Pr´actica “Leyes de Newton” Eduardo Rodr´ıguez S.∗ Departamento de F´ısica, Universidad de Concepci´ on 19 de mayo de 2003
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La Inercia
¿Por qu´e caemos hacia adelante cuando un autob´ us en movimiento desacelera hasta detenerse y sentimos un impulso hacia atr´as cuando acelera desde el reposo? Las personas que viajan de pie en el metro hallan a menudo conveniente situarse de frente al costado del carro cuando el tren arranca o se detiene y viendo hacia el frente o la parte trasera cuando el tren est´a corriendo a velocidad constante. ¿Por qu´e? Ambos fen´omenos —la ca´ıda hacia adelante cuando el autob´ us frena y hacia atr´as cuando acelera desde el reposo— responden a la existencia de inercia. Llamamos inercia a la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o en movimiento uniforme. Se requiere de una fuerza para sacar a un cuerpo del reposo, pero no se requiere de ninguna para mantenerlo en movimiento uniforme. La masa de un cuerpo es una medida de su inercia; mientras mayor sea la masa de un cuerpo, mayor ser´a la fuerza necesaria para producir en ´el una aceleraci´on dada.
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La Fuerza y la direcci´ on del movimiento
¿Qu´e relaci´on existe, si la hay, entre la fuerza que act´ ua sobre un objeto y la direcci´on en que se mueve el objeto? ∗
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La direcci´on en que se mueve un objeto est´a dada en cada instante por la direcci´on de su vector velocidad. De acuerdo a la segunda ley de Newton, F = ma = m
dv , dt
(1)
por lo que podemos afirmar que la fuerza que act´ ua sobre un objeto provoca un cambio en la velocidad del mismo, lo cual redunda, en general, en un cambio en la direcci´on del movimiento. La magnitud de este cambio est´a dada por la ec. (1), y es proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del objeto.
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El auto chocador
Un autom´ovil que viaja a raz´on de 53 km/h choca contra el pilar de un puente. Un pasajero que viaja en el autom´ovil se mueve hacia adelante una distancia de 65 cm (con respecto a la carretera) mientras es llevado al reposo por un coj´ın de aire inflado. ¿Qu´e fuerza (supuesta como constante) act´ ua sobre la parte superior del torso del pasajero, quien tiene una masa de 39 kg? Escogemos el eje x paralelo a la direcci´on del movimiento y apuntando en el sentido de avance del autom´ovil. Dado que la fuerza que act´ ua sobre el pasajero es constante (hip´otesis del problema), de la segunda ley de Newton deducimos que su aceleraci´on tambi´en es constante. Por lo tanto, la ecuaci´on del movimiento para el torso del pasajero es 1 x = v0 t − at2 , 2
(2)
donde hemos escogido como t = 0 el instante en que el autom´ovil choca contra el pilar del puente y como x = 0 la posici´on del torso del pasajero en ese instante. Aqu´ı a > 0 es la magnitud de la aceleraci´on (constante); el signo menos proviene de que la componente x del vector aceleraci´on es negativa, ya que el pasajero est´a siendo frenado por el coj´ın de aire. De acuerdo con los datos del problema, la velocidad inicial es de v0 = 53 km/h. Por otro lado, sabemos que el torso del pasajero se desplaz´o 65 cm antes de detenerse por completo. Derivando en (2) obtenemos su velocidad instant´anea: v = v0 − at. 2
(3)
Poniendo v = 0 en (3) hallamos el instante t = tf en que el pasajero alcanza el reposo: v0 tf = . a Reemplazando t = tf en (2) podemos encontrar una expresi´on para la distancia recorrida por el automovilista hasta ese instante. Llamando xf = x (t = tf ) = 65 cm, nos queda xf =
v02 . 2a
(4)
Tanto xf = 65 cm como v0 = 53 km/h son datos del problema; por lo tanto, podemos escribir la aceleraci´on en la forma a=
v02 . 2xf
(5)
Esto significa que la fuerza F que act´ ua sobre el torso del pasajero (cuya masa es de m = 39 kg) est´a dada por F =
mv02 . 2xf
(6)
Reemplazando los valores num´ericos m = 39 kg, v0 = 14.72 m/s, xf = 0.65 cm, encontramos F = 6502 N. A modo de comparaci´on, esta es la fuerza que se necesita para levantar una masa de 663 kg cerca de la superficie de la Tierra.
