TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seuridad Ali!en"aria#
$NIVERSIDAD NA%IONA& DE IN'ENIERIA
TIT$&O &I(RO %ORRE'IDO DE AN)&ISIS E%*NO+I%O Integrantes Aliaa Valladares Valladares %arla Da1 Pu!a2 %e3ilia Soa +el36or Neyra2 Ri36ard Villa3or"a Rodriue1-Ro7er" Rodriue1-Ro7er "
Código ,004./( ,004./( ,00050D ,00044I ,0058.E
PROFESOR
Ey1auirre Te9ada2 Ro7er"o
,0/
TEORIA DE INVERSIONES
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%APIT$&O
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El o79e o79e"i"ivo vo de es"e es"e 3ap 3ap"u "ulo lo es su!i su!ini nis" s"ra rarr la "er! "er!in inol olo oa a 7:si 7:si3a 3a de la ineni inenier era a e3onó!i3a y los 3on3ep"os unda!en"ales ;ue or!an la 7ase del an:lisis e3onó!i3o<
1.1 Interés I! Es la !anies"a3ión del valor en el "ie!po2 el 3ual es una !edida del au!en"o en"re la su!a oriinal soli3i"ada en pr=s"a!o o inver"ida y la 3an"idad inal a3u!ulada o ;ue se adeuda< Si se 6a inver"ido en el pasado se "iene ;ue>
=
I
Cantidad Total Acumulada Inversion
−
Inversion
Original
Original
1." Tasa de Interés i! Es el in"er=s de una unidad !one"aria en la unidad del "ie!po 3onsiderada y 3uya represen"a3ión es por3en"ual<
=
i
Interes
Acumulado
por Unidad
Inversion
de
Tiempo
Original
x
100%
E9e!plo> Si se invier"e S?< 002000 al ini3io de un año y se o7"iene S?< @02000 al inal de ese año< %al3ular el In"er=s y la "asa del In"er=s< Solu3ión> a %al3 %al3ulo ulo del del In" In"er er=s =s B I >
=
I
190,000
−
100,000
=
S / .90,000
7 %al3ulo de la "asa de In"er=s In"er=s B i > > i
=
90,000 100,000
(
100%
)
=
90%
1.# Tasa M$ni%a Atra&ti'a de Retorno TMAR! Es la "asa de in"er=s ;ue esperan o7"ener los inversionis"as por una inversión< Para ;ue una inversión propues"a pare13a Cren"a7leC a los o9os de los inversionis"as2 es"os de7en esperar esperar re3i7ir re3i7ir !:s dinero dinero ;ue el inver"ido< inver"ido< En o"ras pala7ras2 pala7ras2 los inversionis" inversionis"as as esperan esperan re3i7ir re3i7ir una "asa 9us"a por la inversión< %uando %uando el perodo perodo de in"er=s in"er=s es iual o !enor ;ue un año2 la "asa de re"orno en por3en"a9e para el perodo de in"er=s es> TMAR
=
Cantidad Total de Dinero
Re cibido
Inversion
Original
,
−
Inversion
Original
(
100%)
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%APIT$&O
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El o79e o79e"i"ivo vo de es"e es"e 3ap 3ap"u "ulo lo es su!i su!ini nis" s"ra rarr la "er! "er!in inol olo oa a 7:si 7:si3a 3a de la ineni inenier era a e3onó!i3a y los 3on3ep"os unda!en"ales ;ue or!an la 7ase del an:lisis e3onó!i3o<
1.1 Interés I! Es la !anies"a3ión del valor en el "ie!po2 el 3ual es una !edida del au!en"o en"re la su!a oriinal soli3i"ada en pr=s"a!o o inver"ida y la 3an"idad inal a3u!ulada o ;ue se adeuda< Si se 6a inver"ido en el pasado se "iene ;ue>
=
I
Cantidad Total Acumulada Inversion
−
Inversion
Original
Original
1." Tasa de Interés i! Es el in"er=s de una unidad !one"aria en la unidad del "ie!po 3onsiderada y 3uya represen"a3ión es por3en"ual<
=
i
Interes
Acumulado
por Unidad
Inversion
de
Tiempo
Original
x
100%
E9e!plo> Si se invier"e S?< 002000 al ini3io de un año y se o7"iene S?< @02000 al inal de ese año< %al3ular el In"er=s y la "asa del In"er=s< Solu3ión> a %al3 %al3ulo ulo del del In" In"er er=s =s B I >
=
I
190,000
−
100,000
=
S / .90,000
7 %al3ulo de la "asa de In"er=s In"er=s B i > > i
=
90,000 100,000
(
100%
)
=
90%
1.# Tasa M$ni%a Atra&ti'a de Retorno TMAR! Es la "asa de in"er=s ;ue esperan o7"ener los inversionis"as por una inversión< Para ;ue una inversión propues"a pare13a Cren"a7leC a los o9os de los inversionis"as2 es"os de7en esperar esperar re3i7ir re3i7ir !:s dinero dinero ;ue el inver"ido< inver"ido< En o"ras pala7ras2 pala7ras2 los inversionis" inversionis"as as esperan esperan re3i7ir re3i7ir una "asa 9us"a por la inversión< %uando %uando el perodo perodo de in"er=s in"er=s es iual o !enor ;ue un año2 la "asa de re"orno en por3en"a9e para el perodo de in"er=s es> TMAR
=
Cantidad Total de Dinero
Re cibido
Inversion
Original
,
−
Inversion
Original
(
100%)
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TMAR
=
Utilidad Inversion Inversion
(
100%)
Original
1.( E)*i'a+en&ia El valor del dinero en el "ie!po y la "asa de in"er=s u"ili1ados si!ul":nea!en"e2 eneran el 3on3ep"o de e;uivalen3ia2 lo ;ue sinii3a ;ue su!as dieren"es de dinero a "=r!inos dieren"es de "ie!po pueden ser iuales en valor e3onó!i3o< Por e9e!plo> e9e!plo> Si la "asa de in"er=s in"er=s es de 5 anual2 00 de 6oy Bes Bes de3ir a3"ual!en" a3"ual!en"e e e;uivaldr:n a 05 en un año< Por ;ue 3o!o sa7e!os> %an"idad A3u!ulada F 00B G 0<05 F 00B<05 F 05< 05<
1., Costo de Ca-ita+ Repres Represen" en"a a el 3os"o 3os"o del dinero dinero o7"eni o7"enido do a33iones2 7onos pr=s"a!o dire3"o2 e"3< e"3<
de divers diversas as uen"es uen"es "ales "ales 3o!o 3o!o ven"a ven"a de
1. Interés Si%-+e Es la anan3ia anan3ia del 3api"al 3api"al prin3ipal o s"o3H de ee3"ivo inorando inorando 3ual;uier in"er=s in"er=s ;ue se 6alla a3u!ulado en los perodos pe rodos an"eriores> I
=
P .
i.
Donde>
Interés Simple
n
I F In"er=s2 anan3ia2 3r=di"o o devenado< P F Prin3ipal2 3api"al o s"o3H ini3ial de ee3"ivo< i F Tasa de in"er=s por perodos perodos 3onsiderado< n F Nu!ero de perodos<
El "a!año "a!año del perodo perodo puede puede ser> ser> un da2 da2 una una se!ana2 se!ana2 un un !es< Si el in"er= in"er=ss area al prin3ipal B P el resul"ado se deno!ina !on"o B o s"o3H inal< F
=
P
+
I
B I se
Monto o Stock Final Del Efectivo
E9e!plo> De"er!inar el in"er=s so7re S?< 2000 al , de in"er=s si!ple anual duran"e> a<- , años 7<- 8 !eses 3<- .0 das< De"er!inar ade!:s el s"o3H inal para B3< Solu3ión> a<- Para " a/os> P F S?< 2000 i F , anual nF,
IFPin I F B2000 B0<, B, I F S?< ,40
7<- Para 0 %eses> P F S?< 2000
I F B2000 B0<0 B8 I F S?< 80 /
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i! F B,?, F B"asa propor3ional !ensual n F 8 3<- Para 1, d$as> P F S?< 2000 id F ,?/50 B"asa propor3ional diaria n F .0
I F 2000 J ,?/50 J .0 I F S? .0 F P GI F 2000 G .0 F S?< 20.0
1.2 Interés Co%-*esto Es la su!a de la anan3ia del 3api"al y de los in"ereses a3u!ulados en perodos an"eriores< En el in"er=s 3o!pues"o2 el in"er=s de los perodos se in3re!en"a al 3api"al B3api"ali1a3ión de in"ereses< E9e!plo> %al3ular el !on"o "o"al adeudado al 3a7o de / años si se soli3i"a un pr=s"a!o de S?< 2000 al K0 de in"er=s 3o!pues"o anual< Solu3ión>
Para e+ a/o 1> In"er=s año F B2000 B0
In"er=s año , F B2K00 B0 In"er=s año / F B,28@0 B0
4
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CAPITULO " ". FACTORES 3 SU EMPLEO: ".1 S$%4o+os 5 De6ini&iones a. S$%4o+os 5 s* Signi6i&ado P F valor o su!a de dinero en un "ie!po señalado 3o!o el presen"e< F Valor o su!a de dinero en alLn "ie!po u"uro< A F $n pao si!ple en una serie de CnC paos iuales 6e36os al inal de es"e perodo< N F Nu!ero de perodos de paos de in"er=s< i F Tasa de In"er=s<
4. F+*7o de Ca7a Al resul"ado de inresos y dese!7olsos se le deno!ina lu9o de 3a9a< Fluo
de
Caa
=
−
Entradas
Desembolso s
E9e!plo> Si se 3o!pró un "elevisor en 2@@, por S?< @00 y los 3os"os de !an"eni!ien"o anuales ueron de S?< 40 duran"e / años2 y lueo se vendió por S?< .00< M%u:l es el lu9o de 3a9a Solu3ión> Año @@, @@/ @@4 @@.
En"rada 0 0 0 .00
Dese!7olso @00 40 40 40
lu9o de %a9a -@00 -40 -40 450
Es i!por"an"e "ener presen"e ;ue "odas las en"radas y dese!7olsos2 y por lo "an"o los valores de lu9o de 3a9a2 se 3onsideran 3an"idades de in de perodo<
&. Diagra%a de 6+*7o de &a7a Es la represen"a3ión r:i3a del lu9o de 3a9a en una es3ala de "ie!po2 en donde el "ie!po 3ero represen"a el presen"e as por e9e!plo2 el "ie!po "res represen"a el inal del perodo de "ie!po "res< En la es3ala de "ie!po2 de la siuien"e iura2 las le36as 6a3ia arri7a indi3an un lu9o de 3a9a posi"ivo2 y 6a3ia a7a9o un lu9o de 3a9a nea"ivo<
0
0
/0
,
00 /
4
.
5
. O"ra !anera de represen"ar lo an"erior es 3o!o siue>
.
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0
/0
-.
00
,
/
4
0
.
5
E9e!plo> Supona!os ;ue us"ed desea deposi"ar en su 3uen"a de a6orro2 a par"ir del siuien"e año2 una 3an"idad anual de S?< ,02000 duran"e los pri!eros / años y lueo2 una 3an"idad anual de S?< .02000 duran"e los dos años siuien"es< M%ó!o resul"ar: su lu9o de 3a9a Solu3ión> %olo3ando las 3iras en !iles de soles se "iene>
0
,0
,0
,0
.0
.0
,
/
4
.
P F
i F K0
o "a!7i=n > ,0
,0
,0
.0
.0
,
/
4
.
0
"." Ded*&&ión de Fór%*+as 5 Fa&tores: a. Fa&tor de &a-ita+i8a&ión de *n so+o -ago o i%-osi&ión %:l3ulo de un valor u"uro B dado un valor presen"e BP a una "asa de in"er=s CiC en CnC perodos< 'r:i3o>
P 0
F9
,
/
n-
Dedu33ión> Al inal del pri!er perodo se "iene> F P G P , F G / F , G , i / F , B G i F P B G i , B G i / F P B G i /
5
n
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Al inal de n perodos por indu33ión !a"e!:"i3a se "iene> F
= (1 + i )
n
A la eJpresión (1 +i ) n se le deno!ina a3"or de 3api"ali1a3ión de un sola i!posi3ión o pao y se le desina 3o!o B?P i2 n en"on3es2 el valor u"uro de una i!posi3ión se eJpresa 3o!o> F P B ? P2 i2 n En las "a7las de in"er=s se dan los valores de los a3"ores para 3ada perodo< E9e!plo> Si se invier"e S?< 2000 a6ora al 5 de in"er=s anual 3api"ali1a7le anual!en"e< M%u:l es el !on"o al inal del 3uar"o año F 2000 B G 0<05 F S?< 2,5,
4
4. Fa&tor de+ 'a+or a&t*a+ de *na i%-osi&ión %al3ulo de P dado 2 i y n Despe9ando P en la rela3ión ;ue 3al3ula el !on"o de una i!posi3ión o pao Lni3o< P
El a3"or>
=
F
1 n (1 + i )
1
es el lla!ado> a3"or del Valor de una I!posi3ión y se le desina as> (1 + i ) n BP?2 i2 n en"on3es> P F BP ? 2 i2 n E9e!plo> Si den"ro de 3ua"ro años se va a re3i7ir S?< 2,5, en"on3es su valor a3"ual al 5 anual 3api"ali1a7le anual!en"e es> P
=
1 (1,262). (1 +0.06 )4
=
S
/ .1,000
O 7ien2 u"ili1ando la no"a3ión del a3"or y las "a7las de in"ereses> P F 2,5, BP ? 2 52 4 F 2,5, J 0
&. Fa&tor de &a-ita+i8a&ión de *na serie de i%-osi&iones ig*a+es: %:l3ulo de un valor u"uro o s"o3H inal B dada una serie de i!posi3iones iuales BA deposi"ados al inal de 3ada uno de los CnC perodos a una "asa de in"er=s CiC<
'r:i3o>
K
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A
A
A
0
,
A n-
F
n
Apli3ando la or!ula F P B G i n 2 de"er!inada en Ba2 para 3ada pao BA se "iene> F A B G i n- G A B G i n-, G <<<<< B G i F A B G i n G A B G i
n-
G <<<<<< G A B G i , G A B G i
res"ando la pri!era iualdad a es"a Ll"i!a2 resul"a> F
El a3"or2
=
A
(1 + i ) n − i
(1 + i ) n −
1
1
se deno!ina “a3"or de A!or"i1a3ión de una serie de paos o
i
i!posi3iones iuales#2 y se le deno"a 3o!o B?A2 i2 n2 en"on3es>
F 9 A F A; i; n! E9e!plo> %al3ular el !on"o de una serie de . paos de S?< 00 6e36os al inal de 3ada año al 5 de in"er=s 3o!pues"o anual> 00 0 i F 5 anual<
00
00
F 00 00
,
/
4
.
El pun"o !ar3ado 3on 0 B3ero es el presen"e o ini3io del año y el !ar3ado 3on es el inal del año y 3o!ien1o del año ,< El valor u"uro se puede 3al3ular por par"es apli3ando la ór!ula F P B?P2 i2 n para 3ada valor A2 pero es !as :3il apli3ando la ór!ula en3on"rada en B3 as se "iene> F
(1 + 0.06) 5 − = (100 ). 0.06
1
=
S / . 563.7
ALn !:s sen3illo resul"a 3on la no"a3ión del a3"or< F 00 B ? A2 52 . F 00 B.<5/K F S?< .5/
d. Fa&tor de a%orti8a&ión &onstante o 6a&tor de &a-ita+i8a&ión en serie de -agos ig*a+es: Despe9ando A en la ór!ula 6allada en B3 se "iene>
8
TEORIA DE INVERSIONES
=
A
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i (1 + i ) n −
F
El a3"or ;ue resul"a2
i n
(1 + i ) −
1 1
se deno!ina “ a3"or de a!or"i1a3ión 3ons"an"e o
a3"or de a!or"i1a3ión en serie de paos iualesC2 en"on3es>
A 9 F A F; i; n! E9e!plo> Si se desea a3u!ular S?< .5/ A
=
(563.7 ).
= ) − 1
0.06 5 1 +0.06
(
S / .100
e. Fa&tor de re&*-era&ión de &a-ita+: %:l3ulo de A dado un valor presen"e P2 i y n< De las rela3iones an"erior!en"e en3on"radas "ene!os> A
=
i (1 + i ) n −
F
1
F
= (1 + i )
n
Ree!pla1ando el valor de se o7"iene A
=
i.(1 + i ) n n (1 + i ) −
P
n i. 1 + i n 1 +i − 1
(
El a3"or
(
)
1 se deno!ina > a3"or de re3upera3ión de 3api"al>< Se le desina>
)
BA?P2 i2 n en"on3es>
A 9 P A P; i; n! E9e!plo> S?< 002000 inver"idos al .0 de in"er=s 3o!pues"o 3api"ali1a7le anual!en"e2 su!inis"rar:n 8 paos de in de año de> Solu3ión> 'r:i3o> - 00000 0
A
A<
A
A A -------------------------- ------ , K 8
0.5.(1 + 0.5) 8 = (100,000). (1 + 0.5) 8 − 1 =
$sando la no"a3ión del a3"or y las "a7las>
@
S / . 52, 032
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A F 002000 BA ? P2 .02 8 F 002000 J 0<.,0/0 A F S?< .,20/0
6. Fa&tor de+ 'a+or a&t*a+ de *na serie de -agos ig*a+es En la ór!ula an"erior se puede despe9ar P> P = A
(1 + i ) n − n i.(1 + i )
1
n
(1 + i ) − 1 El a3"or ;ue resul"a2 se deno!ina> a3"or del valor a3"ual de una serie de n i.(1 + i ) paos iuales2 se le si!7oli1a 3on BP?A2 i2 n2 en"on3es> P 9 A P A; i; n! E9e!plo> El valor a3"ual de una serie de 8 paos anuales iuales de S?< .,<0/ al .0 de in"er=s 3o!pues"o anual ser:> P
(1 + 0.5) 8 − 1 = = ( 52.37 ). 0.5.(1 + 0.5) 8
S / . 52,032
$sando la ór!ula en3on"rada> BP ? A2 .02 8 F .,20/0 J 2 @,,0 F S?<002 00, Se o7serva error no sinii3a"ivo de , unidades2 !o"ivado por el uso de las "a7las<
g.
CUADRO DE RESUMEN
0
TEORIA DE INVERSIONES
N
EPRESION +ATE+ATI%A
= P (1 + i ) n 1 P = F n (1 + i ) (1 + i) n F = A i i A = F n (1 + i ) (1 + i )n − 1 P = A n i(1 + i) i (1 + i )n A = P n (1 + i ) − 1
, / 4 . 5
F
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NOTA%ION $SANDO E& SI'&AS EN A%TOR IN'&ES F P B?P2 i2 n
%%P$
P F BP?2 i2 n
VPP$
F A B?A2 i2 n
%%S$
A F BA?2 i2 n
A
P F A BP?A2 i2 n
VPS$
A F P BA?P2 i2 n
R%
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PRO=LEMAS: <- Si una persona deposi"a S?< 500 6oy2 S?< /00 dos años !as "arde y S?< 400 de a;u a 3in3o años< M%u:n"o "endr: en su 3uen"a den"ro de die1 años si la "asa de in"er=s es del . Solu3ión> El valor u"uro es iual a la su!a de los paos Lni3os individuales en el año 0 de es"a !anera> F 500 B ? P2 .2 0 G /00 B ? P2 .2 8 G 400 B ? P2 .2 . F 500 B<5,8@ G /00 B<4KK4 G 400 B<,K5/< F S?< 2@/< ,<- M%u:n"o dinero es"ar: dispues"o a paar a6ora por un paar= ;ue produ3ir: S?<500 anuales duran"e nueve años a par"ir del a ño en"ran"e2 si la "asa de in"er=s es del K Solu3ión> P F 500 BP ? A2 K2 @ F 500 B5<.., F S?< /2@0@< /<- De"er!inar el valor presen"e a la "asa del 0 anual2 de las siuien"es 3an"idades S?< /00 a 3o!ien1o del año /2 S?< 400 al inal del año .2 y S?< ,00 al inal del año 5< Solu3ión> /00
P9> 0
,
/
4
400
,00
.
5
P F /00 BP ? 2 02 , G 400 BP ? 2 02 . G ,00 BP ? 2 02 5 F /00 J 0<8,54 G 400 J 0<5,0@ G ,00 J 0<.54. F S?< 50@<, 4<- M%u:l es el lu9o unior!e e;uivalen"e del pro7le!a an"erior Solu3ión>
,
TEORIA DE INVERSIONES
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A
A
A
A
A
A
,
/
4
.
5
0 P
A F 50@<, BA ? P2 02 5 A F S?< /@<8K .<- %al3ule el valor presen"e al 0 de las 3an"idades 3olo3adas en la siuien"e es3ala de "ie!po> BP 00
00
00
0
,
/
00
00
4
.
00 5 años
Solu3ión> A 3on"inua3ión se presen"a dos !="odos de solu3ión> Pri!er +="odo> a Se 3al3ula el valor presen"e de las 3an"idades 3onsideradas 6as"a el año ,< 7 Se 3al3ula el valor u"uro de las "res Ll"i!as 3an"idades y se "raslada al año 3ero< 3 Se su!an los resul"ados< a< P F 00 B P ? A2 02 , G 00 F ,K/<5 7< P, F 00 B ? A2 02 / BP ? 2 02 5 F 85<8 3< P F P G P, F S?< 450<4 Seundo +="odo> a Se adi3iona S?< 00 en el año / para 3o!ple"ar la serie2 se "raslada al presen"e y se dis!inuye la 3an"idad e;uivalen"e su!ada an"erior!en"e< 'r:i3a!en"e se "iene> 00
00
00
0
,
/
00
00
00
4
.
5
00 P F 00 BP?A2 02 5 G 00 - 00BP?2 02 / F S?< 450<4 5<- Si una persona puede 6a3er 6oy una inversión ;ue re;uiere un as"o de S?< /2000 para re3i7ir S?< .2000 den"ro de . años< M%u:l ser: la "asa de re"orno so7re la inversión Solu3ión> .2000
/
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0
,
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/
4
.
/2000 P F BP?2 i2 n /2000 F .2000 BGi . BGi. F .?/
i F 0
K<- $na repara3ión ee3"uada en la a3"ualidad evi"ar: o"ras repara3iones2 si la repara3ión a3"ual 3ues"a .2000 dólares y el valor 3ronolói3o del dinero es ,0< MA 3u:n"o de7era elevarse el 3os"o de las repara3iones al año siuien"e2 para 9us"ii3ar ;ue se ee3"Le di36a repara3ión en el !o!en"o a3"ual Tó!ese en 3uen"a "a!7i=n una p=rdida por produ33ión de 400 dólares 6as"a el inal del año siuien"e> Solu3ión> -.000 0
F -400 Año
.000 F B - 400 BP?2 ,02 F 5 400< Repara3ión de in de año de7er: ser !ayor ;ue 52400 dólares para ;ue se 9us"ii;ue el 3os"o de repara3ión a3"ual<
4
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.
