LENTES CONVERGENTES, LENTES DIVERGENTES E ILUMINADOR DE KHÖLER

LENTES CONVERGENTES, LENTES DIVERGENTES E ¨ ILUMINADOR DE KHOLER ˜ LLANOS LLA NOS Sebast Seb asti´ i´ an an1 ,MUNOZ Melissa2 , OSPINA OSPIN A Ana Mar´ Mar´ıa 3 ,TORO Juanita4 1

sllanos@eafit.edu.co,2 mmunozl@eafit.edu.co,3 aospin10@eafit.edu.co,4 jtorogil@eafit.edu.co1 1

Universida Universidad, d, EAFIT Escuela de Ciencias Ciencias y Humanidad Humanidades, es,

´ Departam Departamento ento de Ciencias Ciencias B´ asicas, asicas , Ingeni Ing enier´ er´ıa ıa f´ısica,Laborator ısi ca,Laboratorio io de Optica Medell´ın septiembre septie mbre 2014

compiled: November 5, 2014

Resumen

En el presente art´ ıculo ıculo se ilustrará de qu´ e manera se trabajó con diferentes diferentes tipos de lentes lentes e instrume instrumento ntoss ´ o opticos, pticos, como diafragmas, con el fin de caracterizar y analizar su comportamiento y uso en el diario vivir como es el caso del iluminador de Kohler utilizado en microscopios. Palabras Claves:

1.

Lentes convergente convergente y divergentes, divergentes, diafragmas, imágenes, iluminador de Kohler.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

Una Una len lente es un inst instru rume men ntos tos óptico optico transpare transparente nte,, limit limitad adoo por dos dos super superfic ficie ies, s, que que alte altera ra la form formaa de los fren frente tess de onda onda de las las onda ondass que que lo atra atravi vies esan an formando imágenes agenes (htt). La manera en la que los rayos tras traspa pasa san n la lent lentee depen depende de de la form formaa en la que que la hayan construido. Existen varios tipos de lentes y una de sus clasificaciones depende del grosor de éstas. estas. Cuando tienen un espesor despre desprecia ciable ble,, es decir, decir, cuando cuando es consid considera erable blemen mente te meno menorr a los los radi radios os de curv curvat atur uraa de las las super superfic ficies ies limitantes, se la llama una lente delgada (htt1). Cuando el espesor de la lente es considerable e influyente en los rayos que la atraviesan, se dice que es una lente gruesa. La forma de la lente afectará la manera en la que se forme forme la imagen. imagen. Cuando Cuando es m´ as as gruesa en el centro que que en los extr extrem emos os,, es una lent lentee conv conver erge gent nte. e. Los Los rayos que llegan l legan a ésta esta de forma paralela, son desviados hasta juntarse en un punto al otro lado de la lente, el foco (figura 4). Imagen tomada de (htt2) Si la lente es más as gruesa en los extremos que en el centro, se reconoce como una lente divergente, donde los rayos rayos incidente incidentess paralelos paralelos son desviados desviados separ´ separándolos andolos uno de otro, otro, cuyas cuyas prolon prolongac gacion iones es cortan cortan en el foco, foco, ocasi oc asionan onando do as a s´ı, im´ i m´ agenes agenes virtuales. En un medio medio homog homog´éneo, eneo, es decir, decir, que sus caraccaracter´ ter´ısticas f´ısicas y qu´ qu´ımica son iguales en todos sus puntos, los rayos r ayos de luz lu z se propagan p ropagan en l´ınea ınea recta (Freeman, 2003). Diferente a un medio isotrópico, opico, donde sus propiedade propiedadess son independien independientes tes de la direcci´ direcci´ on o n en la

Figure 1. Focos de lentes convergentes (a) y divergentes (b).

