Universidad Austral de Chile
Informe de cata$ulta Universidad Austral %e Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Valdivia
Profesor: Pablo Vergara Nombres: Carla Aguilar Andrés Baima aviera Carmona !aría osé !era "ans #traussmann
Valdivia& Valdivia& '( de Noviembre del )*')
Informe de catapulta
de noviembre de 2012
INDICE 1. INTRODUCCION……………………………………………………….PÁG.3 2. OBJETIVOS……………………………………………………………..PÁG.4 )+' ,B-.IV, /-N-0A12222222222222222+2+P3/+4 )+) ,B-.IV,# -#P-C5FIC,#22222222222222+++P3/+4
3. MARCO TEORICO……………………………………………………..PÁG.5-12 6+' CIN-!A.ICA222222222222222222222+P3/+78( 6+) %IN3!ICA2222222222222222222222++P3/+9 6+6 C,N#-0VACIN %- 1A -N-0/5A22222222222+P3/+; 6+4 P0,C-%I!I-N.,22222222222222222++2+P3/+<8'6 6+4+' -N-0/5A2222222222222222+2+2++++P3/+''8'6
4. CONCLUSIONES……………………………………………………...PÁG.14 5. WEBGRAFÍA…………………………………………………………...PÁG.15
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1. INTRODUCCION 1os estudios = avances de la ciencia han $ermitido obtener datos concretos en sistemas físicos& metodol>gicos& es$aciales& etc+ resueltos $or el conocimiento de $ro$iedades inerciales& gravitatorias& cinem?ticas& entre otras+ -stas son algunas manifestaciones físicas las cuales $resentan diferentes com$ortamientos de la energía = la materia& afectando del mismo modo al tiem$o& al es$acio = a las interacciones de estos cuatro conce$tos entre sí+ .eniendo las herramientas de una de las disci$linas académicas m?s antiguas& e@$uesta $or $ersonaes como Arist>teles& Isaac Neton& Albert -instein& es $osible conocer en detalle el funcionamiento e@$erimental de una cata$ulta& resolviendo cu?n leos son dis$arados los $ro=ectiles& ue altura alcanDan = hasta ue $otencia describen sus $ro=ectiles+ !ani$ulada militarmente la cata$ulta fue creada como arma de asedio $ara guerras = conflictos de la -dad !edia& utiliDada $ rinci$almente $ara derribar murallas enemigas = tomar $or asalto los castillos+ -stas se $ueden diferenciar segEn su sistema de $oder& entre las ue se encuentran las cata$ultas ue funcionan con la energía suministrada $or la tensi>n& torsi>n& contra$eso = tracci>n+ -ste $ro=ecto llevar? el nivel te>rico a la $r?ctica& e@$oniendo las com$onentes necesarias $ara llevar a cabo el lanDamiento& ue dentro de esto se $odr? determinar en ué $untos caer? el obeto des$ués de haber $lanteado una serie de inc>gnitas ue a=udaran a reducir la hi$>tesis = convertirla en efecto+ +
2. OBJETIVOS 2.1.OBJETIVO GENERAL •
1ograr una meor com$rensi>n de los fen>menos físicos ue se llevan a cabo en lanDamientos $arab>licos& como la transformaci>n de la energía& la fuerDa de gravedad = las le=es ue com$renden estas+ Página 3
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2.2.OBJETIVOS ESPECÍFICOS •
Crear el $rototi$o de una cata$ulta de tensi>n& con materiales reciclables+
•
0econocer = analiDar los diferentes fen>menos físicos ue actEan en los
•
lanDamientos+ Cuantificar los cambios físicos a$licando las diferentes f>rmulas $ara
•
$redecir = corroborar los com$onentes de cada lanDamiento+ Una veD e@aminado los datos& se com$robara de manera e@$erimental& $ara ver si e@iste relaci>n entre lo te>rico = em$írico
3. MARCO TEORICO Antes de comenDar con el an?lisis físico8matem?tico del lanDamiento del $ro=ectil desde la cata$ulta& se dar? a conocer de donde $rovienen las ecuaciones ue se utiliDar?n $ara lograr un lanDamiento final efectivo+
3.1.CINEMÁTICA 1a cinem?tica es una rama de la física ue estudia las le=es del movimiento de los cuer$os& sin tomar en cuenta las causas ue lo $roducen& limit?ndose Página 4
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esencialmente& al estudio de la tra=ectoria en funci>n del tiem$o+ 1a aceleraci>n es el ritmo con ue cambia su ra$ideD+ 1a ra$ideD = la aceleraci>n son las dos $rinci$ales cantidades ue describen como cambia su $osici>n+ "acia '(*7 /alileo /alilei hiDo estudios del movimiento de caída libre = de esferas en $lanos