TEORIA DE INVERSIONES
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CAPITULO
#
#. TIPOS DE TASAS DE INTERES: #.1 Tasa de Interés No%ina+ in! &a "asa de in"er=s no!inal viene a ser una "asa anual de in"er=s donde "a!7i=n se espe3ii3a la re3uen3ia de 3onversión Bo nL!ero de periodo de 3onversión y a par"ir de es"a inor!a3ión se de"er!ina la "asa de in"er=s del periodo < #." Tasa de Interés Pro-or&iona+ o de+ Periodo i-!
Es el in"er=s ;ue ana la unidad !one"aria en un periodo por lo eneral !enor de un año< &a "asa de in"er=s propor3ional se 3al3ula dividiendo la "asa no!inal en"re el nL!ero de perodos B! 3onsiderados< E9e!plo> &a "asa de in"er=s no!inal Bi n es 50 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e< Se pide 3al3ular la "asa de in"er=s propor3ional del periodo Bi p< m
= 12meses
i p
=
3meses
in
m Ip F .
E9e!plos de "asa de in"er=s no!inal 3on sus respe3"ivos periodos de 3onversión as 3o!o su 3orrespondien"e "asa de in"er=s del periodo>
Tasa no%ina+ de interés , 3onver"i7le anual , 3onver"i7le se!es"ral , 3onver"i7le "ri!es"ral , 3onver"i7le !ensual
Periodo de &on'ersión Por a/o %! , 4 ,
Tasa de interés de+ -eriodo i-! , 5 /
#.# Tasa de Interés E6e&ti'a ie!
Es el in"er=s ;ue ana la unidad !one"aria en un año2 dependiendo de una "asa de in"er=s no!inal y el nL!ero de periodos de 3api"ali1a3ión< Dedu33ión de la ór!ula> P F $na 3an"idad presen"e 5
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F $na 3an"idad u"ura B al 3a7o de un año in F Tasa de in"er=s no!inal ! F NL!ero de perodos en el año< ie F Tasa de in"er=s ee3"iva ip F Tasa de in"er=s del perodo< ie
= (1 + i p ) m − 1
F = P (1 + i p ) m
En un año se "iene ;ue F P BGi e2 ree!pla1ando el valor en la eJpresión an"erior se o7"iene>
P = (1 + ie) = P(1 + i p) m ie
in (1 + ) m m
=
ie =(1 +i p) m
1
−
1
−
E9e!plo> Si un 7an3o paó , de in"er=s anual 3api"ali1ando "ri!es"ral!en"e M%u:l es el valor u"uro en un año de S?< 00< Solu3ión> P F 00 in F , m
=
12 3
=4
00 0
F Bun año o 4 "ri!es"res
4
F P B G i p ! F 00BG0<0/4 F 00 B?P2 /2 4 F ,<.. De la eJpresión F PBGi nn 2 donde Bi n es el in"er=s no!inal anual y n el nL!ero de años ;ue se dedu3e2 en el AneJo (2 las ór!ulas de in"er=s 3o!pues"o 3on"inua!en"e< &a "a7la siuien"e nos !ues"ra el ee3"o de la re3uen3ia de 3api"ali1a3ión>
Tasa de Interés No%ina+ &on &a-ita+i8a&ión
Tasa de Interés E6e&ti'a
K
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. anual . se!es"ral . "ri!es"ral . !ensual
.<0000 .<05,. .<0@40 .<50
#.( Tasa de Interés ?en&ida i ! Es la "asa de in"er=s ;ue se apli3a 3o!o a3"or al 3api"al ini3ial BP2 para o7"ener un in"er=s BI en la unidad de "ie!po< Si se desea 3ono3er el in"er=s anado en la unidad de "ie!po se 6a3e uso de la ór!ula siuien"e> IFPi &a 3an"idad a3u!ulada al inal del perodo se o7"iene de> FPGI &as dedu33iones de las ór!ulas ee3"uadas en B,<, se 6i3ieron apli3ando el 3on3ep"o de "asa de in"er=s ven3ida<
#., Tasa de Interés Ade+antado o Tasa de Des&*ento d! Es la "asa de in"er=s ;ue se apli3a 3o!o a3"or al valor inal B2 para o7"ener un in"er=s BD2 deno!inado des3uen"o o in"er=s adelan"ado< Si se desea 3ono3er el des3uen"o en la unidad de "ie!po se 6a3e uso de la siuien"e ór!ula> DFd %o!o se o7serva la "asa de des3uen"o es reerida a una 3an"idad u"ura y la "asa de in"er=s a una 3an"idad presen"e< En 3onse3uen3ia la 3an"idad presen"e se 3al3ula !edian"e> PF-D Rela3ión en"re la Tasa de In"er=s Bi y Des3uen"o Bd Se puede 3al3ular el des3uen"o Bo in"er=s en una unidad de "ie!po2 usando la "asa de des3uen"o o la "asa de in"er=s< En el pri!er 3aso En el seundo 3asa
D F d <<
Para D F I2 por "an"o se iuale Ba 3on B7 dFPi d =
Para un perodo se "iene>
P i
<<<
F
F P B G i
8
B3
<<< BdQ
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Ree!pla1ando el valor de BdQ en B3< d
=
Pi P(1 +i)
=
i 1 +i
En es"a ór!ula se o7serva ;ue la "asa de des3uen"o es !enor ;ue la "asa d e in"er=s< &a ór!ula "a!7i=n se puede presen"ar de la siuien "e !anera> i =
d 1- d
#.Tasa de Interés a+ Re4atir: Es una "asa de in"er=s ;ue se 3o7ra so7re los saldos de la deuda pendien"e< Por e9e!plo Si "ene!os una deuda de S?< 002000 al 50 paadera en 3ua"ro 3uo"as se!es"rales< En el pri!er se!es"re el pao por 3on3ep"o de in"er=s as3iende a S?< /02000< 50 BS?<00<000 , En el seundo2 la deuda pendien"e es S?< K.2000 Bse a!or"i1ó la 3uar"a par"e de la deuda2 los in"ereses son S?< ,,2.00< 50 BS?< K.2000 y as su3esiva!en"e< ,
Pro4+e%as: 1.@ M%u:l es el in"er=s ei3a1 de un inversionis"a ;ue paa por un 7ono la 3an"idad de S?< 82000 el 3ual "iene una an"iedad de 8 !eses2 siendo el valor no!inal de S?<,2 .00 3on un in"er=s no!inal de ,0 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e y 3on un "ie!po de re"en3ión de año< Solu3ión> -/.00
0 ip
=
20% 4
año = 5% = it
allando el > F /2.00 B?P2 .2 4 F 42,K. 8000 0
F 42,K.
8
,
F 82000 B?P2 i n2 4
42,K. F 82000 B? P2 i n2 4
B G ie F B G i n ,
0<./ F B ?P 2 i n 2 4
ie F B G i n , - F.K<5
@
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".@ $na e!presa 3ons"ru3"ora re3i7ió en 3alidad de pr=s"a!o2 la 3an"idad de S?< /02000 a paarse en / !eses< &a "asa de in"er=s "ri!es"ral es de 0< %al3ular el in"er=s2 el !on"o "o"al y la "asa de des3uen"o si en luar de pr=s"a!o se reali1a una opera3ión de des3uen"o< Solu3ión> %o!o I F D
IF-P
F P BG i F /02000B G 0< I F /2000 D F I F /2000 F d
d
d
= =
D F
=
13,000
x100
143,000
0.1 0.1 +1
= 9.09%
#.@ Se ne3esi"a S?< 800 para 3o!prar unas 3o!pu"adoras en los próJi!os / años2 se desea sa7er 3u:n"o se de7e dela3"ar !ensual!en"e a un in"er=s no!inal anual de , 3api"ali1a7le se!es"ral!en"e< Solu3ión> A
0
A
!F,
A F 82000
, in m
/5
!eses
= is = 6%
B G is F B G i ! 5
B G is ?5 - F i !
En los / años se "endr:> A F BA?2 i!2 /5 A F 82000 BA?2 0<@K2/5 A F 85
(.@ M%u:n"o dinero 6a7r: ;ue re"irar de una 3uen"a de a6orros si es"os re"iros se reali1an se!es"ral!en"e 2 de7ido a inversiones ;ue se reali1an en la 3o!pra de 7onos< Al 3a7o de , años se posee en la 3uen"a de a6orros S?< .02000< Para no ae3"ar di36o saldo se deposi"a !ensual!en"e una pe;ueña su!a de S?< 00 a la "asa de in"er=s de , 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e< Solu3ión> !F4 im m
= it =
P 12% 4
= 3%
,0
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0
i" F /
0 B G in F B G i "
"ri!es"res
,
/ !eses
/
in F B G i" ?/ in F 0<@@ Anali1ando los depósi"os> F A B?A2 i n2 ,4 F A B?A2 i2 n F 00 B?A2 i n2 ,4 Anali1ando los re"iros> F A B?A2 i n2 n , F - A B?A2 i s2 4 De F .02000 .02000 F 00 B?A2 i n2 ,4 - A B?A2 i s2 4 allando is> B G is F B G i " , is F B G i" , - is F 5<0@
Del 'r:i3o> -A
0
-A
00
00
00
00
00
,
5
,
,4 !eses
−150,000
A
=
100( F / A, in,24)
A
=
100( F / A,0.99%,24)
( F / A, is, 4)
−150,000
( F / A,6.09%,4)
A F -//25,K<@5
,.@ Se "iene un 7ono 3on un valor no!inal de S?< 20002 3on una vida de , años y 3on un in"er=s !ensual del , < %u:n"o es"ara dispues"o a paar por el 7ono es"e inversionis"a si 6an "rans3urrido / !eses desde la vien3ia< El i n"er=s ei3a1 es del /5 < Solu3ión> Pinv F ,0
,0
,
2000 ,0
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0
,
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/
4
.
,4
In"er=s +ensual BI> I F Vn ip F B2000 B0<0, F ,0 ieF 0 iinv F B
iinv 2
Pinv F8@
.@ Si una persona deposi"a S?<2 000 6oy2 /2000 den"ro de 3ua"ro años y 2.00 de 5 años2 a una "asa de in"er=s del 5 anual 3api"ali1ada se!es"ral!en"e M%u:n"o dinero "endr: en su 3uen"a den"ro de 0 años Solu3ión> 000 0 0
/000 ,
, 4
/ 5
.00
F
4 . 5 K 8 @ 0 P
Pri!er +="odo> %onsis"e en 3al3ular el in"er=s ee3"ivo anual y lueo u"ili1arse para en3on"rar en el año 0< ie F B G 0<05?,, - F 5<0@ En"on3es> F 2000B?P2 5<0@20 G /000B?P2 5<0@25 G .00B?P2 5<0@24 F S?< K2@8/
2<- %al3ular el depósi"o !ensual ne3esario para a3u!ular S?<.2000 en . años a un 5 no!inal anual 3api"ali1ado diaria!en"e<
,,
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Solu3ión> .2000 A
A
A
A
0
,
.@
AF 50 !eses
El in"er=s ee3"ivo !ensual se 3al3ula de la !anera siuien"e> Inter!s. Diario
= id = 0.06 360
Se 3onsidera 3o!o /0 el nL!ero de das por !es2 por 3onsiuien"e eJis"en /0 perodos de 3api"ali1a3ión en el !es< In"er=s ee3"ivo del perodo> i! F 0<.0 En los 3in3o años 6ar: un "o"al de 50 depósi"os< im
= (1 +
0,06 360
)
30
−1
A F BA?2 0<.02 50 A F .2000 B0<04/4 A F S?< K
0.@ $na persona "iene un 7ono de Re3ons"ru33ión 3on un valor no!inal de S?< 002000 al .5 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e y 3on periodo de vien3ia de , años M%u:n"o es"ara dispues"o a paar por el 7ono un inversionis"a ;ue desea anar el @0 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e Solu3ión> 002000 0 0
F ,
/
4
.
5
K
, 8
años "ri!es"res
El poseedor del 7ono re3i7ira al 3a7o de dos años la siuien"e 3an"idad< F 002000B?P2 .5?42 8 F S?< ,8.2.,@ El inversionis"a de a3uerdo a lo ;ue el desea anar2 es"ara dispues"o a paar en el presen"e> P F ,8.2,.@ BP?2 @0?42 8 P F S?< .5,.4
,/
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.@ $na persona "iene 7onos de S?<2 000 3?u al 50< El in"er=s se paar: "ri!es"ral!en"e siendo el "ie!po de vien3ia de . años< Si un inversionis"a desea anar el @0 3api"ali1a7le !ensual!en"e< M%u:n"o es"ara dispues"o a paar por 3ada 7ono Solu3ión> .0 .0 0 0
,
.0 .0 /
4
2000 . años ,0 Tri!es"res
Da"os del (ono> Valor No!inal F S?< 2000 Dura3ión Bn F . años o ,0 B"ri!es"res Tasa no!inal Anual F 50 Tasa "ri!es"ral F i In"er=s Tri!es"ral F . J 2000 F S?< .0 Da"os del Inversionis"a> Tasa No!inal Anual F @0 Tasa +ensual i ! F K<. El inversionis"a al ad;uirir el 7ono en el presen"e B"F0 re3i7ir: en el "rans3urso de los . años2 las 3an"idades ;ue se !ues"ran en el r:i3o pero 3o!o =l desea o7"ener el @0 3api"ali1a7le !ensual!en"e de7er: 6a3er los siuien"es 3:l3ulos para de"er!inar la 3an"idad e;uivalen"e a paar por el 7ono< Pro3edi!ien"o> a %al3ular la "asa ee3"iva "ri!es"ral ya ;ue el inversionis"a desea una 3api"ali1a3ión !ensual< 7 %al3ular el valor presen"e de las 3an"idades del r:i3o2 3on la "asa de"er!inada en Ba< a< BGr F BGi !/ r F B20K. / - r F 0<,4,/ 7<
%an"idad dispues"a a paar por 3ada 7ono BVP F Valor presen"e VP F .0 BP?A2 ,4<,/2 ,0 G 000 BP?2 ,4<,/2 ,0 VP F S?< 5,4
1<- Die1 3o!pañeros de "ra7a9o de una e!presa de3iden 3onor!ar una 9un"a en las siuien"es 3ondi3iones> •
El Apor"e a3ordado de 3ada par"i3ipan"e ;ue no 6a o7"enido la Uun"a de7er: ser de S?< 002000 !ensuales<
•
&a 3an"idad "o"al re3audada al inal de 3ada !es se 6a de sor"ear en"re los par"i3ipan"es ;ue aLn no 6an o7"enido el !on"o<
,4
TEORIA DE INVERSIONES •
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El avore3ido en el sor"eo del !on"o2 ad;uiere el 3o!pro!iso de devolver en los !eses res"an"es2 la 3an"idad adeudada en 3uo"as !ensuales iuales 3onsiderando para di36o 3:l3ulo una "asa del . de in"er=s !ensual a in de 3o!pensar el ee3"o de la inla3ión<
Se pide 3ons"ruir un"a "a7la donde se señale los apor"es !ensuales de 3ada par"i3ipan"e< Solu3ión> Pri!er +es> &a 3an"idad "o"al re3audada en el p ri!er !es en !iles de soles2 es> P F 00 J 0 F S?<000 Si el pri!er par"i3ipan"e o7"iene la Uun"a2 en"on3es su deuda es> D F 2000 - 00 F S?< @00 Por 3onsiuien"e el pao !ensual B3uo"a duran"e los @ !eses siuien"es es> A F @00 BA?P2 .2 @ A F S?< ,5
000 B00
A
A
,
@
A 0
Seundo +es> %an"idad Re3audada> P F B00 J @ G ,5 D F 20,5 A F 8,
20,5
B00 ,
A
A
A
/
@
0
En eneral se puede apli3ar la siuien"e ór!ula para en3on"rar la 3uo"a !ensual de 3ada par"i3ipan"e ;ue 6a o7"enido la Uun"a< A F P - 00 B?A2 .n BA?P2 . 0 - n n> 2,<<<<<<20 Apli3ando es"a ór!ula se o7"iene la siuien"e "a7la>
,.
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Par"i3 +es , / 4 . 5 K 8 @ 0
PA-440
,
/
00<0 ,5
00<0 ,K
00<0 ,K<5 -
<<<<<<<<<<<< < <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<
5
K
8
00<0 ,@< -
00<0 ,@<5 -
00<0 /0< -
11<- %al3ular la "asa de in"er=s ven3ida y ee3"iva de S?< 000 a @0 das si el des3uen"o es de S?< /0 Solu3ión> DFd d F B/0?2000? 0</ i F 4<@4 i
=
d 1 − d
ie F BGin
n F /50?@0
ie F K4<.. En 3onse3uen3ia las "asas de in"er=s ven3ida y ee3"iva son 4<@4 y K4<.. respe3"iva!en"e<
1".@ Si la "asa ee3"iva anual Bi e es 40 M%u:l es el des3uen"o BD de un le"ra por S?<00 ;ue ven3e den"ro de @0 das< Solu3ión> F S?<00 ie F 40 Perodo Bp F @0 das NL!ero de perodos en el año Bn F /50?@0 F 4 %:l3ulo del in"er=s del perodo Bip ie F BGipn - %:l3ulo de la "asa de des3uen"o Bd
,5
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d =
ip 1 + ip
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<<<<<<<<<
%:l3ulo del des3uen"o D DFd D F S?< 8<0K Adi3ional!en"e 3on la inor!a3ión an"erior2 se 3al3ula el in"er=s del perodo< P ip F d F D D
ip
=
ip
=
ip
p
d F − D
=
8.07 100 − 8.07
ip F 8
PF-D
P
0
@0 das
1#.@ %on una "asa del . "ransór!ese la siuien"e serie no unior!e en una serie unior!e> una su!a de S?< ,02000 se presen"a al 3o!ien1o del pri!er año2 en los die1 años siuien"es2 se presen"an su!as de S?< 82000 al inal de 3ada año duran"e los pri!eros 4 años y 02000 al inal de 3ada año duran"e los 5 años res"an"es< Se presen"an su!as 3o!ple!en"arias de S?< 52000 al prin3ipio del "er3ero y el seJ"o año< Solu3ión> BEn !iles de nuevos soles El diara!a de lu9o ser: el siuien"e> 5 ,0 0
8
8
5 8
8
0
0
0
0
0
,
/
4
.
5
K
8
@
0 0
%:l3ulo de la serie anual> A F ,0 G 8BP?A2 .2 4 G 0 BP?A2 .2 5BP?2 .2 4 G 5 BP?2 .2 , G 5BP?2 .2 . BA?P2 .2 0 A F S?< 4/4.5
1(.@ De"er!inar el valor de una 3an"idad de Soles2 sa7iendo ;ue se ee3"La los siuien"es depósi"os> ,K
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G S?<00
al ini3io del año al inal del año /
A un in"er=s del , 3api"ali1ado !ensual!en"e< Es"os depósi"os 6an de 3u7rir 5 paos "ri!es"rales de s?
So+*&ión: B
B1
A
A
A
A
A
A
0
,
/
4
.
A F /00
5
?a+or Presente de +os De-ósitos: P F G BG00 BP?2 2 /5 <<<<<<<<<<<<<<<<
?a+or Presente de +os Pagos Tri%estra+es: P F /00 G /00BP?A2 ip2 .W BP?2 2 48<<<<<
ip
0.03
3
3 −1 = 3.0301%
Iualando B y B, se "iene> x
=
x
+100
(1.01)
36
=
1.786.5
(1.01) 48
F S?< K85
1,.@ $na persona "iene un 7ono de S?< 2000 al K0< El in"er=s se paar: "ri!es"ral!en"e siendo el "ie!po de vien3ia de 5 años< Si un inversionis"a desea anar el 00 3api"ali1a7le 3ada dos !eses M%u:n"o es"ara dispues"o a paar por el 7ono So+*&ión : =ono:
= (70 / 4)%
i p
I F S?< 2000J0<K. n F ,4 perodos
P F K.BP?A2,52,4 G 2000BP?2,52,4 P F S?< 5K4<4
In'ersionista i p
= (100 / 6)%
$"s"s de inte!#s t!imest!" (i $ )
1.5 1
iT = 1 +
6
−1 = 26%
,8
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1.@ $na persona "iene un 7ono de Re3ons"ru33ión 3on las siuien"es 3ara3"ers"i3as> • • • •
Valor no!inal de S?< 00 Tasa de in"er=s > .5 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e Vien3ia del 7ono > dos años +eses ;ue al"an para su reden3ión > / M%u:n"o es"ara dispues"o a paar por el 7ono un inversionis"a ;ue desea un rendi!ien"o ee3"ivo de 8
So+*&ión: 1
Pi 9 >
F
<
<<
<
56
<<
,4 !eses
% = 14%
4
Valor del 7ono al 3a7o de dos años B F 00 B?P242 8 F S?< ,8.2,.@
$"s" de inte!#s de pe!'&d& i p p"!" e ine!si&nist". = 8.99%
i p
+on"o ;ue puede paar el inversionis"a BP p
,
=
F
(1 + i )
n
=
285.259
(1.0899) n
P F S?< @/<.5
12.@ $na persona ;ue depósi"o en una en"idad inan3iera una su!a A2 6a3e "res años2 desea de"er!inar la 3an"idad de dinero ;ue "iene en el presen"e2 3uen"a para ello 3on la siuien"e inor!a3ión> Año
Tasa de In"er=s
, /
50 K0 @0
%api"ali1a3ión !ensual ;uin3enal diario
a M%u:n"o dinero posee al 3a7o de / años 7 M%u:l es la "asa ee3"iva y la "asa no!inal e;uivalen"e de una 3api"ali1a3ión "ri!es"ral
,@
TEORIA DE INVERSIONES
So+*&ión:
PA-440
A
1
"
#
?a+or en e+ a/o # A #! 3 * (1
0.6 12
12
)
(1
0.7 24
)
24
(1
0.9 360
)
360
A/ F 8
Tasa e6e&ti'a e)*i'a+ente ie! AB G ie/ F 8
Tasa no%ina+ e)*i'a+ente in! in ie
= (4 2.0643 − 1) x 4
4
4 i
= 1 + − 1
in F K@<45
10.@ $na i!por"an"e 3o!paña !anua3"urera 3o!pró una !a;uina se!iau"o!:"i3a por un valor de S?</2000< Su !an"eni!ien"o anual y el 3os"o de opera3ión as3endieron a S?< 2K00< %in3o años despu=s de la ad;uisi3ión ini3ial2 la 3o!paña de3idió 3o!prar una unidad adi3ional para ;ue la !a;uina uera "o"al!en"e au"o!:"i3a< &a unidad adi3ional "uvo un 3os"o oriinal de S?
K200 2K00 <<< 2K00
1
...
,
2800 Bven"a <<< @00
@00
...
