Libro de Gestion Financiera

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Introducción a las Operaciones Operac iones Financie Financieras ras

Juan Carlos Mira Navarro

Introducción a las Operaciones Financieras

Introducción a las Operaciones Financieras Juan Carlos Mira Navarro

Publicado por: Juan Carlos Mira Navarro email: [email protected] http://www.emodulos.com (C) 2014, Juan Carlos Mira Navarro Versión 1.3 (enero 2014) Diseño de la cubierta: Juan Carlos Mira Navarro Ilustración de la cubierta: Juan Carlos Mira Navarro

Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 2.5 España texto legal (la licencia completa)

a Margarita

Prólogo Estos apuntes, están orientados a quien estudia las operaciones financieras. El objetivo principal, es aprender matemáticas financieras haciéndolas, así como cubrir el contenido del módulo de gestión financiera en el Ciclo de Grado Superior de Administración y Finanzas y la asignatura de matemáticas de las operaciones financieras en el grado de Administración y Dirección de Empresas. Cada unidad contiene un amplio conjunto de problemas. Algunos, incluyen cálculos rutinarios y están ideados como ayuda a dominar nuevas técnicas. Otros exigen aplicar las nuevas técnicas a situaciones prácticas. He evitado por tanto «la teoría por la teoría». Hay muchos y buenos textos dedicados a esta materia como puede verse en la bibliografía. Sin embargo, los principales resultados, he procurado enunciarlos de forma completa y cuidada. La mayoría de ellos están explicados o justificados. Siempre que es posible, las explicaciones son informales o intuitivas y se realizan una sola vez. Hay un apéndice de introducción matemática que recuerda algunas cuestiones precisas para el estudio de la gestión financiera. Igualmente he pretendido crear un índice alfabético exhaustivo. El empleo de tablas financieras fue la primera ayuda con la que se pudo contar para resolver un problema de matemáticas financieras. Desde ellas hasta la introducción de la primera calculadora financiera, la HP80, por HewlettPackard en 1972 y así hasta que Dan Bricklin concibiera la primera hoja de cálculo «Visicalc» en 1978 que comerciara Apple, ha pasado mucho tiempo. En la actualidad el empleo de las calculadoras y hojas de cálculo en los ordenadores personales es muy habitual y facilita enormemente el trabajo, además de reducir el número de errores. Sin embargo, hay que señalar que aunque la informática resuelve problemas de cálculo, no soluciona la necesidad de dominar primero la materia. Su conocimiento por tanto no lo puede suplir el ordenador.

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Prólogo

En la resolución de los ejercicios se utiliza una calculadora financiera (la HP12C). Igualmente, para muchos de ellos, he utilizado la hoja de cálculo (Excel o Calc). Hoy en día, deben ser herramientas habituales para el estudiante y trabajador de este área matemática. En la página dedicada al módulo, puede obtenerse un emulador de la calculadora hp10bII e igualmente puede utilizarse una HP12C on line . También puede descargarse la última versión de LibreOffice o Apache OpenOffice que contiene Calc. No obstante, estos apuntes, no pretenden ser un texto de utilización independiente, sino complementarios a las clases y que junto con las presentaciones y la página web [http://www.emodulos.com] permitan el estudio del módulo. La mayor parte del material utilizado para este documento procede de elaboración propia tomada de los apuntes utilizados para las clases. En este sentido, tengo que agradecer a mis alumnos la colaboración para la corrección de los ejercicios, y en general el entendimiento de los apuntes. En la primera parte, la primera unidad pretende introducir el concepto de capital financiero y equivalencia financiera haciendo además una clasificación de las operaciones financieras. En las unidades 2 a 4, se describen las leyes financieras clásicas de capitalización y descuento tanto simple como compuesta. Igualmente se tratan las operaciones a corto plazo más comunes en el ámbito empresarial (descuento bancario, cuentas corrientes, de crédito, etc.) En las unidades 5 y 6 se desarrollan las rentas financieras basadas en la ley de capitalización compuesta discretas y fraccionadas, estudiando tanto la constitución de capitales como las operaciones de amortización. Igualmente se analizan diversos métodos para la obtención del tipo de interés y el conocimiento de la TIR, así como la evaluación de operaciones financieras. Las unidades 7 y 8 estudian los préstamos tipo y métodos particulares de financiación actuales así como los empréstitos como medio de canalización del ahorro e inversión. La unidad 9 trata, como introducción, los títulos valores tanto de renta fija como variable en la que se aplican los conceptos financieros aprendidos en las unidades anteriores. Alicante, agosto de 2013

Índice general Prólogo

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1. Conceptos básicos 1.1. El fenómeno financiero. Capital financiero . . . . . . . . . 1.2. Operación financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Equivalencia financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Principio de sustitución o proyección financiera . . 1.3.2. Criterio de proyección financiera: leyes financieras . 1.4. Clasificación de las operaciones financieras . . . . . . . . . 2. Capitalización y descuento simple 2.1. Capitalización simple o interés simple . . . . . . . . . . . 2.1.1. Magnitudes derivadas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Intereses anticipados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cálculo de los intereses simples. Métodos abreviados . . 2.3.1. Método de los multiplicadores fijos . . . . . . . . 2.3.2. Método de los divisores fijos . . . . . . . . . . . . 2.4. Descuento simple comercial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Magnitudes derivadas . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Cálculo del descuento simple. Métodos abreviados . . . . 2.5.1. Método de los multiplicadores fijos . . . . . . . . 2.5.2. Método de los divisores fijos . . . . . . . . . . . . 2.6. Descuento simple racional o matemático . . . . . . . . . 2.6.1. Tanto de interés equivalente a uno de descuento . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Operaciones a corto plazo 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Crédito comercial . . . . . . . . . . . . . 3.3. Descuento bancario . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Descuento de efectos comerciales

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1 2 3 4 4 5 6

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9 10 12 13 13 14 14 14 15 16 16 16 17 18 18

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21 22 22 23 24

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ÍNDICE GENERAL

3.3.2. Descuento financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Cuentas corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Métodos para obtener el saldo . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Método indirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Método hamburgués . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Cuentas corrientes a interés recíproco y variable . . . 3.4.6. Cuentas corrientes a interés no recíproco . . . . . . . 3.5. Cuentas corrientes bancarias a la vista . . . . . . . . . . . . 3.6. Cuentas de ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Créditos en cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Equilibrio financiero. Reserva matemática o saldo financiero 3.8.1. Vencimiento común. Vencimiento medio . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Capitalización y descuento compuesto 4.1. Capitalización compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Magnitudes derivadas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Comparación entre la capitalización simple y compuesta 4.3. Equivalencia de tantos en capitalización compuesta . . . 4.4. Capitalización compuesta en tiempo fraccionario . . . . 4.4.1. Convenio exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Convenio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Capitalización continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Descuento compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Descuento racional compuesto . . . . . . . . . . . 4.6.2. Descuento comercial compuesto . . . . . . . . . . 4.6.3. Tanto de interés equivalente a uno de descuento . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Rentas financieras 5.1. Concepto de renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Clasificación de las rentas . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Valor capital o financiero de una renta . . . . . . . 5.4. Renta constante, inmediata, pospagable y temporal 5.4.1. Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Renta constante, inmediata, prepagable y temporal 5.5.1. Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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28 29 30 31 31 31 32 32 33 34 35 35 36 38

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41 42 44 45 45 48 48 49 49 50 51 51 52 52

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57 58 58 60 61 61 62 64 64 65 67 67

ÍNDICE GENERAL

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5.7. Rentas diferidas en d períodos de rédito constante . . . . 5.7.1. Valor actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Rentas anticipadas en h períodos de rédito constante . . 5.9. Determinación de n e i en las rentas de rédito constante 5.9.1. Estudio del valor actual como función de n . . . 5.9.2. Estudio del valor actual como función de i . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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68 69 71 71 72 73 74

6. Rentas fraccionadas y variables 79 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2. Rentas con fraccionamiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2.1. Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas . . . . . . 84 6.3. Ecuación general de las rentas constantes, inmediatas y temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4. Rentas de términos variables en progresión geométrica . . . . 85 6.4.1. Renta pospagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.4.2. Renta pospagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.4.3. Renta prepagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.4.4. Renta prepagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.5. Renta diferida y anticipada . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.5. Rentas de términos variables en progresión aritmética . . . . 89 6.5.1. Renta pospagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.5.2. Renta pospagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.3. Renta prepagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.5.4. Renta prepagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.5.5. Renta diferida y anticipada . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.6. Rentas variables fraccionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.6.1. Rentas variables fraccionadas en progresión geométrica 93 6.6.2. Rentas variables fraccionadas en progresión aritmética 93 6.7. Rentas variables en general con rédito periodal constante . . . 93 6.7.1. Determinación de i. Método de Newton . . . . . . . . 94 6.7.2. Hoja de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.7.3. Simplificación de Schneider . . . . . . . . . . . . . . . 100 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7. Préstamos 7.1. Conceptos básicos. Clasificación . . . . . . . 7.1.1. Elementos de un préstamo . . . . . . 7.1.2. El tipo de interés. Componentes . . 7.1.3. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Préstamos amortizables con reembolso único 7.2.1. Reembolso único . . . . . . . . . . .

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109 . 111 . 111 . 112 . 113 . 113 . 113

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ÍNDICE GENERAL

7.2.2. Reembolso único con fondo de amortización . . . . . . 115 7.2.3. Reembolso único y pago periódico de intereses. Préstamo americano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.3. Préstamo francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3.1. Anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3.2. Capital pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3.3. Cuotas de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.3.4. Capital amortizado, cuotas de interés . . . . . . . . . . 120 7.3.5. El cuadro de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.4. Tanto efectivo para el prestatario . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.5. Amortización con términos variables en progresión geométrica 123 7.6. Amortización con términos variables en progresión aritmética 124 7.7. Amortización de cuota de capital constante. Método italiano . 125 7.8. Préstamo alemán o «anticipativenzisen » . . . . . . . . . . . . 126 7.9. Amortización con intereses fraccionados . . . . . . . . . . . . 128 7.10. Carencia e interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.10.1. Carencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.10.2. Tipo de interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.11. Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.11.1. Caso particular. La fórmula de Achard . . . . . . . . . 131 7.11.2. Aplicación a los métodos de amortización más utilizados132 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8. Financiación de la empresa 8.1. La financiación externa de la empresa . . . . . . . . 8.1.1. Las deudas empresariales a largo plazo . . . . 8.1.2. Las deudas empresariales a medio plazo . . . 8.1.3. Las deudas empresariales a corto plazo . . . . 8.2. Arrendamiento financiero. «Leasing » . . . . . . . . . 8.2.1. Características . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Ventajas e inconvenientes . . . . . . . . . . . 8.2.3. Tipos de «leasing » . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Empréstitos. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Empréstitos sin cancelación escalonada . . . . 8.3.2. Empréstitos con cancelación escalonada . . . 8.3.3. Problemática de los empréstitos . . . . . . . . 8.3.4. Elementos que intervienen en los empréstitos 8.4. Empréstito normal (método francés) . . . . . . . . . Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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139 . . . . 140 . . . . 140 . . . . 140 . . . . 141 . . . . 141 . . . . 142 . . . . 143 . . . . 145 . . . . 145 . . . . 148 . . . . 149 . . . . 149 . . . . 150 . . . . 150 . . . . 151 . . . . 155

ÍNDICE GENERAL

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9. Títulos valores: operaciones bursátiles 159 9.1. Títulos valores: valores mobiliarios . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.2. Títulos valores: conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 9.3. Mercado de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.4. Rentabilidad de los títulos valores . . . . . . . . . . . . . . . . 164 9.5. Valoración de los títulos valores . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.6. Valoración de los títulos de renta fija . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6.1. Compra por suscripción y mantenimiento hasta su amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.6.2. Compra por suscripción y venta del título en el mercado168 9.6.3. Compra en el mercado y mantenimiento hasta su amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.6.4. Compra en el mercado y venta en el mercado . . . . . 169 9.7. Valoración de las acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.7.1. Valoración en función de los dividendos . . . . . . . . 170 9.7.2. Valoración en función de los beneficios . . . . . . . . . 172 9.8. Valoración de las letras financieras . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.8.1. Adquisición inicial y mantenimiento hasta su vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 9.8.2. Adquisición inicial y venta en el mercado secundario . 175 9.8.3. Adquisición de la letra en el mercado secundario . . . 176 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 A. Introducción matemática 179 A.1. Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A.1.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A.1.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 A.2. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A.3. Logaritmos decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A.4. Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.5. Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.5.1. Suma de términos equidistantes de los extremos . . . . 186 A.5.2. Término medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A.5.3. Suma de los términos de una progresión aritmética limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.6. Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.6.1. Producto de dos términos equidistantes de los extremos188 A.6.2. Término medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A.6.3. Producto de los términos de una progresión geométrica limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

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ÍNDICE GENERAL

A.6.4. Suma de los términos de una progresión geométrica limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 B. Diagrama de flujo de fondos y nomenclatura de signos 191 B.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B.2. Soluciones con interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 195 C. Tablas financieras C.1. Factor de capitalización compuesta unitaria C.2. Factor de descuento compuesto unitario . . C.3. Valor actual de una renta unitaria . . . . . C.4. Valor final de una renta unitaria . . . . . .

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197 . 198 . 200 . 202 . 204

Bibliografía

207

Índice alfabético

209

Índice de figuras 1.1. Capital financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Proyección financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4

2.1. Capitalización simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Descuento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Campo de validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1. Cuenta corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Capitalización compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . Acumulación de intereses en la capitalización compuesta Comparación entre la capitalización simple y compuesta Equivalencia de tantos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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42 43 45 47

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

Valor actual de una renta financiera . . . . . . . . . . . . Valor actual de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . Valor final de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . . Valor actual de una renta unitaria prepagable . . . . . . . Relación entre una renta unitaria prepagable y pospagable Valor actual de una renta unitaria diferida . . . . . . . . . Estudio de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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60 61 63 65 66 69 72 74

6.1. Valor actual de una renta unitaria fraccionada . . . . . . . . . 82 6.2. Método de Newton. Determinación de i . . . . . . . . . . . . 95 7.1. Préstamo francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2. Amortización del préstamo francés . . . . . . . . . . . . . . . 119 B.1. Línea del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B.2. Prepagable y pospagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 B.3. Diagrama de flujo de fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

xviii

ÍNDICE DE FIGURAS

B.4. Diagrama básico de flujo de fondos . . . . . . . . . . . . . . . 195

Unidad 1

Conceptos básicos 1.1. El fenómeno financiero. Capital financiero 1.2. Operación financiera 1.3. Equivalencia financiera 1.3.1. Principio de sustitución o proyección financiera 1.3.2. Criterio de proyección financiera: leyes financieras 1.4. Clasificación de las operaciones financieras

Conceptos básicos

2

1.1.

El fenómeno financiero. Capital financiero

En una primera interpretación se consideró el tiempo como una magnitud pasiva o neutra sin influencia en los hechos económicos. Más adelante se empezó a tomar la magnitud tiempo como una variable exógena que interviene en el fenómeno económico. Todo sujeto económico prefiere los bienes presentes sobre los futuros a igualdad de cantidad y calidad, y ello significa que el tiempo influye en la apreciación de los bienes económicos . Entre dos bienes que sirven para satisfacer la misma necesidad, pero están disponibles en tiempos distintos, es preferido el bien más próximo. Por eso, el tiempo es un bien económico negativo . Como consecuencia de estas premisas, surge la necesidad de identificar los bienes económicos con un par de números (C, t), en el que C indica la cuantía o medida objetiva del bien en unidades monetarias y t expresa el momento del tiempo al que va referida dicha medida o valoración, llamado momento de disponibilidad o vencimiento de la cuantía. El fenómeno financiero es todo hecho económico en el que intervienen capitales financieros, es decir, en el que interviene y se considera el tiempo como un bien económico. Consecuencia de ello, el principio básico de la preferencia de liquidez identifica los bienes económicos como una cuantía referida al momento de su disponibilidad. Se denomina capital financiero a la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad o vencimiento.

∈ R+ y t ∈ R

(C, t) siendo C

−

La expresión gráfica la hacemos por un punto del plano con referencia a un sistema de coordenadas cartesianas. C n C 1

t1

tn

Figura 1.1: Capital financiero

1.2 Operación financiera

1.2.

3

Operación financiera

La operación financiera es toda acción que intercambia o sustituye unos capitales financieros por otros de distinto vencimiento, mediante la aplicación de una determinada ley financiera en un punto de referencia. La mayor parte de los fenómenos financieros, o son operaciones financieras o son asimilables a operaciones financieras más o menos imperfectas. Se denomina origen de la operación al punto donde vence el primer capital y final al momento de vencimiento del último capital. La diferencia entre ambos vencimientos es la duración . La persona que entrega el primer capital inicia la operación como acreedora, y a su compromiso total se le denomina prestación . Por el contrario, la persona que recibe ese primer capital es inicialmente deudora, y a su compromiso total se le designa contraprestación . El postulado de equivalencia financiera establece que «toda operación financiera implica la existencia de una equivalencia financiera entre las sumas de los capitales que componen la prestación y la contraprestación, en base a una ley financiera previamente fijada y aceptada por ambas partes». Una operación financiera deberá cumplir las condiciones siguientes: Que el intercambio no sea simultáneo. Que esté actuando en el intercambio una ley financiera que haga que la prestación y contraprestación sean equivalentes financieramente. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Por ejemplo, si A cede unos capitales (C 1 , t1 ), (C 2 , t2 ) y (C 3 , t3) a B (préstamo), y como contraprestación, B , devuelve a A los capitales (C 4 , t4 ) y (C 5 , t5 ). La representación gráfica, sería: C 5 , t5 C 4 , t4

C 2 , t2 C 1 , t1

C 3 , t3

Pueden verse los diagramas de flujo de fondos en B.1, en la página 192.

Conceptos básicos

4

1.3. 1.3.1.

Equivalencia financiera Principio de sustitución o proyección financiera

«El sujeto económico es capaz de establecer un criterio de comparación entre capitales de una forma indirecta a través de la proyección o valoración en un punto de referencia p». Es decir, existe un criterio para el que un capital (C, t) obtiene la cuantía V del capital sustituto en p, y ello, tanto para t > p como para t < p. V , se expresa: V = Proy p (C, t) V C ′ C

V ′ p

t

t′

Figura 1.2: Proyección financiera Asociado a este criterio de proyección financiera , se obtiene la relación de equivalencia financiera en p, p, definida como «dos capitales (C 1 , t1 ) y (C 2 , t2 ) son equivalentes cuando tienen el mismo sustituto o proyección V en p». (C 1 , t1 )

p

(C 2 , t2 )

⇒ Proy

p

(C 1 , t1 ) = Proy p (C 2 , t2 )

y verifica las propiedades: reflexiva

(C 1 , t1 )

p

(C 1 , t1 )

simétrica

(C 1 , t1 )

p

(C 2 , t2 )

transitiva

(C 1 , t1 ) (C 2 , t2 )

p

(C 2 , t2 ) (C 3 , t3 )

p

⇒ (C 2, t2)

p

= (C 1 , t1 )

(C 1 , t1 ) p

(C 3 , t3 )

Se denomina origen de la operación al punto donde vence el primer capital, y final al momento de vencimiento del último capital. La diferencia entre ambos vencimientos es la duración . La persona que entrega el primer capital, inicia la operación como acreedora, y a su compromiso total se le denomina prestación . Por el contrario, la persona que recibe ese primer capital es inicialmente deudora, y a su compromiso total se le denomina contraprestación .

1.3 Equivalencia financiera

5

Una operación financiera es, pues, un intercambio no simultáneo de capitales financieros, entre dos personas, que lleva implícita una equivalencia entre el valor de los mismos respecto de un punto de referencia en base a una ley financiera previamente fijada y aceptada por ambas partes. El principio de proyección financiera en p permite también definir una relación de orden denominada relación de preferencia financiera .  p

Dados dos capitales (C 1 , t1 ) y (C 2 , t2 ) diremos que (C 2 , t2 ) es preferible o indiferente a (C 1 , t1 ) si se verifica que V 2 = P roy p (C 2 , t2 ) es mayor o igual a V 1 = P roy p (C 1 , t1 ), es decir: 

(C 1 , t1 ) p (C 2 , t2 )

⇔ Proy

p

(C 1 , t1 )

≤ Proy

p

(C 2 , t2 )

La relación así definida, verifica también las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 1.3.2.

Criterio de proyección financiera: leyes financieras

La expresión o modelo matemático del criterio de proyección financiera que para todo (C, t) permite obtener V fijado p, recibe el nombre de ley financiera aplicada en p y se simboliza por: V = F (C, t; p) = P roy p (C, t)

siendo p un parámetro. Cuando t < p, se dice que V es la cuantía en p resultado de la capitalización de (C, t), y por ello la ley, en este caso representada por L(C, t; p) se denomina ley financiera de capitalización en p. V = L(C, t; p) C

t

p

Si t > p, el valor de V es la cuantía en p resultado de la actualización o descuento de (C, t), y por ello, la ley, expresada ahora como A(C, t; p) recibe el nombre de ley financiera de descuento en p.

Conceptos básicos

6

C V = A(C, t; p)

p

1.4.

t

Clasificación de las operaciones financieras

Las operaciones financieras pueden clasificarse atendiendo a distintos criterios: 1. Según la naturaleza de los capitales, podemos distinguir entre operaciones financieras ciertas , en las que todos los capitales que intervienen son ciertos, y operaciones financieras aleatorias , cuando al menos uno de ellos es de naturaleza aleatoria. 2. Respecto a la forma de su definición, pueden clasificarse en operaciones predeterminadas o definidas ex ante , cuando en el contrato se especifica a priori los capitales de la prestación y de la contraprestación (en términos ciertos o aleatorios), y operaciones posdeterminadas o definidas ex post , caracterizadas por el no conocimiento previo de las cuantías o vencimientos de todos o parte de los capitales. 3. En relación al grado de liquidez interna, denominamos operación con liquidez interna total cuando en las condiciones del contrato se establece el derecho a cancelar la operación en cualquier momento y operaciones con liquidez interna parcial si la cancelación está condicionada o requiere el acuerdo entre las dos partes. 4. En cuanto a su duración, operaciones a corto plazo , las que tienen una duración inferior al año (generalmente), y operaciones a largo plazo cuando tienen una duración superior. 5. Por los compromisos de las partes, operaciones simples , si la prestación y contraprestación están formadas por un solo capital. En caso contrario, operaciones compuestas . 6. Atendiendo al punto p de aplicación, la operación será de capitalización , de descuento o mixta , según que p sea respectivamente mayor o igual que el último vencimiento, menor o igual que el primero o esté comprendido entre ambos.

1.4 Clasificación de las operaciones financieras

7

7. Según el sentido crediticio de la operación, de crédito unilateral cuando la persona que inicia la operación como acreedora, conserva este carácter hasta el final. En caso contrario, será de crédito recíproco . 8. Respecto a las condiciones sustantivas, si son únicas para todos los capitales, se trata de operaciones homogéneas . En caso contrario, reciben el nombre de operaciones heterogéneas .

Unidad 2

Capitalización y descuento simple 2.1. Capitalización simple o interés simple 2.1.1. Magnitudes derivadas 2.2. Intereses anticipados 2.3. Cálculo de los intereses simples. Métodos abreviados 2.3.1. Método de los multiplicadores fijos 2.3.2. Método de los divisores fijos 2.4. Descuento simple comercial 2.4.1. Magnitudes derivadas 2.5. Cálculo del descuento simple. Métodos abreviados 2.5.1. Método de los multiplicadores fijos 2.5.2. Método de los divisores fijos 2.6. Descuento simple racional o matemático 2.6.1. Tanto de interés equivalente a uno de descuento Ejercicios propuestos

Capitalización y descuento simple

10

2.1.

Capitalización simple o interés simple

Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital.

C n I

tgα = i

C 0

n

0

Figura 2.1: Capitalización simple Las variables a considerar, son: C 0 I C n i n

= = = = =

valor actual o capital inicial, intereses, valor final o montante de la operación, tasa de interés, número de períodos.

En cualquier caso, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. En la capitalización simple, el deudor, al vencimiento ha de pagar el capital más los intereses, es decir: (2.1) C n = C 0 + I El valor final C n en capitalización simple, transcurridos n períodos y al tanto i, lo podemos determinar para un capital C 0 , como C 1 = C 0 + i C 0 = C 0 (1 + i) C 2 = C 1 + i C 0 = C 0 (1 + i) + i C 0 = C 0 (1 + 2 i) C 3 = C 2 + i C 0 = C 0 (1 + 2 i) + i C 0 = C 0 (1 + 3 i)

.. .

C n = C n−1 + i C 0 = C 0 1 + (n

− 1)i

+ i C 0 = C 0 (1 + i n)

2.1 Capitalización simple o interés simple

11

C n = C 0 (1 + i n)

(2.2)

expresión que relaciona el montante o capital final, transcurridos n períodos de capitalización, con el capital inicial prestado. Al término (1 + i n), se le denomina factor de capitalización simple , y es un número tal que multiplicado por el capital inicial, nos permite obtener el capital financieramente equivalente al final del período n y que coincide con el capital final C n Si comparamos (2.1) con (2.2),

− C 0 I = C 0 (1 + i n) − C 0 I = C 0 + C 0 i n − C 0 I = C n

obtenemos,

I = C 0 i n

(2.3)

expresión que nos permite obtener los intereses devengados o rendimiento producido por un capital C 0 durante un período n, y de la que se deduce que éstos son proporcionales al capital, al interés unitario y al tiempo. Si expresamos el tiempo en m-ésimos de años (semestres, trimestres, meses,. . . ) las fórmulas (2.2) y (2.3) se pueden generalizar: C n = C 0 1 + i I =

n m

C 0 i n m

siendo m la fracción del año. m = 1 años m = 2 semestres m = 4 trimestres m = 12 meses m = 24 quincenas m = 52 semanas m = 360 días del año comercial m = 365 días del año natural o civil Es usual definir el sistema de capitalización simple por medio de las propiedades señaladas a i . Así suele decirse que la función de capitalización simple es aquella que define un sistema financiero en que el rédito acumulado es proporcional a la amplitud del período.


12

Ejemplo 2.1 Calcular los intereses producidos y el importe total adeudado de un capital de 450 e durante 60 días al 7 % de interés simple. I = C 0 i n C n = C 0 + I

·

I = 450 0, 07

60 = 5, 25 360

C n = 450 + 5, 25 = 455, 25

Utilizando la calculadora financiera, para obtener I y C n , 60

n 7 i

450

CHS

f

INT obteniendo 5, 25

y pulsando + dará como resultado 455, 25

2.1.1.

Magnitudes derivadas

Si despejamos C 0 de (2.2) se tiene: C 0 =

C n (1 + i n)

(2.4)

que nos permite calcular el valor capital inicial o actual si se conoce el montante, el tanto y la duración. Para calcular n o número de períodos, se aplicará: n =

−

C n C 0 C 0 i

(2.5)

Ejemplo 2.2 Calcular el montante de 1 000 e al 4 % de interés anual, al cabo de 90 días. ¿Cuánto tiempo será preciso que transcurra para que el montante sea un 5% más? Aplicando (2.2) y (2.5), C n = C 0 (1 + i n)

n =

−

C n C 0 C 0 i

C n = 1 000

n =

1 + 0, 04

− ·

90 360

= 1 010

1 050 1 000 = 1, 25 años 1 000 0, 04

2.2 Intereses anticipados

2.2.

13

Intereses anticipados

En ocasiones se plantean operaciones en las que el prestamista cobra los intereses por anticipado, es decir, en el mismo momento en el que se concierta la operación. Si el capital prestado es C 0 , el tipo de interés anticipado i y la duración n, los intereses se obtienen tal como hemos visto en (2.3) como I = C 0 i n, con lo que en el origen se recibe: ∗

∗

C 0

− C 0 i

∗

n = C 0 (1

∗

−i

n)

Se debe verificar, C 0 (1

∗

−i

n)(1 + i n) = C 0

de donde, 1 ∗ i = 1 i n n

− 1

−

del mismo modo, i

i∗ = 1 i∗ n

−

∗

i∗ =

i 1 + i n

y si n = 1, i =

2.3.

i∗ 1

−i

∗

i∗ =

i 1 + i

(2.6)

Cálculo de los intereses simples. Métodos abreviados

Los intereses, tal como se ha visto en (2.3), tienen por cuantía la expresión I = C n − C 0 . Normalmente, el tiempo n y el tipo de interés i están referidos al año como unidad de tiempo, pero al aplicarse la ley de interés simple en operaciones a corto plazo (inferiores al año), se aplican métodos abreviados cuya utilidad práctica se manifiesta cuando hay que calcular los intereses producidos por varios capitales. Los dos más utilizados son:


14

2.3.1.

Método de los multiplicadores fijos

Si al producto C 0 n del capital por el tiempo se le designa por N y al cociente i i ó por M , entonces la fórmula para el cálculo de los intereses se 360 365 expresará mediante el producto del llamado número comercial N , por el multiplicador fijo M , es decir:

I = N M 2.3.2.

(2.7)

Método de los divisores fijos

360

365

Si i pasa a dividir al denominador y al cociente ó llamado divisor i i fijo, se le representa por D la fórmula del interés se expresará: I =

N D

(2.8)

Ejemplo 2.3 Calcular los intereses producidos por un capital de 3 500 e en 60 días a un tipo de interés del 6 % anual, si se utiliza el año comercial utilizando para ello los métodos abreviados.

·

N = 3 500 60 = 210 000 0, 06 = 0, 00016 360 360 D = = 6 000 0, 06

M =

I = N M = 35

2.4.

I =

N = 35 D

Descuento simple comercial

La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. Cuando se descuenta un capital de cuantía C 0 , por n años, el valor descontado o actual que se obtiene es: C 0 = C n (1

− d n)

(2.9)

2.4 Descuento simple comercial

15

C n D C 0

n

0

Figura 2.2: Descuento simple C n se conoce con los nombres de capital final o capital nominal y a C 0 se le

designa como valor actual, valor efectivo o valor descontado. 1 d

Este sistema de descuento tiene como limitación n = tal como puede verse 1 d

en el figura 2.3 por tanto, será válido hasta n < .

1

1 d

0

n

Figura 2.3: Campo de validez

2.4.1.


El número de años n y el tanto d se calculan en: n =

C n C 0 C n d

−

(2.10)

d =

C n C 0 C n n

−

(2.11)


16

Ejemplo 2.4 Calcular el valor descontado, en descuento comercial, de un capital de 50 000 e que vence dentro de 4 años, si el tanto de descuento es el 6 %. Haciendo uso de (2.9), se tiene: C 0 = C n (1

2.5.

− d n) = 50 000 (1 − 0, 06 · 4) = 38 000

Cálculo del descuento simple. Métodos abreviados

El valor descontado de un capital de cuantía C n que vence dentro de n períodos es según (2.9) C 0 = C n (1 − d n) por lo que el descuento efectuado es: (2.12) Dc = C n − C 0 = C n d n debiendo tenerse presente que el tanto d y el tiempo n están referidos a la misma unidad de tiempo (habitualmente el año). Al aplicarse la ley de descuento simple comercial en operaciones a corto plazo, cuya duración suele venir expresada en días (tal como ocurría con la capitalización simple), n representará una fracción del año. La expresión (2.12), según se utilice el año comercial o el civil, quedará del siguiente modo: Dc = C n d 2.5.1.

n 360

Dc = C n d

n 365

Método de los multiplicadores fijos

Designando por N = C n n al número comercial o simplemente número d d y al cociente ó por el multiplicador fijo M , el descuento simple 360 365 comercial, será: (2.13) Dc = N M 2.5.2.

Método de los divisores fijos

N siendo N el número comerD 360 365 cial y D el divisor fijo que representa la fracción ó . d d

El descuento se expresa por el cociente D c =

Dc =

N D

(2.14)

2.6 Descuento simple racional o matemático

17

Ejemplo 2.5 Calcular los descuentos efectuados a un capital de 75 000 e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 %.

·

N = 75 000 120 = 9 000 000 D =

M =

0, 06 = 0, 00016 360

360 = 6 000 0, 06

y aplicando las fórmulas (2.12) y (2.13), se tiene: Dc = C n d

n 120 = 75 000 0, 06 = 1 500 360 360

·

·

Dc = N M = 9 000 000 0, 00016 = 1 500 Dc =

2.6.

N 9 000 000 = = 1 500 D 6 000

Descuento simple racional o matemático

El descuento racional, que designaremos por Dr , se calcula sobre el valor efectivo. Es igual al interés del efectivo C 0 durante el tiempo que falta para su vencimiento. De la expresión de capitalización simple C n = C 0 (1 + i n), resulta que el valor descontado de un capital C n, (disponible al cabo de n períodos), será: C 0 =

C n 1 + i n

(2.15)

(2.16)

El descuento racional, Dr = C n − C 0 , es: Dr =

C n n i 1 + i n

expresión de la que se deduce que el descuento racional no es proporcional al período de anticipo. El valor Dr ha sido obtenido tomando como dato el tipo de interés i que no debe ser confundido con el tanto de descuento. Considerando la expresión (2.3), el Dr se puede también obtener como: Dr = C 0 n i

(2.17)


18

2.6.1.

Tanto de interés equivalente a uno de descuento

Estos son diferentes, pero cabe hablar de un tanto de interés equivalente a uno de descuento y viceversa. Dc = C n d n = C n

in = D r 1 + i n

⇒

i 1 + i n d i = 1 dn d =

−

Para n = 1, se tiene: d =

i 1 + i

i =

d 1

−d

(2.18)

Ejemplo 2.6 Calcular el descuento racional que se efectuará sobre un título de 30 000 e nominales, que vence dentro de 150 días, si el tomador del título desea obtener un tanto de interés del 8 % ¿Cuál sería la tasa de descuento equivalente? El descuento racional es, aplicando (2.15): 150 0, 08 360 Dr = 30 000 = 967, 74 150 1 + 0, 08 360 El efectivo en consecuencia, es C 0 = 30 000 967, 74 = 29 032, 26 el cual garantiza obtener la rentabilidad.

·

· −

El tanto de descuento equivalente al interés, sería: d =

i = 1 + i n

0, 08 150 1 + 0, 08 360

= 0, 077419

·

El descuento comercial, sería:

·

Dc = C n d n = 30 000 0, 077419

· 150 = 967, 74 360

que coincide con el del racional.

Ejercicios propuestos Ejercicio 2.1 Una persona ha prestado una cantidad al 8,5 %. Después de 8 años y 3 meses la retira, y la vuelve a prestar, con los intereses que le ha producido al 10,5 %. ¿Cuál es la cantidad que prestó al 8,5 %, sabiendo que al presente recibe un interés anual de 5 000 e? 0 C : n 2 6 , 0 9 9 7 2 = ó i c u l o S

Ejercicios propuestos

19

Ejercicio 2.2 Dos capitales cuya suma es de 35 500 e han estado impuestos a interés simple durante el mismo tiempo y al mismo tanto, produciendo unos capitales finales de 13 125 e y 24 150 e. ¿Cuáles eran dichos capitales? 2 0 0 0 0 3 2 = C C : n y 0 0 5 2 1 = 1 0 ó i c u l o S

Ejercicio 2.3 He comprado mercancías por valor de 13 114 e con un crédito de 15 meses; pero si pago antes de este tiempo, me conceden un descuento del 5 %. ¿En qué época tengo que pagar, si no quiero desembolsar más que 12 489,60 e? 1 1 = n : n s a í d 2 1 y s e s e m ó i c u l o S

Ejercicio 2.4 ¿Qué cantidad es necesario prestar al 5,50 % para obtener 200 e de intereses en 132 días? 0 C : n 6 3 , 7 1 9 9 = ó i c u l o S

Ejercicio 2.5 Calcular el montante de un capital de 150 000 e al 6 % de interés anual colocado durante 1 año y 4 semanas en régimen de capitalización simple. n 1 3 , 2 9 6 9 5 1 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 2.6 Un capital se ha dividido en tres partes, y se ha impuesto la primera al 4 %; la segunda al 5 %, y la tercera, al 6 %, dando en total una ganancia anual de 9 244 e. Si la primera y tercera parte del capital se hubieran impuesto al 5,5 %, los intereses correspondientes a estas dos partes serían de 6 534 e anualmente. Calcular las tres partes del capital, sabiendo además que la tercera es los 2/9 de la primera. 3 C C C : n 0 0 6 1 2 = ; 0 0 2 1 8 = 2 ; 0 0 2 7 9 = 1 ó i c u l o S

Ejercicio 2.7 Un capital de cuantía C se ha colocado la cuarta parte al 5 % de interés durante 30 días, la mitad del resto se ha colocado al 4 % durante 60 días y la otra mitad al 8 % durante 40 días. Determinar la cuantía de C si los intereses totales son de 2 750 e y se utiliza el año comercial. 0 0 0 0 0 4 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 2.8 Un capital colocado durante 10 meses se ha convertido, junto con los intereses, en 29 760 e. El mismo capital, menos sus intereses durante 17 meses, ha quedado reducido a 27 168 e. Determinar el capital y el tanto por ciento a que ha estado impuesto. % 4 = 0 8 8 2 = i ; 0 C : n ó i c u l o S

20


Ejercicio 2.9 Hallar por el método de los divisores fijos los intereses totales de los capitales, colocados en los tiempos que se indican y dados a continuación: 100 000 e en 45 días; 75 000 e en 60 días; 60 000 e en 120 días; 90 000 e en 80 días; 150 000 e en 90 días y 225 000 e en 75 días. El tipo de interés aplicable es del 6 %. 0 5 , 2 6 9 8 = ó i c u l o S I : n

Ejercicio 2.10 Determinar el tiempo necesario para que un capital de cuantía C , colocado al tipo de interés i en régimen de capitalización simple, genere un montante igual a 3 veces el capital inicial. i

n : n = ó i c u l o S 2

Ejercicio 2.11 ¿Qué capital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo, sabiendo que el montante generado ascendió a 1 237,40 e? 3 9 , 4 2 8 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 2.12 ¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco veces mayor a un 8 % de interés simple anual? n : n s o ñ a 0 5 = ó i c u l o S

Unidad 3

Operaciones a corto plazo 3.1. 3.1. Introd Introducc ucción ión 3.2. 3.2. Crédit Crédito o comer comercia ciall 3.3. 3.3. Descue Descuen nto banca bancario rio 3.3.1. Descuen Descuento to de efectos efectos comerc comerciales iales 3.3.2. Descuen Descuento to financiero financiero 3.4. Cuentas Cuentas corrien corrientes tes 3.4.1. 3.4 .1. Métodos Métodos para para obtene obtenerr el saldo saldo 3.4.2. 3.4 .2. Método Método direct directoo 3.4.3. 3.4 .3. Método Método indire indirecto cto 3.4.4. 3.4 .4. Método Método hambur hamburgué guéss 3.4.5. Cuentas Cuentas corrient corrientes es a interés interés recíproco recíproco y variable variable 3.4.6. Cuentas Cuentas corrien corrientes tes a interé interéss no recíproco recíproco 3.5. 3.5. Cuent Cuentas as corrien corrientes tes bancari bancarias as a la vista vista 3.6. 3.6. Cuent Cuentas as de de ahorro ahorro 3.7. 3.7. Crédit Créditos os en cuenta cuenta corrien corriente te 3.8. Equilibrio Equilibrio financiero financiero.. Reserva Reserva matemática matemática o saldo financiero financiero 3.8.1. Vencimiento encimiento común. común. Vencimient Vencimiento o medio Ejercicios propuestos

Operaciones Operaciones a corto corto plazo

22

3.1. 3.1.

Intr Introdu oducc cció ión n

Estas operaciones se caracterizan porque su duración suele ser inferior a un año. Desde la perspectiva financiera la distinción entre una operación a corto plazo y otra a largo está en la ley financiera con la que se valora. Se suelen utilizar leyes financieras simples en las operaciones a corto plazo y leyes financieras compuestas en las operaciones a largo plazo.

3.2. 3.2.

Créd Cr édit ito o come comerc rcial ial

Son operaciones comerciales en las que el vendedor entrega la mercancía en un determinado momento y el comprador abona su importe una vez transcurrido el plazo convenido. En estas operaciones no suele explicitarse una ley financiera para su valoración. Desde la perspectiva del comprador esta forma de crédito no tiene coste cuando, como suele ocurrir con cierta frecuencia, no se aplica un recargo al pago aplazado. Si el precio al contado es el mismo que si se paga de forma aplazada, el proveedor financia gratuitamente al cliente y no existe ley financiera explícita ni implícita. Sin embargo, los proveedores suelen ofrecer un porcentaje de descuento si se paga al contado; en este caso, la empresa cliente debe medir el coste resultante de no acogerse a esta modalidad. Si llamamos r al tipo de descuento (en tanto por uno) que aplica el proveedor y n al número de días. (3.1) C 0 = C = C n (1 − r ) si como hemos visto en (2.9),

C 0 = C n (1

− d n)

lo igualamos con (3.1) r = d = d n, y por tanto d =

r n

y en consecuencia, para obtener i, lo sustituimos utilizando (2.18), i =

d 1 dn

−

3.3 Descuento bancario

23

Ejemplo 3.1 Si la empresa vendedora concede un crédito comercial a 60 días pero se aplica aplica un descue descuent nto o del 5 % si se paga paga al contado contado,, determ determina inarr el tanto tanto de descuento comercial y el tanto equivalente en capitalización simple. d =

0, 05 = 0, 3 60 360

0, 3

i = 1

−

60 0, 3 360

= 0, 315789

Una alternativa para el vendedor es acudir al descuento bancario. En este caso, el tanto de coste del crédito comercial que concede es igual al tanto efectivo al que resulta esa operación de descuento.

3.3. 3.3.

Desc Descue uen nto banc bancar ario io

El descuento bancario es una operación simple, bancaria, en la que el banco interviniente asume la posición acreedora al entregar a su cliente el valor actualizado de un capital futuro documentado mediante un efecto de comercio1 . Para la obtención del valor actual se aplica el descuento comercial al tanto estipulado, deduciéndose también la comisión bancaria, así como el impuesto sobre Actos Jurídicos Documentados 2 . Las operaciones de descuento están exentas de tributación por el impuesto sobre el valor añadido (IVA) 3; sin embargo, cuando el banco toma los efectos en gestión de cobro, sin aplicar descuento, tributa por este impuesto la comisión cobrada por prestar este servicio. El descuento bancario distingue entre: Descuento de efectos comerciales cuando los efectos a descontar proce-

den de transacciones comerciales (crédito comercial) y se busca liquidez a través del descuento. 1

El efecto más utilizado, es la letra de cambio, aunque también se pueden descontar pagarés, recibos, warrants, etc. 2 De acuerdo con el artículo 33 del Texto refundido del Impuesto sobre Transmisiones Patrimoniales y Actos Jurídicos Documentados, que indica: «Están sujetas las letras de cambio, cambio, los documentos documentos que realicen realicen función de giro o suplan a aquellas. aquellas. . . Se entenderá que un documento documento realiza realiza función de giro cuando acredite acredite remisió remisión n de fondos. fondos. . . , o implique implique una una orde orden n de pago. pago. . . » 3 Tal como señala el Reglamento del impuesto en su artículo 13, 18. o h.

Operaciones Operaciones a corto corto plazo

24 Descuento financiero financiero,

cuando se trata de una operación de crédito o préstamo que concede el banco al cliente y que se formaliza a través de un efecto de comercio.

3.3.1. 3.3.1.

Descue Descuen nto de de efec efectos tos comerc comercial iales es

Es una operación operación destinada destinada a proporcionar proporcionar liquidez a las empresas vendedovendedoras ya que transforma en dinero efectivo los créditos comerciales concedidos a sus clientes. La acumulación de estos créditos suele ocasionar problemas de tesorería al vendedor, y éste para eliminar el mismo, puede acudir al banco a descontar esos créditos. Para ello, el vendedor (librador) gira una letra contra el comprador (librado) y la descuenta en un banco (tomador). En el descuento bancario, el banco realiza dos funciones: por un lado concede crédito al cliente, al entregarle el valor descontado del nominal del efecto utilizando para ello la ley financiera de descuento comercial, y por otro realiza la gestión de cobro del efecto al librado, por la que percibe una comisión de cobranza. siendo, efecti efectivo vo o descon descontad tado, o, nomi no mina nall del del efec efecto to,, tant tantoo de descue descuent ntoo comer comercia ciall aplic aplicado ado por el banco, banco, duración duración de la operación operación en días. Se descuent descuentan an los días naturanaturales que han de transcurrir, desde la fecha de negociación hasta la de su vencimiento, g = comisió comisiónn de cobra cobranza nza proporc proporcion ional al aall nomin nominal al ddel el efec efecto, to, T = impuesto impuesto sobre Actos Actos Jurídicos Jurídicos Documentados Documentados..

