3.1. Espejos Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1.1. Espejos esféricos convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.1.2. Espejos esféricos divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.1.3. Aberración esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1.4. Espejos parabólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.1.5. Parábolas en rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2. Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2.1. Lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2.2. Métodos gráficos para lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2. 3. 2.3. 3. Ec Ecua uaci ción ón de le lent ntes es del elga gada das; s; am amp pli lific ficac ació ión n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.4. Ecuación del fabricante de lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3. Refrac acccin en una superfi rficcie es esfé férrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4. Instrumentos pticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3. Espejos Espejos y Lent Lentes es El Ojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4.2. Lente de aumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4.3. Telescopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.4.4. Microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.5. Aberraciones de lentes y espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.7. Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.1. 3. 1. Es Espe pejo joss Cu Curv rvos os Los espejos curvos más curvos más comunes son esféricos, lo que significa que forman una sección de una esfera. Un espejo esférico se llama convexo si la reflexión tiene lugar en la superficie exterior de la forma esférica, de manera que el centro de la superficie del espejo sobresale hacia el observador. Un espejo se llama cóncavo si la superficie reflectante está en la superficie interior de la esfera, de manera que el centro del espejo se aleja del observador (como una cueva una ). cueva).
Figura 3.1. Espejos con superficies esféricas convexa y cóncava. Note que θr para cada rayo.
3.1.1.
=
θi
Espejos esféricos convergentes
Punto focal y distancia focal Ahora suponga suponga que hay muchos rayos de luz horizo horizontales ntales incidentes incidentes sobre este espejo esférico. Cada rayo de luz obedece la ley de reflexión en cada punto. Así, cada rayo cruzará el eje óptico a la mitad entre el espejo y el punto C . Este punto de cruce F se llama punto focal. Observe que sólo los rayos horizontales incidentes en el espejo cercanos al eje óptico se reflejarán a través del punto focal. A menos que se especifique lo contrario, se supone que todoss los rayos horizontales todo horizontales están lo sufici suficientemen entemente te cerca del eje óptic óptico o para pasar por F en la reflexión. Del triángulo CBF es isósceles porque dos de sus ángulos son iguales. Por lo tanto, se tiene la longitud CF=BF. Se supone que la superficie del espejo es pequeña comparada con el radio de curvatura del espejo, así que los ángulos son pequeños y la longitud FB Quiñonez Choquecota
Espejos Curvos
Figura 3.2. Muchos rayos de luz paralelos reflejados por el punto focal de un
espejo cóncavo.
casi es igual a la longitud FA. En esta aproximación, FA=FC. Pero FA= f , la distancia focal, y CA = 2(FA)= R . En consecuencia, la distancia focal es la mitad del radio de curvatura: f =
R 2
(3.1)
Formación de imágenes; diagramas de rayos :
Figura 3.3. Rayos que salen del punto O’ en el objeto (una flecha). Se ilustran
los tres rayos más útiles para determinar dónde se forma la imagen I’. [Advierta que el espejo no es pequeño comparado con f , así que el diagrama no dará la posición precisa de la imagen].
Consideremos ahora la formación de imágenes reales con un espejo convergente, como el de la figura. Un objeto con la altura ho se coloca a una distancia do del espejo, donde Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
> f . El objeto es representado por una flecha, que indica la altura y orientacin del objeto. Éste está orientado de modo que la cola de la flecha esté sobre el eje óptico, que, o
como antes, es una normal a la superficie del espejo esférico a lo largo de una línea que pasa por el centro C de la esfera. Cuatro rayos de luz determinan dónde se forma la imagen.
Figura 3.4. Imagen producida mediante un espejo convergente de un objeto con
distancia al objeto mayor que la longitud focal del espejo.
Ahora otro caso para un espejo convergente, donde do < f . El objeto está sobre el eje óptico, y los tres rayos determinan dónde se forma la imagen.
Figura 3.5. Imagen producida mediante un espejo convergente con una distancia
al objeto menor que la longitud focal del espejo. Ecuación del espejo y amplificación
De los triángulos 1 y 2, por semejazas de triángulos tenemos que: tan() =
ho |hi | ho do = ⇒ = · · · (a) do di |hi | di
Del mismo modo de los triángulos 3 y 4, se tiene: tan(.) =
ho |hi | ho f = ⇒ = · · · (b) f di − f |hi | di − f
igualando las ecuaciones (a) y (b): do f 1 1 1 = ⇒ + = di di − f do di f Quiñonez Choquecota
(3.2)
Espejos Curvos
Figura 3.6. Triangulo para la deduccin de la ecuacin de espejos.
Esta ultima es la llamada ecuación del espejo, que relaciona la distancia al objeto do , la distancia a la imagen di y la longitud focal del espejo f . La amplificación lateral , m, de un espejo se define como la altura de la imagen dividida entre la altura del objeto. A partir del primer conjunto de triángulos similares anteriores, o la primera ecuacin de esta página, se escribe:: m =
hi di =− ho do
(3.3)
Observe que la amplificacin m es negativa para la situacin usada en la deduccin. En forma algebraica, esto ocurre porque hi < 0. La importancia de una m negativa es que m < 0 nos dice que la imagen está invertida. En la tabla se resumen las características de las imágenes formadas por un espejo convergente para cinco clases diferentes de distancias al objeto.