inclinados&
a
fin
de
com$render
as$ectos del movimiento relevantes en su tiem$o& como $or eem$lo el movimiento de los $lanetas = de las balas de ca>n+ -l nacimiento de la cinem?tica moderna tiene lugar con alocuci>n de Pierre Varignon en '9**+ Fue ahí cuando defini> la noci>n de aceleraci>n = mostro c>mo es $osible deducirla de la velocidad instant?nea con la a=uda de un sim$le $rocedimiento de c?lculo diferencial+ 1os elementos b?sicos de la cinem?tica son: es$acio& tiem$o = m>vil+ -n la mec?nica cl?sica se admite la
/alileo /alilei G'7(48'(4)H& astr>nomo& físico& filos>fico = matem?tico italiano& ue estuvo estrechamente relacionado con la revoluci>n científica+
e@istencia de un es$acio absoluto& es decir& un es$acio anterior a todos los obetos materiales e inde$endientes de la e@istencia de estos+ -ste es$acio es el escenario donde ocurren todos los fen>menos físicos& = se su$one ue todas las le=es de la física se cum$len rigurosamente en todas las $artes del mismo+ -l es$acio físico se re$resenta en la mec?nica cl?sica mediante un es$acio $untual euclidiano+
An?logamente& la mec?nica cl?sica admite la e@istencia de un tiem$o absoluto ue transcurre del mismo modo en todas las regiones del universo = ue es inde$endiente de la e@istencia de los obetos materiales = de la ocurrencia de los fen>menos físicos+ -l m>vil m?s sim$le ue se $uede considerar es el $unto material o $artícula& cuando en la cinem?tica se estudia este caso $articular de m>vil& se denomina cinem?tica de la $artícula& = cuando el m>vil bao estudio es un cuer$o rígido se le $uede considerar un sistema de $artículas = hacer e@tensos conce$tos& en este caso se le denomina cinem?tica del solido rígido& o del cuer$o rígido+
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3.2.DÍNAMICA 1a $rimera rama de la física en desarrollarse fue la din?mica+ -sta estudia el movimiento de los cuer$os = las fuerDas ue lo $rovocan+ Para las $ersonas del mundo actual el movimiento es fundamental $ara el des$laDamiento de una cosa en el es$acio& sin embargo& $ara los griegos movimiento era toda modificaci>n de un obeto o cosa& modificaci>n ue& naturalmente también $uede ser la de su $osici>n $or ello el término actual m?s $r>@imo a la com$rensi>n griega del movimiento es el término cambio+ -l $rimer a$orte im$ortante de la din?mica& se debe a /alileo /alilei+ Fue él = sus e@$erimentos sobre cuer$os uniformemente acelerados& los ue condueron Página 6
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a Isaac Neton a formular sus le=es fundamentales del movimiento& las cuales $resent> en su obra $rinci$al de JPrinci$ios matem?ticos de filosofía naturalJ en el siglo KVII+ -n la actualidad& los científicos consideran ue las le=es ue formul> Neton dan las res$uestas correctas a la ma=or $arte de los $roblemas relativos a los cuer$os en movimiento& sin embargo& e@isten e@ce$ciones+ -n $articular& las ecuaciones $ara describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuer$o viaa a altas velocidades o sim$lemente cuando los obetos son e@tremadamente $eueos en cuanto al tamao de estos+ 1a com$rensi>n de las le=es de la din?mica cl?sica le ha $ermitido al hombre determinar el valor& direcci>n = sentido de la fuerDa ue ha= ue a$licar $ara ue se $roduDca un determinado movimiento o cambio en el cuer$o+ A través de los conce$tos de des$laDamiento& velocidad = aceleraci>n es $osible describir los movimientos de un cuer$o u obeto sin considerar c>mo han sido $roducidos& disci$lina ue se dio a conocer anteriormente como lo es la cinem?tica+ Por el contrario& la din?mica es la $arte de la mec?nica ue se ocu$a del estudio del movimiento de los cuer$os sometidos a la acci>n de las fuerDas+ -s así como el c?lculo din?mico se basa en el $lanteamiento de ecuaciones del movimiento = su integraci>n+ Para esto se utiliDan las ecuaciones de la mec?nica netoniana directamente au@iliados de las le=es de conservaci>n+
