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LEYES DE NEWTON PRIMERA LEY LE Y DE NEWTON. EQUIL EQUIL IBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES.

Actividad: Revisión de conocimientos previos. LEYES DE NEWTON. Instrucción: Lee detenidamente detenidamente el siguiente resumen y posteriormente revisa, analiza y concluye interactuando con tus compañeros y el instructor. UN LIBRO QUE CONMOVIÓ AL MUNDO. EN 1987 se cumplen tres siglos de la publicación del libro Philosophiae Naturalis Principia escrito por Isaac Newton. Esta obra obra es, sin duda, una Mathematica —o simplemente, Principia — escrito de las mayores creaciones del intelecto. Los Principia fueron escritos en latín y publicados en 1687 bajo los auspicios económicos y editoriales de Edmund Halley, astrónomo británico amigo de Newton y mejor conocido porque un famoso cometa lleva su nombre. La versión inglesa de este libro crucial en la historia de la ciencia apareció cuarenta y dos años después, en 1729, cuando ya Newton había muerto. Hubo que pasar cerca de tres siglos para que fuera publicado en nuestra lengua: ¡la primera edición en español data de 1982! Isaac Newton gozó en vida de fama inusitada y gran respeto como ningún otro científico, con excepción, tal vez, de Arquímedes antes que él y de Einstein en siglos s iglos posteriores. A Newton se deben cuatro enormes contribuciones a la ciencia: formuló las leyes de la mecánica, hoy llamada newtoniana en su honor Isaac Newton dijo una vez: "Si he podido ver más lejos, es porque estoy montado sobre los hombros de gigantes". Con ello se refería al cúmulo cúm ulo de científicos que habían forjado la ciencia antes de él. LAS LEYES DE NEWTON Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y Newton cuando se efectuaron dramáticos dramáticos progresos en la resolución de esta búsqueda. Isaac Newton (1642 - 1727), nacido en el año que murió Galileo, es el principal pr incipal arquitecto de la mecánica clásica, la cual se resume en sus tres leyes del movimiento. Antes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos filósofo s sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariamente tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de ausencia de fricción e interpretó a la fricción como una fuerza, llegando a la conclusión de que un objeto continua continuará rá moviéndose con velocidad constante, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento.

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PRIMERA LEY DE NEWTON, DE LA INERCIA. Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. La tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. SEGUNDA LEY DE NEWTON. La Segunda Ley de Newton se puede resumir como sigue: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza aplicada. a α F / m “a” representa la aceleración, “m” la masa y “F” la fuerza neta. Por fuerza neta se entiende la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. TERCERA LEY DE NEWTON. PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera. DEFINICIONES. Definición de Masa, Inercia: ¿Qué es la masa? Newton mismo usó el término masa como sinónimo de cantidad de materia. Esta noción no es muy precisa. Con más precisión podemos decir que la masa es una medida de la inercia de un cuerpo. Mientras Mientras más masa tenga un cuerpo, es más difícil cambiar cambiar su estado de movimiento. Es más difícil hacer que comience a moverse m overse partiendo del reposo, o detenerlo cuando se mueve, o hacer que se mueva hacia los lados saliéndose de su trayectoria recta. Un camión tiene mucho más inercia que una pelota de tenis que se mueva a la misma velocidad, siendo mucho más difícil cambiar el estado de movimient m ovimiento o del camión. Para cuantificar el concepto de masa debe definirse un patrón. En unidades del Sistema Internacional (SI), la unidad de masa es el kilogramo (Kg.). El patrón actual es un cilindro de platino-iridio platino-iridio que se conserva conserva en la Oficina Internacional Internacional de Pesas y Medidas cerca c erca de París, cuya masa, por definición, es exactamente un kilogramo. En unidades cgs, la unidad de masa es el gramo (g) y 1g = 10 -3 Kg. En el sistema s istema inglés, la unidad de masa se llama slug. No debe confundirse la masa con el peso. La masa es una propiedad de un cuerpo, es una medida de su inercia o cantidad de materia. El peso es una fuerza, la fuerza que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Para aclarar la diferencia, supongamos que llevamos un objeto a la Luna. Allí pesará la sexta parte de lo que pesaba en la Tierra, pero su masa seguirá siendo la misma.

PRIMERA LEY DE NEWTON, DE LA INERCIA. Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. La tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. SEGUNDA LEY DE NEWTON. La Segunda Ley de Newton se puede resumir como sigue: La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es la misma de la fuerza aplicada. a α F / m “a” representa la aceleración, “m” la masa y “F” la fuerza neta. Por fuerza neta se entiende la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. TERCERA LEY DE NEWTON. PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN. Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera. DEFINICIONES. Definición de Masa, Inercia: ¿Qué es la masa? Newton mismo usó el término masa como sinónimo de cantidad de materia. Esta noción no es muy precisa. Con más precisión podemos decir que la masa es una medida de la inercia de un cuerpo. Mientras Mientras más masa tenga un cuerpo, es más difícil cambiar cambiar su estado de movimiento. Es más difícil hacer que comience a moverse m overse partiendo del reposo, o detenerlo cuando se mueve, o hacer que se mueva hacia los lados saliéndose de su trayectoria recta. Un camión tiene mucho más inercia que una pelota de tenis que se mueva a la misma velocidad, siendo mucho más difícil cambiar el estado de movimient m ovimiento o del camión. Para cuantificar el concepto de masa debe definirse un patrón. En unidades del Sistema Internacional (SI), la unidad de masa es el kilogramo (Kg.). El patrón actual es un cilindro de platino-iridio platino-iridio que se conserva conserva en la Oficina Internacional Internacional de Pesas y Medidas cerca c erca de París, cuya masa, por definición, es exactamente un kilogramo. En unidades cgs, la unidad de masa es el gramo (g) y 1g = 10 -3 Kg. En el sistema s istema inglés, la unidad de masa se llama slug. No debe confundirse la masa con el peso. La masa es una propiedad de un cuerpo, es una medida de su inercia o cantidad de materia. El peso es una fuerza, la fuerza que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Para aclarar la diferencia, supongamos que llevamos un objeto a la Luna. Allí pesará la sexta parte de lo que pesaba en la Tierra, pero su masa seguirá siendo la misma.