Tabla 3.1. Características de la imagen para espejos convergentes
Antes de tratar los espejos divergentes, formalicemos las convenciones de signos para distancias y alturas. 1. Todas las distancias del mismo lado del espejo que el objeto se definen como positivas, y las distancias del lado opuesto del espejo se definen como negativas. Así, f y do son positivas para espejos convergentes. 2. Para imágenes reales, di es positiva. Para imágenes virtuales, di es negativa. Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
Si la imagen está de pie, entonces hi es positiva, mientras que si la imagen está invertida, hi es negativa. Ejercicio 3.1 Un anillo de diamantes de 1.50 cm de alto se coloca a 20.0 cm de un espejo cóncavo con 30.0 cm de radio de curvatura. Determine a) la posición de la imagen y b) su tamaño. Ejercicio 3.2 Un objeto de 1.00 cm de alto se coloca a 10.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. a) Dibuje un diagrama de rayos para ubicar (aproximadamente) la posición de la imagen. b) Determine analíticamente la posición de la imagen y la amplificación. Ejercicio 3.3 Considere un objeto de 5.00 cm de alto colocado a 55.0 cm de un espejo convergente con longitud focal 20.0 cm. a) ¿Dónde se produce la imagen?, b) ¿Cuáles son el tamaño y la orientación de la imagen producida?
3.1.2.
Espejos esféricos divergentes
un espejo convexo es un espejo esférico con la superficie reflejante en el exterior de la esfera, los rayos reflejados divergen. En contraste con el espejo convergente, los puntos
Figura 3.7. Reflexión de rayos de luz paralelos desde la superficie de un espejo divergente.
normales se alejan del centro de la esfera. Cuando se extrapola la norma que pasa por la superficie de la esfera, interseca el eje óptico de la esfera en su centro, marcado como C en la figura (3.7). El análisis usado para espejos cóncavos es aplicable a espejos convexos. Incluso la ecuación del espejo. En el caso de un espejo divergente, la longitud focal f es negativa porque el punto focal del espejo está del lado opuesto del objeto. Se asigna también un valor negativo al radio de un espejo divergente. Por lo tanto, R (con R < 0 para un espejo divergente) 2 La distancia al objeto do se toma siempre como positiva, f es siempre negativa, entonces di es siempre negativa. Para la amplificación, encontramos que m es siempre positiva, un espejo f =
Quionez Choquecota
Espejos Curvos
Figura 3.8. Imagen formada por un objeto colocado enfrente de un espejo esfri-
co divergente.
divergente (incluso si do > f ) produce siempre una imagen virtual, de pie y reducida. Ejercicio 3.4 Un espejo retrovisor externo en un automóvil es convexo, con un radio de curvatura de 16.0 m. Determine la ubicación de la imagen y su amplificación para un objeto a 10.0 m del espejo.
3.1.3. Aberración esférica Las ecuaciones deducidas para espejos esfricos: 1 1 1 hi di + = , y m = =− do di f ho do
se aplican solamente a rayos de luz que están cerca del eje óptico. Si los rayos de luz están lejos del eje óptico, no se enfocarán a través el punto focal del espejo, lo que da lugar a una imagen distorsionada. En términos estrictos, no hay punto focal preciso en esta situación. Esta condición se llama aberración esférica.
Figura 3.9. Rayos de luz paralelos que inciden en un espejo convergente esférico,
lo cual demuestra la aberración esférica.
Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
Espejos parabólicos Los espejos parablicos tienen una superficie que refleja la luz desde una fuente distante al punto focal, desde cualquier parte del espejo. Por consiguiente, se puede usar el tamaño completo del espejo para colectar la luz y formar imágenes que no sufren de aberraciones esféricas. La figura (3.10) ilustra rayos de luz verticales que inciden sobre un espejo parabólico. Los rayos se reflejan a través del punto focal del espejo.
Figura 3.10. Rayos de luz reflejados por un espejo parabólico.
Si mediante una ecuación y(x) = ax 2 , se describe una parábola, entonces su punto focal se localiza en el punto (x = 0, y = 1/(4a)). Su longitud focal es, por lo tanto, f =
1 4a
(3.4)
Los espejos parabólicos son más difíciles de producir que los espejos esféricos y, en consecuencia, son más caros. Los telescopios reflectores más grandes usan espejos parabólicos a fin de evitar la aberración esférica. Muchos faros de automóviles usan reflectores parabólicos con la misma idea pero envían luz en la dirección opuesta: la fuente luminosa se coloca en el punto focal y el reflector envía la luz en un intenso haz paralelo al eje óptico. Las antenas de TV satelital (dishes) halladas en muchas azoteas son también en forma parabólica. Estas antenas no son espejos en el sentido de que no reflejan luz visible en forma especular. No obstante, aún son espejos parabólicos reflejantes en el intervalo de longitud de onda utilizado para la transmisión de TV vía satélite.
3.1.5. Parábolas en rotación Para aplicaciones ópticas precisas, es mejor tener espejos parabólicos. Una forma muy interesante de crear espejos parabólicos es poner un líquido en movimiento rotacional. En Quiñonez Choquecota
Espejos Curvos
todo punto de la superficie del líquido, la superficie será perpendicular a la fuerza desde , tiene que sumarse a el líquido que actúa sobre ese elemento de superficie. Esta fuerza, F la fuerza de gravedad que actúa en el elemento de superficie, −mgˆ y , para proporcionar la fuerza centrípeta neta que se requiere para mantener el elemento de superficie en una trayectoria circular (figura 3.11). En el sistema coordenado xy elegido aquí, la fuerza centrípeta es −mω 2 xˆ x.
Figura 3.11. Configuración geométrica de una parábola de rotación y diagrama ejercida de cuerpo libre para un elemento de fluido en su superficie. La fuerza F
por el fluido sobre un elemento de superficie se muestra en color magenta. Necesita equilibrar la fuerza de gravedad (roja) y proporcionar la fuerza centrípeta (verde) necesaria para mantener el elemento de superficie moviéndose en una trayectoria circular.
