A mi amigo y compañero compañero Pepe Vidal. Por hacerme ver la diferencia entre los conceptos de área y superficie. Ramón Galán.
INTRODUCCIÓN. Una de las máximas contradicciones que presenta la metodología tradicional de la enseñanza de las matemáticas se observa cuando se trabajan las medidas en general, y las medidas de superficie, en particular. Por este motivo me pregunto: ¿cómo es posible abordar la enseñanza y el aprendizaje de las medidas de superficie sin realizar ningún tipo de medida? La estrategia más comúnmente empleada en las aulas consiste en partir de las medidas de longitud, de la relación existente entre los múltiplos y divisores del metro y proporcionar a los alumnos la información de que las medidas de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100, a diferencia de las unidades de longitud que aumentan de 10 en 10. Posteriormente se construye la famosa “escalera” de forma que cada “peldaño” supone un aumento, o disminución de 100. Esto es, si suben, dividen por la unidad seguida de ceros; si bajan, multiplican teniendo en cuenta que cada peldaño vale por dos ceros. Finalmente atiborran de ejercicios escritos donde los alumnos deben transformar o establecer relaciones de equivalencia numérica entre las distintas unidades de superficie. Son ejercicios que carecen de utilidad y significación para la vida. ¿Acaso, a lo largo de nuestra vida, nos hemos visto en la necesidad de transformar 3,2 Dm2 a cm2? ¿Qué capacidad lógica matemática desarrolla el alumno cuando para hallar el resultado desciende por la escalera 3 peldaños y, por lo tanto, multiplica por un millón? ¿Qué significado tiene para un niño de 10 años la expresión 3.200.000 cm2? Por otra parte, mi experiencia práctica me informa, año tras año, que una de las máximas dificultades que presentan al inicio los alumnos estriba en diferenciar el concepto de longitud del concepto de superficie y, en concreto, distinguir entre perímetro y área en un simple rectángulo. Ello me lleva a pensar que, si aún realizando actividades prácticas, midiendo perímetros de rectángulos y cuadrados de forma real con el metro lineal y la superficie de sus áreas con metros cuadrados, los alumnos encuentran una cierta dificultad en diferenciar ambos conceptos, ¡cómo sería esa dificultad si trabajaran mediante una metodología tradicional! El profesorado piensa que con una simple explicación basta para que el alumno diferencie entre la longitud del perímetro y la superficie del área, pero no es así. En el presente trabajo se presentan un conjunto de tareas prácticas que he realizado con los alumnos y constituyen las distintas fases del proceso de aprendizaje correspondiente al dominio de las medidas de superficie, así como de otros aprendizajes colaterales referidos fundamentalmente a operaciones con números decimales y a diversos conceptos dentro del ámbito de la geometría. Cuando los alumnos abordan el aprendizaje de las unidades de superficie ya presentan un dominio suficiente de las unidades de longitud referidas a metros, decímetros, centímetros y milímetros. Un dominio adquirido mediante la realización de numerosas actividades prácticas como medir, trazar, estimar, comparar, sumar, restar, multiplicar y dividir medidas de longitudes, así como diversas actividades teóricas, tanto oral como escritas, referidas a las conclusiones que obtiene de las actividades prácticas.
PRIMERA FASE: Construir metros cuadrados. Como sabemos, para llevar a cabo cualquier tipo de medida se necesita un instrumento de medida. Para medir longitudes, empleamos una cinta métrica de un metro de longitud dividida en decímetros, centímetros y milímetros. Ahora, si queremos medir superficies, tendremos que emplear metros cuadrados, decímetros cuadrados, centímetros cuadrados y milímetros cuadrados. Dado que no existe en el mercado estos instrumentos de medidas de superficie, no nos queda más remedio que construirlos nosotros mismos. Por lo tanto, la primera actividad práctica que los alumnos realizaron fue construir los metros cuadrados. Se adoptó esa decisión en base a considerar que dicha actividad es una buena situación de aprendizaje y que desarrolla un conjunto de ha bilidades. Para tal fin, se le proporcionó a cada dos alumnos un pliego de papel de embalar cuya superficie excedía de un metro cuadrado. Con la ayuda de una cartulina, que hacía las veces de una escuadra, un metro y una regla de madera, dibujaron y recortaron un metro cuadrado. Posteriormente, dividieron cada lado del cuadrado en 10 dm y cuadricularon el metro cuadrado en decímetros cuadrados. En total, se construyeron 12 metros cuadrados.
Una vez construidos los metros cuadrados cuadriculados en 100 dm 2, colocamos uno de ellos en el suelo y junto a él una cinta métrica de un metro, dividida en 10 dm. De este modo, los alumnos tuvieron ante sus ojos, esto es, percibieron visualmente lo que es un metro lineal y lo que es un metro cuadrado.
A continuación se les proporcionó la correspondiente información y se les formularon un conjunto de cuestiones: -
Esto es un metro lineal.
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Esto es un metro cuadrado.
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Esto es un metro lineal porque es alargado como una línea.
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Esto es un metro cuadrado porque es un cuadrado que mide un metro por cada lado.
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Un metro lineal es una línea. Un metro cuadrado es una superficie.
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Con los metros lineales, como saben, medimos las longitudes y las distancias.
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Con los metros cuadrados mediremos superficies.
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Como también sabemos, cada metro lineal está dividido en 10 partes iguales o decímetros.
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Como podrán observar, el metro cuadrado lo hemos dividido en cuadrículas, en cuadrados que miden de lado un decímetro, por lo tanto, lo hemos dividido en decímetros cuadrados.
El profesor deberá medir los cuatro lados de una de las cuadrículas con el fin de que los alumnos observen que efectivamente cada lado mide un decímetro. Por otra parte los alumnos lo entienden como lógico puesto que lo cuadricularon ellos mismos. A continuación el profesor formulará al grupo cuestiones como las siguientes:
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¿Cuántos decímetros lineales tiene un metro lineal? 10 decímetros lineales.
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¿Cuántos decímetros cuadrados tiene un metro cuadrado? 100 decímetros cuadrados.
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¿Cómo saben, si no los han contado, que cada metro cuadrado tiene 100 decímetro cuadrados? Porque hemos multiplicado 10 por 10, que son 100.
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¿Cuántos decímetros lineales tiene medio metro lineal? 5 decímetros lineales.
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¿Cuántos decímetros cuadrados tiene medio metro cuadrado? 50 decímetros cuadrados.
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¿Cuántos decímetros lineales mide la cuarta parte de un metro lineal? Dos decímetros y medio.
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¿Cuántos decímetros cuadrados mide la cuarta parte de metro cuadrado? 25 decímetros cuadrados.
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¿Cuántos decímetros lineales mide la quinta parte de un metro lineal? Dos decímetros lineales.
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¿Cuántos decímetros cuadrados mide la quinta parte de metro cuadrado? 20 decímetros cuadrados.
SEGUNDA FASE: Medir con los metros cuadrados, superficies de cuadrados y rectángulos construidos en el suelo. Para la realización de esta segunda fase los alumnos construyeron en el suelo un cuadrado de tres metros de lado. Emplearon para ello la llamada cinta “carrocera” o cinta adhesiva de papel que se utiliza para proteger los marcos de las ventanas y puertas cuando se pintan las paredes. Esta cinta es barata, fácil de conseguir y no deja señal en el suelo. Puede, incluso, cortarse y marcar con lápiz o rotulador cuando se efectúan medidas sobre ella.