Aceleración, Fuerza Neta: La Primera ley de Newton afirma que en ausencia de fuerza neta sobre un cuerpo, éste permanece en reposo, o si está en movimiento, continúa moviéndose con velocidad constante (conservando (conservando su magnitu m agnitud d y dirección). Pero, ¿qué sucede si una fuerza actúa sobre un cuerpo? La velocidad debe cambiar, o sea, una fuerza neta origina una aceleración. La relación entre aceleración y fuerza podemos encontrarla en experiencias cotidianas. Pensemos que empujamos un carrito de supermercado. La fuerza neta que se ejerce sobre el carrito es la fuerza que yo aplico menos la fuerza de fricción en las ruedas. Si la fuerza neta es “F”, la aceleración será “a”, si la fuerza es “2F”, la aceleración será “2a”, y así sucesivamente. Por tanto, la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta aplicada. Pero la aceleración depende también de la masa del objeto. Si mantengo la fuerza neta F y aumento la masa al doble, la aceleración será a/2. O sea, podemos afirmar: afirmar: a α F / m Se escoge la unidad de fuerza de tal modo que la constante de proporcionalidad en a α F / m, sea 1, y así a = F / m. Notemos que mediante esta segunda ley podemos dar una definición más precisa de fuerza, como una acción capaz de acelerar un objeto. Cuando la masa está en kilogramos y la aceleración en metros por segundo al cuadrado, la unidad de fuerza se llama Newton (N), 1 N = 1kgm/s 2. En el sistema ingles, la unidad de fuerza es la libra. se define como el peso (que es una fuerza) de un cuerpo cuya masa es 0.45359237 Kg. en determinado lugar de la Tierra en el que la aceleración de gravedad sea 32.1734 pies/s 2. Fuerza de fricción. Cuando dos cuerpos se deslizan entre sí, la fuerza de fricción que ejerce uno sobre el otro se puede definir en forma aproximada como F r = = µN, donde N es la fuerza normal, o sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre otro, en dirección perpendicular a la superficie de contacto; µk se usa para denotar el coeficiente de fricción cinética si hay movimiento relativo entre los cuerpos; si están en reposo µ s , es el coeficiente de fricción estática y F r = = µ s N es la máxima fuerza de fricción justo antes de que se inicie el movimiento.

Diagrama de cuerpo libre. Para resolver problemas en que intervengan fuerzas sobre uno o más cuerpos, es esencial trazar un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado para cada uno de los cuerpos donde se muestren todas las fuerzas que actúan sólo en el cuerpo respectivo Un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado debe mostrar todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Es fundamental que el diagrama de cuerpo libre esté correcto antes de aplicar las leyes de Newton. En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aísla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de fricción. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado.

Actividad: Revisión de conocimientos previos. CONCLUSIONES CONCLUSIONES DE LA L A LECTUR L ECTURA. A. Concluye interactuando con tus compañeros y el instructor. Comenta acerca de la aplicación de la primera ley de Newton: Comenta acerca de la aplicación de la segunda ley de Newton: Comenta acerca de la aplicación de la tercera ley de Newton: Comenta acerca del concepto de inercia Comenta de qué depende la fuerza de fricción Comenta para qué sirve el diagrama de cuerpo libre: L EY DE NEWTON. Actividad: Desarrollo del tema. APL ICACIÓN DE LA PRIMERA LEY

El principio fundamental de la primera ley de Newton establece que: “Si una partícula está en reposo o se mueve con velocidad constante, la fuerza neta que actúa sobre ella – es decir, la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella – debe se cero” .

De donde:

FR = 0

Por lo tanto:

ΣFx =

0

y

ΣFy =

0

Estas ecuaciones reciben el nombre de condiciones condiciones de equilibrio. equilibrio. Actividad: Estrategia para la solución de problemas. EQUILIBRIO DE FUERZAS. 1.- Haga un dibujo sencillo de la situación física, con dimensiones y ángulos ¡no tiene que ser una obra de arte! 2.- Para cada cuerpo en equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre. Consideraremos el cuerpo como partícula, así que represéntelo con un punto grueso. No incluya en el diagrama los otros cuerpos que interactúan con él, como la superficie en que descansa o una cuerda que tira de él. 3.- Pregúntese ahora que interactúa con el cuerpo tocándolo o de alguna otra forma. En el diagrama de cuerpo libre, dibuje un vector de fuerza para cada interacción. Si conoce su ángulo, dibújelo con exactitud exactitud y rotúlelo. Una superficie en contacto con el cuerpo ejerce una fuerza normal perpendicular a la superficie y tal vez una fuerza de fricción paralela a la superficie. Recuerde que una cuerda o una cadena no puede empujar un cuerpo, sólo tirar de él en la dirección de su longitud. Incluya el peso del cuerpo, excepto si su masa (y por ende su peso) es insignificante. Si se da la masa, use w = mg para obtener el peso. Rotule cada fuerza con un símbolo que represente su magnitud.

