejercicios de estructuras en las cuales se empleen cables para la estabilidad de la misma.
Discutir en clase la diferencia entre el comportamiento de un cable y un arco.
Resolver problemas de arcos de tres articulaciones, formando grupos pequeños para obtener los elementos mecánicos que actúan en ellos, así como la construcción de los diagramas.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de entender cómo se comportan las diferentes estructuras en las que se empleen cables y arcos.
38
El alumno será capaz de entender la ventaja de utilizar arcos con tres articulaciones.
El alumno desarrollará la habilidad para resolver problemas de análisis de cables y arcos de tres articulaciones.
39
2.1 Ecuación general de cables
Introducción.- Los cables son elementos estructurales lineales, es decir las dimensiones de su sección son muy pequeñas comparadas con su longitud. Tienen la característica de ser sumamente flexibles. Razón por la cual para su estudio no se considera su resistencia a flexión y se los diseña para soportar cargas axiales, con esfuerzos únicamente de tensión. Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio adaptando su forma a la del funicular de cargas. El estudio estático de estos sistemas se reduce al estudio de la curva funicular.
Formas de los cables.- Debido que la forma del cable depende de las cargas que actúen en él, para estudiar la forma de un cable debemos distinguir diferentes acciones que lo solicitan. En general los cables se encuentran sometidos principalmente a: - cargas concentradas en diferentes puntos de su extensión - cargas verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero de un
puente colgante)
- cargas verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio del cable) Cuando un cable sujeto en sus extremos es sometido a cargas concentradas adopta una forma poligonal:
40
Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su forma es parabólica:
Mientras que si está sometido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de longitud del mismo, toma la forma de catenaria:
Determinación de las reacciones de vínculo: Entenderemos como vínculo la condición impuesta a un punto de permanecer inmóvil o describir una determinada trayectoria, la forma de realizar los vínculos en la práctica es mediante los apoyos (materialización física de los vínculos). A continuación se desarrollará la resolución de sistemas planos de cables bajo los tipos de cargas más frecuentes.
41
Para su estudio se adoptaran las siguientes hipótesis: 1. Sección despreciable. Se considera que el cable posee una dimensión predominante mucho mayor que los otras dos, por lo que puede ser idealizado según una línea, sin sección transversal. Tan sólo será necesario considerar su sección a efecto de calcular su peso propio en función de la densidad del material que lo compone. 2. Flexibilidad perfecta. El cable no resiste esfuerzos de flexión, y por lo tanto tampoco de corte. Tan sólo resiste esfuerzos axiales 3. Inextensibilidad. Cuando está sometido a tracción, el cable es lo suficientemente rígido (en dirección longitudinal) como para que se pueda despreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a compresión, el cable no ofrece resistencia alguna y se deforma completamente.
Cables sometidos a fuerzas concentradas en diferentes puntos de su extensión: Caso general: Fuerzas aplicadas con componentes horizontales y verticales. En el caso general de un cable sometido a cargas de direcciones arbitrarias, los puntos de aplicación de las mismas o vértices de la poligonal se desplazarán vertical y horizontalmente hasta alcanzan el equilibrio del sistema. Por la hipótesis de inextensibilidad que hemos adoptado, el corrimiento de cada uno de los vértices estará condicionado por el desplazamiento que experimentan el resto de los vértices, puesto que la distancia entre los mismos debe mantenerse invariante.
42
Esquema de estudio:
Incógnitas: De cada uno de los tramos rectos del cable se desconoce la tensión actuante en él y su orientación. Si consideramos que actúan un número “n” de cargas, tendremos “n+1” tramos rectos y por consiguiente “2n+2” incógni tas.
Ecuaciones: En cada uno de los puntos de aplicación de cargas se pueden plantear dos ecuaciones para garantizar el equilibrio nodal de fuerzas (“2n” ecuaciones). Se
completa el sistema con dos ecuaciones que aseguren que la deformación de l cable se compatible con las condiciones de vínculo impuestas.
43
Planteo del sistema de ecuaciones Ecuaciones de equilibrio en cada nodo:
0cos cos++
0sin sin+ +
Ecuaciones de compatibilización de deformaciones
44
+
+
= +
= +
=
=
cos sin La resolución de este sistema de ecuaciones nos permitirá conocer las tensiones que actúan en cada uno de los tramos del cable y la forma del mismo en el estado de equilibrio. El sistema sin embargo presenta una gran complejidad y requiere del uso de métodos computacionales para su resolución, dado que no es lineal y al mismo tiempo parte de las incógnitas están afectadas por funciones trigonométricas. Si bien las estructuras formadas con cables sometidos a cargas concentradas presentan en general componentes de fuerzas horizontales, un número muy importante de sistemas se encuentran bajo la acción de cargas concentradas predominantemente verticales. El estudio de estos casos presenta ciertas particularidades respecto al planteo que hemos realizado. En principio en muchos de estos modelos se consideran invariantes las distancias horizontales entre cargas en vez de las distancias entre puntos de aplicación de fuerzas. De esta manera para conocer la forma final del cable basta con conocer solamente las deflexiones o flechas de los puntos de aplicación de las cargas. Al mismo tiempo, queda libre la posibilidad de plantear la ecuación geométrica en términos de la flecha que experimenta algún punto del cable, en vez de hacerlo en función de su longitud. Esta posibilidad permite construir sistemas de ecuaciones de mayor simplicidad de resolución.
45
A continuación se procede a analizar estos casos:
1.a Caso particular. Cables sometidos a fuerzas concentradas verticales. Consideremos el caso de un cable sujetado en los puntos A y B, no ne cesariamente ubicados a la misma altura, sobre el que actúa un sistema de cargas verticales P1, P2,..Pn.
Para que el sistema se encuentre en equilibrio, la sumatoria de fuerzas horizontales debe ser nula. Como todas las cargas son verticales, entonces las componentes horizontales de las reacciones de vínculo externo deberán ser iguales y de sentidos opuestos.
46
0 0 Si ahora cortamos el cable en un punto cualquiera “C” y ponemos en evidencia las
componentes de la tensión que actúa en el mismo, del planteo de la misma ecuación de equilibrio surge:
0 0
Entonces resulta, Ra=Rb=Tx=H, donde H es una constante cuya magnitud representa la componente horizontal de la tensión actuante en cualquier punto del cable. Sea la siguiente nomenclatura, MB = suma de los momentos respecto al punto B de todas las cargas Pi
n MC = suma de momentos respecto al punto C del cable de todas las cargas Pi
que
n
actúan a su izquierda
47
Tomando momentos respecto al punto extremo B de todas las fuerzas que actúan sobre el cable obtenemos: H L tan Ray L M B = 0 n De donde podemos despejar el valor de la reacción de vínculo vertical en A.
∑
Ahora tomando momentos respecto al punto arbitrario C, de todas las fuerzas que actúan en la parte del cable a la izquierda de C obtenemos: H(x tan - y c) + Ray x - MC = 0 n
Reemplazando el valor de Ray, y simplificando se obtiene: H yC L = x/L MB MC n
n
En el primer miembro tenemos a la constante H por la distancia vertical desde el punto C del cable a la cuerda AB. El segundo miembro de la ecuación es igual al momento flector que se produciría en C si se aplicaran las cargas Pi en una viga apoyada en sus extremos de luz L, y C fuese un punto de esta viga imaginaria, situado a una distancia x del apoyo izquierdo. De esta expresión se deduce el siguiente teorema general del cable: “En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión que soporta el cable por la distancia vertical desde ese punto a la cuerda, es igual al momento flector que se produciría en esa sección si las cargas que soporta el cable actuasen sobre una viga apoy ada en sus extremos, de la misma luz que él.”
48
49
1.b Cables uniformemente cargados por unidad horizontal de longitud. Los cables son muy utilizados para soportar el peso de las losas o trabes de puentes con claros muy amplios. Un puente colgante es un ejemplo típico en el que la cubierta del puente está suspendida del cable por medio de sujetadores esp aciados de manera uniforme.
Planteo de las ecuaciones de equilibrio
Ecuación de proyección horizontal de fuerzas: Fx = 0 = -T cos (T + T) cos
n Ecuación de proyección vertical de fuerzas Fy = 0 = -T sin (T + T)×sin - w dx
n
50
Ecuación de momentos M = 0 = w dx (dx/2) – T cos dy T sin dx
n Si se divide cada una de estas ecuaciones entre dx y se toma el límite cuando dx, dy, d y dT tienden a cero, resulta:
0
(2-1)
(2-2)
(2-3)
Al Integrar la ecuación 2-1, donde
cos
en x=0, se tiene:
(2-4)
Lo anterior indica que la componente horizontal de la fuerza en cualquier punto a lo largo del cable se mantiene constante. Si se integra la ecuación la ecuación 2-2, tomando en cuenta que x=0, resulta:
sin
sin 0 en
(2-5)
51
Al dividir la ecuación 2-5 entre la ecuación 2-4 se elimina T. Ahora usando la ecuación 2-3, es posible obtener la pendiente en cualquier punto.
(2-6)
Si se integra por segunda vez con y=0 en x=0, tenemos:
(2-7)
La ecuación anterior es una parábola. La constante condiciones de frontera y=h en x=L.
