296
LA
HOUILLE
BLANCHE
N°
SPÉCIAL
A/1957
La lecture des ondes de coup de bélier sur le tracé de Bergeron, Reading of water hammer waves on a Bergeron diagram P A R A. SCHLAG PROFESSEUR DIRECTEUR
1HJ
A
L'UNIVERSITÉ
LABORATOIRE
Dans une conduite soumise au phénomène du coup de bélier, l'épure de Bergeron permet de déterminer les « états » pression-débit, en autant de sections de la conduite et en autant d'instants qu'on le désire. Elle permet aussi de connaître tes ondes d'Alliéui F et f exprimant tes variations conjointes de débit et de pression depuis l'origine du phénomène. En fait, le phénomène du coup de bélier consiste en une succession d'ondes qui parcourent la conduite, en se croisant et se réfléchissant plus ou moins complètement aux points singuliers : extrémités, changements de section, nœuds... Plutôt qu'à des ondes se superposant à l'état i n i t i a l , on a affaire à des ondes, à front plus ou moins raide, qui modifient l'état existant immédiatement avant leur passage. // est montré que ces ondes peuvent être lues sur l'épure de Bergeron. Leur considération conduit à l'établissement d'un tableau très représentatif du phénomène; elle permet aussi le calcul, souvent aisé, de tous les é t a t s successifs dans les diverses sections de la conduite.
L a s o l u t i o n des p r o b l è m e s d e c o u p d e bélier d a n s les c o n d u i t e s est b a s é e s u r les é q u a t i o n s c l a s s i q u e s d'Allievi :
et :
— ( c — c) = F ( / - - ^L)—f(t+ 0
JL)
() 2
D a n s ces é q u a t i o n s , F et f s o n t d e u x o n d e s de p r e s s i o n q u i p a r c o u r e n t la c o n d u i t e avec d e s vitesses égales à ± ci, et (g/a) F et (g/a) /, d e u x o n d e s d e v i t e s s e q u i a c c o m p a g n e n t ces o n d e s de pression. D a n s son r e m a r q u a b l e o u v r a g e : Du coup de bélier en hydraulique au coup de foudre en
DE
HÈGE,
I)'H YDIÏ A U M Q U E
GENERALE
Jn a pipe subjected to the phenomenon of water hammer, the Bergeron diagram allows the détermination of the pressure-ftow conditions in as many sections of the pipe and at any instant desired. One can also détermine the Âllievi wave F and f, expressing the twin variations of flow and pressure from the lime the phenomenon hegins. In fact, the phenomenon of water hammer consists of a succession of waves which traverse the pipe, passing and reftecting each other more or less entirely, between given points i.e. the ends of the pipe, changes in section, branches, etc. Rather than waves superimposing themselves f r o m t h e s t a r t , we have a System of waves, more or less sieep fronted, which modifu the state cxisting i m m e d i a t e l y aheacl. It is shown that thèse waves may be plotted on a Bergeron diagram. Their considération leads to the establishment of a chari which truely represents the phenomenon and also makes the subséquent calcula lion of ail the successive s h i t e s in the varions sections of the pipe easy.
électricité, L o u i s B E R G E R O N é n o n c e c o m m e suit les lois e x p r i m é e s p a r les f o r m u l e s d'Allievi : « 1° E n u n t e m p s et u n lieu q u e l c o n q u e s le l o n g d ' u n e c o n d u i t e , la v a r i a t i o n d e p r e s s i o n depuis Vorigine du phénomène e s t é g a l e à la s o m m e d e d e u x o n d e s de p r e s s i o n F et / q u i s'y c r o i s e n t à cet i n s t a n t ; « 2° S i m u l t a n é m e n t , la différence F — f de ces d e u x o n d e s est égale à a/g fois la v a r i a t i o n d e la v i t e s s e à ce t e m p s et e n ce lieu depuis Vorigine du phénomène. » (C'est n o u s q u i s o u l i g n o n s les m o t s « d e p u i s l'origine du p h é n o m è n e ».)
* La résolution directe des équations est assez s o u v e n t l o n g u e et p a r f o i s
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957006
d'Allievi difficile.
N"
SPÉCIAL
A/1057
A.
Mais, L o u i s B E R G E R O N a d é v e l o p p e et m i s a u point u n e m é t h o d e g r a p h i q u e de résolution act u e l l e m e n t b i e n c o n n u e de t o u s les h y d r a u l i ciens. D a n s la p r é f a c e à l ' o u v r a g e d e B E R G E R O N , M. E . G. B A R I L L O N , m e m b r e d e l ' I n s t i t u t , é c r i t : « D e t o u t ce q u i se lit s u r le b e r g e r o n , le lect e u r d u p r é s e n t v o l u m e se r e n d r a c o m p t e ; il p e u t ê t r e a s s u r é q u e d a n s ces v o y a g e s à t r a v e r s les c o n d u i t e s h y d r a u l i q u e s ou les r é s e a u x élect r i q u e s , d a n s l e s q u e l s L o u i s B E R G E R O N le g u i d e p a s à p a s et lui m o n t r e les m o i n d r e s p a r t i c u l a r i t é s , il a p p r e n d r a b e a u c o u p , et q u e s'il est d é j à p r é p a r é p a r la l e c t u r e d ' o u v r a g e s t r a i t a n t la question p a r des méthodes p u r e m e n t m a t h é m a t i q u e s , il a u r a le p l a i s i r d e r e c o n n a î t r e a u p a s sage d e s p h é n o m è n e s q u i , j u s q u ' a l o r s , n e lui étaient pas a p p a r u s d a n s toute leur clarté. » L e b u t d e l a p r é s e n t e n o t e est d e m o n t r e r u n d e ces a s p e c t s q u i , à n o t r e c o n n a i s s a n c e t o u t a u m o i n s , n ' a p a s e n c o r e été s i g n a l é .
