Texto Portalio CD Libro

Dirección General Asesoría editorial Creación Portada Composición

José Alberto Gómez Ceballos Jaime Lopera G. Luis Fernando Trujillo R. Erika Natalia García Zapata

TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS © 1999, Tecnomundo Editores Ltda. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida sin autorización escrita del editor, salvo en el caso de transcripciones breves incluidas en comentarios y críticas.

ISBN 958-9094-27-9

Editor

tecnomundo editores Ltda..

Impreso en Colombia

Para Gladys, fuente de fe y amor.

CONTENIDO Introducción

vii

1.

Variación porcentual

1

2.

Conceptos y Variables básicas

17

3.

Márgenes

39

4.

Interés Simple

53

5.

Interés compuesto

67

6.

Tasas nominales y efectivas de interés y descuento

79

7.

Anualidades

101

8.

Anualidad vencida

111

9.

Anualidad anticipada

135

10.

Anualidad diferida

153

11.

Rentas perpetuas

165

12.

Evaluación financiera

175

13.

Sistemas de amortización

189

14.

Fondos de amortización

209

v

vi 15.

Bonos

221

16.

Métodos de depreciación

239

17.

Bienesraíces

259

18.

Evaluación de descuentos

283

19.

Cálculo de rentabilidad de Activos financieros

301

20.

Costo del crédito

323

Indice

335

Introducción

Este curso en formato VLS -Video, Libro y Software- tiene como propósito que usted aprenda a solucionar cualquier problema que implique cálculos de equivalencia financiera en el tiempo con una facilidad no imaginada. El video le proporcionará a usted y a su grupo de colaboradores la información conceptual básica de manera clara y precisa. Este libro conformado por veinte módulos le permitirá conocer a fondo los distintos tópicos. Cada uno de ellos esboza la importancia del tema; presenta la aplicación práctica del mismo y finaliza resumiendo la información básica: Líneas de tiempo equivalentes, fórmulas y definición de variables. Bajo esta estructura se desarrollan los primeros dieciseis módulos; los cuatro finales están dedicados a contenidos de suma importancia en los negocios y en los cuales se aplica en forma intensiva el portafolio teórico y de formulación expuestos en los anteriores. Tanto para el libro como para el programa, fue fundamental la síntesis conseguida en las formulas. Este curso, no obstante presentar temas comunes a otros libros difiere sustantivamente de ellos por las innovaciones incorporadas. El software, por ejemplo ofrece: • Solución gráfica de los problemas. A medida que usted proporciona la información a través del teclado va apareciendo de manera simultanea sobre las Líneas de tiempo equivalentes lo cual facilita la comprensión y la asimilación rápida del método.

vii

viii 2. Todas las conversiones posibles entre tasas de interés y descuento se sintetizaron en una sóla fórmula y en un sencillo procedimiento . 3. Los problemas de evaluación financiera cuentan con una práctica plantilla que permite estructurar con facilidad el flujo de fondos. 4. Se presentan 18 sistemas de amortización y otros tantos de Fondos de amortización que generan las tablas correspondientes. 5. Los problemas en cuyos enunciados aparezcan tasas con período distinto al período del plazo, el programa las convierte automáticamente. 6. Una robusta base de datos con cientos de ejercicios potenciados por la posibilidad de cambiar sus datos aleatoriamente y seleccionar la moneda de cada país. Por todo lo anterior, estamos seguros de entregar un producto sin precedentes en la industria editorial que estimamos potenciará de manera significativa su autonomía y capacidad financieras de manera inmediata. Muchas gracias por preferir nuestros productos y buena suerte en el aprendizaje y su aplicación. EL EDITOR

1 Variación porcentual

"Se aprenderá más acerca de un camino recorriéndolo que consultando todos los mapas del mundo" Anónimo

E

n mi actividad como conferencista de matemática financiera, nunca podré olvidar lo que aprendí del mundo real de los negocios gracias a las preguntas de los alumnos que asistían a mis seminarios. Muchos de ellos, con formación diferente a la financiera, acudían en busca de soluciones prácticas inmediatas acerca de sus problemas reales. Algunas preguntas eran de este tenor: - Todos percibimos que invertir en bienes raíces es un excelente negocio, pero no sabemos cómo calcular el verdadero rendimiento de esas inversiones. - Apareció un anuncio diciendo: “..traiga su dinero y se lo duplicaremos en 24 meses” ¿Qué tasa de interés reconoce ese anunciante para poder cumplir lo prometido? - Si hoy deposito un millón de pesos en un banco, ¿cuánto recibiré dentro de un año si me prometen reconocer una tasa de interés del 24 por ciento, mes vencido? - ¿Por cuánto debo comprar una aceptación bancaria que vence dentro de 35 días, por valor de 10 millones, si considero que el rendimiento a obtener es del 3 por ciento mensual? (Algunos ni siquiera sabían lo que es una “Aceptación bancaria”. Esta fue la manera como comencé a identificar los problemas reales y las soluciones prácticas en el campo financiero y como fui mejorando mi discurso en favor de los alumnos . Hoy, no obstante algunos de ellos todavía piensen que yo dominaba todo, en verdad debo reconocer que su contribución hace parte de las páginas siguientes.

2

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Importancia práctica del tema Este aparte constituye una puerta de acceso a la Matemática Financiera. Los aumentos y disminuciones de magnitudes son comunes en economía, administración y finanzas, su cálculo y las relaciones entre las diferentes variables que participan en este sencillo esquema son de gran utilidad al hombre de negocios en general. Se utiliza para comparar los cambios en precios, en la devaluación, en la inflación y en los renglones de los estados financieros, entre otros muchos. Además, nos introduce en dos temas fundamentales a los propósitos de este libro: Márgenes e Interés. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Devaluación frente al dólar El precio del dólar aumentó de 409 a 540 devaluación en ese período?

en el plazo de 1 año, ¿Cuál es la tasa de

Baja el precio del café Se rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio? Disminuye la producción de petróleo Se reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles de crudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución en la producción?

3

Inflación Los precios de los bienes y servicios tienden a subir. Este fenómeno, en economía, técnicamente se denomina Inflación. Aumento del Indice de precios El índice de precios de los alimentos aumentó de 100 a 120 en el plazo de 12 meses, ¿Cuál fue el cambio o variación de precios en ese período? Línea de tiempo La representación gráfica de este hecho es la siguiente: VF = 120

VP = 100

0

1

11

N = 12

meses

Observe que los valores representados por dos flechas, se han ubicado a los extremos y sobre una línea horizontal, dividida en un número (N) de períodos iguales (meses) que conforman el plazo. Este tipo de ilustración en la cual se consigna la información de un problema de matemática financiera y su evolución en el tiempo se ha denominado tradicionalmente Línea de tiempo. Valor Presente y Valor Futuro Como se observa el índice inicial puede sugerir una denominación como Valor Pasado, VP y el segundo índice una como Valor Final, VF. Que se conviene en seguir denominando: Valor Presente y Valor Futuro, para acogernos a la convención más utilizada.

4

Variación, ∆ Se define como Variación cualquier cambio de magnitud que se presente entre dos valores con el paso del tiempo. Se expresa con la letra griega ∆ (Léase Delta) y se encuentran en toda la actividad económica. Para nuestro ejemplo la variación se obtiene de restar el Valor Presente del Valor Futuro.

VP = 100

0

VF = 120

∆∆ = 20 1

11

N = 12

meses

∆ = VF - VP

Fórmula

∆ = 120 - 100 ∆ = 20 Variación por unidad Si se divide la variación por el Valor Presente que constituye la base del aumento se obtiene la fracción que representa el aumento respecto a la unidad: ∆ 20 0.2 = = VP 100 1 Es decir que los precios aumentaron 0.2 (dos décimas) por cada unidad del valor base.

∆∆ = 0.2

VP = 1

0

1

VF = 1.2

11

N = 12

meses

5

Variación porcentual, ∆% El aumento de precios que se denominó inflación, se obtuvo de la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente. El aumento ocurrió con base en el precio pasado de 100 lo cual nos permite afirmar que el incremento fue de 0.2 por cada unidad o 20 unidades por cada ciento (100), es decir del 20 por ciento, expresión que resumimos con el símbolo de porcentaje así: 20%. Esta se constituye entonces en la medida porcentual del cambio ocurrido en el período que se denomina Variación porcentual y se representa con el símbolo ∆%.

∆ = 20 ∆

VP = 100

0

∆∆ %% = 20% 1

11

VF = 120

N = 12

meses

Fórmula

∆% =

VF − VP ⋅100 VP

120 − 100 ⋅100 100 ∆% = 20% ∆% =

La variación porcentual mide entonces el cambio ocurrido con el paso del tiempo entre esas dos magnitudes, por cada cien unidades.

6

Tasa, t Tasa significa Medida, porque proviene del verbo Tasar que significa Medir. La variación porcentual del 20% constituye entonces la medida del cambio de precios y se denomina Tasa de inflación ( t i).

∆∆ = 20

VP = 100

VF = 120

t i = 20% 0

1

11

N = 12

meses

La tasa de cambio se obtiene entonces de dividir la variación (∆) por el Valor Presente, VP; y su expresión puede ser decimal o porcentual. La expresión decimal (0.2) es el número que se utiliza para los cálculos y la expresión porcentual (20%) es simplemente un símbolo que se utiliza para facilitar la interpretación de los problemas, pero que de ninguna manera puede utilizarse en cálculos porque no es un número. El procedimiento sencillo para calcularlas es el siguiente: 1. Divida la variación por el Valor Presente

20 = 0. 20 100

que se puede leer así: “El cambio en el período fue de 20 centésimas por cada unidad del precio original” o “El cambio en el período fue del 20% sobre el precio original” Cuando encuentre en los problemas esta última expresión porcentual insistimos que para operar con ellas debe dividir previamente por 100. En adelante las tasas se simbolizarán con la letra, t , acompañada de un subíndice que indicará su condición de acuerdo al tópico tratado, así: devaluación, inflación, etc.. Para las tasas de interés y descuento tratadas en este libro se utilizará otra nomenclatura.

7

Factor de incremento, f El factor de incremento lo constituye la unidad más la tasa y se puede obtener de dos maneras: • Sumando la tasa a la unidad factor = 1+ 0.20 = 1.20 • Dividiendo el Valor Futuro, VF, por el Valor Presente, VP. 120 100 f = 1.20 f=

Se denomina factor de incremento porque al multiplicar el Valor Presente por ese factor se obtiene el Valor Futuro VP = 100

VF = 120 f = 1.2

0

1

11

N = 12

meses

Podría decirse entonces que el Factor de Incremento es el Número de veces que cabe el Valor Presente en el Valor Futuro. Si a este factor se le resta la unidad se obtendría nuevamente la tasa decimal de 0.2.

8

Factor de descuento, fD El factor de descuento se obtiene dividiendo el Valor Presente, VP por el Valor Futuro, VF

VP VF 200.000 fD = 250.000 f D = 0.8

fD =

VP = 200.000

VF = 250.000 fD = 0.8

0

1

11

N = 12

meses

Este factor se utiliza para obtener el Valor Presente con base en el Valor Futuro.

9

APLICACION

En economía, en múltiples oportunidades, se utiliza el concepto de Variación porcentual, para medir el cambio entre dos variables, a continuación se exponen algunas de ellas: Devaluación En general, el valor de las monedas duras de los países desarrollados tiende a subir respecto al de la moneda nacional. Esta pérdida progresiva de valor de la moneda de un país frente a otro técnicamente se denomina Devaluación. Aumenta el precio del dólar El precio del dólar aumentó de 409 a 540 en el plazo de 1 año, ¿Cuál fue la tasa de devaluación en ese período?

VP = 409

VF = 540 tD= ?

Línea

0

1

11

N = 12

meses

1. Seleccione el Botón: ∆%

✖

Portafolio Financiero Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización

↓↑

%

Bonos

Variación Porcentual

i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

✖

?

2. Proporcione la información:

Ayuda

409 tab 540 Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

10

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

La tasa de devaluación fue de 32.03%

← AC

3. Calcule la respuesta: Calcular

Corrección monetaria En algunos países se emiten Títulos-Valores que ofrecen ajustar el valor de compra original a fin de conservar su valor de compra constante con el paso del tiempo. Este ajuste se denomina Corrección Monetaria.

Titulo-Valor

Cálculo de la Corrección monetaria A finales de enero de 1996 la unidad de un título de valor adquisitivo constante se adquirió por 3.000; un trimestre después su valor era de 3.180, ¿Cuál fue la tasa de corrección monetaria en ese período? VF = 3.180

VP = 3.000 tC= ?

0

1 trimestre


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica



Ayuda

?

3 000 tab 3 180

✖

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

3. Calcule la respuesta:

AC

Calcular

La tasa de Corrección Monetaria fue de 6% en el trimestre.

11

Cambio de precios Es muy común que los precios internacionales de los productos agropecuarios y las materias primas bajen; a continuación se exponen algunos casos.

$

Baja el precio del café Se rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio?

VP = 0.95

t% =?

VF = 0.76

0

1 periodo


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos


i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

0. 95 tab 0. 76

✖

?


Ayuda

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

12

( - 20% )

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

El precio del café se redujo en 20%


Disminuye la producción de petróleo Se reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles de crudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál fue la tasa que refleja esa disminución en la producción?

VP = 137.000

VF = 116.450 t%=?

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica



Ayuda

?

137 000 tab 116 450

✖

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

( - 15% )

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←


AC

Calcular

La producción de petroleo se redujo en 15%

13

Variación en las ventas Las ventas aumentan o disminuyen de un período a otro. Disminuye la venta de textiles Las ventas de textiles al exterior fueron de US $ 12.500 millones en 1997. En 1998 disminuyeron a US $ 10.000 millones ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución en las exportaciones de tejidos?

VP = 12.500

VF = 10.000 t % =?

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica



Ayuda

?

✖

?

12 500 tab 10 000 Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

14

( - 20 % )

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←


AC

Las exportaciones de tejidos se redujeron en 20 %

Calcular

El concepto de Tasa de interés Cuando se deposita dinero en una cuenta de ahorros es normal encontrar que, periódicamente, el banco ha abonado sumas de dinero adicionales que se denominan Intereses Tasa de interés de una Cuenta de ahorros Se depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta un saldo de 675.000, ¿Cual fue la tasa de interés anual que reconoció el Banco?

VP = 500.000

VF = 675.000 i% =?

0

1 periodo


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos


i

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

500 000

✖

?


Ayuda

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota uniforme

Decimales

Valor Presente

i

675 000

Valor Futuro

√α

Interés Simple

Calcular

Respuesta:

✔ OK

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


La tasa de interés que reconoció el banco fue de 35 %

15

INFORMACION BASICA Valor Futuro, VF

Valor presente, VP

Línea de tiempo 0

1

N-1

N

Número de períodos, N

Fórmulas

Variación, ∆ Es la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente. ∆ = VF − VP Variación porcentual, ∆% Resulta de la relación entre la variación, ∆ , y el Valor Presente, VP. ∆% =

∆ ⋅100 VP

Factor de incremento, f Resulta de la relación entre el valor futuro, VF y el Valor Presente, VP. Puede definirse también como la suma de la unidad y la tasa expresada como decimal. f=

VF VP

Factor de descuento, fD Resulta de dividir el Valor Presente, VP, por el Valor Futuro, VF . fD =

Definición de variables

16

VP VF

Valor Presente, VP

Es un valor anterior respecto a otro

Valor Futuro, VF

Es un valor posterior al Valor Presente.


Es el plazo de la operación expresado en períodos.

2 Conceptos y Variables básicas

17

Ningún problema resiste el asedio del análisis perseverante Voltaire

E

n alguna ocasión una aventajada joven ejecutiva recién graduada visi taba concesionarios y Compra venta de vehículos para adquirir su primer automóvil. Uno de los planes para financiarlo que le ofrecieron, con cuotas iguales, se asemejaba a los demás del mercado, excepto porque el trámite era muy simple frente al cúmulo de papeles y procedimientos habituales. -Tengo mis dudas, dijo y comedidamente me solicitó que lo evaluara. Utilicé la información: Valor a financiar, Valor de la cuota mensual y meses del plazo- para realizar los cálculos y resultó una tasa del 4.9% mensual. -No puede ser, respondió sorprendida, ellos afirman que la tasa de interés cobrada es del 3%. ! Revisamos el procedimiento que la compraventa utilizaba para obtener la cuota mensual y allí estaba la respuesta. Era muy simple y aparentemente válido. Dividían el valor a financiar por los meses del plazo y obtenían los abonos a capital, luego a cada cuota le agregaban el interés mensual que resultaba de multiplicar el 3% por el total del crédito. La diferencia con el procedimiento normal es que en este los intereses para cada período se liquidan sobre el saldo pendiente de pago después de cada abono a capital . De esta manera presentaba ante el cliente desprevenido una tasa del 3% cuando en realidad era del 4.9%. Cuando comenté el hecho en otro seminario, me enteré que se había constituido en una práctica extendida a muchas otras actividades comerciales; al poco tiempo el gobierno tuvo que prohibirla como práctica lesiva al consumidor.

18


Importancia práctica del tema Este aparte constituye el umbral de entrada a la matemática financiera. Aquí el lector encontrará el vocabulario, las definiciones básicas y lo fundamental del interés, con un enfoque eminentemente práctico. El lector no encontrará ninguna definición o concepto que no se encuentre incorporado a un caso de la vida diaria. Esa asociación hará la comprensión de los diferentes aspectos, mucho más sencillos. Dinero " Se considera dinero cualquier mercancía ampliamente aceptada como un medio de cambio y medida de valor en pago de bienes y servicios o como descargo de deudas y obligaciones. El papel moneda actúa como dinero debido a que se acepta ampliamente como valor de cambio. Además el dinero actúa como una medida de pagos diferidos. Los individuos que convienen en recibir el pago en fechas futuras, deben estar seguros de que el valor que recibirán entonces no será inferior al valor de la fecha de la transacción." ( 1 ) Ahorro "Es el excedente de los ingresos sobre los gastos de las personas y las empresas. Los saldos se prestan a las personas o a las instituciones financieras y en general dichos préstamos se respaldan con títulos valores." ( 1 ) Préstamo "Transferencia de dinero entre unidades económicas a cambio de un interés. Las unidades económicas pueden ser personas, empresas privadas o empresas del gobierno." ( 1 ) ( 1 ) Diccionario de economía - Orbis

19

Interés Es la suma de dinero que se paga como costo por el dinero tomado en préstamo. Es como la renta que se paga por un inmueble tomado en alquiler. El interés se representa con la letra, I El valor del préstamo con las letras, VP El valor futuro, es decir, el préstamo más el interés, se representa por las letras, VF Cuando se deposita dinero en una Cuenta de ahorros o se constituye un Depósito a término, el establecimiento financiero reconoce y cancela, periódicamente, sumas que se denominan Interés y que se calculan con base en el valor de los depósitos. Ejemplo

Se depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta un saldo de 675.000, ¿Cual fue el Interés ganado por el dinero depositado?

VP = 500.000

VF = 675.000 I = ?

0

Fórmula

año

N= 1

I = VF - VP

Se reemplaza,

I = 675.000 - 500.000 I = 175.000

En este caso se puede decir que 175.000 es la renta que reconoce el establecimiento financiero por los 500.000 recibidos en depósito.

20

Tasa de interés La tasa de interés es la "unidad de medida periódica" que se utiliza para calcular el interés. Se expresa como una porción de cada unidad prestada o la porción de cien unidades prestadas. El dos por ciento mensual ( 2% ) se expresa: i m = 2% Período de la tasa de interés

Las tasas de interés siempre se encuentran acompañadas del período para el cual se aplica. Son anuales, trimestrales, semestrales, mensuales, según el caso. El símbolo que las representa se acompaña de un subíndice que señala ese período, así: ia , is , it , ib , im , iq , id , ip ,

Tasa de interés anual Tasa de interés semestral Tasa de interés trimestral Tasa de interés bimestral Tasa de interés mensual Tasa de interés quincenal Tasa de interés diaria Tasa de interés periódica.

Frecuencia de la tasa en el año, f

El período de la tasa sugiere de inmediato la frecuencia o numero de veces que puede repetirse la tasa en el año. Resulta de dividir los días del año por los días del período, Así: una tasa mensual, sugiere una frecuencia de 12 veces en el año (360/30); una tasa trimestral sugiere una frecuencia de 4 veces en el año (360/90) tasa

período

frecuencia

Relación

ia , is , it , ib , im , iq , id ,

anual semestral trimestral bimestral mensual quincenal diaria

1 2 4 6 12 24 360

360/360 360/180 360/90 360/60 360/30 360/15 360/1

21

Tasa de descuento Es la tasa de interés cobrada por anticipado. El dos por ciento de descuento mensual ( 2% ) se expresa:

d m = 2% Para los propósitos de este libro, tanto las tasas de interés como de descuento, en conjunto, se expresarán por el símbolo t ; pero cuando se refiera a interés se reemplazará por i y cuando se refiera a descuento por d.

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Tasas efectivas y tasas nominales de interés y descuento Tasa efectiva La tasa periódica con la cual se calcula la suma que efectivamente se debe pagar como interés por el dinero tomado en préstamo se denomina tasa efectiva periódica. Las tasas efectivas pueden tener cualquier periodicidad y se expresan con una t acompañadas del subíndice que denota el período, así: t p Tasa nominal Son tasas anuales que resultan de multiplicar las tasas efectivas por la frecuencia de su período en el año. Se expresan con una t Ejemplo

¿A qué tasa nominal corresponde una tasa efectiva del 2% mensual? t = 2 % x 12 t = 24 % Es decir, que tasa efectiva del 2% por mes (mensual) se puede expresar como una tasa anual del 24% y se escribe 24% m.v. (léase, 24% anual, mes vencido). Es decir se precisa como debe liquidarse y pagarse, para que no existan equívocos. Porque no es lo mismo pagar los intereses mensuales, trimestrales o semestrales.

Recuerde

• Las tasas nominales de interés o descuento siempre son anuales. • Las tasas efectivas periódicas de interés o descuento son las tasas de cálculo La tasa de interés efectiva anual como medida del costo del crédito y rendimiento de las inversiones.

Se ha generalizado el uso de la tasa de interés efectiva anual como medida del costo del crédito y también como medida de rentabilidad de las inversiones. Es por eso que los organismos de control fijan topes para las tasas que pueden cobrar los establecimientos de crédito con expresiones como: " Se entiende como interés de usura el que exceda una tasa del 60% efectiva anual". También es común escuchar: -La rentabilidad efectiva de las cuentas de ahorro asciende al 21% efectivo anual.

23

La tasa de interés de equivalencia, tie Equivalencia significa igualdad en valor. Quien presta dinero debe asegurar que el dinero entregado conserve por lo menos el poder adquisitivo con el paso del tiempo. Es decir, que el dinero de hoy sea equivalente al dinero en el futuro. Con ese propósito mínimo fija una tasa de interés para sus operaciones de crédito, de tal forma que reciba una suma mayor en el futuro que asegure un valor equivalente a la suma que entrega hoy. Esta tasa se denomina tasa de interés de equivalencia. Por consiguiente, podemos definir la tie como la "tasa de interés por la cual el ahorrador o inversionista estará dispuesto a entregar su dinero en préstamo o a invertirlo porque él considera que lo conservará equivalente durante el plazo de colocación o la vigencia de la inversión" La tie es diferente para cada ahorrador o inversionista puesto que cada quien posee información y oportunidades diferentes. Los establecimientos de crédito por ejemplo fijan las tie para cada una de sus líneas de crédito teniendo en cuenta el costo de los fondos, y el margen de intermediación deseado. Con base en ella diseñan los diferentes sistemas de amortización para otorgar los créditos. Tasas de interés equivalentes En general, en las operaciones de préstamo el período de la tasa de interés no coincide con el período del plazo del préstamo y se hace necesario convertir la tasa dada a otra tasa equivalente cuyo período sea el período del plazo antes de proceder a solucionar el problema. Así por ejemplo, si en la compra de un vehículo, el concesionario establece que su tie es del 30% efectivo anual y los vehículos se amortizarán con cuotas mensuales, será necesario convertir esta tasa a una tasa mensual equivalente antes de proseguir con el cálculo de las cuotas. Muy importante Para el caso de este curso este problema está resuelto porque el programa realiza la conversión de manera automática cuando se le proporcionan los valores de todas las variables que intervienen.

24

Líneas de tiempo equivalentes Todo crédito implica desembolso en la entrega y pagos en la cancelación. Este flujo de ingresos y egresos se debe representar con ilustraciones para facilitar su comprensión y solución. La figura siguiente ilustra, sobre el lado izquierdo, el depósito de un ahorrador en su cuenta de ahorros; sobre el lado derecho, el retiro de intereses más el reembolso de su dinero al culminar el año. C g = 1' 000.000 VP = 1'000.000

0

1

C = 20.000

im =2%

11

12

0

1

11

12

Meses

Observe en la representación anterior bautizada Líneas de tiempo equivalentes que: 1. Se han dispuesto dos líneas horizontales identificadas en su parte inferior por igual número de períodos con el rótulo "meses" De esta manera se representa el plazo del préstamo. 2. El dinero depositado se representa sobre la línea del lado izquierdo con una flecha y las sumas que se retiran se encuentran sobre la otra línea representados también por flechas pero de sentido contrario. 3. Entre las dos líneas se encuentra la tasa de interés, ubicada sobre la flecha de doble sentido que representa el l símbolo de equivalencia. 4. Los pagos se encuentran representados por 12 flechas iguales que denominaremos "Cuota uniforme" o técnicamente anualidad. 5. Al final del plazo se ubica una cuota mayor que corresponde a la devolución del capital y denominaremos en adelante "Cuota global" 6. De esta manera se pueden apreciar las magnitudes que participan en cada operación y aún consignar en ella la incógnita y lo que es más importante advertir cómo se cumple el principio de equivalencia. Es decir qué tasa de interés hace equivalentes los desembolsos de hoy y las sumas de dinero que se recibirán en el futuro.

25

Modalidades de pago en los préstamos La cancelación de los préstamos se puede convenir de dos maneras: con una sola cuota o con varias. Cuando se decide que sean varias, estas pueden ser iguales o variables. Sobre la línea del lado izquierdo se ubica el valor del préstamo; sobre la línea del lado derecho los valores con los cuales se cancelará. Lp

VP

VF

Cuota única 0

1

0

1

períodos VP

ip

C

Cuotas iguales 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

Cg VP

ip

C

Cuotas iguales más cuota global 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

VP Ingresos

ip

f0

f N-1 f1

fN

Cuotas variables 0

1

N-1

N

0 períodos

26

1

N-1

N

Modalidades de depósitos en los ahorros Así como ocurre con los pagos en los créditos, ocurre con los depósitos cuando se ahorra: puden ser de una sola cuota o de varias; y estas también pueden ser iguales o variables. Del lado izquierdo se ubican las sumas que el ahorrador presta o deposita en el establecimiento bancario; del lado derecho el capital más los intereses acumulados que devuelve la institución financiera.

Lp

VP

VF

Cuota única 0

1

0

1

períodos

ip

C

VF

Cuota uniforme 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

CN

VF

i∆ ip

C1

Cuota variable 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

27

Variables fundamentales En la mayoría de operaciones de préstamo participan cinco magnitudes que se proporcionan al programa a través de igual número de botones identificados por rótulos que hacen referencia a cada una de ellas. Valor Presente

Representa el valor del préstamo.

Nº de Períodos

Corresponde al valor que expresa el plazo

Tasa de interés

A través de este botón se proporciona la tasa nominal o efectiva que se conviene para la operación. .

Cuota uniforme Valor Futuro

Valor de la cuota que conforma una serie de cuotas iguales A través de este botón se proporciona algunas veces el Valor futuro en operaciones de ahorro y otras veces la Cuota Global para cancelar un préstamo amortizado con cuotas iguales

Nomencaltura utilizada en las Líneas de tiempo equivalentes y en las fórmulas VP

Valor Presente

N

Numero total de períodos o cuotas

VF

Valor Futuro

N'

Periodos Diferidos

C

Valor de la cuota uniforme

Cg

Cuota global

ip

Tasa de interés periódica

k=0

Si la anualidad es vencida

f

Frecuencia anual de la tasa

k=1

Si la anualidad es anticipada

n

Número de años

p

Frecuencia anual de la cuota

Para el caso de los sistemas de amortización se agrega la siguiente:

na

Nº de anualidades en el plazo.

∆ (- )

Incremento o decremento en unidades

n'

Nº de cuotas de la anualidad.

∆% (- )

Incremento o decremento porcentual

A continuación se amplía la explicación de las variables principales:

28

Valor Presente, VP Es el valor del préstamo

Valor Futuro, VF Es la suma del Valor Presente y el Interés.

Cuota uniforme, C Es el valor que identifica una serie de cuotas iguales.

C = 458.000

0

1

35

N = 36

meses

Cuota Global La cuota global es una cuota mayor o menor que el valor de la cuota de la anualidad y siempre está asociada con esta. Cuota global Cuota uniforme

0

1

N-1

N=?

período

29

Períodos del Plazo, N El plazo de una operación financiera es el tiempo que se acuerda permanecerá el dinero en préstamo. Se compone de períodos referidos al año. El período -que puede ser mes, trimestre, semestre, etc- se conviene de acuerdo a las necesidades del ahorrador o las exigencias del prestamista. En general el número de períodos del plazo, N, se define como la frecuencia de períodos en el año, p , multiplicado por el número de años del plazo, n. Ejemplo

El crédito de un vehículo se acuerda cancelar durante tres años por medio de cuotas mensuales (12 por año) de 500.000. El período en este caso es el mes y el plazo, N , expresado en meses será de 36. 500.000

0

1

35

N = 36

Período Mes Plazo

Otras variables relacionadas con el plazo Otras variables a tener en cuenta relacionadas con el plazo son: N' Es el plazo que se difiere el inicio de una serie de cuota igual y durante el cual, en general, se cancelan intereses y no se realizan abonos a capital.

C

0

N' períodos diferidos

30

N-1

N

na Número de anualidades durante el plazo. (Anualidad es una serie de cuotas iguales) n' Número de cuotas de cada una de las anualidades de un crédito cuya cuota aumenta o disminuye entre anualidades.

VP = 1.000.000

0

i p = 26% M.V.

1

179

180

0 meses

∆ % = 15

n'

1

179

180

na , Número de anualidades

31

Interés Como se explicó el interés, en principio, se concibió para liquidarse y/ o cancelarse al culminar los períodos del plazo. A este interés se denomina Interés vencido ( que es una redundancia). Las tasas nominal y efectiva para calcularlo se identifica con los símbolos: i, Cuando la tasa es nominal. ip , Cuando la tasa es efectiva I = 200

I = 10.000 x 2% I = 200 0

1

11

N = 12

meses

Descuento Cuando el interés se liquida y/o cancela al iniciar los períodos del plazo, se le denomina interés anticipado o Descuento. Las tasas nominal y efectiva para calcularlo se identifican con los símbolos: d, Cuando la tasa es nominal. dp , Cuando la tasa es efectiva

D = 10.000 x 2%

D = 200

D = 200 0

1

11

N = 12

meses

De lo anterior podemos colegir que existen tanto las tasas efectivas de interés como las tasas efectivas de descuento. Así mismo las tasas nominales de interés como las tasas nominales de descuento.

32

Relación entre el Interés y el descuento Ejemplo

Un Banco otorga crédito ordinario por 2.000.000 a una empresa industrial, pero sólo desembolsa 1'820.000, porque cobra el interés del trimestre de modo anticipado. ¿Cuál fue el valor del descuento y cuales las tasas de descuento e interés.?

Descuento

En este caso el descuento de 180.000 resulta de restar el Valor Presente del Valor futuro.

VP = 1.820.000

0

VF = 2.000.000

1

2

N= 3

meses

Tasa de descuento

La tasa de descuento trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por el valor nominal del crédito .

VF = 2.000.000

dt = 180.000 / 2.000.000

D = 180.000

dt = 0.09 ó 9 % 0

1 trimestre

Tasa de interés

La tasa de interés trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por la suma recibida por el cliente. . 1.820.000

it = 180.000 / 1.820.000

D = 180.000

it = 0.0989 ó 9.89 % trimestre

33

Relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento De este resultado podemos concluir que una tasa de interés anticipado (descuento) corresponde a una tasa de interés mayor. Para el ejemplo la tasa de descuento de 9% equivale a una tasa de interés del 9.89%. Es decir, cuando un establecimiento de crédito estipula una tasa de interés anticipado (Descuento) es una manera de cobrar una tasa de interés más alta. El descuento tratado en este ejemplo es el que en el lenguaje financiero se denomina descuento bancario. El ejemplo también nos sirve para percatarnos que en la Matemática Financiera los problemas pueden plantearse con tasas de interés o tasas de descuento y ambas pueden ser nominales o efectivas.

Tasa nominal de descuento

=9% x 4 d = 36 % t.a.

Tasa nominal de interés

= 9.89 % x 4 i = 39.56 % t. v.

Este hecho nos permite exponer el siguiente principio:

Concordancia del período de la tasa con el período del plazo

Principio

Todos los problemas de la matemática financiera se solucionan con tasas efectivas de interés, excepto los problemas de cálculo de descuento. Y el período de esa tasa de cálculo debe coincidir con el período en que se halla dividido el plazo de la operación financiera. Esta tasa de descuento debe convertirse a una tasa de interés mensual para que cumpla con el principio enunciado.

dt = 9 %

0

1

2 meses

34

N= 3

Categorías del interés y del Descuento El interés y el descuento, en general, se conocen bajo dos categorías: Interés y Descuento compuestos e Interés y Descuento Simples. En las operaciones financieras en lo que se refiere al manejo de los intereses, existen dos opciones: Que el ahorrador retire los intereses en cada período o que decida agregarlos al capital a medida que se van causando, para retirarlo todo al final. Capitalización o Reinversión de intereses El proceso de agregación de los intereses al capital se denomina Capitalización , es decir que los intereses se reinvierten para convertirlos en capital. Del concepto de capitalización surge el concepto de interés compuesto.

Los intereses se agregan al capital a medida que se causan

VP

VF

Interés, I

Interés Compuesto 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

Los intereses se retiran a medida que se causan VF

VP

Interés, I

Interés Simple 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

35

Importancia de las Líneas de tiempo equivalentes Las líneas de tiempo equivalentes son, en esencia, un método gráfico para solucionar los problemas de equivalencia financiera. Su importancia se fundamenta en las ventajas que en este aspecto ofrece sobre la línea de tiempo tradicional. Ellas son: • Permiten representar la equivalencia financiera cuando se toma la decisión de invertir dinero hoy a cambio de ingresos futuros. • Permiten separar los ingresos de los egresos y visualizar de manera clara la equivalencia y la solución en los problemas de Cálculo de rentabilidad de activos financieros, Cálculo del costo de créditos y los problemas de Evaluación financiera. En este caso el principio de equivalencia se enunciaría así: Los Ingresos y Egresos con diferentes posiciones sobre cada una de las líneas de tiempo, son equivalentes si, al calcular los valores presentes de ambos, con la misma tasa de interés, resultan iguales. • Aclaran la presentación de las variables y de la incognita lo que no ocurre con los enunciados tradicionales atiborrados de información confusa.

Pasos para la Construcción de las líneas de tiempo equivalentes El procedimiento para la construcción de las Líneas de Tiempo Equivalentes es el siguiente: 1. Se define el número de períodos y con base en ellos se dibujan dos líneas de tiempo separadas por el símbolo de equivalencia: la doble flecha con sentido contrario (<=>) y con la denominación de los períodos.

0

1

N-1

N

0 período

36

1

N-1

N

En la asignación de los números de los períodos es pertinente aclarar : a. La iniciación de la línea de tiempo, que coincide con la iniciación del primer período, debe marcarse con el cero, y b. Cuando el número de períodos es muy grande, se fraccionará la línea de tiempo poniendo puntos suspensivos a la mitad de ella y solo aparecerán dos períodos: el comprendido entre 0 y 1 y el comprendido entre, N - 1, y N. Siempre y cuando, en los puntos intermedios, no se presente algún ingreso o egreso. 2. En la parte alta, sobre la flecha que representa la equivalencia, se colocará la tasa efectiva periódica que hace equivalentes los ingresos y los egresos.

ip% 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

3. Se ubican los ingresos y los egreso en los períodos que corresponda, distinguiédolos con flechas de sentido contrario. Cg Cuota uniforme

ip% 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

4. Colocados los valores conocidos en el dibujo , se define cuál es la incógnita y de esta manera queda solucionado el problema gráficamente.

Cg VP = ? Cuota uniforme

ip% 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

37

38

3 Márgenes

“Nada reemplaza al trabajo duro” Thomas A. Edison

R

ecién que me iniciaba como editor decidí participar en una feria internacional del libro.