ℎ
se obtiene estableciendo
(2-8)
Sustituyendo en la ecuación 2.2.7
ℎ
(2-9)
Finalmente de la ecuación (2-4) obtenemos la tensión máxima en el cable que ocurre cuando es máxima; es decir cuando x=L. Por lo tanto a partir de las ecuaciones 2-4 y 2-5.
á √
(2-10)
También es posible de la ecuación 2.2.8 expresar
á 1 ℎ
á en términos de :
(2-11)
52
Hay que destacar que se ha ignorado el peso del cable, el cual es uniforme en toda la longitud del cable y no a lo largo de su proyección horizontal. En realidad, un cable sometido a su propio peso y libre de cualquier otra carga, tomaría la forma de una curva catenaria. Sin embargo, si la relación de flecha sobre claro es pequeña, como en el caso de la mayoría de las aplicaciones estructurales, esta curva se aproxima a una forma parabólica, como se trató anteriormente.
Ejemplo 2.1 Calcular la tensión en cada segmento de cable que se muestra en la figura, así como las reacciones en cada apoyo.
+
Tenemos cuatro reacciones incógnita: Rax, Ray,Rdx, Rdy y tres tensiones desconocidas, una por cada tramo del cable.
53
Solución: Tomando momentos con respecto al apoyo (a) sin involucrar el apoyo (d). ΣMa= 0,
1.2.552 2.25 5.5 62 164 0 1264 5.6 13.57 Equilibrando el nodo c: ΣFx=0
Donde
13.571.2.55 − .32.21 8.14 9.62 cos32. 4
Analizando en nodo b ΣFx=0
9.62cos32.4 0 Donde:
− 2.27453.87 8.14 13.80 cos53. 87 54
Equilibrando cada apoyo: Apoyo a ΣFx=0
13.8053.87 0 8.14 ΣFy=0
13.8053.87 0 11.15 Apoyo b
13.5730.96 0 11.63 ΣFy=0
13.530.960 6.98
55
Respuestas:
13.57 9.62 13.80 8.14 11.15 11.63 6.98 Ejemplo 2.2 Se solicita determinar la tensión del cable que soporta una viga que tiene una carga aplicada de 1.3 t/ml.
x
a
c
12m
b
6m y
15m
15m
56
En este problema el origen de los ejes coordenados se establece en b, que es el punto más bajo del cable, donde la pendiente vale cero. De la ecuación 2-7, la ecuación del cable es:
1. 3 0. 6 5 2 2 Suponiendo que el punto (c) se encuentra a una distancia x, de (b), tenemos:
6 0.65 0.1083 Para el punto a:
12 0.65 30 65 30 12 0.10.083 65 30 12 0.10.083 1.3 30 0.65 2 90060 90060 0
57
Resolviendo la cuadrática:
El valor de
es
12.43 :
0.108312.93 16.72
De la ecuación (2-6)
1.3 0.078 16.62 En el punto a:
3012.43 17.57 0.07817.57 1.37 53.88° Aplicando la ecuación (2-4)
16.72 28.36 53.88 En el punto b:
x=0
0 16.72 16.72 0
58
En el punto c:
12.43 0.07812.43 0.9695 44.11° 16.72 23.29 44.11 2.2 Análisis de arcos de tres articulaciones, cálculo de reacciones, diagramas de elementos mecánicos.
Una definición de arco es la siguiente: “El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir
grandes y pequeños claros, y puede considerarse como uno de los elementos estructurales básicos en todo tipo de arquitectura. La forma ideal de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un estado de compresión simple, pueden hallarse siempre con la forma del polígono funicular correspondiente invertido.”
La palabra funicular refiere a funiculares-cables-tracción. Usamos ahora el término, asociado a arcos, exclusivamente para asociar estos arcos a sus cables simétricos que podrían equilibrar las mismas cargas.
59
El arco triarticulado es una estructura isostática, por lo que es posible resolverla mediante las ecuaciones de equilibrio de la estática, consta de una viga curva con dos apoyos fijos articulados y una tercera articulación en un punto llamado clave. En la figura 2.2.2 puede verse un arco triarticulado donde los apoyos son los puntos a, b y la clave el punto c.
C B
h
A
Figura 2.2.1
Las reacciones en las articulaciones se pueden encontrar aislando los dos elementos ac y cb, como se indica en la figura 2.2.2, tomando momentos respecto de a en el elemento ac, y respecto a b en el elemento cb, se obtiene:
0 0
60
Donde:
Es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entre
A y C, y
Es el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B. Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave c.
Figura 2.2.2
Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y vertical de cada tramo:
61
Esfuerzos internos: Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo ap, donde p es un punto cualquiera situado entre a y b. El origen del sistema de coordenadas se sitúa en a, con lo que las coordenadas de p son x, y, obsérvese la figura 2.2.3. El momento flector M se obtiene tomando momentos respecto de P.
Donde
es el momento respecto de P de las fuerzas exteriores aplicadas entre
A y P. Se considera positivo en sentido antihorario.
Figura 2.2.3
Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fue rzas en las direcciones X e Y:
0 0
62
Donde
, son las resultantes, según X e Y, de las fuerzas exteriores
aplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es:
( ) EJEMPLO 2.3 En la figura 2.2.4 se muestra un arco triarticulado de forma parabólica sujeto a una carga de 750 kg/ml. Calcúlese las reacciones en los apoyos y los diagramas de elementos mecánicos.
2.2.4 La ecuación de la parábola es:
7.5 7.155 225
63
Solución: El diagrama de cuerpo libre de todo el arco se muestra en la siguiente figura.
+
0 30 22.515 0 11.25 Trabajando primero con la parte bc.
+
64
0 11.257.511.25157.5 0 11.25 0 11.25 Definiendo el punto d a x=7.5m del punto b
De la ecuación de la parabóla.
7.5 7.5 7.51.875 225 225 15 225 Sustituyendo para x=1.875m
0.5 radianes
65
Por lo tanto:
26.57° Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el punto d, tenemos:
0 11.25∗26.57∗26.6 0 0 5.63∗26.57 ∗26.57 0 2 De 1 4511.25 0.512.58 0.26. 57 Sustituyendo Nd en 2 5630.512.58∗26.57∗26.57 0 5.630.225.630.890 0 0 5.633.75 11.251.875 0 0
1
66
De los resultados obtenidos nos damos cuenta que el arco está sometido solo a compresión axial, cuyo valor es.
12.58
(Compresión)
El diagrama de fuerzas axiales queda:
Actividades complementarias para el alumno
Hacer una investigación de los diferentes tipos de estructuras en las que se utilizan arcos.
Realizar un resumen de los métodos vistos en este capítulo.
Resolver ejercicios extraclase.
67
3. METODOS ENERGETICOS
COMPETENCIA
Resolver problemas de deflexiones en vigas, marcos y armaduras aplicando métodos energéticos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Formar grupos de trabajo para que los estudiantes a partir de preconcepciones y apoyo del docente se establezca la descripción de los conceptos de fuerza, trabajo y energía.
Construir un mapa de conceptos de trabajo, energía interna de deformación y la relación entre éstos, para elementos sujetos a fuerza axial, cortante y momento flexionante.
A través de un esquema gráfico el alumno deberá indicar los fundamentos de los métodos energéticos para aplicarlos en la solución de problemas.
Resolver ejercicios en el aula formando equipos de pocos integrantes, para obtener desplazamientos lineales y angulares en: vigas estáticamente determinadas, armaduras en un plano y marcos.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de entender y comprender los métodos energéticos para calcular deflexiones.
El alumno deberá adquirir la habilidad para resolver problemas de cálculo de deflexiones en armaduras, vigas y marcos aplicando métodos energéticos.
68
3.1 Introducción. En el capítulo 1 se utilizaron métodos semigráficos para calcular desplazamientos y pendientes. Para estructuras más complicadas como armaduras y marcos es conveniente aplicar los métodos de energía. La mayoría de los métodos de energía se basan en el principio de la conservación de la energía, pero antes de explicar este concepto es conveniente definir los parámetros que debemos tomar en consideración en este capítulo:
Modelo del material. Mientras no digamos lo contrario, supondremos que el material del que está realizada la estructura muestra un comportamiento elástico-lineal hasta la rotura.
Modelos de deformación. Mientras no digamos lo contrario, supondremos que consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones.
69
Principio de superposicion.
70
Energía interna, elástica o de deformación. Supongamos que las cargas aplicadas al solido aumentan, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera positiva. En ese caso el trabajo W rea lizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por lo tanto:
(3.1.1)
Trabajo externo y energía de deformación La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en el
principio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, W e. Coincide con la energía de deformación que almacena dicho sistema U i.
(3.1.2)
Trabajo de una fuerza exterior
Cuando la fuerza F se incrementa desde cero hasta un valor final F=P, la elongación de la Barra resulta ser :
2 .∆ 12
71
El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las direcciones de la las mismas, por supuesto).
Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que: Donde se digiera fuerza se debería decir momento Donde se digiera desplazamiento se debería decir giro. Donde se expresara trabajo (W =Fd , en el caso de fuerzas) se
debería escribir W=M.
72
Ejemplos:
12 .
12 .
73
12 |⃗| 12 |⃗| Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producen trabajo, pues la sección sobre la que actúan no sufre movimientos.