O n s a i t q u e , p o u r le t r a c é du b e r g e r o n , on r e m p l a c e , d a n s l ' é q u a t i o n (2) les v i t e s s e s c p a r les d é b i t s Q. L e s é q u a t i o n s (1) et (2) d e v i e n n e n t ainsi : H
Hn
F
t
+ f{t+
JL
(4)
et : (Qo — Q)
a
•f
* \
^
a
(5)
S é t a n t la s u r f a c e d e la section t r a n s v e r s a l e de l a c o n d u i t e . L e t r a c é p e u t d o n n e r 1' « état » ( p r e s s i o n , débit) p o u r t o u t e s les s e c t i o n s et à lous les i n s t a n t s q u e l'on d é s i r e (*). C o m m e l'a m o n t r é B E R G E R O N (fig. 9 d e son o u v r a g e ) , il p e r m e t a u s s i d e c o n n a î t r e la g r a n d e u r des d e u x o n d e s d e p r e s s i o n en u n h e u et en
SCHLAG
u n t e m p s q u e l c o n q u e s où le r é g i m e est c o n n u . Si A>t est le p o i n t r e p r é s e n t a t i f d e Y état d a n s la s e c t i o n A à l ' i n s t a n t t, les o n d e s d e p r e s s i o n , d a n s c e t t e s e c t i o n , et à cet i n s t a n t , s o n t r e p r é s e n t é e s s u r le b e r g e r o n , p a r la m o i t i é d e s l o n g u e u r s m a r q u é e s 2 F et 2 / (fig. 1) (**). R e m a r q u o n s qu'il s'agit bien, c o m m e B E R G E RON l ' i n d i q u e l u i - m ê m e , d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de p r e s s i o n depuis l'origine du phénomène. Les ondes c o r r e s p o n d a n t e s de débit sont rep r é s e n t é e s p a r la m o i t i é d e s l o n g u e u r s : 2.
a
.F
et
2.
S^-.f a
Bien e n t e n d u , il s'agit e n c o r e d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de d é b i t depuis l'origine du phénomène.
L'image du phénomène, déduite directement des é q u a t i o n s d'Allievi, le r e p r é s e n t e donc c o m m e d û à la s u p e r p o s i t i o n à Vétat initial., d e s d e u x o n d e s F et / d e p r e s s i o n , a c c o m p a g n é e s des d e u x o n d e s d e d é b i t (gS/a) F et (gS/a) f. N o u s p e n s o n s q u ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p l u s fidèle et p l u s p a r l a n t e c o n s i s t e r a i t à c o n s i d é r e r que chaque état d a n s u n e section q u e l c o n q u e r é s u l t e de l'état immédiatement précédent dans la m ê m e section, modifié p a r le p a s s a g e , l ' a r r i vée ou r é m i s s i o n d ' u n e ou p l u s i e u r s o n d e s c o n j o i n t e s d e p r e s s i o n et d e débit, c i r c u l a n t d a n s chaque tronçon à caractéristique unique. A u x o n d e s [ F , (gS/a) F ] et [f,(gS/a)f], superposées à l'état initial,, n o u s p r o p o s o n s d e s u b s t i t u e r , p o u r c h a q u e i n t e r v a l l e d e t e m p s , u n e ou p l u s i e u r s o n d e s se superposant à Vétat At p o u r d o n n e r l ' é t a t i m m é d i a t e m e n t s u i v a n t Àt' L ' e x p o s é d e n o t r e c o n c e p t i o n est p l u s s i m p l e d a n s le cas d ' u n e p e r t u r b a t i o n d e c a r a c t è r e i n s t a n t a n é , e n t r a î n a n t d a n s les d i v e r s e s s e c t i o n s d e la c o n d u i t e des v a r i a t i o n s brusques d'état. Nous nous placerons d'abord d a n s cette hypothèse. Nous a u r o n s , p a r exemple, d a n s u n e section q u e l c o n q u e où la p r e s s i o n à l ' o r i g i n e é t a i t H la s u c c e s s i o n des p r e s s i o n s r e p r é s e n t é e figure 2, 0
FIG.
(*) N o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s H e t Q p o u r l e s « é t a t s » e t 7i et q p o u r l e s p r e s s i o n s e t d é b i t s t r a n s portés p a r les ondes.
2
(**) B e r g e r o n é c r i t ( p . 15) q u e « ce n ' e s t l à q u ' u n e curiosité s a n s intérêt p o u r la r é s o l u t i o n des p r o b l è m e s q u i se p o s e n t .
