Indice 1
Introducci´ on
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2
Estructuras continuas y estructuras de barras
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2.1 Equilibrio y compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 M´ etodo de an´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Unicidad de la soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 5 5
Modelado de problemas
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3.1 Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
M´ etodos matriciales en an´ alisis de estructuras
6
3
4
4.1 Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 M´ etodo de Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Caracter´ısticas de la matriz de rigidez . . . . . . . . 4.2.2 Deducci´ on de la matriz de rigidez de un resorte 1D . 4.2.3 Matriz de rigidez de una barra 1D . . . . . . . . . . 5
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Referencias
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Introducci´ on
Los m´etodos de c´alculo matricial de estructuras son un conjunto de m´ etodos que tienen en com´un organizar toda la informaci´on en forma de matrices. En estos m´ etodos, todas las relaciones entre las distintas partes de una estructura dan lugar a sistemas de ecuaciones con un alto n´umero de variables, pero donde no se han realizado suposiciones o simplificaciones en las que se pierda informaci´on relevante. Esta generalidad permite que su planteamiento y resoluci´on pueda ser ejecutada de manera autom´atica por medio de programas de computadora, lo que ha hecho que en la actualidad sean la pr´actica habitual en la ingenier´ıa. En la presente gu´ıa se desarrolla el m´etodo de la rigidez del an´alisis matricial, aplicado a estructuras formadas por barras y su analog´ıa con sistemas de resortes 1D. Este mismo esquema puede ser extendido a otras formas de discretizar una estructura o un medio continuo. De hecho, el m´ etodo de los Elementos Finitos es la extensi´on del m´etodo de an´alisis matricial donde se trata con elementos que no son s´olo barras, sino vol´ umenes de distintas formas geom´etricas que modelan un mayor n´umero de problemas mec´anicos o f´ısicos. En todo el desarrollo del m´etodo aceptaremos las hip´otesis generales de la teor´ıa de estructuras, esto es, comportamiento el´astico lineal del material y formulaci´on para peque˜nos desplazamientos.
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Estructuras continuas y estructuras de barras
Las estructuras seg´ un su geometr´ıa y su forma de trabajar pueden ser de diferentes tipolog´ıas. La estructura es continua cuando no pueden diferenciarse los distintos “elementos” que la componen, y es una estructura de barras cuando est´a formada por piezas prism´aticas unidas entre s´ı. Las estructuras continuas pueden ser estructuras s´olidas o masivas (presas), o bien, estructuras superficiales, (placas, membranas, l´aminas) en las que puede identificarse un “espesor”. El an´alisis de las estructuras continuas, en general, se basa, en la aplicaci´on de m´ etodos num´ ericos aproximados a las ecuaciones diferenciales o integrales de la Mec´anica de S´olidos. Las estructuras de barras, por el contrario, pueden resolverse aplicando los principios de la Resistencia de Materiales. Seg´ un ´estos, el an´alisis de una estructura de barras se reduce al problema de determinar las leyes de esfuerzos que act´uan sobre las diferentes piezas que forman la estructura. Se llama estructura articulada a 2
(a)
(b)
Fig. 2.1: Estructuras continuas: (a) Presa y (b) Losa de concreto.
