La ji cuadrada ( 2) Es una nueva prueba estadística que se usa para los datos que miden con una escala nominal.
Prueba de bondad de ajuste: Frecuencias igualmente esperadas. La prueba de bondad de ajuste es una de las pruebas estadísticas más comunes. La primera explicación de esta prueba incluye el caso donde las frecuencias esperadas de las celdas son iguales. La finalidad de la prueba de bondad de ajuste es comparar una distribución observada con una distribución observada.
EJEMPLO. La señorita Jan Kilpatrick es gerente de mercadotecnia de una fábrica de tarjetas deportivas. Ella piensa iniciar una serie de tarjetas con fotografías y estadísticas de juego de exjugadores de la Ligas Mayores de Béisbol. Uno de los problemas es la selección de los exjugadores. Durante la exhibición de tarjetas de beisbol en el Southwyck Mall el fin de semana pasado, puso un stand y ofreció tarjetas de los siguientes seis jugadores de beisbol del Salón de la Fama: Tom Server, Nolan Ryan, Ty Cobb, George Brett, Hank Aaron y Jhonny Bench. Al final del día vendió 120 tarjetas. Como se indica en el cuadro siguiente. ¿Puede llegar ella a la conclusión de que las ventas no son iguales para cada jugador?
Jugador Tom Server Nolan Ryan Ty Cobb George Brett Hank Aaron Jhonny Bench Total
Tarjetas vendidas, f0 13 33 14 7 36 17 120
¿Qué sucede con el nivel de medida en este problema? Observe que cuando se vende una tarjeta, la “medida” se basa en el nombre del jugador. No hay un orden natural para los jugadores. Ningún jugador es mejor que el otro, por tanto, se utiliza una escala nominal para evaluar cada observación. Como en la muestra hay 120 tarjetas, esperamos que ( fe) sea de 20 tarjetas, es decir la frecuencia esperada fe, caiga en cada una de las seis categorías como se muestra en la tabla siguiente. Estas categorías se llaman celdas. Un estudio de la serie de frecuencias observadas en la tabla anterior, indica que la tarjeta de George G eorge Brett no se vende con frecuencia, mientras que la de Hank Aaron y Nolan Ryan se venden más a menudo. La diferencia en las ventas se debe a una casualidad o podemos llegar a la conclusión de que existe una preferencia de ciertos jugadores.
Jugador Tom Server Nolan Ryan Ty Cobb George Brett Hank Aaron Jhonny Bench Total
Tarjetas vendidas, f0
Número vendido esperado, fe
13 33 14 7 36 17 120
20 20 20 20 20 20 120
SOLUCIÓN. Usaremos el mismo procedimiento sistemático de prueba de hipótesis de cinco pasos que hicimos en los capítulos anteriores.
Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La Hipótesis nula H 0 es que no existe ninguna diferencia entre la serie de frecuencias observadas y la serie de frecuencias esperadas; es decir cualquier diferencia entre las dos series de frecuencias se puede atribuir al muestreo (casualidad). La hipótesis alternativa H 1 es que existe una diferencia entre las series de frecuencias observadas y esperadas. Si se rechaza H 0 y se acepta H 1 significa que las ventas no se distribuyeron de manera equitativa entre las seis categorías ( celdas).
Paso 2: Establecer el nivel de significancia. Seleccionamos el nivel 0.05, que es igual a ala probabilidad de error de tipo I por tanto, la probabilidad de que se rechace la hipótesis nula es de 0.05.