El ángulo θ del elemento de superficie con respecto a la horizontal está dado por tan θ = dy/dx (vea la figura 3.11). Se puede usar el mismo ángulo para expresar los componentes . El componente vertical de F tiene que equilibrar la fuerza de gravedad, y el de la fuerza F componente horizontal tiene que proporcionar la fuerza centrípeta neta.
F cos θ = mg F sen θ = mω2 x
Al dividir estas dos ecuaciones entre sí, se obtiene tan θ = (ω 2 /g)x. Ya se demostró que tan θ = dy/dx, por lo tanto, dy ω2 = x dx g La integración da como resultado la forma deseada de la superficie: ω2 2 y(x) = x 2g
(3.5)
que es una parábola. Debido a que la longitud focal de una parábola de la forma y = ax 2 es f = 1/(4a), la longitud focal de este espejo parabólico hecho de líquido rotatorio es: f =
g 2ω2
Quiñonez Choquecota
(3.6)
3. Espejos y Lentes
espejos telescpicos. En la actualidad hay diseños para construir una versión muy grande de tal telescopio en la Luna. Si bien esto podra sonar como ciencia ficción en el presente, la construcción de tal telescopio resultara más económica que la de uno con un espejo sólido. Puesto que la Luna no tiene atmósfera, el telescopio no experimentara las distorsiones atmosféricas que sufren los telescopios terrestres. Y podra construirse a una escala mucho más grande que la que es posible con telescopios basados en satélites como el telescopio espacial Hubble. Ejercicio 3.5 Muestre que la deducción de y(x) = (ω 2 /2g)x2 para la superficie de un líquido rotatorio se puede realizar por medio de argumentos de energía. Ejercicio 3.6 Suponga que tiene un telescopio de espejo líquido de longitud focal f 1 , y que usted desea duplicar esta longitud focal. ¿Qué ajuste tiene que hacer para la velocidad rotacional angular de su espejo líquido?
3.2.
Lentes
En esta sección se estudian y analizan lentes simples mediante el modelo de la óptica de los rayos que se explicó en el capítulo anterior. Luego se analizan algunos instrumentos ópticos, desde la lente de aumento o lupa y el ojo humano, hasta telescopios y microscopios. Si la luz entra a un medio a través de una superficie esférica, y luego regresa al medio original a través de otra superficie esférica, el dispositivo que tiene las superficies esféricas se denomina lente. Los rayos de luz, que inicialmente son paralelos antes de chocar contra la lente, se refractan en diferentes direcciones, dependiendo de la parte de la lente en la que ellos choquen. Según la forma de la lente, los rayos de luz pueden ser enfocados o pueden divergir.
Figura 3.12. Rayos paralelos llegan a un foco por medio de una lente delgada
convergente.
Los rayos provenientes de un punto o de un objeto distante, en esencia, son paralelos. Por lo tanto, se puede decir que el punto focal es el punto de imagen para un objeto en el infinito sobre el eje de la lente . En consecuencia, el punto focal de una lente se encuentra al ubicar el punto donde los rayos de Sol (o los de algún otro objeto distante) se llevan a una Quionez Choquecota
Lentes
imagen nítida. La distancia del punto focal desde el centro de la lente se llama distancia focal o longitud focal, f . Los optometristas y oftalmólogos, en vez de usar la distancia focal, usan el recproco de la distancia focal para especificar la intensidad de los anteojos (o los lentes de contacto). A esto se le llama potencia, P , de una lente: P =
1 f
(3.7)
La unidad para la potencia de una lente es la dioptría (D), que es un metro inverso: 1 D=1 m 1 . El parámetro más importante de una lente es su distancia focal f . −
Veamos una observación importante: toda lente que sea más gruesa en su centro que en sus bordes es una lente convergente con f positiva, y toda lente que sea más gruesa en sus bordes que en su centro es una lente divergente con f negativa (siempre y cuando la lente tenga un ndice de refracción mayor que el material circundante).
Figura 3.13. Varios tipos de lentes.
3.2.1. Lentes delgadas El dispositivo óptico más conocido y de uso más extendido (después del espejo plano) es la lente, que es un sistema óptico con dos superficies refractivas. La lente más simple tiene dos superficies esféricas lo suficientemente próximas entre s como para que podamos despreciar la distancia entre ellas (el espesor de la lente); a este dispositivo se le llama lente delgada. Si usted utiliza anteojos o lentes de contacto para leer, entonces está viendo estas palabras a través de un par de lentes delgadas. Lentes Convergentes
Al igual que un espejo cóncavo, una lente convergente forma imágenes de los objetos extensos. Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
gente1.png Figura 3.14. F 1 y F 2 son los puntos focales primero y segundo de una lente con-
vergente delgada. El valor numérico de f es positivo.
Lentes Divergentes
En una lente divergente, el haz de rayos paralelos que incide en esta lente diverge después de refractarse. La distancia focal de una lente divergente es una cantidad negativa, y las lentes de este tipo se conocen también como lentes negativas. Los puntos focales de una lente negativa están invertidos en relación con los de una lente positiva. El segundo punto focal, F 2, de una lente negativa es el punto a partir del cual los rayos que originalmente son paralelos al eje parecen divergir después de refractarse.
Figura 3.15. F 1 y F 2 son los puntos focales primero y segundo de una lente di-
vergente delgada. El valor numérico de f es negativo.
Quiñonez Choquecota
Lentes
3.2.2. Métodos gráficos para lentes
Figura 3.16. Mtodo grfico para localizar una imagen formada por una lente
delgada. Los colores de los rayos sirven sólo como identificación; no se refieren a colores específicos de la luz.
Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
Ecuación de lentes delgadas; amplificación Ahora se deducirá una ecuacin que relaciona la distancia de la imagen con la distancia del objeto y la distancia focal de una lente delgada. Esta ecuacin hará más rápida y exacta la determinacin de la posicin de la imagen que el trazado de rayos. Sea do la distancia del objeto, la distancia del objeto desde el centro de la lente, y d i la distancia de la imagen, la distancia de la imagen desde el centro de la lente.
Figura 3.17. Deduccin de la ecuacin de lentes para una lente convergente.
Por semejanza de los triángulos rectos FI’I y FBA son similares porque el ángulo AFB es igual al ángulo IFI’: hi di − f (3.8) = ho f dado que la longitud AB = h o. De los triángulos OAO’ e IAI’ tenemos que: hi di = ho do
(3.9)
luego:
1 1 1 (3.10) + = do di f A esto se le llama ecuacin de la lente delgada. Relaciona la distancia de la imagen di con la distancia del objeto do y la distancia focal f . Es la ecuacin más útil en ptica geométrica y se usa para lentes convergentes como para divergentes, y para todas las situaciones. Para todas las situaciones, si se usan las siguientes convenciones de signos:
1. La distancia focal es positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. 2. La distancia del objeto es positiva si el objeto está en el lado de la lente de donde proviene la luz (generalmente éste es el caso, aunque, cuando las lentes se usan en combinacin, puede no serlo); de otro modo, es negativa. 3. La distancia de la imagen es positiva si la imagen está en el lado opuesto de la lente desde donde proviene la luz; si está en el mismo lado, di es negativa. De manera equivalente, la distancia de la imagen es positiva para una imagen real, y negativa para una imagen virtual. Quiñonez Choquecota
Lentes
4. La altura de la imagen, hi , es positiva si la imagen está derecha, y negativa si la imagen está invertida en relación con el objeto. (ho siempre se toma como derecha y positiva). La amplificacin lateral , m, de una lente se define como la razón entre la altura de la imagen y la altura del objeto. hi di (3.11) m = =− ho do Para una imagen derecha la amplificación es positiva (hi > 0 y di < 0), y para una imagen invertida la amplificación es negativa (hi < 0 y di > 0 ). Ejercicio 3.7 Imagen formada por lentes convergentes. ¿Cuál es a) la posición y b) el tamaño de la imagen de una hoja de 7.6 cm de alto colocada a 1.00 m de la lente de una cámara con distancia focal de +50.0 mm? Ejercicio 3.8 Un objeto se coloca a 10 cm de una lente convergente con 15 cm de distancia focal. Determine la posición y el tamaño de la imagen a) analíticamente y b) mediante un diagrama de rayos.
Ejercicio 3.9 Dónde debe colocarse un pequeño insecto si una lente divergente con 25 cm de distancia focal debe formar una imagen virtual a 20 cm de la lente, en el mismo lado que el objeto? Ejercicio 3.10 Dos lentes convergentes,A y B, con distancias focales f A = 20.0 cm y f B = 25.0 cm, se colocan separadas 80.0 cm, como se ilustra en la figura. Un objeto se coloca a 60.0 cm enfrente de la primera lente, como se observa en la figura. Determine a) la posición y b) la amplificación de la imagen final formada por la combinación de las dos lentes.
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3. Espejos y Lentes
Ecuación del fabricante de lentes En esta seccin se demostrar que los rayos paralelos se llevan a un foco en un punto único para una lente delgada. Al mismo tiempo, también se deducir una ecuacin que relaciona la distancia focal de una lente con los radios de curvatura de sus dos superficies y su ndice de refracción, la cual se conoce como la ecuación del fabricante de lentes. De la figura,3.16. Aplicando la ley de Snell:
sen θ1 = n sen θ2 sen θ4 = n sen θ3
donde n es el ndice de refracción del vidrio, y se supone que la lente est rodeada por aire (n = 1). Para lentes delgadas sen θ ≈ tan θθ en radianes. Entonces las ecuaciones deducidas mediante la ley de Snell se expresaran como:
θ1 = nθ2 θ4 = nθ3
Figura 3.18. Diagrama de un rayo que pasa a través de una lente para la deducción de la ecuación del fabricante de lentes.
Quiñonez Choquecota
Refracci ón en una superficie esférica
También: h1 R1 h2 α ≈ R2 h2 β ≈ f γ = θ1 − θ2
θ1 ≈
α = θ3 − γ θ4 = α + β
Combinando estas ecuaciones se tiene: θ4 = α + β =
α β + + θ1 + θ2 n n
finalmente, remplazando a cada ángulo su valor aproximado se tiene: 1 1 1 = (n − 1) + f R1 R2
(3.12)
Esta ecuación se conoce como la ecuacin del fabricante de lentes . Relaciona la distancia focal de una lente delgada con los radios de curvatura de sus dos superficies y su ndice de refracción. En la deducción, ambas superficies son convexas, y R 1 y R 2 se consideran positivas. Pero, para una superficie cóncava, el radio se debe considerar negativo. Ejercicio 3.11 Una lente menisco convexa está hecha de vidrio con n = 1.50. El radio de curvatura de la superficie convexa es de 22.4 cm y el de la superficie cóncava es de 46.2 cm. a) ¿Cuál es la distancia focal? b) ¿Dónde estará la imagen para un objeto a 2.00 m de distancia? Ejercicio 3.12 Una lente plano-cóncava de lucita tiene una superficie plana y la otra tiene R = −18.4 cm. ¿Cuál es la distancia focal? ¿La lente es convergente o divergente?
3.3.