74
La energía de deformación causada por los diferentes tipos de elementos mecánicos que se pueden presentar en la estructura se deduce a continuación:
Deformación de una rebanada por esfuerzo axial
75
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axial?
1 1 2 . 2
76
La hipótesis de Navier (flexión) Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes de deformarse la pieza, sigue permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado. Deformacion de una rebanada por momento flexionante
2′ 2 2 2 (Compresión)
(Tracción)
77
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento flexionante?
1 1 2 . 2
78
Deformación de una rebanada por esfuerzo cortante
21
|
El área a cortante escribir como:
depende de la geometría de la sección y, en general, se puede
=
/k. Para el caso de una sección rectangular K=6/5 (para el caso
de una sección circular, por ejemplo, K=10/9)
79
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante?
1 1 2 . 2
80
|
|
Deformación de una rebanada por momento de torsión
81
¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento de torsión?
1 1 2 . 2
82
En resumen:
Axial:
.
Flexion:
.
Cortante:
.
Torsión
.
83
¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?
1 2
3.3.3
La variable “s” del integrado indica que los esfuerzos pueden variar a lo la rgo de la
pieza en función del valor de dicha variables.
84
3.2 Trabajo real Definición de trabajo Es la cantidad escalar de fuerza que se emplea para desplazar una partícula o un cuerpo. Es el producto de la fuerza por la distancia que recorre en la misma dirección del movimiento.
Trabajo=Fuerza X Distancia
W=Fd cos ϴ
Energía La energía es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo. Todos los cuerpos por el hecho de estar formados de materia contienen energía almacenada en sus moléculas. Al moverse un cuerpo, se emplea una parte de la energía contenida por el cuerpo cuando interviene la acción de una fuerza.
El trabajo es la transferencia de energía de una entidad hacia otra a través de la fuerza aplicada en una trayectoria.
Cuando un cuerpo realiza un trabajo, la pérdida de energía del cuerpo es igual al trabajo efectuado.
Toda materia sufre cambios constantes continuamente, y para que la materia pueda transformarse, requiere de energía en alguna de sus manifestaciones. 85
Mecánica Formas de Energía
Energía Potencial Energía Cinética Radiante, luminosa,
Química
eléctrica, hidráulica, eólica, calorífica
Energía Potencial Es la energía que un cuerpo posee en función de su posición estando en reposo, pero en potencia para realizar un trabajo. Es el producto del peso de un cuerpo por la altura a la que se encuentra suspendido en un plano de referencia,
Energía Cinética La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad.
86
Energía Potencial Energía Cinética Trabajo
EPmghWh EC 2 ( ) W ⃗ ∙⃗
Teorema del TRABAJO-ENERGÍA La energía total de un cuerpo, al estar en reposo, no puede ser otra más que su energía potencial, y al moverse, una parte de su energía interna es convertida en energía cinética, al transferirla a todas sus partes. El trabajo efectuado no es precisamente el cambio de energía potencial a cinética en un instante en que ocurre el movimiento. ENERGÍA TOTAL = EP+ EC
87
Ley de la conservación de la energía “La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma”. “Materia y energía son dos aspectos de una misma realidad”.
Esta ley implica que la masa puede considerarse como forma de energía pero, por lo general, puede ignorarse en que la materia, de alguna manera de hecho, se transforma en energía y viceversa. Materia “Materia es todo en cuanto existe en el Universo”.
Toda la materia está constituida por partículas elementales agrupadas en átomos y moléculas. La suma total de materia y energía es una cantidad constante en el Universo. Introducción a los métodos de energía en estructuras Muchas fuerzas que se estudian en la estática no ejecutan trabajo alguno, por lo general, son fuerzas aplicadas en puntos fijos y que actúan en dirección perpendicular al desplazamiento.
, 0
0
88
Las fuerzas que producen un trabajo son las que prec isamente actúan en un cuerpo en movimiento, y el peso propio del cuerpo. En un sistema de fuerzas, la suma total de los trabajos ejercidos por cada una de las fuerzas debe ser igual a cero, al lograrse el equilibrio del cuerpo o partícula en cuestión.
Sin embargo en el equilibrio de fuerzas en partes donde deben ocurrir movimientos, libres de fricción, se da lugar a pequeños desplazamientos o deformaciones en los nudos, cuyas longitudes para cada fuerza del sistema, deben de sumar cero. Una deformación es un cambio de longitud, y en estructuras con articulaciones viene acompañada de un desplazamiento de los nudos interconectados cuando el material sufre dicho cambio. Para estructuras elásticas o de comportamiento elástico, la curva de esfuerzodeformación unitaria es la misma para cargas que para descargas. De ahí que se puedan determinar los esfuerzos cuando el material está trabajando en el rango elástico.
89
Para determinar el trabajo realizado por la deformación en un miembro se define primero: Fi = Fuerza aplicada gradualmente a una estructura, tal que su energía es cero. Di = Deformación resultando en dirección de la fuerza.
Para incrementos pequeños se carga el trabajo externo total es igual al área bajo la curva Fuerza-Deformación.
12 Para n cargas y n deformaciones correspondientes: 90
1 2 =
El trabajo hecho por un grupo de cargas externas es igual a la energía elástica almacenada en la estructura. La ley de la conservación de la Energía dice que la energía se transforma de una cantidad a otra, y esto se aplica tanto a las fuerzas externas (cargas) como a las internas (en la estructura). Para aplicar esta ley en las siguientes deducciones, es pertinente hacer las siguientes suposiciones o hipótesis:
Las fuerzas internas y externas del sistema de fuerzas están en equilibrio.
El límite de proporcionalidad elástica del material no se debe exceder (Ley de Hooke).
Los apoyos no tienen movimiento.
91
3.3 Trabajo virtual
Principio de Bernoulli de desplazamientos virtuales Si en un sistema de fuerzas q que actúan sobre un cuerpo rígido está en equilibrio y permanece en tal estado cuando el cuerpo sufre un desplazamiento virtual pequeño cualquiera, el trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas es igual a cero.
Supongamos que un pequeño cuerpo, como en la figura, sufre una ligera vibración por alguna causa ajena al sistema de fuerzas Q. Un pequeño cambio de la forma en el elemento provocaría el recorrido de todo el sistema de fuerzas Q, se le llamaría “Deformación Virtual”.
De acuerdo a lo anterior se establece que
0 → Trabajo Externo
Trabajo Virtual Interno
El método del trabajo virtual también es conocido como el método de carga unitaria ficticia. 92
Trabajo Virtual Externo
∙
(Fuerza) (Deformación)
Para un sistema de fuerzas Q
… =
Deflexiones en armaduras logradas en el trabajo Virtual para escribir una expres ión del trabajo interno efectuado en la barra de una armadura, consideramos la siguiente figura:
93
Deformación de la barra Trabajo virtual local de la barra ∙ Esfuerzo Axial en la barra
Ley del trabajo virtual Si un cuerpo en equilibrio, bajo un sistema de fuerzas R, permanece en ese estado cuando se somete a una pequeña deformación virtual el trabajo virtual exterior
) actuando sobre el cuerpo es igual al trabajo Virtual interior de deformación realizado por las fuerzas internas ( ). realizado por cargas externas (
94
Trabajo Real externo
Trabajo Virtual Interno
Aplicación del trabajo virtual a armaduras Supongamos que se quiere calcular el desplazamiento vertical en el nodo G. Eligiendo como sistemas de cargas Q una carga unitaria tenemos, de acuerdo a la Ley de Hooke del trabajo Virtual.
