Mekanika kekuatan material dalam teknik unandDeskripsi lengkap
Balok Persegi Atau Balok T ATAU L
Balok GerberFull description
BALOK B40X80
struktur konstruksi balokDeskripsi lengkap
Analisa Plat dan Balok
Balok Anak
bahan kuliahFull description
Balok Persegi Atau Balok T ATAU L
Pelat Beton Bertulang, Cara perhitungan, excel file, cara mudah perhitungan beton bertulangDeskripsi lengkap
Contoh perencanaan balok anak untuk beton bertulang
1.
Yang dimaksud dengan lendutan adalah jarak sumbu netral sebelum melendut ke garis netral terdeformasi. Perubahan kedudukan titik yang besesuaian sepanjang sumbu batang menentukan garis elestis batang tersebut.
P
x
P y Gari Garis s elas elasti tis s
Hubungan antara lendutan (y) dan jarak (x) membentuk sebuah fungsi yang disebut fungsi garis elastis. Apablia pusat salib sumbu di A sedangkan sumbu vettikal adaalh sumbu y dan horizontal adalah x maka persamaan garis elastis dapat dituliskan sebagai y = f(x). Perhitungan lendutan sangat penting dalam perancangan sutruktur. Misalnya : lendutan maksimum yang diijinkan pada sebuah balok adalah 1/300 dari panjang balok. Hal ini perlu ditetapkan agar tidak terjadi beban psikologis pada pemakai konstruksi. Selain itu perhitungan lendutan juga sangat penting untuk menganalisis struktur statis tak tentu.
1. Untuk mencegah retak pada elemen konstruksi yang bersifat getas. 2. Memastikan struktur tidak melendut terlalu besar dan terasa aman bagi pemakainya. 3. Membantu menyelesaiakn struktur statis tak tentu.
1
Metode menghitung l endutan
Metode Balok Konyugasi
Metode Energi
Metode Integrasi Berganda
Metode Geometri
Metode Luasan Momen
Metode Kerja virtual
Metode Castigliano
Ada beberapa metode perhitungan lendutan balok antara lain : o
Integral berganda ( metode integrasi berganda)
o
Metode luasan momen (Moment-area method)
o
Metode Konyugasi
o
Metode energi
Metode fungsi tunggal Pada bagian ini hanya dibahas dua metode pertama. o
Hubungan antara beban, gaya lintang, momen, perputaran sudut dan lendutan dapat dirumuskan sebagai berikut :
y = lendutan
θ = y ' = M EI D EI q EI
dy dx
= y ' ' =
d θ dx
=
= y ' ' ' =
dM
= y ' ' ' ' =
dD
dx dx
d 2 y dx 2 3
= =
d y dx 3 d 4 y dx 4
2
Asumsi-asumsi : 1. lendutan akibat gaya geser diabaikan karena dibandingkan dengan lendutan akibat momen lentur.