C 0 C n d n

= = = =

El efectivo, se obtiene C 0 = C = C n 1

n − d 360 − g − T

(3.2)

Ejemplo 3.2 Se efectú efectúa a una venta venta de 20 000 e a pagar dentro de 90 días, documentada mediante una letra de cambio que se lleva a descontar a un banco, el cual aplica aplica un tanto tanto de descuen descuento to comercia comerciall del 8 % y una comisión comisión de cobran cobranza za del 4 %. Determinar Determinar el efectivo efectivo que obtiene obtiene el vendedor, vendedor, sabiendo que el IAJD es de 67,31 e 90 C 0 = 20 000 1 0, 08 0, 004 67 67,, 31 = 19 452, 452 , 69 360

−

−

−


25

Réditos y tantos efectivos

Tanto desde la perspectiva del banco como desde la del cliente interesa conocer cuál es el rédito efectivo de rendimiento que obtiene el primero y el rédito de coste al que le resulta al segundo esta operación. Para ello, hay que igualar financieramente lo que realmente ha entregado y recibido cada parte. Réditos y tantos efectivos para el banco

Db = C n

− C 0

−

Db = C n

C n (1

− d n − g)

Db = C n (d n + g) C n (d n + g) C n rb = d n + g

rb =

(3.3)

El tanto efectivo para el banco se obtiene al establecer la ecuación de equivalencia financiera entre lo efectivamente entregado por el banco y lo que recibe: C n (1

− d n − g) = C (1 − d n

b

n)

d n + g = db n d n + g g db = db = d + n n

(3.4)

En consecuencia, db aumenta al disminuir la duración de n cuando d y g permanecen constantes. Es más útil como medida de referencia de la rentabilidad, para poder hacer comparaciones con otras alternativas el tanto de capitalización simple equivalente ib .

− d n − g)(1 + i n) = C (1 − d n − g)(1 + i n) = 1 1 − 1 1 + i n = 1−d n−g

C n (1

b

n

b

b

ib =

d n + g (1 d n g)n

−

−

(3.5)

Operaciones a corto plazo

26

Ejemplo 3.3 Sobre el descuento del efecto anterior de 20 000 e a 90 días, determinar el rédito efectivo, la tasa de descuento y el tipo de interés equivalente. rb = d n + g = 0, 08 db = d +

ib =

d n + g = (1 d n g)n

−

−

1

−

90 + 0, 004 = 0, 0240 360

g 0, 004 = 0, 08 + = 0, 0960 90 n 360 90 0, 08 + 0, 004 0, 0240 360 = = 0, 098361 90 90 0, 2440 0, 08 0, 004 360 360

−

Réditos y tantos efectivos para el cliente

En el caso del cliente, el coste rc se obtendrá como cociente entre el descuento realizado y el nominal. Si consideramos n en días: rc =

C n

− C 0 =

n + g + T 360 C n

C n d

C n

rc = d

n T + g + 360 C n

(3.6)

El tanto de descuento comercial para el cliente dc , se obtiene a través de la ecuación de equivalencia efectiva: C 0 = C n 1 dc =

−d

c

n 360

−

C n C 0 360 C n n

o también

rc T 360 dc = n = d + g + C n n 360 El tanto equivalente en capitalización simple ic debe cumplir: C 0 1 + ic

n = C n 360

(3.7)


27

con lo que: ic =

C n

− C 0

C 0

360 n

(3.8)

como puede observarse, cuanto menor sea n, mayor resulta ic cuando las demás magnitudes no varían. Ejemplo 3.4 Determinar para el ejemplo anterior los réditos y tantos de coste efectivo para el cliente. rc =

−

−

C n C 0 20 000 19 452, 69 547, 31 = = = 0, 0274 C n 20 000 20 000 360 360 = 0, 0274 = 0, 1095 n 90 C n C 0 360 547, 31 360 ic = = = 0, 1125 C 0 n 19 452, 69 90 dc = r c

−

Límite de descuento

Aunque la relación entre el banco y el cliente puede ser ocasional, lo más frecuente es que la relación se establezca con carácter continuado, en cuyo caso el banco efectúa un estudio previamente a la empresa cliente a través de la documentación facilitada por ésta (balance, cuenta de resultados, proveedores, clientes,. . . ). Consecuencia del estudio es la clasificación de riesgo comercial que el banco asigna al cliente y que se manifiesta en un límite de descuento o volumen máximo de efectos pendientes de vencimiento que admite a descuento en cada fecha. Facturas de descuento

Es frecuente que el cliente presente una remesa de efectos en vez de uno solo. En este caso, lo hace mediante un documento que suele proporcionar el propio banco, denominado factura de descuento, en el que se detallan para cada efecto, el librado, la plaza, la cuantía nominal y el vencimiento. Los bancos suelen abonar en la cuenta del cliente el nominal total de la factura admitida a descuento y posteriormente cargan con la misma fecha el descuento efectuado, incluyendo las comisiones y algún otro gasto que pudiera haber, enviando al cliente la liquidación practicada en la que se detallan para cada efecto los mismos datos de la factura y además los días


28

de descuento, los números comerciales, tal como se ha visto en (2.5.2), el tipo de descuento, comisiones y total adeudado. Si los nominales con de cuantías C 1 , C 2 , . . . C t , con duraciones de n1 , n2 , . . . nt días, hasta los vencimientos respectivos, el efectivo percibido por el cliente es: E = C 1 1

n1 − d 360 − g1 − T 1

+

··· +

C t 1

n − d 360 − g − T t

t

t

=

t

N s

t

=

C s s=1

−

s=1

D

t

+

t

C s gs + s=1

T s s=1

Descuento de letras persiana

Se denominan letras persiana a un conjunto de letras que tienen la misma cuantía nominal y cuyos vencimientos son periódicos. Suelen proceder de ventas a plazos de bienes muebles o inmuebles y la periodicidad más frecuente es la mensual. Del mismo modo que en el descuento bancario, el efectivo que se obtiene es:

− d 1m − g − T 1 + C 1 − d 2m − g − T 2 + ··· + n−1 n − + C 1 − d g − T 1 + C 1 − d − g − T m m

E = C 1

n−

E = C n 1

3.3.2.

−

d (n + 1) 2m

n

n

−g −

T s s=1

Descuento financiero

A diferencia de los efectos comerciales que corresponden a ventas a crédito, los efectos financieros corresponden a operaciones de crédito que conceden los bancos a sus clientes y que se documentan mediante una o varias letras de cambio. Sus vencimientos habituales son de 3 ó 6 meses, suele exigirse algún aval y puede ser intervenida por fedatario público. Es frecuente formalizarla

3.4 Cuentas corrientes

29

de manera que el avalista gire contra el acreditado, quien la acepta y descuenta en el banco, o bien es el propio banco quien gira contra el acreditado quien acepta siendo avalada por otra persona. El efectivo a percibir será: C 0 = C n 1

3.4.

n − d 360 − g − T

(3.9)

Cuentas corrientes

Las cuentas corrientes son operaciones compuestas que tienen por objetivo proporcionar fluidez a las relaciones comerciales entre las partes y consistentes en el intercambio de capitales entre dos personas que acuerdan saldar las diferencias financieras en un momento denominado fecha de cierre. La ley financiera usualmente utilizada es la de capitalización simple. En un sentido amplio, son operaciones de crédito recíproco, postdeterminadas, ya que no se conocen a priori los capitales futuros que van a conformar la operación. Cada parte abre una cuenta a la otra en la que se cargan o abonan los capitales siguiendo las reglas contables. La obtención del saldo permite liquidar la cuenta, o bien pasarlo a cuenta nueva como primer capital en el caso frecuente de que siga manteniéndose la relación comercial. Clases

1. Atendiendo a la existencia o no de intereses, a )

Cuentas corrientes simples o sin intereses, cuando los capitales no devengan intereses y el saldo se obtiene por simple diferencia entre el debe y el haber de la cuenta. b ) Cuentas corrientes con intereses cuando los capitales intervinientes devengan intereses de acuerdo con la ley establecida durante el tiempo que media hasta la fecha de cierre. En este caso, cabe distinguir: 1) Cuentas corrientes con interés recíproco , cuando la ley financiera es única para ambas partes. 2) Cuentas corrientes con interés no recíproco, cuando se aplica distinta ley financiera a los saldos según sean deudores o acreedores.


30

3) Cuentas corrientes a interés variable , cuando se aplica más de un tanto de valoración a lo largo de la duración. 2. Atendiendo a las partes intervinientes,

3.4.1.

a )

Cuentas corrientes comerciales , cuando se establecen entre empresas o empresarios en general, los cuales se conceden créditos recíprocamente.

b)

Cuentas corrientes bancarias , cuando una de las partes es una entidad de crédito (bancos, cajas de ahorro,...). El crédito es unilateral salvo acuerdo expreso. Se distingue entre una cuenta corriente a la vista, cuenta de ahorro y cuenta de crédito.

Métodos para obtener el saldo

Los métodos más utilizados a lo largo del tiempo han sido tres: directo, indirecto y hamburgués. Todos tratan de obtener el saldo de una forma sencilla y rápida, pero también general en cuanto a los casos que puedan presentarse. En la práctica suele operarse con números comerciales truncados, es

D H

C 1

C 2

C 3

C n

t1

t2

t3

tn

C 1′

′ C m

t′1

t′m final

tiempo

Figura 3.1: Cuenta corriente decir, prescindiendo de las dos últimas cifras y redondeando si es preciso para eliminar partes decimales. Lógicamente en el divisor fijo también se prescinde de las dos últimas cifras; esto se hace para trabajar con números más manejables teniendo en cuenta que estas dos últimas cifras no tienen incidencia práctica perceptible. Para calcular el número de días, se cuentan los días naturales que transcurren entre el vencimiento de cada capital y la fecha de cierre de la cuenta.

3.4 Cuentas corrientes 3.4.2.

31

Método directo

Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación. 3.4.3.

Método indirecto

En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidación deberán rectificarse. De los métodos de cálculo, por su utilización práctica se describe seguidamente el método hamburgués. 3.4.4.

Método hamburgués

También es conocido como método de los saldos o método escalar porque los números se van calculando sobre los saldos parciales de cuantías, o sea, haciendo tantas escalas como capitales intervengan. La mecánica operatoria es la siguiente: Se anotan los datos del primer capital en las columnas del debe o del haber según corresponda, excepto los días que no pueden anotarse hasta que no se conozca la fecha y vencimiento del segundo capital. Cuando se conozca el vencimiento del segundo capital, además de completar los días y número de la primera fila, se anotan los datos de la segunda incluido el saldo correspondiente a las dos primeras cuantías, quedando pendientes los días y número que sólo se conocerán cuando lo sea el tercer capital. Así se va repitiendo sucesivamente hasta llegar a la fecha de cierre. Los días por los que hay que multiplicar al último saldo son los comprendidos entre el vencimiento del último capital y la fecha de cierre. Los días se cuentan desde que vence un capital hasta que vence el que tiene la fecha siguiente. Se anotan los días que transcurren entre dos intervalos. Los saldos de cuantías se van obteniendo sucesivamente en cada vencimiento.


32

En general, cuando hay n saldos parciales deudores (S r ) y m acreedores, (S r ), el saldo final es: ′

n

m

S r nr S p = S n+m +

r=1

−

S r′ n′r r=1

D

Siendo S n+m el saldo de cuantías ( C s − C s ) y S p , el saldo final, suma de saldo de cuantías y de los intereses. Si S p > 0 el saldo es deudor y si S p < 0 , el saldo es acreedor. ′

3.4.5.

Cuentas corrientes a interés recíproco y variable

Son aquellas en las que se modifica el tipo de interés en algún momento del transcurso de la operación. Método hamburgués

Para la determinación de los intereses y el saldo, se produce normalmente hasta la fecha en que cambia el tanto. La última cuantía con vencimiento anterior a dicha fecha se multiplica por los días que transcurren entre ese vencimiento y la fecha de cambio para calcular el último número que produce interés a tanto i . ′

Se continúa con el saldo de cuantías anterior durante los días que falten hasta el vencimiento de la siguiente cuantía, siguiendo luego normalmente con la aplicación del método hamburgués. 3.4.6.

Cuentas corrientes a interés no recíproco

En esta modalidad de cuentas corrientes, el tipo de interés que se aplica a los saldos deudores es distinto del que se aplica a los saldos acreedores. El método hamburgués es el más apropiado en estos casos porque los números comerciales se calculan a partir de los saldos y no de las cuantías, como ocurre al aplicar los métodos directo e indirecto. Se pueden dar los siguientes casos: 1. Cuando todos los saldos de una cuenta son de la misma clase (todos deudores o todos acreedores), la obtención de los intereses es muy sencilla, aplicando a la suma de números el divisor fijo al tanto (deudor o acreedor) que corresponda. Este caso es frecuente en las cuentas corrientes bancarias.

3.5 Cuentas corrientes bancarias a la vista

33

2. Cuando habiendo saldos de distinta clase, los asientos contables están ordenados por fechas de vencimiento de las cuantías, el saldo también se obtiene con gran facilidad, teniendo en cuenta que ahora hay dos divisores fijos distintos, D y D . ′

n

m

S r′ n′r

S r nr S p = S n+m +

r =1

D

−

r =1

D′

3. Cuando habiendo saldos de distinta clase, los asientos contables no están ordenados por vencimientos hay que proceder con cuidado para asignar los días y números, deudores o acreedores, correctamente. La forma más sencilla es ordenar las partidas por sus vencimientos, con lo cual se estará en el caso anterior. El empleo de una hoja de cálculo facilita enormemente la labor.

3.5.

Cuentas corrientes bancarias a la vista

Son actualmente la modalidad más generalizada de cuentas corrientes y son abiertas por los bancos, cajas de ahorro y entidades de crédito cooperativo a petición de sus clientes. Son operaciones bancarias pasivas de crédito unilateral a favor del cliente salvo excepciones en las que se permite la existencia de saldo deudor (descubierto en cuenta) siendo en este caso el tanto de interés no recíproco. El método hamburgués es el que se utiliza en la práctica bancaria puesto que se adapta mejor que los otros métodos para el tratamiento de los casos de descubiertos en cuenta (interés no recíproco). El tanto a que el banco abona intereses es muy bajo, no superando el 1% anual y siendo el 0,1 % el tipo más frecuente. Los días se obtienen de acuerdo a la valoración de la Circular 8/90, de 7 de septiembre del Banco de España sobre sobre transparencia de las operaciones y protección de la clientela. Contabilizan de la siguiente forma: los abonos en la cuenta vencen el día hábil siguiente al que se realizan, y los cargos, el mismo día en que se realizan. Los intereses suelen liquidarse mensualmente y tienen una retención a cuenta del impuesto. Ejemplo 3.5 La cuenta con la empresa a interés recíproco del 12 % y cierre al 31 de diciembre, ha tenido los siguientes movimientos durante el último trimestre:

3.7 Créditos en cuenta corriente

3.7.

35

Créditos en cuenta corriente

Los créditos son operaciones activas realizadas por los bancos o cajas de ahorro por las que ponen capital a disposición del cliente hasta un límite fijado en el contrato que recibe el nombre de póliza y suele estar intervenida por fedatario público. Para su instrumentalización práctica el banco abre una cuenta de crédito al cliente donde se cargan o abonan las transacciones que vaya efectuando éste, así como los intereses y comisiones establecidas, debiendo ser cancelado en la fecha fijada en el contrato. En general son operaciones de crédito unilateral a favor del banco, si bien el cliente puede situarse en posición acreedora en algún momento, siendo en estos casos el interés no recíproco, con un tanto muy superior para los saldos deudores. Los bancos suelen exigir al cliente compensaciones mediante retenciones en cuenta u otras modalidades que le permitan disminuir el riesgo y obtener una rentabilidad complementaria, lo cual representa para el cliente un mayor coste de financiación. También suelen exigir garantías: garantía personal , cuando se

conceden en base a la solvencia y confianza personal que merece el cliente, exigiéndole frecuentemente la firma de algún avalista. garantía real ,

cuando se afectan al buen fin de la operación bienes muebles (prenda) o bienes inmuebles (hipoteca). Cuando el crédito se materializa en una cuenta corriente, se suele llevar por el método hamburgués.

3.8.

Equilibrio financiero. Reserva matemática o saldo financiero

En el estudio de toda operación financiera, hemos de recordar la equivalencia financiera (véase 1.3, en la página 4). El equilibrio se establece cuando el valor de la prestación es igual al valor de la contraprestación en un punto cualquiera p en base a una ley financiera. Lo usual es plantear la equivalencia (igualdad de sumas financieras) en el origen o al final de la operación. Si suponemos que el valor de la prestación y contraprestación son, respectivamente, en el origen S 0 (A) y S 0 (D) debiendo verificarse la igualdad


36

S 0 (A) = S 0 (D) entre las sumas financieras y continuará satisfaciéndose en todo punto p, con 0 < p < n, siendo n la duración de la operación.

Por tanto, si se designa: S 11 (A) S 12 (A) S 21 (D) S 22 (D)

= = = =

al valor en p de la prestación vencida o anterior a p al valor en p de la prestación pendiente o posterior a p al valor en p de la contraprestación vencida o anterior a p al valor en p de la contraprestación pendiente o posterior a p

debiendo verificarse por exigencia de la equivalencia financiera: S p(A) = S 11 (A) + S 12 (A) = S 21 (D) + S 22 (D) = S p (D)

y de esta igualdad, se sigue: S 11 (A)

− S 21(D) = S 22(D) − S 12(A)

La diferencia R p = S 11 (A) − S 21 (D) recoge el saldo entre el valor de lo entregado por A (recibido por D ) y por D (recibido por A) y recibe el nombre de reserva matemática o saldo financiero por el método retrospectivo por haber sido calculada volviendo al pasado. Si R p > 0 el valor de lo entregado por A supera a lo entregado por D y en caso de pretender finalizar la operación en este punto (o simplemente restablecer el equilibrio financiero), A tendría que recibir de D el valor del saldo. Cuando sea R p < 0 la situación, sería la contraria. R p = S 22 (D) S 12 (A) recogen la diferencia del valor de lo que tienen que entregar D (recibir A) y A (recibir D) y se denominan reserva matemática

−

o saldo financiero por el método prospectivo por

haber sido calculada en función de los compromisos futuros de deudor y acreedor.

3.8.1.

Vencimiento común. Vencimiento medio

Sean los capitales (C 1 , t1 ), (C 2 , t2 ), ··· , (C n , tn ) que se pretende sustituir por un único capital (C, p) de tal manera que resulte equivalente a todos los n capitales dados. El capital (C, p) será la suma financiera de los (C s , ts ) y su vencimiento p recibe el nombre de vencimiento común .

3.8 Equilibrio financiero. Reserva matemática o saldo financiero

37

Vencimiento común

Partiendo de (2.9): n

C (1

− d p) =

C s (1 s=1

−d t ) s

n n

1 C = C s 1 s=1

C

−d t −d p

s

p =

−

C s (1 s=1

−d t ) s

Cd

(3.10)

cuando los vencimientos vienen dados en días, aplicando los métodos abreviados para el cálculo, la expresión (3.10) se convierte en: n

N s

n

− D p 1− D

C s C =

s=1

n

s=1

C p =

−

n

C s D + s=1

N s s=1

C

(3.11)

Vencimiento medio

La solución al vencimiento medio es: n

C s

n

C =

n

C s

p =

s=1

s=1

−

n

C s (1 s=1 n

d

−d t )

C s ts

s

=

s=1 n

C s

(3.12) C s

s=1

s=1

que es la media aritmética de los vencimientos ponderada con las cuantías de los capitales. Si el tiempo viene expresado en días, expresaremos la fórmula (3.12) en función del divisor fijo D y de los números comerciales N : n

N s

n

C =

C s

p =

s=1 n

s=1

(3.13) C s

s=1


38

Ejemplo 3.6 Tres efectos de nominales 1 000 e, 1 500 e y 2 500 e vencen respectivamente dentro de 30, 60 y 90 días. ¿Cuál será el nominal del efecto que sustituye a los tres anteriores si su vencimiento es dentro de 120 días? ¿Cuál sería el vencimiento de un efecto de nominal 5 000 e? Para la valoración, debe considerarse una tasa de descuento del 6 % y el año comercial. Para el vencimiento común, n

C s = 1 000 + 1 500 + 2 500 = 5 000 s=1 n

·

·

·

N s = 1 000 30 + 1 500 60 + 2 500 90 = 345 000 s=1

360 = 6 000 0, 06 345 000 5 000 6 000 = 5 043, 37 C = 120 1 6 000 D =

− −

Y el vencimiento medio, n

C =

C s = 5 000 s=1

p =

345 000 = 69 días. 5 000

Ejercicios propuestos Ejercicio 3.1 ¿Qué rebaja debe hacerse sobre un total de 1 869,75 e, pagadas 11 meses antes del vencimiento, si se obtiene un 0,5 % de descuento mensual? 4 8 , 2 0 1 = D : n ó i c u l o S

Ejercicio 3.2 Determinar la fecha de vencimiento de un efecto de 75 150 e, sabiendo que si se descuenta hoy al 3 % se retienen 0,30 e más por el procedimiento comercial que por el racional. n : n s a í d 4 2 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.3 Se remiten a un banco dos efectos: uno de 2 000 e pagadero a los 60 días, y otro de 2 500 e pagadero a los 36 días; el banquero descuenta ambos efectos al 5 % y retiene además el 1 % de comisión sobre la cantidad escrita en cada efecto. ¿Cuánto debe percibir el portador? 0 3 3 , 6 6 4 4 = C : n ó i c u l o S


39

Ejercicio 3.4 En pago de diversas compras he firmado 3 letras a la orden la 1. de 800 e, que vence dentro de 20 días; la 2. de 1 500 e, pagadera dentro de 45 días, y la 3. de 3 200 e, cuyo importe debo satisfacer dentro de 60 días. ¿Cuál debe ser el nominal de un efecto equivalente a estas letras, al plazo de 50 días y al 5 % de interés? a

a

a

n C : n 3 9 , 9 9 4 5 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.5 Un particular ha firmado a favor de un banquero tres efectos: uno de 3 800 e pagadero a los dos meses; otro de 7 600 e, a los cinco meses, y el tercero, de 11 400 e, a los ocho meses. Posteriormente conviene con su acreedor en pagarle de una vez el total de su deuda. ¿En qué tiempo debe hacerlo para que haya compensación? p : n s e s e m 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.6 Un comerciante ha de hacer 4 pagos de 5 000 e cada uno. El primero a los 10 días, el segundo a los 15 días, el tercero a los 30 días y el cuarto a los 90 días. ¿Qué día podrá liquidar todas sus deudas con un pago único? p : n s a í d 6 3 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.7 Un comerciante debe pagar un efecto de 6 000 e a los 40 días y cobrar una letra de 2 000 e a los 30 días. ¿Cuál es el vencimiento medio de estos efectos? p : n s a í d 7 3 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.8 Un fabricante propone a un cliente que adquiera una maquinaria cuyo precio es de 110 000 e al contado, suscribiendo 4 letras de 30 000 e cada una, y con vencimientos respectivos de 3, 6, 9 meses y 1 año, a partir del envío de aquella. Determinar a qué tanto se realizó la operación. 3 3 3 3 1 , 0 = d : n ó i c u l o S

Ejercicio 3.9 Determinar el valor de las siguientes obligaciones en el día de hoy: 100 000 e con vencimiento en el día de hoy, 200 000 e con vencimiento a los 6 meses al 5 % de interés y 300 000 e con vencimiento a un año con intereses al 6 %. 0 C : n 2 8 , 0 4 1 8 7 5 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.10 Un comerciante debe 10 100 e con vencimiento en 2 meses, 20 200 e con vencimiento en 5 meses y 30 300 e con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar todas las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un interés del 6 %. 8 C : n 3 0 6 0 3 = ó i c u l o S

40


Ejercicio 3.11 Se descuenta un efecto de 45 000 e nominales en una entidad de crédito que aplica a estas operaciones un tanto de descuento del 6 % y una comisión del 0,75 % sobre el nominal por cada 90 días o fracción. Determinar el efectivo percibido por el cliente si descuenta el efecto con 70 días de antelación al vencimiento. 0 5 2 , 1 4 4 4 4 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 3.12 El 22 de septiembre se ha descontado un efecto por el que se han cobrado 3 742 e en concepto de descuento comercial. Si el vencimiento del mismo es el 2 de noviembre y se aplica un 6,72 % anual, ¿cuál es el nominal? 0 C : n 8 2 , 7 3 9 8 8 4 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.13 Calcula el descuento racional de un efecto por el que se recibieron 23 748,23 e. Su vencimiento fue el 22 de octubre y se aplicó un tipo del 5 % anual, descontándose el 24 de junio. r D : n 0 8 , 5 9 3 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.14 ¿Cuál ha sido el efectivo percibido en un descuento racional por el que se han descontado 472,20 e, vence dentro de 45 días y se ha aplicado el 6,22 % de interés? 0 C : n 2 1 , 3 3 7 0 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 3.15 Calcula el tipo de descuento comercial equivalente a un tipo de descuento racional del 7,39 % anual para una operación a un semestre. % 7 2 1 , 7 = d : n ó i c u l o S

Ejercicio 3.16 Determinar el líquido a abonar por el banco si descontamos los efectos siguientes: 1 500 e con vencimiento 5/11, 3 000 e al 8/12, 4 000 e al 28/12 y 500 e al 5/1 del año siguiente, sabiendo que la entidad nos aplicará una tasa del 6 % para los vencimientos anteriores a 30 días, 7 % entre 31 y 60 días y 8 % para los vencimientos posteriores a los 60 días. Además, nos cobrará una comisión del 1,5 % con un mínimo de 2 e y la fecha de descuento es el 14/10. 0 8 7 , 1 7 8 8 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 3.17 Obtener el líquido que abonará una entidad financiera en la que se descuentan con fecha 14/10 los siguientes efectos: 12 800 e con vencimiento 5/12, 31 500 e el 20/12 y 410 e el próximo 10/1. La tasa de descuento es del 7,5 % y la comisión del 2,5 % con un mínimo de 3 e. 0 1 6 , 5 0 2 4 4 = C : n ó i c u l o S

Unidad 4

Capitalización y descuento compuesto 4.1. Capitalización compuesta 4.1.1. Magnitudes derivadas 4.2. Comparación entre la capitalización simple y compuesta 4.3. Equivalencia de tantos en capitalización compuesta 4.4. Capitalización compuesta en tiempo fraccionario 4.4.1. Convenio exponencial 4.4.2. Convenio lineal 4.5. Capitalización continua 4.6. Descuento compuesto 4.6.1. Descuento racional compuesto 4.6.2. Descuento comercial compuesto 4.6.3. Tanto de interés equivalente a uno de descuento Ejercicios propuestos

Capitalización y descuento compuesto

42

4.1.

Capitalización compuesta

Se denomina así, a la operación financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada periodo se agregan al capital para calcular los intereses del periodo siguiente y así sucesivamente hasta el momento de cierre de la operación financiera. La capitalización compuesta o interés compuesto, es una operación financiera generalmente a largo plazo (con una duración superior al año) en la que los intereses se acumulan al capital al final de cada periodo. C n I

i

C 0

n

0

Figura 4.1: Capitalización compuesta Las variables a considerar, son: C 0 I C n i n

= = = = =

valor actual o capital inicial, intereses, valor final o montante de la operación, tasa de interés, número de períodos.

En cualquier caso, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. En la capitalización compuesta, el deudor, al vencimiento ha de pagar el capital más los intereses. El valor final C n en capitalización compuesta, transcurridos n períodos y al tanto i, lo podemos determinar para un capital C 0 , como C 1 = C 0 + C 0 i C 2 = C 1 + C 1 i = C 0 (1 + i) (1 + i) = C 0 (1 + i)2 C 3 = C 2 + C 2 i = C 0 (1 + i)2 (1 + i) = C 0 (1 + i)3

.. .

C n = C n−1 + C n−1 i = C 0 (1 + i)n−1 (1 + i) = C 0 (1 + i)n C n = C 0 (1 + i)n

(4.1)

expresión que relaciona el montante o capital final, transcurridos n períodos de capitalización, con el capital inicial prestado.

4.1 Capitalización compuesta

43

A la expresión (1 +i)n la denominaremos factor de capitalización compuesta , ya que al aplicarla sobre el valor actual nos permite obtener el valor final o montante equivalente. Independientemente de la ley financiera utilizada, los intereses generados, serán la diferencia entre el capital final e inicial, y por tanto: C n = C 0 + I

I = C n

I = C 0 (1 + i)n

− C 0

I = C 0 (1 + i)n

−1

− C 0

(4.2)

La capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamente nuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar al final de la operación financiera. Gráficamente, la acumulación de intereses, se vería tal como se muestra en la figura 4.2.

C n

I 2

I 1

C 0

0

I n

I 2

I 1

1

2

n

Figura 4.2: Acumulación de intereses en la capitalización compuesta

Ejemplo 4.1 Determinar el montante de un capital de 1 000 e, invertido al 6 % de interés compuesto anual durante 10 años. C n = C 0 (1 + i)n

C n = 1 000 (1 + 0, 06)10 = 1 790, 85

Utilizando la calculadora financiera, para obtener C n , 1000

CHS

PV 10 n 6 i

FV

obteniendo la respuesta de 1 790, 85


44

4.1.1.


Si despejamos C 0 en (4.1), resulta: C 0 =

C n (1 + i)n

C 0 = C n (1 + i)−n

o

(4.3)

La expresión (1+i) n recibe el nombre de factor de actualización compuesta , ya que al aplicarla sobre el valor final obtenemos el capital inicial o valor actual. Para calcular n, tomando logaritmos y partiendo de C n = C 0 (1 + i)n , −

log C n = log C 0 + n log(1 + i)

−

log C n log C 0 log(1 + i) Partiendo de la propia ley (4.1), despejaremos i, n =

C n = (1 + i)n C 0

C n = C 0 (1 + i)n

i =

C n C 0

(4.4) 1 n

= (1 + i)

1

C n C 0

n

−1

(4.5)

Ejemplo 4.2 Determinar el capital a invertir en capitalización compuesta al 5 % de interés para que en 4 años se convierta en 6 000 e C 0 =

C n (1 + i)n

C 0 =

6 000 = 4 936, 21 (1 + 0, 05)4

Con la calculadora financiera, para obtener C 0 , 5

i

4

n 6000 FV

PV

obteniendo como respuesta

−4 936, 21

Ejemplo 4.3 Determinar el tipo de interés i al que deben invertirse 1 000 e para obtener en 8 años un montante de 1 368,57 e 1

C n 1 368, 57 i = 1 i = C 0 1 000 Con la calculadora financiera, para obtener i, n

−

1000

CHS

PV 8 n 1368, 57 FV

i

1 8

− 1 = 0, 04 = 4 %

obteniendo el valor

4

Ejemplo 4.4 Determinar el tiempo necesario para que un capital de 2 000 e colocado a interés compuesto del 5 % anual, se convierta en 5 306,60 e. log C n log C 0 log 5 306, 60 log 2 000 n = n = = 20 años log(1 + i) log(1 + 0, 05)

−

−

Utilizando la calculadora financiera, para obtener n, 2000

CHS

PV 5 i 5306, 6 FV

n

obteniendo el resultado de

20

4.2 Comparación entre la capitalización simple y compuesta

4.2.

45

Comparación entre la capitalización simple y compuesta

Los montantes obtenidos en la capitalización simple y compuesta, son: C n = C 0 (1 + i n) C n = C 0 (1 + i)n

Capitalización simple (L1 ) Capitalización compuesta (L2)

Ambas expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización: (1+i)n en la capitalización compuesta y (1 +i n) en la capitalización simple. Si representamos gráficamente las funciones, obtendríamos la figura 4.3. C n en L2 C n en L1

C 0

0

1

Figura 4.3: Comparación entre la capitalización simple y compuesta De la comparación podemos decir que el montante de capitalización es mayor en la capitalización simple para periodos inferiores al año, igual para un año y menor para los periodos superiores al año. Podemos concluir diciendo que la capitalización simple puede considerarse como una simplificación práctica de la compuesta, cuando el número de períodos varía entre 0 y 1, es decir, cuando se opera a corto plazo.

4.3.

Equivalencia de tantos en capitalización compuesta

En la capitalización compuesta no existe proporcionalidad entre los tantos de interés referidos a distintos períodos de tiempo, al contrario que en la simple. En la capitalización simple, el capital final que se obtiene al cabo de n años al tipo de interés i, es el mismo que el obtenido al cabo de n m períodos


46

al tipo de interés i(m) , siendo i(m) la m-ésima parte de i, y m el número de subperíodos en los que dividimos al año. Es decir, se cumplirá: C n = C 0 (1 + i n) i (m) siendo , tendremos que C n = C n m i = C n m = C 0 1 + i(m) n m m

En la capitalización compuesta, no existe esta proporcionalidad, ya que: C n = C 0 (1 + i)n C n m = C 0 1 + i(m)

nm

siendo i(m) =

i , se cumplirá que C n = C n m m



Por tanto, en capitalización compuesta es importante conocer la frecuencia de capitalización, que designaremos por m, cuando ésta es inferior al año y que ya definimos (veáse la página 11) como el número de veces que los intereses se incorporan al capital dentro del año. Tendremos que determinar, en el régimen de capitalización compuesta de tanto efectivo anual i, el tanto de frecuencia i(m) que debe regir para otra capitalización compuesta de periodo m -ésimo, de forma que ambas capitalizaciones sean equivalentes. El montante al cabo de n años en capitalización compuesta al tanto efectivo i, es C n = C 0 (1 + i)n

En capitalización compuesta al tanto de frecuencia i (m) , el montante al cabo de n años, es decir m n, m-ésimos de año, es C n = C 0 1 + i(m)

nm

La equivalencia implica la igualdad de montantes, por lo que C 0 (1 + i)n = C 0 1 + i(m)

nm

(1 + i)n = 1 + i(m)

nm

extrayendo la raíz n en ambos miembros, 1 + i(m)

m

= 1+i

(4.6)

ecuación de los tantos equivalentes o equivalencia de tantos .

Podemos concluir que dos tantos son equivalentes cuando aplicado el proceso de capitalización compuesta al mismo capital inicial y durante el mismo tiempo producen capitales finales iguales.

4.3 Equivalencia de tantos en capitalización compuesta

47

Si en (4.6), extraemos la raíz m-ésima, tendremos: 1 + i(m) = (1 + i)

1 m

de donde i(m) = (1 + i)

1 m

−1

expresión que nos permite conocer el tanto de frecuencia en función del tanto efectivo anual . Análogamente, i = 1 + i(m)

m

−1

La TAE (Tasa Anual Equivalente o Efectiva), regulada por el Banco de España en la Circular 8/90, de 7 de septiembre, intenta ser una unidad homogénea de medida . Esta tasa incluye el efecto de determinados gastos, como las comisiones que afectan el coste o rendimiento final de la operación. La forma de cálculo indicada por el Banco de España indica expresamente las partidas que deben incluirse tanto en la prestación como en la contraprestación, dejando fuera muchas veces cantidades que suponen un incremento en el coste efectivo para el sujeto pasivo. Si no existen gastos en una operación financiera, la TAE coincidirá con el interés efectivo anual i. Por otra parte, se define el tanto nominal J (m) , como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización m por el tanto de frecuencia o equivalente. (4.7) J (m) = m i(m) Este tanto recibe también el nombre de TIN (Tipo de Interés Nominal anual). En la figura 4.4 puede verse la representación gráfica. C n con i ((mm)) C n con J

I 2 I 1

C 0

0

1

2

n

Figura 4.4: Equivalencia de tantos Ejemplo 4.5 Determinar el montante de un capital de 7 500 e invertido al 6 % anual capitalizable por trimestres durante 10 años.


48

Utilizando el tanto de frecuencia equivalente, i

J (4) 0, 06 = = = 0, 015 4 4

(4)

nm

C n m = C 0 1 + i(m)

= 7 500 (1 + 0, 015)10·4 = 13 605, 14

Calculando previamente el tanto efectivo anual, i = 1 + i(m)

m

− 1 = (1 + 0, 015)4 − 1 = 0, 06136

C n = C 0 (1 + i)n = 7 500 (1 + 0, 06136)10 = 13 605, 14 Utilizando la calculadora para convertir el tipo de interés, 6 ENTER 4

n

÷

i

100

CHS

ENTER

PV

FV

+ obteniendo 6, 1364

Para obtener el C n con la calculadora desde el punto anterior i

10

n 7500 CHS

PV

FV

con el resultado de 13 605, 14

Si queremos obtener el interés nominal a partir del efectivo, 4

n 100 ENTER

4.4.

PV 6, 1364 +

CHS

PV

i

RCL

n

×

obteniendo

6

Capitalización compuesta en tiempo fraccionario

La capitalización compuesta fue establecida para valores de n expresados en un número entero de años. Si suponemos que dado el tanto anual i, el tiempo z , no es entero, sino fraccionario, se podrá expresar de la forma, z = n + θ

en la que n es un número entero y θ decimal. Para la obtención del montante, puede utilizarse uno de los convenios siguientes: 4.4.1.

Convenio exponencial

Consiste en tomar como valor del montante al cabo del tiempo n , cualquiera que sea éste, la expresión exponencial: C n = C 0 (1 + i)n+θ

4.5 Capitalización continua 4.4.2.

49

Convenio lineal

Consiste en capitalizar a interés compuesto por el número entero de años que contenga el tiempo y a interés simple por la fracción de año restante. El montante, según este convenio, será: C n = C 0 (1 + i)n (1 + θ i)

estando lógicamente θ e i referidos a la misma unidad de tiempo. Ejemplo 4.6 Calcular el montante de un capital de 10 000 e al 4 % anual en 10 años y 3 meses. Aplicando el convenio exponencial, 3

C n = C 0 (1 + i)n+θ = 10 000 (1 + 0, 04)10+ 12 = 14 948, 30 Con el convenio lineal, C n = C 0 (1 + i)n (1 + θ i) = 10 000 (1 + 0, 04)10 1 +

3 0, 04 = 14 950, 47 12

Utilizando la calculadora financiera podremos determinar los valores según ambos convenios que se conmutan con STO EEX apareciendo el indicador C en la pantalla. 10 ENTER 3 ENTER 12 ÷

+

n 4 i

10 000

CHS

PV

FV

obteniendo con el convenio exponencial 14 948, 30 STO

4.5.

EEX

FV

FV

con el resultado por el convenio lineal 14 950, 47

Capitalización continua

La capitalización continua, constituye un caso particular de la capitalización compuesta. Cuando el número de fraccionamientos m tiende a infinito, los intereses se capitalizan instantáneamente y nos encontramos ante la capitalización continua. Hemos visto que el montante, en capitalización compuesta, al tanto de frecuencia i(m) , al cabo de n años, venía dado por: C n = C 0 1 + i

(m) n m

= C 0

J (m) 1+ m

nm


50

Si m → ∞, J (m) = J ( ) = δ , este último será el tanto nominal anual en el caso de capitalización continua, y el montante vendrá dado por: ∞

δ 1+ m

C n = l´ım C 0 m→∞

nm

(4.8)

Si e, base de los logaritmos neperianos, viene dado por: e = l´ım

x→∞

1 1+ x

x

= 2, 7182818 . . .

y transformando (4.8) con m = x δ , 1 C n = l´ım C 0 1 + x→∞ x

nxδ

= C 0 l´ım

x→∞

1 1+ x

x nδ

= C 0 en δ

por lo que el montante en el caso de la capitalización compuesta, viene dado por la expresión (4.9) C n = C 0 en δ en la que δ , tanto nominal en capitalización continua, recibe también el nombre de fuerza de interés . Ejemplo 4.7 Determinar el montante obtenido con una inversión de 1 000 en capitalización continua se impone al 6 % durante 4 años.

e

que

C n = 1 000 e 4·0,06 = 1 271, 25

C n = C 0 en δ

Con la calculadora financiera, podríamos obtener previamente i 1 ENTER 6

%

g

e

x

△%

con el resultado de 6, 1837

procediendo con este valor de i de forma convencional.

4.6.

Descuento compuesto

Se denomina así la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente, mediante la aplicación de una ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización compuesta. Los elementos a tener en cuenta son: D = descuento o rebaja que sufre una cantidad pagada antes de su vencimiento, C n = nominal o cantidad que se debe pagar al vencimiento, C 0 = efectivo o cantidad realmente pagada.

4.6 Descuento compuesto

51

Por definición el descuento experimentado por el nominal C n , como consecuencia de anticipación desde su vencimiento en el momento n, al momento presente 0, será: D = C n 4.6.1.

− C 0

Descuento racional compuesto

Se define como el interés del efectivo, durante el tiempo que falta para su vencimiento. Al descuento racional compuesto lo designaremos por D rc y se calcula sobre el valor del efectivo. De la capitalización compuesta (4.1), C n = C 0 (1 + i)n

obtenemos el valor actual, C 0 =

C n = C n (1 + i)−n n (1 + i)

por lo que el descuento racional compuesto, será: Drc = C n

n

rc

4.6.2.

−n

−n

− C 0 = C − C (1 + i) = C 1 − (1 + i) D = C 1 − (1 + i) n

n

−n

n

(4.10)

Descuento comercial compuesto

Se define como el interés del nominal durante el tiempo que falta para su vencimiento. Al descuento comercial compuesto, lo designamos por D cc y se calcula sobre el valor nominal.

−

−

C n−1 = C n d C n = C n (1 d) C n−2 = C n−1 d C n−1 = C n−1 (1 C n−3 = C n−2 d C n−2 = C n−2 (1

.. .

C 0 = C 1

− −

− d) = C (1 − d) (1 − d) = C (1 − d)2 − d) = C (1 − d)2 (1 − d) = C (1 − d)3 n

n

n

n−1

− d C 1 = C 1(1 − d) = C (1 − d) C 0 = C (1 − d) n

n

n

(1

n

− d) = C (1 − d) n

n

(4.11)

Y el valor del descuento comercial compuesto, será: Dcc = C n

n

− C 0 = C − C (1 − d) = C 1 − (1 − d) D = C 1 − (1 − d) n

cc

n

n

n

n

n

(4.12)


52

4.6.3.

