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Serie
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cálculo de incertidumbres en las medidas Louis d'Hainaut
Serie: curso programad~
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Título de esta obra en francés: LES INCERTITUDES DE MESURE Versión autorizada en español de la Plimera edición publicada en francés por C91970, Classiques Hachette, París, Francia
Primera edición en español, junio 1978 La presentación y disposición en conjunto de CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES EN LAS MEDIDAS son propiedad del editor. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método, sin autorización por escrito del editor Derechos reservados en lengua española conforme a la ley © 1978, Editorial Trillas, S. A., , Av. 5 de Mayo 43-105, México 1, D. F.. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg, núm. 158 Impreso en México
t ,1
, Indice de contenido
CAPITULO
1. LOS ERRORES
CAPITULO
2. SERIES DE MEDICIONES
27
CAPITULO
3. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA Y RESULTADO DE UNA SERlE NORMAL DE MEDICIONES
38
4. NOT ACIONES, UMITES VALO DE CONFIANZA
47
CAPITULO CAPITULO
DE MEDICI6N
17
E INTER-
5. SERIES DE MEDICIONES IGUALES. IGUALDAD ENTRE LOS UMITES DE LAS INCERTIDUMBRES
55
CAPITULO
6. LA INCERTIDUMBRE
65
CAPITULO
7. CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE ABSOLUTA. REVISI6N GENERAL
74
CAPITULO
8. CALCULO
DE INCERTIDUMBRES
84
CAPITULO
9. CALCULO DE INCERTIDUMBRES (continuaci6n)
93
CAPITULO
10. INTRODUCCI6N DE OPERACIONES
A
RELATIVA
LAS
SERIES 104
CAPITULO
11. M£.TODO DEL LIMITE SUPERIOR
110
CAPITULO
12. M£.TODO POR REDUCCI6N
118
CAPITULO
13. M£.TODO DIFERENCIAL
130
CAPITULO
14. COMPARACI6N REVISI6N
134
Y EJERCICIOS DE
Resumen 1. Los errores de medicion, 137. Resumen 2. Series de mediciones, 142. Resumen 3. Series normales de mediciones, 148. Resumen 4. Notaciones, limites e intervalo de confianza, 151. Resumen 5. Series de mediciones iguales, igualdad entre los limites de las incertidumbres, 156. Resumen 6. La incertidumbre relativa, 159. Resumen 7. C
Especificaciones
Este texto esta destinado a los alumnos del segundo ciclo de la ensenanza media general 0 tecnica. Ha sido disenado para ser facilmente seguido y comprendido por alumnos a nivel del primer grado de preparatoria 0 bachillerato, pero tambien sera util en las clases de estudios superio.res e incluso podran utilizarlo con provecho, a titulo de revision 0 de recuperacion, los estudiantes universitarios que comienzan con traha jos practicos de flsica.
Para abordar el curso, el alumno solamente debera poseer un vocabulario general y cientifico correspondiente al de un estudiante promedio de tercer grado de secundaria. Debera haber seguido (aunque no 10 haya hecho muy brillantemente) un curso de algebra de un ano.
1. Puede escoger entre dos vias diferentes: - La via normal, que Ie conducira a la adquisicion de conOClmlentos ajustados a los objetivos, progresivamente, sin dificultad y con la seguridad constante de tener exito. Para seguir esta via, Ie bastara leer todo el texto. - La via "relampago", destinada a los alumnos que ya conocen la materia 0 que poseen aptitud excepcional para el estudio. Si usted la sigue y si advierte que olvida los temas anteriores, regrese a la via normal. Para seguir la via "relampago" comience por el resumen I, pagina 137, y lea, en el texto propiamente dicho, solo los cuadros acompanados del signo 2. ,Como dividir su traba jo? Si estudia en casa este curso sin haber recibido instrucciones especiales de su maestro, Ie recomendamos el siguiente plan de trabajo: • Via normal: un capitulo diario. • Via "relampago"; dos capitulos por dia.
7
Cuando se utiliza un curso program ado, hay que explicar a los alumnos que sus respuestas no van a servir como control para calificar y que no se daran notas por elIas, sino que estan destinadas a hacerles asimilar la materia; tratar de hacer trampa cuando se sigue un curso programado seria inutil y el alumno que mirase las respuestas antes de tratar de encontrarlas, no ganaria ni un punto por ella, no aprenderia y sufriria en la prueba final un fracaso significativo. El maestro puede utilizar el texto programado en clase 0 pedir a los alumnos que trabajen con el en su propio domicilio; en este caso, a veces ocurre que alumnos poco motivados 0 debiles de caracter no siguen el curso y se conforman con copiar las respuestas sin leer el texto; en la prueba final, el resultado sera muy inferior al promedio y su negligencia se descubrira claramente. El metodo que nos parece mas adecuado es la utilizacion mixta: al alumno se Ie invita a llenar el texto alternadamente en clase y en su casa. Para este caso, recomendamos el siguiente plan de trabajo: Primera clase: el maestro presenta y explica el metodo, los alumnos comienzan el curso program ado y 10 continuan a domicilio hasta el capitulo 3 incluso; Segunda clase: durante el primer cuarto de hora, el maestro interroga a los alumnos sobre los dos primeros capitulos, provoca las preguntas y responde a ellas. Los alumnos empiezan entonces el capitulo 4 y son invitados a proseguir en casa hasta el capitulo 5 incluso; Tercera
clase: igual desarrollo para los capitulos 6 y 7;
Cuarta
clase: igual desarrollo para los capitulos 8 y 9;
Quinta
clase: el mismo desarrollo para los capitulos 10 y 11, ejercicios 14.5 a 14.8;
Sexta
clase: prueba escrita durante debe versar sobre los des adquiridas por el de efectuar ejercicios continuacion:
el primer cuarto de hora. Esta prueba no conocimientos verbales, sino sobre las aptitualumno; este, al finalizar el cursa, es capaz que se refieran a los objetivos enunciados a
Al terminar el curso, el alumno que ha seguido correctamente las instrucciones debe ser capaz, con el 80% de exito, de.: -
Discriminar entre: medida bruta / medida corregida; error sistematico / error fortuito; magnitudes afectadas de incertidumbre / magnitudes que no 10 estan; falta de observacion / error de medicion; efeetos y causas de errores fortuitos / efectos y causas de errores sistematicos. Enunciar: bajo que condiciones una serie de mediciones puede ser considerada como serie normal: • Entre que valores esta comprendida una magnitud medida; • Cual es el valor mas representativo del resultado.
Evalua?' la incertidumbre • • • • • •
absoluta
J
sin cifras inutiles:
En una serie normal de mediciones cuyos resultados son ligeramente diferentes; En una serie de mediciones en que todos los resultados son iguales; A partir del limite superior y a partir del valor promedio; A partir de los limites del resultado; A partir de la incertidumbre relativa y del promedio; En una suma, una diferencia, un producto, una patencia y una raiz.
-
Evaluar la incertidumbre relativa en una serie de mediciones, en una suma, una diferencia, un producto, un cociente, una potencia y una raiz.
-
Evaluar a partir de una serie normal de mediciones: la incertidumbre absoluta, la incertidumbre relativa, los limites del resultado; y la extension del intervalo de confianza. Transcribir: • EI resultado de una sene de mediciones suprimiendo las cifras inutiles; • EI intervalo de confianza; • Los simbolos de la incertidumbre absoluta, de la incertidumbre relativa, del promedio y de los limites del resultado.
-
Decidir: • Si dos magnitudes son iguales 0 diferentes entre los limites de las incertidumbres; • Cual es la mas precisa de dos medidas de las cuales se conocen las incertidumbres relativas.
-
Evaluar la incertidumbre nes (semiprogramado).
absoluta
sobre el resultado de una serie de operacio-
Instrucciones
Si sigue correctamente las instrucciones, OBLIGADO
•
APRENDERA.
SIN SER
A ESTUDIAR.
Este curso esta constituido por' pequeiios parrafos aparentemente independientes, llamados CUADROS DE APREN-· DIZAJE.
•
Cada cuadro contiene, en genenlI, por 10 menos una linea que debe llenar usted. He aqui una ._ (la palabra que hay que escribir es linea).
•
No debe mirar la respuesta corretta (situada en la columna de la derecha a la misma altura que la linea) antes de haber dado su respuesta.
•
Para evitar ver anticipadamente la respuesta correcta, emplee la tira de cartulina que se adjunta en cada cuademo. Utilicela como mascarilla, cubriendo completamente con ella la columna de la derecha, y haciendola deslizar progresivamente hacia la parte inferior de la pagina.
•
No debe descubrir la respuesta de la columna de la derecha hasta haber escrito la suya en la linea.
•
Si su respuesta es inexacta, RELEA el cuadro y trate de volver a encontrar la respuesta correcta. Cuando la respuesta del texto venga seguida, por ejemplo, de la mencion "regIa (5) 7", busque primero el resumen (5), lea su regIa 7 y complete el ejemplo si hay alguno.
•
No HA~A TRAMPA. Las respuestas se Ie ocurren a uno con tanta faci1idad, que es inutil hacer nampa, 10 que redundaria finalmente en una perdida de tiempo, puesto que, desde el momenta en que mirase la respuesta, un lector dejaria de aprender, desperdiciaria su esfuerzo anterior y comprometeria su aprovechamiento.
•
No SE SALTE NINGUN ciones de hacerlo.
•
VELOCIDAD
CUADRO,
RECOMENDADA:
excepto si recibe instruc-
de 50 a 100 cuadros diarios en
una 0 dos sesiones. •
Descanse si se siente fatigado PiTULO
COMENZADO
0
distraido; pero
DEBE TERMINARLO
EN EL
No interrumpa nunca el cursa mas de tres seguidos. •
0
TODO CA-
MISMO
DiA.
cuatro dias
rn
El signa indica los lugares donde puede interrumpir un capitulo muy largo. Al reanudarlo, relea el cuadro que esta seguido por el signa ~ .
Las NUEVE DECIMAS PARTES de 105alumnos que han seguido correctamente un buen curso programado aprueban con mencion de MUY BIEN en todo examen que se refiera al conjunto de los puntos estudiados.
Tabla 1: serie normal cuerda
A:
de medidas de cafiamo.
medidas en el orden 128 130 129
de la longitud
de una turva,obtenidas
en que fueron obtenidas: 131 131 129 128
con
ayuda
de
128
127
130
128 mm.
130
130
131
131 mm.
una
B: medidas colocadas por orden creciente: 127
c:
128
promedio
128
128
aritmetico
129
de las mediciones:
corregidas
129 129 mm.
B
A Medidas
128
D
C
E
Medidas corregidas ordenadas
Promedio
Separaciones
Separaciones absolutas
kmjs
kmjs
kmjs
kmjs
kmjs
299793 299795 299792 299794 299792 299794 299790 299790 299792 299792
1'10 299790 2'10 299790 3'10 299792 4'10 299792 5'10 299792 6'10 299793 7'10 299793 8'10 299794 9'10 299794 lQ'1o 299795
TODAS LAS MEDIDAS
QUE SIGUEN
299792.5
ESTA.N CORREGIDAS
Y SE SUPONEN
-2.5 -2.5 -0.5 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1.5 1.5 2.5
EXENTAS
SISTEMA. TICO.
A. Medidas ordenadas (el sfmbolo "mA" significa miliampere). 8.19 8.22 8.26 8.27 8.30 8.31 8.32 8.36 8.36 8.36 8.40 8.42 mA. B. Promedio de las medidas: 8.31 mA.
2.5 2.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.5 1.5 2.5
DE CUALQUIER
ERROR
A. 16.2 16.4 16.1 16.1 16.3 16.2 16.2 16.4 16.1 16.0 16.2 s. B. Promedio aritmetico de las medidas: 16.2 s.
A. 310.2 310.7 310.6 310.3 310.7 310.7 310.6 310.3310.7 310.9 310.5 mg. B. Promedio: 310.6 mg.
A. 852 850 849 853 851 851 853 849 851 853 852 km. B. Promedio: 851.4 km.
A. 10.3 10.2 10.4 10.4 10.1 10.3 10.5 10.3 10.3 10.4 10.1 s. B. Promedio: 10.3 s.
m
A. 723 727 723 725 724 729 723 727 726 725 cm3. B. Promedio: 725 cm3.
Los errores
de medicion
,. Se dice que la perfecci6n no es de este mundo. Los metodos de mediciones son cada vez mas precisos, pero ello no obsta para que el fisico, cada vez que efectua una medici6n, no pueda esperar que va a alcanzar la perfecci6n. ,Que confianza se podria tener en un fisico que dijera: "Esta Iamina tiene un espesor de 2.53 mm"? Contrariamente al hombre de la calle que se equivoca, el fisico sabe que comete errores y dispone de un instrumento que Ie permite fijar limites a su error; dira, por ejemplo: "El resultado de la medici6n del espesor de esta lamina es 2.53 mm y se puede afirmar, con certeza, que el espesor no es inferior a 2.51 mm ni superior a 2.55 mm." El instrumento que permite al fisico evaluar la confianza que puede otorgar a sus mediciones es el cdlculo de las incertidumbres. Es el que usted va a estudiar y, en el capitulo 1, precisaremos primero 10 que se entiende por medida y magnitud) y despues trataremos de descubrir la naturaleza y los efectos de los errores que se cometen al efectuar una medici6n. Si sigue La via "reldmpago" cuadro 1.1.
( ~ ) continue
con el resumen
1; si sigue Lavia normal) pase al
1.1. Tome una regIa graduada y mida la longitud de la linea siguiente
-------
Respuesta:
_
1.2. Medir una longitud es atribuirle un numero (26 por ejemplo) y una unidad (mm por ejemplo). Se puede medir una longitud, una duracion, un volumen. Llamaremos magnitud a TODO LO QUE SE PUEDE MEDIR: una longitud, una duo racion (0 un tiempo), un volumen ... son otras tantas magnitudes. ,Podria uno razonablemente atribuir un numero y una unidad al amor de Jimena por Rodrigo? Evidentemente que no: el amor no es una magnitud. SubTaye las magnitudes: Et peso. . .
la belleza
El esplendor. . .
la duracion
.
de una mujer. .
de un acontecimiento.
peso duracion
1.3. Generalmente se mide una magnitud con ayuda de un instrumento y en el se lee un numero acompaiiado de una ullidad. Este numero, con su unidad, es la medida bruta de la magnitud. ,CmU era la medida bruta de la longitud en el cuadro l.l? _ Las partes encuadradas coLocadas bajo Las respuestas deben ser leidas s610 por eL lector que ha dado una respuesta talsa () incompleta. to
Si ha contestado 26, recuerde, de ahora en adelante, que la unidad forma parte de la medida.
104. Cuando se leen las 9 horas en un reloj que se adelanta, la medida bruta es el numero leido: 9 horas; sin embargo, la hora exacta es distinta y se dice que la medida obtenida ESTA AFECT ADA DE ERROR.
Alas 4 horas, el profesoT Girasol mira su reloj y dice erroneamente que son las 5 horas. En este ejemplo, ,emU es la medida bruta? . ,Que puede afirmarse?
1.5. El error cometido con un reloj que se adelanta se debe a una IMPERFECCION DEL INSTRUMENTO, mientras que el error del profesor Girasol es una FALTA DE OBSERVACION. Cada uno de 10s errores siguientes A y B pertenecen a una 0 a otra de esas dos categorias; precise a emU de ellas.
5 horas Que esta afectada de error. Si ha contestado 4 horas, relea el cuadro 1.3 y recuerde que la medida hruta es eI Ilumero Icldo en el aparato.
A. Un experimentador novato confunde Ia columna de mercurio de un termometro con un reflejo del vidrio. B. Un estudiante mide una Iongitud con una regIa de madera que ha quedado sometida al calor y a Ia humedad.
1.6. Si el profesor Girasol se asombra de que ya sea tan tarde su reloj, se dara cuenta de su error. Si ci experimentador novato repite su medida, no encontrara e1 reflejo en el mismo Iugar y advertira tam bien su error. ~Como se podran, pues, evitar las faltas de observacion?
y vuelve a consultar
repitiendo (varias veces) la (misma) medicion 1.7. Cuando se repite varias veces 1a medicion de una misma magnitud, s~ efecrua una serie de mediciones. '*' Recuerde bien que el termino importante de "serie de medidas" designara siempre EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS OBTENIDOS AL REPETIR VARIAS VECES LA MISMA
MEDIClON
EN IGUALES
CONDICIONES.
~En que casos de Ios siguientcs se obtiene "una serie de medidas", en el sentido que acabamos de definir? A. Pesar diez objetos diferentes con Ia misma balanza. B. Pesar diez veces el mismo objeto sumergido en el aire, en el agua, en aceite ... C. Pesar diez veees el mismo objeto con la misma balanza. Respuesta: _ 1.8. Cuando se repite varias veces Ia misma medicion se ob· tienen varios numeros aproximadamentt (0 a veces exactamente) iguales. He aqui una serie de medidas del espesor de un perno: 10.1 12.0 10.2 mm. 10.2 10.3 Subraye la medida que Ie parezca anormal. ~A que puede, atribuir la anomalia?
A fS falsa, porque una serie se ob~ tiene rcpitiendo la m,isma mcdici6n (el mismo objeto).
B cs falsa. porque las condiciones rlcbcn seT las mismas.
una falta de observaci6n o a un error de copia. 1.9. Es poco verosimil que el profesor Girasol cometa cinco veces Ia misma falta a1 mirar su re10j cinco veces. Por 10 contrario, si usted mira cinco veces la hora en un re10j que se adelanta, sus cinco medidas estaran afectadas del mismo error. Haga que se correspondan correctamente Ias siguientes expresiones:
A. Una .falta de observacion. defecto del instrumento. Puede ser seguida de __
B. Un A.
1. Afecta generalmente a todas las medidas. 2. Afecta generalmente a una sola medida. B. Puede ser seguida de --'
2
1
1.10. UN ERRORQUE SE REPRODUCE EN EL MISMOSENTIDOEN TODASLASMEDICIONES DE UNA SERlEse llama ERRORSISTEMATICO. Un reloj que se adelanta hace que se cometa un error sistematico. Otro caso importante es el error del cero en los ter· mometros: cuando son nuevos, estos instrumentos indican O°C en el hielo en fusion; pero, despues de cierto tiempo de uso, dan una indicacion ligeramente distinta, por ejemplo, algunas fracciones de grado por encima de cero. En tal caso, todas las indicaciones del termometro seran demasiado elevadas; las medidas quedaran afectadas de un error sistematico. Una balanza que marca un gramo en vado, ,provoca errores sistematicos? ,Por que? _
Sf En cada pesada, indicara un g de mas.
1.11. Si su reI oj se adelanta, encontrara usted un numero demasiado elevado cada vez que lea la hora en el: sus medidas estaran afectadas de un error por exceso. Escoja las respuestas correctas: En una serie de mediciones, un error sistematico A. Afecta a una sola medida. B. Afecta a algunas medidas. C. Afecta a todas las medidas. D. Las afecta en el mismo sentido! E. Las afecta unas veces en un sentido y otras en el opuesto. A Y B SQn falsas porque, ",or dennici6n, un error sistematico afecta a todas las medidas,
1.12. Error de paralaje: La senora de Garda esta sentada al lado del senor Garda, que conduce un coche; advierte que su esposo va demasiado rapido, que va a 110 km/h. El senor Garda afirma que, por 10 contrario, su velocidad es de 100 km/h. Cada uno mira varias veces el velodmetro y, de buena fe, mantiene su opinion.
Fig. 1. aguja (detras de la graduaci6n) 90
100 110 120 130
E es"'falsa porque un error sistematico se repite en igual sentido en todas las mediciones.
Explicacion: la sefiora de Garda comete un error de lectura porque ve la graduacion oblicuamente cuando esta se ha disefiado para ser leida de frente. Escoja las tres respuestas convenientes: Su error A. Afecta a una sola medida de su serie; B. Afecta a todas las medidas de su serie; C. Las afecta en el mismo sentido; D. Las afecta unas veces en un sentido y otras en el opuesto; E. Es un error sistematico; •. F. No es un error sistematico.
Nota. Si la aguja se encontrase delante de la graduaci6ln. como ocurre con frecuencia. la senora de Garda leeria un numero inferior.
Un termometro se gradua suponiendo que sera sumergido enteramente en un medio cuya temperatura se mide. En quimica, una buena parte del termometro se halla general mente fuera del aparato; si e1 medio exterior esta mas frio, esta parte del termometro estara mas fria y todas las mediciones quedaf
t
columna
emergente
+
1.14. ,Cree usted que pueden evitarse los errores sistematicos? Cite un ejemplo: _
1.15. Si usted sabe que su reloj se adelanta 2 minutos, Ie bastara restar 2 minutos de cada lectura: obtendni entonces la medida corregida. Asi pues, cuando lea 9 hr 15 I?-in, sabra que en realidad son las 9 hr 13 min. En este ejemplo, la medida bruta es y la medida corregida es
1.16.
UNA
MEDIDA CORREGIDA ES UNA DE LA CUAL SE HAN EUMI-
NADO LOS ERRORES
SISTEMATICOS.
Sf Error de paralaje: basta colocarse bien enfrente de la aguja. Reloj que se adelanta: se puede mandar arreglar.
9 hr 15 min 9 hr 13 min
COil frecuencia, el adjetivo corregida se sobrentiende y se dice simplemente medida. La frase: la medida de la presion atmosferica es de 1 004 milibars*' significa que: I 004 milibars A. Es la medida bruta. B. Es la medida corregida. C. Esta desprovista de error sistematico. D. Esta afectada de error sistematico.
Escoja las respuestas correctas:
_
Un reloj, aun de excelente calidad, se adelanta 0 se retrasa algunos segundos al meso Un metro se alarga 0 se con· trae bajo diferencias de temperatura; una balanza de carnicero no reacciona cuando se coloca en ella un miligramo, y una balanza de farmaceutico no se desvia cuando se Ie afiade una centesima de miligramo. ,Puede citar un instrumento perfecto? _ 1.17.
Explicacion: medida se sobrcnliende cMregida, es decir. dcsprovisla de error sistematico.
No No existe
Para medir una longitud de aproximadamente tres me· tros con un doble-metro) hay que medir primero 2 metros y, despues, volver a colocar el instrumento. En la segunda colocacion, no es posible evitar un error de algunas decimas de milimetro cuando menos: no solamente Los instrumentos son imperfect os) sino que Los metodos de medicion tam bien lo son. El observador tampoco es perfecto: por ejemplo, para medir directamente la duracion de la caida de un cuerpo, con ayuda de un cronometro, un observador deberia poner en marcha y parar el instrumento menos de 1/100 de segundo antes 0 despues que el cuerpo empezara a caer 0 que llegara al suelo. Un hombre es incapaz de tal hazafia porque la duracion de sus reflejos es superior a tal centesima. Cite tres causas de imperfeccion de una medicion: 1. _ 2. _ el instrumento el metodo el observador 3. 1.18.
.
Se Haman ERRORES FORTUITOS, LOS ERRORES DEBIDOS A LA del instrumento empleado, del metodo 0 del observador. La ligera diferencia entre el momenta de Hegada de un na· dador y el instante en que el juez maniobra el cronometro es un error fortuito; la pequefia cantidad (en mas 0 en menos) en que la balanza del camicero no es bastante sensible para revelar es tambien un error fortuito.
1.19.
IMPERFECCION
• Milibar es la milcsima parte del bar, que a su vez es una unidad de presi6n atmosfel'ica. que equivale a un mill6n de dinas pOl' cm2. El milibar equivale a 3/4 del milimetro de mercurio. (N. del T.)
Indique, para cad a uno de los siguientes errores, si se trata de un error fortuito (F), de un error sistematico (S) 0 de una falta de observaci6n (0): Pequefias irregularidades de un reloj, _ Confusion entre la aguja de las horas y la de los minutos,
1.20. A. El carnicero no puede evitar que su balanza perm anezca inerte cuando se Ie afiade un miligramo; si la sustituye por una balanza de farmaceutico, no podra impedir que sea insensible a una sobrecarga de 1/100 de miligramo. Se pueden reducir los errores fortuitos, pero NO SE PUEDEN EVITAR. B. Si se sabe que un reloj se adelanta 5 minutos, se puede corregir el error sistematico que de ello resulta. Por 10 contrario, no se conocen los valores de los errores fonuitos debidos alas pequefias irregularidades de funcionamiento; POR TANTO, NO SE PUEDli;N CORREGIR.
Haga corresponder
correctamente:
A. Los errores fortuitos. B. Los errores sistematicos.
1. 2. 3. 4.
Pueden evitarse. Pueden corregirse. Son inevitables. No se pueden corregir.
1.21. Tome una cuerda delgada 0 bramante fino y una regIa graduada. Con ayuda de estos "instrumentos", trate de medir, con precision de medio milimetro, la longitud de la siguiente curva:
Efectue cinco mediciones, sin extrafiarse de encontrar vez una respuesta ligeramente distinta de las demas. Eseriba su serie de resultados:
cada
________ _______
mm
mm mm
mm mm.
1.22. Acaba de obtener una serie de medidas.
Si AI A2 83 84
ha contestado: relea eJ cuadro 1.20A, reJea el cuadro 1.208, relea el cuadro 1.14. relea el cuadro I. I 5.
lNo hay respuesta tipo. lSi sus mediciones han sido bien hechas, ehen estar comprendidas entre 12·1 mm y 128 mm; pero no todas seran iguales.
A causa de los errores fortuitos
Si no sabe que contestar piense que sus medidas han sido afectadas de errores y preguntese si estos tienen siempre e1 mismo valor; relea la pregunta y trate de contestarla. J
,
La respuesta a cau.~a de Los ~rrOTes no es bastante predsa. _g La respuesta a cmua de IDS eTTOrtj sislematicos es (aha pol'que un error sistematico conducirla a medidas fal· sas, pero iguaJes todas.
1.23. Cuando midio la longitud de la curva, cometio errores fortuitos: en ciertos lugares coloco la cuerda un poco al inte- , riar de la curva (error por defecto), mientras que en otros sitios la coloco algo al exterior (error por exceso) . En una serie de medidas, los errores fortuitos A. B. C. D.
Afectan a todas las medidas. Afectan a una sola medida. Tienen todos el mismo sentido. Tan pronto tienen un sentido como el otro.
Escoja las respuestas correctas:
_
1.24. Atribuya una 0 dos de las expresiones siguientes a los ejemplos que se proponen mas abajo: A. B. C. D.
Afectan a todas las medidas de una serie. Afectan a una medida solamente. En el mismo sentido. En sentidos diferentes.
Ejemplo 1: errores del cero de un termometro maticos): _
(errores siste-
Ejemplo 2: errores de apreciaclOn del momento preciso en que un objeto cae y toca el suelo (errores fortuitos):
1.25. Cuando se han eliminado 0 corregido los errores sistematicos y las faltas de observacion de una medicion, se dice que esta medicion ha sido bien hecha. ~Cual de las siguientes mediciones del punto de ebullicion del alcohol esta bien hecha? A. Se sumerge el termometro en el alcohol y se lee la indicacion en el momenta en que el liquido hierve. B. Se colocan el alcohol y el termometro en un balon (recipiente de vidrio de forma esferica) para que el instrumento quede enteramente sumergido en el vapor (se evita asi el error de la columna emergente), se calienta suavemente a bano de Maria y cuando el liquido hierve, se observa el nivel del mercurio colocandose el observador de frente para evitar el error de paralaje. Al terminar la operacion, se coloca el termometro en hielo en fusion, para determinar el error del cero que se deduce de la indicacion del termometro.
:b A/B
B es falsa: una falta de observacion afecta llnicamente a una sola medida. C e, falsa: si un error afecta a toda, las medidas en e) mismo sentido, se trata de un error sistematico.
1.26. UNA MEDICIONPRECISAES UNA MEDICIONBIEN HECHAEN QUE LOS ERRORESFORTUlTOSHAN SIDOREDUCIDOS TANTOCOMO ES POSIBLE. Por ejemplo, una pesada efectuada con una balanza con £ricciones muy reducidas y colocada al abrigo de las corrientes de aire es una medicion precisa si la balanza marcaba cero con los platillos vados. Para obtener una medida precisa de temperatura, es necesario un termometro sensible; pero tambien hay que corregir el error del cero. Se mide la temperatura de ebullicion de la acetona con un termometro con precision de una centesima de grado, se corrige el error del cero y no se tiene en cuenta el error de la columna emergente. ,El instrumento es preciso? _ ,La medicion ha sido bien hecha? ,La medicion ha sido precisa?
Si
,,'
1.27. Se pueden efectuar pesadas muy precisas reduciendo 10 mas posible las fricciones en las balanzas; pero es imposible eliminarlas completamente. Se pueden reemplazar los cronometradores por dispositivos eIectricos: el error, en vez de ser de 1/10 de segundo, sera de 1/100 0 de 1/1 000, pero nunca sera nulo. En -ningun caso es posible eliminar completamente los errores fortuitos; tam poco es posible corregirlos porque se ignora su valor exacto. Escoja las respuestas
No
_
No Una medicion no es precisa ido bien efectuada.
si no
correctas:
A. Es imposible conocer el valor ex acto de una magnitud medida. B. Una medida es un numero exacto. C. Una medida es un numero afectado de incertidumbre.
1.28. Por tanto, las medidas estan generalmente afectadas de incertidumbre. Asi, cuar.J.do se determina con el maximo de precision la velocidad de la luz, se halla 299792.5 km/s, pero no se esta seguro de que la lHtima cifra sea exact a a causa de los ~ errores de medida es bueno tambien;
1.29.-' Sin embargo, existe un tipo particular de mediciones que no son afectadas por errores fortuitos: si usted cuenta cuatro monedas de un peso sin equivocarse, el numero obtenido no esta afectado de error. La acci6n de contar se llama enllmeraci6n, y una ENUMERACION NO ESTA.AFECTADADE INCERTIDUMBRE. Ponga una X en las casillas de las magnitudes que no estan afectadas de incertidumbre:
pero
Ie falta
precision.
ha
La medidil de una temperatura EI numero de alumnos de una clase EI numero de monedas y de billetes que se hall an en sus bolsillos La suma de dinero que tiene en su cartera La medida de la presion atmosferica. 1.30.
UN
NUMERO
FIJADO
ARBITRARIAMENTE
o ~
fiJlEl IZlI8l
enumeracion enumeracion
DO
NO ESTA TAMPOCO
DE INCERTIDUMBRE: el precio de un boleto del cinematografo, el numero de segundos de una hora, no estan afectados de incertidumbre. La presion atmosferica (A) es una magnitud que se mide con ayuda de un barometro, mientras que la presion atmosterica normal (N) es una presion fijada arbitrariamente en 760 mm de mercurio. Ponga una X en la respuesta correcta: A est:\. afettada de incertidumbre, Nesta afectada de incertidumbre, ___ A y N estan afectados de incertidumbre. AFECTADO
lEJ
o o
Iltplicad6n: N es un numero aIbitIariamente.
1.31. En la lista siguiente, ponga una X en las magnitudes que estan afectadas de incertidumbre: La El La EI La EI
duracion de la caida de un cuerpo numero de lados de un cuadrado temperatura de ebullicion del alcohol precio de un coche velocidad de un coche numero de ruedas de un coche.
00 0
I8l
~
l2J
0 []
0
o
o [&J
o
fijluio
Series de mediciones
7 2.1.
LEA EL RESUMEN I; COMPLETE Pase despues al cuadro siguiente. No hay respuesta.
LOS EJEMPLOS.
'7 2.2.
Los cuadros siguientes llevan la menClOn TEST. Totalice las faltas que cometa en ellos, y en cada error consulte la regIa indicada bajo la respuesta correcta en la columna de laderecha. La mencion (3)2 significa que debe revisal' el resumen y leer el enunciado y los ejemplos de la regIa
7 2.3.
lTEST! Se mide la duracion de la caida de una piedra al fondo de un abismo y se leen 4.3 segundos en un cronometro que se adelanta 0.1 segundo pOl' minuto. A. ~Cual es la medida bruta? B. ~EI error debido al cronometro tuito 0 sistematico? C. ~Se trata de un error pOl' exceso
que se adelanta _ 0 pOl' defecto?
_ es for-
A. 4.3 segundos (I )2
B. sistematico (1)9 B
C. POl' exceso (1)4.
D. E. F. G.
~Se puede corregir este error? _ ~Fue afectada la medicion pOl' otros errores? _ ~Se pueden corregir todos los demas errores? _ ~C6mo se llaman los errores que no se pueden evaluar y que se deben a la imperfeccion de los instrumentos 0 a los observadores? '
D.' Si (1)14.
E. Si (I) 13.
F. No (I )14.
G. Enores fortuitos (1)11.
7 2.4.
lTEST! Se repite diez veces la medicion de la duracion de la caida de la piedra al fondo del abismo.
A. ~Afecta el error sistematico (adelanto del cronometro) todas las medidas? ,
a
B. ,Tiene el error sistematico el mlsmo sentido en todas las medicibnes? _ C. ,Afectan
los errores fortuitos
a todas las mediciones?
B. Sf (1)9
c.
C. Si D. ,Las afectan en el mismo sentido? _ E. ,Son los resultados de las mediciones rigurosamente iguales entre si? _ F. ,Se llega a determinar la duraci6n de la caida exactamente, sin la menor incertidumbre? _
(1)13 A.
D. No (1)13 B.
Eo No (I) 13.
F. No (I) 19.
~ 2.5. jTEST! Las enumeraciones y los valores fijados arbitrariamente afectados pOl' errores, mientras que son/no
las mediciones
no son (1)23.
son
afectadas pOI' errores.
son (1)20.
~ 2.6. jTEST! En la lista siguiente, ponga una X en los cua· dros que se refieren a las magnitudes que son afectadas de incertidumbre: -
El numero de lados de un hexagono La altura de la torre Eiffel La superficie de Mexico El precio de un boleto de ferrocarril La masa de un atomo de carbono fijada arbitrariamente en 12 unidades - La temperatura de ebullici6n de la acetona.
~ 2.7. Halle el total de sus errores en los tests precedentes. 6 errores 0 mas: el test quiza Ie sorprendi6 0 usted no se adapt6 bien al metodo. Ahora que ya Ie es familiar, repase el capitulo 1, cuadro pOI' cuadro, diciendose que para saltar bien, a veces hay que retroceder. 4 0 5 errores: esta bien, pero para seguir con exito el curso, debe releer el resumen 1, rehaciendo los ejemplos. Si sigue la via relampago) repase el capitulo 1 enteramente. 1 0 3 errores: jesta muy bien! o errores: usted asimi16 excepcionalmente bien la matetia. jContinue asH Usted ha visto que la medici6n de una magnitud esta afectada de errores que pueden ser eliminados, evaluados y corregidos (faltas de observaci6n, errores sistematicos); pero tambien esta afectada de errores imposibles de evitar 0 de determinal' (errores fortuitos.) A causa de estos ultimos, las medidas quedan afectadas de incertidumbre y cuando 'Se repite varias veces la misma medici6n, se pueden obtener numeros ligeramente distintos. ,Entre que limites esta la magnitud comprendida con
certeza?, ,cmil es la diferencia entre estos limites y cmil el promedio de las medidas? Vamos a tratar de contestar a estas preguntas en el capitulo 3. Si sigue la via reldmpago ,pase al resumen 2, si no, continue con el cuadro 2.8, que sigue inmediatamente. '7
2.8. Llamaremos valor a
TODO
NUMERO
QUE
SE ATRIBUYA
A
UNA MAGNITUD.
Se puede estimar en 300 m la longitud del navio France; este numero es un valor atribuido a la longitud de tal buque. A. El valor del pie ingles ha sido fijado arbitrariamente en 0.3048 m. B. La medici6n experimental de la velocidad del sonido en el aire seco y a 0° C proporciona el valor: 331 m/s. Ponga una X en el cuadro que contenga la respuesta correcta:
0 (iJ
A. Es un valor afectado de incertidumbre I
B. Es un valor afectado de incertidumbre.
2.9. A causa de los errores fortuitos, toda medida esta alectada de incertidumbre; por tanto, no es posible conocer el valor exacto de una magnitud. Hay, pues, que conformarse con NUMEROS OBTENIDOS EFECTUANDO MEDICIONES
BIEN HECHAS.
Estos numeros se Haman VALORES POSIBLES de la magnitud. Por ejemplo, una serie de resultados de mediciones bien hechas de la temperatura de ebullici6n del alcohol da: 78.4 78.5
78.3 78.4
78.5 78.5 78.4") 78.6
78.4 78.5
78.6 78.4
ce.
Cada uno de estos numeros es un valor posible de la temperatura de ebullici6n del alcohol. C6mo se podria hallar un valor posible suplementario?
2.10. ,Un valor posible de una magnitud: • esta afectado de incertidumbre? _ • esta afectado de errores sistematicos? • esta afectado de errores fortuitos? _
Efectuando una medici6n mas
Si
_
2.11. Si millones de ge6grafos midieran uno tras otro la longitud del rio Nilo, obtendrian un gran numero de valores posibles de esta longitud. Se podria imaginar que se repite esta medici6n un numero Himitado de veces: la operaci6n se Hamada serie ilimitada de mediciones.
U
No· Si
U
• Un ,'alor posible se obtiene COil una medicion bien hecha (ningull error sistematico. sino errores forluitos). •• Un lalor posible se obliene con una medkion y toda medicion (excepto las cnurneraciolles) e5la afectada de errores fortuitos y, por consiguiente, de incrftidumbrc.
Existen juegos (como la "petanque" en Francia) en 10s cuales gana el jugador que deja su bola mas pr6xima que la de sus contrincantes a otra mas chica, que hace de meta. Si varios de estos jugadores no se pusieran de acuerdo sobre quien ganaba, podrian efectuar una _ de mediciones. Cada numero obtenido seria un valor posible: el conjunto de 10s numeros obtenidos en una serie ilimitada de mediciones es el conjunto de 10s de la magnitud medida. 2.12. ,Que es el conjunto de 10s valores posibles de una magnitud? Es el conjunto de 10s numeros obtenidos al efectuar una serie ilimitada de me· diciones (bien hedIas) de la magnitud. 2.13. Supongamos que se efectt'la una serie ilimitada de mediciones de la 10ngitud de un rio y que se encuentra una serie de numeros comprendidos entre 123 km y 127 km, ambos incluso. El conjunto de valores posibles esta formado con estos dos numeros y con todos 10s numeros intermedios. Cite cuatro valores posibles:
respuesta es correct a si los cuatro ni. eros estan comprendidos entre 123 k • 127 km, ambos induso.
