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Prólogo

Cuando un alumno cursa una asignatura, en este caso, Ecuaciones Diferenciales, lo que se espera básicamente de él es, primero, que logre una comprensión adecuada de los conceptos centrales de la asignatura y segundo, que sea capaz de aplicar este conocimiento a la resolución de problemas. Para alcanzar el primer objetivo se espera que un buen estudiante asista y participe regularmente en las clases llamadas de cátedra y consulte los muy buenos textos que tiene a disposición en la biblioteca. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en la resolución de los problemas mismos no son claras para el alumno y se le dificulta alcanzar el segundo objetivo, pues los textos generalmente ponen el énfasis en los conceptos y los problemas resueltos que contienen son más bien simples. Este texto está pensado como una herramienta que ayude al alumno que ya ha estudiado y entendido un tema dado, a que logre una destreza adecuada en la resolución de problemas y sus aplicaciones. Por lo mismo, cada tema contiene al principio solo un resumen de las definiciones y teoremas más importantes, y luego, una cantidad de problemas de diversos grados de dificultad, muchos de los cuales se han propuesto en alguna prueba o examen de la asignatura en semestres anteriores. Finalmente, incluimos una selección de preguntas de alternativa.

Indice

IÞ 

Ecuaciones de primer orden ................................................................................... " Problemas resueltos .................................................................................... 6

IIÞ 

Aplicaciones de ecuaciones de primer orden ....................................................... 19 Problemas resueltos .................................................................................. #1

IIIÞ  Ecuaciones de orden superior ............................................................................... 39 Problemas resueltos .................................................................................. 48 IVÞ  Sistemas de ecuaciones .......................................................................................... 83 Problemas resueltos ................................................................................... 87 VÞ 

Transformada de Laplace ..................................................................................... 105 Problemas resueltos .................................................................................. "09

VI.  Prueba de Alternativas ......................................................................................... 130

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Definición. Una ecuación diferencial es cualquier relación en la que interviene una o más variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Una ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial Ordinaria si en ella intervienen sólo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, decimos que la ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales. El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella. Una ecuación diferencial ordinaria de orden 8 se representa mediante la identidad J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ !Þ

Solución ( o integral) de una ecuación diferencial ordinaria. Una función real C œ :ÐBÑ con al menos 8 derivadas definida en un intervalo M es una solución explícita de la ecuación J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ ! en M si y sólo si J ÐBß :ÐBÑß :w ÐBÑß á ß :Ð8Ñ ÐBÑÑ œ !. Una relación KÐBß CÑ œ ! es una solución implícita de la ecuación J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ ! en M si y sólo si existe al menos una función C œ :ÐBÑ que satisface la relación K y la ecuación diferencial en M . Por lo general una solución de una ecuación diferencial tiene una o más constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuación, es decir, es una familia 8paramétrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos una solución particular de la ecuación. Si toda solución de la ecuación se obtiene asignando valores a las constantes de la familia 8-paramétrica, decimos que ella es la solución general de la ecuación. Una solución singular es una solución de la ecuación diferencial que no puede obtenerse asignándole valores a las constantes de la familia 8-paramétrica de soluciones.

1

ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

Definición. Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuación diferencial para la cual se especifican los valores e la función y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ecuación diferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la función o alguna de sus derivadas.

P.V.I. de primer orden. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema de Picard. Si 0 ÐBß CÑ y 0C ÐBß CÑ son funciones de dos variables continuas sobre un rectángulo cerrado V , entonces por cada punto ÐB! ß C! Ñ del interior de V pasa una y sólo una curva integral (o curva solución) de la ecuación Cw œ 0 ÐBß CÑÞ

Variables Separables. Toda ecuación que se puede escribir de la forma 1ÐCÑ .C œ 2ÐBÑ .B se resuelve por integración directa.

Ecuaciones exactas. Sean Q y R funciones de dos variables continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta V del plano \] . Toda ecuación de la forma Q ÐBß CÑ.B  R ÐBß CÑ.C œ ! es una ecuación exacta si y sólo si existe una función de dos variables J tal que JB ÐBß CÑ œ Q ÐBß CÑ y JC ÐBß CÑ œ R ÐBß CÑ. Una ecuación es exacta si y sólo si QC ÐBß CÑ œ RB ÐBß CÑÞ La solución de la ecuación diferencial exacta está dada por J ÐBß CÑ œ G , donde J ÐBß CÑ œ ' Q ÐBß CÑ.B  1ÐCÑ œ ' R ÐBß CÑ.C  2ÐBÑÞ Factor Integrante. Si una ecuación no es exacta, a veces es posible transformarla en exacta multiplicando por un factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, .ÐBß CÑ. En tal caso, debe cumplirse: .C Q  .B R œ .ÐRB  QC Ñ

2

Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Caso 1: Si . es una función que sólo depende de B, entonces el Factor Integrante es /' 2ÐBÑ.B , donde 2ÐBÑ œ R" ÐQC  RB Ñ. ' 2ÐCÑ.C

Caso 2:

/

Si . es una función que sólo depende de C , entonces el Factor Integrante es " , donde 2ÐCÑ œ Q ÐRB  QC Ñ.

' Caso 3: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , R Q

donde 2ÐDÑ œ QB RC Þ

' Caso %: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , Q R

donde 2ÐDÑ œ QC RB Þ

' Caso &: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B † Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , donde R Q

2ÐDÑ œ BQB CRC Þ

Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de primer orden es de la forma Cw  T ÐBÑ C œ UÐBÑ, con T y U funciones continuas en un intervalo abierto de ‘. Su solución es: CÐBÑ œ /' T ÐBÑ.B ÐG  ' UÐBÑ /' T ÐBÑ.B .BÑ Ecuaciones de coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial de la forma Q ÐBß CÑ .B  R ÐBß CÑ .C œ ! se dice (de coeficientes) homogénea(os) si existe un número real ! tal que Q Ð!Bß !CÑ œ !8 Q ÐBß CÑ y R Ð!Bß !CÑ œ !8 R ÐBß CÑ. En este caso, se hace la sustitución C œ ?B, obteniéndose la ecuación de variables separables: .B B

œ

R Ð"ß?Ñ .? Q Ð"ß?Ñ?R Ð"ß?Ñ

Ecuación de Bernoulli. Una ecuación diferencial de la forma Cw  T ÐBÑC œ UÐBÑC 8 ß 8 − ‘ y T y U funciones continuas en un intervalo abierto de ‘, se conoce como ecuación de Bernoulli. La sustitución D œ C "8 transforma la ecuación en una ecuación lineal y su solución es: C Ð"8Ñ œ /' Ð"8ÑT .B ÐG  ' Ð"  8ÑU /' Ð"8ÑT .B .BÑ

3


Ecuaciones de la forma C w œ 0 Ð+B  ,C  -ÑÞ Mediante la sustitución D œ +B  ,C  - la ecuación se transforma en una ecuación de variables separables y su solución es: .D .B œ , 0 ÐDÑ+ Ecuaciones de la forma Cw œ 0 Š +" B," C-" ‹Þ + B, C#

#

#

Caso 1: Si -" œ -# œ ! la ecuación es de coeficientes homogéneos. Caso 2: Si +" ,# œ +# ," , se obtiene +# B  ,# C œ 5Ð+" B  ," CÑ por lo que la ecuación se transforma en una ecuación de la forma Cw œ 1Ð+" B  ," CÑÞ Caso 3: Si +" ,# Á +# ," se utiliza la sustitución ? œ B  2ß @ œ C  5 , donde 2 y 5 se obtienen resolviendo el sistema: + " 2  ," 5  - " œ ! + # 2  ,# 5  - # œ ! ?," @ .@ Mediante la sustitución dada se obtiene una ecuación de la forma .? œ 0 Š ++" ?, ‹ que # #@ es una ecuación de coeficientes homogéneos.

Ecuación de Riccati. Una ecuación de la forma Cw  T ÐBÑC  UÐBÑC #  VÐBÑ œ ! con T ß U y V funciones continuas en un intervalo abierto de ‘, se conoce como ecuación de Riccati. Si se conoce una solución particular C" ÐBÑ de esta ecuación, la sustitución C œ C"  "D , transforma la ecuación original en la ecuación lineal: D w  ÐT ÐBÑ  #C" UÐBÑÑD œ UÐBÑ La sustitución Cw œ :Þ Hay varias maneras en que esta sustitución puede ser útil. A veces, permite transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica a la cual es posible encontrar sus raíces. Esto generalmente lleva a resolver varias ecuaciones diferenciales más sencillas, todas ellas solución de la ecuación diferencial original. En otros casos, la sustitución Cw œ : permite cambiar las variables involucradas derivando con respecto a Bß C o : según convenga. Ver, por ejemplo, el problema 18.

4


Ecuación de Clairaut. Una ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma C œ BC w  0 ÐC w Ñ. Su solución general es C œ -B  0 Ð-Ñ. Haciendo la sustitución C w œ :, se obtiene la solución singular de la ecuación de Clairaut: C œ  :0 w Ð:Ñ  0 Ð:Ñ œ B œ  0 w Ð:Ñ Sustituciones usando diferenciales. A veces es posible usar fórmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustitución adecuada para resolver una ecuación diferencial. Algunas de estas fórmulas diferenciales son: .ÐB  CÑ œ .B  .C .Ð BC Ñ œ

C .BB .C C#

.Ð+<->+8Ð BC ÑÑ œ

.ÐBCÑ œ C .B  B .C .ÐB#  C # Ñ œ #B .B  #C .C

C .BB .C B# C #

.Ð68Ð BC ÑÑ œ

5

C .BB .C BC


Ejercicios resueltos "Þ 

Resolver el P. V. I. C  BC w œ +Ð"  B# C w Ñß CÐ"Ñ œ #+Þ .C

.B Ordenando la ecuación tenemos C+ œ B+B # y usando fracciones parciales: .C 1 + C+ œ Ð B  +B" Ñ.BÞ

Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos: 68ÐC  +Ñ œ 68 B  68Ð+B  "Ñ  68 G B C  + œ G +B" Þ

Usando las propiedades del logaritmo:

Reemplazando las condiciones iniciales, G œ +Ð+  "Ñ. Así, la solución del P.V.I. es CÐBÑ œ

#Þ 

BÐ#+# +Ñ+ +B"

.

Resolver la ecuación ÐB  #C  %Ñ  Ð#B  C  #ÑC w œ !. #CB%

Reoordenando la ecuación tenemos: Cw œ #BC# . Intersectando las dos rectas involucradas

B  #C  % œ ! › , obtenemos B œ !ß #B  C  # œ !

C œ #, por lo que hacemos la sustitución ? œ B ß @ œ C  #, y obtenemos la .@ #@? ecuación homogénea: .? œ #?@ , Mediante la sustitución @ œ D?ß fracciones parciales obtenemos: " ¸ # 68 D

tenemos

.? ?

œ D#D # " .Dß e integrando por

 "¸  $# 68¸D  "¸ œ 68 ?  68 G .

Utilizando las propiedades de logaritmo, Ê D" $ œ G?Þ aD"b Así, la solución en las variables iniciales es : Ê ÐC#BÑ$ œ GBÞ B# C#B# B$

6


$Þ 

.C

Resolver el P.V.I. .B œ

C Ð68 C  68B  "Ñ B

ß CÐ"Ñ œ /Þ

Sea C œ ? B. Entonces, C w œ ?w B  ?Þ Reemplazando, ?w B  ? œ ?Ð68 ?  "Ñ, es decir ?w B œ ? 68 ?Þ Se trata de una ecuación de variables separables, por lo que escribimos: .? ? 68 ?

œ

.B B .

Integrando, 68Ð68 ?Ñ œ 68 B  68G Ê 68 ? œ G B Ê 68 C œ G B  68 BÞ Como CÐ"Ñ œ /ß tenemos que G œ " . Así, la solución del P.V.I. es: C œ B /B Þ Otra forma de resolver este problema es escribir la ecuación como: C

C Ð68 Ð B Ñ  "Ñ.B  B.C œ ! y mostrar que se trata de una ecuación homogénea (pues Q y R son funciones homogéneas de grado 1). Entonces Q Ð"ß ?Ñ œ ?Ð68 ?  "Ñ y R Ð"ß ?Ñ œ  "Þ .? De aquí obtenemos .B B œ ? 68 ? como antes.

%Þ 

Resolver el P.V.I.: BC w œ  C  ÈBC  "

ß CÐ!Ñ œ !.

Hacemos la sustitución ? œ BC  ". Entonces ?w œ C  BC w .

Reemplazando en la ecuación, ?w  C œ  C  È? , o equivalentemente, .? È?

œ .B.

Luego, #È? œ B  G , es decir, #ÈBC  " œ B  G . Reemplazando la condición inicial, G œ # ecuación es:

y tenemos que la solución de la

#ÈBC  " œ B  #.

7


&Þ 

Usar la sustitución @ œ ÈC  =/8 B para resolver la ecuación: Cw œ ÈC  =/8 B  -9= B

Analicemos primero el caso @ Á !. .@ @ œ ÈC  =/8 B Ê .B œ

C w -9=B #@

.@ Ê C w œ #@ .B  -9= B Þ

.@ Reemplazando en la ecuación, #@ .B œ @. Como @ Á !ß obtenemos # .@ œ .B, de donde #@ œ B  G , es decir:

#ÈC  =/8 B œ B  G ,

C œ "% ÐB  GÑ#  =/8 B

o bien

Ahora, si @ œ !ß C œ  =/8 B también es solución de la ecuación pues w C œ  -9= B. Por lo tanto, C œ  =/8 B corresponde a una solución singular de la ecuación. Note que por el Teorema de Picard hay una única solución que pasa por cualquier punto de ‘# a excepción de los puntos ÐBß CÑ para los cuales C œ  =/8B. 'Þ 

Resolver el P.V.I.: .B  Ð$/C  #BÑ.C œ ! ß

CÐ  "Ñ œ !Þ

Como la ecuación no es lineal en la variable C, pero sí en la variable B, escribimos: .B C .C  #B œ $/ De aquí, T ÐCÑ œ #ß UÐCÑ œ $/C , y la solución es:

B œ /#C Ð' $/C /#C .C  GÑ œ /#C Ð/$C  GÑ

Reemplazando la condición inicial obtenemos G œ  #, por lo que la solución del P.V.I. es : B œ /C  #/#C Un segundo método es buscando un factor integrante: Como

RB QC Q

œ "# , tenemos que /#' .C œ /#C es un F.I.

La ecuación /#C .B  /#C Ð$/C  #BÑ.C œ ! es exacta. J ÐBß CÑ œ ' /#C .B œ B/#C  1ÐCÑÞ

Como JC œ R , JC ÐBß CÑ œ #B/#C  1w ÐCÑ œ #B/#C  $/$C , 8


de donde 1w ÐCÑ œ  $/$C . Luego 1ÐCÑ œ  /$C  GÞ Por lo tanto, la solución general es anterior.

(Þ 

B/#C  /$C œ G , que es equivalente a la

$C # &B Resolver la ecuación: BÐB$Ñ .B  #C Ð68 B$  $=/8 CÑ .C œ ! 'C

QC ÐBß CÑ œ BÐB$Ñ

y

RB ÐBß CÑ œ #CÐ B$ &B †

&ÐB$Ñ&B ÐB$Ñ# Ñ

#C

'C

"& œ ÐB$Ñ † &B œ BÐB$Ñ Þ

Luego la ecuación es exacta y:

$C # " B J ÐBß CÑ œ ' BÐB$Ñ .B œ $C # ' "$ Ð B"  B$ Ñ.B œ C # 68 B$  1ÐCÑ

Como JC œ R , B &B JC ÐBß CÑ œ #C 68 B$  1w ÐCÑ œ #CÐ68 B$  $=/8 CÑÞ

Luego, 1w ÐCÑ œ #C 68 &  'C =/8 C , de donde 1ÐCÑ

œ C # 68 &  '' C=/8 C .C Ê 1ÐCÑ œ C # 68 &  'Ð  C -9= C  =/8 CÑ  G

Así, la solución general de la ecuación es: &B C# 68 B$  'C -9= C  '=/8 C œ G

)Þ 

Resolver la ecuación: Ð#C #  $BÑ.B  #BC .C œ !. Q ÐBß CÑ œ #C #  $B Ê QC ÐBß CÑ œ %C QC Á RB . R ÐBß CÑ œ #BC Ê RB ÐBß CÑ œ #C  La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante: QC RB R

#C

œ #BC œ B" , sólo depende de B. Luego, /

'

.B B

œ B es factor integrante.

Ahora, la ecuación Ð#BC#  $B# Ñ.B  #B# C .C œ ! es exacta.

9


J ÐBß CÑ œ ' #B# C .C œ B# C #  2ÐBÑ y como JB œ Q À JB ÐBß CÑ œ #BC #  2 w ÐBÑ œ #BC #  $B# Þ Luego, 2ÐBÑ œ B$  GÞ Así, la solución de la ecuación es B# C#  B$ œ GÞ

*Þ 

Resolver ÐC  C -9= BCÑ.B  ÐB  B -9= BCÑ.C œ ! Caso 1: "  -9= BC Á !Þ Dividiendo por "  -9= BC , obtenemos la ecuación C.B  B.C œ ! cuya solución es BC œ G Þ Caso 2: "  -9= BC œ !ß BC œ Ð#5  "Ñ1, que está incluida en la solución anterior, por lo que la solución de la ecuación es BC œ G . Un segundo método es mostrar que la ecuación es exacta: QC ÐBß CÑ œ RB ÐBß CÑ œ "  -9= BC  BC =/8 BC

Entonces, J ÐBß CÑ œ ' ÐC  C-9= BCÑ.B œ BC  =/8 BC  1ÐCÑÞ Como JC œ R , B  B -9= BC  1w ÐCÑ œ B  B -9= BC .

Esto significa que 1w ÐCÑ œ !, es decir 1 es constante y la solución general de la ecuación es BC  =/8 BC œ G . Aparentemente, esta solución es distinta de la que obtuvimos con el primer método. Sin embargo, notemos que si BC œ G , entonces BC  =/8 BC œ G  =/8 G , es decir, constante. Por otro lado, la función 0 ÐDÑ œ D  =/8 D es estrictamente creciente, pues 0 w ÐDÑ œ "  -9= D ! y es igual a ! sólo en puntos aislados. Eso significa que 0 es inyectiva, por lo que 0 ÐDÑ œ G implica que D es constante. Por lo tanto, BC  =/8 BC œ G implica BC œ G! , por lo que ambas soluciones son equivalentes. Otro método de solución es usar el hecho que la diferencial de un producto es .ÐBCÑ œ C .B  B .C , por lo que haciendo la sustitución ? œ BC , obtenemos Ð"  -9= ?Ñ .? œ !, es decir, ?  =/8 ? œ G , que corresponde a la solución anterior.

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"!Þ  Resolver la ecuación: CÐ'C #  B  "Ñ.B  #B.C œ ! $ $ La ecuación se puede escribir como Cw  B" #B C œ  B C , la que corresponde a una ecuación de Bernoulli cuya solución es:

C# œ /

'

B" B .B

ÒG  ''

/'

B" .B B

B

.BÓ, es decir,

" C#

œ B/" B ÒG  '/B Ó

B/ Por lo tanto, la solución de la ecuación es C œ „É G'/ B Þ B

""Þ  Dada la ecuación diferencial CÐ"  #B$ /#B C # Ñ.B  B.C œ ! ß B  !ß C  !. +Ñ Encontrar una función 2ÐBÑ y una constante , tal que .ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC , sea un factor integranteÞ Multiplicando la ecuación por el factor integrante tenemos que: Q ÐBß CÑ œ Ð"  #B$ /#B C # Ñ2ÐBÑC ," QC ÐBß CÑ œ Ð,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#B C # ÑC ,  %B$ /#B 2ÐBÑC ,# R ÐBß CÑ œ B2ÐBÑC , RB ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC ,  B2 w ÐBÑC , Calculamos la diferencia QC  RB y la igualamos a ! para que la ecuación sea exacta: QC  RB œ C , ÒÐ,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#B C # Ñ  %B$ /#B 2ÐBÑC #  2ÐBÑ  B2 w ÐBÑÓ œ C, Ò2ÐBÑÐÐ,  "ÑÐ"  #B$ /#B C # Ñ  %B$ /#B C #  "Ñ  B2 w ÐBÑÓ œ C, Ò2ÐBÑÐ,  #Ð,  $ÑB$ /#B C # Ñ  B2 w ÐBÑÓ Podemos elegir , œ  $ y entonces  $2ÐBÑ  B2 w ÐBÑ œ !Þ Para encontrar 2ÐBÑ debemos resolver la ecuación diferencial: 2w ÐBÑ 2ÐBÑ

œ  B$ .

Luego 2ÐBÑ œ B$ , de donde .ÐBß CÑ œ B$ C $ es el factor integrante buscadoÞ

11


,Ñ Encontrar la solución general de la ecuación. Multiplicando por el factor integrante que encontramos en la parte +Ñ obtenemos la ecuación: (B$ C2  #/#B Ñ.B  B2 C $ .C œ !Þ Entonces J ÐBß CÑ œ ' B2 C $ .C œ  "# B2 C #  1ÐBÑÞ

Ahora, JB œ Q , luego JB ÐBß CÑ œ B$ C 2  #/#B , es decir, B3 C#  1w ÐBÑ œ B$ C 2  #/#B De aquí, 1w ÐBÑ œ #/#B y por lo tanto 1ÐBÑ œ /#B de donde la solución de la ecuación es:  "# B2 C#  /#B œ GÞ $ -Ñ Determinar la solución particular que verifica CÐ#Ñ œ È /# y el intervalo # # máximo donde ella está definida.

Utilizando la condición inicial, tenemos que G œ )* /% . Luego la solución particular es  "# B2 C#  /#B œ )* /% , lo que es equivalente a CÐBÑ œ

" Þ % BÉ#/#B  "' * /

Para encontrar el intervalo máximo donde está definida la solución, debemos considerar À % B Á ! • #/#B  "' * / ! Resolviendo la desigualdad, ‘#  " 68 ) ß  _. #

B  #  "# 68 )* Þ Luego, el intervalo buscado es

*

"#Þ  Resolver la ecuación: C w  Ð"  B" ÑC  ÐB  B" Ñ/B œ ! y probar que hay dos soluciones particulares para la ecuación tales que una es la derivada de la otra. Como la ecuación es lineal : CÐBÑ

" " ' ' œ / Ð" B Ñ.B ÒG  ' ÐB  B" Ñ/B / Ð" B Ñ.B .BÓ

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden B CÐBÑ œ B/B ÒG  ' ÐB  B" Ñ/B /B .BÓ

œ B/B ÒG  ' Ð"  B"# Ñ.BÓß

Así, la solución es CÐBÑ œ /B ÐGB  B#  "ÑÞ Consideremos dos soluciones particulares C" e C# . Es decir: C" ÐBÑ œ /B ÐEB  B#  "Ñ y C2 ÐBÑ œ /B ÐFB  B#  "ÑÞ Entonces C"w ÐBÑ œ /B ÐEB  B#  "Ñ  /B ÐE  #BÑß y como C"w ÐBÑ œ C2 ÐBÑ tenemos que E œ !ß F œ  #. Así, C" ÐBÑ œ /B Ð1  B# Ñ e

C2 ÐBÑ œ /B Ð"  #B  B# Ñ Þ

"3Þ  Usar un factor integrante de la forma . œ /+B,C para resolver la ecuación: Ð#B  #C  B#  #BCÑ.B  Ð#B#  %BC  #BÑ.C œ !Þ Utilizando el factor integrante tenemos que À QC ÐBß CÑ œ /+B,C ÐÐ#,B  #,C  ,B#  #,BC  #  #BÑ RB ÐBß CÑ œ /+B,C Ð#+B#  %+BC  #+B  %B  %C  #Ñ Como queremos que la ecuación resulte exacta, debemos tener que QC  RB œ !:  Ð,  #+ÑB#  #Ð,  "  +ÑB  #Ð#  ,ÑC  #Ð#+  ,ÑBC œ !

de donde + œ  " y , œ #. Luego : J ÐBß CÑ œ ' /B#C Ð#B#  %BC  #BÑ.C œ /B#C ÐB#  #BCÑ  0 ÐBÑ Derivando, JB ÐBß CÑ œ /B#C Ð#BC  B#  #B  #CÑ  0 w ÐBÑ œ R ÐBß CÑ. Asíß 0 w ÐBÑ œ !, de donde 0 ÐBÑ œ GÞ Por lo tanto, la solución de la ecuación es: /B#C ÐB#  #BCÑ œ G

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"4Þ  Demostrar que la ecuación C w  T ÐBÑC œ UÐBÑC 68 C puede resolverse mediante el cambio de variable D œ 68 C . Claramente, C  !Þ .C .C .D .D Ahora, D œ 68 C Ê .B œ C" .B Ê .B œ C .B Þ .D .D Reemplazando, C .B  T ÐBÑ C œ UÐBÑ C D , de donde .B  UÐBÑ D œ  T ÐBÑ

es lineal por lo que la solución de la ecuación es: ' ' 68 C œ / UÐBÑ .B ÐG  ' T ÐBÑ / UÐBÑ .B .BÑÞ

"&Þ  Aplicar el método del ejercicio anterior para resolver la ecuación: BCw œ #B# C  C68 C ß B  ! Dividimos por B en la ecuación y obtenemos À Cw  #BC œ B" C 68 CÞ Entonces, T ÐBÑ œ  #Bß UÐBÑ œ B" , y la solución de la ecuación es: 68 C œ /

' " .B B

' " Ð' #B /  B .B .B  GÑ

œ BÐ' # B /68 B .B  GÑ œ BÐ#B  GÑ

"'Þ  Resolver el P.V.I.: C "Î# C w  C $Î# œ "ß

CÐ!Ñ œ %

Como claramente C  !, pues C œ ! no es solución, dividimos por C "Î# y obtenemos la ecuación Cw  C œ C "Î# , que es una ecuación de Bernoulli con 8 œ  "Î#Þ $ $ $ $ $ Entonces C$Î# œ / # B Ð' $# / # B .B  GÑ œ / # B Ð/ # B  GÑ œ G / # B  " Reemplazando la condición inicial, obtenemos G œ (. $

Luego, la solución del P.V.I. es : C œ Ð(/ # B  "Ñ#Î$ Þ

14


"(Þ  Resolver la ecuación C w  /#B œ Ð"  # /B ÑC  C # sabiendo que tiene una solución particular C" œ  /B Þ Esta es una ecuación del tipo Ricatti, y en este caso se usa la sustitución À C œ  /B  "D Þ w Como Cw œ  /B  DD# obtenemos la ecuación À w

 /B  DD#  /#B œ Ð"  # /B ÑÐ  /B  D" Ñ  Ð  /B  D" Ñ# o, equivalentemente: D w  D  " œ !ß cuya solución es : D œ /' .B ÒG  ' /' .B .BÓ œ /B ÐG  /B Ñ

B B /#B Luego CÐBÑ œ / G/ Þ G/B

")Þ  Resolver la ecuación: C #  Ð%BC  "ÑC w  %B# ÐC w Ñ# œ ! Como esta es una ecuación algebraica, ordenando tenemos: C#  %BC w C  %B# ÐC w Ñ#  C w œ !ß cuya solución es Cœ

%BCw È"'B# Cw # "'B# C w # %C w #

"

œ #BC w „ ÐC w Ñ # . "

Para resolver la ecuación C œ #BC w  ÐC w Ñ # consideremos la sustitución C w œ :. Entonces: .C .: "  "# .: .B œ #:  #B .B  # : .B ß "

.:

de donde :  Ð#B  "# : # Ñ .B œ !. Como esta ecuación no es lineal en la variable :, pero sí en la variable B, escribimos: "  "# : .B œ! .:  #B  # :

# " de donde, .B .:  : B  #È:$ œ !, cuya solución es:

15


B œ /#68: ÒG 

" #

'

/#68: È:$ .:

Óœ

" :# ÐG

 "$ È:$ Ñ

"

La ecuación C œ #BCw  ÐC w Ñ # se resuelve en forma análoga (note que sólo cambia un signo). Por lo tanto, la solución de la ecuación es: Ú

È:$ B œ :"# ÐG  $ Ñ Û Ü C œ #:B  È:

Ú

È:$ B œ :"# ÐG  $ Ñ C œ #:B  È:

Û Ü

Notemos que también podríamos haber resuelto la ecuación algebraica para Cw À %B# ÐC w Ñ#  Ð"  %BCÑC w  C # œ ! , y entonces À Cw

œ

"%BCÈÐ"%BCÑ# "'B# C # )B#

œ

"%BC È")BC )B#

Hacemos la sustitución ? œ "  )BC, de donde ?w œ )ÐC  BC w ÑÞ Reemplazando y despejando, obtenemos la ecuación en variables separables: #B?w  $? œ  "  #È? Resolviendo: .? "#È?$?