4.- No muestre en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otro, sólo se incluyen las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

5.- Escoja sus ejes de coordenadas e inclúyalas en su diagrama de cuerpo libre. No olvide rotular la dirección positiva de cada eje. Esto será crucial para obtener las componentes de los vectores de fuerza como parte de la resolución. Tal vez pueda simplificar el problema escogiendo ejes adecuados. Por ejemplo, si un cuerpo descansa o se desliza sobre una superficie plana, suele ser más sencillo tomar ejes en las direcciones paralela y perpendicular a ella, aun si está inclinada.

6.- Obtenga las componentes de cada fuerza a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas del cuerpo. Tenga presente que, aunque la magnitud de una fuerza siempre es positiva, la componente de una fuerza en una dirección dada puede ser positiva o negativa.

7.- Iguale a cero la suma algebraica de las componentes x de fuerza. En otra ecuación, haga lo mismo con las componentes y. Con estas ecuaciones podrá despejar hasta dos incógnitas: magnitudes de fuerza, componentes o ángulos.

8.- Si hay dos o más cuerpos, repita los pasos anteriores para cada uno. Use la tercera ley de Newton para relacionar las fuerzas que ejercen entre sí. 9.- Asegúrese de tener tantas ecuaciones independientes como cantidades desconocidas haya. Resuelva las ecuaciones para obtener las incógnitas. Esta parte es álgebra, no física, pero es un paso indispensable. 10.- Vea si sus resultados son lógicos. Haga una estimación comprobando que su fórmula funciona en tales casos.

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Dos cables se amarran juntos en el punto C y se cargan como se muestra en la figura. Sabiendo que α = 20°, determine la tensión en: a) el cable AC y b) el cable BC.

Elaboración del diagrama de cuerpo libre

A

α

40°

B

y TAC

TBC

C 40°

20° o

x

200 Kg. W = mg

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

ΣFx =

0

TBC Cos 20° - TAC Cos 40° = 0 ;

0.939 T BC - 0.766 TAC = 0

ΣFy =

0

TBC Sen 20° + T AC Sen 40° - W = 0 ; 0.342 T BC + 0.642 TAC – 1962 = 0

(1) (2)

Aplicando tus conocimientos de álgebra resuelves las ecuaciones 1 y 2 para determinar las tensiones de las cuerdas AC y BC. Sugerencia: De la ecuación (1 ) despejas T BC y la sustituyes en la ecuación (2) de la cual podrás determinar T AC, posteriormente regresas a la ecuación de T BC que despejaste y sustituyes el valor de T AC para determinar el valor de T BC, dando los resultados siguientes. a) Cable AC: 2.13 kN,

b) Cable BC 1.735 kN

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Se quiere que un automóvil de 200 N se mueva con velocidad constante sobre un plano inclinado 30°. ¿Qué magnitud debe tener la fuerza paralela al plano inclinado si se supone que los efectos del rozamiento son despreciables? Elaboración del diagrama de cuerpo libre

y N

30°

F

x

o 30°

30°

wy

w wx


ΣFx =

0

F – wx = 0;

por lo tanto:

F – 200 Sen 30° = 0

(1)

ΣFy =

0

N – wy = 0;

por lo tanto:

N – 200 Cos 30° = 0

(2)

Aplicando tus conocimientos de álgebra resuelves la ecuación 1 para determinar la fuerza F paralela al plano inclinado.

F – 200 Sen 30° = 0 F = 200 Sen 30° F = 100 N

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMA PROPUESTO. Dos cables se amarran juntos en el punto C y se cargan como se muestra en la figura. Sabiendo que Q = 60 lb y P = 75 lb, determine: a) la tensión en el cable AC y b) la tensión en el cable BC. Elaboración del diagrama de cuerpo libre

A

30° P

30° C 60° Q

B


ΣFx =

0

ΣFy =

0

Apoyándote en tus conocimientos de álgebra resuelves las ecuaciones que resultan de la aplicación de las condiciones de equilibrio para determinar T AC y TBC.

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMA PROPUESTO. Una caja de 50 N se desliza sobre el piso con velocidad constante por medio de una fuerza de 25 N, como se muestra en la figura. ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que la caja permanezca en reposo? ¿y el valor de la fuerza normal? Elaboración del diagrama de cuerpo libre

25 N 40°


ΣFx =

0

ΣFy =

0

Apoyándote en tus conocimientos de álgebra resuelves las ecuaciones que resultan de la aplicación de las condiciones de equilibrio para determinar F r y N.

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMA PROPUESTO. El bloque de la figura inicia su movimiento hacia arriba del plano inclinado 40° cuando la fuerza que lo empuja, como se muestra, se incrementa a 70 N. a) ¿Cuál es la fuerza crítica de rozamiento estático sobre el bloque? b) ¿Cuál es el valor del coeficiente de rozamiento estático? Elaboración del diagrama de cuerpo libre 70 N

100 N

40° 40°


ΣFx =

0

ΣFy =

0

Apoyándote en tus conocimientos de álgebra resuelves las ecuaciones que resultan de la aplicación de las condiciones de equilibrio para determinar F r y µs.

