leccion 2.2

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Ing. Oscar Guillermo Segura Estadisca II

Muestras Independientes Caso # 2 (prueba t conjunta o combinada) Caso: Varianzas poblacionales asumimos que

σ 1 , σ 2

Desconocidas pero

σ 1= σ 2

El problema, en la mayoría de los casos, es que no se conoce la desviación estándar de las poblaciones. Sólo se conocen las desviaciones estándar de las muestras. Si esto ocurre, es necesario asegurarse de que el estudio cumple con los siguientes supuestos antes de seguir el método que se presentará a continuación.

1. upuestos 1. Las muestras se seleccionan aleatoriamente. 2. Las muestras son independientes ie. Las observaciones en una muestra no tienen nada que ver con las observaciones en la otra muestra! ". Las poblaciones tienen una distribución normal o no puede suponerse la normalidad de las poblaciones de origen. #. Las varian$as de las poblaciones son iguales  !omo"eneidad de arianzas! arianzas! i !a$ el mismo n%mero n%mero de obseraciones obseraciones en los dos "rupos& "rupos& la prueba es robusta $ por lo tanto no !ace 'alta realizar la prueba de !omo"eneidad de arianzas.


%radicionalmente los dos primeros supuestos se logran seleccionando aleatoriamente los su&etos y asignando aleatoriamente la mitad al grupo control y la otra mitad al grupo e'perimental. Se utili$a la distribución t como el estadístico de prueba. Las varian$as de las 2 muestras no son signi(icativamente di(erentes .

2. rueba de t de arianzas combinadas 2.1. *ip+tesis Es importante se)alar que las *ipótesis se pueden presentar de dos (ormas di(erentes, como una comparación o como una di(erencia comparable a cero.

2.2. Dos colas H0:  l =  H1:  l  

2

ó

 l -  2 = 0

ó  l- 

2

2

 0

2.,. -na cola H0:  l   2

ó

 l- 

H1:  l < 

ó

 l -  2 < 0

2

2

 0

,. Calculo del stad/stico +samos la distribución tstudent, con n 1 - n2  2 grados de libertad.  partir de ella, Encontramos t α, v y comparamos con el valor t calculada


stad/stico de prueba (t calculada) t =

´ − X ´ ) ( X 1

√[ 2

Sr

2

1

n1

+

1

n2

]

/onde la varian$a combinada es

( n −1 ) S +( n −1 ) S Sr = ( n −1 ) + ( n −1 ) 2

2

1

1

2

1

2 2

2

´ = media de lamuestra 1 X 1

´ = media de lamuestra 2 X 2

n1 n2 esel numero de muestras tomadas

jemplo 0ompara los promedios de dividendos en la bolsa de valores de  y la de Londres. 0on 3 4 5.56 sumimos que  NY =  L (se hizo la prueba F para demostrarlo) /atos del problema7 NY: 1 = 21!

X 1 =

Londres: 2 = 2&!

"#2$! % 1 = 1#"0

X 2 =

2#&"! % 2 = 1#1'

Es necesario c*equear si se cumple con los siguientes supuestos7 1. Las muestras se seleccionaron aleatoriamente. 2. Las muestras son independientes ie. Las observaciones en una muestra no tienen nada que ver con las observaciones en la otra muestra! ". Las poblaciones tienen una distribución normal #. Las varian$as de las poblaciones son iguales supuesto que asumimos al 8ni cio! H0:  l =  2

ó

 l -  2 = 0

H1:  l   2

ó

 l- 

2

 0


 = 0#0& 1 = 21!  2 = 2&

9rueba que se debe usar varian$a combinada!

0as suposiciones !ec!as son: 1. Las muestras son independientes 2. Las dos poblaciones siguen la distribución normal. ". Las dos poblaciones tienen desviaciones estándares iguales. l 2 - 2 = 21  2& - 2 =  d( grados de libertad!

9ara tener 6: del área en la $ona de rec*a$o *ay que buscar los valores críticos para la prueba de dos colas ba&o 5.526. Los valores críticos corresponden a 2.516# y 2.516# %i t0 < -2#01& ó

si t 0 * 2#01& se rec*a$a ; 5

%i -2#01& < t 0 < 2#01&  se rec*a$a ; 5

0omputar t5 después de computar la varian$a combinada

2

S r =151

t5 cayó en la $ona de rec*a$o por lo tanto se rec*a$a ; 5


0on un 6: de signi(icación podemos decir que la evidencia apoya la conclusión de que *ay di(erencias entre las medias de los dos grupos.

3. Interalo de con'ianza /e igual (orma que se *i$o con una sola muestra se puede construir un intervalo de con(ian$a alrededor de la estadística y determinar si la di(erencia entre los parámetros se *alla dentro del intervalo de con(ian$a. La (órmula para el intervalo de con(ian$a es7

/onde la di(erencia entre las medias es 4 ".2<  2.6" 4 5.<#= tc 4 2.516# valor crítico de t!