Un personaje importante en el comercio del libro a plazos se acercó al stand y solicitó en tono imperativo el precio al público y el precio al mayorista de mis productos. Luego me dijo, sin rodeos, que se interesaría en hacer negocios conmigo si le otorgaba el 75 por ciento de descuento, un plazo mínimo de seis meses y como garantía debía conformarme con sus referencias comerciales porque las cartas de crédito le resultaban costosas. Como se trataba de una exportación, me solicitó además precios CIF, que implicaba remisión con seguro y transporte cancelados. Bajo estas condiciones y como el libro no paga arancel, él solo invertiría en el IVA al momento de nacionalizar. Quedé desconcertado; no era para menos. Pero mi sorpresa fue mayor cuando descubrí que el "Margen sobre el precio" del 75 por ciento , que él me exigía, en realidad equivalía a un "Margen sobre el costo" del 300 por ciento. En otras palabras, si él me favorecía con un pedido yo lo financiaría durante seis meses y él recibiría 300 por cada 100 dólares del valor total de la operación. O lo que es peor: si yo decidiese solicitar un crédito —avalado por esta incierta operación en moneda extranjera— solamente podría recibir un desembolso de 75 en cambio de los 100 negociados que me correspondían en la operación. Como es natural, la operación no se hizo porque yo no estaba preparado para negociar en esas condiciones; pero cual sería mi sorpresa, cuando más tarde al comentarle el hecho a otros editores me confirmaron que el comercio del libro a plazos operaba bajo ese esquema y era muy dificil permanecer en el negocio si no se acogía a él.

40


Importancia práctica del tema El tema de los Márgenes es fundamental en las negociaciones entre empresas industriales, comerciales y de servicio. Los industriales a veces fijan el precio al público y con base en él otorgan descuento a sus distribuidores; otras veces les venden a un precio base a fin de que ellos fijen el precio al público que estimen prudente. En el primer caso se trabaja con el concepto "Margen sobre el precio", en el segundo con el de "Margen sobre el costo". Con el contenido de este capítulo se podrán evaluar las ofertas y se podrán formular propuestas con base en el cálculo de márgenes, precios y costos. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Cálculo del Margen Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el costo ? Fijar precios con base en el Margen bruto Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margen sobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta? Cálculo del Costo La industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser el Costo para quien vende a plazos si se estima que el Precio de venta puede ser de 300 dólares? Fijar precios Se adquieren artículos de oficina a un Costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear con un 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de venta de tales productos?

41

Costo En el comercio, Costo es la suma que paga el comerciante por la mercancía que adquiere. Precio Es la suma que debe pagar el cliente como valor por la mercancía que adquiere del intermediario. Descuento Para este caso es la diferencia entre el Precio y el costo. Descuento al por mayor Un comerciante adquiere un artículo a un costo de 5.400. El precio de venta al público fijado por el fabricante es de 9.000. ¿Cual es el valor del descuento que obtiene el comerciante?

Costo = 5.400

Precio = 9.000 D=?

Fórmula

D = Precio - Costo

Se reemplaza

D = 9.000 - 5.400 D = 3.600

Como se puede observar la variación entre el Precio y el Costo constituye el descuento que recibe el comerciante.

42

Márgenes El descuento que recibe el comerciante puede compararse frente al costo o puede compararse frente al precio. En el primer caso se obtiene el Margen sobre el costo y en el segundo se obtiene el Margen sobre el precio. Margen sobre el costo, Mc El Margen sobre el costo se obtiene con la fórmula de la variación porcentual.

Costo = 5.400

Precio = 9.000 MC = ?%

Fórmula

MC =

D ⋅100 Costo

MC =

3.600 ⋅100 5.400

Se reemplaza,

MC = 66.67%

Que equivale a lo que ganaría el comerciante sobre su inversión. Es decir es Margen sobre el Costo es idéntico a la Tasa de interés que obtendría por su dinero.

43

Margen sobre el Precio, MP El Margen sobre el precio se obtiene comparando la variación o el descuento frente al precio.

Costo = 5.400

Precio = 9.000 MP = ?%

D MP = ⋅100 Pr ecio

Fórmula

3.600 MP = ⋅100 9.000 Se reemplaza, MP = 40%

El Margen sobre el precio equivale al descuento que otorga el fabricante al comerciante. De aquí podríamos concluir que un interés del 66.66% equivale a un descuento del 40%.

44

APLICACION El tema plantea cuatro tipos de problema de acuerdo a la variable que queramos calcular.

Cálculo del Margen sobre el Costo Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el costo ?

Costo = 85.000

Precio = 136.000 MC = ?

1. Seleccione Modulo:

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica

85 000 136 000

?

2. Limpie memorias,

Costo Precio Margen/Precio

Calcular

Costo

Borrar datos

Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo

Borrar Datos Márgenes

Respuesta:


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Margen/Costo


Margen/Costo

El Margen sobre el costo es del 60 %

45

Cálculo del Margen sobre el Precio Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el Precio ?

Costo = 85.000

Precio = 136.000 MP = ?


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Márgenes

46

85 000 136 000

Costo Precio Margen/Precio

Calcular

Costo

Borrar datos

Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo

Borrar Datos

Respuesta:


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

El Margen sobre el precio es del 37.5 %

← AC

Margen/Costo


Margen/Precio

Cálculo del Costo conocido el Precio y el MC La Librería Panamericana recibe oferta de libros cuyo precio de venta al público será de 20.000 por unidad . ¿Cual es el costo máximo que debe pagar la librería si su política de compras establece que su Margen sobre el Costo debe ser del 60% ?

Costo = ?

Precio = 20.000 MC = 60%


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

Costo

20 000

Precio Margen/Precio

Calcular

Costo

Borrar datos

Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo


√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

60

Margen/Costo


Costo

Respuesta:

El Costo debe ser de 12.500

Procedimiento sencillo

De esta fórmula se puede deducir un método sencillo para calcular el Costo cuando se conoce el precio y el Margen sobre el costo: o interés. • Halle el factor de incremento: 1.6 • Divida el Precio por el factor

C = 20.000 / 1.6 C = 12.500

47

Cálculo del Precio conocido el MC Se adquieren artículos de oficina a un costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear con un 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de tales productos?

Costo = 25.000

Precio = ? MC = 40%


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica

25 000

Costo Precio

?

2. Limpie memorias,

Margen/Precio Calcular

Costo

Borrar datos

Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo


√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

40

Margen/Costo


Precio

Respuesta:

El Precio de Venta para los productos debe ser de 35.000


Cuando se conoce el Margen sobre el Costo se puede hallar el precio calculando el factor de incremento y multiplicando por el costo así: Halle el factor y multiplíquelo por el Costo, así: C = 25.000 x 1.4 C = 35.000

48

Cálculo del Costo conocido el MP La industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser el Costo para el placista (quien vende a plazos) si se estima que el Precio al público puede ser de 300 dólares?

Costo = ?

Precio = 300 MP = 70%


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

Costo

, . ï ?

Hoja Electrónica

300 70

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Costo

Borrar datos

Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo


√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Precio Margen/Precio Margen/Costo


Costo

Respuesta:

El Costo para el distribuidor es 90


El método sencillo para calcular el Costo cuando se conoce la tasa de descuento o el Margen sobre el precio es el siguiente: Reste de la unidad la tasa de descuento en su expresión decimal y multiplique el precio por este valor, así: Costo = 300 (1 - 0.7) = 300 x 0.3 Costo = 90

49

Cálculo del Precio conocido el MP Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margen sobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta?

Costo = 85.000

Precio = ? MP = 50%


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Márgenes

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica

85 000

Costo Precio

?

2. Limpie memorias,

Costo Precio Venta

Recordar

Margen/Precio

Decimales

Margen/Costo


√α

50

Calcular Borrar datos

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Margen/Precio Margen/Costo


Precio

Respuesta:

El Precio de Venta debe ser 170.000


El método sencillo para calcular el Precio cuando se conoce la tasa de descuento o el Margen sobre el precio es el siguiente: Reste de la unidad la tasa de descuento en su expresión decimal y divida el costo por este valor, así P = 85.000 / (1 - 0.5) P = 85.000 / 0.5

50

P = 170.000

INFORMACION BASICA

Costo, C

Precio, P

∆∆ = P - C

Línea de tiempo

Fórmulas

Margen sobre el Costo, M c Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Costo, C

MC =

(Pr ecio − Costo)100 Costo

Margen sobre el Precio, M p Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Precio, P.

MP =

(Pr ecio − Costo)100 Pr ecio

Factor de incremento, f Resulta de dividir el Precio por el Costo. f=

Pr ecio Costo

Factor de descuento, f D Resulta de dividir el Costo, por el Precio . fD = Definición de variables

Costo precio

Costo, C

Valor de compra del bien o servicio

Precio, P Margen sobre el costo, Mc

Valor de Venta del bien Variación sobre el Costo, expresada en porcentaje

Margen sobre el Precio, Mp

Variación sobre el precio, expresada en porcentaje

51

52

4 Interés Simple

"Un optimista ve una oportunidad en cada calamidad” Churchill

C

omo consultor de una empresa, me correspondió ofrecer una fórmula excepcional a un instituto de fomento para cancelar una obligación de crédito en mora. – Estamos dispuestos a cancelar el total de la obligación, propuse, si nos condonan los intereses pendientes de pago. Al gerente financiero no le gustó para nada la propuesta. Mi oferta de pagar de inmediato la suma de dos millones, a cambio de condonar los intereses que ascendían a doscientos cuarenta mil, debía ser consultada con la junta directiva que autorizaba este tipo de operaciones. Las posibilidades de una reunión de la junta eran lejanas, pero el cobro jurídico se insinuaba inminente. Las circunstancias exigían una solución inmediata. A marchas forzadas, consulté la tasa de interés que me reconocerían en una corporación financiera y reelaboré la propuesta. Volví a entrevistarme con el financiero. —Muy bien, le dije: estamos en condiciones de pagar el doble de los intereses, pero nos otorga un año más de plazo para pagar la suma adeudada. –¿Cómo garantizaría este pago?, repuso el gerente denotando interés. –Con un certificado de depósito a término, a ese plazo, añadí. –Procedamos así, me dijo el funcionario con asomo de curiosidad. difícil ocultar mi emoción.

Fue

Sin pérdida de tiempo me dirigí a la corporación financiera, constituí allí un Depósito a término por la suma de Millón setecientos cincuenta mil al 2.97 por ciento efectivo mensual, con el cual se obtendría el monto adeudado en el plazo prometido para la cancelación. –Cuál fue el secreto?, me preguntaron mis clientes. –Propuse pagar –les señalé–, bajo la modalidad de interés simple, pero coloqué el dinero de ustedes a interés compuesto. Me fui al hotel con mis honorarios. Me los cancelaron con el excedente entre el simple y el compuesto.

54


Importancia práctica del tema Este tema tiene poca importancia para los especialistas, pero seguirá siendo de gran utilidad para la gente común, quienes de alguna manera deben realizar sus cuentas con procedimientos sencillos, y aunque sus cálculos no resulten exactos les permiten formarse una buena idea de la operación financiera que realizan y continuar haciendo negocios. No obstante, algunas instituciones bancarias lo utilizan en el cálculo de los intereses por sobregiros. Los siguientes enunciados señalan aplicaciones del tema: Intereses de un CDT Retiro periódico del intereses en los Certificados de Depósito a Término de un Banco Comercial Plazo de emisión de un bono La empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por concepto de interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?

55

Certificados de Deposito a término Los certificados de depósito a término son títulos expedidos por las instituciones financieras y entregados a los ahorradores cuando ellos depositan su dinero a un plazo fijo que los acredita como propietarios de ese dinero. Las condiciones del depósito como plazo, tasa de interés, forma de liquidación de los intereses están contenidas en ese documento.

Retiro periódico del interés Sara y Carlos deciden constituir, cada uno por su lado, depósitos a término por la misma suma (100) , en el mismo banco , a la misma tasa de interés (2.5% mensual), el mismo día y al mismo plazo (tres meses). Pero, con una sola diferencia, Sara necesita retirar los intereses cada mes y Carlos decide reinvertirlos para retirarlos al culminar el plazo. Cuando concluye el plazo, frente al funcionario liquidador, ambos verifican que Carlos recibe por los tres meses 7.69 de intereses y Sara, solamente 7.5 , que resulta de sumar lo que recibió en cada uno de los meses, ¿por qué? Lo primero que debe dejarse en claro es que el banco aplica para ambos la misma tasa pero sobre el saldo que tenga cada uno al momento de la liquidación, así: Sara recibe 2.5 cada mes porque la tasa se aplica siempre sobre el mismo valor:

Valor depósito = 100

i m = 2.5 %

I = 2.5

Líneas de tiempo equivalentes 0

1

2

3

0 meses

Interés periódico

Fórmula

I = VP . i p

Se reemplaza

I = 100 x 0.025 I = 2.5

Que corresponde al interés mensual.

56

1

2

N=3

Interés del plazo

El interés recibido al cabo de los tres meses es,

Intereses del plazo = N x I Intereses del plazo = 3 x 2.5 Intereses del plazo = 7.5 Valor total recibido

Valor total recibido = 100 + 7.5

Como se observa se calculan los intereses multiplicando el interés periódico por el número de períodos y el Valor futuro sumando los intereses al Valor Presente. Con ayuda de este sencillo ejemplo se han desarrollado los cálculos bajo la modalidad de interés simple que podemos definirlo como sigue.

Interés simple Es el concepto que define el retiro periódico de los intereses causados en cada período. Por esta circunstancia, las operaciones que derivan de este hecho se reducen a simples multiplicaciones y divisiones, como se apreció en el ejemplo precedente. En las páginas siguientes se ilustra la solución de cada uno de los problemas posibles con ayuda del programa.

57

APLICACION

Cálculo del Interés Intereses de los Certificados de Depósito a Término -CDTs Carlos hace un depósito a término de US $ 5.000, por 6 meses, en el Banco Andino que le reconoce una tasa de interés de 8% trimestral, con retiro de interés cada trimestre. ¿Qué interés recibe Carlos? 5000 VP = 5.000

i t = 8%

I=?


1

N=2

0

1

N=2

trimestre

1. Seleccione Modulo: Simple

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

2. Limpie memorias,

2

Nº de Períodos

8

Tasa de interés Interés

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

5 000

Valor Presente

5 000

Valor Futuro

Valor Futuro Interés Simple

Respuesta

58

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Interés

O sea Carlos recibe 400 de interés por cada trimestre y, al finalizar el segundo, recibe además, el capital depositado.

Cálculo de la Tasa de interés Certificados de depósito a término en una corporación financiera. Por un deposito de 500.000, la Corporación Financiera de Occidente liquida 10.000 de interés mensual, durante dos meses. ¿Qué tasa de interés reconoce dicha corporación para ese período?

im = ? %

VP = 500.000

Líneas de tiempo equivalentes

I = 10.000

0

1

N=2

0

1

N=2

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

2

?

Nº de Períodos Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

10 000 500 000 500 000

Interés Valor Presente Valor Futuro


Respuesta

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Tasa de interés

2% es la tasa mensual reconocida por la C.F.O.

59

Cálculo del Valor Presente Cuentas de ahorro en los Bancos comerciales La sección de ahorros del Banco Popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos en trimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 5.25% trimestral. Si Luz Myrian recibió 600 de interés en el trimestre, ¿Qué suma depositó?

i t = 5.25%

VP = ?

I = 600


1

0

1

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

1

Nº de Períodos

5.25 600

Tasa de interés Interés Valor Presente Valor Futuro


Respuesta

60

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

El capital depositado por Luz Myriam fue de 11.429

← AC


Valor Presente

Cálculo del Número de períodos Años de redención de un bono La empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por concepto de interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?

VP = 5.000

i = 23 % M.V.

I = 5.750


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Nº de Períodos

?

23

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

5 750 5 000

Interés Valor Presente Valor Futuro


Respuesta

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Nº de Períodos

Sesenta meses o cinco años es el plazo de redención del bono.

61

Cálculo del Valor Futuro Cancelación de una deuda Cuánto dinero se recibirá al cabo de cinco años por una deuda de 500.000 , que reconoce una tasa de interés del 24% anual ?

VP = 500.000

i a = 24 %

VF = ?


1

4

N=5

0

1

4

N=5

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

5 24

?

?

2. Limpie memorias,

Nº de Períodos Tasa de interés Interés

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

500 000

Valor Presente Valor Futuro


Respuesta

62

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


1.100.000 es la suma que habrá recibido por el préstamo enunciado .

Valor Futuro

Interés simple exacto y ordinario El año tiene 365 días, el año bisiesto 366 días y el comercial 360. El día se considera como 1/ 365 de año y 1/366 de año bisiesto. Cuando se desea calcular el interés simple exacto, para fracciones de año, debe utilizarse como divisor el número real de días del año. O sea que el período N, como una fracción de año, se calcula según el caso así: dc / 360 ; dc / 365 ; dc / 366 donde, dc , representa el número de días transcurridos entre fechas. Bajo esta condiciones, el interés simple, se denomina ordinario para el primer caso y exacto para los dos segundos.

63

Cálculo del interés ordinario Sobregiros y Descubiertos Los sobregiros o descubiertos son modalidades de crédito transitorio cuyo otorgamiento es eventual. Tienen como objetivo incentivar, con este mecanismo de reciprocidad, a los mejores clientes y estimular la apertura de cuentas corrientes.

Costo de un Sobregiro Si se otorga un sobregiro por 500.000, por 8 días y la tasa de interés es de 48% anual, ¿Cuál es el interés cobrado, que representa el costo del sobregiro?

VP = 500.000

i = 48 %

I=?


1

7

N=8

0

1

7

N=8

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

8

Nº de Períodos

48

Tasa de interés

500 000

Valor Presente

, . ï ?

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Interés Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Valor Futuro


Respuesta

64

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

← AC


5.333.33 es la suma que se debe pagar por el sobregiro . ( Año = 360 días )

Interés

INFORMACION BASICA Valor del préstamo

Valor del préstamo, VP

0

1

Interés, I

tasa de interés, i p %

Líneas de tiempo equivalentes N-1

0

N

1

N-1

N

período

I = VP ⋅ ip ⋅ N

Fórmulas

VF = VP + I

(

VF = VP 1+ ip ⋅N

)

Para períodos inferiores a un año, Donde, d c ,

N=

dc da

Días corrientes

d a = 360, 365, 366


Valor presente, VP Es el valor que se entrega en préstamo, se denomina Principal o Capital. Valor futuro, VF Resulta de sumar el Valor presente y el Interés. que se recibe durante el plazo. Tasa de interés periódica, i p Es la tasa de interés efectiva convenida en la operación financiera, que se utiliza para calcular el INTERES y cuyo período debe concordar con el período del plazo. Número de períodos del plazo, N Es el plazo de la operación expresado en períodos. Resulta de multiplicar el Número de años, n por la frecuencia del período en el año, f En muchas operaciones, cuando el plazo es inferior a un año, se acostumbra a trabajar con fracciones de años expresados en días y con tasas anuales. Interés, I Es el costo expresado en unidades monetarias que se reconoce por el dinero tomado en prestamo.

65

66

5 Interés compuesto

“Siempre haga más de lo que le exigen” Patton

M

e gustaba apoyar mis conferencias con avisos publicitarios recortados de los periódicos, publicidad en plegables difundida por las instituciones financieras y con información recogida en mi trabajo de consultor, a fin de ilustrar de manera práctica el tema. En general, los asistentes eran altos ejecutivos. Algún día presenté una tabla que contenía los valores diarios que tomaría una unidad calculada por el Banco Central y que era repartida a las Corporaciones de vivienda para que con base en ella adelantaran sus operaciones de captación y crédito. El documento lo validaba la firma de un alto funcionario de dicho banco. Introduje el tema, expliqué el procedimiento de cálculo, proporcioné las variables y sugerí que se iniciara la ejecución del ejercicio. El cálculo debía hacerse con cuatro decimales. En principio todos los participantes estuvieron conformes con los resultados; sus cálculos prácticamente eran iguales a los de la tabla. Pero uno de ellos, denotaba preocupación y no estaba conforme, al punto que me solicitó que también yo realizara los cálculos. Los míos coincidieron con los de todos y diferían ligeramente de los de la tabla. - Tranquilo le dije, es posible que quienes la calcularon hayan cometido algún pequeño error, porque el procedimiento que hemos utilizado es el correcto. -Eso no puede ser! respondió; pero, respetuoso calló y se enfrascó a desentrañar el “pequeño error”, dejando de lado mis explicaciones subsiguientes acerca del tema. Al final de la sesión me insistió; revisamos la información y nos percatamos que el año era bisiesto; los nuevos cálculos coincidieron totalmente con los de la tabla. Mi amigo descansó. - Por qué tanta preocupación por la exactitud, le interrogué. - Señaló con su índice la base de la hoja y agregó: ¡ Esa firma es la mía !

68


Importancia práctica del tema En el concepto de interés compuesto se fundamenta prácticamente la totalidad de operaciones de ahorro y crédito en los negocios. Es decir, con excepción de unas pocas operaciones a interés simple que se realizan en los negocios personales, lo demás se maneja bajo la modalidad de interés compuesto. Con ente hecho queda plenamente identificada su importancia. Con base en ella se realizan un sinnúmero de problemas de diaria ocurrencia en los negocios como: •

Calculo de rentabilidad

•

Cálculo del costo del crédito

•

Evaluación de descuentos

•

Evaluación financiera

•

Negocios con CDT

•

Negocios con Aceptaciones bancarias

•

Negocios de Valorización

•

Anualidades

•

Operaciones de Leasing,

•

Operaciones de Bolsa: Acciones y Bonos

•

Sistemas de Amortización y Fondos de amortización

69

Interés simple vs. Interés compuesto La diferencia fundamental entre interés simple y compuesto radica en que para el caso simple el interés se liquida y retira periódicamente y para el compuesto el interés se liquida y agrega progresivamente al capital, en cada período, lo que significa que el interés en cada nuevo período se calcula con la misma tasa pero sobre un capital mayor. El interés compuesto es el que se conoce en nuestro medio como liquidación de “interés sobre intereses”.

Se retira el INTERES que se causa en cada período

Valor del préstamo, VP

Valor futuro, VF

Interés, I

tasa de interés, i p %

Interés Simple 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

período Se reinvierte el INTERES que se causa en cada período

Valor Presente, VP

Valor Futuro, VF

Tasa de interés periódica, i p Interés, I

Interés Compuesto 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N


Interés Compuesto Es el concepto que considera la agregación progresiva de los intereses al capital.

Capitalización Es el proceso mediante el cual el interés se adiciona al capital en cada período.

Período de capitalización Es el período escogido para liquidar y acumular el interés.

70

APLICACION

Cálculo del Valor Futuro Depósitos a término Los Depósitos a término son una modalidad de ahorro en los cuales el ahorrador puede retirar los intereses periódicamente o reinvertirlos durante el plazo escogido. En general estos depósitos deben tener un plazo superior a los tres meses. Monto recibido al vencimiento de un CDT Juan David constituye un depósito a término por valor de un millón con plazo de un año y reinversión mensual de intereses. Si la tasa de interés convenida fue de 32% anual liquidable cada mes, ¿cuál es la suma que recibirá al culminar el plazo?

VP = 1.000.000

VF = ?

i = 32 % M.V.


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses

1. Seleccione Modulo: Compuesto

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

12 32

?


?

2. Limpie memorias,

Cuota uniforme Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+

1 000 000



Valor Futuro

1.371.367 Es la suma que corresponde al valor del depósito más los intereses reinvertidos cada mes.

71

Cálculo del Valor Presente Ahorro para viajar Una compañía de financiamiento comercial estima que los costos de vacaciones por 15 días a una isla caribeña, todo costo, en un año, ascenderán a 3.000. Si esta compañía ofrece una tasa de interés del 24% trimestre vencido por los depósitos, ¿cuánto se deberá depositar hoy para disponer de esa suma al cabo de un año?

VP = ?

VF = 3.000

i = 24 % T.V.


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

4

Nº de Períodos

24

Tasa de interés Cuota uniforme

Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

72

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

3 000

Valor Futuro


2.376 es la suma que corresponde al valor del depósito necesario.

Valor Presente

Cálculo de la Tasa de interés Un Problema de valorización Una parcela cafetera se compró por 600.000. Veinticuatro meses más tarde, fue vendida por dos millones, ¿cuáles son las tasa de interés mensual y anual que corresponde a la valorización de ese inmueble?.

VP = 600.000

VF = 2.000.000

im=?%


1

23

N = 24

0

1

23

N = 24

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver

Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Tasa de Interés

✖

↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Tasa de interés

24

?


?

2. Limpie memorias,

Cuota uniforme

Períodica Calcular

Anual

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

600 000 2 000 000



Tasa de interés

5.14 % es la tasa de interés que corresponde a la valorización mensual. 82.57 % es la tasa de interés que corresponde a la valorización anual.

73

Cálculo del Número de períodos Un problema de Ahorro Las cuentas de ahorro, en los bancos comerciales, reconocen una tasa del 21% capitalizable trimestralmente, sobre saldo mínimo trimestral. Si un ahorrador quiere acumular 300.000 y deposita 107.815, ¿Durante cuántos trimestres deberá depositar esta suma?

VP = 107.815

VF = 300.000

i = 21 % T.V.


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

trimestres


Archivo Simple

Modalidades Ver TipoFormatos de Período Calcular período

↓↑

Borrar Datos Interés Compuesto

74

%

Bonos

√α

✔ OK

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Días Mes ? Bimestres Trimestres Cuatrimestres Semestres Años


Ayuda ✖


2. Limpie memorias,

Respuesta

✖

Portafolio Financiero

Nº de Períodos

?

21


Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

20 trimestres que corresponden a 5 años..

← AC

107 815 300 000



Nº de Períodos

Aplicación del interés compuesto en operaciones con valor constante Cálculo de los valores diarios de la UPAC Si la unidad de poder adquisitivo constante, UPAC, tenía un valor de 9.000 al iniciar el mes y la tasa de corrección efectiva anual es del 21% , ¿cual es el valor de la unidad para cada uno de los 30 días siguientes? Ayuda.- Este problema se soluciona calculando el Valor Futuro para cada día, variando el período de 1 en 1 y conservando constantes las demás variables.

VP = 9.000

0

VF = ?

i a = 21 %

1

29

N = 30

0

VF = ?

VF = ?

29

N = 30

1

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

1 21

?

?

2. Limpie memorias,

Nº de Períodos Tasa de interés Cuota uniforme

Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+

9 000



Valor futuro

9.004.7015 es el valor de la unidad para el día siguiente. ( Ver tabla en la página que sigue)

75

La tabla que se presenta a continuación constituye la respuesta a este problema. Cada valor se presenta con cuatro decimales.

Valores diarios de la Unidad de Poder Adquisitivo constante durante treinta días

76

Día

Valor de la unidad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

9,000.0000 9,004.7015 9,009.4054 9,014.1117 9,018.8206 9,023.5319 9,028.2456 9,032.9618 9,037.6805 9,042.4016 9,047.1252 9,051.8513 9,056.5798 9,061.3109 9,066.0443 9,070.7803

Día

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Valor de la unidad 9,075.5187 9,080.2596 9,085.0030 9,089.7489 9,094.4972 9,099.2480 9,104.0013 9,108.7571 9,113.5154 9,118.2761 9,123.0394 9,127.8051 9,132.5733 9,137.3440 9,142.1173

INFORMACION BASICA El interés que genera el préstamo en cada período se va agregando al capital hasta cuando culmine el plazo.

Valor Presente, VP

Valor Futuro, VF

Tasa de interés periódica, i p Interés, I


1

N-1

N

0

1

N-1

N


VF = VP(1+ ip )N

Fórmula


Valor presente, VP Es el valor que se entrega en préstamo.

Valor futuro, VF Es la suma del Valor presente y del Interés. que se va acumulando en cada período hasta cuando culmina el plazo del crédito.

Tasa de interés periódica, i p Es la tasa de interés efectiva convenida en la operación financiera, con la cual se calcula el INTERES en cada período.

Número de períodos de plazo, N Es el número de períodos convenidos como plazo en la operación. Resulta de multiplicar el Número de años, n por la frecuencia del período en el año, f

77

78

6 Tasas nominales y efectivas de interés y descuento

"Ganar no lo es todo, pero querer hacerlo, si lo es". Lombardi

U

n amigo me relató su entrevista con el gerente del banco donde tiene su cuenta corriente. La reunión tenía dos propósitos: el primero depositar algunos ahorros que había reservado para la cuota inicial en la compra de un vehículo y el segundo preguntar por una Línea de crédito para financiar dicha compra. En el primer caso deseaba conocer cuál sería el rendimiento de su dinero al cabo de un año; en el segundo, cuál sería el costo anual del crédito. Para ambas preguntas el gerente presentó un modelo único de respuesta: - Por el depósito te reconozco una tasa efectiva del 26.25% anual (que equivale a una tasa nominal del 24% trimestre vencido); -Por el crédito te cobro una tasa del 36% trimestre anticipado, (que equivale a una tasa de 45.83% efectivo anual). Entonces, él que había escuchado con frecuencia que ahorrar en dólares es un buen negocio, se atrevió a preguntar con timidez: ¿No será más rentable comprar títulos del gobierno en dólares ? – No, le respondió con seguridad el gerente, porque la devaluación se estima en el 15% anual y la tasa de interés de esos títulos es de sólo el 8% semestre vencido y ello en conjunto renta solamente el 24.38%. Mi amigo realizó sus cuentas y los resultados no coincidieron con los de las respuestas. ¿Cómo harán estos magos, los cálculos? pensó desconcertado y abandonó el banco cargando, según él, de nuevo con su ignorancia; pero dispuesto a aprender cómo se hacía.

80


Importancia práctica del tema Este tema es la columna vertebral de la Matemática Financiera y cuando usted termine de conocer los diferentes tópicos que ofrece y practicar con los ejemplos que él plantea, quedará en capacidad de: •

Convertir tasas de interés o descuento -nominales o efectivas- con cualquier frecuencia de liquidación a otras tasas de interés o descuento -nominales o efectivas equivalentes , con otra periodicidad cualquiera .

•

Calcular la rentabilidad anual de un sinnúmero de títulos-valores.

•

Calcular el costo de la mayoría de operaciones de crédito.

•

Calcular el costo o la rentabilidad de varias operaciones en dólares

•

Calcular el costo o la rentabilidad de varias operaciones en UPACs

81

Intermediación financiera Como es de todos conocido, los establecimientos de crédito reciben dinero del público, empresas y sectores del gobierno que tienen excedentes de él (Operaciones Pasivas), para prestarlo a otras personas, empresas u otros sectores del gobierno que tienen necesidad de él (Operaciones Activas). Este proceso se denomina intermediacíón financiera. En la primera etapa llamada captación (Ahorro) el establecimiento financiero paga interés al ahorrador por el depósito; en la segunda, llamada colocación (Crédito) cobra interés por el préstamo.

Ahorro

Crédito

Tanto lo que la institución promete pagar, como lo que ofrece cobrar, se expresa, en general, con tasas nominales de interés o descuento y se calculan siempre con base en tasas efectivas, que se obtienen a partir de tales tasas nominales. El siguiente enunciado hará posible la definición de términos de este tema. Reinvertir los intereses de un Depósito a término Un Banco ofrece pagar una tasa de 24% trimestre vencido por los depósitos a término a un año. El cliente acepta reinvertir los intereses trimestrales para recibirlos junto con el capital (100) al finalizar el año. A la pregunta de cuánto recibiré, el agente comercial le indica dos opciones: 6 dólares trimestrales y su capital al terminar el año o un solo valor de 126.82, al culminar el año . i = 24 % T.V.

VP = 100

0

1

3

4

0 Trimestres

82

VF = 126.82

I=6

1

3

4

Tasa nominal Es la tasa anual de interés o descuento acompañada de la frecuencia de liquidación en el año, utilizada para enunciar las condiciones financieras bajo las cuales se llevarán a cabo las operaciones de crédito o de captación. tasa anual

frecuencia en el año = 4

24% trimestre vencido Se representan con la letra i cuando son de interés y con d cuando son de descuento. Interés trimestral que se reinvierte VP = 100

0

tasa nominal i = 24 % T.V. VF = 126.82

I=6

1

3

4

0 Trimestres

1

3

4

Frecuencia = 4 veces en el año

Frecuencia de liquidación, f Es el número de veces que se conviene liquidar los intereses en el año. La frecuencia depende del período de liquidación y se obtiene al dividir 360 ó 365 por los días del período. Para este caso el término liquidación significa cálculo de intereses con el propósito de pagarlos o acumularlos tanto en operaciones de crédito como de ahorro. Período Mes Bimestre Trimestre Cuatrimestre Semestre Año

Frecuencia anual 12 6 4 3 2 1

83

Tasa nominal de interés, i Es la tasa anual cuyo interés periódico se conviene liquidarlo vencido, es decir, al concluir cada uno de los períodos del plazo. Tasa nominal de descuento, d Es aquella tasa que expresa que el interés periódico se conviene liquidarlo anticipado, es decir, al iniciar cada uno de los períodos del plazo. 36% trimestre anticipado. Quiere decir que la institución, con una frecuencia trimestral (cuatro veces en el año) liquidará al iniciar cada trimestre la cuarta parte, el 9% sobre el saldo pendiente de pago, y se la cobrará al beneficiario. Esta tasa, comúnmente la publican así:

d = 36% t. a.

tasa nominal de descuento d = 36 % T.A..

VP = 100

0

VF = 100

I=9

1

3

4

0 Trimestres

1

3

4

Cuando el interés se acuerda pagarlo anticipado.

Las tasas nominales son términos de un contrato Estas tasas que expresan la voluntad de los contratantes -el que presta y el que recibe- no pueden ser desconocidas o alteradas por una de las partes. Vale decir para el ejemplo anterior: que se dijera que los intereses se cancelaran mensualmente; porque esto equivaldría a cambiar las condiciones del convenio.

84

Tasa efectiva Es la tasa de interés o descuento periódica con la cual se calcula el interés o el descuento que se paga o cobra en una operación financiera. De los ejemplos presentados atrás podemos colegir que en toda tasa nominal se encuentra definida expresamente y con toda claridad una, y solo una, tasa efectiva que resulta de dividir la tasa por la frecuencia anual. En los ejemplos enunciados las tasas efectivas que corresponden a las

ip = 24%/4

ip = 6%

dp = 36%/4

dp = 9%

tasas nominales, son: Observe como las tasas efectivas se representan con un subíndice que hace referencia al período de liquidación. INTERES efectivo El interés efectivo es la suma de dinero que se liquida efectivamente. Interés de un Depósito a término Un depósito de 1’000.000 durante un trimestre en un banco que reconoce el 24% trimestre vencido, generará efectivamente un Interés de 60.000 que se calcula con base en una tasa trimestral del 6%. Interés = 1.000.000 x 6% Interés = 1.000.000 x 0.06 Interés = 60.000

El 6% es entonces una tasa efectiva porque con ella se calculó el interés efectivo.

85

DESCUENTO efectivo El descuento efectivo es la suma de dinero que se liquida efectivamente al iniciar un período. Crédito bancario Se solicita al banco un crédito por 5’000.000. ¿Cuánto recibirá neto, si el banco decide cobrarle una tasa del 36% trimestre anticipado?

Descuento =

5.000.000 x 9%

Descuento =

5.000.000 x 0.09

Descuento = Desembolso neto =

450.000 5.000.000 - 450.000

Desembolso neto =

4.550.000

Diferencia entre tasas nominales y efectivas Mientras que la tasa nominal solamente es anual y se utiliza para enunciar las condiciones de una operación financiera, la tasa efectiva puede tener cualquier periodicidad y se utiliza para calcular el interés o descuento a pagar. Muy Importante! Nunca utilice las tasas nominales para calcular porque incurre en un grave error.

Capitalización de intereses Ahora, el interés vencido o anticipado se puede retirar o acumular. Es decir, el beneficiario puede solicitar al prestamista que lo agregue al capital, a fin de ganar también interés sobre esa suma en el período siguiente. Este proceso de agregación en períodos sucesivos de los intereses es lo que en matemática financiera se denomina Capitalización.