LA H O U I L L E
298
Selon l a c o n c e p t i o n c l a s s i q u e , l a p r e s s i o n est é g a l e à l a p r e s s i o n à l ' o r i g i n e H a u g m e n t é e d e l a s o m m e a l g é b r i q u e ( F + f) d e s p r e s s i o n s des o n d e s d'Allievi. Nous proposons de considérer que la press i o n H* r é s u l t e d e l a p r e s s i o n e x i s t a n t à l ' i n s t a n t p r é c é d e n t H _ a u g m e n t é e d e l ' o n d e (ou d e la s o m m e d e d e u x o n d e s ) d e p r e s s i o n h. 0
t
l 5
E n n o u s r e p o r t a n t à l a l i g u r e 1, n o u s v o y o n s a i s é m e n t q u e l ' o n d e [ F , (gS/a) F ] p e u t ê t r e r e p r é s e n t é e p a r le v e c t e u r A O . a e t l'onde [ A ( # S / a ) f]
par
le v e c t e u r
a.
N° SPÉCIAL A/1957
BLANCHE
Si les p o i n t s At e t At' s ' a l i g n a i e n t s u r u n e d i r e c t i o n 4 ~ o u — a, c e l a signifierait q u ' u n e s e u l e onde serait à envisager.
* P o u r mieux illustrer notre conception, nous a v o n s t r a i t é le d é b u t d u p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r d a n s le c a s s i m p l e s u i v a n t : Conduite constituée de d e u x t r o n ç o n s AB et BC, l o n g s r e s p e c t i v e m e n t d e 100 e t 180 m , d e s e c t i o n s 0,1 e t 0,2 m e t p o s s é d a n t d e s c é l é r i t é s r e s p e c t i v e s d e 1.000 e t 900 m / s . Si le t r o n ç o n A B est a i n s i p a r c o u r u p a r l ' o n d e e n u n t e m p s h/ùx 2
At.
Considérons m a i n t e n a n t deux états consécutifs d a n s u n e m ê m e s e c t i o n (fig. 3) Af e t A f .
FIG.
3
L e s o n d e s d'Allievi ( d e p u i s le d é b u t d u p h é n o m è n e ) s o n t r e p r é s e n t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r les t r a c é s v e c t o r i e l s A O . a . A f et A O . a ' . A f . P o u r p a s s e r d e l ' é t a t Af à l ' é t a t i m m é d i a t e m e n t s u i v a n t A f , o n voit q u ' o n p e u t s u i v r e le tracé vectoriel dessiné en trait fort Af.fc.Af. L e s v e c t e u r s At.b e t fc.Af r e p r é s e n t e n t p r é c i s é m e n t r e s p e c t i v e m e n t les o n d e s i n c i d e n t e et réfléchie q u e n o u s p r o p o s o n s d e c o n s i d é r e r . Ces v e c t e u r s s o n t s o u v e n t d e s s i n é s à p r i o r i s u r le bergeron. Ces o n d e s s e r o n t é v i d e m m e n t s o u m i s e s , e n ce q u i c o n c e r n e le coefficient a n g u l a i r e d e s v e c t e u r s q u i les r e p r é s e n t e n t , à l a m ê m e r è g l e d e s i g n e q u e les o n d e s [ F , (g$/a)F] et [/, (gS/a)f] : coefficient angulaire négatif pour l'onde [ F , (gS/a) F ] q u i r e m o n t e l a c o n d u i t e e t coeffic i e n t a n g u l a i r e positif p o u r f o n d e [/"> ( # S / a ) / ] q u i d e s c e n d la c o n d u i t e . Ce coefficient a n g u l a i r e e s t =t gS/a. P o s o n s , p o u r la facilité d e l ' é c r i t u r e , gS/a — a. Nous écrirons donc : pour
une onde
remontant
la conduite
pour
une onde
descendant
la conduite
: h — — aq : h
=
-f-
a
g
20,00 FIG.