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El viento del Sol
El yate solar Diana, dise˜ nado para navegar en el sistema solar usando la presi´on de la luz del Sol, tiene una vela con un ´area de 3.1 km2 y una masa de 930 kg. Cerca de la ´orbita de la Tierra, el Sol puede ejercer una fuerza de radiaci´on de 29 N sobre la vela. (a) ¿Cu´al es la aceleraci´on que tal fuerza impartir´ıa al veh´ıculo? (b) Una aceleraci´on peque˜ na puede producir efectos grandes si act´ ua continuamente durante un per´ıodo de tiempo suficientemente grande. Partiendo del reposo, ¿qu´e tan lejos se habr´ıa movido el veh´ıculo despu´es de 1 d´ıa en estas condiciones? (c) ¿Cu´al ser´ıa entonces su velocidad? (V´ease “The Wind from the Sun”, un fascinante relato de ciencia-ficci´on por Arthur C. Clarke, sobre una carrera de yates solares). 3
De la segunda ley de Newton, F = ma, tenemos que la aceleraci´on a provocada en un cuerpo de masa m por una fuerza F est´a dada por a = F/m. Luego, la aceleraci´on impartida al yate solar por una fuerza de radiaci´on de magnitud 29 N es a = 31.18 × 10−3 m/s2 . Si el yate parte desde el reposo con esta aceleraci´on, su ecuaci´on del movimiento ser´a 1 x = at2 . 2
(7)
Para escribir esta ecuaci´on hemos escogido convenientemente el instante t = 0 y el origen del eje x. Cuando t = 1 d´ıa = 86400 s, la distancia recorrida por el veh´ıculo es de x1 = 116.4 × 106 m, es decir, unos 116 mil kil´ometros. La velocidad del yate en cada instante es dada por la derivada temporal de su posici´on: v = at.
(8)
Reemplazando a = 31.18 × 10−3 m/s2 y t = 86400 s, podemos calcular su velocidad luego de un d´ıa de viaje. Esta es v1 = 2694 m/s, o aproximadamente 2.7 km/s. Estas distancias y velocidades son altas en escala humana, pero ellas deben ser comparadas con las distancias t´ıpicas en el Sistema Solar. Por ejemplo, la distancia promedio entre la Tierra y el Sol es de 149.6 × 109 m, es decir, casi 1300 veces m´as que la distancia recorrida por el yate en un d´ıa. Sin embargo, el yate acelera continuamente. ¿Cu´anto tardar´a, siempre con la misma aceleraci´on, en recorrer 150 millones de kil´ometros?
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El Obrero
Un obrero arrastra una caja por el piso de una f´abrica jalando de una cuerda atada a la caja. El obrero ejerce una fuerza de 450 N sobre la cuerda, la cual est´a inclinada a 38.0o sobre la horizontal. El suelo ejerce una fuerza resistiva horizontal de 125 N, como se muestra en la figura. Calcule la aceleraci´on de la caja (a) si su masa es de 96.0 kg y (b) si su peso es de 96.0 N. 4
y
N Fobrero
38º Fsuelo
x
mg
Figure 1: Diagrama de cuerpo libre para la caja.
La fuerza total ejercida sobre la caja es la suma vectorial de las fuerza ejercidas por el obrero y por el suelo. Escogemos el eje x horizontal y apuntando en la direcci´on en que el obrero jala la cuerda, y el eje y vertical y apuntando hacia arriba. Con estas elecciones, las fuerzas involucradas son ³ ´ Fobrero = 450 cos 38oˆi + sin 38oˆj N, (9) Fsuelo = −125ˆi N, N = Nˆj,
(10)
mg = −mgˆj.
(12)
(11)
Sumando obtenemos la fuerza total: Ftotal = 230ˆi + (277 + N − mg) ˆj.
(13)
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total ejercida sobre un cuerpo de masa m con la aceleraci´on producida sobre ´el. Si la caja se desplaza s´olo en la direcci´on horizontal, entonces su aceleraci´on estar´a confinada al eje x. Por lo tanto, podemos escribir a = aˆi.
(14)
Introduciendo (13) y (14) en Ftotal = ma, hallamos 230ˆi + (277 + N − mg) ˆj = maˆi, 5
(15)
o bien,
(230 − ma) ˆi + (277 + N − mg) ˆj = 0.
(16)
De aqu´ı obtenemos las ecuaciones 230 − ma = 0, 277 + N − mg = 0,
(17) (18)
las cuales implican que 230 , m N = mg − 277. a=
(19) (20)
Si la masa de la caja es de m = 96.0 kg, entonces su aceleraci´on ser´a a = 2.40 m/s2 .
(21)
En este caso el m´odulo de la fuerza normal es de N = 664 N. En cambio, si su peso es mg = 96.0 N, entonces su masa ser´a de m = 9.8 kg. Esto significa que el m´odulo de la fuerza normal se vuelve negativo; N = −181 N. Lo que este signo est´a se˜ nalando es la imposibilidad de mantener una aceleraci´on puramente horizontal cuando se aplica una fuerza de estas caracter´ısticas a un cuerpo de masa tan peque˜ na. Ciertamente la caja se levantar´a bajo la acci´on de Fobrero , invalidando todo el an´alisis precedente. Es importante notar que la segunda ley de Newton relaciona la fuerza que act´ ua sobre un cuerpo con su aceleraci´on a trav´es de la masa, no del peso. El peso no es m´as que la fuerza ejercida por la Tierra sobre un objeto en su superficie, y es proporcional a la masa.
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