relatif
kecil
2. lendutan yang terjadi sangat kecil dibandingkan dengan dimensi balok 3. semua bagian balok dianggap masih dalam rentang elastis 4. balok dianggap lurus sebelum dibabani. Syarat batas: Pada tumpuan jepit: Y= 0 ( lendutan = nol) θ = 0 (sudut garis singgung = 0) Tumpuan sendi : Y=0 M=0 Ujung bebas : M=0 V=0 Tumpuan Rol : M=0 Y=0 Prosedur umum perhitungan : 1. EI y ' ' ' ' = EI 3
2. EI
d y dx
3
4. EI
d y dx dy dx
5. EI y
dx 4
= q( x) x
= EI y ' ' ' = ∫ q dx + C 1 = D ( x) 0
2
3. EI
d 4 y
2
x
x
0
0
= EI y' ' = ∫ dx ∫ q dx + C 1 x + C 2 = M ( x) x
x
x
0
0
0
= EI y ' = ∫ dx ∫ dx ∫ q dx + 12 C 1 x 2 + C 2 x + C 3 = θ ( x) x
x
x
x
0
0
0
0
= ∫ dx ∫ dx ∫ dx ∫ q dx + 13 12 C 1 x 3 + 12 C 2 x 2 + C 3 x + C 4
3
dV dx dθ dx
d 2 M
= −w
dx
=
2
d 2ν
M EI
dx
2
= −w
=
∫
M = ⎡ − wdx ⎤ dx
∫⎣ ∫
V = − wdx
Integrasi
⎛ M ⎞
M
∫ ⎝ EI ⎠⎟ dx
θ = − ⎜
EI
⎦
⎡ ⎛ M ⎞ ⎤ ∫ ⎣ ∫ ⎝ EI ⎠⎟ dx ⎥⎦ dx
ν = ⎢ ⎜
Contoh 1: y L
x
M = − PL + Px
x
PL
2
P P
EI
@x
EI
Integrasi pertama
dy
@x=0
dx
Integrasi kedua @x=0
EIy = −
PLx
2
EI
2
2
+P
d y
= − PLx + P
dx
3
6
x
EIy = −
PLx 2
2 PL 2
+P
2
= M
+ c1
(0)2 2
x 3
+ c1 ⇒ c1 = 0
+ c2
6
(0 ) + P 2
dx
2
2
= 0 ⇒ EI (0 ) = − PL(0 ) + P
y = 0 ⇒ EI (0 ) = − x
= − PL + Px
2 dx dy
d y
(0)3 6
+ c2 ⇒ c2 = 0
3
Δ max =
@ x = L y = y max
EIymax = −
2
PL L
2
+P
3
L
6
=−
3
PL
6
⇒ ymax = −
3
PL
3 EI
PL
3 EI
4
Contoh 2: y W N per satuan panjang
x
x 2
M = −
2 WL
EI 2
EI
@x
d y dx
EI
Integrasi pertama
@x=0
=−
2
W
2
( L − x )
2
W ( L − x )
=
dx
= 0 ⇒ EI (0 ) =
dx
EI
dy dx
=
W
6
EIy = −
2
+ c1
3
W ( L − 0 )
2
( L − x ) − 3
−
4
EIy = −
W
24
6
6 3
6
−
4
( L − x ) − 4
3
WL
6
6
3
WL
W ( L − 0)
WL3
WL
4
y = 0 ⇒ EI (0) = −
+ c1 ⇒ c1 = −
3
W ( L − x )
6
= M
3
dy
4
Pada x = 0
dx
2
3
dy
∴
Integrasi kedua
2 d y
( L − x )2
2
L
WL
W
x + c2 3
WL
6
x +
(0) + c2 ⇒
c2 =
4
WL
24
4
WL
24
Max. terjadi pada x = L
EIymax = −
4
W L
6
+
4
WL
24
Δ max =
=−
4
WL
8
⇒ ymax = −
4
WL
8 EI
WL4
8 EI
5
y
x
x L
WL
2
WL WL
M =
2
x
x − Wx 2 2 2 d y WL x 2 EI 2 = x − W 2 2 dx dy WL x 2 W x 3 = − + c1 EI Integrasi 2 2 2 3 dx L dy @ x = =0 Karena balok simetris dx 2 3 2 L L ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ WL3 L WL ⎝ 2 ⎠ W ⎝ 2 ⎠ @ x = − + c1 ⇒ c1 = − EI (0) = 24 2 2 2 2 3
∴ Integrasi
EIy =
dy
EI
WL x
3
4 3
−
dx
W x
⇒ EI (0 ) =
WL (0 )
∴ EIy =
Max. terjadi @ x = L /2
−
3
WL
x − 3
4
−
x − 2
3
WL
24
W (0 )
6
4
W
x −
24
EIymax = −
Δ max =
4
W
6
x − 3
WL3
24
x + c2
4
4
12
4
6 4 3
@x=0 y=0
=
WL
−
WL3
24
(0) + c2
⇒ c2 = 0
3
WL
24
x
5WL4 384
5WL4 384 EI
6
Teorema I Sudut diantara tangen arah di A dan di B adalah sama dengan luasan diagram momen lentur diantara kedua titik A dan B, dibagi dengan perkalian E da I. B
θ =
M
∫ EI dx
A
B
d
A
a t B t n g e n a T
ds
d
dx
x
Teorema II Jarak vertikal titik B pada kurva lendutan ke garis singgung titik A pada kurva lendutan sama dengan besarnya momen terhadap grs vertikal melalui B dari luasan diagram momen diantara A dan B, dibagi EI.
