ARMADURA PLANA PROBLEMA
Se tiene la armadura plana mostrada en la fgura 1, y se aplican cargas a ciertos nodos. Desp Desprreciá eciánd ndos ose e los los eec eecto tos s de temp temper erat atur ura a y de peso peso de cada cada barr barra, a, se pide pide determinar los esuerzos generados en cada barra de la estructura. Se considera que éstas poseen sección constante. Datos: Diámetro de las barras:
D =50 ( mm )
ódulo de !lasticidad: !lasticidad:
E=3.1∗10 ( N / mm
5
2
)
S"#$%&"' Se escoge un sistema coordenado de reerencia, se enumeran los nodos y los elementos de la armadura. (demás, se indican las posibles direcciones de los desplazamientos globales. !l signo de los resultados, indicará si éstas ueron correctamente asumidas.
Y X
)(*#( D! %"'!%)&+&D(D
NOD O
X(m m)
Y(mm )
1 / 0
1 / 1
1 1
ne 2 elementos 3barras4 5 elemen to
1 / 0
NODO S (1) (2)
GDL 1 2 3 4
1 /
1
0 0 9
/
/ 0
/
0 7
0 0 1
7 9 7
1
/
5
5
Le (mm)
1 1 -1-1. / 1 -1-1. /
Ae (mm2 )
167/. 167/. 167/. 167/. 167/.
Ee (N/mm 2 )
l
m
/.181
1
/.181
1
/.181
.551
0!0! 1
/.181
1
/.181
1
6 1 / 7 5 9 6 5 0 1 "btención de la atriz de ;igidez 7
167/. 167/.
1 1
/.181 31"10 #
.551
.551
1
Se sabe que:
k e =
( ) E∗ A l
e
[
l
2
l ∗m
l∗m ∗ 2 −l −l∗m
2
l
−
m −l∗m 2 −m
2
l m 2 l l∗m
− ∗
l m
− ∗
2
m l∗m 2 m
−
]
ne
K =
k ∑ =
e
e 1
K =
[
4.0579
0
0
0
− 4.0579
0
0
0
0
0
4.0579
0
−4.0579
0
0
0
0
0
0
0
5.4926
1.4347
− 1.4347
− 1.4347
−4.0579
0
0
0
−4.0579
1.4347
5.4926
− 1.4347
− 1.4347
0
0
0
0
−1.4347
−1.4347
6.9273
0
0
0
−1.4347
0
0
−1.4347
−1.4347
0
6.9273
0
−4.0579
1.4347
0
0
4.0579
0
0
0
8.1158
0
− 4.0579
0
0
0
0
0
− 4.0579
0
4.0579
0
0
0
0
0
− 1.4347
1.4347
−4.0579
0
5.4926
0
0
0
0
1.4347
− 1.4347
0
0
−1.4347
−4.0579
.
(plicación de la !cuación de ;igidez
F = K ∗Q
1. −1
−1
1.
[ ] [] 0
R1 R 2 R3 R4
0 0 0
0
Q5
K ∗
=
Q6 Q7 Q8 Q9 Q 10
−3000
0
−2000 −5000
0
%álculo de los desplazamientos globales ( partir del sistema de ecuaciones mostrado anteriormente, se obtiene un sistema reducido, eliminando las
;4 resulta de eliminar las flas y columnas 1, -, / y 0 de la matriz de rigidez original 3>4.
K =
[
4.0579
0
0
0
−4.0579
0
0
0
0
0
4.0579
0
−4.0579
0
0
0
0
0
0
0
5.4926
1.4347
0
0
0
−4.0579
1.4347
5.4926
0
0
−4.0579 .
0
0
0
0
0
4.0579
0
0
0 0
−1.4347 −1.4347 −1.4347 −1.4347
−1.4347 −1.4347 −4.0579 0 −1.4347 −1.4347 6.9273
0
0
0
−1.4347
1.
0
6.9273
0
−4.0579
1.4347
−1
0
0
0
8.1158
0
− 4.0579
0
0
0
−4.0579
0
4.0579
0
0
0
0
−1.4347
1.4347
−4.0579
0
5.4926
−1
0
0
0
1.4347
−1.4347
0
0
−1.4347
1.