que se analicen. Una vez chocan cho can con la lente estos rayos de d e luz, se desv´ıan ıan dependiendo del tipo de lente, formando diferentes tipos de imágenes. agenes. Existen Existen maneras te´ oricas oricas para analizar la imagen que se formará, a, para este estudio es necesario identificar los rayos principales, (entre los infinitos rayos de luz que inciden, inciden, en la may mayor or´´ıa de los casos), casos), como se ilustra en la figura 5, debido debido a que con éstos se sabe c´ omo ser´ omo será la imagen imagen con sus debidas debidas caracter caracter´´ısticas ısticas (figura (figura 6) (Jenkins, 1957) . Los rayos rayos principales principales parten de la parte superior de la lente generalmente, uno de ellos se traza paralelo al eje óptico optico (perpendicular a la lente) y al atravesar la lente sale pasando por el foco; un segundo rayo que atraviesa el centro de la lente y no se desv´ desv´ıa y finalmente, un tercer rayo que incida en la lente atravesando el foco y el rayo resultante salga paralelo al eje óptico optico (Hecht, 2002)

2

Figure 2. Rayos principales en lentes divergentes y convergentes.

La imagen resultante variará no sólo dependiendo de la forma de la lente, tambi´ en a partir de la posición del objeto, como se muestra en la figura 5. Imagene tomada de (htt2) Los lentes se usan actualmente para diversas finalidades, en conjunto con los espejos, se llevan a cabo sistemas de varios elementos ópticos con objetivos espec´ıficos, como los telescopios, cámaras, lentes para la visión, microscopios, entre otros (Groos, 2005). El microscopio se ha usado como un instrumento para hacer viable la visibilidad de objetos y seres que no son vis´ ibles a ojo desnudo, como los microorganismos. Este consta de una parte óptica que contiene diafragma, condensador, iluminador, objetivos y oculares; y una parte mecánica que incluye el tornillo microm´ etrico, la columna, el tornillo macrométrico, la base y la platina (Freeman, 2003). Con el fin de obtener mejores resultados, la luz debe condensarse, nivelarse y centrar la trayectoria de sus haces incidentes sobre la muestra a observar. El iluminador de K¨ ohler cumple funció n de optimizar la luz, iluminando el objeto de estudio con un campo de luz uniforme con un diámetro similar al área de captura del objetivo (Hecht, 2002). En el presente art´ıculo se describe cómo es la formación de imágenes y todo el procedimiento que se debe llevar a cabo con diferentes tipos de lentes, asimismo, se monta un iluminador de Köhler con el fin de aplicar lo realizado con las lentes e identificar el funcionamiento de los diafragmas y cómo esto interfiere en la visualización de imágenes a escala. Diferentes sistemas ópticos se usan diariamente para el desarrollo de nuevas ciencias y tecnolog´ıas como se mencionó previamente. En la presente práctica se pretende realizar un análisis sobre el comportamiento de algunos instrumentos ópticos como lentes y diafragmas a partir de la experimentación y numerosos ensayos para que, desde los resultados, evaluar el por qué y para qué de éstos.

Figure 3. Posici´ on e imagen correspondiente en lentes convergentes.

3 2. Metodolog´ıa 2.A. Difracci´ on

2.1 Difracción de Fresnel Se realizó un montaje óptico con un láser y un lente convergente de distancia focal 20mm con el fin de expandir el rayo, el cual fue obstaculizado por la punta de un lapicero para observar y analizar el fenómeno. Se ubicó un diafragma de abertura circular de diámetro 1mm entre el rayo de luz expandido y la pantalla, se observaron patrones de difracción mostrados en la figura 1. Se alejó la pantalla, debido a que al cambiar esta distancia, se observaron cambios en los patrones de difracción que serán descritos posteriormente. 2.2 Difracción de Fraunhofer Se cambió el portalentes a un portafilminas giratorio con aberturas circulares de diversos di´ ametros y se alineó con el láser de manera que éste incidiera perpendicularmente sobre una de las aberturas, como se ilustra en la figura 1. Una vez se estableci´ o un patrón de difracción definido, se midieron la distancia D entre la abertura y la pantalla y los radios r1, r2 y r3 de los tres primeros c´ırculos obtenidos en el patr´ on de difracció n. A partir de esto y mediante la ecuaci´ on (1) se determinó el radio b de la abertura del diafragma por el cual pasó el rayo, con los cuales halló un promedio y se obtuvo un porcentaje de error a partir del valor dado por el fabricante.

r1 = (1.22)

perpendicular a la dirección de la rendija, cuyas franjas evidencian diferencias de intensidad a lo largo de ésta.