Una vez construido el cuadrado, los alumnos procedieron a cubrir su interior con los metros cuadrados de papel, pudiendo comprobar que dentro cabían exactamente nueve. Una vez terminada esta actividad práctica, se le proporcionó al grupo de alumnos, que estaba situado en torno al cuadrado construido, información relativa a los conceptos de perímetro y área aplicados al cuadrado. De forma sucinta, la información proporcionada fue similar a la siguiente:
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Con la cinta, hemos construido lo que los matemáticos llaman el perímetro del cuadrado.
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El perímetro es la línea que bordea todo el cuadrado.
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El perímetro se expresa en medidas de longitud, por esta razón lo medimos con el metro lineal.
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Con los metros cuadrados hemos cubierto lo que los matemáticos llaman el área del cuadrado.
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El área es la superficie que hay en el interior del cuadrado.
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El área se expresa en medidas de superficie, por esta razón la hemos medido con los metros cuadrados.
A continuación y siempre teniendo a la vista el cuadrado construido, se le formuló a sucesivos alumnos del grupo cuestiones como las siguientes: -
¿Cuántos metros lineales de cinta hemos empleado en total para hacer el perímetro del cuadrado? 12 metros de cinta.
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¿Entonces, cuántos metros mide la longitud el perímetro del cuadrado que acabamos de hacer? 12 metros.
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¿Podrías explicar cómo has calculado la solución? He sumado cuatro veces, tres metros (He multiplicado 3 metros por 4)
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¿Cuántos metros cuadrados hemos empleado en total para cubrir el interior del cuadrado? 9 metros cuadrados.
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¿Entonces, cuántos metros cuadrados mide la superficie del área del cuadrado que acabamos de hacer? 9 metros cuadrados.
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¿Podrías explicar cómo has calculado la solución? Porque los he contado. (Porque hay tres a lo ancho y tres a lo largo y en total hay 9) (Porque 3 por 3 son nueve)
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¿Alguien podría decirme cuántos decímetros lineales mide cada lado del cuadrado? 30 decímetros.
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¿Cómo lo has calculado? Porque hay tres metros por cada lado y cada metro tiene 10 decímetros, por lo tanto, en total habrá 30 decímetros en cada lado. (multiplicando 3 por 10).
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¿Alguien podría decir cuántos decímetros lineales mide todo el perímetro del cuadrado? 120 decímetros.
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¿Cómo lo has calculado? Porque 12 metros es lo mismo que 120 decímetros. (Porque si un lado mide 30 decímetros y hay cuatro lados, en total habrá 120 decímetros)
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¿Alguien podría decirme cuántos centímetros lineales mide cada lado del cuadrado? 300 centímetros.
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¿Alguien podría decir cuántos centímetros lineales mide todo el perímetro del cuadrado? 1.200 centímetros.
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¿Alguien podría decir cuántos decímetros cuadrados mide el área del cuadrado? 900 decímetros cuadrados.
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¿Cómo lo has calculado? Porque cada metro cuadrado tiene 100 decímetros cuadrados y como hay 9 metros cuadrados, entonces habrá 900 decímetros cuadrados.
En otra sesión similar y empleando de nuevo la cinta carrocera, los alumnos construyeron ahora un rectángulo de 4 metros de largo por 3 metros de ancho. Como reflexión y análisis teórico, procedimos en primer lugar a establecer semejanzas y diferencias entre el cuadrado y el rectángulo. Estas fueron las repuestas del grupo: - ¿En que se parecen, qué tienen de igual, el cuadrado y el rectángulo? Quién quiera responder que levante la mano. Esta compañera irá anotando lo que vayamos descubriendo.
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Los dos tienen cuatro lados.
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Los dos tienen los cuatro lados rectos.
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Los dos tienen cuatro esquinas (vértices)
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Los dos tienen dos lados verticales y dos horizontales (Lados paralelos)
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El ancho y el largo forman ángulos rectos.
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Los dos tienen cuatro ángulos rectos.
- Ahora tenemos que descubrir que tienen de diferente el cuadrado y el rectángulo. Quién quiera responder que levante la mano. Nuestra compañera seguirá anotando lo que vayamos descubriendo.
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El cuadrado tenía los cuatro lados iguales. El rectángulo no. Hay dos que son más largos.
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En el rectángulo, el ancho y el largo no miden lo mismo.
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El largo y el ancho no miden lo mismo pero los dos largos y los dos ancho sí miden lo mismo.
A continuación nos centramos en las longitudes de los lados y aprovechamos la ocasión para establecer equivalencias entre las unidades de longitud. Fuimos planteando a distintos alumnos del grupo, cuestiones como las siguientes: -
¿Cuántos metros mide el largo del rectángulo? 4 metros.
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¿Cuántos metros mide el ancho del rectángulo? 3 metros.
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¿Cuántos metros mide de más el largo que el ancho? 1 metro.
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¿Cuántos metros miden los dos largos juntos? 8 metros.
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¿Cuántos metros miden los dos anchos juntos? 6 metr os.
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¿Cuántos decímetros mide el largo del rectángulo? 40 decímetros.
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¿Cuántos centímetros? 400 centímetros.
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¿Cuántos decímetros mide el ancho del rectángulo? 30 decímetros.
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¿Cuántos centímetros? 300 centímetros.
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¿Cuántos centímetros mide de más el largo que el ancho? 100 centímetros.
Posteriormente analizamos y reflexionamos sobre el perímetro del rectángulo. Con el fin de recordar de una manera intuitiva el concepto de perímetro, una alumna caminó sobre la cinta, bordeando todo el rectángulo.
A continuación se formularon las siguientes cuestiones: -
¿Cuántos metros lineales mide el perímetro del rectángulo? 12 metros lineales.
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¿Cómo lo has calculado? Porque 4 metros mas 3 metros mas otros 4 metros y 3 metros son en total 14 metros.
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¿Alguien lo ha calculado de otra manera, mediante otro razonamiento? Yo lo he calculado de la siguiente manera: los dos largos juntos miden 8 metros y los dos anchos juntos miden 6 metros, por lo tanto, hay 8 y 6 metros, en total, 14 metros.
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Otra alumna razonó diciendo: La “L” formada por el largo y el ancho mide 7 metros. Como por la otra parte hay otra “L”, en total habrá 14 metros.
De esta forma los alumnos dedujeron las tres estrategias básicas para calcular el perímetro de un rectángulo: sumando todos sus lados, sumando los dos largos y los dos anchos y, por último, sumando el largo y el ancho y multiplicando por dos. Finalmente y de nuevo, trabajamos la equivalencia entre las unidades de longitud: -
Si el perímetro del rectángulo mide 14 metros, ¿cuántos medirá expresado en decímetros? 140 decímetros.
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¿Y expresado en centímetros, cuanto medirá el perímetro? 1.400 centímetros.
Hay que hacer notar que los alumnos con sus respuestas y de forma práctica e intuitiva, están haciendo ejercicios de multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros. Finalizamos la actividad rellenando el interior del rectángulo con los metros cuadrados de papel, cuadriculados en decímetros cuadrados.