(s? se tiene que:
K R =
[
6.9273
0
0
0
−1.4347
1.4347
0
6.9273
0
−4.0579
1.4347
−1.4347
0
0
8.1158
0
−4.0579
0
0
−4.0579
0
4.0579
0
0
−1.4347
1.4347
−4.0579
0
5.4926
−1.4347
1.4347
−1.4347
0
0
−1.4347
1.4347
@ el sistema reducido resulta:
]
[ ][ 0
6.9273
0
0
0
−1.4347
1.4347
−3000
0
6.9273
0
−4.0579
1.4347
−1.4347
0
0
8.1158
0
−4.0579
0
0
− 4.0579
0
4.0579
0
0
−1.4347
1.4347
−4.0579
0
5.4926
−1.4347
1.4347
−1.4347
0
0
−1.4347
1.4347
0
−2000 −5000
=
0
=inalmente, los desplazamientos globales son:
[ ][ ] 0
0
0
0
0
0
0
Q=
0
Q5 Q6
=
0.0123
−0.0472
Q7
−0.0123
Q8
−0.0521
Q9
Q10
−0.0246 −0.0841
%álculo de las ;eacciones %onocida la matriz A, remplazando en la ecuación de rigidez, se tiene:
[ ][ ] R1
−5000
R2
0
R3
10000
R 4
5000
0
F =
−3000
0
−2000 −5000
0
Donde:
=
0
−3000
0
−2000 −5000
0
][ ] Q5 Q6
∗
Q7 Q8 Q9
Q 10
[ ][ ] R1 R2 R3
R 4
−5000
=
0
10000 5000
%álculo de los esuerzos Se sabe que:
e
σ =
q1 E q2 l m ] ∗⌈ ⌉ ∗[ −l −m l q3 q4
()
e
Donde:
1
σ =
2
σ =
3
() E l
() E l
4
E l
[
∗−
2
()
σ =
σ
1
[
l
l
∗ −
3
[
l
∗−
( ) ∗[−
=
E l
−
−
m l
Q1 1 Q2 m ] ∗⌈ ⌉ =0 Q3 Q4
m
Q3 2 Q4 ⌉ m ] ∗⌈ -.07 Q7 Q8
l
−
Q3 3 Q4 m ] ∗⌈ ⌉ =3.6013 Q5 Q6
−m
Q5 4 Q6 ⌉ =−2.5465 m ] ∗⌈ Q1 Q2
m l
4
l
l
e
5
−
Q7 5 Q8 m ] ∗⌈ ⌉ =−1.0186 Q5 Q6
( ) ∗[−
l
−m
Q9 6 Q 10 ⌉ =0 m ] ∗⌈ Q5 Q6
()
l
Q7 7 Q8 l m ] ∗⌈ −m ⌉ = 2.5465 Q9 Q 10
()
σ =
6
σ
7
=
σ =
E l
E l
E l
5
[
l
m l
∗−
6
7
[
∗−
(s? se tiene que:
[ σ ] =
[][ ] σ 1
0
σ 2
2.5465
σ 3
3.6013
σ 4 σ 5 σ 6 σ 7
= −2.5465 −1.0186 0
2.5465
l
!1/.1B1C !--B1C D1 D-0 D/7 %onfguracion 1: •
!1, D1:
•
!-, D1:
!1,D-:
%ódigo en at#ab clc
% ---------DATOS--------------------% Número de nodos (nN) clc nN=input('Ingrese Número de Nodos = '); X=!eros(nN"#); $or i=&nN clc disp('Nodo') disp(i) =input('Ingrese oordend X = '); *=input('Ingrese oordend = '); X(i")=; X(i"#)=*; end % Número de elementos clc ne=input('Ingrese Número de elementos = '); N=!eros(ne"#); $or i=&ne clc disp('+lemento '); disp(i) disp('') disp('Nodos A relcionr') N(i")=input('Nodo Inicil () = '); N(i"#)=input('Nodo ,inl (#) = '); end % Dimetro clc opc=input('.Todos ls /rrs tienen el mismo dimetro0 SI () NO (1)& '); i$ opc==1 D=23; $or i=&ne clc disp('+lemento '); disp(i) disp('') d=input('Dimetro = '); D=2D;d3 end else disp('') d=input('Dimetro = '); D=d4ones(ne"); end % 56dulo de oung