Figure 5. Difracci´ on a partir de una rendija.

Se rotó la rendija sobre el eje del láser gracias al brazo giratorio de su portador para observar de qué manera se afectaba el patrón obtenido por el diafragma una vez el l´ aser no incidiera de manera perpendicular a éste, como se ilustra en la figura 3:

Dλ Dλ Dλ ; r2 = (2.23) ; r3 = (3.23) . (1) b b b

Figure 6. Rotaciones de la rendija.

Figure 4. Difracci´ on a partir de un diafragma de abertura circular.

De la ecuación (1) también se calcularon los valores teóricos y experimentales de los cocientes r3/r2, r3/r1, r2/r1 que fueron comparados y posteriormente analizados. Se retiró el diafragma con las aberturas circulares y se reemplazó por una abertura lineal graduable, mostrado en la figura 2. Por tener un ancho casi despreciable debido a su largo, el láser solo ilumina una parte de ésta, obteniendo un patrón de difracción que no corresponde a franjas paralelas uniformes, sino una l´ınea

Un diafragma con diferentes rendijas fue posicionado en lugar de la rendija de ancho variable, alineando el l´ aser de modo que éste incida perpendicularmente sobre una de las rendijas. A partir del patrón de difracción obtenido, se midió la distancia D entre la pantalla y el diafragma y C, el máximo central del patrón. A partir de estos datos y dela ecuación (2), se pudo hallar el ancho b de la rendija. Con este dato experimental y el teórico suministrado por el fabricante, se obtuvo un porcentaje de error. Dλ . (2) b Se hizo incidir el láser sobre una de las l´ıneas de igual ancho que la rendija utilizada. Se calcul´ o el patrón de difracci´ on y se comparó con los datos obtenidos previamente. Luego, se hizo pasar el rayo por una doble C = 2

4 rendija, cuyo ancho de cada una era igual al de la rendija usada anteriormente. Los datos obtenidos fueron comparados con el valor inicial, es decir, el que corresponde al de la rendija simple. Se midió ∆y, es decir, la distancia entre los máximos de interferencia o entre cada franja oscura; C, el máximo central del patrón de difracción y D, la distancia entre la pantalla y la doble rendija. Estas medidas pueden ilustrarse claramente en la figura 4.

Figure 8. Montaje del interferómetro de Michelson.

Figure 7. Difracci´ on a partir del montaje de la doble rendija.

A partir de los datos obtenidos mediante el montaje anterior y con las ecuaciones (2) y (3), se hallaron los valores de a, la distancia entre las rendijas y b, el ancho de cada una de ellas, los cuales fueron comparados con los datos teóricos dados por el fabricante.

∆y = 2.B.

D λ. a

(3)

Interferencia

Se monta un interferómetro de Michelson teniendo especial cuidado en ubicar los espejos de tal manera que el rayo los atraviese por el centro y sin posicionar las lentes en los portalentes, como se muestra en la figura 5. Los puntos que deben observarse en la pantalla fueron reorientados mediante manipulació n del espejo E1. Se procedió a ubicar un lente de distancia focal 20mm en el portalentes y se ajusta la distancia entre ésta y el interfer´ ometro de tal manera que se ilumine el área predominante de los espejos. Al no obtener un patr´ on de interferencia circular definido, se reorientó el espejo E1 hasta obtener el patrón deseado en la pantalla. Se giró el tornillo microm´ etrico con el fin de observar los cambios en el centro del patrón. Se modificó la distancia entre el interferómetro y la pantalla, y a partir de la ecuación (4) se pudo establecer una explicación a la variación del fen´ omeno. λ a = L(2 − m ) . d 1 2

(4)

