KATA PENGANTAR Assalamualaikum Wr.Wb Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa Atas Rahmat dan dan Karu Karuni nia! a!NY NYA A maka maka kami kami dapa dapatt meny menyel eles esai aika kan n peny penyus usun unan an maka makala lah h Matematika dasar khususnya tentang pembahasan K"nsep #asar $imit sebagai bahan materi pembelajaran. pembelajaran. Penyusunan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas agar mahasis%a terlatih guna meningkatkan m"ti&asi belajar mahasis%a. #alam penyusunan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan baik teknis penyusunan maupun materi mengingat akan kemampuan yang kami miliki. 'ntuk itu kritik dan saran sangat saya harapkan demi penyempurnaan penyusunan makalah ini. #alam penyusunan makalah ini kami menyampaikan u(apan terima kasih yang tak terhingga kepada )bu )ka Mariang *.pd selaku d"sen pemba%a mata kuliah kuliah Matematika Matematika #asar ini. ini. *e(ara khusus khusus kami juga juga menyampaika menyampaikan n terima kasih kepada teman!teman yang sedikit ikut membantu kami. *em"ga materi ini dapat berman&aat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi yang membutuhkan khususnya bagi kami sendiri sehingga tujuan yang diharapkan dapat ter(apai. Amin Yaa R"bbal +Alamiin. Wassalam.
Bab I Pendahuluan A. Lata Latarr Be Bellakan akang g *alah *alah satu satu k"mpet k"mpetens ensii guru guru yang yang perlu perlu dikemb dikembang angkan kan adalah adalah mengua menguasai sai bahan ajar yang akan disampaikan kepada sis%a. ,ahan ajar Kalkulus merupakan bagian dari Matematika yang didalam ruang lingkup nya berkaitan dengan limit &ungsi perhitungan di&erensial dan perhitungan integral. Kalkulus pertama kali dikembangkan "leh )ssa( Ne%t"n pada abad - di )nggris dan pada %aktu yang bersamaan juga dikembangkan "leh $eibni/ 0 -121 3 --1 --1 4 di 5erman. 5erman. Peneli Penelitia tian n mereka mereka yang yang dilaku dilakukan kan se(ara se(ara terpis terpisah ah terse tersebut but menghasilkan kesimpulan yang sama. 6al!hal yang dipelajari berhubungan dengan laju perubahan dan luas daerah. Perhitungan ini kemudian dikembangkan lebih lanj lanjut ut dan dan dite diterap rapka kan n untu untuk k meme( meme(ah ahka kan n perm permas asal alah ahan an yang yang terd terdap apat at pada pada berbagai bidang disiplin ilmu sehingga kalkulus banyak kegunaannya untuk menyel menyelesa esaika ikan n masala masalah!m h!masa asalah lah didala didalam m kehidu kehidupan pan sehari sehari!ha !hari ri misaln misalnya ya di bidang ek"n"mi tehnik tehnik dan lain sebagainya. sebagainya. ,ahan ajar ini menyajikan kajian tentang k"nsep ! k"nsep dasar materi 7 p"k"k bahasan Kalkulus khususnya limit di&erensial dan integral yang merupakan mate materi ri yang yang haru haruss diku dikuas asai ai "leh "leh Guru Guru Mate Matema mati tika ka sehi sehing ngga ga guru guru mamp mampu u mengembangkan ketrampilan sis%a dalam menentukan dan menggunakan limit di&erensial dan integral. 8leh karena itu guru matematika *MK perlu memahami pembelajaran Kalkulus di sek"lahnya. B. Tujuan *etelah mengikuti pendidikan dan pelatihan 0 diklat 4 ini peserta diharapkan mampu mampu mengem mengemban bangka gkan n k"nsep k"nsep limit limit di&ere di&erensi nsial al dan integr integral al dari dari kehidu kehidupan pan nyata sehari!hari dan menjelaskannya dengan memberi ("nt"hnya. C. Rua Ruang Ling Lingk kup ,ahan ajar Pengantar Kalkulus dimaksudkan untuk meningkatkan k"mpetensi guru guru matem matemat atik ikaa *MK *MK dala dalam m meny menyel elen engg ggar arak akan an pr"se pr"sess bela belaja jarr meng mengaj ajar ar Kalkulus. 6al!hal yang akan dibahas meliputi 9 Pengertian $imit :ungsi Te"rema $imit suatu :ungsi K"ntinuitas :ungsi Turunan suatu :ungsi ,eberapa Turunan :ungsi Turunan Tingkat Tinggi )ntegral Tak Tentu dan )ntegral Tertentu.