1
?a+or -resente de +as ad)*isi&iones 5 +a 'enta<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
/0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
?a+or -resente de+ &osto de o-era&ión<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Costo an*a+ *ni6or%e A! A F BP G P,BA?P2@25 F S?< /2//@
1.@ Al ini3io del pri!er año2 la persona A 6a3e un depósi"o de S?<00 en una en"idad inan3iera< &a "asa de in"er=s es del 80 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e2 al "=r!ino del pri!er se!es"re del pri!er año2 o"ra persona ( 6a3e un depósi"o de S?< 00 en o"ra en"idad inan3iera a una "asa del @0 de 3api"ali1a3ión 3on"inua< M %uan"o "ie!po 6a de "rans3urrir para ;ue la persona ( "ena .0 !:s ;ue A< So+*&ión: A : 1 0
,
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
años
,
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
años
80 3ap< "ri!es"ral
=: 1 <
0 @0 3ap< 3on"inuo
C+&*+o de+ 'a+or 6*t*ro de AFA! A F PB?P2 ,02 n F 00 B G 0<,0 4Wn F 00 J B,<0K/5n & de " t"s" de inte!#s "n" (i + )
100 0.9100 i " p " = e = − 1 == 155.96% ⇒ 146% m ( ) e
e
0.9 x0.5
C+&*+o de+ 'a+or -resente =P=! Ca+&*+o de+ 'a+or 6*t*ro de =F=! ( F 5/
n F ,<5/ años<
".@ $n señor "iene s? ,0000 ;uiere deposi"ar el dinero sui3ien"e 3on el in de o7"ener s? .0000 para edu3ar a su 6i9oY si el 6i9o "iene . años y 3o!ien1a sus es"udios a los 8 años M %u:n"o de7er: deposi"ar el señor 3on el in de poder anar un 8 de in"er=s 3on 3api"ali1a3ión "ri!es"ral< So+*&ión:
/
TEORIA DE INVERSIONES
PF . 5
PA-440
F .0000 8
K
X<<
1
"
..
1#
in F 8 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e "ene!os ;ue ! F 4 en"on3es > i p =
in m
=
8%
= 2%
4
ie F BGip4 - ie F 8<,4 P F BP?2i e2n P F .0000BP?2 8<,42/ P F K85<@4 RTA K85<@4
"1.- M%u:n"o dinero pode!os re"irar "ri!es"ral!en"e duran"e . años de un ondo de re"iro ;ue produ3e 8 de in"er=s anual 3api"ali1a7le se!es"ral!en"e < Se "iene a3"ual!en"e 40000< So+*&ión : P 9 (
A
A X<
0 in
X<
A X<
4
X<
= 8% "n" "pit"i" e semest!"mente i p =
in m
=
8
=4
2
i" F BG0<04?, - i" F <@8 A F PBP?A2i"2n A F 40000BP?A2<@8250 A F 4.<. RTA 4.<.
/,
.
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
""<-M%u:n"os depósi"os !ensuales de 4. de7e ee3"uar una persona 3on el o79e"o de a3u!ular 0000 si la "asa de in"er=s es del 0 anual 3api"ali1a7le se!es"ral!en"e So+*&ión: 4. 4.
4.
4. X<
0
,
/
X<
n
in F 0 anual 3api"ali1a7le se!es"ral!en"e ip 9
in 2
9
10
9 .
2
i! F BG0<0.?5 - i! F 0<8, Sa7e!os > F A B?A2i!2n 0000 F 4. B?A20<008,2n
(1 + 0.0082) n − 1 10000 = 45 0 . 0082 1.182
= (1.0082)
n
lo<8, F n lo<008, n F ,0 RTA F ,0
"#.@ Die1 par"i3ipan"es en una Uun"a B00 ? 3u< &a !odalidad para o7"ener la 9un"a es al re!a"e< El pri!er !es salió 3on El seundo !es salió 3on El "er3er !es salió 3on
.0< 50< K.<
Al inal del 3uar"o !es un par"i3ipan"e por !o"ivo de via9e se re"ira de la Uun"a< Se pide de"er!inar la 3an"idad ;ue se le de7er: en"rear<
So+*&ión: Para el er !es> Re3i7e > 000 Deuda > @00 %uo"a > .0 Z de %uo"as > @
Periodo , / 4
Deuda @00 8K K..<8
In"er=s %uo"a 8< .0 K4<8 .0 58<0 .0
//
A!or"< 5@ K.<, 8,<0
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
%:l3ulo del in"er=s> P F DBP?A2i2@ @00F.0BP?A2i2@ I F 8<@8 aproJi!ando> i F @<00
. 5 K 8 @ 0
5K/<8 .84<4 48K<0 /80<8 ,5.< /@<0
50<5 .,<5 4/<8 /4
.0 .0 .0 .0 .0 .0
8@<4 @K<4 05<, .
%uo"a 50 50 50 50 50 50 50 50
A!or"< K,<. 80< 88<4 @K<5 0K<8 @ /
%uo"a K. K. K. K. K. K. K.
A!or"< K.<@ 8.<. @5
Para el ,do !es > Re3i7e F .0 G @J00 Periodo F 0.0 / Deuda F 0.0 4 B00GB@00G8?@ . F 84< 5 %uo"a F 50 K Z de %uo"as F 8 8 %:l3ulo del in"er=s > @ P F DBP?A2i28 0 84F50BP?A2i28 Y i F 0<4
Deuda 84 K58<. 588<4 500 .0,<4 /,4<5 ,K.<5 44
In"er=s 8K<. K@<@ K<5 5,<4 .,<, 4
Para el /er !es > Re3i7e F .0 G 50 G 8J00 F 0 Periodo Deuda > K80 K. . Z de %uo"as > K 5 %:l3ulo del in"er=s > K P F DBP?A2i2K 8
Deuda In"er=s K80
Para el 4"o !es > Re3i7e F .0 G 50 G K. G KJ00 F 8. Deuda F 8. BBK..<8G58?K GBK58<.GK@<@?K GBK80
"(.@ Se "ra"a de un pr=s"a!o 7an3ario de 40 !illones de soles a una "asa de in"er=s ee3"iva de ,K2 pero el (an3o 3o7ra el in"er=s por adelan"ado< Se de7e 6allar la Tasa de Des3uen"o e;uivalen"e y los 3uadros de repao de la deuda a lo laro de 4 !eses Ba 3uo"as de3re3ien"es2 3ons"an"es y 3re3ien"es
So+*&ión: Siendo>
i F 0<,K 1 − d =
En"on3es>
1 1+i
d F 0<,,5
d F ,<,5< /4
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
1.@CUOTAS DECRECIENTES 800 ,K00
0800
0 .0800
.400 ,K00
,
,K00 ,K00
,K00
/
4
I!por"e Ini3ial F 40 000 000?B-d F .0 800< SA&DO Nro 0 , / 4
A+ORTI[A%IO N ,K00 ,K00 ,K00 ,K00 .0800
.0800 .0800 /800 ,.400 ,K00
INTERES Saldo\0<,,5 0800 800 .400 ,K00 ,K000
,<- %$OTAS %ONSTANTES
10
0 .0800
A1 C1 I1
A" C" I"
,
A# C# I#
I(
/
A G A, G A/ G A4 F .0800 B.0800 AJd G A F % .0800Jd G AB-d F % B.0800 A A,Jd G A, F %, .0800\d G A,B-d AJd F %, B.0800 A- A, - A/Jd G A/ F %/ .0800d G A/B-d A,d Ad F %/ B.0800 A A, A/ A4Jd G A4 F %4 .0800Jd G A4B-d- A/d- A,d- Ad F %4 % F %,
A( C(
.0800Jd G A B-d F .0800Jd G A,B-d Ad A F A, B-d F A/ B-d, F A4 B-d/ A, F A/ B-d F A4 B-d, A/ F A4 B-d
A G A, G A/ G A4 F .0800 F A4 BB-d/ GB-d, GB-d G
/.
4
%$OTA 0800 ,0800 800 .400 ,K00
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
d F 0<,,5 Nro
SA&DO
0 , / 4
.0800<00 .0800<00 4,,/.
A4 F K.4/<@0 F % A+ORTI[A%IO N /.54
INTERES Saldo\0<,,5 0800<00 8@K@<,0 5555
%$OTA 0800<00 K.4/<@0 K.4/<@0 K.4/<@0 K.44<00
/<- %$OTAS %RE%IENTES 0800
.0800
050
.,40
0 .0800
,
/
Nro
SA&DO
0 , / 4
.0800 .0800 4.K,0 /..50 ,0/,0
A%TOR DE A+ORTI[A%IO N ?0 ,?0 /?0 4?0
,0/,0
4
A+ORTI[A%IO N
INTERES Saldo\0<,,5
%$OTA
.080 050 .,40 ,0/,0 .0800
0800 @K,0 K.50 4/,0 /,400
0800 4800 KK,0 @.50 ,0/,0
/5
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
PRO=LEMAS PROPUESTOS 1.@ $na ins"i"u3ión 7an3aria anun3ia ;ue o"ora una "asa del .2,. 3on 3api"ali1a3ión diaria2 ;ue seLn di36o anun3io es e;uivalen"e a una "asa ee3"iva del .
30%
".@ $na 3o!paña !aderera re;uiere in3re!en"ar su 3api"al en , !illones para inan3iar una pe;ueña eJpansión< M%u:l de7era ser el valor no!inal de sus 7onos si los !is!os paaran un in"er=s del , anual 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e y ven3i!ien"o en ,0 años < Supona ;ue los inversionis"as re;uieran una "asa de re"orno del 5 anual 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e< RTA :
2!2"#$"
#.@ $n inversionis"a 3o!pró un 7ono de 2000 dólares al . en 8,.< El in"er=s se paa se!es"ral!en"e y el 7ono ven3e en , años< El 7ono se 3onservó duran"e 8 años y se vendió en 800 in!edia"a!en"e despu=s del pao N 5 de in"er=s< M]u= "asa de re"orno anual n o!inal se 3onsiuió 3on es"a inversión < RTA :
/K
$&"%
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Ca-it*+o ( (. INFLACIN 3 DE?ALUACION: Tra"are!os a;u es"e pro7le!a2 ;ue es !uy 3o!Ln para las personas de "odo el !undo2 ;ue es el 3a!7io 3ons"an"e de los pre3ios los 3uales les 3rean un pro7le!a a a;uellas ;ue "ienen inreso i9o< En es"e 3ap"ulo aprendere!os 3o!o dar 3uen"a de los ee3"os de la inla3ión y la es3ala3ión de 3os"os 3uando es"= !ane9:ndose un an:lisis e3onó!i3o de al"erna"ivas<
(.1 De6ini&iones &a inla3ión B se des3ri7e !:s 3o!Ln!en"e en "=r!inos de un por3en"a9e anual ;ue represen"a la "asa a la 3ual los pre3ios del año en reeren3ia 6an au!en"ado en rela3ión 3on los pre3ios del año an"erior< E9e!plo> Si la "asa de inla3ión anual ue de ,. de"er!inar la inla3ión pro!edio !ensual< Inla3ión en el año F ,. Inla3ión pro!edio !ensual ! F n F año F , !eses Apli3ando la ór!ula de"er!inada en el 3ap"ulo / CTasa de In"er=s Ee3"ivaC2 se o7"iene>
*
m
12
1 - 1
= 12 1 + 1,25
m
=
-1
7%
&a p=rdida del valor ad;uisi"ivo de la !oneda puede eJpresarse !a"e!:"i3a!en"e u"ili1ando el a3"or ?BGi n<
De6+a&tor El dela3"or es un ndi3e de pre3ios 3on el ;ue se 3onvier"e una 3an"idad ^no!inalQ en o"ra ^realQ< Nu!=ri3a!en"e es el 3o3ien"e en"re el P(I no!inal y el P(I real eJpresado en or!a de ndi3e < De a3uerdo al siuien"e 3uadro
AGO @88 @8@ @@0 @@
P=I NOMINAL 40 5420 4. 0,42@ .0 0K42 .4 KK.2,
P=I REAL /. @28 /K 5,,2 /8 @802. /@ @0/2
DEFLACTOR P=I 28 @2K ,82. /K2/
/8
TASA INFLACIN .2K K20 K24 52@
TEORIA DE INVERSIONES @@,
.8 @25
PA-440 40 /K82
4.2@
=
De%lactor$ del$P"I $1991
=
De%lactor .delP"I .1992
Tasa$ in lacion$1992
39903 #1
x100
= 137 #27
P+ − !e" − 1992
=
58911 #6 40378 #1
x100
x100
=
145 #9
De%lactar $1992&De%lactar $1991 x100 De%l actar$1991
=
=
54775 #2
P+ − n&min" − 1992
De%lactor$ del$P"I$1992
Tasa de in lacion$1992
P"I & no mi nal&1991 x100 P"I − real −1991
=
De%lactor$del$P +.1991
52/
145 #9
x100
137 #3
=
6 #3
Ejemplo Nº 1
$n e!pleado re3i7e a3"ual!en"e S?< 4. 3o!o sueldo2 3onsiderando una "asa de in"er=s real de ,0 anual 3on una inla3ión anual es"i!ada de <, < Se pide el valor inal del sueldo al 3a7o de / años< Solución:
4.
0
F
,
/
ir F ,0 anual F 2, $sando>
i! =
i′n
− 1 +
⇒
iQ n F ir B G G
_ ree!pla1ando los da"os "ene!os i`n F ,244
F P B G i` n / F 4. B G i` n / F ,50 F ,50
E7e%-+o NH " Se espera ;ue la inla3ión au!en"e a ra1ón de . duran"e 8 años < Se pide el valor u"uro de la inversión a3"ual de S?< , 000 en una 3uen"a de a6orro 2 3on un rendi!ien"o del 0
/@
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
de in"er=s < Solución:
Se 3al3ula el valor u"uro de S? , 000 sin des3on"ar la inla3ión Bn< De7ido a eso > nF , 000 B ?P2 0 2 8 n F 4 ,8K28 El valor u"uro en unidades !one"arias del !is!o poder ad;uisi"ivo Br se o7"iene dela3"ando n> rF4 ,8K28?BG02. 8 rF 4024
E7e%-+o NH # %ual es la inla3ión !ensual e;uivalen"e B! si se "iene los es"i!adores para los siuien"es "res "ri!es"res> F , 2 , F / 2 / F 4 Solución:
P 0
,
/
PB G ! / F PB G B G , B G / B G ! / F B G B G , B G / B G !/ F BG 02,B G 02/B G 024 ! F ,2@
E7e%-+o NH ( Si un "ra7a9ador "ena 6a3e un año un 6a7er !ensual de S?< 480 y en la a3"ualidad per3i7e S?< K.02 3onsiderando ;ue la "asa de inla3ión anual es de ,.< De"er!inar el poder ad;uisi"ivo del 6a7er a3"ual 3on respe3"o al año an"erior< Solución:
P F S?< 480 P F K.0 P F Poder ad;uisi"ivo del dinero al 3a7o de un año< F ,. n F P F 480
F K.0
40
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
-
0
Dela3"ando se "iene> F
F1 (1 ) 750
F=
(1 + 1,25)
1
= 333,33
%:l3ulo de la p=rdida del poder de ad;uisi3ión 480
///2///
-
0
P=rdida del poder ad;uisi"ivo>
480
= 333,333 1+i
i F - /02.5 &os S?< ///2/// "ienen un poder ad;uisi"ivo de 5@244 3on respe3"o al año an"erior2 o sea ;ue 6a perdido el /02.5 del poder ad;uisi"ivo< &os "ipos de "asas de in"er=s es"udiados en el 3ap"ulo /2 "ienen una 3ara3"ers"i3a en 3o!Ln> inoran la eJis"en3ia de la inla3iónY por eso en el lenua9e de inla3ión se di3e ;ue "odas a;uellas "asas de in"er=s son NO+INA&ES< Al 3on3ep"o de "asa de in"er=s no!inal2 ;ue es el ;ue inora la eJis"en3ia de la inla3ión se opone la no3ión de in"er=s REA&2 ;ue es la ;ue pre3isa!en"e la "iene en 3uen"a< (a9o es"as deno!ina3iones se "iene lo siuien"e> in F "asa de in"er=s no!inal ir F "asa de in"er=s real Se sa7e ;ue> F1 =P(1 +in)<<<<<<<<<<<<<<<<< B
Si se "o!a en 3uen"a la inla3ión se "iene> F1 F= 1+
<<<<<<<<<<<<<<<<< B,
Re!pla1ando B en B, se "iene>
F =P
(1 + in) (1 + )
Por es"ar 3onsiderada la inla3ión2 en"on3es> 4
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
F =P(1 + i! )
P(1 + i! ) = P
i! =
(1 + in) (1 + )
in - 1 +
XXX<<<<<<<<<<
&a ór!ula Nb B/ "a!7i=n se a3os"u!7ra a ser presen"ada de la or!a siuien"e>
BGin F BGir BG
El pro7le!a an"erior Be9e!plo 4 se resuelve de la siuien"e !anera> De B>
750 − 1 100 480
in =
in = 56,25%
F ,.
Apli3ando B/ se "iene>
i! =
i!
(0,5625 - 1,25) 100 2,25
= - 30,56%
&a "asa de in"er=s real es nea"iva2 lo ;ue sinii3a ;ue el 6a7er !ensual del "ra7a9ador 6a perdido poder ad;uisi"ivo< O7servando el nu!erador de la or!ula i − i ! = n 1 +
Se apre3iara de in!edia"o ;ue se "endr: una "asa de in"er=s real posi"iva si el in"er=s no!inal es !ayor ;ue la inla3ión<
Ejemplo Nº 5:
4,
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Si una persona deposi"a una 3an"idad 3an"idad P en soles 3on un in"er=s in"er=s 7an3ario de anual y la !is!a 3an"idad en dólares 3on un in"er=s de 5 anual y una devalua3ión anual de 0< M%u:l op3ión le 3onvendr: Solución:
+oneda Na3ional> P
0
i F
F P B G 02 F 2P +oneda EJ"ran9era > P
Q
0
i, F 5
sea F 3an"idad de de soles por dólar dólar
F =
P
(1 + 0,06)
%onvir"iendo los dólares a soles2 apli3ando la "asa de devalua3ión del 02 se "iene> F (1,1) =
P
(1,06)(1,1) = F2
,F255P &a !e9or op3ión es deposi"ar en dólares< Ejemplo N 6:
$n e!pleado re3i7e re3i7e de sueldo en la a3"ualidad a3"ualidad , 000 soles y al 3a7o de . !eses re3i7e re3i7e @ 0002 asu!iendo una inla3ión !ensual del 2. se pide la "asa "asa de in"er=s real< Soluc Sol ución ión :
P F , 000
F @ 000
4/
TEORIA DE INVERSIONES 0
PA-440
,
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<< . !eses
F PBG inQ . @ 000 F , 000B G inQ . 5
19 12
− 1 = in i! =
De >
in− 1 +
Tene!os >
i −0,015 i ! = n = 0,08 1,015
ir F F 8
Ejemplo Nº 7:
Se pide es"i!ar la inla3ión anual2 si las inla3iones en los "res pri!eros !eses son > F 2/ , F 2, / F 24 %u:l es la inla3ión anual Solución:
0 0
F2/
,F2, ,
/F24
" G " FBG BG ,BG /
/ !eses
"ri!es"re
" F 20/ J 20, J 204 - " F 0204 BG !/ F BG BG ,BG / m
=
3
1,04
−1 =0,013
4 anual anual F BG " F 02K
Ejemplo Nº 8:
Si se espera ;ue la inla3ión au!en"e a ra1ón de ,. anual2 3o!p:rese la inversión
44
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
a3"ual de S?< 0 000 000 en una 3uen"a de a6orro por / años 3on un rendi!ien"o del 80 de in"er=s ee3"ivo anual2 3on la inversión a 3"ual de 0 000 000 en una !:;uina ;ue se ne3esi"ar: den"ro de / años< Solución:
Si la !:;uina au!en"a de pre3io 3onor!e a la inla3ión2 3o!o resul"ado de =s"a2 S?< 0 000 000 den"ro den"ro de / años2 no per!i"ir: per!i"ir: ad;uirirla2 ad;uirirla2 pues"o pues"o ;ue se "iene a una "asa inla3ionaria del ,.2 los S?< 0 000 000 se 3onvier"en en> F 0 000 000 BG2,. / F S?< / @05 ,.0 Es"a 3an"idad "endr: iual poder ad;uisi"ivo ;ue los 0 000 000 a3"ualesY !ien"ras ;ue el depósi"o en el 7an3o a3u!ular: sólo> F 0 000 000 BG 028 / F S?< .8 /,0 000 %an"idad ;ue no per!i"e ad;uirir la !:;uina2 ya ;ue represen"a sólo el .2, del valor de ese !on"o< Para 3al3ular el valor ad;uisi"ivo puede u"ili1arse "a!7i=n el 3uadro de CcNDI%E 'ENERA& DE PRE%IOS A& %ONS$+IDORC<
E7e%-+o NH Si al / de a7ril de @8, una persona ana7a S?< ,.0 000 y al / de a7ril de @8/ ana S?< 400 0002 3al3ular el valor real del dinero al /?04?8/< cndi3e 'eneral de Pre3ios al %onsu!idor Io F ,.420 Bndi3e al /<04<8, I F 40825 Bndi3e al /<04<8/ Solución:
&os ndi3es se pueden "ra"ar 3o!o 3an"idades e;uivalen"es en el "ie!po< ,.420
40825
0 &a "asa de inla3ión es>
F P BG 40825 F ,.4 BG 1 + =
408,6 254
G F 2508K F 5028K Por 3onsiuien"e2 el valor ad;uisi"ivo de 400 000 B es de>
4.