El lente de 20mm de distancia focal, fue reemplazado por un doblete de dos lentas con 20mm de distancia focal cada uno y se procedió a realizar la primera parte descrita previamente, comparando los patrones obtenidos en ambas etapas. En la segunda etapa, se ubicó el tornillo micrométrico de modo que correspondiera al patrón que se estuviera mostrando en ese momento. Se rotó lentamente en el mismo sentido hasta que el centro del patrón hubo completa 52 ciclos y se midió la distancia recorrida por E2 para que el n´ umero de ciclos pudiese efectuarse. A partir de que cada desplazamiento de media longitud de onda en el espejo, es decir, un ciclo ”brillante-oscuro” del centro del patrón, y mediante la ecuación (5) se pudo hallar la longitud de onda del láser. 2d = mλ.

(5)

Se modificaron algunos parámetros del interferómetro, como la separación entre la pantalla y el interferómetro, el sistema óptico con otras distancias focales, entre otros, con la finalidad de obtener otros resultados con los cuales se hicieron análisis y comparaciones para mejores conclusiones. Debido a que las lentes de la Figura 7 y la Figura 8 son ambas convergentes, y que la gráfica de la primera es una forma general para todas las lentes convergentes, ambas graficas deber´ıan tener un comportamiento similar, y en efecto lo tienen. Tomando de la Figura 7 el hecho de que en una distancia objeto 2f, la distancia imagen tambi´ en es 2f, y reemplazando esto en la ecuación de la l´ınea de tendencia de la Figura 2, obtenemos una focal experimental de

5 15.534 cm. El error relativo porcentual teniendo en cuenta que la focal teórica es de 15 cm, es 3.56%. Para obtener una relación clara entre p y q, se construye la gráfica de 1/q vs 1/p que se muestra en la Figura ??. En la Figura ?? se observa cuál es el comportamiento de una variable con respecto a la otra; del hecho de que en una distancia ob jeto 2f, la distancia imagen tambi´ en es 2f, la distancia focal experimental es de 15.03 cm. El error relativo porcentual teniendo en cuenta que la focal teórica es de 15 cm, es 0.21%. En el tercer método (Bessel) se midieron las distancias d (17 cm) y D (65 cm) para el cálculo de la distancia focal experimental mediante la ecuación (3). La distancia focal es 15.13 cm. El error relativo porcentual teniendo en cuenta que la focal teórica es de 15 cm, es 0.86%. En este m´ etodo, para cada una de las posiciones en las cuales se genera imagen n´ıtida, las imágenes fueron una disminuida y la otra aumentada, y las dos imágenes fueron invertidas.

Figure 9. imagen formada por una combinaci´ on de dos lentes.

que el doblete se comporte como una lente convergente simple, como se observa en la figura 10.

3. Lentes divergentes 3.A. Metodolog´ıa

Debido a que las lentes divergentes generan imágenes virtuales no es posible conocer sus propiedades sin realizar un montaje con otras lentes. Con el experimento se buscaba conocer las propiedades de lentes divergentes a partir de su conjugación con otras lentes convergentes con propiedades conocidas. Se utilizaron 2 métodos para este sistema, el sistema de lentes separadas y el sistema doblete. Para comenzar el montaje alineó la fuente de luz y limitar su cono para que pase directamente por la lente, esta fuente de luz se utilizar. Para el sistema de lentes separadas se ubicó el objeto entre la fuente de luz y la lente convergente. Luego se midieron las distancias entre la lente y el objeto y la lente y la imagen. Se procedió a determinar al aumento M1 a partir de la ecuaci´ on (4),

M 1 =

−S i yi = . S o yo

(6)

Posteriormente se introdujo una lente 2, divergente, al montaje ubicada una distancia d después de la lente convergente. Teniendo en cuenta que X = q − d < |f 2 | 

Donde X es la distancia entre la imagen formada por la primera lente y la segunda lente Una vez se calculó x se buscó una imagen n´ıtida generada por la lente 2 en la pantalla y se midió la distancia entre la lente y la imagen (q). Luego se calcula el aumento M i de la imagen final, con respecto a la lente divergente. este montaje se ilustra en la figura 9 Para el segundo método, sistema doblete, se buscó disminuir al máximo la separación entre las lentes, de modo

Figure 10. imagen formada por un doblete.