Tanto de interés equivalente a uno de descuento

Igual que veíamos en la capitalización simple, podemos encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés. Para ello, igualamos Drc = Dcc , C n 1 (1 + i)−n = (1

−n

− (1 + i)

= C n 1

− (1 − d)

(1 + i)−1 = 1

n

− d)

d =

i 1 + i

i =

n

−d

1

d 1

1 − d = 1 + i

−d

(4.13)

Ejemplo 4.8 Tenemos que pagar una deuda de 24 000 e dentro de 3 años. Si se adelanta su pago al momento presente, qué cantidad tendremos que entregar si se efectúa un descuento compuesto del 5 % Con el descuento racional, Drc = C n 1

−n

− (1 + i)

3

−

Drc = 24 000 1

− (1, 05)

Dcc = 24 000 1

− (1 − 0, 05)3

= 3 267, 90

Con el descuento comercial, Dcc = C n 1

n

− (1 − d)

= 3 423

Ejercicios propuestos Ejercicio 4.1 Una persona impone 100 000 e durante 6 años al 5 % de interés compuesto. Al cabo de 3 años, se eleva el tipo de interés en las imposiciones a plazo fijo, al 6 %. Se desea saber al término de los 6 años, cuál ha sido el capital retirado y cuál hubiera sido de no haberse producido la modificación indicada. 6 5 , 9 0 0 4 3 1 = ) b

9 9 , 4 7 8 7 3 1 = ) a : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.2 Sabiendo que un capital de cuantía C se ha impuesto en un banco que capitaliza semestralmente, al cabo de 20 años se ha constituido en 3C , obtener razonadamente las expresiones de: 1. El tanto efectivo anual, 2. El tanto nominal anual, 3. El tanto efectivo semestral. % 8 7 , 2 = ) 2 ( i ) 3

% 7 5 , 5 = J ) 2

% 5 6 , 5 = i ) 1 : n ó i c u l o S


53

Ejercicio 4.3 Calcular: 1. El tanto efectivo anual correspondiente al 6 % nominal cuando se capitaliza por meses. 2. El nominal anual correspondiente al 6 % efectivo cuando se capitaliza por trimestres. % 7 8 , 5 = ) 4 ( j ) 2

i ) % 7 1 , 6 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.4 Imponemos durante 2 años y 8 meses 10 000 e, por las que nos pagan el 10 % de interés compuesto anual ¿Qué cantidad nos dará el banco al finalizar el período? 1. Al aplicar el convenio lineal, 2. Con el convenio exponencial. n C ) 9 7 , 3 9 8 2 1 = 2

n C ) 7 6 , 6 0 9 2 1 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.5 Una deuda de 10 000 e debe ser devuelta al cabo de 39 meses. Si el tanto de capitalización es del 5 % anual, determinar el importe a devolver 1. Al aplicar el convenio lineal, 2. Con el convenio exponencial. n 2 3 , 8 1 7 1 1 = C ) 2

n 5 9 , 0 2 7 1 1 = C ) 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.6 ¿Cuánto tiempo es preciso colocar un capital de 35 000 e al 5% para conseguir en régimen de capitalización compuesta un montante de 45 000 e? n : n s a í d 4 2 s e m 1 s o ñ a 5 = ó i c u l o S

Ejercicio 4.7 Pactamos con un acreedor que abonándole hoy 50 000 e a cuenta de 200 000 e que habíamos de pagarle dentro de 2 años, podremos hacerle efectivas 160 000 e dentro de 4 años. ¿A qué tipo de interés compuesto se evaluó la operación? i : n % 7 1 , 5 = ó i c u l o S

Ejercicio 4.8 Si el tanto a que se ha colocado un capital a interés compuesto durante 15 años hubiera sido el triple del que fue, se habría obtenido un capital del triple del que se obtuvo. Hallar el tanto. % 5 9 , 3 = i : n ó i c u l o S


54

Ejercicio 4.9 ¿En qué tiempo el monto de 25 000 e serán 35 000 e al 6 % convertible trimestralmente? 7 s n : n s a í d 3 2 s e s e m o ñ a 5 = ó i c u l o S

Ejercicio 4.10 ¿Qué capital colocado al 5 % durante 10 años a interés compuesto se convierte en 97 734 e? ¿Cuánto valdrá este capital al final del año tercero? 0 0 2 , 0 0 0 0 6 = C : n ó i c u l o S

n 3 7 , 7 5 4 9 6 = C

Ejercicio 4.11 Un capital ha sido invertido al 12,36 % efectivo anual compuesto en capitalización semestral durante 20 años. El interés producido en el último semestre fue de 291 105,3. ¿Cuál fue el capital invertido y cuál el montante obtenido? n 0 3 , 0 6 8 2 4 1 5 = C

0 0 0 0 0 0 5 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.12 Un capital de 50 000 e ha sido colocado en régimen de capitalización compuesta alcanzando un montante de 150 000 e. Otro capital colocado al mismo tanto y régimen ha alcanzado el mismo montante en la mitad de tiempo. ¿Cuál es la cuantía de dicho capital? 0 4 5 , 2 0 6 6 8 = ó i c u l o S C : n

Ejercicio 4.13 Se asocian tres inversores e imponen un capital de 500 000 e en la explotación de un negocio. Al cabo de seis años lo liquidan y por capital e intereses, se reparten: 329 245,89 e el socio A, 548 743,32 e el socio B y 219 497,26 e el socio tercero C. Determinar la imposición de cada uno de los socios y el tanto de interés de la inversión. % 4 1 = i

0 0 0 0 0 0 1 = C C

0 0 0 0 0 5 2 = C B

0 0 0 0 0 5 1 = ó i c u l o S C : n A

Ejercicio 4.14 Un inversor tiene la opción de colocar dos capitales de cuantías C 1 y C 2 a los tipos de interés anuales acumulativos del 8 % y 9 %. Si coloca C 1 al 8 % y C 2 al 9 % retiraría al cabo de 6 años 895 337,30 e y si coloca C 1 al 9 % y C 2 al 8 % obtendría 899 848,60 e. ¿Qué cuantías son C 1 y C 2 ? 0 0 0 0 0 5 2 = C 2

0 0 0 0 0 0 3 = C : n ó i c u l o S 1

Ejercicio 4.15 Se han prestado 150 000 e para que sean devueltos después de 6 años al 20 % de interés bienal (cada dos años) acumulativo. 1. ¿Qué cantidad se tendrá que devolver? 2. ¿Y si se acuerda prorrogar durante un año más la devolución de la deuda capitalizando dicho año al tanto de interés anual equivalente al bienal dado?


n C ) 7 3 , 9 3 9 3 8 2 = 2

55

n C ) 0 0 2 9 5 2 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.16 Conocido el tanto de interés efectivo semestral del 5 %, determinar el efectivo anual, el nominal convertible de frecuencia 2 y el efectivo trimestral. % 7 4 , 2 = ) 4 ( i

% 0 1 = ) 2 ( J

% 5 2 , 0 1 = i : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.17 Una deuda de 22 500 e debe ser devuelta al cabo de 27 meses. Si el tanto efectivo anual de capitalización es el 9 % determinar el importe a devolver. n C : n 3 4 , 4 1 3 7 2 = ó i c u l o S

Ejercicio 4.18 Si se desea cancelar una deuda de 125 000 e dentro de tres años, calcular el capital a entregar en los supuestos: 1. Tanto de interés del 6 % semestral, 2. Tanto de descuento del 10 % anual efectivo, 3. Tanto de descuento del 10 % anual con frecuencia 2 n C ) 7 7 , 6 4 0 0 7 1 = 3

n C ) 6 7 , 7 6 4 1 7 1 = 2

n C ) 9 8 , 4 1 3 7 7 1 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 4.19 500 000 e colocados al 10 % de interés compuesto se convierten en n años en 885 780,50 e. ¿A qué tanto de interés simple tendrían que invertirse para que en el mismo tiempo generasen el mismo montante? ¿Cuánto tiempo tendrían que imponerse para el tanto del 10 % en interés simple? s a í d 7 1 s e s e m 8 s o ñ a 7 = n

% 6 8 , 2 1 = ó i c u l o S i : n

Ejercicio 4.20 Una entidad lanza un depósito a un año con un interés nominal del 12 % el primer mes y un 3,70 % el resto. Determinar el tanto efectivo de la operación. % 8 4 , 4 = i : n ó i c u l o S

Unidad 5

Rentas financieras 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

Concepto de renta Clasificación de las rentas Valor capital o financiero de una renta Renta constante, inmediata, pospagable y temporal 5.4.1. Valor actual 5.4.2. Valor final 5.5. Renta constante, inmediata, prepagable y temporal 5.5.1. Valor actual 5.5.2. Valor final 5.6. Rentas perpetuas 5.6.1. Valor actual 5.7. Rentas diferidas en d períodos de rédito constante 5.7.1. Valor actual 5.8. Rentas anticipadas en h períodos de rédito constante 5.9. Determinación de n e i en las rentas de rédito constante 5.9.1. Estudio del valor actual como función de n 5.9.2. Estudio del valor actual como función de i Ejercicios propuestos

Rentas financieras

58

5.1.

Concepto de renta

En el lenguaje corriente, renta es una sucesión de cobros o pagos periódicos, que tienen el carácter de rendimiento de un capital (como la rentabilidad o alquiler de un inmueble, las amortizaciones de un préstamo, las aportaciones a un plan de pensiones, etc.); en matemática financiera, el concepto es muy amplio y corresponde a un conjunto de prestaciones (monetarias) con vencimientos diversos. A cada una de las prestaciones se le llama plazo o término de la renta, y llamaremos período al espacio de tiempo (generalmente un año) que hay entre dos prestaciones consecutivas. En cuanto al origen y duración de la renta, tienen un significado claro cuando la renta es contínua o periódica; origen es entonces la fecha de comienzo de las prestaciones y duración es el intervalo entre el principio y el final de las prestaciones. En relación con el objeto de las rentas, éste está intimamente ligado al de su valoración, se trata pues de encontrar un valor de la renta en un momento determinado del tiempo. De esta forma se puede determinar: el valor final en un momento cualquiera no anterior al vencimiento del último término, el valor actual en cualquier momento no posterior al vencimiento del primer término y eventualmente el valor en un momento intermedio entre el primer y último vencimiento. El cálculo del valor final requiere fijar una ley de interés, habitualmente, al tratarse de operaciones a más de un año, ésta será la del interés compuesto; el cálculo del valor actual requiere utilizar una ley de descuento, normalmente aplicaremos la del descuento racional compuesto; por último el cálculo del valor en un momento intermedio requiere precisar ambas leyes y emplearemos la del interés y el descuento racional compuesto. Además, deberán cumplir las siguientes condiciones: los términos de la renta han de ser iguales, y si son variables la variación ha de ser conocida; los períodos de vencimiento de los términos, han de ser equidistantes, es decir, han de tener el mismo vencimiento, anual, trimestral, mensual,. . .

5.2.

Clasificación de las rentas

Dada la gran aplicación de las rentas a problemas económicos reales se hace preciso su estudio según la clasificación y terminología clásica. Por ello, clasificaremos las rentas en los siguientes grupos:

5.2 Clasificación de las rentas

59

1. Cuando las variables que intervienen en la definición de la renta se suponen conocidas con certeza, se la denomina renta cierta , empleando el término renta aleatoria cuando alguna de las variables depende del resultado de un fenómeno aleatorio. 2. Otra clasificación es la que distingue las rentas según la amplitud de sus períodos de maduración. Cuando todos los períodos de renta, son de amplitud finita la renta se denomina discreta y se da el nombre de renta continua a aquellas en las que todos los períodos son infinitesimales. Las rentas discretas, también llamadas de período uniforme , reciben en particular los nombres de anual, semestral, mensual,. . . en correspondencia con la medida del período. 3. Atendiendo a la cuantía de los términos, las rentas discretas se clasifican en constantes y variables . Dentro de las constantes, se encuentran las rentas unitarias , que son aquellas en las que todos los términos tienen de cuantía la unidad. 4. Teniendo en cuenta el vencimiento de los términos, clasificaremos las rentas en: rentas prepagables ,

cuando todos los vencimientos coincidan con el extremo inferior del correspondiente período y rentas pospagables o rentas con vencimiento de los términos al final de su correspondiente período. En las rentas prepagables el origen de la renta coincide con el vencimiento del primer término, mientras que el final de la renta será posterior al último vencimiento y por el contrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al vencimiento del primer capital y, sin embargo, el final coincide con el vencimiento del último término. Un ejemplo de renta prepagable serían los alquileres, que en general se pagan por anticipado. Como ejemplo de pospagable, los sueldos, que suelen cobrarse a período vencido. 5. Según que la duración de la renta sea finita o infinita, ésta recibirá el calificativo de renta temporal o renta perpetua respectivamente. 6. La posición del punto α de valoración de la renta, respecto al origen o final de la misma, proporciona otro criterio de clasificación. Así para α < t0 , se dice que la renta está diferida en d = t 0 − α, para α > tn que

Rentas financieras

60

está anticipada en h = α − tn ; y recibe el nombre de renta inmediata cuando α coincide con el origen o final de la renta. 7. Finalmente, según el tipo de sistema financiero con el que se valores, se puede hablar de: rentas valoradas en capitalización compuesta, rentas valoradas en capitalización simple,. . .

5.3.

Valor capital o financiero de una renta

En términos generales, se entiende por valor capital de una renta en un determinado momento α al valor financiero de la distribución de capital que la define. En particular resulta interesante la determinación del valor capital o financiero de las rentas en su origen t0 y en su final tn . Valores que reciben los nombres específicos de valor inicial o actual y valor final de la renta respectivamente. Gráficamente el valor actual de una renta puede verse en la figura 5.1, C 03 + C 06

C 3

C 6

C 03 C 06 t0

t3

t6

Figura 5.1: Valor actual de una renta financiera Además, verifica las propiedades: respecto al punto de valoración, las rentas, pueden ser valoradas en cualquier punto. propiedad asociativa, por la que dos o más rentas pueden ser sustituidas por una única equivalente a las anteriores. propiedad disociativa, por la que una renta puede ser desdoblada y obtener varias rentas equivalentes a la original.

5.4 Renta constante, inmediata, pospagable y temporal

5.4.

5.4.1.

61

Renta constante, inmediata, pospagable y temporal Valor actual

Estudiaremos inicialmente las rentas constantes inmediatas que clasificaremos según su vencimiento en pospagables y prepagables y dentro de estos en temporales y perpetuas. A este fin, éstas, son las más sencillas con valores financieros de fácil tabulación. Expresaremos las demás en función de las primeras. Al valor actual de una renta constante temporal, inmediata, pospagable de término 1 (unitaria), lo designaremos por an i , en el que n expresa su duración en períodos y el subíndice i el tipo de interés periódico a que se evalúa. En la figura 5.2 puede verse una representación gráfica,

0

1

1

1

2

n

1

1

−1

n

(1 + i)−1 (1 + i)−2

.. .

(1 + i)−(n−1) (1 + i)−n an i

Figura 5.2: Valor actual de una renta unitaria El valor actual de esta renta, lo calcularemos aplicando el principio general de equivalencia de capitales en el origen de la misma. Por tanto, recordando la expresión del valor actual de un capital C (véase 4.3 en la página 44), C 0 = an

i

=

1 (1 + i)n

1 1 + + (1 + i) (1 + i)2

1 ··· + (1 + i)

n−1

+

1 (1 + i)n

expresión en la que el segundo término constituye la suma de términos de 1 1 una progresión geométrica cuyo primer término es , el último n (1 + i)

(1 + i)

Rentas financieras

62

y la razón

1 . (1 + i)

Aplicando la expresión de la suma de los términos de una progresión geométrica (véase A.9 en la página 190),

− −

an q a1 S = q 1

an

i

1 1 1 (1 + 1)n (1 + i) (i + i) = 1 1 (1 + i)

− −

multiplicando numerador y denominador por (1 + i),

an i

1 1 (1 + i)−n (1 + i)n = = 1 (1 + i) i

−

−

an

i

−

=

1

−1

−n

− (1 + i)

i

(5.1)

expresión que nos da el valor actual de la renta unitaria. Generalizando, el valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y pospagable de término C , duración n períodos a interés i, y de acuerdo con (5.1), será: V 0 = C an i

5.4.2.

V 0 = C

1

−n

− (1 + i)

i

(5.2)

Valor final

El valor final de una renta constante, temporal, inmediata, pospagable de término 1 (unitaria) lo designaremos por sn i , en el que n e i corresponden a la duración y tipo de interés respectivamente. Del mismo modo que hemos hecho para el valor actual, la obtención gráfica del valor final, sería tal como se muestra en la figura 5.3. Igual que para la obtención del valor actual, el valor final, sería: sn

i

2

= 1 + (1 + i) + (1 + i) +

··· + (1 + i)

n−2

n−1

+ (1 + i)

n−1

(1 + i)s

= s=0

5.4 Renta constante, inmediata, pospagable y temporal

0

1

1

1

2

1 n

1

−2 n−1

63

1 n 1 (1 + i) (1 + i)2

.. .

(1 + i)n−2 (1 + i)n−1 sn i

Figura 5.3: Valor final de una renta unitaria Nuevamente se trata de una suma de términos variables en progresión geométrica, esta vez creciente, de razón (1 + i) cuya expresión (véase A.9 en la a q − a1 página 190), es S = n , y por tanto, resulta: q

−1

sn i

(1 + i)n = i

−1

(5.3)

Relación entre el valor actual y el valor final

Obsérvese que se verifica que capitalizando n períodos el valor actual encontramos el valor final de la renta: sn i

= an i (1 + i)n

(5.4)

por ser (1 + i)n el factor de capitalización en el intervalo [0, n]. Cuando en lugar de una renta de cuantía unitaria se trate de una renta con términos de cuantía constante C , el valor final será: V n = C sn i

(1 + i)n V n = C i

−1

V n = C an i (1 + i)n

(5.5)

De la misma forma, podríamos obtener el valor actual, aplicando el descuento racional compuesto al valor final.

Rentas financieras

64

Ejemplo 5.1 Calcular el valor inicial y final de una renta pospagable, de 8 años de duración y término anual constante de 5 000 e, si se valora a rédito anual constante del 7 %. Comprobar también que el valor final puede obtenerse capitalizando el valor inicial. V 0 = (V 0 )8 0,07 = C a8 0 ,07 = 5 000 = 5 000

1

a8

0 ,07

8

− (1 + 0, 07)

−

·

= 5 000 5, 9712986 = 29 856, 49

0, 07

V 8 = (V n )8 0,07 = C s8 0 ,07 = 5 000 (1 + 0, 07)8 = 5 000 0, 07

s8

0 ,07

− 1 = 5 000 · 10, 259803 = 51 299, 01

También se podría haber obtenido V 8 capitalizando V 0 . En efecto, V 8 = V 0 (1 + i)8 = 29 856, 49 (1 + 0, 07)8 = 29 856, 49 1, 718186 = 51 299, 01

·

La obtención de los valores de a8 0 ,07 y de s8 0 ,07 puede obtenerse directamente utilizando tablas financieras (véase C.3 en la página 202), con una calculadora resolviendo las expresiones y por supuesto utilizando una calculadora financiera con la que pueden obtenerse de forma directa. Utilizando la calculadora financiera, para obtener V 0 , 5000

5.5. 5.5.1.

CHS

PMT 8 n 7 i

PV


Renta constante, inmediata, prepagable y temporal Valor actual

De la misma forma que hicimos en el caso de una renta pospagable, analizaremos en primer lugar la renta prepagable constante de cuantías unitarias, es decir, de término 1, asociado a los períodos 0, 1, 2, ··· , n. Su valor inicial, o en 0, simbolizado por a¨n i es: ¨

an i

= 1 + (1 + i)

1

−

+ (1 + i)

2

−

+

··· + (1 + i)

(n−1)

−

n−1

(1 + i)−s

= s=0

y sumando los términos de la progresión puede también escribirse: ¨

an i

1 = 1

−n

− (1 + i) − (1 + i)

1

−

=

1

−n

− (1 + i)

Gráficamente podemos verlo en la figura 5.4.

i

(1 + i)

(5.6)

5.5 Renta constante, inmediata, prepagable y temporal

1

1

0

1

1 n

65

1

−2 n−1

n

1 (1 + i)−1

.. .

(1 + i)−(n−2) (1 + i)−(n−1) ¨n i a

Figura 5.4: Valor actual de una renta unitaria prepagable 5.5.2.

Valor final

El valor final o en n, representado por ¨sn i , es: n

2

¨sn i = (1 + i) + (1 + i) +

··· + (1 + i)

n

=

(1 + i)s s=1

y sumando los términos de la progresión puede también escribirse: ¨sn i

(1 + i)n = i

− 1 (1 + i)

(5.7)

Relación entre el valor actual y el valor final

Se verifica la relación, como ocurría en la renta pospagable: ¨sn i = än i (1 + i)n

Puede igualmente observarse, viendo el valor inicial y el valor final de esta renta con sus análogos en el caso de renta pospagable, que mantienen la siguiente relación: ¨n i = an i (1 + i) (5.8) a ¨sn i = sn i (1 + i)

consecuencia de ser constante el rédito periodal, lo que implica la equivalencia de las rentas prepagable unitaria, con la pospagable de cuantía constante (1 + i) es la que se muestra en la figura 5.5.

Rentas financieras

66 1 prepagable

0

pospagable

1

1 n

1 (1 + i)(1 + i)

0

1

1

−2 n−1

n

−1

n

(1 + i)(1 + i) n

2

Figura 5.5: Relación entre una renta unitaria prepagable y pospagable Esta relación entre prepagables y pospagables se verificará siempre que el rédito de valoración sea constante para todos los períodos, con independencia de las cuantías de los términos de la renta, ya que trasladar el vencimiento de los términos del extremo inicial de cada período al extremo final equivale a multiplicar las cuantías por (1 + i), factor de capitalización del período. Al ser i > 0, se verificará siempre a¨n i > an i y ¨sn i > sn i También se obtienen de forma inmediata estas nuevas relaciones entre rentas unitarias prepagables y pospagables: ¨

an i

= 1 + an−1 i

¨sn i = sn+1 i

− 1

Estas expresiones son propias de las rentas de cuantía constante, lo que permite escribir: n−1

¨

an

i

n−1 −s

=

(1 + i) s=0

s=1

n−1 sn

i

(1 + i)−s = 1 + an−1 i

= 1+

n−1 s

=

(1 + i)s = 1 + ¨sn−1 i

(1 + i) = 1 + s=0

s=1

y facilita los cálculos con el empleo de tablas, caluladora financiera u hoja de cálculo. Ejemplo 5.2 Calcular el valor inicial y final de una renta de período anual, prepagable de 6 términos y cuantía constante 4 000 e valorada en capitalización compuesta de parámetro i = 9 % anual. Su valor inicial puede obtenerse con: ¨0 = (V ¨0 )6 0,09 = 4000 ¨ V a6 0 ,09 = 4000 (1+i)a6 0 ,09 = 4000 1, 09 4, 4859185 = 19558, 61

·

·

5.6 Rentas perpetuas

67

El valor final, puede obtenerse en función del valor inicial: ¨n = (V ¨0 )6 0,09 (1 + 0, 09)6 = 19 558, 61 1, 6771001 = 32 801, 74 V

·

¨0 : Utilizando la calculadora financiera, V BEG 6 n 9 i 4000 CHS

g

PV obteniendo 19 558, 61

PMT

¨n , partiendo de los datos anteriores: El valor de V 0

5.6.

PV

presentado el resultado de 32 801, 74

FV

Rentas perpetuas

5.6.1.

Valor actual

En primer lugar analizaremos el supuesto de renta perpetua pospagable y unitaria. El esquema se corresponde con el del valor actual de una renta pospagable unitaria en el que el tiempo es perpetuo. Su valor actual o inicial, valorado a rédito constante i, lo representamos por a i y vendrá dado por la suma de una serie geométrica, que es convergente por ser (1 + i) 1 < 1: ∞

−

n

∞

a∞

i

=

(1+i)

−s

−s

= l´ım

n→∞

s=1

(1+i)

= l´ım

n→∞

s=1

an

ım i = l´

n→∞

1

−n

− (1 + i) i

=

1 i

(5.9)

Este valor a i , se puede interpretar como la cuantía, tal que sus intereses periodales son la unidad ya que: ∞

a∞

i

i = 1

En el caso de que la renta perpetua unitaria sea prepagable, su valor actual, será: n

∞

¨

a∞

i

−s

=

(1 + i) s=0

= l´ım

n→∞

¨n i = l´ım = l´ım a n→∞

n→∞

1

(1 + i)−s =

(5.10)

s=0 −n

− (1 + i)

(1 + i) = 1 +

i

1 i

Entre a¨ i y a i se verifican, por tanto, las mismas relaciones que entre los valores actuales de las rentas temporales prepagable y pospagable, es decir: ∞

∞

¨

a∞

i

= a∞ i (1 + i)

¨

a∞

i

= a∞ i + 1

Rentas financieras

68

No tiene sentido hablar de valor final de rentas perpetuas, pues las series que los representan son divergentes. Recuérdese que una renta es convergente cuando la razón de la progresión es q < 1. En el valor final, q > 1 ya que (1 + i) > 1 y por tanto, es divergente. El valor actual de una renta perpetua de términos de cuantía constante C , será: En el supuesto de una renta pospagable: V 0 = (V 0 )∞ i = C a∞ i =

C i

y en el de prepagable: ¨0 = (V ¨0 )∞ i = C a ¨∞ i = C V

1+

1 i

Ejemplo 5.3 Obtener el valor actual de una renta perpetua con términos anuales de cuantía constante C = 4 500 valorada a un tipo de interés del 6 %, tanto en el caso de que fuera pospagable como prepagable. En la opción de términos pospagables, V 0 = (V 0 )∞ 0 ,06 = C a∞ 0 ,06 = 4 500

1 = 75 000 0, 06

Si se trata de prepagable, 1 + 0, 06 ¨0 = (V ¨0 )∞ 0 ,06 = C a ¨ ∞ 0 ,06 = 4 500 V = 79 500 0, 06

5.7.

Rentas diferidas en d períodos de rédito constante

Las rentas se dicen diferidas cuando el momento de valoración α es anterior al origen de la renta. Si suponemos que el diferimiento coincide con un número entero d de períodos de rédito constante i, para cada uno de los diversos tipos de rentas unitarias tratadas anteriormente, se obtienen los siguientes resultados:

5.7 Rentas diferidas en d períodos de rédito constante 5.7.1.

69

Valor actual

El valor actual, representado por d /an i es el que se calcula en el momento 0, comenzándose a recibir o entregar a partir del momento d + 1. En la figura 5.6 podemos ver un esquema representativo. d

0

1

2

3 0

1

1

4 1

5 2

1 n n

1

−− 22 nn −− 11

1 n n

(1 + i)−1 (1 + i)−2

.. .

(1 + i)−(n−1) (1 + i)−n an i

d /an i

Figura 5.6: Valor actual de una renta unitaria diferida Y podemos expresarlo como: n d /an i

n

(d+s)

−

=

(1 + i)

−d

(1 + i)−s = (1 + i)−d an i (5.11)

= (1 + i)

s=1

s=1

A efectos operativos es interesante expresar la renta diferida como la diferencia de dos rentas inmediatas: n+d

n d /an i

−(d+s)

=

(1 + i)

(1 + i)−s

=

s=1

d

s=1

−

(1 + i)−s s=1

de la que se obtiene: d /an i

= an+d i

−

ad

i

Si se trata del valor actual prepagable, su valor actual, será: n−1

¨n i d /a

(d+s)

−

=

(1 + i) s=0

n−1 −d

= (1 + i)

¨n i (5.12) (1 + i)−s = (1 + i)−d a s=0)

5.8 Rentas anticipadas en h períodos de rédito constante

5.8.

71

Rentas anticipadas en h períodos de rédito constante

En este caso, se trata de rentas valoradas en un momento α que se encuentra h períodos posterior al final de la renta. Si se trata de una renta anticipada y pospagable, el valor de la renta en α = t n+h , representado por h /sn i viene dado por la expresión: n−1 h /sn i

=

(1 + i)

h+s

n−1

= (1 + i)

s=0

h

(1 + i)s = (1 + i)h sn i

(5.14)

s=0

Si se trata de una renta prepagable y anticipada, y que tiene como valor en α = t n+h :

n sn i h /¨

=

n h+s

(1 + i)

(1 + i)s = (1 + i)h¨sn i = (1 + i)h+1 sn i

h

= (1 + i)

s=1

s=1

(5.15)

Ejemplo 5.5 Determinar el valor al final de nueve años de una renta pagadera por años vencidos, de cuantía anual constante de 30 000 e de siete términos, sabiendo que el rédito anual es del 6 % 2 /(V n )7 0,06 =

5.9.

30 000 (1 + 0, 06)2 s7 0 ,06 = 282 939, 48

Determinación de constante

n

e i en las rentas de rédito

La utilización generalizada de las rentas unitarias hace conveniente su estudio analítico de los valores financieros principalmente inicial y final como función de sus variables básicas n e i.

Rentas financieras

72

5.9.1.

Estudio del valor actual como función de

n

La variable n se refiere al número de términos de la renta y por tanto, pertenece a los números naturales. n ∈ N La función de n, que representa

an i

, es:

n

ϕ1 (n) = an i =

(1 + i)

−s

=

1

−n

− (1 + i) i

s=1

Esta función es creciente cuanto mayor sea el número de términos. Para n = 0 toma el valor ϕ1 (0) = 0, y está acotada por: l´ım ϕ1 (n) = a∞ i =

n→∞

1 i

Si ampliamos la función al campo real positivo haciendo n = x y x ∈ R, viendo la primera y segunda derivada podríamos decir que la función es creciente y cóncava tal como se muestra en el gráfico 5.7

1+i

ϕ2 (n)

i

1

ϕ1 (n)

i

n

0

Figura 5.7: Estudio de n La determinación del valor de n, se haría a través de las tablas financieras, interpolando en su caso (véase A.4 en la página 184), por tanteos o tomando logaritmos. La utilización de una calculadora financiera u hoja de cálculo, facilitan la labor. Ejemplo 5.6 Determinar el número de años de una renta cuyo valor actual es de 45 032 e, sus términos pospagables de 4 000 e y el tipo de interés del 8 % 45 032 = 4 000

45 032 1 = 4 000

an 0 ,08

0, 900640 = 1

1 − 1, 08

n

−n

− (1 + 0, 08)

1 =1 1, 08n

0, 08

− 0, 900640

5.9 Determinación de n e i en las rentas de rédito constante 1, 08n =

1 0, 099360

n log1, 08 = log 10, 064412

73

n = 30

Con la calculadora financiera, para calcular n, 45032

5.9.2.

PV 4000 CHS

n obteniendo 30

PMT 8 i

Estudio del valor actual como función de

i

El valor actual de una renta unitaria pospagable, es: n

ϕ1 (i) = an i =

−s

(1 + i)

=

1

s=1

− (1 + i)

−n

i

Obteniendo la primera y segunda derivada, n

( s)(1 + i)−(s+1) < 0

′

ϕ1 (i) =

s=1

−

→ ϕ1(i) decreciente

n

s(s + 1)(1 + i)−(s+2) > 0

′′

ϕ1 (i) = s=1

→ ϕ1(i) convexa

los valores de ϕ1 (i) en los extremos, son: ϕ1 (0) = n

y

l´ım ϕ1 (i) = 0

i→x

Resumiendo, ϕ1 (i) es decreciente y convexa, corta al eje de ordenadas y en el punto (0, n) y tiene como asíntota el eje positivo de x (abcisas). Si se trata de una renta prepagable, operando de la misma forma, veríamos que se trata igualmente de una función decreciente y convexa en la que la asíntota, sería: n−1

(1 + i)−s = 1

l´ım ϕ2 (i) = l´ım

i→∞

i→∞

s=0

Y su representación gráfica tal como se muestra en la figura 5.8. La obtención del valor de i, se haría utilizando un método de tanteo, o mediante el empleo de las tablas financieras e interpolando (véase A.4 en la página 184) en su caso. Igualmente, el empleo de una calculadora financiera u hoja de cálculo facilitará la tarea. Ejemplo 5.7 Al adquirir un vehículo por 24 000 e nos proponen pagar durante 6 años una renta de 5 390 e anuales. ¿A qué tipo de interés se ha realizado la operación? 24 000 = 5 390 a6 i

Rentas financieras

74

n

¨n i ϕ2 (i) = a 1

ϕ1 (i) = an i 0

i

Figura 5.8: Estudio de i 24 000 = 4, 452690 5 390 Buscando los valores en las tablas, obtenemos: a6 i

a6

e interpolando,

0 ,09 =

=

4, 485919

a6

0 ,10

= 4, 355261

− 4, 485919 = x − 0, 09 − 4, 485919 0, 1 − 0, 09 0, 033229 x − 0, 09 =

4, 452690 4, 355261

0, 130658

0, 01

x = 0, 092543 = 9, 25 % Con la calculadora, el cálculo de i, 6

n 24000 PV 5390 CHS

PMT

i obteniendo 9, 25 %

Ejercicios propuestos Ejercicio 5.1 Qué cantidad depositaremos en un banco que opera al 7 % de interés compuesto anual, para percibir al final de cada año y durante 10 años una renta de 10 000 e. 0 V : n 2 8 , 5 3 2 0 7 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.2 Calcular la anualidad necesaria para amortizar en 10 años una deuda que en el momento actual asciende a 100 000 e, si la operación ha sido estipulada al 6 % de interés compuesto anual, y los pagos se realizan al final de cada año. 0 8 , 6 8 5 3 1 = C : n ó i c u l o S


75

Ejercicio 5.3 Para adquirir un piso el señor A ofrece 500 000 e al contado, el señor B 100 000 e en el acto de la firma de contrato y 40 000 e anuales durante 20 años y el señor C, 40 000 e anuales durante 30 años verificando el primer pago al concertar el contrato. Supuesto un tipo de interés del 6 %, ¿qué oferta es la más conveniente para el vendedor? C : n ó i c u l o S Ejercicio 5.4 Mediante la entrega de 5 000 e al término de cada año y durante 12, queremos constituir un capital que nos permita percibir durante los 20 años siguientes una renta. Calcular el término de la misma, si la operación se realiza al tanto de evaluación del 7 %. C : n 2 7 , 2 4 4 8 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.5 Se compra una casa en 400 000 e destinada a alquiler y a la que se concede una vida útil de 20 años. Pero sobre la finca se grava un censo de 780 e anuales. ¿Cuál debe ser el precio del alquiler anual para que el capital invertido en su adquisición rinda un 5 %? 6 4 , 1 1 3 1 3 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.6 Se imponen 5 000 e al principio de cada año en una entidad bancaria que abona un 7 % anual compuesto. Después de realizadas 15 imposiciones y al año de la última imposición comienzan a retirarse 5 000 e durante 15 años. ¿Cuál será el saldo en el momento de retirar la última anualidad? 4 8 , 9 7 2 5 4 2 = o d l a S : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.7 El valor actual de una renta de 10 000 e anuales pospagables es de 98 181,47 e. Si hubiese sido prepagable, el valor actual sería de 106 081,47 e. Calcular el tanto y el tiempo. 0 2 = n

8 0 , 0 = i : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.8 Se imponen durante n años anualidades vencidas de 15 000 e al 5 %, al objeto de recibir durante los 2n años siguientes, y también por años vencidos, una renta anual de 10 000 e. Determinar el valor de n. 4 = n : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.9 Una persona ha dedicado anualmente 15 000 e a la amortización de una deuda de 125 000 e que contrajo hace 10 años, siendo el tipo de interés del 10 %. Habiendo decidido hoy liquidar el resto de su deuda, ¿cuál será la cantidad que deberá abonar ahora, además de la anualidad? 0 2 , 6 5 1 5 8 = o d l a S : n ó i c u l o S

Rentas financieras

76

Ejercicio 5.10 Determinar el valor final de una renta de 10 000 e anuales que se van ingresando en una institución financiera durante 8 años, sabiendo que dicha institución utiliza un tanto de valoración del 3,5 % durante los tres primeros años y un 4 % durante los siguientes. n 4 4 , 5 5 9 1 9 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.11 Un club deportivo compra terrenos adicionales por un valor de 230 000 e pagando 80 000 e al contado y comprometiéndose a pagar el resto en seis pagos anuales iguales. ¿Cuál deberá ser el importe anual de cada pago si el tipo de interés pactado es el 10 % anual? 1 1 , 1 4 4 4 3 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.12 ¿Cuál es el valor de una casa por la que se piden 50 000 e al contado, más veinte anualidades de 30 000 e cada una si se estiman los intereses al 6 %? 0 4 6 , 7 9 0 4 9 3 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.13 El valor actual de una renta perpetua prepagable de 6 000 e es de 106 000 e. ¿Cuál es el tanto de interés de valoración? 6 0 , 0 = ó i c u l o S i : n

Ejercicio 5.14 Mediante la entrega de 35 000 e al término de cada año y durante 11 se pretende constituir un capital que permita percibir durante los 20 años siguientes una renta constante. Calcular el término de la misma si la operación se evalúa al tanto anual del 6 % 6 3 , 5 8 6 5 4 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.15 Al objeto de que su hijo, de catorce años de edad, reciba al alcanzar los veintitres la suma de 100 000 e, el señor X desea saber la cuantía que debe entregar al final de cada año en una entidad bancaria que computa intereses al 3,5 % para este tipo de depósitos. Después del quinto año, el banco eleva el interés al 4 %. Se pide: 1. Anualidad que debe entregar el señor X, 2. Nueva anualidad después de la subida del tanto para obtener la misma suma de 100 000 e, 3. Cuantía que podría retirar el hijo si se continuasen depositando los mismos importes.


n V . 3 6 1 , 9 5 4 1 0 1 =

C . 2 8 9 , 0 0 3 9 =

77

C . 1 : n 0 6 , 4 4 6 9 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.16 Hallar el valor actual de una renta pospagable de 10 pagos, anualidad de 10 000 e y tanto de valoración del 5 % sabiendo que comenzaremos a devengarla dentro de 5 años. 0 V : n 1 8 , 1 0 5 0 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.17 Durante 5 años y al final de cada uno, se ingresan 7 000 e en un banco que opera al 4 % anual. ¿Qué capital se habrá constituido al final del noveno año? n V : n 2 3 , 4 5 3 4 4 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.18 Compramos una maquinaria por 20 000 e, a pagar en 15 anualidades, realizándose el primer pago a los 3 años. Determinar la anualidad si el tanto de valoración es del 6 %. 1 6 , 2 5 4 2 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.19 Una entidad financiera presta a una empresa 300 000 e, y ésta se compromete a reintegrarlos junto con sus intereses mediante 12 anualidades iguales que hará efectivas al final de cada año. Si la capitalización es compuesta y los tantos que aplica la entidad financiera son: 6 % para los 4 primeros años, 7 % para los 5 siguientes, y el 8 % para los tres últimos, determinar el valor de la anualidad. C : n 0 5 , 7 2 7 6 3 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.20 Una persona compra un piso entregando 40 000 e a la firma del contrato y 10 000 e al final de cada uno de los próximos 15 años. Si la entidad hipotecaria le aplica un tanto del 4 % durante los primeros 7 años y un 5 % durante el resto de la operación, se pide determinar el valor del piso. 0 V : n 5 6 , 5 3 1 9 4 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.21 Una renta de cuantía anual constante de 3 500 e, diferida en cinco años se valora a rédito constante del 5 %. Se desea saber su valor actual en los supuestos de considerarla pospagable y con una duración de 10 años o en el de que sea prepagable y perpetua. 0 7 1 , 9 8 5 7 5 = V ¨

0 3 6 , 5 7 1 1 2 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.22 Determinar el valor en estos momentos, de una renta cuya cuantía anual constante es de 1 500 e si el tipo de interés es del 5 % anual y comenzó a devengarse hace 12 años en el supuesto de que sea pospagable y de 10 términos. n V : n 9 6 , 0 0 8 0 2 = ó i c u l o S

Rentas financieras

78

Ejercicio 5.23 Se quiere cancelar una deuda de 14 752 e mediante el abono de una renta al final de cada año de 3 000 e si el tanto de valoración es del 6 %, ¿cuál será el número de pagos a realizar? n : n 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.24 Sabiendo que el valor actual de una renta pospagable de 6 términos de 2 500 e cada uno es de 11 916 e determinar el tipo de interés a que ha sido evaluada. 7 0 , 0 = i : n ó i c u l o S

Ejercicio 5.25 Recibimos de una entidad financiera una cantidad de 50 000 e a devolver juntamente con sus intereses, mediante diez entregas iguales al final de cada año. La entidad nos exige un tipo de interés que va en aumento y que es del 5 % para los tres primeros años, el 6 % para los tres siguientes y el 7 % para los cuatro últimos. ¿Cuál será el valor de la anualidad constante? C : n 4 4 , 6 7 6 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.26 Calcular la cuantía anual necesaria para al final de 8 años disponer, en un banco que opera al 6 % de interés anual de un capital de 15 000 e C : n 4 5 , 5 1 5 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 5.27 Un piso, puede ser comprado haciendo uso de una de las tres siguientes opciones: 1. Pago al contado de 300 000 e 2. Abono de 375 000 e dentro de 5 años. 3. Un pago anual de 32 000 e durante 15 años siendo el primer pago en el momento de la firma del contrato. Para la valoración consideramos el tipo de interés vigente en el momento del 6 %. . 2 : n ó i c u l o S Ejercicio 5.28 Para el pago de una compra de 4 500 e nos ofrecen pagar durante 10 años 575,75 e. Determinar el tipo de interés al que se ha realizado la operación. 5 7 4 0 , 0 = ó i c u l o S i : n

Unidad 6

Rentas fraccionadas y variables 6.1. Introducción 6.2. Rentas con fraccionamiento uniforme 6.2.1. Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas 6.3. Ecuación general de las rentas constantes, inmediatas y temporales 6.4. Rentas de términos variables en progresión geométrica 6.4.1. Renta pospagable temporal 6.4.2. Renta pospagable perpetua 6.4.3. Renta prepagable temporal 6.4.4. Renta prepagable perpetua 6.4.5. Renta diferida y anticipada 6.5. Rentas de términos variables en progresión aritmética 6.5.1. Renta pospagable temporal 6.5.2. Renta pospagable perpetua 6.5.3. Renta prepagable temporal 6.5.4. Renta prepagable perpetua 6.5.5. Renta diferida y anticipada 6.6. Rentas variables fraccionadas 6.6.1. Rentas variables fraccionadas en progresión geométrica 6.6.2. Rentas variables fraccionadas en progresión aritmética 6.7. Rentas variables en general con rédito periodal constante 6.7.1. Determinación de i. Método de Newton 6.7.2. Hoja de cálculo 6.7.3. Simplificación de Schneider

Rentas fraccionadas y variables

80 Ejercicios propuestos

6.1 Introducción

6.1.

81

Introducción

En la aplicación práctica del estudio de las rentas, podemos encontrarnos con que los términos de las mismas no necesariamente han de ser uniformes en toda su duración. Del mismo modo, tampoco los términos han de coincidir con los años naturales. Es muy habitual que éstos, en las operaciones financieras de inversión o financiación, sean mensuales, trimestrales, etc. Igualmente, los términos no necesariamente serán constantes a lo largo de toda la duración de la misma. Es frecuente encontrarse con rentas crecientes en un porcentaje e incluso, con rentas variables en general. Las rentas fraccionadas son aquellas en las que la periodicidad con que se hacen efectivos los sucesivos capitales es inferior al año, produciéndose pagos y cobros mensualmente, trimestralmente, semestralmente, etc. En una renta fraccionada constante una serie de capitales de la misma cuantía están disponibles en fracciones consecutivas de año, llamadas m , durante n años. El número de términos total es n m

6.2.

Rentas con fraccionamiento uniforme

En este caso el período de capitalización es superior al período en que se percibe la renta, es decir, nos dan el interés efectivo anual i, mientras que el término C de la renta se percibe m veces dentro del año. Para encontrar el valor en este tipo de rentas fraccionadas, tendremos también que referir ambos parámetros término y tanto a la misma unidad. Una solución es calcular el interés periódico i(m) a partir del tanto efectivo anual i dado y valorar la renta teniendo en cuenta que la duración de la misma es de n m períodos, siendo t = n m El tanto periódico, tal como vimos en 4.6 en la página 46, lo obtenemos como: 1 i(m) = (1 + i)

m

−1

y en consecuencia, como hemos visto en 5.1 en la página 62, el valor actual sería: nm a

nm i

(m)

=

1

−

1 + i(m) i(m)

−

(6.1)


82

expresión que nos da el valor actual de la renta unitaria. Generalizando, el valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y pospagable de término C , duración n m períodos a interés i(m) , y de acuerdo con (6.1), será: ( m)

V 0

= C an m i (

(m)

V 0

m)

1

= C

−n m

1 + i(m)

−

i(m)

(6.2)

Gráficamente, 1

0

1

1

1

1

1

2

3

4

t

1

1

−1

t

(1 + i(m) )−1 (1 + i(m) )−2 (1 + i(m) )−3 ) −4 (1 + i(m . )

..

(1 + i(m) )−(t−1) (1 + i(m) )−t a

t i(

)

m

Figura 6.1: Valor actual de una renta unitaria fraccionada Este método, lo podemos considerar como genérico para la resolución de las rentas fraccionadas y es el que vamos a utilizar para obtener el valor actual o final de una renta pospagable o prepagable fraccionada, sea de duración determinada o perpetua. Si se trata del valor final, s

nmi

(m)

=

1 + i(m)

nm

i(m)

−1

(6.3)

generalizando, (m)

V n

= C sn m i (

m)

(m)

V n

V n(m) = C an m i (

m)

= C

1 + i(m)

1 + i(m)

nm

i(m) nm

−1 (6.4)

6.2 Rentas con fraccionamiento uniforme

83

Ejemplo 6.1 Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, al 7 % de interés anual efectivo y los términos son de 850 e trimestrales. En primer lugar, obtendríamos el tipo de interés efectivo trimestral, 1

i(4) = (1 + 0, 07) 4

− 1 = 0, 0170585

para obtener el valor actual utilizando la expresión (6.2) V 0 = 850

a20

0 ,0170585 =

14 301, 46

Utilizando la calculadora financiera, para obtener V 0 , obtenemos i(4) en primer lugar: 4 n 100 PV 7 + CHS FV i resultando 1, 70585 20

n 850 CHS

PMT 0 FV

PV


Si se trata del valor actual en una renta fraccionada cuyos términos sean prepagables, éste será igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada, inmediata y pospagable multiplicado por 1 + i(m) . En este caso, ¨n m i (

a

m)

=

− 1 + i( ) 1 − 1 + i( ) m

1

y, el valor final,

m

¨sn m i (

m)

=

−n m

=

−1

1

1 + i(m)

1 + i(m)

−

−n m

1 + i(m)

i(m)

nm

i(m)

−1

1 + i(m)

(6.5)

(6.6)

Se verifica por tanto la relación entre el valor actual y final s

nmi

por ser 1 + i(m)

n

(m)

= an m i (

1 + i(m)

m)

nm

(6.7)

el factor de capitalización en el intervalo [0, m].

Si se trata de rentas fraccionadas perpetuas, su valor actual, vendrá expresado por: 1 a (6.8) ( ) = i (m) ∞

m

i

En el caso de que la renta fraccionada perpetua unitaria sea prepagable, su valor actual, será: 1 ¨ i ( ) = 1 + (m) (6.9) a ∞

m

i


84

Ejemplo 6.2 ¿Qué capital debemos depositar en un banco que nos abona el 0,5 % mensual si pretendemos obtener una renta de 1 000 e mensuales? V 0 = 1 000

6.2.1.

a∞ 0 ,005

=

1 000 = 200 000 0, 005

Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas

El valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada y diferida d períodos, es igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria y fraccionada actualizado por los períodos de diferimiento, es decir, dm multiplicando su valor actual por 1 + i(m) . Esto es, −

d /an m i (

m)

−d m

= 1 + i(m)

a

nmi

(m)

(6.10)

Igual ocurre con la obtención del valor final de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada y anticipada h períodos, debiendo multiplicar en este h m caso el valor de la renta fraccionada por su anticipación 1 + i(m) . h /sn m i (m)

6.3.

= 1 + i(m)

hm s

nm i

(m)

(6.11)

Ecuación general de las rentas constantes, inmediatas y temporales

En las rentas constantes, inmediatas y temporales, podemos escribir la siguiente ecuación general que nos permite obtener cualquiera de las cinco variables financieras típicas. V 0 + (1 + i µ) C

1

−n

− (1 + i) i

+ V n (1 + i)−n = 0

(6.12)

En la que si µ = 0, se tratará de una renta pospagable, siendo por tanto (1 + i µ) = 1. Si la renta es prepagable, µ = 1 y en consecuencia (1 + i µ) =

6.4 Rentas de términos variables en progresión geométrica

85

(1 + i) que es el factor que convierte una renta pospagable en prepagable tal

como hemos visto en (5.8). Si C = 0 nos encontraríamos en un supuesto de capitalización compuesta, pudiendo obtener los valores de C 0 ó V 0 y C n ó V n , ya que: V 0 + V n (1 + i)−n = 0

6.4.