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Valor 3on respe3"o al /<04<8,> F
=
(1 + )
400 000 (1 + 0,6087 )
=248 654
Es"a 3an"idad represen"a2 respe3"o a lo ;ue ana7a al /<4<8, - el @@245 +="odo $sual del %:l3ulo> En la pr:3"i3a se opera de la siuien"e !anera> DE&A%TOR > Valor ad;uisi"ivo >
=
408,6
=
254
=1,6087
400 000 1,6087
=/ 248 650
e iene " se! e 99,46%
4<, De6ini&ión de E'a+*a&ión 5 A-+i&a&iones El "=r!ino de evalua3ión sinii3a si!ple!en"e el re3ono3i!ien"o de ;ue la unidad !one"aria 6a perdido par"e de su valor ad;uisi"ivo y ;ue en 3onse3uen3ia es": siendo a9us"ada a in de rele9ar di36a p= rdida< &a devalua3ión es": reerida a ;ue la !oneda 6a perdido su valor ad;uisi"ivo al 3o!pararlo 3on o"ra !oneda de valor !:s es"a7le<
E7e%-+o NH 1 Se puede ad;uirir 7onos de Re3ons"ru33ión de los "enedores pri!arios paando el /8 del valor no!inal< Es"os 7onos rinden un in"er=s no!inal del .5 3api"ali1a7le "ri!es"ral!en"e2 siendo redi!i7les a los , años< Se puede ad;uirir "a!7i=n %er"ii3ados (an3arios en !oneda eJ"ran9era al 5 anual a /0 das renova7les B3api"ali1a3ión !ensual2 asu!iendo una "asa !ensual de pro7a7le devalua3ión del 42., se pide> a %u:l es el rendi!ien"o anual ee3"ivo para los 7onos de re3ons"ru33ión 7 %u:l es el rendi!ien"o anual del 3er"ii3ado 7an3ario en !oneda eJ"ran9era 3 %u:l es la !e9or al"erna"iva Solución :
a Sea ( el valor no!inal del 7ono y 02/8 lo ;ue se paó por =s"e2 en"on3es al 3a7o de dos años re3i7e F (B?P2.5?428 años Tri!es"res
0
4
, 8
%o!o sólo se 3onvir"ió 0 0 02/8 F BG024 8\ 1
,
(1 + i)
45
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
i F K/2@@ 7 &a inversión en 3er"ii3ado 7an3ario en !oneda eJ"ran9era es 0 02/8 ( años !eses
0
,
Rendimient& "n"
, ,4
=
Rendimient& "n" =
nte!es ne!si;n :0,38+(1 +
100
0,16 12
)12 (1 + 0,0452)12 0,38+
− 0,38+ 100
i F @@2,5 El a3"or BG025?,, se apli3a para de"er!inar el in"er=s de la !oneda eJ"ran9era en un año y el a3"or BG0204., ,se u"ili1a para 3onver"ir la !oneda eJ"ran9era en na3ional ya ;ue 3o!o se !en3iona2 en el enun3iado2 la devalua3ión es 42., !ensual< El rendi!ien"o se puede 3al3ular "a!7i=n de la siuien"e !anera> BGi F BG025?, ,BG0204.,, i F @@2,5 3 &a !e9or solu3ión al"erna"iva es Ba<
E7e%-+o NH " $na 3o!paña invier"e S?< / 000200 anual!en"e duran"e 8 años 3o!en1ando den"ro de un año en un nuevo pro3eso de produ33ión M%u:n"o dinero de7er: re3i7ir al inal del año 8 en !oneda 3orrien"e en ese en"on3es para ;ue la 3o!paña re3upere su inversión a una "asa de in"er=s del / anual y a una "asa de inla3ión del 0 Solución:
Sa7e!os
i F i G i G
i F02/GB02/B020G02 i F 02,4/
A
A
A
4K
F 9>
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
XX 0
,
i F 02,4/
K
8
F AB?A2 i 2n F / 000B?A2,42/28 F .8 00K
E7e%-+o NH# %al3ular 3uan"o dinero se de7e a6orrar anual!en"e duran"e , años una :7ri3a e!pa3adora de 3arne a "rav=s de la re3upera3ión de residuos para 9us"ii3ar un dese!7olso de /. 000 Y si la "asa de in"er=s es del ,0 anual y la "asa de inla3ión del K anual< Solución :
P 9 #,
0
A
A
A
A
,
,
i F ,0 anual allare!os la "asa de in"er=s inlada i F i G G i i F 0<, G 020K G02,J020K i F ,824 Sa7e!os A F P BA?P2i 2n A F /. 000 BA?P2,8242 , A F 0 45
E7e%-+o NH( allar la 3an"idad de !oneda de 6oy y !oneda 3orrien"e en el año 0 ;ue ser: e;uivalen"e a una inversión a3"ual de S?< // 000 a una "asa de in"er=s anual del . y una "asa de inla3ión del 0< 48
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Solución:
a P F// 000 0
F
,
@
0
iF . Sa7e!os F PB?P2 i 2n F // 000 B?P2.20 F // .0/24 7 P F // 000
0
F
,
@
0
i F i GGi i F 02. G02 G02.J02 i F ,52. Sa7e!os F PB?P Yi 2n F // 000 B?P2,52.20 F /45 ,K/
Pro4+e%as Res*e+tos 1.
El eren"e de la "ienda de ali!en"os “SLper r:pido# es": "ra"ando de de"er!inar 3uan"o de7er: as"ar a6ora para evi"ar el as"o de 0 000 den"ro de dos años2 en un e;uipo de reriera3ión< Si la "asa de in"er=s es de /?, !ensual y la "asa de inla3ión es de "a!7i=n !ensual< M%u:l es la !:Ji!a 3an"idad de dinero de la ;ue puede disponer el eren"e para as"ar 4@
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Solución:
P F BP?2 iQ n2 ,4 P=
F (1 + i n )
<<<
24
B
iQn F BGBGir - BG in,4 F BG ,4BGir ,4 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< P=
P=
F (1 + )
24
(1 + i!) 24
10 000 (1 + 0,01)
24
(1 + 0,015)
24
PF . .0@ 2.
A una 36i3a 3on suer"e le a3a7an de inor!ar ;ue su a7uelo !urió y le de9ó una 3uen"a de a6orro de / 000 000< Si el a7uelo a7rió la 3uen"a 6a3e .0 años2 3on un depósi"o Lni3o y nun3a deposi"ó o"ro dólar a la 3uen"a oriinal2 M %u:n"o deposi"ó Supona ;ue la 3uen"a ana in"ereses a una "asa de ,0 anual y la "asa de inla3ión ue de . duran"e ese perodo<
Solución
Al iual ;ue el pro7le!a an"erior< P=
P=
F (1 + )
50
(1 + i ! )
50
3 000 000 (1 + 0,05)
50
(1 + 0,2)
50
PF ,82K4 1.
M %u:n"o dinero podr: as"ar la 3o!paña 'RO] 6oy para evi"ar as"ar . 000 anuales por seis años a la "asa de in"er=s de . y la "asa de inla3ión del 0 anual <
Solución
Sa7e!os ;ue> P=
F (1 + ) 6 (1 + i ! ) 6
.0
TEORIA DE INVERSIONES
P=
PA-440
5000
6 6 PF ,,028< (1 + 0,1) (1 + 0,15)
CAPITULO , ,. PRINCIPALES MODALIDADES DE OPERACIONES FINANCIERAS ,.1 O-era&iones A&ti'as Presta%os &os pr=s"a!os de !ayor in"er=s son los ;ue se o"oran a !ediano y laro pla1o< &a devolu3ión radual de un pr=s"a!o se deno!ina a!or"i1a3ión2 la !ayora de las ve3es se ee3"La paos periódi3os ;ue in3luyen ade!:s los in"ereses2 3o!isiones2 3os"os de operar el 3r=di"o2 e"3< se deno!ina %os"o de %api"al del inversionis"a< &a des3o!posi3ión de los paos en perodos se lla!a prora!a de a!or"i1a3ión<
.
TEORIA DE INVERSIONES • • • • •
PA-440
&as or!as usuales de pao son> Plan de 3uo"as de3re3ien"es< Plan de 3uo"as 3ons"an"es< Plan de 3uo"as 3re3ien"es< Sis"e!a de rea9us"e de deudas<
P+an de C*otas De&re&ientes Ta!7i=n lla!ado C P&AN DE A+ORTI[A%IONES %ONSTANTES C2 7a9o es"a !odalidad ;uien re3i7e un pr=s"a!o lo "iene ;ue a!or"i1ar en par"es iuales adi3ionando ade!:s los in"ereses a re7a"ir o so7re el saldo pendien"e de 3ada perodo ya ;ue los in"ereses dis!inuyen al dis!inuir el saldo de la deuda< o
En el 3uadro N .2 se !ues"ra un prora!a de a!or"i1a3ión para un pr=s"a!o o7"enido 7a9o es"a !odalidad de pao<
%uadro No .2>
Prora!a de A!or"i1a3ión Plan de %uo"as De3re3ien"es
+on"o Pla1o In"er=s In"er=s "ri!es"ral A!or"i1a3ión
> > >
Pe!'&d &
> >
S?<0 000 000 , años F 8 3uo"as "ri!es"rales , G / F . anual .?/ F /
De d "
m&!ti"i;n
$!imest!"
n te!#s <
"d &
&misi;n
$&t" " P"="!
1
10 000,00
1 250,00
375,00
8 750,00
1 625,00
2
8 750,00
1 250,00
328,13
7 500,00
1 578,13
3
7 500,00
1 250,00
281,25
6 250,00
1 531,25
4
6 250,00
1 250,00
234,38
5 000,00
1 484,38
5
5 000,00
1 250,00
187,50
3 750,00
1 437,50
6
3 750,00
1 250,00
140,63
2 500,00
1 390,63
7
2 500,00
1 250,00
93,75
1 250,00
1 343,75
8
1 250,00
1 250,00
46,88
0,00
1 296,88
10 000,00
1 687,50
$>$?
11 687,50
P+an de C*otas Constantes +edian"e es"e sis"e!a vara "an"o las a!or"i1a3iones 3o!o los in"ereses2 pero la su!a de a!7os2 o sea la 3uo"a2 ;ue se 6a de paar en 3ada perodo es 3ons"an"e2 =s"a se o7"iene apli3ando la siuien"e ór!ula> A F P BA ? P2 i2 n A P I n
> > > >
%uo"a o ar!ada 3ons"an"e Prin3ipal o pr=s"a!o Tasa de in"er=s propor3ional NL!ero de perodos
.,
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
%al3ulada la 3uo"a2 se de"er!ina los in"ereses del perodo y por dieren3ia se o7"iene la a!or"i1a3ión del pr=s"a!o en 3ada perodo< En el 3uadro Nb .2, se !ues"ra un prora!a de a!or"i1a3ión para un pr=s"a!o o7"enido 7a9o es"a !odalidad< %uadro Nb .2,>
Prora!a de A!or"i1a3ión Plan de 3uo"as %ons"an"es
+on"o Pla1o In"er=s
> > >
S?<0 000 000 , años - 8 3uo"as "ri!es"rales , G / F .
n te!#s p &! p e!'&d &
3,75%
@ A me!& d e pe !'&d &s B" &! P!in ip " Pe!'&d &
8 t!im est !es 10 000,00
De d "
m&!ti "i;n
$!imest!"
n te!#s <
"d &
&misi;n
$&t" " P"=" !
1
10 000,00
1 094,98
375,00
8 905,02
1 469,98
2
8 905,02
1 136.05
333,94
7 768,97
1 469,98
3
7 768,97
1 178,65
291,34
6 590,32
1 469,98
4
6 590,32
1 222,85
247,14
5 367,48
1 469,98
5
5 367,48
1 268,70
201,28
4 098,77
1 469,98
6
4 098,77
1 316,28
153,70
2 782,49
1 469,98
7
2 782,49
1 365,64
104,34
1 416,85
1 469,98
8
1 416,85
1 416,85
53,13
0,00
1 469,98
36 929,90
11 759,87
$>$?
10 000,00
P+an de C*otas Cre&ientes En es"e plan las 3uo"as au!en"an en or!a su3esiva a "rav=s del "ie!po2 es"o se 3onsiue de la !anera siuien"e> Se su!a los di"os de los perodos< • Se divide el pr=s"a!o en"re la su!a de los di"os 2y • &a a!or"i1a3ión se 3al3ula apli3ando la siuien"e ór!ula> •
m s
Amorti)aci(n = ( P )
P ! S
> > >
+on"o Ini3ial Di"o del perodo Su!a de di"os de los perodos
El sis"e!a de 3uo"as 3re3ien"es es u"ili1ado prin3ipal!en"e en el se3"or vivienda ya ;ue per!i"e un !ayor a33eso de viviendas a las a!ilias de !enores re3ursos< En el %uadro Nb .2/ se !ues"ra un prora!a de a!or"i1a3ión para un pr=s"a!o o7"enido 7a9o es"a !odalidad< %uadro Nb .2/> +on"o Pla1o
Prora!a de A!or"i1a3ión Plan de %uo"as %re3ien"es > S?< 0 000 > , años F 8 3uo"as "ri!es"rales
./
TEORIA DE INVERSIONES In"er=s
>
PA-440 , G / F .
n te!#s p &! p e!'&d &
3,75%
@ A me!& d e pe! '&d &s
8 t!im est !es
B" &! P!in ip " Pe!'&d &
10 000,00 De d "
P!&p &!i;n
$!imest!"
m&!ti " i;n
m&!ti "i;n
n te!#s <
"d &
&misi;n
$&t" " P"=" !
1
10 000,00
0,0278
277,78
375,00
9 722,22
2
9 722,22
0,0556
555,56
364,58
9 166,67
920,14
3
9 166,67
0,0833
833,33
343,75
8 333,33
1 177,08
4
8 333,33
0,1111
1 111,11
312,50
7 222,22
1 423,61
5
7 222,22
0,1389
1 388,89
270,83
5 833,33
1 659,72
6
5 833,33
0,1667
1 666,67
218,75
4 166,67
1 885,42
7
4 166,67
0,1944
1 944,44
156,25
2 222,22
2100,69
8
2 222,22
0,2222
2 222,22
83,33
0,00
2305,56
1,000
10 000,00
$>$?
652,78
12 125,00
O-era&iones de des&*ento &on %s de *na a%orti8a&ión Plan de 3uo"as De3re3ien"es E9e!plo> Se "iene la siuien"e inor!a3ión> P F S?< 00 B3an"idad re3i7ida PF+-D 0
50
Perodo de des3uen"o ie Pla1o
F F F
,0 50 das 40 anual 80 das
Solu3ión> %:l3ulo de la "asa de des3uen"o> n
=
360 60
d = 1 −
=6
1 6
1 + ie
d = 5.45% %:l3ulo del !on"o "o"al del pr=s"a!o B+>
.4
80
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
P = M − D P = M (1 − d ) M =
100 P = 1 − d 1 − 0.0545
M = 105.76
%:l3ulo del !on"o a a!or"i1ar 3ada 50 das > n
= 180 = 3
A
=
60 M
= 105.76
* A = 35.25
3
Progra%a de A%orti8a&ión P+an de C*otas De&re&ientes I n t e r é s p o r p e r í o d o N ú m e r o d e p e r í o d o s V a l o r P r i n c i p a l P e r í o d T r i m e s t r a l
D e u d
1 5 , 7 5 t r i m e s t r e s 1 0 0 0 0 , 0 A m o r t i z a c i ó
1 0 5 , 7 1 0 5 , 7 7 0 , 5 1 3 5 , 2
0 , 0 3 5 , 2 3 5 , 2 3 5 , 2
T O T
I n t e r é s C o m i s i ó 5 , 7 3 , 8 1 , 9 0 , 0
S a l d 1 0 5 , 7 7 0 , 5 3 5 , 2 0 , 0
7 0 , 5
T o t a l P a g a 5 , 3 9 , 3 7 , 1 3 5 , 8 2 ,
P+an de C*otas Constantes Sea> A F %uo"a 3ons"an"e F A!or"i1a3ión en el perodo 92 9 > 2,2 2 2 n D F Tasa de des3uen"o + F +on"o "o"al del pr=s"a!o P F %an"idad ne"a re3i7ida en el perodo 3ero n F NL!ero de perodo de a!or"i1a3ión<
Para n F PF +-D
A
0
..
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Para n F,
0
A
A
,
Para n F/
0
A
A
A
,
/
A F %/
A % A +
F F F F F F F F
%, G %/d A - B%, G %/\d A - BA- Ad GA\d % G B%, G %/\d A G A - Ad GA\BA - Ad G A\d A G A - Ad G AW\B-d A G A\ G B-dWB-d , A\ G B-d G B-d W
Para el perodo n2 se "iene> + F A G B d G B d , G <<< B dn- W
<<
+ul"ipli3ando B por B-d> + F A B d G B d , G <<< GB - d n W
<<
B - B,>
[
Md = A 1 − (1 − d ) A
= M
n
]
d 1 − (1 − d )
n
.5
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Ee3"uar el prora!a de a!or"i1a3ión 7a9o de 3uo"as 3ons"an"es para la siuien"e inor!a3ión> P Perodo de des3uen"o ie Pla1o
F F F F
S?< 00 000 /0 das 40 anual ,0 das
%:l3ulo de la "asa de des3uen"o> n
=
360 30
d = 1 −
1 12
1 + 0.4
= 2.765%
%:l3ulo del !on"o del pr=s"a!o Ben !iles de Soles + F +
F
0,284
%:l3ulo de la 3uo"a 3ons"an"e> n F ,0 ? /0 F 4 A
F +
d B-dn
A
F
,5280
Prora!a de A!or"i1a3ión Plan de 3uo"as 3ons"an"es Perodo +ensual 0 , / 4
Deuda
A !or" i1 a3 ión
-0,284 -0,284 K82,0 .,285 ,528
0200 ,4254 ,.2/4 ,5205 ,5280
Ds 3" o< ,284/ ,2-5, -245, 02K402000
S aldo -0,284 K82,0 .,285 ,5280 0200
To" al a paar ,<84 ,5<80 ,5<80 ,5<80 ,5<80
Es"a "a7la se 3ons"ruye par"iendo del Ll"i!o perodo2 pues"o ;ue en =l la a!or"i1a3ión es iual a la 3uo"a< inal!en"e se apli3a los ndi3es ;ue rele9a la inla3ión y se "iene el siuien"e sis"e!a>
Siste%a de rea7*ste de de*das .K
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
El sis"e!a de rea9us"e de deudas o de indeJa3ión de 3api"al es": deinida 3o!o el rea9us"e periódi3o y au"o!:"i3o de de"er!inados valores 3on ndi3es ;ue rele9an la inla3ión< Del 3ap"ulo an"erior se "iene> B G in F B G i r B G ir
> represen"a la "asa de rea9us"e de la deuda2 > represen"a la "asa de in"er=s 7:si3a
Progra%a de A%orti8a&ión Siste%a de Rea7*ste de De*das +on"o To"al Pla1o In"er=s Des3uen"o a3"or de rea9<
> > > > >
S?< 00 000 / años , Bir F / "ri!es"ral @0 das 40 anual B F B24 02. - F 82KK.K, "ri!es"ral
+iles de Soles Perodo Tri!es"ral 0 , / 4 .
Deuda -002000 -082KK5 @42508 KK2-/..2@4. /02/@K
A!or"i1a3ión 02000 ,-2800 ,/2K00 ,.2K00 ,82000 /02/@K
Ds3"o< /2000 /2,5/ ,28/8 ,2/-4 -25K8 02000
Saldo -002000 852@K5 K02@08 .-24/,K2@4. 02000
To"al a Paar /2000 ,.205/ ,52./8 ,820-4 ,@25K8 /02/@K
$na !odalidad de 3:l3ulo !uy usada en el !edio 3o!er3ial para la ad;uisi3ión de ar"ea3"os el=3"ri3os2 !ue7les2 e"3<2 es la apli3a3ión de la "asa de in"er=s la"<
Tasa de Interés F+at o Dire&to Sea una "asa de in"er=s !ensual Bi2 e l in"er=s BI se 3al3ula de la !anera siuien"e> % n I
> > >
%an"idad a paar Bdeuda "o"al NL!ero de perodos B!eses %\i\n
El !on"o a paar es> + F % G %< i < n &a 3uo"a !ensual BA ;uedó de"er!inada por> A F +?n F B % G % < i < n ?n Es"a !odalidad de pao enera un !ayor pao de in"ereses ;ue los an"eriores ya ;ue el 3:l3ulo del "o"al de es"os es so7re la 7ase de la deuda 3on"rada ini3ial!en"e<
E7e%-+o $n 3o!prador ad;uirió una rerieradora al pre3io de S?<, 000 y dio una 3uo"a de S?< ,00 3o!o ini3ial< Para el saldo se 3o!pro!e"ió a paar , 3uo"as de S?< ,40 3?u2 el vendedor le di9o ;ue la "asa !ensual era de sólo .< El 3:l3ulo de la 3uo"a !ensual le de!os"ró ;ue se o7"ena del siuien"e !odo> F ,40 .8
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
MEs . la "asa real !ensual< De"er!ine la "asa ee3"iva anual< Solu3ión > 800
0
,40
,40
,
,40
<<<
,
800 F ,40BP?A 2i 2 , BP?A2 i2, F F K<. DATOS DE TA(&A In"er=s 8 i @
a3"or K2./5 K2. K250K
In"erpolando > &a "asa de in"er=s !ensual es > i F 82 &a "asa ee3"iva anual es > ie F BG0208 , - F .425/
,." O-era&iones Pasi'as Depósi"os de a6orro y pla1o i9o< El (an3o %en"ral de Reserva 3on e36a 4?0? @8 unii3ó la "asa !:Ji!a de in"er=s ;ue las ins"i"u3iones de 3r=di"o2 es":n au"ori1adas a paar por 3ual;uier "ipo de opera3ión pasiva< En el !er3ado inan3iero la 3api"ali1a3ión de los in"ereses ;uedó li7re lo 3ual 3onvir"ió el "ope !:Ji!o de 50 en una si!ple reeren3ia para el 3:l3ulo de rendi!ien"o ee3"ivo< As se "uvo ;ue para una "asa del 50 3api"ali1a7le diaria!en"e2 el in"er=s ee3"ivo ue de> ie
= (1 +
0.6
365 ie = 82.12%
)365
−1
SeLn la Ll"i!a 3ir3ular del (an3o %en"ral de Reserva al Sis"e!a inan3iero se "iene por e9e!plo ;ue las "asas de in"er=s pasivo para depósi"o de a6orro es de 0 e"3< en !oneda na3ional< En 3uan"o a la "asa de in"er=s a3"iva2 la ee3"iva !:Ji!a anual por "odo 3on3ep"o ser: de /0 anual para 3ada año y de . para 3r=di"os a pla1o !ayor de un año<
E7e%-+o Se or!ó una 9un"a 3on 5 par"i3ipan"es2 la 3uo"a !ensual ser: de S?<00 para "odos a;uellos ;ue no 6an o7"enido la Uun"a< &a or!a de o7"ener la 9un"a es 7a9o la !odalidad de re!a"e2 es de3ir el !on"o "o"al se en"rear: a a;uel par"i3ipan"e ;ue presen"ó la !e9or oer"a o 3uo"a ;ue 6a de paar en 3ada uno de los !eses res"an"es< &os anadores de los "res pri!eros !eses se 3o!pro!e"ieron 3on 3uo"as de ,002 ,.0 y /.0 soles !ensuales< En el 3uar"o !es uno de los par"i3ipan"es2 ;ue aLn no 6a o7"enido la 9un"a2 de3ide re"irarse< Se pide 3al3ular la 3an"idad de dinero ;ue le 3orresponde< .@
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
Solu3ión> +ES El pri!er anador o7"iene un !on"o de S?<500 pero le per"ene3en S?<00 por 3onsiuien"e ad;uiere una deuda de S?<.00 ;ue devolver: en 3in3o 3uo"as 3ons"an"es de S?<,00 ,00 i
,
F F
Deuda /.0 i
4
.