(b)
(a)
Fig. 2.2: Estructuras de barras: (a) Techo de galp´on y (b) Estructura de edificio. la estructura formada por barras unidas entre s´ı mediante nudos articulados. Los nudos articulados son enlaces que impiden los desplazamientos relativos entre las barras que concurren a ´el. Dichos enlaces no permiten transmitir momentos flectores de unas piezas a otras, las barras trabajan fundamentalmente axialmente. En el caso de existir alguna carga transversal aplicada directamente sobre ellas, la flexi´on ser´ıa local. El an´ alisis de una estructura articulada se reduce a determinar los esfuerzos axiles de las barras. Se llama estructura reticulada a la estructura formada por piezas prism´aticas unidas entre s´ı por nudos r´ıgidos. Los nudos r´ıgidos impiden los desplazamientos y los giros relativos de las barras que concurren a ´el. Dado que este enlace s´ı transmite momentos de una pieza a la otra, las barras trabajan fundamentalmente a flexi´on (vigas), y en algunos casos, tambi´en a torsi´on. Las estructuras con barras pueden ser planas cuando las directrices de las piezas que la componen est´an contenidas en el mismo plano, o espaciales en caso contrario (ver Figura 1.4c). Dentro de las estructuras reticuladas planas existen dos casos particulares:
• Las estructuras de plano medio: el plano que contiene las directrices de las piezas, es a su vez plano de simetr´ıa de ´estas y est´an sometidas a cargas contenidas en dicho plano medio (ver Figura 1.4a). Se llaman tambi´en p´orticos cuando est´an formadas por soportes o dinteles y marcos cuando las piezas forman una c´elula cerrada.
3
(b) (a)
Fig. 2.3: Estructuras de barras: (a) Esructura de plano medio y (b) Emparrillado plano.
• Emparrillados planos : son los formados por piezas en las que las secciones rectas son sim´etricas respecto a planos perpendiculares al que contiene las directrices de las piezas (ver Figura 1.4b).
2.1
Equilibrio y compatibilidad
Las fuerzas, incluyendo dentro de este concepto las acciones y las reacciones que act´uan sobre una estructura, deben estar en equilibrio est´atico, es decir, deben formar un sistema de fuerzas de resultante nula y de momento resultante nulo. Las ecuaciones que expresan estas dos condiciones se conocen con el nombre de ecuaciones de equilibrio est´ atico: n
F i
=0
i=1 n
(1)
M i
=0
i=1
Donde:
• F i representa a cada una de las fuerzas que act´uan sobre la estructura. • M i representa el momento de cada una de las fuerzas respecto de un punto arbitrario O. Debe destacarse que las condiciones de equilibrio est´atico y las correspondientes ecuaciones matem´aticas que lo expresan, deben cumplirse no s´olo en la estructura en su conjunto, sino que tambi´en deben satisfacerse para cada parte integrante de ella, siempre que se considere de forma expl´ıcita las fuerzas y momentos que el resto de la estructura ejerce sobre la parte considerada. Para que haya realmente equilibrio en una estructura y no existan mecanismos parciales, es condici´on necesaria y suficiente que est´en en equilibrio todas y cada una de sus partes integrantes. As´ı, en una estructura de barras, cada una de las piezas prism´aticas que la forman debe estar en equilibrio, siempre que se consideren las fuerzas y momentos de extremo de barra que la estructura ejerce sobre las piezas.
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2.2
M´ etodo de an´ alisis
Todos los m´etodos de an´alisis de estructuras articuladas y reticuladas hacen uso de tres condiciones b´asicas que deben satisfacer tanto las fuerzas como los movimientos determinados en los extremos de las barras y en los nudos:
• Las fuerzas que act´uan en el extremo de una barra y los movimientos de la misma, deben satisfacer las ecuaciones deducidas del diagrama σ - del material que la forma. • Los movimientos de los extremos de las barras deben ser compatibles con los de los nudos a los que est´an unidas dichas barras: condiciones de compatibilidad. • Las fuerzas que act´uan en los extremos de cada barra deben mantener el equilibrio: condiciones de equilibrio. El c´ alculo de esfuerzos en estructuras isost´aticas es relativamente directo y las condiciones de equilibrio son suficientes para determinar todos los esfuerzos que act´uan en las distintas barras de la estructura. A partir de la geometr´ıa de la estructura y de la definici´on de las acciones se calculan las reacciones, estableciendo las condiciones de equilibrio de la estructura. Partiendo de las condiciones de equilibrio de las piezas se calculan los esfuerzos en cada una de ellas. Se contin´ua calculando la deformaci´on de las piezas, a partir de las condiciones de compatibilidad de las barras y finalmente partiendo de las condiciones de compatibilidad de apoyos y enlaces se calculan los movimientos en la estructura. El c´ alculo de una estructura hiperest´atica precisa considerar conjuntamente las condiciones de equilibrio y compatibilidad, dado su grado de indeterminaci´on est´atica y cinem´atica, por lo que el c´alculo deriva en un proceso m´as o menos complejo. En sentido amplio, los m´etodos de resoluci´on de estructuras pueden englobarse en dos grandes grupos en funci´on del orden de aplicaci´on de las condiciones de equilibrio y de compatibilidad.