œ .B #B

È?.? Ê #$ ' ÐÈ?"ÑÐÈ?… " Ñ œ "# ' .B B $

Ê "' Ò68ÐÈ?  "Ñ$ ÐÈ?… "$ ÑÓ œ "# 68 B  68 G! $ È?… " œ GB Ê ÐÈ?  "Ñ É $

Luego, las soluciones son: $ È)BC  "  " œ GB ÐÈ)BC  "  "Ñ É $ $ È)BC  "  " œ GB ÐÈ)BC  "  "Ñ É $

Eliminando : en las soluciones paramétricas obtenidas con el primer método se obtienen las soluciones cartesianas anteriores. 16


1*Þ  Dada la ecuación: #B Cw  /#B C#  B" Ð"  %B  #B# ÑC œ  /B Ð"  B  #B#  B$ Ñ

+Ñ Encontrar la solución particular de la forma: C" ÐBÑ œ /#B ÐEB  FÑ C" ÐBÑ œ /#B ÐEB  FÑ Ê C"w ÐBÑ œ #/#B ÐEB  FÑ  /#B E , Reemplazando en la ecuación y simplificando /#B tenemos: #ÐEB  FÑ  E  ÐEB  FÑ#  B" Ð"  %B  #B# ÑÐEB  FÑ œ  B" Ð"  B  #B#  B$ Ñ de donde F  Ð#F  F # ÑB  Ð#E  #EF  #FÑB#  Ð#E  E# ÑB$ œ "  B  #B#  B$ Así , F œ " y E œ ", luego la solución particular es: C" ÐBÑ œ /#B ÐB  "ÑÞ ,Ñ Determinar la solución general de la ecuación. Como se trata C œ /#B ÐB  "Ñ 

de una ecuación de Riccati, consideremos la sustitución " D.

w Entonces, Cw œ /#B Ð#B  $Ñ  DD# y reemplazando en la ecuación y simplificando, obtenemos la ecuación lineal:

#B D w  Ð "#B œ !. B ÑD  /

La solución de esta ecuación es À D œ /

'

"#B B .B

’G  ' /#B /

'

"#B B .B

.B“

D œ / B ’G  # “. #B

B

Reemplazando D tenemos CÐBÑ œ

#BÐB"ÑÐ#GB# Ñ #B / #GB#

17


2!Þ  Mostrar que la ecuación diferencial #B% CC w  C % œ %B' se reduce a una ecuación homogénea mediante la transformación C œ D 8 ß para cierto 8Þ Resuelva la ecuación. Sea C œ D 8 ß entonces C w œ 8D 8" D w ß y reemplazando en la ecuación tenemos: #8B% D 28" D w  D %8 œ %B' . Para que esta ecuación sea homogénea se debe tener #8  " œ % y %8 œ 'ß de donde 8 œ $# Þ Por lo tanto: .D .B

' D ' œ %B $B% D #

Utilizando el cambio de variable D œ B?, obtenemos: ?  B?w œ "$ Ò%Š ?" ‹  ?% Óß #

es decirß

$?# .?  .B œ ' B ? $?$ %

Separando en fracciones parciales e integrando nos queda À  68B

# .? $?# .? œ "& ’ $? ?$ "  ?$ % “ß

œ "& ’68Ð?$  "Ñ  68a?$  %b“  68G . $ %GB& $ Luego, BG& œ ??$ " , de donde ? œ % B& G . & $ BŠ %GB & B G ‹ "

Por lo tanto D œ B? œ

.

Reemplazando nuevamente, tenemos que la solución de la ecuación es: & # Š %GB & B G ‹ "

CÐBÑ œ B

18

$ #

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Trayectorias ortogonales. Sea > la familia de curvas definida por la ecuación diferencial J ÐBß Cß C w Ñ œ !ß para ÐBß CÑ en una región abierta H del plano \] . La familia >w , ortogonal a > está definida por la ecuación diferencial J ÐBß Cß  C"w Ñ œ !Þ Proporcionalidad directa. Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es (directamente) proporcional a la cantidad presente en un instante >, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como: .\ .>

œ 5\

donde 5 es la constante de proporcionalidad. Si 5 es positivo, entonces \ crece en el tiempo; si 5 es negativo, \ está disminuyendo y si 5 œ !, B es constante. Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es \Ð>Ñ œ \! /5 > , donde \! œ \Ð!ÑÞ Proporcionalidad inversa. Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es inversamente proporcional a la cantidad presente en un instante >, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como: .\ .>

5 œ \

donde 5 es la constante de proporcionalidad. Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es: \ # Ð>Ñ œ #5 >  \!# , donde \! œ \Ð!ÑÞ

19


Proporcionalidad conjunta. Si suponemos que el ritmo de cambio de una cierta cantidad representada por \Ð>Ñ es conjuntamente proporcional a la cantidad presente en un instante > y a cierta cantidad E  \Ð>Ñ, entonces la ecuación diferencial que modela este fenómeno se puede expresar como: .\ .>

œ 5 \ÐE  \Ñ

donde 5 es la constante de proporcionalidad. Como se trata de una ecuación en variables separables, su solución es À \ E\

\! œ G /E5 > ß donde G œ E\ !

Análisis de compartimientos. Un sistema de un compartimiento está constituido por una cierta cantidad \Ð>Ñ de material en el compartimiento, y dos funciones IÐ>Ñ y WÐ>Ñ que representan respectivamente el ritmo de entrada y el ritmo de salida de material al sistema. IÐ>Ñ

Ò

\Ð>Ñ

WÐ>Ñ

Ò

La ecuación que modela este fenómeno se puede expresar como: .\ .>

œIW

El tipo de ecuación diferencial que resulta depende en general de las funciones I y W . En el caso de mezclas, por ejemplo, IÐ>Ñ corresponde a la cantidad total de sustancia que ingresa al sistema, así, si entra agua pura, IÐ>Ñ œ !. Por otro lado, el ritmo de salida WÐ>Ñ es la cantidad de litros que sale del sistema por unidad de tiempo por la concentración de la sustancia \ en cada instante, vale decir \ dividido por el volumen total, Z Ð>Ñ. Obsevación. Si la cantidad de litros que entra al sistema es igual a la cantidad que sale, el volumen es constante. Si la cantidad de litros que entra al sistema es distinta a la cantidad que sale, el volumen total está variando y se expresa por Z Ð>Ñ œ Z!  Ð+  ,Ñ >, donde Z! representa el volumen inicial , + representa la cantidad de litros que entra al sistema y ,, la cantidad de litros que sale de él.

20

Aplicaciones de l+s Ecuaciones de primer orden

Ejercicios resueltos

"Þ 

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas que satisface la condición: La porción de la tangente limitada por los ejes tiene como punto central al punto de tangencia. En primer lugar buscamos la ecuación diferencial de la familia dada. Sea ÐBß CÑ un punto cualquiera de una curva perteneciente a la familia. Entonces, los puntos Ð#Bß !Ñ y Ð!ß #CÑ pertenecen a la recta tangente a la curva en el punto ÐBß CÑÞ C

La pendiente de esta recta es entonces 7 œ  B Þ Como la pendiente de la recta tangente está dada por la derivada de la función en el punto, tenemos que la familia satisface la ecuación diferencial À C Cw œ  B En particular, si resolvemos esta ecuación, obtenemos la familia de hipérbolas BC œ G, lo que corresponde a la familia de curvas que cumple la condición dada. Para obtener las trayectorias ortogonales debemos resolver la ecuación Cw œ BC Þ Separando variables obtenemos la familia de hipérbolas: C#  B# œ G . #Þ 

Hallar la ecuación diferencial de la familia de todos los círculos con centros en la recta B œ C, que son tangentes a ambos ejes. La familia buscada tiene ecuación: ÐB  GÑ#  ÐC  GÑ# œ G # Þ Derivando, obtenemos #ÐB  GÑ  #ÐC  GÑC w œ !, de donde À ÐB  GÑ œ  C w ÐC  GÑ BC C w

Despejando, G œ "Cw Þ BC C w BC C w BC C w De aquí, ÐB  "Cw Ñ#  ÐC  "Cw Ñ# œ Ð "Cw Ñ#

21


Luego, ÐB  BC w  B  CC w Ñ#  ÐC  CC w  B  CC w Ñ# œ ÐB  CC w Ñ# Por lo tanto, ÐB  CÑ# C w #  ÐC  BÑ# œ ÐB  CC w Ñ# y la ecuación diferencial de la familia es: ÐC  BÑ# Ð"  C w # Ñ œ ÐB  C C w Ñ# Þ

$. 

Encontrar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de círculos tangentes al eje S] en el origen. La familia de círculos tangentes al eje S] en el origen está dada por ÐB  GÑ#  C # œ G # es decir, B#  C # œ #BGÞ Derivando implícitamente y despejando G , obtenemos la ecuación diferencial asociada: C # B#

Cw œ #BC

Para encontrar la familia ortogonal debemos encontrar la solución general de la ecuación diferencial: .C #BC .B œ B# C # Escribiendo la ecuación de la forma: #BC .B  ÐC#  B# Ñ.C œ !, podemos observar que tiene un factor integrante que depende de Cß .ÐBß CÑ œ / Obtenemos la ecuación exacta:

#B B# C .B  Ð"  C # Ñ.C

' #C .C

œ C"# Þ

œ !Þ

# # J ÐBß CÑ œ BC  1ÐCÑß de donde JC œ  BC#  1w ÐCÑÞ

Por lo tantoß 1w ÐCÑ œ " Ê 1ÐCÑ œ CÞ Luego, la solución general es

B# C

 C œ #Gß o bien, B#  C # œ #CGÞ

Así, la familia de trayectorias ortogonales es la familia de círculos tangentes al eje S\ en el origen.

22


%Þ 

Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que pasan por los puntos Ð"ß "Ñ y Ð  "ß "ÑÞ Primero debemos formular el problema matemático que representa esta situación. Como .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß "ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð  "ß "Ñ, tenemos que: Ð2  "Ñ#  Ð5  "Ñ# œ Ð2  "Ñ#  Ð5  "Ñ# de donde 2 œ !. Así, el centro de la circunferencia es Ð!ß GÑ y su radio, G #  #G  #Þ Luego, la familia de circunferencias es : B#  ÐC  GÑ# œ G #  #G  #ß y derivando implícitamente, obtenemos: #B  #ÐC  GÑC w œ !Þ Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial: #BÐC"Ñ

Cw œ C# B# #C# . Entonces, la ecuación diferencial de la familia de trayectorias ortogonales es: Cw œ

C # B# #C# #BÐC"Ñ ß

o bien aC#  B#  #C  #b.B  Ð#B  #BCÑ.C œ !Þ

Notemos que .ÐBÑ œ /

' # .B B

œ B"# es factor integrante.

Ahora multiplicando por . se obtiene la ecuación exacta: Š B#  "  B#  B## ‹.B  Ð B#  B Ñ.C œ !ß C#

#C

#C

J ÐBß CÑ œ ' Ð B#  B Ñ.C œ B  B  1ÐBÑ #C

#C

#C

C#

C#

C#

#C

JB ÐBß CÑ œ  B#  B#  1w ÐBÑ œ B#  "  B#  B## Luego, 1w ÐBÑ œ  "  B## , de donde 1ÐBÑ œ  B  B# La solución de la ecuación es:

#C B

C#  B#  B  B œ #G

que corresponde a la familia de circunferencias: ÐB  GÑ#  ÐC  "Ñ# œ G #  " Þ

23


&Þ 

Sea > la familia de circunferencias que pasan por los puntos Ð"ß !Ñ y Ð!ß "ÑÞ +Ñ Encontrar la ecuación diferencial que define >.

Sea Ð2ß 5Ñ el centro de una circunferencia cualquiera de la familia. Entonces, .ÐÐ2ß 5Ñß Ð"ß !ÑÑ œ .ÐÐ2ß 5Ñß Ð!ß "Ñß de donde Ð2  "Ñ#  5 # œ 2 #  Ð5  "Ñ# Despejando, obtenemos 2 œ 5 , es decir el centro de la circunferencia está sobre la recta C œ B, digamos ÐGß GÑÞ Así, la familia de circunferencias es ÐB  GÑ#  ÐC  GÑ# œ # G #  #G  "ß de donde derivando implícitamente, obtenemos #B  #G  #ÐC  GÑC w œ !Þ Eliminando la constante de estas dos igualdades, obtenemos la ecuación diferencial buscada: "B# C #

B#  #GB  C #  #GC  #G  " œ ! Ê G œ #Ð"BCÑ BCC w

B  G  CC w  GC w œ ! Ê G œ "Cw "B# C #

BCC w

C # B# #BC#B"

Por lo tanto, #Ð"BCÑ œ "C w , de donde Cw œ C # B# #BC#C" .

,Ñ Hallar las trayectorias ortogonales de >. La ecuación de las trayectorias ortogonales es: C # B# #BC#B"  .B œ .C C # B# #BC#C"

o bien, ÐC#  B#  #BC  #C  "Ñ .B  ÐC #  B#  #BC  #B  "Ñ .C œ !

24


Como la ecuación no es exacta, calculamos: QC RB Q R

#ÐBC"Ñ

# œ ÐBCÑÐBC"Ñ œ  ÐBCÑ

" Luego, ÐBCÑ # es F.I.

Multiplicando por el factor integrante la ecuación se transforma en exacta, por lo tanto J ÐBß CÑ œ ' Q .B À J ÐBß CÑ œ '

ÐC# B# #BC#C"Ñ ÐBCÑ#

.B

œ ' Ð ÐBCÑ#  ÐBCÑ#  "Ñ.B ÐC"Ñ#

C#

ÐC"Ñ#

C#

œ  BC  BC  B  1ÐCÑ

Por otra parte, J ÐBß CÑ œ ' R .C À J ÐBß CÑ œ '

ÐC# B# #BC#B"Ñ ÐBCÑ#

.C

B œ ' Ð  ÐBCÑ#  ÐBCÑ #  "Ñ.C ÐB"Ñ#

ÐB"Ñ#

#

#

B œ  BC  BC  C  2ÐBÑ

Igualando: ÐC"Ñ#

ÐB"Ñ#

C#

#

B  BC  BC  B  1ÐCÑ œ  BC  BC  C  2ÐBÑ ÐB"Ñ# BC

ÐC"Ñ#

#

C#

B  BC  BC  BC  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ

ÐBCÑÐBC#Ñ BC



ÐBCÑÐBCÑ BC

 B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ

B  C  #  B  C  B  1ÐCÑ œ C  2ÐBÑ B  C  #  1ÐCÑ œ 2ÐBÑ Luego, 2ÐBÑ œ B  #ß 1ÐCÑ œ  C

25


Así, la solución de la ecuación es:

ÐC"Ñ# BC

C#

 BC  B  C œ G

Resolviendo, obtenemos: ÐC  "Ñ#  C #  B#  C # œ GÐB  CÑ C#  #C  "  B#  GB  GC œ ! ÐG#Ñ# G # G# # ÐC  G# Ñ  ÐB  Ñ œ  "   # # % %

Así, las trayectorias ortogonales de > son las circunferencias:

ÐC 

'Þ

G# # # Ñ

 ÐB  G# Ñ# œ G# ÐG  "Ñ

Para hacer un buen diagnóstico oftalmológico, ayer a las 20:00 horas se le administró a Nicolás cierta droga que dilata la pupila. El médico explicó que la droga tiene una semivida de 6 horas y que Nicolás presentaría molestias visuales hasta que se hubiera eliminado el 80% del medicamento. Cuando Nicolás se levantó esta mañana a las 7, se quejó de tener aún la vista borrosa. ¿Era por efecto del medicamento? Justifique. Sea HÐ>Ñ la cantidad de droga presente en un instante >. Entonces, HÐ>Ñ œ H! /5> , donde H! es la cantidad de droga administrada. La semivida de una sustancia corresponde al tiempo que demora en desintegrarse la mitad de ella. Luego, HÐ'Ñ œ H#! œ H! /'5 , por lo que 5 œ  "' 68 #, de donde HÐ>Ñ œ H! Ð "# Ñ>Î' Þ El tiempo que demora en eliminarse el )!% del medicamento se puede expresar como: HÐ>Ñ œ !ß # H! œ H! Ð "# Ñ>Î' es decir, > œ '6868#& ¸ "%Þ Luego, el medicamento dejará de producir molestias aproximadamente a las 10:00 de la mañana, por lo que las molestias de Nicolás se debían aún al efecto de la droga.

26


(Þ

Suponga que la población T Ð>Ñ en un lago es atacada por una enfermedad al tiempo > œ !, con el resultado que los peces cesan de reproducirse y el índice de mortalidad (muerte por semana por pez) es de ahí en adelante proporcional a È"ÎT . Si originalmente había 900 peces en el lago y 6 semanas después quedaban 441, ¿cuánto tiempo tardarán en morir todos los peces del lago? Claramente, T w œ  5 È" T , de donde 2T "Î# œ  5>  GÞ T Como T Ð!Ñ œ *!!, tenemos que G œ '! y T Ð'Ñ œ %%" Ê %# œ  '5  '!ß de donde: 5 œ 3 Luego, T Ð>Ñ œ "# (60  $>Ñ# Þ Igualando la función a !ß

T Ð>Ñ œ !

Í > œ #!

Por lo tanto, en #! semanas ya no quedarán peces en el lago.

)Þ

Un escalador de montañas sale de su campamento base a las 6:00 a.m. A medida que trepa, la fatiga y la falta de oxígeno se hacen sentir de modo que la rapidez con la cual aumenta su elevación es inversamente proporcional a la elevación. Al mediodía está a una altura de 19.000 pies, y a las 2:00 p.m. ha llegado a la cima de la montaña, que está a 20.000 pies. ¿Qué tan alto era su campamento base? Sea 2Ð>Ñ la altura del escalador en un instante >. Entonces, 2w Ð>Ñ † 2Ð>Ñ œ 5 , donde 5 es constante. Resolviendo esta ecuación, 2 .2 œ 5 .>, de donde: 2# Î# œ 5>  - , o bien, 2# œ #5>  GÞ Ahora bien, 2Ð'Ñ œ "*Þ!!! y 2Ð)Ñ œ #!Þ!!!Þ Reemplazando: "*# † "!' œ #5 † '  G #!# † "!' œ #5 † )  G Restando la primera ecuación de la segunda, eliminamos G : "!' Ð#!#  "*# Ñ œ %5 , es decir, 5 œ "!' † $*Î%Þ Reemplazando en la primera ecuación: G œ "!' Ð"*#  $ † $*ÑÞ

27


Así, en el instante > œ ! (a las 6:00 de la mañana): 2# œ G œ "!' Ð$'"  ""(Ñ œ "!' † #%%, de donde: 2 ¸ "!$ † "&ß '. Por lo tanto, el campamento base se encontraba aproxima-damente a "&Þ'!! pies de altura.

*Þ

Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene ")!! pies cúbicos de aire libre de monóxido de carbono. En el instante > œ ! varias personas empiezan a fumar. El humo, que contiene un seis por ciento de monóxido de carbono, se introduce en la habitación a razón de !ß "& pies cúbicos por minuto, y la mezcla, removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de !ß !!!") ? ( 68 !ß **( ¸  !ß !!$ ). Sea GÐ>Ñ la cantidad de monóxido de carbono presente en la habitación en un instante >. El ritmo de entrada es !ß "& † !ß !' œ * † "!$ Þ El ritmo de salida es

!ß"&†GÐ>Ñ ")!!

& GÐ>Ñ

œ '†"!% Þ

& GÐ>Ñ

Entonces, G w Ð>Ñ œ * † "!$  '†"!% .

Como esta es una ecuación lineal, la solución es: GÐ>Ñ

œ/ œ/

' 

& .> '†"!%

&> '†"!%

Ð' * † "!$ /

'

&.> '†"!%

.>  GÑ

Ð* † "!$ ' / '†"!% .>  GÑ &>

 & >% '†"! œ &%†"!  G / &

Como GÐ!Ñ œ !ß GÐ>Ñ œ "!)Ð"  /

 & >% '†"! ÑÞ

Finalmente, si GÐ>Ñ denota la concentración de monóxido de carbono presente en la sala en un instante >, tenemos que:

28


GÐ>Ñ

"!) GÐ>Ñ œ ")!! œ ")!! Ð"  / "!) Luego, ") † "!& œ ")!! Ð"  /

 & >% '†"! Ñ,

 & >% '†"! ÑÞ

de donde

% ")# †"!$ > œ  '†"! 68Ð"  & ")†' Ñ % œ '†"! & 68Ð"  !ß !!$Ñ

œ $' Por lo tanto, una persona prudente debería abandonar la fiesta a los $' minutos.

"!Þ  Según la Ley de Torricelli, la rapidez con que baja el agua en un tanque en forma de cilindro vertical que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua en el tanque. Inicialmente, el agua tiene una profundidad de 9 pies y un tapón es retirado en el tiempo > œ ! (horas). Después de una hora la profundidad ha descendido a % pies. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir del tanque? Sea 2Ð>Ñ la altura del agua en el tanque en el instante >.

Entonces, 2w œ  5 È2 , de donde #È2 œ  5>  GÞ Como 2Ð!Ñ œ *, tenemos que G œ ' y como 2Ð"Ñ œ %, 5 œ #Þ Así, 2Ð>Ñ œ "# Ð'  #>Ñ# œ #Ð$  >Ñ# Þ Finalmente, 2Ð>Ñ œ ! Í $  > œ ! Í > œ $Þ Por lo tanto, el tanque demorará 3 horas en vaciarse.

""Þ Un tanque con capacidad para 400 galones está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con media libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque, bien mezclado, sale de él a razón de 4 gal/min. +Ñ Calcule la cantidad de sal después de 30 minutos. Sea BÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque en el instante >. %BÐ>Ñ

Entonces, Bw Ð>Ñ œ $  "!!#> Þ Esta es una ecuación lineal, por lo tanto: 29


BÐ>Ñ

œ /

'

%.> "!!#>

Ð' $ /

'

%.> "!!#>

" ' Ð&!  >Ñ#.>  GÑ .>  GÑ œ Ð&!>Ñ # Ð$

" $ œ Ð&!>Ñ # ÐÐ&!  >Ñ  GÑ

Como BÐ!Ñ œ "! œ &!  G † &!# , de donde G œ  %! † &!# %!†#&!! Así, BÐ>Ñ œ &!  >  Ð&!>Ñ #Þ

Reemplazando para > œ $!, tenemos que a los $! minutos, la cantidad de sal es: "#& )!  %!†#&!! Ð)!Ñ# œ )!  ) œ )!  "&ß '#& œ '%ß $(& libras

,Ñ Determinar después de cuántos minutos el tanque empezará a derramarse. "!!  #> œ %!! Ê > œ "&! minutos. -Ñ Determinar la concentración de la sal en el instante en que el tanque comienza a derramarse. La concentración de la sal es la cantidad presente por galón de mezcla, por lo que dividimos la cantidad total por el contenido de mezcla en el tanque. BÐ"&!Ñ œ #!!  %!†#&!! Ð#!!Ñ# œ #!!  #ß & œ "*(ß & libras de sal. "*(ß&

La concentración es entonces G œ %!! œ !ß %* libras de sal por galón. "#Þ La rapidez con que aumenta el número de supermercados que emplea cajas computarizadas en un país es conjuntamente proporcional a la cantidad de supermercados que ya las emplean y a la cantidad que aún no lo hace. Si en el país hay 2001 supermercados, inicialmente uno sólo adopta el sistema y después de un mes lo hacen 3, calcule el número de supermercados que adoptará el sistema después de 10 meses. ¿En cuántos meses aproximadamente, todos los supermercados del país tendrán cajas computarizadas? Sea WÐ>Ñ el número de supermercados que emplea cajas computarizadas en un instante > (en meses). La cantidad de supermercados que aún no adopta el sistema en un instante > dado es #!!"  WÐ>Ñ. Entonces, WÐ!Ñ œ "ß WÐ"Ñ œ $.

30


La ecuación se expresa como: W w œ 5 WÐ#!!"  WÑ " W #!!" 68Ð #!!"W Ñ

œ 5>  G

" " Para > œ !ß #!!" 68Ð #!!! Ñ œ G y para > œ "ß " $ #!!" 68Ð "**) Ñ

" " " œ 5  #!!" 68Ð #!!! Ñ Ê 5 œ #!!" 68Ð #!!! ''' Ñ

Reemplazando tenemos: " W #!!" 68Ð #!!"W Ñ W #!!"W

Ê

> " " œ #!!" 68Ð "!!! $$$ Ñ  #!!" 68Ð #!!! Ñ

" > œ #!!! Ð "!!! $$$ Ñ

" #!!" "!!! > > Ê WÐ"  #!!! Ð "!!! $$$ Ñ Ñ œ #!!! Ð $$$ Ñ

Luego, "!!! > #!!!†$$$> #!!"†"!!!> WÐ>Ñ œ #!!" #!!! Ð $$$ Ñ Ð #!!!†$$$> "!!!> Ñ œ #!!!†$$$> "!!!> "!

En 10 meses, WÐ"!Ñ œ $$$#!!"†"!!! "! #!!!"!!!"! ¸ "*$' " "!!! > ' WÐ>Ñ œ #!!! Ê #!!! œ Ð "!!! $$$ Ñ Ð #!!! Ñ Ê 68 % † "! œ > 68 $$$ #68#'68"! Por lo tanto, > œ $68"!68$$$ ¸ "$ß )

En "% meses ya todos los supermercados tendrán cajas computarizadas. "$Þ Suponga que una población dada puede dividirse en dos grupos: los que padecen cierta infección y los que todavía no la padecen, pero que son susceptibles de adquirirla por contagio de los anteriores. Si B e C son las proporciones de población infectada y no infectada, entonces B  C œ ". Suponga que el ritmo de propagación (.BÎ.>Ñ es conjuntamente proporcional a B e C . +Ñ Determine la proporción de personas infectadas en el tiempo > en función del número inicial de infectados B! ß (y el tiempo >). .B .>

B B œ 5 BÐ"  BÑ Ê 68 "B œ 5 >  G! Ê "B œ G/5> Þ

B! Ahora, "B œ G , luego, BÐ>Ñ = !

B! /5> Þ "B! B! /5>

31


,Ñ Si la población es de 100 personas e inicialmente hay una persona contagiada, y al día siguiente hay 10 personas, determine en cuánto tiempo estará infectada toda la población. ( Use 68 $ œ "ß " à 68 "" œ #ß %). Como inicialmente hay una persona contagiada de 100 en total, B! œ !ß !"Þ !ß!"/5>

5>

/ Reemplazando, BÐ>Ñ = !ß**!ß!"/5> œ **/ 5> Þ 5

/ " Como BÐ"Ñ œ **/ 5 œ "! , tenemos que 5 œ 68 ""Þ >

"" Luego, BÐ>Ñ œ **"" >.

Notemos que toda la población estará infectada cuando BÐ>Ñ œ ", es decir, ""> œ **  ""> , lo cual nos lleva a una contradicción, por lo que debemos buscar otro camino. ** Ahora bien, la población entera se habrá contagiado cuando BÐ>Ñ  "!! , es decir, ""> **"">

**  "!!

" **# ""> Ð "!! Ñ  "!! #Ð#ß##ß%Ñ ** >  #6868"" œ ¸% #ß%

Por lo tanto, en 4 días se habrá contagiado toda la población.

"%Þ  Un profesor escribe los apuntes de su asignatura con una rapidez proporcional al número de hojas escritas. Por otra parte uno de sus alumnos es capaz de leer estos apuntes con una rapidez constante. Al comenzar el curso (que es de carácter anual), el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y posteriormente se las va proporcionando a medida que las escribe. Si este alumno en particular, al final del tercer mes llevaba un atraso en la lectura de los apuntes de 20 páginas y al finalizar el sexto mes llevaba un atraso de 70 páginas. +Ñ Determine el número de páginas que entregó el profesor al finalizar el noveno mes. Sea LÐ>Ñ el número de hojas escritas por el profesor en el instante >, entonces: .LÐ>Ñ .>

œ 5LÐ>Ñ Ê LÐ>Ñ œ G/5> .

La condición inicial LÐ!Ñ œ "!ß implica que G œ "!, por lo tanto: 32


LÐ>Ñ œ 10/5> . Por otra parte, si PÐ>Ñ es el número de hojas leídas por el alumno, como la rapidez de lectura es constante, digamos 7, entonces: .PÐ>Ñ .>

œ 7 Ö PÐ>Ñ œ 7>  G"Þ

Como PÐ!Ñ œ !ß entonces G" œ !. Así, PÐ>Ñ œ 7>. Además las relaciones À LÐ$Ñ œ PÐ$Ñ  #! LÐ'Ñ œ PÐ'Ñ  (! implican 10e$5 œ $7  #! 10e'5 œ '7  (!Þ Resolviendo el sistema tenemos que 5 œ 68$ $ ß de donde: LÐ>Ñ œ 10/

68$ $ >

.

Luego la cantidad de páginas que entregó el profesor al noveno mes es LÐ*Ñ œ #(!Þ

,Ñ Si el curso duraba * meses ¿Cuántas páginas le faltaron por leer al alumno? 30 œ $7  #! Ê 7 œ "! $ Ê PÐ*Ñ œ $!ß por lo que le faltaron #%! páginas por leer.

"&Þ  Considere los dos tanques de la figura. Inicialmente el tanque 1, contiene 200 litros de solución salina en la que se han disuelto 40 kilos de sal. El tanque 2, que tiene 400 litros de capacidad, contiene 100 litros de solución salina con concentración de " sal de #5 kilos por litro. En el instante > œ ! se abren simultáneamente las llaves A, B, C y D. Por A entra " solución con concentración de 10 kilos por litro a 10 litros por minuto. Por B pasa la solución del tanque 1 al tanque 2 a 10 litros por minuto. Por C entra agua pura a 2 litros por minuto y por D sale solución a 6 litros por minuto.

33


C A

B

Tanque 1

D Tanque 2

+Ñ Determinar la cantidad de sal en el tanque 1 en un tiempo >. Sea BÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque 1 en el instante >Þ El ritmo de entrada al " tanque 1 es de "! † "! kilos de sal por minuto y el ritmo de salida es de 10 litros por BÐ>Ñ

minuto por #!! Þ BÐ>Ñ

Luego , Bw Ð>Ñ œ "  #! , que corresponde a una ecuación es lineal, por lo tanto À BÐ>Ñ œ /

'

.> #!