Bab II Pembahasan
Sejarah Kalkulus
SEJARA KALK!L!S
Kalkulus Kalkulus 0,ahasa $atin9 $atin9 calculus calculus artinya ;batu ke(il< untuk menghitung4 adalah (abang ilmu matematika yang men(akup limit turunan integral dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan sebagaimana ge"metri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk meme(ahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dala dalam m bida bidang ng!b !bid idan ang g sain sains s ek"n ek"n"m "mi i dan dan tekn teknik ik== sert sertaa dapa dapatt meme meme(a (ahk hkan an berbagai masalah yang tidak tidak dapat dipe(ahkan dipe(ahkan dengan aljabar elementer. elementer. Kalkul Kalkulus us memili memiliki ki dua (abang (abang utama utama kalkul kalkulus us di&ere di&erensi nsial al dan kalkul kalkulus us integr integral al yang yang saling saling berhub berhubung ungan an melalu melaluii te"rem te"remaa dasar dasar kalkul kalkulus. us. Pelaja Pelajaran ran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari &ungsi dan limit yang se(ara umum dinamakan analisis matematika. *ejarah *ejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa peri"de /aman yaitu /aman kun" /aman pertengahan dan /aman m"dern. Pada peri"de /aman kun" beberapa beberapa pemikiran pemikiran tentang kalkulus integral integral telah mun(ul tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan >"lu >"lume me dan dan luas luas yang yang meru merupa paka kan n &ung &ungsi si utam utamaa dari dari kalk kalkul ulus us inte integr gral al bisa bisa ditelusuri kembali pada Papirus M"sk%a Mesir 0(. -?@@ *M4 di mana "rang Mesir
menghitung >"lume piramida terpan(ung. Ar(himedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan men(iptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral. Pada /aman pertengahan matematika%an )ndia Aryabhata menggunakan k"nsep ke(il takterhingga pada tahun 2 dan mengekspresikan masalah astr"n"mi dalam bentuk persamaan di&erensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar ,haskara )) pada abad ke!-B untuk mengembangkan bentuk a%al turunan yang me%akili perubahan yang sangat ke(il takterhingga dan menjelaskan bentuk a%al dari ;Teorema Rolle;. *ekitar tahun -@@@ matematika%an )rak )bn al!6aytham 0Alha/en4 menjadi "rang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat dan dengan menggunakan induksi matematika dia mengembangkan suatu met"de untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke!-B se"rang Persia *hara& al!#in al!Tusi menemukan turunan dari &ungsi kubik sebuah hasil yang penting dalam kalkulus di&erensial. Pada abad ke!-2 Madha>a bersama dengan matematika%an!astr"n"m dari ma/hab astr"n"mi dan matematika Kerala menjelaskan kasus khusus dari.. deret Tayl"r yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa. Pada /aman m"dern penemuan independen terjadi pada a%al abad ke!- di 5epang "leh matematika%an seperti *eki K"%a. #i Er"pa beberapa matematika%an seperti 5"hn Wallis dan)saa( ,arr"% memberikan ter"b"san dalam kalkulus. 5ames Greg"ry membuktikan sebuah kasus khusus dari te"rema dasar kalkuluspada tahun -11?. $eibni/ dan Ne%t"n mend"r"ng pemikiran!pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua "rang ilmu%an tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus se(ara terpisah dalam %aktu yang hampir bersamaan. Ne%t"n mengaplikasikan kalkulus se(ara umum ke bidang &isikasementara $eibni/ mengembangkan n"tasi!n"tasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Ne%t"n dan $eibni/ mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali timbul k"ntr">ersi di antara matematika%an tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Ne%t"n menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu tetapi $eibni/ yang pertama kali mempublikasikannya. Ne%t"n menuduh $eibni/ men(uri pemikirannya dari (atatan!(atatan yang tidak dipublikasikan yang sering dipinjamkan Ne%t"n kepada beberapa angg"ta dari Royal Society. Pemeriksaan se(ara terperin(i menunjukkan bah%a keduanya bekerja se(ara terpisah dengan $eibni/ memulai dari integral dan Ne%t"n dari turunan. *ekarang baik Ne%t"n dan $eibni/ diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus se(ara terpisah. Adalah $eibni/ yang memberikan nama kepada ilmu (abang matematika ini sebagai kalkulus sedangkan Ne%t"n menamakannya ;The science of fluxions ;. *ejak itu banyak matematika%an yang
memberikan k"ntribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi t"pik yang sangat umum di *MA dan uni>ersitas /aman m"dern. Matematika%an seluruh dunia terus memberikan k"ntribusi terhadap perkembangan kalkulus.
Sejarah Meskipun termasuk se(ara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke!- dan -? gagasan m"dern limit &ungsi baru dibahas "leh ,"l/an" yang pada -?- memperkenalkan dasar!dasar teknik epsil"n!delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cau(hy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse 0-?B-4 dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut tapi tidak se(ara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan "leh Weirstrass pada dasa%arsa -?D@!an dan -?1@!an dan sejak itu telah menjadi met"de baku untuk menerangkan limit. N"tasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan "leh 6ardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun -@?.
T"K" LI#IT $%tt&ried 'ilhelm Leibni(
0-121 3 --14
$eibni/ adalah anak se"rang pr"&es"r &ilsa&at m"ral :riedri(h $eibni/ %arganegara 5erman. )bu $eibni/ adalah Catharina *(hmu(k anak se"rang penga(ara. Ayah $eibni/ meninggal saat $eibni/ masih berusia 1 tahun dan dia dibesarkan "leh ibunya. Nilai m"ral dan religius memegang peran penting dalam kehidupan dan &alsa&ah hidupnya barangkali merupakan turunan dari ayahnya. *etelah sek"lah