3.3. CONSERVACIN DE LA ENERGÍA A $rinci$ios del siglo KIK& varios científicos =a se habían dado cuenta ue la energía se les $resenta de diferentes formas& como energía $otencia& energía cinética o energía térmica = los científicos tenían claro ue estas $odían convertirse de una u otra forma+ .ras esto a "ermann Von "elmhontD& ulius 0obert Von !a=er = el físico brit?nico ames Prescott oule formularon la le= de conservaci>n de la energía+ A los tres científicos anteriores se les atribu=e la le= de conservaci>n de la energía& $ero esta le= tiene un trasfondo& de donde sale = como em$ieDa su elaboraci>n: Página 7
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-n ';4* un alem?n llamado ulius 0obert !a=er se embarcaba con destino a la isla de ava+ %urante el viae descubri> algo ue le result> es$ecialmente llamativo: mientras $racticaba las habituales sangrías observ> ue la sangre no era de color roo oscuro& como estaba acostumbrado a ver en -uro$a& sino roo brillante+ !a=er uiso buscar una e@$licaci>n+ #abía ue el llamado calor animal& ue antao se confundía con la e@istencia de un fuego interno& era causado $or la combusti>n del o@ígeno de la sangre+ -ntonces& se $regunt> !a=er& Lno $odría funcionar el cuer$o humano de forma $arecida a una m?uina de va$orM 1a su$osici>n $rinci$al de !a=er era ue tanto el calor cor$oral como el esfuerDo ue realiDamos $rovienen de un mismo sitio+ 1a diferencia en el color de la sangre& decía !a=er& tiene su origen en ue al vivir en un lugar m?s c?lido el cuer$o necesita uemar menos o@ígeno $ara mantener la tem$eratura interna =& $or tanto& la sangre a$enas se oscurece+ 1a consecuencia directa de estos raDonamientos es ue toda la energía ue gastamos viene de lo ue ingerimos& $or lo tanto ha= conservaci>n de la energía+ -n ';4' !a=er generaliD> estas ideas al resto de la NaturaleDa = $ro$uso la e@istencia de un $rinci$io b?sico& el $rinci$io de conservaci>n de la energía+ #in embargo& nadie le hiDo caso+ !a=er lo tenía todo en contra: no era físico sino médico& adem?s lo acusaban de $lagueo $or las teorías científicas al uso& algo ue casi nunca se $erdona dentro de la gama de científicos+ Cuando $ocos aos des$ués el mérito de este descubrimiento se lo llev> el inglés ames oule = !a=er luch> $ara ue se le atribu=era el mérito de ser el $rimer descubridor de la le=+ -n ';4<& olvidado $or sus colegas& sufri> un cola$so mental = al ao siguiente uiso suicidarse+ #u estado $síuico era tal ue tuvo ue ser internado durante un ao en una instituci>n mental+ -l reconocimiento le lleg> al final de sus días aunue le sirvi> de mu= $oco+ "o= nadie le recuerda como el descubridor del $rinci$io de conservaci>n de la energía+
3.4.PROCEDIMIENTO Para comenDar el an?lisis del sistema se debe tener en cuenta ue la tra=ectoria de la $artícula lanDada& la cual describe un movimiento $arab>lico = es estudiado a través de las siguientes ecuaciones de cinem?tica: v =vo + at
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x = xo + vot + at 2
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2
v = vo + 2 a ( x − xo )
%onde: 8
v es la velocidad final ue alcanDa la $artícula+
8
vo
8
a es la aceleraci>n de la $artícula+
8
t
8
x es el des$laDamiento de la $artícula+
8
xo
es la velocidad inicial de la $artícula+ es el intervalo de tiem$o ue se considera+ es la $osici>n inicial de la $artícula+
%e las ecuaciones anteriores de des$renden las siguientes ecuaciones: 'H -n el ee @ el movimiento se describe a través de: 1
2
x = xo + vo cos θt + a t 2
)H A diferencia& en el ee el movimiento se describe como: 1
2
y = yo + vo sin θt + g t 2
2 %onde g es la aceleraci>n de gravedad G<&; m / s H+
1os datos ue son entregados en el $roblema a solucionar son: •
3ngulo con ue es lanDada la $artícula θ=?