5
.00 BA?P2 i 2 . ,825/ +ES , / 4 4 5
+ES ,> +on"o
/
F F F F F F
DE$DA S?< .00200 S?< 44/2. S?< /K020, S?< ,K.2@5 S?< .42@K
INTERS S?< 4/2. S?< ,528K S?< 0.2@4 S?< K@20 S?< 442/K
A+ORT< S?< .528. S?< K/2/ S?< @4205 S?< ,02@@ S?< ..25/
%$OTA ,00 ,00 ,00 ,00 ,00
4B00 G ,00 G ,.0 S?< 8.0 8.0 B44/2. G ,528K?4 G B4K2/K G 8,24K?4 G00W S?< 444 444 B A?P2 i 2 / .@2/ +ES 4 . 5
DE$DA S?< 444204 S?< /.K2/. S?< ,@2,.
INTERS S?< ,5/2/ S?< ,2@ S?< /020,
A+ORT< S?< 8525@ S?< /820@ S?< ,@2@8
%$OTA /.0 /.0 /.0
+ES 4> &a 3an"idad ;ue le 3orresponde al par"i3ipan"e ;ue se va a re"irar es> %an"idad
F B/K020, G 0.2@4?/ G B40/284 G .52//?/ G B444 G ,542?/ F S?< .824
CAPITULO . =ASES PARA LA COMPARACIN DE ALTERNATI?AS:
50
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
En el presen"e 3ap"ulo2 se !os"rar: "res !="odos 7:si3os para la evalua3ión de al"erna"ivas>
.1 ?a+or Presente 5 E'a+*a&ión de+ Costo Ca-ita+i8ado a ?a+or Presente ?P!: El o79e"ivo de es"e !="odo es 3o!parar el valor presen"e de 3ada una de las al"erna"ivas<
E7e%-+o %o!parar el valor presen"e de las !:;uinas de iual servi3io2 i F0 B%os"os 3on sino posi"ivo y 7enei3ios 3on sino nea"ivo dado en !iles soles<
%os"o ini3ial BP %os"o anual de opera3ión B%AO Valor de Salva!en"os BVS Vida L"il2 años
+:;uina A 00
+:;uina ( /0
40
/0
0
/
.
.
No"a> El valor de salva!en"o es el valor ;ue aLn posee el a3"ivo al inal de su vida L"il<
Solu3ión> VP A F
00
40
0 +:;uina A
40
40
,
40 /
-0 40 4
.
VP A F 00 G 40 BP?A2 02 . - 0BP?2 0 2. F S?< ,4.24, VP ( F
/0
/0
/0
/0
/0
0
,
/
4
-/ /0 .
+:;uina ( VP(
F /0 G /0 BP?A202 . - /BP?20 2. F S?< ,/.25.
Se de7e sele33ionar la !:;uina ( pues"o ;ue VP ( VP A En el e9e!plo pre3eden"e la vida L"il de las al"erna"ivas es la !is!a2 3uando es"o no o3urre2 se pro3ede 3o!o en el siuien"e e9e!plo> E9e!plo 52, %o!parar el valor presen"e de las !:;uinas de iual servi3io2 i F0
5
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
%os"o ini3ial BP %os"o Anual de opera3ión B%AO Valor de Salva!en"o BVS Vida L"il
+:;uina A 00
+:;uina ( /0
40
4,
0
/
,
/
Sol'ci(n:
%ó!o las !:;uinas "ienen dis"in"as vidas L"iles2 de7en 3o!pararse so7re la 7ase del !ni!o 3o!Ln !Ll"iplo de los años2 es d e3ir en es"e 3aso 5 años< +)]$INA A VP A F
00
40
0
00BP -0BVS 40 40 ,
/
00BP -0BVS 40
40
-0 40
.
5
4
+:;uina A VP A F 00G40BP?A2 025 G B00-0BP?202, GB00-0BP?2024 0BP?2 02 5 F40424 +)]$INA (>
/0
4,
0
VP( F F
4, ,
-/BVS /0BP 4, /
4,
4,
4
.
-/BVS 4, 5
/0G4,BP?A2025GB/0-/BP?20 2/ -/BP?202 5 /@/2.
Se de7e sele33ionar la !:;uina (2 pues"o ;ue VP ( VP A 7 Costo Ca-ita+i8ado: Es": reerido al valor presen"e de un proye3"o ;ue se supone "endr: una vida L"il perpe"ua< &!i"e del a3"or de re3upera3ión de 3api"al BA?P2 i2 n En"on3es si A F P BA?P2 i2 n2 3uando n "iende a inini"o se "iene ;ue> A F P\ i E9e!plo 52/
5,
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
%al3ular el 3os"o 3api"ali1ado de un proye3"o ;ue "iene un 3os"o ini3ial de S?< 00 000 y un 3os"o de inversión adi3ional de S? Por 3onvenien3ia se supone a los 3os"os 3on sino posi"ivo y en !iles de soles< 00 0
/
/
/
,
/
/ 4
/0 . .
.
, .
, .
.
5
,
,4
,.
< alla!os el valor presen"e del 3os"o ini3ial y de la inversión adi3ional> P F 00 G /0 BP?2 02. F 825/ ,< alla!os el valor presen"e del 3os"o re3urren"e de !an"eni!ien"o> P, F ,BA?2 02,W ? 020 F .25 /< %al3ula!os el 3os"o 3api"ali1ado para la serie de / 6as"a el inini"o> P/ F /?020 F /0 4< %al3ula!os el valor presen"e de la serie de .-/ F , del año . en adelan"e P4 F ,?020W BP?2 024 F /2K .< &ueo2 el 3os"o "o"al 3api"ali1ado se o7"iene de la su!a> PT F P G P, G P/ G P4 F 825 G .25 G /0 G /2K F 5K2@
." ?a+or An*a+ E)*i'a+ente Es o"ra 7ase de 3o!para3ión la 3ual 3onsis"e en en3on"rar una 3an"idad anual e;uivalen"e2 y a dieren3ia del !="odo de valor presen"e no in"eresa unior!i1ar el nL!ero de años para evaluar al"erna"ivas< E9e!plo 524 %o!parar el 3os"o anual y unior!e e;uivalen"e B%A$E de las !:;uinas de iual servi3io2 iF02 en !iles de soles<
%os"o ini3ial BP %os"o Anual de opera3ión B%AO Valor de Salva!en"o BVS Vida L"il
+:;uina A 00
+:;uina ( /0
40
4,
0
/
,
/
Sol'ci(n:
%A$E A F 00 BA?P2 02 , G 40 0 BA?2 0 2 , F .,2@ %A$E ( F /0 BA?P2 02 / G 4, / BA?2 0 2 /F @02/ Se de7e sele33ionar la +:;uina A pues"o ;ue %A$E A %A$E(
5/
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
.# Tasa De Retorno De6ini&ión.@ Tasa de re"orno o "asa de rendi!ien"o2 es un ndi3e de ren"a7ilidad a!plia!en"e a3ep"ado< Es": deinido 3o!o la "asa de in"er=s ;ue redu3e a 3ero el valor presen"e de una serie de inresos y eresos< En "=r!inos e3onó!i3os la "asa de rendi!ien"o represen"a el por3en"a9e o "asa de in"er=s2 anado so7re el saldo no re3uperado de una inversión< Se puede 3onsiderar el saldo no re3uperado de una inversión 3o!o a;uella par"e de la inversión ini3ial ;ue ;ueda por re3uperar despu=s de 6a7er su!ado y dedu3ido los paos de in"er=s y los inresos respe3"iva!en"e 3ausados 6as"a ;ue se 6aa el an:lisis< C+&*+o de +a Tasa de Retorno.@ El 3:l3ulo de la "asa de re"orno re;uiere por lo eneral una solu3ión de ensayo y error< E)emplo !#$
%al3ular la "asa de re"orno para el lu9o de ee3"ivo presen"ado a 3on"inua3ión> in de Año " lu9o de Ee3"ivo " 0 - 000 - 800 , .00 / .00 4 .00 . ,00 Es de3ir en3u=n"rese el valor de i ;ue sa"isaa la e3ua3ión n
∑ F ( P / F , i, t ) F 0 t
" F0 Donde n es el Ll"i!o año del lu9o de ee3"ivo< Solu3ión> Apli3ando la ór!ula se "iene> 0 F - 000 - 800 BP?2 i 2 G .00BP?A2 i 2 BP?2 i 2 G K00 BP?2 i 2. Se puede resolver el pro7le!a apli3ando el Métodos de tanteos: Para i F 02 el valor presen"e VP es> VP B i F0 F - 000 - 800 G .00 J 4 G K00 F @00 Pues"o ;ue el valor presen"e para iF0 es posi"ivo2 la "asa es !ayor ;ue 0< Si se "o!a o"ro valor por e9e!plo iF,2 se "iene> VPB iF,
F - 000 - 800BP?2,2 G .00BP?A2,24BP?2,2 G K00 BP?2,2. F /,
Pues"o ;ue VP B i F, siue siendo !ayor ;ue 3ero se de7e ensayar una "asa superior de in"er=s< %on iF. se "iene ;ue> VPB iF. F - 000 - 800 BP?2.2 G.00BP?A2.24 GBP?2.2 G K00 BP?2.2 F -5 En es"a or!a se sa7e en"on3es ;ue la "asa de rendi!ien"o es": en"re el , y e l .<
54
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
'rai3ando las dos Ll"i!as se "iene> C 1";#"!
=
D i
A
E1,;@11!
Por se!e9an1a de "ri:nulos se 3al3ula la "asa ;ue 6a3e VP Bi F0
&a "asa de re"orno F ,G 025 F ,25 E9e!plo> %o!parar !edian"e el !="odo de la "asa de re"orno de !:;uinas de iual servi3io si se "iene ;ue la T+AR2 para una inversión adi3ional es del 0< B!iles de soles +)]$INA A
+)]$INA (
-100
-130 -30
%os"o ini3ial %os"o anual de opera3ión Valor de salva!en"o Vida L"il
-40
/
10 2
3
Solu3ión> A;u in"eresa averiuar si las /0 unidades adi3ionales ;ue 3ues"a la !:;uina ( 3on respe3"o a la !:;uina A "iene un re"orno !ayor al 0<
-/0
-/0
-/0
-/0 G/ -/0
,
/
-/0
-/0
lu9o de (> 0
5.
4
.
G/ -/0
TEORIA DE INVERSIONES
-00
PA-440
-00 G0 -40
-40
-40
-00 G0 -40
-40
,
/
4
.
@0 0
-K 0
G0 -40
lu9o de A> 0
-/0 lu9o de B(-A> 0
0
,
/
5
@0 0
0
/ 0
4
.
5
Valor presen"e a la "asa del 0 de B(-A> VPB(-A F -/0G0BP?A2025 G @0BP?202, -KBP?202/ G @0BP?2024 G /BP?2025 VP B(-A F 5/<, _a ;ue el valor presen"e resul"ó posi"ivo a la "asa del 0 se 3on3luye ;ue la "asa de re"orno para B(-A es !ayor ;ue el 0 y se elie la !a;uina (< lu9o De Ee3"ivo %on +Ll"iples Tasas De Rendi!ien"o &a e3ua3ión del valor presen"e BVPBi F 0 es un polino!io de rado n de la or!a > VPBi F 0 F 0 G G ,, G <<<<<<<< G nn Donde F ?BGi Para es"e polino!io pueden eJis"ir ra3es o valores de dieren"es ;ue sa"isaan la e3ua3ión en un nL!ero de n< $na rela L"il para iden"ii3ar la posi7ilidad de "asas !Ll"iples de rendi!ien"o es la rela de sinos de Des3ar"es para un polino!io de rado n< Es"a rela di3e ;ue el nL!ero de ra3es reales posi"ivas de un polino!io de rado n2 3on 3oei3ien"es reales2 no es nun3a !ayor ;ue el nL!ero de 3a!7ios de sino en la su3esión de sus 3oei3ien"es< En 3aso ;ue el nL!ero de "ales ra3es sea !enor2 la dieren3ia ser: un nL!ero par< E9e!plo> En3on"rar el posi7le nL!ero !:Ji!o de ra3es reales posi"ivas de los siuien"es lu9os> BEn !iles de soles
55
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
FIN DE AÑO
FLUJO A
0 , / 4 .
FLUJO B
-000 .00 400 /00 /00 00
FLUJO C
-,00 -/00 -,00 -/00 ,.00 4000
FLUJO D
-.00 0 .000 0 0 /000
-K00 4K00 -5K00 /500 0 0
Posi7le Z !:J< de ra3es reales posi"ivas
FLUJO A
FLUJO B
FLUJO C
FLUJO D
,
Es de no"ar 3uando eJis"en 3eros en los lu9os de ee3"ivo % y D2 pueden ser 3onsiderados 3aren"es de sino al apli3ar la rela de los sinos<
.(
Tasa Interna De RetornoTasa De Retorno! En In6+a&ión.@
%uando eJis"e inla3ión es ne3esario eJpresar los lu9os de ee3"ivo a pre3ios 3ons"an"es o del !is!o poder ad;uisi"ivo< De la eJpresión > VPBir F 0 F o G ?BGir G ,?BGir, G <<< G n?BG ir n <<< Ba Bir es la "asa in"erna de re"orno 3uando no eJis"e inla3ión2 pero 3uando es"a eJis"e y se 3onsidera ;ue la inla3ión anual es 3ons"an"e a "rav=s del "ie!po la eJpresión an"erior se 3onvier"e > VPBir F 0 F o G ?BBGir BG G ,?BBGirBG , G <<< G n?BBG irBG n <<<
B7
Si no se des3uen"a la inla3ión de 3ada lu9o la "asa resul"an"e es una "asa no!inal< iQ F Tasa de in"er=s no!inal B G iQ FBGirBG ir F Tasa de in"er=s real< F Tasa de inla3ión<
<<<
B3
SeLn la eJpresión B3 se "iene ;ue >
ór!ula L"il para 3al3ular la "asa de re"orno real Ba pre3ios 3ons"an"es2 3uando se 6a de"er!inado la TIR de un lu9o 3on inla3ión< Anali1ando las eJpresiones an"eriores2 se o7serva ;ue es lo !is!o evaluar un lu9o a pre3ios 3orrien"es2 es de3ir in3luyendo la inla3ión2 y lueo o7"ener el TIR real !edian"e Bd
5K
TEORIA DE INVERSIONES
PA-440
o evaluar el lu9o a pre3ios 3ons"an"es Bdela3ionados o7"eniendo as la TIR real del proye3"o dire3"a!en"e<
PRO(&E+AS %al3ular la "asa de re"orno del siuien"e lu9o de ee3"ivo > -50000
,.000
0
/,000
4@000
,
/
Solu3ión> Pro7ando 3on i F ,. VP B,. F -50000 G ,.000BP?2 ,.2 G /,000BP?2 ,.2, G4@000BP?2 ,.2/ F..58 %o!o el VP es posi"ivo se prue7a 3on una "asa !ayor iF /0 VP B/0 F -50000 G ,.000BP?2 /02 G /,000BP?2/02, G4@000BP?2 /02/ F 458<8, %o!o aLn se siue "eniendo un valor posi"ivo se 3on"inua in3re!en"ando i2 para i F / VP B/ F -50000 G ,.000BP?2/2 G /,000BP?2/2, G G4@000BP?2/2/ F -4K,<8/ %o!o se "iene un valor nea"ivo y el an"erior posi"ivo por in"erpola3ión resul"a ;ue >
MSi en el an"erior pro7le!a se nos di3e ;ue es un lu9o 3on inla3ión donde F/< %u:l es la "asa de re"orno real Solu3ión iQ F /0<. F /
58
TEORIA DE INVERSIONES ,
PA-440
%al3ular la "asa de re"orno real del siuien"e lu9o de ee3"ivo<
Años
Flujo(miles de soles)
0 , /
!s! de i"#l!$i%" (&)
-80000 50000 @0000 .0000
/0 40 K0
Solu3ión> -80000 0
50000
@0000
,
.0000 /
Si se dela3iona es"a eJpresión se "iene>
Pri!era prue7a i F /0
VPB/0 F 58/0
Seunda prue7a i F 40
VPB40 F -4/.
F
/5<,
/ Se es": 3onsiderando dos !:;uinas ;ue "ienen los siuien"es 3os"os para un pro3eso de produ33ión 3on"inua >
%os"o ini3ial %os"o anual de opera3ión Valor de salva!en"o Vida L"il2 años
+A]$INA ' 5,000 .000 8000 4
+A]$INA KK000 ,000 0000 5
$"ili1ando una "asa de in"er=s del . de"er!ine ;ue al"erna"iva de7e sele33ionarse 3on 7ase a un an:lisis de valor presen"e< Solu3ión>
5@
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Ma)*ina < VP F 5,000 G B5,000-8000BP?2.24 G B5,000-8000 BP?2.28 8000BP?2.2, G .000BP?A2.2, VP F @0/44 Ma)*ina VP F KK000 G BKK000-0000BP?2.25 0000BP?2.2, G ,0 00BP?A2.2, VP F ,K@,8 Por 3onsiuien"e se de7e eleir la !:;uina ' dado ;ue su valor presen"e es !ayor< 4 Se 6an presen"ado al ad!inis"rador de una plan"a de produ33ión dos propues"as para au"o!a"i1ar un pro3eso de ensa!7le< &a propues"a A in3luye un 3os"o ini3ial de .000 y un 3os"o anual de opera3ión de ,000 al año para los 3ua"ro años siuien"es< De a6 en adelan"e se supone ;ue el 3os"o de opera3ión au!en"a en 00 al año< Se espera "a!7i=n ;ue la vida L"il del e;uipo sea de 0 años sin valor de salva!en"o< &a propues"a ( in3luye una inversión ini3ial de ,8000 y un 3os"o anual de opera3ión de ,00 para los "res pri!eros años< Pos"erior!en"e se prev= ;ue el 3os"o de opera3ión au!en"e en ,0 al año< Se espera ;ue el e;uipo "ena una vida L"il de ,0 años y un valor de salva!en"o de ,000< Si la "asa !ni!a a"ra3"iva de re"orno es del 02 M;u= propues"a se de7e a3ep"ar 3on 7ase en el an:lisis del valor presen"e Solu3ión> Propues"a A> VP F .000 G ,000BP?A2020 G 00BP?'202K BP?202/ VP F ,8,48 Propues"a (> VP F ,8000 G ,00BP?A202,0 G ,0BP?'2028 BP?202, ,000BP?202,0 VP F 4,84, El VP A VP( por 3onsiuien"e se elie la propues"a A< . $n alu!no adinerado de una pe;ueña $niversidad ;uiere es"a7le3er u ondo per!anen"e de 7e3as< Desea ayudar a "res es"udian"es2 duran"e los 3in3o pri!eros años2 despu=s de ;ue se 6aya es"a7le3ido el ondo y a 3in3o es"udian"es de a6 en adelan"e< Suponiendo ;ue los dere36os de !a"r3ula "iene un valor de 400 al año2 M3u:n"o dinero de7e donar el es"udian"e 6oy si la universidad puede o7"ener un 5 so7re el ondo Solu3ión> P F ,00BP?A252. G ,000 < BP?252. 0<5 P F ,@@5. &a dona3ión en el presen"e es de ,@@5.< 5 %o!pare las siuien"es !:;uinas en 7ase a su 3os"o anual unior!e e;uivalen"e< $"ili3e i F 8< +A]
44000
K0
+A]<$SADA ,/000
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%os"o anual de opera3ión %os"o anual de repara3ión Repara3ión 3ada dos años Repara3ión 3ada 3in3o años Valor de salva!en"o Vida L"il2 años
K000 ,0 ,.00 4000 .