Paso 3: Establecer el estadístico de prueba. El estadístico de prueba sigue la distribución de ji cuadrada la cual se designa como
Estadístico de prueba ji cuadrada
2
( f 0 f e ) 2 f e
Con k – 1 grados de libertad: k = Número de categorías f0 = Frecuencia observada en una categoría particular fe = Es una frecuencia esperada en una categoría particular
Paso 4: Formular la regla de decisión. Recordar que se requiere establecer la zona de decisión en base al nivel de significancia para el evento, la cual se determina a través de la tabla de la grados de libertad k – 1 = 6 – 1 = 5 nivel de significancia = 0.05
Área de la cola derecha Grados de libertad gl
0.10
0.05
0.02
0.01
1 2 3 4 5
2.706 4.605 6.251 7.779 9.236
3.841 5.991 7.815 9.488
5.412 7.824 9.837 11.668 13.388
6.635 9.210 11.345 13.277 15.086
11.070
Si el valor calculado de Ji cuadrada es mayor a 11.070, la regla de decisión es rechazar H 0. sin es menor o igual a 11.070, se acepta H 0 se deberá observar el gráfico para tomar la decisión
Paso 5: Calcular el valor de ji cuadrada y tomar una decisión. De las 120 tarjetas vendidas en la muestra, contamos con el número de veces que se vendieron Tom Server Nolan Ryan y cada uno de los demás jugadores
Jugador
f0
fe
Tom Server Nolan Ryan Ty Cobb George Brett Hank Aaron Jhonny Bench Sumas
13 33 14 7 36 17
20 20 20 20 20 20
(f0 - fe) -7 13 -6 -13 16 -3 Debe ser
0
(f0 - fe)2
(f0 - fe)2/ fe
49 169 36 169 256 9
49/20 = 2.45 169/20 = 8.45 36/20 = 1.80 169/20 = 8.45 256/20 = 12.80 9/20 = 0.45 34.40
La calculada es de 34.40 y está en la región de rechazo más allá del valor crítico de 11.070. Por lo tanto, la decisión es rechazar H 0 con un nivel 0.05 y aceptar H 1. La diferencia entre las frecuencias observada y esperada no se debe a la casualidad. Más bien, las diferencias entre f 0 y fe son lo bastante grandes para considerarse significativas. La casualidad de que estas diferencias se deban al error de muestreo es muy pequeña. Así pues, llegamos a la conclusión de que no es probable que las ventas de las tarjetas sean iguales. La directora de recursos humanos de Georgetown Paper Inc., está preocupada por el ausentismo entre los trabajadores por hora. Decide hacer una muestra de los registros a fin de determinar si el ausentismo se distribuye de manera uniforme entre la semana laboral de seis días. La hipótesis nula que se va a probar es: el ausentismo se distribuye de manera uniforme durante la semana. Los resultados de muestra son:
Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sabado total
Número de ausencias 12 9 11 10 9 9
Utilice un nivel de significacia 0.01 y el procedimiento de prueba de hipótesis en cinco pasos. a) ¿Cómo se denomina los números 12, 9, 11, 10 9 y 9? b) ¿Cuántas categorías (celdas) hay? c) ¿Cuál es la frecuencia esperada por día? d) ¿Cuántos grados de libertad existen? e) ¿Cuál es valor crítico de ji cuadrada con un nivel de significancia del 1%? f) Calcule el estadístico de prueba g) ¿Cuál es al decisión respecto a la hipótesis nula? h) Específicamente, ¿qué indica lo anterior a la directora de recursos humanos?
EJERCICIOS. 1. En una prueba de bondad de ajuste de ji cuadrada particular, existen cuatro categorías y 200 observaciones. Utilice un nivel de significancia 0.05. a. ¿Cuántos grados de libertad existen? b. ¿Cuál es el valor crítico de ji cuadrada? 2. En una prueba de bondad de ajuste de ji cuadrada particular, existen seis categorías y 500 observaciones. Utilice un nivel significancia 0.01 a. ¿Cuántos grados de libertad existen? b. ¿Cuál es valor crítico de ji cuadrada? 3. La hipótesis nula y la alternativa son: H0: las categorías de las celdas son iguales H1: Las categorías de las celdas no son iguales.
Categoría A B C
F0 10 20 30
a. Establezca la regla de decisión usando un nivel de significancia 0.05 b. Calcule el valor de ji cuadrada. c. ¿Cuál es su decisión acerca de H 0 4. La hipótesis nula y la alternativa son:
H0: las categorías de las celdas son iguales H1: Las categorías de las celdas no son iguales.
Categoría A B C D
F0 10 20 30
a. Establezca la regla de decisión usando un nivel de significancia 0.05 b. Calcule el valor de ji cuadrada. c. ¿Cuál es su decisión acerca de H 0
5. un dado de seis caras se lanza 30 veces y aparecen los números del 1 al 6 según se muestra en la distribución de frecuencia a continuación: con un nivel de significancia 0.10, ¿podemos llegar a la conclusión de que el dado es legal?