86

Equivalencia Equivalencia significa igualdad en valor. Cuando nos refiramos a que dos tasas con periodo de liquidación distintos son equivalentes, estamos afirmando que no obstante su diferencia aparente, son iguales en valor porque la tasa de interés efectiva anual es igual para ambas. Enseguida se ilustra este concepto con las Líneas de tiempo equivalentes, mostrando cómo el 30 % mes vencido es equivalente al 31.94 % semestre vencido, porque las tasas efectivas anuales de ambas son iguales al 34.49 %.

ia = 34.49 %

im = 2.5 %

30 % Mes vencido 0

1

11

f = 12

0

f=1 año

Meses

ia = 34.49 %

i m = 15.97 %

31.94 % Semestre vencido 0

1 semestre

f=2

0

f= 1 año

87

Conversión de tasas Los problemas de cálculo de rentabilidad, costo del crédito, evaluación de descuentos y un sinnúmero de problemas de la vida diaria financiera -que plantean con mucha frecuencia la necesidad de convertir tasas nominales o efectivas de interés o descuento a otras equivalentes- se resuelven con base en el principio de equivalencia entre tasas. Clasificación de problemas posibles de conversión

Los problemas posibles resultan de la combinación de las características de la tasa dada con la combinación de las características de la tasa pedida. Estas características se resumen en la ilustración siguiente:

Tasa dada Período Diario Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otro

Tasa pedida Modalidad Vencida Anticipada Tipo de Interés Nominal Efectivo

Período Diario Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otro

Modalidad Vencida Anticipada Tipo de Interés Nominal Efectivo

Integración de dos tasas En las operaciones con moneda extranjera, operaciones con corrección monetaria y también operaciones con descuentos encadenados es necesario encontrar la tasa de interés efectiva equivalente a dos tasas dadas. Para el primer caso se presentan la tasa de interés de la operación en moneda extanjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional; para el segundo caso nos referimos a la tasa de corrección y a la tasa de interés adicional; para el tercer caso nos referimos a las dos tasas de descuento. La fórmula utilizada para este propósito se encuentra en la página Información básica al final de este módulo.

88

APLICACION A continuación se ilustra con ejemplos algunos casos posibles.

Operaciones en moneda corriente Conversión: Tasa nominal de interés en tasa efectiva de interés Convertir 30% t.v. en una tasa de interés mensual equivalente.

im = ?

im = 30 % T.V.


1

3

f=4

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa

Diaria Mensual Trimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra

Trimestral • Vencida • Nominal

3 . Proporcione datos de salida

✖

Portafolio Financiero -Conversión de Tasas

2. Entre tasa dada 30

✖


Tasa dada

f = 12

meses

trimestres

1. Seleccione Modulo

11

1

Modalidad Vencida Anticipada Tipo de Interés Nominal Efectiva

i

i

364 Días

365

Mensual • Vencida • Efectiva

Período Modalidad Vencida Anticipada

Diaria Mensual Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra

i 0

Calcular

1

Tipo de Interés Nominal Efectiva

i

i

364 Días

✔ OK

4 . Calcule la tasa equivalente

365

Calcular X Cancel

2.44 % es la tasa efectiva mensual equivalente

89

Conversión: Tasa efectiva de interés en tasa efectiva de interés Convertir 1 % quincenal en una tasa de interés semestral equivalente.

is = ?

iq = 1 %


1

23

f = 24

0

1 semestral

quincenas

1. Seleccione Modulo Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

90

Tasa Convertida

Período

Tasa

Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra Otra

Quincenal • Vencida • Efectiva

1


✖



✖


Tasa dada

f=2

Modalidad Vencida Anticipada

i

i

364 Días

365


Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Semestral Anual Otra


Semestral • Vencida • Efectiva

Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel

12.68 % es la tasa efectiva semestral equivalente

Conversión: Tasa nominal de interés en tasa efectiva de descuento Convertir 30% t.v. en una tasa de descuento mensual.

dm = ?

im = 30 % T.V.


1

3

f=4

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa




✖



✖


Tasa dada

1


i

364 Días

365

Mensual • Anticipada • Nominal




i

f = 12

meses

trimestres


11

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel

2.38 % es la tasa de descuento efectiva mensual equivalente

91

Conversión: Tasa efectiva de interés en tasa efectiva de descuento Convertir 1 % quincenal de interés en una tasa de descuento mensual equivalente.

dm = ?

iq = 1 %


1

23

f = 24

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

92

Tasa Convertida

Período

Tasa

Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra

Quincenal • Vencida • Efectiva

1


✖



✖


Tasa dada

f = 12

meses

quincenas


11


i

i

364 Días

365

Mensual • Anticipada • Efectiva



i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel

1.997486 % es la tasa efectiva de descuento mensual equivalente ( 365 días/año )

Conversión: Tasa nominal de descuento en tasa efectiva de interés Convertir 30% t.a. en una tasa de interés mensual equivalente.

im = ?

i = 30 % T.A.


1

3

f=4

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


Trimestral •Anticipada • Nominal


✖



✖


Tasa dada

f = 12

meses

trimestres


11

1


i

i

364 Días

365




i 0

Calcular

1


i

i

364 Días

✔ OK


365

Calcular X Cancel

2.63 % es la tasa efectiva semestral equivalente

93

Conversión: Tasa efectiva de descuento en tasa efectiva de interés Convertir 1 % quincenal anticipado en una tasa de interés mensual equivalente.

im = ?

dq = 1 %


1

23

f = 24

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

94

Tasa Convertida

Período

Tasa


Quincenal • Anticipada • Efectiva

1


✖



✖


Tasa dada

f = 12

meses

quincenas


11


i

i

364 Días

365




i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel


Conversión: Tasa nominal de descuento en tasa efectiva de descuento Convertir 30% t.a.en una tasa de descuento mensual equivalente.

dm = ?

d = 30 % T.A.


1

3

f=4

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


Trimestral • Anticipado • Nominal


✖



✖


Tasa dada

f = 12

meses

trimestres


11

1


i

i

364 Días

365




i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel


95

Conversión: Tasa efectiva de descuento en tasa efectiva de descuento Convertir 1 % quincenal de descuento en una tasa mensual anticipada equivalente.

dm = ?

dq = 1 %


1

23

f = 24

0

1

Conversión

Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

96

Tasa Convertida

Período

Tasa


Quincenal • Anticipada • Efectiva

1


✖



✖


Tasa dada

f = 12

meses

quincenas


11


i

i

364 Días

365




i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

Calcular X Cancel


Operaciones en dólares Cuenta de ahorro en dólares ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de una cuenta en dólares que reconoce un interés de 8% liquidable trimestralmente, si la tasa de devaluación estimada es del 15%.

tD = 15 % ia = ?

it = 8 % T.V.


1

11

N = 12

0

f= 1 año

trimestres

1. Seleccione Modulo Conversión Chequee:

Tasa dada Tasa

Anual • Vencida • Efectiva

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa

Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Anual Otra

2. Entre la 1ª tasa

i 0

2 Tasas

3 . Proporcione la 2ª tasa:

✖


2 Tasas

15

✖


1


i

364 Días

365




i

8

Período

i 0

Calcular

1



i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

24.48 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa la rentabilidad efectiva anual de esta operación en dólares.2.38 % es la tasa de descuento efectiva mensual equivalente

97

Operaciones con corrección monetaria Crédito a constructores Calcular el costo del crédito para un constructor a quien le conceden un préstamo en las siguientes condiciones: tasa de corrección monetaria efectiva anual, 15 % ; Tasa de interés adicional 18%.

tc = 15 %

ia = ?

ia = 18 %


1

11

f = 12

0

f= 1 año

año


Tasa dada Tasa


Respuesta

98

Tasa Convertida

Período

Tasa



i 0

2 Tasas

1


✖


2 Tasas

15

✖



i

364 Días

365




i

18

Período

i 0

Calcular

1



i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

35.7 % es la tasa efectiva anual equivalente qrepresenta el costo anual delcrédito a constructores.

INFORMACION BASICA

ip

dp


1

f-1

f

0

1

fp-1

fp

periodos

Fórmulas

La fórmula siguiente es la fórmula general que hace posible el cálculo de cualquier tasa de interés o descuento nominal o efectiva con cualquier frecuencia de liquidación, a partir de una tasa dada, nominal o efectiva, de interés o descuento, con cualquier frecuencia de liquidación. f   f   p t   t p =  1+ k  − 1 f kp  (f)   

Donde, tp

Tasa pedida nominal o efectiva de interés o descuento

t

Tasa dada nominal o efectiva de interés o descuento

f

Frecuencia de liquidaciones en el año, de la tasa dada.

fp

Frecuencia de liquidaciones en el año de la tasa pedida

k=1

Si la tasa es nominal

k=0

Si la tasa es efectiva

Cuando la tasa dada o pedida sea de descuento el valor de la frecuencia se incorpora negativa.

Dos tasas

Fórmula general para calcular la tasa efectiva anual equivalente a dos tasas dadas.

  t  t  t p =   1 + 1   1 + 2  − 1 100 100   100    Donde, t1

Tasade corrección, devaluación, etc...

t2

Tasa de interés adicional

Las tasas deben tener el mismo período

99

100

7 Anualidades

“La imaginación es más importante que el conocimiento” Einstein

C

uando me inicié como profesor universitario de Matemática Financie ra adopté como texto guía el manual del profesor Moore, voluminoso y atiborrado de fórmulas, que se constituyó de inmediato en dolor de cabeza para los estudiantes. Recibía críticas y sugerencias para cambiarlo, pero me gustaba su metodología. Posteriormente dicté un seminario a Corredores de bolsa, en el cual entregué a los asistentes calculadora financiera programable, de reciente aparición. No obstante, uno de ellos muy angustiado frente al cúmulo de fórmulas y procedimientos me sugirió que desarrollara una fórmula única para resolver todos los problemas de la matemática financiera. Respondí elusivo y continué. Meses más tarde, sin proponérmelo, me percaté que con cinco botones de la calculadora solucionaba de manera recurrente varios problemas de interés compuesto para los que antes utilizaba varias fórmulas; para que ello fuera posible, imaginé, debían haber desarrollado una sola fórmula. En efecto así era. Tuve que aceptar que por aquella época no estaba en condiciones de renunciar a la aureola que me imprimía el manejo de tal volumen de información por explorar nuevas posibilidades. Este hecho había vendado mi imaginación, al punto de no percibir la evidencia frente a mis ojos. Sentí pena, trabajé duro, factoricé y obtuve síntesis afortunadas, que mucho habrían apreciado mis alumnos de aquellos días que tuvieron que hacer de lado esta materia por su aridez.

102


Importancia práctica del tema Las anualidades constituyen una de las herramientas más utiles en los negocios, cubren un amplio espectro de problemas entre los cuales se cuentan:

•

Cálculo de cuotas en el otorgamiento de créditos de Vehículos, electrodomésticos, vivienda.

•

Constitución de Fondos

•

Operaciones de Leasing

•

Cálculo de rentabilidad de bonos, Depósitos a término, Cédulas de capitalización y otro sinnúmero de Activos financieros.

•

Compra a descuento de títulos- valores

•

Cálculo del costo de un sinnúmero de créditos.

•

Constitución de Rentas perpetuas.

103

Variables básicas Con ayuda de en un ejemplo se definirán las variables básicas que participan en este tipo de problemas. Adquisición de vehículo Jaime atiende el siguiente aviso publicitario: “ Adquiera su vehículo en las mejores condiciones: Solo 12’000.000. Cuota inicial de 2.000.000 y el saldo en 36 meses con cuota mensual de 458.000" ¿Cual es la tasa de interés cobrada?, pregunta Jaime.

VP = 10'000.000

0

1

im = ?%

35

N = 36

C = 458.000

0

1

35

N = 36

meses

Esta figura representa del lado izquierdo el préstamo que recibe Jaime. Del lado derecho aparece lo que debe pagar en los próximos 3 años: treinta y seis cuotas iguales de 458.000 mensual. Quiere decir que el concesionario está dispuesto a cambiar 10 millones de hoy por una serie de pagos mensuales iguales que constituyen una anualidad.

Anualidad

Se define como anualidad una cuota periódica igual.

0

1

35

N = 36

meses

El período entre cuotas pueden ser días, semanas, meses, semestres, etc. y no exclusivamente años como su nombre parece sugerirlo.

Cuota periódica, C

C = 458.000

Es el valor de la cuota de la anualidad. 0

1

35 meses

104

N = 36

Período entre cuotas, p

Es el intervalo de tiempo entre cuotas.

C = 458.000

0

1

35

N = 36 p = mes

Frecuencia de cuotas, f

Es el número de cuotas en el año, definida por el período escogido. Mes, frecuencia 12; Trimestre, frecuencia 4; etc... Plazo de la anualidad, N

Es el intervalo comprendido entre el comienzo del primer período y el final del último período. Se divide en, N, períodos, donde, N = nf; n, es el número de años y, f, el número de cuotas por año.

C = 458.000

0

1

35

N = 36

N

Tasa de interés periódica, ip

i m = ?%

C = 458.000

Es la tasa de interés aplicada entre cuota y cuota. 0

im = Tasa efectiva mensual

1

35

N = 36

meses

Nota importante.

Antes de entrar a clasificar las anualidades, vale la pena destacar que estas se basan íntegramente en las fórmulas de interés compuesto.

105

Clasificación Las anualidades se dividen en dos grandes grupos : Anualidad Eventual y Anualidad Cierta. Anualidad eventual Es aquella que con un plazo esperado de duración, su fecha de iniciación y/o culminación no se puede precisar. Un buen ejemplo, de esta clase de anualidad, lo constituyen los pagos por jubilación que se inician cuando el empleado cumple una edad y un tiempo de servicio en una empresa: La iniciación de la anualidad es previsible, pero su culminación es aleatoria; el empleado puede vivir uno, dos, tres,... veinte años, después de su jubilación, sin que se pueda precisar con exactitud la fecha de su deceso. Se ha utilizado el término esperado, en la definición, porque con las tablas de mortalidad se puede estimar de que edad se espera que muera, sin que necesariamente ocurra así. Anualidad cierta Es aquella en la cual el tiempo de duración de la anualidad está definido precisa y previamente. Estas son las anualidades que se tratan en este libro. Tanto la anualidad Eventual como la Cierta se subdividen en anualidad a Término y Renta Perpetua. Anualidad a término Aquella que tiene un plazo preciso: 36 meses, por ejemplo.

C = 458.000

0

1

35

N = 36

meses

Renta perpetua

C = 500.000

Es aquella cuyo plazo es ilimitado, o cuya duración tiende a infinito. 0

1

36 meses

106

N = ...∞

La Anualidad a Término y la renta Perpetua se subdividen, ambas, en cuatro grupos. Ellos son : Vencida; Anticipada; Diferida Vencida y Diferida Anticipada. La definición de cada una , se presenta a continuación :

C = 458.000

Anualidad vencida Denominada también común, es aquella que inicia cuando culmina el primer período del plazo.

0

1

35

N = 36

35

N = 36

meses

Anualidad anticipada

C = 2'100.000

Es aquella que inicia con el plazo. 0

Anualidad diferida

1 meses

Es aquella en la cual transcurren algunos períodos antes de iniciar el plazo de la serie. Se denominan: Anualidad Diferida Anticipada o Vencida, según el caso. C

Diferida Vencida

0

N'

N-1

N

N-1

N

períodos C

Diferida Anticipada 0

N' períodos

107

Anualidad cierta a término con cuota global Se define como global aquella cuota mayor o menor que la cuota periódica de la anualidad. Puede presentarse en cualquier punto sobre la línea de tiempo; pero, generalmente, se ubica al final del plazo de la anualidad como cantidad necesaria para saldar una deuda, como ocurre en las operaciones de Leasing. Estas anualidades pueden ser vencidas o anticipadas. Cuota global Cuota uniforme

Vencida 0

1

N-1

N=?

período Cuota global Cuota uniforme

Anticipada 0

1

N-1

N=?

período

Renta perpetua Es aquella cuyo plazo es ilimitado. Puede presentarse vencida o anticipada. En algunos testamentos se lega una suma fija para asegurar con el interés la entrega de una cuota periódica igual, indefinidamente, a instituciones de beneficencia : ancianatos, hospitales, etc.

108

C

0

1

N-1 período

N -> ∞

INFORMACION BASICA 1. Cuando se trata de CREDITO C g , Cuota global


VP, Valor Presente

0

i p , Tasa de interés periódica

N'

N-1

N

0

C , Cuota uniforme

N'

N-1

N

N, Número de períodos

(

   1− 1+ ip VP = C   ip   

Fórmula

)

−N

  1+ i ⋅k + C 1+ i p g p  

(

)

(



) (1+ i ) −N 

 

N' −N©

p

2. Cuando se trata de AHORRO Cg C


N'

VF

ip%

N-1

N

0

N'

N-1

N

períodos

(

Fórmula


)

 1+ i N + 1 p  1+ i ⋅k + C VF = C  p g   ip  

(

)

VP

Valor Presente

N

Numero total de períodos o cuotas n.f

VF

Valor Futuro

N'

Numero de períodos del plazo diferido

C

Valor de la cuota

Cg

Cuota global

ip

Tasa de interés periódica (1)

k=0


n

Número de años

k=1


f


(1)

Se calcula con la fórmula general de Conversión de tasas

109

110

8 Anualidad vencida


Anualidad vencida es aquella cuya Cuota periódica se localiza al final de los sucesivos períodos que conforman el plazo. De acuerdo al principio de la Equivalencia y con la ayuda de las Líneas de Tiempo Equivalentes, se sabe que una suma cualquiera podía transformarse o cambiarse por otra u otras sumas equivalentes, si el interés de oportunidad se conservaba invariable. Con el apoyo de este concepto, se pueden hallar los valores equivalentes de una anualidad, bien, al finalizar, al iniciar o en un punto intermedio del plazo de la anualidad. Clasificación de los problemas Las anualidades, en general, comprenden básicamente dos tipos de problemas: Específicos y Generales Específicos Aquellos en los cuales el período de la tasa coincide con el período del plazo. Generales Aquellos en los cuales el período de la tasa no coincide con el período del plazo y debe realizarse la conversión correspondiente, antes de iniciar la solución del problema. De cualquier manera para nuestro caso, ambos eventos quedan solucionados porque el programa convierte automáticamente cualquier tasa dada a la tasa requerida por el problema.

Aplicación Estos conceptos teóricos se aplican básicamente en dos tipos de problemas: Amortización y Fondos • Amortización: En los cuales se plantea la cancelación de créditos. • Fondos: En los cuales se plantea el ahorro periódico con el propósito de acumular una suma prefijada. Son múltiples los problemas en los cuales se desea saber qué cuota se debe entregar periódicamente para pagar una deuda, o qué cuota se debe depositar periódicamente para acumular una cantidad deseada en el futuro; de la misma manera se querrá conocer en cuánto tiempo se puede recuperar una inversión o en cuánto tiempo se puede acumular una suma determinada; asímismo , cuál será la rentabilidad de una inversión, o a qué tasa se debe colocar un inversión para obtener un montante determinado en el futuro. Todas estas posibilidades, como muchas otras, pueden resolverse conociendo el valor presente y otras dos variables, ó el valor futuro y otras dos variables.

112

APLICACION Cálculo del Valor presente Deuda en la compra de un automóvil Se compra un automóvil y se cancela una cuota inicial de 150.000; queda una deuda representada por 24 cuotas de 18.505. Si el propietario de la agencia asegura que cobra el 3% de interés mensual sobre saldos, ¿Cuánto se adeuda?

VP = ?

i m = 3%

C = 18.505


1

23

N = 24

0

1

23

N = 24

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

?

Interés Compuesto

√α

24

Nº de Períodos

3 18 505


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC



Valor Presente

La deuda pendiente de pago es 313.392

113

Cálculo del Valor futuro Cancelación de cuotas pendientes de pago Si en el caso anterior se deja para pagar la totalidad al concluir el mes 24, ¿cuánto tendría que pagar?

i m = 3%

VF = ?

C = 18.505


1

23

N = 24

0

1

23

N = 24

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Calcular

Interés Compuesto

114

Fondos

Depreciación

, . ï

?

√α

24

Nº de Períodos

3 18 505


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

637.062 sería la suma que tendría que pagar.

← AC



Valor Futuro

Cálculo de la cuota periódica conocido el Valor presente Valor de la cuota para cancelar el crédito de un pasaje aéreo Bernardo desea viajar a Estados Unidos. Una compañía de turismo le presenta un presupuesto de 94.000 para pagarlo en 12 cuotas mensuales. Si la tasa de interés nominal aplicada es del 27% liquidable mensualmente, ¿Qué suma debe abonar Bernardo cada mes?

VP = 94.000

i = 27% M.V.

C= ?


4

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

12

Nº de Períodos

27

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

94 000



AC

Calcular

Cuota uniforme

9.026 es el valor de la cuota que se debe abonar cada mes.

115

Cálculo del plazo conocido el Valor presente Plazo para cancelar una hipoteca El préstamo original para la compra de la casa fue de 316.259, para ser cancelado mediante el pago de cuotas mensuales de 7.000. Si la tasa de interés pactada fue de 26 %M. V., ¿Cuál fue el plazo acordado inicialmente?

VP = 316.259

i = 26% M.V.

C = 7.000


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Calcular

Interés Compuesto

116

Fondos

Depreciación

, . ï

?

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

El plazo que se acordó fue de 180 meses

← AC

Nº de Períodos

26 7 000 316 259

Tasa de interés Cuota uniforme Valor Presente Valor Futuro


Nº de Períodos

Cálculo de la Tasa de interés conocido el Valor presente Tasa efectiva mensual que se paga por un crédito Se solicita un crédito de 9.500.000. El crédito es aprobado y debe ser pagado, con 18 cuotas de 661.866 cada mes. Bajo estas condiciones, ¿Cuál será la tasa de interés que efectivamente se paga mensual y anualmente? VP = 9'500.000

im=?%

C = 661.866


1

17

N = 18

0

1

17

N = 18

meses

Como se puede observar en las líneas de tiempo, se reciben efectivamente 9.500.000 y se pagan 18 cuotas de 661.866 es decir, que dichas sumas son equivalentes, y por consiguiente existe una tasa de interés mensual que produce la equivalencia. 1. Seleccione Modulo: Compuesto

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

18

?


?

2. Limpie memorias,

661 866 Calcular

Interés Compuesto

√α

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

9 500 000



Tasa de interés

2.5 % es la tasa efectiva mensual 34.49 % es la tasa efectiva anual

117

Cálculo de la Cuota periódica conocido el Valor futuro Valor de la reserva mensual para acumular en un Fondo Una cooperativa de caficultores debe proveer, 2 millones, en 12 meses, para completar las inversiones en una trilladora. La Corporación Financiera del Valle reconoce el 2.75%, capitalizable mensualmente por los depósitos a término. ¿Cuánto deberá reservar mensualmente la Cooperativa para alcanzar esa suma? i m = 2.75%

VF = 2'000.000

C= ?


0

1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses

Existe un valor para la cuota periódica que hace que, 12 de ellas, al 2.75%, mensual, sean equivalentes, a 2.000.000, al finalizar el año. 1. Seleccione Modulo: Compuesto

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

12 2.75

?


Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

118

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

2 000 000

Valor Futuro


Cuota uniforme

142.937 es el valor de depósito mensual necesario para acumular la suma deseada.

Calculo del plazo conocido el Valor futuro Número de cuotas para acumular un Fondo Una Caja de Previsión recauda por concepto de cuotas de sus afiliados la suma de 150.000 mensuales. Su gerente requiere acumular por lo menos 12.000.000 antes de cuatro años. Si consulta con su asesor financiero y este le asegura que los depósitos con que cuenta mensualmente colocados al 2.20% mensual, en Certificados de Depósito a Término en una compañía de financiamiento, alcanzan antes de cuatro años la suma de 12.142.794, ¿Durante cuántos meses debe depositar esa suma?

i m = 2.2%

VF = 12'142.794

C = 150.000


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

?

Interés Compuesto

√α

Nº de Períodos

2.2 150 000


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

+/- 12 142 794

Valor Futuro


Nº de Períodos

47 es el número de depósitos necesarios.

119

Cálculo de la Tasa conocido el Valor futuro Tasa efectiva anual necesaria para constituir un Fondo Se adquiere una maquinaria cuyo valor es de 250.000 y se piensa depreciar en 5 años. La tasa promedio de inflación anual se estima será del 20%. Si el gerente de una Corporación Financiera asegura que con depósitos de 59.025 anuales, en esa institución, se tendrá la suma suficiente para reponer el equipo, ¿Qué tasa de interés efectiva anual reconoce? Primero, es necesario determinar el valor de la maquinaria al cabo de los cinco años.

i a = 20%

VP = 250.000


0

1

4

N=5

0

VF = ?

1

4

N=5

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

5

Nº de Períodos

20


Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

120

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

250 000



Valor Futuro

622.080 es el valor estimado que tendrá la maquinaria al cabo de los cinco años.

Segundo, Cálculo de la tasa efectiva anual Luego, en los depósitos de 59.025. anuales, durante cinco años, a una tasa de interés determinada, deben equivaler a la suma de 662.080. Las líneas de tiempo quedan así:

i a = ?%

VF = 622.080

C = 59.025


1

4

N=5

0

1

4

N=5

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

5

?


?

2. Limpie memorias,

59 025 Calcular

Interés Compuesto

√α

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

Valor Presente

+/- 622 080

Valor Futuro


AC

Calcular

Tasa de interés

38 % es la tasa efectiva anual que reconoce la Corporación.

121

Anualidad con cuota global Existen muchas operaciones financieras que envuelven, no solamente una serie de cuotas periódicas, sino, también, un pago final o sobre cualquier otro punto de la línea de tiempo, que puede ser mayor o menor que las cuotas periódicas. Estos pagos son llamados cuotas globales - Cg- y pueden ser usados para saldar un préstamo antes de que complete el tiempo pactado, o en otra variedad de circunstancias. El caso es muy común en activos financieros, como bonos, u otros papeles, que se colocan a descuento. Se ilustra con ejemplos su utilización en la práctica.

Cálculo del valor presente Precio de un Bono comprado a descuento Se espera obtener un rendimiento mínimo del 15% semestral en la compra de bonos cuyos cupones reportan 90 semestrales por interés durante seis semestres y, al final del último semestre, a su redención , se recibe 1.000. ¿Cuál es el precio equivalente a esa serie de pagos que asegura el rendimiento esperado? o en otras palabras, ¿Cuánto se puede pagar por él? Cg = 1.000

VP = ?

i s = 15%

C = 90


1

5

N=6

0

1

5

N=6

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

Calcular

?

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

122

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+

773 es el precio que se puede pagar por el Bono

6

Nº de Períodos

15 90

Tasa de interés Cuota uniforme Valor Presente

1 000

Valor Futuro


Valor Presente

Cálculo de la Tasa de interés Rentabilidad de un Bono comprado a descuento En los periódicos capitalinos se informa que en la bolsa se negociaron bonos de 1.000, a 750, a tres semestres de su redención. Con las condiciones del ejemplo anterior determinar ¿Cuál es la tasa que efectivamente gana el comprador, tanto semestral, como anualmente?. En otras palabras ¿Cuál es la rentabilidad de esa inversión?

Cg = 1.000

VP = 750

i s = ?%

C = 90


1

2

N=3

0

1

2

N=3

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

3

?


?

2. Limpie memorias,

90 Calcular

Interés Compuesto

√α

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

750 1 000



Tasa de interés

21.07 % es la tasa efectiva semestral 46,57 % es la tasa efectiva anual equivalente.

123

Cálculo del valor de la Cuota Valor de la cuota en una operación de Leasing Se piensa adquirir maquinaria por valor de 10 millones bajo la modalidad de arrendamiento financiero (leasing) con opción de compra del 15% sobre el precio. Si el plazo es de 36 meses y la tasa de interés de 4% mensual ¿Cuál es el valor de la cuota que corresponde cancelar mensualmente?.

Cg = 1'500.000 VP = 10'000.000

i m= 4%

C=?


1

35

N = 36

0

1

35

N = 36

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

36

Nº de Períodos

4


Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

124

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

509.538 es el valor de la cuota mensual

← AC

10 000 000 1 500 000



Cuota uniforme

Cálculo del número de periodos Plazo en una operación de Leasing Si en el problema anterior, la empresa que adquirirá la maquinaria estima que no puede pagar más de 461.000 mensual, ¿Qué plazo debe solicitar? .

Cg = 1'500.000 VP = 10'000.000

i m = 4%

C = 461.000


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

?

Interés Compuesto

√α

Nº de Períodos

4 461 000

Tasa de interés

10 000 000 1 500 000

Valor Presente

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Futuro


Nº de Períodos

48 meses es el plazo que debe solicitar la empresa.

125

Cálculo de la Cuota Global Cuota global en la operación de Leasing Si la compañía de leasing acepta las cuotas mensuales de 461.000 , pero decide no ampliar el plazo ¿Cual será el valor de la cuota global a cancelar al cabo del plazo?

Cg = ? VP = 10'000.000

i m= 4%

C = 461.000


1

35

N = 36

0

1

35

N = 36

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Calcular

Interés Compuesto

126

Fondos

Depreciación

, . ï

?

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

36

Nº de Períodos

4 461 000 10 000 000



Valor Futuro

5.266.503 es la suma que se debe cancelar como opción de compra al culminar el plazo.

Cálculo del Valor futuro Fondo en Valor constante Las cuentas de ahorro en valor constante reconocen una tasa de interés de 6.168% efectivo trimestral. Si Carlos Zuluaga deposita 2.560 mensuales durante 24 meses, sin hacer ningún retiro, ¿Cuánto habrá acumulado al concluir el plazo?

i t = 6.168%

VF = ?

C = 2.560


1

23

N = 24

0

1

23

N = 24

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos +

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

24

Nº de Períodos

6.168 2 560

Tasa de interés

?

?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

←

Cuota uniforme Valor Presente Valor Futuro


AC

Calcular

Valor Futuro

78.024 es la suma que debe tener disponible a los 24 meses.

127

Cálculo de la cuota periódica Programa de inversión en Títulos valores Eduardo desea ahorrar mensualmente una suma de dinero que le permita, dentro de 15 años, costear la educación universitaria de sus hijos. Estima que, en ese tiempo, debe disponer de 1’545.650 para cubrir los costos que se originarán en los cinco años siguientes. El desea invertir en títulos valores y reinvertir los intereses. Si ellos producen el 23.53% efectivo anual, ¿Cuál será la suma que debe invertir mensualmente?

i a = 23.53%

VF = 1'545.650

C= ?


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

15 23.53


Calcular

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

128

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

1.204 es el valor necesario del depósito mensual.

← AC

Valor Presente

1.545.650

Valor Futuro


Cuota uniforme

Cálculo del número de períodos Plazo para constituir un Fondo Alvaro Campo dispone de 56.450, bimestralmente, y los deposita en una corporación financiera que le reconoce el 34.49% efectivo anual. Si Alvaro retira 540.205, al cabo de un tiempo, ¿Durante cuántos bimestres constituyó depósitos?

i a = 34.49%

VF = 540.205

C = 56.450


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

bimestre


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

?

Interés Compuesto

√α

Nº de Períodos

34.49 56 450


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

540 205

Valor Futuro


Nº de Períodos

8 es el número de bimestres durante los cuales constituyó depósitos.

129

Cálculo del Valor presente Pago anticipado de impuestos Una sociedad debe pagar la suma de 284.880 de Impuesto a la renta, por el año gravable, fraccionada en cuatro cuotas, cada trimestre. Si una compañía de financiamiento comercial esta dispuesta a reconocerle una tasa de interés de 36.05% efectivo anual, ¿Qué suma debe depositar hoy, para cumplir de manera oportuna con los pagos?

VP = ?

i a = 36.05%

C = 71.220


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestre


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Calcular

Interés Compuesto

130

Fondos

Depreciación

, . ï

?

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

235 889 es el Valor presente del depósito.

← AC

4 36.05 284 880 ÷ 4 =

Nº de Períodos Tasa de interés Cuota uniforme Valor Presente Valor Futuro


Valor Presente

Cálculo de la cuota periódica Cuota semestral para amortizar crédito de automóvil Una compañía que financia compra de automóviles cobra una tasa de interés efectivo trimestral del 12,25% y concede 2 años de plazo para la cancelación de la obligación. Galo compra un vehículo y queda debiendo 800.000 que debe cubrir con cuotas semestrales, ¿Cuál es el valor de cada cuota?

VP = 800.000

i t = 12.25%

C= ?


1

3

N=4

0

1

3

N=4

semestre


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

2

Nº de Períodos

12.25

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

800 000



Cuota Uniforme

344.803 es el valor de la cuota semestral.

131

Cálculo del número de periodos Plazo para recuperar la inversión La cooperativa de caficultores desea invertir 17.400.000 en la construcción y montaje de una trilladora. Se estima la utilidad mensual neta, al 80% de la capacidad instalada, en 1’250.000. Si consigue los recursos a un costo del 22.5% efectivo anual, ¿En cuanto tiempo recuperará la inversión?

VP = 17'4000.000

i a = 22.5%

C = 1'250.000


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

Nº de Períodos

?

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

132

Bonos

Hoja Electrónica

22.5

Tasa de interés

1 250 000 17 400 000

Cuota uniforme

?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC



16 meses es el pazo indispensable para recuperar la inversión.

Nº de Períodos

INFORMACION BASICA 1. Cuando se trata de CREDITO C g , Cuota global VP, Valor Presente


C , Cuota uniforme


1

N -1

N 0 N, Número de períodos

(

 1− 1+ i p VP = C   ip 

Fórmulas

)

−N

  + C 1+ i g p  

(

)

1

N-1

N

−N

2. Cuando se trata de AHORRO Cg

0

1

VF

ip%

C

N-1

N

0

1

N-1

N

Períodos

(

)

 1+ i N + 1 p  1+ i ⋅k + C VF = C  p g   ip  


(

)

VP

Valor Presente

N


VF

Valor Futuro

C

Cuota global

C

Valor de la cuota

k=0


k=1


(1)


(1)

ip


n

Número de años

f


133

134

9 Anualidad anticipada

APLICACION OPERACIONES DE CREDITO Cálculo de la cuota periódica Cuota periódica anticipada en un crédito hipotecario Algunos créditos hipotecarios se pueden pactar con cuotas iguales anticipadas ¿Cuál sería la cuota mensual por cada 100.000 de crédito con las siguientes condiciones: tasa de interés nominal, 26% liquidables mensualmente; plazo del credito, 15 años (180 meses) VP = 100.000

i = 26 % M.V.

C=?


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

15 26

?


Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


136

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

C = 2.166

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

100 000



Que es la cuota que el banco cobraría anticipadamente.

Cuota Uniforme

Cálculo del Valor presente Pago anticipado del cánon de Arrendamiento Se paga 10.000 de arrendamiento mensual y anticipadamente. El dueño de la propiedad está de acuerdo en reconocer el 2.5 % mensual como tasa de interés, si se cancelan las doce cuotas al iniciar el año, ¿Cuanto recibirá?

VP = ?

i m = 2.5 %

C = 10.000


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

12

Nº de Períodos

2.5 10 000



Valor Presente

105.142 es el valor presente que reemplazaría el pago de la anualidad.

137

Cálculo de la cuota periódica Cuota anticipada en un crédito hipotecario Las Corporaciones de ahorro y vivienda cobran el 30.075 % anual, por los créditos individuales. Si en un crédito de 5 años, cobran la cuota anticipadamente ¿Cuál es la cuota mensual por cada 100.000 de crédito?

VP = 100.000

i a = 30.075 %

C=?


1

59

N = 60

0

1

59

N = 60

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

5

Nº de Períodos

30.075


Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


138

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

100 000



AC

2.963 es la cuota mensual a pagar para cancelar el crédito

Calcular

Cuota uniforme

Cálculo del plazo Vida útil de muebles y enseres Se compran muebles para una oficina por 500.000. El gerente estima que la tasa de interés promedio que puede conseguir en el mercado por sus excedentes de tesorería es de 2.5% mensual y solicita al gerente financiero que fije una cuota mensual anticipada para crear el fondo de reposición. Si este decide que debe ser de 15.782 ¿Qué vida útil le asignó a los muebles y equipos?

VP = 500.000

i m = 2.5 %

C = 15.782


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Nº de Períodos

2.5 15 782 500 000



Nº de Períodos

Luego, la vida útil es de 60 meses o 5 años.

139

Cálculo de la tasa de interés Tasa de interés de un crédito hipotecario Si se cobran 180 cuotas anticipadas de 2.213 , por cada 100.000 de un crédito hipotecario ¿Cuál es la tasa efectiva anual que está cobrando el banco?

VP = 100.000

i= ?%

C = 2.213


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

180

?


?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

2 213 100 000



Tasa de interés

2.22% es la tasa efectiva mensual. 30.12 % Es la tasa efectiva anual que representa lo que efectivamente se está cobrando por el préstamo, por los saldos pendientes de pago.

140

OPERACIONES DE AHORRO Cálculo del Valor futuro Fondo con depósitos anticipados El gerente financiero, decide depositar parte del superavit de tesorería -100.000 trimestralesen cuenta de ahorros que le garantiza 6.5% trimestral. Si se constituyen los depósitos al iniciar los trimestres, durante dos años, ¿Cuánto habrá acumulado al final de ese período?

i t = 6.5 %

C = 100.000

VF = ?


1

7

N=8

0

1

7

N=8

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Nº de Períodos

2 6.5

Tasa de interés

100 000

Cuota uniforme

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC



Valor Futuro

1.073.185 es la suma acumulada al cabo de dos años.