Sl1
2.14. Llamaremos LlMITES DE LOS VALORES POSIBLES al menor y al mayor de 10s valores posibles. Asi, en el ejemplo precedente 10s valores posibles estaban comprendidos entre 123 km y 127 km, ambos incluso. El limite inferior de 10s valores posibles era: El limite superior de 10s valores posibles era: __
_ <
'
123 km 127 km
2.15. Una serie ilimitada de mediciones bien hechas ha dado los resultados siguientes: 127
131 mm limite superior
129 promedio
limite inferior
Para obtener el limite 127, hay que restar dio. Para obtener el limite 131, hay que al promedio. 2.16. Serie ilimitada sistematicos. 61.2 Lseparaci6n
al prome_
de mediciones desprovistas de errores
61.5
O.3.-J
Lseparaci6n
Limite superior 61.8 s
O.3--l
2 afiadir 2
El limite inferior y el limite superior estin separados del promedio en una cantidad _ 2.17. En una serie ilimitada de mediciones, el numero que hay que afiadir 0 restar al promedio para obtener los limites se llama incertidumbre absoluta. 127 limite inferior
128
L__
-2
129 promedio
L ----l
130
131 mm limite superior
I
I
+2
mm
2.18. Supongamos que una serie ilimitada de mediciones bien hechas de la velocidad del sonido en aire seco a 0° da, en --cada caso, uno de los numeros siguientes como medida: 331.2
331.3
promedio 331.4
331.5
331.6
331.7 mj&
El-_1I_m-_t El valor promedio es m/s. Los dos limites son m/s y La incertidumbre absoluta vale
331.4
m/s. m/s.
2.19. El numero que hay que sumar 0 restar al promedio de una serie ilimitada de mediciones para obtener los limites de 10s valores posibles se llama _
331.1
331.7 0.3
incertidumbre absoluta
2.20. Si, en una serie ilimitada de mediciones, los limites son 2.43' y 2.47 mm, esto significa que la longitud medida esta comprendida con seguridad entre mm y mm. Es el numero que hay que sumar a res tar al promedio (de una serie ilimitada de mediciones) para obtener los limites de los valores posibles. 2.22. Serie ilimitada de mediciones. Promedio: 25.4 m/s. Incertidumbre absoluta: 0.3 m/s. El conjunto de los valores posibles de la magnitud esta comprendido entre m/s y m/s incluso.
2.23. Para encontrar los limites entre los cuales esta seguramente comprendida la magnitud que se mide, habria que efectuar una serie ilimitada de mediciones bien hechas. Practicamente, esto no es realizable, pero el calculo estadistico ha mostrado que una serie de 10 a 20 mediciones bien hechas proporciona una buena estimacion de los limites de los valores posibles y de la incertidumbre absoluta. Llamaremos SERlENORMALDE MEDICIONES A UNASERlEDE POR LO MENOSDIEZMEDICIONES EXENTASDE ERRORSISTEM4TICO. Indique en cual(es) caso(s) se trata de una serie nQrmal de medidones: __ Serie de 15 mediciones de la temperatura de fusion de la naftalina con un termometro al que no se Ie ha verificado el cero. __ Serie de 3 mediciones de la velocidad de la luz segun un metodo que excluye los err ores sistematicos. __ Serie de 20 mediciones de la duracion de la oscilaci6n de un pendulo con un cronometro que no se adelanta ni se retrasa. 2.24. Dos condiciones deben cumplirse de mediciones sea normal: 1.
o
En una serie normal. las meiciones deben eSiar exentas de error istematico.
o
Se necesitan 10 mediciones po o menos.
para que una serie Se necesitan pOl' 10 menos 10 mediciones. ebe estar exenta de error istematico.
2. 2.25. Si no se comete error sistematico alguno cuando se mide una magnitud, el valor que se obtiene es un valor posible de la magnitud. ,Que puede dedI' de los numeros obtenidos al efectuar una serie normal de mediciones? _
on valores posibles de la magnitud, IlOrque se obtienen con mediciones desprovistas de error sistematico.
2.26. Los numeros obtenidos al efectuar una serie normal de mediciones de una magnitud se llaman MEDIDASde la magnitud. Midiendo 10 veces la temperatura de ebulliciOI:l de un liquido, se determina despues de la correccion de los errores sistematicos: 63.4 63.7
63.5 63.4
63.4 63.6
63.6 63.1
63.5 63.2 DC.
Cada uno de estos numeros se llama, pues, de la magnitud (temperatura de ebullici6n del liquido) .
_
2.27. En el ejemplo precedente, la mayor medida hallada fue 63.7 °C; pero nada permite afirmar que si se efectuaran otras
mediciones bien hechas, no se encontraria para una de ellas 63.8 °e. ,Es necesariamente la medida mayor de una sene normal el mayor valor posible de la magnitud? _ 2.28. En una serie ilimitada de mediciones, la mayor y la menor son los limites de los valores posibles. ,Ocurre 10 mismo en una serie normal de mediciones? . ,Por que?
No Una medici6n stlplementaria podria dar un valor
mayor
0
.:tnenor.
2.29. Sin embargo, si se mide una 0 dos decenas de veces la longitud de la curva del capitulo 1 sin cometer ningun error sistematico, se determina una serie de resultados que estan todos comprendidos entre 127 mm y 131 mm. ,Hay muchas probabilidades de que una medici6n suplementaria de una medida inferior a 127 mm 0 superior a 131 mm?
2.30. En una serie normal de mediciones, es posible que una medici6n suplementaria de un valor inferior a la menor de las medidas 0 superior a la mayor; pero es probable. poco/bastante/muy
1:'\0 e5 impo5iblc; pcro dcspues de diel medkiones, es poco probable que la siguiente sea mayor 0 menor que roda. as demas.
2.31. Recorte las paginas 15 y 16 siguiendo el punte,ado y conservelas cuidadosamente; las necesitara hasta que acabe este curso. Examine, de la tabla I, el cuadro A, que contiene los resultados obtenidos repitiendo II veces la medici6n de la longitud de una linea curva semejante a la del capitulo 1. ,Puede usted afirmar con certeza que 128 mm, por ejemplo, es el resultado que representa la_medida exacta? _ 2.32. N inguna de las mediciones de una serie normal representa con seguridad el valor exacto de la magnitud porque esta no puede conocerse a causa de los
Si contestara 51, 10 mismo pod ria deeir de 130 rom. Pcro 13 longi!U9 no puedc wetir a la veZ J 28 Y 130 rom.
2.33. Observe la tabla 1, cuadro B. Si entre los resultados, usted debiese escoger uno solo para representar a la medida, ,cual escogeria de preferencia: 127, 129 0 131 mm? _ 131 mm medida inferior
medida superior
Si no pudo (Ontesrar () si rcspondi6 1270 131, no se inquiete;los cuadros siguicotes Ie. expliearfm Ja sele{'d6" que baY que hacer.
De 1as tres medidas que Ie fueron propuestas para representar el resultado, habia que escoger el _ 2.35. Vamos a tratar de comprender 10 que conduce a escoger el promedio para representar el resultado de una serie de mediciones.
\
\
, " fuera
Si usted ajusta una cuerda delgada sobre una linea curva, no podra conseguirlo de una manera perfecta y se desbordara a veces un poco por el exterior de la curva: usted cometera asi un error por . En otros 1ugares se excesojdefecto
desbordara un poco por el interior de la curva y cometera un error por " En el extremo de 1a curva, podd sobrepasar ligeramente su trazo y cometer asi un error por 0, por 10 contrario, co1ocar 1a cnerda sin llegar al extremo exacto del trazo; en este caso cometed un error por _ cTienen los errores por defecto mas, menos 0 1as mismas probabilidades de producirse que los errores por exceso?
2.36. En la mayoria de los casos, los errores fortuitos por defecto tienen tantas probabilidades de producirse como los crrores fortuitos por exceso. Ademas, en la mayoria de los casos, no hay razon para que los errores por defecto sean mayores 0 menores que los errores por exceso. Por consiguiente, en la mayoria de los casos, los errores fortuitos por defecto y los err ores fortuitos por exceso tienden a
exceso cl camino es mas largo, la longilud tcnida es, pues, demasiado grande.
ob-
compensarse, destruirse, equilibrarse, igualarse, valer igual.
2.37. Si los errores fortuitos por defecto y los errores fortuitos por exceso tienden a equilibrarse, el valor exacto lmscado en una serie de mediciones tiene mas probabilidades de quedar proximo: a la medida mayor,
no, porquc en este caso IDS errores por defeclo hubiesen sido mas importantes.
al promedio aritmetico,
no, plies en cste caso 10s crrorcs
a la medida menor.
por exceso hubiesen portante •.
sido mas im-
2.38. Cuando los errores fortuitos tienden a .compensarse, e1 promedio de las medidas de una serie normal es el valor exacto de la magnitud, no, porque no se esta segura de que 108 errores se bayan com· pensado.
esta proximo al valor exacto, tiene muchas probabilidades exacto.
de estar proximo al valor
2.39. Si se lanza cuatro veces al aire una moneda, no es del todo improbable que se obtengan 3 caras y una cruz (relacion 3 a 1). Por 10 contrario, si se lanza 100 veces, es mucho mas improbable que se obtengan 75 caras y 25 cruces (misma relacion) . Escoja las respuestas exactas: __ Cuanto mayor sea la serie, mas se diferencia el numero de caras del de cruces. __ Cuanto mayor sea la serie, mas probabilidades hay de que las caras compensen aproximadamente las cruces. __ Cuanto mayor sea una serie de medidas, mas probabilidades hay de que los errores por defeeto compensen los errores por exceso. 2.40. En una serie de medidas, el valor que tiene mas probabilidades de estar proximo a la magnitud medida es el Para que esto ocurra, es necesario que las mediciones esten desprovistas de error , que se hayan realizado en gran y que los errores fortuitos tiendan a
sistematico numero compensarse
2.41. RECORDATORIO: Para calcular el promedio aritmetico de una serie de medidas, hay que: - Sumar todas las medidas; -- dividir la sum a entre el m'tmero de medidas. Ejemplo: Calculo del promedio aritmetico de las cinco medidas siguientes:
suma de las medidas numero de medidas 24.5
+ 24.2 + 24.3 + 121.7 5
2.42. Calcule guientes:
el promedio
aritmetico
de
las medidas
S1-
suma de las medidas numero de medidas 1036 10 2.43. Lea la regIa (2)1l, complete el ejemplo que Ia acompafia y efectue despues el ejercicio siguiente: Calcule, mediante el procedimiento que juzgue mas camodo, el promedio de las medidas siguientes: 302 301
304 305
303 302
2.44. Calcule guientes:
304 304
304 303 mm
el promedio
aritmetico
de las medidas
2.45. Calcule, como qUlera, el promedio de Ias medidas guientes: 52.3 52.5
52.1 52.2
52.2 52.4
52.2 52.4
S1-
S1-
52.3 52.6 m
2.46. En el ejemplo precedente, Ias medidas eran 52.1,52.2 52.6 myel promedio 52.32 m. Las medidas no tienen mas que una cifra decimal, mientras que el promedio tiene 2. C:IH"~ Generalmente no es uti! que el promedio sea mas preciso que las medidas; asi pues, vamos a redondearlo suprimiendo Ia cifra decimal sobrante, 10 que da
Medidas: 304 304 303 Promedio: 303.2 Promedio redondeado:
302 ...
_
2.48. Hay que redondear el promedio al mismo tenga La ultima cifra significativa de las medidas.
orden
que
1.24 1.25234
Medidas: Promedio:
EI orden de la ultima de las al orden de las
cifra significativa de las medidas es el ; el promedio debera ser redondeado 10 que da l. 1. .I •
centesimas centesimas 1.25
2.49. El promedio debe ser redondeado optimamente (es decir, por defecto si la primera cifra significativa suprimida es inferior a 5, 0 por exceso si es igual 0 superior a 5). Medidas: Promedios: Promedios redondeados:
Medidas 624 216 41.85
627 ... °C 215 .. . mm 41.81 .. . s
42.32 ... 42.3084
Promedios 625.24 ° C 217.21 mm 41.8372 s
564.... 562.75
2.15 ... 2.1653
Promedios redondeados 625 ° C mm . --- s. ---
Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test (principio del capitulo), lea el resumen 2, sin completar los ejemplos.
217 41.84
Incertidumbre absoluta y resultado de una serie normal de mediciones Atribuya correctamente dos de las proposiciones que siguen: A. Afectan a todas las mediciones de una serie; B. Se producen en el mismo sentido; C. Se producen a veces en un sentido, a veces en el otro; a cada uno de los terminos siguientes:
An
AC
Reglas: 0)7 a 0)13.
3.2. REVISI6N. Atribuya correctamente uno de los terminos siguientes: faIta de observacion, error sistematico, error fortuito:
C. Mala apreciacion del extrema superior del mercurio en un termometro. faIta de observacion Reglas~0)7 a (1)13.
'7 3.3.
Los cuadros que siguen llevan la mencion TEST. Totalice Ios errores que cometa en eHos y, a cada error, consuIte la regIa indicada bajo la respuesta correcta. La mencion . (3)2 significa que debe usted consultar el resumen y leer el enunciado y los ejemplos de la regIa _
Un nllmero que se puede obtener al efectuar una medicion bien hecha de la magnitud. ". 3.5. jTESTI Todos los valores que se podrian obtener efectuando una serie ilimitada de mediciones bien hechas de una magnitud, forman el conjunto de los _' _ de la magnitud medida. El menor valor que se obtendria en una sene ilimitada de mediciones bien hechas, se llama _ de los valores posibles, mientras que el mayor se llama
'1 3.6.
iTEST! ,Que es la incertidumbre ilimitada de mediciones?
() un valor que se puede obtener ... RegIa (2)5.
absoluta en una serie
Es el numero que es preciso sumar 0 restar al pro, medio para obtener 105 Iimites de los valores posiSi no sabe que contestar) pase al cuadro 3.7 sin mirar la respuesbles. ta exacta y despues regrese al cuadro 3.6; si todavia no acierta, cuentese un error y mire la respuesta.
'13.7. jTEST! Millones de observadores que miden una duracion con un cronometro exacto, obtienen alguno de los resultados siguientes:
Los limites de los valores posibles son La incertidumbre absoluta vale:
y
,
24.3 s
24.7 s 0.2 s
". 3.8. jTEST! Valor promedio de una serie ilimitada de me· diciones: 427 mg. Incertidumbre absoluta: 2 mg. La magnitud est;\.con seguridad comprendida entre y _ que son, por tanto, los de los valores posibles.
425
429
regIa (2)11
limites regIa (2)7
'13.9. JTEST! Para que una serie de mediciones sea una sene normal, precisa de dos condiciones:
p-------------------------
P las mediciones deben ser numerosas
o debc contener por 10 menos 10 me·
diciones,
D
toda
respucsta
cqui\'3Iente.
2~ las mediciones deben estar exentas de error sistechico '13.10. Si despues de haber efectuado una serie normal de mediciones se efectua otra medicion suplementaria, ,es posible
que sehalle un numero inferior a la medida menor a la mayor? _ ,Es probable?
0
superior
Si No RegIa
~ 3.11. ,Puede usted designar, en una serie de mediciones, el valor exacto de la magnitud? _' . ,Por que?
(2) 15
No RegIa
(2)li
Porque es imposible medir exactamente una magnitud. o a causa de 10s errores fortuitos, {) por· que loda. la. medicione. e.lan afecladas de enorcs.
~ 3.12. Si los errores fortuitos de una serie normal de ciones se deben verdaderamente al azar, ,que se puede de los errores por defecto y de los errores por exceso? den a _ ,Cual es el numero que mejor representa el resultado medicion? _ ,Es el valor exacto? _
medidecir Tien· de la el promedio (aritmetico) No (porqne la compensaci6n de Ius errores no c. perfeela, sino que se debe al alar) .
,. 3.13. jTEST! He aqui una serie de medidas: 36.4 36.4
36.4 36.2
36.6 36.4
36.5 36.2
36.3 36.6 mm
Caleule su promedio aritmetico: . Redondee correctamente este promedio:
36.41 mm
_ _
Regia RegIa
,. 3.14. Totalice sus faltas en los cuadros de test. Si ha cometido: 7 errores 0 mas: es preferible reiniciar el capitulo 2 leyendo todos los cuadros. 4 a 6 errores: esta bien; pero para hacerlo mejor todavia: • Relea el resumen 2 y los ejemplos si sigue la via normal. • Reinicie el capitulo 2 por via normal si usted sigue la via reldmpago. 3 errores 0 menos: esta muy bien, siga as!. Para hallar el valor de la incertidumbre absoluta en la medida de una magnitud haria falta, en principio, realizar una serie ilimitada de mediciones y determinar el promedio de las medidas. La separacion 0 desviacion entre este promedio y la medida menor hallada debe ser igual a la separacion entre la medida mayor y dicho promedio: representa la incertidumbre absoluta. Sin embargo, hemos visto en el capitulo precedente, que una serie normal de medidas representaba aproximadamente el conjunto de valores posibles; en este capitulo veri como, estudiando las desviaciones entre el promedio y cada medida, se puede estimar la incertidumbre absoluta; vera
(2)21
36.4 mm (2)20
tam bien algunas propiedades de este nllmero, y finalmente aprendera a expresar el resultado de una medici6n indieando entre que limites puede uno eonfiar en el. Si sigue la via reldmpago) siga con el cuadro 3.15.
pase al resumen
3)
St
no es asi)
3.15. En una serie normal de medidas, se llama separacion 0 desviaci6n de una medida el resultado de restar esta medida del promedio aritmetieo. He aqui dos medidas extraidas de una serie normal: ... 38.8 s 38.7 s Promedio de la serie: 38.6 s. La desviaci6n de la medida A es: 38.8 La desviaei6n de la medida B es: _
38.6
3.16. La desviaci6n de una medida es un numero concreto, es decir, un numero aeompafiado de una _ 3.17. He aqui algunas medidas de volumen de una serie normal, euyo promedio es 120 em3, determine sus desviaeiones: Medidas: 123 em3 121 em:! 120 em3 122 em3• Separaeiones: 3.18. Medida: 117 emS. Promedio aritmetico: 120 em3• Desviaci6n: Medida Promedio: 117 em3 - 120 em:! = -3 em3 negativo 3.19. Una sene normal de medidas tiene por promedio 260 mg. He aqui varias medidas: Busque sus desviaeiones: 262 mg 259 mg 260 mg 258 mg 3.20. RECORDATORIO: el m6dulo (Hamado tambien valor absoluto) de un numero algebraieo es este numero, privado de su signo. La desviaci6n absoluta de una medida es el m6dulo de su desviaci6n. Ejemplos: Desviaci6n: -2 mm; desviaei6n absoluta: 2 mm Desviaei6n:, -1 mm; desviaei6n absoluta: Desviaci6n: (+) 1 mm; desviaci6n absoluta: 1 mm Desviaci6n: (+) 2 mm; desviaci6n absoluta: _
2 mg -1 mg
o mg -2 mg
3.21. He aqui alg-unas medidas de velocidad de una serie normal cuyo promedio aritmetico es 186 km/h. Cakule, para cada una de ellas, la desviacion y la desviacion absoluta. Medidas: 185 km/h 188 km/h 186 km/h 184 km/h I km/h 2 km/h Desviaciones: 2 km/h Desviaciones absolutas: _ -1 km/h 2 km/h -2 km/h 3.22. La incertidumbre absoluta es el numero que hay que sumar 0 restar al promedio para obtener los limites de los valores posibles, es decir, los valores entre los cuales la mag· nitud esta ciertamente comprendida. Si ha contestado: Esta proposicion es rig-urosamente cierta: [gJ pase al cuadro 3.24. En una serie normal de mediciones [gJ pase al cuadro 3.23. En una serie ilimitada de mediciones ~ pase al cuadro 3.24. En ambos casos (Pong-a una X en la linea que conteng-a la circunstancia a la cual conviene la proposicion.) 3.23. Tiene listed razon, para encontrar la incertidumbre ab· soluta de una mag-nitud, en principio habria que efectuar una serie ilimitada de mediciones. En la practica, tal cosa es imposible y habra que adoptar una solucion aproximada. Recuerde que en una serie normal de medidas, es .fiuy poco probable que una medida suplementaria sea superior a la ma· yor medida obtenida 0 inferior a la menor y es aun menos probable que esta medida -muy diferente de las demas- sea la mas proxima al valor exacto. Asi pues, se puede considerar que en una serie normal de me· didas, el numero que hay que sumar 0 restar a (0 de) el promedio para obtener la medida que se separa mas, es una buena estimaci6n de La incertidumbre absoluta.
3.24. Su respuesta no era totalmente exacta; la incertidum· bre absoluta ha sido definida para el caso de una serie ilimitada de mediciones y no para el caso de una serie normal de mediciones. En efecto, para conocer de manera indiscutible los limites de los valores posibles, habria que hacer una serie ilimitada de mediciones, porque nunca se puede estar seg-uro de que una medicion suplementaria no daria un resultado superior o inferior a los que ya se han obtenido. Sin embarg-o, si se lleva a cabo una serie normal de mediciones (10 mediciones
0 km/h 0 km/h
por 10 menos), esta eventualidad es poco probable y todavia es menos probable el que esta medida, muy diferente de las demas, sea la mas aproximada al valor exacto. Por tanto, se puede considerar que en una serie normal de mediciones el numero que hay que sumar 0 que restar al promedio obtenido, para obtener la medida que mas se separa de ella, es una buena estimaci6n de la incertidumbre absoluta. J
3.25. En una serie ilimitada de medidas, el numero que hay que anadir 0 que restar para obtener el valor que mas se separa del promedio la incertidumbre absoluta. En una serie normal de medidas, el numero que hay que anadir 0 restar para obtener la medida que se separa mas que ninguna del promedio
3.26. Cuando usted dispone de una serie normal das, ~puede usted hallar: - El valor preciso de la incertidumbre absoluta? - Una estimaci6n de la incertidumbre absoluta?
de medi_ _
No e necesitaria didas.
una
serie ilimitada
de me·
Sf por(IUe el numero que hay que suma o restar al promedio para obtener la me dida que se desvia mas, tampoco e cxacto.
3.27. He aqui una serie normal de medidas: 21.4 21.7
21.4 21.7
21.5 21.8
21.5
121.61
121.61
promedio
mm.
121.91 medida
que mas se desvia
Estimaci6n de la incertidumbre
absoluta:
3.28. 21.7 21.7 Medidas: 21.6 mm Promedio: Desviac:ones: -0.2 o +0.1 Desviaciones absolutas: 0.2 0.1 0 0.1 0.1 La incertidumbre absoluta es igual a desviaci6n absoluta es igual a ~Que comprueba usted?
0.3 mm , la mayor
3.29. La desviaci6n absoluta es un numero aritmetico (es dedr, sin signo) y concreto (es decir, provisto de una unidad).
0.3 mm 0.3 mm Que son iguales.
,Que puede usted decir de la incertidumbre la mayor desviacion absoluta)?
absoluta (que es que es tambien un nt'nnero , aritmetico concreto.
___________________________
3.30. La incertidumbre absoluta debe ser expresada en la misma unidad que la magnitud. La incertidumbre en una longitud expresada en mm debe tambien expresarse en mm; la incertidumbre en una duracion de segundos debe expresarse en 3.31. Consulte la tabla 2. El promedio didas vale _ La mayor desviacion absoluta vale La incertidumbre absoluta vale, pues,
de esta serie de me299 792.5 km/s 2.5 km/s. 2.5 km/s
_ _
3.32. Consulte la tabla 3. Promedio de las medidas: _ Halle la medida que mas se desvia del promedio:
_ 8.19 mA
La mayor desviacion absoluta vale La incertidumbre absoluta vale:
_
0.12 mA
_
0.12 mA
3.33. En una serie normal de mediciones, la magnitud medida esta casi seguramente comprendida entre los dos valores siguientes: promedio _ - incertidumbt"e y promedio _ + incertidumbre Si no lo entiende)
relea el cuadro 3.25.
3.34. En la expresion
I promedio
± incertidumbre
I
absoluta
- una parte representa el valor que tiene mas probabilidades de estar cercano a la magnitud medida: es el
promedio
- una parte representa los limites entre los cuales esta caSl seguramente comprendida la magnitud; es + incertidumbre
3.35. La expreslOn
I promedio
± incertidumbre
absoluta
I
e') un buen medio de representar el resultado de la medicion. Asi, si una serie normal de medidas ha dado pOl' promedio 436 mm Y pOl' incertidumbre absoluta 2 mm, el resnltado quedara expresado como: ± mm. 3.36. Promedio: Resultado:
absoluta absolllta
436 kg; incertidumbre _
absoluta:
3 kg.
absoluta
3.37. Promedio: 78 km/h; incertidumbre Resultado: _ 3.38. Consulte la tabla 2. Promedio: Incertidumbre absoluta: Resultado:
absoluta: 0.5 km/h.
_ _ _
299 792.5 km/s 2.5 km/s 299 792.5 ± 2.5 km/s
3.39. Resultado de una serie normal de mediciones de una longitud: 25.6 ± 0.2 mm. Esto significa que la longitud esta casi seguramente comprendida entre y mm. 3.40. iATENCI6N! En 10 siguiente, trataremos con series de cinco mediciones. ESTASSERIESNOSONSERIESNORMALES porque no contienen bastantes mediciones, y si las tratamos como tales, es para no hacer pesada su tarea con dlculos demasiado largos. Para hallar la incertidumbre absoluta de una serie de medidas: A. Determine el promedio aritmetico. B. Halle la medida mas pequeiia y la mas grande. C. Determine las desviaciones absolutas de estas dos medidas. D. La incertidumbre absoluta es igual a la mayor de estas desviaciones. Duraci6n: 12.3 12.5 12.5 12.2 12.5 s. A. Promedio aritmetico: _ B. La medida menor: . La mayor: _ C. Desviaciones absolutas: _ D. Incertidumbre absoluta: _
12.4 s 12.2 s 0.2 s
12.5 s 0.1 s 0.2 s
3.41. He aqui una serie de medidas de masa: 34.2 34.5 34.1 34.5 34.3 mg. Busque la incertidumbre absoluta y escriba el resultado. - Determine primero el promedio (redondeelo correctamente):' 34.3 mg - Halle despues la desviaci6n absoluta de la medida menor y la de la mayor (notara que tales desviaciones son iguales: una y otra representan la incertidumbre absoluta). Incertidumbre absoluta: _ Resultado: _
34.3 ± 0.2 mg'
3.42. Halle la incertidumbre absoluta y escriba el resultado de la serie siguiente de medidas: 210 215 212 210 212 km/h. Incertidumbre absoluta: _ Resultado: _
3 km/h 212 ± 3 km/h
RegIa:
(2)20 A.
0.2 mg
Si experimenta dificu1tades aqui tiene alguna ayuda: calcule primero el promedio, busque la medida mayor y la menor y calcule la desviaci6n absoluta de cada una de ellas. J
3.43. Consulte la tabla 8 (medida de un volumen). Resultado: _ Si ha cometido mas de tres errores en los cuadros de test, al principio del capitulo, lea el resumen 3 sin fijarse en los ejemplos.
Notaciones, Ilmites e intervalo de confianza
,. 4.1. REVISIoN. En la lista siguiente, ponga una X en las Hneas de las magnitudes que estan afectadas de incertidumbre. • La distancia de Mexico, D. F., a Guadalajara. • El numero de alumnos de una dase. • El precio de una cajetilla de cigarros. • La duracion de una carrera. • El numero de lados de un rombo.
f
f
4.2. REVISIoN. Si los resultados de una serie ilimitada de mediciones estan todos comprendidos entre 41.2 mg y 41.6 mg (induso), estos dos numeros son los de los valores posibles. 4.3. REVISIoN. Para que una serie de mediciones preciso que las mediciones sean
,. 4.4. Lea el resumen 3, completando pues al cuadra siguiente.
,. 4.5. iTEST! La mejor determinacion cidad de la luz en el vacio: Promedio aritmetico: 299 792.5 km/s. Incertidumbre absoluta: 0.2 km/s. Resultado de estas mediciones:
j2g 0 0 ~
0
limites RegIa:
(2)7
_ numerosas (10 por 10 mey nos; en numero de 10... ) exentas de error sistematico. los ejemplos. Pase des-
hasta hoy de la velo-
_
299 792.5 ± 0.2 km/s Regia:
(3)9
La velocidad de la luz esta ciertamente _______ km/s y
comprendida entre km/s.
299792.3
299792.7
RegIa.
(3) III B.
)- 4.6. jTEST! Medidas de una duraci6n: 25.4
25.1
25.4
25.5
25.3
Promedio (redondeado):
S.
_ QI
-Q2
Ql
Q2 -Q2s
RegIa:
0.1
0.2
(3) 4.
0.1 Regia:
0.2
0.2 s
(3}4.
0.2 s Regia:
(3)6.
25.3 ± '0.2 s La serie no es normal (muy pocas mediciones); querido simplificarle los cdlculos.
RegIa:
(3)9.
1.05 1.01 1.08 0.04
mna mm mm mm
hemos
)- 4.7. jTEST! Medidas de un espesor: 1.04
1.01
1.06
1.08
Pronaedio: _ Menor medida: Mayor medida: Incertidumbre absoluta: Resultado:
1.06 mm. _ _ _
Regia:
_
Regia:
La serie no es normal (muy pocas mediciones); rido simplificarle los cdlculos.
(3}8 DE.
1.05 ± 0.04 mm hemos
(3}9.
que-
)- 4.8. jTESTI Tabla 3 (hoja que usted ha desprendido). Incertidumbre absoluta _ Resultado: _ cEntre que valores se puede considerar que esta comprendida con certeza la magnitud? ' y _ cQue se puede decir del valor 8.31 mA?, ces el valor exacto de la magnitud medida?
Medida que mas se desvia del promedio: 8.19. Su desviacion vale: 8.31 - 8.19 = 0.12. Regia: (3}8.
8.31 ± 0.12 mA Regia:
8.19 Regia:
(3) 9.
8.4;~ (3) 10 B.
No Es el valor mas representativo (0 eL mas probable). 4.9. Halle el total de sus errores desde el princlplO del test. Si ha cometido: 5 errores 0 mas: para seguir el resto del curso sin dificultad, debe repasar el capitulo 3 leyendo todos los cuadros.
Regia:
(3)10 B.
3 0 4 errores: esta bien; mas para mantenerse a un nivel elevado, debe releer el resumen 3 con sus ejercicios si sigue la via normal; repase el capitulo precedente por via normal si sigue la via relampago. 2 errores 0 menos: es excelente; puede seguir adelante. ,. 4.10. Ya ha visto como puede determinarse la incertidumbre absoluta en una serie normal de medidas. Con frecuencia, hay que utilizar el resultado de la medicion en ciertos calculos; entonces, se debe introducir tambien en esos calculos el valQr de la incertidumbre absoluta; sabe usted que es ventajoso manejar los calculos utilizando simbolos en vez de numeros; asi pues, aprendera a atribuir los simbolos adecuados alas nociones que acaba de aprender. Nos preguntaremos tambien que semejanza hay entre los valores obtenidos en una serie normal de mediciones y los limites de los valores posibles. Si sigue la via relampago) pase al cuadro 4.11.
consulte el cuadro 5.1) si no es asi)
No hay respuesta. 4.11. Se acostumbra representar la incertidumbre que haya en una magnitud por el simbolo Il (delta) colocado delante de la letra que representa la magnitud. Asi, la incertidumbre en la longitud L estara simbolizada par ilL. La incertidumbre en la velocidad "v" sera simbolizada por Il
_
La incertidumbre
en la duracion
"t" sera simbolizada por
4.12. ilL se lee delta (maytiscula) ele y significa incertidumbre absoluta en la magnitud L. Ilt se lee y significa _ __________ en la magnitud _
4.14. EI longitud tado del De igual didas de
promedio aritmetico de una serie de medidas de la 1 se representa por 1m, es decir, por el simbolo 1 afecsubindice m. manera, el promedio aritmetico de una serie de me· la temperatura t se representa por el simbolo _
delta te incertidumb1'e absoluta inceTtidumbre absolllla la magnitud G.
t
en
4.15. El promedio aritmetico de una serie de medidas del peso P de un objeto se representa por el simbolo _ 4.16. Tabla 1 (medida de la longitud L de una linea). Lm = -----Halle AL. AL = ------
129 mm
2mm RegIa:
4.17. Tabla 4: duraci6n (simbolo t) de una caida. tm At Resultado de la medici6n: tm ± At =
=
.
=
_
16.2 s 0.2 s 16.2 ± 0.2 s
4.18. El promedio aritmetico de una serie de medidas de la magnitud G se representa por , la incertidumbre absoluta por y el resultado por _ 4.19. Resultado de las mediciones de una distancia d ± 0.1 m. __ = 76.4 m. = 0.1 m.
= 76.4 ±
4.20. Se llama limite superior del resultado de una serie normal de mediciones el promedio aritmetico aumentado de la incertidumbre absoluta. LfMITE
SUPERIOR
DEL RESUL TADO: Gm promedio
Medida de una Limite superior Medida de una Limite superior
+
AG
incertidumbre ab",luta
=
longitud: L 129 ± 2 mm. del resultado: 129 + 2 = 131 mm. duraci6n: t = 16.2 ± 0.2 s. del resultado:
4.21. 1m = 8.31 mA, AI = 0.12 mA. Limite superior del resultado:
mA.
4.22. El limite superior del resultado se representa por el simbolo de la magnitud afectado del subfndice "max". Asi, el limite superior del resultado de la medici6n: -- De una longitud L se representa por Lm •••• - De un volumen V se representa par Vmax, - De una altura H se representa par 4.23. Medida de una duraci6n: t tm 16.2 s. tmax
=
=
_
= 16.2 ± 0.2 s.
_
(5)8.
4.24. Medida de un volumen: V Vm cm3• aV Vmax = cm3•
=
=
312 ± 5 cm3 cm3•
312 317
5
4.25. Se llama limite inferior del ,'esultado de una serie de mediciones el promedio disminuido de la incertidumbre absoluta.
I
LIMITE INFERIOR DEL RESULTADO: Gm
=
=
Lm 129 mm, aL 2 mm. Limite inferior del resultado: 129 mm - 2 mm tm = 16.2 s at = 0.2 s Limite inferior del resultado: s.
-
toG
= 127 mm.
4.26. Para hallar el limite inferior del resultado, hay que _________ la incertidumbre absoluta del promedio. Para hallar el limite superior del resultado, hay que _ ______ la incertidumbre absoluta al promedio. 4.27. Resultado: 186 ± 3 km. Los limites del resultado anterior son
4.28. El limite inferior del resultado se representa simbolo de la magnitud con el subindice "min". Asi, el limite inferior del resultado de la medici6n: - de una duraci6n t se representa pOI' tm!n. - de un peso P se representa pOI' _
y
pOI' el
4.29. El limite inferior del resultado de la medici6n de una magnitud cualquiera de simbolo G tendra pOI'simbolo ; su limite superior tendra pOI' simbolo _. _ 4.30. Serie de mediciones de un volumen V. El promedio de 10s volumenes hallados tiene pOI' simbolo ____ , la incertidumbre absoluta , el limite inferior del resultado y el limite superior _ 4.31. Serie de mediciones de una magnitud cualquiera de simbolo G. EI promedio de las medidas halladas tiene par simbolo _ la incertidumbre absoluta , el limite inferior del resultado y el limite superior _ 4.32. Medida de una altura: H = 253 ± 2 m Hm 253 ill, AH ' m,
=
res tar (retirar, sustraer) sumar (afiadir)
183 km 189 km
4.33. Para toda magnitud
G: Gmax Gmin
= Gm =G
_
m ------
4.34. El eonjunto de los valores eomprendidos entre los limites del resultado (incluidos ambos Hmites) se llama intervalo de confianza de la medida. Ejemplo: medida de un volumen: V = 634 ± 3 em3• Los limites del resultado son: Vmin = em3 3 y Vmax = em • El intervalo de eonfianza de esta medida es el eonjunto valores eomprendidos entre y em3• 4.35. Medida de la velocidad de la luz: 299 792.5 ± 2.5 km/s. El eonjunto de valores eomprendidos entre 299790 Y 299 795 km/s se. llama de la medida.
631
637 de
_
4.36. El menor valor del intervalo de confianza es el limite inferior del resultado, mientras que el mayor valor es el ______________ del resultado. 4.37. El intervalo de eonfianza puede senalarse eon la nota· cion siguiente: {Gm1n ... Gmax unidad }. AS1pues, el intervalo de eonfianza de la medida: 48.5 ± 0.2s (Gm1n = 48.3 s; Gm"x = 48.7 s) se notara {48.3 ... 48.7 s }. De igual manera, el intervalo de eonfianza de la medida 175 ± 3 m se notara _ 4.38. Intervalo de eonfianza: {Gmin v = 331 ± 1 m/s Vmin
=
330 m/s 332 m/s {330 .. , 332 m/s }
Vrnax
Intervalo de eonfianza: 4.39. V = 458 ± 5 em3 Intervalo de eonfianza:
_
4.40. En una serie normal de medieiones, hay muy poeas probabilidades de que el valor real de la magnitud medida sea mayor que el limite superior del resultado, 0 menor que el limite inferior del resultado. Por tanto, se puede admitir que el intervalo de confianza es una buena estimaci6n del con· junto de los valores posibles. 1 = 426 ± 2 mm. Intervalo de eonfianza: {424 ... 428 mm }.
Se puede estimar razonablemente lores posibles es {____ _
que el conjunto mm }.
de los va·
4.41. S = 210 ± 4 cm2 (resuItado de una serie normal). Intervalo de confianza _ Estime el conjunto de los valores posibles:
4.42. Se puede pensar razonablemente que el intervalo de confianza de una serie normal de mediciones es una buena estimacion del con junto de los valores posibles. Se puede estimar razonablemente que los limites de los valores posibles son aproximadamente iguales a los _ Hmites del intervalo de confianza 0 limites del resultado 4.43. Llamaremos extension del intervalo de confianza a la diferencia entre su limite superior y su limite inferior. Intervalo de confianza { 873 877 mm} { 68.2 68.6 s} 4.44.
I. Gmax = 131 mm Gmin 127 mm del intervalo de confianza:
Tabla
Extension
Extension del intervalo de confianza
=
4.45. Gmu = 152 s Gmin = 150 s. Intervalo de confianza: Extension del intervalo de confianza:
{ 150 .. , 152 s }
2 s
_
Gmu = Gm + .6.G. Gmin = Gm - .6.G.
4.46. Reste: Gmax
-
Gmin
= ------
Si contcst6 0, recuerde Que restar C
nos:
=
4.47. Gmix - Gmin 2.6.G La extension del intervalo de confianza es igual al de la _
,
4.48. Incertidumbre absoluta: 3 mm. Extension del intervalo de confianza: 4.49. Extension del intervalo de confianza 6 mm 5 kmjs
_
G
m se transforma
en -
G
m
-c.G en +c.G.
_
doble incertidumbre absoluta
Y
Extension del intervalo de confianza ___ mg 2 km
3 mg km 4.51. Medida de un area: S: 3 726 3 725 3 728 Sm:
_
3728 ~S =
_
3 726 mm2 Regia:
(2)22
3 mm2 RegIa:
(~) II.