$eibni/ mulai mempelajari buku!buku peninggalan ayahnya teristime%a buku! buku tentang meta&isik dan the"l"gi dari penulis!penulis Kath"lik maupun Pr"testan. $eibni/ tidak puas dengan sistem 0&ilsa&at4 Arist"teles dan berusaha mengembangkan ide!idenya. Tahun -11- saat umur -D tahun 0terg"l"ng jenius4 dia masuk uni>ersitas $eip/ig dengan jalur minat hukum. #ua tahun kuliah di bidang hukum ternyata tidak menarik hatinya dan %aktunya lebih banyak digunakan untuk memba(a buku!buku &ilsa&at meski akhirnya dia lulus dalam bidang hukum pada tahun -11 sebelum pergi ke 5ena. #i 5ena di ba%ah bimbingan matematika%an sekaligus &ilsu& terkemuka Erhard Weigel dia mulai memahami pentingnya pembuktian matematika terhadap l"gika dan &ilsa&at. Weigel per(aya bah%a bilangan adalah k"nsep paling dasar dari alam semesta dan ide!ide ini memberi pengaruh sangat mendalam bagi $eibni/. Pertemuan dengan Christiaan u)gen
,ukan hanya Erhard Wiegel yang memberi pengaruh agar $eibni/ menekuni matematika. Peran Christiaan 6uygen ternyata jauh lebih besar setelah mereka bertemu pada saat $eibni/ berumur B1 tahun di Paris. Pertemuan mereka berdua dapat dikatakan tidak disengaja. #i sela!sela %aktu pada saat kunjungan dipl"matik dan urusan lain mereka bertemu. Mereka saling berbi(ara tentang minat masing!masing. 6uygens asalnya adalah se"rang &isika%an tapi karya!karya terbaiknya justru terkait dengan h"r"l"gi 0ilmu tentang pengukuran %aktu4 sebagai peneliti tentang gerakan (ahaya sekaligus se"rang matematika%an. 6uygens memberi $eibni/ makalahnya tentang ;kerja< matematika pada pendulum kepada $eibni/. Melihat ;kehebatan< kekuatan matematika $eibni/ mem"h"n agar 6uygens bersedia mengajarinya matematika. *etelah melihat besarnya kemauan dan kejeniusan $eibni/ dengan senang hati 6uygens bersedia. 'ntuk memberi impresi kepada 6uygens $eibne/ memamerkan hasil!hasil penemuannya. *alah satu yang disebutkan adalah mesin penghitung yang dikatakannya jauh lebih hebat dibanding buatan Pas(al yang hanya dapat menangani tambah dan kurang= sedangkan mesin buatan $eibni/ dapat menangani perkalian pembagian dan menghitung akar bilangan. #i ba%ah bimbingan 6uygens dengan (epat $eibni/ menemukan jati dirinya. #ia lahir sebagai se"rang matematika%an. ;Pelajaran< dari 6uygens sempat tertunda beberapa bulan saat $eibni/ harus bertugas di $"nd"n sebagai Atase. Ketika di $"nd"n $eibni/
bertemu dengan para matematika%an )nggris sambil memamerkan hasil!hasil karyanya. *e"rang teman matematika%an )nggris memperlihatkan hiperb"la Mer(at"r kepadanya ! salah satu bukti mengapa Ne%t"n juga menemukan kalkulus dimana kemudian hal ini memi(u dirinya untuk menemukan kalkulus. *uatu saat dalam kunjungan ke $"nd"n $eibni/ menghadiri pertemuan dengan R"yal *"(iety dimana dia menunjukkan kerja mesin hitung penemuannya. Penemuan dan hasil karyanya itu membuat $eibni/ diangkat sebagai angg"ta R"yal *"(iety ber%arganagara asing 0bukan "rang )nggris4 sebelum dia pulang ke Paris pada tahun -1. Tidak lama kemudian $eibni/ dan Ne%t"n pada saat hampir bersamaan diangkat menjadi angg"ta Akademi *ains Peran(is ber%arganegaraan asing. Merasa puas dengan prestasi yang diraih $eibni/ 6uygens menyuruh anak didiknya ini terus menekuni matematika. #alam perpisahan dengan 6uygens di Paris guna kembali ke 6an">er $eibni/ berjanji akan menggunakan %aktu senggangnya untuk menekuni matematika. Tahun -11 $eibni/ mengabdikan dirinya pada #uke ,runs%i(k!$uneburg. Ne%t"n dan $eibni/ keduanya mengaku sebagai penemu kalkulus. Leibni( *ersus +e,t%n
Ne%t"n memulai ide tentang kalkulus pada tahun -11@!an tetapi karya!karya tersebut tidak diterbitkan selama hampir B@ tahun. Tidak ada yang mengetahui se(ara jelas apakah $eibni/ pada usia tahun menemukan karya!karya ;terpendam< Ne%t"n pada saat melakukan kunjungan ke $"nd"n karena pada saat itu pula dia sedang mengembangkan kalkulus meski dengan >ersi sedikit berbeda dari >ersi Ne%t"n di mana temuan ini selalu diperdebatkan "rang. Keduanya memang pernah saling berkirim surat pada tahun -1@!an sehingga sulit ditentukan siapa mempengaruhi siapa. Te"ri yang mereka kemukakan memberikan hasil akhir yang sama namun n"tasi dan &alsa&ah dasarnya ! sangatlah berbeda. Ne%t"n mengirim surat ke $eibni/ yang memakan %aktu lama untuk sampai di tangan $eibni/. *urat ini berisikan hasil yang diper"leh Ne%t"n tanpa disertai penjelasan (ara dan met"de memper"lehnya. $eibni/ segera membalas surat tersebut tapi Ne%t"n tidak menyadari bah%a suratnya baru diterima $eibni/ dan diperlukan %aktu 1 minggu untuk membalasnya. ,alasan surat $eibni/ ini menyadarkan Ne%t"n bah%a dia harus menerbitkan met"de perhitungan se(epat mungkin. Ne%t"n menulis surat kedua pada tahun -11 tetapi surat itu baru diterima $eibni/
pada 5uni -1 karena $eibni/ sedang berada di 6an">er. *urat kedua ditulis Ne%t"n dengan nada lebih ;s"pan< yang menyebutkan bah%a bukan $eibni/ yang men(ari met"de kalkulus. 5a%aban surat $eibni/ berisikan prinsip!prinsip dasar dan terperin(i tentang di&erensial kalkulus >ersinya termasuk melakukan di&erensial &ungsi atas suatu &ungsi. Kalkulus
Ne%t"n tidak menyukai perubahan yang sangat ke(il 0in&initesimal4 menuju ke tidak terhingga karena dianggapnya hanya ;remah!remah.< N"tasi "s 3 dari Ne%t"n pada persamaan!persamaan tentang perubahan 0&luFi"n4 karena sekali %aktu "s ber"perasi seperti halnya bilangan n"l dan terkadang seperti bukan bilangan n"l. Perbedaan yang sangat ke(il lebih ke(il dari bilangan p"siti& yang dapat anda beri nama tetapi tetap lebih besar dari n"l. ,agi matematika%an jaman itu hal tersebut adalah k"nsep yang sangat aneh. Ne%t"n malu dengan persamaan! persamaan tersebut sehingga hal ini tetap disembunyikan rapat!rapat. Ternyata "s pada perhitungan hanyalah +batu l"n(atan menuju penyelesaian suatu perhitungan.