141

Cálculo de la Cuota periódica Reserva mensual para constituir un Fondo Se conviene constituir un fondo con una reserva mensual anticipada para cumplir un compromiso semestral. Si el valor del fondo, cada semestre, debe ascender a 250.000 y un establecimiento bancario reconocerá el 2.5% mesual, ¿de cuánto debe ser el depósito mensual?.

i m = 2.5 %

C= ?

VF = 250.000


1

5

N=6

0

1

5

N=6

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

6 2.5

?


Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


142

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

+/- 250 000

Valor Futuro


Cuota uniforme

38.183 Es la suma que se requiere depositar mensual y anticipadamente, para asegurar un fondo de 250.000 cada semestre.

Cálculo del plazo Número de depósitos para acumular un Fondo Se constituye un fondo, con Certificados de Depósito a Término, por 25.000, anuales que reconocen el 29.47% efectivo anual, ¿Cuántos depósitos se deben realizar anticipadamente para acumular 289.721?

i a = 29.47 %

C = 25.000

VF = 289.721


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

Nº de Períodos

29.47

Tasa de interés

25 000

Cuota uniforme

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

+ / - 289 721

Valor Futuro


Nº de Períodos

Se requieren 5 depósitos anticipados de 25.000 para acumular la suma deseada.

143

Cálculo de la Tasa de interés Tasa de interés que gana un Fondo El ejecutivo de cuenta de una corporación ofrece entregar 129.870 en un año, si se depositan 9.367 mensual y anticipadamente, ¿Qué tasa de interés mensual está ofreciendo el promotor?

i m= ? %

C = 9.367

VF = 129.870


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Interés Compuesto

144

Fondos

Depreciación

, . ï

12

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

La tasa de interés mensual ofrecida es 2.202%.

AC

Cuota uniforme Valor Presente

+ / - 129 870

←


9 367

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

Valor Futuro


Tasa de interés

Anualidad anticipada con cuota global Como ocurre con problemas de las anualidades ordinarias, las anualidades anticipadas también presentan muchos problemas que comprenden Cuota global; entre otros se destacan las operaciones de Arrendamiento financiero (Leasing).

Cálculo del Valor presente Valor del crédito en una operación de Leasing Una compañía de Arrendamiento Financiero (Leasing) ofrece a un industrial como opción para adquirir equipos, un canon de arrendamiento anticipado de 1.100.000 durante 36 meses ¿Cuál es el valor presente equivalente a esa serie de pagos, si cobran una tasa de interés de 3.5% mensual y una opción de compra que asciende a 6.552.997 ? C g = 6.552.997 VP = ?

i m = 3.5 %

C = 1.100.000


0

1

35

0

N = 36

1

35

N = 36

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

36

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

3.5 1 100 000

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos

Tipo... Interés Compuesto

Respuesta


Ayuda

√α

Nº de Períodos Tasa de interés Cuota uniforme Valor Presente

6 552 997

Valor Futuro

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Valor Presente

25.000.000 es la suma presente equivalente al canon propuesto.

145

Cálculo de la tasa de interés La Tasa de interés de una compañía de Leasing Qué tasa de interés mensual y anual cobra otra compañía de leasing si exige una cuota mensual de 1.011.197 y conserva las demás condiciones como la primera ?

C g = 6.552.997 VP = 25.000.000

im= ? %

C = 1.011.197


1

35

0

N = 36

1

35

N = 36

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

36

?


?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

1 011 197 25 000 000 6 552 997



Tasa de interés

3 % es la tasa efectiva mensual 42.58 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa el costo de esa operación.

146

Cálculo del valor de la Cuota Compra de maquinaria por el sistema de Leasing Se piensa adquirir maquinaria por la modalidad de arrendamiento financiero (leasing) con opción de compra del 20% sobre el precio. Si este es de 15 millones, el plazo de 48 meses y la tasa de interés de 4% mensual ¿Cuál es el valor de la cuota que corresponde cancelar mensualmente?. Cg = 3.000.000 VP = 15.000.000

im= 4 %

C=?


1

47

0

N = 48

1

47

N = 48

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

48

Nº de Períodos

4

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta


Ayuda

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

15 000 000

Valor Presente

3 000 000

Valor Futuro


Cuota uniforme

659.777 es el valor de la cuota mensual.

147

Cálculo del número de periódos Plazo en una operación de Leasing Si en el problema anterior, la empresa que adquirirá la maquinaria estima que no puede pagar más de 625.406 mensual, ¿Qué plazo debe solicitar?

Cg = 3.000.000 VP = 15.000.000

im= 4 %

C = 625.406


1

N-1

0

N=?

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Interés Compuesto

148

Fondos

Depreciación

, . ï

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

60 meses es el plazo que debe solicitar la empresa

Nº de Períodos

4 625 406 15 000 000 3 000 000



Nº de Períodos

Cálculo de la Cuota Global Valor de la opción de compra en una operación de Leasing Si la compañía de leasing de los ejercicios anteriores acepta las cuotas mensuales de 625.406, pero decide no ampliar el plazo ¿Cual será el valor de la cuota global , a cancelar al cabo del plazo?

Cg = ? VP = 15.000.000

im= 4 %

C = 625.406


1

47

0

N = 48

1

47

N = 48

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

48 4 625 406

Tasa de interés

15 000 000

Valor Presente

Nº de Períodos

Cuota uniforme Valor Futuro


Valor Futuro

7.978.037 es el valor de la Opción de compra que debe cancelar la empresa al culminar el plazo.

149

Cuando el período de la tasa es diferente al período del plazo. Cálculo del valor futuro Ahorro programado en Cuenta de ahorro Raúl Obregón deposita 24.650, el primero de cada mes, en cuenta de ahorro de un establecimiento bancario, que le reconoce una tasa efectiva trimestral de 6.17%. Si hace depósitos durante 25 meses, ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de ese plazo?

i t = 6.17 %

C = 24.650


0

1

24

N = 25

VF = ?

0

1

24

N = 25

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Interés Compuesto

150

Fondos

Depreciación

, . ï

?

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Interés

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

807.085 es la suma acumulada al cabo de los 25 meses.

25 6.17 24 650



Valor Futuro

INFORMACION BASICA

1. Cuando se trata de CREDITO

Cg

VP

0

C

i p%


N-1

N

0

1

N-1

N

Períodos

(

 1− 1+ i p VP = C   ip 

Fórmula

)

−N

  1+ i ⋅k + C 1+ i p g p  

(

)

(

)

−N

2 . Cuando se trata de AHORRO Cg C


1

VF

i p%

N-1

N

0

1

N-1

N

Períodos

(

)

 1+ i N + 1 p  1+ i ⋅k + C VF = C  p g   ip  


(

)

VP

Valor Presente

N


VF

Valor Futuro

Cg

Cuota global

C

Valor de la cuota

k=0


ip


k=1


n

Número de años

(1)


f


151

152

10 Anualidad diferida

'


Importancia práctica del tema Este tema es de amplia aplicación en los créditos de Fomento Industrial, agropecuario y educativo en los cuales por su objetivo, en general contemplan plazos de gracia. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Crédito para un largometraje El Fondo de Fomento Cinematográfico concede al Director, Lisandro Duque, un crédito para la producción de un largo metraje colombiano. Las condiciones del crédito son: período de gracia: un año, plazo: 5 años; amortización: cuotas trimestrales iguales de 166.434 ; tasa de interés: 12% anual T. V. . Se pregunta, ¿Cuál fue el valor del préstamo? Crédito educativo para postgrado Gabriel solicitó un crédito para adelantar un programa de posgrado en el país. Se le concedió un plazo de 60 meses para cancelarlo después de transcurrir un período de gracia de 1 año y le cobran una tasa de interés del 12% , liquidable mensualmente. Si la cuota mensual es de 49.635 y se cobra anticipada, ¿Cuál fue el valor del préstamo?.

154

Anualidad diferida Se define como aquella anualidad en la cual transcurren uno o varios períodos antes de que se inicie la serie de cuota periódica. VP

C

ip %

0

N'

N-1

N

0

N'

N-1

N

Períodos

Como se puede observar en la línea de tiempo , transcurren dos períodos que se identifican con una línea punteada, antes de que se inicie la serie de cuota, C. La anualidad diferida se divide en: Anualidad diferida vencida y Anualidad diferida anticipada.

Anualidad diferida vencida Es aquella en la cual transcurren uno o varios períodos antes de que se inicie la serie de cuota periódica, y ésta se inicia AL CONCLUIR EL PRIMER PERIODO de la anualidad. La gráfica expuesta anteriormente ilustra este caso.

Anualidad diferida anticipada Es aquella en la que transcurren uno o varios períodos (N') antes de que se inicie la serie de cuota periódica y ésta se inicia AL COMENZAR EL PRIMER PERIODO de la anualidad. VP

0

i p%

N'

N-1

N

C

0

N'

N-1

N

Períodos

155

En esta gráfica se pueden observar dos plazos claramente identificados: el plazo de la anualidad, que ya ha sido definido como el comprendido entre la iniciación del primer período de la anualidad y la culminación del último período; y el Plazo precedente, que es el intervalo de aplazamiento de la anualidad. Gráficamente queda representado así: VP

C

ip %

0

N'

N-1

N

0

N'

N-1

N

Períodos aplazamiento

plazo de la anualidad

Valor futuro de una anualidad diferida EL VALOR FUTURO de las anualidades diferidas, vencida o anticipada, se calcula con las mismas fórmulas de las anualidades, vencida o anticipada, sin tener en cuenta el período de aplazamiento. Esto es obvio, puesto que en ese período no se presenta ninguna cantidad que pueda ser trasladada a un valor futuro.

156

APLICACION Anualidad diferida vencida Cálculo del Valor Presente Producción de un largometraje El Fondo de Fomento Cinematográfico concede al Director, Lisandro Duque, un crédito para la producción de un largo metraje colombiano. Las condiciones del crédito son: período de gracia: un año, plazo: 5 años; amortización: cuotas trimestrales iguales de 166.434 ; tasa de interés: 12% nominal trimestre vencido. Se pregunta, ¿Cuál fue el valor del préstamo?

VP = ?

C = 166.434

i t = 12 % T.V.


5

23

0

N = 24

5

23

N = 24

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

Calcular

?

Interés Compuesto

√α

6

Nº de Períodos

12 166 434


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC



Valor Presente

2.200.000 fue el valor del préstamo.

157

Cálculo de la Cuota uniforme

Línea de fomento para edición de películas El Fondo de Fomento Cinematográfico cuenta con una línea de crédito para financiación de medios de revelado, procesamiento y edición de películas, cuyas características son las siguientes: Plazo, 5 años; período de gracia, 2 años; amortización, mensual; tasa de interés, 24% mes vencido. Se desea conocer ¿Cuánto se tendrá que abonar mensualmente por un crédito de 600.000 ?. VP = 600.000

i m = 24 % M. V.

C = ?


0

83

N = 84

25

0

83

N = 84

meses


✖


Simple

Modalidades Formatos Ver Ayuda Períodos Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización ↓↑

Borrar Datos

Bonos

✖

▲

▼

?

Fondos

▲ Días Mes Bimestres Calcular Trimestres Cuatrimestres Borrar datos Semestres Años Recordar Otra Decimales

▼

Diferido

✔ OK

158

√α24

5

Nº de Períodos

24


Tasa de Interés

600 000

Cuota Uniforme

12

Valor Presente


Valor Futuro

+▲

1/x

%

÷

7

5

9

x

X Cancel 4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

▼

?

Nº Períodos


Depreciación

, . ï

% Hoja Electrónica Convertir a Período dado Días Mes Bimestres Trimestres Cuatrimestres Semestres Años Otra

2. Limpie memorias,

Respuesta


Archivo

← AC


27.763 es el valor de la cuota mensual necesaria para cancelar el crédito.

Cuota uniforme

Anualidad diferida anticipada Cálculo del Valor Presente Financiación de estudios de postgrado Gabriel solicitó un crédito para adelantar un programa de posgrado en el país. Se le concedió un plazo de 5 años para cancelarlo después de transcurrir un período de gracia de 1 año y le cobran una tasa de interés del 12% , liquidable mensualmente. Si la cuota mensual es de 49.635 y se cobra anticipadamente, ¿Cuál fue el valor del préstamo?

VP = ?

i = 12 % M. V.

C = 49.635


12

71

72

0

12

71

72

meses

1. Seleccione Modulo: Compuesto 2. Limpie memorias,

Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

↓↑ % Anualidad

•

Fondos

Depreciación

, .✖ ï

?

?

Anticipada Vencida

✔ OK

Calcular

√α

5

Nº de Períodos

12 49 635


Nº Períodos

Valor Presente

BorrarXdatos CancelTasa de Interés

Rentas perpetuas Interés Compuesto

Bonos

Hoja Electrónica

Tipo de anualidad


Ayuda


Borrar Datos

Respuesta

✖


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Futuro


Valor Presente

2.000.000 es el valor del préstamo. (con aproximación)

159

Cálculo del valor de la Cuota uniforme Financiación de vivienda Se crea una línea de crédito para vivienda de empleados del sector público. Ella considera un plazo muerto de dos años, y cinco años adicionales para saldar la deuda. ¿Cuál es el valor la cuota mensual anticipada que debe abonarse por cada 100.000 de crédito, si la tasa de interés contemplada en el proyecto fue de 18%, liquidable mensualmente?

VP = 100.000

i p = 18 % M. V.

C= ?


0

83

N = 84

24

0

83

N = 84

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Depreciación

✖

5 18

?


•

✔ OKNº Períodos

Calcular

Anticipada Vencida

Borrar datos

Interés Compuesto

√α

100 000

Tasa de Interés

X Cancel Recordar Cuota Uniforme Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Rentas perpetuas +

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←



AC

Calcular

Cuota uniforme

3.576 es el valor de cada una de las 60 cuotas que tendrán que pagar los beneficiarios de esta

línea de crédito por cada 100.000 de préstamo que obtenga.

160

Nº de Períodos

?

Tipo de anualidad

Borrar Datos

Respuesta

Fondos

, . ï

Hoja Electrónica

Anualidad

2. Limpie memorias,


Ayuda

Diferidas vencidas Cálculo del valor Presente Crédito de Fomento Una institución de fomento concede un crédito bajo las siguientes condiciones: período de gracia con capitalización del interés: 1 año; y 7 cuotas anuales vencidas de $643.285; tasa de interés: 24 % mes vencido, ¿Cuál será el valor del crédito concedido?

VP = ?

C = 643.285

i = 24 % M. V.


2

7

0

N= 8

2

7

N= 8

años


Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

↓↑ % Anualidad

•

Fondos

Depreciación

, . ✖ï

?

?

Anticipada Vencida

✔ OK Nº Períodos

√α

7

Nº de Períodos

24 643 285


Calcular

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Valor Presente

X Cancel


Bonos

Hoja Electrónica

Tipo de anualidad


Ayuda


Borrar Datos

Respuesta

✖


+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Futuro


Valor Presente

1.532.616 es el Valor Presente del préstamo.

161

Diferidas anticipadas Cálculo del valor presente Crédito de Fomento con cuotas anticipadas Resolver el problema anterior asumiendo que las cuotas anuales se pagan anticipadas. Las características del crédito se repiten: período de gracia con capitalización de intereses, 1 año; y 7 cuotas anuales anticipadas de, $643.285; tasa de interés: 24 % mes vencido, ¿Cuál fue el valor del crédito concedido?.

i = 24 % M. V.

VP = ?

C = 643.285


2

7

N= 8

0

2

7

N= 8

años


Archivo Simple

Modalidades

↓↑ % Anualidad

Ver

•


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, .✖ ï

Hoja Electrónica

Tipo de anualidad

7 24

Nº de Períodos

643 285

Cuota uniforme

?

Tasa de interés

?

Anticipada Vencida

✔ OK

Calcular

√α

Nº Períodos

Valor Presente

BorrarXdatos Tasa de Interés Cancel


162

Formatos


Borrar Datos

Respuesta

✖


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

1.943.728 es el Valor Presente del préstamo.

← AC

Valor Futuro


Valor Presente

INFORMACION BASICA

1. Cuando se trata de CREDITO C g , Cuota global VP, Valor Presente Líneas de tiempo equivalentes 0


N'

N-1

N

0

C , Cuota uniforme

N'

N-1

N

N, Número de períodos

(

   1− 1+ ip VP = C   ip   

Fórmula

)

−N

  1+ i ⋅k + C 1+ i p g p  

(

)

(



) (1+ i ) −N 

 

−N© N'

p

2 . Cuando se trata de AHORRO Cg

0

N'

VF

ip%

C


N-1

N

0

N'

N-1

N

Períodos

(

)

 1+ i N + 1 p  1+ i ⋅k + C VF = C  p g   ip  

Fórmula

Definición VP de variables VF C

(

)

Valor Presente

N


Valor Futuro

N'

Periodos Diferidos

Cg

Cuota global

k=0


Valor de la cuota (1)

ip


n

Número de años

k=1


f


(1)


163

164

11 Rentas perpetuas

'


Importancia práctica del tema El tema aunque no es de uso frecuente en el sector financiero es de gran utilidad en ciertos sectores como el público en los cuales es necesario a veces calcular el costo capitalizado o de reposición de un Activo Público como un puente, carretera, etc... Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Renta perpetua para un ancianato Un Filántropo desea asegurar 500.000, mensual y a perpetuidad a un ancianato. El deposita una suma en una compañía de financiamiento comercial que le asegura una tasa de 2.36%, efectivo mensual ¿Cuánto depositó el filántropo? Costo capitalizado de una ampliación telefónica Se ejecuta el proyecto de 10.000 líneas telefónicas para una ciudad intermedia. El costo de este proyecto fue de 22 millones de dólares y la vida útil, se estima , será de 15 años. Si la tasa de interés efectiva pactada fue de 12% anual y el valor de reposición es de 24 millones, ¿Cuál es el costo capitalizado de esta obra?

166

APLICACION Cálculo de la cuota periódica Renta perpetua Se colocan US $100.000, al 34.49 % efectivo anual. Si se decide retirar mensualmente los intereses y se conserva intacto el capital ¿Cual es el valor del pago mensual a perpetuidad?

VP = 100.000


0

C= ?

i a = 34.49 %

1

N -> ∞

7

0

2

N-> ∞

7

meses


Archivo Simple

Modalidades

Borrar Datos

↓↑

%

Ver


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ✖ï

Hoja Electrónica

Tipo de anualidad

1 34.49

?


?

Anticipada Vencida

√α

Cuota uniforme

✔ OKNº Períodos

Calcular

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

100 000

X Cancel

x Rentas perpetuas Interés Compuesto

Respuesta

Formatos


Anualidad

2. Limpie memorias,

✖


+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←



AC

Calcular

Cuota uniforme

2.500 dólares es el valor de la cuota de la Renta perpetua

167

Cálculo del valor presente Como se puede apreciar en el ejemplo tratado, al colocar y conservar el mismo depósito indefinidamente a la misma tasa de interés, generará una cuota periódica igual, también de manera indefinida. Es decir, que aquella suma es el valor presente de la renta perpetua.

Renta perpetua para los ancianos Un Filántropo desea asegurar 500.000, mensual y a perpetuidad a un ancianato. El deposita una suma en una compañía de financiamiento comercial que le asegura una tasa de 2.36%, efectivo mensual ¿Cuánto depositó el filántropo?

VP = ?

C = 500.000

i m = 2.36%


1

7

N->∞

0

2

7

N->∞

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Calcular

Interés Compuesto

168

Fondos

Depreciación

, . ï

?

√α

1 2.36 500 000


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+



Valor Presente

21.186.441 Que es la suma que el filántropo debe depositar en la compañía de financiamiento, para asegurar la renta de 500.000 mensuales a perpetuidad.

Cálculo del Valor Presente cuando el período de la tasa es diferente al período del plazo Fundación para beneficencia Una fundación desea asegurar la entrega de $765.400 semestrales, a perpetuidad, a una institución de beneficencia. Se conviene con una compañía fiduciaria una tasa de interés efectiva anual de $38.08%, ¿Qué suma debe depositar la fundación?

VP = ?

C = 765.400

i a = 38.08 %


1

7

N->∞

0

2

7

N->∞

semestre


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

?

Interés Compuesto

√α

1 38.08 765 400


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC



Valor Presente

4.371.853 es la suma que la fundación debe depositar en la compañía fiduciaria, para asegurar la renta de 765.400 semestrales a perpetuidad.

169

Capitalización y Costo Capitalizado La operación de hallar el valor presente de una Renta Perpetua, como se acaba de hacer, se denominará por este capítulo, Capitalización.

Costo capitalizado Generalmente un activo debe ser reemplazado con cierta periodicidad: edificios, maquinarias, obras de infraestructura como puentes, redes eléctricas, etc. Se supone que siempre se necesitará el puente o la maquinaria para darle continuidad a la producción; luego, habrá necesidad de reponer con cierta periodicidad esos bienes. Si una máquina tiene una vida útil de 10 años, significa que habrá que reemplazarla cada 10 años. Si además suponemos que el costo periódico de reposición es, C, y su costo inicial, Co, luego, se define como Costo Capitalizado al costo inicial más el valor presente de las cuotas periódicas de reposición.

Si se denomina al costo capitalizado, Cc, luego por definición:

C c = C 0 + VP Fórmula

Cc = C0 +

Donde, Cc, Costo capitalizado C0, Costo inicial C , Costo de reposición ip , Tasa efectiva del período de reposición

170

C ip

Reposición de infraestructura telefónica Se ejecuta el proyecto de 10.000 líneas telefónicas para una ciudad intermedia. El costo de este proyecto fue de 22 millones de dólares y la vida útil, se estima , será de 15 años. Si la tasa de interés efectiva pactada fue de 12% anual y el valor de reposición es de 24 millones, ¿Cuál es el costo capitalizado de esta obra? Primero, se calcula la tasa de interés equivalente para los 15 años

i = 12 %

0

1

i 15 = ?

14

f = 15

0

f=1

años


Tasa dada Tasa

Tasa Convertida

Período

Tasa


i 0

2 Tasas


✖



Respuesta

✖



año

1


i

i

364 Días

365




Quince años • Vencida • Efectiva

Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

447.36% Que es la tasa efectiva equivalente para los 15 años.

171

Segundo, se soluciona el problema

i 15 = 447.36%

VP = ?

C = 24


1

7

N->∞

0

1

15 años

C c = C 0 + VP Fórmula

Cc = C0 +

Donde, Cc ,Costo capitalizado, ? C0 ,22 C , 24 ip , i 15 , Tasa efectiva del período de reposición

Se reemplaza,

24 4.4736 C c = 27.36

C c = 22 +

Que es el costo capitalizado de la obra.

172

C ip

2

N->∞

INFORMACION BASICA

VP


0

C

ip%

1

N-1

N -> ∞

0

1

N-1

N -> ∞

Períodos

VP =

Fórmula

VP Definición de variables C

C ip (1)

Valor Presente Valor de la cuota

ip


N


(1)


173

174

12 Evaluación financiera

"Si encaras el triunfo o el desastre esos dos impostores por parejo...' Rudyard Kipling

U

n conocido exportador de café hizo un mal negocio y prácticamente quedó en la ruina. Su hijo, más convencido de las ayudas técnicas, me solicitó que le evaluara un nuevo proyecto con el cual su padre aspiraba a la recuperación. —El estima que sembrar un pino cuesta hoy 100 pesos; y en 15 años, cada uno se vendería por 1.000 pesos. Afirma, que seremos ricos de nuevo. Nos sentamos a confrontar esa dichosa hipótesis. El flujo neto variable que resultó de los cálculos permitió ver que la tasa interna de retorno (TIR) del proyecto era del 18%, muy inferior a la que se obtendría depositando su dinero en establecimientos bancarios que por la época ofrecían tasas efectivas de interés del 40% por los depósitos . El hijo, más bien preocupado, me pidió discreción con su padre ¡ para no matar las ilusiones del viejo ! Aunque un proyecto de inversión es mucho más que una TIR, acepté su pedido. Algún tiempo después, cuando supe que el padre se había enterado de los cálculos, me acerqué a él y le pregunté como se sentía. —Formidable, repuso: las tasas de captación han bajado al 24 por ciento, pero mis pinos siguen creciendo obstinadamente.

176


Importancia práctica del tema Este tema es fundamental para decidir si un proyecto es viable financieramente porque su rentabilidad supera la tasa de equivalencia del inversionista. La información le proporcionará herramientas para responder alguna o varias de la siguientes preguntas:

•

Es conveniente invertir en esta opción ( Proyecto aislado). ¿ Es conveniente invertir en estos bonos? ¿ Es conveniente invertir en este negocio ?

•

En cual de los proyectos a mi alcance debo invertir mi dinero. De las opciones que ofrece el mercados financiero: ¿ En cual o cuales invierto?

177

Proyecto de inversión Un proyecto puede ser tan sencillo como constituir un depósito a término o tan complejo como la construcción de un edificio o la ampliación de una fábrica de cemento; pero todos ellos se pueden denominar Proyectos de inversión. Evaluación financiera En cualquier caso, la inversión debe estar precedida por estudios que permitan identificar la factibilidad del proyecto y haga posible la decisión. A uno de los apartes de tales estudios se le denomina Evaluación financiera del proyecto y se efectúa con base en el plazo del proyecto y el Flujo de Fondos. Plazo del proyecto Todo proyecto comprende un plazo durante el cual se identifican tres etapas así: la primera, es aquella en la cual se realizan las inversiones; la segunda, en la que se opera el proyecto y la tercera en la que se liquida. Flujo de Fondos El Flujo de Fondos lo conforman dos grandes títulos: la Inversión y el Flujo neto de operación. La Inversión la componen la Inversión Fija y el Capital de trabajo. El Flujo neto de operación se obtiene de las proyecciones durante el plazo de operación del proyecto del Estado de Resultados más el renglón Depreciación y Amortización. Con esta información: Flujo de Fondos y Plazo de las proyecciones se estructura la tabla básica que se ilustra en detalle en la página siguiente. Flujos de fondos variables En general los flujos estimados resultan variables y la evaluación no es posible con los procedimientos explicados en los módulos anteriores. Para este propósito la matemática financiera desarrolló dos técnicas denominadas: Tasa interna de retorno, TIR y Valor presente neto, VPN. que se explican adelante. Inversión en Activos Financieros Para el caso de proyectos de inversión en Activos Financieros, el Flujo de Fondos se limita a la Inversión y los intereses que devuelve el proyecto menos los impuestos.

178

TABLA PARA CALCULAR EL FLUJO DE FONDOS Inversión

Inversión - Operación

Liquidación

Inversión Fija No depreciable Depreciable Intangible

Capital de Trabajo Activo circulante

-

Caja y bancos Cuentas por cobrar Inventarios Pasivo circulante

Total Inversión

Flujo Neto de operación Ventas - Costo de producción Utilidad bruta - Gastos de Admón y ventas - Gastos Financieros Utilidad de operación - Depreciación y amortización Utilidad Gravable - Impuestos Utilidad neta + Depreciación y amortización Total Flujo neto de operación

FLUJO DE FONDOS

179

Herramientas para evaluar Tasa interna de retorno, TIR Es la Tasa de interés efectiva periódica que genera una inversión. Puede definirse también como la tasa que iguala en valor presente la inversión con los ingresos que ella genera. Ingresos Inversión

C N-1

TIR C1

0

1

N-1

N

0

1

CN

N-1

N

períodos

La decisión se toma con base en los resultados, así: Si la TIR es mayor que la tasa de interés de equivalencia del inversionista se acepta la inversión; Si la TIR es menor que la tasa de interés de equivalencia del inversionista no se recomienda la inversión;

Valor presente neto, VPN Está definido como la suma algebráica de los Ingresos y los egresos en valor presente, calculados con una tasa de interés de equivalencia. VP Ingresos

Ingresos del Proyecto ip

0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos VP Inversión

0

1

N-1

N

0 períodos

180

Inversiones en el Proyecto

ip

1

N-1

N

La decisión se toma con base en los resultados, así: Un VPN mayor que cero significa que los ingresos que genera la inversión, calculados en valor presente con esa tasa, son superiores a la inversión misma y por consiguiente las sumas invertidas producen una tasa de interés superior a la tasa de interés que se utilizó para el cálculo. Conclusión: el proyecto es recomendable

Un VPN igual a cero significa que los ingresos son iguales a la inversión, en valor presente, y que las sumas invertidas producen una tasa de interés igual a la tasa de interés de equivalencia. Conclusión: El proyecto se acepta Un VPN menor que cero, significa que los ingresos son inferiores a la inversión y que las sumas invertidas producen una tasa de interés inferior a la tasa de interés utilizada para el cálculo. Conclusión: El Proyecto no es atractivo

181

APLICACION Cálculo de la Tasa Interna de Retorno, TIR Plan de expansión de una fábrica de cementos Una fabrica de cementos planea invertir 1.811 millones este año en una expansión. El flujo neto estimado para los próximos cinco años se presenta adelante . Si el interés de equivalencia de la empresa es de 30 % efectivo anual, ¿Es recomendable la inversión ?

Flujo Neto de operación años millones

0

1

2

3

4

5

- 1.811

374

669

720

727

693

C 0 = 1.811

TIR = ? %

C 4 = 727 C 1 = 374

C 5 = 693


1

4

N=5

0

1

4

N=5

años

1. Seleccione Modulo: Evaluación

✖


Modalidades

Formatos

Depreciación

, . ï

TIR

Datos 4

✖?

π

Nº Períodos Tasa de Interés

Tasa Interna de retorno Interés Recordar

Decimales Tasa efectiva anual Valor Presente Valor Futuro

Valor Presente neto

√α

Interés Simple

1

VPN Calcular

Salida de Datos Borrar datos

Tasa de Oportunidad

Flujo Neto 0

Fondos

?

Período

182

Bonos

Evaluación ↓↑ Financiera % Hoja Electrónica

Plazo

Respuesta

Ayuda


Opciones Ver

2. Limpie memorias,

Ver

2

1/x

%

÷

3 7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

4

+

3. Proporcione la información: Plazo Período Tasa de Oportunidad 0 1 2 3 4 5

5 Año 30 - 1811 374 669 720 727 693

←

4. Calcule las respuestas: AC

TIR

20.2513 % es la Tasa Interna de Retorno, inferior a la TIE y - 358.5421 es el Valor Presente Neto. Por consiguiente la inversión no es recomendable.

Costo del crédito bancario Los costos de una de las líneas de crédito de un Banco comercial son los siguientes : Tasa de descuento, 32% liquidable trimestralmente; Descuento por comisión, 4.5% anual ; Timbre y otros gastos, 0.7%. Si el flujo neto es el que se presenta enseguida, ¿ Cuál es el costo efectivo trimestral y anual de esa línea por cada 100 de crédito ? Flujo Neto trimestre

0

1

2

3

4

-100 000 13.075

30.906

28.937

26.968

25.000

-86.925

30.906

28.937

26.968

25.000

C 0 = 86.925

TIR = ? %

C 3 = 26.968 C 1 = 30.906

C 4 = 25


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Bonos

Depreciación

✖?

?

TIR

Datos 4

Período

π




Valor Presente neto

√α

Interés Simple

1

VPN Calcular


Tasa de Oportunidad

Flujo Neto 0

Fondos

, . ï


Plazo

Respuesta

Ayuda


Opciones Ver

2. Limpie memorias,

Ver

2

1/x

%

÷

3 7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

4

+

3. Proporcione la información: Plazo 4 Período Trimestres Tasa de Oportunidad 45.829 0 1 2 3 4

- 86 925 30 906 28 937 26 968 25 000

←


TIR

11.33% es la TIR trimestral y 53.62% es la tasa efectiva anual equivalente.

183

Cálculo del Valor Presente Neto, VPN Valor máximo de inversión en la fábrica de cemento Hallar el valor de la inversión máxima que puede hacerse en la fábrica de Cementos del Norte de acuerdo al interés de equivalencia de la empresa, que se estima en el 30% efectivo anual.

VPN = ?

i a = 30%

C 4 = 727 C 1 = 374


1

4

N=5

0

1

C 5 = 693

4

N=5

años

Se calcula el Valor presente con base en la tasa de interés de equivalencia . Para ello se proporciona como inversión un valor de cero ( 0 ) y se calcula el Valor Presente Neto.


✖


Modalidades

Formatos

Depreciación

, . ï

TIR

Datos 4

✖?

π

Tasa de Interés


Valor Presente neto

√α

1.452,5 millones

Nº Períodos


Interés Simple

1

VPN Calcular


Tasa de Oportunidad

Flujo Neto 0

Fondos

?

Período

184

Bonos


Plazo

Respuesta

Ayuda


Opciones Ver

2. Limpie memorias,

Ver

2

1/x

%

÷

3 7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

4

+

3. Proporcione la información: Plazo Período Tasa de Oportunidad

5 Año 30

0 1 2 3 4 5

0 374 669 720 727 693

←


TIR

VPN

Descuento máximo en un crédito bancario Si la Superintendencia Bancaria estableciera como tope máximo del costo de un crédito en las instituciones financieras el 43.33% efectivo anual que equivale al 9.42% efectivo trimestral ¿Cuál sería la cantidad que deben reembolsarle al cliente por cada 100.000 de crédito, en el ejemplo del crédito bancario, si la suma que recibió en el primer desembolso fue de 86.925 y el flujo de pagos es el mismo de dicho crédito ?

VPN = ?

i t = 9.42%

C 3 = 26.968 C 1 = 30.906

C 4 = 253


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestres

Se calcula el Valor presente con base en la tasa de interés de oportunidad . Para ello se entra como inversión un valor de cero ( 0 ) y se calcula el Valor Presente Neto. Al resultado se resta 86.925 y ese valor constituye la suma que debe reembolsarse al cliente.


✖


Modalidades

Formatos


Fondos

Depreciación

, . ï

TIR

4

Plazo Período

π

✖?




Valor Presente neto

√α

Interés Simple

1

VPN Calcular


Tasa de Oportunidad

Respuesta

Bonos

Plazo 4 Período Trimestres Tasa de Oportunidad 9.42

?

Datos

Flujo Neto 0


Ayuda

Evaluación ↓↑ Financiera % Hoja Electrónica Opciones Ver

2. Limpie memorias,

Ver

2

1/x

%

÷

3 7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

4

+

0 1 2 3 4

0 30 906 28 937 26 968 25 000

←


TIR

VPN

90.440 - 86.925 = 3.515 es la suma que se debe reembolsar.

185

Cálculo de la TIR y del VPN

Proyecto: EQUIPO DE TERMINADO Una planta de autopartes que contrata externamente el terminado de algunas piezas decide evaluar la posibilidad de realizarlo internamente. Sus ingenieros elaboran los cálculos y los resultados los consignaron en la tabla que se presenta a continuación. Si la tasa de interés de equivalencia que se acepta es de 35%, se desea conocer ¿Cual es la tasa interna de retorno y el Valor presente neto que arrojan este proyecto?

0

1

2

3

4

5

6

39,600

10,014

12,718

16,152

20,513

+ Flujo operacional Ingresos por ventas - Costos de producción = Utilidad Bruta

57,863 28,814 29,049

74,167 36,776 37,391

95,194 47,001 48,193

122,343 60,148 62,195

157,440 77,072 80,368

272,641 272,641

- Gastos Financieros = Utilidad operacional

16,038 13,011

13,334 24,057

9,899 38,294

5,538 56,657

80,368

272,641

- Depreciación y amortizacón = Utilidad Gravable

14,200 (1,189)

14,200 9,857

14,200 24,094

14,200 42,457

14,200 66,168

272,641

(357) (832)

2,957 6,900

7,228 16,866

12,737 29,720

19,850 46,318

105,542 167,099

+ Depreciación y amortización

14,200

14,200

14,200

14,200

14,200

Total Flujo operacional

13,368

21,100

31,066

43,920

60,518

3,354

8,382

14,914

23,407

- Inversión

- Impuestos = Utilidad Neta

= Flujo de Fondos

(39,600)

C 4 = 167,009

C 0 = 39,600

0

1

5

N=6

0 año

Respuesta

186

60,518 167,099

i a = 35 %

VPN = ?

TIR : 48.3247 % ; VPN : 21.692.68

167,099

C 3 = 60,518 C 1 = 3,354

1

5

N=6

INFORMACION BASICA

f0

fN - 1

fN

f1


1

N-1

N

0

1

N-1

N

período

Fórmula

Esta fórmula hace posible que usted evalúe un flujo de caja variable con cada cuota ubicada en cualquier fecha.

VPN = f 0 + f1(1+ ia )


−

d1 da

+...+f N−1(1+ ia )

−

d N−1 da

+ f N (1+ ia )

−

dN da

VPN

Valor Presente Neto. Diferencia entre el VP de los Ingresos y el VP de los egresos

f0

Flujo neto en el período cero ( 0 )

f 1... fn

Flujos netos en los períodos desde el uno ( 1 ) hasta el período ene ( n )

ia

Tasa efectiva anual

d 1 ... d N

Días transcurridos desde el día cero (0)

da

Días del año: 360 , 365 , 366

IRR

Tasa Interna de Retorno. Es la tasa de interés efectiva anual que hace VPN igual a cero.