3726 ± 3 mm2 Limite inferior
del resultado:
Smin
=
3723 mm2
Smax
=
3729 mm2
RegIa:
Limite superior del resultado:
Regia:
Intervalo
{ 3 723 ...
de confianza:
Regia:
Extension
del intervalo
de confianza:
_
Dado que esta serie contiene solo cinco medidas, ,se puede decir que el intervalo de confianza es una muy buena estimaci6n del conjunto de valores posibles? ,Por que? _
4.52. Consulte la tabla 5, que Ie da una serie normal didas de una masa M. Mm ~M de la medicion:
inferior
Limite
superior
del resultado:
310.6 mg
_ _
310.2 mg
de confianza:
Extension
del intervalo
_
{310.2
_
Se puede afirmar, con muy pocas probabilidades de equivocarse, que la magnitud medida esta comprendida entre -------
y -------
Si. ha cometido mas de dos errores en los cuadros de test (principio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 4, del final del libro, sin leer ni completar los ejemplos.
(4)4.
.. , 311.0 mg} RegIa:
de confianza:
(4)5.
31l.0 mg
_
Regia:
Intervalo
0.4 mg (3)8.
310.6 ± 0.4 mg RegIa:
del resultado:
(4)13 A.
No Es una estimacion mediocre, porque la serie no con· tiene bastantes medidas para ser una serie normal.
Regia:
Limite
}
(4) 9.
de me-
=
Resultado
(4)4.
3 729 mm2
6 mm2 RegIa:
=
(4)5.
(4)9.
0.8 mg Regia:
310.2 mg Regia:
(4) 13.
311.0 mg (4) IIA.
Series de mediciones iguales. Igualdad entre 105 Ilmites de las incertidumbres '1 5.1.
REVISION. ,Bajo que condicion el intervalo de confianza de una serie de mediciones es una buena estimacion del conjunto de valores posibles de la magnitud?
7 5.2.
La serle de mediciones debe ser normal (0 a condicion de que las mediciones sean numerosas y exentas de error sistematico) . LEA EL RESUMEN
4,
AL FINAL DEL UBRO,
COMPLETANDO
LOS
EJEMPLOS.
Pase despues al cuadro siguiente. No hay respuesta.
7 5.3.
JTEST! He aqui una serie de mediciones de un area S: 346 344 344 347 340 343 345 cm2 Sm: Incertidumbre
(redondee). absoluta: as =
s. 344 cm2 Reglas:
_
(4}2 y (2}21.
4 cm2
Regia:
(5}8.
344 ± 4 cm2 Regia:
Limite inferior del resultado:
_
Regia:
Limite superior del resultado:
_
Regia:
{340 ... Regia:
_
(fEST! En una serie de mediciones de un volumen V, se atribuye al promedio de las medidas el simbolo _
(4)4 A.
348 cm~ } (4) 9.
8 cm2 Regia:
7 5.4.
(4}S A.
348 cm2
Intervalo de confianza: Extension del intervalo de confianza:
(5}9.
340 cm2
(4)15 A.
Vm (4}2. aV Regia: (4) I. _~~_ Regia:
_________ resultado
; el limite superior
, y su limite inferior
del
_
,. 5.5. jTEST! Medida de un volumen: V 214 m3
Vmln Regia: (4)5 B.
Vmltx Regia: (4)48.
= 214 ± 2 m3 2 m3
Vm
AV
RegIa: (4)2.
Regia: (4)1.
VmJx
Vn1ln
RegIa: (4)4 B'.
.,. 5.6. iTEST! Despues de una serie normal de mediciones, se encuentra que la temperatura de fusion de la plata es 960.7 ± 0.2 DC. 960.7 es el de las medidas afectadas. 0.2 es la
Regia.: (4)5 B.
promedio Regia: (2) 19.
_
incertidumhre
ahsoluta
RegIa· (3)5.
960.5 es el
del resultado.
960.9 es el
_
limite inferior Regia: (4)5 A.
limite superior Regia: (4)4 A.
El conjunto de los valores comprendidos entre 960.5 y 960.9 es el y es una buena es· timacion del conjunto la magnitud.
de los
intervalo de confianza Regia: (4)8.
valores posibles Regia: (4)10.
7 5.7.
iTEST! Consulte la tabla 7, que representa una sene normal de medidas de una duracion (t). No olvide indicar la unidad en sus respuestas.
tm
=
At
10.3 s
0.2 s
Regia: (4) 2.
RegIa: (4) 1.
10.1 s
10.5 s
Regia: (4)4.
Regia (4)5.
{ 10.1
10.5 s}
Regia: (4)9.
7
5.8. iTEST! Incertidumbre absoluta: 2 mm. Extension del intervalo de confianza:
_
4 mm RegIa: (4) 13.
'7
5.9. jTEST! Limites del resultado de la medida de un volumen: 724 cm3 y 730 em3• Ineertidumbre absoluta: _
7 5.10.
Cuente las faltas que hizo en los cuadros de test. Si ha eometido: 6 errores 0 mas: neeesita haeer una revision; pero si retrocede es para saltar mejor: repase el capitulo 4.
3 cmS Rel<'la: (4}13 B.
Si ha contestado 6 ems es que ha confnndido la extensiOn del interva10 de confianza con Ja incertidumhre ahsoluta.
727 ± 3 cm3 Regia: (3)9,
3 a 5 errores: esta bien; pero para prosegulf con mejores reo sultados: • Relea el resumen 4 al final del libro y los ejemplos si sigue la via normal; • Repase el capitulo precedente 'por via normal si sigui6 la via relampago. 2 errores 0 menos: usted asimi16 la materia particularmente bien. Continue as!. ~ 5.11. Ocurre a veces, cuando se efectua una serie de mediciones, que se obtiene siempre el mismo resultado. ,Que debe tomarse en este caso como incertidumbre absoluta? Podra comprobar que esta circunstancia se produce cuando se utiliza un instrumento poco preciso e incluso llegara a preguntarse 10 que es exactamente la precisi6n de un instrumento de medici6n. Analizando el sentido de esta palabra, precisi6n, es como descubriri la respuesta a la pregunta que usted se formu16. En fisica, con frecuencia se encuentra uno obligado a comparar resultados de mediciones; por ejemplo, a preguntarse si realmente dos resultados son iguales. ,C6mo podra decidir cuando cada resultado esta afectado de incertidumbre? Al terminar este capitulo, podra contestar a esta importante pregunta. Si sigue la via relampago, consulte el cuadro 6.1, si no, pase al cuadro 5.12.
5.12. Para modificar el equilibrio de una balama, hay que afiadir 2 mg en uno de los platillos. La indicaci6n minima (0 umbral) de esta balanza es 2 mg. Para modificar el equilibrio de otra balanza, hay que afiadir 5 mg en uno de los platillos. El umbra 1 de esta balanza es _ Nota. Con frecuencia se designa como sensibilidad el umbral de indicaci6n de una balanza; pero, con todo rigor, tal denominaci6n es impropia. 5.13. Cuando se miden dos objetos con una regIa graduada en milimetros, se necesita, entre estos dos objetos, una diferencia de 0.5 mm para poder obtener dos medidas diferentes. EI umbra 1 de indicaci6n de la regIa es _ 5.14. Para que un term6metro de dos indicaciones distintas, es necesario que este sumergido en dos medios cuyas temperaturas difieran, por 10 menos, en 0.5 DC. Se puede decir que 0.5 °C es el _ del term6metro.
5.15. Tome una regIa graduada y mida cinco veces con todo cuidado la altura de esta pagina, con precision de un mill· metro: 240 240 240 240 240 0241 241 241 241 241 o 239 239 239 239 239 ig.uales 5.16. Cuando se efectua una serie de mediciones con un instrumento poco preciso, suele ocurrir que se encuentran resultados _ 5.17. Si encuentra usted diez veces 240 g, utilizando una balanza cuyo umbral de indicacion es de 0.5 g, puede estar seguro de que la masa medida no sobrepasa g y que no es inferior a g.
5.18. Por 10 contrario, si mide una masa con una balanza cuyo umbra 1 de indicacion es 0.5 g Y si halla 240 g, cpuede estar seguro de que esta masa no es de 240.2 g 0 de 239.7 g?____
Indicacion Indicacion 5.19. Indicacion siguiente precedente 240.5 g 240 g 239.5 g Los valores posibles estan comprendidos entre g g. y Se puede, pues, escribir que el resultado de la medicion es igual a g. ± 5.20. Mediciones con ayuda de una balanza: -- Umbral de indicacion: 0.5 g. - Incertidumbre absoluta de la medida: 0.5 g. En una serie de mediciones que dan todas el mismo resultado, la incertidumbre absoluta es igual al _ _________ del instrumento. 5.21. He aqui un fragmento de la graduacion de un termometro. Esta graduacion e.'i.ci.
(}'H.u.ada
~'{
\.'{am.,..
Llamaremos division al intervalo entre estos trazos. Asi, el intervalo entre el trazo 70 y el trazo 71 es una Raye la division entre 74 y 75. Cada division, en la figura, vale °C.
240.5 239.5 En efe<:to, si la masa sobrepasara 240.5 It la balanza euyo umbral es 0.5 g no hu biera indicado 240. sino un numero suo perior. Por ejemp]o. si la masa hubier sido 240.7 11', la balanza no hubiera ill dieado 240 11', sino 241 g.
No l':1l efeeto, si la balaoza tielle por umbral .5 g. hay que coloear al mellOs 0.5 II' ara desviarla: eualldo se pollen 240.2 g, a balanza indica 240 porque los 0.2 II' ue sobrepasan los 240 son insuficient ara haeer que el fiel de ]a balanza desvie.
239.5 240.5
5.22. Si no trata de leer entre dica como longitud del objeto: Fig. 7.
.I
••
1
A: mm B: mm C: mm. Para que la regIa Ie indique 1 mm mas, es preciso que el objeto sobrepase la mitad de la graduacion (0.5 mm): el umbral de la regIa es mm. 5.23. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala, sin tratar de leer entre las gTaduaciones, el umbral de indicacion es igual al _
5.24. Un transportador esta graduado de grado en gTado. Si se utiliza sin tratar de leer entre las graduaciones, el umbral de indicae ion es igual a grado. 5.25. Si se utiliza un instrumento provisto de una escala, sin tratar de leer entre las graduaciones y si, en una serie de mediciones, se encuentran resultados iguales, la incertidumbre absoluta en esta serie de mediciones es igual a _
valor de media division 0 a la mitad de una division, etc. 1
2 (0
0.5)
la mitad de una divisi()11 (es aceptable decir la mitad de una graduacion).
5.26. Serie de mediciones de la temperatura de una sala efectuada con ayuda de un termometro graduado en DC, de grado en grado, sin leer entre los trazos: 21°C 21 °C 21°C 21 °C 21°C Incertidumbre absoluta: _ Resultado de la medicion:
0.5 °C 21 ± 0.5 °C
5.27. Dos series de numeros tienen un valor comun 51 se encuentra el mismo numero en ambas series. Asi 4 9 6 8 Y 7 5 6 3 tienen un valor comun que es 6. De igual manera, 82 83 84 85 Y 85 86 87 tienen un _ __________ que es _
valor comun 85
5.28. Considere el intervalo entre los numeros 7 y 10 Y el intervalo entre los numeros 9 y 12. ~Tienen valbres comunes? _
5.29. Supongamos que se haya encontrado como resultado de la medicion de una longitud A: 64 ± 1 m y de una longitud B: 65 ± 1 m. (Es posible que B = 65 m? _ (Es posible que A = 64 + 1 65 m? _ (Es posible que A = B? _ 5.30. A = 64 ± 1 m B = 65 ± 1 m Es posible que A = B, porque uno de 10s valores posibles de A (65 m) es igual a otro valor posible de B (65 m). Dos magnitudes afectadas de incertidumbre pueden ser iguales si dos de sus son _ valores posibles
iguales (0 comunes)
5.31. El intervalo de confianza es una estimacion razonable del conjunto de los valores posibles. (Como se podria saber si los val ores posibles de dos magnitudes tienen un valor comt'm? _ Viendo si sus intervalos de confianza tienen un valor comun (0 cualquier otra :respuesta equivalente.J· 5.32. Dos resultados de mediciones son iguales entre los limites de las incertidumbres, si sus intervalos de confianza tienen por 10 menos un valor comlin. Resultados Intervalo de confianza A = 129 ± 2 mm 127 . " 131 mm B = 128 ± 2 mm 126 . . . 130 mm (Tienen los dos intervalos de confianza alglin valor comlin? ~Son iguales Ios dos resultados entre Ios limites de Ias incertidumbres? _
5.33. A B cSe puede decir que 30 ± 2 = 33 ± 2 entre Ios limites de Ias incertidumbres de medida? Valores posibles de A: 28. .. 29... 30... 31... 32 Valores posibles de B: 31 ... 32 ... 33 ... 34 ... 35 En Ios dos intervalos de confianza, se encuentran Ios valores ___ y (y todos los valores intermedios). Los dos intervalos de confianza valores comunes;
5.34. Si no comprende la pregunta siguiente 0 si no puede contestarla, pase directamente al cuadro 5.36. El conjunto de elementos que pertenecen al mismo tiempo a Ios conjuntos A y B se llama de A y de B y se representa por A B.
Si ha for..testado no, escriba 105 va~ lores entero. entre 127 y 131, de.pu •• entre 126 y 130 Y yea si en-
cuentra, sl
0
no, un mismo numcro.
en la. dos serie •.
31 32 tienen
interseccion
n
5.35. G = G' entre 10s limites de las incertidumbres solamente si:
si, y
{ Gmin ...
0
Gmax }
{ G'min ...
Interval0 de confianza de G Fig. 8.
signo conveniente Gm
Gm
j
+
Intervalo de confianza de G'
EAr G'm - t1G'
:-1
+
Gm
Gm
I
A1G+
-r-1
~
C
G'm -
Gm
+
t1G1
1 G'm
t1G
Gm - t1G' Gm
:;C
t1G
AIG~
I
G'max}
i
G'm
t1G
G'm
i
5.36. Examine 10s 3 casos A, B Y C, representados en la figura 8 e indique en las lineas siguientes uno de 10s signos:
<
(inferior);
En A: Gm + .6.G En B: Gm + .6.G En C: Gm
+
.6.G
G'm - .6.G', G'm - .6.G', G'm - .6.G~
5.37. Examine 10s tres casos de la figura 8 en que Gm < G'm' Indique con una X, en las lineas, 10s casos de la figura 8 en 10s que se puede decir que G y G' son iguales entre 10s limi· tes de las incertidumbres de medida (par 10 menos un valor comlin): 5.38. Observe la figura 8. G = G' entre 10s limites de las incertidumbres si, y solamente si: Gm + .6.G G'm - .6.G' con G'm > Gm. un .igno que represente dos po.ibilidade.
de medida
5.39. G:::::; G' '" si, y solamente si: Gm
+
AG ~ G'm -
AG',
• Utilizamos el signo :::::; para representar la igualdad entre las incertidumbres.
105
Hmites de
5.40. Hemos considerado dos magnitudes G y G' con Gm < < G'm y hemos encontrado que G :::::; G' si, y solamente si, Gm + AG + AG' ~ G'm' Dos magnitudes son iguales entre los limites de las incertidumbres de medida si, y solamente si, e1 promedio menor (Gm) aumentado en las dos incertidumbres absolutas (AG y AG') es 0 al promedio mayor (G'm)' 5.41. Para saber si dos magnitudes son tes de las incertidumbres, primero hay dio menor. En 731 ± 2 y 729 ± 2, el promedio En 854 ± 2 y 857 ± 2, el promedio
iguales entre los limi· que hallar el promemenor es 729. menor es
_
5.42. En 48.2 ± 0.3 y 48.1 ± 0.4, las dos incertidumbres absolutas son 0.3 y 0.4. En 516 ± 2 y 518 ± 3, las dos incertidumbres absolutas son
--y~5.43. En 425 ± 4 y 424 ± 3, las dos incertidumbres ___ y mientras que el promedio menor es
son _
5.44. Para decidir si dos magnitudes son iguales entre los Iimites de las incertidumbres de medida, es necesario: A. Sumar las dos incertidumbres B. Comparar
la suma asi obtenida
623 ± 2 :::::;625 ± 3? mJnor mlyor promedio
t
A.
623
+
2
al promedio menor;
+
3
= 628
B. Hay que comparar
con el promedio mayor.
425 ± 4 :::::;430 ± 5? mJnor mtyor promedio
t
A. 425 + 4 + 5 = 434 B. Hay que comparar
628 con 625
5.45. Si la suma hallada es igual 0 superior al promedio mayor, las dos magnitudes son iguales entre los Iimites de las incertidumbres de medida.
434 430 (0 430 cOn 434)
,623 ± 2 ;:::;625 ± 3? Suma: 623 + 2 + 3 = 628 Promedio mayor: 625 La suma es superior a1 promedio mayor
,425 ± 4 ;:::;430 ± 5? Suma: 425 + + Promedio mayor: La suma es
Por tanto, 1as dos magnitudes son igua1es entre 10s limites de 1as incertidumbres de medida.
al promedio mayor. Luego, 1as dos magnitudes _____ igua1es entre 10s oon/no
4
5 430
434
IOn
limites de 1as incertidumbre de medida.
5.46. ,Es 518 ± 2 ;:::;521 ± 3? El promedio menor es _ Suma del promedio menor con 1as incertidumbres:
+ --
+ --
Promedio mayor: La suma calculada es
= ------
2
_
521 supenor
al promedio mayor;
3
inferior/ igual/ superior
luego ambas magnitudes
iguales entre 10s
5.47. ,76.8 ± 0.3 ;:::;77.2 ± 0.3? Promedio menor: _ Suma del promedio menor y de 1a5 incertidumbres: _ Promedio mayor: _ Conclusion: 1as magnitudes iguales entre
76.8 77.4
77.2
lIOn/no lIOn
10s limites de 1as incertidumbres. 5.48. ,27.1 ± 0.2 ;:::;26.6 ± 0.2? Suma: _ Promedio mayor : Conclusion:
27 27.1
_ dentro de 105 limites de
diferencia
igualdad/diferencia
1as incertidumbres. 5.49. Cuando 1a suma del promedio menor y de 1as dos incertidumbres es igua1 al promedio mayor, 1as dos magnitudes son tambien iguales entre 10s limites de 1as incertidumbres de medida. ,2.48 ± 0.03 ;:::;2.54 ± 0.()3? Promedio menor: Suma: _
2.48 2.54
Promedio mayor: Conclusion:
_
2. ~ igua1dad
incertidum bres. 5.50. Indique, en la tercera columna, "~" en e1 caso contrario: A 127 63.2 261 0.45
± ± ± ±
~ ~
B 2 0.3 1 0.01
129 63.7 265 0.47
si a ~
± ± ± ±
b Y "~"
0
~
2 0.2 1 0.01
~ ~ ~ ~ ~ ~ Si cometio>un error, relea el cuadro 5.35 y yea todos 108 cuadros intermedi08. Si no ha cometido ning(m error, pUede detenerse aqui.
Si cometio maS de tres errores en 10s cuadros de test (principio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 5, a1 final del libro, sin leer ni completar 10s ejemplos.
La incertidumbre relativa
'1 6.1.
REVISION. ,Bajo que condiciones una serie de mediciones proporciona una serie normal de medidas?
f
6.2. REVISIoN. Examine la serie de medidas de la tabla 8. Escriba el resultado de la medicion:
- La serie debe contener por 10 men os 10 medidas. - Las mediciones deben estar desprovistas de error sistematico. 725 ± 4 cm3 Reglas:
(8)8.
(3) 11.
medida menor: 722 em' la mayor: 729 em' separaci6n mayor: 4 em'
Limite inferior: 721 cm:! Limite superior: 729 cmll Regia:
(4)6.
{721 ... 729 cm3 Reglas:
'1 6.3.
LEA EL RESUMEN
5,
AL FINAL
EJEMPLOS.
Pase despues al cuadro siguiente.
DEL LIBRO, COMPLETANDO
LOS
(4)8
}
(4)9.
-- que esta casi seguramente comprendida entre 721 y 729 cm3, - y que tiene mas probabilidades de estar proxima a 725 cm3 que a cualquier otro valor.
'f 6.4.
jTESTl Se lee varias veces la velocidad de un coche en el medidor de velocidades. 2 km/h Cada vez se halla 80 km/h. Se acelera ligeramente y se comReglas: (5)1 a (5)3. prueba que hay que alcanzar la velocidad de 82 km/h para 1a incertidumbre absoluta que se mueva la aguja. es igual al umbral de indi,CmU es la incertidumbre absoluta sobre la medida? cacion. Justifique: _ o la aguja ha permanecido en 80 km/"
7 6.5.
jTESTI Se efectua una serie de mediciones y se obtienen. resultados iguales. ,Por que? _
wando se ha pasado por todas locidades intermedias entre 80 km/h; luego. no '"' puede estar wando indica 80 km/h, de que locidad no tiene uno de esos intermedios.
POI-que el instrumento que se utiliza es poco preciso. RegIa:
~ 6.6. jTESTI Un termometro de qUlmlca esta graduado de grado en grado. Se Ie utiliza sin tratar de leer entre las graduaciones y se halla, midiendo el pun to de ebullicion del cloroformo, 62°C para cada medida (error del cero corregido). Incertidumbre absoluta: _
0.5 °C
Regia:
RCKla:
., 6.7. jTEST! Indique si los resultados que se indican, de las mediciones efectuadas, son iguales 0 diferentes entre los limites de las incertidumbres de medida: 86 ± 2 mm y 87 ± 2 mm _ 573 ± 1 m 48.2 ± 0.5 m 19.8 ± 0.3 m
y
y y
575 ± 2 m 47.1 ± 0.4 m 20.4 ± 0.4 m
(5 )2_
(5)4.
62 ± 0.5 "C
Resultado de la medicion:
_ _ _
~ 68. Cuente cuantos errores ha cometido desde el principio del capitulo (cuadros de test). Si ha cometido: 4 errores 0 mas: necesita hacer una revision; pero si retrocede, sera solo para saltar mejor; repase el capitulo 5. 2 0 3 errores: esta bien; pero, para mejorar todavia mas: • Relea el resumen 5 y los ejemplos si sigue la via normal; • Repase el capitulo precedente por via normal si sigue la via reldmpago. I error 0 ninguno: ha asimilado excepcionalmente bien la materia anterior. • ,Como podremos evaluar la precision de una medicion? • ,Que es una medicion precisa, una medicion corriente y una evaluacion rudimentaria? Aprendera a contestar estas preguntas. S.i sigue la via relampago, consulte el resumen 6, al final del libro, si no, pase al cuadra 6.9.
(3)11.
iguales Reglas:
iguales/difer
las V/."v 82 seg-um. la \'evalores
(5)6 y (5)'1
iguales diferentes iguales
6.9. A. Velocidad de la luz (determinada 299 792.5 ± 0.2 km/s.
por Froome en 1958):
B. Duracion de un movimiento (determinada por un estudiante en una sesion de trabajos practicos): 16.2 ± 0.2 s. ,eual de estas determinaciones es la mas precisa? _
A Tnccrli
absolma
de 0.2 CII terca
6.10. Dos medidas que ofrecen la misma incertidumbre absoluta no son por fuerza igua1mente precisas. ,Basta la incertidumbre abso1uta para evaluar 1a precision de una medida?
6.11. Hemos examinado dos medidas que tienen 1a misma incertidumbre absoluta:
De estas dos medidas, A es mucho mas precis a, porque 1a incertidumbre absoluta (0.2) se refiere a un numero mucho mayor (299 792.5 en vez de 16.2). Por tanto, se puede decir que la incertidumbre en es re1ativamente mas pequena. Para evaluar 1a incertidumbre relativamente a 1a magnitud medida, se podrci hallar el cociente de la incertidumbre absoluta dividida entre el promedio. A. 2990;~2.5 ;::::0.00000067
(medida precisa),
0.2 _ 0.012 16.2 pequeno grande
6.12. Se llama incertidumbre relativa de una medida al cociente de la incertidumbre absoluta dividida entre el promedio. As!, la incertidumbre
relativa en la medida 357 ± 2 mm es
l' 2 e COClente 357' Igualmeme, la incertidumbre
relativa en la medida 16.2 ± 0.2 s
0.2 16.2
Incertidumbre
re1ativa
(no elect"e el cllculo)
0.12 8.31
2 129 0.05 4.38
6.14. El cociente de la incertidumbre medio se llama medida. 6.15. La incertidumbre
absoluta entre el prode la
re1ativa de la medida Gm ± AG es
AG
el cociente ---.
AG
Gm 6.17. RECORDATORIO: cuando se dividen dos numeros que miden magnitudes de la misma naturaleza, e1 cociente se expresa por un numero sin unidad, es decir, por un numero abstracto. Asi, si se dividen los numeros que expresan la longitud (10 em) de un rectangulo y su altura (5 em), se obtiene un numero abstracto (2). Igualmente, si se divide el numero que expre-sa la incertidumbre absoluta de una 10ngitud (6 mm) entre esta 10ngitud (200 mm), se halla un numero abstracto _
6.18. La incertidumbre absoluta y el promedio estin expresados en la misma unidad. La ineertidumbre relativa, que es el cociente de ambos, es un numero _
5i contest';' 0.03 0000, recll<;rdeque la incenidull1bre absoillra y'la mag· nilud eSllm eJl:presadasen la mistna unidad: su coriente es un numero abstracto, es dedr. sin unidad.
abstracto
o sin unidad
6.19. La incertidumbre absoluta es un numero concreto, mientras que la ineertidumbre relativa es un numero _
6.20. d = 836 ± 2 m Incertidumbre absoluta:
_
2 836 . 51
h3
d
contesta
el cuadro
0
2 836
ffi,
\ucl\'a
a leer
6.17.
6.21. En los cuadros que siguen, designaremos a la incerti· dumbre relativa de la magnitud G, por RG• La incertidumbre relativa en el volumen V sera designada por _ 6.22. En el simbolo RG que representa la incertidumbre relativa de una magnitud G, el simbolo que designa esta magnitud (G) se coloca como subindice, es decir
6.23. Longitud Incertidumbre Incertidumbre
absoluta de esta longitud: relativa de esta longitud:
Simbolo 1 _ _
I
231
6.25. Si nos ocupamos de cierta magnitud RG
RG es aG es Gm es
=
G
aG
Gm
de la magnitud de la magnitud de las medidas de la magnitud
G. G.
G.
incertidumbre relativa incertidumbre absoluta pr0medio
6.26. Cuando se calcula una incertidumbre relativa, siempre hay que detenerse en la segunda cifra significativa. Medida 129 ± 2 mm
2
129 ;::.:;;0.016 0.3 56.7
6.27. Calcule (con la regIa): t 14 ± 0.5 °C Rl
=
=
0.036 (0 0.035)
_
Si cOOlest.O regia (6 •
0.035 7 0
0.035 71. lea
la
6.28. Para que la incertidumbre relativa sea igual a 1, es ne· cesario que la incertidumbre absoluta sea igual a 1a magnitud misma. Una medida tan burda es excepcional; genera1mente, 1a incertidumbre abso1uta es menor que 1a magnitud y 1a incertidumbre re1ativa es que 1. 6.29. En 10s c:Hcu10s, es generalmente
practico:
• Expresar la incertidumbre relativa tor 10-'1; • Leer este factor as!: milesimas.
con ayuda
de un fac-
Una incertidumbre re1ativa de 0.024 se escribira: 24 X 1Q-ll; Y se leed.: 24 milesimas. Una incertidumbre relativa de 0.007 se expresara escribiendo: _______ y se 1eera: fi.30. Transcriba, 8 milesimas 21 mi1esimas 0.7 mi1esimas 6.31.
utilizando
e1 factor _ _ _
10-'1: 8 X 10-11 21 X 10-'1
0.7
0.025 puede transcribirse 6 X 1Q-'l puede 1eerse 6
6.32. 8.31 ± 0.12 A Para hallar 1a incertidumbre
1(}->1
mi1esimas
re1ativa en mi1esimas, hay que: 120 14 14 X 10...;{
= 62 ± 0.5 °C. 1a incertidumbre
re1ativa
expresada
en milesimas.
Si no sabe como hacer} lea la indicacion siguiente: Multiplique 1a incertidumbre abso1uta por 1000, divida producto entre el promedio y co10que el factor lQ-'l. 6.34. CaIcule la incertidumbre mas, de L = 28 ± 0.5 mm. RI.
X
25 _
• Multip1icar 1a incertidumbre abso1uta (0.12) por 1 000 10 que da _ • Dividir entre e1 promedio (8.31), 10 que arroja: • Multiplicar par el factor 10-'1: 6.33. t CaIcule
7 X 1O~1
=
10 que se lee
relativa,
expresada
_
e1
en mi1esi18 X 1O~1
_
18 milesimas
6.35.
Rv
= 1 000 .6.G X 1O~. Gm
Para hallar la incertidumbre relativa de una magnitud G, directamente expresada en milesimas, hay que: • Multiplicar
la
por 1 000;
i.l1Ce.rti~ulllhTe.ab$Qluta
• Dividir entre el
ptQlllediQ
Xl~ 6.36. Calcule la incertidumbre 16.2 ± 0.2 s t nl = 2.453 ± 0.001 g __
relativa en miIesimas: Rt Rm =
12 X 0.41 X l~
_
6.37. La incertidumbre relativa permite evaluar la preeisi6n de una medida: si la incertidumbre relativa es muy pequeiia, la medida es muy _ 6.38. La incertidumbre permite evaluar la preeisi6n de una medida, mientras que la incertidumbre _________ sola no es sufieiente. 6.39. Para determinar cuM de las dos medidas es la mas preeisa, primero hay que calcular la _ La medida mas precisa es aquella cuya _ es la mas _
incertid-qmbre relativa incertidumb:re relativa or;. Plquena
6.40. He aqui dos medidas; determine cuM es la mas preeisa (calcule primero las incertidumbres relativas en miIesimas). A
=
250 ± 2 g
Incertidumbre
relativa: 2 000 l~
8 X 10-3
250
d.lculo
La mas preeisa es
8 000 10~ 1200
respueSla
_
= 6.7 X 10-3 B
6.41. Determine cual de las dos medidas siguientes es la mas preeisa. A:
3.27 ± 0.02 mm
B: 410 ± 3 km La mas preeisa es
_
RA _
=
Ra
= 6.1 X 1
(}--'I
7/5 X 1O~'I A
~
Comprendida entre I y 50 milesimas: Inferior a I milesima: Superior a 50 milesimas: Califique correctamente
medida corriente, medida precisa, medida rudimentaria.
las medidas siguientes:
A. Profundidad de un pozo: 35 ± 5 m (incertidumbre tiva: 140 X IQ-3); medida _
n. Temperatura de la clase: 20 ± 0.5 DC (incertidumbre lativa: 25 X IQ-3); medida _
relare-
C. Velocidad del sonido: 331.36 ± 0.02 m/s (incertidumbre relativa: 0.060 X IQ-3); medida _ D. Velocidad de la luz: 299792.5 ± 0.2 kmls (incertidumbre relativa: 0.00067 X 10-3); medida E. Velocidad de una corriente de agua: 0.48 ± 0.04 mls (incertidumbre relativa: 83 X 10-3); medida _ F. Altura de la pagina: 240 ± I mm (incertidumbre 4.2 X IQ-3); medida _
relativa:
6.43. Habitualmente, se estima que una medida es rudimentaria si la incertidumbre relativa es superior a _
50 milesimas (0 50 X I Q-3)
6.44. Generalmente, se puede considerar que una medida es precisa si la incertidumbre relativa es inferior a _
1 milesima (0 I X 10-3)
6.45. Temperatura de ebullici6n del alcohol: 78.5 ± 0.2 DC. Cali.fique la medida y justifique su decisi6n:
Si no sabe como hacerlo, relativa.
calcule primero
la incertidumbre
6.46. Nota: Se puede expresar la incertidumbre relativa en porcentq.je: el porcentaje de incertidumbre es, por definici6n, igual a 100 veces la incertidumbre relativa. Incertidumbre relativa 0.023 0.04 15 X IQ-3 20 X IQ-3
Porcenta je de incertidumbre
Vl%
medida corriente Rt = 2.5 X IQ-3 (I < 2.5 < 50)
6.47. m = 125 ± 2 mg Incertidumbre relativa en milesimas: Rm = Incertidumbre relativa en porcentaje: Rm = Califique la medida en cuanto a su precision:
%. _
Si cometio mas de dos errores en los cuadras de test (principio del capitulo), lea las partes encuadradas del resumen 6, al final del libro, sin leer ni completar los ejemplos.
16 X 1
Calculo de la incertidumbre absoluta. Revision general ~ 7.1. Lea el resumen 6, completando pues al cuadro siguiente .
los ejemplos. Pase des-
.; 7.2. ITESTI Calcule la incertidumbre relativa en la medida de una duraci6n de 24.8 s afectada de una incertidumbre absoluta de 0.3 s.
0.012 Regia:
(6)8.
12 X lo--~ Si X Si X
-) 7.3. ITESTI Cuando hablamos de una distancia d, el simbolo Ri significa: _ en la distancia d.
ha conlestado 0.012 I 0 12.1 X 10-', relea la regia (6)6. ha conlestado 0.012 s 0 12 X 10-' s. relea la regIa (6)5.
incertidumbre Regia:
relativa (6)3.
,. 7.4. ITESTI Determine y exprese en milesimas la incertidumbre relativa del resultado de la siguiente medida:
5.7 X lQ-3 Reglas: (6)9 y (6)8.
( ,. 7.5. (fESTI Si las mediciones de la magnitud G dan como rcsultado Gm ± AG, se puede escribir que RG = _
2 X I 000
X AG
Gm Regia:
,. 7.6. ITES1'I ,CmH es la mas precisa de las dos medidas siguientes? A. 4 284 ± 12 m.
lo--~)
352
(6)4.
A Regia:
R
A RB
(6) I I.
== == RA
2.8 X
10~
8.5 X I~
<
RB
?- 7.7.
jTESTl Incertidumbre relativa (en milesimas)
Calificacion 2.1 X 10-:'3 (0 0.002 1) medida corriente 0.11 X IQ-:'3 (0 0.000 11) medida precisa
A. 2.412 ± 0.005 B. 9457 • Utilice precisa.
10s
± 1 terminos
medida
corriente
t 7.8.
0
medida
rudimentaria
0
medida
Cuente los errores que cometio desde el principio capitulo (cuadros de test). Si ha cometido:
del
4 errores 0 mas: necesita hacer una revision; pero si se retrocede, solo es para mejorar. Repase el capitulo 6, releyendo todos los cuadros. 3 errores: esta bien; pero para proseguir con mas exito todavia: • Relea el resumen 6 y los ejemplos si sigue la via normal; • Rehaga el capitulo precedente por via normal si sigue la via reldmpago. 2 errores 0 menos: asimilo la materia anterior particularmente bien. Continue. Suele ocurrir que conoce uno la incertidumbre relativa sobre un resultado y busca la incertidumbre absoluta. En este capitulo, vera como se puede conseguir; vera tambien otros medios de calcular la incertidumbre absoluta y como debe anotar el resultado. Asi habra aprendido todo 10 que debe saber acerea de la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa. Este sera el momenta de detenerse un poco y de lanzar una ojeada sobre d camino recorrido: desde la cumbre se abarca mejor el panorama. Si sigue la via reldmpago) pase al cuadro 7.36, y siga todos 105 cuadros marc ados con un relampago antes de consul tar el resumen 7. Si sigue la via normal, pase al cuadro siguiente. No hay respuesta . .AG
7.9.
G
= Re,
m
luego .AG
=
X
7.10. aG = RG X Gm Para determinar la incertidumbre absoluta (aG) de una me· dida cuando se conoce la incertidumbre relativa (Ro) y el promedio (Gm), basta con la incertidumbre relativa por el 7.11. Promedio: 25.0 s. Incertidumbre relativa: 20 X 10-3. Incertidumbre absoluta: _ X
multipliear promedio
25 X 20 X 10-3 500 X 10-3 (0 0.5)
7.12. Cuando se ha calculado la incertidumbre absoluta, hay que expresarla en forma de numero ordinario (qui tar el factor 10-3 Y dividir entre 1 000) . 500 Asi, se ha encontrado 500 X 10-3 s 1 000 0.5 s.
=
=
Si se hubiera hallado 2000 X 10-3 s, se tendria finalmente
7.13. Promedio: 1.25 em. Incertidumbre relativa: 8 X 10-3. Incertidumbre absoluta:
1.25 X 8 X 10-3 10 X 10-3 0.01
7.14. Para hallar la incertidumbre absoluta a partir de la incertidumbre relativa, hay que efectuar una _ ____ , mientras que para hallar la incertidumbre relativa a partir de la incertidumbre absoluta, hay que efectuar una 7.15. La incertidumbre absoluta debe ser afectada de la misma unidad que el promedio de las medidas. Promedio de las medidas en el ejemplo precedente: 1.25 em. Ineertidumbre absoluta: 0.01 _ 7.16. Promedio: 125 m. Ineertidumbre Ineertidumbre absoluta: _
relativa: 60 X l~.
7.17. Cuando se calcula la incertidumbre absoluta, hay que redondear ados cifras significativas. Promedio de las medidas de una duraci6n: 35.43 s. Incertidumbre relativa: 6 X l
35.43 ± 0.22 s
7.18. Incertidumbre relativa: 2.5 X l
1.7 mS 682.3 ± 1.7 mS
_
0.22 s
7.19. Para anotar el resultado de una medida cuando se conoce el promedio y la incertidumbre relativa, primero hay que determinar la incertidumbre absoluta. Promedio: 248 mm. Incertidumbre relativa: 2 X 10""". Resultado: ± _
7.20. Se encuentra, como resultado de un dlculo, que el promedio de una distancia es 526.345 62 .. , km y que la incertidumbre absoluta es de 1.5 km. Las ultimas cifras decimales del promedio son inutiles y es l6gico querer redondear hasta la cifra del mismo orden que la de la incertidumbre absoluta; vamos a ver que se debe tomar una precauci6n previa. Si dm = 526.34562 ... km y ~d = 1.5 km dmh = 527.84562. " km. Esto significa que la distancia real es caSl seguramente inferior a 527.845 62 .. , km. Si dm = 526.3 (valor redondeado) y ~d = 1.5 km dm"-x = 527.8 km. Esto significa que la distancia real es casi seguramente inferior a 527.8 km y que no puede ser igual a 527.82 km, mientras que este valor sl es posible si partimos de 105 numeros no redondeados (527.82 < 527.84562). Facilmente puede eliminarse esta dificultad recordando que la incertidumbre absoluta es una estimaci6n y que se puede aumentar un poco sin traicionar los resultados experimentales. Por tanto, vamos a modificar la estimacion de la incertidumbre absoluta aumentando su segunda cifra en una unidad. dm 526.345 62 km se convierte en d 526.3 km, ~d = 1.5 km se transform a en ad km. De esta manera dm.bc 526.3 + km. Afirmando que el valor medido es seguramente inferior a 527.9 km, ~contradecimos el hecho de que es inferior a 527.84562 km? _
=
=
= =
1.6
1.6
527.9
7.21. Cuando se anota un resultado, se obtiene promedio por una divisi6n que no es exaeta. Entonees hay que:
a veees el
A. Aiiadir una unidad a la segunda cifra signifieativa ineertidumbre absoluta;
de la
B. Redondear el promedio hasta la eifra del mismo orden que tal cifra. Ejemplo: Promedio de un volumen: Ineertidumbre absoluta: 1.5 em3.