*ebaliknya $eibni/ memperhatikan perubahan ke(il ini dan tetap terpakai dalam semua perhitungannya= akhirnya deri>ati& y terhadap F bukanlah merupakan nisbah bebas bilangan maha ke(il ini dari perubahan 0&luFi"n4 yH7FH tapi nisbah bilangan maha ke(il dy7dF. Kalkulus $eibni/ dengan dy dan dF dapat dimanipulasi seperti layaknya angka biasa. Alasan ini kiranya dapat menja%ab pertanyaan mengapa para matematika%an lebih suka menggunakan n"tasi kalkulus $eibni/ daripada n"tasi kalkulus Ne%t"n. Pada di&erensial $eibni/ ada ;larangan< apabila terjadi @7@ hal ini harus dihindari dimana hal ini tidak terdapat pada &luFi"n Ne%t"n. Ne%t"n tetap bersikeras bah%a kalkulus adalah temuannya namun $eibni/ menyatakan bah%a dia mengembangkan kalkulus >ersinya sendirinya. Keduanya saling tuduh bah%a lainnya adalah se"rang plagiat. K"munitas matematika )nggris
mendukung Ne%t"n dan menarik diri dari k"munitas matematika%an benua Er"pa yang mendukung $eibni/. Akibatnya )nggris mengad"psi n"tasi &luFi"n Ne%t"n daripada mengadaptasi n"tasi di&erensial $eibni/ yang lebih ;hebat.< Akibatnya (ukup &atal kelak pengembangan kalkulus di )nggris menjadi jauh tertinggal dibandingkan negara!negara Er"pa lainnya.
P"lemik tentang penemu kalkulus
terus berlanjut. *ampai akhirnya akhir tahun -- $eibni/ mengeluarkan pamplet an"nim Charta I"lans yang menjelaskan p"sisinya sekaligus mengungkapkan kesalahan Ne%t"n dalam memahami deri>ati& kedua atau deri>ati& yang lebih besar lagi. Kesalahan ini juga diungkapkan "leh 5"han ,ern"ulli. Tahun -1 $eibni/ menyempurnakan n"tasi!n"tasi kalkulus >ersinya dan pada tahun -1D dia menulis manuskrip dengan menggunakan n"tasi9 J&0F4dF untuk pertama kalinya. Tahun -11 menemukan n"tasi9 d0Fn4 nFnJL dF untuk integral dan pangkat n dimana sejak tahun ini pula dia menghabiskan sisa hidupnya di 6an">er ke(uali pergi untuk kunjungan!kunjungan ilmiah. #enelaah Biner -binar)
Tahun -1 $eibni/ pertama kali mengenalkan sistem bilangan berbasis dua 0biner4. ,era%al dari k"resp"ndensi dengan Pere 5"a(him ,"u>et se"rang jesuit dan misi"naris di Cina. $e%at ,"u>et ini $eibni/ belajar ) Ching 0sudah ada D@@@ *M4 heksagram 0permutasi garis lurus dan garis patah yang sebanyak 1 susun4 yang terkait dengan sistem bilangan berbasis dua. Yin dan yang pada heksagram yang dilambangkan garis putus dan garis lurus digantikan dengan angka @ dan angka -. 6asilnya heksagram dik"n>ersi menjadi bilangan biner. *istem bilangan ini 3 kelak menjadi &"ndasi re>"lusi k"mputer. Ada >ersi lain yang mengatakan bah%a $eibni/ mengemukakan te"ri pen(iptaan alam semesta dari kehampaan 0>"id4 lebih dari sekedar Tuhan7@ dan kehampaan7@ karena $eibni/ berupaya menggunakan pengetahuan itu untuk mengubah "rang Cina agar mau memeluk
agama Kristen.
)stilah matematika $iebni/ dalam biner ini terg"l"ng sangat
k"ntr">ersial barangkali pengaruh latar belakang keluarga dan pendidikannya sangat besar. ,egitu pula sikapnya terhadap bilangan imajiner 0i atau >!-4 yang disebutnya dengan r"h kudus. #ia sebenarnya memahami bah%a bilangan i akhirnya mengungkapkan hubungan antara n"l dan bilangan tidak terhingga. #esin penghitung Leibni(
Tahun -11 $eibni/ tinggal di :rank&urt bekerja pada ,"ineburg yang menjabat sebagai *ekretaris masyarakat alkimia Nurenburg. #i sini selama bertahun!tahun $eibni/ terlibat dengan berbagai p"yek yang terkait dengan sains maupun p"litik. $eibni/ memulai membuat mesin penghitung dimana pada tahun -1 ditemani kep"nakan ,"ineburg dihadapan R"yal *"(iety 0)nggris4 guna mendem"ntrasikan mesin penghitung yang belum selesai. Mesin penghitung >ersi $eibni/ merupakan penyempurnaan dari mesin penghitung (iptaan Pas(al. ,laise Pas(al menemukan mesin penjumlah pada tahun -12B dan pada tahun -1 $eibni/ menemukan mesin yang dapat melakukan "perasi perkalian dan pembagian. Tahun -1? 3 -1 dia terlibat pr"yek pengeringan air yang mengenangi pertambangan di gunung 6ar/ dengan menggunakan tenaga angin dan tenaga air untuk meng"perasikan p"mpa. Pr"yek ini gagal karena kekuatiran para pekerjanya bah%a mesin!mesin ini mampu menggantikan pekerjaan mereka. #isiplin ilmu ge"l"gi pertama kali mun(ul yaitu saat $eibni/ merangkum hasil k"mpilasi atas pengamatannya di gunung 6ar/. #ia juga mengemukakan hip"tesis!hip"tesis bah%a bumi terbentuk dari materi yang a%alnya berbentuk (airan. Karir Leibni(
Pengabdian $eibni/ kepada keluarga ,runs%i(k hampir sepanjang 2@ tahun dari kehidupannya. $eibni/ mengabdikan dirinya ke dalam tiga pr"&esi utama9