clc opc=input('.Todos ls /rrs el mismo +0 SI () NO (1)& i$ opc==1 +=23; $or i=&ne clc disp('+lemento '); disp(i) disp('') e=input('56dulo de oung +=2+;e3 end else disp('') e=input('56dulo de oung +=e4ones(ne"); end
tienen ');
= ');
= ');
% Número de grdos de li/ertd conocidos clc n7=input('Ingrese Número de grdos de li/ertd conocidos = '); 8=!eros(n7"); $or i=&n7 8(i")=input('9:D = '); 8(i"#)=input('<lor = '); end ,=!eros(#4nN-n7"#); ,ord=!eros(#4nN-n7"#); clc $or i=&(#4nN-n7) ,(i")=input(':D donde ctú l ,uer! = '); ,(i"#)=input('<lor de l ,uer! = '); end ,ord(&end")=sort(,(&end")); $or i=&(#4nN-n7) $or =&(#4nN-n7) i$ ,(")==,ord(i") ,ord(i"#)=,("#); end end end ,=,ord >?=!eros(#4nN-n7); 7=!eros(#4nN");
% ---------@OS-----------------$ormt sBortg % @re de los elementos (mm#) elem=23; :D=23; e=23; le=23;
me=23; tr=23; A=23; >=!eros(#4nN); clc $or i=&ne % 5tri! elementos elem=2elem;i3; % 5tri! :rdos de i/ertd :D=2:D; #4N(i")- #4N(i") #4N(i"#)- #4N(i"#)3; % 5tri! ongitud de cd elemento X=X(N(i")"); X#=X(N(i"#)"); =X(N(i")"#); #=X(N(i"#)"#); longe=((X#-X)C#(#)C#)C1EF; e=2e;longe3; % 5tri! re =pi4D(i)C#GH; A=2A;3; % 5tri! de cosenos directores respecto de X lle=(X#-X)Glonge; le=2le;lle3; % 5tri! de cosenos directores respecto de mme=(#-)Glonge; me=2me; mme3; % 5tri! pr l rotci6n de coordens tr=2lleC# lle4mme -lleC# -mme4lle; lle4mme mmeC# -lle4mme -mmeC#; -lleC# -mme4lle lleC# lle4mme; -lle4mme -mmeC# lle4mme mmeC#3; % lculo de l 5tri! de ?igide! J=!eros(#4nN); J(#4N(i")-N(i")"#4N(i")N(i"))=tr(&#"&#); J(#4N(i")-N(i")"#4N(i"#)N(i"#))=tr(&#"K&H); J(#4N(i"#)-N(i"#)"#4N(i")N(i"))=tr(K&H"&#); J(#4N(i"#)-N(i"#)"#4N(i"#)N(i"#))=tr(K&H"K&H); J; J=+(i)4Glonge4J; >=>J; end T=2elem :D3
T#=2elem e le me3 > $or i=&(#4nN-n7) $or =&(#4nN-n7) >?(i")=>(,(i")",(")); end end >? 7?=inL(>?)4,(&end"#); $or i=&(#4nN) $or =&n7 i$ i==8(") 7(i")=8("#); end end $or J=&(#4nN-n7) i$ i==,(J") 7(i")=7?(J"); end end end 7 % lculo de l ,uer! totl (soluci6n) ,T=>47; ?ec=23; $or i=&n7 ?ec=2?ec;8(i") ,T(8(i"))3; end ?ec %lculo de es$uer!os S=23; $or i=&ne 8=7(:D(i")); 8#=7(:D(i"#)); 8K=7(:D(i"K)); 8H=7(:D(i"H)); s=(+(i)Ge(i))42-le(i) -me(i) le(i) me(i)3428;8#;8K;8H3; S=2S;s3; end S