A partir de la información general que se adquiere de este sistema se pudo encontrar las propiedades de la lente divergente, con la ecuación (5),

1 1 1 = + f f 1 f 2 3.B.

(7)

Resultados y ´ analisis

M´ etodo 1: Sistema de lentes separada Como una combinación de lentes gruesas puede ser tomada anal´ıticamente como una única lente gruesa, al cambiar la posici´ o n de las lentes de modo que se encuentre la convergente antes de la divergente, se cumple tanto para el doblete como para el sistema de lentes dobles, que la imagen generada es igual a la del caso contrario. Conforme el objeto es alejado de la primera lente, la imagen que forma resulta más cerca de ésta, esto se debe a que la focal efectiva un sistema acoplado al ser la distancia focal de la lente divergente mayor que la de la convergente está dada por la ecuación (5). Despu´ es de seguir el procedimiento anterior para realizar el montaje, se toman las medidas de la distancia del objeto a la lente 1 (p), de la distancia de la lente 1 a la imagen (q’), el aumento transversal de la imagen

6 (M 1 ), la distancia de la lente 2 a la imagen de la primera lente (X) , la separación entre las lentes (d) y la distancia entre la lente 2 y la pantalla (q).Además con la ecuación (6), M −q = M 1 X

(8)

Se determinó el aumento de la imagen i’. En la tabla (4) y (5) se observan los resultados.

Figure 11. relacion entre 1/q vs 1/p.

Table 1. Medida de las distancias de montaje.

1 1 = − 0, 1 q p

(9)

Se concluye el foco de la lente tiene un valor de 10 cm (este es el intercepto con el eje y) y es divergente (el foco resulto negativo, una caracter´ıstica t´ıpica de las lentes divergentes), resultado esperado bajo los parámetros dados por el fabricante. A partir de la ecuación (8), 1 1 1 − = q X f 2

Table 2. Datos del sistema de lentes.

Los porcentajes de error en el aumento de ambas imágenes se deben, principalmente a la poca precisión del instrumento utilizado para medir la altura tanto para el objeto como para las imá genes. Los buenos resultados en los márgenes de error de las distancias corresponden a que se tuvo muy buena alineació n de los instrumentos y a la gran exactitud del instrumento utilizado para medir las separaciones. Se realiz´ o la gráfica 1/q vs 1/p mostrada en la figura 11para determinar la distancia focal experimental de la lente 2. En la gráfica se observa un comportamiento lineal ascendente de las variables donde de la ecuación de la recta que está definida por la ecuación (7),

(10)

la cual relaciona la distancia entre la segunda lente y la pantalla (q), la distancia entre la primera imagen con la segunda lente y el foco de ésta, comparándola con la ecuaci´ on de la recta se obtiene un margen de error del proceso experimental tuvo un 0% debido a la precisión y exactitud de los instrumentos de medición utilizados. La distancia entre la lente convergente y divergente es directamente proporcional a la distancia entre la imagen formada con la primera lente, es decir, si se ubica la lente divergente más cerca de la convergente, la distancia entre la imagen y la primera lente también se acortará. Método 2: Doblete Un doblete consiste en un sistema de dos o más lentes juntas una de otra. Las propiedades del doblete no han de cambiar si las lentes se conservan, la alteración del orden de éstas solo manifestará el sentido de la convergencia de los rayos. Las lentes usadas en el sistema son de focal 2cm (lente convergente) y -10cm (lente divergente), por lo que el sistema al usar la ecuación (5) tiene una focal efectiva te´ orica de 2.5cm.