pustaka%an ahli sejarah dan "rang pintar yang menjadi penasihat. Kiprah $eibni/ sebagai ahli sejarah adalah melakukan riset sejarah. Pekerjaan ini membuat dia sering berkeliling 5erman Austria bahkan sampai )talia pada kurun %aktu -1? 3 -1@. *aat mengunjungi Iati(an $eibni/ dita%ari Paus untuk menjadi pustaka%an Iati(an. Ta%aran ini dit"lak karena mengharuskan $eibni/ memeluk agama Kath"lik sehingga harus ;mengingkari< karakteristik uni>ersal yang diyakininya. Keinginannya untuk menyatukan kembali Pr"testan dan Kath"lik adalah sebuah pr"yek besar baginya. Rek"nsiliasi kedua agama yang ditempatkan pada k"n&erensi di 6an">er tahun -1? gagal karena keinginan masing!masing agama untuk menguasai satu atas lainnya. Catatan k"mpetensi utama $eibni/ sulit dipahami "rang. )lmu ek"n"mi phil"l"gy 0ilmu tentang sejarah bahasa atau studi perpustakaan4 hukum internasi"nal 0$iebni/ adalah perintis bidang ini4 menentukan pertambangan sebagai industri penggerak perek"n"mian 5erman membangun pusat!pusat pendidikan semuanya adalah minat!minat $eibni/. #%ralis )ang tidak etis/
*etelah menyelesaikan suatu kunjungan tugas ke Paris pada tahun -11 $eibni/ pulang ke 6an">er le%at $"nd"n dan Amsterdam. *ejenak dalam persinggahan ke k"ta terakhir ini $eibni/ yang memilih dipl"mat &ilsa&at sebagai karir terpanjangnya ternyata ;terper"s"k< dalam transaksi illegal. $eibni/ melakukan transaksi yang tidak diketahui dengan jelas apa yang dipertukarkan dengan ,enedi(t de *pin"/a 0-1B 3 -14 tapi yang jelas tindakan $eibni/ itu termasuk melanggar etika. Yang paling parah adalah bah%a bahan itu menyangkut etika. $eibni/ tampaknya memendam keyakinan bah%a mendasarkan diri pada etika adalah suatu (ita!(ita semua pihak. Pada saat itu $eibni/ memba%a salinan ringkasan karya pun(ak *pin"/a 3 disebut setelah melalui klari&ikasi yang belum dipublikasikan Ethi(a 3 makalah perkembangan etika dalam membahas karya
ge"metri Eu(lid. *atu tahun kemudian *pin"/a meninggal dan $eibni/ menganggap keberadaan makalah itu laksana menerima bingkisan salah kirim dari Amsterdam. Para pemerhati &ilsa&at yang memba(a karya itu setuju dengan apa yang dikemukakan "leh $eibni/ tapi tidak mengetahui bah%a sebenarnya karya tersebut adalah ;buah pikir< *pin"/a. Para pakar bidang etika menyebut bah%a jangan
terburu!buru
menuduh
$eibni/
bersalah
atau
barangkali
$iebni/
mengemukakan pemikiran!pemikirannya tentang etika terpisah dengan *pin"/a. *etidak!tidaknya ada dua ("nt"h dalam matematika 0&ungsi ellips dan ge"metri n"n!Eu(lidian4 yang dapat dijadikan dasar pembuktian bah%a itu merupakan karya $eibni/. Catatan harian dan surat!menyurat *pin"/a yang di(ari setelah meninggalnya tidak (ukup memberi bukti bah%a $eibni/ bersalah. Pengabdian akhir Leibni(
Pikiran $eibni/ makin terbuka 0berkembang4 setelah lebih dari BD tahun berke(impung dalam lautan &ilsa&at. Tidaklah mengherankan bagi para pemba(a dan pemerhati kiprahnya apabila mendengar bah%a $eibni/ men(etuskan te"ri m"nads 0substansi dasar indi>idu mere&leksikan tatanan jagat raya 3 replika miniatur dari jagat raya4 menyatakan tentang segalanya dalam alam semesta ini ada dalam suatu tatanan.
Masih ditambah melan("ng ke meta&isika dengan
men(etuskan the"rema "ptimisme ! segala sesuatu 0e>erything4 diperuntukkan bagi yang terbaik dengan semua yang terbaik dari semua dunia yang dimungkinkan. Akan tetapi semua itu dilupakan "rang karena barangkali dianggap mendahului jamannya. Pada tahun -D penjabaran se(ara rin(i didem"ntrasikan "leh I"ltaire 0-12 3 -?4 dengan karya besarnya Candide. ,arangkali The"ry "& E>erything dari *tephen 6a%king juga mengambil nama yang pernah di(etuskan $eibni/. *iapa tahuJ
Sumbangsih
Kalkulus tidak akan sempurna apabila tidak ada kiprah $eibni/. Minat $eibni/ yang sangat beragam ternyata membuka (akra%ala baru bagi perkembangan ilmu pengetahuan atau memun(ulkan disiplin ilmu baru. 6ukum internasi"nal sistim bilangan berbasis dua 0binary4 dan ge"l"gi adalah disiplin ilmu hasil (etusan dari $eibni/. ,elum lagi karya mesin hitung yang merupakan penyempurnaan buatan ,laise Pas(al mampu membuat "rang jaman itu berde(ak kagum.
Pengertian Limit Fungsi #alam kehidupan sehari!hari kita pernah mendengar kalimat!kalimat misalnya 9 kendaraan itu hampir menabrak "rang yang sedang berjalan. Kata!kata ;hampir< ;mendekati< dan sebagainya dapat dijelaskan dengan pengertian limit dalam matematika. Pengertian limit &ungsi merupakan k"nsep dasar yang banyak digunakan dalam kalkulus khususnya dalam hitung di&erensial. Pada suatu &ungsi y & 0F 4 bagaimana perilaku & 0F 4= jika F mendekati ( tetapi F(. *ebagai
+ x − -
x B
ilustrasi kita ambil &ungsi &0F4 F - dan g0F4 dan kita (ari berapa nilai &ungsi jika F mendekati - untuk itu kita buat tabel nilai &0F4 dan g0F4 untuk ma(am!ma(am nilai F sebagai berikut 9
+ x − -
x B
F
&0F4 F-
F g0F4
@.
-.
@.
-.
@.D
-.D
@.D
-.D
@.
-.
@.
-.
@.
-.
@.
-.