Rentas de términos variables en progresión geométrica

Se caracterizan porque la cuantía de sus términos varían en progresión geométrica. La razón de la progresión, que representamos por q ha de ser positiva, es decir q > 0, puesto que en caso contrario todos los términos con exponente de q impar tendrían cuantía negativa1 . Si q > 1, la renta será creciente. Si 0 < q < 1, los términos de la renta serán decrecientes. Dentro de las rentas geométricas cabe hacer todas las hipótesis que para las constantes hemos hecho sobre el vencimiento de los términos (pospagable y prepagable), en relación a la duración (temporal o perpetua) y con respecto al punto de valoración (inmediata, diferida o anticipada). 6.4.1.

Renta pospagable temporal

El valor actual de una renta pospagable, inmediata, temporal y variable en progresión geométrica, de primer término C y razón q , con una duración de n años al tipo de interés i, será: V 0 (C, q )n i = C (1 + i)−1 + C q (1 + i)−2 + C q 2 (1 + i)−3 + + C q (n−2) (1 + i)−(n−1) + C q (n−1) (1 + i)−n

··· +

que representa una serie en progresión geométrica de razón q (1 + i) 1 ; por tanto, su suma, aplicando A.9 en la página 190 será: −

V 0 (C, q )n i =

C (1 + i)−1

= C

1

− C q ( 1) (1 + i) 1 − (1 + i) 1 q n−

−n

q (1 + i)−1

−

1

− q (

n−1)

(1 + i)−n q

1 (1 + i)−1

− q

= C

1

=

n

(1 + i)−n 1 + i q

− q

−

Puede verse el apéndice A.6 en la página 187 referido a las progresiones geométricas


86

V 0 (C, q )n i = C

1

n

(1 + i)−n 1 + i q

− q

−

(6.13)

El valor final se obtendrá capitalizando el valor actual, esto es, multiplicándolo por su factor de capitalización compuesta (1 + i)n . V n (C, q )n i = V 0 (C, q )n i (1 + i)n

y sustituyendo, V n (C, q )n i

(6.14)

(1 + i)n q n = C 1 + i q

− −

(6.15)

Ejemplo 6.3 Dada una renta variable en progresión geométrica de primer término 10 000 e que se incrementa anualmente un 20 %, si la duración de la misma es de 15 años y el interés del 6 % efectivo, se pide determinar el valor actual y final de la misma. Utilizando (6.13): V 0 (10000; 1, 2)15 0 ,06 = 10000

1

− 1, 215(1 + 0, 06) 1 + 0, 06 − 1, 2

15

−

−5, 4288 = 387772, 27 −0, 14

= 10000

Del mismo modo, sirviéndose de la relación entre el valor actual y final, V n (C, q )n i = V 0 (C, q )n i (1 + i)n V 15 = V 0 (1 + 0, 06)15 = 387 772, 27 (1 + 0, 06)15 = 929 318, 81

La razón q en muchos casos viene dada en porcentaje, por lo que en la expresión (6.13), al igual que hacemos con el tipo de interés, se reflejará en tanto por uno. Al respecto, estudiando la relación de q con respecto a (1 +i), q < (1 + i) es el caso normal, q > (1 + i) implica obtener un valor negativo, pero al ser el numerador tam-

bién negativo la solución es positiva, q = (1 + i) da como resultado una indeterminación del tipo

0 . Para resol0

verla se procederá a la actualización de cada uno de los capitales al punto de origen de la renta.

6.4 Rentas de términos variables en progresión geométrica

87

En este caso, V 0 (C, 1 + i)n i = l´ım C

1

q →1+i

n

−n

− q (1 + i) 1 + i − q

=

0 = 0

Aplicando L’Hôpital respecto a q , para resolver la indeterminación, −n

n−1

−(1 + i) n q = −q 6.4.2.

= n C (1 + i)−1

Renta pospagable perpetua

En el supuesto de que se trate de una renta perpetua, para su cálculo, bastará con hacer tender n a infinito en la expresión de su valor actual (6.13), V 0 (C, q )∞ i = l´ım V 0 (C, q )n i = n→∞

V 0 (C, q )∞ i =

C 1 + i q

para 1 + i > q .

6.4.3.

C 1 + i q

−

−

(6.16)

Renta prepagable temporal

Si se trata de una renta prepagable, partiendo del principio de equivalencia financiera y del valor actual de una renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométrica y temporal, tal como hemos visto en (6.13), ¨0 (C, q )n i = V 0 (C, q )n i (1 + i) V

(6.17)

Igualmente, si se trata del valor final de una renta prepagable, bastará con actualizar el valor final de la renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométrica y temporal. ¨n (C, q )n i = V n (C, q )n i (1 + i) V

(6.18)

Del mismo modo, partiendo del valor actual, podríamos capitalizar el mismo usando el factor de capitalización para obtener su valor final: ¨n (C, q )n i = V ¨0 (C, q )n i (1 + i)n V

(6.19)


88

6.4.4.

Renta prepagable perpetua

En el supuesto de tratarse de una renta perpetua, la obtención del límite cuando n tiende a infinito del valor actual de la renta prepagable nos permitirá obtener su valor. ¨0 (C, q )∞ i = l´ım V ¨0 (C, q )n i = C (1 + i) V n→∞ 1 + i q

−

¨0 (C, q )∞ i = C (1 + i) V 1 + i q

−

6.4.5.

(6.20)

Renta diferida y anticipada

La obtención del valor actual de una renta diferida d períodos, pospagable, temporal y variable en progresión geométrica, tal como vimos para una renta constante en la figura 5.6 de la página 69, y la expresión (5.11), d /V 0 (C, q )n i

= V 0 (C, q )n i (1 + i)−d

(6.21)

Si se trata de una renta prepagable, procederemos del mismo modo: ¨

d /V 0 (C, q )n i

¨0 (C, q )n i (1 + i)−d = V

(6.22)

Cuando se trata de una renta perpetua, el valor actual, será el que corresponde a una temporal sobre la que obtendremos el límite cuando n tiende a ∞. d /V 0 (C, q )∞ i = d /V 0 (C, q )∞ i

Si fuera prepagable,

l´ım d /V 0 (C, q )n i

n→∞

C (1 + i)−d = 1 + i q

−

C (1 + i)−(d−1) ¨ d /V 0 (C, q )∞ i = 1 + i q

−

(6.23)

(6.24)

En las rentas anticipadas, para la obtención del valor final puede aplicarse lo visto en la unidad anterior. El valor final, pospagable y temporal, h /V n (C, q )n i

= V n (C, q )n i (1 + i)h

(6.25)

¨n (C, q )n i (1 + i)h = V

(6.26)

Si la renta es prepagable, ¨

h /V n (C, q )n i

6.5 Rentas de términos variables en progresión aritmética

6.5.

89

Rentas de términos variables en progresión aritmética

Se caracterizan por seguir la cuantía de sus términos una progresión aritmética, siendo d la razón de la progresión, que puede ser positiva o negativa, si bien en este segundo caso, al ser los términos decrecientes, para que no aparezcan términos negativos o nulos es preciso imponer la condición C + (n − 1)d > 0 , lo que implica que la razón d está acotada inferiormente por: d>

6.5.1.

−C n−1

Renta pospagable temporal

La obtención del valor actual que designaremos como V 0 (C, d)n i es: n

n

V 0 (C, d)n i =

C + (s s=1

− 1)d (1 + i)

−s

= C an i + d

(s s=1

− 1)(1 + i)

−s

Por tanto, se puede escribir: V 0 (C, d)n i = C an i +

d i

an i

− n(1 + i)

de donde, V 0 (C, d)n i

sumando y restando

d = C + i

an

i

−

−n

d n(1 + i)−n i

dn se obtiene la expresión: i

V 0 (C, d)n i = C +

d + d n i

an

i

− din

que resulta más cómoda al venir expresada en función de

(6.27)

an i

El valor final, V n(C, d)n i puede obtenerse de forma directa: n

V n (C, d)n i =

C + (s s=1

n−s

− 1)d (1 + i)

o también, capitalizando el valor actual, es decir, multiplicando por (1 + i)n n

V n (C, d)n i = V 0 (C, d)n i (1 + i) =

d C + i

an i

−

d n(1 + i)−n (1 + i)n i


90

resultando, V n (C, d)n i = C +

6.5.2.

d i

sn

i

− din

(6.28)

Renta pospagable perpetua

El valor inicial de una renta perpetua es el límite cuando n → ∞ de la correspondiente renta temporal, por tanto, el valor actual de la renta pospagable, variable en progresión aritmética perpetua es: V 0 (C, d)n i = l´ım

n→∞

d C + i

an

i

−

y dado que: l´ım

n→∞

y

an

i

= a∞ i =

d n(1 + i)−n i

1 i

n 1 = l´ ı m =0 n→∞ (1 + i)n n→∞ (1 + i)n log (1 + i) e

l´ım n(1 + i)−n = l´ım

n→∞

resulta: V 0 (C, d)∞ i = C + 6.5.3.

d i

1 C d = + 2 i i i

(6.29)

Renta prepagable temporal

Si se trata en este caso de una renta temporal prepagable, su valor actual puede obtenerse en función de V 0 (C, d)n i ¨0 (C, d)n i = V

n−1

C + s d (1 + i)−s = s=0 n

= (1 + i)

C + (s s=1

− 1) d (1 + i)

−s

= V 0 (C, d)n i (1 + i)

resultando por tanto, ¨0 (C, d)n i = (1 + i) V

C +

d + d n i

an

i

− din

= V 0 (C, d)n i (1 + i)

(6.30)

Igualmente, el valor final prepagable, se obtendrá capitalizando el valor actual: ¨n (C, d)n i = V ¨0 (C, d)n i (1 + i)n V (6.31)

6.5 Rentas de términos variables en progresión aritmética

91

o directamente, ¨n (C, d)n i = V n (C, d)n i (1 + i) V

6.5.4.

(6.32)

Renta prepagable perpetua

Si se trata de una renta prepagable perpetua, el valor inicial de la renta variable en progresión aritmética se obtiene: ¨0 (C, d)∞ i = l´ım V (C, ¨ V d)n i = l´ım (1 + i) V 0 (C, d)n i = (1 + i) V 0 (C, d)n i n→∞

n→∞

resultando, ¨0 (C, d)∞ i = C + d V i

6.5.5.

1 + i i

(6.33)

Renta diferida y anticipada

Del mismo modo que para las rentas variables en progresión geométrica, si la renta está diferida en k períodos de rédito constante i respecto del punto de valoración, su valor actual se obtiene multiplicando el valor inicial por (1 + i) k . Si la renta está anticipada en h períodos de igual rédito i , su valor final será igual al valor final multiplicado por (1 + i)h . −

k /V 0 (C, d)n i =

(1 + i)−k V 0 (C, d)n i

(6.34)

sustituyendo, −k k /V 0 (C, d)n i = (1 + i)

C +

d + d n i

an i

− din

Si es prepagable, ¨

k /V 0 (C, d)n i =

¨0 (C, d)n i (1 + i)−k V

(6.35)

Si se trata de una renta perpetua, procederemos del mismo modo: k /V 0 (C, d)∞ i =

¨

k /V 0 (C, d)∞ i =

(1 + i)−k V 0 (C, d)∞ i

(6.36)

¨0 (C, d)∞ i (1 + i)−k V

(6.37)


92

Si se trata de una renta anticipada, su valor final, será: h /V n (C, d)n i =

(1 + i)h V n (C, d)n i

(6.38)

(6.39)

y sustituyendo, h h /V n (C, d)n i = (1 + i)

C +

d i

sn

i

− din

que en el supuesto de que fuera prepagable, sería: ¨

h /V n (C, d)n i =

¨n (C, d)n i (1 + i)h V

Ejemplo 6.4 Determinar el valor en el momento actual de una renta anual variable en progresión aritmética, de primer término 10 000 e, razón 2 000 e, rédito periodal constante i = 0, 06, que comenzará a devengarse una vez transcurridos 3 años, en los supuestos de que se trate de una renta prepagable de 20 años de duración o de una renta pospagable perpetua. En el primer supuesto, ¨

3 /V 0 (10

¨0 (10 000; 2 000)20 0,06 000; 2 000)20 0,06 = (1 + 0, 06)−3 V

¨0 = (1 + 0, 06)−2 V 0 (10 000; 2 000)20 0,06 = V 2 000 2 000 20 = 1, 06−2 10 000 + + 2 000 20 a20 0 ,06 = 0, 06 0, 06 = 0, 889996 [83 333, 33 11, 469921 666 666, 66] = 257 351, 33

·

· −

−

·

En el segundo caso, 3 /V 0 (10

000; 2 000)∞ 0 ,06 = (1 + 0, 06)−3 V 0 (10 000; 2 000)∞ 0,06 = 2 000 1 = (1 + 0, 06)−3 10 000 + = 0, 06 0, 06 = 0, 839619 722 222, 22 = 606 391, 70

·

6.6.

Rentas variables fraccionadas

En las rentas constantes y en general, el tipo de interés i y el período de vencimiento del capital n deben estar expresados en las misma unidad. En las rentas fraccionadas variables, supuesto muy habitual en el mercado, el capital vence en una unidad inferior a la del tanto. Para resolver este supuesto, podemos sustituir todos los capitales pertenecientes a los subperíodos por un único expresado en la misma unidad de tiempo que la razón de la variación o utilizar las siguientes expresiones.

6.7 Rentas variables en general con rédito periodal constante 6.6.1.

93

Rentas variables fraccionadas en progresión geométrica

Partiendo de la expresión (6.13), ( m) V 0 (C, q )n i

= C m

i J (m)

1

n

(1 + i)−n 1 + i q

− q

−

(6.40)

El resto de valores, podrán obtenerse aplicando las relaciones conocidas. 6.6.2.

Rentas variables fraccionadas en progresión aritmética

La expresión matemática para el cálculo en el caso de rentas variables siguiendo una progresión aritmética, obtenida a partir de (6.27) sería: (m)

V 0

(C, d)n i =

i J (m)

C m +

d + d n i

an

i

− din

(6.41)

El resto de valores se obtendrían multiplicando por sus relaciones.

6.7.

Rentas variables en general con rédito periodal constante

En muchas operaciones financieras los términos de las mismas no son constantes, ni tampoco variables en base a una progresión conocida. En realidad, son variables de forma aleatoria. En estos casos, existe la dificultad técnica de poder calcular la rentabilidad de la operación. Para ello, y tanto para las operaciones de inversión como las de financiación, se utilizan diferentes métodos. Los más extendidos son el Valor Actual Neto, (VAN) o (VNA), y el denominado tanto o Tasa Interna de Rendimiento o retorno (TIR). Así, ante una operación financiera consistente en el intercambio de capitales financieros cuyos términos no son iguales en capitalización compuesta, V 0 =

C 1 C 2 C 3 + + + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3

··· + (1 C + i) n

n


94

si igualamos a 0, podemos obtener el valor de i. Definiremos TIR de esta operación financiera al número real i, solución de la ecuación: n

n −s

C s (1 + i)

C t (1 + i)−t

=

s=1

t=1

Evidentemente, n e i, deberán estar expresados en la misma unidad. La TIR obtenida estará en función de la unidad de tiempo con la que se esté trabajando. Si es el año, la TIR será el interés efectivo anual; si por el contrario la unidad de tiempo fuera una fracción de m, entonces la TIR m expresada como tasa anual equivalente vendrá dada por i = 1 + i(m) − 1.

Hay que tener en cuenta que para las operaciones financieras generales, la TIR no siempre existe ni tiene por qué ser única. De hecho, constituye una ecuación algebraica de grado p, siendo p ≥ (m + n) que puede presentar hasta p soluciones reales.

Si existe la TIR y es positiva, puede interpretarse como el tipo de interés efectivo periodal constante que bajo el régimen de capitalización compuesta iguala el valor financiero de los capitales de la prestación con el valor financiero de los capitales de la contraprestación, es decir, como la remuneración o coste que supone para las partes llevar a cabo la operación financiera. Para su cálculo, podemos emplear: Métodos directos, que permiten obtener i a través del cálculo de la tasa de retorno resultante como:

• Método de Newton, • Una calculadora financiera, • Una hoja de cálculo, Métodos aproximados, como:

• La interpolación lineal, y • La aproximación de Schneider. 6.7.1.

Determinación de i. Método de Newton

En general, no existe una fórmula que permita calcular las raíces de la ecuación que se plantea para la obtención de la TIR de las operaciones financieras. El método de Newton [12], constituye un método numérico para obtener

6.7 Rentas variables en general con rédito periodal constante

95

dichas raíces cuando los capitales de la prestación preceden a los de la contraprestación. En este caso, por las propiedades de g(i), resulta particularmente simple y eficiente la aplicación de éste método de la tangente. Consiste básicamente en lo siguiente: Fijado un valor inicial para la variable incógnita i0 , se calcula a partir de el un nuevo valor i1 , utilizando un algoritmo i1 = F (i0 ) que garantice que la distancia de i1 a la solución de la ecuación g(i) = 0 (solución que denotaremos como i ) sea menor que la distancia de i 0 a la misma. Este algoritmo se repetirá hasta que se alcance un nivel de error lo suficientemente pequeño. ∗

g(i) g(i)

i0

i1

i2

i∗

i

g(i2 ) g(i1 )

g(i0 )

Figura 6.2: Método de Newton. Determinación de i Se escoge un valor inicial i0 lo suficientemente pequeño, de tal forma que i0 < i , siendo i la TIR. Dado que g(i) es una función creciente y cóncava, la tangente a la curva g(i) en i0 atravesará el eje de abcisas en un punto i1 interior al intervalo [i0 , i ]; por tanto, el valor de i1 proporcionará una ∗

∗

∗


96

aproximación por defecto a la solución i . Si se procede de nuevo a trazar una nueva recta tangente a la curva en el punto (i1 , g(i1 )), ésta intersectará al eje de abcisas en un punto interior al intervalo [i1 , i ]. Repitiendo el proceso, y como consecuencia de las propiedades de la función g(i), tras n pasos se verificará la siguiente desigualdad: ∗

′

in < in+1 < i∗

n = 1, 2, 3,

···

Es inmediato observar que, g′ (in ) =

−g(i ) i +1 − i n

n

n

por lo que, in+1 = i n

− gg(i) (i ) ′

n

′

(6.42)

expresión que constituye el algoritmo de Newton para resolver la ecuación que proporciona la TIR de una operación financiera como la descrita. Repitiendo de forma indefinida este algoritmo se obtiene una sucesión creciente i0 , i1 , i2 , ··· que se irá aproximando por defecto a i . El proceso, se detendrá cuando la mejora obtenida se considere despreciable, esto es, cuando in+1 − in < ǫ siendo ǫ un número positivo fijado de antemano. ∗

Ejemplo 6.5 En una operación financiera en la que se imponen 5 000 e y al cabo de 4 años el montante es de 6 324,30 e, determinar el tipo de interés i de la misma. Utilizando la expresión (4.3) de la página 44: C 0 = C n (1 + i)−n 5 000 = 6 324, 30 (1 + i)−4

g(i) = 5 000

Si i = 0

− 6 324, 30 = −1 324, 30 g (i) = 6 324, 30 · 5(1 + i) 5 g (i0 ) = g (0) = 31 621, 50 − 6 324, 30 = 25 297, 20 5 000 ′

′

−

′

Si i = 1 i1 = i 0

324, 30 − gg(i(i00)) = 0 − −251 297, = 0, 0523497 20 ′

− i0 = 0, 0523497 > ǫ, y repetimos el proceso. g(i1 ) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0523497) 4 = −156, 69 g (i1 ) = 6 324, 30 · 4(1 + i) 5

Si ǫ = 0, 0001, i 1

−

′

4

−

− 6 324, 30 (1 + i)

−

g ′ (i1 ) = g ′ (0, 053497) = 19 600, 72

=0


97

Si i = 2

69 − gg(i(i11)) = 0, 0523497 − 19−156, = 0, 0603438 600, 72 Si ǫ = 0, 0001, i2 − i1 = 0, 0603438 − 0, 0523497 = 0, 0079941, y repetimos el proceso. g(i2 ) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0603438) 4 = −2, 9441840 g (i2 ) = 6 324, 30 · 4(1 + i) 5 i2 = i 1

′

−

′

−

g ′ (i2 ) = g ′ (0, 0603438) = 18 872, 91 Si i = 3

− gg(i(i22)) = 0, 0603438 − −182, 9441840 = 0, 0604998 872, 91 Si ǫ = 0, 0001, i3 − i2 = 0, 0604998 − 0, 0603438 = 0, 0001560 > ǫ, repetimos el i3 = i 2

′

proceso.

g(i3 ) = 5 000

4

−

− 6 324, 30 (1 + 0, 0604998) g (i3 ) = 6 324, 30 · 4(1 + i) ′

=

−0, 0010920

5

−

g ′ (i3 ) = g ′ (0, 0604998) = 18 859, 03 Si i = 4

− gg(i(i33)) = 0, 0604998 − −180, 0010920 = 0, 0604999 859, 03 Si ǫ = 0, 0001, i4 − i3 = 0, 0604999 − 0, 0604998 = 0, 0000001, y como i4 − i3 < ǫ, terminamos el proceso de iteración. La raíz de la ecuación g(i) = 0, es i = 0, 0604999 ≈ 6, 05 % con un error de aproximación de 0,0001. i4 = i 3

′

∗

6.7.2.

Hoja de cálculo

Empleando una hoja de cálculo como Excel contamos con dos funciones para la obtención de la tasa de interés o valor de i. La función TASA, devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. Así mismo, resuelve cualquiera de las cinco variables de la ecuación general de las rentas constantes, inmediatas y temporales (6.12). TASA se calcula por iteración y puede tener cero o más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001 después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM! La sintaxis en Excel, sería: TASA(nper;pago;va;[vf];[tipo];[estimar])


98

Puede verse la función VA en la ayuda de Excel para obtener una descripción completa de los argumentos nper; pago; va; vf y tipo. No obstante, las variables, se pueden describir del siguiente modo y con la correspondencia a las que venimos empleando. nper pago

n C

va

V 0

vf

V n

tipo

es el número total de períodos de pago en una anualidad. es el pago efectuado en cada período, que no puede variar durante la vida de la anualidad. Generalmente el argumento pago incluye el capital y el interés, pero no incluye ningún otro arancel o impuesto. Si se omite el argumento pago, deberá incluirse el argumento vf. es el valor actual, es decir, el valor que tiene actualmente una serie de pagos futuros. es el valor futuro o un saldo en efectivo que desea lograr después de efectuar el último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo, el valor futuro de un préstamo es 0). es el número 0 ó 1 e indica el vencimiento de los pagos, esto es, la consideración de pospagable o prepagable.

La sintaxis de las funciones es: NPER(tasa;pago;va;[vf];[tipo]) PAGO(tasa;nper;va;vf;[tipo]) VA(tasa;nper;pago;[vf];[tipo]) VF(tasa;nper;pago;[va];[tipo])

que permiten obtener las otras variables vistas.

La función TIR devuelve la tasa interna de retorno de los flujos de caja representados por los números del argumento valores. Estos flujos de caja o términos no tienen por que ser constantes, como es el caso en una anualidad como hemos visto en TASA. Sin embargo, los flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares, como años o meses. La tasa interna de retorno equivale al tipo o tasa de interés i obtenida por un proyecto de inversión que se produce en períodos regulares. La sintaxis en Excel, sería: TIR(valores; [estimar])

Con los siguientes argumentos: Son valores obligatorios una matriz o una referencia a celdas que contienen los números o términos para los cuales desea calcular la tasa interna de retorno. El argumento valores debe contener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de retorno. La TIR interpreta el orden de los flujos de caja siguiendo el orden del argumento valores. Asegúrese de escribir los importes de


99

los pagos e ingresos en el orden correcto. Si un argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, esos se pasan por alto. El valor estimar es opcional. Se puede utilizar un número que el usuario estima que se aproximará al resultado de TIR. Excel utiliza una técnica iterativa para el cálculo de TIR . Comenzando con el argumento estimar, TIR reitera el cálculo hasta que el resultado obtenido tenga una exactitud de 0,00001 %. Si la TIR no llega a un resultado después de 20 intentos, devuelve el valor de error #¡NUM!. En la mayoría de los casos no necesita proporcionar el argumento estimar para el cálculo de la TIR. Si se omite el argumento estimar, se supondrá que es 0,1 (10 %). Si la TIR devuelve el valor de error #¡NUM!, o si el valor no se aproxima a su estimación, realice un nuevo intento con un valor diferente. La TIR está íntimamente relacionada a la VNA , la función valor neto actual. La tasa de retorno calculada por TIR es la tasa de interés correspondiente a un valor neto actual 0 (cero). VNA(TIR(...);...) = 0.

La función VNA (VAN) calcula el valor neto presente de una inversión a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores positivos) según la convención de flujos (véase B.1 en la página 192). La sintaxis en Excel: VNA(tasa;valor1;[valor2];...)

que tiene los siguientes argumentos: tasa que es obligatorio. La tasa de descuento a lo largo de un periodo. valor1; valor2; ... valor1 es obligatorio, los valores siguientes son opcionales. valor1; valor2; ... deben tener la misma duración y ocurrir al final de cada periodo. VNA utiliza el orden de valor1; valor2; ... para interpretar el orden de

los flujos de caja. Deben escribirse los valores de los pagos y de los ingresos en el orden adecuado. Los argumentos que sean celdas vacías, valores lógicos o representaciones textuales de números, valores de error o texto que no se pueden traducir a números, no se consideran. Si un argumento es una matriz o una referencia, sólo se considerarán los números de esa matriz o referencia. Se pasan por alto el resto de celdas. La inversión VNA comienza un periodo antes de la fecha del flujo de caja de valor1 y termina con el último flujo de caja de la lista. El cálculo VNA se basa en flujos de caja futuros. Si el primer flujo se produce al principio del primer periodo, el primer valor se debe agregar al resultado VNA , que no se incluye en los argumentos valores. Si n es el número de flujos de caja de la lista de valores, la expresión de VNA es: n

V N A = s=1

C s (1 + i)s


100

VNA es similar a la función VA (V 0 valor actual). La principal diferencia entre VA y VNA es que VA permite que los flujos de caja comiencen al final o al principio del periodo. A diferencia de los valores variables de flujos de caja en VNA, los flujos de caja en VA deben permanecer constantes durante la inversión. VNA también está relacionado con la función TIR (tasa interna de retorno). TIR es la tasa para la cual VNA se iguala a cero: VNA(TIR(...); ...) = 0.

6.7.3.

Simplificación de Schneider

En este caso, Erich Schneider [16] propone la sustitución de la ley financiera de descuento compuesto por el descuento simple. V 0 = C (1

− i) + C (1 − 2 i) + ··· + C (1 − n i)

de donde,

n

i =

−V 0 +

C k k =1

(6.43)

n

·

k C k k =1

La fórmula (6.43) sólo nos proporciona un valor aproximado de i (la tasa de retorno). Esta aproximación será tanto mayor cuanto menor sea el valor de i, ya que así, menor será el valor de los términos que se desprecian. Ejemplo 6.6 Se obtiene un préstamo por 1 000 000 e. Los gastos de formalización, ascienden a 30 000 e (el 3 %). El préstamo, se valora al 5 % de interés efectivo pagadero por anualidades vencidas en 4 años. V 0 = C an i 1 000 000 = C a4 0 ,05 Si el valor recibido es: 1 000 000

C =

1 000 000 a4

= 282 011, 83

0 ,05

− 30 000 = 970 000, el interés efectivo i, sería:

970 000 = 282 011, 83

a4 i

1. Por el valor actual, utilizando una calculadora financiera u hoja de cálculo: 970 000 =

282 011, 83 282 011, 83 282 011, 83 282 011, 83 + + + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4

igualando y resolviendo, i = 6,32 %. Con la calculadora financiera, i, 970000

PV 4 n 282011, 83 CHS

PMT

i obteniendo 6, 32


101

2. Interpolando,

970 000 = 3, 439572 282 011, 83

utilizando la aproximación de la interpolación lineal (véase A.4 en la página 184) y obteniendo los valores en las tablas financieras (véase C.3 en la página 202), 3, 4395 3, 3872 i 0, 07 = 3, 4651 3, 3872 0, 06 0, 07 i = (0, 672298

− −

−

· −0, 01) + 0, 07

−

i = 0, 063277

i = 6, 32 %

3. Utilizando la aproximación de Schneider (6.43) V 0 = C (1

− i) + C (1 − 2 i) + ··· + C (1 − n i)

970 000 = 282 011, 83(1 + 282 011, 83(1

− i) + 282 011, 83(1 − 2 i)+ − 3 i) + 282 011, 83(1 − 4 i)

· −

·

970 000 = (282 011, 83 4) (282 011, 83 + 282 011, 83 2+ + 282 011, 83 3 + 282 011, 83 4)i

· −970 000 + 282 011, 83 · 4 i = 2 820 118, 30

·

i = 0, 0560

i = 5, 60 %

Ejercicios propuestos Ejercicio 6.1 Determinar el valor de una finca que ha sido adquirida por 40 000 e al contado y una renta de 6 000 e pagaderos por semestres vencidos durante 10 años. El tipo de interés al que se valora la operación es el 6 % anual. 0 V : n 5 8 , 4 6 2 9 2 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.2 Cierta persona tiene dos opciones para pagar una deuda en 10 años: pagar al final de cada cuatrimestre 4 500 e, o bien pagar el último día de cada mes 1 200 e. Si el tanto de valoración es del 6 %, ¿Cuál es la más ventajosa para el acreedor? . 2 a L : n ó i c u l o S

a

Ejercicio 6.3 Determinar el valor de una vivienda sabiendo que la cuarta parte de su valor se paga al contado y el resto mediante una renta trimestral de 6 000 e pospagables, comenzando los pagos a los tres años de la compra. La duración es de 20 años y el tanto de valoración el 6 % de interés anual efectivo. 0 V : n 4 4 , 1 2 0 5 1 3 = ó i c u l o S


102

Ejercicio 6.4 El propietario de un local comercial cobra 3 500 e mensuales de alquiler, el valor del local es de 400 000 e. Se quiere conocer el rendimiento unitario si el cobro se hiciera: 1. Al final de cada mes, 2. Al principio de cada mes. y se valorara a un interés efectivo del 6 %. % 4 6 , 0 8 ) 2

% 6 7 , 9 7 ) 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.5 Calcular, en base al 2 % de interés efectivo semestral, el precio a que puede venderse un inmueble cuyos ingresos y gastos, son los siguientes: Alquileres: 10 000 e mensuales, Gastos generales: 8 000 e trimestrales, Impuestos: 2 000 e anuales 0 9 8 , 8 1 4 1 8 1 2 = ó i c u l o S V : n

Ejercicio 6.6 ¿Qué cantidad constante debe colocar un ahorrador al principio de cada semestre en un banco que computa intereses al rédito del 3,5 % efectivo anual si se pretende formar en cuatro años un capital de 15 000 e? C : n 4 3 7 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.7 ¿Qué cuantías constantes tendrán las rentas fraccionadas semestrales, trimestrales o mensuales equivalentes a una renta anual de 20 000 e si el tipo de interés efectivo anual es del 5 %? C 5 6 , 9 2 6 1 = ) 2 1 (

C 9 8 , 9 0 9 4 = ) 4 (

C : n 0 1 , 8 7 8 9 = ) 2 ( ó i c u l o S

Ejercicio 6.8 Si sabemos que el tipo de interés vigente en el mercado es del 5 % nominal anual, se pregunta: 1. ¿Qué diferencia hay entre percibir 12 000 e al final de cada año y percibir 1 000 e al final de cada uno de los meses de ese mismo año? 2. ¿Qué diferencia hay entre percibir 4 000 e al principio de cada año y 1 000 e al principio de cada trimestre? 0 6 4 , 3 7 = V ) 2

n 6 8 , 8 7 2 = V ) 1 : n ó i c u l o S


103

Ejercicio 6.9 Hallar el valor de una renta inmediata, pospagable, trimestral y perpetua de término 4 500 e utilizando una valoración anual del 6 %. 0 0 0 0 0 0 3 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.10 Calcular el importe total disponible dentro de diez años en una entidad financiera que capitaliza trimestralmente al rédito del 4 % si se imponen en estos momentos 5 000 e y al final de cada trimestre de los primeros 6 años 1 000 e trimestrales. n V : n 3 8 , 2 7 0 9 3 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.11 ¿Qué capital se formará al cabo de tres años de efectuar imposiciones quincenales de 200 e en un banco que capitaliza al 3,5 % de interés nominal anual. n 2 5 , 1 7 1 5 1 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.12 Se desea comprar un piso y se ofrecen las siguientes modalidades de pago: 1. Al contado por 400 000 e 2. Entregando 80 000 e de entrada, 62 500 e dentro de 5 meses y el resto en pagos trimestrales de 10 000 e durante 10 años debiendo efectuar el primero dentro de 9 meses. 3. Entregando 60 000 e de entrada y el resto en mensualidades de 6 500 e durante 7 años venciendo la primera dentro de un mes. Determinar cuál de las opciones es la más barata para el comprador si la operacíón se valora al 5,26 % de interés efectivo anual. . 1 a L : n ó i c u l o S

a

Ejercicio 6.13 En una línea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantes cuyos salarios ascienden a 1 000 e mensuales. La construcción de un puente en dicho paso a nivel asciende a 68 000 e y tiene que ser reemplazado cada veinte años. Además, el coste de mantenimiento anual del mismo es de 3 000 e. Estudiar si interesa a la compañía la construcción del citado puente si el tipo de interés anual es del 12 % o del 14 %. ¿Cuál será el tipo de interés que haga indiferente las dos opciones? % 1 , 2 1 = i . e t n a l i g i v l e % 4 1 l a , e t n e u p l e % 2 1 l A : n ó i c u l o S


104

Ejercicio 6.14 Una persona impone un capital determinado al 7,5 % de interés compuesto al principio de un cierto año. Tres años después se le asocia otra persona con un capital tres veces mayor. Si al cabo de diez años la ganancia producida en conjunto para ambos asciende a 607 625,80 e, ¿cuál será el capital aportado por cada socio y la ganancia que les corresponde? 8 9 , 2 2 4 5 9 3 ) b

2 8 , 2 0 8 2 1 2 ) a

C : n 1 7 , 6 9 9 9 9 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.15 ¿Qué capital debemos imponer en un banco que abona intereses del 4,5 % anual para que este sea suficiente para cubrir los gastos de un negocio durante 10 años, sabiendo que el año anterior ascendieron a 10 000 e y se prevee un aumento anual del 3 %. Se supone que la totalidad de los gastos, se abonan al final de cada año. 0 V : n 6 3 , 3 4 7 9 8 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.16 Para formar un capital de 1 000 000 e se deposita durante 8 años, y al principio de cada uno de ellos una anualidad al 5 % de interés compuesto, siendo cada año 3 700 e mayor que la del año anterior. Determinar el valor de la primera imposición. C : n 7 3 , 0 3 7 7 8 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.17 Determinar el valor actual de una renta pospagable de 15 términos sabiendo que la cuantía del primer término es de 2 500 e y los siguientes aumentan cada año en 100 e si el tipo de interés es del 5 %. 0 5 9 , 7 7 2 2 3 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.18 Hallar la razón de las anualidades de una renta perpetua pospagable que varía en progresión geométrica, siendo su primer término 5 000 e; el tipo de interés, 6 % y habiendo pagado por ellas 250 000 e 4 0 , 1 = q : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.19 Una persona impone a interés compuesto el 1 de enero la cantidad de 5 000 e, y el primero de cada año sucesivas sumas que exceden en 100 e a la precedente. El 1 de julio de cada año retira: el primer año 1 000 e, y cada año sucesivo una cantidad vez y media mayor de la anterior (1 500, 2 250, 3 375, etc.) ¿Qué capital tendrá al cabo de cinco años de la primera imposición. Si los intereses se capitalizan semestralmente, en 30 de junio y 31 de diciembre de cada año, al tipo de interés del 2 % semestral? n 0 9 , 3 3 1 5 1 = C : n ó i c u l o S


105

Ejercicio 6.20 Calcular el valor actual de los ingresos que percibirá una empresa en los próximos seis años sabiendo que la producción del primer año se valora en 1 000 000 e y que será incrementada cada año sobre el anterior en 200 000 e si para la valoración se utiliza el rédito anual constante del 5 %. 0 2 8 , 0 9 2 9 6 4 7 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.21 Valorar la corriente de ingresos que percibirá un determinado trabajador durante los próximos 8 años sabiendo que su sueldo actual es de 40 000 e anuales y que se prevé un aumento anual acumulativo del 2,5 % si se utiliza como rédito de valoración constante el 6 % anual. n 0 2 , 0 8 0 9 2 4 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.22 Calcular el valor actual de una renta pospagable de las siguientes condiciones: 1. Los términos varían en progresión geométrica de razón 0,95 siendo la cuantía del primero 100 000; 2. La duración de la renta es de 12 años; 3. El tipo de interés durante los seis primeros años es del 7 % y el 9 % para los restantes 6 años. 0 V : n 5 6 , 7 6 6 1 2 6 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.23 Una persona impone en un banco el primero de enero de cierto año la cantidad de 10 000 e y en la misma fecha de cada año de los siguientes impone una cantidad que es un 10 % mayor que la del año anterior. ¿Qué capital reunirá al cabo de 8 años de efectuar la primera imposición si la entidad capitaliza al tanto del 5 % anual? n 1 0 , 8 8 8 9 3 1 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.24 Calcular el valor actual de una renta pospagable de 10 términos anuales cuyos tres primeros son de 8 000 e, cada uno, los cuatro siguientes de 12 000 e y los restantes de 13 000 e. Si el tipo de interés aplicable es del 6 % para los cuatro primeros y del 8 % para los restantes. 0 2 7 , 0 5 4 6 7 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.25 ¿Qué cantidad se ingresará en un banco que capitaliza al 8 % anual para que éste abone, a fin de cada año y durante doce, una renta cuyo primer término es de 50 000 e aumentando cada año un veinteavo del anterior. 0 V : n 1 9 , 7 6 0 8 7 4 = ó i c u l o S


106

Ejercicio 6.26 Hallar la razón de los términos de una renta perpetua pospagable que varía en progresión geométrica siendo su primer término 60 000 e, el tipo de interés el 10 % y se ha pagado por ella 1 000 000 e. 4 0 , 1 = ó i c u l o S q : n

Ejercicio 6.27 En concepto de ingresos netos un inversor percibe las siguientes rentas: Período 0 1 2 3 4 4 5

Concepto Inversión inicial Ingresos Ingresos Ingresos Inversión Ingresos Ingresos

Importe 180 000 12 000 30 000 40 000 6 000 55 000 60 000

Determinar al 5 % el VAN y obtener la TIR. % 0 6 , 1 = R I T

5 0 , 3 8 4 9 1 A V : n ó i c u l o S − = N

Ejercicio 6.28 De un catálogo deducimos que la adquisición de una maquinaria puede hacerse abonando en el acto 100 000 e y al término de cada año una anualidad que supera la anterior en un 1/25. Determinar el precio de la misma al contado, sabiendo que son en total diez pagos a realizar y que la operación se valora al 7 % de interés compuesto anual. 0 9 2 , 7 1 8 2 8 8 = ó i c u l o S V : n

Ejercicio 6.29 Calcular los valores actual y final de una renta descrita por: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Importe 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 45 000 51 750 59 512,50 68 439,37 78 705,28


107

si el tipo de interés aplicable es del 8 % para los 5 primeros años y del 10 % para los siguientes. n 1 3 , 1 3 0 8 0 6 = V

0 1 1 , 7 4 9 6 5 2 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.30 Un industrial adquiere una máquina comprometiéndose a pagarla en diez años en la forma siguiente: Al final del primer año 150 000 e, al fin del segundo 170 000 e, al fin del tercero 190 000 e, y así sucesivamente hasta 330 000 e al final del décimo año. Si el tipo de interés aplicado en el contrato es del 4 %, ¿cuál es el valor de la máquina al contado? Transcurridos 4 años ¿cuanto ha pagado? Después de 6 años ¿cuanto le falta por pagar? 4 9 , 0 1 4 5 8 0 1 ) b

0 6 , 1 0 2 0 6 7 ) a

0 V : n 1 4 , 1 6 2 4 9 8 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.31 Determinar el valor actual a 1 de enero de un trabajador que gana 1 000 e mensuales más dos pagas en 30 de junio y 31 de diciembre si lo valoramos a i = 3, 5 % durante un año. 0 4 0 , 9 7 7 1 1 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 6.32 Cual es el valor dentro de dos años de una renta obtenida por un trabajador que ingresa 1 100 e mensuales en el primer año y un 6 % más en los siguientes meses del segundo año si lo valoramos a un i = 4 %. n V : n 0 7 , 6 4 2 2 1 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.33 Determinar el ahorro al final de 4 años si los ingresos mensuales son de 1 890 e, los gastos trimestrales ascienden a 890 e el primero y 100 e más cada uno de los siguientes. Además paga 500 e prepagables cada uno de los meses en los 4 años si se valora la operación a un i = 0, 5 % mensual, n V : n 4 1 , 6 5 8 8 2 = ó i c u l o S

Ejercicio 6.34 Con imposiciones mensuales en un incremento del 4 % se quieren obtener 20 000 e dentro de 6 años. Determinar el importe de la última cuota si i = 2, 5 %. 2 7 C : n 9 4 , 3 8 7 = ó i c u l o S

Unidad 7

Préstamos 7.1. Conceptos básicos. Clasificación 7.1.1. Elementos de un préstamo 7.1.2. El tipo de interés. Componentes 7.1.3. Clasificación 7.2. Préstamos amortizables con reembolso único 7.2.1. Reembolso único 7.2.2. Reembolso único con fondo de amortización 7.2.3. Reembolso único y pago periódico de intereses. Préstamo americano 7.3. Préstamo francés 7.3.1. Anualidad 7.3.2. Capital pendiente 7.3.3. Cuotas de amortización 7.3.4. Capital amortizado, cuotas de interés 7.3.5. El cuadro de amortización 7.4. Tanto efectivo para el prestatario 7.5. Amortización con términos variables en progresión geométrica 7.6. Amortización con términos variables en progresión aritmética 7.7. Amortización de cuota de capital constante. Método italiano 7.8. Préstamo alemán o «anticipativenzisen » 7.9. Amortización con intereses fraccionados 7.10. Carencia e interés variable 7.10.1. Carencia 7.10.2. Tipo de interés variable

110

Préstamos

7.11. Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad 7.11.1. Caso particular. La fórmula de Achard 7.11.2. Aplicación a los métodos de amortización más utilizados Ejercicios propuestos

7.1 Conceptos básicos. Clasificación

7.1.

111

Conceptos básicos. Clasificación

Recibe este nombre toda operación financiera formada por una prestación única C 0 y contraprestación múltiple a1, a2 , ··· , an . La finalidad de la contraprestación es reembolsar el capital inicial C 0 . Un préstamo, es la operación financiera que consiste en la entrega, por parte de una persona (prestamista ), de una cantidad de dinero, C 0 , a otra ( prestatario ), quien se compromete a devolver dicha cantidad y satisfacer los intereses correspondientes en los plazos y forma acordados. Se denomina amortización de un préstamo a la devolución o reembolso, por parte del prestatario, del importe del préstamo, C 0 , junto con el pago de los intereses que va generando, en los plazos convenidos. Esto justifica el nombre de operación de amortización y el de términos amortizativos que suele asignarse a estos capitales de la contraprestación. La operación de préstamo, así conformada, cumple el postulado de equivalencia financiera entre la cantidad entregada por el prestamista y la contraprestación múltiple del prestatario, en cualquier instante de tiempo; es decir, el valor actual del capital prestado debe ser igual al valor actual del capital que se reembolse (amortice). En el caso de que la contraprestación esté integrada por varios capitales financieros, la suma de los valores actuales de éstos tendrá que ser igual al valor actual del capital recibido en préstamo. Es usual efectuar la operación con una ley de capitalización (generalmente la capitalización compuesta), y con períodos uniformes (años, trimestres, meses,. . . ) siendo los más frecuentes los mensuales.

7.1.1.

Elementos de un préstamo

Los problemas principales que plantea la amortización de un préstamo son: determinar la anualidad o término amortizativo, cálculo del capital pendiente de amortizar al principio de cada término y de la parte de deuda que se devuelve al final de cada término. En resumen, los elementos que intervienen en las operaciones de préstamo, son los siguientes:

112

a1 , a2 ,

···

Préstamos

= Capital o importe del préstamo, = Términos amortizativos. Se denominan anualidades , mensualidades , etc. y normalmente se forman de una cantidad destinada a la amortización As y otra al pago de intereses I s . as = As + I s n = Tiempo o vida de duración de la operación del préstamo, n0 es el origen de la operación, i = Tipo de interés. Puede ser constante o variable, As = Cuotas de amortización o de capital de cada uno de los períodos, I s = Cuotas de interés de cada período, M s = Cantidades de capital amortizado al final de cada pe-

C 0 , an

s

ríodo. Total amortizado. M s =

As s=1

C s 7.1.2.