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS. Resuelve los siguientes problemas aplicando la estrategia de solución propuesta. 1. Se aplica una fuerza P a una pequeña rueda que gira sobre un cable ACB. Sabiendo que la tensión en ambas partes del cable es de 600 N, determínense la magnitud y dirección de P. A

30o

α

C 45o

P B

2. Determine las magnitudes de F 1 y F2 para que la partícula esté en equilibrio. y F2 20° 300 N 30°

x

F1

3. Una cuerda se extiende entre dos postes. Un joven de 90 N se cuelga de la cuerda, como se muestra en la figura. Encuéntrense las tensiones en las dos secciones de la cuerda. 10o

5o

4. Encuentre la tensión en los cordeles A y B

50° B A

160 N

5. Determine la magnitud y dirección θ de F para que la partícula esté en equilibrio. Y

F 85 lb

θ

X

40° 60 lb

6. Determine la magnitud y dirección θ de F para que la partícula esté en equilibrio. Y 7 kN 5

4 3

X θ

3 kN

F

7. Sabiendo que la tensión en el cable BC es de 725 N, determine la resultante de las tres fuerzas que actúan en el punto B de la viga AB. 840 mm C

800 mm B

12 5

A 4 3

780 N

500 N

8. Dos fuerzas de magnitud T A = 6 kips y T C = 9 kips se aplican como se muestra sobre una conexión soldada. Si se sabe que la conexión está en equilibrio, determínense las magnitudes de las fuerzas T B y TD .

TA

o

40

TB

TD

TC

Lo poco que he aprendido carece de valor, comparado con lo que ignoro y no desespero en aprender. - René Descartes -

TEMA 9 SEGUNDA LEY DE NEWTON.

Actividad: Desarrollo del tema. SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. La primera y tercera ley de Newton del movimiento se usaron ampliamente para estudiar a los cuerpos en reposo y las fuerzas que actuaban sobre ellos. Estas dos leyes se emplean también en el estudio de cuerpos en movimiento cuando no hay aceleración. Pero cuando los cuerpos están acelerados, es decir, cuando la magnitud o dirección de su velocidad cambia, es necesario usar la segunda ley de Newton para relacionar el movimiento del cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él. La segunda ley de Newton es la relación formal entre la fuerza, masa y aceleración de una partícula, la cuál establece que: La magnitud de la aceleración de una partícula es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre ella, e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es la misma dirección de la fuerza resultante.

a F = ma

F = ma

m Cuando una partícula se somete simultáneamente a varias fuerzas, la ecuación puede escribirse como: ΣF = ma

Donde ΣF representa la suma o resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. La ecuación anterior es una ecuación vectorial, por lo tanto podemos escribirla en función de sus componentes rectangulares: ΣFx = ma x

ΣFy = ma y

Que relacionan a las componentes x, y de la fuerza resultante, con las componentes x, y de la aceleración. Debe recalcarse que ΣF x es la suma algebraica de las componentes x de todas las fuerzas, y ΣF y es la suma algebraica de las componentes y de todas las fuerzas. Al practicar la suma algebraica, deben tomarse en cuenta los signos de las componentes.

Actividad: Revisión de conocimientos previos. DEFINICION DE CONCEPTOS. ¿Cómo defines al peso de un cuerpo? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ¿Qué fórmula determina el peso de un cuerpo ____________________________________________________________________________ Determina las unidades en las que se mide el peso de un cuerpo en el sistema internacional. ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ¿En qué unidades se mide el peso en el sistema ingles? _______________________________ Determina las unidades en las que se mide la masa en el sistema ingles. ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ¿Cuál es el valor de la gravedad en el sistema internacional? ____________________________________________________________________________ ¿Cuál es el valor de la gravedad en el sistema ingles? ____________________________________________________________________________ ¿Cómo defines a la fuerza de rozamiento (o fricción) entre dos cuerpos? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

¿Cuál es la fórmula para calcular la fuerza de rozamiento? ____________________________________________________________________________ ¿En qué consiste la fuerza normal? ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. SEGUNDA LEY DE NEWTON. Identificar los conceptos pertinentes : Es preciso usar la segunda ley de Newton al resolver cualquier problema en el que intervengan fuerzas que actúan sobre un cuerpo con aceleración. Al igual que en todos los problemas, identifique la incógnita, que suele ser una aceleración o una fuerza. Si es otra cosa, habrá que identificar y usar otro concepto. Por ejemplo, suponga que le piden determinar con qué rapidez se está moviendo un trineo cuando llega al pie de una loma. Ello implica que la incógnita es la velocidad final del trineo. Para obtenerla, primero necesitará usar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración del trineo. Después, tendrá que usar las formulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y obtener la velocidad a partir de la aceleración.

Plantear el problema siguiendo estos pasos :

1. Haga un dibujo sencillo de la situación. Identifique uno o más cuerpos en movimiento a los que aplicará la segunda ley de Newton.

2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo identificado, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Tenga cuidado de no incluir las fuerzas que el objeto ejerza sobre algún otro objeto. Recuerde que la aceleración de un cuerpo depende de las fuerzas que actúan sobre él, no de las fuerzas que él ejerce sobre otras cosas.

3. Rotule cada fuerza con un símbolo algebraico para representar su magnitud y el valor numérico si se da. Por lo general, una de las fuerzas será el peso del cuerpo.

4. Escoja los ejes coordenados x y y para cada objeto y muéstrelos explícitamente en cada diagrama de cuerpo libre. No olvide indicar cuál es la dirección positiva en cada eje. Si conoce la dirección de la aceleración, las cosas normalmente se simplifican si se escoge esa dirección como la dirección positiva de uno de los ejes.

5. Identifique cualquier otra ecuación que podría necesitar además de la segunda ley de Newton, (se requiere una ecuación por cada incógnita).

Ejecutar la solución c omo sigue :

Para cada objeto, determine las componentes de las fuerzas a lo largo de cada eje de coordenadas. Escriba una ecuación para cada componente de la segunda ley de Newton. Haga una lista de todas las cantidades conocidas y desconocidas, identificando las incógnitas. Compruebe que tenga tantas ecuaciones como incógnitas hay. Haga la parte fácil: ¡los cálculos! Resuelva las ecuaciones para obtener las incógnitas.