Resultado 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 3 6 2 3 9
6. Classic Golf Inc. Administra cinco cursos en el área de Jacksonville, Florida. El director quiere estudiar el número de rondas de golf que se juegan por día de la semana en los cinco cursos, por lo que reunió la siguiente información de muestra.
Días Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Rondas 124 74 104 98 120
Con un nivel de significancia 0.05, ¿existe una diferencia en el número de rondas jugadas por día de la semana?
7. Un grupo de compradores en tiendas departamentales vio una nueva línea de vestidos y opinó al respecto. Los resultados fueron:
Opinión Sobresaliente Excelente Muy Buena Buena Regular Indeseable
No de compradores 47 45 50 39 35 34
Como el número más grande (47) indicó que la nueva línea sobresaliente, el jefe de diseño piensa que esta es una razón para iniciar la producción masiva de los vestidos. El jefe de barredoras (que de alguna manera se involucró en esto) cree que no existe una razón clara y afirma que las opiniones se distribuyen de manera uniforme entre las seis categorías. Además, dice que las leves diferencias entre las cuentas podrían deberse a la casualidad. Pruebe que en la hipótesis nula no existe una diferencia significativa entre las opiniones de los compradores. Pruebe al nivel de significancia 0.01. siga un p lanteamiento formal, es decir establezca la hipótesis nula, la hipótesis alternativa y así sucesivamente.
8. El director de seguridad de Honda USA tomó muestras aleatorias del archivo de accidentes menores relacionados con el trabajo y las clasifico conforme al momento en que ocurrió el accidente.
Hora
8 a 9 am 9 a 10 am 10 a 11 am 11 a 12 am 1 a 2 pm 2 a 3 pm 3 a 4 pm 4 a 5 pm
No de accidentes 6 6 20 8 7 8 19 6
Prueba de bondad de ajuste: Frecuencias esperadas desiguales. 2
La prueba de ji cuadrada ( ) también se puede usar si las frecuencias no son iguales. El ejemplo a continuación explica el caso de frecuencias desiguales y también ofrece uso práctico, en especial de la prueba de bondad de ajuste de ji cuadrada, para encontrar si una experiencia local difiere de la experiencia nacional. La American Hospital Administrators Association (AHAA) informa lo siguiente respecto al n úmero de ocasiones en que los ciudadanos de la tercera edad son admitidos en un hospital durante un período de un año. El 40% no es admitido; el 30% es admitido una vez; 20 % es admitido dos veces, y el 10% restante es admitido tres veces o más. Una encuesta entre 150 residentes de Bartow Estates, en una comunidad destinada a personas de la tercera edad activas en Florida Central, revelo que 55 residentes no fueron admitidos durante el último año 50 fueron admitidos una vez y el resto de entrevistados fueron admitidos tres veces o más. ¿Podemos llegar a la conclusión de que la encuesta en Bartow Estates coincide con la información sugerida por AHAA? Utilice un nivel de significancia 0.05.
SOLUCIÓN. Empecemos por organizar la información anterior. Se nota que no hay punto de comparación en los porcentajes que los administradores del hospital presentan en el estudio de las frecuencias reportadas por Bartow Estates. Sin embargo, estos porcentajes se pueden convertir en frecuencias esperadas, f e. Según los administradores del hospital, 40% de los residentes de Bartow que participaron en la encuesta no necesitaron hospitalización. Por tanto, si no existe diferencia entre la experiencia nacional y la de Bartow Estates, entonces 40% de las 150 personas de la tercera edad entrevistadas (60 residentes) no habrían sido hospitalizados. Además, 30% de los entrevistados fueron admitidos una vez (45 residentes), y así sucesivamente. En el siguiente cuadro presentaremos las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas. Con base en los porcentajes del estudio nacional.