= Capital pendiente de amortizar. C s = C 0 − M s

El tipo de interés. Componentes

El tipo de interés se suele determinar como un porcentaje de la cantidad prestada. En cualquier caso, puede resultar confuso hablar del tipo de interés como algo único, ya que en un momento dado hay diferentes tipos, que normalmente difieren por las razones siguientes: El riesgo de la operación . Cuando se concede un préstamo, siempre existe el riesgo de que éste no se recupere. Este riesgo será, sin embargo, muy distinto según las características del que lo solicita. La garantía que ofrezca el solicitante del préstamo . Los préstamos suelen demandar algún tipo de garantía; por ejemplo, en el caso del préstamo hipotecario, el prestamista tiene como garantía la propiedad del solicitante. El periodo para el que se concede el préstamo . Dependiendo del periodo por el que se concede el préstamo, variará el tipo de interés. Si es a largo plazo, conllevará un tipo más alto que si es a corto plazo. El tipo de interés de un préstamo, tiene tres componentes: 1. El tipo puro, que es la remuneración que se exigirá por renunciar al consumo en el caso de que no hubiese inflación y que el préstamo careciera de riesgo.

7.2 Préstamos amortizables con reembolso único

113

2. Una prima de riesgo, que se añade al tipo puro para compensar el riesgo que conlleva el préstamo. 3. Una prima de inflación con la que el prestamista trata de asegurarse que la rentabilidad que obtiene en términos de capacidad adquisitiva, es decir, en términos reales, cubre el riesgo puro y la prima de riesgo. 7.1.3.

Clasificación

La variedad de préstamos existentes puede agruparse, atendiendo a diferentes criterios. En este contexto y de acuerdo con los objetivos, se sigue el criterio de «amortización». 1. Préstamos amortizables con reembolso único a )

Reembolso único, b ) Reembolso único y pago periódico de intereses, c ) Reembolso único con fondo de amortización,

2. Préstamos amortizables mediante una renta a )

Amortización con fondos de amortización, b ) Amortización por constitución del montante, c ) Amortización con anualidades constantes: préstamo francés , d ) Amortización con anualidades variables: en progresión aritmética, en progresión geométrica,. . . e ) Método de cuota constante, f ) Método alemán.

7.2. 7.2.1.

Préstamos amortizables con reembolso único Reembolso único

Este préstamo, conocido también como préstamo elemental o simple, se caracteriza porque el préstamo recibido junto con sus intereses se reembolsa de una sola vez. Siendo C el capital prestado, i el tanto unitario de interés y n el plazo señalado para el reembolso, al final del plazo estipulado, el prestatario deberá reembolsar al prestamista el montante final del capital C al tanto i.

114

Préstamos

Al no entregarse ninguna cantidad hasta la finalización de la vida del préstamo, el valor de las variables, sería: a1 = a 2 = a 3 =

··· = a

n−1 =

0

an = C 0 (1 + i)n

(7.1)

que recuerda a una operación financiera con una sola prestación y contraprestación tal como se vió en (4.1) en la página 42. Gráficamente, C 0

1

n

2

−1 C n

Ejemplo 7.1 Determinar el montante a devolver dentro de 8 años por un préstamo de 50 000 e pactando la operación al 6 %. C n = 50 000(1 + 0, 06)8 = 79 692, 40

an = C n = C 0 (1 + i)n

Un problema que puede surgir en este tipo de préstamos es cuando el deudor o prestatario pretende cancelar total o parcialmente el préstamo de forma anticipada. En este caso, transcurridos s períodos desde el comienzo de la operación, es usual que el prestamista efectúe operaciones de la misma naturaleza a un tipo de interés i distinto de i (tipo de la operación en vigor). El prestamista, tiene que recibir al final C n y cualquier deseo de alterar el prestatario las condiciones iniciales de la operación sólo podrá ser aceptado por el prestamista si, como mínimo, obtiene los rendimientos esperados en su vigente contrato. ′

Por tanto, para cancelar anticipadamente el préstamo , al principio del período s , se exigirá como mínimo la cantidad V s tal que se verifique la igualdad: V s (1 + i′ )n−s = C n

7.2 Préstamos amortizables con reembolso único

115

Expresando C n en función de C s , n−s

′

V s (1 + i )

n−s

= C s (1 + i)

V s = C s

n−s

1 + i 1 + i′

(7.2)

Si solamente se pretende reembolsar parcialmente , entregando una cuantía X s < V s , el nuevo saldo o deuda pendiente será el valor C s que cumpla la ecuación: ′

X s (1 + i′ )n−s + C s′ (1 + i′ )n−s = C n = C s (1 + i)n−s

de donde, ′

C s = C s

1+i 1 + i′

n−s

− X

s

(1 + i)n C s = C 0 (1 + i′ )n−s ′

− X

s

(7.3)

Ejemplo 7.2 Determinar para el préstamo anterior el saldo o capital vivo al principio del año quinto y la cantidad a devolver al principio del quinto año si el tanto del prestamista es t = 8 %. Obtener igualmente el saldo pendiente en el supuesto de que hiciera una entrega parcial al principio del quinto año de 40 000 e. C 4 = 50 000(1 + 0, 06)4 = 63 123, 85 Utilizando (7.2), el valor, sería: V 4 = C 4

1 + 0, 06 1 + 0, 08

8−4

= 58 576, 30

Al hacer una entrega parcial, el saldo aplicando (7.3): 1 + 0, 06 C 4 = 58 576, 30 1 + 0, 08 ′

7.2.2.

8−4

− 40 000 = 14 356, 36

Reembolso único con fondo de amortización

En este tipo, no se paga ninguna cantidad periódica pero sí se constituye un fondo mediante imposiciones de F s de tal modo, que al final de la operación el importe constituido sea suficiente para saldar el capital prestado junto con sus intereses. El capital pendiente de amortizar o reserva matemática en un momento s, sería: (7.4) C s = C 0 (1 + i)s − F ss i

116

7.2.3. 7.2.3.

Préstamos

Reem Reembolso bolso único único y pago periódic periódico o de inter interese eses. s. PrésPréstamo americano

Este tipo de préstamos préstamos difiere difiere de la modalidad modalidad an anteri terior or en que el prestatario prestatario que recibe un préstamo C , está obligado a satisfacer cada año el pago de la cantidad C i, intereses de su deuda al tanto i, y reembolsar, mediante una pago único de C el el capital que recibió como préstamo al término del año n. Préstamo Préstamo americano americano

En este caso particular, el préstamo recibido se reembolsa de una sola vez, pero al final del periodo se pagan los intereses generados: a1 = a 2 = a 3 =

· · · = a

= C 0 n−1 = C

i

an = C = C 0 + C 0 i

Expresado de otra forma, recibe el nombre de amortización americana cuando son nulas las n − 1 primeras cuotas de amortización e igual a C 0 la última, o sea: A1 = A 2 = A3 =

· · · = A

n−1 =

0

An = C 0

Los intereses, en consecuencia, serán: I 1 = I = I 2 = I 3 =

· · · = I

n

= C 0 i

Ejemplo 7.3 Determin Determinar ar las variable variabless de un préstamo préstamo de 200 000 e por el sistema americano si i = 8 % y tiene una duración de 10 años.

··· ··· ···

·

I 1 = I 2 = = I 10 10 = 200 000 0, 08 = 16 000 a1 = a2 = = a 9 = C = C 0 i = 200 000 0, 08 = 16 000 a10 = C 0 + C + C 0 i = 200 000 + 16 16 000 = 216 000 A1 = A2 = = A9 = 0 A10 = C 0 = 200 000

·

Préstamo americano con fondo de amortización «sinking fund »

Consiste en suponer que una parte de as se destina al pago de los intereses del capital inicial C 0 y el resto, F s llamado fondo de amortización se aplica para la constitución del capital tal como hemos visto en (7.4).

7.3 Préstamo francés

117

El capital pendiente de amortizar en un instante s cualquiera, a través del método retrospectiv retrospectivo, o, vendrá vendrá determinad determinadoo por: C s = C 0

− F

ss

i

(7.5)

Ejemplo 7.4 Calcular el valor valor de un fondo para amortizar un préstamo americano de 1 000 000 000 000 e si i si i = = 4 % a 5 años. C 0 1 000 000 1 000 000 F = = = = 184 627, 627 , 10 5, 416323 ss i (1 + 0, 0, 04)5 1 0, 04

−

Con la calculadora calculadora financiera, financiera, F , F , 5

7.3. 7.3.

n 4 i 1000000 FV

PMT resultando 184 627, 10

Prés Pr ésta tamo mo fran francé céss

Los métodos particulares de amortización surgen al establecer la hipótesis sobre los términos amortizativos, las cuotas de amortización, la ley financiera de valoración o respecto a cualquier otra de las variables que intervienen en la operación operación financiera. financiera. El préstamo francés o de términos amortizativos constantes, se caracteriza porque: Los términos amortizativos permanecen constantes, y El tanto de valoración permanece constante. ambos durante toda la vida del préstamo,

· · · = a i1 = i 2 = · · · = i

a1 = a 2 =

y en consecuencia,

n

= a

n

= i

Las anualidades son todas iguales. Los intereses de de cada período, van disminuyendo para cada anualidad. Las cuotas de amortización de cada período, van incrementándose. Gráficamente, su diagrama de flujos, estaría representado tal como se muestra en la figura 7.1.

118

Préstamos

C 0

a1

an−1

a2

an

Figura Figura 7.1: Préstamo francés francés 7.3. 7.3.1. 1.

Anua Anuali lida dad d

En este caso,

· · · = a = a · · · = i = i

a1 = a 2 = i1 = i = i 2 =

n

n

La anualidad se obtiene planteando la equivalencia financiera: C 0 = a(1 a (1 + i + i))−1 + a(1 a(1 + i + i))−2 + C 0 = a an i a =

−n

· · · + a(1 a(1 + i + i))

C 0 an

(7.6)

i

Los términos amortizativos, anualidades, se descomponen en dos partes: cuota de amortización y cuota de interés. De este modo:

a = A = As + I + I s

(7.7)

La evolución del capital vivo, así como de las variables As e I s están representadas en el gráfico 7.2. De esta forma, al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo. 7.3. 7.3.2. 2.

Capi Capita tall pendi pendien ente te

El capital pendiente o reserva matemática , puede obtenerse por: Método retrospectivo :

Diferencia entre el importe del préstamo y las anualidades pagadas o vencidas: C s = C 0 (1 + i + i))s

−a

ss

i

(7.8)

7.3 Préstamo francés

119

I 1 a1

C 0 A1

I 2

a2

A2 I 3

a3

A3 I 4 a 4 A4 I 5 a5 A5 0

1

2

3

4

5

Figura 7.2: Amortización del préstamo francés Método prospe prospectivo : El capital pendiente es el valor actual de las anualidades

pendientes de pago o futuras: C s = a = a

an−s

i

(7.9)

Método recurrente : Se calcula como diferencia entre reserva matemática y la

anualidad correspondiente: C s = C s−1(1 + i + i)) 7.3. 7.3.3. 3.

−a

(7.10)

Cuot Cuotas as de amor amorti tiza zaci ción ón

Las cuotas de amortización varían varían en progresión geométrica de razón (1 + i). En s: C s = C s 1 (1 + i + i)) − a En s + 1: C s+1 = C s(1 + i + i)) − a −

C s

− C +1 = (C +1 − C )(1 + i + i)) s

As+1

s

s

As

por tanto, As+1 = A s (1 + i) As+1 = A 1 (1 + i + i))s

120

Préstamos

A través de la anualidad, a = A 1 + I 1

I 1 = C 0 i

A1 = a

− C 0 i

A través de C 0 , C 0 = A 1 (1 + (1 + i) +

··· + (1 + i)

n−1

) = A1

sn i

s

ni

Despejando A1 , A1 =

7.3.4.

C 0 sn

(7.11)

i

Capital amortizado, cuotas de interés

El capital amortizado viene determinado por la suma de las cuotas de amortización practicadas hasta ese momento: s

M s = A 1 + A2 + M s = A 1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 +

··· + A

s

=

Ah h=1 s−1

··· + A1(1 + i)

M s = C 0

ss

= A 1

i

ss

i

= C 0

ss

i

sn

i

(7.12)

sn i

Del mismo modo, también puede obtenerse el capital amortizado como, M s = C 0

− C

s

La cuota de interés se obtiene como diferencia: I s+1 = a

− A +1 s

o por el producto: I s+1 = C s i 7.3.5.

(7.13)

El cuadro de amortización

Resulta útil recoger en un cuadro el proceso de amortización de un capital, reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales magnitudes en los diversos vencimientos de la operación.

7.5 Amortización con términos variables en progresión geométrica123

del préstamo. Si suponemos que el pago de estos términos se realiza a través de una institución financiera que cobra una cantidad g , en concepto de comisión por la gestión de pago realizada surgen así unos gastos adicionales que tienen el carácter de periódicos. Analizando globalmente la operación financiera, el prestatario recibe C 0 = C − G0 , que devuelve mediante la contraprestación de los términos a que tienen un costo superior al añadir los gastos a (1 + g). De este modo, la equivalencia financiera será en general: n

C 0

− G0 =

a (1 + i)−n i=1

y para términos constantes, C 0

− G0 = a (1 + g)

an i

(7.14)

expresión que permite encontrar el tipo de interés efectivo para el prestatario y que indica el coste financiero real de la operación. Para su cálculo, podemos emplear cualquiera de los métodos vistos en (6.7) en la página 93.

7.5.

Amortización con términos variables en progresión geométrica

Se trata de amortizar un capital de cuantía C 0 mediante n términos amortizativos que varían en progresión geométrica y, en consecuencia, se dará la relación: as = a s−1 q = a 1 q s−1

siendo q la razón de la progresión, que necesariamente debe ser positiva para satisfacer la exigencia de que sea todo as > 0. Deberá verificarse, n s−1

C 0 =

a q

−s

1

(1 + i)

= V 0 (a, q )n i = a

a = C 0

1 + i q > 0 1 q n (1 + i)−n

s=1

y por tanto,

−

−

n

− q (1 + i) 1 + i − q

−n

(7.15)

124

Préstamos

La reserva o saldo al principio del año s + 1, C s = V 0 (as+1 , q )n−s i = a s+1

1

− (1 + i)

(n−s)

−

1 + i

o bien,

q n−s

− q

(7.16)

−a

C s = C s−1 (1 + i)

s

El resto de magnitudes, las obtenemos de la misma forma que en el método francés.

7.6.

Amortización con términos variables en progresión aritmética

Este sistema plantea la amortización de un capital C 0 mediante términos amortizativos a variables en progresión aritmética de razón d y rédito periodal constante, pudiendo ser la razón d positiva o negativa, si bien en este segundo caso, para evitar términos negativos, deberá verificarse: a + (n

− 1)d = a

n

> 0

La equivalencia en el origen, debe cumplir: n

C 0 =

−s

−

a+(s 1)d (1+ i) s=1

= V 0 (a, d)n i

d = a+ i

an i

−

d n (1 + i)−n i

(7.17)

y, el valor del primer término a =

C 0 i + d n i an i

− di − d n

(7.18)

obteniéndose los restantes valores por la relación as = as 1 + d. Si el valor de d resulta desconocido, podría obtenerse a partir de: −

d =

−

C 0 a an i 1+i n n an i i i

−

y la reserva o saldo, d + d (n s) an−s i i d (n s) dn = C 0 + i i

−

C s = V 0 (as+1 , d)n−s i = as+1 + = a+

d + d n i

an−s

i

−

−

− d (ni− s) an−s i an

i

− d (ni− s)

y el capital amortizado y las cuotas de interés las obtendremos como: M s = C 0

− C

s

;

I s = a s

−A

s

= C s−1 i

(7.19)

7.7 Amortización de cuota de capital constante. Método italiano 125

7.7.

Amortización de cuota de capital constante. Método italiano

Este caso particular, justificado fundamentalmente por su sencillez, nace al exigir que: A1 = A 2 =

··· = A

n = A

y por tanto, n

C 0 =

Ah = n A h=1

resultando, A =

C 0 n

(7.20)

En consecuencia, el capital vivo disminuye en progresión aritmética de razón C 0 . A = n

n

C s =

Ar = (n r=s+1

− s) A = C 1 − A s−

y el capital amortizado, crece según la misma progresión: s

M s =

Ar = s A = M s−1 + A r=1

Los términos amortizativos, son de la forma: as = I s + A = C s−1 is + A

(7.21)

Ejemplo 7.6 Determinar la anualidad y cuota de amortización primera de un capital de 480 000 e que se amortiza en 6 años por el método de cuotas anuales constantes a un tipo de interés del 9 %.

A =

C 0 480 000 = = 80 000 6 n

Sabiendo que, I s+1 = C s i, I 1 = C 0 i

·

I 1 = 480 000 0, 09 = 43 200

y por tanto, a1 = A 1 + I 1

a1 = 80 000 + 43 200 = 123 200

126

7.8.

Préstamos

Préstamo alemán o «anticipativenzisen »

Se designa con este nombre a la operación de amortización con intereses prepagables, mediante términos amortizativos constantes a1 = a2 = · ·· = an = a , siendo el rédito de capitalización is constante para todos los períodos is = i . También se conoce este caso particular como método de la Europa central o centroeuropeo. ∗

∗

∗

En esta operación, el prestatario, a cambio de la prestación, paga en el momento de concertar el préstamo los intereses que devenga durante el primer período y, además, al término de cada período, un término amortizativo, que comprende la cuota de amortización del período y la cuota de intereses del período siguiente sobre el capital vivo. Si relacionamos i como interés anticipado con i , tal como vimos en (2.6) en la página 13, ∗

i i = 1 + i ∗

i =

i∗ 1

−i

∗

La ecuación de equivalencia en el origen C 0 con el capital nominal, es: ∗

n ∗

C 0 = a

(1 s=1

∗

s−1

−i )

= a

sustituyendo i en función de i, i = C 0 = a

1

1

∗

i∗

−i

n

− (1 − i )

i∗

∗

∗

1

∗

= a

∗

a

ni

∗

,

−n

− (1 + i) i

¨n i (1 + i) = a a

y por tanto, C 0∗ a = ¨n i a

(7.22)

Para calcular la anualidad, basta despejar a obteniéndose: ∗

a = C 0

1

i∗ C 0∗ C 0∗ = ∗ = ¨n i (1 i∗ )n a a ni

− −

(7.23)

∗

teniendo en cuenta que la primera anualidad coincide con los intereses, la equivalencia se presenta así: C 0∗ = C 0∗ i∗ + a

∗

a

ni

∗

7.8 Préstamo alemán o «anticipativenzisen »

127

Esta primera cuantía C 0 i en concepto de intereses prepagables constituye un pago simbólico, ya que se deduce del capital nominal en el momento de la entrega. ∗

∗

Las cuotas de intereses, I s∗+1 = C s∗ i∗ = a

∗

−A

s

(7.24)

siendo, as = A s + I s

de la que se sigue: A∗s = A ∗s+1

∗

∗

s

s

− (C − C +1) i

∗

= A ∗s+1 (1

∗

∗

∗

n−s

− i ) = A (1 − i ) n

= a (1

∗

n−s

−i )

(7.25) fórmula que relaciona una cuota de amortización con sus posteriores. Al ser An = a , el cálculo de los restantes, es automático. ∗

El capital vivo en un determinado momento s, es: n ∗

A∗r = A ∗s+1 + A∗s+2 +

∗

∗

n−

n

··· + A 1 + A = = +1 = A (1 − i ) ( +1) + A (1 − i ) ( +2) + ··· + A (1 − i ) + A = 1 − (1 − i ) 1 − (1 − i ) 1 − (1 − i ) = A = a = C 0 = i i 1 − (1 − i )

C s =

r s ∗

∗

n

n− s

∗

∗

n

n− s

n−s

∗

∗

∗

∗

n

n−s

∗

∗

n−s

∗

n

= a

∗

n

∗

∗

a

∗

n−s i

∗

∗

n

¨n−s i = a a

(7.26) y para el capital amortizado: ∗

∗

∗

− C

M s = C 0

s

∗

= C 0

1 (1 i∗ )n−s 1 (1 i∗ )n

− − 1− − −

∗

∗

= C 0

s

si

∗

∗

s

ni

∗

= C 0∗

¨ss i ¨sn i

(7.27)

Ejemplo 7.7 En un préstamo alemán, de cuantía C 0∗ = 750 000, i∗ = 0, 10 y 12 años de duración, determinar: la anualidad, cuota de amortización del cuarto año, cuota de intereses del séptimo y capital vivo al principio del cuarto año. La anualidad, a = 750 000

1

o también, utilizando el tipo i, i =

i∗ 1

−i

∗

0, 1 = 104 519, 35 (1 0, 1)12

− − =

0, 10 = 0, 111111 1 0, 10

−

128

Préstamos

750 000 = 104 519, 35 (1 0, 111111)−12 (1 + 0, 111111) 0, 111111 La cuota de amortización del cuarto año: a =

−

A∗4 = 104 519, 35 (1

− 0, 10)12

4

−

= 44 992, 15

Los intereses del séptimo año: ∗

∗

∗

I 7 = C 6 i ∗

I 7 = 104 519, 35

C 6 = a 1

∗

i∗

− (1 − 0, 10)12

6

−

0, 10 = 48 973, 48

0, 10 El capital vivo al principio del cuarto año: ∗

C 4 = 104 519, 35

n−s

− (1 − i )

1

∗

1

− (1 − 0, 10)12

4

−

0, 10

= 595 271, 97

o también ∗

C 4 = 104 519, 35

7.9.

1

− (1 + 0, 111111) 0, 111111

(12−4)

−

(1 + 0, 111111) = 595 271, 97

Amortización con intereses fraccionados

La operación de amortización consta de una prestación única C 0 y una contraprestación múltiple formada por n términos amortizativos. El fraccionamiento de intereses consiste en dividir cada uno de los intervalos de n en m subperíodos, sustituyendo en este caso la correspondiente cuota de intereses I s con vencimiento en s por las m cuotas de interés con vencimiento al final de cada uno de los respectivos subperíodos de m, siendo i(m) el rédito correspondiente al subperíodo. En consecuencia, cada término as, queda sustituido por el conjunto de m términos as m . Se trata en realidad de la amortización de C 0 mediante n m términos amortizativos, de tal forma que es nula la cuota de amortización de todos los términos que ocupan un lugar no múltiplo de m. Para la obtención del cuadro de amortización con fraccionamiento en el pago de los intereses, el número de filas se multiplicará por m para recoger la situación de cada una de las variables en los nuevos puntos de vencimiento.

7.10 Carencia e interés variable

129

7.10.

Carencia e interés variable

7.10.1.

Carencia

El periodo de carencia t constituye un tiempo en el que no se produce la amortización del préstamo. La carencia puede ser total, periodo en el cual no se abona ninguna cantidad y los intereses que se generan se suman al capital para amortizarse al final de la misma. En este caso, la deuda se ve incrementada por los intereses capitalizados al tipo correspondiente. C 0′ = C 0 (1 + i)t

En la carencia parcial, más habitual, se abonan solo los intereses durante el periodo de la misma. Al finalizar el periodo de carencia, el préstamo se amortiza con normalidad según el método acordado. El valor de la deuda al final de la carencia se mantiene. C 0′ = C 0 7.10.2.

Tipo de interés variable

En el mercado de préstamos, conocido también como « lending » existen operaciones a tipo fijo, si bien lo habitual es que el tipo de interés sea variable, revisable o una combinación de ambos. En estos préstamos, las entidades suelen fijar el tipo de interés sobre un índice financiero (el Euribor a 1 año, IRS, IRPH, indicador CECA, Libor, etc.) que denominamos i b al que se le suma un diferencial spread is que varía entre entidades y clientes y fijan una fecha periódica (anual o semestral) de revisión del tipo de interés. i = i b + is

En consecuencia, hablaremos de i, i , i , ··· , ik como diferentes tipos de interés aplicables a la operación financiera. ′

′′

En la operación a tipo variable, se marcan fechas de revisión (anual, semestral, etc.) en las que el tipo de interés aplicable se ajusta con el nuevo ib publicado en el mercado. Con el nuevo tipo resultante, a partir del capital pendiente C s a la fecha se rehace el cuadro de amortización, calculando la nueva cuota.

130

Préstamos

En el momento s, el nuevo término amortizativo a , sería: ′

n

1

−

C s = a s+1 (1+i)

2

−

+as+2(1+i)

+

+s

−n

··· +a (1+i) n

=

ah (1+i)−h+s h=s+1

n

a′h (1 + i)−h+s

C s =

(7.28)

h=s+1

Elegir entre un préstamo a tipo fijo o variable depende del perfil del tomador y de su capacidad para negociar, aunque en determinados casos las condiciones vienen impuestas y no son negociables. Una segunda opción podría ser mantener el término amortizativo constante, pero aumentar o disminuir el número de períodos. En este caso, obtendríamos el número de períodos de la expresión anterior.

7.11.

Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad

En una operación de amortización de prestación y contraprestación en base a una ley financiera, puede establecerse en un momento s la conveniencia o no de una rescisión anticipada de la operación o transferencia a terceras personas de los derechos u obligaciones futuras. En base a esto, definimos el valor financiero del préstamo en un determinado punto s como el valor actualizado de los términos futuros calculado con una ley financiera externa. El valor financiero en s de cada uno de estos derechos parciales, en base a la nueva ley de valoración recibe el nombre de valor financiero del usufructo y valor financiero de la nuda propiedad . El valor financiero del usufructo, U s, es el valor actual de los intereses pendientes I r al nuevo tipo de interés de mercado ih , ′

U

s

I r−1 I r−2 = + + (1 + i′h ) (1 + i′h )2

···

n I r I r + = (1 + i′h )n−r r=s+1 (1 + i′h )r−s

n

U =

r

C r−1 ir

s

r=s+1

(1 + i′h )−1 n=s+1

7.11 Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad

131

El valor financiero de la nuda propiedad, N s , es el resultado de actualizar al tanto de mercado ih todas las cuotas de amortizaciíon Ar pendientes, ′

N

s

Ar−1 Ar−2 = + + (1 + i′h ) (1 + i′h )2

···

n Ar Ar + = (1 + i′h )n−r r=s+1 (1 + i′h )r−s

n

N =

r

(1 + i′h )−1

Ar

s

r =s+1

n=s+1

siendo el valor financiero del préstamo o pleno dominio, la suma de los valores financieros del usufructo y de la nuda propiedad, esto es: ar = I r + Ar ,

V = U + N s

s

s

que representa la cantidad que el deudor tendrá que pagar para cancelar la deuda o, desde el punto de vista del prestamista, lo que debería recibir por transferir los derechos futuros que el préstamo supone en las condiciones actuales del mercado. 7.11.1.

Caso particular. La fórmula de Achard

Si los réditos periodales de la operación son constantes e iguales respectivamente a i e i , las expresiones del capital vivo, valor del préstamo, usufructo y nuda propiedad en s, serían: ′

La cuantía del capital vivo, n

ar (1 + i)−(r−s)

C s = r=s+1

el valor financiero del préstamo, n

V =

ar (1 + i′ )−(r−s)

s

r=s+1

el valor financiero del usufructo, n

U =

C r−1 i(1 + i′ )−(r−s)

s

r =s+1

y el valor financiero de la nuda propiedad, n

N =

Ar (1 + i′ )−(r−s)

s

r=s+1

132

Préstamos

En estas condiciones, el valor de V s y N s verifican la siguiente relación:

U = ii s

C s

′

− N

s

(7.29)

denominada fórmula de Achard . La fórmula de Achard permite plantear un sistema de dos ecuaciones lineales que relacionan los cuatro valores básicos:

V U

s

=

s

=

U + N i C − N i s

s

s

′

(7.30)

s

Al sustituir la segunda ecuación en la primera:

V = ii s

C s

′

− N + N s

s

(7.31)

conocida como fórmula de Makeham . 7.11.2.

Aplicación a los métodos de amortización más utilizados

Préstamo americano

En base a la fórmula de Achard y Makeham pueden obtenerse los valores: C s = C 0 ′

N = C 0(1 + i )

(n−s)

−

s

U = C 0 i V = C 0 i

a

s

s

n−s i

a

n−s i

′

′

=

i C 0 i′

− N

s

+ C 0 (1 + i′ )−(n−s)

Préstamo francés

En este caso, C s = a

V = a s

an−s a

i

n−s i

′

y a través del sistema (7.29) se determinarán U s y N s

7.11 Valor financiero del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad

U = si despejamos N , s

i

V − C i−i s

s

=

′

ia

− i−i

a

n−s i

′

an−s

133

i

′

s

N

s

i C s = i

− i V = a −i ′

i

s

an−s

′

′

− i i−i i

a

n−s) i

′

′

Préstamo con cuota de amortización constante

Por ser As = A =

C 0 para todo s, n C s = (n

− s) A

y

N = A

a

s

n−s i

′

Aplicando la fórmula de Achard, se obtiene U s

U = ii s

′

(n

− s) A − A

a

n−s i

′

i (n i′

= A

− s) −

a

n−s i

′

y

V = U + N s

s

s

Ejemplo 7.8 Se concede un préstamo de 100 000 e para ser amortizado en 10 años al 5 %. Si al inicio del quinto año el tipo de interés del mercado es del 7 %, determinar el valor del préstamo, del usufructo y de la nuda propiedad en los supuestos de que se haya aplicado el método de amortización americano, francés o de cuota de amortización constante. Método americano, C 4 = C 0 = 100 000

U 4 = 100 000 · 0, 05 · 10 4 0 07 U 4 = 100 000 · 0, 05 · 4, 766540 = 23 832, 70 N 4 = C 0 (1 + 0, 07) (10 4) = 66 634, 22 V 4 = U 4 + N 4 = 23 832, 70 + 66 634, 22 = 90 466, 92 a

−

−

,

−

Método francés, 100 000 = a

a10

0 ,05

C 4 = 12 950, 46

a10−4

a = 12 950, 46 0 ,05 =

65 732, 55

134

Préstamos

V 4 = 12 950, 46 10 4 0 07 = 61 728, 88 V = U + N U = ii C − N 61 728, 88 = U 4 + N 4 U 4 = 0,0, 05 65 732, 55 − N 4 + N 4 07 61 728, 88 − 46 951, 82 = N 4 = 51 719, 71 a

s

,

−

s

s

′

s

s

s

0, 285714

61 728, 88

− 51 719, 71 = U 4 = 10 009, 17

Método de cuota de amortización constante, C 4 = (10

− 4) 10010000 = 60 000

N 4 = 10 000 10 4 0 07 = 47 665, 40 0, 05 6 · 10 000 − 10 000 10 4 0 07 = 60 000 − 47 665, 40 0, 07 V 4 = U 4 + N 4 = 8 810, 43 + 47 665, 40 = 56 475, 83 a

U 4 = 0,0, 05 07

a

−

−

,

,

= 8 810, 43

Ejercicios propuestos Ejercicio 7.1 Un préstamo de 10 000 e que se amortiza mediante reembolso único a los 8 años a un interés del 6 %, es reembolsado en parte por entrega del prestatario a los 4 años por 5 000 e. Determinar el saldo acreedor al vencimiento del mismo en los siguientes casos: 1. El acreedor acepta el mismo tipo de evaluación, 2. El tipo de interés del mercado, se modifica al 5 % 6 9 , 7 6 2 9 ) 2

0 1 , 6 2 6 9 ) 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.2 Un préstamo de 20 000 e amortizable mediante reembolso único a los 10 años, con pago de intereses anual al 12 %, quiere cancelarse a los 5 años después de pagados los intereses. Se pide la cantidad que cancela el préstamo si el tipo vigente en el mercado en dicho momento es del 10 %. 5 5 7 , 9 6 5 8 3 = C : n ó i c u l o S


135

Ejercicio 7.3 Se obtiene un préstamo de 10 000 e amortizable mediante reembolso único a los 10 años, con pago anual de intereses al 10 %. Si a los 4 años, después de pagar los intereses, el prestatario hace una entrega parcial de 2 500 e. Determinar el saldo en dicho momento, si el tanto de interés vigente en el mercado es del 8 %. 4 8 8 , 2 7 3 8 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.4 ¿A qué tipo de interés se ha de prestar un capital C 0 para que en n años el valor de la contraprestación sea k veces el del préstamo? Aplicar el resultado para k = 3 y n = 12. 3 7 8 5 9 0 , 0 = i

1 − k = ó i c u l o S i : n n

1

Ejercicio 7.5 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 5 000 e pagadero en cinco plazos semestrales, siendo el tipo nominal de la operación del 10 % y las cuotas de amortización semestral constantes. Ejercicio 7.6 Formar el cuadro de amortización de un préstamo de 10 000 e amortizable en 8 años, con abono de intereses al 10 % y amortizable mediante cuotas de amortización constantes. Ejercicio 7.7 Se desea amortizar en 20 años un préstamo de 150 000 e mediante anualidades constantes, valorado al 5 % anual, se pide determinar: 1. La anualidad, 2. El capital amortizado después del pago de la octava anualidad, 3. Cuota de interés del año 10, 4. Cuota de amortización del año 14, 5. Deuda pendiente al comienzo del año 16. 6 1 C ) 6 2 , 1 1 1 2 5 = 5 8 6 4 , 8 1 3 3 4 = 2 M )

4 1 0 1 A ) I ) 4 0 , 4 5 5 8 = 4 6 9 , 8 9 9 4 = 3 9 3 , 6 3 0 2 1 = 1 : n ó i c u l o S a )

Ejercicio 7.8 El banco concede un préstamo de 10 000 e al 5 %. Su amortización se hará mediante la entrega de 10 pagos anuales iguales, teniendo lugar el primero a los tres años de efectuado el préstamo. Determínese: 1. La anualidad, 2. Si el prestatario después de satisfecha la cuarta anualidad, pretende sustituir el resto del reembolso mediante una entrega única satisfecha dos años después, cuál sería la cuantía de esta entrega.

136

s C ) 2 3 , 9 8 3 8 = 2

Préstamos

a ) 8 1 , 9 9 4 1 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.9 Formar el cuadro de amortización por el método francés de un préstamo de 35 000 e concertado al 6,5 % a amortizar en siete años. Ejercicio 7.10 Se concede un préstamo de 50 000 e para amortizarse por el método americano en cinco años al tipo de interés del 6,5 % anual. El deudor concierta por otra parte un fondo de reconstitución, por la misma duración, a un tipo de interes del 5 % anual, comprometiéndose a depositar al final de cada año la cantidad constante necesaria para formar el principal percibido en préstamo. Estudiar la evolución de las dos operaciones y de la resultante (amortización con fondo o «sinking-fund »). 6 5 , 7 9 3 2 1 = F : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.11 Una sociedad obtiene un préstamo de 20 000 e, que deberá amortizar mediante 6 anualidades vencidas, siendo el tipo de interés del 5 % para los primeros tres años y del 6 % para los restantes. Se pide confeccionar el cuadro de amortización. Ejercicio 7.12 Se obtiene un préstamo de 40 000 e, al 6 %, se pide determinar el cuadro de amortización del mismo en los siguientes casos: 1. Operación contratada a 6 años, amortizable mediante anualidades constantes, 2. Operación contratada a 6 años, amortizable mediante cuotas constantes. Ejercicio 7.13 Se recibe un préstamo hipotecario de 120 000 e que se tiene que devolver en 30 años mediante anualidades constantes, al tipo efectivo anual del 6 % y con una comisión de apertura del 1 %. Obtener: 1. Anualidad, 2. Cuotas de amortización del año 3 y 20, 3. Capital amortizado al final del año 12, 4. Cuotas de interés correspondientes al quinto y último año, 5. Capital pendiente al término del séptimo año, 6. Confecciona el cuadro de amortización correspondiente a los períodos 14 a 18, 7. Tanto efectivo para el prestatario.


137

7 i ) C ) % 9 0 , 6 = 7 5 2 , 9 5 2 7 0 1 = 5 0 3 5 2 1 6 4 , 3 9 4 = 9 5 , 1 0 8 6 = 7 3 , 6 0 6 5 2 = I I ) M 4 ) 3 0 2 3 6 4 , 2 9 5 4 = 8 4 , 5 0 7 1 = 7 8 , 7 1 7 8 = A A ) a ) 2 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.14 Se concierta un préstamo a 20 años de 160 000 e con pagos mensuales iguales a un interés del 5 % nominal anual y un 1,25 % de gastos iniciales correspondientes a la apertura. Obtener: 1. Mensualidad, 2. Capital amortizado en los dos primeros años, 3. Cuota de interés correspondiente a la 8. mensualidad, a

4. Capital pendiente una vez pagadas las mensualidades de los 10 primeros años, 5. Mensualidad del mes 14 en el supuesto de que el tipo de interés se haya modificado al 5,25 %, 6. Tanto efectivo para el prestatario. i ) % 7 2 , 5 = 6 8 7 1 , 5 5 6 = I ) 3

0 2 1 a ) C ) 6 1 , 7 7 0 1 = 5 8 3 , 4 5 5 9 9 = 4 ′ 4 2 3 9 , 3 0 8 9 = 3 9 , 5 5 0 1 = M a ) ) 2 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.15 ¿Cuál es la deuda al inicio del quinto año de un préstamo de 100 000 e a 5 años con pagos mensuales al 4 % de interés? 8 4 4 1 , 8 2 6 1 2 = C : n ó i c u l o S

Ejercicio 7.16 Al solicitar un préstamo de 10 000 e a devolver en 3 años para la adquisición de un vehículo, recibimos la siguiente oferta: nos entregan 11 000 e a devolver 345 e mensuales. Determinar el tipo de interés nominal de la operación. j : n % 6 0 , 8 = ) 2 ó i c u l o S 1 (

Unidad 8

Financiación de la empresa 8.1. La financiación externa de la empresa 8.1.1. Las deudas empresariales a largo plazo 8.1.2. Las deudas empresariales a medio plazo 8.1.3. Las deudas empresariales a corto plazo 8.2. Arrendamiento financiero. «Leasing » 8.2.1. Características 8.2.2. Ventajas e inconvenientes 8.2.3. Tipos de «leasing » 8.2.4. Valoración 8.3. Empréstitos. Introducción 8.3.1. Empréstitos sin cancelación escalonada 8.3.2. Empréstitos con cancelación escalonada 8.3.3. Problemática de los empréstitos 8.3.4. Elementos que intervienen en los empréstitos 8.4. Empréstito normal (método francés) Ejercicios propuestos

Financiación de la empresa

140

8.1.

La financiación externa de la empresa

Es muy rara la empresa que se financia exclusivamente con capital propio procedente de sus accionistas y de la autofinanciación. En su gran mayoría parte de los recursos con los que la empresa financia sus inversiones, procede de fuentes ajenas a la misma y constituyen su financiación externa. La importancia relativa de la financiación externa de la empresa viene dada por el ratio de endeudamiento que es la relación entre los recursos ajenos y los recursos propios . Este ratio, en condiciones normales suele ser inferior a la unidad. r =

E P

No se puede dar una regla general sobre la conveniencia o no de aumentar la financiación externa de la empresa, lo cual dependerá de la solvencia y del coste relativo entre los fondos propios y ajenos. En términos generales, no se puede dar una regla general sobre la magnitud óptima del endeudamiento de la empresa, ya que esto depende de cada caso particular. En general, si se puede decir que si el coste de la financiación externa es menor que el coste del capital propio, convendrá aumentar el endeudamiento de la empresa, aunque sin sobrepasar unos límites de prudencia en función de la solvencia de la misma. 8.1.1.

Las deudas empresariales a largo plazo

Los créditos empresariales a largo plazo permiten la financiación de las inversiones de la empresa en activo fijo, es decir, las fábricas, las instalaciones permanentes y la parte permanente de la misma. Los empréstitos, son una forma importante de este tipo de financiación. 8.1.2.

Las deudas empresariales a medio plazo

Los créditos a medio plazo son recursos financieros intermedios entre los créditos a largo plazo y los créditos a corto plazo. En general, son deudas con vencimiento superior a un año e inferior a cinco (aunque no existe unanimidad al respecto). Se utilizan en ocasiones como créditos puente para otros créditos de más larga duración, o bien están destinados a financiar aquellos elementos del activo fijo que sin ser absolutamente permanentes tienen una duración intermedia como pueden ser determinados elementos del equipo productivo, maquinaria, etc.

8.2 Arrendamiento financiero. «Leasing » 8.1.3.

141

Las deudas empresariales a corto plazo

La mayoría de las empresas tienen deudas a corto plazo para lograr el equilibrio de su tesorería y no quedarse sin liquidez en un momento dado, lo cual además de suponer unos costes de ruptura elevados para la empresa se traduce en un descrédito y desprestigio de la misma. Las formas de crédito a corto plazo más utilizadas por las empresas, son: 1. El crédito comercial o crédito concedido a la empresa por los proveedores de la misma que se instrumenta generalmente en forma de facturas y el correspondiente adeudo en la cuenta del proveedor o de letras de cambio. 2. El crédito bancario a corto plazo. Las principales formas que adopta, son: a )

Descuento financiero, b ) Descubiertos en cuenta corriente, (véase 3.4 en la página 29) y cuenta de crédito, (véase 3.7 en la página 35), c ) Créditos estacionales (fundamentalmente en empresas agrícolas), d ) Descuento comercial, (véase 3.3 en la página 23). 3. La venta de cuentas de la empresa o cuentas a cobrar por parte de la misma ( factoring ).

8.2.

Arrendamiento financiero. «Leasing »

Las empresas recurren muchas veces al arrendamiento como alternativa a la compra del capital productivo. Los arrendamientos pueden ser de muy distintos tipos, pero todos tienen en común que el arrendatario (usufructuario) del bien, utiliza éste a cambio de un pago predeterminado al propietario del mismo (arrendador). Cuando el contrato de arrendamiento concluye, el bien alquilado revierte al propietario o arrendador, pero usualmente el contrato incluye la opción al arrendatario de comprar el bien a un precio preestablecido o bien efectuar un nuevo arrendamiento. El arrendamiento financiero o leasing es un contrato de alquiler con opción de compra. Debe entenderse como un contrato de cesión de un bien que previamente la empresa arrendadora compra para si, con intención de cedérselo


142

a un tercero en alquiler a cambio de cuotas periódicas, de igual cuantía, que incluyen parte de recuperación del coste y parte de intereses. Por tanto, en la celebración de estos contratos intervienen tres figuras: 1. El arrendador que es la Sociedad de Arrendamiento Financiero, una empresa específicamente constituida para desarrollar este tipo de actividad. 2. El vendedor, que puede ser el fabricante de los bienes o un distribuidor. 3. El arrendatario, es decir, el empresario que necesita de esos bienes de equipo o instalaciones para incorporarlos a su actividad. El contrato de leasing suele durar tanto como la vida económica del elemento patrimonial en cuestión aunque no necesariamente. Se establece así un plazo, un tiempo de cesión, durante el cual se va amortizando la totalidad de la inversión hasta llegar a un valor residual prefijado, generalmente igual al importe de una cuota suplementaria, la llamada opción de compra . El renting , es un alquiler que tiene la posibilidad muy infrecuente y accesoria de poder optar por la adquisición al final del contrato. El leasing es sobre todo una forma de financiación de bienes del inmovilizado. 8.2.1.

Características

1. El plazo mínimo legal es de 2 años para bienes muebles y 10 para inmuebles. 2. El leasing financiero inmobiliario1 presenta notorias singularidades, aunque ello no significa que estemos ante un contrato diferente según que el objeto sea mueble o inmueble. 3. Tanto los bienes muebles como inmuebles deben ir destinados a una actividad productiva. No hay leasing para el consumo de particulares 2 . 4. El contrato de leasing no tiene una regulación específica, su regulación se encuentra fraccionada en varios cuerpos legales. 1

Recogido en la Disposición adicional 7.a de la Ley 26/1988 sobre Disciplina e Intervención de Entidades de Crédito. 2 En algunos países se practica el leasing de viviendas. En España, el inmueble tiene que estar afecto a una explotación.

8.2 Arrendamiento financiero. «Leasing »

143

5. Durante toda la vida del contrato, el arrendador financiero mantiene la titularidad sobre el bien objeto del contrato y no responde de los vicios que puedan aquejar al bien. 6. El arrendatario corre con los deterioros que pueda sufrir y la pérdida de la cosa. 7. Algunos contratos contienen una cláusula por la que el cliente arrendatario está obligado a soportar las inspecciones que desee hacer el propietario del mismo para cerciorarse del buen uso. Igualmente, muchos otros contratos incorporan la obligación del arrendatario a pagar un seguro para cubrirse de contingencias de pérdida. 8. El contrato fija un plazo que las partes se obligan a cumplir. Ninguna de las partes, salvo que en contrato se haya pactado en contrario, está facultada para resolver unilateralmente el leasing y ante la ruptura por parte del deudor la entidad podrá reclamar el vencimiento anticipado y todas las cuotas pendientes. 9. Frente al incumplimiento del cliente, la entidad de leasing podrá ejercer acciones declarativas o ejecutivas. Este último procedimiento no siempre puede ejercerse o resulta conveniente. En cualquier caso, depende del bien objeto y de la formalización del contrato en forma solemne (fedatario mas registro). 10. No obstante, se puede resolver el contrato a través de un corto procedimiento procesal y recuperar así el bien objeto. Todo ello, sin perjuicio de que el cliente haga valer su derecho a hacer otras alegaciones relativas al contrato en el procedimiento declarativo que corresponda. 8.2.2.