Refracción en una superficie esférica
Tarea: Ahora se examinará la refracción de rayos en la superficie esférica de un material transparente. Tal superficie puede ser una cara del cristalino o la córnea del ojo. n1 n2 n2 − n1 + = do di R
(3.13)
1. Si la superficie es convexa (de manera que el centro de curvatura C está en el lado de la superficie opuesto a aquél del cual proviene la luz), R es positivo; si la superficie es cóncava (C está en el mismo lado desde donde proviene la luz) R es negativo . Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
La distancia de la imagen, di , sigue la misma convención: positiva si está en el lado opuesto de donde proviene la luz, negativa si está en el mismo lado. 3. La distancia del objeto es positiva si está en el mismo lado de donde proviene la luz (éste es el caso normal, aunque cuando muchas superficies desvían la luz tal vez no lo sea), de otro modo es negativa.
3.4. Instrumentos ópticos 3.4.1.
El Ojo
El comportamiento óptico del ojo es similar al de una cámara. La distancia más cercana a la que el ojo puede enfocar con claridad se llama punto cercano del ojo. Para los adultos jóvenes por lo general es de 25 cm, aunque los niños pequeños a menudo enfocan objetos tan cercanos como a 10 cm. Conforme las personas envejecen, la habilidad para la acomodación se reduce y el punto cercano aumenta. El punto lejano es la distancia más lejana a la que una persona puede ver un objeto con claridad. Para algunos propósitos es útil hablar de un ojo normal (una especie de promedio de la población), que se define como un ojo que tiene un punto cercano de 25 cm y un punto lejano de infinito. Para comprobar su propio punto cercano, coloque este libro cerca de sus ojos y lentamente aléjelo hasta que las letras se distingan con claridad. El ojo normal es una especie de ideal. Muchas personas tienen ojos que no se acomodan dentro del rango normal de 25 cm a infinito, o tienen algún otro defecto. Dos defectos comunes son la miopía y la hipermetropía. Ambas se pueden corregir en gran medida con lentes, ya sea anteojos o lentes de contacto. En la miopía el ojo sólo puede enfocar objetos
Figura 3.19. Errores de refracción en a) un ojo normal, b) un ojo miope (corto de
vista) y c) un ojo hipermétrope (problemas de visión a distancias cortas) observando un objeto muy distante. La curva azul punteada indica la posición de la retina que se requiere.
cercanos. El punto lejano no es el infinito, sino alguna otra distancia más corta, de manera que los objetos distantes no se ven con claridad. En la hipermetropía, o hiperopia, el ojo no logra enfocar los objetos cercanos.Aunque los objetos distantes generalmente se ven con claridad, el punto cercano es un poco mayor que los 25 cm normales, lo que hace difícil la lectura. Quiñonez Choquecota
Instrumentos ópticos
El astigmatismo generalmente es provocado por una crnea o un cristalino que carece de redondez, de manera que los objetos puntuales se enfocan como líneas cortas, lo que hace borrosa la imagen.
Figura 3.20. a) Ojo hipermétrope sin corrección. b) Una lente positiva (conver-
gente) proporciona la convergencia adicional necesaria para que un ojo hipermétrope enfoque la imagen en la retina.
Figura 3.21. a) Ojo miope sin corrección. b) Una lente negativa (divergente) se-
para aún más los rayos para compensar la convergencia excesiva del ojo miope.
Ejercicio 3.13 El punto cercano de cierto ojo hipermétrope está a 100 cm delante del ojo. Para ver con claridad un objeto situado a 25 cm delante del ojo, ¿qué lente de contacto se necesita? Ejercicio 3.14 El punto lejano de cierto ojo con miopía está a 50 cm delante del ojo. Para ver con claridad un objeto situado en el infinito, ¿qué lente de anteojos se requiere? Suponga que la lente se usa a 2 cm delante del ojo.
3.4.2. Lente de aumento Gran parte del resto de este capítulo tratará con dispositivos ópticos que se usan para generar imágenes amplificadas de los objetos. Primero se estudiará el amplificador simple, la lente de aumento o lupa, que simplemente es una lente convergente. Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
3.22. Hoja vista a) a través de una lente de aumento o lupa y b) con el ojo
sin ayuda. En ambos casos el ojo se enfoca en su punto cercano.
La amplificación angular o potencia de amplificación, M , de la lente se define como la razón entre el ángulo subtendido por un objeto cuando se usa la lente y el ángulo subtendido con el ojo solo, con el objeto en el punto cercano N del ojo (N = 25 cm para un ojo normal): θ (3.14) M = θ M se puede escribir en términos de la distancia focal al notar que θ = h/N y θ = h/do , donde h es la altura del objeto y se supone que los ángulos son pequeños de manera que θ y θ igualan sus funciones seno y tangente. Si el ojo está relajado (con la menor tensión posible en el ojo), la imagen estará en el infinito y el objeto estará precisamente en el punto focal. En tal caso, do = f y θ = h/f , mientras que θ = h/N , como antes. Por lo tanto, ′
′
′
M =
N (ojo enfocado en el infinito; N = 25 cm para el ojo normal) f
(3.15)
Se advierte que, cuanto menor sea la distancia focal de la lente, mayor será la amplificación.
M =
N + 1 (ojo enfocado en el punto cercano, N; N = 25 cm para el ojo normal) (3.16) f
Ejercicio 3.15 Una lente convergente de 8 cm de distancia focal se usa como lupadejoyero, que es una lente de aumento. Estime a) la amplificación cuando el ojo está relajado, y b) la amplificación si el ojo se enfoca en su punto cercano N = 25 cm.