Mx
B
Δ=∫
A
M = d θ = d θ =
EI
ρ M EI M EI
xd θ =
ds = ρ d θ ⇒ ρ = ds
EI
dx
ds d θ
untuk segmen kecil ds = dx
dx integrasik an menjadi
Mx
EI
∫
θ = d θ =
B
M
∫ EI dx
A
B
dx
⇒
Δ=∫
Mx
EI A
dx
7
Prosedur perhitungan 1. Tentukan reaksi perletakan balok 2. gambarkan perkiraan garis elastis. Kurva ini harus konsisten dengan kondisi yang sudah diketahui pada perletakan, seperti tangen arah nol dan lendutan nol. 3. Gambarkan diagram momen balok sehingga dapat diketahui diagram M/EI –nya. 4. pilih titik A dan B, kemudian gambarkan garis singgung kedua titik ini. Dengan asumsi salah satu titik kondisi (lendutan, sudut) diketahui misalnya titik A. 5. Hitung lendutan titik B relatif terhadap titik A dengan teorema II. Contoh 1 PL
A
L Tangent di A P P
B
Tangent di B M
PL
PL ⎛ 2 L ⎞ EI Δ = (− PL ) ⎜ ⎟=− 2 3 ⎝ 3 ⎠ L
EI θ =
L
2
3
Δ=−
3
PL
3 EI 2
(− PL )
θ=−
PL
2 EI
8
Contoh 2. W N per satuan panjang
A
Tangent A =?
WL2
L
2 WL A =
x
2
1 WL 3 2
L
B
WL2
3 x = L 4
2
L ⎛ W
WL ⎞ ⎛ 3 ⎞ EI Δ = ⎜ − L ⎟ ⎜ L ⎟ = − 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 8
4
2
Δ=−
WL
4
8 EI
Contoh 3 a
P
P
a
=?
A L
P
P
Tangent A
Pa L
2
a
−a
⎛ L2 La La a 2 ⎞ P 3 ⎛ L ⎞⎛ L a ⎞ Paa 2 EI Δ = Pa⎜ − a ⎟⎜ − + a ⎟ + a = Pa⎜⎜ + − − ⎟⎟ + a 2 3 8 4 4 2 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 2 3 3 3 PaL Pa PL ⎡ 3a 4a ⎤ = − = ⎢ − L3 ⎥ 8 6 24 ⎣ L ⎦ Δ=
3 PL ⎡ 3a
⎢
24 EI ⎣ L
−
4a 3 ⎤
⎥
L3 ⎦
9
Teorema I kurva elastis pada suatu titik balok sebenarnya dengan pada titik yang besesuai dengan titik tersebut pada balok konyugasi. Teorema II suatu titik pada balok sebenarnya dengan pada titik yang bersesuaian dengan titik tersebut pada balok konyugasi.
10
Prosedur analisis balok konyugasi 1. Gambarkan balok konyugasi lengkap dengan kondisi batasnya. 2. Buat diagram momen, kemudian bebani balok konyugasi dengan M/EI. Apabila M/EI positif maka beban mengarah ke bawah dan sebaliknya keatas. 11
3. Tentukan reaksi perletakan, gaya lintang dan momen balok konyugasi. 4.
pada balok konyugasi merupakan pada balok sebenarnya, dan pada balok konyugasi merupakan pada balok sebenarnya.
Contoh 1
8 kN B
A
x
3m
9m 2 kN
6 kN 8 kN B
A
x
Balok sebenarnya
18kNm
2 kN 81/EI
18/EI
27/EI
6 kN B’
A’
x 45/EI
63/EI
9m
Lendutan Maximum terjadi pada titik pada slope sama dg nol