-354,24 4
N°
A. SCHLAG
SPÉCIAL A/1957
q u e n o u s p r e n o n s c o m m e u n i t é d e t e m p s , le t r o n ç o n BC s e r a p a r c o u r u e n u n t e m p s égal à 2 unités. C o n d i t i o n s i n i t i a l e s : p r e s s i o n H = 200 m ; débit Q = 200 1/s. Coup d e b é l i e r créé p a r la f e r m e t u r e c o m p l è t e et i n s t a n t a n é e d e l ' e x t r é m i t é C. O n n e t i e n t pas compte du frottement. L e s d i v e r s états o n t été relevés s u r le b e r g e r o n et r e p o r t é s à la figure 4 s o u s la f o r m e c o n v e n t i o n n e l l e H / Q (*). O n c o n s t a t e r a q u e , a i n s i q u e cela est c o n n u , e n u n p o i n t q u e l c o n q u e , ces états varient d'une façon discontinue. Les divers états sont séparés p a r des droites o b l i q u e s q u i r e p r é s e n t e n t les o n d e s q u e n o u s p r o p o s o n s d ' e n v i s a g e r et q u i c i r c u l e n t à chaque instant d a n s la conduite; nous avons indiqué l e u r s v a l e u r s . Il n e s'agit d o n c p a s des o n d e s [F, (gS/a) F ] et [fAgS/a)f]) exprimées depuis l'origine d u p h é n o m è n e . Si n o u s d é s i g n o n s p a r H ' / Q ' et H " / Q " d e u x é t a t s consécutifs dans une m ê m e s e c t i o n , ce s o n t ces o n d e s q u i font p a s s e r H ' à H " et Q ' à Q". P a r e x e m p l e , l ' é t a t d e la s e c t i o n b, a u m i l i e u de BC, a v a n t le t e m p s 4, est : 0
0
299
et p o u r l ' o n d e réfléchie : h = zp oc q r
(2)
r
p u i s q u e ces d e u x o n d e s c i r c u l e n t e n s e n s verses. L ' é t a t , q u i é t a i t Qt/B. avant l'arrivée l ' o n d e z et sa réflexion, d e v i e n t a p r è s ;
inde
t
Qt+i/Hf . + 1
L ' é t a t (t -f- 1) suivantes :
doit
satisfaire
H,
+ 1
= H, +
+ 1
,
aux
équations
t + 1) = 0
(3)
+ h = H , ± a (q, — q ) r
Qt+i =
(4)
r
Q* +
?« +
?r
(5)
Si H;, Q h et q s o n t c o n n u s , les é q u a t i o n s (3), (4) et (5) p e r m e t t e n t d e d é t e r m i n e r q , Q +i et (2) d o n n e e n s u i t e h . h
t
i
r
t
r
Examen de quelques cas particuliers A)
Le
débit Q est constant envisagée : Q = Q .
à
Vextrémité
0
126,59/ — 7 5 , 8 9 ; Supposons qu'il arrive u n e onde incidente hi/qi et q u e n a i s s e u n e o n d e réfléchie : h /q :
au t e m p s 4, il y a r r i v e d e u x o n d e s :
r
hi
— 4 8 , 0 5 / 1 0 4 , 6 7 et — 1 2 6 , 5 9 / — 275,89.
=
d=
a qt
H =
r
a q
r
r
L e s é q u a t i o n s (3), (4) et (5) d e v i e n n e n t :
P a r conséquent, l'état du point b après 4 devient :
Q t + i === Qo H
H = 126,59 — 48,05 — 126,59 = — 48,05
t + 1
(3)
= H* ± a ^
— q)
(4)
r
0 = qt + q
(5)
r
Q = — 75,89 + 104,67 — 275,89 = — 247,11
La résolution donne : q = — qi r
De c e t t e c o n c e p t i o n p h y s i q u e d u p h é n o m è n e du c o u p de bélier, o n p e u t d é d u i r e u n e m é t h o d e de c a l c u l e x t r ê m e m e n t s i m p l e et d o n t le m é c a n i s m e est, p e n s o n s - n o u s , t r è s i n t u i t i f .
Cas général
ht = hr H * i = H* + 2 ht +
B)
La
pression envisagée
est constante : H — H .
Vextrémité
0
Les é q u a t i o n s (3), (4) et (5) s ' é c r i v e n t
Supposons qu'à une extrémité d'un tronçon à caractéristiques u n i q u e , existe o b l i g a t o i r e m e n t u n e loi 9 (Q, H, f) = 0 r e l i a n t le débit et la p r e s sion et q u ' i l y a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e h /q Cette o n d e se réfléchit t o t a l e m e n t ou p a r t i e l l e m e n t e n u n e o n d e réfléchie h /q . Pour l'onde incidente : %
r
h; = ± a q
H^x-Ho 4
Q*+i =
r
Q* +
g* +
La résolution donne : ?; = 9V d'où : r
et : Q
w
= Q
t
+ 2 q t
)
(4)
r
ht = — h 1/s.
: ( 3
0 = « ( ç — q)
it
(1)
;
(*) H e x p r i m é e n m è t r e s e t Q e n
à
?r
(5)
LA
300
C) Q passe
brusquement
HOUILLE
E)
de Q à Q t + i *
Cas
d'une
bifurcation
+
r
r
r
D a n s u n d e s t r o n ç o n s de la b i f u r c a t i o n a r r i v e u n e o n d e hjq^ U n e o n d e h /q e s t réfléchie d a n s ce t r o n ç o n e t d e s o n d e s h' /q' e t h" /q" sont é m i s e s d a n s les d e u x a u t r e s t r o n ç o n s . Compte tenu d u sens de circulation des ondes d a n s les d i v e r s t r o n ç o n s , o n a : r
h =
DR
a q
K
Q=
a QR
t
H,
+ h = H ( ± a q
H
r
t
r
Nous en déduisons :
=
Iï
Q t + l — Q/
h = H t + 1
h"
=
r
±*q
r
r
r
T
i
R
— zïz a ' q'r
r
r
r
Q* +
et :
simple.