Evaluar la respuesta: ¿Su respuesta tiene las unidades correctas? ¿Tiene el signo algebraico apropiado? Si es posible, considere valores específicos o casos extremos de las cantidades, y compare los resultados con lo que esperaba intuitivamente. Pregúntese “¿es lógico el resultado?”

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Un elevador y su carga tienen una masa total de 800 kg y originalmente está bajando a 10 m/s; se le detiene con aceleración constante en una distancia de 25 m. Calcule la tensión T en el cable de soporte mientras se está deteniendo el elevador. Elaboración del diagrama de cuerpo libre

y

y

T

ma

x

=

x

w

Identificar la incógnita (en este caso es T), para aplicar las componentes rectangulares de la segunda ley de Newton.

ΣFY = maY:

T – w = ma

de donde:

T = w + ma

Dado que se desconoce la tensión “T” y la aceleración “a”, hay dos incógnitas, por lo cuál se requieren dos ecuaciones. Se recurre entonces a las formulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado para calcular a la aceleración.

v2 = vo2 + 2aΔy sustituyendo datos: (0) 2 = (10)2 + 2(a)(25) resolviendo: a = 2 m/s 2

Finalmente se sustituye “a” en la ecuación de T: Por la tanto la tensión del cable es:

T = (800)(9.81) + (800)(2)

T = 9440 N.

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Encuéntrese la magnitud de la fuerza P necesaria para imprimirle al bloque una aceleración de 10 ft/s 2 hacia la derecha. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es μ k = 0.25.

P

Elaboración del diagrama de cuerpo libre

30° w P 30°

ma =

Fr N

En el diagrama de cuerpo libre se identifican como incógnitas además de P, la fuerza de rozamiento F r y la fuerza normal N. Se aplican las componentes rectangulares de la segunda ley de Newton, para obtener dos ecuaciones.

ΣFx = max:

Por lo tanto:

ΣFy = may:

P Cos 30° - F r = ma, sustituyendo datos: 0.866 P – 0.25 N = (200/32.2) (10) 0.866 P – 0.25 N = 62.1 - - - - - - - - - - - - - - - ecuación 1

N – P Sen 30° - 200 = 0. despejando N:

N = 0.5 P + 200

Sustituyendo N en la ecuación 1: 0.866 P – 0.25 (0.5 P + 200) = 62.1, P = 151 lb.

resolviendo para despejar P.

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Una caja de 20 kg se coloca sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura. El coeficiente de rozamiento al deslizamiento entre la caja y el plano inclinado es de 0.30. Encuéntrese la aceleración con la que desciende la caja por el plano inclinado. Elaboración del diagrama de cuerpo libre y

y N 30 °

Fr =

x

w

ma

30°

En el diagrama de cuerpo libre, se colocaron los ejes coordenados de tal forma que facilite la solución: el eje x en la dirección del plano inclinado y el eje y perpendicular al plano inclinado. Se precede a aplicar las componentes rectangulares de la segunda ley de Newton.

ΣFX = maX: Fr – wsen30°= -ma,

sustituyendo datos: (0.30)N – (20)(9.81)sen30°= -(20)a

Por lo tanto: (0.30)N – 98.1 = -(20)a - - - - - - - - - - - - - - - ecuación 1

ΣFY = maY: N – w cos 30° = 0, sustituyendo datos: N – (20) (9.81) cos 30° = 0

Por lo tanto: N – 169.91 = 0 - - - - - - - - - - - - - - - ecuación 2

Finalmente se ejecuta la solución, resolviendo las ecuaciones simultáneas.

x

De la ecuación 2:

N = 169.91 Newtons

Sustituyendo N en ec.1: (0.30) (169.91) – 98.1 = -(20) a de donde: a = 2.35 m/s 2

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS. Resuelve los siguientes problemas aplicando la estrategia de solución propuesta. Aplica en la solución de los problemas las diferentes habilidades cognitivas tales como: Observar, Analizar, Ordenar, Clasificar, Representar, Memorizar, interpretar, Evaluar.

1. Un coche de 600 kg se mueve sobre un camino plano a 30 m/s. a) ¿Cuánto vale la fuerza (suponiéndola constante) que se requiere para detenerlo en una distancia de 70 m? b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de rozamiento entre los neumáticos y el camino para que esto sea posible?

2. Una locomotora de 8000 kg tira de un tren de 40000 kg a lo largo de una vía nivelada y le aporta una aceleración a 1 = 1.20 m/s 2. ¿Cuál es la aceleración a 2 que le imprimiría esta locomotora a un tren de 16000kg?

Resuelve los siguientes problemas aplicando la estrategia de solución propuesta. Aplica en la solución de los problemas las diferentes habilidades cognitivas tales como: Observar, Analizar, Ordenar, Clasificar, Representar, Memorizar, interpretar, Evaluar.

3. Supóngase como se muestra en la figura, que una fuerza de 400 N tira de una caja de 70 kg con un ángulo de 30° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento de deslizamiento es de 0.50. Encuéntrese la aceleración de la caja.

400 N 30°

4. Una carreta de 20 kg es arrastrada sobre suelo plano, por medio de una cuerda que tiene una inclinación de 30° sobre la horizontal. Una fuerza de rozamiento de 30 N se opone al movimiento. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza para tirar de ella si la carreta se mueve con a) rapidez constante, b) una aceleración de 0.40 m/s 2.


5. Un plano inclinado forma un ángulo de 30° con la horizontal. Encuéntrese la fuerza constante, aplicada en dirección paralela al plano, que se requiere para que una caja de 15 kg se deslice a) hacia arriba del plano con una aceleración de 1.2 m/s 2, b) descendiendo del plano inclinado con una aceleración de 1.2 m/s 2.