•
Altura donde es lanDada la $artícula
•
yo = 0.33 m
+
%istancia recorrida $or la $artícula x =4 m +
a ue la aceleraci>n en el ee @ es cero& debido a ue describe un movimiento rectilíneo uniforme+ %e 'H obtenemos: vo =
x cos θ t
Pero $ara obtener vo se debe conocer el valor de t+ %e )H y =0 & =a ue la altura final es nula+ Página 9
Informe de catapulta 0 = yo + vo sin θt +
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g t
0em$laDando el valor anterior de vo : 0 = yo +
θ +¿
x
sin θt +
cos θt
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2
g t
2
g t
0 = yo + x tan ¿
3
g t −2 t y o tan θ = 2 x
3
θ= tan
−1 g t
−2 t y o 2 x
-valuando con los datos entregados: 3
θ= tan
−1 g t
−2 t y o 2 x
θ=50,5 °
Como el tiem$o ue la $artícula se demora en alcanDar el obetivo des$ués de ser lanDada $or la cata$ulta es t O '&*' s& se $uede obtener la velocidad inicial G vo ¿ de:
vo =
vo =
x cos θ t
4m cos50,5 ( 1,02 ) ( s )
vo =6,16 m / s
1a altura m?@ima alcanDa $or la $artícula est? dada $or Hm á x =
[
2
1 vo sin θ 2
g
2
]+
yo
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Hm á x =
1 2
[
]
(6,16 m / s )2 sin 50,52 +1 m 2 9,8 m / s
Hm á x =2,1 m
3.4.1. ENERGÍA -l trabao ue realiDa una fuerDa constante& F& ue actEa sobre un obeto se define como el $roducto de la com$onente de la fuerDa en la direcci>n del des$laDamiento del obeto $or la magnitud del des$laDamiento+ #i la fuerDa forma un ?ngulo de θ con el des$laDamiento s& el trabao realiDado $or F es: θ F cos ¿
¿
W =¿
1a energía cinética de un obeto de masa
m
ue se des$laDa con una
ra$ideD v se define como 1
K = m v
2
2
-l teorema del trabao = la energía cinética establece ue el trabao neto realiDado sobre un obeto $or fuerDas e@ternas es igual al cambio de energía cinética del obeto: W neto = K f − K i
1a energía $otencial gravitatoria de un obeto de masa m ue se encuentra a una distancia = $or encima de la su$erficie terrestre est? dada $or U = mgy
Una fuerDa es conservativa si el trabao ue realiDa sobre un obeto de$ende solo de las $osiciones inicial = final del obeto = no del camino seguido entre esas $osiciones+ %e una fuerDa $ara la ue esto no se cum$le se dice ue es no conservativa+
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-l $rinci$io de conservaci>n de la energía mec?nica establece ue si la Enica fuerDa ue actEa sobre un sistema es conservativa& la energía mec?nica total $ermanece constante+ K i + U i= K f + U f
1a energía $otencial el?stica almacenada en un resorte est? dada $or 1
U el = k x
2
2
%onde
k
es la constante de fuerDa del resorte = @ es la distancia de
com$rensi>n o e@tensi>n del resorte res$ecto a su $osici>n no alargada Gde euilibrioH+ 1a energía nunca se $uede crear ni destruir+ 1a energía se $uede transformar de una forma en otra& $ero la energía total de un sistema aislado siem$re es constante+ -1 trabao realiDado $or todas las fuerDas no conservativas ue actEan sobre un sistema es igual al cambio de energía mec?nica total del sistema: W nc =( K f + U f )−( K i+ U i )
#i un obeto rígido gira en torno a un ee fio con una velocidad angular & su energía cinética de rotaci>n es 1
K r = I ω
2
2
%onde I es el momento de inercia en torno al ee de rotaci>n+ L= Iω
%e lo anterior se infiere ue 1
2
1
K = I ω + m v 2
2
2
C!"!#$%"! Caso A
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ω
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E A =U el + U + K
%onde K = 0
Como el coeficiente de restituci>n GH es
k =
F x
k =12,8 ! / m
E A =U el + U
1
2
E A = k x + mgy 2
12,8
! m ( 28,4 −16,5 )2 + 0,063 kg 9,8 2 0,33 m m s 1
E A= ¿ 2
E A =906,5 " Em = K + U =0
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4. CONCLUSIONES #e $uede concluir ue mediante el an?lisis = la misma a$licaci>n de las le=es físicas& a=udan a e@$licar claramente el funcionamiento científico de una cata$ulta+ Por otro lado las ecuaciones e@$uestas a=udan a $ro$orcionar los datos necesarios $ara realiDar un contraste numérico en la $r?ctica& en donde se $uede ver ue el margen de error es mu= $eueo = $or lo tanto se $uede $redecir un lanDamiento sin ma=or dificultad+ A $esar ue los datos = valores maneados fueron realiDados en un sistema aislado& no hubo gran diferencia entre las condiciones ideales = la $r?ctica& $or lo ue efectos e@ternos como el aire& $resi>n atmosférica = tem$eratura no influ=en de manera considerable en la efectividad del lanDamiento+
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5. WEBGRAFÍA &""#'(())).*+,"$"!/%0,.(*%0,(*(FL2(1NO(67IE8R9C8TB(FL21 NO67IE8R9C8TB.#: &""#'(()))./$0+!,"!0!,.(0+,!;,(P;0"-F
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