@000 /.0 @00 /000 8
Solu3ión
Ma)*ina n*e'a %A$E F 44000BA?P282. G K,0 G ,.00BA?282. - 4000BA?282. %A$E F ,5,@<4
Ma)*ina *sada %A$E F ,/000BA?P2828 G @/.0 G @00BA?282, - /000BA?2828 %A$E F /@8/ Se elie la !a;uina nueva por "ener !enor %A$E< K El ad!inis"rador de una plan"a de 3onserva3ión de 3arne ;uiere de3idir en"re dos 3uar"os ros< El !="odo de ro3iado a"o!i1a aua so7re los 9a!ones 6as"a ;ue la "e!pera"ura se redu3e a @.0< %on es"e !="odo se re;uieren aproJi!ada!en"e ,0 alones de aua por 9a!ón< Por o"ra par"e podra ser L"il un !="odo de in!ersión y sólo se ne3esi"aran 3ua"ro alones de aua por 9a!ón< Sin e!7aro2 es"e !="odo re;uerira una inversión ini3ial adi3ional de ,000 3on a"os de repara3ión adi3ionales de 00 al año y el e;uipo "iene una vida L"il de 0 años< &a 3o!paña 3o3ina 0 !illones de 9a!ones al año y paa 0<,. por 000 alones de aua< &a 3o!paña "a!7i=n de7e paar 0<0@ por 3ada 000 alones para la eli!ina3ión de auas neras< Si la "asa !ni!a a"ra3"iva de re"orno de la 3o!paña es del .< M]ue !="odo de enria!ien"o de7e u"ili1ar Solu3ión
Ro&iado %A$E F 0000 J ,0B0<0,. G 0<0@ %A$E F 58000 In%ersión %A$E F 0000 J 4B0<,.G0<0@G,000BA?P2.20 G 00 %A$E F 4,@@ %onviene el !="odo de in!ersión 8
$na 3iudad va a 3ons"ruir un es"adio a un 3os"o de , !illones 3on el in de "raer un e;uipo de L"7ol proesional< Se espera ;ue el !an"eni!ien"o sea de ,.000 anuales y ade!:s2 ;ue el 3=sped ar"ii3ial "endra ;ue ree!pla1arse 3ada 0 años a un 3os"o de .0000< &a pin"ura del es"adio 3ada . años 3os"ara 5.000< Si la 3iudad espera !an"ener el servi3io indeinida!en"e< M%u:l sera el 3os"o anual unior!e e;uivalen"e si i F 5 Soluci(n
%A$E F ,000000 J 0<05 G,.000 G 5.000BA?252. G .0000BA?2520
K
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%A$E F K,4K@ @ $n inversionis"a 3o!pró "res 3lases de a33iones Biden"ii3adas a;u 3o!o A2 ( y %< El inversionis"a 3o!pró ,00 a33iones de A2 a / 3ada una2 400 de (2 a 4 3ada una y 00 de % a 8 3ada una< &os dividendos ueron de 0<.0 por a33ión de A duran"e "res años y lueo la a33ión se vendió en .< &a a33ión ( no produ9o dividendos pero se vendió en .<.02 dos años despu=s de su 3o!pra< &a a33ión % dio dividendos de ,<0 duran"e 0 años2 pero de7ido a una depresión del !er3ado de valores en el !o!en"o ;ue se vendió2 ue vendida por sólo , la unidad< M%al3ule la "asa de re"orno so7re 3ada rupo de a33iones2 as 3o!o la "asa de re"orno "o"al so7re la inversión en a33iones Solu3ión> A33ión A ,500 F 00BP?A2i2/ G /000BP?2i2/ i F 8<.5 Acci(n "
500 F ,,00BP?2i2, i F K<,K Acci(n C
800 F ,0BP?A2i20 G ,00BP?2i20 i F @<5 Tasa de inversi(n total
5000 F 00BP?A2i2/ G /000BP?2i2/ G ,,00BP?2i2, G ,0BP?A2i20 G ,00BP?2i20 i F 0<4 0 El ineniero de una 3o!paña de 3iarrillos ;uiere ee3"uar un an:lisis de "asa de re"orno u"ili1ando los 3os"os anuales de dos !:;uinas e!pa3adoras< &os de"alles se presen"an a 3on"inua3iónY sin e!7aro2 el ineniero no sa7e ;u= valor de T+AR u"ili1ar2 dado ;ue alunos proye3"os se evalLan al 8 y o"ro al 0< De"er!ine si es"a dieren3ia en la T+AR 3a!7iara la de3isión so7re la 3o!pra de la !:;uina< $"ili3e el !="odo de "asa de re"orno so7re la inversión in3re!en"al< +A]$INA A %os"o ini3ial 0000 %os"o de !ano de o7ra anual .000 %os"o anual de !an"eni!ien"o .00 Valor de salva!en"o 000 Vida L"il2 años 5 Soluci(n Ma+uina A
%A$E F 000BA?P2i25 G ..00 - 000BA?2i25
Ma+uina M
%A$E F @000BA?P2i24 G ./00 - 000BA?2i24 C,lculo de la tasa de retorno
%A$E A - %A$E+ F 0
K,
+A]$INA + @000 .000 /00 000 4
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Es"a iualdad se 3u!ple para la "asa del /8< Pues"o ;ue el /8 f 0 f 8 se elie la !:;uina A , Se desea de3idir en"re dos propues"as de inversión re3pro3a!en"e eJ3luyen"es2 la T+AR es de 0 y los lu9os de 3a9a son > lu9o de 3a9a B!illones de soles AgO 0 , /
PRO_E%TO A B50 ,0 0 ,.0
PRO_E%TO ( B50 ,00 0 ,0
So+*&ión El 3a!ino 3orre3"o para de3idir en"re los dos proye3"os es 3al3ulando el valor presen"e de los dos proye3"os> VP A F -50 G ,0BP?202 G ,.0BP?202/ VP A F 45 !illones VP( F -50 G ,00BP?202 G ,0BP?202/ VP( F /5<8 !illones Por 3onsiuien"e el proye3"o A es !e9or ;ue (< El sus"en"o del !="odo de 3:l3ulo se puede eJ"raer del siuien"e r:i3o
VP 45
A /
PRO_ A TIR ,0<4 VPB0 45Q
( ,0<4
//<8
TIR
PRO_ ( //<8 /5<8Q
%o!o se o7serva en el r:i3o2 la de3isión de la ele33ión es": en un3ión de la T+AR<
K/
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Si la T+AR es": en"re 0 y / se elie el proye3"o A Si la T+AR es/ es indieren"e la ele33ión Si la T+AR es !ayor ;ue / 6as"a //<8 se elie el proye3"o ( Eleir el proye3"o ;ue "ena la !ayor TIR 3uando se "ra"a de proye3"os eJ3luyen"es2 es un error2 ya ;ue es"o i!pli3a ;ue los ondos li7erados anen al ser reinver"idos la !is!a "asa ;ue rinde el proye3"o< Por e9e!plo para el proye3"o ( se par"e del supues"o de ;ue pueden reinver"irse los ,00 !illones de soles o7"enidos al inal del pri!er año2 anando en esa reinversión el //<8 anual 3uando sola!en"e la e!presa es": en 3apa3idad de reinver"ir anando el 0< inal!en"e 3a7e indi3ar ;ue se puede o7"ener "a!7i=n un resul"ado 3orre3"o apli3ando el "odo de la inversión in3re!en"al<
K4
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CAPITULO 2 2.RELACION =ENEFICIO COSTO 3 PERIODO DE RECUPERACION DE CAPITAL 2.1 Re+a&ión =ene6i&io Costo El 3:l3ulo de la ra1ón 7enei3io-3os"o es un !="odo para de3idir la 9us"ii3a3ión e3onó!i3a de un proye3"o ;ue per"ene3e eneral!en"e al se3"or pL7li3o< Es"a ra1ón se puede eJpresar 3o!o> R";n +/ =
+eneii&s - deseneii&s &st&s
$n proye3"o ser: a3ep"ado su (?%f &os 7enei3ios son ven"a9as eJpresadas en "=r!inos !one"arios ;ue re3i7e al propie"ario 3o!o por e9e!plo> los 7enei3ios ;ue se o7"ienen por la 3ons"ru33ión de una 3arre"era o una 6idroel=3"ri3a< Se presen"an des7enei3ios 3uando el proye3"o involu3ra desven"a9as 3o!o por e9e!plo inunda3iones de "errenos de 3ul"ivo o paos por dere36o de va de una 3arre"era< inal!en"e2 los 3os"os son los as"os an"i3ipados de 3ons"ru33ión2 opera3ión !an"eni!ien"o2 e"3< Si el es"udio ;ue anali1a per"ene3e al o7ierno es 3onvenien"e asu!ir ;ue el pL7li3o es el propie"ario y el ;ue in3urre en 3os"os es el o7ierno< E9e!plos> El +inis"erio de Transpor"e y %o!uni3a3iones2 es": 3onsiderando un proye3"o para la lo3ali1a3ión de una nueva 3arre"era< &a inor!a3ión ;ue se posee es> %os"o de 3ons"ru33ión (enei3io anual %os"o anual de !an"eni!ien"o Vida L"il2 indeinida
B!illones de soles 4200 ,2000 400
+edian"e la apli3a3ión del !="odo de 7enei3io y 3os"o2 de"er!ine si es a3ep"a7le o no es"e proye3"o si iF0< Solu3ión> (enei3io F %os"os F (?%
,2000 4200 J 02 G 403 F 2@00 F ,2000 2800 F <
(?%f por "an"o2 al proye3"o es a3ep"a7le< Si se "iene dos o !:s al"erna"ivas !u"ua!en"e eJ3luyen"es el !ayor valor del (?% no es un indi3ador 3orre3"o para eleir la !e9or al"erna"iva2 por ello es 3onvenien"e u"ili1ar el prin3ipio del rendi!ien"o in3re!en"al< E9e!plo> Se "iene iden"ii3adas "res al"erna"ivas2 !u"ua!en"e eJ3luyen"es2 la siuien"e>
K.
inor!a3ión es la
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B!iles de soles (enei3ios anuales 8.200 K0200 .200
Al"erna"iva A ( %
%os"os anuales @,2000 802000 8@2000
(?% ,<0 ,</ <,@
M%u:l de las al"erna"ivas se de7e eleir Solu3ión> %o!parando la al"erna"iva A 3on % se "iene> (enei3ios anuales %os"os anuales
Al"erna"iva A
Al"erna"iva %
Dieren3ias
8.2000
.2000
K02000
@,2000
8@2000
/2000
&a ra1ón (?% de las dieren3ias es> " / C =
70,000 3,000
= 23.33
&o ;ue indi3a ;ue por un 3os"o in3re!en"a de /2000 B!iles de soles de A2 se o7"iene un !ayor 7enei3io en 3onruen3ia al"erna"iva A es !e9or ;ue la %< %o!parando la al"erna"iva A 3on ( se "iene> (enei3ios anuales %os"os anuales " / C =
15,000 12,000
Al"erna"iva A
Al"erna"iva (
Dieren3ias
8.2000
K02000
.2000
@,2000
802000
,2000
=1.25
El resul"ado indi3a ;ue la al"erna"iva A es !e9or ;ue (2 pese a ;ue la ra1ón (?% de la al"erna"iva (2 dada en la inor!a3ión ini3ial2 es !ayor ;ue la o7"enida en A y %< Respues"a> Se elie la al"erna"iva A< (enei3io %os"o E!presarial El 3oei3ien"e de (enei3io %os"o de una e!presa resul"a de dividir el valor a3"ual de los u"uros inresos ne"os des3on"ados a la T+AR2 por la inversión re;uerida< E9e!plo> &a inversión ne3esaria para un proye3"o es de 00 !illones de soles2 los inresos anuales se !ues"ran en el siuien"e lu9o de 3a9a<
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B00` 0
/0`
40`
40`
40`
40`
,
/
4
.
Si la T+AR es /02 3al3ular el (?%< Solu3ión> %os"o (enei3io
F F F
(?% F F
00 80`BP?2 /02 G 40`BP?A2 /02 4 BP?2 /02 < 8@
0<8@K
El “Proye3"o# no es a3ep"a7le por ;ue la rela3ión (?% es !enor ;ue la unidad<
2." Periodo de Re&*-era&ión de Ca-ita+ PRO! &la!ado "a!7i=n periodo de repao< Es el lapso en el ;ue la su!a"oria de los valores a3"uali1ados de los 7enei3ios iuala a la de los 3os"os del proye3"o< Di36o de o"ro !odo2 !ide al "ie!po ne3esario para ;ue al inversionis"a re3upere su inversión y 3o!o es de suponer2 !ien"ras !:s 3or"o sea el periodo de re3upera3ión2 su ee3"o a la vida es"i!ada del proye3"o2 es !ayor el a"ra3"ivo para inver"ir< E9e!plo> Sea el siuien"e lu9o> B!illones de soles AgO
%OSTOS DE %ONSTR$%%ION
0 , / 4 . 5 K 8 @ 0
IN'RESOS NETOS
2000 /2000 800 2.00 ,2000 ,2000 ,2000 ,2.00 ,2.00 ,2.00
Si iF02 de"er!ine el periodo de re3upera3ión de 3api"al< Solu3ión> VP F 0 F -2000 BP?202-/2000 BP?202, G 800 BP?202/ G .00 BP?2024 XXXXXXXX El valor presen"e in3luyendo el 3os"o del año . es VO . F -.,
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VP5 F 50K A6orro B7en=i3o por u"ili1ar 3arre"era ;ue 3ru1a las !on"añas> ( F . J 0<, J 40000 F ,4000 In3re!en"o anual en 3os"o de la 3arre"era ;ue 3ru1a las !on"añas 3on respe3"o a la 3arre"era lara< %arre"era lara BA DE
= 21C000,000 BA?P2 52,0 F ' 1*30*+,+0
%arre"era ;ue 3ru1a las !on"añas B( DE+ = 45C000,000 BA?P2 52,0F ' 3.2330,0/ In3re!en"o anual en 3os"o C = CAUE " − CAUE A F ' 20.22.3 Rela3ión (?% +/
=
240.00 2C117,320
= 0.11
%o!o (?%f2 3onviene la 3ons"ru33ión de la 3arre"era lara< Rela3ión (-% (- % F ,402000 20.22.3 F ' 20/*2.3+ , &a Aen3ia de Res"aura3ión es": 3onsiderando el reves"i!ien"o de los 3anales prin3ipales de sus sis"e!as de Irria3ión< Se espera ;ue el 3os"o ini3ial del reves"i!ien"o sea de $S 4 !illones2 !:s $S ,.<000 de !an"eni!ien"o anual< Si los 3anales no se re3u7ren2 se "endr: ;ue llevar a 3a7o una opera3ión de 3on"rol de !ale1as y sedi!en"os ;ue "endra un 3os"o ini3ial de $S K00<000 y un 3os"o de $S .0<000 el pri!er año2 $S .,<000 el seundo y 3an"idades ;ue au!en"an en $S ,<000 al año duran"e ,. años< Si los 3anales no se re3u7ren2 se perder: !enos aua por inil"ra3ión dando 3o!o resul"ado "ierras adi3ionales ;ue se podran u"ili1ar para la ari3ul"ura< Se espera ;ue el inreso ar3ola o7"enido 3on la "ierra adi3ional sea de $S ,02000 anuales< $"ili3e a el !="odo (?% y 7 el (-% para de"er!inar si los 3anales se de7en reves"ir< Supona!os ;ue la vida L"il del proye3"o es de ,. años y la "asa de in"er=s del 5 anual<
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SO&$%ION> %anal 3on reves"i!ien"o BR %A$ER F 4`0002000 BA?P252 ,. G ,.2000 F //K2@,0 (enei3io F ,02000 %anal sin reves"i!ien"o BSR %A$ESR F K002000 BA?P252 ,. G .02000 G ,2000 BA?'2 52 ,. F ,,2@0. %os"o F %A$ER %A$ESR F ,.20. a
+/
=
120,000 215,015
= 0.56
(?%2 en"on3es no se re3u7re< 7
(-%F,0000-,.0[email protected]. (-%02 en"on3es no se re3u7re<
/El 3os"o del al;uiler de 3a!iones es de $S ,K. por 3a!ión al !es< %o!o al"erna"iva2 el pre3io de 3o!pra por 3a!ión es de $S K00 al !es 3on un pao !ensual de $S /00 duran"e 3ua"ro años< $n 3a!ión se puede vender en pro!edio por $S 2,00 independien"e!en"e del "ie!po de propiedad< $na drouera de7e paar el !an"eni!ien"o2 la opera3ión y el seuro de los 3a!iones2 sean 3o!prados o al;uilados2 es"e 3os"o es iual2 y por lo "an"o2 no se "iene en 3uen"a Ba MDuran"e 3uan"os años se de7er: llevar a 3a7o el plan para ;ue la 3o!pra o el al;uiler sean iuales B7 Si un 3a!ión 3o!prado "iene una vida L"il esperada de 5 años2 Mse de7en 3o!prar o al;uilar los 3a!iones SO&$%ION> Tie!po para ;ue sea indieren"e 3o!prar B% 3 al;uilar BA> %A$E A %A$E% %A$E A N
F F F F
,K. K00 BA?P2 2 n G /00 - 2,00 BA?2 2 n %A$E% 425 !eses
Si la vida L"il es seis años M3onviene 3o!prar> %A$E A %A$E% %A$E%
F F F
,K. K00 BA?P2 2 K, G /00 BP?A2 2 48 BA?P2 2 K, ,,. %A$E A por 3onsiuien"e 3onviene 3o!prar<
K@
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0. REEMPLAJO; RETIRO; ANKLISIS 3 EUILI=RIO
CAPITULO 0
0.1 O47eti'o El o79e"ivo de es"e 3ap"ulo es 3o!parar e3onó!i3a!en"e dos a3"ivos2 el propio y o"ro ;ue puede ree!pla1arlo< El a3"ivo propio se le deno!ina Deensor y el ;ue puede ree!pla1arlo se deno!ina Re"ador< Para ee3"o de evalua3ión se par"e del supues"o de ;ue el a3"ivo ;ue posee no es propio y por 3onsiuien"e se "iene> -Pre3io del deensor> Pre3io a3"ual del !er3ado o valor 3o!er3ial del a3"ivo usado< -Valor de salva!en"o y vida L"il res"an"e> Son es"i!ados a par"ir de las 3ondi3iones a3"uales del a3"ivo< E9e!plo> a3e 3ua"ro años2 se 3o!pró una !:;uina por S?< 0020002 la vida L"il es"i!ada ue de 0 años2 el valor de salva!en"o de S?< 02000 y un 3os"o anual de opera3ión de S?< 42000 A6ora se ore3e una !:;uina2 para ree!pla1ar a la an"erior por S?< .020002 la vida L"il es"i!ada es de 0 años2 valor de salva!en"o de @2000 y 3os"os anuales de opera3ión de ,2/00< Se 6a3e nuevos 3:l3ulos por la !:;uina usada> valor 3o!er3ial S?< K020002 valor de salva!en"o S?< .20002 vida L"il res"an"e . años y los !is!os 3os"os de opera3ión< Si I F 02 M%u:l de los a3"ivos 3onviene
SO&$%ION> DEENSOR K02000 42000 .2000 .
Pre3io del a3"ivo %os"o anual de opera3ión Valor de salva!en"o Vida L"il Baños
RETADOR @02000 ,2.00 @2000 0
%A$E BDeensor
F K02000 BA?P2 02 .G42000-.2000BA?2 02 . F ,254K
%A$E BRe"ador
F @02000 BA?P2 02 0G,2.00-@2000BA?2 02 0 F 52.8,<8
%onviene la !:;uina nueva BRe"ador por "ener %A$E !enor ;ue la !:;uina no an"iua< En el an:lisis de ree!pla1o se de7e dar un ade3uado "ra"a!ien"o al 3os"o a!or"i1ado para el 3aso de ;ue =s"e se presen"e< %os"o a!or"i1ado F valor a3"ual en li7ros valor a3"ual de salva!en"o lora7le< El valor a3"ual de salva!en"o lora7le es el valor 3o!er3ial del a3"ivo< Si el 3os"o a!or"i1ado es posi"ivo alunos analis"as "ra"an de re3uperarlo su!:ndolo al 3os"o ini3ial del re"ador 3on lo 3ual se pre"ende 3u7rir el posi7le error de la de3isión de 3o!pra an"erior< El 3os"o a!or"i1ado de7era ser 3arado a una 3uen"a de "al or!a ;ue se rele9a en el es"ado de anan3ias y p=rdidas< Desde el pun"o de vis"a "ri7u"ario2 el valor de es"e 3os"o es i!por"an"e por 3uan"o involu3ra una anan3ia o p=rdida de 3api"al< En el an:lisis de ree!pla1o el 3os"o a!or"i1ado no de7e in3luirse en la 3o!para3ión
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e3onó!i3a<
0.".Periodo de est*dio en e+ an+isis de ree%-+a8o Para el periodo de es"udio se presen"a uno de es"os 3os"os> -Vida L"il res"an"e del deensor iual a la vida L"il del re"ador< -Vida L"il res"an"e del deensor !enor ;ue la del re"ador< Para el pri!er 3aso se u"ili1a 3ual;uier !="odo de evalua3ión< E9e!plo> El valor 3o!er3ial de un ve63ulo 3on dos años de uso es de S?< 802000 los 3os"os de !an"eni!ien"o2 3o!7us"i7le2 i!pues"os2 e"32 son de S?< ,02000 al año< &a vida L"il y el valor residual es"i!ados para el ve63ulo usado son de 0 años y S?< .2000< Se "iene la op3ión de al;uilar un ve63ulo a un 3os"o de S?< ,.2000 por año y S?< 82000 de 3os"o anual de opera3ión B%AO< Si se re;uiere una "asa de re"orno del 0 M%onviene al;uilar el ve63ulo< SO&$%ION> Deensor P F %AO F V?S F n F
Re"ador %os"o de al;uilerF %AO F n F
S?<802000 ,02000 .2000 0 años
S?<,.2000 82000 0 años
El 3os"o anual unior!e e;uivalen"e del deensor B%$E0 es> %A$ED
F F F
PBA?P2 2 n VS BA?2 2 n G %AO 802000 BA?P2 02 0 .2000 BA?2 020G,020000 S?< 482/./<8
El 3os"o anual unior!e e;uivalen"e del re"ador B%A$ER es> %A$ER
F F
,.2000 G 82000 S?< 4/2000
%onviene al;uilar el ve63ulo< Par el 3aso en ;ue la vida L"il del deensor sea !enor ;ue la del re"ador el !="odo ade3uado de an:lisis es el %A$E< E9e!plo> $na !:;uina ad;uirida 6a3e "res años "iene un %A$E de S?< .02000 al año y una vida L"il an"i3ipada res"an"e de 3in3o años< El posi7le ree!pla1o del a3"ivo "iene un 3os"o ini3ial de S?< ,.02000 un valor de salva!en"o de S?< 402000 una vida L"il de 0 años y un 3os"o anual de opera3ión de S?< 02000< Si la 3o!paña u"ili1a una "asa de re"orno !ni!a de 0h MDe7e ree!pla1ar el a3"ivo SO&$%ION> %A$ED %A$ER
F F F
S?< .02000 ,.02000 BA?P2 02 0 402000 BA?2 020 G 02000 482K5<.
Se de7e ree!pla1ar el a3"ivo< O3urre a ve3es ;ue la ad!inis"ra3ión es es3=p"i3a en lo ;ue se reiere al u"uro lo ;ue la
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indu3e a "o!ar periodos 3or"os de "ie!po para el 6ori1on"e de planii3a3ión2 es de3ir2 ;ue los valores de n en los 3:l3ulos rele9ar:n el 6ori1on"e a3or"ado< E9e!plo> %on la inor!a3ión del pro7le!a an"erior2 eJ3ep"o ;ue se u"ili1a un 6ori1on"e de planii3a3ión de 3in3o años2 ya ;ue la ad!inis"ra3ión "iene re3elo an"e el proreso "e3nolói3o en es"e 3a!po< MSe de7e ree!pla1ar el a3"ivo El periodo de re3upera3ión del a3"ivo es de 3in3o años< %A$ED %A$ER
F F F
S?< .02000 ,.02000 BA?P2 02 . - 402000 BA?2 02. G 02000 S?< 5@2/@K<.
A6ora la re"en3ión del deensor es !enos 3os"osa2 3a!7iando de es"a !anera la de3isión adop"ada 3on un 6ori1on"e de die1 años< En el e9e!plo an"erior se o7serva ;ue se 6a !an"enido el !is!o valor residual ;ue para el 3aso de ;ue es"e a3"ivo dure 0 años2 es"o se de7e a ;ue a ve3es no es posi7le prede3ir el valor residual del a3"ivo<
0.# C+&*+o de+ 'a+or de ree%-+a8o -ara *n de6ensor %uando se "iene deinido un re"ador2 el valor de ree!pla1o del deensor se puede 3al3ular a par"ir de> C = CAUE D − CAUE R
Si 3on es"e 3:l3ulo se "iene ;ue el valor de ree!pla1o del deensor es !ayor ;ue el valor 3o!er3ial el a3"ivo no se ree!pla1a< E9e!plo> $n a3"ivo 3o!prado 6a3e 3ua"ro años "iene un %AO de S?< 020002 una valor de salva!en"o de S?< 42000 y una vida L"il de 5 años !:s2 el re"ador sele33ionado 3ues"a S?< /020002 "iene una vida L"il de , años2 un valor de salva!en"o de S?< 52000 y 3os"os anuales de opera3ión de S?< K2000< Si la "asa de in"er=s es iF. M;u= valor 3o!er3ial 9us"ii3a el ree!pla1o SO&$%ION> VA %A$ED %A$ER %A$ED VR
> F F F F F F
El valor de ree!pla1o VP VR BA?P2.25 -42000 BA?2 .2 5 G 02000 VR < 0<,54,4 G @2.4/ /02000 BA?P2 .2 ,- 52000BA?2 .2 , G K2000 ,2/,K<. %A$ER S?< 02./K<8
Si el valor 3o!er3ial del a3"ivo es !ayor ;ue S?< 02./K<8 en"on3es se ree!pla1a<
0.( Deter%ina&ión de+ tie%-o de reten&ión de *n a&ti'o Se presen"an si"ua3iones donde se 6a3e ne3esario 3al3ular el "ie!po ;ue 6a de per!ane3er un a3"ivo2 an"es de ser ree!pla1ado2 la 3ara3"ers"i3a unda!en"al es ;ue en ese "ie!po el 3os"o anual unior!e e;uivalen"e es !ni!o< E9e!plo Es"a7le3er el "ie!po de 3a!7io de un 3a!ión ;ue 3ues"a S?< 502000< Se 6a ee3"uado un 8,
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es"i!ado de 3os"os anuales de opera3ión y pre3ios de ven"a para 3ada uno de los años siuien"es> Año , / 4 . 5 K 8
%os"os de Opera3ión ,52800 /.2000 452000 5.2000 @02000 ,02000 5,2000 ,02000
Pre3io de Ven"a ,02000 @02000 5@2000 5.2000 5/2000 502000 .02000 402000
Si la "asa de rendi!ien"o espera7a es 0 de"er!ine en ;u= año se de7e ee3"uar el ree!pla1o< SO&$%ION> Para el pri!er año se "iene> %A$E F 502000-,02000BP?2 02 W BA?P2 02 G ,52800 F S?< 8,2800 Para el seundo año se "iene> %A$E, F 502000-@02000BP?202,WGBA?P202,G ,52800BP?202 G /.2000 BP?202,W BA?P2 02 , F S?< /,28@. &os 3os"os anuales se pueden presen"ar en una "a7la de la siuien"e !anera> %OSTO DE OPERA%ION Año
Valor A3"ual
Valor a3"ual a3u!ulado
%os"o Anual
,42/54
,42/54
,52800
,
,82@,4
./2,88
/02K04
/
/42.50
8K2848
/.2/,.