124.236 ...
emS.
A. Hay que aiiadir 1 a la segunda cifra signifieativa ineertidumbre absoluta, que se eonvierte en:
de la _
B. La segunda cifra de la ineertidumbre absoluta es la de las decimas, por 10 que hay que redondear 124.236 ... em3 hasta las , 10 que da _ Por tanto, el resultado es _
= 0.15 g B. mm _
7.22. mm = 182.372 1... g ____ A. Am (modifieado) Resultado
7.24. Lm L=
= 1.279 4 mm
=
gm 9.8065 ... g =
Am
AL
= 0.02 mm
_ m/s2
Ag
=
0.015 m/s2
7.25. Aeabamos de ver e6mo se puede calcular la ineertidumbre absoluta cuando se conoce la incertidumbre relativa y el promedio de las medidas. Tambien se puede ealcular la incertidumbre absoluta cuando se conoce el intervalo de eonfianza: su extensi6n vale el doble de la incertidumbre absoluta; por consiguiente: para hallar la incertidumbre absoluta a partir del intervalo de confianza, basta con _ entre 2 su extensi6n. Extensi6n del intervalo de eonfianza 3 km 0.4 s
decimas 124.2 cmll 124.2 ± 1.6 cm:{
0.16 g 182.37 g 182.37 ± 0.16 g
7.26. Umites del resultado: 550 cm2 y 556 cm2• Gmin Gmax Extension del intervalo de cohfianza: ___ cm2•
7.27. Umites del resultado: 4200 cm3 y 4216 cm3• Incertidumbre absoluta: _ 7.28. Para anotar el resultado cuando se conocen sus limites, hay que buscar primero la incertidumbre absoluta. Umites del resultado: 3 624 mg y 3 630 mg. Incertidumbre absoluta: _ 7.29. Para anotar el resultado, medio. Gmin Gm - ~G, luego Gm Gm{n
hay que determinar
el pro-
=
promedio
limite inferior
Umites del resultado: 3 624 mg y 3 630 mg. Incertidumbre absoluta: 3 mg. Promedio = _ 7.30. Medida de una distancia. Umites del resultado: 273 km y 277 km. Resultado de la medida:
_
Si necesita ayuda} lea 10 que sigue. La incertidum bre absoluta es igual a _ El prorrredio es igual a _ Si todavia tiene dificultades, relea el cuadro 7.28. 7.31. Umites del resultado: 48.3 s y 48.9 s. Resultado: _ 7.32. Por definicion luego ~G = Gmax 7.33. ~G = Gmax - Gm El limite superior del resultado de una longitud es 328 mm; la longitud promedio es 326 mm. La incertidumbre absoluta es igual a 7.34. Umite superior del resultado: 4.75 g. Promedio: 4.72 g. Incertidumbre absoluta: _
2 km 275 km
Datos
- 2.4 X R1 1m tmax tm1n
=
-
lncertidumbre absoluta lQ-3
-
12.8 s 42.2 s
RegIa: (7)3.
At
= = 1240 cm = 1234 cm
-
AV
3
=
[f] Le aconsejamos suspender despues de un descanso.
f
(7)8.
0.3 s
42.5 ± 0.3 s
RegIa,: 3
± 0.16 m
D.l5 mm(:)2.50
mm
62.5012 ...
Vmax Vm (promedio)
Al
Resultado
y 6.
:RegIa: (7)0,
1 234 ± 6 cmll
6 tm$ :RegIa: (7)7.
aqui y reanudar
este capitulo
7.36. REVISI6N. Si comete un error, no deje de consultar Ios resumenes para releer Ia regIa indicada entre parentesis. Ponga una X en las !ineas adecuadas. Falta. de obser· vacion
Errore~ sistematico!
Se pueden corregir 0 evitar. Con frecuencia afectan s6Io a una medida. Afectan a todas las medidas de una serie: • En el mismo sentido • Tanto en un sentido como en otro.
{2J
(gJ
0
RegIa: (1)l'1.
fEJ
0
0
R.egla: (1)8.
0
fEJ
(gJ
RegIa: (l)O,
(gJ
0
:RegIa: (I )9.
0
18l
Regia (1H3.
0
0
(1)13
7 7.37.
Ponga una X en las casillas que se refieren a las magnitudes afectadas de incertidumbre: Medida de una temperatura. Enumeraci6n de Ios alumnos de una clase. Numero fijado arbitrariamente. Duraci6n de Ia caida de una piedra.
o o o o
f
7.38. Los metodos de medici6n y Ios instrumentos no son absolutamente perfectos, de manera que cada medida queda afectada por pequenos errores cuya magnitud y cuyo sentido varian de una medici6n a otra. Son 10s errores _ Ios que hacen que cada medida este afectada de _ _________ y que Ia medici6n de una magnitud reo petida varias veces de resultados Iigeramente _
fortuitos
0 inapreciables :Regia: (l)U.
incertidumbre :RegIa.: (1) 9 Y .2(),
diferentes (es aceptable decir talsos erroneos)
0
7 7.39.
Cuando se recomienza varias veces la medicion de la misma magnitud, se obtiene una serie de mediciones. Para que esta serie sea una serie normal de mediciones) son neeesarias dos condiciones:
• El numero de mediciones debe ser igual 0 superior a 10. • Las medieiones deben estar despro vistas de error sistematico. Regia:
,. 7.40. He aqui una serie normal de mediciones de un volumen: 21.3 21.4 21.3 21.2 21.2 21.5 21.3 21.5 21.1 21.2 cmll• Calcule el promedio: _ Halle la incertidumbre absoluta: _ Anote el resultado: _ Los limites del resultado son y Anote el intervalo de confianza: La extension del intervalo de confianza: La incertidumbre relativa vale: ~Esta medicion es __ rudimentaria, __ eorriente __
_ _ _
(2) 12.
21.3 em!! Regia.:
(2)21
y 22.
0.2 em3
Regia>:
(3)f>. 6. 8.
21.3 ± 0.2 em3 Regia:
(3)9.
21.1 em3
21.5 cm3
Regia.:
(4)4.
5.
{21.1 .. , 21.5 em3 Regia>:
}
(4)8. 9. ll (4) 12. 13.
0.4 cm RegIa.:
9.4 X
precisa?
1
Regia.:
o ~ Regia:
0
(6)12.
,. 7.41. He aqui una sene de mediciones de una distancia: 433 431 432 431 434 432 432 431 433 433 km Anote el resultado de esta serie de medidas: El valor exaeto esta casi seguramente
comprendido
----y----
Estime el conjunto
de los valores posibles:
_ entre _
432.2 ± 1.8 km Regia: (3)11 Si contest" (432 ± 2 km) su respuesta es igualmente buena. Regia: (2)20 A Y B.
430.4 km 434 km (0 430 Y 434) Regia:
(3)10B.
{ 430.4 ... 434 km } o {430 .. , 434 km } Regia:
(4)1I B.
1
4.2 X
RegIas:
4.6 X 1O~1
(6)2.
o ~ Regia:
,. 7.42. Se efectua una serie de diez pesadas de un objeto con una balanza exacta y se obtiene siempre 3 124 mg. Se comprueba que hay que afiadir 0.5 mg a uno de 10s platillos de la balanza para hacer que la aguja se desvie. Anote el resultado: Ineertidumbre relativa: _ Esta medicion es __
rudimentaria,
__
corriente, __
precisa.
8.
0
(6) 12.
3 124.0 ± 0.5 mg (0 3 124 ± 0.5 mg) RegIas:
(5)1.
3.
0.16 X 10--3
o ____
RegIa.:
(6)4.
0 R.e.gla;
9.
6 12.
~
~ 7.43. Se mide un voltaje con un vo1timetro provisto de una graduacion cuyo interva10 entre dos trazos representa un volt. No se intenta leer entre dos graduaciones y se obtiene 218 volts. Resultado: _
218.0 ± 0.5 volts (0 218 + 0.5 volts) 217.5 volt$ y 218.5 volts
'7 7.44.
He aqui una serie de medidas de una duracion 327.5 327.1 327.6 326.9 327.3 327.1 327.2 327.5 327.1 327.4 327.1 327.6 s. E1 promedio de esta serie vale 327.283 s. Promedio correctamente redondeado:
t:
_
S (0 327.28 Re{1a; (2) 20. 0.3t:S 0 0.4 s
327.3
s)
(medida mas baja 326.9; mayor separa· .,;16n; 0.01). Regia; (3)8
327.3 ± 0.4 s La magnitud esta comprendida
casi seguramente
entre
_
y----
'7 7.45.
Incertidumbre re1ativa: 0.003 2 (3.2 X 10-a). Promedio: 141.534 2 mm. Incertidumbre absoluta: _
032.7.28 ± 0.39 s 326.9·s 327.7 s o 326.89 s 327.67 s
0.45 mm Reglas: ~Vl,Q.
Redondee correctamente
el promedio:
Resultado:
141.53
_
Regia;
_
(7)8.
141.53 ±·0.46 mm Regia;
~ 7.46. Escriba e1 signo ::::::entre 10s resultados que son iguales entre 10s limites de las incertidumbres de medida y el signo "t:. entre los resultados que no 10 son. 27.3 ± 2 27.6 ± 2. 5.41 ± 0.03 5.36 ± 0.03. 0.823 ± 0.02 0.829 ± 0.02.
(7)8.
"t:. Reglas; (5)6, 8, 9.
77.47.
Supongamos que se mide una magnitud cuyo simbo10 cs G. Gm representa de las medidas.
aG representa
_
RG representa
_
el promedio Re~la; (4) 14. Ja inc.ertidumbre absoluta Regia; (4 )\ 4.
la incertidumbre
RegIa: (6)11.
Gmax representa
_
representa
_
Gmln
{ Gmln ...
Gmax}
representa
_
relativa
ellimite sup.erior (del resultado) Rellla; (4)14. ite inferior ado) Rellla: (4)14. 10 de confian'la de valores posi~ ep.table)
'7 7.48.
Si se mide un peso P, el promedio de las medidas estara representado por el simbolo , la incertidumbre absoluta pol' , la incertidumbre relativa por , el limite inferior del resultado por , el limite superior del resultado por y el resultado mismo por
Pm Regia:
AP RegIa:
(4) I.
(4)2.
Rp
P
RegIa:
(6)3.
mfn
RegIa:
Pmax RegIa:
(4)4 B.
(4)5 B.
Pm
± AP
RegIa:
(4)3.
Calculo de incertidumbres
-f
8.1. Cuando se efectua una operacion con numeros que no estan afectados de incertidumbre, el resultado, evidentemente, tam poco esta afectado de incertidumbre. Por 10 contrario, si en una operacion un numero esta afectado de incertidumbre, el resultado estara tambien afectado de incertidumbre. En 10s capitulos siguientes, usted aprendera a hallar la incertidumbre que afecta el resultado cuando se conoce la incertidumbre que afecta a cada dato. Si sigue la via relampago consulte el resumen 8; en caso contrario, pase al cuadro siguiente (8.2). J
8.2. 3 X (10 ± 0.2 mm) El resultado es A. B. C. D. E.
?
30 mm. 29.4 mm. 30.6 mm. Uno de estos tres numeros. Uno de 10s numeros comprendidos entre 29.4 mm y 30.6 mm, ambos incluidos.
Escoja la mejor respuesta:
_
8.3. Si su respuesta al cuadro precedente fue correcta, pase directamente al cuadro 8.4; en caso contrario, lea atentamente 10 que sigue. En la operaci6n 3 X (10±0.2 mm), el numero que se multiplica por 3 puede ser 9.8 mm (= 10 - 0.2), 10.2 mm (= 10 + 0.2) 0 no importa que numero comprendido entre
estos dos limites. El resultado de esta operaclOn puede 'ier 29.4 mm (= 3 X 9.8) 0 30.6 mm (= 3X 10.2) 0 cualquier otro numero comprendido entre estos dos limites. No hay TeSpllesta. 8.4. El resultado de la operaclOn 3 X (10 ± 0.2 mm) puede ser cualquier numero comprendido entre 29.4 mm y 30.6 mm, ambos incluidos. Por tanto, el intervalo de confianza del resultado de esta operacion es {29.4 ... 30.6 mm} y la incertidumbre absoluta vale, por consiguiente: _ Resultado de la operacion: 30 ± mm. 8.5. Operacion: 3 X (10 ± 0.2 mm). Resultado: 30 ± 0.6 mm. Cuando se efectuan operaciones con datos afectados de incertidumbre el resultado queda tambien afectado de incertidumble; pero esta incertidumbre no es, en general, la misma que afecta a 10s datos. El proposito del cdlculo de incertidllmbres es determinar la incertidumbre del resultado de una operacion a partir de la incertidumbre de cada dato. Asi, si se ca1cula el volumen de un cubo de 42 ± .05 mm de lado, se encuentra 423 = 74088 mm3; pero se ignora la incertidumbre absoluta que afecta tal resultado. Las reglas que nos permitira.n encontrarla constituyen el _
8.6. Si se mide la longitud de un rectangulo para ca1cular su area, es posible que las causas fortuitas de error den un resultado muy pequeno. Cuando se mide la anchura del rectangulo, tambien es posible que se cometa otro error por defecto; pero tambien es posible que se cometa un error par exceso: el hecho de que se haya cometido un error por defecto en la longitud no va a influir en el error cometido en la anchura. En este caso, se dice que 10s errores son independientes. El ci1culo de incertidumbres se aplica solo en el caso de que los err ores sean errores independientes. No hay respuesta.
8.7. La figura 9A representa una barra rigida. En cada extremo esta suspendida una carga. Se determina, al tanteo, de que punto hay que sostener la barra para que quede en equilibrio y se miden las distancias de este punto a cada extremo (L y L'). Supongamos que el punto hallado queda demasiado a la iz-
0.6mm Reglas:
(7)5 y 6.
0.6
cilculo de incertidumbres
A
I
I
-
L (demasiado corto)
.., j
B
posicion hallada
L' (demasiado largo) -I
I
..,
I
posicion exacta (admitiendo que se pudiera conocer)
quierda; L quedani entonces afectado por un error por defecto y L' par un error por (fig. B) . Inversamente, si L' quedara afectado por un error por exceso, L quedaria afectado por un error por _ ~Se pueden hacer figurar L y L' en un calculo de incerti· dumbre? _
No ()r
prom,dio
prom,dio
8.8. X = a X b a = 1.5 ± 0.1 m b = 3.0 Operaci6n con los promedios = 1.5 X 3.0 = 4.5 EI resultado de la operaci6n con 10s promedios sultado promedio; en el ejempl0 de que se trata, promedio es _
=m + n
m = 12.0 ± 0.5 g n = 6.0 ± 0.5 g El resultado promedio de esta suma es 8.9. X
± 0.2 m m2• se llama reel resultado
_
18
g
(suma de 10s promedios) 8.10. Ahora, trataremos de calcular las incertidumbres en el caso de que la operaci6n sea una suma. He aqui una varilla de acero y otra de aluminio, colocadas extremo con extremo.
varilla de acero
142 ± 0.5 mm
varilla de aluminio 23.2 ± 0.1 mm
A causa de la incertidumbre en la 10ngitud de cada varilla, la 10ngitud del conjunto esta a£ectada de incertidumbre. Tra· taremos de calcular 10s limites del resultado de la 10ngitud total. Longitud maxima de la varilla de acero: 142 + 0.5 = 142.5 milimetros.
Longitud maxima de la varilla de aluminio: 23.2 + 0.1 = 233 mm. Longitud maxima del conjunto: 165.8 mm. Longitud minima de la varilla de acero: Longitud minima de la varilla de aluminio: Longitud minima del conjunto: Limites de la longitud del conjunto: 165.8 mm y 8.11. Limites de la longitud total: 164.6 y 165.8 mm. Incertidumbre absoluta en la longitud total:
141.5 23.1 164.6 164.6
_ _ _
mm mm mm mm
_
8.12. Compare las incertidumbres absolutas: de la longitud de la varilla de acero: 0.5 mm, de la longitud de la varilla de aluminio: 0.1 mm, de la Sllma de las longitudes (longitud total): 0.6 mm. La incertidllmbre absoluta de la suma de las longitudes es igual a la de las incertidumbres absolutas de cada longitud. 8.13. Otros ejemplos 0 una demostracian mas general mostrarian que LA INCERTIDUMBRE ~BSOLUTA DE UNA SUMA ES IGUAL A LA SUMA DE LAS INCERTIDUMBRES
ABSOLUTAS DE CADA TERMINO.
Asi, la incertidumbre absoluta de la suma de dos duraciones 26 ± 0.2 S Y 10 ± 0.3 s es igual a 0.2 + 0.3 = s. Igualmente. la incertidllmbre absoluta de la suma de dos longitudes 328 ± 0.5 mm y 128 ± 0.2 mm es igual a: _
__
+ __
0.5 unidad
8.14. La incertidumbre absoluta de la masa de un carnian es de 100 kg; la incertidumbre absoluta de la masa de su carga es de 200 kg; la incertidumbre absoluta de la masa del ca· mian cargado es igual a _ 8.15. La longitud de un tramo de carretera, leida sobre un mapa, es 1400 ± 100 m; la longitud del tramo siguiente es igual a 3 500 ± 200 m. Resultado promedio: _ Incertidumbre absoluta: _ Resultado: ± _ 8.16. Ahora, vamos a buscar la incertidumbre absoluta de una diferencia. Veamos primero un ejemplo: un recipiente lleno tiene una masa igual a 1 570 ± 20 mg; este recipiente vacio tiene una masa igual a 320 ± 5 mg. Masa del contenido (diferencia): 1 250 mg. Todavia no sabemos de que incertidumbre debemos afectarla. Determinemos primero los limites.
4900 m 300 m 4900 m 300 m
l\fasa Masa Masa Masa
maxima minima maxima minima
del del del del
recipiente reClplente recipiente recipiente
Heno: I 570 lIeno: I 570 vacio: vacio:
+
20 20 _
1590 mg. 1550 mg. 320 + 5 320 - 5
recipiente /lena recipiente vacfo
325
T contenido
.
m(nim~
contenido maximo
Vemos que el cantenido pesa COInOmInima: I 550 - 325 = I 225 mg, y como maxima: ____ mg. 8.18. Limites del contenida:
mlnImo: I 225 mg maximo: 1275 mg. Extension del intervalo de confianza: mg. Incertidumbre absoluta: mg. Si recuerda que Ias incertidumbres absolutas de cada termino valian 20 mg y 5 mg, comprobara que la incertidumbre absoluta del contenido (la diferencia) es igual a la _ (jatencion!) de las dos incertidumbres absolutas. 819. La incertidumbre absoluta de una diferencia es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de cada termino. La incertidumbre absoluta de una longitud es igual a 0.5 mm, la incertidumbre absoluta de otra longitud e£ igual a 0.1 mm. La incertidumbre absoluta de la diferencia entre esas dos longitudes es igual a _ 8.20. Por la manana, un meteorologo mide la altura de la columna de mercurio del barometro con una incertidumbre absoluta de 0.2 mm. Par la tarde, mide de nuevo la altura de mercurio con una incertidumbre absoluta de 0.2 mm. Calcule la diferencia entre ambas medidas; su resultado quedara afectado por una incertidumbre absoluta igual a _ 8.21. Un cuerpa esta a la temperatura de 25 ± 0.2 °C. Se Ie calienta hasta que alcanza 135 ± 1°C. Su temperatura ha aumentado en ±
_
325 mg 315 mg
8.22. Si S .6.S:;:: .6.a
_
8.23. S:;:: a + b - c. a = 200 ± 3 m, b = 475 ± 1 m, .6.S = S
=
_
6 m (3 + 1 + 2) 622 ± 6 m 9.6 X lo-a 0 0.009 6 (0.01 tambien es correcto)
_
Incertidumbre
relativa:
Rs =
_
8.24. Ahora intentaremos encontrar la incertidumbre absoluta en el peri metro de un cuadrado cuyo lado mide L = 123 ± ± 0.5 mm. p = 4L perimelro
longilud
del lado
Esta formula puede disponerse bajo la siguiente forma: p=L+L+ __ Illcertidumbre absoluta en el perimetro (en milimetros)
+ __ .
---
+ --
8.25. Formula .6.p = __ 2 mm
+ --del perimetro: X .6.L.
:
+---
0.5
0.5 0.5 2mm
0.5
p
0.5 mm
8.26. El producto "4L" se compone de dos factores __ y _,' Uno de estos factores es un numero exacto: es ,. El otro factor es una magnitud afectada de incertidumbre: es 8.27. P = 4 L, .6.p = 4.6.L. Para hallar la incertidumbre absoIuta del producto de una magnitud por un nllmero exacto, basta multipIicar Ia incertidumbre absoIuta de Ia magnitud por el numero exacto. Capacidad de un recipiente: V = 250 ± 0.8 cm3• Incertidumbre absoIuta en la capacidad de 10 recipientes absolutamente identicos: Capacidad de Ios 10 recipientes: ± _ 8.28. Longitud en milimetros: 25.4 X Iongitud en puigadas. En esta formula, 25.4 es un numero fijado arbitrariamente y, por tanto, no esta afectado de incertidumbre; es un factor exacto. Resultado de la medicion de una Iongitud: 12.5 ± 0.1 puIgadas. Transformaremos este resultado a milimetros multipIicando por el factor exacto 25.4.
4
L 4
8 cm3 (0.8 cmil X 10) . 2500
8 cmil
A. Longitud promedio en mm: 12.5 X 25.4 == 317.5 mm. B. Incertidumbre abso1uta en mm: X redondee a do. cifra•.
C. Resultado
expresado
en mm:
=
_
=
8.29. Longitud L 123 ± 0.5 mm; RL 4.1 X W-a. Perfmetro: P = 4L = 492 ± 2 mm; Rp = 4.1 X 1O-a. Otros ejemp10s conducen a 1a misma conclusion: La incertidumbre relativa de un producto de una magnitud por un numero exacto es igua1 a 1a incertidumbre relativa de 1a magnitud misma. * Capacidad de un recipiente: 250 ± 0.8 cm3• IrJcertidumbre relativa: Incertidumbre Te1ativa en 1a capacidad de 10 recipientes:
3.2 X 1O~1(0 0.003 2) 3.2 X 10-a (0 0.003 2) 3.2 X 10...,'l (00.0032)
• Puede tratar de demostrar esta proposici6n.
Tesis: X
= nex' a => Rx = Ra (se sabe que AX = nex Aa).
8.30. E1 producto de una magnitud por un numero exacto queda afectado: • De una incertidumbre Telativa ------1a incertidumbre relativa que afecta a 1a magnitud. • De una incertidumbre ABSOLUTA igua1 a1 _ de 1a incertidumbre ABSOLUTA que afecta a 1a magnitud por e1 ---------------
8.31. r
= d2 puede
escribirse r
Dividir d entre e1 numero por el numero exacta -.
= 21 . d.
exacto 2 equivale a multip1icarlo cComo hallar AT sf conoce Ad? Dividiendo Ad entre 2 (par que esto equiva1e a multi
8.32. d
214 ± 0.4 mm.
d r -
2'
Ar
Ad = 2
=-
-n-u-m-ero--un-id-a-d
8.33. Una mo1ecu1a de claro contiene 2
p1icar par ~)
Incertidumbre
ahsoluta en la masa de un atomo de cloro:
0.02 2
--
operacion
Resultado:
::15.45
unidades.
±
0.01 0.01
8.34. La incertidumbre relativa del producto de una magnitud por un numero exacto es igual a la incertidumbre relativa dt' la magnitud. De igual manera, la incertidumbre relativa del cociente de una magnitud dividida entre un numero exacto, es igual a la incertidumbre relativa de la magnitud. . potencia Desarrollo comerClal: 4 . Incertidumbre Incertidumbre
relativa de la potencia: 0.03. relativa del desarrollo:
_
8.35. cEn que operaciones, entre las siguientes, son validas las reglas que acabamos de ver? Magnitud X magnitud, Magnitud X factor exacto, Magnitud magnitud, Magnitud ..;..numero exacto, Numero exacto -+ magnitud. 8.36. La incertidumbre relativa mide la preclSlon. Si se multiplica 0 si se divide una magnitud por un numero exacto, cse modi fica la precisi6n?, cpor que? No, porque la inccrtidum bre relativa permanece igual. d 8.37. r -
2'
x
codente de una magnitud entre un Dumero ex acto
2
=-. a
codente de un numero ex acto entre una magnitud
AIR
CEn cuM de los casos la incertidumbre absoluta del resultado es igual al cociente de dividir la incertidumbre absoluta en la magnitud entre el numero exacto? '
x y
aA
=
= 25.2 ± 0.5 mm = 12.6 ± 0.2 mm ,A =
_
8.39. L = 4x ~L RL =
x=
8.40. B=x-y
16 X 1~ 50.4 ± 0.8 mm 0.8 mm 10-'J (igual) 16 X
x = 38.6 ± 0.2 s y = 14.1 ± 0.1 s ,B
~B
.'
RB x 2
8.41. Q
.~Q
Rx
12.6 ± 0.2 mm ,L
x
cxplicaci611:
Rx
38.6 ± 0.2.s.
5.2 X 10-'J
,Q
-
0.1 s 19.3 ± 0.1 s (igual) 5.2 X IQ-'J
RQ 8.42. En resumen, ,como se determina soluta? • ,De una suma?
la incertidumbre
• ,De una diferencia? • ,Del producto
de una magnitud
• ,Del cociente de una magnitud
o.~ ID
por un
entre un
8.43. ,En que operaciones la incertidumbre sultado es igual a la incertidumbre relativa
ab-
_ Se suman las incertidumbres absolutas en cada termlno. Se suman las incertidumnumero exacto? bres absolutas de cada terino. Se multiplica la incertidumnumero exacto? hre absoluta de la magnitud por el numero exacto. e divide la incertidumbre absoluta de la magnitud enrelativa del re- tre el numero exacto. de la magnitud? :Multiplicacion y division de la magnitud por un nuero exacto.
Calculo de incertidumbres (continuQcion)
,. 9.1. REVISI6N. Promedio: Gm = 12.1321 ... mm. Incertidumbre relativa: RG = 20 X lQ-3. Incertidumbre abso1uta: _
0.24 mm c()ntC$to: (
• !\C.
(3)7 D (7)3 CD (7)3 D
12.13 (0 12.1
0.25 mm 0.3 mm)
,. 9.2. REVISI6N. He aqui dos resultados de mediciones: 583 ± 5 m
589 ± 5 m. v
S\ " cSon igua1es entre 10s limites de 1as incertidumbres? Lea e1 resumen 8, comp1etando 10s ejemplos. Pase despues al cuadra siguiente. No hay respuesta.
,. 9.3. iTEST! Supongamos que se hagan dos pesadas sucesivas en el mismo recipiente cuya tara se conoce. Si esta qued6 afectada por un error por defecto, el primer resultado (diferencia pesada - tara) quedara afectado de un error por exceso, debido a1 valor demasiado pequeno de 1a tara restada. El segundo resultado tambien seri afectado de un error por exceso por identica razon. Los errores en la medida de una magnitud (segunda pesada) estin 1igados a 10s errores de la ol.ra magnitud (primera pesada). En este caso, cse pueden ap1icar 1as reglas ordinarias del caIeu10 de incertidumbres? . cPor que? _
No Regia: 8(4)
Los errores estin ligados
7 9.4. S
jTEST!
= a +
a
b
b
Illcertidumbre Resultado: S
=
81 ± 2 mm = 70 ± 1 mm
abso1uta: AS
=
±
=:
3 mm
_
Regia:
_
(8)6 A.
3 mm
15-1
20 X 10-3 0 0.02
'7 9.5.
jTEST! 324 ± 3 s 110 ± 2 s
D=a-b
5 s
AD
RegIa:
(8)6 B.
214 ± 5 s 23 X 10-3 0 0.023 o 0.02
D
RD ~ 9.6. iTESTI L
=
L1
+
L2
-
130 ± 2 km
La
246 ± 4 km 51
± 1 km
7 km Regia:
(8)7
325 ± 7 km 21 X 10-3 (00.021) ~ 9.7. jTEST! Perimetro de un hexagono regular: 6 X 10ngitud de un lado. Longitud del lado: 25.4 ± 0.2 mm. Incertidumbre abso1uta del perimetro: _ Incertidumbre relativa del 1ado: 7.9 X 10-3. Incertidumbre relativa del perimetro: _ Perimetro: ± _ ~ 9.8. jTEST! Cien objetos 246 ± 1 gramos. Masa de un objeto: Incertidumbre
absolutamente
identicos
1.2 mm Regia:
(8)8 A.
7.9 X 10~3 (0.007 9) Regia:
152.4
(8)8 B.
1.2 mm
* pesan:
246
100 = 2.46 gramos.
absoluta
de 1a masa de un objeto: 0.01 gramos 4.1 X 10-3 04 X 1~'l o 0.004 4.1 X 10-3 0 4 X 1~'l o 0.004 Sf
• Es decir, mas exactamenlc, no se puede tlescubrir guna con un instrumento de medida mu)' sensible.
entre
dlos
diferencia
aI-
Note, de pasada, que con una balanza sensihle a un gramo se ha obtenido la misma precisi6n que si hubicra sido sensible a 0.01 gramos; pero los objefos eran absollll~dellticOS.
~ 9.9.
CUENTE
DF TEST.
SI
CUANTOS ERRORES HA COMETIDO
EN LOS CUADROS
COMETIO:
7 errores 0 mas (excluyendo errores de caleulo): necesita hacer una revision; pera sin olvidar que si usted retrocede es solo para mejorar; repase el capitulo 8 releyendo todos Los cuadros. 4 a 6 errores (excluidos los errores de dleulo): esta bien; pera para proseguir con mayor acieno todavia: • Relea el resumen 8 y los ejemplos si sigue la via normal; • Repase el capitulo precedente por via normal si sigue la via reLdmpago. 3 errores 0 menos (excluidos los errores de caleulo): ha asimilado la materia anterior panicularmente bien. Ha estudiado como se ca1cula la incertidumbre absoluta en el resultado de una suma, de 'Una diferencia y de un producto o de un cociente por un numero exacto. Estas operaciones no sen las unicas de la aritmetica y Ie queda aun por aprender como se halla la incertidumbre absoluta en un producto, un cociente, una potencia 0 una raiz de magnitudes. Vera que, en este caso, primero hay que caleular la incertidumbre relativa ... pero no nos anticipemos y pasemos al cuadra siguiente 0, por la via reldmpago solamente, al cuadro 10.1.
9.10. Busquemos el area de una lamina de la que conocemos las dimensiones: 800 ± 2 mm de longitud y 200 ± 1 mm de anchura. Valor promedio de la longitud: 800 mm. Valor promedio de la anchura: 200 mm. Valor promedio del area: Sm = 800 X 200 = 160000 mm2 Valor minimo de la longitud: 798 mm. Valor minimo de la anchura: mm. Valor minimo del area: Smln = X _ 158802 mm2 ;:::; 158800 mm2 Valor maximo de la longitud: 802 mm. Valor maximo de la anchura: mm. X _ Valor maximo del area: Smh = ____ 161 202 mm2 ~ 161 200 mm2 Intervalo de confianza del area: _ Extension del intervalo de confianza _ Incertidumbre Resultado: S
absoluta en el area: ,1S
=
199 798 199 (0 199 X 798) 201 802 . 201 (0 201 X 802) { 158800 ... 161 200 mm2 161 200 - 158800 2400 1200 mm2 160000 ± 1200 mm2
}
9.11. Area = 10ngitud X anchura. Incertidumbres absolutas: 1 200 mm2, 2 mm y 1 mm. No se advierte facilmente una relacion entre la incertidumbre en el area por una parte (1 200 mm2) y las incertidumbres en la 10ngitud (2 mm) y en la anchura (1 mm) por otra. Puesto que las incertidumbres absolutas no revelan nada, calculemos las incertidumbres relativas. Longitud 800
Incertid urnbres absolutas Incertidumbres relativas
2 RL = 800
X anchura 200
area 160000 mm2
1
Ra = -(bajo
Rs = forma
de fracci6n)
200
1200 160000
RL 2.5 X 10-3 Ra = 5 X 10-3 Rs =.7.5 X 10-3 Vea que la incertidumbre relativa del area (7.5 milesimas) es igual a la de las incertidumbres relativas de la 10ngitud (2.5 milesimas) y la anchura (5 milesimas). 9.12. Otros ejemplos nos conducirian a la misma conclusion: la incertidumbre relativa de un producto es igual a la _ de las incertidumbres relativas de cada factor. Nota: Si tiene amplios conocimientos de matemdticas, trate de demostrar esta proposicion: Tesis: P = a . b => Rp = Ra + Rb Calcule primero P mlx - P miD> desarrolle y divida entre 2: obtendra ap. Divida despues 10s dos miembros entre P ab. Encontrara esta demostracion en el apendice 2. 9.13. La incertidumbre relativa de un producto es igual a la suma de las incertidumbres relativas de 10s factores. P = mg.
9.14. Si x Si x
Incertidumbre Incertidumbre Incertidumbre
= a' b, = a + b,
relativa de m relativa de g relativa de P
Rx= Ra ax=aa
2 X 10-3 5 X 10-3
_
_
9.15. La incertidumbre de un producto es igual a la suma de las incertidumbres _ de 10s factores, mientras que la incertidumbre _ de una suma 0 una diferencia es igual a la suma de las incertidumbres de cada termino.
relativa relativas absoluta
9.16. Calcu1e 1a incertidumbre relativa del area de un rectangu10 cuyos lados (a y b) miden, respectivamente, 25 ± 0.5 mm y 15 ± 0.5 mm. S = a' b. Calcule primero 1as incertidumbres relativas de a y b.
R.
20 X l()-.'l (0 0.02) 33 X 10-:) (0 0.033) 53 X 10~ (0 0.053)
Rb
Rs 9.17. Calcule la incertidumbre relativa de 1a distancia recorrida por un objeto que viaja a la ve10cidad constante v 2.8 ± 0.1 m/s durante el tiempo t 9.3 ± 0.2 s, d = v . t,
=
Rd
=
= --------Ex/J/icfui(m:
Rd
Rv + Rl = 36 X 10'"
=
+
22 X
10'"
9.18. La incertidumbre relativa de un cociente es tambien igual a la sum a de 1as incertidumbres relativas de los terminos del cociente. Asi, si q
= :'
Rq
=
R.
_
Nola 1. De hecho esta igua1dad es aproximada, pero la aproximacion es buena y muy inferior alas aproximaciones que afectan alas incertidumbres en si mismas, porque estas, no 10 oJvidemos, son solo estimaciones. Nola 2. Si usted tiene amplios conocimientos trate de demostrar esta proposicion: Tesis: q
de matematicas,
= : => Rq ;::::;R. + Rb Y verificar su demostracion
con el apendice 2. 9.19. La potencia de una maquina esta dada por la formula p
= W. Si la incertidumbre
relativa de W es igual a 0.03 y
t
la incertidumbre relativa de t igual a 0.02, la incertidumbre rt>lativa de P es igual a
9.20. Calcule la incertidumbre
M relativa de p = V
M = 232 ± I g, V = 85.5 ± 0.5 cm3 Incertidumbres relativas: de M = de V de p =
_
_
4.3 X 10--1 5.8 X 10-a (0 5.9 X 10~) 10 X 10-3 0 0.01
9.21. Calcule la incertidumbre
relativa de P.
P'V' P'
=
Rp•
=
V 1 625 ± 5 gf/cm3,
V' = 200 ± Rv•
Rv =
= -----------
Rp;:::::
3.1 X 10~~ 5 X 1O~"l 3.3 X 10-3 11 X 1
----------
9.22. Se puede hallar fici1mente 1a incertidumbre un producto 0 un cociente. ,Recuerda usted como se calcula la incertidumbre partir de 1a incertidumbre relativa?
relativa de abso1uta a _
Se multi plica la incerti dUl11bre relativa por el re sultado promedio. Reglas: (7) I a (7)3.
9.23. Trate d de v =-
de encontrar
1a incertidumbre
abso1uta (.:1V)
t
y
t
=
21.2 ± 0.1 mm 13.5 ± 0.2 s. v = 15.7 ±
;:::::0.005 ;:::::0.015
mm/s.
• Determine primero 1a incertidumbre
relativa de v:
Rv =-----• Determine despues la incertidumbre absoluta a partir del resultado promedio (vm 15.7 mm/s) y de 1a incertidumbre X _ relativa (Rv) . .:1v = ____ Si tiene dificultad, relea las reglas (7) 1 a (7) 3 Y efectue los ejercicios que 1as acompafian. 'Resultado: v = 15.7 ± mm/s.
9.24. G = a . b; a = am ± .:1a, b bm ± ./lb. ,.:1G? ./lG = RG • Gm Para calcular .:1G, hace falta: I~ Calcular Gm. ,Como?
!
1
2~ Calcular sumando 1as incertidumbres vas: RG = + _ 3~'Por tanto, hay que calcu1ar primero y ,Como? (Indique las formulas)
relati_ _
0.02
15.7 (y no 0.314) Regia:
0.32
(7)3 C.
multiplicando am poT bm «a por b es aceptable) 0 mul iplicando los datos. R<,
Para hallar la incertidumbre absoluta sobre un producto, hay que:
9;25.
A. Determinar
el resultado
promedio.
Ejemplo S a
=
S
-
b a b
---
= 50 = 20
± 1 mm ± 0.5 mm 50 20 1000 mm2
X ----
1
B. Determinar la incertidum-
Ra
bre relativa del producto: 1. Calcul~r la incertidumbre relativa de cad a factor. 2. Sumar las incertidumbres relativas.
(0 20 X 10-.3) - 0.5 R b--20 Rs
C. Determinar la incertidumbre absoluta (producto del resultado y de la incertidumbre relativa) . (Redondear a una 0 dos cifras y no olvidar la unidad) . 9.26. d
v
= -.
V
=
= 50 = 0.02
=
(025 X 10-') 0.045 (0 45 X 10-3)
124 ± 2 m3
t t = 50 ± 0.5 s. Calcule la incertidumbre absoluta de d. Resultado promedio: dm = m3 Is. Incertidumbre relativa de d = _ Incertidumbre absoluta de d = m3 Is. Escriba correctamente el resultado:
2.48
26 X 10-.3 0.065 2.48 ± 0.065 m~Is (0 2.48 ± 0.7 m3/s)
_
RegIa:
9.27.
3.21
= V
unidad = g/cm3 Incertidumbre absoluta de Resultado:
p:
_
_
Si tiene difiCtlltad, lea la regia (9)2. Si esta ayud(t no es suficiente, efectue el ejercicio siguiendo el sistema operatorio descrito en la regIa (9)5.