Teniendo delante el polígono construido, se formularon cuestiones similares a las siguientes: -
¿Cuántos metros cuadrados caben en el interior del rectángulo, es decir, cuantos metros cuadrados de superficie mide el área del rectángulo? 12 metros cuadrados.
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¿Cómo lo has calculado? Contando o multiplicando 4 por 3.
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¿Cuántos decímetros cuadrados tiene cada metros cuadrado? 100.
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¿Cómo lo sabes si no los has contado? Multiplicando 10 por 10.
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Teniendo en cuenta que cada metro cuadrado tiene 100 decímetros cuadrados, ¿cuántos decímetros cuadrados de superficie tendrá el área del rectángulo? 1.200 decímetros cuadrado.
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¿Cómo lo has calculado? Aquí hay 100, 200, 300… 1.000, 1.100 y 1.200.
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También podríamos calcularlo multiplicando 12 por 100.
Es importante trabajar de forma f orma conjunta las unidades de longitud y las unidades de superficie, observar que unas hacen referencia a longitudes o líneas y las segundas a superficies o planos, que perciban perciban y utilicen de forma práctica tanto el metro lineal como el metro cuadrado, que midan longitudes y superficies. En definitiva, que se enfrenten los conceptos de longitud y superficie, los conceptos de perímetro y área, los conceptos de metro lineal y metro cuadrado y observar que se tratan de conceptos diferentes. Resulta obvio suponer que, mediante esta actividad práctica y las actividades lógicas teóricas que les planteamos a los alumnos, trabajamos los siguientes contenidos matemáticos: -
Concepto de longitud y concepto de superficie. El metro metro lineal lineal como como instrumento instrumento y unidad de las medidas medidas de longitud. longitud. El metro metro cuadrado cuadrado como instrumento y unidad de las medidas de superficie. Realizar medidas de longitud expresando el resultado en unidades de longitud Realizar medidas medidas de superficie expresando expresando el resultado en unidades de superficie. Establecer equivalencias numéricas entre las distintas unidades de longitud. Establecer equivalencias equivalencias numéricas entre las distintas unidades unidades de superficie. Concepto de perímetro y área de un polígono. Semejanzas y diferencias entre el cuadrado y el rectángulo. Estrategias para el cálculo de perímetros y áreas áreas de cuadrados cuadrados y rectángulos. Multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros.
TERCERA FASE: Medir con decímetros cuadrados, cuadriculados en centímetros cuadrados, superficies de cuadrados y rectángulos. Durante la segunda fase los alumnos construyeron y trabajaron de forma práctica con el metro cuadrado dividido en 100 decímetros cuadrados. Este hecho les permitió relacionarse de forma perceptiva con ambas unidades de superficie y establecer equivalencias numéricas entre ellas. En esta tercera fase, procedimos de forma similar, pero ahora cuadriculando decímetros cuadrados en 100 centímetros cuadrados. Para ello, dibujaron cuadrados de un decímetro de lado, dividieron cada lado en 10 centímetros y lo cuadricularon.
Una vez realizada esta experiencia práctica, los alumnos se mostraron capacitados para recibir información relativa a los conceptos de decímetros cuadrados y centímetros cuadrados y, de igual modo, para establecer relaciones de equivalencia numérica entre estas órdenes de unidades. Se les planteó al grupo actividades teóricas como las siguientes: -
¿Cuántos centímetros lineales tiene un decímetro lineal? 10 centímetros lineales.
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¿Cuántos centímetros cuadrados tiene un decímetro cuadrado? 100 centímetros cuadrados.
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¿Cómo saben, si no los han contado, que cada decímetro cuadrado tiene 100 centímetro cuadrados? Porque hemos multiplicado 10 por 10, que son 100.
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¿Cuántos centímetros lineales tiene medio decímetro lineal? 5 centímetros lineales.
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¿Cuántos centímetros cuadrados tiene medio decímetro cuadrado? 50 centímetros cuadrados.
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¿Cuántos centímetros lineales mide la cuarta parte de un decímetro lineal? Dos Dos centímetros centímetros y medio. medio.
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¿Cuántos centímetros cuadrados mide la cuarta parte de decímetro cuadrado? 25 centímetros cuadrados.
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¿Cuántos centímetros lineales mide la quinta parte de un decímetro lineal? Dos centímetros lineales.
-
¿Cuántos centímetros cuadrados mide la quinta parte de decímetro cuadrado? 20 decímetros cuadrados.
Posteriormente, los alumnos midieron con estos nuevos instrumentos de medidas, distintas superficies de cuadrados y rectángulos que observamos en nuestro entorno (superficies de las mesas de alumnos, baldosas del piso, folios, etc) y determinaron el número de decímetros cuadrados y centímetros cuadrados que medían las distintas superficies.
CUARTA FASE: Medir y calcular longitudes y superficies de perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos construidos en cartulinas. Una de las dificultades y limitaciones que nos encontramos en la segunda y tercera fase residía en que los perímetros y las superficies que tenía que medir los alumnos, estaban formados por un número exacto de metros cuadrados y decímetros cuadrados y, por este motivo, tanto en lo relativo a las medidas de longitud de los perímetros como de las superficies de las áreas, nos movíamos dentro del conjunto de los números naturales. Si bien en un principio la sencillez de los números posibilitaba la elaboración intuitiva de los conceptos de longitud frente a superficie, de perímetro frente a área y nos facilitaba el descubrimiento de estrategias de cálculo, al mismo tiempo nos cerraba las puertas a cálculos en el conjunto de los números decimales. Hay que tener en cuenta que los números decimales tienen su razón de ser, esencialmente, en la cuantificación de las medidas y que, por ello, debemos abordar conjuntamente los distintos tipos de medidas y los números decimales, realizar acciones prácticas de medir y expresar estas acciones en forma de lenguaje matemático mediante operaciones con números decimales. Para salvar este inconveniente, elaboramos un material didáctico específico para calcular longitudes y superficies de perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos r ectángulos que, tanto de largo como de ancho, no tuvieran un número exacto de decímetros. De este modo, a la hora de expresar numéricamente la longitud del perímetro y la superficie del área en decímetros cuadrados, ampliábamos el campo numérico al conjunto de los números decimales. Este hecho, a su vez, nos permitía abordar de forma práctica numerosos aprendizajes colaterales, como por ejemplo, la multiplicación de números decimales como conjunto cartesiano y la multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros, y a lo largo de la exposición podremos comprobar. En el material didáctico d idáctico elaborado hay que distinguir: a) Los cuadrados cuadrados y rectángulos rectángulos construidos construidos en cartulinas plastificadas. plastificadas.
b) Las piezas, también plastificadas, plastificadas, que harán las funciones funciones de instrumentos de medidas.
Dado que el grupo constaba de 24 alumnos, se construyeron 6 juegos de cartulinas y piezas de medidas. Se constituyeron 6 grupos de cuatro alumnos y se puso a disposición de cada grupo un juego completo del material didáctico elaborado. Pasamos a describir un juego completo del material didáctico elaborado a) Los cuadrados y rectángulos construidos construidos en cartulinas cartulinas plastificadas. Se elaboraron en total 14 cartulinas plastificadas. Cada una de ellas correspondiente a una actividad. Las actividades se secuenciaron según el índice de dificultad. Por ello, las láminas de cartulina, y consiguientemente las actividades, aparecen numeradas y agrupadas. -
3 láminas (actividades 1, 2 y 3) con un número exacto exacto de decímetros tanto a lo largo como a lo ancho.