4
442/@.
/,2,4/
42K@
.
..2/8
882,4
4@25,K
5
5K2K40
,..2854
.82K4@
K
8/2/8
//@200,
5@25/4
8
@K2@5.
4/52@5K
82@0.
%OSTO DE %APITA&
8/
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Valor A3"ual de reven"a
%api"al Insu!ido
,42/54
,42/54
,52800
8,2K@@
,
,82@,4
./2,88
/02K04
802040
/
/42.50
8K2848
/.2/,.
K8288
4
442/@.
/,2,4/
42K@
20;10
.
..2/8
882,4
4@25,K
82.5
5
5K2K40
,..2854
.82K4@
8K2K0
K
8/2/8
//@200,
5@25/4
@K2,,@
8
@K2@5.
4/52@5K
82@0.
082/@8
Año
%os"o Anual
%os"o To"al Anual
El !enor 3os"o anual o7"enido es S?< K828@ ;ue 3orresponde al 3uar"o año de opera3ión2 en"on3es inali1ado es"e 3onviene 3a!7iar el 3a!ión< EJis"en 3asos en ;ue la de3isión para la 3o!pra de un a3"ivo es": "a!7i=n en un3ión de la 3apa3idad de produ33ión y la 3an"idad de unidades re;ueridas por la e!presa< Para ee3"uar el an:lisis de las al"erna"ivas2 es 3onvenien"e en3on"rar el pun"o de e;uili7rio de =s"as< E9e!plo> $na 3o!paña es": 3onsiderando la 3o!pra de una !:;uina au"o!:"i3a< &a !:;uina "iene un 3os"o ini3ial de S?< ,.020002 un valor de salva!en"o de S?< ,.2000 y una vida L"il de die1 años< Si se 3o!pra la !:;uina re;uerir: un operador a un 3os"o de S?< ,0 por 6ora< &a produ33ión de es"e e;uipo sera de 0 "oneladas por 6ora< Se espera ;ue los 3os"os anuales de !an"eni!ien"o y opera3ión sean de I?< /02000< O"ra al"erna"iva es ;ue la 3o!paña 3o!pre una !:;uina si!ple por S?< @02000 3on valor de salva!en"o de S?< 020002 3on vida L"il de 3in3o años< %on es"a al"erna"iva se re;uerir: "res operadores a un 3os"o de S?< . por 6ora< El 3os"o de opera3ión y !an"eni!ien"o anual es": es"i!ado en S?< /20002 se espera o7"ener una produ33ión de K "oneladas por 6ora< Se espera ;ue la "asa de re"orno del 3api"al sea de 00< a<-M%u:n"as "oneladas anuales de7e produ3ir la !:;uina au"o!:"i3a para 9us"ii3ar su 3o!pra 7<- Si la ad!inis"ra3ión eJie2 ,000 "oneladas anuales a3a7adas M;u= !:;uina se de7e ad;uirir SO&$%ION> a<- Sea el nL!ero de unidades anuales en el pun"o de e;uili7rio< El 3os"o varia7le anual para la !:;uina au"o!:"i3a es>
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S / .20 1/ora -ton = 2 - /ora 10ton. a.o
&st& B"!i"e n" =
El 3os"o anual unior!e e;uivalen"e de la !:;uina au"o!:"i3a B%A$E Aes> %A$E A F ,.02000 BA?P202 0 ,.2000 BA?2 02 0 G /02000 G , F 5@28 G , El %A$E de la !:;uina si!ple es> %A$ES F @02000 BA?P2 02 . 02000 BA?2 02 . G /2000 G
3(15) 7
F /.204 G 5<4,@5 < Iualando los dos 3os"os y despe9ando se "iene> %A$E A F %A$ES 5@2@ G ,J F /.204 G 524,85 F K258 En"on3es la produ33ión de la !:;uina au"o!:"i3a de7er: ser K258 "oneladas< Si la ad!inis"ra3ión eJie ,2000 "oneladas de7er: ad;uirir la !:;uina si!ple<
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Pro4+e%as &a !:;uina A 3o!prada 6a3e dos años se es": ao"ando !:s r:pida!en"e de lo esperado< Tiene una vida L"il res"an"e de dos años2 un 3os"o anual de opera3ión de /<000 y no "iene valor de salva!en"o< Para 3on"inuar la un3ión de es"e a3"ivo se puede 3o!prar la !:;uina ( y se per!i"ir: un valor de neo3ia3ión de @<000 Para la !:;uina A . &a !:;uina ( "iene PF ,.2<0002 nF, años2 %AO F 4<000 y VS F l<000 %o!o la al"erna"iva se puede 3o!prar la !:;uina % para ree!pla1ar la !:;uina A la 3ual se podra vender por K<000 < Es"e nuevo a3"ivo "endra P F /8<002 n F ,0 años2 %AO F ,<.00 y VS F <000< Si la re"en3ión de A se deno!ina plan A2 el plan ( es la ad;uisi3ión de la !:;uina ( y el plan % es la 3o!pra del a3"ivo %2 u"ili3e un perodo de ,0 años y una T+AR F 8 para de"er!inar el plan !:s e3onó!i3o<
So+*&ión: %o!para3ión de 3os"os> +:;uina A 3on +:;uina ( CAUE A
= 9,000( A / P ,8%,2) + 3,000 = 8,047
CAUE "
= 25,000( A / P ,8%,12 ) + 4,000 −1,000( A / F ,8%,12 ) = 7,265
+:;uina A 3on !:;uina % CAUE A
= 7,000( A / P ,8%,2 ) + 3,000 = 6,925
CAUE "
= 38,000( A / P ,8%,20) + 2,500 −1,000( A / F ,8%,20 ) = 6,348
Se elie la !:;uina %< ,&a 3o!paña So"o es"a 3onsiderando dos propues"as para !e9orar el par;ueadero de los "ra7a9adores< &a propues"a A2 in3luye relleno2 nivela3i5n y una superi3ie 7i"u!inosa por un 3os"o ini3ial de .<000< Se espera ;ue la vida L"il del par;ueadero sea de 3ua"ro años 3on 3os"os anuales de !an"eni!ien"o de <000< De !anera al"erna2 el par;ueadero se pavi!en"ara 7a9o la propues"a (2 en 3uyo 3aso la vida L"il se eJ"endera a 5 años< El 3os"o anual de !an"eni!ien"o sera insinii3an"e para el par;ueadero pavi!en"ado2 pero las !ar3as "endran ;ue pin"arse de nuevo 3ada dos años a un 3os"o de .00< Si la "asa !ni!a a"ra3"iva de re"orno es , al año< Mde 3u:n"o dinero podra disponer la 3o!paña para pavi!en"ar el par;ueadero para ;ue las dos propues"as es"=n a la par< Solu3ión Propues"a A CAUE A
= 5,000( A / P ,12%,4) +1,000 = 2,646
Propues"a ( CAUE " = - ( A / P ,12%,16) + 500( A / P ,12%,2) %os"o de la Propues"a (
= CAUE " - = 16,809
CAUE A
De7er: disponer de 5280@ para pavi!en"ar el par;ueadero /$na 3o!paña de 3one33iones 3onsidera la 3o!pra de una 3or"adora au"o!:"i3a la 3ual "endra
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un 3os"o ini3ial de ,,<0002 una vida L"il de die1 años y un valor de salva!en"o de .00< Se espera ;ue el 3os"o anual de !an"eni!ien"o sea de ,<000 al año< &a 3or"adora re;uiere un operador de 3os"o de ,4 al da< %on es"a 3or"adora se pueden 3or"ar aproJi!ada!en"e <.00 yardas por 6ora< De !anera al"erna2 si se u"ili1a la !ano de o7ra2 3in3o "ra7a9adores a 8 diarios 3ada uno pueden 3or"ar <000 yardas por 6ora < Si la "asa !ni!a a"ra3"iva de re"orno de la 3o!paña es del 8 anual2 M3uan"as yardas de !a"erial se de7en 3or"ar 3ada año para 9us"ii3ar la 3o!pra de la 3or"adora au"o!:"i3a
So+*&ión: 22,000( A / P ,8%,10) + 2,000 − 500( A / F ,8%,10 ) +
24
( 8)(1500)
=
( 5)(18) (1,000)( 8)
El nL!ero de yardas a 3or"ar para 9us"ii3ar la 3o!pra de la 3or"adora au"o!:"i3a de7er: ser de J F .552@/.< 4 $na 3ur"ie!7re es": 3onsiderando el aspe3"o e3onó!i3o de !on"ar un la7ora"orio en su plan"a para evi"ar "ener ;ue !andar !ues"ras para an:lisis independien"es< Si el la7ora"orio se !on"a de "al !anera ;ue "odos los an:lisis puedan llevarse a 3a7o en =l2 el 3os"o ini3ial sera de ,.2000< Se re;uerir: un "=3ni3o a 3os"o de S /<000 al año< El 3os"o de enera2 produ3"os ;u!i3os2 e"3< son de . por !ues"ra< Si el la7ora"orio se !on"a sólo par3ial!en"e2 el 3os"o ini3ial ser: de S 0<000 y se re;uerir: un "=3ni3o de !edio "ie!po 3on un salario de .<000 anual< El 3os"o de la !ues"ra anali1ada en es"e la7ora"orio seria de /2 pero 3o!o no "odos los an:lisis se pueden reali1ar den"ro del la7ora"orio2 se ne3esi"aran los servi3ios de un la7ora"orio eJ"erior a un 3os"o de ,0 la !ues"ra< S la 3o!paña preiere 3on"inuar 3on el sis"e!a a3"ual de an:lisis2 3ada !ues"ra le 3os"ar: ..< Si el e;uipo de la7ora"orio "iene una vida L"il de , años y la T+AR de la 3o!paña es 0 anual M3uan"as !ues"ras se de7en anali1ar 3ada año para 9us"ii3ar2 a el la7ora"orio 3o!ple"o y 7 par"e del la7ora"orio 3 si la 3o!paña espera anali1ar K. !ues"ras al año2 M3u:l de las "res al"erna"ivas se de7er: sele33ionar
So+*&ión: &a7ora"orio %o!ple"o B%> CAUE C
= 25,000( A / P ,10%,12) + 13,000 + 5%
Sis"e!a A3"ual BA CAUE A
= 55 -
NL!ero de +ues"ras para Uus"ii3ar la Ins"ala3ión del &a7ora"orio %o!ple"o CAUE A -
= CAUE C
= 333
&a7ora"orio Par3ial BP CAUE P
= 10,000( A / P ,10%,12) + 5,000 + 3% + 20%
NL!ero de !ues"ras para 9us"ii3ar la ins"ala3ión del la7ora"orio par3ial> CAUE A -
= CAUE P
= 202
inal!en"e si la 3o!paña espera anali1ar K. !ues"ras de7er: 3on"inuar 3on el sis"e!a a3"ual<
CAPITULO . DEPRECIACION 3 A
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.1
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De-re&ia&ión.@ De6ini&iones
a! De-re&ia&ión D!.@ Se puede deinir 3o!o la dis!inu3ión del valor de un A3"ivo si3o produ3ido por el uso2 de"erioro y la 3ada en desuso< &a depre3ia3ión es ne3esaria en el es"udio de al"erna"ivas por el ee3"o ;ue "iene so7re el 3:l3ulo de i!pues"os a la ren"a2 es"o es2 a !ayor depre3ia3ión2 lleva 3o!o ee3"o un !enor pao de i!pues"os< 4! ?a+or en +i4ros de *n a&ti'o ?L!.@ &a dieren3ia en"re el 3os"o oriinal del a3"ivo 3on la depre3ia3ión 3arada 6as"a la e36a se deno!ina valor en li7ros del a3"ivo< &! ?ida des-re&ia4+e es-erada o 'ida ti+ de+ a&ti'o n!.@ Es el nL!ero de años ;ue se es"i!a la opera"ividad del a3"ivo< d! ?a+or de sa+'a%ento ?S!.@ Es el valor ;ue se le asina al a3"ivo al inal de su vida L"il< e! ?a+or &o%er&ia+.@ Es la 3an"idad de dinero ;ue puede o7"ener por el a3"ivo si uese vendido en el !er3ado< Puede variar su7s"an3ial!en"e 3on respe3"o al valor en li7ros2 por lo 3ual para el ee3"o de evalua3ión de al"erna"ivas el valor ;ue se le de7e "ener en 3uen"a es el valor 3o!er3ial< ." Métodos de De-re&ia&ión &os !="odos de depre3ia3ión !:s 3ono3idos son> ondo de a!or"i1a3ión< &nea re3"a< Su!a de di"os de los años< Saldo de3re3ien"e< Saldo de3re3ien"e do7le< Depre3ia3ión 3on in"er=s en la inversión<
De-re&ia&ión -or Fondo de A%orti8a&ión.@ +edian"e la apli3a3ión de es"e !="odo solo es posi7le 3u7rir el 3api"al ini3ial de all se deriva su no!7re< D F BP-VS BA?2 i2 n D> Depre3ia3ión i > Tasa de in"er=s del ondo< P> %api"al ini3ial N > Vida despre3ia7le esperada VS > Valor de salva!en"o< E9e!plo> P F i F n F VS F
S?< 02000 /. 5 años S?< 2000
A F B02000-2000 J 0<05@,5 F S?< 5,/
Depósi"o al ondo de Dep< 5,/
TA(&A DE DEPRE%IA%ION In"er=s In3re!en"o I!por"e so7re el Anual al A3u!ulado ondo ondo 5,/
88
Valor en li7ros 02000<00 @2/K5<55 82./.<.
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/ 5,/
.,
2/5<04 2.//<5. ,20K0<4/ ,2K@.<08
,2500<8@ 42/4<.4 52,04<@K @2000
K2/@@< .285.<4. /2K@.<0/ 2000<00
De-re&ia&ión en L$nea Re&ta.@ En es"e !="odo el valor en li7ros dis!inuye lineal!en"e 3on el "ie!po< D
=
P − 0S n
El valor en li7ros despu=s de ! años BV&! es > V&! F P - !D E9e!plo> P F S?< 002000 D
=
P − 0S n
VS
F S?< ,02000
n
F . años
D =
V&,
F
D F S?< 52000
100,000 − 20,000
V&, F P - ,D F 002000 - /,2000
5
⇒
V&, F S?< 582000
De-re&ia&ión s*%a de d$gitos de +os a/os.@ +edian"e la apli3a3ión de es"e !="odo2 la !ayor par"e del valor del a3"ivo di!inuye en el pri!er "er3io de la vida L"il del a3"ivo< %os"o de depre3ia3ión en el año ! Dm
= n − m +1 x ( P −0S )
SD
=(
SD 1+ n 2
)
n
SD F Su!a de los di"os de los años< E9e!plo> P F S?< .002000 VS F S?< .02000 n F 8 años ! F / años D! F Dm
=
n − m +1 ( P −0S ) SD
8 −3 +1 (500,000 −50,000) 1 +8 .8 2 D3 = 75,000
D3 =
8@
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Valor en li7ros en el año ! Dedu33ión de la ór!ula> 02m
m
∑ D1
= P −
1 =1
Depre3ia3ión en el pri!er año> D1
n −1+1
=
( P −0S )
SD
=
Depre3ia3ión en el seundo año> D1
n −1 + 2
=
SD
( P − 0S )
=
n SD
n −1
Depre3ia3ión en el año !> n − m+1
Dm =
SD
( P − 0S )
Su!ando las depre3ia3iones Se "iene> D1
+ D 2 + ... + D m =
( P − 0S )
=
SD
( P − 0S )
n − (m − 1) SD
( P − 0S )
n + ( n + 1) + ... + n − ( m − 1) SD
( P − 0S )
1 + ( m − 1) (m − 1) 2 ( P − 0S )
mn − m
∑ D
1
=
SD mn − m ( m − 1) / 2
( P − 0S ) SD m[ n − (m − 1) / 2] P − ( P − 0S ) SD
1 =1
02m
=
Del e9e!plo an"erior2 el valor en li7ros para el "er3er año es> 023
= 500,000 −
3(8 − 1) 36
x 450000 F
S?< ,/K2.00
De-re&ia&ión sa+do de&re&iente o -or&enta7e 6i7o.@ %on es"e !="odo los 3aros de depre3ia3ión se 3o!por"an en sen"ido de3re3ien"eY la depre3ia3ión para el año ! se 3al3ula as> D! F d J V& !- d F Tasa de depre3ia3ión Valor en li7ros en el año !> m
02m =
P − ∑ D1 1 = 1
Dedu33ión de la ór!ula> En el pri!er año> D F Pd
V& F P - Pd F PB-d
En el seundo año>
D, F V& D, F Pd B-d V&, F PB-d-PdB-dFPB-d ,
En el "er3er año>
D/ F V&, d D/ F Pd B-d, Vl/ FPB-d,- PdB-d, F PB-d
En el año !>
D! F PdB-d!-
V&! F PB-d!
@0
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De-re&ia&ión sa+do de&re&iente do4+e. &a dieren3ia 3on el !="odo an"erior es ;ue se asina un valor a d2 es"e es> d =
2
n
n F nL!ero de años de vida del a3"ivo E9e!plo> P F S?<.002000 n F 8 ! F / años D! F V&! F
De-re&ia&ión &on interés en +a in'ersión.@ Dm = Px
2 n
(1 −
D3 =500,000 x
2 n 2 8
)
m −1
(1 −
0l 3 =50,000(1 − 2 / 8)
Si se "iene> P
Vs Tasa anual F i
&a depre3ia3ión se 3al3ula de la siuien"e !anera> D! F PB?P2 i2 n - VS W BA?2 i2 n %on la rela3ión> BA?2 i2 n G i F B?P2 i2 n BA?2 i2 n Se "iene ;ue> D! F PB?P2 i2 nBA?2 i2 n - VSBA?2 i2 n F PBA?2 i2 n G iW - VS BA?2 i2 n F BP-VSBA?2 i2 n G Pi donde> BP - VSBA?2 i2 n F Ree!7olso de la inversión pi F Provee un rendi!ien"o
.# Agota%iento +edian"e la depre3ia3ión se re3upera2 al inal de la vida L"il2 el valor ini3ial del a3"ivo< El ao"a!ien"o es an:loo a la depre3ia3ión pero se apli3a a los re3ursos na"urales no renova7les2 los ;ue al ser eJ"rados no es posi7le reponer<
.( Métodos de Agota%iento En"re los !:s 3ono3idos se "iene> a a3"or o 3os"o de ao"a!ien"o< 7 Des3uen"o por ao"a!ien"o< 3 In"er=s y ree!7olso por inversión
@
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a! Fa&tor o &osto de agota%iento d%!. @ El a3"or de ao"a!ien"o para el año ! es> D! F Inversión Ini3ial ? %apa3idad del re3urso y el 3os"o anual por ao"a!ien"o es> % Inversión Ini3ial %apa3idad del re3urso %an"< eJ"rada en el er< año %os"o anual B%A
F 2/00Q000 F K.02000 T+ F K02000 T+ F
D! F Q/002000 F
4! Des&*ento -or agota%iento.@ Por es"e !="odo2 un por3en"a9e ne"o de los inresos 7ru"os de los re3ursos puede ao"arse anual!en"e sie!pre ;ue no eJ3eda el .0 del inreso rava7le< EJis"en por3en"a9es a apli3arse al inreso 7ru"o por la eJplo"a3ión de de"er!inados re3ursos< E7e%-+o &a 3o!pra de una !ina de oro por Q0002000 "iene un inreso an"i3ipado de Q4002000 anuales duran"e los dos pri!eros años y @002000 despu=s del seundo año< Si el por3en"a9e por ao"a!ien"o es . del inreso2 3al3ular los 3os"os de ao"a!ien"o de la !ina< Sol'ci(n:
Si los 3os"os de agota%iento no eJ3eden el .0 del inreso rava7le se "iene> Des3uen"o por ao"a!ien"o J 3?u de los , años es> 0<. J Q4002000 F ,02000 Des3uen"o por ao"a!ien"o J 3?u de los años siuien"es> 0<. J @002000 F /.2000
&! Interés 5 ree%4o+so de +a in'ersión.@ %on es"e !="odo se 3al3ula el rendi!ien"o y el ree!7olso de la inversión2 !edian"e la apli3a3ión de la or!ula> A F Pr G BP - VSBA?2 i2 n A> Produ3"o anual del re3urso P> Valor Presen"e Bpre3io de 3o!pra r > Tasa de rendi!ien"o de la inversión< i > Tasa de in"er=s del ondo de ree!7olso 'eneral!en"e r fi
@,
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E7e%-+o: Se es"i!a ;ue una !ina ore3er: un produ3"o anual de Q0002000 duran"e ,. años ;uedando sin valor al 3a7o de ese "ie!po< Si el ondo de ree!7olso de la inversión ana /.< %al3ular el pre3io de 3o!pra ;ue propor3ione un rendi!ien"o del K0 Sol'ci(n:
PF A F nF i F rF
Pre3io de 3o!pra Q0002000 ,. /. K0 VS F 0
Q0002000 F P J 0
PRO=LEMA El +inis"erio de Ari3ul"ura es"e anali1ando un proye3"o par eJ"ender 3anales de irria3ión a sus :reas des=r"i3as< El 3os"o ini3ial del proye3"o se 3al3ula en < <. !illones y los 3os"os de !an"eni!ien"o anuales seran de ,.2000< Si la ren"a provenien"e de la ari3ul"ura se es"i!a en K.2000 anuales2 6ay un an:lisis (?% para de"er!inar si se de7e adelan"ar el proye3"o u"ili1ando un periodo de es"udio de ,0 años y una "asa de in"er=s de 5 anual< Sol'ci(n
(enei3io> K.2000 anuales %os"o > B,.2000G2.00000 BA?P252 ,0 F ..2KK0 anuales $"ili1ando el an:lisis2 !edian"e la rela3ión (?% El proye3"o se de7e adelan"ar2 pues"o ;ue (?% f <0 Bal"a enun3iar pro7le!a @<5 Sol'ci(n
a)
3os"o de E F /000 B, G .0 F 40 (enei3io F .00 3os"o de F K000B, G 5. F @0. (enei3ioF,.GK00FK,.