6. Un automovilista viajando a una rapidez de 108 km/h aplica repentinamente los frenos y se para después de patinar 75 m. Determínese a) el tiempo que necesitó el vehículo para parar, b) el coeficiente de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento.


7. Un coche de 900 kg va a 20 m/s sobre un camino plano. ¿Qué magnitud debe tener una fuerza constante, opuesta al movimiento, para detenerlo en una distancia de 30m?

8. Una caja de 12 kg se suelta desde la parte más alta de un plano inclinado que tiene 5 m de longitud y que forma un ángulo de 40° con la horizontal. Una fuerza de rozamiento de 60 N se opone al movimiento de la caja. a) ¿Cuál será la aceleración de la caja?, b) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la parte más baja del plano inclinado?


9. Un plano inclinado forma un ángulo de 30° con la horizontal. Encuéntrese la fuerza constante, aplicada en dirección paralela al plano, que se requiere para que una caja de 15 kg se deslice a) hacia arriba del plano con una aceleración de 1.2 m/s 2, b) descendiendo el plano inclinado con una aceleración de 1.2 m/s 2. despréciese la fuerza de rozamiento.

10. Una fuerza horizontal P se ejerce sobre una caja de 20 kg para hacerla deslizar hacia arriba, por un plano inclinado 30°. La fuerza de rozamiento que se opone al movimiento es 80 N. ¿Cuál debe ser la magnitud de P si la aceleración de la caja en movimiento debe ser: a) cero, b) 0.75 m/s2

TEMA 10 TRABAJO Y ENERGÍA

Enseñar a quien no quiere aprender es como sembrar un campo sin ararlo. - R. Whately -

TEMA 10 TRABAJO Y ENERGÍA.

Actividad: Revisión de conocimientos previos. CONCEPTO DE TRABAJO. Introducción: En nuestra vida diaria es muy común escuchar a alguien decir que le costó mucho trabajo encontrar tal o cual herramienta, libro o cualquier otra cosa. De igual forma, se dice que triunfar en la vida, requiere esfuerzo, dedicación y trabajo constante. Pero entonces, ¿qué es trabajo? Por fortuna desde el punto de vista de la física, el trabajo sólo tiene una interpretación y es la siguiente: EL TRABAJO es una magnitud escalar producido sólo cuando una fuerza mueve un cuerpo en su misma dirección. Su valor se calcula multiplicando la magnitud de la componente de la fuerza en la misma dirección en que se efectúa el movimiento del cuerpo, p or el desplazamiento que éste realiza.

W = Trabajo realizado W = (F cos ) d

F cosθ = Componente de la fuerza en la dirección del movimiento d = Desplazamiento

Observa, analiza y aplica el concepto de trabajo a cada una de las figuras: F F 1

F

2

d

d

3

d

F d

4

5

d

d

d F

7

F

F

d

6

d F

F 8

9

10 F

d

Analizado el concepto de trabajo y aplicado a cada figura, describe qué sucede en cada caso. Figura 1:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 2:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 3:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 4:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 5:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 6:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 7:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 8:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 9:_____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Figura 10:____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Concluye sobre el concepto de trabajo de una fuerza.

Actividad: Revisión de conocimientos previos. CONCEPTO DE ENERGÍA. La energía de un cuerpo es su capacidad para efectuar un trabajo. Por consiguiente, la energía de un cuerpo se mide en función del trabajo que puede desarrollar; tiene las mismas unidades del trabajo. La energía, al igual que el trabajo, es una cantidad escalar. LA ENERGÍA CINÉTICA (EC) de un cuerpo es su capacidad para realizar un trabajo, debido a su movimiento. Si un cuerpo de masa “ m” tiene una velocidad “ v” su energía cinétic a es:

EC = Energía cinética EC = ½ mv 2

m = Masa del cuerpo v = Velocidad

LA ENERGÍA POTENCIAL (EP) de un cuerpo es su capacidad para realizar un trabajo, debido a su p osición en un campo gravitacional. Un cuerpo de masa “m” , al caer una dist ancia vertical “ h” , puede realizar un tr abajo. La EP de un cuerp o, se define con respecto a un nivel arbitrario cero, y suele escogerse la superficie de la Tierra como nivel de referencia. Si el cuerpo está a una altura “ h” sobre el nivel cero (o de referencia), se tiene:

EP = Energía potencial EP = mgh

m = Masa del cuerpo g = Aceleración debida a la gravedad h = Altura a partir del nivel de referencia

EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA establec e qué la energía no pu ede crearse ni destruirs e, sólo se transfo rma de un tipo a otro .

PRINCIPIO DE TRABAJO - ENERGÍA. Cuando una fuerza efectúa un trabajo sobre un cuerpo, la energía de este debe incrementarse en la misma cantidad (o di sminu ir si el trabajo es negativo). Cuando u n cuerpo p ierde energía de algún tip o, debe experimentar un in cremento igu al de energía de cualqui er otra forma, o debe desarrollar una cantidad igual d e trabajo. EC1 + W = EC 2

Actividad: Revisión de conocimientos previos. ANÁLISIS DE LAS UNIDADES. Interactuando con tus compañeros y consultando los sistemas de unidades, escribe las unidades para cada parámetro de la fórmula y determina las unidades para cada concepto.