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2 láminas (actividades 4 y 5) con un número número exacto exacto de decímetros en una una de sus dimensiones, y en su otra dimensión, un número decimal de decímetros siendo la parte decimal decimal igual a medio decímetro, es decir, igual a 5 centímetros.
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2 láminas (actividades 6 y 7) con un número decimal tanto tanto a lo largo largo como a lo ancho, siendo en ambos casos casos la parte decimal decimal igual a 5 centímetros. centímetros.
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2 láminas (actividades 8 y 9) con un número número exacto exacto de decímetros en una de sus dimensiones, y en su otra dimensión, un número decimal de decímetros.
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3 láminas (actividades 10, 11 y 12) con un número decimal de de decímetros decímetros tanto a lo largo como a lo ancho.
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2 láminas (actividades 13 y 14) con con un número decimal decimal de decímetros decímetros tanto a lo largo como a lo ancho, siendo una de las dimensiones inferior a un decímetro.
b) Las piezas plastificadas, que harán las funciones de instrumentos de medidas de superficie. Se construyeron construyeron con papel milimetrado, se recortaron y, finalmente, se plastificaron. El número y las dimensiones de cada pieza vienen determinados por las actividades de medidas de superficie que los alumnos deben de realizar con las láminas de cartulinas. El número y dimensiones de cada pieza que debe tener un juego completo, es el siguiente: -
10 decímetros cuadrados. 7 piezas de 10 cm. x 5 cm. 4 pieza de 10 cm. x 3 cm. 3 piezas de 10 cm. x 2 cm. 2 pieza de 5 cm. x 5 cm. 2 pieza de 5 cm. x 3 cm. 2 pieza de 5 cm. x 2 cm. 2 pieza de 3 cm. x 2 cm. 2 pieza de 2 cm. x 2 cm.
Con un juego completo se pueden medir las superficies de las 14 láminas, incluso, contempla la posibilidad de perdida o deterioro de alguna de las piezas. Para mayor información y claridad, se adjunta a continuación las dimensiones concretas de las distintas láminas que configuran cada actividad y el número de piezas que se necesitan para cubrir cada lámina.
Dimensiones de las láminas de cartulina y de las piezas que se
utilizaron en las distintas actividades.
Lámina 1.
Ancho = 3 dm.
2 dm.
Alto = 2 dm. 3 dm.
Piezas que se se emplearon para cubrir cubrir el rectángulo: 6 dm2.
Lámina 2.
Ancho = 4 dm.
2 dm.
Alto = 2 dm. 4 dm
Piezas que se se emplearon para cubrir cubrir el rectángulo: 8 dm2.
Lámina 3.
Ancho = 3 dm. Alto = 3 dm.
3 dm
3 dm
Piezas que se se emplearon para cubrir cubrir el rectángulo: 9 dm2.
Lámina 4.
Ancho = 3 dm. Alto = 1,5 dm.
1,5 dm 3 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 3 dm2 - 3 piezas de 10 cm x 5 cm
Lámina 5.
Ancho = 2 dm. Alto = 2,5 dm.
2,5 dm
2 dm Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 4 dm2 - 2 piezas de 10 cm x 5 cm
Lámina 6.
Ancho = 1,5 dm. Alto = 1,5 dm. 1,5 dm 1,5 dm Piezas que se emplearon para cubrir el cuadrado: - 1 dm2 - 2 piezas de 10 cm. x 5 cm. - 1 pieza de 5 cm. x 5 cm.
Lámina 7.
Ancho = 3,5 dm. Alto = 2,5 dm.
2,5 dm
3,5 dm Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 6 dm2 - 6 piezas de 10 cm. x 5 cm. - 1 pieza de 5 cm. x 5 cm.
Lámina 8.
Ancho = 2 dm. Alto = 1,2 dm.
1,2 dm 2 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 2 dm2 - 2 piezas de 10 cm. x 2 cm.
Lámina 9.
Ancho = 3 dm. Alto = 2,8 dm.
2,8 dm
3 dm Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 6 dm2 - 3 piezas de 10 cm. x 5 cm. - 3 pieza de 10 cm. x 3 cm.
Lámina 10.
Ancho = 1,2 dm. Alto = 1,2 dm.
1,2 dm 1,2 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 1 dm2 - 2 piezas de 10 cm. x 2 cm. - 1 pieza de 2 cm. x 2 cm.
Lámina 11.
Ancho = 2,3 dm. Alto = 1,2 dm.
1,2 dm 2,3 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 2 dm2 - 1 piezas de 10 cm. x 3 cm. - 2 piezas de 10 cm. x 2 cm. - 1 pieza de 3 cm. x 2 cm.
Lámina 12.
Ancho= 2,5 dm. Alto = 1,3 dm.
1,3 dm
2,5 dm Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 2 dm2 - 1 piezas de 10 cm. x 5 cm. - 2 piezas de 10 cm. x 3 cm. - 1 pieza de 5 cm. x 3 cm.
Lámina 13.
Ancho = 1,3 dm.
0,5 dm
Alto = 0,5 dm.
1,3 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 1 pieza de 10 cm. x 5 cm. dm2 - 1 pieza de 5 cm. x 3 cm.
Lámina 14.
Ancho = 1,2 dm. Alto = 0,7 dm.
0,7 dm 1,2 dm
Piezas que se emplearon para cubrir el rectángulo: - 1 pieza de 10 cm. x 5 cm. - 1 pieza de 10 cm. x 2 cm. - 1 pieza de 5 cm. x 2 cm. - 1 pieza de 2 cm. x 2 cm.
La puesta en práctica de esta cuarta fase se llevó a cabo de la siguiente manera: 1º. Se formaron 6 grupos de 4 alumnos. Uno de ellos actuaba como responsable del grupo. Su misión era cuidar del material que se le entregaba al grupo y ser portavoz del grupo ante el profesor. 2º. A cada grupo se le entregó un juego de láminas y un juego de piezas de medidas de superficie. De igual modo, se puso a disposición de cada grupo, un conjunto de folios impresos donde los alumnos, de forma individual, iban anotando los resultados de las medidas de cada lámina. Para cada actividad, es decir, para cada lámina debían anotar los siguientes datos y resultados:
Alumno/a: ____________________________ ____________________________ Grupo: ______ Actividad Act ividad nº _____ Largo de la lámina = _______ dm. = ________ cm. = ________ ________ mm. Ancho de la lámina = _______ _______ dm. = ________ cm. = ________ ________ mm. Longitud del perímetro = _______ dm. = ________ ________ cm. = ________ mm. Superficie del del área = ______ dm2 = _______ cm2. = __________ mm 2.
3º. Para cada actividad, los alumnos cubrían las láminas con las piezas de medidas de superficie y anotaban los resultados. Si los miembros del grupo anotaban resultados diferentes, discutían entre ellos hasta llegar a un acuerdo. Una vez terminada la actividad, el responsable del grupo se lo comunicaba al profesor quien daba el visto bueno y autorizaba pasar a la actividad siguiente.