ÒG  ' /' #! .>Ó .>

>

>

Ê BÐ>Ñ œ / #! ÒG  #! / #! ÓÞ

Como BÐ!Ñ œ %!ß entonces G œ #!ß luego: >

BÐ>Ñ œ #!Ò/ #!  "ÓÞ

,Ñ Determinar el instante >" en que se llena el tanque 2. El tanque 2 tiene capacidad para 400 litros. La llave B aporta 10 litros por minuto y la llave C, 2 litros por minuto. Por la llave D salen 6 litros por minuto, luego, "!!  '> œ %!!, de donde > œ &!, es decir, el tanque 2 se llena a los 50 minutos. -Ñ Determinar la cantidad de sal en el tanque 2 en un tiempo !  >  >". Sea CÐ>Ñ la cantidad de sal en el tanque # en el instante >Þ La sal que entra en el tanque proviene toda del estanque 1. Entonces, >

w

C Ð>Ñ œ "! †

#!Ð"/ #! Ñ #!!

Como esta ecuación es lineal tenemos: 34

'CÐ>Ñ

 "!!'> .


CÐ>Ñ œ /

'

' "!!'> .>

ÒG  ' Ð"  / #! Ñ/' "!!'> .> .>Ó '

>

" œ "!!'> ÒG  ' Ð"  / #! ÑÐ"!!  '>Ñ.>Ó >

>

" œ "!!'> ÒG  "!!>  $>#  / #! Ð%%!!  "#!>ÑÓÞ " Como la concentración de sal en el instante inicial es #5 kilos por litro tenemos À " #5

Así,

CÐ!Ñ

œ "!!

Ö CÐ!Ñ œ % Ö G œ %)!!Þ >

" CÐ>Ñ œ "!!'> Ò%)!!  "!!>  $>#  / #! Ð%%!!  "#!>ÑÓÞ

.Ñ Determinar la concentración de sal en cada tanque en el instante en el cual el segundo tanque comienza a derramarse. >

BÐ>Ñ

" La concentración de sal en el tanque 1 es #!! œ "! Ò/ #!  "Ó. & " Luego, a los 50 minutos la concentración es de "! Ò/ #  "ÓÞ

La concentración en el tanque 2 a los 50 minutos es: CÐ&!Ñ "!!'†&!

&

"  œ Ð%!!Ñ # Ò%)!!  &!!!  (&!!  / # Ð%%!!  '!!!ÑÓ & " œ "'! Ð"($  "!% / # ÑÞ

"'Þ Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5ºC. Mientras se encontraba realizando una autopsia de la víctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la víctima, robado. A las 9:00 A.M. el ayudante descubre su cadáver a una temperatura de 21ºC. A mediodía, su temperatura es de 13ºC. Suponiendo que el forense tenía en vida una temperatura normal de 37ºC, ¿a qué hora fue asesinado? Fijemos > œ ! a las 9:00 horas. Sean X Ð>Ñ la temperatura del cuerpo en un instante >, y E la temperatura ambiente. Entonces X Ð!Ñ œ #"ß X Ð$Ñ œ "$ y E œ &Þ

35


Queremos encontrar > tal que X Ð>Ñ œ $(Þ Sea ?X œ X  EÞ Por la ley del enfriamiento de Newton, . ?X .>

œ 5 ?X , de donde ?X œ G /5 > Þ

Luego, X Ð>Ñ œ G/5>  E œ G/5>  &Þ Reemplazando en las condiciones iniciales: X Ð!Ñ œ #" œ G  &, de donde G œ "'Þ Ahora, X Ð$Ñ œ "$ œ "'/$5  &, es decir  68# œ $5 , de donde 5 œ  "$ 68#Þ >

Así, X Ð>Ñ œ "'/ $ 68 #  & œ "'Ð#Ñ>Î$  &. Ahora, $( œ "'Ð#Ñ>Î$  & Ê # œ #>Î$ Ê > œ  $. Por lo tanto, el forense fue asesinado tres horas antes que se encontrara el cuerpo, es decir, a las 6:00 de la mañana.

"(Þ  Una fábrica de papel está situada cerca de un río con un flujo constante de 1000 m3 /seg, el cual va a dar a la única entrada de un lago que tiene un volumen de 109 73 . Suponga que en el tiempo > œ !, la fábrica de papel comienza a bombear contaminantes en el río a razón de " 73 Î=/1, y que la entrada y salida de agua son constantes. +Ñ ¿Cuál será la concentración de contaminantes en cualquier instante? Tenemos que el volumen total es Z œ "!* , la velocidad de entrada y de salida es 1 "!!"7$ Î=/1, la concentración de contaminantes que entra al lago es 1001 . Luego la ecuación queda: .BÐ>Ñ .>

BÐ>Ñ 1 œ "!!" † 1001  "!* † "!!"

o bien Bw  "!B* † "!!" œ ".

La solución de esta ecuación lineal es: BÐ>Ñ œ /

'

BÐ>Ñ œ /

 "!!" > "!*

"!!" .> "!*

’G  ' /

'

"!!" .> "!*

.>“

"! / "!* “ ’G  "!!" *

"!!"

>

*

"! Como BÐ!Ñ œ ! tenemos G  "!!" œ !, es decir,

36


*

"! G œ  "!!"  "!!" > "!* Luego, BÐ>Ñ œ "!!" Ð"  / "!* ÑÞ

Así, la concentración es

BÐ>Ñ Z

" œ "!!" Ð"  /

 "!!" > "!*

Ñ

,Ñ Suponga que la fábrica de papel deja de contaminar el río después de una hora. Halle una expresión para la concentración de contaminantes en el lago en cualquier tiempo >. Después de 1 hora (3.600 segundos) el ritmo de entrada es ! y la ecuación queda: Bw œ  "!B' , de donde: BÐ>Ñ œ G /

 "!> '

 "!!" $' "!* Como BÐ$Þ'!!Ñ œ "!!" Ð"  / "!( Ñ, tenemos que: *

"! G œ "!!" Ð"  /

 "!!" ( $' "!

$'

Ñ/ "!% Þ

Así, para >  $Þ'!!, la concentración es: BÐ>Ñ 10*

/

$Þ'!!> "!'

œ "!!" Ð"  /

 $'!$' ( "!

Ñ

y para >  $Þ'!! es la que se encontró en la parte +Ñ.

37


38

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Operador diferencial lineal. Sea G 8 ÒMÓ el espacio vectorial de todas las funciones reales que admiten derivadas continuas en M al menos hasta el orden 8, GÒMÓ, el espacio vectorial de las funciones continuas en M . Una transformación lineal P À G 8 ÒMÓ Ä GÒMÓ se dice que es un operador diferencial lineal de orden 8 si puede expresarse de la forma: P œ +8 ÐBÑH8  +8" ÐBÑH8"  á  +" ÐBÑH  +! ÐBÑ donde +8 ß +8" ß á ß +" ß +! ß son funciones reales continuas en algún intervalo M y +8 ÐBÑ Á ! para todo B − MÞ Los operadores diferenciales lineales con coeficientes variables no se pueden multiplicar algebraicamente usando las propiedades usuales del álgebra de polinomios. En cambio, cuando tienen sólo coeficientes constantes se comportan como si fueran polinomios en H. Por ejemplo, ÐH  BÑÐH  BÑÐCÑ œ ÐH  BÑÐC w  BCÑ œ C w w  C  B# C , y en cambio, ÐH#  B# ÑÐCÑ œ C w w  B# C . Ecuación lineal de orden superior. Una ecuación diferencial lineal de orden 8 es una ecuación de la forma: PÐCÑ œ 0 ÐBÑ donde P es un operador diferencial lineal definido en algún intervalo real M y 0 una función real definida en MÞ Si 0 ´ ! en M , decimos que la ecuación es homogénea. Para una ecuación lineal de orden 8ß un P.V.I. tiene además 8 condiciones iniciales CÐB! Ñ œ C! ß C w ÐB! Ñ œ C" ß á ß C Ð8"Ñ ÐB! Ñ œ C8" Þ

39


Teorema de existencia y unicidad. Si P es un operador diferencial lineal definido en un intervalo real M . El P.V.I. PÐCÑ œ 0 ÐBÑ sujeto a las condiciones iniciales C Ð3Ñ ÐB! Ñ œ C3 ß 3 œ !ß á ß 8  ", tiene una única solución CÐBÑ en el intervalo M .

Principios de superposición. Ecuaciones homogéneas: Sean C" ß á ß C5 soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !. Entonces toda combinación lineal C œ G" C"  á  G5 C5 ß donde cada G3 ß 3 œ "ß á ß 5ß es una constante arbitraria, es también solución de la ecuación. Ecuaciones no homogéneas: Sea C:3 una solución particular de la ecuación no homogénea PÐCÑ œ 03 ÐBÑß 3 œ "ß á ß 5 . Entonces C: œ C:"  á  C:5 es una solución particular de la ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0" ÐBÑ  á  05 ÐBÑÞ

Wronskiano. Sean C" ß á ß C8 − G Ð8"Ñ ÒMÓ. Se define el Wronskiano de las funciones C" ß á ß C8 como el determinante: â C â " â Cw â " [ ÐC" ß á ß C8 Ñ œ â ã â â Ð8"Ñ â C"

C# C#w ã Ð8"Ñ

C#

â â â

â â â â â â Ð8"Ñ â â C8 C8 C8w ã

Criterio para soluciones linealmente independientes. Si C" ß á ß C8 son soluciones de la ecuación homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ !ß entonces el conjunto { C" ß á ß C8 } es 6Þ3Þ si y sólo si [ (C" ß á ß C8 ) Á 0. Conviene notar que [ ÐC" ß á ß C8 Ñ es o bien idénticamente igual a ! o nunca es cero en M por lo que muchas veces resulta más cómodo evaluar primero las funciones y sus derivadas en algún punto B! del intervalo M y luego calcular el determinante.

40

I-?+-38/= H30 /
Solución general de la ecuación diferencial lineal de orden n. Si C" ß á ß C8 son soluciones 6Þ3Þ de la ecuación de orden 8ß PÐCÑ œ ! en un intervalo M , entonces decimos que ÖC" ß á ß C8 × es un sistema fundamental de soluciones y la solución general de la ecuación en M está dada por: CÐBÑ œ G" C"  á  G8 C8 ß con G" ß á ß G8 constantes reales arbitrarias. Diremos que dos ecuaciones diferenciales son equivalentes si tienen el mismo sistema fundamental de soluciones. Todo conjunto linealmente independiente ÖC" ß á ß C8 × es el sistema fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden 8 definida por: â â â C Cw â C Ð8Ñ â â â â C" Cw â C Ð8Ñ â " " â œ ! â â ã ã ã ââ â â Ð8Ñ â â C8 C8w â C8 â La solución general de la ecuación lineal no homogénea de orden 8ß PÐCÑ œ 0 ÐBÑ está dada por: CÐBÑ œ C2 ÐBÑ  C: ÐBÑß donde C2 ÐBÑ es la solución general de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! e C: ÐBÑ es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Fórmula de Abel. Conociendo una solución de una ecuación homogénea de segundo orden, la fórmula de Abel nos permite encontrar una segunda solución 6Þ3Þ Sea C" Á ! en un intervalo M , una solución no trivial de la ecuación diferencial de segundo orden Cw w  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ !. Entonces la solución general de la ecuación está dada por: donde C# ÐBÑ œ C" ÐBÑ '

CÐBÑ œ G" C" ÐBÑ  G# C# ÐBÑ, ' / +" ÐBÑ.B .B C"# ÐBÑ

41


Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Sea P un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. En tal caso, P se comporta como un polinomio real en la variable H y por tanto puede escribirse como producto de factores lineales y/o cuadráticos irreducibles en ‘, digamos P œ P" † P# â P5 ß 5 −  y P3 irreducible en ‘. Entonces toda solución de la ecuación lineal P3 ÐCÑ œ !, 3 œ "ß á 5ß es también solución de PÐCÑ œ !. Caso 1. Si P3 œ ÐH  ! Ñ , entonces P3 tiene una solución: C3 ÐBÑ œ /!B Caso 2. Si P3 œ H#  +H  , es irreducible en ‘ con raíces complejas !  " 3, entonces P3 tiene las dos soluciones 6Þ3Þ: C3 ÐBÑ œ /! B -9= " B , C3‡ ÐBÑ œ /! B =/8 " BÞ Caso 3. Si P3 œ ÐH  ! Ñ: ß :  "ß entonces P3 tiene : soluciones 6Þ3Þ: C3" ÐBÑ œ /! B ß C3# ÐBÑ œ B/!B ß á ß C3: ÐBÑ œ B:" /!B Caso 4. Si P3 œ ÐH#  +H  ,Ñ: ß :  "ß H#  +H  , irreducible en ‘ con raíces complejas !  " 3, entonces P3 tiene #: soluciones 6Þ3Þ: C3" ÐBÑ œ /! B -9= " B C3# ÐBÑ œ B/! B -9= " B

ã C3: ÐBÑ œ B:" /! B -9= " B

‡ C3" ÐBÑ œ /! B =/8 " B ‡ C3# ÐBÑ œ B/! B =/8 " B

ã ‡ C3: ÐBÑ œ B:" /! B =/8 " B

Solución particular de una ecuación no homogénea con coeficientes constantes. Método del Aniquilador. Sea P‡ un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y 0 una función definida en un intervalo M . Si P‡ Ð0 ÐBÑÑ œ ! decimos que P‡ es un aniquilador de 0 . Distinguimos los siguientes casos: El operador diferencial H8 aniquila todo polinomio de grado menor o igual a 8  ". El operador diferencial ÐH  !Ñ8 aniquila toda función de la forma :ÐBÑ/!B , donde :ÐBÑ es un polinomio de grado menor o igual a 8  ".

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I-?+-38/= H30 /
El operador diferencial ÐH#  +H  ,Ñ8 , con H#  +H  , irreducible en ‘ con raíces complejas !  " 3, aniquila toda función de la forma /!B Ð:ÐBÑ -9= " B  ;ÐBÑ =/8 " BÑ, con : y ; polinomios de grado menor o igual a 8  ".

Algoritmo para encontrar una solución particular C: ÐBÑ. Consideremos la ecuación no homogénea PÐCÑ œ 0 ÐBÑ. Paso 1: Encontrar la solución C2 ÐBÑ de la ecuación homogénea PÐCÑ œ ! y un aniquilador P‡ de la función 0 . Paso 2: Aplicar el operador P‡ a la ecuación PÐCÑ œ 0 ÐBÑ y obtener la solución general C‡ ÐBÑ de la ecuación homogénea P‡ PÐCÑ œ !. Paso 3: Eliminar de C‡ todos los términos que se repiten en la solución C2 . La combinación lineal con los términos restantes es C: ÐBÑ, la solución particular de la ecuación original PÐCÑ œ 0 ÐBÑ. Paso 4: Calcular PÐC: Ñ e igualar a 0 ÐBÑ para despejar las constantes en C: . La solución general de la ecuación es entonces CÐBÑ œ C2 ÐBÑ  C: ÐBÑ.

Solución particular de una ecuación lineal no homogénea. Método de variación de parámetros.

Consideremos la ecuación diferencial lineal de orden 8: CÐ8Ñ  +8" ÐBÑ C Ð8"Ñ  á  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ 0 ÐBÑ con +8" ß á ß +" ß +! ß 0 definidas en un intervalo M . Si la solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ G" C" ÐBÑ  á  G8 C8 ÐBÑ entonces, una solución particular de la ecuación no homogénea está dada por: C: ÐBÑ œ ." ÐBÑ C" ÐBÑ  á  .8 ÐBÑ C8 ÐBÑ donde las funciones .w3 ÐBÑ se determinan resolviendo el sistema:

43


.w" ÐBÑ C" ÐBÑ  .w" ÐBÑ C"w ÐBÑ 

ã

á  .w8 ÐBÑ C8 ÐBÑ á  .w8 ÐBÑ C8w ÐBÑ

ã

ã

Ð8#Ñ

œ ! œ !

ã Ð8#Ñ

.w" ÐBÑ C" ÐBÑ  á  .w8 ÐBÑ C8 ÐBÑ œ ! Ð8"Ñ Ð8"Ñ .w" ÐBÑ C" ÐBÑ  á  .w8 ÐBÑ C8 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ Notas. 1) Al hacer variación de parámetros hay que tener muy presente que el coeficiente de CÐ8Ñ debe ser ". Si no es así, hay que dividir primero la ecuación por +8 ÐBÑÞ 2) Como buscamos una solución particular de la ecuación, para cada función .3 al calcular la integral ' .w3 ÐBÑ .B consideramos la constante aditiva que se obtiene igual a !. Ecuaciones diferenciales (equidimensional) de Euler.

lineales

con

coeficientes

variables. Ecuación

Llamamos ecuación de Euler (homogénea) a toda ecuación diferencial lineal de la forma: +8 B8 CÐ8Ñ  +8" B8" C Ð8"Ñ  á  +" B C w  +! C œ ! con +3 constantes reales para 3 œ "ß á ß 8 y B Á !. La sustitución B œ /> ß si B  ! o B œ  /> , si B  !, transforma la ecuación de Euler en la ecuación lineal de orden 8 con coeficientes constantes: Ð+8 HÐH  "ÑâÐH  8  "Ñ  â  +# HÐH  "Ñ  +" H  +! ÑCÐ>Ñ œ ! Una vez que se ha resuelto esta ecuación, la solución de la ecuación homogénea de Euler se obtiene reemplazando cada > por 68kBk. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Ecuación de Euler no homogénea. Existen dos maneras estándar de obtener una solución particular de la ecuación de Euler no homogénea: +8 B8 CÐ8Ñ  +8" B8" C Ð8"Ñ  á  +" B C w  +! C œ 0 ÐBÑ

44

I-?+-38/= H30 /
Método 1. Trabajar con la variable >. En este caso, resolvemos completamente la ecuación no homogénea con coeficientes constantes: Ð+8 HÐH  "ÑâÐH  8  "Ñ  â  +" H  +! ÑÐCÐ>ÑÑ œ 0 ‡Ð>Ñ donde 0 ‡ Ð>Ñ se obtiene reemplazando en la función 0 la variable B por /> (ó B œ  /> ). Una vez encontrada la solución general Ð C2 Ð>Ñ  C: Ð>Ñ Ñ, reemplazamos la variable > por 68kBk. Método 2. Trabajar con la variable B. En este caso, debemos encontrar primero la solución C2 ÐBÑ de la ecuación homogénea asociadaÞ Primero, escribimos la ecuación en la forma: 8" Ð8"Ñ w 0 ÐBÑ CÐ8Ñ  +8" B+8 B8C  á  ++"8BBC8  ++8!BC8 œ + B8 8

y usamos variación de parámetros.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Método de series de potencias. Recordemos que una función 0 es analítica en un punto B! si y sólo si admite un desarrollo en serie de potencias: ! -8 ÐB  B! Ñ8 _

8œ!

que representa a la función 0 en alguna vecindad de B! . En tal caso, 0 w ÐBÑ œ ! 8 -8 ÐB  B! Ñ8" _

8œ"

' 0 ÐBÑ .B œ

! -8 ÐB  B! Ñ8"  G 8" _

8œ!

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes variables: CÐ8Ñ  +8" ÐBÑ C Ð8"Ñ  á  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ ! Ð‡Ñ Entonces, si todas las funciones +8 ß á ß +" ß +! son analíticas en el punto B! , diremos que B! es un punto ordinario de la ecuación diferencial. Si B! no es un punto ordinario, diremos que es un punto singular de la ecuación diferencial.

45


Teorema. Sea B! un punto ordinario de la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes variables: CÐ8Ñ  +8" ÐBÑ C Ð8"Ñ  á  +" ÐBÑ C w  +! ÐBÑ C œ ! y sean !! ß á ß !8" constantes arbitrarias. Entonces existe una única función CÐBÑ analítica en B! que satisface la ecuación anterior y las condiciones iniciales CÐB! Ñ œ !! ß á ß C Ð8"Ñ ÐBÑ œ !8" . Además, si las representaciones en series de potencias de las funciones +3 ÐBÑß 3 œ !ß á 8  "ß son válidas para todo B tal que kB  B! k  V , entonces también lo es el desarrollo en serie de potencias de la solución. En lo que sigue, consideraremos B! œ !, pues en caso contrario hacemos el cambio de variables ? œ B  B! en la ecuación. Aún cuando el teorema vale siempre que las funciones +3 son todas analíticas, trabajaremos sólo el caso donde todas las funciones +3 son funciones polinomiales. La clave del método de resolución usando series de potencias consiste en suponer que la ecuación Ð‡Ñ admite una solución de la forma: CÐBÑ œ ! -8 B8 _

8œ!

Entonces Cw ß á ß C Ð8Ñ se obtienen derivando la serie término a término. Reemplazando cada uno de los desarrollos en serie en Ð‡Ñ e igualando coeficientes podemos determinar cada uno de los coeficientes -8 de las soluciones.

Método de Fröbenius. Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables: Cw w  +ÐBÑC w  ,ÐBÑC œ ! ß B  ! Diremos que ! es un punto singular regular de la ecuación si las funciones B +ÐBÑ y B# ,ÐBÑ son ambas analíticas en !, es decir admiten ambas desarrollo en serie de potencias en torno a B œ !: B +ÐBÑ œ ! +8 B8 y _

8œ!

B# ,ÐBÑ œ ! ,8 B8 _

8œ!

La ecuación indicial asociada a la ecuación diferencial anterior es: <Ð<  "Ñ  +! <  ,! œ !

46

I-?+-38/= H30 /
Teorema de Fröbenius. Si ! es un punto singular regular de la ecuación Cw w  +ÐBÑC w  ,ÐBÑC œ ! , entonces existe al menos una solución de la forma: C" ÐBÑ œ B<" ! -8 B8 ß -! œ " _

8œ!

en donde el número <" es la mayor de las soluciones de la ecuación indicial. Sean <" y <# las dos soluciones de la ecuación indicial. Para encontrar la segunda solución 6Þ3Þ consideramos los siguientes casos: Caso 1: Si <"  <# Â ™ entonces las dos soluciones 6Þ3Þ de la ecuación son de la forma: C" ÐBÑ œ B<" ! -8 B8 _

C# ÐBÑ œ B<# ! .8 B8 _

e

8œ!

8œ!

con -! œ .! œ "Þ Caso 2: Si <"  <# es un entero positivo entonces la segunda solución 6Þ3Þ es de la forma: C# ÐBÑ œ GC" ÐBÑ 68 B  B<# ! .8 B8 _

8œ!

con .! œ " y G , una constante que puede ser igual a !Þ Caso 3: Si <" œ <# entonces la segunda solución 6Þ3Þ es de la forma: C# ÐBÑ œ C" ÐBÑ 68 B  B<# ! .8 B8 ß .! œ "Þ _

8œ!

Nota. La segunda solución 6Þ3Þ también se puede obtener a menudo usando la fórmula de Abel.

47



"Þ 

Resolver la siguiente ecuación homogénea y demostrar que la solución obtenida es, efectivamente, la solución general de la ecuación y luego resolver el P.V.I. dado: w

CÐ3@Ñ  C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ  "ß C w w Ð!Ñ œ C w w Ð!Ñ œ ! La ecuación característica asociada es: H%  " œ ÐH#  "ÑÐH  "ÑÐH  "Ñ œ ! Luego, la solución general está dada por: C2 ÐBÑ œ G" -9= B  G# =/8 B  G$ /B  G% /B Para demostrar que C2 es la solución general, nos basta verificar que ÐH%  "ÑÐC2 ÐBÑÑ œ ! y que Ö-9= Bß =/8 Bß /B ß /B × es un conjunto 6Þ3Þ Como los operadores se comportan como polinomios, podemos usar linealidad por un lado y conmutatividad por otro para verificar que: ÐH#  "ÑÐH  "ÑÐH  "ÑÐC2 ÐBÑÑ œ ! Usamos el Wronskiano para verificar la independencia lineal de las 4 funciones: â â =/8 B /B /B â â -9= B â â -9= B /B  /B â â  =/8 B [ œâ â /B â â  -9= B  =/8 B /B â â  -9= B /B  /B â â =/8 B â â =/8 B " # â â -9= B â â â  =/8 B -9= B " ! â œâ â œ  ) Á !Þ ! ! # %â â â â ! ! # !â â Ahora buscamos las constantes:

C2 ÐBÑ œ G" -9= B  G# =/8B  G$ /B  G% /B Ê CÐ!Ñ œ " œ G"  G$  G% C2w ÐBÑ œ  G" =/8 B  G# -9=B  G$ /B  G% /B Ê C w Ð!Ñ œ  " œ G#  G$  G% C2w w ÐBÑ œ  G" -9= B  G# =/8B  G$ /B  G% /B Ê C w w Ð!Ñ œ ! œ  G"  G$  G%

48

I-?+-38/= H30 /
w

w

C2w w ÐBÑ œ G" =/8 B  G# -9=B  G$ /B  G% /B Ê C w w Ð!Ñ œ ! œ  G#  G$  G% Resolviendo el sistema matricialmente: Î " Ð ! Ð " Ï !

! " " " ! " " "

" " " "

" Ñ Î" ! ! !  " ÓÐ ! " ! ! µÐ Ó ! ! ! " ! ! Ò Ï! ! ! "

"Î# Ñ  "Î# Ó Ó ! "Î# Ò

Luego, G" œ "# ß G# œ  "# ß G$ œ !ß G% œ "# Þ Por lo tanto, la solución (única) del P.V.I. es: CÐBÑ œ "# Ð-9= B  =/8 B  /B Ñ #Þ 

Resolver los siguientes P.V.I.: w

+Ñ C w w  $C w w  $C w  C œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ  "ß C w w Ð!Ñ œ !Þ Primero resolvemos la ecuación homogénea usando la ecuación característica asociada: H$  $H#  $H  " œ ÐH  "Ñ$ Luego, la solución general está dada por: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# B  G$ B# Ñ/B Ahora encontramos las constantes: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# B  G$ B# Ñ/B Ê C2 Ð!Ñ œ " œ G" C2w ÐBÑ œ Ð"  G#  ÐG#  #G$ ÑB  G$ B# Ñ/B Ê C2w Ð!Ñ œ  " œ "  G# Ê G# œ  # C2w w ÐBÑ œ Ð"  %  #G$  ÐG#  %G$ ÑB  G$ B# Ñ/B Ê C2w w Ð!Ñ œ ! œ  $  #G$ Ê G$ œ $Î# Luego, la solución (única) es: CÐBÑ œ Ð"  #B  $# B# Ñ/B Þ w

,Ñ C Ð3@Ñ  C w œ ! ß CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ  "ß C w w Ð!Ñ œ C w w Ð!Ñ œ !Þ Como H%  H œ HÐH  "ÑÐH#  H  "Ñß

49


"

È$

È$

È$

È$

C2 ÐBÑ œ G"  G# /B  / # B ÐG$ -9= # B  G% =/8 # BÑ Ahora calculamos constantes: "

C2 ÐBÑ œ G"  G# /B  / # B ÐG$ -9= # B  G% =/8 # BÑ Ê CÐ!Ñ œ " œ G"  G#  G$ È$ È$ " C2w ÐBÑ œ G# /B  "# / # B ÐÐG$  È$G% Ñ-9= # B  ÐÈ$G$  G% Ñ=/8 # BÑ

Ê Cw Ð!Ñ œ  " œ G#  "# ÐG$  È$G% Ñ

È$ È$ " C2w w ÐBÑ œ G# /B  "# / # B ÐÐG$  È$G% Ñ-9= # B  Ð  È$G$  G% Ñ=/8 # BÑ

Ê Cw w Ð!Ñ œ ! œ G#  "# ÐG$  È$G% Ñ w

"

È$

È$

w

C2w w ÐBÑ œ G# /B  / # B ÐG$ -9= # B  G% =/8 # BÑ Ê C w w Ð!Ñ œ ! œ G#  G$ È$ È$ " CÐBÑ œ "  "$ /B  "$ / # B Ð -9= # B  È$=/8 # BÑ

Por lo tanto, la solución es:

-Ñ CÐ3@Ñ  #Cw w  C œ ! ß

CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ  "ß w Cw w Ð!Ñ œ C w w Ð!Ñ œ !

La ecuación característica asociada es: H%  #H#  " œ ÐH#  "Ñ# Luego, la solución general de la ecuación homogénea es: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ-9= B  ÐG$  G% BÑ =/8 B Ahora buscamos el valor de las constantes: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ-9= B  ÐG$  G% BÑ =/8 B Ê CÐ!Ñ œ " œ G" C2w ÐBÑ œ ÐG#  G$  G% BÑ -9=B  ÐG"  G%  G# BÑ=/8B Ê Cw Ð!Ñ œ  " œ G#  G$ C2w w ÐBÑ œ  ÐG"  #G%  G# BÑ-9=B  Ð#G#  G$  G% BÑ =/8B Ê Cw w Ð!Ñ œ ! œ  "  #G% 50

I-?+-38/= H30 /
w

C2w w ÐBÑ œ  Ð$G#  G$  G% BÑ-9=B  ÐG"  G%  G# BÑ =/8B w Ê Cw w Ð!Ñ œ ! œ  $G#  G$ Luego, CÐBÑ œ Ð"  "# BÑ-9= B  Ð  $#  "# BÑ =/8 B $Þ 

+Ñ Determinar la solución general de la ecuación B% C w w  B$ C w  %B# C œ ", sabiendo que C" œ B# es una solución particular de la ecuación homogénea asociada. Como la ecuación es de segundo orden, nos basta encontrar una segunda solución 6Þ3Þ para obtener la solución general de la ecuación homogénea. Escribimos primero la ecuación de manera apropiada: Cw w  B" Cw  B%# C œ B"% y usamos la Fórmula de Abel:

' B " " C# œ B# ' / B% .B œ B# † %B % œ  %B# Þ .B

# Así, C2 ÐBÑ œ G" B#  G B# Þ

Para encontrar la solución particular usaremos variación de parámetros: .w

B# .w"  B## œ ! #.w

#B.w"  B$# œ B"% De aquí,

.w" œ %B" &

Ê

" ." œ  "'B %

" .w# œ  %B

Ê

.# œ  %" 68 B

" " Así, C: ÐBÑ œ  "'B #  %B# 68 B.