t
L e p r o b l è m e se p o s e u n p e u d i f f é r e m m e n t . O n c o n n a î t H^, et Q * i . Il n ' y a p a s d ' o n d e i n c i d e n t e , m a i s il y a é m i s s i o n d ' u n e o n d e , q u e n o u s continuerons conventionnelfement à appeler « réfléchie » h /Qr avec h = DT a g . Nous p o u r r o n s écrire : Q*+l =
N° SPÉCIAL A/1957
BLANCHE
D=
a" q"
r
r
= H + 7ï f
A u n œ u d , à c h a q u e i n s t a n t H e s t le m ê m e q u e l q u e soit le t r o n ç o n q u e l ' o n c o n s i d è r e ; d e p l u s ,
r
Q = Q ' + Q"D,) Vextrémité l'origine
du tronçon envisagée d'un autre tronçon»
est Nous aurons donc à l'instant H,
E n B, a r r i v e u n e o n d e i n c i d e n t e : hjq
avec h =
%
i
E l l e e s t p a r t i e l l e m e n t réfléchie d a n s ce t r o n çon, e n u n e o n d e h /q a v e c h = + a g , et u n e o n d e h /q e s t é m i s e d a n s le d e u x i è m e t r o n ç o n d a n s la m ê m e d i r e c t i o n q u e l ' o n d e h /q : r
f
f
T
T
r
r
t
h"
r
r
Qt
+
Qi
+ qr
=
+
r
i
K=
= H, + Ih + h,. = U + h' = H, +
et :
±zaq
i
+ 1
t + 1 :
Q t+
Q'h-I
1
i
±z a ' q'
r
a C i — *q
ou A v a n t l ' a r r i v é e d e l ' o n d e , il y a v a i t m ê m e s p r e s s i o n s H et m ê m e s d é b i t s de p a r t et d'aut r e d e la s e c t i o n B . A p r è s c e t t e a r r i v é e , il y a e n c o r e égalité d e s p r e s s i o n s H * et é g a l i t é d e s débits Q . D a n s le t r o n ç o n p a r où a r r i v e l ' o n d e hjqi :
=
r
*'q'
r
=
*'q'
r
*"q"r
t
7i +
?r
:
+ 1
t + 1
soient trois équations q u i p e r m e t t e n t ver les t r o i s i n c o n n u e s :
de trou-
H Î = H, + A, + h f+
r
Qt+,
=
Q t ° +
q
+
t
q\
q
T
aa -f- a a
Dans l'autre tronçon : Hj+i =
H + t
h'
q
r
r
Q. + l = Q. + q'r
=
-]- a a
2aa' aa -f- a a - j - a a 9* aa •— a a -f- a a aa' + a a - j - a a
L a r é s o l u t i o n d e ces é q u a t i o n s d o n n e : a — a' a + a'
On en déduit facilement
h' ,
+ 1
r
et
Qh-I-
2a a + a'7 (*) C e s f o r m u l e s s o n t a n a l o g u e s à c e l l e s q u e T o n r e n contre dans la théorie du passage d'une onde lumineuse p l a n e d ' u n m i l i e u d ' i n d i c e U d a n s u n a u t r e d ' i n d i c e U, lorsque le plan d'onde est parallèle a u plan de séparation d e s d e u x m i l i e u x . E n t r e les a m p l i t u d e s de ces ondes, on a les relations : 2 «2 =
a
,
'
;
a -F
a
Oi
Si les t e m p s d e p a r c o u r s d e s o n d e s d a n s les divers tronçons avaient u n e c o m m u n e mesure, d e u x ou t r o i s o n d e s p o u r r a i e n t a r r i v e r e n m ê m e t e m p s a u n œ u d ; il suffirait a l o r s d e c o n s i d é r e r s é p a r é m e n t c h a c u n e d e s o n d e s i n c i d e n t e s e t de faire la s o m m e , p o u r c h a q u e t r o n ç o n , d e t o u t e s les o n d e s réfléchies ou é m i s e s .
a — a'
(Vr ~
ai a
F)
Cas
d'une
manœuvre
progressive.
-|~ a'
a v e c a ~ c/v : a' = c/y' c .'vitesse d e l a l u m i è r e d a n s l e v i d e , i/ : v i t e s s e s d a n s l e s m i l i e u x c o n s i d é r é s .
N o u s a v o n s j u s q u ' i c i , d a n s les e x e m p l e s q u e nous avons traités, supposé q u e la m a n œ u v r e
N° SPÉCIAL A/1957
A,
301
SCHLAG
g é n é r a t r i c e d u c o u p de bélier é t a i l i n s t a n t a n é e . Si elle é t a i t p r o g r e s s i v e , il f a u d r a i t la c o n s i dérer c o m m e constituée d'une succession de petites m a n o e u v r e s i n s t a n t a n é e s . Il y a u r a i t à c h a q u e i n s t a n t é m i s s i o n , c i r c u l a t i o n , réflexion, e t c . d e p e t i t e s o n d e s , r e m p l a ç a n t les m o d i f i c a t i o n s c o n t i n u e s r é e l l e s d e p r e s s i o n et de débit.