3.4.3. Telescopios Un telescopio se usa para amplificar objetos que están muy lejos. En la mayoría de los casos, el objeto se considera en el infinito. la potencia de amplificación total (esto es, la amplificación angular, que es lo que siempre se cita) de este telescopio es θ h/f e f o M = = = − (telescopio) θ h/f o f e ′
(3.17)
Ejercicio 3.16 El mayor telescopio óptico refractor del mundo se encuentra en el Observatorio Yerkes, en Wisconsin. Se le refiere como un telescopio de 40 pulgadas, lo cual significa Quionez Choquecota
Instrumentos ópticos
Figura 3.23. Telescopio astronmico (refractor). La luz paralela proveniente de
∞) se lleva a un foco gracias a la lente un punto de un objeto distante ( do objetivo en su plano focal. Esta imagen (I 1 ) se amplifica en el ocular para formar la imagen final I 2 . Slo dos de los rayos mostrados que entran al objetivo son rayos estándar (2 y 3). =
que el diámetro del objetivo mide 40 pulgadas, o 102 cm. El objetivo tiene una distancia focal de 19 m, y el ocular una distancia focal de 10 cm. a) Calcule la potencia de amplificacin total de este telescopio. b) Estime la longitud del telescopio.
3.4.4.
Microscopio compuesto
El microscopio compuesto, como el telescopio, tiene lentes tanto objetivo como ocular. El diseño es diferente del de un telescopio porque un microscopio se usa para ver objetos que están muy cerca, de manera que la distancia del objeto es muy corta. El objeto se coloca justo más allá del punto focal del objetivo. La amplificacin global de un microscopio es el producto de las amplificaciones producidas por las dos lentes. El objetivo realiza una ampliacin: mo =
hi di l − f e = = ho do do
(3.18)
El ocular acta como un amplificador simple. Si suponemos que el ojo está relajado, la amplificación angular del ocular M e es: M e =
N f e
(3.19)
donde el punto cercano N = 25 cm para el ojo normal. Como el ocular agranda la imagen Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
3.24. Microscopio compuesto.
formada por el objetivo, la amplificación angular global M es el producto de la amplificación lateral del objetivo, mo , por la amplificación angular, M e , de la lente ocular:
M = M e mo =
N f e
l − f e do
(microscopio)
(3.20)
Ejercicio 3.17 Un microscopio compuesto consiste en un ocular 10 × y un objetivo 50× separados 17.0 cm. Determine a) la amplificación global, b) la distancia focal de cada lente y c) la posición del objeto cuando la imagen final está en foco con el ojo relajado. Suponga un ojo normal, de manera que N = 25 cm.
3.5.
Aberraciones de lentes y espejos
Anteriormente en este capítulo se desarrolló una teoría de formación de imágenes me-
diante lentes delgadas. Se encontró, por ejemplo, que todos los rayos provenientes de cada punto de un objeto se llevan hacia un solo punto como el punto de imagen. Éste y otros resultados se basaron en aproximaciones para una lente delgada, principalmente la referente a que todos los rayos forman pequeños ángulos con el eje y que se puede considerar sen θ = θ. En virtud de estas aproximaciones, se esperan desviaciones de la teoría simple, que se conocen como aberraciones de lentes. Existen muchos tipos de aberración; se discutirá brevemente cada una de ellas por separado, pero todas pueden presentarse al mismo tiempo. Quiñonez Choquecota
Aberraciones de lentes y espejos
3.25. Aberracin esfrica (exagerada). El crculo de menor confusin est
en C.
Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
Resumen En un espejo plano , la imagen es virtual, derecha, del mismo tamaño que el objeto y aparece a la misma distancia detrás del espejo que la que existe entre el espejo y el objeto que está enfrente. Un espejo esférico puede ser cóncavo o convexo. Un espejo esfrico cóncavo enfoca rayos paralelos de luz (luz proveniente de un objeto muy distante) hasta un punto llamado punto focal. La longitud focal de un espejo esfrico es igual a la mitad R de su radio de curvatura, f = . El radio R es positivo para espejos convergentes 2 (cóncavos) y negativo para espejos divergentes (convexos). Para imágenes formadas con espejos esféricos, la distancia al objeto, la distancia a la imagen y la longitud focal del espejo se relacionan mediante la ecuacin del espejo, 1 1 1 = + f do di Aqu d o es siempre positiva, mientras que di es positiva si la imagen está del mismo
lado del espejo que el objeto y negativa si la imagen está del otro lado. La longitud focal f es positiva para espejos convergentes (cóncavos) y negativa para espejos divergentes (convexos). La razón entre la altura de la imagen h i y la altura del objeto h o , lo que se llama la amplificacin m de un espejo, es hi di m = =− do di Si los rayos que convergen para formar una imagen en realidad pasan a través de la imagen, de manera que ésta aparecera sobre una pelcula o una pantalla colocada ah, se dice que es una imagen real . Si los rayos en realidad no pasan a través de la imagen, ese trata de una virtual. La frmula del fabricante de lentes delgadas relaciona la curvatura de ambos lados de una lente y su índice de refracción con su longitud focal, 1 1 1 = (n − 1)( + ) f R1 R2
En las imágenes formadas por lentes, la distancia del objeto, la distancia de la imagen y la longitud focal de la lente se relacionan mediante la ecuacin de las lentes delgadas,
1 1 1 = + f do di Aqu d o es siempre positiva, pero d i es positiva si la imagen está en el lado opuesto de la lente con respecto a la posición del objeto y negativa si está en el mismo lado de donde está el objeto. La longitud focal f es positiva para las lentes convergentes y negativa para las lentes divergentes. Quiñonez Choquecota
Resumen
La razn entre la altura de la imagen y la altura del objeto, que es igual a la amplificación lateral m, es hi di m = =− do di Cuando se usan en combinacin dos (o más) lentes delgadas para producir una imagen, puede usar la ecuacin de la lente delgada para cada lente en secuencia. La imagen producida por la primera lente actúa como el objeto para la segunda lente. La potencia P de una lente, que es, 1 P = f se da en dioptras, que son unidades de metro inverso (m
−1
).