Finalmente, la solución general de la ecuación es: " " # CÐBÑ œ G" B#  G B#  %B# Ð %  68 BÑ

51


,Ñ Resolver la ecuación ÐB#  "ÑC w w  #BC w  #C œ 'ÐB#  "Ñ# ß si se sabe que C" ÐBÑ œ B es una solución particular de la ecuación homogénea asociada. La ecuación anterior la podemos escribir como #C w # Cw w  B##B " C  B# " œ 6(B  ")

Por la fórmula de Abel sabemos que una segunda solución 6Þ3Þ de la ecuación homogénea asociada está dada por: C# ÐBÑ œ B'

/

'

#B .B B# "

B#

.B œ BÐB  B" Ñ œ B#  "

Luego, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ EB  FÐB#  "ÑÞ Ahora, usamos variación de parámetros para encontrar la solución particular de la ecuación no homogénea, que es de la forma À C: ÐBÑ œ EÐBÑB  FÐBÑÐB#  "Ñ. Debemos resolver el sistema: Ew ÐBÑB  F w ÐBÑÐB#  "Ñ œ ! Ew ÐBÑ  #F w ÐBÑB œ 6(B#  ") Multiplicando por  B la segunda ecuación y sumándola a la primera, obtenemos F w ÐBÑ œ 'B, de donde FÐBÑ œ $B# Þ Reemplazando en la primera ecuación, obtenemos À Ew ÐBÑ œ '  'B#

Ê EÐBÑ œ 'B  #B$ .

Así, la solución general es: CÐBÑ œ EB  FÐB#  "Ñ  $B#  B%

%Þ 

Resolver el P.V.I: C w w  &C w  'C œ -9= Bß CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ ! La ecuación característica asociada es: H#  &H  ' œ ÐH  $ÑÐH  #Ñ œ ! Luego, la solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ G" /$B  G# /#B Para encontrar la solución particular usamos el método de aniquiladores. H#  " aniquila la función -9= B, luego:

52

I-?+-38/= H30 /
ÐH#  "ÑÐH  $ÑÐH  #Ñ œ ! de donde: C‡ ÐBÑ œ G" /$B  G# /#B  G$ -9=B  G% =/8 B Como G" /$B  G# /#B es la solución de la homogénea, la solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ G$ -9=B  G% =/8 B Para encontrar las constantes, debemos derivar y reemplazar en la ecuación original: C:w ÐBÑ œ  G$ =/8 B  G% -9= B C:w w ÐBÑ œ  G$ -9=B  G% =/8 B Ð&G$  &G% Ñ-9=B  Ð&G$  &G% Ñ œ -9= B " " " G$ œ "! ß G% œ  "! Ê C: ÐBÑ œ "! Ð -9=B  =/8 BÑ " " CÐBÑ œ G" /$B  G# /#B  "! Ð -9= B  =/8 BÑ Ê CÐ!Ñ œ " œ G"  G#  "! " " Cw ÐBÑ œ $G" /$B  #G# /#B  "! Ð =/8 B  -9= BÑ Ê C w Ð!Ñ œ ! œ $G"  #G#  "!

Así,

* G"  G# œ "! " $G"  #G# œ "!

"$ Luego, G" œ  "( "! y G# œ & , por lo tanto la solución es À "$ #B " $B CÐBÑ œ  "( "! /  & /  "! Ð -9= B  =/8 BÑ

&Þ 

Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas: +Ñ C w w  %C w  %C œ "!B# /#B Como la ecuación característica es H#  %H  % œ ÐH  #Ñ# , la solución de la homogénea es: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ/#B La solución particular podemos encontrarla por aniquiladores o por variación de parámetros.

53


Método 1. Aniquiladores: ÐH  #Ñ$ aniquila a la función "!B# /#B Luego, ÐH  $Ñ# ÐH  #Ñ# œ !, que tiene como solución general: C‡ ÐBÑ œ ÐG"  G# B  G$ B#  G% B$  G& B% Ñ/#B Descartando la parte de solución que corresponde a la homogénea, tenemos que la solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ ÐG$ B#  G% B$  G& B% Ñ/#B Derivando: C:w ÐBÑ œ Ð#G$ B  Ð$G%  #G$ ÑB#  Ð%G&  #G% ÑB$  #G& B% Ñ/#B C:w w ÐBÑ œ Ð#G$  Ð'G%  )G$ ÑB  #Ð'G%  #G$  'G& ÑB#  Ð%G%  )G&ÑB$  %G& B% Ñ/#B Reemplazando en la ecuación original: Cw w  %Cw  %C œ Ð#G$  'G% B  "#G& B# Ñ/#B œ "!B# /#B Ê G$ œ G% œ ! ß G& œ &' Luego, la solución general es: CÐBÑ œ ÐG"  G# B  &' B% Ñ/#B Método 2. Variación de parámetros: La solución particular es de la forma À C: ÐBÑ œ ?" ÐBÑ/#B  ?# ÐBÑB/#B [ œº

/#B  #/#B

?" œ  '

B/#B %B ºœ/ Ð  #B  "Ñ/#B

Entonces: ?# œ '

0 ÐBÑ C# ÐBÑ [

0 ÐBÑ C" ÐBÑ [

.B œ  ' "!B$ .B œ  #& B% à

$ .B œ ' "!B# .B œ "! $ B

Así, C: ÐBÑ œ &' B% /#B , como antes. 54

I-?+-38/= H30 /
B

,Ñ C w w  C œ /B#/ /B La solución de la homogénea es: C2 ÐBÑ œ G" /B  G# /B Aquí estamos obligados a usar variación de parámetros. La solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ ?" /B  ?# /B /B [ œº B /

/B œ #  /B º

" ' /#B/" .B œ +<->+8 /B à ?" œ ' /B / B .B œ B

$B # ?# œ  ' /#B/ " .B œ  ' ?#?" .? œ  /B  +<->+8 /B

Luego, C: ÐBÑ œ /B +<->+8 /B  /B Ð/B  +<->+8 /B Ñ œ Ð/B  /B Ñ +<->+8 /B  " , de donde: CÐBÑ œ G" /B  G# /B  Ð/B  /B Ñ+<->+8 /B  " -Ñ Cw w  #C w  C œ /B 68kBk Resolviendo la ecuación característica obtenemos que la solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ/B Ahora usamos variación de parámetros para calcular la solución particular, que es de la forma C: ÐBÑ œ ?" /B  ?# B/B Þ /B [ œº  /B

B/B œ /#B Ð  B  "Ñ/B º

?" œ  ' B 68 kBk .B œ "# B# Ð68 kBk  "# Ñ y ?# œ  ' B68 kBk .B œ B Ð68 kBk  "Ñ Luego, C: ÐBÑ œ Ð $# 68 kBk  &% ÑB# /B ß de donde:

CÐBÑ œ ÐG"  G# B  Ð $# 68 kBk  &% ÑB# Ñ/B

'Þ 

Resolver la ecuación Cw w  $Cw  #C œ "/"B La ecuación característica asociada es: ÐH  #Ñ(H  ") œ !Þ

55


Luego, la solución de la ecuación hmogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ E/B  F/#B Encontraremos la solución particular de la ecuación no homogénea utilizando variación de parámetros. La solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ EÐBÑ/B  FÐBÑ/#B Las funciones EÐBÑß FÐBÑ se obtienen resolviendo el sistema: Ew ÐBÑ/B  F w ÐBÑ/#B œ ! " Ew ÐBÑ/B  #F w ÐBÑ/#B œ "/B Así,

B F w ÐBÑ œ //B " Ê FÐBÑ œ  /"B  B  68Ð/B  "Ñ

B Ew ÐBÑ œ /" B " Ê EÐBÑ œ  B  68Ð/  "Ñ

Luegoß C: ÐBÑ œ  /B  Ð/B  /#B ÑÐ68Ð/B  "Ñ  BÑ Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: CÐBÑ œ E/B  F/#B  /B  Ð/B  /#B ÑÐ68Ð/B  "Ñ  BÑ

(Þ 

Resolver la ecuación: C w w  &C w  %C œ $  )B#  #-9=Ð#BÑ Resolvemos primero la ecuación homogénea: H#  &H  % œ ÐH  %ÑÐH  "Ñ œ ! Luego C2 ÐBÑ œ G" /%B  G# /B Ahora buscamos la solución particular por dos métodos. Método 1ÞAniquiladores. Como H$ aniquila a )B#  $ y H#  % aniquila a # -9=Ð#BÑ, debems usar el aniquilador P‡ œ H$ ÐH#  %Ñ. Luego, C‡ ÐBÑ œ C2 ÐBÑ  EB#  FB  G  H -9= #B  I=/8 #B

56

I-?+-38/= H30 /
Así,

C: ÐBÑ œ EB#  FB  G  H -9= #B  I=/8 #B C:w ÐBÑ œ #EB  F  #H =/8 #B  #I -9= #B Cw w: ÐBÑ œ #E  %H -9= #B  %I =/8 #B

Por lo tanto, C:w w  &C:w  %C: œ #E  &F  %G  Ð"!E  %FÑB  %EB#  "!I-9= #B  "!H =/8 #B

Igualando,

#E  &F  %G œ $ "!E  %F œ ! %E œ ) "!I œ # "!H œ !

H œ !ß I œ "& ß E œ #ß F œ  &ß G œ 'Þ Así, C: ÐBÑ œ #B#  &B  '  "& =/8 #BÞ Método 2Þ Variación de parámetros. .w" /%B  .w# /B œ !  %.w" /%B  .w# /B œ $  )B#  #-9=Ð#BÑ De aquí,

." œ ' Ð  /%B  )$ B# /%B  #$ /%B -9=#BÑ.B # " œ /%B Ð  "$  #$ B#  "$ B  "& -9= #B  "& =/8 #BÑ

.# œ ' Ð/B  )$ B# /B  #$ /B -9=Ð#BÑÑ .B

"* # % œ /B Ð )$ B#  "' $ B  $  "& -9= #B  "& =/8 #BÑ

Luego, C: ÐBÑ œ '  &B  #B#  "& =/8 #B. Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: CÐBÑ œ G" /%B  G# /B  #B#  &B  '  "& =/8 #B )Þ 

C w w  %C w  %C œ B  /#B La ecuación característica es ÐH  #Ñ# œ !Þ La solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ/#B

57


Como H# aniquila a B y ÐH  #Ñ aniquila a /#B , obtenemos la ecuación H# ÐH  #Ñ$ œ !, cuya solución general es À C‡ œ ÐG"  G# B  G$ B# Ñ/#B  G%  G& B Descartando la parte que corresponde a la solución de la homogénea, tenemos que la solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ G$ B# /#B  G%  G& B Derivamos para reemplazar en la ecuación: C:w ÐBÑ œ Ð#G$ B#  #G$ BÑ/#B +G& C:w w ÐBÑ œ Ð%G$ B#  )G$ B  #G$ Ñ/#B Así, #G$ /#B  %G&  %G& B  %G% œ B  /#B , de donde: G$ œ "# ß G& œ "% ß G% œ "% Luego, CÐBÑ œ ÐG"  G# B  "# B# Ñ/#B  "% ÐB  "ÑÞ *Þ 

w

Resolver el P.V.I.: C Ð%Ñ  C w w œ B  /B ß sujeto a las condiciones iniciales w CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ C w w Ð!Ñ œ C w w Ð!Ñ œ !Þ La ecuación característica es: H%  H$ œ H$ (H  ") œ !, Por lo tanto, la solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 ÐBÑ œ E  FB  GB#  H/B Ahora encontraremos la solución particular de la ecuación no homogénea. Método 1. Aniquiladores. Como H# aniquila a B y aH  "b aniquila a /B , H# ÐH  "Ñ aniquila a B  /B Þ La ecuación se transforma en H& ÐH  "Ñ# œ !, cuya solución es: C‡ ÐBÑ œ E  FB  GB#  H/B  IB$  J B%  KB/B

58

I-?+-38/= H30 /
Así, C: ÐBÑ œ IB$  J B%  KB/B Þ Derivando, obtenemos: C:w œ $IB#  %J B$  K/B  KB/B , C:w w œ 'IB  "#J B#  #K/B  KB/B w

C:w w œ 'I  #%J B  $K/B  KB/B ,

Ð%Ñ

C: œ #%J  %K/B  KB/B

y reemplazando en la ecuación: Ð%Ñ

w

C:  C:w w œ #%J  'I  K/B  #%J B œ B  /B " Luego, K œ "ß I œ  "' y J œ  #% y la solución general es: " % CÐBÑ œ E  FB  GB#  H/B  "' B$  #% B  B/B Þ

Usando las condiciones iniciales tenemos À EH œ FH œ #G  H œ H#œ

! " # !

de lo que se deduce E œ #ß F œ "ß G œ !ß H œ  #Þ " B% Por lo tanto la solución del PÞVÞIÞ es CÐBÑ œ #  B  #/B  B/B  "' B3  #%

Método 2. Variación de parámetros. La solución particular es de la forma: C: ÐBÑ œ EÐBÑ  FÐBÑB  GÐBÑB#  HÐBÑ/B . Resolvemos el sistema: Ew ÐBÑ  F w ÐBÑB  G w ÐBÑB#  Hw ÐBÑ/B œ ! F w ÐBÑ  #G w ÐBÑB  Hw ÐBÑ/B œ ! #G w ÐBÑ  Hw ÐBÑ/B œ ! Hw ÐBÑ/B œ B  /B Hw ÐBÑ œ "  B/B Ê

HÐBÑ œ B  B/B  /B

59


#

GÐBÑ œ  "# Ð B#  /B Ñ

G w ÐBÑ œ  "# ÐB  /B Ñ Ê

$ # Ê FÐBÑ œ B$  B/B  B#  #/B

F w ÐBÑ œ B#  B/B  B  /B

$ # B Ew ÐBÑ œ B#  B/B  B  /B  B#  B #/

Ê

# # % $ EÐBÑ œ /B Ð#B  B#  $Ñ  B#  B)  B$ Þ # " % Así, C: ÐBÑ œ B/B  $/B  #% B  "' B3  B#  B  "ß y la solución general es:

" % CÐBÑ œ E  "  ÐF  "ÑB  ÐG  "# ÑB#  ÐH  $  BÑ/B  #% B  "' B3

Utilizando las condiciones iniciales tenemos que E œ $ß F œ #ß G œ "# ß H œ " y la solución del PÞVÞIÞ es igual a la que obtuvimos con el método del aniquilador. Método 3. Sustitución. w

Haciendo la sustitución ? œ Cw w ß obtenemos la ecuación lineal de primer orden ?w  ? œ B  /B , cuya solución es: ' ' ?ÐBÑ œ / .B ’G  ' ÐB  /B Ñ / .B .B“

œ /B ÐG  B/B  /B  BÑ w

w

Luego, Cw w ÐBÑ œ G/B  B  "  B/B ß y como C w w Ð!Ñ œ ! , tenemos G œ ". Integrando con respecto a B y utilizando las condiciones iniciales para calcular las constantes, tenemos: # Cw w ÐBÑ œ B/B  B#  B $ # Cw ÐBÑ œ B/B  /B  B'  B#  " $ B% CÐBÑ œ ÐB  #Ñ/B  #%  B'  B  #

"0Þ  Resolver la ecuación:

w

B$ C w w  %B# C w w  #C œ ! ß

B  !Þ

La sustitución B œ /> transforma esta ecuación de Euler en la ecuación lineal con coeficientes constantes: ÐHÐH  "ÑÐH  #Ñ  %HÐH  "Ñ  #ÑÐCÐ>ÑÑ œ !Þ Factorizando obtenemos ÐH#  #ÑÐH  "Ñ œ !, por lo que la solución es:

60

I-?+-38/= H30 /
CÐ>Ñ œ G" /

È# >

 G# / 

È# >

 G$ />

Reemplazando la variable > por 68 B obtenemos la solución general de la ecuación de Euler: È È CÐBÑ œ G" B #  G# B #  G$ B"

w

"1Þ  Resolver el P.V.I: B$ Cw w  %B# C w w  BC w  C œ ! ß B  !ß Cw w Ð"Ñ œ  "Þ

CÐ"Ñ œ "ß C w Ð"Ñ œ !ß

Como se trata de una ecuación de Euler, usamos la sustitución B œ /> para obtener una ecuación lineal cuya ecuación característica es: -Ð-  "ÑÐ-  #Ñ  %-Ð-  "Ñ  -  " œ Ð-  "ÑÐ-#  #-  "Ñ œ Ð-  "ÑÐ-  "Ñ# œ ! Así, la solución de la ecuación homogénea asociada es: CÐ>Ñ œ G" />  ÐG#  G$ >Ñ/> Reemplazando > œ 68 B obtenemos la solución general: CÐBÑ œ G" B  ÐG#  G$ 68 BÑB" Ahora derivamos para calcular las constantes utilizando las condiciones iniciales: Cw ÐBÑ œ G"  G# B#  G$ B# 68 B  G$ B# Cw w ÐBÑ œ #G# B$  #G$ B$ 68 B  $G$ B$ G"  G # œ " G"  G #  G $ œ ! #G#  $G$ œ  " Así, G$ œ "ß G# œ "ß G" œ !. Luego, la solución única del P.V.I. es: CÐBÑ œ Ð1  68 BÑB" "#Þ  Resolver la ecuación B$ C w w  B# C w  $BC œ "' 68 B Claramente B  !Þ Escribimos la ecuación como: B# Cw w  BC w  $C œ "' B 68 B

61


Ecuación de Euler: La sustitución B œ /> nos convierte la ecuación en la ecuación lineal no homogénea: ÐHÐH  "Ñ  H  $ÑÐCÐ>ÑÑ œ "'>/>

Ahora, HÐH  "Ñ  H  $ œ H#  #H  $ œ ! , de donde H œ "  È# 3 Luego, la solución de la homogénea (en la variable > ) es:

C2 Ð>Ñ œ /> ÐG" -9= È# >  G# =/8 È# >Ñ

La solución particular es de la forma:

C: Ð>Ñ œ ÐE>  FÑ/>

Derivando y reemplazando en la ecuación: C:w Ð>Ñ œ Ð  E>  ÐE  FÑÑ/> C:w w Ð>Ñ œ ÐE>  ÐE  FÑ  EÑ/> œ ÐE>  #E  FÑ/> Ð'E>  %E  'FÑ/> œ "'>/> , por lo tanto E œ )$ ß F œ "' * .

> Luego, CÐ>Ñ œ /> ÐG" -9= È# >  G# =/8 È# >Ñ  Ð )$ >  "' , y reemplazando * Ñ/ > œ 68 B obtenemos la solución de la ecuación dada:

) CÐBÑ œ BÐG" -9=È# 68 B  G# =/8È# 68 BÑ  *B Ð$ 68 B  #Ñ

"$Þ  Resolver la ecuación: B# C w w  $BCw  "$C œ B# =/-Ð$ 68 BÑ ß B − Ð/1Î' ß /1Î' Ñ Nuevamente una ecuación de Euler y B  !Þ Resolvemos primero la ecuación homogénea: HÐH  "Ñ  $H  "$ œ H#  %H  "$ œ ÐH  #  $3ÑÐH  #  $3Ñ œ ! Luego, CÐ>Ñ œ /#> ÐG" -9= $>  G# =/8 $>Ñ, es decir À CÐBÑ œ B# ÐG" -9=Ð$68 BÑ  G# =/8Ð$ 68 BÑÑ Para encontrar la solución particular tenemos dos caminos: Camino 1. Seguir en la variable >. La ecuación quedó de la forma À Cw w  %C w  "$ C œ /#> =/- $>Þ Ahora debemos hacer variación de parámetros. 62

I-?+-38/= H30 /
/#> (-9= $> ?w"  =/8 $> ?w# ) œ ! Ê ?w" œ  >+8 $> ?w# /#> Ð#-9= $>  $ =/8 $>Ñ?w"  /#> Ð$ -9= $>  # =/8 $>Ñ?w# œ /#> =/- $> /#> Ð-9= $> ?w"  =/8 $> ?w# Ñ œ ! Ê Ð $ =/8 $> >+8 $>  $ -9= $>Ñ ?w# œ =/- $> ?w# œ "$ Ê ?# œ "$ > Ê ?w" œ  "$ >+8 $> Ê ?" œ "* 68Ð-9= $>Ñ Luego, C: Ð>Ñ œ "* /#> Ð-9= $> 68Ð-9= $>Ñ  $> =/8 $>Ñ, de donde C: ÐBÑ œ "* B# Ð -9= Ð$ 68 BÑ68Ð-9= Ð$ 68 BÑÑ  $68 B =/8Ð$ 68 BÑÑ Finalmente, CÐBÑ œ B# ÐÐG"  "$ 68Ð-9= Ð$ 68 BÑÑÑ-9=Ð$68 BÑ  ÐG#  68 BÑ=/8Ð$ 68 BÑÑ Camino 2. Trabajar con la variable B. B# Cw w  $BCw  "$C œ B# =/-Ð$ 68 BÑ Primero dividimos por B# : Cw w  B$ C w  "$ B# C œ =/-Ð$ 68 BÑ Ahora hacemos variación de parámetros: B# -9=Ð$68 BÑ?w"  B# =/8Ð$ 68 BÑ?w# œ ! Ð#B -9=Ð$68 BÑ  $B=/8Ð$ 68 BÑÑ?w"  Ð#B=/8Ð$68 BÑ  $B-9=Ð$ 68 BÑÑ?w# œ =/-Ð$ 68 BÑ Ahora, -9=Ð$68 BÑ?w"  =/8Ð$ 68 BÑ?w# œ !, de donde ?w" œ  >+8Ð$ 68 BÑ ?w# Ð$B=/8Ð$ 68 BÑ>+8Ð$ 68 BÑ  $B-9=Ð$ 68 BÑÑ?w# œ =/-Ð$ 68 BÑ , es decir, " Ê ? œ " 68 B ?w# œ $B # $ ?w" œ 

>+8Ð$ 68 BÑ $B

Ê ?" œ "* 68Ð-9=Ð$ 68 BÑÑ

Luego, C: ÐBÑ œ "* B# Ð68Ð-9=Ð$ 68 BÑÑ-9=Ð$ 68 BÑ  $68 B =/8Ð$ 68 BÑÑÞ

63


w

"%Þ  Resolver la ecuación B$ C w w  BC w  C œ B 68 B Ecuación de Euler. Claramente B  !Þ Resolvemos primero la ecuación homogénea. La sustitución B œ /> nos lleva a: HÐH  "ÑÐH  #Ñ  H  " œ ÐH  "Ñ$ œ ! Luego, C2 Ð>Ñ œ ÐG"  G# >  G$ ># Ñ/> , es decir À C2 ÐBÑ œ ÐG"  G# 68 B  G$ 68# BÑB Ahora, para encontrar la solución particular, tenemos al menos tres caminos.

Método 1. Aniquiladores (en la variable >). En la variable >, la ecuación es:

w

Cw w  $C w w  $C w  C œ >/>

ÐH  "Ñ# ÐH  "Ñ$ œ ! Ê C ‡ Ð>Ñ œ ÐG"  G# >  G$ >#  G% >$  G& >%Ñ/ > C: Ð>Ñ œ ÐG% >$  G& >% Ñ/> Derivando y reemplazando en la ecuación: C:w Ð>Ñ œ Ð$G% >#  ÐG%  %G& Ñ>$  G& >% Ñ/> C:w w Ð>Ñ œ Ð'G% >  Ð'G%  "#G& Ñ>#  ÐG%  )G& Ñ>$  G& >% Ñ/> w

C:w w Ð>Ñ œ Ð'G%  Ð")G%  #%G& Ñ>  Ð*G%  $'G& Ñ>#  ÐG%  "#G& Ñ>$  G&>%Ñ/ > " Ð'G%  #%G& >Ñ/> œ >/> Ê G% œ !ß G& œ #% " % > Luego, CÐ>Ñ œ ÐG"  G# >  G$ >#  #% > Ñ/ , de donde: " CÐBÑ œ ÐG"  G# 68 B  G$ 68# B  #% 68% BÑB

Método 2.Variación de parámetros (con >ÑÞ ?w" />  ?w# >/>  ?w$ ># /> œ ! ?w" />  ?w# Ð>  "Ñ/>  ?w$ Ð>#  #>Ñ/> œ ! ?w" />  ?w# Ð>  #Ñ/>  ?w$ Ð>#  %>  #Ñ/> œ >/>

64

I-?+-38/= H30 /
Restando las dos primeras ecuaciones y simplificando /> : ?w#  ?w$ #> œ ! Ê ?w# œ  #>?w$ Restando la primera con la tercera ecuación: # $ #?w#  ?w$ Ð%>  #Ñ œ > Ê #?w$ œ > Ê ?$ œ >% ß ?# œ  >$ $

%

Reemplazando en la priemra ecuación: ?w" œ  >?w#  ># ?w$ œ ># Ê ?" œ >) % % % " % > Luego, C: Ð>Ñ œ Ð >)  >$  >% Ñ/> œ #% > / , como antes. Método 3. Variación de parámetros (en B). w Dividiendo, obtenemos la ecuación: Cw w  B"# Cw  B"$ C œ B"# 68 B

B?w"  B 68 B ?w#  B 68# B ?w$ œ ! w w # ?"  Ð68 B  "Ñ?#  Ð68 B  # 68 BÑ?w$ œ ! " w #68 B# w ?$ œ B"# 68 B B ?#  B Como B  !, la primera ecuación queda: ?w"  68 B ?w#  68# B ?w$ œ ! y reemplazando esta expresión en la segunda ecuación: ?w#  # 68 B ?w$ œ ! Reemplazando este valor en la tercera ecuación y multiplicando por B: " ?w$ œ #B 68 B Ê ?$ œ %" 68# B , ?w# œ  B" 68# B Ê ?# œ  $" 68$ B " ?w" œ #B 68$ B Ê ?" œ )" 68% B

Por lo tanto, C: ÐBÑ œ BÐ )"  $"  %" Ñ68% B , como esperábamos. "&Þ  Resolver la ecuación B# C w w  BC w  $C œ B#  68B Ecuación de Euler no homogénea. Usamos la sustitución B œ /> ß transformando la ecuación en: ÐH#  #H  $ÑÐCÐ>ÑÑ œ /#>  >

65


La solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 Ð>Ñ œ E/$>  F/> Como ÐH  #Ñ aniquila a /#> y H# aniquila a >, el operador H# ÐH  #Ñ aniquila a /#>  >Þ Obtenemos: H# ÐH  #ÑÐH  $ÑÐH  "Ñ œ ! C‡ Ð>Ñ œ E/$>  F/>  G/#>  H  I>.

cuya solución general es:

Así, la solución particular de la ecuación no homogénea es de la forma: C: Ð>Ñ œ G/#>  H  I>. Reemplazando C: en la ecuación se obtienen los valores: G œ  "$ à H œ *# à I œ  $" Þ Luego CÐ>Ñ œ E/$>  F/>  "* Ð$/#>  #  $>Ñß Finalmente, reemplazando > por 68 B, la solución general de la ecuación dada es: " # CÐBÑ œ EB$  F B  * Ð$B  #  $68BÑÞ

"'Þ  Resolver la ecuación C Ð(Ñ  C Ð$Ñ œ "#B Lo más práctico es hacer ? œ C Ð$Ñ y resolver primero la ecuación ?Ð%Ñ  ? œ "#BÞ Entonces ?2 ÐBÑ œ G" /B  G# /B  G$ -9= B  G% =/8 B ?: ÐBÑ œ EB  F Ê E œ  "#ß F œ !Þ CÐ$Ñ œ ?ÐBÑ œ G" /B  G# /B  G$ -9= B  G% =/8 B  "#B Cw w ÐBÑ œ G" /B  G# /B  G$ =/8 B  G% -9= B  'B#  G Cw ÐBÑ œ G" /B  G# /B  G$ -9= B  G% =/8 B  #B$  GB  G' CÐBÑ œ G" /B  G# /B  G$ =/8 B  G% -9=B  "# B%  G& B#  G' B  G( w

"(Þ  Resolver la ecuación : C w w C w œ C w w

#

Hacemos la sustitución Cw w œ ?C w .