Conclusion L a c o n c e p t i o n d u p h é n o m è n e d u c o u p d e bélier q u e n o u s a v o n s e x p o s é e ici r é s u l t e directement du t r a c é d e B E R G E R O N . N O U S p e n s o n s q u e t o u t e n n ' e n é t a n t p a s différente e n p r i n c i p e , elle corr e s p o n d d e p l u s p r è s à la r é a l i t é p h y s i q u e q u e celle o ù l'on fait i n t e r v e n i r d e s o n d e s a y a n t p r o v o q u é d e s v a r i a t i o n s d e p r e s s i o n et d e d é b i t « d e p u i s l ' o r i g i n e d u p h é n o m è n e ». Nous en avons déduit : — Un tableau de représentation très intuitif du p h é n o m è n e (fig, 4 ) ; — U n e m é t h o d e d e calcul, s o u v e n t s i m p l e et a u s s i e x a c t e q u ' o n le d é s i r e , d e s « é t a t s »
s u c c e s s i f s d ' a u t a n t d e s e c t i o n s q u e l'on v e u t , ainsi que des « ondes » q u i circulent d a n s la c o n d u i t e ou le r é s e a u . Nous ne prétendrons pas que cette m é t h o d e soit s u p é r i e u r e à celle i m a g i n é e p a r B E R G E R O N . Celle-ci p o s s è d e d e s a v a n t a g e s b i e n c o n n u s : s i m p l i c i t é et a u t o m a t i s m e d ' a p p l i c a t i o n q u i p e r m e t t e n t d ' e n confier l ' e x é c u t i o n à u n d e s s i n a t e u r s o i g n e u x , facilité é g a l e m e n t d e r e p é r e r u n e erreur éventuelle, etc. Nous pensons cependant que notre méthode n'est pas dépourvue d'intérêt. Elle pourrait m ê m e p a r f o i s r é c l a m e r à s o n t o u r , e n sa f a v e u r , c e r t a i n s a v a n t a g e s , p a r e x e m p l e , si l'on d é s i r a i t c o n s i d é r e r u n a m o r t i s s e m e n t de l ' o n d e a u c o u r s d e s o n t r a j e t . Il suffirait a l o r s d a n s le c a l c u l de tenir compte que l'onde émise à u n e extrémité d'un tronçon de conduite, arrive à l'autre e x t r é m i t é , affectée d u coefficient d ' a m o r t i s s e m e n t c o n v e n a b l e . I l n e s'agit p a s , b i e n e n t e n d u , d'une perte de pression p a r f r o t t e m e n t h y d r a u l i q u e , m a i s d ' u n v é r i t a b l e a m o r t i s s e m e n t tel q u e celui q u e s u b i s s e n t les o n d e s d e c h o c se t r a n s m e t t a n t d a n s les c o r p s s o l i d e s .
D I S C U S S I O N Président
: M.
M. l e P r é s i d e n t r e m e r c i e M. S C H L A O e t s o u l i g n e l ' i n t é rêt d i d a c t i q u e d e sa n o u v e l l e i n t e r p r é t a t i o n de la célèbre m é t h o d e g r a p h i q u e ; il s o u h a i t e q u e les ingénieurs des h u r e a u x d ' é t u d e s u t i l i s e n t d a n s divers cas t y p e s la méthode de M. B E R G E R O N suivant le procédé de M. S C H L A G e t n o u s f a s s e n t c o n n a î t r e , à l a l u m i è r e d e l e u r e x p é r i e n c e les a v a n t a g e s et i n c o n v é n i e n t s q u ' e l l e présente en p r a t i q u e p a r r a p p o r t a u x m o d e s d'emploi usuels. M. l e P r é s i d e n t sait t o u t pax*ticulièrement gré à M. S C H L A G d ' a v o i r a d o p t é u n e s u g g e s t i o n f a i t e e n s o n t e m p s p a r M. l e P r é s i d e n t B A R R I L L O N e t s u i v a n t l a q u e l l e , en hommage à son é m i n e n t inventeur, on devrait appeler l'épure qui vous occupe un « bergeron », t o u t c o m m e e n s t a t i q u e g r a p h i q u e l ' o n d i t u n « c r e m o n a » et n o n u n e é p u r e de C r e m o n a . D e v a n t l e s r e m a r q u e s f o r t i n t é r e s s a n t e s d e M. S C H L A G q u i l ' o n t c o n d u i t à u n m o d e d e c a l c u l i n é d i t , M. P a u l BERGERON v o u d r a i t essayer de m o n t r e r sommairement les d i f f é r e n c e s qui, à son avis, existent entre les m o j ' e n s p r o p o s é s p a r MM. A L L I E V I , S C H L A G e t L . B E R GERON p o u r la solution du m ê m e problème. C o n s i d é r o n s le c a s s i m p l e d ' u n e f e r m e t u r e p r o g r e s sive de l o i q u e l c o n q u e s u r u n e c o n d u i t e gravitaire. R a i s o n n o n s s u r l ' é p u r e t r a c é e p a r la méUiode grap h i q u e q u i p e r m e t de m e t t r e en évidence c h a c u n e des trois interprétations : 1 ° E n c o n s i d é r a n t les ondes depuis l'origine (interp r é t a t i o n A l l i e v i ) , l ' é t a t a u p o i n t At,* r é s u l t e d e la s u p e r p o s i t i o n à l ' é t a t o r i g i n e A » (lu, qo) d e d e u x o n d e s q u i s e c r o i s e n t , s o i t F t , - q u i r e m o n t e le c o u r a n t , et fi 2 q u i l e d e s c e n d . C h a c u n e d e c e s o n d e s d e p r e s s i o n est l i é e à u n e v a r i a t i o n d e d é b i t t e l l e q u e l ' o n d e / < +
+2
REMENIERAS
p e u t être r e p r é s e n t é e p a r le v e c t e u r p a r le v e c t e u r M A u s .