4º. Una vez realizadas todas las actividades, procedimos a corregir colectivamente las 6 más representativas. Para ello y de forma sucesiva, cada grupo explicaba en la pizarra y al resto de la clase el procedimiento seguido en la resolución r esolución y los resultados obtenidos. El profesor aprovechaba este momento para profundizar en el análisis y obtener distintas conclusiones. Analizaremos a continuación una de las actividades realizadas y el análisis efectuado en su posterior corrección. De esta forma quedarán patentes los diversos aprendizajes matemáticos que pueden abordarse con la realización de este tipo de actividades cuyo eje central son las medidas de superficie. En concreto, analizaremos la actividad número 12, correspondiente a una lámina cuyas medidas son 2,5 dm x 1,3 dm. Con el resto de las actividades se procedió de forma similar.
La lámina de la actividad 12 tiene las siguientes dimensiones:
1,3 dm
2,5 dm Para cubrir esta lámina se necesitan las siguientes piezas: -
2 dm2. 1 pieza de 10 cm. x 5 cm. 2 piezas de 10 cm. x 3 cm. 1 pieza de 5 cm. x 3 cm.
La disposición de las piezas sería la siguiente:
10 x 3
1 dm2
10 x 3
1 dm2
5x3
10 x 5
Del análisis y de la corrección de esta actividad, abordamos con los alumnos los siguientes aprendizajes matemáticos: 1º. Significación de un número decimal referido a la longitud de una medida. Una vez que los alumnos cubrieron la lámina con las piezas de papel milimetrado, pudieron comprobar visualmente que el ancho medía 2 decímetros enteros y 5 centímetros más, es decir, 2,5 dm. Se escribieron en la pizarra las dos siguientes expresiones matemáticas:
2,5 m.
y
2,5 dm.
Se les hizo ver que la expresión 2,5 m significa 2 metros enteros y 5 decímetros; mientras que la expresión matemática 2,5 dm significa 2 decímetros enteros y 5 centímetros. Del mismo modo procedimos con el alto que medía 1 decímetro entero y 3 centímetros, es decir, 1,3 dm. 2º. La equivalencia numérica entre las distintas unidades de longitud. l ongitud. Dado que los alumnos tenían que expresar el resultado de las dos longitudes, el ancho y el alto, en decímetros, centímetros y milímetros y que el papel milimetrado posibilitaba la percepción visual de la medida, dedujeron fácilmente, y a partir de una actividad práctica, que el ancho podía expresarse de tres maneras: m aneras: 2,5 dm = 25 cm. = 250 mm. Ya que igualmente podían ver que un decímetro contiene 10 cm. y que, que , a su vez, 1 cm. contiene 10 mm. Del mismo modo procedimos con el alto: 1,3 dm = 13 cm. = 130 mm. 3º. La multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros. A partir de estos resultados referidos a la expresión del ancho y alto de la lámina: Ancho = 2, 5 dm = 25 cm. = 250 mm. Alto = 1,3 dm = 13 cm. = 130 mm. Trabajamos la multiplicación de un número decimal por la seguida de ceros. Distintos alumnos descubrieron, después de realizar varias actividades, que una medida de longitud expresada en decímetros y mediante un número decimal, podían, a su vez, expresarla en centímetros y milímetros muy fácilmente. Bastaba quitarle la coma para expresarla en centímetros y añadirle un cero para expresarla en milímetros.
Cuando corregíamos los ejercicios decíamos: -
2,5 dm multiplicado por 10 centímetros que tiene cada decímetro es igual a 25 centímetros.
-
25 cm. multiplicado por 10 milímetros que tiene cada centímetro es igual a 250 milímetros.
-
2,5 dm multiplicado por 100 milímetros que tiene cada decímetro es igual a 250 milímetros.
Posteriormente escribíamos en la pizarra: 2,5 dm x 10 = 25 cm.
25 cm. x 10 = 250 mm
2,5 dm x 100 = 250 mm.
En definitiva, realizamos multiplicaciones de un número decimal por la unidad seguida de ceros a partir de los resultados obtenidos de una actividad práctica y no mediante la conocida regla, dictada por el profesor y la mayoría de las veces carente de significación, de desplazar la coma a la derecha tantos ceros como tenga el 1 y, en caso de que se terminen las cifras decimales, añadiendo ceros. Del mismo modo procedimos con el alto de la lámina: -
1,3 dm multiplicado por 10 centímetros que tiene cada decímetro es igual a 13 centímetros.
-
13 cm. multiplicado por 10 milímetros que tiene cada centímetro centí metro es igual a 130 milímetros.
-
1,3 dm multiplicado por 100 milímetros que tiene cada decímetro es igual a 130 milímetros.
1,3 dm x 10 = 13 cm.
13 cm. x 10 = 130 mm
1,3 dm x 100 = 130 mm.
Después de varios ejercicios, los alumnos automatizaron el procedimiento. 4º. Cálculo de longitudes de perímetros de cuadrados y rectángulos. Otro de los resultados que tuvieron que calcular los alumnos al realizar la actividad práctica fue determinar la longitud del perímetro expresada en decímetros, centímetros y milímetros. En la corrección de las actividades con el gran grupo, los alumnos mostraron de nuevo las tres estrategias para el cálculo del perímetro de un rectángulo que descubrieron en la segunda fase, cuando trabajaron con los metros cuadrados. La diferencia estriba que ahora los cálculos deben realizarlo con números decimales. Los razonamientos son los mismos; la naturaleza de los l os números, distinta.
2,5 dm
1,3 dm
1,3 dm
2,5 dm
- La primera estrategia que mostraron los alumnos fue sumar la longitud de los cuatro lados del rectángulo: 2,5 dm + 1,3 dm + 2,5 dm + 1,3 dm = 7,6 dm.
- La segunda estrategia, sumando los dos anchos con los dos altos: Los dos anchos juntos: 2,5 dm + 2,5 dm = 5 dm Los dos altos juntos: 1,3 dm + 1,3 dm = 2,6 dm. Perímetro = 5 dm + 2,6 dm = 7,6 dm. Hay que observar que de esta segunda estrategia se deriva la conocida fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo: P = 2 x b + 2 x h. - La tercera estrategia, sumando dos veces la suma del largo más el ancho, o en expresión de los alumnos sumando dos veces la “L” f ormada por el ancho más el largo:
Ancho + largo = 2,5 dm + 1,3 dm = 3,8 dm Perímetro = 3,8 dm x 2 = 7,6 dm
Hay que observar que de esta tercera estrategia se deriva otra conocida fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo: P = (b + h) x 2
5º. Sumar números decimales Otros de los contenidos matemáticos que abordamos al corregir las distintas actividades fue la suma de números decimales. Este contenido se halla implícito en las operaciones que los alumnos tienen que realizar para calcular el perímetro del rectángulo. De igual modo aprovechamos la circunstancia para abordar el concepto del doble y, de nuevo, la multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros, toda vez que el resultado de la longitud del perímetro del rectángulo, independientemente de la estrategia empleada, deben expresarla en decímetros, centímetros y milímetros. Las sumas de números decimales que los alumnos tuvieron que calcular en esta actividad fueron: 2,5 + 1,3 + 2,5 + 1,3 = 2,5 + 2,5 = 1,3 + 1,3 = 5 + 2,6 = 2,5 + 1,3 = 3,8 + 3,8 = Igualmente en este aprendizaje, los alumnos no resolvieron las operaciones mediante un algoritmo carente de significación sino mediante un aprendizaje inmediato, es decir, participando la percepción visual. Los alumnos para realizar estas operaciones no necesitan colocar los números unos debajo de otros y sumar las distintas columnas correspondientes a las cifras de las partes enteras y decimales. Un ejemplo. Al ser preguntado un alumno cómo había calculado que 2,5 dm más 2,5 dm daba como resultado 5 dm, el alumno respondió con este sencillo razonamiento: - 2,5 dm son dos decímetros y medio. Dos decímetros y dos decímetros son cuatro decímetros. Medio decímetro y otro medio, forman uno completo. Cuatro más uno, da cinco decímetros.