V<$ F Inini"a E %os"o ini3ial B!iles 40 7enei3io anual .00 7enei3io anual /0
T+AR F , anual j @0. 3o!para3ión 3on E K,. a 3os"o 4@. 40 a 7enei3io ,,.
%o!para3ión E 3on nadie 3on nadie a des7< 0 A 3os"o 40 @0. A (?% 0<4/ A 7enei3io .00 K,. si"io sele33< E A des7< /0 40 A(?% <. o
PRO=LEMA @/
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De las siuien"es al"erna"ivas !u"ua!en"e eJ3luyen"es sele33ione la !e9or u"ili1ando la rela3ión rela3ión (?%2 si T+AR es de 0 anual y los proye3"os proye3"os "iene L"il de . años suponiendo suponiendo ;ue el 3os"o de la "ierra se re3uperar: 3uando el proye3"o 6aya inali1ado "ra"e los 3os"os de !an"eni!ien"o 3o!o del 7enei3ios PROP$ESTA
%os"o de "ierra 3os"o de 3ons"r< !an"en< Anual inreso anual
,
/ .02000 ,002000 .2000 .,2000
4 . 5 402000 K02000 802000 .02000 K02000 8.2000 52000 42000 K2000 4@2000 582000 582000 .02000
K @02000 5.2000 5.2000 K.2000 82000 /2000 82000 KK2000
Sol'ci(n:
%A$E> B%os"o "ierra G %ons"ru3<BA?P202. G !:s !an"eni!ien"o anual< PROP$ESTA (ene< Anual .,2000 4@2000 582000 .02000 82000 KK2000 4.2000 %os"o Anual 4K2858<,. 402@K@<8K 4.2../<., .2840
0<@5
<.5
3on 3on , . 3on / 5888 5888<
Enren"a!os 3os"o in3re!en"al 7ene< In3re!en"al (?%
. 3on , 02.4.
Enren"a!os (ene< In3re!en"al %os"o in3re!en"al (?%
. 3on 5 42000 5@K,<0@ 02.K se preiere 5
RPTA> Se aprue7a 5
@4
0< 0<@5
K.2000 @02000 ,2000 4.2000
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CAPITULO 1 1. LOS IMPUETOS SO=RE LA RENTA EN EL ANKLISIS ECONOMICO 1.1.De6ini&iones Ingreso =r*to I=!.@ Es el "o"al de "odos los inresos provenien"es de uen"e produ3"oras de inresos< Inreso rava7le F Inreso (ru"o 'as"os Depre3ia3ión<
Ca+&*+o de i%-*estos.@ Si la "asa de i!pues"os es T2 en"on3es> I!pues"os F BInreso (ru"o 'as"os Depre3ia3ión T E9e!plo> En3on"rar En3on"rar el lu9o de 3a9a despu=s despu=s de i!pues"os2 si se invier"e invier"e I?< 4002000 en una !:;uina !:;uina ;ue "iene una vida L"il de . años y valor residual 3ero< Inversión Inreso 'as"os Depre3ia3ión Inreso 'rava7le I!pues"os B40 I'V $"ilidad Ne"a Depre3ia3ión y A!or"i1< lu9o de 3a9a despu=s B00 de i!pues"os
,
/
4
.
K0 ,0 ,0 /0 , @ ,0
K0 ,0 ,0 /0 , @ ,0
K0 ,0 ,0 /0 , @ ,0
K0 ,0 ,0 /0 , @ ,0
K0 ,0 ,0 /0 , @ ,0
/8
/8
/8
/8
/8
1.". E+ -rin&i-io de+ Es&*do Fis&a+ %uando una e!presa re3i7e un pr=s"a!o2 los in"ereses o 3os"o de la deuda es dedu3i7le para ines i!posi"ivos lo 3ual 3onlleva un 7enei3io a la e!presa< Para 6a3er eviden"e es"e 7enei3io se presen"a los siuien"es 3asos> Caso 1: &a e!presa no "iene deuda2 deuda2 por lo "an"o el pao de in"ereses es 3ero< Caso ": &a e!presa "iene deuda2 por "an"o es": su9e"a a un pao por in"ereses<
@.
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Ben !iles de soles $"ilidad an"es de in"ereses y i!pues"os< In"ereses $"ilidad an"es de i!pues"os I!pues"os B40 de u"< An"es de i!pues"os $"ilidad ne"a
%aso I 00 B0 00 40 50
%aso II 00 B,0 80 /, 48
%o!parando la u"ilidad ne"a es o7serva ;ue eJis"e una dieren3ia de , !il soles2 los o36o !il res"an"es de los in"ereses en el 3aso dos2 lo asu!e el is3o B,0J% Se ;uiere de3idir en"re la 3o!pra o al;uiler de un e;uipo<
Co%-ra: El 3os"o del e;uipo es S?< 0020002 la 3uo"a ini3ial es S?< 402000 y 3in3o paos anuales 3on a!or"i1a3ión 3ons"an"e a una "asa de in"er=s del ,0 anual2 el valor de salva!en"o del a3"ivo al 3a7o del seJ"o año es S?< 02000< ENTONCES DEUDA DEUDA ES 9 1@( 9 A+)*i+er: El al;uiler anual del e;uipo es S?< /02000< Si la "asa de i!pues"os es 40 y la "asa !ni!a a"ra3"iva de re"orno es de ,. M%u:l es la de3isión SO&$%ION> A!or"i1a3ión e in"ereses Ben !iles de soles
Año
Deuda
A!or"i1a3iónBdeuda en"re años
, / 4 .
50 48 /5 ,4 ,
, , , , ,
@5
In"ereses Bdeud deuda a por por "asa de in"er=s ,<0 @<5 K<, 4<8 ,<4
TEORIA DE INVERSIONES
Depre3ia3ión>
=
100 − 10 6
PA-440
=
90 6
= 15
A6orro anual por depre3ia3iones F .B 024 F 5 Es"a 3an"idad es un 7enei3io< %al3ulo de la eroa3ión ne"a anual %uo"a ini3ial A!or"i1a3ión In"ereses JB-0<4 A6orro anual por depre3ia3iones NE
0 40
Eroa3ión ne"a SUMO 40 ?ERTICAL!
,
/
4
.
, K<, B5
, .<8 B5
, 4
, ,<@ B5
, <4 B5
5 B5 B0
/<, <8
0
8<@
K<4
B5
%o!o se sa7e por 3on"a7ilidad2 la depre3ia3ión no es un dese!7olso de ee3"ivo2 por 3onsiuien"e solo se 3onsidera el 7enei3io por un !enor pao de i!pues"os< El valor presen"e al ,. es> VP B3o!pra F 40G/<, BP?2 ,.2 G <8 BP?2 ,.2 , G 0 El al;uiler "a!7i=n es un 3os"o por "an"o el a6orro por el al;uiler es> 0<4 J /0 F , El valor presen"e al ,. es> VP F /0 B-0<4 BP?A2 ,.2 5 910PA; ",; !9CALCULO EN EBCEL! F ./< Por 3onsiuien"e 3onviene al;uilar el e;uipo<
@K
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CAPITULO 11 11. EFECTO DE LA DEUDA SO=RE LA EMPRESA &a deuda de la e!presa "iene un ee3"o posi"ivo 3uando au!en"a el 7enei3io de los a33ionis"as o un ee3"o nea"ivo 3uando los dis!inuye< El ee3"o de la deuda so7re la e!presa se deno!ina palan;ueo inan3iero o leverae inan3iero< Si se deno!ina a>
A P PAT UA Int. UAI r Int.
F A3"ivo "o"al de la e!presa< F Pasivo "o"al de la e!presa< F Pa"ri!onio de la e!presa< F $"ilidad an"es de des3on"ar in"ereses< F $"ilidad an"es de dedu3ir i!pues"os< F Ren"a7ilidad del 3api"al< F In"ereses o paos inan3ieros de la e!presa<
&a ren"a7ilidad del 3api"al se eJpresas de la siuien"e !anera> $A In"< J A k In"< J P r k $AI k A P PAT PAT Ree!pla1ando en el nu!erador A F P G PAT $A In"< BP G PAT k In"< J P r k A P PAT
$A In"< BPAT G P $A In"< In"< r k A A P PAT
r
F
$A In"< G P $A In"< In"< A PAT A P
En la !edida en ;ue la e!presa e!plee 3api"ales "o!ados a pr=s"a!o donde las ren"a7ilidad de los a3"ivos B$A In"< ? A sea !ayor ;ue el 3os"o !edio del pasivo o "a1a de In"< del pasivo BIn"< ? P2 resul"ara un au!en"o de 7enei3ios o disposi3ión de los a33ionis"as BPalan;ueo posi"ivo
@8
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? PAT se lora 3o!o 3onse3uen3ia !ayor ren"a7ilidad del 3api"al Br< Para !os"rar lo !en3ionado an"erior!en"e se presen"a a 3on"inua3ión el siuien"e e9e!plo>
%al3ular la ren"a7ilidad del 3api"al de las siuien"es al"erna"ivas>
ALTERNASTI?A I ALTERNASTI?A II %i+es de dó+ares! 00 00 K0 /0 /0 K0 40 40 , ,8 50 50
A PAT P Ta1a de In"< del Pr=s"a!o In"< BP J Ta1a de In"< $A In"<
r
F
$A In"< G A
P $A In"< In"<\ PAT A P
\In"< F Ta1a de In"< del pr=s"a!o< P
ALTERNATI?A I BPasivo> /0 del a3"ivo "o"al r F 50 G /0 50 - , 00 K0 00 /0 F 0<5 G 0<4/B0<5 0<4 F 58<5
ALTERNATI?A II BPasivo> K0 del a3"ivo "o"al r F 50 G K0 50 - ,8 00 /0 00 K0 F 0<5 G , B,
@@
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CAPITULO 1" 1". COSTO DE CAPITAL El 3os"o de 3api"al BH2 desde el pun"o de vis"a de la e!presa privada2 es"a deinido 3o!o la "a1a de rendi!ien"o ;ue se de7e anarse de "al !odo ;ue el valor de la e!presa y el pre3io del !er3ado de sus a33iones 3o!unes no dis!inuya < El 3os"o de 3api"al es en"on3es !enor o eneral!en"e iual a la "a1a !ni!a a"ra3"iva de re"ornoBT+AR de una e!presa< El 3os"o de 3api"al se 3al3ulara des3on"ando el ee3"o de los i!pues"os2 3o!o se 6a vis"o an"erior!en"e los i!pues"os ae3"an a los in"ereses provenien"es de las deudas< 1".1 Costos de +os Co%-onentes de +a Estr*&t*ra de+ Ca-ita+ En eneral el 3os"o an"es delos i!pues"os de una de"er!inada uen"e de inan3ia!ien"o puede 6allarse 3al3ulando de la siuien"e e3ua3ión > n
I< F % G
I. Ct
G
%, G B G,
%/ G <<<<<<
F
∑ "F %" B G"
F +on"o ne"o de los ondos re3i7idos en el "ie!po 3ero F Ereso en el "ie!po " F %os"o de la deuda
&as uen"es de inan3ia!ien"o son> Pasivo 3orrien"e Pasivo no 3orrien"e A33iones preeren"es A33iones 3o!unes $"ilidades re"enidas Para el es"udio del 3os"o del 3api"al se 3onsideran las uen"es de ondo de laro pla1o2 es"o es a par"ir del pasivo no 3orrien"e Bdeudas a laro pla1o< a%os"o del pasivo no 3orrien"e Bi El 3os"o ne"o de es"as deudas puede 6allarse !edian"e la siuien"e e3ua3ión> i F B - T i F %os"o ne"o de la deuda despu=s de i!pues"os< F Ta1a de in"er=s de la deuda o 3os"o de la deuda an"es de i!pues"os< T F Ta1a !arinal del i!pues"o a las anan3ias<
E7e%-+o: Si una e!presa ee3"La un pr=s"a!o por ,0 !illones de dólares2 paaderos en . años 3on a!or"i1a3iones 3ons"an"es a una "a1a de /0 anual< %al3ular el 3os"o ne"o de la deuda si la
00
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"a1a !arinal del i!pues"o es 40< So+*&ión: i F B-T F /0 B-0<4 F 8 El 3os"o ne"o es 8< 7%os"o de las a33iones preeridasBp El 3os"o de las a33iones preeridas i!pli3a2 al iual ;ue las deudas un 3o!pro!iso i9o por par"e de la e!presa para ser paos periódi3os2 "ienen prioridad so7re las a33iones 3o!unes2 sin e!7aro2 de9ar de 6a3er el pao de los dividendos preeren"es no da luar a la 7an3a ro"a< Si las a33iones preeridas no "ienen e36a de res3a"e prees"a7le3ida su 3os"o ne"o Bp puede ser represen"ado del siuien"e !odo> p F d ? I 0
d F Dividendo i9ado< I F Produ3ido ne"o de la 3olo3a3ión< E7e%-+o: El 3os"o de ven"a o de lo"a3ión es de / dólares por a33ión preeren"e2 es"o es el 3o!prador paa por e9e!plo 00 dólares2 la e!presa re3i7e @K dólares y el 3orredor 3ara una 3o!isión de ven"a de / dólares< Si la e!presa aseura un dividendo de /0 dólares anuales M%u:l es el 3os"o de la a33ión preeren"e So+*&ión: p F d ? I 0 F /0 00-/ F /0<@ 3%os"o de las a33iones 3o!unesB3 En el 3aso de las a33iones 3o!unes2 el pronos"i3o de las anan3ias u"uras2 los dividendos y los pre3ios de las a33iones es di3il de o7"ener2 ade!:s2 los a33ionis"as esperan ;ue los dividendos provenien"es de a33iones 3o!unes se in3re!en"an< Si los inversionis"as esperan a !an"ener la a33ión duran"e un año y si espera ;ue el pre3io de la a33ión 3re13a ala "a1a la e3ua3ión de la "asa3ión sera> P0 F Dividendo G Pre3io esperado BG "a1a de rendi!ien"o re;uerida P0 0
d G P i F 3
P0 F d G P F d G PoB G G 3 G 3
0
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Si!plii3ando la e3ua3ión se "iene P0 3
F d
Es"a e3ua3ión o7"enida para un periodo de un año2 se 3u!ple para un !ayor nu!ero de periodos "al 3o!o se de!ues"ra a 3on"inua3ión< P0 F d0
B G G B G , G B G / G 3 B G 3 , B G 3/
<<<<<<<
G B G n B G 3n
XXXXXXXXXXB
P0 G 3 F d0 G B G G B G , G B G / G G 3 B G 3 , B G 3/ B,-B>
<<<<<<<
G B G n- B G 3n-
XX
G 3 k P0 F d0 k B G n G B G 3 n (a9o el supues"o ;ue 3 f 2 3uando n→∝ 2 B G n ?B G 3n 2 "iende a 3ero lo 3ual 6a3e ;ue> G 3 P0 F d0 G B3 - P0 F d0B G F d P0 F
d 3 -
E7e%-+o: El pre3io de !er3ado de una a33ión 3o!Ln es de 000 dólares2 si la e!presa a3a7a de paar /80 dólares en dividendos2 3onsiderando ;ue el pre3io delas a33iones y los dividendos 6an es"ado elev:ndose en . al año duran"e los Ll"i!os años2 3al3ular la "a1a de rendi!ien"o o 3os"o de la a33ión< So+*&ión: P0 F 000
P F 000B<05 D F /80B<05 0
de la or!ula > P0 F
d 3 - Se "iene ;ue la "a1a de rendi!ien"oB3 es > 3 F d G P0
3 F /80B<05 G 0<05 000
0,
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E7e%-+o: $na e!presa espera anar 40 por a33ión y paar un dividendo de /. en el año siuien"e< &as anan3ias2 los dividendos y el pre3io de las a33iones se 6an elevado aproJi!ada!en"e . al año y se espera ;ue es"a "a1a de 3re3i!ien"o 3on"inu= por "ie!po indeinido< &as a33iones se venden en la a3"ualidad a 0 3ada una< %al3ular la "a1a re;uerida de rendi!ien"o< So+*&ión: r F d G P0 F /. G . 0 F /5<8 e%os"o de nuevas a33iones 3o!unes2 o de 3api"al eJ"ernoBn El 3os"o de nuevo 3api"al 3o!Ln2 es !ayor ;ue las u"ilidades re"enidas de7ido a los 3os"os de lo"a3ión ;ue i!pli3a la ven"a de nuevas a33iones< El 3os"o el nuevo 3api"al se 3al3ula apli3ando la siuien"e or!ula> n F
d G P0B -
6 F 3os"o de lo"a3ión E7e%-+o : Al enun3iado del pro7le!a an"erior se añade ;ue el 3os"o de lo"a3ión es de / So+*&ión: n F
d G P0B -
F
/. 0B 0<0/
G
.
F /K<8 &os inversionis"as re;uieren un rendi!ien"o de /5<82 sin e!7aro2 de7ido a los 3os"os de lo"a3ión el rendi!ien"o esperado del nuevo 3api"al de7er: ser del /K<8< En 3uan"o al 3o!pro!iso ;ue la e!presa 3on"rae 3on las diversas uen"es de inan3ia!ien"o2 en resu!en2 se puede señalar el siuien"e orden de prioridades< - Pasivos no 3orrien"e Bdeudas a laro pla1o - A33iones preeren"es
0/
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3o!unes
El e9e!plo siuien"e ilus"ra lo !en3ionado lneas arri7a<
E7e%-+o: &as u"ilidades an"es de i!pues"os de una e!presa es de 00 !illones de dólares2 los in"ereses de la deuda 0 !illones de dólares2 los i!pues"os a las u"ilidades es de 40 y los dividendos preeren"es es de . !illones de dólares< %al3ular el !on"o disponi7le pa ra los dividendos 3o!unes< So+*&ión: +illones de dólares - $"ilidades an"es de in"ereses e i!pues"os - In"ereses - $"ilidades an"es de i!pues"os - I!pues"osB40 - Dividendos preeren"es - +on"o disponi7le para los dividendos 3o!unes
00 0 @0 -/5 -. /@
Para 3al3ular el 3os"o de 3api"al de una e!presa2 3onsiderando las diversas uen"es de inan3ia!ien"o se pro3ede 3o!o el siuien"e e9e!plo<
E7e%-+o: %al3ular el 3os"o de 3api"al de una e!presa ;ue "iene la siuien"e es"ru3"ura de inan3ia!ien"o> uen"e de inan3ia!ien"o Deudas A33iones preeridas A33iones 3o!unes 'anan3ias re"enidas
%an"idad B!iles de dólares 4. . /0 50 .0
Propor3ión B /0 0 ,0 40 00
&a e!presa 6a 3al3ulado el siuien"e 3os"o2 despu=s de i!pues"os> uen"e de inan3ia!ien"o %os"o anual B Deudas 4 A33iones preeridas 8 A33iones 3o!unes 'anan3ias re"enidas 0 El 3os"o de 3api"al o 3os"o !edio ponderado de 3api"al se o7"iene de la !anera siuien"e > uen"e de Propor3ión inan3ia!ien"o BA Deudas /0 A33iones preeridas 0 A33iones 3o!unes ,0 'anan3ias re"enidas 40 %os"o !edio ponderado
%os"o anual B( 4 8 0
Por 3onsiuien"e el 3os"o de 3api"al es iual al 8<, anual<
04
%os"o ponderado BA<(?00 <, 0<8 ,<, 4<0 8<,
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CAPITULO 1# 1#. E?ALUACIN EMPRESARIAL &a evalua3ión e!presarial es un pro3eso de !edi3ión del valor e3onó!i3o o inan3iero a 7ase de la 3o!para3ión de inresos y eresos del proye3"o< 1#.1 E'a+*a&ión e&onó%i&a Es a;uella ;ue iden"ii3a el !eri"o in"rnse3o del proye3"o2 por es"a ra1ón se supone 3o!o propios los re3ursos ;ue se ne3esi"a el proye3"o para su opera3ión< El indi3ador se sin"e"i1a el !eri"o del proye3"o es la "asa in"erna de re"orno e3onó!i3a BTIRE< &as 6erra!ien"as para ee3"uar la evalua3ión e3onó!i3a son> prora!as de inversión2 3uadro de inresos y 3os"os2 es"ados de anan3ias y p=rdidas2 lu9o de 3a9a e3onó!i3a2 e"3< %on las ;ue se ela7ora el es"ado de lu9os ne"os e3onó!i3os< El es"ado de lu9os ne"os e3onó!i3os es"a 3o!pues"o por los as"os de inversión2 los inresos2 los 3os"os de opera3ión y el valor residual<
E7e%-+o: %al3ular la TIRE de una inversión de 00 !illones de dólares2 la vida L"il es de . años 3on valor residual de 0 !illones de dólares la "a1a de i!pues"os es /0 FLUQO ECONOMICO %i++ones de dó+ares! Años 0 , / BG Inresos K0 K0 K0 B - %os"o de opera3ión ,, ,, ,, B - Depre3ia3ión 8 8 8 Inreso 'rava7le /0 /0 /0 B - I!pues"oB/0 del In< ' @ @ @ $"ilidad dis"ri7ui7le , , , BG Depre3ia3ión 8 8 8 B - Inversión B00 BG Valor residual lu9o E3onó!i3o B00 /@ /@ /@
4 K0 ,, 8 /0 @ , 8
. K0 ,, 8 /0 @ , 8
/@
0 4@
DEPRE%IA%I*N F 00 0 F 8 . Si se 6a3e TIR F i2 se "iene > •
00 F
/@ G B G i i F ,8<@
/@ G B G i,
/@ G /@ G 4@ B G i/ B G i4 B G i.
Si la "a1a !ni!a a"ra3"iva de re"orno BT+AR es ,. 2 en"on3es el proye3"o es e3onó!i3a!en"e ren"a7le2 ya ;ue la TIRE F ,8<@< El valor presen"e ne"o e3onó!i3o BVPNE a la "a1a de ,. es> VPNE F B00 G /@BP?A2 ,.2. G 0BP?2 ,.2 . F 8<, !illones de dólares<
1#." E'a+*a&ión Finan&iera Se deno!ina as a la evalua3ión ;ue 3uan"ii3a la ren"a7ilidad del 3api"al propio2 lo 3ual i!pli3a 3onsiderar a los pres"a!os 3o!o 7enei3io y ala a!or"i1a3ión y pao de in"ereses
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