∙ ≠ ∙
Sistema Real F P
95
Carga Unitaria Ficticia
Sistema Virtual F Q
96
Deformación Horizontal
Deformación Vertical
1 [ ] 1 [ ]
3.3.4
Donde:
Trabajo Virtual realizado por las reacciones Pero como 0 1 ∑ Fuerzas Virtuales ∑ Fuerzas Reales Para simplificar las numerosas multiplicaciones, emplearemos la siguiente tabla: Barra
L
A
L/A
FQ
FP
FQ FP (L / A)
(m)
(cm2)
(m / cm 2)
(T)
(T)
(T2m / cm 2)
A-B B-C C-D D-E A-F B-F
97
Ejemplo 3.1 Calcular la deformación en el punto C de la armadura que se ilustra en la figura. Considérese
2×10/
Fuerzas internas en el sistema Física o Real Nodo A Sección I
98
0 ̅ ̅̅ ̅45°0 45° 0 15̅ 45°0 ̅ 0.15 7071 21.23 ̅ 21.230.7011 15
̅ 21. 21.23 ̅ 15
Sección II
̅ 7.07 ̅ 20
∑ 0 ̅ 150 ̅ 1515 ∑ 0 1510̅ 0 ̅ 5 ̅ 15 ̅ 5 ∑ 0 ̅ ̅45°̅ 0 ̅ 15 ̅45° ̅ 45°15100 ∑ 0 5 7.077.07 ̅ 45° ̅ 157.071 15520 99
Sección III
0 151010̅ 45° ̅ ̅ 1520520200 ̅ 0 Fuerzas internas en el sistema Virtual
Sesión I
̅ ̅ 0 ̅ 45° ̅ ̅ 0.5 ∑ 0 ̅ ̅ 0.5 ̅45°0.5 ∑ 0 ̅ 0.50 ̅ .−. 0.7071 ̅ 0.5 ̅ 0.5
100
Sección II
̅ 45°0 0 0.5 5 0.70717071 ̅ 0.70.071 ̅ 45°̅ 0 0 0.5 ̅ 0.50.70710.7071 0.50.51 Sección III
̅ 45°̅ 0 0.5 0 ̅ 0.50.7071 1 ̅ 1 Resumen de fuerzas internas del sistema real:
101
Resumen de fuerzas internas del sistema virtual:
Utilizando la tabla propuesta anteriormente: Barra A-B A-F F-B B-C B-G F-G C-G G-H G-D C-D H-D H-E D-E
L
A
L/A
(m)
(cm2)
(m/cm2) (T) (T) 0.10 15.00 +0.50 0.21 -.21.27 -0.707 0.30 5.00 +0.50 0.10 20.00 +1.00 0.21 -7.07 -0.707 0.10 -15.00 -0.50 0.60 0.00 +1.00 0.10 -15.00 -0.5’ 0.21 -7.07 -7.07 0.10 20.00 +1.00 0.30 5.00 +0.50 0.21 -21.27 -0.707 0.10 15.00 +0.50 ∑
3 4.242 3 3 4.242 3 3 3 4.242 3 3 4.242 3
30 20 10 30 20 30 5 30 20 30 10 20 30
FQ
FR
FQFR (L/A) (Tm/cm2) 0.75 3.19 0.75 2.00 1.06 0.75 0 0.75 1.06 2.00 0.75 3.19 0.75 17.00
Deformación por trabajo virtual en el punto C
[ ] 1 [ ] /171/1 2×10/ 102
1 17 − 2×10 [ ]0.5×10 17 8.5×10−8.5×10− ×108.5×10− 8.5 Ejemplo 3.2 Calcular la deformación en el punto D de la siguiente armadura en voladizo
Momento equivalente M A=-9T(3m)-9T(6m)-9T(9m)
∙ 162∙ 6 0 162∙ 6 27 0 27 270 27 M A=-9T(3m+6m+9m))-162T m
0 0 0
103
Análisis del sistema real
̅ 33.7°̅ 0 ̅ ̅ 0.832 ∑ 0 ̅ 33.7°90 ̅ 0.9554 16.22 0 ̅ 16.220.832 13.5 ̅ 16.22 ̅ 13.50 ̅ 270 0 ̅53.13° ̅ 0 0 ̅53.13° .1 ̅ 27̅0.6 .2 ̅ 0.8̅ ∑ 0 27̅33.7°0 ̅ 0.27 832 32.45 0 ̅ ̅33.7270 ̅ 2732.450.5547 27189 .2 ̅ 1.25̅ 1.259 11.25 .1 ̅ 2711.250.6 20.25 0 ̅33.7°̅53.13°̅33.7°0
450.832 32.458.1124.34 ̅ 11.250.60.32. 832
0 ̅33.7°̅53.13°̅ 0 ̅ 32.450.554811.250.80 18927 104
̅ 33.7°̅ 0 ∑ 0 ̅33.7° ̅ 24.3433.7° ̅ Cos33.7° ̅ ̅ 24.340.832 ̅33.7° ̅ 33.7°180 54818 13.518 ̅ 24.340.0.55548 0.5548 ̅ 8.118.11 ̅ 8.1124.340.832 ̅ 13.513.5 0 ̅ 1816.2233.7° 0 ̅ 1899 Análisis del sistema virtual:
∑ 0 0 0 10 1 0 91 6 0 9 6 1.50 1.00 33.69° ≈ 519 1.50 33.69°≈516
105
∑ 0 ̅33.61°1.500 ̅ 1.50651.80 1.802775 ̅ 0 0 1 ̅33.69° ̅ 11.805/9110 ̅ 11.8027750.5547110 ̅ Sección (I) ∑ 0 1.51.51.8033.69° ̅ 1.805/6̅ ̅5353.13°0 0 1̅33.69°̅ 53.13°0 ̅ 1.501.50 ̅ 0 ̅ 33.69°0 ∑ 0 ̅ 33.69° ̅ ̅ 1.80 0 1.8033.69°1.8033.69°̅ 0 ̅ 0 Nodo E
Sección (II)
̅ 56̅ 0 0 1.80 516 ̅ 5/6 ̅ 1.80 0 1.805/9̅5/910 ̅ 5/910 ̅ 0 1 ̅ 1.8005/6 1.501.50
106
Sección (III)
̅ 110 ̅ 0
̅ 5/6 0 ̅ ̅ 5/61.50 0 ̅ 1.80 0 ̅1.805/9 1 0
̅ 1.805/60 0 ̅ 1.50
Resumen de las fuerzas obtenidas de los dos sistemas:
107
Cálculo de la deformación: Barra A-B B-C C-D E-F F-G G-D A-E A-F B-F B-G C-G
L (m)
A (cm2) 3.00 3.00 3.00 3.605 3.605 3.605 6.00 5.00 4.005 3.605 2.00
40 40 40 40 40 40 15 30 10 20 10
L/A FQ FP FQ FP(L/A) 2) (m/ cm (T) (1) (Tm/ cm2) 0.075 -20.25 -1.50 2.278 0.075 -13.50 -1.50 1.518 0.075 -13.50 -1.50 1.518 0.090 32.45 1.80 5.256 0.090 24.34 1.80 3.943 0.090 16.22 1.80 2.627 0.40 9.00 0 0 0.166 -11.25 0 0 0.40 27.00 0 0 0.18025 -8.11 0 0 0.20 -9.00 0 0
0
17.14
∑ 1 ∑ 2×101/ 17.1411 8.571×10− 8.571
108
Defelxión en vigas y marcos mediante el método del trabajo virtual
Sección longitudinal
Sección transversal
En una viga que trabaja a flexión se puede desarrollar un trabajo interno en cualquier posición dx a lo largo del claro. Pero, para determinarlo, se tienen que definir cuales son los esfuerzos de flexión para el sistema de cargas reales y para el sistema de carga unitaria virtual. En la figura de debajo de ilustran los diagra mas de momentos flexionantes para un sisatema real y un sistema virtual.
M(x) = Momento debidoa a las cargas externas m(x) = Momento debido a la carga unitaria ficticia El esfuerzo es un área diferencial de la sección transversal para las cargas externas y para la carga ficticia unitaria son:
109
Momento M(X) del sistema real
Momento m (X) del sistema virtual
Al área d A correponde en la longitud diferencial dx una pequeña deformación dx cuando las cargas externas se reintroducen a la viga en el sistema virtual. La deformación unitaria en la longitud dx es
∙ ∙ Debido a la carga unitaria ficticia, la fuerza total en deformación, y el trabajo que realiza es:
se desplza según esa
∙ ∬ 1 ∬ 1 [] 1 Momento de Inercia de la sección
110
El trabajo virtual interno realizado a lo largo de la viga de claro L es:
1 1∙ Por tanto la deformación por flexión causado por la carga ficticia es:
1
3.3.1
La pendiente a la tangente de la cuerva elástica, para cualquier rotación en un pu nto a lo largo de L, la carga que se aplica en un momento unitario ficticio, en unidades
∙
de fuerza longitud. longitud.
1
3.3.2
111
Procedimiento para el cálculo de desplazamientos en vigas y marcos 1. Se obtienen las ecuaciones, una vez estudiadas las solicitaciones para M(x) en sistema real, y m(x) en sistema virtual.
2. Se establecen los intervalos adecuados para cada función por separado a lo largo del recorrido de x, pudiéndose presentarse traslapes entre funciones. 3. Si se emplean ecuaciones de singularidad se despeja la función en los intervalos en que se archivan los términos y se reescriben las funciones adecuadas solo para ese intervalo. 4. Para facilitar la solución se puede emplear una tabla estableciendo las columnas los siguientes datos: intervalo, M(x), m(x) y el producto M(x) m(x).
〈 〉
∙
Intervalo
M(x)
∙
m(x)
M(x) m(x)
0, , , ∙
5. Se integran los elementos de la columna M(x) m(x) definidos en sus respectivo intervalos.
112
Ejemplo 3.3 Obtener la expresión para calcular la deflexión al centro del claro de la viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida a lo largo de la misma.
Sistema real: Carga Total W=wL
0 0 2 0
Ecuación de momento del sistema real
2 ∙2 2 ∙ ′2
Para
0≤≤ 113
Sistema Virtual
∑ 0 1 ∑ 0 1 0 Momentos del sistema Virtual
12 1〈 2〉 Para el intervalo 0, /2 12 Para el intervalo /2, 12 2 2 12
Intervalo
M(x)
0 ≤ ≤ 2 2 2 ≤ ≤ 2 2 2
m(x)
2̅
2 2
M(x)ˑm(x)
4 4 4 4 2 4
1 2 2 2 4 4 0, 114
2 , Energía total del sistema de cargas p y q
1 1 / 4 4 4 3 4 4 2 4 / 2 2
4 2 3 4 1 5 4 3 8 4 16 4 24 64 768
2 2 2 1 4 2 3 4 2 4 3 4 3 8 4 16 1 2 1 1 1 1 5 4 [2 3 4 8 12 64] 4 ∙ 192 5 168 5 1 1 2. 5 ∙ 168 384 Otra forma de resolver el problema es considerar la simetría de la viga y viendo el recorrido desde los apoyos de la izquierda y de la derecha son idénticos, se simplifica la operación.