187

188

13 Sistemas de amortización

"Debemos encontrar un camino o construirlo". Aníbal

E

n innumerables ocasiones mis alumnos e interlocutores me pedían explicación acerca de algo que para ellos era incomprensible: por qué la cuota mensual para amortizar el crédito de su vivienda aumentaba cada mes y el saldo también. La razón es simple: ellos habían escogido un sistema de pagos (amortización) que iniciaba con cuotas mínimas, con las que no se alcanzaba a cubrir ni siquiera el total de los intereses; por consiguiente, la diferencia que faltaba cada mes se debía sumar a la deuda original lo cual acrecentaba el saldo pendiente de pago. Sólo hacia los últimos años del crédito cuando las cuotas alcancen la magnitud apropiada -superior a los intereses- empezarán en firme los abonos a capital y por consiguiente a disminuir el saldo de la deuda. No obstante el malestar que estos sistemas han despertado en los beneficiarios de este tipo de crédito, hay que aceptar que miles de familias obtuvieron vivienda debido a ellos , lo que no hubiera pasado de ser un sueño con los sistemas de amortización tradicionales.

190

CONCEPTOS Y DEFINICIONES Importancia práctica del tema En el año 2.005 cuando se estima que el manejo del dinero será completamente electrónico y no se requiera el papel moneda, los bienes de mayor valor se tendrán que seguir financiando, a fin de que puedan ser vendidos. Por ello cada día será necesario abrir nuevos caminos de financiación a través del diseño de nuevos sistemas de amortización. De esta manera se potenciarán las ventas a crédito para un mayor número de personas. En este documento se explican los sistemas de amortización más comunes aplicados a casos reales de la experiencia latinoamericana. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Cancelación de tiquete aéreo con tarjeta de crédito Se cancela un pasaje aéreo con tarjeta de crédito, por valor de 94.000 diferido a 12 meses. Si la tasa de interés nominal aplicada es del 30%, liquidada mensualmente, ¿Qué suma se debe abonar mensualmente? Cuotas crecientes para cancelar un crédito ¿Cuáles serán los valores de las cuotas mensuales en moneda corriente, que se han de pagar para amortizar un crédito individual, de 100.000, con 15 años de plazo, si la tasa de interés efectiva mensual es de 2.25% y se adopta un incremento de 21 mensuales para cada cuota sobre la anterior? Cuota para cancelar un crédito por leasing Leasing Libertador S.A. presenta la siguiente oferta a un posible cliente: Comprar un equipo por 2.000.000 para entregarlo en arrendamiento por 60 meses, al cabo de los cuales, si el cliente lo desea, podrá adquirirlo cancelando un valor residual del 10% sobre el valor inicial. Si la tasa efectiva mensual cobrada por la Compañía es de 3%, ¿Cuál será la cuota mensual a pagar?

191

Amortización El término AMORTIZACION puede mirarse desde dos puntos de vista: del acreedor y del deudor. Para el primero, amortización es: El proceso de Recuperación de su Inversión y para el segundo, El Proceso de Pago de una Deuda. AMORTIZAR comprende abono a capital y pago de interés conjuntamente. Por consiguiente no son correctas expresiones como “Amortización de Capital” o “Amortización de Intereses”.

Variables de la amortización Básicamente la amortización como la mayoría de problemas de la matemática financiera comprende cinco variables: • Valor presente, VP • Cuota periódica, C • Tasa de interés periódica, ip • Número de períodos del plazo, N • Cuota global, Cg. Pero cuando las cuotas crecen o decrecen lineal o geométricamente, aparecen otras dos: • Incremento o decremento periódico, ∆ • Tasa de incremento o decremento, ∆% .

Cuota Global Cuando una deuda contempla un pago final diferente de la cuota uniforme que se paga en todos los períodos del plazo, se denomina cuota global, Cg.

Cg VP

0

ip

1

N-1

0

N períodos

192

C

1

N-1

N

Incremento o decremento lineal Obedece a una progresión aritmética. La cuota aumenta en una suma fija en cada período VP

∆

ip

0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

Incremento o decremento geométrico Obedece a una progresión geométrica. VP

0

La cuota crece a una tasa fija en cada período

ip

1

N-1

∆%

N

0

1

N-1

N

períodos

Sistema de amortización Se define como un plan de pagos para cancelar una deuda. Los elementos que participan en el diseño de un sistema de amortización son los siguientes: 1. La función que define el comportamiento de las cuotas o del saldo 2. La fórmula para el cálculo de la primera cuota de la cual deriva el cálculo de las demás. 3. La tabla de amortización en la cual se consignan: Período Valor Interés Abono Nº de la cuota del período a capital 0 1 2 3 4

900,000 3,175,000 2,950,000 2,725,000 2,500,000

900,000 675,000 450,000 225,000 0

2,500,000 2,500,000 2,500,000 2,500,000

Saldo

10,000,000 7,500,000 5,000,000 2,500,000 0

193

Clasificación Los sistemas de amortización más comunes pueden clasificarse en 3 categorías de acuerdo al comportamiento y conformación de las cuotas de pago: SIMPLES, INTEGRADOS Y AGREGADOS.

Sistemas simples. Son aquellos en los que la Cuota o permanece constante o crece o decrece de acuerdo a una función matemática. Ellos son de: ip

VP

VF

Cuota única 0

1

0

1

períodos VP

ip

C

Cuota uniforme 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

VP

CN

ip

C1

Cuota creciente linealmente 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

VP

C1

ip

CN

Cuota decreciente linealmente 0

1

N-1

0

N períodos

194

1

N-1

N

C VP

ip

N

C1

Cuota creciente geométricamente 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

C1

VP

ip

CN

Cuota decreciente geométricamente 0

1

N-1

N

0

1

N-1

N

Períodos

195

Sistemas integrados Son aquellos en los cuales el comportamiento de las cuotas es el resultado de fusionar dos sistemas simples. Los más comunes son:

CN

ip

VP

C1

Anualidad creciente linealmente 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos C1

ip

Anualidad decreciente linealmente 0

1

N-1

CN

N

0

1

N-1

N

períodos

CN

ip

VP

C1

Anualidad creciente geométricamente 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

C1

ip

CN

Anualidad decreciente geométricamente 0

1

N-1

0

N períodos

196

1

N-1

N

Sistemas agregados Son aquellos que resultan de combinar dos o más sistemas simples o integrados u otras posibles combinaciones.

Cg ip

VP

C

Anualidad y Cuota Global 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación para ilustrar las tres categorías, sin considerar todos los casos, que se ilustran ampliamente en el manual del programa.

La totalidad de los sistemas se trata en el libro SISTEMAS DE AMORTIZACION

197

APLICACION Sistemas simples Crédito de las empresas comerciales y de servicio Agencias de viajes aéreos Se cancela un pasaje aéreo con tarjeta de crédito, por valor de 94.000 diferido a 12 meses. Si la tasa de interés nominal aplicada es del 30%, liquidada mensualmente, ¿Qué suma se debe abonar mensualmente?

VP = 94.000

Cuotas = ?

i = 30 % M.V.


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses

1. Seleccione el Modulo Amortización 2. Seleccione el Sistema 3. Limpie memorias, Borrar Datos

Respuesta

198

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

✖

Sistemas ↓↑ de % amortización Hoja Electrónica ? Sistema Bancario Cuota Cuota Uniforme Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad creciente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente Interés Compuesto √α


Ayuda Fondos

Depreciación

, . ï

?

Anticipado Calcular Vencido

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Valor Presente

Decimales

Variación

✔Tipo... OK

Nº de Períodos

12 30

Tasa de interés

94 000

Valor Presente Variación Tabla

Tabla

+ X Cancel 1/x %

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

5. Calcule la respuesta: Tabla

9.164 mensuales es la suma que se debe pagar durante doce meses para cancelar la totalidad de la deuda .

Tabla de Amortización Con el objeto de disponer de una información periódica de las sumas que se abonan con cada cuota, a Capital e intereses; conocer el Saldo ( Capital insoluto), se acostumbra elaborar una Tabla de Amortización en la cual quedan consignados estos valores que permiten elaborar los presupuestos financieros y de cartera. A continuación se presenta la que corresponde al ejemplo anterior:

Procedimiento para calcular la Tabla de Amortización 1 2 3 Período Valor Interés Abono Nº de la cuota del período a capital 0 1 9,164 2,350 6,814 2 9,164 2,180 6,984 3 9,164 2,005 7,159 4 9,164 1,826 7,338 5 9,164 1,643 7,521 6 9,164 1,455 7,709 7 9,164 1,262 7,902 8 9,164 1,064 8,099 9 9,164 862 8,302 10 9,164 654 8,509 11 9,164 442 8,722 12 9,164 224 8,940

4 Saldo 94,000 87,186 80,202 73,043 65,706 58,184 50,475 42,573 34,474 26,172 17,663 8,940 0

El procedimiento para calcular los valores de la tabla según la columna es el siguiente: 1. Se obtiene el "Valor de la cuota" C = 9.164 2. Se obtiene el "Interés del período" multiplicando el saldo pendiente por la tasa de interés periódica : 94.000 X 0.025 = 2.350.03 3. El "Abono a Capital" se obtiene restando ""Interés del período" del "Valor de la Cuota" 9.163.90 - 2.350.03 = 6.813.87

4. Se resta "Abono a Capital" del " Saldo" anterior para obtener el nuevo valor de éste,. 94.000 - 6.813,87 = 87.186,13

5. Se repite sucesivamente el ciclo hasta llegar, finalmente, al período en el cual la deuda ha sido totalmente amortizada.

199

Cuota Uniforme -INFORMACION BASICA

VP


0

C

ip

1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

(

 1− 1+ i p VP = C   ip 

Fórmula


VP

Valor del préstamo

C

Valor de la cuota

ip


n

Número de años

p

Frecuencia anual de la cuota periódica

N

Numero total de períodos o cuotas , n.p

k=0


k=1


(1)


)

−N

  1+ i ⋅k p  

(

)

200

Cuota periódica creciente linealmente

Crédito de vivienda ¿Cuáles serán los valores de las cuotas mensuales en moneda corriente, que se han de pagar para amortizar un crédito individual, de 100.000, con 15 años de plazo, si la tasa de interés efectiva mensual es de 2.25% y se adopta un incremento de 21 mensuales para cada cuota sobre la anterior?

VP=100.000

∆ = 21

i m = 2.25%

Cuotas = ?


1

179

180

0

1

179

180

meses


Respuesta

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

✖

Sistemas ↓↑ de % amortización Hoja Electrónica ? Sistema Bancario Cuota Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad creciente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente Interés Compuesto √α


Ayuda Fondos

Depreciación

, . ï

?


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Valor Presente

Decimales

Variación

✔Tipo... OK

15

Nº de Períodos

2.25 100 000 21

Tasa de interés Valor Presente Variación Tabla

Tabla

+ X Cancel 1/x %

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


1.428.59 es el valor que corresponde a la primera cuota. A partir de ésta, para obtener las siguientes, se incrementa en 21, sucesivamente.

201

Cuota creciente linelamente - INFORMACION BASICA

VP

∆

ip

C


1

N-1

N

0

C

N

1

1

N-1

N

períodos

C1 =

Fórmula


  VP ∆ N  −  1− (1+ ip ⋅k)p N, i ip  f N, i  ( p)  ( p) 

VP

Valor Presente

C1

Valor de la primera cuota

CN

Valor de la última cuota

ip


N

Número total de períodos o cuotas, n.p.

n

Número de años

p

Frecuencia anual de la cuota periódica.

∆

Incremento periódico

p( N , ip )

Valor presente de la anualidad con cuota cuyo valor es la unidad.

f( N , ip )

Valor futuro de la anualidad con cuota cuyo valor es la unidad.

k=0


k=1


(1)


202

Cuota periódica decreciente linealmente

Crédito bancario Se solicita un crédito ordinario a un año por 10.000.000. El banco cobra una tasa del 36% trimestre anticipado (Descuento). Calcular la tabla de amortización correspondiente a este crédito.

VP=10.000.000

d = 36 % T.A.

Cuotas = ?


1

3

4

0

1

3

4

trimestre meses

1. Seleccione el Modulo Amortización 2. Seleccione el Sistema 3. Limpie memorias,

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Borrar Datos

Respuesta

Bonos

✖

Sistemas ↓↑ de % amortización Hoja Electrónica Sistema Bancario bancario ? Sistema Cuota Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad creciente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente Interés Compuesto √α

900,000 3,175,000 2,950,000 2,725,000 2,500,000

900,000 675,000 450,000 225,000 0

Fondos

Depreciación

, . ï

?


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Valor Presente

Decimales

Variación

✔Tipo... OK

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

2,500,000 2,500,000 2,500,000 2,500,000

1

Nº de Períodos

36 10 000 000


Tabla

+ X Cancel 1/x %

Período Valor Interés Abono Nº de la cuota del período a capital 0 1 2 3 4


Ayuda

← AC


Saldo

10,000,000 7,500,000 5,000,000 2,500,000 0

203

INFORMACION BASICA Sistema Bancario ( Descuento )

VP

C1

ip

CN


1

N-1

N

0

1

N-1

N

períodos

C 0 = VPdp C1 =

VP (1+ dp (N − 1)) N

∆=

VP dp N

Fórmula

Sistema Bancario ( Interés Vencido ) VP Líneas de tiempo equivalentes 0

C1

ip

1

N-1

N

CN

0

1

N-1

N

períodos

1 C1 = VP( + ip ) N Fórmula

∆=


VP ip N

VP

Valor Presente

dp

Tasa de descuento periódica = d / f

C1

Valor de la primera cuota

N

Numero total de períodos o cuotas, p . n

d

Tasa nominal de descuento

∆

Decremento periódico

204

Sistemas integrados Anualidad creciente geométricamente Crédito hipotecario ¿Cuáles son los valores de las anualidades que se han de pagar, en un plazo de 15 años para amortizar un crédito de 1.000.000, si el incremento porcentual, entre dos anualidades, es de 15% anual y la tasa de interés nominal es de 26% convertible mensualmente?

VP = 1.000.000

∆ % = 15

i p = 26% M.V.


1

179

180

0

1

179

180

meses


Respuesta

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

✖

Sistemas ↓↑ de % amortización Hoja Electrónica ? Sistema Bancario Cuota Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad Anualidad creciente creciente Geométricamente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente Interés Compuesto √α


Ayuda Fondos

Depreciación

, . ï

?


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Valor Presente

Decimales

Variación

✔Tipo... OK

15 26 1 000 000 15

Nº de Períodos Tasa de interés Valor Presente Variación Tabla

Tabla

+ X Cancel 1/x %

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


12.782 es el valor de la cuota mensual durante los doce primeros meses del plazo. Los otros valores, correspondientes a los años subsiguientes, se obtienen de multiplicar el valor obtenido el año anterior por 1.15

205

Anualidad creciente geométricamente - INFORMACION BASICA

CN VP

ip


1

N-1

N

i∆

C1

0

1

∆%

N-1

N

períodos

C1 =

Fórmula


(

)

VP(ia − i ∆ ) n′

 1+ i − 1   1+ i ∆  n a  p   1− (1+ ip ⋅k)     1+ ia   ip    

VP

Valor Presente

C1

Valor de la cuota de la primera anualidad

ip


ia

Tasa efectiva anual

i∆

Tasa de incremento entre anualidades

na,

Numero de anualidades en el plazo

n'

Número de cuotas de la anualidad

k=0


k=1


(1)


206

Sistemas agregados Anualidad todo el plazo y cuota global al final Crédito de las compañías de arrendamiento financiero Leasing Libertador S.A. hace la siguiente oferta a un cliente potencial: Comprar un equipo por 2.000.000 para entregarlo en arrendamiento por 60 meses, al cabo de los cuales, si el cliente lo desea, podrá adquirirlo si paga un valor residual del 10% sobre el valor inicial. Si la tasa efectiva mensual cobrada por la Compañía es de 3%, ¿Cuál será la cuota mensual a pagar?

C g = 200.000 VP = 2.000.000

im= 3 %

C = ?


1

59

0

N = 60

1

59

N = 60

meses

1. Seleccione el Modulo Fondos 2. Seleccione el Sistema 3. Limpie memorias Borrar Datos

Respuesta

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos



Ayuda

✖

Fondos

Depreciación

?

60 3

Nº Períodos

2 000 000 2 00 000

, . ï

Anticipado Calcular Vencido Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

✔Tipo... OK

+X

Nº de Períodos Tasa de interés Valor Presente Cuota Global Tabla

Valor Futuro

Cancel 1/x %

7

5

9

4

8

6

1

2

3

o

.

=

÷ x

←

5. Calcule la Tabla

AC

+

Tabla

71.039 es el Valor de la cuota uniforme.

207

Anualidad y Cuota global - INFORMACION BASICA

Cg VP

ip


1

N-1

N

C

0

1

N-1

N

períodos

(

 1− 1+ i p VP = C   ip 

Fórmula


)

−N

VP

Valor Presente

C

Valor de cuota uniforme

ip


N

Numero total de períodos o cuotas, n.p.

n

Número de años

p

Frecuencia de cuotas en el año

Cg

Cuota Global

k=0


k=1


(1)


  1+ i ⋅k + C 1+ i p g p  

(

)

(

)

−N

208

14 Fondos de amortización

209

“Usted no puede cambiar la dirección del viento, pero si la de la vela” James Dean

U

na institución de previsión social, venía de conflicto en conflicto por los reclamos de los afiliados en el cumplimiento de sus compromisos, no obstante disponer de recursos suficientes para que dicha situación no se presentara. El gerente estaba incómodo con el problema. Nos reunimos a revisarlo con detalle y encontramos que la oficina financiera de la entidad no lograba conciliar el desfase entre las fechas de los ingresos y de los egresos. Los primeros provenían de las transferencias que se recibían del Gobierno central -que la entidad colocaba en títulos a término- y los segundos de los compromisos laborales y la cancelación de prestaciones por retiro. Estas circunstancias producían dos efectos: en algunas ocasiones el represamiento de las obligaciones a pagar, y en otras la acumulación de recursos, que dormían en las cuentas corrientes por largos períodos sin intereses. -¿Qué hacemos?, me preguntó el gerente de la entidad. -Ofrezcamos a varios establecimientos financieros una colocación de dinero atractiva para depositarla a largo plazo, creando así un fondo que solucione nuestros problemas. Lo iniciamos con una suma que hizo posible retirar, en fechas previstas, los fondos para cancelar los sueldos de los empleados durante dos años. Más tarde, al hacer la evaluación estadística de los retiros, se constituyeron otros fondos que mejoraron la liquidez de la entidad. La caja regresó a la normalidad, pero el gerente financiero no fue reelegido.

210

CONCEPTOS Y DEFINICIONES Importancia práctica del tema El tema de los Fondos es uno de los más útiles: se constituyen Fondos de ahorro, de medicina prepagada, para seguro vitalicio, de capitalización, pero todos ellos adoptan el mismo sistema de ahorro con cuotas iguales . Se me ocurre que las instituciones financieras y las compañías fiduciarias, encargadas de captar tales recursos no han encontrado razón para desarrollar nuevos productos.. Este documento presenta la propuesta de utilizar los sistemas de amortización como base para el diseño de Sistemas de Fondos equivalentes, lo cual ofrece nuevas posibilidades para abordar el tema sin complicaciones adicionales.. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Fondo para estudio Mario Arias estima que requerirá 1’500.000 al cabo de un tiempo para asegurar el ingreso y permanencia de sus hijos en la universidad. Para su tranquilidad lee el siguiente aviso publicitario: “¿Cómo reunir el dinero para el estudio de sus hijos? venga a Corfinunión y le diremos como hacerlo”. Allí, le aseguran que con una cuota mensual de 10.000 y con la tasa de interés que le reconocen, 33.25% capitalizable mes vencido, el dispondrá de la suma de dinero, justa, en el plazo previsto. ¿Durante cuántos meses debe hacer, Mario, los depósitos? Fondo de pensiones Martha Lucía, Gerente de una Caja de Pensiones, constata que los pasivos de esa institución, por concepto de cesantías, ascenderán a 75’810.000, en tres años. Así mismo, ha estimado que la tasa de incremento salarial anual será del 30%. Por ley, el gobierno debe transferirle por doceavas, mensualmente, el valor total anual correspondiente. Ella desea configurar un Fondo de Amortización, colocando las transferencias en una corporación financiera que le reconoce una tasa de interés del 34% capitalizable mensualmente, ¿Cuáles serán los valores de la anualidad (las doceavas), para cada año?

211

Fondo de amortización Lo conforman depósitos de ahorro programados que ganan interés a fin de reunir una suma de dinero en un tiempo determinado, para pagar una deuda a su vencimiento ó cumplir cualquier compromiso futuro. Se Constituyen fondos para reponer maquinaria, equipo o edificios; amortizar emisiones de bonos; cancelar hipotecas; pagar cuotas de pensionados; cubrir pasivos de cesantías; etc. Métodos para constituir Fondos de amortización

Los Fondos de amortización se clasifican, como los sistemas de amortización en Simples, Integrados y Agregados, en los cuales la cuota periódica puede aumentar o disminuir y cuyo comportamiento obedece a una función matemática específica; pero en este capítulo se ilustran solamente dos métodos: anualidad y Anualidad creciente geométricamente.

212

APLICACION

Cálculo del valor de la cuota uniforme Fondo para reponer un vehículo Se estima en 10.000.000, la suma necesaria al cabo de un año para reponer un vehículo de transporte urbano. Si el propietario del vehículo puede colocar su dinero en una corporación financiera al 29.87% efectivo anual. ¿Cuánto debe depositar mensualmente para acumular esa suma? i a = 29.87 %

C = ?

VF = 10.000.000


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses

1. Seleccione el Modulo Fondos 2. Seleccione el Sistema

Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

%

Bonos

✖

Hoja Electrónica

? Sistema Bancario Cuota Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad creciente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente

Fondos

Depreciación

, . ï

1

Calcular Vencido

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

✔ OK

Tipo...

X Cancel + 1/x

Borrar Datos

?

Anticipado

√α


Ayuda


Fondos ↓↑

Interés Compuesto

Respuesta

✖


29.87 10 000 000

Valor Futuro %

÷ x

7

5

9

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

Nº de Períodos Tasa de interés Valor Futuro Tabla

← AC

4. Calcule la Tabla Tabla

737.169 es el valor del depósito mensual, para alcanzar la suma prefijada al cabo de cinco años.

213

Elaboración de la tabla del Fondo de amortización Como en el caso de los sistemas de amortización, es necesario elaborar la Tabla del Fondo de amortización a fin de conocer el valor acumulado por intereses, y el valor total del fondo, en un momento dado. Las etapas para su elaboración se describirán, más adelante, después de presentar la Tabla completamente confeccionada. Procedimiento para elaborar la tabla

1

2

3

4

Fin del

Valor

Interés

mes

cuota

sobre fondo

5

Total agregado Valor Fondo al Fondo

fin de mes

1

737,166

737,166

737,166

2

737,166

16,232

753,398

1,490,564

3

737,166

32,822

769,988

2,260,552

4

737,166

49,777

786,943

3,047,495

5

737,166

67,106

804,272

3,851,767

6

737,166

84,816

821,982

4,673,748

7

737,166

102,916

840,082

5,513,830

8

737,166

121,415

858,580

6,372,410

9

737,166

140,320

877,486

7,249,896

10

737,166

159,643

896,808

8,146,705

11

737,166

179,390

916,556

9,063,261

12

737,166

199,573

936,739 10,000,000

1. En esta columna se colocan los períodos del plazo. 2. Se halla la cuota periódica con la fórmula y se coloca en la columna 2. 3. Puesto que la primera cuota se deposita al finalizar el mes, en la primera casilla de esta columna no se calcula interés. En las demás casillas se consigna el producto de la tasa de interés por el valor del fondo del período anterior. 4. En esta columna se consigna la suma de las columnas dos y tres 5. Los datos de esta columna se obtienen de sumar el valor del fondo del periodo anterior el valor de la columna 4 del periodo corriente.

214

Cálculo del valor futuro Calcular el valor futuro al finalizar el octavo mes, bajo las condiciones del problema anterior.

i a = 29.87 %

C = 737.166

VF = ?


1

7

N=8

0

1

7

N=8

meses

Seleccione el Modulo Compuesto

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Proporcione la información:

Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

Borrar Datos

?

Calcular

Interés Compuesto

Respuesta

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

Tasa de interés

737 169


← AC

Nº de Períodos

8 29.87

Calcular

Valor Futuro

6.372.420 es el valor del Fondo al culminar el período octavo, como puede constatarse con la tabla de amortización. Observe que se presenta una pequeña diferencia, que obedece a que la cuota es ligeramente inferior a la que arrojan las aproximaciones.

215

Cálculo de la tasa de interés Ahorro programado para cancelar una deuda Guillermo Chica espera recibir, en promedio, una prima anual de 50.000. Quiere constituir un Fondo de amortización que le permita cancelar una deuda por 313.710 que vence al cabo de cuatro años. Si el gerente de una corporación de ahorro y vivienda se compromete a entregarle esa suma en ese tiempo, si deposita la prima al concluir cada año, ¿Qué tasa de interés anual están ganando los depósitos?

i a= ? %

C = 50.000


0

1

3

N=4

VF = 313.710

0

1

3

N=4

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

Borrar Datos

?

Calcular

Interés Compuesto

Respuesta

216

√α

4

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


50 000 313 710 Calcular

Cuota uniforme Valor Presente Valor Futuro Tasa de interés

En consecuencia la tasa de interés que ganarían los depósitos sería de 31% efectivo anual.

Cálculo del número de períodos Ahorro programado para costear estudios superiores Mario Arias estima que requerirá 1’500.000 al cabo de un tiempo para asegurar el ingreso y permanencia de sus hijos en la universidad. Para su tranquilidad lee el siguiente aviso publicitario: “¿Cómo reunir el dinero para el estudio de sus hijos? venga a Corfinunión y le diremos como hacerlo”. Allí, le aseguran que con una cuota mensual de 10.000 y con la tasa de interés que le reconocen, 33.25% capitalizable mes vencido, el dispondrá de la suma de dinero, justa, en el plazo previsto. ¿Durante cuántos meses debe hacer, Mario, los depósitos?

i = 33.25 % M.V.

VF = 1.500.000

C = 10.000


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

Borrar Datos

?

Nº de Períodos Calcular

Interés Compuesto

Respuesta

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

33.25

Tasa de interés

10 000


1 500 000 Calcular

Valor Futuro Nº de Períodos

60 es el número de depósitos que debe constituir Mario para alcanzar la suma propuesta.

217

Cuota uniforme - INFORMACION BASICA

ip

C


0

1

N-1

VF

N

0

1

períodos

(

Fórmula


218

)

 1 + i N − 1 p  1+ i ⋅ k VF = C  p   ip  

VP

Valor Presente

C

Valor de cuota uniforme

ip


N


Cg

Cuota Global

k=0


k=1


(1)


(

)

N-1

N

Cálculo de las tablas con otros sistemas Sistema de anualidad creciente geométricamente

Constitución de un Fondo para cancelar cesantías Martha Lucía, Gerente de una Caja de Pensiones, constata que los pasivos de esa institución, por concepto de cesantías, ascenderán a 75’810.000, en tres años. Así mismo, ha estimado que la tasa de incremento salarial anual será del 30%. Por ley, el gobierno debe transferirle por doceavas, mensualmente, el valor total anual correspondiente. Ella desea configurar un Fondo de Amortización, colocando las transferencias en una corporación financiera que le reconoce una tasa de interés del 34% capitalizable mensualmente, ¿Cuáles serán los valores de la anualidad (las doceavas), para cada año?

VF =75'810.000

i ∆% = 30% ∆

C1 =?

i = 34% M.V.


1

35

N = 36

0

1

35

N = 36

meses

1. Seleccione el Modulo Fondos 2. Seleccione el Sistema 3. Limpie memorias

✖


Modalidades

Formatos

%

Respuesta

Bonos

✖

Hoja Electrónica

? Sistema Bancario Cuota Uniforme Cuota Global Creciente Linealmente Decreciente Linealmente Creciente Geométricamente Decreciente Geométricamente Anualidad creciente Geométricamente Anualidad decreciente Geométricamente

√α


Ayuda


Fondos↓↑

Fondos de Amortización Sistema Bancario

Borrar Datos

Ver

Fondos

Depreciación

?

3 34

Nº Períodos

30 75 810 000

, . ï

Anticipado Vencido Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Variación

Decimales

Valor Futuro

✔ OK

Nº de Períodos Tasa de interés Variación Valor Futuro Tabla

Tabla

X +Cancel 1/x

%

÷ x

7

5

9

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←

5. Calcule la Tabla

AC

+

Tabla

987.045 es el valor de la cuota de la primera anualidad. Los valores de las demás anualidades se obtienen multiplicando el valor obtenido el año anterior por 1.30

219

Anualidad creciente geométricamente - INFORMACION BASICA

CN

VF

i ∆i∆

ip

C1


1

N-1

0

N períodos

C1 =

Fórmula


220

(

VF 1+ ip

(

)

n′

) (i −N

a

− i∆ )

 1+ i − 1   1+ i ∆  n a  p   1− (1+ ip ⋅k)     1+ ia   ip    

VF

Valor del Fondo

C1

Valor de cuota uniforme de la primera anualidad

ip


ia

Tasa de interés efectiva de la anualidad

i∆

Tasa de incremento

N

Número total de períodos del plazo

n'

Número de períodos de la anualidad

k=0


k=1


(1)


1

N-1

N

15 Bonos

“El secreto del éxito en la vida consiste en estar preparado cuando llegue la oportunidad” Disraeli

U

n inesperado fenómeno atmosférico en Brasil dió origen a unas hela das que diezmaron la producción cafetera de ese país, redujeron la oferta mundial del grano y dispararon los precios de cincuenta centavos a tres dólares en poco tiempo. Colombia fue el productor beneficiado. No obstante, las autoridades monetarias y del café con buen criterio entendieron que la inyección de ese nuevo dinero a la economía desbordaría la inflación y crearon un tipo de bono que denominaron Títulos de Ahorro Cafetero, TAC, con los cuales se retendría al productor parte del precio cuando este efectuara las ventas de café. Esos títulos se redimirían en tres años y sus cupones reconocerían una tasa de interés del 9 por ciento semestral. Los cafeteros no estaban acostumbrados a negociar con esos papeles de diseño idéntico a los bonos, y prefirieron venderlos hasta con descuentos del 80 por ciento de su valor. Muchos hombres de negocios, con excedentes de liquidez o acceso privilegiado a los créditos, estaban haciendo con esos bonos un negocio descomunal. En uno de mis seminarios relaté este caso a mis alumnos. Uno de ellos, que también había sido mi alumno en la facultad de economía, decidió apostar todos sus ahorros a esa opción. Vendió sus propiedades y canceló actividades en el área de la construcción, adquirió TACs e inició así una próspera secuencia de éxitos financieros. Quizás iba demasiado rápido y murió joven, pero cumplió con el sueño de ser un hombre millonario.

222


Importancia práctica del tema Como fuente de recursos financieros a corto y largo plazo, los Bonos tienen una importancia práctica enorme para amplios sectores del gobierno y de la empresa privada. Este documento le agrega al tema una nueva formulación que hace posible el cálculo exacto del precio del bono en cualquier fecha antes de su redención, suprimiendo los complejos procesos de cálculo que se han utilizado tradicionalmente. Además usted quedará en capacidad de: • Determinar cuanto renta un bono y si es conveniente comprarlo o no. • Por cuánto se debe comprar un bono cuando conoce la tasa que desea obtener • Elaborar tabla de precios y de recompra cuando usted sea quien los emita.

223

Valores para financiar las empresas a largo plazo Cuando la sociedad anónima requiere dinero a largo plazo para sus programas recurre a la emisión de acciones o a la emisión de bonos. En el primer caso quiere atraer inversionistas que confíen en su desempeño ofreciendo en venta porciones de la empresa. En el segundo busca prestamistas que les satisfaga la tasa de interés que reconocen. Existen por consiguiente, dos clases fundamentales de valores para financiar las empresas a largo plazo: las acciones y los bonos. Acción

La acción es un título que representa propiedad, como una escritura.

Bono

Un bono es un título que representa deuda y es el respaldo documentario que entrega la empresa que lo emite.

Tenedor

Es el propietario del bono o dicho en otra palabra el acreedor. El tenedor del bono tiene todos los derechos propios de un acreedor, de acuerdo con las cuantías y las condiciones de su préstamo, las cuales van contenidas en forma explícita en el título de cada bono.

Condiciones

Las condiciones se refieren al valor nóminal , al plazo de amortización, a la tasa de interés que reconocen y a la serie. El interés periódico se especifica claramente en cupones adheridos al título del bono.

Valor nominal

Es el valor que aparece escrito en el título

Plazo

Es el número de períodos durante los cuales se acuerda el crédito

Tasa de interés

Es la tasa que reconoce el bono y con la cual se calcula el Valor del Cupón

Serie

Es el numero que identifica el título

Liquidación de intereses Denominación

La liquidación del interés puede ser en cualquier período , pero, lo más usual son las liquidaciones mensual, trimestral o semestral, muchas veces anticipadas. Las denominaciones de los bonos, casi siempre son múltiplos de 10, 100, 500, 1000, etc, y cada denominación corresponde a una serie. Se presentan casos de excepción como los títulos de ahorro cafetero que se emitieron con denominación hasta de 8. El bono tiene un valor nominal que es reembolsado al concluir el período de maduración. Este período comprende desde la fecha de emisión hasta la fecha de redención. En fin, un bono es un préstamo que se reembolsa al culminar el plazo pactado y por el cual se recibe un interés periódico. Los bonos pueden ser emitidos por el gobierno nacional o por la empresa privada, según la legislación de cada país. Generalmente se entregan a los intermediarios financieros para que ellos administren su manejo mediante un contrato que se denomina FIDEICOMISO. Quien ejecuta el mandato se denomina FIDUCIARIO y quien delega se llama FIDEICOMITENTE.

224

Amortización de la emisión

Es el plan de pagos para cancelar la deuda a los tenedores de los bonos.

Compra a premio A veces los bonos son adquiridos por un valor superior al valor nominal. Compra a descuento Rendimiento

Es común negociar los bonos a un precio inferior al valor nominal. Ello asegura al comprador que obtendrá un rendimiento mayor del estipulado en el título del bono. Es la rentabilidad que ofrece un bono y se mide con la tasa efectiva anual equivalente.

225

APLICACION Precio de un Bono en la fecha de pago de cupones Comentarios Cuando se negocian bonos en una rueda de bolsa o en cualquier otra circunstancia es casi seguro que la fecha no coincida con la de pago de cupones. Pero cuando ello ocurre, el cálculo del precio es más sencillo.

Bono comprado a descuento Por cuánto debe adquirirse un bono -al culminar el tercer semestre de su emisión y después de haber sido pagado el cupón correspondiente a ese período- si su valor nominal es de 100 ; el plazo de 4 años ( 8 semestres )el interés es de 8% liquidable semestralmente y el comprador desea ganarse el 30% semestre vencido?

Valor Nominal = 100 Precio = ?

Cupón = 8

i = 30 % S.V.


0

1

4

N=5

0

1

4

N=5

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos Bonos

Respuesta

226

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

5

Nº de Períodos

30 8

Tasa de interés Cupón Precio

100

Valor nominal


Precio

76.53 es el precio que debe pagar el comprador si quiere asegurar en rendimiento del 15 semestral sobre su inversión.

Precio de un Bono entre fechas de pago de cupones Comentarios Por lo general cuando se negocian bonos en una rueda de bolsa o en cualquier otra circunstancia es casi seguro que la fecha no coincida con la de pago de cupones. En este caso se utiliza la fórmula general, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Precio de un bono Se desea negociar un bono emitido hace 3 semestres y 106 días. Sus características son las siguientes: Plazo 36 semestres, valor del cupón semestral 3.5 para un valor nominal de 100; ¿por cuánto debe adquirirse si el comprador desea un rendimiento del 8% semestre vencido y se asume año de 365 días?


Cupón = 3.5

i = 8 % S.V.

Líneas de tiempo equivalentes 106 días

0

1

32

N = 33

0

1

32

N = 33

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica

36 - 3 =

Nº de Períodos

8

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos Bonos

Respuesta

√α

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←

3.5

Cupón Precio

100

Valor nominal


-

+

AC

Calcular

Precio

93.05 es el precio que debe pagar el comprador si quiere asegurar un rendimiento del 4% semestral sobre su inversión.

227

DISEÑO DE UN BONO Valor de colocación y valor de los cupones. Comentarios En muchos casos resulta más atractivo para el inversionista ofrecerle bonos a descuento con un interés menor, que bonos al 100% pero con un interés mayor.