Número de admisiones 0 1 2 3 o más Total
Porcentaje de AHAA del total 40 30 20 10 100 Número de admisiones 0 1 2 3 o más Total
(f0) 55 50 32 13 150
Número de residentes en Bartow (f0) 55 50 32 13 150 (fe) 60 45 30 15 150
f0 -fe 40 30 20 10 100
Número esperado de residentes (fe) 60 45 30 15 150
(f0 - fe)2/fe 55 50 32 13 150
Limitaciones de la ji cuadrada . Tener cuidado en la aplicación en algunos problemas de la ji cuadrada si en una celda existe una pequeña frecuencia esperada inusual, ji cuadrada (si se aplica) podría dar como resultado una conclusión equivocada. Lo anterior puede suceder porque fe aparece en el denominador y, al dividirlo entre un número muy pequeño, ¡el cociente aumenta mucho! Por lo general, dos reglas aceptadas respecto a las pequeñas frecuencias de celda son: 1. Si sólo existen dos celdas, la frecuencia esperada en cada celda debe ser de 5 o más. El cálculo de ji cuadrada sería permisible en la siguiente problema, que implica una f e mínima de 6.
Persona Alfabeta Analfabeta 2.
fo
fe
643 7
642 6
Si se espera que más de 20% de las celdas f e tengan frecuencia esperadas menores a 5, no se debe usar ji cuadrada para más de dos celdas. Según está regla, no seria conveniente usar la prueba de bondad de ajuste en los siguientes datos. Tres de las siete celdas. o 43 % , tienen frecuencias esperadas menores a 5 fo fe Nivel de administración Encargado 30 32 Supervisor 110 113 Gerente 86 87 Gerencia de nivel medio 23 24 Asistente del vicepresidente 5 2 Vicepresidente 5 4 Vicepresidente ejecutivo 4 1 Total 263 263
EJERCICIOS. 9. Se presentan las siguientes hipótesis: H0 : 40% de las observaciones están en la categoría A, 40% en la categoría B y 20% en la Categoría C. H1 : Las observaciones no son como se describen en H 0. Tomamos una muestra de 60 con los siguientes resultados.
Categoría
F0
A B C
30 20 10 a. Establezca la regla de decisión usando un nivel de significancia 0.01 b. Calcule el valor de ji cuadrada c. ¿Cuál es la decisión acerca de H 0?
10. Al jefe de seguridad de Mall of the Dakotas se le pidió que estudiará el problema de los faltantes de mercancía. Seleccionó una muestra de 100 cajas que se manipularon indebidamente y averiguo que 60 de las cajas, los pantalones, zapatos y demás mercancía que faltaba se debía a hurtos en las tiendas. Los empleados robaron mercancía de otras 30 cajas y el faltante de las 10 cajas restantes lo atribuyo a control de inventario deficiente. En su informe la gerencia del centro comercial, ¿puede decir que probablemente el hurto en tiendas sea el doble de la perdida en comparación con el robo por parte de los empleados o un control de inventario deficiente y que el robo por parte de los empleados y el deficiente control de i nventarios quizá son iguales? Utilice un nivel de significancia 0.02
11. El departamento de tarjetas crédito bancarias de Carolina Bank sabe por experiencia que 5% de los tarjetahabientes tienen un nivel de estudios universitarios y que 55% termino la universidad. De los 500 tarjetahabientes a quienes se les llamó por no pagar su cargos en el mes, 50 tenían estudios de preparatoria, 100 terminaron la preparatoria, 190 tenían ciertos estudios universitarios y 160 terminaron la universidad. ¿Podemos llegar a al conclusión de que la distribución de los tarjetahabientes que no pagan sus cargos es diferente a los demás? Utilice un nivel de significancia 0.01.
12. Durante muchos años, ejecutivos de televisión utilizaron el lineamiento de que 30% del público veía cada una de las cadenas televisivas de mayor audiencia y 10% veía canales de televisión por cable durante una noche entre semana. El pasado lunes por la noche, una muestra aleatoria de 500 televidentes en el área de Tampa-St. Petersburg, Florida, reveló que 165 hogares sintonizaron la filial de ABC, 140 la filial CBS, 125 la filial de NBC y el resto vio canal de televisión por cable. En el nivel de significancia 0.05, ¿Podemos llegar a la conclusión de que el lineamiento sigue siendo razonable?