F = Fuerza: ___________________________________________ W = (F cos ) d

d = Desplazamiento: ____________________________________ W = Trabajo realizado: __________________________________

m = Masa: ____________________________________________ EC = ½ mv 2

v2 = Velocidad al cuadrado: _______________________________ EC = Energía cinética: __________________________________

m = Masa: ____________________________________________ EP = mgh

g = Aceleración de la gravedad: ___________________________ h = Altura: ____________________________________________ EP = Energía potencial: _________________________________

Concluye sobre el análisis de las unidades.

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. TRABAJO Y ENERGÍA.

Identificar los conceptos pertinentes : El principio de trabajo y energía es extremadamente útil en situaciones en las que se desea relacionar la rapidez v 1 de un cuerpo en un punto de su movimiento, con la rapidez v 2 en otro punto. El enfoque es menos útil en problemas en los que interviene el tiempo; si es preciso calcular tiempos, suele ser mejor utilizar las relaciones entre tiempo, posición, velocidad y aceleración del movimiento rectilíneo.

Plantear el problema con los pasos s iguient es:

1. Escoja las posiciones inicial y final del cuerpo, y dibuje un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él.

2. Escoja un sistema de coordenadas. (Si el movimiento es rectilíneo, lo más fácil suele ser que las posiciones inicial y final estén sobre el eje x.)

3. Haga una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, y decida cuáles son las incógnitas. En algunos casos, la incógnita será la rapidez inicial o final del cuerpo; en otros, será la magnitud de una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Ejecutar la sol ución:

Calcule el trabajo efectuado por cada fuerza. Revise el signo del trabajo para cada fuerza; debe ser positivo si la fuerza tiene una componente en la dirección del desplazamiento, negativo si tiene una componente opuesta al desplazamiento y cero si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares. Sume los trabajos realizados por cada fuerza para obtener el trabajo total. Cuide los signos. Escriba las expresiones para la energía cinética inicial y final. Tenga presente que en la energía cinética interviene la masa, no el peso; si le dan el peso del cuerpo, tendrá que calcular la masa. Por último use el principio de trabajo y energía para obtener la incógnita.

Evaluar la r espuesta: Compruebe que su respuesta sea lógica físicamente. Recuerde sobre todo que la energía cinética nunca puede ser negativa.

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Un bloque se mueve hacia arriba por un plano inclinado 30° bajo la acción de tres fuerzas, como se muestra en la figura. F 1 es horizontal y de magnitud 40 N. F 2 normal al plano y de magnitud 20 N. F 3 es paralela al plano y de magnitud 30 N. determínese el trabajo realizado por cada fuerza, cuando el bloque se mueve 80 cm hacia arriba del plano inclinado. F2 F3 F1 30° 30°

W = (F cos ) d

Para F1:

W = (40 N) cos 30° (0.80 m)

resolviendo resulta:

W = 28 Joules

Nota: La fuerza F 1 tiene componentes en la dirección del plano y perpendicular al plano. La componente perpendicular al plano no desarrolla trabajo.

Para F2:

W = (20 N) cos 90° (0.80 m)


W = 0 Joules

Nota: La fuerza F 2 es perpendicular al plano inclinado, forma un ángulo de 90° con respecto a la dirección del desplazamiento, por lo tanto no desarrolla trabajo.

Para F3:

W = (30 N) cos 0° (0.80 m)


W = 24 Joules

Nota: la fuerza F 3 actúa en la misma dirección del desplazamiento del cuerpo, por lo tanto forma un ángulo de 0° con el plano inclinado. Se concluye qué, cuando una fuerza actúa en la dirección del desplazamiento del cuerpo, el trabajo desarrollado por la fuera es máximo e

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Una fuerza de 1.5 N actúa sobre un deslizador de 0.20 kg para acelerarlo sobre una pista de aire (sin rozamiento). La pista y la fuerza son horizontales y colineales. ¿Con qué rapidez se mueve el deslizador después de acelerarlo desde el reposo y recorrer una distancia de 30 cm?

El trabajo desarrollado por la fuerza origina en el deslizador un incremento igual de energía cinética. Por consiguiente, aplicando el principio de trabajo – energía :

Fórmula del princip io de trabajo - energía EC1 + W = EC2

Fórmula desarrollada del prin cipi o de trabajo - energía ½ mv 12 + (F cosθ) d = ½ mv 22

Ejecución de la solución

Primero identificamos los datos en el problema: F = 1.5 N, m = 0.20 kg, d = 0.30 m, v 1 = 0 Se procede a la sustitución de los datos en la fórmula: ½ (0.20) (0)2 + (1.5) (cos 0°) (0.30) = ½ (0.20) v 22 Despejando v 2 y resolviendo las operaciones, se obtiene:

v 2 = 2.12 m/s

Actividad: Estrategia para la solución de problemas. DESARROLLO DE UN PROBLEMA. Una fuerza de 70 N se aplica continuamente a un cuerpo de 5 kg, como se muestra en la figura. a) Si el rozamiento puede despreciarse, ¿cuál será la rapidez del cuerpo después de que se ha movido 6 m desde el reposo? b) Repítase el cálculo, si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es de 0.40. w 70 N

d

37°

Fr

70 cos 37°

N

Fórmula desarrollada del prin cipi o de trabajo - energía ½ mv 12 + (F cosθ) d = ½ mv 22

Ejecución de la solució n

a) Primero identificamos los datos pertinentes: F = 70 N, m = 5 kg, d = 6 m, v 1 = 0, F r = 0 Se procede a la sustitución de los datos en la fórmula: ½ (5) (0)2 + (70) (cos 37°) (6) = ½ (5) v 22 Despejando v 2 y resolviendo las operaciones, se obtiene:

v 2 = 11.6 m/s

b) Primero identificamos los datos pertinentes: F = 70 N, m = 5 kg, d = 6 m, v 1 = 0, μ = 0.40. Sabemos que: F r = μN. Es necesario primero calcular N, en el diagrama de fuerzas se observa que: ΣFY = maY:

N – w – 70 sen 37° = 0; o bien N = (5) (9.81) + 70sen37°, N = 91 N.