Emisión de bonos para capitalización de una empresa Una empresa industrial necesita 500’000.000 para capital de trabajo y decide emitir bonos a un año de plazo que produzcan un rendimiento de 30% efectivo anual, equivalente al 2.21% efectivo mensual. Si consideran conveniente pagar 2% por cupón mensual, ¿Cuál debe ser el precio de colocación por cada 100 de valor nominal, para asegurarle al inversionista el rendimiento ofrecido ?


Cupón = 2

i a = 30 %


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos Bonos

Respuesta

228

√α

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

12

Nº de Períodos

30 2

Tasa de interés Cupón Precio

100

Valor nominal


Precio

97.80 es el precio al cual se deben emitir los bonos para asegurar un rendimiento del 30% efectivo anual al comprador.

Compra a premio o a descuento Comentario Quienes invierten en activos financieros y llegan a tener problemas transitorios de liquidez, es probable que decidan negociarlos a un precio inferior a fin de solucionar el problema de manera rápida. En las transacciones con bonos es frecuente negociarlos con precios inferiores al valor nominal, por consiguiente, si el precio de compra de un bono es inferior al valor de redención se dice que ha sido comprado a descuento. De otra parte, si el precio de compra es superior al valor de redención, se dice que ha sido comprado a premio.

Compra a descuento Gerardo Eusse tiene la oportunidad de colocar su dinero al 32% semestre vencido. Un corredor de bolsa le asegura que puede obtener el mismo rendimiento comprando bonos a cuatro semestres de su redención, cuyos cupones valen cada uno 4 y su Valor nominal es de 100, ¿a qué precio debe comprarlos para garantizar esa rentabilidad? Valor Nominal = 100 Precio = ?

Cupón = 4

i = 32 % S.V.


1

3

N= 4

0

1

3

N=4

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

4 32

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos Bonos

Respuesta

√α

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

4

Nº de Períodos Tasa de interés Cupón Precio

100

Valor nominal


Precio

Gerardo debe comprar los bonos a 66.42 si quiere asegurar un rendimiento del 16% efectivo semestral sobre su inversión. Tabla de inversión de un bono.

229

TABLA DE INVERSION DE UN BONO Comentarios El inversionista en activos financieros, en general, necesita conocer la evolución del precio, del título adquirido, a fin de establecer el valor de sus asientos contables o para definir, previamente, el precio de negociación futuro que asegure la rentabilidad correspondiente a su tasa de interés de oportunidad; para ello, se elabora una tabla en la que se consigna, entre otras cosas, la valorización del título y su valor en libros, a lo largo de la vida del mismo. Esta tabla se denomina, Tabla de Inversión. Cabe agregar, que el precio de compra de un bono, en una fecha dada, es su valor en libros en la misma fecha. De igual manera, el valor en libros en la fecha de maduración es su valor de redención

Así que, para el ejemplo anterior, el valor en libros inicial coincide con el precio: 66.42; y su valor en libros, a la maduración, con su valor de redención: 100. Hechas estas aclaraciones, y teniendo en cuenta que la tasa de interés de oportunidad definida fue de 16%, se presenta la tabla de inversión, e inmediatamente después, se explica el proceso de elaboración. 1 Semestre

Tabla de inversión

2

3

4

5

Precio Valor Valorización Interés sobre en libros precio en libros del cupón

0

66.42

10.63

4.00

6.63

1

73.05

11.69

4.00

7.69

2

80.73

12.92

4.00

8.92

3

89.65

14.34

4.00

10.34

4

100.00

Elaboración de la tabla. 1. En la primera columna se consigna el período.

4. En la columna, 4 , se ubica el valor del cupón de cada período.

2. Se inicia la segunda columna con el valor en libros.

5 . La valorización que se relaciona en esta columna resulta de restar el valor del cupón (Columna 4) del interés (columna 3).

3. En la tercera columna se consigna el interés sobre el valor en libros que resulta del producto del valor en libros, columna 2, por la tasa de interés de oportunidad.

230

Este valor se sumará al valor en libros del período corriente, para obtener el valor en libros del período siguiente.

Rentabilidad de los bonos Comentario En el aparte anterior, se calculó el precio que podría ofrecerse por un bono y obtener así el rendimiento deseado para la inversión. En otros casos por el contrario, se desea conocer la rentabilidad para un precio dado. Es el caso de los bonos que se emiten con descuento y que se negocian, muchas veces a precios inferiores al de emisión, en las Bolsas de Valores .

Rentabilidad de los Bonos de Desarrollo Urbano Se emiten bonos de Desarrollo urbano con plazo de tres años y tasa de interés de 24% liquidable semestralmente, ¿ Qué rentabilidad ofrecen estos papeles ?

i a = 24% S.V.

ia=?%


1

1

f= 2

0

f=1 año

semestres


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


Semestral • Vencida • Nominal


✖



✖


1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

25.44 % es la rentabilidad efectiva anual equivalente que percibe quien adquiera este tipo de bonos.

231

Rentabilidad de un Bono comprado a descuento. Títulos de ahorro cafetero Un Título de ahorro cafetero que es similar a un bono se adquiere por el 75% de su valor nominal al momento de la emisión. Si estos títulos reconocen una tasa de 18% liquidable semestralmente y tienen un plazo de redención de tres años, ¿Que rentabilidad percibirá el comprador ?

Valor Nominal = 100 Precio = ?75

Cupón = 9

is=?%


1

5

N= 6

0

1

5

N=6

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

3

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos Bonos

Respuesta

√α

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+


9

Cupón

75 100

Precio Valor nominal


Tasa de interés

15.74 % es la tasa efectiva semestral. 33.95 % , es la rentabilidad efectiva anual de estos títulos comprados a descuento

232

Amortización de bonos Amortización por sorteos Comentario Se definió, Amortización, como “el plan de pagos de una deuda”. Las deudas contraídas por emisiones de bonos, en general se amortizan con una anualidad. Es decir, con sumas iguales haciendo abonos a interés y a capital, periódicamente. Además, la parte correspondiente de abono a capital se redime en cada período y, los bonos a redimir, se escogen por sorteo. Un ejemplo, con la tabla de amortización correspondiente, ilustrará las afirmaciones anteriores.

Bonos de desarrollo económico Se emitieron bonos por 4.500 millones, que se colocaron de manera inmediata. Las características de la emisión son las siguientes: plazo, cinco años; tasa de interés , 18% pagadero por trimestres vencidos ¿Cuál es la suma a amortizar trimestralmente ?. VP = 4.500

C= ?

i = 18 % T.V.


1

19

N = 20

0

1

19

N = 20

trimestres


Respuesta

✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos



Ayuda

✖

Fondos

Depreciación

, . ï

?


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Valor Presente

Decimales

Variación

✔Tipo... OK

5

Nº de Períodos

18 4 500


Tabla

+ X Cancel 1/x %

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


346 millones es la suma de amortización trimestral.

233

Tabla de amortización

En la columna 3: interés aparecen los valores de los cupones que se deben pagar trimestralmente. En la columna 4: Abono a capital-, aparecen las sumas de dinero que habrían de reembolsarse, en cada sorteo, a los tenedores de bonos favorecidos. Finalmente, cabe aclarar que en los bonos comprados a descuento, quienes resultan favorecidos en los primeros sorteos, obtienen una rentabilidad mayor que quienes resulten favorecidos en los posteriores, como se podrá apreciar enseguida.

234

Período Valor Interés N º de la cuota del período 0 1 346 203 2 346 196 3 346 189 4 346 182 5 346 175 6 346 167 7 346 159 8 346 151 9 346 142 10 346 133 11 346 123 12 346 113 12 346 103 12 346 92 12 346 80 12 346 68 12 346 56 12 346 43 12 346 29 12 346 15

Abono a capital 143 150 157 164 171 179 187 195 204 213 223 233 243 254 266 278 290 303 317 331

Saldo 4,500 4,357 4,207 4,050 3,886 3,715 3,537 3,350 3,155 2,951 2,737 2,515 2,282 2,039 1,784 1,519 1,241 951 648 331 0

Rentabilidad de los bonos amortizados Comentario Como un estímulo adicional a los compradores de bonos, en general, como ya se dijo se hacen sorteos periódicos, que coinciden con las fecha de pago de los cupones, para amortizar con anualidades las emisiones. Los bonos favorecidos se pagan por su valor nominal. A estos bonos se les denomina bonos amortizados y su rentabilidad será mayor si el bono resulta favorecido en los primeros sorteos que en los posteriores.

Rentabilidad de un Bono amortizado por sorteo Los bonos de desarrollo, devengan una tasa de interés del 15% liquidable trimestralmente, se emiten a 10 años y se colocan al 95% de su valor nominal. Se redimen por sorteos trimestrales y, los favorecidos, se reciben al 100% de su valor. ¿ Cuál es el rango de rentabilidad entre un bono redimido al culminar el último período y uno redimido en el primer sorteo ? Rentabilidad de un bono redimido al culminar el último período.

Valor Nominal = 100 Precio = 95

Cupón = 3.75

it = ? %


1

39

N = 40

0

1

39

N = 40

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

10

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos Bonos

Respuesta

√α

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=


← AC

3.75 95 100

Cupón Precio Valor nominal


Tasa de interés

4 % es la tasa efectiva trimestral 17% , es la rentabilidad de los bonos amortizados al final del plazo.

235

Rentabilidad de un bono redimido en el primer sorteo.

Precio = 95

VF = 103.75

it =?%


N= 1

0

N= 1

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


Bonos

↓↑

%


Ayuda Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

1

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Borrar Datos Bonos

Respuesta

√α

Recordar

Cupón

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+


3.5 95 100

Cupón Precio Valor nominal


Tasa de interés

42.25% , es la rentabilidad de los bonos amortizados en el primer sorteo . Rango de rentabilidad Entonces, el rango de rentabilidad entre un bono redimido al culminar el último período y un bono redimido en el primer sorteo es: 17% < ia < 42.25%

236

INFORMACION BASICA Valor Nominal, VN Precio

ip


1

N-1

Cupón

0

N

1

N-1

N

períodos

Fórmula

Definición de VP , variables C, i p, N, C g, d c, d p,

(

   1− 1+ ip VP = C   ip   

)

−N

  1+ i ⋅k + C 1+ i p g p  

(

)

(



) (1+ i ) dd −N 

 

c

p

p

Precio del Bono en la fecha de negociación Valor del Cupón Tasa periódica de interés Numero de Cupones pendientes de pago Valor de Redención Días desde el pago del último Cupón Días del período entre cupones

237

238

16 Métodos de depreciación

" Nunca, Nunca, Nunca te des por vencido! " Wiston Churchill

A

compañaba a mi hermana con un agente de bienes raíces amigo a visi tar una casa en venta. No le gustó: demasiada área para sus necesidades. Durante la visita me limité a expresar que me encantaba el silencio imperante en ese rincón de barrio por donde no transitaba vehículo alguno. Fue suficiente acicate para la iniciativa vendedora del agente. Pareciera que hacía rato no concretaba una venta. Montó un verdadero dispositivo para comprometerme a negociar. Me llamó una y otra vez, para repetirme que el podría conseguir un buen precio, porque sabía que la compañía donde trabajaba el propietario le había notificado a este su traslado a otra ciudad. Mis circunstancias eran estas: recientemente me había comprometido en matrimonio y necesitaría una nueva vivienda; contaba con algún efectivo, pero el precio no estaba a mi alcance; por consiguiente opté por alejarlo de una vez por todas, hice una oferta que supuse rechazaría de inmediato : sólo el 50% del valor pedido, pero de contado. Para mi sorpresa, disimuló el enfado por mi despropósito y dijo: - Bueno, eso al menos es algo concreto. Ese mismo día me concertó una cita con el propietario y finalmente adquirí el inmueble por el 60% del precio original. La mitad al recibir la propiedad y el resto, seis meses más tarde. En resumen como si la hubiera comprado de contado por el 55% del precio original.

240


Importancia práctica del tema La depreciación se define como la disminución o pérdida del valor de los activos fijos tangibles por desgaste, deterioro u obsolescencia. La depreciación acumulada se resta, en el Balance general, de los activos brutos a fin de conocer el Valor en Libros, es decir, cuánto posee la empresa en Activos netos. La reserva de depreciación del período se registra como un gasto en el Estado de Resultados. Este gasto disminuye el monto de tributación y es una fuente de efectivo para la empresa. Los métodos de cálculo de la depreciación son diversos y la aplicación de alguno de ellos depende de la preferencia de la empresa, sujeta a la legislación de cada país. Este documento presenta los métodos más conocidos y sus tablas se calculan de manera sencilla con el programa.

241

Depreciación

Es la disminución o pérdida del valor de los activos fijos tangibles por desgaste, deterioro u obsolescencia”

Costo inicial

- C0 - Es el valor de adquisición del activo. Comprende el precio de adquisición incluido el impuesto a las ventas, los de aduana y timbre, más las adiciones y gastos necesarios para ponerlo en condiciones de iniciar la prestación de un servicio normal.

Costo de reemplazo

- Cr - Es el valor que se debe acumular en el Fondo para reemplazar un activo depreciado.

Cuota de depreciación

- C - Cantidad que hay que reservar periódicamente para el fondo de depreciación.

Vida útil

- N - Es el tiempo que, se estima, durará un activo. Se considera como vida útil probable de los bienes depreciables, hasta 20 años para la propiedad inmueble, 10 años para la propiedad mueble y 5 años para aviones y vehículos automotores en general”

Valor en libros

- V L - Es el costo del activo menos la reserva puesta aparte para cubrir la depreciación.

Valor de salvamento

Valor de uso Fondo de depreciación

Métodos de depreciación

Tabla de depreciación

242

- Vs - Es el valor que, se estima, tendrá el activo al terminar su vida útil. La legislación colombiana ha eliminado el valor de salvamento. - Vu - Es la diferencia entre el costo inicial del activo y el valor de salvamento. Llamado también fondo para reserva o reemplazo, está constituido por la suma periódica, generalmente anual, que se asigna para reemplazar un activo al término de su vida útil. Cuando las cuotas devengan interés, éstos también hacen parte del fondo. Los más conocidos son: • Linea recta • Reducción de saldos en progresión geométrica • Suma de dígitos que representan la vida útil del activo • Fondo de amortización • Amortización En los métodos de depreciación se hace necesario la elaboración de una tabla que permita observar la evolución periódica de las cuotas, del valor en libros y la acumulación del fondo de reposición. A continuación se estudia cada sistema y se incluye el concepto del valor de salvamento en alguno de ellos, no obstante en muchos países no se considere.

LINEA RECTA Este método que es el más simple, consiste en apropiar cada año, como cuota de depreciación, una suma igual, enésima parte del Valor de uso, durante la vida del activo.

APLICACION Reposición de vehículos en una empresa de transporte Una empresa de transporte adquiere cuatro vehículos para reponer equipo automotor de servicio urbano, por 24.000.000. Se considera que después de cuatro años de servicio diurno y nocturno, los automotores tendrán un valor de salvamento de 4.000.000, ¿Cuál debe ser la reserva anual para depreciación? Calcular la tabla de depreciación. Cabe aclarar que, en los países con inflación, los activos al transcurrir el tiempo, tienen mayor valor monetario. V s = 4.000.000 Co = 24.000.000

CD = ?

ip = 0 %


1

3

0

N=4

1

3

N=4

años

1. Seleccione el Modulo Depreciación

Archivo Simple

Modalidades

3. Limpie memorias Borrar Datos

Formatos

Ver

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

✖

Sistemas de depreciación Línea Recta Recta Línea Saldo decreciente Geométrico Suma de dígitos Fondo de amortización Sistema por amortización Depreciación Linea Recta


Ayuda


↓↑

2. Seleccione el método

✖


Calcular

Costo

Borrar datos

Vr. Salvamento

✔ OK Recordar

24 000 000

Costo

4 000 000 4

Vr. Salvamento

Vida Util

Tabla

Decimales

X Canceltipo...

√α

Vida Util

Tabla

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

← AC

5. Calcule la Tabla: Tabla

243


Año

Cuota depreciación

0 1 2 3 4

Valor del fondo

5,000,000 5,000,000 5,000,000 5,000,000

Valor en libros

24,000,000 19,000,000 14,000,000 9,000,000 4,000,000

5,000,000 10,000,000 15,000,000 20,000,000

Representación Gráfica del Valor en Libros y Fondo

Valor en Libros

Valor del Fondo

20,000,000

20,000,000

15,000,000

15,000,000

10,000,000

10,000,000

5,000,000

5,000,000

0

0 0

1

2

3

4

1

2

3

4

5

Observaciones

Este sistema, el más utilizado por su sencillez, adolece de dos fallas fundamentales: primero que no asigna ningún interés a las cuotas del fondo y, segundo, que no tiene en cuenta el impacto de la inflación sobre el costo del activo.

244

INFORMACION BASICA Este método que es el más simple, consiste en apropiar cada año, como cuota de depreciación, una suma igual, enesima parte del Valor de uso, durante la vida del activo. Vs Co

0

CD

ip = 0 %


N-1

0

N

1

N-1

N

períodos

Fórmula

CD =

Costo − Vs N

Definición de variables CD , Cuota de depreciación Co , Costo incial Vs , Valor de salvamento N , Vida útil Valor de uso, Vu = Co - Vs

245

SALDO DECRECIENTE GEOMETRICAMENTE Este sistema consiste en asignar, como reserva, el producto de una tasa fija de depreciación por el valor en libros del período anterior, durante la vida útil del activo. Queda entendido que, como el valor en libros decrece, la reserva de depreciación será menor cada año.

APLICACION Depreciar un montacargas Se desea depreciar un vehículo de transporte interno de una fábrica por el método de saldo decreciente geométricamente. Con un costo inicial es de 10.000.000, el valor de salvamento, 2.000.000 y la vida útil de 4 años, elaborar la tabla de depreciación.

CD1 = ?

Costo = 10.000.000

Vs = 2.000.000

ip = 0

0

1

3

0

N=4

1

3

N=4

años


Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

%


246

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

✖

Sistemas de depreciación Línea Recta Saldo decreciente decreciente Geométrico geométricamentes Saldo Suma de dígitos Fondo de amortización Sistema por amortización Depreciación Linea Recta


Ayuda


↓↑


✖


Calcular

Costo

Borrar datos

Vr. Salvamento

✔ OK Recordar

10 000 000

Costo

2 000 000 4

Vr. Salvamento

Vida Util

Tabla

Decimales

X Canceltipo...

√α

Vida Util

Tabla

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

← AC



Año

0 1 2 3 4

Cuota depreciación

3,312,597 2,215,267 1,481,438 990,698

Valor del Fondo

3,312,597 5,527,864 7,009,303 8,000,000

Valor en libros

10,000,000 6,687,403 4,472,136 2,990,697 2,000,000

Observaciones Como el sistema anterior, las cuotas no ganan interés ni se consideran el efecto de la inflación sobre el costo del activo.

247

INFORMACION BASICA Este sistema consiste en asignar, como reserva, el producto de una tasa fija de depreciación por el valor en libros del período anterior, durante la vida útil del activo. Queda entendido que, como el valor en libros decrece, la reserva de depreciación será menor cada año.

CD1

Costo ip = 0


1

N-1

N

0

1

Períodos

CD1

Fórmula


CD1,

1   Vs  N   = Costo 1 −    Costo    

Cuota del primer año

Costo, Costo inicial Vs, Valor de salvamento N, t,

Vida útil Tasa fija, que es el valor entre corchetes

Por definición las demás cuotas se obtendrán:

248

Vs t

t x VLN

N-1

N

SUMA DE DIGITOS QUE REPRESENTAN LA VIDA UTIL DEL ACTIVO Este método como los anteriores es muy sencillo de aplicar y el procedimiento para la obtención de las cuotas se ilustra con ayuda de un ejemplo.

APLICACION Depreciar un tractor Calcular las cuotas de depreciación y elaborar la tabla correspondiente para un tractor que cuesta 47.000.000, tiene un valor de salvamento de 2.000.000 y una vida útil de cinco años.

CD1 = ?

Costo = 47.000.000

Vs = 2.000.000

ip = 0 t 0

1

4

0

5

1

4

5

Años


Archivo Simple

Modalidades


Formatos

Ver

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

?

✖

Sistemas de depreciación Línea Recta Saldo decreciente Geométrico Suma de de dígitos dígitos Suma Fondo de amortización Sistema por amortización Depreciación Linea Recta


Ayuda


↓↑


✖


Calcular

Costo

Borrar datos

Vr. Salvamento

✔ OK Recordar

47 000 000

Costo

2 000 000 5

Vr. Salvamento

Vida Util

Tabla

Decimales

X Canceltipo...

√α

Vida Util

Tabla

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

+

← AC


249

Tabla de

Año

Depreciación 0 1 2 3 4 5

250

Cuota depreciación

15,000,000 12,000,000 9,000,000 6,000,000 3,000,000

Valor del Fondo

15,000,000 27,000,000 36,000,000 42,000,000 45,000,000

Valor en libros

47,000,000 32,000,000 20,000,000 11,000,000 5,000,000 2,000,000

INFORMACION BASICA Este método como los anteriores es muy sencillo de aplicar y el procedimiento para la obtención de las cuotas se ilustra con ayuda de un ejemplo.

CD1 = ?

Costo ip=0


t 0

1

N-1

0

N

1

N-1

N

Períodos

Fórmula

CD1 =

2⋅Costo N+1

Definición de variables CD1 ,

Primera cuota

Costo , Costo del activo N,

Vida util

251

PROCEDIMIENTO

1. Se suman los números correspondientes a los distintos años.

S=1+ 2 + 3 + 4 + 5 S = 15

2. Se ordenan los números de mayor a menor y se dividen por la suma anterior.

5/15 ; 4/15 ; 3/15 ; 2/15 ; 1/15

3. Se obtiene el valor de uso

Vu = Costo - Vs Donde, Co = 47.000.000 Vs = 2.000.000 Se reemplaza, Vu = 47.000.000 - 2.000.000 Vu = 45.000.000

4. Se multiplica el valor de uso por cada uno de los factores correspondientes obtenidos en el punto, 2, y los resultados constituyen las cuotas correspondientes a los distintos años.

252

1

5/15 x 45.000.000 = 15.000.000

2

4/15 x 45.000.000 = 12.000.000

3

3/15 x 45.000.000 =

9.000.000

4

2/15 x 45.000.000 =

6.000.000

5

1/15 x 45.000.000 =

3.000.000

FONDO DE AMORTIZACION Este método de depreciación se comporta exactamente como el sistema de fondo de amortización de anualidad tratado en el capítulo de Fondos. En consecuencia, las cuotas de amortización son uniformes, ganan interés y su valor futuro es igual al valor del uso del activo.

APLICACION Depreciar moldes Se desea depreciar moldes de fibra de vidrio, en tres años. El costo de ellos es de 1’400.000 y no tienen valor de salvamento. ¿Qué cuota anual debe reservarse si la tasa de interés, que devengan los depósitos del fondo, es de 29.47%?

i a = 29.47 %

CD= ?

V u = 1.400.000


1

2

N= 3

0

1

2

N= 3

años


Archivo Simple

Modalidades


Formatos

Ver

%


Ayuda


↓↑


✖


Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

1 400 000

Vr. Salvamento

?

✖ Calcular

Costo

Borrar datos

Vr. Salvamento

Sistemas de depreciación Línea Recta Saldo decreciente Geométrico Suma de dígitos Fondo de de amortización amortización Fondo Sistema por amortización Depreciación Linea Recta

Costo

Recordar ✔ OK

√α

3 29.47

Vida Util

Decimales

Tasa de Interés

tipo...

Tabla

X Cancel +

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

Vida Util Tasa de Interés Tabla

5. Calcule la Tabla:

AC

Tabla

253

Tabla de Depreciación

Año

0 1 2 3

Cuota depreciación

352,561 352,561 352,561

Valor del Fondo

352,561 809,021 1,400,000

Valor en libros

1,400,000 1,047,439 590,979 0

Observaciones Para el proceso de elaboración de la tabla debe remitirse al capítulo del fondo de amortización.

Como se observa, este sistema aventaja los anteriores porque sus cuotas devengan interés; pero no contempla el efecto de la inflación sobre el costo del activo.

254

INFORMACION BASICA Este método de depreciación se comporta exactamente como el sistema de fondo de amortización de anualidad tratado en el capítulo de Fondos. En consecuencia, las cuotas de amortización son uniformes, ganan interés y su valor futuro es igual al valor del uso del activo.

ip

C


1

N-1

N

VF

0

1

N-1

N

períodos

Fórmula


CD =

CD,

Cuota de depreciación

VF,

Valor de uso

ip ,


N,

Vida util

VF  1+ i N − 1 p     ip  

(

)

255

AMORTIZACION Este sistema considera el costo inicial del activo como una inversión en activos financieros y, en consecuencia, le asigna un interés. Asimismo, las cuotas que se reservan para el fondo también ganan interés. El capítulo de las cuotas se hace con la fórmula del sistema de amortización de anualidad.

APLICACION Depreciar equipo de oficina Se compra equipo de oficina por valor de 2’000.000 que será depreciado en 10 años. Si la tasa de interés del mercado es de 29.87%, ¿Cuál será la cuota anual de depreciación?.

Co = 2.000.000


0

CD = ?

i a = 29.87 %

1

9

N = 10

0

1

9

N = 10

años


Archivo Simple

Modalidades


256

Formatos

Ver

%


Ayuda


↓↑


✖


Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

2 000 000

Vr. Salvamento

?

✖ Calcular

Costo

Borrar datos

Vr. Salvamento

Sistemas de depreciación Línea Recta Saldo decreciente Geométrico Suma de dígitos Fondo de amortización Amortización Sistema por amortización Depreciación Linea Recta

Costo

Recordar ✔ OK

√α

10 29.87

Vida Util

Decimales

Tasa de Interés

tipo...

Tabla

X Cancel +

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

←

Vida Util Tasa de Interés Tabla

5. Calcule la Tabla:

AC

Tabla

Valor del Fondo

C D = 644.630

i a = 29.87 %

V u = 27.297.198


1

9

N = 10

0

1

9

N = 10

años

257

INFORMACION BASICA Este sistema considera el costo inicial del activo como una inversión en activos financieros y, en consecuencia, le asigna un interés. Asimismo, las cuotas que se reservan para el fondo también ganan interés. El capítulo de las cuotas se hace con la fórmula del sistema de amortización de anualidad.

Costo

CD

ia


1

N-1

N

0

1

Períodos

CD =

Fórmula


CD , Cuota de depreciación Vu , Valor de uso ip , Tasa de interés periódica N , Vida util

258

Vu

(

 1− 1+ i p   ip 

)

−N

   

N-1

N

17 Bienes raíces

“No hay victoria sin dolor” Franklin

D

ictaba una conferencia y me esmeraba en explicar el principio de equivalencia financiera mediante la representación gráfica que ideé y decidí denominar "Líneas de tiempo equivalentes". Mientras hablaba, dos ingenieros de una misma empresa constructora conversaban y sonreían en voz baja al punto que empecé a sentirme molesto con esa interrupción en la sala y de alguna manera expresé mi malestar . Al día siguiente, apenados, quisieron explicar la causa del comportamiento. Como constructores de un plan de vivienda campestre, habían venido ofreciendo a sus clientes cinco modalidades de cancelación de la cuota inicial. El diseño de los planes, que ellos mismos habían hecho, no contemplaba para nada el principio de la equivalencia financiera que había explicado el día anterior. El proyecto se había vendido en su totalidad, pero la risa nerviosa y los comentarios en voz baja obedecían a saber de quién sería la responsabilidad ante la junta directiva cuando se comprobara que el plan escogido por la mayoría de los clientes no era, financieramente, el mejor para la compañía.. Y en efecto: al utilizar el método de líneas de tiempo equivalentes para comparar todas las opciones, se puso en evidencia que se dejaban de ganar 100 mil dólares adicionales en esa promoción. Como el plan de todos modos había sido un éxito de ventas, y se habían conjurado ya los sobrecostos financieros, ellos decidieron contar a sus socios lo ocurrido como un chiste financiero que había ocurrido en un salón de clase.

260


Importancia práctica del tema El negocio de bienes raíces es considerado como uno de los más dinámicos y es el preferido por el grueso de inversionistas sin formación en finanzas. Estas inversiones que se realizan en general, con criterios subjetivos, deben redituar mucho mejor si se apoyan en sólidos criterios financieros. Con este propósito, el tema se ilustra con una secuencia de casos prácticos, a fin de que usted se familiarice con él y quede en condiciones de decidir entre algunas de las opciones que plantea. En los enunciados, se han omitido algunos costos secundarios para no distraer la atención del objeto principal del problema, sin dejar de advertir que en todo proyecto de inversión se deben tener en cuenta la totalidad de los ingresos y egresos para que los resultados reflejen con fidelidad la realidad. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Venta de una casa Un establecimiento de crédito prestó a Pedro 9.000.000, al 26%, por 15 años, para comprar una casa. La cuota que Pedro cancela al Banco es de 200.000 mensual. Dos años más tarde, exactamente después del pago 24, Pedro tiene que viajar y decide vender. Si un inversionista ofrece hacerse cargo de la deuda y entregarle 2.630.508 a Pedro, ¿Cuánto le ofreció a Pedro por la casa ? Deuda pendiente en un crédito hipotecario El préstamo original para compra de un apartamento fue de 15.000.000, y se han pagado 79 cuotas. Si el crédito fue obtenido a una tasa efectiva anual es de 30 % y las cuotas mensuales de 350.000. ¿Cuál es la suma que aún se adeuda? Valorización de una propiedad Una casa ha sido avaluada en 50.000.000. Esta propiedad se compró hace cinco años con las siguientes condiciones: tasa de interés 26% liquidable mensualmente; el plazo de 15 años y 180 cuotas mensuales. Como se tiene actualmente una deuda pendiente de 12..000.000 y la cuota inicial ascendió al 30%, se desea saber primero: ¿Cuál fue el precio original de la casa, y segundo: si vende la casa por los 50.000.000, ¿Cuál será la tasa promedio de valorización anual?

261

APLICACION Crédito para vivienda Las entidades de crédito hipotecario utilizan factores para determinar el valor máximo de los créditos , de acuerdo con el Ingreso Familiar Mensual (IFM) de sus clientes. Su utilidad práctica se ilustra con el siguiente ejemplo.

Crédito máximo que se puede otorgar con base en el IFM Un establecimiento de crédito utiliza un factor de 13.55 veces el IFM para determinar el valor máximo que puede otorgar en créditos a 15 años, con el 26% de interés anual, liquidable mensualmente. Si un funcionario posee un IFM de 2.500.000, ¿Cuál es el crédito máximo que puede obtener del banco?.

Préstamo máximo = I.F.M x Factor

Donde, I.F.M = 2.500.000 Factor = 13.55 veces el IFM Préstamo máximo = 2.500 000 x 13.55 Préstamo máximo = 33.875.000

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la manera como se obtiene el factor.

262

Cálculo del factor La cancelación de los créditos para vivienda comprometen hasta el 30% del ingreso familiar mensual (IFM) del beneficiario. Obtener el factor con el cual se pueda calcular el monto máximo del crédito que puede otorgarse a los clientes, por cada peso (1) de ingreso mensual, para un plazo de 15 años y el 26% de interés.

VP = ?

i = 26 % M.V.

C=1


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

15 26 1

?

?

2. Limpie memorias,

Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos


Respuesta


Ayuda

√α


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

45.17987173 Este resultado significa que, 45.18, unidades monetarias de hoy, son equivalentes a 180 mensualidades de 1, y el 30% de esta cantidad constituye el monto máximo que puede otorgarse en crédito por cada unidad monetaria (1) de IFM. Crédito máximo

= 0.30 x 45.17987173

Factor Crédito máximo

= 13.55396152

Que significa que el banco prestará, 13.55, por cada unidad de IFM que se posea.

263

Cupo posible de crédito Un nuevo ejecutivo tiene ingresos familiares mensuales de 900.000. Desea adquirir vivienda y recibe una oferta de la Urbanización Torres del Norte para comprar un apartamento cuyo precio es de 35 millones con financiación de 30 millones a una tasa del 24% anual, mes vencido. Si el desea pagarlo en 5 años, por mensualidades ¿Podría el banco otorgarle dicho crédito?

VP = ?

i = 24 % M.V.

C = 900.000


1

59

N = 60

0

1

59

N = 60

meses

El valor presente de los ingresos familiares es: 1. Seleccione Modulo: Compuesto

✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

?

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

5 24 900 000

Nº Períodos

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

31.284.798 El 30% de este valor constituye el monto máximo del crédito que se puede obtener, es decir: Crédito máximo = 31.284.798 x 0.30 Crédito máximo = 9.385.439 Es decir que con ese plazo no se puede acceder al crédito. NOTA: Obsérvese que el monto del crédito será menor cuanto más reducido sea el plazo escogido.

264

Cálculo de la cuota para pagar un crédito hipotecario

Crédito individual en pesos corrientes Un establecimiento de crédito desea calcular el factor que permita la obtención de las cuotas mensuales uniformes que deben pagar los usuarios de la línea tradicional de crédito, cuya tasa es del 30% , mes vencido, para cada 100.000 de préstamo efectivo y para ser pagados en 15 años. ¿Cuál es el factor?

VP = 100.000

i = 30 % M.V.

C = ?


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

15 30

?

?

2. Limpie memorias,

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente



Calcular

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

√α

100 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Cuota uniforme

2.530 Que es el factor de la línea tradicional para calcular el valor de la cuota que debe pagarse durante 180 meses, por cada 100.000 de crédito.

265

Crédito individual en Valor constante Gustavo Adolfo Arias solicita un crédito de 125 millones a una Corporación de Ahorro y Vivienda para financiar la compra de un apartamento. Si la corrección monetaria es del 21%, la tasa efectiva sobre las UPACs que cobra la corporación es de 7.5% y el plazo de 15 años, ¿Cuál será la cuota mensual que debe pagar Gustavo Adolfo, si escoge el sistema de cuota uniforme?. Primero, se halla la tasa efectiva anual equivalente.

i 1 = 21 %


i 2 = 7.5 % 0

1

0

1

años


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

266

Tasa Convertida

Período

Tasa



30.075 %


✖


2 Tasas

Respuesta

✖


Chequee:

21

años

1


i

364 Días

365




i

7.5

Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

Segundo, se calcula la cuota uniforme

VP = 125.000.000

i a = 30.075 %

Cuota = ?


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

15

Nº de Períodos

30.075

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos


Respuesta


Ayuda

√α

125 000 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Cuota uniforme

2.823.891 Que es la cuota uniforme que Gustavo Adolfo debe pagar durante los 180 meses.

267

Crédito a constructores en UPAC Comentarios En las operaciones de crédito a constructores, las corporaciones de ahorro y vivienda otorgan un plazo igual al programado para la construcción y 6 meses más. Así mismo, cobran una tasa de interés efectiva del 9% sobre las unidades en valor constante del crédito.

Crédito para la construcción de un edificio Ricardo Arcila y Cía. solicita a la Corporación de Ahorro y Vivienda Colmena un crédito por 850 millones, con el propósito de concluir un edificio de apartamentos. Si el plazo estimado para su terminación es de 15 meses ¿Cuánto deberá pagar Ricardo Arcila y Cía., ( o presentar subrogaciones ) a los 21 meses, si la tasa de corrección monetaria es del 21% y el interés del 9% que se acumula para cancelarlo al culminar el plazo? Antes de presentar las líneas de tiempo equivalentes, es necesario hallar la tasa efectiva anual equivalente de estos créditos. Primero, se halla la tasa efectiva anual equivalente. 1. Seleccione Modulo Conversión

Tasa dada Tasa


i 0

2 Tasas

Respuesta

268

Tasa Convertida

Período

Tasa


2 Tasas

31.89 %


✖


Chequee:

21

✖


1


i

364 Días

365




i

9

Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

Segundo, se calcula el valor de las subrogaciones

VP = 850.000.000

0

1

VF = ?

i a = 31.89 %


N = 21

0

1

20

N = 21

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

21

Nº de Períodos

31.89

Tasa de interés

?

2. Limpie memorias,


Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos


Respuesta


Ayuda

√α

850 000 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Futuro

1.379.715.982 Que sería la suma que tendría que reembolsar Arcila y Cía en el evento de que no hubiese pagado intereses mensuales y no se hubiera presentado una subrogación.

269

Capital insoluto de un crédito hipotecario. El préstamo original para compra de un apartamento fue de 15.000.000, y se han pagado 79 cuotas. Si el crédito fue obtenido a una tasa efectiva anual es de 30.075% y las cuotas mensuales de 347.099. ¿Cuál es la suma que aún se adeuda? En este problema se debe hallar: primero, el número total de períodos que permita conocer los períodos que faltan y segundo, ¿Cuál es el saldo pendiente de la obligación?. Primero, se calcula el número de períodos

VP = 15.000.000

i a = 30.075 %

C = 347.099


1

N= 1

N= ?

0

1

N= 1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


270

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α

144 es el plazo en meses.