115
Energía de Deformación
2 2 4 Para 0,/2 / / / 1 1 2 2 5 2 3 4 2 3 8 416 2 ∙ 192 5 384 Ejemplo 3.4 Utilizando la viga del ejemplo anterior, calcule el giro en el punto A. Aplicando un momento virtual unitario en el apoyo A.
116
Momento en el Sistema Virtual
Para todo intervalo
0,
1 11
Energía de deformación
2 [1 ] 2 2 × 2 2 3 4 2 1 2 2 3 4 2 ∙ 12 Finalmente, obtenemos:
24 117
Ejemplo 3.5 Calcular la deformación vertical al centro del claro de la siguiente viga. EI = Constante
0 2 2 Ecuación de momentos de flexión del sistema real Para todo el tramo:
0≤≤/2 /2∙ 118
Sistema Virtual Similar al Sistema Real
12
0≤≤/2
0≤≤/2 2 / 22 2 3 6 8 48 2∙ 2 2 12 2 Deformación
119
Ejemplo 3.6 Calcular la deformación vertical en el extremo del volado de la viga que se muestra en la siguiente fifura.
2 × , 1.67× 10−
0 36 0 18 0 ↑ 183 0 54∙ Momento en el sistema Real 541832 0 1.5 1854 ∙ 1.5 1236 ∙ 1.56
120
Momento en el Sistema Virtual
61 6 ∙ Energía Total 0 ≤ ≤ 6 ∙ 1.566 ∙ 1.56 Deformación Total en B
1 1∙
2×10/1.67×10− 3.34/ ×100 3.34×10 3.34×10 1∙ − 3.34×10− 0.299×10 0.3×10− 0.3×10− ×1000.3×10−3×10− 3 6 3 06 1.5 6 66 2 4 8 38 36 38 ∙1296486 1 1.56 486 486×3×10−1458×10− 1.458
121
Ejemplo 3.7
/ 2×10 , 0.5×10−
Calcular la deformación vertical en el extremo B de la viga.
0 94.50 13.5 0 93 456 0 27∙27∙54∙
Momento en el sistema real
5413.59〈3〉 0≤≤3 5413.513.554 Para 3≤≤6 5413.5.9224.527 Para
Sistema Virtual:
∑ 0 10 1 0 16 0 6∙ 61 6 0 ≤ ≤ 6 122
Energía de Deformación
0≤≤3 3≤≤6 1 1 Intervalo
M(x)
m(x)
0 ≤ ≤ 3 13.554 6 3 ≤ ≤ 6 4.56 6
M(x)ˑm(x)
13.5 135324 4.56
13.5546 13.5 5482324 10 2× 0.5×10− ×10 1 1 1 13.5 135324 4.56 1 4.5 67.5 324 1.5 1 6 1.5 1 33 453 216366 36 1.5 1 81405648270 526. 5 526.5×10− 5.26 123
Ejemplo 3.8 Calcular la deformación vertical en el extremo de la viga con apoyos simples articulados que se ilustra a continuación:
2×10/, 0.945
0 13.5270 0 13.5 0 13.53 274.5 9 0 5 18 40.5121. 9 40.51822.5 22.513.5〈3〉 32 22.51.5 13.5〈3〉 Para 0≤≤3 22.51.5 22.51.5 13.540.5 Para 3≤≤9 91.5 40.5 124
Sistema Virtual
Energía de Deformación
0 13 9 0 1 ∙ 3 9 1 3 2 ∙ 1 1 1 3 3 2 3 1〈3〉 Para 0≤≤3 Para 3≤≤9 3 Intervalo M(x) m(x) 2 0 ≤ ≤ 3 22.51.5 15 3 1 3 ≤ ≤ 6 1.5 940.5 3 0.5 1.5 13.5121.5 3 15 940.5 13 3 12 3 13.54.5 27121.5 0.5 7.5 13.5121.5 15 5 4 0.5 7.5 13.5121.5 0.125 2.5 6.75 121.5 0.125 2.5 6.75 121.5 10 2× 0.945 1.89×10 M(x)ˑm(x)
125
1 1 1 5 4 0.125 2.5 6.75 121.5 1 3 53 4 1 0.1259 32.59 36.759 3121.593 1 13520.25 0.125 6480 2.5702 6.7572 121.56 1 114.758101755486729 384.75 384.75 384.750.53×10− ×10 2.004×10− cm. Ejemplo 3.9 Del marco rígido que se muestra en la figura calcule la deflexión bajo la carga concentrada de 13.5T Considere:
2×10/
0 9 0 9 0 93 13.53 60 126
67.65 11.25 0 11.2513.50 13.511.252.25 Sistema real
〈 3〉 9 999〈 3〉 Para 0 ≤ ≤ 3 9 Para 3 ≤ ≤ 6 9 9 27 27 Recorrido desde A hacia arriba
963 2.25 13.5〈 3〉 272.25 13.5〈 3〉 Para 0 ≤ ≤ 3 2.25 27 Para 3 ≤ ≤ 6 67.511.25 Recorrido visto desde B hacia la derecha
127
Sistema Virtual para el punto D
0 0 0 10 0 136 0 3∙ 6 0.5 10.50.5 Momento en la columna AB
Momento en la viga BC
0.51〈 3〉 0 ≤ ≤ 3 0.5 3 ≤ ≤ 6 0.5 3 30.5
128
Momentos desde el punto C Intervalo
0 ≤ ≤ 3
Recorrido desde C hacia la izquierda.
Energía de Deformación en D Intervalo 3 [0,3] 4 [0,3]
M(x)
2.211.52527
m(x)
0.0.55
U = M(x) m(x)
1.1255.62513. 5
1 1 1.125 13.5 0.375 6.75 Δ 1 0.375276.759 70.875 1 50. 6 25 2 5.625 1.875 1.875 27 Deformación en D vertical
1 1 1 70.875 1 50.625 121.50 121.50.396×10−48.114×10− 0.48
129
Ejemplo 3.10 Calcular los desplazamientos horizontal en A y vertical en B en el marco que se ilustra en la siguiente figura. Considerar:
× / .×− . . . .
130
≤ ≤ 20.256.75 0 20.256.75 ∙ Corte 1 ≤ ≤ 20.256.75 6 0 20.25 ∙ Corte 3 ≤ ≤ 21 6.751 Corte 1
131
Energía de Deformación
Virtual
D.M.F. sistema real
− ×.× .×− .×− ×
132
Virtual
6 t-m
Para
Intervalo 1 0,6 2 0,6 0,6 3 Intervalo 1 2 3
M(x)
20.220. 56.2575 6.75 U=M(x) m(x)
00 ≤≤ ≤≤ 66 6.7560.73 5 0 ≤ ≤ 3 6.75
m(x)
3 3 6.760.5753 3.375
1 1 516.375 0.992×10−516.375 5.12
M(x) m(x)
6.7560.3 7 5 6.75 b
-a
60. 7 5 60. 7 5 364. 5 0 30. 3 75 0 455.625 60.75 516.375
133
Para
3 6 40. 5 20.25 6 6 Intervalo U=M(x) m(x) b -a 1 0 ≤ ≤ 6 40. 5 20. 2 5 3 3 182.25 182.25 2 0 ≤ ≤ 6 20.25 6 10.125 6 182.0 25 182. 364.255 364.5 1 1 2
0,6 0,6
20.220. 56.2575
364.5 364.5×0.992×10 −3.615 3.4 Primer teorema de Castigliano
El ingeniero italiano Carlos Alberto Castigliano (1847-1889), elaboro nuevos métodos de análisis para sistemas elásticos. Los dos teoremas que llevan su nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones más importantes para el análisis estructural. El primer teorema consiste en un método para expresa r las condiciones de equilibrio y para estudiar estructuras estáticamente indeterminadas y no para calcular desplazamientos. Se enuncia como sigue: “En una estructura cualquiera, cuyo material es elástico lineal o no lineal y en la
que la temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada parcial de la energía de deformación con respecto a cualquier componente del 134
desplazamiento es igual a la fuerza aplicada en el punto en la dirección correspondiente a esa componente del desplazamiento.
Supongamos que una estructura esta en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
, , …, Estas fuerzas han realizado una cierta cantidad de trabajo externo y una cantidad igual de Energía de deformación en la estructura. También han producido desplazamientos en los puntos de aplicación de las fuerzas, ,,…,.Si al variar cantidades infinitesimales las fuerzas , el desplazamiento varia una pequeña cantidad mientras los otros desplazamientos , ,…,se mantienen constantes la energía de deformación almacenada en el sistema variará hasta alcanzar un valor ,donde: ′ (3.4.1) Si se desprecia la contribución de segundo orden al trabajo externo debido a la
, el trabajo externo realizado en la estructura habrá aumentado, hasta ′ como consecuencia de la introducción de desplazamiento adicional , siendo, ′ (3.4.2) Como ′ debe ser igual a ′ , igualando los segundos miembros de la ecuación fuerza diferencial
(3.4.1) y (3.4.2), se tiene:
Que es la expresión matemática del primer teorema de Castigliano.