-.@@-
B.@@-
-.@@-
B.@@-
-.@-
B.@-
-.@-
B.@-
-.-
B.-
-.-
B.-
Akan terlihat bah%a nilai &0F4 mendekati B jika F mendekati - dan nilai g0F4 mendekati B jika F mendekati - dikatakan ;limit dari &0F4 adalah B jika F mendekati - ; dan ; limit dari g0F4 adalah B jika F mendekati -< masing!masing ditulis 9 lim
lim
x →-
x →-
0 F -4 B dan
+ x − -
x B
B
#ari dua ("nt"h limit &ungsi tersebut se(ara umum dapat dinyatakan bah%a 9 lim
x → c
&0 F 4 $ jika F mendekati ( maka & 0 F 4 mendekati $ dan ada serta F tidak perlu sama dengan (.
& 0(4 tidak perlu
lim
x →c
5ika ditulis &0 F 4 $ maka mengandung arti bah%a F mendekati dari dua arah yaitu F mendekati ( dari kanan dan juga F mendekati ( dari kiri ,entuk limit untuk ; F dipahami bah%a 9
O ; dinamai limit di tak berhingga. Mudah
lim
lim
x → ∞
x → ∞
F dan
x
@
#e&inisi limit &ungsi adalah sebagai berikut 9 :ungsi & dide&inisikan pada inter>al terbuka yang memuat ( mungkin pada ( tidak ada harga de&inisi. $imit &0F4 adalah $ untuk setiap F mendekati ( ditulis 9 lim
x → c
&0 F 4 $ 5ika untuk setiap bilangan p"siti& ∈ bagaimanapun ke(ilnya akan f 0 x 4 − L
didapat bilangan p"siti& δ sehingga
x − c < ∈ dipenuhi "leh @ <
<δ
C"nt"h 9 lim
x → 2
-. ,uktikan bah%a Penyelesaian 9
0 F ! 4 D dengan menggunakan de&inisi tentang limit.
Pembuktian terdiri atas dua bagian yaitu pertama ditunjukkan bah%a bilangan 2 adalah angg"ta inter>al &0F4 dan kedua ditunjukkan bah%a untuk setiap bilangan 0E x − 4 − D
p"siti& ∈ akan didapat bilangan p"siti& δ sehingga
< ∈ dipenuhi "leh @
x − 2 <
<δ
&0F4 F ! mempunyai inter>al 0 ! ∞ ∞ 4. 5elaslah bah%a bilangan 2 angg"ta inter>al tersebut b. 6arus ditunjukkan bah%a untuk ∈>@ akan didapat bilangan δ>@ sehingga a.
x − 2
0E x − 4 − D < ∈ dipenuhi "leh @ <
<δ
Misalkan ditetapkan bilangan p"siti& ∈ dan ditetapkan juga bilangan λ yang @ x − 2 < λ < - sehingga @ <
< λ < - Maka 9
E x − -B
0E x − 4 − D
E0 x − 24
< λ
0E x − 4 − D
,erarti untuk λ ∈7 maka dipenuhi < ∈. 5adi untuk bilangan p"siti& ∈ yang telah ditetapkan didapat bilangan δ yaitu δ ∈7. Terbuktilah 0E x − 4 − D
bah%a untuk ∈>@ yang ditetapkan didapat bilangan δ >@ sehingga x − 2 ∈ dipenuhi "leh @ <
lim
x → ∞
B.
B x B
<δ
+
2 x − D
2 x B +
6itunglah 9 Penyelesaian 9 lim
x → ∞
+ 2 x − D B 2 x +
B x
B
lim
B + 2 7 x − D 7 x
x → ∞
2 + 7 x
2+0−0 4+0
B
B
<
B
1
2
2
Teorema-teorema Limit Fungsi lim
lim
x → c
x → c
5ika &0F4 $ dan g0F4 M serta k b adalah k"nstanta sembarang maka berlaku te"rema!te"rema sebagai berikut 9 lim
x →c
-.
0 k F b 4 k ( b lim
lim
x → c
B.
x → c
k &0F4 k
&0F4 k.$
lim
lim
x → c
lim
x → c
x →c
Q &0F4 ± g0F4
. lim
x →c
lim g 0 x 4
x → c
1.
n
f 0 x4
n
0 M ≠ @ 4
n
x →c
lim
M
lim f 0 x4
n lim x →c [ f 0 x 4]
g0F4 $.M
L
lim g 0 x 4
x →c
D.
&0F4 .
lim f 0 x 4
f 0 x 4
x →c
x → c
x → c
&0F4.g0F4
g0F4 $ ± M
lim
lim
x → c
2.
&0F4 ±
Ln
untuk n bilangan bulat p"siti& sembarang
L
. berlaku jika $ p"siti& maka n harus bilangan bulat p"siti& dan jika $ negati& maka n harus bilangan bulat p"siti& ganjil C"nt"h 9 lim
x → −-
a4.
6itung
0 B 3 F 2F B 3 F 4
Penyelesaian 9
lim
lim
x → −-
lim
x → −-
0 B 3 F 2F B 3 F 4
B !
lim
lim
x → −-
x → −-
F
x → −-
2 FB !
F
B 3 0!4 20!-4 B 3 0 !-4 -@ x − -
lim
x → D
b4.
6itung Penyelesaian 9 x − - − B x − D
−
B
x − D
x − -
−
x
x − D
x −1
B
+
2
−1 +
2
.
x − -
+
B
lim
x → D
Maka
-
x − - − B x − D
lim
x − -
x →D
+
B
2
Limit Fungsi Trigonometri F
lim
sin F
-.
x → @
F sin F
Perhatikan limit &ungsi . Akan di(ari berapa nilai dari Perhatikan lingkaran dengan pusat 80@@4 dan jari!jari satu satuan berikut ini 9 Y
Besar sudut pusat QOP adalah x
S P
radisn. Ruas garis PR dan QS tegak lurus sumbu x .
x O
R
Q
X
Koordinat titiktitik pada gambar adalah! P"#os x$sin x%$ S"1$tan x% $ R"#os x$ 0% dan Q"1$ 0%
Maka didapat 9
$uas ∆ 8PR < luas sekt"r 8PS < luas ∆ 8*S
atau 9
-
-
B
B
("s F . sin F <
B
B
. F. - <
tan F
B
Karena @ < F <
π maka sin F > @. #engan demikian jika dikalikan dengan
B sin x
maka didapat 9 lim
lim
x →@
x →@
("s F < sin F
x → @
-< x →@
-
lim
sin F
("s x
x → @
<
F
lim
lim
F
< - atau
F sin F
#engan (ara sama di dapat rumus 9 lim
x → @
sin F F
B.
lim
x → @
. lim
x → @
2.