Por lo tanto F r = (0.40) (91) = 36 N Se procede a la sustitución de los datos en la fórmula: ½ (5) (0)2 + (70) (cos 37°) (6) – (36) (6) = ½ (5) v 22

Actividad: Solución de problemas. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS. Resuelve los siguientes problemas aplicando la estrategia de solución propuesta. Aplica en la solución de los problemas las diferentes habilidades cognitivas tales como: Observar, Analizar, Ordenar, Clasificar, Representar, Memorizar, interpretar, Evaluar.

1. Una escalera de 3m de largo que pesa 200 N tiene su centro de gravedad a 120 cm del nivel inferior. En su parte más alta tiene un peso de 50 N. Calcúlese el trabajo necesario para levantar la escalera de una posición horizontal sobre el suelo a una posición vertical.

2. Calcúlese el trabajo que realiza contra la gravedad una bomba que descarga 600 litros de aceite combustible dentro de un tanque situado a 20 m por arriba de la toma. Un centímetro cúbico de aceite combustible tiene una masa de 0.82 gramos. Un litro es igual a 1000 cm 3.


3. Un automóvil de 1200 kg viaja a 30 m/s, aplica los frenos y derrapa antes de detenerse. Si la fuerza de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento es de 6000 N, ¿qué distancia derrapará el coche antes de alcanzar el reposo?

4. Un bloque de 0.50 kg se desliza sobre la superficie de una mesa con una velocidad inicial de 20 cm/s. se mueve una distancia de 70 cm y queda en reposo. Encuéntrese la fuerza de rozamiento promedio que retarda su movimiento.


5. Un automóvil de 200 kg se empuja lentamente hacia arriba de una pendiente. ¿Cuánto trabajo desarrollará la fuerza que hace que el auto ascienda la pendiente hasta una plataforma situada 1.5 m arriba del punto de partida, si el rozamiento es despreciable?

6. Un automóvil de 3000 lb, que va a 40 ft/s, alcanza el reposo en una distancia de 8 ft después de golpear una pared. Encuéntrese la fuerza promedio ejercida por la pared sobre el coche, con la cual se detiene.


7. Al nivel del mar, las moléculas de nitrógeno tienen una EC promedio de 6.2 x 10 -21 J. su masa es 4.7 x 10 -26 kg. a) Si la molécula pudiera moverse verticalmente hacia arriba sin chocar con otras moléculas del aire, ¿a qué altura podría llegar? b) ¿Cuál es la rapidez inicial de la molécula?

8. Un automóvil de 1200 kg va cuesta abajo por una colina de 30°, como se muestra en la figura. Cuando la velocidad del automóvil es de 12 m/s, el conductor aplica los frenos. ¿Cuál será la fuerza constante F (paralela al camino) que debe aplicarse si el carro se va a detener cuando haya viajado 100 m?


9. Un tren de 60000 kg asciende por una pendiente con inclinación del 1 %, por medio de una barra con tracción constante que tira de él con una fuerza de 3000 N. la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del tren es 4000 N. la rapidez inicial del tren es 12 m/s. ¿Qué distancia viajará el tren antes de que su velocidad se reduzca a 9 m/s?

10. Un automóvil de 1200 kg desciende por gravedad desde el reposo, por una carretera que está inclinada 20° con la horizontal y tiene 15 m de largo. ¿Qué rapidez es la del coche al final del camino si a) el rozamiento es despreciable, b) cuando se opone al movimiento una fuerza de rozamiento de 3000 N?

COLOFÓN Los paradigmas de enseñanza aprendizaje han sufrido transformaciones significativas en las últimas décadas, lo que ha permitido evolucionar, por una parte, de modelos educativos centrados en la enseñanza a modelos dirigidos al aprendizaje, y por otra, al cambio en los perfiles de maestros y alumnos, en éste sentido, los nuevos modelos educativos demandan que los docentes transformen su rol de expositores del conocimiento al de monitores del aprendizaje, y los estu diantes, de espectadores del pr oceso d e enseñanza, al de integrantes participativos, propositivo s y críticos en la constru cción d e su prop io con ocimiento y el desarroll o de competencias. El Constructivismo representa un auténtico cambio de paradigma con respecto al enfoque educativo tradicional o conductista. El Constructivismo, a diferencia del Conductismo, concibe al estudiante como el protagonista central del proceso educativo y no como un mero receptor de información; los contenidos curriculares se plantean como objeto de aprendizaje más que de enseñanza y el docente deja de ser el único poseedor y transmisor del conocimiento para convertirse en mediador y facilitador del proceso de aprendizaje. En relación con la construcción de conocimientos y el aprendizaje significativo, se puede decir que la construcción del conocimiento es en realidad un proceso de elaboración, en el sentido de que el estudiante selecciona, organiza y transforma (desarrollo de competencias) la información que recibe de diversas fuentes, estableciendo relación entre dicha información y sus conocimientos previos. Desde esta perspectiva el acto de aprender implica la atribución de significados por parte del estudiante que construye una representación mental a partir de imágenes, palabras, modelos o esquemas sobre el conocimiento.

MC. José Luis Becerra Broussar Instituto Tecnológico de Ciudad Madero Departamento de Ciencias Básicas Septiembre de 2012

BIBL IOGRAFÍA Y FUENTES CONSULTADAS

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Aprender a aprender.

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Leyes de newton.pdf

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