[f]
Descanse un poco y prosiga ei curso a las p'Ocas horas.
9.28. Si C
= a X a,
Rc =
+
(7)8.
± 0.02 g 1.36 ± 0.02 cm3
m
p
002J:: . ::> .
2
Por tanto, para hallar la incertidumbre drado, basta n'lativa de la magnitud.
relativa de un cuala incertidumbre
.049 g/cm3 ~o 0.05 g/cm3) 2.360 ± 0.05 g/cm3
9.29. C
= x2 Incertidumbre
relativa de x: 0.003. Incertidumbre relativa de C: Area de un cuadrado (5) cuyo lado es igual a: a = 25.2 ± 01 mm. Resultado promedio: a2 (25.2)2 635.04 mm2.
=
=
= ~25.2 =
Incertidumbre
relativa de a
Incertidumbre Incertidumbre Resultado: 5
relativa de 5 absoluta de 5
9.30. x C x2m
=
=
=
4 X 10-3.
a2: a2:
8 X Ilrl 5.1 mm2
_
= 390 ± 1 km
=
635.0 ± 5.2 mm2
152 100 km2
=
_
9.31. 5i K
= a3 = a' a . a
AC
_
RegIa:
RK
= __ + __ = __ Ra = __ Ra
90 km2
+
_
Regia:
Ra
(7) 8.
Ra
5i Q = a4 = a' a . a . a RQ Si P an Rp R •. La incertidumbre relativa de la potencia de una magnitud es igual a la incertidumbre relativa de esta magnitud multiplicada por el de la potencia.
=
(7) BC
5.2 X 10-3 152 100 ± 790km'
Ra
3
= __
4
n
=
9.32. T 200 ± 1 grados. Incertidumbre relativa de T: 5 X 10-3. Incertidumbre relativa de T4: 9.33. 5i no ha estudiado los exponentes fraccionarios, directamente al cuadro 9.34. Con un exponente fraccionario, puede escribirse 5i x an Rx = n' R.
va
va
5i Y = at Ry = _ La incertidumbre relativa de y = es igual a la de la incertidumbre relativa de la magnitud a.
va
9.34. La incertidumbre relativa magnitud es igual a la mitad de la magnitud misma. r VX Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa
=
=
pase _ I
"2 _
R.
mitad
de la raiz cuadrada de una la incertidumbre relativa de de x de r
=
0.06.
=
=
9.35. Numeros: a 211.4 ± 0.8 X Incertidumbres relativas: R. = 3.8 X 10-3;
va
Rx = -------,CmU de los dos numeros a y X es el mas preciso? La raiz cuadrada de la magnitud es, pues,
1.9 X 10-3 Regia:
_ pre-
(9)7.
X Regia:
(6) 10.
maS
=
=
_
Incertidumbres relativas: Ra 2 x 10~ Rx ,Cuat de 10s dos numeros a y X es el mas preciso? _ El cubo de la magnitud es, pues, preciso que
9.37. La incertidumbre tud es veces tiva de la magnitud. El cuadrado es, pues,
relativa
6 X l(rl a menos
del cuadrado de una rnagnique la incertidurnbre relapreciso que la rnagnitud.
mas/menos
La incertidurnbre relativa de la raiz cuadrada de una rnagnitud es veces que la incertidurnbre relativa de la rnagnitud. La raiz cuadrada es, pues, precisa que la rnagmas/menos
nitud.
9.38. Incertidurnbre relativa Incertid urn bre relativa Incertidumbre relativa Incertidurnbre
de a de b de p
relativa
de q
Incertid urn bre relativa Incertid urn bre relativa I ncertid urn bre relativa
de C de r de K
= Ra = 2 X 1~ Rb = 4 X l~ a·b a b a-0'
Rp Rq
6 X l(rl Reg]a: Regla:
= Va
a
(9)3 B.
4 X 1(rl
va
Rc
Regia:
Rc
1 X 1~
a3
RK
6 X 10--1
Reg]a: Reg]a:
9.39. X
(9)3 A.
6 X l~ (9)6. (9)7. (9)6.
= 16 ± 0.2 cm2
Puede usted calcular facilmente la incertidumbre relativa de a y de X: trate, entonces de calcular la incertidumbre absoluta de X (como 10 ha hecho en el casu de un producto) y anote e1 resultado final aqui debajo. Haga sus calculos, ordenadamente, en una hoja separada. X ± cm. Si tiene clucla 0 dificultad, lea 10 que sigue: Calcule el resultado promedio Xm = y'll) = Trate de continuar solo; si no 10 consigue, he aqui alguna ayuda: calcule la incertidumbre relativa de a: ------, y despues sobre x: _ Trate de nuevo de continuar solo; si no puecle, calcule la incertidumbre absoluta (resultado promedio X incertidumbre rei ativa): em.
12.5 X 1(}-'l (0 0.0125) 6.25 X 1O~'l
9.40. X = a2 a = 4.10 ± 0.08 Calcule la incertidumbre absoluta de X y anote el resultado:
X=
16.81 ± 0.69 Si ha contestado: 16.81 ± 0.7, lea la regIa (7) 8. Explicaritin:
• Haga sus calculos en hoja separada, redondeando las incertidumbres ados cifras significativas. Si no 10 consigue, he aqui la marcha a seguir (trate de uti· lizarla 10 menos posible): • Calcule el resultado promedio. • Calcule la incertidumbre relativa de a. • Calcule la incertidumbre relativa de X (cubo).
R =.!!!L x 10·' = 20 X 10·' a 4.1 R = 40 X 10·' (0 0.04) x
AX=R
x
·X
= 40 X 10_' X 16.81 ;:::::4 X 0.17 ;:::::0.68 -> 0.69 Regia:
(7)8B
'7 9.41.
Se halla directamente la incertidumbre absoluta de una suma 0 una diferencia, mientras que en un producto, un cociente, una raiz 0 una potencia de magnitudes, se halla directamente la incertidumbre 9.42. Ponga una X en las lineas que se refieran alas operaciones en las cuales se halla directamente la incertidumbre absoluta. ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
Suma de magnitudes. Producto de magnitudes. Producto de una magnitud por un numero exacto. (iAtencion!) Raiz cuadrada de una magnitud. Diferencia de magnitudes. Cociente de una magnitud entre un numero exacto. Cociente de un numero exacto entre una magnitud. (jAtencionl)
IZl
o
IZl
o
IZl IZl
o
RegIa. -Regia:
(9) 10 y
Regia:
(9)12 A.
Regia:
(9) 1lB.
Reglas: Reglas:
(9) 10 y (8)1i. (9) 11 y (8) 10.
Regia:
(1l)12.
o o
Regia:
(9) II B.
Regia:
(!J)
Regia:
(9) 12 A.
o
Regia:
(9) II B.
Regia:
(8) 12
IZl
Regia:
(8)12
X
Regia:
(9)11.
7 9.43.
Ponga una X en las casillas que se refieran alas operaciones en las cuales, para hallar la incertidumbre absoluta, primero hay que determinar la incertidumbre relativa y multiplicarla por el resultado promedio. ___ ___ ___ ___ ___ ___
Elevar al cubo una magnitud. Diferencia de magnitudes. Producto de una magnitud por un numero exacto. Raiz cubica ~ una magnitud. Cociente de una magnitud entre un numero exacto. Cociente de un numero exacto entre una magnitud. Cociente de dos magnitudes.
IZl
IZl
(8)6.
(9) 11 B.
10 A.
~C6mo se halla la incertidumbre o una diferencia? __________________________
,. 9.44,
absoluta de una sum a ,
~C6mo se determina la incertidumbre producto 0 de un cociente de magnitudes?
,. 9.45,
absoluta
de un _
Descanse algun siguiente: a = 40 ± 2 m, b = 16:0 ± 0.3 m,
X X
-
+
a
- a-
Hallando primero la incer tidumbre relativa (pued afiadir: y multiplicandolaJ por el resultado promedio ). Determinando primero 1 incertidumbre absoluta y dividiendola e tre el resultado (promedio).
7 9.47.
(50 X lQ-3). (20 X 10-a).
0.05, 0.02,
Incertidumbre absoluta del resultado
Opemci6n
Sumando las incertidumbres absolutas de 10s terminos (0 cualquier otra).
lncertidumbre relativa del resultado
Resultado
(9)IOB
(!!)IOA
b
-
(9)10 B
6m
(9)12B
2
0.15 m
0.02
(!l)12A
(9)12B
-
45 m:.? 0.07
ab
X=-
0.028 sin unidad
sin
unidad
(9)11 A
unidad:
-
-1
t m
unidad:
t m
unidad:
m-1
•
a
unidad:
m-1
Cualquiera que sea la via que usted sigue, reanude el trabajo (manana) con el cuadro 10.1. • La incertidumbre una divisi6n.
del ntimero
I es nula;
trate
este ejercicio
como si fuera
0.04 m (9)11 B
1600 ± 160 m:l
(9»)) A (9)6
9)11 B
- Vb -
0.40 ± 0.02
0.07
(9)2/5
60 m2 0.1
X = a2
X
640 ± 45 m2
b a
8 ± 0.15 m
(9»)) A
(9)2/5
X
120 ± 6 m
0.05
(9)12 A
b
-
X= X
3a
24 ± 2.3
0.096
2.3 m (8)6
X
56 ± 2.3
0.041
.3 m
b
t
0.01 4.00 ± 0.04 m (9)11 A/B (9)7
.00125 m-I 0.05 0.025 ± (8)12 (9)3 0.0013 m-I
Introduccion a las series de operaciones f
10.1. REVISI6N. x= a-b+c
a b c
12.5 ± 0.2 s 7.3 ± 0.1 s 3.4 ± 0.1 s 8.6 ± 0.4 s R;egla: (S}6.
f
10.2. REVISI6N. Lado de un cuadrado: 7.2 ± 0.1 mm Peri metro de este cuadrado: -------------
28.8 ± 0.4 mm RegIa: (8)8 A.
f
10.3. REVISI6N. = m + m' M= Incertidumbre
m
103 ± 2 mg 25 ± I mg
_ relativa en M: RM
=
_
128 ± 3 mg 23 X 10~ RegIa:
.; lOA. Masa de 10 objetos identicos: M Masa de uno solo de esos objetos: m Incertidumbre relativa en M Incertidumbre relativa en m .; 10.5. REVISI6N. Medida de una duraci6n t (tabla 4): t Medida de una duraci6n t' (tabla 7): t'
1. 2. 3. 4
La La El El
(8)6 •
73 ± 0.5 mg 6.8 X !()-3 6.8 X 1()-3
= =
suma T de las duraciones tm y t'm: incertidumbre absoluta en T: AT resultado de la medici6n de T: T = intervalo de confianza de T:
± ±
_ _
_
_
16.2 10.3
0.2 s 0.2 s
26.5 s 0.4 s 26.5 ± 0.4 s {26.1 ... 26.9 s }
--"-~
..•
5. La medida de T es: ___ una medida muy precisa. ___ una medida de precision corriente, una evaluacion rudimentaria. Justifique con un dlculo.
o [ZJ
o
Lea eL resumen 9 compLetando Los ejempLos. Si sigue La via rcldmpago} pase aL cuadro siguiente. No hay respuesta.
=
RT
0.4 26.5 :::::;15 X 10"-3
(comprendida regIa (8)12.
entre
,. 10.6. ITEST! S = a' b, a 8m AS =
315 mm2 5 mm2
Si tiene dificultad} Lea Lo que sigue: determine primero las incertidumbres relativas. Si todavia encuentra dificultad} lea la regIa (9) 5 Y efectue el ejercicio que la acompafia.
'7 10.7.
Si ha contestado: 0.3 mm, lea la regIa F.xplkaci6n
R
(9) 1I.
de 1a respuesta X 10-'
~9.()
a""'"
correcta:
Rb :::::;6.7 X 10-' R s ,......, 16 X 10-" 6S :::::S . R == 315 X 16 X 10-' AS
==
5'1i40 X
10-' :::::; 5.0 mm'
jTEST! a2
X = Rx =
30 X 10"-3 RegIa:
d
126 ± 0.5 m 60 ± 0.3 s
=t
2.1 m/s
0.019 (0 0.02 m/s) RegIa
Explicaci6n: Rd R
:::::; 4 X 10" 9 X 10.3
R v -_
(9)6.
Ra ,......, 15 X 10'" RX :::::; 30 X 10-"
,. 10.8. ITEST! v
1 y 50 milesimas)
6\'
5 X 10.3
(12)5.
2.100 ± 0.019 m/s (02.10 ± 0.02)
=
2.1 X 9 X 10"
=
19 X 10"
:::::; 0.019 mi.
t
,. 10.9. He aqui una serie de medidas de la arista de un cubo. Determine su volumen (V = a3). 12.3 12.1 12.2 12.0 12.5 12.4 12.2 12.2 12.3 12.4 mm. a = _
12.26 ± 0.26 o 12.3 ± 0.3 mm
Si no sabe como proceder} reLea Las regLas (3)5 Y (3)6. Si continuan Las dificuLtades) reLea Las regLas (3)8 y (3)11. HaIle ahora V V
1 843 ± 120 mm3 o 1 861 ± 140 mm:! o 1 840 ± 130 mm3
3•
a
Si nece.ita ayuda. lea 10 que .igue. pero trate de continuar solo de.pue. dicacion. • Primero calcule el result ado promedio. • Despue. calcule la incertidumbre relativa de a (regia. (6)4 y (6)9). • Calcule la incertidumbre relativa de V (regIa (9)6). • Finalmente. calcule la incertidumbre absoluta de V (regIa (7)8).
de
cada
in·
I 43 mm' 21 <> 24 63
I 861 mm' X 10" X 10" X 10"
<>
<>
72 X 10"
<>
134 ;;::: 140 mm'
116 :::::; 120 mm'
,. 10.10. • Si ha cometido mas de 3 errores (que no sean errores de cileulo), relea el capitulo 9 por entero . • Si ha cometido 3 errores (que no sean errores de cileulo), relea el resumen 9. • Si ha tenido 2 errores 0 menos, esta muy bien; icontinue! En fisica, a veces se efectuan operaciones senciHas como multiplicaciones, divisiones 0 extracciones de rakes; sabemos como, en estos casos, se puede haHar la incertidumbre en el tesultado. Sin embargo, con mucha frecuencia, los cileulos que hay que hacer en fisica no son operaciones sencillas, sino series de operaciones. Asi, por ejemplo, para aplicar la formula T =
2Tt~
~,
hay que hacer una division (L entre g), extraer la raiz cuadrada del cociente y, finalmente, multiplicar el resultado obtenido por 2 y por Tt. Conociendo las incertidumbres de L y g, ,como se puede, en este caso, hallar la incertidumbre de T? Es 10 que vamos a tratar de encontrar en el proximo capitulo. Esta parte esta semiprogramada, porque, para realizar un verdadero curso programado, hubiera sido necesario admitir que ningun alumno comete errores en operaciones algebraicas 0 prever la correccion de 10s errores de este tipo, todo 10 cual nos habria llevado a escribir otro curso ...
'7 10.11.
TtRMINOS
DE CRECIMIENTO
A. He aqui una fraccion: A Si se reemplaza el numerador obtiene A'
Y DE DECRECIMIENTO.
= ~. (3) por 4 (numero mayor), se
= 1:, A' es mayor que A. Cuando se sustituye el
5 numerador de una fraccion por un numero mayor, la fraccion aumenta. Diremos que el numerador de una fraccion es un termino de crecimiento.
B. A = ~. Si reemplaza usted el denominador
de esta frac-
cion, (5), por 6 (numero mayor), obtendni
= 6' A" es
A"
3
menor que A. Cuando se reemplaza el denominador de una fraccion por un numero mayor, la fraccion disminuye. Diremos que el denaminador de una fraccion es un termino de decrecimiento.
'7 10.12.
En una serie de operaciones, llamaremos: A. TERMINOS DE CRECIMIEI'\TOa 10s terminos cuyo aumento tiene por efecto aumentar el resultado. B. TERMINOSDE DECRECIMIENTO a 10s terminos cuyo aumento tiene por efecto disminuir el resultado.
'7 10.13.
Ejercicios:
Las letras replesentan
mimeros
+
A. En la operacion X = a miento y b un termino de
positivos. b, a es un termino _
B. En la operacion X = a - b, a es un termino ________ y b un termino de
son
de creci-
de
_ _
., .X = ---, a+b 1os termlnos ' . d e creClmlento ., operaClon c , mientras que el termino de decrecimiento es
D. Operacion: Termino(s) Termino(s)
X
crecimiento decrecimieHto
a, b c
a-b
= ---
c+d de crecimiento: de decrecimiento:
a
_
b, c. d
_
haten autnentar ek denominado tantt:>, disminuir la fracei6n.
., E. 0 peraclOn:
X
a-b cTerminos(s) de crecimiento: __ Termino(s) de decrecimiento: ., F. Operaclon: X Termino(s) Termino(s)
= --d-
ab(c = -----, mx(y -
.
a, d _
d)
de crecimiento: de decrecimiento:
z)
b, C ha<:e disminuJr el denominadon lue aumenta Ia fra<:d6n.
(c
>
(y
> z)
d)
_ _
a: b. z
m, x, y, d hare disminuir el denominador; Iuehate aumellrar la fraccion.
G. Operacion: Termino(s) Termino(s)
X
= a -
bc d
de crecimiento: de decrecimiento:
a, d
b. c hace disminuir el uirmino resrado; aumenla el result;ldo.
'7 10.14.
COMPENSACI6NDE LAS INCERTIDUMBRES Introducci6n: A. Cuando se determina una densidad, hay que efectuar, con 10s resultados de tres pesadas x, y, z, la siguiente serie de operaciones: d
=
x-y
Si examina esta relaci6n, notara que la magnitud x figura a la vez en el numerador y en el denominador, sin que eUo se pueda evitar con una simplificaci6n. En el numerador, x es un termino de crecimiento, mientras que en el denominador x es un termino de decrecimiento.
x-y x-z
B.d=--.
Supongamos que el valor de x esta afectado por un error por exceso. Este error tendd como resultado haeer aumentar d (porque x, en el numerador, es un termino de crecimiento); pero tambien had. disminuir d (porque x, en el denominador, es un termino de decrecimiento): las incertidumbres se compensan de manera que la incertidumbre que afecta a d es menor que si, en vez de x, figurara otra magnitud en el denominador.
7 10.15.
Nocion de compensaci6n de incertidumbres: A. En una serie de operaciones: 1. Si la misma magnitud figura dos veees, sin que pueda ser simplifieada. 2. Si ademas esta magnitud es un termino de erecimiento en uno de los dos lugares y un termino de decrecimiento en el otro lugar, hay compensaci6n de incertidumbres. B. Cuando hay compensaci6n de incertidumbres, la aplicaci6n de las reglas generales del calculo de incertidumbres conduce a una incertidumbre demasiado grande en el resultado.
- En la relaci6n
h
=
p(n
n 1)
• n figura en dos lugares sin que pueda plificaci6n,
ser objeto
• n es un termino. de crecimiento (en el numerador) termino de decrecimiento (en el denominador). Hay compensaci6n de incertidumbres. -
de Slmy un
·, '\ L-Lo En 1a re 1anon = ---, I\,
Lot
• Lo figura en dos lugares sin que se pueda simplifiear. • Lo es un termino de decrecimiento en un lugar (se resta en el numerador) y tambien de decrecimiento en el otro lugar (en el denominador). No hay compensaci6n de las incertidumbres.
..,. 10.16. Ejerddos:
A. Relacion
Compemacion silno
-
f
de
y-x - --z-x
d'
c -
-
M(x - t) m(T - x)
MtTODOS
rr'
---
r
D
de--
pp' - p'- p
f R
D2 - d2 4D
de
x
de
P
de
p'
de
+ r'
DE EVALUACION DE LA INCERTIDUMBRE
EN EL RESULTADO
DE UNA SERlE DE OPERACIONES
'7 10.17.
Problema: ,Como hallar la incertidumbre absoluta 0 la incertidumbre relativa en el resultado de una serie de ope-
raciones semejante al calculo de f en f c
Kmm'
= ---cl2
0
de c en
M(x - t)
= m(T _ x) si se conoce la incertidumbre absoluta en m,
m', K y d en el primer caso y M, m, x, t y T en el segundo?
Veremos que se puede resolver este problema de tres maneras: • Por e1 metodo del limite superior. • Por el metodo de reduccion. • Por el metodo diferencial. Los dos primeros metodos no son aplicables si hay compensacion de incertidumbres. £1 tercero es aplicable en este caso, pero resulta mas complejo y esta basado en el dlculo de derivadas.
Metodo del limite superior
= Gmax
~G
t
incertidumbre absoluta
limite superior
Por 10 tanto, para hallar la incertidumbre absoluta, resultado (Gmax) y el resultado promedio (Gm).
Gml t
resultado promedio
vamos a buscar el limite superior
,,11.2. ~Comohallar Gmix y Gm? A. El resultado promedio (Gm) cion pOl' su promedio. Por ejemplo:
si X
=
Xm
=
a-b
100 - 50
20
B. El limite superior del resultado (Gmax) se obtiene reemplazando • Los terminos de crecimiento por su limite superior. • Los terminos de decrecimiento por su limite inferior. En el ejemplo X
X max. _ -
a-b
= --
am"x
c
Cmin
bm1n
con
=
a b c
= 100 ± 2 mm = 50 ± I mm = 20 ± I mm
102 ; 49 1
=
2.8 mm.
C. La incertidumbre absoluta se obtiene pOl' diferencia: AG = Gm", - Gm = 2.8 - 2.5 = 0.3 mm.
(bmin (Cmin
=
=
102 mm) 49 mm) 19 mm)
del
A. El limite superior
de f
=
r
F R es fmax
p'
g- es p
L
p-
C. El limite superior
de V
s
g'max
= gm~x ---p'max pmln
es Rm~x
P-p = KS-XPmlix Kmax Smax -----
-
pm{n
Am1n
p'
gp
12 ± 0.5 mm 176 ± 4 mm 92 ± 2 mm
25 mm (12.5
x
180)
90
22.9 (023 mm) (12
x 92
176)
11.4. Para hallar la incertidumbre absoluta en el resultado de una serie de operaciones (y anotar el resultado de esta serie de operaciones):
Busquemos
la incertidumbre (M + m) (T M 35 ± 2 g m T = 32.4 ± 0.2 °C t =
Q=
=
=
absoluta en Q - t) 212 ± 1 g 23.2 ± 0.2 °C
Terminos de crecimiento I. Calcule el limite superior no de crecimiento.
=
2. Calcule el limite inferior de cada termino de decrecimiento.
B. Calcule el limite superior
de crecimiento
2. Reemplace los terminos to por su limite inferior.
de decrecimien-
=
C. Calcule el resultado
cada magnitud
por
su pro-
2. Redondee tivas. E. Anote
a una
Qrn Qrn
= (Mm + mm) (T m
=
(35
+
-
212) (32.4 -
tm) 23.2)
Qrn = 247 X 9.2 = 2272.4 cal.
la incertidumbre
1. Reste el promedio
=
promedio:
2. Efectlle el d.lculo. D. Calcule
Termino de decrecimiento
Qrnax = (37 + 213) (32.6 - 23) Qmax 250 X 9.6 2400 cal.
el calculo.
I. Reemplace medio.
=
del resultado:
1. Reemplace los terminos por su limite superior.
3. Efectue
Mrnax = 35 + 2 = 37 mmax = 212 + 1 = 213 T max 32.4 + 0.2 32.6
de cada termi-
absoluta:
del limite superior. 0
dos cifras significa-
= Qmax- Qrn .:1Q = 2400 - 2272.4 = 127.6 cal.
aQ
.:1Q :::::;130 cal.
el resultado:
I. Redondee el resultado promedio (hallado en C 2) al orden de la ultima cifra significativa de la incertidumbre absoluta (y aumente en 1 esta ultima cifra). 2. Anote el resultado:
G
= Grn ± aG.
Qm
= 2 272.4 :::::;2 270 cal.
.:1Q = 130 ~ 140
RegIa:
(7)8
-7 11.5. con c t'
I
Q
= cm(t' - t)
= 0.23 ± 0.01 cal/g
=
,Qmax?
410 ± 1 g 20 ± 0.5 °C
120 ± 0.5 °C
I
A. Determine
10s limites de 10s datos (limite
ferior de 10s terminos de decrecimiento, limite superior terminos de crecimiento): Los terminos de crecimiento son __ , __ , __ ' Los limites superiores son: cmax cal/g
m-
de los
c m
+ 0.01) (410 + I) 120.5 (120 + 0.5)
(0.23
g
mmh
t'max
t'
0.24 411
DC.
El termino de decrecimiento es: Su limite inferior es: tmln =
n.
Determine el limite superior del resultado: Con letras: Qmax = Con 10s valores numericos: Qma:<=
_ 0.24 X 411 (120.5 -
9963
I ,Qm? I
C. Qm =
cal.
9430
~ = 0.23 X 410(120 -
Qm
9963 533 cal.
20)
19.5)
,,11.6.
C
1
1
== (n - 1) R + R'
n == LPO ± 0.02 R == 0.80 ± 0.01 m R' == 1.20 ± 0.01 m Halle el resultado (la unidad sera la dioptria). A. Para hallar la incertidumbre absoluta, debe calcular dos magnitudes: ccuales? y _ En efecto, AQ ==
Cmax y C (0 el limite promedio)
superior y el result ado
_
B. Trate de calcular Cmax: Cmax == Si no 10 consigue) re1ea el cuadro 11.2, rehaga 11.3 e intente de nuevo.
dioptrias. 10s ejercicios
1.3058 l
Cm&x==(nmax-l )(R
. +R,I, ffim
C. Determine D. Determine E. Resultado:
7 11.7.
f
Cm: Cm
dioptrias. dioptrias. _
AC
1.2500 0.055 1.250 ± 0.055 dioptrias o 1.25 ± 0.06 dioptrias
h
RegIa:
== P L
P == 168 ± 2N Anote el resultado:
h == 125 ± 1 mm f
L == 500 ± 1 mm. N.
==
)
rum
(7)8
42.0 ± 0.9 RegIa:
(7)8
Explicacion: Si no sabe por donde
empezar)
hmax
lea 10 que sigue:
Debe buscar la incertidumbre absoluta, que es igual a la diferencia entre el limite superior y el resultado promedio. Si todavia no acierta, he aqui 10 que hay que hacer:
Calcule fmaxY fm· Si no sabe como hacerlo: relea el cuaderno
a partir del cuadro 11.1.
fmax== Pmax--
L.ntn
126 fmax== 170 X 499 == 42.9
_
hm
_
m- Pm L.n -
168 X 125-42 500
AI _ 42.9 - 42.0
-.
== 0.9 N
-) ll.S. El metodo del limite superior es especialmente util para buscar la incertidumbre en el resultado de operaciones que contienen razones trigonometricas (sen, cos, tg ... ), 10garitmos 0 funciones exponenciales (operaciones en las que las magnitudes figuran como exponentes). ,,11.9. En ciertos casos, se encuentran simbolos que representan magnitudes negativas: entonces hay que recordar que de dos numeros negativos, el mayor es aquel que tiene el menor m6dul0. ,,11.10. Ademas, en 10 concerniente alas razones trigonometricas, hay que poner mucha atenci6n, porque la raz6n trigonometrica no varia siempre en el mismo sentido que el angulo: asi, para angulos agudos, si e1 dngu10 aumenta) su seno y su tangente aumentan tam· bien, pero su coseno disminuye. Angulo tg COS
26° 0.49 0.90
27° 0.51 0.89
28° 0.53 0.tl8
29° ---
---
aumenta 0.55 aumental dlsminuv••
0.87 aumenta/dismlnuye
)- 11.11. Recuerde,
en la prcictica, que
PARA
ANGULOS
AGUDOS:
A.
• Si un seno 0 una tangente se hallan en un termino de crecimiento, el angulo es tambien un termino de crecimiento, e inversamente.
B.
• Si un coseno se halla en un termino de crecimiento, el angulo es un termino de decrecimiento, e inversamente.
I I.l2. Ejemplos literales. A. En la formula f = P sen a, s('n a es un termino de crecimiento. a es un termino de crecimiento. B. En la formula T = f L cos a, cos a es un termino de crecimiento, a es, pues, un termino de decrecimiento (a causa del coseno).
'7 11.13. A.
Ejercicios:
Calculemos f
el limite superior de Ten: T fL cos a 120 ± 2N L = 3.00 ± 0.01 m
f crecimiento
=
L crecimiento
cos a
a
a
crecimiento
decrecimiento (lI.lI
B)
2. Reemplacemos los terminos de crecimiento por su limite superior y los terminos de decrecimiento por su limite inferior. L
(porque miento)
mh a es un (11.11 B)
amln termino de
3.01 m 0.656
deerec/o
sen i
n
= sen r
con
n es un numero
sen
sin unidad.
i
1
crecimiento
= 45 = 30
{ i r
sen r
crecimiento
r
decrecimien to
decrecimiento (11.11 A)
280 0.7193 0.4695
sen 46 sen
0
Cilculo del resultado
promedio:
nm
=
sen sen 0.707 1
0.5
___
~ 0.118 ~ 0.12 1.41 ± 0.13 (0.13
C.
Calcule la incertidumbre f = P sen a
Y no 0.12 porque el promedio side redondeado)
ha
absoluta de: P 2.00 ± 0.01 N a = 25 ± 1 0
Limite Pm~x =
superior
(en forma literal): N.
fmb
sen amax = sen
= 0.4384 numero
fmAx
fm Af f
X X
de grado.
0.881 2 N 0.8452 N ------
unidad
116
_
N
Pmllxsen amh 2.01 260 2.01 0.4384 2 0.4226 0.8812 - 0.8452 = 0.036 0.845 ± 0.037 N Regia:
7 8
D.
Calcule la incertidumbre X = xy cos a x 120 ± 0.5 mm y
=
absoluta
=
de
80 ± 0.5 mm
a
Termino x crecimiento de
creci.
creci.
decrecimiento
(ll.ll
Xm"x = (indique
Xmax
Y __
X __
mal<
el sublndice
=
~X
cos a
=
X cos
numeriC05
X cos
X 2,
=
mm
F.. Halle el resultado F a
=
_
mln correcta.)
X \'alores
Xm
0
B)
120
X
200
80
60°
4 800 ± 200 mm2
de:
va2 + h2 + 2 ab cos A 6.2 ± 0.1 N b = 9.3 ± 0.2 N
l.imite sus calculos a tres cifras significativas bIas que aparecen a continuaci6n:
A
y utilice
las ta-
angul0
56.5°
57°
57.5°
cos
0.552
0.545
0.537
Numero
6.2
6.3
9.3
9.5
13.7
14.0
Cuadrado
38.4
39.7
86.5
90.3
188
196
13.70 ± 0.30 N o 13.70 ± 0.31 N
Xmax= ya2max Xm = ya2m
+
b2max+ 2amaxbmax cos Amm= Y6.32
+ b2 + m
2ambm cos Am
+
9.5;! + 2 X 6.3 X 9.5 X 0.552:::::: 14.00
= Y6.22 + 9.32 + 2
X 6.2 X 9.3 X 0.545:::::: 13.70.
Metodo por reduccion
nlm'
F = k-d~ ,
B. La mayoria de estas formulas se presentan bajo la forma de un producto 0 de una fraccion y pueden ser representadas pOI' una formula general: k· ua• xb .•• n . yO . Zd •.. en la que G representa una magnitud que se calcula a partir de las medidas u, x, y, z ... , de los coeficientes numericos de k, n ... y de 10s exponentes positivos (enteros 0 fraccionarios) a, b, c, d ... C. Llamaremos expresiones asimilables a un producto '*' a las formulas que no contienen suma ni diferencia y que pueden ser represen tadas porIa expresion general (I).
• EI segundo miembro de la expresi6n basta con utilizar expon~ntes negativos.
(I)
es un
monomio.
Se puede
transformar
facilmente
en
un
producto;
hI)=-gt~,
--
--).
2
1
I
1
-
f
p'
P
4'1tR3
=
I - 10 ,
--lot
F~ R'
--f
--:-,
E. L a f'ormula p = --3m G
-
IZI
0
0
IZI
., genera 1 es 1a expreslOn
b
ku·x
n'fzd...
en la que G ha sido reemplazada par
..•
k por __ , u por __ n por __ , y por __ y el resto por __ .
INCERTIDUMBRE RELATIVA ASIMILABLE A UN PRODUCTO
DE
, a por __ , c por __
EXPRESI6N
A. Supongamos que hemos efectuado mediciones de diferentes magnitudes, cuyos resultados son: u ± .6.u; x ± .6.x; y ± dy; z ± .6.z;y que efectuamos con estas medidas la serie ku·xb de operaciones: G = -en que la k y n son coeficientes nuny"zd mericos afectados de una incertidumbre nula 0 insignificante (despreciable) y a, b, c y d son exponentes positivos.
I
Re = aRu
+
bRx
+
cRy
relativa en el
+ dR
z
3 4'1t
m
R 1
UNA
B. Se puede demostrar que la incertidumbre resultado es igual a:
.p
---
I
donde Re, Ru, R., Ry Y Rz significan incertidumbre relativa de G, u, x, y, y z respectivamente y a, b, c y d son los expollentes de u, x, y y z.
1 3
712.4. Metodo a segu.ir pam aplicar la jot"mula de Las incertidumbres
Ejemplo:
relativas. X
Para expresar 1a incertidumbre re1ativa del resultado de una expresion asimilable a un producto: A. Reemplace las rakes por exponentes fraccionarios. B. Observe los exponentes de las magnitudes afectadas de incertidumbre (la ausencia de exponente indica que se sobrentiende el exponente 1). C. Escriba que la incertidumbre relativa en el resultado es igual a la suma de 10s productos obtenidos multiplicando la incertidumbre relativa de cada magnitud por su exponente.
= AZ2y'U
clncertidumbre relativa de X? A, z Y u son magnitudes afectadas de incertidumbre.
Se calcula T, 21t esta afectado de una incertidumbre insignificante; L y g son conocidos, pero afectados de incertidumbre. 1. T
3.
B.~
=
t 21tL t g
2. magnitudes:
2' 2
I R, = + Rd + R.j
Se calcula F (k es un coeficiente afectado de una incertidumbre insignificante); q, q' y d son conocidos, pero afectados de incertidumbre. 1. 2. magnitudes q, q', d exponentes 1, 1, 2
~
7 12.6.
Ejercicios literales A. W = r12t (r, I y t son magnitudes afectadas de incertidumbre). Rw = Rr + R1 + I
B. E = -mv2
2
(m y v son magnitudes afectadas de incertidumbre).
RE C. V
exponentes:
L, g I I
4
= 31tX3 (X es la unica magnitud afectada de incerti-
dumbre).
Rv
,. 12.7. Ejercicios A. Volumen
numericos:
de un cono:
I
V
=
= 0.262' d2 • h
I
=
d 30.6 ± 0.2 mm h 78.3 ± 0.2 mm 0.262 es un coeficiente numerico afectado de una incertidumbre insignificante. Calcule la incertidumbre relativa de V. 1. Aplique la formula de las incertidumbres relativas a la formula del volumen del cono: 2Rd + Rh 6.5 X 10-3
R = ---------2. Calcule Ri : Rd (en milesimas) y
Exf,licaci6n:
200 X 10-' 30.6 RegIa: (6)8.
2.6 X 10-3 E>:tJlicaci6n:
200
X 10-'
7U RegIa: (8)8.
4. Rv Rv
= 2
X
_
6.5 X 10-3 2.6 X lO-a ]5.6 X 1O~'l (0 16 X 1O~'l)
= ----------
B. La masa pOl' unidad de volumen de una esfera puede calcu,
m
= 0.5236 d3 llJ = 36.2 ± 0.1 gramos d = 3.04 ± 0.02 cm larse poria
formula
p
0.5236 es un coeficiente numerico afectado dumbre insignificante Calcule la incertidumbre relativa de p Rp =
de una incerti-
23 X 10-3 (0 22 X 10-3)
• Si no sabe pm" donde comenzar, y solamente en este caso, lea 10 que sigue: Aplique la formula de las incertidumbres relativas a la expresi6n de p: Rp
+
=
_
• Si no sabe como continuar, lea 10 que sigue: Calcule Rm y~
Rp
=
=
_ Rm
+
3Rd
2.8 X 10-3 6.6 X 10-3 23 X 10-3 (0 22 X 10-"1)
= -------
M£TODO PARA HALLAR LA INCER TIDUMBRE ABSOLUT A DE UNA EXPRESION ASIMILABLE A UN PRODUCTO ,. 12.8. Principia: se busca la incertidumbre relativa mediante la fOrmula de las incertidumbres relativas (12.3 B, 12.4) y se multiplica la incertidumbre relativa hallada par el resultado pramedia:
I
AG.= RG• Gm
I
regIa,
(7)2
y
(7)3.
A. Exprese primero, pOl' una formula, La incertidumbre reLativa en el resultado (aplicando la formula de las incertidumbres relati· vas) (vea 12.4).
B. Calcule la incertidumbre lesimas) de cada magnitud.
relativa
(en mi-
absoluta en Busquemos la incertidumbre volumen de un cono (vea ejercicio 12.7A) - 0.262· d2h V d -- 30.6 ± 0.2 mm h 78.3 ± 0.2 mm 2Rd + Rh Rv Rd
0.2 200 = --30.6 = --30.6
X 1
Rh
0.2 200 = --78.3 = --78.3
X 1
-
2 X 6.5 X 10-3 15.6 10-3 16 X 10-3
-
-
0.262 X (30.6)2 X 78.3 19209 mm3
AV AV
-
Vm·Rv 19209 X 16 X 10-3 ::::;07 mm3
AV
- 310 mm
Rv
sus valores numericos significativas.
Rv
-
Vm Vm
D. Calcule el resultado promedio.
+
-
C. Reemplace las incertidumbres
relativas pOl' y redondee ados cifras
=
=
-
2.6 X 10-3
E. Multiplique
la incertidumbre relativa del resultado pOl' el resultado promedio; encontrara la incertidumbre absoluta. (AG Gm· Rc).
=
F. Redondee
ados cifras significativas y exprese la incertidumbre absoluta en las mismas unidades que el resultado promedio.
1. Busque
la incertidumbre
absoluta
-
3
de pen:
m P
m
= 36.2 ± 0.1 g
d
= 0.5236
d3
= 3.04 ± 0.2 cm (p se expresa en g/cm3).
Siga paso a paso el camino marc ado en 12.9 y utilice sultados de los calculos del ejercicio 12.7B. A.
Formula
B.
Calculo
de la incertidumbre
los reo
relativa:
Rm + 3Rd
Rp = ----de las incertidumbres
i/
(vea 12.7B)
relativas
.8 X (10-3
Rm = -------C.
Calculo
D.