135
3.5 Segundo teorema de Castigliano El segundo teorema de Castigliano se puede enunciar según Norris (1982) de acuerdo a como sigue: “En una estructura cualquiera cuyo material es elástico y sigue la ley de Hooke, y
cuya temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza cualquiera es igual al desplazamiento del punto de aplicación de esa fuerza en la dirección de su línea de acción”
En este enunciado, las palabras fuerza y desplazamiento pueden interpretarse también como par y rotación angular, respectivamente. Además, está implícito que durante la deformación de la estructura no hay cambio apreciable de sus características geométricas. Por tanto, la aplicación de este teorema se limita a los casos en que es posible superponer corrimientos. Para deducir el teorema, consideramos una estructura cualquiera que satisfaga las condiciones dichas, tal como la viga de la Fig. 3.5.1.
FIG.3.5.1. Deducción del segundo teorema de Castigliano Supongamos que se le carga gradualmente con las fuerzas externo realizado por estas fuerzas (que llamaremos
, , …,.El trabajo
) es una función de las
mismas. Por el principio de conservación de la energía, sabemos que en cualquier estructura elástica en reposo y en equilibrio bajo un sistema de cargas, el trabajo interno, o energía de deformación almacenado en la misma, es igual al trabajo
136
externo realizado por esas cargas durante su aplicación gradual. Designando el trabajo interno o energía de deformación por
, podemos escribir
, , …, (3.4.3) Supongamos ahora que la fuerza aumenta un pequeña cantidad ; el trabajo interno aumentará, y se convertirá en
′
(3.4.4)
Sin embargo, la magnitud del trabajo interno total no depende del orden en que se apliquen las fuerzas – solo depende del valor final de dichas fuerzas -. Además, si el material sigue la ley de Hooke, la deformación y los corrimientos producidos por las cargas.
, , …,y, por tanto, el trabajo realizado por ellas son iguales si se aplican estas fuerzas a una estructura ya sometida a otras fuerzas o no, mientras los esfuerzos
totales debidos a todas las causas permanezcan dentro del límite elástico. Por tanto, si se aplica la fuerza infinitesimal
primero y las , , …, después, la
magnitud del trabajo interno seguirá siendo la misma, dada por la Ecuación (3.4.4).
aplicada primero, produce un desplazamiento infinitesimal , de modo que el correspondiente trabajo externo realizado durante la aplicación de es una cantidad de segundo orden y se puede despreciar. Si se aplican ahora las cargas , , …, , el trabajo externo realizado por ellas no resultará modificado por la presencia de , por lo que será igual al valor dado por la Ec. (3.4.3). Sin embargo, durante la aplicación de estas fuerzas, el punto de aplicac ión de se desplaza una cantidad en la dirección d una línea de aplicación, por lo que durante este desplazamiento realiza un trabajo externo igual a . Sea ′ el trabajo externo total realizado por todo el sistema durante esta sucesión de La fuerza
cargas. Será:
(3.4.5)
137
Pero, como
es igual a , la Ec. (d) se reduce a (3.4.6)
Esta última ecuación es la expresión matemática del segundo teorema de Castigliano. Para utilizar el segundo teorema Castigliano, es necesario desarrollar previamente expresiones apropiadas de la energía de deformación almacenada, o del trabajo interno realizado por las tensiones de una barra. Consideremos, primero, el caso de la energía de deformación almacenada en una barra por una fuerza axial
cuando
dicha fuerza aumenta gradualmente de cero a su valor final. Imaginemos un
elemento diferencial de esa barra, limitado por dos secciones sucesivas, como el representado en la Figura 3.5.2, y supongamos que sobre el actúa una fuerzas
,
FIG. 3.5.2. Energía de deformación almacenada por una fuerza axial. con un valor comprendido entre cero y el valor final de la fuerza aumenta ahora una cantidad
∆, donde
. Si esta fuerza
, produce una variación de longitud del elemento
∆
(3.4.7)
Despreciando cantidades de segundo orden, el trabajo interno realizado durante la
es igual a ∆, por lo que el trabajo interno total realizado en este elemento durante el aumento de la fuerza de cero a su valor aplicación de final es
138
∫ ∆ ∫
(3.4.8)
Para toda la barra, el trabajo interno será la suma de los términos correspondiente a todos los elementos
, o sea
∫
(3.4.9)
Para todas las barras de la estructura, el trabajo interno será la suma de esos términos para cada una de ellas, o sea Energía de deformación almacenada por las fuerzas axiales,
∑
(3.4.10)
Ahora se puede utilizar esta ecuación para desarrollar una expresión de la energía de deformación almacenada en una viga por las tensiones producidas por un momento flector M . Consideramos un elemento diferencial de una viga, de longitud
, como el representado en la Fig. 3.5.3. Se puede considerar este elemento como un haz de
FIG. 3.5.3. Energía de deformación almacenada por el momento flector.
139
Pequeñas fibras, de longitud
cada una de ellas, con una altura , y una anchura
normal al plano del dibujo, b. La fuerza axial en dicho haz de fibras será
(h)
La energía de deformación almacenada en todas esas fibras de la viga se puede calcular aplicando la Ec. (3.4.10), sumando las contribuciones de todas las fibras del elemento y luego sumando todas estas cantidades para todos los elementos en la longitud de la viga, o sea
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (i) Así
∫ . Por tanto, para todos los elementos de viga de la estructura,
Energía de deformación almacenada por el momento flector.
2 3.4.11 En general es admisible despreciar la energía de deformación almacenada por el esfuerzo cortante en la viga debido a poca cuantía. Cálculo de desplazamiento utilizando el segundo teorema de Castigliano. El segundo teorema de Castigliano se usa para analizar estructuras estáticamente indeterminadas, aunque también se utiliza para resolver problemas de desplazamientos. El procedimiento para aplicar este método es básicamente el mismo utilizado para resolver estos problemas por el método de trabajos virtuales.
140
A continuación se presentan algunos problemas que mostrarán la técnica para resolverlos.
Ejemplo 3.11 Calcular la deflexión vertical del punto b de la viga representada en la figura
Pero:
↓ ∑ ∙
2
Desde el punto b hasta a, tenemos:
Por lo tanto,
3
↓ 3
141
Ejemplo 3.12 Calcular el desplazamiento del punto b de la viga que se muestra en la figura. Considerar que:
10 2 × 0.0005
Se coloca una carga externa P, vertical sobre el punto b de la viga.
Desde el punto b hasta a, tenemos:
1.2 2 142
Al establecer P=0, el valor real resulta
0.6 Aplicando la ecuación (3.5.3)
↓
150 0. 6 ↓ 0.6 4 Así:
↓ 2×10150×0.0005 0.1515
143
EJEMPLO 3.13 Calcular el desplazamiento vertical del punto b de la viga que se ilustra en la siguiente figura.
2 × 0.15×10−
Tomar:
Se coloca una carga P externa, vertical en el punto C posteriormente esta fuerza será igual a un valor fijo de 20 T.
En este problema se requiere establece dos ecuaciones para la interacción debido a que la carga es descontinua. Las coordenadas se fijarán primero desde a hacia b y después desde C hacia b. 144
Para
Para
:
2.40.5 0.8 2 0.5
0.80.5 0.5
Si se establece P=2T, se obtienen las ecuaciones de momento real.
3.40.4 Y
1.8 Aplicando la ecuación (3.5.3)
↓ 3.40.40.5 1.80.5 ↓ ∙ 1 0.2 1 0.9 1 1. 7 3 4 3
↓ 42.67 21042. ×670.15− 0.0142 . 145
3.6 Teoremas de Maxwell y Betti Ley de Maxwell de las deformaciones reciprocas. Ley de Betti. La ley de Maxwell es un caso especial de la ley de Betti, la cual es más general. (Norris 1982) Las dos son aplicables a cualquier tipo de estructura, bien sea viga, armadura o marco. Sin embargo para simplificar el estudio se expondrán estas ideas considerando la armadura simplemente apoyada de la figura 3.6
Supongamos que esta armadura está sometido a 2 sistemas de fuerzas separadas
y el de las fuerzas . El sistema produce las fuerzas en las diversas barras del cuchillo, mientras que en el produce las fuerzas de barra en . Consideremos los 2 casos: e independientes el de la fuerzas
146
está en reposo en el cuchillo deformamos a este aplicándole el sistema . Como segundo caso, supondremos que sucede lo contrario, esto es , que actúa el sistema en el cuchillo, y que por la aplicación del sistema deformamos dicho cuchillo. En los 2 casos podemos aplicar la ley de los Primero supongamos que el sistema
trabajos virtuales y llegar a una conclusión muy útil conocida por la ley de Betti.
Para esta deducción supondremos que no pueden ceder los apoyos de la estructura y que la temperatura es constante. Además, sea
corrimiento del punto de aplicación de una de las fuerzas ( en la dirección y sentido de esta fuerza) producido por la aplicación del sistema de fuerzas . corrimiento del punto de aplicación de una de las fuerzas producido por la aplicación del sistema . Consideremos ahora la aplicación de la ley de los trabajos virtuales al primer caso cuando el sistema de fuerzas
hace el papel de fuerzas Q y experimentan un
recorrido como consecuencia de la deformación producida por la aplicación del sistema
aplicando la EC:
147
Donde L=
, y así
En el segundo caso, las fuerzas hacen el papel de fuerzas Q que experimentan un recorrido como consecuencia de la deformación producida por la aplicación del sistema . Aplicando la EC. Donde L= L/AE, y asi .