Ayuda

Nº de Períodos

30.075 347 099 15 000 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

Segundo, se calcula el saldo pendiente de pago Como el número total de períodos es de 144 meses, significa que aún se adeudan , 144 - 79 = 65, cuotas de 347.099. Para determinar cuánto es el saldo, se debe hallar el valor presente de las 65 cuotas.

VP = ?

i a = 30.075 %

C = 347.099


1

64

N = 65

0

1

64

N = 65

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

?

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

Nº de Períodos

65 30.075

Tasa de interés

347 099

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

11.896.827 es el saldo pendiente de pago equivalente a 65 cuotas.

271

Plazo de un crédito hipotecario Se otorga crédito por 8.500.000 a un interés de 33% anual, liquidable mensualmente. Si la cuota mensual que corresponde pagar es de 235.534 mensual, ¿A cuántos años es el crédito?.

VP = 8.500.000

i = 33 % M.V.

C = 235.534


1

N-1

N=?

0

1

N-1

N=?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


272

√α

Nº de Períodos

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

33

Tasa de interés

235 534 8 500 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

180 es el plazo en meses, y 15 el plazo en años.

Calcular

Nº de Períodos

Subrogación de un crédito hipotecario El Banco Latino prestó a Pedro 9.000.000, al 26% anual, mes vencido, por 15 años, para comprar una casa. La cuota que Pedro cancela al Banco es de 199.204 mensual. Dos años más tarde, exactamente después del pago 24, Pedro tiene que viajar y decide vender. Si un inversionista ofrece hacerse cargo de la deuda y entregarle 2.630.508 a Pedro, ¿Cuánto le ofreció a Pedro por la casa ? Como Pedro ha pagado 24 cuotas, aún debe 156. El valor presente de esas cuotas más la cantidad que ofreció entregarle adicionalmente, constituyen la oferta. VP = ?

i = 26 % M.V.

C = 199.204


1

155

N = 156

0

1

155

N = 156

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

?

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

180 - 24 =

Nº de Períodos

26 199 204

Tasa de interés

Nº Períodos

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

8.869.492 es el saldo pendiente de pago equivalente a 156 cuotas. OFERTA = 8.869.492+ 2.630.508 OFERTA = 11.500.000

273

Inversiones en bienes raíces

Valorización de una propiedad Se compró una casa hace 5 años por 3.000.000 ; hoy, está avaluada en 12’500.000 . Se desea saber: a) ¿Cual ha sido la valorización anual? b) Si esta tendencia persiste, ¿Cual sería el valor de la propiedad en dos años?

Primero, se calcula la valorización anual

VP = 3.000.000

VF = 12.500.000

ia = ?%


1

4

N= 5

0

1

4

N= 5

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

5

?

Tasa de interés

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


Nº de Períodos


Borrar Datos

274

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

√α

3 000 000 12 500 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

33.03 % que es la valorización anual a interés compuesto.

Tasa de Interés

Segundo, se calcula el valor de la propiedad en dos años Si persiste la tendencia de la valorización del 33.03% anual, ¿Cuál será el valor de la propiedad en dos años?.

VP = 12.500.000

VF = ?

i a = 33.03 %


1

1

N= 2

0

1

1

N= 2

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

2 33.03

?

2. Limpie memorias,

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente



Calcular

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

√α

12 500 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Futuro

22.121.226 será entonces el precio estimado de la propiedad en dos años.

275

Costo original y valorización Una casa comprada hace cinco años ha sido avaluada en 500.000. La tasa de interés acordada fue del 26% liquidable mensualmente; el plazo de 15 años y 180 cuotas mensuales. Si se tiene actualmente una deuda pendiente de 120.000 y la cuota inicial fue de 30%, se desea saber primero: ¿Cuál fue el precio original de la casa, y segundo: si vende la casa por los 500.000, ¿Cuál será la tasa promedio de valorización anual? Este problema comprende varias etapas: Primero, se halla el valor de la cuota mensual original; segundo, con base en este dato, se debe obtener el precio de compra para calcular finalmente la valorización. Primero, se calcula el valor de la Cuota mensual.

VP = 120.000

i = 26 % M.V.

C = ?


1

119

0

N = 120

1

119

N = 120

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver

Ayuda


↓↑

%

Bonos

Fondos

120

Nº de Períodos

26


Calcular

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos


276

Depreciación

, . ï ?

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


√α

120 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


-

+

AC

Calcular

2.815 es la cuota uniforme que se debía pagar durante los 120 meses.

Cuota uniforme

Segundo, se calcula el Precio de Compra.

VP = ?

i = 26 % M.V.

C = 2.815


1

179

N = 180

0

1

179

N = 180

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

Tasa de Interés Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

Tasa de interés

2 815

Cuota uniforme

Nº Períodos

Recordar

Nº de Períodos

180 26

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

127.180 constituye el 70% del precio de la casa, puesto que se entregó el 30% como cuota inicial. Luego, el precio fue: PRECIO = 127.180 ÷ 0.7 PRECIO = 181.686

277

Tercero, se calcula la Valorización

VP = 181.688

VF = 500.000

i a = ?%


1

14

N = 15

0

1

14

N = 15

años


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

5

?

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente



Calcular

Borrar Datos

278

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

√α

Valor Presente

500 000

Valor Futuro

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

22.44 % es la tasa de valorización anual.

181 688

←


AC

+

Calcular

Tasa de Interés

Compra de un inmueble para saldar la deuda con una cuota global Se quiere comprar una casa campestre cuyo precio de contado es de 26.000.000. El propietario que en cualquiera de sus inversiones gana el 32.25% efectivo anual, como mínimo, acepta la siguiente propuesta: a. 10’000.000 en bonos, que ganan interés semestral de 900.000 y se redimen en dos años, y b. El saldo, inmediatamente. ¿Cuál es esta suma? Primero, se calcula el valor presente equivalente, de los bonos y de sus cupones.

10.000.000 VP = ?

i a = 32.25%

C = 900.000


1

3

0

N= 4

1

3

N= 4

semestres


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

?

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

Nº de Períodos

2 32.25

Tasa de interés

900 000

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

Valor Presente

10 000 000

Valor Futuro

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

8.287.013 El saldo a pagar, inmediatamente, será entonces, SALDO = 26.000.000 - 8.287.013 SALDO = 17.712.987

279

Plazo para pagar un préstamo con cuota global Una fábrica paga 2.500.000 mensuales de arrendamiento por una bodega. El propietario desea comprar la edificación y solicita crédito, por 95.000.000 a una Corporación para completar la suma necesaria. Si se piensa pagar la deuda con las cuotas actuales de arrendamiento y la tasa de interés que cobra la corporación es de 26.58 % nominal, mes vencido. a. ¿Cuántos meses requiere el propietario para cubrir la obligación? b. ¿Cuál es el valor de la cuota global para saldar la deuda? Primero, Se calcula el plazo

VP = 95.000.000

C = 2.500.000

i = 26.58% M.V.


1

N-1

N= ?

0

1

N-1

N= ?

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver

Ayuda


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


280

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

84.14 meses

√α

3. Proporcione la información: Nº de Períodos

26.58

Tasa de interés

2 500 000 95 000 000


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Nº de Períodos

Segundo, Se calcula el valor de la cuota global. Del cálculo anterior se observa, que el número de períodos no es exacto. Podría, entonces, aceptarse 84 cuotas de 2.500.000 y una cuota menor, al final, en el mes 84, para saldar totalmente la deuda.

Cg= ? VP = 95.000.00

C = 2.500.000

i = 26.58 %


1

83

0

N = 84

1

83

N = 84

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

?

84 26.58

Nº Períodos

2 500 000 95 000 000

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Borrar Datos


Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,

√α


Ayuda


Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Futuro

334.733 es la cuota global necesaria para saldar el crédito en el mes 84.

281

Precio de compra de una propiedad para arrendar Se estima que el precio de venta de una residencia, al cabo de 2 años, será, 25.000.000 ; hoy, está arrendada en 160.000 mensuales. Si se tiene en cuenta a.- Que los costos que genera esa propiedad ascienden a 30.000 mensuales por concepto de impuestos, seguros y mantenimiento; b. Que el arrendamiento, como los costos, permanecen constantes en los dos años y c.- que quién desea comprarla, puede obtener para cualquiera de sus inversiones una tasa anual del 26.42 % mes vencido ¿Cuánto debe ofrecer por ella?.

C g = 25.000.000 VP = ?


i = 26.42 % M.V.

0

1

23

0

N = 24

C = 130.000

1

23

N = 24

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Calcular

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

√α

Nº de Períodos

24 26.42

Tasa de interés

130 000

Cuota uniforme

Nº Períodos


282

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica ?

2. Limpie memorias,


Ayuda

Valor Presente

25 000 000

Valor Futuro

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Valor Presente

17.226.976 es la suma de dinero que se puede pagar para asegurar un rendimiento a la inversión de 26.42 % mes vencido.

18 Evaluación de descuentos

“Donde existe una meta, existe un camino" Proverbio Inglés

U

n fabricante de equipos electrónicos asistió a un seminario denomiado “Evaluación de descuentos” -que yo dictaba por la época en la ciudad de Cali- con el único propósito de consultarme la solución de su problema particular. El se anticipó a presentarlo antes que nadie porque consideró que las 8 horas asignadas al tema podían no ser suficientes y temía quedarse sin respuesta y perder el dinero de su inversión. Expuso su política de venta: Con la orden del cliente exigía el 50% del valor de los equipos; el resto lo recibía a los 45 días, fecha de entrega del pedido. Para presionar el pago anticipado, ofrecía un descuento de 2 millones, equivalente al 10% del precio que era de 20 millones. La primera observación que hice fue que el descuento otorgado no era del 10% sino del 20%, puesto que se debía calcular sobre la suma pendiente de recibir y no sobre el total. Enseguida pregunté si las ventas mejorarían aumentando el plazo a 90 días; la respuesta fue afirmativa. Con base en este hallazgo sugerí la siguiente solución: Proponga a los clientes que garanticen la operación con Aceptación Bancaria, con vencimiento a 90 días, por el valor pendiente de pago, con el compromiso de que su empresa asume los costos de apertura de la misma. Luego, solicite que se la descuenten en su banco; con toda seguridad el descuento más los costos de apertura no ascenderán a más del 8% trimestral, es decir a 800 mil frente a su costo de 2 millones por 45 días. De esta manera usted recibirá 1.2millones más y sus clientes 45 días adicionales. El no lo podía creer. Había dejado de vender varios millones. Se incorporó, extendió su mano para despedirse, dió las gracias y se retiro. No dió tiempo de preguntarle si sus clientes estarían dispuestos a solicitar la aceptación.

284


Importancia práctica del tema El descuento es una operación común en los negocios y en muchos casos se toman decisiones equivocadas que implican pérdida de sumas significativas de dinero. En este documento se presentan los casos más comunes a fin de familiarizar al lector con procedimientos claros para evaluar operaciones que impliquen descuento, con base en la tasa de interés efectiva anual como medida de rendimiento o de costo. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema:

Descuento en publicidad Una cadena radial ofrece a una agencia de publicidad dos tasas de descuento: 20% por pronto pago (90 días) y 15% por volumen. ¿Se justifica tomar un crédito al 60% efectivo anual para pagar de contado? Descuento de una Aceptación bancaria Se expide Aceptación Bancaria a 120 días por 25.000.000 para cancelar materias primas a un proveedor. Este decide negociarla en Bolsa y recibe neto del comisionista 22.150.600, ¿Es mejor para el proveedor vender a descuento la aceptación o solicitar un crédito bancario con un costo del 45.83 % efectivo anual? Tabla de descuento Un laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en las siguientes condiciones: Días De

Dcto

0 a 15 3.5% 60

Neto

Se desea saber: Qué tasa efectiva de interés reconoce el laboratorio y si es conveniente conseguir dinero en el mercado al 50% para pagar anticipadamente.

285

Descuento El descuento es el interés cobrado por anticipado.

Clasificación El descuento puede ser Simple o Compuesto

Evaluación de descuentos La evaluación se efectúa con base en la tasa efectiva anual equivalente. Tipos de descuento

El crédito es un poderoso mecanismo para incrementar las ventas. Los industriales, por ejemplo, acostumbran conceder a sus clientes 30, 60 y 90 días de plazo para cancelar las facturas. Este hecho genera una corriente de cuentas por cobrar que es muy importante en el flujo de caja. Cuando se presentan problemas de liquidez, una de las estrategias que adoptan los empresarios consiste en ofrecer descuento a los clientes para que anticipen el pago de las facturas. En general, el descuento debe ser mayor que la tasa equivalente cobrada por los establecimientos de crédito a fin de que resulte atractiva para el cliente y se motiven a endeudarse con los bancos. Pero existen también estrategias de mercadeo, para algunas líneas de productos, en las cuales los fabricantes insinúan el precio de venta (Lista de precios) a fin de incentivar al intermediario con un margen de descuento llamativo. Se trata entonces de evaluar qué es más conveniente desde el punto de vista financiero: tomar el plazo o comprar de contado y asumir el costo financiero equivalente al descuento. Este documento aporta elementos conceptuales y enseña a realizar cálculos que impliquen descuento y a evaluar financieramente las opciones más comunes que se ofrecen en el mercado. El lector encontrará sorpresas; y será mayor cuando constate de pronto que uno de los casos coincide con el suyo, y cuánto dinero puede haber perdido.

286

Procedimientos para evaluar El objetivo de este documento es enseñar procedimientos sencillos con ayuda del programa para evaluar operaciones comerciales que impliquen descuento, con base en la tasa de interés efectiva anual como medida del costo o la rentabilidad de tales operaciones. Todo se reduce, como se ha insistido en este libro, a representar de manera adecuada los ingresos y los egresos por medio de las líneas de tiempo equivalentes y buscar el procedimiento adecuado con el programa para llegar a la tasa efectiva anual, que será la que nos indique qué decisión tomar. Las opciones serán: Pagar hoy o pagar otras sumas en el futuro. La representación de los descuentos considerados como préstamos se representan también como cualquier otro problema de la matemática financiera con las líneas de tiempo equivalentes.

287

APLICACION Ventas al comercio En general la industria vende al comercio con plazo de 90 días. Así mismo ofrece descuento variable si la factura se cancela en una fecha anterior al vencimiento. Este descuento se denomina Descuento por pronto pago.

Venta de calzado Una fábrica de calzado ofrece la siguiente tabla de descuentos de acuerdo al plazo que se tome el cliente, se desea saber ¿cual de las opciones es la mejor para el cliente ?

Opción 1

Opción

Si cancela entre

Descuento

1

0 - 30 días

15%

2

31 - 60 días

10%

3

61 - 90 días

Neto

Como el descuento ofrecido es para cualquier fecha entre cero y 30 días, el cliente se tomará los 30 días y pagará en la fecha 30, es decir 60 días antes del vencimiento del plazo. O sea que recibe un descuento del 15% por 60 días.

d b = 15%

ia= ?


1

5 bimestre

288

N=6

0

f=1 año

Opción 2

Como el descuento ofrecido es para cualquier fecha entre 30 y 60 días el cliente se tomará los 60 días y pagará en la fecha 60, es decir 30 días antes del vencimiento del plazo. Es decir que recibe un descuento del 10% por 30 días.

d m = 10% .

ia= ?


11

1

f = 12

0

f=1

meses

año

El procedimiento que sigue se utiliza para calcular las tasas efectivas anuales correspondientes a estas dos opciones.


Tasa dada Tasa

Tasa Convertida

Período

Tasa


• Mensual • Anticipada • Efectiva

i 0

1


i

i

364 Días

365

• Anual • Vencida • Efectiva




2 Tasas

Respuesta


✖



✖


i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

Primera opción, 165% Segunda opción, 254% Nota.- Observe como el cliente que demore más su pago obtendrá una tasa equivalente mayor. Como se deduce de los resultados, la mejor opción es la segunda, que se presenta a simple vista como menos atractiva. Este hecho permite concluir que la tabla está mal elaborada.

289

Descuento bancario La banca tienen como política cobrar tasas de descuento (Interés anticipado) por los créditos y sus clientes firman un documento denominado pagaré. Esto significa que efectúan un descuento y quien solicita crédito recibe una suma inferior a la solicitada. El descuento se conoce como Descuento bancario y la suma recibida por el cliente como Valor Líquido del pagaré.

Crédito ordinario El Banco de Santander concede crédito ordinario a sus clientes a 90 días y cobra una tasa de 36% trimestre anticipado. Se desea saber, ¿ Cual es la tasa de interés efectiva anual equivalente a esa tasa de descuento? Tasa de interés anual equivalente

d t = 36 % t . a.

ia = ?


1

3

f=4

0

f=1

trimestre


Tasa dada Tasa

Tasa


i

2 Tasas

290

Tasa Convertida

Período

0


✖


• Trimestral • Anticipada • Nominal

Respuesta

✖



año

1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

45.83 % , es la tasa de interés efectiva anual equivalente al 36 % t. a.

Comparación de opciones Como se dijo en la introducción, el propósito de este módulo es señalar los procedimientos de cálculo para obtener la tasa efectiva anual equivalente en dos o más operaciones de descuento propuestas y compararlas a fin de seleccionar la mejor. En el evento de que un comerciante se encuentre frente a las opciones expuestas en los dos ejemplos anteriores debería preguntarse ¿Es recomendable el crédito bancario para cancelar el creedito otorgado por el comerciante? La decisión resulta sencilla: Toma dinero prestado al 46% y lo presta al 165%.

291

Aceptaciones bancarias Las Aceptaciones bancarias son títulos equivalentes a letras de cambio pero avaladas por un Banco, es decir, el Banco paga a la redención y cobra a su cliente. Se utilizan para garantizar compra de mercancía a plazo, en general, hasta de 6 meses . El funcionamiento de las operaciones con estos papeles es el siguiente: Quien vende, concede plazo a su cliente y le solicita garantía con aceptación bancaria. El cliente solicita a su banco que expida una aceptación a nombre de su proveedor con el plazo acordado. Por su lado el banco hace el estudio del crédito y cobra una tasa por la apertura de la aceptación. Al cumplirse el plazo de la aceptación, el banco exige su pago al cliente. El proveedor con el título en su poder, puede esperar que transcurra el plazo para recibir el dinero del banco o puede negociar el papel, vendiéndolo a descuento en el mercado secundario.

Proceso de una operación garantizada con aceptación bancaria Banco del cliente 1. Solicita aceptación c El cliente solicita a su banco expida Aceptación a nombre de su proveedor

Cliente

a

e

g 2. Expide aceptación que entrega al cliente

3. Entrega mcía y recibe aceptación Proveedor 4. El proveedor cobra la aceptación en el banco en la fecha de su vencimiento

a

Es decir el banco expide la aceptación y se compromete con el beneficiario a pagarle en la fecha convenida contra presentación del título.

292

Descuento de una Aceptación bancaria Se expide Aceptación Bancaria a 120 días por 25.000.000 para cancelar materias primas a un proveedor. Este decide negociarla en Bolsa y recibe neto del comisionista 22.150.600, ¿Fue mejor para el proveedor descontar la aceptación o hubiera sido mejor solicitar un crédito bancario con un costo del 45.83 % efectivo anual?

VP = 22.150.600

VF = 25.000.000

i a = ?%



1

119

N = 120

Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

%

119

N = 120


Ayuda


↓↑

1

✖


Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

120 ÷ 360 =


?

2. Limpie memorias,


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

0

días

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

22 150 000 25 000 000



Tasa de interés

43.77% Este resultado señala como mejor opción el descuento de la Aceptación Bancaria El resultado se interpreta así: el costo por descontar la aceptación fue 43.77% , el del crédito hubiera sido 45.83%.

293

Descuentos encadenados Los descuentos encadenados son dos o más descuentos aplicados de manera progresiva que buscan proporcionarle un estímulo adicional al cliente con el propósito de que compre más y cancele cuanto antes.

Descuento en la publicidad radial Una cadena radial ofrece a una agencia de publicidad dos tasas de descuento: 20% por pronto pago (90 días) y 15% por volumen. ¿Se justifica tomar un crédito al 60% efectivo anual para pagar de contado? Se calcula la tasa efectiva anual equivalente

d t 1 = 20 % ia = ?

d t 2 = 15 %


3

1

f= 4

0

f=1

trimestre



✖

Archivo Formatos de VerTasas Ayuda PortafolioModalidades Financiero -Conversión

✖

Simple

Márgenes Tasa dada

Tasa

2 Tasas

20

• Trimestral • Anticipada • Efectiva

Respuesta

294

Compuesto Conversión Evaluación Amortización

Bonos Tasa Convertida

Período ↓↑ Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra

Chequee:


año

Tasa % Hoja Electrónica Modalidad Vencida ? Anticipada Tipo de Interés Nominal Efectiva

Período Diaria Mensual Trimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral Calcular Anual Borrar Otra datos

Recordar Decimales

i i Interés Compuesto 0 2 Tasas

1

364 Días

i 365

Calcular

Tipo...

√α

+ 0

7

i 1

1/x

Fondos

15

Vencida Anticipada

• Trimestral • Anticipada • Efectiva

Nº Períodos Tipo de Interés Tasa de Interés Nominal Cuota Uniforme Efectiva Valor Presente Valor Futuro

i %

5

4 1

2 .

Depreciación

, ï ? .Modalidad

364 9 8 Días6

✔ OK o


3

÷

i

←


x 365 -

+ X Cancel =

AC

Calcular

368% La evaluación señala como mejor opción, tomar el crédito al 60% efectivo anual para cancelar a la cadena radial y así obtener una tasa de interés equivalente al 368%.

Descuento vs. Cuotas uniformes Suscripción anual anticipada Un diario plantea la siguiente opción de descuento: Pagar 90.000 anticipados por una suscripción anual de ese periódico, en vez de 360 cuotas de 400. ¿Es conveniente tomar un crédito al 45% efectivo anual para pagar anticipadamente la suscripción?

VP = 90.000

C = 400

i a = ?%


1

359

0

N = 360

1

359

N = 360

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

360

?

400 Calcular Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


√α

Nº Períodos

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

90 000



Tasa de interés

178% es la tasa efectiva anual equivalente. De acuerdo al resultado, la evaluación señala como conveniente tomar el crédito para cancelar la suscripción.

295

Descuento e IVA Descuento en la tarifa de un hotel Un hotel otorga a sus clientes el 20% de descuento; si en los dos casos se liquida el 16% de IVA, ¿Cuál es la tasa de interés efectiva que gana el cliente? Pago por cada 100:

100 + 16 = 116.0

Con descuento,

80 + 14.8 = 92.8

VP = 92.8

VF = 116

i p = ?%



N= 1

✖


Modalidades

Formatos

Ver

↓↑

%

Bonos

Fondos


Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

1

?


?


Interés Compuesto

25%

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

296

N= 1

Ayuda


2. Limpie memorias,

Respuesta

0

período

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

92.8 116



Tasa de interés

Tablas de descuento Un laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en las siguientes condiciones:

De

Días

Dcto

0 a 15

3.5%

60

Neto

Se desea saber: Qué tasa efectiva de interés reconoce el laboratorio y si es conveniente conseguir dinero en el mercado al 50% para pagar anticipadamente.

Tasa efectiva anual equivalente d 360/45 = 3.5 %


0

1

ia= ?

7

f= 8

0

f=1 año

bi-trimestral


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


• 45 días • Anticipada • Efectiva


✖


2. Entre tasa dada 3.5

✖


1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

32.98% No es conveniente conseguir dinero más caro para cancelar de contado.

297

Cómo elaborar fácil y rápido una tabla de descuento. La elaboración de una tabla de descuento se fundamenta en el principio de equivalencia para la conversión entre tasas de interés y descuento y se puede elaborar fácil y rápido con los procedimientos descritos atrás. Con base en el ejemplo anterior se puede desarrollar una tabla de factores de descuento para la unidad. Es decir, se calculan -con la tasa de interés escogida- la porción de la unidad que se debe entregar hoy, a cambio de una unidad en el futuro. El procedimiento ilustrado con las líneas de tiempo equivalente hacen posible comprender el método. El método básicamente consiste en lo siguiente: 1. Se define el período de la tabla: Día, semana, mes, etc... 2. Con base en la tasa escogida que se quiera reconocer, se calcula la tasa efectiva para el período escogido en la modalidad Conversión. 3. Se selecciona la modalidad Compuesto 4. Se almacena la unidad en "Valor Futuro" y la tasa periódica en "Tasa de interés" 5. Se proporciona sucesivamente el período en "Nº período" 6. Se calcula "Valor presente" 7. Se repite 5 y 6 para los períodos siguientes.

298

Se repite el enunciado: Un laboratorio ofrece una tabla de descuento diaria para cuarenta y cinco días con base en las siguientes condiciones:

De

Días

Dcto

0 a 15

3.5%

60

Neto

Se desea saber: Qué tasa efectiva de interés reconoce el laboratorio y si es conveniente conseguir dinero en el mercado al 50% para pagar anticipadamente. id = ?

d 45 = 3.5 %


1

7

8

0

1

359

360

días

mes y medio

Tasa efectiva diaria equivalente


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


• 45 días • Anticipada • Efectiva


✖



✖


1


i

i

364 Días

365

• días • Vencida • Efectiva


Diaria Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Anual Otra

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

0.07920285% es la tasa efectiva diaria con base en la cual se calculará la tabla.

299

Se selecciona la modalidad "Compuesto" y se proporciona la información como se indicó para calcular la tabla:

VP = ?

VF = 1

i d = 0.07920285 %



1

Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

%


Ayuda


↓↑

1

✖


Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

1 0.07920285


?

2. Limpie memorias,


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta

0

días

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

Valor Presente

1

Valor Futuro


Valor presente

0.9992086 es el factor de descuento para el primer día. Para proseguir en la obtención de los factores basta con proporcionar de manera sucesiva el valor del período y calcular "Valor presente"

300

19 Cálculo de rentabilidad de Activos financieros

“Me prepararé y algún día mi oportunidad llegará” Lincoln

A

lgún suspicaz gerente de banco, alumno de mis seminarios, le dió por suponer que sólo por mis conocimientos teóricos de Matemática Financiera estaba en condiciones de emprender cualquier negocio y que ganaría mucho dinero con ello. Además suponía también que mi dinero estaba colocado en las mejores condiciones dentro del mercado financiero. Me sentí un poco apenado tener que responderle primero, que no era un hombre acaudalado, y segundo, añadí: —El dominio de la matemática financiera significa ganancias extraordinarias para los intermediarios financieros y para quienes manejan a diario grandes sumas de efectivo , pero no para quienes la utilizamos como un agradable ejercicio académico y vivimos de su pedagogía. Luego rematé: —Alguna vez estuve preocupado por el vencimiento de una obligación y deposité mi última esperanza en un gerente amigo a quien solicité un sobregiro. Cuando lo aprobó, obedecí a mi instinto evaluador: calculé la tasa efectiva, y comenté que el costo me parecía exagerado. Se frotó sus ojos con la yemas de los dedos, levantó lentamente la mirada y preguntó: -¿Lo tomas o lo dejas? -¿ Qué supones que hice?

302


Importancia práctica del tema Estar en condiciones técnicas de decidir si se debe invertir en algún títulovalor o qué portafolio de inversión es el recomendable o por cuánto se debe adquirir una aceptación bancaria, un depósito a término o un bono, por ejemplo, es una condición envidiable a la cual aspira todo administrador financiero. Este capítulo ilustra una amplia variedad de problemas de la práctica financiera con los cuales se aspira cubrir la mayor parte del tema. La importancia práctica quedará demostrada cuando culmine su estudio y usted constate que fue posible resolver de manera sencilla todos los problemas propuestos, que no son ni más ni menos que los problemas que enfrentan en su trabajo diario los gerentes financieros o los corredores de Bolsa. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Rentabildad de una cédula de capitalización “El Negoción Completo lo convierte en millonario sin arriesgar un solo peso. Con una inversión fija mensual, por ejemplo: 7.000, usted participa en 48 sorteos mensuales y en cada uno usted puede ganar. Además, se dá un rendimiento del 22.4% sobre el capital total que usted obtiene en los 48 meses”. Depósitos a término en Upac “Concasa aumentó sus rendimientos: Sus depósitos en Certificados de depósito a 12 meses, al 29.47% ”. ¿ Confirmar la rentabilidad de los títulos si la tasa de corrección monetaria es del 21% y la tasa de interés adicional es de 7% ? Rentabilidad de las acciones El manual de Mercado Bursátil proporciona la siguiente información para el Banco de Caldas: Valor de la acción al iniciar el año 1 : 23.6 ; valor de la acción al iniciar el año 2, 33.14 ; Dividendo mensual decretado por acción , 0.25. ¿Cuál fué la rentabilidad efectiva mensual y anual de estas ACCIONES? Rentabilidad de los títulos en dólares ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de los Títulos Canjeables por certificados de cambio, que se adquirieron hace un año, si la tasa de devaluación vigente es del orden del 18% efectivo anual?

303

Activo Financiero “Un ACTIVO FINANCIERO es todo y cualquier título representativo de deuda o parte patrimonial” . Caben, en consecuencia, bajo esta denominación: Las cuentas de ahorro en pesos corrientes y en Valor constante, los Certificados de depósito a término, los bonos, las acciones, las cédulas hipotecarias, los títulos de capitalización, los títulos del gobierno ; certificados de cambio, etc. Este capítulo intenta una clasificación de acuerdo a la estructura de rentabilidad de los activos; con ejemplos, se ilustra el método de cálculo, la aplicación de las fórmulas y su demostración. Acción

Título de propiedad , negociable , representativo de una fracción del capital social de una sociedad

Acción nominativa

Acción que identifica el nombre de su propietario .Su transferencia debe ser registrada en un libro especial en la empresa denominado “ Libro de Registro de Acciones “

Accion al portador

Acción que no identifica el nombre de su propietario , pertenece a quien la tiene en su poder . El cambio de propiedad se realiza por la simple entrega de los títulos al nuevo propietario .

Accion al goce

Acción que tiene la característica de conceder a su titular el derecho de voto en las asambleas

Accion preferencial

Acción que da a su poseedor prioridad en el pago de dividendos y/o en caso de disolución de la empresa , el reembolso de capital . Tienen prerrogativa de carácter económico .

Accionista

Propietario de la acción .

Asamblea general Es la reunión de los accionistas , convocada e instalada en la forma establecida por la Ley y los extraordinaria estatutos , a fin de deliberar sobre uno o varios temas específicos de interés social . Se reune

en momento diferente al establecido . Asamblea general Convocada en la forma establecida por los estatutos de una sociedad para verificación de los ordinaria resultados , lectura, discusión y votación de los informes de administradores y elección de

directores . Aumento de capital

Acta aprobada por la Asamblea General Extraordinaria ( o reunión de directorio en caso de capital autorizado ) por el cual se incorporan al capital de la empresa , reservas y/o nuevos recursos . El aumento de capital normalmente es efectuado mediante derechos de suscripción para los accionistas .

Amortización

Reducciones graduales de la deuda a través de pagos periódicos .

Ahorro público

Es la diferencia entre los ingresos y los gastos del gobierno .

304

Ahorro privado

Es la diferencia entre los ingresos y el consumo de las unidades familiares y de las empresas .

Balance

Informe contable del estado patrimonial de la situación económica financiera de una empresa , siempre referente al fin de un ejercicio fiscal .

Beneficiario

Persona a la cual el título fue trasferido o a favor de quien es emitido el título .

Bolsa de valores

Establecimiento público o privado donde personas calificadas realizan operaciones de compraventa de títulos de valores .

Bono

Título valor representativo de una deuda contraída por la entidad emisora con su poseedor , previo el compromiso del pago de unos intereses en un tiempo dado . Pueden ser públicos o privados .

Capital

Es la suma de todos los recursos , bienes y valores movilizados para la constitución de una empresa . Es su razón económica .

Capital abierto

(Sociedad de ).- Sociedad anónima que tiene sus acciones distribuidas entre un número determinado de accionistas , de acuerdo con las normas establecidas por el gobierno nacional y la Comisión Nacional de Valores .

Capital autorizado (Sociedad de ). - Sociedad anónima cuyo capital fue aprobado como meta futura por la asam-

blea general . Capital cerrado

( Sociedad de ) .- Sociedad anónima con capital de propiedad limitada .

Capital suscrito

Es la parte del capital social o autorizado que los suscriptores de acciones se han obligado a pagar en un tiempo determinado.

Capital pagado

Es la parte del Capital suscrito que se ha pagado .

Capitalización

Reinversión o Reaplicación de los resultados al Patrimonio de la empresa . Ampliación del capital pagado mediante nuevas emisiones de acciones .

Captación

Canalización de recursos para aplicación en inversiones de corto , mediano o largo plazo .

Cantidad transada Número de unidades del respectivo título o papel negociadas en un determinado período . Cédulas hipotecarias

Papeles emitidos por el BCH para financiación de vivienda ; devengan interés y tienen un período de vencimiento preestablecido . Artículos , 40 y 41 de Estatutos del Banco .

Son promesas de pagos futuros de las categorías depositadas y constituyen obligaciones de Certificado de deposito a término las instituciones que los emiten .

305

Corrección monetaria

Operación destinada a actualizar el poder adquisitivo de la moneda, según tasas fijadas por el gobierno. Normalmente calculadas para los reajustes de las unidades de poder adquisitivo.

Descuento

Diferencia, en menos, entre el valor nominal y el valor comercial de un activo financiero.

Devaluación

Reducción del valor de la moneda nacional en términos de monedas extranjeras.

Valorización de la acción

Es la diferencia entre el precio de venta y de compra de una acción, es decir, el incremento de su valor comercial. Los intereses y el dinero a la redención del activo se paga en la entidad que lo emite.

Liquidez primaria Liquidez secundaria Operación de Mercado Abierto

Período base para el cálculo de Rentabilidad

Nota

306

Las características del activo permiten negociarlo y obtener dinero por fuera de la entidad que lo emite. Es la participación del Banco central en el mercado de valores a través de la emisión de Títulos del Gobierno a fin de restringir el volumen de dinero en circulación y controlar la inflación.

Para hacer comparables las distintas opciones de inversión en activos financieros, se adopta el año como período base para el cálculo de la rentabilidad.

Varias de las anteriores definiciones fueron tomadas de distintos informes de la Bolsa de Bogotá.

Clasificación Los Activos financieros se pueden clasificar de acuerdo a la estructura de su rentabilidad en: Activos financieros de rentabilidad simple y Activos financieros de rentabilidad agregada, . Es decir, de acuerdo al número de factores básicos que participen como determinantes del rendimiento y de la manera como se combinen. Los factores básicos considerados son: el interés, el descuento, la corrección monetaria, la devaluación y la valorización (desvalorización).

Activos financieros de rentabilidad simple. Son aquellos en los cuales la rentabilidad la determina un sólo factor básico. Ellos son: 1. Activos financieros que devengan interés - Con interés periódico vencido - Con interés periódico anticipado - Con interés a la redención 2. Activos financieros que se ofrecen o se negocian a descuento. 3. Activos financieros con corrección monetaria 4. Activos financieros con el componente devaluación 5. Activos financieros con valorización

Activos financieros de rentabilidad agregada. Son aquellos en los cuales la rentabilidad está determinada por la combinación de factores básicos. Ellos son: 1. Con interés en dos tasas combinadas periódicas distintas 2. Con interés y descuento 3. Con interés y corrección monetaria 4. Con interés y devaluación 5. Con interés y valorización 6. Con descuento y devaluación Cabe aclarar, finalmente, que la tasa efectiva anual equivalente que representa la rentabilidad, en este capítulo, supone la reinversión automática del interés con iguales condiciones.

307

APLICACION Activos financieros de rentabilidad simple Con interés periódico vencido. CUENTAS DE AHORRO: Bancos y Cajas de Ahorro “Si su dinero está inactivo y no le produce interés, piense en las cuentas de ahorro del Banco Cafetero. Usted recibe un interés anual del 21% , liquidable trimestralmente sobre saldo mínimo y participa por derecho propio en fabulosos sorteos trimestrales”. ¿Cuál es la tasa de rendimiento efectivo anual equivalente, de los saldos en Cuentas de Ahorro?

i = 21% t.v.


0

ia = ?

f= 4

3

1

f=1

0

trimestres

año

Las líneas de tiempo indican que, por un depósito de 100, se recibirán trimestralmente 5.25 por interés (21% /4 = 5.25%) y si no se hace ningún retiro, al final del año, se tendrá el capital más el interés capitalizado en los trimestres.


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

308

Tasa Convertida

Período

Tasa




✖



✖


1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

22.71 % Que es la rentabilidad efectiva anual equivalente que se reconoce a los saldos mínimos en las cuentas de ahorro.

Con interés periódico anticipado CERTIFICADOS DE DEPOSITO A TERMINO, CDT: Bancos, Corporaciones Financieras. Características Documentos emitidos por Bancos y Corporaciones Financieras que representan deudas de esas entidades con su tenedor. Devengan interés y tienen un período de vencimiento preestablecido, al cabo del cual, se pueden prorrogar por un período igual o hacerse efectivos; tienen plazo mínimo, en general, de 3 meses; la liquidación del interés puede ser vencida o anticipada.