7 Siguiendo el m´ etodo de los puntos conjugados objetoimagen, se calcul´ o con la ecuació n (1) la focal efectiva experimental del doblete cuando p = 5, 25cm y q = 5.10cm. Esta tuvo un resultado de 2,59 cm. Al tomar el error relativo porcentual entre la focal efectiva teórica y la experimental, este es bajo, con un valor de 3,47%, esto se debe, principalmente a la exactitud de la toma de medidas de las distancias p y q. Al usar la ecuación (5) y la distancia focal efectiva experimental del doblete y la distancia teórica de la lente 1, se halló la distancia focal experimental de la lente 2, con un valor de -8,78%. El resultado es coherente con las caracter´ısticas de la lente. Este resultado arroja un error relativo porcentual de 12.2%, un error considerablemente alto con respecto al error anterior, esto puede causado por el m´ etodo usado para encontrar el valor experimental que ya incluye errores. 4.

¨ Iluminador de KhOler

Una vez se tuvo claridad sobre los sistemas óptico formados por lentes divergentes y convergente se procedio a ¨ realizar el montaje de un iluminador de Kh Oler, el cual es utilizado para iluminar el objeto con un campo de luz uniforme. Para este montaje se utilizaron dos lentes convergentes d distancia focal 15 cm y 20 cm, un diafragma, una fuente de luz y una pantalla. y se colocaron como se muestra en la figura 12 y 13.

¨ Figure 12. Caracter´ısticas del iluminador de KhOler.

Se puedo apreciar como el primer diafracma ubicado en el iluminadordetermina la cantidad de luz que pase, esto se aprecia en la figura 14 donde (a) Diafragama 1 y 2 abiertos, (b) diafragma 1 cerrado y (c) diafragma 2 cerrado. 5.

Conclusiones

La imagen proyectada depende tanto de las propiedades de la lente, como de las manipulaciones externas a las que se someta ésta y el objeto respectivo. Si el objeto se encuentra entre la distancia focal o dos

¨ Figure 13. Iluminador de KhOler.

veces ésta o exactamente a dos veces la distancia focal de la lente, la magnificación de la imagen con respecto a éste será mayor a uno, mientras que si supera esta distancia, la magnificaci´ on tomará un valor menor a uno. La imagen diverge si el objeto se encuentra antes de la focal de la lente. De esto podr´ıa concluirse que en lentes convergentes, la magnificación predominante es negativa. Algunas de las lentes presentes en el laboratorio poseen datos erróneos que en un principio pudieron alterar los resultados. Sin embargo, la poca precisi´ o n al medir las distancias y determinar la nitidez de una imagen, pudieron ser factores que impidieron el total éxito de la pr´ actica. En las lentes divergentes no hay ningún tipo de variación de formación de imágenes (además de su magnificación) debido a que éstas siempre generan imágenes virtuales. En las lentes convergentes, no se formará imagen si el objeto está situado exactamente en la distancia focal de la lente, mas si los rayos incidentes de éste provienen del infinito, la imagen se verá proyectada en el foco al otro lado de la lente. El primer diafragma ubicado en el iluminador de Köhler determina la cantidad de luz que pase, mientras que el segundo diafragma regula el tamañ o de la imagen proyectada. Esto se usa actualmente en microscopios, debido a que el éxito de una imagen obtenida n´ıtida se basa más en el control de la luz que entra. Las lentes se usan en sistemas integrados contando con más de dos, incluyendo demás instrumentos ópticos como espejos y diafragmas. Esto sucede debido a que entre m´ as combinaciones precisas de este tipo de elementos, se generan más posibilidades de obtenció n de im´ agenes a cualquier escala, distancia, posición, intensidad, entre otros. As´ı, con la manipulaci´ o n de la óptica se desarrolla más innovaci´ on en campos de ciencia e investigaci´ on.

8 dos óptimos y alternos que puedan utilizarse en astrofotograf´ıa y microscop´ıa, cuyo uso pueda optimizar procesos y resultados a partir de sus caracter´ısticas. 6.

Figure 14. (a) Diafragama 1 y 2 abiertos, (b) diafragma 1 cerrado y (c) diafragma 2 cerrado.

Se propone a futuro manipular diferentes tipos de pantallas, posiciones y sistemas o´pticos a partir de minerales naturales con el fin de analizar posibles resulta-

Bibliograf´ıa

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LENTES CONVERGENTES, LENTES DIVERGENTES E ILUMINADOR DE KHÖLER

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