De las Ecs. (a) y (b) se puede deducir que
Que traducidas a palabras es la llamada ley Betti. Es una estructura cualquiera cuyo material es elástico y sigue la ley de Hooke y en la que los apoyos no pueden ceder y la temperatura es constante, el trabajo externo
durante la deformación producida por un sistema de fuerzas es igual al trabajo virtual externo realizado por el sistema durante la deformación producida por el sistema . virtual realizado por un sistema de fuerzas
La ley Betti es un principio muy útil y a veces se le llama ley de Maxwell generalizada, lo que indica que esta última ley de los corrimientos recíprocos se puede deducir directamente de aquella.
148
Consideremos una estructura cualquiera, tal como la armadura de la fig. 3.6.1. supongamos que sobre el actúa primero una carga P en el punto 1 ; luego suponemos que sobre dicha armadura actúa una carga de la misma magnitud P, pero aplicada ahora en el punto 2. Sean:
=corrimiento del punto 1 en dirección ab, debido a una carga P que actúa con el punto 2 en la dirección cd.
=corrimiento del punto 2 en la dirección cd, debido a una carga P que actua aplicando la ley de Betti a este caso.
) Y por lo tanto que expresada en palabras es la llamada ley de Maxwell de las deformaciones reciprocas: en una estructura cualquiera cuyo material es elástico y sigue la ley de Hooke y en la que los apoyos no pueden ceder, y la temperatura es constante, la 149
Deformación en el punto 2 en la dirección cd, debida a una carga P en el punto 1, que actúa en la dirección ab. La ley de Maxwell es totalmente general y es aplicable a cualquier tipo de estructuras asi como entre el corrimiento producido por un par P y la rotación producida por una fuerza P, todo los cual está representado en la figura 3.6.2
Igual
P
Igual
P
es una aplicación inmediata de la ley de Maxwell. Observese también que el giro ∝ en radianes producido por una fuerza de P kg es numéricamente igual al corrimiento en metros producido por un par de P m kg. En el último caso Que
hay que tener cuidado con las unidades.
Es interesante familiarizarse con las notaciones de subíndices utilizadas en el estudio anterior, para expresar las deformaciones. El primer subíndice expresa el punto en el que se mide la deformación y el segundo el punto en que se aplica la fuerza que la produce. 150
4. LINEAS DE INFLUENCIA
COMPETENCIA Construir diagramas de líneas de influencia en vigas simples.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
El alumno construirá un mapa de conceptos de las líneas de influencia, expresando su importancia en el diseño de sistemas estructurales.
Resolver ejercicios en el aula, en equipos formados por grupos pequeños para obtener las líneas de influencia en diferentes funciones de respuesta (Reacciones, fuerza cortante y momento flexionante) en: vigas estáticamente determinadas.
HABILIDADES Y ACTITUDES
El alumno será capaz de entender y comprender el concepto de línea de influencia y su aplicación en las estructuras
El alumno adquirirá la habilidad para construir diagramas de líneas de influencia para vigas estáticamente determinadas.
151
4.1 Introducción
En 1867 se introdujo el concepto de la línea de influencia por el alemán E. Winiller. Alrededor de 20 años después fue descubierto por el Profesor Müller-Breslau el importante principio según el cual puede determinarse fácilmente las líneas de influencia para estructuras tanto determinadas como indeterminadas. Cuando se está proyectando una parte determinada de una estructura, se hace una distinción entre cargas fijas, tales como el propio peso de la estructura, que permanecen invariables, y las cargas que pueden variar de posición a lo largo de la estructura. El efecto producido en una parte dada por la carga, varía con la posición de esta en la estructura; siempre hay una posición que produce máximos efectos en una zona determinada. Esta zona y el tipo de efecto del que se trate pueden ser la reacción en un apoyo, el momento flector o el cortante en una sección de una viga. Las líneas de influencia tienen una aplicación muy importante en el diseño de estructuras sometidas a la aplicación de cargas vivas de gran magnitud, por ejemplo los puentes vehiculares. En esta sección se estudiará como dibujar la línea de influencia para estructuras estáticamente determinadas, sometidas a cargas uniformemente repartidas o a cargas concentradas.
152
4.2. Definición y propiedades de las líneas de influencia
Se puede definir una línea de influencia de la siguiente manera: “Una línea de influencia es una curva cuya ordenada en un punto cualquiera
es igual al valor de algún efecto (fuerza, reacción, momento, cortante, etc.) debida a una carga unitaria que actúa en este punto”.
Las líneas de influencia pueden usarse para dos importantes fines: 1. Determinar la posición de la carga que producirá un valor máximo del efecto particular para la que se construye; 2. Calcular el valor de ese efecto con cargas así colocadas, o bien, para cualquier condición de cargas. Como la ordenada de una línea de influencia es igual al valor del efecto determinado debido a una carga unitaria que actúa en el punto en que se mide esta ordenada, son ciertos los siguientes teoremas: 1. “Para obtener el v alor máximo de un efecto, debido a una carga aislada, se
colocará la carga en el punto en que la ordenada de la línea de dicho efecto es máxima”. 2. “El valor de un efecto debido a la acción de una carga aislada, es igual al producto
de la magnitud de la carga por la ordenada de la línea de influencia de ese efecto, medida en el punto de aplicación de la carga”. 3. “Para obtener el valor máximo de un efecto producido por una carga
uniformemente repartida, se colocará la carga en todas las zonas de la estructura para las cuales las ordenadas de las líneas de influencia tienen el signo del efecto deseado”.
153
4. “El valor de un efecto debido a una carga uniformemente repartida es igual al
producto de la intensidad de la carga por el área total bajo la parte de la línea de influencia del efecto considerado, correspondiente a la zona de estructura cargada”.
4.3. MÉTODO DE MÜLLER-BRESLAU Este principio puede enunciarse como sigue: “Si una componente de esfuerzo interno o una componente de reacción se
considera aplicada a lo largo de una pequeña distancia y que dicha aplicación flexione o desplace una estructura, la curva de la estructura flexionada o desplazada será, en escala proporcional, la línea de influencia para los esfuerzos o componentes de reacción”.
Este principio se aplica a vigas, marcos continuos, estructuras articuladas y a estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas. Sin embargo, para estructuras determinadas se limita a aquellas para las que es válido el principio de superposición. La línea de influencia de una reacción o de una acción tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción determinada. Consideremos la viga de la figura 4.1.1.
Figura 4.1.1 154
La línea de influencia de la reacción A se obtiene introduciendo la forma de la viga deformada es la línea de influencia de RA. Para introducir el desplazamiento unitario, se supone que se elimina la restricción a la deformación de la viga en el apoyo, y no se permite otro tipo de deformación, por ejemplo debido a la flexión o fuerza cortante. Por esta última razón la viga permanece recta. Lo anterior se ilustra a continuación:
La línea de influencia de la fuerza cortante en el punto C de la viga, se obtiene cortando la viga en ese punto, e introduciendo un desplazamiento unitario correspondiente a la fuerza cortante. La forma de la viga deformada es la línea de influencia de VC. En este caso no deben permitirse deformaciones por flexión o por desplazamiento de las reacciones.
a
b
155
La línea de influencia del momento flexionante en el punto C de la viga, se obtiene introduciendo una articulación en ese punto, como se muestra, e imponiendo un giro unitario, o sea, la deformación correspondiente a flexión. La forma de la viga deformada es la línea de influencia de MC. La primera condición implica que los dos tramos de la viga permanezcan unidos en el punto C.
C
Una demostración más formal del Principio de Müller-Breslau se incluye usando el Principio de Trabajo virtual. Supóngase que en la viga de la figura 4.1.1. se coloca una carga virtual unitaria en un punto cualquiera a una distancia X del origen de coordenadas. Si se impone a la
viga un desplazamiento RA en el apoyo A; el punto de aplicación de la carga unitaria sufrirá un desplazamiento Y. Al imponer el desplazamiento en el apoyo A, la reacción en A y a carga unitaria realizara un trabajo igual a la magnitud de las cargas por su desplazamiento. Por lo tanto, se puede escribir la ecuación:
1 Pero si el desplazamiento es unitario:
156
Esta ecuación indica que si se aplica una carga unitaria en un punto situado a una distancia X del origen, la ordenada de la viga desplazada en el punto de aplicación de la carga es igual a la reacción RA producida por la carga unitaria. Esta es la definición de línea de influencia y por lo tanto la viga desplazada coincide con la línea de influencia, lo cual demuestra el Principio de Müller-Breslau. De manera semejante, si el desplazamiento que se impone a la viga corresponde a la fuerza cortante, la fuerza cortante en el punto C desarrollara un trabajo igual a la magnitud de la fuerza por el desplazamiento en el punto C, y la carga unitaria, un trabajo igual a la unidad por el desplazamiento en su punto de aplicación.