Ventajas e inconvenientes

Entre las ventajas podemos destacar: Permite no inmovilizar recursos. Su tratamiento es el de un gasto corriente. Por tanto, no merma las posibilidades de endeudamiento. Permite diversificar las fuentes financieras. Se puede financiar el 100% del valor del bien. Si se adquiere como inmovilizado hay que incrementar el valor con el IVA. En el leasing , el IVA se paga con el devengo de la cuota.


144

Disminuye el riesgo de obsolescencia técnica. La financiación por leasing se beneficia de una doble deducción fiscal, ya que sus cuotas están compuestas por dos partidas (además del IVA): la parte correspondiente al coste de la adquisición del bien y la carga financiera. La carga financiera satisfecha a la sociedad arrendadora tiene la consideración de gasto fiscalmente deducible en cualquier caso, tanto en estimación directa como en objetiva. También se considera deducible la parte correspondiente a la recuperación del coste del bien, a excepción de terrenos, solares u otros activos no amortizables. En cualquier caso, el importe de la cantidad deducible no podrá ser superior al resultado de aplicar al coste del bien el doble del coeficiente máximo de amortización lineal, según las tablas de amortización oficiales. Si se excede la cantidad, se podrá deducir en los periodos impositivos posteriores, siempre que se respete el mismo límite. Este tratamiento diferenciador frente a otras fórmulas de financiación de inversiones permite una aceleración a efectos fiscales de la amortización de los bienes financiados mediante leasing . Existen especiales ventajas para las pequeñas y medianas empresas ya que el Impuesto de Sociedades establece facilidades de amortización para las empresas de reducida dimensión. A estas empresas se les permite amortizar los inmovilizados materiales nuevos a los porcentajes máximos que marcan las tablas multiplicados por el coeficiente 1,5. El coeficiente multiplicador admitido es 3 si esos inmovilizados se financian con leasing . Además, si la empresa ejecuta la opción de compra del bien puede acogerse a la libertad de amortización por la creación de empleo. Como desventajas se pueden citar: Mayor coste financiero de la deuda con relación al crédito bancario. Los intereses son mas altos y además, frecuentemente, hay que sumar el coste de un seguro por el bien, que no suele existir en préstamos bancarios. Generalmente los contratos de leasing tienen carácter irrevocable. Es frecuente la existencia de cláusulas que penalizan muy fuerte los incumplimientos.

8.2 Arrendamiento financiero. «Leasing »

145

En algún caso, puede ser un inconveniente el no tener la propiedad del bien hasta el final del contrato, al ejercer la opción de compra. 8.2.3.

Tipos de «leasing »

Financiero .

Es el leasing propiamente dicho. En este tipo de operaciones intervienen tres personas: Un vendedor del bien; el usuario o arrendatario que tendrá el derecho de uso del bien y la sociedad de leasing o arrendador, que adquiere el bien que necesita el usuario y se lo cede al arrendatario. Al finalizar el periodo estipulado se ejerce la opción a compra. La finalidad del arrendador no es vender bienes sino prestar un servicio financiero. Operativo .

En este caso, es el fabricante o distribuidor quien ofrece al usuario directamente la posibilidad de financiar el bien a través del alquiler con opción a compra al término del contrato. En este tipo de operaciones, encaminadas a la promoción de ventas, es el arrendador quien soporta la mayor parte de los riesgos técnicos y financieros. Se trata aquí de operaciones a plazos más cortos, menos de tres años, y tiene valores residuales más altos que los del leasing financiero, lo que conlleva que no se ejerza la opción de compra. El arrendador amortiza el bien tras haberlo cedido en varias operaciones. Leasing con apalancamiento financiero .

Además del arrendatario y el arrendador interviene un prestamista a largo plazo que contribuye a la operación aportando una parte muy sustancial del dinero. Leasing indirecto. Se dice que es aquel en el que el vendedor del produc-

to es el que comunica a arrendatario y arrendador. Suele darse entre fabricantes de bienes de equipo o automóviles con sus clientes. Lease back o

retroleasing. El propietario de un bien lo vende, obtiene liquidez y sigue utilizando el bien a cambio de una cantidad que entregará al comprador, en concepto de arrendamiento, o a la financiera de éste. 8.2.4.

Valoración

Ésta fórmula de financiación ha tenido un desarrollo extraordinario en las últimas décadas y es utilizada frecuentemente como alternativa a la inversión en bienes de equipo.


146

La equivalencia financiera de este tipo de operación, es ¨n i + Oc (1 + i)−n C 0 = a a

en la que Oc representa la opción de compra y la consideraremos prepagable dado que se trata de un arrendamiento. Habitualmente a esta opción de compra se la hace coincidir con un término amortizativo, es decir a = Oc , y entonces: ¨n+1 i C 0 = a a (8.1) El resto de magnitudes pueden obtenerse de la misma forma que en un préstamo francés considerando que la operación es prepagable tal como se describe en (7.3), página 117. En particular, la determinación de I s , sería: I s = (C s−1

−O ) i c

en la que al ser a = Oc , I s = (C s−1

− a) i

(8.2)

y el valor de As es, A1 = a

− I 1

pudiendo obtener los siguientes como: A2 = A1 (1 + i),

···

A3 = A2 (1 + i),

As = A 1 (1 + i)s−1

El valor del capital amortizado M s , vendrá determinado por, M s = A 1

ss

i

y el capital pendiente C s , utilizando el método prospectivo tal como vimos en (7.9) en la página 119, ¨n+1−s i C s = a a

(8.3)

Ejemplo 8.1 La sociedad CRILASA, firma un contrato de arrendamiento financiero de una nave industrial, por importe de 432 000 e con una opción de compra final más el impuesto en vigor al adquirir la propiedad, por un total de 10 años, con pagos mensuales al 3,7080 % de interés nominal anual. La comisión de apertura y gastos de formalización, han sido de 1 800,50 e. Obtener las cuotas de amortización, el cuadro de amortización financiera de los 5 primeros pagos, el último, el total de intereses y el tanto efectivo.


148 El tanto efectivo considerando los gastos, sería: 432 000 ¨

a121 i

e

− 1 800, 50 = 4 271, 43 ¨ 121 a

=

i

430 199, 50 = 100, 715568 4 271, 43

Utilizando la calculadora financiera para resolver i: BEG 121 n 100, 715568 PV 1 CHS

g

i = 0, 00316453

PMT

i

12 ×

obteniendo 3, 7974

j (12) = 12 i = 0, 037974

Ejemplo 8.2 Determinar la cuota de una operación de arrendamiento financiero sobre una máquina de coste 20 000 e a 5 años con una opción de compra de 6 000 e. El tipo de interés establecido es del 8 % anual con pagos mensuales. ¨ n i + Oc (1 + i)−n C 0 = a a ¨ 60 0 ,006667 20 000 = a a

− 6 000 (1 + 0, 006667)

60

−

20 000 6 000 (1 + 0, 006667)−60 a = = 321, 72 1 (1 + 0, 006667)−60 (1 + 0, 006667) 0, 006667

−

−

Utilizando la calculadora financiera, para obtener a, g

BEG 5 g

8.3.

n 8 g

i 20000 PV 6000 CHS

FV

PMT obteniendo 321, 72

Empréstitos. Introducción

Los empréstitos tienen su origen en las necesidades de financiación externa del Estado y de las Entidades públicas o privadas. Las cuantías elevadas que demandan en préstamo son dificilmente alcanzables en una sola operación, préstamo único, por lo que se recurre a la emisión de obligaciones, bonos o un agregado de préstamos. Para que el conjunto de préstamos pueda integrarse en una sola operación es necesario que todos ellos se amorticen mediante una única ley financiera, en cuyo caso los préstamos son homogéneos. Definimos empréstito como un conjunto de préstamos homogéneos de igual cuantía (prestación) y amortizables con idéntica contraprestación. El título valor de cada préstamo recibe el nombre de obligación y la cuantía de su prestación C , se denomina valor nominal de la obligación. Si designamos N 1 el número total de obligaciones que componen el empréstito, la prestación total o total nominal del empréstito será C 0T = C N 1 .

8.3 Empréstitos. Introducción

149

De forma general, y a fin de facilitar el acceso al pequeño inversor, se determina un valor nominal de las obligaciones bastante reducido lo que origina un número de obligaciones N 1 muy elevado. Es aconsejable, por razones de eficacia administrativa no mantener en vigor tan elevado número de obligaciones durante toda la vida del empréstito. Interesa, por tanto, ir cancelando periódicamente grupos de títulos con objeto de que vaya disminuyendo su número. A fin de compatibilizar la uniformidad de las operaciones con la diferente duración, se establece que la concreción de las obligaciones que corresponda cancelar en cada punto se efectúe por sorteo o por cualquier procedimiento equiprobable para todos. En base a esto, podemos distinguir dos tipos de empréstitos: 1. Los empréstitos con un solo punto de reembolso de títulos, es decir, con idéntica duración para todas las obligaciones. 2. Los empréstitos con cancelación escalonada de los títulos, es decir, formados por títulos con distinta duración, pero iguales términos de probabilidad. 8.3.1.

Empréstitos sin cancelación escalonada

Este tipo de empréstitos con un solo punto de reembolso, no es otra cosa que un conjunto de préstamos exactamente iguales en todas sus características. Por tanto, el empréstito, como operación resultante, es igual a uno cualquiera de los préstamos multiplicado por el número de ellos, y así, el estudio del empréstito como operación conjunta es aplicable a cada uno de los préstamos componentes y viceversa. Este tipo de empréstitos, no presenta ninguna característica diferenciadora respecto de los préstamos que agrega, por lo que le serán de aplicación todas las conclusiones obtenidas en el estudio de las operaciones de amortización, manteniéndose incluso las expresiones de los casos particulares (préstamo simple, método americano, de cuotas constantes, etc.). Cuando la amortización se realiza sucesivamente a lo largo de su duración (método francés, de cuotas constantes, etc.) también se dice que el empréstito se amortiza por reducción del nominal de los títulos. 8.3.2.

Empréstitos con cancelación escalonada

Se caracterizan por la aleatoriedad en la duración de sus títulos, determinándose por sorteo las obligaciones que corresponde cancelar en cada punto de amortización.


150

8.3.3.

Problemática de los empréstitos

Con relación al ente emisor ,

su fin principal es obtener la necesaria financiación en las mejores condiciones posibles. Cuando el importe de la emisión se destina a financiar una inversión, el emisor tratará de conseguir que la contraprestación, en cuanto a su duración y distribución de cuantías y vencimientos, se adapte de forma óptima al rendimeinto de la inversión y necesidades de liquidez, para lo que fundamentalmente puede actuar sobre el programa de cancelación. Con relación al obligacionista ,

la suscripción de obligaciones de un empréstito supone para el obligacionista una inversión de capital. La decisión de la inversión se apoya, a igualdad de otras circunstancias, en la mayor rentabilidad efectiva. Desde el mercado de capitales ,

el empréstito está condicionado por las circunstancias que concurren en el mercado en el momento de la emisión. 8.3.4.

Elementos que intervienen en los empréstitos

La variedad y peculiaridad de los empréstitos es amplia. Aunque su base está en los préstamos, los elementos que intervienen son los siguientes: C 0 = C N 1 , valor nominal del empréstito, N 1 = Número de títulos emitidos a reembolsar, N k+1 = Obligaciones o títulos en circulación o vivos al comienzo del año k + 1 , C = Valor nominal de cada título, C k = Valor de reembolso o precio de amortización de cada obligación que se amortiza en el año k, P k = Prima de amortización en el año k, Lk = Valor del lote en el año k, ik = Tipo de interés nominal satisfecho en el año k. Puede ser constante o variable, n = Número de años de duración del empréstito, M k = Número de obligaciones amortizadas en el año k, k

mk

=

M r , número de obligaciones amortizadas al final de los k r=1

I k C ik ak

primeros períodos, = Intereses satisfechos en el año k, por la entidad emisora, = Cupón anual o interés de una obligación satisfecho al final del año k, = Anualidad satisfecha por la entidad emisora al final del año k

8.4 Empréstito normal (método francés)

8.4.

151

Empréstito normal (método francés)

Como hemos establecido anteriormente en los empréstitos puros o normales, la emisión y amortización de títulos es a la par, es decir, por el nominal; con pago periódico de intereses y cupón vencido, anual o fraccionado. Teniendo en cuenta que los empréstitos son un conjunto de préstamos, utilizaremos análogos razonamientos a los empleados en la amortización de préstamos (véase 7.3 en la página 117). En la práctica el empréstito normal es aquél que se amortiza siguiendo el método del sistema progresivo francés o anualidades constantes. Dado un empréstito de N 1 obligaciones de nominal C , que devengan el interés anual i, pagadero de forma vencida y amortizado en n períodos mediante anualidades, que comprenden cada uno los intereses de los títulos en circulación y una cantidad destinada a la amortización de un cierto número de obligaciones. C k = C

ak = a

ik = i

el valor actual de la contraprestación, será, N 1 C = a

an

a =

i

N 1 C

(8.4)

an i

La primera anualidad, a = M 1 C + N 1 C i

M 1 =

a

− N 1 C i C

y de esta forma determinamos el número de títulos amortizados el primer año. Si comparamos las anualidades de dos años consecutivos k y k+1, tendremos: a = M k C + N k C i

a = M k+1 C + N k+1 C i

igualando, M k C = N k C i = M k+1 C + N k+1 C i

− N +1 C i = C M + C i(N − N +1) dividiendo ambos por C , y teniendo en cuenta que N − M +1 = M , C M k+1 = C M k + N k C i

k

k

k

k

k

k

k

M k+1 = M k + M k i = M k (1 + i)

es decir, los títulos amortizados forman una progresión geométrica de razón (1 + i). Aplicando la relación entre un término cualquiera y el primero, M k = M 1 (1 + i)k−1

(8.5)


152

expresión que nos permite calcular los términos amortizados en cualquier momento k en función de los amortizados en el primer año. Teniendo en cuenta esta relación, M 1 = M 1 =

− N 1 C i

a

C

M 2 = M 1 (1 + i) M 3 = M 1 (1 + i)2

.. .

M n = M 1 (1 + i)n−1

sumando los primeros miembros e igualándolo a la suma de los segundos, n

M s = M 1 1 + (i + 1) + (1 + i)2 + s=1

n−1

··· + (1 + i)

expresión en la que el primer miembro es el total de obligaciones emitidas N 1 y el segundo es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1 + i), por lo que aplicando (A.9) de la página 190: (1 + i)n−1 (1 + i) N 1 = M 1 (1 + i) 1

−

n

− 1 = M 1 (1 + i) − 1 = M 1 i

sn

i

de donde, N 1 = M 1

sn

i

(8.6)

expresión que nos permite obtener el número de títulos amortizados en el primer año en función del número total de títulos emitidos: M 1 =

N 1 sn

(8.7)

i

Las obligaciones en circulación al comienzo de un año cualquiera k + 1 , las calculamos a partir del capital pendiente de amortizar que al comienzo de dicho año será, N k+1 C = a

y por tanto, N k+1 =

a C

an−k

i

an−k

= N 1

i an−k an

i

(8.8)

i

El número de obligaciones amortizadas en un año cualquiera k, también puede obtenerse por diferencia entre las obligaciones en circulación al inicio del año k y k + 1 , M k = N k

− N +1 = C a k

a − +1 n k i

−

a − n k

i

=

a C (1 + i)n−k+1

8.4 Empréstito normal (método francés)

153

El número de obligaciones amortizadas al final de los k primeros años, aplicando (8.6), será: k

mk =

M s = M 1

s

ki

= N 1

s=1

sk

i

sn i

La construcción del cuadro es análogo a la del préstamo estudiado en 7.3.5 de la página 120, con la dificultad de obtener el número de obligaciones amortizadas para cada año que se obtiene para los distintos valores de k de la expresión (8.5). Estos, generalmente no son enteros y para solucionar el problema, existen dos procedimientos: 1. Método de capitalización de los residuos o teórico , que consiste en amortizar un número entero por defecto de obligaciones y colocar a interés el residuo de la anualidad para acumularlo en el siguiente. 2. Método de redondeo de las amortizaciones teóricas o práctico consistente en calcular los títulos amortizados cada año, sin considerar que estos números han de ser enteros, sumar después los números enteros de los títulos amortizados cada año y completar los que faltan hasta la totalidad de los emitidos, redondeando por exceso los de aquellos años que tengan mayor parte decimal. Ejemplo 8.3 Formar el cuadro de amortización de un empréstito normal de 10 000 obligaciones de 100 e nominales cada una, cupón anual de 5 e, duración de la amortización 10 años por el método de los residuos y por el método de redondeo de las amortizaciones teóricas. 1. Método de capitalización de los residuos: La anualidad teórica, a =

N 1 C an i

=

·

10 000 100 a10

= 129 504, 57

0 ,05

Los intereses del primer año,

·

·

I 1 = N 1 C i = 10 000 100 0, 05 = 50 000 La cantidad disponible para amortizar, A1 = a

− I 1 = 129 504, 57 − 50 000 = 79 504, 57

al ser las obligaciones de 100 e pueden amortizarse solo 795 títulos quedando un residuo de 4,57 e. La anualidad queda disminuida en este importe y para

Financiaci Financiación ón de la empresa empresa

156

Ejercicio 8.3 Se concierta un contrato de arrendamiento financiero con una entidad dad por 120 000 000 e a un plazo de 10 años, con pagos de las cuotas mensualmente al interés interés efectivo efectivo anual del 6 %. Obtener: 1. Mensualida Mensualidad, d, 2. Interese Interesess pagados en el primer año de vigencia, vigencia, 3. Capital Capital pendiente pendiente de pago al inicio del 6 año. s 1 =

6 2 6 , 1 1 3 6 1 1 = 3 C )

) 2

2 3 , 4 9 6 6 = I

7 2 , 8 0 3 1 = 1 : n ó i c u l o S a )

0 1

Ejercicio 8.4 Calcular la cuota correspondiente a un contrato de arrendamiento financi financiero ero de pagos pagos mensuale mensuales, s, por 5 años, años, a un tipo de inter interés és variab variable le del 5 % nomina nominall anual anual inicial inicial,, si el importe importe del mismo mismo es de 24 000 e. Obtener además: 1. Capital Capital amortizado amortizado en los dos primeros años, 2. Interese Interesess totales totales de la operación, operación, 3. Mens Mensua uali lida dad d del del me mess 14 en el supu supues esto to de que que el tipo tipo de inte interé réss se hay haya modifica modificado do al 5,5 %. s 1 =

0 8 , 6 8 = ′ a ) 4

) 3

8 7 , 5 1 1 3 = I

2 1 A A ) 3 7 , 3 2 7 8 = + 2

n

a ) 2 5 , 4 4 4 = 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 8.5 Se emite un empréstito empréstito de 100 000 obligaciones obligaciones de 1 000 e nominales, durante 10 años, cupon anual vencido de 60 e, amortizable mediante anualidades constantes. Se pide: 1. Anualida Anualidad d constant constantee que amortiza amortiza el empréstit empréstito, o, 2. Títulos Títulos vivos vivos a partir del del 6. año, o

3. Títulos Títulos amortizado amortizadoss en el 5. sorteo, o

4. Títulos Títulos amortizados amortizados después después de 7 sorteos, sorteos, 5. Cuantía Cuantía dedicada dedicada al pago de cupones cupones en el 7. sorteo. o

7 7 0 0 8 4 2 8 2 = 5 2 8 6 3 6 = ) 4 I ) m 5 6 8 7 5 9 = 0 8 0 7 4 = 2 8 , 5 9 7 6 8 5 3 1 = M N a ) ) 3 ) 2 1 : n ó i c u l o S

Ejercicio 8.6 En un empréstito de 10 000 títulos, de 500 e nominales, amortizables mediante anualidades constantes en 5 años, con abono de cupón anual vencido de 40 e por obligación, se pide construir el cuadro de amortización por los métodos:


157

1. De capitalizac capitalización ión de los residuos, residuos, 2. De redondeo redondeo de las amortizacion amortizaciones es teóricas. teóricas. Ejercicio 8.7 Del cuadro de amortización de un empréstito normal hemos tomado los siguient siguientes es datos: datos: interes intereses es del primer primer año 300 000 e; intereses del segundo año año 26 2633 15 1544 e; siendo el número de teórico de títulos amortizados el último año 987,54185, el nominal de las obligaciones 1 000 e, se pide: 1. Tanto anto de valoración valoración del empréstito, empréstito, 2. Anualidad Anualidad del del mismo, 3. Número Número de títulos títulos emitidos, emitidos, 4. Duración Duración del emprésti empréstito. to.

Unidad 9

Títulos valores: operaciones bursátiles 9.1. 9.2. 9.3. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.6.

Títulos Títulos valores valores:: valores valores mobiliar mobiliarios ios Títulos Títulos valores valores:: concepto conceptoss Mercad Mercado o de valo valores res Rentabili Rentabilidad dad de los títulos títulos valores valores Valoración aloración de los títulos títulos valores valores Valorac aloración ión de los títulos títulos de renta renta fija 9.6.1. Compra Compra por suscripción suscripción y mantenimien mantenimiento to hasta su amortizaci amortización ón 9.6.2. Compra Compra por suscripción suscripción y vent venta a del título título en el mercado mercado 9.6.3. Compra Compra en el mercado y manteni mantenimien miento to hasta su amortizaci amortización ón 9.6.4. 9.6 .4. Compra Compra en el mercad mercado o y vent venta a en el mercad mercadoo 9.7. 9.7. Valorac aloración ión de las accione accioness 9.7.1. Valoración aloración en en función función de los dividend dividendos os 9.7.2. Valoración aloración en en función función de los los beneficios beneficios 9.8. Valoración aloración de las letras letras financie financieras ras 9.8.1. Adquisi Adquisición ción inicial inicial y manteni mantenimien miento to hasta su vencimien vencimiento to 9.8.2. Adquisi Adquisición ción inicial inicial y venta venta en en el mercado secund secundario ario 9.8.3. Adquisi Adquisición ción de la la letra en el el mercado mercado secundario secundario Ejercicios propuestos

160

9.1.

Títulos valores: operaciones bursátiles

Títulos valores: valores mobiliarios

Los títulos valores son documentos que incorporan una promesa unilateral de realizar una determinada prestación a favor de quien resulte legítimo tenedor del documento. Nace en consecuencia un mercado de títulos de crédito cuya vertiente económica es la aparición del denominado mercado financiero . Estos, confieren al tenedor el derecho a obtener del deudor una suma de dinero (títulos de pago) o derechos de socio (títulos de participación social). En el mercado de capitales se negocian operaciones de financiación y se obtienen recursos financieros a cambio de títulos de crédito. En el mercado de valores se negocian las operaciones de capital cuyo objeto es financiar inversiones y se obtienen medios de financiación contra la entrega de títulos valores. Los más frecuentes son los que se realizan sobre valores mobiliarios, no obstante, son también importantes los que se realizan con la contratación de letras financieras, pagarés del tesoro y de empresa. Los valores mobililarios son títulos valores emitidos en masa con iguales derechos a los que se asocia una fácil transmisibilidad. Estos, se clasifican en: Las acciones , títulos valores que representan partes alícuotas del capital social e incorporan derechos de socio: participar en los beneficios sociales, en el patrimonio resultante en la liquidación y derecho preferente de suscripción de nuevas acciones. Cabe distinguir entre acciones nominativas y al portador, acciones de goce o disfrute y acciones ordinarias y privilegiadas. Las obligaciones son títulos o documentos que representan partes alícuotas de créditos contra las sociedades emisoras. Confieren derechos de prestamista o acreedor y nacen para ser amortizadas. Se les suele designar en ocasiones con los nombres de cédulas hipotecarias, bonos, bonos bancarios, etc. Sus derechos económicos son la devolución del principal y obtención de rendimientos que se concretan en intereses o cupones, primas, lotes u otras posibles ventajas con repercusión económica. Se distinguen entre otras, obligaciones nominativas y al portador, obligaciones con características comerciales o sin ellas (puras), obligaciones ordinarias o con garantías y obligaciones a interés fijo o variable.

9.2 Títulos valores: conceptos

161

Los fondos públicos o deuda pública son obligaciones emitidas normalmente a un interés fijo por una Corporación de Derecho Público (Estado, Autonomía, Provincia, etc.). Se puede clasificar en consolidada y flotante, amortizable y perpetua, nominativa y al portador, interior y exterior, general y específica, pignorable y no pignorable, con y sin impuestos. Las letras financieras , negociadas en el mercado de valores, son letras de cambio libradas por bancos con objeto de obtener recursos de sus clientes. Los pagarés del Tesoro son deuda pública a corto plazo cuya finalidad es obtener financiación para los déficits presupuestarios. Los pagarés de empresa son valores emitidos para obtener financiación mediante endeudamiento a corto plazo.

9.2.

Títulos valores: conceptos

Los conceptos más importantes sobre los títulos valores, son: 1. Valor nominal es el importe que lleva impreso en el título y corresponde: En las acciones a la parte alícuota del capital social de cada título. En las obligaciones y deuda pública a la parte alícuota de los créditos puestos en circulación. En la letra y en el pagaré al valor que se tiene que recibir en su vencimiento. 2. Valor efectivo es el coste real que supone para el suscriptor o comprador la adquisición del título. En el momento de la emisión puede coincidir con el valor nominal o ser inferior o superior. En el primer caso, se emite a la par, si es inferior, por debajo de la par y de ser superior por encima de la par o con prima de emisión positiva. En el caso de las letras o pagarés, el valor efectivo es siempre inferior al nominal ya que esta diferencia es el rendimiento del título por descuento.

162


3. Valor de cotización también denominado de curso o de cambio, designa el precio que el mercado fija para el título. Si los títulos cotizan en Bolsa, su valor se conoce a partir de las cotizaciones oficiales. Este valor de cotización estará a la par, sobre la par o bajo par, según sea igual, superior o inferior al valor nominal del título. 4. Valor de reembolso o amortización es el precio que el emisor paga por el título en el momento de la amortización. Puede coincidir o no con el valor nominal y está previsto desde el origen de la emisión. Si no coincide con el nominal, es debido a premios, generalmente positivos que pueden venir en forma de primas, lotes u otro tipo de ventaja. Otra forma de reembolso consiste en la compra en Bolsa hecha por el emisor, desconociéndose en este caso el precio. Es preciso considerar que algunos empréstitos (deuda pública perpetua) carecen de reembolso. Estos, solo pueden ser emitidos por el Estado por ser la única entidad que puede comprometerse perpetuamente al pago de los intereses. En una letra o pagaré, el valor de amortización coincide con el nominal. 5. Intereses . Las obligaciones, producen intereses determinados en el momento de la emisión. Reciben el nombre de cupones los intereses que periódicamente perciben (anual, semestral, etc.) en concepto de rendimiento sus poseesores. Tradicionalmente los títulos van provistos de unos cupones correspondientes a cada vencimiento de los intereses. En las letras y pagarés el rendimiento es la diferencia entre el valor de adquisición y amortización o venta. 6. Dividendos son las cuantías que tiene que entregar el suscriptor de una acción para pagarla. Se designa también con este nombre cada sección en la distribución de los beneficios obtenidos por la sociedad. La primera consideración del dividendo, denominada dividendo pasivo es la salida de dinero para el poseedor de la acción. La segunda, constituye una entrada de dinero, denominada dividendo activo o simplemente dividendo. Estos, representan para las acciones lo mismo que los intereses en las obligaciones.

9.3 Mercado de valores

9.3.

163

Mercado de valores

Las empresas, para realizar sus inversiones necesitan captar recursos financieros que destinarán posteriormente a la adquisición de bienes. El capital propio , junto con la financiación interna o autofinanciación no son suficientes para las necesidades de la empresa. Es necesario acudir a la financiación externa y obtener recursos en el mercado financiero . El mercado de capitales es el mercado financiero a largo plazo. Si es a corto plazo, se denomina mercado de dinero . El mercado de capitales o mercado de valores es aquel en que se negocian las operaciones cuyo objeto es la financiación de inversiones. Este se clasifica en mercado primario o de emisión que es donde la empresa obtiene directamente la financiación mediante la emisión de títulos valores y mercado secundario o bolsa de valores que facilita la liquidez necesaria de los valores mobiliarios y completa por tanto las cualidades exigidas a todo activo financiero (rentabilidad, seguridad y liquidez). Los mercados secundarios facilitan información básica para el adecuado funcionamiento del mercado primario. De este modo, trata de canalizar los recursos financieros de los ahorradores a inversiones. A cambio, los ahorradores reciben títulos que encierran una promesa de rendimiento predeterminable (obligaciones, letras, etc.) o una promesa de rendimiento aleatorio y derechos sobre el patrimonio (acciones). En el mercado secundario, se realizan multitud de operaciones diariamente que permiten invertir los ahorros, alterar la composición de las carteras o desprenderse total o parcialmente de títulos para maximizar los beneficios. La función primordial del mercado secundario en la asignación de recursos consiste en establecer el precio aproximado de las emisiones de nuevos valores. Aunque los inversores posean información análoga, la diversidad de interpretación conduce a que haya ahorradores que deseen adquirir valores y otros que pretendan desprenderse de ellos. Son funciones del mercado de valores: 1. Permitir al pequeño ahorrador colaborar en el proceso de financiación de las inversiones. 2. Facilitar la transmisión de títulos entre compradores y vendedores. 3. Posibilitar la formación de precios justos.


164

9.4.

Rentabilidad de los títulos valores

La rentabilidad de un título mide la relación entre los rendimientos que se obtienen en un período y la inversión realizada en él. Este rendimiento coincidirá con los intereses si se trata de obligaciones o los dividendos cuando los títulos son acciones. Podemos clasificar la rentabilidad: 1. Rentabilidad bruta : es la que se obtiene cuando se toma como referencia la renta bruta, esto es, cuando no se consideran los impuestos, corretajes y comisiones soportados. 2. Rentablidad neta : surge cuando se toma como referencia la renta al deducir los impuestos y gastos. 3. Rentabilidad nominal : es la que se obtiene en relación al nominal del título. 4. Rentabilidad efectiva : al relacionar el rendimiento con el valor de cotización actual o de adquisición. Las variables a considerar, son: C = valor nominal del título, V = valor efectivo de adquisición, Rb = renta bruta o rendimiento del periodo, g = comisiones y gastos, t = tipo impositivo, Rn = renta neta del período, Rn = R b − tRb − gC = R b (1 − t) − gC . En consecuencia, la rentabilidad nominal bruta , la definimos como, i′n =

Rb C

la rentabilidad nominal neta , será, in =

Rn C

i′e =

Rb V

ie =

Rn V

la rentabilidad efectiva bruta ,

y, la rentabilidad efectiva neta ,

9.5 Valoración de los títulos valores

165

Ejemplo 9.1 Un título de 10 e nominales que cotiza a 11 e (110 %), produce una renta del 15 % sobre el nominal. Determinar sus rentabilidades nominales y efectiva (brutas y netas) si los impuestos son del 18 % y la comisión bancaria de custodia de los títulos asciende al 3 % del nominal.

·

Rb = 10 0, 15 = 1, 5 Rn = Rb (1

− t) − gC

− 0, 18) − 0, 003 · 10 = 1, 20

Rb 1, 5 = = 0, 15 C 10

in =

Rn 1, 20 = = 0, 12 C 10

1, 5 Rb = = 0, 1364 V 11

ie =

1, 2 Rn = = 0, 1091 V 11

i′n = i′e =

Rn = 1, 5 (1

Al inversor la rentabilidad que le interesa conocer es la efectiva neta o tanto efectivo de rendimiento y las magnitudes que la definen, las cuales satisfacen las siguientes relaciones: ie =

Rn V

Rn =

ie V

V =

Rn ie

El tanto efectivo ie es una medida utilizada como criterio de comparación entre títulos que dirá dos valores cotizan en paridad cuando el tanto efectivo de rendimiento que proporcionan es el mismo .

9.5.

Valoración de los títulos valores

Valor de cotización o de mercado de un título

El precio de un título de renta variable viene dado por el acuerdo entre compradores (demanda) y vendedores (oferta). En la oferta y demanda influyen los siguientes factores: historia de las cotizaciones, política de dividendos, expectativas futuras de la empresa, nivel de actividad del país, tipo de interés del mercado, coste de capital, rendimiento esperado por el inversor, necesidades de liquidez, etc. La experiencia indica que los valores de renta fija (obligaciones) son reemplazados por los de renta variable en las fases de expansión económica y al revés en las contracciones.


166

Valor teórico de un título

La valoración o cálculo del precio teórico de un título tiene la finalidad de establecer una estimación razonable de su valor y dar una opinión sobre el nivel de cotización del título. Cuando el estudio de los datos económicos y financieros de la empresa así como de su comportamiento futuro, presentan rasgos favorables puede concluirse que es interesante comprar un título. La evaluación tiene por objeto determinar un valor razonable. En consecuencia, la evaluación puede no llegar hasta el cálculo exacto de su valor, sino simplemente dar una opinión sobre si su cotización es o no demasiado alta. Comparación del precio teórico con el de mercado

Si denominamos P al precio de cotización en el mercado financiero de un título y V el valor teórico del mismo, puede ocurrir que ambos coincidan o sean diferentes. Lo habitual es que P  = V . Si V > P , el inversor, tratará de adquirir títulos; si V < P , tratará de vender sus títulos y si V = P , se presenta una situación de indiferencia. Desde el punto de vista del inversor, este se encuentra con el precio P de mercado y deberá calcular su propio V de acuerdo con los criterios más racionales que tratamos de describir.

9.6.

Valoración de los títulos de renta fija

La nomenclatura a utilizar es la siguiente: = V s = C = i = C s = I s = ia = in = t = V s

valor de la obligación al final del año s, valor teórico al final del año s, valor nominal de una obligación, tipo de interés, valor de amortización o reembolso en el año s, renta periódica, tipo de rentabilidad esperada, tipo de rentabilidad según el momento de amortización o venta, tanto de interés de valoración del inversor.

9.6 Valoración de los títulos de renta fija 9.6.1.

167

Compra por suscripción y mantenimiento del título hasta su amortización

El inversor, suscribe el título en función de la rentabilidad esperada al tanto ia , pero al ser aleatoria la duración, el rendimiento que efectivamente se alcance in , sólo se conocerá en el momento de la amortización. La decisión de compra se tomará si ia ≥ t, ya que t refleja la rentabilidad mínima que exige el inversor. Si el título se amortiza en el año n y el pago de los intereses es periódico y proporciona un redimiento in , en términos generales, V 0 =

I 1 I 2 I 3 + + + (1 + in ) (1 + in )2 (1 + in )3

··· + I (1 + C + i) n

n n

n

V 0 =

I s C n + (1 + in )s (1 + in )n s=1 1

expresión, que es la suma de una progresión geométrica de razón y (1 + in ) por tanto, V 0 = I

1

− (1 + i

−n

n)

+

in

C n (1 + in )n

que tal como vimos en (5.1) en la página 62, podemos escribir como, V 0 = I an i + C n (1 + in )−n

(9.1)

n

Si no hay intereses periódicos, es decir, I s = 0 V 0 = C n (1 + in )−n Ejemplo 9.2 Se emite a la par un empréstito por títulos de nominal 1 000 e para ser amortizado en 5 años con anualidades constantes, abonando intereses anuales de 125 e. Si los títulos se amortizan a 1 050 e, determinar: 1) ¿Interesa la inversión a un ahorrador que pretende obtener una rentabilidad media del 13,25 %?; 2) ¿Cuál es la rentabilidad que proporciona el empréstito? 1. i′ = V = (C + P )

an t an i ′

R 125 = = 0, 119048 V 1 050 V = 1 050

a5 a5

0 ,1325

= 1 015, 88

0 ,119048

Como el valor de emisión C = 1 000, le interesa la inversión. 2.

C 1 000 = = 3, 441236 an i a5 i a C + P 1 050 5 0 ,119048 que tiene por solución un ia = 13, 90 % > t = 13, 25 %. an i a

=

′

a


168

9.6.2.

Compra por suscripción y venta del título en el mercado

Si el suscriptor vende la obligación en el mercado al inicio del año s + 1 al precio V ; el rendimiento te , se obtendrá de la siguiente ecuación cuando los intereses son periódicos: V = I as t + V s(1 + ts )−s

(9.2)

e

o si se acumulan al final, I s = 0: V = V s (1 + te )

−s

te =

1

V s V

s

−1

Cabe indicar que el inversor habrá decidido vender porque el precio V es superior a su valor teórico V . Ejemplo 9.3 Si al principio del año 4 los títulos del ejemplo anterior cotizan a 1 075 e determinar si interesa la venta si se evalúa al 13,25 % ¿Cuál será la rentabilidad obtenida por el vendedor si adquirió su título por suscripción? V 3 = 1 050

a2 a2

0 ,1325

= 1 031, 71

0 ,119048

1 031, 71 < 1 075, por tanto, interesa la venta. 1 000 = 125

9.6.3.

a3 t

e

+ 1 075(1 + te )−3

te = 14, 63 %

Compra en el mercado y mantenimiento del título hasta su amortización

En este caso, la obligación se amortiza n − s años después de su adquisición, siendo por tanto el rendimiento: V = I an−s i + C n(1 + in )−(n−s)

(9.3)

n

y si los intereses I s = 0, V s = C n (1 + in )−(n−s)

in =

C n V s

1 n−s

−1

Debe entenderse que la decisión de compra al precio V s se produce por ser V s al tanto t superior al precio de cotización.

9.7 Valoración de las acciones

169

Ejemplo 9.4 De una emisión realizada hace tres años de 2 500 e nominales para ser amortizados amortizados el octavo octavo o décimo décimo año a volunta voluntad d del inversor inversor al 12 % y una prima al décimo año de 200 e, que cotizan a 3 550 e determinar la rentabilidad de un comprador según el momento que decida. C 8 = 2 500 (1 + 0, 0 , 12)8 = 6 189, 189, 91 C 10 500 (1 + 0, 12)10 + 200 = 7 964, 964 , 62 10 = 2 500 Si la compr compra a es a 3 550 550 e, ofrece rentabilidad siguiente,

9.6. 9.6.4. 4.

3 550 = 6 189, 189 , 91 (1 + i + in )−5

in = 0, 1176

3 550 = 7 964, 964 , 62 (1 + i + in )−7

in = 0, 1224

Comp Compra ra en el merc mercad ado o y venta venta en el merc mercad ado o

En este caso, las ecuaciones ecuaciones serán análogas análogas a (9.3), (9.3), sustituye sustituyendo ndo C n por V n . V s = I an−s t + V n (1 + t + te )−(n−s)

(9.4)

e

y si I s = 0, V s = V n (1 + t + te )−(n−s)

9.7. 9.7.

te =

V n V s

1 n−s

−1

Valor alorac ación ión de las las acc accio ione ness

Los métodos más comunes para la valoración de las acciones, son: Valoración a partir del activo neto

Consiste en calcular el valor de la acción como: Activo neto total Número de acciones en circulación En la práctica, el activo contable ofrecido por el balance de la empresa no refleja el verdadero valor del negocio. Será preciso el ajuste al verdadero valor de la empresa lo que conduce al activo neto intrínseco . No obstante, las cotizaciones del valor en Bolsa son diferentes a las correspondientes al valor intrínseco del activo. En ella, los inversores tienen en cuenta la capacidad de obtener beneficios que en parte se manifiesta por los dividendos repartidos a los accionistas.

Títulos valores: operaciones bursátiles bursátiles

170

Valoración en función de los dividendos

Los ingresos monetarios generados por una acción, provienen de los dividendos y del precio de venta en el momento de la enajenación. Los dividendos no reflejan directamente los beneficios de la empresa y ello, repercute directamente en la cotización de la acción. Predecir los dividendos y la cotización requiere un conocimiento de la gestión interna de la empresa así como de la reacción de los inversores. Cabe considerar igualmente los dividendos constantes o crecientes. Valoración en función de los beneficios

Otro criterio es la evaluación de las acciones en función de los beneficios. Una parte de estos es distribuida en forma de dividendos, mientras que el resto se detrae como reservas. Estas, repercutirán de forma favorable en la cotización bursátil del título. El valor de la acción es la suma de los valores actuales de los beneficios futuros. Valoración a través de modelos de regresión

La evaluación de las acciones a través de la regresión, es decir, de un modelo que exprese la correlación entre el valor y una serie de magnitudes que caracterizan a la sociedad. 9.7.1. 9.7.1.

Valorac aloración ión en en funció función n de los divi dividen dendos dos

La nomenclatura de las variables a considerar es: As As C Ds i ia

= = = = = =

valor alor de la acci acción ón al inic inicio io del del año año s + 1, valor alor esti estima mado do para para la acción acción al inic inicio io del año s + 1, valor alor no nomi mina nall de la acci acción ón,, divide dividendo ndo esperado esperado por acción acción al final final de año s, tipo tipo de inte interé rés, s, tanto tanto de de rent rentabilid abilidad ad (efectiv (efectivo) o) de acuerdo acuerdo con su cotización. cotización.

El valor teórico de la acción o valor actualizado de los dividendos esperados al tanto i, es:


171

∞

Ds (1 + i + i))−s

A0 =

(9.5)

s=1

El inversor, decidirá comprar si A0 > A0 , esto es, A0 − A0 > 0, ya que de ese modo obtendrá plusvalías. Venderá si A0 < A0 , por lo que A0 − A0 < 0; y le resultará indiferente si A0 = A0 , siendo A0 − A0 = 0. La obtención del tanto de rentabilidad ia , será a partir de la ecuación: ∞

Ds (1 + i + ia )−s

A0 =

(9.6)

s=1

Y la decisión en consecuencia, será: comprar si i < ia , vender si i > ia e indiferencia si i = i = i a . Dividendos constantes

· · · = Dn y por tanto el valor teórico de Se caracteriza por ser D1 = D2 = ·· cotización, será: 1 (9.7) A0 = D = D a i = D ∞

i

El tanto de rendimiento, A0 = D = D

a∞

ia =

ia

= D

1 ia

D A0

(9.8)

La relación cotización dividendo o número de unidades que hay que invertir ER = p p ( price earning para obtener una unidad o dividendo se denomina P ER = ratio ): P ER = ER = p p = =

A0 1 = D ia

(9.9)

que es una forma de medir la rentabilidad de los títulos, ya que representa el número de años que han de transcurrir hasta recuperar el precio A0 invertido en el título con los rendimientos obtenidos. Si los dividendos Ds no son constantes, el P ER se puede obtener como: p

A0 =

Ds s=1

Títulos valores: operaciones bursátiles bursátiles

172

Un P ER bajo respecto de otras acciones del sector indica que esa acción está barata y quizás sea un buen momento para invertir. Un P ER elevado no siempre significa que su valor esté alto; en ocasiones muestra las buenas expectativas de la empresa. Ejemplo 9.5 Una acción de 6 e nominales, cotiza a 4,55 e. Si los dividendos que se perciben son de 0,45 e anuales, determinar: 1) El valor teórico de la acción si se toma como tanto de valoración i = 12 12 %; 2) El tanto de rendimiento esperado de acuerdo con su cotización; 3) Valor del P ER. ER . 1. A0 = 0, 45

a∞ 0 ,12

= 0, 45

1 = 3, 75 0, 12

2. ia =

D 0, 45 = = 0, 0989 A0 4, 55

3. P ER = ER = p p = =

9.7.2. 9.7.2.

A0 4, 55 = = 10 10,, 11 D 0, 45

Valorac aloración ión en en funció función n de los los benefici beneficios os

Si designamos B a los beneficios proporcionados por la acción en el año s, que estarán formados por los dividendos más las variaciones de cotización del título, podemos determinar el valor teórico de la acción A0 , en función de los beneficios esperados al tanto i , como: ∗

∞

∞ ∗

A0 =

−s

Bs (1 + i + i )

=

s=1

∞ ∗ −s

Ds (1 + i + i ) s=1

+

s

s=1

∗ −s

△A (1 + i + i ) s

(9.10)

y el tanto de rendimiento ia se determinará como: ∗

∞

Bs (1 + i + ia∗ )−s

A0 =

(9.11)

s=1

análogo al método expuesto en los dividendos en (9.6) sin más que sustituir estos por los beneficios.


173

Beneficios constantes

El valor teórico de la acción es: A0 = B

a∞

i

= B

∗

1 i∗

(9.12)

△

△

(9.13)

y del valor obtenido en (9.10), se sigue: A0 =

B D = i∗ i

D + A A = i + A0 A0

i∗ =

y el tanto de rendimiento i , ∗

A0 = B

a

∞

∗

ia

= B

1 i∗a

(9.14)

siendo los valores teóricos y de cotización próximos. La relación

△A A0

=

△A = q , recogerá la tasa de variación de la cotización, dándose la relación, ∗

A0

i∗ = i + q ∗

I a∗ = i a + q ∗

El valor del P ER es, P ER = p ∗ =

A0 1 = ∗ B ia

verificándose la relación, p∗ i = a∗ p ia

ia + q ∗ p = p ia

ia p = p ia + q ∗ ∗

∗

(9.15)

Ejemplo 9.6 De un título que cotiza a 7,50 e del nominal de 6 e, se sabe que proporciona unos beneficios constantes del 20 % de su valora nominal y se reparte en concepto de dividendos el 75 % de los beneficios. Determinar su rentabilidad efectiva según sus beneficios y sus relaciones con la obtenida de sus dividendos. A0 = B

1 ia

7, 50 = 1, 50

·

7, 50 = 1, 50 0, 75 p∗ =

7, 50 =5 1, 50

1 ia

1 i∗a

i∗a = ia =

p = 5

1, 50 = 0, 20 7, 50

1, 1250 = 0, 15 7, 50

0, 20 = 6, 6667 0, 15


174

9.8.