A« M e t l ' o n d e
Fus
2 ° M. S C H L A G définit l'état en A t comme résultant de la s u p e r p o s i t i o n à l'état e x i s t a n t n o n p l u s en A , m a i s e n A<, d e d e u x o n d e s i n t e r m é d i a i r e s , T u n e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r A< B i u a p p e l é e p a r l u i o n d e i n c i d e n t e , e t l ' a u t r e r e p r é s e n t é e p a r l e v e c t e u r Bi -|- I A * appelée onde réfléchie. Les o n d e s et les é t a t s q u i o n t p r é c é d é celui e x i s t a n t e n At n e s o n t p l u s à c o n s i d é r e r . t 2
0
+2
3° L a m é t h o d e g r a p h i q u e , d a n s s a r é a l i s a t i o n p r a t i q u e , ne fait p l u s a p p e l à la n o t i o n des o n d e s q u i se c r o i s e n t et p e u t o u b l i e r t o u t le p a s s é q u i a précédé, d a n s l ' e x e m ple choisi, l'existence de l'état en R m , C e t é t a t e n Bi+t s o i t hi - f I qui constitue une onde q u i se p r o p a g e à l a c é l é r i t é « a » e n r e s t a n t i d e n t i q u e à e l l e - m ê m e ; m a i s si l e s c o n d i t i o n s r e n c o n t r é e s s u r l e p a r c o u r s i m p o s e n t u n e m o d i f i c a t i o n d e l ' é t a t 7.j + ï g ,ï, l'application du théorème des quantités de m o u v e m e n t m o n t r e q u e À h = ± a/gs A q, c ' e s t - à - d i r e q u e l e n o u v e l état doit être obligatoirement sur la droite qui passe par B u i e t d e c o e f f i c i e n t a n g u l a i r e ±a/gs. D a n s ces c o n d i t i o n s , à l ' a r r i v é e a u p o i n t A, l ' é t a t A* sa s e r a s i t u é s u r cette droite, et d e v a n t satisfaire d ' a u t r e p a r t à îa loi / (q ht) = 0 e x i s t a n t e n At+s a u t e m p s î - f 2 , s e r a à l'intersection de la d r o i t e et de l a c o u r b e donnant h~f(q) au temps Ï-1-2. F a u s s é e p e u t - ê t r e p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e , c e t t e c o n c e p t i o n , b a s é e s u r la s i m p l e c o n s i d é r a t i o n d e T o n d e é m i s e p a r l'état e x i s t a n t en u n p o i n t el en u n t e m p s d o n n é s , d o n t les c o n d i t i o n s de v a r i a t i o n s ' a p p u i e n t s u r l'application élémentaire du t h é o r è m e des q u a n t i t é s de 4
302
LA H O U I L L E
mouvement, apparaît beaucoup plus « intuitive » que les d e u x i n t e r p r é t a t i o n s p r é c é d e n t e s . Ce q u i p r o u v e q u e l a n o t i o n « d ' i n t u i t i o n » e s t t o u t à fait relative. A noter que, comme pour l'interprétation de M. SCHLAG, la méthode graphique détermine point après p o i n t l e s v a r i a t i o n s À h e t A q e t n o n h — ho et q — go. L'interprétation de M . S C H L A G p e r m e t de suivre le p h é n o m è n e p a r le calcul d'une m a n i è r e beaucoup plus simple et p e u t - ê t r e p l u s p a r l a n t e q u e p a r l a d é t e r m i n a t i o n s u c c e s s i v e d e s o n d e s F i e t fu II s e m b l e m ê m e q u ' e l l e s o i t seule jusqu'ici à r e n d r e utilisable le calcul à la m a i n sans qu'on soit rebuté à l'avance. Peut-être pourrait-elle aussi faciliter l'exécution des c a l c u l s p a r l e s m a c h i n e s à c a l c u l e r , b i e n q u e s u r ce p o i n t n o u s n ' a y o n s p a s d ' o p i n i o n et q u ' i l serait i n t é r e s s a n t de p r e n d r e l ' a v i s , p a r e x e m p l e d e M M . D U B I N et G U É N E A U qui ont d é j à u t i l i s é les m a c h i n e s p o u r la r é s o l u t i o n des p r o blèmes relatifs à l'arrêt des pompes sur réservoirs à air. P a r contre, c o m m e le fait d'ailleurs r e m a r q u e r M . S C H L A G , elle p r é s e n t e les i n c o n v é n i e n t s i n h é r e n t s à toutes les m é thodes algébriques : Impossibilité de p o u r s u i v r e les calculs l o r s q u e les lois f (q h t) = 0 a u x e x t r é m i t é s d e s t r o n ç o n s n e p e u v e n t p l u s ê t r e e x p r i m é e s p a r u n e é q u a t i o n (cas r e l a t i v e m e n t f r é q u e n t en h y d r a u l i q u e ) ; Possibilité d'erreurs toujours accrues; et n o u s a j o u t e r o n s d a n s le cas actuel, q u e l a m é t h o d e algébrique ne p e r m e t pas