laboratorio nº1 fisica II RAFAELO

28 de febrero de 2011

INFORME DE LABORATORIO Nº1 / MÓDULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL.

SIGLO: NIVELACIÓN ÁREA: FÍSICA II

DOCENTE: MAG. OPTACIANO L. VÁSQUEZ GARCÍA

TEMA: INFORME DE LABORATORIO Nº 1

EDUCANDO: RAFAEL ARAUCANO GERARDO

CÓDIGO: 092.0904.329

UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

1



INTRODUCCIÓN:

En esta nueva practica de laboratorio titulada “modulo de rigidez de un material”, se va determinar en forma experimental la constante elástica y el módulo de rigidez de un resorte helicoidal.

Cuando un cuerpo en nuestro caso un resorte, es sometido a fuerzas externas o fuerzas axiales, sufren esfuerzos de comprensión o de tención que provoca su deformación (deformación bastante pequeña), donde la deformación es proporcional al esfuerzo; esta relación se conoce como Ley de Hooke, en nuestro experimento haremos

que se cumpla esta ley,

trabajando en el rango elástico donde los materiales retornan a su forma original cuando les suspenden las cargas aplicadas. Y no nos pasaremos de este rango pues al pasarnos el cuerpo sufrirá una pequeña deformación y no regresara a su estado original.

Y a la relación entre el esfuerzo y la deformación se le denominada Módulo De Rigidez, y en esta práctica nos dedicaremos a enseñarles el cálculo y a calcularlo mediante el método dinámico, esperemos que se pueda entender las explicaciones; sin más que decir pasaremos al desarrollo de esta practica.


2



TITULO:

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 1 MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL

1. OBJETIVOS:

- Determinar la constante elástica de un resorte por el método dinámico.

- Calcular el módulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.


3



2. MATERIALES A UTILIZAR:

        

Un resorte helicoidal Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez Una regla graduada en milímetros Un vernier cuya sensibilidad es 0.01 mm. Un micrómetro cuya sensibilidad es 0,01mm. Pesas ranuradas y porta pesas. Una balanza Un cronometro Un nivel de burbuja

3. MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL : 3.1. VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS: Un método para calcular la constante elástica (k) de un resorte es el método dinámico el que comprende un movimiento armónico simple. Para mostrar esto, consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte tal como se muestra en la fig.1.

Fig.1 Instalación del equipo para hallar la constante elástica k de un resorte.


4



Si se desplaza al cuerpo una distancia ym a partir de la posición de equilibrio estático y luego se suelta sin velocidad inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un M.A.S. de amplitud ym . Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de newton en una posición arbitraria y esto es: y

(

)

...(1)

Por otro lado cuando el cuerpo está en la posición de equilibrio estático, la segunda ley de newton, se escribe:

(

)

(

)…(2)

Reemplazando la ec. (2) en (1), resulta:

( ) Haciendo

…(3)

, la ecuación (3), puede escribirse en la forma siguiente:

...(4) La ecuación (4) constituye la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple y su solución tiene la forma:

(

Donde:

) ...(5)

, es la amplitud del M.A.S. , es la frecuencia angular. , el angulo de desfasaje. El periodo de oscilación de la partícula es:

√ …(6)


5



Si se considera la masa efectiva del resorte (mrf), la ecuación se escribe de la forma:

√

(

)

…(7)

Si se taza una grafica t2 vs m la existencia (mrf), es el motivo por el cual la curva no pasa por el origen. La ec. (7) establece un medio como hallar el valor de la constante elástica de un resorte por el medio dinámico. LEY DE HOOK Esta ley establece que si se aplica una carga axial a un aun cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el “MODULO ELASTICO” o “DE RIGIDES”, siempre y cuando no se sobrepase el límite de proporcionalidad, esto es:

…(8) Donde:

es el esfuerzo normal, E es el modulo de elasticidad y

es la deformación

unitaria.

Si la carga aplicada al cuerpo es tangencial, esta producirá deformaciones angulares, en estas condiciones la ley de Hook establece: ...(9)

Donde: es el esfuerzo cortante, G es el modulo de rigidez y por cizalla.

la deformación unitaria

TORSION Llámese torsión a la deformación que experimenta un barra fija por uno de sus extremos y el otro sometido a un par de fuerzas (M = F.d), aplicado a un plano perpendicular al eje. Como se muestra en la fig. 2. La aplicación de la carga de torsión produce en la barra: -

Un desplazamiento angular de la sección en un extremo respecto del otro. Origina esfuerzos cortantes en cualquier sección de la barra.