66

I-?+-38/= H30 /
w

Entonces, Cw w œ ?w Cw  ?C w w œ Ð?w  ?# ÑC w Luego, Ð?w  ?# ÑC w # œ C w # , de donde C w œ ! ” ?w  ?# œ !Þ Cw w

" Así, C œ G ” ?" œ B  G Ê ? œ Cw œ BG

Ê 68 Cw œ 68ÐB  GÑ  G# Ê C œ ' ÐG# B  G" Ñ .B Ê CÐBÑ œ G# B#  G" B  G$

")Þ  Resolver la ecuación "  C w # œ #CC w w Camino 1. Hacemos la sustitución Cw œ :Þ .C

.C .:

.C

Usando regla de la cadena, .B œ .: .B , implica : œ C w w .: .:

Reemplazando obtenemos la ecuación en variables separables : "  :# œ #:C .C Luego, 68 C œ 68Ð"  :# Ñ  G Ê C œ GÐ"  C w # Ñ Ê C w œ  ÈG" C  " Ê È œ  .B G" C" .C

Ê G#" ÈG" C  " œ  B  G#

Ê

CÐBÑ œ G%" Ð  B  G# Ñ #  G""

Camino 2. Derivando. w

w

w

#Cw Cw w œ #Cw Cw w  #CC w w Ê #CC w w œ ! Ê C œ ! ” C w w œ !Þ Pero C œ ! no es solución, luego CÐBÑ œ G#" B#  G# B  G$ Þ Reemplazando en la ecuación: "  ÐG" B  G# Ñ# œ #Ð G#" B#  G# B  G$ ÑG" "G #

Luego, "  G## œ #G" G$ , de donde G$ œ #G # Þ "

"G # Así, la solución general es: CÐBÑ œ G#" B#  G# B  #G # Þ "

Cw

"*Þ  Resolver la ecuación BC w w  C w 68Ð B Ñ œ ! Cw

Cw

Claramente B Á !Þ Podemos escribir la ecuación como À C w w œ B 68Ð B Ñ

67


Cw

Camino 1. Hagamos la sustitución ? œ 68Ð B Ñ. BC w w C w BC w ,

Cw

Entonces B œ /? • ?w œ

de donde C w w œ B?w /?  /? Þ

.? Reemplazando: ÐB?w  "Ñ/? œ ?/? Ê ?" œ .B B Cw

Ê 68Ð?  "Ñ œ 68 B  G

Cw

Luego, 68Ð B Ñ œ GB  " ß de donde B œ /GB" , es decir À CÐBÑ œ G" /G" B" ÐB  G" Ñ  G# "

"

Cw

Camino 2. Hagamos la sustitución ? œ B . Entonces ?w œ

BCw w C w B# ,

de donde Cw w œ B?w  ?Þ

.B Reemplazando: B?w  ? œ ? 68 ? Ê ?Ð68.? ?"Ñ œ B

Ê 68Ð68 ?  "Ñ œ 68 B  G Cw

Luego, 68 ? œ GB  " ß de donde B œ /G" B" , es decir À CÐBÑ œ G" /G" B" ÐB  G" Ñ  G# "

#!Þ  Resolver la ecuación

"

w

Cw w -9= B  C w w =/8 B œ "Þ

Método 1Þ Sea ?ÐBÑ œ C w w ÐBÑ. Entonces, la ecuación se convierte en À ?w -9= B  ? =/8 B œ "Þ Ahora, ?w -9= B  ? =/8 B œ " es una ecuación lineal, de donde

' ' ?ÐBÑ œ / >+8 B .B Ð' =/- B / >+8 B .B .B  -Ñ œ /68k-9= Bk Ð' =/- # B .B  -ÑÞ

Luego, ?ÐBÑ œ -" -9= B  =/8 BÞ Integrando dos veces, obtenemos, Cw ÐBÑ œ -" =/8 B  -9= B  -# ß de donde: CÐBÑ œ  G" -9= B  G# B  G$  =/8 B

68

I-?+-38/= H30 /
Método 2Þ Resolvemos primero la ecuación homogénea y le sumamos una solución particular: Cw w -9= B  C w w =/8 B œ ! Ê 68¸C w w ¸ œ 68 k-9= Bk  G w

Luego, Cw w œ G" -9= B , de donde C2 ÐBÑ œ  G" -9= B  G# B  G$ Þ Por simple inspección podemos ver que C: œ  =/8 B es una solución particular de la ecuaciónÞ Luego, CÐBÑ œ  G" -9= B  G# B  G$  =/8 B

Método 3: En este caso, también podemos encontrar por ensayo y error las tres soluciones 6Þ3Þ de la ecuación homogénea C" œ "ß C# œ Bß C$ œ  -9= B y una solución C: œ  =/8 B para obtener la misma solución anterior. " #1Þ  Resolver la ecuación %B% C ww  )B$ C w  C œ >1Ð #B Ñ

En este caso usamos la sustitución B œ "> . .> Entonces, .B œ  ># ß de donde: .# C .B#

.C .B

.C

.C

.> œ .> † .B œ  ># .>

# . .> $ .C %. C œ .> Ð  ># .C Ñ † œ #>  > .> .B .> .># Þ

Así la ecuación se transforma en .>#  % œ %" >1Š #> ‹Þ .# C

C

La solución de la ecuación homogénea asociada es: C2 Ð>Ñ œ E-9= #>  F=/8 #> Þ Ahora buscamos la solución particular por dos métodos. Método 1: Variación de parámetros en la variable >. Debemos resolver el sistema: Ew Ð>Ñ-9= #>  F w Ð>Ñ=/8 #> œ !

 "# Ew Ð>Ñ=/8 #>  "# F w Ð>Ñ-9= #> œ "% >1 #> de donde: F w Ð>Ñ œ "# =/8 #>

Ê FÐ>Ñ œ  -9= #> 69


Ew Ð>Ñ œ  "# =/- #>  "# -9= #>

Ê EÐ>Ñ œ  68Ð=/- #>  >1 #> Ñ  =/8 #>

Luego, la solución general de la ecuación es CÐ>Ñ œ E-9= #>  F=/8 #>  -9= #> † 68Ð=/- #>  >1 #> Ñ Reemplazando la variable > por B" ß obtenemos la solución de nuestra ecuación: " " " " " CÐBÑ œ E-9= #B  F=/8 #B  -9= #B † 68Ð=/- #B  >1 #B ÑÞ

Método 2. Variación de parámetros en la variable B. Debemos resolver el sistema: " " Ew ÐBÑ-9= #B  F w ÐBÑ=/8 #B œ! " " " Ew ÐBÑ=/8 #B  F w ÐBÑ-9= #B œ #B" # >1 #B

de donde: " F w ÐBÑ œ  #B" # =/8 #B

" Ê FÐBÑ œ  -9= #B

" " " " " Ew ÐBÑ œ #B" # =/- #B  #B" # -9= #B Ê EÐBÑ œ  68Ð=/- #B  >1 #B Ñ  =/8 #B

Luego, la solución general de la ecuación es: " " " " " CÐBÑ œ E -9= #B  F =/8 #B  -9= #B † 68Ð=/- #B  >1 #B Ñ È ##Þ  Resolver la ecuación: %BC ww  Ð#  )ÈBÑC w  &C œ Ð$ÈB  #Ñ/ B ß B  ! .> " Usando la sustitución B œ ># , tenemos .B œ #> , de donde .C .B .# C .B#

.C

.C

.> " œ .> † .B œ #> † .>

. " .> " .C " .#C œ .> Ð #> † .C .> Ñ † .B œ  %>$ .>  %># .># Þ

70

I-?+-38/= H30 /
.# C

.C

Reemplazando en la ecuación tenemos: .>#  % .>  &C œ Ð$>  #Ñ/> Como ÐH  "Ñ# aniquila a Ð$>  #Ñ/> la ecuación se transforma en: ÐH  "Ñ$ ÐH  &Ñ œ !ß cuya solución es CÐ>Ñ œ E/&>  F/>  G>/>  H># /> Þ Asíß C: Ð>Ñ œ G>/>  H># /> C:w Ð>Ñ œ G/>  Ð#H  GÑ>/>  H># /> C:w w Ð>Ñ œ Ð#H  #GÑ/>  Ð%H  GÑ >/>  H># /> & de donde obtenemos G œ  "# H œ  "% Þ

La solución general de la ecuación es À & È È B CÐBÑ œ E/&ÈB  F/ÈB  "# B/  "% B/ÈB .

#$Þ  Usar el método de series para resolver la ecuación: ÐB#  "ÑC w w  'C œ !Þ Si CÐBÑ œ !-8 B8 ß tenemos que À _

C ÐBÑ œ ! 8-8 B8" !

w

_ "

e Cw w ÐBÑ œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8# . _ #

Reemplazando en la ecuación e igualando a ! À ÐB#  "ÑC w w  'C œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8  ! 8Ð8  "Ñ-8 B8#  !'-8 B8 _

_

_

#

#

!

œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8  ! Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8# B8  !'-8 B8 _

_

_

#

!

!

œ #-#  '-!  Ð'-$  '-" ÑB  ! ÐÐ8#  8  'Ñ-8  Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8# ÑB8 _ #

Así,

#-#  '-!  Ð'-$  '-" ÑB  ! ÐÐ8  $ÑÐ8  #Ñ-8  Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8# ÑB8 œ ! ß _ #

de donde À

71


-# œ $ -! ß -$ œ -" y Ð8  $Ñ-8  Ð8  "Ñ-8# œ ! para 8  "Þ Luego, $ $ -% œ "$ -# œ -! ß -' œ  "& -! ß -) œ &†( -! ß -"! œ  (†* -! ß á $Ð"Ñ8

-#8 œ Ð#8$ÑÐ#8"Ñ -! ß -& œ -( œ á œ -#8" œ !Þ Por lo tanto, CÐBÑ œ -" ÐB  B$ Ñ  $-! ! Ð#8$ÑÐ#8"Ñ B#8 _

Ð"Ñ8

!

Usamos fracciones parciales para escribir: " Ð#8$ÑÐ#8"Ñ

" " œ #" Ð #8$  #8" Ñ

y separamos en dos series: _ _ Ð"Ñ8 Ð"Ñ8 CÐBÑ œ -" BÐ"  B# Ñ  $# -! Ð! Ð#8$Ñ B#8  ! Ð#8"Ñ B#8 Ñ !

!

_ _ Ð"Ñ8 Ð"Ñ8 œ -" BÐ"  B# Ñ  $# -! ÐB$ ! Ð#8$Ñ B#8$  B! Ð#8"Ñ B#8" Ñ !

!

œ -" BÐ"  B# Ñ  $# -! ÐB$ Ð $B" $  B"  +<->+8 BÑ  BÐ B"  +<->+8 BÑÑ œ -" BÐ"  B# Ñ  -! Ð"  $# B#  $# ÐB$  BÑ +<->+8 BÑ

#%Þ  Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden en términos de series de potencias: Ð"  B# ÑC w w  BC w  %C œ ! Si CÐBÑ œ !-8 B8 ß tenemos que À _

Cw ÐBÑ œ ! 8-8 B8" !

_ "

e Cw w ÐBÑ œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8# . _ #

Reemplazando en la ecuación e igualando a ! À Ð"  B# ÑC w w  BC w  %C œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8#  ! 8Ð8  "Ñ-8 B8 _

_

#

#

72

 ! 8-8 B8  !%-8 B8 _

_

"

!

I-?+-38/= H30 /
œ ! Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8# B8  ! 8Ð8  "Ñ-8 B8  ! 8-8 B8  !%-8 B8 _

_

_

_

!

#

"

!

œ ! ÐÐ8  #ÑÐ8  "Ñ-8#  Ð8#  %Ñ-8 ÑB8  #-#  '-$ B  -" B  %-!  %-" B _ #

œ! Asíß -# œ  #-! ß -$ œ  "# -" ß á ß -8# œ 8# 8" -8 ß para 8 #ß " -& œ  #†% -" ß $†&†âÐ#8&Ñ œ  #†%†'†âÐ#8#Ñ -"

donde ß -% œ !ß - #8 œ !ß 8 #,

de

$†& -* œ  #†%†'†) -" ß á ß -#8"

$ -( œ  #†%†' -" ß

Por lo tanto,

_ $†&†âÐ#8&Ñ CÐBÑ œ -! Ð"  #B# Ñ  -" ÐB  "# B$  ! #†%†'†â#Ð8"Ñ B#8" Ñ $

#&Þ  Resolver el siguiente P.V.I. usando series de potencias: Cw w  Cw  BC œ !ß CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ !Þ Si CÐBÑ œ !-8 B8 ß tenemos que À _

C ÐBÑ œ ! 8-8 B8" !

w

e Cw w ÐBÑ œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8# .

_

_

"

#

Como CÐ!Ñ œ ", entonces -! œ ", y como C w Ð!Ñ œ !, tenemos que -" œ !Þ Reemplazando en la ecuación e igualando a ! À Cw w  Cw  BC œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8#  ! 8-8 B8"  !-8 B8" _

_

_

œ ! Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8# B  ! Ð8  "Ñ-8" B  !-8" B8 #

_

8

"

_

8

_

!

œ #-#  -"  !ÒÐ8  #ÑÐ8  "Ñ-8#  Ð8  "Ñ-8"  -8" ÓB8 œ !Þ !

_

!

"

"

Luego, -# œ ! y Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8#  Ð8  "Ñ-8"  -8" œ !ß 8 " -8# œ

-8" Ð8"Ñ-8" Ð8#ÑÐ8"Ñ

73


" " " $ ) -$ œ $x ß -% œ  %x ß -& œ &x ß -' œ 'x -( œ  (x ß -) œ "% )x

Vemos que no es posible encontrar una regla general para -8 , luego, escribimos los primeros términos de la solución: " $ " % " & $ ' ) ( ) CÐBÑ œ "  $x B  %x B  &x B  'x B  (x B  "% )x B  á

#'Þ  Determinar el o los valores BCw w  Ð$  BÑC w  #C œ !ß B  !ß

de < admite

para una

CÐBÑ œ B< !-8 B8 y calcular la solución general.

los cuales la ecuación solución de la forma

_ !

Primero escribimos la ecuación en la forma: Cw w 

Ð$BÑ w B C

 B# C œ !

Entonces, B +ÐBÑ œ  $  B, analítica en torno a B œ ! y +! œ  $Þ B# ,ÐBÑ œ #B, analítica en torno a B œ ! y ,! œ !Þ Luego, B œ ! es un punto singular regular y es posible aplicar el Método de Fröbenius para resolver la ecuación. Ecuación indicial: <Ð<  "Ñ  $< œ ! Ê < œ ! ” < œ %Þ Como las raíces de la ecuación indicial difieren por un entero, la ecuación diferencial tiene dos soluciones de la forma: _ _ C" ÐBÑ œ !-8 B8% e C# ÐBÑ œ !.8 B8 !

!

El problema es que ambas soluciones no son necesariamente 6Þ3Þ C"w ÐBÑ œ ! Ð8  %Ñ-8 B8$ ,

C"w w ÐBÑ œ ! Ð8  %ÑÐ8  $Ñ-8 B8#

_

_

!

!

Reemplazando en la ecuación e igualando a !: BCw w  Ð$  BÑCw  #C œ !Ð8  %ÑÐ8  $Ñ-8 B8$  !$Ð8  %Ñ-8 B8$ _ !

_

 !Ð8  %Ñ-8 B _

!

8%

 ! #-8 B8% _

œ ! ÐÐ8  %ÑÐ8  $Ñ  $Ð8  %ÑÑ-8 B8$  ! Ð8  $Ñ-8" B8$  ! #-8" B8$ !

_ !

_ "

74

!

_ "

I-?+-38/= H30 /
œ ! Ð8Ð8  %Ñ-8  Ð8  "Ñ-8" ÑB8$ _ "

Ð8"Ñ-

8" Luego, -8 œ 8Ð8%Ñ ß 8 "Þ # #†$ $†% & Así, -" œ & -! ß -# œ #†&†' -! ß -$ œ $†&†'†( -! ß -% œ &†'†(†) -! ß por lo tanto: %xÐ8"Ñ -8 œ Ð8%Ñx -! Þ

Luego,

8" C" ÐBÑ œ #% ! Ð8%Ñx B8% _ !

8 œ #% ! 8$ 8x B _ %

B œ #%Ð! Ð8"Ñx  $! B8x Ñ _

_

8

%

8

%

œ #%ÐB! B8x  $! B8x Ñ _ $

8

_

8

%

œ #%ÐB B$x  ÐB  $Ñ! B8x Ñ $

_

8

%

œ %B%  #%ÐB  $ÑÐ/B  "  B  "# B#  "' B$ Ñ œ #%ÐB  $Ñ/B  "#Ð'  %B  B# ÑÞ Notemos que C" œ C"‡  C#‡ es una combinación lineal de dos funciones 6Þ3Þ que son soluciones de la ecuación. Luego no es necesario calcular más y la solución general de la ecuación está dada por: CÐBÑ œ G" ÐB  $Ñ/B  G# Ð'  %B  B# Ñ

2(Þ  Hallar la solución general de la siguiente ecuación diferencial de segundo orden por el método de Fröbenius À B# Cw w  BÐB  "ÑC w  ÐB  "ÑC œ ! Escribimos primero la ecuación como: Cw w  B" ÐB  "ÑC w  B"# ÐB  "ÑC œ ! BT ÐBÑ œ B  " , analítica en B œ ! y +! œ  " B# UÐBÑ œ  B  ", analítica en B œ ! y ,! œ " 75


Ecuación indicial: <Ð<  "Ñ  <  " œ ! Ê < œ "Þ Luego, la ecuación admite al menos una solución de la forma: CÐBÑ œ ! -8 B8" _

8œ!

Derivando: Cw ÐBÑ œ ! Ð8  "Ñ-8 B8 _

C w w ÐBÑ œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8" _

ß

8œ!

8œ"

Reemplazando en la ecuación original e igualando a !: B# Cw w  BÐB  "ÑC w  ÐB  "ÑC œ ! 8Ð8  "Ñ-8 B8"  ! Ð8  "Ñ-8 B8#  ! Ð8  "Ñ-8 B8"  ! -8 B8# _

_

_

8œ"

8œ!

8œ!

_

 ! -8 B8"

8œ! _

8œ!

œ ! Ð8  #ÑÐ8  "Ñ-8" B8#  ! Ð8  "Ñ-8 B8#  ! Ð8  #Ñ-8" B8# _

_

_

8œ!

8œ!

 ! -8 B8#  ! -8" B8# _

8œ"

_

œ  -! B  -0 B  ! ÒÐÐ8  #ÑÐ8  "Ñ  Ð8  #Ñ  "Ñ-8"  8 -8 ÓB8# 8œ!

_

8œ"

8œ!

œ ! ÒÐÐ8  "Ñ# -8"  8 -8 ÓB8# œ ! _

8œ!

8 Luego, -8" œ  Ð8"Ñ # -8 , para todo 8. Por lo tanto -" œ !, de donde -8 œ !, para todo 8  ! y como -! œ " obtenemos:

C" ÐBÑ œ B C# ÐBÑ œ ! -8‡ B8"  B 68B _

La segunda solución 6Þ3Þ es de la forma À

8œ!

C#w ÐBÑ œ ! Ð8  "Ñ-8‡ B8  68 B  " _

8œ!

_ C#w w ÐBÑ œ ! 8Ð8  "Ñ-8‡ B8"  B" 8œ"

Reemplazando en la ecuación original e igualando a !:

76

I-?+-38/= H30 /
B# Cw w  BÐB  "ÑC w  ÐB  "ÑC

‡ œ ! ÒÐÐ8  "Ñ# -8"  8 -8‡ ÓB8#  B  BÐB  "ÑÐ68 B  "Ñ  ÐB  "ÑB 68B _

8œ!

‡ œ ! ÒÐÐ8  "Ñ# -8"  8 -8‡ ÓB8#  B# _

8œ!

‡ œ Ð-"‡  "ÑB#  ! ÒÐÐ8  "Ñ# -8"  8 -8‡ ÓB8# œ ! _

8œ"

8 ‡ ‡ Luego, -"‡ œ  " y -8" œ  Ð8"Ñ # - 8 , para todo 8 ". Ð"Ñ8

" " -#‡ œ #"# ß -$‡ œ  ###†$# œ  $†$x ß -%‡ œ %†%x ß á ß -8‡ œ 8†8x

Así, C# ÐBÑ œ B  ! 8†8x B8"  B 68 B 8œ" _

Ð"Ñ8

Por lo tanto, la solución general es: CÐBÑ œ G" B  G# Ð! 8†8x B8"  B 68 BÑ 8œ" _

Ð"Ñ8

2)Þ Usar el Método de Fröbenius para resolver la ecuación: %B# Cw w  )B# C w  Ð%B#  "ÑC œ !ß B  !Þ Primero escribimos la ecuación como: Cw w  #Cw  Ð"  %B" # ÑC œ ! B +ÐBÑ œ  #B y B# ,ÐBÑ œ B#  "% , ambas analíticas por lo que el método es aplicable. Ecuación indicial: <Ð<  "Ñ  "% œ ! Ê < œ "# Þ C" ÐBÑ œ B"Î# !-8 B8 œ !-8 B8 # _

_

"

" C"w ÐBÑ œ !-8 Ð8  "# ÑB8 #

_

!

!

$ C" ÐBÑ œ !-8 Ð8  "# ÑÐ8  "# ÑB8 #

ww

! _ !

Reemplazamos en la ecuación e igualamos a !:

77


%B# Cw w  )B# Cw  Ð%B#  "ÑC œ %B# !-8 Ð8  "# ÑÐ8  "# ÑB8 #  )B# !-8 Ð8  "# ÑB8 #  %B# !-8 B8 # _

_

$

!

œ !%-8 Ð8 

" # ÑÐ8

œ !%-8 Ð8#  ! _ !

" 8 "# # ÑB



" 8 "# % ÑB

"

$

! _

 !)-8 Ð8  _

 !)-8" Ð8  _

!

"

$

"

 !-8 B8 #

!

_

_

"

" 8 $# # ÑB

" 8 "# # ÑB

"

 !%-8 B _

 !%-8# B

!

8 &#

!

_ #

8 "#

"

 !-8 B8 # _

"

 !-8 B8 # _

!

"

!

$

œ  -! B #  $-" B #  %-! B #  -! B #  -" B #

_ "  !Ò%-8 Ð8#  "% Ñ  )-8" Ð8  "# Ñ  %-8#  -8 ÓB8 #

œ %Ð  -!  -" ÑB  !Ò-8 Ð%8#  "  "Ñ  )-8" Ð8  "# Ñ  %-8# ÓB8 # _

$ #

#

"

#

Luego,  -!  -" œ !, de donde -" œ -! œ " y 8# -8  #Ð8  "# Ñ-8"  -8# œ !, 8  "Þ

-# œ

#-8" Ð8 "# Ñ-8# Ð#8"Ñ-8" -8# œ 8# 8# & († $x"  #" " Ð$"Ñ " " # œ ß œ œ ß œ $ % % # * #†$ "'

-8 œ

" " Ð#8"Ñ Ð8"Ñx  Ð8#Ñx 8#

-8 œ

œ

Ð#8"ÑÐ8"Ñ 8x8

" œ %x

" œ 8x

Luego, CÐBÑ œ B # ! B8x œ B # /B Þ "

_

8

"

!

Ahora usamos la Fórmula de Abel para encontrar una segunda solución 6Þ3Þ: C# ÐBÑ

' # .B " " œ B # /B ' /B/#B .B œ B # /B ' .B B "

œ B # /B 68 B Así, la solución general de la ecuación es : "

CÐBÑ œ ÐG"  G# 68 BÑB # /B Þ

78

I-?+-38/= H30 /
#*Þ  Un paracaidista cuyo peso es de 80 kg. se deja caer de un helicóptero a cierta altura. Suponemos que cae bajo la influencia de una fuerza de gravedad constante y que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista. La constante de proporcionalidad es 10 kg/seg. cuando el paracaídas está cerrado y 100 kg/seg. cuando el paracaídas está abierto. Si el paracaídas se abre 1 m. después que el paracaidista abandona el helicóptero, determine la altura del paracaidista en cualquier instante >Þ La ecuación del movimiento de una partícula es Q Bw w œ J donde Q es la masa y J es la suma de las fuerzas que actúan sobre la partículaÞ Sea BÐ>Ñ la distancia al helicóptero en movimiento está dada por:

un instante >. Luego, la ecuación del

)!Bw w œ )! † *ß )  "!Bw es decir, w

Bw w  B) œ *ß ), Además, sabemos que la velocidad @ está dada por Bw œ @, luego la ecuación diferencial es: @w  @) œ *ß ) >

cuya solución es @ œ ()ß %  G / 8 Þ Como la velocidad en el instante > œ ! es ! se tiene G œ  ()ß %. >

Reemplazando G y @ obtenemos Bw œ ()ß %Ð"  / 8 ÑÞ Resolviendo nuevamente esta ecuación y considerando que BÐ!Ñ œ !, tenemos: >

BÐ>Ñ œ ()ß %>  '#(ß #Ð/ 8  "Ñ Luego, en el primer minuto el paracaidista ha caído aproximada-mente 4089,15 mts. Ahora la ecuación diferencial cuando el paracaídas se abre está dada por: w Bw w  &B % œ *ß )

Reemplazando Bw por @ se tiene que: @w  &@ % œ *ß )

Resolviendo la ecuación y dado que la velocidad inicial es aproximadamente ()ß % tenemos:

79


&>

@Ð>Ñ œ (ß )%  (!ß &'/ % ß de donde: &>

BÐ>Ñ œ (ß )%>  &'ß %%) / %  GÞ Como BÐ!Ñ ¸ %!)*ß "&ß tenemos que: &>

BÐ>Ñ œ (ß )%>  &'ß %%)/ %  %"%&ß &*).

$!Þ  Un circuito VPG en serie tiene una fueza electromotriz dada por IÐ>Ñ œ "!! =/8"!> Z 96>=, un resistor de ( S27=, un inductor de 1 L/8
.U

La ecuación está dada por P .M .>  VM  G œ IÐ>Ñ , M œ .> . Reemplazando los valores tenemos: M w Ð>Ñ  ( MÐ>Ñ  "!U œ "!! =/8 "! > Derivando, obtenemos la ecuación lineal de segundo orden À M w w  ( M w  "!M œ "!!! -9="!>

La solución de la ecuación homogénea es: M2 Ð>Ñ œ G" /#>  G# /&> Usando aniquiladores obtenemos la solución particular: *! M: Ð>Ñ œ (! "$ =/8"!>  "$ -9="!> *! Así, MÐ>Ñ œ G" /#>  G# /&>  (! "$ =/8"!>  "$ -9="!>

Como las condiciones iniciales son MÐ!Ñ œ UÐ!Ñ œ !ß se tiene: M w Ð!Ñ  (MÐ!Ñ  "!UÐ!Ñ œ "!!=/8 ! Ê luego M w Ð!Ñ œ ! Obtenemos así : *! ! œ MÐ!Ñ œ G"  G#  *! "$ Ê G"  G# œ "$ (!! ! œ M w Ð!Ñ œ  #G"  &G#  (!! "$ Ê #G"  &G# œ "$

80

I-?+-38/= H30 /
$%! lo que implica G# œ '"! $* ß G" œ $*

Por lo tanto: (! *! #> &> MÐ>Ñ œ $%!  '"!  "$ =/8"!>  "$ -9="!> $* / $* /

81


82

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Sistemas lineales. Sean B" ß á ß B8 funciones de una variable >. Un sistema lineal normal de 8 ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma: Bw" Ð>Ñ œ +"" Ð>ÑB" Ð>Ñ  +"# Ð>ÑB# Ð>Ñ  á  +"8 Ð>ÑB8Ð>Ñ  0"Ð>Ñ Bw# Ð>Ñ œ +#" Ð>ÑB" Ð>Ñ  +## Ð>ÑB# Ð>Ñ  á  +#8 Ð>ÑB8Ð>Ñ  0#Ð>Ñ ã

ã

ã

Bw8 Ð>Ñ œ +8" Ð>ÑB" Ð>Ñ  +8# Ð>ÑB# Ð>Ñ  á  +88 Ð>ÑB8Ð>Ñ  08Ð>Ñ o abreviadamente, \ w Ð>Ñ œ EÐ>Ñ † \Ð>Ñ  J Ð>Ñß donde Î B" Ð>Ñ Ñ Î 0" Ð>Ñ Ñ Ð B# Ð>Ñ Ó Ð 0 Ð>Ñ Ó \Ð>Ñ œ Ð ß J Ð>Ñ œ Ð # Ó Ó ã ã Ï B8 Ð>Ñ Ò Ï 08 Ð>Ñ Ò Î +"" Ð>Ñ Ð +#" Ð>Ñ EÐ>Ñ œ Ð ã Ï +8" Ð>Ñ

+"# Ð>Ñ +## Ð>Ñ ã +8# Ð>Ñ

á á á

Si J es el vector nulo, el sistema se dice homogéneo.

83

+"8 Ð>Ñ Ñ +#8 Ð>Ñ Ó Ó ã +88Ð>Ñ Ò


Solución de un sistema. Î 9" Ð>Ñ Ñ Ð 9 Ð>Ñ Ó Una función 9Ð>Ñ œ Ð # Ó ß es una solución del sistema \ w œ E\  J si y sólo si 9 ã Ï 98 Ð>Ñ Ò es una función derivable que satisface cada una de las ecuaciones del sistema. La solución general del sistema de 8 ecuaciones \ w œ E\  J está dada por \Ð>Ñ œ \2 Ð>Ñ  \: Ð>Ñ donde \2 Ð>Ñ es la solución general del sistema homogéneo \ w œ E\ e \: Ð>Ñ es una solución particular del sistema no homogéneo \ w œ E\  J . Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad. Sean EÐ>Ñß J Ð>Ñ funciones matriciales continuas definidas sobre un intervalo Ò+ß ,Ó. Entonces, existe una única función 9Ð>Ñ que es solución del P.V.I. \ w œ E\  J ß \Ð>! Ñ œ \! en todo el intervalo Ò+ß ,Ó.