Otro ejemplo. Con el fin de argumentar el resultado de la operación 3,8 + 3,8 un alumno se explicó así:
- 3 decímetros y otros 3, ya tenemos 6 decímetros. 8 centímetros y 8 centímetros, son 16 centímetros y con 16 centímetros formamos otro decímetro y nos sobran 6 centímetros. Si lo juntamos con los 6 decímetros, tenemos 7 decímetros y los 6 centímetros que nos sobran. El resultado es 7,6 dm.
6º. Significación de un número decimal referido a la medida de lo extenso de una superficie. La disposición y número de piezas que necesitamos para cubrir el rectángulo fue la siguiente:
(Cada cuadrícula representa un centímetro cuadrado) Observamos que hemos empleado: -
2 dm2. 1 pieza de 10 cm. x 5 cm. situada situada a la la derecha 2 piezas piezas de 10 cm. x 3 cm. situadas en la parte parte de de arriba 1 pieza pieza de 5 cm. cm. x 3 cm. cm. situada situada arriba, a la derecha.
Podemos observar a simple vista que el ancho mide 2 decímetros y 5 centímetros, es decir, 2,5 dm. y que el alto, 1 decímetro y 3 centímetros, es decir, 1,3 dm. En cuanto a la la superficie, los alumnos alumnos pudieron observar lo siguiente: -
Que había 2 dm2. completos y que cada uno de ellos contiene 100 cm 2., y por ello, había 200 cm2. en estas dos piezas.
-
Que la pieza de 10 x 5 contenía 50 cm2., es decir, medio decímetro cuadrado.
-
En cada una de las dos dos piezas de 10 x 3 teníamos 30 cm2. En las dos juntas, 60 cm2.
-
En la pieza de 3 x 5 había 15 cm2.
Agrupando concluyeron que con las piezas sueltas (50 + 60 + 15 cm 2.) podían formar otro dm2. y que sobraban 25 cm 2. Por ello, cuando escribimos en la pizarra el resultado de la extensión o área del rectángulo empleamos estas dos expresiones matemáticas equivalentes:
3,25 dm2.
325 cm2.
Intuitivamente vieron que, de un lado, 3,25 dm2 significaba 3 dm 2 y 25 cm2 y, de otro lado, que 3,25 dm2 equivalía a 325 cm 2. 7º. La equivalencia numérica entre las distintas unidades de superficie. En las fases anteriores pudieron comprobar que un metro cuadrado contenía 100 dm2. Ahora se reforzaba la idea de que 1 dm 2 contiene 100 cm 2. Y, dirigiendo la atención de los alumnos y al estar las piezas construidas con papel milimetrado, podían comprobar que el cm 2 contenía, a su vez, 100 mm 2. Al poner en relación las medidas de longitud con las medidas de superficie pudimos comprobar que las primeras aumentaban y disminuían de 10 en 10; mientras que las medidas de superficie lo hacían de 100 en 100. Este hecho nos permitió afirmar que: -
Como un metro cuadrado contiene 100 decímetros cuadrados. Y como un decímetro cuadrado contiene, a su vez, 100 centímetros cuadrados. - Entonces, el metro cuadrado contendrá 100 x 100 centímetros cuadrados, estos es, 10.000 cm 2. 8º. La multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros aplicada a las medidas de superficie. Cuando corregimos en la pizarra las longitudes de la lámina correspondiente a su ancho, alto y perímetros, aprovechamos la ocasión y trabajamos la multiplicación de un número natural y decimal por la unidad seguida de ceros. Es decir y como ejemplo: 2,5 dm de ancho = 25 cm. = 250 mm. Ahora y de la misma forma y con el fin f in de reforzar el aprendizaje, trabajamos de nuevo la multiplicación de un número natural y decimal por la unidad seguida de ceros y más concretamente por 100. Los alumnos, después de realizar las distintas actividades, que existe una forma sencilla de expresar en centímetros cuadrados una superficie dada en decímetros cuadrados: basta quitar la coma. En el caso que estamos analizando:
3,25 dm2 = 325 cm2. Como los alumnos observan y saben que 1 dm 2 es igual a 100 cm 2., les resulta fácil comprender que cuando expresamos la extensión de una superficie dada en decímetros cuadrados a centímetros cuadrados estamos multiplicando por 100. Por lo tanto:
2 dm2. = 2 x 100 cm2. = 200 cm2. 3,25 dm2. = 3,25 x 100 cm2. = 325 cm2.
9º. Cálculo de áreas de superficies de cuadrados y rectángulos. Si bien en un principio los alumnos calculan la superficie de las láminas sumando o agrupando la superficie de las distintas piezas empleadas para cubrirlas en su totalidad, gran parte de ellos deducen que basta multiplicar los centímetros que mide de ancho por los centímetros que mide de alto y posteriormente expresar este resultado tanto en cm 2 como en dm2. Precisamente esta deducción es la que debemos poner en un primer plano y transformarla en una situación de aprendizaje cuando corregimos las actividades en la pizarra: la forma más sencilla de calcular el área de la superficie de un cuadrado o rectángulo es multiplicar el ancho por el alto o como dicen los matemáticos, multiplicar la base por la altura. 10º. División de un número natural entre 100. Los alumnos al aplicar la estrategia de multiplicar los centímetros del ancho por los centímetros del alto y, posteriormente, separar dos cifras decimales para expresar el resultado en decímetros cuadrados, están dividiendo intuitivamente un número natural entre 100. Al corregir las actividades en la pizarra debemos hacer que tomen conciencia de este hecho. decir:
Como con cada 100 cm 2 formamos 1 dm2, estamos dividiendo entre 100, es
325 cm2 : 100 = 3,25 dm2. Generalizando, para dividir un número natural entre en tre 100 hay que separar dos cifras decimales:
325 : 100 = 3,25
11º. Multiplicar dos números decimales. Cuando corregimos las actividades en la pizarra, cuando analizamos el procedimiento empleado para calcular el área de la superficie de un rectángulo, cuando multiplicamos el ancho ancho por el alto y expresamos finalmente finalmente el resultado tanto tanto en cm2 como en dm2 debemos aprovechar para presentarles a los alumnos, y siempre como una deducción lógica teórica surgida de una experiencia práctica, la multiplicación de dos números decimales. Para ello escribimos en la pizarra estas dos multiplicaciones:
Área del rectángulo en cm 2
2 X 1 7 2 5 3 2
5 3 5
cm cm
5
cm
Área del rectángulo en dm 2
2
2,5 X 1,3 7 5 2 5 3,2 5
dm dm 2
dm
A continuación preguntamos al grupo: - ¿Qué diferencia encuentran entre estas dos multiplicaciones?