F tan F
-
tan F F
-
C"nt"h 9 lim
x → @
tan EF
lim
sin 1F
x →@
tan EF EF
. E
1
lim
x → @
.
EF
1F
sin 1F 1F
.
tan EF
lim
EF
x → @
.
1F sin 1F
-
-
B
B
. -. -
Kontinuitas Fungsi Andaikan d"main dari &ungsi &0F4 memuat suatu inter>al terbuka yang memuat ( maka 9 &0F4 disebut k"ntinu di ( jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi yaitu 9 & 0(4 ada
-.
lim
x → c
B.
&0F4 ada lim
x → c
.
&0F4 & 0 ( 4 *elanjutnya &0F4 dikatakan k"ntinu pada inter>al terbuka 0 ab 4 jika k"ntinu pada setiap titik dalam inter>al tersebut. 5ika suatu &ungsi &0F4 tidak memenuhi syarat k"ntinu disebut &ungsi disk"ntinu. C"nt"h -9
−2 x − B
x B
*elidiki k"ntinuitas &ungsi & 0F4
di F B
Penyelesaian 9
−2 x − B
x B
#iselidiki apakah tiga syarat &ungsi k"ntinu dipenuhi & 0F4 @
-.
@
&0B4 suatu harga tak tentu. 5adi &0B4 tidak ada Karena syarat - tidak dipenuhi maka &0F4 disk"ntinu di F B
#apat digambarkan sebagai berikut 9
&
X 2
C"nt"h B 9 x B − x B
*elidiki k"ntinuitas &ungsi & 0F4
+
-
di F -
Penyelesaian 9
& 0-4
-B ! -
-! -
@
-B + -
-+-
B
lim
lim F O-
&0F4
@ ada
x B ! -
- !-
@
+-
-+-
B
F O- x
B
lim F O-
&0F4 & 0 - 4 @ 5adi &0F4 k"ntinu di F -
@ ada
LI#IT 0!+$SI ALJABAR 1. Pengertian Limit 0ungsi Se2ara Intuiti&
$imit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh >ariabel &ungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap &ungsi tersebut. 'ntuk dapat memahami pengertian limit se(ara intuiti& perhatikanlah ("nt"h berikut9 x B − x − B
:ungsi & di de&inisikan sebagai & 0F4
x − B
@
5ika >ariabel F diganti dengan B maka &0F4
@
0tidak dapat ditemukan4
'ntuk itu perhatikanlah tabel berikut 9
F &0F 4
@ -
-B-
-D BD
-
-
B.@@
B@@
B@
BD
B
B
B
@ JJJ
@@
@
D
-
-
x
#ari uraian tersebut dapat disimpulkan bah%a & 0F4
− x − B x − B
B
9 mendekati
. jika F mendekati B baik didekati dari sebelah kiri 0disebut limit kiri4
maupun di dekati dari sebelah kanan 0disebut limit kanan4. #apat ditulis 9
lim
x
x → B
− x − B =E x − B
B
3. #enentukan Limit 0ungsi Aljabar Bila *ariabeln)a #endekati +ilai Tertentu
Menentukan limit dengan (ara diatas tidaklah e&isien. 'ntuk mengatasinya kita dapat menentukan nilai limit suatu &ungsi dengan beberapa (ara yaitu9
a. Subtitusi
Perhatikanlah ("nt"h berikut C%nt%h4 lim ( x
x → E
B
− ?)
Tentukan nilai
Pen)elesaian 4
Nilai limit dari &ungsi &0F4 F B 3 ? dapat kita ketahui se(ara langsung yaitu dengan (ara mensubtitusikan F ke &0F4 lim ( x x →E
B
− ? ) = EB − ? = A − ? =
-
Artinya bilamana F dekat maka F B 3 ? dekat pada B 3 ? 3 ? #engan ketentuan sebagai berikut9 lim f 0 x 4 = a
x → a
a4 5ika & 0a4 ( maka c
lim f 0 x4 = U
@
x → a
b4 5ika & 0a4
maka @
(4 5ika & 0a4
c
lim f 0 x 4 = @
x → a
maka
b. Pem&akt%ran
Cara ini digunakan ketika &ungsi!&ungsi tersebut bisa di&akt"rkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terde&inisi. Perhatikanlah ("nt"h berikut C%nt%h4
−A x →E x − E lim
Tentukan nilai
x
B
EB − A
5ika F kita subtitusikan maka & 04
E− E
=
@ @
.
Kita telah mengetahui bah%a semua bilangan yang dibagi dengan @ tidak
−A x →E x − E lim
terde&inisi. )ni berarti untuk menentukan nilai
x
B
kita harus
men(ari &ungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan n"l. 'ntuk menentukan &ungsi yang baru itu kita tinggal men&akt"rkan &ungsi & 0F4 sehingga menjadi9
x − E ( x − E)( x + E) = ( x + E). = ( x − E) x − E
−A x →E x − E lim
5adi
x
( x − E)( x + E) x →E ( x − E)
B
lim
lim ( x + E)
x → E
1 2. #erasi%nalkan Pen)ebut
Cara yang ke!tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasi"nalkan sehingga tidak terjadi pembagian angka @ dengan @. Perhatikanlah ("nt"h berikut C%nt%h4 lim
x
B
x → B
− E x + B x − B
Tentukan nilai
Pen)elesaian4
lim
x → B
x
B
− E x + B x − B
lim
x
B
x → B
− E x + B . x − B
x − B x − B
( x lim
x → B
B
−
(
E x + B ) x − B
(
x − B
)
B
( x − -)( x − B ) ( x − B ) B ( x − B )
lim
x →
lim ( x − -) x − B
x → B
( B − -).