Sistemas homogéneos. Solución general. Un conjunto de 8 soluciones 6Þ3Þ de un sistema homogéneo de 8 ecuaciones se denomina sistema fundamental de soluciones. Î 9"" Ð>Ñ Ñ Î 9"8 Ð>Ñ Ñ Ð 9 Ð>Ñ Ó Ð 9 Ð>Ñ Ó Sean 9" Ð>Ñ œ Ð #" Ó ß á ß 98 Ð>Ñ œ Ð #8 Ó 8 soluciones del sistema lineal ã ã Ï 98" Ð>Ñ Ò Ï 988 Ð>Ñ Ò homogéneo \ w œ E\ . Î 9"" Ð>Ñ á 98" Ð>Ñ Ñ ã ã se denomina una solución matricial del Ï 98" Ð>Ñ á 988 Ð>Ñ Ò sistema. Si además, Ö9" ß á ß 98 × es un conjunto 6Þ3Þ, decimos que F es una solución matricial fundamental o una matriz fundamental del sistema. La matriz: FÐ>Ñ œ

Wronskiano. Sea FÐ>Ñ una solución matricial del sistema \ w œ E\ . Definimos el wronskiano del sistema como [ Ð>Ñ œ kFÐ>ÑkÞ Criterio para soluciones l.i.. FÐ>Ñ es una solución matricial fundamental si y sólo si [ Ð>Ñ Á ! si y sólo si [ Ð>! Ñ Á ! para algún >! − Ò+ß ,ÓÞ 84

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Sistemas homogéneos con coeficientes constantes. Método de diagonalización. Caso 1: La matriz E es diagonalizable. En este caso la matriz tiene 8 vectores propios 6Þ3Þ @" ß á ß @8 correspondientes a los valores propios -" ß á ß -8 (posiblemente repetidos)Þ El sistema tiene 8 soluciones 6Þ3Þ de la forma 93 Ð>Ñ œ @3 /-3 > . Distinguimos dos casos. • Si todos los valores propios de E son reales, entonces: \2 Ð>Ñ œ G" @" /-" >  á  G8 @8 /-8 > es la solución general del sistema. • Si E tiene algún valor propio complejo - œ +  , 3 entonces, como E tiene coeficientes reales, - también es un valor propio de E y si @- es un vector propio de -, @es un vector propio de -Þ Luego, @- / - >  @ - / - > #

œ /+> ÐV/Ð@- Ñ -9=Ð,>Ñ  M7Ð@- Ñ =/8Ð,>ÑÑ

@- / - >  @ - / - > #3

œ /+> ÐM7Ð@- Ñ -9=Ð,>Ñ  V/Ð@- Ñ =/8Ð,>ÑÑ

Caso 2: La matriz E no es diagonalizable. Consideraremos únicamente el caso en que el valor propio - de multiplicidad 7 tiene sólo un vector propio 6Þ3Þ asociado @. Los demás casos se encuentran en cualquier buen texto de ecuaciones diferenciales. La primera solución es entonces 9" Ð>Ñ œ @ /-> . Las 7  " soluciones 6Þ3Þ restantes son de la forma: 9# Ð>Ñ œ Ð>@  @" Ñ/-> ß #

9$ Ð>Ñ œ Ð >#x @  >@"  @# Ñ/-> ß ã

ã 7"

#

> 97 Ð>Ñ œ Ð Ð7"Ñx @  á  >#x @7$  > @7#  @7" Ñ/->

donde los vectores @3 con 3 œ "ß á ß 7  " se construyen recursivamente resolviendo los sistemas: ÐE  -MÑ@" œ @ß á ß ÐE  -MÑ@3 œ @3"

85


Sistemas no homogéneos. Método de variación de parámetros. Sea FÐ>Ñ una matriz fundamental del sistema homogéneo \ w œ E\ . Una solución particular del sistema no homogéneo \ w œ E\  J está dada por: \: Ð>Ñ œ FÐ>Ñ † Y Ð>Ñ donde el vector columna Y Ð>Ñ se determina resolviendo para Y w el sistema À FÐ>Ñ † Y w Ð>Ñ œ J Ð>Ñ e integrando componente a componente el vector Y w .

Sistemas no homogéneos. Método de aniquiladores. Este método resulta útil cuando el sistema no es de primer orden y en el caso de sistemas lineales que no están en forma normal. Utilizando operadores diferenciales podemos convertir el sistema diferencial en un sistema algebraico y resolverlo como tal. Ver ejercicios.

86

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /

"Þ 

Resolver los siguientes sistemas homogéneos de orden # À +Ñ \ w œ Œ

' $

kE  - M k œ º

# \ "

'$

# œ Ð-  'ÑÐ-  "Ñ  ' "-º œ - #  &-

Valores propios: -1 œ !ß -# œ  &Þ Buscamos los vectores propios resolviendo el sstema ÐE  -MÑ\ œ !: -" œ ! À ' Œ$

# 3 µŒ  " 0

" " Ê $B  C œ ! Ê @" œ Œ   0 $

" Ê 9" Ð>Ñ œ Œ  $ -# œ  & À " Œ$

# " µŒ  ' 0

# # Ê B  #C œ ! Ê @# œ Œ   0 "

# Ê 9# Ð>Ñ œ Œ /&> " " # Solución general del sistema: \Ð>Ñ œ G" Œ   G# Œ /&> $ "

,Ñ \ w œ Œ

" $

kE  - M k œ º

$ \ &

"$

$ œ Ð-  #Ñ# &-º

87


- œ # es un valor propio de multiplicidad 2. Busquemos el primer vector propio À ÐE  #MÑ\ œ Œ

3 $ B " œ! Ê BœC Ê @œŒ   $ 3 Œ C  "

" Ê 9" Ð>Ñ œ Œ /#> " Para encontrar 92 Ð>Ñ resolvemos la ecuación ÐE  #MÑ@" œ @: 3 $ B " C" Œ  $ 3 Œ C  œ Œ "  Ê B œ $ Para C œ !ß se tiene que B œ  "$ Ê @" œ 

 "$ !

"  "$ >  "$ #> #> Luego, 92 Ð>Ñ œ Œ >/#>   / œ  > / " !  Así, la solución general del sistema es:

#Þ 

' Resolver el P.V.I. \ w œ Œ & kE  - M k œ º

'&

Entonces, - œ

" >  "$ #> \Ð>Ñ œ G" Œ /#>  G# Œ / " >

" # \ ß \Ð!Ñ œ Œ %  )

" œ -#  "!-  #*Þ %-º

"!È"!!""' #

œ &  23

Valores propios complejos conjugados: -1 œ &  23ß -# œ &  23Þ

88

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Vectores propios: Œ

"  23 " & µ &  "  23  Œ 0 "  23 @" œ Œ Þ & 

 "  23 , luego, &B  Ð"  %3ÑC œ !ß de donde 0

Solución general del sistema: " # # " \Ð>Ñ œ G" ”Œ -9= #>  Œ =/8 #>Ñ•/&>  G# ”Œ -9= #>  Œ =/8 #>Ñ•/&> & ! ! & Usando la condición inicial: Œ

# " 2 œ G" Œ   G# Œ  Ê G" œ )& ß G# œ  *5  ) & !

Luego, la solución (única) del P.V.I. es: # & \Ð>Ñ œ ”Œ -9=#>  Œ =/8 #>•/&> ) * $Þ 

Resolver el sistema no homogéneo: # \w œ Œ "

& ! \Œ ß !>1  # ->1 > 

Primero buscaremos los valores propios º

#"

& œ -#  " Ê - œ „3 #-º

Ahora buscamos los vectores propios À #3 Œ "

& ! µŒ  #3 "

! # " Ê B œ Ð#  3ÑC Ê @" œ Œ   Œ 3  #3 " !

Así,

# " " # \2 Ð>Ñ œ G" ”Œ -9= >  Œ =/8 >•  G# ”Œ -9= >  Œ =/8 >• " ! ! " œ G" Œ

#-9= >  =/8 > -9= >  #=/8 >   G# Œ  -9= > =/8 > 89


Ahora buscamos una solución particular: \: Ð>Ñ œ Œ

#-9= >  =/8 > -9= >  #=/8 > ?" Ð>Ñ  Œ ?# Ð>Ñ -9= > =/8 >

Para encontrar ?" Ð>Ñ y ?# Ð>Ñ debemos resolver el sistema: Ð#-9= >  =/8 >Ñ?w" Ð>Ñ  Ð-9= >  #=/8 >Ñ?w# Ð>Ñ œ ! -9=> ?w" Ð>Ñ  =/8> ?w# Ð>Ñ œ ->1 > Despejando ?w" Ð>Ñ de la primera ecuación >#=/8 > w ?w" Ð>Ñ œ -9= =/8 >#-9= > † ?# Ð>Ñ

y reemplazando en la segunda , se tiene que ?w# Ð>Ñ œ ->1 >Ð=/8 >  #-9= >Ñ #

> Ê ?w# Ð>Ñ œ -9= >  # -9= =/8 > œ -9= >  #-=- >  #=/8 >

Así , ?# Ð>Ñ œ =/8 >  #68l-=- >  ->1 >l  #-9= > >#=/8 > ?w" Ð>Ñ œ -9= =/8 >#-9= > † ->1 >Ð=/8 >  #-9= >Ñ œ -=->  =/8 >  #-9=>

Luego, ?" Ð>Ñ œ 68l-=- >  ->1 >l  -9= >  #=/8 > La solución particular es entonces: \: Ð>Ñ œ Œ

#-9= >  =/8 > Ð68l-=- >  ->1 >l  -9= >  #=/8 >Ñ -9= > Œ

œŒ

-9= >  #=/8 > Ð=/8 >  #68l-=- >  ->1 >l  #-9= >Ñ =/8 >

 &=/8 > † 68l-=- >  ->1>l "  Ð-9=>  #=/8 >Ñ68l-=- >  ->1>l 

Por lo tanto, la solución general del sistema es:

90

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
\Ð>Ñ œ Œ

#G"  G#  G"  #G# -9= >  Œ =/8 > G" G#

!  &=/8 > Œ Œ 68l-=- >  ->1>l " -9=>  #=/8 >  %Þ 

Resolver el P.V.I.

" \ œŒ " w

º

""

" # \   >"  ß \Ð"Ñ œ Œ  "  "  > "

>!

" œ -# "-º

Luego, - œ ! es un valor propio de multiplicidad #. " Œ"

" B œ!ÊBœC  " Œ C 

" Ê @œŒ  "

" Ê 9" Ð>Ñ œ Œ  "

Para encontrar 92 Ð>Ñ resolvemos el sistema: ÐE  -MÑ@" œ @ Ê B œ C  " " " " Para C œ !ß se tiene que B œ " Ê @" œ Œ  Ê 92 Ð>Ñ œ Œ >  Œ  ! " ! " >" Así, \2 Ð>Ñ œ G" Œ   G# Œ " >  La solución particular es de la forma: " >" \: Ð>Ñ œ Œ ?" Ð>Ñ  Œ ? Ð>Ñ " >  # donde ?" y ?# se obtienen resolviendo el sistema: " ?w"  Ð>  "Ñ?w# œ > " ?w"  >?w# œ  > Restando las ecuaciones: ?w# œ #> Ê ?# œ # 68 >

91


Reemplazando en la segunda ecuación: ?w" œ  ">  # Ê ?" œ  68 >  #> #>  " " 68 >  Œ # > Así, \: Ð>Ñ œ Œ  #>  " " La solución general del sistema es: " >" #>  " " \Ð>Ñ œ G" Œ   G# Œ  68 >  Œ # > " >  Œ #>  "  " Reemplazando la condición inicial: # " # # Œ  "  œ G" Œ "   G# Œ "   Œ #  Ê G" œ  #ß G# œ $ Luego, la solución del P.V.I es: " >" #>  " " \Ð>Ñ œ  #Œ   $Œ  68 >  Œ # > " >  Œ #>  "  " œŒ

&Þ 

Ð#>  "Ñ68 >  >  " Ð#>  "Ñ 68 >  >  # 

Resolver el sistema homogéneo \ w œ â â"  â â # â â !

! #"

Î" # Ï!

! # "

â ! â â  " â œ Ð"  -ÑÐ-#  #-  "Ñ â -â

! Ñ " \ ! Ò

- œ " es una valor propio de multiplicidad 3 Î! # Ï!

! Ñ Î! ! ! Ñ " µ # ! ! Ê B œ !ß C œ D Ò Ï Ò " ! " " ! Î Ñ Î!Ñ Ê @ œ " Ê 9" Ð>Ñ œ " /> Ï"Ò Ï"Ò ! " "

92

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Ahora debemos encontrar las soluciones 92 Ð>Ñ y 9$ Ð>Ñ ÐE  -MÑ@" œ @

Ê

B œ !ß C œ D  "

Î!Ñ Para D œ ! Ê @" œ " Ï!Ò 92 Ð>Ñ œ

Î!Ñ Î!Ñ Î ! Ñ " >/>  " /> œ >  " /> Ï"Ò Ï!Ò Ï > Ò

ÐE  -MÑ@# œ @" Ê B œ "# ß C œ D Î "# Ñ Para D œ ! Ê @# œ Ð ! Ó Ï!Ò

Î # Ñ Î "# Ñ Î ! Ñ ># Î!Ñ Ð # Ó > > > Ð Ó 93 Ð>Ñ œ " # /  " >/  ! / œ Ð >#  > Ó /> Ï"Ò Ï!Ò # Ï!Ò Ï > Ò "

#

Así, la solución general es

Î # Ñ Î!Ñ Î ! Ñ Ð # Ó \Ð>Ñ œ G" " />  G# >  " />  G$ Ð >#  > Ó /> Ï"Ò Ï > Ò # Ï > Ò "

#

'Þ 

Resolver el P.V.I. Î $ ! \ œ Ï ! w

â â $â ! â â ! â

! $ "

! $"

! Ñ Î $ Ñ  # \ß \Ð!Ñ œ # Ï  "Ò " Ò â ! â â  # â œ Ð-  $ÑÐ-#  %-  &Ñ â "-â œ Ð-  $ÑÐ-  #  3ÑÐ-  #  3Ñ

93


- œ $À Î! ! Ï!

! Ñ Î! ! # µ ! ! % Ò Ï! "

! ' "

Ê @" œ

Î"Ñ ! Ê Ï!Ò

9" Ð>Ñ œ

! Ñ  #' % Ò

Ê

Cœ! Dœ!

Î"Ñ ! /$> Ï!Ò

- œ#3À Î &3 ! Ï ! Ê

! "3 "

Bœ! C œ Ð"  3ÑD

! Ñ Î1 ! # µ ! !  "  3Ò Ï! " Ê

@œ

! Ñ !  "  3Ò

Î

! Ñ "3 Ï " Ò

Î!Ñ Î!Ñ #> 9# Ð>Ñ œ " / -9= >  " /#> =/8 > Ï"Ò Ï!Ò Î!Ñ Î!Ñ #> 9$ Ð>Ñ œ " / -9= >  " /#> =/8 > Ï!Ò Ï"Ò Luego, la solución general está dada por:

\Ð>Ñ œ G"

Î"Ñ Î!Ñ Î!Ñ ! /$>  –G# "  G$ " —/#> -9=> Ï!Ò Ï"Ò Ï!Ò Î!Ñ Î!Ñ  –  G# "  G$ " —/#> =/8 > Ï!Ò Ï"Ò

Reemplazando las condiciones iniciales: Î

$ Ñ Î G" Ñ G" œ $  # œ G#  G $ Ê G $ œ  " \Ð!Ñ œ Ï  " Ò Ï G# Ò G# œ  "

94

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Así, la solución del P.V.I. es

\Ð>Ñ œ $

(Þ 

Î"Ñ Î !Ñ Î !Ñ ! /$>  –  # -9= >  ! =/8 >—/#> Ï!Ò Ï  "Ò Ï  "Ò

Î" Resolver el sistema: \ œ " Ï" w

â â"  â â " â â "

" "!

" " !

â â  " â â"  â â ! âœâ ! â â "-â â "

 "Ñ Î # Ñ ! \  -9= > Ï -9= > Ò  "Ò " "!

â " â â "- â â "-â

œ  Ð"  -ÑÐ-#  "Ñ œ ! Tenemos $ valores propios: -" œ  "ß -# œ 3ß -$ œ  3Þ -" œ  " À Î# " Ï"

" ! !

 "Ñ Î !Ñ ! " Ê B œ !ß C œ  D @" œ Ò Ï ! "Ò

-# œ 3 À Î"  3 " Ï "

" "3 !

 " Ñ Î" ! µ !  "  3Ò Ï!

! " !

 "  3Ñ " ! Ò

Î "  3Ñ " Ê B œ Ð"  3ÑDß C œ D Ê @# œ Ï " Ò Luego, la solución de la homogénea es: !Ñ Î"Ñ Î"Ñ  "  G# –-9= > "  =/8 > ! — \2 Ð>Ñ œ G" / Ï "Ò Ï"Ò Ï!Ò Î "Ñ Î "Ñ  G$ –-9= > !  =/8 > " — Ï!Ò Ï"Ò >

Î

95


Para encontrar una solución particular resolvemos el sistema: ?w# Ð-9= > w >  ?" /  ?w# -9= > ?w" />  ?w# -9= >

 =/8 >Ñ  ?w$ Ð-9= >  =/8 >Ñ œ #  ?w$ =/8 > œ -9= > w  ?$ =/8 > œ -9= >

Restando la tercera ecuación con la segunda: #?w" œ ! Ê ?" œ ! Despejando ?w# de la la tercera ecuación: ?w# œ

-9= >?w$ =/8 > -9= >

Reemplazando en la primera ecuación y despejando: ?w$ œ #-9= >  -9= >Ð-9= >  =/8 >Ñ Ê ?$ œ #=/8 >  "% =/8 #>  "# >  "# =/8# > Ahora, ?w# œ

-9= >Ð#-9= >-9= >Ð-9= >=/8 >ÑÑ=/8 > -9= >

œ "  #=/8 >  -9= >=/8 >  =/8# > Ê ?# œ "# >  # -9= >  "# =/8# >  "# >  "% =/8 #> Luego, \: Ð>Ñ œ Ð# -9= > 

 Ð#=/8 > 

)Þ 

" " # # =/8 >  % =/8 #>Ñ

" " " # % =/8 #>  # >  # =/8 >Ñ

Î# Ð ! Resolver el sistema: \ w œ Ð ! Ï! â â#  â â ! â â ! â â !

# #! !

Î -9= >  =/8 > Ñ -9= > Ï Ò -9= >

$ $ "!

# # ! !

$ $ " !

Î -9= >  =/8 > Ñ =/8 > Ï Ò =/8 > > %Ñ Î/ Ñ #Ó Ð " Ó \Ð /#> Ó Ó " > Ï"Ò "Ò

â % â â # â â œ Ð-  #Ñ# Ð-  "Ñ# " â â "-â

96

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Tenemos dos vectores propios, ambos de multiplicidad #.

-œ#À Î! Ð ! Ð ! Ï!

# ! ! !

$ $ " !

% Ñ Î! # ! !Ñ Cœ! # ÓÐ ! ! ! ! Ó D œ ! µÐ Ê Ó Ó " ! ! " ! ?œ!  "Ò Ï! ! ! "Ò

Î"Ñ Î"Ñ ! Ð Ó Ð !Ó Ê @" œ Ð Ó Ê 9" Ð>Ñ œ Ð Ó /#> ! ! Ï!Ò Ï!Ò Como - es de multiplicidad #, debemos encontrar el otro vector: Î! Ð ! Ð ! Ï!

# ! ! !

$ $ " !

Î" Ð ! Ð ! Ï!

# " ! !

$ $ ! !

%ã #ã "ã " ã

"Ñ C œ "# !Ó D œ ! Ê Ó ! ?œ! !Ò

! > Î"Ñ Î"Ñ Ð Ó Ð Ó Ê Tomando B œ !ß @# œ Ð # Ó Ê 9# Ð>Ñ œ Ð # Ó /#> ! ! Ï!Ò Ï!Ò -œ"À %Ñ Î" # ÓÐ ! µÐ Ó " ! Ò Ï ! !

! " ! !

-$ $ ! !

!Ñ B œ $D ! Ó C œ  $D Ê Ó " DœD Ò ! ?œ!

Î $ Ñ Î $Ñ Ð  $Ó Ð  $Ó Ê @" œ Ð Ê 9$ Ð>Ñ œ Ð /> Ó Ó " " Ï ! Ò Ï !Ò

97


Buscamos el otro vector: Î" Ð ! Ð ! Ï!

Ê

# " ! !

$ $ ! !

% # " !

$ Ñ Î " ! -$ -$ ÓÐ ! " $ µÐ Ó " ! ! ! Ò Ï ! ! ! !

! *Ñ ! -& Ó Ó " " ! !Ò

B œ $D  * Î *Ñ C œ  $D  & Ð -& Ó Ê Tomando D œ !ß @" œ Ð Ó DœD ! Ï "Ò ?œ"

Î $Ð>  $Ñ Ñ Ð  $>  & Ó Ê 9% Ð>Ñ œ Ð /> Ó > Ï Ò " Así, > Î"Ñ Î"Ñ Î Ð !Ó Ð Ó Ð \2 Ð>Ñ œ G" Ð Ó /#>  G# Ð # Ó /#>  G$ Ð ! ! Ï!Ò Ï!Ò Ï

$ Ñ Î $Ð>  $Ñ Ñ  $Ó Ð  $>  & Ó / >  G% Ð /> Ó Ó " > Ï Ò ! Ò "

Ahora, hacemos variación de parámetros para encontrar una solución particular: ?w" /#>  ?w# >/#>  ?w$ $/>  ?w% $Ð>  $Ñ/> œ /$> " w #> w > w > #> # ?# /  ?$ $/  ?% Ð$>  &Ñ/ œ / ?w$ />  ?w% >/> œ >/#> ?w% /> œ /#> Luego, ?w% ?w$ ?w# ?w"

œ /> Ê ?% œ /> œ ! Ê ?$ œ ! ( cualquier constante). œ 'Ð>  #Ñ Ê ?# œ $>#  "#> œ $>Ð>  %Ñ # œ />  '>Ð>  #Ñ  $Ð>  $Ñ Ê ?" œ />  #>$  "& # >  *>

Luego,

"& # > $ > Î /  #>  # >  *> Ñ Î " Ñ Î $Ð>  $Ñ Ñ Ð Ó Ð Ó Ð  Ð$>  &Ñ Ó ! \: Ð>Ñ œ –Ð Ð # Ó $>Ð>  %Ñ  Ð /#> Ó Ó — > ! ! Ï Ò Ï!Ò Ï Ò " !

98

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Finalmente, la solución general está dada por Î Ð \Ð>Ñ œ Ð

G" + G # > Ñ Î $ÐG$  G% Ð>  $ÑÑ Ñ " Ó Ð  $G$  G% Ð$>  &Ñ Ó # G# Ó /#>  Ð /> Ó G  G > $ % ! Ï Ò Ï Ò G % ! *># Î />  >$  #  '>  * Ñ Ð Ó $ # Ó  ÐÐ /#> # >  $>  & Ó > Ï Ò "

*Þ 

Resolver el P.V.I.: Î" Ð # \ w Ð>Ñ œ Ð ! Ï! â â"  â â # â â ! â â !

! ! # !

! # !

! ! ! # ! ! #

! Ñ Î ># Ñ Î "Ñ !Ó Ð >  "Ó Ð  "Ó  Ð > Ó ß \Ð!Ñ œ Ð Ó Ó ! # / Ï  #Ò " Ò Ï /> Ò â ! â â ! â â œ -# Ð-  "Ñ# ! â â "-â

Tenemos dos vectores propios, ambos de multiplicidad dosÞ -œ!À Î" Ð # Ð ! Ï!

! ! # !

! ! ! #

!Ñ Bœ! !Ó Cœ! Ê Ó ! #D  ? œ ! Ò "

Î Ð Ê @" œ Ð

!Ñ Î !Ñ !Ó !Ó Ð Ê 9" Ð>Ñ œ Ð Ó Ó " " Ï  #Ò Ï  #Ò

Ahora buscamos el segundo vector: Î" Ð # Ð ! Ï!

! ! # !

! ! ! #

! ! ! "

!Ñ Bœ! ! Ó #C œ " Ê Ó " #D  ? œ  # Ò # ! ! Î " Ñ Î !Ñ Î " Ñ ! ÓÐ Ð Ó Ð Ó # Ó # Ó Ê @# œ Ð Ê 9# Ð>Ñ œ Ð > ÓÐ " ! ! Ï  #Ò Ï  #Ò Ï  #Ò 99


-œ"À Î! Ð # Ð ! Ï!

! " # !

! ! " #

!Ñ Î!Ñ Î!Ñ Dœ! !Ó Ð !Ó Ð !Ó Ê C œ ! Ê @$ œ Ð ÓÊ 9$ Ð>Ñ œ Ð Ó /> Ó ! ! ! Bœ! Ï"Ò Ï"Ò !Ò

La otra solución la obtenemos resolviendo el sistema: Î! Ð # Ð ! Ï!

! " # !

! ! !Ñ Î"Ñ #D œ " ! ! !Ó Ð #Ó Ê #C  D œ ! Ê @% œ ") Ð Ó Ó " ! ! % #B  C œ ! Ï!Ò # ! "Ò

Î!Ñ Ð !Ó Ê 9% Ð>Ñ œ Ð Ó > />  ! Ï"Ò

Î"Ñ "Ð #Ó /> )Ð %Ó Ï!Ò

Î Ð \2 Ð>Ñ œ G" Ð

!Ñ ! Î Ñ Î!Ñ Î"Ñ !Ó Ð "Î# Ó Ð ! Ó Ð #Ó " >  G# Ð  G$ Ð Ó / >  G% Ð / Ó Ó Ó " > ! % ) Ï  #Ò Ï  #  #> Ò Ï"Ò Ï )> Ò

Buscamos la solución particular usando variación de parámetros: " w > # Ê ?w% œ ) ?% / œ > " w " w > # ?#  % ?% / œ >  "

)># />

Ê ?% œ  )Ð># />  #>/>  #/> Ñ

Ê ?w# œ #Ð>  "  #># Ñ

Ê ?# œ >#  #>  %$ >$

?w"  >?w#  "# ?w% /> œ /> Ê ?w" œ />  #>Ð>  "  #># Ñ  %># œ />  '>#  #>  %>$ Ê ?" œ  />  #>$  >#  >%  #?w"  #Ð"  >Ñ?w#  ?w$ />  ?w% >/> œ /> Ê ?w$ œ /> Ð/>  #/>  "'>#  %>  )>$  %Ñ Ê ?$ œ >  /#>  /> Ð)>$  %!>#  ('>  (#Ñ

100

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
Luego,

Î Ð Ð \: Ð>Ñ œ Ð Ð

 Ð>#  #>  #Ñ  Ð $# >#  $>  #$ >$  %Ñ

 Ð/>  >$  $>#  "$ >%  )>  )Ñ

Ñ Ó Ó Ó Ó

Ï />  >/>  "% >%  "! >$  #!>#  &'>  (# Ò $ $

\Ð>Ñ œ \2 ÐBÑ  \: Ð>Ñ Usando las condiciones iniciales: ! Î "Ñ Î !Ñ Î " Ñ Î!Ñ Î"Ñ Î # Ñ !Ó Ð % Ó Ð  "Ó Ð Ó Ð ! Ó" Ð # Ó Ð # Ó œ G" Ð  G# Ð  G$ Ð Ó  ) G% Ð Ó Ð Ð Ó Ó Ó # " ! % ) ! Ï  #Ò Ï  #Ò Ï  #Ò Ï"Ò Ï ! Ò Ï  (# Ò Ê G% œ #%ß G# œ  'ß G" œ  #ß G$ œ  *! Luego, la solución del P.V.I. es: Î Ð \Ð>Ñ œ Ð

! $ Ñ Î Ñ $ Ó ' Ð Ó Ð /> Ó Ó  #  '> "# Ï "'  "# > Ò Ï #%>  *! Ò Î Ð Ð Ð Ð

 Ð>#  #>  #Ñ  Ð $# >#  $>  #$ >$  %Ñ

 Ð/>  >$  $>#  "$ >%  )>  )Ñ

Ñ Ó Ó Ó Ó

Ï />  >/>  "% >%  "! >$  #!>#  &'>  (# Ò $ $

"!Þ  Resuelva el sistema

w

Bw œ C  $B . w Cw œ #B  #C

Usamos método de eliminación. El sistema se puede escribir como: ÐH#  $ÑB C œ! #  #B  ÐH  #ÑC œ ! Aplicando ÐH#  #Ñ a la primera ecuación y sumándola a la segunda: ÐH%  &H#  %ÑB œ ! Ê ÐH#  "ÑÐH#  %ÑB œ !

101


Luego, BÐ>Ñ œ G" -9= >  G# =/8 >  G$ -9=#>  G% =/8#> Reemplazando en la primera ecuación: CÐ>Ñ œ ÐH#  $ÑBÐ>Ñ œ #G" -9= >  #G# =/8 >  G$ -9=#>  G% =/8#>

""Þ  Resolver el sistema:

w

Bw  %B  C w œ ># Bw  B  C w œ !