Calculo del resultado ficativas)
Pm
de Rp
Rp
=
promedio
.. (tres
0
cuatro
~
23 X
6.6 X 10-a 1()-3
cifras sign i-
2.46
0
2.461 g/cm:{
0.057 g/cm3
P
d R
=
Rd2
0.785
L
=
(1.23 ::!;: 0.02) 10-a m L = 40.21 ± 0.01 m = 1.03 ± 0.02 0 (0 es el simbolo de una unidad de resis-
tencia electrica). EI resultado se expresa en Om. ap = _ Si no sabe par donde comenzar: aplique artidumbres relativas.
de Las in- I£xplicaci6n: Rp RR + RL
la formula
=
OPCIONAL: Aconsejamos al lector que tenga dificultad para aplicar el metodo de reduccion 0 al que 10 halle complicado, pasar directamente al cuadro 13.1. p
EXPRESIONES PRODUCTO
FACILMENTE
REDUCIBLES
A UN
= 2R..i
19 X 10-3 + 0.25 X lQ-3 ••: +2X16«1()-3~51XI0 .~O· 0.785 X 1.03X(1.23 Xl()-;Cl)
=
40.21 ~ 3.042 X 10'-8 ." =51 X l0-6x 3.042 X J{}~ 1.55 X 1{}-~1
12.11. Ciertas formulas se asemejan a una expresion asimilable a un producto, pero contienen una suma 0 una diferencia. Por ejemplo: Q = cm(t2 - t1) 0,
g
kM
..
.
= (R + h)2' se parecen a expreslOnes aSlml· lables a un producto.
12.12. Se pueden convertir estas formulas en expresiones asimilables a un producto, reemplazando la suma 0 la diferencia por una letra que represente el resultado de la operacion efectuada. Por ejemplo, Q = cm (t2 - t1) se convierte en una expresion asimilable a un producto, reemplazando t2 - tl por A (resultado de la diferencia: t2 - t1 = A): Q = cmA. kM Igualmente, g = se transforma en una expresi6n (R + h)2 asimilable a un producto, estableciendo que R + h = B => kM
=>
g
= 132'
12.13. Ejercicio: transforme las siguientes formulas en expresiones asimilables a un producto (utilizando las letras A, B ... ) V-Vo
A
Vot M(x -----
Vot t)
m(T - x)
MA
mB
(A
= V - Vo)
= x - t) B=T-x
(A
Para hallar la incertidumbre absoluta de una expresion facilmente reducible a un producto.
Ejemplo: determinacion absoluta de c en:
c = M T
=
=
x = A. 1. Si la expresion contiene una suma (0 una diferencia), establezca que esta suma = A. 2. Calcule A (valor promedio). 3. Calcule AA.
,
4. Calcule RA =
RB =
M(x - t)
m(T - x)
unidad:
cal/g
=
380 ± 2 g, m 115.3 ± 0.1 g, 100 ± I CC, t 20.42 ± 0.02 cC, 21.50 ± 0.02 cC.
=
x-t=A Am = Xm tm = 21.50 - 20.42 = 1.08 (cC) t:.,A = Ax + At = 0.02 + 0.02 = 0.04 (cC) 0.04 40 RA = 1.08 = 1.08 X 10~ :::::37 X 10~
AA
A'
B. I. Si la expresion contiene otra suma (0 diferencia), establezca que esta suma = B. 2. Calcule B (promedio). 3. Calcule AB. 4. Calcule
de la incertidumbre
AB
B'
C. 1. Transcriba la f6rmula reemplazando las sumas 0 las diferencias por A, B ... ; asi obtendra la expresion "C1". 2. Calcule el resultado promedio reemplazando cada magnitud por su valor promedio.
T-x=B Bm = Tm - Xm = 100 - 21.5 = 78.5 (cC) AB = AT + Ax = I + 0.02 = 1.02 (cC) 1.02 I 020 RB 78.5 78.5 X IO~ :::::13 X IO~
=
M(x - t)
c =
m(T - x)
se convierte
Mm = 380 mm = 115.3 C
m
D. 1. Determine la incertidumbre relativa aplicando la formula de las incertidumbres relativas: RG = aRu + bRx + ... a la expresion "C1".
=
=
MA mB
Am = 1.08 Bm = 78.5
380 X 1.08 115.3 X 78.5
Expresion
en c =
=
0.04534 ...
MA "C1": c = mB
Magnitudes: c, M, A, m, B Exponentes: I, I, I, I R: = Rm + RA + Rm + RB AM 2 2000 IO~ ::::: RM = M = 380 = 380 X :::::5.3 X I~ RA::::: 37 X IO~ RB::::: 13 X I~ _ Am _ 0.1 _ I 000 IO~ ,..... Rm--------r,-X m 115.3 11:>.3
Rc
,.....
:::::0.9 X I~
+ 0.9 XIO~ + 13 X IO~ (5.3 + 37 + 0.9 + 13) X X IO~ = 56.2 X 10~ :::::56 X I~
= 5.3 X 1O--a+ 37 X I~
+
=
E. Calcule la incertidumbre
absoluta del reaplicando: AG R<;. Gm• y redondee ados cifras significativas. sultado,
=
Cm
=
=
F. Anote el resultado,
redondeando el promedio al orden de la ultima cifra significativa de la incertidumbre absoluta (y aiiada 1 a esta cifra). No olvide la unidad.
c
-
0.0025 0.04534 0.04534
'f 12.15.
Ciertas formulas utilizadas en fisica representan una suma (0 una diferencia) cuyos terminos estan constituidos por una magnitud 0 un producto de magnitudes y aun por potencias de magnitudes ... suma
Ejemplos:
p
=
po -:
pgfi,
Diremos que estas formulas suma.
son expresiones
12.16. Designe las expresiones x
a2
asimilables
+ b2
asimilables
a una
a una suma: d
--
= vot
1
2 + --'2 at
nE R+nr
~ 12.17. Una expreslOn asimilable nera general, la forma siguiente:
IS
a una suma tiene, de ma-
= nX ± n'Y ± ..
·1
en la que n y n' son coeficientes numericos afectados de incertidumbre nula 0 insignificante. X y Y son magnitudes 0 expresiones asimilables a un producto. ~ 12.18. La incertidumbre absoluta ble a una suma es igual a:
I AS = nAX F6RMULA
de una expresion
+ n'AY + ... , DE LAS SU~IAS
=
0.04534 Rc 56 X 10-3 Ac 0.04534 X 56 X 10-3 ;:::;2.5 X 10-3 ;:::; 0.0025.
asimila-
± 0.002 6 cal/g.
Para pen: Para hallar la incertidumbre absoluta de una expresion asimilable a una suma.
hallar
la incertidumbre
= 1 154 ± g = 9.806 ± h = 18.20 ± po = 102000 P
pgh Xm
= _ _
Rx
de
2 (kg/m3) 0.005 (m/s2) 0.01 m ± 200 (pascals)*
• Unidad de presion que una fuerza de 1 newton de 1 m2.
A. Galeule la incertidumbre absoluta del primer termino. Si este es una expresion asimilable a un producto: I. Llamelo X y caleule Xm• 2. Galeule Rx (incertidumbre relativa de X), aplicando la formula:
absoluta
equivale a la ejercida por sobre una superficie plana
= X
Pm X gm X hm
1 154 X 9.806 X 18.20 205 950 (pascals) 206 000 (pascals) X = pgh Rp + Rg + Rh
Rx
ap
+
p
2 1 154
+
ag
+
g
ah h
0.005 9.806
+
0.01 18.20
5 10) 3 9.806 + 18.20 X 10~ (1.7 + 0.51 + 0.55) X 10--3 ~ 2.8 X 10--3 liX = 2.8 X 10~"3X 206 000 = 576.8 ~ ~ 580 (pascals).
= (
2000
Ti54 +
B. Galeule la incertidumbre absoluta del se- Aqui, la incertidumbre absoluta del segundo termino viene dada por: gundo termino (y el tercero ... ). lipo = 200 (pascals).
C. Aplique: aG
= naX + n'aY
Recordemos que p = pgh + po P = X + po lip liX + apo ap 580 + 200 = 780 (pascals).
)- 12.19. Ejercicio: v
t
= Vo + at = 8.4 ± 0.2
= 23.4 ± 0.5 m/s
Vo
s.
Determine f:1v y anote el resultado siguiendo paso a paso el camino 12.18.
A. Incertidumbre absoluta del primer termino. El primer termino es: . Llamemosle X. La incertidumbre absoluta de este termino es: f:1X
=
0 :
VI)
_
23.4
0.5 m/s .(dato)
B. Incertidumbre absoluta del segundo termino. El segundo termino es: _ 1. Es un producto. Llamemosle Y. Y
f:1a
0.05 1.20
Ra=-=--a
R =
(;)6 X l£rl 10.08 (0 0.66 m/s)
l
Ry
= 42 X 10~ +
3. Calculemos f:1Y
_ =
0.67
RYYm
24 X 1£rl 24 X!£rl
23.4
+
1.2 X 8.1 = 23.4
________
m/s.
+
(::~) 66 X 1O~
( I.l 7 xedondeado ados
10.08 = 33.48 m/s.
33.5 ± 1.3 Re~la: (7)8 C.
.,
dbas)
12.20. Esquema de aplicacion de la formula de las sumas. EI camino a seguir 12.18 puede resumirse por un esquema. • Para aprender 0 comprender este esquema, lealo partiendo de arriba y siguiendo hacia abajo. • Para aplicar este esquema, sigalo empezando por abajo.
en la que n y n' son coeficientes no afectados de incertidum· bre, hay que transformarla en G = nX + n'Y estableciendo: X
=
ab, c
Y
=
df2.
ac R,=Cm
7 12.21. d
Ejercicio: 1 2
= vot + -at2
Vo
a t
= 23.4 ± 0.5 m = 1.20 ± 0.05 m/s2 = 8.4 ± 0.2 s.
Determine ad y anote el resultado siguiendo el esquema 12.20. Reconstruya primero el esquema en su columna de la izquierda, llenando las partes faltantes y yendo de arriba hacia abajo. Efectue despues los calculos de la columna de la derecha empezando por abajo. Ciertos calculos ya han sido efectuados en el cuadro 12.19. Consulte ese cuadro para ahorrarse calculos inutiles.
239 ± 14 (0 238.9 ± 13)
dm
=
196.6
1
+ 284.7;::::
1
+ 2-=
238.9
ill
12.7 ;::::13 m
21Xl0-3 24Xl0-8 45 X 10-8 0.5
23.4
Rt
=
0.2 8.4
=
24 X 10-3
Ry = ---90 X 10-3
=
R.
= ---1.20 R _ 0.2 t 8.4 -
42 X 10-8 + 2 X X 24 X 10-8
=
+ ----
Aa
Ra _
0.05 42 X 10-8
Metodo diferencial
Si no ha aprendido a calcular la derivada de una funcion a si no contesta correctamente la pregunta que sigue, pase directamente al capitulo 14. Calcule la derivada de la funcwn y
=
a
X2~.
5x
Si h lla 5x2 + 6x - 5 2x(5x + 3) - (x2 a (5x + 3)2 a (5x + 3)2 otra manera, pase al capitulo 14.
+3
+ 1)5 '
,. 13.2. Las formulas de fisica expresan generalmente que una magnitud (G, par ejemplo) es una funcion de otras magnitudes (x, y y z, par ejemplo). Estas magnitudes x, y y z. .. son generalmente variables independientes y la funcion suele ser derivable entre los intervalos de variacion de las magnitudes x, y y z. Esta situacion se expresa resumidamente
par:
I
G
= f(x, y, z)
I;
f derivable; x, y y z independientes.
,. 13.3. Se llama derivada parcial de la tuncion t con respecto a x el resultado obtenido cuando se deriva la funcion f considerando a x como variable y alas demas magnitudes como constantes. ,. 13.4. La derivada parcial de la funcion f can respecto a x se designari . La derivada parcial de la funcion f con respecto a x se designani par f;.
,. 13.5.
f:
par f:.
significani modulo (valor absoluto) de la derivada parcial ae t con respeclo a x.
7
13.6.
si
I
Formula de la incertidumbre G = f (x, y, z)
I ;
<1P en P =
Determinemos
+ :f;!
<1y
FL cos a t
F
= 125 ± 2 N 72 ± 1
L
0
<1x
y si los
y muy inferiores alas medidas:
13.7. Para hallar la incertidumbre absoluta en el resultado de una expresion por el metodo diferencial, se aplica:
I ~G = :f:!
con el ccilculo diferencial se establece que:
si f es derivable, si x, y Y z son variables independientes,
errores son independientes
7
absoluta:
+ .. ·1
t
= 2.53 ± 0.01 m = 18.4 ± 0.2 s
r-------I
A. Calculo del primer producto: 1. Calculo de la derivada parcial Hf:" en relacion con la primera magnitud: derivese la expresion considerando la primera magnitud como variable y las demas como constantes. 2. Coloque barras de modulo a esta derivada parcial. 3. Multiplique por la incertidumbre absoluta de la primera magnitud: obtendra as! el primer producto:
1 L cos a 1----1 1 t
I
•..._----_ ...I
"-y-----J constante
p,
F
constante L cos a
=
~ ~ !1_Lco_tsa B. Galcule el segundo producto de igual manera:
P
__FL cos a t
~
(2)
= L· c
1e
considerando la segunF cos a
da magnitud como variable y las demas como constantes. Multiplique finalmente por la incertidumbre absoluta de la segunda magnitud.
t
C. Calcule el tercer producto:
[33
P
-= FL tcos a
=c
1e
•
cos a
P: = c (-sen a) 1e
Tercer producto:
I I
-FLtSen a •.• a A
\\
P=
FL cos a t
cte =t
te
c -FL cos a P't -- -t2 t2
Cuarto producto:
E. Se obtiene la expresi6n de la incertidumbre absoluta efectuando la suma de 10s productos obtenidos:
~P
= I L c:s a I Ai +
\-F\Sen
1. Haciendo positivas las expresiones colocadas entre las barras del m6dulo r suprimiendo estas.
No olvide que las incertidumbres absolutas de los angulos r 10s mismos angulos, si intervienen en las operaciones, deben expresarse en radianes.
~P
=
I ~t
+ \ F c~s a
I~L
+
a\ ~a
=
F, L, t, cos a (a sitivas, luego: F. Puede efectuar directamente el calculo numerico de la incertidumbre absoluta; pero se Ie ofrece la facilidad de preparar este calculo:
I-FLt~OS a
L cos a ~F
~P
=
t
+ FL ~p
~t
+
po-
+
F cos a ~L t
FL sen a
+{
+
72°) son magnitudes
t
+
I-FL ~os a I
(4)
~a
+
FL cos a t2
cosa (UF
+
F~L)
~t.
+
+ cos a ~t
[(sen a) ~a
]}
1
= -8 1 .4 {0.309 (2.53 X 2 + 125 X 0.01) +
+
125 X 2.53[ 0.951 X 0.017
+
0.309 X
X 1:.4 ]} ~P
1
= -18.4 [0.309 X 6.31 +
+
316.25 (0.0162
+ 0.00335)
]
= 0.309 X 6.31 + 3.16 X 1.96
=
= 0.44
18.4 G. Para inscribir el resultado, todavia que calcular el resultado promedio.
hay
(wats)
Para obtener el resultado, falta efectuar davia: Pm FL cos a 125 X 2.53 X cos 72
=
=
=
t
t
= 5.311 ('('vats) P
=
5.31 ± 0.45 wats. regIa
(7)8
to-
,. 13.8. Ejercicio: vamos a resolver el ejercicio todo diferencial. d
=
a
=
1 -at2 2 1.20 ± 0.05 m/s2
vot
+
12.21
Vo
=
23.4 ± 0.5 m.
t
=
8.4 ± 0.2 s.
Derivada parcial de d con respecto avo: d' = y()
---
Derivada parcial de d con respecto a a:
=
d'a
1 ~
-t-
2
---
d't
=
+
Vo
Id'al Sustituyamos las derivadas por sus valores: .Ad = t· .6.vo + .Aa + Sustituyamos
+ ( __ .Ad
= 4.2
7 13.9. D
1
+ 2 __
+
2
2
+
X 0.05
X 0.2
=
8.4
"
X 8.4) __
+ 1.76 + __
23.4
1.20
12.66 ;::; 12.7 m, ;::; 13 m.
0.2
33.5
y-z
Ejercicio:
= --y-x Z-x
Id'tl.At
1 t"' --
------
por los valores numericos:
.Ad = 8.4 X 0.5
at
--X
=
(z - x)~
Xm
Iy
Calcule la expresion
algebraica
D'= x -------
z- x
x-y
± .Ax I
de .AD.
-
zi .
(z - xf 1
(z - x)~
.Ax + ------.A iz - xl
D'= y ----------
+ jx_-_Y_I
Y+ .Az
(z - x)~
y-x y-z
-- -1 y-z
Z
Determine .AD =
la expresion
I
=
Zm
± .Az
algebraica
I
.Ax
I
x - z)",.Ay + I (y-z-
+ --Y-~
I (y -
de .6.D.
_
=
zf
.Az
1_1 I [.AX + I~I.AY y-z y-z +
I~ :/.Az}
Comparacion • •• y eJerclclos de revision
'7 14.1.
Disponemos de tres metodos para investigar la incertidumbre' absoluta en el resulta· do de una serie de operaciones. Los dos primeros son aplicables unicamente en el caso de que no haya compensaci6n de las incertidumbres en las operaciones, y ninguno de los tres es aplicable si los err ores estan ligados unos con otros.
'7 14.2.
EL M~TODO
DEL LIMITE laG
SUPERIOR
=
Gmh -
Gm
I
A. Este metodo exige pocos cilculos algebraicos y pocos cilculos numericos. De todas maneras, Gm debe ser calculado tan bien como 10 exige el hecho de que el metodo se reduce al cilculo de Gnulx y a una sustracci6n. B. Es aplicable alas logaritmos.
expresiones que contengan
C. Es particularmente cocientes y sumas.
recomendable
razones trigonometricas,
exponenciales
0
para las expresiones que contienen a la vez productos,
D. Es el metodo mas sencillo y mas seguro, con la condici6n de que no se cometa ningun error en el sentido de los terminos (crecimiento 0 decrecimiento). E. Si no se siente muy apto en algebra, aplique superior. ~ 14.3. EL M~TODO ku'xb nyczd
---
Si G
nX ± n'Y
134
POR REDUCCI6N
IR
Si G
de preferencia
G
= aRu + bRx + cRy + dRz
[AG ~
nAX
+ n'aY
I
I
el metodo
del limite
A. Este metodo se aplica 10 mismo alas expresiones directamente to que alas directamente asimilables a una suma. B. No es aplicable alas expresiones que contengan exponenciales. C. Frecuentemente exige mas calculos. D. Es interesante si la expresion bre relativa.
Si G = f(x, y, z)
I
~G;::: fix ~x
razones
trigonometricas,
tiene la forma de un producto
+
f; ~y
+
f: ~z
asimilables a un produc10garitmos 0
y si se busca la incertidum-
I
A. Proporciona la expresion algebraica de la incertidumbre absoluta del resultado en funcion de las incertidumbres absolutas de las magnitudes. B. Se aplica a expresiones de cualquier tipo (con tal de que sean derivables y de que los errores no esten ligados entre sf). C. Con frecuencia, exige dlculos algebraicos y calculos numericos mas largos. D. Contrariamente a los metodos precedentes, sigue siendo aplicable cuando la misma magnitud aparece a la vez en un termino de crecimiento y en uno de decrecimiento. , 14.5. Ejercicios:
g =
1.241 ± 0.002 m 2.240 ± 0.004 s.
41t2~
T2
Anote el resultado utilizando el metodo de su eleccion. Para ahorrarle a listed calculos: gm 9.764 m/s~
=
~fetodo por reduccion:
g
=
9.764 ± 0.051 m/s2
) 14.6. Efectue el ejemplo P
=
FLcosa t
Pmax =
F a
13.7 por el metodo del limite superior. 125 ± 2 N
= 72 ± lOt
L
2.53 ± 0.01 m
= 18.4 ± 0.2 s
FmAxLmax cas amrn _ 127 X 2.54 X cos 71 _ 5771 , 18 2 -. wa ts tmm
Pm = 5.31 wats ~P P 5.31 ± 0.47 wats
=
Rg = RL + 2RT RL;::: 1.6 X 10~ RT ;::: 1.8 X IO~1 Rg = 5.2 X 1~ ~g ;::: 9.8 X 5.2 X 10-a ;::: 51 X 10-3 ;::: 0.051 (0 9.76 ± 0.06 m/s2)
.
= 5.77 - 5.31 = 0.46 wats
'7 14.7.
He aqui 10s resultados de las mediciones de la masa y de las dimensiones de un solido paralelepipedo. Calcule su
,.
masa vo1umetnea P
m
3
= L. 1. h en gjem .
m = 88.3 88.4 88.4 88.5 L = 5.12 5.12 5.11 5.12 1 = 2.145 2.140 2.140 2.140 em, h = 1.030 1.035 1.035
88.4 88.4 88.3 88.5 88.4 88.5 g. 5.12 5.13 5.12 5.13 5.12 5.11 em, 2.145 2.145 2.140 2.135 2.135 2.145 1.025 1.025 1.030 1.030 1.035 1.025
1.030 em, 7.830 ± 0.088 gjem3 o 7.83 ± 0.09 gjem3 m
= Pm
III
88.41 ± 0.11 g 2.141 ± 0.006 em 88.4 5.12 X 2.141 X 1.030
= Imax
-
1m
5.12 ± 0.01 em 1.030 ± 0.005 em 88.52 5.11 X 2.135 X 1.025
L h PmAx
= 7.918 - 7.830 = 0.08 gjem3•
Otro metodo: reduecion.
14.8. Lea el apendiee 1, al final del libro, antes de efeetuar el siguiente ejercicio. Una esfera tiene un diametro de 4.58 ± ± 0.02 mm. 4 Calcule su volumen por la formula V 31tX3 4.188 790 ...
=
=
X3, en la que X es el radio y no el diametro de la esfera. Eseriba el resultado con la ineertidumbre absoluta. V
=
_
(X
D llD = 2' llX = -2-:
regIa 8.11 A
)
. ., . 'd 13 X lQ-3 X 4 0005 A proximaelOn permitl a ::::::: 10 :::::::. Coeficiente redondeado: 4.19 Vm
=
4.19 X 2.293
:::::::
50.318 mmS
llV ::::::: 50 X 13 X lQ-3 :::::::0.65 mms.
Por el metodo del limite superior: llV
= 50.98 - 50.32 :::::::0.66 mms.
Resumenes yapendices
Un volumen es una magnitud, mientras que la curiosidad no es una magnitud, porque no se puede medir la curiosidad, ni se Ie puede atribuir un numero.
(1)2.
A. Una medicion se realiza con ayuda de un instrumento que generalmente indi\ca un numero concreto (es decir, un numero acompafiado de una unidad). B. Este numero se llama medida bruta 0 indicaci6n del instrumento. \
El mercurio de un termometro se ha detenido frente a la graduacion 20 grad os Celsius. El numero concreto 20 grados Celsius se llama medida bruta de la temperatura.
(1)3.
Se dice que se efectua una serie de mediciones cuando se repite varias veces la misma medicion.
Si se repite diez veces la medicion de la temperatura de fusion de una muestra de naftalina, diremos que se efectua una serie de mediciones; pero no se dice tal cosa si se toma la tern· peratura de fusion de diez solidos diferentes. ,Es una longitud una magnitud? _ ,Es la belleza una magnitud? _ Un reloj indica 14 hr 18 min 32 seg. Este numero es la ________ de la hora. ,En cmil de los siguientes casos diremos que se efectua una serie de mediciones? A. Medir diez veces la duracion de la caida de una piedra que se suelta siempre desde la misma altura. B. Medir diez veces el tiempo que tarda en caer una piedra soltada desde diferentes alturas. ~ A/B/AB
Si
No
(1)4.
Los resultados de las mediciones, 0 sea las medidas, pueden quedar afectados de errores pOl' exceso (medida demasiado grande) o pOl' defecto (medida demasiado pequefia).
(1)5.
Si dos errores son ambos pOl' exceso 0 ambos pOl' defecto, se dice que tienen el mismo sentido.
Un reloj que se adelanta hace que se cometa un error pOl' _______ , en tanto que un reloj que se atrasa hace que se cometa un error pOl' . _ Estos dos errores tienen sentidos _
exceso defecto opuestos
(1)7.
Ciertos errores pueden valorizarse; se les llama errores apreciables. Hay dos clases de errores apreciables: las faltas de observacion y 10s errores sistematicos.
(1)8.
Las faltas de observacion: A. Son debidas a una desatencion del observador 0 a un incidente en la medicion (pOl' ejemplo, una aguja que se atora), B. Frecuentemente afectan solo a una medida de una serie.
(1)9.
Los errores sistematicos: A. Afectan a todas las medidas de una serie, B. Son debidos a un defecto del instrumento de medicion 0 al metodo de observacion, c. Se producen en el mismo sentido.
(1)10.
Si la misma falta de observacion se reprodujera se transformaria en error sistematico.
Cuando se confunde accidentalmente la de 10s minutos, se comete una
en todas las medidas de una serie,
la aguja de las horas con falta de observacion
Si se evalua la hora con un reloj que se atrasa, se comete un error que afecta _ exceso/defeCIO
Si en todas las mediciones de una serie de pesadas se confunden 10s decigramos con los centigTamos, se comete un _______________ ; si ocurre esta confusion
error sistematico £alta de observacion
Ciertos errores no pueden apreciarse porque son demasiado pequefios y porque no se reproducen regularmente de una medicion a otra. Se les llama errores fortuitos. Los errores fortuitos se deben a la inevitable imperfeccion de metodo de medicioQ y a los sentidos del observador. Los A. B. C.
105
instrumentos, al
errores fortuitos: Afectan a todas las medidas de una serie, Unas veces se producen en un sentido y otras en el otro, No tienen el mismo valor en cada medicion, de manera que las medidas resultantes de una serie son ligeramente distintas.
Cuando se mide con una regIa la longitud de un objeto, el traw "0" no coincide de manera absolutamente exacta con un borde de tal objeto, y el traw que se lee tampoco coincide con el otro borde del objeto. La coincidencia imperfecta puede deberse al grueso de los traws, por ejemplo. Ademas, la longitud de la regIa varia ligeramente con la temperatura. De una medicion a otra, el traw "0" y el traw leido caeran un poco delante 0 un poco detras de los bordes, la regIa se contraera 0 se dilatara ligeramente y, si las mediciones son bastante precisas, se obtendnin resultados 0 medidas ligeramente distintas de una medicion a otra. Cuando se pesa un objeto con una balanza sensible, se obtienen resultados que difieren entre SI en algunas decimas de miligramos. ,A que clase de errores se deben estas diferencias? _ ,Son necesariamente por exceso? _ ,Son necesariamente por defecto? _ ,Se producen: a) sobre determinada medida o b) sabre todas las medidas?
No No
(fienen el mismo valor en cada medida? ,Se pueden evaluar exactamente? . ,A que causas se pueden atribuir?
No
No _
A la imperfeccion de la ba~ lanza, al metodo de pesar y a los sentidos del observador.
A. Generalmente se pueden evitar 0 corregir los err ores apreciables (errores sistematicos y faltas de observacion). B. No se pueden evaluar exactamente, ni evitar, ni corregir los errort;s fortuitos.
El error del cera de un termometro puede ser evaluado y corregido (basta colocar el termometro en hielo en fusion), mientras que el error de coincidencia del trazo "0" de una regIa no puede evitarse totalmente ni corregirse. La correccion del error del cera de un termometro es una operacion que esta afectada pOl' errores fortuitos debidos a la imperfecta apreciacion de la coincidencia del mercurio con una graduacion. (1)15.
Una medida corregida: A. Es una medida de la que se han deducido los errores apreciables, B. Todavia queda afectada pOl' errores fortuitos, C. Con frecuencia se Ie llama medida (simplemente).
(1)16.
Una medida bruta: A. Es una medida no corregida, B. Esta afectada pOl' errores apreciables y pOl' errores fortuitos, C. Se Ie llama tam bien indicaci6n.
(1)17.
Una medida bien hecha es una medida ejecutada evitando los errores apreciables
.y corrigiendo los que no se han podido evitar.
(1)18.
Una medida precisa es el resultado de una medicion bien hecha, cuyos errores fortuitos se han reducido cuanto ha sido posible.
EI mercurio de un termometro se detiene en 83°C. Este numero es la medida _ En el hielo en fusion este termometro indica 2°C. tEsta la medida bruta 83°C afectada de error sistematico? ___ , tY de errores fortuitos? _ tEsta la medida corregida de 81°C afectada de errores fortuitos? _ tSe puede eliminar enteramente en marcha un cronometro? Si se ha realizado una medicion ni falta de observacion, se puede
el error cometido al poner _ sin come tel' error sistematico decir que esta medicion esta
Una pesada bien hecha, ejecutada con una balanza sensible calocada al abrigo de las corrientes de aire y reduciendo hasta dande es posible los rozamientos, produce una medida '*'
• Digamo5, para fijar las idel\s, que afiadir 0.1 mg a una masa de 5 g hace que la balanza oscile y quede inclinada.
A causa de los errores fortuitos (que no se pueden corregir ni eliminar), es imposible conocer el valor rigurosamente exacto de las magnitudes que se miden. La medida de una magnitud siempre esta afectada de incertidumbre. Se ha medido y determinado que en el aire seco a 0 °C, el sonido recorre 331 360 mm pOl' segundo. Este valor no es perfectamente exacto: a causa de los errores fortuitos en las medidas, la cifra de los milimetros no es conocida (se ha colocado un cera en su lugar que no es significativo). La distancia recorrida en un segundo pOl' el sonido, en aire seco a 0 °C, esta afectada de una incertidumbre que se refiere a la cifra de los milimetros.
Llamaremos enumeraci6n a: A. La acci6n de contar personas u objetos enteros, B. El resultado de esta acci6n. Una enumeraci6n tracci6n alguna.
permanece
constante si se repite varias veces la cuenta sin dis-
Contamos los alumnos de una clase y encontramos 28. Esta acci6n se llama enumeraci6n y su resultado (28) se conoce con el mismo nombre. Si varias veces se repite la cuenta de 10salum~ nos de esta clase, siempre se hallaran 28 (siempre que no se cometan faltas pOl' distracci6n). (1)23.
Las enumeraciones
generalmente
no estan afectadas de incertidumbre.
(1)24.
Los numeros fijados arbitrariamente
no estan afectados de incertidumbre.
El numero de alumnos de una clase no esta afectado de incertidumbre. El precio de un objeto (numero fijado arbitrariamente) no esta afectado de incertidumbre. Si usted cuenta el numero de monedas de un peso que lleva en el bolsillo, no efectua una medici6n, sino una _ __________ , Y si no comete ninguna falta de observaci6n (registrar mal su bolsillo), encontrarci, siempre que repita la acci6n, resultado. Tal numero igual/algo
__________
diferente
afectado de incertidumbre.
e.tara/ no e.tara
Fl maximo de puntos que se atribuye a una prueba c./no c.
un numero fijado arbitrariamente. incertidumbre. Consulte el cuadro 2.2.
afectado de E.ta/No
cd
(2)1.
Una serie ilimitada de medidas es la serie de medidas que se hubiera obtenido repitiendo un numero infinito de veces la medici6n de la misma magnitud, sin cometer ninguna falta de observaci6n ni error sistematico alguno.
(2)2.
Es imposible determinar el valor exacto de una magnitud, porque todas las mediciones estan afectadas de errores fortu itos que no se pueden evitar enteramente, ni evaluar, ni corregir.
(2)3.
Ninguna de las medidas obtenidas en una sene representa exacto de la magnitud medida.
con certeza el valor
Un gran nllmero de observadores mide la duraci6n de un acontecimiento con un cron6metro. Cada uno de ellos comete ligeros elTores al hacer arrancar y detener su cron6metro, porque los reflejos no son absolutamente inmediatos; cada cron6metro presenta pequefias irregularidades de funcionamiento, de manera que los resultados son ligeramente distintos y no se puede afirmar con certeza que un resultado, con preferencia a otro, sea el valor exacto de la duraci6n medida. Si se utilizara un instrumento y un sistema mas perfeccionados, se obtendrian resultados mas precisos, pero siempre afectados de errores; estos errores sedan menores y uno se aproximada mas al valor de la magnitud, pero tampoco se Ie conoceda exactamente.
Contemplando una avenida, estima usted que su longitud es de 2 km. Este numero de 2 km es un valor que atribuye usted a la longitud de esta avenida. (2)5.
Un VALOR POSIBLE de una magnitud do correctamente esta magnitud.
es un numero que se puede obtener midien-
Midiendo la velocidad del sonido en el agua a 15°C, sin cometer ningun error sistematico ni falta de observaci6n alguna, encuentra usted 1 477 m/s. Este ntlmero es un valor posible de la velocidad del sonido en el agua a 15°C. ,;
(2)6.
Es el conjunto de los numeros que se podrian obtener mitada de mediciones bien hechas de esta magnit-ud.
efectuando
una sene ili·
Supongamos que millones de experimentadores repiten millones de veces la evaluacion de la temperatura de fusion del cobre y que hallan as! una serie de numeros comprendidos entre 1 082.5 °C Y 1 083.5 DC, ambos incluidos. Estos nt'lmeros y todos los que estan com· prendidos entre estos limites constituyen el conjunto de los valores posibles de la tempe· ratura de fusion del cobre. (2)7.
El conjunto de valores posibles tiene por limites: A. Inferior: el menor valor posible, B. Superior: el mayor valor posible.
En el ejemplo precedente, los limites de los valores posibles son 1 082.5 °C (limite inferior) y 1 083.5 °C (limite superior); el menor valor posible de la temperatura de fusion del cobre es el limite inferior (1 082.5 0C) Y el mayor valor posible es el limite superior (1 083.5 0C). Millones de observadores repiten millones de veces la medicion del tiempo que tarda en Huir un liquido por un tuba de vidrio; suponemos que ninguno ha cometido error sistematico alguno ni falta de observacion. ,Encuentran todos exactamente el mismo numero? ,Por que? ~,
o
_
regIa (2)2'
,Puede uno de estos numeros ser designado can certeza como el valor exacto de la duracion medida? ---Cada numero hallado se llama ------------de la magnitud. rogla (2)4 Supongamos que los resultados esten todos comprendidos entIe 36.2 s (incluido) y 36.8 s (incluido) y que esta serie muy grande de medidas se puede asimilar a una serie ilimitada de medidas. 36.2 s es el
(2)8.
a causa de 105 errores fortuitos
No valor posible
El VALOR PROl\1EDIO de una magnitud es el promedio aritmetico de todos los numeros obtenidos al efectuar una gran serie de mediciones desprovistas de errores sistematicos y de faltas de observacion (en principio, esta serie de mediciones de. berfa ser ilimitada).
Si se ~alcula el promedio aritmeticv. de los millones de resultados obtenidos por millones de expenmentadores que han determmado la temperatura de fusion del cobre, se hallara 1083.5 DC. Este numero es el valor promedio de la temperatura de fusion del cobre.
(2)9.
En una serie ilimitada de medidas desprovistas de error sistematico, el limite superior de los valores posibles se desvfa tanto del promedio aritmetico de las medidas como del limite inferior.
Asf, en la medida de la temperatura 1 082.5 limite inferior
de fusion del cobre: 1 083 promedio
1 083.5 °e limite superior
el limite inferior se aparta en 0.5 °e del promedio y el limite superior tambien. En la pnktica, para que esta igualdad se realice, hay que efectuar un gran numero de mediciones afectadas solamente por errores fortuitos independientes los un os de los otros, y que no muestren mas tendencia a producirse en un sentido que en el otro. Se llama incertidumbre absoluta al numero que hay que afiadir lor promedio para obtener cada limite de los valores posibles.
0
restar al va-
En el ejemplo de la temperatura de fusion del cobre, si se afiade 0.5 al valor promedio (l 083), se hallad uno de los valores extremos (l 083.5), Y si se resta 0.5 se hallad el otro valor extremo (1 082.5). La incertidumbre absoluta es 0.5. En una serie ilimitada de medidas, el valor exacto esta comprendido dos limites: valor incertidumbre absoluta y valor + incertidumbre absoluta
entre los
En la medicion de la temperatura de fusion del cobre, el valor promedio fue igual a 1 083 °e y la incertidumbre absoluta fue igual a 0.5 °e. Se puede decir que el valor real de la temperatura de fusion del cobre est
El promedio aritmetico de todos los resultados obtenidos es 36.5 s. Si se consideran estas medidas como las de una serie ilimitada, el valor promedio de la duracion medida es ; los regIa
limites son
y reilla
(2)7'
luta vale
; la incertidumbre regIa
abso-
36.2 s
36.8 s
(2)7
s y la duracion
medida esta ciertamente
reilla (2) 10
comprendida entre
36.5 s
(2)8'
s y
s.
0.3
Ejercicio. Una serie muy grande de mediciones de una longitud da resultados cuyo promedio aritmetico es igual a 326 mm. Si la incertidumbre absoluta es igual a 2 mm, los limites de los valores posibles son ,."1..<1 Y 31 mm. regia
(2) 10
regia
(2) 10
Llamaremos SERlE NORMAL DE MEDIDAS al conjunto de numeros obtenidos al medir una magnitud: • Sin cometer errores sistematicos (0 corrigiendolos), y • Repitiendo la medici6n numerosas veces (por 10 menos diez) .
Se mide diez veces la temperatura de ebullici6n del alcohol etilico, corrigiendo el error del cero y el error de la columna emergente del term6metro. Se hallan los numeros siguientes:
El conjunto de estos numeros constituye una serie normal de medidas y cada uno de ellos se llama medida.
Las medidas de una sene normal: • Estan afectadas de errores fortuitos, • Son ligeramente diferentes unas de otras, y • Todas son valores posibles de la magnitud. En el ejemplo precedente (temperatura de ebullici6n del alcohol), las medidas son ligeramente distintas (76.4, 76.5 0 76.6 0q, porque estan afectadas de errores fortuitos; 76.4, 76.5 y 76.6 °C son valores posibles de la temperatura de ebullici6n del alcohol etilico.
En una serie normal de medidas, es posible, pero poco probable, que una medida suplementaria de un resultado superior a la medida mayor, 0 inferior a la menor. En el ejemplo de la temperatura de ebullici6n del alcohol, se han obtenido diez medidas; de ellas, la menor es 76.4 °C Y la mayor 76.6 °C. Si se efectua una undecima medici6n, es posible que se halle un resultado superior a 76.6 °C 0 inferior a 76.4 °C; pero esta eventualidad es poco probable.
En A. B. C. D
una serie normal de medidas, hay muchas probabilidades de que: Los errores por exceso se;:ln casi tan numerosos como 10s errnrps por de£ecto, Los errores por exceso sean tan grandes como los errores por de£ecto, Los errores pOl' exceso compensen aproximadamente los errores por defecto, El valor real sea bastante proximo al promedio aritmetico de las medidas.