B−B
-.@ @
d. #erasi%nalkan Pembilang
Perhatikanlah ("nt"h berikut C%nt%h4 lim
x →-
Tentukan nilai
Pen)elesaian4 lim
x →-
E x − B − 2 x − E x − -
E x − B − 2 x − E x − -
E x − B − 2 x − E x − -
lim
x →-
lim
x →-
(
E x − B
) ( B
E x − B + 2 x − E E x − B + 2 x − E
.
2 x − E
−
)
B
( x − -) ( E x − B + 2 x − E )
lim
x →-
−
x + -
( x − -) ( E x − B + 2 x − E )
lim
x →-
−
( x − -)
( x − -) ( E x − B + 2 x − E )
−E x − B +
lim
x →-
2 x − E
−E.- − B + −
-
2.- − E
−
-+ -
-
−
-+-
B
5. #enentukan Limit 0ungsi Aljabar Bila *ariabeln)a #endekati Tak Berhingga
,entuk
limit
&ungsi
aljabar
berhinggadiantaranya9 f 0 x4 U g 0 x 4
lim
x →
lim [ f 0 x 4 ± g 0 x 4]
x → U
dan
yang
>ariabelnya
mendekati
tak
'ntuk menentukan nilai limit dari bentuk!bentuk tersebut dapat dilakukan (ara!(ara sebagai berikut9 a. #embagi dengan pangkat tertinggi lim
x → U
Cara ini digunakan untuk men(ari nilai
f 0 x4 g 0 x4
. Caranya dengan
membagi &0F4 dan g0F4 dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada &0F 4 atau g 0F4. C%nt%h4
Tentukan nilai limit dari9 lim
x → U
a.
2 x − -
lim
B x + -
x → U
b.
2 x + x B − x
Pen)elesaian4 lim
x → U
a. untuk menentukan nilai dari
2 x − B x + -
perhatikan pangkat tertinggi
dari F pada & 0F 4 2F 3 - dan g0F4 BF -. ternyata pangkat tertinggi dari F adalah satu.
lim
x → U
2 x lim x x U B x x
2 x − B x + -
→
x + x −
x lim x U B+ x 2−
→
-
2−
U -
B+
U
2−@
2
B+@
B
B 2 x + -
x B
b. Perhatikan &ungsi h 0F4
−B
:ungsi tersebut memiliki F dengan
pangkat tertinggi B yaitu F B yang terdapat pada F B 3 B. jadi untuk
lim
x → U
2 x + x
B
menentukan nilai dengan FB . 2 x
lim
x → U
B
− x
+
B
−
lim x B x → U x
2 x + x
B
x
B
x B x
2 + x x B lim x U B -− B x →
2 U
+
-−
0U4 B
0U4B
@+@
B
-− @
B
− x
maka &ungsi 2F - dan F B 3 B harus dibagi
@ -
@
b. #engalikan dengan &akt%r la,an lim [ f 0 x4 ± g 0 x4]
x → U
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan
. 5ika kita
lim [ f 0 x4 ± g 0 x 4]
x → U
dimitai menyelesaikan
maka kita harus mengalikan V& 0F4
− g 0F4W V& 0F4 − g 0F4W V& 0F4
g 0F4 dengan
sehingga bentuknya menjadi9 V& 0F4 − g 0F4W
lim [ f 0 x 4 ± g 0 x 4]
V& 0F4 − g 0F4W
x → U
.
{V& 0F4W − Vg 0F4W } lim B
x→ U
& 0F4
B
− g 0F4
ataupun sebaliknya.
C%nt%h4 lim x B
x → U
Tentukan nilai dari
Pen)elesaian4
+
B x
−
x B + x
lim x B
B x
+
x → U
lim x
B
+
x → U
x B + x
−
B x
−
x
B
+ B x + x B + B x + x B
+
x
− x x B − x x B
. lim
x → U
( x
B
x B
+ +
B ) − ( x B B x
+
+
-)
x B − x
lim
x → U
E x x B + B x
+
x B − x
lim
x → U
E x x x B x B
B x + x B
+
x B x B
−
x x B
E -+ @ + -− @
E B
B. TE"RE#A LI#IT
Te"rema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat p"siti& k sebuah k"nstanta dan f, g adalah &ungsi!&ungsi yang mempunyai limit di a maka9
lim k = k
x → a
-. lim x = a
x → a
B. lim k
lim
x → a
.
x → a
& 0F4 k
& 0F4
lim
lim
x → a
2.
V& 0F4 X g 0F4 lim
& 0F4 X
lim
f 0 x 4
x →a
& 0F4 .
lim f 0 x 4
=
g 0 x 4
lim g 0 x 4
lim
x →a
x → a
dimana lim
. lim
x → a
g 0F4
x → a
1. x →a
g 0F4 lim
x →a
> V& 0F4 . g 0F4
x → a
x →a
lim
x →a
D.
lim
x → a
g0F4 @
lim
V& 0F4 n V n
f 0 x4
x →a
& 0F4n
= n xlim f 0 x4 →a
?.
dimana lim
x →a
& 0F4
≥
@ untuk n bilangan genap
lim
x →a
& 0F4 @ untuk n bilangan ganjil C%nt%h4
lim ( E x
x → 2
Carilah
a.
Pen)elesaian4
B
− x )
lim
x →E
b.
x
B
+A
B x
lim ( E x B − x )
lim E x
x → 2
a4
B
x → 2
− xlim x →2
0te"rema 24 lim x
− xlim x →2
B
x → 2
0te"rema 4 B
lim x
−
x →2
lim x
x →2
0te"rema 4
. 024 B 3 2
0te"rema B4
. -1 3 2
lim
x →E
b4
x
B
lim x B
+A
22
A
+
x → E
lim B x
B x
x →E
0te"rema 14 lim 0 x
B
x →E
+ A4
B lim x x →E
0te"rema ? dan 4 lim x B + lim A
x →E
x → E
B lim x x → E
0te"rema 24 0lim x 4
B
x →E
+ xlim A →E
B lim x x →E
0te"rema 4
EB
+A
B.E
0te"rema - dan B4 -? 1
E B 1
B B