Valoración de las letras financieras

Las letras financieras suponen un método de financiación importante para las entidades financieras y la administración que cuenta con una buena acogida por los inversores debido a su atractiva rentabilidad, seguridad y liquidez. Se emiten al descuento, y proporcionan tipos de interés que suelen sobrepasar a los ofrecidos en las emisiones normales de títulos. Desde el punto de vista fiscal, la tributación se hace por rendimiento de capital mobiliario, no estando sujeta a retención. Las notaciones a emplear, son las siguientes: V 0 C n V s d i iv ic

= valor inicial o precio efectivo de la letra en el momento de su contratación inicial, = valor nominal del efecto el día de su vencimiento, = duración, = valor del título en el momento s, = tanto de descuento, = tipo de interés equivalente a al tanto d, = tipo de interés del vendedor en el momento s, = tipo de interés del comprador en el momento s

9.8.1.

Adquisición inicial de la letra y mantenimiento del título hasta su vencimiento

El inversor adquiere una letra en función de la rentabilidad que puede proporcionarle, es decir, en función de ia Si el tanto de descuento es d, por un título de valor C , que vence dentro de n días, será preciso abonar el valor V 0 , que tal como vimos en (3.9) de la página 29: V 0 = C

1

n − d 365

En consecuencia, i obtenido en función de d, i =

d

1

n − d 365

El parámetro ia es el de decisión y este lo obtenemos de la relación: 1 + ia

n 365

1

−d

a

n =1 365

(9.16)

9.8 Valoración de las letras financieras

175

de donde da e ia , serán según vimos en (2.18), da =

ia

ia =

n 1 + ia 365

da

1

−

(9.17)

n da 365

Ejemplo 9.7 Determinar el precio efectivo que un inversor estará dispuesto a pagar por una letra, de 1 000 e que se emite a 180 días si pretende obtener como mínimo una rentabilidad del 4 % anual. ia

0, 04 = = 0, 039226 n 180 1 + ia 1 + 0, 04 365 365 180 V 0 = 1 000 1 0, 039226 = 980, 65 365

da =

−

que será el máximo valor a pagar para obtener la rentabilidad del 4 %

9.8.2.

Adquisición inicial y venta en el mercado secundario

Una vez hayan transcurrido s días desde su contratación inicial y al tanto de descuento d vigente en el día, el efectivo que se obtiene lo denominaremos V s, tal que: n−s V s = C 1 − d (9.18) ′

′

365

obteniendo el vendedor una rentabilidad iv : V 0 1 + iv

s = V s 365

iv =

V s

− V 0

V 0

365 s

Si el inversor ha decidido vender es porque el tanto de descuento d < da . ′

Ejemplo 9.8 Si transcurridos 45 días el título del ejemplo anterior 9.7 cotiza a 950 e ¿Cuál será el tanto de descuento que se está practicando en el mercado y la rentabilidad que obtendría por letra el contratante inicial si decide vender al precio de cotización? C

− V

−

365 1 000 985 = C n s 1 000 V s V 0 365 985 980, 65 iv = = V 0 s 980, 65 d′ =

s

−

−

La rentabilidad sería i v = 3, 60 %

−

365 = 0, 040556 135 365 = 0, 035980 45


176

9.8.3.

Adquisición de la letra en el mercado secundario

El comprador en el mercado al precio V s , cuando han transcurrido s días puede obtener, si espera a su vencimiento una rentabilidad ic : V s = 1 + ic

−

n s = C 365

ic =

− −

C V s 365 V s n s

−

Sustituyendo V − S por el valor en (9.18) C 1

−

−

n s d 365 ′

−

n s 1 + ic = C 365

ic = 1

−

d′ n s d′ 365

−

Si el comprador del título en el momento s decide venderlo k días después al precio V s+k , obtendrá una rentabilidad iv tal que: V s

1 + iv

k 365

= V s+k

iv =

−

V s+n V s 365 V k

Ejemplo 9.9 Una letra de 1 000 e nominales, emitida a un año se adquiere en el mercado secundario a los 150 días al tanto de descuento del 8 %. Transcurridos 100 días se vende al 7 %. ¿Cuál será el precio de venta y los intereses efectivos obtenidos? V s = C 1 V s+k

−s − d n365

1 + iv V s

k 365

1 + iv

− 150 = 952, 87 − 0, 08 365365 365 − 150 − 100 1 − 0, 07 = 977, 94

= 1 000

= 1 000 k 365

iv =

1

365

= V s+k

iv =

−

V s+k V s 365 V s k

−

977, 94 952, 87 365 = 0, 0961 952, 87 100

Ejercicios propuestos Ejercicio 9.1 Una acción de 10 e nominales cotiza a 12,5 e. Si los dividiendos anuales son de 1,2 e, determinar 1) Valor del P ER, 2) Rendimiento esperado de acuerdo con su cotización. a 0 6 9 0 , 0 = i . 2

2 4 , 0 1 = p . 1 : n ó i c u l o S


177

Ejercicio 9.2 ¿Cuál es la rentabilidd de un título de 500 e emitido a 4 años que paga cupones anuales de 60 e si la amortización se hace por 550 e? a i : n 3 8 2 0 , 0 = ó i c u l o S

Ejercicio 9.3 Determinar el precio máximo por el que se adquirirá una letra de 1 000 e que se emite a 1 año si se pretende obtener una rentabilidad mínima del 4,5% 0 4 9 , 6 5 9 = V : n ó i c u l o S

Ejercicio 9.4 Una letra emitida con un nominal de 1 000 e a un año y un interés del 4,5 % cotiza a 962 e 60 días después. ¿Cuál será la tasa de descuento que está practicando el mercado y el interés si se decide vender a ese precio? v i 2 2 3 0 , 0 =

d : n 1 3 4 0 , 0 = ó i c u l o S ′

Ejercicio 9.5 Se adquiere un título en el mercado en una emisión hecha 4 años antes de 1 000 e nominales con amortización el quinto o séptimo año al 6 % y una prima de emisión de 50 e. En la actualidad, la cotización del título es de 1 250 e. Determinar la rentabilidad obtenida por un comprador en ambos supuestos. 2 2 5 7 0 , 0 = i

1 6 0 7 0 , 0 = i : n ó i c u l o S

Ejercicio 9.6 Un acción de 6 e cotiza a 9,25 e. Si ofrece un dividendo de 0,40 e anuales, determinar el rendimiento esperado por su cotización y el P ER. R E P 3 1 , 3 2 =

a i : n 2 3 4 0 , 0 = ó i c u l o S

Apéndice A

Introducción matemática A.1. Razones y proporciones A.1.1. Razones A.1.2. Proporciones A.2. Porcentajes A.3. Logaritmos decimales A.4. Interpolación lineal A.5. Progresiones aritméticas A.5.1. Suma de términos equidistantes de los extremos A.5.2. Término medio A.5.3. Suma de los términos de una progresión aritmética limitada A.6. Progresiones geométricas A.6.1. Producto de dos términos equidistantes de los extremos A.6.2. Término medio A.6.3. Producto de los términos de una progresión geométrica limitada A.6.4. Suma de los términos de una progresión geométrica limitada

Introducción matemática

180

Como anexo al estudio de las operaciones financieras, se exponen aquí aquellos conceptos y operaciones matemáticas precisos para las distintas unidades. Este estudio, no pretende ser exhaustivo, sino orientativo para el análisis de las matemáticas financieras.

A.1.

Razones y proporciones

A.1.1.

Razones

Se llama razón de dos números al cociente del primero por el segundo. La a razón de dos números a y b se escribe en forma de fracción , donde el b primer número a o numerador (antecedente) y el segundo o denominador b (consecuente). Ejemplo A.1 La razón de 5 a 7, es:

5 7

Propiedades de las razones: 1. Sean las fracciones

a c y : b d

a )

Si b = d , la mayor fracción es la que tiene mayor numerador, b ) Si a = c , la mayor fracción es la que tiene menor denumerador, c ) Si se multiplica o divide el numerador de una fracción por un número, la fracción queda multiplicada o dividida por el mismo número. d ) Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número la fracción no varía. Se llama número mixto a un número compuesto de entero y fracción. Para convertirlo en fracción, se toma por numerador el resultado de multiplicar el denominador por la parte entera y sumarle el numerador, tomando como denominador el denominador de la fracción. Ejemplo A.2 Dado el número mixto 4

·

2 , determinar la fracción: 5

4 5+2 22 = 5 5

A.1 Razones y proporciones

181

Operaciones

Para reducir las fracciones, lo haremos al mínimo común denominador, y para ello seguiremos los pasos siguientes: 1. Se simplifican a su más simple expresión, 2. Se calcula el mínimo común múltiplo ( mcm) de los denominadores. Para ello, se descomponen en sus factores primos. El mcm será el producto de todos los factores de los números dados afectados del mayor exponente, 3. Se divide el mcm por el denominador de cada fracción multiplicando ambos términos por el cociente obtenido. Ejemplo A.3 Reducir al mínimo común denominador las fracciones siguientes: 5 7 9 11 , , y 12 50 24 30 El denominador común, será el mcm de 12, 24, 30 y 50. 12 = 22 24 = 23 30 = 2 50 = 2

·3 ·3 · 32· 5 ·5

mcm = 23 3 52 = 600

··

600 600 600 600 = 50; = 25; = 20; = 12 12 24 30 50

la fracción, quedará reducida así:

· ·

· ·

· ·

· ·

5 50 250 7 12 84 9 25 225 11 20 220 = ; = ; = ; = 12 50 600 50 12 600 24 25 600 30 20 600

1. La suma de fracciones con igual denominador , es otra fracción que tiene el mismo denominador y el numerador es la suma de los numeradores: a1 a2 a3 a1 + a2 + a3 + + = b b b b

2. La suma de fracciones con distinto denominador , se convierte en el caso anterior al obtener previamente el mcm. 3. En la suma de números mixtos , se suman por un lado las partes enteras y por otro las fracciones del siguiente modo: A1

a1 a2 a + A2 = A , siendo b1 b2 b

a1 a2 a + = ; y A1 + A2 = A b1 b2 b


182

4. En la resta de fracciones es válido todo lo dicho anteriormente para la suma, con la salvedad de sustituir el signo más + por el signo menos −. 5. La multiplicación de un entero por una fracción es el producto del entero por el numerador como nuevo numerador siendo el denominador el mismo: A

·

a A a = b b

6. La multiplicación de fracciones es la multiplicación de los numeradores y los denominadores tomando los resultados obtenidos como numerador y denominador respectivamente la fracción producto:

· · · ·

a1 a2 a3 a1 a2 a3 = b1 b2 b3 b1 b2 b3

· ·

7. La división de un número entero por una fracción es la multiplicación del número entero por el denominador de la fracción como numerador y el denominador el mismo: A :

·

a A b = b a

8. La división de dos fracciones es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda como numerador de la nueva fracción y el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda como denominador de la nueva fracción:

· ·

a1 a2 a1 b2 : = b1 b2 b1 a2 A.1.2.

Proporciones

Se llama proporción a la igualdad de dos razones. Si representamos por c d

a b

una razón y por otra, estas dos razones formarán una proporción, cuando: a c = b d

en la que a los términos a y d se les llama extremos, y a los términos b y c medios.

A.2 Porcentajes

A.2.

183

Porcentajes

Se define el tanto por cuanto de una cantidad, como otra cantidad que guarda con la primera la misma relación que el tanto con el cuanto. Así decimos el 3 por 75, el 2 por 80, el 3 por 100, el 1,5 por 1 000, etc. Los más usados son el tanto por ciento (3 %) y el tanto por mil (1,5 %) Para hallar el tanto por cuanto de una cantidad, se la multiplica por el tanto y se la divide por el cuanto.

Ejemplo A.4 El 3 por 75 de 1 500, es:

A.3.

·

1 500 3 = 60 75

Logaritmos decimales

Se llama logaritmo decimal de un número, al exponente a que debe elevarse la base, que en los logaritmos decimales es 10, para obtener una potencia igual al número dado. Ejemplo A.5 1 000 = 10 3 , por tanto, 3 es el logaritmo decimal de 1 000 que se expresa en la forma log1 000 = 3

1. Propiedades de los logaritmos a )

En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1 y el logaritmo de la unidad es 0. b ) Los logaritmos de los números mayores que la unidad son positivos, y al crecer indefinidamente el número, crece también indefinidamente su logaritmo. c ) Los logaritmos de los números positivos menores que la unidad, son negativos, y al aproximarse el número a cero, se aproxima su logaritmo a −∞. d ) Los números negativos carecen de logaritmo real, se dice que tienen logaritmo imaginario. 2. Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

· ·

log a b c = log a + log b + log c


184

3. Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. a log = log a b

− log b

4. Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de dicha potencia. log an = n log a

5. Logaritmo de una raíz El logaritmo de la raíz de un número se obtiene dividiendo el logaritmo del radicando por el índice de la raíz. log

√ a = 1 log a n

n

e igualmente, convirtiéndolo en una potencia, log

√ a = log a n

1 n

= n log a

6. Definición de característica y mantisa La parte entera de un logaritmo se llama característica y la parte decimal, mantisa. Ejemplo A.6 log 640 = 2, 80618; la característica es 2 y la mantisa 0,80618

A.4.

Interpolación lineal

La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f (x) para un valor desconocido de x. Un caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado uno. Para el cálculo de la variable i a partir de la expresión correspondiente al valor actual (o final) de una renta: V 0 = C

en donde,

an

i

·

an

i

, tal como vemos en (5.1) es, an

i

=

1

−n

− (1 + i) i

A.5 Progresiones aritméticas

185

y puesto que no es posible obtener de forma explícita el valor de i , podemos utilizar la interpolación lineal como aproximación. Por las tablas financieras sabemos que y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ) y queremos conocer x para un valor de y = f (x), siendo x1 < x < x2 . La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1 , y1) y (x2 , y2 ) y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función y = f (x). (y (y2

despejando x, x =

− y1) = (x − x1) − y1) (x2 − x1)

(y (y2

− y1) (x2 − x1) + x1 − y1 )

(A.1)

(A.2)

expresión que permite obtener el valor aproximado de x. Ejemplo A.7 Dado el valor de a 10 0 ,05 = 7, 721735 y el correspondiente a a10 0 ,06 = 7, 360087, obtener el tipo i al que corresponde un valor de a10 i = 7, 448054. En este caso, aplicando la interpolación lineal, 7, 448054 7, 360087

− 7, 721735 = x − 0, 05 − 7, 721735 0, 06 − 0, 05

en la que despejando x, utilizando (A.2), obtenemos: x = 0, 05756761 valor aproximado al real de x = 0, 05750042

A.5.

Progresiones aritméticas

Se entiende por progresión, un conjunto de números que aparecen ordenados y que generalmente se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante. Progresión aritmética, es una sucesión, limitada o ilimitada de números, tales que cada uno es igual al anterior variando en una cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión. Si la diferencia o razón es positiva, los términos van aumentando y se llama progresión creciente; si la diferencia es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión se dice que es decreciente.


186

De la definición se deduce que si la sucesión a1 , a2 , a3 ,

··· , a

n−1 , an

es una progresión artimética de razón d y se verifica: a2 = a 1 + d a3 = a 2 + d = a 1 + 2d

.. .

an−1 = a n−2 + d = a 1 + (n an = a n−1 + d = a 1 + (n

− 2)d − 1)d

En las progresiones aritméticas, un término cualquiera es igual al primero más tantas veces la razón como términos le preceden. En general, an = a 1 + (n

− 1)d

Ejemplo A.8 Dada la progresión aritmética 5, 7, 9, mo.

··· calcular el término vigési-

− a1 = 7 − 5 = 2 a20 = 5 + (20 − 1) · 2 = 43

La razón de la progresión, será d = a2

A.5.1.

Suma de términos equidistantes de los extremos

La suma de dos términos equidistantes de los extremos, es constante e igual a la suma de éstos últimos. Dos términos equidistan de los extremos de una progresión, cuando a uno de ellos le preceden tantos términos como siguen al otro. Ejemplo A.9 Dada la progresión aritmética 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, la suma de los extremos, es 4 + 25 = 29, y la de los términos equidistantes también, pues 7 + 22 = 29, 10 + 19 = 29

A.5.2.

Término medio

Cuando el número de términos de la progresión es impar, existe un término a p+1 , el término medio, que es equidistante de si mismo y cumple que: a p+1 =

a1 + an 2

El término medio es igual a la semisuma de los extremos.

A.6 Progresiones geométricas A.5.3.

187

Suma de los términos de una progresión aritmética limitada

Dada la progresión aritmética: a1 , a2 , a3 ,

··· , a

n−2 , an−1 , an

representando por S la suma de todos los términos de la misma, tendremos, S = a 1 + a2 + a3 +

n−2 + an−1 + an

(A.3)

··· + a3 + a2 + a1

(A.4)

··· + a

o bien, S = a n + an−1 + an−2 +

sumando ordenadamente (A.3) y (A.4) resulta: 2S = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + (a3 + an−2 ) +

··· + (a

n−1 + a2 ) + (an +

a1 )

Cada uno de estos pares es suma de términos equidistantes de los extremos, luego todos ellos son iguales a la suma a1 + an de los extremos, o sea 2S = (a1 + an )n,

de donde:

S =

a1 + an n 2

La suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos. Ejemplo A.10 Hallar la suma de los términos de la progresión 1, 6, 11, 16, . . . , compuesta por 51 términos.

−

−

− ·

La razón, es: a2 a1 = 6 1 = 5. El último término, será: a51 = 1+(51 1) 5 = 251 La suma, será: S =

A.6.

1 + 251 51 = 6 426 2

·

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión limitada o ilimitada de términos, tales, que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón de la progresión. Cuando el primer término es positivo y la razón mayor que la unidad, cada término es mayor que el anterior y la progresión se llama creciente. Si la razón es menor que la unidad, pero positiva, cada término es menor que el anterior, y la progresión se llama decreciente.


188

Dada la progresión geométrica, a1 , a2 , a3 ,

··· , a

n−1 , an

por definición, el segundo término a 2 es igual al primero a 1 multiplicado por la razón q , por tanto

· ·

a2 = a 1 q a3 = a 2 q = a 1 q 2

.. .

·

an−1 = a n−2 q = a 1 q n−2 an = a n−1 d = a 1 q n−1

· ·

· ·

en toda progresión geométrica, un término cualquiera es igual al primero multiplicado por la razón elevada al número de términos que le preceden. En general an = a 1 q n−1

·

Ejemplo A.11 Dada la progresión geométrica 8, 16, 32, . . . , calcular el séptimo término. La razón, será q =

a2 16 = =2 a1 8

y a7 = 8 26 = 512

·

A.6.1.

Producto de dos términos equidistantes de los extremos

En toda progresión geométrica, el producto de los términos equidistantes de los extremos es constante e igual al producto de estos extremos. Ejemplo A.12 Dada la progresión geométrica 2, 4, 8, 16, 32, 64, el producto de los extremos, es 2 64 = 128, y el de los términos equidistantes, es 4 32 = 128 y 8 16 = 128

·

·

·

A.6 Progresiones geométricas A.6.2.

189

Término medio

Cuando la progresión geométrica limitada tiene un número impar de términos, hay uno, que equidista consigo mismo de los extremos y cumple que h2 = a 1 an

·

de donde

√ a1 · a

h =

n

El término medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

A.6.3.

Producto de los términos de una progresión geométrica limitada

Dada la progresión geométrica a1 , a2 , a3 , ··· , an 2 , an1 , an −

si llamamos P al producto de sus n primeros términos,

· · ··· a 2 · a 1 · a

(A.5)

·

(A.6)

P = a 1 a2 a3

n−

n−

n

o bien

·

P = a n an−1 an−2

··· a3 · a2 · a1

Multiplicando estas dos expresiones (A.5) y (A.6) y agrupando cada término con el que tiene debajo, P 2 = (a1 an )(a2 an−1 )(a3 an−2 )

·

·

·

··· (a 2 · a3)(a 1 · a2)(a · a1) n−

n−

n

cada uno de estos paréntesis es producto de términos equidistantes de los extremos; luego todos ellos son iguales al producto de a1 · an , de los extremos y como hay n paréntesis P 2 = (a1 an )n ,

·

de donde:

P =

(a1 an )n

·

El producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica es igual a la raíz cuadrada de la potencia n-esima del producto de los extremos.


190

A.6.4.

Suma de los términos de una progresión geométrica limitada

Dada la progresión geométrica a1 , a2 , a3 , ··· , an 2 , an 1 , an −

−

siendo S la suma de sus n primeros términos S = a 1 + a2 + a3 +

··· + a

n−1 + an

multiplicando los dos miembros de esta igualdad por la razón q , Sq = a 1 q + a2 q + a3 q +

··· + a

n−1 q + an q

(A.7)

pero por definición a1 q = a 2 , a2 q = a 3 , a3 q = a 4 ,

··· , a

n−1 q = a n

la expresión (A.7) queda en la forma Sq = a 2 + a3 + a4 +

··· + a + a q n

n

(A.8)

si restamos de esta igualdad (A.8), la (A.7), tenemos: Sq

− S = a q − a1

S (q

n

S =

− 1) = a q − a1

− −

an q a1 q 1

n

(A.9)

La suma de los n términos consecutivos de una progresión geométrica es una fracción cuyo numerador se obtiene restando el primer término del producto del último por la razón; el denominador es la diferencia entre la razón y la unidad. Ejemplo A.13 En una progresión geométrica de razón 3, cuyos extremos son 2 y 286, se desea calcular la suma de sus términos. S =

· − −

286 3 2 856 = = 428 3 1 2

Apéndice B

Diagrama de flujo de fondos y nomenclatura de signos B.1. Introducción B.2. Soluciones con interés compuesto

192

B.1.

Diagrama de flujo de fondos y nomenclatura de signos

Introducción

Una de las problemáticas más importantes de la matemática de las operaciones financieras la tiene el planteamiento de los problemas. Las cinco variables que se han convertido en típicas para describir la mayoría de los problemas financieros pueden explicarse mejor realizando una representación gráfica llamada diagrama de flujo de fondos . El diagrama parte de una línea horizontal, B.1 denominada línea de tiempo, que representa la duración de un problema financiero y está dividida en n períodos de capitalización de igual duración (longitud). 0

1

2

n

−1

n

Figura B.1: Línea del tiempo Los movimientos de dinero, están simbolizados por flechas verticales. El dinero recibido se indica con una flecha con la punta hacia arriba (positivo) de la línea que representa el lapso de la operación, y el dinero pagado con una flecha que apunta hacia abajo (negativo). El monto de pago periódico a o C representa una serie de movimientos de dinero de la misma dirección y magnitud. En el diagrama de flujo de fondos típico de pagos coinciden con los períodos de capitalización y son igual al número de períodos. El primer pago puede ocurrir al principio del primer período (prepagable) o al final del primer período (pospagable), tal como se muestra en B.2

0

1

2

n

−1

n

0

1

2

n

−1

n

Figura B.2: Prepagable y pospagable Cuando se trabaja con problemas financieros, que involucran pagos a, es necesario especificar siempre cuál de las dos posibles formas de pago se van

B.1 Introducción

193

a aplicar, prepagable o pospagable. Las primeras, prepagables, se refieren a menudo a anualidades anticipadas, o primer pago adelantado. Los pagos pospagables se refieren a anualidades ordinarias, pagos vencidos, o anualidades inmediatas. Un único flujo de fondos al comienzo de la línea de tiempo se llama valor actual C 0 . Otro similar al final de la línea de tiempo se llama valor futuro o final C n . La ilustración B.3 refleja el esquema. C n

1

n

2

−1

n

C 0

Figura B.3: Diagrama de flujo de fondos La quinta variable es i, la tasa de interés compuesto por período. En los siguientes ejemplos, se muestran las cinco variables n, i, C 0 , C y C n así como su utilización dentro de un diagrama de flujo de fondos que describe los problemas más comunes de interés compuesto. Las variables C 0 y C n . Ejemplo B.1 Dibujar el diagrama de flujo de fondos correspondiente a un préstamo hipotecario de 50 000,00 e a pagar en 30 años mediante cuotas mensuales de 402,31 e, una tasa de interés nominal anual del 9 %, (equivalente a un 0,75 % mensual), si el primer pago se realiza un mes después de la concesión del préstamo (pospagable). 50 000

0

1

2

359 a =

360

−402, 31

Cuando se utiliza el diagrama de flujo de fondos y la nomenclatura de signos de flujo de fondos para formatear problemas de interés compuesto, deben seguirse siempre las siguientes reglas:

Diagrama de flujo de fondos y nomenclatura de signos

194

n e i, deben corresponder al mismo período de tiempo. n e i, ambos, deben estar presentes en un problema. Tanto si se conocen

ambos valores, como si uno es conocido y el otro hay que calcularlo. Una transacción financiera válida debe incluir siempre, por lo menos, un flujo de fondos positivo y otro negativo. El diagrama de flujo de fondos puede utilizarse para describir muchas variantes de problemas de interés compuesto. Al suministrar un medio de describir los problemas financieros sin utilizar terminología específica de un segmento en particular, el diagrama de flujo de fondos se convierte, en cierto sentido, en un lenguaje universal. Ejemplo B.2 ¿Qué pago mensual es necesario para amortizar totalmente una hipoteca de 75 000,00 e, en 25 años a una tasa de interés nominal anual del 9,75 %? 75 000

0

1

2

299

300

a =?

V 0 = a

i

an i

(m)

J (m) = m

y, sustituyendo i(12) =

0, 0975 = 0, 008125 12

75 000 = a

a300

0 ,008125

siendo, an i

=

1

−n

− (1 + i) i

a300

0 ,008125

=

1

− (1 + 0, 008125) 0, 008125

sustituyendo, a =

75 000 = 668, 35 112, 216138

300

−

= 112, 216138

B.2 Soluciones con interés compuesto

B.2.

195

Soluciones con interés compuesto

Las cinco variables típicas del interés compuesto: n i

= = = = =

n i

C 0 o V 0 PV C o a PMT C n o V n FV

número de períodos tasa de interés capital inicial o valor actual pagos periódicos capital final o valor final

se pueden representar en el siguiente diagrama básico de flujo de fondos B.4 C 0

0

1

n

2 C

C

−1

n

C C n

Figura B.4: Diagrama básico de flujo de fondos

Apéndice C

Tablas financieras C.1. C.2. C.3. C.4.

Factor de capitalización compuesta unitaria Factor de descuento compuesto unitario Valor actual de una renta unitaria Valor final de una renta unitaria

Tablas financieras

198

C.1.

Factor de capitalización compuesta unitaria (1 + i)n

n 1 2 3 4 5

0,01 1,0100 1,0201 1,0303 1,0406 1,0510

0,02 1,0200 1,0404 1,0612 1,0824 1,1041

0,03 1,0300 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593

0,04 1,0400 1,0816 1,1249 1,1699 1,2167

0,05 1,0500 1,1025 1,1576 1,2155 1,2763

0,06 1,0600 1,1236 1,1910 1,2625 1,3382

0,07 1,0700 1,1449 1,2250 1,3108 1,4026

0,08 1,0800 1,1664 1,2597 1,3605 1,4693

0,09 1,0900 1,1881 1,2950 1,4116 1,5386

0,10 1,1000 1,2100 1,3310 1,4641 1,6105

6 7 8 9 10

1,0615 1,0721 1,0829 1,0937 1,1046

1,1262 1,1487 1,1717 1,1951 1,2190

1,1941 1,2299 1,2668 1,3048 1,3439

1,2653 1,3159 1,3686 1,4233 1,4802

1,3401 1,4071 1,4775 1,5513 1,6289

1,4185 1,5036 1,5938 1,6895 1,7908

1,5007 1,6058 1,7182 1,8385 1,9672

1,5869 1,7138 1,8509 1,9990 2,1589

1,6771 1,8280 1,9926 2,1719 2,3674

1,7716 1,9487 2,1436 2,3579 2,5937

11 12 13 14 15

1,1157 1,1268 1,1381 1,1495 1,1610

1,2434 1,2682 1,2936 1,3195 1,3459

1,3842 1,4258 1,4685 1,5126 1,5580

1,5395 1,6010 1,6651 1,7317 1,8009

1,7103 1,7959 1,8856 1,9799 2,0789

1,8983 2,0122 2,1329 2,2609 2,3966

2,1049 2,2522 2,4098 2,5785 2,7590

2,3316 2,5182 2,7196 2,9372 3,1722

2,5804 2,8127 3,0658 3,3417 3,6425

2,8531 3,1384 3,4523 3,7975 4,1772

16 17 18 19 20

1,1726 1,1843 1,1961 1,2081 1,2202

1,3728 1,4002 1,4282 1,4568 1,4859

1,6047 1,6528 1,7024 1,7535 1,8061

1,8730 1,9479 2,0258 2,1068 2,1911

2,1829 2,2920 2,4066 2,5270 2,6533

2,5404 2,6928 2,8543 3,0256 3,2071

2,9522 3,1588 3,3799 3,6165 3,8697

3,4259 3,7000 3,9960 4,3157 4,6610

3,9703 4,3276 4,7171 5,1417 5,6044

4,5950 5,0545 5,5599 6,1159 6,7275

21 22 23 24 25

1,2324 1,2447 1,2572 1,2697 1,2824

1,5157 1,5460 1,5769 1,6084 1,6406

1,8603 1,9161 1,9736 2,0328 2,0938

2,2788 2,3699 2,4647 2,5633 2,6658

2,7860 2,9253 3,0715 3,2251 3,3864

3,3996 3,6035 3,8197 4,0489 4,2919

4,1406 4,4304 4,7405 5,0724 5,4274

5,0338 5,4365 5,8715 6,3412 6,8485

6,1088 6,6586 7,2579 7,9111 8,6231

7,4002 8,1403 8,9543 9,8497 10,8347

26 27 28 29 30

1,2953 1,3082 1,3213 1,3345 1,3478

1,6734 1,7069 1,7410 1,7758 1,8114

2,1566 2,2213 2,2879 2,3566 2,4273

2,7725 2,8834 2,9987 3,1187 3,2434

3,5557 3,7335 3,9201 4,1161 4,3219

4,5494 4,8223 5,1117 5,4184 5,7435

5,8074 6,2139 6,6488 7,1143 7,6123

7,3964 7,9881 8,6271 9,3173 10,0627

9,3992 10,2451 11,1671 12,1722 13,2677

11,9182 13,1100 14,4210 15,8631 17,4494

31 32 33 34 35

1,3613 1,3749 1,3887 1,4026 1,4166

1,8476 1,8845 1,9222 1,9607 1,9999

2,5001 2,5751 2,6523 2,7319 2,8139

3,3731 3,5081 3,6484 3,7943 3,9461

4,5380 4,7649 5,0032 5,2533 5,5160

6,0881 6,4534 6,8406 7,2510 7,6861

8,1451 8,7153 9,3253 9,9781 10,6766

10,8677 11,7371 12,6760 13,6901 14,7853

14,4618 15,7633 17,1820 18,7284 20,4140

19,1943 21,1138 23,2252 25,5477 28,1024

36 37 38 39 40

1,4308 1,4451 1,4595 1,4741 1,4889

2,0399 2,0807 2,1223 2,1647 2,2080

2,8983 2,9852 3,0748 3,1670 3,2620

4,1039 4,2681 4,4388 4,6164 4,8010

5,7918 6,0814 6,3855 6,7048 7,0400

8,1473 8,6361 9,1543 9,7035 10,2857

11,4239 12,2236 13,0793 13,9948 14,9745

15,9682 17,2456 18,6253 20,1153 21,7245

22,2512 24,2538 26,4367 28,8160 31,4094

30,9127 34,0039 37,4043 41,1448 45,2593

41 42 43 44 45

1,5038 1,5188 1,5340 1,5493 1,5648

2,2522 2,2972 2,3432 2,3901 2,4379

3,3599 3,4607 3,5645 3,6715 3,7816

4,9931 5,1928 5,4005 5,6165 5,8412

7,3920 7,7616 8,1497 8,5572 8,9850

10,9029 11,5570 12,2505 12,9855 13,7646

16,0227 17,1443 18,3444 19,6285 21,0025

23,4625 25,3395 27,3666 29,5560 31,9204

34,2363 37,3175 40,6761 44,3370 48,3273

49,7852 54,7637 60,2401 66,2641 72,8905

46 47 48 49 50

1,5805 1,5963 1,6122 1,6283 1,6446

2,4866 2,5363 2,5871 2,6388 2,6916

3,8950 4,0119 4,1323 4,2562 4,3839

6,0748 6,3178 6,5705 6,8333 7,1067

9,4343 9,9060 10,4013 10,9213 11,4674

14,5905 15,4659 16,3939 17,3775 18,4202

22,4726 24,0457 25,7289 27,5299 29,4570

34,4741 37,2320 40,2106 43,4274 46,9016

52,6767 57,4176 62,5852 68,2179 74,3575

80,1795 88,1975 97,0172 106,7190 117,3909

C.1 Factor de capitalización compuesta unitaria

199

(1 + i)n

n 1 2 3 4 5

0,12 1,1200 1,2544 1,4049 1,5735 1,7623

0,14 1,1400 1,2996 1,4815 1,6890 1,9254

0,16 1,1600 1,3456 1,5609 1,8106 2,1003

0,18 1,1800 1,3924 1,6430 1,9388 2,2878

0,20 1,2000 1,4400 1,7280 2,0736 2,4883

0,22 1,2200 1,4884 1,8158 2,2153 2,7027

0,24 1,2400 1,5376 1,9066 2,3642 2,9316

0,26 1,2600 1,5876 2,0004 2,5205 3,1758

0,28 1,2800 1,6384 2,0972 2,6844 3,4360

0,32 1,3200 1,7424 2,3000 3,0360 4,0075

6 7 8 9 10

1,9738 2,2107 2,4760 2,7731 3,1058

2,1950 2,5023 2,8526 3,2519 3,7072

2,4364 2,8262 3,2784 3,8030 4,4114

2,6996 3,1855 3,7589 4,4355 5,2338

2,9860 3,5832 4,2998 5,1598 6,1917

3,2973 4,0227 4,9077 5,9874 7,3046

3,6352 4,5077 5,5895 6,9310 8,5944

4,0015 5,0419 6,3528 8,0045 10,0857

4,3980 5,6295 7,2058 9,2234 11,8059

5,2899 6,9826 9,2170 12,1665 16,0598

11 12 13 14 15

3,4785 3,8960 4,3635 4,8871 5,4736

4,2262 4,8179 5,4924 6,2613 7,1379

5,1173 5,9360 6,8858 7,9875 9,2655

6,1759 7,2876 8,5994 10,1472 11,9737

7,4301 8,9161 10,6993 12,8392 15,4070

8,9117 10,8722 13,2641 16,1822 19,7423

10,6571 13,2148 16,3863 20,3191 25,1956

12,7080 16,0120 20,1752 25,4207 32,0301

15,1116 19,3428 24,7588 31,6913 40,5648

21,1989 27,9825 36,9370 48,7568 64,3590

16 17 18 19 20

6,1304 6,8660 7,6900 8,6128 9,6463

8,1372 9,2765 10,5752 12,0557 13,7435

10,7480 12,4677 14,4625 16,7765 19,4608

14,1290 16,6722 19,6733 23,2144 27,3930

18,4884 22,1861 26,6233 31,9480 38,3376

24,0856 29,3844 35,8490 43,7358 53,3576

31,2426 38,7408 48,0386 59,5679 73,8641

40,3579 50,8510 64,0722 80,7310 101,7211

51,9230 66,4614 85,0706 108,8904 139,3797

84,9538 112,1390 148,0235 195,3911 257,9162

21 22 23 24 25

10,8038 12,1003 13,5523 15,1786 17,0001

15,6676 17,8610 20,3616 23,2122 26,4619

22,5745 26,1864 30,3762 35,2364 40,8742

32,3238 38,1421 45,0076 53,1090 62,6686

46,0051 55,2061 66,2474 79,4968 95,3962

65,0963 79,4175 96,8894 118,2050 144,2101

91,5915 113,5735 140,8312 174,6306 216,5420

128,1685 161,4924 203,4804 256,3853 323,0454

178,4060 340,4494 228,3596 449,3932 292,3003 593,1990 374,1444 783,0227 478,9049 1 033,5900

26 27 28 29 30

19,0401 21,3249 23,8839 26,7499 29,9599

30,1666 34,3899 39,2045 44,6931 50,9502

47,4141 55,0004 63,8004 74,0085 85,8499

73,9490 87,2598 102,9666 121,5005 143,3706

114,4755 137,3706 164,8447 197,8136 237,3763

175,9364 214,6424 261,8637 319,4737 389,7579

268,5121 407,0373 612,9982 1 364,3387 332,9550 512,8670 784,6377 1 800,9271 412,8642 646,2124 1 004,3363 2 377,2238 511,9516 814,2276 1 285,5504 3 137,9354 634,8199 1 025,9267 1 645,5046 4 142,0748

31 32 33 34 35

33,5551 37,5817 42,0915 47,1425 52,7996

58,0832 66,2148 75,4849 86,0528 98,1002

99,5859 115,5196 134,0027 155,4432 180,3141

169,1774 199,6293 235,5625 277,9638 327,9973

284,8516 475,5046 787,1767 1 292,6677 341,8219 580,1156 976,0991 1 628,7613 410,1863 707,7411 1 210,3629 2 052,2392 492,2235 863,4441 1 500,8500 2 585,8215 590,6682 1 053,4018 1 861,0540 3 258,1350

36 37 38 39 40

59,1356 66,2318 74,1797 83,0812 93,0510

111,8342 127,4910 145,3397 165,6873 188,8835

209,1643 242,6306 281,4515 326,4838 378,7212

387,0368 708,8019 1 285,1502 456,7034 850,5622 1 567,8833 538,9100 1 020,6747 1 912,8176 635,9139 1 224,8096 2 333,6375 750,3783 1 469,7716 2 847,0378

41 42 43 44 45

104,2171 116,7231 130,7299 146,4175 163,9876

215,3272 245,4730 279,8392 319,0167 363,6791

439,3165 509,6072 591,1443 685,7274 795,4438

885,4464 1 044,8268 1 232,8956 1 454,8168 1 716,6839

1 763,7259 2 116,4711 2 539,7653 3 047,7183 3 657,2620

46 47 48 49 50

183,6661 205,7061 230,3908 258,0377 289,0022

414,5941 472,6373 538,8065 614,2395 700,2330

922,7148 1 070,3492 1 241,6051 1 440,2619 1 670,7038

2 025,6870 2 390,3106 2 820,5665 3 328,2685 3 927,3569

4 388,7144 9 387,5489 5 266,4573 11 452,8096 6 319,7487 13 972,4277 7 583,6985 17 046,3618 9 100,4382 20 796,5615

2 307,7070 2 861,5567 3 548,3303 4 399,9295 5 455,9126

3 473,3861 6 765,3317 4 237,5310 8 389,0113 5 169,7878 10 402,3740 6 307,1411 12 898,9437 7 694,7122 15 994,6902 19 24 30 37 46

833,4158 593,4356 495,8602 814,8666 890,4346

2 106,2458 2 695,9947 3 450,8732 4 417,1177 5 653,9106

5 467,5387 7 217,1511 9 526,6395 12 575,1641 16 599,2166

4 105,2501 7 237,0056 5 172,6152 9 263,3671 6 517,4951 11 857,1099 8 212,0438 15 177,1007 10 347,1752 19 426,6889

21 910,9659 28 922,4750 38 177,6670 50 394,5205 66 520,7670

13 037,4408 16 427,1754 20 698,2410 26 079,7837 32 860,5275

24 31 40 52 66

866,1618 87 807,4125 828,6871 740,7195 148,1210 749,5949

41 404,2646 85 439,4814 52 169,3734 65 733,4105 82 824,0972

∗

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Tablas financieras

200

C.2.