Como el sistema es de segundo orden lo resolveremos por el método de eliminación: ÐH  %ÑB  H# C œ ># ÐH  "ÑB  HC œ ! Multiplicando por  H la segunda ecuación y sumándola con la primera obtenemos la ecuación no homogénea de segundo orden: ÐH#  %ÑB œ  ># La solución de la ecuación homogénea asociada es: B2 Ð>Ñ œ G" -9=#>  G# =/8 #> Usando aniquiladores, tenemos que la solución particular es de la forma B: Ð>Ñ œ E>#  F>  G . Derivando y reemplazando en la ecuación tenemos: E œ  "% ß F œ !ß G œ ") Así, BÐ>Ñ œ G" -9=#>  G# =/8 #>  "% >#  ") Þ Para encontrar CÐ>Ñ debemos reemplazar BÐ>Ñ y Bw Ð>Ñ en la sistema. Cw Ð>Ñ œ  G" -9=#>  G# =/8#>  #G" =/8#>  #G# -9=#> 

segunda ecuación del " # %>

 "# >  ")

Integrando con respecto a >: # >$ CÐ>Ñ œ Ð G##  G" Ñ-9=#>  ÐG#  G#" Ñ=/8#>  "#  >%  )>  G$

102

W3=>/7+= ./ I-?+-398/= H30 /
"#Þ  Usar método de eliminación para resolver el siguiente sistema: Bw Cw Dw

œ BD œ CD œ BC

Se trata de un sistema homogéneo. Lo escribimos en términos de operadores diferenciales: ÐH  "ÑB

D œ! ÐH  "ÑC D œ! B  C  HD œ ! Restamos la primera ecuación con la segunda y aplicamos H a la primera ecuación y la sumamos con la tercera: ÐH  "ÑB  ÐH  "ÑC œ ! ÐH#  H  "ÑB C œ! Aplicamos  ÐH  "Ñ a la segunda ecuación y obtenemos:  HÐH  "Ñ# B œ ! Esta es una ecuación lineal homogénea de orden tres cuya solución general está dada por: BÐ>Ñ œ G"  ÐG#  G$ >Ñ/> Despejando C de la segunda ecuación tenemos C œ ÐH#  H  "ÑB, de donde : CÐ>Ñ œ G"  ÐG#  G$  G$ >Ñ/> Finalmente, del hecho que D œ ÐH  "ÑB obtenemos:

DÐ>Ñ œ G"  G$ />

"$Þ  Usar método de eliminación para resolver el siguiente sistema: w

w

w

Bw  Cw  D w œ > Bw  Cw  D w œ " w Bw  Cw œ />  C  D  B Se trata de un sistema no homogéneo y lo escribimos en términos de operadores: H# B  H# C  H# D œ > HB  HC  HD œ " # ÐH  "ÑB  ÐH  "ÑC  D œ />

103


Aplicamos H a la segunda ecuación y la sumamos con la primera: # >$ #H# B œ > Ê HB œ >%  G" Ê BÐ>Ñ œ "#  G" >  G# Þ

Aplicamos H a la tercera ecuación y la sumamos con la segunda: HÐH#  #ÑB  HÐH  #ÑC œ />  " # # HÐH#  #ÑBÐ>Ñ œ ÐH#  #Ñ( >%  G" Ñ œ "#  >#  #G" Þ # Reemplazando: HÐH  #ÑC œ />  "#  >#  #G"

Luego, CÐ>Ñ œ G$  G% /#>  C: Ð>Ñ, donde C: es de la forma: C: œ +/>  ,>  ->#  .>$ Derivando y reemplazando en la ecuación: C:w œ +/>  ,  #->  $.># C:w w œ +/>  #-  '.> C:w w  #C:w œ  +/>  #Ð-  ,Ñ  #Ð#-  $.Ñ> " Luego, + œ  "ß - œ ") ß . œ "# ß , œ G"  ") , de donde: " $ CÐ>Ñ œ G$  G% /#>  />  ÐG"  ") Ñ>  ") >#  "# >

Finalmente, reemplazando en la tercera ecuación, obtenemos: DÐ>Ñ œ />  ÐH#  "ÑB  ÐH  "ÑC œ />  () >  G"  G#  G$  ")  G% /#>  ") >#

104

TRANSFORMADA DE LAPLACE Definición. Sea 0 una función real definida en el intervalo Ò!ß _Ñ. La Transformada de Laplace de _ 0 Ð>Ñ se define como ¿Ö0 Ð>Ñ× œ J Ð=Ñ œ '! /=> 0 Ð>Ñ.> para todos los valores de = para los cuales la integral converge.

Definición. Una función real 0 se dice continua por tramos (o seccionalmente continua o continua a trozos) en un intervalo Ò+ß ,Ó si: a) 0 está definida y es continua en el intervalo Ò+ß ,Ó excepto en un número finito de puntos ÖB" ß B# ß á ß B8 × de Ò+ß ,Ó. b) En cada punto de discontinuidad B3 los límites laterales existen. La función 0 se dice continua por tramos en el intervalo Ò!ß _Ñ si es continua por tramos en todo intervalo Ò!ß 8Ó ß 8 − Þ

Definición. Una función real 0 definida en un intervalo Ò!ß _Ñ se dice que es de orden exponencial en Ò!ß _Ñ si y sólo si existen constantes Q y G tales que k0 ÐBÑk Ÿ Q /GB para todo B !Þ Teorema. Existencia de la Transformada de Laplace. Condiciones suficientes. Si 0 es una función continua por tramos y de orden exponencial en el intervalo Ò!ß _Ñ, entonces su transformada de Laplace existe.

Propiedades de la Transformada de Laplace. Sean 0 ß 1 funciones reales cuya transformada de Laplace existe y está dada por J Ð=Ñß KÐ=Ñ, respectivamente.

105


Linealidad.

¿Ö!0 Ð>Ñ  " 1Ð>Ñ× œ !J Ð=Ñ  " KÐ=Ñ

Primera propiedad de traslación.

¿Ö/+> 0 Ð>Ñ× œ J Ð=  +Ñ

Segunda propiedad de traslación. ¿ Öh Ð>  +Ñ0 Ð>  +Ñ× œ /+= J Ð=Ñ, donde +  ! y h Ð>  +Ñ œ œ

" !

> + >+

Cambio de escala. ¿Ö0 Ð+>Ñ× œ +" J ˆ += ‰ Diferenciación. Si 0 es continua y de orden exponencial y 0 w existe y es continua por tramos en Ò!ß _Ñ, entonces existe la Transformada de Laplace de 0 w para =  G y está dada por: ¿Ö0 w Ð>Ñ× œ =J Ð=Ñ  0 Ð! Ñ Generalizando apropiadamente se obtiene: ¿Ö0 Ð8Ñ Ð>Ñ× œ =8 J Ð=Ñ  =8" 0 Ð! Ñ  =8# 0 w Ð! Ñ  á  0 Ð8"Ñ Ð! Ñ Integración. Si 0 es orden exponencial y continua por tramos, y + un número real no > negativo, la transformada de Laplace de la función definida por 1Ð>Ñ œ '+ 0 Ð?Ñ.? existe y está dada por: ¿Ö'+ 0 Ð?Ñ.?× œ >

J Ð=Ñ =

+  "= '! 0 Ð?Ñ.?

Multiplicación por >8 . ¿Ö>8 0 Ð>Ñ× œ Ð  "Ñ8 J Ð8Ñ Ð=Ñ ß para 8 − Þ División por >. ¿š > › œ '= J Ð?Ñ.? , siempre que lim > >Ä! _

0 Ð>Ñ

0 Ð>Ñ

exista.

Convolución. Se define la convolución de 0 y 1 ß 0 ‡1ß como: Ð0 ‡1ÑÐ>Ñ œ '! 0 Ð?Ñ1Ð>  ?Ñ.? >

Esta operación es conmutativa, asociativa y distributiva con respecto a la suma. Su transformada de Laplace está dada por: ¿ Ö'! 0 Ð?Ñ1Ð>  ?Ñ.?× œ ¿ ÖÐ0 ‡1ÑÐ>Ñ× œ J Ð=ÑKÐ=Ñ >

106

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Funciones periódicas. Si 0 es periódica de período :  !ß entonces: ¿Ö0 Ð>Ñ× œ

'!: /=> 0 Ð>Ñ.> "/=:

Propiedades sobre límites. a)

lim J Ð=Ñ œ !

=Ä_

b) Teorema del valor inicial: lim 0 Ð>Ñ œ lim =J Ð=Ñ =Ä_

>Ä!

c) Teorema del valor final:

lim 0 Ð>Ñ œ lim=J Ð=Ñ

>Ä_

=Ä!

d) Generalización del Teorema del valor inicial: 0 Ð>Ñ

J Ð=Ñ

Si lim 1Ð>Ñ œ ", entonces lim KÐ=Ñ œ " =Ä_ >Ä! e) Generalización del Teorema del valor final: 0 Ð>Ñ

J Ð=Ñ

Si lim 1Ð>Ñ œ ", entonces lim KÐ=Ñ œ " >Ä_ =Ä! Función de Bessel de primera especie de orden <. Esta función aparece como solución de la ecuación de Bessel À B# Cw w  BC w  ÐB#  <# ÑC œ ! , < ! y está dada por:

N< Ð>Ñ œ ! 8x >Ð<8"Ñ Ð #> Ñ<#8 _

Ð"Ñ8

, N! Ð!Ñ œ "

8œ!

Transformada Inversa de Laplace . Si J Ð=Ñ œ _Ö0 Ð>Ñ×, decimos que 0 es la transformada inversa de la función J y escribimos _" ÖJ Ð=Ñ× œ 0 Ð>Ñ.

107


Transformadas elementales.

0 Ð>Ñ " >8 =/8 +> -9= +> =/82 +> -9=2 +> /+> >+ N! Ð+>Ñ N8 Ð+>Ñ h Ð>  +Ñ $ Ð>Ñ

J Ð=Ñ " = 8x

=8" + Ð=# +# Ñ = Ð=# +# Ñ + Ð=# +# Ñ = Ð=# +# Ñ " =+ >Ð+"Ñ =+" " È=# +# ÐÈ=# +# =Ñ8 +8 È=# +# /+= =

"

108

=! =! =! =!

=  k+k

=  k+k =+ =  !ß+   " =! =! =!

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Problemas resueltos

"Þ 

Sea 0 Ð>Ñ œ œ

#> >

!Ÿ>Ÿ" >"

. Calcular _Ö0 Ð>Ñ× y _Ö0 w Ð>Ñ×Þ

0 Ð>Ñ œ #>  > h Ð>  "Ñ œ #>  Ð>  "Ñ h Ð>  "Ñ  h Ð>  "Ñ = = Ê _Ö0 Ð>Ñ× œ =##  /=#  /=

Como 0 no es continua, no podemos usar la fórmula _Ö0 w Ð>Ñ× œ =J Ð=Ñ  0 Ð! Ñ 0 w Ð>Ñ œ œ

# "

!Ÿ>Ÿ" >"

œ #  h Ð>  "Ñ

= Luego, _Ö0 w Ð>Ñ× œ #=  /=

También podríamos haber usado la fórmula para funciones con discontinuidad por saltos: _Ö0 w Ð>Ñ× œ =J Ð=Ñ  0 Ð! Ñ  /= Ð0 Ð" Ñ  0 Ð" ÑÑ = = œ =#  /=  /=  /= œ #=  /=

#Þ 

Determinar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: +Ñ 0 Ð>Ñ œ >/#> =/8 = > A _Ö=/8 A >× œ =# A Ê _Ö/#> =/8 A >× œ Ð=#ÑA# A# ß =  ! # ß =  ! #AÐ=#Ñ . J Ð=Ñ œ  .= Ð Ð=#ÑA# A# Ñ œ ÐÐ=#Ñ# A# Ñ# ß =  !

,Ñ 0 Ð>Ñ œ Ð>#  $>  #Ñ =/8 $> J Ð=Ñ

.# $ . $ $ œ .= # Ð =# * Ñ  $ .= Ð =# * Ñ  #Ð =# * Ñ

109


œ

'Ð=# *Ñ#%=# Ð=# *Ñ$

'  Ð=#")= *Ñ#  =# *

")Ð=# $Ñ

' œ Ð=# *Ñ$  Ð=#")= *Ñ#  =# *

$Þ 

Calcular la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: +Ñ 0 Ð>Ñ œ œ

=/8 > !

!>1 >1

Aquí conviene simplemente aplicar la definición: _Ö0 Ð>Ñ× œ '! 0 Ð>Ñ/=> .> œ '! =/8 > /=> .> _

1

" œ  =/# " Ð= =/8 >  -9= >Ñ¹ œ /=# " ! 1

=>

,Ñ 0 Ð>Ñ œ œ

-9= > =/8 >

=1

!>1 >1

También podríamos usar directamente la definición, pero es más cómodo escribir 0 en términos de la función escalón: 0 Ð>Ñ œ -9= >  h Ð>  1Ñ Ð=/8 >  -9= >Ñ œ -9= >  h Ð>  1Ñ Ð=/8Ð>  1Ñ  -9=Ð>  1ÑÑ Luego, _Ö0 Ð>Ñ× œ =#=" 

/=1 Ð"=Ñ =# "

-Ñ >  Ò>Ó ß > − Ò!ß _Ñ Podemos escribir esta función en términos de la función escalón: _ >  Ò>Ó œ ! h Ð>  8Ñ 8œ"

Aplicando transformada de Laplace: _Ö>  Ò>Ó × œ ! / = _

8œ"

8=

œ

/= =Ð"/= Ñ

110

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Otra forma es graficar la función y notar que se trata de una función periódica y usar la propiedad correspondiente. & =/8 $Ð>  1% Ñ >  1Î% .Ñ 0 Ð>Ñ œ œ ! >  1Î% Claramente, 0 Ð>Ñ œ & h Ð>  1% Ñ =/8 $Ð>  1% Ñ, por lo que À =1Î% _Ö0 Ð>Ñ× œ "&/ # = *

%Þ 

Si _Ö>0 Ð>Ñ× œ =Ð=#""Ñ , encontrar _Ö/> 0 Ð#>Ñ×Þ Suponiendo que 0 Ð! Ñ existe,

_Ö0 Ð>Ñ× œ '= ?Ð?#""Ñ .? œ 68 È ?# ¹ œ  68 È =# ? " = = " _

_

¿Ö0 Ð#>Ñ× œ "# J ˆ #= ‰ y

" ÈÐ="Ñ# % _Ö/> 0 Ð#>Ñ× œ "# J Ð =" Ñ œ # # 68 ="

&Þ 

+Ñ Calcular _Ö=/8# >× =/8# > œ "# Ð"  -9= #>Ñ Ê _Ö=/8# >× œ "# Ð "=  =#=% Ñ # # ,Ñ Usar +Ñ para demostrar que _Ö =/8> > × œ %" 68Ð = =% # Ñ # Como lim =/8> > œ !ß existe,

>Ä!

_ _ # # _Ö =/8> > × œ "# '= Ð ?"  ?#?% Ñ .? œ #" 68 È ?# ¹ œ "% 68Ð = =% # Ñ ? % = _ > # > -Ñ Usar ,Ñ para calcular '! / =/8 .> >

Evaluando en = œ "ß

# > '!_ />=/8 .> œ >

111

" % 68 &


'Þ 

Calcular usando propiedades _Ö/$> '! ? -9= %? .?× >

= _Ö-9= %>× œ =# "' # # . = =# "' _Ö>-9= %>× œ  .= Ð =# "' Ñ œ  =Ð="'#= # "'Ñ# œ Ð=# "'Ñ# Þ

Luego, _Ö/$> '! ? -9= %? .?× œ Ð=$ÑÐÐ=$Ñ# "'Ñ# Þ >

(Þ 

Ð=$Ñ# "'

Si _Ö0 w w Ð>Ñ× œ +<->+8Ð "= Ñß 0 Ð!Ñ œ # y 0 w Ð!Ñ œ  ", encon-trar _Ö0 Ð>Ñ×Þ Si suponemos que 0 y 0 w son continuas y 0 w w continua a trozos en Ò!ß _Ñ À _Ö0 w w Ð>Ñ× œ +<->+8Ð "= Ñ œ =# J Ð=Ñ  =0 Ð! Ñ  0 w Ð! Ñ +<->+8Ð "= Ñ œ =# J Ð=Ñ  #=  "

Igualando,

Luego, J Ð=Ñ œ _Ö0 Ð>Ñ× œ ="# Ð+<->+8Ð "= Ñ  #=  "Ñ )Þ 

Demostrar

que

_Öh Ð>  +Ñ0 Ð>  +Ñ× œ /+= J Ð=Ñ

y

usarlo

para

calcular

$=

/ _" Ö =# '="! ×.

_Öh Ð>  +Ñ0 Ð>  +Ñ× œ '! h Ð>  +Ñ0 Ð>  +Ñ/=> .> œ _

'+_0 Ð>  +Ñ/=>.>

Haciendo el cambio de variable ? œ >  + À

_Öh Ð>  +Ñ0 Ð>  +Ñ× œ '! 0 Ð?Ñ/=Ð?+Ñ .? œ /+= J Ð=ÑÞ _

" " " " Ahora, =# '="! œ Ð=$Ñ Ö =# '="! × œ /$> =/8 > # " Ê _ $=

/ Luego, _" Ö =# '="! × œ h Ð>  $Ñ/$Ð>$Ñ =/8Ð>  $ÑÞ

*Þ 

Calcular la Transformada Inversa de las siguientes funciones: +Ñ 68Š"  "= ‹

Escribimos primero el desarrollo en serie de potencias de 68Š"  "= ‹ y aplicamos la Transformada Inversa de Laplace:

112

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

_" š68Š"  "= ‹›

œ _" œ ! 8 =8  8œ" _

Ð"Ñ8"

œ!

Ð"Ñ8" " " _ Ö =8 × 8

œ!

Ð"Ñ8" >8" 8x

_

8œ" _

8œ"

_ Ð"Ñ8 >8 œ  "> ! 8x œ "> Ð"  /> Ñ 8œ"

,Ñ Ð=$  "Ñ"

Método 1. Fracciones parciales. " =$ "

E œ Ð="ÑÐ="# ="Ñ œ ="  =F=G # ="

EF œ! Ê  E  F  G œ ! Ÿ Ê E œ "$ ß F œ  "$ ß G œ #$ EG œ" "

$

= #  # " " " œ $" Ð ="  ==# Ñ # =" Ñ œ $ Ð ="  Ð= "# Ñ# 

%$"

=$ "

"

$

= # " # œ "$ Ð ="   Ñ Ð= "# Ñ#  $% Ð= "# Ñ#  $% È$ È$ " " _" Ö =$"" × œ $" Ð/>  / # > -9=Ð # >Ñ  È$ / # > =/8Ð # >ÑÑ

Luego,

Método 2. Convolución. " =$ "

" " œ =" † =# ="

" J Ð=Ñ œ =" Ê 0 Ð>Ñ œ />

È$

" KÐ=Ñ œ =# =" œ Ð= ""Ñ#  $ œ È# Ð= "#Ñ#  $ $ # % # %

È$ " Ê 1Ð>Ñ œ È# / # > =/8Ð # >Ñ $

113

ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos > È$ " œ '! È# / # ? =/8Ð # ?Ñ/Ð>?Ñ .?

_" Ö =$"" ×

$

> $ È$ œ È# /> '! / # ? =/8Ð # ?Ñ .?

$

œ È# / $

$? > / #

Ò

$

Ð $# =/8Ð

È$ È$ È$ # ?Ñ  # -9=Ð # ?ÑÑ

Ó¹

> !

$> È$ È$ È$ È$ # œ È# /> Ò /$ Ð $# =/8Ð # >Ñ  # -9=Ð # >ÑÑ  "$ # Ó $

È$ È$ #> œ /$ ÐÈ$ =/8Ð # >Ñ  -9=Ð # >ÑÑ  "$ /> "

"!Þ  Evaluar la integral

%> '0_ /#>/ .> >

" " 0 Ð>Ñ œ /#>  /%> Ê J Ð=Ñ œ =#  =% 0 Ð>Ñ

lim  > >Ä!

#> %> œ lim / / œ  #  % œ # , existe. >

>Ä!

" " =# ' ' ¿š 0 Ð>Ñ > › œ = J Ð?Ñ.? œ = Ð ?#  ?% Ñ.? œ !  68 =% _

_

_ #> %> Luego, '0 / / /=> .> œ 68 =% > =# , de donde, tomando = œ !: %> '0_ /#>/ .> œ >

68 #

""Þ  Demostrar que:

+Ñ '! N! ÐBÑ .B œ " _

_ÖN! Ð>Ñ× œ

'!_ N! Ð>Ñ /=> .> œ

" È=# "

ß =  ! (ver Tabla)

'!_ N! ÐBÑ .B œ lim '!_ N! Ð>Ñ /=> .> œ lim È "# =Ä!+

=Ä!

114

= "

œ"

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/ _ =/8 >? 1 > ,Ñ '0 ?"? # .? œ # /

Aplicamos Transformada de Laplace À _ =/8 >? _Ö'0 ?"? # .?×

_ _ =/8 >? œ '0 /=> '0 ?"? # .? .>

œ '0

_

œ '0

_

=/8 >? => '0_ ?"? .? .> # /

=/8 >? => '0_ ?"? .> .? # /

? œ '0 "? # _Ö=/8 ?>× .? _

? ? œ '0 Ð "? # † =# ?# Ñ .? _

" ' " = œ "= # 0 Ð "?#  =# ?# Ñ .? _

#

" ? œ "= # Ð+<->+8 ?  = +<->+8Ð = Ñ¹ 0

_

1 " 1 œ "= # # Ð"  =Ñ œ #Ð="Ñ

Aplicando Transformada Inversa, CÐ>Ñ œ 1# /> como queríamos probar. -Ñ _Ö=/8 ># × œ ! Ð#8"Ñx=%8" 8œ" _

Como =/8 > œ ! _

8œ"

Ð"Ñ8" Ð%8#Ñx

Ð"Ñ8" >#8" Ð#8"Ñx

ß =/8 ># œ ! _

8œ"

Ð"Ñ8" >%8# Ð#8"Ñx

Luego, _Ö=/8 ># × œ ! Ð#8"Ñx =%8" 8œ" _

Ð"Ñ8" Ð%8#Ñx

_ +B ,B .Ñ '! / =/8 .B œ +<->+8Ð +, Ñ ß +ß ,  ! B

Como lim  =/8B ,B œ ,, existe, entonces BÄ!

_Ö =/8> ,> ×

, ? œ '= ?# , # .? œ +<->+8 , ¹ =

_

_

115


œ 1#  +<->+8 =, œ +<->+8 =, ß =  !Þ

_ +B ,B Evaluando en = œ +, obtenemos '! / =/8 .B œ +<->+8Ð +, Ñ B _ _ "#Þ  Calcular la integral: '! '? Ð>  ?Ñ$ /Ð>?Ñ =/8 ? .> .?

Primero cambiamos los límites de la integral:

'!_ '?_ Ð>  ?Ñ$ /Ð>?Ñ =/8 ? .> .? _ > œ '! '! Ð>  ?Ñ$ /Ð>?Ñ =/8 ? .? .> Ahora, '! Ð>  ?Ñ$ /Ð>?Ñ =/8 ? .? œ >$ /> ‡=/8 > >

Aplicando Transformada de Laplace : ' " _Ö>$ /> ‡=/8 >× œ Ð="Ñ % † =# "

œ '! /=> '! Ð>  ?Ñ$ /Ð>?Ñ =/8 ? .? .> _

>

_ _ Evaluando en = œ ! À '! '? Ð>  ?Ñ$ /> =/8 ? .> .? œ '.

"$Þ  Resolver las siguientes ecuaciones integrales: +Ñ CÐBÑ œ B  /B Š'! /> CÐ>Ñ.>‹ B

Aplicamos Transformada de Laplace:

B B " _Ö/B Š'! /> CÐ>Ñ.>‹× œ _Ö'! /B> CÐ>Ñ.>× œ =" ] Ð=Ñ

" Entonces, Ð"  =" Ñ] Ð=Ñ œ ="# ß de donde ] Ð=Ñ œ =" =$ Þ

Luego, CÐBÑ œ B  "# B# > ,Ñ CÐ>Ñ œ >  "' '! Ð>  ?Ñ$ CÐ?Ñ.?

116

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Aplicando Transformada de Laplace, ] Ð=Ñ œ ="#  ="% ] Ð=Ñ Despejando: # =# " " " ] Ð=Ñ œ =%=" œ Ð=# "ÑÐ= # "Ñ œ # Ð Ð=# "Ñ  Ð=# "Ñ Ñ Luego, CÐ>Ñ œ "# Ð=/82 >  =/8 >Ñ

-Ñ /B œ CÐBÑ  #'! -9=ÐB  >ÑCÐ>Ñ.> B

" Aplicamos T. de L.: =" œ ] Ð=Ñ  # =#=" ] Ð=Ñ " =# " =# "#=#=## Despejando: ] Ð=Ñ œ =" † Ð="Ñ # œ Ð="Ñ$ " # # œ ="  Ð="Ñ #  Ð="Ñ$

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ />  #>/>  ># />

"%Þ  Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: +Ñ C w w  C œ /> ß CÐ!Ñ œ ! ß C w Ð!Ñ œ "Þ Aplicando Transformada de Laplace: " =# ] Ð=Ñ  =CÐ!Ñ  C w Ð!Ñ  ] Ð=Ñ œ =" , de donde

] Ð=Ñ

" œ =#"" † Ð ="  "Ñ = " # " œ Ð="Ñ# Ð="Ñ œ %" Ð ="  Ð="Ñ #  =" Ñ

Aplicando Inversa: CÐ>Ñ œ "% Ð/>  #>/>  /> Ñ ,Ñ C w w  %C œ œ

$ =/8 > !

! Ÿ > Ÿ #1 >  #1

ß CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ !

Aplicando Transformada de Laplace: =# ] Ð=Ñ  =CÐ!Ñ  C w Ð!Ñ  %] Ð=Ñ œ _Ö$ =/8 >  $ h Ð>  #1Ñ =/8Ð>  #1Ñ× ] Ð=Ñ

#1=

#1=

$ $/ œ =#"% Ð =#$"  $/ =# " Ñ œ Ð=# %ÑÐ=# "Ñ  Ð=# %ÑÐ=# "Ñ

117


Separando en fracciones parciales: $ Ð=# %ÑÐ=# "Ñ

œ =#""  =#"%

$ " Luego, _" Ö Ð=# %ÑÐ= # "Ñ × œ =/8 >  # =/8 #> de donde

CÐ>Ñ

œ =/8 >  "# =/8 #>

 h Ð>  #1ÑÐ=/8Ð>  #1Ñ  "# =/8 #Ð>  #1ÑÑ

œ

=/8 >  "# =/8 #> >  #1 ! >  #1

-Ñ Cw w  #C w  $C œ $0 Ð>Ñ , donde Ú!

0 Ð>Ñ œ Û >#  #>  " Ü %>  )

>Ÿ" "  > Ÿ $ ß CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ !Þ >$

Podemos escribir la función 0 en términos de la función escalón unitario: 0 Ð>Ñ œ Ð>  "Ñ# h Ð>  "Ñ  Ð>  $Ñ# h Ð>  $Ñ Aplicando Transformada de Laplace: =

$=

Ð=#  #=  $Ñ] œ $Ð /=$  /=$ Ñ, de donde: =

$=

$/ $/ ] Ð=Ñ œ =$ Ð="ÑÐ=$Ñ  =$ Ð="ÑÐ=$Ñ

Usamos fracciones parciales : $ =$ Ð="ÑÐ=$Ñ

H I œ E=  =F#  =G$  ="  =$

ÐE=#  F=  GÑÐ=  "ÑÐ=  $Ñ  =$ ÐHÐ=  $Ñ  IÐ=  "ÑÑ œ $ " = œ " Ê H œ $% à = œ  $ Ê I œ $' à = œ ! Ê G œ  "Þ

Calculamos el coeficiente de =% À E  H  I œ ! Ê E œ  (* Ahora, el coeficiente de = À  $F  #G œ ! Ê F œ  #$

118

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Luego, ( $ " ] Ð=Ñ œ /= Ð  *=  $=##  ="$  %Ð="Ñ  $'Ð=$Ñ Ñ ( $ "  /$= Ð  *=  $=##  ="$  %Ð="Ñ  $'Ð=$Ñ Ñ,

de donde À >" $Ð>"Ñ #Ð>"Ñ Ð>"Ñ# CÐ>Ñ œ h Ð>  "ÑÐ  (*  $  #  $/%  / $' Ñ

 h Ð>  $ÑÐ (*  "& 

#Ð>$Ñ $

Ð>$Ñ# #



>$ $Ð>$Ñ  $/%  / $' Ñ

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: +Ñ >C w w  #Ð>  "ÑC w  Ð>  #ÑC œ ! ß CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ ! Aplicando Transformada de Laplace y sus propiedades: . # . . .= Ð= ] Ð=ÑÑ  # .= Ð=] Ð=ÑÑ  #=] Ð=Ñ  .= ] Ð=Ñ  #] Ð=Ñ

œ!

Reuniendo términos semejantes: Ð=  "Ñ# ] w Ð=Ñ  %Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ ! Se obtiene la ecuación diferencial de variables separables: ] w Ð=Ñ ] Ð=Ñ

% œ  ="

G Luego, 68k] Ð=Ñk œ  % 68k=  "k  G , de donde ] Ð=Ñ œ Ð="Ñ %

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ G>$ /> Þ

,Ñ >C w w  #Ð>  "ÑC w  Ð>  #ÑC œ ! ß CÐ!Ñ œ " ß C w Ð!Ñ œ  " Aplicando Transformada de Laplace: . # .  .= Ð= ] Ð=Ñ  =  "Ñ  # .= Ð=] Ð=Ñ  "Ñ  #=] Ð=Ñ  #  ] w Ð=Ñ  #] Ð=Ñ œ !

119


#=] Ð=Ñ  =# ] w Ð=Ñ  "  #] Ð=Ñ  #=] w Ð=Ñ  #=] Ð=Ñ  #  ] w Ð=Ñ  #] Ð=Ñ œ ! Ordenando, tenemos Ð=  "Ñ# ] w Ð=Ñ  %Ð=  "Ñ] Ð=Ñ  $ œ ! % $ ] w Ð=Ñ  ="Ñ ] Ð=Ñ œ Ð="Ñ ¡ecuación lineal! # La solución de esta ecuación es

] Ð=Ñ œ /

% ' =" .=

ÐG  $' Ð=  "Ñ# .=Ñ

" $ œ Ð="Ñ % ÐG  Ð=  "Ñ Ñ

Aplicando Transformada Inversa: CÐ>Ñ œ G' >$ />  /> -Ñ >Bw w  Ð%>  #ÑBw  Ð"$>  %ÑB œ ! ß BÐ!Ñ œ !Þ Aplicando Transformada de Laplace À . # .  .= Ð= \  Bw Ð!ÑÑ  % .= Ð=\Ñ  #=\  "$\ w  %\ œ !

 =# \ w  #=\  %=\ w  %\  #=\  "$\ w  %\ œ ! Ð=#  %=  "$Ñ\ w  %Ð=  #Ñ\ œ ! \w \

%Ð=#Ñ

G G œ  Ð=# %="$Ñ Ê \Ð=Ñ œ Ð=# %="$Ñ # œ ÐÐ=#Ñ# *Ñ#

Luego, aplicando Transformada Inversa À #> BÐ>Ñ œ G/&% Ð=/8 $>  $>-9= $>Ñ

"'Þ  Resolver las siguientes ecuaciones no homogéneas À +Ñ >C w w  Ð#>  "ÑC w  Ð>  "ÑC œ $/> ß CÐ!Ñ œ ! ß C w Ð!Ñ œ !Þ Aplicando la Transformada de Laplace À

 #=] Ð=Ñ  =# ] w Ð=Ñ  #=] w Ð=Ñ  #] Ð=Ñ  =] Ð=Ñ  ] w Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ 120

$ ="

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

$ ] w Ð=ÑÐ=#  #=  "Ñ  ] Ð=ÑÐ=  "Ñ œ  =" ] Ð=Ñ

$ ] w Ð=Ñ  Ð="Ñ œ  Ð="Ñ $

Resolviendo:

" $ ] Ð=Ñ œ =" ÐG  =" Ñ Ê CÐ>Ñ œ G/>  $>/>

Utilizando las condiciones iniciales tenemos que: CÐ>Ñ œ 3/>  $>/> ,Ñ >Ð"  >ÑC w w  #C w  #C œ '> ß

CÐ!Ñ œ CÐ#Ñ œ !

