LEMA DE NEYMAN-PEARSON
En situaciones prácticas de las pruebas de hipótesis, se pueden realizar pruebas con un nivel de significancia α para una hipótesis nula frente a una hipótesis alternativa, y esto nos lleva a preguntarnos sobre cómo podemos decidir el estadístico de prueba o como saber si hemos elegido la mejor región de rechazo. Defnición. 7.2.1
Sea el estadístico de prueba y !! "región de rechazo# para una prueba de hipótesis en relac relación ión con un valor valor del parámetr parámetro o $. Entonces la potencia de la prueba es la probabilidad de rechazar %& cuando la alternativa es verdadera, es decir' ( ) *otencia "$# )* " en !! cuando el valor del parámetro es una %. alternativa $# Si %&' $ ) $& and %a' $ + $&, entonces la potencia de la prueba en algn $ ) $ - + $& es' *otencia "$-# ) * "rechazar %& $ ) $ -#. *ero, / "$ -# ) * "aceptar % & $ ) $ -#. Entonces, *otencia "$-# ) - 0 / "$ -#. 1na buena prueba tendrá una gran potencia. 2345' 6a potencia de una prueba % o no se puede encontrar a menos 7ue se sepa la situación real %a. "6a distribución 8uestral del estadístico de prueba cuando %a es verdad debe ser conocida dado 7ue / depende de %a# Ejemplo:
Sea 9-, 9:, ; , 9n una muestra aleatoria de una distribución poisson con parámetro <. Su función de densidad es' f"=# ) e><<=? "=@# Entonces la hipótesis % & ' < ) - nicamente especifica de forma nica la distribución, por7ue f"=# ) e>-? "=@# es una hipótesis simple. 6a hipótesis %a' < A - es algo compuesto por7ue f"=# no se determina de manera nica. DEFINIION:
1n ensayo a una α dada para una prueba de hipótesis %o contra una alternativa tiene la potencia más grande entre las pruebas con la probabilidad de error de tipo -, no más grande 7ue la potencia dada por α llamada la mayor prueba de alcance. Bonsidere la prueba de la hipótesis % &' $ ) $& frente a %a' $ ) $ -. Si α es fijo, entonces Bonsidere nuestro interCs es hacer / lo más pe7ueDo posible. ebido a 7ue / ) - F *otencia "$ -#, minimizando / 7ue obtendría una mayor prueba de gran alcance. 6o 7ue dice 7ue entre todas las pruebas con determinad determinada a probabilidad de error de tipo G, el cociente de probabilidad de la prueba dado más tarde minimiza la probabilidad de un error de tipo GG, en otras palabras, es más poderoso poderoso.. !EOREMA 7.2.1 "lem# $e Ne%m#n-Pe#&'on(
Supong Suponga a 7ue se 7uier 7uiere e proba probarr una hipóte hipótesi sis s sencil sencilla la % &' $ ) $ & vs la hipótes hipótesis is alternativa %a' $ ) $ -. Bon una muestra aleatoria 9-,;, 9n para una distribución con parámetro $.
ado 6 "$# H 6 "$I 9-,..., 9n# A &, denota la probabilidad de la muestra cuando el valor del parámetro es $. Si e=iste una constante positiva J y es un subconjunto B del espacio de la muestra !n'
Entonces la prueba con la región critica B será la prueba más poderosa frente a % & contra %a. 6lamaremos α en tamaDo de la prueba y a B la mejor región critica de tamaDo α. DEMOS!RAION:
Se prueba para variables aleatoria continuas. ado S alguna región en !n n dimensional espacio euclidiano. Se usa la sig. 2otación'
Suponga 7ue hay otra región crítica, beta de igual tamaDo pero menor 7ue alfa'
Entonces'
*or el teorema K.:.- asumimos' En cada punto de la región BL ocurre BLMN entonces'
Esto es'
6o 7ue resulta'
ebido a 7ue esto es cierto para todas las regiones criticas N de tamaDo O α, B es la mejor región critica de tamaDo α. P la prueba con la región critica B es la prueba más poderosa de tamaDo α. Buando se prueban : hipótesis simples, la e=istencia de la mejor región crítica está garantizada por el lema de 2eymanF*earson. En situaciones reales rara vez se presenta el problema de poner a prueba : pruebas de hipótesis simples, y no hay un resultado general para las hipótesis compuestas. Sin embargo, para la prueba de hipótesis de la forma %&' $ ) $ & frente a %a' $A $ &, 7ue pueden tener un valor particular $ -A $& y a continuación, encontrar una prueba más poderosa para %&' $ ) $& frente a %a' $A $ -. Ejemplo:
ado =-,;, 9n denota una muestra aleatoria de una población con una distribución poisson con media <. Encuentre la prueba más poderosa para la prueba de hipótesis'
%&' < ) : versus %a' < ) -?:. Entonces la fdp' "densidad#
6a función de probabilidad es'
*ara < ) :,
*ara < ) Q
6uego
e manera más simple'
5plicando logaritmo natural
!esolviendo para R=i y dejando T ln J U "Vn?:# W ? ln XY ) JL , rechazamos %& cuando ∑ =i Z JL
A)o el p&oce$imien*o p# #plic#& el lem# $e Ne%m#n-Pe#&'on e' el 'i+,ien*e: 1- De*e&min#& l#' ,ncione' $e p&o#ili$#$ #jo l# )ipó*e'i' n,l# % #l*e&n#*i/#. 2- !om#& l# &el#ción $e l#' $o' ,ncione' $e p&o#ili$#$ 0,e $een 'e& meno&e' # ,n# con'*#n*e . - Simplifc#& l# $e'i+,#l$#$ en el p#'o #n*e&io& p# o*ene& l# &e+ión $e &ec)#3o. Ejemplo 7.2.
Suponga 9-,..., 9n es una muestra aleatoria de una distribución normal con media [ conocida y varianza desconocida \:. Encuentre la prueba más poderosa de a para una prueba %&' \: ) \:& vs %a' \ : ) \:- "\:- A \:. emuestre 7ue esto es e7uivalente a probar chiFcuadrada. ]Es una prueba uniformemente potente para %a' \: A \:&^ Solución' 6a prueba' %&' \: ) \:& vs %a' \ : A \:-. 4enemos
3 e7uivalente'
Entonces la prueba más potente es, rechazar %& si'
*ara algn J Sacando logaritmos naturales tenemos'
3 tambiCn'
*ara encontrar la región de rechazo para corregir un valor alfa, escribimos la región como'
2otar 7ue' "=i > [# : ? \ :& tiene una distribución _: con n grados de libertad. Najo % & por7ue la misma región de rechazo se utilizaría para cual7uier \ :- A \:&, la prueba es uniformemente más potente. En el ejemplo anterior se muestra 7ue con el `n de probar la varianza de una muestra de una distribución normal se puede utilizar la tabla de chiFcuadrada para obtener el valor crítico para la región de rechazo dada α.