Factor de descuento compuesto unitario

(1 + i)−n

n 1 2 3 4 5

0,01 0,9901 0,9803 0,9706 0,9610 0,9515

0,02 0,9804 0,9612 0,9423 0,9238 0,9057

0,03 0,9709 0,9426 0,9151 0,8885 0,8626

0,04 0,9615 0,9246 0,8890 0,8548 0,8219

0,05 0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835

0,06 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921 0,7473

0,07 0,9346 0,8734 0,8163 0,7629 0,7130

0,08 0,9259 0,8573 0,7938 0,7350 0,6806

0,09 0,9174 0,8417 0,7722 0,7084 0,6499

0,10 0,9091 0,8264 0,7513 0,6830 0,6209

6 7 8 9 10

0,9420 0,9327 0,9235 0,9143 0,9053

0,8880 0,8706 0,8535 0,8368 0,8203

0,8375 0,8131 0,7894 0,7664 0,7441

0,7903 0,7599 0,7307 0,7026 0,6756

0,7462 0,7107 0,6768 0,6446 0,6139

0,7050 0,6651 0,6274 0,5919 0,5584

0,6663 0,6227 0,5820 0,5439 0,5083

0,6302 0,5835 0,5403 0,5002 0,4632

0,5963 0,5470 0,5019 0,4604 0,4224

0,5645 0,5132 0,4665 0,4241 0,3855

11 12 13 14 15

0,8963 0,8874 0,8787 0,8700 0,8613

0,8043 0,7885 0,7730 0,7579 0,7430

0,7224 0,7014 0,6810 0,6611 0,6419

0,6496 0,6246 0,6006 0,5775 0,5553

0,5847 0,5568 0,5303 0,5051 0,4810

0,5268 0,4970 0,4688 0,4423 0,4173

0,4751 0,4440 0,4150 0,3878 0,3624

0,4289 0,3971 0,3677 0,3405 0,3152

0,3875 0,3555 0,3262 0,2992 0,2745

0,3505 0,3186 0,2897 0,2633 0,2394

16 17 18 19 20

0,8528 0,8444 0,8360 0,8277 0,8195

0,7284 0,7142 0,7002 0,6864 0,6730

0,6232 0,6050 0,5874 0,5703 0,5537

0,5339 0,5134 0,4936 0,4746 0,4564

0,4581 0,4363 0,4155 0,3957 0,3769

0,3936 0,3714 0,3503 0,3305 0,3118

0,3387 0,3166 0,2959 0,2765 0,2584

0,2919 0,2703 0,2502 0,2317 0,2145

0,2519 0,2311 0,2120 0,1945 0,1784

0,2176 0,1978 0,1799 0,1635 0,1486

21 22 23 24 25

0,8114 0,8034 0,7954 0,7876 0,7798

0,6598 0,6468 0,6342 0,6217 0,6095

0,5375 0,5219 0,5067 0,4919 0,4776

0,4388 0,4220 0,4057 0,3901 0,3751

0,3589 0,3418 0,3256 0,3101 0,2953

0,2942 0,2775 0,2618 0,2470 0,2330

0,2415 0,2257 0,2109 0,1971 0,1842

0,1987 0,1839 0,1703 0,1577 0,1460

0,1637 0,1502 0,1378 0,1264 0,1160

0,1351 0,1228 0,1117 0,1015 0,0923

26 27 28 29 30

0,7720 0,7644 0,7568 0,7493 0,7419

0,5976 0,5859 0,5744 0,5631 0,5521

0,4637 0,4502 0,4371 0,4243 0,4120

0,3607 0,3468 0,3335 0,3207 0,3083

0,2812 0,2678 0,2551 0,2429 0,2314

0,2198 0,2074 0,1956 0,1846 0,1741

0,1722 0,1609 0,1504 0,1406 0,1314

0,1352 0,1252 0,1159 0,1073 0,0994

0,1064 0,0976 0,0895 0,0822 0,0754

0,0839 0,0763 0,0693 0,0630 0,0573

31 32 33 34 35

0,7346 0,7273 0,7201 0,7130 0,7059

0,5412 0,5306 0,5202 0,5100 0,5000

0,4000 0,3883 0,3770 0,3660 0,3554

0,2965 0,2851 0,2741 0,2636 0,2534

0,2204 0,2099 0,1999 0,1904 0,1813

0,1643 0,1550 0,1462 0,1379 0,1301

0,1228 0,1147 0,1072 0,1002 0,0937

0,0920 0,0852 0,0789 0,0730 0,0676

0,0691 0,0634 0,0582 0,0534 0,0490

0,0521 0,0474 0,0431 0,0391 0,0356

36 37 38 39 40

0,6989 0,6920 0,6852 0,6784 0,6717

0,4902 0,4806 0,4712 0,4619 0,4529

0,3450 0,3350 0,3252 0,3158 0,3066

0,2437 0,2343 0,2253 0,2166 0,2083

0,1727 0,1644 0,1566 0,1491 0,1420

0,1227 0,1158 0,1092 0,1031 0,0972

0,0875 0,0818 0,0765 0,0715 0,0668

0,0626 0,0580 0,0537 0,0497 0,0460

0,0449 0,0412 0,0378 0,0347 0,0318

0,0323 0,0294 0,0267 0,0243 0,0221

41 42 43 44 45

0,6650 0,6584 0,6519 0,6454 0,6391

0,4440 0,4353 0,4268 0,4184 0,4102

0,2976 0,2890 0,2805 0,2724 0,2644

0,2003 0,1926 0,1852 0,1780 0,1712

0,1353 0,1288 0,1227 0,1169 0,1113

0,0917 0,0865 0,0816 0,0770 0,0727

0,0624 0,0583 0,0545 0,0509 0,0476

0,0426 0,0395 0,0365 0,0338 0,0313

0,0292 0,0268 0,0246 0,0226 0,0207

0,0201 0,0183 0,0166 0,0151 0,0137

46 47 48 49 50

0,6327 0,6265 0,6203 0,6141 0,6080

0,4022 0,3943 0,3865 0,3790 0,3715

0,2567 0,2493 0,2420 0,2350 0,2281

0,1646 0,1583 0,1522 0,1463 0,1407

0,1060 0,1009 0,0961 0,0916 0,0872

0,0685 0,0647 0,0610 0,0575 0,0543

0,0445 0,0416 0,0389 0,0363 0,0339

0,0290 0,0269 0,0249 0,0230 0,0213

0,0190 0,0174 0,0160 0,0147 0,0134

0,0125 0,0113 0,0103 0,0094 0,0085

C.2 Factor de descuento compuesto unitario

201

(1 + i)−n

n 1 2 3 4 5

0,12 0,8929 0,7972 0,7118 0,6355 0,5674

0,14 0,8772 0,7695 0,6750 0,5921 0,5194

0,16 0,8621 0,7432 0,6407 0,5523 0,4761

0,18 0,8475 0,7182 0,6086 0,5158 0,4371

0,20 0,8333 0,6944 0,5787 0,4823 0,4019

0,22 0,8197 0,6719 0,5507 0,4514 0,3700

0,24 0,8065 0,6504 0,5245 0,4230 0,3411

0,26 0,7937 0,6299 0,4999 0,3968 0,3149

0,28 0,7813 0,6104 0,4768 0,3725 0,2910

0,32 0,7576 0,5739 0,4348 0,3294 0,2495

6 7 8 9 10

0,5066 0,4523 0,4039 0,3606 0,3220

0,4556 0,3996 0,3506 0,3075 0,2697

0,4104 0,3538 0,3050 0,2630 0,2267

0,3704 0,3139 0,2660 0,2255 0,1911

0,3349 0,2791 0,2326 0,1938 0,1615

0,3033 0,2486 0,2038 0,1670 0,1369

0,2751 0,2218 0,1789 0,1443 0,1164

0,2499 0,1983 0,1574 0,1249 0,0992

0,2274 0,1776 0,1388 0,1084 0,0847

0,1890 0,1432 0,1085 0,0822 0,0623

11 12 13 14 15

0,2875 0,2567 0,2292 0,2046 0,1827

0,2366 0,2076 0,1821 0,1597 0,1401

0,1954 0,1685 0,1452 0,1252 0,1079

0,1619 0,1372 0,1163 0,0985 0,0835

0,1346 0,1122 0,0935 0,0779 0,0649

0,1122 0,0920 0,0754 0,0618 0,0507

0,0938 0,0757 0,0610 0,0492 0,0397

0,0787 0,0625 0,0496 0,0393 0,0312

0,0662 0,0517 0,0404 0,0316 0,0247

0,0472 0,0357 0,0271 0,0205 0,0155

16 17 18 19 20

0,1631 0,1456 0,1300 0,1161 0,1037

0,1229 0,1078 0,0946 0,0829 0,0728

0,0930 0,0802 0,0691 0,0596 0,0514

0,0708 0,0600 0,0508 0,0431 0,0365

0,0541 0,0451 0,0376 0,0313 0,0261

0,0415 0,0340 0,0279 0,0229 0,0187

0,0320 0,0258 0,0208 0,0168 0,0135

0,0248 0,0197 0,0156 0,0124 0,0098

0,0193 0,0150 0,0118 0,0092 0,0072

0,0118 0,0089 0,0068 0,0051 0,0039

21 22 23 24 25

0,0926 0,0826 0,0738 0,0659 0,0588

0,0638 0,0560 0,0491 0,0431 0,0378

0,0443 0,0382 0,0329 0,0284 0,0245

0,0309 0,0262 0,0222 0,0188 0,0160

0,0217 0,0181 0,0151 0,0126 0,0105

0,0154 0,0126 0,0103 0,0085 0,0069

0,0109 0,0088 0,0071 0,0057 0,0046

0,0078 0,0062 0,0049 0,0039 0,0031

0,0056 0,0044 0,0034 0,0027 0,0021

0,0029 0,0022 0,0017 0,0013 0,0010

26 27 28 29 30

0,0525 0,0469 0,0419 0,0374 0,0334

0,0331 0,0291 0,0255 0,0224 0,0196

0,0211 0,0182 0,0157 0,0135 0,0116

0,0135 0,0115 0,0097 0,0082 0,0070

0,0087 0,0073 0,0061 0,0051 0,0042

0,0057 0,0047 0,0038 0,0031 0,0026

0,0037 0,0030 0,0024 0,0020 0,0016

0,0025 0,0019 0,0015 0,0012 0,0010

0,0016 0,0013 0,0010 0,0008 0,0006

0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

31 32 33 34 35

0,0298 0,0266 0,0238 0,0212 0,0189

0,0172 0,0151 0,0132 0,0116 0,0102

0,0100 0,0087 0,0075 0,0064 0,0055

0,0059 0,0050 0,0042 0,0036 0,0030

0,0035 0,0029 0,0024 0,0020 0,0017

0,0021 0,0017 0,0014 0,0012 0,0009

0,0013 0,0010 0,0008 0,0007 0,0005

0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003

0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002

0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

36 37 38 39 40

0,0169 0,0151 0,0135 0,0120 0,0107

0,0089 0,0078 0,0069 0,0060 0,0053

0,0048 0,0041 0,0036 0,0031 0,0026

0,0026 0,0022 0,0019 0,0016 0,0013

0,0014 0,0012 0,0010 0,0008 0,0007

0,0008 0,0006 0,0005 0,0004 0,0004

0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002

0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001

0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

41 42 43 44 45

0,0096 0,0086 0,0076 0,0068 0,0061

0,0046 0,0041 0,0036 0,0031 0,0027

0,0023 0,0020 0,0017 0,0015 0,0013

0,0011 0,0010 0,0008 0,0007 0,0006

0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 0,0003

0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001

0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

46 47 48 49 50

0,0054 0,0049 0,0043 0,0039 0,0035

0,0024 0,0021 0,0019 0,0016 0,0014

0,0011 0,0009 0,0008 0,0007 0,0006

0,0005 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003

0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001

0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000

0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tablas financieras

202

C.3.

Valor actual de una renta unitaria an i

=

1

−n

− (1 + i) i

n 1 2 3 4 5

0,01 0,9901 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534

0,02 0,9804 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135

0,03 0,9709 1,9135 2,8286 3,7171 4,5797

0,04 0,9615 1,8861 2,7751 3,6299 4,4518

0,05 0,9524 1,8594 2,7232 3,5460 4,3295

0,06 0,9434 1,8334 2,6730 3,4651 4,2124

0,07 0,9346 1,8080 2,6243 3,3872 4,1002

0,08 0,9259 1,7833 2,5771 3,3121 3,9927

0,09 0,9174 1,7591 2,5313 3,2397 3,8897

0,10 0,9091 1,7355 2,4869 3,1699 3,7908

6 7 8 9 10

5,7955 6,7282 7,6517 8,5660 9,4713

5,6014 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826

5,4172 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302

5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109

5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217

4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601

4,7665 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236

4,6229 5,2064 5,7466 6,2469 6,7101

4,4859 5,0330 5,5348 5,9952 6,4177

4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446

11 12 13 14 15

10,3676 11,2551 12,1337 13,0037 13,8651

9,7868 10,5753 11,3484 12,1062 12,8493

9,2526 9,9540 10,6350 11,2961 11,9379

8,7605 9,3851 9,9856 10,5631 11,1184

8,3064 8,8633 9,3936 9,8986 10,3797

7,8869 8,3838 8,8527 9,2950 9,7122

7,4987 7,9427 8,3577 8,7455 9,1079

7,1390 7,5361 7,9038 8,2442 8,5595

6,8052 7,1607 7,4869 7,7862 8,0607

6,4951 6,8137 7,1034 7,3667 7,6061

16 17 18 19 20

14,7179 15,5623 16,3983 17,2260 18,0456

13,5777 14,2919 14,9920 15,6785 16,3514

12,5611 13,1661 13,7535 14,3238 14,8775

11,6523 12,1657 12,6593 13,1339 13,5903

10,8378 11,2741 11,6896 12,0853 12,4622

10,1059 10,4773 10,8276 11,1581 11,4699

9,4466 9,7632 10,0591 10,3356 10,5940

8,8514 9,1216 9,3719 9,6036 9,8181

8,3126 8,5436 8,7556 8,9501 9,1285

7,8237 8,0216 8,2014 8,3649 8,5136

21 22 23 24 25

18,8570 19,6604 20,4558 21,2434 22,0232

17,0112 17,6580 18,2922 18,9139 19,5235

15,4150 15,9369 16,4436 16,9355 17,4131

14,0292 14,4511 14,8568 15,2470 15,6221

12,8212 13,1630 13,4886 13,7986 14,0939

11,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12,7834

10,8355 11,0612 11,2722 11,4693 11,6536

10,0168 10,2007 10,3711 10,5288 10,6748

9,2922 9,4424 9,5802 9,7066 9,8226

8,6487 8,7715 8,8832 8,9847 9,0770

26 27 28 29 30

22,7952 23,5596 24,3164 25,0658 25,8077

20,1210 20,7069 21,2813 21,8444 22,3965

17,8768 18,3270 18,7641 19,1885 19,6004

15,9828 16,3296 16,6631 16,9837 17,2920

14,3752 14,6430 14,8981 15,1411 15,3725

13,0032 13,2105 13,4062 13,5907 13,7648

11,8258 11,9867 12,1371 12,2777 12,4090

10,8100 10,9352 11,0511 11,1584 11,2578

9,9290 10,0266 10,1161 10,1983 10,2737

9,1609 9,2372 9,3066 9,3696 9,4269

31 32 33 34 35

26,5423 27,2696 27,9897 28,7027 29,4086

22,9377 23,4683 23,9886 24,4986 24,9986

20,0004 20,3888 20,7658 21,1318 21,4872

17,5885 17,8736 18,1476 18,4112 18,6646

15,5928 15,8027 16,0025 16,1929 16,3742

13,9291 14,0840 14,2302 14,3681 14,4982

12,5318 12,6466 12,7538 12,8540 12,9477

11,3498 11,4350 11,5139 11,5869 11,6546

10,3428 10,4062 10,4644 10,5178 10,5668

9,4790 9,5264 9,5694 9,6086 9,6442

36 37 38 39 40

30,1075 30,7995 31,4847 32,1630 32,8347

25,4888 25,9695 26,4406 26,9026 27,3555

21,8323 22,1672 22,4925 22,8082 23,1148

18,9083 19,1426 19,3679 19,5845 19,7928

16,5469 16,7113 16,8679 17,0170 17,1591

14,6210 14,7368 14,8460 14,9491 15,0463

13,0352 13,1170 13,1935 13,2649 13,3317

11,7172 11,7752 11,8289 11,8786 11,9246

10,6118 10,6530 10,6908 10,7255 10,7574

9,6765 9,7059 9,7327 9,7570 9,7791

41 42 43 44 45

33,4997 34,1581 34,8100 35,4555 36,0945

27,7995 28,2348 28,6616 29,0800 29,4902

23,4124 23,7014 23,9819 24,2543 24,5187

19,9931 20,1856 20,3708 20,5488 20,7200

17,2944 17,4232 17,5459 17,6628 17,7741

15,1380 15,2245 15,3062 15,3832 15,4558

13,3941 13,4524 13,5070 13,5579 13,6055

11,9672 12,0067 12,0432 12,0771 12,1084

10,7866 10,8134 10,8380 10,8605 10,8812

9,7991 9,8174 9,8340 9,8491 9,8628

46 47 48 49 50

36,7272 37,3537 37,9740 38,5881 39,1961

29,8923 30,2866 30,6731 31,0521 31,4236

24,7754 25,0247 25,2667 25,5017 25,7298

20,8847 21,0429 21,1951 21,3415 21,4822

17,8801 17,9810 18,0772 18,1687 18,2559

15,5244 15,5890 15,6500 15,7076 15,7619

13,6500 13,6916 13,7305 13,7668 13,8007

12,1374 12,1643 12,1891 12,2122 12,2335

10,9002 10,9176 10,9336 10,9482 10,9617

9,8753 9,8866 9,8969 9,9063 9,9148

C.3 Valor actual de una renta unitaria

an i

=

1

203

−n

− (1 + i) i

n 1 2 3 4 5

0,12 0,8929 1,6901 2,4018 3,0373 3,6048

0,14 0,8772 1,6467 2,3216 2,9137 3,4331

0,16 0,8621 1,6052 2,2459 2,7982 3,2743

0,18 0,8475 1,5656 2,1743 2,6901 3,1272

0,20 0,8333 1,5278 2,1065 2,5887 2,9906

0,22 0,8197 1,4915 2,0422 2,4936 2,8636

0,24 0,8065 1,4568 1,9813 2,4043 2,7454

0,26 0,7937 1,4235 1,9234 2,3202 2,6351

0,28 0,7813 1,3916 1,8684 2,2410 2,5320

0,32 0,7576 1,3315 1,7663 2,0957 2,3452

6 7 8 9 10

4,1114 4,5638 4,9676 5,3282 5,6502

3,8887 4,2883 4,6389 4,9464 5,2161

3,6847 4,0386 4,3436 4,6065 4,8332

3,4976 3,8115 4,0776 4,3030 4,4941

3,3255 3,6046 3,8372 4,0310 4,1925

3,1669 3,4155 3,6193 3,7863 3,9232

3,0205 3,2423 3,4212 3,5655 3,6819

2,8850 3,0833 3,2407 3,3657 3,4648

2,7594 2,9370 3,0758 3,1842 3,2689

2,5342 2,6775 2,7860 2,8681 2,9304

11 12 13 14 15

5,9377 6,1944 6,4235 6,6282 6,8109

5,4527 5,6603 5,8424 6,0021 6,1422

5,0286 5,1971 5,3423 5,4675 5,5755

4,6560 4,7932 4,9095 5,0081 5,0916

4,3271 4,4392 4,5327 4,6106 4,6755

4,0354 4,1274 4,2028 4,2646 4,3152

3,7757 3,8514 3,9124 3,9616 4,0013

3,5435 3,6059 3,6555 3,6949 3,7261

3,3351 3,3868 3,4272 3,4587 3,4834

2,9776 3,0133 3,0404 3,0609 3,0764

16 17 18 19 20

6,9740 7,1196 7,2497 7,3658 7,4694

6,2651 6,3729 6,4674 6,5504 6,6231

5,6685 5,7487 5,8178 5,8775 5,9288

5,1624 5,2223 5,2732 5,3162 5,3527

4,7296 4,7746 4,8122 4,8435 4,8696

4,3567 4,3908 4,4187 4,4415 4,4603

4,0333 4,0591 4,0799 4,0967 4,1103

3,7509 3,7705 3,7861 3,7985 3,8083

3,5026 3,5177 3,5294 3,5386 3,5458

3,0882 3,0971 3,1039 3,1090 3,1129

21 22 23 24 25

7,5620 7,6446 7,7184 7,7843 7,8431

6,6870 6,7429 6,7921 6,8351 6,8729

5,9731 6,0113 6,0442 6,0726 6,0971

5,3837 5,4099 5,4321 5,4509 5,4669

4,8913 4,9094 4,9245 4,9371 4,9476

4,4756 4,4882 4,4985 4,5070 4,5139

4,1212 4,1300 4,1371 4,1428 4,1474

3,8161 3,8223 3,8273 3,8312 3,8342

3,5514 3,5558 3,5592 3,5619 3,5640

3,1158 3,1180 3,1197 3,1210 3,1220

26 27 28 29 30

7,8957 7,9426 7,9844 8,0218 8,0552

6,9061 6,9352 6,9607 6,9830 7,0027

6,1182 6,1364 6,1520 6,1656 6,1772

5,4804 5,4919 5,5016 5,5098 5,5168

4,9563 4,9636 4,9697 4,9747 4,9789

4,5196 4,5243 4,5281 4,5312 4,5338

4,1511 4,1542 4,1566 4,1585 4,1601

3,8367 3,8387 3,8402 3,8414 3,8424

3,5656 3,5669 3,5679 3,5687 3,5693

3,1227 3,1233 3,1237 3,1240 3,1242

31 32 33 34 35

8,0850 8,1116 8,1354 8,1566 8,1755

7,0199 7,0350 7,0482 7,0599 7,0700

6,1872 6,1959 6,2034 6,2098 6,2153

5,5227 5,5277 5,5320 5,5356 5,5386

4,9824 4,9854 4,9878 4,9898 4,9915

4,5359 4,5376 4,5390 4,5402 4,5411

4,1614 4,1624 4,1632 4,1639 4,1644

3,8432 3,8438 3,8443 3,8447 3,8450

3,5697 3,5701 3,5704 3,5706 3,5708

3,1244 3,1246 3,1247 3,1248 3,1248

36 37 38 39 40

8,1924 8,2075 8,2210 8,2330 8,2438

7,0790 7,0868 7,0937 7,0997 7,1050

6,2201 6,2242 6,2278 6,2309 6,2335

5,5412 5,5434 5,5452 5,5468 5,5482

4,9929 4,9941 4,9951 4,9959 4,9966

4,5419 4,5426 4,5431 4,5435 4,5439

4,1649 4,1652 4,1655 4,1657 4,1659

3,8452 3,8454 3,8456 3,8457 3,8458

3,5709 3,5710 3,5711 3,5712 3,5712

3,1249 3,1249 3,1249 3,1249 3,1250

41 42 43 44 45

8,2534 8,2619 8,2696 8,2764 8,2825

7,1097 7,1138 7,1173 7,1205 7,1232

6,2358 6,2377 6,2394 6,2409 6,2421

5,5493 5,5502 5,5510 5,5517 5,5523

4,9972 4,9976 4,9980 4,9984 4,9986

4,5441 4,5444 4,5446 4,5447 4,5449

4,1661 4,1662 4,1663 4,1663 4,1664

3,8459 3,8459 3,8460 3,8460 3,8460

3,5713 3,5713 3,5713 3,5714 3,5714

3,1250 3,1250 3,1250 3,1250 3,1250

46 47 48 49 50

8,2880 8,2928 8,2972 8,3010 8,3045

7,1256 7,1277 7,1296 7,1312 7,1327

6,2432 6,2442 6,2450 6,2457 6,2463

5,5528 5,5532 5,5536 5,5539 5,5541

4,9989 4,9991 4,9992 4,9993 4,9995

4,5450 4,5451 4,5451 4,5452 4,5452

4,1665 4,1665 4,1665 4,1666 4,1666

3,8461 3,8461 3,8461 3,8461 3,8461

3,5714 3,5714 3,5714 3,5714 3,5714

3,1250 3,1250 3,1250 3,1250 3,1250

Tablas financieras

204

C.4.

Valor final de una renta unitaria sn i

(1 + i)n = i

−1

n 1 2 3 4 5

0,01 1,0000 2,0100 3,0301 4,0604 5,1010

0,02 1,0000 2,0200 3,0604 4,1216 5,2040

0,03 1,0000 2,0300 3,0909 4,1836 5,3091

0,04 1,0000 2,0400 3,1216 4,2465 5,4163

0,05 1,0000 2,0500 3,1525 4,3101 5,5256

0,06 1,0000 2,0600 3,1836 4,3746 5,6371

0,07 1,0000 2,0700 3,2149 4,4399 5,7507

0,08 1,0000 2,0800 3,2464 4,5061 5,8666

0,09 1,0000 2,0900 3,2781 4,5731 5,9847

0,10 1,0000 2,1000 3,3100 4,6410 6,1051

6 7 8 9 10

6,1520 7,2135 8,2857 9,3685 10,4622

6,3081 7,4343 8,5830 9,7546 10,9497

6,4684 7,6625 8,8923 10,1591 11,4639

6,6330 7,8983 9,2142 10,5828 12,0061

6,8019 8,1420 9,5491 11,0266 12,5779

6,9753 8,3938 9,8975 11,4913 13,1808

7,1533 8,6540 10,2598 11,9780 13,8164

7,3359 8,9228 10,6366 12,4876 14,4866

7,5233 9,2004 11,0285 13,0210 15,1929

7,7156 9,4872 11,4359 13,5795 15,9374

11 12 13 14 15

11,5668 12,6825 13,8093 14,9474 16,0969

12,1687 13,4121 14,6803 15,9739 17,2934

12,8078 14,1920 15,6178 17,0863 18,5989

13,4864 15,0258 16,6268 18,2919 20,0236

14,2068 15,9171 17,7130 19,5986 21,5786

14,9716 16,8699 18,8821 21,0151 23,2760

15,7836 17,8885 20,1406 22,5505 25,1290

16,6455 18,9771 21,4953 24,2149 27,1521

17,5603 20,1407 22,9534 26,0192 29,3609

18,5312 21,3843 24,5227 27,9750 31,7725

16 17 18 19 20

17,2579 18,4304 19,6147 20,8109 22,0190

18,6393 20,0121 21,4123 22,8406 24,2974

20,1569 21,7616 23,4144 25,1169 26,8704

21,8245 23,6975 25,6454 27,6712 29,7781

23,6575 25,8404 28,1324 30,5390 33,0660

25,6725 28,2129 30,9057 33,7600 36,7856

27,8881 30,8402 33,9990 37,3790 40,9955

30,3243 33,7502 37,4502 41,4463 45,7620

33,0034 36,9737 41,3013 46,0185 51,1601

35,9497 40,5447 45,5992 51,1591 57,2750

21 22 23 24 25

23,2392 24,4716 25,7163 26,9735 28,2432

25,7833 27,2990 28,8450 30,4219 32,0303

28,6765 30,5368 32,4529 34,4265 36,4593

31,9692 34,2480 36,6179 39,0826 41,6459

35,7193 38,5052 41,4305 44,5020 47,7271

39,9927 43,3923 46,9958 50,8156 54,8645

44,8652 49,0057 53,4361 58,1767 63,2490

50,4229 55,4568 60,8933 66,7648 73,1059

56,7645 62,8733 69,5319 76,7898 84,7009

64,0025 71,4027 79,5430 88,4973 98,3471

26 27 28 29 30

29,5256 30,8209 32,1291 33,4504 34,7849

33,6709 35,3443 37,0512 38,7922 40,5681

38,5530 40,7096 42,9309 45,2189 47,5754

44,3117 47,0842 49,9676 52,9663 56,0849

51,1135 54,6691 58,4026 62,3227 66,4388

59,1564 63,7058 68,5281 73,6398 79,0582

68,6765 74,4838 80,6977 87,3465 94,4608

79,9544 87,3508 95,3388 103,9659 113,2832

93,3240 102,7231 112,9682 124,1354 136,3075

109,1818 121,0999 134,2099 148,6309 164,4940

31 32 33 34 35

36,1327 37,4941 38,8690 40,2577 41,6603

42,3794 44,2270 46,1116 48,0338 49,9945

50,0027 52,5028 55,0778 57,7302 60,4621

59,3283 62,7015 66,2095 69,8579 73,6522

70,7608 75,2988 80,0638 85,0670 90,3203

84,8017 90,8898 97,3432 104,1838 111,4348

102,0730 110,2182 118,9334 128,2588 138,2369

123,3459 134,2135 145,9506 158,6267 172,3168

149,5752 164,0370 179,8003 196,9823 215,7108

181,9434 201,1378 222,2515 245,4767 271,0244

36 37 38 39 40

43,0769 44,5076 45,9527 47,4123 48,8864

51,9944 54,0343 56,1149 58,2372 60,4020

63,2759 66,1742 69,1594 72,2342 75,4013

77,5983 81,7022 85,9703 90,4091 95,0255

95,8363 101,6281 107,7095 114,0950 120,7998

119,1209 127,2681 135,9042 145,0585 154,7620

148,9135 160,3374 172,5610 185,6403 199,6351

187,1021 203,0703 220,3159 238,9412 259,0565

236,1247 258,3759 282,6298 309,0665 337,8824

299,1268 330,0395 364,0434 401,4478 442,5926

41 42 43 44 45

50,3752 51,8790 53,3978 54,9318 56,4811

62,6100 64,8622 67,1595 69,5027 71,8927

78,6633 82,0232 85,4839 89,0484 92,7199

99,8265 104,8196 110,0124 115,4129 121,0294

127,8398 135,2318 142,9933 151,1430 159,7002

165,0477 175,9505 187,5076 199,7580 212,7435

214,6096 230,6322 247,7765 266,1209 285,7493

280,7810 304,2435 329,5830 356,9496 386,5056

369,2919 403,5281 440,8457 481,5218 525,8587

487,8518 537,6370 592,4007 652,6408 718,9048

46 47 48 49 50

58,0459 59,6263 61,2226 62,8348 64,4632

74,3306 76,8172 79,3535 81,9406 84,5794

96,5015 100,3965 104,4084 108,5406 112,7969

126,8706 132,9454 139,2632 145,8337 152,6671

168,6852 178,1194 188,0254 198,4267 209,3480

226,5081 241,0986 256,5645 272,9584 290,3359

306,7518 329,2244 353,2701 378,9990 406,5289

418,4261 452,9002 490,1322 530,3427 573,7702

574,1860 791,7953 626,8628 871,9749 684,2804 960,1723 746,8656 1 057,1896 815,0836 1 163,9085

C.4 Valor final de una renta unitaria

sn i

205

(1 + i)n = i

−1

n 1 2 3 4 5

0,12 1,0000 2,1200 3,3744 4,7793 6,3528

0,14 1,0000 2,1400 3,4396 4,9211 6,6101

0,16 1,0000 2,1600 3,5056 5,0665 6,8771

0,18 1,0000 2,1800 3,5724 5,2154 7,1542

0,20 1,0000 2,2000 3,6400 5,3680 7,4416

0,22 1,0000 2,2200 3,7084 5,5242 7,7396

0,24 1,0000 2,2400 3,7776 5,6842 8,0484

0,26 1,0000 2,2600 3,8476 5,8480 8,3684

0,28 1,0000 2,2800 3,9184 6,0156 8,6999

0,32 1,0000 2,3200 4,0624 6,3624 9,3983

6 7 8 9 10

8,1152 10,0890 12,2997 14,7757 17,5487

8,5355 10,7305 13,2328 16,0853 19,3373

8,9775 11,4139 14,2401 17,5185 21,3215

9,4420 12,1415 15,3270 19,0859 23,5213

9,9299 12,9159 16,4991 20,7989 25,9587

10,4423 13,7396 17,7623 22,6700 28,6574

10,9801 14,6153 19,1229 24,7125 31,6434

11,5442 15,5458 20,5876 26,9404 34,9449

12,1359 16,5339 22,1634 29,3692 38,5926

13,4058 18,6956 25,6782 34,8953 47,0618

11 12 13 14 15

20,6546 24,1331 28,0291 32,3926 37,2797

23,0445 27,2707 32,0887 37,5811 43,8424

25,7329 30,8502 36,7862 43,6720 51,6595

28,7551 34,9311 42,2187 50,8180 60,9653

32,1504 39,5805 48,4966 59,1959 72,0351

35,9620 44,8737 55,7459 69,0100 85,1922

40,2379 50,8950 64,1097 80,4961 100,8151

45,0306 57,7386 73,7506 93,9258 119,3465

50,3985 65,5100 84,8529 109,6117 141,3029

63,1215 84,3204 112,3030 149,2399 197,9967

16 17 18 19 20

42,7533 48,8837 55,7497 63,4397 72,0524

50,9804 59,1176 68,3941 78,9692 91,0249

60,9250 71,6730 84,1407 98,6032 115,3797

72,9390 87,0680 103,7403 123,4135 146,6280

87,4421 105,9306 128,1167 154,7400 186,6880

104,9345 129,0201 158,4045 194,2535 237,9893

126,0108 157,2534 195,9942 244,0328 303,6006

151,3766 191,7345 242,5855 306,6577 387,3887

181,8677 233,7907 300,2521 385,3227 494,2131

262,3557 347,3095 459,4485 607,4721 802,8631

21 22 23 24 25

81,6987 92,5026 104,6029 118,1552 133,3339

104,7684 120,4360 138,2970 158,6586 181,8708

134,8405 157,4150 183,6014 213,9776 249,2140

174,0210 206,3448 244,4868 289,4945 342,6035

225,0256 271,0307 326,2369 392,4842 471,9811

291,3469 356,4432 435,8607 532,7501 650,9551

377,4648 489,1098 633,5927 1 060,7793 469,0563 617,2783 811,9987 1 401,2287 582,6298 778,7707 1 040,3583 1 850,6219 723,4610 982,2511 1 332,6586 2 443,8209 898,0916 1 238,6363 1 706,8031 3 226,8436

26 27 28 29 30

150,3339 169,3740 190,6989 214,5828 241,3327

208,3327 238,4993 272,8892 312,0937 356,7868

290,0883 337,5024 392,5028 456,3032 530,3117

405,2721 567,3773 795,1653 1 114,6336 479,2211 681,8528 971,1016 1 383,1457 566,4809 819,2233 1 185,7440 1 716,1007 669,4475 984,0680 1 447,6077 2 128,9648 790,9480 1 181,8816 1 767,0813 2 640,9164

31 32 33 34 35

271,2926 304,8477 342,4294 384,5210 431,6635

407,7370 616,1616 465,8202 715,7475 532,0350 831,2671 607,5199 965,2698 693,5727 1 120,7130

934,3186 1 103,4960 1 303,1253 1 538,6878 1 816,6516

1 419,2579 1 704,1095 2 045,9314 2 456,1176 2 948,3411

36 37 38 39 40

484,4631 791,6729 1 301,0270 543,5987 903,5071 1 510,1914 609,8305 1 030,9981 1 752,8220 684,0102 1 176,3378 2 034,2735 767,0914 1 342,0251 2 360,7572

2 144,6489 2 531,6857 2 988,3891 3 527,2992 4 163,2130

3 539,0094 5 837,0466 9 611,2791 4 247,8112 7 122,1968 11 918,9861 5 098,3735 8 690,0801 14 780,5428 6 119,0482 10 602,8978 18 328,8731 7 343,8578 12 936,5353 22 728,8026

41 42 43 44 45

860,1424 964,3595 1 081,0826 1 211,8125 1 358,2300

1 530,9086 1 746,2358 1 991,7088 2 271,5481 2 590,5648

2 739,4784 3 178,7949 3 688,4021 4 279,5465 4 965,2739

46 47 48 49 50

1 522,2176 1 705,8838 1 911,5898 2 141,9806 2 400,0182

2 954,2439 5 760,7177 3 368,8380 6 683,4326 3 841,4753 7 753,7818 4 380,2819 8 995,3869 4 994,5213 10 435,6488

4 913,5914 8 813,6294 5 799,0378 10 577,3553 6 843,8646 12 693,8263 8 076,7603 15 233,5916 9 531,5771 18 281,3099 11 13 15 18 21

248,2610 273,9480 664,2586 484,8251 813,0937

21 26 31 37 45

938,5719 327,2863 593,7436 913,4923 497,1908

2 156,8392 2 632,3439 3 212,4595 3 920,2006 4 783,6447

3 275,7363 4 062,9130 5 039,0122 6 249,3751 7 750,2251

15 19 23 28 34

783,5730 256,9591 494,4901 664,2779 971,4191

28 34 43 53 66

42 52 63 77 94

666,1312 82 635,0660 053,6801 506,4897 478,9175 525,2793

1 561,6818 1 968,7191 2 481,5860 3 127,7984 3 942,0260

2 185,7079 2 798,7061 3 583,3438 4 587,6801 5 873,2306

4 260,4336 5 624,7723 7 425,6994 9 802,9233 12 940,8587

4 967,9527 7 518,7351 6 260,6204 9 624,9810 7 889,3817 12 320,9756 9 941,6210 15 771,8488 12 527,4424 20 188,9665

17 082,9335 22 550,4722 29 767,6233 39 294,2628 51 869,4269

15 785,5774 19 890,8276 25 063,4428 31 580,9379 39 792,9817

25 33 42 54 69

842,8771 68 468,6435 079,8826 90 379,6094 343,2498 200,3597 377,4604

184,7152 50 140,1570 88 804,1494 950,0469 63 177,5978 339,0581 79 604,7732 741,4321 640,3758

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∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

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Índice alfabético acciones, 160 Achard, 131 adquisición de la letra en el mercado secundario, 176 adquisición inicial de la letra y mantenimiento del título hasta su vencimiento, 174 adquisición inicial de la letra y venta en el mercado secundario, 175 aleatoria, 59 amortización fraccionados, 128 anticipada, 60 arrendamiento financiero, 141 características, 142 beneficios constantes, 173

ción, 168 compra en el mercado y venta en el mercado, 169 compra por suscripción y mantenimiento del título hasta su amortización, 167 compra por suscripción y venta del título en el mercado, 168 constantes, 59 continua, 59 convenio exponencial, 48 convenio lineal, 49 crédito bancario, 141 crédito comercial, 22, 141 créditos en cuenta corriente, 35 cuenta corriente, 29, 141 cuenta de crédito, 35, 141 cuentas corrientes, 29 a interés no recíproco, 32 a interés recíproco y variable, 32 a la vista, 33 clases, 29 métodos para obtener el saldo, 30 cuentas de ahorro, 34 cupones, 162

capital financiero, 2 capital propio, 163 capitalización, 10 compuesta, 42 continua, 49 simple, 10 capitalización compuesta, 42 capitalización continua, 49 capitalización simple, 10 descuento capitalizacion compuesta en tiempo fraccompuesto, 42 cionario, 48 simple, 10 carencia, 129 descuento comercial, 141 cierta, 59 descuento bancario, 23, 141 clasificación, 58 efectos comerciales, 24 comparación del precio teórico con el de facturas de descuento, 27 mercado, 166 límite, 27 comparación entre la capitalización simletras persiana, 28 ple y compuesta, 45 réditos, 25 compra en el mercado y mantenimienréditos para el banco, 25 to del título hasta su amortizaréditos para el cliente, 26

210 tantos efectivos, 25 tantos efectivos para el banco, 25 tantos efectivos para el cliente, 26 descuento comercial, 23 descuento comercial compuesto, 51 descuento compuesto, 42, 50 descuento de efectos comerciales, 24 descuento de letras persiana, 28 descuento financiero, 28, 141 descuento racional compuesto, 51 descuento simple, 10 métodos abreviados, 16 magnitudes derivadas, 15 tanto, 15 tiempo, 15 descuento simple comercial, 14 descuento simple racional, 17 deuda pública, 161 deudas empresariales a corto plazo, 141 deudas empresariales a largo plazo, 140 deudas empresariales a medio plazo, 140 diferida, 59 discreta, 59 dividendo activo, 162 pasivo, 162 dividendo activo, 162 dividendo pasivo, 162 dividendos, 162 dividendos constantes, 171 divisores fijos, 14 duración, 58 ecuación de los tantos equivalentes, 46 elementos que intervienen en los empréstitos, 150 empréstitos con cancelación escalonada, 149 elementos que intervienen, 150 introducción, 148 método francés, 151 normal, 151 problemática, 150 sin cancelación escalonada, 149 equilibrio financiero, 35 equivalencia de tantos, 46

ÍNDICE ALFABÉTICO equivalencia de tantos en capitalización compuesta, 45 equivalencia financiera, 4 Excel NPER, 97 PAGO, 97 TASA, 97 TIR, 97 VA, 97 VF, 97 VNA, 97 fórmula de Achard, 131 factor de actualización compuesta, 44 factor de actualización compuesto unitario, 200 factor de capitalización compuesta, 43 factor de capitalización compuesta unitaria, 198 factor de capitalización simple, 11 factor de descuento compuesto unitario, 200 facturas de descuento, 27 fenómeno financiero, 2 financiación a corto plazo, 141 a largo plazo, 140 a medio plazo, 140 empresa, 140 externa, 140 financiación de la empresa, 140 financiación externa, 163 financiación externa de la empresa, 140 financiación interna, 163 fuerza de interés, 50 hp12c cálculo de intereses en capitalización simple, 12 cálculo de la amortización acumulada, 122 cálculo de la mensualidad, 121 cálculo de los intereses de un préstamo, 122 cálculo del capital final en capitalización simple, 12

ÍNDICE ALFABÉTICO cálculo del interés efectivo de un préstamo, 100 cálculo del tiempo, 44 cálculo del tipo de interés, 44, 50 cálculo del valor actual, 44 cálculo del valor final, 43, 48 cálculo del valor final (convenio exponencial), 49 cálculo del valor final (convenio lineal), 49 conversión del tipo de de interés, 83 conversión del tipo de interés, 48 obtención del cuadro de amortización, 122 tiempo en una renta pospagable, 73 tipo de interés en una renta pospagable, 74 valor actual de una renta, 64 valor actual de una renta fraccionada, 83 valor actual de una renta prepagable, 67 valor final de una renta, 64 valor final de una renta prepagable, 67 inmediata, 60 interés compuesto, 42 magnitudes derivadas, 44 tanto, 44 tiempo, 44 tipo de interés, 44 valor actual, 44 interés simple, 10 métodos abreviados, 13 magnitudes derivadas, 12 tiempo, 12 valor actual, 12 interés variable, 129 intereses, 162 intereses anticipados, 13 interpolación lineal, 184 límite de descuento, 27 leasing, 141 características, 142 desventajas, 144

211 especiales ventajas en pymes, 144 tipos, 145 valoración, 145 ventajas e inconvenientes, 143 ventajas fiscales, 144 letras financieras, 161 logaritmos, 183 método de los saldos, 31 método de Newton, 94 método directo, 31 método escalar, 31 método hamburgués, 31 método indirecto, 31 métodos para obtener el saldo, 30 mercado de capitales, 160, 163 mercado de dinero, 163 mercado de valores, 160, 163 mercado financiero, 160 mercado primario, 163 mercado secundario, 163 multiplicadores fijos, 14 NPER, 97 nuda propiedad, 130 obligaciones, 160 operación financiera, 3 clasificación, 6 contraprestación, 3, 4 duración, 3 final, 3, 4 origen, 3, 4 prestación, 3, 4 operaciones a corto plazo, 22 origen, 58 póliza de crédito, 35 p’restamos carencia, 129 interés variable, 129 pagarés de empresa, 161 pagarés del tesoro, 161 PAGO, 97 PER, 171 período, 58 período uniforme, 59

212 perpetua, 59 plazo, 58 porcentajes, 183 pospagables, 59 postulado de equivalencia financiera, 3 préstamo francés, 117 anualidad, 118 capital amortizado, 120 capital pendiente, 118 cuadro de amortizacion, 120 cuota de amortización, 119 préstamos, 111 alemán, 126 americano, 116 americano con fondo de amortización, 116 anticipativenzisen, 126 cancelación anticipada, 114 cancelación anticipada parcial, 114 clasificación, 111, 113 cuota constante, 125 cuota de capital constante, 125 elemental, 113 elementos, 111 europa central, 126 fórmula de Achard, 131 fraccionados, 128 francés, 117 intereses anticipados, 126 método italiano, 125 nuda propiedad, 130 progresión aritmética, 124 progresión geométrica, 123 reembolso único, 113 reembolso único y pago periódico de intereses, 116 simple, 113 sinking fund, 116 términos amortizativos constantes, 117 términos en progresión aritmética, 124 términos en progresión geométrica, 123 tipo de interés, 112 usufructo, 130 valor financiero, 130

ÍNDICE ALFABÉTICO prepagables, 59 prestatario, 122 price earning ratio, 171 progresiones aritméticas, 185 geométricas, 187 producto de dos términos equidistantes de los extremos, 188 producto de los términos de una progresión geométrica limitada, 189 suma de los términos, 187 suma de los términos de una progresión geométrica limitada, 190 suma de términos equidistantes de los extremos, 186 término medio, 186, 189 progresiones aritméticas, 185 progresiones geométricas, 187 proporciones, 180, 182 proyección financiera, 5 razones, 180 operaciones, 181 razones y proporciones, 180 reditos efectivos, 25 relación entre el valor actual y el valor final, 63, 65 renta pospagable, 59 prepagable, 59 anticipada, 60 constante, 59 continua, 59 perpetua, 59 temporal, 59 variable, 59 aleatoria, 59 anticipada, 71 cierta, 59 concepto, 58 constante, 61, 64, 67 diferida, 59, 68 discreta, 59 ecuación general, 84 inmediata, 60, 61, 64, 67 perpetua, 67 pospagable, 61, 67

ÍNDICE ALFABÉTICO prepagable, 64, 67 temporal, 61, 64 unitarias, 59 valor capital, 60 valor financiero, 60 rentabilidad bruta, 164 efectiva, 164 neta, 164 nominal, 164 rentabilidad de los títulos valores, 164 rentabilidad efectiva bruta, 164 rentabilidad efectiva neta, 164 rentabilidad nominal bruta, 164 rentabilidad nominal neta, 164 rentas determinación de i, 71 determinación de n, 71 financieras, 58 financieras fraccionadas, 81 fraccionadas, 81 variables, 81 rentas financieras, 58 fraccionadas, 81 variables, 81 rentas financieras fraccionadas y variables, 81 rentas variables, 85, 89, 92, 93 en general, 93 fraccionadas, 92 progresión aritmética, 89 progresión geométrica, 85 rentas variables fraccionadas progresión aritmética, 93 progresión geométrica, 93 reserva matemática, 35 saldo financiero, 35 término, 58 títulos de crédito, 160 títulos valores: conceptos, 161 títulos valores: operaciones bursátiles, 160 títulos valores: valores mobiliarios, 160 títulos valores dividendos, 162 valor efectivo, 161

213 valor nominal, 161 intereses, 162 valor de reembolso, 162 valor de amortización, 162 valor de cotización, 162 tablas financieras factor de actualización compuesto, 200 factor de actualización unitario, 200 factor de capitalización compuesta, 198 factor de capitalización compuesta unitaria, 198 factor de capitalización unitario, 198 factor de descuento compuesto, 200 factor de descuento compuesto unitario, 200 valor actual, 202 valor actual de una renta unitaria, 202 valor final, 204 valor final de una renta unitaria, 204 TAE, 47 tanto de descuento equivalente, 18, 52 tanto de interés equivalente, 18, 52 tanto efectivo, 122 prestatario, 122 tanto efectivo anual, 47 tanto nominal, 47 tantos efectivos, 25 TASA, 97 tasa interna de retorno, 93 temporal, 59 TIN, 47 tipo de interés, 112 componentes, 112 tipo efectivo, 122 tipos de leasing, 145 TIR, 93, 97, 122 unitarias, 59 usufructo, 130 VA, 97 valor, 58 valor actual, 58, 61, 64, 67, 69 valor actual de una renta unitaria, 202

214 valor actual neto, 93 VNA, 93, 97 valor de cotización, 162 valor de reembolso, 162 valor de amortización, 162 valor de cotización, 165 valor de mercado de un título, 165 valor efectivo, 161 valor final, 58, 62, 65 valor final de una renta unitaria, 204 valor financiero, 130 valor financiero de la nuda propiedad, 130 valor financiero del préstamo, 130 valor financiero del usufructo, 130 valor nominal, 161 valor teórico de un título, 166 valoración activo neto, 169 beneficios, 170, 172 dividendos, 170 letras financieras, 174 regresión, 170 valoración a partir del activo neto, 169 valoración a través de modelos de regresión, 170 valoración de las acciones, 169 valoración de las letras financieras, 174 valoración de los títulos renta fija, 166 valoración de los títulos de renta fija, 166 valoración de los títulos valores, 165 valoración en función de los beneficios, 170, 172 valoración en función de los dividendos, 170 valores mobiliarios, 160 acciones, 160 deuda pública, 161 letras financieras, 161 obligaciones, 160 pagarés de empresa, 161 pagarés del tesoro, 161 VAN, 93, 97 variables, 59 vencimiento común, 36 vencimiento medio, 36 VF, 97

ÍNDICE ALFABÉTICO

Las matemáticas de las operaciones financieras han adquirido en los últimos cuarenta años una estructura formal. La primera formulación se debe a la Escuela Italiana, con los profesores F. Insolera, F. P. Cantelli, F. Sibirani, B. Finetti, G. Ottaniani, etc. La influencia de la Escuela Italiana en occidente es muy importante y así lo recogen profesores como A. Vegas Pérez, J. Lóbez de Urquía y U. Nieto de Alba. En particular, L. Gil Pelaez, plantea el concepto de capital financiero como una magnitud bidimensional, la cuantía de capital y el tiempo. E. Prieto Pérez introduce el comportamiento racional de los agentes económicos del mundo financiero y establece las relaciones de preferencia y equivalencia financiera . Con la introducción del concepto de operación financiera como intercambio no simultáneo de capitales se procede al estudio de las operaciones financieras (simples, compuestas, a corto y largo plazo).

Libro de Gestion Financiera

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