Las lentes divergentes o los lentes de contacto se usan para corregir el defecto de un ojo miope, que no logra enfocar bien objetos distantes. Las lentes convergentes se usan para corregir defectos en los que el ojo no logra enfocar objetos cercanos. Un amplificador simple (Lupa) es una lente convergente que forma una imagen virtual de un objeto colocado en el punto focal (o precisamente dentro de él). La amplificacin angular, cuando se ve mediante un ojo normal relajado, es N M = f donde f es la distancia focal de la lente y N es el punto cercano del ojo (25 cm para un ojo normal). Un microscopio compuesto usa lentes objetivo y ocular, y la imagen final está invertida. La amplificacin total es el producto de las amplificaciones de las dos lentes y es aproximadamente Nl M = f o f e donde l es la distancia entre las lentes, N es el punto cercano del ojo y f o y f e son las distancias focales de objetivo y ocular, respectivamente. Un telescopio astronmico consiste en un lente objetivo o espejo, y un ocular que amplifica la imagen real formada por el objetivo. La amplificacin es igual a la razn de las distancias focales del objetivo y el ocular, y la imagen está invertida: f o M = − f e Microscopios, telescopios y otros instrumentos pticos están limitados en la formacin de imágenes nítidas por las aberraciones de lentes. Éstas incluyen la aberración
esférica, en la que los rayos que pasan a través del borde de una lente no se enfocan en el mismo punto que los que pasan cerca del centro; y la aberración cromática, en la que los diferentes colores se enfocan en diferentes puntos. Las lentes compuestas, que consisten en muchos elementos, permiten corregir considerablemente las aberraciones Quionez Choquecota
3. Espejos y Lentes
Problemas Propuestos Movimiento en dos dimensiones Espejos esféricos Problema 3.1 Una persona se mira en una brillante esfera de arbolito de Navidad, que tiene un diámetro de 9.2 cm. Si su cara está a 25.0 cm de la superficie frontal de la esfera, ¿dónde está su imagen? ¿Es real o virtual? ¿Está derecha o invertida? Problema 3.2 Un dentista quiere un pequeño espejo que, cuando esté a 2.00 cm de una pieza dental, produzca una imagen derecha 4.03×. ¿Qué tipo de espejo debe usar y cuál debe ser su radio de curvatura? Problema 3.3 La amplificación de un espejo convexo es 0.603× para un objeto a 2.0 m del espejo. ¿Cuál es la longitud focal de este espejo? Problema 3.4 Los espejos convexos se utilizan con frecuencia en los espejos retrovisores de los automóviles. Muchos de esos espejos muestran la advertencia Los objetos en el espejo están más cerca de lo que aparentan. Suponga que un espejo convexo tiene un radio de curvatura de 14.0 m y que hay un automóvil que está 11.0 m detrás del espejo. Para un espejo plano, la distancia a la imagen sería 11.0 m y la amplificación sería 1. Determine la distancia a la imagen y la amplificación para este espejo. Rta. 0.389 Problema 3.5 Usted tiene un espejo esférico con un radio de curvatura de +20.0 cm (de modo que la concavidad queda frente a usted). Usted está observando un objeto cuyo tamaño se desea duplicar en la imagen, para poder verla mejor. ¿Dónde debe colocar el objeto? ¿Dónde estará la imagen, y será real o virtual? Rta. Si el objeto se coloca a 15.0 cm, la imagen será real y estará a una distancia de 30.0 cm del espejo. Si el objeto se coloca a 5.00 cm, la imagen será virtual y estará a −10.0 cm del espejo. Problema 3.6 Un objeto de 4.5 cm de alto se coloca a 26 cm enfrente de un espejo esférico. Se desea producir una imagen virtual derecha de 3.5 cm de alto. a) ¿Qué tipo de espejo se debe usar? b) ¿Dónde se ubica la imagen? c) ¿Cuál es la distancia focal del espejo? d) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? Rta. a) Convexo; b) 20 cm detrás del espejo; c) −1.8 m; d) −91 cm. Problema 3.7 Sea f = −|f | la distancia focal de un espejo convexo. Demuestre que la amplificación m de un objeto a una distancia do de este espejo está dada por m = |f |/(do + |f |). Con base en esta relación, explique por qué su nariz se ve más grande que el resto de su cara cuando se mira en un espejo convexo. Problema 3.8 Una propuesta para un telescopio en el espacio es colocar un gran espejo líquido rotatorio en la Luna. Suponga que desea usar un espejo líquido de 100 m de diámetro Quiñonez Choquecota
Problemas Propuestos
y quiere que tenga una longitud focal de 347.5 m. La aceleración gravitacional de la Luna es 1.62 m/s2 . a) ¿Qué velocidad angular tiene su espejo? b) ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto en el perímetro del espejo? c) ¿Qué tan alto por arriba del centro está el perímetro del espejo?
