Escuela de Ingeniería Civil Matemática III
La integral triple Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton ( 1642-1727 1642-1727 )
Lic. Montes Oblitas Giancarlo
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:
Hallar el volumen del sólido B de la siguiente figura.
¿Qué necesitamos recordar? •
Cálculo de integrales dobles.
INTEGRALES TRIPLES SOBRE PARALELEPÍPEDOS I Sea
: ⊂ ℝ → ℝ
ℎ
*(,,)∈ℝℝℝ/≤≤,≤≤,≤≤ * , ,…,⋅∙ constituye una partición de la región ; donde ℎ, 1,⋅∙ es el h-ésimo , -, ∀1,…, es la partición , ; −, -, ∀1,…, es la partición , , −,-, esta dado por: ∆ℎ ∆ ∆ ∆ ( ∀1,…, , . El volumen de cada h-ésimo paralelepípedo − )( − )(∗ ∗ −∗ ). La suma de Rieman de la función : ⊂ ℝ → ℝ asociada a la partición está dada por: = = = ( , , )∆ ∆ ∆, entonces la integraltriple de en se define por: ,, (∗ , ∗,∗)∆∆ ∆ → = = = Donde: (∗ ,∗ ,∗ ) es el valor de la imagen de la función para cualquier (∗ ,∗ ,∗ )∈− , -×− , -×− , -. ∆ ,1,⋅∙ llamada la de la partición de la región S El conjunto paralelepípedo en ; − es la partición
INTEGRALES TRIPLES SOBRE REGIONES GENERALES Sea
: ⊂ ℝ → ℝ
* , ,…
El conjunto constituye una partición de la región acotada , y desechamos las subregiones que no están completamente en S, donde , es el i-ésimo paralelepípedo en . El volumen de cada i-ésimo paralelepípedo esta dado por:
1,
∆ ∆ ∆∆
= (∗,∗,∗)∆ ∆ ∆, : ⊂ ℝ → ℝ ∗ ∗ ∗ ,, ,, → ( , , )∆∆ ∆
asociada a la partición está dada por: La suma de Rieman de la función entonces la integral triple de en se define por:
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL TRIPLE
: ⊂ ℝ → ℝ, g:⊂ℝ → ℝ continuas en la región acotada y sea ∈ℝ. Entonces: a) y g es integrable en . b) ,, ,, c) (,,) ± (, ,) ,, ± ,, d) Si ,, ≤ ,, ,∀(,,) ∈ , entonces: ,, ≤ ,, e) Sean m y M los valores mínimo y máximo absoluto de en respectivamente es decir ≤ ,, ≤ ,∀(,,)∈, entonces: () ≤ ,, ≤() Donde () es el volumen de la región acotada . f) Sea ∪ donde son regiones acotadas disjuntas, entonces: ,, = ,, + ,, g) ,, ≤ ,, . Sea
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES POR INTEGRALES ITERADAS (TEOREMA DE FUBINI, 1879-1943)
: ⊂ ℝ → ℝ una función continua sobre el paralelepípedo * ,, ∈ ℝ/ ≤ ≤ , ≤ ≤ , ≤ ≤ Sea
1° CASO
,,,,
Las integrales iteradas de sobre son:
Nota: Como la integral triple se halla sobre una región tridimensional, entonces tenemos que elegir adecuadamente el plano coordenado sobre el cual vamos a proyectar la región S . En el cálculo de la integral triple por medio de integrales iteradas se presentan seis órdenes de integración:
2° CASO
: ⊂ ℝ → ℝ una función continua sobre * ,, ∈ ℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤ , , ≤ ≤ ,. Sea
,
, ∈ ℝ / ≤ ≤ , ≤ ≤
,
, :,-→ℝ ≤ ,∀ ∈ ,-.
Donde son funciones continuas y además
, ,, ,,
La in tegral i terada de
sobre
es:
,
Nota: La región acotada S se proyecta sobre el plano XY; despejando la variable z en función de (x,y) obtenemos dos funciones
, (,) , donde : ⊂ ℝ → ℝ son funciones
3° CASO
: ⊂ ℝ → ℝ una función continua sobre: * ,, ∈ ℝ / ≤ ≤ , , ≤ ≤ , , ≤ ≤ donde la región acotada S se proyecta sobre el plano XZ; despejando la variable y en función de (x,z) obtenemos dos funciones , , (,), donde , : ⊂ ℝ → ℝ son funciones continuas en la región cerrada D y , ≤ , ,∀ , ∈ y D se define por: , ∈ ℝ ǀ ≤ ≤ , ≤ ≤ Además , :,-→ℝ son funciones continuas y además ≤ ,∀ ∈ ,-. Luego; , ,, ,, Sea
la in tegral iterada de
sobre
es:
4° CASO
,
sobre: : ⊂ ℝ → ℝ una función continua * ,, ∈ ℝ / , ≤ ≤ ,,≤≤, ≤ ≤ donde la región acotada S se proyecta sobre el plano YZ; despejando la variable x en función de (y,z) obtenemos dos funciones , , (,), donde , : ⊂ ℝ → ℝ son funciones continuas en la región cerrada D y , ≤ , ,∀ , ∈ y D se define por: , ∈ ℝ ǀ ≤ ≤ , ≤ ≤ Además , :,-→ℝ son funciones continuas y además ≤ ,∀ ∈ ,-. Luego; , ,, ,, Sea
la integral i terada de
sobre
es:
VOLUMEN DE UNA REGIÓN TRIDIMENSIONAL
: ⊂ ℝ → ℝ
,, 1 , ∀ ,, ∈ .
una función continua y definida por Sea Entonces; definimos el volumen de la región por: Ejemplo:
Se desea calcular el volumen del tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano
+ + 1.
Solución: Para calcular los límites de integración se proyecta la región S sobre el plano XY obteniendo el triángulo señalado en la figura:
Entonces:
Ejercicios:
1 , * ,, ∈ ℝ/2 ≤ ≤ 3,2 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 2 Calcular 2+3 , si la región S es un prisma triangular limitado por los planos: 0,,0,0,+ (≥0,≥0) Calcular , si el sólido S está limitado por las superfificies 1 , ,0,0,5. Encontrar el volumen del sólido limitado por arriba por el paraboloide 4 y por debajo por el plano 42. Hallar el volumen del sólido S limitado por las gráficas de las siguientes superficies ,2, ,0,0.
Calcular
SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:
Hallar el volumen del sólido B de la siguiente figura.