2.3
Unicidad de la soluci´ on
No son posibles soluciones alternativas a los problemas de an´alisis estructural. Para un conjunto de cargas externas, tanto la deformaci´on como los esfuerzos en todas las barras y las reacciones en los apoyos de la estructura, son u ´ nicos. Esto se puede demostrar f´acilmente por deducci´on al absurdo puesto que si un mismo estado de cargas origina dos soluciones diferentes, el estado obtenido por diferencia de ambas situaciones presenta una deformaci´on y unos esfuerzos residuales sin que act´ue carga alguna.
3
Modelado de problemas
Aunque el c´alculo matricial est´a pensado para que las ecuaciones sean resueltas en una computadora, existe un paso fundamental que es responsabilidad del ingeniero analista y que no podr´ıa ser realizada de forma autom´ atica por ninguna herramienta de c´alculo. Se trata del modelado matem´atico del problema y de su correcta discretizaci´o n. El c´ alculo puede estar bien realizado, pero de nada sirve si el problema no responde a la realidad que se pretende representar. En an´alisis matricial, el proceso de modelado y discretizaci´on, aunque siempre est´a presente en los otros m´ etodos de c´alculo de estructuras, en este caso es mucho m´as expl´ıcito y repercute de manera muy directa en los resultados que podemos extraer.
3.1
Grados de libertad
El concepto de discretizaci´ on debe ser establecido de manera precisa. Consiste en la representaci´o n del comportamiento de un medio continuo (la estructura) por medio de un conjunto finito de variables, en nuestro caso fuerzas aplicadas sobre el s´ olido y desplazamientos que estas cargas originan. Este n´ umero finito de 5
variables son los desplazamientos en cada uno de los grados de libertad (GDL) de un sistema. Los grados de libertad corresponden a las posibles formas de moverse que tiene una estructura, con ellos se pueden describir los desplazamientos de una estructura. Estos se miden en los puntos de uni´on de elementos (nodos) o en las zonas donde existen condiciones de borde cinem´aticas. Para el caso de un elemento barra 1D, que se permite el desplazamiento en direcci´on axial, se asume la hip´otesis de un (01) grado de libertad por nodo (ver Fig. 3.1).
Fig. 3.1: Ejemplo de una barra con 1 GDL por nodo. Solo se permiten desplazamientos axiales. En las situaciones en las que se tenga un elemento 1D que soporte la acci´on de momento flector en el plano y por ende de fuerzas transversales, se asociar´ıan dos grados de libertad por nodo, uno correspondiente al desplazamiento transversal y otro correspondiente a la rotaci´on generada por el momento flector. Dichos grados de libertad se muestran en la Fig. 3.2
Fig. 3.2: Ejemplo elemento 1D que soporta flexi´on con 2 GDL por nodo. Determinar dichos grados de libertad y establecer todas sus relaciones son el punto de partida a partir del cual se resolver´a el problema. El an´ alisis matricial en estructuras s´olo aportar´ a informaci´on en los GDL, cualquier informaci´ on adicional exigir´a un paso adicional de interpretaci´on de los resultados. Para cada GDL existir´ a una variable en fuerza y otra en desplazamiento de ellas, una estar´a determinada por las condiciones de contorno (de carga o de desplazamiento impuesto) y la otra ser´a la inc´ognita a despejar. En caso de ser inc´ognita de fuerza se hablan de reacciones internas. Tanto los esfuerzos como cualquier inc´ognita (deformaciones, alargamientos o desplazamientos de puntos internos) diferentes de los grados de libertad definidos en el problema, deber´an ser derivados posteriormente a partir de los resultados obtenidos en cada GDL definido. La mayor cantidad de grados de libertad por nodo para cualquier elemento corresponde a seis: tres (03) desplazamientos en el espacio (x,y,z ) y tres (03) rotaciones ( x , y , z).