(2)17.
Estas reglas -(2) 16- se verifiean mejor' cuando las medidas son numerosas.
(2)18.
El promedio aritmetico de las medidas de una serie normal: A. Es el valor que representa mejor el resultado de la medicion, B. Pero no es necesariamente el valor real.
El valor que mejor representa el resultado de la medicion de la temperatura de ebullicion del alcohol es el promedio aritmetico de las medidas, 0 sea 76.5 DC,10 que no significa que la temperatura de ebullicion del alcohol sea efectivamente 76.5 DC. Ello solamente quiere' decir que tal temperatura tiene mas probabilidades de estar proxima a 76.5 DC que cualquier otro valor.
Ejercicio. Para que determinadas medidas formen una serie normal, deben cumplir dos condiciones: deben ser _ ----------
y ---------------
numerosas exentas de error sistematico
En una serie normal de medidas: a) Una medida suplementaria, ,puede ser superior a la mayor medida hallada 0 inferior a la mas pequefia? b) ,ElIo es probable? _ C) ,Cual es el valor que representa meJor al valor real?
Sf
No el pTomedio aritmetico (de las medidas)
No
En 10 que sigue, el termino abreviado PROMEDIO designara al promedio aritmetieo de las medidas de una serie normal. El promedio debe ser redondeado: A. AI mismo orden que la ultima cifra significativa de las medidas de la serie, 0 B. Si se juzga necesario, al orden siguente. He aquf algunas medidas de una serie normal: 12.45 12.47 el promedio de las medidas de la serie es: 12.463215 ... debe redondearse a: 12.46 0, si se juzga necesario, a: 12.463
(2)21. Para hallar el promedio aritmetico de una serie de medidas, es preClso:
Ejemplo: Calcule el promedio de las medidas siguientes: 23.4 23.3 23.4 23.5 23.2 s
A. Sumar todas las medidas,
23.4
+ 23.3 + 23.4 + 23.5 + 23.2
116.8
5
5 B. Dividir la suma entre el numero de medidas.
(2)22. Metodo abreviado para calcular el promedio de una serie de medidas.
Ejemplo: Calcule el promedio de las cinco medidas siguientes: 23.4 23.3 23.4 23.5 23.2 s.
A. Escoja un numero redondo vecino de la medida mas pequefia e inferior 0 igual a ella.
A. La menor medida es: 23.2. Numero redondo vecino inferior:
C. Calcule el exceso de cada numero sobre la base. Exceso = medida - base.
C. 23.4 23.3 23.4 -
E. Dividalo entre el numero das; obtendra as! el EXCESO
E.
de mediPROMEDIO.
F. Afiada usted el exceso promedio a la base; obtendra as! el promedio aritmetico.
F.
23 23 23
=
23.5 23.2 -
N umero de medidas: 5 Exceso promedio = 1.8 : 5 Promedio aritmetico: 23 + 0.36 = 23.36
G. Redondee al orden de la ultima cifra de las medidas (0 eventualmente al orden siguiente). Hay que redondear optirnamente. E.ierddo. He aqu! una serie normal de medidas de una duradon: 84.3 84.5 84.3 84.2 84.2 84.5 84.4 84.4 84.5 84.4 s. Calcule el promedio y redondeelo correctamente. Promedio ::::; Conslllte el cuadro 3.3.
0.4 0.3 0.4.
23 23
= 0.36
23.
He aqui una serie normal de medidas de una distancia que servira de ejemplo en el resto de este resumen: 1 10 Promedio Numero de las medidas: 4 5 6 8 9 3 7 2 472 474 470 473 472 475 474 475 471 475 km 473 km Medidas:
(3)1. Se llama separaci6n el promedio.
0
desviaci6n de una medida
I DESVIACI6N= medida En la anterior (ki16metros).
serie de medidas,
La desviaci6n dida.
(3)2.
la desviaci6n
es un numero
concreto
-
a la diferencia
entre
esta medida
y
promedio·1
de la sexta medida es igual a 475 -
expresado
en la misma unidad
473
2
que la me-
En el ejemplo que estamos utilizando, la desviaci6n de la sexta medida es positiva (2 km), la de la cuarta vale 473 - 473; por tanto, es nula, mientras que la desviaci6n de la primera medida vale 472 - 473 = -1 km.
En el ejemplo repetido, la desviaci6n absoluta de la primera medida vale: Desviaci6n absoluta 1472 km - 473 kml 1 km
=
:Ejercicio. En la serie de medidas que encabeza este resumen, la desviaci6n de la tercera medida vale - •.. \~"'" Y su desviaci6n absoluta es igual a '" En esta serie de medidas, las desviaciones absolutas de la cuar· ta y de la sexta medidas son respectivamente: 'J .•. Y t\y>
7...
=
(3)5.
En una serie normal de medidas, se puede estimar razonablemente la incertidumbre absoluta por el numero que hay que afiadir 0 res tar al promedio para hallar la medida que mas se desvia de ella.
Asi, en la serie de medidas colocada al principio de este resumen, el promedio es 473 km, y, de todas las medidas, la que mas se desvia de ella es la tercera: 470 km. Hay que afiadir 3 km a esta medida para obtener el promedio; la incertidumbre absoluta puede ser estimada en 3 km.
incertidumbre Medidas: Desviaciones absolutas:
absoluta
;:::;:mayor desviacion absoluta de la serie
472 474 470 473 472 475
,
1
I
1 I 3
o I
1 "
2
474 475 471 475 km 1
I
2
Promedio
2 I 2 km.,
La mayor desviacion absoluta es de 3 km; se puede estimar que 1a incertidumbre es aproximadamente igual a 3 km.
(3)7.
La incertidumbre A. Es un m\mero B.
Es un numero
473 km
absoluta
absoluta aritmetico
(es decir, positivo),
concreto (es decir, acompafiado de una unidad),
C. Esta expresada en la misma unidad que las medidas y que el promedio, y D. Debe ser redondeada
a una
0
dos cifras significativas.
En el ejemplo precedente, la incertidumbre absoluta es de 3 km; 3 km es un numero positivo y un numero concreto cuya unidad es el km, porque las medidas y el promedio estan expresados en km. La incertidumbre absoluta tiene solo una cifra significativa: 3. Ejercicio. En una serie normal de medidas, las desviaciones son -0.1 -0.2 -0.3 0 0.01 0.02 s. La incertidumbre absoluta puede estimarse igual a _ Consulte la tabla I, al principio del libro. En esta serie de medidas, la incertidumbre
Si ha colltestado: -0.3 s. rclca las rcgIns (3)6 y (3)7 A: 0.3 0 -0.3, relca Ja regIa (3)7 Bye.
absoluta
vale:
w,
Despues de un calculo, se encuentra que la incertidumbre absoluta de un volumen vale: 432.147 cm3. Este numero debe ser redondeado a _-'-'-_-'-~ __
(3)8.
Para determinar la incertidumbre absoluta en una serie normal de medidas:
,emu
es la incertidumbre absoluta en la serie de medidas siguientes? 432 437 430 433 435 434 m 435 437 433 434 436 m
A. Calcule el promedio aritmetico, B. Redondeelo al orden de la ultima cifra significativa de las medidas (0 al orden siguiente), La menor medida: 430 m. La mayor medida: 437 m. D. Calcule la desviacion absoluta de cada una de estas dos medidas,
Desviaciones absolutas: 430 m - 434 m == 4 m. 437 m - 434 m = 3 m.
E. La incertidumbre absoluta es igual a la mayor de esas desviaciones (0 alas dos separaciones si son iguales), F.
iNo olvide la unidad!
Consulte la tabla 9, en las primeras paginas, y siga la regIa (3)8 para calcular la incertidumbre absoluta de la temperatura de fusion del alcanfor. Incertidumbre absoluta (\,~ 0c-
0.3 DC Explica£ion: A: 166.58 ·C.-B: 166.6 ·C.-C: 166.3 y 166.8 ·C.-1): 0.3 y 0.2 ·C.-Et 0.3 ·C.
Asi, el result ado de la medida de la temperatura de fusiop del alcanfor se expresara: 166.6 ± 0.3 DC De igual manera, el resultado de la serie de medidas colocada encabezando este resumen (promedio: 473 km, incertidumbre absoluta: 3 km) sera: 473 ± 3 km. (3)10.
A. B.
Esta notacion significa que la magnitud medida: Esta mejor representada pOl' el promedio (pero no es necesariamente igual a este); Esta comprendida, casi seguramente, entr.e los dos valores siguientes: "promedio
+
incertidumbre"
y "promedio - incertidumbre".
Decir que la temperatura de fusion del alcanfor es igual a 166.6 ± 0.3 DC significa que esta temperatura esta inmejorablemente representada pOl' el valor 166.6 °C Y que casi de seguro esta comprendida entre 166.3 DC Y 166.9 °C.
(3)11.
Para escribir el resultado de una serie normal de medidas:
Resultado de la serie de medidas: 324 322 324 324 323 324 325 324 323 325 m.
B. Redondeelo al orden de la ultima cifra significativa de las medidas (0 al orden siguiente), C. Determine la incertidumbre (regIa (3)8 CDE),
absoluta
D. Escriba: Resultado = promedio ± incertidumbre absoluta,
~jercicio. He aqui una serie normal de mediciones de la temperatura de fusion de la sal comun:
"El resultado de estas mediciones se escribira de la manera siguiente: 10 que significa que el valor que mejor representa la temperatura de fusion de la sal comun es y que esta medida esta casi seguramente comprendida entre y----Consulie el
(4)1.
cuad1"o
801°C 799 °C 803°C
4.5.
La incertidumbre absoluta de una magnitud se representa magnitud precedido del signo "a", que se lee delta.
por el simbolo de esta
La incertidumbre absoluta de la longitud L tiene por simbolo aL. av se lee delta uve y representa la incertidumbre absoluta de la magnitud v.
(4)2.
•
El promedio aritmetieo de una serie de medidas se representa por el simbolo de la magnitud mroida (por ejemplo, G) afeetado de la minuseula m eoloeada como subindiee (por ejemplo, Gm).
Promedio aritmetieo de una serie de medidas de una temperatura: tm. Promedio aritmetico de una serie de medidas de una superfieie: Sm' (4)3.
EI resultado de una serie de medidas se representa por el simbolo del promedio y el simbolo de la ineertidumbre absoluta, separados por el signo ±.
Resultado Resultado
de una sene de medidas de una temperatura: tm ±' at. de una sene de medidas de un peso: Pm ± aP.
Ejercicio. Si se mide un volumen V, el simbolo de la ineertidumbre absoluta sed, , el del promedio de las medidas sera y el resultado estara representado por Cuando se mide una magnitud eualquiera G, la ineertidumbIe absoluta se representa por , el promedio de las medidas por y el resultado por _
(4)4.
EI LiMITE SUPERIOR del resultado de una serie de medidas: A. Es, por definicion, el promedio aumentado de la ineertidumbre absoluta, y B. Tiene por simbolo el de la magnitud, afeetado del subindiee "max".
Resultado de una serie de medidas de un volumen: 736 ± 2 em3• Limite superior del resultado: Vmh = 738 ema (es deeir, 736 + 2 em:!). (4)5.
EI LIMITE INFERIOR del resultado de una serie de medidas: A. Es, por definicion, el promedio disminuido de la ineertidumbre absoluta, y B. Tiene por simbolo el de la magnitud, afeetado del subindiee "min".
El resultado de una serie de medidas de un volumen: V = 736 + 2 em3. Limite inferior del resultado: Vmin= 734 em:! (es deeir, 736 - 2 em3).
(4)6.
En resumen, si G es el simbolo de una magnitud que se esta midiendo: A. EI limite inferior del resultado es Gmin Gm aG, B. EI limite superior del resultado es '= Gm:lx = Gm + aGo
(4)7.
Para hallar la ineertidumbre absoluta cuando se eonace el promedio y uno de los limites del resultado, basta restarlos:
I
aG
=
Gmax
~
Gm
I I
aG
=
Gro -
GroIn
I
Por ejeIhplo, si el limite superior del resultado de la determinacion de un volumen es 264 emS y el promedio 261 ems, la ineertidumbre absoluta vale 264 - 261 = 3 emS. Si la determinacion de una velocidad da como promedio 4.68 m/s y por limite inferior 4.63 m/s, la ineertidumbre absoluta vale 4.68 - 4.63 = 0.5 m/s. Ejercicio: Resultado de una serie de medieiones de una temperatura: 265 ± 3 ce. Limite inferior: . Limite superior: Resultado de una serie de medieiones de una altura: H = 47.3 ± 0.2 mm. Hmln = . Hmilx = Si un peso tiene par simbolo P, el simbolo del limite inferior d,el resultado sera y el del limite superior ,. Promedio de una serie de determinaciones de un area: 536 em2• Limite superior del resultado: 540 emll• Ineertidumbre absoluta: __ ' _ Promedio de una serie de determinaeiones de un volumen: .... 428 em3. Limite inferior del resultado: 425 em3. Ineertidumbre absoluta . Resultado: _
(4)8.
Se llama INTERVALO DE CONFIANZA al eonjunto de valores eomprendidos limite inferior del resultado y su limite superior (ambos incluidos).
Resultado de la medieion de una temperatura: 78.5 ± 1 ce. Los limites del resultado son: 77.5 y 79.5 ce. El intervalo de confianza es el eonjunto de valores eomprendidos
entre el
entre 77.5 y 79.5
cc.
Se expresa el intervalo de eonfianza con la notaeion siguiente: {Limite inferior del resultado. . . Limite superior del resultado
En una serie normal de medidas, el intervalo de eonfianza eonstituye una buena estimacion del eonjunto de los valores posibles.
(4)11. Esto equivale a admitir que, en una serie normal de medidas: A. Practicamente todos los valores posibles de la magnitud y, en particular, el valor real, estan comprendidos entre los !imites del resultado (ambos induidos); B. Los !imites del resultado son aproximadamente iguales a los de los valores posibles. Conjunto de valores posibles ~ {Limite inferior del result ado ... resultado U nidad}.
Limite superior del
Nota: La expresion intervalo de confianza esta consagrada por el uso; pero no se trata exactamente de un intervalo en el sentido matematico del termino, porque no contiene necesariamente todos los numeros comprendidos entre los !imites.
Ejercicio.
Resultado de una serie normal de mediciones: S
=
985 ± 4 mm2 Smax=
Smin= Intervalo de confianza Conjunto de los valores posibles ~ La magnitud S esta comprendida,
=
_
casi seguramente,
entre
----y---------
Llamaremos extension tes del resultado: Gmax
del intervalo -
de confianza
981 mm2 989 mm2 { 981 989mm2} {981 989mm2} 981 mm2 y 989 mm2 induid
a la diferencia entre los !imi-
Gmin'
Lmin = 435 mm. 4 mm.
Ejemplo: L = 437 ± 2 mm Lm,h = 439 mm Extension del intervalo de confianza: 439 - 435
A. La extension del intervalo de confianza es igual al doble de la incerti.dumbre absoluta, B. Inversamente, la incertidumbre absoluta es igual a la mitad de la extension Gmax - Gmin del intervalo de confianza: aG
= ------2
Ejemplos: A. L = 437 ± 2 mm d
236 - 230
= ----
2
= 3 km.
Ejercicio. Ineertidumbre absoluta: 4 m/s. Extension del intervalo de eonfianza: Limites del resultado: Vmin = 636 em3• Vm~x Extension del interval0 de confianza: ilV = ' Resultado = V =
._ 640 em3• _ 5i tiene
(4)14.
4 em3 638
2 cmll
dificultad,
± 2 em3
lea la nota
(4) 15.
Si se efeetua una serie de mediciones de una magnitud G, se notara el promedio de las medidas: Gm; la ineertidumbre absoluta: ilG; el resultado de la medida: Gm ± AG; el limite inferior del resultado: Gmln; el limite superior del resultado: Gmax; el intervalo de confianza: { Gm'n . , , Gmh unidad }.
Ejercicio: Temperatura de fusion del oro: t = 1 062 ± 1°C. Si se designa esta temperatura por la letra t; I 062 °C sera designada por ,1°C por 1061 °C por . y 1063 °C por _ E J intervalo de confianza es
(4)15.
_ _
tm tmtn
At tmw.
{ 1 061 .. , 1 063 °C} o { tmin ' .. tmax °C }
Nota opcional: Para hallar el promedio cuando se eonoeen 10s limites del resultado: A. Calcule la extension del intervalo de eonfianza (reste 10s limites), B. Determine la ineertidumbre absoluta (dividida entre 2), y C. Afiada la ineertidumbre absoluta al limite inferior.
IGUALDAD
(5)1.
SERIES DE MEDICIONES IGUALES, ENTRE LOS LiMITES DE LAS INCERTIDUMBRES
El UMBAAL DE INDICACION de un instrumento de medici6n es la menor cantidad que hay que afiadir a la magnitud medida para que el instrumento de una indicaci6n diferente.
Supongamos que un objeto colocado en un platillo de una balanza queda 143.5 g en el otro platillo. Afiadamos al objeto 0.1 g: la balanza no se mueve; tampoco se mueve; afiadamos ahora 0.3 g; la aguja se mueve ligeramente, equilibrio es diferente. El umbra 1 de indicaci6n de la balanza utilizada es (5)2.
equilibrado por afiadamos 0.2 g, la posici6n de 0.3 g.
A. Cuando se efectua una serie de mediciones, a veces ocurre que se halla una serie de numeros iguales. B. Ello se produce cuando las mediciones 0 el instrumento son poco precisos.
Si mide diez \'eces con una regIa graduada, con precisi6n de un milimetro, la longitud del siguiente segmento de recta: encontrani, si no comete ninguna falta de observaci6n, diez veces el mismo numero: 59 mm. (5)3.
En una serie normal de mediciones iguales, se debe tomar como incertidumbre soluta el umbral de indicaci6n del instrumento utilizado.
ab-
Supongamos que se repite diez veces la pesada de un objeto y que siempre se halla 143.5 g; supongamos tam bien que el umbral de indicaci6n de la balanza cuando se efectua esta pesada es de 0.3 g (ver ejemplo (5)1). La incertidumbre absoluta de la pesada es 0.3 g Y el resultado sera 143.5 ± 0.3 g. Supongamos que se repite diez veces la medici6n de la temperatura de ebullici6n de la acetona y que se encuentra cada vez 56.5 °C; supongamos tam bien que se ha empleado un term6metro en el que e1 nivel del mercurio no cambia de manera apreciable, sino con una variaci6n de temperatura por 10 menos de 0.5 °C. La incertidumbre absoluta de la medida es 0.5 °C Y el resultado de esta medici6n es 56.5 ± 0.5 °C. (5)4.
Si con un instrumento provisto de una • usted obtiene una serie de medidas • si no trat6 de leer entre las division la incertidumbre absoluta es igual
graduaci6n: iguales, y es, al valor de media divisi6n.
*
Si ha medido diez veces la longitud de un segmento de recta con una regIa graduada en milimetros y si ha hallado cada vez 65 mm sin haber tratado de leer entre las divisiones, la incertidumbre absoluta es igual a la mitad de 1 mm (valor del intervalo entre 2 divisiones sucesivas), 0 sea, 0.5 mm. El resultado de la medicion es: 65 ± 0.5 mm. Ejercicio: Se mide diez veces la temperatura de fusion de la urea con un termometro graduado de grado C en grado C y se halla en cada caso 133 DC (sin tratar de apreciar la posicion eventual del mercurio entre dos divisiones). Incertidumbre absoluta: _ Resultado: _ Diez observadores leen 10 h 24 mm en un reloj exacto, gra· duado en minutos. Resultado: _
IGUALDAD
DE DOS MAGNITUDES
Se dice Clue dor. serier. de numeros de encont.TaT u.n ml.r.mo numeTo
AFECTADAS
0.5 DC 133 ± 0.5 °C
DE INCERTIDUMBRE
tienen por lo menos en
f
un
valor comtin
si se pue-
ambar. se-r'les.
4, 3, 5, 7 y 8, 5, 6, 9 tienen un valor comun porque se puede encontrar el mismo numero 5 en las dos series. (5)6.
Dos resultados de mediciones son iguales dentro de los limites de las incertidumbres si sus intervalos de confianza tienen por 10 menos un valor comun.
Resultados a comparar 23 ± y 24 ± 93 ± y 97 ±
1 1 2 1
Intervalos de confianza { 22 ... { 23 ... {9l ... { 96 ...
mm mm DC DC
24 mm } 25 mm} 95 DC} 98 DC}
Valores comunes
Igualdad dentro de los limites de las incertid urnbres
23 ... 24 mm
Si
ninguno
No
Opcional: Si nunca ha estudiado los conjuntos) pase directamente a la La regIa (5)6 equivale a decir que dos resultados de mediciones son iguales limites de las incertidumbres si, y solamente si, sus intervalos de confianza terseccion que no sea nula. G ::::::G' si, y solamente si, { Gmin... Grnax} n {Gmin ... Grnax} ¢
(5)7.
regIa (5) 8. dentro de los tienen una in0.,
Si dos resultados de mediciones son iguales dentro de los limites de las incertidumbres, el promedio menor (Gm) aumentado de las dos incertidumbres (.
(5)8.
Si
I G ::::::G' I
y G' m
~
Gm,
j Gm + .
G'm
I
Hemos visto que 23 ± 1 mm y 24 ± 1 mm son iguales entre los limites de las incertidumbres. 23 + 1 + 1 ~ 24.
(5)9. Para determinar r
c.
Compare esta suma con el promedio mayor:
S1
es • superior 0 igual, 10s resultados son iguales, • inferior, rentes.
La suma (66) es superior al promedio mayor; 10s resultados son, pues, iguales entre 10s Iimites de las incertidumbres de medida.
10s resultados son dife-
Ejercicios:
He aqui dos resultados de mediciones: 79 ± 2 km y 82 ± 2 km. Escriba sus intervalos de confianza: -------
{ 77 . . . 81 km} { 80 . . . 84 km}
y --------
,Tienen estos intervalos de confianza por 10 menos un valor comun? , ,cual 0 cuales? ,.
Sf
Por tanto, 10s dos resultados son 10s Iimites de las
iguales incertid urnbres
entre de medida.
,
80 ...
81
Determine si 5.79 ± 0.03 mm ;:::::5.83 ± 0.02 mm entre 10s Ii-I mites de las incertidumbres. Promedio menor: Afiada las incertidumbres
_ absolutas:
5.79 (mm) 5;79
+ 0.03 + 0.02
=
5.84mm
WI
5.83
Promedio mayor: Conclusion: resultados
iguales igua!es/diferentes
Determine si 67.8 ± 0.2 ;:::::68.2 ± 0.2 s entre 10s limites de las incertidumbres. Respuesta: '
(suma
superior
al promedio
.mayor)
(6)1.
La incertidumbre absoluta no es suficiente para evaluar la precision de una medida; por ejemplo, una incertidumbre absoluta de I mm en una longitud de 35 mm representa una escasa precision; la misma incertidumbre absoluta (I mm) en una longitud de 100 km representa una precision muy grande.
(6)2.
Se llama incertidumbre relativa de una medida al cociente de la incertidumbre absoluta dividida entre el promedio.
Longitud:
35 ± I mm. Incertidumbre
Duracion:
20 ± 2 s. Incertidumbre
(6)3.
relativa:
(= 0.029).
re1ativa
Designaremos a la incertidumbre magnitud G por el simbolo RG•
lncertidumbre Incertidumbre
I
35
relativa
_
2
2000.1
de una
relativa de una longitud L relativa de un volumen V:
(6)4. En resumen, si la medida de una magnitud G da como resultado G = Gm ± ~G, la incertidumbre relativa RG vale:
Rv
~v
= --
"
m
(6)5.
La incertidumbre relativa es un numero o sea, un numero sin unidad.
0.3 1452.4 abstracto,
TECNICA DE CALCULO RELATIVAS
(6)6.
t
d
(6)7.
DE LAS INCERTIDUMBRES
Cuando se calcula una incertidumbre relativa, hay que detenerse siempre en la segunda cifra significativa. 35.2 ± 0.5 s
Rt
;:::::
60 ± 2 m
Rd
-
0.5 35.2
--
2 60
Generalmente es practico: • Expresar la incertidumbre factor 1
-
0.014 (y no 0.014205) 0.033 y no 0.03333 ...
relativa con ayuda del
• Leer este factor: milesima (s). Fs practico expresar la incertidumbre relativa 0.024 de la ma· nera siguiente: 24 X I
Para hallar la incertidumbre milesimas:
A. B.
Multiplique la incertidumbre absoluta por 1 000, Divida entre el promedio de las medidas (detengase en dos cifras significativas), y Afiada el factor 1
C.
Ejercicio.
G
= 257.5 ± 0.8
relativa
257.5
(C) RG
poner
en
;:::::
--_
la regIa (6)8 bajo la forma de una
RG = _I_O_OO_A_G_X 1
ptomedio
Ejemplo: G = 187 ± 4 s RG =? 4 X 1 000 = 4 000 4000 _ 21 187 RG;:::::
21 X 10"""
0.8 X 1 000 800
(A) __ (B) ---;:::::
(6)9. Se puede formula:
expresada
1
= 800
Por ejemplo, si G
= 376 ± 2 s, AG = 2 s, Gm = 376 s
1000 x 2 X 10-3 :::::5.3 RG :;;::---376 75.0 ± 0.3 mm, AG
X
10-3
=
_
0.3mm 75 mm
Gm = -------
De dos medidas, pequefia.
la mas precisa es aquella
A
He aqui dos medidas: Sus incertidumbres relativas son: La medida cuya incertidumbre la mas precisa.
= 187 ± 4
Calcule primero relativa,
relativa
la incertidumbre
,Cual de las dos medidas
= 512 ± 4 mg 1\1 = 1234 ± 7 g Respuesta = M.
In
m/M
B
s
es mas
= 376 ± 2 s 5.3 X I~
es menor es la medida B: por tanto, la medida B es
Designe como medida mas precisa aquella cuya incertidumbre relativa sea mas pequefia.
Ejerddo. cisa?
relativa
21 X l
Para decidir cual de dos medidas es la mas precisa:
A.
cuya incertidumbre
siguientes
cCual de las medidas precisa? L = 27.2 ± 0.1 mm RL
=
R'-L
-
RL
:::::
0.1 X 1000 27.2 3 X 1000 412 3.7 X 10-3
siguientes L'
es la mas
= 412 ± 3 m
X l
:::::
7.3 X 10-3
La medida L es la mas precisa: (porque 3.7 X l
es la mas preRm RM
::::: :::::
7.8 X 10-3 5.7 X 10-3 1\1
A.
Comprendida rriente.
entre
1 y 50 miIesimas: medida co-
B.
Inferior a 1 milesima: medida precisa.
Co
Superior a 50 milesimas: medida rudimentaria.
Medida
Resultado
Incertidumbre relativa
Duracion
3 ± 0.2 s
67 X 1()-'l
Velocidad del sonido
331.36 ± 0.02 m/s 0.061 X 10-3
Temperatura
78.5 ± 0.2 °C
2.5 X 10-a
Masa de un objeto
168 ± 1 g
6 X 10-a
Medida rudimentaria Medida precis a (0 muy precisa) Medida corriente Medida corriente
Profundidad de un pozo
35 ± 5 m
Longitud
127.53 ± 0.02 m 0.16 X 1()-'l
140 X 10-a
Medida rudimentaria Medida precisa
(6)13. Nota opcional. Se expresa a veces la incertidumbre relativa en porcentaje; vale, por definicion, 100 veces la incertidumbre relativa.
0.054 21 X 1O-a(= 0.0021) 0.014
5.4% 2.1%
el porcentaje
de incertidumbre
A veces ocurre que se conoce el promedio y la incertidumbre fianza y que hay que calcular la incertidumbre absoluta.
La incertidumbre relativa.
(7)1.
(7)2.
En una formula:
relativa
0
el intervalo de con-
absoluta es igual al producto del promedio pOl' la incertidumbre
I ~G =
R.<; .
Gm·1
As!, si el promedio de las medidas de una longitud es igual a 25 mm y si la incertidumbre relativa es 0.02, se puede calcular que la ineertidumbre absoluta es igual a 0.02 X 25 =
IR I
= 0.5 mm.
G
En la practiea, para hallar la intertidumbre absoluta a partir de la ineertidumbre relativa:
Ejemplo: CaIcule la ineertidumbre absoluta de una longitud de 126.5 mm conocida, con una ineertidumbre relativa de 4 X 1O-.'l.
Multiplique la incertidumbre ti.va pOl' el promedio (~G = Rg • Gm);
~G ~G
rela-
4 X 10-.'lX 126.5. 504 X 10-.'l.
Afecte el resultado con la misma unidad que el promedio; Redondee por exceso ados significativas (si hay mas); Si hay un factor "l~", divida entre 1·000.
cifras
quitelo
y
Ejercicios. Calcule la incertidumbre absoluta en una duracion de 25.0 s, conocida con una ineertidumbre relativa de 8 X l
=
IGml
_
Calcule la ineertidumbre absoluta de un volumen de 812 ema conocido, con una ineertidumbre relativa de 5 X 10-'3. ~V = _
(7)4. A. Por definicion
Gnu/x
=
Gm
+
AG
=>
lAG
=
Gmax -
Gm
I
B. La incertidumbre absoluta es igual a la diferencia entre el limite superior (Gm~x) y el promedio (Gm). Por ejemplo, si Lm
(7)5. Gmh A.
Gmln = Gm
I &G
=
+
Go,,;
B. La incertidumbre Ejemplo: tnlln = 123°C
=
=
17.6 mm y Lmax
17.8 mm,
AL
0.2 mm.
AG - (Gm - AG)
Gm,•. 1 absoluta es igual a la mitad del intervalo de confianza. tmax= 129°C.
Extension del intervalo de confianza: 6°C.
Para calcular la incertidumbre absoluta a partir de los limites del resultado:
At
= 3 °C.
Por ejemplo, los limites de una medida de distancia son 133 y 137 km. ,Cual es la incertidumbre absoluta?
Calcule la extension del intervalo de confianza (reste los limites), y
Ejercicio. Los limites del resultado de la medida de una superficie son 542 cm2 y 548 cm2, Calcule la incertidumbre
(7)7.
absoluta:
_
Para escribir el resultado de una medida cuando se conace la incertidumbre tiva (y el promedio), hay que buscar primero la incertidumbre absoluta .
rela-
. Si se conoce el promedio de las medidas de una longitud, 50 mm, y la incertidumbre lativa, 40 X lQ-3, para escribir el resultado, primero hay que buscar la incertidumbre soluta (ver regIa (7)3). AL
=
50 X 40 X 1Q-3
=
2.0 mm
L
=
50 ± 2 mm.
reab-
Para anotar el resultado cuando se ha hallado el promedio y la incertidumbre absoluta pOl' calculos que no dan resultados exactos, hay que:
Conociendo la incertidumbre relativa (12 X X l()-'l) de un volumen cuyo promedio calculado es Vm = 253.4216 ... mms, se encuentra que la incertidumbre absoluta vale v = = 3.041 0.592 ... mm3• Hay que redondear estos numeros de la manera siguiente:
Redondear la incertidumbre absoluta por exceso ados cifras significativas,
Av >::::: 3.1 mmS
Aiiadir 1 a la segunda cifra significativa de la incertidumbre absoluta, y
Av >:::::
Redondear el promedio optimamente, al mismo orden que tenga la segunda cifra de la incertidumbre absoluta.
vm
(3.041 ...
>:::::
3.1)
3.2 mmS decima.
253.4 mm3
>:::::
decima.
Si el promedio resulta exacto, no hay que aumentar incertidumbre absoluta (se detiene uno en A).
(7)9.
redondeado pOl' exceso
una unidad a la segunda cifra de la
Para anotar el resultado cuando se conocen sus limites, hay que: A. Calcular
la incertidumbre
B. Sumar1a a1 limite inferior C. Resultado:
promedio
absoluta -vel'
regIa (7)5-,
para hallar e1 promedio,
± incertidumbre
absoluta.
Para anotar el resultado de una medida de distancia cuyos limites son 133 km y 137 km, 137 - 133 4 hay que calcular la incertidumbre absoluta: d 2 "2 2 km,
=
y sumarla al limite inferior: 133 Resultado: 135 ± 2 km.
+
2
=
=
= 135 km; se tiene asi el promedio.
Los limites del resultado de una velocidad son 78 km/h y 80 km/h. Anote ese resultado: _ La incertidumbre relativa sobre la medida de una capacidad es 2 X 1O~. El promedio es 321.4 1 (redondeado). Anote el resultado:
./ ± 0.651 ::!::
0.7 1
(8)1.
A. Si en una operaci6n ningun
dato esta afectado de incertidumbre, el resultado tam poco 10 esta. B. Si en una operaci6n un dato esta afectado de incertidumbre, el resultado tambien 10 estel.
Si dos personas quieren ir al cine y si el precio de la entrada es de 25 pesos, no hay incertidumbre en el numero de personas ni en el precio de las butacas; tampoco la hay respecto al total a pagar ($50.00, ni mas ni menos). POl' 10 contrario, si se determina la superficie de un campo cuadrado de 200 ± I m de Iado, habra incertidumbre en el resultado. (8)2.
.La incertidumbre
incertidumbre
en el resultado de una operaci6n no es, en general, igual a Ia que afecta a los datos.
(8)3.
EI calculo de incertidumbres es el conjunto de reglas que permiten hallar la incertidumbre (absoluta 0 relativa) que afecta al resultado de operaciones con datos afectados de incertidumbre.
(8)4.
Las reglas del calculo res que dan origen a que, si se comete un mete necesariamente
(8)5.
Cuando .se efectua una operaci6n con magnitudes afectadas de incertidumbre, se llama resultado promedio al resultado de esta misma operaci6n efectuada con Ios promedios de Ias magnitudes dadas.
de incertidumbres conciernen s610 a Ios casos en que los erroIa incertidumbre son independientes, es decir, en el caso en error pOl' defecto en la medi(la de una magnitud, no se coun error pOl' exceso 0 pOl' defecto en Ia otra magnitud.
promedio
= =
= =
=
=
promedio
= =
Ejemplos: X a X b a 2 ± 0.05 b 3 ± 0.1 Resultado promedio: Xm = 2 X 3 = 6. X Y+ z y 42 ± 0.5 z 36 ± I Resultado promedio: Xm + __ X a2 a 12 ± 0.1 Resultado promedio: Xm = _ X m - n m 70 ± 1 n 30 ± Xm = 40 se llama
=
=
= __
= __ . _
(8)6.
La incertidumbre
absoluta A. de una suma B. de una diferencia es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de cada termino.
a = 25.1 ± 0.2 mm d = 21.2 ± 0.3 s (8)7.
= 89.2 ± 0.5 mm Incertidumbre absoluta de (a + b): 0.7 mm Incertidumbre absoluta de (d - c): 0.5 s = 16 ± 0.2 s
b c
Si se efectua, con tres magnitudes afectadas de incertidumbre: a ± ~a
b ± ~b
I
la operacion:
I
se tiene:
S
y
c ± ac
a+b-cl,
as
aa +
ab + ac
I
Ejercicios. L=c+d
c d
.ilL
=
_
X=x-y aX D
L
x=
= = d1
-
d2
+
120 ± 2 mm 348 ± 4 mm
da
D
(8)8.
(8)9.
=
35.8 ± 0.2 s 10.1 ± 0.3 s X d1 160 ± 5 km d2 = 20 ± 2 km da = 35 ± 3 km
=
_
=
_
Si se multiplica una magnitud afectada de incertidumbre por un nttmero exacto A. La incertidumbre absoluta en el resultado es igual al producto del numero exacto por 1a incertidumbre absoluta de la magnitud; B. La incertidumbre relativa en el producto es igua1 a la incertidumbre relativa de la magnitud. J
Expresando con una formula: X
=;'6~::o' a => exaeto
"ax
e•
= n aa
I .r I
Rx
_
Un cuadrado tiene 125 ± 2 m de lado (incertidumbre re1ativa: 16 X 10-3). ,Cu;Hes son las incertidumbres en su perimetro? Perimetro = 4 X longitud del lado (X = 4a) factor
Incertidumbre
exacto
absoluta: 4 X 2 = ~ m. Incertidumbre (ne• aa = aX)
relativa (igual): 16 X 10-3 (Rx = Ra)
a l·
R
,Cual es la incertidumbre absoluta y cual la relativa en la longitud total de 10 rieles que miden 15025 ± 5 mm cada uno? Illcertidumbre absoluta: _ Incertidumbre relativa en la longitud de un riel: 0.33 X 1()-8. Incertidumbre relativa en la longitud de 10 riel-es.: _
(8)10.
Las reglas son las mismas que para el producto por un numero exacto, haciendo notar que dividir entre el numero exacto dex equivale a multiplicar pOl' el nllmero exacto nex =
I
d' ex
(8)11.
Si se divide una magnitud entre un numero exacto, A. La incertidumbre absoluta del resultado es, pues, igual al cociente de la incertidumbre absoluta de la magnitud entre el divisor exacto; B. La incertidumbre relativa del cociente es igual a la incertidumbre relativa de la magnitud;
c. (8)12.
X
= -!- ~> flex
lax
=
I
aa I nex
Estas reglas son aplicables al cociente de una magnitud
( ~x)
Rx
-. -~~~.
= Ra
I
entre un numero exacto
y no al cociente de un numero exacto entre una magnitud (
r;;x ).
Ejemplo: Diez bolas de acero absolutamente identicas tienen, en total, una masa de 35.24 ± 0.05 g (incertidumbre relativa: I.{ X 10--3). Q'<;'" \1i\'J. 005 Incertidumbre ra:Iativa en la masa de una bola: ~O- = 0.005 g
( :: Incertidumbre
relativa en la masa de una bola: 14 X
=
ax) (Rx
IQ-ll
Ejercicio: Una hoja de papel milimetrico que mide exacta· mente 100 cm2 pesa 401.5 ± 0.2 mg. (Incertidumbre relativa: 0.5 X 10--3). Incertidumbre absoluta en la masa de I cm2: _ Incertidumbre relativa en la masa de I cm2: ~ _ No cambia uno la precision cuando multiplica dicion por (0 entre) un numero exacto.
0
=
R.).
0.002 mg 0.5 X 10--3
divide el resultado de una me-
Ejemplo: La. precision en el perimetro de un cuadrado es igual a la precision en la medida de un lado. Consulte el cuadro 9.3.
CALCULO
DE INCERTIDUMBRES (Continuaci6n)
(9)1. La incertidumbre absoluta del producto 0 el cociente de dos magnitudes no parece tener relaci6n directa con las incertidumbres absolutas de dichas magnitudes: no es posible hallarla con una sola operaci6n sencilla con las incertidumbres absolutas que afectan a cada magnitud.
(9)2.
No se puede hallar directamente la incertidumbre absoluta de un producto 0 de un cociente de magnitudes; hay que determinar primero la incertidumbre relativa.
(9)3.