6



Fig.2. cilindro sometido a un momento externo Para deducir la ecuación de torsión deben establecer las siguientes hipótesis. Hipótesis I: las secciones del árbol perpendiculares al eje longitudinal se conservan como superficies planas después de la torsión del árbol. Hipótesis II: todos los diámetros de la sección transversal se conservan como líneas rectas diametrales después de la torsión del árbol.

MOMENTO TORSOR En la figura 3. Se observa una barra sometido a un momento torsor M ex aplicado a un extremo de la barra. Una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente paralela al eje y recta, se tuerce formando una hélice AC al tiempo que la sección en B gira un ángulo , con respecto a la sección en A.

Fig.3. momento torsor aplicada a un árbol


7



El momento torsor viene expresado por la relación: Mt 

G Ip L

…(10)

Donde: Ip, es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por su centro,  es el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.

RESORTES HELICOIDALES: La fig.4a, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas estiradas bajo la acción de una fuerza axial P .el resorte está formado por un alambre de radio r, enrollada en forma de hélice de radio R, la pendiente de esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte. Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una posición m-m, y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección. Después de analizar la distribución de esfuerzos. La fig. 4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte superior del resorte, para que el resorte este en equilibrio, en la sección m-m, deberá actuar una fuerza de corte Pr y un momento MT=PR. El esfuerzo con cortante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:

(

)…(11)

En los resortes en los que el valor de r es bastante pequeño comparado con el valor R, la razón r / 2R = 0, Entonces:

…(12)


8



Fig.4 a. Resorte helicoidal sometido a carga axial

fig.4 b .D.C.L. de la sección m-m

ELONGACIÓN DE UN RESORTE La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando la teoría de la torsión. La fig.6, representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado como un “cuerpo libre” de longitud “dL”. …(13) Donde R es el radio del resorte, representado por OS en la figura y es el ángulo central en S de dL. Bajo la acción del momento de torsión, Mv, el radio Oa de la sección transversal del alambré girara hasta ocupar Ob. El punto de la aplicación de la fuerza O (punto C) descenderá verticalmente la distancia Ce. UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

Fig.6. deformación de un resorte helicoidal 9



…(14) Como el angulo es pequeña el arco cd puede considerarse como una recta perpendicular a OC, con lo que la ec. (14) se escribe.

…(15) De la grafica se observa que:

, con lo que la ec. (15)

y

se escribe:

(

)(

)(

)

…(16)

Donde es el ángulo de torsión correspondiente al elemento dL. Teniendo en cuenta la ec. (10), esté ángulo en función del momento torsor se escribe:

Reemplazando la ec. (17) en (16), resulta:

(

(

) (

)(

)

)(

)

…(18)

La distancia vertical , es la aporta del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la elongación total se obtiene integrando la ec. (18).

…(19)


10



…(20) Teniendo en cuenta que la longitud total del alambre es:

…(21) Donde N es el número de espiras del resorte, la ec. (20), puede escribirse:

(

)

(

(

)

)

…(22)

Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es

(

)

,

entonces la elongación se escribe:

(

) ...(23)

La ecuación 23 nos permite determinar experimentalmente el modulo de rigidez de un resorte siempre que se conozca: N = numero de espiras, K=constante del resorte, R=radio del resorte y r=radio del alambre.


11



4. METODOLOGÍA, ANOTACIÓN DE DATOS Y ESQUEMAS:

PARA DETERMINAR LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE: a. Se armo el equipo tal como se muestra en la figura 1, suspendiendo el resorte del soporte horizontal. b. Se midió la longitud (L0) del resorte sin deformar.

c. Se coloco el peso P1 en el extremo libre del resorte y se llevo lentamente hasta la posición de equilibrio estático. d. Se llevo el sistema resorte-pesa de la posición de equilibrio h1 a la posición h2 produciendo así un estiramiento h entre 2 a 3 cm. e. Se soltó y se dejo oscilar el sistema.

f. Después se midió con el cronómetro la duración de unas 10 oscilaciones. Se anotaron los datos en la tabla I. g. Se calculo el período de oscilación.

h. Se repitió todos los pasos de “a” hasta “g” para las demás pesas y se anotaron los valores en la tabla I Tabla I: datos y cálculos para halla k

Nº

5

Tiempo Promedio ( t )

Periodo ( T ) (s)

T2 (s2)

3.30

3.37

3.388

0.6776

0.459

4.59

4.60

4.60

4.56

0.912

0.831

5.1

5.07

5.11

5.15

5.112

0.1022

0.010

5.6

5.46

5.48

5.6

5.55

5.538

0.1107

0.012

6.10

6.12

6.10

6.02

5.96

6.06

0.1212

0.014

Masa (gr.)