. # .# ' # w  .= Ð= ] Ð=Ñ  C w Ð!ÑÑ  .= # Ð= ] Ð=Ñ  C Ð!ÑÑ  #=] Ð=Ñ  #] Ð=Ñ œ =#

#=] Ð=Ñ  =# ] w Ð=Ñ  #] Ð=Ñ  %=] w Ð=Ñ  =# ] w w Ð=Ñ  #=] Ð=Ñ  #] Ð=Ñ œ  ='# =# ] w w Ð=Ñ  Ð=#  %=Ñ] w Ð=Ñ œ  ='# ' Ð" = Ñ.= = ÐG  '' / =% .=Ñ œ /=% ÐG  '/= Ñ

] w w Ð=Ñ  Ð"  %= Ñ] w Ð=Ñ œ  ='% ] w Ð=Ñ œ /

' Ð" %= Ñ.=

%

Como _Ö>CÐ>Ñ× œ  ] w Ð=Ñ, entonces > CÐ>Ñ œ  _" Ö] w Ð=Ñ× œ  de donde CÐ>Ñ œ 

GÐ>"Ñ$ h Ð>  "Ñ  >$ '

GÐ>"Ñ$ h Ð>  "Ñ  ># '>

Ahora, CÐ#Ñ œ !, luego G œ %) y entonces: CÐ>Ñ œ ># 

)Ð>"Ñ$ h Ð>  "Ñ >

-Ñ BCw w  Ð#B  "ÑC w  ÐB  "ÑC œ $/B ß CÐ!Ñ œ ! ß C w Ð!Ñ œ !Þ Aplicando Transformada de Laplace a la ecuación tenemos: . # .  .= Ð= ] Ð=Ñ  =CÐ!Ñ  C w Ð!ÑÑ  # .= Ð=] Ð=Ñ  CÐ!ÑÑ  Ð=] Ð=Ñ  CÐ!ÑÑ

$  ] w Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ ="

$  =# ] w Ð=Ñ  #=] Ð=Ñ  #] Ð=Ñ  #=] w Ð=Ñ  =] Ð=Ñ  ] w Ð=Ñ  ] Ð=Ñ œ ="

121


$  Ð=#  #=  "Ñ] w Ð=Ñ  Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ =" $ Ð=  "Ñ# ] w Ð=Ñ  Ð=  "Ñ] Ð=Ñ œ  =" " $ ] Ð=Ñ  =" ] Ð=Ñ œ Ð="Ñ $

Esta última ecuación diferencial es lineal por lo que tiene solución inmediata: ] Ð=Ñ œ /

.= ' ="

/ =" Ð' $ Ð="Ñ$ .=  GÑ ' .=

" ' $ " $ œ =" Ð Ð="Ñ# .=  GÑ œ =" Ð ="  GÑ

$ G Así, ] Ð=Ñ œ Ð="Ñ #  ="

Aplicando Transformada Inversa À CÐBÑ œ $B/B  G/B Aplicando las condiciones iniciales, G œ !, por lo que la solución es À CÐBÑ œ $B/B Þ "(Þ  Resolver la siguiente ecuación diferencial-integral: Ú> >" > w ' B Ð>Ñ  #BÐ>Ñ  ! BÐ?Ñ.? œ Û #  > "  >  # Ü! >#

ß BÐ!Ñ œ "

Aplicando Transformada de Laplace: =\Ð=Ñ  "  #\Ð=Ñ  "= \Ð=Ñ œ _Ö>  #h Ð>  "ÑÐ>  "Ñ  h Ð>  #ÑÐ>  #Ñ× =# #=" \Ð=Ñ =

# = /#= œ "= #/ ß=! # =

Luego, # #/= /#= # " " #= \Ð=Ñ œ "= =Ð="Ñ œ "=  Ð="Ñ  #/= ÑÐ "=  ="  Ð="Ñ # #  Ð/ #Ñ

de donde BÐ>Ñ œ "  #>/>  #h Ð>  "ÑÐ"  /Ð>"Ñ  Ð>  "Ñ/Ð>"Ñ Ñ  h Ð>  #ÑÐ"  /Ð>#Ñ  Ð>  #Ñ/Ð>#Ñ Ñ

122

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

").-

La corriente M de un circuito VPG en serie está regida por la ecuación: M w w Ð>Ñ  %MÐ>Ñ œ 1Ð>Ñß MÐ!Ñ œ M w Ð!Ñ œ ! ß Ú"

con 1Ð>Ñ œ Û  " Ü!

!>1 1 Ÿ >  #1Þ Determinar la corriente en cualquier instante. >  #1

Tenemos 1Ð>Ñ œ "  #h Ð>  1Ñ  h Ð>  #1ÑÞ Así, la ecuación queda expresada como M w w Ð>Ñ  %MÐ>Ñ œ "  #h Ð>  1Ñ  h Ð>  #1Ñ Aplicando transformada de Laplace se tiene 1 = #1= =# ] Ð=Ñ  %] Ð=Ñ œ ="  # / =  / = 1 = /#1= ] Ð=Ñ œ =Ð=#"%Ñ  # =Ð=/ # %Ñ  =Ð= # %Ñ

Ahora, =Ð=#"%Ñ œ %" Ð "=  =# =% Ñ Aplicando la transformada inversa se tiene: MÐ>Ñ œ "% Ð"  -9=#>Ñ  "# Ð"  -9=#Ð>  1ÑÑh Ð>  1Ñ Ú Ý "% Ð"  -9=#>Ñ œ Û " Ð"  -9=#>Ñ Ý % Ü!

 "% Ð"  -9=#Ð>  #1ÑÑh Ð>  #1Ñ

!>1 1 Ÿ >  #1 >  #1

"*Þ  Usar Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas: w

w

+Ñ Bw  C w œ /> Bw  Cw œ >

BÐ!Ñ œ ! ß Bw Ð!Ñ œ " CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ  "

Aplicamos Transformada de Laplace y despejamos: " =# \  = # ] œ  #=  " =" " =\  =] œ # " =

123


Multiplicando por = la segunda ecuación y sumándosela a la primera obtenemos: " #=# \ œ ="  =  "  "= , de donde " " œ "# Ð =# Ð="Ñ  ="  "#  "$ Ñ œ #" Ð ="  ="$ Ñ. = =

\Ð=Ñ

Así, BÐ>Ñ œ "# Ð/>  "# ># Ñ. Despejando Cw en la segunda ecuación: Cw Ð>Ñ œ >  Bw Ð>Ñ œ >  "# Ð/>  > Ñ œ "# >  "# /> , luego CÐ>Ñ œ "% >#  "# />  G y como CÐ!Ñ œ  "ß G œ  "# Þ Por lo tanto, CÐ>Ñ œ "% Ð>#  #/>  #ÑÞ w

w

,Ñ Bw  C w œ /#> w #Bw  Cw œ  /#>

BÐ!Ñ œ Bw Ð!Ñ œ ! CÐ!Ñ œ C w Ð!Ñ œ !

Aplicando Transformada de Laplace: " =# " # #=\  = ] œ  =# =# \  = # ] œ

# Restando ambas ecuaciones: =Ð=  #Ñ\ œ =# , de donde : # " " " \Ð=Ñ œ =Ð=#Ñ # œ #=  #Ð=#Ñ  Ð=#Ñ#

Aplicando Transformada Inversa: BÐ>Ñ œ "# Ð"  /#>  #>/#> Ñ Derivando BÐ>Ñ y reemplazando en la segunda ecuación: Cw w Ð>Ñ œ  /#>  #Bw Ð>Ñ œ  /#>  %>/#> Integrando, Cw Ð>Ñ œ  "# /#>  #>/#>  /#>  G" y como Cw Ð!Ñ œ !ß entonces G" œ  "# 124

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Integrando nuevamente, CÐ>Ñ œ "% /#>  >/#>  "# /#>  "# >  G y como CÐ!Ñ œ !ß entonces G œ  $% Por lo tanto, CÐ>Ñ œ $% /#>  >/#>  "# >  $% .

-Ñ

w

Bw œ C  =/8> w Cw œ  Bw  -9=>

BÐ!Ñ œ "ß Bw Ð!Ñ œ ! CÐ!Ñ œ  "ß C w Ð!Ñ œ  "

Como es un sistema de segundo orden con condiciones iniciales podemos aplicar Transformadas de Laplace. " =# \  =  ] œ # = " = # = ]  =  =\ œ # = " Multiplicando la primera ecuación por =# y sumándola con la segunda obtenemos À #

Ð=%  =Ñ\ œ =#="  =$  =  =#=" Despejando À \Ð=Ñ œ =#=" Aplicando la Transformada Inversa À

BÐ>Ñ œ -9=>Þ

Reemplazando la segunda derivada de BÐ>Ñ en la primera ecuación del sistema original tenemos À CÐ>Ñ œ  -9=>  =/8> .Ñ Bw  %B  #C œ #h" Ð>Ñ Cw  $B  C œ h" Ð>Ñ

BÐ!Ñ œ ! " CÐ!Ñ œ #

Aplicando Transformadas de Laplace À #/= = = / "  $\  Ð=  "Ñ] œ  = # Ð=  %Ñ\  #] œ

125


Eliminando \ À

= Ð=%Ñ/= Ð=#  $=  "!Ñ] œ '/=   =% = #

y despejando: =% /= ] Ð=Ñ œ #Ð=&ÑÐ=#Ñ  =Ð=&Ñ " " ' " œ "% Ð =&  =# Ñ  "& Ð =&  "= Ñ/=

Aplicando Transformada Inversa À " &> CÐ>Ñ œ "% Ð/  '/#> Ñ  "& h Ð>  "ÑÐ/&>&  "Ñ

Reemplazando ] Ð=Ñ en la segunda ecuación, se tiene Ð='Ñ/=

" \Ð=Ñ œ Ð=&ÑÐ=#Ñ  $=Ð=&Ñ " Ê \Ð=Ñ œ "( Ð =& 

" " ' =# Ñ  "& Ð =

"  =& Ñ/=

Aplicando Transformada Inversa " BÐ>Ñ œ "( Ð/&>  /#> Ñ  "& h Ð>  "ÑÐ"  /&>& Ñ

/Ñ Bw œ C  D w  #> BÐ!Ñ œ ! w #B œ Cw  D w CÐ!Ñ œ "ß C w Ð!Ñ œ ! w #C œ D w DÐ!Ñ œ D w Ð!Ñ œ ! Aplicando Transformada de Laplace À # =# #\  =# ]  =^ œ  = #]  =# ^ œ ! =\ 

]  =^ œ

Eliminando \ tenemos À Ð=$  #Ñ]  =Ð=  #Ñ^ œ #]  =# ^ œ !

%  =# =#

126

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

Eliminando ^ À % Ð=%  %Ñ] œ %= =

Ê ] Ð=Ñ œ "=

Reemplazando en la tercera ecuación para obtenemos

^Ð=Ñ œ =#$

Ahora, reemplazando en la segunda ecuación: \Ð=Ñ œ ="# Aplicando la Transformada inversa À BÐ>Ñ œ >à CÐ>Ñ œ "à DÐ>Ñ œ >#

#!Þ  Resolver los siguientes sistemas no homogéneos: +Ñ

>B  C  >C w œ Ð>  "Ñ/> Bw  C œ />

BÐ!Ñ œ "ß CÐ!Ñ œ  "

Aplicando Tranformada de Laplace À " "  Ð=  "Ñ# =" " =\  ] œ " ="

 \ w  =] w œ

Despejando y derivando ] de la segunda ecuación À " ] w œ \  =\ w  ="

Reemplazando en la primera ecuación À " " "  \ w  =(\  =\ w  =" ) œ Ð="Ñ #  ="

Obtenemos la ecuación de variables separables À " (s# +1)\ w  =\ =" œ!

Entonces À \Ð=Ñ œ È G# = "

Ê

BÐ>Ñ œ GN! Ð>Ñ

Como N! Ð!Ñ œ " Ê G œ "

127


Así BÐ>Ñ œ N! Ð>ÑÞ =È=# " " " œ È =#  "  =" œ È#  =" = " = "

Reemplazando À ] Ð=Ñ CÐ>Ñ œ  N" Ð>Ñ  /> w

w

,Ñ  $Bw  $C w œ >/>  $-9=> w >Bw  Cw œ =/8>

BÐ!Ñ œ  "ß Bw Ð!Ñ œ # CÐ!Ñ œ %ß C w Ð!Ñ œ !

Aplicando Transformadas de Laplace " $=  Ð=  "Ñ# =#  " . "  Ð=# \  =  #Ñ  =]  % œ # .= = "  $Ð=# \  =  #Ñ  $Ð=# ]  %=Ñ œ

Ordenando $=# \  $=# ] œ '  "&=  #=\  =# \ w  =] œ $ 

=#

$= "  =#  " Ð=  "Ñ#

" "

Multiplicando por $= la segunda ecuación y sumándola con la primera se obtiene la ecuación lineal " \ w  $= \ œ =#$  =##  $=$ Ð="Ñ # " \Ð=Ñ œ ="$ ÐG  ' Ð#  #=  $Ð="Ñ # Ñ.=

" " œ ="$ ÐG  #=  =#  $Ð="Ñ Ñ œ =G$  =##  "=  $=$ Ð="Ñ

Desarrollando en fracciones parciales " =$ Ð="Ñ

H œ E=  =F#  =G$  ="

" œ E=# Ð=  "Ñ  F=Ð=  "Ñ  GÐ=  "Ñ  H=$ =œ!ÊG œ" =œ "ÊH œ " 128

X <+8=0 9<7+.+ ./ P+:6+-/

=Ð=  "ÑÐE=  FÑ œ =Ð=  "ÑÐ=  "Ñ Ê E œ "ß F œ  "

\Ð=Ñ œ

G =$

" "  =##  "=  $=  $="#  $="$  $Ð="Ñ

# & " \Ð=Ñ œ $G" $=$  $=  $=#  $Ð="Ñ

Aplicando transformada inversa # & " > # BÐ>Ñ œ $G" 6 >  $  $>  $/

Reemplazando el valor de \Ð=Ñ en la primera ecuación À " \  ] œ =##  =&  =Ð=#""Ñ  $=# Ð="Ñ # ) " = " ] Ð=Ñ œ $G" $=$  $=  $Ð="Ñ  =# "  Ð="Ñ#

Aplicando Transformada Inversa À /> ) " > # CÐ>Ñ œ $G" ' >  $  -9=>  $  $ >/

129

Prueba de alternativas

"Þ 

A continuación se da una lista de tipos de ecuaciones de primer orden. Escriba junto a cada ecuación, la o las letras que corresponden: a) variables separables b) exacta c) lineal en C

d) Bernoulli e) Ricatti f) Clairaut

g) algebraica en Cw h) homogénea i) Factor integrante

I.Ñ Ð"  BCÑC w œ C # II.Ñ BC w  C œ B# -9= B IIIÞÑ B# C w œ B#  BC  C # IV.Ñ-9=ÐB  CÑ .B œ B =/8ÐB  CÑ .B  B =/8ÐB  CÑ .C V.Ñ C  BC w œ >+8 C w VI.Ñ C 68 C .B  B .C œ ! VII.ÑB# C w  C # œ #BC VIII.ÑÐC w Ñ$  C # C w œ !

#Þ

Una solución de la ecuación BC w  C œ C w È"  B# C # es: a) B# œ #C # 68 C b) B  C œ +<->+8ÐCÑ c) C œ +<-=/8ÐBCÑ d) C œ - /CÎB

$Þ 

Un factor integrante de la ecuación Ð  BC =/8 B  #C -9= BÑ.B  #B -9= B .C œ ! es: a) ?ÐBß CÑ œ ÐB  CÑ" b) ?ÐBß CÑ œ BC c) ?ÐBß CÑ œ "ÎÐBCÑ d) ?ÐBß CÑ œ B  C

%Þ 

La solución del P.V.I. B# C w  #BC œ $C % ß CÐ"Ñ œ "Î# es: a) C$ œ %(B(B( * &B' b) C$ œ %**B &

130

T /<8+>3@+=

'

&B c) C$ œ %* *B& (B $ d) C œ %(B( *

&Þ 

Las ecuaciones paramétricas B œ  "ÎÈ"  :#  C œ  :ÎÈ"  :#  +<-=/8 : representan una solución de la ecuación: a) BCw œ C  È"  C w # b) Cw œ BC  +<-=/8 C c) C œ BC w  +<-=/8 C w d) C œ BC w  È"  C w #

'Þ

Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal, encontrados en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres en las paredes y los techos de una caverna en Lascaux, Francia. Si el C-14 radiactivo tiene una semivida de unos 5.600 años, y se encontró que había desaparecido el 85,5% del carbono 14 de un trozo de madera, su edad aproximada es: 68 )&ß&

¸ $'Þ!!! años

68 !ß)&& 68#

¸ 1.270 años

a) &Þ'!! 68# b) &Þ'!!

68 "%ß&

c) &Þ'!! 68# d) &Þ'!!

(Þ 

¸ #"Þ'!! años

68 !ß"%& 68#

¸ "&Þ'!! años

La ecuación diferencial de la familia uniparamétrica C œ B =/8ÐB  GÑ es: a) Cw œ =/8ÐB  GÑ  B -9=ÐB  GÑ b) ÐBCw  CÑ# œ B# ÐB#  C # Ñ c) BCw œ C  B# Ð"  C # Ñ d) ÐC  BC w Ñ# œ "  C w #

)Þ 

La familia de trayectorias ortogonales a la familia < œ #G -9= ) es: a) La familia de todos los círculos tangentes al eje \ en el origenÞ b) La familia de todos los círculos tangentes al eje ] en el origenÞ

131


c) La familia de todas las rectas tangentes al círculo unitario. d) La familia <# œ G # =/8 #)Þ

*Þ 

La solución general de la ecuación C Ð@333Ñ  #CÐ3@Ñ  C œ ! es: a) CÐBÑ œ ÐG"  G# B  G$ B#  G% B$  G& B%  G' B&  G( B'  G) B( Ñ/B b) CÐBÑ œ ÐG"  G# B  G$ B#  G% B$ Ñ =/8 B  ÐG&  G' B  G( B#  G) B$ Ñ -9= B B # c) CÐBÑ œ / ÐÐG"  G# BÑ =/8 B  ÐG$  G% BÑ# -9= BÑ d) CÐBÑ œ ÐG"  G# BÑ/B  ÐG$  G% BÑ/B  ÐG&  G' BÑ =/8 B  ÐG(  G) BÑ -9= B "

"!Þ Si C" ÐBÑ œ B # =/8 B es solución de la ecuación B# C w w  BC w  ÐB#  "% ÑC œ !, entonces otra solución de la ecuación es: " a) C# ÐBÑ œ  B # -9= B " B# b) C# ÐBÑ œ B # =/8 B ' =/8 # B .B " c) CÐBÑ œ B # =/8 B " " d) CÐBÑ œ B # =/8 B ' B# =/8 # B .B ""Þ  La solución particular de la ecuación C w w  %C w  %C œ BÐ#/#B  =/8 BÑ es de la forma: a) CÐBÑ œ B# ÐE  FBÑ/#B  G=/8 B  H -9= B b) CÐBÑ œ ÐE  FBÑ/#B  ÐG  HBÑ =/8 B  ÐI  J BÑ -9= B c) CÐBÑ œ B# ÐE  FBÑ/#B  ÐG  HBÑ =/8 B  ÐI  J BÑ -9= B d) CÐBÑ œ B# ÐE  FBÑ/#B  GB=/8 B  HB -9= B "#Þ  La ecuación #BC w w  ÐB  $ÑC w  C œ ! admite una solución de la forma: a) CÐBÑ œ ! -8 B8 # _

"

b) CÐBÑ œ ! -8 B8 # 8œ! _

"

8œ!

132

T /<8+>3@+=

c) CÐBÑ œ ! -8 B8" _

d) CÐBÑ œ ! -8 B8 $ 8œ! _

"

8œ!

"$Þ  Si la ecuación

Ð"  B# ÑC w w  #BC w  #C œ ! , tiene una solución de la forma

CÐBÑ œ ! -8 B8 , entonces À _

8œ!

-! a) -#8 œ #8" ß -#8" œ !ß 8 " -" b) -#8" œ #8" ß -#8 œ ! ß 8 " -! c) -#8 œ Ð#8"Ñx ß -#8" œ !ß 8 " -" d) -#8" œ Ð#8"Ñx ß -#8 œ ! ß 8 "

"%Þ  Sabiendo que la matriz E œ Œ

' " tiene un valor propio -" œ &  #3, la & % solución general del sistema \ w œ E\ es: " # +Ñ\Ð>Ñ œ /&> –G" ŒŒ -9= #>  Œ =/8 #> & !

# "  G# ŒŒ -9= #>  Œ =/8 #>— ! &

" # ,Ñ \Ð>Ñ œ /#> –G" ŒŒ -9= &>  Œ =/8 &> & !

# "  G# ŒŒ -9= &>  Œ =/8 &>— ! &

" # -Ñ \Ð>Ñ œ /#> –G" ŒŒ -9= &>  Œ =/8 &> & !

# "  G# ŒŒ -9= &>  Œ =/8 &>— ! &

" # .Ñ \Ð>Ñ œ /&> –G" ŒŒ -9= #>  Œ =/8 #> & !

# "  G# ŒŒ -9= #>  Œ =/8 #>— ! &

133


"&Þ  La solución general del sistema \ w œ

Î

$ ' Ï %

" " "

 "Ñ # \ es de la forma: ! Ò

+Ñ \Ð>Ñ œ G" @" />  G# @# />  G$ @$ /#> ,Ñ \Ð>Ñ œ G" @" />  G# @# /#>  G$ @$ /%> -Ñ \Ð>Ñ œ G" @" />  G# @# />  G$ @$ /%> .Ñ \Ð>Ñ œ G" @"  G# @# /#>  G$ @$ /$>

"'Þ  Usando el método de eliminación para resolver el sistema

w

Bw œ C  $B , se w Cw œ #B  #C

obtiene como solución general: +Ñ BÐ>Ñ œ G" -9=>  G# =/8>  G$ -9= #>  G% =/8 #> CÐ>Ñ œ G& -9= >  G' =/8 >  G( -9= #>  G) =/8 #> ,Ñ BÐ>Ñ œ G" -9= >  G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> CÐ>Ñ œ #G" -9= >  #G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> -Ñ BÐ>Ñ œ G" -9= >  G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> CÐ>Ñ œ  #G" -9= >  #G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> .Ñ BÐ>Ñ œ G" -9= >  G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> CÐ>Ñ œ G" -9= >  G# =/8 >  G$ -9= #>  G% =/8 #> Ú $ Ý Ý >$  &# > > % "(Þ  Sea 0 Ð>Ñ œ Û Ý Ý! Ü (>$  >#

!Ÿ>$ $Ÿ>& . Entonces: &Ÿ>' > '

+Ñ 0 Ð>Ñ œ >$  &  Ð#>$  >#  *Ñh$ Ð>Ñ  Ð>$  >#  %Ñh& Ð>Ñ  Ð(>$  >#Ñh'Ð>Ñ ,Ñ 0 Ð>Ñ œ >$  &  Ð>#  "Ñh$ Ð>Ñ  Ð"  ># Ñh& Ð>Ñ  Ð(>$  "Ñh'Ð>Ñ -Ñ 0 Ð>Ñ œ >$  &  Ð>#  "Ñh$ Ð>Ñ  Ð"  ># Ñh& Ð>Ñ  Ð(>$  "Ñh'Ð>Ñ .Ñ 0 Ð>Ñ œ >$  &  Ð>#  "Ñh$ Ð>Ñ  Ð>$  >#  %Ñh& Ð>Ñ  Ð(>$  >#Ñh'Ð>Ñ

134

T /<8+>3@+=

")Þ  Aplicando Transformada de Laplace a la ecuación >Bw w  Ð>  #ÑBw  B œ !ß BÐ!Ñ œ ! , se obtiene:

+Ñ \Ð=Ñ œ

Ð="Ñ# =#

,Ñ \Ð=Ñ œ  %68Ð=  "Ñ  G G -Ñ \Ð=Ñ œ Ð="Ñ % .Ñ \Ð=Ñ œ Ð=  "Ñ% "*Þ  Si \Ð=Ñ œ Ð=#Ñ#"Ð=# %Ñ , entonces: " #> +Ñ BÐ>Ñ œ "' Ð/  #>/#>  -9= #>Ñ " #> ,Ñ BÐ>Ñ œ "' Ð/  #>/#>  -9= #>Ñ

" #> -Ñ BÐ>Ñ œ "' Ð/  #>/#>  -9= #>Ñ " #> .Ñ BÐ>Ñ œ "' Ð/  #>/#>  -9= #>Ñ

#1= " #/%1= #!Þ  Sea \Ð=Ñ œ ="  %/  # = % =# % . Entonces:

Ú />

+Ñ BÐ>Ñ œ Û #=/8 #> Ü =/8#> Ú />

! Ÿ >  #1 #1 Ÿ >  % 1 > %1

! Ÿ >  #1 ,Ñ BÐ>Ñ œ Û /  #=/8 #> #1 Ÿ >  %1 Ü =/8#> > %1 >

Ú />

-Ñ BÐ>Ñ œ Û /  #=/8 #> Ü />  =/8#> >

Ú />

! Ÿ >  #1 #1 Ÿ >  % 1 > %1

! Ÿ >  #1 .Ñ BÐ>Ñ œ Û />  #=/8 #> #1 Ÿ >  %1 Ü />  =/8#> > %1

135


#"Þ  Sabiendo que la solución general del sistema homogéneo asociado al sistema: Bw œ %B  C  ")>/#> Cw œ &B  #C  $!>/#> " " es \Ð>Ñ œ G" Œ /$>  G# Œ /> , entonces una solución particular es: " & #> %#>  %' +Ñ \: Ð>Ñ œ  /$ Œ $!>  &!  '> $>  " >" ,Ñ \: Ð>Ñ œ /$ Œ  "&/#> Œ  $>  " &>  &  #> $!>  &! -Ñ \: Ð>Ñ œ  /$ Œ %#>  %'  '> >" $>  " .Ñ \: Ð>Ñ œ /$ Œ  "&/#> Œ  &>  & $>  " 

##Þ  Sabiendo que la solución general del sistema \ w œ E\  Z es À \Ð>Ñ œ G" Œ

" #> # #>  & /  G# Œ /&>  /#> Œ , " >#  -$ 

entonces la solución del P.V.I. \ w œ E\  Z ß \Ð!Ñ œ Œ +Ñ \Ð>Ñ œ Œ

Ð#>  $Ñ/#>  %/&>  Ð>  )Ñ/#>  #/&>

,Ñ \Ð>Ñ œ Œ

Ð#>  $Ñ/#>  %/&>  Ð>  )Ñ/#>  #/&>

-Ñ \Ð>Ñ œ Œ

Ð>  )Ñ/#>  #/&>  Ð#>  $Ñ/#>  %/&>

.Ñ \Ð>Ñ œ Œ

Ð>  )Ñ/#>  #/&>  Ð#>  $Ñ/#>  %/&>

136

( es: "! 

T /<8+>3@+=

Î" ! !Ñ ! $ " es Ð-  "ÑÐ-  #Ñ# Ï ! -" " Ò y los vectores propios asociados a - œ " y - œ # son respectivamente Ð"ß !ß !Ñ y Ð!ß "ß -"Ñ, la solución general del sistema es:

#$Þ  Si el polinomio característico de la matriz E œ

Î"Ñ Î !Ñ Î !Ñ Î!Ñ ! />  G# " /#>  G$ – " /#>  ! >/#> — Ï!Ò Ï -" Ò Ï -" Ò Ï"Ò Î"Ñ Î !Ñ Î!Ñ Î !Ñ ,Ñ \Ð>Ñ œ G" ! />  G# " /#>  G$ ! /#>  G% " >/#> Ï!Ò Ï -" Ò Ï"Ò Ï -" Ò Î"Ñ Î !Ñ Î !Ñ Î!Ñ > #> #> ! " " -Ñ \Ð>Ñ œ G" /  G# /  G$ /  G% ! >/#> Ï!Ò Ï -" Ò Ï -" Ò Ï"Ò Î"Ñ Î !Ñ Î!Ñ Î !Ñ > #> #> " >/#> — .Ñ \Ð>Ñ œ G" ! /  G# " /  G$ – ! /  Ï!Ò Ï -" Ò Ï"Ò Ï -" Ò +Ñ \Ð>Ñ œ G"

Respuestas: 1Þ  I i) II c) III e) h) IV b) V f) VI a) VII d) h) VIII g) 2c  3c  4b  5c  6d  7b  8a  9d  10a  11c  12b 13a  14a  15c  16b  17d  18c  19a  20d  21a 22b  23d

137


Bibliografía

Ò"Ó

Derrick - Grossmann: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Fondo Educativo Interamericano, 1984.

Ò2Ó

Simmons,George: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y notas históricas, McGraw - Hill, 1993.

Ò3Ó

Zill, Denis: Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Thomsom Learning, 5º Edición 2001.

Ò4Ó

Spiegel, Murray: Transformadas de Laplace, McGraw - Hill, 2000.

138

libro de ejercicios resueltos.ecuaciones diferenciales.pdf

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