Refraccin en una superficie esfrica Problema 3.9 Un trozo plano de vidrio, de 13.0 cm de grosor (n = 1.58), yace sobre la superficie de un estanque de agua de 12.0 cm de profundidad. ¿A qué distancia, bajo la parte superior del vidrio, parece estar el fondo del estanque, según se ve directamente desde arriba? Problema 3.10 Un pez nada en agua dentro de un tazón esférico de vidrio delgado con grosor uniforme. Suponiendo que el radio de curvatura del tazón es de 28.0 cm, localice la imagen del pez si éste se ubica: a) en el centro del tazón; b) a 20.0 cm del lado del tazón entre el observador y el centro del tazón. Suponga que el pez es pequeño. Lentes e Instrumentos pticos Problema 3.11 Un objeto está a 6.0 cm de una lente convergente delgada a lo largo del eje de la lente. Si la lente tiene una longitud focal de 9.0 cm, determine la amplificación de la imagen. Rta. 3 Problema 3.12 Como ingeniero de láser de alta potencia usted requiere enfocar un rayo láser de 1.06 mm de diámetro en un punto cuyo diámetro es de 10.0 µm que está 20.0 cm atrás de la lente. ¿Qué lente y de qué longitud focal usaría? Rta. 0.198 m. Problema 3.13 Suponga que la longitud focal de una lupa es de 5.00 cm. Determine el poder de amplificación de este vidrio cuando el objeto se coloca en el punto cercano. Rta. 5.0. Problema 3.14 Una persona con una distancia de punto cercano de 24.0 cm se da cuenta de que una lupa da una amplificación angular que es 1.25 veces más grande cuando la imagen de la lupa está en el punto cercano que cuando la imagen está en el infinito. ¿Cuál es la longitud focal de la lupa? Rta. 6.0 cm. Problema 3.15 ¿Qué tan grande parece un insecto de 5.0 mm cuando se ve a través de un sistema de dos lentes idénticas cuya longitud focal es de 5.0 cm y están separadas por una distancia de 12 cm si el insecto está a 10.0 cm de la primera lente? ¿La imagen es real o virtual? ¿Invertida o vertical? Rta. −8.5 mm, invertida, virtual. Problema 3.16 Dos lentes delgadas convexas idénticas, cada una de longitud focal f , están separadas por una distancia de d = 2.5f . Un objeto está situado enfrente de la primera lente a una distancia do,1 = 2f . a) Calcule la posición de la imagen final de un objeto visto a Quiñonez Choquecota
3. Espejos y Lentes
del sistema de lentes. b) Calcule la a mplificacin transversa total del sistema. c) Trace
un diagrama de rayos para este sistema y muestre la imagen final. d) Describa la imagen final (real o virtual, vertical o invertida, más grande o más pequeña) en relacin con el objeto inicial. Rta. a) 2f ; b) −2; d) virtual, invertida, mas grande.
3.26. Problema 3.16.
Problema 3.17 María posee un punto cercano de 125 cm y desea leer la pantalla de la computadora a 40.0 cm de sus ojos. a) ¿Cuál es la distancia del objeto? b) ¿Cuál es la distan-
cia de la imagen? c) ¿Cuál es la longitud focal? d) ¿Cuál es la potencia de la lente correctora necesaria? e) ¿Es divergente o convergente la lente correctora? Rta. a) 40 cm; b) -125 cm; c) 59 cm; d) 7.9 dioptrías. Problema 3.18 Un estudiante encuentra un tubo de 20 cmdelargoyenunodesusextremos está una lente. Esta lente tiene una longitud focal de 0.70 cm. El estudiante quiere usar el tubo y la lente para hacer un microscopio con una amplificacin de 3.0×102 ×. ¿Qué longitud focal debe tener la lente que el estudiante debe instalar en el otro extremo del tubo? Rta. 2.4 cm. Problema 3.19 Se ajusta un telescopio astronmico de 180× para un ojo relajado cuando las dos lentes están separadas 1.30 m. ¿Cuál es la longitud focal de cada lente? Rta. 1.3 m. Problema 3.20 Un telescopio sencillo está constituido por un ocular de longitud focal igual a 25.0 mm y un objetivo de longitud focal igual a 80.0 mm. Calcule el ángulo subtendido por la imagen de la Luna cuando se le observa a través de este telescopio desde la Tierra. Problema 3.21 Usted está experimentando con una lupa (que es una simple lente convergente) en una mesa. Descubre que al sostener la lupa a 92.0 mm por arriba de la mesa, usted forma una imagen real de una luz que está directamente sobre su cabeza. Si la distancia entre la luz y la mesa es de 2.35 m, ¿cuál es la longitud focal de la lente? Problema 3.22 Una adolescente olvida ponerse sus lentes y se percata de que necesita sostener un libro a 15 cm de sus ojos para ver claramente lo impreso. a) Si tuviera que sostener el libro a 25 cm, ¿qu tipo de lentes correctoras tendra que usar para ver con nitidez lo impreso? b) ¿Cuál es la longitud focal de la lente? Quiñonez Choquecota
Problemas Propuestos
Problema 3.23 La longitud focal de la lente de una cmara es de 38.0 mm. ¿Qué tanto se tiene que desplazar la lente para cambiar de una persona enfocada a 30.0 m y enfocar a otra que est a 5.00 m? Problema 3.24 El funcionamiento adecuado de ciertos dispositivos ópticos (por ejemplo, fibras ópticas y espectrómetros) requiere que la luz de entrada sea una colección de rayos divergentes dentro de un cono de medio ngulo θ (figura ). Si la luz inicialmente existe
como un haz colimado (es decir, de rayos paralelos), demuestre que se puede usar una lente individual con distancia focal f y dimetro D para crear la entrada de luz requerida si D/f = tan θ. Si θ = 3.5º para cierto espectrómetro, ¿qué distancia focal de lente se debe usar si el dimetro de la lente es de 5.0 cm?
a 3.27. Problema 3.24.
Quiñonez Choquecota