“Salud, dinero y amor... Salud, es problema de mi médico. Amor, es problema mío. Dinero, para eso tengo el Banco Internacional. Un banco que me brinda la posibilidad de ahorrar mi dinero con CDT a un año y me reconoce una tasa nominal de 30% liquidable trimestral y anticipadamente” ¿Cuál es la tasa de rendimiento efectivo anual equivalente?

i = 30% t.a.

ia= ?


f= 4

3

1

f=1

0

trimestres

año

Las líneas de tiempo indican que, por un depósito de 100, se recibirán 7.5 al iniciar cada trimestre : (30%/4 = 7.5%) que se reinvertirán automáticamente al iniciar cada período y se consolidarían al finalizar el año. 1. Seleccione Modulo Conversión

Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

Tasa Convertida

Período

Tasa


Trimestral •Anticipada •Nominal


✖



✖


1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

36.59 % Es el rendimiento efectivo anual equivalente

309

Con interés a la redención CEDULAS DE CAPITALIZACION: Compañías de capitalización. Características La cédulas de capitalización son un contrato de ahorro por medio del cual el ahorrador se compromete a cubrir una determinada suma de dinero en cuotas periódicas. La compañía por su parte se compromete a devolver, al vencimiento del contrato, esa misma cantidad más el interés correspondiente pactado. En muchos casos se realizan sorteos, para presentarlos más atractivos, en los cuales las personas favorecidas reciben, de una vez una suma prefijada.

“El Negoción Completo lo convierte en millonario sin arriesgar un solo peso. Con una inversión fija mensual, por ejemplo: 7.000, usted participa en 48 sorteos mensuales y en cada uno usted puede ganar. Además, se da un rendimiento del 22.4% sobre el capital total que usted obtiene en los 48 meses”. De la tabla de beneficios para este plan se tomó la siguiente información: Inversión mensual fija : 7.000 Su capital a los 48 meses: 336.000 Rendimiento sobre su capital a los 48 meses: 75.400

Con esta información, determinar las tasas de rendimiento efectivas mensual y anual de éstas Cédulas. VF = 411.400

i m = ?%

C = 7.000


1

47

N = 48

0

1

47

N = 48

meses

La pregunta es, ¿Cuál tasa de interés hace equivalentes las líneas de tiempo?. (Es importante aclarar que la rentabilidad no es el 22.4% como lo afirma la Cía, puesto que esta obtiene el resultado de la relación entre el valor adicional que se reconoce (75.400) y la suma entregada (336.000).

310


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

48

?


?

2. Limpie memorias,

Calcular

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente


√α

7 000

Nº Períodos

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda


411 400

Valor Futuro

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

1

2

3

o

.

=

←


AC

+

Calcular

Tasa de interés

0.80445% es la tasa efectiva mensual que le reconocen al ahorrador y 10.09 % es la tasa efectiva anual equivalente a la rentabilidad de la cédula.

311

Activos financieros que se ofrecen o negocian a descuento CERTIFICADOS DE REEMBOLSO TRIBUTARIO, CERT Características Son emitidos al momento de recibir las divisas originadas por exportaciones, en cuantías determinadas por el gobierno. Se utilizan para pagar impuestos de renta, patrimonio y complementarios. No tienen interés y de ahí que su rendimiento resulte del descuento con que se negocien en el mercado.

Si, en Diciembre, la cotización de los CERT, a 30 días de su redención, en la bolsa de Valores, fue del 95% de su valor, ¿Cuál fue la rentabilidad anual equivalente? Observe que se adquieren con un descuento del 5%, por consiguiente es una tasa de interés anticipada.

dm= 5%

ia= ?


11

1

f = 12

f=1

0

meses

año

Tasa efectiva anual


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

312

Tasa Convertida

Período

Tasa


Mensual •Anticipada •Efectiva


✖



✖


1


i

i

364 Días

365





Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

85.06% que representa la rentabilidad anual efectiva equivalente.

Activos financieros con corrección monetaria CUENTAS DE AHORRO: Corporaciones de Ahorro y Vivienda Características Estas cuentas reconocen una tasa efectiva anual de corrección monetaria y una tasa de interés anual adicional sobre saldos mínimos trimestrales.

Cabe aclarar que pese a que las cuentas de ahorro ganan interés trimestral este no será pagado por la entidad si la totalidad del capital es retirado antes de cumplir el trimestre. En consecuencia, aquí no se justifica hacer cálculos puesto que la rentabilidad anual equivalente está dada por definición. Es decir, el rendimiento anual equivalente será igual a la tasa de corrección monetaria. Los depósitos que se retiren antes de culminar el trimestre devengan una tasa de corrección monetaria equivalente al 21%.

313

Activos financieros con factor devaluación CERTIFICADOS DE CAMBIO: Títulos del Banco de la República. Características El banco de la república expide Certificados de Cambio contra entrega de las divisas. El valor nominal corresponde al valor del tipo de cambio oficial el día de la entrega. Su rentabilidad está determinada por el tipo de cambio a la conversión.

“Cómo guardar bien su dinero?... Adquiera Certificados de Cambio y protéjalo de la devaluación. Si se adquieren a 628 y un año después su valor es de 741 , ¿Cuál fue la rentabilidad de esta inversión? VP = 628

VF = 741

i a = ?%



N= 1

Archivo Simple

Modalidades

Formatos

Ver

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

1

?


?


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

314


Ayuda


↓↑

N= 1

✖


2. Limpie memorias,

Respuesta

0

año

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

628 741



Tasa de interés

18% es la tasa de devaluación que corresponde a la rentabilidad equivalente de estos títulos.

Activos financieros con valorización ACCIONES Características Una acción es una parte del capital de una sociedad Anónima. Se pueden transar en la bolsa, siempre y cuando la compañía que las emite esté inscrita en ella. Las acciones constan en títulos que representan el número de partes de capital que posee un accionista. Una vez negociadas en la bolsa, ésta registra la operación y la empresa respectiva inscribe al comprador como un nuevo accionista y le entrega el título a su nombre. La rentabilidad de las acciones está determinada por la valorización; la valorización y los dividendos periódicos o por los derechos de suscripción.

El 3 de Junio , las acciones de una empresa textil tenían un precio de 18.40 en la Bolsa de Valores. El 10 de Junio del mismo año se negociaron a 18.50, cada una. Si en ese período no se pagó dividendo, ¿Cuál fue el rendimiento para un inversionista que compró el 3 de junio y vendió el 10 de Junio?

VP = 18.40


0

VF = 18.50

i d = ?%

1

6

N= 7

0

1

6

N= 7

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

7

?


√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro



?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

18.4 18.5



Tasa de interés

32.15 % es el rendimiento anual equivalente para esa operación.

315

Activos financieros de rentabilidad agregada Combinación de dos tasas de interés con diferente períodos. CEDULAS HIPOTECARIAS VALORIZABLES Características La Cédula percibe una valorización diaria equivalente al 12.34% anual efectivo, más una valorización escalonada por cada trimestre vencido del 2.5% sobre la inversión valorizada diariamente. Plazo: Dos años y medio.

¡Decídase ahora y valorice su inversión!. El rendimiento de la cédula con alta valorización es del 24% efectivo anual. Verificar la tasa de rendimiento efectivo anual equivalente.

i a = 12.34 % ia= ?

i t = 2.5 %


1

3

f= 4

0

f=1

trimestres


Tasa dada Tasa

Tasa


i

2 Tasas

316

Tasa Convertida

Período

0


✖


Trimestral • Vencida • Efectiva

Respuesta

✖



año

1


i

i

364 Días

365




12.34 Anual • Vencida • Efectiva

Período

i 0

Calcular

1


i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

24 % Que corresponde a la tasa ofrecida en la propaganda.

Calcular

Con interés y descuento CEDULAS CONFIABLES Características Las cédulas hipotecarias se adquieren al 96.74% de su valor nominal y su período de maduración es de un año. Su interés nominal es de 18% anual liquidable trimestralmente.

¿Cuáles son las tasas de rendimiento efectivo trimestral y anual de las cédulas confiables?

Valor Nominal = 100 VP = 96.74

i t = ?%

C = 4.5


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestres

Si se conocen el precio, el interés trimestral, los períodos, y el valor de redención, entonces se puede encontrar la tasa de interés que reconocen.


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

% de Interés Hoja Electrónica Tasa

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

✖

4

?

4.5 Calcular

Períodica

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro


√α

Cuota uniforme

Nº Períodos

Borrar datos

Anual


? Tasa de interés

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

96.74 100



Tasa de interés

5.426 % es la tasa efectiva trimestral y 23.55% es la tasa efectiva anual equivalente.

317

Con interés y corrección monetaria CERTIFICADOS DE AHORRO DE VALOR CONSTANTE: Corporaciones de Ahorro y Vivienda . Características Los Certificados de Ahorro de Valor Constante son títulos con corrección monetaria más tasa de interés efectivo anual adicional, del 6% y 7%, para depósitos a 6 y 12 meses respectivamente.

“Concasa aumentó sus rendimientos: Sus depósitos en Certificados de depósito a 12 meses, al 29.47%, además, amplios beneficios tributarios”. ¿ Cual es la rentabilidad de los títulos a 12 meses si la tasa de corrección monetaria es del 21% y la tasa de interés adicional es de 7% ?

ia = ?

ti= 7 % t c = 21 %

Líneas de tiempo

0

f=1

0

f=1

años


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

Respuesta

318

Tasa Convertida

Período

Tasa




✖



✖


1


i

364 Días

365




i

7

Período

i 0

Calcular

1



i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

29.47 % que corresponde a la tasa ofrecida en la propaganda.

Con interés y devaluación TITULOS CANJEABLES POR CERTIFICADOS DE CAMBIO Características Son expedidos por el Banco Central y expresados en dólares de los Estados Unidos. Se colocan con vencimiento de un año, devengan el 12% de interés anual liquidable trimestralmente sobre el valor que se obtenga con base a la tasa de cambio vigente el día de su pago.

¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente de los Títulos Canjeables por certificados de cambio, que se adquirieron hace un año, si la tasa de devaluación vigente es del orden del 18% efectivo anual? t D = 18 %

i = 12 % T.V


0

1

3

ia= ?

f= 4

0

f=1

trimestres


Tasa dada Tasa

Tasa Convertida

Período

Tasa


i 0

2 Tasas


✖


Trimestral • Vencida • Efectiva

Respuesta

✖



año

1


i

364 Días

365




i

18

Período

i 0

Calcular

1



i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

32.81 % es la rentabilidad efectiva anual para los Títulos Canjeables.

319

Con interés y Valorización Acciones de un Banco El manual de Mercado Bursátil, publicación de la Bolsa de Valores, proporciona la siguiente información para el Banco de Caldas: Valor de la acción al iniciar el año 1 : 23.6 ; valor de la acción al iniciar el año 2, 33.14 ; Dividendo mensual decretado por acción , 0.25. ¿Cuál fue la rentabilidad efectiva mensual y anual de estas ACCIONES? C g = 33.14 VP = 23.6

i m = ?%

Dividendo = 0.25


1

11

0

N = 12

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï Calcular

12

?

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

320

Bonos

Hoja Electrónica


?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

0.25 23.6 33.14



Tasa de interés

3.78% es la tasa efectiva mensual y 56.14% es la tasa efectiva anual equivalente.

Con descuento y devaluación Certificados de cambio negociados en bolsa Características El Certificado de Cambio es un título representativo de moneda extranjera que expide el Banco de la República como una operación de mercado abierto a fin de participar en el mercado y contraer la oferta monetaria. Estos documentos pueden negociarse a descuento en las bolsas de valores.

Se negocian Certificados de cambio a 21 días de su maduración, a un precio de 624 Si el tipo de cambio en esa fecha era de 631 y la tasa de devaluación para el año se estima en un 18%, ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual equivalente para esta operación? Primero, se calcula la tasa efectiva anual equivalente al descuento.

VP = 624

VF = 631

i a = ?%

Líneas de tiempo 0

1

20

N = 21

0

1

20

N = 21

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

21

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?


√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro



?

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

624 631



Tasa de interés

21.07 % es la tasa efectiva anual equivalente al descuento.

321

Segundo, se calcula la tasa equivalente que resulta de combinar las dos tasas..

t d = 18 %

i a= ? %

i a = 21.07 % 0

f=1

0

f=1

años


Tasa dada Tasa

i 0

2 Tasas

322

Tasa Convertida

Período

Tasa


21.07 Anual • Vencida • Efectiva


✖


2. Entre tasa dada

Respuesta

✖


1


i

364 Días

365




i

18

Período

i 0

Calcular

1



i 364 Días

✔ OK

i


365

X Cancel

Calcular

42.86 % es la rentabilidad efectiva anual equivalente para los Certificados de cambio negocios a descuento.

20 Costo del crédito

“Nada es particularmente difícil si se divide en pequeñas tareas” Henry Ford

L

os establecimientos de crédito denominados intermediarios financieros están autorizados para captar habitual y masivamente dinero del público y prestarlo a sus clientes. El margen de intermediación, es decir, la diferencia entre lo que cobran por los préstamos ( Operaciones activas) y lo que pagan por lo que reciben en depósito (Operaciones pasivas) determinan en gran parte su desempeño. Ellos además, exigen que el beneficiario pague algunos costos adicionales como seguros, etc... que minimicen el riesgo. De otra parte, la industria y el comercio también conceden crédito a sus clientes a fin de facilitar la venta de sus productos. Todos los créditos, en general, tienen un costo cuyo cálculo exige mucha de la información expuesta en los capítulos antecedentes. Un gerente financiero después de escuchar una de mis conferencias acerca del tema supuso que mis conocimientos me convertían en un poderoso adversario para negociar cualquier operación de crédito y me lo hizo saber. -De que me vale, le respondí, saber calcular la tasa efectiva que expresa el costo de un crédito, manifestárselo al gerente del banco, advertirle que el costo es exagerado, para que imperturbable me responda: ¿Necesitas el crédito o reconocimiento por lo que sabes?

324


Importancia práctica del tema El cálculo del costo del crédito es un tema fundamental para tomar decisiones acertadas en los negocios. Su dominio hace posible que usted obtenga economías significativas de dinero, si evalúa las opciones a su alcance. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema: Costo del crédito en dólares Una empresa de teléfonos recibe financiación en dólares para el proyecto de ampliación de redes. Si la tasa de interés del crédito es de 8.5% liquidable semestralmente y la tasa promedio de devaluación durante el plazo se estima en el 30%, ¿ Cual será el costo financiero estimado del proyecto ? Costo de los créditos de las Corporaciones de ahorro y vivienda ¿ Cuál será el costo del crédito para adquisición de vivienda de las líneas de crédito de las corporaciones cuyas características son las siguientes :

Valor

Tasa Corrección

Tasa interés

Hasta 1300 upac

21%

6.0%

Desde 1300 upac hasta 5000 upac

21%

7.5%

Costo del crédito de las Comañías de Leasing

Una empresa editorial solicita crédito por 15 millones a una compañía de leasing para la compra de maquinaria. La compañía la otorga con las siguientes condiciones: Canon mensual anticipado. 813.638; plazo 36 meses; opción de compra por valor de 746.900, al culminar el plazo. ¿Cual será el costo de esa operación?.

325

Costo del crédito Es el número de unidades adicionales que se deben pagar por cada cien de crédito, expresada en porcentaje. Medida del costo La medida del costo del crédito es la tasa efectiva anual equivalente. Métodos de cálculo Los métodos para calcular la tasa efectiva anual equivalente como medida del costo, depende del tipo de problema, pero básicamente pueden resolverse con la fórmula general de las anualidades; la fórmula general de conversión de tasas y la fórmula de la tasa interna de retorno. Componentes del costo En general, los componentes básicos del costo del crédito son: La tasa de interés o descuento, la tasa de corrección monetaria en las operaciones en valor constante, la tasa de devaluación en las operaciones en moneda extranjera; combinaciones de ellos; y los costos de apertura: sobretasas, avales, comisiones, reciprocidades, timbres, etc... . Clasificación El tema del cálculo del costo del crédito se puede dividir en tres categorías el cálculo del costo de las operaciones en moneda corriente, operaciones en valor constante y operaciones en moneda extranjera.

326

APLICACION Operaciones en moneda corriente CREDITO EN EL COMERCIO Compra de electrodomésticos Se compra un equipo de sonido bajo las siguientes condiciones : Saldo a financiar, 85.000; Valor de la cuota mensual, 18.900 ; número de cuotas, 6. S e desea saber, ¿Qué tasa de interés se está cobrando por financiación ?

Primero, Se calcula la tasa efectiva del período

VP = 85.000

i m = ?%

C = 18.900


1

5

N= 6

0

1

5

N=6

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

Fondos

Depreciación

, . ï

Calcular

Períodica Anual

Interés Compuesto

√α


Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+

6

?

Borrar datos

Borrar Datos

Respuesta

Bonos

✖

Tasa de Interés % Hoja Electrónica Tasa de interés ?

2. Limpie memorias,


Ayuda


18 900

Cuota uniforme

85 000



Tasa de interés

8.91 % es la tasa efectiva mensual y 178.64 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa el costo del crédito.

327

Compra de vehículos Se adquiere un automovil bajo las siguientes condiciones: Precio 20 millones; Cuota incial, 5 millones; 36 cuotas de 845.692 cada una, pagadera cada mes. ¿Qué tasa de interés efectiva anual paga el cliente por financiación?

VP = 15.000.000

i m = ?%

C = 845.692


1

35

N = 36

0

1

35

N = 36

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Fondos

Depreciación

, . ï

Calcular

Períodica Anual

36

?

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

328

Bonos

✖

Tasa deElectrónica Interés Hoja

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC


Tasa de?interés

2. Limpie memorias,

Respuesta


Ayuda

845 692 15 000 000



Tasa de interés

4.47 % es la tasa efectiva mensual y 69 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa el costo del crédito.

Compra de pasaje aéreo con tarjeta de crédito Se compra un pasaje por valor de 300.000 con tarjeta de crédito y pagos diferidos 12 meses. El extracto indica que se tendrán que cancelar cuotas de 31.045, cada mes ¿Qué tasa de interés se está cobrando por financiación ?

VP = 300.000

i m = ?%

C = 31.045


1

11

N = 12

0

1

11

N = 12

meses


✖


Modalidades

Formatos

Ver


✖

Tasa de Interés

↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

Tasa de interés

12

?


?

2. Limpie memorias,

Períodica Calcular

Anual

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

31 045 300 000



Tasa de interés

3.5 % es la tasa efectiva mensual y 51.11 % es la tasa efectiva anual equivalente.

329

CREDITO DE LAS INSTITUCIONES FINANCIERAS Descuento de Aceptaciones Bancarias Un Banco otorga una aceptación (Letra de cambio avalada por el banco) para que uno de sus clientes cancele 25 millones por compra de mercancía a su proveedor principal en un plazo de 120 días. Este decide negociarla inmediatamente en Bolsa Si el comisionista entrega 22.150.000, ¿Cual es la tasa efectiva anual equivalente, que representa el costo para el empresario de esta operación ?

VP = 22.150.000

VF = 25.000.000

i a = ?%


1

119

N = 120

0

1

119

N = 120

días


✖


Modalidades

Formatos

Ver


↓↑

%

Bonos

Fondos

Depreciación

, . ï

Hoja Electrónica

?

120 ÷ 360 =


?

2. Limpie memorias,


Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Borrar Datos

Respuesta


Ayuda

+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

+

o

.

=

← AC

22 150 000 25 000 000



Tasa de interés

43.78% es la tasa efectiva anual equivalente. Nota.- Observe que en las operaciones en las cuales no se presenta anualidad se puede hallar directamente la tasa efectiva anual entrando la fracción de año.

330

Crédito ordinario en Bancos Comerciales Un banco concede crédito con las siguientes condiciones: Valor nominal del crédito, 1’000.000; Tasa de descuento nominal, 36% liquidable trimestralmente; Descuento por comisión anual, 6%; Costos de apertura del crédito, 6.154 , ¿ Cuál es la tasa efectiva anual equivalente, que representa el costo de este crédito ? La tabla siguiente muestra el valor líquido que recibe el cuentahabiente y el flujo de pagos trimestral:

Trimestre

0

Flujo neto

1

903. 846

2

317.500

3

295.000

Desembolso

4

272.500

250.000

Pagos

i t = ?%

VP = 903.846

317.500 272.500 250.000


1

3

N=4

0

1

3

N=4

trimestres


✖


Modalidades

Formatos

Bonos

Datos 4

π

VPN Calcular



10.2172 Tasa Interna de retorno Interés Recordar

Decimales Presente Tasa efectiva anual Valor47.5698 Valor Futuro

Valor Presente neto

√α

Interés Simple

2 295 000

+

3 7 4 272 500

%

÷

9 4 8 0006 250

x

1/x 5

1

2

3

o

.

=

Plazo Período

4 Trimestre

0 1 2 3 4

1 000 000 - 96 154 = +/ 317 500 295 000 272 500 250 000

←

4. Calcule las respuestas:

-

+


✖?

Tasa de Oportunidad

Flujo Neto 0 1 - 903 846 317 500

Depreciación

?

TIR

Período

Fondos

, . ï

↓↑ % Hoja Electrónica Evaluación Financiera

Plazo

Respuesta

Ayuda


Opciones Ver

2. Limpie memorias,

Ver

AC

TIR

10.22% es la tasa efectiva trimestral y 47.57 % es la tasa efectiva anual equivalente que representa el Costo de ese crédito.

331

Operaciones en Valor constante CREDITO DE LAS CORPORACIONES DE AHORRO Y VIVIENDA Crédito para adquisición de vivienda ¿ Cuál será el costo del crédito para adquisición de vivienda de las líneas de crédito de las corporaciones cuyas características son las siguientes :

Valor en Upac


21


Respuesta

21%

6.0%

2. Desde 1300 hasta 5000

21%

7.5%

3. Desde 5000 hasta 10.000

21%

8.0%

4. Desde 10.000 hasta 15.000

21%

11.0%

✖


✖

Simple

Márgenes Tasa dada

Tasa





Período Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Calcular Anual Anual Borrar Otra datos

Recordar Decimales

i i Interés Compuesto 0

Tasa de interés

1. Hasta 1300


2 Tasas 2. Entre la 1ª tasa

Tasa de Corrección

1

2 Tasas

364 Días

i 365

Calcular

Tipo...

√α

+ 0

7

i 1

1/x

Fondos

6

Vencida Anticipada



i %

5

4 1

2 .

Depreciación

, ï ? .Modalidad

364 9 8 Días6

✔ OK o


3

÷

i


←

x 365 -

X Cancel+

AC

Calcular

=

1. 28.26% 2. 30.075% 3. 30.68% 4. 34.31% Que corresponden a la tasas efectivas anuales que representan el costo de cada línea.

332

Operaciones en moneda extranjera CREDITO EN DOLARES DE LOS ESTABLECIMIENTOS DE CREDITO Crédito para la ampliación de la infraestructura telefónica Una empresa de teléfonos recibe financiación en dólares para el proyecto de ampliación de redes. Si la tasa de interés del crédito es de 8.5% liquidable semestralmente y la tasa promedio de devaluación durante los períodos del mismo se estima en el 30%, ¿ Cual será el costo financiero del proyecto ?

t D = 30%

ia= ?

i = 8.5% s.v.


1

1

N=2

0

f=1

semestres



✖


✖

Simple

Márgenes Tasa dada

Tasa

8.5

Semestral • Vencida • Nominal

Respuesta




2 Tasas 2. Entre la 1ª tasa

año


Período Diaria Mensual Trimestral Cuatrimestral Semestral Calcular Anual Anual Borrar Otra datos

Recordar Decimales

i i Interés Compuesto 0 2 Tasas

1

364 Días

i 365

Calcular

Tipo...

√α

+ 0

7

i 1

1/x

Fondos

30

Vencida Anticipada



i %

5

4 1

2 .

Depreciación

, ï ? .Modalidad

364 9 8 Días6

✔ OK o


3

÷

i


←

x 365 -

X Cancel+

AC

Calcular

=

41.28 % es la tasa efectiva anual equivalente al costo del crédito.

333

Operaciones de Arrendamiento financiero, Leasing

Arrendamiento financiero para una empresa editorial Una empresa editorial solicita crédito por 15 millones a una compañía de leasing para la compra de maquinaria. La compañía la otorga con las siguientes condiciones: Canon mensual anticipado. 813.638; plazo 36 meses; opción de compra por valor de 746.900, al culminar el plazo. ¿Cual será el costo de esa operación si, además, el beneficiario del crédito debe desembolsar por otros conceptos la suma de 251. 256?

C g = 746.900 VP = 14.748.744

i m = ?%

C = 813.638


1

35

0

N = 36

1

35

N = 36

meses


Archivo Simple

Modalidades

↓↑

Ver

%


Ayuda

Hoja Electrónica

Bonos

Depreciación

, . ï

✖

Tasa de Interés

Fondos

36

?


?

Tasa de interés Calcular

Períodica

Interés Compuesto

√α

Nº Períodos

Borrar datos

Tasa de Interés

Recordar

Cuota Uniforme

Decimales

Valor Presente

Tipo...

Valor Futuro

Anual

Borrar Datos

334

Formatos


2. Limpie memorias,

Respuesta

✖


+

1/x

%

÷

7

5

9

x

4

8

6

-

1

2

3

o

.

=

← AC

+

813 638 14 748 744 746 900



Tasa de interés

4.73 % es la tasa efectiva mensual y 74.07 % es la tasa efectiva anual que expresa el Costo de ese crédito.

Indice A A., Thomas Edison 40 Acción 224, 304 Accion al goce 304 Accion al portador 304 Acción nominativa 304 Accion preferencial 304 Accionista 304 Aceptaciones bancarias 292 Activo Financiero 304 Activos financieros de rentabilidad agregada 307 Activos financieros de rentabilidad simple. 307 Ahorro 19 Ahorro programado en Cuenta de ahorro 150 Ahorro programado para cancelar una deuda 216 Ahorro público 304 Amortización 192, 304 Amortización de bonos 233 Amortización de la emisión 225 Amortización por sorteos 233 Aníbal 190 Anónimo Anualidad 104 Anualidad eventual 106 Anualidad a término 106 Anualidad anticipada 107, 135 Anualidad anticipada con cuota global 145 Anualidad cierta 106 Anualidad cierta a término con cuota global 108 Anualidad con cuota global 122 Anualidad creciente geométricamente 205 Información básica 206 Anualidad diferida 107, 153 Anualidad diferida anticipada 155 Anualidad diferida vencida 155 Anualidad todo el plazo y cuota global al final 207 Anualidad vencida 107, 111 Anualidades 101 Asamblea general extraordinaria 304 Asamblea general ordinaria 304 Aumento de capital 304

B Balance 305 Beneficiario 305 Bienes raíces 259 Bolsa de valores 305 Bono 224, 305 Bono comprado a descuento 226 Bonos 221 Información básica 237 Tabla de amortización 234 C Cálculo de la Cuota Global 126 Cálculo de la cuota periódica 131 Cálculo de la Tasa conocido el Valor futuro 120 Cálculo de la Tasa de interés 59, 73 Cálculo de la Tasa Interna de Retorno 182 Cálculo de la TIR y del VPN 186 Cálculo de los valores diarios de la UPAC 75 Cálculo de rentabilidad Acciones 315, 320–322 CDTs 309 Cédulas de capitalización 310 Cédulas hipotecarias 316 Certificados de ahorro Valor constante 318 Certificados de cambio 314, 321 CERTs 312 Cuentas de ahorro 308 Cálculo de rentabilidad de Activos financieros 301 Cálculo del Número de períodos 74 Cálculo del Costo conocido el MP 49 Cálculo del Costo conocido el Precio y el MC 47 Cálculo del Interés 58 Cálculo del interés ordinario 64 Cálculo del Margen sobre el Costo 45 Cálculo del Margen sobre el Precio 46 Cálculo del Número de períodos 61 Calculo del plazo conocido el Valor futuro 119 Cálculo del Precio conocido el MC 48 Cálculo del Precio conocido el MP 50 Cálculo del Valor Futuro 62, 71 Cálculo del Valor Presente 60, 72, 157 Cálculo del Valor Presente Neto 184 Cambio de precios Cancelación de cuotas pendientes de pago 114

Cantidad transada 305 Capital 305 Capital abierto 305 Capital autorizado 305 Capital cerrado 305 Capital insoluto de un crédito hipotecario 270 Capital pagado 305 Capital suscrito 305 Capitalización 70, 305 Capitalización de intereses 86 Captación 305 Categorías del interés y del Descuento 35 Cédulas hipotecarias 305 Certificado de Deposito a término 305 Certificados de Deposito a término 56 Churchill 54, 240 Comparación de opciones 291 Componentes del costo 326 Compra a descuento 225 Compra a premio 225 Compra a premio o a descuento 229 Concordancia del período de la tasa con el período 34 Conversión de tasas 88 Corrección monetaria, 306 Costo 42 Costo capitalizado 170 Costo de reemplazo 242 Costo de un Sobregiro 64 Costo del crédito 323, 326 En dólares 333 En el comercio Compra de vehículos 328 Pasajes aéreos 329 Venta de electrodomésticos 327 Instituciones financieras 330 Leasing 334 Costo del crédito bancario 183 Costo inicial 242 Costo original y valorización 276 Crédito a constructores 98, 268 Crédito bancario 203 Crédito de Fomento 161 Crédito de Fomento con cuotas anticipadas 162 Crédito de las compañías de arrendamiento financie 207 Crédito de las empresas comerciales y de servicio 198 Crédito hipotecario 205 Crédito individual en Valor constante 266 Crédito máximo 262

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Crédito para la construcción de un edificio 268 Crédito para vivienda 262 Cuenta de ahorro en dólares 97 Cuota anticipada en un crédito hipotecario 136, 138 Cuota creciente linelamente INFORMACION BASICA 202 Cuota de depreciación 242 Cuota Global 29, 192 cuota global 279, 280 Cuota para pagar crédito hipotecario 265 Cuota periódica 104 Cuota periódica creciente linealmente 201 Cuota periódica decreciente linealmente 203 Cuota uniforme 29 Cuota Uniforme -INFORMACION BASICA 200 Cupo posible de crédito 264 D Dean, James 210 Denominación 224 Depreciación 242 Descuento 32, 42, 286, 306 Descuento bancario 290 Descuento de una Aceptación bancaria 293 Descuento e IVA 296 DESCUENTO efectivo 86 Descuento vs. Cuotas uniformes 295 Descuentos encadenados 294 Deuda en la compra de un automóvil 113 Devaluación, 306 Diferencia entre tasas nominales y efectivas 86 Diferida Vencida 107 Diferida Anticipada 107 Dinero 19 DISEÑO DE UN BONO 228 Disraeli 222 E Einstein 102 Elaboración de la tabla del Fondo de amortización 214 Emisión de bonos 228 Equivalencia 87 Evaluación de descuentos 283, 286 Ventas al comercio 288 Evaluación financiera 175, 178

336

F

K

Factor de descuento Factor de incremento Financiación de estudios de postgrado 159 Financiación de vivienda 160 Flujo de Fondos 178 Flujo Neto de operación 179 Flujos de fondos variables 178 Fondo con depósitos anticipados 141 Fondo de amortización 212 Fondo de depreciación 242 Fondo en Valor constante 127 Fondo para reponer un vehículo 213 Fondos de amortización 209 Sistema de anualidad creciente geométricamente 219 Información básica 220 Fondosde amortización Información básica 218 Ford, Henry 324 Fórmula 77, 151, 163, 173, 187 Fórmulas, 51, 65, 133 Franklin 260 Frecuencia de cuotas 105 Frecuencia de la tasa en el año 21 Frecuencia de liquidación 83 Fundación para beneficencia 169

Kipling, Rudyard 176

H Herramientas para evaluar 180 I Importancia de las Líneas de tiempo equivalentes 36 Incremento o decremento geométrico 193 Incremento o decremento lineal 193 Inflación INFORMACION BASICA 109 Integración de dos tasas 88 Interés 20, 32 Interés Compuesto 70 Interés compuesto 67 INTERES efectivo 85 Interés Simple 53 Interés simple 57 Interés simple exacto y ordinario 63 Interés simple vs. Interés compuesto 70 Intermediación financiera 82 Inversión 179 Inversión en Activos Financieros 178 Inversiones en bienes raíces 274

L Leasing 126, 145, 146, 147, 148, 149 Lincoln 302 Línea de fomento para edición de películas 158 Línea de tiempo Líneas de tiempo equivalentes 25 Liquidación de intereses 224 Liquidez primaria 306 Liquidez secundaria 306 Lombardi 80 M Margen sobre el costo 43 Margen sobre el Precio 44 Márgenes 39, 43 Medida del costo 326 Métodos de cálculo 326 Métodos de depreciación 239, 242 Amortización 256 Información básica 258 Fondo de Amortización 253 Información básica 255 Línea Recta 243 Información básica 245 Saldo decreciente geométricamente 246 Información básica 248 Suma de dígitos 249 Información básica 251 Métodos para constituir Fondos de amortización 212 Modalidades de depósitos en los ahorros 27 Modalidades de pago en los préstamos 26 N Número de cuotas para acumular un Fondo 119 Número de depósitos para acumular un Fondo 143 O Operación de Mercado Abierto 306 Operación garantizada con aceptación 292 Operaciones con corrección monetaria 98 Operaciones en dólares 97

P Pago anticipado de impuestos 130 Pago anticipado del cánon de Arrendamiento 137 Pasos para la Construcción de las líneas de tiempo 36 Patton 68 Período base para el cálculo de Rentabilidad 306 Período de capitalización 70 Período de la tasa de interés 21 Período entre cuotas 105 Períodos del Plazo 30 Plazo 224 Plazo de la anualidad 105 Plazo de un crédito hipotecario 272 Plazo del proyecto 178 Plazo en una operación de Leasing 125 Plazo para cancelar una hipoteca 116 Plazo para constituir un Fondo 129 Plazo para recuperar la inversión 132 Precio 42 Precio de compra de una propiedad para arrendar 282 Precio de un bono 227 Precio de un Bono comprado a descuento 122 Precio de un Bono en la fecha de pago de cupones 226 Precio de un Bono entre fechas de pago de cupones 227 Préstamo 19 problemas posibles de conversión 88 Procedimientos para evaluar 287 Programa de inversión en Títulos valores 128 Proyecto de inversión 178 R Relación entre el Interés y el descuento 33 Relación entre tasas de interés y descuento 34 Rendimiento 225 Renta perpetua 106, 108 Renta perpetua para los ancianos 168 Rentabilidad de los bonos 231 Rentabilidad de los bonos amortizados 235 Rentabilidad de un Bono amortizado por sorteo 235 Rentabilidad de un Bono comprado a descuento 123 Rentabilidad de un Bono comprado a

descuento. 232 Rentas perpetuas 165 Cálculo de la Cuota 167 Cálculo del valor presente 168 Reserva mensual para constituir un Fondo 142 S Serie 224 Sistema de amortización 193 Sistemas agregados 197, 207 Sistemas de amortización 189 Bancario Información básica 204 Leasing Información básica 208 Sistemas integrados 196, 205 Sistemas simples 194 Subrogación de un crédito hipotecario 273 T Tabla de Amortización 199 Tabla de depreciación 244 Tabla de inversión 230 Tabla para el cálculo del Flujo de Fondos 179 Tablas de descuento 297 Tasa Tasa de descuento 22 Tasa de interés, 21, 224 tasa de interés de equivalencia, tie 24 Tasa de interés de un crédito hipotecario 140 tasa de interés efectiva anual 23 Tasa de interés periódica 105 Tasa de interés que gana un Fondo 144 Tasa efectiva 85 Tasa efectiva mensual que se paga por un crédito 117 Tasa interna de retorno 180 Tasa nominal 23, 83 Tasa nominal de descuento 84 Tasa nominal de interés 84 Tasas de interés equivalentes 24 tasas nominales son términos de un contrato 84 Tasas nominales y efectivas de interés y descuento 79 Tenedor 224 Tipos de descuento 286 Títulos de ahorro cafetero 232

V Valor de la cuota en una operación de Leasing 124 Valor de salvamento 242 Valor de uso 242 Valor en libros 242 Valor Futuro 29 Valor futuro de una anualidad diferida 156 Valor nominal 224 Valor Presente 29 Valor presente neto 180 Valor Presente y Valor Futuro Valorización de la acción 306 Valorización de una propiedad 274 Variables de la amortización 192 Variables fundamentales 28 variables relacionadas con el plazo 30 Variación, ∆ Variación en las ventas Variación por unidad Variación porcentual Variación porcentual, ∆% Vida útil 242 Vida útil de muebles y enseres 139 Voltaire 18

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Texto Portalio CD Libro

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