-
“Es la misma pero una sin coma y otra con comas”
-
“La multiplicación de los centímetros no tiene comas; mientras que la multiplicación de los decímetros, sí”
-
“Es la misma pero al final hay que separar dos cifras decimales”
-
“Como en los números de arriba hay dos cifras decimales, abajo también tiene que haber dos cifras decimales”
Las respuestas de unos alumnos van conduciendo y orientando las respuestas de los otros. En definitiva, se trata de que los alumnos observen y reflexiones en torno a los resultados obtenidos y que estos resultados obtenidos sean el producto de una actividad práctica. Finalmente, es obra del profesor agrupar, completar y darle forma a las aportaciones que realizan los propios alumnos y enunciar la ley o el procedimiento con carácter general. Como hemos podido observar, la realización de la actividad práctica y el posterior análisis y reflexión de los resultados obtenidos nos ha posibilitado interrelacionar o globalizar distintos y variados contenidos matemáticos.
QUINTA FASE: Realización de un cuaderno de actividades escritas relacionadas con los diversos conceptos, operaciones y procedimientos trabajados. En esta última fase se prescinde de toda actividad práctica. Ahora los alumnos no tienen la apoyatura de la percepción visual. El objeto sobre el que tienen que operar o pensar no está presente. Nos encontramos en la fase de la representación y del concepto. Es decir, en las fases anteriores y como ejemplo, preguntábamos a los alumnos cuántos decímetros cuadrados hay en 9 metros cuadrados. En esas fases los alumnos tenían delante de sus ojos los 9 m 2 y cada uno de ellos dividido en 100 dm 2. En la realización de este cuaderno de actividades, cuando se les plantea cuestiones similares, estas circunstancias no concurrirán. Por ejemplo, ante la pregunta de cuántos decímetros cuadrados tiene 5 metros cuadrados, habrá alumnos que se representen mentalmente en su pensamiento los cinco metros cuadrados y conteste que 500 dm 2. Otros simplemente, haciendo abstracción del procedimiento, multipliquen 5 por 100 y concluyan, igualmente, que 500 dm2. Por ello, algunas de las finalidades de esta quinta fase, de este cuaderno de actividades escritas, serían: -
Realizar actividades relacionadas con las medidas de longitud y superficie, así como, con el cálculo de perímetros y áreas de cuadrados y rectángulo en la fase de la representación y la generalización.
-
Verificar la integración integración de los procedimientos y las operaciones realizadas en las fases anteriores.
-
Reforzar la mecanización de las operaciones matemáticas dotándolas, al mismo tiempo, de significación.
-
Afianzar los diversos aprendizajes trabajados.
Este cuaderno de actividades escritas será realizado de forma individual por los alumnos. Para ello se le proporcionará un ejemplar a cada uno de ellos. Dado que con él verificaremos la integración de los procedimientos y las operaciones realizadas en las fases anteriores, podemos emplearlo como un indicador más de evaluación de los aprendizajes. La secuencia de las actividades escritas será la siguiente: 1. Equivalencia entre medidas de longitud. 1. A. En el conjunto de los números naturales. 1. B. En el conjunto de los números decimales.
2. Equivalencia entre medidas de superficie. 2. A. En el conjunto de los números naturales. 2. B. En el conjunto de los números decimales. 3. Multiplicaciones por la unidad seguida de ceros. 3. A. En el conjunto de los números naturales. 3. B. En el conjunto de los números decimales. 4. Divisiones de un número natural entre la unidad seguida de ceros. 5. Sumas de números naturales y decimales. 6. Multiplicación de números naturales y decimales. 7. Aplicación de las operaciones anteriores al cálculo de perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos. 7. A. En el conjunto de los números naturales. 7. B. En el conjunto de los números decimales. 8. Aplicación a la resolución de problemas. 8. A. En el conjunto de los números naturales. 8. B. En el conjunto de los números decimales. 8. C. Interviniendo otras variables.
ÁREA DE MATEMÁTICAS.
MEDIDAS DE LONGITUD Y SUPERFICIE. MEDIDAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS. EL CUADRADO Y EL RECTÁNGULO.
CUADERNO DE ACTIVIDADES.
Alumno/a: ________________________________ Grupo: _______
Curso académico: ___________
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 1.
Completa las igualdades: 15 m = ____ dm
7 m = _____ cm
3 m = ______ mm
9 dm = ____ cm
5 dm = ______ mm
7 cm = _____ mm
40 dm = ___ m
700 cm = ___ m
8.000 mm = ___ m
200 cm = ___ dm
300 mm = ___ dm
350 mm = ____ cm
Expresa estas longitudes en forma de número decimal: 3 m y 5 dm = _____ m
19 m y 87 cm = ______ m
8 m y 125 mm = ______ m
5 m y 9 cm = ______ m
27 m y 23 mm = _____ m
1 m y 9 mm = _______ m
9 dm = _____ m
25 cm = _____ m
5 cm = _____ m
500 mm = ______ m
50 cm = ______ m
50 mm = ______ m
Completa las igualdades: 1’ 5 m = ______ dm
1’5
m = _____ cm
m = ______ mm
3’2 m = _____ dm
7’25 m = ______ cm
0’2 m = _____ cm
1’125 m = _______ mm
2’35 m = _______ mm
0’050 m = ______ mm
2’08 m = _______ cm
15’09 m = ______ cm
0’1
0,1 m = ______ cm
0’10 m = ______ mm
130’8 m = _______ dm
26’14 m = ______ cm
1’5
m = _____ dm
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 2.
Completa las igualdades: 1’5 dm = ______ cm
3’2 dm = _____ cm = ______ mm
9,4 dm = ______ cm
0’2 dm = ______ cm = ______ mm
2’5 dm = _____ cm
2’5 dm = ____ __ mm
6’3 dm = ______ cm
6’3 dm = ______ mm
3’ 5
23’8 cm = ______ mm
cm = ______ mm
0’5 cm = ______ mm
0’9 cm = _____ mm
1’1 cm = ______ mm
0’1 cm = _____ mm
Expresa estas longitudes en forma de número decimal: 6 dm y 5 cm = _____ dm
6 cm y 5 mm = ______ cm
65 cm = _____ dm
25 dm = _____ m
1.560 mm = _____ m
270 cm = _____ m
2 m + 5 dm + 3 cm = ______ m
9 dm + 1 cm = _____ m
Completa las igualdades: 1 m2 = _____ dm2
3 m2 = ______ dm2
12 m2 = ______ dm2
1 dm2 = _____ cm2
5 dm2 = ______ cm2
18 dm2 = ______ cm2
1 cm2 = _____ mm2
9 cm2 = ______ mm2
13 cm2 = ______ mm2
1’50 m2 = _______ dm2
3’75 m2 = ______ dm2
1’20 dm2 = _______ cm2
5’14 dm2 = ________ cm2
Realiza las siguientes multiplicaciones: 2 x 10 =
35 x 10 =
50 x 10 =
3 x 100 =
15 x 100 =
8 x 1.000 =
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 3.