4 4.1
M´ etodos matriciales en an´ alisis de estructuras Principios fundamentales
Los m´etodos de an´alisis estructural a los que se van a aplicar las t´ecnicas matriciales son aptos para estructuras en las que son v´alidos o se suponen v´alidos los principios fundamentales de la Mec´anica de Estructuras, por 6
tanto se basan en el cumplimiento de:
• Compatibilidad. La deformaci´on es una funci´on continua y tiene un valor ´unico en cada punto. En consecuencia, los movimientos tambi´ en lo son, y en particular, los movimientos en los extremos de las piezas que concurren en un mismo nudo son id´enticos para todas las piezas. • Equilibrio. Tanto la estructura globalmente como cada parte de la misma y, en particular, cada nudo y cada pieza de la misma est´an en equilibrio est´atico, bajo la acci´on de las fuerzas exteriores y de los esfuerzos internos. • Linealidad y principio de superposici´on. La estructura se comporta linealmente tanto a nivel local (relaci´ on tensi´on- deformaci´on seg´ un la Ley de Hooke), como a nivel global (relaciones desplazamientodeformaci´ on y fuerzas-tensiones, seg´ u n la hip´otesis de los peque˜nos movimientos). En virtud de esta linealidad, es v´ alido el principio de superposici´on. Los pasos necesarios para resolver una estructura mediante los m´ etodos matriciales comienzan por definir la geometr´ıa de la estructura y las acciones, as´ı como las condiciones de apoyo de la misma. La definici´on de la geometr´ıa debe hacerse de forma digital para que se pueda operar con ella f´acilmente de manera algor´ıtmica. La definici´ on de las acciones debe ser general, de manera que se puedan considerar la enorme variedad de cargas y acciones que pueden solicitar la estructura. De igual manera, las condiciones de apoyo deben definirse de forma general. El proceso contin´ ua con la identificaci´on de las inc´ognitas, que ser´an desplazamientos y rotaciones en los nodos de la estructura, si se aplica el M´ etodo de Rigidez, o fuerzas hiperest´aticas, en el caso de aplicar el M´ etodo de Flexibilidad.
4.2
M´ etodo de Rigidez
El m´etodo de rigidez es un m´etodo de c´alculo aplicable a estructuras hiperest´aticas de barras que se comportan de forma el´astica y lineal. Este m´etodo est´a dise˜ nado para realizar an´alisis de cualquier estructura incluyendo a estructuras est´aticamente indeterminadas. El m´ etodo de rigidez es la implementaci´ on m´as com´ un del m´etodo de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compiladas en una ´unica ecuaci´on matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo el sistema matricial. 4.2.1
Caracter´ısticas de la matriz de rigidez
• La matriz de rigidez es una propiedad del sistema estructural, no cambia en funci´on del estado de cargas o de condiciones de contorno a que se someta a la estructura. • Cada columna representa las acciones necesarias para conseguir un desplazamiento unitario en el grado de libertad definido por el ´ındice de la columna a la vez que se quedan fijados a cero el resto de los GDL. • Una fila es un conjunto de multiplicadores que operados sobre el vector desplazamiento completo proporcionan el valor de la fuerza correspondiente al GDL definido por el ´ındice de la fila. • Cada termino ij se puede considerar una “funci´on de peso” que representa la proporci´on de contribuci´on a la fuerza del GDL i debido al desplazamiento del GDL j . En caso de que su valor sea cero significa que ambos GDL no est´a relacionados. 4.2.2
Deducci´ on de la matriz de rigidez de un resorte 1D
Un resorte 1D experimenta un desplazamiento fijo relativo entre sus extremos cuando es sometido a carga axial constante. Existe una relaci´ on lineal entre la fuerza aplicada sobre el resorte y el desplazamiento obtenido. De forma gradual al aumentar la fuerza, los desplazamientos lo hacen proporcionalmente a la magnitud de la 7
misma, la relaci´on de proporcionalidad viene dada por lo que se define constante el´astica de rigidez del resorte “k”, cumpliendo con la Ley de Hooke. F = kδ
(2)
Al definir un resorte, identificando un nodo en cada extremo, se establecen los grados de libertad que permiten u ´ nicamente un desplazamiento en direcci´on axial al resorte. De igual manera aparecen las reacciones internas que provocan el desplazamiento axial en cada nodo.