Tiempo (s) 1

2

3

4

1

105

3.40

3.57

3.30

2

145

4.50

4.51

3

185

5.18

4

225

5

265


12



PARA CALCULAR EL MÓDULO DE RIGIDEZ DEL RESORTE. a. Con el Vernier y/o cronómetro se midió 12 veces el diámetro del resorte.se anotaron los valores en la tabla II b. Con el Vernier y/o cronómetro se midió 12 veces el diámetro del hilo del resorte en diferentes posiciones. Se anotaron los valores en la tabla II c. Se contaron el número de espiras que posee el resorte. Se anotaron los valor en la tabla II Tabla II. Datos y cálculos para hallar G

D(cm)

2,56

2.35

2.55

2.56

2.55

2.55

2.57

2.56

2.54

2.55

2.55

2.56

d(mm)

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

N

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

5. CUESTIONARIO

5.1. Con los datos de la tabla I y la ecuación (7), trazar una grafica colocando los cuadrados de los periodos de oscilación ( ) en el eje de las ordenadas y la masa (mi) en el eje de las abscisas, y a partir de ella determinar el valor de la constante elástica del resorte (k), así como la masa efectiva del mismo. a) Para el trazado de la gráfica T2 vs mí: Nº

5

Tiempo Promedio ( t )

Periodo ( T ) (s)

T2 (s2)

3.30

3.37

3.388

0.6776

0.459

4.59

4.60

4.60

4.56

0.912

0.831

5.1

5.07

5.11

5.15

5.112

1.022

1.044

5.6

5.46

5.48

5.6

5.55

5.538

1.107

1.225

6.10

6.12

6.10

6.02

5.96

6.06

1.212

1.468

Masa (gr.)

Tiempo (s) 1

2

3

4

1

105

3.40

3.57

3.30

2

145

4.50

4.51

3

185

5.18

4

225

5

265


13



Llevamos los datos de masa y T2 una hoja de Excel para obtener la recta y la ecuación de dicha recta, se obtuvo lo siguiente:

GRAFICA masa- T2 1.6 1.4680 y = 0.006x - 0.1102 R² = 0.9816 1.2250

1.4

T2 (S2)

1.2

1.0440

1 0.8310

0.8

Series1 Linear (Series1)

0.6 0.4590

0.4

Linear (Series1)

0.2 0 0

50

100

150

200

250

300

Masa en (gr)

Se obtiene la recta de color azul, la cual presenta la ecuación de la forma y=a + bx que con sus valores exactos es la siguiente:

y = - 0.110 + 0.006x Donde: a=- 0.110, b= 0.006 Datos finales con ajuste de curvas: n

1

2

3

4

5

X :Masa (gr.)

105

145

185

225

265

2

0.52

0.76

1

1.24

1.48

2

Y: T (s )

b) Para determinar la constante elástica del resorte (K): Hacemos uso de la siguiente fórmula: B = 42 K  K = 42 = 4 (3.1416)2 = 6579.7 gr. 1Kg. m 2 2 B 0.006(s /gr.) s 1000 gr. m

K = 6.5797 N m UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

14



Luego hallamos la variación de B:

=  (y – yi) 2 n ½  (n-2) n x2 – (x) 2  =  (0.59268) ( 5 ) ½  (5-2) 5 (187125)–(855625) 

 =  0.003513 = B  K = - 42 B = -4 (3.1416) 2 (0.003513) gr 2

B

(0.006)

2

s

2

1Kg m 1000 gr. m

 K =  3.852453 N/m

Error =  K = 3.852453 K

= 0.5855

6.5797

Error% = 5.855 % c) para determinar la masa efectiva del resorte: a = 42 mef  mef = aK K 42 mef = ( 0.110) (6.5797) (s2) (N/m) 4 (3.1416)2 mef = 0.0183331 s2 Kg m 1 1000 gr. s2 m 1Kg.

mef = 18.3331gr.