Realiza las siguientes multiplicaciones: 2’3 x 10 =
2’3 x 100 =
2’3 x 1.000 =
25 9’ 25
9’25 x 100 =
9’25 x 1.000 =
0’2 x 10 =
0’25 x 10 =
0’3 x 100 =
1’125 x 10 =
0’250 x 100 =
0’33 x 1.000 =
x 10 =
Realiza las siguientes divisiones: 30 : 10 =
500 : 10 =
130 : 10 =
30 : 10 =
500 : 10 =
130 : 10 =
300 : 100 =
5.000 : 100 =
13.000 : 100 =
300.000 : 1.000 =
13.000 : 1.000 =
320 : 10 =
320 : 100 =
320 : 1.000 =
327 : 10 =
750 : 100 =
2.325 : 1.000 =
Calcula directamente el resultado de las siguientes sumas: 5 + 3’6 =
5’25 + 9 =
1’230 + 15 =
2,5 + 2’5 =
3’2 + 5’7 =
4’7 + 10’1 =
3’6 + 5’4 =
2’8 + 3’7 =
15’3 + 10’8 =
7’2 + 3’25 =
4’67 + 2’10 =
16’90 +15’08 =
6’14 + 3’26 =
2’35 + 0’72 =
9’98 + 10’14 =
3 + 3’7 + + 9’1 9’1 =
5’45 + 15 + 3’9
=
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 4.
Realiza las siguientes multiplicaciones:
675 x93
372 x64
481 x87
Realiza las siguientes multiplicaciones: 2’5
x3
4’5 x 6’2
3’4 5
5’3 x 1’2
23
2’8 x 0’7
x4
x 0’5
Calcula el perímetro y el área del cuadrado aquí representado. Observa sus dimensiones. Ancho = 7 m Alto = 7 m
7m
7m
Perímetro del cuadrado = ______ m = _______ dm = _______ cm Área del cuadrado = _______ m 2 = ________ dm2 = ________ cm 2
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 5.
Calcula el perímetro y el área del rectángulo aquí representado.
Ancho = 9 m Alto = 6 m
6m
9m
Perímetro del rectángulo = ______ m = _______ dm = _______ cm. Área del rectángulo = _______ m 2 = ________ dm2 = ________ cm2
Calcula el perímetro y el área del cuadrado aquí representado.
Ancho = 2,4 m Alto = 2,4 m
2’4 m
2’4 m
Perímetro del cuadrado = ______ m = _______ dm = _______ cm Área del cuadrado = _______ m 2 = ________ dm2 = ________ cm 2
Calcula el perímetro y el área del rectángulo aquí representado. Observa sus dimensiones.
Ancho = 0’9 m
2’3 m
Alto = 2,3 m 0’9 m
Perímetro del rectángulo = ______ m = _______ dm = _______ cm Área del rectángulo = _______ m 2 = ________ dm2 = ________ cm 2
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 6.
Calcula el perímetro y el área del cuadrado aquí representado.
Ancho = 15 dm Alto = 15 dm
15 dm
15 dm
Perímetro del cuadrado = ______ dm = _______ cm = _______ mm Área del cuadrado = _______ dm2 = ________ cm 2 = ________ mm2 Calcula el perímetro y el área del rectángulo aquí representado. Observa sus dimensiones.
Ancho = 8’5 dm
9’8 dm
Alto = 9’8 dm
8’5 dm
Perímetro del rectángulo = ______ dm = _______ cm = _______ mm Área del rectángulo = _______ dm2 = ________ cm2 = ________ mm2 Calcula el perímetro y el área del rectángulo aquí representado. Observa sus dimensiones.
Ancho = 0’9 m
8’7 cm
Alto = 2,3 m 13’6 cm
Perímetro del rectángulo = ______ cm = _______ mm Área del rectángulo= _______ cm2 = ________ mm 2
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 7.
Completa la tabla calculando el perímetro y el área. Recuerda que el perímetro se expresa en unidades de longitud. Por el contrario, el área se expresa en medidas de superficie. Dimensiones del ancho y del alto.
Longitud del perímetro.
Área de la superficie.
Operaciones:
Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado: Operaciones:
Resultado:
Resultado:
Ancho = 7 m Alto = 4 m.
Ancho = 6’3 m Alto = 6’3 m
Ancho = 13 dm Alto = 24 dm
Ancho = 25 cm Alto = 4’3 cm
Ancho = 19’2 cm Alto = 31’6 cm
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 8.
La siguiente tabla hace referencia a las dimensiones de varios cuadrados. El ejercicio consiste en calcular los datos que faltan en casa caso:
Ancho Cuadrado nº 1
Alto
Perímetro
Superficie
15 m
Cuadrado nº 2
3,6 dm
Cuadrado nº 3
36 dm 64 m2
Cuadrado nº 4
Esta otra tabla hace referencia a las dimensiones de varios rectángulos. El ejercicio consiste en calcular los datos que faltan en casa caso:
Ancho Rectángulo nº 1
5m
Rectángulo nº 2
4m
Alto
28 m2 10 cm
Rectángulo nº 4
5 dm
Rectángulo nº 5
8 dm 7 cm
Superficie
18 m
Rectángulo nº 3
Rectángulo nº 6
Perímetro
50 cm 65 dm2 40 dm 105 cm2
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 9.
Resuelve estos dos problemas: - Un albañil está haciendo una habitación. La habitación tiene forma rectangular. El largo mide 3’5 metros; el ancho, 4 metros. Después de colocar el piso, tiene colocar el rodapié alrededor de toda la habitación. Calcula: Primero. ¿Cuántos metros de rodapié tiene que comprar en la ferretería? Segundo. ¿Cuánto tendría que pagar en el supuesto que cada metros de rodapié costara 6’25 €? Operaciones:
Resultado: Tendría que comprar _______ metros de rodapié. Tendría que pagar en la ferretería ________ euros.
- Los azulejos del pasillo de un colegio tienen forma cuadrada y miden 20 cm. x 20 cm. ¿Cuántos azulejos se necesitarían para cubrir un metro cuadrado de pared? Si el metro cuadrado de azulejos costara 10 euros, ¿cuánto costaría cada azulejo del pasillo? (Información: los azulejos se compran por metro cuadrado.) Operaciones:
Resultado: En cada metro cuadrado hay ______ azulejos de 25 cm x 25 cm. Cada azulejo cuesta _______ euros.
Las medidas de longitud y superficie.
Actividad nº 10.
Resuelve estos dos problemas: - Un circuito de carrera de motos tiene forma rectangular. De largo mide 800 metros y de ancho 500 metros. Los corredores le tienen que dar 15 vueltas al circuito. ¿Cuántos kilómetros habrán recorrido cada corredor con su moto al finalizar la carrera? (Recuerda que un kilómetro tiene 1.000 metros) Operaciones:
Resultado: Habrá recorrido ___________ metros, es decir, ________ Km.
- El suelo de una habitación cuadrada tiene en total 64 plaquetas. Cada plaqueta, también de forma cuadrada, mide 40 cm x 40 cm. ¿Cuánto metros lineales medirá el perímetro de la habitación? Operaciones:
Resultado: El perímetro de la habitación medirá ________ metros.