l'avantage o b t e n u p a r la m é t h o d e g r a p h i q u e d e p o u v o i r , a v e c d e l ' e x p é r i e n c e évidemment, suivre l'ensemble du phénomène par la simple observation de l'épure achevée. C o n t r a i r e m e n t à l'avis é m i s p a r M . A L L T E V I d a n s sa c o r r e s p o n d a n c e avec M . L. B E R G E R O N , l ' é p u r e t e r m i n é e c o n s t i t u e u n v é r i t a b l e « b a s r e l i e f » o ù t o u t e s l e s fluct u a t i o n s des é t a t s avec l e u r s causes et l e u r s conséq u e n c e s se p r é s e n t e n t s i m u l t a n é m e n t a u r e g a r d . M . S C H L A G est en p r i n c i p e d'accord avec les observat i o n s p r é s e n t é e s p a r M . B E R G E R O N et n o t a m m e n t , avec l a f a ç o n d o n t il c a r a c t é r i s e l e s m é t h o d e s d e r é s o l u t i o n d'ALLiEvi, d e L. B E R G E R O N et l a s i e n n e . Il croit cependant nécessaire de souligner que, d a n s
BLANCHE
N° SPÉCIAL A/1957
s a m é t h o d e , il n ' e s t p a s q u e s t i o n d ' o b s e r v a t e u r s c i r c u l a n t d a n s l a c o n d u i t e a v e c l a v i t e s s e a. I l n ' y a a l o r s p a s lieu de m a r q u e r B le p o i n t d e r e n c o n t r e des vect e u r s r e p r é s e n t a t i f s des o n d e s i n c i d e n t e et réfléchie, car, e n p r i n c i p e , c e p o i n t n ' a r i e n à v o i r a v e c c e q u i se p a s s e d a n s u n e a u t r e s e c t i o n q u e A . A l ' i n s t a n t i + 2, a r r i v e e n A u n e o n d e i n c i d e n t e connue (c'est l ' o n d e réfléchie d ' u n e a u t r e s e c t i o n s i t u é e e n a m o n t , et à u n i n s t a n t a n t é r i e u r — et p a r l à l a s i t u a t i o n à l ' i n s t a n t i + 2 e s t r e l i é e a u p a s s é ) . Il p e u t d o n c d e s s i n e r s o n v e c t e u r r e p r é s e n t a t i f , q u i est, s u r la figure de M . P . B E R G E R O N , m a r q u é Ai Bui, m a i s q u ' i l p r é f é r e r a i t marquer p a r e x e m p l e : AiX. D e x, il m è n e u n e d r o i t e c a r a c t é r i s t i q u e de coefficient a n g u l a i r e négatif, qui lui d o n n e A i+2 à s o n i n t e r s e c t i o n avec la courbe d'extrémité à l ' i n s t a n t z + 2. C e t t e c o n s t r u c t i o n n ' e s t q u e l a r é s o l u tion graphique du système d'équations qu'il a écrites au p a r a g r a p h e « Cas g é n é r a l » et où n ' i n t e r v i e n n e n t c o m m e d o n n é e s , q u e l ' é t a t Ai e t l ' o n d e a r r i v a n t e n A a u t e m p s i + 2 e t , c o m m e i n c o n n u e s , l ' é t a t Ai+a e t l ' o n d e réfléchie en A a u t e m p s i + 2 — d o n c r i e n q u e des é l é m e n t s r e l a t i f s à l a s e c t i o n A. Le p o i n t qu'il m a r q u e x n'est donc en r i e n r e p r é sentatif de l'état d a n s u n e section quelconque à u n i n s t a n t q u e l c o n q u e ; c'est u n i q u e m e n t u n p o i n t de const r u c t i o n , m a i s en fait, il c o ï n c i d e s o u v e n t a v e c le p o i n t f i g u r a t i f d ' u n é t a t t e l q u e Bi+i. D ' a u t r e p a r t , la c o n s t r u c t i o n qu'il a esquissée p l u s haut, m o n t r e q u ' a u besoin, sa m é t h o d e p o u r r a i t aussi s ' a p p l i q u e r a u cas où la loi d ' e x t r é m i t é est d o n n é e p a r u n e courbe et n o n p a r u n e é q u a t i o n ; b i e n e n t e n d u , la méthode devient alors graphique et sans doute, peut-on penser qu'elle perd u n e partie de son intérêt. M. SCHLAG tient encore à préciser q u e son, i n t e n t i o n , en f a i s a n t sa c o m m u n i c a t i o n , n ' é t a i t p a s t e l l e m e n t de p r é s e n t e r u n e n o u v e l l e m é t h o d e de, c a l c u l , m a i s p l u t ô t d e m o n t r e r le p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r s o u s u n a n g l e sous l e q u e l on ne le c o n s i d è r e p a s s o u v e n t . C'esl en é t u d i a n t le b e r g e r o n qu'il est a r r i v é à cette concept i o n e t il c r o i t q u e c ' e s t l à u n e p r e u v e s u p p l é m e n t a i r e de la g r a n d e richesse du m o d e de r e p r é s e n t a t i o n i m a g i n é p a r L. B E R G E R O N .