9or lo tanto 08>6 4 5.<# ± 2.516#!5."?"
jemplo En el proceso de con(ección y armado, de una camisa que es enviada a distribuidores en Estados +nidos y 0anadá. Se *an propuesto dos procedimientos


distintos para el proceso de la costura de botones y con(ecciones de los o&ales La pregunta es7 Ce'iste una di(erencia en el tiempo medio para 9roceso de la costura de botones y con(ecciones de los o&alesD El primer procedimiento lo desarrolló una supervisora de calidad designado como procedimiento 1!, y el otro lo desarrolló ingeniería procedimiento 2!. 9ara evaluar los dos métodos, se decidió reali$ar un estudio de tiempos y movimientos. Se midió el tiempo de monta&e en una muestra de cinco empleados segn el método 1 y seis empleados con el método 2. Los resultados, en minutos, aparecen en la tabla mostrada aba&o. C;ay alguna di(erencia en los tiempos medios de monta&eD +tilice un nivel de signi(icancia de 5.15. 9rocedimiento 1

9rocedimiento 2

Finutos 2 # > " 2

Finutos " < 6 G # "

La *ipótesis nula establece que no *ay di(erencia en los tiempos medios de monta&e entre ambos procedimientos. La *ipótesis alternativa indica que si e'iste una di(erencia. H 0:

+1 = +2

H 1:

+1 , +2

0as suposiciones requeridas son: 1. Las muestras son independientes 2. Las dos poblaciones siguen la distribución normal. ". Las dos poblaciones tienen desviaciones estándares iguales una prueba H! oluci+n


Los grados de libertad son iguales al nmero total de elementos muestreados menos el nmero de muestras, en este caso, n 1 - n 2 I 2. 6 - ? I 2 4 > grados de libertad gl 4 >, +na prueba de dos colas y nivel de signi(icancia de 5.15 Los valores críticos de t student se obtienen dela tabla del apéndice J.2 Ker libro de te'to! Son I1.G"" y 1.G"". La regla de decisión se muestra aba&o o se rec*a$a la *ipótesis nula si el valor calculado de t se encuentra entre I1.G"" y 1.G"".

9ara calcular el valor de t. estadístico de prueba o bien decimos t observado! ecesitamos las desviaciones estándar de las muestras Calcule las desiaciones est6ndar de las muestras. Kea los detalles.


Determine el alor de t obserada

La decisión es no rec*a$ar la *ipótesis nula, porque I5.??2 se encuentra en la región entre I1.G"" y 1.G"". Se concluye que no e'iste di(erencia en los tiempos medios para el traba&o con los dos métodos.

E'cel tiene un procedimiento denominado 9rueba t7 dos muestras si las varian$as son igualesM para reali$ar los cálculos de las (órmulas 11.6 y 11.?, así como la


determinación de las medias y varian$as de las muestras. Los datos se ingresan en las dos primeras columnas de la *o&a de cálculo de E'cel y se identi(ican como procedimiento 1M y procedimiento 2M. continuación se presenta la salida en pantalla. El valor de t, denominado t StatM, es I5.??2

Proscedim.. 1

Proscedim. 2

7ctiidad # 2 para resoler el alumno El Ing. Gerardo Caraccioli de embotelladora Sula compra una maquina llenadora, pues los estudios indican que mejoraran la producción, prepara un informe para mostrar la efectividad de esta estrategia y justificar los gastos requeridos. Para el estudio se seleccionaron aleatoriamente ! operarios y aleatoriamente se asignaron "# a un grupo $#% e&perimental con la nueva l'nea de producción y "# a un grupo


control $!% en la l'nea antigua. Se obtuvieron promedios de ".# y !.( con desviaciones est)ndar de *. y *.+ para los grupos e&perimental y control respectivamente. os 'tems !- " se relacionan con una prueba de /ipótesis con 0 1 *.*-. 2&# ./ul sera la hipótesis altera a#

μ1− μ2 > 0

b#

´ − X ´ >0 X 1 2

3#

μ1− μ2 < 0

d# μ1 ≠ μ2 2'# ./ul pudiera ser la hipótesis ula a#

μ1− μ2 ≤ 0

b#

´ − X ´ =0 X 1 2

3#

μ1− μ2= 0

d#

´ 1= X ´2 X

2$# .4u5 prueba de hipótesis se debe utilizar e esta situa3ió a# 6uestras idepedietes 3o 7ariazas homo85eas b# 6uestras idepedietes 3o 7ariazas hetero85eas 3# 6uestras depedietes d# 6uestras o aleatorias

29# .4u5 razó se puede adu3ir para sele33ioar la prueba de hipótesis ade3uada a# Las 7ariazas de las muestras so 3asi i8uales b# Las 7ariazas de las pobla3ioes so i8uales 3# l re3hazo de la hipótesis ula e la prueba F d# La robustez de la prueba


2;# ./utos 8rados de libertad se utiliza e esta prueba de hipótesis a# "0 b# &9 3# '0 d# '2 "0# .4u5 se utiliza 3omo 7alor(es) 3rti3o(s) a# -1#'$1  1#'$1 b# -2#0  2#0 3# 1#'$1 d# 2#0 "1# La zoa de re3hazo es a# to

2#0

b# to 1#'$1 3# 1#'$1 d# 2#0

to ó to -1#'$1 to ó to -2#0

"2# La zoa de o re3hazo es a# to < -2#0 b# to * -1#'$1 3# to < 2#0 d# to < 1#'$1


"# /o el 7alor obser7ado obteido es posible a# re3hazar la hipótesis ula b# o re3hazar la hipótesis altera 3# o re3hazar la hipótesis ula d# o lle8ar a i8ua determia3ió

leccion 2.2

Recommend Documents