1 Si se toma en cuenta que el desplazamiento en C es unitario tenemos:
Esta ecuación indica que la ordenada de la viga deformada en el punto de aplicación de la carga es igual a la fuerza cortante en la sección en la que se impuso la deformación unitaria; y por lo tanto, la viga deformada coincide con la línea de influencia de la fuerza cortante en el punto C. Siguiendo el mismo razonamiento, pueden plantearse las siguientes ecuaciones para el momento en C:
1 Si se toma en cuenta que el desplazamiento en C es unitario tenemos:
Estas ecuaciones demuestran que la viga deformada coincide con la línea de influencia de momento flexionante en el punto C.
157
EJEMPLO 6.1 Construya las líneas de influencia para la reacción vertical en C, así como la del momento y cortante en C, usando el principio de MÜLLER-BRESLAU
Línea de nfluencia de la reacción C
Línea de influencia en momento en C
158
Detalle
Línea de influencia en fuerza cortante en C
EJEMPLO 6.2
Construir las líneas de influencia de reacción, momento flexionante y fuerza cortante en el punto C de la viga con articulación mostrada en la figura del ejemplo 6.1.
159
LINEA DE INFLUENCIA DE REACCIÓN EN C Si la carga unitaria se aplica en 1: Si la carga unitaria se aplica en 3:
∑ 0
0 1.5↑
1↑ Si la carga unitaria se aplica en 9: 0 Si la carga unitaria se aplica en 5:
LINEA DE INFLUENCIA DE MOMENTO EN C
0 Si la carga unitaria se aplica en 3 1∗ 2 2 Si la carga unitaria se aplica en 5: 0 Si la carga unitaria se aplica en 9: 0 Si la carga unitaria se aplica en 1:
160
LINEA DE INFLUENCIA DE FUERZA CORTANTE EN C a) Ligeramente a la izquierda
1 ↑ 0 Si la carga unitaria se aplica en 3: 1 Si la carga unitaria se aplica en 1:
Si la carga unitaria se aplica entre el punto 3 y un punto a la izquierda de 3:
1: Si la carga unitaria se aplica a la derecha del punto 5: Si la carga unitaria se aplica en 9:
0
0
161
b) Ligeramente a la derecha La fuerza cortante a la derecha de C es igual a la fuerza cortante a la izquierda de C más el valor de la reacción en C. Se suman los diagramas de líneas de influencia correspondientes
4.4 Serie de sobrecargas aisladas Los métodos vistos anteriormente que utilizan líneas de influencia, se aplican a casos de sobrecargas uniformemente repartidas o aisladas. Pero no se pueden aplicar a una serie de cargas aisladas, de magnitud y separación dadas, como sería la aplicación real correspondiente a las ruedas de un camión. Cuando existe más de una carga aislada, no es posible establecer por simple inspección cuál de ellas deberá de colocarse en la ordenada máxima de la línea de influencia para que la función dada sea máxima. Para determinar el efecto máximo en este caso el método que se seguirá es por tanteos, es decir un procedimiento de prueba y error. A continuación se dará una explicación de este método, específicamente aplicados a la fuerza cortante y al momento flexionante.
Fuerza cortante. Consideremos una viga simplemente apoyada con la línea de influencia asociada para la fuerza cortante en el punto C de la figura 4.4.1(a). La fuerza cortante positiva máxima en el punto C está determinada por la serie de cargas concentradas (ruedas) que se mueven de derecha a izquierda sobre la viga. 162
La carga crítica se producirá cuando una de las cargas se coloque justo a la derecha del punto C, lo cual coincide con el pico positivo de la línea de influencia. Entonces cada uno de los tres casos posibles deberá estudiarse mediante prueba y error. Ver la figura 4.4.1(b). Entonces tendremos:
Caso 1: Vc = 1(0.75) + 4(0.625) + 4(0.50) = 5.25 T. Caso 2: Vc = 1(0.125) + 4(0.75) + 4(0.625) = 5.375 T Caso 3: Vc = 1(0) + 4(-0.125) + 4(0.75) = 2.5 T. En el caso 2, con la fuerza de 1 T localizada a 3 metros del apoyo izquierdo, se obtiene el valor más grande de Vc y, por lo tanto representa la carga crítica. En realidad el estudio del caso 3 no es necesario, puesto que por inspección puede notarse que el arreglo de cargas de este caso, genera un valor de (Vc) 3, menor al (Vc)2.
Figura 4.4.1(a)
163
Figura 4.4.1(b) 164
Otro método para establecer la posición crítica de las cargas puede determinarse de manera más directa si se encuentra el cambio de fuerza cortante V, que se produce cuando las cargas se mueven del caso 1 al caso 2; luego del caso 2 al caso 3 y así sucesivamente. Siempre que cada V calculado sea positivo, la nueva posición producirá una fuerza cortante más grande en el punto C de la viga que la posición anterior. Se revisa cada movimiento hasta que se presente un cambio negativo en la fuerza cortante. Cuando esto ocurre, la posición anterior de las cargas proporcionará el valor crítico.
El cambio V en la fuerza cortante para una carga P que se mueve desde la posición x1 hasta x2 sobre una viga puede determinarse al multiplicar P por el cambio de la ordenada de la línea de influencia, es decir (y 2 – y1). Si llamamos a la pendiente de la línea de influencia s, entonces (y 2 – y1) = s(x2 – x1) y, por lo tanto
V = Ps(x2 – x1)
(4.4.1)
Que corresponde a la línea inclinada
Si la carga se mueve más allá de un punto en el que hay una discontinuidad o “salto” en la línea de influencia, como en el punto C de la figura 4.4.1(a), entonces el cambio de la fuerza cortante es
V = P(y2 – y1)
(4.4.2)
165
El uso de las ecuaciones anteriores se ilustrará con la viga, la carga y la línea de influencia para Vc de la figura 4.4.1(a). La magnitud de la pendiente es s = 0.75/(9-3) = 0.125 El salto en C es V = 1(0.75 – (-0.25)) = 1
Consideremos que las cargas del caso 1 se mueven 1.5 metros hasta el caso 2, figura 4.4.1 (b). Cuando esto ocurre, la carga de 1 T salta hacia abajo (-1) y todas las cargas se mueven hacia arriba por la pendiente de la línea de influencia. Esto ocasiona un cambio de la fuerza cortante,
V1-2 = 1(-1) + [1 + 4 + 4](0.125)(1.5) = 0.6875 T
Como V1-2 es positivo, el caso 2 generará un valor más grande para Vc que el caso 1. Al estudiar V2-3 que se produce cuando el caso 2 se mueve hasta el caso 3, debe tenerse en cuenta el salto hacia abajo (negativo) de la carga de 4 T y el movimiento horizontal de 1.5 metros de todas las cargas hacia arriba de la pendiente de la línea de influencia. Se tiene
V2-3 = 4(-1) + [1 + 4 + 4] (0.125)(1.5) = -2.312 T
166
Como V2-3 es negativo, el caso 2 es la posición crítica de la carga, tal y como habíamos determinado previamente.
Momento. Los métodos presentados anteriormente también se pueden emplear para determinar la posición crítica de una serie de cargas concentradas para que creen el mayor momento interno en un punto específico de una estructura. Se requerirá como primer paso dibujar la línea de influencia para el momento en el punto y determinar las pendientes s de sus segmentos de línea. Para un movimiento horizontal (x2 – x 1) de una carga concentrada P, el cambio en el momento M, es equivalente a la magnitud de la carga por el cambio de ordenada de la línea de influencia bajo dicha carga, es decir,
M = Ps(x2 – x1)
(4.4.3)
Que corresponde a la línea inclinada
Como ejemplo consideremos la viga, la carga y la línea de influencia para el momento en el punto C de la figura 4.4.2 (b). Si cada una de las tres cargas concentradas se coloca sobre la viga, en forma coincidente con el pico de la línea de influencia, entonces se obtendrá la mayor influencia de cada carga. En la figura 4.4.2 (b) se muestran tres casos de carga propuestos. Cuando las cargas del caso 1 se mueven 1.20 metros a la izquierda hasta el caso 2, se observa que la carga de 2T disminuye M1-2, ya que la pendiente (2.25/3) es descendente, figura 4.4.2 (b). Al mismo tiempo las cargas de 4 T y 3 T ocasionan un aumento de M1-2, ya que la pendiente (2.25/12 – 3) es ascendente. Por lo anterior, se tiene M1-2 = -2(2.25/3)(4) + (4 + 3)[2.25/(12 – 3)](4) = 1 T-m
167
Como M1-2 es positivo, es necesario continuar estudiando aún más el movimiento de las cargas que están a 1.8 metros del caso 2 al caso 3.
M1-2 = -(2 + 4)(2.25/3)(1.8) + 3[2.25/(12 – 3)(1.8) = -9.45 T-m
En este caso tenemos un cambio negativo, por lo que el mayor momento en C se presentara en el caso 2, figura 4.4.2 (b). Por lo tanto el momento máximo en C es
(Mc)máx = 2(1.35) + 4(2.25) + 3(1.2) = 15.3 T-m
Figura 4.4.2 (a)
168
Figura 4.4.2 (b)
169
Actividades complementarias para el alumno
Realizar un resumen de los métodos vistos en este capítulo.
Resolver ejercicios extra clase.
170