15



5.2. Con los datos de la tabla II y el valor de k obtenido hallar el modulo de rigidez del resorte (G) utilizando la ecuación (23), con su respectivo error absoluto y porcentual. D(cm)

2,56

2.35

2.55

2.56

2.55

2.55

2.57

2.56

2.54

2.55

2.55

2.56

d(mm)

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

N

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

53

Para hallar el módulo de rigidez del resorte (G): Usamos la ec. (23): G = 4NKR3 r4

Donde: R : radio del diámetro del resorte. r : radio del diámetro del hilo del resorte. N : número de espiras que posee el resorte.

Hallamos el promedio de ambos diámetros: D = Di = 30.45= 2.53cm. n 12 d = di n

= 14.39 = 1.2mm. 12

 R = 1.268 cm. = 12.68mm.

 r = 0.6mm.

K = 6.5797 N/m Reemplazando valores: G = 4(53) (6.5797) (12.68)3 (0.6) 4

N mm3 1000mm m mm4 m

G = 21.942 x 109 N m2

G = 21.942 Gpas.


16



Luego hallamos la variación del módulo de rigidez (G); está dada por:

G = G K + K

G R + G r R r

G = 4NR3 K +

12NKR2 R + r4

r4

-16NKR3 r r5

Donde:

R = Rmax – Rmin = 0.054 mm. 2

r = rmax – rmin

= 0.000 mm.

2

K = 3.852453 N/m

N = 53 espiras

Con estos datos:

G = G1 + G2 + G3 G1 = 4 (53) (12.68mm)3 4

(0.6 mm)

(3.852453 N/m) 1000 mm m

G1 = 12.8535 Gpas. G2 =

12 (53) (6.5797 N/m) (12.68mm)2 (0.6 mm)4

(0.054 mm) 1000 mm m

G2 = 0.00280 Gpas. G3 =

-16 (53) (6.5797 N/m) (12.68mm)3 (0.6mm)5

(0.000 mm) 1000 mm m

G3 = 0 pas. G = G1 + G2 + G3 G = 12.8535 + 0.00280 + 0.00 G = 12.8563 Gpas. Error = G = 0.585 G

Error % = 58.5 % UNASAM / FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

17


5.3.


¿Qué importancia tiene el determinar el módulo de rigidez de algunos materiales? Es importante porque con ella podemos calcular el esfuerzo cortante para diferentes deformaciones angulares que pudiera experimentar un resorte sometido a una carga tangencial.

5.4.

¿Cuáles son las posibles fuentes de error en la experiencia?    

Que el resorte no haya sido bien atado al soporte. Para hacer que oscile el resorte, se le estiro más de su deformación estática. Factor humano en la medición de los tiempos. No hayan sido oscilación netamente vertical.

7. RECOMENDACIONES

 

Cuidar que el estiramiento no supere el límite elástico del resorte. Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea un extremo de la trayectoria de la masa “m”.

8. BIBLIOGRAFÍA



GOLDEMBERG, J.



SINGER, F.

“Resistencia de materiales”, Edit. Harla S.A. México 1999.



BEER – JONSTHON

“Mecanica de materiasles”. Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993.



TIPLER, P.

“FISICA” Vol I Edit. Reverte. España 1994.

“Física General y Experimental”, Vol II Edit. Interamericana S.A. México 1972.


18



9. CONCLUSIONES

1.

Se determino la constante elástica de un resorte utilizando el método dinámico.

2.

También se determino

el modulo de rigidez de un cuerpo (resorte en nuestro

experimento).

3.

En la grafica hecha por el Excel vemos que la recta no pasa por el origen, eso se da por la existencia de (mrf) masa efectiva del resorte.

4.

El modulo de rigidez es necesario permite predecir el máximo valor de tensión o comprensión que se le puede dar a un material determinado.

5.

la experimentación se realizo bajo el “RANGO ELASTICO” , por ese motivo se cumplió la ley de HOOKE, aunque teniendo sus errores en la experimentación.

6.

Cuando un cuerpo (resorte en nuestro caso), está sujeto tanto a fuerzas internas como externas tiene un alargamiento o deformación, en estas condiciones se cumple la ley de Hooke.


19

laboratorio nº1 fisica II RAFAELO

Recommend Documents