Fig. 4.1: Comportamiento lineal del resorte 1D.
Fig. 4.2: Esquema de GDL y reacciones internas en resorte 1D. Aplicando la Ley de Hooke y el equilibrio de fuerzas tenemos dos ecuaciones independientes: k (u2 − u1 ) = F 2
(3) (4)
F 1 + F 2 = 0
Sustituyendo la ecuaci´on de equilibrio en la primera ecuaci´on, se obtiene: k (u1 − u2 ) = F 1
(5) (6)
k (u2 − u1 ) = F 2
Reordenando en forma matricial:
k −k
−k k
u1 u2
8
=
F 1 F 2
(7)
Fig. 4.3: Relaci´ on constitutiva en una barra 1D Se define la matriz de rigidez de un resorte como:
K resorte
−k
k −k
k
(8)
Adicional se establece un vector de grados de libertad y un vector de fuerzas para el resorte como:
q resorte
= u1 u2
F resorte =
(9)
F 1 F 2
(10)
En su forma matricial se resume la expresi´on matricial: [K resorte ]{q resorte } = { F resorte } 4.2.3
Matriz de rigidez de una barra 1D
Estudiemos el caso de una barra 1D con secci´on transversal constante y material isotr´opico lineal el´astico. Este elemento cumple con la relaci´on constitutiva del material, que relaciona los esfuerzos y deformaciones normales a trav´es del m´odulo de Young (Eq. 11). σ = E
(11)
Conociendo las variables mec´anicas del material para el esfuerzo y la deformaci´on: F A δ = L
σ =
(12)
(13)
Se sustituye en la relaci´on constitutiva: F δ = E A L
9
(14)
Fig. 4.4: Elemento barra 1D – 1 GDL por nodo. Se simplifica para expresar la fuerza en funci´ on del desplazamiento axial y variables geom´etricas y del material:
F =
EA δ L
(15)
Haciendo la analog´ıa del resorte, se obtiene la rigidez axial equivalente del elemento barra 1D. proporcional al a´rea y al m´odulo de Young e inversamente proporcional a la longitud de la misma.
k =
EA L
(16)
Retomando la expresi´on matricial para el resorte y realizando la analog´ıa con el elemento barra 1 D, se identifican dos nodos, uno en cada extremo y sus correspondientes grados de libertad asociados a los desplazamientos axiales. Se sustituye la rigidez axial de la barra (Eq. 16) en el sistema matricial de resorte (Eq. 7), se obtiene un sistema de ecuaciones equivalentes para la barra
EA 1 L −1
−1 1
u1 u2
=
F 1 F 2
(17)
La expresi´on general de la barra es: K e q e = F e
(18)
De all´ı se identifica:
• El vector de desplazamientos o de grados de libertad q e • Vector de fuerzas F e e
• Matriz de rigidez del elemento barra K =
EA L
1
−1 −1 1
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Referencias
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