La incertidumbre
relativa: A. de un producto, B. de un cociente de magnitudes, es igual a la suma de las incertidumbres relativas de cada magnitud.
Ejemplos: X
=
v'
t
=
cRx? v
v = 25.6 ± 0.5 m/s Rv z 19 X H)-'l Rx Rv + R, 19 X 10-3
e
=t
e
=
+
13 X 10-3
=
= 25.4 ± 0.2 m
Rez8 X 10-3 Rv Re + R
=
t
=
= 15.0 ± 0.2 s Rt Z 13 X 1(}-3 32 X 10-3 t
t
8 X 10-3
+
7 X 10-3
=
= 28.6 ± 0.2 s
Rt z 7 X 10-3 15 X 10-3.
Ejercicios S
p
= ab =
a = 190 ± 5 m Ra z 26 X 10-3 Rs z
b = 7.10 ± 0.05 m Rb z 7 X 10-3
_
m
V 4.7x l~
19 X 10-3
23.7 X 10-3
(9)4. Con una formula, magnitudes
relativa de Q vale:
la incertidumbre Recordemos
que: Ra
Ejemplo:
=
d
D·
A.
B.
I
Ro
=
puede expresarse
Ra
asi: si se efectua con las tres
I
+ Rb + Rc ac
aa = --,
Rc=-. c
a
t
T
con D t T
(9)5.
la regIa precedente
= 250 ± 0.5 mm = 35.2 ± 0.2 s = 63.7 ± 0.2 s
Ro ~ 2 X 1
Para hallar la incertidumbre ABSoLUTAde un producto 0 un cociente de magnitudes, aplique la relacion aX = Xm• Rx:
Ejemplo:
Calcule el resultado promedio de la operacion (producto 0 cociente de los promedios);
42.5 Dm = 30.1
Calcule despues 1a incertidumbre relativa de cad a magnitud;
luta de D
Busquemos
la incertidumbre
abso-
V
= -; t
V
= 42.5 ± 0.5 m3
0.5
t
= 30.1 ± 0.2 s
= 1.41 m3/s 500
Rv
= 42.5 = 425 X 1
Rt
0.2 200 = -30.1 = --30.1 X
10-3:::; 6.7 X 1
c.
Calcule la incertidumbre relativa del resultado (suma de las incertidumbres relativas);
Ro ~ 12 X 10-3 + 6.7 X 10-3 ~ 18.7 X 10-3
D.
Multiplique1a medio;
aD
E.
Redondee por exceso ados significativas, y
F.
Atribuya igual unidad que al resu1tado promedio.
por el resultado
procifras
= Ro'Dm~ 18.7 X 1
F
Ejercicio: Calcule la incertidumbre S = a X b.
absoluta en el area S en
= 25.6 ± 0.5 m
a
Sm=
R
a ~
Rs
~
_
317.44 m2
(0
317.4
0
317)
20 X lQ-3 24 X 10-3 o 0.02 0 0.024 44 X 1Q-3 0 0.044 14 m2
---------------
La incertidumbre relativa de una potencia de una magnitud es igual al producto de la incertidumbre relativa de la magnitud por el exponente de la potencia.
(9)6.
P = an
= as = 185.0 ± 0.5 mm ::::;
I
Rp
nRa
I
Ejercicio:
Ejemplo: V a Ra
=>
2.7 X
lQ-3
Rv::::; 3 X 2.7 X lQ-8
S
=u
L RL
::::;
= 210 ± 1 mm 4.8 X
Rs::::; --
lQ-8
2
X .------
::::;8.1 X lQ-3
4.8 X 10-3 9.6 X 10-3
(9)7. La incertidumbre relativa de una rail cuadrada (0 cubica) de una magnitud es igual al cociente de la incertidumbre relativa de la magnitud dividida entre 2 (0 entre 3 si se trata de una rail cllbica). De manera general,
x
=
va ~>
Ejemplo:
Ejercicio:
a =y5 S = 546 ± 2 cm2 Rs::::; 3.6 X 10-3
L V Rv
Ra
::::;
(9)8.
I ~'I ax
=
= yv = 22.4 ± 0.1 dm2 ::::;
4.5 X 10-3
Rs
-2::::; 1.8 X 10-3
A. El cuadrado (0 el cubo) de una medida es dos veces (0 tres, si se trata de un cubo) menos preciso que la misma medida. B. La rail cuadrada (0 cubica) de una medida es dos veces (0 tres) mas precisa que la misma medida.
Para anotar el resultado de una multiplicaci6n, de una di visi6n, de la elevaci6n a una potencia 0 de la extracci6n de una raiz de magnitudes afectadas de incertidumbre: (9)9.
A. Calcule la incertidumbre ax = Xm• Rx
Ejemplo: Se pide inscribir el resultado de la operaci6n D· t donde D = 250 ± 0.5 mm d=t = 35.2 ± 0.2 s T T = 63.7 ± 0.2 s
relativa del resultado: 250 X 35.2 -----= 63.7
• Calcule la incertidumbre nitud,
relativa de cada mag-
0.5
RD
= 250 = 2 X 1
R
0.2 = -35.2 = 5.7 X 1
Rr
= 63.7 = 3.1 X 1()--'3
relativa del resultado
Rd Rd
= RD + Rl + RT = (2 + 5.7 + 3.1) 1O-.'l = 10.8 X 1O-.'l
= Xm• Rx • Redondee ados cifras por exceso y atribuya una unidad.
ad ad
= 138.15 =- 10.8 X 1O-.'l = 1.5mm
l
• Calcule la incertidumbre (Rx), reglas (9)4 a (9)7.
• ax
E.
138.15mm
Redondee el promedio al mismo orden que ocupe la ultima cifra de la incertidumbre absoluta y anada una unidad a la ultima cifra de la incertidumbre.
Ejercicio Anote el resultado de la operaci6n siguiente: a b c
=,
12.4 ± 0.1 em 20.5 ± 0.1 em 6.8 ± 0.1 em
0.2
= 12.4 X 20.5 X 6.8 = 1128.56 cm: 0.1 = 12.4 ::::::; 8.1 X t
1'()-3
0.149 = 20.5::::::; ,
"
X 1
0-3
0.1
R: = 6.8 ::::::;15 X 10-3 Rv AV
::::::;28.0
= 28
= 28
X 10-3 X 10-3 X
X
1.73 ::::::;
=
Vm 1728.56 AV=49 V = 1729 49 ,
(9)10. A. B.
Cuando la operacion es una SUMA 0 UNA DIFERENCIA, se halla directamente la incertidumbre absoLuta del resultado. Para hallar la incertidumbre relativa, hay que dividir la incertidumbre absoluta entre el resultado promedio. Rs
(9)11.
A.
B.
A.
B.
AS =-Sm
Cuando la operacion es un PRODUCTO 0 UN COCIENTE, UNA POTENCIA 0 UNA RAiz de magnitudes, se halla directamente la incertidumbre reLativa del resultado (Rx). Para hallar la incertidumbre absoluta, hay que multiplicar la incertidumbre relativa por el resultado promedio (Xm). AX
(9)12.
regIa (!})9 E.
= Rx' Xm•
Cuando la operacion es un producto (0 un cociente) por un numero exacto (nex), Se determina directamente la incertidumbre absoluta: basta multiplicar (0 dividir) la incertidumbre absoluta de la magnitud par (0 entre) el numero exacto; Tambien se determina directamente la incertidumbre relativa del resultado: es igual a la incertidumbre relativa de la magnitud.
Si sigue La "via reLdmpago", Si sigue La "via normal",
consulte
consulte
eL cuadro 9.42.
eL cuadra 10.6.
En una serie de operaciones, llamaremos, A. Terminos de crecimiento aumento del resultado; B.
Ejemplo:
a 10s terminos cuyo aumento
Terminos de decrecimiento disminucion del resultado.
Serie de operaciones X
a es un termino de crecimiento, c es un termino de decrecimiento,
tiene por e£ecto el
a IDs terminos cuyo aumento tiene por e£ecto 1a
a-b
--- c-d' b es un termino de decrecimiento, d es un termino de crecimiento.
Se dice que hay compensaci6n de incertidumbres en una serie de operaciones cuando la misma magnitud interviene a 1a vez en un termino de crecimiento y en uno de decrecimiento, sin que sea posib1e simp1ificarla.
Ejemplo:
d
y-x z-x
= ---;
hay compensacion de las incertidumbres
porque x figura a 1a vez
como termino de decrectmiento (sustrayendo en el numerador) miento (sustrayendo en el denominador).
y como termino de creci-
A. Se aplica solo a las series de operaciones en las que no hay compensacion de incertid urn bres. B. Es e1 metodo que exige menos calcu10s. C. Se aplica bien alas expresiones que contienen razones trigonometricas (sen, cos, tg ... ), logaritmos, etc.
A. E1 resultado promedio de una serie de operaciones" se obtiene 1as operaciones con e1 promedio de cada magnitud medida. B. Designaremos este resu1tado medio por Xm 0 Gm•
a
= 2.61 ± 0.4 m
X=-
efectuando
15.3 ± 0.2 m2 a3m (2.61)3
a3
yo
yo;;;
VITI
resultado medio
E1 limite superior del resultado de una serie de operaciones se obtiene reemp1azando A. Los terminos de crecimiento
por su limite superior,
B. Los terminos de decrecimiento
Ejemplo
(continuaci6n
A. amh
= 2.61 + 0.4 = 2.65 m
B._ bmln
= 15.3 - 0.2 = 15.1
Xm.h
Ejemplo
=
3
a
~
-
mAx
del (10) 4): a es un termino de crecimiento, b es un termino de decrecimiento.
m2
2.65-'1 = ---;::;
yrn
(continuaci6n AX
por su limite inferior.
6
4.78 m
2
de los precedentes) :
=
Xmh -
E1 resultado es, pues, finalmente:
Xm X
= 4.789 - 4.545 = 0.244 :::::0.24 m2 = Xm ±
AX
= 4.55 ± 0.25 m2•
4.545 redondeado aJ orden de la ultima cilra de la incertidumbre absoluta (cente.im •• ).
Atencion: para angu10s agudos, si un coseno se encuentra en un termino de crecimien to, el angulo es un termino de decrecimiento e inversamente. Ejemplo: en T = FL cos a, "cos a" es un tennino de crecimiento; por tanto, a es un termino de decrecimiento. Para hallar T max,habra que sustituir a por amin(y no por am~x).
(10)9. El metodo de reducci6n consiste en tratar de reducir la serie de operaciones (la f6rmula) a uno de los dos tipos siguientes:
A.
k· ua• xb n·y"·zd
G=
(k, n, n': coeficientes numericos) (a, b, c, d: exponentes positivos) (u, x, y, z: magnitudes)
0
B.
IS
= nX ± n'Y ±
Ejemplo
1: g
obtenemos: g
=
K (R
M
+
.. ·1 h)2'
k, n, n', a, b, c y d no estin afectadas por incertidumbres.
+
Establezcamos que R
h
=
x;
= K ~ 2 que es una expresi6n del primer tipo, A, que acabamos de citar. x
En efecto, se Ie puede obtener a partir de la f6rmula A, reemplazando u por M, y por x, c por 2 y las demis letras por 1.
G por g, k por K,
=
Ejemplo 2: V Vo + kVot, suponiendo que k es un valor numerico dado en las tablas con una incertidumbre insignificante que podemos despreciar, en comparaci6n con las incertidumbres de las otras magnitudes. Establezcamos que Vot A V Vo + kA Esta expresi6n es del mismo tipo que la formula B. En efecto, puede obtenerse reemplazando, en B, S por V, n por 1, X pot Yo, n' por k y Y por A.
=
=
(10)10. Si ya se ha reducido la serie de oyeraciones a una expresion del tipo: kuaxb G--- ny"zd
. '
A. Se puede hallar la incertidumbre
I
RG = aRu
+
B. Para calcular la incertidumbre
relativa del tesultado (RG):
+
bR.
cRy
+
dR •. ,
,I
absoluta, basta entonces aplicar:
I aG = G
m•
RG
.\
Se halla Gm, como hemos visto en el numero (10)4. En el ejemplo 1 precedente, (10)9: g
M
= k -=> Rg = RM + 2R. 2 x
RM = aM; para hallar R •. hay que recordar que se ha establecido que x M
Ax AR + ah Ah; luego R. = -= ---x R+h AM AR + ah . F'malmente, Rg = -+ 2 ---M R+h
ax = AR
+
R
+
h
(10)11.
Si se ha reducido la serie de operaciones a una expresion del tipo S = nX ± n'Y ±
se halla la incertidumbre
absoluta aplicando: as
= nax + n' a Y +
En el ejemplo 2 precedente, (10)9, se tenia V = Vo + kA Para hallar .lA, hay que recordar que hemos establecido A
= Vot =>
RA
=
Rvo
+
Rt;
aA
=>
av = aVo
+
kaA.
= A.R
A•
Este metodo no puede aplicarse a las series de operaciones con compensacion de incertidumbres. Exige con frecuencia
dJculos
mas largos que el metodo precedente.
Este metodo puede aplicarse a las series de operaciones can compensacion de las incertidumbres.· Exige calculos mas largos. Pero proporciona directam~nte la expresion algebraica de la incertidumbre absoluta. • Es decir, en el easo en que la misma magnitud figura a la vez en un termino de erecimiento y en uno de deere. cimiento; pero no en el caso de que 10s errores esten Iigados (por ejemplo, si un error por exeeso acarrea otro error por defecto) .
Las formulas de fisica expresan generalmente que una magnitud (G) es funcion de otras magnitudes (x, y, z).
Esta funcion es generalmente derivable en los intervalos de variacion de x, y, z; y estas magnitudes son, en general, variables independientes. G f(x, y, z), con: f funcion derivable, x, y, z son variables independientes (magnitudes medidas).
Se llama derivada parcial de tenido de derivar f como si La derivada parcial de f can De igual maneta, la derivada
la funcion f can respeeto a x, el resultado obx fuera la unica variable (y, z constantes). respecto a x se denota: f:. parcial de f con respecto a y se denota f~.
(10)16. Se puede demostrar que: xm Si G = f(x, y, z) con x = Xm ± Ax y Ax< Ay~ y = Ym ± Ay Ym z=zm±Az Az ~ Zm si f es derivable y si x, Y Y z son variables independientes (es decir, si los errores no estan ligados, por ejemplo, si un error por exceso no ocasiona necesariamente otro error por defecto):
I
AG ~ If:I' Ax
+
If;I' Ay
Las barras verticales son barras de m6dulos: derivada parcial de la funci6n f con respecto Ejemplo a completar: vease el cuadro 13.8.
+
If;I' Az
I
/f:1 significa "m6dulo a x".
(= valor absoluto)
de la
1.1. Problema: Se mide el diametro de un drculo (d = 124 ± 0.5 mm) y Se quiere calcular, a partir de esta medida, la longitud de la circunferencia: L = 1t X d. ,Que valor habra que tomar para 1t: 3 0 3,1 0 3,14 0 3,142 0 3,1416 0 3,14159? En otras palabras, ,c6mo de-be redondearse un coeficiente numerico para no introducir error apreciable ni tener que hacer dlculos exageradamente largos? 1.2. Un coeficiente numerico es un numero que multiplica puede encontrarse en unas tablas; por ejemplo, en V = merico.
0 divide a un termino y que 1t es un coeficiente nu-
1tR2h,
1.3. El termino afectado (t) es el que esta multiplicado (0 dividido) ciente numerico. En V = 1tR2h, el termino afectado es "R2h".
pOI" (0 entre) el coefi-
1.4. Principio: La imprecisi6n introducida al redondear un coeficiente numenco por 10 menos diez veces menor que la imprecisi6n del termino afectado,
debe ser
1.5. En otras palabras, la aproximaci6n relativa (cociente de la aproximaci6n entre el coeficiente redondeado) debe ser 10 veces menor que la incertidumbre relativa del termino afectado. Si llamamos a a la aproximaci6n, k al coeficiente y R a la incertidumbre relativa del termino afectado, tenemos: a R Rk k ~ 10 => a ~ 10'
1.6. La aproximaci6n permitida es igual a la decima parte del producto la incertidumbre relativa del ttJrmino afectado.
del coeficiente
por
Ejemplo: Se mide el diametro de la base de un cilindro y su altura. Se calcula su volumen por ~
.
la relacion V =
4 d2h.
que redondear ~
=
d
-k
=
(Hasta que cifra hay
3.141 59 ... ?
142 ± 0.5 mm
h
= 67 ±
0.5 mm
= ~ = 3.141 59 ... d2h .t =-4
3. Aplique la formula de la aproximacion permitida: Rk 10
a=
15 X 10-3 X 3
10
Formula de las incertidum bres relativas Rt = • Calcule la incertidumbre termino afectado (Rt)
relativa
del
Rt
;:r:;;
=2
15 X 1041
t
X 3.5 X lQ4l + 7.5 X 1041
0.5
Ri = 142 = 3.5 X X lQ4l
0.5
Rh={f'7=
75
.
X
X 10~
B. Redondee a su pnmera fecto.
a :::::;4.5 X 10-3 :::::;4 X 10-3
la aproximaci6n permitida cifra significativa por de-
c.
Redondee el coeficiente igua1 orden (6ptimamente).
D. Examine si puede den precedente.
:::::;0.004 k k
a la cifra de
redondearlo
= =
1t :::::; 1t :::::;
3.141 59 ... 3.142
a1 or3.142 - 3.14 0.002
1. Calcu1e la cliferencia entre el coeficiente redondeado en C y el coeficiente redon de ado al orden anterior. 2. Comparela con 1a aproximaci6n permitida. 3. Si la diferencia es inferior 0 igual, se puede tomar e1 coeficiente redondeado al orden precedente. 4. Si no, hay que tomar el coeficiente como qued6 redondeado en C.
0.002
<
0.004
aOl.rx= a + aa bm~x= b + ab aOlfn= a - aa bOlfn= b - ab P Ol(n= aOlfn. bOl:n Pm~x (a + aa) (b + ab) POlfn (a - aa) (b - ab) Pm~x- POlin= (a + aa) (b + ab) - (a - aa) (b - ab) = ab + aM> + baa + aaab - (ab - aab - baa + aaab) = $lb + aab + baa + ~b. - .ab" + aab + baa - liaAb = 2aab + 2baa POlfx- POlIn Pmax- POl{n aab + baa, 2 = aP, luego,
=
=
=
2
aP aP
= aab + baa
P = aP
P Rp
Dividamos
baa ab + ab ab aa
entre P
= ab
aab
=b
+ ~'
aP
pero:
= Ra + Rb, 10 que se trataba de demostrar.
p
=
ab
Rp
b
=
aa Rb
~
=
Ra:
I ~x = a b c => =
Rx
=
+
Ra
Rb
+
Re?
I
=
Establezcamos ab P => X p. c Se demuestra, como acabamos de hacer, que Rx = Rp + Re. Pero Rp Ra + Rb luego Rx Ra + Rb + Re. De la misma manera se puede proceder para un numero cualquiera
=
=
I ~p = p
an
=
a' a . a ...
"--y--J
=>
Rp
an
=
=>
Ra
+
Rp
=
n Ra?
Ra
+
Ra
de factores.
I
n faclores
q es maximo cuando el numerador q es minimo cuando el numerador
qm(n
(a) es maximo (a) es minimo
y el denominador y el denominador
(b) es mini mo ..• (b) es maximo."
amh = a bmlx = b
=
+ +
Aa Ab
bm.:,. bmfn= b - Ab amln a + Aa a - Aa qmax- qmln -b b _ Ab - b + Ab mm m'x (a + Aa) (b + Ab) - (a - Aa) (b - Ab) qmax - qm{n = (b + Ab) (b - Ab) ab + aAb + bAa + AaAb - ab + aAb + bAa - AaAb b2 _ (Ab) 2 pero (Ab) 2 b2 => b2 - (Ab) 2 :::::: b2 2aAb + 2bAa la incertidumbre debe ser muy inferior a la b2 - (Ab) 2 magnitud; el cuadrado de la incertidumbre es, 2aAb + 2bAa pues, insignificante respecto al cuadrado de la b2 magnitud. . Ab 1 ~b) 2 _ 1 Como maXimO b = 10 b2 100 amh
=~ -
=
-<
Dividamos entre 2: qmax- qm{n aAb + bAa 2 b2 luego Aq -
aAb + bAa --b-2-b· bAa abb
qmax-qmln Pero ---= Aq 2 . . b Mu 1tlphquemos por -: a b 1 pero a q L. Q. S. T. de D.
El error de una medida es la diferencia entre el valor adopt ado como resultado medio de las medidas) y el valor exacto desconocido de la magnitud. 3.1.1.
(pro-
3.1.2. Como no se puede conocer el valor exacto, se ignora tambien el valor del err01' de una medida. 3.1.3. Ante esta dificultad, se pueden adoptar dos actitudes diferentes: • Buscar cmil es razonablemente el maximo valor posible del error. Esto equivale a evaluar los !imites entre los cuales esta casi segura mente comprendida la magnitud medida, es decir, a determinar la incertidumbre absolutll. Esta es la actitud que nosotros hemos adoptado en este curso y la que se adopta generalmente en la ensefianza media, por razones de sencillez y tambien de metodologia 0 de filosofia de la ensefianza (primero hay que ensefiar al alumno la prudencia cientifica y el escepticismo positivo) .• • Determinar cual es el valor mas plausible del error. Entonces hay que tratar de evaluar la tendencia de los resultados a desviarse del promedio y, teniendo en cuenta esta tendencia, estimar entre que valores esta comprendida muy verosimilmente (y no casi seguramente) la magnitud. • A este respecto. hemos de hacer notar que esta prudencia, muy frecuentemente, es solo aparente: la casi certidumbre que se tiene sobre los l/mites del resultado se basa en la conviccion de que la medicion efectuada esta exenta de error sistematico y de que los errores fortuitos tienden a compensarse (validez de 10s postulados de Hagen); este no es siempre el caso en las mediciones efectuadas en 10s trabajos pclcticos.
3.2.1. Medidas agrupadas Cuando se efectua' una serie de medidas, suele ocurrir que las medidas proxlmas al promedio son mucho mas numerosas que las que estan alejadas de ella. Se dice entonces que las medidas estan agrupadas. He aqui un ejemplo de una serie de 15 medidas agrupadas a1rededor del promedio (125 micrones). El resultado vale L = 125 ± 4 micrones. Solamente una de las medidas fue igual a 121 micrones, ninguna a 122 micrones, 1 a 123 micrones, 3 a 124 micrones, 4 a 125 micrones, 3 a 126 micrones, 2 a 127 micrones y 1 a 128 micrones. Se puede representar este hecho por una gnifica: Como ordenadas se toman los numeros de medidas igua1es, cuyos valores en micrones son indicados por las abscisas.
3.2.2. Medidas dispersas Cuando se efectua una serie de mediciones, tambien puede suceder que los resultados 0 medidas ofrezcan va10res bastante a1ejados del promedio, y que sean casi tan numerosos como los va10res proximos a dicho promedio. Se dice entonces que 1as medidas estan dispersas. He aqui un ejemp10 de una serie de 15 medidas dispersas. E1 promedio es tambien de 125 micrones y el resu1tado es e1 mismo que el del caso de 1a serie precedente: 1 = 125 ± 4 micrones. Solo es diferente la manera como estan distribuidas las medidas en el intervalo de con-
fianza. Como ordenadas se toman los numeros de medidas iguales, cuyos valores en micrones son indicados por las abscisas.
3.2.3. Necesidad de tener en cuenta la dispersion Las dos series de medidas que acabamos de citar tienen igual resultado: 125 ± 4 mlcrones.· Sin embargo, es evidente que la magnitud medida tiene mas probabilidades de hallarse cerca del promedio en la primera serie (medidas agrupadas) que en la segunda (medidas dispersas). Elresultado de la medida deberia reflejar esta situacion indicando de alguna manera la dispersion de las medidas. • Con frecuencia, medidas dispersas conducen a un intervalo de confianza mayor que e1 de medidas agrupadas. La situaci6n descrita (dos series con dispersiones muy diferentes, aunque tengan la misma incertidumbre absoluta) es poco frecuente. pero tiene el merito de ser llamativa.
3.2.4. Evaluacion numerica de la dispersion 1. Llamemos Llamemos
S2
a la desviacion de la primera medida a la desviacion de la segunda medida.
Llamemos
Sn
a la desviacion de la ultima medida.
Sl
(Sl
2. Podremos elevar al cuadrado cada desviacion (S12, S22 ••. 502) Y sumar estos cuadrados. Si S es la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada medida, tendremos S = S12
+
S22
+ ...
+
sn2•
3. En estadistica, se puede mostrar que la magnitud que mide mejor la dispersion de las medidas de una serie que contiene n de ellas, es un numero llamado desviaci6n estdndar 0 normal. Se designa con la letra griega "rf" (sigma) y vale:
rf
S = n
=
desviacion estandar (medida de la dispersion), misma unidad que la medida. (Sl desviacion de la primera medida S12 + S22 + ... sn2 mera medida - promedio Sn = desviacion de la ultima medida). numero de medidas de la serie.
=
=
4. Calculemos, a titulo de ejemplo, la desviacion estandar de las dos series de medidas Cltadas. Medidas
agrupadas
Medidas 121 123 124 124 124 125 125 125 125 126 126 126 127 127 128 micrones Desviaciones -4 -2 -1 -1 -1 0 0 0 0 +1 +1 +1 +2 +2 +3 micrones Cuadrados de las
desviaciones
16 + 1 + 1 + 1 + 1 +0 +0 +0 +0
+1 +1 +1 +4 +4 +9 luma
rf
-
-
R ---
15 -
3-= 1
{if = 14
1.75 micrones
= 43
de 101 cuadradol de lal delviacionel
Medidas
dispersas
Medidas 121 122 122 123 124 124 124 125 125 126 127 127 128 128 129 ~ Desviaciones -4 -3 -3 -2 -I -I -I 0 0 I 2 2 3 3 4 ~ Cuadrados de las
desviaciones
s
= 84
16 +9 +9 +4 +1 +1 +1 +0 +0 n
=
15
+1
+4 +4
+9 +9
+16
84
=~
84 = ~ 84 = 2.45 micrones. 15- 1 14 5. En los ejemplos anteriores se ve que la desviacion estandar de una serie de medidas dispersas es mayor que el de una serie de medidas agrupadas. (j
3.3.1. Los limites del resultado representan una estimacion del menor y del mayor valor posible de la magnitud medida. Sin embargo, se puede pensar que hay muy pocas probabilidades de que, en una serie normal de medidas, todos los errores fortuitos, por casualidad, hayan actuado en el mismo sentido y no queden compensados en parte. Por tanto, hay muy poeas probabilidades de que la magnitud medida este proxima a uno de los dos limites del resultado. Esta observacion es particularmente pertinente si la dispersion de las medidas es debil, 10 que indica una tendencia neta de los errores fortuitos a compensarse. 3.3.2. Por tanto, se puede pensar que adoptar como intervalo de confianza el intervalo entre los limites del resultado (definidos por la medida cuya separacion absoluta es la mayor) es una actitud de una prudencia un poco excesiva y que no tiene en cuenta la dispersion de los resultados. Asi pues, haria £alta, para cercar mas estrechamente el valor real, adoptar como valor del error, ya no la incertidumbre absoluta (la mayor separacion absoluta de la serie), sino un valor inferior que tenga en cuenta la dispersion de todas las medidas, en vez de basatse unicamente en la medida que se aleja mas del promedio.
1. La desviacion estandar, de£inida anteriormente, tiene en cuenta la dispersion de todas las medidas y es normal pensar antes que nada en ella para representar el error plausible de la medida. 2. Una pregunta se plantea entonees a nuestra mente: Si se adopta la desviacion estandar para representar el error de la medida, ,que confianza puede tenerse en que la magnitud real este comprendida entre "promedio - (j" y "promedio + (j"? ((j = desviacion estandar). El ealculo estadistico muestra que en una serie normal de medidas hay aproximadamente un 68% de probabilidades de que una medida suplementaria caiga dentro del intervalo (Gm - (j, Gm + (j). Esto signi£iea que hay por lo menos 68% de probabilidades de que la magnitud real este comprendida entre esos dos valores.
3. Se admite, pues, que la incertidumbre del resultado de una sene normal de medidas puede ser evaluada por la desviaci6n estandar de la serie:
I
G
= Gm ±
a-
1
con un grado de confianza del 68%.
Lo cual significa que una medida suplementaria tiene 68% de probabilidades de caer entre Gm - a- y Gm + a-. A veces se da el nombre de error estdndar a la incertidumbre expresada por la desviaci6n estandar. 3.3.4. El calculo estadistico muestra tambien que en una serie normal de medidas, hay 96% de probabilidades de que una medida suplementaria caiga en el intervalo (Gm - 2a-, Gm + 2a-). Este grado de confianza corresponde mas 0 menos a la casi certeza de que si se efectuara una medida suplementaria en una serie normal, caeria en el intervalo (Gm - aG, Gm + + aG) y se puede estimar, de manera amplia que si las medidas de una serie normal no estan extremadamente agrupadas ni extremadamente dispersas: J
aG ~
2a-.
3.3.5. En resumen, en una serie normal de medidas (10-20 medidas desprovistas de error sistematico): • Es casi seguro que la magnitud medida esta comprendida entre Gm - aG y Gm + aG, • Es plausible pensar que esta comprendida Gm - ay Gm
entre a- (grado de confianza
+
aG es la separaci6n absoluta mayor de la serie y se llama incertidumbre a- es la desviaci6n estandar y vale, por definici6n: a-
= +~
E E n-l
n
=
= 68%)
absoluta.
suma de los cuadrados de las desviaciones de todas las medidas. numero de medidas.
3.4.1. £1 cdlculo de errores consiste en determinar el error estandar del resultado de una operaci6n efectuada con numeros afectados de un error estandar conocido.
3.4.2. £1 cdlculo de err01"es es diferente del de incertidumbres aunque frecuentemente se les confunde. El calculo de incertidumbres consiste en determinar los posibles limites del resultado de una operaci6n, mientras que el calculo de errores consiste en determinar los limites mas plausibles del resultado. J
3.4.3. El estudio del calculo de errores exige conocimientos de calculo estadistico, 10 cual se sale del plan de este texto.
4.1. Los procedimientos del d.lculo de incertidumbres no son aplicables en el caso en que hay compensaci6n de errores; es decir, en el caso en que el error afecta a una magnitud introducida en una operaci6n no es independiente de los errores que afectan alas demas magnitudes. La compensaci6n de errores puede tener dos origenes: 1. El metodo (0 el instrumento) de medida de las magnitudes. 2. La operaci6n que se efectua con estas magnitudes; en este casa, el termino de compensaci6n de incertidumbres es mas adecuado.
.,..• I
~_x I
I
:
I
y-~
ILix
1. Ejemplo. Se trata de determinar la distancia del punto de equilibrio a cada extremidad de una barra horizontal rigida. Si se comete un error por defecto en x (a la izquierda), se comete el mismo error por exceso en y (a la derecha) . 2. En casos sencillos} se pueden hallar valores independientes para la incertidumbre de medida razonando sobre las condiciones en que se efectuado ha la operaci6n de la medici6n. En el ejemplo que acabamos de enunciar, es evidente que la incertidumbre no concieme individualmente a los valores de x y a los de y, sino a la posici6n del punto de equilibrio. Suponiendo que las diferentes mediciones ha yan situado este punto dentro de una zona de 8 mm, se tomara como valor de .!lx y de .!ly, 4 mm. 3. En ios casos mas complejos} es posible aplicar el metodo diferencial mediante modificaciones que no juzgamos util desarrollar en este cuademo, destinado a la ensefianza media.
4.3.
COMPENSACI6N
DE
LAS
INCERTIDUMBRES
DEBIDA A LA OPERACI6N
1. Como ya hemos visto, cuando la misma magnitud figura a Ia vez en un termino de erecimiento y en uno de decrecimiento sin que se Ie pueda simplificar, 105 procedimientos del calculo de incertidumbres conducen a una incertidumbre excesivamente grande, y s6Io puede aplicarse el metodo diferencial. 2. Cuando hay compensaci6n de las incertidumbres en una operaci6n, hay que aplicar el metoda diferencial. 3. El alumno que todavia no ha aprendido a calcular derivadas podra tratar de transformar la expresi6n en otra en la que cada magnitud aparezca s6Io una vez.
Por ejemplo, R 1 R
=
xy x+y 1
1
-+x Y
Se puede calcular la incertidumbre limite superior. Establezcamos C (2)
=>
C
1
R
=>
1
1
x
Y
absoluta de R aplicando, por ejemplo, el metodo del
R 1
=- + -
XmJx
1
+Ym~x
Se puede calcular Cmln a partir de (4), donde Xmb = x + ax y Ym~ = y + ay. Se calcula entonces Rm£x aplicando (3). aR = Rmax - Rm• Rm puede calcularse a partir de (1) 0 de (2). 4. Todas las expresiones en que la misma magnitud figure a la vez en un termino de crecimiento y en uno de decrecimiento no son transformables. Es el caso, por ejemplo, de las expresiones que permiten calcular la densidad de los s61idos o de los liquidos mediante tres pesadas (x, y, z).
y-x z-x
y-x y-z
d=--
Se puede calcular la incertidumbre relativa del resultado restando la incertidumbre relativa del denominador de la incertidumbre relativa del numerador: as!, se tiene en cuenta la compensaci6n de las incertidumbres de los terminos en que hay efectivamente compensaci6n; pero se introduce una compensaci6n ficticia en los rerminos en que no la hay: entonces, hay que aislar las incertidumbres de estos terminos y afiadir sus valores absolutos. Este razonamiento y los calculos que impone exigen gran dominio del c:Hculo de incertidumbres y cierta agilidad en calculo algebraico. Nos parece ilusorio proponerlo a los alumnos de primer grado de preparatoria; la mayoria de ellos s610 conseguid.n tener una sensaci6n de fracaso y una prevenci6n hacia el calculo de incertidumbres. En los cursos superiores, es inutil; en cuanto el alumno ha aprendido a calcular una derivada, puede aplicar el metodo diferencial. Sin embargo, las mediciones de densidad se efectuan en los trabajos practicos de primer grado de preparatoria y, si el maestro desea que el alumno efectue el calculo de incertidumbres, podra autorizarle a emplear las f6rmulas que hemos dado en los parrafos 13.9 y 13.10.
5.1. RECORDATORIO. Una grafica de la temperatura de un enfermo tiene por objeto mostrar como evoluciona esta temperatura en el transcurso de los dias. Cada dia se tom a la temperatura y la fecha: se obtienen asi pares de val ores, cada uno de los cuales se representa par un punto, utilizando una escala vertical que indica las temperaturas (ordenadas) y una horizontal que sefiala las fechas (abscisas).
-
Fecha
17
18
Temperatura
38.8
39.2
19
20
39.1
38.5
Magni'Ude,{ IPares A.
de
-
abril DC
valoresl
Un punto llevado a una grafica representa un par de valores de las magnitudes correspondientes a la abscisa y a la ordenada del punto.
B. El primer valor citado es el que corresponde a la abscisa, y el segundo es el que corresponde a la ordenada. Fig. 12.
~sit~~. =llil~
5.2.
Cuando se lleva a una grafica un valor a£ectado de incertidumbre, interva10 de confianza por un segmento de recta • que tiene por centro e1 promedio; • que tiene por media 10ngitud 1a incertidumbre abso1uta.
se representa su
5.3. Con mucha frecuencia, 10s va10res que se llevan a una grafica estan afectados de incertidumbre; por ejemp10, si se ha medido que un coche ha recorrido 1 250 ± 10 m en 64.5 ± 0.2 s, se obtiene un par de va10res afectados de incertidumbre: 64.5 ± 0.2 s, 1 250 ± 10 m. Este par de va10res incluye • un par de promedios: • cuatro pares de limites:
(64.5 s, 1 250 m); (64.3 s, 1 240 m) (64.3 s, I 260 m); (64.7 s, 1 240 m) (64.7 s, 1 260 m).
5.4. A. B.
Un par de valores afectados de incertidumbre (Gm ± aG, • dos promedios aritmeticos: (Gm, G'm) .• cuatro pares de limites: (Gmm, G'min) (Gmin, G'mix) (Gmax, G'm{n) (Gmax, G'mh)'
G'm ± aG')
5.5. A. B.
En una grafica, un par de va10res afectados de incertidumbre • no puede 'quedar enteramente representado por un solo punto, • esta representado por e1 conjunto de 10s puntos de un rectangu10 llamado rectan-
incluye:
gulo de incertidumbre.
5.6. A. B.
E1 rectangulo de incertidumbre de un par de va10res llevados a una grafica • tiene por centro el punto que representa a1 par de promedios aritmeticos; • tiene por vertices 10s cuatro pares de limites.
Por ejemp10, si se quiere llevar a una grafica e1 par de va10res 64.5 ± 0.2 s, 1 250 ± 10 m, un punto no es suficiente; es necesario un rectangu10 centrado en e1 punto de 10s dos promedios (64.5 s, 1 250 m) y cuyos vertices son 10s cuatro pares de 10s limites: 64.3, 1 240; 64.3, 1 260; 64.7, 1 240; 64.7, 1 260:
5.7. Para trazar el rectangulo de incertidumbre de un par de valores:
representar el par de valores. (28 ± I s, 73.0 ± 0.5 °C) abscisa
ordenada
A. Coloque el punto que representa el par de valores de los promedios;
B. Trace a izquierda y derecha de este punto dos segmentos horizon tales, de longitud correspondiente a la incertidumbre absoluta del valor de la abscisa;
B. Valor de abscisa: 28 ± I s Incertidumbre absoluta del valor de Ja
abscisa: I s.
c.
Trace, desde el punto inicial, dos segmentos verticales hacia arriba y hacia abajo, igual cada uno a la incertidumbre absoluta del valor de la ordena-
C. Valor de la ordenada: 73.0 ± 0.5 °C Incertidumbre absoluta del valor de la ordenada: 0.5 s.
da; y
D. Trace el rectangulo cuyo punto inicial es el centro y cuyos lados son iguales a los segmentos que acaba de trazar (estos son las media trices del rectangulo que obtiene).
5.8. Una curva pasa por un punto con la precisi6n de las incertidumbres ta, aunque s610 sea en un punto, su rectangulo de incertidumbre.
de medida
SI
cor-
(fig. 21) 10s pares de va10res siguientes: duracion 8.3 ± 0.1 distancia 16.5 ± 0.2
9.9 ± 0.1 19.5 ± 0.2
12.4 ± 0.1 s 25.0 ± 0.2 mm.
Senale sise puede hacer pasar una recta pOl' estos puntos, con la precision de las incertidumbres de medida como minimo.
Esta obra termin6 de imprimirse el dia 30 de junio de 1978, en 10s talleres de Lito Offset California, Dr. Duran num. 46. CoL Doctores, Mexico 7, D. F. Se tiraron 3 000 ejemplares mas sobrantes de reposici6n KC 100gL-FI
